7. Logaritmos

7. Logaritmos
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
Concepto de logaritmo
Álgebra de logaritmos
El logaritmo natural. cambios de base
Antilogaritmos
Ecuaciones logarítmicas.
Logaritmo de un número negativo
Logaritmo de un número complejo
Logaritmo en base imaginaria
Implica por
definición
Logaritmo en base la
unidad imaginaria de
Logaritmo en base
a de x
Antilogaritmo en
base a de x
Logaritmo natural
de x
Logaritmo decimal de
Ángulo argumento
7.1 Concepto de logaritmo.
En temas anteriores, hemos estudiado la potenciación real, donde se cumplía la
expresión
Ejemplo: hallar el valor de N en la expresión
Dado que
y
.
, tenemos
Así pues, el logaritmo surge de la necesidad de hallar la
cuando conocemos N y .
Más estrictamente,
Por tanto, puede definirse el logaritmo en base
de
como el exponente
verifica que al elevar dicha base a él se obtiene el número
Ejemplo: hallar el valor de
Nótese que
y
en la expresión
que
.
.
.
Como veremos más adelante,
A partir del concepto de logaritmo podemos percatarnos de ciertas consecuencias
ligadas. En primer lugar, cabe destacar que
,
por lo que
ya que
.
Asimismo, nótese que el logaritmo de un número real mayor a la unidad será positivo
(siendo su base mayor a la unidad); el logaritmo de la unidad será cero, y el logaritmo
de un número tal que
será positivo si la base es estrictamente menor a
la unidad (en caso contrario
, será negativo).
A partir de estas, el lector puede deducir otras consecuencias más; por ejemplo, es
notorio que el logaritmo de la unidad (siendo la base un número real) ofrece cero
como resultado, ya que
Un logaritmo consta de dos partes, llamadas mantisa y característica. La mantisa es
la parte decimal, es decir, la que precede a la coma y la característica es la parte
entera o antecesora a la coma:
Por convenio, la Comunidad Matemática decidió que la expresión
escribiera simplemente
se
, ya que al ser éste un logaritmo muy utilizado, conviene
abreviar en simbología. Así pues, cuando un logaritmo carezca de base visible, ésta
será 10.
7.2 Álgebra de logaritmos.
A la hora de efectuar operaciones con expresiones logarítmicas, se debe tener en
cuenta que los cálculos recurren a las propiedades siguientes:
- Logaritmo de un producto: sea
y sea
, por definición de
logaritmo, tenemos que
la expresión
y que
. Si queremos hallar el resultado de
, se tiene:
. Generalizando,
-
Logaritmo de un cociente: sea
logaritmo, tenemos que
la expresión
-
y que
, por definición de
. Si queremos hallar el resultado de
, tenemos, por extrapolación del logaritmo producto,
Logaritmo de una potencia: sea
que
-
y sea
, por definición de logaritmo, tenemos
. Si queremos hallar el resultado de la expresión
, tenemos
Logaritmo de una raíz: es, en realidad, lo mismo que el caso anterior. Sea
, por definición de logaritmo, tenemos que
; y sea
, si
queremos hallar el valor de la expresión
, tenemos
7.3 El logaritmo natural. cambios de base.
Se denomina logaritmo natural (o neperiano) a aquél cuya base es el número
(este
número se estudiará en temas posteriores; su valor es
):
Acudiendo a nuestra definición inicial de logaritmo, tenemos
tenemos que
, y dado que
,
; por tanto,
Nótese pues que el logaritmo natural es simplemente un logaritmo de base el número .
Así podemos empezar a percatarnos de la aparición de ciertas dificultades para operar
con logaritmos debido a la gran cantidad de bases existentes (infinitas). Por ejemplo,
para realizar la operación
, necesitamos expresar todo en la misma base.
Dado que los logaritmos más fácilmente utilizables son los decimales, lo recomendado
será expresarlo así. A continuación se expresan cuatro relaciones de gran utilidad:
- Decimal-natural: es posible pasar de un logaritmo de base diez a uno de base y
viceversa, ya que
,
de donde se desprende
Además, se verifica que
-
, de manera que:
A partir de esto, se desarrolla la relación siguiente.
No natural-natural: es posible pasar de un logaritmo de base distinta de
a otro
cuya base sí sea dicho número,
-
Cambio mutuo: sea el logaritmo
, y sea el logaritmo
. En el apartado
anterior, se tenía que
, es decir,
Nótese que la expresión
no debe escribirse así, sino
; ni
; pero está hecho así para que se percate de que la base de
-
de
y viceversa. Por tanto,
Base
y base
, sino
es el objeto
: dado que
.
Ejemplo: calcule el valor de la expresión
en función de
.
7.4 Antilogaritmos.
Sea
, entonces decimos que el antilogaritmo de
que es lo mismo, el número cuyo logartimo es
simboliza por
(o también
es
,(
se denomina antilogaritmo de
):
Ejemplo: hallar el valor numérico de la expresión
.
o lo
y se
Ejemplo: halla el logaritmo de antilog 8,6284
antilog 8,6284=  8 , 6284  10
que 10
0 , 93593
0 , 93593
 antilog 8,6284=0,93593ya
 8 , 6284 .
7.5 Ecuaciones logarítmicas.
Es posible encontrar ecuaciones en las que aparezcan expresiones que lleven
logaritmos o que su resolución requiera la existencia de un logaritmo determinado.
Ejemplo: resolver la ecuación
7.6 Logaritmo de un número negativo.
Sea
un número real positivo tal que
, entonces
será menor que cero,
Así pues, se llama logaritmo de un número negativo al logaritmo en base
de
Dada la propiedad
en un principio se creyó que
.
En efecto, esta propiedad es extrapolable a logaritmos naturales, por lo que sería
De manera que
Sin embargo, partiendo del desarrollo
y haciendo
se demuestra que
Por ello, sería necesaria la aplicación de nuevos conocimientos matemáticos,
basados en los números imaginarios y, en especial, la Fórmula de Euler. Dicha
fórmula enuncia que
por lo que se puede interpretar como una circunferencia de radio uno en el plano
, dibujada por la función
al variar sobre los números reales.
Nótese que para que la fórmula sea válida el ángulo
radianes.
DEMOSTRACIÓN
ha de estar expresado en
,
Una demostración sencilla de la fórmula de Euler consiste en utilizar las Series de Taylor
(véase Series de Taylor)
Para todo
se pueden definir las funciones sen(x), cos(x) y ex del siguiente modo,
Al ser infinito el radio de convergencia en cada serie, se puede sustituir
, y se obtiene
Del mismo modo, nótese que
Por lo tanto, dado que
; será
Y dado que
Se tiene que
Obviamente,
, ya que
Por tanto,
Y dado que
, a partir de L(-1) se introduce el concepto de logaritmo de un
número complejo, ya que
Por lo que puede generalizarse lo siguiente,
,
O lo que es lo mismo,
Ya que
7.7 Logaritmo de un número complejo.
El logaritmo de un número complejo
es otro número complejo
que verifique
NOTA: dada la gran relevancia de los logaritmos naturales (y el número e) en el
campo de los números complejos, cuando no se especifique la base del logaritmo, se
sobreentiende que ésta es .
Nótese que la ecuación anterior tendrá infinitas soluciones en el campo de los
números complejos, ya que, dado el número complejo en forma polar , se verifica
Así pues, el concepto de logaritmo de un número complejo surge como resolución
a la ecuación inicial. Por lo tanto,
Dado que, como se ha observado con anterioridad, se tienen infinitas resoluciones según la
vuelta en que se halle el ángulo,
Por lo tanto, se puede expresar
Ya que gracias a la Fórmula de Euler, cambiando a la forma trigonométrica, se tiene
Otra forma de verlo radica en hallar directamente la solución de la ecuación inicial,
manera que
Y, denotando por
al número
, se tiene
Que, extrapolado a las infinitas soluciones posibles, resulta
, de
7.8 Logaritmo en base imaginaria.
Un logaritmo de base imaginaria es aquél cuya base no es real,
De hecho, los logaritmos de base real se pueden considerar logaritmos de base
imaginaria, ya que, por ejemplo,
Dado que
, ya que
Se tiene que
O lo que es lo mismo,
Por lo tanto, para un logaritmo de base
se verifica
PROPIEDADES IMPORTANTES DE LOS LOGARITMOS DE BASE
-
Sea
-
Sea un número complejo
-
Sean los números complejos
-
Nótese que
Es notable que
.
, entonces
se verifica
tal que
; se verifica
, así como que todo logaritmo real de base real es, en
realidad, un logaritmo de un número negativo, por ejemplo,
Otra forma de verlo es
desembocando en lo mismo que antes.