Exclusivo Universidad Agraria
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3
3
3
a + b + c = 3abc
se cumple que: a = b = c ó si a + b + c = 0
Leyes de Exponentes
m
n
m+n
1. a . a = a
2.
a
m
a
0
3. a = 1
-n
4. a =
n m
1
an
−n
11.
an
⎛a⎞
7. ⎜ ⎟ =
⎝b⎠
bn
n
am = n a
n
⎛a⎞
⎛b⎞
5. ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝b⎠
⎝a⎠
n
n
n
6. (a.b) = a . b
n
m n
8. (a ) = (a ) = a
m×n
9. n a.b = n a .n b
a na
10. n =
b nb
= a m−n
n
Desigualdades e Inecuaciones
2
1. Si: x < a Æ a < x < a
∀a>0
2
2. Si x > a Æ x > a ó x < - a ∀ a > 0
3. Si: a ≤ b Æ a ≥ 0 ∩ b ≥ 0 ∩ a ≤ b
4. Si: a ≥ b Æ a ≥ 0 ∩ b ≥ 0 ∩ a ≥ b
nm
a
m
m
=an
m
=an
12.
x
y
13. a = a Æ x = y
a
a
14. x = y Æ a = 0
x
a
15. x = a Æ x = a
Productos Notables
2
2
2
1. (a + b) ≡ a + 2ab + b
2
2
2
2. (a – b) ≡ a – 2ab + b
2
2
3. (a + b) (a – b) ≡ a – b
2
2
2
2
4. (a + b) + (a – b) ≡ 2(a + b )
2
2
5. (a + b) – (a – b) ≡ 4ab
2
2
2
2
6. (a + b + c) ≡ a + b + c + 2ab + 2bc + 2ac
3
3
2
2
3
7. (a + b) ≡ a + 3a b + 3ab + b
3
3
2
2
3
8. (a – b) ≡ a – 3a b + 3ab – b
3
3
3
9. (a + b) ≡ a + b + 3ab(a + b)
3
3
3
10. (a – b) ≡ a – b – 3ab(a – b)
2
2
3
3
11. (a + b) (a – ab + b ) ≡ a + b
2
2
3
3
12. (a – b) (a + ab + b ) ≡ a – b
3
3
3
3
13. (a + b + c) ≡ a +b + c + 3(a + b) (b + c) (a + c)
2
14. (x + a) (x + b) ≡ x + (a + b)x + ab
3
2
15. (x + a) (x +b) (x + c) ≡ x + (a + b + c)x + (ab + bc + ac) x + abc
2
2
2
2
4
2 2
4
16. (a + ab + b ) (a – ab + b ) ≡ a + a b + b
2
2
2
3
3
3
17. (a + b + c) (a + b + c – ab – b – ac) ≡ a + b + c – 3abc
3
3
3
18. Si: a + b + c = 0 Æ a + b + c = 3abc
2
2
2
19. a + b + c = ab + bc + ac
ó
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Valor Absoluto
1. | x | ≥ 0
2. | x | = | - x |
2
2
2
3. | x | = | x | = x
4. - | x | ≤ x ≤ | x |
x 2 =| x |
5.
6. | x . y | = | x | | y |
|x|
x
7.
=
y
| y|
8. | x + y | ≤ | x | + | y |
9. | x | = | b | Æ x = b ∪ x = - b
10. | x | = b, b ≥ 0 Æ x = b ∪ x = - b
11. | x | = b, b < 0 Æ x ∈ ∅
12. | x | ≤ b, b > 0 Æ - b ≤ x ≤ b
13. | x | ≥ b Æ x ≥ b ∪ x ≤ - b
Fracciones Algebraicas
Propiedad:
(MCM) (MCD) ≡ P(x) . Q(x)
1. Fracción Propia:
x 2 − x +1
x4 + x2 − x + 4
2. Fracción Impropia:
x 3 − 2x + 3
x2 − 2
Fracciones Parciales
N
A
B
=
+
( x + a)( x + b) ( x + a) ( x + b)
Q
N
P
R
2.
=
+
+
3
2
(
x
a
)
+
( x + a)
( x + a)
( x + a) 3
1.
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N
3.
x
3
±a
3
=
A
( x ± a)
Bx + C
+
(x
2
Ecuaciones de Segundo Grado
m ax + a 2 )
2
Forma: ax + bx + c = 0 ∀ a ≠ 0
Radicación – Racionalización
Caso
Expresión
Factor racionalizante
I
a
a
3a
II
3 2
a
III
a± b
am b
IV
3a
V
3
±3 b
a 2 m 3 ab + b 2
3
a 2 m 3 ab + b 2
3
3
a ±3 b
Radicales Dobles
S ± 2 P = m ± n , Donde: S = m + n ∧ P = m.n.
Números Complejos
1. i = i
2
2. i = -1
3
3. i = -i
4
4. i = 1
2
5. (1 + i) = 2i
2
6. (1 – i) = -2i
1+ i
=i
7.
1− i
1− i
8.
= −i
1+ i
4
9. (1 + i) = -4
4
10. (1 – i) = -4
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Número Real
a + bi
a b
⇒ =
c + di
c d
Número imaginario puro
a + bi
a −b
⇒ =
c + di
d
c
Ecuaciones Lineales
−b
∀a≠0
a
Si: a ≠ 0 ⇒ Ecuación compatible determinada
Si: ax = b = 0 ⇒ x =
x1 =
− b + b 2 − 4ac
− b − b 2 − 4ac
, x2 =
2a
2a
Discusión de sus Raíces
2
Sea: Δ = b – 4ac Discriminante
1) Δ > 0 ⇒ x1 ≠ x2 ∈ R
2) Δ = 0 ⇒ x1 = x2 ∈ R
3) Δ < 0 ⇒ Las raíces son complejas conjugadas.
Propiedades de sus raíces
−b
1. S = x1 + x2 =
a
c
2. P = x1 . x2 =
a
3. D = x1 – x2 =
b 2 − 4ac
2a
Construcción de una ecuación de segundo grado
2
x – Sx + P = 0
Sistema de Ecuaciones Lineales
Sea: ax + by = c
mx + ny = p
1. Sistema Compatible Determinado
a b
≠
m n
2. Sistema Compatible Indeterminado
a b c
= =
m n p
3. Sistema Incompatible o Absurda
a b c
= ≠
m n p
Ecuaciones Polinomiales
Si: a = 0 ∧ b = 0 ⇒ Ecuación compatible indeterminada
Si: a = 0 ∧ b ≠ 0 ⇒ Ecuación incompatible
Observación: Toda ecuación compatible es consistente y toda ecuación incompatible es
inconsistente.
Ecuación Bicuadrada:
4
2
ax + bx + c
1. Suma de raíces: x1 + x2 + x3 + x4 = 0
2. Suma de productos binarios: x1 . x2 + x3 . x4 =
3. Producto de raíces: x1 . x2 . x3 . x4 =
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b
a
c
a
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Teorema de Cardano – Viete
n
ax + bx
n-1
+ cx
n-2
n-3
+ Dx
Suma de raíces
x1 + x2 + x3 …… + xn =
+ …… + z
−b
a
CONJUNTOS
Extensión: Enumera los elementos
Comprensión: Sint. A = {x/x ∈ N}
Pertenencia: elemento ∈ Conjunto
Inclusión: sub – conjunto ⊂ conjunto
n(a)
# Sub – conjuntos: n [P(a)] = 2
n(a) – 1
# Sub – conjuntos propios: 2
Suma Binaria
x1 x2 + x1 x3 + ….. =
c
a
Suma Terciaria
x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + …… =
# Conjuntos iguales
elementos iguales e igual cantidad
A
1
2
3
1
2
3
B
n(A) = n(B)
−d
c
# Conjuntos comparables
Unión:
Intersección:
A
Producto de raíces
z
x1 x2 x3 …. xn = ±
a
n es par (+)
n es impar (-)
Logaritmos
x
1. Loga N = x Æ N = a
x
2. Loga a = x
3. N = a Log a N
4. Loga a = 1
5. Log n b m =
a
# Conjuntos distintos
A
15. antiloga Loga N = N
7. Loga (x.y) = Logax + Logay
B
A
B
A∩B
A∪B
B–A
A–B
A
B
A
B
N
14. Loga antiloga N = N
6. Log a b n = n.Log a b
B
A
12. Cologa b = - Loga b
13. antilogb N = b
m
.Log a b
n
B⊂A
A⊃B
B
16. Ln (x) = Loge x
17. Si: Loga x = Logb y Æ x = y
18. Si: M = N
Logb M = Logb N
8. Loga (x/y) = Logax – Logay
1
9. Loga b =
Log b a
Log c b
10. Loga b =
Log c a
11. b Loga c = c Loga b
# Conjuntos equivalentes
A
1
2
3
A–B
U
A
B
3
AC = A’
A’ = {3, 4}
1
n(A) = n(B) = 3
N⎞
⎛
# RADICAL ⎜ F = ⎟
D⎠
⎝
Fracción Propia: N < D
Fracción Impropia: N > D
1 1
Fracción Mixta: 5 , 7
3 7
Fracción equivalente
3k
a 3
= ⇒
b 5
5k
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4
5
6
B
Decimal periódico puro:
0,abc =
abc
999
Decimal periódico mixto:
0,abcd =
abcd − ab
9900
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2
4
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RAZONES Y PROPORCIONES
a
r=
razón geométrica
b
2) P.G. continua (medios iguales)
a b
=
b c
r = a.b razón aritmética:
donde: a = antecedente
b = consecuente
Proporción geométrica
1) P.G. discreta (a ≠ b ≠ c ≠ d).
a c
=
b d
c = tercera proporcional
b = media proporcional
ó media geométrica
A
=k
B
b = a.b
A Ip B ⇒
A.B = k
Propiedades:
a b c d
= = = =k
m n p q
a = mk; b = nk
c = pk d = qk
Reparto Proporcional
Directa: d.p a, b, c # Z
a
N b (+)
c
a+b+c
a.b.c.d
= k4 ;
m.n. p.q
donde 4 es el número de razones
Promedios
a + a 2 + ...a n
P. A. = 1
n
P.G. =
MA − MG =
N
a+b+c
⎛ N ⎞
1ra parte Æ a⎜
⎟
⎝a+b+c⎠
N
⎛
⎞
2da parte Æ b⎜
⎟
a
+
b+c⎠
⎝
N
⎛
⎞
3ra parte Æ c⎜
⎟
a
+
b+ c⎠
⎝
REGLA DE 3
Directa ↑ ↑ ↓↓
Vol
soles
5.4.2
2500
4.10.8
x
n
PH =
1
1
1
+
+ ...
a1 a 2
an
2ab
MH =
a+b
k=
MA =
a, b, c, # Z
Inversa: I.P
D.P.
a 1/a
N
b 1/b
c 1/c
m.c.m. (a, b, c) = a.b.c
DP
1
(a.b.c ) Æ bc
a
1
+
(a.b.c ) Æ ac
b
1
(a.b.c ) Æ ab
c
bc + ac + ab
N
bc + ac + ab
N
⎛
⎞
1ra parte Æ bc⎜
⎟
⎝ bc + cc + ab ⎠
N
⎞
⎛
2da parte Æ ac⎜
⎟
⎝ bc + ac + ab ⎠
N
⎞
⎛
3ra parte Æ bc⎜
⎟
⎝ bc + ac + ab ⎠
k=
La compuesta: (las dos)
a1 .a 2 ....a n
P.A. > P.G. > P.H.
MAGNITUDES
PROPORCIONALES
A Dp B ⇒
a+b+c+d
=k
m+n+ p+q
ad = bc
a y d extremos
b y c medios
d = 4ta proporcional
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a+b
2
MG = ab
2
MG = MA.MH
( a − b) 2
4( MA + MG )
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x=
4.10.8(2500)
= 20.000
5.4.2
Compuesta
Obreros
días
20
10
x
20
obras
2/5
3/5
x 10 3
=
. = 15 obreros
20 20 2
Inversa: ↑↓
↓↑
Obreros
días
20
10
5
x
x=
20.10
= 40 días
5
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PORCENTAJES
El 7% de 50
7
7
. 50 ⇒
100
2
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División:
D = dq + r
general
D = dqd + rd
D = dqe – re
Pv = Pc + G
Pv > Pc
rd + re = d
r min = 1
Pv = Pc – P
Pv < Pc
qe – qd = 1
r max = d – 1
Pv = Pl – rebaja ó descuento
G bruta = G neta + Gastos
CA(ab) = 10 2 − ab
CA (abcd ) = 10 4 − abcd
CA (abc) ⇒ (9 − a )(9 − b)(10 − c)
+ 10% - 30%
110
.70 ⇒ 77% lo que paga
100
100% - 77% ⇒ 23% descuento
110%
Complemento aritmético
70% ⇒
CUATRO OPERACIONES
Suma: t1, t2, t3, ……… tn
CA (abcde) ⇒ (9 − a )(9 − b)(9 − c)(9 − d )(10 − e)
Divisibilidad
o o o o
2, 4, 8, 16
o
o
abcde
o
o
5, 25, 125, 625
tn = t1 + (n – 1)r
o
t −t
n = n 1 +1
r
o
o
2
4
e
8
de
cde
o
⎛t +t ⎞
S = ⎜ 1 n ⎟n
⎝ 2 ⎠
o
5
o
25
125
o
16
Resta: N – S = D
421
cde
bcde
abc
cba
xyz
o
y=9
625
x+z=9
a-c=x+
# PRIMOS Y COMPUESTOS
α
β
N = a . B ……… Z
Multiplicación: M × m = P
abc ×
mn
m (abc)
m (abc)
producto
o
=8
φ
# divisores notables (Dn)
D n = (α + 1) (β + 1) ……… (φ + 1)
Productos
parciales
# divisores primos (Dp)
a . B ….. Z
# divisores simples (Ds)
Ds = Dp + 1
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Divisores compuestos (Dc)
Dc = Dn – Ds
Suma de divisores (Sn)
Sn =
a α +1 − 1 B β +1 − 1 Z φ +1 − 1
.
...
B −1
Z −1
a −1
Suma de Dp
a + B + ……… Z
Suma de Ds
a + B + …… Z + 1
⇒ SDs = SDp + 1
MCD y MCM
3
11
3
2
N = 2 . 5 . 11
MCD = 2 . 5
4
2
4
11
MCM = 2 . 5 . 7 . 11
M=2 .5 .7
Algoritmo de Euclides ó método de sucesivos (MCD)
14
1
5
178 12 10 2 MCD
10
2
0
residuos
Propiedades
1. A y B son PESI
MCD = 1
MCM = A.B
2. A = MCDq1
B = MCDq2
3. A.B = MCD . MCM
4. MCDq1q2 = MCM
o
a+ x
5. N
o
b+ x
o
N = mcm ( a b c ) + x
o
c+ x
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