ENSAYO PSU PRUEBA DE MATEMÁTICA Forma UST-216 INSTRUCCIONES 1.- Esta prueba consta de 80 preguntas de las cuales 75 serán consideradas para el cálculo del puntaje y 5 serán de pilotaje, por tanto no se considerarán en el puntaje final de la prueba. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta. 2.- Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla. 3.- Las respuestas a las preguntas se marcan en la Hoja de Respuestas que se le ha entregado. Complete todos los datos pedidos. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba. 4.- Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entreguen los resultados. 5.- Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB. 6.- Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas de Suficiencia de Datos en donde se explica la forma de abordarlas. Estas preguntas están ubicadas con el resto de las preguntas en cada eje temático. 7.- No se descontará puntaje por preguntas erróneas. 8.- Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente sus respuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja. 9.- Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solamente los datos pedidos y las respuestas. Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma. 10.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala. DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de que el presente material es propiedad exclusiva de la Pontificia Universidad Católica de Chile y que está prohibida su reproducción parcial o total. . MATEMÁTICA . – FIRMA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 1 INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. 2. 3. 4. 5. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios. Las figuras que aparecen en este ensayo son solo indicativas. Los gráficos que se presentan en este ensayo están dibujados en un sistema de ejes perpendiculares. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al lanzarlo las caras son equiprobables de salir. En este ensayo, las dos opciones de una moneda son equiprobables de salir, a menos que se indique lo contrario. g) ( x ) = f ( g ( x ) ) 6. (f 7. Los números complejos i y −i son las soluciones de la ecuación x2 + 1 = 0. 8. Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y z es su módulo. 9. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ~ N ( 0,1) y donde la parte sombreada de la figura representa a P ( Z ≤ z ) , entonces se verifica que: z P (Z ≤ z) 0,67 0,99 1,00 1,15 1,28 1,64 1,96 2,00 2,17 2,32 2,58 0,749 0,839 0,841 0,875 0,900 0,950 0,975 0,977 0,985 0,990 0,995 MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 2 INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución. SÍMBOLOS MATEMÁTICOS < es menor que ≅ es congruente con > es mayor que ~ es semejante con ≤ es menor o igual a ⊥ es perpendicular a ≥ es mayor o igual a ≠ es distinto de ángulo recto ∢ // ∈ es paralelo a pertenece a φ conjunto vacío AB trazo AB valor absoluto de x x ln logaritmo en base e x! factorial de x ∪ unión de conjuntos complemento del conjunto A ∩ intersección de conjuntos vector u ángulo log logaritmo en base 10 A c MATEMÁTICA u ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 3 1. 3 −1 + 3 5 −2 2 22 ⋅ 3 A) B) C) D) E) 2. −1 = 1 42 7 10 14 135 5 32 21 40 Sean a = p p y b= dos números racionales no nulos, con p, q y r r q números enteros distintos de cero, tales que a < b. ¿Cuál(es) de los siguientes números racionales pertenece(n) al intervalo a,b ? I) II) III) A) B) C) D) E) p , con q+1 distinto de cero. q+1 p ( r + q) 2qr p , con r − 1 distinto de cero. r −1 Solo I Solo II Solo III Solo I y III Ninguno MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 4 3. 1 1 − ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto al 3 5 valor de T? Si T = I) Al aproximar T por redondeo a la milésima, se obtiene un número mayor a T. II) T pertenece al conjunto de los números racionales. III) El valor de T − 0, 03 es igual a T truncado a la décima. 4. A) B) C) D) E) Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III Los diámetros de aproximadamente un glóbulo −4 1,5 ⋅ 10 blanco y 7,5 ⋅ 10 −6 y un glóbulo respectivamente. rojo son ¿Cuántas veces es más grande es un glóbulo blanco que un glóbulo rojo? A) 5 ⋅ 10 −2 B) C) 5 ⋅ 10−10 2 ⋅ 10−2 D) 0,2 ⋅ 10−10 E) 2 ⋅ 101 MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 5 5. Un triatleta de alto rendimiento, en su preparación para los Juegos Olímpicos, tiene como meta completar un máximo de 200 minutos 1 entre las 3 pruebas. Si en natación ocupa de los minutos y en trote 10 28 del tiempo restante. ¿Cuántos minutos le quedan para realizar la 45 etapa de bicicleta, sin pasarse de su meta? A) B) C) D) E) 6. 132 68 Aproximadamente 124. Aproximadamente 112. Aproximadamente 95. Las alternativas muestran el desarrollo, paso a paso, del ejercicio ( 4 ) : (2 −3 5 −5 : 8−4 ) 2 ¿En cuál de ellas se ha cometido primero un error? ( A) ( ) ( ) B) (2 ) C) 2−30 : 2−17 D) E) 2−30 : 2−34 24 4−15 : 2−5 : 23 2 −15 ( : 2−5 : 2−12 ( MATEMÁTICA ) 2 −4 ) 2 ) 2 ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 6 7. Sean p un número real, tal que −1 ≤ p ≤ 1 y K otro número real mayor que 1. Es siempre verdadero que 8. A) ( −pK ) ∈ ℝ − B) K <K p C) Kp ≤ K D) Si K ∈ ℕ , E) K p podría ser negativo p K <p Dada la ecuación x − 10 = m2 + 3m para que la solución en x sea siempre un número entero par, se debe cumplir que: (1) m es par. (2) m es entero. A) B) C) D) E) 9. (1) por si sola (2) por si sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2) Se requiere información adicional Si A es divisor de 12, B es divisor de 20 y C es múltiplo de 4, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) El producto entre A, B y C es siempre par. B) Existen valores para A y C de modo que se cumpla que C) D) E) A+C es 10 un número entero. A ⋅B El valor de es entero. C Si A y B son mayores que 5 entonces existen valores de C divisores del producto entre A y B. Si A y B son menores que 3, entonces A+B puede tomar 3 posibles valores distintos. MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 7 10. Sabiendo que e=2,718281… y π = 3,141592… . Si W es la aproximación por defecto a la centésima de e y F es la aproximación por exceso a la centésima de π , entonces se puede afirmar que W+F e+π = 2 2 11 =F II) W + 25 III) F − π = 0,01 I) A) B) C) D) E) Solo Solo Solo Solo Solo 11. (log 3 A) B) C) D) E) 12. I II III I y II I y III 81) ⋅ log5 ( 5) 4 −1 ⋅ log 8 = 2 27 3 3 16 48 –3 –48 Si M = 4 A ⋅ 3 22 ⋅ 6 25 ¿cuál de las siguientes alternativas corresponde al valor de A, de modo que M sea igual a 4? A) B) C) D) E) 22 23 26 27 218 MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 8 13. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene como resultado un número 6 racional, considerando un triángulo rectángulo cuyos catetos miden y A) B) C) D) E) 14. El área del triángulo, considerando un cateto como base y el otro como altura. El cociente entre los catetos mayor y menor. El cuadrado de la diferencia entre los catetos del triángulo. El cuadrado de la suma de los catetos. La mitad de la suma de los cuadrados de los catetos. Una hoja cuyo grosor es de 0,1 mm, se dobla en 2, luego nuevamente en 2 y así sucesivamente. ¿Cuál es el alto total, en cm, después de realizar 8 dobleces? A) B) C) D) E) 15. 3? 1 1,6 8 2,56 102,4 Al reducir la expresión (log5 10 ) ⋅ (log3 125) ⋅ (log8 3) se obtiene A) B) 20 log2 10 C) log4 15 D) (log2 ) ⋅ (log8 9 ) E) log16 138 MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 9 16. Sea D = i32 + i16 − i−2 + ix , donde i es la unidad imaginaria, ¿cuál de las siguientes opciones podría ser el valor de x para que D valga 2? A) B) C) D) E) 17. 0 22 29 41 47 Dado el número complejo r = m − i , con m un número real, se puede afirmar que el módulo es igual a la unidad si: (1) m = 0 (2) El módulo de su conjugado es 1. A) B) C) D) E) 18. (1) por si sola (2) por si sola Ambas juntas (1) y (2) Cada una por sí sola (1) o (2) Se requiere información adicional La distancia d recorrida por un móvil corresponde al producto entre el tiempo t empleado y el promedio de su velocidad inicial v0 y su velocidad final vf . ¿Cuál de las siguientes alternativas representa al enunciado dado? A) B) C) D) E) v + vf d = t⋅ 0 2 v − vf d = t⋅ 0 2 t ⋅ v0 + v f d= 2 v + vf ⋅ t d= 0 2 d= t ⋅ ( v0 + v f ) MATEMÁTICA 3 ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 10 19. Dada la expresión algebraica 2x 4 − 16x , ¿cuál de las siguientes expresiones es equivalente a ella? A) 2x ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 2 ) B) x 4 + x2 + 4 x2 − 4 C) 2x ( x − 2 ) x2 + 2x + 4 D) 4 ( x + 2) ( x − 2) E) 20. ( )( ( ) ) 2x ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( ) Un salón cuadrado de área x2 + 4ax + 4a2 cm2 , con a > 0 , se compara con otro salón, de forma rectangular, cuyo largo tiene ( a + 1) cm más y su ancho ( a − 1) cm menos que el lado del primer salón. ¿Cómo se puede expresar el área del segundo salón, en centímetros cuadrados? 21. A) x2 + 2ax + x + a + 1 B) x2 + 3a2 + 4ax + 2x + 4a + 1 C) x2 + 2ax − 2a − 1 D) x2 + 3a2 + 4ax − 2a − 1 E) x2 + 3a2 + 1 p p Para p ≠ 1 , el producto p + ⋅ p − corresponde a p − 1 p − 1 A) 0 B) p3 (p − 2 ) C) 1 D) p2 (p − 2 ) E) 2p ( p − 1) 2 p −1 MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 11 22. 23. Esta tarde los alumnos de IV medio presentarán una obra de teatro en su colegio. Para ubicar a los espectadores en el patio, que es de forma cuadrada, están colocando todas las sillas disponibles, igualmente espaciadas y de modo que haya el mismo número de sillas por lado, pero al poner x sillas por lado sobran 16 de ellas; en cambio al ubicar una silla más por lado faltan 31 de ellas. ¿Cuál es la máxima cantidad de sillas que podrán poner en este patio con las condiciones dadas? A) 545 B) 496 C) 576 D) 676 E) 529 Dado el sistema 2ax + 3by = p ax − by = q para x e y con a, b, p y q no nulos. ¿Cuál es la quinta parte de la diferencia entre los cuadrados de p y q, en ese orden? A) a2x2 − b2y2 B) a2x2 + b2y2 C) ( ax − by ) D) ( ax + by ) E) No se puede determinar con el sistema dado. 2 2 MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 12 24. En la prueba semestral de 50 preguntas, se obtienen 4 puntos por cada respuesta correcta, pero se pierde 1 punto por cada respuesta incorrecta. Si Martín obtiene 145 puntos al desarrollar la totalidad de la prueba, ¿cuántas respuestas correctas ha tenido? A) B) C) D) E) 25. 55 45 39 19 11 Dada la ecuación x2 − ( a + i) (b − i) x − ( a − b ) i = 0 , tal que a y b son números reales iguales y, además, i es la unidad imaginaria. Una de las soluciones de la ecuación, en términos de a, es A) B) C) D) E) 26. x x x x x = 2a − 1 = a−1 = 2a + 1 = a+1 = a2 + 1 Siendo u y v números reales distintos de cero y n un número entero positivo. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es siempre positiva? A) u−n + v−n B) u + n v n C) D) E) u2n − v2n u2n v 2n + n Ninguna de las anteriores. MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 13 27. Se puede establecer que la gráfica de una función f es una recta con pendiente positiva en el primer cuadrante del plano cartesiano si se sabe que: (1) f establece la relación de la diagonal de un cuadrado con su lado. (2) El dominio y el recorrido de f son números reales positivos. A) B) C) D) E) 28. ¿Cuántos kilogramos de chocolate de $ 3.500 el kg se deben fundir con 6 kilos de chocolate de mejor calidad que cuesta $ 5.000 el kg, para que el precio de un kilogramo de la mezcla sea inferior a $ 4.000 ? A) B) C) D) E) 29. (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2) Se requiere información adicional Aproximadamente 8,5 kg. Más de 8,5 kg. Menos de 8,5 kg. Más de 12 kg. Menos de 12 kg. Amanda, para determinar el dinero que recaudará cada semana por los chalecos que vende, ha establecido un modelo lineal de cálculo. Si ella tiene un costo fijo de $ s por la materia prima requerida y la semana anterior por cada chaleco, de los x que vendió, pudo recaudar $ y . ¿Cuánto dinero recaudará esta semana por la venta de t chalecos? A) B) C) D) E) x ⋅t +s y t⋅x+s y ⋅t +s x x⋅y −t⋅s y−s ⋅t +s x MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 14 30. Dadas la funciones f y g definidas en los números reales por las fórmulas f ( x ) = 2x − 3 y g ( x ) = 2 − 3x , ¿cuál debe ser el valor de x para que se cumpla la condición ( f g) ( x ) = ( g f ) ( x ) ? A) B) C) D) E) 31. 4 9 0 9 4 2 No existe un valor de x para esta condición. − Para la función f ( x ) = r ( x − p ) + q , con dominio en los números reales 2 y, además, p, q, r números reales distintos de cero. Con respecto a su gráfica, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Su intersección con el eje y está a q unidades del origen del sistema cartesiano. II) El eje de simetría de la parábola asociada está a p unidades de distancia del eje y. III) Si r > 0 entonces tiene un máximo en el punto (p, q ) . A) B) C) D) E) Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 15 32. Dado el gráfico adjunto para f ( x ) es correcto afirmar para esta función que A) D) su dominio es el conjunto de los números reales positivos. su recorrido es el conjunto de los números reales positivos. 1 su función inversa es f −1 ( x ) = x para x distinto de cero. f (r ) < f (r + 1) para r número real no E) negativo. Ninguna de las anteriores. B) C) 33. c a x + 2 = 0, b b con a, b y c números reales positivos, para que su ecuación asociada tenga dos soluciones reales y distintas, se debe cumplir que Dada la función definida en los números reales por x2 − A) B) C) D) E) 34. c2 c2 c2 b2 b2 − 4a > b2 − 4a > 0 − 4a < b2 − 4ac > 0 − 4ac < 0 Si en el conjunto de los números reales se definen las funciones f ( x ) = x3 − u y g ( x ) = x 4 − v , con 0 < u < v , entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? A) B) f ( x ) es una función creciente en todo su dominio. La gráfica de g ( x ) es una parábola con concavidad hacia arriba. C) f (1) > g ( −1) . D) E) Ambas funciones intersectan al eje y en un valor negativo. Si u = v , entonces ambas funciones son iguales. MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 16 35. Para la función real definida por f ( x ) = xn , con número n entero positivo mayor o igual que 2, es siempre verdadero que I) f (p ⋅ q) = f (p ) ⋅ f ( q) . II) f ( x ) es una función inyectiva. III) f −1 ( x ) es una función. A) B) C) D) E) 36. Solo Solo Solo Solo Solo I II III I y III II y III Se puede determinar que la función f ( x ) es inyectiva si se sabe que: (1) f ( x ) está definida de modo tal que f : ℝ − {1} → ℝ . (2) f ( x ) corresponde al cociente entre x y su antecesor. A) B) C) D) E) (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) o (2) Se requiere información adicional MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 17 37. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa mejor al triángulo A’B’C’ que se obtiene luego de una simetría con respecto a la recta L, aplicada al triángulo ABC, como en la figura? L C A B A) B) L C) L B’ L C’ C’ A’ A’ C’ B’ A’ B’ D) E) A’ B’ C’ L L B’ C’ MATEMÁTICA A’ ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 18 38. ¿Cuál de los siguientes puntos corresponde al circuncentro del triángulo de la gráfica adjunta, dado por las coordenadas de sus vértices? y (7,6) A) ( 4, 0) B) C) 39. (3,2) (3,0) D) 3 5 2,2 E) ( 4,2) x (0,–1) (8,–1) En la figura adjunta, AB//DF , DA//CB y DF corta en E y F a los dos lados del triángulo ABC. Si 2 ⋅ DE = EF , entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA? A) El perímetro del triángulo EFC es el doble del perímetro del triángulo EDA. B) ∆EDA ~ ∆ABC C) El segmento EA mide la mitad que el segmento EC. D) ∆ABC ~ ∆EFC E) El área del triángulo EFC es 2 del área del triángulo ABC. 3 C D E F A MATEMÁTICA B ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 19 40. En el trapecio escaleno ABCD se trazan las rectas DF y CF, que son paralelas a CB y AD , respectivamente, y que al mismo tiempo intersectan en E y G a la base AB , como en la figura adjunta. Además, AE = EF. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? A) ∆AED ≅ ∆GBC B) Rombo AGCD es congruente D C con el rombo BEDC. C) ∆AED ≅ ∆GEF D) EG ≅ GB E) DC > CB A E G B F 41. ¿Con cuál de las siguientes operaciones entre vectores es posible obtener el vector ( −1,7) ? I) II) III) A) B) C) D) E) 2 ⋅ ( −2, 4) − ( −3,1) (1, −1) − (2, −6 ) 3 ⋅ (1,1) + 4 ⋅ ( −1,1) Solo con I Solo con III Solo con I y con II Solo con I y con III Con I, con II y con III MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 20 42. ¿Cuál de los semejantes? A) siguientes pares de polígonos NO son siempre Dos trapecios isósceles, en que la medida del ángulo basal de uno de ellos es igual al ángulo basal del otro. B) Dos triángulos equiláteros en que la medida del lado de uno de ellos es distinta a la medida del lado del otro. C) Dos cuadrados cualesquiera. D) Dos pentágonos regulares cualesquiera. E) Dos triángulos rectángulos isósceles en que la medida del cateto de uno de ellos es distinta de la medida del cateto del otro. 43. En un triángulo ABC se traza un segmento CD hasta el lado AB , ¿Con cuál de las siguientes condiciones los triángulos ADC y BDC NO son necesariamente congruentes? C I) ∢ACD ≅ ∢DCB y AC = 2 ⋅ DB . II) ∢BAC ≅ ∢ABC y CD es altura. III) ∢DAC ≅ ∢DBC y AC = CB . A) B) C) D) E) Solo Solo Solo Solo Solo MATEMÁTICA con con con con con I II III I y con II I y con III A D B ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 21 44. En el paralelogramo ABCD, con AD ⊥ DB , como en la figura, se trazan las alturas DE y BF . Si AD = 15 cm y DB = 20 cm , entonces el área del rectángulo EBFD es F D 45. C 2 A) 300 cm B) 192 cm2 C) 150 cm2 D) 108 cm2 E) 2 96 cm A E B Dos puntos dividen interiormente a un trazo AB, P en la razón m : n y Q en la razón n : m. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) FALSA(S)? I) Si m < n, entonces AP < PQ. II) Si m = n, entonces P coincide con A y Q con B. III) Si m > n, entonces AP > PB. A) B) C) D) E) 46. Solo Solo Solo Solo Solo II III I y II I y III II y III En el deltoide RSTU, inscrito en la circunferencia de centro O, RT y SU son diagonales. VT = m y RT : VT = 5 : 1 . ¿Cuánto mide la cuerda SU en términos de m? U A) m 5 B) 2m 5 C) D) E) 2m 3m 4m R V T O S MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 22 47. En la siguiente figura, las rectas AD y BE se intersectan en C. Se puede determinar que ∆ ABC ~ ∆ DEC si: (1) ∢BAD ≅ ∢EDA (2) AD y BE E corresponden a D las diagonales del trapecio ABDE, de base AB . 48. C A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional A B En el cuadrilátero ABCD de la figura adjunta, AD = 2 cm , CD = 6 cm y CB = 4 cm . Si AC ⊥ CB y BC//AD , entonces AB mide A) 4 3 cm B) 4 cm C) 12 cm D) 4 cm 3 E) 56 cm MATEMÁTICA C D A B A ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 23 49. En la circunferencia de la figura adjunta, A, B, C, D, E y F son puntos de ella. El arco BF mide 22º y el ángulo FEC mide 24º. Las cuerdas AC//FE y AB//DF . La medida del ángulo DFE es C A) 24º B) 46º C) 35º D) 48º E) 70º D F B E A 50. Dada la ecuación de la recta x y + = 1 , con p y q números reales p q distintos de cero, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) Si p = q, entonces siempre la recta tiene pendiente –1. Si p y q son de distinto signo, entonces la recta tiene pendiente negativa. III) Si q es un valor constante positivo y p es negativo, entonces a mayor valor de p, mayor pendiente tiene la recta. A) B) C) D) E) Solo Solo Solo Solo Solo MATEMÁTICA I II III I y II I y III ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 24 51. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación 3x − 5y + 1 = 0 ? A) B) C) D) E) 52. (2, −1) ( −2, −1) (3, −2 ) ( −3,2 ) (5, −3) Para el sistema de ecuaciones lineales ax + by = 0 , con a, b, d y e dx − ey = 1 números reales positivos, es siempre verdadero que A) si a = d y b = −e , entonces las rectas son coincidentes. B) si C) D) E) 53. a b , entonces las rectas son paralelas. ≠ d −e a d si ⋅ = 1 , entonces las rectas son perpendiculares. b e la segunda recta corta al eje y en ( 0,1) . independientemente de los valores de a, b, d y e, estas rectas son secantes. ¿En cuál de los siguientes casos el par de puntos NO corresponde al origen y el extremo, respectivamente, del vector v = ( −2,3 ) ? A) B) C) D) E) Origen (5,1) ( −4, 0) ( −2,3) ( −1, 2) (2, 0 ) MATEMÁTICA Extremo (3, 4) ( −6,3) ( −4, 6 ) ( −1,1) (0, 3) ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 25 54. La figura adjunta muestra un triángulo ABC y un punto O. Al triángulo se le aplica una homotecia de centro O y razón k1 , obteniéndose el triángulo homotético A’B’C’, y luego a éste se le aplica otra homotecia de centro O y razón k 2 , resultando el triángulo homotético A’’B’’C’’. ¿En cuál de las siguientes alternativas el triángulo A’’B’’C’’ es el de mayor área? 55. C A) 0 < k 2 < k1 < 1 B) −2 < k1 < k2 < 0 C) k1 < −2 y k 2 < −2 D) 1 < k1 < 2 y 1 < k 2 < 2 E) 0 < k1 < .O A B 1 y − 2 < k2 < 0 2 Si se hace girar indefinidamente un cuadrado de lado L en torno a algún eje, entonces NO es posible obtener A) dos conos rectos unidos por sus bases. B) un cilindro recto de radio basal L. C) un cilindro recto de radio basal D) dos conos rectos unidos por sus vértices. E) dos cilindros de bases concéntricas, una de radio basal L+x y el L . 2 otro de radio basal x. MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 26 56. En el espacio tridimensional, los dos extremos de un diámetro del círculo Q son ( 0,5, 4 ) y (0,3,2 ) . Si Q se traslada según el vector (3, 0, 0 ) , entonces el volumen del cuerpo generado de esta manera, en unidades cúbicas, es 57. A) 6π B) 12π C) 2π D) 6π 2 E) 2π 2 La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos (0, 4 ) y ( −2, −6 ) , con t variando en los números reales, es A) x ( t ) = ( 0, 4 ) + t (1,5 ) B) y ( t ) = ( 0, 4 ) + t ( −2, −6 ) C) z ( t ) = ( −2, −6 ) + t ( 0, 4 ) D) p ( t ) = (2,10 ) + t ( 0, 4 ) E) q ( t ) = ( 0, 0 ) + t (2,10 ) MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 27 58. Se pueden determinar las coordenadas del centro de un cubo de arista 2 unidades en el espacio tridimensional, si se sabe que: (1) El centro del cubo está en el primer octante, a 3 unidades de distancia del origen de coordenadas. (2) Tres de las caras del cubo están apoyadas en los planos XY, YZ y XZ, respectivamente. 59. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional Se tiene una población de tamaño 7. El número total de muestras, sin orden y sin reposición, de tamaño N ≤ 7 , que se pueden extraer de tal población es igual a A) 7! N! B) 7! (7 − N) !⋅ N! C) 7! (7 − N ) ! D) 7! (N − 7 ) ! E) ( 7 − N) ! MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 28 60. Se considera un grupo de recién nacidos a los cuales se les hizo un seguimiento por 15 meses para estudiar a qué edad, en meses, el bebé deja de tomar leche materna por diversos motivos. Los resultados se encuentran en el histograma adjunto. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no es posible realizar? A) La mediana del estudio se encuentra contenida en el intervalo 11,13 . B) Menos del 25% de los bebés fueron amamantados hasta antes de los 11 meses de vida. C) La moda de los bebés está contenida en el intervalo 11,13 . D) Se consideraron en el estudio un total de 30 bebés. E) Aproximadamente el 33% de los bebés de la muestra fueron amamantados entre 13 y 15 meses, inclusive. Número de bebés 13 − 10 − 5− 2− MATEMÁTICA | | 7 9 | | | 11 13 15 Meses de lactancia ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 29 61. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) posible(s) de realizar de acuerdo al siguiente histograma de frecuencias absolutas acumuladas u ojiva? 60 − 45 − 27 − 22 − 7− | | | | | 5 10 15 20 25 I) II) Un resumen de las frecuencias absolutas es Intervalo Frecuencia Absoluta 7 0,5 5,10 10,15 15 15,20 20,25 18 5 15 La frecuencia relativa del intervalo 5,10 es exactamente igual a 0,36 . III) La mediana de la muestra corresponde a la marca de clase del intervalo 15,20 . A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas es posible afirmar. MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 30 62. 63. ¿Cuál de las siguientes encuestas NO forma una muestra de datos cualitativos? A) Se le consulta a un grupo de estudiantes acerca de su director de cine favorito. B) Se le consulta a un grupo de trabajadores acerca de la radioemisora de preferencia. C) Se le consulta a un curso de primero básico acerca de su caricatura favorita. D) Se le consulta a un grupo de médicos acerca del laboratorio de preferencia al momento de recomendar un cierto medicamento. E) Se le consulta a un curso de primer año de universidad acerca de cuántas horas a la semana, en promedio, estudian para alguno de sus ramos. En la muestra de x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ ... ≤ x599 ≤ x600 , que se encuentra en orden ascendente, se afirma que x300 ⋅ x301 . 2 x + x151 II) el primer cuartil de la muestra es 150 . 2 III) el percentil 75 podría ser igual a la mediana de la muestra. I) el percentil 50 de la muestra es igual a De tales afirmaciones es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) solo solo solo solo I, II I. I y II. I y III. II y III. y III. MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 31 64. Si de la población de datos P = {10,16,22} se obtienen todas las muestras sin orden y sin reposición de 2 elementos que se pueden extraer, entonces, con respecto a la media poblacional, ¿cuál es el máximo error, en valor absoluto, que se podría cometer si se considerara el promedio muestral de solo una de estas muestras? 65. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 16 1 Si la muestra , para n variando de 1 hasta 20 tiene desviación n estándar igual a σ , ¿cuál es la desviación estándar de la muestra 30 ? n A) σ 20 B) 30σ C) 30 σ D) 202 nσ E) σ 50n MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 32 66. La muestra P = {1,3,5,7} tiene varianza σP2 , y la muestra Q = {2, 4,6,8} tiene varianza σ2Q . ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa? 67. A) Las muestras tienen distinta dispersión con respecto a su promedio. B) El promedio de Q es mayor que el promedio de P. C) La varianza de Q es, numéricamente, igual a su promedio. D) La desviación estándar de P es menor que su promedio. E) Los coeficientes de variación de ambas muestras son iguales. Si X es una variable aleatoria continua que se rige por una distribución normal de media 10 y de varianza igual a 5; y Z es una variable aleatoria normal estándar, ¿cuál de las siguientes alternativas es posible usar para calcular P ( X ≥ 12) ? A) 12 − 10 1 − P Z ≤ 5 B) 12 − 10 P Z ≤ 5 C) 12 − 5 1 − P Z ≤ 10 D) 12 + 5 P Z ≥ 10 E) 12 + 10 1 − P Z ≤ 5 MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 33 68. Al considerar una población que se modela mediante una distribución normal, la cual tiene media µ y varianza 81, se comete un error igual a 1,23 al estimar tal media poblacional mediante el promedio muestral de una muestra de 144 elementos. ¿Cuál es el nivel de confianza usado en tal estimación? 69. A) 99% B) 95% C) 92,5% D) 90% E) 75% Se puede determinar cuál de las muestras, entre P y Q, tiene mayor dispersión con respecto a su promedio aritmético, si se sabe que: (1) Las desviaciones estándar numéricamente, equivalentes. de ambas muestras son, (2) El promedio aritmético de P es igual a 1 y el promedio aritmético de Q, 2. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 34 70. Informes de meteorología determinaron que la probabilidad de que no disminuya el viento mañana es del 8%. Pero la probabilidad de que llueva mañana dado que ha disminuido la velocidad del frente de mal tiempo es del 59%. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva y que la velocidad del frente de mal tiempo disminuya? A) 0,0472 B) 0,0869 C) 0,5428 D) 0,6413 E) 0,0736 71. Un dado está cargado de tal manera que es siempre el triple más probable el obtener un múltiplo de 3 que cualquier otro número en él. Si se define la variable aleatoria X de tal manera que ella estudia la probabilidad de no obtener un múltiplo de 3. ¿Cuál es la función de probabilidad que modela este experimento? k 1−k k 1−k A) 4 6 P (X = k ) = 10 10 B) 6 4 P (X = k ) = 10 10 C) 2 4 P (X = k) = 6 6 D) 4 2 P (X = k) = 6 6 E) 4 P (X = k ) = 10 k 1 −k k 1 −k k MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 35 72. Si X ~ B (2,p ) y F es su función de probabilidad acumulada, entonces, la tabla que resume la información entregada por F es A) B) C) D) E) 73. k 0 1 F (k ) (p − 1 ) k 0 F (k ) (1 − p ) k 0 F (k ) (1 − p ) 2 2 1 − p2 1 1 2 0 2 1−p 1 1 F (k ) 1 − p k p2 − 1 1 1 2 k 2 2 (1 − p ) 1 2 0 1 F (k ) 1 − p 2 2 1−p 1 si x = 2 k ( x − 1) , k Si si x = 4 f (x ) = , 2 x 0, en otro caso es una función de probabilidad asociada a una variable aleatoria discreta X. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) 16 17 Si F es la función de probabilidad acumulada, entonces F ( 4) = 1 . k = III) f (3) = 0 A) B) C) D) E) Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 36 74. Una variable aleatoria discreta X se encarga de estudiar la probabilidad de que un cierto número de alumnos rinda una prueba de nivel sin haber estudiado. La función de probabilidad g, asociada a X, se encuentra en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? k 1 3 5 7 10 12 g (k ) 0, 05 0,3 0,1 0, 05 0, 45 0, 05 I) El valor esperado de X es igual a 6,9 alumnos. II) La desviación estándar de X es igual a cero. III) La función de distribución de probabilidad acumulada G, asociada a X es k 1 3 5 7 10 G (k ) 0, 05 0,35 0, 45 0,5 0,95 A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas es verdadera MATEMÁTICA 12 1 ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 37 75. Una variable aleatoria continua X se dice que tiene distribución Triangular si su función de densidad de probabilidad es 1 2 k ( x − 1) , si 1 ≤ x < 2 1 si x = 2 k, f (x) = . 2 1 k (3 − x ) , si 2 < x ≤ 3 2 0 en otro caso ¿Cuál es el valor de k, sabiendo que es un número real positivo? A) B) C) D) E) 76. 1 2 1 2 2 3 4 Las probabilidades que tiene un alumno de aprobar los exámenes de 2 4 3 “Álgebra I”, “Cálculo I” y “Modelos Probabilísticos” son de , y 3 5 5 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de reprobar “Cálculo I” si se sabe que solo reprobó una de las tres asignaturas, asumiendo que el evento “aprobar” es dicotómico? A) B) C) D) E) 34 75 2 75 2 25 6 34 73 75 MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 38 77. Una moneda está cargada de tal manera que por cada 5 caras, se obtienen 3 sellos, si tal moneda de lanza 5 veces de manera independiente y se define la variable aleatoria X como el número de sellos que se obtienen en tales lanzamientos. ¿Cuál es la probabilidad de obtener entre 2 y 4 sellos? 2 3 2 4 A) B) 3 5 3 5 3 5 8 8 + 8 8 + 8 8 C) 3 5 8 ⋅ 8 2 3 2 3 D) E) Si 2 4 3 2 78. 3 3 5 3 5 3 5 10 + 10 + 5 8 8 8 8 8 8 3 3 2 4 5 3 5 3 5 3 10 + 10 + 10 8 8 8 8 8 8 2 3 3 2 4 3 5 3 5 3 5 1 − 10 + 10 + 5 8 8 8 8 8 8 X ~ B (2.000 ; 0, 02 ) y tal distribución se requiere aproximar mediante una distribución normal, entonces, la tipificación de la variable aleatoria Y, Normal, que induce tal distribución es A) B) C) D) E) Y − 40 0,02 ⋅ 0,98 Y − 40 2.000 ⋅ 0,02 ⋅ 0,98 Y + 40 2.000 ⋅ 0, 02 ⋅ 0, 98 Y − 40 2.000 ⋅ 0,02 ⋅ 0,98 Y − 40 2.000 ⋅ 0, 02 ⋅ 0, 98 MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 39 79. 80. Una empresa instala en una ciudad 20.000 ampolletas en el alumbrado público. La empresa a cargo de suministrar las bombillas dice que el tiempo medio de duración es de 302 días con una desviación estándar de 98 días. Asumiendo que la vida útil de las ampolletas se rige por una distribución normal, ¿cuántas, de las ampolletas instaladas se espera que duren más de 400 días? A) 16.820 B) 3.180 C) 841 D) 100 E) Falta información para responder la pregunta. Se puede determinar el número de maneras en que se pueden ordenar 90 libros, de modo que no se mezclen sus temas, si se sabe que: (1) Los libros son de 5 temas diferentes y todos los libros son distintos. (2) Se deben ordenar en una sola fila. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional MATEMÁTICA ENSAYO UST-216 Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial. 40