EXAMEN MODELO 4 MATEMÁTICAS II SELECTIVIDAD

EXAMEN MODELO 4 MATEMÁTICAS II SELECTIVIDAD:
1. Números y álgebra:
a) Discute el siguiente sistema según el valor de m:
b) Resuélvelo para m=1.
Solución: a) Si m¹1 SI; si m=1, SCI; b) x=1+ l; y=0; z= l con 𝝀𝝐ℝ;
1
1
2. Números y álgebra: Dadas las matrices 𝐴 = '−1+ , 𝐵 = '1+ e I la matriz
0
1
identidad de orden 3.
a) Estudia el rango según los valores de l de la matriz ABt+ lI.
b) Calcula la matriz X que verifica: ABtX – X= 2B.
Solución: a)
b)
3. Análisis:
a) Sea la función 𝑔(𝑥) =
!!
(#$! ! )"
, Calcula la ecuación de la recta tangente que
sea paralela al eje OX; calcular las asíntotas de la función y calcular
&'(
∫) 𝑔(𝑥)𝑑𝑥.
b) Calcular p, m y n para que sea derivable y tenga un extremo relativo en
x= -1/2.
c) Calcular la primitiva de 𝑓(𝑥) =
&'*
√*
, sabiendo que pasa por el punto (1,0).
Solución: a) y= ¼; No tiene asíntotas verticales, tiene asíntotas horizontales y=0 en el
menos infinito e infinito; no hay asíntotas oblicuas; Integral= 1/3.
b) m= -5; n=2; p= -1; c) F(x)= 𝟐√𝒙𝒍𝒏𝒙 − 𝟒√𝒙 + 𝟒.
4. Análisis:
a) Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral. Justifica si la función
*
F(x)= ∫) (𝑡 , − 1)𝑑𝑡, tiene extremos relativos.
b) Enuncia el teorema del valor medio del cálculo diferencial. Justifica si la
* " $-*
función 𝑓(𝑥) = *./ cumple dicho teorema en el intervalo [2,6]. En caso
afirmativo, ¿dónde se cumple la tesis?
c) Hallar los puntos de la parábola y = x2– 1 que se encuentran a una distancia
mínima del punto A (-2, -1/2).
Solución: a) Tiene un máximo relativo en x=-1, y un mínimo relativo en x=1.
b) Si cumple el teorema, 𝒄 = 𝟕 − √𝟓.
c) (-1,0).
5. Geometría: a) Son coplanarios los puntos A(1,0,2); B(0,-1,1), C(-1,-2,0) y
D(0,2,2). Si existe, calcula el plano que los contiene.
b) Calcula la ecuación general y las ecuaciones paramétricas del plano que es
perpendicular a 𝛼 ≡ 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 4 = 0, y que contenga a los puntos P(-1,1,2)
y Q(2,3,6).
2𝑥 + 𝑦 + 2 = 0
c) Sea la recta: 𝑟: J
. Calcula la distancia d del punto R(-1,0,-2) al
3𝑥 − 𝑧 + 1 = 0
plano b ≡ 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 + 12 = 0. Calcula, si existe, otro punto de la recta r que
diste d del plano b.
Solución: a) Si son coplanarios, 𝜶 ≡ 𝟐𝒙 + 𝒚 − 𝟑𝒛 + 𝟒 = 𝟎.
b)
c) d(R, b)=
𝟓 √𝟏𝟒
𝟏𝟒
u; Se obtienen los puntos (-1,0,-2); (-12/7; 10/7; -29/7).
6. Geometría: a) Sea la recta que pasa por el punto P(2,-2,-1) con el vector director
𝑣⃑ = (𝑘, 3 + 𝑘, −2𝑘) y el plano 𝛼 de ecuación: 𝛼 ≡ −𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0.
Calcular el valor de k para que la recta y el plano sean: i) r y a sean paralelos, ii)
r y a sean perpendiculares.
b) Estudia la posición relativa de los planos p1 y p2, y si se cortan, calcula el
ángulo que forman.
c) Calcula el punto simétrico de Q(1,1,1) respecto del plano p1.
Solución: a) k=2; k=-1; b) Los planos se cortan (secantes) y son perpendiculares (90º);
c) el punto simétrico de Q es Q’(-1,-1,3).
7. Estadística y probabilidad: En los murales frigoríficos de un supermercado, se
encuentran a la venta 250 yogures de la marca A, 150 de la marca B y 100 de la
marca C. La probabilidad de que un yogur esté caducado es del 2% para la marca
A, 3% para la marca B y 15% para la marca C. Se elige un yogur al azar:
a) Calcular el porcentaje que el yogur no esté caducado;
b) Si el yogur está caducado, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la marca A
o B?
Solución: a) El 95,1 % de los yogures no están caducados; b) 0,387.
8. Estadística y probabilidad: a) En cierta región, el peso de los jóvenes que sufren
diabetes tipo 2 sigue una distribución normal de media 89 kilogramos y
desviación típica igual a 20 kilogramos. Determinar la probabilidad de jóvenes de
esa región, con diabetes tipo 2 que pesa entre 86 y 100 kilogramos.
b) El 7 % de las personas padecen un pequeño defecto anatómico de origen
genético. En una empresa trabajan 80 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que
haya más de 10 con ese defecto?
Solución: a) 0,2684; b) 0,0158.