6. Óptica Geométrica 6. ÓPTICA GEOMÉTRICA La longitud de onda de la luz suele ser muy pequeña en comparación con el tamaño de obstáculos ó aberturas que se encuentra a su paso. Esto permite en general despreciar los efectos de interferencia y difracción asociados al carácter ondulatorio de la luz. Sobre esta hipótesis se asume una propagación rectilínea de los rayos de luz dando lugar a la disciplina conocida como óptica geométrica. Los axiomas sobre los que se construye la óptica geométrica son: 1. Las trayectorias de los rayos de luz en los medios homogéneos e isótropos son rectilíneas 2. El rayo incidente, el refractado y la normal están en un mismo plano 3. Se cumple la ley de la reflexión 4. Se cumple la ley de la refracción 5. Las trayectorias de la luz a través de distintos medios son reversibles 6. No existe interacción entre los diferentes rayos donde los cinco primeros axiomas se deducen del principio de Fermat, tal y como vimos en el capítulo anterior, y el último supone ignorar el carácter ondulatorio de la luz. La óptica geométrica se ocupa principalmente de la formación de imágenes por espejos y lentes, base de la construcción de instrumentos ópticos tales como microscopios ó telescopios. 6.1 Espejos La figura 6.1.a muestra un haz de rayos que procede de un punto P situado en el eje de un espejo esférico cóncavo y que después de reflejarse en el mismo convergen en el punto P´. Los rayos entonces divergen desde este punto como si hubiese un objeto en el mismo. Esta imagen se denomina imagen real debido a que la luz realmente emana del punto imagen y puede verse por un ojo situado a la izquierda de la imagen y que mire hacia el espejo. La figura 6.1.b muestra un haz de rayos luminosos que proceden de una fuente puntual P y se reflejan en un espejo plano. Después de la reflexión, los rayos divergen exactamente como si procediesen de un punto Figura 6.1. Reflexión en un espejo cóncavo P´ situado detrás del espejo dando lugar a una imagen virtual debido a que la luz no procede (a) y plano (b) 6-1 6. Óptica geométrica realmente de la imagen. A pesar de esta diferencia entre imagen real y virtual, los rayos luminosos que divergen desde ambos tipos de imagen son idénticos para el ojo. La figura 6.2 esquematiza el proceso de reflexión de un rayo que procedente de un punto objeto P a una distancia s medida según el eje óptico, se refleja en un espejo esférico y pasa por el punto imagen P´ situado a una distancia s´. El punto C es el centro de curvatura del espejo y el punto V sitúa la intersección del espejo con el eje óptico. Los rayos incidente y reflejado forman ángulos iguales con la línea radial CA que es perpendicular a la superficie del espejo. Figura 6.2. Proceso de reflexión de un rayo en un espejo cóncavo De la geometría expuesta en la figura se deduce que el ángulo β=α+θ y que γ=α+2θ. La distancia imagen s´ desde el vértice V del espejo a P´ puede relacionarse con la distancia objeto s asumiendo que los ángulos son pequeños y que senθ ≈ θ, rayos paraxiales. El resultado es 1 1 2 + = s s´ r [6.1] Cuando la distancia objeto es grande en comparación con el radio de 1 curvatura, s=∞, la distancia imagen es s´= r y recibe el nombre de distancia focal f 2 del espejo. El punto focal F es el punto en donde resultan enfocados todos los rayos paralelos al eje del espejo f = 1 r 2 [6.2] La distancia focal de un espejo esférico es igual a la mitad del radio de curvatura. En función de la distancia focal f, la ecuación [6.1] toma la forma 6-2 6. Óptica Geométrica 1 1 1 + = s s´ f [6.3] conocida como ecuación del espejo. El criterio de signos a aplicar a la hora de utilizar correctamente estas ecuaciones es el siguiente s s´ r,f + si el objeto está delante del espejo (objeto real) - si el objeto está detrás del espejo (objeto virtual) + si la imagen está delante del espejo (imagen real) - si la imagen está detrás del espejo (imagen virtual) + si el centro de curvatura está delante del espejo (espejo cóncavo) - si el centro de curvatura está detrás del espejo (espejo convexo) Un método que resulta útil a la hora de situar imágenes consiste en la construcción de un diagrama de rayos esquematizado en la figura 6.3. Existen tres rayos principales convenientes para la construcción de la imagen 1. El rayo paralelo al eje óptico. Este rayo se refleja pasando por el punto focal Figura 6.3. Diagrama de rayos en un espejo 2. El rayo focal, que pasa por el punto concavo focal. Este rayo se refleja paralelamente al eje óptico 3. El rayo radial, que pasa por el centro de curvatura. Este rayo incide sobre el espejo perpendicularmente a su superficie y por ello se refleja coincidiendo consigo mismo La intersección de dos rayos cualesquiera sitúa el punto imagen Figura 6.4. Imagen virtual en un espejo cóncavo superior pudiéndose utilizar el tercer rayo como comprobación. Cuando el objeto está entre el espejo y su punto focal, los rayos reflejados no convergen sino que parecen divergir desde un punto situado detrás del espejo, imagen virtual, tal y como se ilustra en la figura 6.4. En la figura 6.5 se muestra el diagrama de rayos para un objeto situado delante de un espejo convexo. El rayo central que se Figura 6.5. Imagen virtual en un espejo convexo dirige hacia el centro de curvatura C es perpendicular al espejo y se refleja sobre 6-3 6. Óptica geométrica si mismo. El rayo paralelo al eje se refleja como si procediese del punto focal F detrás del espejo. Podemos ver en la figura que la imagen está detrás del espejo y, por tanto, es virtual. La relación entre el tamaño del objeto y de la imagen se denomina aumento lateral de la imagen. En la figura 6.6, y utilizando la aproximación de rayos paraxiales, podemos ver que el aumento lateral es igual a Figura 6.6 Aumento lateral en un espejo cóncavo m= y´ s´ =− y s [6.4] Un aumento negativo, lo que tiene lugar cuando s y s´ son positivos, significa que la imagen está invertida. En el caso de espejos planos el radio de curvatura es infinito implicando que la distancia focal es infinita. Esto da lugar a que s´=s y m=1. Esto da lugar a una imagen virtual, derecha (no invertida) y del mismo tamaño que el objeto. 6.2 Lentes 6.2.1 Imágenes formadas por refracción. La formación de una imagen por refracción en una superficie esférica que separa dos medios con índices de refracción n1 y n2 se ilustra en la figura 6.7. Figura 6.7. Refracción en una superficie esférica En esta figura n2>n1 de modo que las ondas se mueven más lentamente en el 2º medio. Aplicando la ley de Snell, con la aproximación de rayos paraxiales, y de los triángulos ACP´ y PAC obtenemos n1θ 1 = n 2θ 2 β = θ2 + γ θ1 = α + β [6.5] y utilizando las aproximaciones de ángulos pequeños, rayos paraxiales 6-4 6. Óptica Geométrica α≈ l s β≈ l r γ ≈ l s´ [6.6] obtenemos la ecuación que liga la distancia imagen s´ con la distancia objeto s, el radio de curvatura r de la superficie y los índices de refracción de los dos medios n1 n2 n 2 − n1 + = s s´ r [6.7] En la refracción, las imágenes reales se obtienen detrás de la superficie que recibe el nombre de lado de transmisión, mientras que las imágenes virtuales se presentan en el lado de incidencia delante de la superficie. Por tanto el convenio de signos que utilizamos para la refracción queda s s´ r + (objeto real) para los objetos delante de la superficie incidencia) - (objeto virtual) para los objetos detrás de la superficie transmisión) + (imagen real) para las imágenes detrás de la superficie transmisión) - (imagen virtual) para las imágenes delante de la superficie incidencia) + si el centro de curvatura está en el lado de transmisión - si el centro de curvatura está en el lado de incidencia (lado de (lado de (lado de (lado de Se denomina punto focal objeto F a la posición de un objeto puntual sobre el eje óptico tal que los rayos refractados son paralelos al eje óptico, lo cual equivale a tener la imagen del punto en el infinito. La distancia del objeto a la superficie esférica se denomina distancia focal objeto f. Análogamente, cuando los rayos incidentes son paralelos al eje óptico, objeto en el infinito, los rayos refractados pasan por el punto focal imagen F´ situado a la distancia focal imagen f´ de la superficie. Según la figura 6.8 y utilizando de nuevo la ley de Snell y la aproximación de rayos paraxiales llegamos a que el aumento debido a la refracción en una superficie esférica es igual a m= y´ n s´ =− 1 y n2 s [6.8] Figura 6.8 Aumento debido a la refracción en una superficie esférica 6-5 6. Óptica geométrica 6.2.2 Lentes delgadas. La aplicación más importante de la ecuación [6.7] para la refracción en una superficie simple consiste en hallar la posición de la imagen formada por una lente siendo ésta un medio transparente de índice de refracción n limitado por dos superficies esféricas de radios r1 y r2 y de espesor despreciable, lente delgada. Según la figura 6.9, si un objeto está a una distancia s de la primera superficie se puede encontrarse la distancia s1´ de la imagen debido a la refracción aplicando [6.7] 1 n n −1 + ´ = s s1 r1 [6.9] Figura 6.9. Refracción de la luz y formación de imagen en una lente delgada Esta imagen no llega a formarse porque la luz se refracta de nuevo en la segunda superficie. En este caso s1´ es negativa indicando que sería una imagen virtual. Los rayos dentro del vidrio, refractados por la primera superficie, divergen como si procediesen del punto imagen P1´. Estos inciden sobre la segunda superficie formando los mismos ángulos que si se encontrase un objeto en este punto imagen. Por consiguiente, la imagen dada por la primera superficie se convierte en objeto para la segunda superficie. Como la lente es de espesor despreciable, la distancia objeto s2 es de valor igual a s1´ pero de signo positivo dado que está en el lado de incidencia para la segunda superficie s2=-s1 ´. Aplicando [6.7] para esta segunda refracción obtendremos la distancia imagen s´ para la lente n 1 1− n + = ´ − s1 s´ r2 [6.10] y eliminando s1 ´ al sumar [6.9] y [6.10] tenemos 1 1 1 1 + = ( n − 1) − s s´ r1 r2 6-6 [6.11] 6. Óptica Geométrica La ecuación [6.11] da la distancia imagen s´ en función de la distancia objeto s y de las propiedades de la lente delgada. Como en el caso de los espejos, la distancia focal de una lente delgada se define como la distancia imagen que corresponde a una distancia objeto infinita. Haciendo s=∞ y escribiendo f en lugar de la distancia imagen se tiene 1 1 1 = ( n − 1) − f r1 r2 [6.12] denominada ecuación del constructor de lentes y que da la distancia focal de una lente en función de sus propiedades. Introduciendo [6.12] en [6.11] obtenemos la denominada ecuación de la lente delgada 1 1 1 + = s s´ f [6.13] En una lente delgada los dos puntos focales, objeto F e imagen F´, están simétricamente ubicados a ambos lados de la lente delgada y a una distancia igual a la focal f. Figura 6.10. Lente convergente Cuando la distancia focal calculada a partir de [6.12] es mayor que cero se dice que la lente es positiva ó convergente, figura 6.10, teniendo el punto focal objeto F en el lado de incidencia y el punto focal imagen F´ en el lado de transmisión. Las lentes más gruesas en el centro que en los extremos, biconvexas, son lentes positivas, siempre que su índice de refracción sea mayor que el del medio que las rodea. Sin embargo, cuando la distancia focal es menor que cero, tenemos una lente negativa ó divergente y el punto focal objeto está en el lado de transmisión y el punto focal imagen en el lado de incidencia, figura 6.11, siempre que su índice de refracción sea mayor que el del medio que las rodea. El valor inverso de la distancia focal se denomina potencia de la lente. Cuando se expresa en metros la distancia focal, la potencia viene dada en recíprocos de metros denominados dioptrías (D) Figura 6.11. Lente divergente 6-7 6. Óptica geométrica P= 1 dioptrías f [6.14] midiendo la capacidad de la lente para enfocar los rayos paralelos a una distancia corta de la misma. Si combinamos en un sistema óptico dos ó más lentes delgadas, podemos hallar la imagen final producida por el sistema de lentes múltiples hallando la distancia imagen correspondiente a la primera lente y utilizándola junto con la distancia entre lentes para hallar la distancia objeto correspondiente a la segunda lente. Es decir, se considera cada imagen, sea real ó virtual y se forme ó no como el objeto para la siguiente lente. En caso de que las dos lentes delgadas de distancias focales f1 y f2 estén en contacto, la distancia focal equivalente de la combinación viene dada por 1 1 1 = + f f1 f2 [6.15] 6.2.3 Diagramas de rayos para las lentes. Como sucede con las imágenes formadas por los espejos, es conveniente situar las imágenes dadas por las lentes mediante métodos gráficos. La figura 6.12 ilustra este método para lentes convergentes donde los rayos principales son Figura 6.12. Diagrama de rayos en una lente convergente 1. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo se desvía de modo que pasa por el segundo punto focal de la lente 2. El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sufre desviación dado que las caras de la lente son paralelas en este punto y la lente es delgada 3. El rayo focal, que pasa por el primer punto focal. Este rayo emerge paralelo al eje Estos tres rayos convergen en el punto imagen. En este caso la imagen es real e invertida y la amplificación lateral vale, igual que en caso de espejos, m=-s´/s. 6-8 6. Óptica Geométrica Los rayos principales para una lente divergente, tal y como se esquematiza en la figura 6.13, son 1. El rayo paralelo, que se dibuja paralelo al eje. Este rayo diverge como si procediese del segundo punto focal de la lente 2. El rayo central, que pasa por el centro de la lente. Este rayo no sufre desviación 3. El rayo focal, que se dirige hacia el primer punto focal. Este rayo emerge paralelo al eje Figura 6.13. Diagrama de rayos en una lente divergente 6.2.4 Aberraciones. Cuando los rayos procedentes de un punto objeto no se enfocan en un solo punto imagen, la imagen borrosa resultante del objeto se denomina aberración. Los motivos de las aberraciones suelen clasificarse en los siguientes tipos i) Aberración esférica. Los rayos que procedentes de un objeto en el eje óptico, inciden sobre una lente lejos del eje, rayos no paraxiales, se desviarán más que los próximos al mismo, figura 6.14, con el resultado de que no todos los rayos se enfocan en un solo punto. En lugar de ello, la imagen tiene el aspecto de un disco circular. El círculo de mínima confusión, en donde se encuentra el diámetro mínimo, se encuentra en el punto C Figura 6.14. Aberración esférica en una lente 6-9 6. Óptica geométrica ii) Coma y astigmatismo. Son aberraciones propias de puntos fuera del eje óptico, que dan lugar a imágenes no puntuales del punto objeto, y motivadas por considerar rayos no paraxiales al igual que en la aberración esférica. iii) Curvatura de imagen. Aún considerando que la imagen de un punto es otro punto, puede ocurrir que los puntos del plano objeto no están todos en el mismo plano imagen sino en una superficie curva produciendo una curvatura de la imagen iv) Distorsión. Da lugar a una imagen no semejante a la forma del objeto y es motivada por el hecho de que la amplificación lateral depende de la distancia de los puntos objeto al eje v) Aberración cromática. El hecho de que el índice de refracción de la lente depende de la longitud de onda, fenómeno que ya analizamos en el capítulo anterior y conocido como dispersión, produce aberraciones cuando trabajamos con luz no monocromática dado que la distancia focal depende de n. La figura 6.15 ilustra este fenómeno al iluminar con luz formada por tres colores una lente Figura 6.15. Aberración cromática en una lente Las aberraciones son corregidas parcialmente utilizando superficies no esféricas para lentes y espejos, generalmente más costosas de producir que las superficies esféricas. Por ejemplo, es habitual el uso de superficies reflectoras parabólicas que enfocan en un punto los rayos paralelos al eje sin importar lo alejados que estén estos del eje óptico. Otro método habitualmente utilizado para corregir aberraciones es usar combinaciones de varias lentes, en lugar de una sola lente. Por ejemplo, una lente positiva, y otra negativa de mayor distancia focal, pueden utilizarse juntas para producir un sistema de lentes convergente que tenga una aberración cromática mucho menor que una lente simple de la misma distancia focal. El sistema óptico de una buena cámara fotográfica contiene normalmente seis elementos para corregir las diversas aberraciones presentes. 6-10 6. Óptica Geométrica 6.3 Método matricial para el análisis de sistemas ópticos Un sistema óptico compuesto por dos ó más lentes delgadas se puede analizar algebraicamente ó gráficamente por los métodos hasta ahora expuestos sin más que tratar la imagen formada por la primera lente como objeto de la segunda y así sucesivamente a través de todo el sistema. El problema aparece cuando el sistema contiene una ó mas lentes de espesor no despreciable dejando de ser válidos los métodos de análisis anteriormente desarrollados. En este apartado desarrollaremos un método de análisis basado en cálculo matricial que nos permitirá abordar sistemas ópticos compuestos por varias lentes gruesas. Los sistemas ópticos contienen regiones de diferente índice de refracción. θ1 β γ Las superficies de separación entre ellas θ2 α son partes de superficies esféricas cuyos β centros están situados sobre un eje común l denominado eje óptico. Siguiendo el β esquema de la figura 6.16 tenemos que un rayo óptico alcanza la superficie de r C refracción formando un ángulo α con el eje óptico y a una altura l sobre ese mismo eje. Figura 6.16 Proceso de refracción de un rayo Debido al proceso de refracción en la óptico en una superficie esférica superficie, tenemos que ese rayo óptico cambia su ángulo con el eje óptico pasando a ser γ mientras que la altura continúa siendo l. Las ecuaciones [6.5] nos muestran que para rayos paraxiales n1 (α + β ) = n2 ( β + γ ) y considerando que β = [6.16] l nos queda r n1 1 n − 1 l + 1 α = γ n2 n2 r [6.17] Utilizando notación matricial podemos poner que el rayo óptico (l,α) se ha transformado debido a la refracción en el rayo (l´,γ) según la operación 1 n 1 − 1 1 n r 2 0 l l´ n1 = n 2 α γ [6.18] 6-11 6. Óptica geométrica 1 0 l n donde R= 1 − 1 1 n1 recibe el nombre de matriz de refracción y C= matriz n α 2 r n2 del rayo óptico . Por tanto la acción de la superficie sobre el rayo se describe por la operación RC= C´ [6.19] Si no existen superficies donde cambia el índice de refracción, el rayo óptico seguirá trayectorias rectilíneas. Veamos como aplicar α l´ el cálculo matricial para describir la l transmisión del rayo entre dos superficies separadas una distancia t y que limitan una t región de índice de refracción constante, figura 6.17. Estas superficies representadas por planos en la figura son realmente esféricas, pero al estar los rayos paraxiales cerca del eje al atravesar el sistema Figura 6.17 Transmisión de un rayo óptico podemos considerarlas como planos que entre dos planos que limitan una región de n cortan al eje óptico en puntos denominados constante y separados una distancia t vértices. γ Al seguir una trayectoria recta, el ángulo con el eje óptico no cambia α=γ. La relación entre las distancias l y l´ con el eje óptico vienen dadas, asumiendo rayos paraxiales, por la ecuación l + tα = l´ [6.20] Utilizando de nuevo notación matricial escribimos 1 t l l´ = 0 1 α γ [6.21] 1 t y notando T= como la matriz de transformación tenemos 0 1 TC= C´ [6.22] Con este sistema de análisis matricial podemos trazar la trayectoria de cualquier rayo paraxial a través de cualquier sistema óptico llevando a cabo una serie de multiplicaciones matriciales en las que intervienen matrices de transmisión y de refracción. 6-12 6. Óptica Geométrica Consideremos por ejemplo una lente gruesa de espesor t21 esquematizada en la figura 6.18. Un rayo paraxial desde el plano objeto se dirige desde la derecha hacia la primera superficie de la lente, de radio de curvatura r1, y que separa los medios de índice de refracción n1 y n2 . En esta superficie se refracta y continúa trasladándose hacia la segunda superficie de radio de curvatura r2, superficie que separa los medios de índice n2 y n3 donde se refracta de nuevo y continúa hasta el plano imagen. Plano objeto Plano imagen n1 n2 n3 r1 r2 s t21 s´ Figura 6.18. Lente gruesa de espesor t21 y trayectoria de un rayo óptico desde el plano objeto hasta el plano imagen Si especificamos el rayo óptico por su matriz C, que nos da la altura por encima del eje y su pendiente al abandonar el plano objeto, tenemos que al llegar a la primera superficie la matriz del rayo óptico C´ vendrá dada por TC=C´ donde T es 1 s T= 0 1 [6.23] siendo ésta la matriz de transmisión desde el plano objeto hasta la primera superficie a lo largo de una distancia s. Una vez en esta superficie, el rayo sufre un proceso de refracción siendo ahora la matriz del rayo óptico R1TC=C´ con una matriz de refracción 1 n R1= 1 − 1 1 r n 1 2 0 n1 n 2 [6.24] 6-13 6. Óptica geométrica La matriz del rayo óptico inmediatamente antes de llegar a la segunda superficie de refracción será T21R1TC=C´ con una matriz de translación, que lleva al rayo óptico desde la primera superficie hasta la segunda, dada por 1 t 21 T21= 0 1 [6.25] Entonces el rayo se refracta en la segunda superficie de la lente gruesa pasando la matriz del rayo óptico a valer R2T21R1TC=C´ con una matriz de refracción 1 R2= n2 − 1 1 r n 2 3 0 n2 n3 [6.26] Después de abandonar la segunda superficie de refracción, el rayo óptico continúa hasta el plano imagen siendo aho ra la matriz de transmisión T´ 1 s´ T´= 0 1 [6.27] Por tanto podemos describir la trayectoria del rayo óptico, descrito por su matriz C, desde el plano objeto , hasta el plano imagen, donde llega como C´, por la operación T´R2T21R1TC= C´ [6.28] Definimos para este sistema óptico la matriz S del sistema como R2T21R1= S [6.29] de forma que podemos escribir la ecuación [6.28] como T´STC= C´ [6.30] Para un sistema óptico más complicado que el analizado hasta ahora bastará escribir la matriz del sistema óptico como la expresión general …R3T32R2T21R1= S [6.31] siendo el último término de la izquierda la matriz de refracción de la última superficie del sistema óptico. Esta matriz del sistema óptico nos permitirá trazar cualquier rayo paraxial a través del sistema utilizando [6.30]. 6-14 6. Óptica Geométrica Realicemos ahora los cálculos para trazar los rayos ópticos desde un objeto a través de un sistema óptico hasta la imagen formada de este objeto. Para este propósito escribimos la matriz del sistema óptico en su forma más general a b S= c d [6.32] La figura 6.19 indica un sistema óptico general, el plano sobre el que está situado el objeto que envía los rayos paraxiales a través del sistema, así como el plano de la imagen que el sistema produce del objeto. Cualquier sistema de lentes y y´ s s´ Plano del objeto Plano de la imagen Plano en la primera superficie Plano en la última superficie Figura 6.19. Sistema óptico general l Cuando un rayo sale del plano objeto, éste se especifica por la matriz C= α 1 s y la matriz de transmisión T= lleva el rayo a lo largo de la distancia s desde el 0 1 plano objeto hasta la primera superficie refractora del sistema óptico. Por consiguiente, al llegar a esta primera superficie el rayo se especifica por la matriz 1 s l l + sα = 0 1 α α [6.33] La matriz del sistema lleva el rayo a través del sistema óptico y cuando abandona la última superficie de refracción se especifica por la matriz a b c d l + sα al + asα + bα = α cl + csα + dα [6.34] 6-15 6. Óptica geométrica 1 s´ Finalmente la matriz de tranmisión T´= lleva el rayo la distancia s´ 0 1 desde la última superficie de refracción hasta el plano de la imagen y al llegar se especifica por la matriz 1 s´ al + asα + bα al + asα + bα + s´cl + s´csα + s´dα l´ = = cl + cs α + dα 0 1 cl + csα + dα γ [6.35] quedándonos entonces las ecuaciones escalares l´ = al + asα + bα + s´cl + s´csα + s´dα γ = cl + csα + dα [6.36] Consideremos la primera de estas dos ecuaciones escalares l´ = ( a + s´c) l + ( as + b + s´cs + s´d )α [6.37] donde l´ expresa la altura por encima del eje óptico en el plano imagen de un rayo que abandono el plano objeto a una altura l y pendiente α. Pero todos los rayos paraxiales que abandonan un punto del plano objeto independientemente de cuál sea su pendiente llegan al mismo punto en el plano imagen. Por consiguiente los valores de l´ no pueden depender de α y esto implica que los valores de s y s´ se relacionan por la ecuación ( as + b + s´cs + s´d ) = 0 [6.38] Es decir dado el valor de s, y despejando de la ecuación anterior, podemos encontrar el valor de s´ utilizando la ecuación s´= − as + b cs + d [6.39] Calculamos el aumento lateral de la imagen combinando las ecuaciones [6.37] y [6.38] m= l´ = a + s´c l [6.40] Las ecuaciones [6.39] y [6.40] determinan completamente las características de la imagen que un sistema óptico arbitrario produce de un objeto sin más que calcular el valor de la matriz del sistema óptico. 6-16 6. Óptica Geométrica 6.4 Instrumentos ópticos 6.4.1 El ojo. El sistema óptico de máxima importancia es el ojo, esquematizado en la figura 6.19. La luz entra en el ojo a través de una abertura variable, la pupila, y se enfoca mediante el sistema lente -cornea sobre la retina, una película de fibras nerviosas que cubre la superficie posterior del ojo. La retina contiene diminutas estructuras sensibles denominadas bastones y conos, que reciben la imagen y transmiten información a lo largo del nervio óptico hasta el cerebro. La forma de la lente cristalina puede alterarse ligeramente mediante la acción de los músculos ciliares. Cuando el ojo se Figura 6.19. Esquema del ojo humano enfoca sobre un objeto alejado, el músculo se relaja y el sistema lente -cornea tiene su máxima distancia focal, aproximadamente 2.5 cm, que es la distancia de la cornea a la retina. Cuando el objeto se acerca al ojo, se tensan los músculos ciliares aumentando la curvatura del cristalino ligeramente y disminuyendo de este modo su distancia focal, y la imagen se enfoca de nuevo en la retina en un proceso denomi nado de acomodación. Si el objeto está demasiado cercano al ojo, el cristalino no puede enfocar del mismo en la retina y la imagen resulta borrosa. El punto más próximo para el cual el cristalino puede enfocar una imagen en la retina se denomina punto próximo xpp. El valor normalizado tomado como punto próximo es 25 cm y el poder resolvente del ojo para esta distancia es alrededor de 10-2 cm. El tamaño aparente de un objeto queda determinado por el tamaño de la imagen sobre la retina. Cuanto mayor es esta imagen, mayor es el número de bastones y conos activados. En la figura 6.20 podemos ver que el tamaño de la imagen sobre la retina es mayor cuando el objeto está cerca y más pequeño si está alejado. Así, aunque el tamaño del objeto no varía , su tamaño aparente es mayor cuando se acerca al ojo. Figura 6.20. Formación de imagen en la retina y tamaño aparente según la distancia 6-17 6. Óptica geométrica Una medida conveniente del tamaño de la imagen sobre la retina es el ángulo θ subtendido por el objeto en el ojo θ = y´ 2.5 cm [6.41] El ángulo θ está relacionado con el tamaño del objeto y. Para ángulos pequeños θ = tgθ = y s [6.42] y combinando ambas ecuaciones resulta y ´ = 2.5 cm y s [6.43] Así pues, el tamaño de la imagen sobre la retina es proporcional al del objeto y es inversamente proporcional a la distancia entre el objeto y el ojo. Como el punto próximo es el más cercano al ojo para el cual se forma una imagen nítida en la retina, la distancia al punto próximo es la distancia de mayor visión distinta (sin confusión). Si el ojo es menos convergente de lo que debiera, dando como resultado que las imágenes quedan enfocadas detrás de la retina, se dice que la persona es Figura 6.21. Hipermetropía y su correción hipermétrope. Esta persona ve correctamente objetos lejanos, para lo que se requiere poca con una lente convergente convergencia, pero tiene problemas a la hora de ver claramente objetos cercanos. La hipermetropía se corrige con una lente convergente (positiva) como se observa en la figura 6.21. Por el contrario, el ojo de una persona miope tiene excesiva convergencia y enfoca la luz procedente de objetos distantes delante de la retina. Una persona miope puede ver objetos cercanos, ya que los rayos incidentes demasiado convergentes pueden ser enfocados sobre la retina. La miopía se corrige con una lente divergente (negativa) Figura 6.22. Miopía y su correción con como muestra la figura 6.22. una lente divergente 6-18 6. Óptica Geométrica 6.4.2 El microscopio. Un microscopio es un sistema de lentes que produce una imagen virtual aumentada de un objeto pequeño. El microscopio más simple es una lente convergente, llamada comúnmente lupa. El objeto AB, figura 6.23, se coloca entre la lente y el foco F de modo que la imagen es virtual y está a una distancia s´ igual al punto próximo xpp. Como s es casi igual a f, especialmente si f es muy pequeña, podemos escribir para el aumento s ´ x pp M =− ≈ s f [6.44] b B a F A F´ s f s´=Xpp Figura 6.23. Microscopio simple El microscopio compuesto es más elaborado, figura 6.24. Consiste en dos lentes convergentes de pequeña distancia focal, llamadas el objetivo y el ocular. La distancia focal f del objetivo es mucho menor que la distancia focal f´ del ocular. Tanto f como f´ son mucho menores que la distancia entre el objetivo y el ocular y la distancia entre el segundo punto focal del objetivo y el primer punto focal del ocular recibe el nombre de longitud del tubo L. El objeto AB se coloca a una distancia del objetivo ligeramente mayor que f formándose una primera imagen real a´b´ que hace de objeto para el ocular. La imagen a´b´ debe estar a una distancia del ocular ligeramente menor que f´. La imagen final ab es virtual, invertida y mucho mayor que el objeto. El objeto AB se coloca de manera ta l que ab esté a una distancia del ocular igual al punto próximo xpp. Esta condición se obtiene mediante la operación de enfoque, que consiste en mover todo el microscopio respecto al objeto. El aumento debido al objetivo es, teniendo en cuenta que en los microscopios L es prácticamente igual a la distancia entre el objetivo y el ocular Mb = a´b´ L ≈− AB f [6.45] 6-19 6. Óptica geométrica y el debido al ocular Mc = x ab ≈ pp a´ b´ f´ [6.46] con lo que el aumento total es M = M bMc = ab x L = − PP AB ff ´ [6.47] L Objetivo Ocular B F´b a A Fc a´ Fb F´c b´ f´ f b Xpp Figura 6.24. Microscopio compuesto 6.4.3 El telescopio. Otro instrumento óptico importante es el telescopio, utilizado para observar objetos muy distantes. En el telescopio de refracción, el objetivo, figura 6.25, es una lente convergente de distancia focal f muy grande, a veces de varios metros. Como el objeto AB es muy distante, su imagen a´b´ producida por el objetivo, está en su foco F´b. Solo hemos indicado los rayos centrales ya que es todo lo que necesitamos porque conocemos la posición de la imagen. El ocular también es una lente convergente pero de distancia focal f´ mucho menor. Se coloca de forma tal que la imagen intermedia a´b´ esté entre Fc y el ocular y la imagen final ab esté a xpp . El enfoque se realiza moviendo el ocular solamente. El aumento producido por este instrumento no es lineal porque la imagen es siempre menor que el objetivo. En su lugar se define un aumento angular, definido como el cociente entre el ángulo β subtendido por la imagen y el ángulo α subtendido por el objeto 6-20 6. Óptica Geométrica M = β α [6.48] A causa de la proximidad de la imagen, el ángulo β es mucho mayor que α, siendo esto lo que crea la sensación de aumento. De acuerdo con la figura y teniendo en cuenta que los ángulos son pequeños obtenemos α =− a´b´ f β= a´b´ f´ [6.49] donde se ha considerado que la distancia de a´b´ al ocular es prácticamente f´. Sustituyendo en [6.48] tenemos M =− f f´ [6.50] En consecuencia, para obtener un gran aumento, la distancia focal del objetivo debe ser muy grande y la del ocular muy pequeña. Prácticamente, la longitud del instrumento está determinada por la distancia focal f del objetivo. f Objetivo f´ a Ocular a´ α Fc β F´b F´c b´ b Xpp Figura 6.25. Telescopio La principal consideración a tener en cuenta en el caso de un telescopio astronómico no es su poder amplificador, sino su capacidad de recoger la luz procedente del objeto lejano, que depende del tamaño del objetivo. Cuanto mayor es el objetivo, mayor es la luminosidad de la imagen. Sin embargo son muy difíciles de fabricar lentes muy grandes sin aberraciones a lo que hay que unir el problema del peso de las mismas. Un telecopio reflector, figura 6.26, utiliza un espejo cóncavo en lugar de una lente como objetivo. Esto ofrece varias ventajas importantes entre las 6-21 6. Óptica geométrica que destacan que un espejo no produce aberración cromática y su peso es mucho menor que una lente de calidad óptica semejante. Figura 6.26. Telescopio reflector Los instrumentos ópticos son mucho más complicados que la versión simplificada que hemos presentado, principalmente por la necesidad de producir una imagen tan desprovista de aberraciones como sea posible. Por esta razón, los oculares y los objetivos suelen consistir en sistemas de varias lentes. 6-22 6. Óptica Geométrica Problemas 1. Un objeto está situado a 12 cm de un espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es 6 cm. Hallar a que distancia se encuentra la imagen. 2. Un objeto de 2 cm de alto está a 10 cm de un espejo convexo de radio de curvatura 10 cm. Localizar la imagen y su altura. 3. Un espejo esférico cóncavo de 0,5 m de distancia focal está frente a un espejo plano situado a 1,8 m del vé rtice del primero. A 20 cm del espejo plano y entre éste y el cóncavo se encuentra un punto luminoso que se refleja primero en el espejo plano y luego en el cóncavo. Encontrar la posición de la imagen producida por el sistema y su aumento. 4. En los supermercados se utilizan espejos convexos para conseguir un amplio margen de observación y vigilancia con un espejo de tamaño razonable, de manera que un dependiente situado a una cierta distancia del espejo pueda inspeccionar el local entero. Un espejo convexo tiene un radio de curvatura de 1,2 m. Si un cliente está a 10 m del espejo, ¿a qué distancia de la superficie del espejo está su imagen? ¿La imagen está detrás o delante del espejo? Dibuje la trayectoria de los rayos. Si el cliente mide 2 m, ¿qué altura tendrá su imagen? 5. Dentro de una pecera esférica de radio 15 cm llena de agua se encuentra un pez. El pez mira a través de la pecera y ve un gato sentado sobre la mesa a 10 cm de la pecera. Encontrar la imagen del gato y su aumento vista por el pez. 6. Una lente biconvexa de vidrio, n=1,5, tiene sus radios de curvatura de 10 cm y 15 cm. Hallar su distancia focal y su potencia. Localizar la imagen gráfica y algebraicamente de un objeto de 1,2 cm de alto que se coloca a 4 cm de la lente. A la derecha de esta lente y a 12 cm de ella se coloca una segunda lente de distancia focal 6 cm. Localizar ahora la imagen final del objeto anterior. 7. Un objeto está colocado a 1,20 m de una lente. Determine la distancia focal y el tipo de lente (convergente o divergente) que produce una imagen (a) real y a 0,80 m de la lente; (b) virtual y a 3,20 m de la lente; y (c) virtual y a 0,60 m de la lente. Dibuje la trayectoria de los rayos en cada caso. 8. Dos lentes con la misma distancia focal de 10 cm distan entre si 15 cm. Hallar la imagen final de un objeto a 15 cm de una de las lentes. 9. Determinar las posiciones de los focos de un sistema de dos lentes delgadas separadas por una distancia t. 10. Demostrar que la potencia de un sistema formado por dos lentes delgadas separadas una distancia t viene dada por 1 1 1 t = + − f f1 f 2 f1 f 2 11. Se tiene un sistema óptico formado por dos lentes convergentes iguales de distancia focal 10 mm. Un objeto de 1 cm está situado a 15 mm a la izquierda de la primera lente. Calcular cuál debe ser la separación entre las lentes para que la 6-23 6. Óptica geométrica imagen final sea real, derecha, y cuatro veces mayor que el objeto. Comprobarlo gráficamente. 12. Dos lentes de 4 y 6 dioptrías están separadas una distancia de 60 cm. Hallar los focos y potencia del sistema compuesto. 13. Se quiere, utilizando un par de lentes delgadas, corregir la aberración cromática en una cierta región espectral del visible. ¿Cuál debe ser la separación t entre lentes para conseguir este hecho? 14. Se quiere, utilizando un par de lentes delgadas en contacto, corregir la aberración cromática en una cierta región espectral del visible. ¿Qué condición deben cumplir las focales y los índices de refracción de las dos lentes? 15. Dos lentes, una biconvexa de radio r=50 cm y otra bicóncava de r=30 cm se encue ntran separadas una distancia t. Si las lentes se separan de forma que t se dobla, la potencia del sistema disminuye a la mitad. Calcular t asumiendo que el índice de refracción de ambas lentes es n=1,5. 16. Determinar, utilizando el método matricial, la posición, tamaño y orientación de la imagen producida por una lente gruesa (r1=10 cm, r2=-5 cm, n=1,5 y espesor= 2 cm) de un objeto situado a 3 cm de la 1º superficie refractora. Determinar la posición de la imagen considerando que fuera una lente delgada. 17. La figura muestra un par convergente-divergente de lentes gruesas que se utilizan en cámaras de bajo costo para reducir la aberración cromática. ¿Cuál debe ser la distancia entre la superficie plana del sistema óptico y la película cuando se toma la fotografía de un objeto lejano? n=1,5 r1=2 cm r2=2 cm n=1,63 0,5 cm 0,4 cm 18. Demostrar que la matriz del sistema óptico constituido por una lente delgada se expresa como 1 S= − 1 f 6-24 0 1 6. Óptica Geométrica 19. Calcular cuál es la variación máxima en dioptrías del cristalino según este enfoque un objeto próximo o lejano 20. Una persona con 25 cm de punto próximo utiliza una lente de 40 dioptrías como lupa. ¿Qué amplificación angular se obtiene? 21. Una lente convergente, n=1,7 y r=16 cm, se desea utilizar como lupa. ¿Dónde hay que situar la lente respecto al objeto para que su imagen se genere a 25 cm del ojo?¿Cuándo se obtiene el mayor aumento angular? 22. Un microscopio tiene una lente objetivo de 1,2 cm de distancia focal y un ocular de 2 cm de distancia focal separadas 20 cm. Hallar el poder amplificador si el punto próximo de observador está a 25 cm. ¿En dónde deberá colocarse el objeto si la imagen final ha de verse en el infinito? 23. El objetivo y el ocular de un microscopio tienen unas potencias ópticas de 50 y 60 dioptrías. La longitud del tubo del microscopio es de 18 cm y con éste observamos una muestra de 3 µm. Calcular el aumento del microscopio. ¿A que distancia del foco del objetivo hay que colocar la muestra?¿Dónde se produce y que tamaño tiene la imagen intermedia producida por el objetivo? 24. Un telescopio simple tiene un objetivo de 100 cm de distancia focal y un ocular de 5 cm de distancia focal. Se utiliza para mirar la luna que subtiende un ángulo de 0,009 radianes. ¿Cuál es el diámetro de la imagen formada por el objetivo?¿Qué ángulo subtiende la imagen final en el infinito?¿Cuál es el poder amplificador del telescopio? 6-25
