TAREA No. 1 Fuerza y Campo eléctrico 1. Una carga puntual (m = 1.0g) en el extremo de una cuerda aisladora de 55 cm de largo está en equilibrio en un campo eléctrico horizontal uniforme de 12,000 N/C, cuando la posición del péndulo es como se muestra en la figura, con la carga a 12 cm sobre la posición (vertical) más baja. Si el campo apunta hacia la derecha en la figura, determine la magnitud y signo de la carga puntual. Solución: Primero se hace el diagrama de cuerpo libre Se hace un sumatoria de fuerzas en y. ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑇𝑦 − 𝑚𝑔 = 0 𝑇𝑦 = 𝑚𝑔 Se sabe que la masas es 0.001 kg 𝑇𝑦 = (0,001𝑘𝑔) (9,8 𝑚⁄ 2 ) 𝑠 𝑇𝑦 = 0,0098𝑁 Con la relación de coseno se halla la componente T 𝑇𝑦 = 𝑇 cos 𝜃 → 𝑇 = 𝑇𝑦 cos 𝜃 Se hace la equivalencia con triangulo rectángulo formado por la cuerda y una línea vertical Se halló por Pitágoras el ultimo lado, entonces tenemos que. cos 𝜃 = 43 55 y sin 𝜃 = 34.29 55 Reemplazamos para hallar T tenemos 𝑇 = 0,012𝑁 Sumatoria de fuerzas en x ∑ 𝐹𝑥 = 0 𝐹𝑒 − 𝑇𝑥 = 0 𝐹𝑒 = 𝑇𝑥 → 𝐹𝑒 = 𝑇 sin 𝜃 Reemplazamos seno por su equivalente y tenemos que 𝐹𝑒 = 7.48 × 10−3 𝑁 𝐹 𝑄 Se halla la carga con la fórmula de 𝐸 = , Entonces tenemos que 𝑄 = 𝐹 𝐸 Reemplazamos y tenemos que la carga es igual a +6,23 × 10.7 𝐶 2. Dadas las dos cargas que se muestran en la figura, ¿en qué posición (o posiciones) x el campo eléctrico es cero? ¿El campo es cero en otros puntos cualesquiera, no en el eje X? Solución: ∑𝐸 = 0 𝐸+ − 𝐸− = 0 → 𝐸+ = 𝐸− 𝑄 𝑄 1 𝑘 =𝑘 2 (𝑑 + 𝑥) 2 𝑥2 Se cancelan las Q y k. 1 1 1 = → 2𝑋 2 = (𝑑 + 𝑥)2 (𝑑 + 𝑥)2 2 𝑥 2 √2𝑥 = 𝑑 + 𝑥 → √2𝑥 − 𝑥 = 𝑑 𝑑 𝑥(√2 − 1) = 𝑑 → 𝑥 = √2 − 1 Los puntos en los que el campo resultante puedes ser nulo serían en el eje x debido a que si se coloca un punto referencia por arriba o por debajo de del dipolo se generaría una resultante, como se muestra a continuación. En imagen que las líneas de la carga positiva son mayores ya que tiene mayor carga en relación con la otra carga. Al ir ambas en el mismo sentido (derecha) la resultante irá en ese sentido. 3. Explicar en detalle en que consiste el experimento de la gota de aceite de Millikan. Solución En el año 1909 Robert Millikan y Harvey Fletcher diseñaron y realizaron el primer experimento para medir la carga del electrón. Hasta entonces los electrones sólo habían podido ser observados en forma de rayos catódicos, pero con ellos sólo se podía determinar la relación entre su carga y su masa. El equipo básico para realizar el experimento de Millikan está representado esquemáticamente en la siguiente figura: Consiste en introducir, mediante un atomizador, gotitas de aceite (del orden del micrómetro) en un medio gaseoso controlado, con una viscosidad determinada, y entre dos placas conectadas a una fuente de tensión. Algunas gotitas, por efecto de la fricción con el atomizador, reciben cierta carga electrostática o alternativamente, se cargan mediante una fuente externa de radiación ionizante (rayos X). El campo eléctrico producido por las placas, vertical y hacia arriba, se opone a la fuerza de la gravedad y algunas gotas quedan en equilibrio. Entonces, se escoge una gota con la que trabajar y se descartan las demás apagando y encendiendo la fuente de tensión. Una vez seleccionada la gota, se apaga el campo eléctrico; esta cae lentamente alcanzando rápidamente una velocidad terminal. Cuando esto sucede, significa que la fuerza de arrastre es igual y opuesta a la fuerza de la gravedad; así pues, igualando la ecuación de la fuerza de arrastre (que contiene la viscosidad, el radio de la gota supuesta esférica, y la velocidad terminal) y la ecuación del peso de la gota (que contiene las densidades del gas y el aceite, la constante gravitatoria y el radio al cubo), podemos extraer el radio de la gota. Podemos hacer la siguiente comparación con la ley de newton ∑𝐹 = 0 𝐹𝑔 = 𝑚𝑔 𝐹𝑣 = 6𝜋𝑟𝑛𝑣 𝐹𝑔 = 𝐹𝑣 𝐹𝑔 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 𝐹𝑣 = 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑛 = 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 De lo anterior se obtiene que 𝑚𝑔 𝑣 = 6𝜋𝑟𝑛 En este momento se vuelve a activar el campo eléctrico. Evidentemente, ajustarlo de manera que la gota quede en equilibrio sin moverse es muy complicado. Por ello, una buena práctica es aumentarlo de manera que la gota comience a subir: en la nueva ecuación, el peso (hacia abajo) más la fuerza de arrastre (hacia abajo) son iguales a la fuerza del campo eléctrico (hacia arriba). De nuevo, alcanza otra velocidad terminal que introducida en la ecuación anterior, junto con el radio averiguado antes, nos proporciona la carga eléctrica de la gota. De todo lo anterior podemos concluir lo siguiente: 1- Si la fuerza de atracción de la tierra sobre la gota era mayor que la de repulsion electrica la gota seguiria cayendo aunque a una menor velocidad. 2- Si la fuerza de repulsion electrica era mayor que el peso la gota de aceite invertía el sentido de su movimiento y subía. 3- Si ambas ferzas se igualaban la gota permanecía quieta en el aire. Finalmente este investigador logró toda la informacin que necesitaba para medir la carga existente sobre una gota de aciete. Repitió el experimentos infinidades de veces y obtuvo grandes cantidades de resultados diferentes; esto no quiso decir que el experimento tenia erroes, simplemente era que las diferentes goticas ganaban o perdian diferentes cantidades de electrones. Todos los resultados demostraron ser simples multiplos de una carga básica: 1,602 𝑥 10−19 C , esta carga básica resultó ser el máximo común múltiplo de cientos de resultados y no se obtuvo cargas menores en experimentos siguientes. Millikan habia medido una de las constates fundamentales en el universo. 4. Una pequeña esfera de carga 0.800 μC cuelga del extremo de un resorte como en la figura. Cuando otra esfera pequeña de carga 20.600 μC se coloca debajo de la primera esfera como en la figura, el resorte se estira d = 3.50 cm de su longitud original y alcanza una nueva posición de equilibrio con una separación entre las cargas de r = 5.00 cm. ¿Cuál es la constante de fuerza del resorte? Solución Se hace un diagrama de cuerpo libre. Fr es la fuerza producida por el resorte y Fe es la producida por la carga, se hace sumatoria de fuerzas ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝐹𝑟 − 𝐹𝑒 = 0 𝐹𝑟 = 𝐹𝑒 → 𝑘𝑥 = 𝑘𝑐 𝑞1 𝑞2 𝑟2 𝑘𝑐 𝑞1 𝑞2 𝑑 𝑟2 Se reemplaza x con d ya que es la distancia que se estira el resorte y reemplazando valores se tiene. 𝑘 = 1695.08 𝑁⁄𝑚 𝑘= 5. Hallar las componentes rectangulares del campo eléctrico producido por un dipolo eléctrico. Solución Se hace sumatoria de campos en el punto P. 𝐸𝑅 = 𝐸+ − 𝐸− +𝑄 −𝑄 𝐸𝑅 = 𝑘 2 − 𝑘 2 𝑟 𝑅 𝑑 𝑑 Pero 𝑟 = 𝑦 − y 𝑅 = 𝑦 + , y se sabe que +𝑄 = −𝑄 = 𝑄 2 2 𝑄 𝑄 𝐸𝑅= 𝑘 −𝑘 𝑑 2 𝑑 (𝑦 − 2 ) (𝑦 + 2 )2 𝐸𝑅 = 𝑘𝑄 ( 1 𝑑 (𝑦 − 2 )2 − 1 𝑑 (𝑦 + 2 )2 ) Simplificando 𝐸𝑅 = 𝑘𝑄 [ 2𝑦𝑑 ] 𝑑 2 𝑑 2 (𝑦 − ) (𝑦 + ) 2 2 𝑑 𝑑 En el caso de que 𝑦 ≫ 𝑑, entoces.𝑦 − ≈ 𝑦 también 𝑦 + ≈ 𝑦 2 2 Tenemos: 𝑦 2𝑄𝑑 → 𝐸𝑅 = 𝑘 3 4 𝑦 𝑦 Solo tendría componentes y debido a que esta alineado con el dipolo en eso eje. 𝐸𝑅 = 2𝑘𝑄𝑑
