Guía Práctica de Topografía: Fundamentos y Métodos

GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
1
PREFACIO
Si bien la topografía tradicional aun forma parte de los trabajos de levantamiento y
de replanteo, se encuentra en una etapa de constantes cambios de índole tecnológico con
avances que ocurren a gran velocidad y que están afectando a las labores topográficas de
campo y gabinete. Entre estos cambios se encuentran los levantamientos por satélites, GPS
y teodolitos electrónicos y digitales, estaciones totales, niveles digitales automáticos, etc.
En los trabajos de gabinete, el procesamiento de la información se ha hecho cada
vez más rápido y eficiente gracias a los avances de la computación y la informática, que
permiten la introducción de programas y equipos que aceleran los cálculos topográficos de
cualquier tipo, la compilación de mapas y el trazado automático de curvas de nivel; además
de los sistemas de información geográficos (GIS).
Este texto permite dar a conocer los fundamentos teóricos básicos de la Topografía
como disciplina, entregando aquellos conceptos que son esenciales y necesarios para quien
pretenda adentrarse en su estudio. Como corresponde a la tercera y última edición, incluye
nuevos temas que no fueron tratados en las ediciones anteriores, como un análisis de
formas de los triángulos en las triangulaciones, problemas de medición de bases en forma
indirecta debido a obstáculos, emparejamiento de suelo, ajuste de redes de nivelación,
utilización de programas para dibujar curvas de nivel y para procesar datos de receptores
satelitales, etc., que servirá como material de consulta para personas interesadas en el tema
o para estudiantes iniciados en topografía, ya que permitirá conocer conceptos nuevos y
entregar una base para estudios posteriores.
La presente es la edición completa de esta publicación y en cada capítulo el lector se
encontrará con una descripción precisa de los diferentes temas tratados, además de una
breve síntesis de las principales ciencias relacionadas con la disciplina, a saber, Geodesia,
Cartografía, Fotogrametría o Sistema de Posicionamiento Global, entre otras.
EL AUTOR
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
2
INDICE
Págs.
Introducción............................................................................................................................
9
PARTE I : EL LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO
1.-
2.-
Medición a huincha...............................................................................................................
12
1.1.- Medición de distancias verticales en terrenos con pendientes...............................
13
1.1.1.- Por escalones o resaltos......................................................................
13
1.1.2.- Por medidas en pendientes..................................................................
14
1.2.- Errores en medidas corrientes con huincha..........................................................
15
1.3.- Faltas más comunes en una medición con huincha.............................................
17
Medidas de Distancias Verticales . Nivelación....................................................................
18
2.1.- Tipos de Nivelación..............................................................................................
18
2.1.1.- Nivelación directa o geométrica.........................................................
18
2.1.2.- Nivelación abierta...............................................................................
20
2.1.3.- Nivelación cerrada..............................................................................
20
2.1.4.- Nivelación por doble posición instrumental.......................................
21
2.1.5.- Nivelación paralela.............................................................................
22
2.1.6.- Nivelación de enlace...........................................................................
23
2.2.- Ajuste de una nivelación. Corrección de cotas.....................................................
22
2.2.1.- Por el camino recorrido......................................................................
22
2.2.2.- Por el número de posturas instrumentales..........................................
22
2.3.- Precisión de la nivelación directa o geométrica...................................................
25
2.4.- Errores que se pueden cometer en una nivelación geométrica.............................
26
2.5.- Faltas que se pueden cometer en una nivelación geométrica...............................
27
2.6.- Compensación de una red de nivelación por método de los mínimos cuadrados... 28
3.-
Perfiles Topográficos............................................................................................................
33
3.1.- Perfil Longitudinal................................................................................................
33
3.2.- Perfiles Transversales...........................................................................................
34
3.3.- Perfil Tipo.............................................................................................................
35
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4.-
5.-
6.-
7.-
3
Cálculo de Superficies..........................................................................................................
36
4.1.- Métodos matemáticos...........................................................................................
36
4.2.- Métodos gráficos..................................................................................................
36
4.3.- Métodos por coordenadas polares........................................................................
36
4.4.- Métodos mecánicos..............................................................................................
36
Movimiento de Tierras...........................................................................................................
38
5.1.- Registro y Cálculo de Cubicaciones.....................................................................
41
5.1.1.- Parte gráfica........................................................................................
41
5.1.2.- Registro ..............................................................................................
42
Medidas de ángulos y direcciones.......................................................................................... 43
6.1.- Medidas de ángulos corrientes..............................................................................
43
6.1.1.- Rumbo.................................................................................................
43
6.1.2.- Azimut.................................................................................................
43
6.1.3.- Ángulo de deflexión............................................................................
43
6.1.4.- Ángulos interiores de un polígono......................................................
43
6.1.5.- Ángulos exteriores de un polígono.....................................................
43
6.2.- Métodos de medición precisa de ángulos.............................................................
44
6.2.1.- Método de Repetición. Operatoria, registro y cálculo........................
44
6.2.2.- Método de Reiteración. Operatoria, registro y cálculo.......................
48
6.3.- Cálculo de coordenadas de un punto en el plano..................................................
52
6.4.- Cálculo de distancia horizontal, desnivel y cota de un punto...............................
53
Métodos de Levantamientos Topográficos........................................................................... 54
7.1.- Radiación...............................................................................................................
54
7.2.- Poligonación..........................................................................................................
55
7.2.1.- Procedimientos para hacer poligonales...............................................
56
7.2.1.1.- Por ángulos interiores....................................................
56
7.2.1.2.- Por ángulos exteriores...................................................
57
7.2.1.3.- Por azimut......................................................................
57
7.2.2.- Poligonal Cerrada................................................................................
59
7.2.3.- Métodos de Compensación de Poligonales.........................................
61
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4
7.2.3.1.- Método del Teodolito....................................................
61
7.2.3.2.- Método de la Brújula.....................................................
62
7.2.3.3.- Método de los Mínimos Cuadrados...............................
63
7.2.4.- Poligonal de Enlace.............................................................................
64
7.3.- Triangulación.........................................................................................................
65
7.3.0.1.- Formas de los Triángulos.................................................
67
7.3.0.2.- Longitud de los Lados de una Triangulación...................
72
7.3.0.3.- Dimensión de las Señales.................................................. 73
7.3.0.4.- Cálculo de base que no se puede medir directamente...... 74
7.3.0.5.- Reducción al Centro de Estación....................................... 76
7.3.0.6.- Bases Auxiliares................................................................ 78
7.3.1.- Ajuste de un Cuadrilátero....................................................................
79
7.3.1.1.- Condición de Ángulos...................................................
83
7.3.1.2.- Condición de Lados.......................................................
84
7.3.1.3.- Cálculo de Lados...........................................................
86
7.3.2.- Ajuste de una Cadena de Triángulos...................................................
88
7.3.2.1.- Condición de Ángulos...................................................
88
7.3.2.2.- Condición del Angulo de Convergencia........................
89
7.3.2.3.- Condición de Lados.......................................................
91
7.3.2.4.- Cálculo de Lados...........................................................
92
7.3.3.- Ajuste de una Malla de Triangulación.................................................
92
7.3.3.1.- Condición de Ángulos...................................................
93
7.3.3.2.- Condición de Giro de Horizonte....................................
93
7.3.3.3.- Condición de Lados.......................................................
94
7.3.3.4.- Cálculo de Lados...........................................................
94
7.4.- Trilateración...........................................................................................................
95
7.4.1.- Compensación de Cuadriláteros..........................................................
95
7.4.1.1.- Determinación de las discrepancias ΔJ..........................
96
7.4.1.2.- Transformación de ecuaciones de condición.................
98
7.4.1.3.- Cálculo de los coeficientes Cij.......................................
100
7.4.1.4.- Efecto de la diagonal L5.................................................
102
7.4.2.- Resolución del problema.....................................................................
104
7.4.2.1.- Caso para un cuadrilátero..............................................
104
7.4.2.2.- Caso para una cadena de dos cuadriláteros....................
105
7.4.2.3.- Ejemplos resueltos.........................................................
107
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5
PARTE II: REPLANTEO DE ELEMENTOS GEOMETRICOS
8.-
Replanteos ..............................................................................................................................
115
8.1.- Replanteo de Puntos...............................................................................................
115
8.2.- Replanteo de Rectas................................................................................................ 116
8.6.-
9.-
8.3.- Replanteo de Ángulos............................................................................................
117
8.4.- Replanteo de figuras planas con lados rectos........................................................
117
8.5.- Replanteo de curvas horizontales..........................................................................
118
8.5.1.- Replanteo de Curvas Circulares Simples............................................
118
8.5.1.1.- Elementos Geométricos de la Curva..............................
118
8.5.1.2.- Trazado de Puntos Intermedios......................................
119
8.5.1.3.- Curvas con Ángulo Central Obtuso..............................
120
8.5.1.4.- Arcos de Enlace Compuesto..........................................
122
8.5.1.5.- Trazado de Curvas por Coordenadas Rectangulares......
124
8.5.1.5.a.- Por incrementos sobre la tangente..................................
124
8.5.1.5.b.- Por incrementos sobre el arco.........................................
124
8.5.1.5.c.- Por incrementos sobre la cuerda.....................................
124
8.5.1.6.- Longitud de Arco de una Curva Circular.......................
125
8.5.1.7.- Superficie bajo la Curva Circular...................................
127
8.5.2.- Replanteo de Curvas Circulares con Enlace........................................
130
8.5.2.1.- Curvas Circulares con Enlace Parabólico.......................
130
8.5.2.2.- Curvas Circulares con Enlace Clotoidal.........................
132
8.5.3.- Elipses..................................................................................................
137
8.5.3.a.- Longitud de Arco de Elipse............................................
137
8.5.3.b.- Área de una Elipse..........................................................
137
Curvas Verticales...................................................................................................
138
8.6.1.- Primer Método.....................................................................................
138
8.6.2.- Segundo Método..................................................................................
141
Loteo......................................................................................................................................... 142
10.- Emparejamiento de Suelo....................................................................................................... 145
10.1.- Método del Centroide.............................................................................. 145
10.2.- Método por Análisis de Regresión Lineal............................................... 147
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6
APENDICE
Apéndice A: GEODESIA.......................................................................................................
150
A.1 Sistemas de Coordenadas utilizados en Geodesia....................................................
151
A.2 Cálculo de Radios.....................................................................................................
152
A.3 Longitudes de Arco................................................................................................... 153
A.4 Área de un Cuadrante Esférico.................................................................................
155
A.5 Cálculo de Coordenadas (X,Y,Z) a partir de las Coordenadas Geodésicas.............. 155
A.6 Reducción de distancias observadas en terreno a la Geodésica................................ 155
A.7 Datum ....................................................................................................................... 156
A.8 Transformación de Coordenadas..............................................................................
157
Apéndice B: CARTOGRAFIA..............................................................................................
159
B.1 Clasificación de los Mapas.......................................................................................
159
B.2 Proyección Universal Transversal de Mercator........................................................ 161
B.3 Convergencia de Meridianos....................................................................................
161
Apéndice C: FOTOGRAMETRIA....................................................................................... 163
C.1 Cámara Métrica......................................................................................................... 163
C.2 Estereoscopia............................................................................................................. 163
C.3 Escala de una Fotografía........................................................................................... 165
C.4 Desplazamiento por Relieve.....................................................................................
165
C.5 Paralaje...................................................................................................................... 166
Apéndice D: TEORIA DE ERRORES................................................................................ 168
D.1 Cifras Significativas.................................................................................................. 168
D.2 Operaciones con Cifras Significativas...................................................................... 169
D.3 Redondeo de números............................................................................................... 169
D.4 Errores en las medidas..............................................................................................
170
A) Causas de errores al hacer mediciones................................................................ 170
B) Tipos de Errores.................................................................................................. 171
D.5 Precisión y Exactitud................................................................................................. 172
D.6 Valor Más Probable................................................................................................... 172
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7
D.7 Residuos.................................................................................................................... 173
D.8 Desviación Estándar.................................................................................................
173
D.9 Propagación de Errores............................................................................................. 174
Apéndice E: CLASIFICACION DE INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS................... 177
E.1 Nivel.......................................................................................................................... 177
A) Clasificación de los Niveles................................................................................. 177
B) Características de algunos tipos de niveles.......................................................... 177
C) Características constructivas de un nivel topográfico.......................................... 179
E.2 Taquímetros y Teodolitos........................................................................................
180
A) Clasificación de Taquímetros y Teodolitos según su precisión........................... 180
B) Tipos de Taquímetros y Teodolitos.....................................................................
181
C) Características Constructivas............................................................................... 181
D) Sistemas de Lectura en los Instrumentos de Medición Angular.......................... 181
E.3 Estaciones Totales..................................................................................................... 183
Apéndice F: CONTROL DE INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS............................... 184
F.1 Control de Niveles..................................................................................................... 184
F.2 Control de Instrumentos de Medición Angular......................................................... 186
F.3 Control del Error de Cero en Estaciones Totales...................................................... 189
Apéndice G: INTRODUCCIÓN AL SISTEMA G.P.S....................................................... 191
G.1 Segmentos del Sistema GPS..................................................................................... 191
G.2 Principio de medición del Sistema GPS.................................................................... 192
G.3 Errores en la determinación de las distancias...........................................................
194
G.4 Métodos de Posicionamiento.................................................................................... 196
A) Posicionamiento Absoluto................................................................................... 196
B) Posicionamiento Diferencial............................................................................... 197
G.5 Métodos de Medición................................................................................................ 198
Apéndice H: REDES DE CONTROL.................................................................................. 204
H.1 Controles.................................................................................................................... 204
A) Control Horizontal............................................................................................... 204
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8
B) Control Vertical................................................................................................... 204
C) Normas de Clasificación...................................................................................... 205
H.2 Precisiones de la Red según su orden........................................................................ 206
A) Horizontal............................................................................................................. 206
B) Vertical................................................................................................................. 207
C) Aplicaciones......................................................................................................... 207
Apéndice I : OPERACIÓN BASICA DE AUTOCAD LAND DEVELOPMENT
PPPPPPPPPPPDEKSTOP
I.1 Importar los puntos.................................................................................................... 208
I.2 Dibujar Curvas de Nivel...........................................................................................
211
Apéndice J: OPERACIÓN BASICA ESTACION TOTAL LEICA TC-1100................... 216
J.1 Características Técnicas............................................................................................ 216
J.2 Ajustes del Usuario.................................................................................................... 217
J.3 Estacionamiento........................................................................................................ 219
J.4 Medición de Distancias y Ángulos...........................................................................
221
J.5 Poligonación.............................................................................................................. 222
J.6 Replanteo................................................................................................................... 223
J.7 Transmisión de Datos................................................................................................ 227
Apéndice K: OPERACIÓN BASICA DE GEO GENIUS GPS
POSTPROCESSING SOFTWARE.............................................................
229
Conversiones métricas y otros valores importantes en topografía..................................... 251
Bibliografía ......................................................................................................................................... 254
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9
INTRODUCCION
Topografía:
La topografía es una disciplina que nos entrega
los conocimientos,
habilidades y destrezas para la toma de datos en terreno y su representación en un plano
mediante su adecuación a través de una escala. Se preocupa de trasladar proyectos en un
plano de un sector determinado y llevarlo al terreno.
La primera parte de la topografía se realiza en lo que se denomina levantamiento
topográfico y la segunda en el replanteo. Entonces, en función de lo dicho, la topografía
tiene mucho de ciencia, de tecnología y de arte. Se divide en dos partes:
PLANIMETRÍA: esta parte se preocupa de llevar al plano todos los detalles del
terreno que pueden ser dibujados vistos de planta, como por ejemplo: ríos, caminos,
cercos, bosques, construcciones, etc. Existen diversas alternativas para tomar estos
datos en terreno, dependiendo de la información que se disponga. Entre estos tenemos:
1.- Conocida la dirección y distancia desde un punto conocido. Entenderemos por
dirección de un punto como la medida angular desde un norte hacia dicho punto.
Existen tres tipos de norte:
Norte supuesto, es cualquier dirección que se tome como línea de referencia o de
partida de uno o varios valores angulares.
Norte magnético, es aquel que se indica por la dirección de la aguja de la brújula.
Norte verdadero, es el que está relacionado con el polo norte terrestre.
2.- Conocida la dirección desde dos puntos conocidos.
3.- Conocida la dirección entre dos puntos conocidos y la distancia desde uno de ellos.
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10
4.- Conocidas las distancias desde dos puntos conocidos. En este ultimo caso se puede
calcular fácilmente el ángulo desconocido a través del Teorema del Coseno, utilizando las
dos distancias conocidas.
5.- Dada una dirección determinada, aplicar un sistema de coordenadas rectangulares.
En la asignatura de Cartografía serán definidos algunos sistemas de coordenadas y
su conversión.
La aplicación de estos diferentes procedimientos para determinar puntos en el plano
horizontal da como origen a los tipos de levantamiento.
N
(1)
P
d
(2)
A
P
A
P
P
(3)
d
d
A
B
(5)
(4)
A
d
B
x
P
y
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I Parte:
EL LEVANTAMIENTO TOPOGRAFICO
11
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12
METODOS DE LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOS
1.- Radiación (Método de Coordenadas Polares)
2.-Intersección (Procedimientos 2, 3 y 4)
3.- Método de Coordenadas Rectangulares (Procedimiento 5)
4.-Resección o Problema de Pothenot. En este método se ubica un punto a través de otros
tres ya conocidos.
ALTIMETRIA
Parte de la Topografía que se preocupa de la determinación de
desniveles o alturas a través de un proceso que se llama Nivelación. Existen diferentes
tipos de nivelación, entre ellos los mas usados son:
•
Nivelación Directa o Geométrica
•
Nivelación Trigonométrica
•
Nivelación Barométrica.
Mas adelante serán definidos en mayor detalle. Sin embargo, sea cual sea el método
utilizado, se podrá determinar la altura de un punto en forma:
•
Absoluta, si está referida al nivel del mar; o
•
Arbitraria, cuando se refiere a cualquier valor.
TOMA DE DATOS EN TERRENO
1.- MEDICION CON HUINCHA
Existen de varios tipos y calidades, siendo las mejores las de acero y luego las
plásticas y de telas. El tipo de huincha utilizada dependerá del trabajo a ejecutar. Por
ejemplo, si se va a trabajar en estructuras rígidas se elegirán las de acero. También se
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13
deberán tomar en cuenta las características de la huincha que puedan afectar a la medida
real como el alargamiento o acortamiento de esta, a causa de su baja calidad.
Ejemplo: tenemos una huincha de 50 m. Con un alargamiento de 0.15 m. Al medir una
distancia con esta huincha se obtienen 145.28 m. Es claro que la distancia real es superior a
la distancia leída en la huincha ya que la huincha realmente tiene 50.15 m. de largo. Para
resolver el problema, podemos utilizar la siguiente relación:
Corrección = ( Valor MEDIDO / Extensión HUINCHA ) x Alargamiento
Valor REAL = Valor MEDIDO + Corrección
Para el ejemplo anterior:
Corrección = (145.28 / 50 ) x 0.15 = 0.436 m.
Valor real = 145.28 + 0.436 = 145.716 m.
1.1.- MEDIDAS DE DISTANCIAS HORIZONTALES EN TERRENOS CON
PENDIENTES.
Las medidas en terrenos no planos es una de las preocupaciones de la topografía. En cuanto
a la medición de distancias horizontales en terrenos con pendientes se puede llevar a cabo
de dos formas:
1.1.1.-Por escalones o resaltos:
Consiste en colocar plomadas firmes en el terreno a lo largo
de la distancia a medir y luego con la ayuda de un nivel de carpintero medir distancias
horizontales entre las plomadas:
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DH = d1 + d2 + d3 + d4 + d5
1.1.2.- Por medidas en pendientes:
L2 = h2 + ( L – x )2
L2 = h2 + L2 – 2Lx + x2
x = - h2 / 2L
, donde x es la corrección.
En una medición de n tramos, la corrección total será:
CTX =
− Σhi2
2L
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15
Ejemplo: Se hizo una medición de cinco tramos con una huincha de 25 m. en un terreno
con pendiente y se obtuvieron las diferencias de altura entre puntos:
Utilizando el modelo anterior obtenemos la corrección y se la aplicamos a la distancia
total:
DH = 5 x 25 - [ (2,2502 / 50) + ( 0,8342 / 50) + ( 1,2102 / 50) + (1,8362 / 50) + (1,7602 / 50) ]
DH = 124,755 m.
1.2.-Errores en medidas corrientes con huincha.-
1.2.1.-La huincha no tiene longitud estándar. Esto produce un error sistemático
constante que puede ser eliminado chequeando la huincha con un patrón
estándar.
1.2.2.- Alineamiento imperfecto. Este error no puede ser eliminado pero si
reducido a valores despreciables, poniendo cuidado en que la dirección en que
se mide sea la mas recta posible.
1.2.3.- Error por reducción al horizonte. En caso de hacer mediciones
extremadamente plano no se acostumbra a hacer reducción al horizonte lo cual
introduce el error x mencionado anteriormente siendo h diferencia de nivel entre
los extremos. Cuando las medidas se hacen según la pendiente del terreno, este
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16
error solo se podrá eliminar mediante una nivelación entre las terminales de la
huincha. El valor de la corrección por reducción al horizonte pequeña para las
pendientes suaves es grande para las pendientes fuertes. El siguiente cuadro da
los valores de x para varias pendientes, siendo L = 100 m.:
Pendiente ( % )
Correc. Reducción
al Horizonte
0.5
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
8.0
10.0
20.0
0.001*
0.005*
0.002*
0.045
0.080
0.125
0.180
0.320
0.500
2.000
* Errores despreciables en las medidas corrientes. El resto de los errores son
inaceptables.
1.2.4.- Error de verticalidad en las plomadas. Estos son de índole variable y
solo se pueden minimizar trabajando sin viento y nivelando en la mejor forma
posible la reglilla de trabajo.
1.2.5.- Lecturas imperfectas. Se producen cuando no se aprecian adecuadamente
los valores de los milímetros en las distancias medidas. Su eliminación estará
sujeta a la determinación con el mayor cuidado posible.
1.2.6.-La huincha no está recta. Al medir será necesario que ésta no tenga
dobleces u otras alteraciones.
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17
1.3.-Faltas más comunes que se pueden cometer en una medición con huincha.
Son faltas o errores groseros y por lo tanto para no ser cometidos es necesario tener el
máximo de cuidado para que no se produzcan. Estos son:
1.3.1.- Agregar o quitar una huinchada entera.
1.3.2.- Agregar metros o decímetros.
1.3.3.- Tomar puntos falsos como principio o final de la huincha.
1.3.4.- Números mal leídos.
En cuanto a la forma de obtener un valor en una medición, esta puede ser:
•
Directa, cuando un instrumento aplicado varias veces sobre una longitud a medir
nos da su longitud real; o
•
Indirecta, si no es necesario ir aplicando un patrón de medición sobre el tramo que
se quiere medir. Pueden ser determinados a través de instrumentos o por cálculos
específicos.
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18
2.- MEDIDAS DE DISTANCIAS VERTICALES ( NIVELACION )
Están relacionadas con la determinación de alturas o desniveles entre
diferentes puntos. El plano mas empleado como referencia es el nivel medio del mar
que ha sido extrapolado a diferentes puntos a través de todo el territorio nacional, por el
Instituto Geográfico Militar. Estos puntos de nivelación se encuentran distribuidos a
distancias aproximadas de entre 5 y 10 Km. y poseen alturas referidas al n.m.m. Estos
valores, también denominados cotas, se llaman valores absolutos y tomándolos como
referencia se pueden determinar las cotas absolutas en cualquier lugar.
No obstante lo anterior, en muchos trabajos se toman valores arbitrarios
o cotas arbitrarias que de acuerdo a la importancia del trabajo son justificadas. La
operación de determinación de desniveles se denomina nivelación, que, como ya se
dijo, puede ser geométrica, trigonometrica o barométrica. A continuación
comenzaremos un análisis de cada una.
2.1.- TIPOS DE NIVELACION
2.1.1.-NIVELACION DIRECTA O GEOMETRICA
Se miden directamente las
alturas o desniveles. Se puede realizar con huinchas, pero lo más común es utilizar
el nivel topográfico que tiene como accesorio especial una reglilla especial conocida
como mira o estadía. Para obtener el desnivel entre dos puntos A y B se instala el
nivel sobre un trípode y se hace una lectura con el hilo medio (HM) hacia A
(Lectura de Atrás) y lo mismo hacia B (Lectura de Adelante). La diferencia entre
ambas lecturas resulta el desnivel entre A y B.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
19
Ejemplo: Un punto P posee una cota IGM de 143.986. Con un nivel se obtiene una lectura
de 0.975 hacia A y otra de 2.436 hacia otro punto Q . ¿Cuál es la cota IGM del punto Q?
DVP Q = 0.975 – 2.436 = - 1.461 m.
Cota IGMQ = 143.986 – 1.461 = 142.525 m.
Ahora ya contamos con algunas relaciones:
•
Desnivel = Lectura Atrás – Lectura Adelante
•
Cota Punto = Cota Conocida + Desnivel
•
Cota Instrumental = Cota Punto + Lectura de Atrás
•
Cota Punto = Cota Instrumental – Lectura Adelante
Desde ahora, utilizaremos las siguientes abreviaturas:
DV = desnivel
CP = cota punto
CI = cota instrumental
LAT = lectura de atrás LAD = lectura de adelante.
A continuación analizaremos algunos tipos de nivelación directa.
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20
2.1.2.-NIVELACION ABIERTA.Parte de un punto de cota conocida (absoluta o
arbitraria) y llega a otro punto. Esta nivelación no tiene comprobación y por lo tanto podrá
ser ejecutada solo en trabajos preliminares o que no necesiten gran precisión. Cuando se
nivela un tramo en que no bastan dos lecturas para conocer el desnivel, se hace un traslado
de la cota inicial utilizando puntos intermedios y lecturas sucesivas hacia atrás y hacia
delante. Estas lecturas se anotan en un registro especial donde también se incluyen las cotas
instrumentales. A continuación veamos un registro correspondiente a este tipo de
nivelación:
PTO.
PR1
1
2
3
4
5
6
7
8
PR2
Σ
Atrás
LECTURAS
Intermedia
0.905
0.402
0.226
Adelante
COTAS
Instrumental
Punto
3.716
4.000
50.905
47.591
43.817
3.927
42.208
0.777
45.231
0.000
1.908
14.328
47.231
2.245
2.318
2.000
3.800
0.556
2.000
9.651
50.000
47.189
43.591
41.572
39.890
40.208
41.431
44.675
45.231
45.323
DV = ΣLAT - ΣLAD
Se observa que la diferencia de las sumatorias de las lecturas es el desnivel entre los
PRs. Calcular y comprobar.
2.1.3.-NIVELACION CERRADA.-
Empieza en un punto de cota conocida, pasa por el punto que interesa y luego
vuelve al punto de partida. Posee comprobación por lo tanto las cotas inicial y final deben
ser iguales. Pero en la realidad generalmente no ocurre así, ya que se produce una
discrepancia entre ambas cotas. Esta discrepancia es conocida como error de cierre de la
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21
nivelación, el cual es tolerable de acuerdo a ciertas exigencias en función de cada trabajo
en especifico. Si este error sobrepasa el máximo exigido, la nivelación debe hacerse de
nuevo; si no, se dice que es aceptable y se procede a lo que se conoce como ajuste o
compensación de la nivelación. Más adelante veremos varios métodos de ajuste.
2.1.4.-NIVELACION POR DOBLE POSICIÓN INSTRUMENTAL.-
Se realiza entre dos puntos, llevando dos nivelaciones simultaneas cuyo objetivo
es ir comparando los desniveles. Consiste en instalar el nivel dos veces entre dos puntos,
obtener dos lecturas desde cada posición, calcular los desniveles y compararlos. Estos
deben ser iguales ya que los dos puntos son fijos. A continuación veamos un registro:
PTO.
A
1
2
3
B
Atrás
LECTURAS
Intermedia
1.650
0.410
1.800
Adelante
DESNIVELES
DV (+)
DV (-)
COTAS
Punto.
2.350
2.590
0.932
0.837
36.145
33.795
31.205
30.273
31.110
2.350
2.590
0.932
0.837
36.145
33.795
31.205
30.273
31.110
4.000
3.000
2.732
1.905
2da Posición
A
1
2
3
B
0.286
1.000
1.168
2.636
3.590
2.100
1.263
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22
2.1.5.-NIVELACION PARALELA.-
También se hace entre dos puntos, pero con una sola posición del instrumento
que lee a dos miras ubicadas en forma paralela. Esta nivelación posee comprobación
pues al cambiar el instrumento, las cotas instrumentales deben ser iguales:
PTO.
A
1
2
....
A
1
2
L. ATRAS
2.222
2.350
L. ADEL.
C. INSTR.
38.367
C. PTO.
36.145
37.167
38.367
36.234
36.944
1.200
2.133
1.423
2.2.-AJUSTE DE LA NIVELACION : CORRECCION DE COTAS.-
2.2.1.-Por el camino recorrido: el error de cierre se divide por la distancia total nivelada
obteniendo un valor constante el cual se multiplica por las distancias parciales y así obtener
la corrección para cada cota.
2.2.2.-Por el número de posturas instrumentales: el error de cierre se divide por el
numero de posturas instrumentales obteniendo una constante que se multiplica por 1, 2, 3,
4, ...,n para obtener cada corrección.
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23
Recordemos que para ambos casos el error de cierre corresponde a la diferencia entre
la cota final y la cota inicial. Ahora veamos ambos métodos en el siguiente ejemplo:
PTO.
Dist. (m)
A
1
2
3
4
5
6
B
PC1
PC2
PC3
A
Σ
0,00
20,00
50,00
65,00
90,00
120,00
150,00
200,00
240,00
300,00
330,00
370,00
PTO.
A
1
2
3
4
5
6
B
PC1
PC2
PC3
A
Atrás
3,461
3,967
0,956
3,618
0,640
1,256
2,067
0,231
2,670
18,866
LECTURAS
COTAS
Intermedia Adelante Instrumental Desnivel
34,417
1,268
+2,193
0,524
37,860
+2,937
1,896
36,920
+2,071
2,518
-1,562
0,524
40,014
+0,432
2,173
38,481
+1,445
3,861
35,876
-3,221
2,571
35,372
-1,315
3,451
32,152
-1,384
3,850
30,972
-3,619
0,000
+2,670
18,850
e=+0,016
Por nº de posturas instrumentales
Por camino recorrido
Cota
Cota
Cota
Corrección Instrumental
Corrección
Punto
Corregida
Corregida Corregida
-0,002
34,415
30,956
30,956
33,147
-0,001
33,148
-0,004
37,856
33,891
-0,002
33,891
-0,005
36,915
35,960
-0,003
35,961
34,397
-0,004
34,398
-0,007
40,007
36,391
-0,005
36,391
-0,009
38,472
37,834
-0,006
37,835
-0,011
35,865
34,611
-0,009
34,611
-0,012
35,360
33,294
-0,010
33,295
-0,014
32,138
31,909
-0,013
31,908
-0,016
30,956
28,288
-0,014
28,288
-0,016
30,956
30,956
Punto
30,956
33,149
33,893
35,964
34,402
36,396
37,841
34,620
33,305
31,921
28,302
30,972
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24
2.1.6.-NIVELACION DE ENLACE.-
Es aquella que va desde un punto de cota conocida a otro también de cota conocida.
En el siguiente registro veremos un ejemplo con su comprobación y ajuste.
PTO.
PR1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PR2
PR2
DIST. (m)
0
20
45
70
100
115
140
150
180
200
PTO.
CORRECCION
PR1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
PR2
0,001
0,002
0,003
0,004
0,006
0,007
0,008
0,009
0,010
Atrás
2,162
3,486
3,957
LECTURAS
Intermedia
Adelante
1,748
0,163
2,612
2,124
1,632
0,513
0,016
0,715
3,652
3,895
3,774
2,160
3,827
2,222
3,154
0,121
2,715
COTAS CORREGIDAS
Instrumental
Punto
38,578
36,415
40,317
36,830
44,112
40,154
41,500
45,522
43,397
43,504
41,870
40,123
39,609
36,366
36,349
34,206
37,040
33,212
39,142
36,919
36,427
COTAS
Instrumental
Punto
38,577
36,415
40,315
36,829
44,109
40,152
41,497
45,518
43,394
43,498
41,866
40,116
39,603
36,358
36,342
34,198
37,031
33,204
39,132
36,910
36,417
36,427
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
25
2.3.-PRECISION DE LA NIVELACION DIRECTA O GEOMETRICA.-
Tipo
Error
Características
Máximo
Usos
- visuales hasta 300 m.
grosera
0,1
L
-
lecturas
Solo para reconocimientos
aproximadas
al preliminares.
centímetro.
- visuales hasta 150 m.
Se utiliza en labores de
- lecturas en fracciones de cm.
construcción en general.
- distancias atrás y adelante
corriente
0,02
L
balanceadas
en
forma
aproximada.
- puntos de apoyo de las miras
en objetos sólidos.
- visuales hasta 100 m.
Para
fijar
puntos
de
- lecturas afinadas al milímetro. referencia en trabajos de
precisa
- puntos de apoyo metálicos.
0,01
L
levantamiento topográfico o
- lecturas atrás y adelante para faenas de construcción
equilibradas.
de
proyectos
específicos
como caminos, canales, etc.
- visuales hasta 50 m.
Para trabajos en que se
- lecturas en lo posible a la requiera gran precisión.
décima de milímetro.
- puntos de apoyo en clavos
metálicos
de gran
precisión
0,005 L
especialmente
diseñados; se evita nivelar con
viento y además el nivel se
debe proteger con una sombrilla
especial para evitar el calor del
sol.
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2.4.-ERRORES
QUE
SE
PUEDEN
COMETER
26
EN
UNA
NIVELACIÓN
GEOMÉTRICA.-
1) Corrección imperfecta del instrumento: se evita corrigiendo el instrumento o en su
defecto se puede operar pero teniendo cuidado que las visuales hacia delante sean
iguales que las de atrás.
2) Error de paralaje: se manifiesta cuando hay un mal enfocamiento de los hilos del
retículo o de la mira. Esto hace que la imagen se vea distorsionada y no se puedan
apreciar en forma clara los valores de la mira. Por tal razón, será necesario siempre
hacer la nivelación de enfoque en su forma mas adecuada.
3) Error por refracción atmosférica: este error se produce en los días relativamente
calurosos y se manifiesta porque la mira se ve distorsionada y no se pueden leer sus
números. Se recomienda para este caso, acortar las distancias de lecturas hacia atrás
y hacia delante.
4) La mira no tiene longitud estándar: con el uso, estos accesorios tienden a
deformarse especialmente en su base lo cual hace que su dimensión se acorte. Será
necesario cuando se trabaje con miras ya gastadas, verificarlas para determinar esta
variación en su longitud.
5) La mira no está aplomada: esto trae como consecuencia que las lecturas que se
hacen son mayores que las reales y por lo tanto para evitar esto se deberá – en el
instante de la visada – bascular la mira hacia delante y hacia atrás, leyendo su menor
valor.
6) Imprecisión en los puntos de cambio: muchas veces, cuando se nivela, se coloca la
mira sobre un punto que es muy parecido con otros que están a su alrededor. Esto
hace que halla un error de lectura hacia atrás cuando se cambia el instrumento, lo
que afectará al cierre de la nivelación.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
27
7) Mala centración de la burbuja en el instante de hacer las visuales: esto produce un
error de lectura, por cuanto no se esta leyendo en la línea de puntería de la
horizontal y solo se evita centrando la burbuja cada vez que se hace una visada.
8) Hundimiento del trípode: sucede en terrenos relativamente blandos y no se apoya
firmemente las patas del trípode al terreno.
9) Error de lecturas: se refiere a pequeñas diferencias en la apreciación de los
milímetros.
10) Error por curvatura de la tierra.
2.5.-FALTAS EN UNA NIVELACIÓN GEOMÉTRICA.-
1) Confundir los números en la mira.
2) Anotar las lecturas en una columna que no corresponde.
3) Tomar puntos de apoyo equivocados.
4) Errores de cálculo.
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28
2.6.- COMPENSACION DE UNA RED DE NIVELACION
Método de los Mínimos Cuadrados (Por ecuaciones de condición)
Dada la siguiente red de nivelación:
a
64 Km.
A
B
83 Km.
,2
+3
61
+3
,56
4
.
Km
6
5 b
d
53
Km
.
C
F
4
54
-2, e
.
Km
42
f
.
+2,277
E
54 Km.
h
1) a – b + c = 0
2) d + e + f + b = 0
Condición ideal
3) g + h – e = 0
1) (a + V1) – (b + V2) + (c + V3) = 0
2) (d + V4) + (e + V5) + (f + V6) + (b + V2) = 0
3) (g + V7) + (h + V8) – (e + V5) = 0
Condición real
D
43 Km.
3
,20
-4
Km
26
-4,908
c
-1,878
+5,241
g
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
29
Sustituyendo en 1, 2 y 3 se tiene:
(5,241 + V1) – (3,261 + V2) + (–1,878 + V3) = 0
(3,564 + V4) + (–2,544 + V5) + (–4,203 + V6) + (3,261 + V2) = 0
(–4,908 + V7) + (2,277 + V8) – (–2,544 + V5) = 0
V1 – V2 + V3 + 0,102 = 0
V4 + V5 + V6 + V2 + 0,078 = 0
Ecuaciones Específicas
V7 + V8 – V5 – 0,087 = 0
Tenemos que:
u=
V12 V 22 V32 V 42 V52 V62 V72 V82
+
+
+
+
+
+
+
64 56 83 53 26 42 43 54
Mínimo
- 2K1 (V1 – V2 + V3 + 0,102) = 0
- 2K2 (V4 + V5 + V6 + V2 + 0,078) = 0
- 2K3 (V7 + V8 – V5 – 0,087) = 0
du 2V1
=
− 2K1 = 0
64
dV1
V1 = 64 K1
2V
du
= 2 + 2K1 − 2K 2 = 0
56
dV 2
V2 = 56 (– K1 + K2)
du 2V3
=
− 2K1 = 0
dV3
83
V3 = 83 K1
2V
du
= 4 − 2K1 = 0
dV 4
53
V4 = 53 K2
du 2V5
=
− 2K 2 + 2K 3 = 0
dV5
26
V5 = 26 (K2 – K3)
2V
du
= 6 − 2K 2 = 0
dV6
42
V6 = 42 K2
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
2V
du
= 7 − 2K 3 = 0
dV7
43
V7 = 43 K3
du 2V8
=
− 2K 3 = 0
dV8
54
V8 = 54 K3
30
Reemplazando en las Ecuaciones Específicas:
64 K1 + 56 K1 – 56 K2 + 83 K1 = – 0,102
1)
203 K1 – 56 K2 = – 0,102
2) – 56 K1 + 56 K2 + 53 K2 + 26 K2 – 26 K3 + 42 K2 = – 0,078
– 56 K1 + 177 K2 – 26 K3 = – 0,078
3) – 26 K2 + 26 K3 + 43 K3 + 54 K3 = 0,087
– 26 K2 +123 K3 = 0,087
203 K1 – 56 K2
= – 0,102
– 56 K1 + 177 K2 – 26 K3 = – 0,078
– 26 K2
+123 K3 = 0,087
FORMACION MECANICA ECUACIONES NORMALES
Fila
a
b
c
p
V1
1
64
V2
-1
1
56
[aa] 203 [ab] – 56 [ac]
V3
1
83
V4
1
53
0 = – 0,102
[ba] -56 [bb] 177 [bc] -26 = – 0,078
[ca]
0 [cb] –26 [cc] 123 =
0,087
V5
1
-1
26
V6
1
42
V7
1
43
V8
1
54
Σ
= - 0,102
= - 0,078
= 0,087
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
n
Obs.: [aa] =
∑pa
i =1
i
2
i
= p1 a12 + p 2 a 22 + ... + p n a n2
n
[ab] =
∑pa b
i =1
i
i
203 K1 – 56 K2
31
i
= p1 a1 b1 + p 2 a 2 b2 + ... + p n a n bn
= – 0,102
– 56 K1 + 177 K2 – 26 K3 = – 0,078
– 26 K2
+123 K3 = 0,087
Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos:
K1 = – 0,0006578
K2 = – 0,0005623
K3 = 0,0005885
Luego:
V1 = – 0,0421
V4 = – 0,0298
V7 = 0,0253
V2 = 0,0053
V5 = – 0,0299
V8 = 0,0318
V3 = – 0,0546
V6 = – 0,0236
Comprobación:
V1
– V2 + V3
= – 0,102
– 0,042 – 0,005 – 0,055 = – 0,102
V4 + V5 + V6
+ V2 = – 0,078
– 0,030 – 0,030 – 0,023 + 0,005 = – 0,078
V7 + V8 – V5
= 0,087
0,025 + 0,032 + 0,030 = 0,087
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
Por lo tanto, los desniveles corregidos son:
a’
b’
c’
d’
e’
f’
g’
h’
=
=
=
=
=
=
=
=
5,241 3,261 +
-1,878 3,564 -2,544 -4,203 -4,908 +
2,277 +
0,042
0,005
0,055
0,030
0,030
0,023
0,025
0,032
=
=
=
=
=
=
=
=
5,199
3,266
-1,933
3,534
-2,574
-4,226
-4,883
2,309
32
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
33
3.- PERFILES TOPOGRAFICOS
3.1.-PERFIL LONGITUDINAL.-
Definición.-
El perfil longitudinal es una representación gráfica materializada en el terreno
en una dirección o con cambios en ella a distancias especificas de acuerdo a las exigencias
e irregularidades del terreno y en el cual, a los puntos tomados se le ha calculado la cota
correspondiente. Generalmente, el perfil longitudinal se dibuja a dos escalas, una para
representar las abcisas y que corresponden a las distancias entre los puntos y la otra para
representar sus alturas o cotas. Su utilidad se manifiesta en que a través de el podemos
trazar líneas denominadas rasantes y que en los proyectos específicos permiten cuantificar
las alturas de corte o terraplén en función de las pendientes que se dan a estas líneas. A
continuación se presenta el esquema de un perfil con todas sus partes:
El perfil longitudinal sirve para: conocer la forma del terreno, trazar líneas imaginarias
(rasantes) con pendientes y distancias; y cuantificar alturas de corte y terraplén.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
34
3.2.-PERFILES TRANSVERSALES.-
Definición.-
Son representaciones graficas perpendiculares a los puntos tomados en el perfil
longitudinal, con un ancho establecido de acuerdo a un perfil tipo. Nos muestra las
posiciones y cotas de puntos hacia ambos lados del perfil longitudinal. Se dibujan
generalmente a una escala, aun cuando también en algunos casos pueden ser dos. Su
objetivo es poder determinar las superficies ya sea de corte o terraplén y con posterioridad
determinar el movimiento de tierra o volúmenes de corte o terraplén. A continuación se
muestra un registro tipo de una nivelación transversal, correspondiente a un punto del perfil
longitudinal, además de sus representación grafica:
DIST.
0
3I
8I
4D
8D
Atrás
2,321
LECTURAS
Intermedia
Adelante
2,000
1,953
3,333
3,560
COTAS
Instrumental
Punto
39,151
36,830 P.L.
37,151
37,198
35,818
35,591
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
35
3.3.-PERFIL TIPO.-
Representación grafica que nos muestra un corte transversal de un camino, canal,
calle, avenida, etc. En el se indican las especificaciones técnicas tanto de orden
topográfico como constructivas. Ej.: porcentaje de pendientes, anchura de las calzadas,
bombeo o pendiente transversal, dosificaciones de las mezclas, alturas de platabandas,
dimensiones de las enfierraduras para obras de arte, etc. Ejemplos:
3.3.1.-De un camino:
3.3.2.-De una calle
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36
3.3.3.-De un canal
Los perfiles tipo tienen como objetivo superponerse en los perfiles transversales
haciendo calzar la cota de la rasante determinada en el perfil longitudinal con la ubicación
en el eje del perfil transversal correspondiente. Además, en el perfil transversal se obtienen
las superficies de corte y terraplén, que pueden ser calculadas por diferentes métodos. En
esta sección nos vamos a dedicar a este tema: calculo de superficies y cubicaciones.
4.-CALCULO DE SUPERFICIES.-
4.1.-Métodos matemáticos: a través de formulas que determinan el área de figuras
especificas (triángulos, rectángulos, trapecios, círculos, etc.
4.2.-Métodos gráficos: aplicación de reticulados.
4.3.-Método por coordenadas polares: daremos énfasis a este método.
4.4.-Métodos mecánicos: se utiliza el planímetro, instrumento que consta de un puntero
que recorre el perímetro de una figura y de un marcador que entrega la superficie en
cm2.
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37
Se tiene la siguiente figura con vértices con coordenadas (x,y):
AREA I (AI) = A12CA – A13BA – B32CB
AI = [(x1 + x2) / 2 * (y1 – y2)] – [(x1 + x3) / 2 * (y1 – y3) ] – [(x2 + x3) / 2 * (y3 – y2)]
2AI = (x1 + x2) (y1 – y2) - (x1 + x3) (y1 – y3) - (x2 + x3) (y3 – y2)
2AI = x1y1 – x1y2 + x2y1 – x2y2 – (x1y1 – x1y3 + x3y1 – x3y3) – (x2y3 – x2y2 + x3y3 – x3y2)
2AI = x1y1 – x1y2 + x2y1 – x2y2 – x1y1 + x1y3 - x3y1 + x3y3 – x2y3 + x2y2 - x3y3 + x3y2
2AI =
+X
X1
X2
X3
X4
+Σ 1
YY1
Y2
Y3
Y4
-Σ 2
AI = ( Σ1 -Σ 2 ) / 2
Ejemplo: Calcular la superficie de un polígono cuyos vértices poseen las siguientes
coordenadas:
Vértice
x (m)
y (m)
1
2
3
1
300
400
100
300
400
50
200
400
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38
Utilizando el modelo anterior, tenemos:
Σ1 = (300*50) + (400*200) + (100*400) = 135.000
Σ2 = (400*400) + (50*100) + (200*300) = 225.000
Σ1 - Σ2 = 90.000 / 2 = 45.000 m2 = 4,5 hás.
Ejercicio: en el siguiente perfil transversal se ha aplicado un galibo tipo de un camino.
Determinar por el método de coordenadas rectangulares las superficies de corte y terraplén:
Respuesta: superficie de terraplén son 28,4 m2 ; superficie de corte son 18,29 m2 .
5.-MOVIMIENTOS DE TIERRAS ( CUBICACIONES ).-
En esta sección me referiré a las distintas situaciones que se presentan en el
movimiento de tierra y a su forma de cálculo:
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1er caso: Un perfil transversal en corte y el siguiente también en corte.
2do caso: Un perfil en terraplén y el otro también en terraplén.
3er caso: Un perfil transversal en corte y el siguiente en terraplén.
39
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40
4to caso: Un perfil transversal en terraplén y el siguiente en corte. Es similar al
anterior debiendo intercambiar las formulas correspondientes.
5to caso: Perfiles transversales mixtos.
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5.1.-REGISTRO Y CALCULO DE CUBICACIONES.-
5.1.1.-Parte gráfica:
41
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42
5.1.2.-Registro
54
DISTANCIA
ACUM.
(KM)
1,060
55
1,075
56
1,100
PUNTO
57
1,120
SUPERFICIE
CORTE
TERRAPL.
CORTE
12,3 (1)
1,5 (3)
32,6 (2)
50,43
3,07
16,5 (4)
13,2 (6)
16,5 (7)
13,2 (10)
16,0 (7)
7,0 (8)
16,7 (11)
58
1,150
VOLUMEN PARCIAL
17,8 (11)
1,0 (12)
14,8 (14)
10,2 (1)
28,6 (2)
4,0 (3)
14,0 (4)
18,8 (5)
10,0 (6)
15,3 (5)
34,68
459,00
21,82
80,33
111,58
93,88
1,2 (8)
14,1 (9)
18,9 (9)
13,2 (10)
2,0 (12)
16,9 (13)
13,2 (14)
14,5 (13)
TERRAPL.
53,88
426,25
VOLUMEN TOTAL
CORTE
TERRAPL.
3708,32
3758,75
3761,82
3401,70
3873,40
3967,28
1,76
66,00
325,00
2,58
330,00
66,00
20,00
471,00
4051,41
4477,66
4485,24
4033,28
4358,28
4360,86
4551,24
4571,24
93,34
517,5
5,00
117,34
3436,38
3895,38
3917,2
3997,53
4664,58
4878,36
4883,36
5000,70
5135,58
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43
6.- MEDIDAS DE ANGULOS Y DIRECCIONES.-
6.1.- MEDIDAS DE ANGULOS CORRIENTES.-
Para medir un ángulo en terreno es necesario tener una línea de referencia o norte que,
como se mencionó en una oportunidad, puede ser supuesto, magnético o verdadero.
Podemos dar varios nombres a estos ángulos, según el sentido en que fueron medidos. En
topografía conocemos:
6.1.1.- Azimut : es el ángulo medido a partir de una línea de referencia en el sentido de
los punteros del reloj y que van desde 0 a 400 grados en el sistema centesimal (g) y de 0
a 360 en el sexagesimal (o). El azimut puede ser también supuesto, magnético o
verdadero.
6.1.2.-Rumbo : es un ángulo agudo que va de 0 a 100g o de 0 a 90º a partir de una línea
Norte-Sur. El rumbo debe indicar el cuadrante en que se encuentra inserto. En
topografía los cuadrantes son Norte-Este (NE), Sur-Este (SE), Norte-Oeste (NO) y SurOeste (SO).
6.1.3.-Angulo de deflexión : es el ángulo formado por la prolongación de una línea y
su desvío correspondiente. Los ángulos de deflexión pueden ser derechos o izquierdos y
van de 0 a 200g.
6.1.4.-Ángulos interiores de un polígono : son aquellos formados por los lados
adyacentes y hacia el interior de un polígono cerrado. Su sumatoria debe ser igual a
180º (n-2) o bien 200g (n-2), donde n es el numero de lados del polígono.
6.1.5.-Ángulos exteriores de un polígono : son aquellos ángulos formados por los
lados adyacentes y hacia la parte externa de un polígono cerrado. Su sumatoria es 180º
(n+2) o bien 200g (n+2), donde n es el numero de lados del polígono.
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44
6.2.- METODOS DE MEDICION PRECISA DE ANGULOS.-
Estos métodos se utilizan cuando se requieren ángulos medidos en forma precisa
como para trabajos de poligonación de precisión, replanteos y levantamientos topográficos
de gran envergadura a través de triangulaciones. Estos métodos son los de repetición y
reiteración y ambos serán descritos ahora:
6.2.1.- METODO DE REPETICIÓN.-
Para poder aplicar este método se necesita un teodolito repetidor, es decir, un
instrumento que permite repetir la medida del ángulo horizontal, acumulando lecturas
sucesivas sobre el limbo horizontal. El valor acumulado se divide por el número de
repeticiones, como se verá más adelante. Estos teodolitos, que se usan para este sistema de
medición, tienen un eje vertical de rotación que permite girar el instrumento arrastrando el
limbo horizontal, lo que se denomina movimiento general, y un eje vertical de la alidada o
anteojo que permite girar el instrumento manteniendo fijo el limbo horizontal, con lo que se
produce un movimiento relativo del anteojo respecto del limbo. Ambos sistemas de rotación
están dotados de sendos tornillos de presión y de coincidencia o tangencia.
Lo que se trata de aprovechar en este método es la ventaja de poder multiplicar un
ángulo en forma mecánico, obteniendo la lectura del producto de esa multiplicación con la
misma precisión que la lectura de un ángulo simple.
En un teodolito se podrá leer un ángulo como 25,002g cuando su valor está
comprendido entre 25,0015g y 25,0025g. Si este ángulo real se repite 5 veces sobre el limbo
horizontal, es decir, se multiplica por 5, se leerá en el limbo una cifra en el orden de
125,012g cuando su valor esté comprendido entre 125,0115g y 125,0125g. Tanto en la
medida simple del ángulo como en el ángulo multiplicado, el error de lectura posible en el
nonio es de ± 5cc. Al dividir por 5 el valor obtenido después de 5 repeticiones, el ángulo
real resultante es 25,0024g. El error de lectura posible es de ± 5cc : 5 = 1cc.
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45
La precisión de este método aumenta con el número de veces que se multiplica, o
repite, el ángulo. En las primeras repeticiones la precisión aumenta notoriamente para ir
decreciendo después, por lo que se recomienda 5 ó 6 repeticiones. Si se requiere mayor
precisión es preferible hacer el trabajo con un teodolito de mayor resolución angular.
A continuación se presenta un detalle de operatoria, registro y compensación para un
ángulo medido por repetición.
1) Se suelta el tornillo de presión del movimiento general de rotación y se apunta el
anteojo aproximadamente sobre el punto A. Se bloquea el movimiento general y
con su tornillo de tangencia se apunta exactamente sobre A. Esta lectura se anota y
se denominará calaje.
2) Se suelta el movimiento sobre el eje de la alidada y se apunta el anteojo hacia B, se
aprieta el tornillo de presión y se lleva la visual, con el tornillo de tangencia de la
alidada, exactamente sobre B.
3) Se anota la lectura del ángulo horizontal observado.
4) Se suelta el movimiento general y, rotando el teodolito siempre en el sentido
horario, se vuelve a apuntar hacia A por segunda vez, se aprieta el tornillo de
presión y se apunta exactamente sobre el punto A mediante el tornillo de tangencia
del movimiento general.
5) Se suelta el tornillo de presión de la alidada y se apunta el anteojo hacia B, se
aprieta el tornillo de presión y se apunta exactamente con el tornillo de tangencia de
la alidada. Con esto se completa la segunda repetición.
6) Se repiten las operaciones 4 y 5, cuantas veces sea necesario hasta completar el
número de repeticiones para, finalmente, anotar el ángulo horizontal que se observa.
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46
7) Se repiten las operaciones 1 a 6 para los ángulos BEC y CEA. En este último caso
se está midiendo un ángulo suplementario respecto de 400g por lo tanto se transita
el instrumento, se cala hacia C y se gira sobre la alidada cuando se va desde C hacia
A y se gira sobre el movimiento general cuando se va desde A hacia C. En ambos
casos el giro se realiza en el sentido de los punteros del reloj.
REGISTRO POR REPETICIÓN
POSICION
DIRECTA
DIRECTA
TRANSITO
Angulo
AEB
BEC
CEA
Calaje
345,62
200,00
63,33
Valor 1era vez
129,86
345,42
133,66
Valor 4ta vez
282,5950
381,70
344,66
Giros completos
800,0000
400,0000
0,0000
Angulo total
1082,5950
781,7000
344,6600
Diferencia
736,9750
581,7000
281,3300
Angulo provisorio
184,2438
145,4250
70,3325
-0,0006
-0,0005
-0,0002
184,2432
145,4245
70,3323
Corrección
Angulo corregido
184,2438
145,4250
70,3325
Σ = 400,0013g
Δ = + 0,0013
184,2432
145,4245
70,3323
Σ = 400,0000g
Esta forma de operar permite eliminar los errores
instrumentales compensables. Se debe girar siempre el
teodolito en sentido horario, ya se gire sobre la alidada o
sobre el movimiento general.. Si hay error de arrastre
entre la alidada y el limbo, el error es siempre en el
mismo sentido, tanto para el ángulo como para
su
suplemento; este se puede compensar en proporción al
ángulo como se puede ver en el ejemplo.
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47
El registro se calcula, después de haberse anotado los ángulos que indica el limbo, de la
siguiente manera:
1) La medida del primer ángulo leído (que se obtiene de restar el calaje al valor de la
1era vez) se multiplica por el número n de repeticiones y se suma al calaje para
obtener el número de “Giros Completos”.
2) Los giros completos en grados se suman el valor de la n vez para obtener el
“Angulo Total”.
3) Al ángulo total se resta el calaje para obtener la “Diferencia”.
4) La diferencia se divide por n para obtener el “Angulo Provisorio”.
5) Se repite este cálculo para los ángulos suplementarios.
6) Se suman todos los ángulos provisorios.
7) Se restan 400g a esta diferencia para obtener el error.
8) El error se reparte proporcionalmente entre los ángulos provisorios, es decir, el
error dividido por 400g se multiplica por cada ángulo provisorio y se obtiene cada
“Corrección”.
9) Se aplican las correcciones a cada ángulo provisorio obteniendo el “Angulo
Corregido”. La sumatoria de los ángulos corregidos debe ser 400g.
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48
6.2.2.- METODO DE REITERACIÓN.-
La medida de un ángulo por reiteración puede ejecutarse con un teodolito repetidor o
con uno reiterador. El método se basa en medir varias veces un ángulo horizontal por
diferencia de direcciones y en diversos sectores equidistantes en el limbo, para evitar,
principalmente, errores de graduación.
En una misma reiteración se pueden medir ángulos colaterales. El ángulo de
reiteración es de 200g dividido por el número de reiteraciones.
A continuación se presenta en detalle la operatoria para una medida angular por
reiteración y su correspondiente registro. Se supone que deben ser medidos los ángulos
P1AP2 , P1AP3 y P1AP4.
Una vez instalado el instrumento y en condiciones de observar, se procederá de la
siguiente forma:
1) se dirige el anteojo del teodolito en posición directa hacia el punto P1, con el
instrumento calado en cero o cercano a cero. Se fija el tornillo de presión y se afina
la puntería con el tornillo de tangencia.
2) Se suelta el tornillo de presión de la alidada, se busca el punto P2 girando hacia la
derecha, se fija el tornillo de presión y se afina la puntería con el tornillo de
tangencia. Se anota el ángulo resultante en el limbo.
3) Se repite la operación para P3, después para P4 y todos los demás puntos o vértices
hasta volver a apuntar sobre P1, girando siempre hacia la derecha y anotando el
ángulo observado en cada punto.
4) Se hace tránsito y se vuelve a apuntar sobre P1 mediante el tornillo de tangencia. Se
anota el ángulo observado.
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49
5) Se repiten en tránsito las operaciones 2 y 3 registrando los valores angulares
observados, con lo cual se tiene la primera reiteración.
6) La segunda reiteración se inicia fijando en el limbo el ángulo de reiteración y
apuntando en directa hacia P1, fijando el limbo y soltando después el anteojo para
mirar sucesivamente hacia P2, P3 ,P4, etc., hasta volver a P1, girando siempre el
anteojo hacia la derecha. Se anota el valor angular que efectivamente se observe
para cada punto hasta volver sobre A.
7) Se repiten en tránsito las operaciones 4 y 5.
8) Se vuelve a apuntar sobre P1 con el respectivo ángulo de reiteración, repitiendo todo
el ciclo hasta la última reiteración.
Este método elimina errores instrumentales promediando valores. El anteojo se
debe rotar siempre en sentido horario. Si hay error de arrastre entre la alidada y el
limbo, el error para todos los ángulos es en el mismo sentido y se puede compensar,
modificando los valores en forma de anular la diferencia de la última lectura con 0g. La
exactitud de los resultados aumenta con el número de reiteraciones.
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50
REGISTRO POR REITERACIÓN.EST.
A
Nº
PROMEDIO COMP.
ANGULOS
Punto DIRECTA TRANSITO PROMEDIO
Reit.
REDUCIDO ( seg.) CORREGIDOS
P1
0.0000
0.01
200.00
0.0050
+ 0
0.0000
P2
39.6300
39.63
239.64
39.6350
+ 5
39.6305
P3
74.1800
1
74.18
274.19
74.1850
+ 9
74.1809
P4
98.3850
98.39
298.39
98.3900
+ 12
98.3862
P1
399.9950
399.99
200.01
400.0000
+ 50
400.0000
e =- 0.0050
P1
0.0000
100.00
300.00
100.0000
+ 0
0.0000
P2
39.6400
139.64
339.64
139.6400
+ 5
39.6405
P3
74.1850
2
174.19
374.18
174.1850
+ 9
74.1859
P4
98.3850
198.38
398.39
198.3850
+ 12
98.3862
P1
399.9950
99.99
300.00
99.9950
+ 50
400.0000
e =-0.0050
200.00
P1
0.0000
0.0000
0.00
200.0000
- 0
239.64
P2
39.6350
39.6340
39.63
239.6350
- 10
P3
274.16
74.1700
74.1681
3
74.18
274.1700
- 19
P4
298.39
98.3950
98.3925
98.40
298.3950
- 25
P1
200.01
400.0100
400.0000
0.01
200.0100
- 100
e =+0.0100
P1
0.0000
300.00
100.00
300.0000
+ 0
0.0000
P2
39.6350
339.64
139.63
339.6350
+ 5
39.6355
P3
74.1750
4
374.17
174.18
374.1750
+ 9
74.1759
P4
98.4000
398.39
198.41
398.4000
+ 12
98.4012
P1
399.9950
299.99
100.00
299.9950
+ 50
400.0000
e =-0.0050
COMPENSACION UNITARIA
CU =
-e
.
Áng. Giro
Para primera reiteración:
CU1 =
0.0050 . = 0.0000125 seg./grado
399.9950
Compensación:
P1
P2
P3
P4
P1
=
=
=
=
=
0.0000
39.6300
74.1800
98.3850
399.9950
x
x
x
x
x
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
CU2 = + 0.125 seg./grado
=
=
=
=
=
0.000
4.954
9.273
12.298
50.000
seg.
seg.
seg.
seg.
seg.
≅
≅
≅
≅
≅
+
+
+
+
0 seg.
5 seg.
9 seg.
12 seg.
50 seg.
CU3 = - 0.250 seg./grado
P1
P2
P3
P4
P1
Ángulos
definitivos
0.0000
39.6351
74.1777
98.3915
400.0000
CU4 =+ 0.125 seg./grado
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51
Para el cálculo del registro se procede de la siguiente forma:
1) Se calcula el promedio de los valores obtenidos para cada dirección
correspondientes a las punterías que sobre los diversos puntos se efectuaron, tanto
en directa como en tránsito. Para los efectos del promedio, deberá considerarse el
orden de magnitud real del ángulo, lo que equivale a restar el ángulo de reiteración
y tener en cuenta los giros completos realizados.
2) El promedio reducido se calcula sumando algebraicamente a la primera dirección lo
que sea necesario para que su promedio quede en 0g. Este valor angular se suma,
con su signo, a cada una de las demás direcciones del promedio.
3) El promedio ponderado se obtiene haciendo que la última dirección cierre un giro
completo, 400g, las demás direcciones se corrigen con el mismo signo, en
proporción a la magnitud de su promedio reducido.
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52
6.3.-CALCULO DE COORDENADAS DE PUNTOS EN UN PLANO.-
Para esto tomaremos como eje de referencia la recta Norte – Sur (NS).
cos AZ1 = N / d1
N = d1 cos AZ1
sen AZ1 = E / d1
E = d1 sen AZ1
cos (200 – AZ2) = S / d2
S = d2 cos (200 – AZ2)
sen (200 – AZ2) = E / d2
E = d2 sen (200 – AZ2)
cos (AZ3 – 200) = S / d3
S = d3 cos (AZ3 – 200)
sen (AZ3 – 200) = O / d3
O = d3 sen (AZ3 – 200)
cos (400 – AZ4) = N / d4
N = d4 cos (400 – AZ4)
sen (400 – AZ4) = O / d4
O = d4 sen (400 – AZ4)
Luego,
N – S = DH cos θ
E - O = DH sen θ
donde DH es la distancia horizontal y θ es el azimut correspondiente.
Ejemplo: completar el siguiente cuadro.
DATOS
θ (g)
85.30
108.64
278.16
301.21
DH (m)
75,25
236.40
52.75
107.15
COORDENADAS
N (m)
E (m)
17,222
73,253
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53
6.4.- CALCULO DE LA DISTANCIA HORIZONTAL DESNIVEL Y COTA DE
UN PUNTO.-
cos α = (G’/ 2) / (G / 2) = G’ / G
G’ = G cos α
G’ = di = distancia inclinada
cos α = DH / G’
DH = G’ cos α
DH = G cos2 α
DH = G sen2 z
COTAB = COTAA + hi + DV – HM
tg α = DV / DH
DV = DH tg α
DV = DH ctg z
COTA PUNTO = COTA ESTACION + h.i. ± D.V. – H.M.
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54
Ejemplo: se instala un taquímetro en la estación A con cota arbitraria 42,450 m. y se mide
una altura instrumental de 1,52 m. se visa hacia una mira aplomada en un punto B
observando un ángulo vertical de 110,25g, y las siguientes lecturas estadimétricas: HS =
3.029 , HM = 1.000 e HI = 0.786. Calcular la distancia AB y la cota del punto B.
G = (HS – HI) * 100 = (3.029 – 0.786)* 100 = 224.30 m.
DH = G sen2 z = 224.30 * sen2 110.25g = 218.536 m.
DV = DH ctg z = 218.536 * ctg 110.25g
DV = - 35.493 m.
CB = CA + hi + DV + HM
CB = 42,450 + 1,52 – 35,493 + 1,000
CB = 10,277 m.
7.- METODOS DE LEVANTAMIENTO TOPOGRÁFICO.-
7.1.- RADIACIÓN.-
Consiste en medir distancias y ángulos desde un punto fijo hacia todos los puntos que
posteriormente se van a dibujar. Para ésta metodología es necesario un instrumento que
mida ángulos horizontales y verticales, además de medir las distancias correspondientes.
Este instrumento se conoce con el nombre de taquímetro y además debe incorporar la mira
o estadía como accesorio. El taquímetro es un instrumento óptico-mecánico que consta de
un anteojo topográfico con dos movimientos de rotación lo que permite al instrumento leer
ya sea ángulos horizontales o verticales. Los hay de diferentes tipos y marcas, y por ende,
de diversas precisiones. Por lo general poseen un sistema de lectura que permite leer las
cifras y apreciar las fracciones de una unidad de medida angular. Los mas conocidos son
los de marcas WILD, CARL ZEISS, FENNEL KASSEL y otros.
La figura muestra un caso típico de radiación y al lado su registro:
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55
EST.
A
PTO.
NM
1
2
3
AZIMUT
0,00
83,74
98,46
107,21
DIST.
314
328
285
270
7.2.- POLIGONACION.-
Consiste en formar un polígono en el terreno, y luego desde cada vértice hacer una
radiación hacia los detalles planimétricos, como muestra la figura:
Si la poligonación se hace por
ángulos interiores, la sumatoria de los
ángulos medidos debe tener una
discrepancia de la sumatoria real no
mayor a 2 minutos centesimales por
la raíz cuadrada del numero de lados
del polígono.
Error máximo angular = 2c
n
En este caso: n=5, e.m.a. = 2√5 =
4,47c
Es decir, como la sumatoria real es:
200 (5 – 2 ) = 600, entonces la
sumatoria
de los ángulos medidos debe estar
comprendida entre 599,9553g y
600,0447g
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La fórmula 2c
56
n significa que el valor óptimo puede ser sobrepasado o quedado bajo, lo
que da el error máximo. La diferencia entre estos dos valores es lo que constituye el rango
de variación y por lo tanto, un trabajo no será aceptado si no cumple con estos valores.
Ahora bien, cuando se está dentro del intervalo, el error puede ser ajustado o compensado
en forma proporcional al numero de valores angulares que tiene la poligonal.
7.2.1.- PROCEDIMIENTOS PARA REALIZAR POLIGONALES.7.2.1.1.- Por ángulos interiores : existen dos formas:
•
Ordenamiento estaciones sentido punteros del reloj, calaje del cero hacia la
estación de adelante.
•
Ordenamiento estaciones sentido antihorario (retrogrado), calaje del cero
hacia la estación de atrás.
< A’ = 91,25
< B ‘ = 102,33
< C’ = 90,20
< D’ = 116,24
Σ = 400,02
EMAX = 2 √ 4 = 4c
Error obtenido :
400,02 – 400 = 0,02g = 2c
Corrección = 2 / 4 = 0,5 c
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57
Ángulos corregidos :
< A = 91,25 – 0,0050 = 91,2450
< B = 102,33 – 0,0050 = 102,3250
< C = 90,20 – 0,0050 = 90,1950
< D = 116,24 – 0,0050 = 116,2350
Σ = 400,0000
7.2.1.2.- Por ángulos exteriores: el procedimiento es similar al anterior pero, como su
nombre lo indica, se deben medir los ángulos exteriores del polígonos cuya sumatoria
debe estar dentro del rango de variación permitido.
7.2.1.3.- Método por azimut : es el método más utilizado y obedece a una orientación
que se traslada de una estación a otra permitiendo así que esta se mantenga en todo el
recorrido. En la figura se puede apreciar más fácilmente:
ESTACION
A
B
C
D
A
PUNTO
NM
B
A
C
B
D
C
A
D
B
AZIMUT
0.00
88.46
288.46
187.30
387.30
295.31
95.31
28.50
228.50
88.50
CORRECCION
AZIMUTCORREGIDO
0.00
88.46
0.01
187.29
0.02
295.29
0.03
28.47
0.04
88.46
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58
Como el azimut de llegada es de 88,50 entonces el error es de 4g y se debe corregir. La
corrección será 0,0400 / 4 = 0,0100
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59
7.2.2.- POLIGONAL CERRADA.-
Una poligonal cerrada es aquella que cumple con las
siguientes condiciones:
ΣN=ΣS
ΣE=ΣO
Si no cumple con estas condiciones, quiere decir que hay un error de cierre de la
poligonal, que no debe superar – como ya se dijo – el error máximo de 2c n . En este caso
el error debe ser distribuido proporcionalmente en todas las estaciones.
Más adelante veremos que hay diferentes métodos para compensar una poligonal, y
veremos en que casos se debe utilizar uno y no otro. Por ahora solo diremos que estos se
desarrollan en función de:
•
El numero de estaciones.
•
Las proyecciones.
•
La distancia total recorrida.
•
Una combinación entre proyecciones y distancias.
En el siguiente registro se presenta una poligonal típica con todos los datos de terreno
y el calculo de coordenadas. Se debe tener en cuenta la compensación de los ángulos
verticales, cuya suma debe ser de 200g de ida y de vuelta. La diferencia se divide por dos y
se aplica a cada ángulo.
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EST.
PTO.
NM
A1
A2
hi=1.32
A4
A2
A1
Hi=1,49
A3
A3
A2
hi=1,54
A4
A4
A3
hi=1,36
A1
AZ
0.0000
99.2830
37.8550
299.2830
73.7770
273.7770
309.4800
109.4800
237.8750
60
Z
G
HM
AZCOMP.
ZCOMP.
100.49
102.20
99.53
98.8325
101.1725
101.32
98.68
97.81
215
135
215.5
162.5
163
291
292
134.6
1.32
1.32
1.49
1.49
1.54
1.54
1.36
1.36
99.2780
100.48
73.7670
98.83
309.4650
101.32
237.8550
97.805
PROYECCIONES
N = DH cos Az E = DH sen Az
2.441
215.224
EST.
PTO.
DH = G sen2 z
DV = DH ctg z
A1
A2
A4
A1
A3
A2
A4
A3
A1
215.328
-1.623
162.695
2.990
65.160
149.077
291.375
-6.042
43.161
-288.160
134.640
4.644
-111.530
-75.425
A2
A3
A4
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61
7.2.3.- METODOS DE COMPENSACIÓN DE POLIGONALES.-
7.2.3.1.- METODO DEL TEODOLITO.-
Este método funciona en base a las proyecciones. Se obtienen las proyecciones
y luego se calcula diferencia entre las sumatorias norte y sur y luego entre las sumatorias este y oeste. Luego estas
diferencias se dividen por la sumatoria total de las proyecciones obteniendo una constante que se multiplica por las
proyecciones iniciales para obtener las proyecciones compensadas. Se debe tener en cuenta que la sumatoria de las
correcciones debe ser igual al error, para que la poligonal efectivamente cierre.
EST
.
PTO
.
AZIMUT
DH
A1
A2
A3
A4
A5
A2
A3
A4
A5
A1
220.557
171.22
40.60
378.71
300.00
190
310
260
263
143
PROYECCIONES CORRECCION PROY. COMPENSADAS
NORTE ESTE
N-S
E-O
NORTE
ESTE
-180.16 -60.33
-0.33 +0.057 -179.83
-60.39
-278.85 135.41 -0.52
-0.13
-278.33
135.28
208.89 154.79 +0.39 -0.15
209.28
154.64
248.42 -86.32 +0.46 +0.08
248.88
-86.40
0.00
-143.00 0.00
+0.13
0.00
-143.13
⏐Σ N ⏐ = 457.31
⏐Σ S ⏐ = 459.01
Error N-S = 459.01 – 457.31 = 1.70
Error E-O = 290.20 – 289.65 = 0.55
Correcciones:
N-S = PROYN-S * KN-S
E-O = PROYE-O * KE-O
COORDENADAS
NORTE
ESTE
1000.00
1000.00
820.17
939.61
541.84
1074.89
751.12
1229.53
1000.00
1143.13
⏐Σ E ⏐ = 290.20
⏐Σ O ⏐ = 289.65
ΣN-S = 457.31 + 459.01 = 916.32
KN-S = Error N-S / ΣN-S = 0.00185…
ΣE-O = 290.20+ 289.65 = 579.85
KE-O = Error E-O / ΣE-O = 0.00094...
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62
7.2.3.2.- METODO DE LA BRUJULA.-
Este método varia en lo siguiente: para obtener la constante se divide el error por
la distancia total recorrida y luego para obtener las correcciones, la constante se multiplica por cada distancia parcial:
EST
PTO
AZIMUT
DH
A1
A2
A3
A4
A5
A2
A3
A4
A5
A1
220.557
171.22
40.60
378.71
300.00
190
310
260
263
143
⏐Σ N ⏐ = 457.31
PROYECCIONES CORRECCION PROY. COMPENSADAS
NORTE ESTE
N-S
E-O
NORTE
ESTE
-180.16 -60.33
-0.28
0.09
-179.88
-60.42
-278.85 135.41 -0.45
-0.15
-278.40
135.26
208.89 154.79
0.38
-0.12
209.27
154.67
248.42 -86.32
0.38
0.12
248.80
-86.44
0.00
-143.00 0.21
0.07
0.21
-143.07
⏐Σ S ⏐ = 459.01
⏐Σ E ⏐ = 290.20
⏐Σ O ⏐ = 289.65
Error N-S = 459.01 – 457.31 = 1.70
KN-S = Error N-S / Σ DH = 0.0014
Error E-O = 290.20 – 289.65 = 0.55
KE-O = Error E-O / Σ DH = 0.0004
Correcciones:
N-S = Distancia * KN-S
E-O = Distancia * KE-O
COORDENADAS
NORTE
ESTE
1000.00
1000.00
820.12
939.58
541.72
1074.84
750.99
1229.51
999.79
1143.07
Σ DH = 1166 m.
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63
7.2.3.3.- METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS.-
En este método las correcciones se obtienen a través de
sumatorias de términos cuadrados la cual debe ser mínima (de ahí el nombre del método), cuyo análisis es mas conocido como
regresión lineal. A continuación del ejemplo se presentan las formulas que deben ser utilizadas:
EST.
A1
A2
A3
A4
A5
θ
Si
SXi
SYi
Pi
Mi
Ni
220.57
171.22
40.60
378.71
300.00
Σ
190
310
260
263
143
-60.329
135.418
154.800
-86.323
-143.00
0.566
-180.168
-278.858
208.895
248.430
0.000
-1.701
0.572
-1.218
1.244
-0.815
0.000
-0.217
0.192
0.592
0.922
0.283
1.430
3.419
1.708
2.508
1.678
2.347
0.000
8.241
Ami
BPi
-0.029 0.116
-0.090 -0.247
-0.141 0.252
-0.043 -0.165
-0.218 0.000
ΔSXi
APi
Bni
ΔSYi
S’Xi
S’Yi
0.087
-0.337
0.110
-0.208
-0.218
-0.566
-0.087
0.186
-0.190
0.124
0.000
0.346
0.508
0.340
0.475
0.000
0.258
0.694
0.150
0.599
0.000
1.701
-60.242
135.081
154.910
-86.531
-143.218
0.000
-179.910
-278.164
209.045
249.029
0.000
0.000
Fórmulas: (con Si = Distancia horizontal y θ = Azimut)
SXi = Si sen θ
SYi = Si cos θ
Pi = ( (SXi * SYi) / (Si * 100) ) ;
P = Σ Pi
Mi = ( (SXi 2) / (Si * 100) ) ;
M = Σ Mi
Ni = ( ( SYi 2) / (Si * 100) ) ;
N = Σ Ni
Δ SXi = A*Mi + B*Pi
Δ SYi = A*Pi + B*Ni
S’Xi = SXi + ΔSXi
S’Yi = SYi + ΔSYi
ex = Σ SXi
ey = Σ SYi
A = ( -N*ex + P*ey ) / ( M*N – P2)
B = ( P*ex - M*ey ) / ( M*N – P2)
X
Y
1000.000 1000.000
939.758 820.090
1074.839 541.926
1229.749 750.971
1143.218 1000.000
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64
7.2.4.- POLIGONAL DE ENLACE
Una poligonal de enlace es aquella que parte de un punto de coordenadas conocidas y llega a
otro punto también de coordenadas conocidas. La diferencia de estas coordenadas nos entrega el valor de la suma de las proyecciones
ya sea en norte o en este, por lo tanto podemos determinar el error de cierre de la poligonal, lo que nos permite su posterior
compensación con alguno de los métodos existentes. En el siguiente registro se presenta una poligonal de enlace compensada por el
ES
PT
método de la brújula. Se deja como tarea al lector utilizar otros métodos y comparar las coordenadas finales:
AZ
E1
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
E2
E3
E4
E5
E6
E7
E8
75.47
56.30
58.57
58.67
46.15
69.35
57.79
Z
G
97.74
102.11
102.51
97.52
100.21
100.10
99.91
66.1
101.0
90.8
84.0
67.0
58.3
70.2
DH = Proyecciones Correcciones Proyecciones Compensadas
Gsen2z
N
E
N-S
E-O
N
E
66.0
24.8
61.2
0.0
0.0
24.8
61.2
100.9
64.0
78.0
0.1
0.1
64.1
78.1
90.7
54.9
72.2
0.1
0.0
55.0
72.2
83.9
50.7
66.8
0.1
0.0
50.8
66.8
67.0
50.2
44.4
0.1
0.0
50.3
44.4
58.3
27.0
51.7
0.0
0.0
27.0
51.7
70.2
43.2
55.3
0.1
0.0
43.3
55.3
314.8
429.6
Σ=
e=
- 0.5 - 0.1
KNS = 0.00093 KEO = 0.00018
Coordenadas
N
E
1000.0 1000.0
1024.8 1061.2
1088.9 1139.3
1143.9 1211.5
1194.7 1278.3
1245.0 1322.7
1272.0 1374.4
1315.3 1429,7
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65
7.3.- TRIANGULACION
ANTECEDENTES GENERALES
Definición.-
La triangulación es un método de levantamiento topográfico que permite
ubicar puntos en terreno con gran precisión, proporcionando así un método de apoyo y
control para levantamientos de gran envergadura ( 500 hás. o más). También se utiliza
para ubicar puntos en trabajos de ingeniería de gran precisión, como por ejemplo en la
construcción de túneles.
Este método consiste en formar
triángulos en el terreno con los puntos
tomados en los que generalmente se
procede a medir en forma precisa los
ángulos y a partir de algunos lados
medidos también con gran precisión,
se calculan los demás lados. Estos
lados medidos se conocen como
bases de la triangulación. Los puntos
tomados se denominan vértices.
Clasificación de las triangulaciones.-
Éstas se clasifican de acuerdo a su precisión, a la longitud de los lados y según su
función en un levantamiento; como lo muestra la siguiente tabla:
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ITEM
Según su papel en un trabajo topográfico
Longitud de lados de los triángulos
66
1er Orden
2do Orden
3er Orden
Primarias
Secundarias
Terciarias
Sobre 25 km. 25 – 10 km. 10 – 5 km.
Cierre angular promedio de cada triángulo
1’’
3’’
5’’
Cierre máximo angular por triángulo
3’’
5’’
10’’
Precisión o error probable de la longitud final
de la base
1 : 1000000
1 : 500000
1 : 20000
Error de la longitud de la base calculada con
los ángulos compensados
1 : 25000
1 : 10000
1 : 5000
En general, las triangulaciones de primer orden y segundo orden se denominan
triangulaciones geodésicas. A las de tercer orden se les denomina triangulaciones
topográficas. En este capítulo se tratarán las triangulaciones topográficas.
Recomendaciones.-
Al momento de diseñar una figura a triangular se deberán tener en cuenta algunas
recomendaciones, como por ejemplo:
ƒ
Las longitudes de los lados deberán ser similares unas de otras.
ƒ
Los valores angulares no deberán ser demasiado agudos ni demasiado obtusos.
Se recomiendan ángulos que midan entre 30g y 120g.
ƒ
Ángulos ideales recomendados son aquellos que miden entre 50g y 100g.
ƒ
Se recomienda usar triángulos parecidos a los rectángulos o equiláteros.
ƒ
Estas recomendaciones permiten lograr figuras sólidas para que los errores de
cierre de la triangulación sean mínimos facilitando su compensación.
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67
7.3.0.1.- FORMAS DE LOS TRIANGULOS
En esta sección se hará un análisis de la forma que deben tener los triángulos de
una triangulación para obtener el mínimo de error en el cálculo de las distancias de los
lados. Es lógico suponer que los ángulos han sido medidos con el mismo instrumento y
posiblemente el mismo operador de manera que se puede aceptar que los ángulos han
sido medidos con la misma precisión y que sus errores en valor absoluto serían iguales
para cada ángulo.
Supongamos que en terreno se han medido los ángulos α, β y γ y el lado c de un
triángulo, se trata de determinar los lados a y b con la misma precisión en base al
teorema del seno.
csenα
senγ
csenβ
b=
senγ
α=β
a=
(1)
(2)
De (1) y (2) se deduce que cada lado se obtiene por la multiplicación de una
constante con sus propios errores, por un valor que depende del lado a calcular, y que es
función de un ángulo. De manera que para obtener los mismos errores finales, los
ángulos deberán ser iguales, y de aquí se saca una primera conclusión que indica que el
triángulo más conveniente es un triángulo isósceles. Ahora debemos continuar el
análisis para determinar qué triángulo isósceles es el que más conviene.
De acuerdo al anterior bastará continuar con una sola de las expresiones
anteriores ya que son iguales:
asenγ = csenα
Diferenciando, se tiene:
senγda + a cos γdγ = senαdc + c cosαdα
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68
Dividiendo ambas expresiones, nos queda:
senγda a cos γdγ senαdc c cosαdα
+
=
+
asenγ
asenγ
csenα
csenα
Simplificando la expresión, se tiene que:
da dγ
dc dα
+
=
+
a tgγ
c tgα
⎡ dc dα dγ ⎤
−
da = a ⎢ +
⎥
⎣ c tgα tgγ ⎦
Las diferenciales representan el error del elemento correspondiente, y como hemos
partido de la base que los errores angulares son iguales en valor absoluto, pueden
suceder dos cosas:
a) que los errores angulares tengan el mismo signo
Si tienen el mismo signo, el error de a sería menor si α = β porque se anularía la
expresión:
dα dγ
−
tgα tgγ
y se llegaría a la conclusión de que la forma más conveniente en este caso sería la de un
triángulo isósceles – equilátero.
α=β
α=γ
; α=β=γ
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69
b) que los errores angulares tengan distinto signo
Veamos cuando los errores son de distinto signo e iguales. Habrá que hacer
mínima la siguiente expresión:
1
1
+
tgα tgγ
Expresando α en función de γ:
α + β + γ = 180 - γ ;
tg α = ctg
α = 90 -
γ
2
γ
2
Recordando que tg γ =
2tg
γ
2
1 − tg 2
γ
=
γ
2t
; t = tg
2
1− t
2
2
γ
1
1− t2
=t+
tg +
2 tgγ
2t
tg
γ
2
+
1
1+ t2
=
tgγ
2t
Para hacer mínima esta expresión, derivamos e igualamos a cero:
2t * 2t − (1 + t 2 )* 2
=0
4t 2
4t 2 − 2t 2 − 2
=0
4t 2
2t 2 − 2
=0
4t 2
1 1
−
=0
2 2t 2
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70
t2 −1
γ
= 0 ; t² - 1 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ tg = 1
2
2t
2
γ
2
= arctg1
γ = 90º
O sea que para este caso, la forma más conveniente es la de un triángulo
isósceles rectángulo. Pero resulta que en una cadena de triángulos no es posible tener
triángulos rectángulos isósceles sin que los lados varíen desproporcionalmente. Por esta
razón se acepta como forma más conveniente el resultado del primer caso. De este
análisis podemos deducir que los mejores ángulos serán aquellos comprendidos entre
45º y 60º, pero para tener una mejor idea de los errores podríamos realizar una
tabulación partiendo de ciertas premisas establecidas. Aceptemos que tenemos
triángulos isósceles de manera que fijando el valor de un ángulo basal se puede
determinar el segundo, y el tercero γ será el suplemento correspondiente. Otra premisa
sería que los errores angulares son iguales en valor absoluto. Y finalmente, para
simplicidad se supondrá que el lado c no tiene errores.
da dc dα dγ
=
+
−
a
c tgα tgγ
da dc
=
+ ctgαdα − ctgγdγ
a
c
suponiendo dc = 0 y dα = dγ , puede resultar una de estas dos expresiones:
(1)
da
= (ctgα − ctgγ )dα , para signos iguales
a
(2)
da
= (ctgα + ctgγ )dα , para signos distintos
a
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α=β
0º
5º
10º
15º
20º
25º
30º
35º
40º
45º
50º
55º
60º
65º
70º
75º
80º
85º
90º
γ
180º
170º
160º
150º
140º
130º
120º
110º
100º
90º
80º
70º
60º
50º
40º
30º
20º
10º
0º
ctg α
+∞
11.43
5.67
3.73
2.75
2.14
1.73
1.43
1.19
1.00
0.84
0.70
0.58
0.47
0.36
0.27
0.18
0.09
0.00
ctg γ
-∞
-5.67
-2.75
-1.73
-1.19
-0.84
-0.58
-0.36
-0.18
0.00
0.18
0.36
0.58
0.84
1.19
1.73
2.75
5.67
+∞
71
ctg α - ctg γ ctg α + ctg γ
0
+∞
17.10
5.76
8.42
2.92
5.46
2.00
3.94
1.56
2.98
1.30
2.31
1.15
1.79
1.07
1.37
1.01
1.00
1.00
0.66
1.02
0.34
1.06
0.00
1.16
-0.37
1.31
-0.83
1.55
-1.46
2.00
-2.57
2.93
-5.58
5.76
-∞
+∞
Observación: Si se desea agregar el valor de c, se debe sumar a los valores tabulados.
Ejemplo resuelto 1:
α = 40º
γ = 100º
dγ = dα = 1”
a = 1000 m.
da = ?
En este caso los errores son del mismo signo por lo tanto reemplazamos en la
fórmula da = a [ ctg α - ctg γ ] dα , donde dα debe estar en radianes.
π ⎞
⎛ 1"
Entonces: da = 1000 m. * [ 1.37 ]* ⎜
*
⎟ = 1000 * 1.37 * 0.0000048 = 0.0065
⎝ 3600 180 ⎠
a = 1000 ± 0.007 m.
De esta forma , a varía entre 999,993 y 1.000,007 m.
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72
Ejemplo resuelto 2:
β = 15º
γ = 150º
b = 1000 m.
dβ = - dγ = 2”
db = ?
En este caso, los errores son de distinto signo, por lo que la fórmula a utilizar es
db = b [ ctg β + ctg γ ] dβ ( con dβ en radianes).
π ⎞
⎛ 2"
Luego: db = 1000 * [ 2,00 ]* ⎜
*
⎟ = 1000 * 2.00 * 0.0000096 = 0.0194 m.
⎝ 3.600 180 ⎠
1.000,019 m.
b = 1.000 ± 0.019 m.
999,981 m.
7.3.0.2.- LONGITUD DE LOS LADOS DE UNA TRIANGULACION
La longitud de los lados de una triangulación queda limitada por el alcance del
instrumento utilizado, pero además está en relación con los errores angulares con que se
determine la posición de un extremo del lado y la escala del dibujo donde se ubicará, ya
que el error en un plano no puede diferir más que la aproximación del dibujo que es 1/5
mm. (0,0002 m.) a la escala del plano. O sea que si dl es el error aceptable en la
ubicación del punto P en un plano cuya escala es 1:E se tendrá:
0,0002 ≥
dl
E
Pero este error lo podemos expresar en función de un error angular dθ y la distancia l.
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73
dl = L dθ
dl Ldθ
=
E
E
Ldθ
≤ 0,002
E
0,0002 E
L≤
dθ
Ejemplo resuelto: Calcular la longitud máxima que deben tener los lados de una
triangulación, si el error angular es de 20” y la escala a dibujar es 1 : 1.000.
L=
0,0002 * 1.000 0,0002 * 1.000
=
= 2.062,648m.
π ⎞
0,000096
⎛ 20"
*
⎜
⎟
⎝ 3.600 180 ⎠
7.3.0.3.- DIMENSION DE LAS SEÑALES
Algunos autores indican que el ojo humano puede distinguir señales un ángulo
mayor a 90” (otros dicen 60”) el que puede disminuir en personas de mayor agudeza
visual. Si tomamos este valor podemos determinar la dimensión de una señal para que
ubicada a una cierta distancia d pueda ser visible:
l = 2 L tg 45”
lo anterior es con vista normal. Si se utiliza anteojo habrá que dividir el aumento
correspondiente (A).
2 Ltg 45"
l=
A
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74
Ejemplo resuelto: determinar el diámetro aparente que debe tener una señal ubicada a
5.000 m. cuando para la lectura angular se utiliza un teodolito Wild T2 de 28 aumentos.
Suponer que la agudeza visual es de 60”.
l=
2 Ltg 30" 2 * 5.000 * tg 30"
=
= 0,052m.
28
A
7.3.0.4.- CALCULO DE BASE QUE NO SE PUEDE MEDIR DIRECTAMENTE
CO
a+x
=
senA sen(α + γ )
CO =
(a + x )senA
sen(α + γ )
BO
a
=
senA senα
BO =
CO (a + x )senAsenα
=
BO asenAsen(α + γ )
CO
b
=
senB senβ
CO =
bsenB
senβ
asenA
senα
(1)
BO
b+ x
=
senB sen(β + γ )
BO =
(b + x )senB
sen(β + γ )
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CO bsenBsen(β + γ )
=
BO senβ (b + x )senB
75
(2)
Igualando (1) y (2) se tiene:
(a + x )senAsenα = bsenBsen(β + γ )
asenAsen(α + γ ) senβ (b + x )senB
Simplificando, se tiene que:
(a + x )senα = bsen(β + γ )
asen(α + γ ) senβ (b + x )
Luego:
(a + x )(b + x ) = absen(β + γ )sen(α + γ )
senαsenβ
⎛ absen(β + γ )sen(α + γ ) ⎞
⎟⎟ = 0
x 2 + (a + b )x + ab − ⎜⎜
senαsenβ
⎝
⎠
Resolviendo la ecuación cuadrática, tenemos que:
x=
− (a + b )
±
2
(a + b )2 − 4ab + 4absen(β + γ )sen(α + γ )
4 senαsenβ
a 2 + 2ab + b 2 4ab 4absen(β + γ )sen(α + γ )
− (a + b )
x=
±
−
+
2
4
4
4 senαsenβ
x=
− (a + b )
±
2
(a − b )2 + absen(β + γ )sen(α + γ )
4
senαsenβ
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76
Ejemplo resuelto: Se midieron los siguientes valores lineales y angulares:
a = 508,645 m.
b = 461,322 m.
α = 28,4536g
β = 22,7162g
γ = 20,6150g
Reemplazando en la fórmula anterior, se tienen dos valores para x:
x’ = 340,832 m.
x” = -1.310,799 m.
El segundo valor no es verdadero porque es negativo, lo que no es real para una
distancia. Luego, la distancia AD = 508,645 + 340,832 + 461,322 = 1.310,799 m., que
es precisamente el valor obtenido con signo negativo en la ecuación cuadrática.
7.3.0.5.- REDUCCIÓN AL CENTRO DE ESTACION
caso (a)
caso (b)
ΔAOO’ : ε1 + γ + δ + α = 180º
ΔBOO’ : ε2 + δ + α + γ’ = 180º
ΔAOO’ : ε1 + γ’ + α + δ = 180º
ΔBOO’ : ε2 + α + δ + γ = 180º
γ = ε2 - ε1 + γ’
γ = ε1 - ε2 + γ’
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77
caso (d)
caso (c)
ε1 + γ + ε2 + 360º - γ’ = 360º
ε1 + γ’ + ε2 + 360º - γ = 360º
γ = γ’ - ε1 - ε2
γ = γ’ + ε1 + ε2
Si se conoce L1 y L2:
Caso (a) en Δ AOO’
senε1 senα
=
d
L1
∴ senε1 =
dsenα
L1
∴ senε 2 =
dsen(α + γ ')
L2
en Δ BOO’
senε 2 sen(α + γ ')
=
d
L2
Siendo ε1 y ε2 ángulos pequeños, se puede reemplazar sen ε1 = ε1 sen 1” y
sen ε2 = ε2 sen 1”.
ε1 =
dsenα
L1sen1"
ε2 =
dsen(γ '+α )
L2 sen1"
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78
Reemplazando, tenemos:
γ = γ '+
d ⎡ sen(γ '+α ) senα ⎤
−
⎢
⎥
sen1" ⎣
L2
L1 ⎦
7.3.0.6.- BASES AUXILIARES
Procedimiento utilizado para cuando no es posible conocer la distancia OO’ en
forma directa:
Δ AO’O : d =
asenβ1
⇒
sen[180º −(β1 + γ 1 )]
d=
asenβ1
sen(β1 + γ 1 )
Δ BO’O : d =
bsenβ 2
⇒
sen[180º −(β 2 + γ 2 )]
d=
bsenβ 2
sen(β 2 + γ 2 )
Observación: Las bases a y b deben medirse con cuidado pues una variación de 1 cm. en
su longitud representa una variación de la excentricidad de dos segundos (2”) para lados
de 1 Km. Para lados menores aumenta el error angular.
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79
COMPENSACIÓN DE TRIANGULACIONES
Una vez que se hayan tomado todos los datos necesarios de la triangulación, se
debe realizar una compensación de ésta. En este capítulo se mostrará el procedimiento
de compensación no riguroso para los tres tipos figuras que se pueden adoptar : un
cuadrilátero, una cadena de triángulos y una malla de triángulos.
7.3.1.- AJUSTE DE UN CUADRILÁTERO
7.3.1.1 Condición de Ángulos
(1)
En Δ134
A1 + B3 + A4 + B4 = 200g
(2)
En Δ123
B1 + A2 + B2 + A3 = 200g
(3)
En Δ124
A1 + B1 + A2 + B4 = 200g
(4)
En Δ234
B2 + A3 + B3 + A4 = 200g
(1)
A1 + B3 + A4 + B4 = 200g + d1
(2)
B1 + A2 + B2 + A3 = 200g + d2
(3)
A1 + B1 + A2 + B4 = 200g + d3
(4)
B2 + A3 + B3 + A4 = 200g + d4
A1’ = A1 + α1
A2’ = A2 + α2
A3’ = A3 + α3
A4’ = A4 + α4
Reemplazando:
Teórico
B1’ = B1 + β1
B2’ = B2 + β2
B3’ = B3 + β3
B4’ = B4 + β4
Real
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80
(1) A1 + α1 + B3 + β3 + A4 + α4 + B4 + β4 = 200
(2) B1 + β1 + A2 + α2 + B2 + β2 + A3 + α3 = 200
(3) A1 + α1 + B1 + β1 + A2 + α2 + B4 + β4 = 200
(1) α1 + β3 + α4 + β4 + d1 = 0
(2) β1 + α2 + β2 + α3 + d2 = 0
(3) α1 + β1 + α2 + β4 + d3 = 0
F = α12 + α22 + α32 + β12 + β22 + β32 + α42 + β42 Æ Mínimo
( Condición General)
- 2K1 (α1 + β3 + α4 + β4 + d1) = 0
- 2K2 (β1 + α2 + β2 + α3 + d2 ) = 0
(Condiciones Específicas)
- 2K3 (α1 + β1 + α2 + β4 + d3) = 0
Multiplicando las ecuaciones específicas por las constantes - 2K1, - 2K2 y - 2K3 y
derivando la función con respecto a cada una de las variables e igualando a cero se
tiene:
dF
dα1
dF
= 2α1 – 2K1 – 2K3 = 0
dF
dα2
dβ2
= 2β2 – 2K2 = 0
dF
= 2α3 – 2K2 = 0
dF
dα4
= 2β1 – 2K2 – 2K3 = 0
dF
= 2α2 – 2K2 – 2K3 = 0
dF
dα3
dβ1
dβ3
= 2β3 – 2K1 = 0
dF
= 2α4 – 2K1 = 0
dβ4
= 2β4 – 2K1 – 2K3 = 0
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α1 = K1 + K3
β1 = K2 + K3
α2 = K2 + K3
β2 = K2
α3 = K2
β3 = K1
α4 = K1
β4 = K1 + K3
(Ecuaciones de Correlación)
Reemplazando en las ecuaciones específicas por sus equivalentes en las ecuaciones
de correlación, se tiene:
(1) K1 + K3 + K1 + K1 + K1 + K3 = - d1
(2) K2 + K3 + K2 + K3 + K2 + K2 = - d2
(3) K1 + K3 + K2 + K3 + K2 + K3 + K1 + K3 = - d3
4K1
+ 2K3
= - d1
4K2 + 2K3
= - d2
2K1 + 2K2 + 4K3
= - d3
Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtienen las siguientes conclusiones:
α1 =
α2 =
α3 =
α4 =
- d1
8
d1
8
- d1
8
- 3d1
8
d2
+
8
d2
-
3d2
8
-
8
2d3
-
8
-
2d3
-
d2
8
8
+
+
2d3
8
2d3
8
81
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α1 = β4 = -1 / 8 ( d1 – d2 + 2d3 )
α2 = β1 = -1 / 8 ( - d1 + d2 + 2d3 )
α3 = β2 = -1 / 8 ( d1 + 3d2 - 2d3 )
α4 = β3 = -1 / 8 ( 3d1 + d2 - 2d3 )
Ejemplo:
Fórmula Diafántica
82
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83
Condición de Ángulos:
Se suman los ángulos interiores medidos en terreno de cada triángulo que conforman el cuadrilátero. La suma deberá ser de 200g.
La diferencia de 200 producida corresponde a las discrepancias di , las cuales al ser reemplazadas en la fórmula Diafántica permiten
calcular las correcciones para cada ángulo:
Δ
134
<
A1
B3
A4
B4
Σ
d1
VALOR
10,8798
11,4945
88,5617
89,0656
200,0016
0,0016
CORR.
-0,00068
-0,00012
-0,00012
-0,00068
-0,00160
Δ
123
<
B1
A2
B2
A3
Σ
d2
VALOR
11,6383
88,4172
87,6615
12,2810
199,9980
-0,0020
CORR.
Δ
0,00023 124
0,00023
0,00077
0,00077
0,00200
<
A1
B1
A2
B4
Σ
d2
VALOR
10,8798
11,6383
88,4172
89,0656
200,0009
0,0009
CO.
Δ
234
<
B2
A3
B3
A4
Σ
d2
α1 = β4 = -1/8 (0,0016 + 0,0020 + 0,0018 ) = - 0,000675 = - 0,00068
α2 = β1 = -1/8 (- 0,0016 – 0,0020 + 0,0018 ) = + 0,000225 = 0,00023
α3 = β2 = -1/8 (0,0016 – 0,0060 – 0,0018 ) = + 0,000775 = 0,00078
α4 = β3 = -1/8 (0,0048 – 0,0020 – 0,0018 ) = - 0,000125 = - 0,00013
Δ
134
<
A1’
B3’
A4’
B4’
Σ
VALOR
10,87912
11,49438
88,56158
89,06492
200,00000
Δ
123
<
B1’
A2’
B2’
A3’
Σ
VALOR
11,63853
88,41743
87,66227
12,28177
200,0000
Δ
124
<
A1’
B1’
A2’
B4’
Σ
VALOR
10,87912
11,63853
88,41743
89,06492
200,00000
Δ
234
<
B2’
A3’
B3’
A4’
Σ
VALOR
87,66227
12,28177
11,49438
88,56158
200,00000
VALOR
87,6615
12,2810
11,4945
88,5617
199,9987
-0,0013
CO.
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84
7.3.1.2 Condición de Lados
Teóricamente :
Σ log sen A’ - Σ log sen B’ = 0
Pero:
Σ log sen A’ - Σ log sen B’ = Δ (real)
Pero corrigiendo los valores de los ángulos A’ y B’ en un valor xcc se tiene que:
Σ log sen (A’ + xcc ) - Σ log sen ( B’ + xcc ) = 0
log sen (A’ + xcc ) = log sen A’ + δA’ xcc
pero
log sen (B’ - xcc ) = log sen B’ + δB’ xcc
donde δA’ y δB’ son las diferencias tabularias de los logaritmos de los senos para 1cc de
manera que x quedará expresado en segundos y reemplazando:
Σ log sen A’ + Σ δA’ xcc – (Σ log sen B’ - Σ δB’ xcc ) = 0
xcc =
-Δ
Σ δA’ + Σ δB’
Ejemplo: Para un ángulo de 28,4527g tenemos que:
Log sen 28,4527 = - 0,36431253 + 10 = 9,63568747
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85
Log sen 28,4528 = - 0,36431111 + 10 = 9,63568889
Luego, la diferencia tabularia para 1 segundo será:
δ = 9,63568889 - 9,63568747 = 0,00000142
Por lo tanto:
A’’ = A’ ± xcc
B ‘’ = B’ ± xcc
Sigamos resolviendo el cuadrilátero anterior:
<
VALOR
LOG SEN A’
δA’
A1’ 10,87912
9,23059780
0,00000395
A2’ 88,41743
9,99277206
0,00000013
A3’ 12,28177
9,28268350
0,00000349
A4’ 88,56158
9,99295182
0,00000012
Σ 200,13990 38,49900518 0,00000769
199,86010 -38,49919351 +0,00000768
400,00000 -0,00018833
0,00001537
<
B1’
B2’
B3’
B4’
Σ
VALOR
LOG SEN B’
11,63853 9,25959612
87,66227 9,99179267
11,49438 9,25424323
89,06492 9,99356149
199,86010 38,49919351
δB’
0,00000369
0,00000013
0,00000374
0,00000012
0,00000768
El procedimiento seguido en el registro anterior fue el siguiente:
ƒ
Sumar todos los ángulos A’ y B’ por separado.
ƒ
Calcular los log sen para A’ y B’ y luego hacer la sumatoria.
ƒ
Calcular las diferencias tabularias para los ángulos A’ y B’ y hacer las
sumatorias.
ƒ
xcc =
A continuación corresponde calcular xcc según la fórmula presentada:
-Δ
Σ δA’ + Σ δB’
Xcc = - ( - 0,00018833) / ( 0,00001537 ) = 12,25309044 cc = 12,3cc
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
86
Para obtener los ángulos A’’ y B’’ se deben sumar o restar 12,3cc a los ángulos A’ y B’.
En este ejemplo, Σ LOG SEN A’ < Σ LOG SEN B’ ( Δ < 0 ) por lo tanto se deben
incrementar en 12,3cc los ángulos A’ y disminuir en 12,3cc los ángulos B’.
Para obtener log sen A’’ y B’’ tenemos que:
Log sen A’’ = Log sen A’ ± δA’ * xcc
Log sen B’’ = Log sen B’ ± δB’ * xcc
Se sumará o restará de acuerdo al mismo criterio anterior:
<
A1’’
A2’’
A3’’
A4’’
Σ
VALOR
10,88035
88,41866
12,28300
88,56281
200,14482
199,85518
400,00000
LOG SEN A’’
9,23064620 *
9,99277365
9,28272626
9,99295329
38,49909940
38,49909941
-0,00000001
<
B1’’
B2’’
B3’’
B4’’
Σ
VALOR
11,63730
87,66104
11,49315
89,06369
199,85518
LOG SEN B’’
9,25955091
9,99179108
9,25419740
9,99356002
38,49909941
(*) 9,23059780 + 0,00000395*12,25309044 = 9,23064620 (xcc se usa con todos los
decimales).
7.3.1.3 Cálculo de Lados
a
c
=
sen α
sen γ
a =
c sen α
sen γ
Log a = log c + log sen α - log sen γ
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
87
Log lado desconocido = log lado conocido
+ log sen ángulo opuesto al lado desconocido
- log sen ángulo opuesto al lado conocido
Lado conocido 2 – 4 = 230,168 m.
Δ
1-2-4
2-3-4
1-3-4
1-2-3
<
A1’’ + B1’’
A2’’
B4’’
B2’’
A3’’ + B3’’
A4’’
A1’’
B3’’
A4’’ + B4’’
B1’’
A2’’ + B2’’
A3’’
VALOR
22,51765
88,41866
89,06369
87,66104
23,77615
88,56281
10,88035
11,49315
177,62650
11,63730
176,07970
12,28300
LOG SEN <
9,53954923
9,99277365
9,99356002
9,99179108
9,56211790
9,99295329
9,23064620
9,25419740
9,53687664
9,25955091
9,56461903
9,28272626
LADO OP.
2-4
1-4
1-2
3-4
2-4
2-3
3-4
1-4
1-3
2-3
1-3
1-2
LOG LADO
2,36204494
2,81526935
2,81605572
2,79171812
2,36204494
2,79288033
2,79171812
2,81526935
3,09794856
2,79288033
3,09794849
2,81605572
LADO
230,168
653,536
654,720
619,039
230,168
620,698
619,039
653,536
1252,993
620,698
1252,993 *
654,720
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
7.3.2 AJUSTE DE UNA CADENA DE TRIANGULOS
Dada la siguiente cadena de triangulación:
L1 = 6655,108 m.
L2 = 1557,236 m.
< I es el ángulo de control y se calcula de la siguiente forma:
< I = 400 - θ76 + θ12
Para este caso, θ12 = 47,2867 y θ76 = 342,1327, por lo tanto:
< I = 400,0000 – 342,1327 + 47,2867
< I = 105,1540g
7.3.2.1 Condición de Ángulos
A + B + C = 200
(teórico)
A + B + C = 200 + d (real)
A’ = A ± (d / 3 )
B’ = B ± (d / 3 )
C’ = C ± (d / 3 )
88
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
Δ < VALOR
1 A1 48.4552
B1 53.0886
C1 98.4570
Σ 199.9988
d -0.0012
A1’ 48.4556
B1’ 53.0870
C1’ 98.4574
Σ 200.0000
CORR. Δ < VALOR
0.0004 2 A2 39.7134
0.0004
B2 78.8230
0.0004
C2 81.4639
0.0012
Σ 200.0003
d
0.0003
A2’ 39.7133
B2’ 78.8229
C2’ 81.4638
Σ 200.0000
89
CORR. Δ < VALOR
-0.0001 3 A3 49.5332
-0.0001
B3 53.7211
-0.0001
C3 96.7463
-0.0003
Σ 200.0006
d
0.0006
A3’ 49.5330
B3’ 53.7209
C3’ 96.7461
Σ 200.0000
CORR. Δ < VALOR
-0.0002 4 A4 43.5628
-0.0002
B4 71.0092
-0.0002
C4 85.4271
-0.0006
Σ 199.9991
d -0.0009
A4’ 46.5631
B4’ 71.0095
C4’ 85.4274
Σ 200.0000
CORR. Δ <
VALOR
0.0003 5 A5 40.3692
0.0003
B5 82.7887
0.0003
C5 76.8430
0.0009
Σ 200.0009
d
0.0009
A5’ 40.3689
B5’ 82.7884
C5’ 76.8427
Σ 200.0000
CORR.
-0.0003
-0.0003
-0.0003
-0.0009
7.3.2.2 Condición del Ángulo de Convergencia
De acuerdo a la figura, tenemos que:
θ23 = θ12 + 200 – C1’
θ34 = θ23 - 200 + C2’
luego:
θ67 = θ12 + 200 – (C1’ + C3’ + C5’) + (C2’ + C4’)
θ76 = θ12 – (C1’ + C3’ + C5’) + (C2’ + C4’)
por lo tanto:
< I = (C1’ + C3’ + C5’) - (C2’ + C4’) + d
θ45 = θ34 + 200 – C3’
θ56 = θ45 - 200 + C4’
θ67 = θ56 + 200 – C5’
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
90
< I calculado con esta fórmula es 105,1550g , entonces d = 0,0010
Así entonces:
C1’’ = C1’ -/+ (d / 5 )
C2’’ = C2’ +/- (d / 5 )
C3’’ = C3’ -/+ (d / 5 )
C4’’ = C4’ +/- (d / 5 )
C5’’ = C5’ -/+ (d / 5 )
Δ <
1 A1’
B1’
C1’
Σ
A1’’
B1’’
C1’’
Σ
VALOR CORR. Δ <
48.4556 0.0001 2 A2’
B2’
53.0870 0.0001
C2’
98.4574 -0.0002
200.0000
Σ
A2’’
48.4557
B2’’
53.0871
C2’’
98.4572
200.0000
Σ
VALOR
39.7133
78.8229
81.4638
200.0000
39.7132
78.8228
81.4640
200.0000
CORR. Δ <
-0.0001 3 A3’
-0.0001
0.0002
VALOR CORR. Δ < VALOR
49.5330 0.0001 4 A4’ 46.5631
B3’ 53.7209 0.0001
B4’ 71.0095
C3’ 96.7461 -0.0002
C4’ 85.4274
Σ 200.0000
Σ 200.0000
A3’’ 49.5331
A4’’ 46.5630
B3’’ 53.7210
B4’’ 71.0094
C3’’ 96.7459
C4’’ 85.4276
Σ 200.0000
Σ 200.0000
CORR. Δ
-0.0001 5
-0.0001
0.0002
<
A5’
B5’
C5’
Σ
VALOR
40.3689
82.7884
76.8427
200.0000
C5’’
40.3690
82.7885
76.8425
Σ
200.0000
A5’’
B5’’
CORR.
0.0001
0.0001
-0.0002
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
91
7.3.2.3 Condición de Lados
Se tiene que:
Σ log sen A’’ - Σ log sen B’’ = Log L2 – Log L1
(teórico)
Σ log sen A’’ - Σ log sen B’’ = K + Δ
X CC =
(real)
Δ
Σδ + Σδ B''
''
A
Tenemos que:
A’’’ = A’’ - XCC
<
A1’’
A2’’
A3’’
A4’’
A5’’
Σ
VALOR
48.4557
39.7132
49.5331
43.5630
40.3690
221.6340
K+Δ=
B’’’ = B’’ - XCC
LOG SEN A’’
δA’’
9.83869018
0.00000071
9.76651296
0.00000095
9.84627639
0.00000069
9.80079948
0.00000084
9.77266241
0.00000093
49.02494142 0.00000413
-49.65576167 +0.00000199
-0.63082025 0.00000612
<
B1’’
B2’’
B3’’
B4’’
B5’’
Σ
C’’’ = C’’
VALOR
53.0871
78.8228
53.7210
71.0094
82.7885
339.4288
LOG SEN B’’
9.86955509
9.97551456
9.87344015
9.95332108
9.98393080
49.65576167
K = Log L2 - Log L1 = log 1557,236 – log 6655,108 = - 0,63080067
- 0,63082025 = - 0,63080067 + Δ
Δ = - 0,00001958
Xcc = 0,00001958 / 0,00000612 = 3,19934641 ≈ 3,2CC.
<
A1’’’
A2’’’
A3’’’
A4’’’
A5’’’
Σ
VALOR
48.45602
39.71352
49.53342
43.56332
40.36932
K+Δ=
LOG SEN A’’’
9.83869248
9.76651600
9.84627860
9.80080217
9.77266539
49.02495464
- 49.65575530
- 0.63080066
<
B1’’’
B2’’’
B3’’’
B4’’’
B5’’’
Σ
VALOR
53.08678
78.82248
53.72068
71.00908
82.78818
LOG SEN B’’’
9.86955311
9.97551379
9.87343820
9.95332002
9.98393018
49.65575530
δB’’
0.00000062
0.00000024
0.00000061
0.00000033
0.00000019
0.00000199
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
92
7.3.2.4 Cálculo de Lados
Δ
I
II
III
IV
V
<
A1’’’
B1’’’
C1’’’
A2’’’
B2’’’
C2’’’
A3’’’
B3’’’
C3’’’
A4’’’
B4’’’
C4’’’
A5’’’
B5’’’
C5’’’
VALOR
48.45602
53.08678
98.4572
39.71352
78.82248
81.46400
49.53342
53.72068
96.74590
43.56332
71.00908
85.42760
40.36932
82.78818
76.84250
LOG SEN <
9.83869248
9.86955311
9.99987246
9.76651600
9.97551379
9.98132503
9.84627860
9.87343820
9.99943240
9.80080217
9.95332002
9.98852148
9.77266539
9.98393018
9.97061029
LADO OP.
2-3
1-2
1-3
3-4
2-3
2-4
4-5
3-4
3-5
5-6
4-5
4-6
6-7
5-6
5-7
LOG LADO
3.79229448
3.82315511
3.95347446
3.58329669
3.79229448
3.79810572
3.55613709
3.58329669
3.70929089
3.40361924
3.55613709
3.59133855
3.19235445
3.40361924
3.39029935
7.3.3 AJUSTE DE UNA MALLA DE TRIANGULACION
Dada la siguiente malla de triangulación:
Se deberán cumplir las siguientes condiciones:
LADO
6198.612
6655.108
8984.098
3830.864
6198.612
6282.113
3598.629
3830.864
5120.247
2532.907
3528.629
3902.461
1557.236
2532.907
2456.401
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
93
7.3.3.1 Condición de Ángulos
Δ
1
<
A1
B1
C1
Σ
d
A1’
B1’
C1’
Σ
VALOR
60.0864
55.2415
84.6714
199.9993
-0.0007
60.08663
55.24173
84.67164
200.00000
CORR.
0.00023
0.00023
0.00024
0.00070
Δ
2
<
A2
B2
C2
Σ
d
A2’
B2’
C2’
Σ
VALOR
34.5830
109.7910
55.6277
200.0017
0.0017
34.58244
109.79043
55.62713
200.00000
CORR.
-0.00056
-0.00057
-0.00057
-0.00170
Δ
3
<
A3
B3
C3
Σ
d
A3’
B3’
C3’
Σ
VALOR
56.0256
31.0577
112.9178
200.0011
0.0011
56.02523
31.05734
112.91743
200.00000
CORR.
-0.00037
-0.00036
-0.00037
-0.00110
Δ
4
<
A4
B4
C4
Σ
d
A4’
B4’
C4’
Σ
VALOR
54.0307
43.9639
102.0056
200.0002
0.0002
54.03063
43.96384
102.00553
200.00000
CORR.
-0.00007
-0.00006
-0.00007
-0.00020
Δ
5
CORR.
-0.00007
-0.00008
0.00015
Δ
3
<
A3’
B3’
C3’
Σ
A3’’
B3’’
C3’’
Σ
VALOR
56.02523
31.05734
112.91743
200.00000
56.02515
31.05726
112.91759
200.00000
CORR.
-0.00008
-0.00008
0.00016
Δ <
4 A4’
B4’
C4’
Σ
A4’’
B4’’
C4’’
Σ
VALOR
54.03063
43.96384
102.00553
200.00000
54.03055
43.96376
102.00569
200.00000
CORR.
-0.00008
-0.00008
0.00016
Δ
5
<
A5
B5
C5
Σ
d
A5’
B5’
C5’
Σ
VALOR
71.3023
83.9200
44.7774
199.9997
-0.0003
71.30240
83.92010
44.77750
200.00000
CORR.
0.00010
0.00010
0.00010
0.00030
7.3.3.2 Condición de Giro de Horizonte
<
C1’
C2’
C3’
C4’
C5’
Σ
d
Δ
1
VALOR
84.67164
55.62713
112.91743
102.00553
44.77750
399.99923
-0.00077
<
A1’
B1’
C1’
Σ
A1’’
B1’’
C1’’
Σ
VALOR
60.08663
55.24173
84.67164
200.00000
60.08655
55.24166
84.67179
200.00000
CORR.
0.00015
0.00015
0.00016
0.00016
0.00015
0.00077
CORR.
-0.00008
-0.00007
0.00015
Δ
2
<
A2’
B2’
C2’
Σ
A2’’
B2’’
C2’’
Σ
VALOR
34.58244
109.79043
55.62713
200.00000
34.58237
109.79035
55.62728
200.00000
<
A5’
B5’
C5’
Σ
A5’’
B5’’
C5’’
Σ
VALOR
71.30240
83.92010
44.77750
200.00000
71.30233
83.92002
44.77765
200.00000
CORR.
-0.00007
-0.00008
0.00015
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
94
7.3.3.3 Condición de Lados
<
VALOR
LOG SEN A’’
δA’’
A1’’ 60.08655
9.90838601
0.000000
A2’’ 34.58237
9.71340144
0.00000113
A3’’ 56.02515
9.88692199
0.00000056
A4’’ 54.03055
9.87530922
0.00000060
A5’’ 71.30233
9.95429400
0.00000033
Σ 276.02695 49.33831266 0.00000311
+23.97305 -49.33833569 + 0.00000277
600.00000 - 0.00002303 0.00000588
<
VALOR
LOG SEN B’’
δB’’
B1’’ 55.24166 9.88244813 0.00000058
B2’’ 109.79035 9.99484404 -0.00000011
B3’’ 31.05726 9.67091767 0.00000129
B4’’ 43.96376 9.80412939 0.00000083
B5’’ 83.92002 9.98599646 0.00000018
Σ 323.97305 49.33833569 0.00000277
XCC = 0.00002303 / 0.00000588 = 3.91666667 ≈ 3.9cc.
<
A1’’’
A2’’’
A3’’’
A4’’’
A5’’’
Σ
VALOR
60.08694
34.58276
56.02554
54.03094
71.30272
276.0289
323.97110
600.00000
LOG SEN A’’’
9.90838793
9.71340587
9.88692418
9.87531157
9.95429529
49.33832484
- 49.33832485
- 0.00000001
<
B1’’’
B2’’’
B3’’’
B4’’’
B5’’’
Σ
VALOR
55.24127
109.78996
31.05687
43.96337
83.91963
323.97110
LOG SEN B’’’
9.88244586
9.99484447
9.67091262
9.80412614
9.98599576
49.33832485
7.3.3.4 Cálculo de Lados
Δ
I
II
III
IV
V
<
A1’’’
B1’’’
C1’’’
A2’’’
B2’’’
C2’’’
A3’’’
B3’’’
C3’’’
A4’’’
B4’’’
C4’’’
A5’’’
B5’’’
C5’’’
VALOR
60.08694
55.24127
84.67179
34.58276
109.78996
55.62728
56.02554
31.05687
112.91759
54.03094
43.96337
102.00569
71.30272
83.91963
44.77765
LOG SEN <
9.90838793
9.88244586
9.98728787
9.71340587
9.99484447
9.88466407
9.88692418
9.67091262
9.99099757
9.87531157
9.80412614
9.99978443
9.95429529
9.98599576
9.81076212
LADO OP.
0-2
1-0
1-2
0-3
0-2
2-3
0-4
0-3
3-4
0-5
0-4
4-5
0-1
0-5
1-5
LOG LADO
3.12389071
3.09794864
3.20279065
2.84245211
3.12389071
3.01371031
3.05846367
2.84245211
3.16253706
3.12964910
3.05846367
3.25412196
3.09794863
3.12964910
2.95441546
LADO
1330.120
1252.993
1595.110
695.748
1330.120
1032.073
1144.099
695.748
1453.908
1347.873
1144.099
1795.238
1252.993
1347.873
900.358
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
95
7.4 TRILATERACION
7.4.1 COMPENSACIÓN DE CUADRILÁTEROS.-
En un cuadrilátero en el cual se han medido sus lados y las correspondientes
diagonales, debido a los inevitables errores de observación en las mediciones, se
observará que al deducir los valores angulares estos no cumplen con algunas
condiciones geométricas preestablecidas.
Ejemplo: En la figura ABCD se han medido los lados L1, L2, L3, L4, L5 y L6. Si
en el triángulo DAC se determina el ángulo α y en el triángulo CAB el ángulo β , al
hacer posteriormente la determinación en el triángulo DAB del ángulo ψ , se verá que
no es igual a la suma de α + β y así sucederá probablemente con los otros ángulos.
Ahora bien, como en esta metodología se han medido solamente lados para hacer
cumplir las condiciones geométricas angulares será necesario aplicar correcciones ΔLi
que no tienen por qué ser iguales para los diferentes lados medidos.
El método de los mínimos cuadrados impone que la suma ponderada de los
cuadrados de las correcciones sea mínima.
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96
n
Σ pi ΔLi 2 = mínimo
i=1
Si las mediciones han sido hechas con un medidor electrónico de distancias, los
valores de los pesos de los lados respectivos se determinarán de acuerdo a la razón
inversa del cuadrado del grado de precisión del instrumento.
Las ecuaciones de condición en números q < n son del tipo:
fj (ΔL1, ΔL2,..... ΔLi …. ΔLn) + ΔJ = 0
En la práctica q es el número de lados superabundantes de la red. Los ΔJ son las
discrepancias comprobadas entre las magnitudes de los lados superabundantes
calculados y observados.
En general,
ΔJ = lc - lo
donde
lc = lado calculado
lo = lado observado
7.4.1.1.- Determinación de las discrepancias ΔJ.-
Y42 = L42 – X42
(1)
Y42 = L32 – (L5 - X4)2
Y42 = L32 – L52 + 2L5X4 – X42 (2)
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97
Igualando (1) con (2):
L42 – X42 = L32 – L52 + 2L5X4 – X42
L42 – L32 + L52
X4 =
X4 =
X4 =
2L5
L5
2
L5
2
+
+
L42 – L32
2L5
(L4 + L3) (L4 - L3)
2L5
Cos A1 = X4 / L4
, A1 = arcos ( X4 / L4 )
Sen A1 = Y4 / L4
, Y4 = L4 sen A1
Sen B3 = Y4 / L3
, B3 = arcsen (Y4 / L3 )
En igual forma se deducen los valores para:
X2 =
L5
2
+
(L1 – L2) (L1 + L2)
2L5
B1 = arcos (X2 / L1);
Y2 = L1 sen B1 ;
A3 = arcsen (Y2 / L2 )
ΔX = X4 – X2
ΔY = Y4 + ⎜Y2 ⎜
θ = arctg ( ΔX / ΔY )
ΔX
L6C =
sen θ
ΔY
=
A2 = 100 – B1 + θ
cos θ
A4 = 100 – B3 + θ
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B2 = 100 – A3 – θ
98
B4 = 100 – A1 – θ
El valor de L6 calculado a través de este procedimiento permitirá calcular:
ΔJ = LCALC - LOBS
7.4.1.2.- Transformación de las ecuaciones de condición.-
Las condiciones que plantea el problema se expresan inicialmente en forma de
funciones trigonométricas (trascendentes) o irracionales entre los lados y los ángulos de
la figura (red de triangulación). Como la función que debe hacerse mínima:
n
Σ pi ΔLi 2 = mínimo
i=1
incluye las correcciones aplicables a los diferentes lados y no los lados mismos, será
necesario transformar las ecuaciones de condición planteadas primitivamente entre los
lados, en otras ecuaciones de condiciones concomitantes y equivalentes con las primeras
en que figuren las correcciones como variables de éstas.
Sea
fj ( l1, l2 ...... ln ) = φj ( l1, l2 ...... ln ) – lo = 0
la expresión general de una de las condiciones. Aquí la función fj representa la
diferencia entre la longitud calculada del lado que plantea la condición j, a partir de los
otros lados ( φ1j = lc ) y la longitud observada para dicho lado de control.
Debido a los errores de observación se tendrá:
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99
fj ( l1, l2 ...... ln ) = φj ( l1, l2 ...... ln ) – lo = Δj
Ahora bien, al aplicar a los distintos lados medidos correcciones Δli , particulares y
distintos para cada lado que conduzcan al cumplimiento de la condición que se tendrá
en general:
li = li + Δli
y la fórmula anterior se puede escribir:
fj (l1 .... ln ) + Δfj (l1 .... ln ) = φj (l1 + Δ l1 + l2 + Δl2 ....... ln + Δ ln ) – lo – Δlo = 0
Desarrollando esta fórmula en series de Taylor limitada a los términos de primer
orden y tomando en consideración que, en general, para todos los lados que intervienen
en la función φj.
dfj
=
dli
dφj
dli
Se tiene:
fj (l1, l2 … ln ) +
dfj
dl1
Δl1 +
dfj
dl2
Δl2 + … +
Pero
fj (l1, l2 … ln ) = Δj
dfj
dlo
y de aquí
=-1
dfj
dln
Δln +
dfj
dlo
Δlo = 0
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
dfj
dl1
Δl1 +
dfj
dl2
Δl2 + … +
dfj
dln
100
Δln - Δlo + Δj = 0
En esta ecuación de condición aparecen como variables las correcciones li de
los diferentes lados; Δj como se ha dicho, es la discrepancia entre el valor calculado y
medido para el lado que plantea la condición j.
Las derivadas parciales (dfj / dli ) = Cij , tienen como significado geométrico.
El efecto que en la longitud calculada del lado que plantea la condición j tiene
una variación unitaria en la longitud del lado li . En realidad es una razón o coeficiente
numérico y por lo tanto es adimensional.
7.4.1.3.- Cálculo de los coeficientes Cij .-
Calculemos, en primer lugar, el efecto
que un incremento unitario en el lado l1
produce sobre la longitud de la diagonal
l6, o sea, la expresión del coeficiente
dfj
dl1
= C1j
Suponiendo que el vértice es fijo así
como también la dirección del lado L5 y
que permanecen constantes las longitudes
de los otros lados, un incremento unitario
al lado l1, dl1 = 1 producirá el
desplazamiento del vértice 2 a 2’.
La nueva ubicación del vértice 2 estará dada por la intersección de los arcos
descritos a partir del punto 1 con radio l2.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
101
Considerando la magnitud infinitesimal de estos desplazamientos frente a la
magnitud de los lados y despreciando términos de orden superior, estos arcos de
circunferencia se pueden sustituir por las normales a cada lado.
En esta forma en la figura anterior, el punto 2’ se determina como la intersección
de las normales a L1 por el punto a y a L2 por el punto 2. El radio vector 2 -2’
representa el desplazamiento del vértice debido a un incremento unitario en el lado L1.
Sobre la diagonal de comprobación representa el efecto que dicha variación
produce sobre la longitud de la diagonal. Es decir, el trazo 2-b, proyección del radio
vector 2-2’, nos da el valor C1j buscado.
De la figura se deduce
C1j = 2b =
sen B2
sen ( A2 + B2 )
Por analogía se deducen las expresiones correspondientes a los lados periféricos 1-2,
1-3 y 1-4.
C2j =
C3j =
C4j =
sen A2
sen ( A2 + B2 )
sen B4
sen ( A4 + B4 )
sen A4
sen ( A4 + B4 )
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
102
7.4.1.4.- Efecto de la diagonal L5 .-
Al aplicar un incremento a dicho lado, sobre las mismas bases anteriores punto 1
fijo y dirección 1-3 fija, el efecto sobre la diagonal de comprobación se descompondrá
en dos partes, ya que se producirán desplazamientos separadamente, de los vértices
extremos 2 y 4.
Analicemos el desplazamiento del vértice 2 por efecto de un incremento dl5 =1 en
la diagonal L5.
De acuerdo a la figura adjunta nuevamente l1 y l2 girarán describiendo arcos
respectivamente en torno a 1 y 3, los cuales pueden sustituirse por normales a dichos
lados. Trazando las normales a L1 por 2 y a L2 por a, obtenemos el punto 2’ el que
proyectado en la dirección de la diagonal de comprobación da el punto b. El trazo 2b
representa la parte del coeficiente C5j correspondiente al efecto del incremento dl5 sobre
el vértice 2.
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2b = C5j =
- sen A2
sen ( A2 + B2 )
103
cos A3
C5j = - C2j cos A3
Análogamente el efecto del incremento dl5 = 1 sobre el vértice 4
C5j =
- sen B4
sen ( A4 + B4 )
cos B3
= - C3j cos B3
C5j = - ( C2j cos A3 + C3j cos B3 )
o también:
C5j = - ( C1j cos B1 + C4j cos A1 )
Este coeficiente para todo cuadrilátero en que las diagonales se crucen en el
interior, tiene efecto y signo contrario al de los lados periféricos.
Resumiendo, las fórmulas de los coeficientes Cij son:
C1 =
C3 =
sen B2
sen ( A2 + B2)
sen B4
sen ( A4 + B4)
C2 =
C4 =
sen A2
sen ( A2 + B2)
sen A4
sen ( A4 + B4)
C5 = - ( C2 cos A3 + C3 cos B3 ) = - ( C1 cos B1 + C4 cos A1)
C6 = -1
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104
7.4.2 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA
7.4.2.1 Caso para un cuadrilátero:
6
f=
Σ pi ΔLi 2 = mínimo
(condición general )
i=1
- 2K1 (C1ΔL1 + C2ΔL2 + C3ΔL3 + C4ΔL4 + C5ΔL5 + C6ΔL6 + Δ) = 0
(ec. de condición)
Derivando la función F en relación con cada una de las variables ΔLi e igualando a cero
y posteriormente despejando los ΔLi en función de la constante K1 se tiene:
δF
δΔL1
δF
δΔL2
δF
δΔL3
δF
δΔL4
δF
δΔL5
δF
δΔL6
= 2 p1ΔL1 – 2KC1 = 0
ΔL1 =
= 2 p2ΔL2 – 2KC2 = 0
ΔL2 =
= 2 p3ΔL3 – 2KC3 = 0
ΔL3 =
= 2 p4ΔL4 – 2KC4 = 0
ΔL4 =
= 2 p5ΔL5 – 2KC5 = 0
ΔL5 =
= 2 p6ΔL6 – 2KC6 = 0
ΔL6 =
KC1
p1
KC2
p2
KC3
p3
KC4
p4
KC5
p5
KC6
p6
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
105
Reemplazando en la ecuación:
K=
−Δ
Ci2
Σ
pi
ΔLi =
− KCi
pi
7.4.2.2.- Caso para una cadena de dos cuadriláteros.-
6
f=
Σ pi ΔLi 2 = mínimo
i=1
- 2K1 (C11ΔL1 + C21ΔL2 + C31ΔL3 + C41ΔL4 + C51ΔL5 + C61ΔL6 + Δ1) = 0
- 2K2 (C12ΔL7 + C22ΔL8 + C32ΔL9 + C42ΔL2 + C52ΔL10 + C62ΔL11 + Δ2) = 0
Derivando la función F en relación con cada una de las variables ΔLi e igualando a cero
y posteriormente despejando los ΔLi en función de las constantes Ki se tiene:
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106
δF
= 2 p1ΔL1 – 2K1 C11 = 0
δΔL1
ΔL1 =
K1 C11
p1
δF
= 2 p2ΔL2 – 2K1 C21 = 0
δΔL2
ΔL2 =
K1 C21
p2
δF
= 2 p3ΔL3 – 2K1 C31 = 0
δΔL3
ΔL3 =
K1 C31
p3
δF
= 2 p4ΔL4 – 2K1 C41 = 0
δΔL4
ΔL4 =
K1 C41
p4
δF
= 2 p5ΔL5 – 2K1 C51 = 0
δΔL5
ΔL5 =
K1 C51
p5
δF
= 2 p6ΔL6 – 2K1 C61 = 0
δΔL6
ΔL6 =
K1 C61
p6
ΔL7 =
K2 C12
δF
δΔL7
= 2 p7ΔL7 – 2K2 C12 = 0
p7
δF
δΔL8
= 2 p8ΔL8 – 2K2 C22 = 0
ΔL8 =
K2 C22
p8
δF
δΔL9
= 2 p9ΔL9 – 2K2 C32 = 0
ΔL9 =
K2 C33
p9
δF
= 2 p10ΔL10 – 2K2 C52 = 0
δΔL10
ΔL10 =
K2 C52
p10
δF
= 2 p11ΔL11 – 2K2 C62 = 0
δΔL11
ΔL11 =
K2 C62
p11
Reemplazando los ΔLi por sus respectivos valores en las ecuaciones de condición :
K1C112
(K1C21+K2C42)C21
KC 2
KC 2
KC 2
KC 2
+
+ 1 31 + 1 41 + 1 51 + 1 61 = - Δ1
p1
p2
p5
p3
p4
p6
K2C122
K2C222
K2C322
(K1C21+K2C42)C42
K2C522
KC
+
+
+
+
+ 2 62 = - Δ 2
p7
p8
p9
p2
p10
p11
Lo anterior se puede resumir en el sistema de ecuaciones:
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K1
Σ
K1
Ci 1 2
pi 1
C42 C21
p2
+
K2
+
K2
C21 C42
p2
Σ
Ci 2 2
pi 2
107
= - Δ1
= - Δ2
Este sistema de ecuaciones se puede extrapolar para resolver cadenas de tres o más
cuadriláteros, obteniendo sistemas de ecuaciones de mayor tamaño.
7.4.2.3.- Ejemplo resuelto
A continuación se desarrollará un ejemplo numérico para una cadena de dos
cuadriláteros. Para mayor facilidad los pesos (pi ) no serán considerados. Los datos son
los siguientes:
Lado Valor observado
L1
L2
L3
L4
L5
L6
1016,4060
1283,0364
1638,0296
1113,8409
2158,1235
1236,9450
Lado
Valor observado
L7
L8
L9
L10
L11
1323,5206
1087,9750
1352,3919
1330,3678
2144,3416
Reemplazando los valores de los lados en las ecuaciones deducidas, obtendremos:
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108
Cuadrilátero I:
Cuadrilátero II:
X41 = 744,8595
X32 = 596,4801
< A11 = 53,36759
< A12 = 69,21781
Y41 = 828,1460
Y32 = 1135,9509
< B31 = 33,74389
< B32 = 63,48396
X21 = 937,0138
X52 = 878,6652
< B11 = 25,32856
< B12 = 53,78131
Y21 = 393,80292
Y52 = 989,7749
< A31 = 19,86038
< A32 = 72,74390
ΔX1 = - 192,1573
ΔX2 = - 282,1771
ΔY1 = 1221,9489
ΔY2 = 2125,7258
θ1 = - 9,92983
θ2 = - 8,40162
Δ1 = 0.0205
Δ2 = 0.0311
L6C = 1236,9655
L11C = 2144,3727
< A21
< B21
< A41
< B41
=
=
=
=
64,74161
90,06945
56,32628
56,56224
C11
C21
C31
C41
C51
C61
=
=
=
=
=
=
1,5158132
1,3050635
0,7922941
0,7899027
- 1,9256484
-1
< A22
< B 22
< A42
< B42
=
=
=
=
37,81707
35,65772
28,11442
39,18381
C12
C22
C32
C42
C52
C62
=
=
=
=
=
=
0,5809845
0,6120688
0,6629195
0,4907380
- 0,6138525
-1
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
K1
Σ
K1
Ci 1 2 + K2 C21 C42
C42 C21
K1
9,9606784
0,6404443
ΔL1
ΔL2
ΔL3
ΔL4
ΔL5
ΔL6
ΔL7
ΔL8
ΔL9
ΔL10
ΔL11
Lado
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
L9
L10
L11
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+ K2
Σ
109
= - Δ1
Ci 2 2 = - Δ2
K2
k
+ 0,6404443 = - 0, 0205
+ 2,7692723 = - 0,0311
-0,0013562
-0,0013562
-0,0013562
-0,0013562
-0,0013562
-0,0013562
-0,0109167
-0,0109167
-0,0109167
-0,0109167
-0,0109167
Valor
1016,4060
1283,0364
1638,0296
1113,8409
2158,1235
1236,9450
1323,5206
1087,9750
1352,3919
1330,3678
2144,3416
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1,5158132 = -0,0021
1,3050635 – 0,0109167 x 0,4907380 = - 0,0071
0,7922941 = -0,0011
0,7899027 = -0,0011
-1,9256484 = 0,0026
-1
= 0,0014
0,5809845 = -0,0063
0,6120688 = -0,0067
0,6629195 = -0,0072
-0,6138525 = 0,0067
-1
= 0,0109
Corrección
- 0,0021
-0,0071
-0,0011
-0,0011
0,0026
0,0014
-0,0063
-0,0067
-0,0072
0,0067
0,0109
Valor Corregido
1016,4039
1283,0293
1638,0285
1113,8398
2158,1261
1236,9464
1323,5143
1087,9683
1352,3847
1330,3745
2144,3525
Es necesario hacer las comprobaciones angulares en los diferentes vértices con los
ángulos calculados con los valores de los lados corregidos.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
110
Ejemplo resuelto 2: Cadena de cuatro cuadriláteros.-
LADO
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
L8
L9
L10
L11
VALOR MEDIDO
92,343
94,663
95,995
96,010
132,901
135,064
97,310
96,257
95,665
136,926
134,510
LADO
L12
L13
L14
L15
L16
L17
L18
L19
L20
L21
VALOR MEDIDO
102,043
96,397
101,103
140,733
139,228
100,176
94,536
103,156
139,460
139,436
Valores calculados:
Con las fórmulas anteriores se obtuvieron los siguientes valores
para cada cuadrilátero:
ITEM
X4
A1
Y4
B3
X2
B1
Y2
A3
ΔX
ΔY
θ
LC
Δ
A2
B2
A4
B4
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Σ Ci
2
CUADRILATERO
I
II
III
66,461335
67,766607
66,968553
51,325368
49,205864
51,016506
69,287885
66,096676
69,142049
51,335740
48,558694
47,941532
64,818255
69,207293
74,347060
50,464449
49,630014
48,035611
65,770992
68,407505
69,894839
48,900620
50,322126
51,638779
1,643080
-1,440686
-7,378507
135,058877
134,504181
139,036888
0,774452
-0,681863
-3,375292
135,06887
134,511896
139,232535
0,004871
0,001896
0,004535
50,310003
49,688123
48,589097
50,324928
50,359736
51,736513
49,438712
50,759443
48,683176
47,900180
51,475998
52,358786
COEFICIENTES DE INFLUENCIA
0,71074195
0,71109134
0,72613866
0,71057699
0,70363442
0,69127226
0,68400075
0,72375564
0,73291316
0,70145777
0,71593289
0,69242306
-0,98446313 -1,01824766
-1,01079129
-1
-1
-1
3,939141446 4,073962723 4,043445116
IV
64,894281
52,984021
71,281932
48,566881
73,667243
47,400911
67,884964
50,996300
-8,772961
139,166897
-4,007893
139,443142
0,007142
48,591196
53,011593
47,425226
51,023872
0,73998815
0,69150619
0,71860043
0,67813900
-1,00069304
-1
4,003408914
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
111
Nota: se agregaron varios decimales para aumentar la precisión en los cálculos. Los
resultados finales serán entregados con el número de decimales correspondientes.
Determinación del sistema de ecuaciones
K1
Σ Ci 2 2
C42C21
0
0
K2
C42C21
Σ Ci 3 2
C22C43
0
K3
0
C22C43
Σ Ci 4 2
C23C44
K4
0
0
C23C44
Σ Ci 5 2
K
- Δ1
- Δ2
- Δ3
- Δ4
=
=
=
=
Reemplazando los valores calculados anteriormente, obtenemos el sistema:
K1
3,939141446
0,508725438
0
0
K2
0,508725438
4,073962723
0,4872126982
0
K3
0
0,4872126982
4,043445116
0,4687786791
K4
0
0
0,4687786791
4,003408914
=
=
=
=
K
- 0,004871
- 0,001896
- 0,004535
- 0,007142
Resolviendo este sistema de ecuaciones se obtuvieron los siguientes valores para ki
K1
K2
K3
K4
=
=
=
=
- 0,0012099
- 0,000206425
- 0,000902115
- 0,00167835
Cálculo de las Correcciones ΔLi
ΔL1
ΔL2
ΔL3
ΔL4
ΔL5
ΔL6
ΔL7
ΔL8
ΔL9
ΔL10
ΔL11
ΔL12
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
- 0,0012099 * 0,71074195 = -0,0009
- 0,0012099 * 0,71057699 – 0,000206425 * 0,71593289 = -0,0010
- 0,0012099 * 0,68400075 = - 0,0008
- 0,0012099 * 0,70145777 = - 0,0009
- 0,0012099 * - 0,98446313 = 0,0012
- 0,0012099 * - 1 = 0,0012
- 0,000206425 * 0,71109134 = - 0,0001
- 0,000206425 * 0,70363442 – 0,000902115 * 0,69242306 = - 0,0008
- 0,000206425 * 0,72375564 = - 0,0001
- 0,000206425 * - 1,01824766 = 0,0002
- 0,000206425 * - 1 = 0,0002
- 0,000902115 * 0,72613866 = - 0,0007
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
ΔL13
ΔL14
ΔL15
ΔL16
ΔL17
ΔL18
ΔL19
ΔL20
ΔL21
=
=
=
=
=
=
=
=
=
112
- 0,000902115 * 0,69127226 – 0,00167835 * 0,67813900 = - 0,0018
- 0,000902115 * 0,73291316 = - 0,0007
- 0,000902115 * - 1,01079129 = 0,0009
- 0,000902115 * - 1 = 0,0009
- 0,00167835 * 0,73998815 = - 0,0012
- 0,00167835 * 0,69150619 = - 0,0012
- 0,00167835 * 0,71860043 = - 0,0012
- 0,00167835 * - 1,00069304 = 0,0017
- 0,00167835 * - 1 = 0,0017
Corrección de los lados medidos
LADO VALOR MEDIDO CORRECCION VALOR CORREGIDO
L1
92,3430
-0,0009
92,3421
L2
94,6630
-0,0010
94,6620
L3
95,9950
-0,0008
95,9942
L4
96,0100
-0,0009
96,0091
L5
132,9010
0,0012
132,9022
L6
135,0640
0,0012
135,0652
L7
97,3100
-0,0001
97,3099
L8
96,2570
-0,0008
96,2562
L9
95,6650
-0,0001
95,6649
L10
136,9260
0,0002
136,9262
L11
134,5100
0,0002
134,5102
L12
102,0430
-0,0007
102,0423
L13
96,3970
-0,0018
96,3952
L14
101,1030
-0,0007
101,1023
L15
140,7330
0,0009
140,7339
L16
139,2280
0,0009
139,2289
L17
100,1760
-0,0012
100,1748
L18
94,5360
-0,0012
94,5348
L19
103,1560
-0,0012
103,1548
L20
139,4600
0,0017
139,4617
L21
139,4360
0,0017
139,4377
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
113
Comprobaciones angulares
<
A1
B1
Σ
γ
Δ
VALOR
51.32431
50.46316
101.78747
101.78749
0.00002
<
A2
B2
Σ
γ
Δ
<
A1
B1
Σ
γ
Δ
VALOR
49.20568
49.62940
98.83508
98.83502
-0.00006
<
A2
B2
Σ
γ
Δ
<
A1
B1
Σ
γ
Δ
VALOR
51.01560
48.03410
99.04970
99.04976
0.00006
<
A2
B2
Σ
γ
Δ
<
A1
B1
Σ
γ
Δ
VALOR
52.98244
47.39938
100.38181
100.38186
0.00005
<
A2
B2
Σ
γ
Δ
CUADRILATERO I
VALOR
<
VALOR
50.31121
A3
48.89944
50.32615
B3
51.33461
100.63736
100.23405
Σ
100.63738
100.23407
γ
0.00002
0.00002
Δ
CUADRILATERO II
VALOR
<
VALOR
49.68824
A3
50.32197
50.36046
B3
48.55793
100.04870
98.87990
Σ
100.04865
98.87984
γ
-0.00005
-0.00006
Δ
CUADRILATERO III
VALOR
<
VALOR
48.59015
A3
51.63788
51.73779
B3
47.94063
100.32794
99.57851
Σ
100.32800
99.57857
γ
-0.00006
0.00006
Δ
CUADRILATERO IV
VALOR
<
VALOR
48.59245
A3
50.99463
53.01348
B3
48.56508
101.60593
99.55971
Σ
101.60597
99.55975
γ
0.00004
0.00004
Δ
<
A4
B4
Σ
γ
Δ
VALOR
49.43976
47.90128
97.34104
97.34107
0.00003
<
A4
B4
Σ
γ
Δ
VALOR
50.75971
51.47675
102.23646
102.23640
-0.00006
<
A4
B4
Σ
γ
Δ
VALOR
48.68362
52.36007
101.04369
101.04375
0.00006
<
A4
B4
Σ
γ
Δ
VALOR
47.42675
51.02567
98.45242
98.45245
0.00003
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
II Parte:
REPLANTEO DE ELEMENTOS GEOMETRICOS
114
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
115
8. REPLANTEOS
Definición:
El replanteo se define como la operación de trasladar diseños al terreno,
materializados en éste con señales especiales. Cuando se estudian proyectos de obras de
ingeniería, se levanta previamente un plano topográfico de la zona. Dibujado éste, se
proyectan en él las obras por construir.
El replanteo consiste en este caso en señalar en el terreno la ubicación
exacta de las obras por medio de señales más o menos permanentes como estacas,
monolitos u otros.
Ahora, para facilitar el replanteo de un proyecto es conveniente que en el
plano figuren puntos bien definidos que sirvan de referencia para la ubicación de ejes
trazados de las obras.
8.1 REPLANTEO DE PUNTOS
Consiste en ubicar puntos específicos en terreno, el cual se puede
realizar de diferentes formas:
1. Por coordenadas rectangulares, es decir, conocido un eje determinado y dadas
las abcisas y ordenadas correspondientes.
2. Dadas dos referencias lineales desde dos puntos conocidos (es decir, se conoce
la distancia entre ambos y el azimut de uno con respecto al otro).
3. Dadas dos referencias angulares a partir de dos puntos conocidos.
4. Dada una referencia angular y una referencia lineal desde dos puntos conocidos.
5. Dado un ángulo y distancia con respecto a dos puntos conocidos (coordenadas
polares).
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
116
8.2 REPLANTEO DE RECTAS
Los métodos más conocidos para el replanteo de rectas son los siguientes:
1. Dados dos puntos fijos A y B visibles, intercalar puntos intermedios:
2. Prolongación de un alineamiento entre dos puntos conocidos: se instala el
taquímetro o teodolito en B, se lee el círculo horizontal hacia A, se suma 200g a
esta lectura, se busca esta lectura y se ubica C. Luego se fija el círculo horizontal
y con el movimiento vertical del anteojo se puede ubicar D, E, F, etc. hasta
donde sea posible o necesaria la prolongación del alineamiento.
3. Dados dos puntos fijos A y B conocidos, prolongar su alineamiento más allá de
B a través de un obstáculo que impide la visibilidad: la solución será realizar
una poligonal, luego con las coordenadas obtener ecuaciones de las rectas AB y
FG y luego encontrar las coordenadas del punto de intersección P:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
117
4. Dados dos puntos A y B no visibles, intercalas puntos entre ellos: se realiza una
poligonal que pase por A y B, y luego con las coordenadas de las estaciones por
medio de intersección de rectas, se pueden obtener las coordenadas de los puntos
intermedios.
8.3 REPLANTEO DE ANGULOS
El replanteo de ángulos puede ser corriente o precisa. En este segundo caso
se utilizarán los métodos de medición precisa de ángulos, estudiados en capítulos
anteriores.
8.4 REPLANTEO DE FIGURAS PLANAS CON LADOS RECTOS
Para este tipo de replanteo se deberá considerar
que las distancias
entregadas en los diseños son horizontales y por lo tanto si en terreno se miden
distancias inclinadas, habrá que hacer la reducción respectiva a la horizontal.
Las huinchas con que se miden las distancias deberán ser preferentemente de acero (si
son plásticas deben ser chequeadas para ver si poseen alargamiento que distorsione las
distancias, y así hacer la corrección correspondiente).
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
118
8.5 REPLANTEO DE CURVAS HORIZONTALES
8.5.1 REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES SIMPLES
8.5.1.1 Elementos Geométricos de una Curva Circular
a) Tangentes Principales
V
V-PC = V-FC = T
tg α = ( T / R )
T = R tg α
B
T
b) Bisectriz
M
V'
V''
D
VM = B = VO – MO
F
B = VO – R
C
PC
sec α = ( VO / R )
FC
VO = R sec α
R
B = R sec α - R
O
B = R ( sec α - 1 )
d) Cuerda
c) Desarrollo del Arco
PC-FC = C
PC~M~FC =
CπRα
D=2
sen α = 100
R
2πR 2α
400
C = 2 R sen α
e) Flecha
MC = F = MO – CO
cos α = ( CO / R )
F = R – R cos α
Æ
F = R – CO
Æ CO = R cos α
Æ
F = R ( 1 – cos α )
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119
8.5.1.2 Trazado de Puntos Intermedios de una Curva Circular
< VPC1 = 1PC2 = 2PC3 = (γ/2) = δ
V
Arco PC1 = Arco 12 = Arco 23 = a
2πRγ
400
γ=2δ
a=
2
1
3
FC
PC
2πR 2δ
400
πRδ
a=
100
a=
R
δ=
100a
πR
Como en la práctica no se puede medir según los arcos, se los sustituye por las
cuerdas correspondientes, lo que equivale a decir que a = c; lo que no es exacto. Se
puede calcular cuál es la diferencia entre ambos.
Se tiene que:
e=a–c
a=
2πRδ
200
c = 2R sen δ
e=a–c=
= 2R (
pero tenemos que
πδ
200
= δ (rad) =
2πRδ
- 2 R sen δ
200
πδ
200
- sen δ )
a
2R
e = a – c = 2R ( δ - sen δ)
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
sen δ = δ -
δ3
3!
e = 2R (δ - δ +
e=
+
δ5
5!
δ3
3!
−
δ7
7!
120
+ ...
)
Rδ 3
3
⎛ a ⎞
R⎜
⎟
2R ⎠
⎝
e=
3
e=
Ra 3
24R 3
e=
a3
24R 2
3
De esta última fórmula se tiene también:
a = 3 24 R 2e
Esto permite calcular el valor máximo de a para que e no pase de cierto
límite previamente fijado. Una vez conocido el valor de a se determina el valor del
ángulo δ para la ubicación de los puntos intermedios y para la cual se deberá considerar
si la curva es derecha o izquierda.
Además, si necesitamos calcular las distancias para el replanteo de los
puntos intermedios 1, 2, 3, ... etc, desde PC, podemos utilizar la siguiente fórmula.
dn = 2R sen nδ
8.5.1.3 Curvas Circulares con Angulo Central Obtuso
Para este caso se utilizarán las fórmulas:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
121
B = R ( 1 – sec α )
F = R ( 1 – cos α )
T = - R tg α
C = 2R sen α
D=
πRα
100
Ejemplo resuelto: Se tiene una curva circular a la derecha con un radio de 75 m., un
ángulo de deflexión 2α = 130g y e = 0,005 m. ¿Qué lectura se deberá tener hacia el
punto 5 para su replanteo, si el instrumento se encuentra instalado en PC?.¿Qué lectura
se deberá tener hacia el punto 6 para su replanteo, si el instrumento se encuentra
instalado en el punto 5 y calando hacia el vértice con 236,42g ?
Solución: primero calculamos los elementos de la curva circular con los datos
entregados y tenemos:
T = 122,389 m.
V
00g
B = 68,541 m.
236,42
C = 127,896 m.
F = 35,813 m.
D = 153,153 m.
M
A
5
6
D
A = 8,772 ≈ 8 m.
FC
PC
δ = 3,3953g
O
Tenemos que para instalar P5 se utiliza 5δ = 16,9765g y d5 = 39,528. Utilizando éstos
valores, además de la tangente, podemos calcular la distancia desde P5 hasta el vértice
por el Teorema del Coseno, obteniendo 84,900 m. Ahora con estas tres distancias,
calculamos el ángulo A de la siguiente manera:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
senA
sen16,9765 g
=
122,389
84,900
A = 175,1932
122
(Teorema del Seno)
g
Si al calaje desde P5 hasta V le restamos < A tenemos 236,4200 – 175,1932 = 61,2268g.
Este último será el calaje desde P5 hacia PC. Si a este valor le sumamos 200g tendremos
el retroazimut, por lo tanto al sumar además 6 δ tendremos el calaje para el replanteo de
P6:
Lectura = 61,2268 + 200 = 261,2268 + 20,3718 = 281,5986g
La distancia será de 8 m.
8.5.1.4 Arcos de Enlace Compuesto
Se distinguen dos casos de curvas de tangentes desiguales enlazadas, constituidas por
curvas circulares de dos o más centros. Éstas se utilizan en circunstancias especiales de
un proyecto, como la necesidad de salvar algún obstáculo o la conveniencia de evitar
grandes terraplenes o cortes. Estos son:
a) Curvas de dos arcos sin punto de inflexión o Arco de dos centros
V
Sean PC1 y FC2 los puntos de entrada
y término de la curva. Si elegimos un
radio, por ejemplo R2, podemos
V'
FC1
PC 1
V ''
R2
L
R2
determinar el de la otra curva y la
PC 2
O2
N
R1
posición del punto de contacto de una
curva
y
otra,
levantando
las
FC2
perpendiculares en PC1 y FC2 a las
respectivas tangentes y aplicando
O1
sobre una y otra magnitudes R2.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
123
Uniendo N con O2 y levantando la perpendicular en su punto medio L cortará en O1 a la
normal en PC1. Los puntos O1 y O2 prolongados en R2 más allá de O2 determinará el
punto FC1, equivalente con PC2. Determinando estos elementos, estaremos en
condiciones de replantear ambas curvas.
b) Curvas de dos arcos con punto de inflexión
V
2 FC2
O2 R
V'
PC2
FC1
R2
N
PC1
N
R1
V''
O1
Cuando la curva tenga un punto de inflexión se operará de la misma forma.
Suponiendo sea R2 el radio elegido, ahora se prolongará la magnitud R2 En sentido
contrario sobre la normal a la tangente en el punto PC1. El punto O1 de intersección de
esta normal con la perpendicular N-O2 en el punto medio, nos entrega el centro de la
curva que buscamos.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
124
8.5.1.5 Trazado de Curvas Circulares por Coordenadas Rectangulares
a) Por iguales o distintos incrementos sobre la tangente
Radio
Yn = R − R 2 − X n2
Y3
Y2
Y1
X1
Tangente
X3
X2
b) Por iguales incrementos sobre el arco
200a
πR
X n = Rsen(nγ )
γ =
Radio
a
Yn = R(1 − cos nγ )
Y3
a
Y2
a
Y1
X1
X2
X3
Tangente
c) Por iguales incrementos sobre la cuerda
(
Yn = F − R − R 2 − X n2
Y3
X3
Y2
X2
Y1 F
X1
Y1 Y2 Y3
X1 X2 X3
)
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
125
8.5.1.6 Longitud de Arco de una Curva Circular
a) Longitud de Arco en Coordenadas Rectangulares
Se tiene que:
R2 = x2 + y2
(Ecuación de la Circunferencia)
y = R2 − x2
−x
dy
=
dx
R2 − x2
⎛ −x
1 + ⎜⎜
2
2
⎝ R −x
b
S=
∫
a
b
S=
∫
1+
a
b
S=
∫
a
2
⎞
⎟ dx
⎟
⎠
x2
dx
R2 − x2
R2
dx
R2 − x2
b
S=∫
a
b
⎛x⎞
dx = S = Rarcsen⎜ ⎟ (rad .)
2
2
⎝R⎠a
R −x
R
b) Longitud de Arco en Coordenadas Polares
Sea ρ = f (θ) la ecuación de una curva en coordenadas polares donde ρ es el
radio polar y θ el ángulo polar. Las fórmulas de transformación de coordenadas polares
a rectangulares son:
x = ρ cos θ
y = ρ sen θ
Al sustituir ρ por su expresión en función de θ obtenemos las ecuaciones
x = f(θ) cos θ
y = f(θ) sen θ
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
126
Estas se pueden considerar como las ecuaciones paramétricas de la curva y aplicando
para el cálculo de la longitud de arco, se tiene:
x = ϕ (t)
α ≤t≤β
y = ψ (t)
ϕ (t) y ψ (t) son funciones continuas con derivadas continuas, sin que ϕ (t) se
donde
anule en el intervalo dado. En este caso estas ecuaciones determinan una cierta función
y = f(x) continua, también con derivada continua.
Sea a = ϕ (α) y b = ϕ (β), realizaremos la siguiente sustitución en la integral para
un arco.
x = ϕ (t) Æ dx = ϕ’ (t) dt
β
S=
2
⎡ψ ' (t ) ⎤
1+ ⎢
⎥ ϕ ' (t )dt
⎣ ϕ ' (t ) ⎦
∫
α
β
S=
∫α [ϕ ' (t )] + [ψ ' (t )] dt
2
2
(Ecuación General)
El radio R es constante por lo tanto se tiene que:
x = R cos θ
y = R sen θ
Æ
Æ
β
S=
∫
α
R 2 sen 2θ + R 2 cos 2 θ dθ
β
S = R ∫ sen 2θ + cos 2 θ dθ
α
β
β
S = R ∫ dθ = Rθ α
α
dx = - R sen θ
dy = R cos θ
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
127
Ejemplo resuelto 1: Determinar la longitud de arco de una curva circular de radio R =
50 m. entre x1 = 18,5 m. y x2 = 32,6 m.
32 , 6
⎛ x ⎞
= 16,561 m.
S = 50 arcsen ⎜ ⎟
⎝ 50 ⎠ 18,5
Ejemplo resuelto 2: Determinar la longitud de arco de una curva circular de radio R =
50 m. entre α = 30g y β = 70g.
S=Rθ
70
30
= Rβ − Rα = 31,416 m.
8.5.1.7 Superficie bajo la Curva Circular
a) En Coordenadas Rectangulares
La ecuación para calcular la superficie bajo la curva circular en coordenadas
rectangulares, donde R es el radio de ésta y x los valores de las abcisas, es la siguiente:
x2
A=
∫
x1
⎡x
R2
⎛ x ⎞⎤
R 2 − x 2 dx = ⎢
R2 − x2 +
arcsen⎜ ⎟⎥
2
⎝ R ⎠⎦
⎣2
x2
x1
b) En Coordenadas Polares
Se tiene que:
R
A=
∫
R 2 − x 2 dx
(Superficie de un cuarto de círculo)
0
x = R sen (t)
Æ
dx = R cos (t) dt
x = 0 para t = 0
x = R para t = π/2
π
A=
2
∫
0
R 2 − R 2 sen 2t R cos tdt
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
128
π
2
A = R 2 ∫ 1 − sen 2t cos tdt
0
π
2
A = R 2 ∫ cos 2 tdt
0
π
2
⎡1 1
⎤
A = R 2 ∫ ⎢ − cos 2t ⎥dt
2
⎦
0 ⎣2
π
⎡ t sen2t ⎤
A=R ⎢ −
4 ⎥⎦
⎣2
2
2
A=
0
πR 2
4
Luego, la fórmula general para el área de un sector circular es:
⎡ t sen2t ⎤
A=R ⎢ −
4 ⎥⎦
⎣2
t2
2
con t en radianes
t1
Ejemplo resuelto 1: Determinar el área de la parte achurada de la circunferencia en la
siguiente figura:
Se tiene que R = 50 m., x1 = 20 y x2 = 40 . aplicando la
fórmula del cálculo de área en coordenadas rectangulares,
tenemos:
A=
40
502
⎛ 40 ⎞
arcsen⎜ ⎟
502 − 402 +
2
2
⎝ 50 ⎠
⎡ 20
502
⎛ 20 ⎞⎤
- ⎢
arcsen⎜ ⎟⎥ = 786,465 m2.
50 2 − 202 +
2
⎝ 50 ⎠⎦
⎣2
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
129
Ejemplo resuelto 2: Calcular el área de la parte de la circunferencia de 50 m. de radio,
delimitada por las abcisas a cuyos puntos corresponden los ángulos α = 25g y β = 60g,
como se observa en la figura:
Reemplazando los valores en la fórmula del área en coordenadas polares, tenemos:
⎡ ⎛ π ⎞
⎛ π ⎞⎤
⎢ 60⎜ 200 ⎟ sen2 * 60⎜ 200 ⎟ ⎥
⎝
⎠⎥
⎠−
A = 502 ⎢ ⎝
4
2
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
y
60
25
50
0
x
⎡ ⎡ ⎛ π ⎞
⎛ π ⎞ ⎤⎤
⎟ sen2 * 25⎜
⎟ ⎥⎥
⎢ ⎢ 25⎜
200
200
⎠
⎝
⎠ ⎥⎥
⎝
2
− ⎢50 ⎢
−
⎢ ⎢
2
4
⎥⎥
⎢ ⎢
⎥⎥
⎦⎦
⎣ ⎣
A = 534,755 m2.
Observación: Notar que también es posible transformar las coordenadas polares a
rectangulares y utilizar la fórmula anterior, obteniendo los mismos resultados.
Se tendrá entonces que:
x1 = 50 cos 60g = 29,389 m.
x2 = 50 cos 25g = 46,194 m.
Luego:
A=
46,194
502
⎛ 46,194 ⎞
502 − 46,1942 +
arcsen⎜
⎟
2
2
⎝ 50 ⎠
⎡ 29,389
502
⎛ 29,389 ⎞⎤
2
2
2
- ⎢
arcsen⎜
50 − 29,389 +
⎟⎥ = 534,755 m .
2
⎝ 50 ⎠⎦
⎣ 2
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
130
8.5.2 REPLANTEO DE CURVAS CIRCULARES CON ENLACE
8.5.2.1 CURVAS CON ENLACE PARABÓLICO
Para pasar de una recta a una curva circular de radio igual o menor a 700 m., se
emplea una curva de enlace que debe cumplir con las siguientes condiciones:
•
Ser tangente y tener un radio infinito en el punto de tangencia con la recta.
•
Ser tangente y tener el mismo radio que la curva circular en el punto de contacto
con ésta.
•
Tener un largo suficiente para que se alcance la aceleración centrífuga en forma
no desagradable.
•
Finalmente, que el incremento de la aceleración sea constante.
a) Elementos Geométricos de una Curva Circular con Enlace Parabólico
FP
10
20
30
40
X
c
=
S
50
O
FC
c
R
Y
R'
R+
V
R
S
PC
20
PP 0
10
20
30
40
m.
50
Yc
Xc
T'
V'
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
131
b) Fórmulas de cálculo
OA = 20 + R 2 = 102 + (R + S )
2
2
2
R + S = R 2 + 300
S = R 2 + 300 − R
tgβ =
10
=
R+S
tgγ =
20
R
10
R + 300
2
δ = β +γ
X C = 30 + Rsenδ
YC = 20 senδ
y=
YC
x3
( X C )3
y = ax 3
T ' = (R + S )tgα '+30
Ejemplo resuelto: Calcular la tabla de replanteo por coordenadas rectangulares de una
curva con enlace parabólico, donde R = 125 m. y 2α’ = 145g.
Con las fórmulas anteriores calculamos todos los parámetros, para obtener tanto XC
como YC. De esta forma obtenemos:
S = 1,194 m.
β = 5,0342g
γ = 10,1003g
XC = 59,438 m.
YC = 4,710 m.
T’ = 303,736 m.
Por lo tanto, la ecuación de la parábola cúbica será y =
δ = 15,1345g
4,710 3
x = 0,000022429 x3
3
59,438
Tabla de replanteo:
PTO.
0
1
2
3
x (m.)
0
10
20
30
y (m.)
0,000
0,022
0,179
0,606
PTO.
4
5
6
x (m.)
40
50
59,438
y (m.)
1,435
2,804
4,710
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132
c) Longitud de Arco para una Curva de Enlace Parabólico
dy
= 3ax 2 . Entonces
dx
Se tiene que y = ax 3 , de donde se deduce que
2
⎛ dy ⎞
2 4
⎜ ⎟ = 9a x .
⎝ dx ⎠
Como la longitud de arco para una función f(x) se define como
∫
1 + ( f ' ( x) ) dx ,
2
entonces, la longitud de arco de la parábola cúbica será:
b
S=
∫
1 + 9a 2 x 4 dx
a
8.5.2.2 CURVAS CIRCULARES CON ENLACE CLOTOIDAL
a) Elementos Geométricos de la Clotoide
ET
R
Y
CE
T
t
R
V
Y0
R
EC
SL
TE
X
t
R
t
O
VE
R+
A2 = R L
A2 = constante
R = radio
L = largo o desarrollo
TC
Y
t
X0
TL
VE
X
V'
X
T'
A es un parámetro que caracteriza a la clotoide y expresa su tamaño. Además, para una
misma clotoide siempre se cumplirá la condición A2 = R*L.
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133
Nomenclatura:
O
L
l
ΔR
TE
EC
CE
ET
VE
τ
t
X
Y
X0
Y0
TC
Tl
γ
2α
T’
φ
SL
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Centro de la circunferencia de radio R
Longitud de arco de la clotoide
Longitud de arco de la clotoide desde el origen a un punto cualquiera de ella
Ordenada desde la tangente principal al círculo desplazado (retranqueo)
Tangente espiral
Espiral curva
Curva espiral
Espiral tangente
Vértices de la espiral
Ángulo central del arco de espiral con longitud l
Ángulo central del arco de espiral con longitud L
Abcisa de EC
Ordenada de EC
Abcisa del centro del círculo
Ordenada del centro del círculo
Tangente corta
Tangente larga
Ángulo del vértice de los alineamientos principales
Ángulo del vértice de las tangentes de la curva circular
Tangente principal
Ángulo de desviación de la espiral
Cuerda entre TE y EC
Así como el radio de curvatura será diferente para cada punto de la clotoide,
también será distinto el ángulo t formado entre la tangente en el origen (tangente
principal) y la tangente en el punto.
La curvatura de una curva está dada por
la siguiente relación:
1
dt
→K=
R
dl
1 dl
R=
=
K dt
K=
O1
O2
R1
t1
t2
R
2
Pero se tiene que A2 = R*L
t1
t2
luego R =
A2 dl
=
→ A2 dt = Ldl
L
dt
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
134
Integrando esta última expresión se tiene que:
A2t =
t=
L2
+C
2
L2
, pero tenemos que A2 = R L
2
2A
Reemplazando, tenemos que:
t=
L2
2 RL
Por lo tanto:
t=
L
2R
d
Además:
τ=
l
A2
=
2 R ' 2 R '2
⎧⎪ A2 = 2 R 2t ⎫⎪
2 R 2t
=
τ
⎨ 2
⎬
2 R '2
⎪⎩ A = 2 R'2 τ ⎪⎭
R 2t
τ= 2
R'
RL = R' l
2
l
dl
dy
dx
2
⎛l⎞
⎛R⎞
⎜ ⎟ =⎜ ⎟ →
⎝ R' ⎠
⎝ L⎠
2
⎛l⎞
τ =⎜ ⎟ t
⎝L⎠
Con esta última fórmula se puede encontrar τ en cada punto de la clotoide.
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b) Cálculo de Coordenadas Rectangulares en la Clotoide
De la figura anterior se tiene que:
dy = dl sen τ
dx = dl cos τ
y de acuerdo con la Serie de Taylor, tenemos que:
⎞
⎛
τ3 τ5 τ7
dy = dl⎜⎜τ − + − + ...⎟⎟
3! 5! 7!
⎠
⎝
⎞
⎛ τ2 τ4 τ6
dx = dl⎜⎜1 − + − + ...⎟⎟
2! 4! 6!
⎠
⎝
2
⎛l⎞
Pero como τ = ⎜ ⎟ t , entonces:
⎝L⎠
⎛ ⎛ l ⎞ 2 t 3 ⎛ l ⎞6 t 5 ⎛ l ⎞10 t 7 ⎛ l ⎞14
⎞
dy = dl⎜ t ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ... ⎟
⎜ ⎝ L ⎠ 3! ⎝ L ⎠ 5! ⎝ L ⎠
⎟
7! ⎝ L ⎠
⎝
⎠
⎛ t 2 ⎛ l ⎞ 4 t 4 ⎛ l ⎞8 t 6 ⎛ l ⎞12
⎞
dx = ⎜1 − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ... ⎟
⎜ 2! ⎝ L ⎠
⎟
4! ⎝ L ⎠ 6! ⎝ L ⎠
⎝
⎠
Por lo tanto, las fórmulas de cálculo son las siguientes:
⎛τ τ 3
τ5
τ7 ⎞
⎟⎟
+
−
y = l⎜⎜ −
⎝ 3 42 1320 75600 ⎠
⎛ τ2 τ4
τ6 ⎞
⎟⎟
−
x = l⎜⎜1 − +
⎝ 10 216 9360 ⎠
⎛ t t3
t5
t7 ⎞
⎟⎟
+
−
Y = L⎜⎜ −
⎝ 3 42 1320 75600 ⎠
⎛ t2
t4
t6 ⎞
⎜
⎟⎟
−
X = L⎜1 − +
10
216
9360
⎝
⎠
135
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
136
c) Obtención de Elementos Geométricos de la Clotoide
X0 = X – R sen t
TC = Y cosec t
Y0 = Y + R cos t
TL = X – Y cotg t
T’ = X0 + ( R+ ΔR ) tg α’
2α = 2α’ – 2t = γ - 2t
ΔR = Y0 – R
φ = arctg ⎜
⎛Y ⎞
⎟
⎝X⎠
ΔR = Y + R cos t – R
SL =
ΔR = Y + R (cos t –1)
X2 +Y2
Ejemplo resuelto: Se tiene una curva circular de radio R = 100 m. con un enlace
Clotoidal cuyo parámetro A = 70 y 2α’ = 60g. Calcular los elementos geométricos de la
Clotoide y la tabla de replanteo de ésta.
Solución:
Con las fórmulas mostradas se podrán calcular todos los parámetros, obteniendo los
siguientes valores:
t = 15,5972g
X = 48,707 m.
Y = 3,985 m.
y0 = 100,999 m.
ΔR = 0,999 m.
T’ = 75,913 m.
2α = 28,8056g
φ = 5,1970 m.
L = 49 m.
x0 = 24,451 m.
TC = 16,429 m.
TL = 32,768 m.
SL = 48,870 m.
Tabla de Replanteo:
l (m.)
0
7
14
21
28
35
42
49
τ ( g)
0,0000
0,0050
0,0200
0,0450
0,0800
0,1250
0,1800
0,2450
X (m.)
0,000
7,000
13,999
20,996
27,982
34,945
41,864
48,707
Y (m.)
0,0000
0,012
0,093
0,315
0,746
1,457
2,514
3,984
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
137
8.5.3 REPLANTEO DE ELIPSES
Para toda elipse se tienen los siguientes
y
parámetros:
b
a : semieje mayor
b: semieje menor
x
a
x2 y 2
+
=1
a 2 b2
ó
x2 y 2
+
=1
b2 a 2
(Ecuación General de la Elipse)
Cada ecuación corresponde a la elipse con semieje mayor paralelo al eje X y al eje Y
respectivamente.
a) Longitud de arco de elipse
Las ecuaciones para obtener la longitud de una elipse son las siguientes:
a
L = 4∫ 1 +
0
b2 x2
dx
a2 a2 − x2
(
)
(si x = a, no está definida)
π
2
L = 4a ∫ 1 − e 2 sen 2θ dθ
0
donde e 2 =
a 2 − b2
a2
Obs.: Las integrales elípticas no pueden resolverse en general empleando primitivas
construidas con funciones elementales. Por lo tanto, para encontrar la longitud de una
elipse se utilizará un método de aproximación como el Método del Trapecio o el de
Simpson.
b) Área de una Elipse
La fórmula es la siguiente:
b ⎡1 ⎛
⎛ x ⎞ ⎞⎤
A = ⎢ ⎜⎜ x a 2 − x 2 + a 2 arcsen⎜ ⎟ ⎟⎟⎥
a ⎣2 ⎝
⎝ a ⎠ ⎠⎦
x2
x1
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
8.6
138
CURVAS VERTICALES
Para proporcionar una transición gradual entre líneas rasantes o subrasantes en
un plano vertical en el caso de carreteras y vías férreas, se necesitan líneas curvas.
Como tales curvas están contenidas en planos verticales, se denominan curvas
verticales. Ésta se puede apreciar en la siguiente figura:
donde
Para toda curva vertical se cumple
PCV: principio de la curva vertical
que:
FCV : fin de la curva vertical
y=
E : ordenada máxima.
E 2
x
T2
Para el cálculo de curvas verticales existen dos metodologías, las cuales estudiaremos a
continuación.
8.6.1
PRIMER METODO
En este método se presentan dos casos:
a) L > T (Pendientes suaves)
En este caso las fórmulas a utilizar son las siguientes:
4E
T
2 LE
T=
h+E
Δi =
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
139
b) L < T (Pendientes fuertes)
Las fórmulas son las siguientes:
4E
T
E
T =L
h
Δi =
donde Δi es la diferencia algebraica de las pendientes y h es la altura del ojo del
conductor (h = 1 m.).
Para saber a qué caso pertenecen los datos de un perfil longitudinal se debe hacer
un análisis, el cual parte del caso crítico en que L = T, caso en que se tiene además que
h = E.
Luego, Δi =
4 E 4h 4
=
=
T
T
L
( h = 1 m.)
La visibilidad L está dada según la categoría del camino en la siguiente tabla:
CATEGORIA VELOCIDAD (Km/h) 2L para pasar (m.)
1ª
100
300
2ª
75
225
3ª
50
150
2L para frenar (m.)
160
105
60
Ejemplo resuelto: Se tiene una curva vertical con L = 150 m. i1 = 2%, i2 = -1%. Hacer el
cálculo de los parámetros de la curva incluyendo cálculo de cotas.
Análisis: se tiene que Δi CRITICO =
ΔiREAL
4
4
=
= 0,027 = 2,7%
L 150
= 2 –(-1) = 3%
ΔiREAL < Δi CRITICO por lo tanto se trata de pendientes fuertes (caso en que L < T).
(ΔiL ) .
4E L E
=
, de donde se deduce que E =
16h
Δi
h
2
Solución:
se tiene que
Reemplazando los valores, tenemos que E = 1,266 m.
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Luego, reemplazamos este valor en T = L
140
E
y obtenemos T = 168,750 m.
h
Con T y E podemos obtener la ecuación de la curva. Como y =
tendremos que y =
E 2
x entonces
T2
1,266 2
x . Por lo tanto y = 0,0000444 x2.
168,7502
Para este caso en particular, los valores calculados de y se restan de los valores de la
rasante ( se trata de una curva convexa ya que i1 > 0 e i2 < 0. Los valores de x se miden
sobre la horizontal aunque corresponden a la tangente de la parábola la cual no es
horizontal pero su influencia se hace mínima. La tangente es horizontal sólo si i1 = i2 .
Parte gráfica:
0,01
0,02
DISTANCIAS
TERRENO
COTAS
RASANTE
C.VERTICAL
3,650 3,68125
17,851
16,650 17,275
17,275
3,700
16,210
17,650
17,634
3,750
3,800
3,850
18,511 19,856 20,856
18,650 19,650 20,650
18,440 19,024 19,386
3,900
19,813
20,150
19,524
3,950
19,000
19,650
19,440
4,000 4,01875 4,050
19,140 19,532
19,150 18,963 18,650
19,134 18,963
Registro de tabulación:
KM (m.)
3,650
PCV 3,68125
3,700
3,750
3,800
3,850
3,900
3,950
4,000
FCV 4,01875
4,050
X (m.)
Y (m.)
0,000
18,750
68,750
118,750
168,750
118,750
68,750
18,750
0,000
0,000
0,016
0,210
0,626
1,264
0,626
0,210
,0,016
0,000
Los valores de x se reemplazan en
y = 0,0000444 x2
luego los valores de y se restan ( para este
caso) de las cotas de la rasante,
obteniendo así las cotas de la curva
vertical . notar que la difrencia entre las
cotas de la curva vertical y la de terreno
corresponde a la altura de corte o
terraplén.
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8.6.2
141
SEGUNDO METODO
Este método es el más utilizado según las normas de vialidad. No se hacen
distinciones entre pendientes suaves y fuertes y se utiliza la misma ecuación pata la
parábola que en el método anterior. Las fórmulas de cálculo son las siguientes:
E=
T (P − Q )
4
2T =
D 2 (P − Q )
8h
donde P – Q : diferencia algebraica de pendientes
h : 1,15 m.
D : distancia de visibilidad que según la nueva clasificación de camino es:
CLASE
L
M
N
O
P
D (m.)
332
208
152
111
31
Ejemplo resuelto:
P = 2% ; Q = - 3% ; D = 200 m.
Solución:
2T =
E=
2002 (0,05)
Æ T = 108,696 m.
8(1,15)
y=
108,696(0,05)
= 1,359 m.
4
y = 0,000115 x 2
Otra forma de cálculo:
R=
2T
P−Q
E=
1,359 2
x
108,6962
T2
2R
y=
x2
2R
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142
9. - LOTEO
Las parcelaciones de terreno fueron probablemente la mayor inquietud del
hombre desde el nacimiento de la agricultura y con ella la necesidad de delimitar y
repartir las propiedades. Esta división puede obedecer a diversas causas, como venta de
una extensión grande de terreno en parcelas, la permuta de las mismas, la repartición
por motivos de herencia, etc.
Las condiciones que pueden presentarse en la partición de suelos son muy
variadas, puesto que a menudo no solo se trata de resolver un simple problema
geométrico de áreas, sino que además se impone a veces que las líneas de división
cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, que todas las líneas sean
perpendiculares a una dirección determinada, que todas las parcelas tengan acceso
directo a un camino o paralelas a una dirección dada, que las líneas de partición
concurran a un punto, etc. también puede ocurrir que el predio objeto de la partición no
sea todo del mismo valor unitario.
Los trabajos de loteo constan de dos partes:
•
Resolución matemática del problema: en esta parte se da solución a la
delimitación utilizando todas las herramientas matemáticas existentes, como
geometría, trigonometría, álgebra, etc. hasta determinar los puntos de división.
•
Replanteo de las líneas de división: se materializan en terreno los puntos
determinados en la etapa anterior, de acuerdo a los requerimientos
preestablecidos.
El trabajo de loteo no es más que eso, por lo tanto en los casos que se presentan a
continuación se ejemplificarán de algún modo los más típicos.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
143
Ejemplo resuelto 1: Se tiene un predio triangular como el de la figura, con las
distancias entre vértices indicadas. Localizar en terreno los puntos M y N, tal que el
trazo MN sea perpendicular a AB y además divida al predio en dos partes, donde la
segunda sea 1/3 del área total.
Primero obtenemos el área total mediante
C
la fórmula de Heron:
0
A = s ( s − a )( s − b)( s − c) ,
48
5
M
53
h
a
s=
1/3 A
B
A
N
b
540
a+b+c
2
entonces A = 11.519,888 m2.
A/3 = 38.539,963 m2.
Por lo tanto tenemos que para el ΔMNB:
38.539,963 =
ab
77.079,925
Æa=
2
b
(*)
Además, podemos calcular por el Teorema del Coseno la medida del ángulo ABC:
⎛ 5402 + 530 2 − 4852 ⎞
⎟⎟ = 59,8863g
< ABC = arccos⎜⎜
2
*
540
*
530
⎝
⎠
a
Luego, en ΔMNB tenemos que tg 59,8863g = Æ
b
a = b tg 59,8863g
(**)
Entonces, reemplazando (**) en (*) tenemos:
b tg 59,8863g =
77.079,925
77.079,925
Æ b2 =
Æb=
b
tg 59,8863
77.079,925
tg 59,8863
b = 237,092 m.
Luego, a =
77.079,925
= 325,106 m.
237,092
c2 = a2 + b2 Æ c = 402,376 m.
Por lo tanto, para dividir el predio como se pide, se debe ubicar un punto M a 402,376
m. de B en la dirección BC y un punto N a 237,092 m. de B en la dirección de AB.
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144
Ejemplo resuelto 2: Se debe dividir el trapecio rectangular de la figura en dos partes
iguales. El deslinde debe ser perpendicular al lado AB.
C
D
Por la fórmula del trapecio, su área es.
⎛ 120 + 140 ⎞
2
A=⎜
⎟ * 100 = 13.000 m .
2
⎠
⎝
Por lo tanto cada área será de 6.500 m2.
y
La perpendicular que divide al trapecio en dos
partes iguales se denomina y. Ésta forma 2
trapecios de 6.500 m2. En el primero de ellos se
x
A
B
tiene según la fórmula del área, que:
⎛ 120 + y ⎞
6.500 = ⎜
⎟x
⎝ 2 ⎠
13.000 = 120 x + xy
x=
13.000
120 + y
(*)
Además, se tiene la siguiente proporción por semejanza de triángulos:
140 − 120 y − 120
=
→ x = 5( y − 120)
x
100
x = 5y – 600
(**)
Luego, igualando (*) y (**):
5 y − 600 =
13.000
Æ y2 = 17.000 Æ
120 + y
y = 130,384 m.
Entonces x = 5 (130,384) – 600 = 51,920 m.
c2 = 202 + 51,9202 Æ c = 55,639 m.
Luego, para hacer el replanteo de la delimitación, se debe ubicar un punto a 55,639 m.
de D en la dirección de DC y otro a 51,920 m. de A en la dirección de AB.
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145
10.- EMPAREJAMIENTO DE SUELO
Emparejar el suelo significa dejarlo con una pendiente uniforme. Para esto veremos
dos formas de hacerlo.
10.1.- METODO DEL CENTROIDE
Se tiene la siguiente red de puntos separados cada 20 m., donde las cifras en color negro
corresponden a las cotas de terreno:
20 4 x 5
26.852
28.560
27.252
28.670
27.652
29.171
28.052
30.118
20 5 x 4
27.152
27.320
27.552
28.000
27.952
28.742
28.352
29.362
28.752
29.110
18 6 x 3
27.452
27.185
27.852
28.340
28.252
28.120
28.652
29.516
29.052
29.120
27.507
28.411
16,3 m.
12
6x2
27.752
26.140
29.452
29.400
(COTA MEDIA)
28.152
28.500
28.552
27.990
28.952
28.520
29.352
28.240
29.752
29.100
28.452
27.430
28.852
27.960
29.252
28.400
29.652
28.310
30.052
28.900
20 m.
6
6x1
28.052
26.860
20 m.
Σ = 76
20 m.
5,18 m.
28.956
1
x
5
2
x
5
3
x
5
4
x
5
5
x
4
6
x
3
5
10
15
20
20
18
Σ = 88
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
146
Procedimiento de cálculo
•
Para este caso las pendientes dadas son 2% en x (sentido horizontal y hacia la
derecha) y -1,5% en y (sentido vertical y hacia arriba).
•
En primer lugar se calcula la cota promedio de terreno para los puntos entregados,
que en este caso es 28,411 m.
•
Luego se calculará la posición de este punto. Para ello se obtendrán las coordenadas
(x,y) con respecto al punto inicial, que en este caso posee cota 26,860 m.
•
Cálculo de la distancia x: se enumeran las columnas de la red de puntos (en este
caso de 1 a 6) y cada número se multiplica por la cantidad de puntos de cada
columna. La sumatoria de los productos se divide por el número de puntos de la red.
A este valor se resta 1 y el resultado se multiplica por 20 que es la distancia entre
puntos:
88
= 3,259 –1 = 2,259 * 20 = 45,180 m.
27
•
Cálculo de la distancia y: es similar al caso anterior. Se enumeran las filas de la
red de puntos (en este caso de 1 a 5) y cada número se multiplica por la cantidad de
puntos de cada fila. La sumatoria de los productos se divide por el número de
puntos de la red. A este valor se resta 1 y el resultado se multiplica por 20 que es la
distancia entre puntos:
76
= 2,815 –1 = 1,815 * 20 = 36,300 m.
27
•
Como ya se cuenta con la ubicación del punto y se conocen sus cotas de terreno,
además de la separación entre ellos, a través de las pendientes podemos obtener las
nuevas cotas para cada punto de la red.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
147
10.1. - METODO POR ANÁLISIS DE REGRESIÓN LINEAL
a
x=0
b
x = 20
x = 40
x = 60
29.782
29.171
30.112
30.118
28,354 0,0259
29.122
28.560
29.452
28.670
27,518 0,0247
28.676
27.320
29.006
28.000
27,555 0,0212
28.230
27.185
28.560
28.340
27.951
27,042 0,0208
x = 100
29.336
28.742
29.666
29.362
29.996
29.110
28.890
28.120
29.220
29.516
29.550
29.120
29.880
29.400
28.411
7,499 m.
x = 80
(COTA MEDIA)
27.784
26.140
28.114
28.500
28.444
27.990
28.774
28.520
29.104
28.240
29.434
29.100
27.338
26.860
27.668
27.430
27.998
27.960
28.328
28.400
28.658
28.310
28.988
28.900
20 m.
27,028 0,0189
20 m.
7,878 m.
x = 27,499 0,0223
a
b
27,798
x=
26,297
0,0229
27,792
0,0099
27,762
0,0159
28,328
0,0214
28,203
0,0164
28,883
0,0125
Procedimiento de cálculo
A diferencia del método del centroide, en este análisis se obtendrán por regresión
lineal las pendientes que serán utilizadas, tanto en x como en y.
•
En primer lugar se ingresan en una calculadora con funciones estadísticas (análisis
de regresión lineal específicamente) pares de datos conformados por las distancias
acumuladas desde el inicio de cada fila y cada columna, y las cotas de terreno de los
27,878
0,0165
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
148
puntos que corresponden a dicha fila o columna. Por ejemplo, en la primera fila
tenemos cuatro puntos. Los valores de x entonces serán 0, 20, 40 y 60. Las cotas de
terreno son 28.560, 28.670, 29.171 y 30.118.
•
Por lo tanto, los pares de datos a ingresar para la primera fila son los siguientes:
(0,28.560), (20,28.670), (40,29.171), (60,30.118). Este análisis utiliza la fórmula
y = ax + b. Los resultados entregados son a = 28.354 y b = 0.0259
•
Este calculo se repite para cada fila y para cada columna. Luego se promedian por
separado estos valores.
•
El promedio de los valores b obtenidos para cada columna es la pendiente que será
utilizada en sentido x. Asimismo, el promedio de los valores a obtenidos para cada
columna, corresponde a la coordenada x desde el punto de la esquina inferior
izquierda a la cual se encuentra el punto de cota media.
•
De forma análoga, el promedio de los valores b obtenidos para cada fila es la
pendiente que será utilizada en sentido y. De igual forma, el promedio de los valores
a obtenidos para cada fila, corresponde a la coordenada y desde el punto de la
esquina inferior izquierda a la cual se encuentra el punto de cota media.
•
Luego, con las pendientes obtenidas (0.0165 en x , 0.0223 en y) y la posición del
punto de cota media, se calcula la nueva cota del resto de los puntos de la red.
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APENDICE
149
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150
Apéndice A: GEODESIA
En geodesia se conocen tres tipos de superficies:
Superficie topográfica: corresponde a la superficie real de la tierra con su relieve, y donde
se realizan las mediciones.
Superficie Geoidal: corresponde a una superficie equipotencial definida como la superficie
del mar en calma, extendida sobre los continentes.
Superficie Elipsoidal: como las superficies mencionadas no pueden ser desarrolladas
mediante un modelo matemático, la superficie de la tierra se aproxima a un elipsoide de
revolución, sobre el cual se pueden obtener matemáticamente las coordenadas de un punto
ubicado sobre su superficie.
El elipsoide de revolución se obtiene girando una elipse en torno al eje polar. Esta
elipse está definida por su semieje mayor y su achatamiento polar.
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151
a: semieje mayor de la elipse
b: semieje menor de la elipse
f: achatamiento polar
P
b
a
x
f =
a−b
a
e=
a 2 − b2
a
e' =
a 2 − b2
b
e2 =
a 2 − b2
a2
e'2 =
a 2 − b2
b2
A.1 SISTEMAS DE COORDENADAS UTILIZADOS EN GEODESIA
Latitud y Longitud Astronómica:
A
A
La latitud y la longitud astronómica están definidas por ángulos diedros.
Latitudes Geodésica (f), Geocéntrica (y) y Reducida (b):
P'
P
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Determinación de (X,Z) utilizando las distintas latitudes:
a 2 cos Φ
x=
a 2 cos 2 Φ + b 2 cos 2 Φ
a 2 senΦ
z=
a 2 cos 2 Φ + b 2 cos 2 Φ
1
2 2
a(1 − e ) cosψ
x=
1 − e 2 cos 2 ψ
1
2 2
a(1 − e ) senψ
z=
1 − e 2 cos 2 ψ
tgψ =
b
tgβ = (1 −e 2 )tgΦ
a
A.2 CALCULO DE RADIOS
‰
Radios Normales Principales.-
Radio Meridional (M): radio de la sección que pasa por Q
M =
a (1 − e 2 )
3
(1 − e 2 sen 2ϕ ) 2
Radio en el Vertical Primario (N): radio generado al hacer corte en la normal.
a
N=
(1 − e sen ϕ )
2
2
1
2
152
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‰
153
Radios de Aproximación Esférica: transforman el elipsoide en una superficie
esférica.
Radio de la esfera de igual área:
1
17 4
67 6
21
RA = a (1 − e 2 −
e −
e −
e8 .....)
6
360
3024
1814400
Radio de la esfera de igual volumen:
1
1
RV = (a 2b) 3 = a(1 − f ) 3
Radio Medio de Gauss:
Rm = MN
Radio en el Azimut:
1
cos 2 A sen 2 A
=
+
RA
M
N
A.3 LONGITUDES DE ARCO
Longitud de Arco de Meridiano:
dS = M dϕ
ϕ2
S = ∫ Mdϕ
ϕ1
ϕ2
1
dϕ
3
ϕ1 W
S = a (1 − e ) ∫
2
1
3
15
35
315
= 1 + e 2 sen 2ϕ + e 4 sen 4ϕ + e 6 sen6ϕ +
+ ...
3
W
2
8
16
128
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154
B
C
D
E
F
⎡
⎤
S = a (1 − e 2 ) ⎢ Aϕ − sen2ϕ + sen4ϕ − sen6ϕ + sen8ϕ − sen10ϕ + ...⎥
2
4
6
8
10
⎣
⎦
donde
3
45
175 6 11025 8 43659 10
e +
e +
e + ...
A = 1 + e2 + e4 +
4
64
256
16384
65536
B=
3 2 15 4 525 6 2205 8 72765 10
e + e +
e +
e +
e + ...
4
16
512
2048
65536
C=
15 4 105 6 2205 8 10395 10
e +
e +
e +
e + ...
64
256
4096
16384
D=
35 6 315 8 31185 10
e +
e +
e + ...
512
2048
131072
E=
315 8 3465 10
e +
e + ...
16384
65536
F=
693 10
e + ...
131072
Longitud de Arco de Paralelo:
P
L
P
N
L = PΔλ = N cos ϕΔλ
donde P es el radio de la circunferencia determinada por el plano en el paralelo.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
155
A.4 ÁREA DE UN CUADRANTE ESFÉRICO
AB = CD = Mdϕ
C
AD = BC = N cos ϕ Δ λ
B
Dz = M N cos ϕ Δ ϕ Δ λ
D
z=
A
ϕ 2 λ2
∫ ∫ MN cosϕΔϕΔλ
ϕ 1 λ1
ϕ2
z = (λ2 − λ1 ) ∫ MN cos ϕΔϕ
ϕ1
A.5
CÁLCULO
DE
COORDENADAS
(X,Y,Z)
A
PARTIR
DE
LAS
COORDENADAS GEODÉSICAS
X = ( N + h) cos ϕ cos λ
Y = ( N + h) cos ϕsenλ
Z = ( N (1 − e 2 ) + h) senϕ
A.6
REDUCCIÓN DE DISTANCIAS OBSERVADAS EN TERRENO A LA
Si DH = DI sen z
GEODÉSICA
Superficie Topográfica
DH RAZ + HM
=
Dhr
RAZ
RAZ
Dhr = DH
RAZ + HM
R AZ >>> HM
Elipsoide
R AZ
R − HM
≅ AZ
RAZ + HM
RAZ
DI
DH
S
z
Dhr
Ra
HM
Dhr = DH (1 −
HM
)
RAZ
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K=
156
Dhr 3
2
24 RAZ
S = Dhr + K
A.7 DATUM
El concepto de datum obedece a la idea de origen para un sistema de coordenadas
elipsoidales. Consiste en un punto con coordenadas conocidas y su orientación a un
segundo punto, además de un elipsoide de referencia. Existe una gran cantidad de datum
para diferentes zonas del planeta, lo mismo ocurre con los elipsoides. A continuación se
dan a conocer los más utilizados en América del Sur y más específicamente en Chile, cuya
cartografía se encuentra referida a estos sistemas:
‰
Datum Sudamericano Provisional de 1956 (PSAD 56):
Definido por la posición geográfica de la estación La Canoa (Venezuela) y por el azimut a
Farellones, considerado en el Elipsoide Internacional de Hayford:
La Canoa
Latitud
:
8º 34’ 17’’,17
Longitud
:
63º 51’ 34’’,88
Azimut a Farellones
:
144º 11’ 48’’,55
Elipsoide Internacional
a : 6378388
f : 1/297
‰
Datum Sudamericano de 1969 (SAD 69):
Origen de coordenadas en Chua, con azimut a Uberaba y Elipsoide Sudamericano de 1969
como referencia:
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157
Chua
Latitud
:
19º 45’ 41’’,6527 S
Longitud
:
48º 06’ 04’,0639 W
Azimut a Uberaba
:
271º 30’ 04’’,05
N = ± 0 m.
Elipsoide Sudamericano de 1969
a : 6378160
f : 1/298,25
A.8 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Para transformar las coordenadas de un Sistema Local a un Sistema Nacional
(UTM) ó para pasar puntos UTM en Sistema PSAD56 a SAD69 y viceversa, debemos
realizar una transformación de similaridad. Esto significa, una traslación del origen del
sistema en norte, otra en este, una rotación y un ajuste de escala.
En el esquema siguiente:
X,Y : coordenadas instrumentales.
N,E : coordenadas terreno.
N0,E0 : componentes de traslación (coordenadas
terreno del origen de coordenadas
instrumentales).
φ
: azimut del sistema de coordenadas
instrumentales.
λ
: factor escala.
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N = N 0 + λ cos Φx − senΦy
158
(1)
E = E0 + λsenΦx + cos Φy
Sustitución:
cos φ = a
λ = a 2 + b2
sen φ = b
tgΦ =
b
a
N = N0 + aX – bY
E = E0 + bX + aY
a=
( X 2 − X 1 )(N 2 − N1 ) + (Y2 − Y1 )(E2 − E1 )
( X 2 − X 1 ) + (Y2 − Y1 )2
b=
( X 2 − X 1 )(E2 − E1 ) − (Y2 − Y1 )(N 2 − N1 )
( X 2 − X 1 ) + (Y2 − Y1 )2
N0 = N1 – aX1 + bY1 =N2 – aX2 + bY2
E0 = E1 – bX1 – aY1 = E2 – bX2 – aY2
(2)
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159
Apéndice B: CARTOGRAFIA
B.1 CLASIFICACIÓN DE LOS MAPAS
a) Según sus cualidades.
•
Conformes u ortomorfos: poseen la característica de mantener los valores
angulares de terreno en la proyección del mapa.
•
Equidistantes: mantienen la distancia de terreno en el mapa.
•
Equivalentes: las áreas proyectadas no sufren deformaciones.
b) Según su construcción.-
•
Planas
o
acimutales:
utilizan
como
elemento auxiliar de proyección un plano
tangente en un punto a la esfera. Las
deformaciones se producen radialmente, a
medida que las zonas se alejan del punto de
tangencia.
•
Cilíndricas: el elemento de proyección es un
cilindro, que es tangente a un circulo de la
esfera.
•
Cónicas: utiliza un cono que es tangente a uno
o más círculos de la esfera.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
160
c) Según el punto de tangencia.
Proyección cilíndrica Ecuatorial (Meridiana)
Proyección Cilíndrica Polar
Proyección Cilíndrica Oblicua (Transversal)
d) Desde el punto de vista geométrico.
(a)
(a) Gnomónicas
(b)
(c)
(b) Estereográficas (c) Ortográficas
(d)
(d) Escenográficas
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
161
B.2 PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSAL DE MERCATOR
Es una proyección cilíndrica que utiliza un cilindro secante, es decir, posee dos
meridianos donde no existe deformación. Cuando no existe deformación se hablará de
factor escala 1.
Esta proyección divide al planeta en 60 zonas de 6º de longitud, con un
meridiano central con FE = 0,9996. Los meridianos de tangencia se ubican a 180 Km. hacia
ambos lados del MC.
El rango de utilización de este sistema es desde – 80º S hasta 84º N. Si la latitud
es mayor a 80º S se utiliza la Proyección USP (Universal Standard Polar).
Origen Sistema de Coordenadas UTM.-
Hemisferio Norte: al Ecuador le corresponde un Norte de 0 m. y al polo norte 10.000.000
m.
Hemisferio Sur: Este sistema asigna un Norte Falso de 0 m. al Polo Sur y de 10.000.000 m.
para el Ecuador.
Al Meridiano Central se le asigna un Este Falso de 500.000 m.
B.3 CONVERGENCIA DE MERIDIANOS
El ángulo de convergencia cuadricular (C) es la diferencia entre la dirección
verdadera (Norte geográfico) y la dirección de la cuadricula (Norte cuadricular).
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
162
P.N .
10.000.000 m .
M eridiano C entral
10.000.000 m .
500.000 m.
C uadrícula U T M
O m.
ANGULO DE
C U A D R IC U L A R
0 m.
P.S.
Así, tenemos que:
AZ GEODESICO = AZUTM ± C
C = Δλsenϕ m
El ángulo C se refiere al centro de la hoja del mapa.
Se pueden dar dos situaciones, de las cuales dependerá si C se deberá sumar o restar al
Azimut Cuadricular:
Si E < 500.000 m. Æ AZ GEODESICO = AZUTM + C
Si E > 500.000 m. Æ AZ GEODESICO = AZUTM − C
Esto es válido para ambos hemisferios.
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163
Apéndice C: FOTOGRAMETRIA
Definición
La fotogrametría es la técnica que permite obtener información métrica e
interpretativa mediante fotografías, las cuales pueden ser de dos tipos: fotografías verticales
(que son las tomadas estando el eje de la cámara vertical hacia abajo, o lo
más
verticalmente posible), y oblicuas (tomadas estando el eje intencionalmente inclinado en
cierto ángulo con respecto a la vertical). Estas últimas se clasifican además en altas, si el
horizonte aparece en la foto, o bajas, si no aparece.
C.1 CÁMARA MÉTRICA
Carrete de película
expuesta
Carrete de película
no expuesta
Magazín
Para la toma de fotografías se utiliza una
cámara
métrica
cuya
estructura
se
muestra en la figura, donde la lente capta
los rayos de luz incidentes y los dirige
Plano focal
Cono
Eje
óptico
Mecanismo
impulsor
obturador para controlar el intervalo de
Cono de
Lentes soporte
Obturador
hacia el foco en el plano focal; el
tiempo en que pasa la luz por la lente; el
diafragma, que regula el diámetro de la
Diafragma
Filtro
abertura de paso de la luz; el filtro, que
reduce el efecto de la bruma o neblina y distribuye la luz uniformemente sobre el cuadro; el
cono de soporte, que sostiene el conjunto lente-obturador-diafragma e impide que haya
infiltraciones de luz a la película; el plano focal, que es la superficie donde descansa la
película expuesta y el magazín, que aloja las cargas de material fotográfico expuesto y no
expuesto.
C.2 ESTEREOSCOPIA
La estereoscopia capacidad define como la capacidad del cerebro de formar una
imagen tridimensional al observar con ambos ojos. En fotogrametría se logra fotografiando
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
164
el terreno a mapear mediante franjas, cuyas fotografías generalmente de 23 x 23 cm. tienen
un recubrimiento de 60% entre dos fotografías y de 30% entre franjas.
Superposición
lateral
Superposición
lateral
Superposición
longitudinal
Superposición
longitudinal
Plan de vuelos
Matemáticamente, el efecto estereoscópico se define como:
EE =
B
H −h
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
165
donde B es la base aérea, es decir, la distancia entre dos puntos desde donde son tomadas
dos fotografías (centros perspectivos). Lo ideal es que EE sea igual a 1. si es menos a este
valor, hay menor efecto esteroscópico. H – h es la altura de vuelo sobre terreno.
C.3 ESCALA DE UNA FOTOGRAFÍA
La escala de una fotografía se define como:
E=
c
H −h
donde c es la distancia focal de la cámara utilizada
H es la altura de vuelo sobre el nivel medio del mar
h es las altura de terreno sobre el nivel medio del mar
H – h es la altura de vuelo sobre terreno.
c varía de acuerdo al tipo de cámara. Así tenemos:
Cámara de ángulo normal, donde c = 300 mm.
Cámara gran angular , con c = 153 mm.
Cámara super gran angular, cuya distancia focal es de 88,5 mm.
La escala también se obtiene de E =
d
donde d es la distancia medida en la fotografía y D
D
es la distancia medida en terreno.
C.4 DESPLAZAMIENTO POR RELIEVE
El desplazamiento por relieve se define como el cambio de posición o aspecto de
una imagen a partir de su ubicación teórica en el plano de referencia, debido a la distancia
vertical del objeto arriba o abajo del plano de referencia. El desplazamiento en una foto
vertical se produce, según líneas radiales, desde el punto principal, y aumenta en magnitud
con la distancia de la imagen a este punto.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
166
r
r
c
h
H
En la figura se tiene que:
H-h
Δr =
terreno
R
R
n.m.m.
ΔR
Δr
Δh
=
=
r
H −h
R
rΔh
h−h
h
C.5 PARALAJE
El paralaje se define como el desplazamiento aparente de la posición de un
objeto con respecto a un marco de referencia, debido a un corrimiento en el punto de
observación. Por ejemplo, una persona que mira a través del visor de una cámara aérea a
medida que la aeronave avanza, ve el aspecto cambiante de las imágenes de los objetos que
se mueven a través de su campo visual. Este movimiento aparente (paralaje) se debe a la
ubicación cambiante del observador. Utilizando el plano focal de la cámara como marco de
referencia, existe paralaje para todas las imágenes que aparecen en fotografías sucesivas,
debido al movimiento de avance entre una y otra exposición. Cuanto mayor sea la
elevación de un punto, es decir, cuanto más cerca esté de la cámara, de mayor magnitud
será el paralaje.
Las fórmulas de paralaje son:
Δh =
ΔP(H − h )
b + ΔP
ΔP =
bΔh
(H − h ) − Δh
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
b1
167
b2
x2
x1
c
O1
B
x1 x2
terreno
n.m.m.
O2
H
H-h
h
h
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168
Apéndice D: TEORIA DE ERRORES
D.1 CIFRAS SIGNIFICATIVAS
A menudo, se confunde el número de cifras significativas con el número de
decimales de un determinado valor. En ocasiones tendrán que usarse cifras decimales para
conservar el número correcto de cifras significativas.
•
Para determinar el número de cifras significativas se deben contar los dígitos que
comprende un valor, siempre que dicho valor sea un número entero.
•
Cuando se trata de valores decimales, se cuentan los dígitos desde el entero, hasta el
último decimal distinto de cero. En caso de que la cifra decimal tenga su parte
entera menor a 1, entonces sólo se contarán las últimas cifras decimales distintas de
cero.
Por ejemplo:
2 cifras significativas : 24
;
2,4
;
0,24
;
0,0024 ; 0,020
3 cifras significativas : 364 ;
36,4
; 0,0000364 ;
4 cifras significativas : 7621 ; 76,21 ; 0,00007621 ;
0,0240
24,00
Los ceros del final de un valor entero pueden causar dificultad, porque pueden
significar o no, cifras significativas. En el valor 2400 no se sabe cuantas cifras son
significativas; pueden ser dos, tres o cuatro. Una solución es expresar el valor en términos
de potencias de 10. por ejemplo, 2400 se convierte en 2,400 x 103 si ambos ceros son
significativos, en 2,40 x 103 si uno lo es y en 2,4 x 103 si solo se tienen dos cifras
significativas.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
169
D.2 OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS
Adición y Sustracción.-
En ambas operaciones, el último dígito significativo de la respuesta debe
coincidir en la columna del valor con el último dígito significativo más a la derecha. Por
ejemplo:
(a)
(b)
46,7518
+
1,02
+ 375,0
378
-
0,1
377,9 (resp: 378)
422,7718 (resp: 422,8)
Multiplicación.-
En la multiplicación, el número de cifras significativas en la respuesta es igual al
número menor de cifras significativas en cualquiera de los dos factores. Por ejemplo:
362.56 x 2.13 = 772.2528.
El menor número de cifras significativas es 3, que corresponde al segundo factor. Por lo
tanto la respuesta tendrá tres cifras, es decir, la respuesta será 772.
D.3 REDONDEO DE NUMEROS
Redondear un número es el proceso de suprimir uno o más dígitos para que la
respuesta solo contenga aquellos que sean significativos o necesarios en cálculos
subsecuentes. Así, cuando el dígito a eliminar sea exactamente 5, se elevará en una unidad
el dígito anterior.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
170
Por ejemplo, el valor 76,2459 será 76,246 con cinco cifras significativas, o será 76,25 con
cuatro cifras significativas.
D.4 ERRORES EN LAS MEDIDAS
Por definición, un error es la diferencia entre el valor medido y el valor
verdadero de una cantidad, o sea
E=X−X
en donde E es el error en una medición, X es el valor medido y X es el valor verdadero.
Además, puede afirmarse incondicionalmente que:
1) ninguna medida es exacta
2) toda medida tiene errores
3) el valor verdadero de una medición nunca se conoce
4) el error exacto de una medición siempre será desconocido
A) CAUSAS DE ERRORES AL HACER MEDICIONES
Existen tres causas por las cuales se cometen errores al hacer las mediciones, las cuales se
clasifican en sí:
Errores naturales: son causados por variaciones del viento, la temperatura, la
humedad, la presión atmosférica, la refracción atmosférica, la gravedad y la declinación
magnética. Un ejemplo es una cinta de acero cuya longitud varía con los cambios de
temperatura.
Errores instrumentales: se deben a imperfecciones en la construcción o ajuste
de los instrumentos y del movimiento de sus partes individuales. Por ejemplo, las
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
171
graduaciones sobre una escala pueden no estar perfectamente espaciadas o la escala puede
estar torcida. El producto de muchos errores instrumentales puede reducirse, e incluso
eliminarse, adoptando procedimientos topográficos adecuados o aplicando correcciones
calculadas.
Errores personales: tienen su origen principalmente en las limitaciones propias
de los sentidos humanos, tales como la vista y el tacto. Por ejemplo, existe un error
pequeño en el valor medido de un ángulo horizontal cuando el hilo vertical del retículo del
anteojo de un teodolito no queda perfectamente alineado sobre el objetivo, o cuando la
parte superior de una estadía no está aplomada al ser visada.
B) TIPOS DE ERRORES
Los errores en las mediciones son de dos tipos: sistemáticos y aleatorios.
Errores sistemáticos: resultan de factores que comprenden el “sistema de medición”
e incluyen el medio ambiente, los instrumentos y el observador. Siempre que las
condiciones del sistema se mantengan constantes, los errores sistemáticos se mantendrán
asimismo constantes. Un ejemplo de un error sistemático constante es la utilización de una
huincha de acero de 50 m. que se ha calibrado y encontrado que tiene 0,010 m. de más.
Cada vez que se use, esa medición tendrá un error de 0,010 m. el cual se puede eliminar
mediante una corrección.
Errores aleatorios: son los errores que quedan después de haber eliminado los
errores sistemáticos. Son ocasionados por factores que quedan fuera del control del
observador, obedecen las leyes de la probabilidad y se les llama también errores
accidentales.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
172
D.5 PRECISION Y EXACTITUD
Una discrepancia es la diferencia entre dos valores medidos de la misma cantidad.
Una discrepancia pequeña indica que probablemente no hay equivocaciones y que los
errores aleatorios son pequeños. Sin embargo, las discrepancias pequeñas no impiden la
presencia de los errores sistemáticos.
La precisión se refiere al grado de refinamiento o consistencia de un grupo de
mediciones y se evalúa con base en la magnitud de las discrepancias. Si se hacen
mediciones múltiples de la misma cantidad y surgen pequeñas discrepancias, esto refleja
una alta precisión. El grado de precisión alcanzable depende de la sensibilidad del
instrumento empleado y de la habilidad del observador.
La exactitud denota una absoluta aproximación a sus verdaderos valores de las
cantidades medidas.
La diferencia entre ambos conceptos se refleja mejor en la figura. En (a) los
resultados no son ni precisos ni exactos, en (b) los resultados son precisos pero no exactos,
y en (c) los resultados son tanto precisos como exactos:
(a)
(b)
(c)
D.6 VALOR MAS PROBABLE
Como ya se especificó antes, el valor verdadero de una medida es siempre
desconocido. Pero podemos conocer el valor más probable, que es sencillamente la media
aritmética del conjunto de mediciones, definida como:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
M =
173
ΣM
n
donde M es la sumatoria de las mediciones individuales y n es el número total de
observaciones.
D.7 RESIDUOS
Una vez calculado el valor más probable de una magnitud, es posible calcular los
residuos. Un residuo es sólo la diferencia entre cualquier valor medido de una magnitud y
su valor más probable, o sea:
v = M −M
D.8 DESVIACIÓN ESTANDAR
La desviación estándar o error estándar es un término estadístico usado comúnmente
para expresar la precisión de una serie de medidas. Su ecuación es:
σ =±
Σv 2
n −1
donde v es el residuo de una observación individual, Σv2 es la suma de los cuadrados de los
residuos individuales y n es el número de observaciones. La variancia es igual a σ2, el
cuadrado de la desviación estándar.
Interpretación de la Desviación Estándar.-
Se ha demostrado que la desviación estándar fija los límites dentro de los cuales
deben esperarse que queden las mediciones el 68.27% de las veces. En otras palabras, si
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
174
una medición se repite diez veces, podría esperarse que, aproximadamente siete de los
resultados queden dentro de los límites establecidos por la desviación estándar.
Errores de 50, 90 y 95 %
E50 = 0.6745σ
E90 = 1.6449σ
E95 = 1.9599σ
E50 es llamado error probable. E90 y E95 se usan comúnmente para especificar precisiones
necesarias en los proyectos topográficos. El error de 95% es denominado error dos sigmas
(2σ). Los topógrafos suelen usar el llamado error tres sigmas (3σ) como criterio para
rechazar mediciones individuales. Este corresponde a un 99.7% de probabilidad.
D.9 PROPAGACIÓN DE ERRORES
Como todas las mediciones tienen errores, cualquier cantidad calculada a partir de
ellas contendrá asimismo errores. El proceso de evaluar errores en cantidades calculadas
con valores medidos que contienen errores se llama propagación de errores. Por ejemplo:
a) Error de una Suma
La fórmula es la siguiente:
Esuma = ± Ea2 + Eb2 + Ec2 + ...
donde E representa cualquier porcentaje de error especificado (50, 90 ó 95 %) y a, b y c se
refieren a las mediciones individuales.
Ejemplo: una distancia se mide en tres tramos, con los siguientes valores:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
175
a = 753.81 ± 0.12
b = 1238.40 ± 0.28
c = 1062.95 ± 0.20 respectivamente. Determinar la longitud total de la línea y su desviación
estándar esperada.
Longitud Total = 7543.81 + 1238.40 + 1062.95 = 3055.16 pie
Esuma = ± 0.012 2 + 0.0282 + 0.0202 = ±0.036 pie
Respuesta: Distancia = 3055.16 ± 0.036 pie
b) Error de una Serie
Algunas veces se lee una serie de cantidades similares, tales como los ángulos en
una poligonal cerrada, resultando cada medida con un error de aproximadamente la misma
magnitud en todos los casos. El error total en la suma de todas las cantidades medidas de
una serie de esta naturaleza se llama el error de la serie:
Eserie = ± E 2 + E 2 + E 2 + ... = ± nE 2 = ± E n
Ejemplo: Si cualquier distancia de 100 m. puede medirse con huincha con un error de ±
0.02 m, si se emplea cierta técnica. Determinar el error al medir 5000 m. con esa técnica.
Solución: como hay 50 tramos de 100 m. en 5000 m., se tendrá:
Eserie = ±0.02 50 = ±0.14m.
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176
c) Error de un Producto
La ecuación para el error propagado en un producto AB, donde Ea y Eb son los
respectivos errores en A y B, es:
EPROD = ± A2 Eb2 + B 2 Ea2
Ejemplo: para un lote rectangular, las mediciones de sus lados A y B con 95% de error son
de (252.46 ± 0.053) m. y (605.08 ± 0.072 ) m., respectivamente. Calcular el área del terreno
y el error de un 95% esperado en el área.
Solución: Área = 252.46 x 605.08 = 152760 m2
E95 = ±
(252.46)2 (0.072)2 + (605.08)2 (0.053)2
= ±369.9m 2
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177
Apéndice E: CLASIFICACION DE INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS
E.1 NIVEL
A) Clasificación de los Niveles
En cuanto a su precisión:
•
Nivel de construcción
•
Nivel topográfico o de ingeniero
•
Nivel geodésico ( con micrómetro de placa plano-paralela)
En cuanto a su construcción
•
Con nivel tubular
Nivel simple
Nivel con tornillo de trabajo
Nivel reversible con tornillo de trabajo
•
Automáticos
•
Electrónicos
•
Láser
B) Características de algunos tipos de niveles
a) Niveles Simples
Se usa en niveles de construcción, en los cuales la imagen del nivel tubular se
observa en un espejo que se levanta 45º . Su precisión dependerá del radio de curvatura del
ocular y del aumento del telescopio. La sensibilidad de un nivel tubular se indica por la
amplitud del ángulo que corresponde a un desplazamiento de 2 mm. de la burbuja.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
178
La precisión de centrado de la burbuja será 1/5 de la división, es decir, 0.4 mm.
b) Niveles de Coincidencia
Se utiliza normalmente en niveles topográficos, con alta precisión y rapidez en el
trabajo, equipados con tornillos de paso fino que permite inclinar el telescopio junto con el
nivel tubular manteniendo vertical el eje de rotación. Estos se denominan tornillos de
trabajo.
Cuando aparece el invento del centrado de la burbuja por la imagen de coincidencia
de sus extremos, se logra una precisión de centrado de 1/40 de 2mm., osea, 0.05 mm. Las
ventajas del centrado por la imagen de coincidencia son las siguientes:
•
aumenta la precisión del nivel sin aumentar el radio de la burbuja tubular, para no
aumentar su sensibilidad y se haga así más difícil su centrado.
•
se puede lograr una construcción más sólida del nivel porque la burbuja tubular se
puede encerrar protegiéndola del sol, el polvo, la humedad, disminuyendo la
necesidad de servicio de mantención.
•
Permite proyectar la imagen de coincidencia directamente dentro del telescopio al
lado de la imagen de la mira, dando la seguridad al topógrafo de que la visual está
horizontal al momento de la lectura.
c) Nivel Reversible
Es un nivel topográfico en que el anteojo puede ser girado en torno al eje
longitudinal del telescopio y en el cual el nivel tubular tiene el mismo radio de curvatura
arriba y abajo, pero en direcciones opuestas (biconvexo). Viene equipado con prismas de
coincidencia y tornillo de trabajo. El hecho de que sea reversible ofrece la ventaja de que
puede ser controlado de una sola posición instrumental.
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179
C) Características constructivas de un nivel topográfico
a) Telescopio o Anteojo
El telescopio está compuesto de:
•
Un lente objetivo (generalmente tres elementos)
•
Un lente de enfoque que se mueve en el interior del tubo del antejo y que permite
enfocar la imagen de la mira sobre el retículo.
•
Un retículo, que es una lámina de cristal plano-paralela, sobre la cual están
grabados los hilos.
•
Un ocular, generalmente compuesto por tres lentes pegados.
b) Aumento
El aumento lo entrega el ocular, y es determinante para la precisión de la lectura,
así, cambiando el ocular podemos cambiar el aumento del telescopio.
c) Campo Visual
este es mayor a menor aumento. Por esta razón, para obtener una buena luminosidad con un
anteojo de gran aumento, se utiliza un objetivo de mayor diámetro libre. El aumento normal
de niveles y taquímetros varía según su categoría.
Construcción
20X
Topográficos
30X
Geodésicos
40X
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180
d) Micrómetro de Placa Plano-Paralela
Incorporado en niveles geodésicos, accesorio opcional en los topográficos. Consiste
en una placa óptica colocada delante del objetivo. Permite desplazar la línea de puntería
paralelamente a sí mismo, en una división entera de la graduación de la mira, permitiendo
así hacer coincidir el trazo horizontal del retículo con la división de la mira. Esto se logra
mediante el basculamiento de la placa plano-paralela. Después de calado el nivel se puede
medir la distancia entre el trazo horizontal del retículo y el trazo más cercano de la mira. El
desplazamiento de la visual hasta el trazo de la mira se observa por la rotación de un botón
que gira la p.p.p. y cuyo movimiento queda registrado en una escala micrométrica en la
cual se pueden leer los milímetros, las décimas y estimar las centésimas de milímetros.
e) Círculo Horizontal
Incorporado en algunos niveles, haciendo posible la lectura del ángulo horizontal
hasta el grado y en algunos hasta los diez minutos. Permite hacer un levantamiento
taquimétrico siempre y cuando el terreno no tenga diferencias de altura superiores al largo
de la mira empleada.
E.2 TAQUÍMETROS Y TEODOLITOS
A) Clasificación de Taquímetros y Teodolitos según su precisión
Denominación
De construcción
Topográficos
Topográficos de Orden Superior
Geodésicos
Astronómicos
Precisión
c
1
10cc – 25cc
1’’ (3cc)
0.1’’
0.01’’
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181
B) Tipos de Taquímetros y Teodolitos
a) Automáticos: tienen un compensador que mantiene el cero en el zenit. Ej.: WILD
T1A, ZEISS THEO 010, 020A, WILD T1, T16, T2 nuevos.
b) No automáticos: tienen un nivel tubular que debe ser centrado antes de la lectura
del ángulo vertical.
C) Características Constructivas
a) Telescopio o Anteojo: la mayoría -exceptuando a los geodésicos y a los
astronómicos- son de imagen derecha por comodidad, pero hay que recordar que la
mejor imagen se logra con el telescopio más simple, que da una imagen invertida.
Son de construcción semejante a los de los niveles, con excepción de que en los
automáticos el compensador no está en el telescopio sino en el círculo vertical.
b) Retículo: todos –a excepción de los geodésicos y a los astronómicos- llevan trazos
estadimétricos grabados en el retículo. En los modernos K = 100 y A = 100. En los
más antiguos éstos vienen de fábrica y se puede determinar.
c) Campo visual: para mantener una buena luminosidad, los fabricantes aumentan el
diámetro del objetivo en los instrumentos de alta precisión como los geodésicos,
porque en estos siempre se utiliza un gran aumento
D) Sistemas de Lectura en los Instrumentos de Medición Angular
‰
Micrómetro de Escala: proporciona una lectura directa por intermedio de la
proyección óptico de la división de los círculos y numeración sobre una escala fija,
dividida en 100 partes (ó 60). La lectura se hace en el micrómetro, en el trazo de
división del círculo. Ejemplos: ZEISS Th4, THEO 020, FENNEL FT1A, WILD
T16.
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0
10
20
30
40
50
182
60
70
80
90
100
Lectura = 84, 818g
‰
Micrómetro de coincidencia: permite una lectura más fina, hasta los 10 segundos,
pero para esto se debe hacer coincidir la raya vertical de la graduación de los
círculos entre dos trazos grabados en la ventana de lectura del micrómetro. Este
desplazamiento se logra girando un botón que a su vez actúa sobre un prisma que
desplaza ópticamente el trazo de división del círculo. La cantidad de este
desplazamiento se mide y se visualiza en otra ventana del micrómetro de lectura.
Ejemplo: WILD T1A, ZEISS Th3.
70
67
60
50
40
Lectura = 67,535g
‰
Micrómetro de coincidencia con lectura diametralmente opuesta: se usa
generalmente en teodolitos y permite una lectura más fina de los círculos. En los
instrumentos topográficos se lee al segundo, en los geodésicos a la décima de
segundo. Esta forma de lectura permite compensar el error residual de centraje de
los círculos en el instrumento.
Este error puede causar otros angulares del orden de segundos lo que tendría
mucho efecto en los teodolitos donde la precisión es del segundo o mayor. Se
proyectan ópticamente los trazos diametralmente opuestos del círculo horizontal y
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183
separadamente del vertical en una ventana de lectura. Por medio del prisma se hacen
coincidir las peinetas.
Ejemplos: Topográficos: WILD T2, KERN DKM2, ZEISS Th2, THEO 010, 010B.
Geodésicos: WILD T3. Astronómicos: WILD T4.
40
30
30
8
20
10
L ectu ra = 30,800 6g
E.3 ESTACIONES TOTALES
Las estaciones totales pueden ser de dos tipos:
a) Modulares: son aquellas que están compuestas por un taquímetro electrónico sobre
el cual está montado un distanciómetro y los dos están conectados a un medio de
almacenamiento electrónico de datos.
b) Integrales: en este tipo, los tres componentes están integrados en la misma unidad.
En este caso la emisión y recepción del rayo infrarrojo se hace generalmente a
través de la misma óptica del teodolito.
Estos instrumentos aceleran extraordinariamente los topográficos porque registran
sin interferencias del operador el ángulo horizontal, el ángulo vertical, la distancia inclinada
e incluso la horizontal. El operador debe introducir el número de punto, el código del
mismo, la temperatura, la presión atmosférica y la identificación de la estación donde está
instalado. Los datos de terreno se pueden transferir mediante una interface a un computador
donde pueden ser procesados, dibujados, etc. así, se pueden eliminar las principales fuentes
de error que son la lectura y la anotación de los datos.
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184
Apéndice F: CONTROL DE INSTRUMENTOS TOPOGRÁFICOS
F.1 CONTROL DE NIVELES
Para controlar el nivel esférico se debe nivelar el instrumento centrando el nivel
esférico teniendo el anteojo paralelo a dos tornillos nivelantes. Se gira el instrumento en
ángulos rectos, y la burbuja del nivel se desplazará en el doble del error. Para corregirlo se
elimina la mitad del desplazamiento con los tornillos de ajuste que están a los lados del
nivel esférico o debajo de éste. La otra mitad del desplazamiento de la burbuja se elimina
con los tornillos nivelantes, volviendo a centrar el nivel esférico. Esta operación se repite
hasta que la burbuja permanezca centrada en cualquier posición del anteojo.
A) Control del Paralelismo entre la línea de puntería y la directriz del nivel tubular
(ZZ//LL).-
Este control se recomienda realizarlo de la siguiente forma:
En terreno plano y firme estacar tres distancias iguales entre 15 y 20 m. situados en
línea recta, como muestra la figura:
Se instala el nivel en el extremo A, se nivela y se coloca la estadía en los puntos 1 y 2, se
hacen las lecturas a1 y a2. Se cambia el nivel hacia el punto B y se hacen las lecturas a3 y
a4. La horizontal es calcula:
a4 = a1 - a2 + a3
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185
Si la lectura a4 realizada es igual a la calculada, más menos una tolerancia, el
instrumento está bien ajustado. Si la diferencia es superior a la tolerancia debemos proceder
a ajustarlo.
B) Control de las constantes de Adición (A) y Multiplicación (K).-
Para realizar este control se estacan 2 distancias con tres puntos puestos en línea
recta también en terreno plano y firme. Se instala el instrumento en el primer punto y se
toman las lecturas estadimétricas sobre las miras colocadas en los otros dos puntos. Se
forma el siguiente sistema de ecuaciones, donde A y K son las incógnitas a determinar:
d1 = K (L1S – L1I) + A
d2 = K (L2S – L2I) + A
Ejemplo resuelto: Se estacaron dos distancias de 15 m. cada una. Se hicieron las siguientes
lecturas estadimétricas desde A: hacia B ((LS – LI) = 0,157 m. y hacia C (LS – LI) = 0,303
m. Calcular las constantes y graficar el error que cometeríamos al considerar K = 100 y A
= 0.
El sistema de ecuaciones será:
15 = 0,157K + A
30 = 0,303K + A
Las constantes calculadas son K = 102,740 y A = - 1,130 m.
Por lo tanto, las distancias se calcularán con la siguiente ecuación :
D = (LS – LI)* 102,740 – 1,130
Si usamos D = (LS – LI)* 100 + 0 será la distancia con error.
Además:
(LS – LI) = (D + 1,130) / 102,740
Calculemos las diferencias estadimétricas que se obtendrían para algunas distancias. luego
con ellas calculamos las distancias con error. el error será igual a la diferencia entre ambas:
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D (m)
0
15
30
45
60
(LS – LI)
0,011
0,157
0,303
0,449
0,595
186
DCON ERROR
1,10
15,7
30,3
44,9
59,5
Error
1,10
0,7
0,3
- 0,1
- 0,5
Con las distancias correctas y los errores obtenemos el gráfico:
Error (m)
1,10
1
Dist. (m)
41,250
15
30
45
60
-0,5
-1
F.2 CONTROL DE INSTRUMENTOS DE MEDICION ANGULAR
A) Condiciones que deben cumplir los instrumentos de medición angular:
a) LL ⊥ VV: el eje del nivel tubular (LL) debe ser perpendicular al eje vertical de
rotación (VV), o sea, cuando el nivel tubular está centrado VV debe estar vertical.
b) ZZ ⊥ HH: el eje de puntería debe ser perpendicular al eje horizontal de rotación del
anteojo.
c) HH ⊥ VV: el eje horizontal de rotación del anteojo debe ser perpendicular al eje
vertical de rotación del instrumento.
d) El eje del nivel índice del círculo vertical debe ser paralelo al eje de puntería cuando
la lectura es 100,00g o el compensador automático del círculo vertical debe
mantener el cero en el zenit.
e) La proyección del eje VV debe coincidir con el punto indicado por la plomada
óptica.
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187
Ejes del instrumento
V
Z
H
H
Z
L
L
V
B) Corrección de los errores sistemáticos
1.- Error de verticalidad del eje de rotación del instrumento. LL no es perpendicular a
VV.
El nivel tubular se coloca paralelo a dos tornillos nivelantes por medio de los cuales
se centra la burbuja. Se gira el instrumento en 100g y se vuelve a centrar la burbuja con el
tercer tornillo nivelante. Se gira el instrumento en 200g y la burbuja debe permanecer
centrada. Ejemplo: En este caso se desvió ¼ de división de la burbuja y éste es el doble del
error.
Error = (1/4) / 2 = 1/8 división.
2.- Error de colimación horizontal. ZZ no es perpendicular a HH.
Se fija a un punto lejano bién definido y se lee el ángulo horizontal en directa y
tránsito. La diferencia de ambas lecturas debe ser ± 200g y si existe discrepancia ésta
corresponde al doble del error de colimación horizontal.
Angulo (g)
Directa
Tránsito
Diferencia
348,0840
- 148,0820
0,0020 : 2 = 0,0010
Error de colimación horizontal = +10cc
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188
3.- Error de perpendicularidad entre los ejes horizontal y vertical.
Se controla visando puntos lejanos bién definidos más bajos y más altos que la
horizontal, en directa y en tránsito. Si se obtienen errores de colimación horizontal distintos
entre los puntos altos y los puntos bajos el eje HH no es perpendicular a VV.
En punto alto:
Angulo (g)
Directa
330,5660
Tránsito
- 130,5680
Diferencia -
0,0020 : 2 = - 0,0010
Error de colimación horizontal = -10cc
En punto bajo:
Angulo (g)
Directa
331,1460
Tránsito
- 131,1500
Diferencia -
0,0040 : 2 = - 0,0020
Error de colimación horizontal = -20cc
Ambos errores de colimación poseen el mismo signo por lo tanto el eje HH es
perpendicular a VV.
4.- Error de colimación vertical o error de índice del círculo vertical.
Se visa a un punto lejano bién definido con el hilo horizontal. Se anota la lectura y
se repite la medición en tránsito. La suma de ambas lecturas debe ser 400g y si hay
discrepancia, esta corresponde al doble del error de colimación vertical.
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189
Angulo (g)
Directa
300,2680
Tránsito
+ 99,7280
Suma
399,9960
-
400,0000
0,0040 : 2 = - 0,0020
Error de colimación vertical = - 20cc
5.- Error de coincidencia de la plomada óptica con el eje vertical de rotación.
Se debe centrar la plomada óptica sobre el punto puesto sobre el suelo. Luego se
gira el instrumento en 200g y se observa si hay desviación la que no debe pasar el ½
milímetro.
F.3 CONTROL DEL ERROR DE CERO EN ESTACIONES TOTALES
Para realizar este control se deben tener tres puntos colineales. La estación total
debe leer las distancias horizontales desde cada extremo hacia los prismas ubicados en cada
punto, como se muestra en la figura.
Con las distancias medidas se puede calcular el error de cero, el cual permite
conocer la constante del prisma que debe ser ingresada en la estación total para que mida
las distancias correctas. El error no debería superar los 2 mm. para considerar que la
constante introducida ha sido la correcta. Generalmente ésta es de 30 mm. ó 0 mm. u otro
valor.
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190
Ejemplo resuelto:
Ingresando la constante del prisma - 30 mm. se obtuvieron las siguientes lecturas:
EST.
A
C
PTO.
B
C
B
A
DH
142,941
234,924
91,982
234,924
Cálculo del Error de Cero:
BCSIN ERROR = AC – AB = 234,924 – 142,941 = 91,983 m.
Error de φ = BCSIN ERROR - BCCON ERROR = 91,983 – 92,982 = + 0,001 = + 1 mm.
BASIN ERROR = CA – CB = 234,924 – 91,982 = 142,942 m.
Error de φ = BASIN ERROR - ABCON ERROR = 142,942 – 142,941 = + 0,001 = + 1 mm.
Error de φ = (+ 1 mm. + 1 mm.) / 2 = + 1 mm.
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191
Apéndice G: INTRODUCCIÓN AL SISTEMA G.P.S.
El sistema G.P.S. fue desarrollado por el DOD (Department of Defense) de Estados
Unidos. Creado en 1978 con la finalidad de proveer al usuario información de alta precisión
de navegación, posición 3D y tiempo.
Posee la capacidad de determinar la coordenada de un punto con una precisión del
orden de 1mm. + 1 ppm. y posee la ventaja de no necesitar intervisibilidad entre los dos
puntos a medir. Como condición, desde ambos puntos se deben observar los mismos
satélites, aunque a veces se presenta la desventaja de que algunos obstáculos impiden la
recepción de las señales que éstos envían, como el follaje de los árboles, los edificios, etc.
G.1 SEGMENTOS DEL SISTEMA GPS
•
Segmento Espacial
El segmento espacial está conformado por 24 satélites que
envían señales para determinar la posición, tiempo, efemérides y estado del sistema. Estos
satélites están ubicados en 6 planos orbitales con una inclinación de 55º respecto al Ecuador
con argumento de latitud de 60º a una altura orbital de 20.200 km.
Los satélites transmiten sus señales a través de dos frecuencias denominadas L1 y L2
. En L1 emiten portadora, código C/A y código P y en L2 portadora y código P. Además
envían información para sincronizar el reloj del sensor, las efemérides y el estado de la
constelación.
•
Segmento de Control
Hace el seguimiento y verifica la posición de los satélites mediante una serie de
estaciones de monitoreo que realizan el cálculo y la corrección de los relojes de los satélites
y de las efemérides. Están ubicadas en:
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-
Colorado Springs ( EE.UU.)
-
Ascención (Atlántico Sur)
-
Diego García (Océano Índico)
-
Kwajalein (Pacífico Occidental)
-
Hawai (Pacífico Oriental)
192
La primera es la estación maestra. Las otras se encuentran en islas cercanas al
Ecuador para evitar grandes interferencias.
G.2 PRINCIPIO DE MEDICIÓN DEL SISTEMA GPS
La posición es calculada midiendo las distancias a tres puntos (satélites) cuyas
posiciones son conocidas. Como resultado se generan tres esferas y de su intersección se
obtiene dos soluciones; una de ellas es absurda por no estar sobre la superficie de la tierra,
la otra es la posición del punto:
GPS
GPS
GPS
Para calcular la posición de un punto en el espacio, dados tres puntos conocidos,
necesitamos conocer:
-
Las coordenadas de dichos puntos de referencia (satélites) al momento de hacer la
medición.
-
La distancia d que hay entre cada satélite y el punto cuya posición se desea conocer.
La ley de Newton establece que “un cuerpo en movimiento permanece así a menos que
exista una fuerza que se oponga a dicho movimiento”. A 20.200 km. de altura no hay
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
193
mayor oposición al desplazamiento de los satélites, por lo tanto, se puede asumir que éstos
viajan a velocidad constante.
Además, cada 30 segundos los satélites envían mensajes que contienen las
efemérides para cada uno de los 24 que forman la constelación.
Estos parámetros permiten determinar la posición de los satélites con bastante exactitud en
un instante dado.
Posición del Punto
Supongamos que el receptor está ubicado sobre el punto cuyas coordenadas deseamos
conocer, que el satélite nos envía por medio de ondas de radio mensajes codificados en los
que se indica la “hora exacta” en que se envió el mensaje y que la velocidad de propagación
de las ondas de luz es de 300.000 Km/s.
El receptor sabe la hora exacta de recepción del mensaje. Entonces, conocida la hora de
envío es fácil calcular el tiempo que tomó el mensaje para viajar del satélite al receptor. La
distancia se obtiene aplicando:
d = c*t
De las efemérides obtenidas en el mensaje se conoce la posición del satélite. Repitiendo el
proceso con dos satélites más, se obtiene la posición del punto en el espacio.
Códigos
Son una serie de pulsos eléctricos con valores +1 y –1 que modelan de modo
pseudoaleatorio las señales de radio frecuencia. Son generados por los satélites utilizando
un complicado juego de instrucciones que se repiten cada 7 días. El receptor genera un
código igual al del satélite que debe estar exactamente sincronizado.
El código generado por el satélite sufre un retraso debido a la distancia que debe
recorrer para llegar hasta el receptor. Este retraso será mayor cuanto mayor sea la distancia.
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194
El receptor calcula la distancia comparando el código recibido del satélite con el generado
en el mismo.
Pseudodistancia
No es cierto que el reloj del transmisor y del receptor estén perfectamente
sincronizados. Los satélites tienen relojes atómicos de alta precisión y estabilidad que por
su costo no pueden ser utilizados en los receptores GPS lo que arroja un error en el cálculo
del tiempo. La solución es usar 4 satélites ya que para calcular la posición se debe conocer
el error de tiempo (sincronización). Determinando el error de tiempo es fácil corregir las
pseudo distancias y obtener sus valores reales.
G.3 ERRORES EN LA DETERMINACIÓN DE LAS DISTANCIAS
Efectos de la Ionósfera: lamentablemente las ondas de radio no viajan por el espacio
vacío, deben atravesar la ionósfera. El grado en que afecta a las ondas dependerá de la
carga ionosférica y el ángulo de incidencia. El retraso ocasionado en la propagación de las
señales es inversamente proporcional a la frecuencia. Usando dos frecuencias se puede
determinar la diferencia entre los tiempos de retardo y eliminar el efecto.
Error en la marcha del reloj de los satélites: estos errores provocan que los códigos
pseudo aleatorios sean generados fuera de tiempo. Las psedo distancias medidas pueden
tener un error de 0,6 m. debido a este efecto.
Error en las efemérides: las efemérides no representan exactamente la trayectoria de los
satélites. Estas diferencias se manifiestan en un error en la ubicación del receptor de hasta
0,6 m.
Error en la marcha del reloj de los receptores: este error se elimina captando varios
satélites.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
195
Disponibilidad Selectiva (S/A): técnica usada en el DOD para degradar la precisión del
sistema para uso civil (± 100 m.).
Pérdidas de Ciclo: Estas pérdidas de ciclos pueden ser causadas por la obstrucción de la
señal del satélite debido a la presencia de árboles, edificios, puentes, montañas, etc. Esta
causa es la más frecuente, pero también pueden ser debidas a una baja SNR (calidad señalruido) debido a unas malas condiciones ionosféricas, efecto multipath, receptores en
movimiento, o baja elevación del satélite.
Efecto Multipath: El efecto multipath o multicamino es causado principalmente por
múltiples reflexiones de la señal emitida por el satélite en superficies cercanas al receptor.
Estas señales reflejadas que se superponen a la señal directa son siempre más largas, ya que
tienen un tiempo de propagación más largo y pueden distorsionar significativamente la
amplitud y forma de la onda. Este efecto puede ser considerablemente reducido eligiendo
puntos de estación protegidos de reflexiones (edificios, vehículos, árboles, etc.).
Dilución de la Precisión: se expresa como DOP (Dilution of Precision) . La geometría de
los satélites visibles es un factor importante a la hora de conseguir altas precisiones en el
posicionamiento de un punto. Dicha geometría cambia con el tiempo como consecuencia
del movimiento orbital de los satélites.
S2(t)
S4(t)
S3(t)
S1(t)
R
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
196
El valor del DOP puede ser interpretado geométricamente como el volumen del
cuerpo formado por los satélites y el receptor. Cuanto mayor sea el volumen de este cuerpo
mejor será la geometría, y por lo tanto menor será el valor del DOP, siendo el valor ideal la
unidad.
Como ya se vio anteriormente, el valor del DOP es el factor por el que debe ser
multiplicado el error obtenido en las pseudodistancias para obtener el error final en el
posicionamiento. Los valores de DOP más utilizados son los siguientes:
GDOP: Dilución de precisión en posición y estado del reloj.
PDOP: Dilución de precisión en posición.
TDOP: Dilución de precisión en el estado del reloj.
HDOP: Dilución de precisión en planimetría.
VDOP: Dilución de precisión en altimetría.
RDOP: Dilución de precisión relativa entre dos puntos.
G.4 METODOS DE POSICIONAMIENTO
A) POSICIONAMIENTO ABSOLUTO
Se realiza con un único receptor, y consiste en la solución de una intersección
directa de todas las distancias receptor-satélite sobre el lugar de estación en un período de
observación dado. La medida y la solución son por lo tanto directas.
Para llevar a cabo el posicionamiento, el receptor recibe las señales de los satélites y
determina su posición en coordenadas absolutas y en el sistema de referencia al que están
referidos los satélites. Las observables utilizadas para el posicionamiento absoluto suelen
ser los códigos, pero también se podrían utilizar las diferencias de fase o ambas.
Para resolver un posicionamiento absoluto es necesario recibir la información de al
menos cuatro satélites, ya que cada uno de ellos proporciona una ecuación al sistema y
nuestras incógnitas son cuatro (X,Y,Z y estado del reloj del receptor).
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
197
El posicionamiento absoluto tiene la ventaja de que con un sólo instrumento de
observación podemos obtener nuestra posición, pero posee una serie de inconvenientes
que repercuten seriamente en la precisión del posicionamiento, y por ello no hace del
método una aplicación apropiada en trabajos de precisión. Entre los inconvenientes más
relevantes destacan:
-
Influencia importante de los errores producidos por la atmósfera.
-
En el caso de recibir señales de la constelación NAVSTAR, el efecto de la
disponibilidad selectiva (S/A) hace que nuestro posicionamiento no sea el correcto.
-
Imposibilidad de eliminar errores por compensación, como son el efecto multipath,
osciladores, excentricidad de la antena, retardo atmosférico, etc.
SATELIT
RECEPT
Situación de un posicionamiento absoluto.
B) POSICIONAMIENTO DIFERENCIAL
El posicionamiento diferencial consiste en hallar la posición absoluta de un punto
(móvil, objetivo, etc.) mediante las observaciones realizadas desde ese punto a unos
determinados satélites, sumadas a las realizadas en ese mismo instante desde otro punto
(referencia) a esos mismos satélites. Por lo tanto, aquí aparece el concepto de línea base,
que es la línea recta que une el punto de referencia y el punto objetivo.
Esta línea base, no es medida de forma directa, ya que nuestras observaciones son
sobre los satélites y no entre los puntos. Por lo tanto, la obtención de la línea base se
produce en forma indirecta. Es por esto que las incógnitas no son los incrementos de
coordenadas entre los dos puntos, sino que son los diferenciales (dx, dy, dz) que hay que
añadir a las coordenadas aproximadas absolutas ( Xo, Yo, Zo) de cada punto. Si conocemos
de partida las coordenadas del punto de referencia, las incógnitas se reducen a las del punto
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
198
objetivo, que una vez halladas, unidas a las del punto de referencia, nos darán las
componentes y valores de la línea base que los une.
SATELIT
LINEA
RECEPTOR
Situación de un posicionamiento diferencial.
G.5 METODOS DE MEDICION
Dependiendo de las observables, instrumental de observación y software de cálculo
utilizados, podemos citar las siguientes técnicas o métodos posicionamiento diferencial:
Estático
Este modo consiste en el estacionamiento de receptores que no varían su posición
durante la etapa de observación. La referencia puede establecerse en cualquiera de ellos y la
precisión será función del tiempo de observación, de la geometría y del instrumental
utilizado.
Una variante del método estático es el denominado estático rápido, el cual se puso
en funcionamiento gracias a la inclusión de algoritmos de tratamiento de las señales y
espacios de búsqueda de ambigüedades más sólidos y rápidos. De este modo, el tiempo de
observación y de cálculo se reducen considerablemente. Sirva como ejemplo que este
tiempo se puede reducir a diez minutos en instrumentos monofrecuencia y a un minuto en
instrumentos bifrecuencia.
Podemos dar una relación de tiempos mínimos y tiempos aconsejables de un modo
general en los cuales los resultados ya son satisfactorios:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
199
Tiempo mínimo
Instr. monofrecuencia
Instr. bifrecuencia
Tiempo óptimo
10 min.
20 min.
1 min.
10 min.
Cuando la distancia entre puntos supera los cien kilómetros o la diferencia de altitud
entre ellos supera los 500 m, se debe plantear el prolongar estos tiempos de observación
para contrarrestar los errores producidos por la Ionosfera y la Troposfera.
El método estático es el que mayor precisión proporciona, pero también es el que
más tiempo de observación requiere. Se pueden obtener precisiones mejores de una parte
por millón si utilizamos las observables de diferencia de fase.
Este método está especialmente indicado para:
-
Confección de redes fundamentales en las cuales se vayan a apoyar trabajos de
Cartografía, Fotogrametría o proyectos de ingeniería.
-
Obtención de puntos de apoyo fotogramétrico y control de puntos existentes.
-
Control de deformaciones en superficies y estructuras.
-
Proyectos de investigación sobre el comportamiento y estructura de la atmósfera
terrestre, como afecta a las señales, estudio de precisiones, etc.
No obstante, este método tiene la ventaja de que siempre se puede recurrir a él en
caso de problemas con la aplicación de otro, ya que es válido para cualquier aplicación. No
hay que olvidar que es el método fundamental y en el que se apoyan el resto de métodos de
posicionamiento diferencial.
Reocupación o pseudoestático
El método de posicionamiento es el estático, pero puede
ocurrir que las condiciones de observación no sean idóneas, bien porque la bondad de la
geometría es muy alta (GDOP>8) o bien porque disponemos de menos de cuatro satélites
por apantallamientos u obstrucciones.
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200
Para poder dar solución al problema, volvemos a repetir la puesta al cabo de un cierto
período (que puede ser visto con los programas de planificación de observaciones a través
de almanaques radiodifundidos), con el fin de obtener información de satélites distintos a
los de la primera puesta. Para resolver el problema, el software mezcla los datos de las dos
puestas para formar un único sistema de resolución como si todo se hubiera realizado una
sola vez.
Por lo tanto, el estacionamiento es estático, y la reocupación una forma de
solucionar problemas que surgen debido a la falta de información necesaria en
posicionamientos estáticos. Las aplicaciones y fundamentos en precisiones y tratamientos
de observables son los mismos que los indicados en el método estático, aunque la precisión
si que se puede ver mermada en ocasiones.
Cinemático
Este método constituye una solución eficaz al inconveniente de los
posicionamientos estáticos que requerían períodos de observación prolongados. Esta
indicado para el tratamiento de observables de diferencia de fase.
El fundamento es establecer una estación fija de referencia, estática, y otra estación
móvil que va a realizar las puestas en los puntos que se consideren necesarios. Para
desarrollar este método es necesaria una inicialización, que supone calcular todos los
parámetros de la línea base que une el móvil y la referencia en un instante. Una vez hecho
esto, se conservan los valores de las ambigüedades, lo que hace que el número de
incógnitas se reduzca a tres (X,Y,Z del móvil), lo que requiere menos épocas de
información para resolver el sistema y por lo tanto menor período de puesta. A modo de
ejemplo, si tras la inicialización disponemos de información de seis satélites comunes entre
la referencia y el móvil, tendremos en una época cinco ecuaciones en doble diferencia y tres
incógnitas, por lo que ya podríamos resolver la posición del móvil. Si tomamos tres épocas,
la redundancia es mayor y el resultado más fiable. Si hemos establecido que una época son
cinco segundos, tendremos la solución con tan sólo quince segundos de puesta. El problema
puede ser resuelto en tiempo real o en post-proceso.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
201
Este método presenta la gran ventaja de que con él se obtienen resultados fiables y
con buena precisión en poco tiempo, pero presenta el inconveniente de la posible pérdida
de señal. Si esto se produce en un instante, las ambigüedades establecidas en la primera
inicialización ya no sirven, lo que requiere un nuevo proceso de inicialización en el lugar
donde se produjo la pérdida de señal.
Existen varios modos de inicialización:
Estático rápido. Se realiza una puesta estática de varias épocas hasta que se haya
determinado la posición del móvil de forma satisfactoria. Es el modo más lento de
inicialización, y es función del tipo de instrumental utilizado, información recibida y
potencia del algoritmo de cálculo. Puede variar de uno a algunos minutos.
Estático en punto conocido. El método es análogo al anterior, pero más rápido, ya que al
conocer tres de la incógnitas del sistema (X,Y,Z del móvil) las que quedan por determinar
son únicamente los incrementos de los valores de ambigüedad. Por lo tanto, necesitamos
menos ecuaciones y en consecuencia menor tiempo de observación para resolver el sistema.
Puede variar entre uno y dos minutos en función del tiempo en que se establezcan las
épocas de grabación y la potencia del software de cálculo.
En movimiento (OTF, On-The-Fly). Esta técnica desarrolla un algoritmo que aplica las
observaciones recibidas en movimiento y resuelve el sistema sin tener que realizar puestas
estáticas. Es muy cómoda, ya que estamos inicializando mientras nos dirigimos al punto
objeto de posicionamiento.
La inicialización en modo OTF fue creada para aplicar técnicas de resolución
cinemática a elementos que no pueden estar parados para efectuar inicializaciones estáticas,
como son barcos y aviones, y facilitar las aplicaciones que les conciernen, como
levantamientos batimétricos y vuelos fotogramétricos. En el caso del avión, el objeto es
conocer las coordenadas de la cámara en el momento de las tomas, y en el caso del barco
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
202
tener la información planimétrica puntual que completa las tres dimensiones con la medida
directa de la ecosonda. Es evidente que si se produce una pérdida de señal, la inicialización
se vuelve a realizar sin tener que detener los vehículos, situación muy difícil en los dos
casos mencionados.
Pero la inicialización OTF no solamente se aplica en estos campos, sino que
actualmente los equipos de observación por satélite terrestres incorporan esta posibilidad
para cualquier tipo de trabajo, por su seguridad, rapidez y comodidad. Si las condiciones
son favorables, la inicialización se puede realizar en menos de un minuto.
Dentro del modo cinemático, se puede trabajar con el modo continuo (denominado
cinemático propiamente dicho) o en modo discontinuo (stop & go).
Stop & Go
Para posicionar un punto con el receptor móvil (tras la inicialización
satisfactoria) se realiza una parada en dicho punto de unas pocas épocas, después nos
dirigimos al siguiente punto y actuamos de igual modo. El procedimiento se mantendrá
hasta completar el trabajo o hasta sufrir una pérdida de señal que obligue a inicializar otra
vez.
Este método es apropiado para el levantamiento de puntos cercanos entre sí. Es
imprescindible mantener la verticalidad de la antena en todo momento. La precisión del
método siempre es función del tipo de instrumentación utilizado. Puede llegar a ser de uno
a cinco centímetros en el mejor de los casos. Las aplicaciones más comunes son:
-
Levantamientos taquimétricos en general.
-
Determinación de superficies y parcelaciones.
-
Control y evolución de fenómenos y obras.
-
Densificación de información de una zona.
-
Obtención de perfiles transversales.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
203
Continuo
También denominado cinemático propiamente dicho. En este caso, el receptor
móvil no efectúa ninguna parada, normalmente porque no le es posible. Está indicado para
el uso de estaciones móviles ubicadas en vehículos en movimiento, como aviones, trenes,
camiones, barcos, turismos, etc. Para su aplicación, basta con indicar el tiempo transcurrido
entre una grabación y otra (épocas de grabación) para posicionar las situaciones puntuales
del receptor en movimiento continuo. Por ejemplo, si hemos establecido una época como
cinco segundos, y queremos que el posicionamiento se produzca cada treinta segundos,
deberán transcurrir seis épocas de observación para efectuar el posicionamiento. El
intervalo de grabación (épocas) para el método cinemático es aconsejable que sea de cinco
segundos o menos.
Este método presenta el mismo inconveniente que el anterior, que es la posible
pérdida de señal. Si esto se produce, y se dispone del modo OTF, el vehículo no necesita
detener su marcha. Las aplicaciones más comunes de este método son:
-
Determinación de la trayectoria de vehículos en movimiento.
-
Levantamientos batimétricos.
-
Navegación.
-
Determinación de itinerarios (carreteras, caminos, canales, rutas, líneas de enlace de
redes, cauces fluviales, etc.).
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
204
Apéndice H: REDES DE CONTROL
Las redes de control consisten en una serie de puntos que se establecen como
referencia para dar origen a levantamientos ya sea Hidrográficos, Topográficos,
Geodésicos, etc. Estas están formadas por puntos fijos con coordenadas absolutas, que
deben estar ubicados convenientemente, de tal forma de permitir el control horizontal y
vertical de una zona que será intervenida por un proyecto. La precisión de éstas queda
determinada por el tipo y magnitud del proyecto que se trate.
Como ya se mencionó, la función de la red de control será establecer el control
horizontal y vertical del área de proyecto, la cual estará formada por una serie de estaciones
enlazadas por mediciones redundantes, directas y de alta precisión.
H.1 CONTROLES
A) Control Horizontal
Es aquel utilizado para establecer Coordenadas Rectangulares Planas o también
Coordenadas Geodésicas para cada una de las estaciones. Los procedimientos más
utilizados en el diseño de redes son la triangulación, poligonación precisa y Sistema de
Posicionamiento Global.
B) Control Vertical
El objetivo del control vertical es el establecimiento de un punto definido o de un
objeto, que permitirá:
•
Disponer de puntos de salida y cierre de las operaciones de nivelación.
•
Contar con marcas de referencia durante los trabajos subsecuentes de construcción.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
205
El control vertical se lleva a cabo por medio de la nivelación diferencial directa,
aunque para áreas pequeñas se utiliza la nivelación trigonométrica.
C) Normas de Clasificación
Según las normas del I.P.G.H. los levantamientos microgeodésicos se clasifican de
acuerdo a tres criterios:
a) Espaciado de las Estaciones
Intervalo de Espaciado entre
las Estaciones (km.)
de 0.02 a 0.1
de 0.1 a 1.0
de 1.0 a 5.0
de 5.0 a 10.0
Designación
1
2
3
4
b) Precisión Horizontal
r = CP ( k + 0,2 )
donde,
r
: longitud del semieje mayor de la elipse de error de 95 % de confianza en cm.
CP : coeficiente de la orden de precisión de que se trate.
K : distancia de un vértice a otro en Km.
Orden de Precisión
A+
A
B
C
CP
1
2
5
12
r (cm.)
r1 = 1* ( k + 0,2 )
r2 = 2* ( k + 0,2 )
r3 = 5* ( k + 0,2 )
r4 = 12* ( k + 0,2 )
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
206
c) Precisión Vertical
Δh = Ch *
k
donde,
Δh : longitud del intervalo de confianza de 95 % en mm.
Ch : coeficiente de la orden de precisión de que se trate (para este caso es 8).
K : distancia de un vértice a otro en Km.
Orden de Precisión
A+
Ch
1
Δh (mm.)
ΔHA+ = 1* k
A
2
ΔHA = 2*
k
B
4
ΔHB = 4*
k
C
8
ΔHC = 8*
k
H.2 PRECISIONES DE LA RED SEGÚN SU ORDEN
a) Horizontal
Orden
A+
A
B
C
Valor en mm.
Región de confianza
σ
Región de confianza
σ
Región de confianza
σ
Región de confianza
σ
1
95%
95%
95%
95%
1–2
0.4 – 0.8
2–4
0.8 – 1.6
5 – 10
2–4
12 – 24
4.8 – 9.6
Designación del espaciado
2
3
2 – 12
0.8 – 4.8
4 – 24
1.6 – 9.6
10 – 60
4 – 24
24 – 144
9.6 – 57.6
12 – 52
4.8 – 20.8
24 – 104
9.6 – 41.6
60 – 260
24 – 104
4
52 – 102
20.8 – 40.8
104 – 204
41.6 – 81.6
260 – 510
104 - 204
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
207
b) Vertical
Orden
Valor en mm.
Región de confianza
σ
Región de confianza
σ
Región de confianza
σ
Región de confianza
σ
A+
A
B
C
1
95%
95%
95%
95%
0.15 – 0.3
0.08 – 0.15
0.3 – 0.6
0.15 – 0.3
0.6 – 1.2
0.3 – 0.6
1.2 – 2.4
0.6 – 1.2
Designación del espaciado
2
3
0.3 – 1
0.15 – 0.5
0.6 – 2
0.3 – 1
1.2 – 4
0.6 – 2
2.4 – 8
1.2 – 4
1 – 2.2
0.5 – 1.1
2 – 4.5
1 – 2.2
4–9
2 – 4.5
4
2.2 – 3.2
1.1 – 1.6
4.5 – 6.3
2.2 – 3.2
9 – 12.6
4.5 – 6.3
c) Aplicaciones
Espaciado (KM.)
A+
1
mm.
MC, AE, ME.
A
MC, AE, ME
Orden de Precisión
B
C
ZU(3), ZU(4)
MC, ME
ZU(4)
Designación del Espaciado
2
3
mm.
mm.
MC, AE, ME.
MC
ZU, ZU(1)
MC, AE, ME
ZU(2), FM
ZU(4), ZU(5)
PI, FM
ZU(6), PI, MC
ZU(6)
ZU(5), ZU(6)
donde:
ZU
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
MC
ME
AE
ZI
PI
FM
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
Zonas Urbanas
Control Geodésico de Primer Orden
Control de Densificación
Cartografía
Catastro I
Catastro II
Servicios Urbanos
Movimientos Volcánicos, Sísmicos, de la Corteza
Movimientos de Estructuras
Alineamiento de Estructuras
Control de Zona Industrial
Proyectos de Ingeniería Civil
Control para Fines Múltiples
4
mm.
MC
ZU, ZU(1)
ZU(2), FM
PI, FM
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
208
Apéndice I: AUTOCAD LAND DEVELOPMENT DEKSTOP: COMO IMPORTAR
PUNTOS DE LEVANTAMIENTO Y DIBUJAR LAS CURVAS DE NIVEL
A) IMPORTAR LOS PUNTOS
1) En primer lugar se debe crear un proyecto y dar nombre al dibujo que se va a realizar.
Luego, del menú principal se selecciona Points Î Import/Export Points Î
Format Manager, donde aparece la siguiente pantalla:
2) Para realizar las configuraciones correspondientes se selecciona una de las escalas, por
ejemplo 1:1000 y luego se despliega la siguiente pantalla:
3) En ella se selecciona la unidad lineal (Meters), la unidad angular (Degrees) y el
estilo de presentación del azimut (North Azimuths). Luego se hace clic en Next.
En ese momento se presenta la ventana SCALE:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
209
4) En ésta se seleccionan las Escalas de Dibujo tanto horizontal como vertical, además del
tamaño de la hoja. Luego se hace click en Next. Aparece la ventana ZONE:
5) En ella se puede seleccionar un Datum, si es necesario trabajar con uno. Si no, se
selecciona No Datum, No Projection y se hace clic en Next. Se despliega la
ventana ORIENTATION:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
210
6) Aquí se pueden dar coordenadas específicas para un punto y así orientar el plano, si es
necesario. Luego, se hace click en Next. Aparece la ventana TEXT STYLE donde se
seleccionan el tamaño del texto del dibujo y el estilo de éste. Luego se hace clic en Next y
aparece la ventana BORDER para seleccionar los márgenes y luego la ventana SAVE
SETTINGS para dar un nombre a toda la configuración realizada y poder seleccionarla
directamente en otro trabajo sin necesidad de repetir todos los pasos. Luego se hace click en
Finish. En ese momento aparece un cuadro resumen con la configuración. Seleccionar
OK.
Luego, del menú principal se selecciona Points
Î
Import/Export
Points Î Import Points, donde aparece la siguiente ventana:
7) En este cuadro, del Menú Format se selecciona el formato en que están ordenados los
puntos en el archivo y el delimitador de éstos. En el archivo que será utilizado se
encuentran ordenados por Punto, Descriptor, Norte, Este, Altura y están separados por
coma. Por esta razón se seleccionará P, D, N, E, Z (DELIMITADO POR COMA).
En la opción Source File del mismo cuadro se busca el archivo con los puntos.
Luego se presiona OK y aparece una barra de progreso de la transferencia de puntos.
8) Hacer un Zoom Realtime para ver todos los puntos. Por haber seleccionado un
tamaño de texto muy grande, no se distinguen con claridad:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
211
B) DIBUJAR CURVAS DE NIVEL
1) Siguiendo con el trabajo anterior, ahora en el menú principal se seleccionará Terrain
Î Terrain Model Explorer:
2) Se hace click con el botón secundario del mouse y se selecciona Create New
Surface
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
212
3) Dentro del la carpeta Terrain aparecerá la Opción Surface 1 y dentro de ésta,
Point Files. Sobre esta última se hace clic en el botón secundario del mouse y se
selecciona Add Point File... buscar archivo en Source File y luego OK.
4) Luego, nuevamente en Surface 1 se selecciona Build, donde aparece:
se elige Aceptar y aparece la barra de progreso Building Progress.
luego el mensaje Done building surface. Se elige Aceptar
5) Luego en Surface 1, selecciona Edit History y con el botón derecho de mouse
selecciona Import 3D Lines.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
213
En la línea de comandos de AutoCad aparece ¿Erase old Surface View? (Y / N). Presionar
Enter y en la misma línea aparece Creating View... En el plano se muestra la superficie
creada. Para apreciarla de mejor forma se han apagado las otras capas:
6) En el menú principal se selecciona Terrain Î Set Current Surface
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
214
Se hace clic en OK.
7)
En el menú principal se selecciona Terrain Î Create Contours, y se
despliega el siguiente cuadro:
En él se pueden configurar las equidistancias de las Curvas de Nivel, estilo de éstas,
etc. en la línea de comando aparece ¿Erase old contours? (Y / N). Presionar Enter. En el
plano se muestran las curvas creadas. Para apreciarla de mejor forma se ha apagado la capa
de la Superficie (SRF-VIEW):
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
215
8) El menú Terrain Î Contour Style Manager permite cambiar el aspecto de
las curvas, la posición del acotado, la precisión y otras características que tienen que ver
con su presentación (color, tamaño del texto, etc.). A continuación se puede ver un ejemplo
de cómo puede quedar la presentación de las curvas acotadas:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
216
Apéndice J: OPERACIÓN BASICA DE LA ESTACION TOTAL LEICA TC-1100
A) CARACTERISTICAS TÉCNICAS
a) Medidas de Ángulos
Precisión Hz, V (DIN 18723)
Visualización (unidad mínima)
Posibilidad de selección
3’’ – 10cc
1’’ – 5cc
360º, 400g, V %, 6400 mil
b) Medidas de distancias (tipo infrarrojo)
2 mm + 2 ppm
Precisión
1 mm
Visualización (Unidad mínima)
Alcance:
Condiciones
1 Prisma estándar 3 prismas estándar
Desfavorables (1)
1200 m
1500 m
Medianas
2500 m
3500 m
Muy buenas
3500 m
5000 m
Reflector de 360º
-----------1300 m
------------
(1) Fuerte colima, visibilidad 3 Km. o sol intenso con centelleo intenso debido al calor.
(2) Ligera colima o parcialmente soleado, con débil centelleo en el aire.
(3) Cielo cubierto, sin colima, visibilidad 30 Km., sin centelleo.
c) Anteojo
Ampliación / Imagen anteojo
Diámetro libre del objetivo
Distancia mínima de enfoque
Enfoque
Campo visual
Rango de inclinación
30x / derecha
42 mm
1,7 m
Aproximado y fino
1º 33’
Basculable
d) Compensador: compensador líquido
Número ejes
Amplitud de oscilación libre
Precisión de estabilización
2
3’ 47’’
1’’ – 3cc
e) Sensibilidad del nivel
Nivel de burbuja
Nivel de alidada
4 ½ mm
Nivel electrónico, resolución 2’’
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
217
f) Plomada óptica
Ubicación
Ampliación
En la base nivelante
2x
g) Peso del instrumento
Instrumento
Base nivelante
Batería interna
total
6,1 Kg.
0,9 Kg.
0,3 Kg.
7,3 Kg.
B) AJUSTES DEL USUARIO
Para realizar este tipo de ajustes se seleccionará F3 en el menú principal (CONF):
MENU PRINCIPAL: PROGRAMAS
1 Orientación
2 Intersección inversa
3 Replanteo
4 Distancia de enlace
EXTRA
CAL
CONF
DATOS
ESTAC
MEDIR
De esta forma accedemos a la siguiente pantalla, donde se pueden configurar las
unidades de medición angular, idioma, cantidad de decimales, entre otras:
CONF / CONFIG. USUARIO
Máscara usuario actual:
Máscara usuario
: Polar (estándar) u
Idioma
: Español
Formato Rec
: GSI (8 car.)
Distancia
: Metros
3 dec.
Ángulo
: 360º ’ ”
3 dec.
MASCR
MASCP
AJUST
ENTR
LISTA
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
218
Edición máscara de grabación:
Para acceder a esta pantalla, se presiona F2 (MASCR) en
la pantalla CONF / CONFIG. USUARIO. En esta pantalla se define una selección de
datos que grabará con cada medición, como Nº de punto, coordenadas (x,y), ángulos,
distancias, alturas, etc.:
CONF / CONFIG. USUARIO
Máscara usuario actual: Polar (estándar)
1ª palabra : 11
2ª palabra : 21
3ª palabra : 22
4º palabra : 31
5º palabra : 51
DEF-T
Nº punto u
Hz u
Angulo V u
Dist. Geo. u
X u
DEF-C
DEF-P
LISTA
Para configurar, con el cursor se selecciona la posición en que se dejará la variable a
grabar y luego presionando F6 (LISTA) se despliega una lista, de la cual se selecciona la
elegida y se acepta presionando ENTER.
Edición máscara de pantalla:
Para acceder a esta pantalla, se presiona F3 (MASCP) en la
pantalla CONF / CONFIG. USUARIO. En esta pantalla se define una selección de datos
que se visualizará en el menú de medición:
CONF / MASCARA PANTALLA
Máscara usuario actual: Polar (estándar)
Línea 1
: 11
Línea 2
: 71
Línea 3
: 87
Línea 4
: 21
Línea 5
: 22
Nº punto u
coment. 1 u
Alt. prisma u
Hz u
Angulo V u
DFCTO
LISTA
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
219
C) ESTACIONAMIENTO
a) En primer lugar se selecciona la tecla:
con la cual se despliega la siguiente
pantalla, donde se nivela el instrumento con los tornillos nivelantes hasta que la burbuja
electrónica se encuentre centrada:
NIVEL ELECTR.
Desniv. L :
0º 00’ 00’’
Desniv. T :
0º 00’ 00’’
b) Luego, en el MENU PRINCIPAL: PROGRAMAS se selecciona F5 (ESTAC):
ESTACION / PANTALLA ARRANQUE
Máscara usuario y archivos
Másc. Usuario
: Polar (estándar)
Unidad Almac.
: Tarjeta memoria
Arch. Medir
: 1 √ File 01.GSI
Arch. Datos
: 2 √ File 02.GSI
u
u
u
u
1-ORI
ESTAC
LISTA
El cursor se selecciona en Arch. Medir y luego se presiona F6 para desplegar la
lista de archivos, de los cuales se elige el que se utilizará (se pueden utilizar los que no
tienen el símbolo √ , que son los que se encuentran desocupados. En el caso que estén todos
ocupados, se selecciona uno de ellos, y mediante la tecla shift aparece la opción BORRAR.
Luego se presiona ENTER y se vuelve a la pantalla principal.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
220
c) presionando dos veces F5 se accede a la pantalla ESTACION / DATOS ESTACION:
ESTACION / DATOS ESTACION
Nº Estación :
Alt. Inst.
:
X estación :
Y estación :
Z estación :
Hz
:
E1
1. 520 m
2000.000 m
1000.000 m
100.000 m
0º 00’ 00’’
REC
HZ 0
IMPOR
LISTA
En esta pantalla se ingresan los datos de la estación que se muestran: número, altura
instrumental, coordenadas y azimut.
d) Presionando F4 (HZ0) se ingresa un azimut Hz = 0º o simplemente el que se necesite
para orientar la estación:
ESTACION / ORIENT. CIRCULO HZ
Introducir Dirección Hz
Hz
:
78º 17’ 11’’
HZ = 0
RETEN
EDITA
La opción F6 (EDITA) permite editar y digitar el ángulo. F5 (RETEN) retiene y
suelta el calaje.
e) Presionar CONT en el teclado para continuar y regresar a la pantalla ESTACION /
DATOS ESTACION y grabar toda la información configurada para la estación mediante
F3 (REC)
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
221
f) Volver a la pantalla principal y seleccionar F5 (ESTAC) para acceder nuevamente a
ESTACION / PANTALLA DE ARRANQUE:
ESTACION / PANTALLA ARRANQUE
Máscara usuario y archivos
Másc. Usuario
: Polar (estándar)
Unidad Almac.
: Tarjeta memoria
Arch. Medir
: 1 √ File 01.GSI
Arch. Datos
: 2 √ File 02.GSI
u
u
u
u
1-ORI
ESTAC
LISTA
En ésta seleccionamos el Archivo de Datos, que debe coincidir con el Archivo de
Medir. Luego se presiona ENTER. Ahora el instrumento se encuentra en condiciones para
realizar las mediciones.
D) MEDICION DE DISTANCIAS Y ANGULOS
En la pantalla principal, presionamos F6 (MEDIR) y se muestra la siguiente
pantalla de medición, donde la opción F1 (ALL) permite medir y grabar automáticamente,
sin mostrar los valores en pantalla, F2 (DIST) mide y muestra en pantalla los valores pero
no graba en el archivo de datos, y F3 (REC) graba los valores medidos:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
222
MEDIR MODO MEDICION <GSI>
Nº Punto
Coment. 1
Alt. Prisma
Hz
Ángulo V
Dist. Horiz.
X
Y
ALL
:
:
:
:
:
:
:
:
DIST
E1
------------1.500 m
78.1117
101.2585
87.9885
2010.158 m
1877.225 m
REC
PTO. V
HZ 0
α NUM
E) POLIGONACIÓN
Si nos instalamos en la estación E1 y medimos hacia E2, luego al instalarnos en E2
debemos calar hacia E1, cuyos datos ya hemos grabado anteriormente al igual que los de
E2. Por lo tanto para orientar el instrumento o calar desde E2 hacia E1, seguimos este
procedimiento:
a) En la pantalla principal seleccionamos F5 (ESTAC) y luego F4 (1-ORI):
ESTACION / ORIENTACIÓN 1-PT
Estación
Enlace
Alt. Inst.
Alt. Prisma
Δ Dist. Hz
ALL
:
:
:
:
:
DIST
E2
E1
1.597 m
1.5000 m
------ m
REC
ENTR
α NUM
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
223
b) Presionando F5 (ENTR) se digita el nombre de la estación donde estamos instalados (en
este caso hipotético es E2) y el nombre de la estación donde calaremos (E1). Ingresamos la
altura del prisma y la altura instrumental.
c) Con F2 (DIST) se mide la distancia y se pasa a otra pantalla donde aparece solamente la
opción REC que permite grabar. Ésta será obviada ya que la estación con la cual estamos
enlazando ya posee coordenadas. Por esta razón, solo presionamos CONT y salimos a la
pantalla principal, donde seleccionamos MEDIR y así continuar con el trabajo de radiación
o medición de la próxima estación.
d) La medición de distancia al enlazar permite observar la diferencia entre las distancias
recíprocas para dos estaciones. Si no se desea o necesita ver tal diferencia en pantalla, se
presiona CONT dos veces. De esta forma el instrumento quedará orientado y pasará a la
estación principal:
MENU PRINCIPAL: PROGRAMAS
1 Orientación
2 Intersección inversa
3 Replanteo
4 Distancia de enlace
EXTRA
CAL
CONF
DATOS
ESTAC
MEDIR
F) REPLANTEO
Esta estación posee un programa de Replanteo que requiere que el instrumento esté
estacionado en un punto conocido y permite ubicar puntos con coordenadas también
conocidas en terreno. Estas coordenadas pueden leerse del archivo actual de trabajo o
introducirse por medio del teclado. Se accede presionando 3 en el menú inicial.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
224
Métodos de Replanteo.-
Presionando Shift y F4 se activa desde cualquier pantalla de replanteo, la siguiente
pantalla donde se define el método de replanteo a utilizar:
REPLANTEO / SELECCIÓN METODO
Aproximado
Replanteo
3D
Despl. Vert
POLAR
•
OFFSET LINEAu
DIF. COORDENADAS u
ON
0.000 m
:
:
:
:
ORTO
PTAUX
DIFCO
MEDIR
Aproximado: se define el método para replanteo aproximado, si se selecciona
ninguno se pasa a la pantalla aproximado.
•
•
-
Azimut y distancia
-
Ortogonal
-
Offset línea
Replanteo: se definen los métodos para replantear.
-
POLAR
-
ORTO (Ortogonal)
-
PTAUX (Puntos auxiliares)
-
DIFCO (Diferencia de coordenadas)
3D : ON : Replanteo de posición y altura. 3D : OFF permite replanteo solo de
posición planimétrica.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
•
225
Despl.. Vert: todas las alturas de replanteo se modifican por ese valor. El valor
puede cambiarse solo en esta pantalla.
Definir puntos a replantear.-
REPLANTEO / BUSCAR PUNTO
Introducir Nº Punto a replantear
Unidad de alm :
Tarjeta de memoria
Buscar en
:
FILE01.GSI
Pto / Código
:
u
C001
ENTR
BUSCA
α NUM
a) Presionando F5 (BUSCA) se pueden buscar las coordenadas del punto a replantear en el
archivo. La opción F1 (ENTR) permite ingresar las coordenadas manualmente.
Presionando Shift y F2 se accede a la pantalla de activación de la configuración:
REPLANTEO / CONFIGURACIÓN
3D
:
Archivo Log
:
Nom. Arch Log :
INFO
ON
OF u
STAKEOUT
DFTO
OFF
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
226
En esta pantalla se configuran los siguientes parámetros:
3D: On u Off para definir replanteo planialtimétrico o planimétrico respectivamente.
Archivo Log:
Off no permite protocolo de medición
Breve, protocolo de medición breve
Largo, protocolo de medición detallado
Con el archivo Log activado se almacenan las medidas y los resultados en un archivo
ASCII. El archivo se guarda en el directorio Log de la tarjeta de memoria.
Replanteo por Azimut y Distancia.-
REPLANTEO / AZIMUT Y DISTANCIA
Nº Punto
Azimut
Angulo Hz
Dist. Geo
Dist. Horiz.
Desnivel
:
:
:
:
:
:
C001
17,1178
148,9954
7,891
7,325
0,087
REPLA
En esta pantalla se deben ingresar todos los datos del punto a replantear y luego
activar la función replanteo con la opción F5 (REPLA). Se hace la medición al prisma
mostrando en pantalla las diferencias existentes entre los atributos del punto a replantear y
el punto posesionado en terreno en el momento de la medición.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
227
Replanteo por diferencia de coordenadas.-
REPLANTEO / DIF. COORDENADAS
Nº Punto
ΔX
ΔY
ΔAltura
Altura
ALL
:
:
:
:
:
DIST
C001
- 0.019 m
0.005 m
0.012 m
3.128 m
REC
PTO-V
Nº Punto : Número (nombre) de punto a replantear
ΔX
: Desviación del prisma a lo largo de X
ΔY
: Desviación del prisma a lo largo de Y
ΔAltura : Desnivel entre el punto de terreno y el teórico a replantear.
Altura
: Altura sobre el horizonte de referencia del prisma
Presionando F1 (ALL) mide, guarda las coordenadas del punto y guarda las
coordenadas en el archivo actual. F2 (DIST) mide la distancia, lo que permite apreciar las
diferencias en pantalla y de esta forma determinar hacia donde mover el jalón para lograr la
posición requerida. F3 (REC) permite guardar en el archivo actual las coordenadas
medidas. Las coordenadas de posición del punto no se alteran.
G) TRANSMISIÓN DE DATOS
a) Para la transmisión de datos se utiliza una unidad D que se conecta al PC y en la cual se
inserta la tarjeta de memoria. La transferencia se realiza en MS – DOS mediante el
programa TC TOOLS.
En DOS, seguir la siguiente rutina:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
228
C:\WINDOWS >CD..
C:\>D:
D:\CD GSI
D:\GSI > DIR
D:\GSI > COPY FILE01.GSI C:
De esta forma hemos copiado los archivos de la tarjeta en la memoria en la unidad
C del computador.
b) En el programa TC TOOLS, la opción Data Convertion permite transformar de GSI a
ASCII. Se genera un archivo de datos con extensión *.TXT que posee los datos de los
puntos medidos.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
229
Apéndice K: OPERACIÓN BÁSICA DE GEO GENIUS GPS POSTPROCESSING
SOFTWARE
DESCRIPCIÓN GENERAL
Geo Genius es un programa de postprocesamiento de datos tomados con receptores
satelitales geodésicos (GPS). Permite conocer las coordenadas de un punto procesando los
archivos descargados directamente desde el receptor. La siguiente guía permite conocer
algunos aspectos elementales de su utilización.
K.1 ABRIR EL PROGRAMA
Al hacer doble clic sobre el programa Geo Genius, se despliega la siguiente pantalla:
Cuando el programa se utiliza por primera vez, el área de barra de herramientas de
la ventana principal solo muestra dos de ellas. GeoGenius ofrece un montón de otras
diferentes barras de herramientas, las cuales pueden ser activadas o desactivadas
seleccionando la opción View/Toolbars o presionando con el botón secundario del
mouse sobre la barra principal:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
230
K.2 CONFIGURACION DE UN SISTEMA
Los proyectos de GeoGenius trabajan con un sistema de coordenadas de referencia
o un sistema de proyección del mapa. Todos los puntos son mostrados en relación a sus
coordenadas geográficas. Si no se elige un Sistema, GeoGenius automáticamente
selecciona la Proyección Estándar del Mapa.
Se elige la opción Proyecto / Sistema, donde se muestra el siguiente cuadro:
Se hace clic en Editor para crear uno nuevo, donde aparecerá:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
231
En este cuadro se debe hacer clic en Nuevo y luego se introduce el nombre del
Sistema que se está creando. Para este caso será PSAD56 Zona 18. Luego se hace clic en
Aceptar. Aparece el cuadro Editor del Sistema, en el cual lo configuramos.
Luego hacemos clic en Guardar.
En el cuadro se puede apreciar el Sistema y las configuraciones realizadas:
Proyección UTM_ED50 (Hemisferio Sur), Zona 18, Elipsoide Internacional, Modelo
Geoidal Mundial:
Una vez guardado aparecerá en la lista de sistemas del programa. Lo seleccionamos
y hacemos clic en Aceptar:
K.3 INSERTANDO DATOS DE MEDIDA
Geo Genius organiza datos en proyecto. Cada proyecto de Geo Genius posee la
extensión *.ggs. Los archivos de observaciones pueden estar ubicados en un directorio del
PC y cuando se insertan datos en un proyecto es importante que estos no sean movidos a
una nueva ubicación después que éste ya ha sido guardado.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
232
Utilizando la opción Proyecto / Archivos en Proyecto, se selecciona el
directorio donde se ubican los archivos. Para este caso utilizaremos los datos de prueba que
incluye el programa en el directorio Gg / Samples / Getstart:
Obs.: por su ubicación geográfica, este proyecto utiliza el Sistema United Kindom. El
Sistema PSAD56 Zona 18 creado anteriormente se realizó con fines explicativos solamente.
Hacemos clic en Selec. Todo y luego en Añadir al Proyecto. Durante la
importación de los datos se despliega la barra de progreso Generación
de
Efemérides mientras se crean las efemérides binarias. Al término, se hace clic en
Cerrar.
Después de esto aparece una presentación preliminar del proyecto medido. Geo
Genius dibujará todos los puntos en forma aproximada, además de las líneas entre todos los
puntos donde se midió una línea base. El programa lee automáticamente la posición inicial
de cada receptor mediante el archivo de observación y analizados todos los tiempos de
observación. Períodos de medición en dos estaciones en forma simultánea, indica que se
midió una línea base:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
233
Las posiciones iniciales de las estaciones son calculadas mediante mediciones de
código, y tienen una precisión de ± 100 metros. Esto significa que después del
procesamiento, cambiarán las posiciones relativas de algunos puntos.
Además, el proyecto incluye una serie de tablas que se pueden activar haciendo clic
en la barra inferior de la traza del proyecto (dibujo). Por ejemplo, Coordenadas:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
234
A continuación podemos guardar el proyecto en Archivo / Guardar como.
Automáticamente se guarda con extensión *.ggs.
K.4 CONFIGURACIONES DEL PROCESO
Mediante la opción Proceso / Configuraciones se puede tener acceso a un
conjunto de cuadros donde se configuran múltiples aspectos del proceso. Por ejemplo, en el
cuadro Procesador se elige el Modo de procesamiento de acuerdo al método de
medición empleado, la combinación de sesiones, etc.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
235
K.5 ESTACIÓN DE REFERENCIA
Para el procesamiento, una estación o punto debe ser seleccionado como
Estación de Referencia o Punto Fijo. GeoGenius sugerirá para este efecto,
el punto con mayor tiempo de observación ininterrumpida (primera opción) y aquel que
tenga mayores conexiones con otras estaciones (segunda opción). De todas formas, da la
opción de elegir cualquier otra estación.
Para elegir otro punto, ir a Proceso / Sugerir Referencia:
La Estación de Referencia puede ser fijada en forma Normal (si se ha fijado más
de una estación) o Exclusivamente (si se ha fijado solo una estación). Para este caso,
se sugiere la estación 1001 la cual estás marcada con un triángulo en la traza del proyecto.
En el área de exploración de la pantalla, podemos observar un triángulo sobre el punto
fijado:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
236
K.6 ASIGNACIÓN DE COORDENADAS
Sobre el punto se hace clic con el botón secundario del mouse y se selecciona
Propiedades, donde aparece el cuadro Propiedad: Punto.
Se ingresan las coordenadas, o el nombre del punto y luego se hace clic en Asignar.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
237
K.7 POSICION DE PUNTO SIMPLE
Si no hay coordenadas precisas disponibles para el punto, como ocurre en este caso,
la alternativa es suponer que la Posición de Punto Simple es la mejor que puede ser
determinada para esa estación, desde todos los datos de observación. GeoGenius puede
calcular una posición media para la estación, y se tiene la oportunidad de utilizar ésta en
vez de las coordenadas grabadas por el receptor, las cuales están basadas en la posición
inicial cuando comenzó la medición. Se recomienda siempre ocupar la posición media si no
se dispone de coordenadas precisas conocidas.
Se hace clic sobre el archivo de observación en el explorador con el botón
secundario del mouse y luego se selecciona Posición de Punto Simple:
Después de este procedimiento se muestra la tabla con el resultado:
Luego, se hace clic en Asignar.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
238
K.7 PROCESO DEL PROYECTO
Para iniciar el proceso se selecciona Proceso / Procesar el Proyecto.
Todas las líneas bases serán procesadas automáticamente. Se muestra una barra de progreso
y en la parte inferior de la pantalla se muestra información del procesamiento:
Después de completado el procesamiento, se observa que la red a cambiado
levemente. Ahora muestra las posiciones relativas calculadas en el proceso, en lugar de las
basadas en los archivos de observación. La calidad de los resultados se muestra
gráficamente de dos formas:
1. El color de las líneas base representan la calidad de éstas. El color verde indica que
las ambigüedades fueron fijadas; el color amarillo indica que las ambigüedades no
fueron fijadas y las desviaciones estándar son menores a “x” milímetros; el color
rojo indica que las ambigüedades no fueron fijadas y las desviaciones estándar son
mayores a “x” milímetros; el azul indica que sólo hay una solución de diferencia
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
239
triple disponible. “X” es el número dado como “Posición Máxima de Sigma” cuyo
valor por defecto es 20 mm.
2. Las Elipses de Error son dibujadas sobre cada línea base representando las
desviaciones estándar en Norte, Este y una barra vertical muestra la Altura. En la
esquina inferior derecha de la traza del proyecto aparece un círculo de referencia
cuyo diámetro representa la Máxima Desviación Estándar en Norte y Este en el
proyecto. Una barra a su derecha indica la Máxima Desviación Estándar en Altura.
La aparición de las elipses de error puede ser activada o desactivada mediante la
Barra de Herramientas de Elipses.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
240
K.8 RESULTADOS
Haciendo clic sobre Propiedades en una línea base, aparecen las elipses de
error, errores en coordenadas, etc.
K.9 EDITOR GRÁFICO DE UNA LÍNEA BASE (ESCRUTINIO)
Los datos usados por el procesador para cada línea base pueden ser seleccionados
gráficamente por la Función Escrutinio. Esto facilita la omisión de datos que puedan
alterar la precisión de los resultados. Para activar esta función, se debe hacer clic sobre la
línea base y seleccionar Escrutinio.
La pantalla muestra los satélites captados en forma simultánea en dos puntos de
observación, uno en azul y el otro en magenta (rojo). Estos satélites aparecen una lista en el
costado izquierdo, mientras que en la parte inferior se muestra el intervalo de tiempo de la
medición.
Arrastrando el mouse se puede seleccionar el segmento de medición que será
ignorado en el proceso. Además, haciendo clic en cada satélite podemos deshabilitarlo por
completo cuando la medición hacia éste sea de muy mala calidad.
Este escrutinio también se puede realizar sobre los archivos de observación en el
navegador del programa.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
241
Luego de finalizada la edición, elegimos Aceptar. A continuación procesamos
nuevamente el proyecto (Proceso / Procesar el Proyecto).
K.10 EDICION DE DATOS MEDICION (ALTURAS)
Geo Genius permite editar alturas de antenas, tipo de antena utilizada, etc. Para esto
hacemos clic con el botón secundario del mouse sobre el archivo de observación del punto,
y seleccionamos Propiedades:
Por ejemplo, en N/E/h debemos indicar si la altura de la antena se midió en forma
vertical o en pendiente. En H:______ se ingresa la altura de la antena.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
242
K.11 AJUSTE DEL PROYECTO
GeoGenius ofrece varios métodos de ajuste de la red. El método estándar es el de
ajuste en Sistema WGS84 (Ajuste / Ajuste Libre).
Se debe habilitar o deshabilitar una línea base. Para esto, se selecciona la opción
Editar / Líneas base / Habilitar o Des. según... Luego se debe
elegir un criterio de la lista: Fecha, Día del Año, Día GPS, Semana GPS,
Intervalo de Tiempo o Longitud:
También se puede seleccionar cada línea base en forma individual y elegir
Habilitar o Deshabilitar:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
243
Después de tener deshabilitadas algunas líneas bases, se debe hacer clic en el botón
para que en el ajuste estas líneas bases sean
Ocultar Deshabilitadas
ignoradas.
Para este ejemplo, todas las líneas bases serán habilitadas. Se debe hacer clic en
Editar / Líneas base / Habilitar Todas.
CONFIGURACIÓNES DEL AJUSTE
Del menú principal seleccionar Ajustar / Configuración o hacer clic con
el botón secundario del mouse sobre los vectores en el explorador y seleccionar
Configuraciones:
Filtrar
Primero se debe seleccionar cuál de los
resultados serán usados en el cuadro Filtrar.
Generalmente se usan las soluciones fijadas. Para este
ejemplo se recomendaría seleccionar “Usar MEJOR
resultado GENERAL”.
Si
se
selecciona
“Usar
MEJOR
resultado” entonces será usado más de un
resultado en algunos vectores y un vector será
coloreado de rojo después del ajuste. Los resultados
entonces
muestran
inconsistencia
correspondientes datos de medida.
en
los
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
244
Test de Tau
Los usuarios más avanzados podrían desear
configurar el criterio de error en el Test de Tau.
Por defecto, ningún error menor a 5mm + 1 ppm es
considerado. Seleccionando el cuadro TEST DE
TAU podríamos configurar este error. Este test se
usa para determinar si hay algún error grosero
(fuera de rango) dentro de la red.
Parámetros
En este cuadro se puede definir el nivel de
confiabilidad (por defecto 1, indica que el 68 % de los
resultados estarán dentro de ± 1 desviación estándar de
de la media) y el máximo número de iteraciones. El
ajuste necesita varias iteraciones para calcular las
mejores soluciones posibles. También se puede
seleccionar Asignación Automática de Coordenadas
Ajustadas a Puntos. Para este caso, se sugiere usar la
configuración por defecto.
Ponderación
También se pueden definir los factores de
ponderación para ser utilizados en el ajuste por
mínimos cuadrados. Por defecto se usa la Matriz
de
Varianza/Covarianzas
de
3x3
del
procesamiento de la línea base. También ofrece
una
alternativa
denominada
Opción
de
Ponderación Fija (Desviación Estándar Fija), la
cual es preferida por las organizaciones Nacionales
de Geodesia.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
245
Aquí se pueden definir desviaciones estándar para las direccionesX, Y, y Z (WGS
84), basadas en la longitud de la línea base.
Los valores entregados en la casilla Errores Estándar Predefinidos de
Ponderación de Unidad son multiplicados por los errores estándar resultantes.
Refracción
Las correcciones de refracción no son aplicables a
observaciones GPS. Se debe usar la configuración por
defecto “NINGUN Coef. de Refracción”
Una vez realizadas todas las configuraciones, se elige Aceptar. Luego se
selecciona Ajuste / Ajuste Libre. Abajo en la pantalla se muestra información
del ajuste. En el centro se muestra una barra de progreso. Cuando éste finaliza, las elipses
de error calculadas se muestran sobre cada punto. Un círculo de referencia muestra la
elipse más grande y una barra indica la altura en la parte superior derecha de la pantalla
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
246
Fig.: Ajuste de la red
Ahora las líneas base aparecen de color celeste. Las líneas rechazadas aparecerán de
color amarillo, es decir aquellas cuyo errore stá fuera de rango.
Además, Geo Genius permite generar informes de los ajustes realizados. En este
caso mostraremos el informe resultante del ajuste libre. Para esto, seleccionamos la opción
Ajustar / Informe...
El informe generado es el que se muestra a continuación:
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
247
Ajuste de Red
www.terrasat.de
GeoGenius 2.00, Copyright (C) 1997 - 1999 by Spectra Precision terraSat GmbH, 22-04-03,12:26:46 p.m.
>>> Modo Demo: El informe muestra sólamente 10 puntos <<<
Estadísticas
Ajuste Libre de Red.
Número de líneas-base
10
Número de medidas terrestres
0
Geoide Modelo
World (JGM3/OSU91A)
Número de puntos ajustados
6
Nivel de confianza
1 Sigmas
Nivel de significación para el test de tau
1.00 %
Error standard de ponderación de unidad
1.089
Número de iteraciones
1
1. Entrada de Líneas-base en WGS84 (Componentes y Desv. Típica)
Línea-base
DX [m]
DY [m]
DZ [m] sDX [mm] sDY [mm] sDZ [mm]
1001-1002
249.102 -1175.388 -226.262
9.4
4.3
11.4
1001-1003
145.725
-6.033 -111.409
6.5
3.5
6.3
1001-1004
-196.349
265.124 158.717
3.2
1.6
2.5
1001-1005
-675.606
132.603 526.895
4.7
2.6
6.0
1001-1006
-960.436
-295.069 754.403
5.1
3.0
5.6
1002-1003
-103.403 1169.354 114.827
27.0
8.9
24.8
1002-1006 -1209.522
880.327 980.696
8.5
4.6
12.0
1003-1004
-342.051
271.159 270.139
9.4
4.3
5.8
1004-1005
-479.249
-132.524 368.194
7.2
3.7
5.8
1005-1006
-284.850
-427.676 227.491
23.7
17.3
13.9
Las Líneas-Base rechazadas por los tests estadísticos han sido marcadas.
La posición y orientación de la red han sido calculados sin limitaciones impuestas por los puntos de control.
2. Puntos Ajustados en Sistema Local (Coord. Planas y Desv. Típica)
Punto
N [m]
E [m] ell.H [m] sN [mm] sE [mm] sH [mm]
1001
0.000
0.000
78.198
1.5
1.2
2.9
1002
-372.135 -1164.603
79.708
3.4
2.8
8.3
1003
-183.528
-0.258
79.109
2.9
2.5
5.7
1004
260.600
257.141
77.565
2.3
1.6
3.4
1005
860.501
105.745
79.696
2.6
2.1
4.5
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
1006 1211.402 -332.867
96.309
2.5
2.4
248
5.2
El Radio de la Esfera de referencia es 6372000.000 m.
El origen del sistema está en el punto 1001.
3. Elipses de Error de los Puntos Ajustados
Punto A [mm] B [mm] Ángulo [Deg]
1001
1.5
1.2
-12.3
1002
3.4
2.8
2.0
1003
3.0
2.3
-26.4
1004
2.4
1.4
-22.0
1005
2.7
2.0
-20.8
1006
2.5
2.4
-20.3
Además, con la opción Proyecto / Informes podemos elegir qué informe
deseamos generar:
Elegimos una opción, en este caso Coordenadas y presionamos Ejecutar.
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
249
Revisión de Coordenadas
www.terrasat.de
GeoGenius, Copyright (C) 1997 - 1999 by Spectra Precision terraSat GmbH, 22-04-03 12:46:46 p.m.
Resumen
Camino y Nombre del Archivo
C:\GG\samples\getstart\abuid.ggs
Nombre de Usuario
Usuario Final
Compañía
4E111D37
Número de Puntos
6
Comentarios
¡Sin Comentarios!
1. Información de Punto
Número de Punto Código de Punto
1001
Info de Punto Cálculo Ajuste Loc Ctl
BASE BASE STATION
Si
Si No No
1002
S001
PIN
No
Si No No
1003
P014
PIN14
No
Si No No
1004
S025
PIN
No
Si No No
1005
S033
PIN
No
Si No No
1006
S038
PIN38
No
Si No No
2. WGS84 - Coordenadas Cartesianas Geocéntricas
Número de Punto
X[m]
Y[m]
Z[m]
1001
3902215.209 -154644.527 5025951.857
1002
3902464.295 -155819.923 5025725.564
1003
3902360.910 -154650.563 5025840.435
1004
3902018.873 -154379.406 5026110.585
1005
3901539.622 -154511.920 5026478.768
1006
3901254.773 -154939.596 5026706.259
3. WGS84 - Coordenadas Geográficas
Número de Punto
Latitud
Longitud Altitud de Elips. [m]
1001
N 52°20'17.82991" W 2°16'09.98517"
78.222
1002
N 52°20'05.78590" W 2°17'11.49165"
79.708
1003
N 52°20'11.89265" W 2°16'09.99895"
79.119
1004
N 52°20'26.26060" W 2°15'56.40317"
77.605
1005
N 52°20'45.66880" W 2°16'04.39876"
79.734
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
Número de Punto
1006
Latitud
250
Longitud Altitud de Elips. [m]
N 52°20'57.02105" W 2°16'27.57060"
96.329
4. Coordenadas de Cuadrícula Nacionales
Número de Punto
Norte[m]
Este[m] Altitud de Elips. [m] Altitud Ortométrica [m]
1001
271171.565 381740.190
30.058
28.354
1002
270803.910 380574.668
31.529
29.807
1003
270988.121 381739.246
30.956
29.253
1004
271431.100 381998.194
29.443
27.741
1005
272031.317 381849.100
31.566
29.856
1006
272383.713 381411.964
48.153
46.432
5. Coordenadas de Cuadrícula Local
Número de Punto
Norte[m]
Este[m]
Altitud[m]
1001
No Disponible No Disponible No Disponible
1002
No Disponible No Disponible No Disponible
1003
No Disponible No Disponible No Disponible
1004
No Disponible No Disponible No Disponible
1005
No Disponible No Disponible No Disponible
1006
No Disponible No Disponible No Disponible
6. Coordenadas de Control de Cuadrícula Nacionales/Locales
Número de Punto
Norte[m]
Este[m]
Altitud[m]
1001
No Disponible No Disponible No Disponible
1002
No Disponible No Disponible No Disponible
1003
No Disponible No Disponible No Disponible
1004
No Disponible No Disponible No Disponible
1005
No Disponible No Disponible No Disponible
1006
No Disponible No Disponible No Disponible
Geo genius ofrece un sinnúmero de posibilidades, como creación de sistemas de
coordenadas locales, ajuste de mediciones cinemáticas, exportación de coordenadas, etc.
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251
CONVERSIONES
Conversión métrica y otras.-
1 milímetro (mm)
=
1.000 micrómetros (μm) ó micras (μ)
1 centímetro (cm)
=
10 mm
1 metro (m)
=
100 cm
1m
=
3,2808 pie = *39,37 plg (pie estadounidense para
topografía)
1 kilómetro (km)
=
1.000 m
1 km
=
0,62137 milla
1 pulgada (plg)
=
*25,400 mm
1 pie
=
*304,80 mm
1 milímetro cuadrado (mm²)
=
0,00155 plg²
1 m²
=
10,76 pie²
1 km²
=
247,1 acres
1 hectárea (ha)
=
2,471 acres
1 m³
=
35,3 pie³
1 litro
=
0,264 galón (EE.UU.)
1 gramo (g)
=
0,035 onzas
1 kilógramo (kg)
=
2,20 lb
1 ton
=
907 kg = 2,00 kips (kilolibras o kilopounds)
1 m/s
=
3,28 pie/s
1 km/h
=
0,911 pie/s = 0,621 mi/h
1 kg/m³
=
0,0624 lb/pie³
1 ton/m³
=
0,0328 lb/plg³
Pie internacional
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252
Algunos valores importantes en topografía
0,000 000 1 (o 2)
= coeficiente de expansión, cinta Invar, por 1ºF
0,000 004 848
= sen 1” = tan 1”
0,000 006 45
= coeficiente de expansión, cinta de acero, por 1ºF
0,000 290 89
= aproximadamente sen 1’ = tan 1’ (0,000 29 ó 0,0003) según
convenga
0,017 452 51 sen
0,017 455 06 tan
= aprox. sen 1º = tan 1º = aprox. 0,01 ¾ = radianes en 1º
0,574
= coeficiente combinado por curvatura y refracción (pie/milla²)
0,6745
= coeficiente para una desv. estándar del 50% (error probable)
1,6449
= coeficiente para una desviación estándar del 90%
1,9599
= coeficiente para una desv. estándar del 95%
1 plg
= *0,0254 m (pie internacional)
1 pie
= *0,3048 m (pie internacional)
1,15 millas
≅ 1 minuto (1’) de latitud ≅ 1 milla náutica
3,141 592 654
= π
6 milla
= longitud y ancho de una demarcación normal
*10 cadenas cuadradas
= 1 acre (de cadenas Gunter)
*15º de longitud
= ancho de una zona de tiempo = 360º/24
15º F
cambia la longitud de cinta de acero de 100 pie en 0,01 pie
*16 ½ pie
= una pértiga = ¼ cadena de Gunter = 1 percha o varal
*20º C
= temperatura estándar (celsius) en cadenamientos = 68º F
23º 26 ½’
= declinación máxima del sol durante los solsticios
23h 56m 04,091s
= duración del día sidéreo en tiempo solar medio y 3m 55,909s
de tiempo solar más corto del día solar medio; también 3m
56,555s de tiempo sidéreo más corto del día solar medio
*24 horas
= 360º de longitud
*25,4 mm
= 1 plg.
*36
= número de secciones en una demarcación normal
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57º 17’ 44,8’’
= 1 radián = 57,295 779 51º
*66 pie
= longitud de la cadena de Gunter = 100 eslabones
69,1 milla
≅ 1º de latitud
*80 cadenas
= 1 milla (de Gunter)
100
= relación usual de estadía
101 pie
≅ 1 segundo (1”) de latitud
*400 grados antiguos
= 360º
480 cadenas
= ancho y largo de una demarcación normal
490 lb/pie³
= densidad del acero para cálculos con cinta
640 acres
= una sección normal de una milla cuadrada
6.076,10 pie
= 1 milla náutica
4.046,9 m²
= 1 acre
*6.400 milla
= 360º
5.729,578 pie
= radio de una curva de 1º, definida por arco
5.729,651 pie
= radio de una curva de 1º, definida por cuerda
10.000 km
= distancia del ecuador al polo (base para la longitud de un
253
metro)
*43.560 pie²
= 1 acre
206.264,806 segundo
= 1 radián = cot 1 segundo = 180º / π
299.792,5 km / segundo
= velocidad de la luz y otras ondas electromagnéticas en el
vacío)
29.000.000 lb / plg²
= Módulo de elasticidad de Young para el acero = 2.000.000
kg / cm²
* Denota valor exacto. Los demás valores son correctos con el número de cifras mostradas.
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254
BIBLIOGRAFIA
Textos utilizados y recomendados:
‰
WOLF, PAUL R. ; BRINKER , RUSSELL C.
“Topografía”
‰
DOMINGUEZ GARCIA-TEJERO, FRANCISCO
“Topografía Abreviada”
‰
ROBINSON, ARTHUR H.
“Elementos de Cartografía”
‰
ERRAZURIZ, ANA MARÍA
“Cartografía Temática”
‰
RICHARDSON VARAS, ROBERTO
“Cartografía Básica”
‰
MARTÍN ASIN, FERNANDO
“Geodesia y Cartografía Matemática”
‰
ZAKATOV, P.S.
“Curso de Geodesia Superior”
‰
SCHWIDEFSKY, K.
“Fotogrametría Terrestre y Aérea”
‰
HOLANDA BLASS, MARIA PAZ
“GPS & GLONASS : Descripciones y Aplicación”
GUIA PRACTICA DE TOPOGRAFIA de JUAN ABUID
‰
255
UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
“Manual de Instrumental Topográfico Moderno”
‰
INSTITUTO PANAMERICANO DE GEOGRAFÍA E HISTORIA, I.P.G.H..
“Manual de Normas y Especificaciones para Levantamientos Microgeodésicos
de Alta Precisión en Áreas Pequeñas”
‰
Apuntes recopilados de las asignaturas de la Carrera de Ingeniería de Ejecución en
Geomensura
JUAN FERNANDO ABUID CURINAO - 2003