II-Geom-5TO Grado 1RA

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO II-Geom-5TO Grado 1RA
POLIGONOS
LINEA POLIGONAL
Es una línea formada por segmentos de
recta. Tenemos:
Abiertas
Cerradas
Las líneas poligonales cerradas reciben el
nombre de POLÍGONOS.
Lados
consecutivos
Ángulo
Región
Interior
Región
Exterior
Lado
La unión de un polígono y su región
interior recibe el nombre de Región
Poligonal.
ELEMENTOS
Lados. Son cada uno de los segmentos
que forman la línea poligonal.
Vértices. Son cada uno de los puntos
donde se unen los lados.
Ángulos. Son los ángulos interiores que
forman los lados de dicho polígono.
Además hay ángulos exteriores, el cual
forma un lado con la proyección de la
otro lado.
Diagonales ( D ). Es el segmento que
une dos vértices no consecutivos del
polígono.
Perímetro ( P ). Es la medida del borde
o contorno. Se calcula sumando las
longitudes de todos sus lados.
Apotema ( ap ). Es el segmento que va
desde el centro del polígono al punto
medio de los lados del polígono.
B
Vértice 
Definición.- Es la figura geométrica que
se forma al unir tres o más puntos no
colineales con segmentos de recta, de tal
manera que limiten una sola región a la
cual se le denomina región interior.
A
O

B
F
C
F
E
C
A
D
E
M
D
Lados: AB, BC, CD, DE y AE
Observaciones:
Un polígono determina en el plano una
región interior y una región exterior.
El polígono es la frontera entre la
región interior y exterior.
-1-
Vértices: A, B, C, D y E
Ángulos interiores:  A,  B,  C,....
Ángulo exterior:  AEF
Apotema: OM

Perímetro:
mAB  mBC  mCD  mDE  mAE  P
  180 º
Notación: Polígono ABCDE
SEXTO GRADO
CLASIFICACIÓN
I. Según número de lados.
# de lados
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20
III. Por la medidas de sus Elementos
(lados y ángulos).
A. Polígono Equiángulo.
Es aquel polígono cuyos ángulos
internos son de igual medida; dicho
polígono siempre es convexo. Además
sus ángulos externos son de igual
medida.
C
B 
  

 D
A 


 
F  E
Nombre
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono o Exágono
Heptágono o Eptágono
Octágono u Octógono
Nonágono o Eneágono
Decágono
Endecágono
Dodecágono
Pentadecágono
Icoságono
II. Por la región que limitan
A. Polígono Convexo.
Es cuando una recta secante lo corta
como máximo en dos puntos. Además, las
medidas de los ángulos interiores son
menores a 180º.
1
2
5
4
3
 : medida de sus ángulos interiores.
 : medida de sus ángulos exteriores.
ABCDEF polígono equiángulo
B. Polígono Equilátero.
Es aquel polígono cuyos lados son de
igual longitud; dicho polígono puede
ser convexo o no convexo.
B
a
a
C
A
1;  2 ;  3 ;  4 ;  5  180 º
a
a
B. Polígono No Convexo o Cóncavo.
Es cuando una recta secante lo corta en
más en dos puntos. O por lo menos, la
medida de uno o más ángulos interiores es
mayor a 180º.
a
D
E
Polígono Convexo
N
m
m
-2-
M
T
L
m
m
m
Q
 Número de diagonales totales en un
polígono ( D ).
Polígono Cóncavo
y MNLTQ son polígonos
ABCDE
equiláteros.
C. Polígono Regular.
Es aquel polígono
equilátero a la vez.
B
a
Polígono equiángulo de n lados:
- Medida de un ángulo interior
a


a
 D
 a
a 
E



ABCDEF polígono regular
nn  3 
2
 Para Polígonos Equiángulos

A 
F
y
C
a

equiángulo
D
180 º n  2
n
- Medida de un ángulo exterior

D. Polígono Irregular.
No es regular.
G
F


E
I


H
360 º
n
(También para un polígono regular)

PROPIEDADES
 En todo polígono de n lados
N°Vértices=N°Lados=N°de  internos= n
 Suma de medidas de los ángulos
internos ( S i )
TEOREMAS
1.
x  aº bº c º
bº
Si  180 º n  2
 cualquier polígono
aº
cº
x
 Suma de medidas de los ángulos
externos ( S e )
2.
S e  360 º
(Sólo para polígonos convexos)
-3-
Aº


x
x

Bº

A º Bº
2
3.
x
x
5.
aº bº
2
ab mn
m
b
a
bº
aº
 
4.
6.


n
 
x  y  180º
x
a
y
b
  ab
TALLER # 01
A. Completa esta tabla.
# de lados
# de
vértices
# de
ángulos
¿Es
convexo?
¿Es
cóncavo?
Nombre
que recibe
según el #
de lados
02. Recorta 6 triángulos equiláteros y coloca uno al lado del otro alrededor de un
punto. ¿Qué figura resulta?
-4-
03. Completa esta tabla.
Polígonos
# de Lados
# de Vértices
# de Ángulos
# de
Diagonales
que parten del
vértice A
A
A
A
A
A
A
04. Construye polígonos regulares con los triángulos isósceles siguientes y escribe sus
nombres:
Con 12 triángulos iguales
Con 3 triángulos iguales
120
30
05. Escribe el nombre de cada polígono según su número de lados y contesta si es
cóncavo o convexo.
-5-
06. Traza todas las diagonales en cad uno de los siguientes polígonos:
07. ¿Qué relación tiene el número de lados, vértices y ángulos de un polígono?
Grafica y fundamenta tu respuesta.
………………………………………………………
………………………………………………………
……………………………………………………....
08. Completa los datos en el cuadro:
Polígono
Regular
Cuadrilátero
Pentagono
Hexágono
Heptagono
Medida de
un lado
2,5 cm.
10 cm.
8 cm.
6 cm.
Perímetro
¿Qué procedimiento seguirás para calcular el perímetro de un poligono regular de 8;
9; 10; 11 ó 12 lados si la medida del lado de cada uno es 5cm?
09. Completa los datos en el cuadro:
Polígono
Regular
Cuadrilátero
Icoságono
Pentadecagono
Medida de
un lado
Perímetro
13 cm.
60 cm.
130 cm.
540 cm.
5 cm.
10. Si un cuadrado le recortamos las cuatro puntas, ¿qué polígonos se pueden
obtener? Repite el procedimiento con un triángulo y con un pentágono.
-6-
PROBLEMAS
01. Se tiene un poligono de 7 vértices.
¿Cuánto es la suma de sus ángulos
interiores?
Rpta: .................
02. Si un polígono tiene 14 lados. ¿A
qué es igual la suma de sus ángulos
interiores?
Rpta: .................
07. Si un poligono tiene 27 diagonales,
¿cuántos lados tiene?
Rpta: .................
08. En un polígono equiángulo de 12
ángulos. Halle un ángulo interior.
Rpta: .................
Rpta: .................
03. Encuentre el número de lados de un
polígono, si la suma de las medidas
de sus ángulos interiores es 1 080°.
09. ¿Cuánto mide un ángulo interior de
un dodecágono regular?
Rpta: .................
Rpta: .................
04.
¿Cuántas diagonales
icosagono?
tiene
un
11. Encuentra la suma de las medidas de
los ángulos interiores del polígono
de la figura.
Rpta: .................
05. En la figura, encuentra el valor de
“  ”.

3
2

Rpta: .................
2
Rpta: .................
12. ¿Cuántas
nonágono?
06. En la figura, encuentra el valor de
“x”.
diagonales
tiene
Rpta: .................
x
TAREA DOMICILIRIA
160 
4x
3x
5x
170 
-7-
el
01. Se tiene un poligono de 10 vértices.
¿Cuánto es la suma de sus ángulos
interiores?
Rpta: .................
Rpta: .................
08. En un polígono equiángulo de 12
ángulos. Halle un ángulo interior.
02. Si un polígono tiene 20 lados. ¿A
qué es igual la suma de sus ángulos
interiores?
Rpta: .................
03. Encuentre el número de lados y
como se llama dicho polígono, si la
suma de las medidas de sus ángulos
interiores es 2340°.
Rpta: .................
04.
¿Cuántas diagonales
decagóno?
tiene
Rpta: .................
09. ¿Cuánto mide un ángulo interior de
un tetradecágono regular?
Rpta: .................
11. Encuentra la suma de las medidas de
los ángulos interiores del polígono
de la figura.
un
Rpta: .................
05. En la figura, encuentra el valor de
“  ”.
2
8
3
Rpta: .................
12. ¿Cuántas
heptágono?
2
diagonales
3
13. Halle el valor de 
06. En la figura, encuentra el valor de
“x”.
4x
6x
2x
el
Rpta: .................
Rpta: .................
3x
tiene
a
a
60
2
5x
Rpta: .................
20
Rpta: .................
14. Halle el valor de “x”
80    
07. Si un poligono tiene 170 diagonales,
¿cuántos lados tiene y como se
llama dicho poligono?

-8-
x

-9-