Ciclo: 2020 – I MOQUEGUA - PERÚ 2020- I Docente: Marco Antonio Quispe Pacho Tema: Distribuciones Gamma y Exponencial Curso: Probabilidades Distribución Gamma • Resulta que la distribución exponencial es un caso especial de la distribución gamma, y ambas tienen un gran número de aplicaciones. • La distribución exponencial y la distribución gamma desempeñan un papel importante en la teoría de colas y en problemas de confiabilidad. • Los tiempos entre llegadas en instalaciones de servicio y los tiempos de operación antes de que partes componentes y sistemas eléctricos empiecen a fallar a menudo se representan bien mediante la distribución exponencial. • La relación entre la distribución gamma y la exponencial permite que la gamma se utilice en problemas similares. Distribución Gamma Sea una variable aleatoria continua X tiene una distribución gamma, con parámetros α y β, si su función de densidad está dada por 1 𝛼−1 𝑒 −𝑥 𝛽 , 𝑥 𝑥>0 𝛼 𝑓 𝑥; 𝛼, 𝛽 = 𝛽 Γ(𝛼) 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 Donde: • 𝛼 > 0; 𝛽 > 0 • Γ 𝑛 = 𝑛−1 ! Media y Varianza • Γ 𝑛 =1 • Γ 1/2 = 𝜋 𝜇 = 𝛼𝛽 ; 𝜎 2 = 𝛼𝛽2 Distribución exponencial • La distribución gamma especial para la que α = 1 se llama distribución exponencial. 1 −𝑥 𝛽 𝑒 , 𝑥>0 𝑓 𝑥; 𝛽 = 𝛽 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 Media y Varianza 𝜇 = 𝛼𝛽 ; 𝜎 2 = 𝛼𝛽2 Relación con el proceso de Poisson • Recuerde que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un periodo o espacio particulares. En muchas aplicaciones la variable aleatoria es el tiempo o la cantidad de espacio. • Poisson es una distribución de un solo parámetro con parámetro λ, donde λ se interpreta como el número medio de eventos por unidad de “tiempo”. Considere ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Distribución exponencial EJEMPLO: Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de operación antes de fallar, en años, está dado por T. La variable aleatoria T se modela bien mediante la distribución exponencial con tiempo medio de operación antes de fallar β = 5. Si se instalan 5 de estos componentes en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al final de 8 años al menos dos aún funcionen?. Distribución gamma EJEMPLO: En cierta ciudad, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente una distribución gamma con α = 2 y β = 3. Si la capacidad diaria de dicha ciudad es de 9 millones de litros de agua, ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier día dado el suministro de agua sea inadecuado? CONTACTO DOCENTE Email: [email protected] Móvil: 951844806
