Hidrostática

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1. HIDROSTATICA – CONCEPTOS GENERALES.
1.1. Líquidos en reposo.
La hidrostática es una rama de la hidráulica, en la cual se estudian las leyes
de las fuerzas que actúan sobre los líquidos en reposo y la flotabilidad de los
cuerpos sin desplazamiento.
Todas las partículas de un líquido en reposo experimentan la acción de
fuerzas superficiales, del cuerpo e interiores; las cuales en su conjunto forman
la presión hidrostática. Las fuerzas superficiales se ejercen sobre la superficie
libre de los líquidos y son directamente proporcionales a su área, como, por
ejemplo, la presión atmosférica; las de cuerpo están representadas por el peso
del líquido, y las interiores surgen como resultado de una acción mutua, la cual
se manifiesta entre partículas en un líquido, ya que son fácilmente movibles,
presentan una inclinación a unirse y están cerca unas de otras en acción sobre
las que se encuentran en su vecindad.
En hidrostática se estudia fundamentalmente las presiones generadas por las
fuerzas interiores. Al analizar el volumen de un líquido en reposo (ver figura
1.1) se observa que sobre el fondo del recipiente, de área abcd actúa el peso de
líquido, es decir P = ρ g V , donde ρ – es la densidad del líquido; V es el volumen
del recipiente. La acción de la fuerza P sobre el área del fondo del recipiente
.
wabcd corresponde a la presión hidrostática media p = P
w
abcd
Figura 1.1. La presión hidrostática se ejerce normal al plano sobre el cual
actúa
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Al separar una pequeña área ∆wmnkz , en una de las secciones laterales del
recipiente, la fuerza ejercida sobre ella equivale a ∆ P ; y la relación entre esta y
el área ∆P w , corresponde también a la presión hidrostática media ejercida
mnkz
sobre el área escogida de la sección lateral. Si se considera que la sección ∆ω
tiende a cero, de igual forma ∆ P también lo hará, y la relación ∆P ∆w
corresponderá a un punto.
 ∆P 
p = lim 

∆w →0 ∆w


El valor de p obtenido por esta fórmula se denomina en este caso presión
hidrostática, cuyas dimensiones en el sistema absoluto son ML-1 T-2 y en lo
gravitacional FL-2; para esta ultima relación las unidades son: Kg /cm2, Kg /m2,
t/m2.
1.2. Propiedades de la presión hidrostática
La presión hidrostática posee las siguientes propiedades:
La presión hidrostática se ejerce normal al plano sobre el cual actúa. La
reacción R en el punto A de una pequeña área ∆ω , en una de las secciones
laterales del recipiente actúa en un ángulo φ (ver figura 1.1). Dado que la
reacción R tiene una posición inclinada con relación al plano de corte, esta se
puede descomponer en dos componentes, una normal al plano de corte Rτ, y la
otra situada en el mismo plano RN. La fuerza Rτ, genera en el líquido una
compresión, la cual no es significante para el líquido y la fuerza RN debería
generar un movimiento en el líquido, dado que no existe resistencia por parte de
sus partículas. Sin embargo, semejante aceptación está en contradicción con el
estado de reposo en que se encuentra el líquido. Así la resultante de la fuerza
aplicada en el punto A puede ser solamente normal al área sobre la cual actúa.
La magnitud de la presión hidrostática no depende de la dirección u
orientación en la cual actúa (Principio de Pascal). Las fuerzas elementales
que actúan sobre un prisma de dimensiones dx, dy, dz, extraído de un líquido en
reposo, son diferentes en magnitud, (ver figura 1.2); las cuales provocan en las
paredes respectivas presiones. Las fuerzas de estas presiones equivalen a el
producto de las presiones elementales por sus correspondientes áreas
elementales: P ∆ω ; P1 ∆ω1 ; P2 ∆ω 2 .
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Figura 1.2. Fuerzas actuantes sobre un prisma de tres lados.
Para que el prisma este en equilibrio es necesario que las proyecciones de las
fuerzas actuantes sobre los ejes (X y Y) sean igual a cero.
∑ X = P ∆w senα − P ∆w
∑ Y = P ∆w cosα − P ∆w
1
1
=0
2
2
=0
Donde: ∆w1 = ∆w senα y ∆w2 = ∆w cos α
Cuando se sustituyen los valores de ∆w1 y ∆w2 en las ecuaciones anteriores,
obtiene:
Donde: P = P1 y P = P2
P ∆w senα = P1 ∆w senα
P ∆w cos α = P2 ∆w cos α
Por lo tanto: P = P1 = P2
De esta forma las presiones hidrostáticas en las paredes son iguales y no
dependen de la orientación o dirección de los elementos sobre los cuales actúan.
La presión absoluta en cualquier punto de un líquido en reposo esta
conformada por la presión ejercida sobre su superficie libre y la presión
generada por las columnas del líquido sobre el punto. La presión ejercida
sobre la superficie libre superior de un cubo cuya base es w y altura h en un
líquido en reposo equivale a po (ver figura 1.3). Adicionalmente, dado que el
líquido esta en reposo, las presiones internas están en equilibrio: p ´x = p ´´x ;
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p ´y = p ´´y . Sin embargo, la fuerza que actúa por debajo del cubo equivale a la
suma de las fuerzas ejercidas por la presión po sobre la superficie libre del cubo
y la fuerza ejercida por el peso del mismo:
p´z w = po w + ρ g w h
Figura 1.3. Fuerzas actuantes sobre un cubo.
Al simplificar la ecuación anterior se tiene:
p ´z = po + ρ g h = p a = pb + ρ g h
Donde: pa es la presión absoluta; po es la presión atmosférica ( pb
barométrica) ejercida sobre su superficie libre y ρ g h es la presión relativa
(manométrica) generada por las láminas superiores.
La presión hidrostática a partir de la relación entre la fuerza y el área se mide
en kg/cm2 y si esta equivale a 1 kg/cm2 se denomina atmósfera técnica. Aparte
de la atmósfera técnica, existe la atmósfera física o estándar, la cual es de 1,033
kg/cm2. Esta última representa la presión atmosférica normal al nivel del mar.
La unidad de presión en el SI es el Pascal (Pa) que equivale a 1 N/m2.
Una representación gráfica de la presión absoluta en un diagrama cartesiano
corresponde a una recta, cuya ordenada en el origen corresponde a la presión
atmosférica pb y tiene una pendiente igual al peso específico del fluido ρ g , tal
como se indica en la figura. 1.4. En ella se observa a la vez que la presión
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aumenta con la profundidad h, esto explica que al construir un gráfico de
presiones se tiene un triángulo (sección OBC de la figura 1.4).
Figura. 1.4. Gráfico de presiones sobre una plano vertical, en el que pb es la
presión barométrica, ρ g h es presión relativa y pa presión absoluta.
El triángulo de presiones es la base en la resolución de problemas prácticos
dado que muestra el comportamiento de la presión sobre el plano; reconociendo
que las superficies donde el agua ejerce presión no son del todo rectas y
perpendiculares (ver figura 1.5). Como se observa en los dos primeros planos
de la figura 1.5, hidráulicamente se genera un triángulo de presiones sobre la
cara en el plano que actúa el agua, en el primer plano el triángulo es inclinado
(sección OBC) y en el segundo esta seccionado y se mantiene perpendicular al
plano (sección OAA´, ABCA´´). En el tercer plano de la figura 1.5, el triángulo
de presiones resultante corresponde a la diferencia entre los dos triángulos de
presiones que actúan sobre sus dos caras en diferente nivel (sección OBDA).
Figura 1.5. Triángulos de presiones sobre diferentes planos.
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Ejercicio 1.1: Se requiere construir el triángulo de presiones resultante para
el plano formado por un muro en la parte superior y la compuerta plana ubicada
sobre el canal. Como se observa en la figura 1.7.a, sobre las dos caras de la
compuerta hay dos niveles de agua.
Ejercicio 1.2: Se requiere construir el triángulo de presiones para una
compuerta plana inclinada ubicada sobre un canal, tal como se indica en la
figura 1.7.b.
a
Figura 1.7. Compuerta ubicada en un canal.
b
Ejercicio 1.3: Se requiere construir de triángulo de presiones para una
compuerta plana radial, que corresponde al segmento de una circunferencia de
radio R, con un ángulo β = 45°, y de ancho b; el eje de la compuerta coincide
con nivel del agua.
De la ecuación de la presión hidrostática se observa, que ella depende a la
vez de la profundidad h y de la densidad del líquido ρ. Estos dos parámetros
nos permiten afirmar que, si unimos dos líquidos de diferentes densidades (ver
figura 1.6), se tiene una superficie horizontal de separación n-n, en la cual la
presión hidrostática corresponde a:
p1 = po + ρ1 g h 1 = po + ρ 2 g h2 = p2
ρ1 g h 1 = ρ 2 g h2
Dado que: ρ1 ≠ ρ 2 se deduce,
ρ1
h
= 2
ρ2
h1
11
Figura 1.6. Presión hidrostática resultante en dos líquidos en reposo de
diferente densidad.
Ejemplo 1.1: En dos recipientes se tienen dos líquidos de diferentes
densidades: agua y petróleo (ver figura 1.6). Determinar la profundidad del
agua en el recipiente si la altura del petróleo sobre la superficie de separación es
de 0.73 m.
Solución: Conocidas las densidades de los dos líquidos ρ1 = 1000 kg 3 ,
ρ 2 = 870 kg
m
m3
y la siguiente relación:
ρ1
h
= 2
ρ2
h1
Se tiene que la profundidad del agua es:
h 1= 0.73
Un
870
= 0.628 m
1000
segundo análisis de la ecuación de la presión hidrostática
p = po + ρ g h indica que al variar la presión ejercida sobre la superficie libre
po de un líquido en reposo, se origina un cambio en la presión hidrostática del
mismo. Este análisis corresponde al principio de Pascal, el cual se formula de
la siguiente forma: “la presión ejercida sobre un líquido en un recipiente
cerrado se transmite igualmente sobre todas sus partículas y normal a las
paredes del recipiente”. Este principio es la base para el trabajo de diferentes
equipos hidráulicos, como: prensas, bombas, transmisiones hidráulicas, entre
otros.
12
Ejemplo 1.2: Sobre uno de los pistones de áreas transversales W1 y W 2
respectivamente, actúa la fuerza F1 (ver figura 1.8). Se requiere determinar la
fuerza ejercida en el pistón 2.
Figura 1.8. Principio de Pascal.
Solución: Conocido que la presión en cada pistón equivale a:
p1 =
F1
F2
y p2 =
W1
W2
según el principio de Pascal, se tiene que: p1 = p2
La fuerza resultante ejercida sobre el pistón 2 equivale a:
F2 =W2
F1
W1
Ejemplo 1.3: Una prensa hidráulica está formada por dos cilindros y dos
pistones unidos a través de un pequeño tubo, cuyos diámetros son d y D
respectivamente, (ver figura 1.9.a). Sobre el pistón de menor diámetro actúa la
fuerza F1 , la cual es el resultado de la fuerza F ejercida a través de una palanca.
Se requiere determinar la fuerza ejercida en el pistón 2.
13
a
b
Figura 1.9. Prensa hidráulica.
Solución: Conocido que la suma de momentos con relación al punto de
apoyo “0” equivale a:
∑ M o = 0 ; F1 b = F (a + b )
De esta forma, la fuerza ejercida en el pistón equivale a:
a+b
F1 = F 

 b 
la cual genera una presión en primer pistón, equivalente a:
p=
4 F1
π d2
Esta a su vez crea una fuerza en el pistón 2 equivalente a:
F2 = p
π D2
4
 a + b  D 
= F
 
 b  d 
2
Ejercicio 1.4: Se tienen dos prensas hidráulicas formadas cada una por dos
cilindros y dos pistones unidos a través de un pequeño tubo, cuyos diámetros
son d y D respectivamente, (ver figura 1.9); sobre el pistón de menor diámetro
actúa la fuerza, la cual es el resultado de la fuerza ejercida a través del extremo
de la palanca. En las dos prensas la fuerza F y las longitudes a y b son iguales;
la diferencia entre las dos prensas es el punto de apoyo “O”. Se requiere
determinar en cuál de las prensas es mayor la fuerza ejercida en el pistón 2.
Ejercicio 1.5: Una prensa hidráulica esta formada por dos cilindros y dos
pistones unidos a través de un pequeño tubo, cuyos diámetros son d = 25 mm y
D = 250 mm respectivamente, (ver figura 1.9). Sobre el pistón de menor
diámetro actúa la fuerza F1 , la cual es el resultado de la fuerza F = 200 N
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ejercida a través de una palanca. Se requiere determinar la fuerza ejercida en el
pistón 2, si la eficiencia de la prensa es de 0.8.
Solución: 176 KN.
Ejercicio 1.6: Se requiere determinar si la fuerza que ejerce una persona,
puede levantar un peso de 20 toneladas, con la ayuda de un gato hidráulico,
cuyas dimensiones son las siguientes: d = 20 mm , D = 200 mm , a = 1.0 m, b =
0.1 m y eficiencia 0.87 (ver figura 1.9).
1.3. Presión de los líquidos sobre superficies
Determinar la presión ejercida por los líquidos sobre las superficies, tiene un
gran significado práctico en el cálculo y dimensionamiento de instalaciones
hidráulicas, como: presas reguladoras, ataguías, compuertas, entre otros. En
estas instalaciones se necesita establecer la magnitud y el punto de aplicación
de la fuerza resultante y equilibrante de la fuerza de presión sobre la superficie;
la cual usualmente se calcula sin la presión atmosférica.
Presión hidrostática sobre una superficie plana sumergida
Consideremos el caso general en que el plano donde se encuentra la
superficie plana sumergida W forme un ángulo α con el plano piezométrico (ver
figura 1.10). La presión p en cada punto multiplicada por una parte del área dw
forma un sistema de fuerzas elementales paralelas dF, normales al plano W
cuya resultante es una fuerza normal también a dicho plano.
dF = pdw = ρ g h dw
Donde: h es la altura de presión, la cual corresponde a la profundidad del
punto con respecto a la superficie libre o plano piezométrico.
En el caso de la superficie plana sumergida (ver figura 1.10), se tiene que la
presión p equivale a: p = ρ g h , de esta se deduce que la altura de presión h
equivale a:
p
h=
= y senα
ρ*g
La fuerza elemental dF debida a la presión sobre el plano dw equivale a:
15
dF = pdw = ρ g h dw = ρ g y senα dw
Dado que todas las fuerzas dF son paralelas, la fuerza resultante F debida a
la presión equivale a:
F = ∫ dF = ρ g senα ∫ y dw .
Donde: ρ * g senα es una constante y
∫ y dw es el momento estático.
Figura 1.10. Fuerza total debido a la presión de un fluido sobre una
superficie plana W y de su punto de aplicación llamado centro de presiones C.
No obstante, según la definición de centro de gravedad se tiene que:
∫ y dw = yGW ; donde yG es la coordenada y del centro de gravedad G.
De esta forma la fuerza de presión equivale a:
F = ρ g senα yGW
La fuerza de presión se puede expresar en: Newton, kilogramo fuerza, entre
otros.
De acuerdo con el análisis anterior se deduce que la resultante de las fuerzas
debidas a la presión sobre una superficie plana sumergida es igual al producto
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del peso específico del líquido γ, por la profundidad del centro de gravedad con
relación al plano piezométrico y por el área de la superficie.
Sin embargo, la intersección de la línea de aplicación de esta fuerza con la
superficie W determina un punto C, que se llama centro de presión, el cual no
coincide con el centro de gravedad G de W (ver figura 1.10).
La ordenada del centro de presión yc se determinan igualando el momento
con relación al eje O-x de la resultante de las fuerzas generadas por la presión a
la suma de los momentos de las componentes se tiene:
F yC = ∫ y dF = ρ g senα ∫ y 2 dw ,
La ecuación anterior se deduce que el centro de presión yC equivale a:
yC =
Y finalmente
ρ g senα ∫ y 2 dw
ρ g senα ∫ ydw
∫ y dw = I
=
∫ y dw W y
,
2
yC
x
G
Donde: yc es la ordenada y del centro de presiones C; Ix es el momento de
inercia de la superficie w con relación al eje O-x; yG es la ordenada y del centro
de gravedad y W es el área de la superficie.
Sin embargo, el momento de inercia se puede expresar en relación al
momento de inercia que pasa por su centro de gravedad IO y es paralelo al eje
O-x, de la siguiente forma:
I x = I o + yC2 W
De esta forma la coordenada del centro de presión es:
yC = yG +
Io
yG W
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La expresión anterior indica que el centro de presión se encontrará por
debajo del centro de gravedad, excepto cuando el plano sea horizontal.
Adicionalmente en el instante en que la figura sea simétrica con relación al eje
O-y, el centro de presión y de gravedad estarán ubicados sobre un mismo eje.
Si la figura no es simétrica con relación al eje O-y, de igual forma a través de la
igualdad de momentos se determina la abscisa Xc.
En la tabla 1.1 están dados los momentos de inercia IO para diferentes figuras
planas, que pasan por el centro de gravedad y la ordenada del centro de
gravedad yG.
Tabla 1.1. Momento de inercia y coordenadas del centro de gravedad.
Figura
IO
yG
b h3
12
h
2
b h3
36
2
h
3
h 3  a 2 + 4ab + b 2 


a+b
36 

π R4
4
h  a + 2b 


3 a+b 
R
18
Fuerza de presión sobre planos horizontales
La fuerza de presión actuante sobre planos horizontales F (ver figura 1.11),
equivale al producto entre la presión hidrostática p ejercida sobre cualquier
punto del plano horizontal y su área W , esto es:
F = p w = ρ g * hW
Donde: ρ g es el peso específico del líquido, h: es la altura a la que se
encuentra el plano bajo la superficie libre y W es el área.
Figura 1.11. Presión sobre un plano horizontal.
La acción de las fuerzas de presión es siempre normal a la superficie sobre la
cual ella actúa; en este caso su acción sigue la dirección de la vertical
perpendicular al plano que es horizontal. Su punto de aplicación está en el
centro de gravedad del prisma de agua “C”, y su acción sobre el fondo en el
punto “C´”.
La presión del líquido distribuida en diferentes recipientes de forma y
medida (ver figura 1.12), pero en los fondos con áreas iguales w estarán llenos
hasta una misma altura h. Para demostrarlo seguiremos la figura 1.12, en la que
se observan varios tubos de diferentes formas y volúmenes que terminan en un
ducto en el fondo con áreas iguales w y llenos hasta una misma altura h. La
presión en cada uno de ellos equivale a:
p A = po + ρ g hA , pB = po + ρ g hB , pC = po + ρ g hC y
pD = po + ρ g hD
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Dado que la presión es la misma en cualquier punto que tenga igual
profundidad, se tiene:
po + ρ g hA = po + ρ g hB = po + ρ g hC = po + ρ g hD
En la relación anterior la presión atmosférica y el peso específico es igual,
por tanto, se tiene que:
hA = hB = hC = hD
Figura 1.12. Paradoja hidrostática.
Esto en física es conocido como la paradoja hidrostática y se argumenta
cuando se sabe que la fuerza de presión depende de la presión hidrostática y del
área de la base, sobre la cual ésta actúa.
Ejemplo 1.4: Calcular la fuerza de presión que ejerce el agua sobre el fondo
de un recipiente que tiene una profundidad de 2,5 m; las dimensiones del fondo
son: largo 3 metros y ancho 2 metros (ver figura 1.12).
Solución: El área del fondo del recipiente: W = 2 * 3 = 6 m 2
La presión unitaria:
p = ρ g h = 1* 2.5 = 2.5 t / m 2
La fuerza de presión: F = ρ g h W ; F = 1* 2.5 * 6 = 15
t
La fuerza (F) es vertical y actúa perpendicularmente a la base del recipiente;
su punto de aplicación y su proyección sobre el fondo es C.
20
Ejemplo 1.5: Para evitar que los gases de los desagües lleguen a lugar
cerrados se instalan sifones (ver figura 1.13). Estos elementos tienen forma de
una «S» horizontal, que les permite que al desaguar un aparato, el agua tome
una velocidad vertical elevada que arrastra consigo aire, originando un vacío
que va desde pvacio = 0,005 hasta pvacio = 490 Pa. Esta condición obliga a que
se requiera una altura mínima para que el sifón funcione.
¿Cuál debe ser esta altura mínima?
Solución: La altura mínima equivale a:
p
490
h = vacio =
= 0,05 m
ρ g 9,81*1000
Figura 1.13. Sifón.
Fuerza sobre planos verticales
De igual forma como se aclaró anteriormente el valor de la fuerza de presión
de un líquido se determina como el producto de la presión por el área de la base
sobre la cual ésta actúa. Sin embargo, si el plano no está en una posición
horizontal y sus diferentes puntos tienen distintas profundidades, la presión de
cada uno de estos aumenta con la profundidad; de esta forma la presión sobre
tales planos, equivale a la presión hidrostática media (obtenida de las presiones
hidrostáticas para diferentes puntos) multiplicada por el área.
En el plano vertical la presión hidrostática media, equivale a la semisuma de
las presiones en los planos horizontales superior e inferior (ver figura 1.4).
P=
PA + PB ρ g h
=
2
2
La fuerza de presión en el plano vertical equivale al producto de la presión
media por el área del plano:
21
F = PW =
ρ gh
2
(hb) =
1
ρg h
2
2
b
El centro de presión para una superficie cuadrada siguiendo la información
de la tabla 1.1, equivale a:
bh 3
I
h
h
yC = yG + o = + 12 =
yG W 2 h bh 3
2
De esta forma, la fuerza de presión que tiene una dirección horizontal actúa
con un brazo de acción igual a 1/3 de h, medido por la base del triángulo de
presión.
Ejemplo 1.6: Calcular la fuerza de presión sobre una pared vertical en un
recipiente con una profundidad del agua de 2,5 m y un ancho de la superficie de
3 m.
Solución: La fuerza de presión en el plano vertical equivale a:
1
1,0 * (2.5) 2
2
* 3 = 9.375 (t ) = 9375 (kg )
F = PW = ρ g h b =
2
2
El punto de aplicación de la fuerza F se ubica a 1/3 de h; es decir a 0,83 m
(medido desde la base del recipiente).
Ejemplo 1.7: Una compuerta con un ancho b retiene el agua hasta una altura
h. Se requiere dividir la fuerza de presión que ejerce el agua sobre la
compuerta en n esfuerzos de igual magnitud (ver figura 1.14). Determinar la
fuerza de presión del agua sobre la compuerta y determinar las profundidades a
las cuales están ubicados cada uno de ellos.
Solución: La fuerza de presión sobre la compuerta equivale a:
1
F = ρ g*h 2 b
2
De acuerdo con las condiciones dadas, cada uno de los esfuerzos son iguales,
es decir:
22
F 1 ρg h 2 b
=
= F1 = F2 = F3 ...... = Fn
n 2
n
Donde: n es el número de espacios.
La fuerza de presión ejercida sobre el primer espacio, equivale a:
F1 =
F 1
1 ρ gh 2 b
= ρ g (h1 ) 2 b =
n
n 2
2
Donde: h1 es la profundidad a la cual se encontrara el primer espacio.
En consecuencia, al despejar de la ecuación anterior, la primera profundidad
es:
h1 =
2 F1
h
=
ρ gb
n
Figura 1.14. Acción de la fuerza de presión sobre la compuerta.
La fuerza de presión ejercida en el segundo espacio, equivale a:
F1 =
F 1
1
1 ρgh
= ρ g (h2 ) 2 b − ρ g (h1 ) 2 b =
n 2
2
2
n
2
b
Donde: h2 es la profundidad a la cual se encontrara el primer espacio.
Al despejar de la ecuación anterior las variables comunes se tiene:
23
(h2 )
− (h1 )
2
2
h2
=
n
En consecuencia, al despejar de la ecuación anterior, la segunda profundidad
es:
h2 =
h2
2
+ (h1 )
n
Siguiendo igual procedimiento, los siguientes espacios se encontrarán a una
distancia de:
hi =
h2
2
+ (h(n−1) )
n
Ejemplo 1.8: La compuerta de un canal tiene un ancho b =3,0 m y retiene
agua hasta una altura h = 5,0 m. Para reforzar la misma se proyectan 3 vigas
horizontales. Calcular la fuerza de presión de agua sobre la compuerta y
determinar las profundidades de las vigas con la condición de que cada una de
ellas esté igualmente cargada.
Solución: La fuerza de presión ejercida sobre la compuerta equivale a:
F = 375000 (kg )
De acuerdo con las condiciones de los rieles que deben estar igualmente
cargados, cada uno bajo presión de agua, es decir:
F 37.5
=
= 12.5 t = 125000 (kg )
3
3
El cumplimiento de esta condición requiere que el triángulo de presión de
presiones sea dividido en tres partes iguales en área (ver figura 1.15).
La primera línea divisoria 1-1 se encuentra a una profundidad de:
h1 =
h
5,0
=
= 2.89 m ;
3
3
Para la segunda línea divisoria 2-2 se encuentra a una profundidad de:
h2 = h
2
2
=5
= 4.08m
3
3
24
La profundidad a la cual debe estar ubicada cada viga debe coincidir con su
centrode gravedad (ver figura 1.15):
Figura 1.15. Acción de la fuerza de presión sobre la compuerta.
•
La primera viga tiene la siguiente profundidad:
•
La segunda viga tiene la siguiente profundidad (ver figura 1.14):
1
2
Y1 = h1 − e1 = h1 − h1 = * 2.89 = 1.93m
3
3
 2m + n   h2 − h1 
Y2 = h2 − e2 = h2 − 
 = 4.08 − 0.55 = 3.53m

 m + n  3 
•
La tercera viga tiene la siguiente profundidad:
Y3 = h − e3 = 5 − 0.44 = 4.56m
Ejercicio 1.7: Determine analíticamente la presión resultante en una
compuerta de altura h y ancho b ubicada en un canal y apoyada en un muro
superior, cuyo nivel aguas arriba es H1 y aguas abajo es H2 (ver figura 1.7.a).
Ejercicio 1.8: Para una compuerta inclinada con respecto a la horizontal en
un ángulo β, de altura H y ancho B, se requiere determinar analíticamente la
profundidad a la que debe estar cada uno de los cinco apoyos, con el propósito
de que las fuerzas sean iguales en cada uno (ver figura 1.7.b).
Ejercicio 1.9: Apoyada en un muro se ubica una compuerta de altura h y
ancho b, la cual está compuesta por una lámina de hierro de un área equivalente
a ( h b ) y cuatro vigas horizontales, sobre las cuales el agua ejerce igual fuerza
25
de presión (ver figura 1.16.a). Determine analíticamente a que distancia se
encuentra cada viga del nivel superior.
a
Figura 1.16. Compuerta ubicada en un canal.
b
Ejercicio 1.10: Se tiene una estructura en forma de triángulo que separa dos
volúmenes de dos líquidos que tienen el mismo nivel a una altura H, tal como
se indica en la figura 1.16.b. Se requiere determinar analíticamente cuáles
deben ser los ángulos del triángulo para que la resultante de fuerzas sea cero,
considerando que el líquido de la izquierda es aceite y el de la derecha es agua.
Fuerzas de presión de los líquidos sobre superficies cilíndricas
sumergidas.
Las superficies cilíndricas, tales como: tuberías, compuertas radiales,
sectores y otras instalaciones de la presa, están sometidas a la fuerza de presión
que ejerce el agua sobre esas superficies. Esta fuerza F que se ejerce sobre
estos planos cilíndricos se puede analizar al tomar un tramo de una superficie
cilíndrica, tal como se indica en la figura 1.17. En esta figura se observa que la
superficie cilíndrica AB está expuesta en su parte izquierda a la presión del
líquido y adicionalmente se admite que la parte inferior de esta superficie “B”
se encuentra a una profundidad h de la superficie. El plano vertical, trazado por
A, y horizontal trazado por B, forman el cuerpo inclinado ABC, representado en
axonometría adjunta a la figura.
La fuerza de presión de presión F sobre la superficie cilíndrica actúa en
forma normal al plano con un ángulo φ referido a la horizontal. Esta fuerza se
descompone en dos fuerzas: una horizontal y otra vertical.
La componente de la fuerza de la presión horizontal del líquido actuante
sobre una parte del área proyectada dw en el lado AC, equivale a:
dFX = dF cos ϕ = ρ g h dw cos ϕ
26
Donde: dw cos ϕ = dwX corresponde a la proyección del área sobre el plano
perpendicular al eje O-X.
Figura 1.17. Fuerza de presión sobre superficies cilíndricas.
La fuerza total de la presión horizontal del líquido actuante sobre el área W
en el lado AC, equivale a:
FX = ∫ dFX = ∫ ρ g h dw X = ρ g ∫ h dw X
W
Donde:
∫ h dw
X
W
es el momento estático del área wx , el cual según la
W
definición de centro de gravedad equivale a
coordenada y del centro de gravedad.
∫ h dw
X
= yG W X ; donde y G es la
W
De esta forma la fuerza total de la presión horizontal del líquido actuante
sobre una superficie cilíndrica equivale al producto de la fuerza de presión
sobre la proyección vertical.
FX = ρ g yG X W X
La componente de la fuerza de la presión vertical del líquido actuante en
sentido de abajo hacia arriba sobre el plano horizontal de una parte del área dw
en el lado BC, equivale a:
dFY = sin ϕ dF = sin ϕ ρ g h dw
Donde: dw sin ϕ = dwY corresponde a la proyección del área sobre el plano
horizontal.
27
La fuerza total de la presión vertical del líquido actuante sobre el área W en
el lado BC, equivale a:
FY = ∫ dFY = ∫ ρ g h dwY = ρ g ∫ h dwY
W
Donde:
∫ h dw
Y
W
= dv corresponde una parte del volumen.
W
De esta forma la fuerza total de la presión vertical del líquido actuante sobre
el área W en el lado BC, equivale a:
FY = ∫ dFY = ∫ ρ g dv = ρ g V
W
Donde: V corresponde al volumen del cuerpo de presión, ubicado sobre toda
el área de la superficie cilíndrica, ρ g V equivale al peso del líquido, ubicado
sobre toda el área de la superficie cilíndrica, el cual ejerce presión sobre esta.
El sentido de la fuerza vertical determina el volumen del cuerpo de presión
de agua que incide sobre la superficie cilíndrica, de tal forma que, si su
dirección es hacia el fondo, el volumen es real y si su dirección es hacia arriba
el volumen que incide sobre la superficie es imaginario. La figura 1.18 nos
muestra el sentido de la fuerza de presión para cada uno de los volúmenes, bien
sea real o imaginario.
Figura 1.18. Sentido de la fuerza de presión vertical según el volumen del
cuerpo de presión.
La fuerza de la presión F que actúa normal sobre la superficie cilíndrica es:
F = FX2 + FY2
La fuerza de presión horizontal actúa sobre la superficie cilíndrica con un
brazo de acción igual a 1/3 de h medido desde el fondo y la fuerza de presión
28
vertical pasa por el punto O´, el cual corresponde al centro de gravedad del
cuerpo.
La fuerza de la presión F actúa bajo una pendiente, cuyo ángulo con la
horizontal es:
F
tan α = Y
FX
Si se considera que la superficie cilíndrica es además cónica;
simultáneamente a las fuerzas anteriores se tiene otra componente sobre el eje
O-Z, equivalente a:
FZ = ρ g yG Z WZ
En esta condición la fuerza de presión para una superficie cilíndrica y cónica
F que actúa normal sobre la superficie cilíndrica es:
F = FX2 + FY2 + FZ2
Ejemplo 1.9: Una compuerta radial corresponde al segmento de una
circunferencia de radio R = 2.0 m, con un ángulo β = 45°, y de ancho b = 5.0
m; el eje de la compuerta coincide con nivel del agua (ver figura 1.19). Se
requiere determinar la fuerza de presión ejercida sobre la compuerta y la
coordenada del centro de presión.
Solución: La profundidad del agua, equivale a:
H = R sin β = 2 sin 45° = 1.41 m
La componente de la fuerza de presión horizontal del líquido actuante sobre
el segmento de la superficie cilíndrica, equivale a:
FX =
ρ g H 2 b 10 3 * 9.81*1.412 * 5
2
=
2
= 49 kN
La componente de la fuerza de presión vertical del líquido, equivale a:
FY = ρ g V = ρ g b S AKB
Donde: S AKB corresponde al área de 1/8 del circulo menos el área del
triangulo S OKB .
S AKB
 π R 2   H 2  3.14 * 2 2 1.412
 − 
 =
= 
−
= 0.58 m 2
8
2
 8   2 
29
FY = 10 3 * 9.81* 5 * 0.58 = 28.4 kN
Figura 1.19. Compuerta radial
La fuerza total de presión es:
F = FX2 + FY2 = 19 2 + 28.4 2 = 56.6 kN
El ángulo α equivale a:
cos α =
Fy
F
=
28.4
= 0.50 ; α = 60º
56.6
La coordenada del centro de presión se ubica a una distancia de:
z = R cos α = 2 * 0.50 = 1.0 m
Ejercicio 1.11: Para la figura 1.18 se requiere determinar en qué condición
es mayor la fuerza de presión, si para el volumen real o el imaginario.
Ejercicio 1.12: Para la figura 1.18 se requiere determinar en la condición de
volumen real si la fuerza de presión en mayor para el caso de que esté llena con
aceite.
Ejercicio 1.13: Una compuerta radial corresponde al segmento de un cuarto
de circunferencia de radio R = 1.2 m y ancho b = 3.0 m. Se requiere determinar
la fuerza de presión ejercida sobre la compuerta y las coordenadas de los puntos
de aplicación de las fuerzas horizontal y vertical (ver figura 1.20).
30
Figura 1.20. Compuerta radial.
Solución: F = 39.4 kN; Yc = 0.8 m; Xc = 0.691 m.
Ejercicio 1.14: Una compuerta radial corresponde al segmento de una
circunferencia de radio R, con un ángulo β = 45°, y de ancho b; el eje de la
compuerta coincide con nivel del agua. Para reforzar la misma se proyectan 3
vigas horizontales. Se requiere determinar analíticamente la fuerza de presión
de agua sobre la compuerta y determinar las profundidades de las vigas con la
condición de que cada una de ellas esté igualmente cargada.
1.4. Flotación de los cuerpos
Sobre la superficie de un cuerpo de dimensiones ABCD, sumergido en un
líquido se ejerce una presión; cuya resultante está formada por las componentes
horizontales y verticales, correspondientes a cada uno de los ejes de un sistema
coordenado (ver figura 1.21). En este cuerpo la resultante de las fuerzas de
presión ejercidas sobre las superficies laterales son de igual magnitud:
FAD = FBC , por tanto su resultante es cero; sin embargo las presiones verticales
que se ejercen sobre el plano horizontal superior e inferior dependen de la
profundidad y equivalen al peso del líquido contenido, correspondiente al
volumen del cuerpo de presión:
FAB = ρ g h1 wAB = ρ g VAEFB y FCD = ρ g h2 WCD = ρ g VDEFC
La fuerza vertical de presión resultante es ascendente y equivale a:
31
F = FCD − FAB = ρ g (VDEFC − V AEFB ) = ρ g V ABCD
Donde: VABCD corresponde al volumen del cuerpo.
Figura 1.21. Presión sobre un cuerpo sumergido en un líquido.
El análisis anterior fue realizado en la antigüedad, hace 250 años antes de
nuestra era por el científico Arquímedes; quien enunció la siguiente ley: sobre
todo cuerpo sumergido en un líquido se ejerce una fuerza de presión
equivalente al peso del volumen del líquido desalojado por el cuerpo. La
fuerza de presión (F), ejercida por el líquido sobre el cuerpo, se denomina
fuerza de empuje o simplemente empuje.
Condiciones de equilibrio de los cuerpos flotantes
De la ley de Arquímedes se deduce que sobre todo cuerpo sumergido en un
líquido actúan dos fuerzas verticales: la fuerza correspondiente al peso del
cuerpo G = ρ c g Vc y la fuerza del empuje F = ρ g Vi (figura 1.21), que es igual al
peso del volumen del líquido desplazado por él.
El análisis de fuerzas, para un cuerpo que está sumergido es el siguiente:
G − F = ρ c g Vc − ρ g Vi = g V ( ρ c − ρ ) ,
esto indica, que son posibles los subsiguientes tres casos (ver figura 1.21):
1. Si el cuerpo pesa menos que el líquido desplazado por él, esto es G ⟨ F ,
el cuerpo emergerá a la superficie del líquido y en consecuencia: ρ c ⟨ ρ .
2. Si el peso del cuerpo es mayor que el volumen del líquido desplazado,
esto es, G ⟩ F el cuerpo se hundirá y en consecuencia: ρ c ⟩ ρ .
32
3. Si el peso del cuerpo es igual al volumen del líquido desplazado, es decir,
G = F , queda allí donde fue situado y no se hunde y en consecuencia:
ρc = ρ .
De esta forma la condición fundamental de equilibrio de los cuerpos flotantes
es:
G = F = ρ gV
Donde: G es el peso del cuerpo, F es la fuerza de empuje, V es el volumen del
líquido desplazado y ρ es la densidad del líquido.
Ejemplo 1.10: Determinar la profundidad a la cual se sumerge un pedazo de
madera flotando en el agua con un peso específico γ = 0,7 t/m3 y asumiendo
que tiene un largo de 40 cm, una altura de 20 cm y un ancho de 25cm.
Solución: El peso del cuerpo: G = 0,40 * 0,20 * 700 = 14 Kg.
Si se señala la profundidad de la parte sumergida en Z, el peso del agua
desplazada por el cuerpo es: P = γ V = 0,40 * 0,25 * Z *1000 = 100 * Z
Para el equilibrio del cuerpo es necesario G = P. Sustituyendo valores en la
igualdad anterior se tiene: 100*Z = 14, donde Z = (14/100) = 0,14m = 14 cm.
Ejemplo 1.11: El agua suministrada a un tanque por un tubo de diámetro d=
1.2 cm, a través de la válvula abierta V1 tiene una presión ∆p de 0.25 MPa (ver
figura 1.22.a). Dentro del tanque un brazo articulado sostiene un flotador f1 de
diámetro D=10 cm, sumergido a una profundidad de 3.0 cm. Sobre el brazo
articulado a una longitud de l1= 20 cm esta apoyado el accionamiento de
apertura o cierre de la válvula V1; seguidamente a una distancia de l2= 30 cm
esta suspendido el flotador. Se requiere determinar el incremento de nivel ∆h
necesario, tal que la fuerza de empuje en el flotador cierre la válvula abierta V1.
Solución: La fuerza de presión F2 que actúa sobre la válvula abierta V1
equivale a:
F2 = ∆p W = ∆p
π d2
4
6
= 0.25 *10 *
π *1.2 2
4
*10 −4 = 28.26 N
Dado que el brazo tiene un movimiento radial, cuya articulación se encuentra
en el punto a, la suma de momentos indica:
∑ M a = 0 ; F2 l1 − F1 (l1 + l2 ) = 0
de la ecuación anterior, se puede determinar la fuerza de empuje F1:
 l
F1 = F2  1
 l1 + l 2

10
 = 28.26
= 9.42 N
10 + 20

33
Conocido que la fuerza de empuje ejercida sobre el flotador equivale
a: F2 = ρ g V f 1
a
Figura 1.22. Tanque con regulación de nivel.
b
Se deduce que el incremento de nivel ∆h necesario, para cerrar la válvula
abierta V1 es:
∆h =
4 F2
4 * 9.42
= 4
= 0.12 m = 12 cm
2
ρ g π D 10 * π * (0.1)2
Y al final la profundidad a la que estará sumergido el flotador será: 15 cm.
Ejercicio 1.15: Para el ejemplo 1.10 se requiere determinar, que en la
condición que este tanque sea llenado con aceite el incremento de nivel ∆h
necesario es mayor que si es llenado con agua.
Ejercicio 1.16: Siguiendo el texto del ejemplo 1.10 en el cual se requiere
determinar el incremento de nivel ∆h necesario para cerrar la válvula. Se
requiere determinar en cuál de las condiciones indicadas en las figuras: 1.22.a o
1.22.b, el nivel ∆h necesario es mayor.
Ejercicio 1.17: En el tanque indicado en la figura 1.22.a se encuentra un
flotador f2 de diámetro D2 que está unido a través de una cuerda de longitud h a
un peso de diámetro de D y una masa de M, que cierra la válvula V2 para evitar
que el tanque se desagüe. Se requiere determinar el incremento de nivel ∆h
necesario, tal que la fuerza de empuje en el flotador abra la válvula V2 .
34
a
Figura 1.23. Tanque con sello de nivel.
b
Ejercicio 1.18: Para el ejercicio 1.13 determine si es posible abrir la
válvula V2, bajo la condición que los diámetros del flotador f2 y del peso son
iguales (D2 = D).
Ejercicio 1.19: Para el ejercicio 1.13 se requiere determinar si el incremento
de nivel ∆h necesario para abrir la válvula V2 es mayor, bajo la condición que
este tanque sea llenado con aceite en lugar de agua.
Ejercicio 1.20: Para el ejercicio 1.13 se requiere determinar en cuál de los
dos flotadores f2 el incremento de nivel ∆h necesario para abrir la válvula V2 es
mayor, bajo la condición que en uno de ellos el flotador es un cilindro (figura
1.23.a) y en el otro es una esfera (ver figura 1.23.b).