Ayudant a 11 (2)

Coordinación Matemáticas
Matemáticas I
Ayudantı́a 11: Técnicas de derivación y regla de la cadena
1. Derive las siguientes funciones:
1
a) y = x4 − x3 + 2.5x2 + 0.1
3
3
b) y =
(1 − x2 )(1 − 2x3 )
Solución:
y 0 = 4x3 − x2 + 5x + 0 ⇒ y 0 = 4x3 − x2 + 5x
3
3
⇒
(1 −
−
(1 −
− x2 + 2x5 )
(3)0 (1 − 2x3 − x2 + 2x5 ) − [3(1 − 2x3 − x2 + 2x5 )0 ]
0 − 3 ∗ (1 − 2x3 − x2 + 2x5 )0
⇒
⇒
(1 − 2x3 − x2 + 2x5 )2
(1 − 2x3 − x2 + 2x5 )2
18x2 + 6x − 30x4
−3 ∗ (−6x2 − 2x + 10x4
⇒
(1 − 2x3 − x2 + 2x5 )2
(1 − 2x3 − x2 + 2x5 )2
y=
x2 )(1
2x3 )
⇒ y0 =
2x3
2
3
1
−
+ + 6x + 1
x2 x3 x
(x − 1)4
d) f (x) = 2
(x + 2x)5
c) g(x) =
Solución:
c) g(x) = 2x−2 − 3x−3 + x−1 + 6x + 1
g 0 (x) = −2 ∗ 2x−1 − (−3 ∗ 3x−2 ) − 1 + 6
g 0 (x) = −4x−1 + 9x−2 + 5
−4
9
g 0 (x) =
+ 2 +5
x
x
d) Primero derivamos el numerador: (x − 1)40 = 4(x − 1)3 ∗ 1
Ahora el denominador: (x2 + 2x)50 = 5(x2 + 2x)4 (2x + 2)
Luego derivamos la función completa aplicando la técnica de la división.
4(x − 1)3 (x2 + 2x)5 − 5(x2 + 2x)4 (2x + 2)(x − 1)4
f 0 (x) =
((x2 + 2x)5 )2
1
(x2 + 2x)4 (x − 1)3 [4(x2 + 2x) − 5(2x + 2)(x − 1)]
(x2 + 2x)10
3
2
(x − 1) [4(x + 2x) − 5(2x + 2)(x − 1)]
f 0 (x) =
(x2 + 2x)6
f 0 (x) =
x2 + x + 1
x3 + 2x + 3
√
f) f (x) = 21 x3/2 + 2x3 + 2x
e) h(x) =
Solución:
e) Aplicando álgebra de derivadas y recordando que calculamos la derivada
de una división tenemos:
h
i
0
0
(x2 + x + 1) (x3 + 2x + 3) − (x2 + x + 1)(x3 + 2x + 3)
=
(x3 + 2x + 3)2
=
=
(2x + 1)(x3 + 2x + 3) − (x2 + x + 1)(3x2 + 2)
(x3 + 2x + 3)2
(2x4 + 4x2 + 6x + x3 + 2x + 3) − (3x4 + 5x2 + 3x3 + 2x + 2)
(x3 + 2x + 3)2
=
f)
−x4 − 2x3 − x2 + 6x + 1
(x3 + 2x + 3)2
0
√
1
0
= ( x3/2 ) + ( 2x3 ) + (2x)0
2
√
1 3
= × x1/2 + 3 2x2 + 2x
2 2
√
3
= x1/2 + 3 2x2 + 2x
4
3 √
g) f (x) = (4 − 2x2 ) e x
q
p
h) f (x) = 1 + 3x2 − 4x
2
Solución:
g) Aplicamos la derivada de una multiplicación
√
3 0
f (x)0 = ((4 − 2x2 ) ) · e
0
2
= 3(4 − 2x2 ) · (4 − 2x2 ) · e
2
= 3(4 − 2x2 ) · (−4x) · e
2
= −12x(4 − 2x2 ) · e
√
√
2 2
√
x
x
3
+ (4 − 2x2 ) · e
√
√
= −12x(4 − 2x ) · e
2 2
3
+ (4 − 2x2 ) · (e
3
x
= −12x(4 − 2x ) · e
√
3
+ (4 − 2x2 ) · (e
+ (4 − 2x2 ) · (e
= −12x(4 − 2x ) · e
2 2
x
√
√
x
√
x
)
x
1
)· √
2 x
3
√
3
√
(4 − 2x2 ) · e
√
+
2 x
x
2(2 − x2 ) · e
√
+
2 x
3
(2 − x2 ) · e
√
+
x
√ 0
) · ( x)
1
· √
2 x
x
√
x
x 0
√
x
x
x
h) Resolvemos primero la primera raiz:
p
0
1
f (x)0 = p
· (1 + 3x2 − 4x)
√
2 1 + 3x2 − 4x
Esto nos queda de la forma
1
1
0
f (x)0 = p
· √
· (3x2 − 4x)
√
2
2
2 1 + 3x − 4x 2 3x − 4x
1
1
= p
· √
· 6x − 4
√
2 1 + 3x2 − 4x 2 3x2 − 4x
2(3x − 2)
= p
√
√
4 1 + 3x2 − 4x · 3x2 − 4x
(3x − 2)
= p
√
√
2 1 + 3x2 − 4x · 3x2 − 4x
i) g(x) = (1 + 4x)5 ∗ (8x2 − 5)−3
3
j) h(x) =
x(x2 − 1)
x+3
Solución:
i) g 0 (x) = (1 + 4x)50 ∗ (8x2 − 5)−3 + (1 + 4x)5 ∗ (8x2 − 5)−30
g 0 (x) = 5(1 + 4x)4 (4) ∗ (8x2 − 5)−3 + (1 + 4x)5 ∗ (−3)(8x2 − 5)−4 (16x)
g 0 (x) = 20(1 + 4x)4 ∗ (8x2 − 5)−3 − 48x(1 + 4x)5 (8x2 − 5)−4
j) Multiplicamos la x por el paréntesis con el fin de dejar un solo termino.
3 −x)
h(x) = (xx+3
h0 (x) =
h0 (x) =
k) f (x) =
(x3 −x)0 ∗(x+3)−(x3 −x)∗(x+3)0
(x+3)2
(3x2 −1)∗(x+3)−(x3 −x)∗1
x2 +6x+9
x2 + e x
ln(x)
x + x3 + x5
1 + x2 + x4
m) h(x) = (x2 + 10x − 1)10
l) g(x) =
Solución:
x2 + ex
k)f (x) =
ln(x)
2
(x + ex )0 (ln(x)) − (x2 + ex )(ln(x))0
f (x)0 =
(ln(x)2 )
x
(2x + e )(ln(x)) − (x2 + ex )(1/x)
=
(ln(x)2 )
x + x3 + x5
1 + x2 + x4
(1
+ 3x2 + 5x4 )(1 + x2 + x4 ) − (x + x3 + x5 )(2x + 4x3 )
g(x)0 =
(1 + x2 + x4 )2
2
10
m) h(x) = (x + 10x − 1)
Se considerara (x2 + 10x − 1) como x. Por lo tanto se aplica regla de la cadena
h(x)0 = 10(x2 + 10x − 1)9 · (x2 + 10x − 1)0
h(x)0 = 10(x2 + 10x − 1)9 · (2x + 10)
l) g(x) =
2. Siendo la función g(f (h(x))) una función compuesta con siguiente forma:
4
g(f (h(x))) = (f (h(x))3 − 1)2
Sabemos que la función simplificada corresponde a:
(g ◦ f ◦ h)(x)) = x2
Se pide derivar f (h(x)) sabiendo que la funcion f (x) se comporta como una funcion
raiz cúbica con argumento único h(x).
Solución:
El ejercicio está mas mareador que difı́cil. En primer lugar nos damos cuenta de
la descripción que se da de f (x). Esta función tomará la siguiente forma:
p
f (x) = 3 h(x)
Entonces podemos suponer tambien:
p
f (x) = 3 h(x) = f (h(x))
Remplazamos en la función que nos dan:
p
(g ◦ f ◦ h)(x)) = (( 3 h(x))3 − 1)2 = x2
p
(( 3 h(x))3 − 1)2 = x2
(h(x) − 1)2 = x2
Aplicamos raı́z cuadrada a ambos lados
h(x) − 1 = x
h(x) = x + 1
Ahora para calcular lo pedido, aplicamos regla de la cadena:
(f (h(x)))0 = f 0 (h(x)) · h0 (x)
Remplazamos f (x) y el valor de h(x) encontrado:
√
(f (h(x)))0 = ( 3 x + 1)0 · (x + 1)0
2
1
· (x + 1)− 3 · 1
3
Finalmente, la derivada pedida corresponde a:
(f (h(x)))0 =
(f (h(x)))0 =
5
2
1
· (x + 1)− 3
3