PROPUESTA DE INNOVACION: UN ESTUDIO EXPLORATORIO DEL CÁLCULO DEL VOLUMEN DE PRISMAS REGULARES Resumen El trabajo desarrollado en este informe considera la mirada de algunos marcos teóricos y evidencias recolectadas por el ministerio de educación para el diseño e implementación de una propuesta de innovación para un establecimiento educacional de la comuna de Quinteros en la región de Valparaíso. Tiene por objetivo lograr que el estudiante sea protagonista de la construcción del conocimiento matemático a través de actividades que le permitan evitar el habitual tránsito por la vía de la memorización de fórmulas que terminan siendo utilizadas en algún momento y luego desechadas dado que no se internaliza por falta de significación. Se espera, una vez implementada dicha propuesta, que los estudiantes relacionen de manera efectiva el conocimiento matemático en su práctica social dando pie a un aprendizaje más significativo. I.- Introducción Se utiliza habitualmente la frase aprendizajes significativos para referirse a los que el estudiante ha operacionalizado y con ellos da solución a las problemáticas que se le presentan. La educación no puede ser una transmisión de datos unilateral si se espera que un aprendizaje sea significativo. Claro está en la misma frase, que debe tener un significado y ello se logra al relacionar el conocimiento matemático que se desea entregar con lo que el estudiante ya conoce o tiene una noción de ello. Según Rodríguez (2011) es un tipo de aprendizaje en que un estudiante asocia la información nueva con la que ya posee; reajustando y reconstruyendo ambas informaciones en este proceso. Es decir, la estructura de los conocimientos previos condiciona los nuevos conocimientos y experiencias, y estos, a su vez, modifican y reestructuran aquellos. Es responsabilidad del docente lograr enseñar utilizando los recursos que faciliten el paso de la estructura conceptual del contenido a la estructura cognitiva, solo de esa manera el estudiante logrará significados claros, estables y transferibles. Se debe permitir que el alumno tenga un contacto directo con el objeto de conocimiento, de esta manera se logra la interacción entre el estudiante y objeto matemático, así podrá asociar ambos conocimientos, si se desea una internalización de ellos el alumno debe ser llevado a la práctica. Al respecto, al científico Albert Einstein (1878-1955) se le atribuye la frase: “El aprendizaje es experiencia. Todo lo demás es información”, esta frase ha sido el motor de mi labor docente y dicho de paso, justifica el presente trabajo. Para que todos los alumnos logren el aprendizaje de los contenidos importantes se considera una de las tres preguntas que recorren el marco para la buena enseñanza del ministerio de educación: ¿Qué tan bien se está haciendo? Para responderla, es necesaria por parte de los docentes la reflexión de su propia labor en el ejercicio docente. (MBE. 2008). 1 El reflexionar sobre diferentes tópicos relacionados con la enseñanza de las matemáticas, considerando los marcos teóricos desarrollados al respecto y los estudios realizados en esta área podría incidir de buena manera en los logros de los aprendizajes. Estos tópicos de reflexión deben apuntar de manera transversal a los cuatro dominios de este marco provisto por el Mineduc. La reflexión que subyace a esta propuesta de innovación tiene tres puntos de apoyo: el marco para la buena enseñanza (MBE), el diseño universal de aprendizaje (DUA) y el sistema de medición de la calidad de la educación (SIMCE). De la reflexión pasaremos a la acción. El dominio del marco para la buena enseñanza “preparación de la enseñanza” considera el conocer las características, conocimientos y experiencias de sus estudiantes. Este es un punto de apoyo de gran relevancia pues da cabida a los otros dos pues centra la atención en las características particulares de los estudiantes con quienes se implementará la propuesta de innovación. Tomando como referente los resultados de las mediciones nacionales que dan cuenta de una mecanización por sobre el entendimiento de los contenidos que subyacen. El trabajar considerando los lineamientos del diseño universal de aprendizaje aplicado en esta propuesta permitirá asistir de mejor manera la comprensión de los contenidos matemáticos para que se favorezca la asociación e internalización por parte del estudiante. 2 II.- Fundamentación Al considerar los resultados obtenidos por el SIMCE (Sistema de Medición de la calidad de la Educación) que con sus evaluaciones da cuenta de los resultados de los aprendizajes evaluando el logro de los contenidos y habilidades propuestas por el MINEDUC, indica, según la Fundación Astoreca en 2017, que existen tres grandes debilidades en los procesos de enseñanza aprendizaje: Mecanización por sobre el razonamiento matemático, búsqueda de la respuesta correcta por sobre la búsqueda libre de soluciones a un determinado problema, falta de espacios de trabajo colaborativo entre docentes. La mecanización, por sobre el razonamiento matemático, es una característica de las tareas matemáticas de baja demanda cognitiva: Procedimientos sin conexión, algorítmicos requeridos de manera específica y memorizar para la reproducción de hechos, reglas, fórmulas o definiciones previamente aprendidas o ya establecidas. (Stein, M.K. 1998). El docente dentro de su continua reflexión deberá velar por minimizar o maximizar aquellos factores que aparezcan dentro de su ejercicio para mantener niveles altos de demanda cognitiva tanto en las tareas que propone así como en su implementación. Al respecto Polya (1989) nos entrega una gran reflexión: “...un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad. Si dedica tiempo a ejercitar a los alumnos en operaciones rutinarias, matará en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabará desaprovechando su oportunidad. Pero si, por el contrario, pone a prueba la curiosidad de sus alumnos planteándoles problemas adecuados a sus conocimientos y ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarles el gusto por el pensamiento independiente y proporcionarles ciertos recursos para ello” A considerar conjuntamente que el marco para la buena enseñanza indica en su dominio A: preparación para la enseñanza, el segundo criterio: conoce las particularidades familiares y culturales de sus alumnos. ¿Qué tan importante es conocer los estudiantes con quienes se quiere lograr aprendizajes? Sus debilidades y fortalezas, las características de su desarrollo y las particularidades familiares deben considerarse detenidamente dado que inciden en las decisiones que el docente toma al preparar una clase. De gran relevancia entonces es la preparación de la clase considerando estas particularidades. El protagonista de esta sección será el Diseño Universal de Aprendizaje (DUA), que nace en la década de los años 70 en el ámbito de la arquitectura. Con ello se pretende diseñar productos y entornos para que cualquier persona los pueda utilizar, en la mayor medida posible, sin la necesidad de hacer adaptaciones sobre la marcha. Con el decreto N°83/2015 el MINEDUC aprueba criterios y orientaciones de adecuación curricular que se debe realizar a estudiantes con necesidades educativas especiales de enseñanza básica y Parvularia. 3 No se debiese utilizar el término adaptar pues refleja que no se considera la diversidad desde la génesis del diseño de los productos. El diseño de las actividades que buscan el aprendizaje debiesen construirse considerando atender de manera simultánea los tres estilos de aprendizaje: Kinestésico, Visual y Auditivo. Antes de referirse al objeto matemático de la propuesta de innovación cabe señalar de forma resumida lo anterior. Al considerar la mecanización por parte de los estudiantes evidenciada en las evaluaciones aplicadas en el SIMCE se extrae la responsabilidad docente que no ha considerado en conciencia los criterios que el MBE ha propuesto para su labor docente, en ello el DUA podrá aportar su cuota de manera que los estudiantes tengan la posibilidad de resignificar los contenidos y así puedan transformarlos en saberes. (Cantoral, R. & Soto, D. 2014). El objeto matemático es el teorema de Pitágoras. Dentro de las nociones fundamentales, un triángulo pitagórico es un triángulo rectángulo en el cual los tres lados son proporcionales a los números enteros x, y, z. De acuerdo al teorema de Pitágoras (580 – 500 a.C.), estos números deben satisfacer la ecuación x2 + y2 = z2 Un Trío Pitagórico se asocia a los números enteros que cumplen dicha ecuación. El trío se considera primitivo si x, y, z no tienen factores comunes. (Van Der Waerden, B.L. 1983). Uno de los números x o y, debe ser par y el otro impar. Si ambos son impares la suma de es un número de la forma 4n + 2 que no representa un cuadrado. Existen distintos métodos para obtener tríos pitagóricos. El método chino data de la dinastía Han (200 a.C. – 220 d.C.). Mucho antes, los babilónicos durante la dinastía Hammurabi ya sabían cómo obtener tríos pitagóricos. Los indúes también lo trabajaron antiguamente (-1000 a -800). Los métodos que utilizaron en Babilonia, China, India y Grecia están estrechamente relacionados, los métodos Chinos y griegos son equivalentes. Estos métodos probablemente siguieron el siguiente camino Para obtener tríos pitagóricos se debió trabajar como un problema aritmético resolviendo la ecuación x 2 z y z y Considerando que x es un número impar de la forma st que satisfaga la ecuación anterior. s 2t 2 z y z y z 1 2 s t2 2 t2 z y s2 z y y 1 2 s t2 2 4 Diofantos de Alejandría utilizó una solución que consideraba un número entero par de la forma 2 pq 2 2 p 2 q 2 z y z y z p2 q2 2 p2 z y 2q 2 z y y p2 q2 Aún cuando los otros países ya tenían uso de la relación de las áreas de un triángulo rectángulo fueron los pitagóricos los primeros que enunciaron una demostración formal del teorema; esta demostración es la que se encuentra en Los Elementos de Euclides, libro I proposición 47. (Kline, M. 1972). En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que lo forman. Se muestra en la figura 1 que el triángulo ABD es congruente con el triángulo FBC, que el rectángulo BL tiene un área equivalente a dos triángulos ABD, y el rectángulo GB tiene un área equivalente a dos triángulos FBC. En consecuencia, el rectángulo BL es igual al cuadrado GB, y el rectángulo CL es igual al cuadrado AK. Figura 1. Demostración teorema de Pitágoras en libro I de Euclides, proposición 47. Considerando la propuesta curricular del ministerio de educación, se muestra en la tabla 1, un barrido de los planes y programas de estudios puestos a disposición de la comunidad que indican cómo se presentará el objeto matemático a través de la escolaridad. El barrido curricular de este objeto nos muestra como se conecta con los contenidos vistos en niveles anteriores y su aplicabilidad en los niveles superiores de escolaridad. 5 Curso OA Descripción objetivo de aprendizaje 3 básico 4 básico 18 19 12 6 básico 15 17 7 básico 13 11 8 básico 12 2 medio 8 6 4 medio 7 Demostrar que comprenden el concepto de ángulo. Construir ángulos con el transportador y compararlos. Construir y comparar triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y /o sus ángulos. Construir ángulos agudos, obtusos, rectos, extendidos y completos. Demostrar de manera concreta, pictórica y simbólica que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y de un cuadrilátero es 360º. Desarrollar y aplicar la fórmula del área de triángulos, paralelogramos y trapecios. Desarrollar las fórmulas para encontrar el área de superficies y el volumen de prismas rectos con diferentes bases y cilindros Explicar, de manera concreta, pictórica y simbólica, la validez del teorema de Pitágoras y aplicar a la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana Mostrar que comprenden las razones trigonométricas de seno, coseno y tangente en triángulos rectángulos. Determinar áreas de superficie y volúmenes de cuerpos geométricos generados por traslación de figuras planas en el espacio. Determinar áreas de superficie y volúmenes de cuerpos geométricos generados por rotación de figuras planas en el espacio. Tabla 1. Barrido curricular para el teorema de Pitágoras. Históricamente, en apoyo a la labor docente para el desarrollo de este y otros objetos, cada año el Ministerio de educación entrega textos de apoyo de forma gratuita tanto para el docente como para el estudiante en los establecimientos que no son particulares pagados. Nuestro foco de atención esta puesto en el teorema de Pitágoras, el cual se desarrolla desde el año 2015 en la sección 8 del libro de la editorial SM (Catalán, D., Pérez, B., Prieto, C., Rupin, P. 2015) conforme al decreto supremo N° 614/2013 del Ministerio de Educación de Chile. En el texto se desarrolla el objeto en cuatro partes: ¿Qué debo saber? Asociada a conceptos revisados previamente como el cálculo de raíces cuadradas exactas, identificar, clasificar, construir y calcular el área de triángulos con diversas medidas de longitud. La segunda parte: ¿Qué es y cómo se verifica el teorema de Pitágoras? Asociada a demostraciones. Pictórica, replicable en los cuadernos o utilizando software en computadores. La tercera parte: Apliquemos o aprendido. Asociada a ejercitar con variedad de ejercicios de cálculo de medidas lo visto en las primeras dos partes. La cuarta parte: ¿Qué aplicaciones tiene el teorema de Pitágoras? Asociado a utilizar el objeto matemático en la resolución de problemas de distinta índole. 6 III.- Propuesta de innovación La propuesta de innovación se diseño considerando un establecimiento de la comuna de Quinteros en la V región en el que no tiene una sala de computación por lo que se hace más dificultosa la exploración de representaciones geométricas a través de software geométrico. Una alumna regular de este establecimiento tiene una enfermedad degenerativa e incurable. Producto de esta enfermedad cada vez tiene menos motilidad fina. Ya desde el inicio de este año está confinada totalmente a su silla con ruedas. Aún cuando existiera esta sala de computación la motilidad de esta alumna imposibilita el uso adecuado de un computador. Por ello la necesidad de construir un material concreto que le dé la posibilidad de manipular y lograr una mejor aproximación del objeto matemático. Considerando los antecedentes indicados previamente en los pilares que fundamenta esta propuesta, se desea establecer un procedimiento con conexiones (STEIN, et al. 1998) aplicando el DUA. El diseño se ciñe al objetivo de aprendizaje número once para octavo año de enseñanza básica: Desarrollar las fórmulas para encontrar el área de superficies y el volumen de prismas rectos con diferentes bases y cilindros. (MINEDUC. 2013). Al revisar la propuesta que se propone en los textos de apoyo que reciben los establecimientos educacionales se plantea como parte del procedimiento el cálculo de la superficie de polígonos regulares, polígonos en que todos sus ángulos interiores son de la misma amplitud y todos sus lados tienen la misma longitud, con la valorización de la fórmula del semi-producto de la apotema por el perímetro de la cara basal. Independientemente que para realizar estos cálculos se trabaja un contenido ya desarrollado previamente por los estudiantes en años previos, valorizar esta fórmula está completamente carente de significación para el estudiante y en más de algún caso también para el docente. Con el ánimo de establecer procedimientos con conexión se construirán polígonos regulares para calcular su superficie. Se dividirán en triángulos congruentes, en ellos se calculará el área, OA13 de séptimo año de enseñanza básica, aplicando el teorema de Pitágoras, OA12 de octavo año de enseñanza básica. Respecto al teorema de Pitágoras que representa en definitiva el objeto matemático que se aplicará al servicio del OA11, se debe indicar que es sabido que fue su escuela la que formalizó el teorema indistintamente que fuera utilizado previamente por otra culturas. (Van Der Waerden, et al. 1983) 7 Volviendo a la propuesta de innovación, se inicia la actividad con un prisma regular pentagonal y uno hexagonal; se atenderá inicialmente a las bases de ellos, vale decir un pentágono y un hexágono regular. Los estudiantes evidenciaran que el prisma está formado por “varias” caras basales. (Figura 2). Figura 2. Prismas regulares y su descomposición en “varias” caras basales. Se dividirá en triángulos congruentes y se calculará el área de la superficie de cada triángulo trabajando la expresión del semi-producto de la base por la altura vista en séptimo básico. (Figura 3). Figura 3. Polígonos regulares y su descomposición en triángulos congruentes. Luego el área de un triángulo será multiplicada por la cantidad total de triángulos congruentes que formaban la cara basal y finamente esta área será multiplicada por la altura para encontrar el volumen solicitado del prisma. Toda la actividad está construida atendiendo las necesidades especiales de la alumna, no tiene motilidad en los dedos, por ende el uso de computador se descartó, no obstante su enfermedad, aún logra utilizar sus palmas para tomar o desplazar algunos elementos. Esta actividad también será de gran utilidad para el resto del curso dado que constituye una posibilidad de pasar de imágenes de prismas a modelos reales que facilitara la identificación de sus características. La propuesta consideró la construcción de un material concreto: un prisma hexagonal regular y otro pentagonal; varios polígonos regulares de cinco y seis lados, con la posibilidad de separarlos en triángulos congruentes. Los materiales seleccionados fueron cartón y madera por ser amigables con el medio ambiente tal como se mostró en las figuras 1 y 2. Se entregaran las medidas de los lados de estos triángulos congruentes del pentágono regular y aplicando el teorema de Pitágoras se calculará su altura y luego el área de la superficie. Para finalizar esta primera parte se calcula el volumen del prisma recto y se repite la actividad utilizando el material diseñado para un prisma hexagonal recto. 8 Tal como se visualizó en la imagen 1, al desarmar el prisma en polígonos, y estos en triángulos los estudiantes podrán establecer la relación en el cálculo del área de la superficie de un polígono regular y los triángulos que contiene. Con esto no se pretende excluir la importancia del lenguaje matemático que aparece en la expresión del cálculo del volumen de un prisma regular, aún cuando todavía la fórmula entregada en los textos de apoyo no es significativa para los estudiantes, se debe respetar la terminología que está presente en ella. El objetivo de la propuesta es lograr utilizar el lenguaje matemático una vez resignificado el objeto matemático por los estudiantes con las actividades que permitan que ellos sean parte de la construcción de este saber y no tenerlos de meros espectadores. 9 IV.- El plan de clases Con el ánimo de formalizar la propuesta de innovación se muestra la planificación de la clase que implementará la propuesta de innovación, en la que se espera lograr que los estudiantes al desarrollar las actividades propuestas evidencien que no es necesario incluir en su repertorio formulístico nuevas expresiones a memorizar, en especial consideración atendiendo al hecho que lo que subyace es el teorema de Pitágoras. En la clase previa a la propuesta de innovación, fueron revisados contenidos vistos en séptimo básico: el cálculo de área de triángulos, rectángulos y de sexto básico: el cálculo del volumen de paralelepípedos con apoyo de la guía de trabajo G2019022. (Anexo 1). 8° básico. (13-14 años). Teorema de Pitágoras. Geometría. OA11: Desarrollar las fórmulas para encontrar el área de superficies y el volumen de prismas rectos con diferentes bases y cilindros. Aplicar el teorema de Pitágoras en el cálculo del volumen de Objetivo de la clase prismas rectos con diferentes bases. Nivel Objeto matemático Eje temático Objetivo de Aprendizaje curricular Tiempo Inicio (10 min) Contenido de las actividades Marcha de la clase Activación de conocimientos previos vistos en Los estudiantes se clase anterior con guía G2019022 a partir de agrupan con preguntas del profesor al grupo curso: máximo de cuatro integrantes de ¿Qué trabajamos la clase anterior? forma de potenciar ¿Cómo se calcula el volumen de un prisma? el trabajo con sus pares y se apoyen Se permite que los estudiantes socialicen las mutuamente para respuestas al interior del grupo. Se escoge un dar respuestas ya estudiante de cada grupo para que de sus socializadas y así respuestas. motivar la participación en las El docente recolecta ideas principales y las actividades. registra en el pizarrón. 10 Tiempo Desarrollo 1 (15 min) Analizando Tiempo Desarrollo 2 (45 min) Contenido de las actividades Se entrega material de la clase: Prismas regulares: hexagonal y pentagonal. Hexágonos y pentágonos regulares de madera. Marcha de la clase Los estudiantes identifican que la dificultad de la actividad está en el De cuales figuras planas que conoces, ¿qué cálculo del área formulas para calcular el área conoces? de la cara basal que no es un ¿Con cuál de esas figuras podrías subdividir los paralelógramo o un polígonos regulares que aparecen en las caras triángulo. basales de prismas? Desde el prisma Se entrega material de la clase: G2019023. identifican y (Anexo 2). separan la cara basal. Se permite que los estudiantes socialicen las respuestas al interior del grupo. Se escoge un La cara basal la estudiante de cada grupo para que de sus separan en respuestas. triángulos congruentes. El docente recolecta ideas principales y las registra en el pizarrón. Contenido de las actividades Se entrega materiales de la clase: Triángulos congruentes de madera que forman los hexágonos y pentágonos regulares. Aplicando Miden las longitudes de los lados de los triángulos entregados y calculan su área utilizando el teorema de Pitágoras. Luego multiplican por la cantidad de triángulos que forman la cara basal. Marcha de la clase Se espera que los estudiantes sean capaces de generalizar el proceso de considerar muchas caras basales en el cálculo del volumen. Calculan el volumen de los cuerpos entregados y Aplican el teorema finalizan replicando el procedimiento en los de Pitágoras ejercicios propuestos de la guía G2019023. resignificando el contenido con su Registran sus conclusiones en la parte final de la práctica. guía entregada. 11 Tiempo Cierre (10 min) Contenido de las actividades Marcha de la clase Resumen de los contenidos vistos a través de Los estudiantes preguntas del profesor al grupo curso: seleccionados dan las respuestas que ¿Qué trabajamos la clase de hoy? dan cuenta de la ¿Cómo se calcula el volumen de un prisma de aplicación del base regular? teorema de Pitágoras en el Se permite que los estudiantes socialicen las cálculo del área de respuestas al interior del grupo. Se escoge un las caras basales de estudiante de cada grupo para que de sus prismas regulares. respuestas. El docente recolecta ideas principales y las registra en el pizarrón. Conocimientos El estudiante de octavo básico ya ha tenido la oportunidad de utilizar Previos algunos objetos matemáticos y algunos procedimientos previamente. Entre ellos, por su aporte al desarrollo de la actividad, es pertinente listar los siguientes: Sexto básico: OA 18 Calcular la superficie de cubos y paralelepípedos expresando el resultado en cm 2 y m 2 . OA 19 Calcular el volumen de cubos y paralelepípedos, expresando el resultado en cm 3 , m 3 y mm 3 . Conocimientos Séptimo básico: Previos OA 13(7) Desarrollar y aplicar la fórmula del área de triángulos, paralelogramos y trapecios. Octavo básico: OA 4(8) Mostrar que comprenden las raíces cuadradas de números naturales. OA 12(8) Explicar, de manera concreta, pictórica y simbólica, la validez del teorema de Pitágoras y aplicar a la resolución de problemas geométricos y de la vida cotidiana, de manera manual y/o con software educativo. 12 Respuesta Experta Para el cálculo del volumen de un prisma pentagonal regular: Estrategias Los estudiantes representan, mediante el dibujo de un pentágono regular los triángulos congruentes que se forman en su interior para aplicar el teorema de Pitágoras en el cálculo de su área. Los estudiantes representan, mediante el dibujo de un pentágono regular los triángulos congruentes que se forman en su interior. Separan los triángulos para aplicar el teorema de Pitágoras en el cálculo de su área midiendo sus lados con regla. Errores y Dificultades Error Dificultad D1.No hace corresponder las caras E1.No disponer adecuadamente basales de manera que las caras el prisma. laterales sean paralelógramos. E2.No distinguir las figuras D2.No identifica los triángulos planas que constituyen la cara congruentes que constituyen la cara basal. basal. E3.No medir correctamente. D3.No utiliza adecuadamente la regla para medir las longitudes de los lados de los triángulos. 13 Errores y Dificultades Error Dificultad D4.No utiliza adecuadamente el E4.No calcular correctamente teorema de Pitágoras en el cálculo la altura de los triángulos. de la altura de los triángulos congruentes. D5.No logra calcular el volumen E5.No generalizar la expresión del prisma considerando el para el cálculo del volumen del producto del área de la cara basal prisma. por la altura del prisma. 14 V.- Evidencias En la actividad de innovación, se evidenció la gran motivación entre los estudiantes dado que consideraba un trabajo grupal en la que la selección de los integrantes no fue realizada por el docente sino que por los estudiantes. (Imagen 1). Imagen 1. Grupos de trabajo en la propuesta de innovación. El trabajar con material concreto incidió de manera positiva en la actividad dado que los estudiantes han manifestado que las explicaciones escritas en el pizarrón les parecen monótonas y aburridas. Simultáneamente el material concreto permitió identificar adecuadamente los prismas, sus caras basales, los triángulos presentes y efectuar mediciones para que sus cálculos fueran reales y no cantidades teóricas registradas por el docente. (Imagen 2). Imagen 2. Grupos de trabajo en la propuesta de innovación. Además de atender al diseño universal de aprendizaje la actividad permitió atender variadas habilidades que se consideran en el nivel de octavo básico para el objetivo de aprendizaje desarrollado: fundamentar conjeturas dando ejemplos y contraejemplos, evaluar la argumentación de otros dando razones. También fomentar ciertas actitudes deseables en los estudiantes: demostrar curiosidad e interés por resolver desafíos matemáticos, con confianza en sus propias capacidades, incluso cuando no se consigue un resultado inmediato. 15 Considerando que esta propuesta de innovación se enmarca dentro de este estudio exploratorio, se sugiere establecer algunas categorías de análisis con el objetivo de agrupar y clasificar procedimientos y estrategias que los estudiantes pudieran evidenciar durante el desarrollo de la actividad. Categorías asociadas a la resolución RÓTULO Identifica la cara basal del prisma y logra separarla de él. Identifica los triángulos congruentes presentes en la cara basal. Mide correctamente los lados del triángulo y la altura del prisma. Aplica el teorema de Pitágoras y calcula la altura de los triángulos. Calcula el volumen del prisma con los datos obtenidos e1 e2 p1 p2 p3 Tabla 2. Procedimientos matemáticos y estrategias del análisis a priori. A continuación se presenta la tabla 3 en la que aparecen indicados con el valor 1 la presencia de la categoría y con el valor 0 la ausencia de ella. De esta manera será para el lector menos dificultoso dimensionar el desarrollo que en general tuvieron los estudiantes que desarrollaron la actividad de la propuesta de innovación. Estudiantes E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 e1 0 1 1 1 1 1 0 1 e2 0 0 1 1 1 0 1 1 Categorías p1 1 0 0 1 0 1 0 0 p2 0 1 0 1 1 1 1 0 p3 1 1 1 1 0 1 0 1 Tabla 3. Desempeño global de los estudiantes en la actividad. Al revisar el desempeño global de los estudiantes y en concordancia con lo visualizado durante la actividad existe una heterogeneidad entre los estudiantes que participaron de esta propuesta. Cada uno de las estrategias o procedimientos que se consideraron en la construcción de las categorías de análisis en general tuvo gran presencia, entre el 67,5% y el 75% exceptuando el procedimiento de medición con regla que tuvo tan solo 37,5% de presencia. Esto permite inferir que los estudiantes no utilizan de forma correcta herramientas concretas para su trabajo en mediciones de longitud, queda para un próximo estudio determinar si esta inferencia se extiende a la medición de amplitudes en ángulos. 16 Cada uno de ellos, logró finalmente efectuar las estrategias y procedimientos pero considerando que recibieron ayuda de sus pares a medida que avanzaba la actividad y socializaban al interior y exterior del grupo al que pertenecían. Respecto al logro general de la actividad se considera adecuado al considerar las respuestas que los estudiantes completaron en la parte de las conclusiones. Establecieron como curso que para calcular el volumen de un prisma deben reconocer en el que está formado por varias caras basales. Si la cara basal es una figura de la que no conocen la fórmula de su área deben separarla en triángulos congruentes y aplicar en ellos el teorema de Pitágoras para calcular su altura y así poder calcular el área de su superficie. Luego multiplicar por la cantidad de triángulos de la cara basal y finalmente multiplicar por la altura del prisma. 17 VI.- A modo de conclusión El presente estudio exploratorio ha considerado la implementación de una propuesta de innovación para un establecimiento educacional que no cuenta con laboratorio de computación y que aun que contase con uno excluiría de la construcción del saber matemático a una estudiante que por su condición particular no está capacitada para hacer uso de él. Atendiendo las particularidades de los estudiantes, indicado en el Marco para la Buena Enseñanza, en la preparación de la propuesta de innovación se ha considerado las indicaciones del Diseño Universal de Aprendizaje a fin de lograr un aprendizaje significativo. Lo anterior se traduce en disminuir la mecanización por sobre el razonamiento matemático que da cuenta como uno de las debilidades que se evidencian en las evaluaciones estandarizadas aplicadas por el SIMCE. Estas consideraciones permitieron diseñar una planificación de clases acorde a los aprendizajes significativos que se buscaba y la construcción de un material idóneo para todos los estudiantes del curso sin excepción. Las categorías de análisis y su revisión con el cotejo de lo visualizado durante la actividad permite indicar en este estudio exploratorio que los estudiantes motivados por la misma actividad y los materiales concretos establecieron relaciones entre contenidos ya vistos y los aplicaron en la resolución de nuevos desafíos acorde a su nivel de escolaridad. Por todo lo anterior no solo fue beneficiada esta alumna en particular, todos quienes desarrollaron la actividad pudieron ser parte de la construcción del saber matemático y re-significaron el contenido para su beneficio posterior. 18 VII.- Referencias bibliográficas Cantoral, R., Soto, D. (2014). Discurso Matemático Escolar y Exclusión. Una Visión Socioepistemológica. Boletim de Educação Matemática, vol. 28, núm. 50, diciembre, 2014, pp. 1525-1544. doi: 10.1590/1980-4415v28n50a25 Catalán, D., Pérez, B., Prieto, C., Rupin, P. (2015). Texto del estudiante de 8° básico. Santiago de Chile: Gráfica Quilicura. Kline, M. (1972). El pensamiento matemático: de la antigüedad a nuestros días. Capítulo 4, pp. 97-98. Madrid: Alianza. Ministerio de educación. Gobierno de Chile (2013). Bases curriculares. En https://lyd.org/wp-content/uploads/2013/06/Mineduc.pdf Consultado el 01/12/2019. Ministerio de educación. Gobierno de Chile (2015). Diversificación de la enseñanza. 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Revista Electrònica d’Investigació i Innovació Educativa i Socioeducativa, V. 3, n. 1, PAGINES 29-50. En http://www.in.uib.cat/pags/volumenes/vol3_num1/rodriguez/index.html consultado el 13/12/2019. Stein, M. K., & Smith, M. S. (1998). Mathematical tasks as a framework for reflection: From research to practice. Mathematics Teaching in the Middle School, 3(4), 268-275. En http://blog.ncue.edu.tw/sys/lib/read_attach.php?id=3954. Consultado el 12/11/2019. Van Der Waerden, B.L. (1983). Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Capitulo 1, pp. 1-10. Germany: Springer-Verlag. 19 VIII.- Anexos Anexo 1 G2019022. OA19(6): Calcular el volumen de cubos y paralelepípedos, 3 3 3 expresando el resultado en cm , m y mm . Anexo 1 G2019023. OA11(8): Desarrollar las fórmulas para encontrar el área de superficies y el volumen de prismas rectos con diferentes bases y cilindros. 20 21
