Documento 897580

Docentes:
Srta. Claudia Barrientos
Sr.Ricardo Carrillo
Departamento de Matematica
Curso: Tercero medio
Unidad 1: Mas sobre triángulos
rectangulos
Guia N° 4 - 2012
GUIA MATEMATICA
¿Qué aprenderé?
1. Conocer teorema del seno y coseno
2. Resolver problemas que involucran ambos teoremas.
TEOREMA DEL SENO
Los lados de un triángulo cualquiera son proporcionales a
los senos de los ángulos opuestos.
𝑎
𝑏
𝑐
= 𝑠𝑒𝑛𝐵 = 𝑠𝑒𝑛𝐶
𝑠𝑒𝑛𝐴
Ejemplo: Resuelvo el triángulo ABC, con los siguientes datos: a=4, b=5 y B=70°
- Calculo el ángulo A, conociendo el lado a, b y el ángulo B.
- Calculo c, conociendo dos ángulos y un lado.
Por lo tanto el triángulo ABC tiene lados a = 4, b = 5 y c = 8,1 y sus ángulos miden A = 23,58°;
B= 30° y C= 126,42°
TEOREMA DEL COSENO
Para un triángulo cualquiera se cumplen las
siguientes igualdades:
𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 𝑐𝑜𝑠 ∝
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝛽
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝛿
EJEMPLO: Resuelvo el triángulo ABC con los sabiendo que a=1200m, c=700m y β=108°
- Calculo el lado b con los datos entregados.
𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐 𝑐𝑜𝑠𝛽 → 𝑏 = √12002 + 7002 − 2 ∙ 1200 ∙ 700 ∙ 𝑐𝑜𝑠108 → 𝑏 = 1564,97𝑚
- Con a y b conocidos calculo el ángulo en C, despejando δ
𝑐 2 − 𝑎2 − 𝑏 2
7002 − 12002 − 1564,972
𝑐𝑜𝑠𝛿 =
→ 𝑐𝑜𝑠𝛿 =
→ 𝑐𝑜𝑠𝛿 = 0,90 → 𝛿 = 25,18°
−2𝑎𝑏
−2 ∙ 1200 ∙ 1564,97
¿De qué otra forma puedo calcular el ángulo δ?
Aplico la definición anterior en los ejemplos siguientes:
1) Encuentro el triángulo tal que a=4.5 cm., B=30° y C= 78°.
2) Encuentro el triángulo sabiendo que a=4.5 cm. B=35° y b=10 cm.
3) Encuentro el triángulo con a=2.3 m., b=160 cm. y c= 4 m.
4) Encuentro el triángulo con a=3 m., b=5 m. y C= 80°.
5) Las diagonales de un paralelogramo miden 5 y 6 cm., respectivamente y se cortan bajo un ángulo de 50°.
Encuentro el perímetro del paralelogramo.
6) Desde un punto se observan una torre con un ángulo de 36°, si avanzamos hacia ella en línea recta y la
volvemos a observar el ángulo es de 50º. ¿Qué altura tiene la torre?
7) Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y
el ángulo que forman AB y BC es de 120°. ¿Cuánto distan A y C?
8) Un carpintero debe hacer una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m.,otro 1.5 m. y el ángulo
opuesto al primer lado debe ser 40º. ¿Lo conseguirá?
9) Dos personas caminan por un sendero, pero en un punto se bifurca formando un ángulo de 38º y cada uno
va por su lado, uno camina a 3 km. por hora y el otro a 3.5 km. por hora, ¿a qué distancia se encuentran al cabo
de media hora?
10) Desde los puntos A y B de una misma orilla de un río y separados entre sí 12 m., se observan el pie P y la
copa C de un pino, situado en la orilla opuesta. Calcular la altura del pino, sabiendo que los ángulos miden
PAB=42º, PBA=37º y PAC=50º
11) Juan y Rosa se encuentran a ambos lados de la orilla de un río. Rosa, se aleja hasta una caseta distante 100
metros del punto A, desde la cual dirige visuales a los puntos A y B que forman un ángulo de 30º y, desde A ve
los puntos C y B bajo un ángulo de 120º. ¿Calculo la distancia entre A y B?
12) Dos individuos a y B observan un globo que está situado en un plano vertical que pasa por ellos.
La distancia entre ambos individuos es de 4 Km. Los ángulos de elevación del globo desde ambos observadores
son de 46º y de 52º. Calculo la altura a que se encuentra el globo y su distancia a cada observador.
13) La sombra que proyecta un árbol de 3,4 m. sobre el piso horizontal mide 4,3 m. ¿Cuál es la medida del
ángulo que hace la horizontal con la línea que une los dos puntos extremos, de la sombra y del árbol?
14) Un avión sale de un aeropuerto y se eleva manteniendo un ángulo constante de 10º hasta que logra una
altura de 6 km. Determina a qué distancia horizontal del aeropuerto se encuentra en ese momento.
15) Una persona se encuentra en la ventana de su apartamento que está situada a 8 metros del suelo y observa
el edificio de enfrente de la siguiente manera: la parte superior, con un ángulo de elevación de 35º y la parte
inferior, con un ángulo de depresión de 43º. Determina la altura del edificio de enfrente.
16) Supongamos dos puntos A y B, al segundo de los cuales no podemos llegar. Tomando otro punto C, que
dista del primero 42,6 m , desde los puntos A y C se dirigen visuales a B, que forman con el segmento AC
ángulos BAC = 53,7º y
BCA = 64º. ¿Halla la distancia entre A y B?
17) Un niño está haciendo volar dos volantines simultáneamente. Uno de ellos tiene 380 m y el otro 420m de
hilo. Se supone que el ángulo entre los dos hilos es de 30o. Estime la distancia entre los dos volantines.
18) Un hombre está de pie en un punto A de la ribera de un rio de orillas paralelas y observa que la recta que
une A con un punto B de la ribera opuesta forma un ángulo de 30o con la orilla en la que él se encuentra. El
hombre camina por la orilla hacia un punto D, que se encuentra al frente de B. Cuando ha caminado 200m el
ángulo que vio anteriormente ha aumentado a 60o. Determine el ancho del rio.
19) Desde la cúspide de un faro, de 100 m de altura, se observan dos botes situados al oeste del faro según los
ángulos de depresión de 60o y 45o. Calcular la distancia que separa a los botes.