Métodos Numéricos y Programación I. TEORÍA DE ERROR Cuando se resuelve un problema matemático por medio de una calculadora, estamos conscientes de que los números decimales que calculamos quizá no sean exactos. Estos números se redondean cuando los registramos. Aun cuando los números no se redondean de manera intencional, el número limitado de dígitos de la calculadora puede provocar error de redondeo. En una computadora, los errores de redondeo aparecen por las mismas razones y afectan los resultados de los cálculos; haciendo que los resultados de los cálculos carezcan por completo de sentido. Es muy importante aprender algunos aspectos básicos de las operaciones aritméticas en las computadoras y comprender bajo qué circunstancias pueden ocurrir severos errores de redondeo. Muchos de los problemas de error por redondeo se pueden evitar por medio de prácticas de programación adecuada; además, de otros tipos de errores que se verán en este capítulo. 1.1 ARITMÉTICA DE PUNTO FIJO Y PUNTO FLOTANTE Las operaciones aritméticas con número en base r (un número de base r contiene los dígitos 0, 1, 2,..., r-1) siguen las mismas reglas que los números decimales. Cuando se usa una base que no sea la 10 tan familiar, se debe tener cuidado de emplear sólo r dígitos admisibles y realizar todos los cálculos con dígitos de base r. Los complementos se utilizan en las computadoras digitales para simplificar la operación de sustracción o resta y para la manipulación lógica. Existen dos tipos de complementos para cada sistema de base r: 1. El complemento radical, y 2. El complemento radical disminuido El primero se conoce como el complemento a r’s y el segundo como el complemento a (r-1)’s. Cuando el valor de la base se sustituye en el nombre, los dos tipos se conocen como complemento a 2’s y a 1’s para números binarios y a 10’s y a 9’s para números decimales. 1 . Métodos Numéricos y Programación COMPLEMENTO RADICAL DISMINUIDO Dado un número N de base r que tiene n dígito, el complemento a (r-1)’s de N se define (rn - 1) - N Para números decimales, r =10 y r-1 = 9; de este modo el complemento a 9’s de N es (10n - 1) - N. Ahora, 10n representa un número que consta de un 1 seguido de n ceros. 10n -1 es un número representado por n nueve. Por ejemplo, si n = 4, se tiene 10n = 104 = 10000 10n -1 = 9999 se deduce que el complemento a 9’s de un número decimal se obtiene restando cada dígito a 9. Encontrar el complemento a 9’s de los siguientes números: Decimal -546700 -12389 -125 -450 -733 Operación 999999 -546700 99999 -12389 999 - 125 999 - 450 999 - 733 CA 9’s 453299 87610 874 549 266 Teniendo la representación de los números negativos en complemento a 9’s, solamente se haría la operación de suma de los números. Por ejemplo: Complemento a 9’s 1 725 - 307 999 - 307 ( 692)9 325 - 784 Complemento a 10’s 725 + 692 417 1 - 418 Complemento a 9’s 999 - 784 ( 215)9 Complemento a 9’s + 325 215 540 999 - 540 - 459 2 . Métodos Numéricos y Programación En el caso de números binarios, r = 2 y r-1=1, de este modo el complemento a 1’s de N es (2n -1) - N. Una vez más representa por medio de un número binario que consta de un 1 seguido de n ceros. n 2 -1 es un número binario representado por n unos. 2n Por ejemplo, si n = 4 , se tiene que 2n = (10000)2 n 2 -1 = (1111) 2 Por lo tanto, el complemento a 1’s de un número binario se obtiene restando cada dígito de 1. Sin embargo, cuando se restan dígitos binarios de 1, se puede tener 1 - 0 = 1 ó 1 - 1 = 0; lo que hace que el bit cambie de 0 a 1 o bien de 1 a 0. En consecuencia, el complemento a 1’s de un número binario se forma combinando unos por ceros y ceros por uno. El complemento a 1’s de 1011001, es 0100110 El complemento a 1’s de 0001111, es 1110000 Si el número es positivo el complemento a 1’s se representa igual, si el número es negativo se toma el número binario positivo y se complementan todos los bit incluyendo el del signo. Decimal +5 -5 Binario 0 0101 1 1010 En el complemento a 2’s, si el número es positivo se representa igual. Si el número es negativo se suma 1 al complemento a 1’s. para obtener el signo del número negativo. Decimal +5 -5 Binario 0 0101 1 1011 Valor de -5 en Binario Complemento a 1’s Complemento a 2’s 0 0101 1 1010 1 1010 1 1 1011 Sustracción con Complemento El método directo de sustracción que se enseña en las escuelas primarias aplica el concepto de “Pedir prestado de otra cantidad”. En método, se pide prestado un 1 de 3 . Métodos Numéricos y Programación una posición significativa superior cuando el dígito minuendo es menor que el sustraendo. Este parece ser el método más sencillo cuando las personas realizan la resta con papel y lápiz. Cuando la resta se efectúa con hardware digital, se observa que este método es menos eficiente que el que se utiliza complementos. Para realizar la resta de dos números sin signo de n dígitos, M - N. en base r, se puede hacer de la siguiente manera: 1. Súmese el minuendo M al complemento de r del sustraendo N. realiza como M + (rn -N) = M - N + rn Esto se 2. Si M >= N, la suma producirá un acarreo final, rn , que se desecha, lo que queda es el resultado M - N. 3. Si M < N, la suma no producirá un acarreo y es igual a rn - (N -M) que es el complemento a r’s de (N - M). Ejemplo 1: Utilizar el complemento a 10’s, efectuando la resta 72532 - 3250 M= Complemento a 10’s de N = Suma = Acarreo final desechado 105 = Respuesta = 72532 + 96750 1 69282 - 1 00000 69282 99999 03250 96749 1 96750 Ejemplo 2: Utilizar el complemento a 10’s, efectuando la resta 3250 - 72532 M= 03250 Complemento a 10’s de N = + 27468 Suma = 30718 No hay acarreo final = Respuesta = - (Complemento a 10’s para 30718) = - 69282 99999 72532 27467 1 27468 99999 30718 69281 1 69282 Ejemplo 3: Dado los número binarios M = 1010100 y N = 1000011, hágase la resta: M - N, utilizando el complemento a 2’s. M= Complemento a 10’s de N = Suma = Acarreo final desechado 27= 1010100 + 0111101 1 0010001 - 1 0000000 0111100 1 0111101 (CA1’s de N) (CA2’s) 4 . Métodos Numéricos y Programación Respuesta = 0010001 Ejemplo 4: Dado los número binarios M = 1010100 y N = 1000011, hágase la resta: N - M, utilizando el complemento a 2’s. 0101011 1 0101100 N= 1000011 Complemento a 2’s de M = + 0101100 Suma = 1101111 No hay acarreo final = Respuesta = - (CA 1’s para 1101110) = - 0010001 1.2 (CA1’s de M) (CA2’s) REPRESENTACIÓN INTERNA DE NÚMEROS Un diseñador de computadoras elige el método para representar la información en una computadora basándose en la evaluación de costos y velocidad y en ocasiones en la exactitud y conveniencia del programador. Después elige el diseño de computadora que tenga operaciones para manejar información de dichas representaciones. Normalmente, sólo se usa una única representación para datos de carácter (aunque algunas computadoras proporcionan representaciones tanto ASCII como EBCDIC). Sin embargo, para una amplia gama de problemas, de manera que las computadoras con frecuencia tiene más de una forma de representación numérica. Lo común es que existan representaciones binarias enteras y de punto flotante y tal vez también representaciones de cadenas de caracteres decimales. Deben proporcionarse instrucciones diferentes para cada forma de número que se maneje. NÚMEROS ENTEROS Y DE PUNTO FIJO En el Sistema de Numeración Binaria, la expresión matemática de enteros es ak ak-1 ak-2 ... a2 a1 a0 donde a es un bit con valor 0 o 1. Su valor decimal es I = (ak 2k +ak-1 2k-1 + ... + a2 22 + a1 21 + a0 20 ) Por ejemplo, el número binario dado por 110101 es igual a I = ( (1) 25 + (1) 24 + (0) 23 +(1) 22 + +(0) 2 + 1) 5 . Métodos Numéricos y Programación I = (32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1) I = 53 El valor máximo de K esta limitado en algunas computadoras, debido al diseño de hardware. Se usan 2 bytes (16 bits) para representar un entero ; en donde el primer bit registra el signo (positivo si es 0, negativo si es 1). Los restantes 15 bits se usan para los ai. Por lo tanto, el valor máximo posible para un entero positivo es N°. de bit 0 Binario 0 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 1 13 1 14 1 15 1 El valor decimal de lo anterior es i=0 14 2i = 32 767 Para almacenar un número negativo se utilizan los mismos dígitos que el número positivo de la misma magnitud, excepto que el primer bit se pone en 1. Aunque en ocasiones, algunos computadoras usan el complemento a 2’s para almacenar números negativos. Por ejemplo, el complemento a 2’s para (-32767)10 es Binario (32767) Aplicar CA1’s 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 CA 2’s 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 6 0 7 0 12 0 13 0 14 0 15 1 El valor máximo entero negativo es N°. de bit 0 Binario 1 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 8 0 9 0 10 0 11 0 El cual se obtiene utilizando el complemento a 2’s que consiste en cambiar los 0 por 1, y los 1 por 0 y añadiendo 1 al resultado para el número 32767. En el complemento a 2’s, se determina primero el valor decimal como si los 16 bits expresaran un número positivo. Si este número es menor que 215, o 32768, se le interpreta como positivo. Si es mayor o igual, entonces se transforma en un número negativo restándole 216. El equivalente decimal del número binario es: Z = 215 + 1; por lo que la resta da 32768 - 216 = 32768 + 1 - 65536 = -32767 6 . Métodos Numéricos y Programación El número negativo de menor magnitud se representa por (1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111)2 que es igual a -1 en decimal. Se utilizan 4 bytes para la representación de signo/magnitud de un entero. Por lo que, el máximo número positivo es 232-1 - 1 = 2147483648 -1 = 2147483647 0 1 2 n-1 n ... - (2n-1 - 1) a (2n-1 - 1) La magnitud se refiere al número más chico que puede ser representado y al número más grande que se puede representar y la precisión es la cantidad de cifras que caven dentro de un rango estipulado por la máquina en posición. Cuando hablamos de signo/magnitud nos referimos a que la representación de los números enteros en signo/magnitud se representan con su respectiva representación binaria, lo que cambia es su signo. Por ejemplo, Decimal 2 -2 Binario 0 010 1 101 El número de punto fijo es aquel cuyo punto se encuentra en un lugar fijo con relación a la palabra, de esta forma, un entero es también un número de punto fijo. NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE No siempre resulta conveniente restringir los números representables a punto fijo. En muchos problemas deben utilizarse números cuyo tamaño varía de 10-50 a 250. Por esta razón, la mayor parte de las computadoras científicas incluyen aritmética de punto flotante. Con frecuencia se utiliza punto decimal flotante para escribir en “Notación Científica”. Por ejemplo, 1.05203 x 10 16 = 10 520 300 000 000 000 5.32635 x 10 -14 = 0.000 000 000 000 053 263 5 7 . Métodos Numéricos y Programación La primera parte de la representación científica se denomina mantisa, mientras que la segunda es el exponente, en este caso un exponente decimal. En el primer ejemplo anterior la mantisa es 1.05203 y el exponente 16. El formato para un número real de punto flotante en una computadora define según el diseño de hardware y software. Los números de punto flotante se almacenan en el formato de punto flotante normalizado en binario. En precisión simple se usan 4 bytes, o 32 bits para almacenar un número de punto flotante. Si se introduce como dato un número decimal, primero se convierte al binario más cercano en el formato normalizado. 0.abbbbbb ... bbbb)2 x 2z donde a b z siempre es 1 cada b es un dígito 0 ó1 es un exponente que se expresa en binario (se utilizan 24 dígitos para la matiza incluyendo la a y las b) Para la representación de un número en punto flotante los 32 bits se distribuyen de la siguiente manera: El primer dígito se usa para representar el signo de la mantisa Los siguientes 7 bits para el exponente z Los últimos 24 bits para la mantisa 0 1 30 7 31 24 En el formato normalizado de punto flotante, el primer dígito de la matiza siempre es 1, por lo que no se almacena físicamente. Esto explica por qué una mantisa de 24 bits se almacena en 23. 0 1 111 1111 31 11111111 11111111 11111111 11111111 Si los 8 bits asignados al exponente se usan para enteros positivos, el exponente puede representar desde o hasta 28 - 1 = 255, aunque puede incluir números negativos. Para registrar exponentes positivos y negativos, el exponente en decimal es sesgado (o sumado) con 128 y después convertido a binario (complemento a 2’s). Por ejemplo, si el exponente es -3, entonces -3 +128 = 125. 8 . Métodos Numéricos y Programación Se convierte a binario y se almacena en los 8 bits. Por lo tanto, los exponentes que se pueden almacenar en 8 bits van de 0 - 128 = -128 hasta 225 - 128 = 127 En la computadora, la representación consiste de una mantisa normalizada, seguida de un exponente, esto es, entre la primera cifra significativa y el punto decimal no existen ceros. Los siguientes ejemplo ilustran la representación de los números con punto flotante normalizado: Sistema Decimal 12534.33 14332607951032.20 0.00000325 475.22 0.00000000145128 Mantisa Normalizada 0.1253433 x105 0.1433260795103220 x1013 0.325 x10-5 0.47522 x103 0.145128 x10-8 Un número de punto flotante que se representa en la forma cuyo exponente sea mínimo se conoce normalizado. La Normalización en una computadora consiste en el corrimiento a la izquierda de la mantisa hasta que el primer dígito sea diferente del cero, reduciendo al mismo tiempo el exponente de acuerdo con esto. El número 0.00173 podría representarse en una máquina decimal con una mantisa de 6 dígitos en cualquiera de las formas: 0.000 173 0.001 730 0.017 300 0.173 000 x101 x100 x10-1 x10-2 De las cuatro representaciones de 0.00173, sólo la última esta normalizada. Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su precisión y exactitud. Precisión La precisión se refiere al número de cifras significativas que representan la cantidad o la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. 9 . Métodos Numéricos y Programación Exactitud La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. 1.3 OPERACIONES CON PUNTO FLOTANTE NORMALIZADA 1.3.1 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN La computadora al realizar las operaciones con punto flotante normalizada, sigue los siguientes pasos, en el caso de la adición y sustracción Paso 1: La máquina compara los exponentes de ambos operadores. Si los exponentes son iguales, sumar o restar, la mantisa conservando el exponente. Si los exponentes son diferentes, desplazar hacia la derecha la mantisa del operando con menor exponente hasta igualarlos. Con este proceso aumenta en una unidad el exponente para cada posición que se desplace la mantisa, hecho esto efectuar la operación conservando el exponente. Paso 2: Si el resultado de la suma se va ha exceder al máximo el máximo de 6 dígitos de la mantisa, la máquina desplaza hacia la derecha las mantisas de ambos operando e incrementando los exponentes antes de efectuar la operación. Paso 3: Si en el resultado de la resta se obtuviese cero entre el punto decimal y la primera cifra significativa, la máquina los elimina antes de almacenar el resultado reduciendo el exponente y desplazando la mantisa. Igualación de exponentes: 1523.3 1225.4 0.15233 x 104 0.12254 x 104 0.27487 x 104 Respuesta: 0.274870 x 104 10 . Métodos Numéricos y Programación Exponentes diferentes: 7386.94 1.97328 0.738694 x 104 0.197328 x 101 Respuesta: Prevención del sobreflujo 12.4614 89.3172 0.124614 x 102 0.893172 x 102 0.738694 x 104 0.000197328 x 104 0.738891328 x 104 0.738891 x 104 0.0124614 x 103 0.0893172 x 103 0.1017786 x 103 0.101778 x 103 Respuesta: Normalización de la resta 98643.2 - 97924.2 0.986432 x 105 0.979242 x 105 0.012190 x 105 Respuesta: 0.121900 x 104 1.3.2 MULTIPLICACIÓN La mantisa del producto es igual al producto de las mantisas de los operadores y el exponente del producto es igual a la suma de los exponentes de los operandos. (317.26)(1.2) = 0.31726 x 103)(0..12 x 101) (0.31726)(0.12) (x 104) 0.0380712 x 104 Respuesta: 0.038071 x 104 11 . Métodos Numéricos y Programación 1.3.3 DIVISIÓN La mantisa del cociente es igual al cociente de la mantisa del dividendo entre el divisor y el exponente del cociente es igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el exponente del divisor. 1.4 729000.0/0.81 = (0.729000 x 106)(0.810000 x 100) (0.729000)/(0.810000) x (106-0) 0.9 x 106 Respuesta: 0.900000 x 106 FORMAS DE MEDIR EL ERROR El estudio del error es central en análisis numérico, de manera que utilizamos y extenderemos las ideas de este capítulo a lo largo de todo el curso. Estudiaremos varios tipos de errores: Cómo se definen, la manera en que surgen, cómo podrían estimarse, la forma de advertirles y qué podría hacerse a fin de minimizarlos. 1.4.1 ERROR ABSOLUTO Se define como la diferencia que existe entre el valor exacto y su valor calculado o redondeado. El error absoluto no es negativo, debido a que la definición se dio en términos del valor absoluto. Así pues, una suma (colección) de errores siempre se incrementa juntas, sin reducirse. Error Absoluto = | valor exacto - valor calculado| Ea = |X - Xr| 1.4.2 ERROR RELATIVO El error relativo es el error absoluto dividido entre un número positivo adecuado. Por lo general, el divisor es una de tres elecciones: La magnitud del valor exacto La magnitud del valor calculado o redondeo El promedio de estas dos cantidades 12 . Métodos Numéricos y Programación La mayoría de las veces se utiliza el valor exacto, como divisor y se modifica esto cuando sea necesario, como cuando el valor exacto es cero. Error Relativo = |X - Xr| / |X| 1.4.3 ERROR RELATIVO MODIFICADO Error Relativo Modificado = |X - Xr | / |X| Problemas: 1. Si se reemplaza el número 0.24691356 por el número flotante 0.246913. Cuál es el error absoluto y el error relativo? 2. Si se reemplaza el número 0.24691356x1010 por el número de punto flotante 0.246913x1010. Cuál es el error absoluto y el error relativo? 3. Si se supone que la salida de un programa de computadora es 737.8 y se toma como 5.52794. Cuál es el error absoluto y el error relativo? 4. Si 5.52794 fuera el valor exacto y 737.8 el valor calculado. ¿Cuál es el error absoluto y el error relativo? 1.5 TIPOS DE ERRORES 1.5.1 ERROR POR REDONDEO El error por redondeo se define como el error que resulta de reemplazar un número que tiene más de n dígitos por un número que tiene m dígitos. Por ejemplo, cuando se utiliza la computadora para resolver un número determinado de ecuaciones simultáneas, puede haber una pérdida considerable de la precisión en los resultados debido al error por redondeo que se acumula durante el gran número de operaciones efectuados al obtener la solución. 13 . Métodos Numéricos y Programación 1.5.2 ERROR POR TRUNCAMIENTO Este tipo de error ocurre cuando un proceso que requiere un número infinito de pasos se detiene en un número finito de pasos. Ya que es el error que resulta de utilizar una serie de pasos truncados en vez de una serie de pasos completa. 1.5.3 ERROR SIGNIFICATIVO Ocurre cuando el número de cifras significativas que tengan sentidos y sean válidas, algunas veces son menores de lo esperado. Se presentan con frecuencia cuando: Se restan números desiguales Se suman varios números de magnitudes pequeñas. Se emplean un divisor relativamente pequeño. 1.5.4 ERROR PROPAGADO Es el error de salida provocado por un error en las entradas, suponiendo que todos los cálculos intermedios se efectúan exactamente, sin error de redondeo. Problemas 1. Supóngase que se debe evaluar f(x) = 5X² + 7X - 30; la exacta debería ser 3.01, pero se ha redondeado a Xr = 3. Cuál es el error en f(x)? Error Absoluto = |X - Xr| Error Absoluto = |f(3.01) - f(3)| Error Absoluto = |36.3705 - 36| Error Absoluto = 0.3705 Error Relativo = |X - Xr | / |X| Error Relativo = |f(3.01) - f(3)| / |f(3.01)| Error Relativo = |36.3705 - 36| / |36.3705| Error Relativo = |0.3705| / |36.3705| Error Relativo = 0.0102 El error relativo en f(x) es 0.0102, comparado con el error relativo en x de 0.01/3.01 = 0.0033. Por tanto, el error relativo propagado es alrededor de tres veces el error relativo de entrada. 14 . Métodos Numéricos y Programación ERROR DE REDONDEO Y PROPAGADO El valor de una función debe redondearse, por lo que en un cálculo típico hay tantos errores de redondeo como propagado. Consideremos una función de una variable, ƒ(x), de la misma manera que: xr denota un valor redondeado de x; ƒr(t) indicará el valor redondeado de ƒ(t). ƒ(tr) podría ser un número decimal infinito que debe o requeriría redondeo. Fórmulas para el Cálculo de errores Error absoluto | X – Xr | | X – Xr | Error Relativo |X| 2 | X – Xr | Error Relativo Modificado |X| + |Xr| Fórmulas para el Cálculo de Errores a Funciones Variables Error Propagado Absoluto o Error Absoluto Exacto Error Propagado Relativo Error de Redondeo Error Total de la Evaluación Factor de Amplificación ’(Xr) | (X) – (Xr) | | X – Xr | | ’(Xr) | | X – Xr | | ’(Xr) | |(X) | | (Xr) - r(Xr)| | (X) - r(Xr)| ’(Xr) = | (X) – (Xr) | | X – Xr | EJEMPLO: Sea F(t)= 0.32t y una evaluación en un instrumento de cálculo que sólo puede conservar cuatro cifras significativas en base diez para cualquier número, con x=10.007. Xr = 10.01 ƒ(x) = ƒ(10.007) = 0.32 (10.007) = 3.20224 ƒ(xr) = ƒ(10.01) = 0.32 (10.01) = 3.2032 ƒr(xr) = 3.203 ƒr(x) = 3.202 15 . Métodos Numéricos y Programación Error de Redondeo = |ƒ(xr) - ƒr(xr)| = | 3.2032 - 3.203| = 0.00020 Error Propagado = |ƒ(x) - ƒ(xr)| = |3.20224 - 3.2032| = 0.00096 Error total = |ƒ(x) - ƒr(xr)| = |3.20224 - 3.203| = 0.00076 de la evaluación Nota: Estos errores son absolutos, pero se pueden hacer relativos dividiendo entre |ƒr(xr)|= 3.203 o entre |ƒ(x)|, dado que en este caso lo conocemos. El error propagado absoluto podría haber sido aproximado usando la ecuación (ya que estamos manejando una función lineal). |ƒ(x) - ƒ(xr)| = |X - Xr| ƒ'(xr) = |10.007 - 10.01| |0.32| = 0.00096. ERROR ABSOLUTO TOTAL EN UNA ECUACION |ƒ(Xr) - ƒr(Xr)| = |ƒ(X) - ƒ(Xr)| + |ƒ(X) - ƒr(Xr)| <= |ƒ(X) - ƒ(Xr)| + ƒr(Xr)| Esta desigualdad afirma que el error total absoluto no es mayor que la suma de los errores absolutos propagados y redondeados. Problemas Propuestos: 1. Calcule, en porcentaje, el error cometido cuando 1.503. se redondea a 1.5. 2. Si X = 3.1415927 usamos un sistema numérico de punto flotante (en base diez) con una longitud de palabra de 6. ¿Cuál es el error absoluto al representar X?. 3. Calcule el error absoluto y el relativo comedido cuando .abc*10 7 se escribe erróneamente como a.bc *107. 4. Suponga que en cierto cálculo obtenemos 0.0002 cuando deberíamos obtener cero. ¿Mediante cuál fórmula calcularía el error relativo? ¿Qué obtendría usando esa fórmula? 16 . Métodos Numéricos y Programación 5. Si f(x) = 18 t4 –5t3 + 2t – 7, la exacta x = y la redondeada xr = 3, aproxime el error propagado al evaluar f(x). Compare este error con el error propagado absoluto real. 6. Estime el error propagado absoluto al evaluar f(x) = x2 – ln x en x = 1/2 0.70710678 si usamos xr = 0.7. Calcule el error propagado absoluto exacto. 7. Aproxime el error propagado absoluto al evaluar f(x) = ex en x = 2.0003 si xr = 2, ¿Cómo se calcularía el error relativo usando su respuesta? 8. Estime el error propagado relativo y el absoluto al evaluar f(t) = 2e3(t - 2) para t cercana a 2 si el error absoluto en t es 5 * 10 –7. 9. Sea f(t) = t (1 + t2)-1. Supongamos que necesitamos el valor exacto de f(0.16037), pero que sólo podemos usar aritmética de tres dígitos. Esto significa, que debe aproximarse por 3.14. Determinar el error propagado absoluto, el error de redondeo y el error total. 10. Estime los errores propagado relativo y el absoluto al evaluar f(x) = e(x - 2)2 para x cercano a 2 si el error absoluto en x es 10 –5. 11. Si en notación exponencial redondeamos a k cifras (en base diez) en la mantisa. ¿Cuál es el máximo error relativo posible? 12. Sea f(x) = (4 – x2)-1, x = 1.99904 y xr = 1.999. amplificación” ’(Xr). Aproxime el “factor de 13. Determinar el error absoluto cometido cuando en base dos una computadora representa = 3.14159265 como 11.001001dos. 17 .
