Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas Probabilidad y Estadı́stica Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Índice 1 Estadı́stica Descriptiva 2 Distribución de Frecuencias y Gráficos 3 Medidas Descriptivas 4 Introducción a la Teorı́a de Probabilidades 5 Técnicas de Conteo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Definiciones Básicas Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Definiciones Estadı́stica Ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza e interpreta datos con el fin de proporcionar una toma de decisiones más eficaz Estadı́stica Descriptiva Este tipo de estadı́stica proporciona los métodos para organizar, resumir y presentar los datos de manera informativa. Estadı́stica Inferencial Este tipo de estadı́stica proporciona los métodos que se emplean para determinar una propiedad de una población con base en la información de una muestra de ella. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Definiciones Población Es un conjunto de individuos u objetos de interés o medidas que se obtienen a partir de todos los individuos u objetos de interés Muestra Porción o parte de la población de interés Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Tipos de Variables Existen dos tipos básicos de variables: 1)Cuantitativas y 2)Cualitativas. Cualitativa: Cuando la caracterı́stica de estudio es de naturaleza no numérica. Cuantitativa: Cuando la variable de estudio aparece en forma numérica. Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: 1) Discretas y 2)Continuas Discretas: Son aquellas que adoptan sólo ciertos valores y existen vacı́os entre ellos, son números naturales. Continuas: Toman cualquier valor dentro de un intervalo especı́fico, son números reales. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Niveles de Medición Niveles de Medición Los datos se clasifican por niveles de medición. El nivel de medición de los datos rige los cálculos que se llevan a cabo con el fin de resumir y presentar los datos. También determinan las pruebas estadı́sticas que se deben realizar. Existen cuatro niveles de de medición: Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 1 Datos de nivel nominal La variable de interés se divide en categorı́as o resultados No existe un orden natural de los resultados 2 Datos de nivel ordinal La clasificación de los datos se encuentran representados por conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores relativos En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar. 3 Datos de nivel de intervalo La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea la caracterı́stica en cuestión Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en las mediciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 1 Datos de nivel nominal La variable de interés se divide en categorı́as o resultados No existe un orden natural de los resultados 2 Datos de nivel ordinal La clasificación de los datos se encuentran representados por conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores relativos En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar. 3 Datos de nivel de intervalo La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea la caracterı́stica en cuestión Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en las mediciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 1 Datos de nivel nominal La variable de interés se divide en categorı́as o resultados No existe un orden natural de los resultados 2 Datos de nivel ordinal La clasificación de los datos se encuentran representados por conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores relativos En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar. 3 Datos de nivel de intervalo La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea la caracterı́stica en cuestión Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en las mediciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 1 Datos de nivel nominal La variable de interés se divide en categorı́as o resultados No existe un orden natural de los resultados 2 Datos de nivel ordinal La clasificación de los datos se encuentran representados por conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores relativos En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar. 3 Datos de nivel de intervalo La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea la caracterı́stica en cuestión Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en las mediciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 1 Datos de nivel nominal La variable de interés se divide en categorı́as o resultados No existe un orden natural de los resultados 2 Datos de nivel ordinal La clasificación de los datos se encuentran representados por conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores relativos En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar. 3 Datos de nivel de intervalo La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea la caracterı́stica en cuestión Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en las mediciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 1 Datos de nivel nominal La variable de interés se divide en categorı́as o resultados No existe un orden natural de los resultados 2 Datos de nivel ordinal La clasificación de los datos se encuentran representados por conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores relativos En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar. 3 Datos de nivel de intervalo La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea la caracterı́stica en cuestión Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en las mediciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 1 Datos de nivel nominal La variable de interés se divide en categorı́as o resultados No existe un orden natural de los resultados 2 Datos de nivel ordinal La clasificación de los datos se encuentran representados por conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores relativos En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar. 3 Datos de nivel de intervalo La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea la caracterı́stica en cuestión Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en las mediciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 1 Datos de nivel nominal La variable de interés se divide en categorı́as o resultados No existe un orden natural de los resultados 2 Datos de nivel ordinal La clasificación de los datos se encuentran representados por conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores relativos En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar. 3 Datos de nivel de intervalo La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea la caracterı́stica en cuestión Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en las mediciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 1 Datos de nivel nominal La variable de interés se divide en categorı́as o resultados No existe un orden natural de los resultados 2 Datos de nivel ordinal La clasificación de los datos se encuentran representados por conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores relativos En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden clasificar u ordenar. 3 Datos de nivel de intervalo La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea la caracterı́stica en cuestión Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en las mediciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 4 Datos de nivel de razón La clasificación de los datos se ordena de acuerdo con la cantidad de caracterı́sticas que poseen. Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en los números asignados a las clasificaciones El punto cero representa la ausencia de caracterı́stica y la razón entre dos números es significativa Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 4 Datos de nivel de razón La clasificación de los datos se ordena de acuerdo con la cantidad de caracterı́sticas que poseen. Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en los números asignados a las clasificaciones El punto cero representa la ausencia de caracterı́stica y la razón entre dos números es significativa Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 4 Datos de nivel de razón La clasificación de los datos se ordena de acuerdo con la cantidad de caracterı́sticas que poseen. Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias iguales en los números asignados a las clasificaciones El punto cero representa la ausencia de caracterı́stica y la razón entre dos números es significativa Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Distribución de Frecuencias y Gráficos Distribución de Frecuencias Agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes, que muestran el número de observaciones que hay en cada clase Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Tabla de Distribución de Frecuencias Es un dispositivo para la distribución de los datos y facilitar su interpretación. Tabla de Distribución Recomendaciones para construir una tabla de frecuencias 1 Identificar la unidad de medida de los datos Obtener el rango de los datos: R = mayor valor − menor valor 2 Seleccionar el número de clases (o intervalos) k, para agrupar los datos. Sugerencias para elegir k Sean n : número de datos k : número deCiencias intervalos Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Tabla de Distribución de Frecuencias Es un dispositivo para la distribución de los datos y facilitar su interpretación. Tabla de Distribución Recomendaciones para construir una tabla de frecuencias 1 Identificar la unidad de medida de los datos Obtener el rango de los datos: R = mayor valor − menor valor 2 Seleccionar el número de clases (o intervalos) k, para agrupar los datos. Sugerencias para elegir k Sean n : número de datos k : número deCiencias intervalos Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Tabla de Distribución de Frecuencias Es un dispositivo para la distribución de los datos y facilitar su interpretación. Tabla de Distribución Recomendaciones para construir una tabla de frecuencias 1 Identificar la unidad de medida de los datos Obtener el rango de los datos: R = mayor valor − menor valor 2 Seleccionar el número de clases (o intervalos) k, para agrupar los datos. Sugerencias para elegir k Sean n : número de datos k : número deCiencias intervalos Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Tabla de Distribución de Frecuencias Es un dispositivo para la distribución de los datos y facilitar su interpretación. Tabla de Distribución Recomendaciones para construir una tabla de frecuencias 1 Identificar la unidad de medida de los datos Obtener el rango de los datos: R = mayor valor − menor valor 2 Seleccionar el número de clases (o intervalos) k, para agrupar los datos. Sugerencias para elegir k Sean n : número de datos k : número deCiencias intervalos Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Tabla de Distribución n Menos de 50 Entre 50 y 100 Entre 100 y 250 Mas de 250 3 k 5a7 6 a 10 7 a 12 10 a 20 Obtener la amplitud de las clases: A = R/k Lo más aconsejable es que la amplitud sea igual para cada clase, para lo cual se redefine la amplitud, el número de clases y los extremos. 4 Realizar el conteo de datos para obtener la frecuencia en cada clase Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Tabla de Distribución n Menos de 50 Entre 50 y 100 Entre 100 y 250 Mas de 250 3 k 5a7 6 a 10 7 a 12 10 a 20 Obtener la amplitud de las clases: A = R/k Lo más aconsejable es que la amplitud sea igual para cada clase, para lo cual se redefine la amplitud, el número de clases y los extremos. 4 Realizar el conteo de datos para obtener la frecuencia en cada clase Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Notación n : número de datos k : número de clases fi : frecuencia de la clase i; i = 1, 2, 3, . . . , k fi /n : frecuencia relativa de la clase i Fi : frecuencia acumulada de la clase i Fi = f1 + f2 + · · · + fk Fi /n : frecuencia acumulada relativa de la clase i mi : marca de la clase (es el centro de la clase i) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Solución Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Gráficos Estadı́sticos Histograma Gráfica en la que las clases se señalan en el eje horizontal y frecuencias de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase se representan mediante las alturas de las barras, que se dibujan de manera adyacente. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Histograma de Frecuencia Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo En el Histograma de Frecuencias se puede identificar: 1 Si las alturas de las barras son similares se dice que tiene una distribución tipo uniforme 2 Si las alturas son mayores en la parte central se dice que tiene forma tipo campana y puede ser simétrica o asimétrica, con sesgo al lado positivo o negativo 3 Si hay barras muy alejadas del grupo, se dice que son datos atı́picos. Probablemente estos datos fueron por errores de medición y se pueden descartar. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo En el Histograma de Frecuencias se puede identificar: 1 Si las alturas de las barras son similares se dice que tiene una distribución tipo uniforme 2 Si las alturas son mayores en la parte central se dice que tiene forma tipo campana y puede ser simétrica o asimétrica, con sesgo al lado positivo o negativo 3 Si hay barras muy alejadas del grupo, se dice que son datos atı́picos. Probablemente estos datos fueron por errores de medición y se pueden descartar. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo En el Histograma de Frecuencias se puede identificar: 1 Si las alturas de las barras son similares se dice que tiene una distribución tipo uniforme 2 Si las alturas son mayores en la parte central se dice que tiene forma tipo campana y puede ser simétrica o asimétrica, con sesgo al lado positivo o negativo 3 Si hay barras muy alejadas del grupo, se dice que son datos atı́picos. Probablemente estos datos fueron por errores de medición y se pueden descartar. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Polı́gono de Frecuencias Es una manera de representar el perfil de la distribución de datos, Se obtiene uniendo mediante segmentos de recta los puntos de marca de clase y frecuencia. Para cerrar el polı́gono se puede agregar un punto a cada lado con frecuencia cero Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Polı́gono de Frecuencia Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ojiva Es un gráfico para representar la frecuencia acumulada, absoluta o relativa. Se la obtiene uniendo segmentos de recta que se extienden entre los extremos de las clases y usando valores de las frecuencias acumuladas. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Medidas de Tendencia Central Media Poblacional Se define como Media Poblacional y se denota como µ a la expresión: P X µ= N en la cual: µ media poblacional N el número de valores de la población X representa cualquier valor particular Σ es la letra mayúscula sigma e indica la operación de suma X X es la suma de X valores en la población Parámetro: Caracterı́stica de una población Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Media Muestral Si x1 , x2 , . . . , xn representa los datos de un conjunto de la población, se define como media muestral: n X = x1 + x2 + · · · + xn 1X = xi n n i=1 Estadı́stico: Caracterı́stica de la muestra Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Media Ponderada Para determinar la media ponderada, se utiliza como ponderación las frecuencia de los datos fi , mediante la expresión: Pn fi x i f1 x1 + f2 x2 + · · · + fn xn = Pi=1 X = n f1 + f2 + · · · + fn i=1 fi Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Mediana Punto medio de los valores una vez que se han ordenado de menor a mayor o de mayor a menor Sean: x1 , x2 , . . . , xn x(1) , x(2),...,x(n) los datos los datos ordenados en forma creciente si n es impar X( n+1 ) 2 Xe = 1 X( n ) + X( n +1) si n es par 2 2 2 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Moda Se le denota con Mo, es el valor que ocurre con más frecuencia en una muestra, es posible que no exista la moda o que pueden existir más de una moda Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Posiciones relativas de la media, mediana y moda 1 Si la distribución es simétrica o sea en forma de campana sin sesgo, la media, mediana y moda siempre son iguales. 2 Si la distribución tiene sesgo positivo, la media es la mayor de las tres medidas. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Posiciones relativas de la media, mediana y moda 1 Si la distribución es simétrica o sea en forma de campana sin sesgo, la media, mediana y moda siempre son iguales. 2 Si la distribución tiene sesgo positivo, la media es la mayor de las tres medidas. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo 3 Si la distribución tiene sesgo negativo, la media es la menor medida de las tres. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Medidas de Dispersión Rango Rango es la diferencia entre el valor máximo y el valor mı́nimo. Rango = valormax − valormin Desviación media Media aritmética de los valores P absolutos de las desviaciones con |X − X | respecto a la media DM = donde: n X valor de cada observación X media aritmética n número de observaciones en la muestra Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Varianza y Desviación Estándar Varianza: Media aritmética de las desviaciones elevadas al cuadrado Desviación Estándar: Raı́z cuadrada de la varianza Varianza de la Población Se define como: 2 σ = Pn i=1 (Xi − µ)2 N donde: σ 2 varianza de la población X es el valor de una observación de la población µ media poblacional N número de observaciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Varianza Muestral Esta medida se base en la cuantificación de la distancia de los datos con respecto a la media. Pn (xi − x)2 2 S = i=1 Fórmula para el cálculo de la varianza n−1 P Pn n i=1 xi2 − ( ni=1 xi )2 Fórmula alterna para la varianza S2 = n(n − 1) El motivo que en el denominador sea n − 1 en lugar de n se justifica en la estadı́stica inferencial Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Desviación Estándar Muestral Es la raı́z cuadrada positiva de la varianza, se expresa en las mismas unidades de los datos. √ S = + S2 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Interpretación y usos de la Desviación Estándar Teorema de Chebyshev En cualquier conjunto de observaciones (muestra o población), la proporción de valores que se encuentran a k desviaciones 1 estándares de la media es de por lo menos 1 − 2 , siendo k k cualquier constante mayor que 1 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Regla Empı́rica En una distribución de frecuencias simétricas en forma de campana, aproximadamente el 68 % de las observaciones se encuentran entre más y menos una desviación estándar de la media, cerca del 95 % de las observaciones se encuentran entre más y menos dos desviaciones estándares de la media y, de hecho el 99.7 % de las observaciones estarán entre más y menos tres desviaciones estándares. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Medidas descriptivas para datos agrupados Si se dispone de una tabla de frecuencias, se pueden usar sus valores para calcular aproximadamente la media y la desviación de una muestra. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Media para datos agrupados Se calcula mediante la fórmula k X = 1X mi fi n i=1 donde: n número de datos k número de clases mi marcas de la clase i fi frecuencia de la clase i Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Varianza Se calcula mediante la fórmula k S2 = 1 X fi (mi − X )2 n−1 i=1 donde n número de datos k número de clases mi marca de la clase i fi frecuencia de la clase i Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Mediana Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Moda Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Medidas de Posición Son números que dividen a un grupo de datos ordenados, en grupos de aproximadamente igual cantidad de datos con el propósito de resaltar su posición. Entre las más comunes son los cuartiles, deciles y percentiles. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Cuartiles Son números que dividen al grupo de datos en aproximadamente el 25 % de datos. Primer Cuartil Q1 : A la izquierda de Q1 están el 25 % de los datos y a la derecha están el 75 % de los datos Segundo Cuartil Q2 : Igual que la mediana, divide al grupo de datos en un 50 % Tercer Cuartil Q3 : A la izquierda del cuatil están el 75 % de los datos y a la derecha el 25 % de los datos ordenados. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo: Suponer que una muestra tiene 40 datos ordenados X(1) , X(2) , . . . , X(40) . Calcular Q1 , Q2 , Q3 Q1 : Ası́ que Q2 : Ası́ que Q3 : Ası́ que 25 % de 40=10 Q1 = X(10) +X(11) 2 50 % de 40=20 Q2 = (X(20) +X(21) ) 2 75 % de 40=30 Q3 = Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas (X(30) +X(31) ) 2 UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Deciles Son números que dividen al grupo de datos ordenados en aproximadamente el 10 % Primer Decil: A la izquierda está el 10 % de los datos y a la derecha el 90 % de los datos aproximadamente Segundo Decil: A la izquierda está el 20 % de los datos y a la derecha el 80 % de los datos aproximadamente Y ası́ sucesivamente. El Quinto Decil es la mediana. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Percentiles Son números que dividen al grupo de datos en aproximadamente el 1 %, ası́ pues: Primer Percentil: a la izquierda se tiene el 1 % de los datos, mientras que a la derecha el 99 % de los datos ordenados. Segundo Percentil: a la izquierda se encuentra el 2 % de los datos y a la derecha el 98 % de los datos ordenados, ası́ sucesivamente. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Cuartiles para datos agrupados Los cuartiles para datos agrupados se tiene Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Coeficiente de Variación Es un número adimensional que representa cuan dispersos están los datos respecto a la media, se puede expresar en porcentaje, se calcula mediante: S V = X donde: S : desviación estándar X media aritmética Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Medidas de Forma Comparan la forma que tiene la representación gráfica, bien sea el histograma o el diagrama de barras de la distribución, con la distribución normalpara determinar si la distribución es simétrica o no, las medidas de forma son dos básicamente: la asimetrı́a y la curtosis Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Asimetrı́a Sesgo: Existen cuatro formas de sesgo: simétrica, con sesgo positivo, con sesgo negativo y bimodal. Un conjunto es simétrico si la media y mediana son iguales, y los datos se dispersan alrededor de estos valores. Se tiene un conjunto con sesgo positivo, si existe un solo pico y los valores se extienden mucho mas allá a la derecha del pico que a la izquierda, en este caso la media es más grande que la mediana. Se tiene un conjunto con sesgo negativo si existe un solo pico, pero las observaciones se extienden más a la izquierda, en la dirección negativa, en este caso la media es menor que la mediana. Una distribución bimodal tendrá mas de un pico, por lo general éste caso es cuando los datos provienen de dos o más poblaciones. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Coeficiente de sesgo de Pearson Este coeficiente se basa entre la diferencia de la media y la mediana, mediante: 3(X − Xe ) sk = S de acuerdo a esto el sesgo puede variar entre -3 y 3, para valores cercanos a -3 como -2.57 indica que es sesgo negativo considerable, un valor como 1.63 indica que es un sesgo positivo moderado, un valor de 0 indica que la distribución es simétrica Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Curtosis La curtosis (también conocida como medida de apuntamiento) es una medida estadı́stica, que determina el grado de concentración que presentan los valores de una variable alrededor de la zona central de la distribución de frecuencias. Se distinguen tres tipos de curtosis: 1 Mesocúrtica 2 Leptocúrtica 3 Platicúrtica Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Curtosis La curtosis (también conocida como medida de apuntamiento) es una medida estadı́stica, que determina el grado de concentración que presentan los valores de una variable alrededor de la zona central de la distribución de frecuencias. Se distinguen tres tipos de curtosis: 1 Mesocúrtica 2 Leptocúrtica 3 Platicúrtica Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Curtosis La curtosis (también conocida como medida de apuntamiento) es una medida estadı́stica, que determina el grado de concentración que presentan los valores de una variable alrededor de la zona central de la distribución de frecuencias. Se distinguen tres tipos de curtosis: 1 Mesocúrtica 2 Leptocúrtica 3 Platicúrtica Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Medición de la Curtosis La curtosis se mide promediando la cuarta potencia de la diferencia entre cada elemento del conjunto y la media, dividido entre la desviación tı́pica elevado también a la cuarta potencia. Sea el conjunto X = (x1 , x2 , . . . , xN ), entonces el coeficiente de curtosis será: PN (xi − x)4 Curtosis = i=1 −3 Para datos no agrupados N · Sx4 y si se tiene datos agrupados: PN Curtosis = − x)4 · ni −3 N · Sx4 i=1 (xi Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas Datos agrupados UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Mesocúrtica Existe una concentración normal de los valores en torno a su media Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Leptocúrtica Existe una gran concentración de los valores en torno a su media Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Platicúrtica Existe una baja concentración de los valores en torno a su media Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Introducción a las Probabilidades Probabilidad Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento Experimento Proceso que induce a que ocurra una y sólo una de varias posibles observaciones, ası́ por ejemplo Lanzar un dado y mirar el resultado obtenido Medir la altura de una persona Observar el tipo de defecto de un artı́culo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Introducción a las Probabilidades Probabilidad Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento Experimento Proceso que induce a que ocurra una y sólo una de varias posibles observaciones, ası́ por ejemplo Lanzar un dado y mirar el resultado obtenido Medir la altura de una persona Observar el tipo de defecto de un artı́culo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Introducción a las Probabilidades Probabilidad Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad relativa de que ocurra un evento Experimento Proceso que induce a que ocurra una y sólo una de varias posibles observaciones, ası́ por ejemplo Lanzar un dado y mirar el resultado obtenido Medir la altura de una persona Observar el tipo de defecto de un artı́culo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Espacio Muestral Representado por la letra S, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina punto muestral. El espacio muestral puede ser discreto o continuo. Si S es discreto sus valores pueden ponerse en relación con los números naturales. Si S es continuo los resultados pueden ponerse en relación con algún intervalo de los números reales. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Evento Es un subconjunto del espacio muestral S. Se usan letras mayúsculas para denotar eventos. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Reglas de Probabilidad La probabilidad clásica parte del supuesto que un evento va a suceder, y se calcula dividiendo el número resultados favorables entre el número de posibles resultados. En el ejemplo anterior. ¿Cuál es la probabilidad del evento “cae un número par de puntos”? Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Evento: A = {2, 4, 6} 3 ← número de resultados favorables P(A) = = 0,5 6 ← número total de posibles resultados Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Evento Mutuamente Excluyente El hecho que un evento se presente significa que ninguno de los demás eventos puede ocurrir al mismo tiempo. Evento Colectivamente Exhaustivo Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se lleva acabo un experimento Probabilidad Empı́rica La probabilidad de que un evento ocurra representa una fracción de los eventos similares que sucedieron en el pasado. Probabilidad empı́rica = Número de veces que el evento ocurre Número total de observaciones Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ley de los números grandes En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empı́rica de un evento se aproxima a la probabilidad real. Ejemplo: El 1 de febrero de 2003 explotó el transbordador Columbia. Este fue el segundo desastre en 113 misiones espaciales de la NASA. Con base a esta información, ¿cuál es la probabilidad de que una misión futura concluya con éxito? S = 113 número total de vuelos A = 111 número total de vuelos exitosos 111 = 0,98 P(A) = 113 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Reglas para calcular probabilidades Adición Para aplicar la regla de la adición, los eventos deben ser mutuamente excluyentes, la regla se basa en sumar cada una de las probabilidades a darse. P(A ∨ B ∨ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Complemento La suma de probabilidades de todos los eventos debe dar como resultado 1, entonces si se tiene un evento A y su complemento ∼ A la suma de las dos es 1 por lo tanto: P(A) = 1 − P(∼ A) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Regla general de la adición Los resultados de un experimento pueden ser o no excluyentes. Por ejemplo si se tiene que de una muestra de 200 turistas que visitaron la provincia de Tungurahua, la encuesta reveló que 120 visitaron Baños y 100 a Ambato, ¿cuál es la probabilidad de que un turista haya visitado Baños o Ambato?. Si seguimos la regla de la adición tendrı́amos que la probabilidad de que el turista haya visitado Baños es 0.6 y la probabilidad de que haya visitado Ambato es 0.5, si sumamos los dos eventos el resultado es de 1,10 pero se sabe que la suma no puede ser mayor a 1. La respuesta es que muchos turistas visitaron los dos lugares y se los está volviendo a contar, la encuesta reveló que 60 de los 200 turistas visitaron ambas ciudades, entonces P(A ∨ B) = P(A) + P(B) − P(A ∧ B) = 0,6 + 0,5 − 0,3 = 0,8 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Multiplicación Independencia Que un evento ocurra, no tiene efecto sobre la probabilidad que otro evento acontezca. Esta probabilidad se da cuando dos eventos independientes ocurren de manera simultánea, entonces la regla es: P(A ∧ B) = P(A)P(B) Dos eventos se vuelven independientes si se los hace con reemplazo. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo Una encuesta que se llevó a cabo la American Automobile Association (AAA) reveló que el año pasado 60 % de sus miembros hicieron reservaciones en lı́neas aéreas. Dos de ellos fueron seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos hicieran reservaciones el año pasado? La probabilidad de que el primer en ser elegido haya hecho una resevación es de 60 % osea P(R1 ) = 0,6, la probabilidad de que el segundo hiciera una reservación es del 60 % osea P(R2 ) = 0,6 la probabilidad de que ambos hicieran una reservación será: P(R1 ∧ R2 ) = P(R1 )P(R2 ) = 0,6 · 0,6 = 0,36 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Probabilidad Condicional Si dos eventos no son independientes, entonces la realización, del segundo evento depende de que el primero se de, a este tipo de probabilidad se la denomina probabilidad condicional, entonces su regla es: P(A ∧ B) = P(A)P(B|A) Dos eventos son dependientes si se lo hace sin reemplazo Si los eventos son independientes entonces P(A|B) = P(A) y P(B|A) = P(B) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo Un golfista tiene 12 camisas en su clóset. Suponga que 9 son blancas y las demás azules. Come se viste de noche, simplemente toma una camisa y se la pone. Juega golf dos veces seguidas y no las lava. ¿Cúal es la probabilidad de que las dos camisas elegidas sean blancas? Si al elegir una camisa esta sea blanca su probabilidad 9 será P(B1 ) = , la probabilidad de que la segunda elección sea 12 8 una camisa blanca es P(B2 |B1 ) = . 11 P(B1 ∧ B2 ) = P(B1 )P(B2 |B1 ) = Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas 9 8 = 0,55 12 11 UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Probabilidad Total Si existen eventos dependientes, osea que para que se un evento depende de que se den otros del mismo espacio muestral , para determinar su probabilidad se deben calcular las probabilidades condicionales de cada evento, entonces: P(A) = P(B1 )P(A|B1 ) + P(B2 )P(A|B2 ) + · · · + P(Bk )P(A|Bk ) P(A) = k X P(Bi )P(A|Bi ) (1) i=1 A la fórmula (1) se la conoce como la probabilidad total Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo Una institución tiene a tres personas para atención al cliente: Marı́a, Carmen y Beatriz. Dispone de un registro de quejas por la atención recibida: 1 %,3 % y 2 % respectivamente. Cierto dı́a acudieron 50 clientes a la institución, de los cuales 15 fueron atendidos por Marı́a, 10 por Carmen y 25 por Beatriz. Cuál es la probabilidad de que al elegir a un cliente al azar presente una queja. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Persona Marı́a Carmen Beatriz Clientes Atendidos 15 10 25 Quejas 1% 3% 2% A: Cliente elegido presenta una queja B1 : Cliente fue atendido por Marı́a B2 : Cliente fue atendido por Carmen B3 : Cliente fue atendido por Beatriz P(A) = P(A) = P(A) = P(B1 )P(A|B1 ) + P(B2 )P(A|B2 ) + P(B3 )P(A|B3 ) 15 10 25 (0,01) + (0,03) + (0,02) 50 50 50 0,019 = 1,9 % Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo En una primera caja hay 20 baterı́as de las cuales 18 están en buen estado. En una segunda caja hay 10 baterı́as de las cuales 9 están en buen estado. Se realiza un experimento que consiste en las siguientes dos acciones: Primero se toma de la caja 2 una baterı́a y sin examinarla se coloca en la caja 1. Segundo, se toma una caja al azar una baterı́a de la caja 1 y se la examina. Encuentre la probabilidad que esta última baterı́a esté en buen estado. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Solución Sean los eventos: B : tomar una baterı́a de la caja 2 y esté en buen estado B { : tomar una baterı́a de la caja 2 y no esté en buen estado A : tomar una baterı́a de la caja 1 y esté en buen estado 9 19 1 18 P(A) = P(B)P(A|B) + P(B { )P(A|B {) = + = 0,9 10 21 10 21 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Tablas de Contingencia Tabla que se utiliza para clasificar observaciones de una muestra, de acuerdo con dos o más caracterı́sticas identificables. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo Cierta universidad en formación en su primer año de funcionamiento tiene tres curricula: Ciencia, Administración e Ingenierı́a. La clasificación de los alumnos por su sexo, es como sigue: Hombres Mujeres Total Ciencia 250 100 350 Administración 350 50 400 Ingenierı́a 200 50 250 Total 800 200 1000 Se selecciona un estudiante aleatoriamente del grupo. Si se sabe que el estudiante es hombre. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en ciencias, esté en administración o ingenierı́a?. Si el estudiante es mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en ciencias, esté en administración o en ingenierı́a? Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Solución Se define: B1 : El estudiante seleccionado es hombre B2 : El estudiante seleccionado es mujer A1 : El estudiante sigue ciencias A2 : El estudiante sigue administración A3 : El estudiante sigue ingenierı́a Probabilidades Marginales 800 200 P(B1 ) = = 0,8 P(B2 ) = = 0,20 1000 1000 350 400 = 0,35 P(A1 ) = = 0,40 P(A1 ) = 1000 1000 250 P(A3 ) = = 0,25 1000 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Solución Probabilidades Conjuntas P(Bi ∩ Aj ) por ejemplo: 250 P(B1 ∩ A1 ) = = 0,25 1000 B1 B2 Total A1 0,25 0,10 0,35 A2 0,35 0,05 0,40 A3 0,20 0,05 0,25 Total 0,80 0,20 1,00 Cálculo de las probabilidades pedidas P(Aj ∩ Bi ) = P(Bi )P(Aj |Bi ) P(Aj ∩ Bi ) entonces P(Aj |Bi ) = P(Bi ) 0,25 0,10 = 0,3125 P(A1 |B2 ) = = 0,5 P(A1 |B1 ) = 0,80 0,20 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Diagramas de Árbol El diagrama de árbol es útil para organizar cálculos que implican varias etapas. Mediante un ejemplo se dan los pasos para construir el árbol Se entrevistó a una muestra de ejecutivos respecto de su lealtad a la compañı́a. Una de las preguntas fue: Si otra compañı́a le hace una oferta igual o le ofrece un puesto un poco mejor del que tiene ahora, ¿permanecerı́a con la compañı́a o aceptarı́a el otro puesto? A partir de las respuestas de los 200 ejecutivos que participaron en la encuesta se hizo una clasificación cruzada según el tiempo de servicio en la compañı́a. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar a un ejecutivo leal a la compañı́a -que permanecerı́a en ella- y cuál de ellos tiene más de 10 años de servicio Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Construcción del árbol Para la construcción del árbol se sigue los siguientes pasos: Sean Ai = Lealtad y Bj = Servicio 1 Dibujamos un punto grueso a la izquierda que representa la raı́z del árbol. 2 Existen dos ramas: A1 = permanecerı́a y A2 = no permanecerı́a 3 De cada rama principal, salen cuatro ramas que representan el tiempo de servicio Bi , las probabilidades condicionales de cada rama P(Bi |Aj ) 4 Las probabilidades conjuntas relativas de los eventos Aj y Bj , donde P(Aj ∩ Bi ) = P(Aj )P(Bi |Aj ) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Construcción del árbol Para la construcción del árbol se sigue los siguientes pasos: Sean Ai = Lealtad y Bj = Servicio 1 Dibujamos un punto grueso a la izquierda que representa la raı́z del árbol. 2 Existen dos ramas: A1 = permanecerı́a y A2 = no permanecerı́a 3 De cada rama principal, salen cuatro ramas que representan el tiempo de servicio Bi , las probabilidades condicionales de cada rama P(Bi |Aj ) 4 Las probabilidades conjuntas relativas de los eventos Aj y Bj , donde P(Aj ∩ Bi ) = P(Aj )P(Bi |Aj ) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Construcción del árbol Para la construcción del árbol se sigue los siguientes pasos: Sean Ai = Lealtad y Bj = Servicio 1 Dibujamos un punto grueso a la izquierda que representa la raı́z del árbol. 2 Existen dos ramas: A1 = permanecerı́a y A2 = no permanecerı́a 3 De cada rama principal, salen cuatro ramas que representan el tiempo de servicio Bi , las probabilidades condicionales de cada rama P(Bi |Aj ) 4 Las probabilidades conjuntas relativas de los eventos Aj y Bj , donde P(Aj ∩ Bi ) = P(Aj )P(Bi |Aj ) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Construcción del árbol Para la construcción del árbol se sigue los siguientes pasos: Sean Ai = Lealtad y Bj = Servicio 1 Dibujamos un punto grueso a la izquierda que representa la raı́z del árbol. 2 Existen dos ramas: A1 = permanecerı́a y A2 = no permanecerı́a 3 De cada rama principal, salen cuatro ramas que representan el tiempo de servicio Bi , las probabilidades condicionales de cada rama P(Bi |Aj ) 4 Las probabilidades conjuntas relativas de los eventos Aj y Bj , donde P(Aj ∩ Bi ) = P(Aj )P(Bi |Aj ) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo Una urna contiene 3 bolas rojas y x blancas. Se extrae una bola de la urna y se reemplaza por una del otro color. Se saca de la urna una segunda bola. Sabiendo que la probabilidad de que la segunda 17 bola sea roja es . Determine el número de bolas blancas. 50 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Solución Resolviendo mediante un diagrama de árbol: Se calcula la probabilidad de que la segunda extracción sea una bola roja: 2 x 4 3 + P(R) = P(r )P(r |r ) + P(b)P(r |b) = x +3x +3 x +3x +3 3 2 x 4 17 + = ⇒ x =7 x +3x +3 x +3x +3 50 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Teorema de Bayes Sea los eventos B1 , B2 , . . . , Bk mutuamente excluyentes elementos de una partición S, y sea A un evento cualquiera de S, entonces la probabilidad de que se de cualquier Bi para i = 1, 2, . . . , k dado que sucedió A, viene dado por la Fórmula de Bayes P(Bi |A) = P(Bi )P(A|Bi ) P(Bi )P(A|Bi ) = Pk P(A) i=1 P(Bi )P(A|Bi ) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas (2) UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo Una fábrica tiene 3 máquinas M1 , M2 y M3 para la producción de sus artı́culos. El siguiente cuadro describe el porcentaje de producción de cada una y la frecuencia de artı́culos que produce cada una. Máquina M1 M2 M3 Producción 50 % 30 % 20 % Artı́culos Defectuosos 4% 2% 3% Suponga que se elija un artı́culo al azar y este es defectuoso. Determine la probabilidad que haya sido producido por la máquina M1 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Solución Sean los eventos: A : el artı́culo es defectuoso Bi : el artı́culo es producido por Mi para i = 1, 2, 3 Para contestar primero debemos determinar de que el artı́culo sea defectuoso. P(A) = P(B1 )P(A|B1 ) + P(B2 )P(A|B2 ) + P(B3 )P(A|B3 ) = (0,50)(0,04) + (0,30)(0,02) + (0,20)(0,03) = 0,032 (0,50)(0,04) P(B1 )P(A|B1 ) = = 0,625 = 62,5 % P(B1 |A) = P(A) (0,032) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Principios Básicos del Conteo Definición Si se tienen dos conjuntos, el primero de n elementos y el segundo de m elementos, entonces existen n × m formas de tomar un elemento del primer conjunto y otro elemento del segundo conjunto. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Permutaciones Son arreglos diferentes que se pueden hacer con los elementos de un conjunto. En este arreglo se debe de considerar el orden de los elementos. Ası́ por ejemplo si se tiene un conjunto de n elementos y se toma un arreglo de r elementos: Si se incluye un elemento en el arreglo, entonces la cantidad de elementos diferentes es n. Si se incluye 2 elementos en el arreglo, entonces la cantidad de elementos diferentes es n(n − 1). Si se incluye 3 elementos en el arreglo, entonces la cantidad de elementos diferentes es n(n − 1)(n − 2). Si se incluye r elementos en el arreglo, entonces la cantidad de elementos diferentes es n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Definición Si se tiene u conjunto de n elementos diferentes, el número de arreglos diferentes de r elementos viene dado por: nPr = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo Un grupo de 10 personas debe elegir a su directiva; presidente, secretario, tesorero. Todos pueden ser elegidos, pero una persona no puede tener mas de un cago. ¿De cuántas maneras diferentes puede realizarse la elección? n = 10 y r = 3, 10 P3 = 10 × 9 × 8 = 720 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Fórmula alterna para la permutaciones n Pr = n! (n − r )! (3) La fórmula (3) resulta de descomponer la fórmula en su multiplicando y mediante un arreglo matemático ası́: n Pr = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1)(n − r )(n − r − 1) · · · (2)(1) (n − r )(n − r − 1) · · · (2)(1) Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Casos Especiales Permutaciones con todos los elementos de un conjunto n! = n! n Pn = (n − n)! Arreglo Circular: Es un permutación con todos los elementos del grupo. Para tener arreglos diferentes, uno de los elementos del grupo debe permanecer fijo P = n! Permutaciones con elementos repetidos: Si del total de n elementos, n1 son repetidos, entonces existe n1 ! formas de tomar los n1 elementos repetidos, por lo tanto la cantidad se n! reducirá en n1 !, lo que queda P = , si existe más de un n1 ! n! elemento repetido entonces P = n1 !n2 ! · · · nk ! Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Casos Especiales Permutaciones con todos los elementos de un conjunto n! = n! n Pn = (n − n)! Arreglo Circular: Es un permutación con todos los elementos del grupo. Para tener arreglos diferentes, uno de los elementos del grupo debe permanecer fijo P = n! Permutaciones con elementos repetidos: Si del total de n elementos, n1 son repetidos, entonces existe n1 ! formas de tomar los n1 elementos repetidos, por lo tanto la cantidad se n! reducirá en n1 !, lo que queda P = , si existe más de un n1 ! n! elemento repetido entonces P = n1 !n2 ! · · · nk ! Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Casos Especiales Permutaciones con todos los elementos de un conjunto n! = n! n Pn = (n − n)! Arreglo Circular: Es un permutación con todos los elementos del grupo. Para tener arreglos diferentes, uno de los elementos del grupo debe permanecer fijo P = n! Permutaciones con elementos repetidos: Si del total de n elementos, n1 son repetidos, entonces existe n1 ! formas de tomar los n1 elementos repetidos, por lo tanto la cantidad se n! reducirá en n1 !, lo que queda P = , si existe más de un n1 ! n! elemento repetido entonces P = n1 !n2 ! · · · nk ! Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Combinaciones Son arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto. El orden de los elementos no es de interés, cada arreglo se diferencia únicamente por los elementos que lo contiene. Su n notación es n Cr , Crn o , para obtener una fórmula para el r número de combinaciones, como no nos interesa el orden es como si tenemos permutaciones con elementos repetidos. Por lo tanto su fórmula puede ser escrita como: n Cr = n Pr r! Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas = n! r !(n − r )! (4) UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Ejemplo En un grupo de 15 personas, 7 leen la revista A, 5 leen la revista B y 6 ninguna revista. Encuentre: 1 La cantidad de personas que leen al menos una revista 2 Cantidad de formas diferentes de elegir a 4 personas que al menos lean alguna revista 3 Cantidad de formas diferentes de elegir a 4 personas de tal manera que 2 solamente lean la revista A, 1 solamente B, 1 no lea revistas. Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Solución 4 leen solo A 1 Según la tabla: 2 leen solo B total 9 personas leen 3 leen ambas revistas al menos 1 revista 9! 2 9 C4 = = 126 4!5! Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Solución 4 leen solo A 1 Según la tabla: 2 leen solo B total 9 personas leen 3 leen ambas revistas al menos 1 revista 9! 2 9 C4 = = 126 4!5! Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE Estadı́stica Descriptiva Distribución de Frecuencias y Gráficos Medidas Descriptivas Introducción a la Teorı́a de Probabilidades Técnicas de Conteo Solución leen solo A: 4 C2 = 6 leen solo B: 2 C1 = 2 3 leen ambas:6 C1 = 6 Por el principio de conteo se tiene que: 6 × 2 × 6 = 72 Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE