1 2 3 4 5 Calif. Tema 1 Justificar todas las respuestas. Nombre, apellido y firma en todas las hojas. Introducción al Análisis Matemático LBT - FINAL 14/07/20 1. Sea f (x) = ln(x2 ) si x > 1 a(x − 1) + b si x ≤ 1 . a) Hallar b ∈ R para que f resulte continua en x0 = 1. (5 pts.) b) Para el valor de b hallado, por medio del cociente incremental, encontrar a ∈ R tal que f sea derivable en x0 = 1. (15 pts.) √ 2. Hallar el dominio de la funcón h(x) = 5x2 − 1 y determinar la ecuación de la recta normal a su gráfico en x = 1. (10 pts.) 3. a) Hallar dominio, intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos relati2 vos, extremos absolutos, y ası́ntotas de la función f (x) = 4x3 e−x . (15 pts.) 2 b) Calcular el área de la región delimitada por las curvas f (x) = 4x3 e−x , y = 2, x = 0 y x = 2. (15 pts.) 4. Dada la función 1 g(x) = 1 + 2 Z2x cos(u) du. 1+u 0 a) Hallar el polinomio de Maclaurin de orden 2 de g(x). (10 pts.) b) Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 de f (x) = ln(g(x − 1)) en x = 1. (10 pts.) 5. En el Estado de Washington, Estados Unidos, estuvo permitido cazar focas hasta mediados del siglo XX. En 1975, luego de que se prohibió la caza, se contabilizaron 1500 focas y cinco años después la población ascendı́a a 2500 focas. Un estudio cientı́fico determinó que a partir de 1975 el crecimiento poblacional se correspondió dp p con el de un modelo logı́stico: dt = kp 1 − L (donde p representa la cantidad de individuos y t el tiempo medido en años transcurridos desde 1975) y estimó la capacidad de carga L en 7500 focas. (a) Resolver la ecuación diferencial y determinar la tasa de crecimiento k. (15 pts.) (b) Calcular en qué año la población de focas alcanzó la mitad de la capacidad de carga del sistema. (5 pts.)
