SIMULACION DE PROCESOS EN LA INGENIERIA ALIMENTARIA CONVERGENCIA DE LOS MÉTODOS ITERATIVOS En la producción de crema baja en grasa (18% grasa (m/m), a partir de doble crema (48% de grasa, m/m y leche (3.5% grasa, m/m). Cuanta doble crema y leche se necesita para producir 100 kg de crema baja en grasa Leche, 3.5% grasa Mixer Doble Crema, 48% grasa Crema baja en grasa, 18% grasa 100 kg Efectuando el Balance de masa 𝐷𝐶 + 𝐿 = 𝐶𝐵𝐺 𝐷𝐶 + 𝐿 = 100 Efectuando el Balance de masa en función al % de grasa 𝐷𝐶 ∗ (48) + 𝐿(3.5) = 100(18) Expresando las ecuaciones en forma de matricial 1 48 1 3.5 100 1800 NO ES MATRIZ DOMINANTE A priori podemos saber si existe convergencia en la matriz coeficiente determinando la matriz de iteración para Jacobi a través de la ecuación:𝑃 = −𝐷−1 ∗ (𝐿 + 𝑈) Donde: D es una matriz que contiene solo los elementos de la diagonal de la matriz coeficiente los demás elementos son cero U es una matriz que contiene los elementos por encima de la diagonal de la matriz coeficiente los demás elementos son cero L es una matriz que contiene los elementos por debajo de la diagonal de la matriz coeficiente los demás elementos son cero 1 48 1 3.5 100 1800 D U 1 0 0 3.5 P 0 -13.7142857 L 0 0 -1 0 1 0 0 48 0 0 P 0 -13.7142857 -1 0 Una alternativa para determinar a priori si el sistema va aconverger por Jacobi es a través de las Normas Maximas de fila 𝑃 ∞ de columna 𝑃 1 o de Frobenius: 𝑃 𝐹𝑟𝑜 Si el valor de cualquiera de estas normas es menor a la unidad se puede garantizar la convergencia Donde: 𝑃 ∞ = Norma Máxima suma fila ( valor maximo entre las sumas de los valores absolutos de los elementos cada fila) 𝑃 1 = Norma Máxima suma columna (valor maximo entre las sumasde los valores absolutos de los elementos de cada columna) 2 𝑃 𝐹𝑟𝑜 = Norma de Frobenius = 𝑎11 2 + 𝑎12 2 + 𝑎21 2 + 𝑎22 2 Por lo tanto: 0 -1 =abs(0)+abs(-1) -13.71428571 0 =abs(-13.714287)+abs(0) =abs(0)+abs(-13.7142857) =abs(-1)+abs(0) 13.7142857 1 𝑃 1 13.714287 𝑃 ∞ 1 𝑃 ∞>1 𝑃 1>1 2 𝑃 𝐹𝑟𝑜 = Norma de Frobenius = 02 + −13.714285712 + −12 + 02 = 13.75069572 • Por lo tanto ninguna norma máxima proporciona un valor inferior a la unidad por lo que no hay garantía de convergencia De igual manera una posibilidad de convergencia radica en encontrar el radio espectral entendido como el máximo de los valores propios de la matriz de iteracion. https://www.youtube.com/watch?v=TAU8xSJauPo (Método tradicional aprendido ) Teniendo en cuenta que el valor propio de una matriz debe cumplir el siguiente requisito det 𝑃 − 𝜆 ∗ 𝐼 = 0 𝑦 𝜆 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 Donde I es la matriz identidad 1 0 0 1 Los valores propios de la matriz son : Valor 1 Valor 2 3.70328316 -3.70328081 El radio espectral es el máximo de los valores propios es decir 3.70 mayor a la unidad por lo tanto no hay garantía que el sistema pueda converger Comprobemoslo: 𝐷𝐶 + 𝐿 = 100 𝐷𝐶 ∗ 48 + 𝐿 3.5 = 100 18 Despejamos DC de la primera Ec y L de la segunda : 𝐷𝐶 = 100 − 𝐿 100(18)−𝐷𝐶 ∗ (48) 𝐿= 3.5 Asumo DC=0 y L=0 𝐷𝐶 = 100 − 0 = 100 100(18)−0 ∗ (48) 𝐿= = 514.285714 3.5 Asumo DC=100 y L=514.285714 𝐷𝐶 = 100 − 514.285714 = −414.285714 100(18)−100 ∗ (48) 𝐿= = −857.142857 3.5 DC 0 100 -414.285714 957.142857 -6095.91837 12712.2449 -84015.4519 173925.073 -1152626.2 2384843.86 -15807859.3 32706015.7 -216793913 448539230 L 0 514.285714 -857.142857 6195.91837 -12612.2449 84115.4519 -173825.073 1152726.2 -2384743.86 15807959.3 -32705915.7 216794013 -448539130 2973174178 -2973174078 -6151394644 6151394744 4.0775E+10 -4.0775E+10 -8.4362E+10 8.4362E+10 5.592E+11 Si efectuamos un arreglo en el sistema de ecuaciones : 𝐷𝐶 + 𝐿 = 100 𝐷𝐶 ∗ 48 + 𝐿 3.5 = 100 18 Y la invertimos 𝐷𝐶 ∗ 48 + 𝐿 3.5 = 100 18 𝐷𝐶 + 𝐿 = 100 Expresando las ecuaciones en forma de matricial DC L 48 1 3.5 1 1800 100 NO ES MATRIZ DOMINANTE EN UNA FILA A priori podemos saber si existe convergencia en la matriz coeficiente determinando la matriz de iteración para Jacobi a través de la ecuación:𝑃 = −𝐷−1 ∗ (𝐿 + 𝑈) Donde: D es una matriz que contiene solo los elementos de la diagonal de la matriz coeficiente los demás elementos son cero U es una matriz que contiene los elementos por encima de la diagonal de la matriz coeficiente los demás elementos son cero L es una matriz que contiene los elementos por debajo de la diagonal de la matriz coeficiente los demás elementos son cero DC L 48 1 L 3.5 1 1800 100 D 0 1 0 0 P 0 -0.07291667 -1 0 U 48 0 0 1 0 0 3.5 0 P 0 -1 =abs(-1)+abs(0) 𝑃 -0.072916667 =abs(0)+abs(-0.07291667) 0 =abs(-1)+abs(0) =ABS(0)+ABS(-0.07291667) 1 0.07291667 0.07291667 1 𝑃 ∞ 1.0026549 1 𝑃 ∞=1 𝑃 1=1 2 𝑃 𝐹𝑟𝑜 = Norma de Frobenius = 02 + −0.072916672 + −12 + 02 = 1.0026 • Por lo tanto ninguna norma máxima proporciona un valor inferior a la unidad por lo que no hay garantía de convergencia De igual manera una posibilidad de convergencia radica en encontrar el radio espectral entendido como el máximo de los valores propios de la matriz de iteración . https://www.youtube.com/watch?v=TAU8xSJauPo (Método tradicional aprendido ) Teniendo en cuenta que el valor propio de una matriz debe cumplir el siguiente requisito det 𝑃 − 𝜆 ∗ 𝐼 = 0 𝑦 𝜆 = 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 Donde I es la matriz identidad 1 0 0 1 Los valores propios de la matriz son : valor 1 valor 2 -0.270159129 0.270173492 El radio espectral es el máximo de los valores propios es decir 0.27menor a la unidad por lo tanto hay garantía que el sistema pueda converger Comprobemoslo: 𝐷𝐶 ∗ 48 + 𝐿 3.5 = 100 18 𝐷𝐶 + 𝐿 = 100 Despejamos DC de la primera Ec y L de la segunda : 100(18)−𝐿 ∗ (3.5) 𝐷𝐶 = 48 𝐿 = 100 − 𝐷 Asumo DC=0 y L=0 100(18)−0 ∗ (3.5) 𝐷𝐶 = = 37.5 48 𝐿 = 100 − 0 = 100 Asumo DC=37.5 y L=100 100(18)−100 ∗ (3.5) 𝐷𝐶 = = 30.2083333 48 𝐿 = 100 − 37.5 = 62.5 DC 0 37.5 30.2083333 32.9427083 32.4110243 32.6104058 32.5716372 32.5861754 32.5833485 32.5844086 32.5842025 32.5842798 32.5842648 32.5842704 32.5842693 32.5842697 32.5842696 32.5842697 32.5842697 32.5842697 32.5842697 L 0 100 62.5 69.7916667 67.0572917 67.5889757 67.3895942 67.4283628 67.4138246 67.4166515 67.4155914 67.4157975 67.4157202 67.4157352 67.4157296 67.4157307 67.4157303 67.4157304 67.4157303 67.4157303 67.4157303 De igual manera para el método de Gauss Seidel podemos saber si existe convergencia a priori en la matriz coeficiente determinando la matriz de iteración a través de la ecuación:𝑃 = −(𝐷 + 𝐿)−1 ∗ (𝑈) Donde: D es una matriz que contiene solo los elementos de la diagonal de la matriz coeficiente los demás elementos son cero U es una matriz que contiene los elementos por encima de la diagonal de la matriz coeficiente los demás elementos son cero L es una matriz que contiene los elementos por debajo de la diagonal de la matriz coeficiente los demás elementos son cero
