Cómo plantear y resolver problemas - Análisis

ANÁLISIS: “¿CÓMO PLANTEAR Y RESOLVER PROBLEMAS?”
-GEORGE POLYA-
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE COLOMBIA
PROGRAMA INGENIERÍA CIVIL
CÁCULO DIFERENCIAL - PRIMER SEMESTRE
PRESENTADO POR
• FELIPE GORDILLO -508606• SANTIAGO ZARTA -508512• JUAN VARGAS -508450-
Introducción
George Polya nació en Hungría en 1887 y murió en Estados Unidos en 1985.
Fue una elogiado y galardonado matemático, conocido por su incríble trabajo
acerca de la pedagogía en las matemáticas.
Su grandiosa obra “Cómo plantear y resolver problemas “, publicada en 1945, ha
sido un gran instrumento utilizado por muchos veteranos y principiantes en el
mundo de las matemáticas.
Polya tenía como obejtivo el despertar y motivar el ingenio del lector, para así
animarlo de cara a la resolución de problemas, no sólo matemáticos, también de
la vida cotidiana. Así mismo se preocupaba por la metodología de enseñanza y
aprendizaje, en donde, en su obra, da consejos tanto a maestros como a
estudiantes, para así lograr una armonía en el aprendizaje, donde el estudiante
no tome con miedo nuevos temas, y que al contrario lo vea como un reto a
superar de la mano de su mentor.
A continuación se mostrarán algunos pasos y definiciones dadas por Polya en su
obra.
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1. ¿Qué es un problema?
Un problema matemático plantea siempre una pregunta y establece unas
determinadas condiciones. Usualmente esa pregunta la vemos como una
incógnita, acerca de alguna entidad matemática, la cual debemos hallar a
partir de otra entidad del mismo tipo y que a la vez satisfaga las
condiciones ya mencionadas.
2. Partes de un problema.
1° Comprender el problema.
En este paso se debe poner atención muy detallada a qué es lo que se
pide resolver, ya que generalmente es la etapa más complicada a superar.
Se deben plantear preguntas como “¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son
los datos? ¿Cuál es la condición?”. Es recomendable usar analogías para
este paso; si es de dificultad encontrar una, se requiere la imitación hacia
personas que hallan resuelto el tipo de problema identificado. Para la
resolución del problema es necesario tener ciertos conociemientos sobre
el tema del tipo de problema.
2° Crear un plan.
En este paso se debe recordar si el problema a resolver es similar a algún
otro problema ya antes resuelto, e identificar si es aplicable la estrategia
antes utilizada. Polya nos anima a utilizar conocimientos ya antes
demostrados, ya que para él, el saber se contruye apartir de lo realizado
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por alguien más. Pero sólo los conocimientos no bastarán, ya que entra el
juego la imaginación y capacidad para saberlos utilizar correctamente.
3° Ejecutar el plan.
Al ya tener en claro todas las herramientas a utilizar, el plan pensado debe
ser ejecutados. En este paso se hace especial uso de conocimientos
previamente aprendido en el área. Es de advertir, que en este paso, de
debe tener sumo cuidado con pequeños detalles, siempre tomando el
tiempo necesario, ya que variará entre los diferentes tipos de problemas.
4° Examinar la solución obtenida.
El análisis del resultado es el paso final, y quizá, el más importante. Se da
lugar al gran descubrimiento y culminación de todo un proceso, en el cual
se debe analizar todo lo hecho para haber dado lugar a la respuesta final.
Acá de da la consolidación de conocimientos, habiendo desarrollado más
las capacidades ya adquiridas.
Si aún no se ha llegado a una respuesta que satisfaga todos los datos del
problema, se recomienda mirar hacia atrás paso por paso, e identificar en
donde se halla el error. Si el error persiste, y se hace totalmente ajeno a
quien resuelve el problema, G. Polya recomienda: “Si no puedes resolver
el problema propuesto, intenta resolver primero un problema relacionado.
¿Podrías imaginar un problema relacionado más accesible?”
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3. Clases de problemas.
•Problemas aritméticos: Aquellos que presentan en su enunciado
datos en forma de cantidades, y establecen entre ellas relaciones de tipo
cuantitativo. Se hace necesarias las operaciones aritméticas para llevar a
cabo su resolución.
-De primer nivel: De un sólo paso, una única operación.
-De segundo nivel: De tipo combinado. Necesarias varias operaciones en
un orden en específico.
-De tercer nivel: Aquellos en que los datos del enunciado no son números
naturales, en su lugar son números decimales o fraccionarios.
•Problemas geométricos: El componente aritmético pasa a un
segundo plano, y reina la imprtancia de lo relacionado con aspectos
geométricos.
•Problemas de razonamiento lógico: Este tipo de problema permite
el desarrollo de diferentes destrezas para afrontar situaciones de tipo
lógico, un claro ejemplo es el sudoku.
•Problemas de recuento sistemático: Problemas que tienen varias
soluciones, y es de menester encontarlas todas. Pueden ser tanto de
ámbito numérico como geométrico.
•Problemas de razonamiento inductivo: Consta de enunciar
propiedades numéricas o geométricas a partir del descubrimiento de
regularidades y patrones visibles.
•Problemas de probabilidad: Situaciones en las cuales, a partir de
datos seleccionados, se puede descubrir la viabilidad o no de algunas
futuras situaciones, haciendo predicciones con base científica.
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4. Elección de un problema, identificación de sus partes y
clasificación.
-Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el origen y el
punto (2;4)
Desde primer momento, podemos notar que es un problema aritmético, de
segundo o tercer nivel.
Para la resolución de este problema, nos dan dos datos. Específicamente
dos puntos de una gráfica, el punto (0;0) y el punto (2;4). A su vez, ya
podemos identificar que tenemos que hallar, una ecuación.
Con conocimientos previamente adquiridos sabemos que la ecuación será
de tipo lineal, de la forma y=mx+b.
Teniendo dos puntos, podemos hacer uso de la ecuación de la pendiente
(m), la cual es:
m=Y2-Y1/X2-X1
Al reemplazar nos quedaría:
m=4-0/2-0
m=4/2
m=2
Al haber hallado la pendiente podemos reemplazar en la ecuación:
y=2x+b
Seguimos con el proceso para hallar “b”, por lo cual tomamos cualquier
punto dado en el enunciado del problema, y reemplazandolo en la
ecuación.
Punto tomado: (2;4)
y=2x+b
4=2(2)+b
4-4=b
0=b
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Finalmente podemos escribir toda la ecuación.
y=2x+0
y=2x
Y la gráfica sería:
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