MECÁNICA

MECÁNICA
Equ
uiproye
ectividad
d del c
campo de velo
ocidade
es. Cam
mpo
de velocid
dades de
e un só
ólido
Un campo vectorial es e
equiproyectivo cuan
ndo dadoss dos pu
untos
cuale
esquiera, pertenecie
entes al do
ominio en el que está definidoo el campo
o, se
veriffica que so
on iguales en cada p
punto las proyeccion
nes del veector de ca
ampo
sobrre la recta que une lo
os dos pun tos.
Sean P y Q dos puntos cu
ualesquiera
a del siste
ema indefoormable y δ la
dista
ancia entre
e ellos. Por
P la con
ndición de
e indeform
mabilidad laa distancia se
man
ntiene consstante por lo
l que tien e:
es decir:
erivando re
especto all tiempo, yya que
y de
resu
ulta:
y
so
on funcionnes del tiempo,
2
y puesto que
0
se tien
ne:
0
es decir:
1 dividiendo ambos miembros por δ y teniendo en cuenta que
es el vector
unitario en la dirección que une los puntos P y Q, resulta:
expresión que demuestra que el campo de velocidades es equiproyectivo y que
se conoce con el nombre de teorema de las velocidades proyectadas: <<en
el movimiento instantáneo de un sistema indeformable las velocidades de dos
puntos cualesquiera tienen proyecciones iguales sobre la recta que une los
mismos>>.
2 Grupo cinemático
,
de los vectores
y
recibe el nombre de grupo
El conjunto
cinemático. A continuación estudiaremos que sucede con el grupo cinemático
cuando se cambia el origen de coordenadas del sistema de referencia móvil.
en nuevo origen y supongamos que el nuevo grupo
En efecto, sea
cinemático en
es
,
. Calculemos a continuación la velocidad de un
punto cualquiera P, distinto de
y
, del sistema indeformable respecto a
cada uno de los dos sistemas móviles.
Respecto a
y respecto a
tendremos:
:
Ahora bien, estas dos expresiones han de ser iguales puesto que la
velocidad del punto P es única, o sea:
y si ahora expresamos la velocidad del punto
cinemático en , resulta:
en función del grupo
es decir:
de donde:
0
Para que este producto vectorial se anule habrá de anularse uno de los
factores o ser ambos paralelos. El vector es distinto de cero, ya que si no P y
coincidirían y, al ser un punto genérico, no tiene por qué ser paralelo al
primer factor por lo que el anterior producto vectorial sólo se anula si la
diferencia
es nula, de donde se deduce que el vector rotación en un
instante determinado no depende del punto elegido como origen, es decir, es
un invariante (primer invariante).
Calculemos a continuación el producto escalar de
por
. Tendremos:
3 se anula por ser un producto mixto con dos factores
la expresión
iguales quedando:
es decir, el producto escalar de los dos vectores del grupo cinemático es un
invariante (segundo invariante).
Esta expresión se puede escribir también en la forma:
| |
| |
| |
es decir; la proyección de la velocidad de cualquier punto del sistema
indeformable sobre la dirección de la rotación instantánea es constante y se
denomina velocidad de deslizamiento.
4 Distribución de aceleraciones
Para obtener la aceleración de un punto cualquiera P de un sistema
indeformable, derivamos respecto al tiempo la expresión
de la
velocidad de P. Es decir:
El primer término es la aceleración del origen del sistema móvil respecto a
la referencia fija, ; en el segundo aparece la aceleración angular del sistema,
, que es en cada instante independiente del punto del sistema indeformable
elegido y, por último el tercer sumando, recordando el operador derivada
respecto al tiempo en ejes móviles:
se puede escribir en la forma:
por lo que queda finalmente:
que da la aceleración de un punto P cualquiera de un sistema indeformable.
5 Reducción del movimiento general de un sistema a
rotaciones. Rotacional de un vector
Comenzamos por definir que se entiende por par de rotaciones. Se llama
así a dos rotaciones de igual módulo, igual dirección y sentidos opuestos. Debe
interpretarse en el sentido de un primer sistema que gira con una rotación y
otro sistema que gira respecto al anterior con una rotación igual y opuesta.
A continuación vamos a calcular la velocidad de un punto P cualquiera del
sistema indeformable. Se tiene:
es decir:
ya que la resultante del par de rotaciones es cero, es decir, cuando actúa
únicamente un par de rotaciones la velocidad de cualquier punto del sistema es
la misma, o lo que es igual, el sistema está animado de un movimiento de
traslación, por lo que cabe decir que un par de rotacione3s aplicado a un
sistema indeformable es equivalente a una traslación.
En consecuencia, si sobre un sistema indeformable hay aplicadas r
rotaciones y t traslaciones, puesto que cada traslación equivale a dos
rotaciones, se pueden descomponer las t traslaciones en 2t rotaciones con lo
que el sistema quedaría reducido únicamente a 2t + r rotaciones y la resultante
de todas ellas será la rotación única a la que estará sometido el sistema, por lo
cual siempre es posible reducir el movimiento general de un sistema a un
conjunto de rotaciones.
La reducción del movimiento de un sistema a un punto P consiste en dar
en él los elementos necesarios para poder definir el movimiento en cualquier
punto del sistema. Para ello es preciso conocer la resultante de las 2t + r
rotaciones, Ω, y la velocidad con que se mueve dicho punto, ya que la
velocidad de cualquier otro punto se obtiene inmediatamente a partir de la
expresión:
Ω
Como se observa existe una analogía completa entre el movimiento de un
sistema indeformable y la teoría de los sistemas de vectores deslizantes,
aunque es preciso decir una vez más que es aplicable únicamente al estado
instantáneo de velocidades de los puntos del sistema y no a su evolución en el
tiempo.
6 Eje instantáneo de rotación y de deslizamiento mínimo.
Axoides
El movimiento de un sistema indeformable puede reducirse, en el caso
más general, a rotaciones y, análogamente a lo que sucede con los sistemas
de vectores deslizantes, al eje central del sistema, que es lugar geométrico de
los puntos respecto a los cuales el momento es mínimo, o lo que es lo mismo,
los puntos en los que el momento es paralelo a la resultante, se le llama eje
instantáneo de rotación y deslizamiento mínimo. O sea que dicho eje es el
lugar geométrico de los puntos en los que, en un instante determinado, la
velocidad es mínima, o lo que es lo mismo, en los que la velocidad es paralela
a la resultante del sistema de rotaciones, que es la que se denomina velocidad
de deslizamiento.
Para obtener la expresión analítica del eje instantáneo de rotación basta
con expresar la condición de paralelismo, en un punto cualquiera del lugar
geométrico buscado, entre la velocidad de dicho punto y la rotación resultante.
En efecto, si conocemos el grupo cinemático, Ω,
, en el punto
coordenadas , , respecto a un sistema fijo OXYZ, se tiene:
, de
Ω
es decir:
Ω
Ω
Ω
y puesto que la velocidad de P y la rotación instantánea resultante han de ser
colineales, se verificará:
Ω
Ω
Ω
Ω
y sustituyendo en la expresión anterior e identificando miembro a miembro, se
obtiene las ecuaciones paramétricas del eje instantáneo de rotación:
Ω
Ω
λΩ
Ω
Ω
λΩ
Ω
Ω
λΩ
y basta con eliminar el parámetro para obtener la ecuación en la forma
canónica:
7 Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
que es la ecuación del eje instantáneo de rotación y deslizamiento mínimo.
El lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va ocupando el eje
instantáneo con el transcurso del tiempo es una superficie reglada que, si la
referimos a unos ejes en el sistema fijo, se denomina axoide fijo. Dicha
superficie depende del sistema de referencia elegido, por lo que si la
hubiésemos referido a unos ejes que acompañan al movimiento (sistema móvil)
daría lugar a otra superficie reglada, distinta de la anterior, que se denomina
axoide móvil. En cada instante ambos axoides tienen una tangente común que
es el eje instantáneo de rotación.
8 Sis
stema de
d referencia fijo y móvil. Deriva
ada de un
vec
ctor en ejes móviles
m
s. Veloc
cidad en
e el m
movimie
ento
rela
ativo
Para esttudiar el movimien
nto es pre
eciso esta
ablecer u n sistema
a de
referrencia que
e se supone
e fijo. Den ominaremos OXYZ a este sisteema fijo y en él
situa
aremos una
a terna orttonormal d e vectores
s unitarios que llamarremos , , . El
vecto
or de posicción del pu
unto P resp
pecto a estte sistema de referenncia fijo será:
Tomarem
mos en el espacio
e
otrro triedro trirrectángu
t
ulo que llaamaremos oxyz
y en
n él una terrna de vec
ctores unita
arios , , , y supondremos quee está anim
mado
de u
un movimie
ento cualq
quiera, inde
ependiente
e del que tiene el ppunto P. a este
siste
ema le llamaremos sistema m
móvil y el vector de
d posiciónn del pun
nto P
resp
pecto a este
e sistema móvil será
á:
Se trata de
d estudia
ar el movim
miento del punto P re
especto a las referen
ncias
fija y móvil. El punto P evoluciona
e
a respecto al sistema
a fijo y al ssistema mó
óvil y
se ttrata de encontrar
e
la relación
n existentte entre el
e movimieento del punto
p
resp
pecto a dich
hos sistem
mas fijo y m
móvil.
Al movim
miento dell punto P respecto a la refe
erencia fijja se le llama
movvimiento ab
bsoluto, y es
e el que vvería un ob
bservador situado enn el sistem
ma de
referrencia OX
XYZ. El mo
ovimiento respecto al sistema
a de refereencia oxyz
z, se
deno
omina movvimiento re
elativo. Y, ffinalmente, el movimiento respeecto al sistema
fijo sse la refere
encia oxyz,, se denom
mina movim
miento de arrastre.
a
9 Sea
el vector de posición del origen del sistema móvil respecto al
sistema de referencia fijo. El vector de posición del punto P respecto al sistema
fijo se podrá escribir en la forma:
es decir:
y derivando esta igualdad respecto a t, se tiene:
puesto que en este caso las coordenadas del punto P respecto al sistema
móvil, como ya se dijo antes, no se mantienen fijas. Recordando además las
fórmulas de Poisson que dan las derivadas de los vectores unitarios en el
sistema móvil resulta:
o lo que es lo mismo:
que se puede escribir en la forma:
En esta expresión el término
es la velocidad del origen del sistema
móvil, es decir la velocidad de traslación del sistema indeformable al que está
asociado dicho sistema de referencia y que en adelante llamaremos . El
término
es la velocidad de rotación del punto P, considerando como
perteneciente al sistema indeformable asociado al sistema de referencia oxyz.
La suma de ambos términos,
, es la velocidad que tendría el punto P
si estuviese invariablemente unido al triedro móvil, y se denomina velocidad de
arrastre. Finalmente el término:
es la velocidad del punto P respecto al sistema móvil y se denomina velocidad
relativa.
10 Se puede, por tanto expresar la velocidad absoluta,
forma:
, del punto en la
Es decir, la velocidad absoluta de un punto en el movimiento relativo es
igual a la velocidad de arrastre más la velocidad relativa.
11 Aceleración de un punto en el movimiento relativo.
Aceleración en ejes móviles
Para calcular la aceleración absoluta volvemos a derivar respecto al
tiempo en la expresión
que nos da la velocidad absoluta.
Se tiene:
Es decir:
2
Vamos a analizar cada uno de los términos de esta expresión:
aceleración del origen del sistema móvil respecto al fijo;
, es la
, es la
aceleración tangencial debida a la variación de la velocidad angular del sistema
móvil respecto al fijo y
, es la aceleración debida al movimiento de
rotación del sistema móvil respecto al fino. La suma de estos tres términos es
la que se denomina aceleración de arrastre y aparece siempre que el sistema
móvil se mueva respecto a los ejes fijos, aunque el punto considerado no se
mueva respecto al triedro fijo. El término
es la aceleración relativa, o sea, la
que tiene el punto respecto al sistema móvil y, finalmente el término 2
se
denomina aceleración complementaria o de Coriolis.
En consecuencia la aceleración absoluta del punto P puede expresarse
en la forma:
12 Es decir, la aceleración absoluta de un punto en el movimiento relativo es
igual a la suma de las aceleraciones de arrastre, relativa y de Coriolis.
13 Ace
eleració
ón de Coriolis. Efecto geostró
ófico
La acelerración com
mplementarria o de Co
oriolis viene
e dada porr la expres
sión:
2
Para com
mprender mejor su
u significad
do vamos
s a utilizaar un ejem
mplo.
Supó
óngase un
n disco qu
ue gira con
n velocidad angular . Un puunto se mu
ueve,
desd
de el centro del disc
co, en dire
ección rad
dial, con velocidad uuniforme . El
puntto, al sepa
ararse del centro de
el disco, se
s irá encontrando ccon punto
os de
mayyor velocida
ad tangenc
cial, ωr, po
or lo que all pasar de una posiciión P a otrra P´,
segú
ún el radio
o, su velocidad ha aumentado lo que equivale a decir que ha
expe
erimentado
o una acele
eración en esa direcc
ción tangencial.
Efecto ge
eostrófico
o
Todo cue
erpo que se mueve
e sobre la superficie
e de la Tiierra, que está
anim
mada de un
u movimiento de ro
otación Ω, experime
enta una aaceleración de
Corio
olis debido
o al movim
miento de a
arrastre de
e aquélla. Solamente
S
e en el cas
so de
un p
punto que se
s encontrrase en el ecuador y se moviese con vellocidad dirrigida
segú
ún un merridiano, la aceleració
ón de Corio
olis sería nula ya quue la veloc
cidad
relattiva del pu
unto y la rotación Ω serían paralelas por lo quue su prod
ducto
vecto
orial sería cero. El efecto que experimen
nta un cuerpo, que see mueve sobre
s
la su
uperficie de la Tierra
a, debido a una aceleración ig
gual a la d e Coriolis y de
signo
o contrario
o se denom
mina efecto
o geostrófic
co.
Supongamos que nos enco
ontramos en un pu
unto P dee la supe
erficie
terre
estre de lattitud λ. El plano tang
gente a la superficie terrestre een dicho punto
p
coinccide con el
e plano ho
orizontal y la direcc
ción norte-s
sur con ell meridiano
o del
lugar. Llevamo
os a dicho punto el va
alor de la rotación Ω y la descoomponemo
os en
ntes: una en
e la direccción del meridiano de
el lugar, ess decir, dirrigida
dos componen
a el norte, y otra seg
gún la vertiical del lug
gar, que irá
á dirigida hhacia el extterior
hacia
de la
a superficie en el he
emisferio n
norte y hacia el interior en el hemisferio
o sur.
Vam
mos a estud
diar los efe
ectos produ
ucidos por cada una de dichas componen
ntes.
14 a) C
Componentte Ω
La comp
ponente Ω , según el meridiano, está contenidaa en el plano
p
horizzontal y dirigida hac
cia el nortte. Si supo
onemos que un punnto materia
al se
mue
eve con velocidad, , contenid a en el pla
ano horizontal (tangeente a la esfera
terre
estre), y que forma un ángulo
o α con la
a dirección
n oeste-estte, el prod
ducto
vecto
orial Ω
tiene se
entido entrrante en la
a superficie
e de la Tierrra, por lo tanto
el essfuerzo tie
ene sentido
o contrario
o y se restta de la ac
cción de laa gravedad
d. Su
mód
dulo vale 2Ω cos
cos . Si el punto se mueve
m
en dirección este a oes
ste la
a distinto ssigno y en este caso el esfuerzzo resultante se
veloccidad relattiva tendría
sumaría a la acción
a
del peso. El ccambio de hemisferio
o resultantee se suma
aría a
acción del peso. El
E cambio de hemisferio no altera el efecto de
d la
la a
componente horizontal ya
y que al ca
ambiar λ por
p –λ el co
oseno no vvaría.
Componentte Ω
b) C
El produccto vectoriial Ω
, en el he
emisferio norte
n
va d irigido hac
cia la
sur hacia la derecha del
izquierda del movimiento
m
o del punto
o, y en el hemisferio
h
movvimiento. El esfuerzo irá en sen tido contra
ario a la ac
celeración, es decir, hacia
h
la de
erecha en el hemisfe
erio norte y al contrarrio en el he
emisferio suur.
Algunos de los efectos ffísicos má
ás importtantes deebido a estas
e
acele
eraciones son los sig
guientes: d
desviación
n hacia la derecha,
d
een el hemis
sferio
norte
e, de las corrientes
s de aire e
en la atm
mósfera y hacia la izzquierda en
e el
hem
misferio surr; en el hemisferio no
orte una persona
p
da
ando la esspalda al viento
v
tiene
e alta presión a la derecha y baja a su izquierrda y al ccontrario en
e el
hem
misferio sur (ley de Bu
uis Ballot o de Ferrel), por eso en el hemiisferio nortte los
ciclo
ones giran en sentid
do contrarrio a las agujas de
el reloj y aal revés en
e el
hem
misferio surr; erosión de
d los márrgenes de los ríos, más
m intensaa en la ma
argen
dere
echa en el hemisferio
o norte (leyy de Bar); desgaste
d
desigual
d
dee los carrile
es de
ferro
ocarril en tramos
t
larg
gos y recttos, con grandes velocidades de circula
ación,
siend
do mayor el desgas
ste en el ccarril derec
cho en el sentido dee la march
ha y,
finalmente, la desviación
n de los p
proyectiles,, de forma
a que el pllano de tirro se
a derecha en el hemiisferio nortte.
desvvía hacia la
15 Cen
ntro in
nstantáneo d
de rota
ación. Base y rule
eta.
Mo
ovimientto plano
o del só
ólido. Base y ru
uleta. M
Movimie
ento
pla
ano. Cen
ntro instantáne
eo de ro
otación. Base y ruleta
Puesto que
q
la ro
otación insstantánea del sistema, y la velocidad
d de
cualq
quiera de sus puntos
s son perp
pendiculare
es, el segu
undo invaririante del grupo
g
cinemático se anula. Es decir,
0. No habrá deslizamientoo puesto qu
ue es
nulo en la dire
ección del eje instan
ntáneo de rotación (paralelo
(
a ), que es el
único
o posible. El movim
miento insta
antáneo de
el sistema equivale a una rota
ación
pura
a del eje insstantáneo de rotació
ón.
Los ejess instantá
áneos de rotación,, en sus posicionnes suces
sivas,
dete
erminan do
os superfic
cies reglad
das, que se
s denominan axoidde fijo y ax
xoide
móvvil, cuyas generatrices
s son perp
pendiculare
es al plano
o del movim
miento. Se trata
por tanto de superficie
es cilíndri cas. La intersecció
i
ón de esttas superfficies
cilínd
dricas con
n el plano del movim
miento da lugar a dos
d curvass denominadas
base
e y ruleta o polar fija y polar mó
óvil, respec
ctivamente
e.
El punto I en el que
e son tang
gentes la base
b
y la ru
uleta se deenomina centro
insta
antáneo de
e rotación y es el p
punto de in
ntersección
n del eje iinstantáne
eo de
rotacción con el plano. Es
ste punto e
es el único
o que tiene velocidadd cero ya que si
hubiese otro punto más con
c velocid
dad nula el
e sistema sería
s
inmóvvil.
miento plano puede e studiarse consideran
c
ndo dos plaanos, uno fijo y
El movim
otro móvil, coincidentes constantem
mente de forma que
e el plano m
móvil se apoya
diante la ruleta sobre la base si tuada en el
e plano fijo
o y al rodaar aquélla sobre
s
med
e su movim
miento a to
odo el plan
no móvil.
ésta arrastra en
En efecto
o, imagine
emos una hoja de papel,
p
que representta al plano
o fijo,
perfe
ectamente
e sujeta a una
u mesa,, y otra hojja de pape
el de calcoo que se apoya
sobrre la anterrior y pued
de moverse
e libremen
nte, que re
epresenta el plano móvil.
m
En ccada instan
nte existe un punto I alrededorr del cual se
s mueve el plano móvil.
m
Si su
uponemoss que un lá
ápiz se ap
poya en ca
ada mome
ento en diccho punto I, irá
16 marccando en el
e plano móvil
m
una ccurva que es la ruletta y, por m
medio del papel
p
calco
o, va marccando sobrre el plano fijo otra cu
urva que es la base.
La velocidad de cu
ualquier pu
unto del sis
stema pue
ede determ
minarse a partir
de la
a expresión
n
Puesto que
q
0 y la rota
ación insta
antánea
mod
dularmente
e se tiene:
es perpeendicular a
,
La velocidad de cualquier
c
p
punto del sistema queda deteerminada si
s se
cono
oce su disttancia al centro
c
insta
antáneo de
e rotación y la rotaciión instantánea
de
e la ruleta sobre la base.
b
Esta velocidad será perpendicular aal segmen
nto IP
y estará contenida en el plano del movimiento. Puesto que es la misma para
todo
os los punttos del sis
stema en un instantte dado, la
a velocidaad de cualquier
puntto es propo
orcional a su
s distanciia r al centtro instantá
áneo de rottación.
Finalmen
nte, se deduce de ttodo lo an
nterior que
e si se coonocen, en un
insta
ante deterrminado, las tangen
ntes a las
s trayectorias de d os puntos
s del
siste
ema, resultta inmediato determi nar la posición del centro
c
instaantáneo ya
a que
vend
drá dada por la in
ntersección
n de las perpendiculares trrazadas a las
traye
ectorias po
or dichos puntos.
p
17 Áng
gulos y rotacio
ones de
e Euler
Supongamos
que
tenem
mos
dos
s
sistem
mas
de
coordenadas
trirre
ectangulare
es, uno fijo
o y otro m
móvil, con sus
s orígenes coinciddentes en O. la
posicción de una terna respecto
r
a la otra puede
p
dete
erminarse por los nueve
cose
enos directtores que dan
d la possición de ca
ada una de
e las tres ssemirrecta
as del
siste
ema móvil respecto al fino. A
Ahora bien
n estos nu
ueve parám
metros no
o son
independientess ya que
e existen
n seis re
elaciones de ligaduura, tres que
esponden al hecho de
d que loss ejes son trirrectang
gulares y llas otras trres a
corre
que la suma de
d los tres cuadrado
os de los cosenos
c
diirectores qque determ
minan
una dirección es igual a la unidad
d. Por tanto
o, las ternas puedenn referirse,, una
resp
pecto a la otra,
o
mediante sólo tres parám
metros inde
ependientees que pueden
esco
ogerse de muy divers
sas formass.
na de partticular inte
erés es la constituid
da por loss denominados
Una tern
ángu
ulos de Eu
uler que tie
enen adem
más una in
nterpretació
ón física innmediata en
e el
estudio del movimiento
m
o del sólid
do con un punto fijo.
f
Vamoos a defin
nir a
conttinuación dichos
d
ángulos. Para
a ello pasarremos de una
u posicióón en la que el
siste
ema fijo y el móvil son
s
coinci dentes a otra cualq
quiera del sistema móvil,
m
med
diante tres giros alred
dedor de e
ejes concurrentes. Lo
os ánguloss que exprresan
os giros so
on los pará
ámetros co
onocidos co
on el nomb
bre de ánggulos de Eu
uler.
dicho
Sean OX
XYZ y Oxy
yz los siste
emas fijo y móvil, res
spectivameente. En primer
lugar se gira el
e triedro móvil
m
un á
ángulo ψ alrededor
a
del
d tercer eje fijo OZ
Z, en
gujas del re
eloj, obteniéndose as
sí la terna ONQZ.
senttido contrario a las ag
Seguidam
mente se gira un án
ngulo θ alrededor del
d eje ON
N, denominado
línea
a de nodo
os, en sen
ntido contrrario a las agujas del reloj, o bteniéndos
se la
terna
a ONSz.
18 Por último, se gira un ángulo ϕ alrededor del eje Oz, también en sentido
contrario a las agujas del reloj, hasta hacer coincidir la terna anterior con el
triedro móvil Oxyz.
Los ángulos de Euler, ψ, θ y ϕ, reciben el nombre de ángulo de precesión,
nutación y rotación propia, respectivamente.
A continuación vamos a definir estos ángulos de modo más preciso.
Comenzaremos definiendo la línea de nodos, que es la intersección del plano
Oxy móvil con el plano OXY fijo. Se denomina semilínea de nodos positiva a la
que forma con el tercer eje fijo y el tercer eje móvil un triedro a derechas.
El primer ángulo de Euler, ψ, o ángulo de precesión, es el acimut de la
línea de nodos respecto al primer eje fijo. Su sentido positivo coincide con el
giro de un sacacorchos que avanzase según el tercer eje fino. Su variación es
de 0 a 2π.
El segundo ángulo de Euler, θ, o ángulo de nutación, es el que forma los
dos terceros ejes fijo y móvil. Su sentido positivo coincide con el de un
sacacorchos que avanzase por la semilínea de nodos positiva. Su variación de
0 a π.
El tercer ángulo de Euler, ϕ, o ángulo de rotación propia, es el acimut del
primer eje móvil respecto a la línea de nodos. Su sentido positivo es de un
sacacorchos que avanzase según el tercer eje móvil. Su variación es de 0 a 2π.
Al moverse el triedro móvil, los ángulos de Euler variarán, y sus derivadas
respecto al tiempo son las denominadas rotaciones de Euler. La
rotación de precesión y está localizada en el tercer eje fijo; la
es la
es la rotación
de nutación, que está localizada en la línea de nodos y, finalmente,
es la
rotación propia que se localiza sobre el tercer eje móvil.
Las rotaciones instantáneas del cuerpo, Ω, es la resultante de estas tres
rotaciones. Es decir:
Ω
Vamos a obtener a continuación las ecuaciones que relacionan las
componentes de la rotación instantánea respecto al triedro fijo, con las tres
rotaciones de Euler. Para ello se procederá en dos etapas. En la primera
vamos a obtener la relación que existe entre la terna fija (XYZ) y la terna (NQZ)
y en la segunda calcularemos la relación existente entre la terna (NQZ) y la
terna (NQz) (triedro de Euler). Para ello recordaremos que en una
transformación de coordenadas (XYZ)→(xyz) los elementos de la matriz de
19 transformación con los cosenos de los ángulos que forma cada eje de una
terna con cada uno de los tres de la otra.
La primera transformación permite pasar de la terna fija (XYZ) a la (NQZ)
y se tiene la siguiente relación matricial:
cos
sin
0
sin
cos
0
0
0
1
y mediante una segunda transformación se puede obtener la relación entre las
ternas (NQZ) y (ZNz) que se expresa matricialmente así:
0
0
1
Sustituyendo en
1
0
0
0
sin
cos
cos
sin
0
sin
cos
0
sin
cos
0
0 0
0 0
1 1
0
0
1
la expresión
0 1
0
y llamando Ω ,Ω ,Ω a las proyecciones de la rotación
0 0
sin
1 0 cos
instantánea sobre el triedro fijo y , , a las componentes sobre el triedro de
Euler de esa misma rotación instantánea, resulta:
Ω
Ω
Ω
cos
sin
0
1
0
0
0
sin
cos
Efectuando el producto matricial queda:
Ω
Ω
Ω
0
0
1
cos
sin
0
sin sin
cos sin
cos
que desarrollando nos permite obtener la relación pedida:
Ω
cos
sin
sin
Ω
sin
cos
sin
Ω
cos
A esta misma relación podía haberse llegado sin más que proyectar cada
una de las tres rotaciones , , sobre los ejes (XYZ).
20 La relacción inverrsa puede
e obtenerse matriicialmente
exprresión:
mediante
e la
Ω
Ω
Ω
en d
donde
es la ma
atriz invers a de la ma
atriz de tran
nsformacióón.
Un ejemp
plo en el que
q
puede
en observa
arse perfectamente cuales son los
ángu
ulos y las rotaciones
r
de Euler lo
o proporciona el trom
mpo o peonnza. Cuando el
mer ángullo de
trom
mpo gira allrededor de un eje q
que no pe
ermanece fijo, el prim
Eule
er, ψ, varia
a al hacerlo la línea de nodos, y ademá
ás existe uuna rotació
ón de
preccisión que es la rota
ación del e
eje del tro
ompo. Por otra partee el ángullo de
nuta
ación, θ, va
aría con el tiempo, ya
a que al disminuir la
a velocidadd de rotación el
eje d
del trompo se irá ace
ercando al suelo, porr lo que tam
mbién exisste una rota
ación
de n
nutación. Finalmente
F
e, la rotació
ón propia viene dad
da por el ggiro del tro
ompo
alred
dedor de su
s propio ejje de sime
etría.
21 Equilibrio del punto material libre. Equilibrio estático y
dinámico
Al ser todas las fuerzas concurrentes en el punto se deduce que la
condición de equilibrio consiste en que la resultante de las fuerzas que actúan
sobre el punto sea nula. Es decir:
0
fórmula vectorial que se puede expresar escalarmente por medio de las tres
ecuaciones:
0
0
0
,
,
son las componentes de cada una de las fuerzas que
en donde
actúan sobre el punto, respecto a un sistema de referencia que se supone fijo.
Obsérvese que se si hubiera fundamentado la Estática como caso particular de
la Dinámica, no bastaría la condición de nulidad de la resultante sino que
habría que exigir además que el punto material tuviese velocidad nula respecto
a dicho sistema de referencia. En efecto, de la ley fundamental de la Dinámica
se deduce que si hay equilibrio
0 y entonces:
0
pero la aceleración también sería nula si la velocidad del punto respecto al
sistema de referencia elegido fuese constante, situación que, obviamente, no
es de equilibrio, por lo que en este caso hay que exigir el cumplimiento de
ambas condiciones.
Un caso de equilibrio del punto material libre de particular interés es aquél
en el que las fuerzas actúan sobre el punto derivan de un potencial, es decir, el
campo de fuerzas es conservativo. En este caso se tiene:
Si el punto está en equilibrio, la condición de equilibrio será:
0
22 que en función de las componentes cartesianas del gradiente puede escribirse
como:
0
0
0
lo que significa que en ese punto la función potencial U(x, y, z) es estacionaria,
y equivale a decir: Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre un punto
material deriva de un campo conservativo de potencial U, dicho punto tendrá
como posiciones de equilibrio aquellos puntos del espacio en lo que U tiene un
valor estacionario (teorema de Lejeunne-Dirichlet).
Puesto que la fuerza tiene sentido contrario al gradiente, se dirigirá hacia
los potenciales decrecientes y, en consecuencia, en los puntos en los que la
función potencial tenga un mínimo habrá equilibrio estable, en los máximos el
equilibrio será inestable y cuando el potencial es uniforme el equilibrio del punto
material es indiferente.
23 Equ
uilibrio de sólid
dos
Máquina
as simples
s
Sistemass típicos in
ntegrados p
por conjun
ntos de só
ólidos, son las máqu
uinas.
Entre
e ellas ca
abe citar las denom
minadas máquinas
m
simples: ppalanca, to
orno,
polea, tornillo, etc. Las tres
t
primerras son ca
asos de eq
quilibrio dee un sólido
o con
un e
eje fijo, po
or lo que la condició
ón de equ
uilibrio se reduce a la nulidad
d del
mom
mento áxico
o respecto
o a dicho ejje. Se exprresa por la
a ecuación::
0
o bie
en:
en d
donde , es
e la fuerza
a que tiend
de a move
er la máquina y recibee el nombrre de
pote
encia y , e
es la fuerza de resisttencia, que
e es la que
e hay que vvencer.
En el casso del torn
nillo, el só lido que ha
h de asce
ender sobrre la hélice
e (en
realidad un he
elizoide) pu
uede asimiilarse al as
scenso porr un plano inclinado cuyo
ángu
ulo viene dado
d
por:
ttan
2
en d
donde h ess el paso de la héliice, y r el radio del cilindro soobre el qu
ue se
gene
era. El equ
uilibrio sobrre el plano
o inclinado da:
sin
y si sse supone
e que en el caso de to
ornillo la fu
uerza de potencia ess prácticam
mente
horizzontal, o lo que es lo mismo
o el ángulo
o α es mu
uy pequeñño, el sen
no es
apro
oximadame
ente igual a la tangen
nte y queda:
24 tan
y fina
almente:
2
que es la deno
ominada le
ey del tornilllo.
Vigas
Una viga
a es un elemento
e
estructura
al diseñado para sooportar ca
argas
apliccadas a lo
o largo de ella en divversos puntos. Suele ser barrras prismá
áticas
recta
as y largas con sec
cciones divversas. Las vigas tra
ansmiten llas cargas
s que
sopo
ortan al resto
r
de la estructu
ura media
ante apoyo
os que ppueden se
er de
diferrentes tiposs: apoyo móvil,
m
apoyyo fijo y em
mpotramien
nto.
El apoyo
o móvil se caracterizza porque
e la reacción ha de ser norm
mal al
apoyyo y no tra
ansmite ningún tipo de momen
nto ya que
e puede giirar libremente.
Suelle materializarse me
ediante rod
dillos cilíndricos sob
bre los quue se apoy
ya la
viga.
En el apo
oyo fijo la reacción
r
p
puede tene
er cualquier direcciónn pero tampoco
orbe ningú
ún momento. El exxtremo de
e la viga no puedde desplaz
zarse
abso
horizzontalmentte como su
ucedía en e
el caso anterior pero
o puede girrar libreme
ente.
Finalmen
nte en un
n empotram
miento la reacción puede teener cualquier
direccción y ade
emás pued
de absorbe
er momenttos. El extrremo de laa viga no puede
girarr ni desplazzarse.
Para reso
olver los problemas
p
de equilibrio en el plano dispoonemos de
e tres
ecua
aciones esscalares, por tanto en
n el caso de
d las viga
as dispond remos de esas
tres ecuacione
es. El problema será hipostátic
co, isostátic
co, o hiperrestático según
el tip
po y número de los
s apoyos. En efecto
o, un apoy
yo móvil eequivale a una
incóg
gnita: la reacción en
e direcciión norma
al; un apo
oyo fijo a dos: las dos
componentes de la reac
cción; y un empotram
miento a tre
es: las doss compone
entes
de la
a reacción y el mome
ento.
25 Vamos a estudiar a continua
ación el eq
quilibrio de
e una vigaa con un apoyo
a
fijo y otro móviil, sometida
a, primero a un conju
unto de ca
argas (fuerzzas) discre
eto y,
desp
pués, a un sistema co
ontinuo de
e cargas.
En el prim
mer caso el sistema
a de fuerza
as , , … , que aactúan sob
bre la
viga es coplan
nar y situa
ado en el plano verttical. A las
s componeentes vertical y
c
una de
d las fuerrzas le llam
maremos , y
resspectivamente.
horizzontal de cada
Se ssupone que
e el peso de
d la viga e
es desprec
ciable.
móvil A,
Las reaccciones en los apoyo
os serán: normal
n
en el apoyo m
tend
drá dos com
mponentes
s,
,y
en el ap
poyo fijo B.
,y
Las ecua
aciones ge
enerales de
e equilibrio
o, tomando momenttos respec
cto al
s
apoyyo fijo, B, serán:
0
0
0
siste
ema de tre
es ecuacio
ones con ttres incógn
nitas,
reso
olver el problema que
e es isostáttico.
,
y
, que permite
Si la viga
a soporta una carga
a continua vertical, cuya
c
ley dde variació
ón en
funcción de la distancia,
d
x,
x al apoyo
o A es
, las dos
d reaccioones en A y en
B se
erán verticcales, ya que tamb
bién lo son las carg
gas. Las eecuaciones de
equilibrio serán
n en este caso:
c
0
26 0
que permite ca
alcular las dos reacciiones en A y en B.
Entramados
Otros elementos
e
estructurrales de interés son los denominados
entra
amados planos,
p
co
onstituidos por con
njuntos pla
anos de barras re
ectas,
cone
ectadas en
ntre sí por sus extre
emos mediante articu
ulaciones. Los punto
os de
cone
exión de la
as barras se
s denomin
nan nudos
s, y las fue
erzas exterrnas se supone
que siempre están
e
aplic
cadas en e
ellos. Veam
mos que la
as fuerzass interiores
s que
actú
úan sobre cada barrra son siem
mpre redu
ucibles a fuerzas
f
applicadas en
n los
nudo
os. En efeccto, una fuerza cualq
quiera aplic
cada en un
n punto inte
termedio puede
sustituirse, com
mo sabem
mos, por o
otras dos paralelas
p
a ella y applicadas en los
extre
emos de la
a barra. Si se hace esta desc
composición para toddas las fue
erzas
interriores por otro cuy
yas fuerza
as actúan en los nudos,
n
coomo se quería
dem
mostrar.
Para ana
alizar el equilibrio d e los siste
emas artic
culados plaanos, hay
y que
procceder en dos
d
etapas
s. En prim
mer lugar se determ
minan las reaccione
es de
enlace o vincu
ulares, a pa
artir de lass fuerzas activas,
a
para lo cual se conside
erará
ntramado en
e su conjjunto como
o un sólido
o rígido en
n equilibrioo bajo la ac
cción
el en
de la
as fuerzass exteriores
s (activas y vinculare
es). En segundo luggar, se calc
culan
los e
esfuerzos de
d tracción
n o compre
resión a qu
ue están so
ometidas ccada una de
d las
barra
as que inte
egran el en
ntramado y que suellen denom
minarse tennsiones, pa
ara lo
cual se impon
ndrá la co
ondición d
de que el sistema de fuerzaas (interiorres y
exteriores) que
e actúa so
obre el nud
do esté en equilibrio. Si la fuerrza interiorr que
ejercce la barrra trabaja a compre
esión y si va dirigida en seentido opuesto,
alejá
ándose del nudo, se dice que ttrabaja a tracción.
t
Resulta
R
inm
mediato que las
cond
diciones ne
ecesarias y suficiente
es para el equilibrio de un entrramado so
on las
siguientes:
1. En
n cada pu
unto i deb
ben equilibrarse las
s tensionees y la fu
uerza
exxterior (activa y vincu lar) aplicad
da, cumplié
éndose quue:
27 ,
0
,
2. Las tensiones que actúan sobre las barras, llevan la dirección de
éstas, y verifican:
,
,
3. En los extremos del entramado se cumplirá:
,
,
0
0
La solución de los problemas de entramados planos puede hacerse
analíticamente o gráficamente. En este último caso los métodos de Cremona y
Culman son los de más frecuente aplicación.
28 Hilo
o sometido a un s
sistema
a continuo de
e fuerz
zas:
inte
egrales genera
ales
Considérrese un hilo
o en el que
e se ha de
efinido un sentido,
s
y eestudiemo
os las
fuerzzas a que está some
etido un ele
emento dife
erencial, ds, de este hilo.
Por ser el
e sistema de fuerza
as continuo
o, si es la fuerza ttotal que actúa
a
por unidad de longitud de
d hilo, la fuerza que
e actuará sobre la pporción ds será
. Además, sobre ds se ejerce rán las ac
cciones de las otras partes del hilo
que, una vez establecido
e
o un sentid
do en éste y al ser co
ontinuo el sistema, serán
s
y
, dirigidas
d
se
egún la tan
ngente, po
or ser perfe
ectamente flexible el hilo.
En cconsecuencia, la condición de e
equilibrio, suma
s
de la
as fuerzas iguales a cero,
se expresará por:
p
0
de d
donde:
0
que es la llama
ada ecuaciión fundam
mental del equilibrio de
d hilos.
0 puede descompon
d
nerse en tres
La ecua
ación vecttorial
alares, exp
presando el
e vector
esca
tang
gente al hilo
o. Es decirr:
co
os
en funció
ón de los cosenos
c
ddirectores de
d la
; cos
;cos
y se tiene:
Por otra parte:
p
y susstituyendo
o ambas en
n
0:
29 0
0
0
Se obtiene un sistema de tres ecuaciones diferenciales de segundo orden
en derivadas totales cuya solución tendrá seis constantes indeterminadas. Esta
solución general será:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
Para determinar estas seis constantes es preciso fijar unas condiciones
de contorno que podrán ser, por ejemplo, los puntos en los que se fijan los
extremos del hilo.
30 Ecuaciones intrínsecas de equilibrio de hilos
Son las ecuaciones que se obtienen cuando la ecuación fundamental
0 se refiere al triedro intrínseco a la curva que forma el
vectorial
hilo. El triedro intrínseco a la curva (triedro de Frénet) está formado por los
vectores unitarios tangente, normal, y binormal
, ,
. Recordando que la
tensión, , es un vector tangente al hilo y con sentido hacia los arcos
crecientes, se tiene:
y descomponiendo también
en las tres dimensiones del triedro intrínseco:
0 dan:
expresiones que, sustituidas en
0
o sea:
0
Según la primera fórmula de Frénet:
luego:
1
0 da:
que sustituyendo en
1
0
Esta ecuación puede reducirse a tres escalares, igualando a cero cada
una de las tres componentes:
0
0
0
Que son las denominadas ecuaciones intrínsecas del equilibrio de hilos.
31 Hilo bajo la acción de su propio peso. Catenaria
En este caso actúa únicamente el propio peso del hilo que se reparte
uniformemente por unidad de longitud. Para calcular la figura de equilibrio que
adopta y determinar el valor de la tensión en un punto cualquiera del hilo se
parte de la ecuación fundamental del equilibrio de hilos expresada en
coordenadas cartesianas:
0
0
0
Si suponemos que el peso actúa según la dirección del eje OZ, las
componentes de éste según los ejes OX y OY serán nulas, y se tiene:
0
0
e integrando:
dividiendo las dos últimas miembro a miembro queda:
o sea:
0
que integrada, resulta:
que es la ecuación de un plano en el que está contenida la figura de equilibrio,
luego la figura es plana. Por tanto, se puede utilizar solamente dos variables
32 que, por comodidad, elegiremos x e y. el eje OX sigue siendo el mismo y el eje
OY coincide ahora con el anterior OZ.
Aplicando
las
0;
expresiones
0;
0 a estas dos variables, se tiene;
0
0
Integrando
0, resulta:
en donde la constante A tiene el significado de una tensión, puesto que
un número abstracto. Dicha tensión es, además, mínima, porque
es
cuando
1, es decir, cuando dx se proyecta totalmente sobre ds, lo que equivale a
decir que dy = 0. Llamando
a la constante A, resulta:
o sea:
0:
y sustituyendo en
0
Simplificando, y sacando
fuera del paréntesis, por ser constante:
0
y sustituyendo ds por su expresión en cartesianas:
1
´
1
´
queda:
´
0
33 Puesto que el hilo está sometido solamente a la acción de su propio peso,
la componente de la fuerza OY será
, siendo p el peso por unidad de
longitud. Sustituyendo:
´
1
´
0
y ordenando:
´
1
´
integrando:
arg
´
siendo C una constante que se determina mediante las condiciones de
contorno.
Imponiendo las condiciones de contorno x = 0, y´ = 0, resulta C = 0. Estas
condiciones equivalen a exigir que el eje de ordenadas pase por el punto más
bajo del hilo.
Se obtiene, por tanto, la expresión:
arg
´
o lo que es lo mismo:
y´
que integrada de nuevo da:
Procediendo análogamente a como se hizo anteriormente, se determina D
exigiendo que para x = 0 sea
, luego D 0 =. Esto es equivalente, a hacer
pasar el eje de abscisas a una distancia
cociente
del punto más bajo del hilo. Al
se le denomina parámetro de la catenaria.
Así pues, la ecuación final a la que se llega es:
34 que es la ecuación de
e la figura
a de equilibrio y qu
ue recibe el nombre de
cate
enaria.
d la tensió
ón en un p
punto cualq
quiera del hilo se calccula a parttir de
El valor de
la eccuación
:
1
resu
ulta ´
Al derivarr la ecuación
exprresión
1
´
1
´
, que ddetermina en la
´ da:
1
Compara
ando esta ecuación con la de
e la catenaria, se oobtiene para la
tensión en un punto la ex
xpresión:
Es decir,, la tensió
ón en un punto tien
ne un valo
or igual all peso de una
gitud igual a su orden
nada.
long
35 Pue
ente colgante
Bajo este
e nombre se estudiia el caso
o de un cable pesaado que ha de
soste
ener un peso
p
much
ho mayor que el suyo
s
propio, por lo que pode
emos
conssiderar éstte desprec
ciable fren te a aqué
él. El peso sostenidoo se encue
entra
distrribuido sob
bre una rec
cta perpend
dicular a la
a dirección del peso.
Sea q la fuerza po
or unidad d
de abscisa
a que actúa sobre ell cable, qu
ue en
este caso es el peso que soporta
a. Partiend
do de la ecuación
e
fuundamenta
al de
0 resu
ulta:
ma vectoria
al
equilibrio de hiilos en form
0
y tom
mando uno
os ejes ca
artesianos OXY, de forma que
e el peso ccoincida co
on la
direccción del eje OY, y en sen
ntido nega
ativo, se obtiene laas ecuaciones
esca
alares siguientes:
0
0
Integrand
do
0 se de
educe:
dond
de A = T cuando
c
dx = ds, o lo que es lo mismo, dy = 0. Por ttanto, se puede
pone
er:
ya q
que la tenssión es mínima en e
el punto más bajo de
el hilo. Susstituyendo ésta
ecua
ación en la
a ecuación
0:
0
36 Simplificando y sacando
fuera del paréntesis por ser constante:
o sea:
´
es decir:
´
que integrada queda:
´
Para que la constante B sea igual a cero y la expresión sea monomia se
elige un eje de ordenadas que pase por el punto más bajo de la curva que
define el cable. Esto equivale a imponer las condiciones de contorno: x = 0, y´=
0 con lo que será B = 0, resultando:
´
que integrada de nuevo da la ecuación de una parábola:
2
Para determinar C se imponen las condiciones de contorno, x = 0 e y = 0,
con lo que resulta C = 0 y, finalmente, la ecuación de la curva será:
2
Si en lugar de elegir los ejes anteriores, en los que la curva pasa por el
origen de coordenadas, se eligen unos ejes tomando el eje de abscisas de
forma análoga a como se tomó para representar la catenaria, es decir,
haciendo pasar el eje de abscisas a una distancia
del punto más bajo del
hilo, la ecuación de la parábola será:
2
1
1
22
37 Movimiento del punto material libre. Ecuaciones
intrínsecas
Si se proyecta la ecuación fundamental de la dinámica sobre el triedro
intrínseco o de Frénet de la trayectoria del punto, y se tiene en cuenta que la
aceleración puede descomponerse en sus componentes tangencial y normal,
según la tangente y la normal principal de dicho triedro, resulta:
Por lo que, sustituyendo en la ecuación fundamental de la dinámica e
identificando se tiene:
y en definitiva:
0
ecuaciones que expresan que la fuerza está contenida en el plano osculador de
la trayectoria.
Pueden presentarse distintos casos particulares. Si la componente de la
fuerza según la tangente a la curva es nula, es decir,
0, será
0 por lo
que v = constante, y el punto se mueve sobre la trayectoria con velocidad
uniforme. Si la que se anula es la componente según la normal,
0, y será v
= 0 ó bien ρ → ∞, la trayectoria es recta o tiene en ese punto una inflexión.
38 Teorema de la cantidad de movimiento
Se llama cantidad de movimiento, , de un punto material a un vector de
la misma dirección y sentido que el movimiento y de módulo mv. A veces se
designa también con el nombre de momento lineal. Vectorialmente se expresa
como:
Si se tiene un punto material de masa m que se mueve por la acción de
un sistema de fuerzas de resultante , aplicando la ecuación fundamental de la
dinámica:
Si se supone m constante,
será igual a cero y:
Por tanto:
o bien:
que es la expresión del teorema de la cantidad de movimiento y que se
puede enunciar como sigue: la derivada respecto al tiempo de la cantidad de
movimiento de un punto material es igual a la resultante de las fuerzas
aplicadas.
Podría haberse partido de este teorema para una definición general de la
fuerza, ya que en el caso particular de que la masa sea constante el teorema
expresa el segundo principio de Newton. Sin embargo no siempre es así como,
por ejemplo, en el caso del movimiento de un cohete en el que se va perdiendo
masa continuamente. Este teorema se conoce también con el nombre de
teorema del impulso ya que al producto
se le denomina impulso.
39 En la práctica, es muy frecuente utilizar el teorema de la proyección de la
cantidad de movimiento. En efecto, si se proyecta la ecuación
sobre un
eje definido por el vector unitario , constante con el tiempo.
y derivando respecto al tiempo en el segundo miembro:
Y por ser
constante con el tiempo,
0, y sustituyendo en
resulta:
Es decir: la proyección de la fuerza sobre el eje definido por el vector es
igual a la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento proyectada
sobre el mismo eje.
40 Teo
orema del
d mom
mento c
cinético
Se denom
mina mom
mento cinéttico, , de
e un punto
o material respecto a un
puntto O, al momento
m
de
d la canttidad de movimiento
m
o
del punto ma
aterial
resp
pecto al punto O. se conoce
c
tam
mbién con el nombre de momennto angula
ar.
Supongamos un pu
unto materrial P, de masa
m
m, qu
ue describbe la trayec
ctoria
Γ con
n velocidad , siendo
o
ssu vector de
d posición
n respectoo al punto 0.
0 Su
mom
mento cinéttico, por de
efinición, e
es:
Es decir:
El teorem
ma del mo
omento ciinético se enuncia diciendo
d
quue: la deriivada
resp
pecto al tie
empo del momento
o cinético respecto a un puntto, es igu
ual al
mom
mento, resspecto de este mism
mo punto, de la res
sultante
apliccadas al pu
unto materrial.
dde las fue
erzas
Para dem
mostrarlo, se
s parte de
e la ecuación fundam
mental de laa dinámica
a:
y mu
ultiplicando
o vectorialm
mente a la izquierda por , se tiene:
Si se deriva al tiempo en la exxpresión
:
41 Como:
resulta:
El primer sumando se anula, y recordando
:
que es la expresión del teorema del momento cinético.
Este teorema del momento cinético tiene también significado cuando el
momento es áxico. Aunque se puede demostrar mediante el cálculo vectorial,
se obtiene de forma inmediata por aplicación directa del teorema de la
proyección del vector derivada. En efecto, puesto que la proyección del vector
derivada de otro sobre una recta es igual a la derivada de la proyección de
éste, resulta al aplicarlo al vector
de la ecuación
que:
La derivada respecto al tiempo del momento áxico de la cantidad de
movimiento respecto de una recta fija es igual al momento áxico de la
resultante de las fuerzas aplicadas al punto respecto de dicha recta.
Por tanto, si la fuerza es permanente coplanaria con un eje, la proyección
sobre dicho eje del momento cinético es constante.
42 Teorema de la energía cinética
Es teorema se conoce también con el nombre de teorema de las fuerzas
vivas debido a que se llama fuerza viva al producto de la masa de un punto por
la norma de su velocidad, que es una cantidad esencialmente positiva.
Se comenzará por definir el concepto de trabajo. El trabajo elemental, dT,
realizado por la fuerza , es:
y por tanto, el trabajo realizado por la fuerza
punto A y B es:
donde
a lo largo de la curva Γ, entre los
es la diferencial de arco de Γ.
De
, como:
será:
pero
1
2
y como
es igual a
por tener iguales los
segundos miembros, los primeros también lo serán:
1
2
e integrando:
1
2
Al producto
m, y se designa
1
2
1
2
se le llama energía cinética del punto material de masa
.
43 El teorema de la energía cinética enuncia diciendo que: el trabajo
realizado por la fuerza motriz entre los puntos A y B es igual a la variación de
la energía cinética del punto material entre dichos puntos.
Expresando la ecuación
cartesianas se tiene:
en función de sus componentes
y como:
resulta:
y expresando
en cartesiana queda:
1
2
Un caso particular interesante es aquel en el que la fuerza es
conservativa,
gravitatorio. Entonces:
, como, por ejemplo, en el caso del campo
y como:
1
2
resulta:
1
2
Integrando se tiene:
1
2
1
2
que expresa el teorema de la conservación de la energía:
<<La diferencia de energía cinética entre dos puntos es igual a la de sus
potenciales inicial y final.>>
44 Mo
ovimientto recttilíneo de un
n punto
o en un me
edio
res
sistente: velocidad lím
mite
Se va a estudiar
e
el movimientto rectilíne
eo de un pu
unto materrial de mas
sa m,
sometido a la acción del campo grravitatorio, en el seno
o de un fluuido que opone
una resistencia
a a su mo
ovimiento q
que es fun
nción de la
a velocidadd del punto
o. Se
pued
den prese
entar dos
s casos: que el movimien
nto sea ascendentte o
desccendente. Se consid
dera como
o direcció
ón positiva
a del eje OX la ve
ertical
asce
endente.
a) M
Movimiento descende
ente
Sea R la
a resistencia opuesta
a al movim
miento que consideraaremos fun
nción
de vv. Es decir; R = R(v). La ecuació
ón del mov
vimiento es
s en este ccaso:
y esccribiendo R en la forma:
se tie
ene:
1
ón
pu
uede obten
nerse, por ejemplo, en
e el casoo de un cuerpo,
La funció
en u
un túnel aerodinámi
a
co. A con
ntinuación se van a discutir loos valores
s que
pued
de tomar esta
e
función
n.
Para v = 0, la func
ción
debe ser menor que
e 1, pues si no lo fuera,
cuan
ndo el sóllido estuviiese en re
eposo, la fuerza de
ebida a la resistenc
cia al
movvimiento iniciaría éste
e, lo que e
neral
0
0, porqu
ue la
es absurdo. En gen
fuerzza se opone al mov
vimiento, y si éste no
n se ha iniciado, noo puede haber
h
resisstencia. En
n el caso de
d que
sea igua
al a 1, no hay
h movim
miento. El fluido
f
es ta
an viscoso
o que impid
de totalme
ente éste. Es
E decir,
es sieempre men
nor o
45 igual a 1, pues si fuese mayor, la fuerza resultante produciría una fuerza
ascendente.
Supongamos que
es creciente con v, y que existe un valor de v para
el que
1. En este caso, deja de actuar la fuerza al anularse el segundo
1
miembro de
miembro es
. Por tanto, el primer
0 y la velocidad es constante, con lo que
sigue siendo
la unidad. El punto se mueve con movimiento uniforme, y a la velocidad se le
llama velocidad límite λ.
A continuación se calculará la ecuación del movimiento y la expresión de
la velocidad límite en este caso particular.
1
De
, sustituyendo 1 por el valor
:
o también:
e integrando:
Sustituyendo
en
se tiene:
o sea:
y volviendo a integrar:
46 De
y
obtendríamos x y t en función de v.
b) Movimiento ascendente
Es totalmente análogo al caso anterior; salvo que el signo de la función
R(v) es negativo y la ecuación del movimiento es:
1
luego:
1
es decir, t = f(v) y como:
1
volviendo a integrar:
1
Y de aquí se obtiene v = f(x).
47 Mo
ovimientto curvilíneo d
de un punto
p
material
m
en me
edio
res
sistente
,
Sea
la resiste
encia opue
esta por ell medio al movimiennto del pun
nto, y
, sus component
c
tes sobre llos tres eje
es cartesianos.
La ecuacción fundam
mental de lla dinámica se desco
ompone enn las siguie
entes
tres ecuacione
es escalare
es:
,
,
Si se con
nsidera que únicame
ente actúan
n las fuerz
zas resisteentes del medio
m
y del peso, com
mo las prim
meras se o
oponen al movimiento
m
o, tendrán la direcció
ón de
la ve
elocidad, y estarán co
ontenidas en cada in
nstante en el plano deeterminado
o por
la ve
elocidad in
nicial y la dirección del peso. Se trata de un caaso de fue
erzas
copla
anarias en
n el que la
a velocidad
d está conttenida en el mismo plano, luego la
traye
ectoria es plana. Parra mayor ssimplicidad
d se resolv
verá el pro blema sob
bre el
tried
dro intrínse
eco.
Las ecua
aciones dell movimien
nto en com
mponentes intrínsecass son:
La resisttencia del medio
, como
o se opon
ne a , hha de tener la
direccción de la
a tangente, siendo α e
el ángulo que
q forma la direccióón del peso
o con
la no
ormal a la curva.
c
Proyectando sobre el triedro intrínseco según la tangente
t
y la normal a la
curvva:
sin
48 cos
Haciendo, como siempre,
sin
, la ecuación
quedará:
sin
Recordando que
cos
, la
se puede escribir de la
forma:
cos
, luego:
pero
cos
El signo – es debido a que, al disminuir el tiempo, α decrece, y su
derivada será negativa.
Dividiendo
sin
por
tan
cos :
cos
que es la ecuación general del movimiento de un punto en medio resistente.
Esta ecuación diferencial se integrará en distintos casos particulares,
obteniéndose
, una integral primera, y que sería la hodógrafa en
coordenadas polares.
Si ahora se proyecta sobre los ejes cartesianos, tomados unos ejes
contenidos en el plano del movimiento, siendo el OX paralelo al peso, y con el
origen en el punto de partida, resulta:
cos
sin
Si en la ecuación
cos
se sustituye
, ya hallada,
resulta:
cos
49 es decir:
cos
que integrada será:
cos
tan
Sustituyendo ésta y la
sin
cos ;
en la
se tiene:
1
cos
1
cos
1
cos
sin
expresiones que, combinadas con
1
tan
, resuelven todos los
problemas.
Por último, conviene señalar que en medios resistentes la trayectoria ha
de tener una asíntota, porque en la expresión:
cos
La variación de α depende de cos α, por lo que al aproximarse el valor de
α a –π/2, el ángulo α tendrá una variación muy lenta (se acerca a la asíntota).
50 Movimiento en un campo
Ecuaciones del movimiento
de
fuerzas
centrales.
Se llaman fuerzas centrales a las que pasan constantemente por un punto
fijo. Cuando un punto material se mueve en un campo de fuerzas centrales se
verifican las siguientes propiedades:
a) La trayectoria es plana
En efecto, aplicando el teorema del momento cinético y tomando
momentos respecto al punto por el que pasan las fuerzas:
y como
y
son colineales, el segundo miembro es cero, por tanto:
0
luego:
Así pues, el vector momento cinético, perpendicular al plano determinado
por
y , es de dirección constante y, por eso, el plano coincide siempre
consigo mismo. Se concluye que la trayectoria es plana, y vendrá determinada
y .
por los valores iniciales
b) La velocidad areolar es constante
Consideremos ahora el módulo
|
|
| |
:
sin
2
como se quería demostrar. A C se le llama constante de las áreas.
Apliquemos el teorema de la energía cinética, que, junto con la segunda
propiedad, nos dará dos relaciones entre r y θ, y entre r y t. en efecto:
1
2
y puesto que, en polares
51 Al ser
y
0, y queda:
perpendiculares,
1
2
o sea:
1
2
Por otra parte:
De |
|
, se obtiene:
O sea:
y sustituyendo en
:
Sustituyendo finalmente en
:
1
2
Pero
1
1
y llevándolo a la anterior:
1
2
1
1
operando se tiene:
52 1
1
2
1
2
2
1
1
y puesto que
1
1
1
resulta:
1
1
1
Y finalmente:
1
1
Que suele conocerse con el nombre de fórmula de Binet.
53 Momento bajo la acción de una fuerza central que sólo
depende de la distancia
Partimos de la ecuación que proporciona el teorema de las fuerzas vivas:
1
2
Por tratarse de una fuerza central
y como
se tiene:
Como además se trata de una fuerza que depende sólo de la posición: F
= F(r), la ecuación
se expresará:
1
2
o sea,
2
e integrando:
2
es decir:
2
Una vez resuelta esta integral se obtiene
.
Por otra parte, según la ecuación:
fórmula en la que, sustituyendo
, queda:
→
54 o lo que es igual:
Integrando:
que nos proporciona la ecuación horaria r = r(t).
Si se quisiera calcular la trayectoria, se necesita una relación entre r y θ
(trayectoria en polares) y para ello realizamos las siguientes operaciones:
Por ser la fuerza central, cumple la ley de las áreas:
es decir:
y sustituyendo este valor en
se tiene:
de donde:
ecuación que, integrada con la condición de contorno de que en la posición
inicial el ángulo inicial es α, dará la ecuación de la trayectoria buscada:
Este método general puede aplicarse para cualquier tipo de fuerza
central, en particular al caso en que la fuerza sea newtoniana.
Movimiento unidimensional equivalente
Por tratarse de una fuerza central que depende solamente de la distancia
se demuestra fácilmente que admite una función potencial U tal que
55 y puesto que F sólo depende de la distancia r se puede poner:
Aplicando el teorema de la energía cinética resulta:
1
2
e integrando
1
2
que es la expresión del teorema de conservación de la energía mecánica, en
donde E representa la energía total del sistema. De esta expresión puede
obtenerse el valor de la velocidad del punto
2
Por otra parte, expresando la velocidad en coordenadas polares y
recordando que, por tratarse de un movimiento central, se verifica la ley de las
áreas:
se tiene:
sustituyendo este valor de la velocidad en
queda:
2
y de aquí:
2
2
2
en donde se ha llamado energía potencial efectiva a
2
56 lo que permite estudiar el movimiento según el radio, es decir, en una sola
dimensión ya que
puede escribirse en la forma:
1
2
y por ello se denomina movimiento unidimensional equivalente.
57 Determinación de la fuerza central conociendo la
trayectoria
El problema fundamental de la mecánica celeste consiste en, conocida la
ecuación r = r(θ) de la trayectoria, encontrar la fuerza que produce el
movimiento, sabiendo que se verifica la ley de las áreas y que la trayectoria es
plana.
Para hallar la fuerza, se parte de la fórmula de Binet y de la ecuación r =
r(θ) de la trayectoria. Es decir:
1
1
siendo:
1
Sustituyendo resulta:
Ésta es la solución general de la fuerza para una trayectoria r = r(θ). En el
sistema solar se sabe que los planetas describen órbitas elípticas en uno de
cuyos focos está el Sol. Por tanto, de la ecuación de las cónicas en polares:
1
cos
o bien:
1
1
cos
derivando se tiene:
1
1
sin
´
cos
´´
es decir:
1
1
58 y su
ustituyendo
o en
resulta el
e módulo de la fu
uerza
busccado:
1
cos
1
cos
En conse
ecuencia, la
a fuerza F depende de:
d
a) La ma
asa m del móvil,
m
que en este ca
aso será positiva.
b) La órb
bita descriita, represe
entada po
or el parám
metro p y l a constante C,
doble de la velocidad areo
olar.
c) El cua
adrado de la distanc ia que en ese instan
nte exista eentre el mó
óvil y
el cue
erpo que lo
o atrae.
La fuerza
a es atrac
ctiva e invversamentte proporc
cional al ccuadrado de
d la
dista
ancia, es decir,
d
newtoniana. De
emostrarem
mos seguidamente qque las fue
erzas
son centrales.
En efecto
o, si se verrifica la ley de las áre
eas, será:
y, se
egún se ob
bserva en la figura, rd
dθ = ds sen α, luego::
sin
y como
se tie
ene:
sin
y po
or ser α el ángulo po
or y
mód
dulo del pro
oducto vec
ctorial:
sse puede expresar
e
la
a igualdad anterior como
c
59 Como, po
or hipótesis, la trayecctoria es plana,
p
. Muultiplicando
o por
m lo
os dos miembros, tendremos
t
s
, igua
aldad que representa la
consstancia dell momento
o cinético. E
En efecto, aplicando el teorem a del mom
mento
cinéttico se tien
ne:
y puesto que el
e paréntes
sis es consstante, el primer
p
mie
embro es ccero, por lo
o que
0 en to
odo punto e instante que se co
onsidere. Así,
A
y
sson paralellos, y
pa
asa siemprre por el po
olo, que ess el foco de
e la trayecttoria.
Si las tra
ayectorias fueran pa
arábolas o una rama
a de hipérrbola, la fu
uerza
segu
uiría siendo atractiva
a. Por eso
o, en el ca
aso de qu
ue el móviil describa
a una
traye
ectoria que corresp
ponda a la
a ecuación de una cónica, lla fuerza será
atracctiva, salvo
o en el cas
so de la ra ma de la hipérbola
h
que
q vuelve su convex
xidad
hacia
a el polo. En este ca
aso p tiene
e distinto signo
s
y porr ello tamb ién lo tend
drá la
fuerzza, que se
erá repulsiv
va. Recué
érdese que
e se llegab
ba a la missma conclu
usión
cuan
ndo se haccía el estud
dio de la cu
urvatura a partir del ángulo
á
β.
En el sisttema solarr, a pesar de la muttua influencia entre llos planeta
as, la
fuerzza siempre
e va dirigid
da hacia ell Sol debid
do a que su masa ess mucho mayor
m
que la de los planetas. En el casso de los planetas, no se pueeden enco
ontrar
fuerzzas repulsivas, pero si cuando
o las masas
s represen
ntadas sonn partículas
s con
carg
ga eléctrica
a, que pued
den ser de
e signo dife
erente.
Para sab
ber si la trayectoria
a que se obtendrá
á es elipsse, parábo
ola o
hipérbola se de
eterminará
á el valor d
de la excen
ntricidad e de la cónicca.
Es posible distinguir inmedia tamente la
a rama de hipérbola que vuelv
ve su
convvexidad ha
acia el polo
o (debida a una fuerrza repulsiv
va), como se observ
va en
la fig
gura, del re
esto de los
s casos a, b
b, c origina
ados por una fuerza aatractiva.
60 Movimiento de un punto material ligado a una
superficie lisa: ecuaciones generales
Considérese una superficie Σ, de dos caras, fijas en un sistema de
referencia inercial, sin rozamiento, sobre la que se mueve, vinculado
bilateralmente, un punto material de masa m.
Si
es el vector de posición del punto móvil en dicha referencia,
resultante de las fuerzas exteriores que obran sobre el punto y
del vínculo, se puede escribir:
la
la reacción
Según que se conozca la ecuación implícita de la superficie o bien sus
ecuaciones paramétricas se presentarán los siguientes casos en la solución del
problema:
a) Se conoce la ecuación implícita de la superficie, f(xyz) = 0, en un sistema de
referencia inercial OXYZ.
Al ser el vínculo liso, la reacción de ligadura es exclusivamente normal y
Como además:
Resulta:
Que junto con
0
Constituye un sistema de ecuaciones diferenciales que permite obtener x,
y, z y λ en función de t.
b) Si se conoce las ecuaciones paramétricas de la superficie:
61 ,
,
,
Teniendo en cuenta que:
,
,
,
Se obtiene inmediatamente
2
Y análogamente
2
Y del mismo modo
2
Por otra parte, recordando la expresión del vector normal a una superficie,
se tiene para la reacción normal la expresión
Y se puede escribir:
Sistema de ecuaciones diferenciales que una vez integrado permite
obtener , y λ en función del tiempo.
62 El procedimiento descrito admite una simplificación ya que el teorema de
la energía cinética da una ecuación independiente de λ. En efecto:
1
2
puesto que el trabajo de la reacción normal es idénticamente nulo.
Teniendo en cuenta que la velocidad puede escribirse como:
,
,
en donde
1
2
,
,
,
,
es una función cuadrática en
,
,
y
, queda:
,
,
en donde P y Q son funciones de
1
2
,
,
,
,
y t, es decir:
,
Si existe una función potencial
integrarse directamente. En efecto:
,
, la ecuación anterior puede
,
luego
1
2
,
,
,
,
e integrando resulta
1
2
,
,
,
,
63 Ecu
uacione
es intrín
nsecas d
del mov
vimiento
o
Sea un punto
p
mate
erial P de m
masa m, cu
uya trayecttoria sobree la superficie Σ
es la
a curva C. consideraremos com
mo ejes co
oordenados
s los definiidos a parttir de
P po
or los vecctores unittarios ,
(triedrro geodés
sico), sienddo
el vector
tang
gente a la curva,
c
el vector un
nitario en la
a dirección
n de la norrmal geodé
ésica
(perp
pendicularr a contenida en el plano tang
gente) y la normall a la supe
erficie
en P
P.
Las ecua
aciones de
el movimie nto según el triedro intrínsecoo a la curv
va C,
son:
0
La reacciión normal, según el triedro sob
bre el que se proyectte, será:
ualmente la
a resultantte de las fu
uerzas exte
eriores
e igu
La ecuacción del movimiento
m
en coorde
enadas inttrínsecas, expresand
do la
fuerzza en el triedro geodésico, será
á:
y mu
ultiplicándo
ola escalarrmente porr , , re
espectivam
mente resuulta:
64 y ten
niendo en cuenta
c
que
e
sin
n
coss
se tie
ene
sin
cos
ndo el teo
orema de Meusnier que estab
blece que <<el radiio de
Recordan
curvvatura de una
u
secció
ón oblicua a una su
uperficie es
s la proyeccción, sob
bre el
plano de esta curva, del radio de curvatura de la sec
cción norm
mal que tien
ne la
mism
ma tangentte en el pu
unto consid
derado>>, resulta que
e
cos
siend
do R el ra
adio de currvatura de la sección
n normal, y, por tantto, la últim
ma de
las e
ecuacioness anteriores la podem
mos poner en forma:
coos
o sea,
65 de donde se obtiene el valor de la reacción normal a la superficie:
66 Mo
ovimientto relatiivo en la
a superrficie de
e la tierrra
Vamos a estudiar el
e movimie
ento de un punto ma
aterial de m
masa m qu
ue se
mue
eve en las proximidad
p
des de un punto P de
e la superfficie terresttre, de latittud λ.
Se a
adoptará el
e siguiente
e sistema de coorde
enadas: orrigen en P
P, eje Z dirrigido
segú
ún la verticcal del luga
ar y en sen
ntido opue
esto al peso, eje X diirigido según el
meriidiano que
e pasa por P y sentid
do positivo hacia el sur,
s y eje Y tal que fo
orme
un trriedro a de
erechas OX
XYZ con lo
os otros dos.
Sobre diccho punto actúan
a
las siguientes
s fuerzas exteriores:
e
- , resultante de la
as fuerzas activas.
- , atraccción terresttre.
No existe
e relación vincular, yya que el punto se mueve
m
librremente en las
proxximidades de
d la superficie terresstre con ve
elocidad .
Aplicando
o la ecuaciión de D´A
Alembert, re
esulta:
y como:
qued
da:
Proyectando sobre los tres ej es OXYZ, teniendo en
e cuenta qque:
y
cos
sin
67 y que:
2
2
2
cos
0
sin
2
sin
sin
cos
2
cos
resulta:
2
2
sin
sin
cos
2
cos
que son las ecuaciones del movimiento relativo de un punto en unos ejes
ligados a la superficie terrestre. Conviene observar que solo son válidas si el
móvil está muy cerca de P y OZ se encuentra paralelo a mg.
A continuación se verá qué forma adoptan los teoremas de la energía
cinética y de conservación de la energía en un sistema de ejes ligados a la
superficie de la Tierra.
El teorema de la energía cinética, en un sistema no inercial, se escribe en
la forma:
1
2
como
resulta:
1
2
y si admitimos que
puesto que
es constante en las proximidades del punto de latitud λ,
resultará:
1
2
que es la expresión del teorema de la energía cinética en este caso.
Ahora bien, si
deriva de un potencial U, entonces:
68 y
1
2
o bien
1
2
0
de donde, integrando, queda:
1
2
que expresa el teorema de conservación de la energía en unos ejes ligados a
la superficie de la Tierra.
69 Pén
ndulo de
d Fouca
ault
El proble
ema consis
ste en esttudiar el movimiento
m
o de un pééndulo esfférico
tenie
endo en cu
uenta el mo
ovimiento d
de rotación
n de la Tierra.
Las ecua
aciones de
el movimie
ento en un
n sistema de
d referenncia ligado a la
supe
erficie terre
estre son:
2
2
sin
sin
cos
2
cos
Las comp
ponentes de
d la reaccción norma
al son:
;
;
Se supon
ndrá, en prrimera apro
oximación, pequeñas
s oscilacionnes por lo que:
≅
y, po
or tanto:
0
2
y puesto que ω es muy pequeña,
p
d
de
cos
se deduce
e:
0
o sea:
0
donde resulta:
de d
70 2
2
Sustituyendo en las ecuaciones
sin
cos queda:
sin ;
2 sin
2 sin
admitiendo que el movimiento se produce sin separación aparente del plano
horizontal.
Expresando las ecuaciones anteriores en coordenadas polares en el
plano horizontal, se tiene:
1
1
y multiplicando por y la ecuación
2 sin
2 sin
y por x la ecuación
:
2 sin
sin
ya que
siendo
, por lo que finalmente:
sin .
Integrando:
o sea:
resultando que indica que para el movimiento proyectado sobre el plano
horizontal se cumple la ley de las áreas en un sistema de referencia en el que
, es decir en
la variación temporal del ángulo polar del punto móvil sea
un sistema de referencia que gire alrededor del tercer eje con velocidad angular
respecto al sistema de ejes vinculado a la superficie terrestre.
71 o en el siste
ema
todo va
a a ocurrir como si eel producto
o
Por tanto
se ig
guala, en proyección
p
horizonta
al, a una magnitud
m
de
e tipo cent ral respectto de
O.
Por otro lado
l
en el sistema O XYZ, se tie
ene:
es decir:
do
siend
el pe
eso
El teorem
ma de la en
nergía ciné
ética se esc
cribe enton
nces:
1
2
En el sisstema
, que
e difiere del anteriorr en la rootación
, la
enerrgía cinéticca diferirá al
a aparece
er un término debido al trabajo de la <<fu
uerza
centtrífuga de arrastre>>.
a
. Es decir:
1
2
≅
y la ffuerza cen
ntral a la qu
ue nos refe
erimos resulta ser:
que, por ser
despreciable, pued
de suponerrse, aproximadamen te igual a
siend
do:
con lo que las ecuacione
es del mov imiento en
n
son:
s
≅
72 ≅
o lo que es igual:
0
0
cuya solución es:
cos
cos
Para determinar las constantes A, B, φ y ψ se tendrá en cuenta que en el
instante inicial (t = 0) el punto se encuentra en reposo respecto al sistema
OXYZ, con lo que:
0
0
0
0
0
0
Derivando respecto al tiempo resulta:
sin
sin
y aplicando las condiciones de contorno resulta finalmente:
cos
0
sin
de donde se deduce:
0
y de las
0
cos
73 sin
resulta:
2
por lo que las ecuaciones del movimiento quedan en la forma:
cos
sin
y eliminando t, se obtiene la ecuación de la trayectoria:
1
1
Que es la ecuación de una elipse. Esta elipse es <<muy alargada>>.
74 Teorema de Steiner
El teorema de Steiner relaciona los momentos y productos de inercia de
una distribución, respecto a puntos, ejes y planos, con los respectivamente
paralelos que pasan por el centro de masas. Este teorema es de gran
importancia para el cálculo de momentos de inercia, ya que permite simplificar
los cálculos al poder obtener los momentos respecto al centro de gravedad, lo
que suele resultar más sencillo.
El teorema de Steiner respecto a un punto es:
o sea, el momento de inercia respecto a un punto es igual al momento de
inercia respecto al centro de gravedad más el producto de la masa total del
sistema por el cuadrado de la distancia desde el punto al centro de gravedad.
El teorema de Steiner para rectas paralelas:
es decir, el momento de inercia respecto a una recta es igual al momento de
inercia respecto a otra recta paralela a la anterior que pasa por el centro de
gravedad más el producto de la masa total del sistema por el cuadrado de la
distancia entre las dos rectas.
El teorema de Steiner para productos de inercia:
o sea, el momento de inercia respecto a un plano es igual al momento de
inercia respecto a otro plano paralelo al anterior que pasa por el centro de
gravedad más el producto de la masa total del sistema por el cuadrado de la
distancia entre los dos planos.
75 Elip
psoide y elipse
e de ine
ercia
A continu
uación tom
maremos un
na recta genérica qu
ue pasa poor un punto
o0y
estudiaremos la variació
ón del mom
mento de in
nercia según la radiaación de re
ectas
0 Se verá
á que a ca da distribu
ución de masas
m
le coorresponde
e, en
de vvértice en 0.
cada
a punto del espacio, un elipsoid
de con den
ntro en él.
ón de recta
as se sitúa
an unos ejjes cartesianos
En el vérrtice 0 de la radiació
OXY
YZ y sobre una recta genérica d
de la radia
ación definida por loss ángulos α,
α βy
γ se lleva a partir del orig
gen una lon
ngitud OP,, tal que
⁄
en d
donde k es una consttante arbitrraria, e
recta
a.
el
e momento de inerciia respecto
o a la
Vamos a determina
ar el lugar g
geométrico
o que desc
cribe el punnto P(x, y, z) al
varia
ar la direccción de la recta. L
Los cosenos directo
ores de laa recta pueden
escrribirse en la
a forma
cos
⁄ ccos
⁄ cos
⁄
⁄ , y susstituyendo en la expresión
e
2 cos cos
2 co
os cos
2 cos cos
el momento de
e inercia de
e la recta q
queda
Y como
2
y mu
ultiplicando
o los dos miembros
m
p
por
2
que
e da
2
:
2
2
2
que es la ecua
ación de una cuádricca con centro en el punto
p
O. essta cuádric
ca es
elipsoide ya
y que los coeficienttes de los términos cuadráticoos son siempre
un e
posittivos por ser mom
mentos de inercia. A la mism
ma concluusión se llega
obse
ervando qu
ue es sie
empre finitto, por lo ta
anto L no puede
p
haccerse infinitto en
ningún punto, y la única cuádrica q
que no tien
ne puntos impropios
i
es el elips
soide.
ácil ver qu
ue O es el centro de simetría del
d elipsoid
de sin máss que sustituir x
Es fá
76 por –
–x, y por –y,
– z por –z
z, y observvando que
e la ecuació
ón no cam
mbia. Se lle
ega a
esta misma conclusión
c
si se tie
ene en cuenta que el momeento de inercia
resp
pecto a una
a recta no depende
d
d
del sentido definido en
e ésta.
La forma
a del elipso
oide no de
epende de los ejes de
d coordennadas eleg
gidos
ya q
que es un conjunto
c
in
ntrínseco, lo que cam
mbia es su
u ecuaciónn en funció
ón de
cuale
es sean dichos
d
ejes
s. Puesto que la forrma del elipsoide ess invariantte, la
inforrmación qu
ue proporc
ciona sobrre la varia
ación de lo
os momenntos de inercia
resp
pecto a las rectas de
d la rad iación de vértice en O no ddepende de
d la
consstante k ya
a que al variar k se o btienen eliipsoides ho
omotéticoss con centrro de
hom
motecia en el
e origen. Por
P esta ra
azón se suele tomar k = 1.
Al elipsoide de ine
ercia relati vo al c.d.m. se le llama elipssoide centtral o
princcipal. Entre
e todas las
s direccion
nes del esp
pacio, el va
alor mínimoo del mom
mento
corre
esponde a la direcc
ción del s emieje ma
ayor del elipsoide
e
y el máxim
mo al
semieje menorr. A los eje
es de sime tría del elip
psoide se les llama eejes princip
pales
de in
nercia en ese
e punto y coincide
en con las direccione
d
s principalles de la matriz
m
de in
nercia en ese
e punto.
Caso de distribuciones plan
nas de ma
asa
stribucione s de masa
a contenid
das en un plano, aunque
En el casso de dis
todo
o cuanto se ha ex
xpuesto h
hasta ahora es de
e aplicacióón para estas
e
distrribuciones, se puede
e obtener u
una interes
sante simp
plificación qque verem
mos a
conttinuación.
Llamarem
mos OXY al
a plano qu
ue contiene
e a la distrribución dee masas. Al
A ser
el siistema pla
ano, puesto
o que z = 0 para to
odos los puntos
p
de la distribu
ución,
será
án
0,
0. Los m
momentos de inercia
a planetarrios
se
convvierten en los momen
ntos áxicoss , y el momen
nto de inerccia polar y el
mom
mento áxicco , coinciden. P or tanto las relacio
ones entree los dive
ersos
mom
mentos de inercia se reducen a las siguientes:
c conoce
er los mom
mentos de inercia y el prooducto
Bastará con
para
tene
er definido el elipsoide, ya qu
ue
depe
ende de lo
os anteriorres mome
entos.
Aunq
que sigue existiendo
o el elipsoid
de de inerrcia en cad
da punto ddel espacio
o, por
comodidad utillizaremos una elipse
e, intersecc
ción del pla
ano OXY ccon el elipsoide.
77 Si el punto en el que se quiere calcular el elipsoide de inercia no pertenece al
plano OXY, se utilizará uno paralelo al OXY que pase por el punto.
La ecuación de la elipse es:
2
que es la denominada elipse de inercia.
La expresión que da el momento de inercia de una recta del plano que
pasa por O, en función de los momentos y productos de inercia del sistema
plano respecto a los ejes OXY, resulta ser:
2
y como
cos cos
sin , sustituyendo en la expresión anterior:
2
cos sin
Interesa saber si habrá alguna dirección para la cual el momento de
inercia respecto a la recta es máximo o mínimo. Para ello la condición es:
0
2 cos sin
sin cos
2
2
de donde:
2
2
expresión de la que se deduce que hay dos valores del ángulo 2α que verifican
la ecuación y que se diferencia en π. Por tanto, existirán dos direcciones
respecto a las cuales el momento de inercia del sistema toma valores máximo
o mínimo relativos. Estas direcciones perpendiculares son las direcciones
principales de inercial.
78 Dinámica de los sistemas. Teoremas fundamentales.
Movimiento de un sistema alrededor de su centro de
masas
Sea OXYZ un sistema de coordenadas cartesianas vinculado a un
observador inercial y
;
un sistema material ligado por N puntos y cuyo
centro de masas se encuentra en un cierto punto G del espacio. Si se vinculan
a G uno ejes que en todo momento se mantengan paralelos a los
correspondientes del sistema de referencia inercial se obtiene uno nuevo GXYZ
que se mueve respecto al primero en translación y que constituye el llamado
sistema de referencia del centro de masas.
Puesto que el centro de masas de un sistema material posee en general
aceleración, el sistema de referencia vinculado a éste normalmente no es
inercial. Sin embargo, y debido a las especiales propiedades del centro de
masas, algunos de los teoremas enunciados anteriormente pueden aplicarse
en el sistema de referencia del centro de masas como si de uno inercial se
tratara.
Cantidad de movimiento
Sea
∗
la cantidad de movimiento total del sistema medida por un
el vector de
observador vinculado al centro de masas de aquél y sea ∗
posición de un punto genérico respecto a este sistema de referencia.
Se tiene
∗
∗
∗
pero el sumatorio del último miembro es el momento estático del sistema
respecto a su centro de masas y por tanto es nulo, luego:
∗
0
La cantidad de movimiento total de cualquier sistema, medida por un
observador vinculado al centro de masas, es permanentemente nula y por ello
el teorema de la cantidad de movimiento no es aplicable en el sistema de
referencia del centro de masas. Este resultado se conoce como el teorema del
centro de masas.
Momento cinético
79 Sea ∗ el momento cinético del sistema, medido por un observador
vinculado al centro de masas G. Se tiene:
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
y teniendo en cuenta que el momento estático respecto al centro de masas es
nulo y la expresión de la cantidad de movimiento total del sistema se llega
finalmente a:
∗
Que es la expresión del primer teorema de Koenig: el momento cinético
total de un sistema es la suma del momento cinético de la masa total del
mismo, supuesta concentrada en su centro de masas y moviéndose con la
velocidad de éste, y del momento cinético del sistema correspondiente a su
movimiento alrededor de aquél.
El término ∗ , correspondiente al movimiento de un sistema material
alrededor de su centro de masas, resulta ser independiente de cualquier
sistema de referencia y por este motivo se le denomina momento cinético
intrínseco o spín del sistema.
Por otra parte, según el teorema del momento cinético:
Γ
∗
y puesto que derivando en
∗
teniendo en cuenta
∗
, que expresa el teorema del centro de masas, se
tiene:
∗
Γ
Recordando que:
Γ
Γ
80 se llega finalmente a:
∗
Γ
ecuación que expresa la posibilidad de aplicar formalmente el teorema del
momento cinético en el sistema de referencia del centro de masas como si se
tratara de uno inercial.
Energía cinética
Sea ∗ la energía total del sistema, medida por un observador vinculado
al centro de masas G. Se tiene:
1
2
1
2
1
2
1
2
∗
y, teniendo en cuenta que
∗
2
1
2
∗
1
2
∗
1
2
∗
∗
∗
∗
∗
0, el segundo término se anula y queda:
1
2
∗
que es la expresión analítica del segundo teorema de Koenig: la energía
cinética total de un sistema es la suma de la energía cinética de la masa total
del mismo, supuesta concentrada en su centro de masas y moviéndose con la
velocidad de éste, y de la energía del sistema correspondiente a su movimiento
alrededor de aquél.
El término ∗ correspondiente al movimiento de un sistema material
alrededor de su centro de masas resulta ser independiente de cualquier
sistema de referencia y se denomina energía cinética interna del sistema, en
tanto que el término
, que depende del sistema de referencia
escogido, se denomina energía cinética externa del mismo.
Por otra parte, según el teorema de la energía cinética:
o sea:
81 Teniendo en cuenta el segundo teorema de Koenig, el segundo término
se puede escribir como
1
2
∗
∗
∗
∗
∗
y como
0
el segundo miembro de ∑
teniendo en cuenta
∑
∑
se puede escribir,
∗
∑
, en la forma:
∗
de donde,
∗
y recordando que
∗
queda,
∗
∗
y finalmente:
∗
∗
∗
ecuación que expresa la posibilidad de aplicar formalmente el teorema de la
energía cinética en el sistema de referencia del centro de masas como si de
uno inercial se tratara.
La aplicación del teorema del centro de masas y de los teoremas del
momento cinético y de la energía cinética en un sistema de referencia
82 vinculado a éste permite estudiar el movimiento de cualquier sistema material
como superposición del movimiento de su centro de masas.
83 Mo
ovimientto de un
n sólido
o rígido alreded
dor de u
un eje fijo
Sea un sólido ríg
gido en rrotación de un eje fijo, quee se supo
ondrá
coinccidente co
on el eje OZ
O de un ssistema de referencia
a inercial O
OXYZ, con
n una
rotacción instan
ntánea
y estando
o solicitado
o por un conjunto
c
dee n fuerza
as ,
apliccadas en lo
os puntos . Se trata
a de obten
ner la ecua
ación del m
movimiento
o, así
como las reaccciones de 0 y 0´.
Para ello
o se calcularán pre
eviamente el mome
ento cinétiico áxico y la
enerrgía cinéticca de un só
ólido rígido
o en rotació
ón alrededor de un eeje fijo OZ.
Momento
o cinético respecto al eje
El momento cinético de un só
ólido rígido
o, respecto a un eje δ definido por
p el
vecto
d
por:
or unitario , viene dado
, ,
siend
do D el do
ominio en el
e que está
á definido el
e sólido. Puesto que
se puede escribir
,
,
o sea
,
,
Teniendo
o en cuentta que el p
producto mixto
m
es circularmennte conmuttativo
resu
ulta:
,
,
y desarrollando
o el doble producto vvectorial:
84 de donde
Recordando la relación de Lagrage que da la norma de un producto
vectorial y la definición del momento de inercia respecto a una recta, resulta
finalmente:
o sea,
Energía cinética
La energía cinética del sistema es:
1
2
y como
resulta
1
2
Desarrollando la norma del producto vectorial queda:
1
2
y puesto que
,
1
2
o sea,
1
2
1
2
85 y de aquí
1
2
Si tenemos en cuenta que
resulta finalmente:
1
2
Ecuación del movimiento
El teorema del momento cinético permite escribir:
Γ
siendo Γ el momento resultante de las fuerzas exteriores respecto a un punto
del eje fijo 00´ = 0Z.
Por tanto,
Teniendo en cuenta
que da el momento cinético queda:
, ,
o lo que es lo mismo:
Γ
Se observará que en esta expresión no aparecen las reacciones ´ en
0 y 0´, ya que por cortar al eje 0Z no producen momento.
Al mismo resultado puede llegarse a partir del teorema de la energía
cinética. En efecto,
1
2
y puesto que
queda
86 1
2
o sea
1
2
y como
resulta
1
2
, ,
de donde
1
2
, ,
y finalmente
, ,
o lo que es igual:
Γ
que es la misma expresión obtenida a partir del teorema del momento cinético.
En el caso en que no hubiese fuerzas exteriores o las que hubiera diesen
un momento resultante áxico, respecto a δ, nulo, resultará ω = cte.
Cálculo de las reacciones
Para calcular las reacciones supondremos que el eje δ(0Z) permanece fijo
porque lo están dos de sus puntos 0 y 0´. Sean ´ las reacciones en 0 y 0´,
respectivamente. Se puede, por tanto, prescindir de las ligaduras y considerar
el cuerpo rígido como libre bajo la acción del sistema de fuerzas aplicadas
y
de las reacciones ´.
Consideremos otro sistema de ejes 0xyz, móviles, ligados al sólido, de
modo que lo acompañan siempre en su movimiento y tales que 0z coincide en
todo instante con 0Z.
Aplicando el teorema del momento cinético se puede escribir:
87 Γ
00´
´
y en los ejes móviles:
Γ
00´
´
ó
Ahora bien, si
ya que
:
, de donde:
y de aquí:
y multiplicando escalarmente por , , respectivamente, resulta:
por lo que:
y
0
0
Con lo que el primer miembro de
ó
Γ
00´
´
queda:
88 ó
Por otro lado:
00´
´
0
´
´
0
´
´
´
Con lo que el segundo miembro de
Γ
ó
00´
´
puede escribirse como:
Γ
Teniendo
ecuación
00´
en
ó
´
´
Γ
cuenta
Γ
´
Γ
´
Γ
ó
00´
´
Γ
00´
´ equivale a las tres escalares:
Γ
´
Γ
´
Γ
´
y Γ
Γ ,la
Γ
La tercera coincide con la ecuación movimiento ya obtenida. Una vez
integrada, las dos primeras ecuaciones permiten calcular ´ ´ .
Aplicando a continuación el teorema del centro de masas quedará:
´
Recordando la expresión del vector aceleración de un punto se tiene:
0
0
es decir:
0
0
Desarrollando ambos productos vectoriales, queda:
89 0
0
0
y por otro lado
0
0
0
queda
0
0
o sea
0
Teniendo
en
0
cuenta
0
y
, se puede descomponer a continuación la ecuación vectorial
´ en las tres escalares:
´
´
´
0
Las dos primeras permiten calcular
Γ
´
´
Γ
;
una vez resueltas
Γ .
;
La
tercera
´
, pero para determinar cada una de éstas por
permite conocer la suma
separado hay que acudir, en general, al análisis de la deformación del eje de
rotación. Puede eliminarse la indeterminación, sin suprimir la condición de
indeformabilidad, disponiendo los apoyos 0 y 0´ de forma adecuada. Por
ejemplo, situando un cojinete radial en 0´ (que solo absorbe esfuerzos radiales)
y una quicionera en 0, destinada a absorber toda la componente
de las
fuerzas exteriores, resultaría:
´
0
En adelante se supondrá que el eje se ha fijado de acuerdo con esta
disposición y que, por tanto, las reacciones
mediante las ecuaciones:
Γ
´ y quedan determinadas
´
90 Γ
´
´
´
´
0
0
´
91 Pén
ndulo compues
sto
Recibe este
e
nomb
bre todo ssólido rígid
do móvil alrededor
a
de un eje
e fijo
horizzontal y so
ometido ún
nicamente a la acció
ón de la gravedad.
g
S
Sin pérdid
da de
gene
eralidad podemos
p
suponer
s
q
que el plano 0XY contiene al centro
o de
gravvedad.
Aplicando
o el teorem
ma del mom
mento ciné
ético respecto al eje 00Z resulta:
Γ
Como
Γ
Γ
se puede escribir:
Γ
es decir:
Γ
que desarrollada queda:
Γ
Sustituye
endo en
Γ resu
ulta:
sin
Como po
or otro lado
o,
, siendo
el radio de
d giro queeda:
sin
o sea
sin
0
que es la ecua
ación del movimiento
m
o del péndu
ulo compue
esto
92 Péndulo simple síncrono
Se llama así a un péndulo simple cuyo periodo de oscilación coincide con
el del péndulo compuesto
Recordemos que la ecuación diferencial del movimiento un péndulo
simple era:
sin
0
siendo l la longitud de dicho péndulo simple.
Comparando
sin
0 y
sin
0 resulta que para que el
péndulo simple sea síncrono se ha de verificar:
o lo que es igual:
Teorema de Huygens
Si a partir deleje 0Z, se traza una superficie cilíndrica CC´ de radio igual a
la longitud el péndulo simple síncrono, es decir, 00´ = l, dicha superficie divide
al péndulo en dos regiones: una formada por todos aquellos puntos del sólido
tales que su distancia, r, al eje 0Z es r < l (puntos interiores a CC´), que oscilan
más despacio que el péndulo simple síncrono (es decir, más lentamente que si
estuviesen libres), y otra, formada por los puntos tales que r > l, que oscilan
más deprisa que si estuviesen libres.
Los únicos puntos que oscilan como si estuviesen libres (péndulo simple
síncrono) son los que se encuentran sobre la superficie cilíndrica r = l
(superficie CC´).
Huygens llamó al eje 0Z, eje de suspensión, y al eje 0´Z´, paralelo a él y
que pasa por 0´, eje de oscilación. El plano que ambos ejes determinan
contiene al centro de masas G del sólido.
El teorema de Huygens establece que los periodos de oscilación
alrededor del eje 0Z y alrededor del eje 0´Z´son iguales.
En efecto, aplicando el teorema de Steiner para ejes paralelos, resulta:
93 siend
do M la masa total del
d péndulo
o, que en función
f
de los radioss de giro puede
escrribirse com
mo:
De
, sustitu
uyendo en
queda:
o sea:
y como ademá
ás
´
resu
ulta al sustituir en el primer
p
miem
mbro de
´
Cuando oscila alre
ededor de
e 0Z´ la lo
ongitud de
el nuevo ppéndulo simple
síncrono será l´ y se verificará:
´
´
´
Aplicando
o Steiner:
´
´
´
de d
donde resulta:
´
y como ademá
ás
´
´
´
queda:
´
´
Como am
mabas long
gitudes son
n iguales ambos
a
periodos tambbién lo son, con
lo qu
ueda dem
mostrado el teorema
a de Huyg
gens que puede en unciarse como
c
94 sigue: <<Si en un plano que pasa por el centro de masas del péndulo
compuesto se tienen dos ejes paralelos y horizontales, a distancias desiguales
del centro de masas, y para los cuales la longitud del péndulo simple síncrono
es la misma, se verifica que dicha longitud es igual a la distancia que separa
ambos ejes>>.
95 Dinámica del sólido con un punto fijo
El estudio del movimiento de un sólido rígido con un punto fijo fue
abordado por primera vez por D´Alembert a medados del siglo XVIII. Hasta
entonces sólo era conocida una de las dos ecuaciones vectoriales que rigen el
equilibrio de un sólido libre. Era la ecuación que expresa la nulidad de la
resultante del sistema de fuerzas que obra sobre el sólido rígido. La otra, que
establece la nulidad del momento resultante del sistema de fuerzas aplicadas
respecto al punto fijo, no se conocía. Sin embargo esta última es la única que
interviene cuando el sólido se mueve alrededor de un punto fijo, y fue
D´Alambert quien primero la introdujo obteniendo las ecuaciones del
movimiento a partir del famoso principio que lleva su nombre.
Rotaciones de Euler
Para estudiar el movimiento de un sólido rígido con un punto fijo,
introduciremos dos sistemas de coordenadas rectangulares, con origen común
en un punto fijo. Uno es un sistema de referencia inercial 0
, denominado
sistema fijo, y otro es el sistema de referencia 0xyz, ligado al sistema
indeformable, que llamaremos sistema móvil. La posición de este segundo
sistema respecto al primero se establece mediante los tres ángulos de Euler ψ,
θ y ϕ, quedando totalmente determinado el movimiento del sistema
indeformable una vez conocidas las tres funciones del tiempo:
,
,
El vector ,rotación instantánea a la que se encuentra sometido el sólido
rígido, tiene por componentes , respecto al sistema móvil,
siendo las tres rotaciones , sus componentes en el sistema formado por
la línea de nodos, el tercer eje fijo y el tercer eje móvil (sistema de Euler). Es
decir:
A continuación vamos a buscar las expresiones que dan los componentes
del vector respecto a los ejes móviles, en función de las rotaciones y ángulos
de Euler:
96 , Para ello
o proyecta
aremos
resu
ultando:
sob
bre 0x, 0y
y y 0z resspectivamente,
ccos
sin sin
sin
sin
s
cos
co
os
Si , son funciones con
nocidas de
el tiempo, estas fórm
mulas perm
miten
calcu
ular directa
amente:
,
,
Si, por ell contrario, lo que se
e conoce es
e
cos
obte
ener:
sin sin
n ,
sin
,
sin cos ,
, será ppreciso inte
egrar
cos
para
,
,
,
Generalm
mente se suelen
s
calccular
ecua
aciones de
e Euler, θ(t), ψ(t) y ϕ((t).
, y poor medio de las
Energía cinética
La energ
gía cinétic
ca de un sólido ríígido viene
e dada een un instante
dete
erminado, por:
p
1
2
siend
do dm la masa
m
de un elementto del sólid
do rígido co
ontinuo, quue se desp
plaza
con velocidad y D el vo
olumen ocu
upado por el sólido rígido.
En el ca
aso de un
n sistema indeforma
able con un punto fijo, al ser la
veloccidad de dicho
d
punto
o cero, pod
demos esc
cribir:
1
2
En donde
e es la rotación
r
insstantánea del sólido y el vecctor de pos
sición
resp
pecto al punto fijo de un elemen
nto del sisttema indefo
ormable dee masa dm
m
97 La expresión anterior puede escribirse también:
1
2
1
2
1
2
siendo
el momento de inercia respecto al eje instantáneo de rotación,
definido en cada instante por el vector unitario cuya dirección pasa siempre
por el punto fijo (se trata de un movimiento esférico).
Recordando la expresión del momento de inercia respecto a una recta
concurrente con otras tres perpendiculares entre sí, resulta:
1
2
2
2
1
2
2
cos cos
cos
cos
2
cos
cos
cos
cos cos
cos
2
2
cos cos
cos
cos
cos
de donde:
1
2
2
2
2
Expresión que se puede escribir en la forma matricial como sigue:
1
2
en donde la matriz
es la denominada matriz de inercia.
Puesto que la matriz de inercia [I] es simétrica por su propia definición,
podemos calcular sus vectores propios y adoptar las direcciones que
determinan como ejes de referencia. Dichos ejes son los denominados ejes
principales de inercia del sólido. Los valores propios de la matriz reciben el
nombre de momentos principales de inercia y les llamaremos , . De esta
forma se ha transformado la matriz [I] en una matriz diagonal. Esta operación
de diagonalizar la matriz equivale a efectuar un giro que haga coincidir los ejes
0xyz con los principales del sistema indeformable.
98 Si tomamos como ejes móviles los ejes principales de inercia del sistema
2
indeformable,
2
2
se reduce a:
1
2
Puesto que en esos ejes
0
Momento cinético
El momento cinético de un sólido rígido respecto a un punto fijo viene
dado en un instante determinado por:
siendo
la cantidad de movimiento de un elemento de masa dm del sólido
rígido continuo considerado, cuyo vector de posición respecto al punto fijo es ,
siendo D el volumen ocupado por el sólido.
Procediendo de modo análogo a como se hizo en el caso de la energía
cinética, se puede escribir:
y desarrollando el doble producto vectorial:
o sea:
en donde
representa el momento de inercia del sólido respecto al punto fijo.
Multiplicando
escalarmente por
y operando se
obtiene:
99 y finalmente:
Análogamente, multiplicando escalarmente
y por
por
se obtiene las expresiones:
Las relaciones anteriores pueden escribirse matricialmente como sigue:
En adelante supondremos que los ejes 0xyz son principales, y por tanto la
expresión anterior se reduce a:
100 Ecuaciones de Euler
Supongamos que el sólido con el punto 0 se encuentra sometido a la
1,2, … ,
acción de un sistema dado de fuerzas
. Sea
la reacción del
vínculo en 0 y Γ el momento resultante del sistema de fuerzas respecto a dicho
punto.
Para obtener las ecuaciones del movimiento aplicaremos el teorema del
momento cinético en el sistema de referencia fijo o inercial:
Γ
Recordando que:
ó
resulta en nuestro caso:
Γ
ó
Es decir:
Γ
Γ
Γ
expresión en la que las magnitudes están referidas al sistema móvil por lo que
ya no resulta necesario indicar que la derivación se hace en dicho sistema.
De la expresión anterior se deducen las siguientes:
Γ
Γ
Γ
y recordando que:
,
,
resulta:
101 Γ
Γ
Γ
de donde queda finalmente:
Γ
Γ
Γ
que son las denominadas ecuaciones de Euler.
Las seis ecuaciones diferenciales simultáneas de primer orden
determinan las seis incógnitas
, , , , , en función del tiempo, y, por
tanto, el movimiento del sólido rígido. Las seis integrales generales de este
sistema contendrán seis constantes que se determinan a partir de las
condiciones iniciales; es decir, por la posición inicial correspondiente a los
valores , de los tres ángulos de Euler y por la rotación instantánea
inicial correspondiente a los valores
,
de sus tres componentes.
La eliminación de
Γ;
,
entre las ecuaciones
Γ;
Γ;
cos
sin
sin cos ;
cos
conduce a un
sin sin ;
sistema de tres ecuaciones diferenciales de segundo orden que permiten
obtener , . En general será preciso considerar las seis ecuaciones puesto
que, salvo en casos muy particulares, Γ , Γ Γ dependen de la posición del
sólido, es decir, de , .
Hay que tener en cuenta que las ecuaciones
Γ;
Γ;
Γ se han obtenido en el
supuesto de que los ejes 0xyz sean solidarios con el sólido, por lo que la
coincide con la de arrastre de los ejes móviles y los
rotación instantánea
momentos y productos de inercia son invariantes con el tiempo. Si los ejes
móviles no estuviesen solidariamente unidos al cuerpo, los momentos y
productos de inercia serían, en general, funciones del tiempo, lo que implica
extraordinariamente la solución del problema. No obstante, cuando el sólido
gira alrededor de un eje de simetría, los momentos de inercia no varían con el
tiempo, ya que no dependen de la posición de los otros ejes, por lo que en este
caso puede resultar conveniente permitir que el sólido gire alrededor del eje de
simetría, si bien entonces la rotación de arrastre ya no coincide con la rotación
instantánea.
102 Cas
so
de
e
Euller-Poin
nsot.
Alguna
as
prropiedad
des
geo
ométricas del movimi
m
e un sóllido con
n un pu
unto
ento de
fijo
o. Teorema de Poinsot
P
t
En este caso
c
las fuerzas exte
eriores se reducen
r
a una resulttante única
a que
pasa
a por el pu
unto fijo. Fue
F resueltto por Eule
er y Jacob
bi mediantee el emple
eo de
funcciones elíp
pticas. Sin
n embarg o la solu
ución del problemaa se simp
plifica
nota
ablemente utilizando un proce
edimiento geométrico
o debido a Poinsott que
perm
mite obtene
er fácilmen
nte las prin cipales pro
opiedades del movim
miento.
Teorema
as de Poin
nsot
Sea un cuerpo
c
rígid
do, animad
do de un movimiento
m
o cualquierra alrededo
or de
un p
punto fijo 0. Considerremos el e
elipsoide de
e inercia del sólido reelativo al punto
p
0ya
adoptemoss como eje
es móviles 0xyz los ejjes del elip
psoide.
Recordan
ndo la definición dell elipsoide de inercia
a como luggar geomé
étrico
de lo
os puntos, P, cuya distancia a 0 es:
0
1
resu
ulta que:
1
0
siend
do
y P.
el mo
omento de
e inercia de
el sólido re
especto a la recta δ qque pasa por
p 0
La ecuacción cartesiana del el ipsoide será:
1
ya que se han adoptado como ejess de coord
denadas lo
os propios de simetríía del
elipssoide. Sus tres semie
ejes son:
1
,
1
,
1
103 y se ha supuesto
, con lo que a < b < c.
En lo que sigue supondremos que P ya no es un punto cualquiera del
elipsoide de inercia relativo a0, sino la intersección del eje instantáneo de
rotación con dicho elipsoide. Al punto P así definido se le llamará polo.
A continuación se demuestra tres teoremas, debidos a Poinsot, que
relacionan ciertas características geométricas del elipsoide de inercia con
magnitudes mecánicas tales como el momento cinético, energía cinética, etc.
TEOREMA 1.- La energía cinética del sólido rígido es:
1
20
TEOREMA 2.- El plano tangente al elipsoide de inercia en el polo es, en
cada instante, perpendicular al momento cinético del cuerpo respecto al punto
fijo.
TEOREMA 3.- La distancia del punto fijo 0 al plano tangente al elipsoide
de inercia en el polo es:
2
Estudio geométrico del movimiento
Elegiremos los ejes principales de inercia, x, y, z de forma que
El momento cinético
respecto al punto fijo y la energía cinética son
constantes. Esto resulta inmediato sin más que aplicar los teoremas del
momento cinético y de la energía cinética. En efecto:
0 y
0 Entonces, en virtud del teorema tercero de Poinsot, la distancia del punto
fijo al plano tangente, que vale:
2
104 es cconstante. Es decir, el plano tangente al elipsoid
de permannece fijo en
e el
espa
acio.
Se deducce, por tan
nto, que el elipsoide de inercia se muevee de forma
a que
perm
manece co
onstanteme
ente en co
ontacto con el plano
o inmóvil π y estand
do su
centtro 0, fijo.
Como el punto de contacto
c
d el elipsoide con el plano es el polo P, qu
ue es
la in
ntersección
n del eje instantáneo
o de rotac
ción con el
e elipsoidee, su veloc
cidad
será
á nula y el elipsoide
e
de
d inercia rrueda sin deslizar
d
sobre el planno.
Es decir, el punto P describe
e, respecto
o al sistem
ma móvil 00xyz, una curva
c
situa
ada sobre el elipsoide llamada polodia. El
E lugar geo
ométrico dde P respecto a
unoss ejes fijos es una cu
urva situada
a en el pla
ano, que se
e denominaa herpolod
dia.
nstantáneo
o de rotacción, , describe
d
dos conos de vértic
ce 0,
El eje in
llama
ados cono
o fijo y cono móvil. Y al pertene
ecer el pun
nto P a la recta δ, re
esulta
que la polodia
a está situa
ada sobre el cono móvil
m
y la herpolodia
h
a sobre el cono
fijo.
Se deducce, pues, que se pu
uede cons
siderar tam
mbién que el movimiento
n la rodadu
ura, sin desslizamiento
o, sobre el plano fijo de un con
no de
conssistente en
vértice 0 limita
ado por la polodia, de
e forma qu
ue el punto
o de contaacto describa la
herp
polodia.
Polodia
gar geomé
étrico de lo
os puntos
, ,
del elips
soide
La polodiia es el lug
en lo
os que el plano
p
tange
ente π está
á a una dis
stancia con
nstante d ddel origen 0.
0
La ecuacción del pla
ano tangen
nte es:
1
que en la forma normal es:
e
105 1
0
La distancia desde el origen 0(0,0,0) a este plano es:
1
de donde:
1
ecuación que, junto con la del elipsoide:
1
por ser
, , punto del elipsoide, definen la polodia que será, por tanto,
una curva algebraica de cuarto orden.
1 por
Multiplicando
, y restando de
la relación así obtenida, queda:
1
1
1
0
que es la ecuación de una superficie reglada que representa un cono de vértice
0 y cuya directriz es la polodia. Es decir, es el cono proyectante de la polodia
que es el denominado cono móvil. Por tanto la polodia puede considerarse
como la intersección del cono móvil de
0 con el elipsoide. La distancia d ha de ser necesariamente
igual o mayor que el semieje menor del elipsoide e igual o menor que el
semieje mayor del elipsoide para que el cono móvil sea real.
A continuación examinaremos los diversos casos posibles, según los
distintos valores de d. para facilitar la discusión usaremos la siguiente notación:
1
1
1
1
1
1
106 de modo que la ecuación del cono móvil queda:
0
Pueden presentarse los casos siguientes:
1. d = a < b < c
2. a < d < b < c
3. a < d = b < c
4. a < b < d < c
5. a < b < c = d
1. d = a
En este caso:
1
1
por lo que A = 0, siendo B < 0 y C < 0, y la ecuación del cono se reduce a:
| |
| |
0
0, para cualquier
que solamente se satisface si
.
El cono móvil se reduce al eje x y la polodia a los dos puntos de
intersección del eje x con el elipsoide (extremos del eje menor).
2. a < d < b < c
En este caso:
1
1
por lo que:
1
0
siendo B < 0 y C < 0; la ecuación del cono se reduce a:
| |
| |
0
Si se corta por
se obtiene una elipse.
Si se corta por
se obtiene una hipérbola de eje Z.
Si se corta por
se obtiene una hipérbola de eje Y.
107 Luego se
e tiene un cono
c
elípticco de eje 0X
0
La polod
dia, interse
ección de este cono
o con el elipsoide,
e
cconsta de
e dos
rama
as cerrada
as, netamente alabea
adas.
3. a < d = b < c
Ahora sig
guen siend
do A > 0 y C < 0, pero
o:
1
1
por llo que:
1
0
la eccuación de
el cono se reduce
r
a:
| |
0
√
√
que se puede poner com
mo:
√
√
0
que equivale a dos planos que co
ontienen al eje 0Y y que cortarrán al elips
soide
en d
dos líneas simétricas
s
respecto a
al plano YZ
Z.
La polodiia degenerra en dos elipses, interseccion
nes de ambbos planos
s con
el elipsoide, qu
ue se corta
an en dos p
puntos situ
uados en lo
os extremoos del eje Y
4. a < b < d < c
En este caso:
c
0
0,
0 0
108 La ecuacción del con
no será:
| |
0
Cortando
o por
se obtien
ne una elip
pse.
Cortando
o por
se obtien
ne una hipérbola de eje Z.
Cortando
o por
se obtien
ne una hipérbola de eje Y.
Queda po
or tanto un
n cono elíp tico de eje
e 0Z.
De nuevo la polod
dia está fo
ormada po
or dos ram
mas de cuurva alabe
eada,
resu
ultando, de la intersec
cción del ccono elíptic
co de eje 0Z
0 con el e lipsoide.
5. a < b < c = d
En este caso:
c
0
0,
0 0
La ecuacción del con
no se convvierte en:
0
que solamente
e se satisfa
ace si
0, pa
ara cualquier
.
El cono móvil se reduce all eje 0Z y la polodia a los ddos punto
os de
el eje 0Z co
on el elipso
oide (extre
emos del eje
e mayor).
interrsección de
Finalmen
nte, considerando glo
obalmente
e los cinco apartadoss anteriore
es se
obtie
ene la figurra
,
´
Puede observarse
o
e que cad
da rama de polodia tiene ccuatro vérrtices
´
, , , pa
ara los cua
ales la dista
ancia 0P es máximo o mínimo.
Herpolod
dia
109 Sea ρ la distancia desde
d
el p
pie de la pe
erpendicular trazadaa por 0 al plano
p
hastta el punto P, es deciir, la distan
ncia QP.
Se tiene:
0
Durante el movimie
ento, d ess constante
e y 0
varría entre loos dos va
alores
extre
emos 0
0 ´ y 0
0 ´ , corresp
pondientes a los ccuatro vérrtices
´
´
, , , de la rama de
d polodia descrita por P. la dis
stancia ρ vvariará tam
mbién
entre
e los valore
es extremo
os .
La herp
polodia es
stará por tanto comprendid
c
da entre
conccéntricos de
d radios a loss que toca sucesivam
mente en
Los arco
os de polo
odia
,
´
,
´ ´
,
´
dos círc
culos
´
, , , ´.
, son iguales, ppor lo que
e los
´
´
ángu
ulos en el centro
,
, ´
e
tambié
én serán iiguales, pu
uesto
, etc.,
que cada uno
o de ellos correspon
nde a uno de los arrcos. Si a este valo
or del
ángu
ulo se le lla
ama ϕ, tendremos qu
ue:
a) Si
e un número racion al, la herpo
es
olodia es cerrada.
c
b) Si
e irracional, la herpo
es
olodia no se
s cierra.
Puede de
emostrarse
e que la h
herpolodia no tiene puntos
p
de inflexión y que
pressentan siem
mpre su co
oncavidad hacia el centro Q de
d los círcculos de ra
adios
.
Casos pa
articulares
s
A continu
uación se discutirán
n dos cas
sos de esp
pecial inteerés cuand
do el
elipssoide es de
e revolució
ón y cuando
o se trasfo
orma en un
na esfera.
a) Elipsoiide de revo
olución de eje 0Z
110 en este caso
. La polodia se convvierte en una
circu
unferencia y lo mismo
o acontece
e con la he
erpolodia.
miento es una
u precessión regula
ar, ya que los conos ffijo y móvil son
El movim
de re
evolución.
El elipsoiide es alarrgado en e
el caso de la precesiión progreesiva
es aplanado en el de la precesión
p
rretrógrada
a
.
y
b) Caso en
e que el elipsoide
e
e s una esfe
era.
Entoncess
. La polo
odia y la herpolodia
h
se reduceen a un punto y
el movimiento resulta ser una rotacción alrede
edor de un eje fijo.
111 Percusiones aplicadas a un punto material. Cálculo de
las reacciones
Un sistema material sufre una percusión, cuando sus elementos cambian
de velocidad en un tiempo extremadamente corto sin cambiar sensiblemente
de posición.
Se puede aplicar los teoremas generales de la Dinámica, suponiendo
estos fenómenos producidos por fuerzas muy grandes actuando durante un
tiempo muy corto.
Definición de percusión
Supongamos que sobre una partícula de masa m que se mueve con una
velocidad
actúa una fuerza
durante un intervalo de tiempo elemental dt.
Llamaremos impulso elemental al vector
, y se verifica que:
Análogamente llamaremos impulso finito en un intervalo de tiempo
,
a:
verificándose que:
Definimos el vector percusión, a veces llamado vector impulsión, mediante
la expresión:
lim
→
Debe verificarse que cuando
→0
→ 0
Siendo α una constante distinta de 0. Es decir, que la fuerza que actúa
durante un intervalo de tiempo arbitrariamente pequeño τ será una fuerza
arbitrariamente grande pero del orden de .
112 Resulta fundament
f
al admitir que el cam
mbio de ve
elocidad ess instantán
neo y
que no se produce alteración en la
a posición. El punto va a seguuir en la misma
m
posicción despu
ués de suffrir la perccusión, perro se va a mover de forma dis
stinta.
Por tanto el prroblema a resolver e
en Teoría de
d Percusiones conssiste en ca
alcula
para obtener informa
ación del m
movimiento
o a partir del
d instantee posteriorr a la
∆ p
perccusión.
En la figu
ura puede verse, en un diagrama s-t, el símil más simple de
e una
perccusión real. En nuesttro modelo
o matemáttico admitirremos, sinn embargo, que
la va
ariación de
e velocidad
d es instanttánea.
En resum
men, durante una perrcusión:
a) Se pu
ueden des
spreciar to
odas las fu
uerzas que
e no seann percusion
nales
(por ejemplo
e
el peso
p
o las fuerzas de
e rozamien
nto).
b) Se pueden
p
despreciar
d
los des
splazamien
ntos de las partíc
culas
impliccadas, supo
oniendo qu
ue el sistema permanece inmóóvil durante
e ese
tiempo
o y que só
ólo varían la
as velocida
ades.
Teorema
a de la can
ntidad de m
movimien
nto
Del teore
ema de la cantidad
c
de
e movimien
nto para un punto maaterial resu
ulta:
lim
l
lim
→
0
→
y podemos esccribir:
∆
siend
do:
∆
lim
→
límite
e que es distinto
d
de 0
Es decir, la variació
ón de la ccantidad de
e movimiento de un punto ma
aterial
dura
ante un inte
ervalo es ig
gual a la p ercusión aplicada
a
en
n ese intervvalo.
Si sobre el punto material
m
acttúan varias
s percusion
nes simultááneamente
e:
⋯
113 integrando entre
,
:
⋯
de donde:
⋯
Es decir:
∆
que se puede enunciar diciendo que la variación de la cantidad de movimiento
de un punto material es igual a la resultante de todas las percusiones que
actúan sobre él.
∑
Si ∆
unitario , quedará:
se proyecta sobre un eje δ, definido por un vector
∆
Y al ser
∆
que puede enunciarse diciendo que la variación de la proyección de la cantidad
de movimiento de un punto sobre un eje δ es igual a la suma de las
proyecciones sobre dicho eje de todas las percusiones que actúan sobe él.
Teorema del momento cinético
∑
tomamos momentos respecto a un punto fijo 0 (es
Si ∆
decir, multiplicamos vectorialmente a la izquierda por ) queda:
∆
es decir:
∆
114 ya que ∆
0, o lo que es lo mismo:
∆
es el momento cinético de la partícula respecto al punto 0 y
en donde
∑
es la resultante de las percusiones aplicadas al punto material.
Se puede por tanto enunciar diciendo que la variación del momento
cinético de un punto material es igual al momento resultante de las percusiones
que actúen sobre él.
115 Choques. Estudio general de la pérdida de energía
cinética en el choque. Teorema de Carnot
Sea un conjunto de N masas aisladas sometidas exclusivamente a las
percusiones producidas por sus propios choques; es decir, sometidos
únicamente a percusiones interiores ya que el sistema está aislado.
Para que una masa cualquiera , cuyas velocidades antes y después del
, respectivamente, se verifica:
choque son
∆
siendo
la resultante de las percusiones exteriores.
Es decir:
∆
lim
∆ →
y aplicando el teorema del valor medio a la integral del segundo miembro
queda:
∗
en donde
∗
es el valor medio de
∆
,
en el intervalo
Multiplicando escalarmente ambos miembros por
∗
∆ .
:
∆
y puesto que
lim
∆ →
∆
∆
resultará:
∗
∆
Sumando para todas las masas del sistema queda:
0
ya que la suma de los trabajos de todas las fuerzas de percusión es nula por
tratarse de un sistema aislado
116 La expresión anterior puede escribirse de la forma:
1
2
2
0
o sea:
1
2
2
Sumando y restando
1
2
2
2
0
dentro del corchete, quedará:
2
0
es decir:
1
2
2
0
o sea:
1
2
2
0
de donde:
1
2
0
Llamado al vector
, <<velocidad perdida>> por la masa iésima, y cambiando de signo queda finalmente:
1
2
1
2
1
2
que es la expresión del teorema de Carnot que puede enunciarse como sigue:
<<La pérdida total de energía cinética de todas las masas del sistema es igual
a la suma de las energías cinéticas de todas ellas si cada una estuviese
animada de la velocidad que ha perdido>>.
En el caso de sólidos, se denomina choque al encuentro brusco de dos
cuerpos animados de una cierta velocidad relativa. El choque se denomina
directo cuando los sólidos no giran y su velocidad relativa va dirigida según la
línea que una sus c.d.m. En los sólidos naturales pueden presentarse tres
117 casos que se denominan: choque inelástico (cuando los dos cuerpos quedan
unidos después del choque), choque elástico (cuando después del choque
desaparecen las deformaciones elásticas y los cuerpos recuperan la forman
que tenían antes del choque) y choque imperfectamente elástico en el que la
diferencia de velocidades de los cuerpos después del choque es una fracción
de la que tendría si fuesen perfectamente elásticos. Esta situación se
representa mediante el denominado coeficiente de restitución:
,
,
son las velocidades de los cuerpos A y B antes y
en donde
después del choque, respectivamente.
Este coeficiente será igual a cero en el caso del choque inelástico e igual
a la unidad en el choque perfectamente elástico. En el caso de choques
imperfectamente elásticos 0 < k < 1.
118 Formulación Lagrangiana. Ecuaciones de Lagrange
En la formulación Lagrangiana las ecuaciones del movimiento se obtienen
en términos de magnitudes escalares en un espacio de configuración, a
diferencia de la formulación newtoniana en la que aparecen magnitudes
vectoriales. De hecho, originalmente la formulación Lagrangiana surgió de la
necesidad de eliminar las fuerzas de ligadura de las ecuaciones de movimiento.
Ecuaciones de Lagrange para sistemas holónomos y vínculos lisos
Sea un sistema constituido por N puntos materiales que posee h vínculos
de n = 3N –
holónomos lisos. Supongamos que se ha elegido un conjunto
h coordenadas generalizadas, y que
,
derivando respecto al tiempo se obtiene la velocidad del punto:
y derivando la anterior respecto a
y también respecto a
(velocidad generalizada):
:
Por otra parte, puesto que
también depende de las
, se tiene:
por tanto, en virtud del teorema de Schwartz, comparando las dos últimas
expresiones:
Recordando el principio de D´Alembert, según el cual:
119 tenemos
en el primer sumando y
Sustituyendo
en
el segundo
1
2
1
2
1
2
1
2
es decir:
sistema de n ecuaciones diferenciales, llamadas ecuaciones de Lagrange, que
constituye las n ecuaciones del movimiento del sistema, en donde
∑
es la energía cinética del sistema.
Nótese que la forma de las ecuaciones no depende de la referencia
escogida ni de la existencia de vínculos móviles, pues la posible influencia de
estos factores va incluida en las ecuaciones que definen la posición del sistema
en función del conjunto de coordenadas generalizadas escogido. Sin embargo
T está medida en un sistema inercial.
Sistemas conservativos: Lagrangiana del sistema
Decimos que un sistema es conservativo, cuando existe una función
1
tal que
o en la notación más compacta:
120 esto es, cuando las fuerzas que actúan sobre el sistema derivan de un
potencial escalar.
Si el sistema en cuestión es holónomo, evidentemente será
,
En el caso particular en que se verifique
se tiene
y utilizando la notación compacta:
por tanto las ecuaciones de Lagrange podrán escribirse
o bien
0
y como U no depende explícitamente de
será
0
luego
0
de donde, haciendo
se obtiene
121 0
La función
se denomina Lagrangiana del sistema.
Observemos que, en este caso, se verifica
luego
0
o bien
y hay conservación de la energía mecánica
En el caso general en que
,
si las fuerzas son conservativas también, se tendrá
,
luego, al ser
será
,
y se seguirá verificando las ecuaciones de Lagrange
0, pero, a
pesar de seguir siendo L = T – U, no habrá conservación de la energía.
Finalmente, en el caso de que la fuerza sobre el punto i-ésimo sea la
resultante de una fuerza conservativa y otra que no lo sea, las ecuaciones de
Lagrange se escribirán en la forma
´
122 donde ´ caracteriza a las fuerzas que no derivan de potencial y en L se
engloba la energía potencial de las restantes.
Cálculo de las reacciones de ligadura
Consideremos el caso de vínculos lisos. El procedimiento a seguir para
determinan las fuerzas de ligadura es el siguiente:
a) Resolución de las ecuaciones de Lagrange, correspondientes al grupo
de coordenadas independientes seleccionadas, a fin de encontrar la
posición del sistema en el tiempo.
b) Eliminación de los vínculos e introducción de las adecuadas fuerzas
de ligaduras. Formulación de las ecuaciones de Lagrange para el
nuevo grupo de coordenadas independientes.
c) Introducción en el grupo de ecuaciones de Lagrange obtenidas en el
apartado anterior, de las condiciones de ligadura y de las ecuaciones
del movimiento, despejando los valores correspondientes a las fuerzas
generalizadas de reacción.
123 Vib
bracione
es en siistemas
s con un
n grado
o de libe
ertad
Los sistemas con
n un sol o grado de liberttad son aaquellos cuya
conffiguración puede definirse med
diante una única coo
ordenada. E
Estos siste
emas
consstituyen una buena
a introduccción para
a el análisis de laas vibraciones
meccánicas y, con
c frecuencia, pued
den utilizarse como una
u primeraa aproxima
ación
de u
una estrucctura real. Asimismo
o su análisis ayuda a compreender mejor el
comportamiento de siste
emas más complejos
s con un mayor
m
núm
mero de grrados
de libertad.
Vibraciones libres
s
Comenza
aremos po
or el caso
o más se
encillos de
e un sisteema mecá
ánico
sa m suje
eta a un re
esorte elás
stico de cconstante k.
k La
consstituido por una mas
posicción de la
a masa m puede con
nocerse en todo instante meddiante una sola
coorrdenada x. No existe
e ninguna ffuerza exte
erior que actúe
a
sobree el sistem
ma no
resisstencias pa
asivas de ningún tipo
o que pud
dieran prod
ducir amort
rtiguamientto. El
movvimiento de
e un sistem
ma de estass caracteríísticas se conoce
c
conn el nombrre de
vibra
ación libre..
Si
es la posición
n de equilib
brio del resorte, la fu
uerza ejerccida cuand
do se
sepa
ara de esta
a posición una distan
ncia x, será
á:
y aplicando la ecuación fundament
f
tal de la din
námica:
se tie
ene
o sea
0
que es la ecua
ación diferrencial del movimiento. Esta ec
cuación ess una ecua
ación
diferrencial line
eal homogénea de ssegundo orden
o
con coeficienttes consta
antes.
Para
a obtener la
a solución se forma lla ecuación característica
124 0
cuyas raíces son
por lo que la solución es de la forma
y haciendo
se puede escribir como
Recordando la relación de Euler
cos
sin
resulta
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
cos
o sea
sin
cos
y las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales del
movimiento.
Haciendo
cos
sin
siendo C y ϕ dos nuevas constantes arbitrarias, la expresión anterior se puede
escribir también de la forma
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
125 o sea
sin
en d
donde
tan
do C la amplitud
a
del
d movim
miento y el
e ángulo ϕ el ánguulo de fas
se o,
siend
simp
plemente, la
l fase del movimien to.
Las consstantes A y B o C y ϕ se puede
en determinar fácilmeente a parttir de
las ccondicione
es iniciales del movim
miento que
e, en gene
eral, serán la velocid
dad y
posicción de la masa en el
e instante inicial t = 0.
0 Es decir:
0; 0
;
siin
Sustituye
endo en la
a ecuació n
resp
pecto al tiem
mpo, se tie
ene:
y ttan
√
y susstituyendo
o en
0
cos
y een su derivada
resulta:
r
ttan
El movim
miento de
escrito porr las ecu
uaciones
sin
cos
y
sin
se de
enomina a
armónico y su repre
esentación gráfica puede
verse en la figura. El mo
ovimiento sse repite cada
c
ciclo verificándo
v
ose ωt = 2π
π. Se
omina periodo, T, al tiempo
t
em
mpleado en completarr un ciclo y será:
deno
2
126 La inverssa del perio
odo se den
nomina fre
ecuencia y representaa el númerro de
ciclo
os por unidad de tiem
mpo:
2
o bie
en
2
deno
ominándosse a ω frec
cuencia an gular y se mide en radianes poor segundo
o. En
un ssistema co
omo el de
escrito la frecuencia
a ω (o la f) recibe el nombre de
frecu
uencia natu
ural del sis
stema.
Finalmen
nte, el ángulo de fas e indica cu
uando se ha desplazzado cada
a una
de la
as curvas que repres
sentan el d
desplazam
miento, la velocidad o la acelera
ación
a lo largo del eje
e horizontal, es deccir:
0
Vibraciones amorttiguadas
En una vibración ideal, n
no amortig
guada, el movimie nto oscila
atorio
perm
manecería indefinida
amente. L
La experie
encia dem
muestra, qque todas
s las
vibra
aciones rea
ales acaba
an por dessaparecer al
a cabo de un tiempoo. Esto se debe
a la
a presencia de fuerzas disip
pativas, de
e tipo visc
coso, quee producen
n un
amo
ortiguamien
nto de la
l
vibrac ión. Las fuerzas viscosass suelen ser
prop
porcionaless a algun
na potenciia de la velocidad y es baastante co
omún
supo
onerlas pro
oporcionale
es a la pri mera pote
encia de la velocidadd ya que así se
repre
esenta con bastante
e exactitud
d el compo
ortamiento
o de un am
mortiguado
or de
aceitte.
evamente el sistem
ma de un solo graddo de libe
ertad
Considerremos nue
consstituido porr una masa m y un rresorte elá
ástico de constante
c
kk, al que se
s ha
añad
dido un am
mortiguado
or cuya co
onstante de
e amortigu
uamiento ees c. La fu
uerza
amo
ortiguadora
a será:
y la ffuerza tota
al que actúa sobre la masa será
á:
127 por lo que la ecuación diferencial del movimiento es
0
o sea
0
que es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden. Para hallar la
solución se forma la ecuación característica
0
cuyas raíces son
4
,
2
2
2
2
por lo que la solución general de la ecuación diferencial es
siendo dos constantes de integración que se determinan a partir de las
condiciones iniciales del movimiento. Las raíces de la ecuación característica
pueden escribirse de modo que los parámetros sean más fáciles de medir, en
la forma
en donde ω es la frecuencia angular natural del sistema y α el factor de
amortiguamiento. El amortiguamiento crítico, , es el que hace que se anule el
discriminante en
, es decir:
0
2
de donde
2√
2
128 y entonces
2
y
2√
puede escribirse en la forma
con lo que
1
,
lo que expresa que el comportamiento del sistema depende exclusivamente de
los dos parámetros α y ω. La forma de la solución de la ecuación diferencial del
movimiento depende de los valores de α. Pueden presentarse tres casos:
PRIMER CASO: α < 1
En este caso la constante de amortiguamiento es menor que el
amortiguamiento crítico:
Y
1
La ecuación
queda de la forma
,
1
,
y la solución general de la ecuación deferencial del movimiento será
√
√
que se puede escribir en la forma
sin
1
sin
de donde
1
es la frecuencia angular del sistema amortiguado.
129 La solución consta de dos facctores: el primero de
ecrece expponencialm
mente
y el segundo es una función
f
se
enoidal. La
a combinación de aambos factores
porciona una vibració
ón senoid al amortig
guada. Se dice que el movimiento
prop
está subamorttiguado.
El valor del
d factor de
d amortig
guamiento, α, puede determinaarse a partir del
decrremento lo
ogarítmico, δ, que se
e define co
omo el loga
aritmo del cociente entre
e
dos máximos sucesivos
s
del movim
miento. O se
ea:
y que aproxima
adamente,, puede po
onerse en la
l forma:
ln
ya q
que los puntos de
e contacto
o con la curva exponenciaal no coin
ncide
exacctamente con
c los máximos de l a función x = x(t).
Desarrollando esta última exp
presión dell decremen
nto logarítm
mico, resulta
ln
ln
ln
n
siend
do
el pe
eriodo de la vibración
n amortiguada. Reco
ordando quue la frecue
encia
de la
a vibración
n amortigua
ada es
1
resu
ulta finalme
ente
2
2
2
√1
√1
que permite calcular
c
fácilmente e
el factor de
d amortig
guamiento del sistem
ma a
partiir del decre
emento log
garítmico.
SEGUNC
CO CASO: α = 1
En este
e caso la
amo
ortiguamien
nto crítico
consttante
de
amortigu
uamiento
es
igua
al
al
130 y
1
La ecuacción caracte
erística tie ne una raííz doble
,
y la ssolución de la ecuac
ción diferen
ncial del movimiento es
La respue
esta es ap
periódica y el movimiento se diice que esstá críticam
mente
amo
ortiguado.
TERCER
R CASO: α > 1
En este caso la constantte de am
mortiguamie
ento es m
mayor qu
ue el
amo
ortiguamien
nto crítico:
y
1
La ecuacción
queda en la
a forma
,
1
,
es son reale
es.
y lass dos raíce
La solución de la ecuación
e
d
diferencial del movim
miento es laa suma de
e dos
curvvas expone
enciales de
ecrecientess:
√
√
En este caso
c
no ha
ay vibració n y el mov
vimiento co
onsiste en una vuelta
a a la
posicción de equilibrio
o sin re
ebasarla. El mov
vimiento se deno
omina
sobrreamortigu
uado. Cuan
ndo más grande se
ea el amo
ortiguamiennto, más lenta
será
á la vuelta
a a la pos
sición de equilibrio.. Teóricam
mente dichha posición es
asinttótica por lo que no se alcanzzaría nunc
ca. En la práctica
p
see alcanza tanto
131 más rápidamente cuanto menor es el amortiguamiento, hasta alcanzar el
amortiguamiento crítico.
Vibraciones forzadas
En este caso actúa una fuerza exterior excitadora, función del tiempo, F(t)
y la ecuación diferencial del movimiento es análoga a la del caso anterior sin
más que añadir esta nueva fuerza. Es decir:
La solución general de esta ecuación diferencial lineal con segundo
término se obtiene sumando a la solución de la ecuación homogénea (sin
segundo término) una solución particular de la completa. El problema consiste
en obtener una solución particular de la ecuación con segundo término.
En general, en las aplicaciones, sólo interesa el movimiento estacionario o
en régimen permanente, una vez que el movimiento transitorio inicial es ya
despreciable.
Consideremos el caso en que la fuerza excitadora que actúa sobre el
sistema es armónica, o sea
sin Ω
en donde F es la amplitud de la fuerza excitadora y Ω es la frecuencia angular
forzada, siendo ω la frecuencia angular natural del sistema.
La ecuación
se convierte en
sin Ω
Para obtener una solución particular de la completa se ensaya una
solución del tipo
sin Ω
en donde X es la amplitud del movimiento en régimen permanente y φ el
ángulo de fase.
sin Ω los valores de x y sus derivadas
Sustituyendo en
primera y segunda:
sin Ω
;
Ω cos Ω
Ω sin Ω
;
resulta
Ω sin Ω
Ω cos Ω
sin Ω
sin Ω
o sea
132 Ω
sin Ω
Ω cos Ω
sin Ω
desarrollando los términos en seno y coseno queda:
Ω cos
Ω sin
sin Ω
Ω cos Ω
Ω
cos
Ω sin
sin Ω
y puesto que esta última ecuación debe verificarse en todo instante,
identificando, se tiene:
Ω cos
sin
Ω
Ω
cos
0
Ω sin
De estas dos ecuaciones se pueden obtener los valores de la amplitud X
y el ángulo de fase φ. En efecto, de la primera ecuación resulta
Ω
tan
Ω
que da el ángulo de fase y de esta última
sin
Ω
Sustituyendo este valor en
Ω
Ω cos
Ω
cos
Ω
cos
Ω sin
Ω cos
Ω
o sea
Ω
cos
Ω
Ω
de donde
Ω
cos
Y se elimina el cos
Ω
Ω
teniendo en cuenta que
1
y sustituyendo el valor del seno de sin
1
, antes obtenido:
1
Ω
Ω
de donde
133 Ω
Ω
1
1
o sea
1
cos
Ω
Ω
1
y finalmente
Ω
Ω
Ω
1
Ω
Ω
Ω
Ω
Recordando que
2√
la amplitud X se puede poner en la forma
⁄
1
o bien, haciendo
Ω
4
Ω
1
2
Ω
:
Ω
1
Llamando
Ω
2
Ω
a la relación de frecuencias, la amplitud puede escribirse
como:
2
1
0. Es decir:
Esta amplitud, X, tendrá un máximo cuando
1
2
0
o sea:
134 1
1
2
2
2 1
2
8
0
o bien
1
2 1
2
2
8
0
de donde
1
á
2
y por tanto
Ω
1
á
2
El correspondiente valor de la amplitud de resonancia se obtiene sin más
que sustituir
á
en
:
1
1
2
4
1
2 √1
2
2
Para este máximo la tangente del ángulo de fase es
tan
Ω
2
Ω
Ω
1
2
Ω
√1 2
1 2
1
2 √1
2
2
√1
2
Finalmente cuando
Ω
1
la tangente del ángulo de fase
tan
2
Ω
Ω
1
Ω
Ω
2
1
1
→∞
se hace infinita, y se dice que hay resonancia de fase.
En la figura pueden verse las curvas ⁄
y las del ángulo de fase, φ, en
función de , para diversos valores del factor de amortiguamiento.
135 136 Vibraciones libres en sistemas con dos grados de
libertad
Aunque los sistemas de dos grados de libertad pueden considerarse
comprendidos en el caso general de los sistemas con n grados de libertad, se
suelen tratar separadamente ya que al quedar determinada su configuración
mediante sólo dos variables es posible encontrar soluciones analíticas que
permiten una comprensión más sencilla de su comportamiento.
En el caso de vibraciones libres con dos grados de libertad sin
amortiguamiento, aplicaremos la teoría de las pequeñas vibraciones.
Supongamos que se tiene un sistema constituido por dos masas, enlazadas
entre sí mediante resortes, que se mueven según una línea recta. El sistema es
holónomo, conservativo y con enlaces esclerónomos. Llamaremos a las
coordenadas generalizadas que definen la configuración del sistema.
Las expresiones de la energía cinética reducida y la energía potencial
son:
1
2
1
2
1
2
y análogamente
1
2
1
2
1
2
por lo que la Lagrangiana del sistema es
1
2
1
2
1
2
1
2
y de aquí
y
Las ecuaciones del movimiento serán
0
137 0
que en forma matricial se puede expresar como
0
Este sistema de ecuaciones diferenciales puede simplificarse suponiendo
que la matriz
tiene forma diagonal, ya que la masa de las partículas del
sistema no depende de la orientación de los ejes coordenados, por lo que los
desaparecen y queda el siguiente sistema de ecuaciones
coeficientes
diferenciales del movimiento
0
0
Este sistema se puede escribir del siguiente modo
Para resolverlo vamos a ensayar soluciones de la forma
sin
sin
que, como se sabe, son soluciones de las ecuaciones diferenciales
Sustituyendo en el sistema de ecuaciones diferenciales
;
queda
0
0
Para que este sistema de ecuaciones tenga solución, distinta de la trivial
nula, es preciso que se anule el determinante de los coeficientes, o sea
138 0
Esta es una ecuación cuadrática ω que una vez resuelta proporciona los
valores que corresponden a los dos modos principales de vibración del
sistema. La relación entre las coordenadas se obtiene a partir del sistema de
ecuaciones
0;
0
MODO1:
MODO2:
Se puede observar que el cociente de las coordenadas para grado de
libertad permanece fijo e igual al cociente entre las amplitudes
La solución general del sistema
;
se obtiene como una combinación lineal de dos soluciones
independientes del sistema, es decir, de los dos modos antes citados. O sea:
sin
sin
sin
sin
, , , , se determinan a partir de las
Las constantes
condiciones iniciales de posición y velocidad de cada coordenada, e
imponiendo que se satisfagan ambas ecuaciones diferenciales del movimiento.
139