Explicación de la tarea 3

Explicación de la tarea 3
Felipe Guerra
1. Una ruleta legal tiene los números del 1 al 15.
Este problema corresponde a una variable aleatoria discreta. La lectura de la semana menciona lo
siguiente:
La distribución uniforme discreta modela los casos en donde todos los resultados posibles tienen la misma
probabilidad de ocurrir, y se aplica para modelar juegos de azar.
a. Calcular la probabilidad de que salga un número mayor a 9.
Para responder a esta pregunta primero encontramos cuantos números son mayores que 9,
es decir: n >9
La cantidad de números mayores a 9 en la ruleta está dada por 15 – 9 = 6
Por lo tanto la probabilidad de que un número sea mayor a 9 es: 6 / 15 = 0.4
b. Calcular la probabilidad de que salga un número mayor a 2 y cuando mucho 7.
Para responder a esta pregunta primeramente buscamos cuantos números cumplen con la
condición de ser mayores que 2 y cuando mucho 7, lo que se expresa de la siguiente
manera: 2 < n ≤ 7
La cantidad de números que cumplen con esta condición esta dada por: 7 – 2 = 5
Por lo tanto la probabilidad de que un número sea mayor que 2 y cuando mucho 7 es: 5 / 15
= 0.333333
c. Calcular el valor promedio del número que aparece.
La lectura de la semana menciona:
Sea X una v.a. discreta con rango 1, 2, 3, ..., k.
Luego su función de probabilidad es P(i) = 1/k para i=1, 2, 3, ..., k.
Su valor esperado o media es:
Por lo tanto el promedio E(X) es: (15 + 1 ) / 2 = 8
d. Calcular la desviación estándar del número que aparece.
De igual manera la lectura menciona:
y su varianza es:
Por lo tanto la varianza es: V(X) = (152 – 1) / 12 = 18.667
La desviación estándar es por definición la raíz cuadrada de la varianza; de ahí que:
S(X) = √ 18.667 = 4.320
1
2. Un alumno contesta al azar un examen que contiene 20 preguntas, donde cada pregunta
tiene 4 opciones de respuesta y solo una es la correcta. Si el alumno contesta todas las
preguntas al azar.
Este problema corresponde a una distribución Binomial. La lectura menciona:
La Distribución Binomial.
La distribución binomial se aplica en la siguiente situación. Suponer que un experimento Bernoulli se repite
n veces de manera independiente, donde la probabilidad de que ocurra “éxito” es p.
Y el caso del examen presentado es un experimento de Bernoulli según lo que menciona la lectura:
Un experimento Bernoulli es aquél, en donde son sólo dos los resultados posibles del experimento, a estos
resultados posibles los llamaremos “éxito” y “fracaso”.
El adivinar las respuestas de un examen solo presenta dos posibilidades “atinar” (éxito) o “fallar”
(Fracaso), por lo tanto es un experimento de Bernoulli.
Ahora para resolver las preguntas del ejercicio utilizamos las formulas integradas en Excel. Pero
primero veamos una explicación de cómo funcionan estas formulas.
La formula =DISTR.BINOM(num_éxito, ensayos, prob_éxito, acumulado)
Nos devuelve la probabilidad de una distribución Binomial en la que:
num_éxito
ensayos
prob_éxito
acumulado
representa la cantidad de éxitos que deseamos sucedan en el experimento
representa la cantidad de intentos en el experimento
es la probabilidad de que un ensayo individual tenga éxito
indica si deseamos la probabilidad especifica del numero de éxitos, o el
acumulado de dicho número de éxitos o menos.
Veamos un ejemplo para el caso de este ejercicio.
La gráfica siguiente corresponde a las probabilidades de éxito específicas de sacar una cantidad
(n) de respuestas acertadas en el examen de 20 preguntas:
Primeramente el calculo de la probabilidad de éxito es 1 / 4 = 0.25
Es decir cada pregunta tiene cuatro opciones y solo una es la respuesta correcta.
Entonces la formula en Excel sería =DISTR.BINOM(num_éxito, 20, 0.25, acumulado)
Cantidad de preguntas acertadas
Cantidad de preguntas en el examen
Se explicara posteriormente
Probabilidad de “atinar” a la respuesta
2
Distribución Binomial (Ejercicio 2)
Probabilidad
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Respuestas acertadas
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0.00317121
0.02114141
0.06694781
0.13389562
0.18968545
0.20233115
0.16860929
0.1124062
0.06088669
0.02706075
0.00992228
0.00300675
0.00075169
0.00015419
2.5699E-05
3.4265E-06
3.5693E-07
2.7994E-08
1.5552E-09
5.457E-11
1.05E-14
La tabla de la izquierda muestra los valores calculados para cada una
de las cantidades en la gráfica
Los valores de esta gráfica fueron calculados usando
=DISTR.BINOM(n, 20, 0.25, 0)
en donde los valores de n fueron sustituidos por el valor específico de
respuestas acertadas. El valor 0 al final de la forma indica que solo
queremos el valor puntual del dato y no el valor acumulado.
Por ejemplo:
=DISTR.BINOM(3, 20, 0.25, 0)
corresponde al valor de la barra roja y nos arroja un resultado de
0.13389562
Lo que se puede describir como la posibilidad de tener 3 (y solo 3)
respuestas correctas de las 20 preguntas en el examen.
3
Una observación más.
Cuando usamos el valor acumulado lo que obtenemos es: La suma de los valores anteriores al
valor que estamos buscando. Es decir, para la formula siguiente:
=DISTR.BINOM(3, 20, 0.25, 1)
Obtenemos:
Distribución Binomial (Ejercicio 2)
Probabilidad
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Respuestas acertadas
P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 0.00317121 + 0.02114141 + 0.06694781 + 0.13389562 = 0.22515605
Lo que se puede traducir como: “la probabilidad de tener tres respuestas acertadas o menos”.
Un último comentario, la suma total de una distribución de probabilidad es siempre igual a 1.
Distribución Binomial (Ejercicio 2)
Probabilidad
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Respuestas acertadas
=DISTR.BINOM(20, 20, 0.25, 1) = 1
Una vez explicado lo anterior podemos explicar las respuestas al ejercicio:
4
2. Un alumno contesta al azar un examen que contiene 20 preguntas, donde cada pregunta
tiene 4 opciones de respuesta y solo una es la correcta. Si el alumno contesta todas las
preguntas al azar.
a. Calcular la probabilidad de que tenga menos de 5 preguntas correctas.
Distribución Binomial (Ejercicio 2)
Probabilidad
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Respuestas acertadas
=DISTR.BINOM(4,20,0.25,1) = 0.4148415
Observe que usamos 4 como valor puntual por que la pregunta indica menos de 5.
b. Calcular la probabilidad de que tenga por lo menos 2 y a lo mucho 7 preguntas
correctas.
Distribución Binomial (Ejercicio 2)
Probabilidad
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Veamos qué es lo que indican las flechas:
= DISTR.BINOM(1,20,0.25,1) Probabilidad que haya menos de 2 respuestas correctas
= DISTR.BINOM(7,20,0.25,1) Probabilidad que haya a lo mucho 7 respuestas correctas
De lo anterior se desprende que:
= DISTR.BINOM(7,20,0.25,1) - DISTR.BINOM(1,20,0.25,1)
Representa la sección indicada por la pregunta, señalada por la flecha roja.
5
c. Calcular la probabilidad que aprueba el examen si la calificación de pase es 70.
Para sacar 70 el alumno tiene que contestar 14 respuestas correctas (20 x 0.70) por lo
tanto, para aprobar el examen tenemos:
Probabilidad
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Para calcular el valor del área indicada por la flecha roja usamos:
= 1 - DISTR.BINOM(13,20,0.25,1)
Ya habíamos mencionado con anterioridad que la suma total de una distribución de
probabilidad es siempre igual a 1 (representado por la flecha azul).
d. Obtener el número promedio de preguntas correctas en el examen y su
desviación estándar.
De la lectura de la semana tenemos que:
Definición de Distribución Binomial.
E(X) = np y Var(X) = np(1-p).
Por lo tanto: E(x) = 20 x 0.25 = 5 y V(x) = 20 x 0.25 x (1 - 0.25) = 3.75
Pero como nos piden la desviación estándar en lugar de la varianza y habíamos
mencionado ya que la desviación estándar es por definición la raíz cuadrada de la varianza.
Tenemos:
S(x) = √3.75 = 1.94
6
3. Una aerolínea intencionalmente sobrellena algunos vuelos porque se sabe que el
pasajero que hace una reservación tiene una probabilidad de 85% de que se
presenta a tomar el avión. Si un vuelo tiene capacidad para 122 pasajeros.
Para resolver este problema debemos de calcular la probabilidad de que una vez reservada una
cantidad n de boletos tengamos cuando mucho 122 personas asistiendo con un 0.85 de
probabilidad.
Esto se representa como:
=DISTR.BINOM( 122, n, .85, 1 )
Cantidad de asistentes
Cantidad de boletos vendidos
Probabilidad de que una persona asista
Acumulado (para tomar la posibilidad de que asistan 122 o menos)
a. ¿Cuántas reservaciones se pueden hacer para tener una probabilidad de por lo
menos 90% de que todos los pasajeros que se presenten se puedan acomodar en
el avión?
Ahora para poder determinar la posibilidad de que esto suceda con una probabilidad
determinada (al menos 0.90) debemos de hacer un ensayo a prueba y error, o construir una
tabla de probabilidades. El resultado es el siguiente:
Cant. Boletos
136
137
138
Probabilidad
=DISTR.BINOM(122,136,0.85,1) = 0.957047520
=DISTR.BINOM(122,137,0.85,1) = 0.931211501
=DISTR.BINOM(122,138,0.85,1) = 0.895816156
<<<
≥ 0.90
b. Haciendo la cantidad de reservaciones indicadas en el (A), calcular la
probabilidad de que se llene el avión.
Para esto determinamos la probabilidad de que lleguen 122 o mas personas con la siguiente
formula: = 1 - DISTR.BINOM( 121, 137, 0.85, 1 ) = 0.11043008
Es decir la probabilidad acumulada de que asista cualquier cantidad de personas (100% = 1)
menos la probabilidad de que asistan 121 personas o menos, dado que se hicieron 137
reservaciones.
Observe que usamos la cantidad de 121 y no 122 por que con 122 ya se considera que el
avión está lleno, aun cuando no se haya rechazado a ningún pasajero.
4. Se sabe que la probabilidad de que un cliente compre el periódico en un
supermercado es 5%.
a. ¿Cuántos periódicos debe tener si desea una probabilidad de 99% de que habrá
periódico para los primeros 1000 clientes.
Este problema se resuelve de manera similar al anterior:
Determinar una tabla para diferentes cantidades de periódicos que garantice que todos los
clientes que deseen comprar obtengan uno con una probabilidad de por lo menos 0.99
Cantidad
66
67
68
Probabilidad
=DISTR.BINOM( 66,1000,0.05,1) = 0.989408690
=DISTR.BINOM( 67,1000,0.05,1) = 0.992592284
=DISTR.BINOM( 68,1000,0.05,1) = 0.994891273
<<<
≥ 0.99
7
Observe que en la pregunta 3 se plantea una cantidad fija de éxitos (122 lugares en el
avión), y la variable que cambia es la cantidad de eventos (reservaciones). En tanto que en
la pregunta 4 la cantidad de eventos es fija (los primeros 1000 clientes) y la parte variable es
la cantidad de éxitos (los periódicos que se pueden vender). Por lo tanto el planteamiento de
la tabla es ligeramente diferente (las variables están marcadas en azul)
b. Calcular la probabilidad de que se vendan todos los periódicos considerando los
primeros 1000 clientes y colocando la cantidad de periódicos indicada en (A).
El enfoque en este problema es ahora el determinar la probabilidad de que todos los
periódicos se vendan, es decir que la gente pida más periódicos que los que se tienen (67 o
más).
Esto está determinado por la siguiente fórmula: =1-DISTR.BINOM(66,1000,0.05,1)
Es decir la probabilidad acumulada de que se compren (o soliciten) cualquier cantidad de
periódicos (100% = 1) menos la probabilidad de que se vendan 66 periódicos o menos,
considerando a las primeras 1000 personas, con una posibilidad de compra de 0.05 por
persona. Una vez más debe observar que para la diferencia usamos la cantidad de 66 (es
decir que no se vendan todos) y no la cantidad de 67 (pues esta asume que si se vendieron
todos).
c. ¿Cuantos periódicos debe colocar si desea que haya una probabilidad de que
todos se vendan de por lo menos 0.9, considerando los primeros 1000 clientes?
El enfoque en este problema es similar a la pregunta anterior; la probabilidad de que todos
los periódicos se vendan, es decir que la gente pida más periódicos que los que se
prepararon con una probabilidad de al menos 0.90 considerando únicamente las primeras
1000 personas
Cantidad
Probabilidad
40
=1-DISTR.BINOM(40-1,1000,0.05,1) = 0.940185121
41
=1-DISTR.BINOM(41-1,1000,0.05,1) = 0.919363427
42
=1-DISTR.BINOM(42-1,1000,0.05,1) = 0.893703829
<<<
≥ 0.90
Observe que utilizamos n-1 en el calculo de la distribución Binomial, pues indica la cantidad
que dejaría al menos un periódico sin vender.
5. Una compañía de seguros vende una póliza de seguros a un grupo de 10 carros.
Por cada carro que sea robado la compañía pagará $10000.00 USD. La probabilidad
de que un carro sea robado es 0.05. Cuanto debe cobrar por cada carro tal que por
lo menos haya un 80% de probabilidad que no perderá dinero.
Este problema corresponde también a una distribución Binomial, en la cual hay dos posibilidades;
los carros son robados o los carros no son robados. Su solución es similar a la planteada por el
ejemplo 3.2 inciso f) de la lectura de esta semana.
La cantidad de dinero que se debe pagar por cada auto robado puede considerarse como un valor
de refacción en caso de que el evento falle, haciendo una similitud al problema 3.2 f) de referencia.
Por lo tanto se tiene una cantidad de autos robados X que al multiplicarlo por $10,000 no debe
superar el valor de dinero obtenido por la venta de pólizas w con una probabilidad del 80%.
Lo primero que hacemos es calcular con una probabilidad de al menos 80% cuantos carros se van
a robar. Para eso usamos la fórmula: =DISTR.BINOM(X,10,0.05,1), con la cual obtenemos la
probabilidad de que se roben X carros o menos.
8
Cant. Autos
Robados
(X)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Con base en la tabla podemos determinar que hay un 91% de
probabilidad de que se roben un automóvil o menos.
P(n≤x)
0.598736939
0.913861644
0.988496443
0.998971502
0.99993631
0.999997245
0.999999918
0.999999998
1
1
1
Por lo tanto la compañía puede tener una certeza del 91% de
que va a pagar $10,000 o menos producto de
indemnizaciones.
Como la probabilidad de que eso suceda es mayor al 80%
bastará con que la compañía cobre $10,000 por el total de las
pólizas para garantizar que no va a perder dinero.
De ahí se desprende que el costo de poliza para cada carro
debe ser:
Costo de indemnización / Número de polizas
$10,000 / 10 = $1,000
6. En la frontera con USA, al ingresar un automóvil a México se pasa por un
semáforo en donde hay una probabilidad de 15% de que encienda luz roja y el auto
sea detenido para su revisión. Si enciende luz verde el auto se interna a México sin
ser revisado (Suponer independencia).
a. Obtener la probabilidad de que el quinto auto sea el primero en ser detenido para
revisión.
Para responder esta pregunta debemos de calcular la posibilidad de que los primeros 4
vehículos no hayan sido revisados: =DISTR.BINOM( 0, 4, 0.15, 1)
0 éxitos
4 eventos
Y después multiplicarlo por la probabilidad de que el número 5 sea revisado (0.15), de
donde se obtiene:
=DISTR.BINOM( 0, 4, 0.15, 1) * 0.15 = 0.07830094
b. Obtener la probabilidad de que sean necesarios más de 4 autos para que llegue
el primero en ser revisado.
Esto es equivalente a decir que no haya sido revisado un carro las primeras 4 veces:
=DISTR.BINOM( 0, 4, 0.15,1 ) = 0.52200625
c. Obtener el número promedio de autos y su desviación estándar hasta que
enciende la luz roja.
Este problema corresponde a una distribución geométrica, es decir un experimento de
Bernoulli (Luz roja o luz verde) repetido independientemente hasta que se alcanza el éxito
(se enciende la luz roja).
De acuerdo con la lectura de la semana para la distribución geométrica se tiene:
y
Por lo que E(x) = 1 / 0.15 = 6.66666667 y V(x) = (1/0.15) (1/0.15-1) = 37.7777778
Y la desviación estándar = S(x) = √37.778 = 6.14636297
9
7. Se sabe que el número de quejas por semana que llegan a un parque de
diversiones que abre todos los días es una variable aleatoria que se ajusta bien a la
distribución Poisson. En promedio se reciben 9 quejas por semana (el parque abre
todos los días).
Los comentarios antes mencionados referentes a la distribución binomial y las formulas en Excel,
se pueden generalizar para otras distribuciones de probabilidad y sus correspondientes formulas
en Excel.
La formula para la distribución de Poisson es:
=POISSON(x, media, acumulado)
Nos devuelve la probabilidad de una distribución Poisson en la que:
x
representa la cantidad de éxitos que deseamos sucedan en el experimento
media
representa el promedio de la distribución de Poisson
acumulado
indica si deseamos la probabilidad especifica del numero de éxitos, o el
acumulado de dicho número de exitos o menos.
y también se aplica el comentario acerca de que: la suma total de una distribución de probabilidad
es siempre igual a 1.
a. Calcular la probabilidad de que en una semana se reciban más de 12 quejas.
Podemos traducir esto como la probabilidad total menos la probabilidad de que se
reciban 12 quejas o menos.
= 1 - POISSON( 12, 9, 1 ) = 0.12422657
b. Calcular la probabilidad de que en una semana se reciban entre 5 y 11 quejas sin
incluir).
En este caso debemos buscar la probabilidad de que se den al menos 10 quejas (hasta 11
sin incluir) y le quitamos la probabilidad de que se den 5 o menos quejas.
= POISSON (10, 9, 1) - POISSON( 5, 9, 1 ) = 0.5902978
c. Calcular la probabilidad de que en tres días lleguen más de 4 quejas.
En el caso de la probabilidad de Poisson, si el periodo del evento se extiende o se acorta la
probabilidad de ocurrencia de la media se extiende o se acorta en forma proporcional a la
extensión del evento.
Por ejemplo: Si en 7 días el promedio de quejas recibidas es 9 el promedio de quejas en
tres días esta dado por:
Promedio = 9 / 7 * 3 = 3.857 quejas
Y con esos datos se resuelve el problema para periodos de tiempo extendidos o acortados.
=1 - POISSON( 4, 9/7*3, 1 ) = 0.34327767
Es decir la probabilidad total menos la probabilidad de que se reciban 4 o menos
quejas
10
d. Calcular la probabilidad de que en un mes lleguen entre 20 y 30 quejas (sin
incluir).
De forma similar al problema anterior tenemos que el promedio para un mes es:
Promedio = 9 / 7 * 30 = 38.57 quejas (Se asumen meses de 30 días)
Y la respuesta a la pregunta esta dada por:
=POISSON( 29 , 9 / 7 * 30 , 1 ) - POISSON( 20 , 9 / 7 * 30 , 1 ) = 0.06652947
Algunos aprendizajes de la tarea:
En las formulas de distribución de probabilidad en Excel podemos observar lo
siguiente:
=DISTR.BINOM(num_éxito, ensayos, prob_éxito, acumulado)
=POISSON(x, media, acumulado)
La parte de acumulado puede tomar los valores de 1 y 0 (ó VERDADERO y
FALSO),
a) Cuando se usa el valor de 1 (o VERDADERO) el resultado corresponde a la
probabilidad del valor buscado o menos.
b) Cuando se usa el valor de 0 (o FALSO) el resultado corresponde a la
probabilidad puntual (ese valor y solo ese)
La suma total de una distribución de probabilidad es siempre igual a 1.
La desviación estándar corresponde a la raíz cuadrada de la varianza.
11