UNIVERSIDAD ALBERTO HURTADO FACULTAD DE EDUCACIÓN Programa de Postgrado MAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA DIDÁCTICA DE LOS NÚMEROS TALLER N°2 La enseñanza de las fracciones y decimales: Problemática y propuesta de abordaje desde la Didáctica de la Matemática. Estudiante: Cristian Aceituno Tapia Profesor: Roberto Vidal Santiago, junio de 2020 Presentación A modo de actividad inicial quisiera plantearle un ejercicio personal que incluye algunas interrogantes con el propósito de situarlo desde la dimensión práctica de su enseñanza: Cuando usted como docente debe abordar con sus estudiantes los conceptos de fracciones y decimales, lo invito a que piense en dos grupos: uno que llamaremos A en donde se encuentran los estudiantes que presentan dificultades asociadas a estos temas, y un grupo B en donde se ubican aquellos que se desenvuelven sin mayores problemas al trabajar con estos tópicos: Estimativamente ¿Qué porcentaje de sus estudiantes se encontrarían en el grupo A y cuántos en el grupo B?. Piense en sus estudiantes del grupo A, ¿Qué errores observa? ¿Cuáles de ellos usted los podría catalogar de recurrentes? ¿Cuáles a su juicio, podrían ser las causales de dichos errores?. Ahora bien, si considera el éxito en el desempeño de sus estudiantes que conforman el grupo B: ¿A qué se debe? ¿Considera que el tener buena memoria es crucial para ubicarse en este grupo? ¿Cuántos de ellos cree usted que comprenden lo que están realizando?. En el presente documento se abordaran tres temáticas puntuales relacionadas a la enseñanza de las fracciones y decimales, y para cada una de ellas se formularán algunas interrogantes y situaciones con el propósito de que usted pueda reflexionar en torno a su práctica considerando la interacción con sus estudiantes a partir de fenómenos que comúnmente podrían generarse en el aula, y dentro de las cuales se irán incorporando algunas recomendaciones fundamentadas desde la didáctica de la matemática considerando elementos históricos de la misma e investigaciones asociadas. Al término de la lectura lo invito a volver sobre las interrogantes anteriormente planteadas para que contraste sus respuestas. Noción de fracción y de decimal ¿Qué es una fracción?. Lo invito a pensarlo por un momento antes de responder. Imagine que a modo de plenario es el primero en compartir su respuesta entre un grupo de profesores. Muchos asienten lo que usted plantea, sin embargo, y a medida que se van sumando los aportes, se suceden una serie de ideas tales como: “Es un número”, “Es una medida”, “Son dos números”, “Es una razón”, “Es una parte de un todo”, “Es una representación”, “Es una división”, “Es un punto en la recta numérica”, ”Es una doble operación” entre otras. ¿Son todas las respuestas válidas? ¿algunas? ¿ninguna?. Tómese su tiempo y vuelva a pensarlo. Pareciera ser que algo tan comúnmente utilizado, al momento de conceptualizarlo pareciera no generar un consenso absoluto, muy por el contrario abre aparentemente un abanico de posibilidades. Si esto ocurre entre un grupo de profesores ¿Se imagina que ocurrirá si la pregunta se le formula a un grupo de estudiantes?. Lo primero que hay que considerar es no confundir lo que es el objeto matemático entendido como “fracción” y lo que corresponde a su representación escrita. Tal diferenciación es ampliamente desarrollada desde la investigación en didáctica de la matemática, por Raymond Duval (2004), quien en su célebre frase “No hay noesis sin semiosis”, nos plantea que no es posible desarrollar una idea mental acabada de un objeto matemático (“noesis”, en este caso lo que es una fracción), si no se aprende a través de una “forma” o representación para ser comunicada la cual, si se efectúa de manera escrita, es lo que viene a constituir una representación semiótica. De lo anterior se puede desprender la idea que el conocimiento se adquiere a través del mundo de las formas en que se comunica. Ahora bien y volviendo a la pregunta ¿Qué es una fracción?, se puede entender como una notación de un número por tanto no es el número propiamente tal, sino más bien una representación del mismo. Lo anterior queda de manifiesto por ejemplo al referirnos al número 3: se puede representar de múltiples maneras tales como 3 1 6 150 , 2, 50 ….entre otras. Por otra parte cuando nos referimos al “significado de una fracción”, entonces nos situamos en otra dimensión de la misma, donde ella surge como un megaconcepto, ya que constituye múltiples significados dependiendo de las acepciones que pueda tener en distintos contextos: parte-todo, cociente, medida, razón, operador (Gairín 2001, citado por Amador, 2016, p.14). La distinción entre 2 lo que es una fracción, lo que representa y su significado resulta ser un criterio clave para explicar las variadas respuestas que, en el ejercicio de imaginería, pueda haber dado usted y el resto de sus colegas. Amador (2016), sostiene que a nivel cognitivo, éstos significados, condicionan la comprensión acerca de las fracciones, ya que se requiere de la apropiación de diferentes conceptos, y en donde frecuentemente se se evidencia el predominio por alguno en particular lo que obstaculiza el proceso de enseñanza aprendizaje de los demás. De ahí, la necesidad de involucrar en las propuestas curriculares, mayor diversidad de situaciones en los que se aborden el uso de otros significados de fracciones. Una situación similar a la anteriormente descrita podría producirse cuando se pregunta ¿Qué es un decimal? , y las respuestas pueden ser variadas (un número con “coma”, un sistema de numeración de base 10, un número racional, entre otras). Considerando lo señalado en el apartado anterior, ya disponemos de una consigna clave para responder adecuadamente la interrogante: no confundir el objeto con su representación, y es aquí en donde es necesario efectuar la clara distinción entre lo que es un número decimal, y lo que significa una representación decimal (nótese la ambigüedad de la palabra Decimal). A continuación desarrollaré ambas acepciones. - Decimal como representación (también referida a notación, expresión o escritura decimal): Es la referencia a escribir un número “con coma”, de esta manera podemos entender que todo número real es posible representarlo bajo esta notación decimal, es decir tanto a los números racionales como a los números irracionales. Sin embargo, para estos últimos la representación decimal no les resulta muy “cómoda” y por lo mismo suelen aproximarse frecuentemente como por ejemplo √2 ≈ 1,41,; el número pi ≈ 3,14, entre otros. Dada lo anterior es que, para evitar esta incompatibilidad práctica entre irracionales y su representación decimal, suelen asignarse letras a ciertos números “emblemáticos” de este conjunto numérico ( 𝜋, ℮, entre otros), o simplemente expresar los resultados de las operaciones en forma irracional (ej: √3 ∙ √5 = √15). Para el caso de los racionales, la situación es diametralmente opuesta: todo racional puede representarse en notación decimal sin mayores dificultades prácticas, incluso los números ̅ . Observe que en este último enteros ej: 8 como 8,0 ; 8, 0̅; ó más interesantemente aun como 7, 9 caso un número llamado comúnmente “finito”, se está representando de manera “infinita” ¿No le resulta curioso? ¿Tiene sentido entonces hablar de una representación decimal “finita”?. - Decimal como número: Si vamos a entender lo de Decimal como el objeto matemático en sí mismo, entonces tenemos que tener claro que, para que un número se considere decimal, éste debe pertenecer al sistema de numeración decimal, y por lo tanto debe poder leerse en dicho sistema. Ahora bien, para que la lectura en dicho sistema sea posible, necesariamente deberá ser capaz de poder descomponerse en una cantidad finita de términos. A continuación se presentan algunos ejemplos: Número Descomposición Tabla de valor posicional 489 4 ∙ 102 + 8 ∙ 101 + 9 ∙ 100 Cuatrocientos ochenta y nueve. 23,6 2 ∙ 101 + 3 ∙ 100 + 6 ∙ 10−1 Veintitrés enteros y seis décimos. 157,832 1 ∙ 102 + 5 ∙ 101 + 7 ∙ 100 + 8 ∙ 10−1 + 3 ∙ 10−2 + 2 ∙ 10−3 Ciento cincuenta y siete enteros y ochocientos treinta y dos milésimos. 3 Lectura Bajo esta perspectiva entonces ¿Qué se podrá decir del número 1, 3̅? ¿Es posible de leerse en este sistema?. Observemos su descomposición: 1, 3̅ = 1 + 3 3 3 + + + ⋯ … … .. 10 100 1000 Lo que nos lleva a pensar que al intentar incorporarlo en la tabla de valor posicional, resultaría, por decir lo menos, un contrasentido: la tabla en cuestión puede ser más o menos extensa, pero ̅ no puede leerse en este sistema de numeración, lo que finalmente finita. Por lo tanto el número 1, 3 ̅ no es un número decimal. Lo nos lleva a una conclusión que puede resultar provocadora: El 1, 3 anteriormente señalado deja en entredicho el diagrama de los conjuntos numéricos que conocemos (más allá de las objeciones que se puedan realizar en términos de precisión), el cual sufre una contundente restructuración dando origen a un nuevo conjunto numérico: El conjunto de los números decimales. Otro argumento que refuerza la idea de que un número como por ejemplo 0, 2̅ no es un número decimal es que, para que lo sea su denominador debe ser potencia de 2, de 5 ó una combinación de factores correspondientes a dichas potencias, como por ejemplo el número: Desde esta perspectiva, si hablamos de decimal como número ellos necesariamente deberán poder representarse en notación fraccionaria cuyo denominador sea una potencia de base 10. Justificación del algoritmo de multiplicación de fracciones 3 1 Imagine que le solicita a un estudiante que multiplique ∙ , una pregunta “inofensiva” si es 5 4 que conoce algoritmo de la multiplicación de fracciones, por lo que rápidamente y con toda seguridad 3 le dira el resultado: . Si usted le consulta el por qué de esa respuesta lo más probable es que le 20 diga “porque multiplico los numeradores o sea 3 por 1 que es 3 y luego hago lo mismo con los denominadores 5 por 4 es 20 y mantengo la “rayita” de la fracción. Muy bien, pero ¿Por qué hiciste eso?, lo más probable es que le diga “bueno, porque así se multiplican las fracciones”. Lo anterior denota que, como en tantas ocasiones, los estudiantes operan matemáticamente en forma correcta pero no comprenden lo que están haciendo, y no vamos a culparlos por ello, sino más bien vamos a reflexionar en torno a la enseñanza de la matemática que subyace a este tipo de situaciones: una que prioriza la mera memorización y aplicación de algoritmos, y repetirlos, repetirlos hasta el cansancio, pero que no genera espacios de reflexión en el aula para poder comprenderlos. El gran riesgo que se corre es que ese mismo estudiante que acaba de obtener el resultado correcto, más 4 adelante puede olvidar esta “receta” , y por lo mismo, terminar confundiendose, y capaz que en un futuro no muy lejano efectue una operación incorrecta, como por ejemplo: multiplicar cruzado. La multiplicación de fracciones es un tema que se estudia en séptimo básico, y revisando el texto propuesto por Merino, Muñoz, Pérz y Rupín (2017), existe solo un ejemplo que alude a la fundamentación del algoritmo, a partir de una representación pictórica y que considera la multiplicación como una intersección de áreas, en donde previamente se muestra que por ejemplo el número 12 corresponde en una cuadricula al área de un rectángulo de lados 3 y 4. (ver figura adjunta) Al observar la secuencia surgen algunas interrogantes ¿Se puede entender la multiplicación de fracciones como una simple intersección de áreas?¿Existirán otras representaciones más pertinentes que la pictórica para iniciar la comprensión del algoritmo de la multiplicación?¿Qué ocurre cuando quiero aplicar este método con fracciones mayores que la unidad?. Para otorgar un significado y un sentido a la multiplicación de fracciones insistiré en el hecho de que toda fracción es un número, y como tal ocupa un lugar dentro de la historia de la matemática para el cual se presentó una necesidad puntual que explica su origen ¿Cuál fue esa necesidad?, una bien práctica : la de medir (Courant y Robbins 1958 citados por Abella, Gil y Vilaró 2007,p.2). Desde esta justificación, la de considerar que las fracciones surgen por la necesidad de cuantificar cantidades de magnitudes continuas, podemos orientar el enfoque de las actividades en el aula incorporando material manipulativo en el marco de la resolución de problemas. Veamos algunos ejemplos: - 1 3 A Pablo le queda de un chocolate y le dio de esa cantidad a su hermano ¿Qué fracción del 4 5 chocolate completo recibió su hermano?. Podemos solicitar que tomen un papel (el cual será nuestra unidad, en este caso el chocolate completo), y lo doblen de modo que queden cuatro rectángulos de igual área. Luego (con el papel doblado), señalarles que consideren uno de esos 1 rectángulos (estamos hablando de la fracción ) y que, para calcular sus tres quintos,¿Qué 4 podemos hacer?, bueno podrán pensar en nuevamente doblarlo de modo que queden 5 rectángulos de igual area y que coloreen tres de ellos. Finalmente se les pide que vuelvan a abrir la hoja y que visualicen la fracción resultante (ver figura) 3 1 3 Podrán visualizar directamente que los de corresponden a , he aquí la trascendencia 5 4 20 que tiene el uso del material concreto para la obtención y posterior identificación de la fracción resultante. Acá ocurre algo en que vale la pena detenerse, para reflexionarlo con sus estudiantes: el hecho de que el resultado de la multiplicación sea una cantidad menor en comparación a los factores involucrados, por lo que la asociación que pudieran tener de que “multiplicar” es sinónimo de 5 “agrandar”, y que en elgún momento funcionó , acá ha perdido su validez. Lo anterior según Brousseau (2007), corresponde a un “obstáculo”, el cual permite explicar alguno de los errores que frecuentemente cometen los estudiantes. Con nuevas actividades similares a ésta podrán ir dándose cuenta de dos cosas, en primer lugar que para calcular la fracción de otra fracción se deben multiplicar ambas fracciones, y en segundo lugar que la forma de multiplicar es numerador con numerador y denominador con 1 3 denominador. Ahora bien usted le podría solicitar que determinen de los del papel y problematizar 4 5 por qué el resultado es el mismo si el procedimiento de los dobleces es diferente (fijese como también toma sentido la propiedad conmutativa de la multiplicación). Luego de esta etapa, se podrá recurrir a modelos pictóricos , y no partir con ellos, pues se corre el riesgo de que al no visualizar el entero dividido en partes iguales, el estudiante no reconozca la fracción resultante. Ahora bien, imaginemos que algún estudiante curioso (de aquellos que nunca faltan en la clase), puede preguntarle ¿Profesor y cómo lo hacemos si tenemos que multiplicar fracciones mayores que un entero?. Pensemos en la siguiente situación : - 1 2 Magdalena tiene 5 de pliegos de cartulina y le prestó de lo que tenía a Facundo ¿Cuántos 4 3 pliegos de cartulina le prestó Magdalena a Facundo?. A partir de la manipulación de cintas de 1 papel congruentes (asociadas a los pliegos de cartulina), podemos solicitar que representen 5 , 4 1 en base a la siguiente pregunta ¿Cuántos cuartos hay en 5 ?. Ellos podrán doblar cada una de 4 las cinco cintas en cuatro regiones rectángulares de igual área y en una sexta cinta podrán 1 recortar uno de esos mismos rectángulos, en donde por simple inspección concluirán que 5 es lo mismo que 21 4 (fijese que no es necesaria la introducción de “recetas” del tipo 2 3 21 . 4 1 5 4 = 4∙5+1 ), 4 4 por 2 lo cual el problema corresponde a calcular los de A continuación pueden representar los 3 de cada “cuarto” subdividiendolo en 3 rectángulos de igual área y pintando dos de ellos (ver figura adjunta). De esta manera podrán observar como en cada entero surgieron doceavos, y el problema se reduce a contar cuantos de ellos se encuentran pintados, es decir Magdalena le prestó a Facundo 42 2 21 6 , que es el resultado de la operación ∙ , y que corresponden a 3 pliegos de cartulina, es decir 12 3 4 12 tres pliegos y un medio. Considerando las actividades propuestas, finalmente se recomienda modelar 𝑎 𝑐 lo sucedido de manera simbólica “Una fracción de otra fracción se puede determinar a partir de la operación 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎∙𝑐 𝑏 𝑑 ∙ 𝑑 = 𝑏∙𝑑”. Como podrá observar, y a partir de un proceso de matematización propia de sus estudiantes, el algoritmo de la multiplicación de fracciones ha adquirido un significado para ellos y ha quedado plenamente justificado. 6 El problema de la faceta parte-todo El concepto de fracción, como se ha señalado anteriormente, posee múltiples significados o “facetas”, a las cuales el estudiante se va enfrentando a lo largo de su etapa escolar, cada una de ellas atendiendo a distintas finalidades o propósitos. En nuestro curriculum su estudio se inicia a temprana edad, específicamente en el nivel de tercero básico, para el cual se explicita el objetivo 1 1 1 2 de aprendizaje que apunta a que los estudiantes “comprendan fracciones de uso común: , , , y 4 3 2 3 3 , 4 “explicando que una fracción representa la parte de un todo”, (MINEDUC, 2018). Luego en cuarto básico se refuerza esta conceptualización cuando se trabaja en el objetivo de aprendizaje que señala: “Demostrar que comprenden las fracciones con denominadores 100, 12, 10, 8, 6, 5, 4, 3, 2: explicando que una fracción representa la parte de un todo o de un grupo de elementos y un lugar en la recta numérica” (MINEDUC, 2013). Esta acepción parte-todo que resulta fácilmente comprensible habitualmente se ancla en los estudiantes constituyéndose, de manera muy temprana, en un modelo persistente y constitutivo de obstáculos, al permanecer invariante frente a las nuevas necesidades que se les irán presentando en el tiempo (Pinilla, 2010 ). En efecto, una primera dificultad que surge en esta “faceta” de las fracciones resulta al momento de preguntarse acerca del “todo” (que hace referencia a la unidad): ¿Qué es el todo? ¿Es una idea única?¿Esa idea es válida tanto cantidades discretas y continuas?. A continuación se presentan algunas implicaciones prácticas acerca de esta problematización: - Si el “todo” es una variable continua: Sus estudiantes pueden recrear mentalmente el modelo clásico de la “partición de una pizza en partes iguales”, lo cual puede funcionar intuitivamente bien al trabajar con fracciones propias o iguales a la unidad, pero ¿qué ocurre si deben dividir la pizza en 5 partes iguales y se deben considerar 7 de ellas?. En este caso, y muy a menudo, sus estudiantes pensarán que la pregunta no tiene sentido ya que si tienen 5 partes no podrán tomar 7 de ellas. ¿Cómo mediaría usted para explicar esta situación si es consultado por alguno de ellos?. Una posible salida (y frecuentemente utilizada) sería señalarle que, dado que se están considerando más partes que las que se disponen, entonces es necesario incorporar una nueva pizza. Frente a esta explicación su estudiante le pregunta: entonces profesor la unidad es una pizza o son dos pizzas?. Observe que una situación de este tipo irremediablemente generará al menos una cosa en sus estudiantes: confusión y claro, si la unidad a veces es 1 o a veces más de uno ,en el caso de las fracciones impropias, contradice la definición parte-todo que alguna vez se les enseño a sus alumnos y que en su momento les resultaba útil para resolver ciertas tareas, pero que ahora ha perdido cierta validez. Nuevamente observamos el surgimiento de un obstáculo. Ahora bien, cuando hablamos de las “partes”, se les enseña que estas deben ser iguales, y para representarlas suelen utilizarse casi de manera exclusiva figuras como las siguientes En todas ellas implícitamente se entiende que el principio que opera en referencia a las “partes iguales”, es la “congruencia”, lo que se puede verificar sobreponiendo una figura sobre la otra. Sin embargo al presentar las siguientes figuras 7 ¿Qué le respondería si alguno de sus estudiantes le señala que la división de la figura no es válida dado que las “partes” no se pueden sobreponer unas con otras en su totalidad? ¿Podrá convencerlos de que cada “parte” es ¼ del rectángulo mayor? - Si el “todo” es una variable discreta: En este escenario las fracciones “impropias” siguen quedando fuera de contexto (carentes de sentido en los estudiantes), y más aún las fracciones “propias” comienzan a quedar en tela de juicio (Pinilla, 2009). Piense en sus estudiantes frente a estas dos situaciones: Tenemos un grupo de 15 personas y 8 de ellas son mujeres ¿Cuál es la fracción de mujeres?. 8 Tras la respuesta que usted espera escuchar (la fracción ), cabe preguntarse ¿Qué significa 15 que el numerador de la fracción sea 8? ¿Estamos considerando que todas las mujeres iguales?¿A qué nos estamos refiriendo, a su masa, altura u otro atributo, o simplemente al número?. 3 En el mismo contexto anterior supongamos que usted le pide ahora determinar los del total 4 de personas, considerando dividir 15 personas en 4 partes “iguales” ¿Tiene algún sentido 4 concreto la pregunta?, y si les solicita calcular los de las 15 personas ¿Tendrán problemas 10 al intentar dividir el 15 en 10 partes iguales?. Si usted opta por señalar que simplifiquen la 4 2 fracción para obtener , y de esta manera posibilitar dividir el 15 en 5 partes iguales y 10 5 considerar dos de ellas, el argumento de simplificación que les acaba de proponer ¿Es un conocimiento acabado, está en vías de construcción o definitivamente es precipitarse, y de una manera un tanto forzada, a la transición gradual y necesaria para comprender las denominadas “fracciones equivalentes”*?. Si bien el uso del modelo parte-todo, parece adecuado para la introducción de las fracciones en los primeros años, al mismo tiempo parece obstaculizar la ampliación de los significados de fracción (González del Olmo, 2015). Ahora bien, en nuestra labor como docentes un primer elemento relevante a considerar de esta versión “parte-todo”, es aquel que alude a las “partes iguales” que comúnmente suele utilizarse indistintamente de la faceta a la cual la fracción está haciendo referencia. En consecuencia, resulta fundamental entender que el significado de “parte-todo” tiene una connotación completamente diferente dependiendo de la “versión” de la fracción (continuadiscreta) a la cual nos estemos refiriendo. En la primera situación propuesta, correspondiente a la versión discreta, lo que interesa en definitiva, es el número de personas es decir la cardinalidad del conjunto (y no atender a las características particulares de cada mujer). En la segunda situación, y siguiendo lo planteado por Pinilla (2009), la referencia a lo concreto (las personas), sirve sólo de obstáculo: se está considerando una fracción del número 15, no de 15 personas. Por otra parte y en referencia a la versión continua, la idea de “partes iguales” está directamente asociada al concepto de área, la cual no se encuentra supeditada al hecho de que las figuras consideradas como “partes del todo” sean necesariamente congruentes. Finalmente y considerando todo lo anteriormente expuesto y en concordancia con lo planteado por González (2015), resulta relevante que, como docentes, reflexionemos acerca de la manera en que las fracciones se introducen en el aula y explicitar oportunamente la ampliación de dicho concepto cuando ésta va tomando distintas facetas y significados. De esta manera nuestra labor, como profesionales de la educación, no queda remitida únicamente a analizar lo que aprenden los estudiantes, sino que además debe considerar las implicaciones que dichas comprensiones tendrán para el nuevo y futuro aprendizaje. *La pertinencia de referirse en el aula a este tipo de fracciones como fracciones equivalentes es ampliamente desarrollada en el estudio de Abella, Gil y Vilaró. Le recomiendo la lectura de este artículo (ver referencias bibliográficas). 8 Referencias Bibliográficas Abella,A., Gil O., y Vilaró, R. (2007). 2/4 y 1/2 ¿Iguales o equivalentes?¿Qué hacer en la escuela?. Programa para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática (PMEM) ANEP. Disponible en https://uruguayeduca.anep.edu.uy/sites/default/files/2017-08/cuadernosdeestudioIII.pdf Amador Parra, L. (2016) Estrategia Didáctica para la Enseñanza Aprendizaje de las Fracciones Implementando Herramientas Virtuales. Departamento de Matemáticas y Estadística. Brousseau, G. (2007). Iniciación al estudio de la teoría de las situaciones didácticas/Introduction to study the theory of didactic situations: Didactico/Didactic to Algebra Study (Vol. 7). Libros del Zorzal. Raymond, D. (2004). Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y Aprendizajes intelectuales. Universidad del Valle. González del Olmo, D. (2015). Errores comunes en el aprendizaje de las fracciones: Un estudio con alumnos de 12/13 años en Cantabria. Pinilla, M. I. F. (2009). Las fracciones: aspectos conceptuales y didácticos. Volumen, 25. MINEDUC. (2013). Bases Curriculares 2013: Matemática 1° a 6°básico. 9
