Subido por Bolivar Alarcon Chacano

7.1. FENOMENOS DE ELECTRIZACION

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7
CAMPO ELÉCTRICO
7.1. FENÓMENOS DE ELECTRIZACIÓN
1. Un péndulo electrostático es un dispositivo formado por una esfera ligera, de
material aislante, suspendida de un hilo de masa despreciable. Utilizando ese
dispositivo, explica los siguientes fenómenos:
a) Si acercamos al péndulo una barra de ámbar, de plástico o de ebonita frotada previamente con lana, se atraen, pero, si entran en contacto, se repelen.
b) Si repetimos la experiencia con una barra de vidrio que hemos frotado con
una tela de seda, se produce de nuevo el mismo fenómeno.
c) Si, previamente frotadas, aproximamos simultáneamente la barra de ámbar y la barra de vidrio al péndulo, sin que las dos barras estén en contacto, sobre el péndulo no se produce ningún efecto.
d) Al acercar dos péndulos que han estado en contacto con sendas barras de
ámbar o de vidrio frotadas, se repelen. Pero si uno de los péndulos ha estado en contacto con una barra de vidrio y el otro con una barra de ámbar,
ambas frotadas, al acercarlos se atraen.
Para interpretar los fenómenos que describe el enunciado, hemos de suponer que, al
frotarlas, las barras adquieren una propiedad a la que denominamos carga eléctrica.
Teniendo esto en cuenta:
a) La carga que adquiera la barra de ámbar, plástico o ebonita es negativa; al acercarla al péndulo atrae electrostáticamente las cargas positivas inducidas en este (cuerpo inicialmente neutro a nivel electrostático). Cuando se tocan la barra y el péndulo, se transfieren electrones a este último, que ya no será neutro. Se produce
entonces una repulsión electrostática.
b) La carga que adquiere el vidrio es positiva. La atracción se produce en este caso
entre ella y la carga negativa que induce en el péndulo, y la repulsión, entre cargas
positivas después de entrar en contacto la barra y el péndulo.
c) Ello es debido a la existencia de dos tipos opuestos de carga: negativa, la que adquiere el ámbar, y positiva, la que adquiere el vidrio tras frotarlos.
d) Este fenómeno confirma la existencia de dos tipos opuestos de carga. En el primer
caso, se repelen, ya que a ambos péndulos se les ha transferido el mismo tipo de
carga (negativa el ámbar, y positiva, el vidrio); en el segundo caso, el vidrio transfiere a un péndulo carga positiva y el ámbar, al otro, carga negativa, por lo que se
atraen electrostáticamente.
7.2. LEY DE COULOMB
1. La distancia que separa entre sí los dos protones de un núcleo de helio es del
orden de 1 fm (10−15 m):
Unidad 7. Campo eléctrico
1
a) Calcula el módulo de la fuerza que ejerce cada uno de los protones sobre el
otro.
b) Esta fuerza, ¿es de atracción o de repulsión?
Dato: qp = 1,6 · 10−19 C
a) El módulo de la fuerza que ejercen entre sí dos cargas eléctricas viene dado por:
F =K⋅
−19
⋅ 1, 6 ⋅ 10 −19
Q⋅q
9 1, 6 ⋅ 10
= 230, 4 N
=
⋅
⋅
9
10
(1 ⋅ 10 −15 ) 2
r2
b) La fuerza es de repulsión, dado que las cargas son del mismo signo, positivo.
2. ¿Cómo podemos justificar la estabilidad nuclear de un átomo que tenga más
de un protón en el núcleo?
La estabilidad nuclear es producida por la fuerza nuclear fuerte, que mantiene unidos
entre sí los nucleones, a pesar de la repulsión electrostática. Estudiamos esta interacción en la última parte del libro, en la unidad de física atómica y nuclear.
Si mantenemos constantes las demás variables (tipo de partículas, carga, masa y distancia a que se encuentran), la intensidad de la fuerza nuclear fuerte que actúa entre dos partículas es más de cien veces superior a la intensidad de la fuerza electrostática.
7.3. INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO
1. Calcula la intensidad del campo eléctrico que crea en el origen del sistema de
referencia un dipolo formado por dos cargas, de +1 mC y −1 mC, situadas en
−1,0) m, respectivamente.
(1,0) m y (−
Si colocamos en el origen del sistema de referencia una carga de 5 mC, ¿a qué
fuerza eléctrica estará sometida?
La representación esquemática de la situación física que plantea el enunciado de la
actividad es la siguiente:
y (m)
q1 = –1mC
(–1, 0)
u2
u1
q 2 = 1mC
(1, 0) x (m)
En primer lugar, calculamos los vectores unitarios que unen las cargas con el origen
del sistema de referencia:
r
r
u1 = 1 ⋅ i
r
r
u2 = −1 ⋅ i
Unidad 7. Campo eléctrico
2
La intensidad del campo eléctrico es una magnitud aditiva, por lo que, aplicando el
principio de superposición en el origen del sistema de referencia, tendremos:
r
ET =
q
2
r
q
r 
2

∑ = k ⋅  r 21 ⋅ u1 + r 22 ⋅ u2 

i=1
1
=
r
r
 −1 ⋅ 10 −3 r 1 ⋅ 10 −3

= 9 ⋅ 10 9 ⋅ 
⋅i +
⋅ −1 ⋅ i = −18 ⋅ 10 6 ⋅ i N ⋅ C−1
2
 12

1
La fuerza eléctrica a que estará sometida una carga de 5 mC situada en el origen del
sistema de referencia será:
r
r
r
r
r
F = q ⋅ E → F = 5 ⋅ 10 −3 ⋅ 18 ⋅ 10 6 ⋅ ( −i ) = −9 ⋅ 10 4 ⋅ i N
(
)
2. Calcula el lugar geométrico de los puntos del plano XOY en los que se anula el
−1,0) m.
campo eléctrico que crean dos cargas iguales situadas en (1,0) m y (−
Para resolver la actividad, ¿necesitas conocer el valor de las cargas? ¿Y el medio en que se encuentran? ¿Por qué?
La posición de las cargas es la misma que la representada en la actividad anterior, pero en este caso las dos cargas tienen idéntico valor y signo.
El campo eléctrico creado en cada punto por las dos cargas es la suma de los campos
creados por cada una de ellas en ese punto, por lo que podemos aplicar el principio
de superposición para calcular la intensidad del campo eléctrico en cualquier punto:
r
ET =
2
r
∑ Ei
i=1
 1 r
Q r
1 r 
Q r 
= K ⋅  2 ⋅ u1 + 2 ⋅ u2  = K ⋅ Q ⋅  2 ⋅ u1 + 2 ⋅ u2 
r
r
r
r


 1
 1
2
2
donde hemos tenido en cuenta que las dos cargas son iguales.
Por tanto, en los puntos en que se anula el campo eléctrico tenemos:
ET = 0 →
1 r
1 r
⋅u +
⋅u = 0
r12 1 r22 2
Es fácil comprobar que el único punto para el que se cumple esta relación es el punto
medio entre las dos cargas, que en este caso es el origen de coordenadas, para el cual:
r1 = r2
r
r
u1 = –u2
No es necesario conocer el valor de las cargas ni el medio en que se encuentran,
puesto que, como vimos en la actividad anterior, estos dos valores afectan proporcionalmente al campo eléctrico creado por las dos cargas.
7.4. POTENCIAL ELÉCTRICO
1. Explica el concepto de potencial eléctrico. ¿Qué potencial eléctrico crea una
carga puntual? Dibuja en un sistema de coordenadas, de forma aproximada,
cómo varía el potencial con la distancia a la carga. Dibuja sus superficies equipotenciales.
Unidad 7. Campo eléctrico
3
El potencial eléctrico de un punto situado en el seno de un campo eléctrico es la
energía potencial que posee la unidad de carga positiva en el punto:
q
V = K · r
A diferencia del campo eléctrico o la fuerza eléctrica, el potencial eléctrico es una
magnitud escalar; su signo es el mismo que el de la carga que crea el campo.
La representación gráfica aproximada de la variación del potencial eléctrico con la
distancia a la carga puntual que crea el campo es la que se muestra a continuación:
V
r
En este caso, hemos considerado que la carga puntual que crea el campo es positiva. Observa que el potencial eléctrico se anula a una distancia infinita de la carga que lo crea.
Las superficies equipotenciales (líneas grises discontinuas) asociadas a una carga
puntual positiva son las que se muestran en la siguiente ilustración:
+
2. Sean dos cargas puntuales a las que se mantiene en reposo y separadas cierta
distancia. Si el potencial en los puntos del espacio que equidistan de las dos
cargas es nulo, ¿qué se puede afirmar acerca de las cargas?
El potencial eléctrico que crea una carga puntual Q en un punto situado en el seno
de un campo eléctrico a una distancia r es:
K·Q
V = r
De acuerdo con el principio de superposición, el potencial creado por ambas cargas
es:
K · Q1 K · Q2
V = V1 + V2 = + r1
r2
Unidad 7. Campo eléctrico
4
Si imponemos la condición que indica el enunciado del problema, se obtiene:
Q1
Q2
r1 = r2 = r → V = K · + K · = 0 → Q1 = −Q2
r1
r2
Por tanto, las dos cargas, iguales en valor y de signo opuesto, separadas una cierta
distancia, forman un dipolo eléctrico.
7.5. TEOREMA DE GAUSS
1. Dado un campo vectorial definido en cada punto por el vector:
r
r
ur
A=K⋅ 3
r
en el que K es una constante:
a) Calcula el flujo de dicho campo a través de una superficie esférica centrada
en el origen de coordenadas, de radio 3 cm.
b) Resuelve de nuevo el apartado anterior suponiendo ahora que el radio de
la esfera es de 4 centímetros.
c) ¿Se crean, o desaparecen líneas de campo entre ambas esferas? Ten en
cuenta los resultados obtenidos en los dos apartados anteriores antes de
responder.
d) ¿Es conservativo el campo de fuerzas derivado de dicho campo vectorial?
a) Para calcular el flujo, utilizamos la expresión:
r r
φ = A ⋅ dS
∫
El vector superficie tiene dirección radial, al igual que el vector campo; es decir,
ambos vectores son paralelos. Por tanto:
r r
d φ = A ⋅ dS = A ⋅ dS ⋅ cos 0º = A ⋅ dS →
r r
→ φ = ∫ A ⋅ dS = A ⋅ ∫ dS = A ⋅ S = A ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 =
=
4⋅π⋅K
K
⋅ 4⋅ π ⋅r2 =
r
r3
Para r = 3 obtenemos:
φ=
4
⋅ π ⋅ K Wb
3
b) Del mismo modo, para r = 4:
φ = π · K Wb
c) En los apartados anteriores se ha obtenido un valor para el flujo que disminuye
con la distancia. Teniendo en cuenta que el flujo es proporcional a las líneas de
fuerza del campo que atraviesan la superficie, en este caso desaparecen líneas
de fuerza al pasar de la primera a la segunda esfera.
Unidad 7. Campo eléctrico
5
d) El resultado obtenido en el apartado anterior nos permite afirmar que el campo de
fuerzas no es conservativo.
7.6. APLICACIONES DEL TEOREMA DE GAUSS
1. Calcula, aplicando el teorema de Gauss, el valor de la intensidad que corresponde a los siguientes campos:
a) Campo gravitatorio creado por una esfera maciza y homogénea, de radio R
y masa M, en puntos situados en su interior.
b) Campo eléctrico creado por una carga esférica homogénea, de carga Q y
radio R, en puntos situados en su interior.
c) Campo eléctrico que crea la carga anterior en puntos situados en su exterior.
a) El teorema de Gauss se puede aplicar al cálculo del campo eléctrico y del gravitatorio. De acuerdo con este teorema, en un campo vectorial conservativo, como el
campo gravitatorio, el flujo que atraviesa una superficie cerrada es constante:
∫
Φg =
r r
g ⋅ dS = cte
sup. cerrada
Los puntos situados en el interior de la esfera cumplen la relación: r < R.
El campo gravitatorio que crea una esfera de radio R es conocido. Por tanto, podemos calcular el valor de la constante que aparece en la expresión anterior:
Φg =
∫
r r
g ⋅ dS = g
esfera
∫
dS = −G ⋅
esfera
M r
r
⋅ u ⋅ 4 ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ u R = −4 ⋅ π ⋅ G ⋅ M
R2 r
El campo gravitatorio creado en puntos situados en el interior de la esfera será,
entonces:
Φg =
∫
esfera
r r
g ⋅ dS =
∫
g ⋅ dS ⋅ cos 180° = −
esfera
∫
g ⋅ dS
esfera
Φ g = cte = −4 ⋅ π ⋅ G ⋅ M int = −
∫
g ⋅ ds = − g ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2
esfera
g =G⋅
M int
; r<R
r2
En forma vectorial:
M
r
r
g = −G ⋅ 2int ⋅ ur ; r < R
r
b) La carga se reparte por la superficie; al ser nula la carga encerrada, el campo eléctrico en el interior, de acuerdo con el teorema de Gauss, es nulo.
c) En el exterior de la carga, r > R. Por tanto, aplicando el teorema de Gauss, se obtiene:
Unidad 7. Campo eléctrico
6
ΦE =
Q
=
ε
∫
r r
E ⋅ dS =
esfera
= E ⋅ 4⋅ π ⋅r2 =
∫
E ⋅ dS ⋅ cos 0° =
esfera
∫
E ⋅ dS = E ⋅
esfera
∫
dS =
esfera
Q
Q
→E=
; r>R
ε
4⋅ π ⋅ε ⋅r2
ACTIVIDADES DE LA UNIDAD
CUESTIONES
1. Explica el concepto de campo eléctrico creado por una o por varias partículas cargadas.
Se denomina campo eléctrico a cualquier región del espacio en la que una carga
r
eléctrica está sometida a una fuerza eléctrica. La intensidad de campo eléctrico, E , en
un punto es la relación que existe entre la fuerza que el campo ejerce sobre una carga situada en dicho punto y dicha carga:
r
r F
E=
q
Para calcular la intensidad del campo eléctrico creado por varias cargas puntuales,
podemos hacer uso del principio de superposición:
r
E=
n
r
∑ Ei
i=1
2. ¿Qué es una línea de fuerza de un campo eléctrico?
Las líneas rde fuerza de un campo eléctrico son aquellas en las que el vector campo
eléctrico, E , es tangente a ellas en cada punto del campo.
3. Dibuja las líneas de fuerza correspondientes a un campo eléctrico creado por
dos cargas: una, Q1, positiva, y la otra, Q2, negativa, separadas una cierta distancia.
Las líneas de fuerza que solicita el enunciado de la cuestión son las que se muestran
en la siguiente ilustración:
–
Unidad 7. Campo eléctrico
+
7
4. Enuncia el teorema de Gauss. Utilizando este teorema, comprueba que una
esfera cargada eléctricamente se comporta en su exterior como una carga
puntual situada en su centro.
El teorema de Gauss establece que en un campo vectorial conservativo, el flujo que
atraviesa una superficie cerrada es constante.
De acuerdo con lo obtenido en la resolución del apartado c) de la actividad propuesta en la página 181 del libro del alumno y con lo explicado en el primer apartado de la página 180, la expresión que corresponde al campo eléctrico creado en ambos casos es la misma:
r
E=
Q
4⋅ π ⋅ε ⋅r2
5. Discute la siguiente afirmación: “Una carga o una masa en movimiento se
mueve, en presencia de un campo eléctrico o gravitatorio, siguiendo las trayectorias de las líneas del campo”.
Las líneas rde fuerza del campo eléctrico son aquellas en las que el vector campo
eléctrico, E , es tangente a ellas en cada punto del campo. Del mismo modo, en el
r
caso del campo gravitatorio, g, dicho vector será tangente a ellas en cada punto.
Si tenemos en cuenta las expresiones que corresponden a las fuerzas eléctrica y gravitatoria que se ejercen, respectivamente, sobre una carga q y una masa m:
r
r
Fe = q · E
r
r
Fg = m · g
Se observa que estas actúan sobre la carga o la masa en la misma dirección que el
campo correspondiente; por tanto, la afirmación que expone el enunciado de la
cuestión es verdadera. En el caso del campo eléctrico, el sentido del movimiento depende del signo de la carga.
6. Explica el concepto de energía potencial eléctrica y calcula la que tiene una
partícula de carga q2 situada a una distancia r de otra carga q1.
La energía potencial eléctrica que posee una carga q situada en un punto, r, situado
en el seno de un campo eléctrico es el producto de dicha carga por el potencial eléctrico existente en ese punto:
r
Ep = q · V (r )
La energía potencial que corresponde a una partícula de carga q2 situada a una distancia r de otra carga, q2 , es:
q1 · q2
Ep = K · r
7. Un electrón, inicialmente en reposo, se pone en movimiento mediante la aplicación de un campo eléctrico uniforme. ¿Se desplazará hacia regiones de mayor
o de menor potencial electrostático? ¿Qué ocurrirá si consideramos un protón?
Los electrones se desplazan, espontáneamente, a regiones de mayor potencial, y los
protones, a regiones de menor potencial.
Unidad 7. Campo eléctrico
8
8. Se tienen dos partículas de masas m1 y m2 y cargas q1 y q2 del mismo signo,
como se indica:
m 2, q 2
u
r
m 1, q 1
Escribe, para la partícula m1, la ley de fuerzas de la gravitación universal y la
ley de Coulomb. Comenta las diferencias fundamentales que existen entre
ambas leyes.
La expresión de la fuerza de atracción gravitatoria sobre m1, es:
r
m ⋅m r
Fg = G ⋅ 1 2 2 ⋅ u
r
Y la que corresponde a la fuerza de atracción electrostática:
r
q ⋅q r
Fe = − K ⋅ 1 2 2 ⋅ u
r
Las diferencias fundamentales que existen entre ambas leyes son:
• El campo gravitatorio tiene siempre el mismo sentido; las líneas de fuerza siempre
se dirigen hacia la masa que lo crea. Por su parte, el campo eléctrico tiene dos
sentidos, que dependen del signo de la carga que lo crea: si es positiva, las líneas
de fuerza salen de la carga, y, si es negativa, las líneas de fuerza entran en ella.
• Al ser G una constante universal, el campo gravitatorio creado por un cuerpo es
independiente del medio que lo rodea (la interacción gravitatoria no es debilitada
por el medio), lo que no ocurre con el campo eléctrico, que depende de la constante dieléctrica del medio.
• Las fuerzas de interacción son siempre atractivas en el caso del campo gravitatorio, y en el caso del campo eléctrico pueden ser atractivas o repulsivas, dependiendo del signo de las cargas eléctricas.
• Si comparamos los valores de G y de K, encontramos que, para masas y cargas cuyo valor sea la unidad, la fuerza de interacción electrostática es mucho mayor que
la gravitatoria:
– Fuerza gravitatoria:
m·m
1·1
= 6,67 · 10−11 · = 6,67 · 10−11 N
Fg = G · 2
d
12
– Fuerza electrostática:
q·q
1·1
Fe = K · = 9 · 109 · = 9 · 109 N
d2
12
9. En un campo eléctrico constante de signo positivo, el potencial eléctrico:
a) Es nulo.
b) Es constante.
Unidad 7. Campo eléctrico
9
c) Disminuye de forma constante.
d) Aumenta de forma constante.
e) Disminuye con el cuadrado de la distancia.
El campo y el potencial están relacionados mediante la siguiente expresión:
r
r
dV = −E · dr
r
Si el campo es constante y el desplazamiento es en el sentido de E :
dV = − E ⋅ dr → ∫ dV = − E ⋅ ∫ dr → ∆V = − E ⋅ ∆r
Si el campo eléctrico es constante, el potencial disminuye linealmente con la distancia. La respuesta correcta es c).
10. Una partícula cargada se desplaza en la dirección de un campo eléctrico, de
forma que su energía potencial aumenta. ¿Qué signo tiene la carga?
La relación entre la energía potencial eléctrica y el potencial eléctrico es:
Ep = q · V
Consideremos dos puntos, A y B, pertenecientes al campo eléctrico. Se ha de cumplir la condición de que:
∆Ep = q · V2 − q · V1 = q · (V2 − V1) > 0
– Si se tratara de un protón, que se mueve espontáneamente a regiones de menor
potencial:
V2 < V1 → V2 − V1 < 0
Como q > 0, se obtendría que su energía potencial disminuiría:
∆Ep < 0
– En el caso de un electrón, que se desplaza espontáneamente a zonas de mayor
potencial:
V2 > V1 → V2 − V1 > 0
Como en este caso q < 0, su energía potencial también disminuiría:
∆Ep < 0
Por tanto, para que la energía potencial aumente, se ha de realizar trabajo sobre la
carga. En ese caso, si la carga se dirige hacia potenciales crecientes, se trataría de un
protón, y si lo hace hacia potenciales decrecientes, un electrón.
Si suponemos que la partícula, además de moverse en la misma dirección del campo, lo hace en el mismo sentido, lo hará hacia potenciales decrecientes; se trataría,
por tanto, de una partícula cargada negativamente.
11. Si un electrón se mueve en la misma dirección y sentido que el correspondiente a las líneas de campo de un campo eléctrico uniforme, su energía potencial ¿aumentará, disminuirá o permanecerá constante? ¿Y si se mueve en
dirección perpendicular a las líneas del campo eléctrico? Justifica ambas respuestas.
Unidad 7. Campo eléctrico
10
Como se ha explicado en la cuestión anterior, será necesario realizar un trabajo externo sobre el electrón, que quedará almacenado en forma de energía potencial que,
por tanto, aumentará.
Si el electrón se mueve en dirección perpendicular a la del campo eléctrico, lo estará
haciendo sobre una superficie equipotencial. Por tanto, su energía potencial no variará.
12. Analiza cómo son las líneas de fuerza del campo eléctrico producido por un
hilo rectilíneo infinito y uniformemente cargado.
Como el hilo que se propone es infinitamente largo, las líneas de fuerza del campo
eléctrico que crea serán, por simetría, radiales y dirigidas hacia fuera, si la densidad
lineal de carga es positiva, y hacia dentro si esta es negativa.
NOTA: para completar esta cuestión, se sugiere la lectura del segundo apartado de la página 180 del libro
del alumno.
13. En la figura se representan algunas superficies, correspondientes a una zona
del espacio donde existe un campo electrostático.
A
V1
>
V2
> V3
>
V4
a) ¿Qué dirección y sentido tendrán las líneas del citado campo eléctrico?
b) En el instante inicial, t = 0, situamos un electrón en el punto A y, desde el
reposo, se deja en libertad. Calcula la dirección y el sentido de la trayectoria inicial que seguirá.
c) Una carga eléctrica, ¿se moverá siempre a lo largo de una línea del campo?
Justifica la respuesta.
a) En las superficies que muestra la figura, el potencial eléctrico se mantiene constante. Las líneas de fuerza del campo eléctrico y, por tanto, la intensidad del campo eléctrico, son perpendiculares a las superficies equipotenciales con las que se
cortan, ya que, en ellas:
r
r
r
r
V = cte → dV = 0 → −dV = 0 = E · dr = E · dr · cos θ → E ⊥ dr
La dirección y el sentido de las líneas del campo eléctrico son los que se muestran en la siguiente ilustración:
E
–q
+q
V1
Unidad 7. Campo eléctrico
> V2 > V3 > V4
11
Como se observa, las líneas del campo eléctrico son líneas tangentes en cada
punto al vector campo. Una carga positiva colocada en un punto de cualquiera de ellas seguirá el camino marcado por la línea de fuerza. Las cargas positivas
se dirigen hacia potenciales decrecientes y las negativas, hacia potenciales crecientes.
b) De acuerdo con lo expuesto en el apartado anterior, se moverá en una dirección
perpendicular a la superficie equipotencial en el punto A, y su sentido estará dirigido hacia los potenciales crecientes.
c) Sí; las líneas de campo son las que indican el camino que seguirán las cargas
eléctricas en su movimiento.
14. ¿Cómo es el campo eléctrico en el interior de una esfera metálica cargada? ¿Y
el potencial?
De acuerdo con el teorema de Gauss:
φe =
∫
sup
r r Q
E ⋅ dS =
ε0
Como la carga encerrada por la esfera metálica es nula (recuerda que la carga se distribuye uniformemente por la superficie de la esfera), el flujo eléctrico que la atraviesa es nulo, y, en consecuencia, el campo eléctrico en su interior también lo será.
Si tenemos en cuenta la relación entre el campo eléctrico y el potencial eléctrico:
r r
r
dV = − E ⋅ dr → Si E = 0 → dV = 0 → V = cte
Como en el interior de la esfera el campo eléctrico es nulo, el trabajo necesario para
llevar una carga desde el infinito hasta cualquier punto del interior de la esfera coincide con el trabajo necesario para llevarla hasta su superficie. Por tanto, si consideramos que el radio de la esfera es R, el potencial eléctrico en cualquier punto de su interior es:
Q
V (r) = V (R) = 4 · π · ε0 · R
15. Cierta distribución de cargas, que se encuentra en el interior de una esfera de
1 m de radio, crea un campo eléctrico, perpendicular en todo momento a la
superficie de la esfera, que viene dado por:
1
E = E0 2
r
siendo E0 = 1000 V m–1 y r la distancia a que nos encontramos del centro de
la esfera.
Calcula la carga que existe en el interior de la esfera, suponiendo que está en
el vacío.
En la superficie de la esfera, r = R. Por tanto, el campo eléctrico en su superficie es:
E (r = R ) = E 0 ⋅
Unidad 7. Campo eléctrico
1
R2
12
Aplicando el teorema de Gauss a la superficie esférica:
φ=
r
r
r
∫ E ⋅ dS
r
∫ E ⋅ dS
=
Q
ε0
= E ⋅S =
E0
Q
⋅ 4 ⋅ π ⋅ R 2 = E0 ⋅ 4 ⋅ π =
ε0
R2
Despejando la carga Q, y sustituyendo los datos del enunciado:
Q = E0 · 4 · π · ε0 = 1 000 · 4 · π · 8,84 · 10−12 = 1,11 · 10−7 C = 0,11 µC
EJERCICIOS
16. Calcula la intensidad del campo y el potencial en un punto distante 4 metros de
una carga puntual de 6 · 10−6 C situada en el vacío. Dato: K = 9 · 109 N · m2 · C−2.
La intensidad del campo eléctrico que crea la carga puntual es:
r
Q r
6 ⋅ 10 −6 r
r
E = K ⋅ 2 ⋅ ur = 9 ⋅ 10 9 ⋅
⋅ ur = 3 375 ⋅ ur N ⋅ C−1
2
r
4
r
En ella, el vector ur , es un vector unitario situado en la recta que une la carga y el
punto; al tratarse de una carga positiva, el campo eléctrico sale de ella.
Por su parte, el valor del potencial eléctrico, que es una magnitud escalar, es:
V =K⋅
Q
6 ⋅ 10 −6
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
= 13500 V
r
4
17. Una carga eléctrica de 4 C es llevada desde un punto, donde existe un potencial de 15 V, a otro cuyo potencial es 40 V. Indica si gana o pierde energía y
cuánta.
El trabajo necesario para llevar una carga eléctrica de un punto de un campo elécrico a otro que se encuentra a distinto potencial es:
W = −q · (V2 − V1)
En este caso:
W = −4 · (40 − 15) = −100 J ; W = −∆EP → EP − EP = 100 J
2
1
El trabajo negativo indica que la carga no se traslada espontáneamente hacia el punto, sino que, como indica el enunciado, “la carga es llevada”; es decir, se realiza un
trabajo sobre ella que aumenta su energía potencial. Por tanto, gana energía a expensas del trabajo exterior realizado sobre ella.
18. En el sistema de encendido de un motor de coche hay dos electrodos separados 0,7 mm. Si el aire comienza a ionizarse cuando el campo eléctrico alcanza
un valor de 3,5 106 V m–1, ¿cuál es la diferencia de potencial que hemos de
aplicar entre los dos electrodos para que se produzca la chispa?
El objetivo del encendido es provocar una chispa que haga detonar la mezcla airegasolina que se encuentra en el interior del cilindro. Para ello, el campo eléctrico enUnidad 7. Campo eléctrico
13
tre los electrodos ha de ser suficientemente intenso. De este modo, se ioniza el aire
y se establece una corriente de cargas eléctricas a través de él.
Los dos electrodos y el aire que se encuentra entre ellos, que actúa como dieléctrico,
forman un condensador. Por ello, el fenómeno consistente en ionizar el aire se denomina también “perforar el dieléctrico”.
La diferencia de potencial mínima que debemos aplicar en este caso es:
∆V = ∆r · E = 0,7 · 10−3 · 3,5 · 106 = 2 450 V
19. Cerca de la superficie de la Tierra, el campo eléctrico tiene un valor aproximado de 150 N C –1, y está dirigido hacia el centro de esta. Calcula el valor de
la fuerza (módulo, dirección y sentido) que experimenta el núcleo de un átomo de plomo, que contiene 82 protones (qp = 1,6 10−19 C), al encontrarse sobre la superficie terrestre.
Z
La situación que describe el problema es la
que se muestra en la figura.
La relación entre fuerza y campo eléctrico es:
r
r
F eléctrica = q · E
E
Y
Teniendo en cuenta la carga del núcleo del
átomo de plomo, así como la dirección y el
sentido del vector campo, resulta:
r
r
r
F eléctrica = q · E = 82 · 1,6 · 10−19 · (−150 · k ) =
r
= −1,968 · 10−15 · k N
X
20. El núcleo de un átomo de plata tiene carga positiva, debido a los 47 protones
que lo forman. Calcula el potencial que crea esta carga en un punto situado a
6 10 –13 m del centro del núcleo.
Debido a la proximidad a la que se encuentran unos de otros, supondremos el conjunto de protones como una carga puntual. El potencial que crea esta carga viene
dado por:
V =K⋅
q
r
Teniendo en cuenta que la carga de un protón es q = 1,6 · 10−19 C, el potencial será:
V = 9 ⋅ 10 9 ⋅
47 ⋅ 1, 6 ⋅ 10 −19
= 112 800 V
6 ⋅ 10 −13
21. Sean dos cargas puntuales Q1 = −q y Q2 = + 4 · q colocadas a una distancia d.
Razona y obtén en qué punto de la línea definida por las dos cargas el campo
es nulo.
El punto que cumple la condición que solicita el enunciado del ejercicio será aquel
en el que el vector campo creado por cada carga tenga el mismo valor y sus sentidos
sean opuestos. De acuerdo con la siguiente figura:
Unidad 7. Campo eléctrico
14
E1
E2 A E1
B
E2
x
Q 1 = –q
d
Ese punto se encuentra fuera del segmento que une ambas cargas.
En el punto A, representado en la figura anterior, el módulo del campo eléctrico
creado por cada carga es:
q
E1 = K · 2
x
4·q
E2 = K · 2
(d + x)
;
Si igualamos ambos módulos y despejamos el valor de la distancia, x, obtenemos:
q
4·q
(d + x)2
=4
E1 = E2 → K · 2 = K · 2 → x
(d + x)
x2
3 · x2 − 2 · d · x − d2 = 0
Al resolver la ecuación de segundo grado se obtiene:
x1 = d
;
d
x2 = − 3
Desde el punto de vista físico, la solución válida es la primera; por tanto:
x=d
22. Considera dos cargas puntuales fijas q1 = 1 µC y q2 = −2 µC separadas una distancia L = 30 cm. Determina la distancia a q1 del punto sobre la recta que une
ambas cargas donde el potencial eléctrico es nulo. ¿Es también nulo allí el
campo eléctrico?
El potencial eléctrico es una magnitud escalar que tiene el mismo signo que la carga
que crea el campo; para calcular el potencial eléctrico creado por varias cargas puntuales, se puede aplicar el principio de superposición.
De acuerdo con el siguiente esquema:
q1 = 1 µC
q2 = –2 µC
A
x
(0,30 – x) m
0,30 m
el potencial creado en el punto A será:
Q1
Q2
V = V1 + V2 = K · + K · x
0,3 − x
Si imponemos la condición de que el potencial eléctrico se anula en ese punto:
1 · 10−6
−2 · 10−6
V = 9 · 109 · + 9 · 109 · = 0
x
0,3 − x
Unidad 7. Campo eléctrico
15
0,3
1
−2
= → 0,3 − x = 2 · x → x = = 0,1 m
3
x 0,3 − x
Por tanto, el potencial eléctrico se anula a 0,1 m de la carga positiva.
En cuanto al campo eléctrico, observa, que, en cualquier punto del segmento que
une ambas cargas, el campo eléctrico que crean está dirigido hacia la derecha; por
tanto, nunca será nulo el campo en ningún punto perteneciente a este segmento.
En particular, en el punto A, el módulo del campo eléctrico creado por ambas cargas
es:
Q1
Q2
1 · 10 −6
2 · 10 −6
E = E1 + E2 = K · 2 + K · 2 = 9 · 109 · + 2 = 1,35 · 106 N ·
2
0,1
(0,3 − 0,1)
x
(0,3 − x)
C−1
Su sentido está dirigido hacia la derecha.
23. Cuatro cargas eléctricas de 10 nC, −12 nC, 20 nC y 25 nC están colocadas en
los vértices de un cuadrado de 1,2 m de lado. Calcula el valor del potencial
eléctrico en el centro del cuadrado.
El potencial eléctrico es una magnitud escalar cuyo valor podemos obtener sumando
algebraicamente los potenciales eléctricos creados por cada carga.
De acuerdo con la siguiente figura:
Q1
Q2
r = d /2
d
Q4
l = 1,2 m
Q3
El valor de la distancia que separa cada carga del centro del cuadrado es:
d
r = 2
;
d 2 = 1,22 + 1,22 → d = 1,2 · 2 m
;
1,2 · 2
r = = 0,85 m
2
Por tanto, el valor del potencial eléctrico en el centro del cuadrado es:
Q1
Q2
Q3
Q4
V = V1 + V2 + V3 + V4 = K · + K · + K · + K · =
r1
r2
r3
r4
9
K
9 · 10
= · (Q1 + Q2 + Q3 + Q4) = · (10 − 12 + 20 + 25) · 10−9 = 456,08 V
r
0,85
24. ¿Qué velocidad alcanzará una partícula cuya carga es 10−6 C y cuya masa es
2 · 10−18 kg al desplazarse, partiendo del reposo, entre dos puntos donde existe una diferencia de potencial de 102 V?
El trabajo que realizan las fuerzas del campo eléctrico sobre la carga es:
W = q · ∆V
Ese trabajo se invierte en aumentar la energía cinética de la partícula:
Unidad 7. Campo eléctrico
16
1
EC = · m · v2
2
Igualando ambas expresions y despejando el valor de la velocidad, obtenemos:
q ⋅ ∆V =
1
2 ⋅ q ⋅ ∆V
⋅m ⋅v2 → v =
2
m
2 ⋅ 10 −6 ⋅ 10 2
= 10 7 m ⋅ s −1
2 ⋅ 10 −18
v=
25. La figura representa un condensador de placas paralelas.
¿En cuál de las gráficas se muestra cómo varían el campo eléctrico y el potencial eléctrico con la distancia, si
tomamos como origen de potenciales la placa negativa?
a)
b)
c)
d)
E
E
E
E
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
–
–
–
d
x
V
x
V
x
x
V
x
x
V
x
x
El campo eléctrico que existe en un condensador de placas paralelas puede considerarse constante. Por tanto:
dV = − E ⋅ dr → ∫ dV = − E ⋅ ∫ dr → ∆V = − E ⋅ ∆r
Es decir, cuando el campo eléctrico es constante, el potencial varía linealmente con
la distancia. En nuestro caso, tomamos la placa negativa como origen de potenciales
(V = 0) y de distancia, estando la placa cargada positivamente a potencial superior.
Por tanto:
r
r
dV = −E · dr = −E · dr · cos 180° = E · dr → V = E · r
Al alejarnos de la placa negativa, el potencial aumenta linealmente, desde V = 0,
permaneciendo constante el campo en el interior del condensador. La gráfica correcta es c).
26. Una partícula cargada con 6 · 10−6 C se encuentra en reposo en el punto (0,0).
Se aplica un campo eléctrico uniforme de 500 N · C−1 dirigido en sentido positivo del eje OY:
a) Describe la trayectoria seguida por la partícula hasta el instante en que se
encuentra en el punto A, situado a 2 m del origen. ¿Aumenta o disminuye
Unidad 7. Campo eléctrico
17
la energía potencial de la partícula en dicho desplazamiento? ¿En qué se
convierte dicha variación de energía?
b) Calcula el trabajo realizado por el campo en el desplazamiento de la partícula y la diferencia de potencial entre el origen y el punto A.
a) Supongamos un sistema de coordenadas OXY centrado en la carga, que se encuentra en el punto (0, 0). Como la carga es positiva y el campo se encuentra dirigido en el sentido positivo del eje OY, la fuerza eléctrica que actuará sobre ella
será:
r
r
r
r
F =q·E →F =q·E·j
r
r
r
F = 6 · 10−6 · 500 · j = 3 · 10−3 · j N
Por tanto, la partícula se mueve en sentido positivo del eje de ordenadas.
Las coordenadas del punto A son: A(0, 2) m. Las cargas positivas se dirigen espontáneamente hacia potenciales decrecientes; por tanto, su energía potencial
disminuye, incrementando su energía cinética (aumenta su velocidad). El movimiento que realiza es un m.r.u.a., ya que la fuerza es constante, al ser el campo
eléctrico uniforme.
b) El trabajo realizado por la fuerza eléctrica constante calculada en el apartado anterior es:
r
r
W = F · ∆r = F · ∆r · cos 0° = 3 · 10−3 · 2 = 6 · 10−3 J
Ese trabajo coincide con la diferencia de potencial (con signo cambiado) entre
los dos puntos del campo considerados multiplicada por el valor de la carga:
W
6 · 10−3
W = −q · (V2 − V1) → V2 − V1 = = = −1 000 V
−q −6 · 10−6
Observa que V2 < V1, lo cual es lógico, ya que la carga positiva se desplaza espontáneamente hacia potenciales decrecientes.
27. En el plano inclinado de la figura, en el que se pueden despreciar los rozamientos, se encuentran dos masas de 1 g cada una. Una de ellas, m1, se
encuentra fija en la base del plano, mientras que la otra, m2, permanece, sin
caer, a cierta altura, h. Si ambas masas tienen una carga positiva de 1 mC,
calcula el valor de h.
m2
h
m1
30°
La masa m2 no se mueve, debido al equilibrio de fuerzas entre la componente del
peso en la dirección del plano inclinado, que la haría caer, y la fuerza electrostática
de repulsión, que la aleja de la otra carga:
Feléctrica = Px
Unidad 7. Campo eléctrico
18
Los valores de estas dos fuerzas son:
q2
l2
Px = m ⋅ g ⋅ sen 30°
Feléctrica = K ⋅
Por tanto:
K⋅
q2
= m ⋅ g ⋅ sen 30°
l2
Despejando, obtenemos la distancia, l, que separa ambas masas:
l=
K⋅
q2
(10 −3 ) 2
= 9 ⋅ 10 9 −3
= 1 354, 57 m
m ⋅ g ⋅ sen 30°
10 ⋅ 9, 81 ⋅ 0, 5
Por tanto, la masa 2 se encuentra a una altura:
h = l · sen 30° = 1 354,57 · 0,5 = 677,285 m
28. Se tiene una gota de mercurio de forma esférica y radio R cuya carga inicial es
nula. ¿Qué figura muestra correctamente cómo varía la distribución del campo eléctrico en función de la distancia a que nos encontramos de su centro?
c) E
a) E
d
R
b) E
R
d) E
R
2.R
d
R
De acuerdo con el teorema de Gauss, el campo eléctrico en un conductor cargado y en
equilibrio es nulo. Por tanto, desde el centro de la esfera hasta la distancia r = R, el campo eléctrico es nulo.
Sin embargo, para la superficie de la esfera y en puntos situados a una distancia del centro de la esfera superior al radio, el campo eléctrico tiene un valor:
E=
Q
4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r 2
lo que se corresponde con la gráfica a).
PROBLEMAS
29. Dos cargas eléctricas puntuales, de –20 y 90 µC se encuentran en el aire, separadas 15 cm:
a) Calcula el potencial en el punto medio de la recta que une ambas cargas.
Unidad 7. Campo eléctrico
19
b) Calcula, si existe, el punto entre ambas cargas en que el potencial eléctrico
se anula.
a) El potencial creado por una carga puntual es:
V =K⋅
q
r
Por tanto, el potencial creado por ambas en el punto medio de la recta que las
une será:
Vmedio =
2
q
∑ K ⋅ ri
i=1
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
i
−720, 5 ⋅⋅1010
−6
−2
+
90 ⋅ 10 −6
= 8, 4 ⋅ 10 6 V
7, 5 ⋅ 10 −2
b) Si existe, supondremos que dicho punto se encuentra a una distancia de la carga
negativa que representaremos por x. De este modo:
V =
2
∑K ⋅
i=1
qi
−20 ⋅ 10 −6 90 ⋅ 10 −6
=K⋅
+
=0
ri
x
0, 15 − x
Despejando x en esta expresión, resulta:
20 ⋅ 10 −6 90 ⋅ 10 −6
=
→ 3 − 20 ⋅ x = 90 ⋅ x →
x
0, 15 − x
3
→x=
= 2, 73 ⋅ 10 −2 = 2, 73 cm
110
Como vemos, a 2,73 cm de la carga de −20 µC, el potencial eléctrico se anula.
30 Dos esferas puntuales, iguales, están suspendidas de un mismo punto mediante hilos inextensibles y sin peso, de un metro de longitud cada uno. Determina la carga eléctrica que ha de poseer cada una de ellas para que el hilo
forme un ángulo de 30º con la vertical.
Datos: masa de cada esfera, m = 10 g.
K = 9 · 109 N · m2 · C−2; g = 9,8 m · s−2
La situación que plantea el enunciado del problema es la que se representa a continuación:
T
30°
30°
1m
1m
Ty = T · sen 60°
60°
Fe
T
Fe
d=1m
P
Unidad 7. Campo eléctrico
Tx = T · cos 60°
P
20
Para que las esferas ser encuentrenr como se indica en el enunciado
del problema, la
r
tensión de la cuerda, T , el peso, P , y la fuerza eléctrica, Fe , deben estar equilibradas.
Al aplicar la segunda ley de la dinámica a las fuerzas que actúan en la dirección del
eje X y a las que actúan en la del eje Y, se obtiene:
– Eje X:
Q2
T · cos 60° = Fe → T · cos 60° = K · 2
d
– Eje Y:
T · sen 60° = m · g
Si dividimos ambas expresiones entre sí, se obtiene:
tg 60° =
Q=
m ⋅ g ⋅d2
→Q=
K ⋅ Q2
m ⋅ g ⋅d2
K ⋅ tg 60°
10 ⋅ 10 −3 ⋅ 9, 8 ⋅ 12
= 2, 5 ⋅ 10 −6 C
9 ⋅ 10 9 ⋅ tg 60°
31. Dos cargas eléctricas puntuales de 2 y −2 µC cada una están situadas, respecti−2, 0) metros. Calcula:
vamente, en los puntos (2, 0) y (−
a) El campo eléctrico en (0, 0) y en (0, 10).
b) El trabajo necesario para transportar una carga q' de −1 µC desde (1, 0) a
−1, 0).
(−
a) La situación que plantea el enunciado del problema es la siguiente:
y (m)
10
q2 = –2 µC
q1 = 2 µC
x (m)
En el origen, el campo eléctrico creado por ambas cargas estará dirigido hacia la
izquierda, como se muestra en la siguiente ilustración:
E2 µC
q2 = –2 µC
(–2, 0)
q1 = 2 µC
(0, 0)
E–2 µC
(2, 0)
r2
r1
r
El cálculo del campo eléctrico resultante, E , se realiza del siguiente modo:
r
r r
E = E1 + E2
Unidad 7. Campo eléctrico
21
Q1
Q2
Q1 Q2
r
r
r
r
E = K · · (−i ) + K · · (−i ) = K · + · (−i ) =
2
2
2
2
r1
r2
r1
r2
r
r
2 · 10−6 2 · 10−6
= 9 · 109 · + · (−i ) = −9 · 10−3 · i N · C−1
2
2
2
2
E = – 9 . 103 . i N/C
q2 = –2 µC
(0, 0)
q1 = 2 µC
En el punto de coordenadas (0, 10) m, el
campo que crea cada carga es el que se
muestra en la ilustración de la derecha.
y
α
E2µC
De acuerdo con la figura, la distancia de
cada carga al punto considerado es:
d=
x
E–2µC
2
+ 22 = 104
m
10
El valor del ángulo α es:
α
2
tg α = → α = arctg 0,2 = 11,31°
10
Por tanto:
sen α = sen 11,31° = 0,2
cos α = cos 11,31° = 0,98
El campo eléctrico que crea la carga de
2 µC en el punto (10, 0) m es:
d
10 m
Q1
r
r
E 1 = K · 2 · sen α · (−i ) +
q1 = 2 µC
q2 = –2 µC
d
Q1
r
2m
2m
+ K · 2 · cos α · j =
d
Q1
r
r
= K · 2 · (−sen α · i + cos α · j ) =
d
−6
r
r
r
r
2
·
1
0
= 9 · 109 · · (−0,2 · i + 0,98 · j ) = 173 · (−0,2 · i + 0,98 · j ) =
(1
04)2
r
r
= −34,62 · i + 169,5 · j N · C−1
Y el creado por la carga Q2 en el punto (0, 10):
Q2
Q2
Q2
r
r
r
r
r
E 2 = K · 2 · sen α · (−i ) + K · 2 · cos α · ( −j ) = K · 2 · (−sen α · i − cos α · j ) =
d
d
d
−6
r
r
r
r
2 · 10
= 9 · 109 · · (−0,2 · i − 0,98 · j ) = 173 · (−0,2 · i − 0,98 · j ) =
(1
04)2
r
r
= −34,62 · i − 169,5 · j N · C−1
El
eléctrico total en el punto (0, 10) m es la suma vectorial de los campos
r campo
r
E 1 y E 2. Observa que la componente de ambos campos en la dirección del eje Y
Unidad 7. Campo eléctrico
22
tiene el mismo valor y son de sentidos opuestos, por lo que se anulan entre sí. El camo resultante será, por tanto:
r
r
r
r
E = −34,62 · i − 34,62 · i = −69,24 · i N · C−1
b) El potencial eléctrico que corresponde al punto (1, 0) m es:
– Potencial debido a la carga de 2 µC:
Q1
2 · 10−6
V1 (1, 0) = K · = 9 · 109 · = 18 · 103 V
1
r1
– Potencial debido a la carga de −2 µC:
Q2
−2 · 10−6
V2 (1, 0) = K · = 9 · 109 · = −6 · 103 V
3
r2
Por tanto, el potencial total en ese punto es:
V (1, 0) = V1 (1, 0) + V2 (1, 0) = 18 · 103 − 6 · 103 = 12 · 103 V
Del mismo modo, para el punto (−1, 0) m:
– Potencial debido a la carga de −2 µC:
Q1
2 · 10−6
V1 (−1, 0) = K · = 9 · 109 · = 6 · 103 V
3
r'1
Q2
−2 · 10−6
V2 (−1, 0) = K · = 9 · 109 · = −18 · 103 V
1
r'2
El potencial total en ese punto es:
V (−1, 0) = V1 (−1, 0) + V2 (−1, 0) = 6 · 103 − 18 · 103 = −12 · 103 V
El trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar una carga de −1 µC desde el primer punto al segundo se calcula del siguiente modo:
W = −q · ∆V = −q · (Vfinal − Vinicial ) =
= −(−1 · 10−6) · (−12 · 103 − 12 · 103) = −2,4 · 10−2 J
El signo negativo indica que hay que realizar un trabajo exterior en contra de las
fuerzas del campo, como corresponde a una carga negativa que se dirige hacia
potenciales decrecientes.
32. Dos partículas de carga q = 0,8 µC, cada una, están fijas en el vacío y separadas una distancia d = 5 m:
a) Determina el vector campo eléctrico que producen estas cargas en el punto A, que forma un triángulo equilátero con ambas.
b) Calcula el campo y el potencial eléctricos en el punto medio de la recta
que las une.
Dato: K = 1/(4 · π · ε0) = 9 · 109 N · m2 · C−2
a) La representación esquemática de la situación física que propone el enunciado
del problema es la siguiente:
Unidad 7. Campo eléctrico
23
y
EA,2
30° 30°
EA,1
x
A
30° 30°
5m
q = 0,8 µC
5m
q = 0,8 µC
B
2,5 m
2,5 m
El campo eléctrico en el punto A es la suma vectorial de los campos que crea cada carga por separado. La distancia de cada carga al punto A es:
d=5m
Y el valor del ángulo α:
2,5
1
sen α = → α = arcsen = 30°
5
2
Por tanto:
r r
r
r
r
r
r
Q
Q
E = E1 + E2 = K · 2 · (sen α · i + cos α · j ) + K · 2 · (sen α · (−i ) + cos α · j ) =
d
d
r
r
Q
= K · 2 · [(sen α − sen α) · i + (cos α + cos α) · j ] =
d
r
r
Q
0,8 · 10−6
= K · 2 · 2 · cos α · j = 9 · 109 · · 2 · cos 30° · j = 498,8 N · C−1
2
d
5
b) En el punto medio de la recta que une las cargas, el campo eléctrico que crea la
primera es de sentido contrario al que crea la segunda, y sus sentidos son opuestos; por tanto, en ese punto el campo eléctrico total es cero.
El potencial eléctrico que corresponde a dicho punto es:
Q1
Q2
V = V1 + V2 = K · + K · d1
d2
Teniendo en cuenta que:
Q1 = Q2 = Q = 0,8 · 10−6 C
d1 = d2 = d = 2,5 m
se obtiene:
Q
0,8 · 10−6
V = 2 · K · = 2 · 9 · 109 · = 5 760 V
d
2,5
33. Una bolita, cargada eléctricamente, de 1 gramo de masa es atraída por una
placa cargada de modo que forma un ángulo de 45° con la vertical, como se
muestra en la figura:
Unidad 7. Campo eléctrico
24
a) Dibuja un diagrama con las fuerzas que actúan
sobre la bola cuando se encuentra en equilibrio.
+
+
+
+
+
+
+
45°
b) Si el campo eléctrico en las proximidades de la
placa es de 1050 V m–1, calcula el módulo y el
signo de la fuerza que actúa sobre la bolita.
c) Calcula la carga que posee la bola cuando se encuentra en equilibrio.
a) Sobre la bolita actúan lasrfuerzas que se indican en la siguiente
figura. Estas fuerr
zas son su propio peso, P ; la fuerza eléctrica de atracción, Fe, que
r se produce entre cargas de distinto signo, y la tensión que soporta el hilo, T , cuya dirección y
sentido son los que se indican:
45°
Ty
T
45°
Fe
Tx
OY
P
OX
+
+
+
+
+
+
+
b) Planteamos el equilibrio de fuerzas en direcciones OX y OY:
OX → −T · sen 45° + Fe = 0 → T · sen 45° = q · E
OY → T · cos 45° − m · g = 0 → T · cos 45° = m · g
Sustituyendo valores en la segunda expresión, podemos calcular la tensión:
T ⋅ cos 45° = m ⋅ g → T =
m⋅g
10 −3 ⋅ 9, 81
=
= 1, 387 ⋅ 10 −2 N
cos 45°
cos 45°
Conocida la tensión, resulta inmediato calcular la fuerza eléctrica:
Fe = T · sen 45° = 1,387 · 10−2 · sen 45° = 9,81 · 10−3 N
c) Una vez calculada la fuerza eléctrica, podemos despejar la carga de la bolita:
Fe = q ⋅ E → q =
Fe 9, 81 ⋅ 10 −3
=
= 9, 34 ⋅ 10 −6 C
E
1 050
NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.
34. Una pequeña esfera de 0,2 g cuelga de un hilo de masa despreciable entre dos
láminas verticales paralelas separadas 5 cm. La esfera tiene una carga positiva de 6 · 10−9 C:
Unidad 7. Campo eléctrico
25
a) ¿Qué diferencia de potencial entre las láminas hará que el hilo forme un
ángulo de 45º con la vertical?
b) ¿Cuál será la intensidad del campo eléctrico entre las láminas?
c) Representa gráficamente las fuerzas que actúan sobre la esfera en la posición de equilibrio.
c) Las fuerzas que actúan sobre la esfera en equilibrio son las que se indican en la
figura:
45°
T
45°
F
P
Fíjate en que la esfera, al estar cargada positivamente, se dirigirá hacia la placa
negativa.
b) En la posición de equilibrio, la relación entre las dos componentes de la tensión
es, de acuerdo con la figura anterior.
T · sen 45° = q · E
T · cos 45° = P
q·E
→ tg 45° = → P = q · E
P
P m · g 0,2 · 10−3 · 9,8
E = = = = 3,27 · 105 N · C−1
q
q
6 · 10−9
a) Como el campo eléctrico entre ambas placas es uniforme:
r
r
∆V = −E · ∆r → ∆V = −E · ∆d · cos 0° = −E · d
V = −3,27 · 105 · 5 · 10−2 = −1,63 · 104 V
35. Un electrón, con energía cinética inicial igual a 100 eV, penetra en la región
sombreada de la figura de anchura d = 10 cm, donde se sabe que existe un
campo eléctrico uniforme.
v0
d
v0 / 2
Se observa que el electrón atraviesa dicha región sin desviarse de su trayectoria rectilínea inicial, pero su velocidad a la salida es la mitad de la inicial.
Calcula:
a) La velocidad inicial, v0, que posee el electrón antes de atravesar la región
sombreada.
b) El módulo y la orientación del campo eléctrico dentro de esa región.
Datos: e = 1,6 · 10−19 C; me = 9,1 · 10−31 kg.
Unidad 7. Campo eléctrico
26
a) La energía cinética inicial del electrón, expresada en unidades del S. I., es:
1,6 · 10−19 J
Ec = 100 eV · = 1,6 · 10−17 J
1 eV
Teniendo en cuenta la expresión que corresponde a la energía cinética, podemos
calcular la velocidad inicial, v0, del electrón:
Ec =
1
⋅ m ⋅ v 02 → v 0 =
2
2 ⋅ Ec
=
m
2 ⋅ 1, 6 ⋅ 10 −17
= 5, 93 ⋅ 10 6 m ⋅ s −1
9, 1 ⋅ 10 −31
b) Como el electrón es frenado por el campo eléctrico y no es desviado por este, el
campo eléctrico estará situado en la misma dirección, y su sentido será hacia la
derecha.
El electrón, dentro de la región, estará sometido a la fuerza eléctrica:
r
r
Fe = q · E
Teniendo en cuenta la segunda ley de la dinámica:
r
r
F =m·a
Podemos escribir:
r
r r
r
r m·a
r
F = Fe → m · a = q · E → E = q
Para obtener el valor de la intensidad del campo eléctrico, hemos de obtener en
primer lugar, la aceleración a que está sometido el electrón, que podemos calcular aplicando las ecuaciones del m.r.u.a.:
v0 2
− v 20
2
2
2
v − v0
v 2 − v02 = 2 · a · s → a = = 2·s
2·s
−3 · v 20 −3 · (5,93 · 106)2
a = = = −1,32 · 1014 m · s−2
8·s
8 · 10 · 10−2
Finalmente, el valor del campo eléctrico es:
9,1 · 10−31 · (−1,32 · 1014)
m·a
E = = = 750 N · C−1
1,6 · 10−19
q
Y el vector campo eléctrico:
r
r
r
E = E · i = 750 · i N · C−1
36. Consideramos las superficies equipotenciales producidas por una carga puntual q = 2 · 10−6 C, colocada en el origen de coordenadas:
a) Calcula la separación entre la superficie equipotencial de 6 000 V y la de
2 000 V.
b) Calcula el trabajo que tiene que realizar un agente externo para mover una
carga de prueba q0 = 1,5 · 10−3 C desde la superficie equipotencial de 6 000 V
hasta la de 2 000 V sin variar su energía cinética.
Unidad 7. Campo eléctrico
27
a) La expresión que permite calcular el potencial que crea una carga en un punto es:
q
K·q
V = K · → r = r
V
La superficie equipotencial de 2 000 V se encontrará a la siguiente distancia de la
carga que crea el campo:
9 · 109 · 2 · 10−6
r1 = = 9 m
2 000
Y la de 6 000 V:
9 · 109 · 2 · 10−6
r2 = = 3 m
6 000
La distancia entre ambas superficies es:
∆r = r1 − r2 = 9 − 3 = 6 m
b) La energía potencial de la carga cuando se encuentra sobre dichas superficies
equipotenciales es:
V2 = 2 000 V → Ep = q · V2 = 1,5 · 10−3 · 2 000 = 3 J
2
V1 = 6000 V → Ep = q · V1 = 1,5 · 10−3 · 6 000 = 9 J
1
Al dejar la carga, positiva, en libertad, se moverá de mayor a menor potencial, aumentando su energía cinética y perdiendo energía potencial:
∆Ep = Ep − Ep = 3 − 9 = −6 J
2
1
Como la carga no modifica su energía cinética, su movimiento debe ser uniforme;
debe haber una fuerza exterior que, actuando sobre la carga, contrarreste las
fuerzas del campo. El trabajo que realiza la fuerza exterior es de 6 J.
r
r
37. La expresión de un campo eléctrico uniforme es: E = 500 · i N · C−1:
a) ¿Cómo serán sus superficies equipotenciales?
b) Calcula el trabajo necesario para trasladar una carga de 2 µC desde el punto P (2, 3, 0) m hasta el punto Q (6, 5, 0) m.
c) Calcula la distancia que separa las superficies equipotenciales V1 = 10 V y
V2 = 20 V.
a) Teniendo en cuenta que el vector campo eléctrico es perpendicular en todo punto a la superficie equipotencial y que este está dirigido en el sentido positivo del
eje X, las superficies equipotenciales estarán situadas en el plano YZ.
b) El trabajo que realizan las fuerzas del campo se calcula a partir de la siguiente expresión:
WF ext = −EP = − q · (V2 − V1 ) = q · (V1 − V2 ) = q ·
2
1
E · dr
En el caso que propone el enunciado:
WF ext = 2 · 10− 6 ·
Unidad 7. Campo eléctrico
6
2
500 · i · dx · i = 2 · 10− 6 · 500 · (6 − 2) = 4 · 10− 3 J
28
El signo positivo indica que el trabajo lo realiza el propio campo (recuerda que
una carga positiva se traslada espontáneamente hacia potenciales decrecientes).
c) Como el campo eléctrico es uniforme:
V2 − V1
V2 − V1
20 − 10
E = − → d = − = − = − 0,02 m
500
d
E
El resultado obtenido indica que, según el eje X, V2 está a la izquierda de V1.
38. En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas con cargas
iguales y opuestas existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado en reposo sobre la lámina cargada negativamente llega a la superficie
de la lámina opuesta, situada a 2 cm de distancia de la primera, al cabo de
1,5 · 10−8 s. Despreciando los efectos gravitatorios, calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico entre las láminas.
b) La velocidad con que llega el electrón a la segunda lámina.
c) La diferencia de potencial entre las láminas.
a) El movimiento que realiza el electrón es un m.r.u.a. Con los datos de que disponemos podemos calcular su aceleración:
1
1
2·s
s = s0 + v0 · t + · a · t 2 → s = 0 + 0 + · a · t 2 → a = 2
2
2
t
2 · 2 · 10−2
a = = 1,78 · 1014 m · s−2
(1,5 · 10−8)2
Aplicando ahora la segunda ley de la dinámica, obtenemos la intensidad del campo eléctrico entre las láminas:
9,1 · 10−31 · 1,78 · 1014
m·a
= 1 011,1 N · C−1
F = Fe → m · a = q · E → E = = 1,6 · 10−19
q
b) La velocidad con que llega el electrón a la segunda lámina es:
v = v0 + a · t = 0 + 1,78 · 1014 · 1,5 · 10−8 = 2,67 · 106 m/s
c) Como el campo eléctrico es uniforme, podemos calcular la diferencia de potencial entre las láminas a partir de la siguiente expresión:
E · d = ∆V → ∆V = 1 011,1 · 2 · 10−2 = 20,22 V
39. Dos partículas con cargas q1 = 1 µC y q2 = 2 µC están separadas una distancia
d = 0,5 m:
a) Calcula la fuerza que actúa sobre la segunda y su energía potencial electrostática.
b) Si q2 puede moverse, partiendo del reposo, ¿hacia dónde lo hará? Calcula
su energía cinética cuando se haya desplazado 0,2 m respecto a su posición inicial.
c) ¿Cuánto trabajo habrá realizado hasta entonces el campo eléctrico?
Dato: K = 9 109 N m2 C−2
Unidad 7. Campo eléctrico
29
a) La fuerza que actúa sobre la segunda partícula viene dada por la ley de Coulomb:
r
r
F = q2 · E
r
donde E es el campo creado por la carga q1:
q1 r
r
1 · 10−6
r
= 36 000 · u r N · C−1
E = K · · u r = 9 · 109 · 0,52
r2
Por tanto:
r
r
r
r
F = q2 · E = 2 · 10−6 · 36 000 · u r = 0,072 · u r N
Su energía potencial electrostática es:
q1
1 · 10−6
Ep = q2 · V = q2 · K · = 2 · 10−6 · 9 · 109 · = 0,036 J
0,5
r
b) Al ser una carga positiva, se moverá en el sentido en que disminuya su energía
potencial. Se moverá, por tanto, en la misma dirección y sentido que el campo
eléctrico. Cuando se haya desplazado 0,2 m, estará a 0,7 m de la carga que crea
el campo, q1. En ese punto, su energía potencial es:
q1
1 · 10−6
Ep' = q2 · K · = 2 · 10−6 · 9 · 109 · = 0,026 J
0,7
r'
Al ser el campo eléctrico conservativo, se cumple que:
−∆Ep = ∆Ec → ∆Ec = −(0,026 − 0,036) = 0,010 J
c) El trabajo realizado por el campo eléctrico coincide con el incremento de la energía cinética de la partícula (teorema de las fuerzas vivas):
W = 0,010 J
40. Tres cargas iguales, de +100 µC, están situadas en el vacío, en los puntos
A (0,0), B (0,4) y C (3,0). Las coordenadas se expresan en metros.
Calcula la fuerza que las dos primeras cargas ejercen sobre la tercera y el vector intensidad del campo eléctrico en el punto (3,0).
La situación de las cargas es la que se muestra en la figura:
y (m)
B (0,4)
FAC
A (0,0)
x (m)
C (3,0)
FBC
Unidad 7. Campo eléctrico
30
Para determinar la fuerza total que actúa sobre la carga C debido a la acción de
A y B, aplicamos el principio de superposición, calculando por separado la fuerza
que ejerce cada carga (A y B) sobre C, y sumando ambos resultados.
La fuerza que ejerce A sobre C es:
r
r
100 · 106 · 100 · 106 r
Q·q r
9
FAC = K · ·
u
=
9
·
10
·
· i = 10 · i N
r
2
2
3
r
Para calcular la fuerza que ejerce B sobre C, calculamos en primer lugar el vector
unitario de la dirección en que está dirigida esa fuerza:
r
r
r
3
4
ur = · i − · j
2
2
2
2
3 +4
3 +4
r
r
3 r 4 r
= · i − · j = 0,6 · i − 0,8 · j
5
5
La fuerza que ejerce B sobre C es, por tanto:
r
Q·q r
· ur =
FBC = K · r2
r
r
100 · 106 · 100 · 106
= 9 · 109 · · (0,6 · i − 0,8 · j ) =
2
2
3 4
r
r
= (2,16 · i − 2,88 · j ) N
Al sumar ambas fuerzas, resulta:
r r
r
r
r
F = FAC + FBC = (12,16 · i − 2,88 · j ) N
Para calcular la intensidad del campo eléctrico, aplicamos, al igual que en el apartado anterior, el principio de superposición.
Para la carga A resulta:
r
r
100 · 106 r
Q r
· i = 100 000 · i N · C−1
EAC = K · 2 · u r = 9 · 109 · 2
3
r
Mientras que para la carga B:
r
r
r
100 · 106
Q r
· (0,6 · i − 0,8 · j ) =
EBC = K · 2 · u r = 9 · 109 · 2
2
3 +4
r
r
r
= (2,16 · i − 2,88 · j ) · 104 N · C−1
Al sumar ambos campos, obtenemos el resultado que nos piden:
r r
r
r
r
E = EAB + EBC = (12,16 · i − 2,88 · j ) · 104 N · C−1
NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.
41. Una carga positiva de 3 · 10−9 C está situada en el aire y en el origen, O, de un
sistema de coordenadas. Una carga negativa puntual de 4 · 10−9 C se coloca en
el punto A de coordenadas (0,4), dadas en metros. Determina la intensidad
del campo eléctrico y del potencial en el punto P, de coordenadas (3,0).
El campo que crean las cargas situadas en O y A lo calculamos aplicando el principio
de superposición.
De acuerdo con la siguiente figura:
Unidad 7. Campo eléctrico
31
Y
A (0, 4)
q2 = –4 · 10–9 C
r2
Etotal
EA
q1 = 3 · 10–9 C
EO
O
r1
X
P (3, 0)
El campo eléctrico que la carga situada en O crea en P es:
q1 r
r
r
3 · 10−9
EO = K · 2 · i = 9 · 109 · = 3 · i N · C−1
2
3
r1
El campo eléctrico que la carga situada en A crea en P tiene dos componentes, como
se aprecia en la siguiente ilustración:
Y
A (0, 4)
d = 32 + 42 = 5
EAy
O
α
126,87°
EAx P (3, 0)
X
De acuerdo con la figura:
4
4
sen α = → α = arcsen = 53,13°
5
5
Por tanto:
q2
r
r
r
EA = K · 2 · (cos α · (−i ) + sen α · j ) =
r2
r
r
4 · 10−9
= 9 · 109 · · (cos 53,13° · (−i ) + sen 53,13° · j ) =
2
5
r
r
= −0,86 · i + 1,15 · j
El campo eléctrico total será la suma de ambos:
r
r
r
r
r
r
ET = EO + EA = 3 · i − 0,86 · i + 1,15 · j =
r
r
= 2,14 · i + 1,15 · j
y su módulo:
2,142 +
1,152 = 2,43 N · C−1
ET = El potencial eléctrico en el punto P es la suma de los potenciales creados por las cargas situadas en O y en A:
Unidad 7. Campo eléctrico
32
q1
3 · 10−9
VO = K · = 9 · 109 · = 9 V
r
3
q2
−4 · 10−9
VA = K · = 9 · 109 · = −7,2 V
r
5
VT = VO + VA = 9 − 7,2 = 1,8 V
42. Cuatro cargas, q1 = 2 µC, q2 = −3 µC, q3 = −4 µC y q4 = 2 µC, están situadas en los
vértices de un rectángulo, como indica la figura adjunta:
q2 –
– q3
3m
q1 +
+ q4
4m
Halla la fuerza total que ejercen las cargas q1, q2 y q3 sobre q4.
Dato: K = 9 · 109 unidades S. I.
La fuerza que cada carga ejerce sobre q4 es la que se representa en la figura adjunta:
Y
q2 = –3 µC –
3m
–
r2 = 5 m
r3 = 3 m
α
r1 = 4 m
3
tg = 4
3
4
= arctg = 36,86°
F3
F2
q1 = 2 µC +
q3 = –4 µC
+
F1
q4 = 2 µC
X
– Fuerza que ejerce la carga q1 sobre la carga q4:
q1 · q4
2 · 10−6 · 2 · 10−6
9
=
9
·
10
·
= 2,25 · 10−3 N
F1 = K · 42
r 21
r
r
F1 = 2,25 · 10−3 · i N
– Fuerza que ejerce la carga q2 sobre la carga q4:
q1 · q2
r
r
r
= (cos α · (−i ) + sen α · j ) =
F 2 = K · 2
r2
r
r
2 · 10−6 · 3 · 10−6
= (cos 36,86° · (−i ) + sen 36,86° · j ) =
= 9 · 109 · 2
5
r
r
= −1,73 · 10−3 · i + 1,30 · 10−3 · j
– Fuerza que ejerce la carga q3 sobre la carga q4:
Unidad 7. Campo eléctrico
33
q3 · q4
4 · 10−6 · 2 · 10−6
9
F3 = K · =
9
·
10
·
= 8 · 10−3 N
32
r 23
r
r
F3 = 8 · 10−3 · j N
La fuerza total que actúa sobre la carga q4 es la suma vertical de las calculadas:
r r
r
r
r
r
r
r
F = F1 + F2 + F3 = 2,25 · 10−3 · i − 1,73 · 10−3 · i + 1,30 · 10−3 · j + 8 · 10−3 · j =
r
r
= (0,52 · 10−3 · i + 9,3 · 10−3 · j ) N
y su módulo:
F=
(0,52 ·
10−3)2
+ (9,3
· 10−3
)2 = 9,31 · 10−3 N
−4), C (−
−2,0) y D (2,0) metros, de un sistema de coor43 En los puntos A(4,0), B (0,−
denadas, se encuentran, respectivamente, las cargas eléctricas q1 = 14 · 10−5 C,
q2 = 23 · 10−5 C, q3 = − 8 · 10−5 C y q4 = − 6 · 10−5 C. Calcula:
a) La intensidad del campo eléctrico en el punto (0,0).
b) El potencial eléctrico en el punto (0,0).
c) La energía potencial eléctrica que adquiere una carga de +25 · 10−6 C al situarse en ese punto.
Dato: K = 9 · 109 N · m2 · C−2
a) Las cargas están situadas en un sistema de coordenadas como se indica en la figura:
E2
q3–
E3
E1
q4–
C
E4 D
q2+
q1+
A
B
El campo eléctrico creado en el punto (0, 0) será la superposición de los campos
creados por cada una de las cuatro cargas:
– Campo eléctrico creado por la carga q1 en el origen:
q1
r
r
r
14 · 10−5
E1 = K · 2 · (−i ) = 9 · 109 · = 7,88 · 104 · (−i ) N · C−1
2
4
r1
– Campo eléctrico creado por la carga q2 en el origen:
q2 r
r
r
23 · 10−5 r
E2 = K · 2 · j = 9 · 109 · · j = 12,94 · 104 · j N · C−1
2
4
r2
Unidad 7. Campo eléctrico
34
– Campo eléctrico creado por la carga q3 en el origen:
q3 r
r
r
−8 · 10−5 r
· i = −18 · 104 · i N · C−1
E3 = K · 2 · i = 9 · 109 · 22
r3
– Campo eléctrico creado por la carga q4 en el origen:
q4
r
r
r
r
−6 · 10−5
· (−i ) = 13,5 · 104 · i N · C−1
E4 = K · 2 · (−i ) = 9 · 109 · 2
2
r4
Por tanto, el campo eléctrico resultante en el origen es:
r r
r
r
r
r
r
r
r
E = E1 + E2 + E3 + E4 = −7,88 · 104 · i + 12,94 · 104 · j − 18 · 104 · i + 13,5 · 104 · i =
r
r
= −12,38 · 104 · i + 12,94 · 104 · j
y su módulo:
E=
8 · 104
)2 + (1
2,94 · 104)2 = 17,91 · 104 N · C−1
(−12,3
Y el ángulo que forma en el eje Y:
12,38 · 104
tg α = 4 = 0,957 → α = arctg 0,957 = 43,73°
12,94 · 10
b) El potencial es una magnitud escalar cuyo valor se calcula sumando el potencial
creado por cada carga:
q1
14 · 10−5
V1 = K · = 9 · 109 · = 31,5 · 104 V
4
r1
q2
23 · 10−5
V2 = K · = 9 · 109 · = 51,75 · 104 V
4
r2
q3
−8 · 10−5
V3 = K · = 9 · 109 · = −36 · 104 V
2
r3
q4
−6 · 10−5
V4 = K · = 9 · 109 · = −27 · 104 V
2
r4
Por tanto:
V = V1 + V2 + V3 + V4 = (31,5 + 51,75 − 36 − 27) · 104 = 20,25 · 104 V
c) La energía potencial eléctrica que corresponde a la carga es:
Ep = q · V = 25 · 10−6 · 20,25 · 104 = 5,06 J
44. Se libera desde el reposo un protón en un campo eléctrico uniforme de intensidad 7 · 104 V · m−1 dirigido a lo largo del eje X en sentido positivo. El protón se desplaza una distancia de 0,2 m en la dirección del campo. Calcula:
a) La diferencia de potencial que ha experimentado el protón en el desplazamiento indicado.
b) La variación de energía potencial.
c) La velocidad del protón al final de los 0,2 m recorridos.
Datos: qp = 1,6 · 10−19 C; mp = 1,67 · 10−27 kg
Unidad 7. Campo eléctrico
35
a) La relación entre la diferencia de potencial y el campo eléctrico es:
r
2
V2 − V1 = −
r
r
E · dr
r
1
En este caso, como el campo eléctrico es uniforme y el protón se desplaza en la
dirección del campo:
V2 − V1 = −
x
2
x
1
E · dx · cos 0° = −
x
2
x
1
E · dx = −E ·
x
2
x
1
dx = −E · (x2 − x1)
Por tanto:
V2 − V1 = −E · (x2 − x1) = −7 · 104 · (0,2 − 0) = −1,4 · 104 V
b) La expresión que relaciona la variación del potencial con la variación de la energía potencial es:
∆Ep = q · ∆V → ∆Ep = q · (V2 − V1) = 1,6 · 10−19 · (−1,4 · 104) = −2,24 · 10−15 J
El protón se mueve espontáneamente hacia potenciales decrecientes, disminuyendo el valor de su energía potencial y aumentando el de su energía cinética, de
tal modo que su energía mecánica se conserva.
c) Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía:
∆Ec + ∆Ep = 0 → ∆Ec = −∆Ep → Ec − Ec = −∆Ep
2
1
Como el protón se libera desde el reposo, Ec = 0. Por tanto:
1
E c = − ∆E p →
2
1
⋅ m ⋅ v 2 = − ∆E p → v =
2
2 ⋅ ( − ∆E p )
m
=
2 ⋅ [ − ( −2,24 ⋅ 10 −15 )]
=
1,67 ⋅ 10 −27
= 1, 64 ⋅ 10 6 m ⋅ s −1
45. En el interior de una nave espacial existen las siguientes cargas: 5 µC, –9 µC,
27 µC, –84 µC. Suponiendo que la constante dieléctrica del medio es ε0, calcula el flujo de campo eléctrico que atraviesa las paredes de la nave.
Compara el número de líneas de campo que salen de la nave con el número
de líneas que entran en ella.
El teorema de Gauss permite calcular el flujo que atraviesa una superficie cerrada, S.
Para el campo eléctrico, el teorema de Gauss se enuncia en la forma:
φ=
Qint
ε
expresión en la que Qint es la carga total que encierra en su interior la superficie S,
y ε, la constante dieléctrica del medio en que se encuentra dicha superficie.
El número de líneas que atraviesan la superficie por unidad de superficie es proporcional al flujo que existe. Podemos hablar de un flujo que entra (cuando las cargas
eléctricas que encierra la superficie son negativas) y de un flujo que sale (cuando las
cargas eléctricas que encierra son positivas).
Unidad 7. Campo eléctrico
36
De acuerdo con lo dicho, el flujo total que atravesará las paredes de la nave será:
φ total =
Qint
(5 − 9 + 27 − 84) ⋅ 10 −6
= −6, 89 ⋅ 10 6 N ⋅ m 2 ⋅ C−1
=
ε
8, 85 ⋅ 10 −12
El flujo que entra (correspondiente a las cargas negativas) es:
φ− =
Qint (− ) ( −9 − 84) ⋅ 10 −6
=
= −10, 51 ⋅ 10 6 N ⋅ m 2 ⋅ C−1
−12
ε
8, 85 ⋅ 10
Mientras que el flujo que sale (que corresponde a las cargas positivas) resulta ser el
siguiente:
φ+ =
Qint (+ ) (5 + 27) ⋅ 10 −6
= 3, 62 ⋅ 10 6 N ⋅ m 2 ⋅ C−1
=
ε
8, 85 ⋅ 10 −12
En cuanto a la relación que existirá entre las líneas de campo que salen y las que entran, esta será:
3, 62 ⋅ 10 6
φ+
=
= 0, 34
φ − 10, 51 ⋅ 10 6
lo que significa que, por cada 34 líneas de campo que salen, entran 100.
NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.
46. En una posición del espacio A, donde existe un campo eléctrico uniforme dirigido a lo largo del eje Z positivo, se coloca una partícula cargada de carga
q = 10−6 C y masa m = 10−6 kg con velocidad inicial nula.
Debido a la acción del campo eléctrico, esta partícula se acelera hasta otra posición B donde, tras recorrer un metro, llega con una velocidad cuyo módulo
es 100 m · s−1:
a) ¿Cuál es la dirección y el sentido de la velocidad?
b) Dibuja las superficies equipotenciales de ese campo eléctrico.
c) ¿Cuánto valdrá la diferencia de potencial entre los puntos A y B?
d) ¿Cuánto vale el campo eléctrico (dirección, módulo y sentido)?
a) La dirección y el sentido de la velocidad de la carga coinciden con los del campo
eléctrico al tratarse de una carga positiva. En consecuencia:
r
r
v =v·k
b) El vector campo eléctrico es perpendicular en todo punto a las superficies equipotenciales. Como el campo eléctrico es uniforme y está dirigido según el sentido
positivo del eje Z, estas serán planos paralelos al plano XY, como se muestra en
la figura de la página siguiente.
El potencial de las superficies decrecerá según se avanza en el sentido positivo
del eje Z.
Unidad 7. Campo eléctrico
37
Z
E
VB
B
VA > VB
VA
A
Y
X
c) La carga positiva se mueve espontáneamente en la dirección y sentido de las líneas del campo eléctrico, disminuyendo el valor de su energía potencial y aumentando el de su energía cinética. Como la partícula parte del reposo y alcanza
una velocidad final de 100 m · s−1, la variación de su energía cinética es:
1
1
∆Ec = Ec − Ec = Ec − 0 = · m · v 2 = · 10−6 · 1002 = 5 · 10−3 J
2
1
2
2
2
Teniendo en cuenta el principio de conservación de la energía mecánica:
∆Ec + ∆Ep = 0 → ∆Ep = −∆Ec
Y que:
∆Ep
∆Ep = q · ∆V → ∆V = q
Obtenemos:
−5 · 10−3
∆V = V2 − V1 = = −5 000 V
10−6
El resultado obtenido es lógico, ya que una carga positiva se mueve espontáneamente hacia potenciales decrecientes: V2 V1.
NOTA: en la resolución del problema se ha prescindido de la acción del campo gravitatorio.
47 La figura adjunta representa las superficies equipotenciales de una zona del
espacio donde existe un campo eléctrico. Las superficies están separadas una
de otra una distancia de 10 cm:
Y
50 V
40 V
30 V
20 V
10 V
1
2
10 cm
X
a) ¿Cuánto vale el campo eléctrico en dicha zona del espacio?
b) Dibuja las líneas del campo eléctrico.
c) ¿Qué trabajo hay que realizar para trasladar un electrón desde el punto 1
al punto 2? ¿Lo efectuará el propio campo eléctrico o deberemos aplicar
alguna fuerza externa?
Dato: qe = −1,6 · 10−19 C.
Unidad 7. Campo eléctrico
38
a) La relación entre la diferencia de potencial y el campo eléctrico es:
V2 − V1 = −
r
2
r
r
E · dr
r
1
En este caso:
V2 − V1 = −
x
2
x
1
E · dr · cos 0° = −E · (x2 − x1)
V1 − V2
50 − 10
= 100 N · C−1
E = = 4
·
10 · 10−2
x2 − x1
El sentido del campo eléctrico estará dirigido hacia potenciales decrecientes; por
tanto:
r
r
E = 100 · i N · C−1
b) Las líneas del campo eléctrico son perpendiculares a las superficies equipotenciales. De acuerdo con lo expuesto en el apartado anterior, estarán dirigidas a lo largo del sentido positivo del eje X, como se muestra en la figura:
V
Y
E
X
c) El trabajo necesario lo calculamos como sigue:
W = −q · ∆V = −q · (V2 − V1) = −(−1,6 · 10−19) · (10 − 50) = −64 · 10−19 J
Las cargas negativas, como la del electrón, se mueven espontáneamente hacia potenciales crecientes; como en este caso lo hace hacia potenciales decrecientes, es
necesario aplicar sobre él una fuerza externa, de sentido contrario a la del campo.
48 Debido a la fricción, una canica de acero de 0,5 cm de radio adquiere una carga de 30 nC. ¿Qué potencial adquiere la canica?
El potencial que adquiere una esfera de radio R al cargarse se calcula mediante la expresión:
V =
Q
Q
=K⋅
4 ⋅ π ⋅ εo ⋅ R
R
Sustituyendo valores, en el caso que nos ocupa resulta:
V = 9 ⋅ 10 9 ⋅
Unidad 7. Campo eléctrico
30 ⋅ 10 −9
= 54 000 V
0, 5 ⋅ 10 −2
39
49. Tenemos dos cargas eléctricas puntuales de 2 C y –5 C, separadas una distancia de 10 cm. Calcula el campo en los puntos siguientes:
a) A 20 cm de la carga positiva, tomados en la dirección de la recta que une
las cargas y en el sentido de la negativa a la positiva.
b) A 20 cm de la carga negativa, contados en la misma dirección, pero en sentido de la positiva a la negativa.
c) ¿En qué punto de dicha recta es nulo el potencial eléctrico?
a) La situación de las cargas y del punto donde se quiere calcular el campo es la
que se muestra en la siguiente figura:
E2C
E–5C
q1 = 2 C q2 = – 5 C
A
En el punto A una carga de prueba positiva se verá repelida por el campo creado
por la carga positiva, y atraída por el creado por la carga negativa. El campo que
crea cada una de ellas es:
q1
r
r
r
r
2
E2 C = K · 2 · (−i ) = 9 · 109 · · (−i ) = −45 · 1010 · i N · C−1
−2 2
(20
·
10
)
r1
q2
r
r
r
r
−5
E−5 C = K · 2 · (−i ) = 9 · 109 · · (−i ) = 50 · 1010 · i N · C−1
−2 2
(30
·
1
0
)
r2
El campo resultante en el punto A es:
r
r
r
r
r
EA = E2 C + E−5 C = (−45 · 1010 + 50 · 1010) · i = 5 · 1010 · i N · C−1
b) En este caso, una carga de prueba positiva colocada en el punto B de la figura será repelida por la carga q1 y atraída por la carga q2:
E–5C
q1 = 2 C q2 = – 5 C
E2C
B
Los campos que crea cada carga son:
q1 r
r
r
r
2
E2 C = K · 2 · i = 9 · 109 · · i = 20 · 1010 · i N · C−1
−2 2
(30 · 10 )
r1
q2 r
r
r
r
−5
E−5 C = K · 2 · i = 9 · 109 · · i = −112,5 · 1010 · i N · C−1
−2 2
(20 · 10 )
r2
Y el campo resultante:
r
r
r
r
r
EB = E2 C + E−5 C = (20 · 1010 − 112,5 · 1010) · i = −92,5 · 1010 · i N · C−1
c) El punto en que se anula el potencial eléctrico estará entre ambas cargas.
Si llamamos x a la distancia de la carga positiva al punto donde se anula el potencial, la distancia de la segunda carga a dicho punto será 0,1 − x. Por tanto, imponiendo la condición de que se anula el potencial, se obtiene:
q1
q2
V2 C + V−5 C = 0 → K · + K · = 0 →
r1
r2
Unidad 7. Campo eléctrico
40
2
−5
2
5
→ 9 · 109 · + 9 · 109 · = 0 → = →
x
0,1 − x
x 0,1 − x
0,2
→ 7 · x = 0,2 → x = = 0,0286 m = 2,86 cm
7
El potencial eléctrico se anula a 2,86 cm, medidos hacia la derecha de la carga
positiva.
50. Dos cargas puntuales de 8 µC y –5 µC están situadas, respectivamente, en los
puntos (0, 0) y (1, 1) metros. Calcula:
a) La fuerza que actúa sobre una tercera carga de 1 µC situada en el punto
(2, 2) metros.
b) El trabajo necesario para llevar esta última carga desde el punto que ocupa
hasta el punto (0, 1) metros.
La situación de las cargas que propone el enunciado es la que se muestra en la siguiente figura:
Y
F1
q3
(0, 1)
(2, 2)
F2
(1, 1)
q2
45°
q1 (0, 0)
X
La distancia de cada carga al punto (2, 2) la obtenemos aplicando el teorema de Pitágoras:
2
+ 22 = 2 · 2 m
2
2
+ 12 = 2 m
r2 = 1
r1 =
a) La fuerza que ejerce la carga q1 = 8 µC sobre la carga q3 = 1 µC, es:
q2 · q3
r
r
r
F1 = K · 2 · (cos 45° · i + sen 45° · j ) =
r1
= 9 · 109 ·
8 · 106 · 1 · 106
r
r
· (cos 45° · i + sen 45° · j ) =
(2 · 2)2
r
r
= (6,36 · 10−3 · i + 6,36 · 10−3 · j ) N
Y la que ejerce la carga q2 = −5 µC sobre la carga q3 = 1 µC:
q2 · q3
r
r
r
·
(cos
45°
·
i
+
sen
45°
·
j
)=
F2 = K · r 22
= 9 · 109 ·
5 · 106 · 1 · 106
r
r
· (cos 45° · i + sen 45° · j ) =
(2)2
r
r
= (−15,91 · 10−3 · i − 15,91 · 10−3 · j ) N
Unidad 7. Campo eléctrico
41
La fuerza eléctrica resultante que actúa sobre q3 es:
r r
r
r
r
r
r
F = F1 + F2 = 6,36 · 10−3 · i + 6,36 · 10−3 · j − 15,91 · 10−3 · i − 15,91 · 10−3 · j =
r
r
r r
= −9,55 · 10−3 · i − 9,55 · 10−3 · j = −9,55 · 10−3 · (i + j ) N
b) El potencial a que se encuentra el punto (2, 2) es:
q1
q2
q1 q2
V(2, 2) = V1 + V2 = K · + K · = K · + =
r1
r2
r1
r2
8 · 10−6 −5 · 10−6
= 9 · 109 · + = −6 363,96 V
2 · 2
2
Y el que corresponde al punto (0, 1):
q1
q2
q1
q2
V(0, 1) = V'1 + V'2 = K · + K · = K · + =
r '1
r '2
r '1 r '2
8 · 10−6 −5 · 10−6
= 9 · 109 · + = 27 · 103 V
1
1
Se trata, por tanto, de una carga positiva que se mueve hacia potenciales crecientes. Como no lo hace espontáneamente, habrá que realizar trabajo sobre ella:
Wext = q · ∆V = 1 · 10−6 · (27 · 103 + 6 363,96) = 20,64 · 10−3 J
51. Dos cargas eléctricas puntuales de –2 µC, están situadas en los puntos A(–4,0)
y B(4,0) metros:
a) Calcula la fuerza sobre una carga de 1 µC, situada en el punto (0,5) metros.
b) ¿Qué velocidad tendrá al pasar por el punto (0,0) metros?
Datos: K = 9 · 109 N · m2 · C−2; Masa = 1 g
a) Las cargas y las fuerzas eléctricas que actúan con las que se muestran en la siguiente figura:
q = 1 µC
FA = 4,4 · 10–4 N
r1
α
FB = 4,4 · 10–4 N
r2
d = 42 + 52 = 6,4 m
Ftotal = 6,88 · 10–4 N
q2 = – 2 µC
q1 = –2 µC
A
B
Observa que, de acuerdo con ella, la fuerza resultante en la dirección del eje X es
nula, ya que ambas cargas atraen a la tercera con fuerzas del mismo valor y de
sentidos opuestos en esa dirección. Por tanto, tan solo hemos de calcular la fuerza eléctrica resultante en la dirección del eje Y.
La distancia de las cargas de +2 µC y −2 µC a la tercera se calcula aplicando el
teorema de Pitágoras:
r1 = r2 = r =
42 + 52 = 6,4 m
El ángulo α es:
Unidad 7. Campo eléctrico
42
4
4
tg α = → α = arctg = 38,66°
5
5
Por tanto:
r
Fq
q1 · q
r
= K · · cos α · j =
2
r
−6
−6
r
r
−2 · 10 · 1 · 10
· cos 38,66° · j = −3,43 · 10−4 · j N
= 9 · 109 · 2
(6, 4)
q2 · q
r
r
· cos α · j =
Fq → q, Y = K · 2
2
r
−6
−6
r
r
−2
·
10
·
10
·
1
· cos 38,66° · j = −3,43 · 10−4 · j N
= 9 · 109 · 2
(6, 4)
1
→ q, Y
La fuerza resultante es, por tanto:
r r
r
r
r
r
F = Fq → q, Y + Fq → q, Y = −3,43 · 10−4 · j − 3,43 · 10−4 · j = −6,86 · 10−4 · j N
1
2
b) Este apartado se puede resolver calculando la variación de energía potencial de
la carga entre ambos puntos, y aplicando el principio de conservación de la energía, pero, como el enunciado proporciona como dato la masa de la partícula, se
puede resolver de forma más sencilla y rápida utilizando conceptos cinemáticos.
La fuerza calculada en el apartado anterior le proporcionará a la carga la siguiente aceleración:
6,86 · 10−4
F
= 0,69 m/s2
F = m · a → a = = 1 · 10−3
m
Teniendo en cuenta que:
v 2 − v 20 = 2 · a · s
Obtenemos:
v 2 = 2 · 0,69 · 5 = 6,86 m2 · s−2 → v =
= 2,62 m · s−1
6,86
52 En tres vértices de un cuadrado de 2 m de lado se disponen cargas de +10 µC.
Calcula el vector intensidad de campo eléctrico y el potencial eléctrico en el
cuarto vértice, y el trabajo necesario para llevar una carga de –5 µC desde el
centro del cuadrado hasta el cuarto vértice.
El sistema de referencia escogido para este problema es el siguiente:
Y
Y
E3
er
er
E2
2
E3
3
1
r1
α
4
er
r2
r3
1
E
X
er
3
Unidad 7. Campo eléctrico
3
2
1
α
4
2
E2
er
er
1
X
E
1
43
r1 = 2 m
r2 =
2 + 22 = 2 · 2 m
2
r3 = 2 m
El campo eléctrico que crea la carga q1 en el cuarto vértice es:
q1 r
r
r
10 · 10−6 r
· i = 2,25 · 104 · i N · C−1
E1 = K · 2 · i = 9 · 109 · 2
2
r1
El que crea que la carga q2 en el cuarto vértice es:
q2
r
r
r
E2 = K · 2 · (cos α · i + sen α · j )
r2
donde el ángulo vale 45° al tratarse del formado por la diagonal de un cuadrado con
uno de sus lados. Por tanto:
r
r
r
10 · 10−6
E2 = 9 · 109 · · (cos 45° · i + sen 45° · j ) =
2
(2 · 2)
r
r
= 0,80 · 104 · i + 0,80 · 104 · j
Y el creado por la carga q3:
q3 r
r
r
10 · 10−6
= 2,25 · 104 · j N · C−1
E3 = K · 2 · j = 9 · 109 · 2
2
r3
El campo eléctrico resultante en el cuarto vértice será la suma de los anteriores:
r
r
r
r
r
r
r r
E = E1 + E2 + E3 = 2,25 · 104 · i + 0,80 · 104 · i + 0,80 · 104 · j + 2,25 · 104 · j =
r
r
= 3,05 · 104 · (i + j ) N · C−1
El potencial eléctrico en el cuarto vértice se obtiene sumando el que corresponde al
creado por cada carga:
q1
q2
q3
q1 q2 q3
V = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · = K · + + =
r1
r2
r3
r1
r2
r3
1
1
1
= 9 · 109 · 10 · 10−6 · + + = 1,22 · 105 V
2 2 · 2 2
El trabajo necesario para trasladar una carga desde el centro hasta el cuarto vértice lo
realizamos del siguiente modo:
– En primer lugar, calculamos el potencial a que se encuentra el centro del cuadrado:
q1
q2
q3
V0 = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · r1
r2
r3
donde:
r1 = r2 = r3 = r =
8 2 · 2
= = 2 m
2
2
;
q1 = q2 = q3 = 9 = 10 · 10−6 C
Por tanto:
K · q 3 · 9 · 109 · 10 · 10−6
V0 = 3 · = = 1,91 · 105 V
r
2
Unidad 7. Campo eléctrico
44
– A continuación calculamos la diferencia de potencial entre ambos puntos:
∆V = Vf − V0 = 1,22 · 105 − 1,91 · 105 = −0,69 · 105 V
Como se observa, Vf < V0. Como una carga negativa se traslada espontáneamente
hacia potenciales crecientes, en este caso será necesario que se realice un trabajo
exterior en contra de las fuerzas del campo.
– Calculamos el valor del trabajo realizado por las fuerzas del campo:
W = −q · ∆V = −(−5 · 10−6) · (−0,69 · 105) = −3,45 · 10−6 J
El signo negativo obtenido indica que el trabajo a realizar es externo.
53. Tres cargas positivas e iguales, de 2 µC cada una, se encuentran situadas en
tres de los vértices de un cuadrado de 10 cm de lado. Calcula:
a) El campo eléctrico en el centro del cuadrado.
b) Los potenciales en los puntos medios de los lados del cuadrado que unen
las cargas y el trabajo realizado al desplazarse la unidad de carga entre dichos puntos.
a) Para resolver el problema utilizaremos un sistema de referencia con el origen situado en el centro del cuadrado, como se muestra en la figura.
y
q1
E3
E2
ur2
ur3
0,1 m
P
r
0,05 m
x
ur1
E1
q2
q3
0,05 m
De acuerdo con ella:
r1 = r2 = r3 = r
;
r=
0,052 +
0,052 = 7,07 · 10−2 m
Además, fíjate en que los campos producidos por q1 y q3 son del mismo valor y
sentido opuesto, por lo que el campo resultante en el centro del cuadrado coincidirá con el campo creado por la carga q2:
q2
r r
r
r
E = E2 = K · 2 · (cos 45° · i + sen 45° · j ) =
r
−6
r r
2 r r
2 · 10
= 9 · 109 · · · (i + j ) = 2,55 · 106 · (i + j ) N · C−1
(7,07 · 10−2)2
2
b) Para obtener los potenciales en dichos puntos necesitamos conocer, en primer lugar, la distancia que separa cada carga del punto medio. De acuerdo con la siguiente figura:
Unidad 7. Campo eléctrico
45
q1
r1A
r1B
A
r3A
r2A
q2
r2B
r3B
B
q3
Dichas distancias son:
r1A = r2A = 0,05 m
r2B = r3B = 0,05 m
r 23A = 0,052 + 0,102 = 0,0125 m2 → r3A = 0,112 m = r1B
El potencial en el punto A es:
q1
q2
q3
VA = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · r1A
r2A
r3A
Como q1 = q2 = q3 = q = 2 · 10−6 C, se obtiene:
1
1
1
1
1
1
VA = K · q · + + = 9 · 109 · 2 · 10−6 · + + = 8,8 · 105 V
r1A r2A r3A
0,05 0,05 0,112
Por simetría:
VB = 8,8 · 105 V
Como la d.d.p. entre ambos puntos es nula, el trabajo realizado al desplazarse la
unidad de carga entre ellos es nulo.
54 Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas puntuales de 2 µC y −2 µC, distantes entre sí 6 cm. Calcula el campo y el potencial eléctrico en un punto de la
mediatriz del segmento que las une, distante 5 cm de cada carga, y en otro situado en la prolongación del segmento que las une y a 2 cm de la carga positiva.
Dato: K = 9 · 109 S.I.
El sistema de referencia elegido para calcular el campo y el potencial eléctrico en un
punto de la mediatriz es el siguiente:
u2
β
α
A
5 cm
Q1
Unidad 7. Campo eléctrico
α
3 cm
E1
u1
β
E2
3 cm
Q2
46
De acuerdo con él:
r = r1 = r2 = 5 · 10−2 m
El valor de los ángulos α y β es:
3
3
cos α = → α = arccos = 53,13°
5
5
El campo creado por la carga q1 es:
q1
r
r
r
E1 = K · 2 · (cos α · i + sen α · j ) =
r
r
r
2 · 10−6
= 9 · 109 · · (cos 53,13° · i + sen 53,13° · j ) =
−2 2
(5 · 10 )
r
r
= (4,32 · 106 · i + 5,76 · 106 · j ) N · C−1
El campo creado por la carga q2 es:
q2
r
r
r
E2 = K · 2 · (cos α · (−i ) + sen α · j ) =
r
r
r
−2 · 10−6
= 9 · 109 · · (cos 53,13° · (−i ) + sen 53,13° · j ) =
−2 2
(5 · 10 )
r
r
= (4,32 · 106 · i − 5,76 · 106 · j ) N · C−1
El campo eléctrico resultante es la suma de los anteriores:
r r
r
r
r
r
r
E = E1 + E2 = 4,32 · 106 · i + 5,76 · 104 · j + 4,32 · 106 · i − 5,76 · 106 · j =
r
= 8,64 · 106 · i N · C−1
Al ser el potencial una magnitud escalar, su valor en el punto considerado es:
q1
q2 K
V = V1 + V2 = K · + K · = · (q1 + q2) =
r
r1
r2
9 · 109
· (2 · 10−6 − 2 · 10−6) = 0 V
= 5 · 10−2
El campo eléctrico en el punto situado en la prolongación del segmento que une las
cargas, a 2 cm de la carga positiva, se calcula también aplicando el principio de superposición. De acuerdo con la siguiente figura:
2 cm
6 cm
E1
C
E2
q1 = 2 µC
q2 = –2 µC
r
r
los campos E1 y E2 son:
q1
r
r
r
r
2 · 10−6
E1 = K · 2 · (−i ) = −9 · 109 · · i = −4,5 · 107 · i N · C−1
−2 2
(2 · 10 )
r1
q2
r
r
r
r
−2 · 10−6
E2 = K · 2 · (−i ) = 9 · 109 · · (−i ) = 2,81 · 106 · i N · C−1
−2 2
(8 · 10 )
r2
Unidad 7. Campo eléctrico
47
El campo resultante es:
r
r
r
r
r r
E = E1 + E2 = −4,5 · 107 · i + 2,81 · 106 · i = −4,22 · 107 · i N · C−1
siendo el potencial eléctrico en ese punto:
q1
q2
2 · 10−6 −2 · 10−6
V = V1 + V2 = K · + K · = 9 · 109 · + = 6,75 · 105 V
2 · 10−2
8 · 10−2
r1
r2
55 Dos esferas conductoras y aisladas y suficientemente alejadas entre sí, de 6 y
10 cm de radio, están cargadas cada una con una carga de 5 · 10−8 C. Las esferas se ponen en contacto mediante un hilo conductor y se alcanza una situación de equilibrio.
Calcula el potencial al que se encuentra cada una de las esferas, antes y después de ponerlas en contacto, y la carga de cada esfera cuando se establece el
equilibrio.
Dato: K = 9 · 109 N · m2 · C−2
En un conductor, la carga se distribuye por su superficie. Antes de poner en contacto ambas esferas, el potencial a que se encuentra cada una es:
5 · 10−8
Q
V1 = K · = 9 · 109 · = 7 500 V
6 · 10−2
R1
Q
5 · 10−8
V2 = K · = 9 · 109 · = 4 500 V
R2
10 · 10−2
El valor total de la carga de las esferas es:
Q = Q1 + Q2 = 5 · 10−8 + 5 · 10−8 = 10 · 10−8 C = 10−7 C
Cuando las esferas se ponen en contacto, la situación de equilibrio se alcanzará
cuando ambas se encuentren al mismo potencial; en ese momento dejarán de pasar
cargas de la esfera que se encuentra a mayor potencial a la que está a menor potencial.
Al imponer la condición de igualdad de potenciales, obtenemos el valor de la carga
que posee cada esfera después de alcanzar el equilibrio:
q1
q2
q1 q2
q1 Q − q1
V'1 = V'2 → K · = K · → = → = →
R1
R2
R1 R2
R1
R2
Q · R1
10−7 · 6 · 10−2
→ q1 = = = 3,75 · 10−8 C
R1 + R2 6 · 10−2 + 10 · 10−2
Por tanto:
q2 = Q − q1 = 10 · 10−8 − 3,75 · 10−8 = 6,25 · 10−8 C
Después de ponerlas en contacto y alcanzada la situación de equilibrio, el potencial
a que se encuentran ambas esferas es:
q1
3,75 · 10−8
= 5 625 V
V'1 = V'2 → K · = 9 · 109 · 6 · 10−2
R1
Unidad 7. Campo eléctrico
48
56 Se disponen cuatro cargas en los vértices de un cuadrado centrado en el origen
−a, a), 2 · q en (a, a), −3 · q en (a, −a),
como se indica a continuación: q en (−
−a, −a). Calcula:
y 6 · q en (−
a) El campo eléctrico en el origen.
b) El potencial en el origen.
c) Se sitúa una quinta carga +q en el origen y se libera desde el reposo. Calcula su velocidad cuando se encuentre a una gran distancia del origen.
a) La posición de las cargas y el campo eléctrico que crea cada una de ellas son los
que se muestran en la siguiente figura:
y
q
2.q
q
2.q
y
E6.q
E6.q + E2.q
90°
x
E2.q
x
Eq
E –3.q + Eq
E –3.q
6.q
– 3.q
6.q
– 3.q
El campo que la carga situada en (−a, a) crea en el origen es:
r
r
r
q
Eq = K · · (cos 45° · i − sen 45° · j ) =
2
(a · 2)
r r
r r
2
9 · 109 · 2 · q
q
= 9 · 109 · 2 · · (−i − j ) = · (−i − j )
2
2·a
2
4·a
El que crea la carga situada en (a, a):
r
r
r
2·q
E2 · q = K · · (−cos 45° · i − sen 45° · j ) =
(a · 2)2
r r
r r
2 · q 2
9 · 109 · 2 · q
= 9 · 109 · 2 · · (i − j ) = · (i − j )
2·a
2 · a2
2
El que crea la carga situada en (a, −a):
r
r
r
−3 · q
E−3 · q = K · · (−cos 45° · i + sen 45° · j ) =
2
(a · 2)
9
−9 · 10 · 3 · q 2
r r
r r
27 · 109 · 2 · q
· · (−i + j ) = · (i − j )
= 2
2
2·a
4·a
2
Y el que crea la carga situada en (−a, −a):
r
r
r
6·q
E6 · q = K · · (cos 45° · i + sen 45° · j ) =
2
(a · 2)
r r
r r
6 · q 2
27 · 109 · 2 · q
= 9 · 109 · 2 · · (i + j ) = · (i + j )
2
2·a
2
2·a
Unidad 7. Campo eléctrico
49
El campo resultante es la superposición de los anteriores:
r r
r
r
r
E = Eq + E2 · q + E−3 · q + E6 · q =
r
r
r r 3 r 3 r
r
r
i
j
9 · 109 · 2 · q
−
− i − j + · i − · j + 3 · i + 3 · j =
= ·
2
2 2
2
2
2·a
r
9 · 109 · 2 · q
18 · 109 · 2 · q r
= ·
(4
·
i
)
=
·i
2 · a2
a2
NOTA: el enunciado del problema no proporciona ninguna información sobre las unidades en que se
expresan las cargas y las coordenadas. Recuerda que, en el S. I., q se mide en C, la distancia en metros, F en N · C−1 y V en V.
b) El potencial en el origen será la suma del potencial creado en ese punto por cada
una de las cargas:
q
2·q
−3 · q
6·q
V = Vq + V2 · q + V−3 · q + V6 · q = K · + + + =
a · 2 a · 2 a · 2 a · 2
9 · 109
54 · 109 · q
27 · 2 · 109 · q
= · (6 · q) = = a
a · 2
a · 2
c) Si el origen de potenciales se sitúa en el infinito, v∞ = 0, allí toda la energía de
la carga será cinética. Por tanto, aplicando el principio de conservación de la
energía:
27 · 2 · 109 · q2
27 · 2 · 109 · q
Ec = Ep = q · V → Ec = q · = a
a
2 · Ec
1
Ec = · m · v 2 → v = =
2
m
2 · 27 · 2 · 109 · q2
=
m·a
54 · 2 · 109 · q2
m·a
57. Dos esferas metálicas, de 2 y 4 cm de radio, respectivamente, se encuentran
en el vacío. Cada una de ellas posee una carga de 50 nC:
a) Calcula el potencial a que se encuentra cada esfera.
En cierto instante, se unen ambas esferas mediante un conductor. Calcula:
b) El potencial a que se encuentra cada esfera tras unirse.
c) La carga que posee cada esfera tras la unión.
a) El potencial de una esfera cargada es:
V =K⋅
Q
R
Por tanto, para cada una de las esferas del enunciado obtenemos:
Unidad 7. Campo eléctrico
V1 = K ⋅
Q
50 ⋅ 10 −9
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
= 22 500 V
R1
2 ⋅ 10 −2
V2 = K ⋅
Q
50 ⋅ 10 −9
= 9 ⋅ 10 9 ⋅
= 11250 V
R2
4 ⋅ 10 −2
50
b) Cuando ambas esferas se unen, se inicia una transferencia de carga eléctrica, que
cesa cuando las dos se encuentran al mismo potencial. En ese caso, se cumple la
siguiente relación:
Q'1
Q'2
Q'1 Q'2
V1 = V2 → = → = [1]
4 · π · ε0 · R1 4 · π · ε0 · R2
R1
R2
Teniendo en cuenta, además, que la carga se conserva, resulta:
Q'1 + Q'2 = Q + Q = 2 · Q = 100 nC
[2]
Las ecuaciones [1] y [2] forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas,
Q'1 y Q'2. Para resolver el sistema, despejamos Q'1 en la expresión [2] y sustituimos
en la [1].
De ese modo, obtenemos la carga de la esfera de 4 cm de radio tras la unión:
100 − Q'1 Q'2
400
= = 2 · Q'2 = 400 − 4 · Q'2 → Q'2 = = 66,67 nC
6
2
4
y, por tanto, la carga de la esfera de 2 cm resulta:
Q'1 = 100 − 66,67 = 33,33 nC
c) El potencial al que quedan ambas esferas es:
Q'1
Q'2
33,33 · 10−9
=
V = V1 = V2 → V = K · = K · = 9 · 109 · 2 · 10−2
R1
R2
66,67 · 10−9
= 9 · 109 · = 15 000 V
4 · 10−2
NOTA: la resolución de este problema se ofrece también en el CD-ROM para el alumnado.
58 Supongamos, por un momento, que la materia no fuera eléctricamente neutra, sino que tuviera una carga neta diferente de cero debido a que la carga de
los protones no fuera igual a la de los electrones:
a) ¿Qué carga eléctrica deberían tener la Tierra y la Luna para que la repulsión electrostática igualara la atracción gravitatoria entre ambas? Considera que estas cargas están en la misma relación que sus masas.
b) Si admitimos que la masa de los electrones es mucho menor que la de los
protones y neutrones, ¿cuál debería ser la diferencia entre la carga del
protón y la del electrón para producir el valor de las cargas del apartado
anterior?
Datos: MLuna = 7,35 · 1022 kg;
Mprotón = Mneutrón = 1,67 · 10−27 kg.
a) La fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna viene dada por la ley
de la gravitación universal de Newton:
MT · ML
Fg = G · 2
rTL
Y la de atracción electrostática por la ley de Coulomb:
QT · QL
Fe = K · 2
rTL
Unidad 7. Campo eléctrico
51
al igualar ambas, obtenemos:
MT · ML
QT · QL
Fg = Fe → G · 2 = K · 2 → G · MT · ML = K · QT · QL
rTL
rTL
[1]
Teniendo en cuenta que las cargas de la Tierra y la Luna están en la misma relación que sus masas:
MT QT
QT · ML
= → MT = ML QL
QL
La expresión [1] queda como:
QT · M L2
G · M L2
6,67 · 10−11 · 7,35 · 1022
= 6,33 · 1012 C
G · = K · QT · QL → QL = = 9 · 109
QL
K
Por tanto, la carga que corresponde a la Tierra es:
QL · MT
6,33 · 1012 · 15,98 · 1024
QT = = = 5,15 · 1014 C
7,35 · 1022
ML
Por supuesto, la carga de la Luna y de la Tierra debe ser del mismo signo para
que se repelan.
b) Para resolver este apartado, supondremos que las masas de la Tierra y la Luna se
deben solo a los protones y neutrones, y despreciamos la contribución de los
electrones, al ser su masa mucho menor.
El número de nucleones que formarán la masa de la Luna (protones más neutrones), será:
ML
7,35 · 1022
= 4,4 · 1049 nucleones
n = = mnucleón 1,67 · 10−27
Considerando que el número de protones es igual al número de neutrones:
n 4,4 · 1049
nprotones = = = 2,2 · 1049 protones
2
2
Para que la Luna tuviera una carga de 6,33 · 1012 C, la diferencia entre la carga del
protón y del electrón debería ser:
6,33 · 1012
= 2,88 · 10−37
q = 2,2 · 1049
Es decir, la carga del protón podría ser:
qp = (1,6 · 10−19 ± 2,88 · 10−37) C
+
59. Tres cargas eléctricas puntuales iguales, con Q1 = Q2 = Q3 = 2 nC, están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. Calcula:
a) La fuerza que actúa sobre Q1.
b) El campo eléctrico y el potencial eléctrico en el centro (baricentro) del
triángulo.
a) De acuerdo con la figura:
Unidad 7. Campo eléctrico
52
FR
F3
F2
60°
q1
60°
q2
q3
La fuerza que ejerce la carga q2 sobre q1 es, en módulo:
q2 · q1
2 · 10−9 · 2 · 10−9
= 9 · 109 · = 3,6 · 10−8 N
Fq →q = K · 2
2
1
12
r
Del mismo modo, la que ejerce q3 sobre q1 es:
q3 · q1
2 · 10−9 · 2 · 10−9
= 9 · 109 · = 3,6 · 10−8 N
Fq →q = K · 2
3
1
12
r
Observa que, al ser el triángulo equilátero, el ángulo formado por ambas fuerzas
es de 60°. Por tanto, el valor de la resultante es:
F q2 →q + F q2 →
+2
· F q →q
· F q →q
· cos
60° =
F = q
2
=
1
3
1
2
1
3
1
(3,6 · 10 ) + (3,6 · 10 )
+ 2 ·
3,6 · 1
0 · 3
,6 · 10
· cos
60° = 6,24 · 10−8 N
−8 2
−8 2
−8
−8
Esta fuerza está dirigida en el sentido positivo del eje de ordenadas. Por tanto:
r
r
F = 6,24 · 10−8 · j N
b) Por definición, la distancia de cada carga al baricentro del triángulo es la misma.
Teniendo en cuenta la siguiente figura:
q1
er3
r
E3
E2
er2
150°
30°
270°
r
r
q3
30°
q2
E1
0,5 m
Unidad 7. Campo eléctrico
er1
53
Se observa que, por simetría, el campo eléctrico total creado por las tres cargas
en el baricentro del triángulo es nulo.
Para calcular el valor del potencial en dicho punto, debemos calcular la distancia
que separa las cargas del baricentro, que, de acuerdo con la siguiente figura:
× baricentro
r
30°
0,5 m
tiene el siguiente valor:
0,5
0,5
cos 30° = → r = = 0,577 m
r
cos 30°
El potencial en el baricentro se calcula de acuerdo con la siguiente expresión:
q1
q2
q3
V = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · r1
r2
r3
teniendo en cuenta que:
q1 = q2 = q3 = q
r1 = r2 = r3 = r
su valor es:
q
2 · 10−9
V = 3 · K · = 3 · 9 · 109 · = 93,53 V
r
0,577
60. Tres cargas positivas, de 5 nC cada una de ellas, se encuentran en los vértices
de un triángulo equilátero de 12 cm de lado.
a) Halla el campo eléctrico en el punto medio de uno de los lados del triángulo.
b) Halla el potencial eléctrico en el punto medio de uno de los lados del
triángulo.
c) Halla el punto en el que el campo eléctrico es cero.
a) Si tomamos un sistema de referencia centrado en el punto medio de uno de los
lados del triángulo, el campo eléctrico que crea en él cada carga es el mostrado
en la siguiente figura:
Unidad 7. Campo eléctrico
54
q3
r3
E2
q1
ur2
r1
E1
P
ur1
q2
ur3
r2
E3
De acuerdo con ello, los campos creados por las cargas q1 y q2 tienen el mismo
valor y sus sentidos son opuestos, por lo que se anulan entre sí. Por tanto, el
campo eléctrico en el punto medio es el debido a la carga q3.
El valor de r3 es:
122 = 62 + r 23 → r3 =
2
− 62 = 10,39 cm = 10,39 · 10−2 m
12
Por tanto:
q3
r
r
r
r
5 · 10−9
E3 = K · 2 · (−j ) = −9 · 109 · · j = −4,17 · 103 · j N · C−1
r3
(10,39 · 10−2)2
b) El valor del potencial en el punto medio de uno de los lados del triángulo es:
q1
q2
q3
V = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · r1
r2
r3
siendo:
q1 = q2 = q3 = q = 5 · 10−9 C
r1 = r2 = 6 cm = 6 · 10−2 m
r3 = 10,39 · 10−2 m
Por tanto:
1
1
1
1
1
1
V = K · q · + + = 9 · 109 · 5 · 10−9 · + + =
−2
−2
r1 r2 r3
6 · 10
6 · 10
10,39 · 10−2
= 1 933,11 V
c) El campo eléctrico, por simetría, es nulo en el baricentro del triángulo (consúltese la figura incluida en el apartado b) del problema anterior).
61. Sean dos iones de cargas 2 · |e| y −|e| respectivamente, separados una distancia de 3 Å. Calcula:
a) La distancia del ion positivo a la que se anula el campo eléctrico total.
b) La distancia del ion positivo a la que se anula el potencial eléctrico total.
c) La energía potencial eléctrica de los dos iones.
Unidad 7. Campo eléctrico
55
a) El campo eléctrico total se anulará en un punto de la recta que une ambas cargas
situado a la derecha de ambas, de acuerdo con la siguiente figura:
(I)
(M)
q1 = 3,2 · 10–19 C
Eq1
Eq2
ETOTAL
Eq2 Eq1
(D )
q2 = –1,6 · 10–19 C
Eq2
Eq1
ETOTAL
d = 3 · 10–10 m
x
Al imponer la condición de que, en módulo, se anule el campo, se obtiene el valor de la distancia x:
q1
q2
q1
q2
Eq = Eq → K · 2 = K · 2 → 2 = 2 →
1
2
(d + x)
x
(d + x)
x
→ x2 · (q2 − q1) + 2 · d · q2 · x + q2 · d 2 = 0
x2 · (1,6 · 10−19 − 2 · 1,6 · 10−19) + 2 · 3 · 10−10 · 1,6 · 10−19 · x + 1,6 · 10−19 · (3 · 10−10)2 = 0
−x2 + 6 · 10−10 · x + 9 · 10−20 = 0 → x = 7,24 · 10−10 m
La distancia al ion positivo es, por tanto:
d = 7,24 · 10−10 + 3 · 10−10 = 10,24 · 10−10 m = 10,24 Å
b) El potencial se anulará en un punto situado entre ambas cargas, a una distancia x
de la primera, que calculamos a continuación:
q1
q2
=0→
Vq + Vq = 0 → K · + K · −
1
2
x
3 · 10 10 − x
q1
−q1 · 3 · 10−10
q2
=
0
→
x
=
=
→ + −
3 · 10 10 − x
x
q2 − q1
−3,2 · 10−19 · 3 · 10−10
= = 2 · 10−10 m
−1,6 · 10−19 − (3,2 · 10−19)
A la derecha de la carga negativa también existe otro punto en el que se anula el
potencial. Si llamamos y a la distancia que separa la carga negativa de ese punto:
q1
q2
q1
q2
+
K
·
=
0
→
+
=0→
Vq + Vq = 0 → K · −
1
2
3 · 10 10 + y
y
3 · 10−10 + y
y
−q2 · 3 · 10−10 − (−1,6 · 10−19) · 3 · 10−10
= 3 · 10−10 m
→ y = = 3,2 · 10−19 − 1,6 · 10−19
q1 + q2
La distancia a que se encuentra este punto del ion positivo es:
d' = 3 · 10−10 + y = 3 · 10−10 + 3 · 10−10 = 6 · 10−10 m
c) La energía potencial de un sistema de cargas puntuales se corresponde con el trabajo necesario para traer las cargas desde el infinito hasta las posiciones que ocupan. Si suponemos que se trae en primer lugar la carga q1, al no haber otra
creando campo, el trabajo necesario es nulo. El potencial que crea esa carga a
3 · 10−10 m de distancia es:
Unidad 7. Campo eléctrico
56
q
3,2 · 10−19
V = K · = 9 · 109 · = 9,6 V
r
3 · 10−10
Por tanto, la energía potencial de la segunda carga es:
Ep = q · V = −1,6 · 10−19 · 9,6 = −1,54 · 10−18 J
r
62 Tenemos una carga de −4 · |e| enr el origen, una de 2 · |e| en el punto −4 · i nm
y otra de 2 · |e| en el punto 4 · i nm. Calcula:
r
a) El potencial eléctrico en el punto 3 · j .
b) El campo eléctrico en dicho punto.
c) La energía potencial eléctrica del conjunto de las cargas.
La situación de las cargas es la que se muestra en la siguiente figura:
E3
Y
E2
α
r2 = 5 . 10–9 m
r3 = 5 . 10–9 m
E1
3 · 10−9 3
sen = = 5 · 10−9 5
r1 = 3 . 10–9 m
α
q2 = 2 . |e|
q1 = –4 . |e|
q3 = 2 . |e| X
r
a) De acuerdo con ella, el potencial eléctrico en el punto 3 · j es:
q1
q2
q3
q1 q2 q3
V = V1 + V2 + V3 = K · + K · + K · = K · + + =
r1
r2
r3
r1
r2
r3
−4 · 1,6 · 10−19 2 · 1,6 · 10−19 2 · 1,6 · 10−19
+ + = 0,768 V
= 9 · 109 · 3 · 10−9
5 · 10−9
5 · 10−9
r
b) Observa,
en la figura anterior, que las componentes en el eje X de los campos E2
r
y E3 se anulan. El campo resultante que crean es debido a la componente en el
eje Y. Por tanto:
r
2 · |e|
2 · 1,6 · 10−19 3 r
· sen α · j = 9 · 109 · · · j =
E2, y = E3, y = K · 2
r2
(5 · 10−9)2
5
r
= 6,91 · 107 · j N · C−1
El campo creado por la carga q1 es:
q1 r
r
r
−4 · 1,6 · 10−19 r
· j = −6,4 · 108 · j N · C−1
E1 = K · 2 · j = 9 · 109 · −9 2
(3
·
10
)
r1
El campo resultante es:
r
r
r
r
r
r r
E = E2, y + E3, y + E1 = 6,91 · 107 · j + 6,91 · 107 · j − 6,4 · 108 · j =
r
= −5,02 · 108 · j N · C−1
c) La energía potencial eléctrica del conjunto de las cargas es la suma de las energías potenciales de ellas, tomadas de dos en dos:
Unidad 7. Campo eléctrico
57
q1 · q2
q1 · q3
q2 · q3
Ep = Ep + Ep + Ep = K · + K · + K · =
1,2
1,3
2,3
r1,2
r1,3
r2,3
q1 · q2 q1 · q3 q2 · q3
= K · + + =
r1,2
r1,3
r2,3
= 9 · 109 ·
(−4 · 1,6 · 10−19) · 2 · 1,6 · 10−19
(−4 · 1,6 · 10−19) · 3 · 1,6 · 10−19
+ +
−9
4 · 10
4 · 10−9
2 · 1,6 · 10−19 · 2 · 1,6 · 10−19
+ =
8 · 10−9
9 · 109 · (1,6 · 10−19)2
= · (−8 − 8 + 2) = −8,064 · 10−19 J
4 · 10−9
63. Se sitúa en el origen de coordenadas del espacio tridimensional vacío un
cuerpo puntual de masa 10 kg y con una carga eléctrica –1 nC. En el punto
(1, 1, 1) metros se sitúa otro cuerpo puntual de masa 20 kg y carga eléctrica
–100 pC:
a) Determina la fuerza total que ejerce el primer cuerpo sobre el segundo.
b) ¿Cuál es el cociente entre la fuerza eléctrica y la gravitatoria en este caso?
c) Si se separan las cargas una distancia de 10 m, sobre la misma línea que
antes, el cociente entre las fuerzas gravitatoria y eléctrica, ¿crece, decrece
o se mantiene?
Datos: ε0 = 8,854 · 10−12 C2 · m2 · N−1
G = 6,67 · 10−11 N · m2 · kg−2
a) La distancia que separa ambos cuerpos puntuales es:
d=
12 + 12
+ 12 = 3 m
El primer cuerpo ejerce sobre el segundo una fuerza de atracción gravitatoria y
otra de repulsión electrostática. El valor de la primera es:
m1 · m2
6,67 · 10−11 · 10 · 20
Fg = G · =
= 4,45 · 10−9 N
d2
(3)2
Y el de la fuerza eléctrica:
q1 · q2
1 · 10−9 · 100 · 10−10
9
Fe = K · =
9
·
10
·
= 3 · 10−8 N
d2
(3)2
En ambos casos, la dirección de la fuerza es la de la recta que une ambas cargas.
El valor de la fuerza total que ejerce el primer cuerpo sobre el segundo es:
F = Fe − Fg = 3 · 10−8 − 4,45 · 10−9 = 2,555 · 10−8 N
Su sentido es el de la fuerza eléctrica.
b) El cociente entre el módulo de ambas fuerzas es:
Fe
3 · 10−8
= = 6,74
Fg 4,45 · 10−9
Unidad 7. Campo eléctrico
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c) El cociente entre la fuerza eléctrica y la gravitatoria es:
q1 · q2
K · Fe
K · q1 · q2
d2
= =
m1 · m2 G · m
Fg
· m2
1
G · d2
Observa que no depende de la distancia a que se encuentren las cargas; por tanto, el cociente se mantendrá.
Unidad 7. Campo eléctrico
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