Análisis y Diseño Sísmico - R. Rochel - Segunda Edición

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Santiago Orrego Bustamante
En el presente texto se ilustra el procedimiento de análisis y
diseño sísmico de un edificio de acuerdo con el Reglamento
Colombiano de Construcciones Sismo Resistentes, NSR-10.
Se desarrolla un modelo analítico lineal de pórticos tridimensionales, se analiza una estructura en el espacio y se ilustra y
desarrolla el diseño y detalle de los diferentes elementos que
lo conforman como son las columnas, vigas, nudos y muros.
No sólo se aplica la norma sino que se discuten sus disposiciones y se compara con las normas de otros países.
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El reto contemporáneo de sus ideas políticas
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Análisis y diseño
sísmico de edificios
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Análisis y diseño sísmico de edificios
Roberto Rochel Awad
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ACADÉMICA
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INGENIERÍA
Roberto Rochel Awad
Análisis y diseño sísmico de edificios
Roberto Rochel Awad
Rochel Awad, Roberto
Análisis y diseño sísmico de edificios / Roberto Rochel Awad. -Medellín : Fondo Editorial Universidad EAFIT, 2012.
388 p. ; 22 cm. -- (Colección académica)
Incluye referencias bibliográficas.
ISBN 978-958-720-117-8
1. Ingeniería sísmica. 2. Diseño sismo resistente 3. Diseño de
Estructuras 4. Construcciones sismo resistentes - Diseño I. Tít. II. Serie.
693.85 cd 21 ed.
A1332098
CEP-Banco de la República-Biblioteca Luis Ángel Arango
Análisis y diseño sísmico de edificios
Segunda edición: abril de 2012
Segunda reimpresión: noviembre de 2012
© Roberto Rochel Awad
© Fondo Editorial Universidad EAFIT
Carrera 48A # 10 Sur- 107, Tel. 261 95 23
www.eafit.edu.co/fondoeditorial
Correo electrónico: [email protected]
ISBN: 978-958-720-117-8
Diseño de colección: Miguel Suárez
Fotografía de carátula: Robinson Henao, Edificio de Ingenierías, Universidad EAFIT.
Editado en Medellín, Colombia
Tabla de contenido
Capítulo 1
Fundamentos del diseño sísmico de edificios
1.1
1.2
1.3
1.4
Aspectos generales del diseño sísmico ...............................
Filosofía del diseño sismo resistente ..................................
Solicitaciones sísmicas ..........................................................
Amenaza sísmica ....................................................................
25
27
28
31
1.4.1 Espectro de respuesta sísmica ...................................... 34
1.4.2 Espectro elástico de diseño........................................... 41
1.4.3 Espectro inelástico de diseño ....................................... 45
1.5 Configuración estructural de la edificación y coeficiente
de capacidad de disipación de energía para ser empleado
en el diseño, R ........................................................................ 84
1.5.1 Asimetrías del sistema estructural de resistencia
sísmica............................................................................ 84
1.5.2 Redundancia del sistema estructural de resistencia
sísmica............................................................................ 91
1.5.3 Recomendaciones para una buena estructuración ....... 92
1.6 Evaluación de la deriva máxima .......................................... 96
1.6.1 Límites de la deriva máxima ......................................... 96
1.6.2 Separación entre estructuras adyacentes por
consideraciones sísmicas ............................................... 97
Capítulo 2
Filosofía del diseño sísmico
2.1 Sistemas estructurales .......................................................... 101
2.1.1 Sistema de muros .......................................................... 102
2.1.2 Sistema de pórticos dúctiles a flexión .......................... 103
2.1.3 Sistema de pórticos ....................................................... 103
2.1.4 Sistema dual .................................................................. 104
2.1.5 Sistema combinado ....................................................... 105
2.2 Métodos de análisis ............................................................... 106
2.2.1 Método de la Fuerza Horizontal Equivalente .............. 108
2.2.2 Método del análisis dinámico elástico .......................... 108
2.3 Aspectos generales del diseño sísmico ............................... 109
2.3.1 Comportamiento de las estructuras hiperestáticas ...... 111
2.3.2 Ejemplo numérico ......................................................... 113
2.4 Filosofía del diseño sísmico según la NSR-10 .................. 116
2.5 Procedimiento para el diseño a flexión de vigas y
columnas .................................................................................. 119
2.5.1 Diseño a flexión de vigas ............................................... 119
2.5.2 Diseño a flexo-compresión de columnas ...................... 119
2.6 Procedimiento para el diseño a cortante de vigas y
columnas .................................................................................. 121
2.6.1 Estructuras con Demanda Moderada de Ductilidad
(DMO)........................................................................... 121
2.6.2 Estructuras con Demanda Especial de Ductilidad
(DES) ............................................................................ 125
Capítulo 3
Análisis tridimensional
3.1 Introducción............................................................................ 129
3.2 Hipótesis del modelo matemático ...................................... 130
3.3 Definiciones ............................................................................ 132
3.4 Sistema global de coordenadas ............................................ 133
3.5 Procedimiento de análisis, diagrama de flujo.................... 134
3.6 Matriz de rigidez de la estructura....................................... 135
3.6.1 Fundamentos ................................................................. 135
3.6.2 Desplazamientos de los entrepisos............................... 137
3.6.3 Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas
globales .......................................................................... 138
3.7 Vector de cargas ...................................................................... 140
3.7.1 Coordenadas del centro de cortante ............................. 140
3.7.2 Coordenadas del centro de torsión ............................... 141
3.7.3 Excentricidades estáticas y de diseño .......................... 143
3.7.4 Momentos torsores ........................................................ 146
3.8 Análisis de los pórticos planos ............................................. 147
3.8.1 Desplazamientos de los entrepisos............................... 147
3.8.2 Desplazamientos de los pórticos planos ....................... 148
3.8.3 Cortantes y fuerzas sísmicas en los pórticos................. 148
3.9 Control de derivas .................................................................. 149
3.10 Ejemplo .................................................................................... 149
3.11 Análisis del período natural de vibración, T. ..................... 185
3.11.1 Métodos empíricos ........................................................ 185
3.11.2 Método de análisis dinámico ........................................ 186
3.11.3 Método de Rayleigh ...................................................... 188
3.11.4 Restricciones de la NSR-10 .......................................... 190
3.11.5 Revisión del período ...................................................... 191
Capítulo 4
Análisis y diseño de vigas
4.1 Introducción............................................................................ 193
4.2 Materiales ................................................................................ 195
4.3 Requisitos de diseño ............................................................. 196
4.3.1 Requisitos geométricos ................................................. 196
4.3.2 Requisitos generales para el refuerzo longitudinal ...... 197
4.3.3 Detallado del refuerzo en flexión ................................. 200
4.4 Tuberías embebidas ............................................................... 217
4.5 Sistema de losas aligeradas o nervadas ............................... 218
4.6 Requisitos de diseño sismo resistente para vigas,
NSR-10 .................................................................................... 223
4.7 Ejemplo de diseño ................................................................. 229
4.8 Comentarios sobre la NSR-10 ............................................. 255
4.8.1 Secciones críticas para el diseño del refuerzo
negativo.......................................................................... 255
4.8.2 Longitud de desarrollo para barras terminadas con
gancho estándar, estructuras con demanda especial
de ductilidad............................................. ..................... 255
4.8.3 Espesores mínimos de vigas y columnas en uniones
interiores, estructuras con demanda moderada
de ductilidad.......................................... ........................ 256
4.8.4 Método para evaluar el cortante de diseño en vigas
de estructuras con demanda moderada de ductilidad,
DMO ................................................................................ 257
4.8.5 Factor de seguridad a cortante para estructuras
aporticadas con demanda moderada de ductilidad ...... 258
4.8.6 Zonas de traslapos en vigas de estructuras con demanda
moderada de ductilidad................................................. 259
Capítulo 5
Análisis y diseño de columnas
5.1 Definición................................................................................ 261
5.2 Requisitos geométricos ......................................................... 261
5.3 Requisitos para el refuerzo ................................................... 262
5.3.1 Refuerzo longitudinal .................................................... 262
5.3.2 Refuerzo transversal ...................................................... 265
5.4 Longitud de diseño, Lu ......................................................... 271
5.5 Cambios de sección ............................................................... 272
5.6 Requisitos de diseño ............................................................. 274
5.6.1 Requisitos generales ...................................................... 274
5.6.2 Requisitos de diseño a flexión ...................................... 275
5.6.3 Requisitos de diseño a cortante .................................... 277
5.6.4 Empalmes o traslapo del refuerzo................................. 279
5.7 Ejemplo de diseño ................................................................. 282
5.8 Especificaciones de diseño para columnas, NSR-10 ....... 295
Capítulo 6
Uniones viga-columna
6.1 Introducción............................................................................ 305
6.2 Criterios de diseño................................................................. 307
6.3 Comportamiento esperado de las uniones ........................ 307
6.4 Clasificación de los nudos .................................................... 309
6.4.1 Según su geometría y su confinamiento ....................... 309
6.4.2 Clasificación del ACI según su comportamiento ........... 310
6.4.3 Clasificación de la NSR-10 según su
comportamiento ............................................................ 312
6.5 Análisis de los nudos para estructuras con ductilidad
especial .................................................................................... 313
6.5.1 Nudos interiores ............................................................ 313
6.5.2 Nudos exteriores ........................................................... 317
6.5.3 Nudos de esquina .......................................................... 319
6.6 Diseño de las uniones viga-columna .................................. 320
6.6.1 Secciones críticas........................................................... 320
6.6.2 Longitud de desarrollo .................................................. 321
6.6.3 Fuerza cortante en los nudos interiores ........................ 323
6.6.4 Resistencia del hormigón a tensiones cortantes .......... 326
6.6.5 Refuerzo transversal en los nudos................................. 328
6.7 Las uniones en los planos de construcción ....................... 329
6.8 Especificaciones de diseño para los nudos ........................ 330
6.9 Ejemplo de diseño............................................................ 334
6.10 Observaciones sobre la NSR-10 .......................................... 340
Anexo A
Teoría general de columnas
7.1 Columnas uniaxiales .............................................................. 341
7.1.1 Tipos de refuerzo .......................................................... 341
7.1.2 Tipos de columnas......................................................... 341
7.1.3 Columnas rectangulares uniaxiales, simétricas,
con refuerzo en dos caras .............................................. 342
7.2 Columnas biaxiales ................................................................ 353
7.2.1 Método de la superfice de falla..................................... 355
7.3 Ejercicios ................................................................................. 359
Referencias bibliográficas ................................................................ 383
Índice de tablas
Tabla 1.1 Valores de Aa y Av para algunas ciudades capitales de
departamento, para otras ciudades véase el Apéndice
A-4 de la NSR-10 ......................................................................... 34
Tabla 1.2 Valores del coeficiente de importancia ....................................... 50
Tabla 1.3 Clasificación de los perfiles del suelo ......................................... 52
Tabla 1.4 Criterios para clasificar suelos dentro de los perfiles
de suelo tipo C, D o E ................................................................. 53
Tabla 1.5 Valores del coeficiente Fa, para zonas de períodos cortos
del espectro .................................................................................. 53
Tabla 1.6 Valores del coeficiente Fv, para zonas de períodos intermedio
del espectro .................................................................................. 54
Tabla 1.7 Valores del coeficiente Ct, y a para el cálculo del período
aproximado Ta ............................................................................... 55
Tabla 1.8 Valores del coeficiente básico debido a la redundancia, Ro ....... 62
Tabla 1.9 Sistemas estructurales de muros de carga, NSR-10,
Tabla A.3-1 ................................................................................... 67
Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 ............... 70
Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10,
Tabla A.3.3.................................................................................... 75
Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 ..................... 79
Tabla 1.13 Mezcla de sistemas estructurales en altura ................................ 88
Tabla 1.14 Derivas máximas como porcentaje de hpi .................................... 97
Tabla 1.15 Separación sísmica mínima en la cubierta entre edificaciones
colindantes que no hagan parte de la misma construcción ........ 98
Tabla 2.1 Proporcionamiento de sobre resistencia .................................... 114
Tabla 2.2 Sobre-resistencia residual ............................................................ 115
Tabla 2.3 Especificaciones para diseño a flexión de columnas según
la NSR-10 ..................................................................................... 120
Tabla 2.4 Especificaciones para diseño a cortante de vigas según
la NSR-10 ..................................................................................... 126
Tabla 2.5 Especificaciones para diseño a cortante de columnas según
la NSR-10 ..................................................................................... 126
Tabla 4.1 Dimensiones de los ganchos estándar ........................................ 202
Tabla 4.2 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas para
satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado con
gancho estándar a 90°, DMI y DMO ............................................... 204
Tabla 4.3 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas para
satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado con
gancho estándar a 90°, DES .......................................................... 205
Tabla 4.4 Longitudes de desarrollo para barras rectas a tracción, refuerzo
sin recubrimiento epóxico (e = 1.0), hormigón de peso normal
(l=1.0), fy=4,200 kgf/cm2, f ’c=210 kgf/cm2. Estructuras
con demanda mínima, DMI y moderada DMO de ductilidad ........ 206
Tabla 4.5 Longitudes de desarrollo para barras rectas a tracción, refuerzo
sin recubrimiento epóxico (e = 1.0), hormigón de peso normal
(l=1.0), fy=4,200 kgf/cm2, f ’c=210 kgf/cm2. Estructuras
con demanda especial de ductilidad, DES ................................... 207
Tabla 4.6 Requisitos geométricos para las vigas.......................................... 223
Tabla 4.7 Refuerzo longitudinal en vigas .................................................... 224
Tabla 4.8 Refuerzo transversal en vigas....................................................... 226
Tabla 4.9 Tensiones cortantes en vigas ....................................................... 228
Tabla 5.1 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas
a tracción, estructuras con demanda mínima, DMI; y demanda
moderada, DMO, de ductilidad, t = 1.0, e = 1.0 ...................... 280
Tabla 5.2 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas
a tracción, estructuras con demanda especial, DES, de ductilidad,
cálculo según literal (a) ............................................................... 282
Tabla 5.3 Requisitos geométricos ................................................................ 295
Tabla 5.4 Resistencia mínima a la flexión de las columnas ........................ 296
Tabla 5.5 Refuerzo longitudinal en las columnas ....................................... 297
Tabla 5.6 Refuerzo transversal en las columnas .......................................... 298
Tabla 5.7 Requisitos para refuerzo a cortante en columnas ....................... 303
Tabla 6.1 Altura mínima para vigas o columnas basadas en la adherencia de
refuerzo longitudinal que pasa a través de un nudo interior ...... 317
Tabla 6.2 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones de
anclaje del refuerzo de las vigas terminadas con ancho estándar,
DMI y DMO .................................................................................... 322
Tabla 6.3 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones
de anclaje del refuerzo de las vigas terminadas con ancho
estándar, DES ................................................................................ 323
Tabla 6.4 Valores de g para el cálculo de la resistencia a cortante de las
uniones viga-columna .................................................................. 326
Tabla 6.5 Requisitos generales para el diseño de las uniones
viga-columna ................................................................................ 330
Tabla 6.6 Requisitos para el refuerzo transversal en las uniones
viga-columna ................................................................................ 331
Tabla 6.7 Requisitos para el diseño a cortante en las uniones
viga-columna ................................................................................ 332
Tabla 6.8 Requisitos para el desarrollo del refuerzo dentro de las uniones
viga-columna ................................................................................ 333
Tabla 7.1 Cálculo de los puntos que definen el diagrama de interacción . 351
Índice de figuras
Figura
1.1 Propagación de la energía sísmica desde el hipocentro o foco
hasta la estructura ..................................................................... 31
Figura
1.2 Mapa de amenaza sísmica en Colombia ................................... 33
Figura
1.3 Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento ........... 35
Figura
1.4 Espectro de respuesta de desplazamiento ............................... 38
Figura
1.5 Espectro de aceleraciones, sismo de El Centro, California,
mayo 18 de 1940........................................................................ 39
Figura
1.6 Espectro de respuesta de aceleraciones ................................... 40
Figura
1.7 Espectro elástico promedio de aceleraciones........................... 42
Figura
1.8 Espectro de diseño suavizado ................................................... 43
Figura
1.9 Espectro elástico de diseño para Colombia, NSR-10,
Sec. A.2.6 ................................................................................... 45
Figura 1.10 Procedimientos simplificados para obtener espectros inelásticos
de diseño ................................................................................... 46
Figura 1.11 Espectro de diseño inelástico para Colombia, NSR-10,
Sec. A.2.6 ................................................................................... 46
Figura 1.12 Comportamiento de una estructura aporticada ante cargas
monotónicas............................................................................... 47
Figura 1.13 Modificación de la respuesta debido a la ductilidad................ 57
Figura 1.14 Criterio de igualdad de desplazamientos ................................. 58
Figura 1.15 Criterio de igualdad de energía ................................................ 59
Figura 1.16 Variación del factor Rom con la ductilidad y el período ............. 60
Figura 1.17 Sistemas estructurales de pórticos y de muros de carga.......... 64
Figura 1.18 Sistemas estructurales dual ...................................................... 65
Figura 1.19 Irregularidades en planta .......................................................... 89
Figura 1.20 Irregularidades en altura ........................................................... 90
Figura 1.21 Derivas de entrepiso ................................................................. 96
Figura 1.22 Medición de la separación sísmica (vista en elevación) .......... 99
Figura
2.1 Viga hiperestática de dos luces continuas ................................ 112
Figura
2.2 Viga continua de dos luces con articulación plástica en
el apoyo B .................................................................................. 112
Figura
2.3 Viga continua de dos luces con articulación plástica en el apoyo
B y la L2 ..................................................................................... 113
Figura
2.4 Demanda de resistencia a la flexión en t-m ............................. 113
Figura
2.5 Formación de la primera articulación plástica en el apoyo B ... 115
Figura
2.6 Diferentes tipos de mecanismos de falla en estructuras
aporticadas de hormigón reforzado ........................................... 116
Figura
2.7 Equilibrio de momentos en un nudo, SMcol = SMvig ............... 119
Figura
2.8 Cortante de diseño en vigas y columnas .................................. 123
Figura
2.9 Cortante en las columnas Vc = (Mvi + Mvd) / H ...................... 127
Figura
3.1 Los efectos sísmicos se analizan independientemente en dos
direcciones ortogonales ............................................................. 131
Figura
3.2 Sistema global de coordenadas ................................................. 133
Figura
3.3 Diagrama de flujo ...................................................................... 134
Figura
3.4 Efectos de las acciones sísmicas sobre las estructuras ............. 135
Figura
3.5 Análisis de la torsión, momento torsor ..................................... 136
Figura
3.6 Distancia del pórtico j al origen de coordenadas, rj ................. 136
Figura
3.7 Desplazamientos del entrepiso, nivel i-ésimo ........................... 137
Figura
3.8 Vista en planta del pórtico j en el nivel i-ésimo de una
estructura cualquiera ................................................................ 137
Figura
3.9 Desplazamiento del pórtico j en el nivel i en función de los
desplazamientos del nivel i....................................................... 138
Figura 3.10 Fuerza aplicada al pórtico j para producir el
desplazamiento dji ..................................................................... 139
Figura 3.11 Análisis del sismo en X.............................................................. 142
Figura 3.12 Análisis del sismo en Y .............................................................. 143
Figura 3.13 Excentricidades de diseño según las diferentes normas ......... 145
Figura 3.14 Análisis del sismo en X.............................................................. 146
Figura 3.15 Análisis del sismo en Y .............................................................. 147
Figura 3.16 Desplazamientos de los nudos.................................................. 148
Figura 3.17 Cortantes y fuerzas horizontales .............................................. 148
Figura
4.1 Requisitos geométricos para las vigas de pórticos dúctiles
de hormigón reforzado .............................................................. 197
Figura
4.2 Envolvente de momentos para vigas de pórticos dúctiles
de hormigón............................................................................... 197
Figura
4.3 Zonas confinadas y de traslapos en vigas de pórticos resistentes
a momentos, DMO y DES ............................................................ 198
Figura
4.4 Distribución de estribos en vigas de pórticos con demanda
especial de ductilidad, DES ....................................................... 199
Figura
4.5 Distribución de estribos en vigas de pórticos con demanda
moderada de ductilidad ............................................................ 200
Figura
4.6 Recubrimiento y separación del refuerzo longitudinal
en vigas ...................................................................................... 200
Figura
4.7 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los nudos
exteriores .................................................................................. 202
Figura
4.8 Dimensiones mínimas de vigas y columnas para anclaje en
nudos exteriores ........................................................................ 202
Figura
4.9 Desarrollo del refuerzo negativo en un apoyo interior............. 209
Figura 4.10 Diagrama de momentos flectores con inversión en el apoyo
central ........................................................................................ 209
Figura 4.11 Dimensiones mínimas de vigas y columnas en uniones
interiores, pórticos de hormigón con DES ................................. 210
Figura 4.12 Diagrama de momentos flectores sin inversión en el apoyo
central ........................................................................................ 211
Figura 4.13 Estribos de confinamiento ........................................................ 212
Figura 4.14 Acciones en las vigas de pórticos dúctiles debidas al efecto
simultáneo de cargas de gravedad y cargas sísmicas ................ 213
Figura 4.15 Superposición de los efectos de cortante en una viga dúctil
de hormigón reforzado .............................................................. 214
Figura 4.16 Dimensiones mínimas de losas aligeradas ................................ 218
Figura
5.1 Requisitos geométricos para las columnas ............................... 262
Figura
5.2 Localización de la zona de traslapos en columnas con DES ..... 263
Figura
5.3 Separación y recubrimiento del refuerzo longitudinal en
columnas .................................................................................... 264
Figura
5.4 Estribos de confinamiento con ganchos sísmicos .................... 265
Figura
5.5 Ejemplo de confinamiento empleando estribos ...................... 267
Figura
5.6 Ejemplo de confinamiento con el empleo simultáneo de estribos
de confinamiento y ganchos suplementarios ........................... 267
Figura
5.7 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares
en pórticos dúctiles de hormigón con demanda mínima de
ductilidad, DMI .......................................................................... 268
Figura
5.8 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares
en pórticos dúctiles de hormigón con demanda moderada
de ductilidad, DMO .................................................................... 270
Figura
5.9 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares
en pórticos dúctiles de hormigón con demanda especial
de ductilidad, DES ...................................................................... 270
Figura 5.10 Longitud de diseño de las columnas ........................................ 271
Figura 5.11 Cambios de sección en las columnas ........................................ 273
Figura 5.12 Unión viga-columna de un pórtico con demanda de ductilidad
especial ...................................................................................... 276
Figura 5.13 Cortante de diseño para columnas con DES ............................. 277
Figura 5.14 Análisis de los cortantes en las columnas de ductilidad
moderada a partir del método de Bowman, suponiendo
la ubicación de los puntos de inflexión de columnas en su
punto medio .............................................................................. 278
Figura
6.1 Uniones típicas viga-columna ................................................... 306
Figura
6.2 Fuerzas en una unión viga-columna .......................................... 308
Figura
6.3 (a) Unión interior, (b) Unión exterior, (c) Unión de esquina . 309
Figura
6.4 Requisitos de confinamiento para un nudo interior ................ 310
Figura
6.5 Requisitos de confinamiento para un nudo exterior................ 310
Figura
6.6 En los nudos tipo 1, diagrama de momentos dominado por las
cargas gravitacionales, no se esperan deformaciones inelásticas
de importancia........................................................................... 311
Figura
6.7 Nudos tipo 2, diagrama de momentos dominado por los
efectos sísmicos, se esperan deformaciones inelásticas de gran
importancia ................................................................................ 311
Figura
6.8 Inversión de momentos en una estructura con demanda
especial de ductilidad ............................................................... 313
Figura
6.9 Transferencia de cortante en un mecanismo de puntal en
compresión diagonal.................................................................. 314
Figura 6.10 Mecanismo del puntal diagonal y confinamiento de un
exterior....................................................................................... 317
Figura 6.11 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en
los nudos .................................................................................... 321
Figura 6.12 Fuerzas en los nudos (DMI y DMO) ........................................... 324
Figura 6.13 Fuerzas en los nudos tipo 2 (DES)............................................. 325
Figura 6.14 Determinación del ancho efectivo, bj, del nudo ...................... 327
Figura
7.1 Tipos de columnas .................................................................... 342
Figura
7.2 Acciones en columnas uniaxiales y biaxiales ............................ 343
Figura
7.3 Acciones mecánicas en los elementos de hormigón
reforzado .................................................................................... 344
Figura
7.4 Diagrama de deformaciones para la condición de falla
balanceada ................................................................................. 345
Figura
7.5 Diagramas de deformación para condición de falla no
balanceada ................................................................................. 346
Figura
7.6 Diagrama de interacción ........................................................... 347
Figura
7.7 Diagrama de interacción dimensional para una cuantía
de 0.015, considerando f ’c=210 kgf/cm2, fy=4,200 kgf/cm2,
d=34 cm, d’=6 cm ................................................................... 352
Figura
7.8 Familia de curvas de interacción de columnas para cuantías
que varían entre 0.01, curva N.o 1, hasta 0.04, curva N.o 4 ...... 353
Figura
7.9 Flexión uniaxial sobre los ejes Y y X, respectivamente............ 354
Figura 7.10 Flexión biaxial, diagrama tridimensional de interacción ......... 355
Figura 7.11 Método de la superficie de falla para el análisis biaxial de
columnas .................................................................................... 356
Figura 7.12 Diagrama de interacción de columnas biaxiales en la zona de
cargas axiales de tracción .......................................................... 357
Figura 7.13 Plano del diagrama de interacción en el caso de columnas
biaxiales ..................................................................................... 358
Índice de imágenes
Imagen 1.1 En el sismo de El Salvador, en 1986, muchos hospitales
quedaron fuera de servicio ........................................................ 48
Imagen 1.2 En el sismo de Armenia, Colombia, en 1999, las instalaciones
de los bomberos colapsaron ...................................................... 49
Imagen 1.3 Daños en una edificación debido a la flexibilidad del sistema
estructural aporticado.Armenia, Colombia, 1999..................... 66
Imagen 1.4 Sistema reticular celulado, no recomendado para zonas con
amenaza sísmica debido a su alta flexibilidad y al mal
comportamiento durante el sismo de México, en 1985........... 66
Imagen 1.5 Comportamiento deficiente de una estructura con asimetría
en planta en forma de U, El Salvador, 1986 ............................. 84
Imagen 1.6 Comportamiento deficiente de una estructura con asimetría
en planta en forma de E, palacio presidencial, Haití, 2010 ..... 85
Imagen 1.7 Las pesadas divisiones tradicionales, ladrillos de arcilla, deben
reemplazarse por divisiones modulares, en yeso, muy
livianas ....................................................................................... 93
Imagen 1.8 La localización de las acometidas de agua, teléfono, luz, gas y
televisión deben ubicarse adecuadamente para no obligar a la
colocación de pesados materiales de nivelación de los pisos ... 93
Imagen 1.9 Colapso en Armenia, Colombia, en 1999. Muros estructurales
dispuestos en una sola dirección .............................................. 94
Imagen 1.10 Daños en acabados por flexibilidad del primer piso, Pereira,
Colombia, 1999 ......................................................................... 95
Imagen 1.11 Daños por separación insuficiente de construcciones vecinas,
Armenia, Colombia, 1999.......................................................... 99
Imagen 1.12 Daños por separación insuficiente, edificio Facultad de
Ingeniería Universidad de Concepción, Chile, febrero 27
de 2010 ...................................................................................... 100
Imagen 2.1 La disposición asimétrica de muros en edificios de esquina
puede inducir torsión en la estructura ..................................... 101
Imagen 2.2 Sistema estructural con muros de cortante.............................. 102
Imagen 2.3 Sistema estructural con pórticos dúctiles de hormigón .......... 103
Imagen 2.4 Sistema estructural con pórticos de acero arriostrados
(izquierda). Disponibilidad de espacios en una estructura
con pórticos dúctiles de hormigón (derecha) .......................... 104
Imagen 2.5 Limitaciones en la distribución de espacios en un sistema
de muros .................................................................................... 106
Imagen 2.6 Comportamiento dúctil de un edificio de hormigón
reforzado .................................................................................... 111
Imagen 2.7 Las grandes deformaciones de las estructuras dúctiles van
asociadas a graves daños en acabados y en elementos
estructurales .............................................................................. 118
Imagen 2.8 Articulación plástica en vigas .................................................... 124
Imagen 2.9 Fallas de columna corta, Armenia, Colombia, enero de 1999 .. 128
Imagen 3.1 Daños en la mampostería debido a la ductilidad de
la estructura ............................................................................... 182
Imagen 3.2 Falla en los pisos superiores por falta de separación en las
estructuras adyacentes. México D.F. 1985 ............................... 183
Imagen 3.3 Daños por separación insuficiente o inexistente entre
construcciones adyacentes. Armenia, Colombia, 1999 ............ 185
Imagen 4.1 Falla por tensión diagonal, en una viga, debido a
sobrecargas................................................................................. 216
Imagen 4.2 Colocación prohibida de tuberías atravesando los elementos
de resistencia sísmica, DMO y DES ............................................ 217
Imagen 4.3 Recubrimiento insuficiente del refuerzo de temperatura en
una losa aligerada....................................................................... 219
Imagen 4.4 El recubrimiento insuficiente del refuerzo longitudinal se
manifiesta en una fisura paralela al refuerzo y la posterior
pérdida del recubrimiento ........................................................ 220
Imagen 4.5 Desprendimiento del refuerzo longitudinal en nervios por falta
de recubrimiento y de estribos ................................................. 221
Imagen 4.6 Apoyo extremo de nervios con refuerzo negativo en exceso, lo
cual ocasionó torsión en la viga indicada en la Imagen 4.4 ...... 221
Imagen 4.7 Colapso estructural por torsión en la viga de borde. Obsérvese
la verticalidad de la baranda respecto a la arista de la viga ...... 222
Imagen 4.8 Falla en voladizos, Armenia, Colombia, 1999 ........................... 222
Imagen 5.1 En una correcta colocación del gancho de un estribo no debe
quedar espacio entre el estribo y el refuerzo longitudinal;
el alambre de amarre debe doblarse hacia el núcleo de
la columna.................................................................................. 266
Imagen 5.2 Fallas en las columnas por falta de estribos o por excesiva
separación de los mismos. Armenia, Colombia, 1999 .............. 268
Imagen 5.3 Inadecuado inicio de columna en la viga del segundo nivel.
Armenia, Colombia, 1999.......................................................... 272
Imagen 5.4 Escandaloso doblez del refuerzo longitudinal en la estructura
del Palacio Municipal de Armenia, Colombia, 1999 ................ 273
Imagen 5.5 Falla por cortante en una columna. Estribos insuficientes,
pandeo del refuerzo longitudinal y hormigón de baja calidad.
Armenia, Colombia, 1999.......................................................... 275
Imagen 6.1 Falla por cortante en un nudo de esquina. Armenia,
Colombia, 1999 ......................................................................... 305
Imagen 6.2 Falla en un nudo de esquina por falta de confinamiento
y mala calidad del hormigón. Armenia, Colombia, 1999 .......... 320
Capítulo 1
Fundamentos del diseño sísmico de edificios
1.1 Aspectos generales del diseño sísmico
Todo proyecto se inicia con la identificación de una necesidad que requiere algún tipo de construcción para ser satisfecha y con la realización
del estudio socioeconómico que demuestre su factibilidad.
El lugar donde se construirá la nueva edificación no suele estar en
discusión, aunque sea en una zona de alta sismicidad. Toda edificación
debe diseñarse y construirse con especificaciones que ofrezcan garantías en cuanto a su seguridad, funcionalidad, estética, factibilidad y economía.
Tomada la decisión de construir, se elabora un anteproyecto arquitectónico del edificio que considere todos los aspectos económicos y
funcionales que llevaron a esa decisión. A partir de esta etapa debe intervenir un equipo multidisciplinario que colabore con el arquitecto, quien
debe tener muy en cuenta, desde que empieza a desarrollar sus ideas,
las restricciones impuestas por las instalaciones y equipos que requiere
la operación del edificio y, sobre todo, la necesidad de contar con una estructura, indispensable para dar forma a la construcción, crear los espacios que la constituyen y soportar, segura y económicamente, las cargas y
acciones de otros tipos que actuarán sobre ella durante toda su vida útil.
La seguridad de una edificación es el factor más importante, y está
relacionado con la capacidad de la estructura para resistir las cargas o
solicitaciones máximas posibles que puedan ocurrir durante su vida útil,
sin incurrir en daños excesivos o en colapso parcial o total de la edificación.
Hay varios tipos de funcionabilidad, las más importantes son la arquitectónica y la estructural. La funcionabilidad arquitectónica está ligada a su función misma como edificio y a sus aspectos estéticos, que suponen una configuración o distribución de espacios y formas agradables
25
con el fin de crear un ambiente positivo y productivo para la comunidad
en la cual está localizado y para los usuarios que hacen uso directo de él.
La funcionabilidad estructural, por su parte, se relaciona con las limitaciones por las deformaciones, el fisuramiento y la vibración de los
elementos estructurales, de ella depende que durante su servicio normal, la edificación no dé la impresión de haber perdido su valor, porque
se considera insegura y poco confortable.
Esta clase de funcionabilidad representa la respuesta de la edificación durante su vida útil, cuando es sometida a las cargas o solicitaciones
normales; mientras que la seguridad estructural se refiere al comportamiento de la edificación durante su vida total (incluyendo el tiempo de
construcción, uso, reparaciones, etc.) cuando se somete a cargas excesivas, como son las cargas vivas altas, las laterales de sismos destructivos y
las de vientos de alta velocidad.
La factibilidad y economía de una edificación no solamente depende de la disponibilidad de capitales, la localización, las condiciones de
soporte y fundaciones, los recursos de materiales y las características
arquitectónicas sino también de su importancia (socio económica-cultural) en la comunidad y de los niveles de seguridad y funcionabilidad
requeridos.
Por otro lado, la configuración de una edificación, y sus detalles arquitectónicos y estructurales, son factores determinantes en su comportamiento e influyen en la manera como las fuerzas sísmicas se distribuyen en su altura, en la intensidad de esas fuerzas y en la interacción
entre los miembros.
Una vez elegida una configuración deficiente, puede ser difícil obtener un edificio sano, aunque el diseño estructural sea correcto. No
sólo el ingeniero estructural, sino también el arquitecto, deben estar
familiarizados con los efectos que las características de los materiales, la
configuración geométrica y la distribución de elementos de carga y de
rigidez tienen sobre el comportamiento sísmico de los edificios. Y los dos
deben estar conscientes de la responsabilidad que comparten.
Los arquitectos e ingenieros responsables de la creación de una
edificación deben comunicarse e interactuar desde el anteproyecto, durante la construcción y hasta la aceptación de la obra para lograr un diseño sismo resistente efectivo y al mismo tiempo un sistema estructural
adecuado que permita la funcionabilidad y estética arquitectónica de la
edificación.
26
1.2 Filosofía del diseño sismo resistente
cinturón del Pacífico, del sur de Europa y de Asia– el diseño apropiado
para resistir las cargas inducidas por terremotos es de vital importancia
en cualquier edificación. Los investigadores y profesionales suelen estar
de acuerdo en los siguientes criterios de diseño que permiten definir
conceptualmente la acción sísmica:
aquellos sismos de intensidad reducida que ocurran durante su vida
útil.
admitiendo que se podría comportar de manera no lineal–, todos
aquellos sismos de intensidad moderada que ocurran durante su
vida útil. Se permiten daños menores como algún fisuramiento a
flexión en el hormigón y pequeñas incursiones de fluencia del acero
de vigas y losas, o fallas en los elementos no estructurales cuya reparación económica sea rápida y factible.
que ocurra una sola vez durante su vida útil. Se admiten daños significativos en los elementos estructurales, aunque no el colapso de la
estructura. El nivel permitido de daños depende de la importancia
de la edificación: si una edificación es vital para la supervivencia de
la comunidad, como lo son los hospitales, centros de salud, plantas
de energía, agua, teléfonos, etc., el nivel permitido de daños debe
ser mínimo, para así garantizar su funcionamiento después de la
ocurrencia de sismos destructivos.
La norma colombiana NSR-10, en el parágrafo del Artículo 1° expresa que:
Una edificación diseñada siguiendo los requisitos consagrados
en las normas que regulen las construcciones Sismo Resistentes,
debe ser capaz de resistir, además de las fuerzas que le impone
su uso, temblores de poca intensidad sin daño, temblores moderados sin daño estructural, pero posiblemente con algún daño
en elementos no estructurales y un temblor fuerte con daños a
elementos estructurales y no estructurales pero sin colapso.
27
No existe, sin embargo, un claro consenso sobre qué se entiende por
sismo de intensidad reducida, moderada o severa, pues existen varios
factores que los determinan, como localización geográfica, calidad y tipo
de las construcciones existentes, entre otros. Los anteriores criterios son
particularmente difíciles de establecer para estructuras con un comportamiento no lineal, ya que la solicitación que produce la respuesta más
desfavorable es compleja y depende del tipo de estructura. Su objetivo,
sin embargo, está cualitativamente especificado y es ampliamente aceptado en el diseño sismo resistente.
Las normas sísmicas actuales prescriben que una estructura sometida a sismos moderados puede experimentar daño estructural reparable,
pero no definen claramente el concepto de daño, ni la metodología para
su cuantificación.
Con frecuencia las edificaciones sometidas a sismos severos sufren
daños significativos, que incluso pueden llegar al colapso total de las
mismas. Para el ingeniero estructural es muy importante la predicción y
estimación del daño estructural, aunque las normas sísmicas se refieren
al daño estructural de manera ambigua y establecen indirectamente las
prescripciones para reducirlo, pues sólo propone valores límites para las
derivas laterales. Esto, en general, apunta en la dirección correcta, pero
una mala distribución de rigideces y resistencias relativas entre vigas
y columnas puede cumplir los límites de desplazamiento establecidos
por ella sin reducir el nivel de daño esperado. En consecuencia, es más
racional limitar el daño en forma cuantitativa.
Futuras ediciones de las normas sismo resistentes deben incluir
definiciones precisas del daño estructural, así como recomendaciones
sobre métodos idóneos para su cuantificación y, más aún, valores límites
de daño como requerimiento de un buen diseño.
1.3 Solicitaciones sísmicas
El objeto de una construcción urbana es crear espacios en los que se viva
y trabaje en condiciones adecuadas de seguridad y confort. Para ello, la
estructura debe tener:
Resistencia suficiente para soportar la combinación de efectos producidos por cargas verticales, de viento o sismo.
28
Rigidez adecuada para que sus deformaciones, bajo esos efectos,
no sean excesivas, con lo cual se evita el pánico entre los ocupantes
en elementos no estructurales y en instalaciones, y se regulan los
efectos de segundo orden, provenientes de la interacción de cargas verticales y desplazamientos horizontales, que pueden influir
de manera significativa en la resistencia de estructuras flexibles y
propiciar inclusive fallas por inestabilidad.
Ductilidad suficiente para que en caso de que las cargas del sismo
llegasen a superar los valores estimados para el diseño, la estructura
se deforme en el rango inelástico, con graves daños en los elementos
tanto estructurales como no estructurales, pero sin colapsar.
Las cargas muertas y vivas se determinan, en general, con relativa
precisión. En cambio, las incertidumbres relativas a las acciones producidas por viento y sismo son muy grandes, pues se trata de fenómenos
naturales que el hombre no controla. Sin embargo, los vientos intensos
son frecuentes y se conoce mucho sobre ellos, lo que permite determinar sus valores de diseño de manera confiable; mas no sucede lo mismo
con los sismos, cuyas intensidades y características son impredecibles.
Buena parte de las incertidumbres del diseño en zonas sísmicas, que
hace que difiera de todos los problemas restantes de diseño estructural,
proviene del desconocimiento de las acciones máximas a que puede verse expuesta la construcción.
La base del diseño sísmico de los edificios no es el temblor más
intenso que deberán resistir, que no se conoce, sino los sismos que han
afectado en el pasado el lugar donde se construirán. Como la informa! " $ das, a lo sumo, que son un instante en la vida de nuestro planeta– poco
se sabe acerca del temblor de diseño.
La intensidad probable del temblor de diseño depende también del
período de retorno que se considere, relacionado con la vida útil de la
construcción; aquí se origina otra fuente de incertidumbre, pues los edificios no se demuelen cuando termina su vida útil de diseño sino que se
conservan hasta que dejan de ser convenientes económicamente.
La ingeniería estructural en zonas sísmicas se enfrenta con un problema que, aparentemente, no tiene solución: seleccionar sistemas es-
29
tructurales y dimensionar los elementos que los componen, para que
resistan solicitaciones desconocidas, por medio de mecanismos de respuesta que tampoco se comprenden por completo.
La amplitud y el contenido de las frecuencias de las ondas que produce un sismo en un sitio dado dependen de las características de la
ruptura de la zona de falla, de la magnitud del sismo, de la distancia
entre ese sitio y la zona donde se generó, de las propiedades mecánicas
del medio que atraviesan para llegar al sitio, y de las características del
suelo en éste. Puede haber amplificaciones y atenuaciones de ondas de
determinadas frecuencias cuando pasan por estratos de suelos con ciertas propiedades, con lo que aumenta o disminuye la amplitud de los
movimientos, y su frecuencia varía.
Como las ondas que originan el movimiento del suelo en que se desplanta una construcción provienen de la zona de ruptura de una falla, llegan al edificio con una dirección determinada, pero las características de
esas ondas, su interacción y los efectos locales, geológicos y topográficos,
hacen que el movimiento real del suelo resulte aleatorio, predominantemente horizontal, con algún énfasis direccional, y con un componente
vertical, en las zonas cercanas al epicentro, que puede ser importante.
En lo que se refiere a un edificio determinado, los efectos de un temblor
se ven afectados por las características de las construcciones vecinas, su
geometría, masa y tipo de cimentación.
Por su parte, el estudio de los mecanismos que originan los terremotos, y de cómo se trasmiten sus efectos al terreno que rodea a la zona
de ruptura, no les corresponde a los ingenieros estructurales, sino a los
geofísicos, geólogos y sismólogos. En diversas instituciones de investigación, profesionales y oficiales, existen organismos que realizan los
estudios de sismología, sismicidad y riesgo sísmico, necesarios para determinar las acciones de diseño que se mencionan anteriormente; estos
estudios se ponen en conocimiento de los ingenieros que proyectarán
las estructuras por medio de un reglamento de construcciones, de carácter legal y obligatorio. Toda la información obtenida mediante estudios
laboriosos y complicados, realizados a lo largo de años de mediciones de
temblores reales, de interpretación de la información obtenida y de desarrollo y aplicación de complejos y elegantes modelos matemáticos, se
reduce a dos datos principales, en los que se basa el diseño estructural:
el coeficiente sísmico y el espectro de diseño.
30
El coeficiente sísmico, Cs, es un índice de la acción de diseño; es la
base de los espectros de diseño y se usa directamente para evaluar, con
métodos estáticos, las acciones horizontales que habrán de ser resistidas
por la estructura.
1.4 Amenaza sísmica
Por amenaza sísmica de una zona se entiende cualquier descripción
de los efectos provocados por los terremotos en el suelo de dicha zona
(Udías y Mezcua, 1986; Bertero, 1992). Estos efectos pueden ser representados mediante la aceleración, la velocidad o el desplazamiento
sísmico del terreno. Para evaluar la amenaza es necesario analizar los fenómenos que ocurren desde la emisión de las ondas sísmicas en el foco,
hasta que dichas ondas alcancen la zona en estudio.
Figura 1.1 Propagación de la energía sísmica desde el hipocentro
o foco hasta la estructura*
*Todas las figuras, imágenes y tablas fueron elaboradas por el autor;
con excepción de la Figura 1.8
En la Figura 1.1 se observa el mecanismo de propagación de la
energía de un sismo desde el epicentro hasta la base de una estructura.
Cuando se produce un terremoto con determinadas características (pro-
31
fundidad del foco, mecanismo focal, magnitud, etc.), parte de la energía
disipada se convierte en ondas sísmicas. Al propagarse por el suelo, dichas ondas se reflejan, refractan, atenúan o amplifican y llegan en forma
de excitación sísmica, X1, al basamento rocoso que se encuentra debajo
del edificio. Las ondas sufren un nuevo filtrado a través de la función de
transferencia, A, correspondiente a las capas de suelo que se encuentran
entre el basamento y la superficie, por lo que se obtiene la señal X2. Debido al fenómeno de interacción suelo-estructura, descrito por una función de transferencia I, la señal tendrá nuevos cambios hasta obtenerse
la señal X3, que será la excitación en la base del edificio.
El objetivo del estudio de amenaza sísmica es evaluar el movimiento del terreno en un lugar determinado como consecuencia de un terremoto probable o, como mínimo, proporcionar una estimación de la
severidad del mismo (Canas, Pujades y Banda, 1994). Los estudios de
amenaza sísmica a escala regional evalúan el parámetro X1, mientras que
los estudios de microzonificación tienen como objetivo la determinación
de la función de transferencia A, y por ende, la señal X2.
La amenaza sísmica de una región está asociada con una probabilidad de excedencia de un parámetro descriptivo del sismo. La NSR-10
seleccionó los siguientes parámetros: la aceleración pico efectiva, Aa, y
la velocidad pico efectiva, Av, calculadas a nivel del basamento rocoso.
Se definen para un nivel de amenaza tal que hay una probabilidad del
10% de que sea excedida en un lapso de cincuenta años, para lo cual el
período de retorno del sismo de diseño resulta ser de 465 años. Esta definición es tomada del Código ATC-3, documento que sirvió de modelo
para la elaboración de la NSR-10.
Para determinar el nivel de amenaza sísmica la edificación debe localizarse en una de las tres zonas de amenaza sísmica en las cuales se ha
dividido el territorio colombiano (NSR-10, Sec. A.2.3):
es el conjunto de lugares en donde tanto
Aa como Av son inferiores o iguales a 0.10.
es el conjunto de lugares en donde
Aa o Av, o ambos, son mayores que 0.10 y ninguno de los dos excede
de 0.20.
es el conjunto de lugares en donde Aa o
Av, o ambos, son mayores que 0.20.
32
Figura 1.2 Mapa de amenaza sísmica en Colombia
Para definir los coeficientes sísmicos, Aa y Av, debe consultarse la
Tabla A.2.3-2 de la NSR-10 para todas las capitales de departamento,
y su apéndice A-4 para todos los municipios del país. En la Tabla 1.1 se
indican los valores de Aa y Av esperados en las principales ciudades de
Colombia.
33
Tabla 1.1 Valores de Aa y Av para algunas ciudades capitales de departamento,
para otras ciudades véase el apéndice A-4 de la NSR-10
Ciudad
Aa
Av
Zona de amenaza sísmica
Armenia
0.25
0.25
Alta
Barranquilla
0.10
0.10
Baja
Bogotá D. C.
0.15
0.20
Intermedia
Bucaramanga
0.25
0.25
Alta
Cali
0.25
0.25
Alta
Cartagena
0.10
0.10
Baja
Cúcuta
0.35
0.30
Alta
Ibagué
0.20
0.20
Intermedia
Manizales
0.25
0.25
Alta
Medellín
0.15
0.20
Intermedia
Montería
0.10
0.15
Intermedia
Pasto
0.25
0.25
Alta
Pereira
0.25
0.25
Alta
Popayán
0.25
0.20
Alta
Santa Marta
0.15
0.10
Intermedia
San Andrés, Isla
0.10
0.10
Baja
1.4.1 Espectro de respuesta sísmica
Para poder estimar la respuesta sísmica de una estructura, el ingeniero
civil especialista en estructuras se vale de un modelo matemático en el
cual las propiedades mecánicas y dinámicas sean las mismas que posee
la estructura. Uno de los modelos más simples y más empleados para
estimar la respuesta sísmica de edificios es el sistema de un grado de libertad. Este modelo se caracteriza por ser un sistema dinámico en el que
se concentra la masa participante a una altura equivalente (sólo existe
una masa) (Figura 1.3a).
34
Con fines de ingeniería estructural, el sistema de un grado de libertad está representado como una estructura de un solo piso, en la cual las
columnas no tienen masa, pues ésta se incluye en la masa total, y están
empotradas en su base. Toda su masa se encuentra localizada en la parte
superior del modelo, el cual se considera rígido.
Si a esta estructura se le aplica una fuerza lateral P, que produce
un desplazamiento lateral uo y luego se retira en forma repentina, esta
estructura oscilaría de un lado para otro, con la misma amplitud, en un
movimiento que se conoce de vibración libre no amortiguada. Esto no es
real, ya que, intuitivamente se espera que la amplitud de las oscilaciones
disminuya poco a poco hasta detenerse por completo. Con el objeto de
introducir este fenómeno al sistema de un grado de libertad se le agrega
un elemento que disipa energía. Normalmente el tipo de elemento que
se considera es un amortiguador de tipo viscoso.
Así, entonces, los elementos que forman el sistema de un grado de
libertad son los siguientes: una masa M, una estructura de un piso con
rigidez lateral K y un amortiguador de tipo viscoso con un coeficiente de
amortiguamiento C (Figura 1.3b).
Se dice que el sistema de un grado de libertad es lineal cuando la
rigidez permanece constante, o sea que el desplazamiento lateral siempre es proporcional a la fuerza lateral. Cuando se aplica la fuerza P
se produce un movimiento de la masa, esto genera la aparición de las
siguientes fuerzas: la fuerza externa P(t), la fuerza elástica resistente Fe
que es la fuerza que las columnas ejercen sobre la masa cuando ésta se
mueve; la fuerza de amortiguamiento Fa que es la fuerza que el amortiguador ejerce sobre la masa, y la fuerza de inercia, Fi. En todo instante
debe existir equilibrio dinámico entre estas fuerzas (Figura 1.3c).
Figura 1.3 Sistema de un grado de libertad con amortiguamiento
35
De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza de inercia es
directamente proporcional a la masa, Fi = M * ü(t), donde M es la masa
del sistema y ü(t) es la aceleración total. La fuerza de amortiguamiento
está dada por Fa = C * (t), en donde C es el coeficiente de amortiguamiento y (t) es la velocidad relativa de la masa con respecto al suelo.
Para un sistema lineal, la fuerza elástica está dada por Fe = K * u(t),
K es la rigidez lateral del sistema y u(t) es el desplazamiento relativo de
la masa respecto al suelo.
Fi + Fa + Fe = P(t)
M * ü(t) + C * (t) + K * u(t), = P(t)
En el caso de una excitación sísmica no existe fuerza externa,
P(t) = 0, la solicitación del sistema obedece al movimiento del terreno
sobre el cual se apoya la estructura. Como resultado de esta excitación
la base de la estructura tiene un desplazamiento igual al del suelo, ug(t),
y a su vez la estructura se deforma, u(t), así que el desplazamiento total
de la masa es igual a u(t) = u g(t) + u(t), reemplazando:
M * { üg(t) + ü (t) } + C * (t) + K * u(t), = 0
M * ü(t) + C * (t) + K * u(t), = – M * üg(t)
(1.1)
Esta es la ecuación dinámica del movimiento que gobierna la respuesta de un sistema de un grado de libertad amortiguado, sujeto al
movimiento del terreno. La solución de esta ecuación se conoce como
la respuesta de la estructura y está fuera del alcance de este texto; Juan
Carlos Botero (2011) presenta una discusión amplia sobre los métodos
de solución.
Para fines de diseño sismo resistente interesa conocer la respuesta
máxima de la estructura. Por ejemplo, nos interesa conocer el desplazamiento lateral máximo, el cortante basal máximo, la aceleración máxima,
etc.
Una de las herramientas más útiles para evaluar la severidad de la
respuesta máxima de una estructura a un sismo dado es el espectro de
respuesta. Un espectro de respuesta es la representación gráfica de la
36
respuesta máxima de la estructura, medida en valor absoluto, modelada
como un sistema de un grado de libertad, en función del período natural
de vibración del sistema (T). Esto es, el espectro de respuesta nos da
información de la respuesta máxima para toda una familia de sistemas de
un grado de libertad, sometido a un solo sismo.
La forma en la que se calcula un espectro de respuesta se ilustra en
la Figura 1.4, para el caso de un espectro de desplazamientos. En este
caso, para cada período, se calcula la historia de desplazamientos y sólo
se selecciona la máxima respuesta absoluta, que es la que se grafica para
el período natural de vibración correspondiente. Obsérvese que los puntos máximos no ocurren al mismo tiempo.
En la Figura 1.4 se muestra el espectro de desplazamientos para el
acelerograma medido en el temblor de El Centro, California, el 18 de
mayo de 1940. En el primer ejemplo, se tiene un sistema de un grado
de libertad con un período natural de vibración igual a 0.5 segundos y
con un 2% del amortiguamiento crítico ([ = 0.02). Se calcula toda la
historia de desplazamientos y se selecciona el máximo, que en este caso
es 2.48 pulgadas (6.3 cm).
Con la abscisa T = 0.5 segundos y Sd = 2.48 pulgadas se forman las
coordenadas de un punto en el espectro de respuesta. En el segundo
ejemplo se tiene un sistema de un grado de libertad con un período
natural de vibración igual a 1.0 segundos; se calcula toda su historia de
desplazamientos cuando al sistema se le somete el mismo acelerograma
y se obtiene su respuesta máxima de 6.61 pulgadas (16.8 cm). Si este
proceso se repite para toda una familia de sistemas de un grado de libertad con diferentes períodos de vibración y con el mismo amortiguamiento, se obtiene el espectro de respuesta.
Una vez calculado el espectro de respuesta de desplazamiento puede saberse de manera inmediata el desplazamiento aproximado que tendría una estructura al ser sometida a dicho movimiento de terreno.
Este espectro de respuesta permite también evaluar la magnitud
del desplazamiento máximo de una estructura en cierto período, en
comparación con el desplazamiento máximo de otra estructura sometida
al mismo movimiento de terreno. Por ejemplo, si se tiene una estructura
con un período de vibración de 1.0 segundos y otra con un período de
1.5 segundos, con el espectro de respuesta de la Figura 1.4 vemos que
37
si ambas estructuras se sometieran al mismo movimiento de terreno, la
estructura con período de 1.0 segundos estaría sometida a un desplazamiento mayor que el de la otra estructura, a pesar de que ambas tengan
el mismo movimiento en su base.
Figura 1.4 Espectro de respuesta de desplazamiento
Así como se puede calcular la historia de los desplazamientos, se
puede calcular la historia de las aceleraciones. De modo que para cada
sistema de un grado de libertad se puede calcular la historia de las aceleraciones y de ahí seleccionar la aceleración máxima para poder graficar
el espectro de aceleraciones.
38
Figura 1.5 Espectro de aceleraciones, sismo de El Centro, California,
mayo 18 de 1940
La Figura 1.5 muestra el cálculo de tres puntos del espectro de repuesta de aceleraciones. Por ejemplo, para el caso de un sistema de un
grado de libertad con un período natural de vibración de 0.3 segundos,
o sea una estructura que tarda 0.3 segundos en completar un ciclo de
vibración, y con un amortiguamiento del 5%, cuando es sometido a la
39
historia de aceleraciones del temblor de El Centro, California, tiene una
aceleración máxima de 0.75 veces la aceleración de la gravedad. Así, la
pareja de coordenadas constituída por la abscisa T = 0.3 segundos y la
ordenada 0.75 g son un punto en el espectro de respuesta de aceleraciones. Si se repite el mismo proceso para sistemas de un grado de libertad
con períodos naturales de vibración de 0.5 y 1.0 segundos se obtienen
aceleraciones máximas de 1.02 g y 0.48 g, respectivamente. Si esto se repite para toda una familia de sistemas dinámicos de un grado de libertad
con períodos entre 0 y 2 segundos, se obtiene el espectro de aceleraciones mostrado en la parte inferior de la Figura 1.5.
Es importante aclarar que la aceleración espectral representa la aceleración en la estructura, la cual puede ser mayor o menor a la máxima
aceleración del terreno. En un espectro de respuesta de aceleraciones, la
máxima aceleración del terreno está representada como la ordenada del
espectro para un período igual a 0 (Figura 1.6). Dicho período corresponde a un sistema infinitamente rígido, de modo que el movimiento que
se tiene en la parte superior de la estructura es exactamente igual al del
terreno.
Figura 1.6 Espectro de respuesta de aceleraciones
40
Por ejemplo, para el espectro de aceleraciones mostrado en la Figura
1.6, la aceleración máxima de terreno es igual al 20% de la aceleración
de la gravedad. Así mismo, puede verse que estructuras con períodos de
vibración menores a 1.45 segundos son sometidas a aceleraciones mayores a las del terreno, o sea, sufren una amplificación de aceleraciones,
mientras que estructuras con períodos de vibración mayores a 1.45 segundos tienen aceleraciones máximas en la estructura que son menores
a la máxima aceleración del terreno.
El tipo de terreno en que se haya obtenido el acelerograma es muy
importante, pues las características dinámicas de la excitación varían en
función de éste. En suelos firmes las vibraciones son rápidas y la velocidad de onda de cortante es alta, mientras que en suelos blandos las
oscilaciones son de menor frecuencia, esto es, su período es relativamente más largo. Esto modifica la forma de los espectros de respuesta. Se
conoce como amortiguamiento crítico el que tiene una estructura que, al
separarla de su posición y soltarla, no oscila sino que regresa a la posición
de equilibrio; las estructuras de hormigón suelen tener amortiguamiento
del orden de 3% a 10% del crítico, y es el 5% el valor más empleado.
1.4.2 Espectro elástico de diseño
El espectro de diseño es la herramienta que permite diseñar las construcciones teniendo en cuenta las condiciones sismo-tectónicas regionales y las condiciones locales de la respuesta del subsuelo de fundación.
Para efectos de diseño se requieren los espectros de respuesta a nivel de la cimentación y no a nivel del basamento rocoso. Para poder adelantar estudios de esta naturaleza se necesita determinar la aceleración
local máxima probable en terreno firme y las formaciones dominantes
en un área determinada a partir de una microzonificación. Conocidas las
propiedades mecánicas del suelo dominante se propagan los acelerogramas de diseño de la roca hasta la superficie o cota de cimentación. Este
tipo de estudios están por fuera del alcance del presente texto.
Los espectros de los temblores, como el de la Figura 1.6, tienen
forma irregular y presentan variaciones bruscas en la respuesta máxima
en función del período natural. Por tanto, es posible que dos estructuras
que tengan casi las mismas características dinámicas respondan de manera bastante diferente a un sismo dado.
41
En la práctica, este hecho tiene menos importancia de lo que parece a primera vista, gracias a la influencia del amortiguamiento que hace
menos bruscas las variaciones de los espectros, a que no se conoce con
certeza el período natural por las incertidumbres que existen en el cálculo de masas y rigideces, y a que las incursiones de la estructura en
el rango inelástico, así como la interacción suelo-estructura, modifícan
el período natural de vibración.
Por lo expuesto, para fines de diseño, los reglamentos de construcción prescriben espectros suavizados en los que se ensanchan los picos y
se suprimen los valles (Figura 1.7).
Figura 1.7 Espectro elástico promedio de aceleraciones
El mejor modo de describir el sismo de diseño en forma cuantitativa
para niveles de servicio, es la respuesta espectral promedio o suavizada.
Se obtiene a partir de un estudio estadístico de los espectros de respuesta lineales para sismos de magnitudes similares, obtenidos en condiciones parecidas de suelos y distancias epicentrales.
Seed e Idriss (1982) estudiaron ampliamente las formas de los espectros de respuesta y presentaron las envolventes correspondientes a
las diferentes posibilidades de localización de los acelerógrafos que re-
42
gistraron las señales. Los resultados de estos investigadores han servido
de base para una buena parte de los códigos de construcciones sismo
resistentes de la actualidad. Los investigadores conciben el espectro de
diseño como la envolvente de los valores máximos a partir de ciertas
dispersiones de los datos. Por tanto, el resultado corresponde a líneas
curvas suavizadas y no a los característicos dientes de sierra del espectro
de respuesta.
El procedimiento propuesto por los autores consiste en determinar
una aceleración máxima del terreno y obtener el espectro de diseño empleando directamente los espectros normalizados de la Figura 1.8. Estas
son funciones de las características de suelos locales y corresponden a
un amortiguamiento del 5%. Este procedimiento simple se desarrolló a
partir de un estudio estadístico de ciento cuatro registros que incluían
las tres condiciones de suelos indicadas en la Figura 1.8.
Figura 1.8 Espectro de diseño suavizado
Fuente: adaptado de B. Seed e I. Idriss (1982). ! . Berkeley: Engineering Monographs on Earthquake Criteria, Structural Design
and Strong Motions Record, EERI.
Desde el punto de vista económico, resulta casi imposible diseñar
todas las estructuras para que se comporten elásticamente durante terre-
43
motos fuertes, sin daños estructurales ni deformaciones permanentes. Es
necesario considerar la posibilidad de disipar energía al incursionar la estructura en el rango inelástico; en este caso las deformaciones inelásticas
deben mantenerse dentro de límites que permitan a la estructura deformarse según su capacidad, considerando el daño no estructural asociado.
Aparece, entonces, la necesidad de derivar un espectro inelástico
suavizado. Derivarlo a partir del espectro elástico no es correcto porque
el tipo de solicitación que produce el máximo elástico es diferente al
que produce el máximo inelástico. La información utilizada para obtener el espectro inelástico a partir del elástico no es suficiente y debe
complementarse con datos como la duración del movimiento fuerte y el
número y secuencia de los pulsos. La NSR-10 propone para Colombia el
espectro de diseño elástico mostrado en la Figura 1.9, el cual es calculado a nivel de fundación. En él:
Aa, Av = coeficientes que representan la aceleración y velocidad horizontal pico efectiva, para diseño, al nivel de roca.
I = coeficiente que mide la importancia de la edificación para la comunidad, entre más importante es la edificación mayor es la resistencia
que debe tener.
Fa = coeficiente de amplificación que afecta la aceleración en la
zona de períodos cortos, debido a los efectos de sitio, adimensional.
Fv = coeficiente de amplificación que afecta la aceleración en la zona
de períodos intermedios, debido a los efectos de sitio, adimensional.
T = período de vibración, en segundos, del sistema elástico.
Tc
= período de vibración, en segundos, correspondiente a la
transición entre la zona de aceleración constante y la parte descendente
del mismo.
Tl = período de transición, en segundos, correspondiente al inicio
de la zona de desplazamiento aproximadamente constante del espectro
de diseño para períodos largos.
Sa = valor del espectro de aceleraciones de diseño para un período
de vibración dado. Máxima aceleración horizontal de diseño expresada
como porcentaje de la gravedad, para un sistema de un grado de libertad
con un período de vibración T.
44
Figura 1.9 Espectro elástico de diseño para Colombia, NSR-10, Sec. A.2.6
1.4.3 Espectro inelástico de diseño
Las recomendaciones del ATC-3 (Applied Technology Council) adoptan el método de modificar un espectro de respuesta lineal elástico para
obtener un espectro de respuesta no lineal. La manera más simple de
hacerlo es reducir las fuerzas de diseño obtenidas a partir del espectro
elástico de diseño, por un factor constante, que no depende del período.
Existen otros métodos para obtener espectros de respuestas inelásticos a partir de los elásticos. Después de evaluar la respuesta de sistemas elastoplásticos de un grado de libertad, se han propuesto factores
de modificación que dependen del período y de la ductilidad. Dado que
el número de registros es limitado, se debe ser cauteloso al aplicarlos a
estructuras con ciclos histeréticos y amortiguamiento muy diferentes, o
ante movimientos de suelos diferentes.
A partir de estudios analíticos, Newmark y Hall (1982) concluyeron
que para estructuras de período corto, cualquier reducción de la fuerza
elástica requerida significaría un requerimiento de ductilidad excesivo.
Para estructuras de período intermedio, la energía obtenida por el
sistema elástico en su desplazamiento máximo es aproximadamente
igual a la obtenida por un sistema elástico resultante al aplicar un factor
de modificación a la resistencia de: 1 / 2ȝ 1 =1/R.
45
Figura 1.10 Procedimientos simplificados para obtener espectros
inelásticos de diseño
Para períodos largos, los desplazamientos máximos lineales y los no
lineales son parecidos y el factor de modificación es 1/μ = 1/R.
Las normas colombianas siguen los lineamientos del ATC-3 y proponen el siguiente espectro de diseño inelástico, calculado a nivel de
fundación:
Figura 1.11 Espectro de diseño inelástico para Colombia, NSR-10, Sec. A.2.6
46
R: es un coeficiente de modificación de respuesta, obtenido en forma empírica, en el que se intenta considerar el amortiguamiento y la
capacidad de la estructura para desarrollar deformaciones inelásticas. Su
discusión se realizará en las secciones que tratan los temas: “Configuración estructural de la edificación y coeficiente de capacidad de disipación de energía para ser empleado en el diseño, R” y “Coeficiente de
capacidad de disipación de energía básico, Ro”, del presente texto.
Ductilidad, μ: se define como la capacidad que tiene la estructura
de incursionar en el rango inelástico. Para su cuantificación se analiza el
comportamiento del pórtico de la Figura 1.12 al someterse a cargas horizontales, gradualmente crecientes; en ella se distinguen tres etapas en el
comportamiento de la estructura:
Figura 1.12 Comportamiento de una estructura aporticada
ante cargas monotónicas
Etapa (a): para niveles bajos de carga la estructura tiene un comportamiento elástico y el desplazamiento horizontal, d, es proporcional a la
carga horizontal.
Etapa (b): al incrementarse la carga se incrementa el desplazamiento. Para cierto valor de la carga una sección cualquiera agota su capacidad de resistencia y se plastifica, de allí en adelante esta sección girará
libremente sin absorber más carga. En este instante se calcula el desplazamiento en la parte superior, Gy , y el giro en la sección que se ha
plastificado, Øy .
Etapa (c): al incrementarse nuevamente la carga, la estructura no
colapsa y las otras secciones empiezan a plastificarse hasta que se forma
el mecanismo de colapso de la estructura, en este instante se calcula el
desplazamiento en la parte superior de la estructura, Gu , y el giro final en
la sección que primero se plastificó, Øu.
47
Se conoce como ductilidad global por desplazamiento a la relación:
P global
Gu
Gy
(1.2)
Y como ductilidad local a la relación:
P local
Iu
Iy
(1.3)
" #$%&'()*+$ ,-,.,/0
Este coeficiente mide la importancia de la edificación para la comunidad, y de los niveles de seguridad y funcionabilidad requeridos. Es una
clara indicación del reconocimiento de que en el caso de un desastre
mayor, la destrucción de algunos edificios causa más perjuicios que la de
otros. La NSR-10 adopta para Colombia la misma clasificación dada por
el International Building Code (IBC), el cual cataloga las estructuras en
los siguientes cuatro grupos.
Grupo IV: edificaciones indispensables. Comprende aquellas edificaciones de atención a la comunidad que deben funcionar durante y después de un sismo, y cuya operación no puede ser trasladada rápidamente
a un lugar alterno. Pertenecen a este grupo:
Todas las edificaciones que componen hospitales, clínicas y centros
de salud que dispongan de servicios de cirugía, salas de cuidados
intensivos, salas de neonatos y atención de urgencias.
Imagen 1.1 En el sismo de El Salvador, en 1986, muchos hospitales
quedaron fuera de servicio
48
Todas las edificaciones que componen aeropuertos, estaciones ferroviarias y de sistemas masivos de transporte, centrales telefónicas,
de telecomunicación y radiodifusión.
Edificaciones designadas como refugios para emergencias, centrales de aeronavegación. Hangares de aeronaves de servicios de
emergencia.
Edificaciones de centrales de operación y control de líneas vitales
de energía eléctrica, agua, combustibles, información y transporte
de personas y productos.
Edificaciones que contengan agentes explosivos, tóxicos y dañinos
para el público.
En este grupo deben incluirse las estructuras que alberguen plantas
de generación eléctrica de emergencia, los tanques y estructuras que
formen parte de sus sistemas contra incendios, y los accesos peatonales
y vehiculares de las edificaciones tipificadas en los literales a, b, c, d, y e
del presente numeral.
Grupo III: edificaciones de atención a la comunidad. Este grupo
comprende aquellas edificaciones y sus accesos, que son indispensables
después de un temblor para atender la emergencia y preservar la salud
y la seguridad de las personas, exceptuando las incluidas en el Grupo IV.
Este grupo debe incluir:
Estaciones de bomberos, defensa civil, policía, cuarteles de las fuerzas armadas y sedes de las oficinas de prevención y atención de
desastres.
Imagen 1.2 En el sismo de Armenia, Colombia, en 1999,
las instalaciones de los bomberos colapsaron
49
Garajes de vehículos de emergencia.
Estructuras y equipos de centros de atención de emergencias.
Guarderías, escuelas, colegios, universidades y otros centros de enseñanza.
Aquellas del Grupo II para las que el propietario desee contar con
seguridad adicional.
Aquellas otras que la administración municipal, distrital, departamental o nacional designe como tales.
Grupo II: estructuras de ocupación especial. Pertenecen a este grupo:
Edificaciones en donde se puedan reunir más de doscientas personas en un mismo salón.
Graderías al aire libre donde pueda haber más de dos mil personas a
la vez.
Almacenes y centros comerciales con más de 500 m2 por piso.
Edificaciones de hospitales, clínicas y centros de salud, no cubiertas
en el Grupo IV.
Edificaciones en donde trabajen y residan más de tres mil personas.
Edificios gubernamentales.
Grupo I: estructuras de ocupación normal. Todas las edificaciones
cubiertas por el alcance de la NSR-10, pero que no están incluidas en los
grupos IV, III y II.
Tabla 1.2 Valores del coeficiente de importancia, I
Grupo de uso
Coeficiente de
importancia, I
IV
1.50
III
1.25
II
1.10
I
1.00
" $1a21v&'()*+$ ,-,.,30
El cálculo de la amplificación debida a condiciones locales está basada en la clasificación de sitios y factores de amplificación propuesto en
50
1997 por NEHRP (National EarthquakeHazards Reduction Program) y
adoptada por el International Building Code (IBC).
La onda de corte viaja a través de los diferentes tipos de suelos a
diferentes velocidades, su velocidad es mayor cuando viaja a través de
roca y suelos duros, y disminuye cuando lo hace a través de suelos blandos, por esta razón la velocidad de la onda de corte se utiliza como una
medida del tipo de suelo.
La NEHRP define un esquema estandarizado para la clasificación de
la geología local y especifica factores de amplificación para la mayoría de
las clases de sitios.
La NEHRP y la NSR-10 especifican seis tipos de perfiles de suelos,
identificados con las letras A, B, C, D, E y F, para cada uno de ellos definen los coeficientes de sitio. El perfil del suelo debe ser determinado
por un ingeniero geotecnista a partir de datos geotécnicos debidamente
sustentados.
Se prescriben dos factores de amplificación del espectro por efectos
de sitio, Fa y Fv, los cuales afectan la zona del espectro de períodos cortos
y períodos intermedios respectivamente. Los efectos locales de la respuesta sísmica de la edificación deben evaluarse con base en los perfiles
de suelos, independientemente del tipo de cimentación.
Los parámetros utilizados en la selección del perfil del suelo corresponden a los 30 m superiores del perfil, de acuerdo a ensayos de muestras tomadas cada 1.50 m de espesor del suelo, para los perfiles tipo A a
E. Para el perfil tipo F se aplican otros criterios y la respuesta no debe
limitarse a los últimos 30 m superiores del perfil.
Vs = velocidad media de la onda de corte en m/s.
N = número medio de golpes de ensayos de penetración estándar
en golpes/pie a lo largo de todo el perfil.
Nch = para los estratos de suelos no cohesivos representa el número
medio de golpes del ensayo de penetración estándar.
Su = para los estratos cohesivos representa la resistencia media al
corte obtenida del ensayo para determinar su resistencia no drenada en
kPa.
IP = índice de plasticidad.
W = contenido de agua en porcentaje.
51
Tabla 1.3 Clasificación de los perfiles del suelo
Tipo de
perfil
Descripción
Definición
A
Perfil de roca competente
Vs t 1500 m/s
B
Perfil de roca de rigidez media
C
D
1500 m/s > Vs t 760 m/s
Perfiles de suelos muy densos o roca
blanda, que cumplan con el criterio de 760 m/s > Vs t 360 m/s
la velocidad de la onda de cortante
Perfiles de suelos muy densos o roca
blanda, que cumplan con cualquiera de
los dos criterios
N t 50 o
Su t 100 kPa
Perfiles de suelos rígidos, que cumplan
con el criterio de la velocidad de la onda 360 m/s > Vs t 180 m/s
de cortante
Perfiles de suelos rígidos, que cumplan
50 > N t 15 o
con cualquiera de los dos condiciones 100 kPa > Su t 50 kPa
E
F
52
Perfiles que cumplan con el criterio de
la velocidad de la onda de cortante
180 m/s > Vs
Perfil que contiene un espesor total H
mayor de 3 m de arenas blandas
IP > 20
W t 40%
50 kPa > Su
Los perfiles de suelo tipo F requieren una evaluación realizada
explícitamente en el sitio por un ingeniero geotecnista de acuerdo
con el procedimiento de la NSR-10, Sec. A.2.10. Se contemplan
las siguientes subclases:
F1 – Suelos susceptibles a la falla o colapso causado por la excitación
sísmica, tales como suelos licuables, arcillas sensitivas, suelos
dispersivos o débilmente cementados, etc.
F2 – Turba y arcillas orgánicas y muy orgánicas (H > 3 m para turba
o arcillas orgánicas y muy orgánicas)
F3 – Arcillas de muy alta plasticidad (H > 7.5 m con índice de
plasticidad IP >75)
F4 – Perfiles de gran espesor de arcillas de rigidez mediana a blanda
(H > 36 m)
Tabla 1.4 Criterios para clasificar suelos dentro de los perfiles
de suelo tipo C, D o E
Tipo de
perfil
Vs
N o Nch
Su
C
Entre 360 y 760 m/s
Mayor de 50
Mayor de 100 kPa
D
Entre 180 y 360 m/s
Entre 15 y 50
Entre 100 y 50 kPa
E
Menor de 180 m/s
Menor de 15
Menor de 50 kPa
Nota 1: para valores intermedios de Aa se permite interpolar linealmente entre valores del
mismo tipo de perfil
Nota 2: 1 kPa = 0.01 kgf/cm2
Tabla 1.5 Valores del coeficiente Fa, para zonas de períodos cortos del espectro
Tipo de
perfil
Intensidad de los movimientos sísmicos
Aa d 0.1
Aa = 0.2
Aa = 0.3
Aa = 0.4
Aa t 0.5
A
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
B
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
C
1.2
1.2
1.1
1.0
1.0
D
1.6
1.4
1.2
1.1
1.0
E
2.5
1.7
1.2
0.9
0.9
F
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Nota 1: para valores intermedios de Aa se permite interpolar linealmente entre valores del
mismo tipo de perfil
Nota 2: 1 kPa = 0.01 kgf/cm2
53
Tabla 1.6 Valores del coeficiente Fv , para zonas de períodos intermedio
del espectro
Tipo de perfil
Intensidad de los movimientos sísmicos
Aa d 0.1
Aa = 0.2
Aa = 0.3
Aa = 0.4
Aa t0.5
A
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
B
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
C
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
D
2.4
2.0
1.8
1.6
1.5
E
3.5
3.2
2.8
2.4
2.4
F
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Nota: para el perfil tipo F debe realizarse una investigación geotécnica particular para el lugar
específico y debe llevarse a cabo un análisis de amplificación de onda de acuerdo a lo especificado en la NSR-10, Sec. A.2.10.
4 $5&'()*+$ ,-,3,.0
El valor del período fundamental de la edificación debe obtenerse a
partir de las propiedades de su sistema de resistencia sísmica, en la dirección en consideración, de acuerdo con los principios de la dinámica
estructural, utilizando un modelo matemático linealmente elástico de la
estructura.
El anterior requisito puede obviarse por medio del uso de la siguiente expresión:
(1.4)
Los valores de fi representan las fuerzas horizontales calculadas por
el método de la Fuerza Horizontal Equivalente. Los desplazamientos
horizontales Gi se deben calcular para las fuerzas fi. El valor de Tr no debe
exceder de Cu * Ta, donde Cu se calcula por medio de la expresión (1.5)
y Tu se calcula mediante la expresión (1.6)
54
(1.5)
Cu = 1.75 – 1.2 Au Fu &'<?
Alternativamente, el valor del período fundamental de la edificacion, T, puede ser igual al período fundamental aproximado, Ta, que se
obtiene por medio de la expresion 1.6:
(1.6)
Ta = Ct * hnĮ
Donde Ct y D tienen los valores dados en la Tabla 1.7.
Tabla 1.7 Valores del coeficiente Ct, y D para el cálculo
del período aproximado Ta
Sistemas estructurales de resistencia
sísmica
Ct
Pórticos resistentes a momentos de hormigón reforzado que resisten la totalidad de las fuerzas sísmicas
y que no están limitados o adheridos a componentes
más rígidos estructurales o no estructurales, que
limiten los desplazamientos horizontales al verse
sometidos a las fuerzas sísmicas
0.047
0.90
Pórticos resistentes a momentos de acero estructural que resisten la totalidad de las fuerzas sísmicas
y que no están limitados o adheridos a componentes
más rígidos estructurales o no estructurales, que
limiten los desplazamientos horizontales al verse
sometidos a las fuerzas sísmicas
0.072
0.80
Pórticos arriostrados de acero estructural con diagonales excéntricas restringidas a pandeo
0.073
0.75
Todos los otros sistemas estructurales basados en
muros de rigidez similar o mayor a la de muros de
hormigón o mampostería
0.049
0.75
Alternativamente, para estructuras que tengan
muros estructurales de hormigón reforzado o de
mampostería estructural, pueden emplearse los
siguientes parámetros Ct y , donde Cw se calcula
utilizando la expresión (1.7)
0.0062
C
1.00
w
55
(1.7)
En la cual:
AB = área de la edificación en la base.
Awi = área mínima de cortante de la sección de un muro estructural
i, medida en un plano horizontal, en el primer nivel de la estructura y, en
la dirección en estudio, en m2.
hn = altura en metros, medida desde la base, al piso más alto del
edificio.
hwi = altura del muro i, medida desde la base, en metros.
nw = número de muros de la edificación efectivos para resistir las
fuerzas sísmicas horizontales en la dirección bajo estudio.
lwi = longitud medida horizontalmente, en metros, de un muro estructural i en el primer nivel de la estructura y en la dirección en estudio.
Alternativamente, para edificios de doce pisos o menos, con altura
de piso hp, no mayores de 3 m cuyo sistema estructural de resistencia
sísmica está compuesta por pórticos resistentes a momento de hormigón
reforzado o acero estructural, el período de vibración aproximado, Ta, en
segundos puede determinarse mediante la siguiente expresión:
Ta = 0.1 * N
(1.8)
El valor del período obtenido,T, utilizando las ecuaciones anteriores,
es un estimativo inicial del período estructural para predecir las fuerzas
a aplicar sobre la estructura con el fin de dimensionar su estructura de
resistencia sísmica.
Una vez dimensionada la estructura debe calcularse el valor ajustado del período,T, mediante la aplicación del análisis modal o mediante
la expresión (1.4) para compararlo con el estimativo inicial; si el período
inicial de la estructura difiere en más del 10% del período estimado ini-
56
cial, debe repetirse el proceso de análisis, utilizando el último período
calculado como nuevo estimativo, hasta que se converja en un resultado
dentro de la tolerancia del 10% señalada.
" # #6 7 $(o
El coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, es uno
de los parámetros de mayor importancia en el cálculo de las cargas sísmicas inelásticas utilizadas en el proceso de diseño o evaluación estructural
de un edificio. El factor Ro se utiliza para reducir la intensidad de las
cargas elásticas usadas para diseño a niveles inelásticos.
Durante la respuesta inelástica a la acción de cargas dinámicas, las
estructuras disipan energía y hay tres factores esenciales en su comportamiento: la ductilidad (P), la sobre-resistencia (:) y la redundancia (U)
que afectan al coeficiente de capacidad de disipación de energía básico.
Se asocia con cada uno de estos parámetros un componente del factor Ro,
de tal forma que puede definirse de la siguiente forma:
Ro = RoP * Ro: * Roȡ
(1.9)
En esta sección se presenta un enfoque para determinar el factor
Ro, según conceptos simples de energía a partir de la curva de comportamiento carga-desplazamiento.
" # #6 7 (RoP)
Figura 1.13 Modificación de la respuesta debido a la ductilidad
El coeficiente de capacidad de disipación de
energía básico, Ro, debido
a la ductilidad traslacional (RoP) de una estructura se define como la
relación entre la fuerza
máxima elástica (Pue) que
puede resistir una estructura y la fuerza máxima
inelástica (Pu) que puede
resistir esa misma estruc-
57
tura si tuviese un comportamiento inelástico. Debido a que tradicionalmente se ha representado dicho comportamiento de manera bilineal,
suele decirse que Pu = Py.
RoP = Pue / Py
(1.10)
Una de las investigaciones de mayor trascendencia en torno al componente de la ductilidad del factor Ro proviene de Newmark y Hall
(1982). Allí se establece que este parámetro es sensitivo al período natural de la estructura.
Criterio de iguales desplazamientos (largos períodos de vibración)
De acuerdo con la curva de fuerza-desplazamiento descrita anteriormente, se puede generalizar que para aquellas estructuras con períodos naturales mayores de 1 segundo existe una relación simple y directa entre el
factor Ro y la ductilidad (P = Gu / Gy), de forma que se puede establecer
la siguiente relación:
Ro = μ
Esta relación fue presentada por Newmark y Hall (1982) para una
estructura con comportamiento perfectamente elasto-plástico. El fundamento básico se explica porque, para períodos largos, los desplazamientos máximos lineales, y los no lineales, son parecidos; el factor de
modificación se calcula de la siguiente manera:
Figura 1.14 Criterio de igualdad de desplazamientos
OEC = OAB + ABCD + AED
Ro = Pu / Py
P = Gu / Gy
58
(1.11)
Q [ \<'?]^]\<_`
El área bajo la curva de comportamiento elástico debe ser igual al área
bajo la curva de comportamiento elasto-plástico, es decir, que para estructuras de período intermedio, la energía obtenida por el sistema elástico en su desplazamiento máximo es aproximadamente igual a la obtenida por un sistema elástico:
Figura 1.15 Criterio de igualdad de energía
OEC = OAB + ABDF
K = Rigidez
K = Pue / Gue = Py / Gy
Ro = Pue / Py
(1.12)
59
Es importante observar que existen rangos de períodos que estas
ecuaciones no cubren. De acuerdo con Newmark y Hall (1982), para períodos estructurales muy bajos, menores de 0.03 segundos, debe tomarse
Ro = 1, y para valores intermedios entre 0.03 y 0.12 segundos o entre
0.50 y 1.00 segundos es válido hacer una interpolación lineal.
Estudios recientes han obtenido resultados para las curvas RoP–P –T
muy similares a los de Newmark y Hall; entre éstos se pueden mencionar:
Krawinkler y Nassar (1992) se basaron en el análisis estadístico de
quince movimientos sísmicos con magnitudes entre 5.7 y 7.7, actuando
en sistemas de un grado de libertad. La importancia de este trabajo fue
la correlación existente entre los sistemas de un grado de libertad y sistemas de múltiples grados de libertad.
Miranda y Bertero (1994) obtuvieron curvas RoP– P –T para diferentes condiciones de suelo: roca, suelo aluvial y suelo blando. Los resultados obtenidos son consistentes con los obtenidos por Krawinkler y
Nassar, y en todas las curvas las relaciones obtenidas tienen una particularidad: el valor máximo para RoP ocurre para un período cercano a T = 1
segundo.
Figura 1.16 Variación del factor RoP con la ductilidad y el período
Coeficiente de capacidad de disipación de energía básico debido a
la sobre resistencia (Ro:)
Generalmente, la respuesta lateral máxima de todo edificio suele ser
mayor que la resistencia de diseño. Tanto los métodos de diseño como
60
las especificaciones de los códigos y los requisitos para control de desplazamientos, entre otros, conducen a elementos estructurales de mayor
tamaño y refuerzo que los que resultan de un análisis debido estrictamente a cargas verticales y horizontales (sísmicas).
La herramienta para determinar la reserva de resistencia es el
análisis elástico no lineal (Pushover Analysis). Debe disponerse de un
programa computacional que permita detectar paso a paso las fallas estructurales de los elementos. Generalmente se toman como parámetros
de control las derivas de entrepiso y la rotación máxima de las rótulas
plásticas. Sin embargo, no necesariamente estos dos parámetros representan la totalidad del comportamiento debido a que hay otros tipos de
falla estructural que suelen pasar desapercibidas si el software utilizado
no las considera, como por ejemplo: las fallas por cortante, por anclajes
deficientes y longitudes de desarrollo inadecuadas del refuerzo.
El factor Ro: se calcula como el coeficiente entre el cortante basal
máximo alcanzado por la estructura, antes de llegar a cualquiera de los
estados límites, y el cortante basal de diseño.
Ro: = Vu / Vdiseño
(1.13)
Es importante tener en cuenta que a pesar de que se han realizado
diferentes estudios orientados a determinar valores razonables del factor
de sobre resistencia, los mismos no han arrojado una tendencia fiable de
valores característicos que se puedan asignar a los diferentes tipos de
sistemas estructurales, materiales y diferentes demandas de ductilidad
(Osteraas y Krawinkler, 1990; Uang y Maarouf, 1993; Hwang y Shinozuka, 1994).
El análisis no lineal para el diseño de estructuras sismo resistentes
resulta extremadamente importante y su inclusión como procedimiento
obligatorio en los códigos de construcción está muy cercana. Sin este
análisis es imposible obtener el factor de sobre resistencia, Ro:.
Coeficiente de capacidad de disipación de energía básico debido a
la redundancia (RoU)
El componente de modificación de respuesta a partir de la redundancia
resulta muy difícil de establecer y existen muy pocos estudios que ayuden a determinar la forma de cuantificarlo. Los estudios hechos al res-
61
pecto tienden a demostrar que la redundancia tiene mucha relación con
la cantidad de líneas verticales de resistencia sísmica (ejes de columnas)
y principalmente con la cantidad de rótulas plásticas requeridas para
formar el mecanismo de colapso de la estructura.
Se establece como regla general que el factor de redundancia puede ser inferior a 1 y en aquellos sistemas con adecuada redundancia
puede asumirse RoU = 1.0. El ATC-19 (1995) propone valores tentativos para el factor de redundancia de la siguiente forma:
Tabla 1.8 Valores del coeficiente básico debido a la redundancia, Roȡ
N.ode ejes de columnas
Factor Roȡ
2
0.71
3
0.86
4
1.00
El cálculo del factor debido a la redundancia, RoU, requiere un mayor
estudio e investigación.
Coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, R0, según
la NSR-10
Por los inconvenientes mencionados en los numerales anteriores para
determinar el coeficiente básico de diseño, las normas consideran sólo el
factor de ductilidad Roμ.
El ATC-3 utiliza un factor de reducción constante sobre todo el
período, a pesar de que en el método de Newmark depende de él. Para
espectros de respuesta elásticos comparables, el ATC-3 da fuerzas de
diseño menores para períodos cortos.
Los métodos del ATC-3 y de Newmark y Hall son aproximados. Los
resultados indican que la respuesta no lineal depende del tipo de movimiento y de las características mecánicas y dinámicas de la estructura.
La diferencia entre las respuestas máximas obtenidas es tan grande que
los métodos aproximados no pueden dar límites confiables a la ductilidad requerida.
62
Estos métodos sirven para orientar al ingeniero, si se tiene en cuenta
sus limitaciones. La gran dispersión de resultados enfatiza la necesidad
de una adecuada elección del sistema estructural y de los materiales, de
manera que al diseñar una estructura dúctil, ésta sea capaz de sobrepasar
la capacidad que se le suministra al utilizar un espectro no lineal construido como ya se ha visto.
La cuantificación de las fuerzas sísmicas según los códigos actuales no atienden con suficiente claridad el verdadero valor del factor Ro,
que debe ser asignado a una estructura en particular, sino que generaliza
los valores correspondientes por grupos de sistemas estructurales. Los
coeficientes que se sugieren provienen exclusivamente de la experiencia y poseen muy poco rigor cuantitativo, razón por la cual pueden llevar
a sobre-estimar o reducir excesivamente las cargas sísmicas de diseño.
La norma colombiana sigue los lineamientos del ATC-3, es decir,
utiliza un factor de reducción constante sobre todo el período. Los valores recomendados por la NSR-10 para el coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, se resumen en las Tablas 1.10 a 1.13. Este
coeficiente depende del sistema estructural y de la ductilidad global del
sistema. La NSR-10 reconoce cuatro tipos generales de sistemas estructurales de resistencia sísmica y tres grados de capacidad de disipación de
energía.
Dependiendo del tipo de material estructural y de la característica
del sistema de resistencia sísmica se establecen los grados de capacidad
de disipación de energía mínimos (DES, DMO y DMI) que debe cumplir el
material en las diferentes zonas de amenaza sísmica.
Los sistemas estructurales de resistencia sísmica que reconoce la
NSR-10 son los siguientes:
Sistema de pórticos: es un sistema estructural compuesto por un
pórtico espacial, resistente a momentos, esencialmente completo,
sin diagonales, que resiste todas las cargas verticales y fuerzas horizontales.
Sistema de muros de carga: es un sistema estructural que no dispone
de un pórtico esencialmente completo y en el cual las cargas vertica-
63
les son resistidas por los muros de carga y las fuerzas horizontales son
resistidas por muros estructurales o pórticos con diagonales.
Figura 1.17 Sistemas estructurales de pórticos y de muros de carga
Sistema combinado: es un sistema estructural en el cual:
–
Las cargas verticales son resistidas por un pórtico no resistente
a momentos, esencialmente completo, y las fuerzas horizontales son resistidas por muros estructurales o pórticos con diagonales.
–
Las cargas verticales y horizontales son resistidas por un pórtico
resistente a momentos, esencialmente completo, combinado,
con muros estructurales o pórticos con diagonales que no cumplen los requisitos de un sistema dual.
Sistema dual: es un sistema estructural que tiene un pórtico espacial resistente a momentos y sin diagonales, combinado con muros
estructurales o pórticos con diagonales. Para que el sistema estructural
se pueda clasificar como sistema dual se deben cumplir los siguientes
requisitos:
64
–
El pórtico espacial resistente a momentos, sin diagonales, esencialmente completo, debe ser capaz de soportar las cargas verticales.
–
Las fuerzas horizontales son resistidas por la combinación de
muros estructurales o pórticos con diagonales, con el pórtico
resistente a momentos. El pórtico resistente a momentos, actuando independientemente, debe diseñarse para ser capaz de
resistir como mínimo 25% del cortante sísmico en la base.
–
Los dos sistemas deben diseñarse de manera que actuando en
conjunto sean capaces de resistir la totalidad del cortante en la
base, en proporción a sus rigideces relativas, considerando la interacción del sistema dual en todos los niveles de la edificación.
Pero en ningún caso la responsabilidad de los muros estructurales, o de los pórticos con diagonales, puede ser menor del 75%
del cortante sísmico en la base.
Figura 1.18 Sistemas estructurales dual
El coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, depende del sistema estructural y varía entre 1 y 8. Este coeficiente es
una medida de la capacidad del sistema para disipar energía en el rango
inelástico, de su redundancia y de su sobre resistencia, pero debe recordarse que esa disipación de energía está asociada a daños en la edificación.
En zonas de amenaza sísmica alta no se permiten ciertos tipos de
sistemas estructurales, tales como edificios de hormigón reforzado sin
ductilidad, o sistemas reticulares celulados.
65
Imagen 1.3 Daños en una edificación debido a la flexibilidad del sistema
estructural aporticado. Armenia, Colombia, 1999
Imagen 1.4 Sistema reticular celulado, no recomendado para zonas
con amenaza sísmica debido a su alta flexibilidad y al mal comportamiento
durante el sismo de México, en 1985
66
Tabla 1.9 Sistemas estructurales de muros de carga, NSR-10, Tabla A.3-1
Zonas de amenaza sísmica
Sistema de muros de carga
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
1.
R0
|0
(2)
(4)
Alta
Intermedia
Baja
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Paneles de madera
a. Paneles de cortante de madera
2.
Sistema resistente para cargas
verticales
Muros ligeros de
madera laminada
3.0
2.5
Sí
6m
Si
9m
Sí
12 m
Sí
50 m
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Si
50 m
Si
Sin
límite
No se permite
Si
50 m
Muros estructurales
a. Muros de hormigón con DES
El mismo
5.0
2.5
b. Muros de hormigón con DMO
El mismo
4.0
2.5
No se permite
c. Muros de hormigón con DMI
El mismo
2.5
2.5
No se permite
67
68
Tabla 1.9 Sistemas estructurales de muros de carga, NSR-10, Tabla A.3-1 (continuación)
Sistema de muros de carga
Zonas de amenaza sísmica
Sistema resistente para cargas
verticales
R0
|0
(2)
(4)
d. Muros de mampostería reforzada de
bloque de perforación vertical (DES)
con todas las celdas rellenas
El mismo
3.5
e. Muros de mampostería reforzada de
bloque de perforación vertical (DMO)
El mismo
f. Muros de mampostería reforzada de
bloque de perforación vertical
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Alta
Intermedia
Intermedia
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
2.5
Sí
50 m
Sí
Sin
límite
Sí
2.5
2.5
Sí
30 m
Sí
50 m
Sí
Sin
límite
El mismo
2.0
2.5
Grupo
I
2
pisos
Sí
Sí
18 m
g. Muros de mampostería confinada
El mismo
2.0
2.5
Grupo
I
2
pisos
Grupo
I
12 m
Grupo I
h. Muros de mampostería de cavidad
reforzada
El mismo
4.0
2.5
Sí
45 m
Si
60 m
Sí
Sin
límite
i. Muros de mampostería no reforzada
El mismo
1.0
2.5
Grupo I
(3)
2 pisos
2.
Uso
Altura
máx.
Muros estructurales
No se permite
12 m
No se permite
Sin
límite
18 m
Tabla 1.9 Sistemas estructurales de muros de carga, NSR-10, Tabla A.3-1 (continuación)
Zonas de amenaza sísmica
Sistema de muros de carga
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
3.
Sistema resistente para cargas
verticales
R0
|0
(2)
(4)
Alta
Intermedia
c
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Sí
24 m
Sí
30 m
Sí
Sin
límite
No se permite
Sí
30m
Sí
30 m
Sí
15 m
Sí
18 m
Pórticos con diagonales (las diagonales llevan fuerza vertical)
a. Pórticos de acero estructural con
diagonales concéntricas, DES
El mismo
5.0
2.5
b. Pórticos con diagonales de hormigón, DMO
El mismo
3.5
2.5
c. Pórticos de madera con diagonales
El mismo
2.0
2.5
Sí
12 m
(2)
Para edificaciones calificadas como irregulares el valor de Ro debe multiplicarse por Ia, Ip y Ir, R = Ia Ip Ir R0.
(3)
La mampostería no reforzada sólo se permite en las regiones de las zonas de amenaza sísmica baja donde Aa sea menor o igual a 0.05.
(4)
El valor de :0 puede reducirse restándole 0.5 en estructuras de diafragma flexible, pero no debe ser menos de 2.0 para cualquier estructura.
69
70
Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2
Sistema dual
Zonas de amenaza sísmica
R0
|0
(2)
(3)
a. Pórticos de acero con diagonales
Pórticos de acero
excéntricas si las conexiones con
resistentes a molas columnas por fuera del vínmentos con DMI
culo son resistentes a momento
7.0
b. Pórticos de acero con diagonales
excéntricas si las conexiones
con las columnas por fuera del
vínculo no son resistentes a
momento
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
Alta
Intermedia
Baja
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
2.0
Sí
45 m
Sí
60 m
Sí
Sin
límite
6.0
2.0
Sí
45 m
Sí
60 m
Sí
Sin
límite
c. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero no
excéntricas si el vínculo no se resistentes a momentos
conecta a la columna
6.0
2.0
Sí
30 m
Si
45 m
Sí
Sin
límite
d. Pórticos de acero con diagonales
Pórticos de acero
excéntricas si el vínculo tiene
resistentes a moconexión resistente a momento
mentos con DMI
con la columna
5.0
2.0
Sí
30 m
Sí
45 m
Si
Sin
límite
1. Pórticos de acero con diagonales excéntricas
Pórticos de acero
resistentes a momentos con DMI
Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 (continuación)
Zonas de amenaza sísmica
Sistema dual
Sistema resistente para cargas
verticales
R0
|0
(2)
(3)
a. Muros de Hormigón con DES
Pórticos de hormigón
con DES
7.0
2.5
b. Muros de hormigón con DMO
Pórticos de hormigón
con DMO
5.0
c. Muros de hormigón con DMO
Pórticos losa-columna, nota (3) con DMO
d. Muros de hormigón con DMI
e. Muros de hormigón con DMI
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Alta
Intermedia
Baja
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Sí
72 m
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
2.5
No se permite
Sí
72 m
Sí
Sin
límite
3.5
2.5
No se permite
Sí
Sí
27 m
Pórticos losa-columna, nota (3) con DMO
2.5
2.5
No se permite
No se permite
Sí
72 m
Pórticos losa-columna, nota (3) con DMI
2.0
2.5
No se permite
No se permite
Sí
18 m
f. Muros de mampostería reforzaPórticos de hormigón
da de bloque de perf. vertical,
con DES
DES, con todas las celdas rellenas
4.5
2.5
Sí
30 m
Sí
Sí
45 m
g. Muros de mampostería reforzada Pórticos de hormigón
de bloque de perf. vertical, DMO con DES
3.5
2.5
Sí
30 m
Sí
Sí
45 m
2. Muros estructurales
18 m
35 m
35 m
71
72
Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 (continuación)
Sistema dual
Zonas de amenaza sísmica
R0
|0
(2)
(3)
h. Muros de mampostería reforzada Pórticos de hormigón
de bloque de perf. vertical, DMO con DMO
2.5
2.5
i. Muros de mampostería confinada, Pórticos de hormigón
DMO
con DMO
2.0
j. Muros de mampostería confinada, Pórticos de hormigón
DMO
con DMI
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
Alta
Intermedia
Altura
máx.
Baja
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
No se permite
Sí
30m
Sí
45 m
2.5
No se permite
Grupo
1
18 m
Grupo 1
21 m
2.0
2.5
No se permite
No se permite
Grupo 1
18 m
k. Muros de mampostería de cavidad Pórticos de hormigón
reforzada con DES
con DMO
4.0
2.5
No se permite
30 m
Sí
45 m
l. Muros de mampostería de cavidad Pórticos de hormigón
reforzada con DES
con DMI
2.0
2.5
No se permite
No se permite
Sí
45 m
Pórticos de acero, resistentes a momentos
7.0
2.0
Sí
50 m
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Pórticos de acero ren. Muros de cortante compuesto con
sistentes o no a moplacas de acero y hormigón
mentos
6.5
2.5
Sí
50 m
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Uso
2. Muros estructurales
m. Muros de cortante con placa de
acero, DES
Sí
Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 (continuación)
Sistema dual
Zonas de amenaza sísmica
R0
|0
(2)
(3)
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
o. Muros de hormigón reforzado, Pórticos de acero reDES , mixtos con elementos de sistentes o no a momentos
acero
6.0
2.5
Sí
50 m
Sí
60 m
Sí
Sin
límite
p. Muros de Hormigón reforzado, Pórticos de acero reDMO , mixto con elementos de sistentes o no a momentos
acero
5.5
2.5
No se permite
No se permite
Sí
Sin
límite
q. Muros de hormigón reforzado, Pórticos de acero reDMI , mixto con elementos de sistentes o no a momentos
acero
5.0
2.5
No se permite
No se permite
Sí
Sin
límite
60 m
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
Alta
Intermedia
Baja
2. Muros estructurales
3. Pórticos con diagonales concéntricas
73
a. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero no resistentes a momentos
concéntricas, DES
5.0
2.5
b. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero no reconcéntricas, DMI
sistentes a momentos
4.0
2.5
Pórticos de acero rec. Pórticos mixtos con diagonales
sistentes o no a moconcéntricas, DES
mentos
5.0
2.0
Sí
30 m
Sí
45 m
Sí
No se permite
Sí
10 m
Sí
60 m
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
50 m
74
Tabla 1.10 Sistema estructural combinado, NSR-10, Tabla A.3-2 (continuación)
Sistema dual
Zonas de amenaza sísmica
R0
|0
(2)
(3)
Pórticos de acero red. Pórticos mixtos con diagonales
sistentes o no a moconcéntricas, DMI
mentos
3.0
2.0
e. Pórticos de acero con diagonales
Pórticos de acero no
concéntricas restringidas a panresistentes a momendeo, con conexiones viga-columna
tos
resistentes a momento
7.0
2.5
Sí
30 m
Sí
f. Pórticos de acero con diagonales
Pórticos de acero no
concéntricas restringidas a panresistentes a momendeo, con conexiones viga-columna
tos
no resistentes a momento
6.0
2.5
Sí
30 m
g. Pórticos de hormigón con diago- Pórticos de hormigón
nales concéntricas con DMO
con DMO
3.5
2.5
No se permite
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
Alta
Uso
Intermedia
Altura
máx.
Altura
máx.
Baja
Uso
Altura
máx.
Sí
Sin
límite
45 m
Sí
Sin
límite
Sí
45 m
Sí
Sin
límite
Sí
24 m
Sí
30 m
Uso
3. Pórticos con diagonales concéntricas
(2)
(3)
[~`
(4)
No se permite
(5)
No se permite
(5)
Para edificaciones calificadas como irregulares el valor de R0 debe multiplicarse por ija, ijp y ijr, R = ija ijp ijr R0.
Los pórticos losa-columna incluyen el reticular celulado.
|0 puede reducirse restándole 0.5 en estructura de diafragma flexible, pero no debe ser menos de 2.0.
Se permite hasta una altura de 20 m en edificios de un piso (naves industriales o similares) que no sean del Grupo de uso IV.
Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10, Tabla A.3.3
Sistema de pórticos resistentes a momentos
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
Zonas de amenaza sísmica
R0
|0
(2)
(4)
Alta
Uso
Altura
máx.
Intermedia
Baja
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
1. Pórticos resistentes a momentos con capacidad especial de disipación de energía (DES)
a. De hormigón con DES
El mismo
7.0
3.0
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
b. De acero con DES
El mismo
7.0
(3)
3.0
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
c. Mixtos
Pórticos de acero o
mixtos resistentes o
no a momentos
7.0
3.0
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Pórticos de acero o
d. De acero con cerchas dúctiles
mixtos resistentes o
(DES)
no a momentos
6.0
3.0
Sí
30 m
Sí
45 m
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
2. Pórticos resistentes a momentos con capacidad moderada de disipación de energía (DMO)
a. De hormigón con DMO
El mismo
5.0
3.0
No se permite
75
76
Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10, Tabla A.3.3 (continuación)
Sistema de pórticos resistentes a momentos
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
Zonas de amenaza sísmica
R0
|0
(2)
(4)
Alta
Uso
Altura
máx.
Intermedia
Uso
Baja
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sin
límite
Sí
Sin
límite
2. Pórticos resistentes a momentos con capacidad moderada de disipación de energía (DMO)
b. De acero con DMO
El mismo
Pórticos de acero o
c. Mixtos con conexiones rígidas
mixtos resistentes o
(DMO)
no a momentos
5.0
(3)
3.0
No se permite
5.0
3.0
No se permite
Sí
Sí
3. Pórticos resistentes a momentos con capacidad mínima de disipación de energía (DMI)
a. De hormigón con DMI
El mismo
2.5
3.0
No se permite
No se permite
Sí
Sin
límite
b. De acero con DMI
El mismo
3.0
2.5
No se permite
No se permite
Sí
Sin
límite
3.0
3.0
No se permite
No se permite
Sí
Sin
límite
Pórticos de acero o
c. Mixtos con conexiones totalmente
mixtos resistentes o
restringidas a momento (DMI)
no a momentos
Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10, Tabla A.3.3 (continuación)
Sistema de pórticos resistentes a momentos
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
Zonas de amenaza sísmica
R0
|0
(2)
(4)
Alta
Uso
Altura
máx.
Intermedia
Baja
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Si
30 m
Sí
50 m
3. Pórticos resistentes a momentos con capacidad mínima de disipación de energía (DMI)
Pórticos de acero o
d. Mixtos con conexiones parcialmixtos resistentes o
mente restringidas a momento
no a momentos
6.0
3.0
e. De acero con cerchas no dúctiles
El mismo
1.5
1.5
No se permite
(5)
No se permite
(5)
Sí
12 m
f. De acero con perfiles de lámina
doblada en frío
El mismo
1.5
1.5
No se permite
(5)
No se permite
(5)
Sí
Sin
límite
g. Otras estructuras de celosía tales
como vigas y cerchas
No se permite
No se pueden usar como parte del sistema de resistencia sísmica a
no ser que tengan conexiones rígidas a columnas, en cuyo caso serán
tratadas como pórticos de celosía
77
78
Tabla 1.11 Sistemas estructurales de pórtico a momentos, NSR-10, Tabla A.3.3 (continuación)
Zonas de amenaza sísmica
Sistema de pórticos resistentes a momentos
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
R0
|0
(2)
(4)
Alta
Uso
Altura
máx.
Intermedia
Baja
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Sí
15 m
Sí
21 m
No se permite
Sí
15 m
4. Pórticos losa-columna (incluye reticular celulado)
a. De hormigón con DMO
El mismo
2.5
3.0
No se permite
b. De hormigón con DMI
El mismo
1.5
3.0
No se permite
a. Pórticos de acero resistentes a
momentos con DES
El mismo
2.5
(3)
2.0
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
b. Pórticos de hormigón con DES
El mismo
2.5
2.0
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
c. Pórticos de acero resistentes a
momentos con DMO
El mismo
1.5
(3)
2.0
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
5. Estructuras de péndulo invertido
(3)
No se permite
Cuando se trate de estructuras de acero donde las uniones del sistema de resistencia sísmica son soldadas en obra, el valor de Ro debe multiplicarse por 0.9.
[` |0 puede reducirse restándole 0.5 en estructura de diafragma flexible, pero no debe ser menos de 2.0.
(5) Se permite hasta una altura de 12 m en edificios de un piso, (naves industriales o similares) que no sean del Grupo de uso IV.
Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4
Sistema dual
Zonas de amenaza sísmica
Alta
Intermedia
Baja
Altura
Altura
Altura
Uso
Uso
Uso
máx.
máx.
máx.
R0
|0
(2)
(3)
8.0
2.5
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
8.0
2.5
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
6.0
2.5
No se permite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
6.0
2.5
No se permite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
e. Muros de mampostería reforzada
Pórticos de hormigón
de bloque de perf. vertical con
con DES
todas las celdas llenas, DES
5.5
3.0
Sí
45 m
Sí
45 m
Sí
45 m
f. Muros de mampostería reforzada Pórticos de acero rede bloque de perf. vertical con sistentes a momentos
todas las celdas rellenas, DES
con DES
5.5
3.0
Sí
45 m
Sí
45 m
Sí
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
1. Muros estructurales
Pórticos de hormigón
con DES
Pórticos de acero reb. Muros de hormigón con DES
sistentes a momentos
con DES
Pórticos de hormigón
c. Muros de hormigón con DMO
con DMO
Pórticos de acero red. De hormigón con cerchas dúctiles
sistentes a momentos
(DMO)
con DMO
a. Muros de hormigón con DES
45 m
79
80
Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 (continuación)
Zonas de amenaza sísmica
Sistema dual
R0
|0
(2)
(3)
g. Muros de mampostería reforzada Pórticos de Hormigón
de bloque de perf. vertical, DMO con DES
4.5
Pórticos de acero reh. Muros de mampostería reforzada
sistentes a momentos
de bloque de perf. vertical, DMO
con DES
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
Alta
Intermedia
Baja
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
2.5
Sí
35 m
Sí
35 m
Sí
35 m
4.5
2.5
Sí
35 m
Sí
35 m
Sí
35 m
Pórticos de acero rei. Muros de mampostería reforzada
sistentes a momentos
de bloque de perf. vertical, DMO
con DMO
3.5
2.5
No se permite
Sí
30 m
Sí
30 m
j. Muros de mampostería reforzada Pórticos de hormigón
de bloque de perf. vertical, DMO con DMO
3.5
2.5
No se permite
Sí
30 m
Sí
30 m
Pórticos de acero, con
k. Muros de cortante con placa de
alma llena, con conexacero, DES
iones rígidas, DES
7.0
2.5
Sí
Sin
límite
Si
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Pórticos de acero, con
l. Muros de cortante mixtos con
alma llena, con conexplaca de acero
iones rígidas, DES
6.5
2.5
Sí
Sin
límite
Si
Sin
límite
Sí
Sin
límite
1. Muros estructurales
Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 (continuación)
Sistema dual
Zonas de amenaza sísmica
R0
|0
(2)
(3)
m. Muros de hormigón reforzado, Pórticos de acero, con
DES , mixtos con elementos de alma llena, con conexiones rígidas, DES
acero
6.0
2.5
n. Muros de hormigón reforzado, Pórticos de acero, con
DMI , mixtos con elementos de alma llena, con conexiones rígidas, DES
acero
5.0
2.5
o. Muros de hormigón reforzado, Pórticos de acero, con
DMI , mixtos con elementos de alma llena, con conexiones rígidas, DMO
acero
4.0
3.0
8.0
2.5
Sí
Sin
límite
7.0
2.5
Sí
Sin
límite
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
Alta
Intermedia
Baja
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
No se permite
No se permite
Sí
Sin
límite
No se permite
No se permite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
1. Muros estructurales
2. Pórticos de acero con diagonales excéntricas
a. Pórticos de acero con diagonales
Pórticos de acero reexcéntricas si las conexiones con
sistentes a momento
las columnas por fuera del vínculo
con DES
son resistentes a momento
81
82
Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 (continuación)
Sistema dual
Zonas de amenaza sísmica
R0
|0
(2)
(3)
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
b. Pórticos de acero con diagonales
Pórticos de acero reexcéntricas si las conexiones con
sistentes a momento
las columnas por fuera del vínculo
con DMO
son resistentes a momento
6.0
2.5
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
c. Pórticos de acero con diagonales
Pórticos de acero reexcéntricas si las conexiones con
sistentes a momento
las columnas por fuera del vínculo
con DMO
son resistentes a momento
8.0
2.5
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
6.0
2.5
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
3. Pórticos con diagonales concéntricas
Pórticos de acero rea. De acero con DES
sistentes a momento
con DES
Alta
Intermedia
Baja
b. De acero con DMI
Pórticos de acero resistentes a momentos
con DMO
3.0
2.5
No se permite
Sí
60 m
Sí
Sin
límite
c. De hormigón con DMO
Pórticos de hormigón
con DMO
4.0
2.5
No se permite
Sí
24 m
Sí
30 m
Pórticos de acero, con
d. Pórticos mixtos con diagonales
alma llena, con coneconcéntricas, DES
xiones rígidas, DES
6.0
2.5
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Tabla 1.12 Sistemas estructurales dual, NSR-10, Tabla A.3-4 (continuación)
Sistema dual
Zonas de amenaza sísmica
R0
|0
(2)
(3)
e. Pórticos de acero con diagonales Pórticos de acero, con
concéntricas restringidas al pan- alma llena, con conexiones rígidas, DES
deo
7.0
2.5
Pórticos de acero, con
f. Pórticos de acero con diagonales
alma llena, con conexconcéntricas, DES
iones rígidas, DES
6.0
2.5
Pórticos de acero, con
g. Pórticos mixtos con diagonales
alma llena, con conexconcéntricas
iones rígidas, DMO
5.5
2.5
h. Pórticos con diagonales concénEl mismo
tricas que resistan sólo a tensión
3.0
2.5
Sistema resistencia sísmica
(fuerzas horizontales)
Sistema resistente para cargas
verticales
Alta
Intermedia
Baja
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Uso
Altura
máx.
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
Sí
Sin
límite
No se permite
Sí
10 m
Sí
30 m
Sí
30 m
Sí
Sin
límite
3. Pórticos con diagonales concéntricas
(2)
Sí
50 m
No se permite, nota (4)
83
Cuando se trate de estructuras de acero donde las uniones del sistema de resistencia sísmica son soldadas en obra, el valor de Ro debe multiplicarse por 0.9.
[~` |0 puede reducirse restándole 0.5 en estructura de diafragma flexible, pero no debe ser menor de 2.0.
(4) Se permite hasta una altura de 12 m en edificios de un piso, (naves industriales o similares) que no sean del Grupo de uso IV.
1.5 Configuración estructural de la edificación y
coeficiente de capacidad de disipación de energía
para ser empleado en el diseño, R
1.5.1 Asimetrías del sistema estructural de resistencia sísmica
Debido al número infinito de variables en la configuración de una
edificación, no ha sido práctico para los códigos de construcción definir
parámetros o reglas que se apliquen a cualquier tipo de construcción. Sin
embargo, por la gran utilización de estructuras irregulares en la arquitectura moderna y la importancia de la construcción en la economía de
cada país, las versiones recientes de códigos como el SEAOC, UBC, y ATC-3,
han cuantificado más de veinte configuraciones irregulares críticas.
Edificios con irregularidades severas se han comportado mal durante los sismos de Venezuela, Nicaragua, México, Chile, Haití, Europa y Asia. Es necesario analizar estas estructuras irregulares, no con el
método de cargas estáticas equivalentes (pues se llegaría a resultados
totalmente erróneos y poco conservadores) sino con métodos más precisos como el método de análisis modal (elástico o inelástico), teniendo
en cuenta el espectro de diseño de terremotos (elástico o inelástico).
Imagen 1.5 Comportamiento deficiente de una estructura con asimetría
en planta en forma de U, El Salvador, 1986
84
Es importante recalcar que una edificación simétrica no es necesariamente calificada como regular por los códigos de construcción. Por
ejemplo, edificaciones en forma de T, E, L, +, U, son consideradas
como irregulares. Vista en planta, las aletas o extremos de estas edificaciones son más flexibles que la parte central, como sucede con la forma
en cruz. Además los efectos torsionales en las formas T, E, L, + y U hacen que las columnas más alejadas del centro estén sometidas a grandes
derivas, mientras la parte central está sometida a gran concentración
de tensiones por su gran rigidez.
Las estructuras deben ser simétricas y de forma simple para clasificarse como regulares, esto es, edificaciones con esquinas obtusas no son
regulares por la gran concentración de tensiones en esas esquinas.
Hay necesidad de enfatizar que no solamente la simetría está en
la forma de la edificación, sino también en los detalles de diseño y construcción. Estudios y experiencias indican que el comportamiento sísmico es bastante sensitivo a pequeñas variaciones en la simetría. Muchas
edificaciones simétricas y simples durante el terremoto de la ciudad de
México sufrieron grandes daños por la localización excéntrica de los
puntos fijos (taco de escaleras y muros de ascensores).
Imagen 1.6 Comportamiento deficiente de una estructura con asimetría
en planta en forma de E, palacio presidencial, Haití, 2010
85
Cuando las columnas y los muros estructurales sufren fisuramiento,
el centro de rigidez y la distribución de la resistencia de los miembros
a fuerzas laterales pueden cambiar significativamente, crear asimetría
dinámica y efectos torsionales aun en edificaciones regulares.
En muchos casos, las condiciones de diseño arquitectónicas hacen
que una edificación sea altamente asimétrica. En tales situaciones, para
reducir los efectos negativos, como los debidos a la torsión, es aconsejable dividir la edificación en partes más simples y menos asimétricas.
Este problema es más común en edificaciones de baja a mediana altura,
porque en los edificios de gran altura la tendencia es hacia formas simétricas y simples.
Para efectos de diseño toda estructura se debe clasificar como regular o irregular (NSR-10, Sec. A.3.3.1). Cuando una estructura es clasificada como irregular debe proporcionársele una mayor rigidez, mediante
la reducción del coeficiente de capacidad de disipación de energía básico, Ro, al multiplicarlo por los siguientes factores menores o iguales a la
unidad:
R = Ia * Ip * Ir * Ro
(1.14)
La NSR-10 cuantifica los valores de los coeficientes Ia y Ip, los cuales pueden obtenerse de las Figuras 1.19 y 1.20. Debe reducirse el valor
del coeficiente R0 multiplicándolo por Ip, debido a irregularidades en
planta, por Ia, debido a irregularidades en altura y por Ir, debido a la ausencia de redundancia. Cuando una edificación tiene simultáneamente
varios tipos de irregularidades en planta, se aplicar7 el menor valor de
Ip. Análogamente, cuando una edificación tiene simultáneamente varios
tipos de irregularidades en altura, se aplicar7 el menor valor de Ia.
8 # '()*+$ ,-,9,9,/,*
Cuando, para todos los pisos, la deriva de cualquier piso es menor que
1.3 veces la deriva del piso siguiente hacia arriba, puede considerarse
que no existen irregularidades en altura de los tipos 1aA, 1bA, 2A o 3A,
tal como se define en la Figura 1.20, en este caso se aplica Ia = 1.0. No
hay necesidad de considerar en esta evaluación las derivas de los dos
86
pisos superiores de la edificación ni los sótanos que tengan muros de
contención integrados a la estructura en toda su periferia. Las derivas
utilizadas en la evaluación pueden calcularse sin incluir los efectos de
la torsión.
" 6 '()*+$ ,-,9,.
Cuando se combinen sistemas estructurales en altura se presentan dos
casos:
–
Estructura flexible apoyada sobre una estructura con mayor rigidez:
pueden utilizarse cuando cumplan los requisitos consignados en la
Tabla 1.14.
–
Estructura rígida apoyada sobre una estructura de menor rigidez:
este tipo de combinación de sistemas estructurales en la altura presenta inconvenientes en su comportamiento sísmico. No es aceptable como solución estructural.
–
Combinación de sistemas estructurales en planta.
Pueden combinarse sistemas estructurales en planta, sin que esto
de pie a que la estructura se clasifique como irregular, con las siguientes
limitaciones:
–
Los dos sistemas deben coexistir en toda la altura de la edificación.
–
Cuando la estructura tiene un sistema de muros de carga únicamente en una dirección, el valor de R para diseñar la dirección ortogonal
no puede ser mayor que 1.25 veces el valor de R del sistema estructural de muros de carga.
–
Cuando la estructura tiene dos sistemas de muros de cargas diferentes en la misma dirección, para el sistema que tiene el mayor valor
de R el valor a emplear no puede ser mayor que 1.25 veces el valor
de R del sistema con el menor valor de R.
–
Cuando la estructura tiene sistemas diferentes al de muros de carga
en ambas direcciones, para el sistema que tiene un mayor valor de
R, el valor a emplear no puede ser mayor que 1.25 veces el valor
de R del sistema con el menor valor de R.
87
Tabla 1.13 Mezcla de sistemas estructurales en altura
Descripción de la combinación
Requisitos
Estructura flexible apoyada sobre una estructura con mayor rigidez
Pueden utilizarse los siguientes requisitos dados aquí si la estructura cumple
las siguientes condiciones:
a. Ambas partes de la estructura, consideradas separadamente, pueden
ser clasificadas como regulares.
b. El promedio de las rigideces de
piso de la parte baja sea por lo menos diez veces el promedio de las
rigideces de piso de la parte alta.
c. El período de la estructura considerada como un todo, no debe ser
mayor que 1.1 veces el período de
la parte superior, al ser considerada
como una estructura independiente empotrada en la base.
Si no se cumplen las condiciones
anteriores la estructura se considera
irregular
Se permite que esta combinación de
sistemas estructurales no se considere
irregular (Ip = Ia = 1.0), y el sistema
puede diseñarse sísmicamente utilizando el método de la fuerza horizontal equivalente.
1. La parte superior flexible puede
ser analizada y diseñada, como una
estructura separada, apoyada para
efecto de las fuerzas horizontales
por la parte más rígida inferior,
usando el valor apropiado de R0
para su sistema estructural.
2. La parte rígida inferior debe ser
analizada y diseñada como una estructura separada, usando el valor
apropiado de R0 para su sistema
estructural, y las reacciones de la
parte superior, obtenidas de su
análisis, deben ser amplificadas por
la relación entre el valor de R0 para
la parte superior y el valor de R0 de
la parte inferior
Estructura rígida apoyada sobre una estructura con menor rigidez
Corresponde a edificaciones en las cuales se suspende antes de llegar a la base
de la estructura, parcial o totalmente,
un sistema estructural más rígido que
el que llega a la base de la estructura
Este tipo de combinación de sistemas
estructurales en la altura presenta
inconvenientes en su comportamiento
sísmico. No es aceptable como solución
estructural
88
3. No es aceptable como solución
estructural
Figura 1.19 Irregularidades en planta
IS
§ ' ' ·
¨ ¸ t ' ² ©
¹
IS
§ ' ' ·
¨ ¸
©
¹
' ² § ' ' ·
¨ ¸
©
¹
89
Figura 1.20 Irregularidades en altura
Tipo 1aA - Piso flexible - Ia = 0.9
0.60 Rigidez KD
E
d Rigidez KC < 0.70 Rigidez KD, ó
D
0.70 (KD+KE+KF)/3 d Rigidez KC < 0.80 (KD+KE+KF)/3
C
Tipo 1bA - Piso flexible - Ia = 0.8
B
Rigidez KC < 0.60 Rigidez KD, ó
A
Rigidez KC < 0.70 (KD+KE+KF)/3
Tipo 2A – Distribución masa - Ia = 0.9
E
D
mD ! 1.50 mE
C
ó
B
mD ! 1.50 mC
A
b
Tipo 3A – Geométrica - Ia = 0.9
1.2 A a S I
2.5 A a aI ! d1.30Sb
a
T
d
Aa I
2
a
Tipo 4A – Desplazamiento dentro del plano
de acción, Ia = 0.8
b
a
Ta
b!a
Ct
hn3 4
Tipo 5aA – Piso débil - Ia = 0.9
0.65 Resist. Piso C d Resist. Piso B < 0.80 Resist. Piso C
E
D
C
Tipo 5bA – Piso débil extremo - Ia = 0.8
Resist. Piso B < 0.65 Resist. Piso C
90
B
A
1.5.2 Redundancia del sistema estructural de resistencia
sísmica
Debe reducirse el valor del coeficiente R0 multiplicándolo por Ir, debido
a la ausencia de redundancia en el sistema estructural de resistencia sísmica, en las dos direcciones principales en planta de la siguiente manera:
NSR-10, Sec. A.3.3.8.1: en edificaciones con un sistema estructural
con capacidad de disipación de energía mínima (DMI) se le asigna un
valor igual a la unidad, Ir = 1.0.
NSR-10, Sec. A.3.3.8.2: en edificaciones con un sistema estructural
con capacidad de disipación de energ (DMO) y especial (DES)
se le asigna un valor igual a la unidad, Ir = 1.0 cuando en todos los pisos
que resistan más del 35% del corte, en la dirección bajo estudio, el sistema estructural de resistencia sísmica cumpla las siguientes condiciones
de redundancia:
a) # # #6 : , La
falla de cualquiera de las diagonales o sus conexiones al pórtico no
resulta en una reducción de más del 33% de la resistencia ante fuerzas horizontales del piso, ni produce una irregularidad torsional en
planta tipo 1bP.
b) # # #6 8: , La
pérdida de resistencia a momento o a cortante (para el caso de vínculos a corte) de los dos extremos de un vínculo no resulta en una
reducción de más del 33% de la resistencia ante fuerzas horizontales
del piso, ni produce una irregularidad torsional en planta tipo 1bP.
c) #6 , La pérdida de resistencia a
momento en la conexión viga-columna de los extremos de una viga
no resulta en una reducción de más del 33% de la resistencia ante
fuerzas horizontales del piso, ni produce una irregularidad torsional
en planta tipo 1bP.
d) 6 , La falla de un
muro estructural o de una porción del que tenga una relación de la
altura de piso a su longitud horizontal mayor de la unidad, o de los
elementos colectores que lo conectan al diafragma, no resultan en
una reducción de más del 33% de la resistencia ante fuerzas horizontales del piso, ni produce una irregularidad torsional en planta
tipo 1bP.
91
En los sistemas estructurales que no cumplan las condiciones enunciadas en los literales (a) a (d) el factor de reducción por ausencia de
redundancia en el sistema estructural de resistencia sísmica, Ir, se le
debe asignar un valor de Ir = 0.75.
Aunque no se cumplan las condiciones enunciadas en los literales
(a) a (d) se le asignará al factor de ausencia de redundancia, Ir, un valor
Ir = 1.0 en todos los pisos que resistan más del 35% del cortante basal,
en la dirección bajo estudio, si el sistema estructural es simétrico y tiene
al menos dos vanos (tres ejes de columnas) localizadas en la periferia en
las dos direcciones principales. Cuando se trata de muros estructurales
para efectos de contar el número de vanos equivalentes se calcula como
la longitud horizontal del muro dividida por la altura del piso.
1.5.3 Recomendaciones para una buena estructuración
Cuando se habla de estructuración no solamente se refiere a la simetría
de la estructura, pues hay otros factores que deben tenerse en cuenta
para lograr que la estructura tenga un buen comportamiento sísmico.
Con base en la experiencia obtenida en muchos sismos ocurridos en diferentes partes del mundo, se ha elaborado una serie de recomendaciones sobre estructuración, para lograr un mejor comportamiento sísmico;
entre ellas se cuenta:
 ‚ ƒ " !
 „ ! ƒ" † " ‡ ! ˆ ƒtales antes que en los verticales
 " la estructura
Q " " Se recomienda que las estructuras sean livianas, pues las fuerzas debidas al sismo surgen como consecuencia de la inercias de las masas al
desplazarse, por lo cual entre menos peso, menores serán los efectos de los
sismos en ellas. El peso de los muros y de los acabados representa aproximadamente el 50% del peso de la estructura. Son estos los ítems a los que
debe prestarse especial atención para reducir el peso de la estructura.
92
Imagen 1.7 Las pesadas divisiones tradicionales, ladrillos de arcilla,
deben reemplazarse por divisiones modulares, en yeso, muy livianas
Imagen 1.8 La localización de las acometidas de agua, teléfono, luz, gas
y televisión deben ubicarse adecuadamente para no obligar a la colocación
de pesados materiales de nivelación de los pisos
93
Las estructuras deben ser sencillas, para que los modelos matemáticos sean realistas, pues una estructura muy compleja, que mezcla distintos tipos de sistemas estructurales y materiales, no es fácil de modelar;
debe procurarse que sean simétricas para reducir los efectos de torsión,
por lo que se deben evitar las plantas en forma de L, T, y C. También se
debe intentar que no sean muy alargadas en planta y elevación: en planta, para reducir la posibilidad de que el movimiento en un extremo del
edificio sea diferente a la del otro, y en altura, para reducir el momento
de volcamiento que encarece la cimentación.
Imagen 1.9 Colapso en Armenia, Colombia, en 1999.
Muros estructurales dispuestos en una sola dirección
Conviene que la resistencia y la rigidez de la estructura estén repartidas uniformemente, sin concentrarse en unos cuantos elementos.
Entre más hiper-estaticidad tenga la estructura, es mayor el número de
secciones que deben fallar antes que la estructura colapse.
94
Imagen 1.10 Daños en acabados por flexibilidad del primer piso,
Pereira, Colombia, 1999
Se recomienda intentar que las propiedades dinámicas de la estructura sean congruentes con las del suelo en la cual está cimentada; en
general, se dice que en suelos firmes se comportan mejor las estructuras
flexibles y en suelos blandos las estructuras rígidas. Lo que se trata es de
evitar la posible resonancia por coincidencia de las propiedades dinámicas de la estructura y del suelo.
Finalmente, es recomendable que lo que se construya sea congruente con lo que se proyecta. En algunos casos la colaboración de los muros
divisorios evita el colapso de estructuras sub-diseñadas, si su colocación
es relativamente simétrica y tiene continuidad de un piso a otro. Pero
cuando su colocación es asimétrica, como ocurre en los muros de linderos en edificios localizados en las esquinas o cuando son discontinuos,
como ocurre en algunas construcciones en el primer piso porque se destinan a estacionamientos o comercio, la colaboración de los muros divisorios puede ser causa de daños muy graves o aun del colapso total de la
estructura, al propiciar efectos torsionantes importantes.
95
1.6 Evaluación de la deriva máxima
Las derivas son los desplazamientos relativos entre dos pisos consecutivos de una estructura, se evalúan para las cargas horizontales sin dividirlas por el factor de modificación de respuesta R.
Al someter una estrucFigura 1.21 Derivas de entrepiso
tura a la acción de las cargas
sísmicas, fi, los entrepisos
sufren desplazamientos hoƒ ‰i. Las derivas de
entrepiso, įi, para la estructura de la figura, se calculan
de la siguiente manera:
Piso 1: į1Š‰1
Piso i: įiŠ‰i‹‰i-1
En estructuras regulares e irregulares que no tengan irregularidades
en planta tipo 1aP o 1bP o edificaciones con diafragma flexible, la deriva
máxima corresponde a la mayor deriva de las dos direcciones principales
en planta, evaluadas en el centro de masa.
En estructuras irregulares que tengan irregularidades en planta tipo
1aP o 1bP la deriva máxima en cualquier punto del piso i se calcula por
medio de la expresión (1.11).
(1.15)
1.6.1 Límites de la deriva máxima
La magnitud de la deriva debe limitarse, entre mayor sea su valor mayores serán los daños en los elementos no estructurales y en los acabados.
Daños estos que son muy costosos de reparar y su magnitud puede ser
tal que con posterioridad a un evento sísmico la estructura puede llegar
a ser inhabitable. Los límites de las derivas no pueden exceder las especificaciones de la Tabla 1.15.
96
Tabla 1.14 Derivas máximas como porcentaje de hpi
Estructura de Deriva máxima
Hormigón reforzado, metálicas, de
madera y mampostería que cumplan
los requisitos de la Nota 1
De mampostería que cumplan los requisitos de la Nota 2
Nota 1: se permite emplear en edificaciones construidas en mampostería estructural, cuando
estas estén compuestas por muros cuyo modo prevaleciente de falla sea la flexión ante fuerzas
paralelas al plano del muro, diseñados como elementos verticales esbeltos que actúan como
voladizos apoyados en su base o cimentación.
Nota 2: cuando se trate de muros de mampostería estructural poco esbeltos, o cuyo modo
prevaleciente de falla sea causado por esfuerzos cortantes.
1.6.2 Separación entre estructuras adyacentes por
consideraciones sísmicas
Las estructuras deben construirse tal como se diseñan, permitiéndoles
un desplazamiento lateral; por ello, las estructuras vecinas deben estar
separadas, sin interferencias entre sí, de lo contrario se presentaran cambios no previstos en su diseño que pueden llevarlas al colapso parcial o
total.
La NSR-10, Sec. A.6.5, es muy clara en los requisitos que deben
cumplirse en la separación entre edificaciones vecinas, entre estos requisitos están:
a) Cuando el paramento del lote sea colindante con vía pública o zona
verde pública no requiere separación sísmica con respecto al paramento en ese costado o costados.
b) Cuando en la colindancia haya un cerramiento, y la edificación nueva esté separada de este cerramiento en una distancia que supere la
señalada para el piso crítico en la Tabla 1.15, no se requiere separación sísmica.
c) Las edificaciones con uno o dos pisos aéreos en la colindancia no
requieren separación sísmica.
97
d) Las edificaciones de más de dos pisos aéreos en la colindancia deben separarse del paramento con las distancias especificadas en la
Tabla 1.15.
e) En el caso de edificaciones objeto de reforzamiento y rehabilitación
sísmica, el ingeniero diseñador de la rehabilitación debe dejar constancia de que estudió el potencial efecto nocivo de la interacción
con las edificaciones vecinas colindantes, y que tomó las medidas
apropiadas según su mejor criterio.
f)
El paramento del lote y la separación sísmica requerida deben quedar claramente indicados en los planos arquitectónicos que se presentan a la autoridad competente, o curaduría, para la obtención de
la licencia de construcción.
Tabla 1.15 Separación sísmica mínima en la cubierta entre edificaciones
colindantes que no hagan parte de la misma construcción
Tipo de colindancia
Altura
de la
edificación
nueva
1 y 2 pisos
3 pisos
Más de
3 pisos
98
Existe edificación vecina
que no ha dejado la separación sísmica
requerida
No existe edificación vecina o la que
existe ha dejado la
separación sísmica
requerida
Coinciden las losas
de entrepiso
No coinciden las
losas de entrepiso
No requiere
separación
No requiere
separación
No requiere
separación
No requiere
separación
0.01 veces la altura
de la edificación
nueva (1% hn)
No requiere
separación
0.02 veces la altura 0.03 veces la altura
de la edificación
de la edificación
nueva (3% hn)
nueva (2% hn)
0.01 veces la altura
de la edificación
nueva (1% hn)
Figura 1.22 Medición de la separación sísmica (vista en elevación)
Imagen 1.11 Daños por separación insuficiente de construcciones vecinas,
Armenia, Colombia, 1999
99
Imagen 1.12 Daños por separación insuficiente, edificio Facultad de Ingeniería
Universidad de Concepción, Chile, febrero 27 de 2010
100
Capítulo 2
Filosofía del diseño sísmico
2.1 Sistemas estructurales
La configuración estructural tiene que ver con la geometría en planta y
en altura de la edificación, con la distribución de las masas, con el tamaño relativo de los elementos estructurales que la conforman y con sus
uniones (nudos).
Edificios asimétricos, esto es, con irregularidades, han sufrido mucho
más daños por sismos que edificaciones simétricas; por ello, los códigos
de construcción penalizan la utilización de configuraciones irregulares,
en planta y en elevación, y recomiendan el empleo de una configuración
regular. Entre más sencilla sea la configuración más real es el modelo
matemático de la estructura.
Imagen 2.1 La disposición asimétrica de muros en edificios de esquina
puede inducir torsión en la estructura
Es importante que cuando existan discontinuidades en la distribución, ya sea en las inercias (masas), en la geometría o en la rigidez en
cualquiera de las tres dimensiones, éstas sean incluidas en el diseño me-
101
diante un análisis más detallado de los efectos de estas irregularidades,
y en tal caso, debe hacerse un diseño más conservador y un cuidadoso
detallado de las zonas de mayor posibilidad de falla.
En toda edificación se distinguen tres sistemas estructurales: uno
que soporta las cargas verticales o de gravedad (cargas vivas y muertas),
otro que soporta las cargas horizontales de viento y de sismo, y la fundación que distribuye las cargas en el suelo. Comúnmente, y para reducir
los costos de construcción, el sistema vertical y horizontal es el mismo,
el cual se denomina como la superestructura del edificio. Los sistemas
más comunes y aceptados por los códigos de construcción, tales como el
ATC-3-06, son los siguientes:
2.1.1 Sistema de muros
En este sistema los muros soportan tanto las cargas verticales como las
horizontales. Los muros que soportan las cargas verticales se denominan
muros cargueros; mientras que los que soportan las cargas horizontales
son muros estructurales reforzados. En el sistema de muros no existen
columnas ni vigas, y si se presentan son pocas y transmiten cargas muy
pequeñas. Este sistema es popular en estructuras de mampostería o de
concreto reforzado (sistema túnel).
Imagen 2.2 Sistema estructural con muros de cortante
102
Imagen 2.3 Sistema estructural con pórticos dúctiles de hormigón
2.1.2 Sistema de pórticos dúctiles a flexión
Consiste en un pórtico tridimensional de alta ductilidad que soporta las
cargas por la flexión de las vigas y columnas, tanto para cargas verticales como horizontales. Este pórtico puede tener ductilidad intermedia o
alta (especial). Los pórticos con alta ductilidad requieren un detallado
muy especial del refuerzo, tanto en los elementos como en las uniones.
Este sistema es común en acero y en hormigón reforzado.
2.1.3 Sistema de pórticos
En este sistema los pórticos soportan las cargas verticales, y las horizontales son soportadas por pórticos arriostrados con diagonales. Es un
sistema popular en estructuras de acero.
103
Imagen 2.4 Sistema estructural con pórticos de acero arriostrados (arriba).
Disponibilidad de espacios en una estructura con pórticos dúctiles
de hormigón (abajo)
2.1.4 Sistema dual
Consiste en un pórtico tridimensional acoplado con muros estructurales, ambos de alta ductilidad y resistencia. Los pórticos deben soportar
104
al menos el 25% de las cargas horizontales. El pórtico acoplado con los
muros estructurales debe soportar la totalidad de las cargas laterales.
2.1.5 Sistema combinado
Consiste en un pórtico tridimensional acoplado con muros estructurales,
ambos de alta ductilidad y resistencia en los cuales los pórticos no alcanzan a soportar el 25% de la carga horizontal.
La experiencia ha indicado que el comportamiento de edificaciones
de concreto reforzado con sistemas duales, y de configuración regular, es
uno de los más adecuados para zonas de alta sismicidad. Este sistema ha
sido muy investigado en Japón y en Estados Unidos tanto experimental, como analíticamente. El sistema dual es un sistema racional que
ofrece: dos niveles de defensa contra sismos (los muros estructurales y
los pórticos especiales), gran estabilidad y ductilidad, y alta resistencia
que excede las especificaciones mínimas de los códigos de construcción.
Si el sistema estructural es regular y los elementos y nudos se diseñan
de acuerdo con las especificaciones, el sistema es bastante noble, es
decir, poco susceptible de deterioro prematuro por terremotos de gran
capacidad destructiva. Por otra parte, ubicar estratégicamente los muros permite gran versatilidad en el manejo de espacios, pues da lugar a
soluciones flexibles que conducen a proyectos muy comerciales, ya que
los diseños pueden adecuarse a los requerimientos de los clientes. A la
utilización de este sistema se debe el éxito de la ingeniería chilena, la
cual desde un principio se decidió por las estructuras rígidas.
Los pórticos dúctiles bien diseñados han respondido adecuadamente ante terremotos severos; su inconveniente estriba en que su alta ductilidad conduce a grandes deformaciones que han ocasionado muchos
daños en los elementos no estructurales, lo cual hace costosas las reparaciones. Los códigos de construcción tratan de obviar este inconveniente
al limitar las derivas de los pisos y aislar los elementos no estructurales,
regularmente rígidos, de la estructura flexible. Al igual que el sistema
dual, este sistema es muy flexible, permite el manejo de espacios amplios y ofrece múltiples soluciones desde el punto de vista comercial.
105
Imagen 2.5 Limitaciones en la distribución de espacios en un sistema de muros
El sistema de muros es un sistema muy rígido, que además de su
excelente comportamiento ante cargas horizontales permite procesos
constructivos muy acelerados que le dan ventajas económicas si se le
compara con el aporticado y el dual. Su desventaja está en la arquitectura rígida, en el manejo de espacios reducidos, y en las limitaciones constructivas de parqueaderos en los primeros niveles, pues los muros deben
iniciarse desde la cimentación. Este sistema no permite realizar diseños
de acuerdo con las necesidades de los clientes, por lo que se obtienen
proyectos menos comerciales desde este punto de vista.
Este sistema es una solución ideal para proyectos de vivienda de
interés social o de unidades residenciales en las cuales los parqueaderos
se construyen en estructuras aporticadas independientes.
2.2 Métodos de análisis
El efecto de las fuerzas sísmicas sobre la estructura debe evaluarse por
medio del análisis de un modelo matemático de la estructura que represente adecuadamente las características del sistema estructural. El análisis realizado de acuerdo con los principios de la mecánica estructural
debe tener en cuenta, como mínimo:
106
" combinen elementos verticales de resistencia sísmica con diferencias apreciables en su rigidez.
 ta de manera flexible o rígida.
-
ƒ Œ sistema de resistencia sísmica causados por las fuerzas sísmicas.
<
!
!
ƒ <
 ! fuerzas sísmicas y el grado de capacidad de disipación de energía.
Como resultado del análisis de la estructura debe obtenerse, como
mínimo:
ƒ ˆ ƒ " efectos torsionales que se emplean para evaluar si la estructura
cumple con los requisitos exigidos.
! " nales, a todos los elementos verticales del sistema de resistencia
sísmica.
ƒ !<
ƒ zas cortantes y fuerzas axiales para todos los elementos del sistema
de resistencia sísmica.
Los métodos de análisis reconocidos por la NSR-10 son los siguientes:
‘$ ‡ ƒ † ƒ ‘$ ‘$ Según las características de la estructura que se desea analizar, debe
seleccionarse el método de análisis más adecuado.
El método de análisis dinámico inelástico está fuera del alcance del
presente texto; este método se utiliza en aquellos casos en los cuales
se presentan variaciones en la capacidad de disipación de energía en el
rango inelástico, que sólo son posibles de identificar por este método.
107
2.2.1 Método de la Fuerza Horizontal Equivalente
En el caso de cargas de sismo, tanto las cargas como su distribución se
calculan según lo especificado en la Sección 1.6; este procedimiento
se denomina Fuerza Horizontal Equivalente (FHE). La NSR-10, Sec.
A.3.4.2.1, especifica que este método se puede utilizar en el análisis de
las siguientes edificaciones:
1.
Todas las edificaciones, regulares e irregulares, en la zona de amenaza sísmica baja.
2.
Todas las edificaciones, regulares e irregulares, pertenecientes al
grupo de uso I, localizadas en la zona de amenaza sísmica intermedia.
3.
Edificios regulares, de veinte niveles o menos, y 60 m de altura, o
menos, medidos desde la base, en cualquier zona de amenaza sísmica, excepto las edificaciones localizadas en lugares que tengan un
perfil de suelo tipo D, E o F con período de vibración mayor de 2Tc.
4.
Edificaciones irregulares que no tengan más de seis niveles o 18 m
de altura medidos desde la base.
5.
Estructuras flexibles apoyadas sobre estructuras más rígidas que
cumplan los requisitos de la NSR-10, Sec. A.3.4.2.3.
En el método de la Fuerza Horizontal Equivalente la magnitud y
distribución de las cargas están basadas en factores y expresiones empíricas, y en la suposición de que el comportamiento estructural está
controlado por el primer modo de vibrar, y de que la distribución de las
fuerzas horizontales tiende a una distribución de forma triangular. Es el
procedimiento más general para el análisis de estructuras regulares. Pero
el método de la Fuerza Horizontal Equivalente no es recomendable para
el análisis de estructuras irregulares o estructuras críticas localizadas en
zonas sísmicas.
2.2.2 Método del análisis dinámico elástico
Este método debe utilizarse para analizar las estructuras que no están
cubiertas en el numeral anterior, incluyendo las siguientes:
’\ excepción de las edificaciones mencionadas en el numeral 2.2.1 (1)
y (2).
108
Edificaciones que tengan irregularidades verticales de los tipos 1A,
2A y 3A.
las Figuras 1.20 y 1.21.
$
?\ calizadas en zonas de amenaza sísmica alta, que no tengan el mismo
sistema estructural en toda su altura.
ƒ un perfil de suelo D1 E o F y un período mayor de 2Tc. En este caso,
el análisis debe incluir los efectos de interacción suelo- estructura.
En el método dinámico la magnitud y distribución de las cargas son
funciones de las características dinámicas de la estructura y del sismo
de diseño. En la determinación de las cargas y en su distribución se
incluyen los efectos de la geometría, condiciones de apoyo, materiales y
distribución de las masas.
La diferencia entre estos dos métodos de análisis está en la manera
como las cargas laterales son determinadas y aplicadas a lo largo de la
altura de la estructura.
2.3 Aspectos generales del diseño sísmico
Es deber de los estados salvaguardar la vida, honra y bienes de sus ciudadanos. En la reglamentación se encuentra el medio para garantizar el
cumplimiento de los requisitos mínimos de este objetivo. Estos reglamentos, llamados códigos o normas, son escritos por hombres honestos,
de buena voluntad y están sometidos a las fragilidades humanas; es decir, no deben considerarse verdades evangélicas pues sólo representan
una síntesis del conocimiento actual.
Un reglamento no es un conjunto de reglas preparado por unos pocos
para la regulación de otros ingenieros, sino una síntesis del conocimiento, las prácticas y las técnicas contemporáneas. Consecuentemente, un
reglamento no puede ser mejor que nuestro conocimiento colectivo, obtenido ya sea por la teoría, la investigación o la experiencia en la práctica.
El gobierno colombiano, a través de la Ley 400 de 1997 (modificada por la Ley 1229 de 2008) y del Decreto 926 del 19 de marzo del
109
2010, promulgó las Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo Resistente (NSR-10), con las cuales se reglamenta el ejercicio de
las profesiones afines con la construcción, y se formulan los requisitos
mínimos que deben cumplirse para el diseño de estructuras en acero,
madera, hormigón y mampostería; igualmente se formulan los requisitos
mínimos para la construcción de viviendas de uno y dos pisos.
Uno de los materiales más empleado en la construcción de edificios
es el hormigón reforzado, pero este material tiene el inconveniente de
que no posee las propiedades esenciales que se necesitan para lograr un
buen comportamiento sísmico. Para esto hay que prestar mucha atención a ciertas características de estructuración y refuerzo que van más
allá de las normales para zonas no sísmicas. Se requiere de gran cantidad
de detalles de refuerzo que son costosos y constructivamente difíciles
de lograr.
“ ” dío, el 25 de enero de 1999, es el ejemplo más claro de este comportamiento defectuoso de estructuras de hormigón cuando no se cumplen
ciertos requisitos especiales. Estos requisitos pueden clasificarse en tres
niveles: estructuración, diseño y ductilidad.
! • – de elementos estructurales más apropiado para resistir las fuerzas
sísmicas. Debe tener una resistencia y rigidez alta a carga lateral y
debe evitar llevar la estructura a un colapso con falla frágil.
<
Los requisitos en cuanto a resistencia y rigidez son los mismos para
todas las estructuras.
ˆ migón en zonas sísmicas. Para que una estructura de hormigón tenga un buen comportamiento sísmico hay que cuidar los siguientes
tres factores: resistencia, rigidez y ductilidad. Una estructura debe
tener una capacidad de resistencia bastante alta para soportar las
cargas laterales, pero también debe tener un comportamiento dúctil
para evitar que se presente un colapso total si se excede por alguna
razón su capacidad.
Es prácticamente imposible diseñar una estructura para que resista
las máximas fuerzas sísmicas que pudiesen llegar a presentarse; no se
puede prever con suficiente confianza cuál va a ser el nivel máximo que
110
pueden alcanzar y, aun, en el caso hipotético de que se conociese, la solución sería una estructura no funcional por lo voluminoso de las columnas,
con costos elevadísimos que la harían inalcanzable para la comunidad.
Para resolver el problema se fija un nivel de resistencia, previendo la posibilidad de que las fuerzas inducidas por los sismos puedan exceder ese
nivel, pues es imposible ponerle límite al desplazamiento del terreno.
Imagen 2.6 Comportamiento dúctil de un edificio de hormigón reforzado
Si las fuerzas exceden los límites de resistencia que se han previsto,
se pretende que la estructura no presente una falla frágil, sino que sea
capaz de disipar la energía adicional que le pueda introducir un sismo, a
través de su comportamiento inelástico, de fluencia o de daños locales,
pero nunca debe llegar al colapso.
2.3.1 Comportamiento de las estructuras hiperestáticas
El comportamiento de las estructuras hiperestáticas puede ilustrarse de
manera muy sencilla: considérese el caso más simple de las estructuras
hiperestáticas, como es el de una viga continua de dos luces. Olvidando
por ahora el efecto del sismo, se asume que sobre la viga actúa una carga
uniforme que aumenta desde cierto valor hasta el máximo que puede
alcanzar (Figura 2.1).
Los valores del diagrama de momentos aumentan proporcionalmente con la carga W cuando la rigidez relativa entre elementos adyacentes
111
permanece constante. Estrictamente, esta proporcionalidad no existe
porque la rigidez cambia; al aumentar la carga aumentan las secciones
que se fisuran y esto hace que los valores de los diagramas de momentos
varíen ligeramente. Si se omiten estas pequeñas diferencias, se puede
pensar que al aumentar el valor de la carga los momentos aumentan proporcionalmente y se mantienen las diferencias relativas.
Figura 2.1 Viga hiperestática de dos luces continuas
Esta proporción se mantiene hasta que alguna sección alcance su
máxima capacidad, el valor de su momento de fluencia; asumiendo que
esta sección es el apoyo B, a partir de este instante esta sección no puede tomar más momento. Si se aumenta ahora el valor de la carga W el
refuerzo de esta sección fluye y ella gira, manteniendo su momento de
fluencia, Myb. Para fines prácticos esto es equivalente a tener una articulación plástica en este apoyo, y para cargas superiores a las que causaron
este momento, la viga se comporta como una viga continua con una articulación en este apoyo (Figura 2.2) y en este caso entonces el diagrama
de momentos cambia porque Myb se mantiene fijo.
Figura 2.2 Viga continua de dos luces con articulación plástica en el apoyo B
Al formarse la articulación plástica en el apoyo B la viga no ha fallado, sigue siendo estable. De aquí en adelante el tramo BC se comporta
como si fuera una viga simplemente apoyada pero con capacidad de soportar aún más carga. Al incrementar ahora la carga los otros momentos
112
se incrementan, hasta que otra sección alcance su momento de fluencia,
supongamos que es la luz L2. Dejando fijo el momento Myb se puede aumentar la carga e incrementar, a su vez, el valor del momento en la luz
L2, hasta que se forme allí una nueva articulación plástica (Figura 2.3),
se crea ahora un mecanismo de falla que deja la viga inestable, así tenga
más capacidad de rotación.
Figura 2.3 Viga continua de dos luces con articulación plástica
en el apoyo B y la L2
Del análisis anterior se concluye que en las estructuras de hormigón
reforzado, jugando con el refuerzo, se pueden definir los momentos resistentes de estas secciones de manera que se obtenga la secuencia de
articulaciones deseada. El criterio de ingeniería, con manipulación de los
factores de seguridad, define cuál es el mecanismo de falla más conveniente para la estructura, y los resultados del análisis elástico sirven sólo
como orientación para esta decisión.
2.3.2 Ejemplo numérico
Para la viga anteriormente mencionada se asumen los siguientes valores
numéricos: W = 3 t/m, L1 = 6 m, L2 = 5 m, ƒ’c = 21 MPa, ƒy = 420 MPa,
b = 30 cm, h = 40 cm, d’ = 6 cm. Del análisis se obtienen los resultados
elásticos indicados en la Figura 2.4.
Figura 2.4 Demanda de resistencia a la flexión en t-m
113
Lo primero que se debe decidir es la secuencia deseada de formación de las articulaciones plásticas; arbitrariamente se define que se forme la primera articulación plástica en el apoyo B y luego en la luz L2. Es
importante resaltar, nuevamente, que la secuencia deseada de formación
de las articulaciones plásticas es una decisión de ingeniería y el resultado
del análisis elástico es sólo una orientación para el diseño.
Las secciones que se desean mantener elásticas, secciones en A y L1,
se protegen con el factor de seguridad que se considere apropiado, por
ejemplo 1.4. La sección menos protegida es el apoyo B, allí se ha decidido
que se debe formar la primera articulación plástica, luego en ella se toma
un factor de seguridad de 1.0. Para la sección en L2 se toma un factor de
seguridad de 1.2, con ello se pretende garantizar que en este punto la
articulación plástica se forma después de la del apoyo B y las otras secciones de la viga permanecen en el rango elástico. Para lograr lo anterior, los
momentos obtenidos del análisis elástico, Figura 2.4, se multiplican por
el correspondiente factor de seguridad y se procede al diseño.
Tabla 2.1 Proporcionamiento de sobre resistencia
Sec.
Melástico
t-m
Factor
de
seguridad
deseado
Ma
8.90
1.4
Mmayorado
t-m
As
cm2
As colocado
cm2
Mresistente
Factor
de
seguridad
real
12.46
11.12
4N.o6
12.69
1.426
L1
4.45
1.4
6.23
5.15
2N. 5
+1N.o 4
6.38
1.434
Mb
9.20
1.0
9.20
7.87
4N.o 5
9.33
1.014
5.31
2N. 5
+1N.o 4
6.38
1.195
L2
5.34
1.2
6.41
o
o
Cuando se incremente el valor de la carga W, la primera sección que
agotará su resistencia es el apoyo B, que corresponde a la sección de
menor factor de seguridad (Tabla 2.1). Como los momentos son proporcionales a las cargas, la carga W1 que agota la capacidad de resistencia del
apoyo B será W1 = 1.014*W = 3.04 t/m. Cuando la carga W sobrepase
este valor, la sección en B girará sin tomar más momento (Figura 2.5).
114
Figura 2.5 Formación de la primera articulación plástica en el apoyo B
La sección del apoyo B agota su resistencia cuando la carga W alcanza el valor de 3.04 t/m, pero las otras secciones permanecen en el rango
elástico. Ahora, se incrementa nuevamente el valor de la carga W1 hasta
que la siguiente sección agote su capacidad de resistencia, para ello se
realizan los cálculos consignados en la Tabla 2.2.
Tabla 2.2 Sobre-resistencia residual
Sec.
Melástico
t-m
Mresistente
t-m
Factor de
seguridad
residual
Momento
sobre-resistente
DM (t-m)
Ma
9.02
12.69
1.407
3.67
L1
4.51
6.38
1.415
1.87
L2
5.42
6.38
1.177
0.96
La siguiente articulación plástica se generará en aquella sección que
tenga el menor factor de seguridad, en este caso es la luz 2. Para deter [‰˜` resistencia en L2, debe considerarse que el tramo BC se comporta como
una viga simplemente apoyada. Para la abscisa indicada se obtiene que
‰˜Š\<~~™š Œ la viga en estudio es: W2 = W1›‰˜Š~<~œ™<
Del ejemplo anterior se puede concluir lo siguiente: en una estructura de hormigón existen ciertas relaciones fijadas por la estática que
determinan la resistencia, y puede proporcionarse la resistencia que se
desee alcanzar suministrándole a las secciones individuales capacidades
diferentes, de manera que propicien el modo de falla que más conviene;
así que si la estructura alcanza el mecanismo de falla, llegará al menos
desfavorable, uno que dé lugar a una falla dúctil, que sea capaz de disipar
115
energía y que no ocasione un colapso; entonces, a través de la manipulación de las resistencias individuales de las secciones se puede proporcionar el mecanismo de falla más conveniente.
2.4 Filosofía del diseño sísmico según la NSR-10
Si en el pórtico que se muestra en la Figura 2.6a se asume que se conocen exactamente las cargas laterales y su distribución, entonces, como
resultado del análisis elástico se obtiene cierto diagrama de momentos,
tanto en vigas como en columnas. A partir de estos momentos elásticos
se pueden obtener tres comportamientos extremos:
Figura 2.6 Diferentes tipos de mecanismos de falla en estructuras
aporticadas de hormigón reforzado
Tanto a las vigas como a las columnas se les proporciona exactamente la resistencia demandada por el análisis elástico.
Si las cargas laterales se incrementan, se incrementarán los desplazamientos y con ellos el valor de los momentos hasta que todas las secciones lleguen simultáneamente a la fluencia y se forme un mecanismo
de falla (esto es posible si a todas las secciones se les proporciona un
momento resistente exactamente igual al momento elástico). Sería una
casualidad que esto sucediera, por simples aproximaciones, redondeo de
varillas o por requisitos constructivos esto nunca se obtiene en la realidad, pues siempre hay unas secciones que quedan más sobradas que
otras (Figura 2.6b).
Se les proporciona a las vigas una resistencia mayor a la que demanda el análisis elástico; se aumenta por ejemplo en un 20%, y a las columnas se les proporciona exactamente la resistencia que éste indica.
116
Al aumentar las cargas las vigas permanecen elásticas y para cierto
nivel de carga se forman articulaciones plásticas en las columnas; basta
que se formen estas articulaciones en un entrepiso para que la estructura se vuelva inestable. A este mecanismo de falla se le conoce con el
nombre de mecanismo de columna (Figura 2.6c).
Se les proporciona a las vigas una resistencia exactamente igual a
la que indica el análisis elástico, y a las columnas se les suministra una
resistencia mayor de la que éste demanda, se incrementa en un 20%,
30% o 40%.
Al incrementar las cargas, y cuando los momentos en las vigas alcancen su valor de fluencia, se formarán articulaciones plásticas en sus extremos; si todas se proporcionan iguales éstas se formarán simultáneamente
o secuencialmente de acuerdo con la resistencia suministrada. Esto no
quiere decir que se forme un mecanismo de falla, pues las columnas quedan como unas barras en voladizo y, finalmente, para que la estructura
colapse se tienen que formar articulaciones plásticas en las bases de las
columnas. A este mecanismo de falla se le conoce con el nombre de mecanismo de viga (Figura 2.9d).
En estos tres casos se logran mecanismos de falla diferentes, dependiendo de la forma como se han reforzado las secciones o de los factores
de seguridad, que pueden ser diferentes de un lugar a otro. ¿Cuál de los
tres mecanismos de falla es más ventajoso desde el punto de vista del
comportamiento sísmico de estructuras?
Mientras más articulaciones plásticas se necesiten para llegar al mecanismo de colapso, se tiene más disipación de energía y se requiere menor disipación individual de cada una de las articulaciones; la disipación
se reparte entre muchas articulaciones y se requiere menor demanda de
ductilidad local. Por otra parte, el mecanismo de falla deseable es aquel
que involucra mecanismos de falla en los elementos que tengan más
capacidad de rotación.
El mecanismo de viga es el mejor por las siguientes razones: las vigas tienen mayor capacidad de rotación que las columnas y el mecanismo disipa más energía por tener una mayor cantidad de articulaciones
plásticas.
Lo que interesa es que la ductilidad global de la estructura alcance
cierto valor, P, esto es, que el desplazamiento, medido en el nivel superior, sea m veces el valor correspondiente al de la formación de la primera
117
articulación plástica. ¿Cuántas veces se necesita exceder la rotación de
fluencia en esta primera articulación? En el mecanismo de columna para
alcanzar cuatro veces la deformación de fluencia global se necesita un
factor de ductilidad de 125 en la articulación más crítica (que rote 125
veces su giro de fluencia). Eso es imposible de lograr en una sección de
hormigón cualquiera y menos en una columna que está sometida a carga
axial.
En el mecanismo de viga, para que la estructura alcance cuatro veces su deformación de fluencia global, se necesita que la sección más crítica tenga ocho veces la deformación de fluencia, es decir, el doble; pero
en una viga es razonable, mientras que en el de columna es imposible
alcanzar 125 de ductilidad local.
En el mecanismo ilustrado en la Figura 2.6b se tiene un mecanismo
de colapso claramente definido por la formación simultánea de articulaciones plásticas en todas las secciones críticas. Por las razones anteriormente expuestas es un mecanismo difícil de lograr que no presenta las
ventajas del mecanismo de viga.
Imagen 2.7 Las grandes deformaciones de las estructuras dúctiles van asociadas
a graves daños en acabados y en elementos estructurales
118
2.5 Procedimiento para el diseño a flexión de vigas
y columnas
2.5.1 Diseño a flexión de vigas
En el diseño sísmico conviene diseñar las vigas con los resultados del
análisis elástico. Se diseñan las secciones en las cuales se acepta que se
formen articulaciones plásticas con el momento elástico exacto y con el
factor de sub resistencia dado por la NSR-10 (I = 0.90 NSR-10, Sec.
C.9.3.2.1).
2.5.2 Diseño a flexo-compresión de columnas
En las secciones de columnas no se desea un comportamiento inelástico,
por ello deben protegerse mediante factores de seguridad adecuados.
Existen dos maneras de proceder:
tico pero aumentando los factores de seguridad; este procedimiento
es muy sencillo porque se basa en los resultados elásticos, pero no
es estrictamente riguroso porque no se puede asegurar que se forme
todo el mecanismo previo, no se sabe si el factor de seguridad es
suficiente.
ž troducen en las secciones que se desean proteger cuando las vigas
lleguen a la fluencia, y diseñar para estos valores con un factor de
seguridad. Este es una especie de diseño plástico o de diseño en
dos etapas: primero se diseñan por métodos elásticos las secciones
que se desea plastificar (las vigas) y después, cuando se plastifiquen
estas secciones, se observa qué acciones mecánicas se presentan en
los otros elementos (columnas) y se diseña para ellas.
Figura 2.7 Equilibrio de momentos en un nudo, 6Mcol = 6Mvig
119
La NSR-10 acepta los dos procedimientos, y exige el segundo de
ellos para diseño a cortante de vigas y columnas en estructuras con demanda especial y moderada de ductilidad. Para el diseño a flexión de
columnas se acepta el primer procedimiento pero debe cumplirse la especificación de la NSR-10 consignada en la Tabla 2.3.
La NSR-98 requería que la resistencia de diseño se evaluara en el
centro del nudo, por su parte la NSR-10 especifica calcularla en las caras
de los nudos; los dos procedimientos conducen a resultados similares,
siendo el procedimiento de la NSR-10 más fácil de evaluar.
Para estructuras con demanda moderada, DMO; y especial de ductilidad, DES, y con el fin de lograr que se forme el mecanismo de viga, la
norma especifica que los momentos nominales de las columnas sean un
20% superiores a los momentos nominales vigas que lleguen al nudo.
Tabla 2.3 Especificaciones para diseño a flexión de columnas según la NSR-10
Resistencia mínima a la flexión de las columnas
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
Moderada – DMO
Sec. C.21.3.6.2
Especial – DES
Sec. C.21.6.2.2
No hay requisitos
especiales
6Mn col t 1.2 6Mn vigas
6Mn col t 1.2 6Mn vigas
6Mn vigas = suma de momentos, resistentes nominales a flexión de
las vigas que llegan al nudo, evaluadas en la cara del nudo
(I = 1 y fs = fy).
6Mn col = suma de momentos, resistentes nominales a flexión de las
columnas que llegan al nudo, evaluadas en la cara del nudo
(I = 1 y fs = fy).
Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, la
NSR-98 no especificaba ningún requisito especial, no se exigía el empleo de factor de seguridad alguno, y si se diseñaba de acuerdo con los
resultados elásticos se llegaría a un estado de falla no aceptable: se presentaría falla simultánea de vigas y columnas. No se deben diseñar estructuras con DMO sin emplear un factor de seguridad apropiado para
poder garantizar una falla dúctil, esta deficiencia de la NSR-98 fue co-
120
rregida por la NSR-10, la cual especifica un factor de seguridad de 1.2;
su objetivo es proteger las columnas de la falla a flexión y proporcionarle
ductilidad a la estructura. La resistencia a la flexión de las columnas
debe determinarse a partir de la resistencia real de las vigas y no a partir
de los requerimientos por resistencia,
Diseñar las columnas a flexión con los valores de los momentos
elásticos es inapropiado. Por simple redondeo del área de refuerzo, la
resistencia de las vigas es mayor que la requerida por el diseño elástico;
por otra parte, el diseño de las vigas se realiza a partir de la resistencia
nominal de fluencia del refuerzo. Realmente las siderurgias suministran
aceros con puntos de fluencia muy superiores al nominal; SIMESA, por
ejemplo, producía aceros con límites de fluencia superiores en un 18%
del valor nominal, con una desviación estándar de 1.23 MPa; este solo
aspecto puede absorber el factor de seguridad para estructuras con demanda de ductilidad especial, en las cuales la resistencia a la flexión de
las columnas puede llega a ser inferior a la de las vigas.
A juicio del autor una factor de seguridad de 1.2 para estructuras
con demanda especial de ductilidad, DES, puede ser bajo puesto que la
sobre resistencia de los aceros nacionales supera en algo más del 10% el
valor del esfuerzo de fluencia de los aceros y absorbe cerca del 50% del
valor de seguridad propuesto. Por otra parte, estas estructuras tienen
grandes deformaciones y pueden llegar a incursionar en la zona de endurecimiento por deformación de los aceros por lo que los momentos
resistentes de las vigas deberían ser los probables, fs máx = 1.25 fy, y no los
nominales, fs = fy, tal como lo prescribía la NSR-98.
Para estructuras con demanda mínima de ductilidad, DMI, no hay
necesidad de proporcionar ductilidad a la estructura pues los efectos
sísmicos no son de importancia comparados con los efectos de las cargas
gravitacionales.
2.6 Procedimiento para el diseño a cortante de vigas
y columnas
2.6.1 Estructuras con Demanda Moderada de Ductilidad
(DMO)
El objetivo del diseño es reducir el riesgo de la falla por cortante en vigas
y columnas durante un sismo, la falla por cortante es indeseable por ser
121
imprevisible y violenta. Se proponen dos opciones para determinar la
fuerza cortante mayorada. La NSR-10, Sec. C.21.3.3, especifica, para
este tipo de estructuras, que el cortante de diseño (Vu) no debe ser menor que el menor valor de:
a) La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos
nominales del elemento en cada extremo restringido de la luz libre
y el cortante calculado para cargas gravitacionales mayoradas.
b) El cortante máximo obtenido de las combinaciones de cargas de diseño que incluyan los efectos sísmicos, E, considerando E como el
doble del valor prescrito en el título A de la NSR-10.
En la norma NSR-98 se exigía cumplir cualquiera de los dos procedimientos mencionados, la NSR-10 modifica este aspecto y obliga a
realizar los dos procedimientos para estructuras con demanda moderada
de ductilidad (DMO).
Los cálculos para estructuras con demanda moderada de ductilidad,
DMO, se basan en los momentos resistentes nominales, mientras que para
las estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, los cálculos se
basan en los momentos resistentes probables (Tablas 2.4 y 2.5).
Para la aplicación del literal (a) se procede de la siguiente manera:
El máximo cortante que se puede introducir por sismo es aquel que
se presenta cuando los dos momentos de extremo alcanzan su valor de
fluencia. En este caso la suma de los momentos de extremo no puede
pasar de la suma de sus valores de fluencia y, por tanto, el cortante que
se introduce nunca podrá exceder de esta suma dividida por la longitud
libre, independiente de qué tan fuerte es el sismo.
En todas las aplicaciones los cortantes de diseño se deben calcular
suponiendo que los momentos de extremo actúan en el mismo sentido,
actuando tanto en el sentido de las manecillas del reloj como en sentido
contrario a las manecillas del reloj.
La NSR-10 especifica que el valor de los momentos de fluencia
debe corresponder al valor de los momentos nominales resistentes a flexión, estos momentos se calculan empleando un factor de sub resistencia I = 1 y un esfuerzo de fluencia en el acero fs = fy.
Como para calcular el cortante de diseño se requiere determinar
previamente el valor de los momentos resistentes nominales hay necesi-
122
dad de hacer primero el diseño a flexión, tanto de las vigas como de las
columnas, para saber qué refuerzo se ha de colocar en estas secciones.
Figura 2.8 Cortante de diseño en vigas y columnas
En el caso de vigas, si al cortante por carga vertical se le suma el del
sismo, mayorado por un adecuado factor de seguridad, y se diseñan los
estribos para que soporten este cortante, se logra que la viga nunca falle a
cortante, independientemente de qué tan grande o pequeño sea el sismo.
Por equilibrio estático, esta viga no podrá fallar a cortante, pues el
que se introduce por sismo está limitado por la fluencia de las secciones de extremo; es decir, existe una especie de fusible que impide que
entre más cortante del que puede resistir la viga, pues antes fallaría por
flexión. Si se diseña con este concepto se está forzando a que la viga
presente un modo de falla dúctil.
Para la determinación del valor del cortante de diseño para una columna se debe seleccionar la fuerza axial mayorada, Pu, que desarrolle
la mayor resistencia a momento de la columna. Como la resistencia a
123
momento de la columna es, como mínimo, 20% mayor que la resistencia
a momento de las vigas, este procedimiento garantiza que la columna
nunca fallará a corte pues primero fallaran las vigas a flexión.
Imagen 2.8 Articulación plástica en vigas
Para la aplicación del literal (b) se procede de la siguiente manera:
La Figura 2.8 muestra sólo una de las dos condiciones que deben
considerarse para cada elemento. La opción (b) determina Vu con base
en las combinaciones de carga que incluye el efecto sísmico, E, el cual
debe duplicarse. Por ejemplo, de las combinaciones de cargas definidas
en la Sección C.9.2.1 de la NSR-10; las expresiones C.9.5 y C.9.7 quedan en este caso:
Wu = 1.2D + 2.0E + 1.0L
Wu = 0.9D + 2.0E + 1.6H
(2. 1)
D = carga muerta, L = carga viva, E = f/R = carga sísmica,
H = empuje lateral
En este caso el cortante se calcula con los resultados del análisis
elástico: al cortante debido a las cargas gravitacionales se le suma el correspondiente al sismo, multiplicado por un factor de seguridad de 2.0.
124
Este procedimiento utiliza los resultados del análisis elástico y no
requiere el diseño previo a flexión de los elementos. Con este procedimiento no se tiene control sobre los factores de seguridad, algunas
secciones pueden quedar sobradas a cortante y otras deficientes. El procedimiento indicado en el literal (a) es un procedimiento racional que
garantiza, por sí solo, la seguridad a cortante de los elementos estructurales, por tanto, el procedimiento indicado en el literal (b) no tiene
sentido y podría suprimirse de la norma sin afectar la seguridad de la
estructura
2.6.2 Estructuras con Demanda Especial de Ductilidad (DES)
La fuerza cortante de diseño se debe determinar a partir de las fuerzas
estáticas en la parte del elemento comprendida entre las caras del nudo.
Se debe suponer que en las caras de los nudos, localizados en los extremos del elemento, actúan momentos de signo opuesto correspondiente
a la resistencia probable, Mpr , y que el elemento está cargado con cargas
aferentes gravitacionales mayoradas a lo largo de la luz.
En estas estructuras no se permite usar los resultados del análisis
elástico, se requiere diseñar primero los elementos a flexión y a partir de allí calcular los momentos probables de diseño empleando un
factor de sub-resistencia I = 1 y un esfuerzo de fluencia en el acero
fs = 1.25fy .
Debido a que la resistencia real del refuerzo longitudinal puede exceder la resistencia de fluencia especificada, y a que es probable que
ocurra endurecimiento por deformación del refuerzo en un nudo, sometido a grandes rotaciones, la resistencia al cortante requerirá un esfuerzo
de al menos 1.25fy para el refuerzo longitudinal. En todos los casos, los
cálculos de los momentos de fluencia deben hacerse con el acero realmente colocado en la viga.
El procedimiento de cálculo se indica en la Figura 2.8, pero deben
utilizarse los momentos resistentes probables a cambio de los momentos
resistentes nominales indicados en dicha figura. En las Tablas 2.4 y 2.5
se indican las expresiones a utilizar para su cálculo.
125
Tabla 2.4 Especificaciones para diseño a cortante de vigas según la NSR-10
Resistencia mínima a cortante de las vigas
Mínima - DMI
No hay
requisitos
especiales
DMI
Moderada - DMO
El momento nominal
de fluencia se calcula para
I= 1.0 y ƒs = ƒy
Especial - DES
El momento probable
de fluencia se calcula para
I= 1.0 y ƒs = 1.25 ƒy
Tabla 2.5 Especificaciones para diseño a cortante de columnas según la NSR-10
Resistencia mínima a cortante de las columnas
Mínima - DMI
No hay
requisitos
especiales
Moderada - DMO
El momento de fluencia
se calcula para I= 1.0
Especial – DES
El momento de fluencia
se calcula para I = 1.0 y
ƒs = 1.25 ƒy
4 # ;
Asumiendo que en las columnas, de estructuras aporticadas resistentes a momento, los puntos de inflexión se presentan en la mitad de
su altura, se tiene en el punto medio una articulación, pero más que una
articulación ese es un punto de inflexión en la columna; entonces, por
equilibrio estático se tiene que el cortante que entra a la columna multiplicado por la altura H es igual a la suma de los momentos de las vigas
que llegan al nudo (Figura 2.9). Si se determina cuál es el momento negativo de la viga de un lado y el positivo de la del otro lado, se suman y se
divide por la altura H, se obtiene el valor del cortante que se introduce
126
en la columna; y si se diseña para este cortante, con un adecuado factor
de seguridad, se garantiza que esa columna no puede fallar a cortante
porque las vigas no le pueden introducir más cortante, pues primero
fallan por flexión.
Figura 2.9 Cortante en las columnas Vc = (Mvi + Mvd) / H
(2.2)
En el caso de estructuras con demanda moderada de ductilidad,
DMO, valores de los momentos de fluencia a flexión de las vigas corresponderán a los valores de los momentos nominales y para el caso de
estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, a los momentos
probables.
Existen algunas observaciones adicionales a las expresadas en el numeral anterior y que son propias del diseño de las columnas, como son:
la localización de los puntos de inflexión de las columnas, asumidos en la
mitad de un entrepiso, se cumple aproximadamente para pisos intermedios pero no en el primero ni el último piso. Por otro lado, debe prestarse mucha atención al proceso constructivo de los muros no estructuras
reales, pues si se adosan a la columna pueden reducir peligrosamente la
altura H, lo cual conduce a un exagerado incremento del cortante que
puede producir la llamada falla por columna corta (Imagen 2.9).
127
Imagen 2.9 Fallas de columna corta, Armenia, Colombia, enero de 1999
128
Capítulo 3
Análisis tridimensional
3.1 Introducción
El análisis estructural se considera como el conjunto de actividades que
llevan a la determinación de la respuesta de la estructura ante las diferentes acciones exteriores que puedan afectarla.
El análisis tiene tres etapas básicas:
Ÿ ƒ ! ! co, factible de ser analizado por los procedimientos de cálculo disponibles.
!
! lo de la estructura elegido.
<
-
Las estructuras de los edificios son tridimensionales y podrían analizarse, como tales, empleando el Método del Elemento Finito (MEF).
Con este método pueden idealizarse losas, columnas, vigas, muros, etc.
mediante diferentes tipos de elementos. Sin embargo, en la práctica
existen algunos inconvenientes:
¡ “ Œ dos de procesos, así como de entrada y salida de datos.
” que inducen a errores difíciles de localizar.
!
-
<
Un análisis tridimensional de tal naturaleza está reservado para estructuras muy especiales o partes limitadas de un edificio de características poco usuales.
La denominación de método “exacto” se refiere a la precisión numérica dentro del marco de ciertas hipótesis. En el análisis de edificios,
dicho término alude a resultados precisos de modelos en los que las cargas y las propiedades mecánicas de los materiales son conocidas y se
supone un comportamiento elástico lineal.
129
Los reglamentos modernos consideran que ante temblores severos
las estructuras de los edificios muy probablemente incursionarán dentro
del rango inelástico. Además, existen incertidumbres en las predicciones
de las acciones sísmicas y en el cálculo de las propiedades como masas,
inercias, etc. Por tales motivos, aun empleando los más refinados programas de computador, se obtienen solamente modelos aproximados de
las estructuras y sus solicitaciones. Es concebible que, bajo ciertas circunstancias, un método “aproximado” represente a una estructura con
precisión similar a la de un método “exacto”.
En edificios, para hacer el análisis tridimensional, la práctica más
frecuente es idealizar la estructura como un conjunto de sub estructuras
(pórticos y muros) planas, ligadas por los sistemas de piso, que se consideran indeformables en su plano, es decir, funcionan como diafragmas
infinitamente rígidos en planta.
3.2 Hipótesis del modelo matemático
En este capítulo se desarrolla un modelo matemático para el análisis
tridimensional lineal de estructuras aporticadas, y la estructura se subdivide como un conjunto de pórticos planos acoplados por un sistema de
entrepiso rígido en su plano. Para generalizar el estudio a los sistemas
combinado y dual, basta con hacer las modificaciones correspondientes
a la matriz de rigidez, lo que puede consultarse en los textos de análisis
estructural. Una vez planteado el modelo, se desarrolla, paso a paso, un
ejemplo de análisis.
El modelo se fundamenta en las siguientes hipótesis:
< " son conocidas y se asume un comportamiento lineal elástico de la
estructura; es decir, existe linealidad entre las cargas impuestas y las
deformaciones causadas.
! planos dúctiles, acoplados por un sistema de entrepiso rígido.
ƒ nifica que los diafragmas de entrepiso sólo sufren traslaciones o desplazamientos sobre los ejes X y Y, y rotaciones respecto al eje Z,
130
pero no se deforman. Como consecuencia de ello, las vigas no sufren
deformaciones axiales.
La NSR-10 define en su Sección A.3.6.7.2 qué debe entenderse por
diafragma rígido en su propio plano:
El diafragma puede suponerse rígido en su propio plano cuando se
dispone su rigidez y su resistencia de tal manera que este actúe
como una unidad y sus propiedades de masa y rigidez se puedan
concentrar en el centro de masa y en el centro de rigidez. En
las edificaciones que tengan irregularidades del tipo 2P y 3P la
consideración de diafragma rígido debe evaluarse cuidadosamente, pues en la mayoría de los casos estas irregularidades inhiben
el comportamiento como diafragma rígido en los entrepisos de
la edificación. El diafragma puede suponerse flexible, cuando la
máxima deflexión horizontal dentro de diafragma, al verse sometido a las fuerzas sísmicas, F, es más de dos veces el promedio de
sus deflexiones horizontales.
Figura 3.1 Los efectos sísmicos se analizan independientemente
en dos direcciones ortogonales
131
‚ de masa.
‚ ƒ <
Π<
Las anteriores hipótesis traen como consecuencia la consideración
de sólo tres grados de libertad en cada entrepiso de una estructura: dos
desplazamientos horizontales (mx, my) y un giro alrededor de un eje vertical (fz), por consiguiente, el número de incógnitas de una estructura
será de tres veces el número de pisos de la misma.
3.3 Definiciones
Q ‘ [Q<‘<`¢ Q ‘ de aplicación de la fuerza sísmica en un nivel considerado. Para una
distribución uniforme de la masa, el centro de masa coincide con el
centro geométrico del entrepiso (centro de gravedad).
Q Q [QQ`¢ Q Q punto de aplicación de la fuerza cortante sísmica del entrepiso. La
localización de este punto depende de la localización de los centros
de masa o de gravedad de cada entrepiso y no de la rigidez de la
estructura.
Q ^ ![Q^`¢ tante de entrepiso para que el movimiento de todos ellos sea exclusivamente de traslación (fz = 0). La localización del centro de
torsión, también conocido como centro de rigidez, depende de la
distribución de la rigidez de la estructura.
Los Centros de Masa y de Cortante se refieren a la aplicación de
las acciones sísmicas, mientras que el Centro de Torsión se asocia con la
aplicación de la resistencia.
Œ ¢ de que la excentricidad estática será la diferencia entre las coordenadas de los centros de cortante y de torsión. En forma simbólica,
para la excentricidad estática en el eje X se tiene:
132
eX = XC.C. – XC.T.
(3.1)
‘ ƒ ƒ £¤c ]j: es el resultado de la condensación estática de la matriz de rigidez del pórtico j, y relaciona los desplazamientos del piso “i” (Pi)j con las fuerzas laterales (fi) j. Es una
matriz cuadrada de orden “n”, donde “n” es el número de pisos. Es
indispensable que el lector esté familiarizado con el procedimiento
para obtener esta matriz, pues su deducción está fuera del alcance
del presente texto.
{ fi } jŠ£¤c ]j * { Pi }j
(3.2)
3.4 Sistema global de coordenadas
Se adopta el sistema de coordenadas indicado en la Figura 3.2 como sistema global de coordenadas. Las fuerzas y desplazamientos serán positivos cuando su sentido coincida con el de los ejes X y Y, y los momentos y
giros serán positivos cuando su sentido coincida con el del eje Z.
Figura 3.2 Sistema global de coordenadas
133
3.5 Procedimiento de análisis, diagrama de flujo
Figura 3.3 Diagrama de flujo
134
3.6 Matriz de rigidez de la estructura
3.6.1 Fundamentos
Una excitación sísmica es un efecto dinámico que induce movimientos
en las estructuras, a estos movimientos las estructuras se oponen por su
inercia y por su rigidez. La determinación del valor y ubicación de las
fuerzas de reacción a este movimiento es obtenida por algún método estático o dinámico que se asume conocido. Supongamos que la estructura
indicada en la Figura 3.4a se somete a una excitación sísmica, la cual se
cuantifica por su cortante basal, Vsy, que actúa en la dirección del eje Y
y que las fuerzas que se oponen a este movimiento son las indicadas en
la Figura 3.4b.
Figura 3.4 Efectos de las acciones sísmicas sobre las estructuras
La fuerza sísmica que se presenta en el pórtico “j”, fj, genera un
momento torsor respecto al eje Z, el valor de este momento es igual al
producto de la fuerza por la distancia que existe entre el origen de coordenadas y la línea de acción del pórtico j, rj.
Para calcular la distancia rj debe definirse el sistema local de coordenadas del pórtico j, con este fin se selecciona arbitrariamente el nudo
inicial y final del pórtico; el resultado es independiente de esta elección.
El valor de rj suele expresarse en términos de las coordenadas del
punto medio, Pjm (Xjm, Yjm), para su deducción se proyecta la estructura
sobre el plano XY.
135
Figura 3.5 Análisis de la torsión, momento torsor
Las coordenadas del punto medio se calculan mediante la siguiente
expresión:
(3.3)
El ángulo que forma el eje del pórtico “j” con el eje X se denomina
Tzj, se mide del eje X al eje del pórtico y su sentido positivo es contrario
al de las manecillas del reloj.
(3.4)
Figura 3.6 Distancia del pórtico j al origen de coordenadas, rj
136
rj = ab = ac – bc = Xjm * Sen Tzj – Yjm * Cos Tzj
(3.5)
Aquí rj es una cantidad vectorial, como tal puede tener valores positivos o negativos.
3.6.2 Desplazamientos de los entrepisos
La Figura 3.7 corresponde a un entrepiso cualquiera de un edificio, nivel
i-ésimo; en ella se indican los desplazamientos que sufre el entrepiso
referidos al sistema global de coordenadas. Se pretende ahora obtener
los desplazamientos de los pórticos, en el nivel i-ésimo, a partir de los
desplazamientos del entrepiso.
Figura 3.7 Desplazamientos del entrepiso, nivel i-ésimo
Figura 3.8 Vista en planta del pórtico j en el nivel i-ésimo
de una estructura cualquiera
137
A cada nivel i del pórtico j se le puede asociar un desplazamiento
en el plano del pórtico, dji , en función de los tres grados de libertad del
nivel i ( Pxi , Pyi , Izi ). Considerando que el ángulo de torsión, Izi , es
pequeño, se obtiene:
Figura 3.9 Desplazamiento del pórtico j en el nivel i en función
de los desplazamientos del nivel i
(3.6)
Tzj =
ángulo que forma el pórtico j con el eje X
Izi =
ángulo de torsión del entrepiso i- ésimo
PXi , PYi = desplazamientos en X y Y del entrepiso i-ésimo
dji =
desplazamiento del pórtico j en el entrepiso i-ésimo
3.6.3 Matriz de rigidez de la estructura en coordenadas globales
De acuerdo con el método de las rigideces:
(3.7)
Sustituyendo (3.6) en (3.7):
(3.8)
138
El vector {fj} representa el conjunto de fuerzas laterales que es necesario aplicar al pórtico j para obtener el vector de desplazamiento {dj}.
{Fj} = {fj} representa la fuerza sísmica (obtenida por algún método estático o dinámico que se asume conocido) correspondiente al nivel
i-ésimo y que actúa en el centro de masa del nivel i.
Figura 3.10 Fuerza aplicada al pórtico j para producir el desplazamiento dji
Si se descompone el vector fji se obtiene:
(3.9)
Reemplazando (3.8) en (3.9):
Al emplear la notación matricial obtenemos finalmente la matriz
lateral de la estructura de tamaño 3n*3n, donde n es el número de pisos.
Si reemplazamos Cos Tzj por C y Sen Tzj por S se obtiene:
(3.10)
139
La matriz de rigidez también suele expresarse con la siguiente
notación:
(3.11)
Cada término de la matriz total es una sub-matriz de orden n*n, en
“ š $ £¦xx] se obtiene
como:
(3.12)
 ‹ ƒ£¦xx] se suman las matrices condensadas
de cada pórtico, multiplicadas por el Cos Tzj correspondiente a cada uno
de ellos.
3.7 Vector de cargas
3.7.1 Coordenadas del centro de cortante
Si se conocen la fuerza sísmica y la posición del Centro de Masa (C.M.)
de cada nivel, por estática se obtienen las coordenadas del Centro de
Cortante (CC):
(3.13)
En la cual:
(Xcc, Ycc)i
= coordenadas del centro de cortante del entrepiso i
(X.cm, Ycm)k = coordenadas del centro de masa del entrepiso k
140
Vi
= fuerza cortante del entrepiso i
Fk
= fuerza sísmica del nivel k
3.7.2 Coordenadas del centro de torsión
El planteamiento hasta aquí expresado es de carácter general en el análisis tridimensional de estructuras. La dificultad del análisis de la torsión
radica en la determinación del vector de momentos, {Mzi}, indispensable para poder resolver el sistema de ecuaciones.
Para determinar la localización del centro de rigidez, también llamado centro de torsión, se deben considerar dos direcciones ortogonales
del sismo, por comodidad se seleccionan las direcciones de los ejes X y Y.
-7 6 <
Se considera como Centro de Torsión (CT) el punto donde al aplicar la
fuerza cortante sísmica el desplazamiento de los entrepisos es exclusivamente de traslación (Izi = 0).
Para el sismo que actúa en la dirección del eje X:
{Fxi} = {Vi}
{Fyi} = {0}
{Izi} = {0}
En donde el vector {Vi} es el vector de las fuerzas cortantes sísmicas
de entrepiso.
De acuerdo con la expresión (3.11) se obtiene:
(3.14)
Y al expandir la parte superior de la expresión (3.14):
(3.15)
La solución del sistema de ecuaciones anteriores permite obtener
los desplazamientos de entrepiso. Cuando se expande la parte inferior
de la expresión (3.14) se tiene:
141
(3.16)
Como el vector de momentos {Mzi} está referido al origen del sistema global de coordenadas, se puede obtener la coordenada YCT del
entrepiso i después de dividir el momento Mzi por el cortante de entrepiso Vi.
El signo negativo en la expresión (3.17) obedece a que cuando el
sismo actúa en dirección del eje X, el momento torsor, Mzi, coincide con
la dirección negativa del eje Z.
Figura 3.11 Análisis del sismo en X
(3.17)
-7 6 El desarrollo es análogo al sismo en X. Ahora:
{Fxi} = {0}
{Fyi} = {Vi}
{Izi} = {0}
De acuerdo con la expresión (3.11) se obtiene:
(3.14a)
142
Al expandir la parte superior de la expresión (3.14a):
(3.18)
La solución del sistema de ecuaciones anteriores permite obtener
los desplazamientos de entrepiso. Si se expande la parte inferior de la
expresión (3.14a) se tiene:
(3.19)
Como el vector de momentos {Mzi} está referido al origen del sistema global de coordenadas, se puede obtener la coordenada Yct del entrepiso, i, si dividimos el momento Mzi por el cortante de entrepiso Vi:
Figura 3.12 Análisis del sismo en Y
(3.20)
3.7.3 Excentricidades estáticas y de diseño
Una vez localizados los centros de cortante y de torsión, se aplica la
expresión (3.1) y se determinan las excentricidades estáticas de cada
entrepiso, i:
(3.21)
143
Esta excentricidad se deduce con buen rigor matemático a partir de
un modelo elástico, bajo la hipótesis de un sistema de entrepiso de rigidez infinita, pero la localización del centro de rigidez o centro de torsión
es muy imprecisa, pues se han omitido aspectos trascendentales, por
ello puede afirmarse que la excentricidad estática deducida tiene una
pobre aproximación pues la rigidez de los elementos puede ser alterada
por agrietamientos locales al incursionar la estructura en el rango inelástico, por la contribución de elementos no estructurales (muros) y por la
incertidumbre en la localización de las masas dentro de los entrepisos.
El análisis realizado para la excentricidad se basa en procedimientos
elásticos y el efecto sísmico es de carácter dinámico. Debido a que el
efecto de la vibración es de carácter dinámico, el momento torsor que actúa en cada entrepiso puede verse en general amplificado y, por tanto, la
excentricidad efectiva puede ser mayor que la calculada estáticamente.
Por las dos razones expuestas, las normas modernas de análisis sísmico proponen que el momento torsor de entrepiso se calcule no con la
excentricidad estática sino con una excentricidad efectiva calculada de
acuerdo con la siguiente expresión:
ediseño = O ee ± E D
(3.22)
ee = excentricidad estática calculada a partir de los valores teóricos
de los centros de cortante y de torsión, de acuerdo con la expresión (3.21).
O = factor que cubre la amplificación dinámica de la torsión.
D = longitud de la estructura en dirección normal a la del análisis.
b = es un coeficiente igual a 0.05 o 0.10, dependiendo del código.
La primera parte de excentricidad de diseño, expresión (3.22), tiene en cuenta el efecto dinámico de la vibración; y la segunda parte,
que se conoce como excentricidad accidental, cubre aspectos como el
comportamiento no lineal de la estructura, la incertidumbre en la localización de las masas de entrepiso, el efecto de los elementos no estructurales, etc.
O * ee = excentricidad dinámica
144
La NSR-10, Sec. A.3.6.7, especifica: “Debe suponerse que la masa
de todos los pisos está desplazada transversalmente hacia cualquiera de
los dos lados, del centro de masa calculado de cada piso, una distancia
igual al 5% (0.05) de la dimensión de la edificación en ese piso, medida
en la dirección perpendicular a la dirección en estudio”.
ediseño = ee ± 0.05*D
(NSR-10)
(3.23)
La excentricidad de diseño según la NSR-10 no tiene en cuenta el
efecto dinámico de la vibración. El término D se refiere a la dimensión
de la estructura normal, a la dirección en estudio medida en cada entrepiso.
Las siguientes son las especificaciones para calcular la excentricidad
de diseño en diferentes códigos:
ex = 1.5 ee ± 0.10*D
(México D.F.)
ex = (1.7 ee – ee 2 / D) ± 0.10*D
(Nueva Zelanda)
ex = 1.5 ee ± 0.05*D
(Canadá)1
ex = ee ± 0.05*D
(ATC3)
La norma colombiana adopta la expresión propuesta por el ATC3.
Figura 3.13 Excentricidades de diseño según las diferentes normas
1
Si la excentricidad de diseño excede de 0.25*D se duplica el efecto torsional.
145
3.7.4 Momentos torsores
-7 6 <
La condición de carga para esta dirección queda determinada de la siguiente forma:
Para obtener {Mzi} de la expresión (3.17) para el entrepiso i-ésimo:
Figura 3.14 Análisis del sismo en X
{YCCi}1 = {YCTi} + {EYi}1
{ YCCi }2 = {YCTi} + {EYi}2
(3.24)
Por tanto:
{Mzi}1 = - V * { YCCi }1
{Mzi}2 = - V * { YCCi }2
(3.25)
Lo anterior implica que para el sismo en X se debe resolver dos veces el sistema para los siguientes estados de carga:
-7 6 =
La condición de carga para esta dirección queda determinada de la siguiente forma:
146
Para obtener {Mzi} de las expresiones (3.20) para el entrepiso
i-ésimo:
Figura 3.15 Análisis del sismo en Y
{XCCi}1 = {XCTi} + {EXi}1
{ XCCi }2 = {XCTi} + {EXi}2
(3.26)
Por tanto:
{Mzi}1 = - Vyi * { XCCi }1
{Mzi}2 = - Vyi * { XCCi }2
(3.27)
En suma, se resolverá el sistema dos veces para los siguientes estados de carga:
3.8 Análisis de los pórticos planos
3.8.1 Desplazamientos de los entrepisos
Una vez determinadas las fuerzas sísmicas y los momentos torsores que
actúan sobre la estructura, se deben aplicar a los diferentes elementos
de resistencia sísmica para proceder a su diseño, para esto debe analizarse la estructura, para cada uno de los cuatro casos de carga sísmica
mencionados (dos para sismo en X y dos para sismo en Y), y obtenerse
los dos desplazamientos y el giro de cada uno de los entrepisos. Estos
cálculos se realizan empleando la expresión (3.11):
147
(3.11)
3.8.2 Desplazamientos de los pórticos planos
Determinados los desplazamientos y giros de cada entrepiso, se calculan
los desplazamientos que tienen los diferentes pórticos, en cada nivel,
para cada uno de los cuatro casos de carga. Estos cálculos se realizan
aplicando la expresión (3.6):
Figura 3.16 Desplazamientos de los nudos
(3.6)
3.8.3 Cortantes y fuerzas sísmicas en los pórticos
Obtenidos los desplazamientos de cada pórtico, se calculan los cortantes
con la expresión (3.7):
{Vi}jŠ£¦c]j * {di}j
Figura 3.17 Cortantes y fuerzas horizontales
148
(3.7)
3.9 Control de derivas
El primer objetivo del diseño sismorresistente es proporcionar a la estructura la capacidad de disipar la energía que induce en ella un sismo
severo sin que ésta sufra un colapso o daños irreparables. Esta capacidad
puede lograrse diseñando la estructura para que tenga una resistencia
menor, pero cuente con propiedades de ductilidad que le permitan disipar la energía introducida por el sismo mediante ciclos de histéresis en
etapas inelásticas. El logro de este objetivo se pretende alcanzar en los
siguientes capítulos.
El segundo objetivo básico del diseño sismorresistente consiste en
evitar daños ante sismos moderados; este objetivo se pretende lograr
limitando los desplazamientos laterales de la estructura. El índice más
importante para la determinación de la magnitud de los posibles daños
es la deriva de entrepiso, o sea el desplazamiento relativo entre dos pi ‰i . Si la deriva se divide por la altura de entrepiso, Hpi , se
obtiene el ángulo de distorsión del entrepiso (JiŠ‰i / Hpi).
El objetivo es limitar las derivas a valores que no causen daños en
elementos estructurales y no estructurales, no para el sismo de diseño
sino para uno de mucha menor intensidad. Para poder emplear los mismos resultados del análisis ante el sismo de diseño, la distorsión angular
se multiplica en la NSR-10 por un factor del orden de cinco, con respecto a las que realmente se quieren controlar.
Experimentalmente se ha determinado que en muros de mampostería y en recubrimientos frágiles de muros divisorios se provoca
agrietamiento cuando las distorsiones exceden de Ji = 0.002; la NSR10, Sec. A.6.4.2, exige que el valor de la distorsión calculada, para estructuras de hormigón reforzado, no exceda el valor de: Ji = 0.01. Para
estructuras de mampostería este valor se reduce a la mitad.
3.10 Ejemplo
Primera parte, evaluación de cargas
Se estudiará el edificio de cuatro niveles mostrado en la figura. Para el
análisis sólo se consideran las deformaciones por flexión y el sistema de
piso será considerado de rigidez infinita en su plano. Las divisiones y la
fachada serán tradicionales, ladrillos de arcilla huecos (mampostería).
149
Localización...................
Zona de amenaza sísmica
Uso.................................
Sistema estructural........
Capacidad de ductilidad
Medellín, Aa = 0.15, Av = 0.20 (NSR-10, Apéndice A.4)
Intermedia
Residencial
Pórticos dúctiles de hormigón resistentes a momento
Moderada (DMO)
Perfil del suelo............... C
Grupo de uso................. 1
Fa = 1.2, FV = 1.6 (NSR-10, Tabla A.2.4-3)
Coeficiente Importancia. I = 1.0
Peso de particiones........... 3.0 KN/m2
Peso de acabados............. 1.6 KN/m2
Carga viva......................... 1.8 KN/m2
(300 kgf/m2)
(160 kgf/m2)
(180 kgf/m2)
Hormigón....................... f ’c = 21 MPa (210 kgf/cm2)
Acero............................. fy = 420 MPa (4,200 kgf/cm2)
150
NSR-10, Sec.B.3.4.3
NSR-10, Sec. B.3.4.3
NSR-10, Sec. B.4.2.1
Planta primer piso
151
Planta segundo piso
152
Planta tercer piso
153
Corte A-A
Vigas de........................
Columnas eje 4.............
Columna 2B..................
Columnas eje 4…………
Otras columnas.............
30 x 40 cm
30 x 30 cm
Lx = 30, Ly = 50 cm
Lx = 30, Ly = 30 cm
Lx = 50, Ly = 30 cm
Solución:
!
2
Por la configuración del sistema de entrepiso, ubicación de vacíos y voladizos, se consideró que el sistema más apropiado para estructurar la losa
154
es el de armado en una dirección. Para deducir su peso será empleada
una losa aligerada, y como aligerantes se usarán casetones de madera no
recuperables.
La sección más representativa de la losa es la indicada en la figura
inferior, ella será tomada como base para evaluar las cargas gravitacionales. Para las cargas producidas por acabados y particiones se adoptarán los
valores mínimos sugeridos por la NSR-10, pero se recomienda evaluarlos
para cada estructura; en este caso no se hizo por tratarse de un ejemplo
académico, pero ellas representan cerca del 50% de la masa del edificio.
Loseta superior
0.05 * 1.00 * 2,400
=
120 kgf/m2
Torta inferior
0.02 * 1.00 * 2,300
=
46
Nervio
0.33 * 0.10 * 2,400
=
79
Casetones
32 * 0.9
=
Peso de la losa
29
---------= 274
Acabados
(NSR-10, Sec. B.3.4.3)
=
Particiones
(NSR-10, Sec. B.3.4.3)
=
Total carga muerta de servicio:
Carga viva de servicio
(NSR-10, Sec. B.4.2.1)
160
300
====
CM = 734 kgf/m2
=
180 kgf/m2
Cargas por m2 de losa:
Carga de servicio
Ws = CM + CV = 734 + 180 = 914 kgf/m2
Carga última de diseño Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 1,168.8 kgf/m2
Factor de seguridad promedio de carga
Wu / Ws = 1,168.8 / 914 = 1.28
La carga última de diseño para la losa es de 1,168.8 kgf/m2, en esta
carga no está incluido el peso de las vigas, el cual debe adicionarse cuando se trate su diseño (Capítulo 4).
Para evaluar la masa de un entrepiso, a la carga muerta de la losa debe
adicionársele la masa de las vigas y de las columnas aferentes al mismo.
155
!
entrepisos
"
A la masa de la losa de cada entrepiso se le adicionan las masas de las
vigas y de las columnas aferentes (mitades de la longitud del entrepiso
inferior y superior).
Piso 1
Planta primera losa
Área total de la losa
(no incluye buitrones, ni vacío del ascensor)
Área de la losa (no incluye buitrones,
vacío del ascensor ni vigas)
= 170.40 m2
Longitud de vigas de 30 x 40
Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.5 + 9 * 1.2)
Longitud columnas de 30 x 30 (3 * 1.5 + 3 * 1.2)
= 94.70 m
= 24.30 m
= 8.10 m
Peso de la losa
Peso vigas
Peso columnas
Peso columnas
=
=
=
=
=
=
=
=
170.40 * 734
94.70 * 0.30 * 0.40 * 2,400
24.30 * 0.30 * 0.50 * 2,400
8.10 * 0.30 * 0.30 * 2,400
Peso del primer entrepiso
156
= 198.80 m2
125,073.6 kgf
27,273.6 kgf
8,748.0 kgf
1,749.6 kgf
=========
= 162,844.8 kgf
Piso 2
Planta segunda losa
Área de la losa
(no incluye buitrones ni vacío del ascensor)
Área de la losa (no incluye buitrones,
vacío del ascensor ni vigas)
= 142.80 m2
Longitud de vigas de 30 x 40
Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.2 + 9 * 1.2)
Longitud columnas de 30 x 30 (3 * 1.2)
= 94.70 m
= 21.60 m
= 3.60 m
Peso de la losa
Peso vigas
Peso columnas
Peso columnas
= 104,815.2 kgf
= 27,273.6 kgf
= 7,776.0 kgf
777.6 kgf
=========
= 140,642.4 kgf
=
=
=
=
142.80 * 734
94.70 * 0.30 * 0.40 * 2,400
21.60 * 0.30 * 0.50 * 2,400
3.60 * 0.30 * 0.30 * 2,400
Peso del segundo entrepiso
= 171.20 m2
157
Piso 3
Planta tercera y cuarta losa
Área de la losa
(no incluye buitrones ni vacío del ascensor)
Área de la losa (no incluye
buitrones, vacío del ascensor ni vigas)
=
163.90 m2
=
142.09 m2
Longitud de vigas de 30 x 40
Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.2 + 9 * 1.2)
=
=
72.70 m
21.60 m
Peso de la losa =
Peso vigas
=
Peso columnas =
=
=
=
142.09 * 734
72.70 * 0.30 * 0.40 * 2,400
21.60 * 0.30 * 0.50 * 2,400
Peso del tercer entrepiso
158
104,294.1 kgf
20,937.6 kgf
7,776.0 kgf
=========
= 133,007.7 kgf
Piso 4
Por tratarse de una terraza no se considera el peso de los muros divisorios, por esta razón el peso de la carga muerta en este nivel es de
434 kgf/m2.
Área de la losa,
no incluye buitrones ni vacío del ascensor
Área de la losa, no incluye
buitrones, ni vacío del ascensor, ni vigas
=
163.90 m2
=
142.09 m2
Longitud de vigas de 30 x 40
Longitud columnas de 30 x 50 (9 * 1.2)
=
=
72.70 m
10.80 m
Peso de la losa
Peso vigas
Peso columnas
= 61,667.1 kgf
= 20,937.6 kgf
= 3,888.0 kgf
=========
= 86,492.7 kgf
= 142.09 * 434
= 72.70 * 0.30 * 0.40 * 2400
= 10.80 * 0.30 * 0.50 * 2400
Peso del cuarto entrepiso
Los centros de masa, que para el modelo asumido coinciden con los
centros de gravedad, han sido determinados con ayuda del programa Autocad y sus resultados aparecen en los planos anteriores. Como resumen
de estos cálculos se tiene:
Entrepiso
Pesos
(kgf)
Centro de Masa (CM)
X C.M.
Y C.M.
1
162 844.8
773
581
2
140 642.4
668
575
3
133 007.7
631
576
4
86 492.7
631
576
Peso del edificio
522 987.6
Masa del edificio = peso del edificio / gravedad = 522,987.6/ g
159
Determinación de las fuerzas sísmicas, Método de la Fuerza Horizontal Equivalente
Cortante basal (Vs):
NSR-10, Sec. A.4.3.1
Vs = Sa * g * M
M = masa del edificio, calculada en el numeral anterior (522,987.6
kgf / g)
g = aceleración de la gravedad
Sa = valor del espectro de aceleraciones de diseño para un período
de vibración dado. Se expresa como una fracción de la aceleración de la gravedad.
Para poder obtener Sa se requiere determinar el período de vibración de la estructura, el cual puede calcularse en forma aproximada con
la siguiente ecuación, dada para estructuras aporticadas de hormigón:
NSR-10, Sec. A.4.2.2
hn = altura en metros, medida desde la base al piso más alto. Para
pórticos resistentes a momentos de hormigón reforzado: Ct = 0.047
y D = 0.9 (NSR-10, Tabla A.4.2-1)
hn = 3.4 + 3*2.8 = 11.80 m
La anterior expresión proporciona un valor del período fundamental
muy aproximado. De acuerdo con esta ecuación, todos los edificios que
tengan 11.80 m de altura tienen el mismo período, en todas las direcciones, independiente de su rigidez. Como el cortante basal depende del
período, éste debe evaluarse lo más real posible.
El período fundamental de una estructura, T, con un modelo linealmente elástico, puede obtenerse de manera más precisa empleando los
conceptos de la dinámica estructural. Si no se realiza un análisis dinámico, la NSR-10, Sec. A.4.2.1, sugiere el uso de la siguiente expresión, pero
limita el valor de T a un valor máximo de Cu Ta, donde Cu = 1.75 – 1.2
Av Fv, pero Cu no debe ser menor de 1.2:
160
n
T
2ʌ
2
¦ mi * į i
i 1
NSR-10, Sec. A.4.2.1
n
¦ fi * įi
i 1
Al final del presente capítulo, una vez evaluada la rigidez de la estructura, se volverá sobre este tema y se hará la evaluación dinámica del
período de vibración de la estructura.
Definido cuál es el período natural de vibración de la estructura se
emplea el espectro de diseño para evaluar el cortante basal.
Aa = 0.15, Av = 0.20
Tc
0.48
A v Fv
A a Fa
0.48
0.20 1.6
0.15 * 1.2
0.85 s
Sa = 2.5 Aa Fa I = 2.5*0.15*1.20*1.0 = 0.45
Vs = Sa * M * g = 0.45 *(522.99/g)* g
= 235.34 t
Método de la Fuerza Horizontal Equivalente
Este método permite obtener las fuerzas sísmicas horizontales, Fi, en
cualquier nivel, i, para la dirección en estudio.
C vi
mi * hik
n
k
¦ m i * hi
NSR-10, Sec. A.4.3.2
i 1
k es un exponente que se relaciona con el período fundamental, T,
de la estructura (NSR-10, Sec. A.4.3.2)
Para: T d 0.5 segundos k = 1.0
Para: 0.5 < T d 2.5 segundos k = 0.75 + 0.5T
Para: T > 2.5 segundos k = 2.0
Para este ejemplo T = 0.43 segundos: k = 1.0
Este método es muy conocido por los ingenieros, razón por la cual
no hay necesidad de entrar en detalle sobre su aplicación. Los cálculos
realizados se resumen en la siguiente tabla:
161
Entrepiso
hi m
mi t
mi hik
Cvi
Fi t
Vi t
1
3.4
162 85
553.69
0.152
35.77
235.34
2
6.2
140 64
871.97
0.239
56.32
199.57
3
9.0
133 01
1 197.09
0.329
77.33
143.25
4
11.8
86 49
1 020.58
0.280
65.92
65.92
============================
522 99
6
3,643.33
1.000
235.34
Las fuerzas sísmicas, Fi, son fuerzas inerciales que actúan en el centro de masa o centro de gravedad de cada uno de los entrepisos, puntos
estos que han sido previamente calculados en el literal anterior.
Q Q El Centro de Cortante (C.C.) es el punto de aplicación de la fuerza cortante de un entrepiso. En el entrepiso 4, por ser Fi = Vi, los centros de
masa y de cortante coinciden. En el entrepiso 3, como las fuerzas Fi de los
pisos 3 y 4 están en la misma línea de acción, el centro de cortante y de
masa coinciden. Para los otros entrepisos, tomando momentos de las fuerzas sísmicas, Fi, respecto al origen de coordenadas se tiene:
Para el entrepiso 1:
Para el entrepiso 2:
162
En resumen:
Fi
Vi
(t)
(t)
X (cm)
Y (cm)
X (cm)
Y (cm)
1
35.77
235.34
773.00
581.00
661.44
576.52
2
56.32
199.57
668.00
575.00
641.44
575.72
3
77.33
143.25
631.00
576.00
631.00
576.00
4
65.92
65.92
631.00
576.00
631.00
576.00
Entrepiso
Coord.CM
Coord. CC
Cálculo de la matriz de rigidez condensada de cada uno de los
pórticos
Unidades de los términos de rigidez en t/m.
Pórticos 1 y 3:
2.80 m
2.80 m
Vigas:
b = 30 cm
h = 40 cm
Columnas: b = 50 cm
h = 30 cm
2.80 m
Piso 1
3.40 m
4.45 m
A
Piso 2
Piso 3
Piso 4
5 332.290
-3 729.964
870.737
-3 729.964
6 168.097
--3 811.510
721.585
870.737
--3 811.510
5 800.278
-2 756.129
-111.009
721.585
-2 756.129
2 131.900
7.20 m
-111 009
C
B
Pórtico2:
2.80 m
2.80 m
Vigas:
b = 30 cm h = 40 cm
Columnas A y C: b = 50 cm h = 30 cm
Columna B:
b = 30 cm h = 50 cm
2.80 m
3.40 m
4.45 m
A
7.20 m
B
Piso 1
Piso 2
Piso 3
8 258.898
-5 861.617
1 593.501
Piso 3
-223,386
-5 861.617
9 328.843
-5 952.104
1 278.566
1 593.501
-5 952.104
8 550.975
-3 978.795
-223.386
1 278.566
-3 978.795
2 893.509
C
163
Pórtico 4:
Vigas:
2.80 m
3.40 m
4.45 m
A
7.20 m
B
b = 30 cm
h = 40 cm
Columnas: b = 30 cm
h = 30 cm
Piso 3
Piso 4
3 163.733
Piso 1
-1 767.870
0
0
-1 767.870
1 507.234
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C
Piso 2
Pórtico A y C:
Vigas:
b = 30 cm, h = 40 cm
Columnas 1,2,3 b = 30 cm
h = 50 cm
Columna
h = 30 cm
Piso 1
4:
b = 30 cm
Piso 2
Piso 3
Piso 4
15 158.100
-10 678.260
3 008.614
-462.605
-10 678.260
15 812.610
-9 933.807
2 384.915
3 008.614
-9 933.807
13 231.110
-5 849.771
-462.605
2 384.915
-5 849.771
3 857.136
Pórtico B:
Vigas:
b = 30 cm
h = 40 cm
Columnas 1,3: b = 30 cm
h = 50 cm
Columnas
2: b = 50 cm
h = 30 cm
Columnas
4: b = 30 cm
h = 30 cm
Piso 1
Piso 2
Piso 3
Piso 4
12 220.380
-8 537.994
2 281.197
-347.887
-8 537.994
12 609.190
-7 739.772
1 803.572
2 281.197
-7 739.772
10 347.670
-4 539.145
-347.887
1 803.572
-4 539.145
3 028.792
Se ensambla la matriz de rigidez de toda la estructura. Para cada
pórtico debe obtenerse el término rj, para ello se debe trazar la proyección del edificio sobre el plano XY.
164
En la anterior planta de fundaciones se ha definido, arbitrariamente,
la orientación de cada uno de los pórticos; el resultado es independiente
del sentido que se asuma. Para cada pórtico se calculan las coordenadas
del nudo inicial, nudo final, punto medio y el ángulo de orientación del
pórtico, T, medido respecto al eje X, positivo en sentido antihorario.
Pórtico 1: Ni (0,0),
T1 = 90°,
Nf (0, 11.65), Pm (0, 5.825), Tan T1 = (Yf – Yi) / (Xf – Xi)
Cos T1 = 0
(C1 = 0), Sen T1 = 1
r1 = Xm1 * S1 - Ym1 * C1 = 0 * 1 - 5.825 * 0 = 0
(S1 = 1)
(r1 = 0)
Pórtico 2: Ni (6.15 , 0), Nf (6.15, 11.65), Pm (6.15, 5.825)
T2 = 90°,
Cos T2 = 0
(C2 = 0), Sen T2 = 1
r2 = Xm2 * S2 - Ym2 * C2 = 6.15 * 1 - 5.825 * 0 = 6.15
(S2 = 1)
(r2 = 6.15 m)
Pórtico 3: Ni (11.55, 0), Nf (11.55, 11.65), Pm (11.55, 5.825)
T3 = 90°,
Cos T3 = 0
(C3 = 0); Sen T3 = 1
(S3 = 1)
r3 = Xm3 * S3 - Ym3 * C3 = 11.55 * 1-5.825 * 0 = 11.55 (r3 = 11.55 m)
Pórtico 4: Ni (16.05 , 0),
T4 = 90°,
Nf (16.05, 11.65), Pm (16.05, 5.825)
Cos T4 = 0
(C4 = 0), Sen T4 = 1
r4 = Xm4 * S4 - Ym4 * C4 = 16.05 * 1-5.825 * 0 = 16.05
Pórtico A: Ni (0, 0),
TA = 0°,
Nf (16.05, 0),
Cos TA = 1
(S4 = 1)
(r4 = 16.05 m)
Pm (8.025, 0)
(CA = 1); Sen TA = 0
rA = XmA * SA - YmA * CA = 8.025 * 0-0 * 0 = 0
(SA = 0)
(rA = 0 m)
165
Pórtico B: Ni (0 , 4.45),
TB = 0°,
Nf (16.05, 4.45),
Cos TB = 1
Pm (8.025, 4.45)
(CB = 1);
Sen TB = 0
(SB = 0)
rB = Xm1 * SB - YmB * CB = 8.025 * 0-4.45 * 1 = -4.45
(rB = - 4.45 m)
Pórtico C: Ni (0 , 11.65), Nf (16.05, 11.65), Pm (8.025, 11.65)
TC = 0°,
Cos TC = 1
(CC = 1); Sen TC = 0
(SC = 0)
rC = XmC*SC - YmC *CC = 8.025 * 0 -11.65 * 1 = -11.65
(rC = - 11.65 m)
Las unidades de la anterior matriz están en t/m. La relación se puede escribir de manera abreviada, separando los desplazamientos de los
giros, de la siguiente forma:
FXi
FYi
KXX
KXY
KXI
KYX
KYY
KYI
KIX
KIY
KIf
=
MZi
Q
Q PXi
*
PYi
IZi
^ ![Q^`
El centro de torsión es el punto en donde al aplicar la fuerza cortante
del entrepiso no se presenta torsión, (IZi = 0). Para su determinación
se analiza el sismo en dos direcciones ortogonales independientes, la
dirección X y la dirección Y.
”
!
¨
La fuerza sísmica se aplica en la dirección positiva del eje X, {FXi}
= {VXi}, en la dirección Y no hay fuerza sísmica, {FYi} = {0}, y por
condición del análisis no se presenta torsión, {IZi} = {0}. Al expandir
la parte superior de esta ecuación se obtiene la expresión (3.15):
FXi
0
235.34
425.366 -298.945
199.57
-298.945
143.25
65.92
0
0
442.344
82.984 -276.074
=
=
KXX
KXY
KYX
KYY
*
PXi
PYi
82.984
-12.731
0
0
0
0
μX1
-276.074
65.734
0
0
0
0
μX2
368.099 -162.387
0
0
0
0
μX3
0
0
0
0
220.872 -150.894
33.350
-4.454
-135.751
27.217
μY2
-12.731
65.734
-162.387
107.431
0
0
0
0
0
0
0
0 -150.894
231.722
x
μX4
μY1
0
0
0
0
0
33.350 -135.751
201.515
-94.911
μY3
0
0
0
0
0
-4.454
-94.911
71.573
μY4
166
27.217
X1
X2
X3
X4
Y1
Y2
Y3
Y4
I1
I2
I3
425.366
-298.945
82.984
-12.731
0
0
0
0
-230972.516
162395.875
-45201.680
6937.445
-298.945
442.344
-276.074
65.734
0
0
0
0
162395.875
-240327.672
150170.844
-35810.156
82.984
-276.074
368.099
-162.387
0
0
0
0
-45201.680
150170.844
-200189.578
88349.023
-12.731
65.734
-162.387
107.431
0
0
0
0
6937.445
-35810.156
88349.023
-58413.801
0
0
0
0
220.872
-150.894
33.350
-4.454
163157.813
-107504.367
19857.053
-2655.977
0
0
0
0
-150.894
231.722
-135.751
27.217
-107504.367
152804.750
-80628.391
16197.486
0
0
0
0
33.350
-135.751
201.515
-94.911
19857.053
-80628.391
119581.555
-56302.883
0
0
0
0
-4.454
27.217
-94.911
71.573
-2655.977
16197.486
-56302.883
42418.379
-230972.516
162395.875
-45201.680
6937.445
163157.813
-107504.367
19857.053
-2655.977
413798400
-279304992
62993876
-9293283
162395.875
-240327.672
150170.844
-35810.156
-107504.367
152804.750
-80628.391
16197.486
-279304992
395976256
-223509648
50402168
-45201.680
150170.844
--200189.578
88349.023
19857.053
-80628.391
119581.555
-56302.883
62993876
-223509648
309785856
-140199440
6937.445
-35810.156
88349.023
-58413.801
-2655.977
16197.486
-56302.883
42418.379
-9293283
50402168
-140199440
97731728
Matriz rigidez en coordenadas globales (t/m)
I4
167
Resolviendo:
μX1
6.631
μX2
12.412
μX3
16.419
μX4
μY1
cm
18.822
=
0
μY2
0
μY3
0
μY4
0
Conocidos los desplazamientos de los entrepisos, se calculan los
momentos torsores que los cortantes de entrepiso generan respecto al
eje Z. Después de expandir la parte inferior de la relación matricial se
obtiene la expresión (3.16):
MZi
Mz1
Mz2
Mz3
Mz4
-230972.516 162395.875 -45201.680
= KMX KMY *
PXi
PYi
6937.445 163157.813 -107504.367
19857.053
-2655.977
6.631
162395.875 -240327.672 150170.844 -35810.156 -107504.367 152804.750 -80628.391 16197.486 12.412
=
-45201.680 150170.844 -200189.578 88349.023
6937.445
-35810.156
88349.023 -58413.801
19857.053
-80628.391 119581.555 -56302.883 16.419
-2655.977
16197.486 -56302.883
42418.379 18.822
cm
0
MZ1
-128,792
MZ2
--107,444
MZ3
MZ4
=
-77,359
0
0
t-cm
0
-35,709
Determinados los momentos torsores, respecto al eje Z, se puede determinar la ordenada de la fuerza cortante respecto al eje Z, mediante
la expresión (3.17):
168
”
!
ª
Se procede de manera similar que para el eje X. En este caso:
{FXi} = {0}, {FYi} = { VYi}, {IZi} = {0}
Si aplicamos la expresión (3.18):
0
425.366 -298.945
0
82.984
-12.731
0
0
0
0
μX1
442.344
-276.074
65.734
0
0
0
0
μX2
82.984 -276.074
368.099
-162.387
0
0
0
0
μX3
-162.387
107.431
0
0
0
0
-298.945
0
0
-12.731
65.734
=
x
μX4
235.34
0
0
0
0
220.872
-150.894
33.350
-4.454
μY1
199.57
0
0
0
0 -150.894
231.722
-135.751
27.217
μY2
143.25
0
0
0
0
33.350
-135.751
201.515 -94.911
μY3
65.93
0
0
0
0
-4.454
27.217
-94.911
μY4
71.573
Resolvemos:
μX1
0
μX2
0
μX3
0
μX4
μY1
=
0
10.991
μY2
19.100
μY3
24.222
μY4
26.462
169
Los momentos de entrepiso se calculan con la expresión (3.19):
Mz1
Mz2
-230972.516 162395.875 -45201.680
6937.445 163157.813 -107504.367 19857.053 -2655.977
0
162395.875 -240327.672 150170.844 -35810.156 -107504.367 152804.750 -80628.391 16197.486
0
-45201.680 150170.844 -200189.578 88349.023
19857.053 -80628.391 119581.555 -56302.883
0
-2655.977
0
=
Mz3
Mz4
6937.445 -35810.156
88349.023 -58413.801
16197.486 -56302.883 42418.379
10.991
19.100
MZ1
MZ1
MZ1
MZ1
=
150 542
24.222
212 688
26.462
t-cm
84 850
38 878
Determinación de las abscisas del centro de torsión según la expresión (3.20):
Q
(3.1)
Œ ¢
Π!
La excentricidad estática se define como la diferencia entre las coordenadas del Centro de Cortante (punto en el cual está aplicado el cortante
de entrepiso) y el Centro de Torsión, punto en el cual debería estar aplicado el cortante de entrepiso para que no se presente torsión.
Entrepiso
170
Coord. CC
Coord.
C.T.
Excentricidad = CC – CT
X (cm)
Y (cm)
X (cm)
Y (cm)
ex (cm)
ey (cm)
1
661.44
576.52
639.68
547.26
21.75
29.26
2
641.44
575.72
1065.73
538.38
-424.29
37.34
3
631.00
576.00
592.32
540.03
38.68
35.97
4
631.00
576.00
589.78
541.70
41.22
34.30
Estas excentricidades se han obtenido por un procedimiento elástico. No se ha tenido en cuenta el efecto dinámico del movimiento
sísmico, tampoco el comportamiento no lineal de la estructura, ni los
daños en los elementos no estructurales que pueden afectar el centro
de rigidez.
En el sentido del eje X la estructura tiene pequeñas excentricidades, ey , relativamente iguales en todos los pisos debido a que no se presentan irregularidades importantes en este sentido.
En el sentido del eje Y, el segundo piso presenta una excentricidad
muy grande, ex = -424 cm, que refleja la asimetría de la estructura en
este nivel. Para reducir los efectos torsionales es aconsejable hacer una
junta de dilatación tal como se indica en la gráfica anterior.
Π8 ; la excentricidad accidental la define la
NSR-10 como el 5% de la dimensión de la estructura en cada entrepiso,
medida en dirección perpendicular a la dirección en estudio.
Sismo en X:
Todos los entrepisos: ± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1165 = ± 58.25 cm
Sismo en Y:
Entrepiso 1 y 2: ± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1605
= ± 80.25 cm
Entrepiso 3 y 4: ± 0.05 Ly = ± 0.05 * 1155
= ± 57.75 cm
171
8 2 >;
La excentricidad accidental define una franja en la que se espera
esté localizado el Centro de Cortante, por esta razón existen dos condiciones de borde para cada una de las direcciones en estudio. Se distinguen cuatro casos: dos para sismo en X y dos para sismo en Y.
Entrepiso
Q
Sismo en X
Sismo en Y
eY1 cm
eY2 cm
eX1 cm
eX2 cm
1
87.51
-28.99
102.00
-58.50
2
95.59
-20.91
-344.04
-504.54
3
94.22
-22.28
96.43
-19.07
4
92.55
-23.95
98.97
-16.53
[‹`
Las ordenadas de los nuevos Centros de Cortante se calculan adicionándole a las coordenadas del Centro de Torsión el valor de la excentricidad
mayorada. Los momentos torsores se calculan mediante las siguientes
expresiones:
Sismo en X: {Moz}i = - {Vi} * {YCC}i
Sismo en Y: {Moz}i = + {Vi} * {XCC}i
172
piso
Sismo en Y
Vi
Caso N.o 1
Sismo en X
Caso N.o 2
Caso N.o 3
Caso N.o 4
t
Xcc cm
Moz t-cm
Xcc cm
Moz t-cm
Ycc cm
Moz t-cm
Ycc cm
Moz t-cm
1
235.34
634.77
-149,390.4
518.27
-121,972.6
741.68
174,552.3
581.19
136,779.4
2
199.57
633.97
-126,526.8
517.47
-103,275,8
721.69
144,034.8
561.19
112,002.3
3
143.25
634.25
-90,858.4
517.75
-74,169.4
688.75
98,665.7
573.25
82,120.0
4
65.92
634.25
-41,813.4
517.75
-34,133.1
688.75
45,406.4
573.25
37,792.0
‚!
ƒ " Se deben resolver cuatro casos, las condiciones de carga para cada uno
de ellos son:
Sismo en X:
Sismo en Y:
Caso 1:
{Fxi}1 = {V}i,
{Fyi}1 = {0},
{Mzi}1
Caso 2:
{Fxi}2 = {V}i,
{Fyi}2 = {0},
{Mzi}2
Caso 3:
{Fxi}3 = {0},
{Fyi}3 = {V}i,
{Mzi}3
Caso 4:
{Fxi}4 = {0},
{Fyi}4 = {V}i,
{Mzi}4
Se distinguen los siguientes cuatro casos de carga, fuerzas en t y
momentos en t-m:
Caso 1
Caso 2
Caso 3
­235.34 ½
°199.57 °
°
°
°143.25 °
°
°
°
°65.92
°
°0
°
°
°
°0
¾
®
°
°0
°
°0
°
°
°- 1,493.90 °
°- 1,265.27 °
°
°
°- 908.58 °
°- 418.13 °
¿
¯
­235.34 ½
°199.57 °
°
°
°143.25 °
°
°
°
°65.92
°
°0
°
°
°
°0
¾
®
°
°0
°
°0
°
°
° 1,219.73 °
° 1,032.76 °
°
°
° 741.69 °
° 341.33 °
¿
¯
½
­0
°
°0
°
°
°
°0
°
°
°
°0
°235.34 °
°
°
°199.57 °
¾
®
°143.25 °
°65.92 °
°
°
°1,745.52 °
°1,440.35 °
°
°
°986.66 °
°454.06 °
¿
¯
Caso 4
½
­0
°
°0
°
°
°
°0
°
°
°
°0
°235.34 °
°
°
°199.57 °
¾
®
°143.25 °
°65.92 °
°
°
°1,367.79 °
°1,120.02 °
°
°
°821.20 °
°377.92 °
¿
¯
173
Cada uno de los casos anteriores de carga se resuelve para desplazamientos empleando la siguiente expresión de rigidez. Las unidades de la
matriz de rigidez están expresadas en t/m, por lo cual los desplazamientos deben expresarse en m y los momentos en t-m:
FXi
FYi
MZi
=
KXX
KXY
KXf
KYX
KYY
KYf
* mYi
KfX
KfY
Kff
IZi
mXi
Resultados: desplazamientos en cm y giros en radianes.
Caso 1
­ȝx1 ½
°ȝ °
° x2 °
°ȝx3 °
° °
°ȝx4 °
°ȝ °
° y1 °
°°ȝy2 °°
® ¾
°ȝy3 °
°ȝ °
° y4 °
°Iz1 °
° °
°Iz2 °
°I °
° z3 °
¯°Iz4 ¿°
­6.8332 ½
°12.7684 °
°
°
°16.8873 °
°19.1516 °
°
°
°-0.2828 °
°-0.5027 °
®
¾
°-0.6389 °
°-0.7068 °
°0.0003701°
°
°
°0.0006521°
°0.0008587°
°0.0009700°
¯
¿
Caso 2
Caso 3
Caso 4
­ȝx1 ½
°ȝ ° ­5.8618
½
° x2 ° °
°
11.0181
°ȝx3 ° °
°
° ° °14.5649 °
°ȝx4 ° °
°
°ȝ ° °16.5268 °
° y1 ° °1.0882
°
°°ȝy2 °° °1.9913
°
=
® ¾ ®
¾
°ȝy3 ° °2.5529
°
°ȝ ° °2.8265
°
y4
° ° °-0.0014226°
°
°Iz1 ° °
° ° °-0.0025818°
°Iz2 ° °-0.0034336°
°Iz3 ° °-0.0038813°
¿
° ° ¯
¯°Iz4 ¿°
­ȝx1 ½
°ȝ ° ­-1.6044 ½
° x2 ° °
°
°ȝx3 ° °-2.9806 °
° ° °-3.4653 °
°ȝx4 ° °
°
°ȝ ° °-3.6016 °
° y1 ° °13.2579 °
°°ȝy2 °° °23.3490 °
® ¾=®
¾
°ȝy3 ° °29.1296 °
°ȝ ° °31.5390 °
° y4 ° °-0.002961°
°
°Iz1 ° °
° ° °-0.005506°
°Iz2 ° °-0.006406°
°
°I ° °
° z3 ° ¯-0.006660¿
I
¯° z4 ¿°
­ȝx1 ½
°ȝ ° ­-0.4029 ½
° x2 ° °
°
°ȝx3 ° °-0.8601 °
° ° °-0.7358 °
°ȝx4 ° °
°
°ȝ ° °-0.5628 °
° y1 ° °11.5638 °
°°ȝy2 °° °20.3288 °
® ¾=®
¾
°ȝy3 ° °25.3586 °
°ȝ ° °27.4168 °
° y4 ° °-0.0007437°
°
°Iz1 ° °
° ° °-0.001588 °
°Iz2 ° °-0.001361 °
°Iz3 ° °-0.001043 °
¿
° ° ¯
¯°Iz4 ¿°
ƒ ƒ " ƒ de los pórticos
Deducidos los desplazamientos de los entrepisos para caso de carga, se
calculan ahora los desplazamientos que sufre cada uno de los pórticos
para cada caso de carga. Según la expresión (3.6) se tiene:
dji = mxi * Cos qzj + myi * Sen qzj + rj * fzi
Por ejemplo:
174
d33 = - 3.4653 * 0 + 29.1296 * 1.0 + 1155 * (-0.006406) = 21.73 cm
Pórtico j
1
2
3
4
A
B
C
Coseno Tzj
0
0
0
0
1
1
1
Seno Tzj
1
1
1
1
0
0
0
rj (cm)
0.000
615
1155
1605
000
-445
-1165
dj1 (cm)
-0.2827
-0.0551
0.1447
0.3112
6.8315
6.6669
6.4005
dj2 (cm)
-0.5026
-0.1016
0.2504
0.5438 12.7656
12.4755
12.0061
dj3 (cm)
-0.6387
-0.1107
0.3529 ---------- 16.8840
16.5020
15.8838
dj4 (cm)
-0.7067
-0.1103
0.4134 ---------- 19.1480
18.7165
18.0182
dj1 (cm)
1.0879
0.2132
-0.5548
-1.1948
5.8604
6.4933
7.5173
dj2 (cm)
1.9908
0.4034
-0.9905
-2.1520 11.0157
12.1643
14.0228
dj3 (cm)
2.5524
0.4411
-1.4127 ---------- 14.5620
16.0897
18.5614
dj4 (cm)
2.8260
0.4394
-1.6561 ---------- 16.5237
18.2506
21.0446
dj1 (cm)
13.2579
11.4369
dj2 (cm)
23.3489
dj3 (cm)
Caso N.o
1
2
9.8380
8.5056
-1.6044
-0.2868
1.8451
19.9629
16.9898 14.5123
-2.9806
-0.5305
3.4336
29.1295
25.1902
21.7312
---------
-3.4653
-0.6149
3.9971
d2 (cm)
31.5389
27.4434
23.8473 ----------
-3.6016
-0.6382
4.1566
dj1 (cm)
11.5637
11.1063
10.7047 10.3701
-0.4029
-0.0719
0.4636
dj2 (cm)
20.3287
19.3520
18.4943 17.7796
-0.8601
-0.1533
0.9902
dj3 (cm)
25.3586
24.5216
23.7866 ----------
-0.7358
-0.1301
0.8498
dj4 (cm)
27.4167
26.7754
26.2123 ----------
-0.5628
-0.0897
0.6521
3
4
Deducidos los desplazamientos horizontales de los pórticos, se
calculan los cortantes de entrepiso mediante el sistema de ecuaciones:
{Vi}jŠ£¦c]j * dji £¦c]j es la matriz de rigidez condensada del
pórtico.
175
Caso
N°.
1
2
3
4
Cortante Portico Portico Portico Portico
Vji (t)
1
2
3
4
6Vj
(t)
Portico Portico Portico
A
B
C
6Vj (t)
Vj1
-1.10
-0.11
0.99
0.23
0
91.78
60.89
82.67
235.34
Vj2
-1.21
-1.07
-0.42
2.70
0
68.52
64.19
66.86
199.57
Vj3
-0.88
0.09
0.79
------
0
51.25
44.51
47.49
143.25
Vj4
-0.77
0.04
0.74
------
0
23.74
19.64
22.54
65.92
Vj1
2.84
0.01
-3.10
0.25
0
73.71
58.46
103.17
235.34
Vj2
5.33
4.49
1.49 -11.31
0
63.59
63.28
72.70
199.57
Vj3
3.75
-0.38
-3.37
------
0
42.15
43.12
57.98
143.25
Vj4
3.06
-0.16
-2.90
------
0
21.10
19.24
25.58
65.92
Vj1
54.67 114.51
53.62
12.53 235.34
-12.52
-1.55
14.07
0
Vj2
62.97
43.45
24.79
68.36 199.57
-41.65
-6.33
47.98
0
Vj3
45.83
56.12
41.30
------ 143.25
0.01
-0.14
0.13
0
V4
23.29
21.50
21.13
------
65.92
0.13
0.01
-0.14
0
Vj1
48.73 113.86
59.00
13.76 235.34
11.24
1.68
-12.92
0
Vj2
53.86
37.09
23.98
84.64 199.57
-33.31
-4.90
38.21
0
Vj3
41.09
56.62
45.54
------ 143.25
8.88
1.24
-10.12
0
Vj4
19.43
21.70
24.79
------
2.69
0.40
-3.09
0
65.92
En esta tabla se ha verificado que la solución es precisa, matemáticamente, puesto que el valor de los cortantes de entrepiso es el correspondiente a los valores de diseño.
Finalmente, se obtienen las fuerzas sísmicas que actúan en cada uno
de los pórticos para los cuatro casos de cargas estudiados:
176
Caso
N.o
1
2
3
4
Fuerza
fji (t)
Portico
1
Portico
2
Portico
3
fj1
0.10
0.95
1.40
fj2
-0.33
-1.16
fj3
-0.10
0.05
f4
-0.77
Portico
4
Portico
A
Portico
B
Portico
C
-2.46
23.25
-3.30
15.81
-1.20
2.69
17.27
19.68
19.38
0.05
---------
27.52
24.87
24.95
0.04
0.74
---------
23.73
19.65
22.54
fj1
-2.48
-4.48
-4.59
11.56
10.12
-4.83
30.47
fj2
1.58
4.87
4.86
-11.31
21.44
20.17
14.72
f3
0.69
-0.22
-0.47
---------
21.05
23.87
32.40
fj4
3.06
-0.16
-2.90
---------
21.10
19.24
25.58
fj1
-8.30
71.06
28.84
-55.83
29.13
4.78
-33.91
fj2
17.14
-12.66
-16.51
68.37
-41.65
-6.20
47.84
fj3
22.54
34.62
20.17
---------
-0.13
-0.15
0.28
fj4
23.29
21.50
21.13
---------
0.13
0.01
-0.14
fj1
-5.13
76.77
35.02
-70.89
44.55
6.58
-51.12
fj2
12.77
-19.53
-21.56
84.65
-42.19
-6.14
48.33
fj3
21.66
34.93
20.74
----------
6.19
0.84
-7.03
fj4
19.43
21.70
24.80
----------
2.69
0.40
-3.09
Se ha verificado que la solución cumple la relación de equilibrio en
cada uno de los pisos, en los cuatro casos de cargas analizados. Para visualizar estos resultados se indican, en el siguiente gráfico, dos de las
soluciones encontradas para la fuerza cortante de entrepiso:
Entrepiso 2, caso 1
Entrepiso 3, caso 3
6 Fx = 66.86 + 64.19 + 68.52 = 199.57 t —
6 Fx = 0.13 – 0.14 + 0.01
6 Fy = -1.21 – 1.07 – 0.42 + 2.70 =
6 Fy = 45.83 + 56.12 + 41.30 = 143.25 t —
0t—
=
0t—
177
La solución es satisfactoria, pues la sumatoria de fuerzas en ambas
direcciones corresponde a los valores de las fuerzas cortantes deducidas
en el literal “c”.
Para el diseño de vigas, columnas, nudos y fundaciones se deben
combinar los resultados obtenidos para los cuatro casos de sismo con los
de las cargas gravitacionales según la NSR-10, Sec. B.2.4.
Fuerzas sísmicas en pórticos en el sentido del eje X (valores en toneladas):
Al sumar los cortantes en la base, para un caso de carga, se obtienen
los cortantes de diseño a nivel de fundación. Los dos primeros casos
178
corresponden al análisis del sismo en el sentido X y los últimos casos al
análisis del sismo en Y (Vy = 0).
Vx caso 1 = 235.34 t
Vx caso 2 = 235.34 t
Vy caso 3 =
Vy caso 4 =
0t
0t
Fuerzas sísmicas en pórticos en el sentido del eje Y (valores en toneladas):
Procediendo de manera similar se obtiene:
179
Los dos primeros casos corresponden al análisis del sismo en el sentido X (Vx = 0), y los dos últimos al análisis del sismo en Y:
VX caso 1 =
0t
Vx caso 2 =
VY caso 3 = 235.34 t
0t
Vy caso 4 = 235.34 t
Hasta ahora se ha analizado el sismo en dos direcciones independientes, en la dirección del eje X y en la dirección del eje Y. Para considerar el efecto tridimensional del fenómeno sísmico, la NSR-10, Sec.
A.3.6.3.2, recomienda tomar el 100% del sismo en una dirección y adicionarle el 30% del efecto del sismo en la dirección ortogonal.
Lo anterior conduce a un gran número posible de combinaciones de
cargas, como ejemplo de ello se indican en el literal “o” las combinaciones básicas asumidas por los autores del programa RCB- Building.
Q Las derivas corresponden a los desplazamientos horizontales, en las dos
direcciones principales en planta, que tiene el centro de masa del edificio (NSR-10, Sec. A.6.2.1.1). Para su cálculo se permite que el coeficiente de importancia, I, tenga un valor igual a la unidad (NSR-10, Sec.
A.6.2.1.2).
El análisis de las fuerzas sísmicas se realizó en la sección “Determinación de las fuerzas sísimicas, Método de la Fuerza Horizontal Equivalente” (p. ) para un coeficiente de importancia igual a la unidad.
Derivas en la dirección del eje X: {Fi«Š£¦xx] * {di}
35.77
425.366
-298.945
82.984
-12.731
56.32
-298.945
442.344
-276.074
65.734
82.984
-276.074
368.099
-162.387
-12.731
65.734
-162.387
107.431
77.33
65.92
180
=
d1
*
d2
d3
d4
di cm
Deriva cm
Deriva permitida cm
Piso 1
2.62
2.62 (0.77%)
3.4
Piso 2
5.37
2.75 (0.98%)
2.8
Piso 3
7.83
2.46 (0.88%)
2.8
Piso 4
9.47
2.28 (0.81%)
2.8
Derivas en la dirección del eje Y: {Fi«Š£¦yy] * {di}
35.38
57.82
81.00
=
69.78
220.872
-150.894
33.350
-4.454
-150.894
231.722
-135.751
27.217
33.350
-135.751
201.515
-94.911
-4.454
27.217
-94.911
71.573
di cm
Deriva cm
Deriva permitida cm
Piso 1
4.24
4.24 (1.25%)
3.4
Piso 2
8.08
3.84 (1.37%)
2.8
Piso 3
11.28
3.20 (1.14%)
2.8
Piso 4
13.07
1.79 (0.64%)
2.8
d1
*
d2
d3
d4
La deriva máxima en cada piso corresponde a la mayor deriva de las
dos direcciones principales en planta (NSR-10, Sec. A.6.3.1.1). En este
ejemplo las derivas máximas en los pisos 1, 2 y 3 se presentan en la dirección del eje Y, mientras que en el piso 4 corresponde a la dirección X.
La deriva máxima para cualquier piso no puede exceder, en estructuras de hormigón, del 1% de la altura de entrepiso, hp; en consecuencia, las derivas de los pisos 1, 2 y 3, en la dirección Y, no cumplen este
requisito de la NSR-10 y la estructura debe rigidizarse, en este sentido,
hasta que se cumpla con el límite permitido; este proceso se omite en el
presente texto.
181
Imagen 3.1 Daños en la mampostería debido a la ductilidad de la estructura
La restricción de la deriva al 1% (NSR-10, Tabla A.6.4-1) de la altura de entrepiso es un requisito difícil de cumplir en estructuras aporticadas, pues la característica de este sistema estructural es precisamente
su gran ductilidad.
Una vez realizado el análisis, y considerando la rigidez de los nudos,
si la deriva aún no cumple ese requisito debe rigidizarse la estructura
aumentando las dimensiones de los elementos de resistencia sísmica o
acoplando muros al sistema estructural.
Debido a esta alta ductilidad se presentan daños frecuentes y cuantiosos en los elementos no estructurales. Los daños en la mampostería de ladrillos de arcilla obedece a que los muros son muy rígidos y la
estructura es muy flexible; el problema tiene dos soluciones: una de
ellas es aislar los muros de la estructura para que ésta pueda deformarse
libremente y la otra es cambiar las divisiones tradicionales hechas con ladrillos de arcilla por paneles de yeso, los cuales además de ser más fáciles
y económicos de reparar, tienen la gran ventaja de su poco peso, lo cual
disminuye el efecto sísmico.
‚ ! " En todo proyecto debe existir concordancia entre lo proyectado y
lo construido. Si el análisis está basado en un comportamiento dúctil de
la estructura, en la construcción ésta debe aislarse de las construcciones
vecinas para que pueda deformarse. La separación que debe tener una
estructura del lindero es la calculada en el literal anterior.
182
Las oficinas de plantación urbana deben ser estrictas y obligar al
cumplimiento de este requisito con el mismo rigor que exigen cumplir la
separación del eje de la vía. En México D.F. fueron numerosos los casos
de falla de estructuras por el incumplimiento de este requisito.
La NSR-10, Sec. A.6.5, reglamenta la separación entre estructuras
adyacentes en Colombia. Si no existe edificación vecina y por ser la edificación de más de tres pisos debe dejarse una separación del lindero
igual al 1% de la altura del edificio, para el caso 11.8 cm (NSR-10, Tabla
A.6.5-1).
Imagen 3.2 Falla en los pisos superiores por falta de separación
en las estructuras adyacentes. México D.F. 1985
Q B.2.4.2
“ ¬‚­‹'\ ‚ <
La NSR-10, Sec. B.2.4, exige diseñar para las siguientes combinaciones
de cargas, deducidas de sus ecuaciones B.2.4-1, B.2.4-4 y B.2.4-5:
1.
1.2CM
+
1.6CV
2.
1.20CM
+
1.00CV
+
Sx1
+
0.3 Sy1
3.
1.20CM
+
1.00CV
-
Sx1
-
0.3 Sy1
4.
1.20CM
+
1.00CV
+
Sx1
-
0.3 Sy1
5.
1.20CM
+
1.00CV
-
Sx1
+
0.3 Sy1
183
6.
1.20CM
+
1.00CV
+
Sx2
+
0.3 Sy2
7.
1.20CM
+
1.00CV
-
Sx2
-
0.3 Sy2
8.
1.20CM
+
1.00CV
+
Sx2
-
0.3 Sy2
9.
1.20CM
+
1.00CV
-
Sx2
+
0.3 Sy2
10.
1.20CM
+
1.00CV
+
0.3 Sx1
+
Sy1
11.
1.20CM
+
1.00CV
-
0.3 Sx1
-
Sy1
12.
1.20CM
+
1.00CV
-
0.3 Sx1
+
Sy1
13.
1.20CM
+
1.00CV
+
0.3 Sx1
-
Sy1
14.
1.20CM
+
1.00CV
+
0.3 Sx2
+
Sy2
15.
1.20CM
+
1.00CV
-
0.3 Sx2
-
Sy2
16.
1.20CM
+
1.00CV
-
0.3 Sx2
+
Sy2
17.
1.20CM
+
1.00CV
+
0.3 Sx2
-
Sy2
18.
0.90CM
+
Sx1
19.
0.90CM
-
Sx1
20.
0.90CM
+
Sx2
21.
0.90CM
-
Sx2
22.
0.90CM
+
Sy1
23.
0.90CM
-
Sy1
24.
0.90CM
+
Sy2
25.
0.90CM
-
Sy2
CM = Carga Muerta de servicio
CV = Carga Viva de servicio
Sx1 = resultados del caso 1 para sismo en X, divididos por R (E = fi/R)
Sx2 = resultados del caso 2 para sismo en X, divididos por R (E = fi/R)
Sy1 = resultados del caso 3 para sismo en Y, divididos por R (E = fi/R)
Sy2 = resultados del caso 4 para sismo en Y, divididos por R (E = fi/R)
184
Imagen 3.3 Daños por separación insuficiente o inexistente entre
construcciones adyacentes. Armenia, Colombia, 1999
3.11 Análisis del período natural de vibración, T
3.11.1 Métodos empíricos
El período de vibración de la estructura puede calcularse en forma
aproximada empleando la siguiente ecuación, dada para estructuras
aporticadas de hormigón:
Ta = 0.047 hn 0.9
(NSR-10, Sec. A.4.2.2, Ecuación A.4.2-3)
hn: altura en metros, medida desde la base hasta el piso más alto.
hn = 3.4 + 3*2.8 = 11.80 m
Ta = 0.047 hn 0.9 = 0.047 * 11.80.9 = 0.43 s
El valor del período depende de la altura del edificio y no tiene
en cuenta de manera explícita la rigidez de la estructura. Este valor es
único, cualquiera que sea la dirección de análisis del sismo, e igual para
todas las estructuras de igual altura.
185
Alternativamente, para edificaciones de doce pisos o menos, con
alturas de piso, hp, no mayores de 3 m, cuyo sistema estructural de resistencia sísmica está compuesto por pórticos resistentes a momentos
de hormigón reforzado, el período de vibración aproximado, Ta, en s, la
NSR-10 permite determinarlo por medio de la expresión A.2.4-5:
Ta = 0.1 N
(NSR-10, Sec. A.4.2.2, Ecuación A.4.2-5)
N = número de pisos
Si obviamos que para el presente ejemplo la altura del primer piso
supera el límite de 3 m, el período aproximado aplicando esta expresión
es:
Ta = 0.1 * 4 = 0.40 s
El valor del período aproximado al emplear las expresiones anteriores es un estimativo inicial para calcular las fuerzas a aplicar sobre la
estructura con el fin de dimensionar su sistema de resistencia sísmica.
3.11.2 Método de análisis dinámico
Una vez dimensionada la estructura, debe calcularse el valor ajustado del
período mediante la aplicación del análisis modal, para compararlo con
el estimativo inicial, si el período de la estructura diseñada difiere en
más del 10% con el estimado inicialmente; debe repetirse el proceso de
análisis, utilizando el último período calculado como nuevo estimativo,
hasta que se converja en un resultado dentro de la tolerancia del 10%
señalada (NSR-10, Sec. C.4.2.3).
 !
La relación que gobierna la respuesta de un sistema de un grado de
libertad en el caso de una excitación sísmica ha sido discutida en la Sección 1.4.1:
£‘®¯²[`›£Q®¯Ĥ[`›£¦®¯[`Š‹£‘®¯²g(t)
(1.1)
Para obtener las frecuencias y períodos naturales de la estructura
basta con estudiar el caso de vibración libre (üg(t) = 0 ) no amortiguada
(C = 0):
£‘®¯²[`›£¦®¯[`Š\
186
Una solución de esta ecuación diferencial es:
³£¦®‹£‘®¯2 } * A = 0
(3.28)
La solución no trivial es:
det ȱ£¦®‹£‘®¯2 ȱ = 0
(3.29)
La expresión (3.29) es una expresión algebraica de grado n, (n =
número de pisos de la estructura); la incógnita es v2, la cual se satisface
para n valores de v2. Esta ecuación es conocida como ecuación característica del sistema. Para cada valor de v2 que satisfaga la ecuación (3.29)
se resuelve la expresión (3.28), para A1, A2…..An, en términos de una
constante de proporcionalidad arbitraria. Estas soluciones representan
los modos de vibrar de la estructura.
ƒ £‘® ƒ " [‘Š˜™`"£¦® ƒ
de rigidez de la estructura en la cual se analiza el sismo. Debe tenerse
cuidado en la concordancia de unidades.
T = 2S/Y

!
(3.30)
¨
Unidades de la matriz de rigidez t/cm
Unidades de la matriz de masa t * s2/cm
Piso 1
Piso 2
425.365 -298.945
-298.945
Piso 3
Piso 4
82.984 -12.731
442.344 -276.074
65.734 -
82.984 -276.074 368.099 -162.387
-12.731
65.734 -162.387 107.431
Piso 1
Piso 2
Piso 3
Piso 4
0.16616
0
0
0
0
0.14352
0
0
0
0
0.13572
0
0
0
0
0.08826
* Y2= 0
AMPLITUD
Solución:
Modo
1
2
3
4
Período, s
+,?.9
0.242
.123
0.080
Piso 1
0.2775
-0.6863
1.0317
-1.2857
Piso 2
0.5710
-0.7487
-0.3295
2.0729
Piso 3
0.8300
0.0458
-0.9605
-1.7649
Piso 4
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
T = 0.72 s
187

Piso 1
!
Piso 2
220.872 -150.894
-150.894
ª
Piso 3
Piso 4
Piso 1
33.350
-4.454
0.16616
0
0
0
0
0.14352
0
0 * Y2 =0
231.722 -135.751
27.217 -
Piso 2
Piso 3
33.350 -135.751 201.515 -94.911
0
0 0.13572
-4.454
0
0
27.217
-94.911
71.573
Piso 4
0
0 0.08826
AMPLITUD
Modo
Solución:
1
2
3
4
Período, s
0.869
0.294
0.160
Piso 1
0.3311
-0.7564
Piso 2
0.6284
-0.7214
Piso 3
0.8703
0.1593
Piso 4
1.0000
1.0000
0.080
0.9083 -1.0796
-0.4258
1.8125
-0.8397 -1.6279
1.0000
1.0000
T = 0.87 s
3.11.3 Método de Rayleigh
 !
El método de Rayleigh puede utilizarse para determinar la frecuencia
natural de un sistema continuo de modelos discretos.
Este método lo permite la NSR-10, Sec. A.4.2.1; es un método dinámico que corresponde a un oscilador simple. La expresión dada por la
NSR-10 es la siguiente:
(3.31)
Fi = fuerzas horizontales distribuidas aproximadamente de acuerdo
con el Método de la Fuerza Horizontal Equivalente.
di = desplazamientos horizontales calculados utilizando las fuerzas
fi en la dirección considerada.
188
Procedimiento para su aplicación:
a) Se asume un período cualquiera de la estructura.
b) Se calcula el cortante basal empleando el espectro de diseño.
c) Se aplica el Método de la Fuerza Horizontal Equivalente para obtener las fuerzas de entrepiso.
` ‚ ³‡«Š£¦®¯³ «<
e) Se aplica la expresión (3.31) para obtener el período.
Nota: el resultado es independiente del valor del período que se
asume en el literal (a).
Cálculos: de la sección “Determinación de las fuerzas sísmicas, Método de la Fuerza Horizontal Equivalente” para este ejemplo se toman
los siguientes parámetros:
Entrepiso
hi m
mi t
1
2
3
4
3.4
6.2
9.0
11.8
162.85
140.64
133.01
86.49
6
mi hik
Cvi
553.66
871.97
1,197.09
1,020.58
0.152
0.239
0.329
0.280
Fi t
35.77
56.25
77.43
65.90
===========================
522.99
3,643.30
1.000 235.35
Período en la dirección del eje X: {Fi«Š£¦xx] * {di}
35.77
56.24
77.43
=
425.366
-298.945
82.984
-12.731
-298.945
442.344
-276.074
65.734
82.984
-276.074
368.099
-162.387
-12.731
65.734
-162.387
107.431
65.90
d1
*
d2
d3
d4
Solución:
Peso t
Fuerza t
di cm
Wi di2
Fi * di
Piso 1
162.85
35.77
2.618
1,116.16
93.65
Piso 2
140.64
56.24
5.374
4,061.67
302.23
Piso 3
133.01
77.43
7.827
8,148.45
606.04
Piso 4
86.49
65.90
9.466
7,749.95
623.81
21,076.23
1625.73
189
Masa = W / g, reemplazando:
T=2S
Período en la dirección del eje Y: {Fi«Š£¦yy] * {di}
35.77
56.24
77.43
=
220.872
--150.894
33.350
-4.454
-150.894
231.722
-135.751
27.217
33.350
-135.751
201.515
-94.911
-4.454
27.217
-94.911
71.753
65.90
d1
*
d2
d3
d4
Solución:
Peso t
Fuerza t
di m
Wi di2
Fi * di
Piso 1
162.85
35.77
4.196
2,867.20
150.09
Piso 2
140.64
56.24
7.986
8,969.48
449.13
Piso 3
133.01
77.43
11.135
16,491.67
862.18
Piso 4
86.49
65.90
14,345.98
848.73
42,674.33
2,310.13
12.879
T = 2S
3.11.4 Restricciones de la NSR-10
La NSR-10, Sec. A.4.2.1, especifica que el período determinado por
procedimientos dinámicos no puede ser superior a Cu * Ta , en donde
Cu = 1.75 – 1.2 Av Fv.
Cu = 1.75 – 1.2*0.20*1.6 = 1.366
Ta = 0.43 s (calculado en la Sección 3.11.1)
T máx. = 1.366*0.43 = 0.59 s
En el método dinámico el valor del período fundamental es superior
al período aproximado, pero la NSR-10 restringe su aplicación al limitar
su valor a 0.59 s.
190
3.11.5 Revisión del período
Una vez se cumpla con los requisitos de deriva debe revisarse el período
estimado inicialmente para calcular las fuerzas sísmicas, para este caso:
El período aproximado inicialmente estimado = 0.43 s < Tc = 0.85 s
El período calculado con análisis modal
= 0.59 s < Tc = 0.85 s
Como la diferencia entre el período estimado y el resultado del análisis modal supera la tolerancia permitida del 10% debe tomarse como
nuevo período de diseño el valor obtenido en el análisis modal, que es
de 0.59 s, con este cambio los cálculos realizados, en este ejemplo, no
sufren modificación pues el valor del período es inferior al período de
transición Tc , y el valor de Sa se mantiene igual a 0.45 (véase sección
“Determinación de las fuerzas sísmicas, Método de la Fuerza Horizontal
Equivalente” de este ejemplo).
191
Capítulo 4
Análisis y diseño de vigas
4.1 Introducción
Dado que las solicitaciones que el sismo de diseño impone a las estructuras son muy elevadas, y de características muy aleatorias, no es económico diseñar las estructuras para que resistan, sin daño, un sismo con un
período de retorno muy largo (495 años).
Para evitar daños y pánico a los ocupantes de una edificación, durante sismos moderados, que pueden ocurrir varias veces durante su vida
útil, se diseña la estructura para un sismo de menor intensidad pretendiendo que la estructura permanezca elástica con deformaciones laterales pequeñas. Este análisis se realiza para un sismo de menor intensidad,
que se llama sismo en condiciones de servicio. Como los métodos de
análisis son elásticos las deformaciones que se tendrán para un sismo “n”
veces inferior al de diseño, serán “n” veces inferiores a las calculadas para
el sismo de diseño.
Por lo anterior, las normas de diseño no consideran la realización
de dos análisis, uno para el sismo de diseño y otro para condiciones de
servicio, sino que aceptan que se realice sólo el análisis para el sismo
en condiciones de servicio y se hagan las correcciones necesarias para
tener en cuenta la intensidad del sismo para el cual se desea proteger la
estructura contra deformaciones excesivas. Esto se hace dividiendo las
fuerzas obtenidas para el sismo de diseño por el coeficiente de capacidad
de disipación de energía, R, por lo que las deformaciones para el sismo
de diseño son R veces superiores a los valores obtenidos para un análisis
elástico de las fuerzas reducidas por ductilidad. Habrá deformaciones
inelásticas tanto mayores cuánto más grande sea la reducción por ductilidad. Para que las estructuras estén en capacidad de sufrir estas deformaciones inelásticas sin colapsar, son muchos los detalles del refuerzo que
deben tenerse en cuenta en las estructuras de hormigón reforzado; estos
detalles son costosos y difíciles de lograr.
193
En las estructuras de hormigón los códigos especifican el conjunto
más amplio y detallado de requisitos por ductilidad. La experiencia de
campo y de laboratorio ha mostrado que sólo con cuidados muy estrictos se puede lograr que las estructuras de hormigón desarrollen ductilidades importantes. Los requisitos prescritos por los códigos de los
diversos países tienden a uniformizarse y coincidir; sin embargo, aún
existen diferencias importantes; por ejemplo, las que establece el código
de Nueva Zelanda son mucho más estrictas que las de los contenidos en
el Código ACI. La NSR-10 está basada en este último.
Para estructuras en las que la resistencia a cargas laterales sea proporcionada por un sistema de pórticos resistentes a momentos de hormigón reforzado, la NSR-10 especifica los siguientes valores para el coeficiente de capacidad de disipación de energía básico: para estructuras
con demanda moderada de ductilidad, DMO, Ro 5, y para estructuras
con demanda especial de ductilidad, DES, Ro 7 (Capítulo 1, Tabla 1.12).
De conformidad a lo tratado en el Capítulo 1, Sección 1.5, el coeficiente de capacidad de disipación de energía, R, se calculará de acuerdo
con la expresión (1.10).
RoP = Pue / Py
R = Ia * Ip* Ir* R0
(1.14)
Ia = factor de irregularidad en altura.
Ip = factor de irregularidad en planta.
Ir = factor de redundancia.
En los siguientes numerales se comentarán los requisitos especificados en la NSR-10 para el diseño de vigas, sólo se hará énfasis a los
requisitos relativos al dimensionamiento y detallado del refuerzo; sin
embargo, se recuerda que la NSR-10 establece, además, requisitos de
regularidad y uniformidad de la estructura que ya se han comentado en
el Capítulo 1 de este texto.
194
4.2 Materiales
El empleo de hormigones de elevada resistencia es favorable en estructuras en zonas sísmicas, en cuanto disminuye la posibilidad de fallas
frágiles por compresión o por tensión diagonal del hormigón y favorece
el desarrollo de la capacidad total del acero de refuerzo, cuya fluencia
gobierna el comportamiento inelástico de la estructura. Sin embargo, la
condición anterior se puede lograr para hormigones de cualquier resistencia, siempre que se sigan los criterios adecuados de dimensionamiento de las secciones.
Debe exigirse un control de calidad estricto de la resistencia del
hormigón para evitar que la variabilidad de la misma pueda dar lugar a
zonas mucho más débiles que el resto de la estructura; en dichas zonas
se llegaría a concentrar la disipación inelástica de energía, la cual redundaría en una menor ductilidad del conjunto. El hormigón debe dosificarse por peso y con procedimientos que garanticen que la desviación
estándar de la resistencia no exceda de 35 kgf/cm2.
Para estructuras con capacidad de disipación de energía moderada
(DMO) y especial (DES) la NSR-10, Sec. C.21.1.4.2, exige que la resistencia a la compresión del hormigón no deba ser inferior a 210 kgf/cm2 (21
MPa) y exime de esta restricción a las estructuras hasta de tres pisos
cuyo sistema de resistencia sísmica consista en muros de carga.
La limitación de resistencia mínima que se impone en la NSR-10,
’c&?'\¤™2 (21 MPa), tiene como intención evitar hormigones en
los que se suele tener poco control de calidad sobre la resistencia, más
que propiciar resistencias elevadas.
En lo que respecta al acero de refuerzo, la NSR-10, Sec. C.3.5, exige
que el refuerzo debe ser corrugado, el refuerzo liso sólo se puede utilizar
en estribos, espirales y refuerzo de repartición y temperatura. Las barras
corrugadas deben ser de acero de baja aleación que cumplan con la norma NTC 2289 (ASTM A706M).
Para estructuras con capacidad de disipación de energía moderada
(DMO) y especial (DES) la NSR-10, Sec. C.21.1.5, especifica que todo
refuerzo corrugado que resista fuerzas axiales y de flexión, inducidas por
sismo, debe cumplir con las especificaciones de la norma NTC 2289
(ASTM A706M), Grado 4,200 kgf/cm2 (420 MPa) y especialmente:
195
 que fy en 1,250 kgf/cm2 (125 MPa).
" "  ! real de fluencia no sea menor de 1.25.
!" Los valores de fy, usados en los cálculos de diseño, no deben exceder
de 5,500 kgf/cm2 (550 MPa), (NSR-10, Sec.C.9.4).
4.3 Requisitos de diseño
Los requisitos que aquí se describen se aplican a elementos que trabajan
esencialmente en flexión, lo que incluye las vigas y aquellos elementos
con cargas axiales muy bajas, que no excedan de 0.10 ’c Ag, en donde Ag
es el área bruta de la sección de hormigón (b*h).
4.3.1 Requisitos geométricos
La Figura 4.1 resume los requisitos geométricos de la NSR-10 para las
vigas.
Las relaciones Llibre / bw y h / d tienen como objetivo controlar la
esbeltez de la viga para evitar que su ductilidad se vea limitada por problemas de pandeo lateral.
Los requisitos sobre un ancho mínimo de la base, además de pretender evitar el pandeo lateral de la viga, persiguen que en pórticos dúctiles
la sección de la viga tenga una zona de compresión que le permita desarrollar ductilidad elevada.
La NSR-10 limita, en pórticos dúctiles, el ancho de las vigas respecto del ancho de la columna que le sirve de apoyo, con esto pretende
asegurar que la transmisión de momentos entre viga y columna pueda
realizarse sin la aparición de tensiones importantes por cortante y torsión. Para tal objeto, se requiere que el refuerzo longitudinal de las vigas
cruce la columna por el interior de su núcleo confinado.
La limitación del valor de la excentricidad, que el eje de la viga
puede tener con respecto al de la columna, tiene como finalidad lograr
una transmisión directa de momentos entre la viga y la columna, y evitar los problemas torsionales en el nudo, esta limitación debe cumplirse
tanto en los pórticos con demanda moderada de ductilidad, DMO, como
en los de demanda especial, DES; a pesar que la NSR-10 no incluye esta
196
limitante para estructuras con demanda especial de ductilidad,
sugiere conservar la especificación de la NSR-98.
DES,
se
Figura 4.1 Requisitos geométricos para las vigas de pórticos dúctiles
de hormigón reforzado
4.3.2 Requisitos generales para el refuerzo longitudinal
La ductilidad que es capaz de desarrollar una sección de hormigón reforzado es mayor a medida que la sección sea más sub reforzada. Es por
ello que se limita la cuantía máxima de refuerzo, tanto superior como
inferior, al 75% del valor que corresponde al de la falla balanceada. Para
estructuras con demanda moderada y especial se limita su valor a un
máximo de 0.025 para evitar congestionamiento del refuerzo.
Figura 4.2 Envolvente de momentos para vigas de pórticos dúctiles de hormigón
(a) Ductilidad mínima
(b) Ductilidad moderada
(c) Ductilidad especial
197
Para los pórticos dúctiles se requiere de un refuerzo mínimo, tanto
positivo como negativo en toda la longitud de la viga, y deben disponerse, al menos, dos barras tanto en la parte superior como en la inferior.
La NSR-10, Sec.C.21.3.4.3, especifica que este refuerzo debe tener un
diámetro mínimo de ½” para estructuras con demanda moderada de
ductilidad, DMO, mientras que para las estructuras con demanda especial
de ductilidad, DES, no especifica su diámetro (NSR-10, Sec.C.21.5.2.1);
se sugiere conservar la especificación de la NSR-98, Sec.C.21.3.2.a, que
recomienda emplear un diámetro mínimo de 5/8” para estructuras con
demanda especial de ductilidad, DES.
La distribución de los momentos flectores a lo largo de la viga varía
considerablemente durante un sismo y puede diferir significativamente
de la que se obtiene en el análisis. Por ello, para proporcionar una mínima ductilidad, se recomienda:
Para pórticos con demanda moderada de ductilidad, DMO, la resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que
1/3 de la resistencia a momento negativo en la misma cara del nudo. La
resistencia a momento, tanto positiva como negativa, en cualquier sección a lo largo de la viga, no puede ser menor que 1/5 de la resistencia
máxima a momento del elemento en cualquiera de los nudos (NSR-10,
Sec.C.21.3.4.4).
Para pórticos con demanda especial de ductilidad, DES, la resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que 1/2
de la resistencia a momento negativo en la misma cara del nudo. La
resistencia a momento, tanto positiva como negativa, en cualquier sección a lo largo de la viga, no puede ser menor que 1/4 de la resistencia
máxima a momento del elemento en cualquiera de los nudos (NSR-10,
Sec.C.21.5.2.2).
Figura 4.3 Zonas confinadas y de traslapos en vigas de pórticos resistentes
a momentos DMO y DES
198
Los traslapos y cortes de barras introducen tensiones en el hormigón que reducen su resistencia a cortante. Por ello, para estructuras con
demanda especial de ductilidad, DES, la NSR-10 no los admite en las
zonas donde se pueden formar articulaciones plásticas; como son los extremos de las vigas en una longitud de dos veces su altura, 2h, medidos
a partir de la cara del nudo, ni los admite dentro de los nudos. Fuera de
esas zonas, cuando se requieran traslapos deberán colocarse estribos cerrados a una separación no mayor de 10 cm ni de ¼ de la altura efectiva
de la viga, d/4 (NSR-10, Sec. C.21.5.2.3).
Figura 4.4 Distribución de estribos en vigas de pórticos
con demanda especial de ductilidad, DES
Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, la NSR-10
no admite los traslapos dentro de los nudos, ni exige la colocación de
estribos de confinamiento a lo largo de la longitud de traslapo. En estructuras con demanda mínima de ductilidad no hay restricciones para
los traslapos.
199
Figura 4.5 Distribución de estribos en vigas de pórticos
con demanda moderada de ductilidad
Figura 4.6 Recubrimiento y separación del refuerzo longitudinal en vigas
Es importante que el refuerzo longitudinal esté ubicado con el recubrimiento y la separación entre barras que permitan una fácil colocación
del hormigón y una adecuada transmisión de tensiones de adherencia.
Se recomienda no colocar paquetes de más de dos barras, con la finalidad
de evitar concentraciones de tensiones de adherencia y favorecer una
distribución uniforme del refuerzo longitudinal, para que proporcione
un buen confinamiento al hormigón.
Entre las funciones de los estribos están la de fijar la posición del
refuerzo longitudinal durante el vaciado y la de proporcionar la resistencia necesaria para evitar una falla del hormigón por tensión diagonal.
200
Una buena disposición de estribos incrementa la ductilidad al confinar
el núcleo de hormigón y evitar el pandeo del refuerzo longitudinal que
trabaja a compresión.
4.3.3 Detallado del refuerzo en flexión
" 78 2 > 86
En cualquier sección de la viga el refuerzo superior e inferior no debe
tener una cuantía, U, inferior a la que se obtiene por la ecuación 4.5
(NSR-10, Sec. C.10.3), ni debe exceder de 0.025. Para pórticos con demanda moderada de ductilidad, DMO (NSR-10, Sec. C.21.3.4.3) debe
haber al menos dos barras continuas tanto arriba como abajo, estas barras
deben tener como mínimo un diámetro de N.o 4 (1/2”) o 12M (12mm).
Para pórticos con demanda especial de ductilidad, DES, la NSR-10, Sec.
C.21.5.2.1, no especifica el diámetro de este refuerzo, pero un diámetro
de 5/8”, tal como lo prescribía la NSR-98, es apropiado.
(4.1)
El límite a la cuantía de refuerzo de 0.0025 pretende evitar el congestionamiento del refuerzo en vigas principales, mientras que el requisito de al menos dos barras de refuerzo arriba y abajo tiene como objetivo
facilitar el proceso constructivo y proteger todas las secciones de la viga
de un modo de falla frágil por flexión.
La ductilidad de una sección de hormigón reforzado es mayor en
secciones sub reforzadas, y entre más sub reforzada es la sección, mayor
es su ductilidad. Por esta razón se limita la cuantía máxima de diseño a
una fracción de la cuantía balanceada, al 75% de su valor.
(4.2)
Para ’c 280 kgf/cm2, D = 0.7225 y decrece a razón de 0.04 por
cada 70 kgf/cm2 de exceso sobre 280 kgf/cm2.
# 7
@+A
$DMI,2 $DMO$ El principal inconveniente en los nudos exteriores, para el refuerzo longitudinal de las vigas, es satisfacer las condiciones de anclaje. Por con-
201
diciones geométricas el refuerzo debe doblarse en este extremo, para lo
cual se emplea un gancho estándar de 90°.
La NSR-10 no formula ninguna especificación sobre la localización
de las secciones críticas, por lo que puede asumirse que debe tomarse
en la cara de la columna de apoyo; sin embargo, para estructuras con alta
demanda de ductilidad, DES, el recubrimiento del refuerzo pierde rápidamente su eficiencia y en este caso la sección crítica debe tomarse en
el borde del núcleo confinado.
Figura 4.7 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los nudos exteriores
Figura 4.8 Dimensiones mínimas de vigas y columnas para anclaje en nudos exteriores
Tabla 4.1 Dimensiones de los ganchos estándar
db
202
Lg. cm
A cm
Pulg.
cm
17.5db
16db
1/2”
1.270
22
20
5/8”
1.588
28
25
3/4”
1.905
33
30
7/8”
2.222
39
36
1”
2.540
44
41
En este diseño deben considerarse los siguientes aspectos:
‚ ! ! columna, el anclaje de las varillas de la viga se debe suponer que se
inicia dentro de la columna.
 ƒ lumnas poco profundas, es recomendable:
Usar varillas de diámetro pequeño.
Emplear placas de anclaje soldadas a los extremos de las
varillas.
Colocar pequeñas varillas en el radio interior del doblez para
retrasar el aplastamiento o desprendimiento del hormigón en
ese lugar.
Colocar una cantidad suficiente de estribos horizontales para
restringir el movimiento del gancho.
ƒ ´\¶ˆ <
El detalle de ubicar el doblez hacia afuera del nudo, es decir, hacia
la columna, no es apropiado en zonas sísmicas.
Q ƒ ˆ Œ columna, pero debe quedar dentro del núcleo confinado de la columna o del elemento de borde.
Q gran altura lleguen a columnas esbeltas, se recomienda terminar las
varillas de las vigas en pequeñas extensiones en la fachada. Este detalle mejora notablemente las condiciones de anclaje de las varillas,
lo que se traduce en un comportamiento superior del nudo.
Según la NSR-10, Sec. C.12.5.1, la longitud de desarrollo, Ldh, para
una barra corrugada a tracción que termine en gancho estándar no debe
ser menor de 8 db, 150 mm o la longitud dada por la siguiente expresión
(NSR-10, Sec. C.12.5.2):
(4.3)
La NSR-10, Sec. C.12.5.3, permite multiplicar esta longitud de desarrollo, Ldh, por uno o varios de los siguientes coeficientes:
203
a) Por 0.7 para ganchos de barras 11 (1-3/8”) o 36M (36 mm) con recubrimiento lateral, normal al plano del gancho, no menor de 6.5 cm y
para ganchos de 90°, con recubrimiento en la extensión de la barra
más allá del gancho no menor de 5 cm.
b) Por 0.8 para ganchos de 90° de barras N.o 11 (1-3/8”) o 36M (36 mm)
y menores que se encuentran confinados por estribos perpendiculares a la barra que se está desarrollando, a lo largo de Ldh a no más
de 3db; o bien, rodeado con estribos paralelos a la barra que se está
desarrollando y espaciados a no más de 3 db a lo largo de la longitud
de desarrollo del extremo del gancho más el doblez.
c) Por 0.8 para ganchos de 180° de barras N.o 11 (1 3/8”) o 36M
(36 mm) y menores que se encuentran confinados con estribos perpendiculares a la barra que está desarrollando, espaciados a no más
de 3 db a lo largo de Ldh.
d) Por As colocado / As requerido, cuando se coloca acero en exceso. Este factor
es sólo aplicable a estructuras con demanda mínima de ductilidad,
DMI; y debe aplicarse sólo donde no se requiera o no se necesite anclar o desarrollar específicamente fy.
La Tabla 4.2 se ha calculado para un recubrimiento al estribo, según
la NSR-10, Sec. C.7.7.1.c, de 40 mm (4 cm) y para diámetros de los estribos de I3/8” (0.95 cm).
Tabla 4.2 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas
para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado
con gancho estándar a 90°, DMI y DMO
Barra
N.o
Ldh, cm
hmín. columna en cm
Diámetro
No se
Se
Se
No se
Se
Se
db en cumplen cumple cumple
cumple
cumple cumple
cm
(a) y (b)
(a)
(a) y (b) ni (a) ni (b)
(a)
(a) y (b)
hmin
viga
cm
4
1.27
27.6
19.3
15.5
32.6
24.3
20.4
25.3
5
1.59
34.6
24.2
19.4
39.6
29.2
24.3
30.4
6
1.91
41.5
29.1
23.2
46.5
34.0
28.2
35.5
7
2.22
48.3
33.8
27.0
53.3
38.8
32.0
40.5
8
2.54
55.2
38.6
30.9
60.2
43.6
35.9
45.6
Cálculos para fy = 420 MPa (4200 kgf/cm2), f ’c = 21 MPa (210 kgf/cm2). A Ldh
se le adicionan 4.95 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm
en el extremo del nudo y 0.95 cm del diámetro del estribo (I3/8”).
204
# $DES
Los requisitos para el anclaje de barras corrugadas con gancho estándar
de 90° son más estrictos para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES; la NSR-10, Sec. C.21.7.5.1, especifica que la longitud de
desarrollo, Ldh, no debe ser menor que el mayor valor entre 8db, 15 cm y
la longitud requerida por la expresión (4.4). Esta expresión es válida para
barras de 3/8”, (No 3), a barras de 1-3/8” (N.o 11).
(4.4)
A esta expresión se le han incorporado los coeficientes: 0.7 (por recubrimiento del hormigón) y 0.8 (por estribos) relacionados en la sección anterior. Por otra parte, la longitud de desarrollo calculada por la
expresión (4.3) se ha incrementado en la expresión (4.4) para reflejar el
efecto de las inversiones de carga.
Tabla 4.3 Ancho mínimo de las columnas y altura mínima de las vigas
para satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo terminado
con gancho estándar a 90°, DES
Barra
N.o
Diámetro
db en cm
Ldh
cm
hmin columna
(cm)
hmin viga (cm)
4
1.27
21.4
30.4
25.3
5
1.59
26.8
35.8
30.4
6
1.91
32.2
41.2
35.5
7
2.22
37.4
46.4
40.5
8
2.54
42.8
51.8
45.6
Cálculos para fy = 420 MPa (4,200 kgf/cm2), f ’c = 21 MPa (210 kgf/cm2). A Ldh
se le adicionan 8.95 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm en cada cara
y 0.95 cm del diámetro del estribo (I3/8”).
# 6
$DMI$2 $DMO, de ductilidad
La NSR-10, Sec. C.12.2.2, formula las expresiones básicas para el cálculo de la longitud de desarrollo, Ld, especificando que esta no debe ser
inferior a 30 cm.
205
Para barras N.o 6
(4.5)
Para barras > N.o 6
(4.6)
Estas expresiones son aplicables a estructuras con demanda mínima, DMI, y moderada DMO de ductilidad; se excluyen las estructuras con
demanda especial de ductilidad, DES, las cuales deben cumplir las especificaciones especiales de la sección de la NSR-10, Sec. C.21.7.5.2.
Para el refuerzo horizontal se colocan más de 30 cm de hormigón
fresco debajo de la longitud de desarrollo, \t =1.3. Para otros casos
\t =1.0. Para el refuerzo sin recubrimiento o recubierto con zinc (galvanizado) \e =1.0. Para las barras con recubrimiento epóxico, con menos
de 3db de recubrimiento o separación libre, menos de 6db, \e =1.5; para
otros casos con recubrimiento epóxico \e =1.2.
Tabla 4.4 Longitudes de desarrollo para barras rectas a tracción, refuerzo
sin recubrimiento epóxico (\e = 1.0), hormigón de peso normal (O = 1.0),
fy = 4,200 kgf/cm2, f ’c=210 kgf/cm2. Estructuras con demanda mínima,
DMI y moderada DMO de ductilidad
Barra
Diámetro
Ld cm
N.o
db en cm
Otras barras
\t = 1.0
Barras altas
\t = 1.3
4
1.27
56
73
5
1.59
70
91
6
1.91
84
109
7
2.22
121
158
8
2.54
139
181
Además deben cumplirse los siguientes requisitos:
Q mínimos a flexión en las zonas no confinadas (ver la Sección 4.3.2 de
este capítulo).
206
! debe ser inferior al diámetro db, no menor de 25 mm ni menor de
1.33 veces el tamaño máximo del agregado grueso (NSR-10, Sec.
C.7.6.1).
\
(4 cm) en vigas y columnas no expuestas a la intemperie (NSR-10,
Sec. C.7.7.1.c).
# $DES
Tabla 4.5 Longitudes de desarrollo para barras rectas a tracción, refuerzo
sin recubrimiento epóxico (\e = 1.0), hormigón de peso normal (O = 1.0),
fy = 4,200 kgf/cm2, f ’c=210 kgf/cm2. Estructuras con demanda especial
de ductilidad, DES
Barra
Diámetro
Ld cm
N.o
db en cm
Otras barras
Barras altas
4
1.27
54
70
5
1.59
67
87
6
1.91
81
105
7
2.22
94
122
8
2.54
106
137
Para barras No 3 (3/8”) o 10M (10 mm) a No 11 (1-3/8”) o 36M (36
mm), la longitud de desarrollo en tracción para una barra recta, Ld, no
debe ser menor que:
?<_ Œ ![<` hormigón colocado fresco, en una sola operación, debajo de la barra,
no excede de 30 cm.
~<?_ Œ ![<` de hormigón colocado fresco, en una sola operación, debajo de la
barra, excede de 30 cm (barras altas).
Además deben cumplirse los siguientes requisitos:
Q mínimos a flexión en las zonas no confinadas (ver la Sección 4.3.2 de
este capítulo).
207
La separación libre entre barras paralelas, colocadas en una capa,
no debe ser inferior al diámetro db, no menor de 25 mm ni menor de 1.33 veces el tamaño máximo del agregado grueso (NSR-10,
Sec. C.7.6.1).
\
(4 cm), en vigas y columnas no expuestas a la intemperie (NSR-10,
Sec. C.7.7.1.c).
‚ ƒ !Œ to menor de 3db o separación libre entre barras, menor de 6db, las
longitudes de desarrollo deben multiplicarse por el factor \e = 1.5
para las otras barras con recubrimiento epóxico \e = 1.2 (NSR-10,
Sec. C.21.7.5.4).
$
del núcleo confinado de la columna o elemento de borde. Cualquier
porción de Ld fuera del núcleo confinado debe incrementarse mediante un factor de 1.6 (NSR-10, Sec. C.21.7.5.3).
Las secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en elementos sometidos a flexión son los puntos en donde se presentan esfuerzos máximos y puntos de la luz donde termina o se dobla el refuerzo adyacente
(NSR-10, Sec. C.12.10.2).
El refuerzo debe extenderse más allá del punto en el que ya no se
requiera para resistir flexión, una distancia igual a la altura efectiva del
elemento, d o 12db, la que sea mayor, excepto en los de vigas simplemente apoyadas y en el extremo libre de voladizos (NSR-10, Sec. C.12.10.3).
Lo anterior se debe a que existen diferencias entre los diagramas teóricos, obtenidos en el análisis, y los que se presentan realmente, ocasionadas por la incertidumbre en la magnitud y distribución de las cargas y
por las aproximaciones usadas en el análisis.
El refuerzo que continúa debe tener una longitud embebida no menor de Ld, más allá del punto donde no se requiera refuerzo de tracción
para resistir flexión (NSR-10, Sec. C.12.10.4). Por lo menos 1/3 del refuerzo total por tracción en el apoyo proporcionado para resistir momento negativo, debe tener una longitud embebida, más allá del punto de
inflexión, no menor que la altura efectiva del elemento, d, 12 db o 1/16
de la luz libre, la que sea mayor (NSR-10, Sec. C.12.12.3).
208
Figura 4.9 Desarrollo del refuerzo negativo en un apoyo interior
( $DES
En las estructuras con demanda especial de ductilidad, el efecto de las
cargas sísmicas prima sobre el de las cargas de gravedad; por ello, en
este tipo de estructuras se presenta con frecuencia el siguiente tipo de
diagrama de momentos:
Figura 4.10 Diagrama de momentos flectores con inversión en el apoyo central
En un nudo interior, para estructuras con demanda especial de ductilidad, una barra de refuerzo colocada en la parte superior de la viga
209
pasa de trabajar a tracción en una cara de la columna, a compresión en la
otra cara, por lo que se necesita un espesor mínimo de la columna para
que dentro del nudo la barra pueda invertir sus tensiones. Para que esta
inversión de tensiones sea posible, se necesita garantizar un espesor mínimo de la columna con el fin de proporcionar la adherencia necesaria
para que la barra pueda cambiar de tensión dentro del nudo.
Para lograr lo anterior, la NSR-10, Sec. C.21.7.2.3, establece en pórticos con demanda especial de ductilidad, DES, una relación mínima de
20 entre el ancho de la columna o viga y el diámetro de la barra que los
atraviese.
hv = 20 * db2
hc = 20 * db1
Figura 4.11 Dimensiones mínimas de vigas y columnas en uniones interiores,
pórticos de hormigón con DES
( $DMO
Para el diseño de estructuras aporticadas de hormigón con demanda moderada de ductilidad, DMO, se exigen las mismas cuantías de diseño que
para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES; la diferencia
está en que no existen restricciones para el dimensionamiento por adherencia de las vigas y columnas en nudos interiores, de allí se infiere que
en la NSR-10 se asume que el efecto de las cargas sísmicas no domina
sobre el de las cargas verticales y que los diagramas de momento no presentan inversión en los nudos centrales.
210
Figura 4.12 Diagrama de momentos flectores sin inversión en el apoyo central
En este caso, una barra colocada en la parte superior de la viga trabaja a tracción a ambos lados del nudo o de la columna, no presenta inversión de momentos y por tanto no existen problemas de adherencia que
obliguen a la exigencia de dimensiones mínimas para vigas y columnas,
como es el caso de estructuras con demanda especial de ductilidad. No
obstante, debe analizarse si la estructura aporticada presenta o no inversión de momentos y de presentarse debe aplicarse este requisito.
En las estructuras con demanda mínima de ductilidad dominan las
cargas verticales, y en las de demanda especial de ductilidad, las cargas
sísmicas. En las estructuras con demanda moderada de ductilidad no se
tiene certeza sobre cuál de ellas domina el diseño.
No tiene sentido cuidar la resistencia, rigidez y ductilidad de los
elementos estructurales si estos no se unen entre sí, de manera que
estas características se puedan desarrollar plenamente.
( # B Los estribos cumplen las funciones de fijar la posición del refuerzo longitudinal y de proporcionar resistencia a tensión en la viga para evitar
una falla frágil por cortante.
Una distribución adecuada de estribos cerrados incrementa sustancialmente la ductilidad de las secciones de hormigón en flexión al
proporcionar confinamiento al hormigón del núcleo y restringir el pandeo del refuerzo longitudinal en compresión. El suministro de estribos
cerrados a una separación no mayor de “d/2” es requisito para vigas
de pórticos dúctiles y es recomendable en cualquier viga con función
estructural.
211
Los requisitos ilustrados en las Figuras 4.4 y 4.5 se refieren esencialmente a separación de los estribos de confinamiento en las zonas de
posible formación de articulaciones plásticas. Estos deben ser cerrados,
de una pieza, se deben rematar con dobleces a 135° o más, con una extensión de 6de pero no menor de 75 mm (NSR-10, Sec. C.7.1.4), como
se indica en la Figura 4.13. El remate a 135° es necesario para impedir
que el estribo se abra al ser sometido a la presión producida por la expansión del hormigón del núcleo interior, con lo cual perdería su función de
proporcionar confinamiento. La ejecución de estos dobleces en la obra
presenta ciertas dificultades, por lo que el detalle es frecuentemente
objetado por los constructores. Sin embargo, se trata de un requisito
importante que debe ser respetado.
Figura 4.13 Estribos de confinamiento
( # >
En el diseño de vigas a cortante se tiene como objetivo principal evitar
la posibilidad de una falla frágil por tracción diagonal en el hormigón.
Las especificaciones para el diseño a cortante no se basan en los valores
obtenidos del análisis, sino que se fundamentan en el valor de las fuerzas
cortantes que aparecen cuando se forman las articulaciones plásticas en
los extremos de las vigas. Para su cálculo deben diseñarse primero las
vigas y luego, de acuerdo con el refuerzo colocado, se determina el valor
de los momentos de fluencia en los extremos de las vigas, para calcular
212
después el cortante máximo que entra a la viga cuando estos extremos
se plastifican.
Las vigas tienen que ser capaces de soportar los cortantes que se
presentan cuando se forma el mecanismo de falla aceptado, que consiste
en la aparición de una articulación plástica de momento negativo en un
extremo y, posteriormente, de una articulación plástica de momento positivo en el otro extremo o cerca de él.
Aplicando el principio de superposición se pueden analizar, de manera separada, el efecto de la carga de gravedad y el de las cargas sísmicas, cuando éstas predominan. De esta superposición, indicada en la
Figura 4.15, se deduce que el máximo cortante que entra a la viga está
dado por la siguiente expresión:
(4.7)
Figura 4.14 Acciones en las vigas de pórticos dúctiles debidas al efecto
simultáneo de cargas de gravedad y cargas sísmicas
213
Los valores de los momentos de fluencia se calculan a partir de las
siguientes expresiones:
Muy= I As fy*(d - a / 2),
a=(D / 0.85) * c,
c=U* fy * d / D f ’c
(4.8)
El máximo cortante que se introduce en la viga, Vu máx., es aquel que
se presenta cuando los dos momentos de extremo, Ma y Mb, alcanzan su
valor máximo, el de fluencia. Es decir, que su valor no se deduce del análisis, sino que debe hacerse primero el diseño a flexión de la viga y una
vez seleccionado el refuerzo en los apoyos, se calcularán los momentos
para los cuales este acero fluye. En este caso, la suma de los momentos
de extremo no puede pasar de sus valores de fluencia y, por tanto, el cortante que se introduce nunca podrá exceder de esta suma, dividida por
la longitud libre de la viga, L. Este valor es independiente del sismo.
Figura 4.15 Superposición de los efectos de cortante en una viga dúctil
de hormigón reforzado
Al cortante por carga vertical, isostático, se le debe sumar el correspondiente cortante hiper-estático, mayorado por un adecuado factor de
seguridad, y con este valor se procede al diseño de los estribos. Así se
pretende garantizar que la viga nunca va a fallar a cortante porque primero falla a flexión.
214
Para pórticos con ductilidad moderada, DMO, los momentos de
fluencia se calculan a partir del refuerzo longitudinal que resulte en las
secciones extremas, para el cual la tensión de fluencia del acero se tomará igual a su valor nominal, el factor de sub resistencia se tomará igual a
la unidad, (I = 1.0). Los momentos calculados con estos parámetros se
denominan momentos nominales, Mn (NSR-10, Sec. C.21.3.3.1).
Para pórticos con ductilidad especial, los momentos flectores se calculan tomando la tensión de fluencia del acero igual a 1.25 veces su valor
nominal, y el factor de sub-resistencia igual a la unidad, (I = 1.0). Los
momentos calculados con estos parámetros se denominan momentos
probables, Mpr, (NSR-10, Sec. C.21.5.4.1).
Para pórticos con ductilidad mínima, los momentos flectores se calculan tomando la tensión de fluencia del acero igual a su valor nominal,
y el factor de sub resistencia igual al especificado para flexión, (I = 0.9).
El cálculo del cortante último de diseño, por el procedimiento anterior, puede resultar poco familiar, pero es el procedimiento racional que
posibilita hacer un diseño sísmico seguro, que le permite al ingeniero calculista saber qué factor de seguridad está usando en cada caso y con ello
controlar el mecanismo de falla. Este procedimiento racional es el único
recomendado por la NSR-10 para pórticos con ductilidad especial DES.
Para pórticos con ductilidad moderada, DMO, recomienda tomar
como cortante de diseño el menor valor entre:
La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos
nominales del elemento en cada extremo restringido de la luz libre
y el cortante calculado para cargas mayoradas (expresión (4.7).
El cortante máximo obtenido de las combinaciones de cargas de diseño que incluyen E, considerando E como el doble del prescrito
por el título A de la NSR-10.
( # 6
Para estructuras con ductilidad especial, se prescribe ignorar la contribución del hormigón a la resistencia al cortante, cuando el cortante sísmico
domine sobre el cortante de la carga vertical. Lo anterior, para tomar
en cuenta que la repetición de ciclos de carga alterna, producidos por
el sismo, puede llegar a degradar el mecanismo con el cual el hormigón
contribuye a la resistencia a cortante, después de que se han llegado a
formar grietas de tensión diagonal.
215
La NSR-10, Sec. C.21.5.4.2, especifica que la contribución del hormigón a cortante debe considerarse nula cuando:
La fuerza cortante introducida por el sismo representa la mitad o
más de la resistencia máxima a cortante requerida.
La fuerza axial de compresión mayorada, Pu, incluyendo los efectos
sísmicos, es menor que 0.1 f ’c Ag.
Es recomendable considerar nula la contribución del hormigón a la
resistencia a cortante (Vc) en los extremos de las vigas donde se pretenda que la sección de la viga sea capaz de alcanzar más de una vez
rotaciones inelásticas elevadas, que provocan un deterioro significativo
de la contribución del hormigón a cortante. Cuando se considere la contribución del hormigón, ésta se puede calcular con la expresión dada por
la NSR-10, Sec. C.11.2.1.1:
(4.9)
(4.10)
Imagen 4.1 Falla por tensión diagonal, en una viga, debido a sobrecargas
Se requiere un refuerzo transversal poco espaciado para evitar el
agrietamiento por tensiones diagonales, para restringir el pandeo del re-
216
fuerzo longitudinal que trabaje a compresión y para proporcionar confinamiento al hormigón. No deben realizarse cortes ni traslapos en las zonas de formación de las articulaciones plásticas para evitar que aparezcan
tensiones en el hormigón por la transmisión de tensiones de adherencia,
lo que reduciría su capacidad de rotación.
4.4 Tuberías embebidas
Se permite, previa aprobación del ingeniero calculista, embeber cualquier material que no sea perjudicial para el hormigón, siempre y cuando
se considere que no reemplaza al hormigón y no debilita significativamente la resistencia de la estructura (NSR-10, Sec. C.6.3).
Se deben cumplir los siguientes requisitos:
Los ductos y tuberías, junto con sus conexiones, embebidas en una
columna, no deben ocupar más del 4% del área de la sección transversal que se empleó para calcular su resistencia, o la requerida para
la protección contra el fuego.
Imagen 4.2 Colocación prohibida de tuberías atravesando los elementos
de resistencia sísmica, DMO y DES
No deben tener dimensiones exteriores mayores que 1/3 del espesor total de la losa, muro o viga donde están embebidos.
217
No deben estar espaciados a menos de tres veces su diámetro o ancho medido de centro a centro.
El recubrimiento del hormigón para las tuberías, conductos y sus
conexiones no debe ser menor de 40 mm para hormigón en contacto
con el suelo, o de 20 mm cuando el hormigón no está expuesto a la
intemperie o en contacto con el suelo.
Debe colocarse refuerzo en la dirección normal a la tubería, con un
área no menor de 0.002 veces el área de la sección de hormigón.
En losas macizas las tuberías deben colocarse entre las capas de refuerzo superior a menos que se requieran para irradiar calor.
4.5 Sistema de losas aligeradas o nervadas
Estas losas deben cumplir los siguientes requisitos, según la NSR-10,
Sec. C.8.13.
Figura 4.16 Dimensiones mínimas de losas aligeradas
El ancho mínimo de un nervio es de 10 cm en su parte superior y su
ancho promedio no debe ser inferior a 8 cm. Su altura libre no puede ser
superior a cinco veces su ancho promedio (NSR-10, Sec. C.8.13.2).
Para losas nervadas en una dirección la separación máxima entre
nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor de 2.5 veces la
altura total de la losa, sin exceder de 1.20 m (NSR-10, Sec. C.8.13.3).
Para losas nervadas en dos direcciones la separación máxima entre
nervios, medida centro a centro, no puede ser mayor de 3.5 veces la altura total de la losa, sin exceder de 1.50 m (NSR-10, Sec. C.8.13.3).
Cuando se trate de losas en una dirección deben colocarse nervios
transversales de repartición con una separación máxima de diez veces
el espesor total de la losa, sin exceder de 4.00 m. Estos nervios trans-
218
versales deben diseñarse, a flexión y a cortante, de tal manera que sean
capaces de transportar la carga total (muerta más viva) de cada nervio a
los dos nervios adyacentes (NSR-10, Sec. C.8.13.3.1).
Cuando se utilicen aligerantes de arcilla cocida u hormigón, que
tengan una resistencia unitaria a la compresión por lo menos igual al ’c
de las viguetas, se debe cumplir:
La porción vaciada en el sitio de la loseta superior debe tener al
menos 4.5 cm de espesor, pero ésta no debe ser menor de 1/20 de
la distancia libre entre los nervios. Cuando se utilicen bloques de
aligeramiento permanentes de hormigón o de arcilla recocida, la
parte de la loseta superior vaciada en el sitio puede tomarse de 4 cm
(NSR-10, Sec. C.8.13.5.2).
La loseta superior debe tener, como mínimo, el refuerzo de retracción y temperatura especificados por la NSR-10, Sec. C.7.12. Para
mallas electro-soldadas esta cuantía es de 0.0018.
Cuando se utilicen aligerantes removibles que no cumplan lo anterior se debe cumplir:
El espesor de la loseta superior no debe ser menor que 1/12 de la
distancia libre entre las nervaduras, ni menor de 5 cm (NSR-10,
Sec. C.8.13.6.1).
La loseta superior debe tener, como mínimo, el refuerzo de retracción y temperatura especificados por la NSR-10, Sec. C.7.12
(NSR-10, Sec. C.8.13.6.2).
Imagen 4.3 Recubrimiento insuficiente del refuerzo de temperatura
en una losa aligerada
219
El refuerzo positivo de los nervios, para las luces más frecuentes,
está constituido por una sola barra. Se recomienda llevar y anclar este refuerzo en los apoyos para prevenir que un error constructivo en el control
del recubrimiento lleve a una falla por adherencia.
Para las vigas paralelas a los nervios, en losas aligeradas en una dirección, además de las cargas propias de su función, debe considerarse el
efecto de la carga que puedan transportar los nervios transversales. Este
efecto puede tenerse en cuenta considerando una carga aferente sobre
la viga, equivalente al doble de la que lleva un nervio (NSR-10, Sec.
C.8.13.3.3).
En losas nervadas puede considerarse que IVc es un 10% mayor que
lo especificado por la NSR-10 para elementos sometidos a flexión y corte
en su Sección C.11.2.1.1.
Imagen 4.4 El recubrimiento insuficiente del refuerzo longitudinal
se manifiesta en una fisura paralela al refuerzo y la posterior pérdida
del recubrimiento
Los apoyos extremos de los nervios deben modelarse como apoyos
simples para evitar generar torsión en la viga de apoyo, no obstante lo anterior este apoyo debe llevar un refuerzo mínimo (I3/8”) para controlar
las posibles fisuras que puedan presentarse.
220
Los extremos de los nervios que terminan en voladizos deben detallarse colocándoles, además del refuerzo negativo, una cantidad mínima
de refuerzo positivo para absorber las tracciones que puedan presentarse
en la fibra inferior.
Imagen 4.5 Desprendimiento del refuerzo longitudinal en nervios
por falta de recubrimiento y de estribos
Imagen 4.6 Apoyo extremo de nervios con refuerzo negativo en exceso,
lo cual ocasionó torsión en la viga indicada en la Imagen 4.4
221
Imagen 4.7 Colapso estructural por torsión en la viga de borde.
Obsérvese la verticalidad de la baranda respecto a la arista de la viga
Imagen 4.8 Falla en voladizos, Armenia, Colombia, 1999
222
4.6 Requisitos de diseño sismo resistente para vigas,
NSR-10
Tabla 4.6 Requisitos geométricos para las vigas
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Moderada - DMO
Mínima - DMI
Especial - DES
1. La separación entre los 1. La fuerza axial mayorada 1. La fuerza axial mayorada
apoyos laterales de una
en el elemento no debe
en el elemento no debe
viga no debe exceder
exceder de 0.10 f ’c Ag
exceder de 0.10 f ’c Ag
de cincuenta veces el
NSR-10, Sec. C.21.5.1.1
NSR-10, Sec. C.21.3.2
menor ancho b del ala
o cara de compresión
NSR-10, Sec. C.10.4.1
2. La luz libre del elemento, Ln, no debe ser
menor de 4h
2. La luz libre del elemento,
Ln, no debe ser menor de 4h
NSR-10, Sec. C.21.5.1.2
NSR-10, Sec. C.10.7.1
3. bw / d
0.30
NSR-10, Sec. C.21.5.1.3
2.
bw ³ 0.20 m
NSR-10, Sec. C.21.3.4.1
4. bw ³ 0.25 m
NSR-10, Sec. C.21.5.1.3
5. El ancho del elemento, bw,
no debe exceder el ancho
del elemento de apoyo,
c 2, más una distancia a
cada lado del elemento
de apoyo que sea igual al
menor valor de:
a. El ancho del elemento
de apoyo, c2.
b. 0.75 veces la dimensión total del elemento de apoyo c2
NSR-10, Sec. C.21.5.1.4
3. La excentricidad respecto a la columna que le da
apoyo no debe ser mayor
que el 25% del ancho
del apoyo, medido en la
dirección perpendicular
a la dirección del eje
longitudinal de la viga
NSR-10, Sec. C.21.3.4.2
223
Tabla 4.7 Refuerzo longitudinal en vigas
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
Moderada - DMO
Especial - DES
1. Las vigas deben tener 1. En cualquier sección de 1. En cualquier sección de
la viga el refuerzo supeun elemento a flexión,
al menos dos barras lonrior e inferior no debe
excepto por lo dispuesgitudinales continuas
tener una cuantía, U, into en C.10.5.3, para el
colocadas a lo largo de
ferior a la que se obtiene
refuerzo tanto superior
ambas caras superior e
con la ecuación C.10-3,
como inferior, el área
inferior. Estas barras
ni debe exceder 0.025.
de refuerzo no debe ser
deben desarrollarse en
Debe haber al menos
menor que la dada por
la cara del apoyo
dos barras continuas de
la ecuación C.10-3 ni
diámetro igual o superior
menor que 1.4 bwd/fy, y
NSR-10, Sec. C.21.2.2
a N.o 4 (1/2”) o 12M (12
la cuantía de refuerzo, U,
no debe exceder 0.025.
mm) tanto arriba como
Al menos dos barras deabajo
ben disponerse en forma
continua tanto en la parte
NSR-10, Sec. C.21.3.4.3
superior como inferior
NSR-10, Sec. C.21.5.2.1
2. La resistencia a momen- 2. La resistencia a momento
positivo en la cara del
to positivo en la cara del
nudo no debe ser menor
nudo no debe ser menor
que 1/2 de la resistencia
que 1/3 de la resistencia
a momento negativo proa momento negativo en
porcionada en esa misla misma cara del nudo.
ma cara. La resistencia
La resistencia a momena momento negativo o
to negativo o positivo,
positivo, en cualquier
en cualquier sección a lo
sección a lo largo de la
largo de la viga, no puede
longitud del elemento no
ser menor que 1/5 de
debe ser menor que 1/4
la resistencia máxima a
de la resistencia máxima a
momento proporcionada
momento proporcionada
en la cara de cualquiera
en la cara de cualquiera
de los nudos
de los nudos
NSR-10, Sec. C.21.3.4.4
NSR-10, Sec. C.21.5.2.2
224
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
Moderada - DMO
Especial - DES
1. Las vigas deben tener 3. No se permite empalme 3. No se permite empalme
por traslapo en los sipor traslapo dentro de
al menos dos barras longuientes lugares:
los nudos
gitudinales continuas
colocadas a lo largo de
x Dentro de los nudos.
NSR-10, Sec. C.21.3.4.5
ambas caras superior e
x Dentro de una distancia
inferior. Estas barras
igual a 2h de la cara del
deben desarrollarse en
nudo.
la cara del apoyo
x Donde el análisis indique fluencia por fleNSR-10, Sec. C.21.2.2
xión causada por desplazamientos laterales
inelásticos del pórtico
NSR-10, Sec. C.21.5.2.3
4.
Sólo se permiten empalmes por traslapo
del refuerzo de flexión
cuando se proporcionan estribos cerrados
de confinamiento en la
longitud de empalme
por traslapo. El espaciamiento del refuerzo
transversal que confina
las barras traslapadas no
debe exceder de d/4 o
100 mm
NSR-10, Sec. C.21.5.2.3
5.
Los empalmes mecánicos deben cumplir los
requisitos C.21.1.6 y los
empalmes soldados deben cumplir con C-211-7
NSR-10, Sec. C.21.5.2.4
225
Tabla 4.8 Refuerzo transversal en vigas
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
No hay requisitos
especiales
Moderada - DMO
Especial - DES
1. Deben colocarse estribos 1. Deben disponerse estribos cerrados de confinacerrados de confinamienmiento en las siguientes
to, en ambos extremos
regiones de los elemendel elemento, al menos
tos pertenecientes a pórde diámetro N.o 3 (3/8”)
ticos:
o 10M (10 mm) en lona. En una longitud igual a
gitudes iguales a 2h, me2h, medida desde la cara
didos desde la cara del
del elemento de apoyo
elemento de apoyo hacia
hacia el centro de la luz
el centro de la luz
en ambos extremos del
NSR-10, Sec. C.21.3.4.6
elemento en flexión.
b. En longitudes iguales
a 2h a ambos lados de
una sección en donde
puede ocurrir fluencia
por flexión debido a desplazamientos laterales
inelásticos del pórtico
NSR-10, Sec. C.21.5.3.1
2. El primer estribo cerrado 2. El primer estribo cerrade confinamiento debe
do de confinamiento
estar situado a no más de
debe estar situado a no
50 mm de la cara del elemás de 50 mm de la cara
mento de apoyo. El espadel elemento de apociamiento de los estribos
yo. El espaciamiento de
cerrados de confinamienlos estribos cerrados de
to no debe exceder el
confinamiento no debe
menor valor de:
exceder de:
xd/4.
x d/4.
x8db de la barra longitudix 6db de la barra longinal de menor diámetro.
tudinal más pequeña.
x24 de de la barra del esx 150 mm
tribo de confinamiento.
NSR-10, Sec. C.21.5.3.2
x300 mm
NSR-10, Sec. C.21.3.4.6
226
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
No hay requisitos
especiales
Moderada - DMO
Especial - DES
3. Las barras longitudinales 3. Cuando se requieran estribos cerrados de confidel perímetro deben tenamiento, las barras lonner el soporte lateral congitudinales principales
forme a C.7.10.5.3, donde
para flexión más cercanas
se requieran estribos cea las caras de tracción y
rrados de confinamiento
compresión deben tener
NSR-10, Sec. C.21.3.4.7
soporte lateral conforme
a C.7.10.5.3 o C.7.10.5.4.
El espaciamiento entre
barras longitudinales con
soporte lateral no debe
exceder de 350 mm
NSR-10, Sec. C.21.5.3.3
4. Deben colocarse estribos 4. Cuando no se requieran estribos cerrados de
con ganchos sísmicos en
confinamiento deben
ambos extremos, espacolocarse estribos con
ciados a no más de d/2
ganchos en ambos exen toda la longitud del
tremos, espaciados a no
elemento
más de d/2 en toda la
NSR-10, Sec. C.21.3.4.8
NSR-10, Sec. C.11.4.5.1
longitud del elemento
1. El espaciamiento
del refuerzo de
cortante colocado
perpendicularmente
al eje del elemento
no debe exceder de d/2
NSR-10, Sec. C.21.5.3.4
2. Donde Vs sobrepase
\<~~¸ ¹c bwd (MPa)
la separación de los
estribos no debe exceder
de d/4
NSR-10, Sec. C.11.4.5.3
5.Los estribos que se requieran para resistir cortante
deben ser estribos cerrados de confinamiento
colocados en los lugares
dentro de los elementos
descritos en C.21.5.3.1
NSR-10, Sec. C.21.5.3.5
227
Tabla 4.9 Tensiones cortantes en vigas
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
No hay requisitos
especiales
Moderada - DMO
Especial - DES
1. El IVn de vigas que resisten 1. La fuerza cortante de diseño,
Ve, se debe determinar a
efectos sísmicos, E, no debe
ser menor que el menor
partir de las fuerzas estáticas
valor de (a) y (b):
en la parte del elemento
comprendida entre las caras
a. La suma del cortante debido a
del nudo. Se debe suponer
flexión, en curvatura inversa,
que en las caras de los nudos
asociado con el desarrollo de
actúan momentos de signo
los momentos nominales de
opuesto correspondientes a
la viga, Mn, en cada extremo
la resistencia probable, Mpr, y
restringido de la luz libre y
que el elemento está además
el cortante calculado para
cargado con cargas aferentes
cargas gravitacionales magravitacionales mayoradas a
yoradas.
lo largo de la luz
b. El cortante máximo obtenido
de las combinaciones de carNSR-10, Sec. C.21.5.4.1
gas de diseño que incluyan,
E, considerando E como el
doble del prescrito por el
título A de la NSR.
NSR-10, Sec. C.21.3.3.1
2. El refuerzo transversal identificado en C.21.5.3.1 debe
diseñarse para resistir cortante suponiendo V c = 0
cuando se produzcan simultáneamente (a) y (b):
a.
228
La fuerza cortante inducida por el sismo calculada
de acuerdo con C.21.5.4.1
representa la mitad o más
de la resistencia máxima a
cortante requerida en esas
zonas.
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
Moderada - DMO
No hay requisitos
especiales
Especial - DES
b.
La fuerza axial de compresión mayorada, incluyendo
los efectos sísmicos, es
menor que: 0.05 f ’c Ag
NSR-10, Sec. C.21.5.4.2
Donde el refuerzo longitudinal
de una viga atraviesa un nudo
viga-columna, la dimensión de
la columna paralela al refuerzo
de la viga no debe ser menor
que veinte veces el diámetro de
la barra longitudinal de viga de
mayor diámetro, para hormigón
de peso normal
C.21.7.2.3
4.7 Ejemplo de diseño
Segunda parte: diseño de vigas
En esta segunda parte se evalúan con detalle las cargas gravitacionales,
muertas y vivas, y se analiza el pórtico 1, para cinco combinaciones de
cargas. Igualmente, se realizan ejemplos de diseño de escaleras, nervios,
N2, y vigas, V4.
229
Planta tercera y cuarta losa
230
Planta segunda losa
231
Planta primera losa
232
Diseño de la escalera
En este tipo de escalera se analiza su proyección horizontal, como si se
tratase de una viga simplemente apoyada.
Materiales:
Acero: fy =4,200 kgf /cm2
Hormigón: f ’c=210 kgf /cm2
Cargas:
Acabados: 160 kgf /m2
Carga viva: 300 kgf /m2
Dimensionamiento:
NSR-10, Tabla C.9-1.a
h
L / 20=255 / 20=12.8 cm
Se asume h = 15 cm
NSR-10, Sec. C.7.7.1.c
Recubrimiento: r = 2 cm, d = h - r - db/2,
Se asume d = 12 cm
Peso total de la escalera por metro de profundidad:
Carga muerta (P ):
cm
Peso de la losa horizontal:
0.95 * 0.15 * 2,400
= 342.0 kgf
Peso de la losa inclinada:
1.80 * 0.15 * 2,400
= 648.0
Peso de los peldaños:
5 * (0.187 * 0.30/2) * 2,300
= 322.6
Peso de los acabados:
160 * (0.95 + 1.70)
= 424.0
=======
P
= 1,36.6 kgf
cm
Carga viva (Pcv):
Pcv = 2.55 *300 = 765 kgf
Carga última (Pu):
Pu = 1.2 * P + 1.6 * Pcv = 3,307.9 kgf
cm
Wu = Pu / L = 3,307.9 / 2.55 = 1,297 kgf/m
Armadura por retracción de fraguado y cambios de temperatura:
NSR-10, Sec. C.7.12.2.1:
As temp=0.0018 * b * h= 0.0018 * 100 * 15= 2.70 cm2
Refuerzo I3/8” (0.71 cm2): se requieren: (2.70 / 0.71) 3.8 barras cada (100 / 3.8) 26.3 cm
Solución: colocar 1I3/8” cada 25 cm
NSR-10, Sec. C.7.12.2.2:
smáx. 5h = 5 * 15 = 75 cm 9
smáx. 45 cm 9
233
Diseño a flexión: Mu = Wu * L2 / 8 = 1.2975 * 2.552 / 8 = 1.06 t-m = 106 t-cm
K = Mu / bd2 = 0.00734 t / cm2
U
mín
= 0.80
/
f ' c fy
ŸU = 0.001955
14 / fy = 0.003333
As = U * bd = 0.00333 * 100 * 12 = 4.00 cm2
La armadura requerida por la flexión (4.00 cm2) no debe ser inferior
a la requerida para controlar los cambios de temperatura (2.70 cm2). Se
requiere colocar (4.00/1.29) 3.1 barras de I1/2” cada (100/3.1) 32 cm.
Solución: colocar: 1I1/2” c/30 cm.
NSR-10, Sec. C.7.6.5: smáx 3h = 3 * 15 = 45 cm 9
smáx 50 cm 9
Diseño a cortante:
IVc=0.53*I
fc' * bd=0.53*0.75 * 210 *100* 12=6,912.4 kgf
Cortante crítico a la distancia “d” del borde del apoyo:
Vu critica=1,297 *(2.55/2 – 0.15/2 – 0.12)=1,400.8 kgf, IVc>Vu 9
IVc > Vu
234
Ÿ
no requiere estribos
! Las cargas sobre los nervios fueron evaluadas en la Sección 3.10, Primera Parte, evaluación de cargas, y se obtuvo una carga de diseño de 1.17
t/m. Todos los nervios se diseñan para la carga anterior excepto el nervio
N4 que se diseña para la carga de la escalera (1.65 t/m) y la mitad del
valor de la carga de los nervios (0.59 t/m) debido al vacío de las escalas.
N1:
N2:
N3:
N4:
N7:
La evaluación de las cargas sobre las vigas de la losa 1, se obtienen
sumando las reacciones de los nervios y dividiendo por la luz de la viga,
entre ejes:
V7 (C-B) = (2.08 + 2*2.05 + 2.29 + 2*1.82) / 7.20 = 1.76 t/m
N1 + 2N2 + N7 + 2N3
V7 (B-A) = (2*2.08 + 2.05) / 4.45 = 1.40 t/m
2N1 + N2
V6 (C-B) = (6.00 + 2*6.13 + 4.97 + 2*7.29) / 7.20 = 5.25 t/m
N1 + 2N2 + N7 + 2N3
V6 (B-A) = (2*6.00 + 6.13) / 4.45 = 4.07 t/m
2N1 + N2
V5 (C-B) = (7.82 + 2*7.36 + 12.27 + 2*2.48) / 7.20 = 5.52 t/m N1 + 2N2 + N7 + 2N3
V5 (B-A) = (2*7.82 + 7.36) / 4.45 = 5.17 t/m
2N1 + N2
235
V4 (C-B) = (2.89 + 2*5.25 + 9.74 + 2*4.92) / 7.20 = 4.58 t/m
N1 + 2N2 + N7 + 2N6
V4 (B-A) = (2*2.89 + 5.25) / 4.45 = 2.48 t/m
2N1 + N2
La evaluación de las cargas sobre las vigas de la losa 2 y 3 se obtiene
siguiendo el mismo procedimiento, se analizan los nervios N8 a N14 y
luego se evalúan las cargas de diseño sobre las vigas.
N8:
N9:
N10:
N11:
N12:
N14:
Cargas sobre las vigas:
236
V9 (C-B) = (5.49 + 5.57 + 6.68 + 7.31 + 6.28 + 5.99) / 7.20 = 5.18 t/m
N8+N9+N10+ N11+N13+N14
V9 (B-A) = (5.49 + 5.57 + 6.62) / 4.45 = 3.97 t/m
N8 + N9 + N12
V8 (C-B) = (7.73 + 7.31 + 6.84 + 2.31 + 2.64 + 11.47) / 7.20 = 5.32 t/m
N8+N9+N10+N11+N13+N14
V8 (B-A) = (7.73 + 7.31 + 7.15) / 4.45 = 4.99 t/m
N8 + N9 + N12
V10 (C-B) = (2.90 + 5.26 + 5.33 + 9.86 + 2*4.92) / 7.20 = 4.61 t/m
N8+N9+N10+N14+ 2N6
V10 (B-A) = (2.90 + 5.26 + 4.14) / 4.45 = 2.76 t/m
N8 + N9 + N12
Evaluación de las cargas sobre las vigas de la losa 4:la losa 4 es una
losa de cubierta, no lleva muros divisorios, por ello debe modificarse el
valor de la carga muerta. Este análisis se hizo en la Sección 3.10 y se
obtuvo:
CM = 434 kgf/m, CV = 180 kgf/m, Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 808.8 kgf/m | 0.81 t/m
Por ser el análisis lineal y tener la misma geometría (las losas 3 y
4) los resultados de la losa de cubierta, losa 4, pueden deducirse de los
obtenidos de la losa 3, multiplicando estos resultados por la relación que
existe entre las cargas: 0.81/1.17 = 0.69.
Cargas sobre las vigas:
V9 (C-B) = 5.18 * 0.69 = 3.93 t/m
N8+N9+N10+ N11+N13+N14
V9 (B-A) = 3.97 * 0.69 = 3.01 t/m
N8 + N9 + N12
V8 (C-B) = 5.32 * 0.69 = 3.67 t/m
N8+N9+N10+N11+N13+N14
V8 (B-A) = 4.99 * 0.69 = 3.44 t/m
N8 + N9 + N12
V10 (C-B) = 4.61 * 0.69 = 3.18 t/m
N8+N9+N10+N14+ N6
V10 (B-A) = 2.76 * 0.69 = 1.90 t/m
N8 + N9 + N12
Cargas gravitacionales últimas (mayoradas) sobre los pórticos en t/m
(1.2*CM + 1.6*CV, no incluyen el peso de las vigas):
Se aconseja diseñar las vigas en los ejes A, B, C y las losas 1, 2 y 3,
para una carga igual al doble de la de los nervios, es decir, de 2.64 t/m, y
en la cubierta, losa 4, el 68% de este valor, o sea de 1.80 t/m. Esta sugerencia se debe a la posible transmisión de cargas de los nervios NT.
237
Œ!" ¬?
f ’c=210 kgf/cm2, fy=4,200 kgf/cm2, b=15 cm, h=40 cm, d=37 cm, d’=3 cm
* Diagramas de fuerza cortante y de momento flector;
entre paréntesis se indica el área de acero de refuerzo requerido a flexión en cm2
En la siguiente figura se muestra la selección del refuerzo y los requisitos de anclaje para el refuerzo negativo:
Las barras superiores deben considerarse como barras altas por tener más de 30 cm de hormigón por debajo, el recubrimiento para el refuerzo de las losas es de 2 cm.
Como ejemplo de corte de barras se suprimirá una barra del refuerzo negativo en el apoyo 2 (1I5/8”) y una de refuerzo positivo (1I1/2”)
238
en la primera luz. Los momentos que resiste un nervio, reforzado con
cada una de estas barras, son: 1I5/8” (As = 2 cm2), M = 2.68 t-m y para
1I1/2” ( As = 1.29 cm2) M = 1.75 t-m. De la Tabla 4.4 se obtiene que
la longitud de desarrollo para 1I1/2” ld = 56 cm, y para una barra alta de
1I5/8” ld = 91 cm.
Corte del refuerzo en el apoyo 2:
la longitud de la barra corta será el mayor de los siguientes valores:
L
2 * 91 = 182 cm
L
(38 + 37)+(32+37)=144 cm
Longitud de la barra = 182 cm
La longitud de la barra larga
será el mayor de los siguientes
valores:
L
(38 + 91) + (32 + 91) = 252 cm
L
(155 + 37) + (119 + 37) = 348 cm
Longitud de la barra = 348 cm
Corte del refuerzo en la luz 1:
la longitud de la barra a cortar será
el mayor de los siguientes valores:
L
2 * 56=112 cm
L
(135+37)+(135+37)=334 cm
Longitud de la barra = 334 cm
La barra que no se corta debe llevarse
hasta los apoyos y penetrar en estos
un mínimo de 15 cm.
Análisis del cortante:
IVcŠ\<_~¸ ¹c ¯ Š\<_~¯\<œ_¯¸?'\¯'_¯~œŠ~<_?
En losas nervadas puede considerarse
que IVc es un 10% mayor que lo
especificado: IVc = .1*3.52 = 3.87 t.
Solamente a la izquierada del apoyo 2
se requieren estribos.
Vud = 3.96 – 1.17 * (0.37 + 0.15) = 3.35 t
Vud < IVc Ÿ no se requieren estribos
239
" Œ! º '
pórtico 1, primer entrepiso
Para poder emplear las combinaciones de cargas especificadas en
la NSR-10 en su Sección B, se necesita reorganizar las cargas de diseño
deducidas en el literal “b” con el fin de adicionar, a las cargas muertas, el
peso propio de las vigas.
Pisos 1, 2, 3CM=734 kgf / m, CV=180 kgf / m,
Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 1,168.8 kgf / m
% de la CM de servicio = 734 / 1,168.8 » 0.63,
% de la CV = 180 / 168.8 = 0.15
Piso 4CM = 434 kgf / m, CV = 180 kgf / m,
% de la CM de servicio = 434 / 808.8 | 0.54
Wu = 1.2 CM + 1.6 CV = 808.8 kgf / m
% de la CV = 180 / 808.8 = 0.22
Peso de la viga: CM = 0.30 * 0.40 * 2.4 | 0.29 t/m (carga de servicio)
Cargas verticales: el cálculo de las cargas de servicio se hace a partir de los valores deducidos en el literal “b” de esta segunda parte del
ejemplo.
Carga muerta:
Piso 1
(C-B) = 4.58*0.63 + 0.29 = 3.18 t/m (B-A) = 2.48*0.63 + 0.29 = 1.85 t/m
Piso 2,3 (C-B) = 4.61*0.63 + 0.29 = 3.19 t/m (B-A) = 2.76*0.63 + 0.29 = 2.03 t/m
Terraza (C-B) = 3.18*0.54 + 0.29 = 2.01 t/m (B-A) = 1.90*0.54 + 0.29 = 1.32 t/m
Carga viva:
Piso 1
(C-B) = 4.58*0.15 = 0.69 t/m
(B-A) = 2.48*0.15 = 0.37 t/m
Pisos 2,3 (C-B) = 4.61*0.15 = 0.69 t/m
(B-A) = 2.76*0.15 = 0.41 t/m
Terraza (C-B) = 3.18*0.22 = 0.70 t/m
(B-A) = 1.90*0.22 = 0.42 t/m
Cargas horizontales: las cargas sísmicas ya fueron analizadas en el
Capítulo 3. Los valores obtenidos deben dividirse por el coeficiente de
capacidad de disipación de energía, R:
240
Ro: factor de ductilidad básico, para
pórticos dúctiles de hormigón
con DMO, su valor máximo es de
5.0.
Ip: factor de irregularidad en planta
= 1.0, por ser la estructura regular en planta.
Ia: factor de irregularidad en altura
= 0.9, presenta irregularidad del
tipo 3A.
Ir: factor de redundancia = 1.0, por
tener el sistema al menos tres
ejes de columnas en cada dirección.
R = Ro * Ip * Ia * Ir = 5 * 1.0 * 0.9 * 1.0 = 4.5
Los valores de las cargas sísmicas de diseño, ya divididas por el factor
de ductilidad, R, se indican en la siguiente figura. Por efectos puramente
académicos se seleccionan arbitrariamente cinco (5) combinaciones de
cargas.
Para el análisis y diseño se utilizarán las siguientes cinco combinaciones de cargas NSR-10, Sec. C.9.2.1:
1.2*CM + 1.6*CV
1.2*CM * 1.0*CV + SX1 + 0.3 SY1
1.2*CM * 1.0*CV – SY1 + 0.3 SX1
0.90*CM – SX2
0.90*CM + SY2
241
Para el análisis del pórtico 1 hay necesidad de recurrir a un programa
de análisis lineal de pórticos planos.
Dimensiones: vigas de b = 30, h = 40 cm y columnas de b = 50, h = 30 cm
242
Diagramas de momentos para las cinco combinaciones de cargas; viga 4, pórtico 1
Envolvente de momentos para demanda moderada de ductilidad:
Tramo C-B
M c+
Mc– / 3 = 22.31 / 3 = 7.44 t-m
Mb+
Mb– / 3 = 19.56 / 3 = 6.52 t-m
Máximo momento negativo = 22.31 t-m
En todas las abscisas de la viga M+ y M– 22.31 / 5 = 4.46 t-m
Tramo B-A
M b+
Mb– / 3 = 16.06 / 3 = 5.35 t-m
Ma+
Ma– / 3 = 10.91 / 3 = 3.64 t-m
Máximo momento negativo = 16.18 t-m
En todas las abscisas de la viga M+ y M-
16.06 / 5 = 3.21 t-m
La siguiente figura nos muestra el envolvente de momentos para las
cinco combinaciones de cargas; viga 4, pórtico 1:
243
La siguiente tabla especifica el diseño a flexión de la viga V4, pórtico 1, entrepiso 1:
VIGA V4 (C-B) Piso 1
L = 7.20 m
Lu = 6.90 m
Xm
Mu (-) t-m
Mu (+) t-m
As (-) cm2
As (+) cm2
0.15
Sección: b = 30 cm, h = 40 cm
d = 34 cm, d’= 6 cm
0.84 1.53 2.22
2.91
3.60
4.29
4.98 5.67 6.36
22.31 11.57 4.48 4.46
4.46
4.46
4.46
4.46 4.46 9.33 19.58
7.44
4.46 4.97 7.57 10.49 11.36 9.94
21.30 10.20 3.62 3.62
6.24
3.62 4.06 6.36
7.81 4.46 4.46
3.62
3.62
3.62
9.12
9.99
8.58 6.58
VIGA V4 (B-A) Piso 1
L = 4.45 m
Lu = 4.15 m
7.05
6.53
3.62 3.62 8.00 18.72
3.62 3.62
5.42
Sección: b = 30 cm, h = 40 cm
d = 34 cm, d’= 6 cm
Xm
0.15
0.57
0.98
1.40
1.81
2.23
2.64
3.06
3.47 3.89
Mu (-) t-m
16.06
11.65
7.68
4.17
3.21
3.21
3.21
3.32
5.56 8.09 10.91
Mu (+) t-m
5.35
4.10
3.58
3.21
3.21
3.21
3.71
5.44
6.73 7.57
7.97
As (-) cm2
15.14
10.26
6.46
3.40
3.40
3.40
3.40
3.40 4.57 6.83
9.54
As (+) cm2
4.38
3.40
3.40
3.40
3.40
3.40
3.40
4.46
6.72
5.60 6.36
4.30
Criterio para el despiece del refuerzo negativo en los apoyos: el refuerzo negativo se coloca en la parte superior de la viga y debe considerarse como alto cuando tenga más de 30 cm de hormigón por debajo. Una
barra de refuerzo negativa debe considerarse como alta cuando:
hviga > r + de + db + 30 cm
r = recubrimiento, para estribo de vigas y columnas, para interiores r = 4 cm.
de = diámetro del estribo, usualmente de I3/8” (0.95 cm).
db = diámetro de la barra, valor máximo de I1” (2.54 cm).
hviga = 4 + 0.95 + 2.54 + 30 = 37.5 cm
244
Las barras del refuerzo negativo, en vigas que tengan altura superior
a 37.5 cm, deben considerarse como barras altas para el cálculo de las
longitudes de desarrollo y de traslapo.
-#2"
El punto crítico para el despiece de esta viga es el apoyo C, por ser
aquel que requiere mayor cantidad de refuerzo (As = 21.30 cm2); al seleccionar el refuerzo debe verificarse que éste pueda desarrollarse adecuadamente en la columna de apoyo y que quepa dentro de la misma.
De acuerdo con la Tabla 4.2 se observa que el mayor diámetro que
se puede desarrollar en una columna de 30 cm es el de I3/4”, pero si se
colocan barras de I3/4” en el apoyo C se requieren 7 barras, cantidad
que no se puede colocar en una viga con un ancho de 30 cm, por ello,
deben modificarse las dimensiones de la columna con la finalidad de
seleccionar una barra de mayor diámetro y reducir el número de barras
de refuerzo que se colocarán.
Se opta por colocar como refuerzo negativo del apoyo C: 4I7/8” +
2I3/4” (21.16 cm2), que obliga a aumentar la altura de la columna C1 a
35 cm y la base de la viga V4 a 40 cm, dimensiones con las que sí se pueden satisfacer las condiciones de anclaje y de separación entre las barras.
-#2C
Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, en los apoyos centrales, la NSR-10 no exige revisar el ancho de la columna para
controlar las tensiones de adherencia, ocasionadas por la inversión de
momentos. Se debe revisar la separación entre las barras, 3I1”+ 2I3/4”
para que puedan colocarse adecuadamente en una viga de 40 cm de ancho, empleando estribos de I3/8”.
-#2La altura de la columna del apoyo A, 30 cm, es suficiente para desarrollar y colocar las 4I3/4” que se requieren.
En la siguiente figura se muestran las secciones críticas y la selección del acero de refuerzo V4 (área en cm2):
245
Despiece del refuerzo negativo en los apoyos:
-#2"
Se calcula la longitud teórica del refuerzo de I7/8”, igual a la longitud de la barra dentro de la columna, más la longitud de desarrollo a partir de la cara del nudo, y se verifica si allí se puede suspender el refuerzo
o si requiere de una longitud adicional (Tabla 4.2).
Para una barra de 7/8” y estribos de 3/8”:
r= 4 cm, db = 2.22 cm, de = 0.95 cm
Lg = 39 cm (Tabla 4.1)
Ldh = 27 cm (Tabla 4.2)
Ld = 158 cm (Tabla 4.4)
Lbarra embebida en el nudo =Lg + hc –(r+de+4db)
Lbarra embebida en el nudo =39 + 35 –(4+0.95+4*2.22)
Lbarra embebida en el nudo =60 cm
Barra I7/8”:
Longitud mínima = Lbarra embebida en el nudo + Ld
Longitud mínima = 60 + 158 = 218 cm (abscisa 1.58 + 0.15 =1.73 m).
En la tabla de diseño se observa que en la abscisa 1.73 m se requieren 3.62 cm2; este refuerzo se proporciona con 2I3/4”, por lo que las
barras de I7/8” pueden suspenderse.
-#2C
Las barras de I1” deben tener una longitud mínima de 2Ld + el
ancho de columna.
L = 2*181 (Tabla 4.4) + 30 cm (ancho de la columna) = 392 cm.
Se verifica si allí se puede suspender el refuerzo o si requiere de una
longitud adicional.
246
-#2Las barras seleccionadas de 4I3/4” pueden desarrollarse en la columna de 30 cm, se decide suspender dos de las cuatro barras de ¾”.
Barras 2I3/4”:
Lg = 33 cm (Tabla 4.1)
Ldh = 23 cm (Tabla 4.2)
Ld = 109 cm (Tabla 4.4)
Lbarra embebida en el nudo = Lg + hc –(r+de+4db)
Lbarra embebida en el nudo = 33 + 30 –(4+0.95+4*1.91)
Lbarra embebida en el nudo = 50 cm
Para el refuerzo negativo del apoyo se observa que 2I3/4” son suficientes hasta la abscisa 3.47 m (ver la tabla de la página de este mismo
capítulo). A partir de allí deben colocarse las dos barras adicionales de
I3/4”, con una longitud mínima de: L = (4.30 – 3.47) + 0.50 = 1.33 m.
Debe verificarse que a partir del borde de la columna la barra tenga
una longitud superior o igual a la longitud de desarrollo: (4.30 – 3.47)
= 0.83 m < Ld = 1.09 m; debe proporcionarse la longitud de desarrollo:
L = 109 + 50 = 159 cm.
Despiece de refuerzo positivo en las luces:
Luz 1 Se llevan de apoyo a apoyo 2I7/8” (As = 7.74 cm2); la otra
barra de 1I3/4” se requiere cuando el área de refuerzo solicitado sea mayor al proporcionado por las 2I7/8” (7.74 cm2),
esto ocurre entre las abscisas 2.22 y 4.98 m (ver la tabla de la
página 244 de este mismo capítulo).
La longitud mínima de las barras de I3/4” es de 4.98 – 2.22
= 2.76 m. Debe verificarse que a ambos lados de la sección
de momento positivo máximo, la longitud de estas barras sea
Ld = 0.84 m (Tabla 4.4, barras bajas).
El momento máximo ocurre en la abscisa 3.60 m (ver la tabla
de la página 244 de este mismo capítulo), luego la barras de
I3/4” deben cubrir las abscisas 3.60 – 0.84 = 2.76 m y 3.60
+ 0.84 = 4.44 m, límites que efectivamente cumplen las
abscisas 2.22 y 4.98 m.
247
Para estructuras con demanda moderada de ductilidad la
NSR-10 sólo restringe los traslapos en la zona de los nudos,
sin embargo, es recomendable hacerlos en la zona no confinada para no inducir tensiones adicionales en las zonas en las
cuales se esperan altas tensiones debido a su plastificación.
La siguiente figura nos muestra el despiece teórico de la viga V4
(40x40), pórtico 1, piso 1:
Realizado el despiece debe verificarse si se cumplen los requisitos
de resistencia exigidos para pórticos dúctiles con demanda moderada de
ductilidad, para ello deben determinarse los momentos resistentes en
las diferentes secciones de acuerdo con el acero realmente colocado.
Apoyo C
Apoyo B
Apoyo A
La siguiente tabla muestra los momentos resistentes en t-m:
Sección
C
L1
B
L2
A
Asuperior (cm )
21.16
5.68
19.30
5.68
11.36
Asinferior (cm2)
7.74
11.74
11.74
4
M - (t-m)
23.14
7.11
21.45
7.06
13.18
M+ (t-m)
9.32
13.58
13.58
5.25
8.35
2
248
6.84
Envolvente de momentos para demanda moderada de ductilidad:
Tramo C-B
Mc+ = 9.32 t-m
Mb+ = 13.58 t-m
Mc– / 3 = 23.14 / 3 = 7.71 t-m 9
Mb– / 3 = 23.14 / 3 = 7.71 t-m 9
Máximo momento negativo = 23.14 t-m
En todas las abscisas de la viga M+ y M–
Tramo B-A
23.14/ 5 = 4.63 t-m 9
Mb+ = 13.58 t-m
Mb– / 3 = 21.45 / 3 = 7.15 t-m 9
Ma+ = 8.35 t-m
Ma– / 3 = 13.18 / 3 = 4.39 t-m 9
Máximo momento negativo = 21.45 t-m
En todas las abscisas de la viga M+ y M–
23.14 / 5 = 4.63 t-m 9
Se cumplen los requisitos de resistencia a flexión exigidos para pórticos dúctiles con demanda moderada de ductilidad, se procede ahora al
diseño a cortante.
¢
La NSR-10, Sec. C.21.3.3.1, especifica que el cortante sísmico para vigas
y columnas de estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO,
que resisten efectos sísmicos, E, no debe ser menor que el menor valor
calculado en (a) y (b):
a. La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos
nominales del elemento en cada extremo restringido de la luz libre y el
cortante calculado para cargas gravitacionales mayoradas.
Al cortante por carga vertical debe adicionársele el cortante que se
presenta cuando se forma el mecanismo de colapso, es decir, cuando los
extremos se plastifican, se debe calcular para el momento actuando tanto en el sentido de las manecillas del reloj como en el sentido contrario
a las manecillas del reloj.
La siguiente tabla muestra los momentos nominales y probables en
los apoyos de la viga 4 (t-m), pórtico 1, piso 1:
Sección
Momento resistente
Momento nominal
Momento probable
M
M
M
M
M–
M+
Apoyo C
23.14
9.32
25.71
10.36
31.10
12.65
Apoyo B
21.45
13.58
23.83
15.09
29.15
19.54
Apoyo A
13.18
8.35
14.64
9.28
17.95
11.32
–
+
–
+
249
b. El cortante máximo obtenido de las combinaciones de carga de
diseño que incluyan E, considerando E como el doble del prescrito por
el título A de la NSR-10.
Para el presente ejemplo se analizó el pórtico con el programa RCBE
Building para las siguientes combinaciones de carga:
1.2*CM + 1.6*CV
1.2*CM * 1.0*CV + 2SX1 + 0.6 SY1
1.2*CM * 1.0*CV – 2SY1 + 0.6 SX1
0.90*CM – 2SX2
0.90*CM + 2SY2
El resultado del análisis es el siguiente:
El procedimiento que se sigue en el punto (a) es un procedimiento
racional, que garantiza que la viga nunca fallará a cortante, pues primero
250
lo hará a flexión, es el procedimiento aceptado para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES. El procedimiento del punto (b) es un
procedimiento que no permite determinar el valor del factor de seguridad con el cual se está diseñando, este procedimiento no se acepta para
estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, y según el criterio
del autor no debería aceptarse para estructuras con demanda moderada
de ductilidad, DMO.
Para el diseño, según la NSR-10, puede tomarse el menor valor obtenido en los pasos (a) y (b), para este caso los menores valores del cortante se obtienen en el punto (a) y son los adoptados para el diseño.
Q‹À
Diseño en el borde de la columna (zona confinada), Vu = 22.88 t:
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I Vs = Vu – I Vc = 22,880.00 – 7,834 = 15,046 kgf
Para estribos de I3/8” de 2 ramas con fy = 4,200 kgf/cm2 se tiene:
s = I Av fy d / I Vs = 0.75 * (2 * 0.71) * 4200 * 34 / 15,046 = 10.11 cm
La separación máxima permitida para efectos de confinamiento es:
d/4 = 8.5 cm < 10.11 cm.
Diseño a la distancia 2h de la cara de la columna, (80 cm), (zona no
confinada):
Vud = Vu – Wu * 2h = 22,880 – 4.920 * 0.80 = 18.944 kgf
I Vs = Vu – I Vc = 18.944 – 7.834 = 11.110 kgf
s = I Av fy d / I Vs = 0.75 * (2 * 0.71) * 4200 * 34 / 11,110 = 13.70 cm
La separación máxima permitida para efectos de confinamiento es:
d/2 = 17 cm.
Solución: para el tramo C-B, en las zonas confinadas: colocar 11
(80 / 8.5 + 1) estribos I3/8” cada 8.5 cm y en la zona no confinada 40
£[’<´\?¯\<Â\`™<'~® I3/8” cada 13 cm.
À‹”
Diseño en el borde de la columna (zona confinada), Vu = 13.81 t: en
esta zona dominan los requisitos de confinamiento según el diseño del
apoyo C.
251
La separación máxima permitida en la zona de confinamiento:
d/4 = 8.5 cm.
Diseño a la distancia 2h de la cara de la columna, (80 cm), (zona no
confinada):
Vu = Vud – Wu * 2h = 13,810 – 2,810 * 0.80 = 11,562 kgf
I Vs = Vu – IVc = 11,562 – 7,834 = 3,728 kgf
s = f Av fy d / IVs = 0.75 * (2 * 0.71) * 4200 * 34 / 13,728 = 40.80 cm
La separación máxima permitida en la zona no confinada:
d/2 = 17 cm.
Solución: para el tramo B-A colocar en la zona confinada 10 (80 / 8.5
+ 1) estribos I~™Â– Â<_" ƒ '_£[<'_
2*0.80) /.17] estribos I3/8” cada 17 cm.
En la figura vemos la V4 (40x40), pórtico 1, piso 1:
Œ!" º?[~\Œ\`! À trepiso
La viga 2 ubicada en el pórtico B, primer piso, debe analizarse y diseñarse para facilitar el desarrollo del presente ejemplo en los capítulos
posteriores.
252
Cargas verticales: como este pórtico lleva la misma orientación de
los nervios, sobre las vigas debe considerarse una carga vertical igual al
doble de la de los nervios. Esta consideración se hace para prever la posible carga que los nervios NT le transfieren.
Pisos 2,3,4 luces 2-3 y 3-4 CM=2*0.734+0.29=1.76 t/m, Peso de la viga=0.29 t/m
CV = 2*0.18 = 0.36 t/m
Piso 5
luces 2-3 y 3-4 CM=2*0.434+0.29 1.16 t/m,
Peso de la viga=0.29 t/m
CV = 2*0.18 = 0.36 t/m
Para la luz 1, por simplicidad, las reacciones de los nervios 3 y 4 se
convierten en carga uniforme sobre la viga. Conforme a lo expuesto en
la Sección 3.10 para la cubierta se lleva solo el 68% de este valor y los
resultados se descomponen en cargas vivas y muertas de acuerdo con los
porcentajes allí deducidos.
Como se consideran las reacciones de los nervios N13 y 2N4, sólo se
adiciona una carga vertical igual a una de la de los nervios.
Wu (1-2) = (2*3.36 + 2.64) / 6.15 = 1.52 t/m
Pisos 2,3,4 Luz 1
CM = 0.734 + 0.29 + 1.52*0.63 = 1.98 t/m
CV = 0.18 + 1.52*0.15
Piso 5
Luz 1
= 0.41 t/m
CM = 0.434 + 0.29 + (0.69*1.52) * 0.54 = 1.29 t/m
CV = 0.18 + (0.69*1.52) * 0.22
= 0.41 t/m
253
Cargas horizontales: sus valores fueron deducidos en el Capítulo 3.
Dividiendo estos valores por el factor de ductilidad, R = 4.50, se obtienen los siguientes valores de diseño:
Para el análisis y diseño se utilizarán las siguientes cinco combinaciones de cargas:
1.2 CM + 1.6 CV
1.2 CM * 1.0 CV + SX1 + 0.3 SY1
1.2 CM * 1.0 CV – SY1 + 0.3 SX1
0.90*CM – SX2
0.90*CM + SY2
Los resultados obtenidos del diseño se resumen en el siguiente esquema de despiece:
254
La figura muestra la V2 (30x40), pórtico B, piso 1:
4.8 comentarios sobre la NSR-10
4.8.1 Secciones críticas para el diseño del refuerzo negativo
La NSR-10 no formula ninguna especificación sobre la localización de las
secciones críticas, se asume que deben tomarse en la cara de la columna;
sin embargo, para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES,
el recubrimiento del refuerzo pierde rápidamente su eficiencia y en este
caso la sección crítica debe tomarse en el borde del núcleo confinado.
4.8.2 Longitud de desarrollo para barras terminadas con gancho
estándar, estructuras con demanda especial de ductilidad
Según la NSR-10, Sec. C.21.5.4.a:“La longitud de desarrollo Ldh, para
una barra con gancho estándar de 90° no debe ser menor de 8 db, 150 mm
o la longitud dada por la siguiente expresión para barras No. 3 a No.11”:
La NSR-98 adopty esta expresión del ACI, pero le falty aclarar que
ya incluye los factores de 0.7 (recubrimiento) y 0.8 (confinamiento con
estribos). De no ser así esta expresión proporcionaría longitudes de desarrollo menores que las obtenidas para demanda moderada de ductilidad, conclusión ilógica ya que esta expresión debe considerar los efectos
de inversión de carga.
La NSR-10, Sec. C.21.7.5.1, adopta esta misma expresión pero en
sus comentarios aclara que los coeficientes de 0.7 (por recubrimiento
255
de hormigón) y 0.8 (por estribos) se han incorporado en la constante
empleada en esta ecuación.
4.8.3 Espesores mínimos de vigas y columnas en uniones
interiores, estructuras con demanda moderada de ductilidad
La NSR-98, Sec. C.21.5.1.d, y la NSR-10, Sec. C.21.7.2.3, establecen
que en pórticos con demanda especial de ductilidad, una relación mínima de 20 debe cumplirse entre el ancho de la columna y el diámetro
de la mayor barra longitudinal de la viga que lo atraviese (no hay ningún
requerimiento para regular la altura mínima de las vigas).
hc = 20 * dbv
En un nudo interior, para estructuras con demanda especial de ductilidad, una barra de refuerzo colocada en la parte superior de la viga pasa
de trabajar a tracción en una cara de la columna, a compresión en la otra
cara, por lo que se necesita un espesor mínimo de la columna para que
dentro del nudo la barra pueda invertir sus tensiones.
Si la inversión de momento se acepta que se presenta en las vigas,
esta también se presentará en las columnas que lleguen al nudo, de allí
que este requisito debe aplicarse a los espesores mínimos de las vigas.
hv = 20 * dbc
La NSR-10 no tiene ninguna especificación similar para estructuras
con demanda moderada de ductilidad, por lo cual puede asumirse que
se piensa que el efecto de la inversión de momentos en el nudo no es
importante en este tipo de estructuras.
El autor ha sido director de varios proyectos de grado y en los diseños
que ha realizado en la ciudad de Medellín (para el espectro de diseño
de esta ciudad y para estructuras aporticadas de hormigón con demanda
moderada de ductilidad), ha podido comprobar que este efecto es más
frecuente de lo que puede pensarse, pues en todos estos proyectos se ha
comprobado el caso de inversión de momentos. Para el ejemplo que se
ha desarrollado y para las veinticinco combinaciones de carga mencionadas en la Sección 3.10, en la primera parte del ejemplo, se han encontrado los siguientes casos de inversión de momentos:
En el pórtico 1 se presentan 6 casos
En el pórtico 2 se presentan 6 casos
En el pórtico 3 se presentan 2 casos
256
En el pórtico A se presentan 14 casos
En el pórtico B se presentan 12 casos
En el pórtico C se presentan 14 casos
Los pórticos A, B y C presentan un mayor número de casos de inversión de momentos, las plantas estructurales obligaron a un armado de
las losas en una dirección y dado que no reciben cargas de gravedad, en
ellos predomina el efecto de la carga sísmica.
Este hecho no puede pasar inadvertido, pues es necesario regular
los espesores de vigas y columnas en estructuras de hormigón con demanda moderada de ductilidad, para garantizar que el refuerzo que pasa
a través de un nudo pueda invertir el sentido de sus tensiones dentro del
mismo sin que se presente falla por adherencia.
4.8.4 Método para evaluar el cortante de diseño en vigas de
estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO
El cálculo del cortante último de diseño, basado en los momentos nominales y probables del acero realmente colocado, puede resultar
poco familiar, pero es el procedimiento racional que permite hacer un
diseño sísmico seguro, que le ayuda al ingeniero calculista a saber qué
factor de seguridad está usando en cada caso y con ello controlar el mecanismo de falla. Este procedimiento racional es el único recomendado
por la NSR-10 para pórticos con ductilidad especial.
Para pórticos con ductilidad moderada, la NSR-10 recomienda que
el cortante de diseño no sea menor que el menor valor obtenido entre
el procedimiento anterior y el obtenido de la combinación de cargas de
diseño, con E como el doble del valor calculado.
Con esto se busca tener un factor de seguridad sustancialmente mayor contra falla por cortante que contra falla de flexión, de manera que
la segunda sea la falla predominante. En estructuras con DMO, al calcular
el cortante del análisis, tomando para E el doble de su valor, se puede
llegar a resultados poco conservadores con respecto al procedimiento de
cálculo basado en los momentos nominales, ese método no es seguro, no
garantiza el valor del factor de seguridad a cortante y no tiene sentido
incluirlo en la norma.
257
4.8.5 Factor de seguridad a cortante para estructuras
aporticadas con demanda moderada de ductilidad
El máximo cortante que entra a la viga está dado por la siguiente
expresión:
Aplicando el principio de superposición se pueden analizar, de
manera separada, el efecto de la carga de gravedad y el de las cargas
sísmicas.
El segundo término es el cortante que se introduce en la viga por
efectos sísmicos, cuyo valor máximo es aquel que se presenta cuando
los dos momentos de extremo, Ma y Mb, alcanzan su valor máximo, el de
fluencia. Su valor no se deduce del análisis, sino que debe hacerse primero el diseño a flexión de la viga y, una vez seleccionado el refuerzo en
los apoyos, se calcularán los momentos para los cuales este acero fluye.
Para pórticos con ductilidad moderada, los momentos de fluencia se
calculan a partir del refuerzo longitudinal que resulte en las secciones
extremas, para el cual la tensión de fluencia del acero se tomará igual
a su valor nominal, y el factor de sub resistencia se tomará igual a la
unidad, (I = 1.0). Los momentos calculados con estos parámetros se
denominan momentos nominales, Mn. El factor de seguridad empleado
está dado por la relación: 1.00 / 0.90 = 1.11.
En la evaluación de los momentos nominales no se tiene en cuenta la contribución de la losa de entrepiso ni la sobre resistencia de los
aceros, por lo que los momentos que realmente soporta la viga son superiores a los nominales, de allí que sea importantísimo tomar un factor
de seguridad que garantice que la viga nunca fallará a cortante porque
primero fallará a flexión.
El factor de seguridad que actualmente especifica la NSR-10 de
1.11 parece ser insuficiente, pues la sola sobre resistencia de los aceros
comerciales (del orden del 12%) absorbe la totalidad del factor de seguridad, lo cual deja abierta la posibilidad de una falla frágil a cortante.
258
4.8.6 Zonas de traslapos en vigas de estructuras con demanda
moderada de ductilidad
Los traslapos y cortes de barras introducen tensiones en el hormigón
que reducen su resistencia a cortante, por ello debe evitarse su localización en las zonas en que se espera la fluencia del acero. La NSR-10
especifica que los traslapos en vigas de estructuras aporticadas de hormigón, con demanda moderada de ductilidad, no se permiten dentro de los
nudos; se recomienda, sin embargo, extender esta restricción a las zonas
confinadas, pues allí existe gran concentración de tensiones.
259
Capítulo 5
Análisis y diseño de columnas
5.1 Definición
Las columnas están definidas por la NSR-10, Sec. C.2.2, como aquellos
elementos estructurales cuya solicitación principal es la carga axial de
compresión, acompañada o no de flexión, torsión o cortante, con una relación de longitud a su menor dimensión lateral mayor de 3; no necesita
ser vertical, puede tener cualquier orientación en el espacio.
Las columnas sometidas a carga axial pura no existen. En estructuras
aporticadas las vigas de entrepiso y las columnas son fundidas monolíticamente y esta situación produce algunos momentos en los extremos
restringidos de las columnas.
Las especificaciones para el diseño de columnas se aplican cuando
el valor de la carga axial exceda de 0.1 f’c Ag. Para las columnas que hacen
parte de pórticos dúctiles la NSR-10 impone restricciones muy estrictas en
cuanto a su geometría, a su refuerzo longitudinal y a su refuerzo transversal.
5.2 Requisitos geométricos
En la Figura 5.1 se presentan en forma comparativa los requisitos exigidos
por la NSR-10.
Para estructuras de capacidad de disipación de energía moderada
(DMO) y especial (DES) se exigen las siguientes dimensiones mínimas:
x
# #6 $DMO
NSR-10, Sec. C.21.3.5.1: la menor dimensión de la sección del elemento,
medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico de
la sección, no debe ser menor de 25 cm. Las columnas en forma de T, C
o I pueden tener una dimensión mínima de 20 cm, pero su área no puede
ser menor que 625 cm2.
261
x
# # #6 $DES
NSR-10, Sec.C.21.6.1.1: la menor dimensión de la sección del elemento,
medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico de
la sección, no debe ser menor de 30 cm. Las columnas en forma de T, C
o I pueden tener una dimensión mínima de 25 cm, pero su área no puede
ser menor que 900 cm2.
NSR-10, Sec.C.21.6.1.2: la relación entre la dimensión menor de la
sección transversal y la dimensión perpendicular no puede ser menor a
0.40 cm.
Se exige una dimensión mínima de la sección de la columna para
garantizar un tamaño mínimo del núcleo confinado (una vez descontados
los recubrimientos) que pueda mantener una capacidad significativa de
carga axial, aun después de fallado el hormigón de recubrimiento.
El requisito geométrico adicional para columnas de estructuras aporticadas con demanda especial de ductilidad (b/h 0.4) tiene la finalidad de
evitar que los problemas de pandeo reduzcan la ductilidad de la columna.
Figura 5.1 Requisitos geométricos para las columnas
5.3 Requisitos para el refuerzo
5.3.1 Refuerzo longitudinal
Este refuerzo está constituido por barras longitudinales paralelas al eje
de la columna; su función es aumentar la capacidad de carga a flexocompresión, reducir la retracción del fraguado y el flujo plástico y mejorar el
confinamiento del hormigón.
262
" >
Figura 5.2 Localización de la zona
de traslapos en columnas con DES
La NSR-10, Sec.C.10.9.1, especifica que la cuantía de diseño, en
columnas, debe estar entre el 1% y el
4%. El ACI 318-08, Sec. 10.9, acepta
cuantías entre el 1% y el 8%, pero
reduce el límite máximo al 6% para
pórticos con ductilidad especial (Sec.
21.6.3.2).
El límite superior de la cuantía tiene por objeto prevenir la congestión de
refuerzo y evitar el desarrollo de grandes tensiones cortantes en la columna.
Cuantías superiores al 3% constituyen
una solución poco económica.
Se debe especificar una cantidad mínima de refuerzo longitudinal
con el propósito de evitar que este fluya para cargas inferiores a la de la
fluencia teórica, a causa del flujo plástico del hormigón que produce una
transferencia de tensiones entre este y el acero; también se pretende
darle a la columna una resistencia mínima a la flexión.
Se debe limitar la cantidad máxima de refuerzo longitudinal para
evitar el congestionamiento del refuerzo, tanto en las columnas como en
los nudos. Indirectamente también se pretende evitar que la columna esté
sometida a tensiones promedio de compresión muy elevadas. La ductilidad
de una columna disminuye rápidamente a medida que aumenta el nivel
de carga axial sobre ella, mientras más pequeña sea la tensión promedio
de compresión con respecto al máximo permitido, más garantía se tendrá
de un comportamiento dúctil.
'E La NSR-10, Sec.C.10.9.2, especifica que el número mínimo de barras del
refuerzo longitudinal debe ser de 4 para barras colocadas dentro de estribos
rectangulares o circulares, de 3 dentro de estribos triangulares y de 6 para
barras longitudinales ubicadas dentro de espirales que cumplan las especificaciones de la Sección C.10.9.3. La NSR-10, Sec.C.21.6.3.2, especifica
que en el caso de estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, el
263
número de barras longitudinales es de 6 cuando se empleen estribos de
confinamiento circulares, las otras especificaciones no sufren alteración.
#62 La NSR-10, Sec.C.7.6.3, especifica que la separación libre entre las barras
longitudinales, s, no debe ser menor de 1.5 db, de 4 cm, ni de 4/3 del
tamaño del agregado grueso. Esta distancia libre entre barras debe aplicarse entre un empalme por traslapo y los empalmes o barras adyacentes.
Estos límites mínimos se establecieron con el fin de permitir el flujo rápido del hormigón dentro de los espacios comprendidos entre las barras
y la formaleta (también entre las mismas barras) sin crear hormigueros,
y para evitar la concentración de barras en un mismo plano que puede
causar un agrietamiento por esfuerzo cortante y retracción.
La NSR-10, Sec.7.7.1, para proteger el acero de refuerzo de la agresividad del medio ambiente especifica los espesores mínimos del hormigón
de recubrimiento dependiendo de la agresividad del medio.
Para hormigón no expuesto a la
intemperie, ni en contacto con
Figura 5.3 Separación y
el suelo el recubrimiento del
recubrimiento del refuerzo
refuerzo en vigas y columnas
longitudinal en columnas
no debe ser menor de 4 cm,
esta dimensión debe cumplirse para el refuerzo principal,
estribos o espirales.
x Para hormigón colocado contra
el suelo y expuesto permanentemente, el recubrimiento
mínimo debe ser de 7.5 cm.
Para hormigón expuesto al suelo o a la intemperie:
Barras N.o 6 o mayores 5 cm
Barras N.o 5 y menores 4 cm
x
x
Debe prestarse atención a las columnas ubicadas en el primer piso
puesto que el recubrimiento del refuerzo debe incrementarse en la zona
en que estará en contacto permanente con el suelo, lo anterior obliga a
que toda columna debe llevar un pedestal para proporcionar un recubrimiento mínimo al refuerzo de 7.5 cm. Para cumplir este requisito basta con
incrementar en 10 cm, 5 cm a cada lado, las dimensiones de la columna
por debajo del nivel de acabado de piso.
264
La buena protección del refuerzo no depende únicamente de un
buen espesor de recubrimiento, es importante controlar que este sea
impermeable, sin poros, para evitar que los elementos agresivos del medio
ambiente penetren a su interior, un buen vibrado es fundamental.
6 #
Para pórticos con demanda de ductilidad moderada, DMO, la NSR-98 no
especificaba restricciones en la localización de los traslapos del refuerzo
longitudinal, aspecto que se modificó en la NSR-10, Sec.C.21.3.5.3,
al restringir los traslapos para estructuras con demanda moderada de
ductilidad, DMO, a la mitad central de la longitud de la columna y exigir
diseñarlos como empalmes por traslapo a tracción.
Para pórticos de ductilidad especial, DES, las longitudes de empalme
por traslapo se permiten únicamente en la mitad central de la longitud
de la columna, deben calcularse como traslapos a tracción y deben estar
confinados dentro del refuerzo transversal de acuerdo con las NSR 10,
Sec. C.21.6.4.2 y NSR 10, Sec. C.21.6.4.3 (NSR-10, Sec. C.21.6.3.3).
5.3.2 Refuerzo transversal
El refuerzo transversal consiste en estribos o espirales formados de barras
de pequeños diámetros, dispuestos de modo que abracen el refuerzo longitudinal y lo mantengan vertical para evitar su pandeo durante el vaciado.
Entre sus funciones están el confinar el hormigón para proporcionarle
mayor ductilidad a la columna y darle soporte al refuerzo longitudinal
para evitar su pandeo. Al igual que las barras longitudinales, disminuye
la retracción del fraguado y el flujo plástico.
Figura 5.4 Estribos de confinamiento
con ganchos sísmicos
Especificaciones de la NSR10, Sec.C.7.1.4:
x El diámetro mínimo de los estribos es el N.o 3 (3/8”) o 10M
(10 mm) cuando las barras
longitudinales sean menores
o iguales a la N.o 10 (1-1/4”).
x Para barras superiores a la N.o
10 y para paquetes de barras el
diámetro mínimo del estribo
es el N.o 4 (1/2”) o 12 mm.
265
Se permiten estribos de diámetro N.o 2 (1/4”) en estructuras de capacidad de disipación de energía mínima, DMI, cuando las columnas
soportan únicamente uno o dos pisos.
Los estribos de confinamiento deben terminarse con ganchos sísmicos
de 135° o más, con una extensión de 6db pero no menor de 75 mm, que
abraza el refuerzo longitudinal y se proyecta hacia el interior de la sección
del elemento (NSR-10, Sec.C7.1.4).
En los ganchos suplementarios el doblez en los extremos debe ser un
gancho sísmico de 135° o más, con una extensión de 6db, pero no menor
de 75 mm, y se permite que en uno de sus extremos se utilice un gancho
de 90° o más, con una extensión de 6db (NSR-10, Sec. C.7.1.4).
x
Imagen 5.1 En una correcta colocación del gancho de un estribo no debe quedar
espacio entre el estribo y el refuerzo longitudinal; el alambre de amarre debe
doblarse hacia el núcleo de la columna
La mejor manera de dar confinamiento al hormigón es mediante el
empleo de refuerzo transversal en forma de estribos o de espirales, para
restringir la expansión lateral del hormigón cuando es sometido a tensiones
de compresión, cercanas a su máximo resistente. El refuerzo transversal
en espiral es práctico sólo para columnas circulares, pero se presentan
algunos problemas de orden constructivo en los nudos. Para columnas
rectangulares la forma más apropiada de proporcionar confinamiento
es mediante el empleo de estribos horizontales de confinamiento, de
266
varias ramas, o mediante la combinación de estribos de confinamiento y
suplementarios poco espaciados.
La Figura 5.5 ilustra los requisitos de distribución del refuerzo longitudinal y una de las formas de lograr el confinamiento con el empleo
de estribos de confinamiento múltiples.
Figura 5.5 Ejemplo de confinamiento
empleando estribos
Figura 5.6 Ejemplo de confinamiento
con el empleo simultáneo de estribos
de confinamiento y ganchos
suplementarios
La Figura 5.6 muestra un ejemplo del refuerzo transversal de una
columna constituido por un estribo de confinamiento y tres estribos suplementarios. Los estribos suplementarios con dobleces a 90° son menos
efectivos que si los dobleces fueran de 135°. El confinamiento puede
mejorarse si los dobleces de los ganchos a 90° se alternan.
Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de esquina y de barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado
por la esquina de un estribo con un ángulo no mayor de 135º, y ninguna
barra longitudinal debe estar separada a más de 15 cm libres de una barra
apoyada lateralmente. Cuando las barras longitudinales estén localizadas
alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso de un estribo
circular completo (NSR-10, Sec.C.7.10.5.3).
El espaciamiento vertical de los estribos, para columnas de pórticos
con demanda mínima de ductilidad, DMI, no debe exceder de 16 diámetros
de la barra longitudinal, 48 diámetros del estribo o la menor dimensión
de la columna (NSR-10, Sec.7.10.5.2). El principal objetivo del anterior
requisito es impedir que las barras longitudinales se pandeen hacia fuera
una vez el hormigón pierda el recubrimiento.
267
Figura 5.7 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares en
pórticos dúctiles de hormigón con demanda mínima de ductilidad, DMI
Los extremos de las columnas requieren de un confinamiento especial
para asegurar su comportamiento dúctil en el evento de la formación de
una articulación plástica. También requieren de un adecuado refuerzo a
cortante para prevenir que se genere una falla por cortante antes que la
sección falle por fluencia del acero longitudinal. La cantidad del refuerzo
a cortante, su espaciamiento y localización, deben ser los adecuados para
garantizar su comportamiento dúctil e impedir el pandeo del refuerzo
longitudinal.
Imagen 5.2 Fallas en las columnas por falta de estribos o por excesiva separación
de los mismos. Armenia, Colombia, 1999
268
Para evitar que se presenten las fallas ilustradas en la Imagen 5.2,
las normas sísmicas exigen estrictos requisitos de diseño para el refuerzo
transversal de las columnas. Los requerimientos que deben seguirse
para garantizar el buen confinamiento del hormigón, y proporcionarle
un adecuado soporte lateral al refuerzo longitudinal, se encuentran en
la NSR-10, Sec. C.21. Estos requisitos pueden satisfacerse con refuerzo
de estribos de confinamiento sencillo o múltiple (Figura 5.4). Se pueden
utilizar estribos suplementarios del mismo diámetro del estribo de confinamiento y deben tener el mismo espaciamiento de estos (Figura 5.5).
La NSR-10 establece una longitud mínima, Lo, en ambos extremos
de la columna, la cual debe proporcionar un refuerzo transversal con un
menor espaciamiento para proteger estas zonas que son en las que generalmente se produce la fluencia por flexión.
El requisito de separación de estribos, en función del diámetro de la
menor barra longitudinal, tiene por objeto restringir el pandeo del refuerzo
longitudinal una vez se pierda el recubrimiento.
El requisito de separación de estribos en función de las dimensiones
transversales de la columna tiene por objeto confinar el hormigón.
269
Figura 5.8 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares en
pórticos dúctiles de hormigón con demanda moderada de ductilidad, DMO
Figura 5.9 Requisitos del refuerzo transversal para columnas rectangulares en
pórticos dúctiles de hormigón con demanda especial de ductilidad, DES
270
Para el caso de columnas circulares, el refuerzo transversal esta constituido por espirales que deben cumplir los siguientes requisitos (NSR-10,
Sec.C.7.10.4):
x El diámetro mínimo de la espiral debe ser de 3/8” (NSR-10,
Sec.C.7.10.4.2).
x El espaciamiento entre espirales no debe exceder de 75 mm, no debe
ser menor de 25 mm, ni de 4/3 el tamaño máximo del agregado grueso
(NSR-10,Sec. C.7.10.4.3).
x La espiral debe anclarse por medio de 1.5 vueltas adicionales en cada
extremo (NSR-10, Sec.C.7.10.4.4).
x Los empalmes por traslapo del refuerzo en espiral deben ser: 48 de
para barras corrugadas, 72 de para barras lisas o para barras con recubrimiento epóxico (NSR-10, Sec.C.7.10.4.5).
La NSR-10 eliminó la restricción de un diámetro mínimo para columnas circulares de 25 cm que especificaba la NSR-98; sin embargo,
esta dimensión mínima es una recomendación razonable y segura.
La cuantía de refuerzo en la espiral no debe ser inferior a (NSR-10,
Sec.C.10.9.3):
Us = 0.45 * (Ag / Ach – 1) * f ’c / fy
(5.1)
5.4 Longitud de diseño, Lu
(NSR-10, Sec.C.10.10.1.1)
Figura 5.10 Longitud de diseño de las columnas
271
La longitud libre de una columna es la longitud de diseño; se mide
entre el piso y la parte inferior del capitel (para placas aligeradas) o la
distancia libre entre el piso y cualquier elemento capaz de proveerle
soporte lateral.
Todas las columnas deben llevarse desde la cimentación hasta el
nivel considerado en el diseño; no es aconsejable iniciar las columnas en
las vigas de entrepisos, a menos que se realice un juicioso análisis dinámico del comportamiento estructural.
5.5 Cambios de sección
(NSR-10, Sec.C.7.8)
Imagen 5.3 Inadecuado inicio de columna en la viga del segundo nivel.
Armenia, Colombia, 1999
Los cambios fuertes en la sección de la columna deben hacerse siempre en los entrepisos. En dichos cambios, las barras que pasan del piso
inferior al superior deben doblarse de forma que su pendiente, respecto al
eje de la columna, sea máximo de 1:6. Las partes de las barras por encima
y por debajo de la reducción deben ser paralelas al eje de la columna.
272
Las barras dobladas en un cambio de sección deben figurarse antes
de ser colocadas, no se permite hacer el doblamiento de barras embebidas
en el hormigón.
Figura 5.11 Cambios de sección en las columnas
El soporte horizontal del acero longitudinal en el doblez debe ser
provisto por medio de estribos o espirales, y debe diseñarse para que
resista 1.5 veces la componente horizontal de la fuerza calculada en la
porción inclinada de la barra que se dobla. Los estribos o espirales deben
colocarse a una distancia no mayor de 15 cm de los puntos de doblado. Este
refuerzo es adicional al requerido por consideraciones sísmicas (NSR-10,
Sec. C.7.8.1.3).
Imagen 5.4 Escandaloso doblez del refuerzo longitudinal en la estructura
del Palacio Municipal de Armenia, Colombia, 1999
273
Cuando se disminuya el ancho de una columna, de manera que una de
sus caras quede a 7.50 cm o más de la correspondiente en la columna del
piso inferior, no pueden doblarse las barras longitudinales para adaptarse
a la reducción y es necesario emplear barras adicionales de empalme,
traslapadas por contacto con las barras longitudinales adyacentes a las
caras desplazadas de la columna (NSR-10, Sec.C.7.8.1.5).
5.6 Requisitos de diseño
5.6.1 Requisitos generales
La resistencia de diseño es igual a la resistencia nominal, multiplicada
por un coeficiente de reducción de resistencia (I). Para columnas se
recomienda (NSR-10, Sec.C.9.3.2.2):
Columnas con refuerzo en espiral: I = 0.75
Columnas reforzadas con estribos: I = 0.65
Las columnas reforzadas con estribos requieren un mayor coeficiente
de reducción de resistencia, en razón de que una columna con estribos
no espaciados en forma adecuada falla a una carga muy baja. Su falla va
acompañada de la ruptura del hormigón y de pandeo de las barras longitudinales entre los estribos; es una falla violenta.
Las espirales presentan un paso pequeño que impide el pandeo de
las barras longitudinales. Al no fallar este refuerzo la columna continúa
transmitiendo carga, se producen grandes deformaciones, el hormigón del
núcleo oprime la espiral y esta reacciona confinándolo y proporcionándole
así más ductilidad a la columna.
La NSR-10, Sec.C.9.3.2.2, especifica que para columnas con refuerzo
simétrico de fy 4.200 kgf / cm2, con (d – d’) / h 0.7 el valor del factor
de sub resistencia (I) puede aumentarse linealmente hasta 0.90 en la
medida en que Pu disminuya desde 0.1 f ’c Ag hasta 0.
Las expresiones (5.2) y (5.3) fijan el valor de la carga máxima que se
puede emplear en el diseño. Estas expresiones reemplazaron los requisitos
de excentricidad mínima de carga axial que exigían los códigos anteriores
al ACI-318-77, en las cuales se requería cumplir con una excentricidad
mínima de 0.10*h para columnas con estribos y de 0.05*h para columnas
con espirales.
274
Imagen 5.5 Falla por cortante en una columna. Estribos insuficientes, pandeo
del refuerzo longitudinal y hormigón de baja calidad. Armenia, Colombia, 1999
La resistencia de diseño a carga axial de una columna con espiral no
puede ser mayor de (NSR-10, Sec.C.10.3.6.1):
Pu = IPn = 0.80 I£\<Â_ ¹c (Ag - As total) + fy As total]
(5.2)
La resistencia de diseño a carga axial de una columna con estribos
no puede ser mayor de (NSR-10, Sec. C.10.3.6.2):
Pu = IPn = 0.75 I£\<Â_ ¹c (Ag - As total) + fy As total]
(5.3)
5.6.2 Requisitos de diseño a flexión
La resistencia a la flexión que se le debe proporcionar a una columna debe
ser tal que garantice que primero llegan las vigas a la fluencia. Este requerimiento obedece a que los desplazamientos laterales causados por fallas
de las columnas conllevan excesivos daños y fácilmente pueden ocasionar
275
el colapso total de la estructura. Por estas razones las columnas, para estructuras con demanda especial, DES, y moderada, DMO, de ductilidad, son
diseñadas con un 20% más de resistencia a la flexión, comparadas con la
resistencia de las vigas que llegan a las caras de un nudo determinado. La
NSR-10, Sec.C.21.3.6.2 y Sec.C.21.6.2.2, y el ACI 318-08 exigen cumplir
la siguiente relación para estructuras con demanda especial de ductilidad:
Figura 5.12 Unión viga-columna de un pórtico con demanda de ductilidad especial
(5.4)
El ACI 318-08 y la NSR-10 especifican que en la anterior expresión
los momentos deben calcularse en la cara del nudo y corresponden a la
resistencia nominal (I =1.00).
El RDF de ciudad de México es aún más conservador y exige cumplir
una relación de 1.5 a cambio del 1.2 propuesto por el ACI; todos coinciden
que los momentos deben evaluarse en la cara del nudo y que corresponden
a sus valores nominales.
La NSR-10 y el ACI exigen diseñar las columnas con los momentos
correspondientes al acero realmente colocado en las vigas. Este es un
procedimiento racional y seguro para lograr un comportamiento dúctil
de la estructura.
El factor de seguridad empleado por la NSR es un valor que puede ser
muy bajo si se considera que la sobrerresistencia de los aceros nacionales
es del orden del 12%, con lo cual queda un remanente del factor de seguridad que no permite garantizar la fluencia inicial de las vigas.
En la expresión (5.4) la suma de los momentos debe realizarse de
modo que los momentos de las columnas se opongan a los de las vigas.
Esta condición debe cumplirse en los dos sentidos en que puede actuar el
sismo. No es necesario cumplir estos requisitos en los nudos de las terra-
276
zas (“Normas Técnicas Complementarias para Diseño y Construcción de
Estructuras de Concreto”, Sec.7.3.2.1 (véase referencias bibliográficas)).
El momento resistente nominal de la columna debe calcularse para
cada dirección principal de acuerdo con la combinación de cargas que
conduce a la menor resistencia de la columna. Para realizar este cálculo es
indispensable disponer del software apropiado que facilite el análisis; en
este caso se ha empleado el programa de la PCA para columnas, versión 2.3.
Para estructuras con demanda de ductilidad mínima, DMI, no tienen
requerimientos especiales.
5.6.3 Requisitos de diseño a cortante
Figura 5.13 Cortante de diseño para columnas con DES
El refuerzo transversal en las columnas cumple varias funciones,
entre otras: proporcionar un adecuado confinamiento al hormigón, dar
soporte lateral al refuerzo longitudinal, e incrementar la resistencia para
soportar la máxima fuerza cortante que se presenta cuando se forman las
articulaciones plásticas en el pórtico.
Las columnas se deben dimensionar de modo que no fallen por fuerza
cortante antes que se formen articulaciones plásticas por flexión en sus
extremos.
Vu =
Mpr sup + Mpr infp
Lu
(5.5)
277
La NSR-10, Sec.C.21.6.5.1, y el ACI 318-08 estipulan que para estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, la fuerza cortante de
diseño debe calcularse a partir del equilibrio de la columna en su altura
libre, suponiendo que en sus extremos actúan momentos flectores del
mismo sentido, numéricamente iguales a los momentos que representan
una aproximación a la resistencia real a flexión de estas secciones, con
factor de subrresistencia, I, igual a 1.0, y fs = 1.25 fy, obtenidos con la
carga axial de diseño que conduzca al mayor momento flector resistente.
Para estructuras con demanda moderada de ductilidad, DMO, la NSR10, Sec.C.21.3.3.1, especifica que el cortante de diseño no debe ser menor
que el menor valor de:
a) La suma del cortante asociado con el desarrollo de los momentos
nominales (I = 1, fs = fy) y el cortante calculado para cargas gravitacionales mayoradas.
b) El cortante máximo obtenido de las combinaciones de cargas de
diseño que incluyan las fuerzas sísmicas E, considerando para E el doble
de su valor de diseño.
Figura 5.14 Análisis de los cortantes en las columnas de ductilidad moderada a
partir del método de Bowman, suponiendo la ubicación de los puntos de inflexión
de columnas en su punto medio
V=
Mn izq + Mn der
Lu
(5.6)
Al plantear la NSR-10 el cálculo del cortante de diseño para columnas con DMO, a partir de los momentos nominales, se corre el riesgo de
278
no llegar a lograr el mecanismo de colapso propuesto, debido a que la
sobrerresistencia de los aceros nacionales supera en un 12% el valor del
esfuerzo fluencia; por otra parte, el autor considera que la alternativa de
diseño descrita en el literal (b) no tiene sentido puesto que el procedimiento desarrollado en el literal (a) es un procedimiento racional que con
un adecuado factor de seguridad garantiza la formación del mecanismo
de colapso deseado.
El cortante de las columnas se puede obtener a partir de los momentos de las vigas, asumiendo que los puntos de inflexión de las columnas
están ubicados en el punto medio de los entrepisos. Esta es una solución
aproximada que se cumple para los pisos intermedios pero no para los
primeros y últimos entrepisos.
En columnas con demanda especial de ductilidad, el cortante que
resiste el hormigón debe despreciarse cuando se cumplan los siguientes
dos requisitos (NSR-10, Sec.C.21.6.5.2):
x El esfuerzo cortante inducido por sismo representa la mitad o más
de la resistencia máxima a cortante requerida dentro de Lo.
x La fuerza axial mayorada, incluyendo los efectos sísmicos, es menor
que fc Ag / 20.
5.6.4 Empalmes o traslapo del refuerzo
Los empalmes por traslapo deben diseñarse como empalmes de tracción
NSR-10, Sec. C.21.3.5.3 para DMO y Sec.C.21.6.4.4 para DES.
La longitud mínima del empalme por traslapo a tracción debe ser la
requerida para empalmes por traslapo clases A o B, pero no menor de 30
cm (NSR-10, Sec.C.12.15).
Empalme por traslapo Clase A = 1.0 Ld
Empalme por traslapo Clase B = 1.3 Ld
Los empalmes por traslapo de barras corrugadas sometidas a tracción
deben ser empalmes Clase B, excepto que se admitan empalmes Clase
A (NSR-10, Sec.C.12.15) cuando:
x
El área de refuerzo proporcionada es al menos el doble del valor
requerido por análisis a todo lo largo del empalme.
x
La mitad, o menos, del refuerzo total esta empalmado dentro de la
longitud de empalme por traslapo.
279
Cuando se empalman por traslapo barras de diferente diámetro en
tracción, la longitud del empalme por traslapo debe ser el mayor valor entre
Ld de la barra de mayor diámetro y el valor de la longitud del empalme
en tracción de la barra de menor diámetro (NSR-10, Sec.C.12.15.3).
La longitud de desarrollo, Ld, se calcula de acuerdo con lo especificado
por la NSR-10, Sec.C.12.2.2.
## $ $
DMI2 $DMO$ '()*+$ ,",*.,.,.
La NSR-10, Sec.C.12.2.2, formula las expresiones básicas para el cálculo
de la longitud de desarrollo, Ld, especificando que esta no debe ser inferior a 30 cm.
Para barras N.o 6
(5.7)
Para barras > N.o 6
(5.8)
Tabla 5.1 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas a tracción,
estructuras con demanda mínima, DMI; y demanda moderada, DMO, de ductilidad,
\t = 1.0, \e = 1.0
Barra
N.o
Diámetro en
pulgadas
Diámetro en
cm
Área
en
cm2
Longitud de desarrollo y de traslapo
a tracción en cm
f ’c = 210 kgf/cm2 f ’c = 280 kgf/cm2
Ld
Lt
Ld
Lt
N.o 3
3/8”
0.95
0.71
42
43
36
47
N.o 4
1/2”
1.27
1.29
56
73
48
63
o
N. 5
5/8”
1.59
1.99
70
91
60
79
N.o 6
3/4”
1.91
2.84
84
109
73
94
N.o 7
7/8”
2.22
3.87
121
158
105
137
N.o 8
1”
2.54
5.10
139
181
120
156
280
Barra
N.o
Diámetro en
pulgadas
Diámetro en
cm
Área
en
cm2
N.o 9
1-1/8”
2.87
o
N. 10
1-1/4”
N. 11
1-3/8”
o
Longitud de desarrollo y de traslapo
a tracción en cm
f ’c = 210 kgf/cm2 f ’c = 280 kgf/cm2
Ld
Lt
Ld
Lt
6.45
157
204
136
177
3.23
8.19
177
230
153
199
3.58
10.06
196
255
170
220
Las anteriores expresiones son aplicables cuando el espaciamiento
libre entre las barras que se empalman no es menor de db, cuando el recubrimiento libre no es menor de db y tiene estribos a lo largo de la longitud,
Ld, no inferior al especificado en el título C de la NSR-10 o bien cuando
el espaciamiento libre entre las barras que se empalman no es menor de
2db y el recubrimiento libre no menor de db.
La NSR-10 para estructuras con demanda especial de ductilidad,
DES, y moderada, DMO, exige realizar el traslapo en la mitad central de la
columna; para columnas con demanda de ductilidad mínima, DMI, no hay
restricciones.
## $ # $
DES$ '()*+$ ,",*.,.,.
La NSR-10, Sec.C.21.7.5, especifica que para tamaño de barras No 3
(3/8”) a barras N.o 11 (1-3/8”) la longitud de desarrollo, Ldh, para una
barra con gancho estándar de 90° en hormigón de peso normal, no debe
ser menor que el mayor valor entre 8db, 15 cm y la longitud requerida por
la siguiente expresión:
(5.9)
Para barras N.o 3 (3/8”) a N.o 11 (1-3/8”), la longitud de desarrollo,
Ld, en tracción para una barra recta no debe ser menor que (NSR-10, Sec.
C.21.7.5.2):
a) 2.5 veces la longitud, Ldh, calculada si el espesor de hormigón colocado fresco, en una sola operación, debajo de la barra no excede de 30
cm (barras bajas).
281
b) 3.25 veces la longitud, Ldh, calculada si el espesor de hormigón
colocado fresco, en una sola operación, debajo de la barra excede de 30
cm (barras altas).
Tabla 5.2 Longitudes de traslapo Clase B para barras rectas y corrugadas a tracción,
estructuras con demanda especial, DES, de ductilidad, cálculo según literal (a)
Barra
N.o
Longitud de desarrollo y de traslapo a
Diáme- Diámetracción en cm
Área
tro en
tro en
en cm2 f ’c = 210 kgf/cm2 f ’c = 280 kgf/cm2
pulgadas
cm
Ld
Lt
Ld
Lt
N.o 3
3/8”
0.95
0.71
40
52
35
45
o
N. 4
1/2”
1.27
1.29
54
70
46
60
o
N. 5
5/8”
1.59
1.99
67
87
58
76
o
N. 6
3/4”
1.91
2.84
80
105
70
91
o
N. 7
7/8”
2.22
3.87
94
122
81
106
o
N. 8
1”
2.54
5.10
107
139
93
121
o
N. 9
1-1/8”
2.87
6.45
121
157
105
136
o
N. 10
1-1/4”
3.23
8.19
136
177
118
153
N. 11
1-3/8”
3.58
10.06
151
196
131
170
o
5.7 Ejemplo de diseño
5 # ; > Como ejemplo se analiza y diseña
la columna B1 en las secciones
superior e inferior al nudo del
entrepiso 1.
En el capítulo anterior se han
deducido las cargas de diseño que
corresponden a las cinco combinaciones de cargas seleccionadas.
x Análisis lineal de los pórticos
1 y B para deducir las acciones de diseño en la columna
B1.
282
Con la ayuda de un software de análisis lineal de pórticos planos se
obtienen los siguientes resultados para la columna B1, tanto en la parte
superior como en la inferior del entrepiso 1. En este caso se empleó el
programa RCB-Building.
Los resultados del pórtico 1, entrepiso 1, columna B1, momentos en
el eje del nudo son:
Piso 2
Piso 1
Caso
carga
Pu t
Mux t-m
1
69.4
-9.28
-6.34
94.8
4.84
-2.24
2
61.6
-11.16
-7.71
84.0
6.51
-3.41
3
68.1
1.11
1.08
94.3
-3.04
2.83
4
39.7
-4.57
-3.10
54.7
2.42
-1.03
5
34.8
-13.57
-9.54
47.1
9.41
-5.60
Vu t
Pu t
Mux t-m
Vu t
Los resultados del pórtico B, entrepiso 1, columna B1, momentos en
el eje del nudo son:
Caso
carga
Piso 2
Pu t
Muy t-m
Piso 1
Vu t
Pu t
Muy t-m
Vu t
1
24.7
5.79
4.08
34.0
-3.83
1.53
2
18.7
2.86
1.74
25.5
-0.12
-2.46
3
21.2
3.99
2.68
29.1
-2.70
0.23
4
18.1
6.26
4.67
25.4
-5.63
4.88
5
14.2
4.02
2.82
19.6
-1.77
0.67
Caso N.o
Caso de carga analizado
1
1.2 CM + 1.6 CV
2
1.2CM * 1.0CV + SX1 + 0.3 SY1
3
1.2CM * 1.0CV - SY1 + 0.3 SX1
4
0.90*CM - SX2
5
0.90*CM + SY2
Mu en el borde = Mu en el eje – Vu * h viga / 2
283
Los resultados del pórtico 1, entrepiso 1, columna B1, momentos en
el borde del nudo:
Piso 2
Caso
carga
Piso 1
Pu t
Mux t-m
Pu t
Mux t-m
1
69.4
-8.01
94.8
4.39
2
61.6
-8.62
84.0
5.94
3
68.1
0.89
94.3
-2.47
4
39.7
-3.95
54.7
2.21
5
34.8
-11.66
47.1
8.29
Los resultados del pórtico B, entrepiso 1, columna B1, momentos en
el borde del nudo:
Caso
carga
Piso 2
Piso 1
Pu t
Muy t-m
Pu t
Muy t-m
1
24.7
4.97
34.0
-3.52
2
18.7
2.51
25.5
0.61
3
21.2
3.45
29.1
-2.65
4
18.1
5.33
25.4
-4.65
5
14.2
3.46
19.6
-1.64
Los resultados biaxiales para la columna B1, entrepiso 1:
Caso de
carga
Resultados biaxiales
Piso 2
Resultados biaxiales
Piso 1
Pu KN
Mux KN-m
Muy KN-m
Pu KN
Mux KN-m
Muy KN-m
1
941
-80.1
49.7
1 288
43.9
-35.2
2
803
-86.2
25.1
1 095
59.4
6.1
3
893
8.9
34.5
1 234
-24.7
-26.5
4
578
-39.5
53.3
801
22.1
-46.5
5
490
-116.6
34.6
667
82.9
-16.4
El diseño biaxial de la columna B1 se realiza empleando el programa
de análisis y diseño de columnas PCACOL; este diseño debe hacerse en la
columna en la parte superior del nudo y en la parte inferior de este. Como
refuerzo debe seleccionarse el mayor valor obtenido.
x
284
La siguiente gráfica muestra el resultado del diseño para la columna
B1, entrepiso 1, parte superior:
Esta gráfica corresponde al caso de carga N.o 5 que resultó ser el más
crítico para la columna B1 en la parte superior del nudo (piso 2), allí se
requiere un refuerzo de 38.57 cm2 (10 barras N.o 7) para una cuantía del
2.58%.
En la siguiente figura (resultado del diseño para la columna B1,
entrepiso 1, parte inferior) se registra el diseño para la columna B1 en
la parte inferior del nudo (piso 1), en este caso la combinación de carga
N.o 1 resultó ser la más crítica.
285
Esta gráfica corresponde al caso de carga N.o 5 que resultó ser el más
crítico para la columna B1 en la parte inferior del nudo (piso 1), allí se
requiere un refuerzo de 15.48 cm2 (12 barras N.o 4) para una cuantía del
1.03%.
En el nudo no se permiten traslapos, por tanto se debe seleccionar
el mayor refuerzo de estos dos análisis, que para el caso corresponde a
un refuerzo longitudinal de 10 barras N.o 7, con una cuantía de diseño de
2.58%.
Una vez realizado el diseño a flexión, debe revisarse la rigidez relativa, a flexión, de las columnas respecto a las vigas. Esta revisión es
importante pues tiene como objetivo garantizar que el acero de las vigas
fluya primero que el de las columnas.
En la figura se puede ver la sección de la columna B1 en el entrepiso 1:
Revisión de la rigidez relativa a flexión de las columnas respecto a la
de las vigas que llegan al nudo. La NSR-10 exige hacer esta revisión para
estructuras con demanda moderada, DMO y especial, DES, de ductilidad;
la revisión debe hacerse en las direcciones de las cargas sísmicas.
x
Los momentos resistentes nominales de las vigas que llegan al nudo
han sido determinados en la segunda parte de este ejemplo.
Se deben determinar los momentos resistentes nominales de la columna, en cada una de las direcciones de las cargas sísmicas, para todas
las cargas axiales obtenidas de las diferentes combinaciones de cargas.
En la siguiente figura se registran los momentos nominales resistentes
para la carga axial del piso 2, caso de carga N.o 1:
286
La siguiente tabla nos muestra la columna B1, entrepiso 1 y los momentos resistentes para cada caso de carga:
Caso de
carga
Piso 2
M nx
Mny
Piso 1
Mnx
Mny
6M Pisos 1 y 2
Pu KN
KN-m
KN-m
Pu KN
KN-m
KN-m
6Mnx
6Mnx
1
941
124.5
227.2
1 288
115.4
203.4
239.9
430.6
2
803
127.6
236.0
1 095
120.7
217.1
248.3
453.1
3
893
125.6
230.3
1 234
117.0
207.4
242.6
437.7
4
578
131.1
233.5
801
127.7
236.1
258.8
469.6
5
490
124.0
228.5
667
130.6
235.3
254.6
463.8
Una vez obtenidos los momentos nominales para cada combinación
de carga, se selecciona como la más desfavorable aquella que tenga la
menor rigidez a la flexión, la de menor sumatoria de momentos en cada
dirección. Para la dirección Y (pórtico 1) la condición crítica de carga es
la N.o 3 y para la dirección X (pórtico B) la condición crítica corresponde
al caso de carga N.o 1.
Al final de la segunda parte del ejemplo se han determinado los
momentos nominales de las vigas V2 y V4. Sus valores se trasladan a
los siguientes diagramas y se ubican en sentido opuesto al de los momentos
de las columnas.
287
Este coeficiente debe calcularse para controlar que efectivamente
el acero de la viga alcanza la fluencia antes que el de la columna. En la
dirección Y se cumple este requisito, pero en la dirección X es crítico el
diseño, la columna es muy débil comparada con la viga, lo que lleva al
peligroso mecanismo de columna débil-viga fuerte.
Esta verificación es obligatoria para estructuras con DES y DMO según
la NSR-10, su valor no debe ser inferior a 1.2, en cualquiera de las dos
direcciones. Disposición que obligará a tener columnas más voluminosas
y resistentes que las vigas, de lo contrario estará seriamente cuestionada
la ductilidad de este tipo de estructuras.
x
Diseño a tensiones cortantes
Estribos de confinamiento y suplementarios:
En la figura se define el arreglo de estribos de confinamiento y suplementarios que satisface los requerimientos de la NSR-10. Se selecciona
x
288
como diámetro de los estribos el de 3/8” (10 mm) y se calcula cuál debe
ser su separación para cumplir los requisitos de ductilidad y cortante.
La longitud de la zona de confinamiento será el menor de los siguientes valores:
Lo Luz libre / 6 = 240 / 6 = 40 cm
(NSR-10, Sec.C.21.3.5.6)
Mayor valor entre “b” y “h” = 50 cm
50 cm
Lo = 50 cm
Máxima separación permitida para estribos en la zona de confinamiento:
(NSR-10, Sec.C.21.3.5.6)
s1 8db = 8 * 2.22 = 17.8 cm
16de = 16*0.95 = 15.2 cm
b / 3 = 30 / 3 = 10 cm
s1 = 10 cm
15 cm
Máxima separación permitida para estribos en la zona no confinada:
s2 = 2s1 = 20 cm
(NSR-10, Sec.C.21.3.5.11)
Los estribos deben cumplir la siguiente relación en las dos direcciones:
(NSR-10, Sec.C.21.3.5.7)
Ash 0.20 s hc (Ag / Ac - 1) * f ’c / fy
Ash 0.06 s hc * f ’c / fy ,
hc = distancia medida entre los bordes externos del refuerzo transversal
hc = 50 – 2r = 50 – 2*4 = 42 cm
(NSR-10, Sec.C.2.1)
bc = 50 – 2r = 30 – 2*4 = 22 cm
Ac = bc * hc = 924 cm2
Ag = b*h = 1500 cm2
Para s = 10 cm se tiene:
Estribos paralelos al eje Y (tres ramas):
Ash = 0.20*10*42*(1 500/924 -1) * 210 / 4 200 = 2.62 cm2
Ash = 0.06*10*42*210/4 200 = 1.26 cm2
Ash = 2.62 cm2
289
Se colocan tres ramas de 3/8” = 3*0.71 = 2.13 cm2 < 2.62 cm2, la
separación de 10 cm no es satisfactoria y debe reducirse.
0.20* s *42*(1 500/924 -1) * 210 / 4 200 = 2.13 cm2 s = 8 cm
Estribos paralelos al eje X (dos ramas):
Ash = 0.20* 8 *22*(1 500/924 -1) * 210 / 4 200 = 1.10 cm2
Ash = 0.06* 8 *22*210/4 200 = 0.53 cm2
Ash = 1.10 cm2
Se colocan dos ramas de 3/8” = 2*0.71 = 1.41 cm2 > 1.10 cm2 ¡Solución satisfactoria!
Colocar 8EI3/8” cada 8 cm en la zona de confinamiento y cada 16 cm
en la zona no confinada.
x
Estribos de confinamiento y suplementarios, requisitos de cortante
I Vc = 0.53 I¸ ¹c £'›¬u /(140 Ag)]
(NSR-10, Sec.C.11.2.1.2)
Se toma el menor valor de las cargas axiales. Así a la combinación de
carga N.o 5 corresponden las siguientes cargas axiales mínimas:
Piso 2 : Pu = 490 KN = 49.0 t = 49 000 kgf
Piso 1 : Pu = 667 KN = 66.7 t = 66 700 kgf
Cortante que absorbe el hormigón:
El piso 2 es el más crítico al tener menor carga axial:
Sentido X: I VcŠ\<_~¯\<œ_¯¸?'\¯~\¯£'›´\\\™['\¯'_\\`®Š´~œœ<¤
Sentido Y: I VcŠ\<_~¯\<œ_¯¸?'\¯_\¯?£'›’’œ\\™['\¯'_\\`®Š´'\œ<´¤
" E <2=$ E'()*+
La fuerza cortante de diseño en la columna puede determinarse a
partir de los momentos resistentes en los extremos de la columna de acuerdo con la expresión (5.5); para obtener un valor conservador se deduce a
partir de los momentos balanceados en cada una de las direcciones. Para
estructuras con demanda moderada de ductilidad se emplearán los momentos nominales, y para estructuras con demanda especial de ductilidad
los momentos probables:
290
Momentos nominales resistentes balanceados para la columna B:
Vuy = 2 * 11.58 / 2.4 = 11.58 t
Vux = 2 * 23.70 / 2.4 = 19.75 t
Los cortantes de diseño no necesitan exceder el valor obtenido a
partir de los momentos resistentes, nominales o probables (según si se
trata de demanda moderada o especial de ductilidad) de las vigas, en las
caras de los nudos, de acuerdo con la expresión (5.6):
291
V=
Mn izq + Mn der
Ln
Cálculo del cortante utilizando el método de Bowman, se obtiene:
En un pórtico resistente a momentos las columnas presentan puntos
de inflexión cercanos a la mitad de la altura del entrepiso, el método de
Bowman se basa en esta consideración y obtiene los cortantes en las columnas a partir de los momentos resistentes de las vigas, si se emplea un
factor de seguridad apropiado se garantiza que la columna nunca fallará
a cortante porque primero lo harán las vigas a flexión.
Cuando el cortante se calcula a partir de la resistencia de la columna,
entre más rígida sea la columna mayor será el cortante de diseño, este
cortante es mayor que el cortante obtenido por el método de Bowman, y
esta diferencia aumenta a medida que aumente la rigidez de la columna,
su cálculo no se basa en la rigidez a la flexión de las vigas sino en la rigidez
de la columna.
La NSR-10 pide calcular el cortante de la columna a partir de su rigidez, sin embargo, el cortante calculado de acuerdo al método de Bowman
con un adecuado factor de seguridad proporciona resultados seguros.
292
Revisión de los estribos:
La revisión se hace basados en los requisitos de la NSR-10:
En el sentido X: Vu = 19.75 t > I Vc = 9 107.9 kgf
I Vs = 19 750 - 9 107.9 = 10 642.1 kgf
Se colocarán, por requisitos de confinamiento, estribos I3/8” de dos ramas:
s = IAv fy d / I Vs =0.75 *1.42 * 4 200 * 24 / 10 642.1=10.1 cm
La separación de 8 cm es suficiente
En el sentido X: Vu = 11.58 t > I Vc = 9 377.8 kgf
IVs = 11 580 - 9 377.8 = 2 202.2 kgf
Se colocarán, por requisitos de confinamiento, estribos I3/8” de tres ramas:
s = I Av fy d /I Vs = 0.75 * 2.13 * 4 200 * 24 / 2 202.2 =73 cm
La separación de 8 cm es suficiente
x
Longitud de traslapo
Se calcula siguiendo a la expresión (5.4), la cual es aplicable para barras de
diámetro superior a la N.o 7; en este caso se traslapa el 50% del refuerzo
longitudinal de las barras (de las 10 barras N.o 7 se traslapan 5 barras)
db 5/8” = 1.91 cm. Como se traslapa el 50% del refuerzo se trata de un
traslapo tipo B: Lt = 1.3 Ld.
293
El traslapo de estas barras se hará en la mitad central de la columna:
Los traslapos del refuerzo longitudinal deben alternarse en los entrepisos, 50% en un entrepiso y el otro 50% en el siguiente. En estructuras
con DES deben colocarse estribos de confinamiento en toda la longitud
del traslapo, de este requisito se exceptúan las estructuras con DMO. El
cálculo de los estribos a colocar dentro de los nudos se explica en el siguiente capítulo.
294
5.8 Especificaciones de diseño para columnas, NSR-10
Tabla 5.3 Requisitos geométricos
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
No hay requisitos
especiales
Moderada - DMO
Especial - DES
La fuerza axial mayorada en La fuerza axial mayorada
el elemento es mayor que en el elemento es mayor
que 0.10 f ’c Ag
0.10 f ’c Ag
NSR-10, Sec.C.21.3.2
NSR-10, Sec.C.21.6.1
La menor dimensión de la
sección del elemento, medida en una línea recta que
pasa a través del centroide
geométrico de la sección, no
debe ser menor de 25 cm. Las
columnas en forma de T, C o I
pueden tener una dimensión
mínima de 20 cm, pero su
área no puede ser menor que
625 cm2
La menor dimensión de la
sección del elemento, medida en una línea recta que
pasa a través del centroide
geométrico de la sección, no
debe ser menor de 30 cm.
Las columnas en forma de
T, C o I pueden tener una
dimensión mínima de 25
cm, pero su área no puede
ser menor que 900 cm2
NSR-10, Sec.C.21.3.5.1
NSR-10, Sec.C.21.6.1.1
La relación entre la dimensión menor de la sección
del elemento y la dimensión perpendicular a ella,
no debe ser menor que 0.4
NSR-10, Sec.C.21.6.1.2
El número mínimo de
barras longitudinales debe ser de cuatro barras
para estribos circulares o
rectangulares, tres para
barras dentro de estribos
triangulares y seis para barras rodeadas por espirales
NSR-10, Sec.C.10.9.2
En columnas con estribos
de confinamiento circulares el número mínimo
de barras longitudinales
es seis
NSR-10, Sec.C.21.6.3.2
295
Tabla 5.4 Resistencia mínima a la flexión de las columnas
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
No hay
requisitos
especiales
Moderada - DMO
Especial - DES
Las columnas de pórticos resistentes a momentos, con capacidad moderada de disipación
de energía, DMO, deben cumplir
uno de los dos siguientes requisitos:
1. La resistencia a la flexión de
las columnas debe cumplir la
siguiente ecuación:
Las columnas de pórticos resistentes a momentos, con capacidad moderada de disipación
de energía, DES, deben cumplir
uno de los siguientes requisitos:
6Muc 1.20 6 Muv
(C.21-4)
6M uc = suma de momentos nominales de flexión de
las columnas que llegan al
nudo, evaluados en las caras
del nudo. La resistencia a la
flexión de la columna debe
calcularse para la fuerza axial
mayorada, congruente con
la dirección de las fuerzas
laterales consideradas, que
conduzca a la resistencia a la
flexión más baja.
6Muv = suma de de los momentos, resistentes nominales a flexión de las vigas que
llegan al nudo, evaluadas en
la cara del nudo.
Las resistencias a flexión
deben sumarse de tal manera que los momentos de
las columnas se opongan a
los momentos de las vigas.
La ecuación anterior debe
cumplirsepara las dos direcciones en el plano vertical
del pórtico que se considera
NSR-10, Sec. C.21.3.6.2
296
1.La resistencia a la flexión de
las columnas debe cumplir la
siguiente ecuación:
6Muc
1.20 6 Muv
(C.21-4)
6M uc = suma de momentos
nominales de flexión de las
columnas que llegan al nudo,
evaluados en las caras del nudo.
La resistencia a la flexión de la
columna debe calcularse para
la fuerza axial mayorada, congruente con la dirección de las
fuerzas laterales consideradas,
que conduzca a la resistencia a
la flexión más baja.
6Muv = suma de de los momentos, resistentes nominales
a flexión de las vigas que llegan
al nudo, evaluadas en la cara
del nudo.
Las resistencias a flexión deben
sumarse de tal manera que los
momentos de las columnas se
opongan a los momentos de
las vigas. La ecuación anterior
debe cumplirse para las dos
direcciones en el plano vertical
del pórtico que se considera
NSR-10, Sec. C.21.6.2.2
Tabla 5.4 Continuación
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
No hay
requisitos
especiales
Moderada - DMO
Especial - DES
2. Cuando no se satisface lo anterior
en un nudo, la resistencia lateral
y la rigidez de las columnas que
soportan las reacciones provenientes de dicho nudo deben ser
ignoradas al determinar la resistencia y la rigidez de la estructura.
Estas columnas deben tener el
refuerzo de confinamiento en
toda su longitud, desde el nudo
donde no se satisface hasta la
cimentación. El incumplimiento
de este requisito sólo se permite
hasta en un 10% de las columnas
de un mismo piso
2. Cuando no se satisface lo
anterior en un nudo, la resistencia lateral y la rigidez de
las columnas que soportan las
reacciones provenientes de dicho nudo deben ser ignoradas
al determinar la resistencia y
la rigidez de la estructura. Estas columnas deben satisfacer
los requisitos para elementos
que no se designan como parte
del sistema de resistencia ante
fuerzas sísmicas (NSR-10,
Sec. C.21.13)
NSR-10, Sec. C.21.3.6.3
NSR-10, Sec. C.21.6.2.3
Tabla 5.5 Refuerzo longitudinal en las columnas
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
Moderada - DMO
Especial - DES
La cuantía de refuerzo
longitudinal, Ug, no debe
ser menor que 0.01 ni
mayor que 0.04
La cuantía de refuerzo longitudinal, Ug, no debe ser
menor que 0.01 ni mayor
que 0.04
La cuantía de refuerzo longitudinal, Ug, no debe ser
menor que 0.01 ni mayor
que 0.04
NSR-10, Sec. C.10.9.1
NSR-10, Sec. C.21.3.5.2
Los empalmes por traslapo
se permiten únicamente en
la mitad central de la longitud del elemento y deben
diseñarse como empalmes
por traslapo de tracción.
Los empalmes mecánicos
y soldados deben cumplir
los requisitos C.21.1.6 y
C.21.1.7
NSR-10, Sec. C.21.3.5.3
NSR-10, Sec. C.21.6.3.1
Los empalmes por traslapo
se permiten sólo dentro de la
mitad central de la longitud
del elemento y deben diseñarse como empalmes por
traslapo de tracción; deben
estar confinados dentro del
refuerzo transversal. Los
empalmes mecánicos y soldados deben cumplir los requisitos C.21.1.6 y C.21.1.7
NSR-10, Sec. C.21.6.3.3
297
Tabla 5.6 Refuerzo transversal en las columnas
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
Moderada - DMO
Especial - DES
Debe utilizarse refuerzo en
espiral o estribos de confinamiento, a menos que se requieran cantidades mayores por
esfuerzos cortantes. Cuando se
utilice refuerzo en espiral debe
cumplirse la expresión C.21-1.
Cuando se utilicen estribos de
confinamiento se debe cumplir
con C.21.3.5.6 a C.21.3.5.11.
La Sección C.21.3.5.12 se
aplica a todas las columnas y
la C.21.5.13 se aplica a todas
las columnas que soporten
elementos rígidos discontinuos
El refuerzo transversal de confinamiento debe suministrarse en
una longitud Lo medida desde la
cara del nudo y a ambos lados de
cualquier sección donde pueda
ocurrir fluencia por flexión como
resultado de desplazamientos
laterales inelásticos del pórtico.
La longitud Lo no debe ser menor
que el mayor valor de:
a. La altura del elemento en la cara
del nudo o en la sección donde
pueda ocurrir fluencia por flexión.
b. Un sexto de la luz libre del
elemento
c. 45 cm
NSR-10, Sec. C.21.3.5.4
NSR-10, Sec. C.21.6.4.1
En ambos extremos del elemento deben proporcionarse
estribos cerrados de confinamiento con un espaciamiento
so por una longitud Lo, medida
desde la cara del nudo. El espaciamiento so no debe exceder
el menor valor de:
El refuerzo transversal debe disponerse mediante espirales sencillas
o traslapadas, que cumplan con
C.7.10.4, estribos cerrados de
confinamiento con o sin ganchos
suplementarios. Se pueden usar
ganchos suplementarios del mismo
diámetro de barra o con un diámetro menor y con el mismo espaciamiento de los estribos cerrados
de confinamiento. Cada extremo
del gancho suplementario debe
enlazar una barra perimetral del
refuerzo longitudinal. Los extremos de los ganchos suplementarios
consecutivos deben alternarse a
lo largo del refuerzo longitudinal.
El espaciamiento de los ganchos
suplementarios o ramas con estribos de confinamiento rectilíneos,
hx, dentro de una sección del
elemento no debe exceder de 35
cm, centro a centro
a. Ocho veces el diámetro de la
barra longitudinal confinada de
menor diámetro.
b. Dieciséis veces el diámetro
de la barra del estribo cerrado
de confinamiento.
c. Un tercio de la menor dimensión de la sección transversal de la columna.
d. 15 cm
NSR-10, Sec. C.21.3.5.6
298
NSR-10, Sec. C.21.6.4.2
Tabla 5.6 Continuación
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
Moderada - DMO
Especial - DES
El espaciamiento vertical de los
estribos no debe
exceder de:
a. 16 db
La longitud Lo no debe ser menor que el mayor valor entre:
La separación del refuerzo transversal a lo largo del eje longitudinal del elemento no debe exceder
el menor valor de:
a. La cuarta parte de la dimensión
mínima del elemento
b. Seis veces el diámetro de la
barra de refuerzo longitudinal
menor
c. So según lo definido en la ecuación C.21-5 de la NSR-10
a. Una sexta parte de la luz
libre de la columna
b. La mayor dimensión de
la sección transversal de la
c. La menor di- columna
mensión de la c. 50 cm
columna
b. 48 de
NSR-10,
Sec. C.10.5.2
El valor de so no debe ser mayor
de 15 cm y no es necesario tomarlo menor de 10 cm
NSR-10, Sec. C.21.3.5.6
La cuantía volumétrica de refuerzo en espiral o de estribos
cerrados de confinamiento
circulares, U s , no debe ser
menor que:
y no debe ser menor que la requerida por la ecuación C.10.5:
NSR-10, Sec. C.21.6.4.3
Debe proporcionarse refuerzo
transversal en las cantidades
que se especifican de (a) a (b) a
menos que requieran una mayor
cantidad por cortante.
a. La cuantía volumétrica de
refuerzo en espiral o de estribos
cerrados de confinamiento circulares, Us, n no debe ser menor que:
y no debe ser menor que la requerida por la ecuación C.10.5:
NSR-10, Sec. C.21.3.5.5
299
Tabla 5.6 Continuación
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima -
DMI
El espaciamiento
vertical de los estribos no debe
exceder de:
a. 16 db
Moderada - DMO
Especial - DES
El área total de la sección de
refuerzo de estribos cerrados
de confinamiento rectangulares, Ash, no debe ser menor que
el requerido por:
b. El área total de la sección de
refuerzo de estribos cerrados de
confinamiento rectangulares,
Ash, no debe ser menor que el
requerido por:
NSR-10, Sec. C.21.3.5.7
NSR-10, Sec. C.21.6.4.4
b. 48 de
c. La menor dimensión de la
columna
NSR-10,
Sec. C.10.5.2
300
Fuera de la longitud, Lo, deben
colocarse estribos de confinamiento con la misma disposición, diámetro de barra y resistencia a la fluencia, fy, con un
espaciamiento centro a centro
que no debe ser mayor que dos
veces el espaciamiento utilizado en la longitud Lo
Más allá de la longitud, Lo, el
resto de la columna debe contener refuerzo en forma de espiral
o de estribos cerrados de confinamiento que cumpla C.7.10,
con un espaciamiento, s, medido
centro a centro que no exceda al
menos de seis veces el diámetro
de las barras longitudinales de la
columna o quince cm, a menos
que se requieran mayores cantidades por confinamiento
NSR-10, Sec. C.21.3.5.11
NSR-10, Sec. C.21.6.4.5
Tabla 5.6 Continuación
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
Moderada - DMO
Especial - DES
Todas las barras deben
confinarse por estribos
transversales de diámetro mínimo N. o 3
(3/8”) para barras longitudinales menores
o iguales a la N.o 11
(1 ¼”). Se permiten
estribos de barras N.o
2 (1/4”) cuando las
columnas soporten
únicamente uno o dos
pisos
El refuerzo transversal debe
disponerse mediante estribos
cerrados de confinamiento
rectilíneos, con un diámetro
mínimo N.o 3 (3/8”) o 10M
(10 mm) con o sin ganchos
suplementarios. Se pueden
usar ganchos suplementarios
del mismo diámetro de barra
con el mismo espaciamiento
de los estribos cerrados de
confinamiento. Cada extremo
del gancho suplementario
debe enlazar una barra perimetral del refuerzo longitudinal.
Los extremos de los ganchos
suplementarios consecutivos
deben alternarse a lo largo
del refuerzo longitudinal. El
espaciamiento de los ganchos
suplementarios o ramas con
estribos de confinamiento rectilíneos dentro de una sección
del elemento no debe exceder
de 35 cm, centro a centro, en
la dirección perpendicular al
eje longitudinal del elemento
estructural
Las columnas que soportan
reacciones de elementos
rígidos discontinuos, como
muros, deben satisfacer
(a) y (b):
NSR-10, Sec. C.7.10.5
NSR-10, Sec. C.21.3.5.8
a. El refuerzo transversal como se especifica en
C.21.6.4.2 a C.21.6.4.4,
debe proporcionarse en su
altura total, en todos los
niveles, debajo del nivel
en el cual ocurre la discontinuidad, cuando la fuerza
mayorada de compresión
axial en estos elementos,
relacionada con el efecto
sísmico exceda 0.1 f ’c Ag.
Donde se hayan magnificado las fuerzas de diseño
para calcular la sobre resistencia de los elementos
verticales del sistema de
resistencia ante fuerzas
sísmicas el límite de 0.1
f ’c Ag debe aumentarse a
0.25 f ’c Ag
301
Tabla 5.6 Continuación
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
Moderada - DMO
Especial - DES
Todas las barras deben
confinarse por estribos
transversales de diámetro mínimo N. o 3
(3/8”) para barras longitudinales menores
o iguales a la N.o 11
(1 ¼”). Se permiten
estribos de barras N.o
2 (1/4”) cuando las
columnas soporten
únicamente uno o dos
pisos
Alternativamente a lo indicado en C.21.5.7 y C.21.3.5.8
pueden colocarse estribos de
confinamiento N.o 3 (3/8”) o
10M (10 mm), con fy = 4,200
kgf/cm2 (420 MPa) con una
separación s de 10 cm. Si la
distancia horizontal entre
dos ramas paralelas de estribo es mayor que la mitad
de la menor dimensión de la
sección de la columna o 20
cm, deben utilizarse cuantos
estribos suplementarios de
diámetro N.o 3 (3/8”) o 10M
(10 mm), con fy = 4,200 kgf/
cm2 (420 MPa) sean necesarios para que esta separación
entre ramas paralelas no exceda la mitad de la dimensión
menor de la sección de la columna o 20 cm. Este procedimiento alterno sólo puede
emplearse en columnas cuyo
hormigón tenga un f ’c menor
o igual a 35 MPa
b. El refuerzo transversal
debe extenderse por lo
menos L d dentro del elemento discontinuo, se
determina para la barra
longitudinal mayor de la
columna de acuerdo con
los requisitos de resistencia
a corte. Si el extremo inferior de la columna termina
en un muro, el refuerzo
transversal requerido debe
extenderse dentro del muro
por lo menos Ld de la mayor
barra longitudinal de la
columna en el punto en
que termina. Si la columna
termina en una zapata o
una losa de cimentación,
el refuerzo transversal requerido debe extenderse por
lo menos 30 cm en la zapata
o losa de cimentación
NSR-10, Sec. C.7.10.5
NSR-10, Sec. C.21.3.5.9
NSR-10, Sec. C.21.36.4.6
Cuando vigas o ménsulas concurran a una
columna desde cuatro
direcciones se permite
colocar el ultimo estribo a no más de 7.5 cm
del refuerzo más bajo
de las vigas o ménsula
de menor altura
NSR-10,
Sec.C.7.10.5.5
302
El primer estribo cerrado de
confinamiento debe estar
situado a no más de so/2 de la
cara del nudo
NSR-10, Sec. C.21.3.5.10
Tabla 5.7 Requisitos para refuerzo a cortante en columnas
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
No hay
requisitos
especiales
Moderada - DMO
Especial - DES
La fuerza cortante de diseño,
Vu, de columnas que resistan
efectos sísmicos E, no debe
ser menor que el menor valor
de (a) y (b):
La fuerza cortante de diseño, Vu,
debe determinar considerando
las máximas fuerzas que se puedan generar en las caras de los
nudos en cada extremo del elemento. Estas fuerzas en el nudo
se deben determinar usando las
resistencias a flexión máximas
probables, Mpr, en cada extremo
del elemento, correspondiente
al rango de cargas axiales mayoradas, Pu, que actúan en el.
No es necesario que las fuerzas
cortantes en el elemento sean
mayores que aquellas determinadas a partir de la resistencia
de los nudos, basada en Mpr de
los elementos transversales que
llegan al nudo. En ningún caso Vu
debe ser menor que el cortante
mayorado determinado a partir
del análisis de la estructura
a. La suma del cortante debido
en curvatura inversa, asociado
con el desarrollo de los momentos nominales de la columna
en cada extremo restringido
de la longitud libre. La resistencia a flexión de la columna
debe calcularse para la fuerza
axial mayorada, consistente
con la dirección de las fuerzas
laterales consideradas, que
resulte en el mayor valor de la
resistencia a la flexión
b. El cortante máximo obtenido de las combinaciones de
carga de diseño que incluyan
E, con E incrementado por
|
NSR-10, Sec. C.21.3.2.2
NSR-10, Sec. C.21.6.5.1
El refuerzo transversal en la
longitud, L o, identificada en
C.21.6.4.1 debe diseñarse para
resistir el cortante suponiendo
Vc = 0 cuando (a) y (b) ocurren
simultáneamente:
a. El esfuerzo de cortante inducido por sismo, calculado de
acuerdo con C.21.6.5.1 representa la mitad o más de la resistencia
máxima al cortante requerida
dentro de Lo.
b. La fuerza axial de compresión
mayorada, Pu, incluyendo el efecto sísmico es menor que: f ’c Ag/20
NSR-10, Sec. C.21.6.5.2
303
Capítulo 6
Uniones viga-columna
6.1 Introducción
Imagen 6.1 Falla por cortante en un nudo de esquina. Armenia, Colombia, 1999
Un nudo se define como la parte de la columna que está dentro de la
altura de la viga o vigas que se unen a ella. El nudo, al igual que las vigas,
las columnas y la cimentación, conforman el sistema de resistencia sísmica
de una estructura.
Los nudos son secciones muy críticas en un sistema estructural, pues
a través de ellos se asegura la continuidad de la estructura al transmitir
las fuerzas de un elemento a otro. La eficiencia en la transferencia de las
fuerzas depende del detallado de los nudos.
El diseño de los nudos no ha recibido la debida atención, y es común
que en los planos de construcción no se detallen las uniones y se deje en
305
manos del constructor la definición de detalles críticos que influyen en
el buen comportamiento de la estructura.
En el pasado, el diseño de los nudos de las estructuras aporticadas se
limitaba a satisfacer las condiciones de anclaje del refuerzo, no se le daba
mucha importancia porque los colapsos de las estructuras aporticadas de
hormigón reforzado se presentaban por diseños mal concebidos en vigas
y por un detallado inadecuado de las columnas. Sin embargo, los sismos
recientes, como el de México en 1985, el de San Salvador en 1986, el de
Loma Prieta en 1989, el de Los Ángeles en 1994, el de Kobe en 1995, el
de Armenia (Colombia) en 1999 y el de Haití en el 2010 han evidenciado
fallas por corte y por anclaje en las uniones viga-columna.
El empleo de materiales de alta resistencia, el uso de secciones cada
vez de menores dimensiones y la utilización de barras de refuerzo de
diámetros altos, hacen que sea necesario prestar mayor atención al diseño
y detallado de las uniones.
El diseño y detallado de un nudo depende de su ubicación dentro
de la estructura y de la demanda de ductilidad del sistema. A un nudo
ubicado en el interior de una estructura le llegan vigas por sus cuatro
caras; estas vigas pueden confinar el nudo y mejorar sustancialmente el
comportamiento del hormigón. Pero si el nudo se encuentra en una de las
caras externas de la estructura, le llegan vigas sólo por tres de sus cuatro
caras laterales y queda desconfinada una de las caras del nudo, lo que
disminuye la capacidad del hormigón para resistir tensiones diagonales.
El caso más crítico es el de los nudos de esquina, los cuales sólo tienen
vigas por dos caras adyacentes.
Figura 6.1 Uniones típicas viga-columna
Interior
306
Exterior
Esquina
6.2 Criterios de diseño
Los criterios de diseño de uniones viga-columna se pueden formular
como sigue:
x
La resistencia del nudo debe ser mayor o igual que la máxima demanda
que corresponda a la formación del mecanismo de colapso del pórtico.
El nudo debe ser el elemento de mayor resistencia para eliminar la
necesidad de reparar una región inaccesible, que sufre deterioros de
resistencia y rigidez considerables si se somete a acciones cíclicas en
el intervalo inelástico.
x
La resistencia de la columna no debe afectarse por una posible
degradación de resistencia de la unión.
x
Ante sismos moderados, las uniones deben responder en el intervalo
elástico.
x
Las deformaciones del nudo no deben contribuir significativamente
a la deriva del entrepiso.
x
El refuerzo en el nudo, necesario para garantizar un comportamiento
satisfactorio, no debe dificultar su construcción. Una unión típica
conecta elementos provenientes de tres direcciones; se debe evitar
la interferencia de las varillas que vienen de todas las direcciones.
6.3 Comportamiento esperado de las uniones
Como la respuesta de las uniones viga-columna está controlada por
mecanismos de corte y adherencia, que tienen un comportamiento
histerético pobre, no es posible considerar a la unión como una fuente
importante de disipación de energía. Por tanto, la unión debe experimentar
bajos niveles de agrietamiento y plastificación.
Es común suponer en el análisis de edificios que las condiciones de
apoyo de las vigas en las columnas son iguales a un empotramiento. En
realidad, el refuerzo de las vigas se deslizará, aun para bajos niveles de
esfuerzo, de manera que un empotramiento perfecto no es posible.
307
Figura 6.2 Fuerzas en una unión viga-columna
La unión se deforma en cortante por causa de las fuerzas resultantes
que obran en ella (Figura 6.2(c)), éstas producen tracción a lo largo de
una diagonal del nudo y compresión a lo largo de la otra. Las primeras
grietas diagonales aparecen cuando las tensiones principales de tracción
exceden la resistencia a la tracción del hormigón.
Como las grietas en los nudos son similares a las grietas por cortante en
una viga, las primeras recomendaciones de diseño se basaron en ecuaciones
adaptadas de requerimientos de corte para vigas. Es importante notar
que las magnitudes de las fuerzas a las que se somete un nudo son varias
veces las aplicadas en vigas y columnas.
Los factores más importantes a considerar en el diseño de los nudos
son:
x
Cortante
x
Anclaje del refuerzo
308
x
Transmisión de carga axial
x
Adherencia
x
Confinamiento del hormigón
x
Aspectos constructivos
6.4 Clasificación de los nudos
6.4.1 Según su geometría y su confinamiento
Con base en su localización dentro de la estructura, los nudos se clasifican
en interiores, exteriores y de esquina. La anterior clasificación tiene que
ver con el número de vigas que llegan a sus cuatro caras laterales. En
un nudo interior llegan cuatro vigas, en uno exterior tres y en uno de
esquina dos. Para que un nudo interior se considere como tal, las vigas
que llegan deben confinarlo en las dos direcciones, y a un nudo exterior
deben confinarlo en una dirección. Ese confinamiento es importante
porque de él depende el trabajo del hormigón a tensiones cortante, a
mayor confinamiento mayor resistencia.
Figura 6.3 (a) Unión interior, (b) Unión exterior, (c) Unión de esquina
Un nudo interior se considera confinado por sus cuatros caras
mediante vigas, cuando el ancho de cada viga, en cada dirección, sea al
menos 0.75 veces el ancho respectivo de la columna. Si el anterior requisito
sólo se cumple en una dirección, el nudo debe clasificarse como exterior,
y si no se cumple en las dos direcciones, el nudo se clasifica como nudo
de esquina (NSR-10, Sec.C.21.7.4.1).
309
Figura 6.4 Requisitos de confinamiento para un nudo interior
(6.1)
Un nudo exterior se considera confinado por la viga continua cuando
el ancho de la viga sea al menos 0.75 veces el ancho respectivo de la
columna. Si el anterior requisito no se cumple, el nudo se clasifica como
nudo de esquina.
Figura 6.5 Requisitos de confinamiento para un nudo exterior
(6.2)
6.4.2 Clasificación del ACI según su comportamiento
El ACI 318M-08 clasifica los nudos en dos grupos, la cuales identifica
como: tipo 1 y tipo 2; la diferencia entre ellos es la condición de carga
y las deformaciones previstas en la junta al resistir las cargas laterales.
' #*
Un nudo tipo 1 conecta elementos diseñados para satisfacer los requisitos
de resistencia del Reglamento ACI 318M-08, en los cuales no se prevén
deformaciones inelásticas significativas.
El nudo tipo 1 es aquel que hace parte de una estructura continua
resistente a momento y la cual es diseñada con base en su resistencia,
sin considerar requisitos especiales de ductilidad. Cualquier unión en
310
un pórtico típico, diseñado para resistir cargas por gravedad y cargas de
viento, pertenece a esta categoría.
En la Figura 6.6 se indica un diagrama de momento propio de
estructuras sometidas a cargas gravitacionales. Nótese que en el nudo
central los momentos, tanto a la izquierda como a la derecha del eje central,
son negativos, quiere decir que no se presenta inversión de momentos en
las caras del nudo, por ello, una barra de refuerzo localizada en la parte
superior de la viga trabaja a tracción, tanto a la izquierda como a la derecha
del nudo, no presenta inversión de tensiones dentro del nudo y por ende
no hay problemas de adherencia.
Figura 6.6 En los nudos tipo 1, diagrama de momentos dominado por las cargas
gravitacionales, no se esperan deformaciones inelásticas de importancia
' #.
Un nudo tipo 2 conecta elementos necesarios para disipar energía a través
de deformación dentro del rango inelástico. A este grupo pertenecen las
uniones en estructuras de pórticos resistentes a momento, diseñadas para
resistir movimientos sísmicos, vientos fuertes o efectos de explosión.
Figura 6.7 Nudos tipo 2, diagrama de momentos dominado por los efectos
sísmicos, se esperan deformaciones inelásticas de gran importancia
311
En el nudo tipo 2 se presenta inversión de momentos en las caras de
los nudos, por ello, una barra de refuerzo, localizada en la parte superior
de la viga, trabaja a tracción a un lado del nudo, y a compresión en la cara
opuesta del mismo; se presenta inversión de tensiones dentro del nudo,
por lo tanto hay que prestar atención especial a la adherencia.
Para los nudos tipo 2 las recomendaciones de diseño se aplican sólo en
los casos en que el refuerzo de la viga esté situado dentro del núcleo de la
columna. Todos los resultados de investigaciones actualmente disponibles
son para uniones en las que el ancho de la viga es menor o igual al ancho
de la columna y en las que el eje de la viga pasa a través del centroide de
la columna.
Las uniones en las que la línea de eje de la viga no pasa a través
del centroide de la columna quedan incluidas cuando todas las varillas
de la viga están ancladas en el núcleo de la columna o pasan a través de
él. Sin embargo, debe tomarse en cuenta la torsión resultante de esta
excentricidad. El nudo en el que el refuerzo de la viga pasa fuera del
núcleo de la columna queda excluido como nudo tipo 2 debido a que
faltan datos sobre el anclaje de dicho refuerzo.
Aunque es preferible diseñar las uniones para que permanezcan en el
intervalo elástico, es muy posible que ocurran deformaciones inelásticas
en ellas si los elementos adyacentes, vigas o columnas, se deforman
plásticamente. En este caso las deformaciones inelásticas a lo largo de las
varillas penetrarán el nudo, esta unión será de tipo inelástico y corresponde
su clasificación al nudo tipo 2.
6.4.3 Clasificación de la NSR-10 según su comportamiento
La NSR-10 clasifica los nudos de acuerdo con la ductilidad del sistema de
resistencia sísmica, se identifican tres casos, demanda mínima, moderada
y especial de ductilidad.
' # 2 La NSR-10 no presenta especificaciones especiales para el diseño de los
nudos correspondientes a estos dos sistemas de resistencia sísmica, por
tal motivo pueden asemejarse a la clasificación de nudos tipo 1 del ACI.
Según la NSR-10 los nudos para estructuras con demanda mínima y
moderada de ductilidad deben cumplir sólo los requisitos generales de
diseño dados en las secciones C.7.9.
312
Para las estructuras con demanda mínima de ductilidad (DMI) no hay
lugar a dudas que no se presenta inversión de momentos porque dominan
los diagramas debido a las cargas gravitacionales.
El autor ha podido comprobar mediante el análisis de diferentes
estructuras aporticadas, para el espectro de diseño propuesto por la NSR10 para Medellín, que en este tipo de estructuras se da el caso de inversión
de momentos. Por lo anterior, es muy cuestionable el procedimiento de
diseño propuesto para los nudos de estructuras con demanda moderada
de ductilidad (uniones tipo 1), pues el nivel de tensiones y deformaciones
asemejan más su comportamiento a un nudo tipo 2 (DES).
' # # Las especificaciones de la NSR-10 son exactamente iguales a las
formuladas por el ACI para los nudos tipo 2 (especificaciones en las Tablas
6.6 a 6.9).
6.5 Análisis de los nudos para estructuras con ductilidad
especial
6.5.1 Nudos interiores
Un pórtico de hormigón reforzado, diseñado según la NSR-10, debe
disipar energía ante cargas inducidas por sismos, mediante la formación
de articulaciones plásticas en las vigas. Cuando estas desarrollan sus
resistencias máximas, los nudos estarán sujetos a fuerzas cortantes
elevadas.
Figura 6.8 Inversión de momentos en una estructura con demanda especial
de ductilidad
313
En las estructuras con demanda de ductilidad especial se presenta en
los nudos interiores una inversión de momentos; una varilla de refuerzo
colocada en la parte superior de la viga debe pasar de tracción, en una
cara de la columna, a compresión, en la cara opuesta, y este cambio de
tracción a compresión debe ocurrir dentro del nudo.
Para que una barra cambie de tensión dentro del nudo se requiere
que este nudo tenga un espesor mínimo para poder garantizar que, por
adherencia, la varilla de refuerzo pueda invertir su tensión. En nudos
interiores el problema principal es la adherencia.
Figura 6.9 Transferencia de cortante en un mecanismo de puntal
en compresión diagonal
Para expresar el cortante del nudo en función del acero superior e
inferior de la viga debe considerarse la siguiente relación de equilibrio:
Cvd = Tvd
Vnudo = Tvi + Tvd – Vcs
(6.3)
En donde VCS es el promedio de las fuerzas cortantes de las columnas
superior e inferior, que puede suponerse igual a cero para fines de un
diseño conservador.
La transmisión del cortante en el nudo se hace mediante un
mecanismo conocido con el nombre de puntal diagonal. El mecanismo del
puntal diagonal de compresión se forma a lo largo de la diagonal principal
de la unión como resultante de las tensiones verticales y horizontales de
compresión que actúan en las secciones críticas de vigas y columnas. Es
314
importante notar que el puntal se desarrolla, independientemente de
las condiciones de adherencia de las varillas, dentro de la unión. En este
mecanismo, el nudo fallará cuando el puntal lo haga por compresióncortante, entonces debe mantenerse el confinamiento del nudo porque
su resistencia al cortante depende de la resistencia del hormigón, y ésta
se deteriora cuando se pierde confinamiento.
El ángulo de inclinación de los puntales diagonales depende de la
relación de aspecto del núcleo del nudo y del nivel de carga axial en la
columna. El equilibrio de un puntal inclinado típico depende de la presión
de confinamiento horizontal y vertical del nudo.
En condiciones de servicio, la presión lateral (horizontal) puede ser
provista por las vigas que llegan a las caras del nudo. En casos sísmicos,
las cargas cíclicas reversibles causan agrietamiento a flexión de las vigas,
lo que disminuye la capacidad de la viga para confinar el nudo. En este
caso la presión lateral de confinamiento lo debe proporcionar un refuerzo
transversal, estribos, que se deben colocar en una cantidad mínima dentro
del nudo, para mantener así la resistencia a corte del hormigón.
Si se incrementa la cantidad de estribos dentro del nudo, no se
obtienen mayores resistencias al corte. La carga axial en la columna
tampoco influye en la resistencia del nudo. La adherencia entre el refuerzo
horizontal y el hormigón afecta severamente la rigidez y la capacidad de
disipación de energía de la unión. Aun más, el deterioro en la adherencia
modifica el mecanismo de transmisión de fuerza cortante.
En general, el deterioro de la adherencia entre el acero longitudinal
y el hormigón puede provocar:
x
Una disminución en la capacidad a cortante del nudo
x
Pérdida de resistencia a flexión de vigas
x
Degradación de rigidez lateral
x
Disminución de la capacidad de disipación de energía
En el diseño de los nudos interiores debe prestarse cuidado especial
a la adherencia. Los parámetros que influyen en ella a través de los nudos
son:
x
El confinamiento del nudo afecta significativamente el comportamiento
de la adherencia bajo condiciones sísmicas. La adherencia de las barras
315
de las vigas puede mejorarse si se aumenta el confinamiento por
medio del refuerzo longitudinal interior de la columna.
x
El diámetro de la varilla no afecta significativamente la resistencia a la
adherencia, pero sí limita la fuerza máxima que puede ser transferida
por este mecanismo.
x
La resistencia a la compresión del hormigón no afecta de manera
importante ya que la adherencia depende de la resistencia a la tracción
del hormigón.
x
Si la separación entre barras de refuerzo es menor de cuatro veces su
diámetro, la resistencia de adherencia disminuye en un 20%.
x
Tipo de corrugación: la reacción de la corrugación contra el hormigón
circundante es la fuente más importante de la adherencia. Debe
considerarse la posición de las varillas durante el vaciado; en efecto,
si se colocan 30 cm o más de hormigón por debajo de la varilla, la
resistencia a la adherencia disminuye.
Se puede llegar hasta el punto donde el 40% de la deformación lateral
de una estructura sea debida a la pérdida de adherencia. Se ha demostrado
experimentalmente que debe proporcionarse una relación h / db 20
para garantizar que el refuerzo longitudinal puede cambiar su trabajo de
tracción a compresión dentro del nudo.
h (columna) / db (barra de la viga)
20
(6.4)
h (viga) / db (barra de la columna) 20
La NSR-10, Sec.C.21.7.2.3, especifica que esta relación debe
cumplirse en los nudos de estructuras aporticadas con demanda especial
de ductilidad, con ello se trata de garantizar que no existirá deterioro de
la rigidez de la estructura por pérdidas de adherencia en los nudos.
La expresión (6.4) controla las dimensiones de las columnas y de las
vigas que llegan a un nudo. Para vigas con refuerzo de 1” (barra N.o 8) se
requiere un espesor mínimo de la columna, de 50.8 cm para satisfacer
los requisitos de adherencia en los nudos de estructuras con demanda
especial de ductilidad.
316
Tabla 6.1 Altura mínima para vigas o columnas basadas en la adherencia
del refuerzo longitudinal que pasa a través de un nudo interior
Barra
Diámetro
h(min) cm
N.o
db en cm
Ldh cm
4
1.270
25.4
5
1.588
31.8
6
1.905
38.1
7
2.222
44.4
8
2.540
50.8
10
3.226
64.5
6.5.2 Nudos exteriores
Se analizará la dirección del nudo exterior en la cual sólo llega una viga
al nudo. La fuerza cortante es menor que la que se aplica en uniones
interiores de dimensiones y refuerzo iguales:
Vnudo = T - Vco
(6.5)
Las barras de refuerzo que llegan a este nudo deben anclarse mediante
ganchos estándar, con dobleces hacia el nudo (Figura 6.10); el gancho debe
colocarse lo más cerca posible de la cara externa de la columna, a menos
que ésta sea muy profunda.
Al resistir el nudo los momentos flectores y las fuerzas cortantes
sísmicas, se forma un puntal diagonal entre el radio del doblez de la varilla
superior y la esquina inferior derecha del nudo. En las uniones exteriores,
la mayor parte del cortante horizontal es transmitido al núcleo de la junta
mediante el puntal de compresión.
Figura 6.10 Mecanismo del puntal diagonal y confinamiento de un exterior
317
Para mantener este mecanismo de transferencia de carga es indispensable confinar el nudo con refuerzo transversal. Usualmente, las barras
superiores desarrollan fluencia mediante ganchos estándar a 90° que se
doblan hacia abajo dentro del núcleo del nudo. Este tipo de anclaje es
adecuado para desarrollar la fluencia del refuerzo, pero existen algunos
posibles problemas:
x
x
x
x
Una concentración de tensiones a compresión en la parte interior
del gancho (a menudo combinada con hormigón de relativa baja
resistencia debido a sedimentación) produce un aplastamiento local
del hormigón. Ante cargas cíclicas, esto conduce a un deterioro más
rápido que cuando se tiene un anclaje recto.
Si se degrada la adherencia de la parte recta, se agrava el problema
ya que el gancho debe resistir toda la carga.
Las tensiones de compresión sobre el doblez de la barra tienden a
provocar que el gancho trate de abrirse.
Si el ancho de vigas y columnas es igual, los dobleces de los ganchos
de las vigas estarán junto al refuerzo longitudinal de columnas,
reduciendo la eficacia para resistir la adherencia.
Los estribos en nudos exteriores persiguen dos objetivos:
x
x
Confinar el hormigón a compresión para incrementar su capacidad
de deformación y mantener su resistencia (quizás aumentarla).
Confinar el tramo recto del gancho que tratará de salirse por la cara
externa de la columna.
Al diseñar un nudo exterior deben considerarse los siguientes aspectos:
x
x
318
Si se espera la formación de una articulación plástica en la cara de
la columna, el anclaje de las varillas de la viga se debe suponer que
inicia dentro de la columna.
Para garantizar un anclaje adecuado de las varillas de la viga, en
columnas poco profundas, es recomendable:
Usar varillas de diámetro pequeño.
Emplear placas de anclaje soldadas a los extremos de las varillas.
Colocar pequeñas varillas en el radio interior del doblez para
retrasar el aplastamiento o desprendimiento del hormigón en
ese lugar.
Colocar una cantidad suficiente de estribos horizontales para
restringir el movimiento del gancho.
x
El refuerzo de las vigas debe doblarse hacia dentro del nudo. El detalle
de colocar el doblez hacia afuera del nudo, es decir, hacia la columna,
no es adecuado en zonas sísmicas.
Colocar el doblez del gancho lo más cercano a la cara externa de la
columna.
Cuando la arquitectura del edificio lo permita, o cuando las vigas
de gran altura lleguen a columnas esbeltas, se recomienda terminar
las varillas de las vigas en pequeñas extensiones en la fachada. Este
detalle mejora notablemente las condiciones de anclaje de las varillas,
lo que se traduce en un comportamiento superior del nudo.
Para reducir las tensiones de adherencia, siempre es preferible el
empleo de varillas del menor diámetro posible. En uniones exteriores,
en la dirección en estudio, no es aplicable el requerimiento del
diámetro de la varilla en función de las dimensiones de la columna.
En general, es más fácil cumplir con los requisitos de anclaje en los
nudos exteriores que en los interiores.
x
x
x
6.5.3 Nudos de esquina
Los nudos de esquina están sometidos a carga axial y cortante bajas, por
lo que no presentan problemas de cortante ni de confinamiento.
El principal inconveniente de este tipo de nudos es que sólo está
confinado por las dos caras en las que le llegan vigas, y por ello basta la
presencia de pequeñas tensiones cortantes para que se agrieten.
Los nudos de las esquinas requieren un cuidadoso detallado, hay que
prestar mucha atención a un adecuado diseño del anclaje del refuerzo y
al confinamiento del hormigón. El refuerzo se debe anclar con ganchos
estándar y para confinar el hormigón deben colocarse estribos cerrados
horizontales dentro del nudo.
La falla de este tipo de uniones es el resultado del agrietamiento
por tensión diagonal, por falta de anclaje del refuerzo, por fluencia del
acero, por daño del anclaje o por aplastamiento del hormigón. Aunque la
tensión diagonal es a menudo ignorada, esta puede ser la causa de la falla
en esquinas que se abren.
319
Imagen 6.2 Falla en un nudo de esquina por falta de confinamiento y mala calidad
del hormigón. Armenia, Colombia, 1999
6.6 Diseño de las uniones viga-columna
6.6.1 Secciones críticas
La sección crítica para el desarrollo del retuerzo debe tomarse en la cara de
la columna, para uniones con demanda mínima y moderada de ductilidad,
DMI y DMO (nudo tipo 1), y en el borde exterior del núcleo de la columna,
para los nudos con demanda especial de ductilidad, DES (nudo tipo 2).
Durante cargas sísmicas intensas, se puede esperar inversión de
momento en las uniones viga-columna, que causan cambios de tensiones
en el refuerzo longitudinal dentro del nudo.
320
Figura 6.11 Secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en los nudos
Los resultados de varias investigaciones han demostrado que el recubrimiento de hormigón sobre el refuerzo de la columna pierde rápidamente
efectividad en el desarrollo de barras en nudos de estructuras con demanda
especial de ductilidad (nudo tipo 2); por lo que la sección crítica para el
desarrollo se debe tomar en la cara del núcleo.
6.6.2 Longitud de desarrollo
2 Para estructuras con demanda mínima y moderada de ductilidad, la
NSR-10 no exige ningún requisito especial, basta entonces con cumplir
los requerimientos de anclaje para barras terminadas en gancho estándar
dados en la Sección C.12.5.2.
La longitud de desarrollo Ldh, para barras corrugadas a tracción que
terminen en un gancho estándar de 90° no debe ser menor que el mayor
valor de 8 db, 150 mm o la longitud dada por la siguiente expresión:
(6.6)
A partir de esta expresión se deducen los valores consignados en la
Tabla 6.2 que determinan el ancho mínimo que debe tener una columna
para satisfacer las condiciones de anclaje de una barra determinada.
El recubrimiento al estribo, según la NSR-10, Sec.C.7.7.1.c, para
barras N.o 11 y menores, debe ser de 40 mm (4 cm) si el hormigón no
está expuesto a la intemperie.
321
Tabla 6.2 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones de anclaje
del refuerzo de las vigas terminadas con ancho estándar, DMI y DMO
Barra
Diámetro
h (mín) columna en cm
N.o
db en cm
Ldh cm
Estribos s > 3db
Estribos s < 3db
4
1.270
27.9
32.8
27.3
5
1.588
34.9
39.8
32.8
6
1.905
41.8
46.8
38.4
7
2.222
48.8
53.7
44.0
8
2.540
55.8
60.7
49.6
10
3.226
70.8
75.8
61.6
Cálculos para fy = 420 MPa (4200 kgf/cm2), f ’c = 21 MPa (210 kgf/cm2). A Ldh
se adicionan 4.95 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm en el extremo
del nudo y 0.95 cm del diámetro del estribo (3/8”). Para espaciamiento corto
de estribos Ldh se reduce en un 20% (NSR-10, Sec.C.12.5.3.c).
# Para estructuras con demanda especial de ductilidad la NSR-10,
Sec.C.21.7.5, exige cumplir los siguientes requisitos:
Para tamaño de barras N.o 3 a N.o 11 la longitud de desarrollo Ldh,
para una barra con gancho estándar de 90° no debe ser menor de 8 db,
150 mm o la longitud dada por la siguiente expresión:
(6.7)
El gancho de 90° debe estar colocado dentro del núcleo confinado
de una columna o elemento de borde.
322
Tabla 6.3 Ancho mínimo de las columnas para satisfacer las condiciones de anclaje
del refuerzo de las vigas terminadas con ancho estándar, DES
Barra
Diámetro
h (mín) columna en cm
N.o
db en cm
Ldh cm
Estribos s > 3db
Estribos s < 3db
4
1.270
23.2
32.4
27.8
5
1.588
29.0
38.2
32.4
6
1.905
34.7
44.0
37.1
7
2.222
40.5
49.8
41.7
8
2.540
46.3
55.6
46.3
10
3.226
58.8
68.1
56.3
Cálculos para a = 1.25, fy = 420 MPa (4 200 kgf / cm2), fc = 28 MPa (280 kgf / cm2).
A Ldh se adicionan 9.27 cm correspondientes a: recubrimiento libre de 4 cm en cada
cara y 1.27 cm del diámetro del estribo (1/2”). Para espaciamiento corto de estribos
Ldh se reduce en un 20% (NSR-10, Sec.C.12.5.3.c).
6.6.3 Fuerza cortante en los nudos interiores
El nudo se debe diseñar para la interacción de las fuerzas multidireccionales
que los elementos le transfieren, incluyendo cargas axiales, de flexión, de
torsión y cortantes. Estas fuerzas son una consecuencia de los efectos de
cargas aplicadas externamente, así como de las resultantes de fluencia,
contracción, temperatura o asentamientos.
El nudo debe resistir todas las fuerzas que le puedan ser transferidas
por elementos adyacentes, y emplear aquellas combinaciones de cargas
que produzcan la distribución de fuerza más crítica en la unión, incluyendo
el efecto de cualquier excentricidad del elemento.
2 El comportamiento de los nudos de estas estructuras está gobernado por
las cargas gravitacionales, en ellos se espera una deformación inelástica
moderada y no se presenta inversión de momentos en las vigas que llegan
a los nudos.
323
Figura 6.12 Fuerzas en los nudos (DMI y DMO)
(6.8)
T = fuerza de tensión
C = fuerza de compresión
V = fuerza cortante
Como en los nudos no se permite hacer traslapos, el refuerzo, en
las caras opuestas de los nudos, es el mismo y por tanto Tvi = Tvd Ÿ el
cortante en el nudo será igual al cortante de la columna. Nótese que en
este caso, como no hay inversión de momentos, una barra colocada en la
parte superior de la viga estará a tracción a ambos lados del nudo.
# En los nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad, DES, el
efecto sísmico es muy importante. En ellos se espera una alta deformación
inelástica e inversión de momentos en las caras de los nudos. En este
caso, el cortante que debe absorber el nudo es muy superior a los casos
con DMI y DMO.
324
Figura 6.13 Fuerzas en los nudos tipo 2 (DES)
(6.9)
T = fuerza de tensión
C = fuerza de compresión
V = fuerza cortante
En los nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad,
las fuerzas de diseño que los elementos transfieren al nudo no son
fuerzas determinadas en un análisis estructural convencional, sino que
deben calcularse con base en las resistencias nominales de los elementos,
calculadas a partir del acero realmente colocado, empleando un factor
de subrresistencia f = 1.0. En el refuerzo de flexión, en las caras de la
unión, se deben emplear esfuerzos de fluencia iguales a a fy, donde fy es
la resistencia de fluencia especificada para las varillas de refuerzo y a es
un multiplicador de esfuerzo.
DES,
Para nudos tipo 1 (DMI y DMO) D
Para nudos para DES
D
1.0
1.25
(6.10)
El factor D tiene como propósito considerar los siguientes hechos:
x
La tensión efectiva de fluencia de una barra de refuerzo típica es
comúnmente del 10% al 25% mayor que el valor nominal.
325
x
Las varillas de refuerzo alcanzan su endurecimiento por deformación
cuando ocurren desplazamientos del elemento, ligeramente mayores
a los que producen su fluencia.
Para los nudos del tipo 1 se permite un valor de D = 1.0 porque sólo
se requiere una ductilidad limitada en los elementos adyacentes a este
tipo de unión. Según la NSR-10 y el Comité ACI-ASCE 352, un valor
de D = 1.25 se debe considerar como el mínimo para uniones del tipo 2
(DES). Para aceros de refuerzo cuyas propiedades no están debidamente
controladas, puede ser adecuado un valor de D mayor que el mínimo
recomendado.
6.6.4 Resistencia del hormigón a tensiones cortantes
Un nudo confinado resiste cargas superiores a otros nudos. El esfuerzo
nominal obrará sobre un área definida por la profundidad de la columna y
un ancho efectivo, que es, por lo general, igual al promedio de los anchos
de la o las vigas y de la columna en la dirección de análisis. Los esfuerzos
máximos señalados se refieren a la resistencia a compresión-cortante del
hormigón en el mecanismo del puntal diagonal de compresión.
El Comité ACI-ASCE 352, propone evaluar la resistencia del
hormigón a tensiones cortantes de acuerdo con la siguiente expresión:
(6.11)
Los valores de parámetro J dependen del tipo de nudo y de su
confinamiento:
Tabla 6.4 Valores de J para el cálculo de la resistencia a cortante
de las uniones viga-columna
Tipo de nudo
Tipo de
nudo
Interior
Exterior
Esquina
1
24
20
15
2
20
15
12
La NSR-10, Sec.C.21.7.4.1, recomienda adoptar los siguientes
valores para el diseño de los nudos de estructuras con demanda especial
de ductilidad (DES):
326
(6.12)
Obsérvese que las expresiones sugeridas por la NSR-10 son muy
parecidas a las recomendadas por el Comité ACI-ASCE 352, para uniones
con demanda especial de ductilidad, uniones tipo 2.
La NSR-10 no hace ninguna sugerencia para evaluar el cortante que
absorbe el hormigón en estructuras con demanda mínima, DMI, y moderada,
DMO de ductilidad. Por lo anterior, se sugiere utilizar las especificaciones
del Comité ACI-ASCE 352 para el diseño de estructuras con demanda
moderada de ductilidad.
Aj = bj * h = Área efectiva dentro del nudo, en un plano paralelo
al plano del refuerzo que genera el cortante en el nudo. La altura de
la sección efectiva del nudo debe ser la altura total de la sección de la
columna. En los casos en que una viga llegue a un nudo que tenga un
ancho mayor que la viga, el ancho efectivo del nudo no debe exceder al
más pequeño de los siguientes valores: al ancho de la viga más la altura
efectiva del nudo o dos veces la distancia perpendicular más corta, medida
desde el eje longitudinal de la viga al lado de la columna.
Figura 6.14 Determinación del ancho efectivo, bj, del nudo
327
6.6.5 Refuerzo transversal en los nudos
2 La NSR-98 exigía un área mínima de refuerzo transversal cuyo valor no
dependía de la resistencia del hormigón. Nuevos ensayos muestran la
necesidad de incrementar el área mínima de refuerzo a cortante a medida
que aumente la resistencia del hormigón para evitar las fallas repentinas de
cortante cuando se producen fisuras inclinadas. La NSR-10, Sec.C.11.4.6.3,
exige colocar un área mínima de refuerzo a cortante calculada según la
expresión:
(6.13)
# En nudos de estructuras con demanda especial de ductilidad debe
colocarse refuerzo de confinamiento dentro del nudo, igual al exigido
para columnas (NSR-10, Sec.C.21.6.4.4).
Cuando se utilicen estribos rectangulares de confinamiento, de
diámetro mínimo 3/8”, no pueden ser menores que:
(6.14)
La separación no debe exceder la cuarta parte de la menor dimensión
transversal del elemento, ni de l00 mm.
En los nudos interiores, confinado adecuadamente por vigas que
llegan a sus cuatro caras, el espaciamiento máximo de 100 mm puede
incrementarse a 150 mm (NSR-10, Sec.C.21.7.3.2).
Los requisitos anteriores buscan preservar la integridad del hormigón,
de manera que se mantenga el mecanismo de transferencia del puntal
diagonal de compresión. Es importante cumplir estrictamente con las
recomendaciones anteriores para evitar daños severos, difíciles de reparar,
en la unión.
328
6.7 Las uniones en los planos de construcción
Para evitar errores o malas interpretaciones durante la construcción
de los nudos, es necesario que el diseñador muestre los detalles de
las conexiones en los planos estructurales. Al momento de incluir
estos detalles, el diseñador es forzado a verificar que dicho detalle se
pueda construir. Esto se relaciona con la colocación del refuerzo, y con
la colocación y compactación del hormigón. Por ejemplo, una viga del
mismo ancho que el de la columna causará problemas al obrero de la
construcción si durante el diseño no se consideró que un recubrimiento
igual sobre el acero transversal de la viga y la columna provocará que los
refuerzos longitudinales de la columna y la viga coincidan. Si en este caso
se agrandara la sección transversal de la columna no habría problema.
La NSR-10 no requiere que se incluyan dibujos acotados y a escala
del retuerzo en uniones viga-columna.
329
6.8 Especificaciones de diseño para los nudos
Tabla 6.5 Requisitos generales para el diseño de las uniones viga-columna
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI
Moderada - DMO
Especial - DES
1. En las conexiones de los 1. En las conexiones de los 1. Las fuerzas en el reelementos principales de
elementos principales de
fuerzo longitudinal
pórticos (tales como vigas y
pórticos (tales como vigas y
de las vigas en la cacolumnas) debe disponerse
columnas) debe disponerse
ra del nudo de ben
de confinamiento para los
de confinamiento para los
determinarse su poempalmes del refuerzo que
empalmes del refuerzo que
niendo que el esfuerzo
continúa y para el anclaje
continúa y para el anclaje
en el refuerzo de
del refuerzo que termina
del refuerzo que termina
tracción por flexión es
en tales conexiones.
en tales conexiones.
1.25 y
2. El confinamiento en las 2. El confinamiento en las
conexiones debe consistir
conexiones debe consistir
en hormigón ex terior, o
en hormigón exterior, o
en estribos cerrados o esen estribos cerrados o espirales interiores
pirales interiores
NSR-10, Sec.C.7.9
NSR-10, Sec.C.7.9
NSR-10, Sec.C.21.7.2.1
3. Cuando se requiera re- 3. Cuando se requiera re- 2. E l r e f u e r z o l o n g i fuerzo para cortante, o
fuerzo para cortante, o
tudinal de una viga
para resistencia, se debe
para resistencia, se debe
que termine en una
colocar un área mínima a
colocar un área mínima a
columna debe pro cortante calculada según
cortante calculada según
longarse hasta la cara
la expresión:
la expresión:
más distante dentro
del núcleo confinado
de la columna y anclarse en tracción de
acuerdo con C.21.7.5,
y en comprensión de
acuerdo con el capítulo
C.12
NSR-10, Sec.C.21.7.2.2
3. Cuando el refuerzo
longitudinal de la viga
pasa a través del nudo,
la dimensión de la
columna, paralela al
refuerzo longitudinal
de la viga, no puede
ser menor que 20 db,
calculado para la barra
longitudinal de mayor
diámetro de la viga
NSR-10,Sec.C.11.4.6.3
330
NSR-10, Sec.C.11.4.6.3
NSR-10, Sec.C.21.7.2.3
Tabla 6.6 Requisitos para el refuerzo transversal en las uniones viga-columna
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI Moderada - DMO
No hay
requisitos
especiales
No hay
requisitos
especiales
Especial - DES
1. El refuerzo transversal del nudo debe
satisfacer:
C.21.6.4.4.a. La cuantía volumétrica para
refuerzo en espiral o estribos cerrados
de confinamiento circulares no debe ser
menor que:
C.21.6.4.4.b. El área total del refuerzo
en estribos cerrados de confinamiento
rectangulares no debe ser menor que:
Deben cumplirse los espaciamientos
dados en C.21.6.4.7, excepto lo prescrito
en C.21.7.3.2
NSR-10, Sec.C.21.7.3.1
2. Cuando existan elementos que lleguen
en los cuatro lados del nudo y el ancho
de cada elemento mide por lo menos
¾ del ancho de la columna, refuerzo
transversal igual, por lo menos, a la
mitad de la cantidad requerida en
C.21.6.4.4.a y C.21.6.4.4.b, dentro del h
del elemento de menor altura que llegue
al nudo. En estos lugares, se permite
que el espaciamiento especificado en
C.21.6.4.3 se incremente a 15 cm
NSR-10, Sec.C.21.7.3.2
3. Debe proporcionarse refuerzo transversal
que pase a través del nudo para proporcionar confinamiento al refuerzo
longitudinal de viga que pasa fuera
del núcleo de la columna que cumpla
con los requisitos de espaciamiento de
C.21.5.3.2 y los requisitos C.21.5.3.3 y
C.21.5.3.6, cuando dicho confinamiento
no es suministrado por una viga que
llegue al nudo
NSR-10, Sec.C.21.7.3.3
331
Tabla 6.7 Requisitos para el diseño a cortante en las uniones viga-columna
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI Moderada - DMO
No hay
requisitos
especiales
No hay
requisitos
especiales
Especial - DES
La resistencia nominal al cortante en los
nudos de pórticos no puede ser mayor
que los valores que se dan a continuación:
x
Nudos confinados por vigas en sus
cuatro caras:
(Kgf/cm)2
x
Nudos confinados por vigas en tres
caras o en dos caras opuestas:
(Kgf/cm)2
x
Otros nudos:
(Kgf/cm)2
Se considera que una viga proporciona
confinamiento al nudo si al menos ¾
partes de la cara del nudo está cubierta
por la viga que llega. Se permite considerar
como elemento de confinamiento a las
extensiones de las vigas que sobresalen
al menos una altura total h hacia afuera
de la cara del nudo
NSR-10, Sec.C.21.7.4.1
332
Tabla 6.8 Requisitos para el desarrollo del refuerzo dentro
de las uniones viga-columna
Capacidad de disipación de energía en el rango inelástico
Mínima - DMI Moderada - DMO
No hay
requisitos
especiales
No hay
requisitos
especiales
Especial - DES
1. La longitud de desarrollo, Ldh, para una barra
con un gancho estándar de 90°, no debe ser
menor que 8 db, 150 mm, o la longitud dada
por la ecuación C.21-9 para barras N.o 3
o 10M (10 mm), a N.o 11 (1-3/8”) o 32M
(32mm).
El gancho de 90° debe quedar localizado
dentro del núcleo confinado de una columna
o elemento de borde
NSR-10, Sec.C.21.7.5.1
2. Para barras N. 3 o 10M (10 mm) a N.o 11
(1-3/8”) o 32M (32 mm) la longitud de
desarrollo, Ldh, para barras rectas no puede
ser menor que:
o
x 2.5 veces la longitud dada en (1) si no hay
más de 300 mm de hormigón, vaciado en
una sola etapa, por debajo de la barra, o
x 3.5 veces la longitud requerida en (1) si
hay más de 300 mm de hormigón vaciado
en una sola etapa, por debajo de la barra
NSR-10, Sec.21.7.5.2
3. Las barras rectas que terminen en un nudo
deben pasar a través del núcleo confinado
de la columna o elemento de borde.
Cualquier porción de Ld fuera del núcleo
confinado debe incrementarse mediante
un factor de 1.6
NSR-10, Sec.C.21.7.5.3
4. Si se utiliza refuerzo con recubrimiento
epóxico, las longitudes de desarrollo
dadas en (1) a (3) deben multiplicarse
por el coeficiente apropiado de C.12.2.4 o
C.12.5.3
NSR-10, Sec.C.21.7.5.4
333
6.9 Ejemplo de diseño
Cuarta parte, diseño de nudos
x
E # > 8 Se desea diseñar a cortante el nudo indicado, tanto en la dirección de
la viga A como en la dirección de la viga 1. Se hará un paralelo, a través
del ejemplo, del procedimiento a seguir para un nudo tipo 2 (DES) y uno
tipo 1 (DMI y DES). fy = 420 MPa y f ’c = 21 MPa
Clasificación del nudo: geométricamente, el nudo corresponde a un
nudo exterior. Debe comprobarse que en la dirección del eje A el nudo
esté adecuadamente confinado.
by
¾ * hy
30 = ¾ * 40 cm 9
El nudo se clasifica como
nudo exterior
Análisis de la dirección A
Momentos resistentes de la viga A: el refuerzo de la viga 1 se localiza
encima del refuerzo de la viga A, de allí los valores de d’:
334
Nudo tipo 2 (DES)
Nudo tipo 1 (DMI) y (DMO)
Revisión de la adherencia: se revisa la dimension del nudo en la
direccion de la viga A.
Se asume que hay inversión
de momentos
hn
20 db = 20 * 2.91 = 38.2 cm
La dimensión de 50 cm es aceptable
Se asume que no hay inversión de
momentos
No hay requisitos especiales
No hay restricción
Cortante en la columna en la dirección A:
Cortante en el nudo:
335
D
= 1.25
D = 1.00
Tvi = D A’s fy = 1.25*4*2.84*4 200
Tvi = D A’s fy = 1.00*4*2.84*4 200
Tvi = 59 640 kgf
Tvi = 47 712 kgf
Cvd = D A+s fy = 1.25*2*2.84*4 200
Tvd = 47 712 kgf
Cvd = 29 820 kgf
Vnudo= Tvi + Cvd –Vc = 82 260 kgf
Vnudo = Tvi - Tvd –Vc = 0.00 kgf
Cortante en el nudo:
No hay especificación
bv =30 cm, bc=40 cm
hn =50 cm, bn=(40+30)/2=35 cm
An = 50*35 = 1 750 cm2
Colocar los estribos mínimos
IVc=86 224 kgf>Vnudo=82 260 kgf9
especificados para columnas
Cálculo de los estribos:
Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.4.b
Cálculos según la NSR-10, Sec. C.21.3.5.7
Se colocarán estribos de cuatro ramas:
Se colocarán estribos de cuatro ramas:
Ash = 4 * 0.71 = 2.84 cm
Ash = 4 * 0.71 = 2.84 cm2
fyt = 4 200 kgf/cm2, smáx = 10 cm
fyt =4 200 kgf/cm2, cálculos para s=10 cm
Recubrimiento = 4 cm
Recubrimiento = 4 cm
2
bc = 32 cm, hc = 42 cm
bc = 32 cm, hc = 42 cm
Ag = b * h = 40x50 = 2 000 cm
Ag = b * h = 40x50 = 2 000 cm2
Ach = bc* hc = 32*42 = 1 344 cm2
Ach = bc* hc = 32*42 = 1 344 cm2
Ash = 3.08 cm2 > 1.89 cm2
Ash = 2.05 cm2 > 1.26 cm2
No cumple Ash > 2.84 cm . Se puede
reducir la separación a 9 cm, con lo cual:
Se puede aumentar la separación de los
estribos a 14 cm, con lo cual:
Ash = 2.77 cm2 < 2.84 cm2 9
Ash = 2.87 cm2
2
2
2.84 cm2 9
Revisión de la separación de estribos:
Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.3
Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.3.5.6
smax 15 cm
smax 8 db = 8 * 1.91 = 15.28 cm
smax Menor dimensión/4 = 40/4 =10 cm
smax 16 de = 16 * 0.95 = 15.20 cm
smax 6 db = 6 * 1.91 = 11.46 cm
smax Menor dimensión/3=40/3 =13.3 cm
smax 15 cm
La solución EI3/8” c/9 cm, de cuatro
ramas, es satisfactoria
336
La solución EI3/8” c/14 cm, de cuatro
ramas, es satisfactoria
Nudo tipo 2 (DES)
Nudo tipo 1 (DMI) y (DMO)
Análisis de la dirección 1
En la dirección A del nudo, era crítico el control de adherencia porque
las barras de ¾” cambian de tensión en el ancho del nudo. En la dirección
1 este caso no se presenta, pero ahora es crítico el anclaje de las barras
de refuerzo de la viga 1. Se asumió que el refuerzo de la viga 1 se localiza
encima del refuerzo de la viga A.
Momentos resistentes de la viga 1: el refuerzo de la viga 1 se localiza
encima del refuerzo de la viga A, de allí los valores de d’:
Revisión del anclaje para la barra 7/8”:
NSR-10, Sec.C.21.7.5.1
D=1.25, db=2.22 cm, r =4 cm
Ldh = 46.8 cm
NSR-10, Sec.C.12.2.2
D = 1.00, db = 2.22 cm, r = 4 cm
Ldh = 48.8 cm
Esta Ldh puede multiplicarse por
el factor 0.7 dado en la NSR-10,
Sec.C.12.5.3.a.
Cumple los requisitos exigidos
Esta Ldh puede multiplicarse por el
factor 0.7 dado en la NSR-10,
Sec.C.12.5.3.a.
Cumple los requisitos exigidos
Ÿ Ldh = 0.7*46.8 = 32.76 cm
Ÿ Ldh = 0.7*48.8 = 34.16 cm
Sección crítica en el borde del
núcleo confinado
Sección crítica en el borde del nudo
confinado
bc=Ldh+2r+de=32.76+2*4+0.95
bc=Ldh+r +de =34.16+4+0.95
bc = 41.71 cm
bc = 39.19 cm
Los 40 cm de columna no son suficientes para anclar las barras de 7/8”
Los 40 cm de la columna son
suficientes
337
Nudo tipo 2 (DES)
Nudo tipo 1 (DMI) y (DMO)
Cortante en la columna en la dirección A:
Cortante en el nudo:
D = 1.25
D = 1.00
Tvd = D A’s fy=1.25*4*3.87*4 200
Tvd = D A’s fy = 1.00*4*3.87*4 200
Tvd = 81 270 kgf
Tvd = 65 016 kgf
Vnudo = Tvd – Vc = 74 650 kgf
Vnudo = Tvd –Vc = 59 546 kgf
Cortante en el nudo:
No hay especificación
bv =40 cm, bc=40 cm
hj =40 cm, bj=(50+40)/2=45 cm
338
Aj =40*45 = 1 800 cm2
Colocar los estribos mínimos
I Vc=86 687 kgf > Vnudo=74 650 kgf 9
especificados para columnas
Nudo tipo 2 (DES)
Nudo tipo 1 (DMI) y (DMO)
Cálculo de los estribos:
Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.4.b
Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.3.5.7
Se colocarán estribos de cuatro ramas:
Se colocarán estribos de cuatro ramas:
Ash = 4*0.71 = 2.84 cm2
Ash = 4*0.71 = 2.84 cm2
fyt = 4 200 kgf/cm2, Smáx = 10 cm
fyt = 4 200 kgf/cm2, cálculos para s = 10 cm
Recubrimiento = 4 cm
Recubrimiento = 4 cm
bc = 42 cm, hc = 32 cm
bc = 42 cm, hc = 32 cm
Ag = b * h = 40x50 = 2 000 cm2
Ag = b * h = 40x50 = 2 000 cm2
Ach = bc* hc = 32*42 = 1 344 cm2
Ach = bc* hc = 32*42 = 1 344 cm2
Ash = 2.35 cm2 > 0.76 cm2
Ash = 1.56 cm2 > 0.96 cm2
Cumple 2.84 cm2 > Ash. Se puede aumentar la separación de los estribos a 12 cm:
Se puede aumentar la separación de los estribos a 15 cm, con lo cual:
Ash = 2.81 cm2
Ash = 2.34 cm2 < 2.84 cm2 9
2.84 cm2 9
Revisión de la separación de estribos:
Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.6.4.3
Cálculos según la NSR-10, Sec.C.21.3.5.6
smáx 15 cm
smáx = 8 db = 8*1.91
smáx menor dimensión /4 =40/4 =10 cm
smáx = 16 de = 16*0.95 = 15.20 cm
smáx 6 db = 6*1.91 = 11.46 cm
smáx = menor dimensión / 3 = 40/3 = 13.3 cm
La solución E I3/8” c/12 cm, de cuatro
ramas, es satisfactoria
La solución E I3/8” c/15 cm, de cuatro
ramas, es satisfactoria
= 15.28 cm
smáx = 15 cm
Conclusión
Como solución final se obtiene colocar estribos de 3/8”, de cuatro ramas,
espaciados cada 9 cm, en ambas direcciones, para los nudos tipo 2 (DES)
y cada 14 cm para los nudos tipo 1 (DMI y DMO). Con este refuerzo se
satisfacen los requisitos de la NSR-10, Sec.C.11.4.
La dimensión de la columna, de 40 cm, es insuficiente para anclar
las barras de 7/8”, en los nudos tipo 2, y por tanto esta dimensión debe
ampliarse como mínimo a 42 cm.
339
La diferencia fundamental entre un nudo tipo 1 (DMI y DMO) y un
nudo tipo 2 (DES) es el cambio radical en el valor del cortante, debido a
la inversión de momentos que presenta el nudo tipo 2. Esta situación es
más crítica en los nudos interiores y exteriores.
6.10 Observaciones sobre la NSR-10
La NSR-10 asimila el comportamiento de los nudos de estructuras con
DMI al de los nudos tipo 1. Un nudo tipo 1 corresponde a estructuras cuyo
comportamiento es gobernado por las cargas gravitacionales. En este
tipo de estructura no se presenta inversión de momentos y se esperan
deformaciones inelásticas de poca importancia.
El comportamiento de los nudos de estructuras con DES lo asimila la
NSR-10 al de los nudos tipo 2. Un nudo tipo 2 corresponde a estructuras
cuyo comportamiento es gobernado por las cargas sísmicas. En este tipo de
estructura se presenta inversión de momentos y se esperan deformaciones
inelásticas de gran importancia.
Ə$ DMO?
Para responder esta inquietud, el autor, en su experiencia profesional
y académica, ha analizado con el espectro de diseño dado para Medellín
por la NSR-10 numerosas estructuras aporticadas y ha podido comprobar
que en ellas se presenta el caso de inversión de momentos.
Por otra parte, de acuerdo con el planteamiento formulado, se
espera que una estructura con DMO tenga un comportamiento entre
los dos extremos expuestos para DMI y DES, por lo que debe presentar
deformaciones inelásticas de importancia. El anterior planteamiento
concuerda con el elevado factor de ductilidad asumido para este tipo de
estructuras.
En conclusión, el comportamiento de los nudos de estructuras con
DMO de ductilidad no puede asimilarse al de estructuras con DMI, como
lo hace la NSR-10. Su comportamiento se asemeja más al de estructuras
con DES. Es indispensable revisar la NSR-10,
340
7. Anexo A
Teoría general de columnas
7.1 Columnas uniaxiales
7.1.1 Tipos de refuerzo
En toda columna se tienen dos tipos de refuerzo:
( ##
Está constituido por barras longitudinales, paralelas al eje de la columna.
Su función es aumentar la capacidad de carga a flexocompresión y a la
vez reducir la retracción del fraguado y el flujo plástico, mejorando el
confinamiento del hormigón.
x
x
( B Consiste en estribos, también llamados cercos o espirales, formados por
barras de pequeños diámetros, dispuestos de modo que abracen el refuerzo longitudinal y lo mantengan vertical para evitar su pandeo durante el vaciado.
Su función es confinar el hormigón y proporcionarle mayor ductilidad a la columna, en este sentido es más eficiente la espiral. Al igual
que las barras longitudinales disminuye la retracción del fraguado y el
flujo plástico. También evita el pandeo de las barras longitudinales y les
brinda confinamiento lateral.
7.1.2 Tipos de columnas
Los principales tipos de columnas de hormigón reforzado son:
x
" ; en ellas las barras longitudinales se confinan
con refuerzo transversal en estribos espaciados cada cierta distancia.
Pueden ser cuadradas, rectangulares o poligonales.
x
" # ; en ellas las barras longitudinales se confinan
con refuerzo transversal en forma de espiral. Pueden ser circulares o
cuadradas con refuerzo circular.
341
x
x
" # ; en ellas se embebe el hormigón en un perfil de
acero. Pueden contener barras longitudinales con estribos o espirales.
" ; en ellas el tubo se llena con hormigón
simple.
Figura 7.1 Tipos de columnas
Según el tipo de falla, las columnas se clasifican como:
x
" ; son aquellas en las que su capacidad de carga está controlada
por las propiedades de los materiales que la conforman y por sus
dimensiones. Su falla es por aplastamiento.
x
; son aquellas en las que la relación entre la longitud y las dimensiones laterales es muy alta, por ello, es posible una falla por
pandeo. La esbeltez de la columna hace que las solicitaciones se incrementen por la deformación propia del elemento. Su análisis se
hace mayorando las solicitaciones y con ellas se procede al diseño
como si se tratase de columnas cortas.
7.1.3 Columnas rectangulares uniaxiales, simétricas,
con refuerzo en dos caras
La condición general de carga de una columna está representada por un
momento flexionante, Mux, y por una carga axial, Pu, transmitidas por la
placa o por las vigas de piso.
342
Figura 7.2 Acciones en columnas uniaxiales y biaxiales
El sistema de cargas puede transformarse colocando la carga axial,
Pu, con una excentricidad “ey” tal que Mux = Pu * ey . En el caso de flexión uniaxial, el eje neutro permanece paralelo a una de las caras de la
columna, situación que no se presenta en flexión biaxial.
Se asumen las siguientes hipótesis:
x
Se desprecia la resistencia del hormigón a la tracción.
x
El hormigón es utilizable hasta una deformación de 0.003 (NSR-10,
Sec.C.10.2.3).
x
La deformación en el acero es igual a la del hormigón que lo rodea.
x
Las secciones planas permanecen planas.
x
En la zona elástica del acero es aplicable la Ley de Hooke.
x
El módulo de elasticidad del acero se tomará como: Es = 2 000 000
kgf/cm2 (NSR-10, Sec.C.8.5.2).
x
El módulo de elasticidad del hormigón se evaluará conforme a las
especificaciones de la NSR-10, Sec.C.8.5.1.
x
Se asume una tensión uniforme de compresión en el hormigón de
0,85 f ’c, distribuida sobre una zona limitada por los bordes de la sección transversal y por una recta paralela al eje neutro a una distancia:
a = E1 * c (NSR-10, Sec.C.10.2.7.1).
x
E1 se tomará como 0.85 para hormigones con f ’c 280 kgf/cm2. Para
resistencias superiores se reduce a razón de 0.05 por cada 70 kgf/
cm2 de exceso sobre 280 kgf /cm2 pero E1 no será inferior a 0.65
(NSR-10, Sec.C.10.2.7.3).
343
Figura 7.3 Acciones mecánicas en los elementos de hormigón reforzado
En el diseño se asume una tensión uniforme del bloque de compresiones de 0.85 f ’c en la cual f ’c representa la resistencia de laboratorio, se
toma el 85% de este valor debido a:
x
La forma y tamaño de las probetas de ensayo son diferentes a la de
las columnas, obteniéndose una resistencia mayor de la real.
x
El vaciado vertical de una columna induce segregación y exudación,
lo cual desmejora la calidad del hormigón de la columna respecto a
la de la probeta, y en la misma columna se obtiene un mejor hormigón en la parte inferior.
Despreciando el hormigón desalojado se obtiene:
Pu = Cc + Cs - Ts
(7.1)
Pu = I£\<Â_ ¹c ab + A’s f ’s - As f s ]
(7.2)
Mu = Pu * e = I£\<Â_ ¹c ab*(h/2 – a/2)+A’s f ’s*(d – d’)/2+As fs *(d – d’)/2]
(7.3)
Estas expresiones representan la capacidad de la columna para soportar carga externa, y pueden simplificarse si se emplea armadura simétrica, As = A’s. Conocidos los valores de las solicitaciones externas, Pu
y Mu, la columna puede diseñarse a partir de estas expresiones, pero el
proceso es muy laborioso pues de la expresión (7.2) hay que despejar el
término “a” en función de la cuantía de acero y reemplazar su valor en la
expresión (7.3). Para obviar la anterior dificultad, tradicionalmente, se
ha recurrido a la elaboración de tablas y gráficos que permitan un análisis
rápido y sencillo. Hoy en día, con los medios computacionales que existen, estos métodos tradicionales pierden su utilidad.
344
Los gráficos utilizados son un conjunto de diagramas que relacionan
la carga y el momento de diseño, y se pueden hacer en forma dimensional o adimensional, según como se manejen las expresiones anteriores.
Estos gráficos se denominan diagramas de interacción y representan el
lugar geométrico de las cargas Pu y Mu, que representan la capacidad de
la columna.
En el proceso de diseño se conocen previamente las dimensiones y
los materiales de la columna, pues inicialmente ha sido necesario realizar un análisis de estabilidad y de control de derivas; sólo cuando se han
satisfecho las condiciones generales de estabilidad se obtienen las acciones sobre los elementos y se procede al diseño. A continuación analizaremos cómo se pueden trazar los diagramas dimensionales para columnas
uniaxiales, simétricas, con refuerzo en dos caras.
-7 La condición de falla balanceada existe cuando el refuerzo extremo en
tracción alcanza la deformación unitaria correspondiente a fy, al mismo
tiempo que el hormigón en compresión alcanza la deformación unitaria
última supuesta de 0.003. En este caso, la distancia de la fibra extrema
del hormigón a compresión al eje neutro se denomina cb, y la capacidad
de carga y momento Pb y Mb.
Figura 7.4 Diagrama de deformaciones para la condición de falla balanceada
Del diagrama de deformaciones:
Hs = Hy
Huc = 0.003
Hy = fy /Es, f ’s= H’s * Es, Es=2 000 000 kgf/cm2
(7.4)
345
-7 6
Analizando el diagrama de deformaciones:
Figura 7.5 Diagramas de deformación para condición de falla no balanceada
Cuando c < cb, el acero localizado en la zona de tracciones presenta
una deformación unitaria Hs > Hy, (fs = fy) Ÿ El acero a tracción controla
el diseño. Por compatibilidad de deformaciones se obtiene:
Para: Es = 2 000 000 kgf/cm2:
f s = fy
(7.5)
Al reemplazar la expresión (7.5) en (7.2) y (7.3) se obtiene la capacidad de carga de la columna.
Análisis de la falla a compresión
Cuando c > cb se presenta: Hs < Hy Ÿ fs < fy , Ÿ; por compatibilidad de deformaciones se obtiene:
(7.6)
Para el acero a compresión se asume f ’s = fy y se revisa que se cumpla esta suposición una vez calculada la profundidad del eje neutro.
346
Si reemplazamos la expresión (7.6) en (7.2) y (7.5) obtenemos la
capacidad de carga de la columna.
5 6
Para trazar los diagramas se acostumbra expresar la ecuación (7.3) respecto al centro plástico de la sección. Se conoce como centro plástico al
centro de resistencia de la sección; este coincide con el centro geométrico para secciones simétricas.
Estos diagramas se trazan seleccionando previamente los siguientes
parámetros:
x
Dimensiones de la columna
x
Materiales
x
Cuantía de refuerzo
A manera de ejemplo trazaremos el diagrama de interacción para la
siguiente columna:
Figura 7.6 Diagrama de interacción
As total = U * bh = 0.015 * 30 * 40 = 18 cm2,
d’ = r + de + db / 2 = 4.00 + 0.95 + db / 2
A’s = As = 9 cm2
6 cm
d = h – d’ = 40 – 6 = 34 cm
x
-7 De (7.4):
347
De (7.2):
Pb = I£\<Â_ ¹c ab b + A’s f ’y - As f y ]
Pb Š\<’_£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\®Š_´'œ~¤ 59.17 t
De (7.3):
(d – d’)/2 = 14 cm
MbŠ\<’_£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\¯[?\'œ™?`›´¯?\\¯['`›´¯?\\¯['`®
Mb = 1 368.447 t-cm = 13.68 t-m
Con estos valores de Pb y de Mb se obtiene el punto A del gráfico.
-7 # 6$7#4
x
8
La máxima carga axial pura, sin excentricidad, (Mu = 0), que puede
soportar una columna con estribos es:
P0 = I¯£\<Â_ ¹c * (bh – As total) + As total * f y ]
P0.Š\<’_¯£\<Â_¯?'\¯[~\¯\'Â`›'¯?\\®Š'’?Â'¤
En la práctica las cargas axiales puras no existen, por ello las normas
exigen emplear una excentricidad mínima para el diseño, esta especificación se expresa indirectamente limitando la carga axial de diseño al
75% del valor obtenido para carga axial pura cuando se emplean estribos
de confinamiento: Pu máx. = 0.75 * P0 (NSR-10, Sec.C.11.3.6.2).
Pu máx. = 0.75 * I¯£\<Â_ ¹c * (bh – As total) + As total * f y ]
Pu máx.Š\<œ_¯\<’_¯£\<Â_¯?'\¯[~\¯\‹'Â`›'¯?\\® 139 711 kgf
En esta zona que controla la compresión las tensiones en los aceros
obedecen a las siguientes relaciones:
f ’s = f y = 4 200 kgf/cm2,
De la expresión (7.2) con a = E1 * c:
348
(7.2)
Reemplazando se obtiene: cmáx. = 37.74 cm, a máx = 0.85 * 37.74
= 32.08 cm.
Una vez obtenido el valor de “c” debe revisarse la tensión del acero
a compresión:
De (7.3):
Mu máx =I£\<Â_ ¹c a b*(h/2 – a/2) + A’s* fy *(d – d’)/2 + A’s* fs *(d – d’)/2 ]
Mu máxŠ\<’_£\<Â_¯?'\¯~?<\¯~\¯[?\'’<\`›´¯?\\¯'›´¯[‹_´<’`¯'®
Mu máx = 7 374.66 t-cm
Con estos valores de Pu máx y de Mu máx se obtiene el punto H. Para
trazar la gráfica hay necesidad de localizar nuevos puntos, la zona de
compresiones está definida para valores de Pu comprendidos en el rango: 139.71 t (Pu máx)
Pu
59.17 t (¨Pb); se procede ahora a asignarle
a Pu valores que estén dentro de este rango, y con las expresiones (7.2)
y (7.3) se localizan nuevos puntos. En este ejemplo se le asignan valores
a Pu de 70 t, 80 t, 90 t, 100 t, 110 t y 120 t.
x
-7 6$7#4u min
En esta zona las tensiones en los aceros obedecen a las siguientes relaciones:
fs = fy = 4 200 kgf/cm2,
f ’c 280 kgf/cm2, a = E1* c, E1 = 0.85, A’s = As = 9cm2, d=34 cm, d’=6 cm
De (7.3):
Mu = I£\<Â_ ¹c a b * (h/2 – a/2)+ A’s* f ’s * (d - d’)/2+ As* fy * (d - d’)/2]
349
El valor de I = 0.65 se puede aplicar sólo en el siguiente rango: 0.10
* f ’c * bh Pu Pb Para valores de Pu inferiores a Pu mín. = 0,10 * f ’c * bh,
f debe calcularse mediante la expresión:
(7.7)
Pu mín = 0.10 * 210 * 30 * 40 = 25 200 kgf
I = 0.65 para valores de Pu entre: 25.2 t (Pu mín) Pu 59.17 t
(Pb). Para valores de Pu < 25.2 t (Pu mín) el valor de I debe calcularse con
la expresión (7.7).
Calculamos inicialmente el valor de “c” que corresponde al valor de
Pu mín:
(7.2)
Reemplazando se obtiene:
cmin.=11.27 cm, a mmin= 0.85 * 11.31 = 9.58 cm
De (A.3):
Mu min =I£\<Â_ ¹c a b*(h/2 – a/2) +A’s* f ’s*(d - d’)/2 + As* fy * (d - d’)/2]
Mu min Š\<’_£\<Â_¯?'\¯´<_¯~\¯[?\<œ´`›´¯?Â\’<_~¯'›´¯[?\\<\`¯'®
Mu min = 1 081.00 t-cm
Con estos valores de Pu mín y de Mu min se obtiene el punto N.o 4.
Para trazar la gráfica en la zona que controlan las tracciones hay necesidad de localizar nuevos puntos, la zona de tracciones está definida
para valores de Pu inferiores a Pb = 59.17 t; se procede ahora a asignarle
a Pu valores que estén dentro de los siguientes rangos:
Para: 25.2 cm (Pu mín) Pu 59.17 t (Pb), rango en el cual I = 0.65
Para: 0 < Pu 25.2 cm (Pu mín),
0.65 y 0.90, ver expresión (7.7)
350
rango en el cual I varía entre
Para elaborar el gráfico se le asignan valores a Pu de: 0 t, 5 t, 10 t, 20 t,
30 t, 40 t y 50 t.
-7 6$7#4u H+
x
Este caso corresponde al de una viga, I = 0.90
Localización del eje neutro: C = T, 0.85 f ’c ab + A’s f ’s = As fs
Para este caso:
Reemplazando valores se obtiene: c = 6.84 cm, a = 5.83 cm y
f ’s = 736 84 kgf/cm2
Mu = I£\<Â_ ¹c ab * (d - a/2) + A’s f ’s * (d - d’)]
Mu=I£\<Â_¯?'\¯_<Â~¯~\¯[~?<´'_`›´¯œ~’<¯[~’`®¯'\-5= 10.41 t-m
Tabla 7.1 Cálculo de los puntos que definen el diagrama de interacción
c
Pu
fs
f ’s
Mu
cm
t
kgf/cm2
kgf/cm2
t-m
0.65
37.74
139.71
- 594.60
4 200
7.37
G
0.65
32.72
120.00
234.91
4 200
9.53
F
0.65
30.32
110.00
729.12
4 200
10.42
E
0.65
28.02
100.00
1 279.47
4 200
11.20
D
0.65
25.85
90.00
1 890.77
4 200
11.88
C
0.65
23.81
80.00
2 567.47
4 200
12.50
B
0.65
21.91
70.00
3 315.07
4 200
13.08
A
0.65
20.00
59.17
4 200
4 200
13.68
1
0.65
17.43
50.00
4 200
3 934.03
13.15
2
0.65
14.78
40.00
4 200
3 563.95
12.36
3
0.65
12.35
30.00
4 200
3 084.08
11.35
4
0.65
11.27
25.20
4 200
2 806.53
10.81
5
0.70
9.90
20.00
4 200
2 362.22
10.79
6
0.80
8.04
10.00
4 200
1 521.83
10.63
7
0.85
7.38
5.00
4 200
1 121.29
10.53
8
0.90
6.84
0.00
4 200
736.84
10.41
Punto
f
H
Modo de
falla
Controla la
compresión
Balanceada
Controla la
tracción
351
Figura 7.7 Diagrama de interacción dimensional para una cuantía de 0.015,
considerando f ’c = 210 kgf/cm2, fy = 4 200 kgf/cm2, d = 34 cm, d’ = 6 cm
Se ha calculado la curva correspondiente a una cuantía de 0.015,
pero puede trazarse una familia de curvas que representen diferentes
valores de la cuantía (0.01 U 0.04). Para su aplicación en los ejemplos se han desarrollado estas gráficas variando la cuantía entre los límites permitidos a un intervalo de 0.005.
Una columna cuyas dimensiones y propiedades correspondan a la
analizada, puede diseñarse fácilmente buscando el punto del diagrama
que corresponda a las solicitaciones, Pu y Mu. Obtenida la cuantía se calcula el refuerzo y se dispone simétricamente en dos caras.
352
Figura 7.8 Familia de curvas de interacción de columnas para cuantías
que varían entre 0.01, curva N.o 1, hasta 0.04, curva N.o 4
Hay necesidad de recurrir a la elaboración de un programa de computador que permita resolver rápidamente el elevado número de operaciones que conlleva el diseño de una columna. Uno de los mejores –sino
el mejor– de los programas comerciales que se encuentran en el mercado
es el PCACOL.
7.2 Columnas biaxiales
El método desarrollado en la sección anterior permite el diseño de columnas de secciones rectangulares cuando se presenta la flexión con respecto a uno de los ejes principales; esta, sin embargo, no es la situación
general en el diseño de columnas. Ellas hacen parte de un entramado
espacial y están solicitadas a flexión, respecto a sus dos ejes principales.
Las columnas sometidas a carga axial pura no existen. En estructuras
aporticadas, las vigas de piso y las columnas son fundidas monolíticamente y esta situación produce algunos momentos en los extremos restringidos de las columnas.
353
Figura 7.9 Flexión uniaxial sobre los ejes Y y X, respectivamente
Los ejes X y Y son los ejes principales de la sección. En la figura
7.9 (a) la sección se somete a flexión sobre el eje Y al aplicarse la carga
axial sobre el eje X, con una excentricidad ex, tal que Muy = Puz * ex. El
diagrama de interacción de este caso corresponde a la curva ilustrada
como caso (a) de la figura 7.9, la cual muestra el diagrama de interacción
biaxial. Esta curva es calculada de acuerdo con el procedimiento descrito
en la sección anterior.
De manera análoga, en la figura 7.9, se ilustra como caso (b) la curva
que corresponde al diagrama de interacción para la flexión sobre el eje X,
al tener la carga axial una excentricidad ey, Mux = Puz * ey.
El caso (c), ilustrado en la figura 7.10, corresponde al caso de flexión biaxial en el cual la carga axial Puz se aplica en un plano que forma
un ángulo a con el eje X.
D = arc tg (ex / ey) = arc tg (Muy / Mux)
(7.8)
En este caso la flexión se presenta con respecto al eje neutro que forma
un ángulo E con respecto al eje X. El ángulo a define un plano en la figura
7.9 que pasa por el eje Pu y forma un ángulo D con el eje X.
Para construir el diagrama tridimensional de interacción hay necesidad de asignarle valores a la profundidad “c” del eje neutro y al ángulo
E de su inclinación, esto hace que su construcción sea mucho más difícil, desde el punto de vista operativo, que el caso correspondiente a
columnas uniaxiales; su principal dificultad obedece a que el eje neutro
no va a ser perpendicular a la excentricidad, la zona de compresión es de
forma triangular o trapezoidal, y las deformaciones de cada barra serán
diferentes.
354
Figura 7.10 Flexión biaxial, diagrama tridimensional de interacción
Para obviar las dificultades operativas de una solución exacta se utilizan métodos aproximados, mucho más simples. Entre estos métodos se
pueden mencionar:
x
Método de la carga de contorno o de la superficie de falla.
x
Método de la carga inversa, desarrollado por Bresler.
Para el análisis y diseño de las columnas biaxiales se selecciona, en
este texto, el método de la ecuación de la superficie de falla presentado
en el I del ACI, de marzo y abril de 1988. Este método
se basa en el análisis uniaxial de columnas, tema ampliamente discutido
en las secciones anteriores; es sencillo de aplicar y proporciona una solución muy cercana a la exacta, con un error de precisión aceptable dentro
del campo de la seguridad.
7.2.1 Método de la superficie de falla
La ecuación que representa la superficie de falla del diagrama de interacción para columnas de hormigón reforzado con estribos, sujetas a
flexión biaxial combinada con carga axial, es la siguiente:
(7.9)
355
Figura 7.11 Método de la superficie de falla para el análisis biaxial de columnas
En donde:
Pu =carga axial mayorada, positiva para compresión y negativa para
tracción.
Mux = momento flector mayorado sobre el eje X.
Muy = momento flector mayorado sobre el eje Y.
Po = máxima carga axial teórica que puede soportar la columna,
positiva para compresión y negativa para tracción.
Pb = carga axial mayorada para condiciones balanceadas.
Mbx = momento mayorado en condiciones balanceadas sobre el eje X.
Mby = momento mayorado en condiciones balanceadas sobre el eje Y.
356
Figura 7.12 Diagrama de inteacción de columnas biaxiales en la zona
de cargas axiales de tracción
Cálculo de Po:
Para falla a compresión:
Po = 0.85 I *f ’c * (Ag – Ast) + I * Ast * fy
Para falla a tracción: Po = – I * Ast * fy
I = 0.65
I = 0.90
(7.10)
(7.11)
Ag = b*h
Ast = área total del refuerzo
Cálculo de Pb: se calcula tal como se explicó en la sección anterior:
se asume que el acero colocado en la capa externa a tracción alcanza su
deformación de cedencia (Hy = 0.0021), al mismo tiempo que el hormigón alcanza en su fibra extrema a compresión la máxima deformación
permitida (Huc = 0.003).
x
4 >
Deben definirse previamente las dimensiones de la sección y los
materiales a utilizar.
Mediante un análisis estructural se determinan los valores de diseño Pu, Mux y Muy.
357
Se asume una cuantía de refuerzo entre los límites del 1% al 4%, se
selecciona el refuerzo y se procede a evaluar la carga para las condiciones
de falla balanceada.
Para una sección cuadrada con refuerzo simétrico, la carga balanceada es la misma para la flexión sobre el eje X y para la flexión sobre el eje Y.
Cuando la sección es rectangular, la carga balanceada evaluada para
la flexión sobre el eje X, Pbx, es diferente al valor de la carga balanceada
evaluada para la flexión sobre el eje Y, Pby, en este caso debe hacerse una
interpolación para evaluar el valor de la carga balanceada sobre el plano
de flexión, D.
Figura 7.13 Plano del diagrama de interacción en el caso de columnas biaxiales
D = arc tg (Muy / Mux)
Pb = Pbx‹‰b
x
Cálculo de Mbx
Se analiza la flexión sobre el eje X sin tener en cuenta la flexión sobre
el eje Y; con el valor de Pbx determinado mediante la ecuación (7.3) se
calcula el valor de Mbx.
x
Cálculo de Mby
Se analiza la flexión sobre el eje Y sin tener en cuenta la flexión sobre
el eje X; con el valor de Pby determinado mediante la ecuación (7.3) se
calcula el valor de Mby.
358
Pu = Cc + Cs – Ts
(7.12)
(7.13)
Para mayor precisión en la expresión (7.6) debe adicionarse el término que considera el hormigón desalojado por el acero.
x
Controles al proceso de diseño
Cuando controla la compresión: debe comprobarse que la carga axial no
sobrepase el valor máximo permitido por la NSR-10; si este valor se sobrepasa la sección es insuficiente.
Pu máx = 0.80 I£\<Â_ȹc * (bh – As total) + As total * ƒy]
(7.14)
Cuando controla la tracción: debe comprobarse que la carga axial no
sea inferior al valor mínimo dado por la NSR-10 (0.10 * f ’c* bh); de ser
así, puede calcularse el valor del factor de sub resistencia I, interpolando
linealmente entre 0.90 y 0.65.
(7.15)
7.3 Ejercicios
Ejercicio 1
Se desea diseñar la columna cuya sección transversal se indica en la siguiente figura. El acero de refuerzo se colocará en dos capas paralelas a
la base “b”, que estarán localizadas a 6 cm de los bordes de la sección.
Es = 2 000 000 kgf/cm2.
359
Debe calcularse el valor de la carga axial, para las condiciones balanceadas, con el fin de determinar si el diseño es controlado por la tracción
o por la compresión.
I=0.65
E1=0.85 para f ’c 280 kgf/cm2 d=h – d’=40 – 6=34 cm
Se supone que f ’s = fy , y al final se revisa si se cumple o no:
Pu>PbÖcontrola la compresión, I=0.65,
Solución:
100 000 / 0.65 =0.85 *210 *(0.85 *c *30 – A’s)+ A’s * 4 200 - As*6 000 *(34 – c) / c
A’s = As = As total / 2
360
La ecuación de momentos referida al centro plástico es:
De donde:
Igualando las dos expresiones de As total:
c = 28.26 cm,
As total = 18.00 cm2,
U = As total / bh = 0.015
fs = 1 219 kgf / cm2
Revision de f ’s:
Ö el acero a compresión entra en cedencia tal como se supuso.
361
Solución empleando el programa del texto:
U = 0.0015, As = 18 cm2:
Solución utilizando el programa de la PCACOL:
U = 0.015, As = 18 cm2:
362
Ejercicio 2
Se desea resolver el ejercicio anterior para las siguientes solicitaciones:
Pu = 30.00 t, Mu = 20.20 t-m.
Debe analizarse si para esta condición de carga el diseño es controlado por la tracción o por la compresión. En el ejercicio anterior
se ha deducido el valor de la carga axial en condiciones balanceadas.
Pb = 59.17 t.
Pu < Pb controla la tracción y debe determinarse el valor que se debe
tomar para el factor de sub resistencia, I:
Pu mín = 0.10 f ’c Ag = 25 200 kgf
Pu > Pu mín
Ÿ
I = 0.65
Solución empleando el programa del texto:
U = 0.035, As = 42.00 cm2:
363
Solución con el programa PCACOL: U = 0.035, As = 42 cm2:
Ejercicio 3
Se desea calcular la pareja de valores Pu y Mu que corresponden a la condición de Pmín, Pb, y Pmáx. La sección está reforzada con 16 barras de 1’’
dispuestas simétricamente en sus cuatro caras. Es = 2 000 000 kgf/cm2.
fy = 4 200 kgf/cm2 y f ’c = 280 kgf/cm2.
x
B6 6 $4
Para evaluar el valor de la
carga balanceada se numeran las
capas de acero. En estas condiciones el acero de la capa externa alcanza su deformación de
fluencia (Hs5 = fy /Es = 0.0021)
al mismo tiempo que el hormigón alcanza en su fibra extrema
a compresión una deformación
de Huc = 0.003.
Utilizando la proporcionalidad de las deformaciones se
calcula la profundidad del eje
neutro cb.
364
Deben determinarse las deformaciones del refuerzo interior para
obtener, a partir de ellas, sus tensiones de trabajo.
fs5= 4,200 kgf/cm2, As1=As5=25.50 cm2, As2=As3=As4=10.20 cm2
La solución “exacta” se obtiene considerando el concreto desalojado por el acero localizado en la zona de compresiones (capas 1, 2 y 3 de
refuerzo).
Pb = I£\<Â_ ¹c ab + A’s1 f ’s1 + A’s2 f ’s2 + A’s3 f ’s3 - {A’s1 + A’s2 + A’s3}
* 0.85 f ’c – As4 fs4 – As5 fs5]
Para I = 0.65
Ÿ Pb = 196.86 t
365
Tomando momentos respecto al centro plástico:
Mb = I£\<Â_ ¹c ab (h/2 – a/2) + A’s1 f ’s1 (h/2 – 7.50) + A’s2 f ’s2 (h/2
– 17.5) + A’s3 f ’s3 (h/2 – 27.50) – A’s1 * 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) –
A’s2 * 0.85 f ’c (h/2 – 17.50) – A’s3 * 0.85 f ’c (h/2 – 27.50) + As4
fs4 (h/2 – 17.50) + As5 fs5 (h/2 – 7.50)]
Mb = I£\<Â_¯?Â\¯?~<œ_¯__¯[?œ<_\?~<œ_™?`›_¯_<'¯
200 * 20 + 2 * 5.1 * 2 242.08 * 10+ 2 * 5.1 * 94.72 * (0)– 5
* 5.1 * 0.85 * 280 * 20 – 2 * 5.1 * 0.85 * 280 * 10 – 2 * 5.1 *
0.85 * 280 * (0) + 2 * 5.1 * 2 052.68 * 10 + 5 * 5.1 * 4 200
* 20]
Mb = 61.32 t-m
Evaluación de la condición de Pu = Pu máx.
Pu máx = I Pu = 0.75 * I¯£\<Â_¯f ’c * (Ag – As total) + fy As total]
Pu máxŠ\<œ_¯\<’_¯£\<Â_¯?Â\¯[__¯__'’¯_<'\`›?\\¯'’¯_<'®
Pu máx = 508.58 t
Domina la compresión; el acero localizado en la capa externa fluye,
f ’s1 = fy = 4 200 kgf/cm2. Si se considera el hormigón desalojado, para los
materiales empleados se cumple que a = E1*c = 0.85*c.
Se asume que el eje neutro se localiza entre la tercera y cuarta capa
de refuerzo (27.5 cm cb 37.5 cm).
_\Â_Â\Š\<’_¯£\<Â_¯ ¹c*ab - (A’s1 + A’s2 + A’s3) * 0.85 f ’c
+ A’s1 fy + A’s2 f ’s2 + A’s3 f ’s3 – As4 fs4 – As5 fs5]
782 430 = 11 126.50 *c - 10 924.20 + 5*5.1*4 200 + 2*5.1*6 000
* (c – 17.50) / c + 2*5.1*6 000 * (c-27.5) / c - 2*5.1*6 000 * (37.5
– c) / c - 5*5.1*6 000 * (47.5 – c) / c
11 126.50 * c2 – 349 654.97 * c –12 316 500.00 = 0 Ÿ c = 52.51 cm
El eje neutro no está localizado en la sección estimada. Todo el
refuerzo está trabajando a compresión, para un cálculo exacto hay que
366
replantear la ecuación de equilibrio considerando que todas las cinco
capas de refuerzo desalojan concreto a compresión.
_\Â_Â\Š\<’_¯£\<Â_¯ ¹c*ab – (A’s1+A’s2 + A’s3 + A’s4 + A’s5) * 0.85 f ’c
+ A’s1 fy + A’s2 f ’s2 + A’s3 f ’s3 + A’s4 f ’s4 + A’s5 f ’s5]
11 126.50 * c2 – 358 151.57 * c –12 562 830.00 = 0 Ÿc=53.35 cm
Ÿa = 45.35 cm
f ’s1 = 4 200 kgf/cm2,
f ’s2 = 4 031.87 kgf/cm2,
f ’s3 = 2 907.22 kgf/cm2,
f ’s4 = 1 782.57 kgf/cm2,
f ’s5 = 657.92 kgf/cm2
Momento respecto al centro plástico:
Mu = I£\<Â_ ¹c ab (h/2 – a/2) + A’s1 f ’s1 (h/2 – 7.50) + A’s2 f ’s2
(h/2 – 17.5) + A’s3 f ’s3 (h/2 – 27.50) – A’s4 f ’s4 (h/2 – 17.50) –
A’s5 f ’s5 (h/2 – 7.50) - A’s1 * 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) – A’s2 * 0.85
f ’c (h/2 – 17.50) – A’s3 * 0.85 f ’c (h/2 – 27.50) + As4 * 0.85 f ’c
(h/2 – 17.50) + As5 * 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) ]
Mu = I £\<Â_¯?Â\¯_<~_'¯__¯[?œ<_ ‹ _<~_ ™ ?` › _¯_<'¯ ?\\
*(20) + 2*5.1*4 031.87*(10) + 2*5.1*2 907.22*(0)– 2
*5.1 *1 782.57*(10) – 5*5.1*657.92*(20) – 5*5.1*0.85
*280 *(20) –2*5.1* 0.85*280*(10) – 2*5.1*0.85*280
*(0) + 2*5.1*0.85*280*(10) + 5*5.1*0.85*280*(20)]
Mu = 31.85 t-m,
e = Mu / Pu = 6.26 cm
Evaluación de la condición Pu = Pmín.
I es igual a 0.65 para valores de Pu superiores o iguales a Pu mín = 0.10
*f ’c*bh = 0.10*280*55*55 = 84 700 kgf. En este caso Pu min < Pb controla la tracción, la capa N.o 5 del refuerzo fluye, fs5 = 4 200 kgf/cm2.
Luego de varias aproximaciones se deduce que el eje neutro se localiza entre la segunda y tercera capa de refuerzo (17.5 cm cb 27.5 cm)
y que el refuerzo de las capas cuarta y quinta esta en fluencia.
367
Âœ\\Š\<’_¯£\<Â_¯ ¹c*ab – (A’s1 + A’s2) * 0.85 f ’c + A’s1 f ’s1
+ A’s2 f ’s2 + A’s3 f ’s3 – As4 fs4 – As5 fs5]
134 461.54 = 11 126.50 * c – 8 496.60 + 5*5.1*6 000 * (c - 7.5) /
c + 2*5.1*6 000* (c – 17.50) / c + 2*5.1*6 000 *(c – 27.5) /
c – 2*5.1*4 200 – 5*5.1 * 4 200
11 126.50 * c2 – 13 344.29 * c – 3 901 500.00 = 0 Ÿ c = 19.36 cm,
a = 16.43 cm
f ’s1 = 3 672 kgf/cm2,
f ’s2 = 568 kgf/cm2,
f ’s3 = - 2 536 kgf/cm2 (tracción), fs4 = 4 200 kgf/cm2,
fs5 = 4 200 kgf/cm2
Mu = I£\<Â_ ¹c ab (h/2 – a/2) + A’s1 f ’s1 (h/2 – 7.50) + A’s2 f ’s2 (h/2
– 17.5) + A’s3 f ’s3 (27.5 – h/2) + A’s4 fy (37.5 – h/2) + A’s5 fy
(47.5 – h/2) - A’s1 * 0.85 f ’c (h/2 – 7.50) – A’s2 * 0.85 f ’c (h/2 –
17.50)]
Mu = I£\<Â_¯?Â\¯'’<~¯__¯[?œ<_'’<~™?`›_¯_<'¯~
672 *(20) + 2 * 5.1 * 568 * (10) + 2 * 5.1 * 2 536 * (0) + 2
* 5.1 * 4 200 * (10) +5 * 5.1 * 4 200 * (20) – 5 * 5.1 * 0.85
* 280 * (20) – 2 * 5.1 * 0.85 * 280 *(10)]
Mu = 55.27 t-m
Evaluación de la condición Pu = 0.
Luego de varias aproximaciones se deduce que el eje neutro se localiza entre la primera y segunda capa de refuerzo (7.5 cm cb 17.5 cm)
y que el refuerzo de la tercera, cuarta y quinta capa están en fluencia.
0.85*f ’c*ab – A’s1 * 0.85 f ’c + A’s1 f ’s1 = As2 f ’s2 + As3 f ’s3 –
As4 fs4 – As5 fs5
368
11 126.50 * c – 6.049 0 + 5*5.1*6 000 * (c – 7.5) / c = 2*5.1*
6 000* (17.5 - c) / c + 2*4 200 + 2*5.1*4 200 + 5*5.1 * 4 200
11 126.50 * c2 + 15 531.00 * c – 2 218 500.00= 0 Ÿ c=13.44 cm,
a = 11.424 cm
f ’s1 = 2 651.79 kgf/cm2,
fs2 = 1 812.50 kgf/cm2,
fs3 = fs4 = fs5= 4 200 kgf/cm2
Se toma momento en la capa cinco del refuerzo:
Mu = I£\<Â_ ¹c ab(47.5 – a/2) + A’s1 f ’s1 (40) - As2 fs2 (30) + As3 fy
(20) + As4 fy (10) - A’s1 * 0.85 f ’c (40)]
Mu = I £ \<Â_¯?Â\¯''<?¯__¯[œ<_ ''<?™?` › _¯_<'¯? ’_'<œ´
*(40) - 2*5.1*1 812.50*(30) + 2*5.1*4 200*(20) + 2*5.1*
4 200*(10) – 2*5.1* 0.85*280*(40) ]
I = 0.90,
Mu = 6.18 t-m
Solución con el programa de la PCACOL:
369
Ejercicio 4
Se desea diseñar la columna del Ejercicio 1 aplicando el método de
la superficie de falla. El acero de refuerzo se dispone en dos filas paralelas a “b” que estarán ubicadas a 6.0 cm del borde de la sección.
Es = 2 000 000 kgf/cm2.
d’ = 6.00 cm
d = h – d’ = 40.00 – 6.00 = 34.00 cm
Análisis de la profundidad del eje neutro para la condición
balanceada.
Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene:
cb = 20 cm, H’s = 0.0021
En consecuencia:
a = E1 cb = 0.85 * 20 = 17 cm
f ’s = H’s * Es = 4 200 kgf/cm2
370
La solución por el método de la superficie de falla es un proceso
iterativo en el cual hay que suponer el refuerzo y buscar la cantidad que
satisface la ecuación del método con precisión aceptable.
Para iniciar se asume una cuantía del 2.00% .
As total = 0.020 * 30 * 40 = 24 cm2,
As = A’s = 12.00 cm2
Pu máx=0.80 * I¯£\<Â_ ¹c*(bh–As total)+As total*fy] = 161,572.32 kgf
> 100 000 kgf
Pu > Pbx Ÿ controla la compresión
Para este caso, el momento Muy = 0 Ÿ no hay necesidad de calcular
el Mby.
Cálculo del momento Mbx respecto al centro plástico.
Pu = I£\<Â_¯ ¹c * ab + A’s f ’s – As fs ]
Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + As * fs
* (h/2 - d’)]
Mbx Š\<’_¯£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\¯[?\Â<_`›'?¯?\\¯'›'?¯
4 200*14]
Mbx = 1 597 766.63 kgf-cm
Cálculo de Po:
Po = I¯£\<Â_ ¹c * (bh – As total) + As total * fy] = 201 965.54 kgf
Aplicación de la ecuación de la superficie de falla:
371
La solución no es satisfactoria, tiene un error del 14.8%; para aumentar el valor de la expresión anterior debe disminuirse el denominador, lo cual se logra reduciendo la cantidad de acero. Se selecciona ahora
una cuantía del 1.5%.
Se reduce la cuantía al 1.5% buscando que la expresión de la superficie de falla se aproxime a la unidad con precisión aceptable.
As total = 0.015*30*40 = 18.00 cm2
As = A’s = 9.00 cm2
Pu máx=0.80 I¯£\<Â_f ’c * (bh – As total) + As total* fy] = 149 025.24 kgf
> 100 000 kgf
Cálculo del momento Mbx respecto al centro plástico.
Pu = I£\<Â_¯ ¹c * ab + A’s f ’s - As fs ]
Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + As * fs *
(h/2 - d’)]
MbxŠ\<’_¯£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\¯[?\Â<_`›´¯?\\¯'›´¯
4 200*14]
Mbx = 1 368 446.63 kgf-cm
Po = I¯£\<Â_ ¹c * (bh – As total) + As total * fy] = 186 281.55 kgf
372
El error con respecto a la solución exacta del Ejercicio 1 es mínimo,
la solución es correcta. As total = 18 cm2.
Ejercicio 5
Se desea diseñar la columna del Ejercicio 2 aplicando el método de la
superficie de falla. El acero de refuerzo se dispone en dos filas paralelas
a “b” que estarán ubicadas a 6.0 cm del borde de la sección. Es = 2 000
000 kgf /cm2.
d’ = 6.00 cm
d = h – d’ = 40.00 – 6.00 = 34.00 cm
Análisis de la profundidad del eje neutro para la condición
balanceada
Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene:
cb = 20 cm, H’s = 0.0021
En consecuencia:
a = E1 cb = 0.85 * 20 = 17 cm
f ’s = H’s * Es = 4.200 kgf/cm2
373
La solución por el método de la superficie de falla es un proceso
iterativo en el cual hay que suponer el refuerzo y buscar la cantidad que
satisface la ecuación del método con precisión aceptable.
Para iniciar se asume una cuantía del 3.00%.
As total = 0.030 * 30 * 40 = 36 cm2,
As = A’s = 18.00 cm2
Pu máx=0.80 * I¯£\<Â_ ¹c*(bh – As total) As total * fy] = 186 666.48 kgf
> 30 000 kgf
Pu < Pbx Ÿ controla la tracción
Cálculo del momento Mbx respecto al centro plástico.
Pu = I£\<Â_¯ ¹c * ab + A’s f ’s - As fs ]
Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + As * fs *
(h/2 - d’)]
MbxŠ\<’_¯£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\¯[?\Â<_`›'¯?\\¯'›'¯
4 200*14]
Mbx = 2 056 406.63 kgf-cm
Para este caso, el momento Muy = 0 Ÿ no hay necesidad de calcular
el Mby.
Cálculo de Po:
Po = – I * As total * fy = - 98 280.00 kgf
Aplicación de la ecuación de la superficie de falla:
374
La solución no es satisfactoria, tiene un error del 15.9%, para reducir
el valor de la expresión anterior debe aumentarse el valor del denominador, lo cual se logra aumentando la cantidad de acero.
Se aumenta la cuantía al 3.5% buscando que la expresión de la superficie de falla se aproxime a la unidad con precisión aceptable.
As total = 0.035*30*40 = 42.00 cm2
As = A’s = 21.00 cm2
Pu máx=0.80 *I¯£\<Â_f ’c * (bh – As total)+As total*fy] = 199 213.56 kgf
> 30 000 kgf
Cálculo del momento Mbx respecto al centro plástico.
Pu = I£\<Â_¯ ¹c * ab + A’s f ’s - As fs ]
Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + As * fs *
(h/2 - d’)]
Mbx Š\<’_¯£\<Â_¯?'\¯'œ¯~\¯[?\Â<_`›?'¯?\\¯'›?'¯
4 200*14]
Mbx = 2 285 726.63 kgf-cm
Pu < Pbx Ÿ controla la tracción
Po = – I* As total * fy = -114 660.00 kgf
El error con respecto a la solución exacta del Ejercicio 2 es mínimo,
la solución es correcta. As total = 42 cm2.
375
Ejercicio 6
Se desea revisar si el diseño de una columna corta con estribos, cuya
sección y propiedades se indican, es apropiada para las solicitaciones indicadas, la columna ha sido reforzada con 8 barras N.o 8 (As = 40.80 cm2).
El análisis se hará por el método de la superficie de falla.
Pu máx=0.80* I£\<Â_¯ ¹c * (bh – As total)+As total* fy ]=430 585.79 kgf
> 230 000 kgf
Análisis de la flexión sobre el eje X, para condiciones balanceadas
(b = 70 cm, h = 40 cm)
Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene:
cb = 20 cm, H’s = 0.0021, H’s1 = 0.0000
En consecuencia:
a = E1 cb = 0.85 * 20 = 17 cm
f ’s = e’s * Es = 4 200 kgf/cm2
f ’s1 = e’s1 * Es = 0.00 kgf/cm2
376
Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 – a/2) + A’s* f ’s * (h/2 – d’) + A’s1*
f ’s1 * (h/2 - d1’) + As* fs * (h/2 - d’)]
MbxŠ\<’_¯£\<Â_¯?Â\¯'œ¯œ\¯[?\Â<_`›'_<~¯?\\¯'
+ 10.2 * 0.00 * 0.00 + 15.3 * 4 200 * 14]
Mbx = 3 286 601.50 kgf-cm
Análisis de la flexión sobre el eje Y, para condiciones balanceadas
(b = 40 cm, h = 70 cm)
Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene:
cb = 37.647 cm, H’s = 0.00252, H’s1 = 0.000211
En consecuencia:
a =E1 cb=0.85 * 37.647=32.00 cm
f ’s = H’s * Es = 4 200 kgf/cm2
fs1 = Hs1 * Es =
421.87 kgf/cm2
Mby = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + As1 fs1 *
(h/2 - d1) + As * fs * (h/2 - d’)]
Mby Š\<’_¯£\<Â_¯?Â\¯~?¯\¯[~_'’`›'_<~¯?\\¯?´
+ 10.2 * 421.87 * 0.00 + 15.3 * 4 200 * 29]
Mby = 6 184 906.00 kgf-cm
377
Cálculo de Pb por interpolación
Hay necesidad de interpolar por ser Pbx z Pby
D = arc tg (Muy /Mux) = 5.33°
Pb = 184 917.55 kgf
Pu > Pnb Ÿ controla la compresión
Cálculo de Po:
Po = I¯£\<Â_ ¹c * (bh – As total) + As total * fy] = 538 232.24 kgf
Aplicación de la ecuación de la superficie de falla:
Solución satisfactoria.
En la siguiente figura se puede ver el resultado obtenido utilizando
el programa de la PCACOL, para el cual se obtuvo una cuantía de diseño de
1.46%, que corresponde a un área del refuerzo de 40.80 cm2, valor exacto
al obtenido por el método de la superficie de falla.
378
Ejercicio 7
Se desea revisar si el diseño de una columna corta con estribos, cuya sección y propiedades se muestran, es apropiada para las solicitaciones indicadas, la columna ha sido reforzada con 8 barras N.o 7 (As = 30.96 cm2).
El análisis se hará por el método de la superficie de falla.
Pu máx=0.80 *I£\<Â_¯ ¹c*(bh – As total)+As total * fy ] = 286 553.03 kgf
> 70 00 kgf
Análisis de la flexión sobre el eje X para condiciones balanceadas,
(b = 60 cm, h = 30 cm)
379
Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene:
cb = 14.12 cm, H’s = 0.001725, Hs1 = 0.000188
En consecuencia:
a = E1 cb = 0.85 * 14.11 = 12.00 cm
f ’s = H’s * Es = 3 445.00 kgf/cm2
fs1 = Hs1 * Es =
375.00 kgf/cm2
Mbx = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s * f ’s * (h/2 - d’) + As1 *
fs1 * (d1- h/2) + As * fs * (h/2 - d’)]
Mbx Š\<’_¯£\<Â_¯?Â\¯'?¯’\¯['_’`›''<’'¯~_¯´›œ<œ
* 0375.00 * 0.00 + 11.61*4 200*9]
Mbx = 1 521 692.93 kgf-cm
Análisis de la flexión sobre el eje Y, para condiciones balanceadas
(b = 30 cm, h = 60 cm)
Por proporcionalidad de deformaciones se obtiene:
cb=31.765 cm, H’s=0.002433, H’s1=0.000167
En consecuencia:
a = E1 cb = 0.85 * 31.764 = 27.00 cm
f ’s = H’s * Es = 4 200 kgf/cm2
f ’s1 = H’s1 * Es =333.33 kgf/cm2
380
Mby = I£\<Â_ ¹c* a * b * (h/2 - a/2) + A’s f ’s * (h/2 - d’) + A’s1 f ’s1
* (h/2 - d’1) + As * fs * (h/2 - d’)]
Mby Š\<’_¯£\<Â_¯?Â\¯?œ¯~\¯[~\'~<_`›''<’'¯?\\
* 24 + 7.74 * 333.33 * 0.00 + 11.61 * 4 200 * 24]
Mby = 3 588 939.90 kgf-cm
Cálculo de Pb por interpolación
Hay necesidad de interpolar por ser Pbx z Pby
D = arc tg (Muy /Mux) = 30.256°
Pb = 111 593.79 kgf
Pu < Pb Ÿ controla la tracción
Cálculo de Po
Po = – I *As total * fy = – 84 520.80 kgf
Aplicación de la ecuación de la superficie de falla
Solución satisfactoria.
381
En la siguiente figura se puede ver el resultado obtenido utilizando
el programa de la PCACOL, para el cual se obtuvo una cuantía de diseño de
1.72%, que corresponde a un área del refuerzo de 30.86 cm2, valor exacto
al obtenido por el método de la superficie de falla.
382
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