09 Ángulo entre vectores

ÁNGULO ENTRE VECTORES
GEOMETRÍA ANALÍTICA VECTORIAL
Facultad de Ingeniería Química
Universidad Nacional del Centro del
Perú
ÁNGULO ENTRE
VECTORES
• El ángulo de inclinación de dos vectores
– es el ángulo interior de medida positiva
entre la representación de posición desde
el origen de ambos vectores.
• Sean :
  a 1 ; a 2 ; . . . ; a n   B
  b 1 ; b 2 ; . . . ; b n  
A
0  .
IGUALDAD DE VECTORES
Se tiene que


AB


A
B
cos  
De donde
  arccos

A
B
 
A
B
rad
También
 B

A

A
 cos 
B
Ejemplo 1
1. Determinar el ángulo entre
  3, 3, 7  B
  7, 1, 2
A
SOLUCIÓN
1
 B
  3, 3, 7 7, 1, 2
A
 B
  38 ...1. 1
A

A
 3, 3, 7

A


B
 7, 1, 2

B
 3 6 ...1. 3
  arccos


AB


A
B
  0. 886 98 rad
 arccos
67 ...1. 2
38
67
3 6
2. Se tiene los vectores
  2,
C
1
2

,0  D
1
3
, 0, 1
(a) Determinar el ángulo entre
 D

C
 D
 D
  C

C
(b) Determinar el ángulo entre
 D
  D
 D

C
SOLUCIÓN 2.a
  2,
C
1
2

D
, 0, 1 ...2. 2
1
3
, 0 ...2. 1
 D
  2,
C
 D
  2,
C
 D
 
C
 D

C
 D

C
1
2
1
2
,0 
1
3
,0 
5
3
,
1
2
1
3
, 0, 1
. . . 2. 4
, 1
 D
 
C
 D
 
C
 D
 
C
, 0, 1
2
3
10
9
, 1
5
3
,
1
2
,
1
3
,  23
...2. 5
2
3
. . . 2. 3
SOLUCIÓN 2.a
 D

C
 D

C

 D

C
 D

C

 D
  2,
C
 D
 
C
7
3
 D

C

 D

C

1
2
,
1
2
1
9
,0 
,
1
3
,
1
2
,  23
145 ...2. 6
1
3
, 0, 1
...2. 7
,1
7
3
1
6
10
9
,1
241 ...2. 8
SOLUCIÓN 2.a

D

C
D

C
D

 C
D

C
D

C
D

C
  arccos
113
54
1
9
145
1
6
241
  0. 921 68 rad ...2. 9
 arccos
 arccos
10 1
, , 23
9 3
10 1
, , 23
9 3
113
34 945

7
3
34 945
, 12 ,1
7
3
, 12 ,1
SOLUCIÓN 2.b
 D
  2,
C
1
2
1
2
 D
 i
C
,0 
0
j
0 1
 D
 i
C
 D
 
C
 D
 
C
1
2
1
2

, 0, 1
2 0
1
3
1
1  00, 21  0
i  2j 
1
2
1
3
1
6
k ...2. 10
, 2,  16
...2. 11
k
1
3
i
j
k
2
1
2
0
1
3
0 1
2
1
2
1
3
0
, 20 
1
2
1
3
SOLUCIÓN 2.b
 D
 
D
 D
 
D
1
3
, 0, 1 
0 1
0 1
i
1
3

, 0, 1
1
3
1
3
1
1
j
1
3
1
3
i
j k
1
3
1
3
0 1
0 1
0
0
k
 D
  0i  0j  0k ...2. 12
D
 D
  0, 0, 0 ...2. 13
D
No existe ángulo entre ambos vectores
Ejemplo 3.
3. Probar que
conociendo que
  2 N
; P

 
L; M

L  1, 2, 1
  2, 1, 1
M
  1, 4, 1
N
  2, 5, 5
P
SOLUCIÓN 3.
 ...3. 1
1   
LM
Sea
P
 ...3. 2
2   N


LM


L
M
cos 1 
cos 1 
1
2

3
1,2,12,1,1

1,2,12,1,1
...3. 3
1  arccos
1 

1
2
rad ...3. 3
3
6
6
SOLUCIÓN 3.
P

N


N
P
cos 2 
cos 2 
3
2
2  arccos
2 

6

1,4,12,5,5

1,4,12,5,5
rad ...3. 4
3
2
rad ...3. 5
Comprobando

3
2

6

3


3
27
3 2
3 6
ORTOGONALIDAD DE
VECTORES
Ortogonalidad
Sean los vectores
  a 1 ; a 2 ; . . . ; a n   B
  b 1 ; b 2 ; . . . ; b n    .
A
Se dice que
 B
 B
 A
 0
A
Se sabe que
 B

A


A

A
 cos 
B
 B
 cos   0  A

B
 B

A
 B

A

 B

De donde A
 B

A
2
Además
 B

A

 B

A
2
0
GRACIAS
Continuar con ejercicios
vectores