mecanismos articulados

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Contenido
1.
2.
3.
INTRODUCCION. ....................................................................................................................................................................................................................... 5
1.1.
Presentación. ................................................................................................................................................................................................................... 6
1.2.
Utilidad del Modulo ......................................................................................................................................................................................................... 9
1.3.
Conocimientos Previos..................................................................................................................................................................................................... 9
1.4.
Objetivos .......................................................................................................................................................................................................................... 9
1.5.
Esquema de Contenidos. ................................................................................................................................................................................................. 9
1.6.
Secuencia de Aprendizaje. ............................................................................................................................................................................................. 10
Presentación de los SISTEMAS MECANICOS. ......................................................................................................................................................................... 13
2.1.
Perspectiva Histórica. Un Resumen. .............................................................................................................................................................................. 16
2.2.
Perspectiva Histórica. Algún dato más. ......................................................................................................................................................................... 16
Algunos CONCEPTOS BASICOS. .............................................................................................................................................................................................. 25
3.1.
Básicos pero Básicos: Impulsor, Seguidor y Factor de Transmisión. ............................................................................................................................. 25
3.2.
Máquina, Mecanismo y otros Conceptos. ..................................................................................................................................................................... 28
3.3.
Cinemática. .................................................................................................................................................................................................................... 34
3.4.
Diseño: Análisis y Síntesis. ............................................................................................................................................................................................. 34
3.5.
Conceptos Asociados a los Mecanismos. Teoría Clásica. ............................................................................................................................................... 36
3.6.
Mecanismos Planos con Pares Inferiores. ..................................................................................................................................................................... 40
3.7.
Construcción de Modelos. Reales y Virtuales. ............................................................................................................................................................... 44
4.
MEDIOS disponibles para el ESTUDIO CINEMÁTICO de los MECANISMOS. .......................................................................................................................... 51
5.
MOVILIDAD en Mecanismos Planos. ..................................................................................................................................................................................... 55
6.
5.1.
Calculo de la Movilidad en Mecanismos Planos. ........................................................................................................................................................... 56
5.2.
Existencia de Pares Múltiples......................................................................................................................................................................................... 56
5.3.
Mecanismos con Movilidad Uno y Pares con Conectividad Uno. .................................................................................................................................. 60
5.4.
Mecanismo Obtenidos por Inversión. ............................................................................................................................................................................ 62
APLICACIONES de los Mecanismos Simples. .......................................................................................................................................................................... 67
6.1.
Mecanismos de Arrollamiento: Torno Simple y Manivela. ............................................................................................................................................ 67
6.2.
Poleas ............................................................................................................................................................................................................................. 68
6.3.
Ruedas y Rodillos. .......................................................................................................................................................................................................... 77
7.
APLICACIONES del Mecanismo Básico TRIANGULO DE LADO VARIABLE. .............................................................................................................................. 86
8.
APLICACIONES del Mecanismo Básico CUADRILATERO ARTICULADO. .................................................................................................................................. 98
8.1.
Resumen ........................................................................................................................................................................................................................ 98
8.2.
Paralelogramo Articulado. ............................................................................................................................................................................................. 98
8.2.1.
Cajas de Costura, de Herramientas y Columpios. ..................................................................................................................................................... 98
8.2.2.
Balanzas. .................................................................................................................................................................................................................... 99
8.2.3.
Plataformas Elevadoras. .......................................................................................................................................................................................... 100
8.2.4.
Anti-paralelogramo Articulado. Dirección Carro Industrial. .................................................................................................................................... 101
8.2.5.
Maquinas Andantes. ................................................................................................................................................................................................ 102
8.2.6.
Juguetes Educativos. ................................................................................................................................................................................................ 102
8.2.7.
Suspensión Vehículos Rápidos. ................................................................................................................................................................................ 103
8.2.8.
Limpiaparabrisas. ..................................................................................................................................................................................................... 104
8.2.9.
Podadores. ............................................................................................................................................................................................................... 104
8.2.10.
Cometas Acrobáticas. .............................................................................................................................................................................................. 105
8.2.11.
Conexión Ruedas Motrices Locomotoras. ............................................................................................................................................................... 105
8.2.12.
Libros Móviles. ......................................................................................................................................................................................................... 106
8.2.13.
Barquillas Maquinas Mantenimiento. ..................................................................................................................................................................... 106
8.2.14.
Tablero de Delineación. ........................................................................................................................................................................................... 108
8.2.15.
Palas Excavadoras. ................................................................................................................................................................................................... 108
8.2.16.
Pantógrafo. .............................................................................................................................................................................................................. 109
8.3.
Trapecio Isósceles Articulado....................................................................................................................................................................................... 112
3
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8.3.1.
Caballitos Basculantes. ............................................................................................................................................................................................. 112
8.3.2.
Mecanismos de Direccion de Ackerman. ................................................................................................................................................................. 112
8.3.3.
Mecanismo Directriz de Watt. ................................................................................................................................................................................. 114
8.3.4.
Mecanismo Directriz de Watt para la máquina de Cornish. .................................................................................................................................... 116
8.3.5.
Mecanismo Directriz de Chevishef. ......................................................................................................................................................................... 118
8.3.6.
Mecanismo Directriz de Robets. .............................................................................................................................................................................. 119
8.3.7.
Sierra de Corte. ........................................................................................................................................................................................................ 121
8.3.8.
Sistema de Suspensión basado en el Mecanismo de Watt. .................................................................................................................................... 123
8.3.9.
Solucion de Peaucellier. ........................................................................................................................................................................................... 128
8.3.10.
Solucion de Sylvester. .............................................................................................................................................................................................. 131
8.3.11.
Adaptacion del Mecanismo Directriz de Tchebycheff. ............................................................................................................................................ 132
8.3.12.
Mecanismo de Sylvester-Kempe para Traslación de Plataforma. ........................................................................................................................... 132
9.
ACTIVIDAD 1: Creación de Cuadriláteros Articulados de Artobolevsky (*). ........................................................................................................................ 138
10.
Mecanismos de GRASHOF. .............................................................................................................................................................................................. 140
10.1.
Cuadrilátero Articulado General. ............................................................................................................................................................................. 140
10.2.
Impulsor por Balancín. ............................................................................................................................................................................................. 140
10.3.
Impulsor por Manivela. ............................................................................................................................................................................................ 144
10.4.
Análisis de Grashof del Cuadrilátero Articulado. ..................................................................................................................................................... 146
10.5.
Grashof Tipo I: Manivela-Balancín. .......................................................................................................................................................................... 147
10.6.
Grashof Tipo I: Doble Manivela................................................................................................................................................................................ 148
10.7.
Grashof Tipo I: Doble Balancín.. ............................................................................................................................................................................... 150
10.8.
Grashof Tipo I: Mecanismos con Punto de Cambio. ................................................................................................................................................ 151
10.9.
Mecanismo Paralelogramo. ..................................................................................................................................................................................... 151
10.10.
Mecanismos Anti-paralelogramo. ............................................................................................................................................................................ 155
10.11.
Mecanismos Deltoideo. ........................................................................................................................................................................................... 156
10.12.
Mecanismo de Galloway .......................................................................................................................................................................................... 158
10.13.
Grashof Tipo II: Sistemas Articulados de No Grashof. ............................................................................................................................................. 159
10.14.
Mecanismos con Brazos Interiores. ......................................................................................................................................................................... 159
10.15.
Mecanismos con Brazos Exteriores. ........................................................................................................................................................................ 160
10.16.
Límites del Movimiento del Cuadrilátero Articulado. .............................................................................................................................................. 163
10.17.
Demostración de la Desigualdad de Grashof. .......................................................................................................................................................... 164
10.18.
Consecuencias de la Desigualdad de Grashof. ......................................................................................................................................................... 165
10.19.
Conclusiones de la Desigualdad de Grashof. ........................................................................................................................................................... 166
10.20.
Mecanismos con Ciclos incompletos de Movimiento.............................................................................................................................................. 166
11.
ACTIVIDAD 2: Mecanismos de Artobolevsky de 4 Cuerpos con Deslizaderas (*). ........................................................................................................... 167
12.
ACTIVIDAD 3: Creación de Mecanismos Trazadores Articulados de Artobolevsky (*). ................................................................................................... 169
13.
ACTIVIDAD 4: Mecanismos de Artobolevsky Trazadores con Deslizaderas (*). .............................................................................................................. 171
14.
TRANSMISION del Movimiento de ROTACION: Correas, Cadenas y Engranajes (*). ....................................................................................................... 173
15.
TRENES de Engranajes Simples, Compuestos y PLANETARIOS (*). .................................................................................................................................. 175
16.
ACTIVIDAD 5: Mecanismos de Artobolevsky con Engranajes (*)..................................................................................................................................... 177
17.
RESUMEN. ........................................................................................................................................................................................................................ 179
18.
EVALUACION. ................................................................................................................................................................................................................... 180
4
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10. Mecanismos de GRASHOF.
Para completar las aplicaciones indicadas en la sección anterior, en esta sección se
presenta el criterio de Grashof, que permite determinar los rangos de movimiento de los
distintos eslabones que forman parte de un mecanismo cuadrilátero articulado general. Se
presentan las distintas inversiones de la cadena cinemática de Grashof, haciendo especial
mención de los mecanismos que sufren la condición de punto cambio de configuración de
ensamblado, es decir el paralelogramo articulado y el mecanismo deltoideo. Seguidamente se
revisan algunas aplicaciones. Se comenta el mecanismo básico de las máquinas de coser y
las ruedas de afilador, el montaje ciclista-bicicleta, el cochecito de pedales y el trole
ferroviario. Se comenta con aplicaciones como controlar los mecanismos que poseen punto de
cambio.
10.1.
Cuadrilátero Articulado General.
2.
En las secciones anteriores sólo hemos considerado casos particulares del cuadrilátero
articulado en los que al menos dos barras tenían la misma longitud. Consentimos en algunos
casos que un par de lados opuestos se cruzasen, formando un montaje con diagonales
articuladas, pero en mayor parte sólo se examinaban amplitudes de movimiento bastante
limitadas. Necesitamos estudiar ahora las propiedades de los montajes en los que todas las
barras sean de distinta longitud e investigar sus gamas y modalidades de movimiento. En
las aplicaciones del cuadrilátero articulado, una de las barras es fija; tal barra recibe
el nombre de eslabón marco, base o bastidor; véase AB en la figura 64. Las dos barras
libres de girar en torno a los puntos fijos A y B se denominan brazos o manivelas,
mientras que la barra DC, situada frente al bastidor es el lado acoplador. Como es obvio,
las características de un cuadrilátero articulado dependen de las longitudes relativas a,
b, c, d de los lados y de la barra que va desempeñar el papel de bastidor. Salta a la
vista que, para que el sistema pueda llegar a articularse, ninguna de las barras podrá ser
mayor que la suma de las tres restantes, así que: a < b+c+d, b < a+c+d, c < a+b+d, d <
a+b+c. Hay otras desigualdades de interés que no son, en cambio, tan evidentes.
10.2.
Impulsor por Balancín.
Fijémonos en el mecanismo de pedal tan clásico de las máquinas de coser y las ruedas de
afilador. Los puntos C y D corresponden a pivotes fijos del bastidor de la máquina; el
pedal hace de manivela impulsora; el seguidor es el volante; la biela es el acoplador. En
esta aplicación del cuadrilátero articulado es importante que el movimiento de vaivén de
BC provoque revoluciones completas de la manivela seguidora AD alrededor de A. La
observación sugiere que BC es más larga que AD; de hecho, AD es la barra más corta. Pero,
¿será necesaria esta condición? ¿Será condición suficiente? Para averiguarlo, lo mejor es
construir un modelo y experimentar. Recomiendo proceder así como táctica y ayuda para
pensar imaginativamente en los sistemas articulados.
140
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3.
4.
141
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Vemos seguidamente otras tres aplicaciones más de este montaje. Una de las más
interesantes es el ciclista (Fig. 66), pues ahora el muslo del ciclista desempeña el papel
de manivela impulsora; la pierna hace de barra acopladora y el sistema pedal-biela de la
bicicleta es el seguidor.
5.
6.
142
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El cochecito de pedales (Fig. 67) y el trole ferroviario (que algunas películas han hecho
famoso) se basan en cuadriláteros articulados similares, conocidos por mecanismos biela y
manivela.
7.
143
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10.3.
Impulsor por Manivela.
Es corriente utilizar el mecanismo de biela y manivela en sistemas donde el impulsor AD
está accionado por un motor de velocidad constante y se desea que el efecto del movimiento
circular de D en torno a A sea producir un movimiento de vaivén en el seguidor BC, (por
esta razón se habla también de sistemas de oscilante y manivela).
8.
DESCRIPCION DE MECANISMO DEL “ATLAS DE ARTOBOLEVSKI”
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El mecanismo se utiliza mucho como agitador en las máquinas que lo precisen y podría
servir para accionar el agitador de una lavadora doméstica o para producir el movimiento
alternativo de las escobillas del limpiaparabrisas.
9. MARY ANDERSON. INVENTORA DEL LIMPIAPARABRISAS, 1905
10. ROBERT WILLIAM KEARNS INVENTOR DEL ACCIONAMIENTO AUTOMATICO, 1953
145
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10.4.
Análisis de Grashof del Cuadrilátero Articulado.
Llegados a este punto se hace imprescindible el introducir cierta terminología
para
describir los diferentes componentes de un cuadrilátero articulado. El cuerpo fijo, es
decir, el cuerpo en el que está definido el sistema de referencia global, se le denomina
base. Los dos componentes que están conectados con la base a través de pares giratorios se
les denominan impulsor y/o seguidor. El componente que está articulado a los anteriores y
no posee una conexión directa con la base se le denomina acoplador. Los componentes
impulsor y seguidor serán distinguidos mas adelante con los términos manivela, cuando es
capaz de dar vueltas completas alrededor de la base, y balancín, cuando sólo es capaz de
oscilar entre sus límites del movimiento.
Un mecanismo podrá activarse, o conducirse, mediante la aplicación de fuerzas a uno de sus
componentes móviles. Esto puede llevarse a cabo en una variedad de formas, lo que resulta
evidente por la cantidad de tipos diferentes de actuadores comerciales que existen.
Con frecuencia es conveniente que el componente activo esté conectado a la base mediante
un par giratorio. Con lo que el mecanismo podrá ponerse en movimiento mediante la
aplicación de un momento o par a ese componente. En este caso usualmente es también
preferible que el componente pueda girar de forman continua, ya que de ese modo podrá
actuarse sobre él por medio de un motor que gire continuamente. Por esta razón es
importante ser capaces de identificar mecanismos cuadriláteros articulados que posean
pares con rotación completa y localizar donde se hallan ubicados. Esto puede conseguirse
mediante un conjunto sencillo de reglas denominadas “reglas de Grashof”.
Grashof distinguió dos tipos fundamentales diferentes de CAs por medio de la desigualdad:
s l  p  q
Donde, tal y como se muestra en la figura, s es la longitud del componente más corto, l es
la longitud del lado más largo, y p y q son las longitudes de los otros dos componentes.
Los mecanismos que cumplen esta desigualdad (TIPO 1 DE GRASHOF) tienen dos pares con
rotación completa y dos que oscilan entre sus posiciones límites. Los mecanismos que no
cumplen esta desigualdad (TIPO 2 DE GRASHOF) no tienen ningún par con rotación completa.
Todos sus pares oscilan entre posiciones límites.
11. FRANZ GRASHOF, 1826-1893
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El comportamiento de un mecanismo que cumpla la desigualdad de Grashof, TIPO 1 DE GRASHOF,
depende fuertemente de las ubicaciones de los pares con rotación completa respecto al
cuerpo base. Es decir, depende de la inversión del mecanismo que se considere. Las
siguientes reglas adicionales permiten distinguir tres subtipos con comportamiento
diferente.
10.5.
Grashof Tipo I: Manivela-Balancín.
Si el componente más corto está conectado a la base, el mecanismo es un MANIVELA –
BALANCÍN. El par situado entre el componente más corto y la base posee rotación completa.
Por lo tanto ese cuerpo es una manivela. El otro par con rotación completa conecta la
manivela al acoplador. Por tanto el otro par situado en la base no tiene capacidad de
rotación completa, y el componente que conecta a la base solo puede oscilar. Es el
balancín. Un mecanismo de este tipo, manivela –balancín, puede ser conducido perfectamente
a través del par que conecta la manivela con la base (situando un motor en esa ubicación).
CA TIPO 1: MANIVELA – BALANCIN
147
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DESCRIPCION DE MECANISMO DEL “ATLAS DE ARTOBOLEVSKI”
10.6.
Grashof Tipo I: Doble Manivela.
Si el componente más corto es la base, los dos pares situados en la base tienen rotación
completa, y por tanto los dos componentes que conectan a la base son manivelas. El
mecanismo se denomina DOBLE MANIVELA, también conocido como “con componente arrastrado”.
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DESCRIPCION DE MECANISMO DEL “ATLAS DE ARTOBOLEVSKI”
149
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10.7.
Grashof Tipo I: Doble Balancín..
Si el componente más corto es el acoplador, ningún par situado en la base tiene rotación
completa. El mecanismo se denomina DOBLE BALANCÍN DEL TIPO 1. Su comportamiento es
diferente del denominado doble balancín del tipo 2, que no satisface la desigualdad. En
este caso son los pares situados en el acoplador los que tienen rotación completa. Con lo
que el acoplador da vueltas completas son respecto a la base. El movimiento angular del
acoplador de un doble balancín del tipo 2 es una oscilación con respecto a la base.
150
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DESCRIPCION DE MECANISMO DEL “ATLAS DE ARTOBOLEVSKI”
10.8.
Grashof Tipo I: Mecanismos con Punto de Cambio.
Cuando se verifica la igualdad en la regla de Grashof, esto es, cuando la suma de las
longitudes de las barras más corta y más larga es igual que la suma de las longitudes de
las otras dos, tenemos los mismos cuatro casos comentados anteriormente, pero todos ellos
sufren de la condición de punto de cambio. Esta condición se da debido a que durante el
movimiento en una determinada posición todas las barras del mecanismo se alinean, con lo
que el eslabón seguidor puede cambiar su sentido de rotación, si no se ha utilizado algún
sistema para evitarlo.
A los mecanismos cuadriláteros articulados en los que se verifica la igualdad estricta de
Grahof se les denomina mecanismos con punto de cambio, mecanismos de transición, o
mecanismos de Grashof neutrales. En este caso el mecanismo siempre alcanza una
configuración “aplanada”, es decir en la que todos sus componentes están alineados, que se
muestra en la Figura.
Esta configuración se denomina “de punto de cambio”, ya que es posible que al pasar por
ella el mecanismo cambie de forma de ensamblado, de entre las dos posibles para un mismo
ángulo de la manivela de entrada o impulsor. En la práctica esta situación no es deseable,
ya que supone que el mecanismo se comporte de una forma no predecible, y que aparezcan
cargas posiblemente muy elevadas tanto en sus componentes como en sus pares.
10.9.
Mecanismo Paralelogramo.
El mecanismo paralelogramo es un ejemplo de mecanismo con punto de cambio. Consta de
eslabones de igual longitud dos a dos, pero situados de tal forma que los de igual
longitud son opuestos En las siguientes figuras podemos observar una aplicación de este
mecanismo para transmitir el movimiento de rotación entre los varios ejes de una máquina
de tren, y la solución adoptada para evitar el cambio de configuración durante el
movimiento.
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DESCRIPCION DE MECANISMO DEL “ATLAS DE ARTOBOLEVSKI”
Biela-Manivela.
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Con Punto de Cambio.
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Posible Solución para evitar el cambio de Forma de Ensamblado.
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10.10. Mecanismos Anti-paralelogramo.
A continuación se muestran algunos montajes de mecanismo anti paralelogramo articulado,
que permiten evitar los efectos del punto de cambio. Todos ellos se basan en la
utilización de apoyos de seguridad.
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10.11. Mecanismos Deltoideo.
El otro ejemplo es el mecanismo deltoideo. La longitud de sus eslabones son iguales dos a
dos, pero están situados de tal forma que los eslabones de igual longitud son adyacentes.
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A continuación se muestra un montaje de mecanismo deltoideo que permite evita el efecto
del punto de cambio. De nuevo se basa en la utilización de apoyos de seguridad.
Con Punto de Cambio: Deltoideo.
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10.12. Mecanismo de Galloway
En el caso particular de que una de las barras de menor longitud es la fija, el mecanismo,
que es de doble manivela, recibe el nombre de mecanismo de Galloway. Tiene la
particularidad de que por cada dos vueltas de la otra barra más corta, la más larga da una
vuelta.
A continuación se muestra un montaje de mecanismo deltoideo que permite evita el efecto
del punto de cambio. De nuevo se basa en la utilización de apoyos de seguridad.
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Con Punto de Cambio: Mecanismo de Galloway
10.13. Grashof Tipo II: Sistemas Articulados de No Grashof.
Cuando la regla de Grashof no es respetada, esto es, cuando la suma de las longitudes de
las barras más corta y más larga es mayor que la suma de las longitudes de las otras dos,
se pueden distinguir otros dos casos.
10.14. Mecanismos con Brazos Interiores.
En este caso el bastidor es la barra más larga. Las manivelas oscilan simétricamente en
torno al bastidor AB; los ángulos se hallan sin dificultad por el teorema del coseno o por
dibujo a escala.
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Con Brazos Interiores
10.15. Mecanismos con Brazos Exteriores.
Esta vez, la barra más larga es el acoplador; el resultado es que ahora las manivelas
oscilan externamente, volviendo el bastidor a ser el eje de simetría.
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Con Brazos Exteriores.
De Chebyshev
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De Roberts
De Watt.
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10.16. Límites del Movimiento del Cuadrilátero Articulado.
A cualquier componente de un mecanismo que esté conectado a la base mediante un par
giratorio y que gire completamente a medida que el mecanismo se mueve a lo largo de su
ciclo de trabajo se le denomina manivela. Normalmente, también existen componentes del
mecanismo que aparentemente parecen manivelas por estar conectados al cuerpo base mediante
un par giratorio, pero que no tienen la capacidad de dar vueltas completas alrededor del
eje del par giratorio, durante el movimiento del mecanismo a lo largo de su ciclo de
trabajo.
12. Posiciones límites del movimiento del componente conectado al cuerpo fijo a través del
par D.
Consideremos el cuadrilátero articulado (CA) que aparece en la Fig. 1a, en el que
supondremos que el componente AB es una manivela, con lo que podrá dar vueltas completas,
que supondremos serán en sentido contrario a las agujas del reloj, alrededor del par
giratorio que lo conecta con el cuerpo fijo. El que pueda moverse de esta forma requiere
que pase a través de las posiciones mostradas en las Figs. 1b y 1c.
Considérese ahora el movimiento que tiene lugar alrededor del par giratorio D. En la
posición mostrada en la Fig. 1b el movimiento de rotación del componente CD alrededor de
D, en sentido contrario al de las agujas del reloj, no resulta posible. CD alcanza el
reposo e invierte el sentido de su movimiento.
De forma similar, antes de alcanzar la posición de la Fig. 1c, el componente CD estará
girando en el sentido de las agujas del reloj alrededor del punto D. En la posición
mostrada, el giro en esta dirección resulta imposible, con lo que el componente alcanza el
reposo y a continuación se moverá en sentido contrario. Las posiciones mostradas en las
Figs. 1b y 1c se denominan posiciones límites del movimiento del componente conectado al
cuerpo fijo a través del par D, o más abreviadamente, límites del movimiento del par D. El
componente CD no da vueltas completas, simplemente oscila entre esas posiciones. Es decir,
no es una manivela, es lo que se denomina un balancín.
DESCRIPCION DE MECANISMO DEL “ATLAS DE ARTOBOLEVSKI”
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10.17. Demostración de la Desigualdad de Grashof.
Es posible demostrar la desigualdad de Grashof de la siguiente forma. Consideremos el
mecanismo que aparece en la Fig. 6a. Si ha de poder realizar una rotación completa, deberá
pasar a través de las posiciones mostradas en la Figs. 6b y 6c. Supongamos que
es la
longitud del componente AB, b es la longitud BC,
DA. Suponemos que a
 d.
c es
la longitud CD, y
d
a
es la longitud
La desigualdad triangular establece que la suma de las longitudes de cualesquiera dos
lados de un triángulo es mayor que el tercer lado.
Fig. 6. Posiciones extremas para un mecanismo cuadrilátero articulado.
Apliquémosla tres veces a la Fig. 6b, obtendremos:
a d bc
b ca d
c ba d
(a)
(b)
(c)
También podemos aplicarla tres veces a la Fig. 6c, con lo que obtendremos:
da bc
b cda
c bda
(d)
(e)
(f)
El examen detallado de estas desigualdades revela que si (e) es cierta entonces (b)
también es cierta, ya que el segundo miembro de (b) es el segundo miembro de (e) mas
2*a.
Diremos que la desigualdad (e) es más potente que la desigualdad (b). Por tanto
podemos eliminar la desigualdad (b). La desigualdad (e) la podemos escribir en la forma
a b cd
Añadiendo
a
(e’)
a ambos miembros de la desigualdad.
De forma similar, la desigualdad (c) es cierta si la desigualdad (f) lo es. Una vez más,
el primer miembro de la desigualdad (c) es superior en
podremos escribir en la forma
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2*a.
La desigualdad (f) la
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a c bd
(f’)
Añadiendo a a ambos miembros de la desigualdad.
La desigualdad (d) es cierta si la desigualdad (a) lo es, ya que su primer miembro es
menor que el primer miembro de la desigualdad (a) en 2 * a . Por tanto las seis
desigualdades originales pueden reducirse a tres: (a), (e’) y (f’). Sumando ambos miembros
de las desigualdades (a) y (e’) obtenemos
2*a  b d  2*c b  d
Luego
ac
De la misma forma, sumando ambos miembros de las desigualdades (a) y (f’) obtenemos
2*a  c  d  2*b  c  d
Luego
ab
Ya que se ha supuesto que a es menor que d , se puede concluir que a es la longitud del
componente más corto. De esta forma, cualquiera de las desigualdades (a), (e’) y (f’)
muestran que sea cual sea el componente más largo, si sumamos su longitud a la del
componente más corto el resultado es menor que la suma de las longitudes de los otros dos
componentes. Este resultado lo podemos poner de la forma
s l  p  q
Donde s  a es la longitud del componente más corto, l es la longitud del componente más
largo, y p y q son las longitudes del resto de componentes.
Hemos de recordar que se ha supuesto que a era menor que d . Es necesario también estudiar
que sucede en el caso en que a sea mayor que d . Esto puede hacerse invirtiendo el
mecanismo de forma que AB sea el cuerpo base y DB sea el componente articulado con el base
mediante un par con rotación completa. Realizando el mismo desarrollo utilizando la
desigualdad triangular comentada llegaríamos a la conclusión que d tendría que ser la
longitud del componente más corto, y de nuevo obtendríamos la desigualdad de Grashof.
10.18. Consecuencias de la Desigualdad de Grashof.
Acabamos de comprobar que la desigualdad de Grashof es en realidad una condición necesaria
para que en un cuadrilátero articulado exista un par con rotación completa, y que ese par
es siempre uno de los que posee el componente más corto del mecanismo. Ahora podemos
afirmar que nunca existirá un solo par con rotación completa en un mecanismo cuadrilátero
articulado. Siempre existirán al menos dos. Si solo existiese un par con rotación
completa, llegaríamos a una contradicción topológica cuando considerásemos la rotación del
componente AB con respecto a los otros componentes, después de un ciclo de trabajo. Sí ese
componente tuviera que realizar una rotación completa alrededor del par A, y los pares B,
C y D solo pudieran oscilar alrededor de sus posiciones iniciales, el componente AB habría
realizado una rotación completa relativa a cada uno de los otros componentes. Con lo que
habría realizado una rotación completa alrededor del componente BC, entre otros. Pero,
hemos supuesto que el par no ha realizado una rotación completa, sino que ha oscilado
alrededor de su posición inicial, con lo que su rotación tendría que haber sido cero. Lo
cual es una contradicción. Luego concluimos que no es posible que solo exista un par con
rotación completa. Ya que hemos demostrado que cualquier par con rotación completa debe
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estar situado en un extremo del componente más corto, y también hemos demostrado que tiene
que haber dos pares con rotación completa, podemos concluir que ambos deberán estar
situados en los extremos del componente más corto. Esto completa la demostración de las
reglas de Grashof.
10.19. Conclusiones de la Desigualdad de Grashof.
El componente más corto de un mecanismo cuadrilátero articulado del tipo 1 de Grashof da
una vuelta completa en cada ciclo con respecto a los otros componentes. Las rotaciones
netas de los pares con rotación completa situados en los extremos de ese componente, se
cancelan entre ellas, de tal forma que las rotaciones netas relativas del resto de
componentes también serán cero en un ciclo completo de movimiento del mecanismo.
10.20. Mecanismos con Ciclos incompletos de Movimiento.
Por supuesto que a veces no es necesario que el mecanismo realice un ciclo completo de
movimiento. A veces sólo se necesita que realice un ciclo incompleto de movimiento, es
decir que se mueva entre dos posiciones dentro de un ciclo. En estos casos es posible
utilizar actuadores lineales, como pueden ser los cilindros hidráulicos o neumáticos. Sin
embargo, en estos casos se hace necesario asegurar que los pares conductores no pasen a
través de sus límites de movimiento. Las reglas de Grashof a menudo resultan útiles para
asegurar que esto no suceda.
En ocasiones es necesario conducir un cuadrilátero articulado del tipo manivela –
balancín, actuando sobre el balancín a través de parte de su rango de movimiento
permitido. En este caso se suele denominar a este mecanismo como balancín – manivela.
Solamente cuando se estudiasen los procedimientos de síntesis de mecanismos, se podría
justificar las razones existentes para el uso de mecanismos de doble balancín del tipo 2
de Grashof, frente al uso de mecanismos del tipo 1 de Grashof conducidos mediante el
balancín en lugar de mediante la manivela. Además, en ocasiones se sintetiza un mecanismo
que es capaz de producir un determinado movimiento que no puede conducirse sin evitar que
el par conductor (sobre el que está el actuador) pase a través de sus posiciones límites
de movimiento. En estos casos, una solución posible consiste en conducir el otro
componente situado en contacto con la base.
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