Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Creación y evolución de las teorı́as de
Kaluza–Klein
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Facultad de Ciencias, UNAM
Martes 12 de mayo de 2015
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Tópicos
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de Kaluza
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Formulación de Klein
Reducción dimensional
Formulación de Pauli
Conclusiones
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
El elemento de lı́nea es dŝ 2 = ĝµ̂ν̂ (x µ )d x̂ µ̂ d x̂ ν̂ con
µ̂, ν̂ = 0, 1, 2, 3, 4.
La condición de cilindro es ĝµ̂ν̂,4 = 0 y
I
g4µ = 2αAµ
I
g44 = 2ψ
Entonces, el tensor métrico es
gµν
ĝµ̂ν̂ =
2αAν
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
2αAµ
.
2ψ
Los sı́mbolos de Christoffel de primera especie son
2Γλ̂µ̂ν̂ = ĝλ̂ν̂,µ̂ + ĝλ̂µ̂,ν̂ − ĝµ̂ν̂,λ̂
La métrica gµ̂ν̂ se aproxima en términos de hµ̂ν̂ , de tal forma
que
gµ̂ν̂ ≈ ηµ̂ν̂ + hµ̂ν̂
con
|hµ̂ν̂ | 1.
El tensor de curvatura de Riemann–Christoffel de campo
débil es
R µ̂ ν̂ λ̂σ̂ = Γµ̂ ν̂ σ̂,λ̂ − Γµ̂ ν̂ λ̂,σ̂ .
El tensor de Ricci es
Rµ̂ν̂ = Γα̂ µ̂ν̂,α̂ − Γβ̂ µ̂β̂,ν̂ .
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Las ecuaciones de campo que describen la unificación de
Kaluza de la gravedad y el EM son
1
Gravedad :
Rµν = −κ Tµν − ηµν T
2
EM :
R4µ = −κT4µ
1
Campo escalar :
R44 = −ψ = −κ T44 − η44 T .
2
Tµν es el arreglo energı́a-momento.
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
La ecuación gravitacional se escribe en términos del tensor
de Einstein
Gµν = Rµν
1
− ηµν R = −κTµν .
2
Las componentes del tensor de Ricci son
Rµν =
1 β
hµ ,νβ + hν β ,µβ − hµν,β β − h,µν
2
Se define el tensor
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
1
h̄µν = hµν − ηµν h
2
Entonces,
Gµν = −
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
1
h̄µν,β β + ηµν h̄βγ, βγ − h̄µβ, β ν − h̄νβ, β µ .
2
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Se impone la condición armónica h̄µν ,ν = 0 y se obtienen las
ecuaciones de campo
(4) h̄µν = −2Gµν = 2κTµν
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
1
Gµ4 = Rµ4 = − (4) h̄µ4 = −κTµ4 .
2
Conclusiones
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
(4) h̄µ̂ν̂ = 2κTµ̂ν̂ .
Es posible escribir los potenciales para los tres campos
mediante Tµ̂ν̂ = ρm uµ̂ uν̂ como
2α φce
h̄µ̂ν̂
=
2α φce
h̄µν
2αAi
2αAj
2ψ
i, j = 1, 2, 3.
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Las fuentes del campo electromagnético no contienen la
densidad de carga o corriente de forma explı́cita.
Kaluza remedia este problema asumiendo que la velocidad c4
contiene la carga de la partı́cula fuente.
Pero por las ecs. de Maxwell se tiene que
ρe = 2αcc4 ρm .
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Einstein le indicó que la velocidad c4 para los electrones
calculada desde esta relación es superlumı́nica (c4 ∼ 1021 c).
La ecuación para el campo escalar es
(4) ψ =
κc 2
ρm .
2
Conclusiones
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Para derivar la ecuación de movimiento, Kaluza generalizó la
ecuación geodésica
du σ
+ Γσ µ̂ν̂ u µ̂ u ν̂ = 0
ds
du σ
+ Γσ µν u µ u ν + 2Γσ µ4 c4 u µ + Γσ 44 c42 = 0.
⇒
ds
Entonces,
du σ
+ Γσ µν u µ u ν + 2αFµσ c4 u µ + ψ,σ c42 = 0.
ds
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Tópicos
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de Kaluza
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Formulación de Klein
Reducción dimensional
Formulación de Pauli
Conclusiones
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Klein empieza con el elemento de lı́nea
dσ 2 = γµ̂ν̂ dx µ̂ dx ν̂ .
Las transformaciones de coordenadas están restringidas a
0 0 0 0
µ
x = ϕµ x 0 , x 1 , x 2 , x 3
0 0 0 0
0
x 4 = x 4 + ϕ0 x 0 , x 1 , x 2 , x 3 .
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
El elemento de lı́nea ds 2 = gµν dx µ dx ν , en RG, entre dos
eventos x y x + dx puede dividirse en componentes
separadas, ds 2 = g44 dλ2 + dl 2 , donde
gi4 i
dx
dλ = dx +
g44
gi4 gj4
2
dl = gij −
dx i dx j .
g44
4
Análogamente, Klein utiliza dσ 2 = γ44 dθ2 + ds 2 . Entonces
γ4µ µ
dθ = dx 4 +
dx
γ44
γ4µ γ4ν
ds 2 = γµν −
dx µ dx ν .
γ44
son invariantes, por lo que dσ 2 también lo es.
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Klein supone que γ44 = φ2K y γ4µ = κφ2K Aµ por lo que
gµν + κ2 φ2K Aµ Aν κφ2K Aµ
γµ̂ν̂ =
.
κφ2K Aν
φ2K
Las ecuaciones de campo son obtenidas por variaciones de la
acción
Z
√
S = d 5 x γR(5) .
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Las ecuaciones para Rµν son
κ2 φ2K µν
1 1
T(EM) −
∇µ (∂ν φK ) − gµν (4) φK .
R µν − g µν R =
2
2
φK
El tensor energı́a-momento electromagnético se extiende
directamente de la RG
1
1 µν
µν
µλ ν
λσ
T(EM) =
F F λ − g Fλσ F
.
µ0
4
En la teorı́a de Klein las ecuaciones para los campos
electromagnético y escalar están mezcladas
1 ∂φK
Fµν
φK ∂x µ
κ2 φ3K
(4) φK =
Fµν F µν .
4
∇µ Fµν = −3
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Si el campo escalar se fija φK = 1, se obtienen las siguientes
ecuaciones
Gµν
8πG (EM)
= 4 Tµν
c
∇µ Fµν = 0.
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Klein asumió que una topologı́a circular para la quinta
dimensión por lo que f (r , t, x4 ) es periódica
f (r , t, x4 ) = f (r , t, x4 + 2πL).
Por lo tanto, todos los campos se pueden expandir en series
de Fourier
gµν (r , t, x4 ) =
Aµ (r , t, x4 ) =
∞
X
−∞
∞
X
(n)
gµν
(r )e
φK (r , t, x4 ) =
−∞
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
inx4
L
Conclusiones
A(n)
µ (r )e
inx4
L
−∞
∞
X
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
(n)
φK (r )e
inx4
L
.
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
(n)
(n)
(n)
Los términos gµν , Aµ y φK satisfacen
n2 (n)
+ 2 gµν
=0
L
n2 (n)
(5) A(n)
µ + 2 Aµ = 0
L
n2 (n)
(n)
(5) φK + 2 φK = 0.
L
(n)
(5) gµν
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Tópicos
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de Kaluza
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Formulación de Klein
Reducción dimensional
Formulación de Pauli
Conclusiones
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Se considera un espacio (4 + n)-dimensional con
coordenadas xA = (xµ , ya ) donde las transformaciones son
y a → Rba (xµ )y b
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
a, b = 1, 2, . . . , n.
El transporte paralelo de un vector v es
∇µ v α = ∂µ v α + (Γ̂αµβ )|y =0 v β + (Γ̂αµb )|y =0 v b
∇µ v a = ∂µ v a + (Γ̂aµb )|y =0 v b + (Γ̂aµβ )|y =0 v β .
Pauli impone la siguiente condición:
(∂µ gνa )|y =0 = (∂µ gµ ν)|y =0 = 0
⇔ (Γ̂aµb )|y =0 = (Γ̂aµν )|y =0 = 0
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Por lo que para los vectores en el espacio fibrado se tiene
a
Dµ v a = v,µ
+ Aaµb v b
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Aaµb = (Γ̂aµb )|y =0 .
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Aµ se transforma como
c
Aaµb → Rca Rbd Acµd + Rac Rb,µ
va
La variación infinitesimal del vector
a través del
transporte paralelo sobre una curva cerrada es
a
δv a = Rbµν
dx µ dx ν v b
a
donde Rbµν
= (Aν,µ − Aµ,ν )ab + Aaµc Acνb − Aaνc Acµb es el
a
tensor de Riemann. Si Rbµν
= 0 localmente, entoces Aµ se
puede hacer idénticamente cero por medio de una
transformación de coordenadas.
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Tópicos
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de Kaluza
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Formulación de Klein
Reducción dimensional
Formulación de Pauli
Conclusiones
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Pauli definió el espacio como 6-dimensional, el cual se puede
dividir en el espacio-tiempo usual y un espacio 2-dimensional
esférico. Las coordenadas cumplen
y
0µ̂
=
yν̂µ̂ (x µ )y ν̂ .
Pauli impuso que los vectores yµ̂ cumplieran
gµ̂ν̂ yµ̂ yν̂ = 1;
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
entonces las reglas de transformación son
∂y ν̂
vν̂
∂y 0ν̂
∂y ν̂
vµ0 = vµ + µ vν̂ .
∂x
vµ̂0 =
El tensor métrico deberá transformarse como
0
gµ̂ν̂
=
0
gµ̂ν
=
0
gµν
∂y λ̂ ∂y σ̂
g
∂y 0ν̂ ∂y 0ν̂ λ̂σ̂
∂y λ̂
∂y 0ν
= gµν
(gλ̂ν +
∂y σ̂
∂x ν
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
gλ̂σ̂ )
∂y λ̂
∂y λ̂
∂y λ̂ ∂y σ̂
+ µ gλ̂ν + ν gλ̂µ + µ ν gλ̂σ̂ .
∂x
∂x
∂x ∂x
Para eliminar la dependencia de las coordenadas
espacio-temporales, propuso
vµ = vµ − gµν̂ vν̂
v ν̂ = v µ̂ − gµν̂ v µ
λ̂
gµ̂ν̂ g λ̂ν̂ = δµ̂ .
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Ahora los vectores se transforman como
vµ0 = vµ ,
v 0µ̂ =
∂y 0µ̂ ν̂
v .
∂y ν̂
Pauli definió las matrices de Dirac como
1
{γµ , γν } =
2
1
{γµ , γν̂ } =
2
1
{γµ̂ , γν̂ } =
2
1
(γµ γν + γν γµ ) = gµν
2
1
(γµ γν̂ + γν̂ γµ ) = gµν̂
2
1
(γµ̂ γν̂ + γµ̂ γµ̂ ) = gµ̂ν̂ .
2
Y, análogamente a la definición de los ı́ndices subrayados, se
tiene
µ̂
γµ = γµ − gλ γλ̂ = gµ γ µ̂
γ ν̂ = γ ν̂ − gσ γ σ = g ν̂ β̂ γβ̂
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
La extensión directa de la ecuación de Dirac es
Formulación de
Kaluza
∂ψ
γ ψ;µ + γ
+ Mψ = 0
∂y ν̂
µ
ν̂
ν̂
(x)y λ̂ )ψ,ν̂
λ̂,µ
⇒ γ µ ψ;µ + (γ ν̂ − γ µ f
Formulación de
Klein
+ Mψ = 0.
Finalmente exhibe que la condición necesaria, y suficiente,
para que gµ̂ν se anule sobre todo el espacio es
α̂
y β̂
β̂µν
α̂
Fµν
:= f
α̂
β̂
α̂
β̂
α̂
α̂
− gµ,ν
+ gµ,β gν − gν,β gµ
:= gν,µ
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Tópicos
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
Formulación de Kaluza
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Formulación de Klein
Reducción dimensional
Formulación de Pauli
Conclusiones
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Conclusiones
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
I
I
I
A pesar de las estrictas suposiciones que se presentan
en la formulación original de Kaluza, aunado al
inevitable fracaso de la misma, inspiró el desarrollo de
posteriores teorı́as unificadoras.
Klein introdujo un modelo con mayor rigor matemático,
razón por la cual es la predilecta en el sentido práctico
actualmente. Sin embargo, se contradice con la
evidencia experimental, ya que la interacción entre los
campos electromagnético y gravitacional es
prácticamente nula.
La teorı́a de Pauli es la de mayor elegancia matemática,
la más aproximada a la realidad fı́sica (entre las tres).
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
Referencias
Creación y
evolución de las
teorı́as de
Kaluza–Klein
Michelle Lagunas
Antonio Rivera
O’Raifeartaigh, L. (1997). The dawning of gauge theory.
Princeton University Press, pp. 166-181.
Sewards, T. V. (2008). A sectorial approach to
Kaluza-Klein theory. arXiv preprint arXiv:0809.1600.
Williams, L. L. (2009). The Nature of the Fifth Dimension
in Classical Relativity. In Space, Propulsion & Energy
Sciences International Forum, Vol. 1103, p. 243. Amer
Inst of Physics.
Thiry, Y. (1948). Géométrie. - Les équations de la théorie
unitaire de Kaluza. Comptes rendus hebdomadaires des
séances de l’Académie des Sciences. 226(3), pp.
216-218.
Formulación de
Kaluza
Formulación de
Klein
Reducción
dimensional
Formulación de
Pauli
Conclusiones
