Probabilidad :Funciones características

Funciones caracterı́sticas
Prof. Campos
Probabilidad
[email protected]
Lunes 11 de Mayo
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Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
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Funciones caracterı́sticas
Definición
1
Si α es una distribución sobre R, se define su función
caracterı́stica φ(t) por la igualdad
Z
φ(t) = e itx dα.
Funciones caracterı́sticas
Definición
1
Si α es una distribución sobre R, se define su función
caracterı́stica φ(t) por la igualdad
Z
φ(t) = e itx dα.
2
Algunos ejemplos sencillos:
Si X = Bin (n, p) entonces φ(t) = (pe it + 1 − p)n .
it
Si X = Poiss (λ) entonces φ(t) = e λ(e −1) .
sen t
Si X = U(−1, 1) entonces φ(t) =
.
t 22
σ t
Si X = N (µ, σ 2 ) entonces φ(t) = e iµt− 2 .
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Funciones caracterı́sticas
Propiedades básicas
1
φ es uniformemente continua.
Demostración.
Es una aplicación del Teorema de Convergencia acotada.
Z
φ(t) − φ(s) ≤
e i(t−s)x − 1 dα → 0,
cuando |t − s| → 0.
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Funciones caracterı́sticas
Propiedades básicas
2
φ es definita positiva, es decir para n números complejos ξ1 , . . . , ξn y
n números reales t1 , . . . , tn ,
n
X
φ(ti − tj )ξj ξ¯j ≥ 0.
i,j=1
Demostración.
n
X
φ(ti − tj )ξj ξ¯j =
i,j=1
n
X
ξi ξ¯j
Z
e (ti −tj )x dα =
i,j=1
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Z X
n
2
ξj e itj x
dα ≥ 0.
j=1
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Funciones caracterı́sticas
Propiedades básicas
3
Si φX (t) es la función caracterı́stica de una variable aleatoria X con
distribución α entonces
φaX +b (t) = e itb φX (at).
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Funciones caracterı́sticas
Propiedades básicas
3
Si φX (t) es la función caracterı́stica de una variable aleatoria X con
distribución α entonces
φaX +b (t) = e itb φX (at).
4
φ(−X ) (t) = φ(−t) = φ(t). Por lo tanto, X es simétrica sii
φ(t) ∈ R, ∀ t.
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Funciones caracterı́sticas
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Funciones caracterı́sticas
Relación con los momentos de X
Sea X una variable aleatoria con distribución α y función caracterı́stica φ.
1
Si E|X |n < ∞ para algún n ∈ N, entonces
Resto de Taylor
φ(t) −
n
X
k=0
z
}|
{
h
n 2|t|n |X |n |t|n+1 |X |n+1 oi
(it)k
k
E[X ] ≤ E mı́n
,
.
k!
n!
(n + 1)!
Funciones caracterı́sticas
Relación con los momentos de X
Sea X una variable aleatoria con distribución α y función caracterı́stica φ.
1
Si E|X |n < ∞ para algún n ∈ N, entonces
Resto de Taylor
φ(t) −
n
X
k=0
2
z
}|
{
h
n 2|t|n |X |n |t|n+1 |X |n+1 oi
(it)k
k
E[X ] ≤ E mı́n
,
.
k!
n!
(n + 1)!
Si E|X |n < ∞, ∀n ∈ N y si para cualquier t ∈ R se cumple
|t|n E[|X |n ]
→ 0 cuando n → ∞, entonces
n!
φ(t) = 1 +
∞
X
(it)k
k=1
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k!
E[X k ],
Funciones caracterı́sticas
t ∈ R.
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Funciones caracterı́sticas
Normal estándar-Función caracterı́stica
1
Sea X = N(0, 1). En particular, E[X ] = 0 y Var X = 1.
Funciones caracterı́sticas
Normal estándar-Función caracterı́stica
1
Sea X = N(0, 1). En particular, E[X ] = 0 y Var X = 1.
2
mk = E[X k ] = 0 si k es impar.
Funciones caracterı́sticas
Normal estándar-Función caracterı́stica
1
Sea X = N(0, 1). En particular, E[X ] = 0 y Var X = 1.
2
mk = E[X k ] = 0 si k es impar.
3
Repetidas integraciones por partes nos conducen a la fórmula
recursiva mk = (k − 1)mk−2 para k > 2. Esto implica que
m2k =
(2k)!
.
(k!)2k
Funciones caracterı́sticas
Normal estándar-Función caracterı́stica
1
Sea X = N(0, 1). En particular, E[X ] = 0 y Var X = 1.
2
mk = E[X k ] = 0 si k es impar.
3
Repetidas integraciones por partes nos conducen a la fórmula
recursiva mk = (k − 1)mk−2 para k > 2. Esto implica que
m2k =
4
(2k)!
.
(k!)2k
Por lo tanto,
φ(t) =
∞
∞
2
k
X
X
t 2k (2k)!
2
k (t /2)
=
(−1)
= e −t /2 ,
(i)2k
k
k!
(2k)! k! 2
k=0
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t ∈ R.
k=0
Funciones caracterı́sticas
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Funciones caracterı́sticas
Momentos de X - Suavidad de φ
Sea X una variable aleatoria con función caracterı́stica φ y distribución α. Si E[|X |n ] < ∞ para algún n ∈ N, entonces φ(k) para
k = 1, . . . , n existe y son uniformemente continuas y
Z
(k)
φ (t) = (ix)k e itx dα,
φ(t) = 1 +
n
X
(it)k E[X k ]
k=1
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k!
+ o(|t|n ),
Funciones caracterı́sticas
cuando t → 0.
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Funciones caracterı́sticas
Resumen de la prueba
1
Por el Teorema de la Convergencia Dominada, se tiene que
ihx
Z ∞ i(t+h)x
Z ∞
φ(t + h) − φ(t)
e
− e itx
e −1
itx
=
dα =
dα
e
h
h
h
−∞
−∞
Z ∞
→
ixe itx dα, cuando h → 0.
−∞
Funciones caracterı́sticas
Resumen de la prueba
1
Por el Teorema de la Convergencia Dominada, se tiene que
ihx
Z ∞ i(t+h)x
Z ∞
φ(t + h) − φ(t)
e
− e itx
e −1
itx
=
dα =
dα
e
h
h
h
−∞
−∞
Z ∞
→
ixe itx dα, cuando h → 0.
−∞
2
Nuevamente, por el Teorema de Convergencia Dominada:
Z ∞
0
0
|φ (t + h) − φ (t)| =
ixe itx (e ihx − 1) dα
−∞
Z ∞
≤
|x||e ihx − 1| dα → 0,
−∞
cuando h → 0.
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Funciones caracterı́sticas
Resumen de la prueba
3
El argumento es repetitivo. Asumiendo el resultado para k, se tiene
que
ihx
Z ∞
φ(k) (t + h) − φ(k) (t)
e −1
=
dα
e itx · (ix)k ·
h
h
−∞
Z ∞
→
(ix)k+1 e itx dα, cuando h → 0,
−∞
4
usando el Teorema de Convergencia Dominada.
Además,
Z ∞
|φ(k+1) (t + h) − φ(k+1) (t)| =
(ix)k+1 e itx (e ihx − 1) dα
Z −∞
∞
|x|k+1 |e ihx − 1| dα → 0,
≤
−∞
cuando h → 0.
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Funciones caracterı́sticas
Resumen de la prueba
5
Nótese, además que
φ(t) −
n
X
(it)k
k=0
2|X |n |t||X |n+1
E[X k ] ≤ |t|n E mı́n
,
.
k!
n!
(n + 1)!
Funciones caracterı́sticas
Resumen de la prueba
5
Nótese, además que
φ(t) −
n
X
(it)k
k=0
2|X |n |t||X |n+1
Ahora, mı́n
,
converge a 0 cuando t → 0 y
n!
(n + 1)!
2|X |n
es acotado por
, que es integrable por hipótesis.
n!
6
2|X |n |t||X |n+1
E[X k ] ≤ |t|n E mı́n
,
.
k!
n!
(n + 1)!
Funciones caracterı́sticas
Resumen de la prueba
5
Nótese, además que
φ(t) −
n
X
(it)k
k=0
2|X |n |t||X |n+1
E[X k ] ≤ |t|n E mı́n
,
.
k!
n!
(n + 1)!
2|X |n |t||X |n+1
Ahora, mı́n
,
converge a 0 cuando t → 0 y
n!
(n + 1)!
2|X |n
es acotado por
, que es integrable por hipótesis.
n!
Basta entonces, usar nuevamente el Teorema de Convergencia
Dominada para concluir que
6
7
Error = o(t n ),
cuando t → 0.
Funciones caracterı́sticas
Resumen de la prueba
5
Nótese, además que
φ(t) −
n
X
(it)k
k=0
2|X |n |t||X |n+1
E[X k ] ≤ |t|n E mı́n
,
.
k!
n!
(n + 1)!
2|X |n |t||X |n+1
Ahora, mı́n
,
converge a 0 cuando t → 0 y
n!
(n + 1)!
2|X |n
es acotado por
, que es integrable por hipótesis.
n!
Basta entonces, usar nuevamente el Teorema de Convergencia
Dominada para concluir que
6
7
Error = o(t n ),
8
cuando t → 0.
Consecuencia inmediata: φ(k) (0) = i k E[X k ], siempre que
X ∈ Lk (P).
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Funciones caracterı́sticas
Teorema casi recı́proco
Sea φ la función caracterı́stica de una variable aleatoria X . Suponga
que φ(2n) (0) existe y es finita, para algún n ∈ N. Entonces
X ∈ L(2n) (P).
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Funciones caracterı́sticas
Aplicación del Lema de Fatou
1
Nótese que
φ(2n−2) (h) − 2φ(2n−2) (0) + φ(2n−2) (−h)
h2
ihx
Z ∞
e − 2 + e −ihx
=
(ix)2n−2 ·
dα
h2
−∞
Z ∞
2(1 − cos hx)
n
2n−2
dα,
= (−1)
x
·
h2
−∞
Funciones caracterı́sticas
Aplicación del Lema de Fatou
1
Nótese que
2
φ(2n−2) (h) − 2φ(2n−2) (0) + φ(2n−2) (−h)
h2
ihx
Z ∞
e − 2 + e −ihx
=
(ix)2n−2 ·
dα
h2
−∞
Z ∞
2(1 − cos hx)
n
2n−2
dα,
= (−1)
x
·
h2
−∞
Por lo tanto,
→x 2
z
}|
{
2(1 − cos hx) ∞
dα.
(−1)n φ(2n) (0) = lim
x 2n−2 ·
h2
h→0 −∞
Z
3
Fatou:
+∞ > (−1)n φ(2n) (0) ≥ E[X 2n ].
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Funciones caracterı́sticas
Ejemplo de Zygmund (1947)
1
Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores enteros
con distribución
P(X = j) = P(X = −j) =
r (j)
,
j2
donde r (j) es una función estrictamente decreciente que tiende
a cero cuando j → ∞ tal que
2
∞
X
r (j)
j=1
j2
= 1,
∞
X
r (j)
j=1
j
= +∞.
Funciones caracterı́sticas
Ejemplo de Zygmund (1947)
1
Sea X una variable aleatoria discreta que toma valores enteros
con distribución
P(X = j) = P(X = −j) =
r (j)
,
j2
donde r (j) es una función estrictamente decreciente que tiende
a cero cuando j → ∞ tal que
2
∞
X
r (j)
j=1
2
j2
= 1,
∞
X
r (j)
j=1
j
= +∞.
E[X + ] = E[X − ] = +∞ y por lo tanto E[X ] no está bien
definida.
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14 / 30
Funciones caracterı́sticas
Ejemplo de Zygmund (1947)
3
La función caracterı́stica de X está dada por
φ(t) =
∞
X
2r (j) cos(tj)
j=1
4
j2
.
Se puede verificar que
≤mı́n(2,t 2 j 2 )
1 − φ(t)
t
=
z }| {
∞
1 X 2r (j)(1 − cos(tj))
t
j2
j=1
≤ |2t|
1
[|X
t |]
j=1
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r (j) +
1 X 4r (j)
→ 0, cuando t → 0.
t
j2
1
j>| t |
Funciones caracterı́sticas
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15 / 30
Teorema de inversión
Teorema de Inversión
Sea X una variable aleatoria con función distribución F y función
caracterı́stica φ. Entonces, para a < b se cumple que
1
1
F (b) − F (a) + P(X = a) − P(X = b)
2
2
Z T −itb
1
e
− e −ita
= lı́m
· φ(t) dt.
T →∞ 2π −T
−it
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Teorema de inversión
Resumen de la prueba
1
A partir de una aplicación del Teorema de Fubini-Tonelli se tiene que
Z T −itb
1
e
− e −ita
IT =
· φ(t) dt
2π −T
−it
Z ∞
Z T −itb
1
e
− e −ita
itx
e dα dt
=
·
2π −T
−it
−∞
!
Z
Z T it(x−a)
1 ∞
e
− e it(x−b)
=
dt dα
π −∞
2it
−T
Z T
Z
1 ∞
sen [t(x − a)] sen [t(x − b)]
=
−
dt dα
π −∞
t
t
0
Z
1 ∞
=
H(a, b, t, x, T ) dα,
π −∞
Z T
donde
sen [t(x − a)] sen [t(x − b)]
H(a, b, t, x, T ) =
−
dt.
t
t
0
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Teorema de inversión
Resumen de la prueba
2
Recordemos
Z
H(a, b, t, x, T ) =
0
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T
sen [t(x − a)] sen [t(x − b)]
−
t
t
Funciones caracterı́sticas
dt.
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Teorema de inversión
Resumen de la prueba
2
Recordemos
Z
H(a, b, t, x, T ) =
0
3
T
sen [t(x − a)] sen [t(x − b)]
−
t
t
dt.
Se puede inferir que

0 si
x < a,




x = a,
 π2 si
π si a < x < b,
lı́m H(a, b, t, x, T ) =

T →∞
π

x = b,

 2 si

0 si
x > b,
Z T
sen x
π
dado que
dx → , cuando T → ∞.
x
2
0
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Funciones caracterı́sticas
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18 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
2
Recordemos
Z
H(a, b, t, x, T ) =
0
3
4
T
sen [t(x − a)] sen [t(x − b)]
−
t
t
dt.
Se puede inferir que

0 si
x < a,




x = a,
 π2 si
π si a < x < b,
lı́m H(a, b, t, x, T ) =

T →∞
π

x = b,

 2 si

0 si
x > b,
Z T
sen x
π
dado que
dx → , cuando T → ∞.
x
2
0
Z T
Z π
sen y
sen y
Además,
dy ≤
dy ≤ π, para todo T > 0.
y
y
0
0
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Teorema de inversión
Resumen de la prueba
5
Aplicando el Teorema de Convergencia Acotada,
Z
1
lı́m IT = lı́m
H(a, b, t, x, T ) dα
T →∞
T →∞ π
x<a
Z
Z
H(a, b, t, x, T ) dα +
H(a, b, t, x, T ) dα
+
x=a
a<x<b
Z
Z
+
H(a, b, t, x, T ) dα +
H(a, b, t, x, T ) dα
x=b
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x>b
Funciones caracterı́sticas
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19 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
5
Aplicando el Teorema de Convergencia Acotada,
Z
1
lı́m IT = lı́m
H(a, b, t, x, T ) dα
T →∞
T →∞ π
x<a
Z
Z
H(a, b, t, x, T ) dα +
H(a, b, t, x, T ) dα
+
x=a
a<x<b
Z
Z
+
H(a, b, t, x, T ) dα +
H(a, b, t, x, T ) dα
x=b
=
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x>b
1
1
P(X = a) + P X ∈]a, b[ + P(X = b)
2
2
Funciones caracterı́sticas
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19 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
5
Aplicando el Teorema de Convergencia Acotada,
Z
1
lı́m IT = lı́m
H(a, b, t, x, T ) dα
T →∞
T →∞ π
x<a
Z
Z
H(a, b, t, x, T ) dα +
H(a, b, t, x, T ) dα
+
x=a
a<x<b
Z
Z
+
H(a, b, t, x, T ) dα +
H(a, b, t, x, T ) dα
x=b
=
=
=
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x>b
1
1
P(X = a) + P X ∈]a, b[ + P(X = b)
2
2
1
1
P(X = a) + F (b) − F (a) − P(X = b) + P(X = b)
2
2
1
1
P(X = a) + F (b) − F (a) − P(X = b).
2
2
Funciones caracterı́sticas
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19 / 30
Teorema de inversión
Consecuencias del Teorema de Inversión
1
Si a y b son puntos de continuidad de F entonces
Z T −itb
1
e
− e −ita
F (b) − F (a) = lı́m
· φ(t) dt.
T →∞ 2π −T
−it
Teorema de inversión
Consecuencias del Teorema de Inversión
1
Si a y b son puntos de continuidad de F entonces
Z T −itb
1
e
− e −ita
F (b) − F (a) = lı́m
· φ(t) dt.
T →∞ 2π −T
−it
2
Sean X e Y variables aleatorias. Si φX = φY , entonces ambas
variables aleatorias son iguales en distribución.
Teorema de inversión
Consecuencias del Teorema de Inversión
1
Si a y b son puntos de continuidad de F entonces
Z T −itb
1
e
− e −ita
F (b) − F (a) = lı́m
· φ(t) dt.
T →∞ 2π −T
−it
2
Sean X e Y variables aleatorias. Si φX = φY , entonces ambas
variables aleatorias son iguales en distribución.
αX ]a, b] = αY ]a, b] ,
a, b ∈ CX ,Y , donde
CX ,Y = {x ∈ R : FX y FY son continuas en x}.
Teorema de inversión
Consecuencias del Teorema de Inversión
1
Si a y b son puntos de continuidad de F entonces
Z T −itb
1
e
− e −ita
F (b) − F (a) = lı́m
· φ(t) dt.
T →∞ 2π −T
−it
2
Sean X e Y variables aleatorias. Si φX = φY , entonces ambas
variables aleatorias son iguales en distribución.
αX ]a, b] = αY ]a, b] ,
a, b ∈ CX ,Y , donde
CX ,Y = {x ∈ R : FX y FY son continuas en x}.
Luego, αX ]a, b] = αY ]a, b] , ∀ a < b.
Teorema de inversión
Consecuencias del Teorema de Inversión
1
Si a y b son puntos de continuidad de F entonces
Z T −itb
1
e
− e −ita
F (b) − F (a) = lı́m
· φ(t) dt.
T →∞ 2π −T
−it
2
Sean X e Y variables aleatorias. Si φX = φY , entonces ambas
variables aleatorias son iguales en distribución.
αX ]a, b] = αY ]a, b] ,
a, b ∈ CX ,Y , donde
CX ,Y = {x ∈ R : FX y FY son continuas en x}.
Luego, αX ]a, b] = αY ]a, b] , ∀ a < b.
El lema de Dynkin hace el resto.
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Funciones caracterı́sticas
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20 / 30
Teorema de inversión
Distribución absolutamente continua
Si
Z
∞
|φ(t)| dt < ∞,
−∞
entonces X tiene una distribución absolutamente continua, con función densidad continua acotada f = F 0 , dada por
Z ∞
1
f (x) =
e −itx · φ(t) dt.
2π −∞
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Funciones caracterı́sticas
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21 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
1
Con la ayuda del Teorema de Inversión, se tiene que
1
1
F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h)
2
2
Z T −it(x+h)
e
− e −itx
1
· |φ(t)| dt
≤ lı́m
T →∞ 2π −T
−it
Z ∞
h
≤
|φ(t)| dt → 0, h ↓ 0,
2π −∞
pues φ es absolutamente integrable.
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Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
22 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
1
Con la ayuda del Teorema de Inversión, se tiene que
1
1
F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h)
2
2
Z T −it(x+h)
e
− e −itx
1
· |φ(t)| dt
≤ lı́m
T →∞ 2π −T
−it
Z ∞
h
≤
|φ(t)| dt → 0, h ↓ 0,
2π −∞
pues φ es absolutamente integrable. Por lo tanto,
h
i
1
1
lı́m F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h) = 0.
h↓0
2
2
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
22 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
1
Con la ayuda del Teorema de Inversión, se tiene que
1
1
F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h)
2
2
Z T −it(x+h)
e
− e −itx
1
· |φ(t)| dt
≤ lı́m
T →∞ 2π −T
−it
Z ∞
h
≤
|φ(t)| dt → 0, h ↓ 0,
2π −∞
pues φ es absolutamente integrable. Por lo tanto,
h
i
1
1
lı́m F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h) = 0.
h↓0
2
2
2
F es continua en todo R (uniformemente continua).
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
22 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
1
Con la ayuda del Teorema de Inversión, se tiene que
1
1
F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h)
2
2
Z T −it(x+h)
e
− e −itx
1
· |φ(t)| dt
≤ lı́m
T →∞ 2π −T
−it
Z ∞
h
≤
|φ(t)| dt → 0, h ↓ 0,
2π −∞
pues φ es absolutamente integrable. Por lo tanto,
h
i
1
1
lı́m F (x + h) − F (x) + P(X = x) − P(X = x + h) = 0.
h↓0
2
2
2
3
F es continua en todo R (uniformemente continua).
La integral existe cuando T → ∞.
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
22 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
4
Con la ayuda del Teorema de Convergencia Dominada, se tiene que
!
Z ∞
F (x + h) − F (x)
1
e −it(x+h) − e −itx
=
· φ(t) dt
h
2π −∞
−ith
→1
=
h→0
z}|{
→
Prof. Campos (UCR)
1
2π
Z
1
2π
Z
∞
e −itx
−∞
∞
z
}|
{
1 − e −ith
·φ(t) dt
ith
e −itx · φ(t) dt.
−∞
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
23 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
4
Con la ayuda del Teorema de Convergencia Dominada, se tiene que
!
Z ∞
F (x + h) − F (x)
1
e −it(x+h) − e −itx
=
· φ(t) dt
h
2π −∞
−ith
→1
=
h→0
z}|{
→
5
1
2π
Z
1
2π
Z
∞
e −itx
−∞
∞
z
}|
{
1 − e −ith
·φ(t) dt
ith
e −itx · φ(t) dt.
−∞
Para cualquier x ∈ R,
1
|f (x)| ≤
2π
Prof. Campos (UCR)
Z
∞
|φ(t)| dt < ∞.
−∞
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
23 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
4
Con la ayuda del Teorema de Convergencia Dominada, se tiene que
!
Z ∞
F (x + h) − F (x)
1
e −it(x+h) − e −itx
=
· φ(t) dt
h
2π −∞
−ith
→1
=
h→0
z}|{
→
5
1
2π
Z
1
2π
Z
e −itx
−∞
∞
}|
{
1 − e −ith
·φ(t) dt
ith
e −itx · φ(t) dt.
−∞
Para cualquier x ∈ R,
1
|f (x)| ≤
2π
6
∞
z
Z
∞
|φ(t)| dt < ∞.
−∞
La continuidad de f se sigue con una nueva aplicación del Teorema
de Convergencia Dominada y la hipótesis sobre φ.
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
23 / 30
Teorema de inversión
Lema Riemann-Lebesgue
Si X es una variable aleatoria absolutamente continua con función
caracterı́stica φ, entonces
lı́m |φ(t)| = 0.
t→±∞
Teorema de inversión
Lema Riemann-Lebesgue
Si X es una variable aleatoria absolutamente continua con función
caracterı́stica φ, entonces
lı́m |φ(t)| = 0.
t→±∞
Herramienta: Las funciones escalonadas son densas en el espacio
L1 (R).
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
24 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
1
La función densidad f es absolutamente integrable. Luego, para cada
k
X
> 0 existe una función escalonada f =
cj 1(aj ,bj ) con 1 ≤ k < ∞
j=1
y aj , bj , cj ∈ R tales que
Z
Prof. Campos (UCR)
|f − f | dλ < .
2
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
25 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
1
La función densidad f es absolutamente integrable. Luego, para cada
k
X
> 0 existe una función escalonada f =
cj 1(aj ,bj ) con 1 ≤ k < ∞
j=1
y aj , bj , cj ∈ R tales que
Z
2
|f − f | dλ < .
2
Para cualquier t 6= 0,
Z
e
itx
f (x) dx =
k
X
j=1
Prof. Campos (UCR)
Z
bj
cj
e
aj
Funciones caracterı́sticas
itx
dx ≤
k
X
j=1
|cj |
2
.
|t|
Lunes 11 de Mayo
25 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba
3
Se sigue que,
Z
|φX (t)| =
e
itx
Z
Z
f (x) dx
≤
|f − f | dx +
e itx f (x) dx
k
≤
X
2
+
|cj |
2
|t|
≤
+ ,
2 2
j=1
donde t = 4
k
X
|cj |
j=1
Prof. Campos (UCR)
∀ |t| > t ,
.
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
26 / 30
Teorema de inversión
Distribución aritmética
Sea X una variable aleatoria con función caracterı́stica φ. Entonces
las siguientes afirmaciones son equivalentes:
A la distribución de X se le llama aritmética.
Teorema de inversión
Distribución aritmética
Sea X una variable aleatoria con función caracterı́stica φ. Entonces
las siguientes afirmaciones son equivalentes:
|φ(t0 )| = 1 para algún t0 6= 0.
A la distribución de X se le llama aritmética.
Teorema de inversión
Distribución aritmética
Sea X una variable aleatoria con función caracterı́stica φ. Entonces
las siguientes afirmaciones son equivalentes:
|φ(t0 )| = 1 para algún t0 6= 0.
Existe h ∈ R, h 6= 0 tal que
P X ∈ {a + jh : j ∈ Z} = 1.
A la distribución de X se le llama aritmética.
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
27 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba. Existe t0 6= 0 tal que |φ(t0 )| = 1
1
Existe a0 ∈ R tal que e −ia0 φ(t0 ) = 1.
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
28 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba. Existe t0 6= 0 tal que |φ(t0 )| = 1
1
Existe a0 ∈ R tal que e −ia0 φ(t0 ) = 1.
2
Se toma a = a0 · t0−1 . Luego, E[e it0 (X −a) ] = 1. Por lo tanto,
E[cos(t0 (X − a))] = 1.
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
28 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba. Existe t0 6= 0 tal que |φ(t0 )| = 1
1
Existe a0 ∈ R tal que e −ia0 φ(t0 ) = 1.
2
Se toma a = a0 · t0−1 . Luego, E[e it0 (X −a) ] = 1. Por lo tanto,
E[cos(t0 (X − a))] = 1.
3
Se sigue fácilmente,
P t0 (X − a) ∈ {2jπ : j ∈ Z} = 1.
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
28 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba. Existe t0 6= 0 tal que |φ(t0 )| = 1
1
Existe a0 ∈ R tal que e −ia0 φ(t0 ) = 1.
2
Se toma a = a0 · t0−1 . Luego, E[e it0 (X −a) ] = 1. Por lo tanto,
E[cos(t0 (X − a))] = 1.
3
Se sigue fácilmente,
P t0 (X − a) ∈ {2jπ : j ∈ Z} = 1.
4
Finalmente se toma h =
2π
t0 .
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Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
28 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba. P X ∈ {a + jh : j ∈ Z} = 1.
1
Sea pj := P(X = a + jh), con j ∈ Z.
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
29 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba. P X ∈ {a + jh : j ∈ Z} = 1.
1
2
Sea pj := P(X = a + jh), con j ∈ Z.
X
Por hipótesis,
pj = 1.
j∈Z
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
29 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba. P X ∈ {a + jh : j ∈ Z} = 1.
1
2
Sea pj := P(X = a + jh), con j ∈ Z.
X
Por hipótesis,
pj = 1.
j∈Z
3
Su función caracterı́stica está dada por
X
φ(t) =
e it(a+jh) pj ,
t ∈ R.
j∈Z
Prof. Campos (UCR)
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
29 / 30
Teorema de inversión
Resumen de la prueba. P X ∈ {a + jh : j ∈ Z} = 1.
1
2
Sea pj := P(X = a + jh), con j ∈ Z.
X
Por hipótesis,
pj = 1.
j∈Z
3
Su función caracterı́stica está dada por
X
φ(t) =
e it(a+jh) pj ,
t ∈ R.
j∈Z
4
Es fácil ver que
t
φ
Prof. Campos (UCR)
2π
h
=
X
0
{
z }|
e 2πi a/h pj = e 2π/h ·ia .
j∈Z
Funciones caracterı́sticas
Lunes 11 de Mayo
29 / 30
Teorema de inversión
Muchas Gracias
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30 / 30