teoremas-analisis-circuitos

Teoremas de análisis de
circuitos
OBJETIVOS
• Resolver problemas sobre a Ley de
Ohm y la variación da resistencia con
la temperatura.
• Simplificar
agrupaciones
serieparalelo de resistencias.
• Identificar las principales magnitudes
eléctricas y sus unidades.
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CONTENIDOS
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Teoremas de análisis de circuitos
Teorema de Thevening.
Teorema de Norton.
Leyes de Kirchoff.
Teorema de máxima transferencia de
energía
Electrotecnia
Teoremas de análisis de circuitos
6.1 INTRODUCCIÓN
Para la resolución de los circuitos eléctricos o electrónicos, nos basamos en la experiencia y
demostraciones llevadas a cabo por científicos (Físicos, matemáticos etc.). Algunos de sus trabajos
se han convertido en Leyes, como es el caso de Ohm, Kirchhoff, Joule...
A medida que los circuitos se complican, necesitamos de leyes o teoremas más potentes que nos
faciliten la labor.
Es por ello, que en este tema veremos las Leyes o teoremas más importantes aplicables a la
resolución de circuitos eléctricos, como las Leyes de Kirchhoff y los teoremas de Superposición,
Thèvenin, Norton,Teorema de máxima transferencia de potencia y Millman.
6.2. DEFINICIONES BÁSICAS
Las siguientes definiciones serán empleadas habitualmente a lo largo del presente capítulo.
6.1 nomenclatura de las tensiones
En la Figura 1 se muestran las dos nomenclaturas más extendidas para marcar la diferencia
de potencial o tensión entre dos puntos de un circuito.
Figura 1: Notaciones empleadas para las diferencias de potencial.
La diferencia de potencial entre los puntos A y B se representa como VAB, que se
corresponde con la diferencia VA - VB, es decir, el potencial en el punto A menos el potencial en el
punto B. El signo + o la flecha apuntan al primer subíndice. Con esta notación no se pretende indicar
que el potencial en A sea mayor que en B, sino simplemente dejar claro que el valor VAB será la
diferencia entre ambos. Por ejemplo:
•
Si VA = 7 V y VB = 5 V VAB = 2 V ; VBA = -2 V
•
Si VA = 6 V y VB = 9 V VAB = -3 V ; VBA = 3 V
Por lo tanto, es lo mismo decir que VAB es 2 V, que decir VBA es -2 V.
Símbolo de tierra
El símbolo de tierra significa que cualquier punto conectado con él se encuentra a potencial
nulo. Es la referencia de tensiones de todo el circuito.
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Electrotecnia
Teoremas de análisis de circuitos
Instrumentos de medida ideales
La Figura 2 muestra el símbolo de los instrumentos de medida ideales. Su significado es el siguiente:
•
•
VOLTÍMETRO: Mide la diferencia de potencial entre los puntos a los que se conecta. Se
considera que su resistencia interna es infinita y que no absorbe potencia del circuito al que
se conecta. Se coloca en paralelo al componente del cuál se quiere conocer su caída de
tensión.
AMPERÍMETRO: Mide la corriente que lo atraviesa. Su resistencia interna es nula y tampoco
absorbe potencia. Se coloca en serie.
En el siguiente circuito, el amperímetro ofrecería una lectura de 1 amperio, mientras que el voltímetro
marcaría 5 voltios.
Figura 2: Elementos de medida ideales
Nudos y mallas
•
•
NUDO: Un nudo es el punto del crcuito donde se unen tres o más conductores.
MALLA: Es un camino cerrado a través del circuito que puede recorrerse sin pasar dos
veces por el mismo punto
•
RAMA:. Es cualquier parte del circuito comprendida entre dos nudos consecutivos.
Figura 3: Nudos y mallas en un circuito eléctrico
Los puntos A y B son nudos del circuito de la figura, ya que en ellos confluyen tres
conductores. Los puntos 1, 2, 3, y 4 no se consideran nudos, ya que sólo confluyen dos.
Una malla estaría formada, por ejemplo, por los componentes que se encuentran en el
camino que une los puntos 1-A-B-3-1. En este circuito hay tres mallas: 1-A-B-3-1, 1-2-4-3-1 y A-2-4B-A.
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Teoremas de análisis de circuitos
Régimen transitorio y permanente
Hay dos componentes electrónicos, la bobina y el condensador, cuya respuesta depende del
tiempo a través de las derivadas de la tensión y de la corriente. Supongamos que tenemos un circuito
formado por una fuente de alimentación de tensión continua y una serie de mallas con
condensadores, bobinas y resistencias. Al conectar la fuente de tensión se crearán una serie de
corrientes que, en principio dependerán del tiempo. Al cabo de un cierto tiempo, las corrientes
tenderán a un valor fijo e invariable en el tiempo. A partir del momento en que se alcance este punto
de equilibrio entraremos en lo que se denomina régimen permanente, mientras que el estado anterior
se llama régimen transitorio.
Se puede demostrar que en un circuito con componentes lineales, las corrientes en régimen
permanente (R.P.), siempre tienen la misma forma de onda que las excitaciones del circuito. Así, si
tenemos fuentes de tensión continua, sabemos que las corrientes del R.P. serán también continuas,
y si tenemos fuentes de alterna sinusoidales de una determinada frecuencia, las corrientes serán
sinusoides de la misma frecuencia, aunque desfasadas en el tiempo y de diferente amplitud. En la
Figura 4 se refleja este concepto para las excitaciones continuas y alternas.
Figura 4: Régimen transitorio y régimen permanente
Recta de carga
Supongamos que en el circuito de la Figura 5 se conecta entre los puntos A y B un
componente desconocido.
Figura 5: Circuito con un componente desconocido entre A y B
Pese a no conocer las ecuaciones características del componente, puede escribirse que:
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En un sistema de coordenadas en el que VAB sea el eje de abscisas e IAB el de ordenadas, la
expresión anterior admite la representación gráfica mostrada en la Figura 6, que se llama recta de
carga.
Figura 6: Recta de carga
Hay dos puntos característicos que definen esta recta:
•
•
Tensión VAB cuando IAB es nula Tensión de circuito abierto VCC: Es la tensión que puede
medirse cuando la resistencia del componente colocado entre A y B es infinita, o bien,
cuando el circuito está abierto.
Corriente IAB cuando VAB es nula Corriente de cortocircuito ICC: Es la corriente que se
obtiene cuando la resistencia del componente colocado entre A y B es nula, o bien, cuando
se cortocircuitan ambos puntos.
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6.3 ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELECTRICOS
Hasta ahora hemos visto circuitos sencillos, donde su análisis estaba basado en la ley de Ohm. En
este tema veremos diversos teoremas que nos ayudarán a resolver circuitos más complejos así como
obtener circuitos equivalentes de los mismos.
Principales tipos de señales eléctricas
En la mayoría de los casos, las señales (tensiones o corrientes) aplicadas a los circuitos eléctricos
pueden encuadrarse dentro de una de las siguientes categorías:
•
•
•
Señales continuas (DC): Se trata de señales de valor medio no nulo con una frecuencia de
variación muy lenta, por lo que se pueden considerar como constantes en el tiempo.
Señales alternas (AC): Son señales que cambian de signo periódicamente, de tal forma que
su valor medio en una oscilación completa es nulo. El caso más simple es el de una señal
sinusoidal
Señales de alterna superpuestas a un valor de continua: Obviamente, se trata de una
superposición de los dos casos anteriores. Al valor medio de la señal se le llama componente
continua, mientras que la oscilación recibe el nombre de componente de alterna.
Figura 15: Tipos de señales eléctricas
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6.4 TEOREMAS Y LEYES FUNDAMENTALES
En los siguientes subapartados se repasan los teoremas y leyes fundamentales que se
aplican habitualmente en el análisis de circuitos eléctricos:
•
•
•
•
•
•
•
Leyes de Kirchoff
Teorema de la superposición
Teorema de la sustitución
Teorema de Millmann
Teorema de Thevenin
Teorema de Norton
Teorema de máxima trasferencia de potencia
Mientras que las leyes de Kirchoff tienen un carácter general, los teoremas citados sólo
pueden ser aplicados directamente a circuitos que posean componentes lineales.
6.4.1 leyes de kirchoff
Las Leyes de Kirchoff son el punto de partida para el análisis de cualquier circuito eléctrico.
De forma simplificada, pueden enunciarse tal y como se indica a continuación:
Ley de los NUDOS y Ley de las MALLAS
•
1ª Ley de Kirchoff o ley de los nudos: En cualquier nudo, la suma de la corriente que entra
en él es igual a la suma de la corriente que sale. De igual forma, La suma algebraica de
todas las corrientes que pasan por el nudo es igual a cero.
∑
Ie =
∑
n
Is
o de la forma
∑
I k = I1 + I 2 + I 3 + ... + I n = 0
k= 1
I1 + I 2 + I 3 + ... + I n = Intensidades que pasan por el nudo
I k = Intensidad total que llega al nudo
•
2ª Ley de Kirchoff o ley de las mallas: Para todo conjunto de conductores que forman un
circuito cerrado, se verifica que la suma de las caídas de tensión en las resistencias que
constituyen la malla, es igual a la suma de las f.e.ms. De la misma, o lo que es lo mismo, La
suma de las caídas de tensión o diferencias de potencial a lo largo de un circuito cerrado es
nula
∑
E=
∑
R.I
o de la forma
∑
E−
∑
R.I = 0
E = Fuerzas electromotrices de la malla
R.I = Caidas de tensión en las resistencias de la malla
Figura 7: Leyes de Kirchoff
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Aplicación de las leyes de kirchhoff en la resolución de un circuito
Se encuentra el circuito de la figura 7. La solución del siguiente circuito en todos los conductores, se
logra aplicando las leyes de Kirchhoff de la siguiente manera:
1. Se establece el número de variables desconocidas o incógnitas. En este caso son las
2.
intensidades, y su número posible; se requieren, entonces tres ecuaciones con tres
incógnitas.
Se elige arbitrariamente la dirección de las corrientes (figura 7-b). Al final si la dirección
elegida no corresponde con la dirección de la corriente en el circuito, la intensidad de la
corriente correspondiente tendrá signo negativo.
3. Se establecen las mallas existentes
4. Se escriben la ecuaciones para cada uno de los nudos y para cada una de las mallas. Vale la
pena anotar que la dirección de las corrientes en una resistencia indica el paso de un
potencial alto a un potencial bajo; es decir, una diferencia de negativa. Si se recorre la fuente
del borne negativo al positivo, se pasa de un potencial bajo a un potencial alto, en otras
palabras, se trata de una diferencia de potencial positiva. La corriente fluye en las
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Electrotecnia
Teoremas de análisis de circuitos
resistencias de los puntos se mayor potencial a los de menos potencial. En la tabla de abajo
se muestra cómo la diferencia de potencial entre dos puntos es independiente de la dirección
en la cual se recorre el circuito. La linea punteada indica la dirección en la cual se recorre el
circuito.
Ecuacuaciones de los nudos :
Se eligen las ecuaciones de todos los nudos del circuito menos uno
En este caso, tenemos dos nudos, el nudo B y el nudo E. Siguiendo la regla anterior,
planteamos la ecuación del nudo B en base a la primera ley:
∑
Ie =
∑
Is
I1 + I 2 = I 3
por lo tanto, para el nudo B
Ecuaciones de las mallas :
Se completa ahora el sistema de ecuaciones con las ecuaciones de
malla, es decir, para que el número de ecuaciones sea igual al número
de incógnitas. Tenemos que fijar además un sentido de recorrido de las
mallas. En base a ello, las intensidades que favorezcan nuestro sentido
de recorrido fijado serán positivas y las que no negativas. Asimismo, los
generadores que favorezcan el sentido de la intensidad positiva, su
f.e.m. Será positiva y los que no será negativa
En este caso, tenemos tres mallas, la exterior y las dos interiores, por lo tanto, planteamos la
ecuación del nudo B en base a la primera ley, sabiendo que solamente necesitamos dos ecuaciones
mas:
∑
E=
∑
R.I
Malla I (ABEFA)
V1 = I1.R1 + I 3 .R2
Malla II (BCDEB)
− V2 = − I 3 .R2 − I 2 .R3
Ahora planteamos el sistema de ecuaciones y lo resolvemos, donde las intensidades (en este caso)
serán las incógnitas.
I1 + I 2 = I 3


V1 = I1.R1 + I 3 .R2

− V2 = − I 2 .R3 − I 3 .R2 
Sustituyendo el valor de R3 en las demás ecuaciones, queda:
V1 = I1.R1 + ( I1 + I 2 ).R2


− V2 = − I 2 .R3 − ( I1 + I 2 ).R2 
V1 = I1.R1 + .I1 R2 + I 2 .R2


− V2 = − I 2 .R3 − I1 R2 − I 2 .R2 
V1 = I1.( R1 + R2 ) + I 2 .R2

 sustituyendo valores queda:
− V2 = I 2 .( − R2 − R3 ) − I1 R2 
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2 = I1.( 2 + 4 ) + I 2 .4


− 6 = I 2 .( − 4 − 1) − I1 4
2 = 6 I1 + 4 I 2

 ahora despejamos I 2 en la primera ecuación
− 6 = − 5 I 2 − 4 I1 
2 = 6 I1 + 4 I 2

2 − 6 I1 1 − 3 I1
=
 I2 =
− 6 = − 5 I 2 − 4 I1 
4
2
y despejamos su valor en la otra ecuación
5 5.3I1
5 15
5 7
 1 − 3I 1 
− 6 = − 5
− 4 I1 = − −
I1 − 4 I1 = − − I1 con lo que I1 será:
 − 4 I1 = − −
2
2
2 2
2 2
 2 
5 12 − 5 3
6−
2 =
2 = 2 = 3.2 = 15 A
I1 =
7
7
7 7.2 17
2
2
2
Sustituyendo ahora el valor de I1 en la ecuación, quedará :
I2 =
1 − 3I 1
2
1 − 3I 1
I2 =
=
2
 15 
1 − 3  1 − 45 17 − 45 − 28
 17  =
17 = 17 = 17 = − 28 = − 28 = − 14 A
2
2
2
2
17.2
34
17
Con lo que, con estos valore, I 1Será
15  14  1
+ −
A
=
17  17  17
Teniendo en cuenta el signo de las int ensidades, podemos decir que:
I1 e I 3 acertamos su sentido
I 3 = I1 + I 2 =
I 2 circula en el sentido contrario con valor positivo.
A efectos de cálculos, solemos fijarnos solamente en los resultados sean estos positivos o negativos,
dejando el sentido como lo prefijamos al inicio del ejercicio.
6.4.2 Teorema de la superposición
En un circuito con varias fuentes de energía, el estado global del circuito es la suma de los
estados parciales que se obtienen considerando por separado cada una de ellas, que se sustituyen
por sus correspondientes cortocircuitos.
Los pasos que deben seguirse para aplicar a un circuito este teorema son:
•
Eliminar todos los generadores independientes menos uno y hallar la respuesta debida
solamente a dicho generador.
•
Repetir el primer paso para cada uno de los generadores independientes que haya en el
circuito.
Sumar las repuestas parciales obtenidas para cada generador.
Los generadores independientes de tensión se anulan cortocircuitándolos (así se impone la
condición de tensión generada nula), mientras que los de corriente se anulan abriendo el circuito
(corriente nula).
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Teoremas de análisis de circuitos
Ejemplo 1: Hallar mediante el principio de la superposición la corriente que circula en el
circuito alimentado por los generadores E1 y E2.
SOLUCIÓN: El circuito global puede descomponerse en los subcircuitos 1 y 2.
E1
R
•
En el subcircuito 1:
I1 =
•
En el subcircuito 2:
I2 = −
E2
R
E1 − E 2
R
El resultado coincide obviamente con el que se obtendría aplicando la ley de las mallas en el circuito
global:
•
La suma de ambos subcircuitos:
I = I1 + I 2 =
E1 − E2 − IR = 0 → I =
E1 − E2
R
6.3.3 Teorema de la sustitución
Según el teorema de la sustitución, cualquier conjunto de componentes pasivos puede
sustituirse por un generador de tensión o de corriente de valor igual a la tensión o corriente que
aparezca entre los terminales del conjunto, sin que por ello se modifiquen las magnitudes en el resto
del circuito.
Figura 8: Teorema de la sustitución
En otras palabras, el teorema de la sustitución dice que si en un circuito semejante al
indicado en la Figura 8 se sustituye la red pasiva por un generador que imponga la misma tensión
VR, la intensidad IR será la misma en ambos casos.
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Este teorema es de gran utilidad cuando se analizan circuitos complejos formados por diversas redes
pasivas diferenciadas, puesto que permite simplificar el esquema inicial
6.3.4 Teorema de thevenin. recta de carga
El teorema de Thevenin es una herramienta muy útil para el estudio de circuitos complejos.
Se basa en que todo circuito que contenga únicamente componentes y generadores lineales puede
reducirse a otro más sencillo, formado por una resistencia en serie con un generador denominado
circuito equivalente Thevenin, de la forma (Figura 10):
Figura 10: Circuito equivalente Thevenin
en donde:
•
ETH = Tensión de Thevenin
•
RTH = Resistencia de Thevenin
Para calcularlo se procede de la siguiente forma:
1. Se calcula la tensión que aparece entre A y B cuando no hay nada conectado entre ambos
terminales (tensión de circuito abierto).
2. Se calcula la resistencia equivalente entre los puntos A y B, cortocircuitando todos los
generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de intensidad.
Figura 11: Ensayos necesarios para la determinación del circuito equivalente Thevenin
En definitiva, lo que el teorema de Thevenin viene a indicar es que la relación entre la tensión
y la intensidad entre dos puntos de un circuito que sólo esté compuesto por componentes lineales
admite una representación gráfica como la vista en el 1.6. En efecto, si conectamos un componente
cualquiera entre A y B puede calcularse fácilmente la relación VAB-I:
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Electrotecnia
Teoremas de análisis de circuitos
La expresión anterior se corresponde con la ecuación de una recta en el plano V AB-I, de ordenada en
el origen ETH/RTH. La representación gráfica de esta ecuación en el plano VAB, I es:
Figura 12: Representación gráfica del circuito equivalente Thevenin
Como puede observarse, esta recta es idéntica a la mostrada en el apartado 1.6 al referirse a la recta
de carga.
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Electrotecnia
Teoremas de análisis de circuitos
Ejemplo 2 Hallar la corriente que circula por
la resistencia R3 empleando el Teorema de
Thevenin.
Figura 13: Ejemplo 2
SOLUCIÓN: Se va a sustituir la zona incluida en el cuadro por un circuito más sencillo, de forma que
sea más fácil hallar la corriente que circula por R 3 . Por lo tanto, de momento nos "olvidamos" de R 3 y
trabajamos con la otra parte del circuito para simplificarla.
1º) Cálculo de ETH:
I1 = − I 2
E1 + E 2 = I1.R1 − I 2 .R2 = I1.R1 + I1.R2 = I1 ( R1 + R2 ) por lo que I1 será:
I1 =
E1 + E2
por lo que V AB será:
R1 + R2
V AB = VTh = I1.R2 − E2 = I1.
E1 + E 2
− E2
R1 + R2
2º) Cálculo de RTH:
RTh =
R1 R2
R1 + R2
3º) Cálculo de la intensidad que circula por R 3: Hasta ahora lo único que hemos hecho es hallar
un circuito equivalente para una determinada zona del circuito. Ahora es el momento de conectar de
nuevo la resistencia R3 en su sitio y calcular la corriente.
111
Electrotecnia
Teoremas de análisis de circuitos
VTh
RTh + R3
I=
6.4.5 Teorema de Norton
Es un teorema similar al de Thevenin. Este teorema considera que un circuito se comporta
como una única fuente de intensidad en paralelo con una resistencia entre esos dos terminales.
Figura 14: Circuito equivalente de Norton
en donde:
•
IN = Intensidads Norton
•
RN = Resistencia Norton
Para calcularlo se procede de la siguiente forma:
•
•
Se calcula la intensidad que circula al cortocircuitar los terminales A y B. Esa es la corriente
Norton.
Se calcula la resistencia equivalente entre los puntos A y B, cortocircuitando todos los
generadores de tensión y dejando en circuito abierto los de intensidad. Esa será la
resistencia Norton, igual a la resistencia Thevening
La relación con el circuito equivalente de Thevenin viene dada por las siguientes expresiones:
El generador equivalente de Norton debe proporcionar una corriente igual a la de
cortocircuito entre los terminales A y B del circuito original. Además, la resistencia equivalente de
Norton es el cociente entre la tensión de circuito abierto y la corriente de cortocircuito.
6.4.5 Teorema de máxima transferencia de energía
Muchas aplicaciones de circuitos requieren que la máxima potencia disponible de una fuente
se transfiere a un resistor de carga Rc, y en el mundo de la industria electrónica y de
comunicaciones, el problema es alcanzar la máxima intensidad de la señal en la carga, entre otros;
que en la siguiente informe se da a conocer el principio de la máxima transferencia de potencia en
resumidas palabras cuando la resistencia de la carga tiende a una equivalencia a la resistencia
interna de la fuente.
Por tanto, una fuente de voltaje entrega la máxima potencia a una resistencia de carga, R L
cuando el valor de esta resistencia es igual a la resistencia interna R S de la fuente.
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Electrotecnia
Teoremas de análisis de circuitos
Luego el valor de la potencia máxima transmitida es:
Pmax=VS2/ (4xRL)
Dado que la resistencia de una fuente de voltaje es muy pequeña, y para evitar extraer una corriente
excesiva de la fuente, lo que podría hacer que se quemara, se pondrá en serie con la fuente una
resistencia externa simulando ser la resistencia de la fuente.
Tenemos que recordar que una fuente de voltaje entrega la máxima potencia a una resistencia de
carga RL, cuando el valor de esta resistencia es igual a la resistencia equivalente, R eq de resto del
circuito, ver figura. Esto es, tenemos máxima transferencia de potencia a la carga (P max) cuando
RL=Req.
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Electrotecnia
Teoremas de análisis de circuitos
Ejercicios resueltos
1) Utilizando las Leyes de Kirchhoff, encuentre i0 e i1 y verifique la potencia total generada es igual a la
potencia total disipada.
Respuestas: i0= -3A, i1= 3A.
2) Utilizando el método de las corrientes de mallas encuentre la intensidad de las corrientes del
siguiente circuito.
Respuesta: I1 =-2.182A; I2 =-0.773A; I3 =-1.409;
3) Utilizando el método de las corrientes de mallas encuentre la intensidad de las corrientes del
siguiente circuito. Verifique que la potencia que entrega la fuente se disipa en las resistencias.
Respuesta: i1 = 6 A., i2 = 4 A., i3 = 2 A., i4 = 2 A., i5 = 4 A., i6 = 2 A., PFuente = 600 Watt.
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4) Usando superposición determine la corriente IX que pasa por el resistor de 4 Ω.
Respuesta: IX = 2.5 A.
5) Usando superposición determine la corriente IX que pasa por el resistor de 6 Ω. ¿Cuál es la potencia
disipada en dicho resistor?
Respuesta: IX = 8 A, P=216W
6) Encuentre el equivalente Thévenin entre las terminales a y b del siguiente circuito. Utilizando el
equivalente encuentre la corriente que pasa por RL para los valores: 2, 10 y 100 Ω.
Respuesta: RTh =2Ω, VTh =6V, IL=2 =1.5A, IL=10 =05A, IL=100 =0.059A.
7) Encuentre el equivalente Thévenin entre las terminales a y b del siguiente circuito.
Respuesta: RTh =6Ω, VTh =48V
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Electrotecnia
Teoremas de análisis de circuitos
8) Para el siguiente circuito determine el valor de R para una máxima transferencia de potencia hacia R,
y determine el valor de esa potencia.
Respuesta: R =10Ω, PMáx= 0.4 W.
9) Convierta la fuente de corriente en una fuente de tensión y encuentre la corriente IX que circula por la
resistencia de 6kΩ.
Respuesta: IX = 3 mA.
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Ejercicios propuestos
1) Usando superposición determine la corriente IX que pasa por el resistor de 2 Ω.
Respuesta: IX = 1 A.
2) Determine el equivalente Norton del siguiente circuito:
Respuesta: IN =6.25A., RTh =2.4 Ohm .
3) Utilice una serie de transformaciones de fuentes para encontrar la tensión V en el siguiente
circuito.
Respuesta: V =48V
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