-Z){s)d
B
= VI(S) X
J
Zc
r2 e
x -1----=-- ---=2r{-:-:s)d--;­
ZI + Zc
-rl r2 e
(37)
Donde,
rl
=
z -z
Ie,
.
Coejiciente de reflex ion af comienzo de fa linea
(38)
Zl + Zc
r2 =
Z - Z
2
c , Coejiciente de r eflex io n af jinal de la l inea
(39)
Z 2 + Zc
Reemplazando A y Ben (26) :
Vex,s)
= VI(s)
S
Zc
x [e -i'(S)X + r 2e- 1.. )( 2d-x)
Zl +zc
l - r l r z e-1.. S )2d
1
(40)
Con el uso del teorema del binomio se puede descomponer una parte de la
ecuaci6n (40) en una serie infinita, de la siguiente forma ; ya que r l r 2e- y(s)Zd < 1
1
l- r r e- ){S)Zd
l 2
= I- a
2
3
n
(41 )
=1+a + a + a + .. a +
1 - }(s)Zd =1+ r r e-1.. S)2d +r Zr 2e- ,(S)4d +r 3 3 -i(,)6d
r e
l z
r
r
e
I 2
I 2
+
1 l 2
-
(42)
Reemplazando (42) en (40) ,
Vex,s)
z
= VI(s) ~
J
c
+ Zc
x
[e-)(*Z _+r 2e- / <)( Zd-xJ +r r Ze- )(s)( 2dH) +]
l
r r e )«)(4d-x) + r Z Z -)(s)( 4d+x)
I Z
I
rz e
(43)
+
La ecuaci6n para corriente (27) , despues de reemplazar las expresiones obtenidas
para A y B queda:
l ex,s)
= )/f(s) ~ .
x
[e-i(S~ -
X
r2e-)'(,f 2d- x)
l_rr e- i {.,) Zd
I+ Z c
I 2
116
1
(44)
Reemplazando (42) en (44) se obtiene la ecuaci6n final para la corriente I(x,s).
I(x,s) == Vf(s) - _ 1_
x
Z, + Zc
r2 e - V(S)(2d-X) + r,r2 e- V(S)(2d+x)
r,r22 e - V(S)(4d-X) + r,2 r22 e - V(S}(4 d +x) - ...
[ e-V(S)X -
-]
(45)
SOLUCION DE LA ECUACION DE ONDA EN EL DOMINIO DEL TIEMPO PARA
UNA LiNEA IDEAL SIN PERDIDAS
La transformada inversa para las ecuaciones (43) y (45) solo se puede calcular en
casos particulares. Interesa en esta oportunidad resolver el caso de una linea sin
perdidas (R=O, G=O).
Para el caso de la linea ideal, la impedancia caracterfstica Zc no depende de s y
se convierte en una constante.
Zc(S)== oJ SL+R ==
sC+G
La expresi6n
e-r(s)x
It
tc
se convierte en un termino de la forma
e
-r (S)x
==
(46)
e - r.r ,
e - ,,I( SL+R)(SC +G ) x :::; e-s I "Lcx
(47)
La transformada inversa para el termino generico que aparece es :
:f
- l
f(s)e- ST ]= f(t - r)u(t - r)
(48)
La soluci6n anterior se interpreta como una onda desplazada en el tiempo que
conserva la misma forma a 10 largo de la linea .
EI termino . lLex corresponde al tiempo de propagaci6n de la onda hasta la
distancia x. Es usual expresarlo en funci6n de la velocidad de propagaci6n , en
lugar del tiempo de propagaci6n .
117
v
1
= ~ Le
= Velocidad de propagaCion[Unidades de distanCia]
segundos
(49)
La soluci6n para el voltaje, despues de aplicar la transformada inversa a la
ecuaci6n (43), con las consideraciones de linea ideal , es:
(1 + ( 2 )v, (t
Z
V 2 (x,t) =
_
c _._ X
Z1
1
x
i(x,t) = Z + Z
1
c
+Zc
- r )u(t - r)+
(1(2(1 +(2)v ,(t-3r)u(t-3r) +
2
2
(1 ( 2 (1+(2)v,(t-5r)u(t .,- 5r)+
3 3
(1 ( 2 (1 + (2)V, (t - 7r )u(t - 7r )+ ...
v, (t - xlv )u(t - x/v)
- ( 2 v, (t - (2d - x)/ v)u(t - (2d - x)/ v)
+(1(2V,(t - (2d +x)/v)u(t -(2d + x)/v)
- (1(22V,(t - (4d - x )/v)u(t - (4d - x)/v)
+ (1 2 (22 v,(t -(4d +x)/v)u(t -(4d +x)/v)- ...
(50)
(51 )
Las anteriores ecuaciones dan la soluci6n para el voltaje y la corriente en
cualquier punto de la linea e instante. Una soluci6n de interes practico es el
voltaje al fina l de la linea; para este caso la ecuaci6n (50) se convierte en:
(1 + r2 )v f (t - r )u(t - r )+
v 2 (x,t) =
r1r2 (l + r2 )vf (t - 3r )u(t - 3r) +
Zc
xI 2 2
) (
2 1 +Zc
r1 r2 (l+rJv f (
t-5r
ut - 5r ) +
r1\
3
2 (1
(52)
+ r2 )v f (t -7r )u(t -7r ) + ...
Algunas situaciones particulares ayudan a entender la soluci6n de la ecuaci6n de
onda . Una de elias es considerar una linea de longitud muy grande y tratar de
darle una interpretaci6n para este caso a las ecuaciones (50) y (51).
Con las ecuaciones (50) y (51) se quiere evaluar el voltaje y la corriente en un
punto de la linea a una distancia x, donde se cumple que la distancia d, es mucho
118
mayor que x (d» x). Para este caso, las ecuaciones para voltaje y corriente
quedarfan reducidas a:
vex,!)
=
Zc
ZI +Zc
i( x,t) =
1
ZI + Zc
x[v/ (I - x' v} u(t - xlv)]
(53)
X[V/ (/ -X 'V)U(t - x'v)]
(54)
De acuerdo con las ecuaciones (53) y (54), el voltaje aparece como una copia a
escala con respecto al voltaje de la fuen te, un tiempo despues de la energizacion,
dado por xlv; es decir, el tiempo que demora la onda viajera en recorrer una
distancia x a una velocidad v,
119
