FUNCIÓN CUADRÁTICA en su máxima expresión

1- En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad
y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado
por la expresión: B(x)  0,5x 2  4 x  6 , siendo “x” la inversión en publicidad, en miles
de euros, con “x” en el intervalo 0, 10
a) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene perdidas?
b) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio
posible?
c) ¿A cuánto asciende ese beneficio máximo?
−𝑏
𝑉 = ( , 𝑦)
2𝑎
−(−4)
𝑉=(
, 𝑦)
2(0.5)
𝑉 = (4, 𝑦)
𝑦 = 0.5 (4)2 − 4(4) + 6
𝑦 = −2
𝑉 = (4, −2)
a)
¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene perdidas?
Los valores de inversión son los siguientes 2< x <6
b)
¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio
posible?
Deberá invertir 10 mil Euros.
c)
¿A cuánto asciende ese beneficio máximo?
El beneficio máximo asciende a 16,000 Euros.
2- Desde un mini submarino en la superficie del mar se dispara un proyectil dirigido a un
barco cuyo punto más cercano se encuentra a 13 m de distancia del punto de partida del
proyectil, el cual está al ras del agua y la trayectoria que sigue el proyectil en el aire está
dada por la función: y = −x2 + 12x− 20
a)
¿El proyectil alcanza al barco?
b)
Si no es así, ¿a qué distancia del punto de lanzamiento el proyectil entra al agua?
𝑦 = −𝑥 2 + 12𝑥 − 20
Hallamos los puntos de corte.
𝑦=0
−𝑥 2 + 12𝑥 − 20 = 0
𝑥1 = 10 ˄ 𝑥2 = 2
a)
¿El proyectil alcanza al barco?
El proyectil NO alcanza al barco
b)
Si no es así, ¿a qué distancia del punto de lanzamiento el proyectil entra al agua?
El proyectil entra al agua 8 menos antes de dar en el punto.
3- El gerente de una tienda de ladrillo ha encontrado que, a un precio (en soles)
x
p(x)  150 por millar de ladrillo, se venden x millares.
4
a) Hallar una expresión (función cuadrática) para el ingreso total por la venta de x
millares de ladrillo.
b) Hallar el número de millares de ladrillo vendidos que conducen a un ingreso máximo.
c) Hallar el ingreso máximo.
(𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜)(𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑) = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠
𝑥
𝐼(𝑥) = (150 − 4) (𝑥)
1
𝐼(𝑥) = (150 𝑥 − ) (𝑥 2 )
4
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑔𝑒𝑟𝑠𝑜 = 𝐼(𝑥) = −0.25𝑥 2 + 150𝑥
−𝑏
𝑉 = ( , 𝑦)
2𝑎
−150
𝑉=(
, 𝑦)
−0.5
𝑉 = (300 ; 22,500)
a) Hallar una expresión (función cuadrática) para el ingreso total por la venta de x
millares de ladrillo.
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑔𝑒𝑟𝑠𝑜 = 𝐼(𝑥) = −0.25𝑥 2 + 150𝑥
b) Hallar el número de millares de ladrillo vendidos que conducen a un ingreso máximo.
Debe de vender 300 millares para obtener su ingreso máximo.
c) Hallar el ingreso máximo.
El ingreso máximo es de: 22,500
4- Se desea hacer un corral de forma rectangular con 100m de malla, para encerrar algunos
pollos, ¿cuál deben ser las dimensiones del corral para cubrir el área máxima?
50-x
x
x
50-x
𝐴𝑟𝑒𝑎 = (𝐿𝑎𝑟𝑔𝑜)(𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜)
𝐴𝑥 = (50 − 𝑥)(𝑥)
𝐴𝑥 = 50𝑥 − 𝑥 2
𝐴𝑥 = −𝑥 2 + 50𝑥
−𝑏
𝑉 = ( , 𝑦)
2𝑎
−50
𝑉=(
, 𝑦)
2(−1)
𝑉 = (25 ; 625)
5- Se sabe que el número de bacterias en cierto cultivo se triplica cada hora. Supóngase que
la cuenta a las 7:00 de la mañana es 162 000. ¿Cuál fue la cuenta a las 11:00 a.m.? ¿Cuál
a las 8:00 p.m.?
N° de bacterias = 162,000
Por cada hra se triplica (3)
Entonces:
7:00 am - 11:00 am = 4 horas
162,000 x 4 x 3 = 1,944,000
162,000 x 13 x 3 = 6,318,000
6- Una población de 4 millones de habitantes crece a una tasa de 3% anual. Estime el
tamaño de la población al cabo de 5 años.
Donde:
Pi= 4,000,000
En 1 año crece 3% (4,000,000) = 120,000
Cuando pasan 5 años = 120,000 * 5 = 600,000
Población final = 4,000,000 + 600,000
= 4,600,000 de habitantes.
7- A pesar de que el césped sintético del campo de un estadio es aparentemente plano, su
superficie tiene la forma de una parábola. Esto es para que la lluvia resbale hacia los
lados. Si tomamos la sección transversal del campo, la superficie puede ser modelada
por: y  -0,000234x - 80   1,5 , donde “x” es la distancia desde la izquierda del
campo y “y” es la altura del campo (ambos medidos en pies). ¿Cuál es la altura máxima
del campo? y ¿Cuál es el ancho del campo?
2
𝑦 = 0.000234(𝑥 − 80)2 + 1.5
𝑦 = −0.000234(𝑥 2 − 160𝑥 + 6400) + 1.5
𝑦 = −0.000234𝑥 2 + 0.03744𝑥 − 0.0024
−𝑏
−0.03744
𝑉 = ( , 𝑦)
𝑉=(
, 𝑦)
2𝑎
0.000468
𝑉 = (80 ; 1.5)
8- Un ingeniero agrónomo ha determinado que la productividad, medida en miles de
kilogramos, debido al fertilizante que utiliza en el terreno de papas a su cargo, viene dada
por: P(x)  1750 x 2  3500 x , donde x se expresa en miles de kilogramos de
fertilizante.
Señale cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas:
a) La productividad de papa, debida al fertilizante, se maximiza usando 1000 kg de
fertilizante.
b) Si se usa más de 1000 kg de fertilizante, la productividad del terreno, debida al
fertilizante decrece.
Con 2000 kg de fertilizante, se alcanza la misma productividad que sin utilizarlo.
P(x)  1750 x 2  3500 x
−𝑏
𝑉 = ( , 𝑦)
2𝑎
−3500
𝑉=(
, 𝑦)
2(−1750)
𝑉 = (1 ; 1750)
a) La productividad de papa, debida al fertilizante, se maximiza usando 1000 kg de
fertilizante.
Si, se maximiza
b) Si se usa más de 1000 kg de fertilizante, la productividad del terreno, debida al
fertilizante decrece.
Si, decrece
Con 2000 kg de fertilizante, se alcanza la misma productividad que sin utilizarlo.
Si, se alcanza la misma productividad.
9- Suponga que la trayectoria en un lanzamiento de jabalina es parabólica y que se puede
describir mediante la función: 200 y  80 x  x 2 , donde “x” es la distancia horizontal e
“y” es la altura, ambas medidas en metros. La marca alcanzada es de: _______ metros.
200𝑦 = 80𝑥 − 𝑥 2
𝑦=
80𝑥
𝑥2
−
200 200
80𝑥 − 𝑥 2
0=
200
0 = 80𝑥 − 𝑥 2
𝑥1 = 0 ˄ 𝑥2 = 80
La marca alcanzada es de 80 mts.
10- El ingreso de una empresa textil se estima de acuerdo a la función: I(x)  4 x 2  80 x ,
donde “x” es la cantidad de unidades vendidas y el ingreso I(x) está en soles. ¿Cuál es el
ingreso máximo y cuántas unidades se tienen que fabricar y vender para obtener dicho
ingreso máximo?
I(x)  4 x 2  80 x
−𝑏
𝑉 = ( , 𝑦)
2𝑎
−(80)
𝑉=(
, 𝑦)
2(−4)
𝑉 = (10 ; 400)
Se deben de vender 400 para llegar al ingreso máximo