5 Lectura 5 Modulo 3 Aplicaciones de las derivadas en varias variables (1)

APLICACIONES DE LAS
ELEMENTOS ESCENCIALES DE LA ÉTICA.
DERIVADAS EN VARIAS
VARIABLES
AUTOR: JIMENA SANABRIA
DICIEMBRE: 2019
TABLA DE CONTENIDOS
Introducción..................................................................................................................................3
Palabras clave.............................................................................................................................4
Máximos y mínimos para funciones de varias variables
Criterio de la primera derivada........................................................................................5
Criterio de la segunda derivada......................................................................................7
Práctica............................................................................................................................................8
Multiplicadores de lagrange...............................................................................................9
Práctica............................................................................................................................................11
Referencias Bibliográficas...................................................................................................14
2
INTRODUCCIÓN
Esta lectura se ha realizado para lograr la comprensión de
las aplicaciones de las derivadas de las funciones en varias
variables, en el ambiente laboral.
Lo que se espera es que se pueda comprender cómo aplicar
los distintos métodos para resolver diferentes problemas.
3
PREGUNTA DISPARADORA
¿En qué nos pueden ayudar las funciones en varias variables y sus
derivadas en nuestro ambiente laboral?
ABSTRACT O RESUMEN
En esta lectura podrás encontrar aplicaciones de las derivadas de funciones en varias
variables, como los máximos y mínimos, multiplicadores de Lagrange, criterio de la
primera y segunda derivada, intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la
concavidad de funciones.
PALABRAS CLAVE
Aplicaciones
Derivada
Funciones en varias variables
Máximos y mínimos, multiplicadores de Lagrange
Criterio de la primera y segunda derivada
Intervalos de crecimiento y decrecimiento,
Concavidad.
4
- Esta lectura se ha realizado para lograr la comprensión de las
aplicaciones de las derivadas de las funciones en varias variables,
en el ambiente laboral.
- Lo que se espera es que se pueda comprender cómo aplicar los
distintos métodos para resolver diferentes problemas.
Máximos y mínimos para funciones de varias
variables
En este apartado se estudia cómo determinar los puntos máximos y
mínimos de una función, semejante a cuando se estudiaron en cálculo
de una variable en los que se utiliza los criterios de la primera y
segunda derivada, en varias variables se utiliza la derivada para el
cálculo de estos puntos.
Por definición, una función tiene un mínimo relativo en
si el
valor de la función en este punto es menor a los valores que toma en
los puntos vecinos,
en una región que
contenga a
.
En los puntos máximos y mínimos las primeras derivadas parciales son
cero. Es importante tomar en cuenta que los máximos o mínimos no
son necesariamente absolutos de la función por lo que suelen ser
llamados como extremos relativos.
Criterio de la primera derivada
La primera derivada se utiliza para determinar los puntos críticos de
una función, básicamente se realiza la derivada parcial respecto a cada
variable, se toman los resultados de las variables y se establece un
sistema de ecuaciones y se da solución al mismo. Los resultados
donde se hace cero las ecuaciones son los valores para las variables,
que pueden ser
, que conformarán los puntos críticos.
3
Ejemplo: Encuentre los puntos críticos de la función
5
Solución: Primero se determinan las derivadas parciales, las cuales
están dadas por
Segundo, se establece un sistema de ecuaciones para resolverlo y
hallar los valores de
, en los que se hacen cero las derivadas.
Se deja al lector, resolver el sistema de ecuaciones. Luego de resolver
el sistema de ecuaciones, se determina que los valores que toma son
0 y
, mientras los valores de
son 0 y
puntos críticos de la función corresponden a:
, por lo tanto los
y
Ejemplo: Halle los puntos críticos de
Solución: Primero determine las derivadas parciales.
.
.
Luego establezca el sistema de ecuaciones y resuélvalo.
En este caso las soluciones para corresponden a
y , para y los
resultados son:
y .
Por lo tanto los puntos críticos corresponden a los pares ordenados
que se forman entre los valores de
con los de
:
y
De modo similar se trabaja con tres variables.
Recuerde que no toda función va a presentar puntos críticos.
Criterio de la segunda derivada
6
y
De modo similar se trabaja con tres variables.
Recuerde que no toda función va a presentar puntos críticos.
Criterio de la segunda derivada
La segunda derivada permite determinar si los puntos críticos hallados
con la primera derivada son puntos máximos, mínimos o silla.
4
Para poder determinar el tipo de punto hallado se requiere del criterio
de derivada parcial segunda que dice lo siguiente:
Sea una función
con derivadas parciales primeras y segundas
continuas en una región abierta que contiene un punto
para el
que
y
. Para determinar si en dicho punto hay
un extremo relativo de , definimos la cantidad

Si
y
, entonces
es un mínimo relativo.

Si
y
, entonces
es un máximo relativo.

Si
, entonces

Este criterio no contempla si
es un punto silla.
Ejemplo: Clasifique los puntos crítico de
–
, en mínimos o máximos relativos o punto silla.
Solución: Primero se determinan los puntos críticos realizando la
primera derivada parcial.
Se resuelve el sistema de ecuaciones:
Se obtienen las siguientes soluciones:
,
,
.
Segundo se realizan las derivadas parciales segundas:
Se calcula
, que consiste en realizar primero la derivada parcial
respecto a , el resultado se le realiza la derivada parcial respecto a :
7
Se utiliza la fórmula para determinar
obtenidos anteriormente
En este caso se inicia evaluando
en la derivada parcial segunda el punto
Como
, es un punto silla en
los valores de
En este caso
Entonces como
con los puntos críticos
.
el 1 se obtiene de sustituir
en . Ahora se analiza el punto
, por lo que se debe evaluar
y
, entonces
:
:
es un máximo
relativo.
Práctica:
1.
Halle los puntos críticos de las siguientes funciones, si los tienen.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
2. Utilice el criterio de la segunda derivada para clasificar los puntos
críticos obtenidos en el punto anterior como máximos, mínimos o silla.
Respuestas:
6
a. Punto crítico:
. No se define
8
b. No hay puntos.
c. No hay puntos.
d. Punto crítico
. Mínino relativo.
e. Punto crítico
. Máximo relativo
Punto crítico
. Máximo relativo
g. Punto crítico
. Mínino relativo.
f.
Multiplicadores de lagrange
El método de multiplicadores de Lagrange, es utilizado en el cálculo de
máximos y mínimos de funciones en varias variables que presentan
restricciones.
Al aplicar este método en economía, se pueden hallar limitaciones
reales como son: el monto a invertir, tecnología, mercado, entre otros.
Se debe optimizar la función
con base en la restricción
, se forma así la función objetivo
, es el multiplicador de Lagrange, que es independiente de las
variables
El proceso para determinar los puntos extremos consiste
en determinar las derivadas parciales de
con respecto a las
tres variables, y se igualan a cero, se determinan los valores de cada
una, pero se utilizan solamente los de
.
Luego de este paso, donde se han hallado los valores de los puntos
críticos, se procede con el criterio de la segunda derivada, como se
estudió en el apartado anterior.
Ejemplo: Obtener los puntos críticos de
con
base en la restricción
, clasifique los puntos hallados.
9
Solución: Se establecen los datos que se requieren para dar solución al
ejercicio:
–
Establecida la función objetivo, se procede a calcular las derivadas
parciales de cada variable:
Se resuelve el sistema de ecuaciones, en este caso considera que es
de tres variables
cuando hallan los valores de cada variable, no
se toma en cuenta el valor de en la resolución del ejercicio.
Los valores obtenidos son
,
, y
(valor que no se
requiere).
Por lo tanto se establece que la función , con base a la restricción
correspondiente tiene un punto crítico en
Se procede a
determinar las derivadas parciales segundas:
Se determina el valor de
determinarse
entonces
, el cual es 10. Se tiene que
. Como
y
debe
,
es un mínimo relativo.
Ejemplo: Empleando P unidades de mano de obra y
unidades de
capital, una empresa puede elaborar unidades de su producto con
. Le cuesta a la empresa $100 por cada unidad de
10
mano de obra y $300 por cada unidad de capital empleado. La
empresa dispone de $45000 para producción. Mediante el método de
multiplicadores de Lagrange determine las unidades de mano de obra y
de capital que la empresa debe utilizar con objeto de maximizar su
producción.
, la cual está
Solución: La función a maximizar es
restringida por los montos de mano de obra, capital empleado y
producción, la ecuación que representa los datos de restricción es la
siguiente:
. Se establece la función objetivo y
las derivadas parciales respecto a cada variable.
Se establece el sistema de ecuaciones y se resuelve:
Los resultados corresponden a
, este último no
es requerido, sin embargo se brinda al lector para que pueda corroborar sus
propios cálculos. Por lo anterior se puede decir que hay un punto crítico en
Por lo tanto la empresa maximiza su producción si emplea 300 unidades de
mano de obra y 50 de capital.
Práctica:
1. Encuentre, por el método de los multiplicadores de Lagrange, los puntos críticos de
las funciones sujeto a las restricciones indicadas.
a.
, con
b.
, con
c.
, con
d.
, con
11
10
Respuestas:
Los puntos críticos son:
a.
b.
c.
,
d.
2. Una empresa tiene dos plantas, planta 1 y planta 2, que fabrican un producto. La
función de costo total está dada por:
y
son las unidades producidas por las plantas 1 y 2
, donde
respectivamente. Si la empresa tiene que surtir 200 unidades ¿Cómo distribuir la
producción para minimizar costos? Respuesta:
y
unidades.
. El
3. La función de producción de una empresa es:
costo de una unidad de mano de obra es 4 y el costo de una unidad de capital es 5.
Si la empresa dispone sólo de 120 UM para invertir, ¿cómo distribuir la inversión
entre mano de obra y capital de manera que la producción se haga máxima con esta
restricción presupuestaria? Respuesta:
;
.
. El
4. La función de producción de una empresa está dada por la función
costo de una unidad de mano de obra es 27 y el costo de una unidad de capital es
16. Si la empresa decide elaborar 900 unidades. ¿Cómo distribuir la inversión entre
mano de obra y capital de manera de minimizar los costos totales con esta
restricción presupuestaria?. ¿Cuál es el costo total mínimo? Respuesta:
;
; Costo mínimo 32400 UM.
5. Una empresa puede elaborar dos tipos de productos: y . La utilidad unitaria del
primer producto es de 4UM y del segundo es 6UM. Las cantidades de productos de
tipos
y
que puede producir la fábrica están relacionados por la ecuación de
transformación de producto dada por
, donde
y
representan el número de unidades (en cientos) de
y
respectivamente
producidas semanalmente. ¿Cuántas unidades deben producirse de y a fin de
obtener la utilidad máxima? Respuesta:
).
6. Una empresa dispone de 8000 UM para invertir en desarrollo y publicidad. Se
UM en desarrollo y
UM en publicidad, habrá un
estima que si se invierte
12
11
consumo de
. ¿Cómo se deberá distribuir este dinero para generar
la máxima utilidad? Respuesta:
,
UM.
7. Una empresa elabora dos tipos de teléfonos. Para el próximo mes tiene que producir
900 unidades entre los dos modelos. Se estima que la función de costos conjuntos
de producir
unidades del primer tipo y
del segundo por mes está dada por
. ¿Cuántas unidades de cada tipo deberá
producir a fin de minimizar los costos totales? Respuesta:
y
.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Acuña, L. (2013). Cálculo diferencial e integral. Escuela de Matemática,
TEC.
BANCO DE PREGUNTAS MODULO 3 EXAMEN 2
Dada la función
Funciones en varias variables: aplicaciones
, determine todos los puntos críticos
2.
Dada la función
, ¿el punto
es un mínimo?
@
*A.
B.
Funciones en varias variables: aplicaciones
Verdadero
Falso
3.
@
A.
Dada la función
Funciones en varias variables: aplicaciones
Verdadero
, ¿el punto
es un mínimo?
1.
@
*A.
B.
C.
D.
E.
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7. Una empresa elabora dos tipos de teléfonos. Para el próximo mes tiene que producir
900 unidades entre los dos modelos. Se estima que la función de costos conjuntos
de producir
unidades del primer tipo y
del segundo por mes está dada por
. ¿Cuántas unidades de cada tipo deberá
producir a fin de minimizar los costos totales? Respuesta:
y
.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Acuña, L. (2013). Cálculo diferencial e integral. Escuela de Matemática,
TEC.
BANCO DE PREGUNTAS MODULO 3 EXAMEN 2
Dada la función
Funciones en varias variables: aplicaciones
, determine todos los puntos críticos
2.
Dada la función
, ¿el punto
es un mínimo?
@
*A.
B.
Funciones en varias variables: aplicaciones
Verdadero
Falso
3.
@
A.
Dada la función
Funciones en varias variables: aplicaciones
Verdadero
, ¿el punto
es un mínimo?
1.
@
*A.
B.
C.
D.
E.
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