Probabilidad Estadística

Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS
ESPE
Ing. Fabricio Trujillo
Dpto. Ciencias Exactas
Probabilidad y Estadı́stica
Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE
Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Índice
1
Estadı́stica Descriptiva
2
Distribución de Frecuencias y Gráficos
3
Medidas Descriptivas
4
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
5
Técnicas de Conteo
Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas
UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE
Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Definiciones Básicas
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Definiciones
Estadı́stica
Ciencia que recoge, organiza, presenta, analiza e interpreta datos
con el fin de proporcionar una toma de decisiones más eficaz
Estadı́stica Descriptiva
Este tipo de estadı́stica proporciona los métodos para organizar,
resumir y presentar los datos de manera informativa.
Estadı́stica Inferencial
Este tipo de estadı́stica proporciona los métodos que se emplean
para determinar una propiedad de una población con base en la
información de una muestra de ella.
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Definiciones
Población
Es un conjunto de individuos u objetos de interés o medidas que se
obtienen a partir de todos los individuos u objetos de interés
Muestra
Porción o parte de la población de interés
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Tipos de Variables
Existen dos tipos básicos de variables: 1)Cuantitativas y
2)Cualitativas.
Cualitativa: Cuando la caracterı́stica de estudio es de naturaleza
no numérica.
Cuantitativa: Cuando la variable de estudio aparece en forma
numérica.
Las variables cuantitativas pueden ser de dos tipos: 1) Discretas y
2)Continuas
Discretas: Son aquellas que adoptan sólo ciertos valores y existen
vacı́os entre ellos, son números naturales.
Continuas: Toman cualquier valor dentro de un intervalo
especı́fico, son números reales.
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Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Niveles de Medición
Niveles de Medición
Los datos se clasifican por niveles de medición. El nivel de
medición de los datos rige los cálculos que se llevan a cabo con el
fin de resumir y presentar los datos. También determinan las
pruebas estadı́sticas que se deben realizar.
Existen cuatro niveles de de medición:
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
1
Datos de nivel nominal
La variable de interés se divide en categorı́as o resultados
No existe un orden natural de los resultados
2
Datos de nivel ordinal
La clasificación de los datos se encuentran representados por
conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores
relativos
En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden
clasificar u ordenar.
3
Datos de nivel de intervalo
La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea
la caracterı́stica en cuestión
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en las mediciones
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
1
Datos de nivel nominal
La variable de interés se divide en categorı́as o resultados
No existe un orden natural de los resultados
2
Datos de nivel ordinal
La clasificación de los datos se encuentran representados por
conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores
relativos
En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden
clasificar u ordenar.
3
Datos de nivel de intervalo
La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea
la caracterı́stica en cuestión
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en las mediciones
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
1
Datos de nivel nominal
La variable de interés se divide en categorı́as o resultados
No existe un orden natural de los resultados
2
Datos de nivel ordinal
La clasificación de los datos se encuentran representados por
conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores
relativos
En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden
clasificar u ordenar.
3
Datos de nivel de intervalo
La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea
la caracterı́stica en cuestión
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en las mediciones
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Técnicas de Conteo
1
Datos de nivel nominal
La variable de interés se divide en categorı́as o resultados
No existe un orden natural de los resultados
2
Datos de nivel ordinal
La clasificación de los datos se encuentran representados por
conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores
relativos
En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden
clasificar u ordenar.
3
Datos de nivel de intervalo
La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea
la caracterı́stica en cuestión
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en las mediciones
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Técnicas de Conteo
1
Datos de nivel nominal
La variable de interés se divide en categorı́as o resultados
No existe un orden natural de los resultados
2
Datos de nivel ordinal
La clasificación de los datos se encuentran representados por
conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores
relativos
En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden
clasificar u ordenar.
3
Datos de nivel de intervalo
La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea
la caracterı́stica en cuestión
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en las mediciones
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Técnicas de Conteo
1
Datos de nivel nominal
La variable de interés se divide en categorı́as o resultados
No existe un orden natural de los resultados
2
Datos de nivel ordinal
La clasificación de los datos se encuentran representados por
conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores
relativos
En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden
clasificar u ordenar.
3
Datos de nivel de intervalo
La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea
la caracterı́stica en cuestión
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en las mediciones
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Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
1
Datos de nivel nominal
La variable de interés se divide en categorı́as o resultados
No existe un orden natural de los resultados
2
Datos de nivel ordinal
La clasificación de los datos se encuentran representados por
conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores
relativos
En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden
clasificar u ordenar.
3
Datos de nivel de intervalo
La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea
la caracterı́stica en cuestión
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en las mediciones
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
1
Datos de nivel nominal
La variable de interés se divide en categorı́as o resultados
No existe un orden natural de los resultados
2
Datos de nivel ordinal
La clasificación de los datos se encuentran representados por
conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores
relativos
En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden
clasificar u ordenar.
3
Datos de nivel de intervalo
La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea
la caracterı́stica en cuestión
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en las mediciones
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
1
Datos de nivel nominal
La variable de interés se divide en categorı́as o resultados
No existe un orden natural de los resultados
2
Datos de nivel ordinal
La clasificación de los datos se encuentran representados por
conjuntos de etiquetas o nombres, los cuales tienen valores
relativos
En consecuencia, los valores relativos de los datos se pueden
clasificar u ordenar.
3
Datos de nivel de intervalo
La clasificación de los datos se ordena con el grado que posea
la caracterı́stica en cuestión
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en las mediciones
Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
4
Datos de nivel de razón
La clasificación de los datos se ordena de acuerdo con la
cantidad de caracterı́sticas que poseen.
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en los números asignados a las clasificaciones
El punto cero representa la ausencia de caracterı́stica y la
razón entre dos números es significativa
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
4
Datos de nivel de razón
La clasificación de los datos se ordena de acuerdo con la
cantidad de caracterı́sticas que poseen.
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en los números asignados a las clasificaciones
El punto cero representa la ausencia de caracterı́stica y la
razón entre dos números es significativa
Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
4
Datos de nivel de razón
La clasificación de los datos se ordena de acuerdo con la
cantidad de caracterı́sticas que poseen.
Diferencias iguales en la caracterı́stica representan diferencias
iguales en los números asignados a las clasificaciones
El punto cero representa la ausencia de caracterı́stica y la
razón entre dos números es significativa
Ing. Fabricio Trujillo Dpto. Ciencias Exactas
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Distribución de Frecuencias
Agrupación de datos en clases mutuamente excluyentes, que
muestran el número de observaciones que hay en cada clase
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Tabla de Distribución de Frecuencias
Es un dispositivo para la distribución de los datos y facilitar su
interpretación.
Tabla de Distribución
Recomendaciones para construir una tabla de frecuencias
1
Identificar la unidad de medida de los datos Obtener el rango
de los datos:
R = mayor valor − menor valor
2
Seleccionar el número de clases (o intervalos) k, para agrupar
los datos.
Sugerencias para elegir k
Sean
n : número de datos
k : número
deCiencias
intervalos
Ing. Fabricio
Trujillo Dpto.
Exactas
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Tabla de Distribución de Frecuencias
Es un dispositivo para la distribución de los datos y facilitar su
interpretación.
Tabla de Distribución
Recomendaciones para construir una tabla de frecuencias
1
Identificar la unidad de medida de los datos Obtener el rango
de los datos:
R = mayor valor − menor valor
2
Seleccionar el número de clases (o intervalos) k, para agrupar
los datos.
Sugerencias para elegir k
Sean
n : número de datos
k : número
deCiencias
intervalos
Ing. Fabricio
Trujillo Dpto.
Exactas
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Tabla de Distribución de Frecuencias
Es un dispositivo para la distribución de los datos y facilitar su
interpretación.
Tabla de Distribución
Recomendaciones para construir una tabla de frecuencias
1
Identificar la unidad de medida de los datos Obtener el rango
de los datos:
R = mayor valor − menor valor
2
Seleccionar el número de clases (o intervalos) k, para agrupar
los datos.
Sugerencias para elegir k
Sean
n : número de datos
k : número
deCiencias
intervalos
Ing. Fabricio
Trujillo Dpto.
Exactas
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Tabla de Distribución de Frecuencias
Es un dispositivo para la distribución de los datos y facilitar su
interpretación.
Tabla de Distribución
Recomendaciones para construir una tabla de frecuencias
1
Identificar la unidad de medida de los datos Obtener el rango
de los datos:
R = mayor valor − menor valor
2
Seleccionar el número de clases (o intervalos) k, para agrupar
los datos.
Sugerencias para elegir k
Sean
n : número de datos
k : número
deCiencias
intervalos
Ing. Fabricio
Trujillo Dpto.
Exactas
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Tabla de Distribución
n
Menos de 50
Entre 50 y 100
Entre 100 y 250
Mas de 250
3
k
5a7
6 a 10
7 a 12
10 a 20
Obtener la amplitud de las clases:
A = R/k
Lo más aconsejable es que la amplitud sea igual para cada
clase, para lo cual se redefine la amplitud, el número de clases
y los extremos.
4
Realizar el conteo de datos para obtener la frecuencia en cada
clase
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Tabla de Distribución
n
Menos de 50
Entre 50 y 100
Entre 100 y 250
Mas de 250
3
k
5a7
6 a 10
7 a 12
10 a 20
Obtener la amplitud de las clases:
A = R/k
Lo más aconsejable es que la amplitud sea igual para cada
clase, para lo cual se redefine la amplitud, el número de clases
y los extremos.
4
Realizar el conteo de datos para obtener la frecuencia en cada
clase
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Notación
n : número de datos
k : número de clases
fi : frecuencia de la clase i; i = 1, 2, 3, . . . , k
fi /n : frecuencia relativa de la clase i
Fi : frecuencia acumulada de la clase i Fi = f1 + f2 + · · · + fk
Fi /n : frecuencia acumulada relativa de la clase i
mi : marca de la clase (es el centro de la clase i)
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Ejemplo
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Solución
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Gráficos Estadı́sticos
Histograma
Gráfica en la que las clases se señalan en el eje horizontal y
frecuencias de clase en el eje vertical. Las frecuencias de clase se
representan mediante las alturas de las barras, que se dibujan de
manera adyacente.
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Histograma de Frecuencia
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
En el Histograma de Frecuencias se puede identificar:
1
Si las alturas de las barras son similares se dice que tiene una
distribución tipo uniforme
2
Si las alturas son mayores en la parte central se dice que tiene
forma tipo campana y puede ser simétrica o asimétrica, con
sesgo al lado positivo o negativo
3
Si hay barras muy alejadas del grupo, se dice que son datos
atı́picos. Probablemente estos datos fueron por errores de
medición y se pueden descartar.
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
En el Histograma de Frecuencias se puede identificar:
1
Si las alturas de las barras son similares se dice que tiene una
distribución tipo uniforme
2
Si las alturas son mayores en la parte central se dice que tiene
forma tipo campana y puede ser simétrica o asimétrica, con
sesgo al lado positivo o negativo
3
Si hay barras muy alejadas del grupo, se dice que son datos
atı́picos. Probablemente estos datos fueron por errores de
medición y se pueden descartar.
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
En el Histograma de Frecuencias se puede identificar:
1
Si las alturas de las barras son similares se dice que tiene una
distribución tipo uniforme
2
Si las alturas son mayores en la parte central se dice que tiene
forma tipo campana y puede ser simétrica o asimétrica, con
sesgo al lado positivo o negativo
3
Si hay barras muy alejadas del grupo, se dice que son datos
atı́picos. Probablemente estos datos fueron por errores de
medición y se pueden descartar.
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Polı́gono de Frecuencias
Es una manera de representar el perfil de la distribución de datos,
Se obtiene uniendo mediante segmentos de recta los puntos de
marca de clase y frecuencia. Para cerrar el polı́gono se puede
agregar un punto a cada lado con frecuencia cero
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Polı́gono de Frecuencia
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Ojiva
Es un gráfico para representar la frecuencia acumulada, absoluta o
relativa. Se la obtiene uniendo segmentos de recta que se
extienden entre los extremos de las clases y usando valores de las
frecuencias acumuladas.
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Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Medidas de Tendencia Central
Media Poblacional
Se define como Media Poblacional y se denota como µ a la
expresión:
P
X
µ=
N
en la cual:
µ media poblacional
N el número de valores de la población
X representa cualquier valor particular
Σ es la letra mayúscula sigma e indica la operación de suma
X
X es la suma de X valores en la población
Parámetro: Caracterı́stica de una población
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Media Muestral
Si x1 , x2 , . . . , xn representa los datos de un conjunto de la
población, se define como media muestral:
n
X =
x1 + x2 + · · · + xn
1X
=
xi
n
n
i=1
Estadı́stico: Caracterı́stica de la muestra
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Media Ponderada
Para determinar la media ponderada, se utiliza como ponderación
las frecuencia de los datos fi , mediante la expresión:
Pn
fi x i
f1 x1 + f2 x2 + · · · + fn xn
= Pi=1
X =
n
f1 + f2 + · · · + fn
i=1 fi
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Mediana
Punto medio de los valores una vez que se han ordenado de menor
a mayor o de mayor a menor
Sean:
x1 , x2 , . . . , xn
x(1) , x(2),...,x(n)
los datos
los datos ordenados en forma creciente

si n es impar
 X( n+1 )
2
Xe =
1

X( n ) + X( n +1)
si n es par
2
2
2
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Moda
Se le denota con Mo, es el valor que ocurre con más frecuencia en
una muestra, es posible que no exista la moda o que pueden existir
más de una moda
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Posiciones relativas de la media, mediana y moda
1
Si la distribución es simétrica o sea en forma de campana sin
sesgo, la media, mediana y moda siempre son iguales.
2
Si la distribución tiene sesgo positivo, la media es la mayor
de las tres medidas.
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Posiciones relativas de la media, mediana y moda
1
Si la distribución es simétrica o sea en forma de campana sin
sesgo, la media, mediana y moda siempre son iguales.
2
Si la distribución tiene sesgo positivo, la media es la mayor
de las tres medidas.
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
3
Si la distribución tiene sesgo negativo, la media es la menor
medida de las tres.
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Medidas de Dispersión
Rango
Rango es la diferencia entre el valor máximo y el valor mı́nimo.
Rango = valormax − valormin
Desviación media
Media aritmética de los valores
P absolutos de las desviaciones con
|X − X |
respecto a la media DM =
donde:
n
X valor de cada observación
X media aritmética
n número de observaciones en la muestra
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Varianza y Desviación Estándar
Varianza: Media aritmética de las desviaciones elevadas al
cuadrado
Desviación Estándar: Raı́z cuadrada de la varianza
Varianza de la Población
Se define como:
2
σ =
Pn
i=1 (Xi
− µ)2
N
donde:
σ 2 varianza de la población
X es el valor de una observación de la población
µ media poblacional
N número de observaciones
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Estadı́stica Descriptiva
Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Varianza Muestral
Esta medida se base en la cuantificación de la distancia de los
datos con respecto a la media.
Pn
(xi − x)2
2
S = i=1
Fórmula para el cálculo de la varianza
n−1
P
Pn
n i=1 xi2 − ( ni=1 xi )2
Fórmula alterna para la varianza
S2 =
n(n − 1)
El motivo que en el denominador sea n − 1 en lugar de n se
justifica en la estadı́stica inferencial
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Desviación Estándar Muestral
Es la raı́z cuadrada positiva de la varianza, se expresa en las
mismas unidades de los datos.
√
S = + S2
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Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Interpretación y usos de la Desviación Estándar
Teorema de Chebyshev
En cualquier conjunto de observaciones (muestra o población), la
proporción de valores que se encuentran a k desviaciones
1
estándares de la media es de por lo menos 1 − 2 , siendo k
k
cualquier constante mayor que 1
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Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Regla Empı́rica
En una distribución de frecuencias simétricas en forma de
campana, aproximadamente el 68 % de las observaciones se
encuentran entre más y menos una desviación estándar de la
media, cerca del 95 % de las observaciones se encuentran entre
más y menos dos desviaciones estándares de la media y, de hecho
el 99.7 % de las observaciones estarán entre más y menos tres
desviaciones estándares.
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Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Medidas descriptivas para datos agrupados
Si se dispone de una tabla de frecuencias, se pueden usar sus
valores para calcular aproximadamente la media y la desviación de
una muestra.
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Medidas Descriptivas
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Media para datos agrupados
Se calcula mediante la fórmula
k
X =
1X
mi fi
n
i=1
donde:
n número de datos
k número de clases
mi marcas de la clase i
fi frecuencia de la clase i
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Medidas Descriptivas
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Técnicas de Conteo
Varianza
Se calcula mediante la fórmula
k
S2 =
1 X
fi (mi − X )2
n−1
i=1
donde
n número de datos
k número de clases
mi marca de la clase i
fi frecuencia de la clase i
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Mediana
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Moda
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Técnicas de Conteo
Medidas de Posición
Son números que dividen a un grupo de datos ordenados, en
grupos de aproximadamente igual cantidad de datos con el
propósito de resaltar su posición. Entre las más comunes son los
cuartiles, deciles y percentiles.
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Cuartiles
Son números que dividen al grupo de datos en aproximadamente el
25 % de datos.
Primer Cuartil Q1 : A la izquierda de Q1 están el 25 % de los
datos y a la derecha están el 75 % de los datos
Segundo Cuartil Q2 : Igual que la mediana, divide al grupo de
datos en un 50 %
Tercer Cuartil Q3 : A la izquierda del cuatil están el 75 % de los
datos y a la derecha el 25 % de los datos ordenados.
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Técnicas de Conteo
Ejemplo: Suponer que una muestra tiene 40 datos ordenados
X(1) , X(2) , . . . , X(40) . Calcular Q1 , Q2 , Q3
Q1 :
Ası́ que
Q2 :
Ası́ que
Q3 :
Ası́ que
25 % de 40=10
Q1 =
X(10) +X(11)
2
50 % de 40=20
Q2 =
(X(20) +X(21) )
2
75 % de 40=30
Q3 =
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(X(30) +X(31) )
2
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Deciles
Son números que dividen al grupo de datos ordenados en
aproximadamente el 10 %
Primer Decil: A la izquierda está el 10 % de los datos y a la
derecha el 90 % de los datos aproximadamente
Segundo Decil: A la izquierda está el 20 % de los datos y a la
derecha el 80 % de los datos aproximadamente Y
ası́ sucesivamente.
El Quinto Decil es la mediana.
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Percentiles
Son números que dividen al grupo de datos en aproximadamente el
1 %, ası́ pues:
Primer Percentil: a la izquierda se tiene el 1 % de los datos,
mientras que a la derecha el 99 % de los datos ordenados.
Segundo Percentil: a la izquierda se encuentra el 2 % de los datos
y a la derecha el 98 % de los datos ordenados, ası́ sucesivamente.
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Cuartiles para datos agrupados
Los cuartiles para datos agrupados se tiene
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Coeficiente de Variación
Es un número adimensional que representa cuan dispersos están los
datos respecto a la media, se puede expresar en porcentaje, se
calcula mediante:
S
V =
X
donde:
S : desviación estándar
X media aritmética
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Medidas de Forma
Comparan la forma que tiene la representación gráfica, bien sea el
histograma o el diagrama de barras de la distribución, con la
distribución normalpara determinar si la distribución es simétrica o
no, las medidas de forma son dos básicamente: la asimetrı́a y la
curtosis
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Asimetrı́a
Sesgo: Existen cuatro formas de sesgo: simétrica, con sesgo
positivo, con sesgo negativo y bimodal. Un conjunto es simétrico
si la media y mediana son iguales, y los datos se dispersan
alrededor de estos valores. Se tiene un conjunto con sesgo
positivo, si existe un solo pico y los valores se extienden mucho
mas allá a la derecha del pico que a la izquierda, en este caso la
media es más grande que la mediana. Se tiene un conjunto con
sesgo negativo si existe un solo pico, pero las observaciones se
extienden más a la izquierda, en la dirección negativa, en este caso
la media es menor que la mediana. Una distribución bimodal
tendrá mas de un pico, por lo general éste caso es cuando los datos
provienen de dos o más poblaciones.
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Coeficiente de sesgo de Pearson
Este coeficiente se basa entre la diferencia de la media y la
mediana, mediante:
3(X − Xe )
sk =
S
de acuerdo a esto el sesgo puede variar entre -3 y 3, para valores
cercanos a -3 como -2.57 indica que es sesgo negativo
considerable, un valor como 1.63 indica que es un sesgo positivo
moderado, un valor de 0 indica que la distribución es simétrica
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Curtosis
La curtosis (también conocida como medida de apuntamiento) es
una medida estadı́stica, que determina el grado de concentración
que presentan los valores de una variable alrededor de la zona
central de la distribución de frecuencias.
Se distinguen tres tipos de curtosis:
1
Mesocúrtica
2
Leptocúrtica
3
Platicúrtica
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Curtosis
La curtosis (también conocida como medida de apuntamiento) es
una medida estadı́stica, que determina el grado de concentración
que presentan los valores de una variable alrededor de la zona
central de la distribución de frecuencias.
Se distinguen tres tipos de curtosis:
1
Mesocúrtica
2
Leptocúrtica
3
Platicúrtica
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Curtosis
La curtosis (también conocida como medida de apuntamiento) es
una medida estadı́stica, que determina el grado de concentración
que presentan los valores de una variable alrededor de la zona
central de la distribución de frecuencias.
Se distinguen tres tipos de curtosis:
1
Mesocúrtica
2
Leptocúrtica
3
Platicúrtica
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Medición de la Curtosis
La curtosis se mide promediando la cuarta potencia de la
diferencia entre cada elemento del conjunto y la media, dividido
entre la desviación tı́pica elevado también a la cuarta potencia. Sea
el conjunto X = (x1 , x2 , . . . , xN ), entonces el coeficiente de
curtosis será:
PN
(xi − x)4
Curtosis = i=1
−3
Para datos no agrupados
N · Sx4
y si se tiene datos agrupados:
PN
Curtosis =
− x)4 · ni
−3
N · Sx4
i=1 (xi
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Datos agrupados
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Mesocúrtica
Existe una concentración normal de los valores en torno a su media
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Leptocúrtica
Existe una gran concentración de los valores en torno a su media
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Platicúrtica
Existe una baja concentración de los valores en torno a su media
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Técnicas de Conteo
Introducción a las Probabilidades
Probabilidad
Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad
relativa de que ocurra un evento
Experimento
Proceso que induce a que ocurra una y sólo una de varias posibles
observaciones, ası́ por ejemplo
Lanzar un dado y mirar el resultado obtenido
Medir la altura de una persona
Observar el tipo de defecto de un artı́culo
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Probabilidad
Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad
relativa de que ocurra un evento
Experimento
Proceso que induce a que ocurra una y sólo una de varias posibles
observaciones, ası́ por ejemplo
Lanzar un dado y mirar el resultado obtenido
Medir la altura de una persona
Observar el tipo de defecto de un artı́culo
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Probabilidad
Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la posibilidad
relativa de que ocurra un evento
Experimento
Proceso que induce a que ocurra una y sólo una de varias posibles
observaciones, ası́ por ejemplo
Lanzar un dado y mirar el resultado obtenido
Medir la altura de una persona
Observar el tipo de defecto de un artı́culo
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Espacio Muestral
Representado por la letra S, es el conjunto de todos los resultados
posibles de un experimento. Cada elemento de S se denomina
punto muestral.
El espacio muestral puede ser discreto o continuo. Si S es discreto
sus valores pueden ponerse en relación con los números naturales.
Si S es continuo los resultados pueden ponerse en relación con
algún intervalo de los números reales.
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Evento
Es un subconjunto del espacio muestral S. Se usan letras
mayúsculas para denotar eventos.
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Reglas de Probabilidad
La probabilidad clásica parte del supuesto que un evento va a
suceder, y se calcula dividiendo el número resultados favorables
entre el número de posibles resultados.
En el ejemplo anterior. ¿Cuál es la probabilidad del evento “cae un
número par de puntos”?
Espacio muestral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Evento: A = {2, 4, 6}
3 ← número de resultados favorables
P(A) =
= 0,5
6 ← número total de posibles resultados
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Evento Mutuamente Excluyente
El hecho que un evento se presente significa que ninguno de los
demás eventos puede ocurrir al mismo tiempo.
Evento Colectivamente Exhaustivo
Por lo menos uno de los eventos debe ocurrir cuando se lleva
acabo un experimento
Probabilidad Empı́rica
La probabilidad de que un evento ocurra representa una fracción
de los eventos similares que sucedieron en el pasado.
Probabilidad empı́rica =
Número de veces que el evento ocurre
Número total de observaciones
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Ley de los números grandes
En una gran cantidad de intentos, la probabilidad empı́rica de un
evento se aproxima a la probabilidad real.
Ejemplo: El 1 de febrero de 2003 explotó el transbordador
Columbia. Este fue el segundo desastre en 113 misiones espaciales
de la NASA. Con base a esta información, ¿cuál es la probabilidad
de que una misión futura concluya con éxito?
S = 113 número total de vuelos
A = 111 número total de vuelos exitosos
111
= 0,98
P(A) =
113
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Reglas para calcular probabilidades
Adición
Para aplicar la regla de la adición, los eventos deben ser
mutuamente excluyentes, la regla se basa en sumar cada una de las
probabilidades a darse.
P(A ∨ B ∨ C ) = P(A) + P(B) + P(C )
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Complemento
La suma de probabilidades de todos los eventos debe dar como
resultado 1, entonces si se tiene un evento A y su complemento
∼ A la suma de las dos es 1 por lo tanto:
P(A) = 1 − P(∼ A)
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Regla general de la adición
Los resultados de un experimento pueden ser o no excluyentes. Por
ejemplo si se tiene que de una muestra de 200 turistas que
visitaron la provincia de Tungurahua, la encuesta reveló que 120
visitaron Baños y 100 a Ambato, ¿cuál es la probabilidad de que
un turista haya visitado Baños o Ambato?. Si seguimos la regla de
la adición tendrı́amos que la probabilidad de que el turista haya
visitado Baños es 0.6 y la probabilidad de que haya visitado
Ambato es 0.5, si sumamos los dos eventos el resultado es de 1,10
pero se sabe que la suma no puede ser mayor a 1. La respuesta es
que muchos turistas visitaron los dos lugares y se los está volviendo
a contar, la encuesta reveló que 60 de los 200 turistas visitaron
ambas ciudades, entonces
P(A ∨ B) = P(A) + P(B) − P(A ∧ B) = 0,6 + 0,5 − 0,3 = 0,8
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Multiplicación
Independencia
Que un evento ocurra, no tiene efecto sobre la probabilidad que
otro evento acontezca.
Esta probabilidad se da cuando dos eventos independientes ocurren
de manera simultánea, entonces la regla es:
P(A ∧ B) = P(A)P(B)
Dos eventos se vuelven independientes si se los hace con
reemplazo.
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Ejemplo
Una encuesta que se llevó a cabo la American Automobile
Association (AAA) reveló que el año pasado 60 % de sus miembros
hicieron reservaciones en lı́neas aéreas. Dos de ellos fueron
seleccionados al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos
hicieran reservaciones el año pasado?
La probabilidad de que el primer en ser elegido haya hecho una
resevación es de 60 % osea P(R1 ) = 0,6, la probabilidad de que el
segundo hiciera una reservación es del 60 % osea P(R2 ) = 0,6 la
probabilidad de que ambos hicieran una reservación será:
P(R1 ∧ R2 ) = P(R1 )P(R2 ) = 0,6 · 0,6 = 0,36
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Probabilidad Condicional
Si dos eventos no son independientes, entonces la realización, del
segundo evento depende de que el primero se de, a este tipo de
probabilidad se la denomina probabilidad condicional, entonces
su regla es:
P(A ∧ B) = P(A)P(B|A)
Dos eventos son dependientes si se lo hace sin reemplazo
Si los eventos son independientes entonces P(A|B) = P(A) y
P(B|A) = P(B)
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Ejemplo
Un golfista tiene 12 camisas en su clóset. Suponga que 9 son
blancas y las demás azules. Come se viste de noche, simplemente
toma una camisa y se la pone. Juega golf dos veces seguidas y no
las lava. ¿Cúal es la probabilidad de que las dos camisas elegidas
sean blancas?
Si al elegir una camisa esta sea blanca su probabilidad
9
será P(B1 ) = , la probabilidad de que la segunda elección sea
12
8
una camisa blanca es P(B2 |B1 ) = .
11
P(B1 ∧ B2 ) = P(B1 )P(B2 |B1 ) =
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9 8
= 0,55
12 11
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Probabilidad Total
Si existen eventos dependientes, osea que para que se un evento
depende de que se den otros del mismo espacio muestral , para
determinar su probabilidad se deben calcular las probabilidades
condicionales de cada evento, entonces:
P(A) = P(B1 )P(A|B1 ) + P(B2 )P(A|B2 ) + · · · + P(Bk )P(A|Bk )
P(A) =
k
X
P(Bi )P(A|Bi )
(1)
i=1
A la fórmula (1) se la conoce como la probabilidad total
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Ejemplo
Una institución tiene a tres personas para atención al cliente:
Marı́a, Carmen y Beatriz. Dispone de un registro de quejas por la
atención recibida: 1 %,3 % y 2 % respectivamente. Cierto dı́a
acudieron 50 clientes a la institución, de los cuales 15 fueron
atendidos por Marı́a, 10 por Carmen y 25 por Beatriz. Cuál es la
probabilidad de que al elegir a un cliente al azar presente una queja.
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Persona
Marı́a
Carmen
Beatriz
Clientes Atendidos
15
10
25
Quejas
1%
3%
2%
A: Cliente elegido presenta una queja
B1 : Cliente fue atendido por Marı́a
B2 : Cliente fue atendido por Carmen
B3 : Cliente fue atendido por Beatriz
P(A) =
P(A) =
P(A) =
P(B1 )P(A|B1 ) + P(B2 )P(A|B2 ) + P(B3 )P(A|B3 )
15
10
25
(0,01) + (0,03) + (0,02)
50
50
50
0,019 = 1,9 %
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Ejemplo
En una primera caja hay 20 baterı́as de las cuales 18 están en buen
estado. En una segunda caja hay 10 baterı́as de las cuales 9 están
en buen estado. Se realiza un experimento que consiste en las
siguientes dos acciones:
Primero se toma de la caja 2 una baterı́a y sin examinarla se
coloca en la caja 1. Segundo, se toma una caja al azar una baterı́a
de la caja 1 y se la examina.
Encuentre la probabilidad que esta última baterı́a esté en buen
estado.
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Solución
Sean los eventos:
B : tomar una baterı́a de la caja 2 y esté en buen estado
B { : tomar una baterı́a de la caja 2 y no esté en buen estado
A : tomar una baterı́a de la caja 1 y esté en buen estado
9 19
1 18
P(A) = P(B)P(A|B) + P(B { )P(A|B {) =
+
= 0,9
10 21 10 21
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Distribución de Frecuencias y Gráficos
Medidas Descriptivas
Introducción a la Teorı́a de Probabilidades
Técnicas de Conteo
Tablas de Contingencia
Tabla que se utiliza para clasificar observaciones de una muestra,
de acuerdo con dos o más caracterı́sticas identificables.
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Técnicas de Conteo
Ejemplo
Cierta universidad en formación en su primer año de
funcionamiento tiene tres curricula: Ciencia, Administración e
Ingenierı́a. La clasificación de los alumnos por su sexo, es como
sigue:
Hombres
Mujeres
Total
Ciencia
250
100
350
Administración
350
50
400
Ingenierı́a
200
50
250
Total
800
200
1000
Se selecciona un estudiante aleatoriamente del grupo. Si se sabe
que el estudiante es hombre. ¿Cuál es la probabilidad de que
esté en ciencias, esté en administración o ingenierı́a?. Si el
estudiante es mujer. ¿Cuál es la probabilidad de que esté en
ciencias, esté en administración o en ingenierı́a?
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Solución
Se define:
B1 : El estudiante seleccionado es hombre
B2 : El estudiante seleccionado es mujer
A1 : El estudiante sigue ciencias
A2 : El estudiante sigue administración
A3 : El estudiante sigue ingenierı́a
Probabilidades Marginales
800
200
P(B1 ) =
= 0,8
P(B2 ) =
= 0,20
1000
1000
350
400
= 0,35 P(A1 ) =
= 0,40
P(A1 ) =
1000
1000
250
P(A3 ) =
= 0,25
1000
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Solución
Probabilidades Conjuntas P(Bi ∩ Aj ) por ejemplo:
250
P(B1 ∩ A1 ) =
= 0,25
1000
B1
B2
Total
A1
0,25
0,10
0,35
A2
0,35
0,05
0,40
A3
0,20
0,05
0,25
Total
0,80
0,20
1,00
Cálculo de las probabilidades pedidas P(Aj ∩ Bi ) = P(Bi )P(Aj |Bi )
P(Aj ∩ Bi )
entonces P(Aj |Bi ) =
P(Bi )
0,25
0,10
= 0,3125
P(A1 |B2 ) =
= 0,5
P(A1 |B1 ) =
0,80
0,20
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Diagramas de Árbol
El diagrama de árbol es útil para organizar cálculos que implican
varias etapas.
Mediante un ejemplo se dan los pasos para construir el árbol
Se entrevistó a una muestra de ejecutivos respecto de su lealtad a
la compañı́a. Una de las preguntas fue: Si otra compañı́a le hace
una oferta igual o le ofrece un puesto un poco mejor del que tiene
ahora, ¿permanecerı́a con la compañı́a o aceptarı́a el otro puesto?
A partir de las respuestas de los 200 ejecutivos que participaron en
la encuesta se hizo una clasificación cruzada según el tiempo de
servicio en la compañı́a.
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Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar a un ejecutivo leal a
la compañı́a -que permanecerı́a en ella- y cuál de ellos tiene más de
10 años de servicio
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Construcción del árbol
Para la construcción del árbol se sigue los siguientes pasos:
Sean Ai = Lealtad y Bj = Servicio
1
Dibujamos un punto grueso a la izquierda que representa la
raı́z del árbol.
2
Existen dos ramas: A1 = permanecerı́a y
A2 = no permanecerı́a
3
De cada rama principal, salen cuatro ramas que representan el
tiempo de servicio Bi , las probabilidades condicionales de cada
rama P(Bi |Aj )
4
Las probabilidades conjuntas relativas de los eventos Aj y Bj ,
donde P(Aj ∩ Bi ) = P(Aj )P(Bi |Aj )
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Construcción del árbol
Para la construcción del árbol se sigue los siguientes pasos:
Sean Ai = Lealtad y Bj = Servicio
1
Dibujamos un punto grueso a la izquierda que representa la
raı́z del árbol.
2
Existen dos ramas: A1 = permanecerı́a y
A2 = no permanecerı́a
3
De cada rama principal, salen cuatro ramas que representan el
tiempo de servicio Bi , las probabilidades condicionales de cada
rama P(Bi |Aj )
4
Las probabilidades conjuntas relativas de los eventos Aj y Bj ,
donde P(Aj ∩ Bi ) = P(Aj )P(Bi |Aj )
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Construcción del árbol
Para la construcción del árbol se sigue los siguientes pasos:
Sean Ai = Lealtad y Bj = Servicio
1
Dibujamos un punto grueso a la izquierda que representa la
raı́z del árbol.
2
Existen dos ramas: A1 = permanecerı́a y
A2 = no permanecerı́a
3
De cada rama principal, salen cuatro ramas que representan el
tiempo de servicio Bi , las probabilidades condicionales de cada
rama P(Bi |Aj )
4
Las probabilidades conjuntas relativas de los eventos Aj y Bj ,
donde P(Aj ∩ Bi ) = P(Aj )P(Bi |Aj )
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Construcción del árbol
Para la construcción del árbol se sigue los siguientes pasos:
Sean Ai = Lealtad y Bj = Servicio
1
Dibujamos un punto grueso a la izquierda que representa la
raı́z del árbol.
2
Existen dos ramas: A1 = permanecerı́a y
A2 = no permanecerı́a
3
De cada rama principal, salen cuatro ramas que representan el
tiempo de servicio Bi , las probabilidades condicionales de cada
rama P(Bi |Aj )
4
Las probabilidades conjuntas relativas de los eventos Aj y Bj ,
donde P(Aj ∩ Bi ) = P(Aj )P(Bi |Aj )
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Ejemplo
Una urna contiene 3 bolas rojas y x blancas. Se extrae una bola de
la urna y se reemplaza por una del otro color. Se saca de la urna
una segunda bola. Sabiendo que la probabilidad de que la segunda
17
bola sea roja es
. Determine el número de bolas blancas.
50
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Solución
Resolviendo mediante un diagrama de árbol:
Se calcula la probabilidad de que la segunda extracción sea una
bola roja:
2
x
4
3
+
P(R) = P(r )P(r |r ) + P(b)P(r |b) =
x +3x +3 x +3x +3
3
2
x
4
17
+
=
⇒ x =7
x +3x +3 x +3x +3
50
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Teorema de Bayes
Sea los eventos B1 , B2 , . . . , Bk mutuamente excluyentes elementos
de una partición S, y sea A un evento cualquiera de S, entonces la
probabilidad de que se de cualquier Bi para i = 1, 2, . . . , k dado
que sucedió A, viene dado por la Fórmula de Bayes
P(Bi |A) =
P(Bi )P(A|Bi )
P(Bi )P(A|Bi )
= Pk
P(A)
i=1 P(Bi )P(A|Bi )
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(2)
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Ejemplo
Una fábrica tiene 3 máquinas M1 , M2 y M3 para la producción de
sus artı́culos. El siguiente cuadro describe el porcentaje de
producción de cada una y la frecuencia de artı́culos que produce
cada una.
Máquina
M1
M2
M3
Producción
50 %
30 %
20 %
Artı́culos Defectuosos
4%
2%
3%
Suponga que se elija un artı́culo al azar y este es defectuoso.
Determine la probabilidad que haya sido producido por la máquina
M1
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Solución
Sean los eventos:
A : el artı́culo es defectuoso
Bi : el artı́culo es producido por Mi para i = 1, 2, 3
Para contestar primero debemos determinar de que el artı́culo sea
defectuoso.
P(A) = P(B1 )P(A|B1 ) + P(B2 )P(A|B2 ) + P(B3 )P(A|B3 ) =
(0,50)(0,04) + (0,30)(0,02) + (0,20)(0,03) = 0,032
(0,50)(0,04)
P(B1 )P(A|B1 )
=
= 0,625 = 62,5 %
P(B1 |A) =
P(A)
(0,032)
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Principios Básicos del Conteo
Definición
Si se tienen dos conjuntos, el primero de n elementos y el segundo
de m elementos, entonces existen n × m formas de tomar un
elemento del primer conjunto y otro elemento del segundo
conjunto.
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Ejemplo
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Permutaciones
Son arreglos diferentes que se pueden hacer con los elementos de
un conjunto. En este arreglo se debe de considerar el orden de los
elementos.
Ası́ por ejemplo si se tiene un conjunto de n elementos y se toma
un arreglo de r elementos:
Si se incluye un elemento en el arreglo, entonces la cantidad de
elementos diferentes es n.
Si se incluye 2 elementos en el arreglo, entonces la cantidad de
elementos diferentes es n(n − 1).
Si se incluye 3 elementos en el arreglo, entonces la cantidad de
elementos diferentes es n(n − 1)(n − 2).
Si se incluye r elementos en el arreglo, entonces la cantidad de
elementos diferentes es n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1)
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Definición
Si se tiene u conjunto de n elementos diferentes, el número de
arreglos diferentes de r elementos viene dado por:
nPr = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1)
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Ejemplo
Un grupo de 10 personas debe elegir a su directiva; presidente,
secretario, tesorero. Todos pueden ser elegidos, pero una persona
no puede tener mas de un cago. ¿De cuántas maneras diferentes
puede realizarse la elección?
n = 10 y r = 3, 10 P3 = 10 × 9 × 8 = 720
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Fórmula alterna para la permutaciones
n Pr
=
n!
(n − r )!
(3)
La fórmula (3) resulta de descomponer la fórmula en su
multiplicando y mediante un arreglo matemático ası́:
n Pr = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1) =
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1)(n − r )(n − r − 1) · · · (2)(1)
(n − r )(n − r − 1) · · · (2)(1)
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Casos Especiales
Permutaciones con todos los elementos de un conjunto
n!
= n!
n Pn =
(n − n)!
Arreglo Circular: Es un permutación con todos los elementos
del grupo. Para tener arreglos diferentes, uno de los elementos
del grupo debe permanecer fijo P = n!
Permutaciones con elementos repetidos: Si del total de n
elementos, n1 son repetidos, entonces existe n1 ! formas de
tomar los n1 elementos repetidos, por lo tanto la cantidad se
n!
reducirá en n1 !, lo que queda P =
, si existe más de un
n1 !
n!
elemento repetido entonces P =
n1 !n2 ! · · · nk !
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Casos Especiales
Permutaciones con todos los elementos de un conjunto
n!
= n!
n Pn =
(n − n)!
Arreglo Circular: Es un permutación con todos los elementos
del grupo. Para tener arreglos diferentes, uno de los elementos
del grupo debe permanecer fijo P = n!
Permutaciones con elementos repetidos: Si del total de n
elementos, n1 son repetidos, entonces existe n1 ! formas de
tomar los n1 elementos repetidos, por lo tanto la cantidad se
n!
reducirá en n1 !, lo que queda P =
, si existe más de un
n1 !
n!
elemento repetido entonces P =
n1 !n2 ! · · · nk !
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Casos Especiales
Permutaciones con todos los elementos de un conjunto
n!
= n!
n Pn =
(n − n)!
Arreglo Circular: Es un permutación con todos los elementos
del grupo. Para tener arreglos diferentes, uno de los elementos
del grupo debe permanecer fijo P = n!
Permutaciones con elementos repetidos: Si del total de n
elementos, n1 son repetidos, entonces existe n1 ! formas de
tomar los n1 elementos repetidos, por lo tanto la cantidad se
n!
reducirá en n1 !, lo que queda P =
, si existe más de un
n1 !
n!
elemento repetido entonces P =
n1 !n2 ! · · · nk !
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Combinaciones
Son arreglos que se pueden hacer con los elementos de un
conjunto. El orden de los elementos no es de interés, cada arreglo
se diferencia únicamente
por
los elementos que lo contiene. Su
n
notación es n Cr , Crn o
, para obtener una fórmula para el
r
número de combinaciones, como no nos interesa el orden es como
si tenemos permutaciones con elementos repetidos.
Por lo tanto su fórmula puede ser escrita como:
n Cr
=
n Pr
r!
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=
n!
r !(n − r )!
(4)
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Ejemplo
En un grupo de 15 personas, 7 leen la revista A, 5 leen la revista B
y 6 ninguna revista. Encuentre:
1
La cantidad de personas que leen al menos una revista
2
Cantidad de formas diferentes de elegir a 4 personas que al
menos lean alguna revista
3
Cantidad de formas diferentes de elegir a 4 personas de tal
manera que 2 solamente lean la revista A, 1 solamente B, 1
no lea revistas.
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Solución

 4 leen solo A
1 Según la tabla: 2 leen solo B
total 9 personas leen

3 leen ambas revistas
al menos 1 revista
9!
2 9 C4 =
= 126
4!5!
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Solución

 4 leen solo A
1 Según la tabla: 2 leen solo B
total 9 personas leen

3 leen ambas revistas
al menos 1 revista
9!
2 9 C4 =
= 126
4!5!
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Solución

 leen solo A: 4 C2 = 6
leen solo B: 2 C1 = 2
3

leen ambas:6 C1 = 6
Por el principio de conteo se tiene que: 6 × 2 × 6 = 72
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