MATEMÁTICAS Matemáticas-matrices. Ingeniería.

Matemáticas-matrices.
MATEMÁTICAS
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Matemáticas-matrices.
MATEMÁTICAS ........................................................................................................... 3
1. Matrices. .............................................................................................................. 3
1.1. Definición. .................................................................................................... 3
1.2. Matrices iguales............................................................................................ 3
1.3.
Tipos de matrices.......................................................................................... 4
1.4. Operaciones con matrices:............................................................................ 5
1.5.
Ejercicios. ..................................................................................................... 7
1.6.
Preguntas de teoría. ...................................................................................... 8
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1. Matrices.
1.1. Definición.
Matrices son por ejemplo las siguientes:
⎛ 2 4 3⎞
⎜
⎟
⎜6 8 1 ⎟
⎜3 4 2⎟
⎝
⎠
(2
1 5)
De la primera matriz forman la 1ª fila los números 2 4 3, la 2ª fila la forman los
números 6 8 1, la tercera fila los números 3 4 2. La primera columna la forman los
números 2 6 3, la segunda columna la forman los números 4 8 4, la tercera columna la
forman los números 3 1 2. Por lo tanto la primera matriz tiene tres filas y tres columnas
mientras que la segunda matriz tiene una fila y tres columnas.
Cada elemento en las matrices se indica de la siguiente manera aij siendo i la fila
en la que esta el número y j la columna, de esta forma en la primera matriz el elemento
a23 es el número que esta en la segunda fila y tercera columna entonces se corresponde
con el 1.
La dimensión de una matriz son el número de filas y columnas que tiene, y se
designa por m x n siendo m el número de filas y n el número de columnas.
¿Qué representa una matriz? ¿Qué representa los números en una matriz?
Pues son elementos ordenados por ejemplo las filas son los alumnos y las
columnas son las notas en cada asignatura así la nota del tercer alumno en la segunda
asignatura según la primera matriz sería de un cuatro. Por cierto que nota más bajas
tienen espero que estos apuntes le ayuden a subir las notas jeje.
1.2. Matrices iguales.
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En vista de la definición de matriz que se ha dado en el apartado 1.1 para que
dos matrices sean iguales tienen que tener la misma dimensión y los elementos que
ocupen el mismo lugar sean iguales.
1.3. Tipos de matrices.
-Matriz fila: Es aquella que sólo tiene una fila.
-Matriz columna: Es aquella que sólo tiene una columna.
-Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de
columnas. En este caso en lugar de decir que es de dimensión m x n, decimos que es de
orden n. La primera matriz del apartado 1.1 es una matriz cuadrada de orden 3. La
Diagonal principal esta formada por los elementos 2 8 2 y la Diagonal secundaria
esta formada por los elementos 3 8 3.
-Matriz traspuesta: La matriz traspuesta de una dada se obtiene cambiando las
filas por las columnas, si tenemos una matriz A, para obtener la matriz traspuesta de la
matriz A se cambian las filas por columnas y esta matriz traspuesta se representa por t A .
-Matriz simétrica: Una matriz es simétrica si es cuadrada y aij = aji..
-Matriz antisimétrica: Una matriz es asimétrica si es cuadrada y aij = -aji.
Como consecuencia de ello una matriz antisimétrica tiene ceros en la diagonal principal.
Las matrices antisimétricas también se llaman hemisimétricas.
-Matriz opuesta: La matriz opuesta de una dada se obtiene cambiando de signo
todos los elementos de la matriz, si tenemos una matriz A, la matriz opuesta de la matriz
A se designa por –A.
-Marices equidimensionales: Dos matrices son equidimensionales cuando
tienen la misma dimensión, es decir que si tenemos una matriz A de dimensión mxn y
otra matriz B de dimensión qxr entonces para que sean equidimensionales debe de ser
m=q y n=r.
-Matriz nula: Es aquella en la que todos sus elementos son ceros. Se representa
como O, también se llama matriz cero.
-Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que
no pertenecen a la diagonal principal son ceros.
-Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal
principal iguales.
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-Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la
diagonal principal iguales a 1.
-Matriz triangular: Es una matriz cuadrada en la que todos los términos por
encima o por debajo de la diagonal principal son ceros. Cuando son ceros por debajo de
la diagonal principal se dice que es triangular superior, cuando son ceros por encima
de la diagonal principal se dice que es una triangular inferior.
1.4. Operaciones con matrices:
1.4.1. Suma y deferencia de matrices:
Ejemplo de la suma:
⎛ 2 4 ⎞ ⎛ 3 5⎞ ⎛ 5 9 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
⎝1 5 ⎠ ⎝ 4 1 ⎠ ⎝ 5 6 ⎠
Ejemplo de la deferencia:
⎛ 2 4 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞ ⎛ − 1 − 1⎞
⎟⎟
⎟⎟ = ⎜⎜
⎜⎜
⎟⎟ − ⎜⎜
⎝1 5 ⎠ ⎝ 4 1 ⎠ ⎝ − 3 4 ⎠
1.4.2. Producto de una matriz por un número:
Tenemos una matriz A, y queremos multiplicar esta matriz por un escalar k:
⎛2 3⎞
⎟⎟ y k=2
A = ⎜⎜
⎝ 4 6⎠
k . A= ¿?
⎛4 6 ⎞
⎟⎟
k ⋅ A = ⎜⎜
⎝ 8 12 ⎠
1.4.3. Producto de matrices:
Sólo se pueden multiplicar matrices tal que el número de columnas de la primera
matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz.
Ejemplo:
⎛ 4 1 2⎞
⎜
⎟
⎛ 2 3 2⎞
⎟⎟ B = ⎜1 2 3 ⎟
A = ⎜⎜
⎝1 2 4 ⎠
⎜2 1 1 ⎟
⎝
⎠
A ⋅ B = ¿?
⎛ 4 1 2⎞
⎟ ⎛a b c ⎞
⎛ 2 3 2⎞ ⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜1 2 3 ⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
A ⋅ B = ⎜⎜
⎝1 2 4 ⎠ ⎜ 2 1 1 ⎟ ⎝ d e f ⎠
⎝
⎠
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a=2.4+3.1+2.2=15
b=2.1+3.2+2.1=10
c=2.2+3.3+2.1=15
d=1.4+2.1+4.2=14
e=1.1+2.2+4.2=9
f=1.2+2.3+4.1=12
1.4.4. Matrices inversas:
Dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad de
orden n. Si tenemos una matriz A, la matriz inversa de la matriz A se designa como
A −1 .
El cálculo de la matriz inversa se puede hacer de dos maneras:
1. A partir de la definición:
Es muy fácil resolver ecuaciones, a partir de la definición.
2. Por el método de Gauss.
Se parte del siguiente esquema inicial:
⎛ a11 a12 a13 / 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
A⎜ a21 a22 a23 / 0 1 0 ⎟ I 3
⎜ a a a / 0 0 1⎟
⎝ 31 32 33
⎠
Y se llega a la expresión final:
⎛1 0 0 / b11 b12 b13
⎜
I 3 ⎜ 0 1 0 / b21 b22 b23
⎜ 0 0 1/ b b b
⎝
31 32 33
⎞
⎟ −1
⎟A
⎟
⎠
Donde B=bij es la matriz inversa de la matriz A dada.
Para ello se utilizan las siguientes reglas:
1) Multiplicar una fial por un número distinto de cero.
2) Sumar o restar a una fila otra multiplicada por un número.
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1.4.5. Dependencia lineal de filas o columnas, rango de una matriz:
1. Una fila o columna, H, depende linealmente de sus paralelas si
existen números reales a1,a2….an, no todos nulos, tales que:
H=a1H1+a2H2+…………anHn.
2. El rango de una matriz es el número de filas o columnas
linealmente independiente.
1.4.6. Cálculo del rango de una matriz:
I. Método de Gauss, de reducción o cascada.
En el cálculo del rango de una matriz:
a)
Se puede suprimir sin que varíe el rango:
a. Las filas o columnas nulas.
b. Las filas o columnas proporcionales a otras.
c. Las filas o columnas dependientes de otras.
b)
Se puede realizar las siguientes operaciones sin que varíe el rango de una
matriz:
a. Multiplicar una fila o columna por un número distinto de cero.
b. Sumar o restar una fila o columna a otra.
Llevando a cabo estas operaciones en una matriz se van obteniendo filas o
columnas de elementos nulos, cuando ya no se puedan obtener más filas o columnas de
elementos nulos entonces el rango de una matriz es igual al número de filas o
columnas de elementos no nulos. A la matriz que indica el número de filas o columnas
independientes se les da el nombre de matriz escalonada.
1.5. Ejercicios.
1.5.1. Determinar los valores de las letras para que las matrices
sean iguales:
⎛ a 2 1⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝2 3 b⎠
⎛1 c 3 ⎞
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝ 3 4 5⎠
Para que las matrices sean iguales las letras deben de valer: a=1, b=5 y c=2.
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1.5.2. Calcular el producto de las siguientes matrices:
⎛1 1 3 ⎞
⎜
⎟
B = ⎜3 4 5⎟
⎜1 1 2 ⎟
⎝
⎠
⎛1 2 1 ⎞
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝ 2 3 2⎠
⎛ 8 10 15 ⎞
⎟⎟
A ⋅ B = ⎜⎜
⎝12 16 25 ⎠
1.5.3. Calcular la matriz inversa de la matriz A dada:
CÁLCULO DE UNA MATRIZ INVERSA A PARTIR DE LA DEFINICIÓN.
⎛1 2 ⎞
⎟⎟ A −1 = ¿?
A = ⎜⎜
⎝ 2 3⎠
A ⋅ A −1 = I n
⎛1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛1 0 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
2
3
c
d
0
1
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
Resolviendo se obtiene:
a+2c=1
b+2d=0
2ª+3c=0
2b+3d=1
Con lo que se obtiene a=-3, b=2, c=2, y d=-1. Con lo que la matriz inversa de A
es la siguiente:
⎛ − 3 2⎞
⎟⎟
A −1 = ⎜⎜
−
2
1
⎝
⎠
1.6. Preguntas de teoría.
1.7. ¿Que se debe de cumplir para que una matriz tenga inversa?
Debe de ser matriz cuadrada, sólo las matrices cuadradas tiene matrices inversas.
1.8. ¿Todas las matrices cuadradas tienen matrices inversas?
1.9. ¿Una matriz que no sea cuadrada puede tener diagonal principal y
secundaria?
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