Funciones caracterı́sticas Prof. Campos Probabilidad [email protected] Lunes 11 de Mayo Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 1 / 30 Funciones caracterı́sticas Definición 1 Si α es una distribución sobre R, se define su función caracterı́stica φ(t) por la igualdad Z φ(t) = e itx dα. Funciones caracterı́sticas Definición 1 Si α es una distribución sobre R, se define su función caracterı́stica φ(t) por la igualdad Z φ(t) = e itx dα. 2 Algunos ejemplos sencillos: Si X = Bin (n, p) entonces φ(t) = (pe it + 1 − p)n . it Si X = Poiss (λ) entonces φ(t) = e λ(e −1) . sen t Si X = U(−1, 1) entonces φ(t) = . t 22 σ t Si X = N (µ, σ 2 ) entonces φ(t) = e iµt− 2 . Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 2 / 30 Funciones caracterı́sticas Propiedades básicas 1 φ es uniformemente continua. Demostración. Es una aplicación del Teorema de Convergencia acotada. Z φ(t) − φ(s) ≤ e i(t−s)x − 1 dα → 0, cuando |t − s| → 0. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 3 / 30 Funciones caracterı́sticas Propiedades básicas 2 φ es definita positiva, es decir para n números complejos ξ1 , . . . , ξn y n números reales t1 , . . . , tn , n X φ(ti − tj )ξj ξ¯j ≥ 0. i,j=1 Demostración. n X φ(ti − tj )ξj ξ¯j = i,j=1 n X ξi ξ¯j Z e (ti −tj )x dα = i,j=1 Prof. Campos (UCR) Z X n 2 ξj e itj x dα ≥ 0. j=1 Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 4 / 30 Funciones caracterı́sticas Propiedades básicas 3 Si φX (t) es la función caracterı́stica de una variable aleatoria X con distribución α entonces φaX +b (t) = e itb φX (at). Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 5 / 30 Funciones caracterı́sticas Propiedades básicas 3 Si φX (t) es la función caracterı́stica de una variable aleatoria X con distribución α entonces φaX +b (t) = e itb φX (at). 4 φ(−X ) (t) = φ(−t) = φ(t). Por lo tanto, X es simétrica sii φ(t) ∈ R, ∀ t. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 5 / 30 Funciones caracterı́sticas Relación con los momentos de X Sea X una variable aleatoria con distribución α y función caracterı́stica φ. 1 Si E|X |n < ∞ para algún n ∈ N, entonces Resto de Taylor φ(t) − n X k=0 z }| { h n 2|t|n |X |n |t|n+1 |X |n+1 oi (it)k k E[X ] ≤ E mı́n , . k! n! (n + 1)! Funciones caracterı́sticas Relación con los momentos de X Sea X una variable aleatoria con distribución α y función caracterı́stica φ. 1 Si E|X |n < ∞ para algún n ∈ N, entonces Resto de Taylor φ(t) − n X k=0 2 z }| { h n 2|t|n |X |n |t|n+1 |X |n+1 oi (it)k k E[X ] ≤ E mı́n , . k! n! (n + 1)! Si E|X |n < ∞, ∀n ∈ N y si para cualquier t ∈ R se cumple |t|n E[|X |n ] → 0 cuando n → ∞, entonces n! φ(t) = 1 + ∞ X (it)k k=1 Prof. Campos (UCR) k! E[X k ], Funciones caracterı́sticas t ∈ R. Lunes 11 de Mayo 6 / 30 Funciones caracterı́sticas Normal estándar-Función caracterı́stica 1 Sea X = N(0, 1). En particular, E[X ] = 0 y Var X = 1. Funciones caracterı́sticas Normal estándar-Función caracterı́stica 1 Sea X = N(0, 1). En particular, E[X ] = 0 y Var X = 1. 2 mk = E[X k ] = 0 si k es impar. Funciones caracterı́sticas Normal estándar-Función caracterı́stica 1 Sea X = N(0, 1). En particular, E[X ] = 0 y Var X = 1. 2 mk = E[X k ] = 0 si k es impar. 3 Repetidas integraciones por partes nos conducen a la fórmula recursiva mk = (k − 1)mk−2 para k > 2. Esto implica que m2k = (2k)! . (k!)2k Funciones caracterı́sticas Normal estándar-Función caracterı́stica 1 Sea X = N(0, 1). En particular, E[X ] = 0 y Var X = 1. 2 mk = E[X k ] = 0 si k es impar. 3 Repetidas integraciones por partes nos conducen a la fórmula recursiva mk = (k − 1)mk−2 para k > 2. Esto implica que m2k = 4 (2k)! . (k!)2k Por lo tanto, φ(t) = ∞ ∞ 2 k X X t 2k (2k)! 2 k (t /2) = (−1) = e −t /2 , (i)2k k k! (2k)! k! 2 k=0 Prof. Campos (UCR) t ∈ R. k=0 Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 7 / 30 Funciones caracterı́sticas Momentos de X - Suavidad de φ Sea X una variable aleatoria con función caracterı́stica φ y distribución α. Si E[|X |n ] < ∞ para algún n ∈ N, entonces φ(k) para k = 1, . . . , n existe y son uniformemente continuas y Z (k) φ (t) = (ix)k e itx dα, φ(t) = 1 + n X (it)k E[X k ] k=1 Prof. Campos (UCR) k! + o(|t|n ), Funciones caracterı́sticas cuando t → 0. Lunes 11 de Mayo 8 / 30 Funciones caracterı́sticas Resumen de la prueba 1 Por el Teorema de la Convergencia Dominada, se tiene que ihx Z ∞ i(t+h)x Z ∞ φ(t + h) − φ(t) e − e itx e −1 itx = dα = dα e h h h −∞ −∞ Z ∞ → ixe itx dα, cuando h → 0. −∞ Funciones caracterı́sticas Resumen de la prueba 1 Por el Teorema de la Convergencia Dominada, se tiene que ihx Z ∞ i(t+h)x Z ∞ φ(t + h) − φ(t) e − e itx e −1 itx = dα = dα e h h h −∞ −∞ Z ∞ → ixe itx dα, cuando h → 0. −∞ 2 Nuevamente, por el Teorema de Convergencia Dominada: Z ∞ 0 0 |φ (t + h) − φ (t)| = ixe itx (e ihx − 1) dα −∞ Z ∞ ≤ |x||e ihx − 1| dα → 0, −∞ cuando h → 0. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 9 / 30 Funciones caracterı́sticas Resumen de la prueba 3 El argumento es repetitivo. Asumiendo el resultado para k, se tiene que ihx Z ∞ φ(k) (t + h) − φ(k) (t) e −1 = dα e itx · (ix)k · h h −∞ Z ∞ → (ix)k+1 e itx dα, cuando h → 0, −∞ 4 usando el Teorema de Convergencia Dominada. Además, Z ∞ |φ(k+1) (t + h) − φ(k+1) (t)| = (ix)k+1 e itx (e ihx − 1) dα Z −∞ ∞ |x|k+1 |e ihx − 1| dα → 0, ≤ −∞ cuando h → 0. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 10 / 30 Funciones caracterı́sticas Resumen de la prueba 5 Nótese, además que φ(t) − n X (it)k k=0 2|X |n |t||X |n+1 E[X k ] ≤ |t|n E mı́n , . k! n! (n + 1)! Funciones caracterı́sticas Resumen de la prueba 5 Nótese, además que φ(t) − n X (it)k k=0 2|X |n |t||X |n+1 Ahora, mı́n , converge a 0 cuando t → 0 y n! (n + 1)! 2|X |n es acotado por , que es integrable por hipótesis. n! 6 2|X |n |t||X |n+1 E[X k ] ≤ |t|n E mı́n , . k! n! (n + 1)! Funciones caracterı́sticas Resumen de la prueba 5 Nótese, además que φ(t) − n X (it)k k=0 2|X |n |t||X |n+1 E[X k ] ≤ |t|n E mı́n , . k! n! (n + 1)! 2|X |n |t||X |n+1 Ahora, mı́n , converge a 0 cuando t → 0 y n! (n + 1)! 2|X |n es acotado por , que es integrable por hipótesis. n! Basta entonces, usar nuevamente el Teorema de Convergencia Dominada para concluir que 6 7 Error = o(t n ), cuando t → 0. Funciones caracterı́sticas Resumen de la prueba 5 Nótese, además que φ(t) − n X (it)k k=0 2|X |n |t||X |n+1 E[X k ] ≤ |t|n E mı́n , . k! n! (n + 1)! 2|X |n |t||X |n+1 Ahora, mı́n , converge a 0 cuando t → 0 y n! (n + 1)! 2|X |n es acotado por , que es integrable por hipótesis. n! Basta entonces, usar nuevamente el Teorema de Convergencia Dominada para concluir que 6 7 Error = o(t n ), 8 cuando t → 0. Consecuencia inmediata: φ(k) (0) = i k E[X k ], siempre que X ∈ Lk (P). Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 11 / 30 Funciones caracterı́sticas Teorema casi recı́proco Sea φ la función caracterı́stica de una variable aleatoria X . Suponga que φ(2n) (0) existe y es finita, para algún n ∈ N. Entonces X ∈ L(2n) (P). Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 12 / 30 Funciones caracterı́sticas Aplicación del Lema de Fatou 1 Nótese que φ(2n−2) (h) − 2φ(2n−2) (0) + φ(2n−2) (−h) h2 ihx Z ∞ e − 2 + e −ihx = (ix)2n−2 · dα h2 −∞ Z ∞ 2(1 − cos hx) n 2n−2 dα, = (−1) x · h2 −∞ Funciones caracterı́sticas Aplicación del Lema de Fatou 1 Nótese que 2 φ(2n−2) (h) − 2φ(2n−2) (0) + φ(2n−2) (−h) h2 ihx Z ∞ e − 2 + e −ihx = (ix)2n−2 · dα h2 −∞ Z ∞ 2(1 − cos hx) n 2n−2 dα, = (−1) x · h2 −∞ Por lo tanto, →x 2 z }| { 2(1 − cos hx) ∞ dα. (−1)n φ(2n) (0) = lim x 2n−2 · h2 h→0 −∞ Z 3 Fatou: +∞ > (−1)n φ(2n) (0) ≥ E[X 2n ]. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 13 / 30 Funciones caracterı́sticas Ejemplo de Zygmund (1947) 1 Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores enteros con distribución P(X = j) = P(X = −j) = r (j) , j2 donde r (j) es una función estrictamente decreciente que tiende a cero cuando j → ∞ tal que 2 ∞ X r (j) j=1 j2 = 1, ∞ X r (j) j=1 j = +∞. Funciones caracterı́sticas Ejemplo de Zygmund (1947) 1 Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores enteros con distribución P(X = j) = P(X = −j) = r (j) , j2 donde r (j) es una función estrictamente decreciente que tiende a cero cuando j → ∞ tal que 2 ∞ X r (j) j=1 2 j2 = 1, ∞ X r (j) j=1 j = +∞. E[X + ] = E[X − ] = +∞ y por lo tanto E[X ] no está bien definida. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 14 / 30 Funciones caracterı́sticas Ejemplo de Zygmund (1947) 3 La función caracterı́stica de X está dada por φ(t) = ∞ X 2r (j) cos(tj) j=1 4 j2 . Se puede verificar que ≤mı́n(2,t 2 j 2 ) 1 − φ(t) t = z }| { ∞ 1 X 2r (j)(1 − cos(tj)) t j2 j=1 ≤ |2t| 1 [|X t |] j=1 Prof. Campos (UCR) r (j) + 1 X 4r (j) → 0, cuando t → 0. t j2 1 j>| t | Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 15 / 30 Teorema de inversión Teorema de Inversión Sea X una variable aleatoria con función distribución F y función caracterı́stica φ. Entonces, para a < b se cumple que 1 1 F (b) − F (a) + P(X = a) − P(X = b) 2 2 Z T −itb 1 e − e −ita = lı́m · φ(t) dt. T →∞ 2π −T −it Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 16 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 1 A partir de una aplicación del Teorema de Fubini-Tonelli se tiene que Z T −itb 1 e − e −ita IT = · φ(t) dt 2π −T −it Z ∞ Z T −itb 1 e − e −ita itx e dα dt = · 2π −T −it −∞ ! Z Z T it(x−a) 1 ∞ e − e it(x−b) = dt dα π −∞ 2it −T Z T Z 1 ∞ sen [t(x − a)] sen [t(x − b)] = − dt dα π −∞ t t 0 Z 1 ∞ = H(a, b, t, x, T ) dα, π −∞ Z T donde sen [t(x − a)] sen [t(x − b)] H(a, b, t, x, T ) = − dt. t t 0 Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 17 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 2 Recordemos Z H(a, b, t, x, T ) = 0 Prof. Campos (UCR) T sen [t(x − a)] sen [t(x − b)] − t t Funciones caracterı́sticas dt. Lunes 11 de Mayo 18 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 2 Recordemos Z H(a, b, t, x, T ) = 0 3 T sen [t(x − a)] sen [t(x − b)] − t t dt. Se puede inferir que 0 si x < a, x = a, π2 si π si a < x < b, lı́m H(a, b, t, x, T ) = T →∞ π x = b, 2 si 0 si x > b, Z T sen x π dado que dx → , cuando T → ∞. x 2 0 Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 18 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 2 Recordemos Z H(a, b, t, x, T ) = 0 3 4 T sen [t(x − a)] sen [t(x − b)] − t t dt. Se puede inferir que 0 si x < a, x = a, π2 si π si a < x < b, lı́m H(a, b, t, x, T ) = T →∞ π x = b, 2 si 0 si x > b, Z T sen x π dado que dx → , cuando T → ∞. x 2 0 Z T Z π sen y sen y Además, dy ≤ dy ≤ π, para todo T > 0. y y 0 0 Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 18 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 5 Aplicando el Teorema de Convergencia Acotada, Z 1 lı́m IT = lı́m H(a, b, t, x, T ) dα T →∞ T →∞ π x<a Z Z H(a, b, t, x, T ) dα + H(a, b, t, x, T ) dα + x=a a<x<b Z Z + H(a, b, t, x, T ) dα + H(a, b, t, x, T ) dα x=b Prof. Campos (UCR) x>b Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 19 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 5 Aplicando el Teorema de Convergencia Acotada, Z 1 lı́m IT = lı́m H(a, b, t, x, T ) dα T →∞ T →∞ π x<a Z Z H(a, b, t, x, T ) dα + H(a, b, t, x, T ) dα + x=a a<x<b Z Z + H(a, b, t, x, T ) dα + H(a, b, t, x, T ) dα x=b = Prof. Campos (UCR) x>b 1 1 P(X = a) + P X ∈]a, b[ + P(X = b) 2 2 Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 19 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 5 Aplicando el Teorema de Convergencia Acotada, Z 1 lı́m IT = lı́m H(a, b, t, x, T ) dα T →∞ T →∞ π x<a Z Z H(a, b, t, x, T ) dα + H(a, b, t, x, T ) dα + x=a a<x<b Z Z + H(a, b, t, x, T ) dα + H(a, b, t, x, T ) dα x=b = = = Prof. Campos (UCR) x>b 1 1 P(X = a) + P X ∈]a, b[ + P(X = b) 2 2 1 1 P(X = a) + F (b) − F (a) − P(X = b) + P(X = b) 2 2 1 1 P(X = a) + F (b) − F (a) − P(X = b). 2 2 Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 19 / 30 Teorema de inversión Consecuencias del Teorema de Inversión 1 Si a y b son puntos de continuidad de F entonces Z T −itb 1 e − e −ita F (b) − F (a) = lı́m · φ(t) dt. T →∞ 2π −T −it Teorema de inversión Consecuencias del Teorema de Inversión 1 Si a y b son puntos de continuidad de F entonces Z T −itb 1 e − e −ita F (b) − F (a) = lı́m · φ(t) dt. T →∞ 2π −T −it 2 Sean X e Y variables aleatorias. Si φX = φY , entonces ambas variables aleatorias son iguales en distribución. Teorema de inversión Consecuencias del Teorema de Inversión 1 Si a y b son puntos de continuidad de F entonces Z T −itb 1 e − e −ita F (b) − F (a) = lı́m · φ(t) dt. T →∞ 2π −T −it 2 Sean X e Y variables aleatorias. Si φX = φY , entonces ambas variables aleatorias son iguales en distribución. αX ]a, b] = αY ]a, b] , a, b ∈ CX ,Y , donde CX ,Y = {x ∈ R : FX y FY son continuas en x}. Teorema de inversión Consecuencias del Teorema de Inversión 1 Si a y b son puntos de continuidad de F entonces Z T −itb 1 e − e −ita F (b) − F (a) = lı́m · φ(t) dt. T →∞ 2π −T −it 2 Sean X e Y variables aleatorias. Si φX = φY , entonces ambas variables aleatorias son iguales en distribución. αX ]a, b] = αY ]a, b] , a, b ∈ CX ,Y , donde CX ,Y = {x ∈ R : FX y FY son continuas en x}. Luego, αX ]a, b] = αY ]a, b] , ∀ a < b. Teorema de inversión Consecuencias del Teorema de Inversión 1 Si a y b son puntos de continuidad de F entonces Z T −itb 1 e − e −ita F (b) − F (a) = lı́m · φ(t) dt. T →∞ 2π −T −it 2 Sean X e Y variables aleatorias. Si φX = φY , entonces ambas variables aleatorias son iguales en distribución. αX ]a, b] = αY ]a, b] , a, b ∈ CX ,Y , donde CX ,Y = {x ∈ R : FX y FY son continuas en x}. Luego, αX ]a, b] = αY ]a, b] , ∀ a < b. El lema de Dynkin hace el resto. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 20 / 30 Teorema de inversión Distribución absolutamente continua Si Z ∞ |φ(t)| dt < ∞, −∞ entonces X tiene una distribución absolutamente continua, con función densidad continua acotada f = F 0 , dada por Z ∞ 1 f (x) = e −itx · φ(t) dt. 2π −∞ Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 21 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 1 Con la ayuda del Teorema de Inversión, se tiene que 1 1 F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h) 2 2 Z T −it(x+h) e − e −itx 1 · |φ(t)| dt ≤ lı́m T →∞ 2π −T −it Z ∞ h ≤ |φ(t)| dt → 0, h ↓ 0, 2π −∞ pues φ es absolutamente integrable. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 22 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 1 Con la ayuda del Teorema de Inversión, se tiene que 1 1 F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h) 2 2 Z T −it(x+h) e − e −itx 1 · |φ(t)| dt ≤ lı́m T →∞ 2π −T −it Z ∞ h ≤ |φ(t)| dt → 0, h ↓ 0, 2π −∞ pues φ es absolutamente integrable. Por lo tanto, h i 1 1 lı́m F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h) = 0. h↓0 2 2 Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 22 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 1 Con la ayuda del Teorema de Inversión, se tiene que 1 1 F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h) 2 2 Z T −it(x+h) e − e −itx 1 · |φ(t)| dt ≤ lı́m T →∞ 2π −T −it Z ∞ h ≤ |φ(t)| dt → 0, h ↓ 0, 2π −∞ pues φ es absolutamente integrable. Por lo tanto, h i 1 1 lı́m F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h) = 0. h↓0 2 2 2 F es continua en todo R (uniformemente continua). Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 22 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 1 Con la ayuda del Teorema de Inversión, se tiene que 1 1 F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h) 2 2 Z T −it(x+h) e − e −itx 1 · |φ(t)| dt ≤ lı́m T →∞ 2π −T −it Z ∞ h ≤ |φ(t)| dt → 0, h ↓ 0, 2π −∞ pues φ es absolutamente integrable. Por lo tanto, h i 1 1 lı́m F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h) = 0. h↓0 2 2 2 3 F es continua en todo R (uniformemente continua). La integral existe cuando T → ∞. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 22 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 4 Con la ayuda del Teorema de Convergencia Dominada, se tiene que ! Z ∞ F (x + h) − F (x) 1 e −it(x+h) − e −itx = · φ(t) dt h 2π −∞ −ith →1 = h→0 z}|{ → Prof. Campos (UCR) 1 2π Z 1 2π Z ∞ e −itx −∞ ∞ z }| { 1 − e −ith ·φ(t) dt ith e −itx · φ(t) dt. −∞ Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 23 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 4 Con la ayuda del Teorema de Convergencia Dominada, se tiene que ! Z ∞ F (x + h) − F (x) 1 e −it(x+h) − e −itx = · φ(t) dt h 2π −∞ −ith →1 = h→0 z}|{ → 5 1 2π Z 1 2π Z ∞ e −itx −∞ ∞ z }| { 1 − e −ith ·φ(t) dt ith e −itx · φ(t) dt. −∞ Para cualquier x ∈ R, 1 |f (x)| ≤ 2π Prof. Campos (UCR) Z ∞ |φ(t)| dt < ∞. −∞ Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 23 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 4 Con la ayuda del Teorema de Convergencia Dominada, se tiene que ! Z ∞ F (x + h) − F (x) 1 e −it(x+h) − e −itx = · φ(t) dt h 2π −∞ −ith →1 = h→0 z}|{ → 5 1 2π Z 1 2π Z e −itx −∞ ∞ }| { 1 − e −ith ·φ(t) dt ith e −itx · φ(t) dt. −∞ Para cualquier x ∈ R, 1 |f (x)| ≤ 2π 6 ∞ z Z ∞ |φ(t)| dt < ∞. −∞ La continuidad de f se sigue con una nueva aplicación del Teorema de Convergencia Dominada y la hipótesis sobre φ. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 23 / 30 Teorema de inversión Lema Riemann-Lebesgue Si X es una variable aleatoria absolutamente continua con función caracterı́stica φ, entonces lı́m |φ(t)| = 0. t→±∞ Teorema de inversión Lema Riemann-Lebesgue Si X es una variable aleatoria absolutamente continua con función caracterı́stica φ, entonces lı́m |φ(t)| = 0. t→±∞ Herramienta: Las funciones escalonadas son densas en el espacio L1 (R). Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 24 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 1 La función densidad f es absolutamente integrable. Luego, para cada k X > 0 existe una función escalonada f = cj 1(aj ,bj ) con 1 ≤ k < ∞ j=1 y aj , bj , cj ∈ R tales que Z Prof. Campos (UCR) |f − f | dλ < . 2 Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 25 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 1 La función densidad f es absolutamente integrable. Luego, para cada k X > 0 existe una función escalonada f = cj 1(aj ,bj ) con 1 ≤ k < ∞ j=1 y aj , bj , cj ∈ R tales que Z 2 |f − f | dλ < . 2 Para cualquier t 6= 0, Z e itx f (x) dx = k X j=1 Prof. Campos (UCR) Z bj cj e aj Funciones caracterı́sticas itx dx ≤ k X j=1 |cj | 2 . |t| Lunes 11 de Mayo 25 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba 3 Se sigue que, Z |φX (t)| = e itx Z Z f (x) dx ≤ |f − f | dx + e itx f (x) dx k ≤ X 2 + |cj | 2 |t| ≤ + , 2 2 j=1 donde t = 4 k X |cj | j=1 Prof. Campos (UCR) ∀ |t| > t , . Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 26 / 30 Teorema de inversión Distribución aritmética Sea X una variable aleatoria con función caracterı́stica φ. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: A la distribución de X se le llama aritmética. Teorema de inversión Distribución aritmética Sea X una variable aleatoria con función caracterı́stica φ. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: |φ(t0 )| = 1 para algún t0 6= 0. A la distribución de X se le llama aritmética. Teorema de inversión Distribución aritmética Sea X una variable aleatoria con función caracterı́stica φ. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: |φ(t0 )| = 1 para algún t0 6= 0. Existe h ∈ R, h 6= 0 tal que P X ∈ {a + jh : j ∈ Z} = 1. A la distribución de X se le llama aritmética. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 27 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba. Existe t0 6= 0 tal que |φ(t0 )| = 1 1 Existe a0 ∈ R tal que e −ia0 φ(t0 ) = 1. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 28 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba. Existe t0 6= 0 tal que |φ(t0 )| = 1 1 Existe a0 ∈ R tal que e −ia0 φ(t0 ) = 1. 2 Se toma a = a0 · t0−1 . Luego, E[e it0 (X −a) ] = 1. Por lo tanto, E[cos(t0 (X − a))] = 1. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 28 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba. Existe t0 6= 0 tal que |φ(t0 )| = 1 1 Existe a0 ∈ R tal que e −ia0 φ(t0 ) = 1. 2 Se toma a = a0 · t0−1 . Luego, E[e it0 (X −a) ] = 1. Por lo tanto, E[cos(t0 (X − a))] = 1. 3 Se sigue fácilmente, P t0 (X − a) ∈ {2jπ : j ∈ Z} = 1. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 28 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba. Existe t0 6= 0 tal que |φ(t0 )| = 1 1 Existe a0 ∈ R tal que e −ia0 φ(t0 ) = 1. 2 Se toma a = a0 · t0−1 . Luego, E[e it0 (X −a) ] = 1. Por lo tanto, E[cos(t0 (X − a))] = 1. 3 Se sigue fácilmente, P t0 (X − a) ∈ {2jπ : j ∈ Z} = 1. 4 Finalmente se toma h = 2π t0 . Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 28 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba. P X ∈ {a + jh : j ∈ Z} = 1. 1 Sea pj := P(X = a + jh), con j ∈ Z. Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 29 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba. P X ∈ {a + jh : j ∈ Z} = 1. 1 2 Sea pj := P(X = a + jh), con j ∈ Z. X Por hipótesis, pj = 1. j∈Z Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 29 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba. P X ∈ {a + jh : j ∈ Z} = 1. 1 2 Sea pj := P(X = a + jh), con j ∈ Z. X Por hipótesis, pj = 1. j∈Z 3 Su función caracterı́stica está dada por X φ(t) = e it(a+jh) pj , t ∈ R. j∈Z Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 29 / 30 Teorema de inversión Resumen de la prueba. P X ∈ {a + jh : j ∈ Z} = 1. 1 2 Sea pj := P(X = a + jh), con j ∈ Z. X Por hipótesis, pj = 1. j∈Z 3 Su función caracterı́stica está dada por X φ(t) = e it(a+jh) pj , t ∈ R. j∈Z 4 Es fácil ver que t φ Prof. Campos (UCR) 2π h = X 0 { z }| e 2πi a/h pj = e 2π/h ·ia . j∈Z Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 29 / 30 Teorema de inversión Muchas Gracias Prof. Campos (UCR) Funciones caracterı́sticas Lunes 11 de Mayo 30 / 30