teorema de torricelli

TEOREMA DE TORRICELLI
 RESUMEN
En este cuarto laboratorio se estudiara el teorema de Torricelli y el comportamiento
del flujo en su paso a través de un orificio de una pared delgada. Se determinara la
𝑣𝑜 y la velocidad experimental 𝑣𝑜𝑒 del agua que sale por el orificio; el gasto o caudal
y la presión que soporta la base del recipiente. Haremos una práctica para hallar e
interpretar la gráfica de 𝑣𝑜𝑒 = 𝑓 (ℎ𝑜 ) que obtendremos de acuerdo a los datos
tomados y después detener los datos podremos interpretar la curva que nos sugiere
el gráfico.
 OBJETIVO
-Conocer el comportamiento del flujo en su paso atreves de un orificio de pared
delgada.
-Estudiar el teorema de Torricelli.
 TEORIA
La ecuación fundamental de la hidrodinámica es la ecuación de Bernoulli, esta
ecuación relaciona la presión, velocidad y altura en los puntos situados a lo largo de
una línea de corriente. La ecuación de Bernoulli es una consecuencia del teorema
del trabajo y energía aplicado al caso del flujo de fluidos no viscosos de régimen
estable e incomprensible y cuyo movimiento sea irrotacional.
El teorema de Torricelli es una aplicación de Bernoulli, entonces el teorema de
Torricelli debe ser formulado de la siguiente manera: “La velocidad con que sale el
líquido por un orificio pequeño practicado en un recipiente de sección grande de
paredes delgadas es igual a la velocidad que adquiriría un cuerpo si cayera
libremente desde una altura igual a la
distancia vertical entre la superficie
libre del líquido en el recipiente y en el
orificio”.
 MATERIALES
-1 recipiente con orificios.
-1 probeta.
-1 vernier.
-1 regla métrica.
ℎ𝑠 (𝑚)
0.042
0.067
ℎ𝑜 (𝑚)
0.193
0.168
0.099
0.13
0.162
0.195
0.136
0.105
0.073
0.04
𝑋 (𝑚)
DIAMETRO del orificio
0.14
0.19
𝑑 = 0.005 𝑚
0.2
0.22
0.18
0.145
ALTURA
𝐻 = 0.235 𝑚
1) DEL FUNDAMENTO TEORICO, DETERMINE LA VELOCIDAD
𝒗𝒐
y
𝒗𝒐𝒆 DEL
AGUA QUE SALE POR EL ORIFICIO Y COMPLETE LA TABLA DE RESULTADOS
N°1
𝐻 = ℎ𝑠 + ℎ𝑜
Ecuación de Bernoulli
𝑃1 +
1
1
𝜌𝑣1 2 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑃2 + 𝜌𝑣2 2 + 𝜌𝑔𝑦2
2
2
𝑃1 = 𝑃𝑜
𝑃2 = 𝑃𝑜
𝑦1 = ℎ𝑜
𝑦2 = 𝐻
𝑣1 = 𝑣
𝑣2 = 0
Reemplazando los valores en la ecuación de Bernoulli:
𝑃𝑜 +
1 2
𝜌𝑣 = 𝜌𝑔(𝐻 − ℎ𝑜 )
2
1 2
1
𝜌𝑣 + 𝜌𝑔ℎ𝑜 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑣𝑜 2 + 𝜌𝑔𝐻
2
2
Teorema de Torricelli
𝑣𝑜 = √2𝑔ℎ𝑠
De la trayectoria parabólica se obtiene:
Velocidad experimental (orificio)
𝑔
𝑣𝑜𝑒 = 𝑋√
2ℎ𝑜
𝑣 2 = 2𝑔ℎ𝑠
Teorema de Torricelli
𝑚
𝑚
×
0.042
𝑚
=
0.90684
𝑠2
𝑠
𝑚
𝑚
= √2 × 9.79 2 × 0.067 𝑚 = 1.14536
𝑠
𝑠
𝑚
𝑚
= √2 × 9.79 2 × 0.099 𝑚 = 1.39227
𝑠
𝑠
1) … … 𝑣𝑜 = √2𝑔ℎ𝑠1 = √2 × 9.79
2) … … 𝑣𝑜 = √2𝑔ℎ𝑠2
3) … … 𝑣𝑜 = √2𝑔ℎ𝑠3
4) … … 𝑣𝑜 = √2𝑔ℎ𝑠4 = √2 × 9.79
𝑚
𝑚
×
0.130
𝑚
=
1.59543
𝑠2
𝑠
5) … … 𝑣𝑜 = √2𝑔ℎ𝑠5 = √2 × 9.79
𝑚
𝑚
×
0.162
𝑚
=
1.78099
𝑠2
𝑠
6) … … 𝑣𝑜 = √2𝑔ℎ𝑠6 = √2 × 9.79
𝑚
𝑚
×
0.195
𝑚
=
1.95399
𝑠2
𝑠
Velocidad experimental (orificio)
1) … … 𝑣𝑜𝑒
𝑚
9.79 2
𝑔
𝑚
𝑠
= 𝑋1 √
= 0.14 × √
= 0.70506
2ℎ01
2 × 0.193 𝑚
𝑠
2) … … 𝑣𝑜𝑒
𝑚
9.79 2
𝑔
𝑚
𝑠
= 𝑋2 √
= 0.19 × √
= 1.02559
2ℎ02
2 × 0.168 𝑚
𝑠
3) … … 𝑣𝑜𝑒
𝑚
9.79 2
𝑔
𝑚
𝑠
= 𝑋3 √
= 0.20 × √
= 1.19988
2ℎ3
2 × 0.136 𝑚
𝑠
4) … … 𝑣𝑜𝑒
𝑚
9.79 2
𝑔
𝑚
𝑠
= 𝑋4 √
= 0.22 × √
= 1.50212
2ℎ04
2 × 0.105 𝑚
𝑠
5) … … 𝑣𝑜𝑒
𝑚
9.79 2
𝑔
𝑚
𝑠
= 𝑋5 √
= 0.18 × √
= 1.47397
2ℎ05
2 × 0.073 𝑚
𝑠
6) … … 𝑣𝑜𝑒
𝑚
9.79 2
𝑔
𝑚
𝑠
= 𝑋6 √
= 0.145 × √
= 1.60404
2ℎ06
2 × 0.040 𝑚
𝑠
𝑔 = 9.79
𝑚
𝑠2
Orificio
1
2
3
4
5
6
𝒉𝒔 (𝒎)
0.042
0.067
0.099
0.13
0.162
0.195
𝒉𝒐 (𝒎)
0.193
0.168
0.136
0.105
0.073
0.04
𝑿 (𝒎) 𝒗𝒐 (𝒎⁄𝒔) 𝒗𝒐𝒆 (𝒎⁄𝒔)
0.14
0.90684
0.70506
0.19
1.14536
1.02559
0.2
1.39227
1.19988
0.22
1.59543
1.50212
0.18
1.78099
1.47397
0.145
1.95399
1.60404
2) HACIENDO USO DE SUS DATOS EXPERIMENTALES, GRAFIQUE LA
RELACION:
𝑽𝒐𝒆 = 𝒇 (𝒉𝒐 )
𝑽 = 𝒇 (𝒉 )
0.193
0.168
0.136
0.105
0.073
0.04
𝒗𝒐𝒆 (𝒎⁄𝒔)
0.70506
1.02559
1.19988
1.50212
1.47397
1.60404
𝑽_𝒐𝒆
𝒉𝒐 (𝒎)
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
𝒉_𝒐
3) a) ¿QUE TIPO DE CURVA LE SUGIERE EL GRAFICO ANTERIOR?
Es una curva potencial
Ecuación de la curva potencial:
𝑦 = 𝐴𝑥 𝐵
Parámetros
b) DETERMINE LA ECUACION EMPIRICA; PARA ELLO TOME LOGARITMO A LA
ECUACION ANTERIOR Y HALLE EL PARAMETRO O LOS PARAMETROS
UTILIZANDO EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS.
Linealizando la curva:
𝑦 = 𝐴𝑥 𝐵
𝐥𝐨𝐠 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝑨𝒙𝑩
𝐥𝐨𝐠 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝑨 + 𝐥𝐨𝐠 𝒙𝑩
log 𝑦 = Y’
𝐥𝐨𝐠 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝑨 + 𝐁𝐥𝐨𝐠 𝒙
log 𝑥 = 𝑥′
𝐥𝐨𝐠 𝒚 = 𝑩 𝐥𝐨𝐠 𝒙 + 𝐥𝐨𝐠 𝑨
log 𝐴 = 𝐴′
𝒀′ = 𝑩𝒙′ + 𝑨′
X = log (𝒉𝒐 )
y = log (𝒗𝒐𝒆 )
XY
𝑋2
-0.7144426910 -0.1517739233 0.1084337702 0.5104283587
-0.7746907183 0.0109737776 -0.0085012837 0.6001457090
-0.8664610916 0.0791378144 -0.0685698371 0.7507548233
-0.9788107009 0.1767046286 -0.1729603814 0.9580703883
-1.1366771399 0.1684886443 -0.1915171903 1.2920349203
-1.3979400087 0.2052151941 -0.2868785302 1.9542362678
∑
B=
-5.8690223504
0.4887461357 -0.6199934524 6.0656704674
𝒏 ∑ 𝒙𝒚 − ∑ 𝒙 ∑ 𝒚
A’ =
𝑩=
𝑨′ =
𝒏 ∑ 𝒙𝟐 − (∑ 𝒙)
∑𝒚
∑ 𝒙𝟐
𝟐
n=6
− ∑ 𝒙 ∑ 𝒙𝒚
𝒏 ∑ 𝒙𝟐 − (∑ 𝒙)
𝟐
𝟔(−0.6199934524)−(−5.8690223504)(0.4887461357)
𝟔(6.0656704674)− (−5.8690223504)𝟐
= −𝟎. 𝟒𝟔𝟑𝟗𝟖
(0.4887461357)(6.0656704674)− (−5.8690223504)(−0.6199934524)
𝟔(6.0656704674)− (−5.8690223504)𝟐
LOG (A) = A’
= −𝟎. 𝟑𝟒𝟓𝟗𝟖𝟑
reemplazando
LOG (A) = −𝟎. 𝟑𝟒𝟓𝟗𝟖𝟑 sacamos su antilogaritmo
𝑨 = 𝟏𝟎−𝟎.𝟑𝟒𝟓𝟗𝟖𝟑
A = 0.500834
4) FISICAMENTE ¿Qué SIGNIFICA CADA PARAMETRO? ¿SE CUMPLE EL
TEOREMA DE TORRICELLI?
𝑔
𝑣𝑜𝑒 = 𝑋√
2ℎ𝑜
𝑣𝑜𝑒 = 𝑋√
𝐀 = 𝑋√
𝑔
2
1
𝑔
ℎ𝑜 −2
2
𝐁≅ −
𝟏
𝟐
≅ −𝟎. 𝟓
COMPARANDO EL RESULTADO EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS CON EL ANALITICO
𝑩𝒆𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 = −𝟎. 𝟒𝟔𝟑𝟗𝟖
≅
𝑩𝑨𝑵𝑨𝑳𝑰𝑻𝑰𝑪𝑶= −
𝑨𝒆𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 = 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟖𝟑𝟒
𝑔 = 9.79
𝟏
𝟐
= −𝟎. 𝟓
𝑨𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒄𝒐 = 𝑋√
𝑚
𝑠2
𝑋𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 0.179 𝑚
𝑔
2
𝑔
9,79
𝑨𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒄𝒐 = 𝑋√ = 0.179 × √
= 0.396
2
2
Comparando “A” teórica y experimental obtendremos un error de:
𝒆% = |
𝜹𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒄𝒐− 𝜹𝒆𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆𝒍
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎%
𝜹𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒄𝒐
𝟎. 𝟑𝟗𝟔 − 𝟎. 𝟓𝟎𝟎𝟖
𝒆% = |
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎%
𝟎. 𝟑𝟗𝟔
𝒆% = 𝟐𝟔%
5) CALCULE EL ERROR PORCENTUAL COMETIDO.
𝒗𝒐 (𝒎⁄𝒔) 𝒗𝒐𝒆 (𝒎⁄𝒔)
0.90684
0.70506
1.14536
1.02559
1.39227
1.19988
1.59543
1.50212
1.78099
1.47397
1.95399
1.60404
𝒆% = |
𝒗𝒐 − 𝒗𝒐𝒆
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎%
𝒗𝒐
𝒆% = |
𝒗𝒐 − 𝒗𝒐𝒆
𝟎. 𝟗𝟎𝟔𝟖𝟒 − 𝟎, 𝟕𝟎𝟓𝟎𝟔
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = |
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = 𝟐𝟐. 𝟐%
𝒗𝒐
𝟎. 𝟗𝟎𝟔𝟖𝟒
𝒆% = |
𝒗𝒐 − 𝒗𝒐𝒆
𝟏. 𝟏𝟒𝟓𝟑𝟔 − 𝟏. 𝟎𝟐𝟓𝟓𝟗
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = |
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = 𝟏𝟎. 𝟒%
𝒗𝒐
𝟏. 𝟏𝟒𝟓𝟑𝟔
𝒆% = |
𝒗𝒐 − 𝒗𝒐𝒆
𝟏. 𝟑𝟗𝟐𝟐𝟕 − 𝟏. 𝟏𝟗𝟗𝟖𝟖
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = |
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = 𝟏𝟑. 𝟖%
𝒗𝒐
𝟏. 𝟑𝟗𝟐𝟐𝟕
𝒆% = |
𝒗𝒐 − 𝒗𝒐𝒆
𝟏. 𝟓𝟗𝟓𝟒𝟑 − 𝟏. 𝟓𝟎𝟐𝟏𝟐
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = |
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = 𝟓. 𝟖%
𝒗𝒐
𝟏. 𝟓𝟗𝟓𝟒𝟑
𝒆% = |
𝒆% = |
𝒗𝒐 − 𝒗𝒐𝒆
𝟏. 𝟕𝟖𝟎𝟗𝟗 − 𝟏. 𝟒𝟕𝟑𝟗𝟕
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = |
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = 𝟏𝟕. 𝟐%
𝒗𝒐
𝟏. 𝟕𝟖𝟎𝟗𝟗
𝒗𝒐 − 𝒗𝒐𝒆
𝟏. 𝟗𝟓𝟑𝟗𝟗 − 𝟏. 𝟔𝟎𝟒𝟎𝟒𝟐
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = |
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎% = 𝟏𝟕. 𝟔%
𝒗𝒐
𝟏. 𝟗𝟓𝟑𝟗𝟗
6) CALCULE EL GASTO O CAUDAL VERDADERO QUE FLUJE POR CUALQUIERA
DE LOS ORIFICIOS QUE HAYA MEDIDO SU DIAMETRO.
GASTO O CAUDAL VERDADERO
Para agua saliendo por un orificio
circular en pared delgada
𝑄 = 𝐴𝑐 𝑣𝑜 = 𝐾𝐴𝑜 √2𝑔ℎ𝑠
K = 0.64
𝒗𝒐 (𝒎⁄𝒔)
0.90684
1.14536
1.39227
1.59543
1.78099
1.95399
DIAMETRO del orificio
𝑑 = 0.005 𝑚
Radio del orificio
𝑟 = 0.0025 𝑚
𝑄1 = 𝐴𝑐 𝑣𝑜 = 𝐾𝐴𝑜 √2𝑔ℎ𝑠 = 𝐾𝜋𝑟 2 𝑣𝑜 = 0.64 × 𝜋 × 0.00252 × 𝟎. 𝟗𝟎𝟔𝟖𝟒
𝑄1 = 𝟏. 𝟏𝟑𝟗𝟓 × 𝟏𝟎−𝟓
𝑄2 = 𝐴𝑐 𝑣𝑜 = 𝐾𝐴𝑜 √2𝑔ℎ𝑠 = 𝐾𝜋𝑟 2 𝑣𝑜 = 0.64 × 𝜋 × 0.00252 × 𝟏. 𝟏𝟒𝟓𝟑𝟔
𝑄2 = 𝟏. 𝟒𝟑𝟗𝟑 × 𝟏𝟎−𝟓
𝑄3 = 𝐴𝑐 𝑣𝑜 = 𝐾𝐴𝑜 √2𝑔ℎ𝑠 = 𝐾𝜋𝑟 2 𝑣𝑜 = 0.64 × 𝜋 × 0.00252 × 𝟏. 𝟑𝟗𝟐𝟐𝟕
𝑄3 = 𝟏. 𝟕𝟒𝟗𝟔 × 𝟏𝟎−𝟓
𝑄4 = 𝐴𝑐 𝑣𝑜 = 𝐾𝐴𝑜 √2𝑔ℎ𝑠 = 𝐾𝜋𝑟 2 𝑣𝑜 = 0.64 × 𝜋 × 0.00252 × 𝟏. 𝟓𝟗𝟓𝟒𝟑
𝑄4 = 𝟐. 𝟎𝟎𝟒𝟗 × 𝟏𝟎−𝟓
𝑄5 = 𝐴𝑐 𝑣𝑜 = 𝐾𝐴𝑜 √2𝑔ℎ𝑠 = 𝐾𝜋𝑟 2 𝑣𝑜 = 0.64 × 𝜋 × 0.00252 × 𝟏. 𝟕𝟖𝟎𝟗𝟗
𝑄5 = 𝟐. 𝟐𝟑𝟖𝟎 × 𝟏𝟎−𝟓
𝑄6 = 𝐴𝑐 𝑣𝑜 = 𝐾𝐴𝑜 √2𝑔ℎ𝑠 = 𝐾𝜋𝑟 2 𝑣𝑜 = 0.64 × 𝜋 × 0.00252 × 𝟏. 𝟗𝟓𝟑𝟗𝟗
𝑄6 = 𝟐. 𝟒𝟓𝟓𝟒 × 𝟏𝟎−𝟓
7) CALCULE X Y COMPARE CON EL VALOR MEDIDO EXPERIMENTALMENTE
𝑋 = 2√ℎ𝑜 ℎ𝑠
Orificio
1
2
3
4
5
6
𝒉𝒔 (𝒎)
0.042
0.067
0.099
0.13
0.162
0.195
𝒉𝒐 (𝒎)
0.193
0.168
0.136
0.105
0.073
0.04
𝑿 (𝒎)
𝑿 (𝒎)
experimental teórico
𝟎. 𝟏𝟖 𝒎
0.14
𝟎. 𝟐𝟏 𝒎
0.19
𝟎. 𝟐𝟑𝒎
0.2
𝟎. 𝟐𝟑𝟒 𝒎
0.22
𝟎. 𝟐𝟏 𝒎
0.18
𝟎. 𝟏𝟕𝟕 𝒎
0.145
𝑋1 = 2√ℎ𝑜 ℎ𝑠 = 2√0.193 × 0.042 = 0.18 𝑚
𝑋2 = 2√ℎ𝑜 ℎ𝑠 = 2√0.168 × 0.067 = 0.21 𝑚
𝑋3 = 2√ℎ𝑜 ℎ𝑠 = 2√0.136 × 0.099 = 0.23𝑚
𝑋4 = 2√ℎ𝑜 ℎ𝑠 = 2√0.105 × 0.130 = 0.234 𝑚
𝑋5 = 2√ℎ𝑜 ℎ𝑠 = 2√0.073 × 0.162 = 0.21 𝑚
𝑋6 = 2√ℎ𝑜 ℎ𝑠 = 2√0.040 × 0.195 = 0.177 𝑚
𝒆% = |
𝑿𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒄𝒐− 𝑿𝒆𝒙𝒑𝒆𝒓𝒊𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆𝒍
| 𝒙 𝟏𝟎𝟎%
𝑿𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒄𝒐
8) CALCULAR LA PRESION QUE SOPORTA LA BASE DEL RECIPIENTE
 CONCLUCION
De acuerdo con los datos obtenidos en el laboratorio y con todos los cálculos
realizados y los errores obtenidos se pudo concluir que al momento de hallar la
constante de elasticidad se tuvo un error muy alto lo cual fue mucho esto fue
debido a que se izó de manera incorrecta el desarrollo del laboratorio o se
realizaron mal algunos cálculos en el laboratorio por eso el k experimental no era
el correcto, entre otros errores que ocurre en laboratorio.
 RECOMENDACIONES
Para poder tener un error mínimo, al momento de realizar las medidas y tomar
los datos, estos deben ser tomados con exactitud y estar atentos en los tiempos
que se toman como también las lecturas que se realizan. Esto para no cometer
un error alto, porque cuando se realizan prácticas en laboratorio siempre se
cometen errores así sea mínimas.