Generalidades de guías de onda

Generalidades de guı́as de onda
Carlos Godoy 20162500040
i) En electromagnetismo, una guı́a de onda es una estructura para guiar energı́a electromagnética de
un punto a otro. Las guı́as de onda pueden ser construidas para transportar ondas sobre una amplia
porción del espectro electromagnético, pero son especialmente útiles en los rangos de frecuencia óptica
y de microondas. Para microondas se utilizan tubos metálicos huecos.
Figura 1: Generalidades de guı́as de onda metálicas
Las guı́as de onda usadas a frecuencias ópticas son tı́picamente guı́as de onda dieléctricas. Algunos tipos
comunes de guı́as de onda ópticas incluyen: fibra óptica, fibra de cristal fotónico, y guı́as de onda de
dieléctrico transparente hecho de vidrio o plástico. El diámetro común de la fibra óptica está entre los
0,25 y 0,5mm; en comparación, el rango del grosor del cabello humano va de los 0,017mm a los 0,18mm.
(a) fibra óptica
(b) fibra de cristal fotónico
Figura 2: Tipos de guı́a de onda ópticas. En (b) el diámetro de cada abertura es de 5µm.
Guı́as en forma de tubos huecos (a mayor escala que los anteriores) con una superficie interior altamente
reflectivas también han sido usadas como tubos de luz para transmitir luz natural o artificial.
Los tubos solares/tubos de luz/túneles de luz parecen representar el sistema de guı́a de onda más viejo.
Las cámaras ocultas de las tumbas egipcias se iluminaban con luz solar por medio de túneles estrechos,
a veces proveı́dos con materiales reflectivos que intensificaban la transmisión de luz a distancia[1], esta
técnica se perderı́a en el tiempo. El concepto se retomarı́a a mediados del siglo XIX, cuando el fotografo
Paul Emile Chappuis patentó el reflector de luz de dı́a, una combinación de vidrios, prismas, con espejos
y lentes orientados a cierto ángulo para llevar iluminación natural al interior de los edificios[1].
Figura 3: El anuncio del Reflector de Chappuis, 1880.
En el año de 1881 el emprendedor norteamericano William Wheeler desarrolló un tubo de luz con el
que esperaba entregar luz a cada hogar por medio de lámparas; sin embargo nunca despegó, no pudo
competir con los bombillos incandescentes de Edison[2].
Figura 4: Los tubos de luz de Wheeler para distribuir la luz de lámparas de gas en el interior de las viviendas
La empresa de Chappuis serı́a destruida durante la Segunda Guerra Mundial y el concepto de tubos de
luz para iluminación de establecimientos reaparecerı́a hasta el año de 1983.
A finales del siglo XIX y comienzos de siglo XX, se empezó a guiar la luz a través de varas de vidrio
dobladas para iluminar las cavidades del cuerpo.
En la década de 1930, Heinrich Lamm demostró que uno podı́a transmitir imágenes a través de un
paquete de fibras ópticas sin revestimiento y lo usó para exámenes médicos internos.
En esta misma década, las guı́as de onda metálicas vieron uso en los radares, cuyo desarrollo durante la
Segunda Guerra Mundial motivó a la investigación de las guı́as de onda, resultando en que se utilizaran
de forma generalizada por primera vez.
Figura 5: Antena de alimentación para un radar militar
Se empezaron a fabricar componentes estándar de ”plomerı́a”de guı́a de onda, con bridas en el extremo
que se podı́an atornillar, tales como los de la Figura 1. En los 50’s y 60’s, las guı́as de onda se hicieron
comunes en sistemas de microondas comerciales, como radares de aeropuertos y redes de radioenlace de
microondas que fueron construidas para transmitir llamadas telefónicas y programas de televisión entre
ciudades. En el año de 1956 se patentó el primer gastroscopio semi-flexible de fibra óptica por Basil
Hirschowitz, C. Wilbur Peters, y Lawrence E. Curtiss, investigadores de la Universidad de Michigan.
Para 1966 se empleó por primera vez la fibra óptica en sistemas de transmisión de datos. La NASA usó
fibra óptica en las cámaras de televisión que envió a la Luna.
Hoy dı́a las guı́as de onda metálicas se usan para conectar los transmisores y receptores de microondas
con sus antenas, en equipos como sets de radares, comunicación satelital y radio comunicación por
microondas. En hornos de microonda una guı́a de onda transfiere la energı́a del magnetrón a la cámara
de cocción.
Figura 6: Guı́a de onda de un radar de control de tráfico aéreo.
Las guı́as de onda ópticas son usadas como componentes en circuitos ópticos integrados, o como el
medio de transmisión de sistemas de comunicación óptica locales y de larga distancia. La fibra óptica
puede ser utilizada sensor para medir, temperatura, presión y deformaciones. Los sensores de fibra
óptica extrı́nseca mide vibración, rotación, desplazamiento, etc. También se puede usar para transmitir
potencia usando celdas fotovoltaicas para convertir la luz en energı́a eléctrica, lo que es útil en situaciones
en las que no es deseable tener un conductor metálico, como en la cercanı́a de máquinas de imágenes
de resonancia magnética. Se utilizan también en dispositivos de medición para equipo de transmisión
de alto voltaje.
La fibra óptica a menudo se envuelve en paquetes para que puedan usarse para transportar luz o
imágenes de espacios confinados; también es utilizada para iluminación, decoración, en endoscopios, en
la espectroscopia, etc.
(a) Un gabinete pared que contiene interconexiones de fibra óptica.
(b) Lámpara de fibra óptica.
Figura 7: Aplicaciones de la fibra óptica
Un ejemplo de un tubo de luz para iluminar interiores, es el instalado en la estación de trenes subterranea
de Potsdamer Platz, Berlin:
(a) Visto desde arriba
(b) Visto desde abajo
Figura 8: Estación de trenes subterranea de Potsdamer Platz, Berlin
ii)
1. Una lı́nea de transmisión solo puede tolerar ondas electromagnéticas transversales, mientras que
las guı́as de onda pueden tolerar muchas configuraciones posibles de campos.
2. Las lı́neas de transmisión llegan a ser ineficientes a frecuencias de microondas (de aproximadamente
3-300 GHz), a causa del efecto peculiar y las pérdidas dieléctricas, en tanto que las guı́as de onda
se emplean en ese intervalo de frecuencia para tener un mayor ancho de banda y menor atenuación
de señal.
3. Una lı́nea de transmisión puede operar a una escala que va desde el nivel de corriente directa (f=0)
hasta el de muy altas frecuencias, mientras que una guı́a de ondas solo puede operar por encima
de cierta frecuencia llamada frecuencia de corte y actúa por tanto como filtro pasa alto. Ası́, no
puede transmitir corriente directa y su tamaño serı́a excesivo a frecuencias inferiores a las de las
microondas.
iii) Se propagan ondas que pueden tener componentes transversales y también en la dirección de propagación de la onda.
Nuestras ondas confinadas al interior de la guı́a de onda son:
Ẽ(x, y, z, t) = Ẽ0 (x, y)ei(kz−wt)
B̃(x, y, z, t) = B̃0 (x, y)ei(kz−wt)
donde, Ẽ0 = Ex x̂ + Ey ŷ + Ez ẑ, B̃0 = Bx x̂ + By ŷ + Bz ẑ
Las ecuaciones de Maxwell para este caso son:
(i) ∇ · E = 0, (ii) ∇ · B = 0
(iii) ∇ × E = −
1 ∂E
∂B
, (iv) ∇ × B = 2
∂t
c ∂t
∂
[B̃0 ei(kz−wt) ] resulta:
∂t
∂Ey
∂Ex
∂Ez
∂Ez
− ikEy + ŷ ikEx −
+ ẑ
−
ei(kz−wt) = iw(Bx x̂+By ŷ+Bz ẑ)ei(kz−wt)
⇒ x̂
∂y
∂x
∂x
∂y
Del ∇ × [Ẽ0 ei(kz−wt) ] = −
luego de simplificar el exponencial, igualamos componente con componente:
∂Ez
− ikEy = iwBx
∂y
∂Ez
= iwBy
ŷ → ii) ikEx −
∂x
∂Ey
∂Ex
ẑ → iii)
−
= iwBz
∂x
∂y
x̂ →
i)
1 ∂
[E0 ei(kz−wt) ]:
c2 ∂t
∂Bz
iw
∂Bz
∂By
∂Bx
⇒ x̂
− ikBy + ŷ ikBx −
+ ẑ
−
ei(kz−wt) = − 2 (Ex x̂+Ey ŷ+Ez ẑ)ei(kz−wt)
∂y
∂x
∂x
∂y
c
Del ∇ × [B0 ei(kz−wt) ] =
igualamos componentes de nuevo, quedándonos otras tres ecuaciones:
∂Bz
iw
− ikBy = − 2 Ex
∂y
c
∂Bz
iw
ŷ → v) ikBx −
= − 2 Ey
∂x
c
x̂ → iv)
ẑ → vi)
∂By
∂Ex
iw
−
= − 2 Ez
∂x
∂y
c
Si despejamos para By en las ecuaciones ii) y iv) de modo que tengan signo opuesto queda:
k
i ∂Bz
i ∂Ez
w
Ex +
= By , iv) → − 2 Ex +
= −By
w
w ∂x
kc
k ∂y
ii) →
luego de sumarlas da:
⇒ Ex
w/c2
k
−
w
k
+i
iwk
⇒ Ex = − 2
k − (w/c)2
1 ∂Ez
1 ∂Bz
+
w ∂x
k ∂y
1 ∂Ez
1 ∂Bz
+
w ∂x
k ∂y
= 0 ⇒ Ex
k 2 − (w/c)2
1 ∂Ez
1 ∂Bz
= −i
+
wk
w ∂x
k ∂y
i
=
(w/c)2 − k 2
∂Ez
∂Bz
k
+w
∂x
∂y
Despejamos de la misma forma para Bx en las ecuaciones i) y v)
i ∂Ez
k
w
i ∂Bz
i) → −
− Ey = Bx , v) →
Ey +
= −Bx
w ∂y
w
kc2
k ∂x
al sumarlas:
⇒ Ey
w/c2
k
−
k
w
+i
1 ∂Bz
1 ∂Ez
−
k ∂x
w ∂y
ikw
⇒ Ey =
(w/c)2 − k 2
1 ∂Bz
1 ∂Ez
−
w ∂y
k ∂x
= 0 ⇒ Ey
i
=
(w/c)2 − k 2
1 ∂Ez
1 ∂Bz
(w/c)2 − k 2
=i
−
kw
w ∂y
k ∂x
∂Bz
∂Ez
k
−w
∂y
∂x
Si ahora en ii) y iv) despejamos para Ex en lugar de By nos queda:
ii) →
i ∂Ez
kc2
ic2 ∂Bz
w
By −
= Ex , iv) → −
By −
= −Ex
k
k ∂x
w
w ∂y
sumandolas:
2
2
c ∂Bz
1 ∂Ez
1 ∂Ez
w kc2
(w/c)2 − k 2
c ∂Bz
⇒ By
−
+i −
−
= 0 ⇒ By
+
=
k
w
w ∂y
k ∂x
ik(w/c)2
w ∂y
k ∂x
ik(w/c)2
⇒ By =
(w/c)2 − k 2
1 ∂Ez
c2 ∂Bz
+
w ∂y
k ∂x
i
⇒ By =
(w/c)2 − k 2
w ∂Ez
∂Bz
+ 2
k
∂y
c ∂x
por último despejamos para Ey en i) y v):
w
i ∂Ez
i) → − Bx −
= Ey , v) →
k
k ∂y
k
ic2 ∂Bz
B
+
= −Ey
x
w/c2
w ∂x
sumando:
⇒ Bx
k
w
−
w/c2
k
⇒ Bx = −
+i
ik(w/c2 )
(w/c)2 − k 2
c2 ∂Bz
1 ∂Ez
−
w ∂x
k ∂y
−
c2 ∂Bz
1 ∂Ez
+
w ∂x
k ∂y
= 0 ⇒ Bx
=
2
k 2 − (w/c)2
c ∂Bz
1 ∂Ez
=i −
+
k(w/c2 )
w ∂x
k ∂y
i
(w/c)2 − k 2
∂Bz
w ∂Ez
k
− 2
∂x
c ∂y
Tenemos entonces:
∂Ez
i
∂Bz
k
+
k
(w/c)2 − k 2
∂x
∂y
∂Ez
i
∂Bz
k
β) Ey =
−
w
(w/c)2 − k 2
∂y
∂x
∂Bz
i
w ∂Ez
k
γ) Bx =
−
(w/c)2 − k 2
∂x
c2 ∂y
i
∂Bz
w ∂Ez
δ) By =
k
+
(w/c)2 − k 2
∂y
c2 ∂x
α) Ex =
Obtenemos las ecuaciones desacopladas de Ez y Bz utilizando las ecuaciones de Maxwell restantes.
De ∇ · [Ẽ0 ei(kz−wt) ] = 0:
⇒∇·
⇒
i
(w/c)2 − k 2
iei(kz−wt)
(w/c)2 − k 2
k
k
∂Ez
∂Bz
+w
∂x
∂y
∂Ez
∂Bz
x̂ + k
−w
ŷ + Ez ẑ ei(kz−wt) = 0
∂y
∂x
∂ 2 Bz
∂ 2 Ez
∂ 2 Bz
∂ 2 Ez
+w
+k
−w
2
2
∂x
∂x∂y
∂y
∂y∂x
+ ikEz ei(kz−wt) = 0
Se cancelan derivadas mixtas, luego al simplificar:
⇒
ik
(w/c)2 − k 2
2
2
∂ 2 Ez
∂
∂2
ik
∂ Ez
2
2
Ez = 0
k
+
+
ikE
=
0
⇒
+
+
(w/c
)
−
k
z
2
2
2
2
∂x
∂y
∂x
∂y
(w/c)2 − k 2
∂2
∂2
2
2
+ 2 + (w/c ) − k Ez = 0
∂x2
∂y
Sigue ∇ · [B̃0 ei(kz−wt) ] = 0:
⇒∇·
⇒
i
(w/c)2 − k 2
iei(kz−wt)
(w/c)2 − k 2
k
w ∂Ez
∂Bz
− 2
∂x
c ∂y
w ∂Ez
∂Bz
+ 2
x̂ + k
ŷ + Bz ẑ ei(kz−wt) = 0
∂y
c ∂x
2
∂ Bz
w ∂ 2 Ez
∂ 2 Bz
w ∂ 2 Ez
k
−
+
k
+
+ ikBz ei(kz−wt) = 0
∂x2
c2 ∂x∂y
∂y 2
c2 ∂y∂x
simplificando:
⇒
ik
(w/c)2 − k 2
∂ 2 Bz
∂ 2 Bz
+
2
∂x
∂y 2
+ ikBz = 0 ⇒
∂2
ik
∂2
2
2
+
+
(w/c
)
−
k
Bz = 0
2
2
∂x
∂y
(w/c)2 − k 2
∂2
∂2
2
2
+
+
(w/c
)
−
k
Bz = 0
∂x2
∂y 2
iv) Se conoce ası́ a las ondas electromagnéticas, confinadas en guı́as de ondas, que no tienen ninguna
componente del campo magnético en la dirección de propagación.
v) Se conoce ası́ a las ondas electromagnéticas, confinadas en guı́as de onda, que no tienen ninguna
componente del campo eléctrico en la dirección de propagación
vi) Se conoce ası́ a las ondas electromagnéticas que no tienen ninguna componente de campo magnético ni
eléctrico en la dirección de propagación.
Si Ez = 0 y Bz = 0, entonces:
Ẽ0 = Ex x̂ + Ey ŷ, B̃0 = Bx x̂ + By ŷ
Ası́, ∇ × [Ẽ0 ei(kz−wt) ] = −
∂
[B̃0 ei(kz−wt) ]
∂t
∂Ex
∂Ey
ahora resulta en: ⇒ −ikEy x̂ + ikEx ŷ +
−
ẑ ei(kz−wt) = iw(Bx x̂ + By ŷ)ei(kz−wt)
∂x
∂y
y, ∇ × [B0 ei(kz−wt) ] =
1 ∂
[E0 ei(kz−wt) ]
c2 ∂t
∂By
∂Bx
iw
en: ⇒ −ikBy x̂ + ikBx ŷ + ẑ
−
ei(kz−wt) = − 2 (Ex x̂ + Ey ŷ)ei(kz−wt)
∂x
∂y
c
al igualar las componentes en x y en y de esta última expresión:
x̂ → By =
w/c2
w/c2
Ex , ŷ → Bx = −
Ey
k
k
y sustitutirlas en el resultado de: ∇ × [Ẽ0 ei(kz−wt) ] = −
⇒ −ikEy x̂ + ikEx ŷ +
∂Ey
∂Ex
−
ẑ
∂x
∂y
∂
[B̃0 ei(kz−wt) ], se obtiene:
∂t
w/c2
w/c2
= iw −
Ey x̂ +
Ex ŷ
k
k
luego, igualando las componentes de x y y:
i(w/c)2
(w/c)2
x̂ → −ikEy = −
Ey ⇒ Ey
− k = 0 ⇒ Ey = 0
k
k
i(w/c)2
(w/c)2
ŷ → ikEx =
Ex ⇒ Ex k −
= 0 ⇒ Ex = 0
k
k
∴ No pueden darse TEM en guı́as de onda huecas.
vii) No, cambia una de las ecuaciones de Maxwell a utilizar:
∇×B=
1 ∂E
∂E
1 ∂E
→ ∇ × B = µ
= 2
2
c ∂t
∂t
v ∂t
Todas las ecuciones que se obtuvieron siguen teniendo la misma forma, solo habrá que sustituir c2 por
v2 .
Referencias
[1] I. Visa, A. Duta. Nearly Zero Energy Communities, Proceedings of the Conference for Sustainable Energy
(CSE) p.81-82, 2017.
[2] J. Hecht, City of Light: The Story of Fiber Optics p.21-22, 1999.
[3] D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics 3rd. ed, Prentice-Hall, 1999.
[4] M. N. Sadiku,Elementos de electromagnetismo, Oxford University Press, 2003.
[5] Wikipedia(2020). Waveguide. Recuperado de: https://en.wikipedia.org/wiki/Waveguide
[6] Wikipedia(2020). Waveguide (radio frecuency). Recuerado de: https://en.wikipedia.org/wiki/
Waveguide_(radio_frequency)
[7] Wikipedia(2020). Waveguide (optics). Recuperdado de: https://en.wikipedia.org/wiki/Waveguide_
(optics)
[8] Wikipedia(2020). Optical fiber. Recuperdo de: https://en.wikipedia.org/wiki/Optical_fiber
[9] Wikipedia(2020). Light Tubes. Recuperado de: https://en.wikipedia.org/wiki/Light_tube