¿CUADRADOS NEGATIVOS? Luis Gómez-Sánchez Universidad de Oriente. Venezuela. [email protected] Ejemplos de supuestos cuadrados negativos no dados por la unidad imaginaria en ℂ, podrían presentarse fácilmente en los anillos de clases residuales módulo n. Así por ejemplo en ℤ/5ℤ se tiene (2)2 = 1 y en ℤ/13ℤ se tiene (5)2 = 1 (donde también se tiene (3)2 + (4)2 = 1 y en general se demuestra que en todo cuerpo finito todo elemento es suma de dos cuadrados). Otro ejemplo sería la matriz M = tiene también M2 = 1 donde para la cual se 1 ¿Pero acaso son buenos ejemplos los que preceden? ¿Qué significa la palabra negativo en los anillos correspondientes? En principio nada, porque en dichos anillos no se define una relación estándar de orden, similar a la conocida en ℝ (la que define x < 0). Además en el anillo ℤ/nℤ todo elemento no nulo “sería” a la vez positivo y negativo lo que prácticamente equivaldría a volver inútiles en ℤ/nℤ dichos términos. Notemos desde ahora que los vocablos positivo y negativo se deben en el conjunto de los números reales al orden usual el cual es total sobre ℝ, lo que significa que dos reales arbitrarios son siempre comparables, es decir, o bien son iguales o bien uno es mayor que el otro. Esto es clave para lo que queremos aquí responder: ¿Cuándo, en conjuntos X no contenidos en ℂ, un cuadrado puede ser negativo? Aclaremos que esta pregunta es defectuosa porque, en particular, no dice lo que significa “negativo” en X. Es más propio preguntar en qué clase de conjuntos X, distintos de ℂ, la ecuación x2 = 1, o su equivalente x2 + 1 = 0, tiene solución. Y vale decir al paso que también en X deben entonces estar definidas una suma y una multiplicación (ésta para que tenga sentido inmediato x2), así como también dos elementos notados 1 y 0. La pregunta es entonces obviamente pertinente cuando X es un anillo o cuerpo (¿cuántas soluciones, distintas de la M del ejemplo dado al comienzo, habrá en el correspondiente anillo de matrices?.....). Y si se quiere que tenga sentido hablar de elementos negativos, debe además el anillo X estar provisto de una relación de orden. Seguiremos con esto más adelante. ********************* 1 El interesante artículo, Hablando de cuadrados negativos, muy laudable en su intención pedagógica y que aparece en el número 39 de esta REOIM, expone un ejemplo en que no se da ningún significado contextual a la palabra “negativo”. Agreguemos que dicho ejemplo es lo que los geómetras contemporáneos llaman un conjunto algebraico, el cual resulta ser una cúbica que no es irreducible por constar de dos conjuntos algebraicos irreducibles, a saber, una recta y una cónica no degenerada en dos rectas. Pero es una cúbica (producto de un polinomio lineal por otro de segundo grado) y la ley de composición que usualmente se define en las cúbicas irreducibles y que da lugar a la teoría de curvas elípticas (una rama importantísima y muy activa de la matemática actual) es consagradamente notada como suma y no como multiplicación. (El producto G2 del ejemplo comentado, en el cual se usa una notación multiplicativa pasaría a ser G + G). Además esta multiplicación (cuya asociatividad es demostrada de muy bonito modo) es prácticamente la misma que la suma de las cúbicas elípticas (cuando tres puntos A, B y C son colineales se tiene en las curvas elípticas A + B + C = 0 mientras que en el ejemplo citado se tendría ABC = 1 si no se exceptuaran los puntos C de la recta h), con la sola diferencia que se ha tomado el punto fijado F como elemento neutro en vez del usual punto del infinito y que no se define el producto para puntos de la recta h; por lo demás, sabemos determinarlo pero no debe ser claro para un escolar cuál punto de la cónica es AB si los puntos A y B determinan una línea paralela a dicha recta h. ********************* UN EJEMPLO NOTABLE.- En el cuerpo no conmutativo ℍ de los cuaterniones, o cuaternios, definidos sobre ℝ, se tiene una infinidad no numerable de soluciones de la ecuación x2 + 1 = 0 (¡Recordar que si el cuerpo de coeficientes fuese conmutativo debería haber a lo sumo sólo dos soluciones!) con la particularidad de que el 1 que aquí figura, sí puede propiamente “identificarse” con el número real 1, tal como sucede en ℂ. (En efecto, ℍ contiene una copia de ℂ al mismo título que ℂ contiene una copia de ℝ). Recordar que ℝ2 referido a la base canónica {(1, 0), (0, 1)} es un espacio vectorial real en el que para los vectores a = (a1, a2) y b = (b1, b2) se puede definir una multiplicación ab = (a1b1 – a2b2, a1b2 + a2b1). Así ℝ2, provisto de esta multiplicación y de la suma proveniente de su estructura de espacio vectorial, deviene un cuerpo conmutativo que se identifica con ℂ. (En [1] se puede ver una demostración sencilla de que en ℝ3 es imposible actuar de una manera similar. Pero en ℝ4 sí es posible hacerlo y lo que se obtiene es el cuerpo ℍ, el primero no conmutativo en ser descubierto, en 1843 por Hamilton, de donde la consagrada letra ℍ para su notación. Y no hay otro espacio vectorial real ℝn que pueda convertirse en 2 un cuerpo, de acuerdo a un teorema de Frobenius (1878). Salvo isomorfismos, sólo ℝ, ℂ y ℍ, de dimensión 1, 2 y 4 respectivamente). El conjunto de los cuaternios es definido por ℍ = {a1 + bi +cj + dk / a, b, c, d ∈ ℝ} donde {1, i, j, k} es la base canónica {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)} de ℝ4 sobre ℝ cumpliéndose por definición los productos i2 = j2 = k2 = ijk = 1 de donde se deduce que ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j lo que define componente a componente una multiplicación asociativa en ℍ. Abreviadamente se puede notar a = (a1, a2, a3, a4) y b = (b1, b2, b3, b4) y entonces a las conocidas suma y producto por un escalar, a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+ b3, a4+ b4) y λ a = (λa1, λa2, λa3, λa4), se agrega la multiplicación ab = (p1, p2, p3, p4) donde p1 = a1b1 a2b2 a3b3 a4b4 p2 = a1b2 + a2b1 + a3b4 a4b3 p3 = a1b3 a2b4 + a3b1 + a4b2 p4 = a1b4 + a2b3 a3b2 + a4b1 Se puede verificar que por lo general ab ba si bien la sola igualdad ij = ji dice ya de por sí que esta multiplicación no es conmutativa. Se ve fácilmente que 0 = (0, 0, 0, 0) y 1 = (1, 0, 0, 0) son, respectivamente, elementos neutros de la suma y de la multiplicación en ℍ y que tiene sentido plantearse en ℍ la ecuación x2 + 1 = 0. Todo cuaternio a a* = (a1, a2, a3, 0 posee un inverso único a-1 = a* donde a4) es el cuaternio conjugado de a (nótese la similitud con ℂ ). Provisto de la suma y multiplicación precedentes, se puede verificar que ℍ es un cuerpo y se deduce fácilmente que los cuaternios solución de la ecuación x2 + 1 = 0 son todos aquellos x = (0, b, c, d) tales que b2 + c2 + d2 = 1, es decir todo punto de la esfera unidad proporciona un cuaternio cuyo cuadrado es igual a – 1. ********************* Pasamos a deducir formalmente una respuesta a la pregunta ¿En qué clase de conjuntos X, la ecuación x2 = 1 tiene solución? (Se ha visto al comienzo que X debe ser un anillo o un cuerpo). Para ello generalizaremos a cuerpos abstractos, propiedades bien conocidas del cuerpo ordenado ℝ de los números reales. Con respecto a su suma, ℝ es un grupo conmutativo provisto de un orden que es compatible con dicha suma, es decir, si para x, y, z ∈ ℝ se tiene x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z. Además los términos positivos son aquellos x∈ ℝ tales que 0 ≤ x, los negativos siendo los opuestos –x de los x positivos. 3 (se requiere para nuestro propósito que el cero sea a la vez positivo y negativo por lo cual los x tales que 0 < x son dichos estrictamente positivos y similarmente con los negativos) Con respecto a la multiplicación, ℝ* = ℝ \ {0} es un grupo conmutativo que es también dicho compatible con el orden, en el sentido de que si para x, y ∈ ℝ se tiene x ≤ y, entonces xz ≤ yz para todo positivo z ∈ ℝ. Así, notando P al conjunto de todos los positivos en ℝ, se cumple que P + P ⊂ P, P.P ⊂ P, y P P) = {0}, es decir, toda suma y todo producto de positivos es positivo y el único elemento a la vez positivo y negativo es 0. Como dos reales arbitrarios son siempre comparables, el orden usual es total lo que equivale a decir que P P) = ℝ. Se recuerda que una relación binaria ≼ en un conjunto S es una relación de orden si ella es: 1) Reflexiva: a ≼ a, 2) Transitiva: a ≼ b y b ≼ c implica a ≼ c, 3) Antisimétrica: a ≼ b y b ≼ a implica a = b para todos a, b, c en S. Cuando todo par de elementos es comparable el orden es dicho total. EJEMPLOS: El orden usual en ℕ es un orden total. La relación de divisibilidad en ℕ es un orden que no es total. En el conjunto de partes del conjunto {a, b, c, d}, la relación de inclusión ⊂ define un orden que no es total. Se dice que A es un anillo ordenado cuando se define una relación de orden en A. Los elementos positivos y negativos se definen como usualmente en ℝ, es decir, todo elemento x tal que 0 ≤ x es dicho positivo y todo x ≤ 0 es negativo. (Asimismo se hereda nociones como mayor que, menor que, signos iguales o contrarios, mayorante, minorante, máximo, mínimo, sucesor (cuando existe), etc y se verifica para la multiplicación la ley escolar de los signos). En un anillo ordenado, a ≼ b ⇐⇒ 0 ≼ b a por lo cual la relación de orden está completamente determinada por el conjunto P de los elementos positivos. Un anillo totalmente ordenado A, es un anillo conmutativo, con unidad y cero distintos, provisto de un orden total ≼ compatible con la suma y con el producto, tal como hemos visto en ℝ, es decir 1) a ≼ b implica a +c ≼ b + c para todos a, b, c en A. 2) a ≼ b implica ac ≼ bc para todos a, b, c en A con c positivo. 4 Un cuerpo totalmente ordenado es un anillo totalmente ordenado A que es un cuerpo, es decir todos los elementos no nulos son inversibles, o lo que es lo mismo, A* = A \ {0} es un grupo multiplicativo. EJEMPLOS: ℤ con el orden usual es un anillo totalmente ordenado. El anillo ℝ[x] de todos los polinomios en una variable y a coeficientes reales es totalmente ordenado para la relación definida por P(x) ≼ Q(x) ⇐⇒ an ≥ 0, siendo Q(x) – P(x) = anxn + an-1xn-1 + ⋯ + a1x + a0. En cambio ni ℂ, ni ℍ, ni todos los cuerpos finitos ℤ /pℤ de clases módulo un primo p admiten un orden que los haga anillos totalmente ordenados. Se demuestra fácilmente que el conjunto P de los elementos positivos de un anillo ordenado A satisface las propiedades P + P ⊂ P, P.P ⊂ P, P P) = {0} que hemos visto se satisfacen en el caso de ℝ. Se verifica, recíprocamente, que si P es un subconjunto de un anillo conmutativo A satisfaciendo estas tres propiedades existe entonces un único orden compatible sobre el anillo A y que admite P como el conjunto de los elementos positivos (ver ejemplo 1 al final). Se define la característica de un cuerpo K como el menor entero no negativo n tal que la suma de n veces 1 es igual a 0 donde 1 y 0 son, respectivamente, los elementos neutros de la multiplicación y de la suma en K. Los cuerpos finitos ℤ /pℤ de clases módulo un primo p tienen característica p. El cuerpo ℚ de los números racionales tiene característica 0 y todo cuerpo que contenga ℚ como subcuerpo tiene entonces la misma característica. TEOREMA.- Sea K un anillo totalmente ordenado; se tiene entonces: a) Todo cuadrado en K es positivo b) La característica de K es 0 DEMOSTRACIÓN: a) Si x es positivo su cuadrado es positivo y si x es negativo su opuesto –x es positivo por lo cual (–x)2 es positivo. Como el orden es total, es decir P P) = K, no existen en K cuadrados negativos. b) 1 es positivo porque (1)2 = 1. Si la característica fuera n > 0 se tendría que la suma de n-1 veces 1 sería igual a 1 lo que se opone a que la suma de positivos sea positiva (por definición 1 0). Este teorema demuestra lo ya dicho previamente: ningún cuerpo finito puede ser totalmente ordenado porque la característica es mayor que 0 y ℂ tampoco porque posee cuadrados negativos. 5 Si un cuerpo K está provisto de una relación de orden no total, compatible con la suma y la multiplicación, se puede demostrar que K posee elementos cuyo cuadrado no es positivo. EJEMPLOS DE ÓRDENES EN ℂ.- Ningún orden compatible con la suma y la multiplicación que se defina sobre ℂ puede ser total por el teorema precedente pero existen en ℂ órdenes totales que no son compatibles. En los tres ejemplos siguientes, se deja como ejercicio verificar que la relación notada ≼ define en efecto una relación de orden en ℂ. EJEMPLO 1 (La única extensión compatible del orden usual ≤ de ℝ): Identificando por comodidad ℂ con ℝ2, se define un orden por (a, b) ≼ (c, d) ⇐⇒ a ≤ c y b ≤ d Es claro en la figura que los únicos elementos comparables con z = (a, b) son los (x, y) situados en la zona amarilla (no acotada, por supuesto) lo que pone en evidencia que el orden ≼ no es total y es además claro que ≼ es compatible con la suma. Para verificar que ≼ es compatible también con la multiplicación de ℂ, determinamos el conjunto P de los correspondientes elementos positivos. Se requiere que si x ≼ y entonces xz ≼ yz para todo z = (z1, z2) ∈ P, es decir que si x = (x1, x2), y = (y1, y2) se debe tener en ℝ las dos desigualdades x1z1 – x2z2 ≤ y1z1 – y2z2 x1z1 + x2z2 ≤ y1z1 + y2z2 Se deduce fácilmente que z1 ≥ 0. Si z2 0, entonces la correspondiente forma polar del número complejo z, es decir z = r(cosθ + isenθ) = reiθ deja ver claro que existe una potencia n n inθ zn de z cuya primera componente es estrictamente negativa (porque z = r e con – ≤θ≤ ). Esto niega la propiedad P.P ⊂ P y por lo tanto P= {(x, 0) ∈ ℂ / x ≥ 0} que es la imagen en ℂ del conjunto de los positivos de ℝ por la función inyectiva que aplica x 6 en (x, 0). La restricción de ≼ al eje real coincide con el orden usual ≤. Obviamente P P) ℂ por lo cual el orden ≼ no es total lo que ya sabíamos por la figura. EJEMPLO 2 (Orden total pero no compatible): Se define (a, b) ≼ (x, y) como equivalente al hecho de que o bien a < x o bien b ≤ y cuando a = x. (Este es el orden lexicográfico, que se usa para las palabras en los diccionarios sobre la base del orden total ≼ definido en el alfabeto tal que a ≺ b ≺ c ≺ ⋯⋯ ≺ x ≺ y ≺ z). Es claro que es total porque necesariamente se tiene en toda ocasión (a, b) ≼ (x, y) o bien (x, y) ≼ (a, b) para todos (a, b) y (x, y), es decir estos dos elementos arbitrarios son siempre comparables. No es compatible porque (0, 0) ≼ (0, 1) = i pero i2 = 1 = (1, 0) ≼ (0, 0) y no se cumple entonces P.P ⊂ P. EJEMPLO 3 (Orden compatible que no es extensión del orden usual ≤ de ℝ): Se define un orden en ℂ por (a, b) ≼ (x, y) ⇐⇒ a ≤ x y b = y En la figura es evidente que el orden no es total --porque los únicos elementos comparables con z = (a, b) son los que están en la línea celeste—y que los elementos positivos son de la forma (x, 0), con lo cual se deduce fácilmente que el conjunto P de los elementos positivos se reduce a un punto y entonces se verifica trivialmente la compatibilidad de ≼ con la multiplicación de ℂ. Es clara además la compatibilidad con la suma de ℂ. Deduzcamos sin embargo el conjunto P: si x ≼ y se debe tener xz ≼ yz para todo z = (z1, z2) positivo, es decir que si x = (x1, c), y = (y1, c) y x1 ≤ y1 se deben cumplir en ℝ las dos condiciones 7 x1z1 – cz2 ≤ y1z1 – cz2 x1z1 + cz2 = y1z1 + cz2 lo que da z1 = 0. Por otro lado, (0, 0) ≼ (0, z2) de donde z2 = 0 por lo cual P = {(0, 0)}. Es claro que este orden no prolonga el orden usual de ℝ y entonces no puede ser total lo que ya sabíamos por la figura. ********************* REFERENCIAS [1]Algèbre linéaire et géométrie élémentaire (p. 197). Jean Dieudonné, Hermann, Paris 1964. (Hay edición en español). 8
