Raiz matricial

IV Encuentro Internacional y VI Encuentro Departamental de Matemática Educativa
Ibagué, 5 al 8 de Julio 2005
Sobre la Extracción de la Raı́z Cuadrada de una Matriz
J OS É A LFREDO J IM ÉNEZ M OSCOSO*
1. Introducción
Si se considera un número a ∈ R, como (−a)2 = a2 , es evidente que para cualquier
a > 0 se tiene dos raı́ces cuadradas, una positiva y otra negativa; mientras que cuando
a < 0 sus raı́ces cuadradas son dos imaginarios puros, una raı́z es la conjugada de
la otra. En general, si a ∈ C, también a tiene dos raı́ces cuadradas distintas. En este
documento se extiende el concepto de raı́z cuadrada, para estudiar la raı́z cuadrada de
una matriz de tamaño n × n, tema poco trabajado en la mayorı́a de textos de Álgebra
Lineal.
2. Conceptos Básicos
Definición 2.1. Sea A una matriz real de tamaño n × n, una matriz X de tamaño n × n
se llama raı́z cuadrada de A si cumple que
X 2 = A.
(1)
La matriz X puede tener algunos elementos complejos.
Teorema 2.1. Método de Cayley
Si A es una matriz real de tamaño 2 × 2, entonces su raı́z cuadrada está dada por
h
i
p
1
1
A2 = q
A + det(A)I .
(2)
p
tr(A) + 2 det(A)
* Profesor asociado, Universidad Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias, Departamento de
Matemáticas. E-mail: [email protected]
1
2
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Demostración
La demostración consiste en un cálculo directo,

2
i2
³ 1 ´2
h
p
1
 A + det(A)I
A2 =q
p
tr(A) + 2 det(A)
i
h
p
1
p
=
A2 + 2 det(A)A + det(A)I .
tr(A) + 2 det(A)
Usando el Teorema de Cayley-Hamilton,
A2 − tr(A)A + det(A)I = O,
se tiene que
³
1
´2
A2
i
h
p
1
p
tr(A)A + 2 det(A)A
tr(A) + 2 det(A)
³
´
p
1
p
=
tr(A) + 2 det(A) A.
tr(A) + 2 det(A)
=
Por lo tanto,
³ 1 ´2
A 2 = A.
Teorema 2.2. Descomposición de Sylvester
Sea A una matriz real de tamaño n × n con valores propios distintos λ1 , λ2 , . . . , λn ,
forme las matrices
~vi ~wt
Z(λi ) = t i ,
~vi ~wi
para i = 1, 2, . . . , n
(3)
donde ~v1 ,~v2 , . . . ,~vn son los vectores propios de A y ~w1 ,~w2 , . . . ,~wn son los vectores
propios de At . Entonces A se puede expresar como
n
A = ∑ λi Z(λi ),
i=1
Demostración
Las matrices Z(λi ) de tamaño n × n, cumplen que
½
Z(λi ) si i = j,
a) Z(λi )Z(λ j ) =
O
si i 6= j.
n
b)
∑ Z(λi ) = In
i=1
(4)
3
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Esto se tiene ya que si ~vi y ~w j son vectores propios correspondientes a valores
propios distintos λi y λ j , entonces ~vi y ~w j son ortogonales.
Nótese que si se premultiplica por A cualquier matriz Z(λi ) se obtiene
AZ(λi ) = A~vi
~wti
~vi ~wti
=λ
= λi Z(λi )
i
~vti ~wi
~vti ~wi
i = 1, 2, . . . , n
el mismo resultado se obtiene si se postmultiplica por A. Luego, si se suman estos
productos se tiene
n
n
∑ AZ(λi ) = ∑ λi Z(λi )
i=1
|
{z
}
i=1
n
n
i=1
i=1
A ∑ Z(λi ) = ∑ λi Z(λi ),
lo cual completa la prueba.
Corolario 2.2.1. Si A es una matriz real de tamaño n × n con valores propios distintos
λ1 , λ2 , . . . , λn , entonces la m-ésima potencia de A está dada por
n
Am = ∑ λm
i Z(λi ),
m ∈ N,
(5)
i=1
este resultado cuando m es una fracción también se cumple.
Demostración
Queda como ejercicio para el lector.
Ejemplo 2.1. Determine una raı́z cuadrada para la siguiente matriz


2 −2 3
1 .
A = 1 1
1 3 −1
Solución
En este caso, la ecuación caracterı́stica es:
det(A − λI) = −λ3 + 2λ2 + 5λ − 6 = 0.
Entonces, los valores propios
 deA son λ1=1, λ2 = 3y λ3 =
 −2 y los vectores propios
−1
1
11
correspondientes son ~v1 =  1  ,~v2 = 1 y ~v3 =  1  .
1
1
−14
4
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Por otra parte, los correspondientes vectores propios para la matriz At


2 1 1
−2 1 3 
3 1 −1
 
 
 
3
5
0
son ~w1 = −5 ,~w2 = 1 y ~w3 = −1 . Luego,
2
4
1

 

−1
¤ 1 3 −5 2
1  £
3 −5 2 = −3 5 −2
1
Z(1) =
−6
6
1
−3 5 −2
 


1
5 1 4
¤
1  £
1 
1 5 1 4 =
5 1 4
Z(3) =
10
10
1
5 1 4




11 £
0 11 −11
¤
1 
1
0
1  0 −1 1 =
1
−1 
Z(−2) =
−15
15
−14
0 −14 14
Por lo tanto,

3 −5
1
−3 5
A=
6
−3 5


2
5
3
−2 + 5
10
−2
5
1
1
1


4
0
−2
0
4 +
15
4
0
Luego, una raı́z de A es

3 −5
1
1
−3 5
A2 =
6
−3 5


√ 5
2
3
5
−2 +
10
−2
5


√
1 4
0
−2
0
1 4 +
15
1 4
0

11 −11
1
−1 
−14 14

11 −11
1
−1 
−14 14
Teorema 2.3. Sea A una matriz real de tamaño n × n con valores propios λi , i =
1, 2, . . . , n no necesariamente distintos, tal que la multiplicidad algebraica mi de cada
valor propio λi es igual a su multiplicidad geométrica µi . Entonces A se puede escribir
como
r
A = ∑ λi Z∗ (λi ),
(6)
i=1
donde r es el número de valores propios distintos y
Z∗ (λi ) = P(λi ) [Q(λi )P(λi )]−1 Q(λi ),
(7)
con P(λi ) = [~v1 ~v2 . . . ~vµi ] es la matriz cuyas columnas son los vectores propios de A
asociados a λi y Q(λi ) = [~w1 ~w2 . . . ~wµi ]t es la matriz cuyas columnas son los vectores
propios de At correspondientes a λi .
5
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Demostración
Queda como ejercicio para el lector.
Ejemplo 2.2. Determine las raı́ces cuadradas para la siguiente matriz


7
4 −1
7 −1 .
A= 4
−4 −4 4
Solución
En este caso, la ecuación caracterı́stica es:
det(A − λI) = −λ3 + 18λ2 − 81λ + 108 = 0.
Entonces, los valores propios de A son λ1 = 3 (de multiplicidad
λ2 = 12

2) y 
 algebraica
 
1
0
1
y los vectores propios correspondientes son ~v1 = 0 ,~v2 = 1 y ~v3 =  1  .
−1
4
4
Por otra parte, los correspondientes vectores propios para la matriz At


7
4 −4
4
7 −4
−1 −1 4
 
 
 
1
0
4
son ~w1 = 0 ,~w2 = 1 y ~w3 =  4  . Luego,
1
1
−1




¸−1 ·
¸
5 −4 1
1 0 ·
1
5 4
1 0 1
Z(3) = 0 1
= −4 5 1
4 5
0 1 1
9
4
4 8
4 4
 


1 £
4 −1
¤ 1 4
1
4 −1
Z(12) =  1  4 4 −1 =  4
9
9
−1
−4 −4 1
Por lo tanto,

5
3
−4
A=
9
4


−4 1
4
12
5 1 +  4
9
4 8
−4

4 −1
4 −1
−4 1
6
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Luego, una raı́z de A es
√

5
1
3
−4
A2 =
9
4

√
13
3
4
=
9
−4


√
−4 1
4
2 3
5 1 +
4
9
4 8
−4

4 −1
13 −1 .
−4 10

4 −1
4 −1
−4 1
(8)
1
Nótese que −A 2 también es raı́z; otra raı́z de A es



√
√
5 −4 1
4
1
2 3
3
−4 5 1 +
4
A2 =−
9
9
4
4 8
−4


√
1
4 −1
3
4
1 −1 .
=
3
−4 −4 −2
4
4
−4

−1
−1
1
(9)
1
En este caso, −A 2 también es raı́z.
Teorema 2.4. Sea A = a.In una matriz real escalar de tamaño n × n, con a ∈ R, entonces una raı́z cuadrada de A es
√
1
A 2 = a.Q,
(10)
donde Q es una matriz de tamaño n × n, tal que Q2 = In .
Demostración
La demostración consiste en un cálculo directo,
¡√ ¢ ¡√ ¢
a.Q
a.Q = a (Q.Q) = a.In = A.
Ası́, queda el teorema probado.
Ejemplo 2.3. Determine las raı́ces cuadradas de la siguiente matriz
·
¸
4 0
A=
.
0 4
Solución
Como A es una matriz escalar, se tiene que
A = 4.I2 ,
7
Raı́ces Cuadradas de Matrices
luego, sus raı́ces cuadradas son de la forma
·
¸
1
cos θ
sen θ
A 2 =2
,
sen θ − cos θ
θ ∈ [0, 2π].
De manera análoga,
·
cosh x
A =2
senh x
1
2
¸
− senh x
,
− cosh x
También, se pueden obtener como sigue
¸
·
1
t
1−t
2
,
A =2
1 + t −t
x ∈ R.
t ∈ R.
El lector puede elevar al cuadrado cualquiera y verificar que el resultado es la matriz
A.
Ejemplo 2.4. Encuentre las raı́ces de la matriz B = 16.I3 .
Solución
Como B es una matriz escalar, sus raı́ces cuadradas son de la forma


cos2 α + sen2 α cos β sen α cos α (1 − cos β) sen α sen β
1
B 2 =4 sen α cos α (1 − cos β) sen2 α + cos2 α cos β − cos α sen β .
sen α sen β
− cos α sen β
− cos β
Todas las raı́ces cuadradas de B pueden obtenerse asignando valores a α y β en el
intervalo [0, 2π]. El lector puede verificar que esta última matriz es una raı́z cuadrada
de la matriz dada.
Teorema 2.5. Sea D = [dii ] una matriz real diagonal de tamaño n × n, entonces una
raı́z cuadrada de D es
√

d11 √0
...
0
 0
d22 . . .
0 
1


D2 =  .
(11)
.
..  .
..
..
 ..

.
.
√
0
0
...
dnn
Demostración
Queda como ejercicio para el lector.
Raı́ces Cuadradas de Matrices
8
Observación
√
√
Como cada elemento dii , tiene dos raı́ces cuadradas dii y − dii , entonces en la
matriz (11), se puede reemplazar por la otra raı́z del elemento dii y se obtiene una
nueva raı́z cuadrada para D. Por otra parte, si todos los elementos de D son distintos,
entonces el número de raı́ces cuadradas de la matriz D es igual a 2n .
Teorema 2.6. Sea A una matriz real de tamaño n×n, diagonalizable y sea P una matriz
no singular tal que la matriz D = P−1 AP es diagonal. Entonces una raı́z cuadrada de
A es
1
1
A 2 = PD 2 P−1
(12)
1
donde D 2 es definida como en (11).
Demostración
La demostración consiste en un cálculo directo,
³ 1 ´2 ³ 1
´³ 1
´
³ 1 ´2
A 2 = PD 2 P−1 PD 2 P−1 = P D 2 P−1 = PDP−1 = A.
Ası́, queda el teorema probado.
Ejemplo 2.5. Determine las raı́ces cuadradas de la matriz dada en el Ejemplo 2.2.
Solución
La matriz A se puede expresar como



−1
1 0 1
3 0 0
1 0 1
A = 0 1 1  0 3 0  0 1 1 
4 4 −1 0 0 12 4 4 −1




1 0 1
1 0 0
5 −4 1
3
1 .
= 0 1 1  0 1 0 −4 5
9
4 4 −1 0 0 4
4
4 −1
Al tomar todas las raı́ces positivas de los valores propios, se tiene




√ 1 0 1
1 0 0
5 −4 1
1
3
0 1 1  0 1 0 −4 5
1
A2 =
9
4 4 −1 0 0 2
4
4 −1


√
13
4 −1
3
4
13 −1 ,
=
9
−4 −4 10
9
Raı́ces Cuadradas de Matrices
la cual coincide con la obtenida en (8). Para obtener las otras raı́ces cuadradas de la
1
matriz A, se modifican los elementos de D 2 por las raı́ces negativas de los valores
propios, como se muestra a continuación




√
3
12 −3
√ −1 0 0
1
1
3
4
13 −1
cuando
D 2 = 3  0 1 0 ,
A2 =
9
−44 28 2
0 0 2




√ 13
4
−1
√ 1 0 0
1
1
3
12
3
−3
tomando
D 2 = 3 0 −1 0 ,
A2 =
9
28 −44 2
0 0 2




√
3
12 −3
1 0 0
√
1
1
3
12
3
−3
A2 =−
asumiendo
D 2 = 3 0 1 0  .
9
−12 −12 −6
0 0 −2
Nótese que la última matriz es la negativa de la obtenida en (9). La forma general de
1
A 2 , es como sigue


√
5 cos θ − 4 sen θ + 8 −4 cos θ + 5 sen θ + 8
cos θ + sen θ − 2
3
4 cos θ + 5 sen θ + 8 −5 cos θ − 4 sen θ + 8 − cos θ + sen θ − 2 .
9
36 cos θ + 4 sen θ − 8 −36 cos θ + 4 sen θ − 8
8 sen θ + 2
Para valores notables de θ se tiene


√ 13
4
−1
1
3
12
3
−3
A2 =
9
28 −44 2


√
4
13 −1
1
3
13
4 −1
A2 =
9
−4 −4 10


√
3
12 −3
1
3
4
13 −1
A2 =
9
−44 28 2


√
12
3
−3
1
3
3
12 −3
A2 =
9
−12 −12 −6
tomando
θ =0,
asumiendo
π
θ= ,
2
cuando
θ =π,
considerando
Ejemplo 2.6. Determine las raı́ces cuadradas de la siguiente matriz


12
1 −2 −11
 7
11 −5 12 

A=
−10 −3 16 −1  .
−3
4
7
15
π
θ =3 .
2
10
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Solución
Para la matriz A se tiene que el polinomio caracterı́stico es
pA (λ) = λ4 − 54λ3 + 969λ2 − 6676λ + 14400.
Utilizando el método de división sintética, se obtiene que los valores propios son
λ1 = 4,
λ2 =9,
La matriz A se puede expresar como


2
1
1 −1 4
−3 −1 −3 0  0

A=
1
1
2
1  0
0
1
0 −1 1
λ3 =16,
0
9
0
0
0
0
16
0

2
0
−3
0

0  1
25
1
λ4 =25.
1
−1
1
0
−1
1 −1
−3 0 
 .
2
1
−1 1
Como A tiene 4 valores propios distintos no nulos, entonces posee 24 = 16 raı́ces
cuadradas, al tomar todas las raı́ces positivas de los valores propios




1
0 − 31 − 13
2
1
1 −1 2 0 0 0
3
−3 −1 −3 0  0 3 0 0  1
1
1
1
0 



A2 =
 1
1
2
1  0 0 4 0 − 13 − 13
0 − 13 
1
1
1
0 −1 1
0 0 0 5 − 13
0
3
3


10
1
0 −5
1 3
9 −3 6 
.
= 

−4
−1
12 −1
3
−1 2
3
11
Para obtener las otras raı́ces cuadradas de la matriz A, se modifican los elementos de
1
D 2 por las raı́ces negativas de los valores propios, como se muestra a continuación




−2 0 0 0
10
9
8
−13
 0 3 0 0
1
1
1  3 −3 −15 18 


A2 = 
cuando
D2 =
 0 0 4 0 ,


16
−5
3 −4 3
0 0 0 5
−1 6
7
7




−8 −17 −18 −5
2 0 0 0
0 −3 0 0
1
1
1  21
27
15
6


A2 = 
tomando
D2 =


0 0 4 0 ,
3 −22 −19 −6 −1
−1
2
3
11
0 0 0 5




6
3
0
1
2 0 0 0
−7 −5 −1 −6
0 3 0 0
1
1


A2 =
asumiendo D 2 = 
4
0 0 −4 0 ,

5
4
5
−3 −2 1
1
0 0 0 5
11
Raı́ces Cuadradas de Matrices

0 1
10
1
1
3
9
−3
A2 = 
3 6 −1 2
9 2 −7

5
6 

−11
1
con

2
0
1
D2 =
0
0
0
3
0
0
0
0
4
0

0
0
.
0
−5
1
Nótese que en la matriz D 2 se ha modificado sólo un valor propio, ahora se consideran
las raı́ces cuadradas de A cuando se cambian dos valores propios.




−8 −9 −10 −13
−2 0 0 0
 0 −3 0 0
1
1
1  21
15
3
18 
 cuando
,
D2 =
A2 = 
0
0 4 0
3 −22 −15 −2 −5 
−1
6
7
7
0
0 0 5




−2 0 0 0
18
17
8
−5
 0 3 0 0
1
1
1 −21 −27 −15 −6


2 =
A2 = 
tomando
D
 0 0 −4 0 ,
19
16
11 
3  12
0 0 0 5
−9 −2
7
−1




0 3
6 −1
−2 0 0 0
1 −1 −5 6 
0 3 0 0
1
1


2 =
A2 =
asumiendo
D
2 1
 0 0 4 0 .
2 −5
3 2 −1 −1
0 0 0 −5
Se puede verificar que estas 8 matrices y sus respectivas matrices negativas son las 16
raı́ces cuadradas de A, elevando cada una al cuadrado.
Teorema 2.7. Sea T = [ti j ] una matriz triangular superior de tamaño n × n, con a
1
lo más un elemento nulo en la diagonal. Entonces existe T 2 = [τi j ] y sus elementos
cumplen que
√
tii
j = i,




 ti j
j = i + 1,
τi j = τii + τ j j µ
(13)
¶

j−1

1


ti j − ∑ τik τk j
j > i + 1.

τii + τ j j
k=i+1
Demostración
La demostración es por inducción sobre n. Vamos a demostrar que si los elementos
dados en (13) son las entradas de la raı́z cuadrada de T , entonces
³ 1 ´³ 1 ´
T = T2 T2 .
Si n = 1, T = [t] es una matriz real de tamaño 1 × 1 que es triangular, luego
³ 1 ´2 £√ ¤
2
T 2 = t = [t] = T.
12
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Para n = 2 se tiene que

√
³ 1 ´2
t11

2
T
=
0
2 
t12
√
√
t
t11√+ t22  =  11
t22
0
√
√ 
t11 + t22
√
t12 √
t11 + t22  = T.
t22
Supóngase que es cierto para todas las matrices triangulares de orden n − 1, es decir,
existe una matriz de tamaño (n − 1) × (n − 1),


τ11 τ12 τ13 . . .
τ1n−1
 0 τ22 τ23 . . .
τ2n−1 


1

2
0 τ33 . . .
τ3n−1 
Tn−1
= 0


 ..
..
..
..
..
 .

.
.
.
.
0
0
...
0
τn−1 n−1
µ
¶2
1
2
tal que Tn−1 = Tn−1 . Como una matriz triangular T de orden n, se puede particionar como

..
~
. U

. ... 
,
..
. tnn

 Tn−1
T =
 ...
~0t
donde

t1n
t2n
..
.




~ =
U

,


tn−1n
por la hipótesis de inducción
 1
..
2
 Tn−1 . ~c
1
T 2 =
 ... . ...
..
~0t
. τnn
y




con
√
τnn = tnn ,
µ
¶
n−1
t1n − ∑ τ1k τkn

τ1n
k=2
µ
¶

n−1
 τ2n   1


 
∑ τ2k τkn 
~c =  .  =  τ22 +τnn t2n − k=3
.

 ..  
..




.
τn−1n



1
 τ11 +τnn
tn−1 n
τn−1 n−1 +τnn
13
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Luego,
2 
..
Tn−1
³ 1 ´2  Tn−1 . ~c 



2
= ... . ...  =  ...
T

..
~0t
. τnn
~0t
µ
¶
1
2
~ ya que
Nótese que Tn−1 + τnn In−1 ~c = U,


1
2
(τ11 + τnn )
τ12
0
0
..
.
(τ22 + τnn )
0
0






0
..
.
τ13
τ23
(τ33 + τnn )
..
.
0
...
...
...
..
.
...
¶ 
µ
1
2
Tn−1 + τnn In−1 ~c

.
.
.........

..
2
.
τnn
..
.
τ1n−1
τ2n−1
τ3n−1
..
.

τ1n
τ2n
τ3n
..
.


t1n
t2n
t3n
..
.


 


 


 

=
.

 



 

τn−1n
tn−1n
(τn−1 n−1 + τnn )
Esto completa la prueba.
Observación
Si todos los elementos de la diagonal de T son nulos, entonces T no tiene raı́z
cuadrada.
Ejemplo 2.7. Determine una raı́z cuadrada para la siguiente matriz


4 15 27 19
0 9 21 22

A=
0 0 16 18 .
0 0 0 25
Solución
Usando el procedimiento descrito en (13), se tiene que
√
√
√
τ11 = t11 = 2,
τ22 = t22 = 3,
τ33 = t33 = 4,
√
t12
t23
τ44 = t44 = 5,
τ12 =
= 3,
τ23 =
= 3,
τ11 + τ22
τ22 + τ33
t34
t13 − (τ12 τ23 )
t24 − (τ23 τ34 )
τ34 =
= 2,
τ13 =
= 3,
τ24 =
= 2,
τ33 + τ44
τ11 + τ33
τ22 + τ44
finalmente
τ14 =
t14 − (τ12 τ24 + τ13 τ34 )
= 1.
τ11 + τ44
14
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Luego,

2
0
1
A2 = 
0
0
³ 1 ´2
El lector puede verificar que A 2 = A.
3
3
0
0
3
3
4
0

1
2
.
2
5
Teorema 2.8. Sea A una matriz real de tamaño n × n con valores propios reales (a lo
más uno igual a cero) y sea P una matriz no singular tal que la matriz T = P−1 AP es
triangular. Entonces una raı́z cuadrada de A es
1
1
A 2 = PT 2 P−1
(14)
1
donde los elementos de T 2 están dados en (13).
Demostración
La demostración consiste en un cálculo directo
´³ 1
´
³ 1 ´2
³ 1
PT 2 P−1 PT 2 P−1 = P T 2 P−1 = PT P−1 = A.
Ası́, queda el teorema probado.
Ejemplo 2.8. Determine las raı́ces cuadradas para la matriz dada a continuación


5 −3 4
A = −1 4 −1 .
−1 3
0
Solución
El polinomio caracterı́stico de la matriz A es
pA (λ) = −λ3 + 9λ2 − 24λ + 16.
Entonces, los valores propios de A son λ1 = 1 y λ2 = 4 (de multiplicidad algebraica
2) y los vectores propios correspondientes son
 
 
1
−1
~v1 =  0 
y
~v2 =  1 
−1
1
15
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Para encontrar un vector propio generalizado ~v3 se calcula (A − 4I)~v3 =~v2 y se
obtiene

   
1 −3 4
x1
−1
−1 0 −1 x2  =  1  .
−1 3 −4 x3
1
Al realizar operaciones por fila se llega a, x 
= −z− 1 y y = z. Si se hace z = 0, se
−1
obtiene el vector propio generalizado: ~v3 =  0 .
0
Luego, la matriz A se puede expresar como

1 −1
1
A= 0
−1 1

−1 1 0
0  0 4
0 0
0
Por lo tanto, una raı́z cuadrada de A es


1 −1 −1 1
√
1
0  0
A = 0
−1 1
0
0


9 −4
5
1
8 −1 ,
= −1
4
−1
4
3

1
0
1  0
4 −1
√0
4
0
0
−1
1
1
−1
−1
0 .
0

0 1
1 
0 1
√4
4 −1 0

−1
0
−1
otra raı́z de A es

√

1 −1 −1 −1
1
0  0
A = 0
−1 1
0
0


9 −12 13
1
8
−1 .
= −1
4
−1 12 −5

0
0 1
√0
4 √41   0 1
0
4 −1 0

−1
0
−1
Las respectivas negativas de estas dos matrices también son raı́ces.
Hasta ahora se han considerado las raı́ces cuadradas de matrices diagonalizables o
triangularizables, pero como algunas matrices no se pueden factorizar de esta manera
a continuación se muestran algunos métodos para obtener las raı́ces cuadradas de una
matriz.
16
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Teorema 2.9. Si A es una matriz real de tamaño 2 × 2 con al menos un valor propio
no nulo, entonces su raı́z cuadrada es
h
³p p ´ i
1
1
√
A+
(15)
A2 = √
λ1 λ2 I ,
λ1 + λ2
³
´
p
donde λi = 12 tr(A) ± tr2 (A) − 4 det(A) .
Demostración
·
¸
a b
Sea A =
, luego, si la matriz dada en (15), es la raı́z cuadrada de A, entonces
³ 1 ´c³ d1 ´
A = A2 A2
³
A
1
2
´2
p
¶2 ·
¸2
a + det(A)
pb
c
d + det(A)
p
p
· 2
¸
1
a + ad + 2ap det(A)
ba + bd + 2bpdet(A)
√
=
da + d 2 + 2d det(A)
λ1 + λ2 + 2 λ1 λ2 ca + cd + 2c det(A)
µ
1
√
= √
λ1 + λ2
De este modo,
³ 1 ´2 (a + d) + 2pdet(A) ·
a
√
A2 =
λ1 + λ2 + 2 λ1 λ2 c
¸
b
.
d
Pero dado que
tr(A) =λ1 + λ2
se tiene que,
y
det(A) =λ1 λ2 ,
³ 1 ´2
A 2 = A.
Lo cual completa la prueba.
Ejemplo 2.9. Determine para cada una de las siguientes matrices una raı́z cuadrada
·
¸
·
¸
2 1
4 2
A=
y
B=
.
0 2
−2 4
Solución
Para la matriz A se tiene que
λ1 =λ2 = 2,
17
Raı́ces Cuadradas de Matrices
como A tiene un único valor propio no nulo, entonces posee 21 = 2 raı́ces
cuadradas. Una raı́z cuadrada, es
√ ¸
·
¸ · √
1
1
2+2
1
2 41√ 2
=
A2 = √
0
2+2
0
2
2 2
y multiplicando por −1 se obtiene la otra raı́z. El lector puede verificar que
³
´
1 2
±A 2 = A.
Para la matriz B se tiene que
λ1 =4 + 2i,
λ2 =4 − 2i.
Como los valores propios de A son complejos, entonces sus raı́ces son
¸
·q
q
p
√
√
√
k
λ1 = 4 + 2i = (−1)
2+ 5+ 2− 5 ,
k =0, 1
·q
¸
q
p
√
√
√
λ2 = 4 − 2i = (−1)k
2+ 5− 2− 5 ,
k =0, 1
Si se considera el caso k = 0 en ambas raı́ces, se tiene que
q
√
√
√
√
√
√
4 + 2i + 4 − 2i =2 2 + 5,
4 + 2i 4 − 2i =2 5.
Luego, la matriz B posee 22 = 4 raı́ces cuadradas. Una raı́z cuadrada de B es
#
p√
√
¸ " p√
·
1
1
5
2
5
+
2
5
−
2
4
+
2
√ =
p√
p√
B2 = p
.
√
−2
4+2 5
−
5−2
5+2
2 2+ 5
1
Nótese que −B 2 también es raı́z, lo cual se puede verificar ya que
" p√
# " p√
#
p√
p√
´
³
1 2
5
+
2
5
−
2
5
+
2
5
−
2
2
p√
p√
p√
p√
±B 2 = (±1)
−
5−2
5+2 −
5−2
5+2
·
¸
4 2
=
.
−2 4
Ahora se considera k = 1 en la raı́z cuadrada de uno de los valores propios, en
este caso, se tiene que
q
³ √
´
√
√
√
√
√
4 + 2i − 4 − 2i =2 2 − 5,
4 + 2i − 4 − 2i = − 2 5.
18
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Por lo tanto, otra raı́z cuadrada de B es
"p√
√
·
¸
1
1
4
−
2
5
2
√ = i p√5 − 2
B2 = p
√
−2
4
−
2
5
5+2
2 2− 5
#
p√
−p 5 + 2
√
.
5−2
1
En este caso, −B 2 también es raı́z, el lector puede veficarlo.
Teorema 2.10. Si A es una matriz de componentes reales de tamaño 3 × 3 con a lo
más un valor propio nulo, entonces sus raı́ces cuadradas son
h
³p p p ´ i
1
A 2 = [A + αI]−1 βA +
λ1 λ2 λ3 I ,
(16)
2
donde α = ∑
3
∑
i=1 j=i+1
3 p
¡√ p ¢
λi λ j y β = ∑ λk
k=1
El teorema es válido para cualquier matriz, sin embargo la prueba que se presenta en
estas notas es únicamente para matrices triangularizables.
Demostración
Supongamos que A es una matriz cuadrada con valores propios reales. Por el
Teorema de Schur es semejante a una matriz triangular superior T , luego, puede
expresarse como
A = QT Qt ,
(17)
donde Q es una matriz ortogonal y

λ1
T =0
0
a
λ2
0

b
c .
λ3
Con λ1 , λ2 , λ3 los valores propios de A. Al reemplazar (17) en (16), se tiene que
h
i £
i
√
¤−1 h ¡
¢ p
[A + αI]−1 βA + det AI = QT Qt + αI
β QT Qt + det (QT Qt )I
´ i
√
£
¤−1 h ³
= Q (T + αI) Qt
Q βT + det T I Qt
h
i
√
=Q [T + αI]−1 Qt Q βT + det T I Qt
h
i
√
=Q [T + αI]−1 βT + det T I Qt .
Es decir, al utilizar la descomposición de Schur, se llega a que
1
1
A 2 = QT 2 Qt .
(18)
19
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Luego, se debe demostrar que
h
i
√
1
T 2 = [T + αI]−1 βT + det T I ,
(19)
Para ello, se factorizan α y β, de la siguiente manera
√ √
√ √
√ √
¡√
√ ¢ ¡√
√ ¢
α = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 = λ1 + λ2
λ1 + λ3 − λ1
¡√
¡√
√ ¢ ¡√
√ ¢
√ ¢ ¡√
√ ¢
= λ1 + λ2
λ2 + λ3 − λ2 =
λ1 + λ3
λ2 + λ3 − λ3
y
¡√
√ ¢ ¡√
√ ¢ √
λ1 + λ2
λ1 + λ3 − λ2 λ3
√
β = λ1 + λ2 + λ3 =
=
λ
¡√
¡√ 1 √ ¢ ¡√
√ ¢ ¡√
√ ¢ √
√ ¢ √
λ1 + λ2
λ2 + λ3 − λ1 λ3
λ1 + λ3
λ2 + λ3 − λ1 λ2
√
√
=
.
λ3
λ2
p
p
p
Por lo tanto,



λ1 a b
³p
´ 1
p
p
T + αI =  0 λ2 c  +
λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ2 λ3 0
0 0 λ3
0
¡√
√ ¢ ¡√
√ ¢

λ1 + λ2
λ1 + λ3
a
¡√
√ ¢ ¡√
√ ¢
λ1 + λ2
λ2 + λ3
0
0
0
si se hace ξ =
0
1
0

0
0 =
1

b
,
c
¡√
√ ¢ ¡√
√ ¢
λ1 + λ3
λ2 + λ3
¡√
√ ¢ ¡√
√ ¢ ¡√
√ ¢
λ1 + λ2
λ1 + λ3
λ2 + λ3 , entonces


a
b
√ 1√
ξ
ξ
λ2 + λ3


c
√ 1√
,
0
T + αI = ξ 
ξ
λ1 + λ3


1
√ √
0
0
λ1 +
λ2
luego, su inversa es
√
1
(T + αI)−1 = 
ξ
√
λ2 + λ3
0
−√ a√
√ λ1 +√ λ2
λ1 + λ3
0
0
−√

b√
λ1 + λ3 
−√ c√ 
.
√ λ2 +√ λ3
ac
ξ
(20)
λ1 + λ2
Por otra parte,
√
βT + det T I =
³p
λ1 +
p

p ´ λ1
λ3 + λ2  0
0
a
λ2
0


b
1
p
c  + λ1 λ2 λ3 0
λ3
0
0
1
0

0
0
1
20
Raı́ces Cuadradas de Matrices
la cual en términos de ξ, se puede expresar como
√

λ1
√
a βξ
 λ + √λ
2
3

√
√

λ2
βT + det T I = ξ 
√
√
0

λ
+
λ3

1

0
0
b βξ




,



(21)
c βξ
√
λ3
√
√
λ1 + λ2
Al reemplazar las matrices obtenidas en (20) y (21), en la expresión (19), se tiene
√

√ b √ − ac
λ1 √ a √
ξ
λ
+
λ
λ
+
λ
1
2
1
3


√
1
.
√ c√
T2 =
λ2
 0

λ√
2 + λ3
0
0
λ3
El lector puede verificar que los elementos de esta última matriz coinciden con los
dados en el teorema 2.7.
Ejemplo 2.10. Determine una raı́z cuadrada de la matriz dada en el Ejemplo 2.2.
Solución
Como los valores propios son
λ1 = 3,
λ2 = 3,
λ3 = 12.
Al considerar las raı́ces positivas de los valores propios se tiene que
√
α =15
y
β =4 3.
Por lo tanto, una raı́z cuadrada de A es
h √
√ i
1
A 2 = [A + 15I]−1 4 3A + 6 3I ,
al reemplazar la matriz se tiene

−1 

4 −1
17
8 −2
√ 22
1
22 −1  8
17 −2
A2 = 2 3 4
−4 −4 19
−8 −8 11



√
23 −4 1
17
8 −2
2 3
−4 23 1   8
17 −2
=
486
4
4 26 −8 −8 11


√
13
4 −1
3
4
13 −1 .
=
9
−4 −4 10
1
Recordemos que −A 2 también era raı́z.
21
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Ejemplo 2.11. Determine una raı́z cuadrada de la matriz dada en el Ejemplo 2.8.
Solución
Como los valores propios son
λ1 = 1,
λ2 = 4,
λ3 = 4.
Luego A tiene 2 valores propios distintos no nulos, entonces posee 22 = 4 raı́ces
cuadradas. Si se consideran las raı́ces positivas de los valores propios se tiene que
√
√
α =4 + 2 4 = 8
y
β =1 + 2 4 = 5.
Por lo tanto, una raı́z cuadrada de A es
h
√ i
1
A 2 = [A + 8I]−1 5A + 16I ,
al reemplazar la matriz se tiene

−1 
13 −3 4
29
1
A 2 = −1 12 −1 −5
−1 3
8
−5


11 4 −5
29
1 
1 12
1  −5
=
144
1 −4 17
−5


9 −4 5
1
= −1 8 −1 .
4
−1 4
3
−15
24
15
−15
24
15

20
−5
4

20
−5
4
1
Recordemos que −A 2 también era raı́z.
Teorema 2.11. Si A es una matriz de componentes reales de tamaño 4 × 4 con a lo
más un valor propio nulo, entonces sus raı́ces cuadradas son
h
³p p p p ´ i
1
A 2 = [αA + βI]−1 A2 + γA +
λ1 λ2 λ3 λ4 I
(22)
4
donde α = ∑
k=1
p
√ p p
√ p
λk , β = ∑
λi λ j λk y γ = ∑ λi λ j
j>i
k> j>i
Demostración
Supongamos que A es una matriz cuadrada con valores propios reales. Por el
Teorema de Schur es semejante a una matriz triangular superior T , luego, puede
expresarse como
A = QT Qt ,
(23)
22
Raı́ces Cuadradas de Matrices
donde Q es una matriz ortogonal y

λ1
0

T =
0
0
a
λ2
0
0

c
e
.
f
λ4
b
d
λ3
0
(24)
Con λ1 , λ2 , λ3 , λ4 los valores propios de A. Al reemplazar (23) en (22), se tiene que
i
p
¢2
£
¤−1 h¡
1
A 2 = αQT Qt + βI
QT Qt + γQT Qt + det (QT Qt )I
´ i
√
£
¤−1 h ³ 2
= Q (αT + βI) Qt
Q T + γT + det T I Qt
i
h
√
=Q [αT + βI]−1 Qt Q T 2 + γT + det T I Qt
i
h
√
=Q [αT + βI]−1 T 2 + γT + det T I Qt .
Es decir, al utilizar la descomposición de Schur, se llega a que
1
1
A 2 = QT 2 Qt .
Luego, se debe demostrar que
h
i
√
1
T 2 = [αT + βI]−1 T 2 + γT + det T I .
Para ello, se calculan α, β y γ, como sigue
p
p
p
p
α = λ1 + λ2 + λ3 + λ4 ,
p p p
p p p
p p p
p p p
β = λ1 λ2 λ3 + λ1 λ2 λ4 + λ1 λ3 λ4 + λ2 λ3 λ4 ,
p p
p p
p p
p p
p p
p p
γ = λ1 λ2 + λ1 λ3 + λ1 λ4 + λ2 λ3 + λ2 λ4 + λ3 λ4 .
Luego
donde

ω1
0
αA + βI = 
0
0
³p
aα
ω2
0
0
bα
dα
ω3
0

cα
eα 

f α
ω4
p ´ ³p
p ´
p ´ ³p
λ2
λ1 + λ3
λ1 + λ4 ,
³p
p ´ ³p
p ´
p ´ ³p
ω2 =
λ1 + λ2
λ2 + λ3
λ2 + λ4 ,
³p
p ´
p ´ ³p
p ´ ³p
ω3 =
λ1 + λ3
λ2 + λ3
λ3 + λ4 ,
³p
p ´ ³p
p ´ ³p
p ´
ω4 =
λ1 + λ4
λ2 + λ4
λ3 + λ4 .
ω1 =
λ1 +
23
Raı́ces Cuadradas de Matrices
la inversa de la matriz αA + βI, es

√ √
2b
√λ3 +√λ4
τ
−aα
α αad−ω
1
τ

λ1 + λ2
√4 √

λ + λ
1
τ2
−dα √ 1 √ 4
0
λ2 + λ3

ξ
0
0
τ3

0
0
0
donde
−α α
2 ad f −αω
3 ae−αω2 b f +ω2 ω3 c
ξ
3
α dα fτ−eω
1
√ √
λ + λ
−fα√ 1 √ 2
λ3 +
τ4
λ4





,



√
√
√
√
√
√
λ3 + λ4
λ2 + λ4
λ2 + λ3
√ = ω3 √
√ ,
√ = ω4 √
τ1 = ω2 √
λ + λ
λ + λ
λ + λ
√ 1 √ 3
√ 1 √ 4
√ 1 √ 2
λ3 + λ4
λ + λ
λ + λ
√ = ω3 √ 1 √ 4 = ω4 √ 1 √ 3 ,
τ2 = ω1 √
λ1 + λ2
λ2 + λ3
λ2 + λ4
√
√
√
√
√
√
λ2 + λ4
λ1 + λ4
λ1 + λ2
√ ,
√ = ω2 √
√ = ω4 √
τ3 = ω1 √
λ1 + λ3
λ2 + λ3
λ3 + λ4
√
√
√
√
√
√
λ2 + λ3
λ1 + λ3
λ1 + λ2
√
√
√
√
√ ,
√
τ4 = ω1
= ω2
= ω3
λ1 + λ4
λ2 + λ4
λ3 + λ4
ξ = ω1 τ1 = ω2 τ2 = ω3 τ3 = ω4 τ4 .
Por otra parte,

a (λ1 + λ2 ) b (λ1 + λ3 ) + ad c (λ1 + λ4 ) + ae + b f
λ22
d (λ2 + λ3 )
e (λ2 + λ4 ) + d f 
,
2

f (λ3 + λ4 )
0
λ3
2
0
0
λ4
p
por lo tanto, la matriz T 2 + γT + det(T )I, es igual a
√
√
√
 √
aω1
bω1
cω1
 2
λ1
0
2
T =
0
0
ω1 λ1
 0


 0
0
aα λ2 + √ √
λ + λ2
√ 1
ω2 λ 2
0
bα λ3 + √ √ + ad
λ1 + λ3
√
dα λ3 + √ dω2√
λ + λ3
√ 2
ω3 λ3
0
0
Al realizar los respectivos productos, se llega a
√
√ a√
√ b √ − ad
λ1
τ4
λ1 + λ2
λ1 + λ3

√
d

√ √
λ2
1
 0
λ2 + λ3
T2 =
√
 0
λ3
0

0
0
0

cα λ4 + √ √ + ae + b f
λ1 + λ4
√
eα λ4 + √ eω2√ + d f 

λ2 + λ4
.
√

f α λ4 + √ f ω3√
λ3 + λ4
√
ω4 λ4
√
c√
λ1 + λ4
√
α
− bτ2f − ae
τ3 + ad f ξ
e√
− dτ1f
λ2 + λ4
√ f√
λ√
3 + λ4
λ4




.


24
Raı́ces Cuadradas de Matrices
El lector puede verificar que los elementos de esta última matriz coinciden con los
dados en el teorema 2.7.
Ejemplo 2.12. Determine mediante el método descrito en el Teorema 2.11 una raı́z
cuadrada para la matriz dada en el Ejemplo 2.6.
Solución
Como en el Ejemplo 2.6, se obtuvieron los valores propios de A, se tiene que
√
√
√
√
α = 4 + 9 + 16 + 25 = 14,
√ √ √
√ √ √
√ √ √
√ √ √
β = 4 9 16 + 4 9 25 + 4 16 25 + 9 16 25 = 154,
√ √
√ √
√ √
√ √
√ √
√ √
γ = 4 9 + 4 16 + 4 25 + 9 16 + 9 25 + 16 25 = 71.
Por lo tanto, la matriz αA + βI, es

322
 98

−140
−42
Por otra parte, la matriz A2 + γA +

1176
 672

−1008
−336
14 −28
308 −70
−42 378
56
98

−154
168 
.
−14 
364
√
det AI, es
56
1092
−308
364

−280 −1064
−420 1092 
.
1540
−28 
700
1484
Luego, la raı́z cuadrada de A es



76 −11 −6
37
1176
56
−280 −1064

1
1 
27 −48
1092 −420 1092 
−21 87
  672

A2 =



5
60
11
−1008 −308 1540
−28 
22680 26
5
−16 −21 71
−336
364
700
1484


10
1
0 −5
1
3
9 −3 6 

,
= 
3 −4 −1 12 −1
−1 2
3
11
la cual coincide con una de las obtenidas en el Ejemplo 2.6.
Teorema 2.12. Si A es una matriz real de tamaño n × n (n ≥ 5), con una
descomposición de la forma A = PBP−1 , entonces sus raı́ces cuadradas se calculan
25
Raı́ces Cuadradas de Matrices
de la siguiente manera

B1
0
1
1 −1

A 2 = PB 2 P = P  .
 ..
0
B2
..
.
...
...
..
.
1
0 2
0
 −1
..  P ,
.
0
0
...
Bk
(25)
en donde cada submatriz Bt es de tamaño 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3 ó 4 × 4, de tal manera
que se le pueda calcular a cada bloque una raı́z cuadrada como las dadas en (15), (16)
ó (22) respectivamente.
Demostración
Queda como ejercicio para el lector.
Ejemplo 2.13. Determine una raı́z cuadrada para la siguiente matriz


8
4 −2
3 .
A = −7 −1
1
3
1
Solución
Para la matriz A se tiene que el polinomio caracterı́stico es
pA (λ) = −λ3 + 8λ2 − 20λ,
luego, se tiene que
λ1 = 0,
λ2 =4 + 2i,
λ3 = 4 − 2i,
como A tiene valores propios complejos, entonces se puede factorizar de la siguiente
manera

 


−1
8
4 −2
0 −1 −1
4 2 0 0 −1 −1
−7 −1
3  = 1
1
1  −2 4 0 1
1
1 .
1
3
1
1
0 −2
0 0 0 1
0 −2
Luego, la raı́z cuadrada de A es


1 

0 −1 −1
4 2 0 2 2
2
0
1
1
1
1  −2 4 0 −3 −1 1 
A 2 = 1
2
1
0 −2
0 0 0
1
1 −1



 ·

¸1
2
0 −1 −1
2
2
0
4
2
0
1


1
1
1   −2 4
=
0  −3 −1 1  .
2
1
0 −2
1
1 −1
0 0
0
26
Raı́ces Cuadradas de Matrices
Si se usa una de las raı́ces cuadradas encontradas en el Ejemplo 2.9, se tiene que
√
¸


 ·

2√
0
4+2 5
0 −1 −1
2
2
0
1
1
0  −3 −1 1 
1 
A2 = p
−2
4+2 5
√ 1 1
4 2 + 5 1 0 −2
1
1 −1
0
0
0
√

 √

0 −1 −1
2 5 +√1
2 5+
√3 √ 1
1
1  −8 − 3 5 −4 − 5
= p
5 + 2
√ 1 1
2 2 + 5 1 0 −2
0
0
0
√
√
√ 

8 + 3 √5 4√+ 5 −2 −√ 5
1

= p
5 −√1
3+ 5 
√ −7 −√ 5
2 2+ 5 1+2 5 3+2 5
1
³ 1 ´2
Se puede fácilmente verificar que A 2 = A
³
A
1
2
´2
!2  8 + 3√5
√
−7 − 5
p
=
√
√
2 2+ 5
1+2 5
√

64 + 32 √5
1
= ³
√ ´ −56 − 28
√ 5
4 2+ 5
8+4 5


8
4 −2
= −7 −1 3  .
1
3
1
Ã
1
√
√ 2
4√+ 5 −2 −√ 5
5 −√1
3+ 5 
3+2 5
1
√
√ 
32 + 16√ 5 −16 − 8√ 5
−8 − 4 √5 24 + 12√ 5 
24 + 12 5
8+4 5
Bibliografı́a
Asmar, A. y Menco, J. (1995), ‘Acerca de la raı́z cuadrada de una matriz’, Revista de
la Facultad de Ciencias 5(1), 89–95. Universidad Nacional de Colombia, sede:
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Bôcher, M. (1907), Introduction to Higher Algebra, The Macmillan Company, New
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Cayley, A. (1858), ‘A memoir on the theory of matrices’, Philosophical Transactions
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Raı́ces Cuadradas de Matrices
27
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MacDuffee, C. C. (1956), The Theory of Matrices, Chelsea Publishing Company,
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Roth, W. E. (1928), ‘A solution of the matric equation p (x) = a’, Transactions of the
American Mathematical Society 30(3), 579–596.
Utz, W. R. (1979), ‘The matric equation x2 = a’, The American Mathematical
Monthly 86(10), 855–856.