CADENAS DE MARKOV Andréi Markov Mg. Santiago Javez Valladares Cajamarca 2014 Cadenas de Markov Hablar de un sistema de secuencia de ocurrencias, es tratar de buscar un patrón que permita analizar un evento ó estado, las culturas antiguas comenzaron a analizar el cielo y descubrieron patrones de secuencia y con ello predecir el inicio de las estaciones, la secuencia de las diferentes caras de la luna, si estos estudios llegan a generar un patrón en tiempo y espacio estaremos frente a un estado determinístico, es decir que ya se puede predecir con certeza, por ejemplo el ciclo de 28 días de la luna alrededor de la tierra, duración de 24 horas por día, pero que sucede cuando se tiene estados que pueden cambiar sin un patrón establecido, lo que sí se puede evaluar son los eventos posibles y darles un límite (modelo discreto) pero como ya no hay certeza se van a considerar un sistema probabilístico, pero tiene algo muy importante, que la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior. Esta característica de falta de memoria recibe el nombre de propiedad de Markov. DEFINICION Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos similares u observaciones en la cual cada ensayo tiene el mismo número finito de resultados posibles y en donde la probabilidad de cada resultado para un ensayo dado depende sólo del resultado del ensayo inmediatamente precedente y no de cualquier resultado previo, entonces todo proceso estocásticos de tiempo discreto se llama cadena de Markov. MATRIZ DE TRANSICION Definición: Consideremos un proceso de Markov en que el sistema posee n estados posibles, dados por los números 1, 2, 3, …., n. Denotemos Pij a la probabilidad de que el sistema pase al estado j después de cualquier ensayo en donde su estado era i antes del ensayo. Los números Pij se denominan probabilidades de transición y la matriz nxn (P)ij=p se conoce como matriz de transición del sistema. Aplicaciones: Sistemas de inventarios: Dada la siguiente data histórica: Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Demanda 2 3 1 2 3 0 1 2 3 2 Formando la Matriz de Ganancia: 0 0 1 2 3 1 2 3 total 1 1 2 3 3 2 3 1 1 1 Pasando a matriz de probabilidad: 0 1 2 3 0 0 0 0 1/3 1 1 0 0 1/3 2 0 1 0 1/3 3 0 0 1 0 Calculo para llegar al estado estable: 0 1 2 3 0 0,11111111 0,22222222 0,33333333 0,33333333 1 0,11111111 0,22222222 0,33333333 0,33333333 2 0,11111111 0,22222222 0,33333333 0,33333333 3 0,11111111 0,22222222 0,33333333 0,33333333 0 1 2 3 0 1/9 1/9 1/9 1/9 1 2/9 2/9 2/9 2/9 2 1/3 1/3 1/3 1/3 3 1/3 1/3 1/3 1/3 Interpretación: La probabilidad que se tenga 0 de inventario es: 1/9 La probabilidad que se tenga 1 de inventario es: 2/9 La probabilidad que se tenga 2 de inventario es: 1/3 La probabilidad que se tenga 3 de inventario es: 1/3 Tiempo de primera pasada: M00 = 1/ π0 = 1/ (1/9) = 9 días han de pasar para que si hoy se tiene una demanda de 0 unidad se tenga nuevamente una demanda de 0 unidad. M11 = 1/ π1 = 1/ (2/9) = 4.5 días han de pasar para que si hoy se tiene una demanda de 1 unidad se tenga nuevamente una demanda de 1 unidad. M22 = 1/ π1 = 1/ (1/3) = 3 días han de pasar para que si hoy se tiene una demanda de 2 unidades se tenga nuevamente una demanda de 2 unidades. M33 = 1/ π1 = 1/ (1/3) = 3 días han de pasar para que si hoy se tiene una demanda de 3 unidades se tenga nuevamente una demanda de 3 unidades. Tiempo de primera pasada entre dos estados diferentes M10=P11M10+P12M20+P13M30+1 M20=P21M10+P22M20+P23M30+1 M30=P31M10+P32M20+P33M30+1 0 0 1 2 3 0 0 0 1/3 1 1 0 0 1/3 2 0 1 0 1/3 3 0 0 1 0 M10=0*M10+1M20+0M30+1 M20=0*M10+0*M20+1*M30+1 M30=1/3M10+1/3M20+0M30+1 Despejando: M10=6.95 días para pasar de 1 unidad en inventario a 0 unidades. M20=15.32 días para pasar de 2 unidad en inventario a 0 unidades. M30=14.32 días para pasar de 3 unidad en inventario a 0 unidades. Uso de Costos: Considere que el costo de inventario diario es de: s/ 2 /unidad, ¿Cuál es el costo promedio de inventario? 0 1 2 3 0 1/9 1/9 1/9 1/9 1 2/9 2/9 2/9 2/9 2 1/3 1/3 1/3 1/3 3 1/3 1/3 1/3 1/3 Costo promedio: s/2 unidad ( 0*1/9 +1*2/9 +2*1/3 +3*1/3) unid = s/ 3.77 Políticas de Inventario: Pedir diariamente : 3- Inf si Inf es <=1 caso contrario pedir 0, la entrega es inmediata Dia 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Demanda 2 3 1 2 3 0 1 2 3 2 Demanda 0 1 2 3 0 3 1 2 2 3 0 1/3 1/3 1/3+1/3 1/3 Probabilidad 1/9 2/9 1/3 1/3 1 1/3 1/3 2/9 1/3 2 3 2/9 1/9 2/9 1/9 1/9 0 2/9 1/9 0 1 2 3 0 3 1/3 1/3 2/9 1/9 1 2 1/3 1/3 2/9 1/9 2 2/3 2/9 1/9 0 3 1/3 1/3 2/9 1/9 Estado Estable: 0 1 2/5 2/5 2/5 2/5 2 14/45 14/45 14/45 14/45 3 1/5 1/5 1/5 1/5 4/45 4/45 4/45 4/45 Costo: s/ 2 /unidad ( 0*2/5 +1*14/45 +2*1/5 +3*4/45) unid = s/ 1.95 Considerando escasez: Costo de escasez: s/ 4 /unidad 0 -1 -1 4 0 3 1 2 2 3 0 0 0 1/3 0 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1 1/3 1/3 1/3 2/9 1/3 2 2/9 2/9 2/9 1/9 2/9 3 1/9 1/9 1/9 0 1/9 Estado estable: -1 0 1 2 3 -1 1/15 1/15 1/15 1/15 1/15 0 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1 14/45 14/45 14/45 14/45 14/45 2 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 3 4/45 4/45 4/45 4/45 4/45 Costo: s/ 4 /unid ( 1*1/15) unid + s/ 2 /unidad ( 0*1/3 +1*14/45 +2*1/5 +3*4/45) unid Costo : s/ 2.22 Considerando Costo Fijo: s/10 Costo:( s/ 4 /unid+s/10/unid) ( 1*1/15) unid + (s/ 2 /unidad+s/10/unid) ( 0*1/3 +1*14/45) +s/2/unid)(2*1/5 +3*4/45) unid =
