ENSAYO PSU
PRUEBA DE MATEMÁTICA
Forma
UST-216
INSTRUCCIONES
1.-
Esta prueba consta de 80 preguntas de las cuales 75 serán
consideradas para el cálculo del puntaje y 5 serán de pilotaje, por
tanto no se considerarán en el puntaje final de la prueba. Cada
pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una
sola de las cuales es la respuesta correcta.
2.-
Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.
3.-
Las respuestas a las preguntas se marcan en la Hoja de Respuestas que se le ha
entregado. Complete todos los datos pedidos. Se le dará tiempo para ello antes de
comenzar la prueba.
4.-
Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON
DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá
que se entreguen los resultados.
5.-
Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta
que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse
de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB.
6.-
Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas de
Suficiencia de Datos en donde se explica la forma de abordarlas. Estas preguntas
están ubicadas con el resto de las preguntas en cada eje temático.
7.-
No se descontará puntaje por preguntas erróneas.
8.-
Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar
oportunamente sus respuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarán para la
evaluación EXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja.
9.-
Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba
en ella solamente los datos pedidos y las respuestas. Evite borrar para no deteriorar
la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.
10.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas
a escala.
DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de que el presente material es propiedad
exclusiva de la Pontificia Universidad Católica de Chile y que está prohibida su
reproducción parcial o total.
.
MATEMÁTICA
.
–
FIRMA
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1
INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS
1.
2.
3.
4.
5.
A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede
consultar durante el desarrollo de los ejercicios.
Las figuras que aparecen en este ensayo son solo indicativas.
Los gráficos que se presentan en este ensayo están dibujados en
un sistema de ejes perpendiculares.
Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al
lanzarlo las caras son equiprobables de salir.
En este ensayo, las dos opciones de una moneda son equiprobables
de salir, a menos que se indique lo contrario.
g) ( x ) = f ( g ( x ) )
6.
(f
7.
Los números complejos i y −i son las soluciones de la ecuación
x2 + 1 = 0.
8.
Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y z es
su módulo.
9.
Si Z es una variable aleatoria continua, tal que Z ~ N ( 0,1) y donde
la parte sombreada de la figura representa a P ( Z ≤ z ) , entonces se
verifica que:
z
P (Z ≤ z)
0,67
0,99
1,00
1,15
1,28
1,64
1,96
2,00
2,17
2,32
2,58
0,749
0,839
0,841
0,875
0,900
0,950
0,975
0,977
0,985
0,990
0,995
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2
INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS
En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que
se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones
(1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema.
Es así, que se deberá marcar la opción:
A)
(1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es,
B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la
pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es,
C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes
para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es
suficiente,
D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para
responder la pregunta,
E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son
insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional
para llegar a la solución.
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
<
es menor que
≅
es congruente con
>
es mayor que
~
es semejante con
≤
es menor o igual a
⊥
es perpendicular a
≥
es mayor o igual a
≠
es distinto de
ángulo recto
∢
//
∈
es paralelo a
pertenece a
φ
conjunto vacío
AB trazo AB
valor absoluto de x
x
ln
logaritmo en base e
x!
factorial de x
∪
unión de conjuntos
complemento del conjunto A
∩
intersección de conjuntos
vector u
ángulo
log logaritmo en base 10
A
c
MATEMÁTICA
u
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3
1.
3 −1
+ 3
5
−2
2
22 ⋅
3
A)
B)
C)
D)
E)
2.
−1
=
1
42
7
10
14
135
5
32
21
40
Sean a =
p
p
y b=
dos números racionales no nulos, con p, q y r
r
q
números enteros distintos de cero, tales que a < b. ¿Cuál(es) de los
siguientes números racionales pertenece(n) al intervalo a,b ?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
p
, con q+1 distinto de cero.
q+1
p ( r + q)
2qr
p
, con r − 1 distinto de cero.
r −1
Solo I
Solo II
Solo III
Solo I y III
Ninguno
MATEMÁTICA
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4
3.
1 1
− ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA respecto al
3 5
valor de T?
Si T =
I)
Al aproximar T por redondeo a la milésima, se obtiene un
número mayor a T.
II)
T pertenece al conjunto de los números racionales.
III) El valor de T − 0, 03 es igual a T truncado a la décima.
4.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo I y III
I, II y III
Los
diámetros
de
aproximadamente
un
glóbulo
−4
1,5 ⋅ 10
blanco
y 7,5 ⋅ 10
−6
y
un
glóbulo
respectivamente.
rojo
son
¿Cuántas
veces es más grande es un glóbulo blanco que un glóbulo rojo?
A)
5 ⋅ 10 −2
B)
C)
5 ⋅ 10−10
2 ⋅ 10−2
D)
0,2 ⋅ 10−10
E)
2 ⋅ 101
MATEMÁTICA
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5
5.
Un triatleta de alto rendimiento, en su preparación para los Juegos
Olímpicos, tiene como meta completar un máximo de 200 minutos
1
entre las 3 pruebas. Si en natación ocupa
de los minutos y en trote
10
28
del tiempo restante. ¿Cuántos minutos le quedan para realizar la
45
etapa de bicicleta, sin pasarse de su meta?
A)
B)
C)
D)
E)
6.
132
68
Aproximadamente 124.
Aproximadamente 112.
Aproximadamente 95.
Las alternativas muestran el desarrollo, paso a paso, del ejercicio
( 4 ) : (2
−3
5
−5
: 8−4
)
2
¿En cuál de ellas se ha cometido primero un error?
(
A)
(
)
( )
B)
(2 )
C)
2−30 : 2−17
D)
E)
2−30 : 2−34
24
4−15 : 2−5 : 23
2
−15
(
: 2−5 : 2−12
(
MATEMÁTICA
)
2
−4
)
2
)
2
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6
7.
Sean p un número real, tal que −1 ≤ p ≤ 1 y K otro número real mayor
que 1. Es siempre verdadero que
8.
A)
( −pK ) ∈ ℝ −
B)
K
<K
p
C)
Kp ≤ K
D)
Si K ∈ ℕ ,
E)
K p podría ser negativo
p
K
<p
Dada la ecuación x − 10 = m2 + 3m para que la solución en x sea
siempre un número entero par, se debe cumplir que:
(1) m es par.
(2) m es entero.
A)
B)
C)
D)
E)
9.
(1) por si sola
(2) por si sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
Se requiere información adicional
Si A es divisor de 12, B es divisor de 20 y C es múltiplo de 4, ¿cuál de
las siguientes afirmaciones es FALSA?
A)
El producto entre A, B y C es siempre par.
B)
Existen valores para A y C de modo que se cumpla que
C)
D)
E)
A+C
es
10
un número entero.
A ⋅B
El valor de
es entero.
C
Si A y B son mayores que 5 entonces existen valores de C
divisores del producto entre A y B.
Si A y B son menores que 3, entonces A+B puede tomar 3
posibles valores distintos.
MATEMÁTICA
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7
10.
Sabiendo que e=2,718281… y π = 3,141592… . Si W es la aproximación
por defecto a la centésima de e y F es la aproximación por exceso a la
centésima de π , entonces se puede afirmar que
W+F e+π
=
2
2
11
=F
II) W +
25
III) F − π = 0,01
I)
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
11. (log
3
A)
B)
C)
D)
E)
12.
I
II
III
I y II
I y III
81) ⋅ log5
( 5)
4
−1
⋅ log 8 =
2
27
3
3
16
48
–3
–48
Si M = 4 A ⋅ 3 22 ⋅ 6 25 ¿cuál de las siguientes alternativas corresponde al
valor de A, de modo que M sea igual a 4?
A)
B)
C)
D)
E)
22
23
26
27
218
MATEMÁTICA
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8
13.
¿Cuál de las siguientes alternativas tiene como resultado un número
6
racional, considerando un triángulo rectángulo cuyos catetos miden
y
A)
B)
C)
D)
E)
14.
El área del triángulo, considerando un cateto como base y el otro
como altura.
El cociente entre los catetos mayor y menor.
El cuadrado de la diferencia entre los catetos del triángulo.
El cuadrado de la suma de los catetos.
La mitad de la suma de los cuadrados de los catetos.
Una hoja cuyo grosor es de 0,1 mm, se dobla en 2, luego nuevamente
en 2 y así sucesivamente. ¿Cuál es el alto total, en cm, después de
realizar 8 dobleces?
A)
B)
C)
D)
E)
15.
3?
1
1,6
8
2,56
102,4
Al reducir la expresión (log5 10 ) ⋅ (log3 125) ⋅ (log8 3) se obtiene
A)
B)
20
log2 10
C)
log4 15
D)
(log2 ) ⋅ (log8 9 )
E)
log16 138
MATEMÁTICA
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9
16.
Sea D = i32 + i16 − i−2 + ix , donde i es la unidad imaginaria, ¿cuál de las
siguientes opciones podría ser el valor de x para que D valga 2?
A)
B)
C)
D)
E)
17.
0
22
29
41
47
Dado el número complejo r = m − i , con m un número real, se puede
afirmar que el módulo es igual a la unidad si:
(1) m = 0
(2) El módulo de su conjugado es 1.
A)
B)
C)
D)
E)
18.
(1) por si sola
(2) por si sola
Ambas juntas (1) y (2)
Cada una por sí sola (1) o (2)
Se requiere información adicional
La distancia d recorrida por un móvil corresponde al producto entre el
tiempo t empleado y el promedio de su velocidad inicial v0 y su
velocidad final vf . ¿Cuál de las siguientes alternativas representa al
enunciado dado?
A)
B)
C)
D)
E)
v + vf
d = t⋅ 0
2
v − vf
d = t⋅ 0
2
t ⋅ v0 + v f
d=
2
v + vf ⋅ t
d= 0
2
d=
t ⋅ ( v0 + v f )
MATEMÁTICA
3
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10
19.
Dada la expresión algebraica 2x 4 − 16x , ¿cuál de las siguientes
expresiones es equivalente a ella?
A)
2x ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 2 )
B)
x 4 + x2 + 4 x2 − 4
C)
2x ( x − 2 ) x2 + 2x + 4
D)
4 ( x + 2) ( x − 2)
E)
20.
(
)(
(
)
)
2x ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x − 2 )
(
)
Un salón cuadrado de área x2 + 4ax + 4a2 cm2 , con a > 0 , se compara
con otro salón, de forma rectangular, cuyo largo tiene ( a + 1) cm más y
su ancho
( a − 1) cm
menos que el lado del primer salón. ¿Cómo se
puede expresar el área del segundo salón, en centímetros cuadrados?
21.
A)
x2 + 2ax + x + a + 1
B)
x2 + 3a2 + 4ax + 2x + 4a + 1
C)
x2 + 2ax − 2a − 1
D)
x2 + 3a2 + 4ax − 2a − 1
E)
x2 + 3a2 + 1
p
p
Para p ≠ 1 , el producto p +
⋅ p −
corresponde a
p − 1
p − 1
A)
0
B)
p3 (p − 2 )
C)
1
D)
p2 (p − 2 )
E)
2p
( p − 1)
2
p −1
MATEMÁTICA
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11
22.
23.
Esta tarde los alumnos de IV medio presentarán una obra de teatro en
su colegio. Para ubicar a los espectadores en el patio, que es de forma
cuadrada, están colocando todas las sillas disponibles, igualmente
espaciadas y de modo que haya el mismo número de sillas por lado,
pero al poner x sillas por lado sobran 16 de ellas; en cambio al ubicar
una silla más por lado faltan 31 de ellas. ¿Cuál es la máxima cantidad
de sillas que podrán poner en este patio con las condiciones dadas?
A)
545
B)
496
C)
576
D)
676
E)
529
Dado el sistema
2ax + 3by = p
ax − by = q
para x e y con a, b, p y q no nulos.
¿Cuál es la quinta parte de la diferencia entre los cuadrados de p y q,
en ese orden?
A)
a2x2 − b2y2
B)
a2x2 + b2y2
C)
( ax − by )
D)
( ax + by )
E)
No se puede determinar con el sistema dado.
2
2
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24.
En la prueba semestral de 50 preguntas, se obtienen 4 puntos por
cada respuesta correcta, pero se pierde 1 punto por cada respuesta
incorrecta. Si Martín obtiene 145 puntos al desarrollar la totalidad de la
prueba, ¿cuántas respuestas correctas ha tenido?
A)
B)
C)
D)
E)
25.
55
45
39
19
11
Dada la ecuación x2 − ( a + i) (b − i) x − ( a − b ) i = 0 , tal que a y b son
números reales iguales y, además, i es la unidad imaginaria. Una de
las soluciones de la ecuación, en términos de a, es
A)
B)
C)
D)
E)
26.
x
x
x
x
x
= 2a − 1
= a−1
= 2a + 1
= a+1
= a2 + 1
Siendo u y v números reales distintos de cero y n un número entero
positivo. ¿Cuál de las siguientes desigualdades es siempre positiva?
A)
u−n + v−n
B)
u + n
v
n
C)
D)
E)
u2n − v2n
u2n
v 2n + n
Ninguna de las anteriores.
MATEMÁTICA
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13
27.
Se puede establecer que la gráfica de una función f es una recta con
pendiente positiva en el primer cuadrante del plano cartesiano si se
sabe que:
(1) f establece la relación de la diagonal de un cuadrado con su
lado.
(2) El dominio y el recorrido de f son números reales positivos.
A)
B)
C)
D)
E)
28.
¿Cuántos kilogramos de chocolate de $ 3.500 el kg se deben fundir con
6 kilos de chocolate de mejor calidad que cuesta $ 5.000 el kg, para
que el precio de un kilogramo de la mezcla sea inferior a $ 4.000 ?
A)
B)
C)
D)
E)
29.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
Se requiere información adicional
Aproximadamente 8,5 kg.
Más de 8,5 kg.
Menos de 8,5 kg.
Más de 12 kg.
Menos de 12 kg.
Amanda, para determinar el dinero que recaudará cada semana por los
chalecos que vende, ha establecido un modelo lineal de cálculo. Si ella
tiene un costo fijo de $ s por la materia prima requerida y la semana
anterior por cada chaleco, de los x que vendió, pudo recaudar $ y .
¿Cuánto dinero recaudará esta semana por la venta de t chalecos?
A)
B)
C)
D)
E)
x
⋅t +s
y
t⋅x+s
y
⋅t +s
x
x⋅y −t⋅s
y−s
⋅t +s
x
MATEMÁTICA
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14
30.
Dadas la funciones f y g definidas en los números reales por las
fórmulas f ( x ) = 2x − 3 y g ( x ) = 2 − 3x , ¿cuál debe ser el valor de x
para que se cumpla la condición ( f g) ( x ) = ( g f ) ( x ) ?
A)
B)
C)
D)
E)
31.
4
9
0
9
4
2
No existe un valor de x para esta condición.
−
Para la función f ( x ) = r ( x − p ) + q , con dominio en los números reales
2
y, además, p, q, r números reales distintos de cero. Con respecto a su
gráfica, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I)
Su intersección con el eje y está a q unidades del origen del
sistema cartesiano.
II)
El eje de simetría de la parábola asociada está a p unidades
de distancia del eje y.
III) Si r > 0 entonces tiene un máximo en el punto (p, q ) .
A)
B)
C)
D)
E)
Solo II
Solo III
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
MATEMÁTICA
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15
32.
Dado el gráfico adjunto para f ( x ) es correcto afirmar para esta función
que
A)
D)
su dominio es el conjunto de los
números reales positivos.
su recorrido es el conjunto de los
números reales positivos.
1
su función inversa es f −1 ( x ) =
x
para x distinto de cero.
f (r ) < f (r + 1) para r número real no
E)
negativo.
Ninguna de las anteriores.
B)
C)
33.
c
a
x + 2 = 0,
b
b
con a, b y c números reales positivos, para que su ecuación asociada
tenga dos soluciones reales y distintas, se debe cumplir que
Dada la función definida en los números reales por x2 −
A)
B)
C)
D)
E)
34.
c2
c2
c2
b2
b2
− 4a > b2
− 4a > 0
− 4a < b2
− 4ac > 0
− 4ac < 0
Si en el conjunto de los números reales se definen las funciones
f ( x ) = x3 − u y g ( x ) = x 4 − v , con 0 < u < v , entonces ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es FALSA?
A)
B)
f ( x ) es una función creciente en todo su dominio.
La gráfica de g ( x ) es una parábola con concavidad hacia arriba.
C)
f (1) > g ( −1) .
D)
E)
Ambas funciones intersectan al eje y en un valor negativo.
Si u = v , entonces ambas funciones son iguales.
MATEMÁTICA
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16
35.
Para la función real definida por f ( x ) = xn , con número n entero
positivo mayor o igual que 2, es siempre verdadero que
I)
f (p ⋅ q) = f (p ) ⋅ f ( q) .
II)
f ( x ) es una función inyectiva.
III) f −1 ( x ) es una función.
A)
B)
C)
D)
E)
36.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
I
II
III
I y III
II y III
Se puede determinar que la función f ( x ) es inyectiva si se sabe que:
(1) f ( x ) está definida de modo tal que f : ℝ − {1} → ℝ .
(2) f ( x ) corresponde al cociente entre x y su antecesor.
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
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17
37.
¿Cuál de las siguientes alternativas representa mejor al triángulo A’B’C’
que se obtiene luego de una simetría con respecto a la recta L,
aplicada al triángulo ABC, como en la figura?
L
C
A
B
A)
B)
L
C)
L
B’
L
C’
C’
A’
A’
C’
B’
A’
B’
D)
E)
A’
B’
C’
L
L
B’
C’
MATEMÁTICA
A’
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38.
¿Cuál de los siguientes puntos corresponde al circuncentro del
triángulo de la gráfica adjunta, dado por las coordenadas de sus
vértices?
y
(7,6)
A) ( 4, 0)
B)
C)
39.
(3,2)
(3,0)
D)
3 5
2,2
E)
( 4,2)
x
(0,–1)
(8,–1)
En la figura adjunta, AB//DF , DA//CB y DF corta en E y F a los dos
lados del triángulo ABC. Si 2 ⋅ DE = EF , entonces ¿cuál de las siguientes
alternativas es FALSA?
A)
El perímetro del triángulo EFC es el doble del perímetro del
triángulo EDA.
B)
∆EDA ~ ∆ABC
C)
El segmento EA mide la mitad que el segmento EC.
D)
∆ABC ~ ∆EFC
E)
El área del triángulo EFC es
2
del área del triángulo ABC.
3
C
D
E
F
A
MATEMÁTICA
B
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19
40.
En el trapecio escaleno ABCD se trazan las rectas DF y CF, que son
paralelas a CB y AD , respectivamente, y que al mismo tiempo
intersectan en E y G a la base AB , como en la figura adjunta. Además,
AE = EF. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?
A)
∆AED ≅ ∆GBC
B)
Rombo AGCD es congruente
D
C
con el rombo BEDC.
C)
∆AED ≅ ∆GEF
D)
EG ≅ GB
E)
DC > CB
A
E
G
B
F
41.
¿Con cuál de las siguientes operaciones entre vectores es posible
obtener el vector ( −1,7) ?
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
2 ⋅ ( −2, 4) − ( −3,1)
(1, −1) − (2, −6 )
3 ⋅ (1,1) + 4 ⋅ ( −1,1)
Solo con I
Solo con III
Solo con I y con II
Solo con I y con III
Con I, con II y con III
MATEMÁTICA
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20
42.
¿Cuál de los
semejantes?
A)
siguientes
pares
de
polígonos
NO
son
siempre
Dos trapecios isósceles, en que la medida del ángulo basal de uno
de ellos es igual al ángulo basal del otro.
B)
Dos triángulos equiláteros en que la medida del lado de uno de
ellos es distinta a la medida del lado del otro.
C)
Dos cuadrados cualesquiera.
D)
Dos pentágonos regulares cualesquiera.
E)
Dos triángulos rectángulos isósceles en que la medida del cateto
de uno de ellos es distinta de la medida del cateto del otro.
43.
En un triángulo ABC se traza un segmento CD hasta el lado AB , ¿Con
cuál de las siguientes condiciones los triángulos ADC y BDC NO son
necesariamente congruentes?
C
I)
∢ACD ≅ ∢DCB y AC = 2 ⋅ DB .
II)
∢BAC ≅ ∢ABC y CD es altura.
III) ∢DAC ≅ ∢DBC y AC = CB .
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
MATEMÁTICA
con
con
con
con
con
I
II
III
I y con II
I y con III
A
D
B
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21
44.
En el paralelogramo ABCD, con AD ⊥ DB , como en la figura, se trazan
las alturas DE y BF . Si AD = 15 cm y DB = 20 cm , entonces el área del
rectángulo EBFD es
F
D
45.
C
2
A)
300 cm
B)
192 cm2
C)
150 cm2
D)
108 cm2
E)
2
96 cm
A
E
B
Dos puntos dividen interiormente a un trazo AB, P en la razón m : n y
Q en la razón n : m. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
FALSA(S)?
I) Si m < n, entonces AP < PQ.
II) Si m = n, entonces P coincide con A y Q con B.
III) Si m > n, entonces AP > PB.
A)
B)
C)
D)
E)
46.
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
II
III
I y II
I y III
II y III
En el deltoide RSTU, inscrito en la circunferencia de centro O, RT y SU
son diagonales. VT = m y RT : VT = 5 : 1 . ¿Cuánto mide la cuerda SU
en términos de m?
U
A)
m 5
B)
2m 5
C)
D)
E)
2m
3m
4m
R
V
T
O
S
MATEMÁTICA
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22
47.
En la siguiente figura, las rectas AD y BE se intersectan en C. Se puede
determinar que ∆ ABC ~ ∆ DEC si:
(1) ∢BAD ≅ ∢EDA
(2) AD y BE
E
corresponden
a
D
las
diagonales del trapecio ABDE, de
base AB .
48.
C
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
A
B
En el cuadrilátero ABCD de la figura adjunta, AD = 2 cm , CD = 6 cm y
CB = 4 cm . Si AC ⊥ CB y BC//AD , entonces AB mide
A)
4 3 cm
B)
4 cm
C)
12 cm
D)
4
cm
3
E)
56 cm
MATEMÁTICA
C
D
A
B
A
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23
49.
En la circunferencia de la figura adjunta, A, B, C, D, E y F son puntos
de ella. El arco BF mide 22º y el ángulo FEC mide 24º. Las cuerdas
AC//FE y AB//DF . La medida del ángulo DFE es
C
A) 24º
B) 46º
C) 35º
D) 48º
E) 70º
D
F
B
E
A
50.
Dada la ecuación de la recta
x y
+ = 1 , con p y q números reales
p q
distintos de cero, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
Si p = q, entonces siempre la recta tiene pendiente –1.
Si p y q son de distinto signo, entonces la recta tiene
pendiente negativa.
III) Si q es un valor constante positivo y p es negativo, entonces
a mayor valor de p, mayor pendiente tiene la recta.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo
Solo
Solo
Solo
Solo
MATEMÁTICA
I
II
III
I y II
I y III
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24
51.
¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación
3x − 5y + 1 = 0 ?
A)
B)
C)
D)
E)
52.
(2, −1)
( −2, −1)
(3, −2 )
( −3,2 )
(5, −3)
Para el sistema de ecuaciones lineales
ax + by = 0
, con a, b, d y e
dx − ey = 1
números reales positivos, es siempre verdadero que
A)
si a = d y b = −e , entonces las rectas son coincidentes.
B)
si
C)
D)
E)
53.
a
b
, entonces las rectas son paralelas.
≠
d −e
a d
si ⋅ = 1 , entonces las rectas son perpendiculares.
b e
la segunda recta corta al eje y en ( 0,1) .
independientemente de los valores de a, b, d y e, estas rectas son
secantes.
¿En cuál de los siguientes casos el par de puntos NO corresponde al
origen y el extremo, respectivamente, del vector v = ( −2,3 ) ?
A)
B)
C)
D)
E)
Origen
(5,1)
( −4, 0)
( −2,3)
( −1, 2)
(2, 0 )
MATEMÁTICA
Extremo
(3, 4)
( −6,3)
( −4, 6 )
( −1,1)
(0, 3)
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25
54.
La figura adjunta muestra un triángulo ABC y un punto O. Al triángulo
se le aplica una homotecia de centro O y razón k1 , obteniéndose el
triángulo homotético A’B’C’, y luego a éste se le aplica otra homotecia
de centro O y razón k 2 , resultando el triángulo homotético A’’B’’C’’. ¿En
cuál de las siguientes alternativas el triángulo A’’B’’C’’ es el de mayor
área?
55.
C
A)
0 < k 2 < k1 < 1
B)
−2 < k1 < k2 < 0
C)
k1 < −2 y k 2 < −2
D)
1 < k1 < 2 y 1 < k 2 < 2
E)
0 < k1 <
.O
A
B
1
y − 2 < k2 < 0
2
Si se hace girar indefinidamente un cuadrado de lado L en torno a
algún eje, entonces NO es posible obtener
A)
dos conos rectos unidos por sus bases.
B)
un cilindro recto de radio basal L.
C)
un cilindro recto de radio basal
D)
dos conos rectos unidos por sus vértices.
E)
dos cilindros de bases concéntricas, una de radio basal L+x y el
L
.
2
otro de radio basal x.
MATEMÁTICA
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26
56.
En el espacio tridimensional, los dos extremos de un diámetro del
círculo Q son ( 0,5, 4 ) y (0,3,2 ) . Si Q se traslada según el vector
(3, 0, 0 ) ,
entonces el volumen del cuerpo generado de esta manera, en
unidades cúbicas, es
57.
A)
6π
B)
12π
C)
2π
D)
6π 2
E)
2π 2
La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos
(0, 4 )
y
( −2, −6 ) , con t variando en los números reales, es
A)
x ( t ) = ( 0, 4 ) + t (1,5 )
B)
y ( t ) = ( 0, 4 ) + t ( −2, −6 )
C)
z ( t ) = ( −2, −6 ) + t ( 0, 4 )
D)
p ( t ) = (2,10 ) + t ( 0, 4 )
E)
q ( t ) = ( 0, 0 ) + t (2,10 )
MATEMÁTICA
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27
58.
Se pueden determinar las coordenadas del centro de un cubo de arista
2 unidades en el espacio tridimensional, si se sabe que:
(1) El centro del cubo está en el primer octante, a
3 unidades
de distancia del origen de coordenadas.
(2) Tres de las caras del cubo están apoyadas en los planos XY,
YZ y XZ, respectivamente.
59.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
Se tiene una población de tamaño 7. El número total de muestras, sin
orden y sin reposición, de tamaño N ≤ 7 , que se pueden extraer de tal
población es igual a
A)
7!
N!
B)
7!
(7 − N) !⋅ N!
C)
7!
(7 − N ) !
D)
7!
(N − 7 ) !
E)
( 7 − N) !
MATEMÁTICA
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28
60.
Se considera un grupo de recién nacidos a los cuales se les hizo un
seguimiento por 15 meses para estudiar a qué edad, en meses, el bebé
deja de tomar leche materna por diversos motivos. Los resultados se
encuentran en el histograma adjunto. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones no es posible realizar?
A)
La mediana del estudio se encuentra contenida en el intervalo
11,13 .
B)
Menos del 25% de los bebés fueron amamantados hasta antes de
los 11 meses de vida.
C)
La moda de los bebés está contenida en el intervalo 11,13 .
D)
Se consideraron en el estudio un total de 30 bebés.
E)
Aproximadamente el 33% de los bebés de la muestra fueron
amamantados entre 13 y 15 meses, inclusive.
Número de bebés
13 −
10 −
5−
2−
MATEMÁTICA
|
|
7
9
|
|
|
11 13 15
Meses de
lactancia
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29
61.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) posible(s) de realizar
de acuerdo al siguiente histograma de frecuencias absolutas
acumuladas u ojiva?
60 −
45 −
27 −
22 −
7−
|
|
|
|
|
5 10 15 20 25
I)
II)
Un resumen de las frecuencias absolutas es
Intervalo Frecuencia Absoluta
7
0,5
5,10
10,15
15
15,20
20,25
18
5
15
La frecuencia relativa del intervalo 5,10 es exactamente
igual a 0,36 .
III) La mediana de la muestra corresponde a la marca de clase
del intervalo 15,20 .
A)
Solo I
B)
Solo I y II
C)
Solo I y III
D)
I, II y III
E)
Ninguna de ellas es posible afirmar.
MATEMÁTICA
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30
62.
63.
¿Cuál de las siguientes encuestas NO forma una muestra de datos
cualitativos?
A)
Se le consulta a un grupo de estudiantes acerca de su director de
cine favorito.
B)
Se le consulta a un grupo de trabajadores acerca de la
radioemisora de preferencia.
C)
Se le consulta a un curso de primero básico acerca de su
caricatura favorita.
D)
Se le consulta a un grupo de médicos acerca del laboratorio de
preferencia al momento de recomendar un cierto medicamento.
E)
Se le consulta a un curso de primer año de universidad acerca de
cuántas horas a la semana, en promedio, estudian para alguno de
sus ramos.
En la muestra de x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ ... ≤ x599 ≤ x600 , que se encuentra en
orden ascendente, se afirma que
x300 ⋅ x301
.
2
x + x151
II) el primer cuartil de la muestra es 150
.
2
III) el percentil 75 podría ser igual a la mediana de la muestra.
I)
el percentil 50 de la muestra es igual a
De tales afirmaciones es (son) verdadera(s)
A)
B)
C)
D)
E)
solo
solo
solo
solo
I, II
I.
I y II.
I y III.
II y III.
y III.
MATEMÁTICA
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31
64.
Si de la población de datos P = {10,16,22} se obtienen todas las
muestras sin orden y sin reposición de 2 elementos que se pueden
extraer, entonces, con respecto a la media poblacional, ¿cuál es el
máximo error, en valor absoluto, que se podría cometer si se
considerara el promedio muestral de solo una de estas muestras?
65.
A)
0
B)
1
C)
2
D)
3
E)
16
1
Si la muestra , para n variando de 1 hasta 20 tiene desviación
n
estándar igual a σ , ¿cuál es la desviación estándar de la muestra
30
?
n
A)
σ
20
B)
30σ
C)
30 σ
D)
202 nσ
E)
σ
50n
MATEMÁTICA
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32
66.
La muestra P = {1,3,5,7} tiene varianza σP2 , y la muestra Q = {2, 4,6,8}
tiene varianza σ2Q . ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?
67.
A)
Las muestras tienen distinta dispersión con respecto a su
promedio.
B)
El promedio de Q es mayor que el promedio de P.
C)
La varianza de Q es, numéricamente, igual a su promedio.
D)
La desviación estándar de P es menor que su promedio.
E)
Los coeficientes de variación de ambas muestras son iguales.
Si X es una variable aleatoria continua que se rige por una distribución
normal de media 10 y de varianza igual a 5; y Z es una variable
aleatoria normal estándar, ¿cuál de las siguientes alternativas es
posible usar para calcular P ( X ≥ 12) ?
A)
12 − 10
1 − P Z ≤
5
B)
12 − 10
P Z ≤
5
C)
12 − 5
1 − P Z ≤
10
D)
12 + 5
P Z ≥
10
E)
12 + 10
1 − P Z ≤
5
MATEMÁTICA
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33
68.
Al considerar una población que se modela mediante una distribución
normal, la cual tiene media µ y varianza 81, se comete un error igual a
1,23 al estimar tal media poblacional mediante el promedio muestral
de una muestra de 144 elementos. ¿Cuál es el nivel de confianza usado
en tal estimación?
69.
A)
99%
B)
95%
C)
92,5%
D)
90%
E)
75%
Se puede determinar cuál de las muestras, entre P y Q, tiene mayor
dispersión con respecto a su promedio aritmético, si se sabe que:
(1) Las desviaciones estándar
numéricamente, equivalentes.
de
ambas
muestras
son,
(2) El promedio aritmético de P es igual a 1 y el promedio
aritmético de Q, 2.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
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34
70.
Informes de meteorología determinaron que la probabilidad de que no
disminuya el viento mañana es del 8%. Pero la probabilidad de que
llueva mañana dado que ha disminuido la velocidad del frente de mal
tiempo es del 59%. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva y que la
velocidad del frente de mal tiempo disminuya?
A) 0,0472
B) 0,0869
C) 0,5428
D) 0,6413
E) 0,0736
71.
Un dado está cargado de tal manera que es siempre el triple más
probable el obtener un múltiplo de 3 que cualquier otro número en él.
Si se define la variable aleatoria X de tal manera que ella estudia la
probabilidad de no obtener un múltiplo de 3. ¿Cuál es la función de
probabilidad que modela este experimento?
k
1−k
k
1−k
A)
4 6
P (X = k ) =
10 10
B)
6 4
P (X = k ) =
10 10
C)
2 4
P (X = k) =
6 6
D)
4 2
P (X = k) =
6 6
E)
4
P (X = k ) =
10
k
1 −k
k
1 −k
k
MATEMÁTICA
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35
72.
Si X ~ B (2,p ) y F es su función de probabilidad acumulada, entonces,
la tabla que resume la información entregada por F es
A)
B)
C)
D)
E)
73.
k
0
1
F (k )
(p − 1 )
k
0
F (k )
(1 − p )
k
0
F (k )
(1 − p )
2
2
1 − p2 1
1
2
0
2
1−p 1
1
F (k ) 1 − p
k
p2 − 1 1
1
2
k
2
2
(1 − p )
1
2
0
1
F (k ) 1 − p
2
2
1−p 1
si x = 2
k ( x − 1) ,
k
Si
si x = 4
f (x ) =
,
2
x
0,
en otro caso
es una función de probabilidad asociada a una variable aleatoria
discreta X. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
I)
II)
16
17
Si F es la función de probabilidad acumulada, entonces
F ( 4) = 1 .
k =
III) f (3) = 0
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
MATEMÁTICA
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36
74.
Una variable aleatoria discreta X se encarga de estudiar la probabilidad
de que un cierto número de alumnos rinda una prueba de nivel sin
haber estudiado. La función de probabilidad g, asociada a X, se
encuentra en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es (son) verdadera(s)?
k
1
3
5
7
10
12
g (k ) 0, 05 0,3 0,1 0, 05 0, 45 0, 05
I)
El valor esperado de X es igual a 6,9 alumnos.
II)
La desviación estándar de X es igual a cero.
III) La función de distribución de probabilidad acumulada G,
asociada a X es
k
1
3
5
7
10
G (k ) 0, 05 0,35 0, 45 0,5 0,95
A)
Solo I
B)
Solo I y II
C)
Solo I y III
D)
I, II y III
E)
Ninguna de ellas es verdadera
MATEMÁTICA
12
1
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37
75.
Una variable aleatoria continua X se dice que tiene distribución
Triangular si su función de densidad de probabilidad es
1
2 k ( x − 1) , si 1 ≤ x < 2
1
si x = 2
k,
f (x) =
.
2
1
k (3 − x ) , si 2 < x ≤ 3
2
0
en otro caso
¿Cuál es el valor de k, sabiendo que es un número real positivo?
A)
B)
C)
D)
E)
76.
1
2
1
2
2
3
4
Las probabilidades que tiene un alumno de aprobar los exámenes de
2 4
3
“Álgebra I”, “Cálculo I” y “Modelos Probabilísticos” son de ,
y
3 5
5
respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de reprobar “Cálculo I” si se
sabe que solo reprobó una de las tres asignaturas, asumiendo que el
evento “aprobar” es dicotómico?
A)
B)
C)
D)
E)
34
75
2
75
2
25
6
34
73
75
MATEMÁTICA
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38
77.
Una moneda está cargada de tal manera que por cada 5 caras, se
obtienen 3 sellos, si tal moneda de lanza 5 veces de manera
independiente y se define la variable aleatoria X como el número de
sellos que se obtienen en tales lanzamientos. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener entre 2 y 4 sellos?
2
3
2
4
A)
B)
3 5
3 5
3 5
8 8 + 8 8 + 8 8
C)
3 5
8 ⋅ 8
2
3
2
3
D)
E)
Si
2
4
3
2
78.
3
3 5
3 5
3 5
10 + 10 + 5
8 8
8 8
8 8
3
3
2
4
5 3
5 3
5 3
10 + 10 + 10
8 8
8 8
8 8
2
3
3
2
4
3 5
3 5
3 5
1 − 10 + 10 + 5
8 8
8 8
8 8
X ~ B (2.000 ; 0, 02 )
y tal
distribución se
requiere aproximar
mediante una distribución normal, entonces, la tipificación de la
variable aleatoria Y, Normal, que induce tal distribución es
A)
B)
C)
D)
E)
Y − 40
0,02 ⋅ 0,98
Y − 40
2.000 ⋅ 0,02 ⋅ 0,98
Y + 40
2.000 ⋅ 0, 02 ⋅ 0, 98
Y − 40
2.000 ⋅ 0,02 ⋅ 0,98
Y − 40
2.000 ⋅ 0, 02 ⋅ 0, 98
MATEMÁTICA
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39
79.
80.
Una empresa instala en una ciudad 20.000 ampolletas en el alumbrado
público. La empresa a cargo de suministrar las bombillas dice que el
tiempo medio de duración es de 302 días con una desviación estándar
de 98 días. Asumiendo que la vida útil de las ampolletas se rige por
una distribución normal, ¿cuántas, de las ampolletas instaladas se
espera que duren más de 400 días?
A)
16.820
B)
3.180
C)
841
D)
100
E)
Falta información para responder la pregunta.
Se puede determinar el número de maneras en que se pueden ordenar
90 libros, de modo que no se mezclen sus temas, si se sabe que:
(1) Los libros son de 5 temas diferentes y todos los libros son
distintos.
(2) Se deben ordenar en una sola fila.
A)
(1) por sí sola
B)
(2) por sí sola
C)
Ambas juntas, (1) y (2)
D)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
E)
Se requiere información adicional
MATEMÁTICA
ENSAYO UST-216
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