Coordinación Matemáticas Matemáticas I Ayudantı́a 11: Técnicas de derivación y regla de la cadena 1. Derive las siguientes funciones: 1 a) y = x4 − x3 + 2.5x2 + 0.1 3 3 b) y = (1 − x2 )(1 − 2x3 ) Solución: y 0 = 4x3 − x2 + 5x + 0 ⇒ y 0 = 4x3 − x2 + 5x 3 3 ⇒ (1 − − (1 − − x2 + 2x5 ) (3)0 (1 − 2x3 − x2 + 2x5 ) − [3(1 − 2x3 − x2 + 2x5 )0 ] 0 − 3 ∗ (1 − 2x3 − x2 + 2x5 )0 ⇒ ⇒ (1 − 2x3 − x2 + 2x5 )2 (1 − 2x3 − x2 + 2x5 )2 18x2 + 6x − 30x4 −3 ∗ (−6x2 − 2x + 10x4 ⇒ (1 − 2x3 − x2 + 2x5 )2 (1 − 2x3 − x2 + 2x5 )2 y= x2 )(1 2x3 ) ⇒ y0 = 2x3 2 3 1 − + + 6x + 1 x2 x3 x (x − 1)4 d) f (x) = 2 (x + 2x)5 c) g(x) = Solución: c) g(x) = 2x−2 − 3x−3 + x−1 + 6x + 1 g 0 (x) = −2 ∗ 2x−1 − (−3 ∗ 3x−2 ) − 1 + 6 g 0 (x) = −4x−1 + 9x−2 + 5 −4 9 g 0 (x) = + 2 +5 x x d) Primero derivamos el numerador: (x − 1)40 = 4(x − 1)3 ∗ 1 Ahora el denominador: (x2 + 2x)50 = 5(x2 + 2x)4 (2x + 2) Luego derivamos la función completa aplicando la técnica de la división. 4(x − 1)3 (x2 + 2x)5 − 5(x2 + 2x)4 (2x + 2)(x − 1)4 f 0 (x) = ((x2 + 2x)5 )2 1 (x2 + 2x)4 (x − 1)3 [4(x2 + 2x) − 5(2x + 2)(x − 1)] (x2 + 2x)10 3 2 (x − 1) [4(x + 2x) − 5(2x + 2)(x − 1)] f 0 (x) = (x2 + 2x)6 f 0 (x) = x2 + x + 1 x3 + 2x + 3 √ f) f (x) = 21 x3/2 + 2x3 + 2x e) h(x) = Solución: e) Aplicando álgebra de derivadas y recordando que calculamos la derivada de una división tenemos: h i 0 0 (x2 + x + 1) (x3 + 2x + 3) − (x2 + x + 1)(x3 + 2x + 3) = (x3 + 2x + 3)2 = = (2x + 1)(x3 + 2x + 3) − (x2 + x + 1)(3x2 + 2) (x3 + 2x + 3)2 (2x4 + 4x2 + 6x + x3 + 2x + 3) − (3x4 + 5x2 + 3x3 + 2x + 2) (x3 + 2x + 3)2 = f) −x4 − 2x3 − x2 + 6x + 1 (x3 + 2x + 3)2 0 √ 1 0 = ( x3/2 ) + ( 2x3 ) + (2x)0 2 √ 1 3 = × x1/2 + 3 2x2 + 2x 2 2 √ 3 = x1/2 + 3 2x2 + 2x 4 3 √ g) f (x) = (4 − 2x2 ) e x q p h) f (x) = 1 + 3x2 − 4x 2 Solución: g) Aplicamos la derivada de una multiplicación √ 3 0 f (x)0 = ((4 − 2x2 ) ) · e 0 2 = 3(4 − 2x2 ) · (4 − 2x2 ) · e 2 = 3(4 − 2x2 ) · (−4x) · e 2 = −12x(4 − 2x2 ) · e √ √ 2 2 √ x x 3 + (4 − 2x2 ) · e √ √ = −12x(4 − 2x ) · e 2 2 3 + (4 − 2x2 ) · (e 3 x = −12x(4 − 2x ) · e √ 3 + (4 − 2x2 ) · (e + (4 − 2x2 ) · (e = −12x(4 − 2x ) · e 2 2 x √ √ x √ x ) x 1 )· √ 2 x 3 √ 3 √ (4 − 2x2 ) · e √ + 2 x x 2(2 − x2 ) · e √ + 2 x 3 (2 − x2 ) · e √ + x √ 0 ) · ( x) 1 · √ 2 x x √ x x 0 √ x x x h) Resolvemos primero la primera raiz: p 0 1 f (x)0 = p · (1 + 3x2 − 4x) √ 2 1 + 3x2 − 4x Esto nos queda de la forma 1 1 0 f (x)0 = p · √ · (3x2 − 4x) √ 2 2 2 1 + 3x − 4x 2 3x − 4x 1 1 = p · √ · 6x − 4 √ 2 1 + 3x2 − 4x 2 3x2 − 4x 2(3x − 2) = p √ √ 4 1 + 3x2 − 4x · 3x2 − 4x (3x − 2) = p √ √ 2 1 + 3x2 − 4x · 3x2 − 4x i) g(x) = (1 + 4x)5 ∗ (8x2 − 5)−3 3 j) h(x) = x(x2 − 1) x+3 Solución: i) g 0 (x) = (1 + 4x)50 ∗ (8x2 − 5)−3 + (1 + 4x)5 ∗ (8x2 − 5)−30 g 0 (x) = 5(1 + 4x)4 (4) ∗ (8x2 − 5)−3 + (1 + 4x)5 ∗ (−3)(8x2 − 5)−4 (16x) g 0 (x) = 20(1 + 4x)4 ∗ (8x2 − 5)−3 − 48x(1 + 4x)5 (8x2 − 5)−4 j) Multiplicamos la x por el paréntesis con el fin de dejar un solo termino. 3 −x) h(x) = (xx+3 h0 (x) = h0 (x) = k) f (x) = (x3 −x)0 ∗(x+3)−(x3 −x)∗(x+3)0 (x+3)2 (3x2 −1)∗(x+3)−(x3 −x)∗1 x2 +6x+9 x2 + e x ln(x) x + x3 + x5 1 + x2 + x4 m) h(x) = (x2 + 10x − 1)10 l) g(x) = Solución: x2 + ex k)f (x) = ln(x) 2 (x + ex )0 (ln(x)) − (x2 + ex )(ln(x))0 f (x)0 = (ln(x)2 ) x (2x + e )(ln(x)) − (x2 + ex )(1/x) = (ln(x)2 ) x + x3 + x5 1 + x2 + x4 (1 + 3x2 + 5x4 )(1 + x2 + x4 ) − (x + x3 + x5 )(2x + 4x3 ) g(x)0 = (1 + x2 + x4 )2 2 10 m) h(x) = (x + 10x − 1) Se considerara (x2 + 10x − 1) como x. Por lo tanto se aplica regla de la cadena h(x)0 = 10(x2 + 10x − 1)9 · (x2 + 10x − 1)0 h(x)0 = 10(x2 + 10x − 1)9 · (2x + 10) l) g(x) = 2. Siendo la función g(f (h(x))) una función compuesta con siguiente forma: 4 g(f (h(x))) = (f (h(x))3 − 1)2 Sabemos que la función simplificada corresponde a: (g ◦ f ◦ h)(x)) = x2 Se pide derivar f (h(x)) sabiendo que la funcion f (x) se comporta como una funcion raiz cúbica con argumento único h(x). Solución: El ejercicio está mas mareador que difı́cil. En primer lugar nos damos cuenta de la descripción que se da de f (x). Esta función tomará la siguiente forma: p f (x) = 3 h(x) Entonces podemos suponer tambien: p f (x) = 3 h(x) = f (h(x)) Remplazamos en la función que nos dan: p (g ◦ f ◦ h)(x)) = (( 3 h(x))3 − 1)2 = x2 p (( 3 h(x))3 − 1)2 = x2 (h(x) − 1)2 = x2 Aplicamos raı́z cuadrada a ambos lados h(x) − 1 = x h(x) = x + 1 Ahora para calcular lo pedido, aplicamos regla de la cadena: (f (h(x)))0 = f 0 (h(x)) · h0 (x) Remplazamos f (x) y el valor de h(x) encontrado: √ (f (h(x)))0 = ( 3 x + 1)0 · (x + 1)0 2 1 · (x + 1)− 3 · 1 3 Finalmente, la derivada pedida corresponde a: (f (h(x)))0 = (f (h(x)))0 = 5 2 1 · (x + 1)− 3 3