UNIVERSIDAD NACIONAL ( /) DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA < En la presente edición, como en las anteriores, se ha m antenido el propósito de las Directivas de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Colombia y del autor, de presentar un texto que fa c ilite el trabajo de los estudiantes y profesores en la form ación de profesionales de la Ingeniería Civil con un manejo apropiado de los fundamentos del diseño de elementos estructurales de concreto reforzado. Esta séptima edición está de acuerdo con el Reglamento C olom biano de C o n stru cció n Sism o Resistente NSR-10 basado en la Ley 400 de 1997(Modificada Ley 1229 de 2008) y los Decretos 926 del 19 de marzo de 2010 y el Decreto 092 del 11 de Enero de 2011 y se ha tenido en cuenta nuevas m etodologías de utilización en el diseño del concreto estructural y su refuerzo en barras de ESTRUCTURAS DE CONCRETO I JORGE IGNACIO SEGURA FRANCO Séptima Edición De acuerdo con el Reglamento Colombiano de Diseño y Construcción Sismo-Resistente NSR-10 N A CION A L ESTRUCTURAS DE CONCRETO I J O R G E IG N A C IO S E G U R A F R A N C O P ro fe so r A so c ia d o U n iv e rsid a d N a c io n a l d e C olom bia U N IV E R S ID A D NACIONAL D E C O L O M B IA FA C U LT A D D E I N G E N I E R IA Estructuras de C oncreto I Presentación 7 a. E d ició n . B o g o tá, 2 0 1 1 -0 3 -3 0 © J o rg e Ig n a c io S eg u ra F ran co © U n iv e rsid a d N a cio n al de C o lo m b ia F a c u lta d d e In g e n ie ría © A y a la A v ila & C ia F tda. IS B N 9 7 8 -9 5 8 -9 9 8 8 8 -0 -0 G rá fica s: Ing. C am ilo C o n trera s R ojas. D ia g ra m a c ió n y A rte s F in a le s : A y a la A v ila & C ia. D e re c h o s E d ito ria le s R e se rv a d o s E n el m arc o d e la c e le b ra c ió n de lo s c ien to c in c u e n ta añ o s, es u n in m en so h o n o r p a ra el D e p a rta m e n to de In g e n ie ría C iv il y A g ríc o la de la F a c u lta d de In g e n ie ría de la U n iv e rsid a d N a c io n a l d e C o lo m b ia, p re se n ta r la s é p tim a ed ic ió n d el lib ro E stru c tu ra s d e C o n cre to I d el p ro fe s o r E m é rito J o rg e Ig n a c io S eg u ra F ran co . E l a u to r p re te n d e co n este lib ro tra s m itir y d e ja r u n le g a d o d e c o n o c im ie n to a g e n e ra c io n e s fu tu ra s, q u ie n e s te n d rá n q u e d e se m p e ñ a rse en el m a ra v illo so c a m p o d e la s e s tru c tu ra s d e co n c reto . L a e x p e rie n c ia d o cen te, in v e stig a tiv a y p ro fe sio n a l d el in g e n ie ro S e g u ra es la m e jo r c a rta d e p re se n ta c ió n d e esta n u e v a e d ic ió n d el lib ro . E l au to r se h a d e sta c a d o co m o d o c e n te d e la U n iv e rsid a d N a c io n a l d e C o lo m b ia d e sd e el a ñ o 1967 y h a sid o g a n a d o r de la M e n c ió n de H o n o r d el p re m io D ió d o ro S án ch e z. A s í m ism o , h a sid o co a u to r d e las N o rm a s d e D iseñ o y C o n stru c c ió n S ism o R e siste n te en C o lo m b ia. E l le c to r e n c o n tra rá q u e en el co n te n id o d el lib ro se a n a liz a n co n d e ta lle lo s c o n c e p to s re la c io n a d o s co n el d iseñ o e stru c tu ra l p a ra lo s m a te ria le s en c o n c re to y re fu e rz o c o n ac ero . E l tex to h a sid o a c tu a liz a d o c o n las d is p o s ic io n e s e sta b le c id a s en el R e g lam en to C o lo m b ia n o d e C o n stru c c ió n S ism o R e siste n te N S R -1 0 e in c o rp o ra el u so d e n u e v a s te c n o lo g ía s y m é to d o s m o d e rn o s de a n á lisis. E sta o b ra es fru to de a ñ o s d e trab ajo , p e rse v e ra n c ia y re p re s e n ta u n a h e rra m ie n ta v a lio s a de tra b a jo a la c o m u n id a d a c a d é m ic a y a lo s e sp e c ia lista s q u e tra b a ja n en el área. E n n o m b re d el D e p a rta m e n to de In g e n ie ría C iv il y A g ríc o la q u ie ro e x p resar u n m ere cid o re c o n o c im ie n to y a g ra d e c im ie n to al p ro fe so r S eg u ra p o r su p e rm a n e n te in iciativ a, c o n sta n c ia y d e d ic a c ió n co n m iras a im p u lsa r y d e s a rro lla r la in fra e s tru c tu ra en u n p aís co m o el n u estro , q u e d e m a n d a de su s p ro fe s io n a le s u n alto n iv el técn ic o . C aro l A n d re a M u rillo F eo D ire c to r d e D e p a rta m e n to d e In g e n ie ría C iv il y A g ríc o la A v. N Q S (C arrera 30) N o 4 5 -0 3 E d ific io 453 O fic in a 201 T el 57 (1) 3 1 6 5 0 0 0 E xt. 14020 Estructuras de C oncreto I A mi esposa, Maruja Franco y a mis hijas Ana María y María Lucia. IV V E structuras de C oncreto I CONTENIDO IN T R O D U C C I O N ........................................... X III C A P IT U L O 1 M a te ria le s C o n cre to , R efu e rzo y C o n c re to R e fo rz a d o ...................................... 3 C a ra c te rístic a s de lo s m a te ria le s ............................................................ 4 D im e n sio n e s n o m in a le s de las b a rra s de re fu erz o ...........................11 C A P IT U L O 2 F le x ió n M é to d o de lo s E sfu e rz o s A d m isib le s o M éto d o E lástico G e n e ra lid a d e s .................................................................................................15 V ig a s re c ta n g u la re s c o n a rm a d u ra a la tra c c ió n ...............................18 M é to d o de la S e c c ió n T ra n s fo rm a d a u H o m o g é n e a p ara v ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n ................................35 v ig a s ‘T ’ c o n a rm a d u ra a la tra c c ió n (rev isió n m ed ian te S e c c ió n T ra n sfo rm a d a ) .............................................................................. 40 V ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n y a la co m p re sió n ......................................................................................................48 A p lic a c ió n d el M é to d o d e la S e c c ió n T ra n sfo rm a d a p ara v ig a s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n y a la c o m p re sió n .......................52 C o n c lu sio n e s M é to d o E lástico ................................................................57 vil Estructuras de C oncreto I C A P IT U L O 4 L o n g itu d de D e sa rro llo y E m p a lm e s de R efu e rzo M éto d o d e la R e siste n c ia U ltim a G e n e ra lid a d e s .............................................................................................. E sta d o s lím ites ............................................................................................ 58 59 V ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n ............................ F a c to re s de se g u rid a d ............................................................................... C o e fic ie n te de c a rg a y c o m b in a c io n e s d e c a rg a ............................ C o e fic ie n te d e re d u c c ió n d e re s iste n c ia ........................................... R efu e rzo m ín im o d e e le m e n to s en flex ió n ...................................... V ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n y a la co m p re sió n ................................................................................................... 60 72 72 75 77 85 R e d u c c ió n d e d e fle x io n e s a larg o p la z o ........................................... 96 V ig a s co n se c c ió n ‘T ’ - C a ra c te rístic a s y d ise ñ o co n a rm a d u ra a la tra c c ió n ................................................................................ 1 0 2 D e fle x io n e s y co n tro l de d e fle x io n e s .................................................. 116 C A P IT U L O 3 C o rta n te y T o rsió n _________________________________ G e n e ra lid a d e s ................................................................................................173 D e sa rro llo d el re fu e rz o a fle x ió n ...........................................................173 D e sa rro llo d el re fu e rz o p ara m o m e n to p o sitiv o ............................ 174 D e sa rro llo d el re fu e rz o p a ra m o m e n to n e g a tiv o ........................... 175 E m p a lm e s de re fu e rz o ............................................................................... 176 G a n ch o e stá n d a r ...........................................................................................178 D e sa rro llo de b a rra s c o rru g a d a s y a la m b re c o rru g ad o a tra c c ió n .........................................................................................................185 D e sa rro llo d e b a rra s c o rru g a d a s y a la m b re c o rru g ad o a tra c c ió n (C aso g en eral) .......................................................................... 190 D e sa rro llo d e b a rra s c o rru g a d a s a c o m p re sió n ............................... 203 G a n c h o s e s tá n d a r a tra c c ió n ....................................................................205 D e sa rro llo d e las b arras c o rru g a d a s co n c a b e z a y a n c la d a s m e c á n ic a m e n te en tra c c ió n .......................................................................... 2 1 1 D e sa rro llo d e m a lla e le c tro s o ld a d a d e a la m b re c o rru g a d o ....... 215 P ro b le m a re su e lto ....................................................................................... 216 E sfu e rz o C o rtan te G e n e ra lid a d e s .............................................................................................. 1 3 3 C A P IT U L O 5 S iste m a s de L o sa s A rm a d a s en U n a D ire c c ió n __________________________ R e siste n c ia a la fu e rz a c o rta n te p ro p o rc io n a d a por el co n c re to .................................................................................................... 1 3 5 R e siste n c ia a la fu e rz a c o rta n te p ro p o rc io n a d a p o r el re fu erz o ..................................................................................................... 135 L ím ite s d e esp a c ia m ie n to p a ra el re fu e rz o a c o rta n te .................137 R e fu e rz o m ín im o d e c o rta n te ................................................................138 E strib o s p e rp e n d ic u la re s ..........................................................................139 R efu e rzo lo n g itu d in a l d o b la d o ............................................................. 141 G e n e ra lid a d e s ............................................................................................... 225 L o sas m a c iz a s ............................................................................................... 225 E sc a le ra s ......................................................................................................... 233 L o sas n e rv a d a s ............................................................................................. 237 C A P IT U L O 6 C o lu m n a s T o rsió n G e n e ra lid a d e s .............................................................................................. 158 P ro b le m a re su e lto .......................................................................................161 VIII G e n e ra lid a d e s _____________ ............................................................................................... 267 IX Estructuras de C oncreto I D im e n sio n a m ie n to ...................................................................................... 268 R efu e rzo lo n g itu d in a l ................................................................................ 269 R efu e rzo tra n sv e rsa l .................................................................................... 272 C o lu m n a s c o n c a rg a a x ial ........................................................................ 281 C o lu m n a s co n c a rg a a x ial y m o m e n to ................................................286 P ro b le m a s re su e lto s ....................................................................................292 E fe c to s de e sb e lte z en e le m e n to s a c o m p re sió n ............................. 309 D iseñ o de c o lu m n as. P ro b le m a re su e lto ............................................ 314 E jem p lo . D ise ñ o de u n a lo sa m a c iz a ................................................384 E jem p lo . D ise ñ o de u n a lo sa a lig e ra d a ............................................403 C A P IT U L O 8 C im e n ta c io n e s G e n e ra lid a d e s C A P IT U L O 7 ............................................................................................... 425 C im e n ta c io n e s su p e rfic ia le s o d ire c ta s ...............................................425 S iste m a s d e L o sa s en D o s D ire c c io n e s C im e n ta c ió n p a ra m u ro s G e n e ra lid a d e s ................................................................................................3 3 3 S iste m a s de lo sas en d o s d ire c c io n e s a p o y a d a s o so p o rta d a s s o b re m u ro s o v ig a s ríg id a s ..............................................336 M é to d o s de lo s c o e fic ie n te s (N S R -10) ...............................................336 E jem p lo . D iseñ o d e u n a lo sa m a c iz a ................................................338 E jem p lo . D ise ñ o de u n a lo sa a lig e ra d a ............................................350 M é to d o s p lá stic o s de an á lisis y d ise ñ o ............................................... 3 5 7 M é to d o d e las lín e a s d e flu e n c ia ........................................................ 3 5 7 E jem p lo . D ise ñ o d e u n a lo sa m a c iz a ................................................359 E jem p lo . D ise ñ o de u n a lo sa a lig e ra d a ............................................363 ...........................................................................428 C im e n ta c ió n a isla d a p a ra c o lu m n a s .....................................................433 Z a p a ta s a isla d a s c u a d ra d a s p a ra c o lu m n a s c u a d ra d a s ..................433 Z ap a tas a isla d a s re c ta n g u la re s p a ra c o lu m n a s c u a d ra d a s ........... 443 Z a p a ta s a isla d a s re c ta n g u la re s p a ra c o lu m n a s re c ta n g u la re s .... 449 Z a p a ta s c o n c a rg a ax ial y m o m e n to d e flex ió n ............................... 455 C im e n ta c ió n c o m b in a d a p a ra d o s c o lu m n a s .................................... 461 C im ien to c o m b in a d o p a ra d o s c o lu m n a s c o n sec ció n en fo rm a d e “T ” in v e rtid a ........................................................................ 470 C im e n ta c ió n co n v ig a d e c o n tra p e so ...................................................482 C im e n ta c io n e s de p ro fu n d id a d .............................................................. 495 C im e n ta c ió n s o b re p ilo te s ........................................................................495 C im e n ta c ió n so b re c a jo n e s ...................................................................... 507 S iste m a s d e lo sas en d o s d ire c c io n e s a p o y a d a s o so p o rta d a s en c o lu m n a s ............................................................................ 368 M é to d o D ire cto d e d ise ñ o .........................................................................370 E jem p lo . L o sa m aciz a .............................................................................370 E jem p lo . L o sa a lig e ra d a ........................................................................ 3 7 7 C A P IT U L O 9 M u ro s de C o n te n c ió n G e n e ra lid a d e s M éto d o d el P ó rtico E q u iv a le n te X ................................................................................................517 ............................................................382 XI E structuras de C oncreto I ______________________________ M u ro s en v o la d iz o .......................................................................................518 E jem p lo . D ise ñ o de un m u ro en v o la d iz o .......................................522 C A P IT U L O 10 E d ific io s en e stru c tu ra de c o n c re to re fo rz a d o ____________________ G e n e ra lid a d e s ........................................................................... P ro c e d im ie n to d e d iseñ o 539 ...........................................................................539 A P E N D IC E S _____________________________________________________________ T a b la s p a ra d ise ñ o a la fle x ió n d e v ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n p o r el m éto d o e lá stic o .................................. 5 5 5 T a b la s para d ise ñ o a la fle x ió n d e v ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a la tra c c ió n p o r el m é to d o de la re siste n c ia ú ltim a .. 571 In d ic e A lfa b é tic o ......................................................................................... 581 R E F E R E N C I A S ........................................................................................................... 589 XII INTRODUCCIÓN E n la p re se n te ed ició n , co m o en las an terio res, se h a m an te n id o el p ro p ó sito d e la D ire c tiv a s de la F a c u lta d d e In g e n ie ría d e la U n iv e rsid a d N a c io n a l de C o lo m b ia y del au to r, de p re s e n ta r un tex to q u e fa cilite el tra b a jo d e los e stu d ia n te s y p ro fe so re s en la fo rm a c ió n d e p ro fe sio n a le s de la In g e n ie ría C iv il c o n u n m a n e jo a p ro p ia d o d e lo s fu n d a m e n to s d el d ise ñ o d e e le m e n to s e s tru c tu ra le s de c o n c re to re fo rz a d o . E sta sé p tim a e d ic ió n está d e a c u e rd o co n el R e g la m e n to C o lo m b ia n o d e C o n stru c c ió n S ism o R e siste n te N S R -1 0 b asa d o e n la L ey 400 de 1997 (M o d ifica d a L ey 1229 de 2008) y los D e c re to s 926 d el 19 d e m arz o d e 2 0 1 0 y el D e c re to 092 d el 17 d e E n e ro de 2 0 1 1 y e n ella se h a ten id o en c u e n ta n u ev a s m eto d o lo g ía s d e u tiliz a c ió n en el d ise ñ o d el co n c re to e stru c tu ra l y su re fu e rz o en b a rra s d e acero. A lg u n o s d e lo s p rin c ip a le s c a m b io s y a c tu a liz a c io n e s p re se n te s en los d e sa rro llo s te ó ric o s y lo s m o d e lo s d e a p lic a c ió n del p re sen te tex to se re fie re n d esd e el d e ta lla d o d el re fu e rz o y la p ro tec ció n que le s u m in is tra el c o n c re to h a sta la u tiliz a c ió n del m o d elo p u n ta l-te n s o r en u n d iseñ o de una cim e n ta c ió n s o b re p ilo te s, p asa n d o p o r las c o n sid e ra c io n e s d e an á lisis y d ise ñ o d el lo s e le m e n to s e stru c tu ra le s de c o n c re to re fo rza d o , lo s re q u isito s p a ra la in te g rid a d e stru c tu ra l, la u tiliz a c ió n d e la s ca rg a s p re sc rita s en los T ítu lo s A y B d el R eg lam en to , el m ó d u lo de e la sticid ad , lo s re q u is ito s de re siste n c ia y fu n c io n a m ie n to d e re c ie n te a c tu a liz a c ió n , las s u p o s ic io n e s de d ise ñ o y su a d e c u a c ió n a las e s p e c ific a c io n e s d e se c c io n e s c o n tro la d a s p or tra c c ió n d e sp la z a n d o la lim ita c ió n de c u a n tía d e R e g la m e n to s an terio res, la a c tu a liz a c ió n de las ta b la s d e d ise ñ o a la flex ió n p o r lo s m éto d o s e lá stic o y d e la re siste n c ia , la d istrib u c ió n del re fu erz o en flex ió n en v ig a s y lo sas en u n a d irec ció n , las d im e n sio n e s d e d iseñ o , lo s lím ites del re fu e rz o y los e fe c to s d e e sb e lte z en e le m e n to s so m e tid o s a flex ió n y c a rg a ax ial, el tra ta m ie n to de la re siste n c ia al c o rta n te y el d iseñ o d e lo s re fu erz o s c o rre sp o n d ie n te s, las lo n g itu d e s de d esa rro llo y em p a lm e s d e re fu e rz o co n ta b u la c io n e s a c tu a liz a d a s in clu y e n d o la s q u e c o rre sp o n d e n a las d e n o m in a d a s b a rra s de re fu erz o co n cab eza, las m e to d o lo g ía s d e d ise ñ o de a c u e rd o al u so e n el p aís p a ra el d iseñ o de lo sas en u n a y d o s d ire c c io n e s, la a c tu a liz a c ió n en el d ise ñ o de las fu n d a c io n e s so b re za p atas, p ilo te s y c a jo n e s XIII Capítulo 1 M ateriales E structuras de C oncreto I d e c im e n ta c ió n , lo re la c io n a d o co n lo s m u ro s d e c o n te n c ió n y lo s re q u isito s a c tu a le s p a ra el d ise ñ o d e e stru c tu ra s sism o re siste n te s, en tre otros. A l té rm in o d e lo s tra b a jo s re la c io n a d o s c o n e sta ed ició n , e x p re so m is a g ra d e c im ie n to s a las D ire c tiv a s de la F a c u lta d de In g e n ie ría d e la U n iv e rsid a d N a c io n a l de C o lo m b ia, a su D e c a n o el In g e n ie ro D ieg o F e rn a n d o H e rn á n d e z L o sa d a p o r su p e rm a n e n te a p o y o y e stím u lo , al C o n se jo D ire c tiv o y a la In g e n ie ra C aro l A n d re a M u rillo F eo , D ire c to ra del D e p a rta m e n to de In g e n ie ría C iv il y A g ríc o la , q u ie n a su v e z tu v o a bien h a c e r la p re se n ta c ió n del tex to co n g e n e ro sa s p a la b ra s q u e h o n ra n al autor. Ig u a lm e n te e x p reso m i a g ra d e c im ie n to al In g e n ie ro C a rlo s E n riq u e V e le z A y a la , q u ien d irig ió el e q u ip o d e e d ic ió n en la tra n sc rip c ió n d el m an u sc rito al tex to fin al y su co rre c c ió n y al In g e n ie ro C a m ilo C o n tre ra s R o jas p o r su c o la b o ra c ió n en la re v isió n y a c tu a liz a c ió n de las tab la s q u e a c o m p a ñ a n el tex to , a m b o s ex alu m n o s d e m is c u rso s y d e e x c e le n te d ese m p e ñ o a c a d é m ic o y p ro fe sio n a l y u n e sp e c ia l a g ra d e c im ie n to al s e ñ o r G a b riel A y a la B la n c o p o r su p a c ie n te y m u y m e tó d ic a la b o r en la p a rte ed ito rial. T a m b ié n , co m o en las e d ic io n e s an te rio re s, h a g o u n p ú b lic o re c o n o c im ie n to a lo s co leg a s, alu m n o s y e x -a lu m n o s y a la c o m u n id a d d e in g e n ie ro s p ro c e d e n te s d e to d o s los rin c o n e s d el p aís, c u y a s s u g e re n c ia s re c ib id a s so b re la e d ic io n e s a n te rio re s y las a n u n c ia d a s en la s p re se n ta c io n e s e fe c tu a d a s c o n m o tiv o d e la a c tu a liz a c ió n d el T ítu lo C - C o n cre to E stru c tu ra l - d el R e g la m e n to c o lo m b ia n o , fu e ro n e s p e c ia lm e n te ú tile s para lle v a r a fe liz té rm in o el p re se n te trab ajo . J o rg e Ig n a c io S e g u ra F ran co XIV Capítulo 1 MATERIALES Capítulo 1 M ateriales Estructuras de C oncreto I CONCRETO, REFUERZO Y CONCRETO REFORZADO D E F IN IC IO N E S C o n cr eto M ateria l e stru c tu ra l q u e se fo rm a p o r m e d io de la m e z c la h o m o g é n e a d e los a g re g a d o s in e rte s fin o s o a re n a , a g re g a d o s g ru e so s o g ra v a, u n lig a n te q u e es el ce m e n to h id rá u lic o y ag u a , c o n o sin ad itiv o s. C o n cr eto liv ia n o C o n c re to co n a g re g a d o fin o y g ru e so d e p e so liv ia n o y q u e c u m p le c o n lo e sp e c ific a d o en N T C 4 0 4 5 (A S T M C 3 3 0 ). A cero d e r e fu e r z o p a ra el co n cr eto A c e ro en b a rra s c o rru g a d a s q u e c u m p le n co n la n o rm a N T C 2 2 8 9 (A S T M A 7 0 6 M ), b a rra s d e a c ero in o x id a b le fa b ric a d a s b a jo la n o rm a A S T M A 9 5 5 M sie m p re y c u a n d o q u e c u m p la n co n la n o rm a N T C 2 2 8 9 (A S T M A 7 0 6 M ), re fu e rz o en b a rra s lisas d e a c u e rd o a la n o rm a N T C 161 (A S T M A 6 1 5 M ) p e rm itid o só lo p a ra estrib o s, re fu e rz o de re tra c c ió n y te m p e ra tu ra o re fu e rz o en esp ira l y c u a n d o c o n fo rm a m a lla s ele c tro so ld a d a s, a la m b re de re fu e rz o e le c tro so ld a d o liso q u e d eb e c u m p lir la n o rm a N T C 1925 (A S T M A 1 8 5 M ), a la m b re d e re fu e rz o e le c tro so ld a d o c o rru g a d o d e a c u e rd o a la n o rm a N T C 2 3 1 0 (A S T M A 4 9 7 M ). E l a c ero de re fu e rz o se c o lo c a en el c o n c re to p a ra a b s o rb e r e sfu e rz o s d e trac ció n , de c o m p re sió n de c o rta n te y d e to rsió n . P a ra c o rta n te ta m b ié n se p u e d e n u tiliz a r lo s p e rn o s co n c a b e z a y d e b e n c u m p lir la n o rm a A S T M A 1 0 4 4 M y las fib ra s d e a c ero d e fo rm a d a s d isp e rsa s y d e b e n c u m p lir N T C 5 2 1 4 (A S T M A 8 2 0 M ). C o n c r e to r e fo rz a d o C o n c re to al cu a l se le h a a d ic io n a d o u n re fu e rz o d e a c ero en b a rra s , m a lla s ele c tro so ld a d a s, p e rn o s co n c a b e z a y fib ras de a c ero d e fo rm a d a s d isp ersa s p a ra a b s o rb e r los e sfu e rz o s q u e el co n c re to p o r su p ro p ia c o n d ic ió n n o lo 3 Estructuras de C oncreto I C apitulo 1 M ateriales p u e d e h a c e r, p e ro e n te n d ié n d o se q u e el tra b a jo d e los dos m a te ria le s es de c o n ju n to , es d ec ir, a p a rtir d e la c o m p a tib ilid a d d e d e fo rm a c io n e s d e los dos m ateria le s. >o « fe C A R A C T E R IS T IC A S D E L O S M A T E R IA L E S & 0°) C o l-l o oG o o o tí <u E n u n c ia m o s las p rin c ip a le s c a ra c te rístic a s d e u so in m e d ia to en el d ise ñ o de e le m e n to s e stru c tu ra le s d e co n c re to re fo rza d o : CONCRETO: -R e s iste n c ia e sp e c ific a d a d el c o n c r e to a la c o m p r e s ió n :(r c ): D e fin e la c a lid a d d el m a te ria l y c o rre sp o n d e a la re sis te n c ia a la c o m p re sió n e n M P a q u e se u tiliz a en el d ise ñ o d e los e le m e n to s e stru c tu ra le s y se d e te rm in a co m o el p ro m e d io d e las re siste n c ia s d e al m e n o s d o s p ro b e ta s d e 150 p o r 3 0 0 m m o d e al m e n o s tre s p ro b e ta s d e 100 p o r 2 0 0 m m , p re p a ra d a s d e la m ism a m u e stra d e c o n c re to y e n sa y a d a s a 28 d ías o a la ed a d de en say o e sta b le c id a . S eg ú n el R e g la m e n to C o lo m b ia n o N S R -1 0 , p a ra el c o n c re to e stru c tu ra l f'c n o d e b e se r in fe rio r a 17 M P A . E n la fig u ra 1.1, p re se n ta m o s c u rv a s típ ic a s e s fu e rz o -d e fo rm a c ió n u n ita ria a la c o m p re sió n p a ra c o n c re to s de f e - 3 5 .2 M P a (3 5 2 k g f/c m 2 o 5 0 0 0 p si), 28.1 M P a (281 k g f/c m 2 o 4 0 0 0 p si) y 21.1 M P a (211 k g f/c m 2 o 3 0 0 0 psi); se llam a la a te n c ió n d el le c to r so b re la p a rte in icial d e las m ism a s a p ro x im a d a s a u n as re c ta s en las q u e se p u e d e c o n c lu ir la p ro p o rc io n a lid a d e n tre las d e fo rm a c io n e s y los e sfu e rz o s q u e las p ro d u c e n . P o r e sta razó n , e sta p rim e ra p a rte ta m b ié n se d e n o m in a p o rc ió n e lá s tic a d e la curva. D e fo rm a c ió n u n i t a r i a F ig u r a l .l -R e siste n c ia a la tra cció n : S u v a lo r es p o c o d e te rm in a d o y d e p e n d e del tip o d e e n sa y o co n el cu al se tra b a ja y d el tip o de a g re g a d o s u tiliz a d o s. E n cu a n to a los tip o s d e en sa y o s, e x iste n e n sa y o s d e te n sió n d irec ta, d e te n sió n in d ire c ta y ta m b ié n se p u e d e d e te rm in a r en té rm in o s d el m ó d u lo d e ro tu ra fr. L a re siste n c ia a la tra c c ió n es de e sp e c ia l im p o rta n c ia en la re s is te n c ia d el c o n c re to al c o rta n te , to rsió n y o tras accio n es. -C o e fic ie n te de d ila ta c ió n té rm ica : L o s e fe c to s d e los c a m b io s de te m p e ra tu ra (e x p a n s ió n y c o n tra c c ió n ) en el v o lu m e n d el c o n c re to so n m u y sim ilares a lo s d el a c ero d e re fu e rz o y se p u e d e n to m a r a p ro x im a d a m e n te co m o : a = 0.00001 p o r u n g ra d o ce n tíg ra d o P o r ta n to , p a ra el c á lc u lo d e las d e fo rm a c io n e s p o r c a m b io s d e te m p e ra tu ra p u e d e c o n s id e ra rs e a p ro x im a d a m e n te 0 . 0 1 m m p o r m e tro y p o r g rad o ce n tíg rad o . -P eso : v a ria b le seg ú n las p ro p o rc io n e s d e la m e z c la y la c a lid a d d e los ag re g a d o s. D e a c u e rd o al R e g la m e n to N S R -1 0 (S e c c ió n B .3 .2 ) se p u e d e n to m a r lo s sig u ie n te s v alo res: 4 5 E structuras de C oncreto I Capítulo 1 M ateriales C o n c re to sim p le : 23 k N /m 3 C o n c re to re fo rz a d o : 2 4 k N /m 3 -R e tr a c c ió n d e fr a g u a d o : d ism in u c ió n d e v o lu m e n d el c o n c re to p o r la a c c ió n del p ro c e so d e fra g u a d o y la p é rd id a d e a g u a o sec ad o . A m e d id a q u e el c o n c re to se seca, se re tra e en v o lu m en . Ig u a lm e n te si el c o n c re to se c o se s u m e rg e en el ag u a , se ex p a n d e y e sto s p ro c e s o s p u e d e n c a u sa r ag rie ta m ie n to s q u e es n e c e sa rio c o n tro la r. P o r lo ta n to , este p ro c e s o d ep e n d e en alg u n a fo rm a d el g ra d o d e a b s o rb e n c ia d e los a g re g a d o s y su c o rre sp o n d ie n te control. -F lu e n c ia len ta : D e fo rm a c ió n ad ic io n a l a la e lá stic a a d q u irid a p o r el c o n c re to so m etid o a c a rg a p e rm a n e n te y d e la cu a l n o se re cu p era. -M o d u lo d e ela stic id a d o F lu jo P lá stic o (C r eep ): C o rre sp o n d e a l a re la c ió n en tre el e sfu erzo y la d e fo rm a c ió n u n ita ria q u e este p ro d u c e y es la p e n d ie n te del tra m o re c to in icial d e la c u rv a e s fu e rz o -d e fo rm a c ió n u n ita ria y a u m e n ta co n la re s iste n c ia d el c o n c re to . S e g ú n el R e g la m e n to N S R -1 0 (A rtíc u lo C .8 .5 .1 ), el m ó d u lo d e e la stic id a d , Ec, p a ra el c o n c re to p u e d e to m a rse co m o w c ~ * 0 . 0 4 3 ^ (en M P a ) p a ra v a lo re s d e w c c o m p re n d id o s e n tre 1440 y 2 5 6 0 kg/m~. P a ra c o n c re to s d e d e n sid a d n o rm al, Ee p u e d e to m a rse co m o 4 7 0 0 ^ A m o d o d e g u ía, a c o n tin u a c ió n se p re se n ta n lo s re su lta d o s de u n a serie de in v e stig a c io n e s e x p e rim e n ta le s n a c io n a le s re alizad a s en la U n iv e rsid a d Ja v e ria n a de B o g o tá p o r m ed io d e las cu ales se lo g raro n co rrelac io n e s e stad ísticas del m o d u lo d e e la stic id a d del c o n c re to Ec. E n estas in v e stig a c io n e s se a p lic o el sesg o n e c e sa rio p a ra te n e r en cu e n ta q u e en las e c u a c io n e s p a ra o b te n e r el m ó d u lo se in tro d u ce el v a lo r n o m in al d e fe de a c u e rd o co n las re siste n c ia d e d ise ñ o y el co n c reto en la estru c tu ra en re a lid a d te n d rá u n a re s is te n c ia m ay o r. El sesg o se o b tu v o de la m ism a p o b la c ió n u s a d a p a ra c a lc u la r el m o d u lo d e e la stic id a d del co n c reto u tiliza n d o la e sta d ís tic a de la d ife re n c ia en tre la re siste n c ia n o m in al y real del co n c re to en sa y ad o . E l tra b a jo in v estig ativ o de a p lic a c ió n del sesg o lo re alizó u n a e stu d ia n te d e p o stg ra d o d e la U n iv e rsid a d de los A n d e s de B o gotá. E n caso d e q u e n o se d isp o n g a d e este v a lo r e x p e rim e n ta l, p ara co n creto s cu y a m asa u n ita ria v a rié e n tre 1440 y 2 4 6 0 k g /m 3, p u e d e to m a rse co m o : P a ra a g re g a d o g ru e so d e o rig e n ígneo: Ec= w c ''5 tra z a d a d esd e u n e sfu erzo n u lo h a sta u n e sfu e rz o d e c o m p re sió n d e 0 . 4 5 f e . E l m o d u lo d e e la stic id a d d el c o n c re to es s e n sib le al m o d u lo d e e la s tic id a d d el a g re g a d o y p u e d e d ife rir d el v a lo r e sp e c ific a d o . L o s v a lo re s m ed id o s v aría n típ ic a m e n te d e 120 a 80 p o r c ie n to d el v a lo r e sp e c ific a d o . L a N o rm a N T C 4 0 2 5 (A S T M C 4 6 9 c 8 8) se d e sc rib e n m é to d o s p a ra la d e te rm in a c ió n del m o d u lo d e e la s tic id a d del co n c reto . A llí se in d ica, ad e m á s co m o m e d ir el M ó d u lo d e P o isso n . E n c a so d e q u e n o se d isp o n g a d e u n v a lo r e x p e rim e n ta l el m ó d u lo de P o isso n p u e d e to m a rse co m o 0.20. 6 en M P a P a ra a g re g a d o g ru e so d e o rig e n m etam ó rfico : Ec = w P o r c o n s id e ra rlo d e im p o rta n c ia p a ra el lecto r, tra n s c rib im o s el artíc u lo C R 8 .5 .1 d el R e g la m e n to N S R -1 0 . “L o s e stu d io s q u e c o n d u je ro n a la e x p re sió n q u e tra d ic io n a lm e n te h a c o n te n id o p a ra el m o d u lo d e e la s tic id a d del c o n c re to el R e g la m e n to A C I 318 en C .8 .5 .1 . se re su m e n en la R e fe re n c ia C .8 .7 en d o n d e E c se d e fin e co m o la p e n d ie n te d e la sec an te * 0.047 c15 * 0 .0 4 1 7 ÍT en M P a P ara a g re g a d o g ru e so d e o rig e n sed im en tario : Ec= w , 15 * 0 .0 3 1 ^ en M P a El v a lo r m e d io p a ra to d a la in fo rm a c ió n e x p e rim e n ta l n a c io n a l, sin d is tin g u ir p o r tip o de a g re g a d o , es : Ec = w c 15 * 0 .0 3 4 ^ en M P a C u a n d o n o se d isp o n g a d el v a lo r d e la m a sa u n ita ria del co n c reto , p u e d e u tiliza rse: 7 Capítulo 1 M ateriales Estructuras de C oncreto I P ara a g reg ad o g ru e so d e o rig e n ígneo: en M P a Ec= 5 5 0 0 ^ P a ra a g reg ad o g ru e so d e o rig en m e ta m ó rfíc o : E c = 4700 J f J en M Pa P a ra a g re g a d o g ru e so d e o rig e n sed im en tario : E c = 3600 V C en M P a E l v a lo r m ed io p a ra to d a la in fo rm a c ió n e x p e rim e n ta l n a c io n a l, sin d is tin g u ir p o r tip o d e a g re g a d o , es: Ec = 3 9 0 0 F ig u ra 1.2 en M P a” ACERO DE REFUERZO PARA EL CONCRETO: -R e siste n c ia n o m in a l a la flu e n c ia (p u n to d e flu e n c ia ) d el a ce ro de r e fu erz o (fy): D e fin e la ca lid a d d el m a te ria l y c o rre sp o n d e a la re siste n c ia a lo s e sfu e rz o s d e tra c c ió n y c o m p re s ió n en M P a en el lím ite o p u n to de flu e n c ia fy y q u e se u tiliz a en el d ise ñ o d e los e le m e n to s e stru c tu ra le s. E n la fig u ra 1 . 2 se p re se n ta n c u rv a s típ ic a s tra c c ió n -d e fo rm a c ió n p a ra ac e ro s -R e siste n c ia a la F a tig a : P ara e le m e n to s e stru c tu ra le s d e co n c re to re fo rz a d o so m e tid o s a u n a im p o rta n te re p e tic ió n de cic lo s d e e sfu e rz o s se p re s e n ta el fe n ó m e n o d e la fa tig a . L a fa tig a de m e ta le s se m a n ifie s ta en fisu ra s m ic ro sc ó p ic a s, u su a lm e n te en los p u n to s de c o n c e n tra c ió n de e sfu e rz o s o en zo n a s d e d isc o n tin u id a d e s y p u e d e p ro d u c ir fa lla sú b ita o frágil. CO NCRETO REFO RZADO : d e fy = 2 4 0 M P a (2 4 0 0 k g f/c m 2 o 3 4 0 0 0 p si), 3 5 0 M P a (3 5 0 0 k g f/c m 2 o 5 0 0 0 0 p si) y 4 2 0 M P a (4 2 0 0 k g f/c m 2 o 6 0 0 0 0 p s i) q u e c o rre sp o n d e n a u n a c la s ific a c ió n m u y g e n e ra l d e ac ero s d e b a ja , m e d ia n a y alta re sisten c ia, re sp e c tiv a m e n te . A c o n tin u a c ió n se en u n c ia n a q u e lla s c a ra c te rístic a s de lo s m a te ria le s que co n v ie rte n la c o m b in a c ió n c o n c re to y a c ero d e re fu e rz o en u n efic ie n te m a te ria l estru c tu ral: Se d e sta c a q u e e sto s e sfu e rz o s d e tra c c ió n y d e c o m p re sió n en el lím ite e x p re sa d o so n g e n e ra lm e n te iguales. L a n o ta b le re s is te n c ia a la c o m p re sió n del c o n c re to y a la tra c c ió n del a c ero h a c e n p o sib le c o m b in a rlo s d e n tro de la se c c ió n e stru c tu ra l en fo rm a tal q u e los d o s m a te ria le s se u tiliz a n d e u n a m a n e ra ó p tim a. -M ó d u lo d e ela sticid a d : C o rre sp o n d e a la re la c ió n e n tre el e sfu e rz o de tra c c ió n o d e c o m p re sió n y la d e fo rm a c ió n u n ita ria q u e este p ro d u c e. S eg ú n el R e g la m e n to N S R -1 0 , el m ó d u lo d e e la stic id a d , Es, p a ra el a c ero de re fu e rz o n o p re e sfo rz a d o p u e d e to m a rse com o: Es = 200000 M Pa L a re la tiv a s im ilitu d d e los c o e fic ie n te s de d ila ta c ió n té rm ic a d e am b o s m a te ria le s p e rm ite su c o m b in a c ió n p a ra se r so m e tid a a d e fo rm a c io n e s p o r c a m b io s d e te m p e ra tu ra n o rm a le s p a ra estru c tu ras. E l c o n c re to a c tú a co m o p ro te c to r d el a c ero c u y a re s is te n c ia a la c o rro sió n es m u y b aja. 9 E structuras de C oncreto I C apítulo 1 M ateriales L a b aja c o n d u c tiv id a d té rm ic a d el c o n c re to re s u lta útil p ro te g ie n d o al a c e ro en el caso d e e stru c tu ra s e x p u e sta s tra n s ito ria o p e rm a n e n te m e n te al fuego. T abla 1.2 D im en sion es n om in ales de las barras de refu erzo, con d iám etros basados en m ilím etros. D IM E N S IO N E S N O M IN A L E S D e s ig n a c ió n C o m o c o m p le m e n to d e lo a n te rio rm e n te e x p u e sto , a co n tin u a c ió n se p re s e n ta n a lg u n o s ejem p lo s d e c a lid a d e s d e c o n c re to co n su s ca rac te rístic as y u n lista d o re su m e n d e las d im e n s io n e s n o m in a le s y los p e so s d e las b arras de a c ero d e re fu e rz o , tal co m o fig u ra n en el R e g la m e n to N S R -1 0 . Tabla 1.1 C alidades del concreto según su resistencia especificada a la com presión, esfuerzo m áxim o adm isible de com presión por flexión, m ódulo de elasticidad según el Reglam ento NSR-10 y la relación de los m ódulos de elasticidad acero/concreto: E s fu e rz o m á x im o R e s is te n c ia e s p e c ific a d a a la c o m p r e s ió n f ' a d m is ib le de c o m p re s ió n p o r fle x ió n : fc= 0 .4 5 f ' M Pa M ó d u lo de e la s tic id a d Ec = 4 7 0 0 / ^ M M Pa 14.1 2000 6.3 17.6 21.1 2 4 .6 28.1 2500 3000 3500 4000 17600 19700 21600 3 1 .6 3 5 .2 4500 5000 15.8 10 A re a s e c c ió n mm2 P e rím e tro mm M asa 6M 6.0 2 8 .3 18.85 0 .2 2 2 8M 8.0 50.3 2 5 .1 4 0 .3 9 4 10M 10.0 78.5 3 1 .4 2 0 .6 1 6 12M 12.0 113.1 3 7 .7 0 0 .8 8 7 16M 16.0 201.1 5 0 .2 7 1.577 18M 18.0 2 5 4 .5 5 6 .5 5 1.996 20M 2 0 .0 3 1 4 .2 6 2 .8 3 2 .4 6 5 2 .9 8 2 k g /m 22M 2 2 .0 380.1 6 9 .1 2 25M 2 5 .0 4 9 0 .9 7 8 .5 4 3.851 32M 3 2 .0 8 0 4 .2 100.53 6 .3 0 9 45M 4 5 .0 1 5 9 0 .4 1 4 1 .3 7 1 2 .4 7 7 55M 5 5 .0 2 3 7 5 .8 172.79 1 8 .6 3 8 n= e x p e rim e n ta c ió n n a c io n a l M pa 12.6 14.2 D iá m e tro mm V a lo r m e d io s e g ú n p .s.i. 7.9 9.5 11.1 Pa d e la b a rra No 23300 24900 26400 27800 Tabla 1.3 D im ensiones nom inales de las barras de refuerzo, con diám etros basados en octavos de pulgada. 11.4 10.2 9.3 8.6 8 .0 7.6 7.2 D e s ig n a c ió n d e la b a rra D iá m e tro de re f e re n c ia en No p u lg a d a s D IM E N S IO N E S N O M IN A L E S D iá m e tro mm A re a s e c c ió n mm P e rím e tro mm M asa k g /m 2 1/4 6.4 32 2 0 .0 0 .2 5 0 3 3 /8 9.5 71 3 0 .0 0 .5 6 0 4 1/2 12.7 129 4 0 .0 0 .9 9 4 5 5/8 15.9 199 5 0 .0 1.552 6 3 /4 19.1 284 6 0 .0 2 .2 3 5 7 7/8 2 2 .2 387 7 0 .0 3 .0 4 2 8 1 2 5 .4 510 80 .0 3 .9 7 3 645 9 0 .0 5 .0 6 0 6 .4 0 4 9 1-1/8 2 8 .7 10 1-1/4 32 .3 819 101.3 11 1-3/8 35 .8 1006 112.5 7 .9 0 7 14 1-3/4 4 3 .0 1452 135.1 11 .3 8 0 18 2 -1 /4 57.3 2581 180.1 2 0 .2 4 0 11 Capítulo 2 Flexión Estructuras de C oncreto I T abla 1.4 A lam bre de refuerzo estándar de la ASTM . Tamaño MW y MD Liso MW 290 MW 200 MW 130 MW 120 MW 100 MW 90 MW 80 MW 70 MW 65 MW 60 MW 55 MW 50 MW 45 MW 40 MW 35 MW 30 MW 25 MW 20 MW 15 MW 10 MW 5 Diámetro nominal Corrugado MD 200 MD 130 MD 120 MD 100 MD 90 MD 80 MD 70 MD 65 MD 60 MD 55 MD 50 MD 45 MD 40 MD 35 MD 30 MD 25 15.95 12.90 12.40 11.30 10.70 10.10 9.40 9.10 8.70 8.40 8.00 7.60 7.10 6.70 6.20 5.60 5.00 4.40 3.60 2.50 As - mm2 por metro Espaciamiento centro a centro, mm Masa nominal kg/m 50 75 100 150 200 250 300 1.5700 1.0204 0.9419 0.7849 0.7064 0.6279 0.5494 0.5102 0.4709 0.4317 0.3925 0.3532 0.3140 0.2747 0.2355 0.1962 0.1570 0.1177 0.0785 0.0392 4000 2600 2400 2000 1800 1600 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 600 500 400 300 200 100 2700 1700 1600 1300 1200 1100 930 870 800 730 670 600 530 470 400 330 270 200 130 67 | 2000 1300 1200 1000 900 800 700 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 1300 870 800 670 600 530 470 430 400 370 330 300 270 230 200 170 130 100 70 33 1000 650 600 500 450 400 350 325 300 275 250 225 200 175 150 125 100 75 50 25 1160 800 520 480 400 360 320 280 260 240 220 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 970 670 430 400 330 300 270 230 220 200 180 170 150 130 120 100 83 67 50 33 17 Capítulo 2 FLEXION 12 E structuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión F L E X IO N E ste c a p ítu lo e stu d ia la fle x ió n p a ra las v ig a s d e c o n c re to re fo rz a d o m e d ian te d o s p ro c e d im ie n to s q u e tra ta re m o s en su o rd en . In ic ia lm e n te el p ro c e d im ie n to de d ise ñ o a la fle x ió n p o r el m é to d o d e lo s e sfu e rz o s ad m isib le s, e sfu e rz o s de tra b a jo o m é to d o elástico , y p o s te rio rm e n te el d en o m in ad o m éto d o d e re siste n c ia o d e la re siste n c ia ú ltim a. M ETODO DE LOS ESFU ER ZO S A D M IS IB L E S O M ETODO E L A S T IC O Se p re sen ta el M é to d o d e los E sfu e rz o s A d m isib le s o M é to d o E lá stic o p o r las sig u ien tes ra z o n e s, p rin cip a lm en te : 1. 2. 3. 4. L o s R eq u isito s d e R e g la m e n to p a ra C o n c re to E stru c tu ra l (A C I 3 1 8 S 0 8 ), q u e es el d o c u m e n to b a se p a ra la e la b o ra c ió n d e l T itu lo C C o n cre to E stru c tu ra l - d el R e g la m e n to C o lo m b ia n o d e D ise ñ o y C o n stru c c ió n S ism o R esiste n te s (N S R -1 0 ), in c lu y e , en el co m e n ta rio R 1.1, la p o s ib ilid a d d e u s a r este m é to d o en lu g a r d e las se c c io n e s q u e c o rre sp o n d a n en ese R eg lam en to . E l R e g la m e n to N S R -1 0 en el c o m en ta rio C R 1.1 ta m b ié n a c e p ta su u tiliz a c ió n co m o u n M é to d o A lte rn a tiv o d e D iseñ o p a ra e le m e n to s de co n c re to n o p re -e s fo rz a d o s e m p le a n d o ca rg a s d e se rv ic io y e sfu e rz o s a d m isib le s d e se rv ic io y sus re q u isito s se e n c u e n tra n en el T itu lo C , A p é n d ic e C -G . U n n ú m e ro im p o rta n te d e e stru c tu ra s se h a n d ise ñ a d o y seg u irá n d ise ñ a n d o c o n este m é to d o , p o r lo q u e se c o n sid e ra in d is p e n s a b le su c o n o c im ie n to p o r p a rte d el p ro fe sio n a l en ejercicio . S u e stu d io es d e e sp e c ia l im p o rta n c ia en la fo rm a c ió n a c a d é m ic a de los e stu d ia n te s d e e sta área. E x iste n do s h ip ó te sis fu n d a m e n ta le s en la te o ría e lá stic a y p o r c o n s ig u ie n te en su a p lic a c ió n a la v ig a d e co n creto : - L a se c c ió n d e u n a v ig a so m e tid a a fle x ió n es p la n a an tes y d e sp u é s de c a rg a d a o d efo rm ad a. Se c o n c lu y e e n to n c e s q u e las d e fo rm a c io n e s de las fib ras so n p ro p o rc io n a le s a su d ista n c ia al eje n eu tro . 15 Capítulo 2 Flexión Estructuras de C oncreto I - L as d e fo rm a c io n e s de las fib ra s son p ro p o rc io n a le s a los e sfu e rz o s q u e las d e fo rm a n con u n a c o n sta n te d e p ro p o rc io n a lid a d q u e es el m ó d u lo de ela stic id a d (L e y de H o o k e). L a a p lic a c ió n d e e stas h ip ó te sis p a ra u n a se c c ió n re c ta n g u la r (b x h) h o m o g é n e a y elá stic a en e q u ilib rio im p lic a ría d ia g ra m a s d e d e fo rm a c io n e s y e sfu e rz o s seg ú n e sq u e m a s ad ju n to s: f = ^ I f* — M = - ^ h = i-fb h 2 6 2 que p e rm ite d is e ñ a r (o b te n e r b x h) en u n a se c c ió n h o m o g é n e a y e lá s tic a a p a rtir d el m o m e n to a c tu a n te M , si se c o n o c e el e sfu e rz o a d m isib le o de trab a jo f. A l a p lic a r la te o ría a n te rio r a u n a v ig a de só lo c o n c re to c a rg á n d o la g ra d u a lm e n te , m u y p ro n to se e n c u e n tra co n el a g rie ta m ie n to d el c o n c re to a trac ció n , lo cu a l o b lig a a re e m p la z a rlo en el d iag ra m a d e e sfu e rz o s p o r un re fu e rz o m e tá lic o en u n a p ro p o rc ió n tal q u e su tra b a jo c o rre s p o n d a a e sfu e rz o s y d e fo rm a c io n e s ad m isib le s. P o r o tra p arte , a u n q u e las d e fo rm a c io n e s d e l c o n c re to a la c o m p re s ió n n o so n p ro p o rc io n a le s a las c a rg as q u e las p ro d u c e n , p a ra u n ra n g o d e e sfu e rz o s p e q u e ñ o s la cu rv a e s fu e rz o s -d e fo rm a c io n e s se ac erc a a la re c ta y p u e d e a c e p ta rse la ley de v a ria c ió n lin eal de lo s esfu e rz o s. D e e sta m a n e ra se tie n e e n to n c e s el d e n o m in a d o m é to d o d e d ise ñ o elá stic o , m éto d o de lo s e sfu e rz o s d e tra b a jo o de los e sfu e rz o s ad m isib le s. F ig u ra 2.1 El m o m e n to in te rio r re sisten te , ig u al al e x te rio r a c tu a n te , será: A l v a ria r la p ro p o rc ió n d el a c e ro en la se c c ió n se g e n e ra n las sig u ien tes c lase s d e d is e ñ o d en tro d e l c ita d o m éto d o elástico : D ise ñ o b a la n c e a d o M = C * —h = T * —h 3 3 en d o n d e C = T = i * f b * — = - f b h 2 2 4 1 2 1 , " ^ = —fbh * —h = - f b h ~ , e x p re sió n e sta sim ila r a la o b te n id a en la a p lic a c ió n d e la fó rm u la d e la flex ió n : L o s m a te ria le s se h a n p ro p o rc io n a d o de tal fo rm a q u e lo s e sfu e rz o s o b te n id o s p a ra a m b o s, c o n c re to y re fu e rz o , so n los d e trab ajo . D ise ñ o s o b r e r e fo rz a d o L a p ro p o rc ió n d el re fu e rz o es e x c e siv a en la se c c ió n , d e tal m a n e ra q u e si se lle v a ra a la fa lla , e sta se in ic ia ría en el co n c re to (falla sú b ita). 17 Estructuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión D ise ñ o su b -r e fo r z a d o k = c o n sta n te m e n o r q u e la u n id a d q u e m u ltip lic a d a p o r la a ltu ra efe c tiv a e q u iv a le a la p ro fu n d id a d (k d ) del e je n eu tro ; L a p ro p o rc ió n del re fu e rz o es esc a sa en la sec ció n , d e tal m a n e ra q u e si se lle v a ra a la falla, e sta se in ic ia ría en el a c ero (fa lla lenta). j = c o n sta n te m e n o r q u e la u n id a d q u e m u ltip lic a d a p o r la a ltu ra efe c tiv a e q u iv a le al b ra z o (jd ) d el p a r in te rio r re siste n te ; D iseñ o ó p tim o f E s u n d ise ñ o su b -re fo rz a d o en d o n d e la p ro p o rc ió n fin al en los m a te ria le s o b e d e c e a un e stu d io d e co sto s. = e sfu erzo m á x im o a d m isib le o d e trab a jo d el c o n c re to a c o m p re sió n ; f s = e sfu erzo m á x im o a d m isib le o d e tra b a jo d el a c e ro a trac ció n , V IG AS REC T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A A T R ACC IO N se obtiene: Se d e d u c irá n las p rin c ip a le s e x p re sio n e s u tiliz a b le s p a ra el d ise ñ o d e v ig as re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a tra c c ió n , se g ú n el m é to d o elástico , y su fo rm a d e tab u lac ió n . a) D el d ia g ra m a d e d e fo rm a c io n e s: — = — d -k d kd en d o n d e: £ s = — ; Es sc = — Ec y n Ec A p a rtir del fu n c io n a m ie n to d e la se c c ió n c o n su s d ia g ra m a s d e e sfu e rz o s y d e fo rm a c io n e s se g ú n la figura: y f c = n * l-k 0) e x p re sio n e s q u e re la c io n a n lo s e sfu e rz o s en los m a te ria le s c o n la p ro fu n d id a d d el e je n eu tro . f L lam an d o r = F ig u ra 2.2 r = n 1 _k k s fe se ob tien e: y k= n + r (2 ) en d o n d e se d en o m in a: d - a ltu ra e fe c tiv a : d ista n c ia d e la fib ra m ás c o m p rim id a al c e n tro de g ra v e d a d d e las á re a s d e re fu e rz o d e tra c c ió n en s e c c io n e s so m etid as a flex ió n ; 18 o sea, la p ro fu n d id a d d el eje n e u tro p a ra el c a so en q u e se c o n o c e n los e sfu e rz o s a lo s c u a le s está n tra b a ja n d o lo s m ate ria le s, co m o en el caso d el d ise ñ o b ala n c e a d o . 19 E structuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión b ) D e l c o rte lo n g itu d in a l d e la viga: jd = d - ’ kd c) j = í (3) - 1 A p a rtir d e la ig u a ld a d C = T: As = f M ( ) f sJ d P a ra el s e g u n d o caso : M = (1 /2 )* fckjbd 2 en d o n d e s i s e re e m p la z a fc y j en fu n c ió n d e k y k en fu n c ió n d e p , se o b tie n e u n p ro g ra m a d e d ise ñ o c o n p en fu n c ió n d el m o m e n to M . C = - f ck d b = T = A sf s = p b d f s en d o n d e: P o r o tra p arte , lla m a n d o K = (1 /2 )* fck j, re s u lta u n a e x p re sió n ta b u la b le en K de u tilid a d p a ra el d ise ñ o p o r e sta m o d alid ad : „ „ j i ^ As A re a d e l re fu e rz o p = c u a n tía del re fu e rz o = —- = :------bd A re a ú til M = K bd2 k •■■P= 2r (4) e x p re sió n q u e re la c io n a la c u a n tía d el re fu e rz o c o n la p ro fu n d id a d d el eje n e u tro y los e sfu e rz o s a los cu a le s e sta rá n tra b a ja n d o los m a te ria le s así p ro p o rc io n a d o s en la secció n . d) (7) 1 M = JJ — — D e aq u í se p u e d e o b ten er: d = ~ 7^ = K \ b d = k2 M b , , 1= en to n ce s: en en ddoonnddee sisi k 2 -= —¡ —j = VK (8 ) E n el p ro c e so d e ta b u la c ió n an te s m e n c io n a d o se p ro c e d e a p a rtir d e p D e (1 ) y (4) se obtiene: ca lc u lan d o P = e) kfc 2 fs = 2 k2 n (l-k ) 2 k + 2 " P k ~ 2 np = 0 k = -n p + ( n p )2 + 2 np , j = 1- ^ , f c = ^S * 1 ^ k ’ K = | f ckJ Y k 2 = 'K E x p re s a n d o la p ro fu n d id a d d el e je n e u tro en fu n c ió n d e la ca n tid a d de re fu e rz o en la se c c ió n se tiene: U n a m u e stra d e las ta b la s así o b te n id a s se e n c u e n tra a n e x a en el A p é n d ic e k = - n p + \/( n p ) 2 + A c o n tin u a c ió n se a p lic a rá n las fó rm u la s an tes d e d u c id a s en p ro b le m a s de d iseñ o y re v isió n d e se c c io n e s re c ta n g u la re s d e c o n c re to re fo rz a d o co n a rm a d u ra a tra c c ió n , e m p e z a n d o p o r lo s d e re v is ió n en a te n c ió n a 2 np (5 ) F in a lm e n te , a p a rtir de M o m e n to e x te rio r a c tu a n te = M o m e n to in te rio r re siste n te , se p lan tea : c o n sid e ra c io n e s d id áctica s. P ro b lem a 2.1 M = T jd = C jd P a ra el p rim e r caso: l.A d el p re s e n te texto. M = A sf sj d , 20 de d o n d e: R e v isa r el d ise ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o e n el c e n tro d e la lu z d e 8 m etro s de una v ig a sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a carg a 21 C apítulo 2 F le x ió n Estructuras de C oncreto I u n ifo rm e , d e te rm in a n d o el m o m e n to re sis te n te , la c a rg a w en k N /m q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d y los e sfu e rz o s a q u e estarán tra b a ja n d o los m ate ria le s, d e a c u e rd o a la s e c c ió n y d ato s ad ju n to s: P a ra c a lc u la r esto s m o m e n to s se d eb e c o n o c e r a n te s k y j a p a rtir d e p : A , = 4*0.000387 =QQ11727 P C o n c re to : = R e fu e rz o : f y = n = 21.1 M P a bd 0 .3 0 * 0 .4 4 k = - n p + V (n p ) 2 + 2 np 120 M P a k = - 9 .3 * 0 .0 1 1 7 2 7 + ^ ( 9 . 3 * 0 .0 1 1 7 2 7 )2 + 2 * 9 .3 * 0 .0 1 1 7 2 7 9.3 k = 0 .3 7 0 5 3 8 F igu ra 2.3 .-. N ota: P a ra la d istrib u c ió n d el re fu e rz o en la se c c ió n , se d e b e n te n e r en c u e n ta las sig u ie n te s re c o m e n d a c io n e s d el R e g la m e n to N S R -1 0 so b re re c u b rim ie n to d e las a rm a d u ra s y se p a ra c ió n lib re e n tre barras: 40 m m J k d (p ro fu n d id a d del eje n e u tro ) = 0 .163 m k = 1 _ O 3 7 0 5 3 8 = 0 .8 7 6 4 8 7 3 3 1) A rm a d u ra p rin c ip a l, e strib o s y e sp ira le s 2) L a se p a ra c ió n lib re e n tre las b a rra s p a ra le la s c o lo c a d a s en u n a fila o ca p a n o d eb e se r m e n o r q u e el d iá m e tro db d e la b a rra , ni A hora: m e n o r d e 25 m m , ni m e n o r d e 1.33 v e c e s el ta m a ñ o d el a g re g a d o g ru e so , (v é a n se se c c io n e s C .7 .6 y C .7 .7 y su c o m p le m e n to e n C .3 .3 .2 del R e g la m e n to N S R -1 0 ). M o m en to re siste n te a d m isib le , en u n id a d e s de kN -m , se g ú n el acero d e S o lu ció n S e tra ta d e o b te n e r los m o m e n to s re siste n te s p o r a c ero y p o r c o n c re to d e la sec ció n , d e te rm in a r el a d m isib le y a p a rtir d e este, la c a rg a w en k N /m y los e sfu e rz o s en los m ate ria le s, así: .-. j d (b ra z o d el p a r in te rio r re siste n te ) = 0 .3 8 6 m re fu erz o a la tra c c ió n , M s : M s = T * j d = A s f s * j d -4 * 0 .0 0 0 3 8 7 * 1 2 0 0 0 0 * 0 .8 7 6 4 8 7 * 0 .4 4 = 7 1 .6 4 kN -m M o m en to re s is te n te a d m isib le , ta m b ié n en u n id a d e s d e kN -m , seg ú n co n c re to a la co m p re sió n , M c : 1) M o m e n to s re siste n te s p o r a c e ro y c o n c re to , M s y M c , y m o m en to re siste n te d e la secció n . Mc = c * j d = L ck jb d 2 = M = 8 9 .6 0 k N .m * 9 5 0 0 * 0 .3 7 0 5 3 8 * 0 .8 7 6 4 8 7 * 0 .3 0 * 0 .4 4 2 el E structuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión fe : se p u e d e c a lc u la r a p a rtir d el m o m e n to re siste n te ad o p ta d o , el cual E l m o m e n to re siste n te d e la sec c ió n será el m e n o r d e los d o s c a lc u la d o s, e sto es, el m o m e n to re siste n te ad m isib le seg ú n el a c e ro d e re fu e rz o a la se ig u a la a M c : tra c c ió n : M s = 7 1 .6 4 kN -m (d ise ñ o su b -re fo rz a d o ). fc = 9.5 * - ^ - ^ = 7 .6 0 M P a 8 9 .60 L a c o n c lu s ió n so b re el d ise ñ o co m o s u b -re fo rz a d o se h u b ie ra p o d id o te n e r co n a n te rio rid a d ev itá n d o n o s el c á lc u lo d e M c al c o m p a ra r la p a c tu a l co n A m a n e ra d e c o m p ro b a c ió n , ta m b ié n se p u e d e u s a r la ex p resió n : la p b alan c ead a : = Pbalanceada = ~ ~ d o n d e, k = —5 — = ----- —^ 2r n +r 9.3 + = 0 .4 2 4 n 1 2 * --------- 0 . 0 16789 9.3 0-37053_8_ = 7 6 Q M p a 1 - 0 .3 7 0 5 3 8 fc re s u lta in fe rio r a fe a d m isib le ra tific a n d o q u e el d ise ñ o es subre fo rza d o . > Pactua, = 0 .0 1 1 7 2 7 4) 9.5 2) » 120 9.5 0.4241 Pbalanceada = j^Q = 1 -k 120 C a rg a a s o p o rta r e n c o n d ic io n e s d e seg u rid a d : S o lu c ió n p o r tab las: A p a rtir d e p = 0 .0 1 1 7 2 7 , se o b tie n e n d e las ta b la s re sp e c tiv a s p o r in te rp o la c ió n lin eal los v a lo re s d e K y fc : ^ actuante — M resistente K = 1233.1 W^ 2 f c = 7 .5 9 M P a w *82 ~ r ~ = — -— = 7 1 .6 4 k N - m .\ w = 8 .9 6 k N /m o y 5 M resis.en,e = K b d 2 = 12 3 3 . i * 0 .3 0 * 0 .4 4 2 = 7 1 .6 2 kN -m w e x te rio r a c tu a n te = w to tal —p e so p ro p io d e la viga: El v a lo r d e fs se rá ig u al al a d m isib le o 120 M P a , p u e sto q u e el d ise ñ o es w e x te rio r a c tu a n te = 8.96 - 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 5 .3 6 k N /m su b -re fo rz ad o . L a c a rg a e x te rio r a la v ig a q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d re s u lta d e 5 .3 6 k N /m . L a c a rg a a so p o rta r e n c o n d ic io n e s de s e g u rid a d se c a lc u la en la m ism a fo rm a d el p u n to 2 . P ro b lem a 2.2 3) E sfu e rz o s d e trab a jo d e los m a te ria le s: fs : p a ra el m o m e n to re siste n te ad o p ta d o , q u e es el del a c ero de re fu e rz o tra b a ja n d o a su e s fu e rz o a d m isib le a la tra c c ió n , el v a lo r d e f s será d e 120 M P a. 24 R ev isar el d ise ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el c e n tro d e la lu z de 8 m etro s de u n a v ig a sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e d e te rm in a n d o el m o m e n to re siste n te , la c a rg a w en k N /m q u e p u e d e so p o rta r 25 Estructuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d y los e sfu e rz o s a q u e e s ta rá n tra b a ja n d o los m a te ria le s, d e a c u e rd o a la se c c ió n y d a to s ad ju n to s: 3201 p = = 0 .0 2 5 2 9 0 , 3 0 0 * 4 2 1 .9 c u a n tía su p e rio r a la b a la n c e a d a ( p b a l = 0 .0 1 6 7 8 9 ); p o r lo ta n to se tra ta d e u n d ise ñ o so b re re fo rz a d o . C o n cre to : = 2 1 .1 M P a Se ca lc u la e n to n c e s k: R e fu e rz o : f s = 120 M P a k = - n p + >/(np) 2 +2np = -9 .3 * 0 .0 2 5 2 9 0 + ^ 9 .3 *0.025290)2 +2*9.3*0.025290 n = 9.3 k = 0 .4 8 9 8 6 3 . \ k d - 2 0 6 .7 m m N o ta : P a ra la d istrib u c ió n d el re fu e rz o en la se c c ió n en m á s d e u n a fila, se d eb e te n e r en c u e n ta la sig u ie n te re c o m e n d a c ió n d el R e g la m e n to N S R 10, S e c c ió n C .7.6.2: “ C u a n d o el re fu e rz o p a ra le lo se c o lo q u e e n d o s o m ás ca p as, las b a rra s de las c a p a s su p e rio re s d eb e n c o lo c a rse e x a c ta m e n te s o b re las d e las cap as in fe rio re s, co n u n a d ista n c ia lib re e n tre ca p as n o m e n o r d e 25 m m .” y j a p a rtir d e k : = 0.836712 . \ j d = 3 5 3 .0 m m F in a lm e n te , el m o m e n to re siste n te ad m isib le d e la sec c ió n e s ta rá d ad o p o r el co n c reto a la c o m p re sió n : S o lu ció n M c = C jd = —f ck jb d 2 = — * 9 5 0 0 * 0 .4 8 9 8 6 3 * 0 .8 3 6 7 1 2 * 0 .3 0 0 * 0 .4 2 19: Se tra ta , co m o e n el p ro b le m a a n te rio r, d e o b te n e r el m o m e n to re siste n te a d m isib le de la se c c ió n , la c a rg a w e n k N /m y los e sfu e rz o s en los m a te ria le s. 1) j = l - j = l - ^ ’^ ^ ^ M o m e n to re siste n te d e la secció n : S e c a lc u la in ic ia lm e n te p : _ As P - T T ; se o b tie n e d = h - y en d o n d e y es la d ista n c ia d el c e n tro id e bd d e las á re a s d e las b a rra s al b o rd e in fe rio r d e la viga. M = 10 3 .9 6 k N -m 2) C a rg a a so p o rta r e n c o n d ic io n e s d e seg u rid ad : M actuante = M resistente w f 2 _ yv— w * 8O2 — = j03 4 * 5 1 0 * 6 0 + 3 * 3 8 7 *110 = 7 8 .1 m m y = ------ ^ 4*510 + 3*387 307/8" d - 5 0 0 - 78.1 m m = 4 2 1 .9 m m 8 96 ...w = i 2 .9 9 k N /m 8 w e x te rio r a c tu a n te = w to tal - p e so p ro p io d e la v ig a w e x te rio r a c tu a n te = 12.99 - 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 9 .3 9 k N /m Figura 2.5 26 27 C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I N o ta : S e d eb e a d v e rtir q u e n o o b sta n te q u e la a rm a d u ra ex iste n te es a p ro x im a d a m e n te el d o b le d e la c o rre s p o n d ie n te al p ro b le m a a n te rio r, la c a rg a n o es p ro p o rc io n a l a este a u m en to . 3) E sfu e rz o s d e tra b a jo d e los m ateria le s: fe : S o lu ció n Se trata, co m o en lo s c a so s a n te rio re s, d e o b te n e r el m o m e n to re siste n te a d m i s i b l e d e la sec ció n , c o te já n d o lo c o n el c o rre sp o n d ie n te al p ro b le m a 2 .1 y d e te rm in a r ta m b ié n la c a rg a w e n k N p o r m e tro y lo s e sfu e rz o s e n los m ateriales. P a ra el m o m e n to re s iste n te a d o p ta d o , q u e e s el d el co n c reto tra b a ja n d o a su e sfu e rz o a d m isib le d e c o m p re sió n , el v a lo r de fe 1) M o m e n to re s is te n te d e la secció n : será d e 9.5 M P a. fs : A A p a rtir d e la ex p resió n : f s = n f c * 1 -k S e tiene, tiene- p = — Se ^ se o b tien e: 4 * 9 8 4 = 3 0 0 * 450 - = 0 .0 0 8 4 1 5 k fs = 9 .3 * 9 .5 * - — 0-489863 0.489863 ^ ^ .0 1 M P a < f s a d m is ib le p o r se r u n d ise ñ o so b re re fo rz a d o . C o m o e je m p lo d e u tiliz a c ió n d e las ta b la s, p o r in te rp o la c ió n lin eal se obtiene: K = 1275.2 P r o b le m a 2.3 R e v is a r el d is e ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o e n el c e n tro d e la lu z d e 8 m e tro s d e u n a v ig a sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e , d e te rm in a n d o el m o m e n to re sis te n te , la c a rg a w en k N /m q u e p u e d e re sis tir en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d y los e sfu e rz o s a q u e e sta rá n tra b a ja n d o los m a te ria le s , d e a c u e rd o a la s e c c ió n y d a to s ad ju n to s. . 0 .3 0 fn |i lJa$i C o n c re to : fe = 2 1 .1 M P a 0 .4 5 o R e fu e rz o : fs = 170 M P a n = 9.3 -!TV05. P o r tanto: M = K b d 2 = 1 2 7 5 .2 * 0 .3 0 * 0 .4 5 2 = 7 7 .4 7 kN -m D e la c o m p a ra c ió n d e lo s m o m e n to s re siste n te s d e lo s p ro b le m a s 2.1 y 2 .3 , am b o s o b te n id o s p a ra el a c e ro d e re fu e rz o a la tra c c ió n , d e n tro d el p e río d o del su b re fu e rz o , se p u e d e c o n c lu ir q u e se h a c o m p e n s a d o la d ism in u c ió n en la a rm a d u ra co n u n a u m e n to en el e sfu e rz o d e la m ism a p a ra lo g ra r u n a tra c c ió n s e m e ja n te , q u e co n b ra z o s d el p a r in te rio r re s is te n te p a re c id o s p e rm ita o b te n e r re s u lta d o s e q u ip a ra b le s; esta a p lic a c ió n será ú til e n el caso d e d ific u lta d e s en la a c o m o d a c ió n d el re fu e rz o e n u n a sec ció n in m o d ifíc ab le. 33r/4" P o r o tra p arte , es e v id e n te q u e p a ra este d ise ñ o su b -re fo rz a d o el v a lo r d e f s Figura 2.6 será el a d m isib le o sea 170 M P a y el fc o b te n id o d e las ta b la s, d e 8 .7 9 M P a, re su lta in fe rio r al fc a d m isib le . 2) 28 C a rg a a so p o rta r en c o n d ic io n e s d e seg u rid a d : 29 Capítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I wt ?2 w * 8 2 — = — r — = 7 7 .4 7 k N -m o 8 w e 2 v e 3 .6 * 8 - 2 5 .6 * 8 onlX T M o m e n to a c tu a n te = ------ + — = ---------- + ------------ = 80 kN -m 8 4 8 4 w = 9.68 k N /m w e x te rio r a c tu a n te = w to ta l —p e so p ro p io d e la v ig a P a ra m o m e n to s a c tu a n tes y re siste n te s ig u ales, la a rm a d u ra será ta m b ié n , co m o e n “ a” : 2 § 1” + 2 <J>7 /8 ” . w e x te rio r a c tu a n te = 9.68 - 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 6 .0 8 k N /m L os sigu ien tes so n problem as d e d iseñ o de sec cio n e s rectangulares de con creto reforzado co n armadura a la tracción. P r o b le m a 2.4 D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e sa ria a fle x ió n e n u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m , sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a c o n c o n c re to de fc — 21.1 M P a y a c e ro p a ra f s = 120 M P a, n = 9.3 y las sig u ien tes c o n d ic io n e s d e carga: a) C a rg a u n ifo rm e to tal (in c lu y e n d o el p e so p ro p io ): w = 10 k N /m xv io * 8 2 M o m e n to a c tu a n te = ------- = ------------= 80 kN -m 8 P ro b lem a 2.5 C o n b ase e n el p ro b le m a a n te rio r, o b te n e r el d ise ñ o b a la n c e a d o , su p o n ie n d o w en k N /m c o n sta n te y las sig u ien tes c o n d ic io n e s a d icio n a le s: a) A n c h o d e la v ig a “b ” in v a ria b le e ig u al a 0 .3 0 m b) A ltu ra útil “ d ” in v a ria b le e ig u al a 0 .4 4 m S o lu ció n a) Si se m a n tie n e el m o m e n to a c tu a n te n o o b sta n te el p o sib le c a m b io d e la sec ció n , se d e te rm in a la a ltu ra e fe c tiv a “d ” c o rre s p o n d ie n te a u n d iseñ o b a la n c e a d o u tiliz a n d o el v a lo r d e k 2 re sp e c tiv o q u e se p u e d e c a lc u la r u o b te n e r d e la ta b la c o rre sp o n d ie n te . Se p ro c e d e así: 8 A p a rtir d e e ste m o m e n to a c tu a n te , se p u e d e u tiliz a r la fó rm u la p ro g ra m a d e d ise ñ o (v é ase c o m ie n z o d el c a p ítu lo ) y d ire c ta m e n te o b te n e r la c u a n tía p o u tiliz a r las ta b la s así: k 2 = —j = vK en d o n d e K = j ^ * f c k j ( f c en k N /m 2). P a ra d iseñ o b a la n c e a d o se reem p laza: M o m e n to a c tu a n te = M = K b d 2 .*. K = - ^ - = ____ — _____= 1377 b d 2 0 .3 0 * 0 .4 4 2 4 - n n 9.3 + r “ 9 3 + = 0.4241 120 v 0 4741 y j = l ——= 1 —— ———= 0 .8 5 8 6 3 3 9.5 P a ra e ste v a lo r d e K se in te rp o la el v a lo r d e p = 0 .0 1 3 1 8 8 K = Y i * 9 5 0 0 * 0 .4 2 4 1 * 0 .8 5 8 6 = 1729.6 A rm a d u ra : A s = p b d = 0 .0 1 3 1 8 8 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1741 m m 2 R efu e rzo : 2 <j> 1” + 2 <j>7 /8 ” (A s = 1794 m m " - sie m p re p o r e x c eso ) b) C a rg a u n ifo rm e to ta l w = 3.6 k N /m a d ic io n a d a a u n a c a rg a co n c e n tra d a P = 2 5 .6 k N a p lic a d a e n el c e n tro d e la luz. 30 .*. k2= , 1 = 0 .0 2 4 0 Vi 7 2 9.6 T a m b ié n d e las ta b la s se o b tie n e k2 = 0 .0 2 4 0 y co n o c id o el m o m e n to 31 C apítulo 2 Flexión Estructuras de C oncreto I a c tu a n te = 80 k N -m se c a lc u la d = k 2 . / — - 0 .0 2 4 0 * J - — - ~ 0 .3 9 2 m Vb V 0.30 so lu ció n “b ” es c o m p a ra b le a la o rig in al d el p ro b le m a 2 .4 co n u n a m e jo r u tiliz a c ió n d el c o n c re to en c o n tra p o s ic ió n co n u n a m a y o r d ific u lta d en la co n stru c c ió n de la v ig a, o m itie n d o o tras c o n sid e ra c io n e s. E l v a lo r p a ra “d ” ta m b ié n se p u e d e o b te n e r a p a rtir d e la fo rm u la de P r o b le m a 2 .6 d iseñ o : M = j / ¡ * fck jb d 2 = 1729.6 * 0 .3 0 * d 2= 80 2 d = 0 .3 9 2 m D iseñ a r la a rm a d u ra n e c e s a ria a fle x ió n en u n a v ig a de 0 .3 0 x 0 .5 0 m , sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a en c o n c re to de f = 2 1 .1 M P a P o r lo tanto: A s = 0 .0 1 6 7 8 9 * 3 0 0 * 3 9 2 = 1974 m m 2 R efu e rzo : 2 (j>1X "+1 <t>1 C o n cre to : b - 0 .3 0 m ; h = 0 .4 5 2 m S o lu c ió n 80 M re siste n te = M = K b d 2 /. 1C = q 30 „0 ; ^ 7= 13774 P ara este v a lo r d e K se in te rp o la el v a lo r d e p = 0 .0 0 9 1 2 7 E n fo rm a se m e ja n te al caso an terio r: .-. D ise ñ o p a ra la se c c ió n p ro p u e sta : M a c tu a n te = 80 kN -m A ltu ra ú til “ d ” in v a ria b le e ig u al a 0 .4 4 m . .'. este " (A s =2109m m =) E sta so lu c ió n im p lic a d iv e rsa s a ltu ra s se g ú n los m o m e n to s ac tu a n te s y re s u lta im p ra c tic a b le c o n la v a rie d a d d e m o m e n to s ex iste n te s e n u n a v ig a y co n m a y o r ra zó n en el c a so e n q u e esta h ag a p a rte del siste m a de v ig a s d e u n a estru c tu ra. , , „ ¡M d = k 2 ,— Vb a c ero p a ra f s = 170 M P a, n = 9.3 y u n a c a rg a u n ifo rm e total (in c lu y e n d o el p e so p ro p io ) d e w = 10 k N /m . C o m p le m e n ta r d iseñ o o b ten ie n d o el b a la n c e a d o p a ra la co n d ic ió n d e w c o n stan te . a) b) y A rm a d u ra: , k2=*M 0.0240= * 8 0 n „ 0 b = ------ t— = ------------; = 0 .2 3 8 m d 0.44= A s = 0 .0 0 9 1 2 7 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1205 m m 2 R efu e rzo : 1 (j) 7 /8 ” + 3 <J>3 /4 ” (A s = 1239 m m ') C o n cre to : b = 0 .3 0 m ; h = 0 .5 0 m A s = 0 .0 1 6 7 8 9 * 2 3 8 * 4 4 0 = 1758 m m 2 R efu e rzo : 2<|>1 ' 8 "+l<|>r ( A s = 1 8 0 0 m m = ) N ota: O b sé rv e se la d is m in u c ió n e n el á rea d e re fu e rz o n e c e s a ria co n resp ecto al p ro b le m a 2 .4 c u a n d o se a u m e n ta el e sfu e rz o a d m isib le a la C o n cre to : b = 0 .2 3 8 m ; h = 0 .5 0 m tra c c ió n en el a c ero al c a m b ia r la c a lid a d d el m aterial. L o m ism o q u e en el caso a n te rio r, e sta so lu c ió n c o n d ife re n te s an c h o s seg ú n lo s m o m e n to s ac tu a n te s re su lta ta m b ié n im p ra c tic a b le . b) D iseñ o b alan c ead o : C o n la su p o sic ió n d e w c o n sta n te y el m ism o m o m e n to a c tu a n te , se N o ta : E n las a n te rio re s so lu c io n e s te ó ric a s d el p ro b le m a se d eb e d e sta c a r la in flu e n c ia d e la a ltu ra en la d e te rm in a c ió n d e la c a n tid a d d e a rm a d u ra ; así, la 32 o b tie n e n d y h p a ra b = 0 .3 0 m : 33 E structuras de C oncreto I Capítulo 2 Flexión M E T O D O D E L A S E C C IO N T R A N S F O R M A D A U H O M O G E N E A d = k2 /— Vb = 0 .0 2 6 4 .1 — = 0 .4 3 1 m V 0.30 A c o n tin u a c ió n se d e d u c irá n las re la c io n e s c o rre sp o n d ie n te s al m é to d o de l a secció n tra n sfo rm a d a u h o m o g é n e a p a ra la so lu c ió n d e lo s p ro b lem a s d e A s = 0 .0 0 9 5 5 5 * 3 0 0 * 4 3 1 = 1235 m m 2 v ig as re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a trac ció n . R efu e rzo : 1 <j>7 /8 ” + 3 <J>3 /4 ” (A s = 1239 m m 2) q u e es ig u al al C o n cre to : re fu e rz o e n “a ” d o n d e se co lo c ó c o n u n m a y o r ex ceso . b = 0 .3 0 m ; h = 0.491 m Se p arte d e u n a se c c ió n re c ta n g u la r c o n a rm a d u ra a tra c c ió n y se re q u ie re o b ten er u n a sec c ió n o á rea d e c o n c re to te ó ric o q u e re e m p la c e el re fu e rz o re sistien d o su s e sfu e rz o s, p a ra lo g ra r u n a sec c ió n h o m o g é n e a o tran sfo rm ad a a la cu a l se le p u e d a a p lic a r la fó rm u la d e la flex ió n : A h o ra se m a n tie n e la a ltu ra ú til “ d ” u sa d a en “ a ” y se c a lc u la b, co n el m ism o m o m e n to ac tu a n te M : - , k 2 2 *M b= — = d2 As 0 .0 2 6 4 2 *80 = 0 .2 8 8 m 0.44 : 0 .0 0 9 5 5 5 * 2 8 8 * 4 4 0 = 1211 m m 2 R efu e rzo : 1 (J) 7 /8 ” + 3 ((>3 /4 ” (A s = 1239 m m ') q u e ta m b ié n se c o lo c a en ex c e so en p ro c u ra d e sim etría. C o n cre to : b = 0 .3 0 m ; h = 0 .5 0 m E n el p ro b le m a 2.5 la so lu c ió n b a la n c e a d a im p lic a d iv e rsa s altu ra s o an ch o s se g ú n los m o m e n to s ac tu a n te s y e sta c irc u n sta n c ia re strin g e su u tiliz a c ió n al p la n o p u ra m e n te teó rico . f = ^ c , en d o n d e: f= e s fú e rz o en la fib ra co n sid e ra d a c= d ista n c ia de la fib ra c o n s id e ra d a al e je I= C ontinuando co n el estudio sobre las sec cio n e s d e con creto reforzado co n armadura a la tracción seg ú n el m étod o elá stico , ex p o n em o s ahora el d enom inado M étod o de la S ecc ió n Transform ada u H om ogén ea, el cual com plem en ta las exp resion es deducidas al co m ie n z o , está m u y de acuerdo co n la form ación acad ém ica prelim inar sobre el tratam iento de las sec cio n e s h om o g én eas y elásticas y tien e adem ás algunas ap licacion es de utilidad en el estud io de las sec cio n e s “T” y sim ilares. n eu tro m o m e n to d e in e rc ia d e la se c c ió n h o m o g é n e a y e stá tic a m e n te ú til c o n re s p e c to al eje n eu tro Lo a n te rio r es p o sib le si e n el d iag ra m a de d e fo rm a c io n e s se h a c e q u e la d e fo n n a c ió n en el a c e ro re e m p la z a d o sea ig u al a la d el co n c re to te ó ric o q u e lo reem p laza. 35 E structuras de C oncreto I 8S C apítulo 2 Flexión (d e fo rm a c ió n en el a c ero ) = e t (d e fo rm a c ió n en el c o n c re to teó ric o ) en d o n d e Ia, , m o m e n to d e in e rc ia d e At re s p e c to a su c e n tro id e , re s u lta de p eq u e ñ a m a g n itu d y p o r ello n o se v a a to m a r en cu en ta. f ~ f = 1 (se g ú n la le y d e H o o k e) A p lic a n d o la fó rm u la d e la flex ió n : d e d o n d e: f s = n f t (j) Mx f c= - ' — I M c = f c -J L J L ? en la cual: , de d o n d e: K -x T a m b ié n se d eb e lo g ra r q u e la te n sió n e n el a c e ro re e m p la z a d o sea ig u al a la te n sió n en el c o n c re to teó ric o q u e lo re em p laza : fc = e sfu e rz o de c o m p re s ió n m á x im o a d m isib le en la fib ra m ás c o m p rim id a. M = m o m e n to re s is te n te p o r c o n c re to a la c o m p re s ió n = M c T s (te n sió n en el ac ero ) = T t (te n sió n en el c o n c re to teó ric o ) De la m ism a fo rm a: A s fs = A t ft d e d o n d e: x nA s = A t (2) ft M (d -x ) - n M (d -x ) = — 1------- , d e d o n d e: f s = - ; p o r tan to : Lx - x lx - x C u m p lid a s las c o n d ic io n e s an te rio re s, es d ec ir, q u e el e sfu e rz o d e tra c c ió n en el co n c re to te ó ric o q u e re e m p la z a al a c e ro sea ig u al a fs/n y q u e el á rea d e e ste c o n c re to sea n v e c e s el á re a del a c e ro re e m p la z a d o , se p u e d e a p lic a r a la sec ció n h o m o g é n e a la fó rm u la d e la flex ió n , d e fin ié n d o le co n a n te rio rid a d la p o s ic ió n d el eje n e u tro y su m o m e n to d e in erc ia, así: T o m a n d o m o m e n to s d e las á re a s e s tá tic a m e n te ú tile s co n re s p e c to a la p o s ib le situ a c ió n del e je n e u tro , re su lta: M s= fxs I‘ x - x , en la cual: n ( d - x) f s = e sfu e rz o d e tra c c ió n a d m isib le en el acero M = m o m e n to re siste n te p o r a c e ro a la tra c c ió n = M s F in a lm e n te , a p a rtir d el d ia g ra m a de e sfu e rz o s en la se c c ió n h o m o g é n e a : fc y ~ n As (d - x ) — f-f n A s ( d - x ) = 0 , e c u a c ió n de d - x f s = n f c *- 7 se g u n d o g ra d o en x, q u e u n a v e z re s u e lta p e rm ite o b te n e r la p ro fu n d id a d del eje n e u tro ; c o n o c id a ésta, se p u e d e c a lc u la r el m o m e n to d e in e rc ia re sp e c to al e je n eu tro : f„=k* d-x n ex p re sio n e s sim ila re s o b te n id a s an terio rm en te. V I x-x=^ y - + I A,+ n A s( d - x ) 2 ft = fs /n F ig u ra 2.8 36 x d -x 37 a las Capítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I M o m en to d e in e rc ia (p o r fa c ilid a d en el m an ejo d e las cifras, se calcu la P r o b le m a 2.7 in icialm en te en cm ): R e s o lv e r el p ro b le m a 2.1 u tiliz a n d o el m éto d o d e la sec c ió n tra n s fo rm a d a u h o m o g én ea . = 3 0 ! l ^ l + 3 7 .2 71* 2 — 3 64 0 .3 0 I C o n cre to : f c' =21.1 M P a 0 .4 4 0 .5 0 R efu e rzo : fs = 120 M P a n = 9.3 x —x + 1 4 3 .9 6 * 2 7 .7 2 = 4 3 3 0 7 + 4 4 + 1 1 0 4 5 9 = 1 5 3 8 1 0 cm 4 ~ 0 .0 0 1 5 3 8 m 4 C ab e d e sta c a r el o rd e n d e m a g n itu d d el m o m e n to de in e rc ia d el área tra n sfo rm a d a co n re sp e c to a su p ro p io ce n tro d e g ra v e d a d , q u e, co m o se an o tó , h a c e p o sib le n o to m a rlo en cu en ta. 0 .0 6 ; 4 0 7/8" 2) M o m en to s F ig u ra 2.9 re siste n te s por c o m p re sió n y tra c c ió n y ad m isib le de la secció n : S o lu ció n Se o b te n d rá in ic ia lm e n te la se c c ió n h o m o g é n e a a la cu a l se le a p lic a rá la fó rm u la d e la fle x ió n ca lc u la n d o los m o m e n to s re s is te n te s p o r co m p re sió n , tra c c ió n y el ad m isib le d e la se c c ió n co m o re q u isito p a ra d e te rm in a r la c a rg a q u e d eb e so p o rta r en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d y , fin a lm e n te , a p a rtir del d ia g ra m a d e e sfu e rz o s se c a lc u la rá n los e s fu e rz o s en los m ateria le s. M o m e n to re siste n te a d m isib le p o r co n c re to a la co m p re sió n : f _ M ^ • Ic •• I x-x M 9 5 0 0 * 0 .0 0 1 5 38 c x = g 9 6 4 k N ,m 0.163 M o m e n to re s is te n te p o r a c e ro a la tracció n : 1) O b te n c ió n d e la se c c ió n h o m o g é n e a : A t = n A s = 9 .3 * 4 * 3 8 7 = 3 7 .2 (b a rra s d e <|>7/8")*387 = 14396 m m 2 T o m a n d o m o m e n to s d e las áreas e stá tic a m e n te ú tile s c o n re sp e c to a la p o sib le situ a c ió n del eje n eu tro , resu lta: n M (d -x ) . I x_s " 5 _ f s * I x, x _ 1 2 0 0 0 0 * 0 -0 0 1538 n (d -x ) 9 .3 * 0 .2 7 7 M o m e n to re siste n te ad m isib le d e la secció n : 7 1 .6 4 k N -m 3) C a rg a a so p o rta r en c o n d ic io n e s d e seg u rid a d 3 0 0 x * —- 1 4 3 9 6 * ( 4 4 0 - x ) = 0 0.44 M actu a n te = M resisten te x 2 + 9 5 .9 7 x - 4 2 2 2 8 .2 6 = 0 x = 163 m m d - x = 277 m m Figura 2.10 38 w T = w * 8_ = 7 1 6 4 k N m 8 _■ W = 8.96 k N /m 8 w e x te rio r a c tu a n te = w to tal - p e so p ro p io de la v ig a 39 = 7 1 6 4 ^ C apítulo 2 Flexión Estructuras de C oncreto I w e x te rio r a c tu a n te = 8.96 - 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 * 2 4 = 5 .3 6 k N /m en c o n d ic io n e s d e se g u rid a d y los e sfu e rz o s a q u e e sta rá n tra b a ja n d o los m ateriales, de a c u e rd o a la se c c ió n y d ato s ad ju n to s. L a c a rg a e x te rio r a la v ig a q u e s e g u rid a d re s u lta d e 5 .3 6 k N /m . 4) p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s de E sfu e rz o s de tra b a jo d e los m a te ria le s C o n cre to : f s : P ara el m o m e n to re siste n te a d o p ta d o , q u e es el del a c e ro de re fu e rz o = 2 1 .1 M P a R efu e rzo : f s = 1 2 0 M P a 3 0 7 / 8' tra b a ja n d o a su e sfu e rz o a d m isib le a la tra c c ió n , el v a lo r d e f s se rá de n = 9.3 120 M P a. f c : A p a rtir del d ia g ra m a d e esfu erzo s: F ig u ra 2.12 f = 0 .1 6 3 * ! L ^ = 7 .5 9 M Pa 0 .2 7 7 x=o. 163 fc= 7 .5 9 M P a d-x=o.277 p u e sto q u e fc < fc m á x im o ad m isib le se c o n firm a el d ise ñ o su b -re fo rz a d o . S o lu c ió n P rim ero se d e b e re v is a r q u e la sec c ió n c u m p la lo s re q u isito s g e o m é tric o s del R eg lam en to N S R -1 0 p a ra su c o n s id e ra c ió n co m o v ig a “T ” y lu eg o se o b tie n e n la sec c ió n h o m o g é n e a , lo s m o m e n to s re siste n te s, la c a rg a a so p o rta r y lo s e sfu e rz o s e n lo s m ateria le s. f t= f s /n = 1 2 .9 0 M Pa 1) F ig u ra 2.11 L a se c u e n c ia d e re su lta d o s p arc ia le s y el re s u lta d o fin al p e rm ite n c o n c lu ir q u e so n ig u a lm e n te u tiliz a b le s e in te rc a m b ia b le s en fo rm a to tal o p a rc ia l los d o s m éto d o s p ro p u e sto s e n los p ro b le m a s 2.1 y 2 .7 p a ra la re v is ió n de u n a sec c ió n d ise ñ a d a a la flexión. U na ap licación esp ecialm en te útil del m étod o de la sec ció n transform ada u h o m o g én ea es la revisión de d iseñ o s a la fle x ió n d e v ig a s co n sec ció n en form a de “T ” o sim ilares. A con tin uación se in clu yen algu n os ejem p los de esta aplicación. P ro b lem a 2.8 R e v isió n d e la sec c ió n “T ” se g ú n el R e g la m e n to N S R -1 0 “ E n v ig as a islad a s, en las q u e s o la m e n te se u tilic e la fo rm a T p a ra p ro p o rc io n a r co n el a la u n á rea ad ic io n a l d e co m p re sió n , el a la d eb e te n e r u n e s p e s o r no m e n o r d e 1/2 d el a n c h o d el alm a, y u n a n c h o e fe c tiv o n o m a y o r d e 4 v ec es el an c h o del a lm a .” (v é a se artíc u lo C .8 .1 2 .4 ). 2) E n este caso: b (a n ch o e fe c tiv o d e ala) < 4 b ' b < 4 x 3 0 0 = 1200 m m t (e s p e s o r d e ala) > b '/2 t = 3 0 0 -s- 2 = 150 m m O b te n c ió n d e la sec c ió n h o m o g én ea : A , = n A s = 9 .3 * (4 * 5 1 0 + 3 * 3 8 7 ) = 2 9 7 6 9 m m 2 R e v isa r el d ise ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el ce n tro d e la lu z d e 8 m e tro s d e u n a v ig a “ T ” s im p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e, d e te rm in a n d o el m o m e n to re siste n te , la c a rg a w en k N /m q u e p u e d e so p o rta r 40 d = 4 2 1 .9 m m (v é ase p ro b le m a 2.2). 41 C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I O b te n c ió n d e x: = ¡42 4 kN m . ^ ( x —1 5 0 )“ . f 150 a 7 0 0 * 1 5 0 x ------- + 3 0 0 ----- — - = 2 9 7 6 9 * ( 4 2 1 . 9 - x ) 8 w = 17 g0 kN/m 8 2 w e x te rio r a c tu a n te = w to tal —p eso p ro p io d e la viga x " + 5 9 8 . 4 6 x - l 13730 = 0 /. w e x te rio r a c tu a n te = 17.80 - 0 .2 1 * 1 .0 0 * 2 4 = 12.76 k N /m x = 151.2 m m ; d - x = 2 7 0 .7 m m L a c a rg a e x te rio r a la v ig a q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s de M o m e n to de in e rc ia en c m 4, p o r la m ism a ra z ó n d el p ro b le m a an terio r: I x_x = x x 70*1 5 12 3 3 : 4 0 * 0 1? 3 :------ + 2 9 7 .6 9 * 2 7 .0 7 2 = 2 9 8 7 9 8 c m 4 3 5) E sfu e rzo s d e trab a jo d e lo s m ateriales: fs: Ix-x = 2 9 8 7 9 8 c m 4 ~ 0 .0 0 2 9 8 8 m 4 3) s e g u rid a d re s u lta d e 12.76 k N /m . v a lo r d e fs será d e 120 M Pa. M o m e n to s re sisten te s: M o m en to re siste n te a d m isib le p o r c o n c re to a c o m p re sió n : f Mx fc = - — I x_x P ara el m o m e n to re siste n te ad o p ta d o , q u e es el d el a c e ro de re fu e rz o tra b a ja n d o a su e sfu erzo ad m isib le a la tra c c ió n , el ™ M f A - x 9 5 0 0 * 0 .0 0 2 9 8 8 = c x x = -------------------------= 1 8 7 .7 kN -m x 0 .1 5 1 2 fc: A p a rtir d el d iag ra m a d e esfu erzo s: fe 12 90 f = 1 5 1 . 2 * - ^ ^ = 7 .2 0 M P a 2 7 0 .7 M o m e n to re siste n te a d m isib le p o r a c e ro a trac ció n : f _ n M (d -x ) I x_x M " s f s I„_x 1 2 0 0 0 0 * 0 .0 0 2 9 8 8 n (d -x )~ 9 .3 * 0 .2 7 0 7 M s = 142.4 k N - m M o m e n to re siste n te a d m isib le d e la sec ció n : 142.4 kN -m . (D ise ñ o sub re fo rza d o ). 4) C a rg a a so p o rta r en c o n d ic io n e s d e seg u rid a d : ^actuante ~ M resjstente 42 fc = 7 .2 0 M P a f t = fs /n = 1 2 .9 0 MPa p u e s to q u e fc < fc m á x im o ad m isib le se c o n firm a el d iseñ o su b -re fo rz ad o . N o ta : A m a n e ra d e co n c lu sió n , se d e s ta c a el a u m e n to c o n sid e ra b le d e la c o m p re sió n p ro p o rc io n a d o p o r la a le ta de la v ig a “T ” q u e c o n v ie rte al d iseñ o s o b re -re fo rz a d o del p ro b le m a 2 . 2 en u n d ise ñ o su b -re fo rz a d o y que a d e m á s h ac e e fe c tiv a , en c u a n to a m o m e n to re s is te n te d e la se c c ió n , la a d ició n d e a rm a d u ra c o n re sp e c to al p ro b le m a 2 . 1 Estructuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión P ro b le m a 2 .9 a) b) R e v is a r el d ise ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o e n el c e n tro d e la lu z de 12 m e tro s d e u n a v ig a d o b le “ T ” sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e , d e te rm in a n d o el m o m e n to re siste n te , la c a rg a w en k N /m q u e p u e d e s o p o rta r e n c o n d ic io n e s d e se g u rid a d y los e sfu e rz o s a q u e e starán tra b a ja n d o los m a te ria le s , d e a c u e rd o a la sec c ió n y d ato s ad ju n to s: C o n c re to : f c' = R e f u e r z o : fs = n = v ec es el e s p e s o r d e lo sa, y la m ita d d e la d is ta n c ia lib re a la sig u ie n te a lm a ” (v é ase el A rtíc u lo 8 C . 8 .12.2). E n el p re se n te caso : b (a n ch o e fe c tiv o d e ala) < ^ = 1 2 .0 0 /4 = 3 .0 0 m ; b = 1.00 m b (a n ch o e fe c tiv o d e ala) < 16t + b ' = 16*0.15 + 0 .2 5 * 2 = 2 .9 0 m 21.1 M P a b (a n ch o e fe c tiv o d e ala) < se p a ra c ió n ce n tro a ce n tro d el siste m a 120 M P a 9.3 = 1.00 m 2) O b te n c ió n d e la se c c ió n h o m o g én ea : A , = n A s = 9 .3 * 1 5 * 5 1 0 = 7 1 1 4 5 m m 2 O b ten c ió n d e x: 2 0 0 0 * x7 _ ^ 0 q ( x - 1^5O)2 _ 7 1 i 4 5 ( g 4 Q _ x ) x 2 + 1 1 8 4 .6 x - 3 3 5 0 0 5 = 0 /. F ig u ra 2.14 S o lu ció n M o m en to d e in e rc ia (en cm 4): = 2 0 0 * 2 3 .5 8 ; P rim e ro se d e b e re v is a r q u e la sec ció n c u m p la lo s re q u isito s g e o m é tric o s del R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra su c o n s id e ra c ió n co m o u n siste m a d e v ig a s “T ” y lu eg o se o b tie n e la se c c ió n h o m o g é n e a , los m o m e n to s re siste n te s, la c a rg a a so p o rta r y los e sfu e rz o s en los m a te ria le s. 1) R e v isió n de la sec c ió n “T ” se g ú n el R e g la m e n to N S R 10 “ El an c h o e fe c tiv o d e la losa u sad a c o m o ala d e las v ig a s T n o d eb e e x c e d e r 1/4 d e la lu z d e la v ig a, y el an c h o so b re sa lie n te e fe c tiv o d el ala a ca d a lad o d el a lm a n o d e b e ex c ed er: 44 x = 2 3 5 .8 m m ; d - x = 7 0 4 .2 m m _ 1 5 0 * ( 2 3 .5 8 - 1 5 ¿ +711 4 5 . 7042J 3 3 Ix x = 4 4 3 3 7 0 c m 4(0 .0 4 4 3 3 7 m 4) 3) M o m e n to s re siste n te s: M o m e n to re s is te n te a d m isib le p o r c o n c re to a co m p re sió n : 45 Capítulo 2 Flexión Estructuras de C oncreto I f Mx f = ----Ix_x »i fc I x_x 9 5 0 0 * 0 .0 4 4 3 3 7 ^ 0 /r , 1XT M = L x x= = 1786.3 kN -m x 0.2358 12 90 f = 2 3 5 .8 * — ^ - = 4 .3 2 M P a 7 0 4.2 fc = 4 .3 2 M P a M o m e n to re siste n te ad m isib le p o r a c e ro a tracció n : fs = n M (d -x ) ; Ix_x fs Ix_x 120000*0.044337 01„ „ 1XT M = - ; x x = ------------------------ =812.4 kN -m n (d -x ) 9.3*0.7042 M o m e n to re siste n te a d m isib le d e la sec ció n : 8 1 2 .4 kN -m (D ise ñ o su b -re fo rz a d o ). 4) C a rg a a so p o rta r en c o n d ic io n e s d e seg u rid a d : ^actuante — M res¡stente w í _ _ w — \ 1 _ = 8 1 2 .4 kN -m w = 4 5 .1 3 k N /m p u e sto q u e fc < fc m áx im o ad m isib le se c o n firm a el d iseñ o su b -re fo rz ad o . f t = f s /n = 1 2 .9 0 M Pa F ig u ra 2.15 Se finaliza esta breve incursión sobre el m étod o elá stico en su tratam iento de la flexión , con las denom inadas v ig a s con armadura a com presión cuya razón de ser radica en la im p osib ilid ad que ex iste en algunas o ca sio n es de aumentar las d im en sion es de sec cio n e s som etidas a m om en tos flectores m ayores que lo s resistid os por co n d icio n es de trabajo m áxim o adm isible. Este caso se so lu cion a co n una armadura adicional a tracción y una armadura en la zon a de com p resion es que le da su nom bre al sistem a. w e x te rio r a c tu a n te = w to tal - p e so p ro p io de la v ig a w e x te rio r a c tu a n te = 4 5 .1 3 - 0 .8 7 5 * 1 .0 0 * 2 4 = 24.13 k N /m L a c a rg a e x te rio r a la v ig a q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s de se g u rid a d re su lta d e 2 4 .1 3 k N /m . 5) E sfu e rz o s de tra b a jo d e los m a te ria le s: fs: P a ra el m o m e n to re s iste n te a d o p ta d o , q u e es el d el a c ero de re fu e rz o tra b a ja n d o a su e s fu e rz o a d m isib le a la tra c c ió n , el v a lo r d e fs será d e 120 M P a. fc: A p a rtir del d ia g ra m a d e e sfu erzo s: 46 47 Estructuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión V IG A S R E C T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A A T R A C C IO N Y A C O M P R E S IO N La d ife re n c ia e n tre el m o m e n to a c tu a n te y el q u e to m a co m o sim p le m e n te arm a d a es y d eb e se r re s u e lta co n a rm a d u ra ad ic io n a l a tra c c ió n y a rm a d u ra a c o m p re sió n , así: A c o n tin u a c ió n se d e d u c irá n las p rin c ip a le s e x p re sio n e s u tiliz a b le s p a ra el d ise ñ o d e v ig a s re c ta n g u la re s co n a rm a d u ra a tra c c ió n y a co m p re sió n , se g ú n el m é to d o elástico . A rm a d u ra a d ic io n a l a tra c c ió n : A s, = — A p a rtir del fu n c io n a m ie n to de la se c c ió n c o n su s d ia g ra m a s d e e sfu e rz o s y d e fo rm a c io n e s seg ú n la figura: A rm a d u ra to ta l a tra c c ió n : A si + A s 2 =pbd+^. — , p o r lo que: fs ( d - d ) AM s ( d - d ') P o r o tra parte: A rm a d u ra a c o m p re sió n : A ' = , , en d o n d e el v a lo r d e f ' p u e d e s f s'( d - d ') c a lc u la rse a p a rtir d el d ia g ra m a d e d e fo rm a c io n e s b a sa d o en las h ip ó te sis de q u e la s e c c ió n es p la n a an tes y d esp u é s de d e fo rm a d a y que las d e fo rm a c io n e s d e las fib ra s so n p ro p o rc io n a le s a su s d ista n c ia s al eje n e u tro y a lo s e s fu e rz o s q u e las p ro d u cen : f1 c F ig u ra 2 .1 6 f‘ s' f xs — = — — — = — —— , d e donde: kd k d -d ' d -k d A la n o m e n c la tu ra c o n o c id a se ad icio n a : ,_ d' = d ista n c ia de la fib ra m ás c o m p rim id a al c e n tro d e g ra v e d a d de las áreas d e re fu e rz o a la co m p re sió n ; fs = e sfu e rz o d e c o m p re sió n en el ac ero ; Cc = re su lta n te d e c o m p re sio n e s en el c o n c reto ; Cs = re su lta n te d e c o m p re sio n e s en el ac ero ; A s; = a rm a d u ra ad ic io n a l de tra c c ió n p a ra el m o m e n to fle c to r p o r e n c im a d el c o rre sp o n d ie n te a la v ig a c o n só lo a rm a d u ra a trac ció n ; A 's = a rm a d u ra a c o m p re sió n . S ~ kd— d_ C i i Ka ^ ,_ S kd— d_ S i i “ ja§ cu a jes son expresiones de 1 fg e lá stic a m e n te o b ten id as. Sin e m b a rg o , te n ie n d o en c u e n ta q u e la c o n d ic ió n d e e la s tic id a d del c o n c re to d ism in u y e a m e d id a q u e se au m e n ta n lo s e sfu e rz o s y sus d e fo rm a c io n e s, q u e las d e fo rm a c io n e s e n el a c ero a c o m p re s ió n y el c o n c re to q u e lo ro d e a d e b e n se r sim u ltá n e a m e n te ig u a le s y q u e la flu e n c ia len ta en el c o n c re to a c o m p re sió n en co n tac to co n las b a rra s sig n ific a d e fo rm a c io n e s a d ic io n a le s en el a c ero au m e n ta n d o su e sfu e rz o de c o m p re sió n , se e s p e c ific a p a ra el d ise ñ o q u e el e sfu erzo d e c o m p re sió n en el L a v ig a co n a rm a d u ra sim p le o só lo a tra c c ió n re siste u n m o m e n to M ]= K b d “ y está p ro v is ta d e u n a c a n tid a d d e re fu e rz o A s i = p b d . 48 t 49 E structuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión a c ero se to m e c o m o dos v e c e s el c a lc u la d o e lá s tic a m e n te , p e ro n o m a y o r q u e el v a lo r a d m isib le en trac ció n . AM = M o m e n to a d ic io n a l so b re M \ 2) P o r tan to , se to m ará: 2 3 .0 3 k N -m A rm a d u ras: A rm a d u ra a tra c c ió n : AM A s = A si + A S2 = p bal -bd + f s ( d - d ') 2 3 .0 3 Ac = 0 .0 1 6 7 8 9 * 0 .3 0 * 0 .4 2 + 1 2 0 0 0 0 * (0 .4 2 - 0 . 0 5 ) y la a rm a d u ra a c o m p re s ió n será: A' = 2 A s = 0 .0 0 2 1 1 5 + 0 .0 0 0 5 1 9 = 0 .0 0 2 6 3 4 m~ (2 6 3 4 m m “) AM f ; ( d - d ') S e c o lo c a n 4 (j) 1” en la fila in fe rio r y 2 <(>7 /8 ” en la se g u n d a fila. e x p re sio n e s estas q u e se a p lic a rá n a co n tin u a c ió n . A rm a d u ra a c o m p re sió n : A ' = 2 f s' ( P r o b le m a 2 .1 0 S e c a lc u la f = nf. ^ 77, si 2 f s' < f s d - d ') ^ , en d o n d e k = 0 .4 2 4 1 , kd D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e s a ria a fle x ió n en u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m s im p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a en c o n c re to de k d = 178.1 m m y d ' = 50 m m f c - 2 1 . 1 M P a y a c ero p a ra fs= 1 2 0 M P a, n = 9 .3 y u n a c a rg a e x te rio r d e f ! = 9 .3 * 9 .5 * 10.72 k N /m . (N ó te se q u e la c a rg a so b re la v ig a es a h o ra el d o b le d e la q u e so p o rta b a en c o n d ic io n e s d e se g u rid a d en el p ro b le m a 2 . 1 ). 1 7 8 .1 - 5 0 = 6 3 .61 M P a 2 f s' = 121.2 M P a > fs 178.1 a d m isib le 2 3 .03 P o r tan to : A ' = S o lu ció n = 0 .0 0 0 5 1 9 m ”(5 1 9 m m 2) 1 2 0 0 0 0 * ( 0 .4 2 - 0 . 0 5 ) S e d e b e o b te n e r el m o m e n to a c tu a n te se g ú n la c a rg a p ro p u e sta y h a c e r el d ise ñ o c o rre sp o n d ie n te se g ú n las re la c io n e s d ed u c id a s. 1) AM 3) O b te n c ió n d e M a c tu a n te y c o m p a ra c ió n c o n M j : C arg as: p eso p ro p io v ig a: 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 0 * 2 4 = c a rg a so b re la v ig a = w M a c tu a n te = w f2 Se c o lo c a 3 <}>5 /8 ” — 3 .6 0 k N /m ] q .72 k N /m 14.32 k N /m L o c a liz a c ió n d e la a rm a d u ra tra n sv e rsa l y lo n g itu d in a lm e n te : E n la sec ció n tra n s v e rs a l resu lta: -+-Q-30 l c h e q u e o d e d ':4 0 + 15.9/2 = 4 7 .9 5 ~ 50 m m c h e q u e o de d: z= 4*510*60 + 2*387*110 = 7 3 .8 ~ 8 0 m m 4*510 + 2*387 d = h - z = 500 - 80 = 4 2 0 m m 14.32 * 8 2 M , = K bai b d 2 = 1 7 2 9 .6 * 0 .3 0 * 0 .4 2 : 50 - 114.56 kN -m = 91.53 kN -m 51 E structuras de C oncreto I Capítulo 2 Flexión O b ten c ió n d e la se c c ió n tra n sfo rm a d a : E n la se c c ió n lo n g itu d in a l re su lta: AM M , re e m p la z a n d o : De la secció n co rre sp o n d ie n te : A t = n A s 4 2 *23.3 114.56 = 3.25 x = 1.80 m •91.53 T e ó ric a m e n te , la a rm a d u ra a =23.03 c o m p re s ió n es n e c e s a ria h asta u n a d ista n c ia x = 1.80 m a ca d a lad o d el c e n tro d e la viga. F ig u r a 2.18 P ara c o m p u ta r el á rea te ó ric a d e c o n c re to a co m p re sió n , se to m a d o s v eces el á rea d e la a rm a d u ra a c o m p re sió n sie m p re q u e el e sfu e rz o d e c o m p re sió n re su ltan te en el a c e ro no sea m a y o r q u e el ad m isib le a tra c c ió n . C o n esto se p re te n d e n o só lo o b te n e r u n a sec ció n h o m o g é n e a , sin o ta m b ié n , re c u p e ra r sus c a ra c te rístic a s de e la stic id a d n e c e sa ria s p a ra la a p lic a c ió n d e este m étodo. A; = 2 n A ' - A ' = (2 n - 1 ) A ' c?m p rS n * SeCCÍÓ" transformada Para v ig a s con a r m a d u r a a Para o b te n e r x se to m a n m o m e n to s d e las á re a s e stá tic a m e n te ú tile s co n re sp ecto a la p o sib le situ a c ió n del eje n eu tro : « n P^ r d e ,aS re la c i0 n e s c o rre sP ° n d ie n te s a la se c c ió n tra n sfo rm a d a y la e sp e c ific a c ió n q u e p e rm ite el u so d e dos v e c e s el á rea d e la a rm a d u ra a c o m p re sió n al c o m p u ta r el a rea d e la sec ció n tra n sfo rm a d a u h o m o g é n e a se o b tie n e n las e x p re sio n e s n e c e sa ria s p a ra la re v isió n d e u n a sec ció n re c ta n g u la r d o b le m e n te a rm a d a o co n a rm a d u ra a c o m p re sió n . bx2 - ^ - + ( 2 n - l ) A ' ( x - d ' ) = n A s ( d - x ) , ec u a c ió n q u e re so lv e m o s p a ra x. A p a rtir d e x se c a lc u la el m o m e n to d e inercia: Se p a rte d e u n a sec ció n re c ta n g u la r c o n a rm a d u ra a tra c c ió n y a c o m p re sió n y se re q u ie re re e m p la z a r el re fu e rz o p o r u n c o n c re to te ó ric o q u e re sista lo q u e el re fu e rz o p a ra lo g ra r u n a s e c c ió n tra n sfo rm a d a u h o m o g é n e a a la cual se le p u e d a a p lic a r la fó rm u la d e la flexión. bx3 + IA, ( a su C.G .) + A ¡ ( x - d ') + I A (a su C.G.) + A , ( d - x ) “ en d o n d e se p u e d e n o te n e r en c u e n ta lo s m o m e n to s de in e rc ia d e las áreas tra n sfo rm a d a s co n re s p e c to a sus p ro p io s c e n tro s de g ra v ed ad . D e fin id a la sec c ió n h o m o g é n e a , se a p lic a la fó rm u la de la flexión: fc = e sfu e rz o d e c o m p re sió n en el c o n c re to = ft = e sfu e rz o d e tra c c ió n e n el co n c re to teó ric o M (d -x ) F igura 2.19 . - x-x 52 n M (d -x ) •• I s - j Ax-x 53 Estructuras de C oncreto I C apitulo 2 Flexión f t' = e sfu e rz o de c o m p re sió n en el c o n c re to teó ric o S o lu c ió n La secció n re su lta d o d el d ise ñ o a fle x ió n d el p ro b le m a 2 .1 0 y lo s m a te ria le s M ( x - d ') I x- x 2 n M ( x - d ') 5 resp ectiv o s so n lo s sig u ien tes: I x -x C o n cre to : f J = 21.1 M P a S ien d o M e n las e x p re sio n e s a n te rio re s el M o m e n to a c tu a n te = M o m e n to re siste n te R efu e rzo : f s = 120 M P a D e ig u al m anera: M c = M re siste n te p o r c o m p re sió n M s = M re siste n te p o r tra c c ió n f I = — x~ x x f T = s x-x n (d -x ) y F ig u ra 2.21 F in a lm e n te , a p a rtir del d ia g ra m a d e e sfu e rz o s d e la se c c ió n h o m o g é n e a , se p u e d e co n cluir: En p rim e r té rm in o se d eb e o b te n e r la sec c ió n h o m o g é n e a a la cu a l se le ap licará la fó rm u la de la flex ió n c a lc u la n d o los m o m e n to s re siste n te s p o r co m p re sió n , tra c c ió n y el a d m isib le d e la sec ció n co m o re q u is ito p a ra d eterm in a r la c a rg a q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s d e s e g u rid a d y fin alm en te a p a rtir d el d ia g ra m a d e e sfu e rz o s se c a lc u la rá n los e sfu e rz o s en los m ateriales. f ’t= ff s 2n f = X 1) n d -x d' X y - x-d' f,' = Á f s 2„ f —— — < f d-x A t = n A s = 9 .3 * (4 * 5 1 0 + 2 * 3 8 7 ) = 2 6 1 7 0 m m 2 A [ = ( 2 n - l ) A ' = 1 7 .6 * 3 * 1 9 9 = 10268 m m 2 X — c\' i ' = 2 í —— — < f f t= í § n F ig u ra 2.20 O b te n c ió n d e la se c c ió n h o m o g é n e a : d -x s E x p re sio n e s estas c o in c id e n te s co n to d a s las a n te rio rm e n te e x p u e sta s. P r o b le m a 2.11 R e v is a r el d ise ñ o a flex ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el c e n tro d e la lu z d e 8 m efro s d e la v ig a sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a la c a rg a u n ifo rm e u tiliz a d a en el p ro b le m a 2 . 1 0 . 54 55 E structuras de C oncreto I Capítulo 2 Flexión O b te n c ió n d e x: x2 Mactuante M res¡stente 3 0 0 y + 1 0 2 6 8 * (x - 5 0 ) = 2 6 1 7 0 * ( 4 2 0 - x ) w ^ = w * 8_ = x 2 + 2 4 2 .9 x - 7 6 6 9 9 = 0 8 x = 181 mm d - x = 239 mm + 1 7 .6 * 3 * Tx - x = 3 7T*1 9 9 4 64 n*2 224 . w = 14.86 k N /m 8 w e x te rio r a c tu a n te = 14.86 - 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 11.26 k N /m M o m en to d e in e rc ia en c m 4: 3 0 * 1 8 .13 8g k N m w e x te rio r a c tu a n te = w to ta l - p e so p ro p io d e la v ig a x - d ' = 131 m m T n 8 TV*A4 + 1 0 2 .6 8 * 1 3 .1 2 + 9 .3 * 4 * — 64 L a c a rg a e x te rio r a la v ig a q u e p u e d e so p o rta r en c o n d ic io n e s de s e g u rid a d re s u lta d e 11.26 k N /m , la cu al es u n p o c o m a y o r a la c a rg a d e d ise ñ o d el p ro b le m a 2 . 1 0 p o rq u e en la c o lo c a c ió n d el re fu e rz o d e d ich o p ro b le m a se p ro c e d ió p o r exceso . + 9 .3 * 2 * —— —— + 2 6 1 .7 0 * 2 3 .9 2 64 C o n clu sio n es Ix_ x = 5 9 2 9 7 + 4 0 .6 2 + 17621 + 7 5 .9 6 + 2 2 .1 7 + 149486 Ix _x = 2 2 6 5 4 3 c m 4 2) M o m e n to s re sisten te s: M o m e n to re s iste n te a d m isib le p o r co m p re sió n : fc Ix_x La b re v e m u e stra d el tra ta m ie n to d e la fle x ió n p o r el m é to d o e lástico p erm ite sa c a r alg u n as c o n c lu sio n e s: 9 5 0 0 * 0 .0 0 2 2 6 5 u 1) El m é to d o elá stic o , co m o su n o m b re lo in d ica, se b a s a en c o n s id e ra c io n e s d e e la stic id a d , q u e só lo so n c o m p le ta m e n te v á lid a s p a ra el a c ero ; en el c o n c re to el d iag ra m a d e fo rm a c io n e s -e s fu e rz o s n o es u n a re c ta y la p ro p o rc io n a lid a d d e las d e fo rm a c io n e s co n re sp e c to a los e sfu e rz o s q u e las p ro d u c e n só lo es a c e p ta b le p a ra p e q u e ñ a s d e fo rm a c io n e s y e sfu e rz o s, p e ro a m e d id a q u e é sto s c re c e n la p ro p o rc io n a lid a d v a d e ja n d o d e se r co rrecta. M o m e n to re siste n te p o r a c e ro a la trac ció n : L I - m ‘ n(d-x) - 1 2 0 0 0 0 * 0 .0 0 2 2 6 5 ........................... 9 3*0 .239 = 122 28 kN'm 2) E l m ó d u lo d e e la stic id a d d el c o n c re to E c só lo es v á lid o p a ra un e sfu e rz o y u n a d e fo rm a c ió n ad m isib le s; si el e sfu e rz o v a ría , ta m b ié n c a m b ia rá E c y p o r ta n to el v a lo r d e n = Es /Ec, q u e se h a co n sid e ra d o M o m e n to re sis te n te a d m isib le d e la sec ció n : 122.28 kN -m . L a d ife re n c ia e n tre los d o s m o m e n to s re siste n te s se d e b e a la a p ro x im a c ió n en la ad o p c ió n del re fu e rz o en el p ro b le m a 2 . 1 0 . 3) c o n sta n te en to d o s lo s caso s. 3) E n el m é to d o elástico el fa c to r d e s e g u rid a d d e un d ise ñ o n o se d e te rm in a e x a c ta m e n te en fu n c ió n de c o n sid e ra c io n e s tales co m o im p o rta n c ia o p ro b a b ilid a d d e p re se n ta c ió n de las c a rg a s, d e la C a rg a a so p o rta r en c o n d ic io n e s d e seg u rid a d : 56 57 C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I in d e te rm in a c ió n d e u n d ise ñ o o d el fu n c io n a m ie n to d e la e s tru c tu ra así d ise ñ a d a , del co n tro l d e c a lid a d d e los m a te ria le s y d e la c o n stru c c ió n . S ó lo se su p o n e a d m isib le y así se p u e d e v e rific a r, p o r m e d io d el m é to d o de la re siste n c ia ú ltim a q u e se e s tu d ia rá a co n tin u a c ió n . L as c o n sid e ra c io n e s a n te rio re s, e n tre o tra s, so n las q u e h a n re le g a d o el m é to d o e lá stic o a u n a sim p le a lte rn a tiv a d e d ise ñ o e n el A p é n d ic e C -G del R e g la m e n to N S R -1 0 . S in e m b a rg o , d e la a n te rio r e x p o s ic ió n te ó ric a del m é to d o y su e le m e n ta l a p lic a c ió n p re s e n ta d a p a ra alg u n o s ca so s d e n o rm al o c u rre n c ia se ra tific a el c o n c e p to e x p re s a d o so b re la n e c e sid a d q u e tie n e n lo s e stu d ia n te s del á rea d e su c o n o c im ie n to co m o p a rte e se n c ia l en su fo rm a c ió n a c a d é m ic a y co n m a y o r ra z ó n si en a lg u n a p a rte d e su eje rc ic io p ro fe sio n a l lo p u d ie ra n en c o n trar. M E T O D O D E L A R E S IS T E N C IA U L T IM A P o r el m é to d o e lástico o d e los e sfu e rz o s d e tra b a jo , el d ise ñ a d o r o b tie n e los e sfu e rz o s y d e fo rm a c io n e s q u e se p re se n ta n en u n a e stru c tu ra so m e tid a a las ca rg a s p a ra las cu a le s se d iseñ a, su p o n ie n d o p a rá m e tro s e lá stic o s d e los m ateria le s. P o r el m éto d o d e la re s iste n c ia ú ltim a , ta m b ié n lla m a d o so la m e n te m é to d o d e la re siste n c ia , el d ise ñ a d o r p o d rá e stu d ia r el c o m p o rta m ie n to d e la e stru c tu ra en el in stan te d e falla; p o r tan to , si este in stan te se h a c e lo s u fic ie n te m e n te m a y o r q u e el d e su tra b a jo p a ra las ca rg a s q u e so p o rta n o rm a lm e n te , se p o d rá te n e r u n d ise ñ o c o n fa c to re s d e se g u rid a d a p ro p ia d o s. E ste tra b a jo d e la e stru c tu ra en su ú ltim a re siste n c ia n o es p o sib le co n o c erlo a p a rtir d el m é to d o elá stic o , en v ista d e q u e el c o m p o rta m ie n to d e los m a te ria le s in e lá stic o s en el in stan te d e falla es d ife re n te al su p u e sto d en tro d el p e río d o e lá stic o d e su fu n c io n a m ie n to , es d ecir, p a ra su trab a jo co n ca rg as, e sfu e rz o s y d e fo rm a c io n e s ad m isib le s. in stan te d e falla, se a n o ta q u e lo s e le m e n to s d e c o n c re to re fo rz a d o su je to s y d iseñ ad o s a fle x ió n p o r c u a lq u ie r m é to d o a p ro p ia d o , d e b e n fa lla r c u a n d o el acero a tra c c ió n a lc a n z a su lím ite elástico . E n o tras p a la b ra s, si g ra d u alm en te se a u m e n ta la c a rg a h a s ta q u e fs = fy, el ele m e n to re s is tirá c a rg a ad icio n al en la m e d id a en q u e se a u m e n ta el b ra z o d el p a r in te rio r re siste n te y hasta q u e la fa lla d e fin itiv a se p re s e n te p o r ap la sta m ie n to d el c o n c re to a co m p re sió n , a u n q u e in ic ia lm e n te la fa lla se d eb ió a la flu e n c ia d el acero . A n tes de a c o m e te r el e stu d io d e las re la c io n e s q u e rig e n el M é to d o d e la R esisten cia Ú ltim a n o s re fe rire m o s a lo s E stad o s L ím ite s e n el d ise ñ o de co n creto re fo rz a d o p a ra e s ta b le c e r su re la c ió n c o n e sta m eto d o lo g ía . E sta d o s L ím ites: Se d en o m in a e sta d o lím ite d e u n a e stru c tu ra o e lem e n to estru c tu ra l cu a n d o llega al lím ite d e su u so p ro g ra m a d o . P ara las e stru c tu ra s d e co n c re to p o d em o s c o n sid e ra r lo s sig u ie n te s e sta d o s lím ites: 1. 2. 3. E sta d o lím ite d e falla: C o rre sp o n d e al c o la p so p a rc ia l o to ta l d e u n a e stru c tu ra co n c a ra c te rís tic a s co m o la p é rd id a d e e q u ilib rio to ta l o p arcial, la ro tu ra d el ele m e n to o d e lo s e le m e n to s p rin c ip a le s o b ásico s q u e c o n d u z c a n al co la p so , la fa lla p ro g re s iv a p o r d iferen tes m o tiv o s, la fo rm a c ió n d e m e c a n ism o s p lá stic o s y la fa tig a del m aterial. E sta d o lím ite d e serv icio : C o rre sp o n d e a la in te rru p c ió n d el u so de la estru c tu ra, sin q u e c o n lle v e al co la p so , p o r fa c to re s co m o d e fle x io n e s e x c e siv a s, fisu ra s o g rie ta s im p o rta n te s o v ib ra c io n e s ex cesiv as. E sta d o s lím ite s esp ecia les: C o rre sp o n d e n a d añ o s o fa lla s d e b id o s a c o n d ic io n e s e sp e c ia le s co m o m o v im ie n to s sísm ic o s a n o rm a le s, in te rv e n c ió n d el fu e g o , e x p lo sio n e s, co lisio n e s d e d iv e rso tipo, c o rro sió n , d e te rio ro p o r fa c to re s n o c o n te m p la d o s e n el d iseñ o . C o m o u n a in tro d u c c ió n al e stu d io d el c o m p o rta m ie n to d e la e stru c tu ra en el Para el d ise ñ o p o r e sta d o s lím ite s se p ro c e d e te n ie n d o en c u e n ta lo s p o sib le s m o d o s de falla, d e te rm in a n d o lo s fa c to re s d e se g u rid a d ap ro p ia d o s p a ra 58 59 E structuras de C oncreto I Capítulo 2 Flexión c a d a e stad o lím ite y d ise ñ a n d o d e a c u e rd o al e stad o lim ite e sc o g id o . En co n se c u e n c ia , se p u e d e id e n tific a r el d ise ñ o p o r el d e n o m in a d o M éto d o E lá stic o o d e los E sfu e rz o s A d m is ib le s , a sí co m o el M é to d o d e la R e siste n c ia d en tro d e a lg u n o s d e lo s e sta d o s lím ites m e n c io n a d o s. E n esta o b te n c ió n se u tiliz a u n p ro c e d im ie n to a b re v ia d o co n p ro p ó sito s d id áctico s, p a rtie n d o d e la se c c ió n lo n g itu d in a l y d e la tra n s v e rs a l p lan a an tes y d e sp u é s de la d e fo rm a c ió n p o r flex ió n , c o n la sig u ien te n o m en clatu ra: A c o n tin u a c ió n e sta b le c e re m o s las re la c io n e s ex iste n te s en la s e c c ió n en el in sta n te d e la fa lla p a ra v ig a s re c ta n g u la re s c o n a rm a d u ra a la trac ció n . b , d: ku: d im e n sio n e s ú tile s de la secció n ; fa c to r m e n o r q u e la u n id a d , q u e m u ltip lic a d o p o r “ d ” da la p ro fu n d id a d d el eje n eu tro ; c ■O k j: C8 M£ fa c to r q u e h a c e p ro m e d io s los e sfu e rz o s d e c o m p re sió n c •O cC en el co n c reto ; 'o sS I a ü c •n °o ~ 8 o N 01 k2: e u fa c to r m e n o r q u e la u n id a d q u e m u ltip lic a d o p o r k u d da la p ro fu n d id a d d el p u n to de a p lic a c ió n d e la re s u lta n te de — U c o m p re sio n e s. U C Se p u ed e d e c ir q u e en el in sta n te de la falla, la c o m p re sió n C u es ig u al a la trac ció n T u, las cu a le s se ev alú an : D e fo rm a c ió n u n i ta r ia D e fo rm a c ió n % F ig u r a 2.23 en d o n d e la e x p re s ió n 0.8 5 fc c o rre sp o n d e al m á x im o v a lo r de la c o m p re sió n co m o re s u lta d o de la fle x ió n y su m a g n itu d o b e d e c e a o b te n c ió n e x p e rim en tal. C u = 0 .8 5 f c * k i * k u d * b , V ig a s r e c ta n g u la r e s co n a r m a d u r a a tr a c c ió n S e trata, e n to n c e s, d e o b te n e r u n a e x p re s ió n d e m o m e n to re siste n te ú ltim o p a ra v ig a s re c ta n g u la re s so m e tid a s a fle x ió n c o n a rm a d u ra a tra c c ió n , según la te o ría d e la re siste n c ia ú ltim a y u n a e x p re sió n d e c u a n tía m á x im a de re fu e rz o en el d ise ñ o b a la n c e a d o y su p o sib le lim ita c ió n p a ra d iseñ o s a p ro p ia d o s. Ig u a la n d o T„ = A sf y = p b d f y Cu = Tu resu lta: 0 .8 5 f ;* k ,* k u = p f y P o r tan to : ku — e x p re sió n que h ac e p o sib le c o n o c e r la p ro fu n d id a d d el eje Pf> n e u tro en fu n c ió n d e p c a lid a d d e lo s m a te ria le s. y la T a m b ié n e n el in stan te d e la falla, se p u e d e n e x p re s a r lo s m o m en to s re siste n te s ú ltim o s co m o : 6y F igura 2.24 60 M n = C u (d - k 2 * k u d ) = T u ( d - k 2 * k u d ) 61 Estructuras de Concreto I C apítulo 2 Flexión A c e p ta n d o q u e los e le m e n to s d e c o n c re to re fo rz a d o d ise ñ a d o s a flex ió n d eb e n fa lla r c u a n d o el acero d e tra c c ió n a lc a n z a su lím ite elá stic o , se to m a el m o m e n to c o rre sp o n d ie n te a la tra c c ió n co m o el in icial y re siste n te ú ltim o de la sección: ku— kud £„„ + 8 , d - kud en d o n d e s uc v a ria b le en tre Suc 0.003 P fy d -k . M n = p b d * f 0 .8 5 fc'* k , o .003 y 0 .0 0 4 se to m a co m o q u e se re ag ru p a : 0 .003 y , 8 y = fy/E s P o r o tra p arte , d e arrib a , co n v “ 2_____ * rP f y 1 - M n = P * fv 0.85 * k , en d o n d e m = 0.85k, bd: C u = T u se to m a: fc' j S y = fy /E } sus d iferen tes c a lid a d es y c u y a e v a lu a c ió n n u m e ro so s en sa y o s dio co m o re su ltad o : e x p e rim e n ta l a tra v é s 1 - 0 .5 9 b d 2, f; , £uc £uc + £y de m = 0.59, q u e se re e m p la z a e n la fó rm u la d e M n , o b ten ien d o : M n = p f v f'c f'c p = 0 .8 5 — * k,k„ = 0 .8 5 — * k- *■ F ig u r a 2.25 c o n stitu y e u n a p ro p ie d a d in trín se c a d el co n c re to en e x p re s ió n é sta c o n o c id a co m o la fó rm u la g e n e ra l d e la re siste n c ia ú ltim a. La a n terio r c o n s titu y e una e x p re sió n de c u a n tía en fú n c ió n de las d efo rm acio n es, e n d o n d e k i se to m a co m o u n p ro m e d io d e 0.85 p ara resisten cias a la c o m p re s ió n d el c o n c re to f c h a sta d e 28 M P a, ca rg a s b a ja s y g ra d u alm en te ap lic a d a s. Si en esta e x p re sió n , co m o se d ijo an tes, se h ac e sim u ltán e am en te £uc = 0 .0 0 3 y Sy= fy/Es, se c o n sig u e la p m á x im a en la co n d ició n b a la n c e a d a . A m an era d e e je m p lo , se c a lc u la a c o n tin u a c ió n p b a la n c e a d a p a ra las S ecc ió n B a la n c ea d a : co n d icio n e s d e m a te ria le s f c = 21.1 M P a y fy = 2 4 0 M P a: A h o ra b ien , e n la d e d u c c ió n a n te rio r se p a rte d e la fa lla in icial p o r el acero d e re fu e rz o , lo cu a l im p lic a se c c io n e s su b -re fo rz a d a s; p a ra p o d e r g a ra n tiz a r esta situ ació n se d e b e o b te n e r an te s la c u a n tía n e c e s a ria p a ra u n a falla sim u ltá n e a de a c ero y co n c reto , es d ec ir, la c u a n tía b a la n c e a d a y a p a rtir de ella g a ra n tiz a r el su b -re fu e rz o ap ro p ia d o . D e a c u e rd o c o n el d ia g ra m a de d e fo rm a c io n e s d e la fig u ra 2 .2 5 , y su p o n ie n d o q u e el a c ero falle p o r tra c c ió n sim u ltá n e a m e n te co n el co n c reto a c o m p re sió n , se p u e d e al m ism o tiem p o te n e r s uc y e y : P 62 „ = 0 . 8 5 ^ * 0 . 8 5 * --------^ 1 ^ = 0 .045371 0 .003 + — — — 240 200000 D e ig u al fo rm a se c a lc u la p a ra las c o n d ic io n e s d e m a te ria le s f c = 21.1 M P a y fy = 4 2 0 M P a. E n e ste c a so d eb e te n e rse en c u e n ta q u e el R e g la m e n to en C. 10.3.3 p e rm ite fija r el lím ite d e d e fo rm a c io n e s u n ita ria c o n tro la d a p o r co m p re sió n en 0 .0 0 2 . 63 C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I D is tr ib u c ió n = 0 . 8 5 ^ * 0 . 8 5 * ^ ^ ^ = 0 .0 2 1 7 7 8 S e c c io n e s c o n tr o la d a s p o r c o m p r esió n : S eg ú n el R e g la m e n to c o lo m b ia n o “ las se c c io n e s se d en o m in a n c o n tro la d as p o r la c o m p re sió n si la d e fo rm a c ió n u n ita ria n eta de tra c c ió n en el acero e x te rn o en t r a c c i ó n ,a , es igual o m e n o r q u e el lím ite d e d efo rm ació n u n ita ria c o n tro la d a p o r c o m p re sió n c u a n d o el c o n c re to en c o m p re sió n a lc a n z a su lím ite d e d e fo rm a c ió n s u p u e sto d e 0 .0 0 3 . E l lím ite de d e fo rm a c ió n co n tro la d a p o r c o m p re s ió n es la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta de tra c c ió n del re fu e rz o en c o n d ic io n e s d e d e fo rm a c ió n u n ita ria b alac ead a . P ara re fu e rz o G ra d o 4 2 0 y p a ra to d o s los re fu e rz o s p re -e sfo rz a d o s, se p e rm ite fija r el lím ite d e d e fo rm a c ió n u n ita ria c o n tro la d a p o r c o m p re sió n en 0.002” . S e c c io n e s c o n tr o la d a s p o r la tr a c c ió n y re g ió n d e tr a n sició n : S eg ú n el R e g la m e n to c o lo m b ia n o “ la s se c c io n e s son c o n tro la d a s p o r tra c c ió n si la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta d e tra c c ió n en el re fu e rz o d e a c ero ex tre m o en trac ció n , £ ,, es ig u al o m a y o r a 0 .0 0 5 , ju s to c u a n d o el c o n c re to en c o m p re sió n a lc a n z a su lím ite d e d e fo rm a c ió n u n ita ria asu m id o d e 0.003. L as se c c io n e s c o n s t e n tre el lím ite d e d e fo rm a c ió n u n ita ria c o n tro la d a p o r co m p re sió n y 0.005 c o n stitu y e n u n a re g ió n d e tra n sic ió n e n tre sec cio n es c o n tro la d a s p o r c o m p re sió n y se c c io n e s c o n tro la d a s p o r tra c c ió n ” . P a ra d e fo rm a c io n e s u n ita ria s n e ta s de tra c c ió n en el a c e ro d e re fu erz o ex tre m o en tra c c ió n ig u ales o m a y o re s a 0 .0 0 5 , la se c c ió n se d efin e co n tro la d a p o r trac ció n . Ig u a lm e n te , c u a n d o la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta de tra c c ió n en el re fu e rz o d e a c ero ex te rn o en tra c c ió n es p e q u e ñ a, la sec ció n p u e d e p re s e n ta r c o n tro l p o r c o m p re sió n . 64 E q u iv a le n t e d el E sfu e r z o de C o m p r e s ió n . M é to d o de W h itn e y La d istrib u ció n d el e sfu e rz o d e c o m p re s ió n en el in stan te d e la fa lla p u e d e su p o n erse co m o u n re c tá n g u lo , u n tra p e c io , u n a p a rá b o la o c u a lq u ie r d iseñ o que cu m p la co n lo s re s u lta d o s re q u e rid o s. E l R e g la m e n to A C I y el R eg lam en to c o lo m b ia n o a d o p ta ro n u n a d is trib u c ió n re c ta n g u la r e q u iv a le n te de los esfu erzo s d e c o m p re sió n in ic ia lm e n te p ro p u e s ta p o r el in v e stig a d o r C harles S. W h itn ey . Se trata de o b te n e r u n a e x p re s ió n d e m o m e n to re siste n te ú ltim o p a ra v ig as rectan g u lares so m e tid a s a fle x ió n c o n a rm a d u ra a tra c c ió n , su p o n ie n d o u n a d istrib u ció n re c ta n g u la r d e lo s e sfu e rz o s d e c o m p re sió n co m o d ia g ra m a eq u iv alen te co n u n e sfu e rz o u n ita rio d e 0 .8 5 f c , c o m p le m e n ta n d o c o n las ex p resio n es u sa d a s a c tu a lm e n te en el d ise ñ o y su tab u lac ió n . A p artir d e las se c c io n e s lo n g itu d in a l y tra n s v e rs a l ad ju n ta s en las c u a le s se reem p laza el b lo q u e re a l d e c o m p re sio n e s p o r u n o e q u iv a le n te d e fo rm a rectan g u lar, sie n d o to d o s lo s e sfu e rz o s d e c o m p re sió n ig u ales a 0.85f¿ resulta: F ig u ra 2.26 P ara la c o m p re s ió n C u = T u e n el in stan te d e falla: Estructuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión 0.85 f^ab = A sf y = p b d f\ a = Pf % -d , 0.8 5 f, ex p re sió n q u e p e rm ite kud = a / k i Si se to m a k] = 0.85 p a ra re s is te n c ia s a c o m p re sió n del c o n c re to f¿ m e n o re s o ig u ales a 28 M P a, resu lta: c o n o c e r la p ro fu n d id a d d el b lo q u e re c ta n g u la r d e c o m p re sio n e s en fu n c ió n d e p y los m ateria le s. T a m b ié n en el in stan te de la falla, el m o m e n to re siste n te ú ltim o q u e, co m o an te s se d ijo , está d e te rm in a d o p o r el a c ero de tra c c ió n al lle g a r a su lím ite elástico , se e x p re sa com o: P fv M n = T u( d - a / 2 ) = pbdfy ( d - a / 2 ) = p b d f y d - 2 * 0 .8 5 f' k u d = 1 .1 8 a El R eg lam en to c o lo m b ia n o N S R -1 0 y el R e g la m e n to A C I-3 1 8 , ac ep tan com o su p o sició n de d ise ñ o q u e la m á x im a d e fo rm a c ió n u n ita ria u tiliza b le en la fib ra e x tre m a so m e tid a a c o m p re sió n d el c o n c re to sea 0 .003 y q u e el esfu erzo en el c o n c re to d e 0.85 fc se d istrib u y a u n ifo rm e m e n te so b re u n a zona e q u iv ale n te d e c o m p re sió n lim ita d a p o r lo s b o rd e s d e la sec ció n tran sv ersal y p o r u n a lín ea re c ta p a ra le la al eje n e u tro a u n a d ista n c ia a = p !c de la fib ra d e m á x im a d e fo rm a c ió n so m e tid a a c o m p re sió n . pf re a g ru p a n d o : M n = p f . 1 - 0 . 5 9 —^ b d 2 , q u e es la m ism a fó rm u la f c' y g en e ral de la re siste n c ia ú ltim a p re se n ta d a antes. S ó lo co n el p ro p ó sito d e e s ta b le c e r u n a e x p re sió n lím ite d e “a ” en fu n c ió n de “d ” , se tra b a ja co n el m o m e n to re siste n te ú ltim o p o r el c o n c re to en co m p re sió n : M n = C u (d - a / 2 ) = 0.85 f ' a b ( d - a / 2 ) = 0.85 — 1 d f ' b d 2, — que 2d ig u a la d o al p ro m e d io o b te n id o p o r el Sr. W h itn e y p a ra el c a so d e m o m e n to m á x im o o d e fa lla p a ra la p b a la n c e a d a , d a rá el v a lo r m á x im o d e “a ” : F ig u ra 2.27 M n = ^ f c'b d 2 = 0 . 8 5 Í ( l - ^ f ; b d 2 lmaxima = 0 .5 3 7 d A d ic io n a lm e n te , y co n el p ro p ó sito d e e sta b le c e r c o m p a ra c ió n , se p u ed e o b te n e r el v a lo r d e k u d , p ro fu n d id a d del e je n e u tro , en fu n c ió n d e “ a” . D el p ro b le m a an terio r: ku = Pf v 0 .8 5 fc'k , pf en d o n d e se re em p laza : y 0.85f¿ 66 Se resu m e esta a p ro x im a c ió n en la fig u ra en d o n d e el fa c to r p., q u e en este texto h em o s lla m a d o k „ d eb e to m a rse co m o 0.85 p a ra re siste n c ia s a la co m p resió n del c o n c re to fc h a sta 28 M P a in clu siv e. P ara re siste n c ia s p o r en cim a d e 28 M P a, p, d eb e re d u c irse a ra zó n d e 0.05 p o r c a d a 7 M P a p o r en cim a de 28 M P a, p e ro n o p u e d e se r m e n o r d e 0 .6 5 . P o r tanto: a d Pl = 0 .8 5 -0 .0 5 fc - 28 > 0 .6 5 67 Estructuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión E s c o n estas su p o sic io n e s q u e el R e g la m e n to c o lo m b ia n o p ro to c o liz a la u tiliz a c ió n d e las e x p re sio n e s a n te s e stu d ia d a s d e l m é to d o d e la re siste n c ia ú ltim a , lim itá n d o se a re g la m e n ta r su u so co n re q u isito s d e se g u rid a d a p ro p ia d o s y q u e, a d e m á s, d e p e n d e n d e las se c c io n e s se g ú n sean co n tro la d a s p o r la tra c c ió n o la c o m p re sió n . c t = 0 .3 7 5 d t a, = P,c, = 0 .3 7 5 p ,d , C t = 0.85fc'ba, =0.3190^1x1, T = A sf y A , = 0 .3 1 9 p ,f'b d , / f ; L a fig u ra 2 .2 8 p re se n ta los e sfu e rz o s y d e fo rm a c ió n p a ra c o n d ic ió n de d e fo rm a c ió n b a la n c e a d a p o r flex ió n : pi = A s / ( b d , ) = 0 . 3 1 9 p , f ; / f y M n , = P tf y (1 —0 .5 9 p , -5-)bd; c y el m o m en to n o m in a l p a ra d iseñ o , de a c u e rd o a e s p e c ific a c io n e s q u e se estab lecen m á s a d e la n te co rresp o n d erá: <j)Mnt = (j)ptf y (1 - 0 .5 9 p t j r ) b d f c En d o n d e (j)= c o e fic ie n te d e re d u c c ió n de re sisten c ia. F ig u ra 2.28 L a fig u ra 2 .2 9 m u e stra los e sfu e rz o s y las d e fo rm a c io n e s p a ra u n a sec ció n e n el lím ite d e la sec c ió n c o n tro la d a p o r tra c c ió n . E ste lím ite co rre sp o n d e , a d e m á s, al lím ite p a ra el u so d e (j) = 0 .9 0 c o m o v e re m o s m ás ad e la n te. En la tab la sig u ie n te se e n c u e n tra n lo s v a lo re s d e pi p a ra los m a te ria le s de co n creto y a c ero d e re fu e rz o m ás u su a le s en el m ed io c o lo m b ia n o y c o rre sp o n d ie n te a la d e fo rm a c ió n u n ita ria n eta lím ite d e tra c c ió n d e 0.0 0 5 del a c ero de re fu e rz o en se c c io n e s c o n tro la d a s p o r trac ció n . /;= 17.6 ¿ ' = 21.1 / c' = 24.6 ¿•' = 28.1 ¿ ' = 31-6 / c' = 35.2 /?, =0.80 fc = 42-2 P =0.75 /?, = 0 .8 5 /?, = 0.85 P = 0 .8 5 /?, = 0.85 p x = 0.82 f y - 240 M Pa 0.01988 0.02384 0.02779 0.03175 0.03444 0.03743 0.04207 f y = A2QMPa 0.01136 0.01362 0.01588 0.01814 0.01968 0.02139 0.02404 p, R e fu e rzo M á x im o p a ra M ie m b r o s en F lex ió n F ig u r a 2.29 D e la fig u ra 2 .2 9 o b te n e m o s las e x p re sio n e s en el lím ite d e las sec cio n es co n tro la d a s p o r tra c c ió n , u tiliz a n d o el su b ín d ic e t: 68 El R eg lam en to N S R -1 0 d e fin e el re fu e rz o m á x im o q u e p u e d e u sarse en u n a secció n de c o n c re to re fo rz a d o co n so lo a rm a d u ra a la tra c c ió n , co m o u n a 69 E structuras de C oncreto I Capítulo 2 Flexión fu n c ió n de la d e fo rm a c ió n u n ita ria n eta d e tra c c ió n en el a c ero en tra c c ió n £ t,e n lu g a r de la re la c ió n p / p . q u e se u s a b a en la N S R -9 8 . L a re la ció n 0.003 + ^ - en tre p y e, se p u e d e o b te n e r a p a rtir de la fig u ra ad ju n ta: si E = E^ - 0 .0 0 3 0 .0 0 3 = c /d ^P_ Pb P ara f, = 4 2 0 M P a y E = 200.000M P a ^ 0 .005 r £y T e n sio n -c o n tro la d a f y /E y B a la n c e a d a F ig u ra 2.30 C O - = — c b pb _ c- y acero en tra c c ió n s, n o m e n o r a 0 .0 0 4 e n el e sta d o d e re siste n c ia n o m in al. C on este lím ite, la c u a n tía d e re fu e rz o en v ig a s n o p re -e sfo rz a d a s se m antiene m u y c e rc a n a al v a lo r q u e se e x ig ía en la N S R -9 8 . Si en la exp resió n a n te rio r u tiliz a m o s pmax = 0 .7 5 p b o b te n e m o s u n a d e fo rm a c ió n unitaria n eta d e tra c c ió n en el a c ero p a ra el e stad o d e re siste n c ia n o m in a l de 0.0038, p o r lo q u e c o n c lu im o s q u e el lím ite ac tu a l es le v e m e n te m as p fd O.SSf'p, w d iv id ie n d o p o r v d : —= — x — d pb d co n serv ad o r. Para la lim ita c ió n d e s, = 0 .0 0 4 , la ec u a c ió n g en e ral d e s, sería: D e los trián g u lo s: °-003 d 0.003 + 8 , El R eg lam en to N S R -1 0 lim ita el e sfu e rz o m á x im o p a ra m ie m b ro s en flexión (con c a rg a a x ial m a y o ra d a m e n o r a O .lO fcA g ) co m o el q u e co rresp o n d e a u n v a lo r d e la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta d e tra c c ió n en el A p a rtir d e la fig u ra 2 .3 0 y p a ra la sec ció n b alan c ead a : y -0 .0 0 3 P/ Pb T=A sfy a b _ p bf yd ~ --------p, 0 .8 5 f'P , y f v / E s = 0 .0 0 2 1 8, 1 Y 0-003 A = ----------- 0.003 c /d P_ Pb 0 .0 0 3 + f y/ E s y p ara f =420M Pa 0 .0 0 7 ig u alm en te: 0 .0 0 3 + 0.0021 P = cb _ d 0 .0 0 3 . c 0 .0 0 3 + — E, d p cb Pb d p 0.003 Pb 0.0 0 3 + — E 70 0.007 y p a ra este caso : Pb “ 0 .7 2 9 p t (j) = 0.65 + (s, - 0.002)(250 / 3) 71 C apítulo 2 Flexión Estructuras de C oncreto I v éa se C R 9 .3 .2 .2 d el R e g la m e n to C o lo m b ia n o R esistencia de diseño > R esistencia requerida <¡>= 0 .8 1 7 < 0 .9 0 (j) * R esistencia nom inal > U P o r lo tan to co n sid e ra m o s m ás a p ro p ia d o tra b a ja r co n la d efo rm a c ió n y debe in v e stig a rse u n itaria n e ta d e tra c c ió n £t lim itá n d o la a u n v a lo r m ín im o d e 0 .0 0 5 , au n cu a n d o la n o rm a p e rm ite m a y o re s c a n tid a d e s de re fu e rz o co n d e fo rm a c io n e s u n ita ria s n e ta s de tra c c ió n m en o re s. C u a lq u ie r a u m e n to en la re siste n c ia con ca n tid a d e s m ay o re s d e re fu e rz o se a n u la c o n la re d u c c ió n d e c o e fic ie n te de re siste n c ia <|> y se c o n firm a m ás a p ro p ia d o el d ise ñ o p a ra sec cio n es sim u ltán eam en te. c o n tro la d a s p o r trac ció n . efecto de las ca rg as m ay o ra d as. P ara a c o m e te r el d ise ñ o a p a rtir d el m o m e n to ú ltim o re siste n te d e u n a sec ció n , es e v id e n te q u e se p re te n d e q u e d ich o m o m e n to n o se p re se n te , co lo c á n d o se u n fa c to r d e se g u rid a d ap ro p ia d o . E l R e g la m e n to N S R -1 0 e sp e c ific a u n fa c to r d e se g u rid a d o b te n id o d e u n a p a rte , a u m e n ta n d o las c a rg a s o los m o m e n to s q u e ellas p ro d u c e n p o r m e d io d e los llam ad o s “ fa c to re s o co e fic ie n te s d e c a rg a (U )” y p o r o tra p a rte d ism in u y e n d o la re siste n c ia de las se c c io n e s p o r m e d io d e los d e n o m in a d o s “ fa c to re s o c o e fic ie n te s d e re d u c c ió n de re siste n c ia (<j>) de uno o m ás ca rg a s que no a c tú a n A c o n tin u a c ió n tra n sc rib im o s las c o m b in a c io n e s d e c a rg a m ín im a s m as usab les e s p e c ific a d a s p o r el R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra o b te n e r la re siste n c ia req u erid a U , la cu al, c o m o se ex p reso a n te s, d eb e se r p o r lo m e n o s ig u al al 1. F a c to r d e seg u rid a d el e fecto U = 1.4D , en do n d e: D = c a rg a m u e rta o lo s m o m e n to s y fu e rz a s in tern a s c o rre sp o n d ie n te s. 2 . U = 1 .2 D + 1 .6 L + 0 .5 ( L r ó G ó L e), en do n d e: L = ca rg a s v iv a s o m o m e n to s y fu e rz a s in te rn a s co rre sp o n d ie n te s. L r = ca rg as v iv a s d e c u b ie rta o m o m e n to y fu e rza s in te rn a s c o rre sp o n d ie n te s. F a c to r d e c o e fic ie n te de ca r g a (U ) G = ca rg a s p o r g ra n iz o o m o m e n to s y fu e rza s in te rn a s c o rresp o n d ien tes. E s u n fa c to r d e s e g u rid a d co n re sp e c to a las ca rg as a c tu a n te s. El titu lo B d el R e g la m e n to N S R -1 0 lo d efin e co m o “ u n c o e fic ie n te q u e tien e en c u e n ta las d esv ia c io n e s in e v ita b le s de las ca rg a s re a le s co n re sp e c to a las ca rg a s n o m in a le s y las in c e rtid u m b re s q u e se tie n e n en el an á lisis estru c tu ra l al tra n s fo rm a r las ca rg a s en e fe c to s in te rn o s de los e le m e n to s, y p o r la p ro b a b ilid a d d e q u e m ás d e u n a c a rg a e x tre m a o c u rra sim u ltá n e a m e n te ” . U n a c a rg a m a y o ra d a es, p o r c o n sig u ie n te , la c a rg a re su lta n te d e m u ltip lic a r la c a rg a n o m in a l p o r un fa c to r o c o e fic ie n te d e carg a. E n c o n s e c u e n c ia el re q u isito b á sic o p a ra el d ise ñ o p o r re s iste n c ia se e x p re sa así: 72 L e = ca rg a s p o r em p o z a m ie n to d e a g u a o m o m e n to s y fu e rz a s in te rn a s c o rre sp o n d ie n te s 3. U = 1 .2 D + 1 .6 ( L r ó G ó L e) + ( 1 .0 L ó 0 .5 W ) en do n d e: W = ca rg as p o r v ie n to o m o m e n to s y fu e rz a s in te rn a s c o rre sp o n d ie n te s. 4. U = 1 .2 D + 1 .0 W + 1 .0 L + 0 .5 (L r ó G ó L e) 73 Estructuras de C oncreto I 5. Capítulo 2 Flexión U - 1 .2 D + 1 .0 E + 1 .0 L e n donde: E = e fecto s d e c a rg a p ro d u c id o s p o r el sism o o m o m e n to s y fu e rz a s in te rn a s c o rre sp o n d ie n te s. 6 . 7. U = 0 .9 D + 1 .6 W U = 0 .9 D + 1 .0 E Se p e rm ite re d u c ir en 0.5 el fa c to r d e c a rg o v iv a L en las e c u a c io n e s d e la N o 3 a N o 5, ex c ep to p a ra e sta c io n a m ie n to s, á re a s o c u p a d a s co m o lu g are s d e re u n io n e s p ú b lic a s y en to d a s las á re a s d o n d e L sea su p e rio r a 4 .8 k N /m 2 L a s fu e rz a s sísm ic as re d u c id a s d e d iseñ o , E, u tiliz a d a s en las co m b in a c io n e s N o 5 a N o 7 c o rre sp o n d e n al e fe c to e x p re sa d o en té rm in o s d e fu erza, Fs; de los m o v im ie n to s sísm ic o s d e d ise ñ o p re sc rito en el titu lo A , d iv id id a p o r R (E = F s/R ). C u a n d o se tra ta d e d is e ñ a r los m ie m b ro s, el v a lo r del co e fic ie n te d e c a rg a q u e a fe c ta las ftierzas sísm ic a s, E , es 1.0, d ad o q u e estas e stá n p re sc rita s al n iv el d e re siste n c ia . P a ra la v e rific a c ió n de las d eriv a s o b te n id a s d e las d e fle x io n e s h o riz o n ta le s c a u sa d a s p o r el sism o de d iseñ o , d e b e n u tiliz a rs e los re q u isito s del c a p ítu lo A . 6 , los c u a le s ex ig en q u e las d e riv a s se v e rifiq u e n p a ra las fu e rza s sísm ic as, Fs, sin h a b e r sido d iv id id a s p o r R. En las m ism a s e c u a c io n e s N o 5 a N o 7 se p u e d e n u s a r 1.4E en lu g a r d e 1.0E c u a n d o los e fe c to s d e c a rg a p o r sism o s E se b asen en los n iv eles d e se rv ic io d e las fu e rz a s sísm icas. F actor o C o e fic ie n te d e R e d u c c ió n d e R e siste n c ia <j) Es un co e ficien te q u e re d u c e la c a p a c id a d d e la sec ció n p a ra te n e r en c u e n ta la p ro b a b ilid ad d e e x iste n c ia de e le m e n to s c o n u n a re siste n c ia b a ja d e b id o a v ariacio n es en la re siste n c ia de lo s m a te ria le s y las d im e n sio n e s, las a p ro x im acio n es en las e c u a c io n e s d e d ise ñ o q u e re fle ja n el g ra d o de d u ctilid ad y c o n fía b ilid a d re q u e rid a p a ra el elem e n to so m etid o a la c a rg a que le c o rre sp o n d e y p a ra te n e r en c u e n ta la im p o rta n c ia d el ele m e n to en la estructura. P o r lo tan to , la re s is te n c ia d e d ise ñ o q u e tien e u n e le m e n to , sus co n ex io n es c o n o tro s m ie m b ro s y c u a lq u ie r p a rte o sec c ió n d e el, en térm inos de m o m e n to flec to r, c a rg a ax ial, c o rta n te y to rsió n , d eb e se r ig u al a su re sisten c ia n o m in a l c a lc u la d a d e a c u e rd o co n lo s re q u isito s y su p o sicio n es del títu lo C d el R e g la m e n to N S R -1 0 m u ltip lic a d a p o r u n co eficien te de re d u c c ió n d e re s is te n c ia <j): R esisten cia de d ise ñ o = (j) R e siste n c ia n o m in a l > R e siste n c ia re q u erid a. El facto r d e re d u c c ió n d e re siste n c ia (|>p a ra el p re s e n te c a p itu lo , se rá 0.90. Por tanto, el fa c to r d e se g u rid a d re su lta n te será: F.S.= — ^ q u e p a ra el c a so de U = 1 .5 p a ra ca rg as v e rtic a le s en e stru c tu ra s d e tip o co rrie n te re s u lta d e 1.7, q u e p u e d e c o n s id e ra rs e a c e p ta b le p a ra n u e stro m ed io , en té rm in o s g en e rales. N ota: 1. E n to d o s los ca so s se d e b e u tiliz a r el re su lta d o m ás d e sfa v o ra b le y en n in g ú n c a so se tra b a ja rá c o n u n “ U ” in fe rio r al u tiliz a n d o p a ra ca rg a s v ertic ales. E x p resio n es p a ra el cá lc u lo y su ta b u la c ió n 2. P a ra tra b a ja r en las c o n d ic io n e s e sp e c ific a s del m e d io en el cu a l se d is e ñ a rá y c o n stru irá la e stru c tu ra , el d ise ñ a d o r p u e d e e s c o g e r d e sd e los fa c to re s a n te rio re s h a sta o tro s lig e ra m e n te su p e rio re s seg ú n su criterio . 74 75 C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I Expresando <j)Mn en fu n c ió n de “ a ” : 0 .8 5 f c <t>Mn = <|>Asf d— 2 P fy , en d o n d e a = r\ n r r t d . 0.85f¿ Este v a lo r de “ a ” es ta b u la b le en la form a: d - a /2 = jd £ = — , ta m b ié n en fu n c ió n d e p d 0.8 5f¿ F ig u ra 2.31 De la fig u ra 2 .31: N o ta c ió n : M U (|)Mn = L u eg o : = M o m e n to d e fle x ió n o m o m e n to ac tu a n te = C o e fic ie n te d e c a rg a a id = d — , este v a lo r d e j se p u e d e ta b u la r en la fo rm a de: J 2 M o m e n to a c tu a n te ú ltim o o m o m e n to d e d iseñ o Mn = M o m e n to d e fa lla a la re siste n c ia ú ltim a o m o m e n to (j> N o m in a l = C o e fic ie n te d e re d u c c ió n b d 2, 1 a - — 2d R e f u e r z o m í n i m o d e e l e m e n t o s a f le x ió n En cu a n to al re fu e rz o m ín im o d e e le m e n to s so m e tid o s a flex ió n , d ice el R eg lam en to N S R -1 0 en la se c c ió n C . 10.5.1 “e n to d a se c c ió n d e u n e lem e n to som etido a flex ió n c u a n d o p o r an á lisis se re q u ie ra re fu e rz o d e tra c c ió n , ex cepto lo e sta b le c id o en C . 10.5.2, C. 10.5.3 y C . 10.5.4, el A s p ro p o rc io n a d o (j)Mn = M u = U M 1 -0 .5 9 • j = e x p re s ió n a p a rtir d e la cu a l se no debe ser m e n o r q u e el o b te n id o p o r m ed io de: f.: c a lc u la la c u a n tía del re fu e rz o p en fu n c ió n del m o m e n to a c tu a n te A s.min = ° ' 2 5r ^ L b w d ú ltim o , de los m a te ria le s fy y f c' y d e la se c c ió n b d , p o r lo cual se (C . 10-3)' v y c o n stitu y e en u n sen c illo p ro g ra m a d e diseñ o . p ero n o m e n o r a 1.4 b w d / f y E sta e x p re sió n ta m b ié n p u e d e esc rib irse: f > (j)Mn = K b d " , en d o n d e K = <j)pfy 1 - 0 . 5 9 p — es ta b u la b le en f C y fu n c ió n d e p Lo esta b le c id o en el artic u lo C. 10.5.2 es q u e “p a ra lo s e le m e n to s estática m e n te d e te rm in a d o s co n el a la en tra c c ió n , A S!m¡n n o d e b e rá ser m en o r q u e el v a lo r d ad o p o r la e c u a c ió n (C .1 0 -3 ) re e m p la z a n d o b w p o r 2 b w, o el an c h o d el ala, el q u e sea m e n o r” . D e aquí: d = - ^ y ^ ^ iL = k 2 1 (f)Mn 76 en d o n d e el v a lo r d e ig u a lm e n te tab u lab le. k2 es 77 Estructuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión R e s p e c to d el artic u lo C . 10.5.3 d ice “ los re q u is ito s d e C . 10.5.1 y C. 10.5.2 no n e c e s ita n se r a p lic a d o s si en c a d a se c c ió n d e A s p ro p o rc io n a d o es al m en o s u n te rc io su p e rio r al re q u e rid o p o r a n á lis is” . E n el C. 10.5.4 d ice “ p a ra lo sas e stru c tu ra le s y z a p a ta s d e e s p e so r u n ifo rm e, A Sjmjn en la d ire c c ió n d e la lu z d eb e se r el m ism o re q u e rid o p o r C .7 .1 2 .2 .1 . E l e sp a c ia m ie n to m á x im o de este re fu e rz o n o d eb e e x c e d e r tres v ec es el e sp e so r, ni 4 5 0 m m ” . f'c = 2 1 .1 M P a y a c ero p a ra f> = 2 4 0 M P a y u n a c a rg a to ta l de 8.96 k N /m (N ótese que esta c a rg a es la o b te n id a co m o so p o rta d a en c o n d ic io n e s de seguridad p o r la v ig a d el p ro b le m a 2 . 1 , d e sec ció n , luz, tip o de carg a, condiciones d e a p o y o y m a te ria le s id én tico s a este p ro b le m a , c u a n d o la s e c c i ó n estab a re fo rz a d a co n 4 <|>7 /8 ”). S o lu c ió n Se trata de o b te n e r u n a c a rg a ú ltim a y u n m o m e n to a c tu a n te ú ltim o a p a rtir del cual se o b tien e p . D istr ib u c ió n de r e fu e r z o a fle x ió n en v ig a s C o n el p ro p ó sito de lim ita r el a g rie ta m ie n to p o r fle x ió n en v ig a s el re fu erz o d e tra c c ió n p o r fle x ió n d eb e d istrib u irse a d e c u a d a m e n te d e n tro d e la z o n a de tra c c ió n m á x im a a fle x ió n d e la s e c c ió n tra n sv e rsa l d e u n e lem e n to de ac u e rd o a los re q u e rim ie n to s d el R e g la m e n to en el artic u lo C. 10.6.4 q u e d ice: “ el esp a c ia m ie n to del re fu e rz o m ás c e rc a n o a u n a su p e rfic ie en tra c c ió n , s en m m , n o d eb e se r m a y o r q u e el d ad o por: 1) O btención de w u , F. de S. y (j)Mn : La a p lica ció n d el c o e fic ie n te d e c a rg a U = 1.2D + 1.6L im p lic a el co n o c im ien to d e las p o rc io n e s de c a rg a to tal q u e c o rre s p o n d e n a c a rg a m u erta y c a rg a v iv a. D el p ro b le m a 2 .1 , se ob tien e: w u = 1.2 x 3.6 + 1.6 x 5.36 = 12.90 k N /m U (c o e fic ie n te d e c a rg a p o n d e ra d o ) = s = 380 12.90 ■= 1.44 (C .1 0 -4 ) p e ro n o m a y o r q u e 3 0 0 ( 2 8 0 / fs), d o n d e Ce e n m m , es la m e n o r d ista n c ia d e s d e la su p e rfic ie del re fu e rz o o a c e ro d e p re -e sfo rz a d o a la c a ra en tra c c ió n . Si el re fu e rz o m as ce rca n o a la c a ra en tra c c ió n ex tre m a c o rre s p o n d e a u n a so la b a rra o u n so lo a la m b re , el v a lo r d e s a u tiliz a r en la ec u a c ió n (C .1 0 -4 ) es el an c h o d e la c a ra en tra c c ió n extrem a. El e sfu e rz o c a lc u la d o f s ( M P a ) en el re fu e rz o m ás ce rca n o a la ca ra en tra c c ió n p a ra ca rg a s d e se rv ic io d e b e o b te n e rse co n b a se en el m o m e n to no F a c to r d e S e g u rid a d (F. de S.) = <t>Mn = 2) 1.44 = 1.60 12 90 * 8 2 - - — = 103.20 kN -m A rm ad u ra: U san d o las fó rm u la s o la c a lc u la d o ra p ro g ram ad a: m ay o ra d o . Se p e rm ite to m a r f co m o 2 /3 f ” . <t>M„ =<)>pfy l - 0 . 5 9 p f b d 2 P ro b le m a 2.12 D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e s a ria a la flex ió n e n u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m , sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a en c o n c re to de ..1 0 3 .2 0 = 0 .9 * p * 2 4 0 0 0 0 í 1 - 0 . 5 9 * P l .-. 78 p 2 - 0 .1 4 9 0 1 l p + 0 .0 0 1 2 2 6 = 0 * 0 .3 0 * 0 .4 4 " 21100 C apítulo 2 Flexión Estructuras de C oncreto I P r o b le m a 2 .1 3 d e d o n d e se escoge: p = 0 .0 0 8 7 4 /. A s = 0 .0 0 8 7 4 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1154 m m 2 R e s u lta in fe rio r al v a lo r d e la p p a ra el c a so d e la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta lim ite d e trac ció n . L a so lu ció n p o r ta b la s a p a rtir d e (j>Mn : K = bd2 = — ^ .2 0 0 .3 0 * 0 .4 4 _ 1775 9 o p (p o r in te rp o la c ió n )= 0 .0 0 8 7 4 R evisar el d iseñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el ce n tro d e la lu z d e 8 m etros de u n a v ig a sim p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e , co n m ateriales y re fu e rz o c o m o a p a re c e en la sec c ió n ad ju n ta, d e te rm in a n d o su m om ento re siste n te ú ltim o de d iseñ o , la c a rg a w en k N /m q u e p u ed e so p o rtar cu a n d o el fa c to r d e s e g u rid a d sea de 2 . 0 y cu ál sería el fa c to r de seg u rid ad re su lta n te si co n sid e ra m o s q u e la c a rg a to tal a c tu a n te es de 8.96 k N /m , o b te n id a en el p ro b le m a 2.1 co m o so p o rta d a en c o n d ic io n e s de seg u rid ad p o r u n a v ig a s im ila r de a c u e rd o co n u n d ise ñ o p o r el m éto d o elástico. 0 .3 0 C o n cre to : fc' = 21.1 M P a A s = 0 .0 0 8 7 4 0 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1154 m m 2, o b te n ié n d o s e el m ism o re su ltad o S e c o lo c a 3 § 7 /8 ” (A s= 1161 m m 2) u sa n d o <j> 7 /8 ” p a ra c o m p aració n , q u e es in fe rio r e n u n a b a rra a las c u a tro n e c e sa ria s p o r el m éto d o elástico . U n a de las ra z o n e s d e esta d ife re n c ia es el fa c to r d e se g u rid a d q u e a q u í es d e 1.60 y en el m é to d o e lá stic o el fa c to r de se g u rid a d se asu m e p o r e n c im a d e 2 .0 . E sto se c o n firm a si se d ise ñ a el p ro b le m a a n te rio r p a ra u n fa c to r d e s e g u rid a d d e 2 .0 , es d ecir, c o e fic ie n te de c a rg a d e 1 .8 : = 8 .9 6 * 8 * li8 4 0 7 /8 " \ Figura 2.32 S olu ción Se trata d e o b te n e r el m o m e n to re siste n te ú ltim o de d ise ñ o a p a rtir d e la cu an tía p e x iste n te , lu eg o , la c a rg a a so p o rta r p a ra u n fa c to r de se g u rid a d su m in istrad o y, fin a lm e n te , el fa c to r d e s e g u rid a d cu a n d o la c a rg a w es su m in istra d a co m o se g u ra en u n d ise ñ o elástico , o b te n ié n d o se así el fa c to r de seg u rid a d d e este m é to d o p a ra el p ro b le m a an tes citad o . = 12 9 .0 2 kN -m 1) O b ten c ió n d e p : 8 £ R efu e rzo : f = 2 4 0 M P a 0 .5 0 _ # 4 ^ _ — 129.02 _ bd2 0 .3 0 * 0 .4 4 ^ 2 y 4 . p (p 0 r P= jn te rp o la c ió n )= 0 .1 1 1 1 4 2) A s = 0 .0 1 1 1 1 4 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1467 m m 2, q u e to d a v ía n o s re su lta p o r d e b a jo d e las cu a tro b a rra s d e <f>7 /8 ” , p ero q u e sin e m b a rg o las A_ 4*387 bd 300*440 = 0 .0 1 1 7 2 7 O b te n c ió n d e (j>Mn : A p a rtir de las fó rm u las: p o d ría m o s c o lo c a r en u n a a c o m o d a c ió n d el re fu e rz o p o r ex ceso . (j)Mn = c()As f y (d - a / 2 ), en do n d e: 80 81 E structuras de C oncreto I a = C apítulo 2 Flexión P r o b le m a 2.14 P fy , 0 .0 1 1 7 2 7 * 2 4 0 * _ d = * 4 4 0 = 69.1 m m 0 .8 5 f¿ 0 .8 5 * 2 1 .1 (|)Mn = 0.9 * 4 * 0 .0 0 0 3 8 7 * 2 4 0 0 0 0 * (0 .4 4 - 0 .0 6 9 1 0 /2 ) = 135 .5 7 k N .m D iseñar la a rm a d u ra n e c e s a ria a fle x ió n en u n a v ig a de 0 .3 0 x 0 .5 0 m , sim p lem en te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m etro s, a rm a d a en c o n c re to de f 2 = 2 1 .1 M P a y a c e ro p a ra fy= 2 4 0 M P a y co m o a lte rn a tiv a p a ra fy = 4 2 0 M P a, si so p o rta u n a c a rg a u n ifo rm e to tal d e 10 k N /m , de la cu a l el A p a rtir de las tab las: 80% es carg a m u e rta y el 20% es c a rg a v iva. <()Mn = K b d “ p a ra K c o rre s p o n d ie n te a p = 0 .0 1 1 7 2 7 S o lu c ió n (j)Mn = 2 3 3 3 .4 * 0 .3 0 * 0 .4 4 2 = 135.52 kN-m, o b te n ié n d o se Se trata d e o b te n e r u n m o m e n to a c tu a n te y , co n u n fa c to r d e ca rg a, q u e el d iseñ ad o r p u e d e c o n s id e ra r a p ro p ia d o p a ra las c o n d ic io n e s e sp e c ific a s de este p ro b lem a, u n m o m e n to ú ltim o d e d iseñ o , a p a rtir del cu al o b te n e m o s re su lta d o s iguales. las arm a d u ras p a ra c a d a c a lid a d d e acero. 3) C a rg a w en k N /m q u e p u e d e so p o rta r p a ra u n fa c to r de se g u rid a d d e 2.0: 1) M o m en to a c tu a n te , c o e fic ie n te d e c a rg a y m o m e n to ú ltim o d e d iseñ o : (j)Mn = 135.57 kN -m = W u / = W“ 8 8 8 w u = 16.94 k N /m M o m en to a c tu a n te = M = 14 8 U = — — = 1.48 10 4 ) F a c to r d e S e g u rid a d p a ra u n a c a rg a to ta l a c tu a n te d e 8 .9 6 k N /m : y .-. 2.10 q u e se ría el c o rre s p o n d ie n te al d ise ñ o p o r el m é to d o e lá stic o e n el p ro b le m a 2 . 1 . 2) A rm ad u ras: Se p u e d e n o b te n e r p o r la a p lic a c ió n d el p ro g ra m a \ b d “ co n p en fu n c ió n d e <|)Mn o p o r in te rm e d io fc J de la tab u lac ió n e fe c tu a d a p a ra esta m is m a e x p re sió n . A sí: a) 82 m u y a p ro x im a d o al fa c to r d e c a rg a c o n ju n to re c o m e n d a d o a rrib a d e 1.5 (D + L). <J)Mn = 1.4 8 * 8 0 = 118.4 kN -m (|>M„ = <)>pf, 1 - 0 . 5 9 p 1.89 = = 8 0 kN -m 8 w u = 1 .4 * 0 .8 0 * 1 0 + 1 .8 * 0 .2 0 * 1 0 = 14.8 k N /m 2 .0 . F de S = 10 * 82 U tiliz an d o u n c o e fic ie n te de c a rg a U = 1.4D + 1.8L, resu lta: c o n c lu y é n d o se que el re su lta d o o b te n id o en el p ro b le m a 2 . 1 im p lica u n fa c to r d e s e g u rid a d p o r e n c im a de 16 94 Si w u = 16.94 k N /m , e n to n c e s U = — 1— = 1.89 8.96 = 8 Si el fa c to r d e se g u rid a d es 2 .0 ; U = 2 .0 * 0 .9 = 1 . 8 16 94 w = — :— = 9.41 k N /m , ^ w f2 U tiliz a n d o f y = 2 4 0 M Pa: 83 E structuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión 118.4 b d : “ 0 3 ^ 0 4 ? = 2038'6: p = 0 .0 1 0 1 2 7 A s = 0 .0 1 0 1 2 7 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1337 m m 2 - 2<j,7/8”+ 2 c(, 3 /4 ” E sta a rm a d u ra , ta m b ié n p rin c ip a lm e n te p o r la d ism in u c ió n en el ta c to r d e se g u rid a d , re su lta in fe rio r a la o b te n id a p o r el m é to d o e lá stic o en el p ro b le m a 2 . 4 p a rte “ a ” . b) V IG A S R E C T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A a T R A C C IO N Y A C O M P R E S IO N Se trata de o b te n e r u n a e x p re sió n d e m o m e n to re siste n te ú ltim o p a ra v ig as rectan g u lares so m e tid a s a fle x ió n co n a rm a d u ra a tra c c ió n y a c o m p re sió n , tam bién co n o c id a s s im p le m e n te co m o v ig a s co n a rm a d u ra a c o m p re s ió n o vigas d o b le m e n te a rm a d a s, seg ú n la te o ría de la re s is te n c ia ú ltim a, co m p lem en tan d o co n lo s re q u e rim ie n to s d el R e g la m e n to N S R -1 0 . U tiliz an d o f y = 4 2 0 M P a : A p a rtir d e K = p = 0 .0 0 5 5 1 6 = 1 9 4 9 ■0 se o b tien e q u e ta m b ié n en este caso re su lta in fe rio r a la cu an tía c o rre sp o n d ie n te a la d e fo rm a c ió n u n ita ria n eta lim ite de tracció n . As - 0 .0 0 5 5 1 6 * 3 0 0 * 4 5 0 = 745 m m 2 ~ 2<|> 3 /4 ” + 1 <j>5 / 8 ” a rm a d u ra in fe rio r a la o b te n id a c o n el a c ero d e b a iJ re siste n c ia u tiliz a d o en “ a ” , p o r lo q u e el c a m b io en la calid ad d el a c ero d e b aja a a lta re s iste n c ia p u e d e re p re s e n ta r una so lu c ió n a la a c o m o d a c ió n d el re fu e rz o en se c c io n e s m u y c o n g e stio n a d a s. y El refuerzo a c o m p re s ió n se u sa c u a n d o la se c c ió n e stá lim ita d a a u n as d im en sio n es d e te rm in a d a s p o r re q u is ito d el p ro y e c to d el cu a l h a c e p arte. O tra p o sib ilid a d d e u s o d e este re fu e rz o es c u a n d o se re q u ie re re d u c ir las d eflex io n es a larg o p la z o y ta m b ié n en el caso en q u e se n e c e site so ste n e r los estrib o s o fle je s d e te rm in a d o s p o r el d ise ñ o p a ra fu e rza s de co rte. Aun cu a n d o se p u e d a c o n s id e ra r los c a so s en el d ise ñ o d e estas se c c io n e s según que el re fu e rz o a c o m p re s ió n e ste o no en su lím ite elástico , tratarem os en este tex to so la m e n te el c a so m ás u su a l q u e c o rre s p o n d e a la co n sid eració n d el re fu e rz o a c o m p re sió n en el lím ite elástico . T am bién por el m étod o de la resisten cia últim a existe, en o ca sio n es la im posibilidad d e aumentar las d im en sion es d e sec cio n e s som etida^ a m om en tos H éctores ú ltim os o de d iseñ o m ayores que los resistidos por la secció n , rem endóse que usar una armadura en la zona de com p resion es que im p lica una armadura ad icional a tracción, produciendo en ton ces las denom inadas v igas con armadura a com presión. S in em bargo hay ca so s de r e s lÍ n d a ^ m " 8 ^ ^ COmPresión sin que « tenga razones de a s is te n c ia , com o cuando co n esta armadura se pretende reducir las flech as por flu en cia lenta o retracción de fraguado o cuando tal armadura se usa F ig u ra 2.33 L lam ando: d fseñ o deTatem m ient° ^ eStrib° S' A continuación relacion es para el d iseñ o d e las vigas con armadura a com presión, tam bién llam adas v igas con armadura d oble, por el m étod o de la resisten cia últim a. S As = A re a to ta l d el a c e ro en tra c c ió n A' = A re a d el a c e ro en c o m p re sió n As- A' = A rm a d u ra a tra c c ió n c o rre s p o n d ie n te c o m p re sió n en el co n c reto . 84 85 a la Estructuras de C oncreto I C apitulo 2 Flexión A p a rtir de la c o n sid e ra c ió n d e q u e tan to co m o A s A ; lle g a n a su lím ite A elástico en el in stan te de la falla, se p lan tea: la falla, M n = m o m en to re siste n te ú ltim o o d e fa lla = M nl + M n 2 , en donde: p ara lo cu al se e sp e c ific a p - p ’= - A 's s < p, o p max y co rresp o n d e a la d e fo rm a c ió n u n ita ria n e ta lím ite d e tra c c ió n de 0 .0 0 5 del refuerzo en sec cio n es c o n tro la d a s p o r trac ció n . M ni = ( A S - A ' ) * f y * ( d - a / 2 ) , q u e e s la p a rte del m o m en to d e sa rro lla d o p o r la a rm a d u ra a tra c c ió n (A s - A ' s ) y la Por o tra p arte p - p ' ^ ( p - p ') min. que d e d u c im o s a p a rtir del d ia g ra m a de defo rm acio n es ú ltim a s en el in stan te d e falla: c o m p re s ió n en el co n c reto . M n2 = A ' * f y * (d - d ' ) , q u e e s la p a rte del m o m en to kud d e sa rro lla d o p o r la s fu e rza s en la a rm a d u ra a c o m p re sió n y un á re a ig u al d e la a rm a d u ra a tracció n . d-kud F ig u ra 2.34 S i se llam a: se tien e que: A p = —i bd a = A f v y n' _ _ P bd En el cual: (p -p ')fv kud - d ' y d kud 0 .8 5 f ' de donde: El m o m e n to re siste n te ú ltim o será: ku = su d' (£u _ 8 s ) d M n = (A s - A s ) f y ( d - a / 2 ) + A ' f y ( d - d ' ) Por o tra parte: D e a c u e rd o co n la s p ro v isio n e s de se g u rid a d d el R e g la m e n to , el m o m e n to d e d iseño: ^ M n = <{>{ (A s - a ; ) f y (d - a / 2 ) + a ; f y (d - d ' ) } T o d o el d esa rro llo se b asa en la h ip ó te s is d e q u e tan to el re fu e rz o a trac ció n co m o el re fu e rz o a c o m p re sió n a lc a n c e n su lím ite e lá stic o en el in sta n te de 86 ku = ( p - p 'X y 0 . 8 5 f 'k , Por tanto: fl. ( p - p ' ) = 0 .8 5 - ^ k , f, d' 8 .. - 8 87 d C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I Si en el in sta n te d e fa lla se h ac e s u = 0.003 y s ' = f / w í2 1 4 .3 2 * 8 2 M o m en to a c tu a n te = — — = -----= 114.56 kN -m / ^ , n o cfc, 600 d' ( p - p jm in = 0.85 — k , --------------v ’ fy 6 0 0 -fy d Para un factor de seguridad de 2 .0 se utiliza U - 1.8 en d o n d e ki = (3, del R e g la m e n to c o lo m b ia n o . (j)Mn= 1 .8 * 1 1 4 .5 6 = 206.21 kN -m . P o r tan to , p a ra u n a p ' m e n o r y p o r c o n sig u ie n te u n ( p - p ' ) m a y o r q u e el o b te n id o p o r la e x p re sió n a n te rio r se g a ra n tiz a el cu m p lim ie n to d e la h ip ó te sis b á sic a se g ú n la cu a l el re fu e rz o a tra c c ió n co m o el re fu e rz o a c o m p re sió n a lc a n z a su lím ite e lá stic o en el in sta n te d e la falla. A c o n tin u a c ió n , ex p u e sto s. p ro b le m a s de a p lic a c ió n s o b re los c o n c e p to s Se co m p a ra d esa rro llad o co m p resió n , d efo rm ació n antes este por en n e ta re su lta d o c o n el <|>Mni, o sea, el m o m e n to m á x im o la m á x im a a rm a d u ra a tra c c ió n y el c o n c re to a la se c c io n e s c o n tro la d a s p o r la tra c c ió n c o n u n a lim ite de tra c c ió n de 0 .0 0 5 en el refu erzo . f A (j)Mn l=(|> pfv 1 - 0 . 5 9 p — bd; P ro b le m a 2.15 que p a ra p m á x im a de d ise ñ o = 0 .0 2 3 8 4 , resu lta: D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e sa ria a flex ió n en u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m , sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a en c o n c re to de fc = 2 1 .1 M P a y a c ero p a ra fy = 2 4 0 M P a y u n a c a rg a e x te rio r de 10.72 k N /m . (S e re s u e lv e el p ro b le m a 2 .1 0 p o r el m é to d o d e la re siste n c ia ú ltim a, q u e p o r el m é to d o e lá stic o re q u irió a tra c c ió n 4 $ 1” + 2 <j>7 /8 ” y a (j)Mnl = 0.9 * 0 .0 2 3 8 4 * 240000 * 1 -0 .5 9 * 0 .0 2 3 8 4 240000 21100 * 0 .3 0 * 0 .4 3 ' 4>Mnl = 23 9 .9 4 kN -m , v a lo r s im ila r al o b te n id o p o r las tab las: c o m p re s ió n 3 <{>5 /8 ” ). <\Mn] = 4 3 2 5 .4 * 0 .3 0 * 0 .4 3 2 = 2 3 9 .9 3 kN -m S o lu ció n S e tra ta d e o b te n e r u n m o m e n to a c tu a n te ú ltim o y d o ta r a la se c c ió n d e un m o m e n to re sis te n te e q u iv a le n te ; se tra b a ja c o n un fa c to r d e se g u rid a d d e 2 . 0 p a ra h a c e r m ás c o m p a ra b le s los re s u lta d o s c o n los o b te n id o s e n el p ro b le m a 2 .10. Lo a n te rio r sig n ific a q u e en la p ro v isió n a la sec ció n d e u n m o m e n to re siste n te ú ltim o ig u al a 206.21 kN -m , to d a v ía se e stá , p a ra el m éto d o de la re siste n c ia , d e n tro del p e río d o d e v ig a s c o n só lo a rm a d u ra a 1) O b te n c ió n d e <j)Mn y c o m p a ra c ió n c o n <|>Mn l: C arg as: p. p ro p io v ig a: 0 . 3 0 x 0 . 5 0 x 1 .0 0 x 2 4 c a rg a so b re la v ig a: = 3 .6 0 k N /m = 10.72 k N /m w = 14.32 k N /m 2) A rm ad u ra: De ac u e rd o a la c o n c lu s ió n an terio r, d ise ñ a m o s esta v ig a c o n só lo a rm a d u ra a la tra c c ió n , así: 89 E structuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión ( f (j>Mn =<t>pfy 1 - 0 . 5 9 p -^i„ \ 2 bd* 206.21 = 0 .9 * p * 2 4 0 0 0 0 * í 1 - 0 . 5 9 p ^ 5 ^ 2 2 1 * o .3 0 * 0 .4 3 2 v 21100 J p = 0 ,0 1 9 8 6 2 1) O btención de <j)Mn y com paración con (j)Mnl Cargas: p. propio viga: 0 .3 0 * 0 .5 0 * 1.00*24 carga sobre la viga: w Ig u a lm e n te , p o r las ta b la s re su lta: M K = actuante = = = 3 .6 0 k N /m 2 1 .4 4 k N /m = 2 5 .0 4 k N /m 25 0 4 * 8 2 — = 2 0 0 .3 2 kN -m 206.21 0~ 30*0 4 3 2 = 3 7 1 7 -5 ; P (in te rp o la d a ) = 0 .0 1 9 8 5 8 P ara un F. d e S. d e 2 .0 se u tiliz a U = 1 . 8 A s = 0 .0 1 9 8 6 2 * 3 0 0 * 4 3 0 = 2 5 6 2 m m 2 ~ 4 ( | . l ” + 2<t>7/8” (2 8 1 4 m m 2) S e c o n c lu y e q u e p o r el m é to d o d e la re sis te n c ia ú ltim a y c o n fa c to r de se g u rid a d d e 2 .0 , el d ise ñ o d e la v ig a d el p ro b le m a 2 . 1 0 sólo re q u ie re la a rm a d u ra a tra c c ió n en c a n tid a d q u e se a p ro x im a a la o b te n id a p o r el m éto d o elástico . L a d ife re n c ia c o n la a rm a d u ra a c o m p re sió n se debe, p rin c ip a lm e n te , a los fa c to re s d e s e g u rid a d q u e se u saro n p a ra cada d iseño. <|>Mn = 1 .8 * 2 0 0 .3 2 = 3 6 0 .5 8 kN -m . Se c o m p a ra este re s u lta d o co n (f)Mnl, o sea, el m o m e n to m á x im o d e sa rro lla d o p o r la m á x im a a rm a d u ra a la tra c c ió n y el c o n c re to a co m p re sió n , en se c c io n e s c o n tro la d a s p o r la tra c c ió n c o n u n a d e fo rm a c ió n n e ta lim ite d e tra c c ió n de 0 .0 0 5 en el refu erzo : <j)Mn] = <j>Pfy l1--00. .5599 p -— y b d 2, q u e p a ra p m á x im a d e d iseñ o f ' /, v = 0 .0 2 3 8 4 vale: <j)Mnl = 0 . 9 * 0 . 0 2 3 8 4 * 2 4 0 0 0 0 * ^ l - 0 . 5 9 * 0 . 0 2 3 8 4 ^ ^ j * 0 . 3 0 * 0 . 4 1 2 P r o b le m a 2.16 D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e sa ria a flex ió n en u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, u tiliz a n d o c o n c re to de fe - 2 1 . 1 M P a y a c ero p a ra fy = 2 4 0 M P a y u n a c a rg a e x te rio r de 2 1 .4 4 k N /m . (S e d e sta c a q u e e sta c a rg a es el d o b le d e la c o rre sp o n d ie n te al p ro b le m a 2 .1 5 y c u a tro v e c e s la d el p ro b le m a 2 .1 2 c o n m iras a c o m p a ra r re s u lta d o s y fija r ó rd e n e s d e m a g n itu d d e c a rg a s c o n tra lu ces y sec cio n es). (j)Mnl = 2 1 8 .1 4 k N -m (se usa d = 0.41 m esp eran d o u n a arm ad u ra su p erio r a la del p ro b lem a anterior). E ste re s u lta d o sig n ific a q u e en la p ro v isió n a la se c c ió n d e u n m o m e n to re sisten te ú ltim o , se re q u ie re la c o n trib u c ió n d e la a rm a d u ra a c o m p re sió n p ro d u c ié n d o se u n d ise ñ o d e v ig a d o b le m e n te arm ad a. S o lu ció n .-. S e tra ta d e o b te n e r u n m o m e n to a c tu a n te ú ltim o y d o ta r a la sec ció n d e u n m o m e n to re siste n te e q u iv a le n te ; se m a n tie n e el fa c to r d e se g u rid a d d e 2 . 0 co n el fin d e c o te ja r re su ltad o s. 2) a) (t>Mn2 = (t)Mn —<|)Mnl = 3 6 0 .5 8 -2 1 8 .1 4 = 1 4 4 .4 4 kN -m A rm a d u ra: A rm a d u ra a trac ció n : 90 91 C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I A s = p m á x im a d e d ise ñ o * b d + <t>M„2 7— 7 - • — 77 (|>f ( d - d ) 0 002065 m “ (2 0 6 5 m m 2) R efu e rzo : 3(j>r+l<|>l% "(2175m m 2) 144.44 A s = 0 .0 2 3 8 4 * 0 .3 0 * 0 .4 1 + A ' = --------------- 1 4 4 A 4 = 5 0.9 * 2 2 2 0 0 0 * (0 .4 1 - 0 .0 6 ) 0 .9 0 * 2 4 0 0 0 0 * (0 .4 1 - 0 . 0 6 ) c) C h eq u eo d e cu an tías: A s - 0 .0 0 4 8 4 3 m 2 p_p' = A s ~ ^ = 4863~ 2 — = 0 .0 2 1 8 5 < 0 .0 2 3 8 4 A s = 4843 m m 2 F H bd 300*410 R efu e rzo : 2<{)l% "+5<j)l% "(4863m m 2) , „ ^ p ' (p-p C hequeo de “d ” : , CAA 2 * 8 1 9 * 6 0 + 2 * 6 4 5 * 6 0 + 3 * 6 4 5 * 1 2 0 d = 5 0 0 -----------------------------------------------------------2*819 + 5*645 d = 5 0 0 - 8 3 . 8 7 = 4 1 6 m m ~ 0.41m p -p r\ , mm = 0 .8 5 f ;n f p, y 16 600 d' —— 0 0 - f. d y , 0 .8 5 * 21.1 * A oc * 600 * 60 m i n = ---------------- * 0 . 8 5 * ---------------- * — 240 6 0 0 - 2 4 0 410 ( p - p ') m í n = 0 .0 1 5 4 9 3 3 0 1 1/8" J A P o r tan to re su lta : (p - p ') m ín < (p - p ') < (p - p ')m á x 2 0 1 1 / 4"+/4 2 0 1 1/ 8 " N o t a : E sta so lu ció n p u e d e re s u lta r te ó ric a en n u e stro m ed io , e n tre o tras F ig u ra 2.35 b) A rm a d u ra a la c o m p re sió n : A, _ ' 144.44_____ 4>r (d —d ’) 0 .9 * 2 4 0 0 0 0 * ( 0 .4 1 - 0 .0 6 ) razones p o r la p o sib le d ific u lta d d e c o n se c u c ió n en la a c tu a lid a d d e las barras en lo s d iá m e tro s u s a d o s p a ra la a rm a d u ra a tra c c ió n . C o m p a ra n d o con el p ro b lem a 2 .1 5 , se o b se rv a la a p ro x im a d a p ro p o rc io n a lid a d e n tre la c a rg a y la a rm a d u ra a tra c c ió n c o rre s p o n d ie n te , p a ra u n m ism o fa c to r de seg u rid ad . F in a lm e n te , el R e g la m e n to c o lo m b ia n o e s p e c ific a q u e el re fu e rz o a co m p re sió n en e le m e n to s so m e tid o s a fle x ió n d eb e a se g u ra rse m e d ia n te estribos en la m is m a fo rm a q u e el re fu e rz o a c o m p re sió n en co lu m n as. A '. = 0.00191 lm 2 ( l 9 1 1 m n r ) el re fu e rz o , p a ra lo cu a l p la n te a n : f s' = f y - 0 . 8 5 f c' = 2 4 0 - 0 .85*21.1 = A c o n tin u a c ió n u n a so lu c ió n al re s u lta d o c a lific a d o c o m o te ó ric o del p ro b lem a an terio r, c o n siste n te en re e m p la z a r la a rm a d u ra d e b a ja re siste n c ia por a rm a d u ra de a lta re s is te n c ia q u e p e rm ita u tiliz a r d iá m e tro s in fe rio re s de norm al o c u rre n c ia y q u e ad e m á s m u e stre al le c to r la ju s tific a c ió n de este 222 M Pa tipo d e re fu e rz o c o m o so lu c ió n a se c c io n e s c o n g e stio n a d a s. A lg u n o s a u to re s c o n sid e ra n q u e se d eb e a u m e n ta r el A 's p o r la d is m in u c ió n de la m is m a á rea d e c o n c re to a c o m p re sió n d e sa lo ja d o p o r 92 93 Estructuras de C oncreto I C apitulo 2 Flexión P ro b le m a 2 .1 7 R efu e rzo : 3 <j) 1” +3 <j) 7 /8 ” (2 6 9 4 m m ") D is e ñ a r la v ig a d el p ro b le m a 2 .1 6 u tiliz a n d o a c ero p a ra fy = 4 2 0 M P a y el m ism o fa c to r de seg u rid ad . 2 S o lu ció n P ara el C h e q u e o d e “d ” m ism o fa c to r de se g u rid a d y m o m e n to a c tu a n te últim o <j>Mn = 3 6 0 .5 8 kN -m , co m p a ra m o s c o n el <j)Mnl o b te n id o p a ra las n u e v a s c o n d ic io n e s d e los m a te ria le s y se c o lo c a n a c o n tin u a c ió n las a rm a d u ra s p o r u n p ro c e so sim ila r al u tiliz a d o en el p ro b le m a an terio r. 0 7 / 301"+ / 10 7 /s" 8 _ 3*510*60 + 1*387*110 + 2*387*110 2694 . 0 06 z = 74.3 d = 500 - 74.3 = 4 2 5 .7 m m ~ 0 .4 2 m F ig u ra 2 .3 6 1) O b te n c ió n d e (|>Mnl y <j)Mn2: b) f ♦ M nj = < |> p f v \ bd 1-0 .5 9 p — f c' w é M n2 A rm a d u ra a c o m p re sió n : A s = —— ^ : ( d - d ') en d o n d e f s' = f y - 0 .8 5 f; = 4 2 0 - 0 . 8 5 * 2 1 . 1 = 4 0 2 M P a y q u e p a ra p m á x im o d e d ise ñ o = 0 .0 1 3 6 2 vale: A ' = ---------------- + + ! ------------------= 0 .0 0 0 9 8 4 m 2 (9 8 4 m m 2) 0 .9 * 4 0 2 0 0 0 * ( 0 .4 2 - 0 . 0 5 ) r <j>Mnl = 0 .9 * 0 .0 1 3 6 2 * 4 2 0 0 0 0 * 1 - 0 .5 9 * 0 .0 1 3 6 2 * — l 21.1 * 0 .3 0 * 0 .4 2 R e fu e rz o :3 ^ )3 /4 ”+ 1 4>5/8” (1051 m m 2) <í>Mnl = 2 2 8 .8 7 k N -m c) <\>Mn2 = <j)Mn - < j ) M nl = 3 6 0 . 5 8 - 2 2 8 .8 7 = 131.71 2) kN -m A rm a d u ra: a) C h e q u e o d e cu an tías: K A rm a d u ra a tracció n : A s = ( p m á x im o d e d is e ñ o )* b d + ^ n2 4>fy ( d - d P a ra la sec c ió n p ro p u e sta el v a lo r ( p - p ') m í n su g ie re el c a m b io d e la sec ció n p rin c ip a lm e n te en lo c o n c e rn ie n te a la ') 131.71 Ac = 0 .0 1 3 6 2 * 0 .3 0 * 0 .4 2 + 2 6 9 4 _ J 0 5 1 = o _ o i3 0 4 < 0 .0 1 3 6 2 0 300*420 K a ltu ra q u e d e b e au m en ta rse. , \ , 0 .8 5 f ' 600 0.9 * 4 2 0 0 0 0 * (0 .4 2 - 0 .0 5 ) A s = 0 .0 0 2 6 5 8 m ~ (2 6 5 8 m m 2) 94 95 d' C apítulo 2 Flexión Estructuras de C oncreto I / a , 0 .8 5 * 2 1 .1 c * 600 p - p )m in = * 0 .8 5 * * 420 6 0 0 -4 2 0 50 - = 0 .0 1 4 4 0 4 420 1) <j>Mnl, <|>Mn, : <|>Mnl = 0 .9 * 0 .0 2 0 * 2 4 0 0 0 0 * * 0 .3 0 * 0 .4 1 ; 1 - 0 . 5 9 * 0 .0 2 0 * — 21.1 y S in e m b a rg o co m o se o b se rv a en los re su lta d o s , el c a m b io en la c a lid a d del <j)Mnl = 188.62 kN -m a c ero c u m p liría el o b je tiv o p ro p u e sto . (j)Mn2 = 3 6 0 .5 8 - 188.62 = 17 1 .9 6 kN -m E n o c a sio n e s se u sa el a c ero a c o m p re sió n p a ra c o n tro la r o red u cir las d e fle x io n e s a larg o p lazo . A lg u n o s a u to re s re c o m ie n d a n la u tiliz a c ió n d e ( p - p ' ) v a ria b le en tre 0 .1 8 * ( f c / fy) p a ra u n m á x im o co n tro l y que no exceda la c u a n tía m á x im a d e d iseñ o , sie m p re y c u a n d o el v alo r 2) Arm adura: a) d e (p - p ') = 0 . 18 * ( f c / fy) > ( p —p ') m ín im o . L a fo rm a co m o o p e ra este co n tro l c o n siste en q u e al re d u c ir el v a lo r de (p - p '), re d u c im o s el v a lo r d e <{)Mnl y p o r c o n sig u ie n te el tra b a jo d el c o n c re to y su d e fo rm a c ió n p o r flu e n c ia lenta. A c o n tin u a c ió n se p re se n ta un e je m p lo d e la u tiliz a c ió n de este p ro c e d im ie n to , p o c o fre c u e n te en el e je rc ic io p ro fe sio n a l, co n el p ro p ó sito p rim o rd ia l d e fa m ilia riz a r al le c to r co n el d ise ñ o y tra b a jo de las v ig a s con A rm a d u ra a trac ció n : 171.96 A s= 0 .0 2 0 * 0 .3 0 * 0 .41 + = 0 .0 0 4 7 3 1 irf 0 .9 * 2 4 0 0 0 0 * (0 .4 2 - 0 .0 6 ) A rm a d u ra: 5(j)lX "+l<l>l% "(4740m m 2) Ac = 4 7 4 0 m m ' a rm a d u ra a c o m p re sió n . 1 01 1/ 8 " P r o b le m a 2.18 + 101 1/4" 0.06 0.06 4 0 1 1/4" D is e ñ a r la a rm a d u ra n e c e sa ria a fle x ió n en el p ro b le m a 2 .1 6 co n el crite rio d e re d u c ir la d e fle x ió n p o r p la s tifíc a c ió n d el co n c reto , ad o p tan d o una c u a n tía (p - p ') = 0 .0 2 0 , a p ro x im a d a m e n te eq u id ista n te en tre Figura 2.37 ( p - p ' ) = 0 .1 8 * ( f c'/ f y) = 0 .0 1 5 8 2 5 y ( p - p ') m á x . = 0 .0 2 3 8 4 (sin control C h eq u eo d e “ d ” : d e d efle x ió n ). 4 * 8 1 9 * 6 0 + 1*819*120 + 1*645*120 S o lu ció n P a ra el m ism o fa c to r de s e g u rid a d y m o m e n to a c tu a n te ú ltim o d = 500 - 80 = 4 2 0 m m = 0.42 m <|>Mn = 3 6 0 .5 8 kN -m o b te n id o en el p ro b le m a 2 .1 6 , y co n el (|>Mnl ah o ra c a lc u la d o p a ra ( p - p ') = 0 .0 2 0 , se c a lc u la n <j)Mn2 y las arm a d u ra s b) co rre sp o n d ie n te s: A rm a d u ra a c o m p re sió n : A ' = — 4 >f s (d —d ') A ' = ---------------------------------- s 96 = 78.5 m m ~ 8 0 m m 4740 0 .9 * 2 2 2 0 0 0 * (0 .4 2 - 0 .0 6 ) = 0 002391 m 2 ( 2 3 9 1 m m 2) Estructuras de C oncreto I C apitulo 2 Flexión R efu e rzo : 3(|>1%"+ l(j)r'(2 4 4 5 m m 2) D e b e n o ta rse el a u m e n to e n la a rm a d u ra d e c o m p re sió n de uniform e, d e te rm in a n d o el m o m e n to re siste n te ú ltim o d e d ise ñ o y la c a rg a w en k N /m q u e p u e d e so p o rta r c u a n d o el fa c to r de se g u rid a d es d e 2 .0 ; de acuerdo a la sec ció n y m a te ria le s sig u ien tes: 2 0 4 0 m m 2 te ó ric o s en el p ro b le m a 2 .1 6 a los 2 4 4 5 m m 2 d e ahora. C h e q u e o d e cu an tías: en este c a so es m ás o b v io e ste c h e q u e o q u e en los f¿ = 2 1 .1 M P a p ro b le m a s a n te rio re s en d o n d e ( p - p ' ) se h a b ía c a lc u la d o m u y c e rc a n o a c) f ., = 240 M Pa ( p - p ') m á x . , p_p A -A ' 4 7 4 0 -2 4 4 5 = = 0.01821 < 0 . 0 2 0 bd 300*420 p o r las a p ro x im a c io n e s en la c o lo c a c ió n d e la arm ad u ra. F ig u ra 2.38 S o lu c i ó n Prim ero se v e rific a q u e (p - p ') e sté d en tro d e lo s lím ites a d m isib le s y lu eg o S eg ú n lo ex p u e sto antes: obtenem os 4>Mn2, el cu a l d e te rm in a a su v ez el v a lo r d e <j)Mnlp a ra q u e ( p - p ') m á x = 0 .0 2 3 8 0 y ( p - p ') m í n = 0 .0 1 5 4 9 3 P o r tan to : ( p - p ') m í n . < ( p - p ' ) < ( p - p ') m á x . sum ados se te n g a el (f)Mn y p o r c o n sig u ie n te la c a rg a w. 1) N o ta : S e e sp e ra q u e este a u m e n to en la a rm a d u ra d e c o m p re s ió n re d u z c a la d e fle x ió n p o r p la stifíc a c ió n ; sin e m b a rg o , la n e c e sid a d d e este control d e p e n d e rá d e u n e stu d io so b re las d e fle x io n e s e lá stic a s y a la rg o plazo , co m o se v e rá al final d el p re se n te cap ítu lo . P o r ú ltim o , se re ite ra la n e c e sid a d d e a s e g u ra r el re fu e rz o a c o m p re s ió n m e d ia n te estribos. Estos problem as de vigas rectangulares con arm adura a com presión se finalizan con un problem a de rev isió n de la sección, utilizando el diseño del p roblem a 2.16 del cual se m antiene la arm adura a la tracción y se m odifica, aum entando, la arm adura a com presión. V e rificac ió n d e (p - p ' ) : ( p - p ') VP 4863-2580 = 0 .018561 300*410 S eg ú n p ro b le m a 2 .16: ( p - p ') m í n . = 0 .0 1 5 4 9 3 y ( p - p ') m á x . = 0 .0 2 3 8 4 P o r tan to : ( p - p ') m í n < ( p - p ' ) < ( p - p ') m á x 2) O b ten c ió n d el m o m e n to re siste n te ú ltim o <}>Mn = (j)Mnl + (j)Mn2 A p a rtir de P r o b le m a 2.19 (J)Mn2 = (J)A'fy * ( d - d ') = 0.9 * 0.002580 * 240000 * (0.41 - 0.06) R e v is a r el d ise ñ o a flex ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el ce n tro d e la lu z d e 8 m e tro s d e u n a v ig a re c ta n g u la r s im p le m e n te a p o y a d a so m e tid a a carg a <t)Mn2 = 1 9 5 .0 5 k N .m 98 99 E structuras de C oncreto I Capítulo 2 Flexión se o b tie n e <j>Mnl = (|>(AS- A ' ) f y ( d - a / 2 ) , o sea, el re sto d e a rm a d u ra S i F. d e S. = 2 .0 e n to n c e s U = 1. 8 d e tra c c ió n tra b a ja n d o c o n el c o n c re to p a ra p ro d u c ir este m o m en to . w - 4 6 .5 1 /1 .8 .-. w = 2 5 .8 4 k N /m q ue es u n p o c o su p e rio r a 2 5 .0 4 k N /m d e b id o n o so lo al a u m e n to del re fu erz o de c o m p re sió n , sin o al ex c eso d e re fu e rz o co lo c a d o en el a ' ( P ~ P ') f y i 0 .0 1 8 5 6 1 * 2 4 0 * 0 .4 1 A q uí: a = ' > d = --------------------------------= 0 .1 0 2 m 0 .8 5 fc 0 .8 5 * 2 1 .1 p ro b le m a o rig in a l s o b re el te ó ric o re q u e rid o . (j)M ni = 0 . 9 * ( 0 . 0 0 4 8 6 3 - 0 . 0 0 2 5 8 0 ) * 2 4 0 0 0 0 * ( 0 . 4 1 - 0 . 1 0 2 / 2 ) <|>Mnl = 1 7 7 .0 3 kN -m Nota: P ara c a so s co m o éste, es q u e re s u lta o b v ia la a p lic a c ió n de la e s p e c ific a c ió n : O tra fo rm a d e o b te n e r <|>Mnl es: ( p - p ') m í n . < ( p - p ,) < ( p - p ' ) m á x - <t>M„, = < t> (p -p ') fy * í l - 0 . 5 9 * ( p - p ' ) f V l C bdy d o n d e ( p - p ' ) = 0 .0 1 8 5 6 1 , re e m p la z a n d o : (j)Mnl = 0 .9 * 0 .0 1 8 5 6 1 * 2 4 0 0 0 0 * 1 - 0 .5 9 * 0 .0 1 8 5 6 1 * 240 21.1 * 0 .3 0 * 0 .4 1 2 Una de las construcciones m ás frecuentes en estructuras de concreto son las llamadas losas aligeradas o nervadas, que cuando no son prefabricadas, están constituidas p o r sistem as m onolíticos de vigas “T ” en los cuales la aleta es la losa de p iso y los nervios son la parte central de la viga “T ” . A continuación, se estudian las relaciones de diseño y especificaciones de las denom inadas vigas “T ” . (j)Mnl = 1 7 7 .0 kN -m (j)Mn - 177.03 + 195.05 — 3 7 2 .0 8 kN -m q u e se a p ro x im a al m o m e n to ú ltim o <j)Mn = 3 6 0 .5 8 kN -m d el p ro b le m a 2 .1 6 c o n c lu y e n d o q u e el a u m e n to e n la a rm a d u ra d e c o m p re sió n no im p lic a u n a u m e n to e n la re siste n c ia d e la sec ció n ; se u s a en este caso co m o d ism in u c ió n en el tra b a jo d el c o n c re to y p o r c o n sig u ie n te en la d is m in u c ió n d e su d e fo rm a c ió n p o r flu e n c ia lenta. 3) O b te n c ió n d e w u y w: R w f 2 w *82 = — u— = — ------- = 3 7 2 .0 8 kN -m 100 w u = 46.51 k N /m 101 Estructuras de C oncreto I Capítulo 2 Flexión Vigas “T” b < a la se p a ra c ió n c e n tro a ce n tro de v ig as ad y a cen tes S e d e b e n o b te n e r las e x p re s io n e s d e m o m e n to re s iste n te ú ltim o p a ra vigas “ T ” so m e tid a s a flex ió n co n a rm a d u ra a tra c c ió n , se g ú n la te o ría de la re s is te n c ia ú ltim a, c o m p le m e n ta n d o co n las lim ita c io n e s d e c u a n tía p a ra el d ise ñ o seg ú n la R e g la m e n to N S R -1 0 . A n te s d e o b te n e r el m o m e n to re s iste n te ú ltim o p a ra se c c io n e s en “T ” , d eb e m o s c o n o c e r las e sp e c ific a c io n e s del R e g la m e n to so b re las m ism as. b) P ara v ig as c o n lo sa d e u n so lo lad o d el c u e rp o c e n tra l o n e rv io y que h ac en p a rte d e u n s iste m a m o n o lític o de lo sa a b a se d e v ig a s “ T ” : El an ch o e fe c tiv o d e aleta q u e se p ro y e c ta al lad o del c u e rp o c e n tra l n o debe e x c e d e r 1 / 1 2 d e la lo n g itu d de la v ig a; en té rm in o s d e “b ” : b < a) P a ra v ig a s c o n losa de a m b o s lad o s d el c u e rp o c e n tra l o n e rv io y que h a c e n p a rte d e u n s is te m a m o n o lític o d e lo sa a b ase d e v ig a s “T ” : 1/12 lo n g itu d d e la v ig a + b ' T am p o co d eb e e x c e d e r b < 6t 6 v ec es el e sp e so r de la aleta; en té rm in o s d e b': + b' Y tam p o co d eb e e x c e d e r la m ita d d e la d ista n c ia h a s ta el sig u ien te cu erp o ce n tral; en té rm in o s de b '; b < 1 1/2 d e la d ista n c ia lib re h a sta la sig u ie n te v ig a + b ' b' l F ig u ra 2.39 El an c h o e fe c tiv o “b ” n o d eb e e x c e d e r 1/4 d e la lo n g itu d d e la v ig a: b < 1/4 lo n g itu d d e la v ig a E l an c h o d e aleta q u e se p ro y e c ta a c a d a lad o del c u e rp o ce n tral no d eb e e x c e d e r 8 v ec es el e sp e s o r de la a le ta “t ” ; en té rm in o s d e b': F ig u ra 2.40 b < 16t + b ' c) El an c h o d e a le ta q u e se p ro y e c ta a ca d a lad o del c u e rp o ce n tral no d eb e e x c e d e r la m ita d d e la d ista n c ia h a sta el sig u ie n te c u e rp o cen tral; en té rm in o s de b': P ara v ig a s “ T ” a islad a s, en las cu a le s la fo rm a “T ” se u sa p a ra p ro p o rc io n a r u n á rea ad ic io n a l de co m p re sió n , se d eb e te n e r un esp e so r d e aleta n o m e n o r q u e la m ita d del an c h o d el alm a, t > X A b' y u n an c h o e fe c tiv o d e ala n o m a y o r q u e c u a tro v e c e s el an c h o del alm a, b < 4 b '. 102 103 C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I i y — Eje n e u tr o 1 b' j. F ig u ra 2.43 F ig u ra 2.41 P a ra el e stu d io d e su m o m e n to re s iste n te ú ltim o , se e stá a n te d o s casos: En este caso , el m o m e n to re siste n te ú ltim o o d e fa lla se c o m p o n e d e d o s m om entos: a) Si la p ro fu n d id a d d el b lo q u e d e c o m p re s io n e s y el eje n e u tro qu ed an d en tro d e la aleta , la sec c ió n p u e d e e stu d ia rs e co m o u n a secció n re c ta n g u la r d e d im e n s io n e s b y d. M n = M nw + M nf, en do n d e: M nw = m o m e n to re s is te n te ú ltim o d e la z o n a d el n e rv io M ilif = m o m e n to re s is te n te ú ltim o d e la z o n a d e aletas los cu ales p o d e m o s c u a n tifíc a r se p a ra d a m e n te así: M nw = 0.85fc’ ab' ( d - a / 2 ) M„„ = ( A S - A sf) f y ( d - a / 2 ) , e n do n d e: F ig u ra 2.42 As = a rm a d u ra to ta l a tracció n . A sf = a rm a d u ra a tra c c ió n c o rre sp o n d ie n te a la c o m p re sió n en las aletas. A s - A sf = a rm a d u ra a tra c c ió n c o rre s p o n d ie n te a la c o m p re sió n en la z o n a del n erv io . b) Si la p ro fu n d id a d d el eje n e u tro es su p e rio r al e s p e so r d e la a le ta y q u e d a d en tro d el n ervio: ^ , D e las e x p re sio n e s an te rio re s: , 0 .8 5 ^ 3 0 ' C uw A s - A sf = --------------- = — — y 104 105 y Estructuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión T a m b ié n p a ra M nf: A d icio n alm en te a la a rm a d u ra p rin c ip a l c a lc u la d a seg ú n las e s p e c ific a c io n e s anteriores, d eb e c o lo c a rse u n a a rm a d u ra en las a leta s en d ire c c ió n o rto g o n a l a la luz p rin c ip a l, q u e p a ra u n s iste m a d e v ig as “ T ” (lo sas alig erad .. ) co rresponde a la a rm a d u ra n e c e s a ria en la lo sa d e re c u b rim ie n to ; en o tros casos, las aletas deben d ise ñ a rse co m o v o la d iz o s y a rm a rlo s co n v en ien tem en te. M nf = 0 .8 5 fc' ( b - b ' ) t ( d - t / 2 ) M nf = A lf f y ( d —t / 2) D e las e x p re sio n e s a n terio res: A sf = 0 . 8 5 f '( b - b ') t C uf fy fy A co n tin u ac ió n p ro b le m a s d e a p lic a c ió n de los c o n c e p to s a n te s ex p u e sto s. D e a c u e rd o co n las p ro v isio n e s d e s e g u rid a d del R e g la m e n to c o lo m b ia n o , el m o m e n to d e d iseñ o es: D iseñar la a rm a d u ra n e c e s a ria a la flex ió n en u n a v ig a d e sec c ió n “T ” seg ú n la figura, s im p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z de 8 m e tro s, a rm a d a en co n c re to de fe = 2 1 .1 M P a y a c e ro p a ra fy = 4 2 0 M P a, si so p o rta u n a c a rg a to ta l de <|>Mn = <t>Mnw + ()>Mnf, es decir: <t>Mn = 4 ) 0 .8 5 ^ { a b ' ( d - a / 2 ) + ( b - b ' ) t ( d - t / 2 )} P r o b le m a 2 .2 0 y 25.04 kN /m . (L a c a rg a es ig u al a la u tiliz a d a en el p ro b le m a 2.17). <j.Mn =<|.{(A s - A s f ) f y ( d - a / 2 ) + A sff y ( d - t / 2 ) } b=Q .8Q T a m b ié n en e stas v ig a s “ T ” es n e c e sa rio g a ra n tiz a r q u e la a rm a d u ra a tra c c ió n esta rá en flu e n c ia an tes d e la fa lla d el c o n c re to a c o m p re sió n . P o r lo tan to , si se llam a: 0 .1 5 l ’ A. p = —— b d y J 0.35 A_f p f = — — , te n d re m o s que: Ff b 'd 1 0.25_ P a ra te n e r u n m a rg e n c o m p re sió n el d e s e g u rid a d R e g la m e n to c o n tra C o lo m b ia n o la fa lla d el c o n c re to e sp e cifica: 0 .2 5 F ig u r a 2.44 p max = p, max para Pw + Pmax Pa ra P f • E sto es q u e la p max n o d eb e e x c e d e r a la c o rre sp o n d ie n te a la d e fo rm a c ió n u n ita ria p a ra el lím ite d e tra c c ió n d e 0 .0 0 5 d el a c e ro de re fu e rz o en se c c io n e s c o n tro la d a s p o r tra c c ió n p a ra la z o n a d el n e rv io com o p a ra la z o n a d e aletas. Pmax d ise ñ o = p t + ( p , / p b) pf h '= 0 .3 0 en Solución En p rim e r lu g ar, se d eb e re v is a r q u e la sec ció n c u m p la lo s re q u isito s geo m étrico s d el R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra su c o n sid e ra c ió n co m o v ig a “ T ” y luego d o ta r la s e c c ió n d e u n m o m e n to re siste n te e q u iv a le n te al a c tu a n te últim o, u san d o u n fa c to r d e se g u rid a d ap ro p ia d o . 1) R ev isió n d e la “T ” se g ú n el R eg lam en to : b (an ch o e fe c tiv o d e a leta ) < 4b' .'. b < 4 * 3 0 0 = 1200 m m t (e sp e so r d e a leta ) > bV2 .'. t > 3 0 0 /2 = 150 m m 107 C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I 2) M y <|>Mn: w w¿ M = — 2 En el caso de u tiliz a r las ta b la s, el p ro c e d im ie n to se ría el sig u ien te: 2 5 .0 4 * 8 2 = --------------- = 8 , AA„ U I 2 0 0 .3 2 kN -m ; 3 2 0 51 n artir d e K = : 7 = 2 0 6 9 .4 , se in te rp o la e n la tab la A p 0 .8 0 * 0 .4 4 co rresp o n d ien te el v a lo r d e a /d = 0 .1 3 7 7 . P o r c o n s ig u ie n te a = 6 0 .6 m m y a 8 p a ra F. d e S. = 1.78, c o rre sp o n d ie n te a U = 1 . 6 kud = 71.5 m m . (J)Mn = 1 .6 * 2 0 0 .3 2 = 320.51 kN -m En cu a lq u ie r caso , se c o n tin ú a el d ise ñ o co m o v ig a re c ta n g u la r, ca lc u la n d o 3) C o m p ro b a c ió n d e la p ro fu n d id a d d e l re c tá n g u lo d e c o m p re sio n e s y el e je n e u tro , p a ra su fu n c io n a m ie n to co m o v ig a re c ta n g u la r: la arm ad u ra c o rre s p o n d ie n te , así: 4) S u p o n ie n d o u n a sec c ió n re c ta n g u la r d e a n c h o b = 0 .8 0 m y altura e fe c tiv a d = 0 .4 4 m , c a lc u la m o s la c u a n tía n e c e s a ria p p a ra el m o m en to a c tu a n te ú ltim o p ro p u e sto y en c o n se c u e n c ia la p ro fu n d id a d del re c tá n g u lo d e c o m p re sio n e s y el eje n eu tro . f 'l (j)Mn = <(>pf, l - 0 . 5 9 p ] A rm ad u ra: Para la c u a n tía o b te n id a p = 0 .0 0 5 8 8 2 : A s = 0 .0 0 5 8 8 2 * 8 0 0 * 4 4 0 = 2 0 7 0 m m 2 2 • ' R efü erzo : 2<j> 1" + 2<f> 1 18 " (2 3 1 0 m m ') p a ra te n e r en c u e n ta la sim e tría bd2 en su co lo ca ció n . fc y \ 320.51 = 0 . 9 * p * 4 2 0 0 0 0 * f 1 - 0 .5 9 p * 4 2 0 0 0 0 P A rm a d u ra ad icio n a l: en las aletas se d eb e c o lo c a r u n a a rm a d u ra o rto g o n al a la lu z p rin c ip a l y c o rre s p o n d ie n te a u n d ise ñ o d e d ic h a s * 0 .8 0 * 0 .4 4 ' 21100 aletas co m o v o la d iz o s. p = 0 .0 0 5 8 8 2 P o r tanto: N ota: C o m p a ra n d o c o n el p ro b le m a 2 .1 7 , a u n q u e ah o ra u tiliz a m o s u n fa c to r p fy d 0 .0 0 5 8 8 2 * 4 2 0 * 4 4 0 a = — -— = --------------------------------= 6 0 .6 m m 0 .8 5 f 0 .8 5 * 2 1 .1 y k u d = 1.18 * a = 71.5 m m E sto s re su lta d o s sig n ifican q u e ta n to la p ro fu n d id a d d el re c tá n g u lo de c o m p re sio n e s, co m o la p ro fu n d id a d d el e je n eu tro , ca en d en tro d e la aleta, g a ra n tiz a n d o q u e n o h a y c o m p re sio n e s en la p a rte c e n tra l d e la v ig a “T ” b a jo la a le ta y q u e p o r lo ta n to se p u e d e d is e ñ a r co m o v ig a re c ta n g u la r de b = 800 m m y d = 440 m m. 108 de seg u rid a d u n p o c o in fe rio r, se p u e d e d e c ir q u e se re m p la z a la a rm a d u ra a co m p resió n p o r el c o n c re to d e las a leta s y se d ism in u y e la a rm a d u ra a tracción p o r u n a u m e n to d el b ra z o d el p a r in te rio r re sisten te . P r o b le m a 2 .2 1 D iseñar la a rm a d u ra n e c e s a ria a la flex ió n en u n a v ig a d e sec c ió n “ T ” , q u e hace p arte d e u n s is te m a m o n o lític o d e lo sa b a sa d o e n v ig a s “T ” , seg ú n la figura, sim p le m e n te a p o y a d a en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a e n c o n c re to de f c' = 2 1 .1 M P a y a c e ro p a ra fy = 4 2 0 M P a, si so p o rta u n a c a rg a to ta l de 25.04 kN /m . 109 E structuras de C oncreto I Capítulo 2 Flexión C om o ru tin a de d iseñ o , ig u al q u e en el p ro b le m a 2 .2 0 , se su p o n e u n a secció n re c ta n g u la r d e an c h o b = 0 .8 0 m y a ltu ra útil d = 0 .4 4 m y se calcu la la c u a n tía n e c e sa ria p p a ra el m o m e n to a c tu a n te ú ltim o p ro p u e sto y, en co n se c u e n c ia , la p ro fu n d id a d del re c tá n g u lo de co m p re sio n e s y el eje n eu tro : 1 - 0 .59p — f! 4>Mn = (}>p f F ig u ra 2.45 b < Va lo n g itu d d e la v ig a = = l.lO m d = 0 .0 0 5 8 8 2 * 4 2 0 * 4 4 0 = 6 0 .6 m m 0 .8 5 * 2 1 .1 0.851! k u d = 1.1 8 *a = 1 .1 8 * 6 0 .6 = 71.5 m m m E stos re su lta d o s sig n ific a n q u e la p ro fu n d id a d d el re c tá n g u lo de co m p re sio n e s y p o r c o n sig u ie n te del eje n eu tro , so n m a y o re s q u e el esp e so r d e la aleta. L u e g o el tra ta m ie n to p a ra su d ise ñ o d eb e se r co m o b < se p a ra c ió n c e n tro a c e n tro d e v ig a s a d y a c e n te s = 0 .8 0 m v ig a 2) P f y P o r lo tan to : a = R e v isió n de la “T ” seg ú n el R eg la m e n to : b < 16t + b ' = 16*0.05 + 0 .3 0 * 0 .8 0 * 0 .4 4 2 21100 p = 0 .0 0 5 8 8 2 E n p rim e r lu g ar, se d eb e re v is a r q u e la se c c ió n c u m p la los req u isito s g e o m é tric o s del R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra su c o n sid e ra c ió n d el d ise ñ o com o v ig a “ T ” , y lu eg o d o ta r la sec c ió n d e u n m o m e n to re siste n te últim o e q u iv a le n te al a c tu a n te , u sa n d o u n fa c to r d e s e g u rid a d ap ro p ia d o . 2 .0 0 420000 320.51 = 0 .9 * p * 4 2 0 0 0 0 * | l - 0 . 5 9 p * S o lu ció n 1) bd: T . M y (J)Mn: 4) wC 25 04 * 8 2 M = —— = 8 = 2 0 0 .3 2 k N .m ; p a ra F .d e S .= l .78, c o rre s p o n d ie n te a U = 1.6 D iseñ o co m o v ig a “ T ” : a) D e te rm in a c ió n d e M nf y A sf : <|>Mnr =<j>*0.85ft' ( b - b ' ) t ( d - t / 2 ) 4>Mnf = <|)*Asf * f y ( d - t / 2 ) , d e do n d e: .-. <{>Mn = 1 .6 * 2 0 0 .3 2 = 320.51 kN -m 3) C o m p ro b a c ió n d e la p ro fu n d id a d d el re c tá n g u lo d e co m p re sio n e s, para su fu n c io n a m ie n to co m o v ig a re c ta n g u la r: 0 . 8 5 f ; ( b - b ') t !f ~ f y 0 . 8 5 * 2 1 .1 * ( 0 . 8 0 - 0 . 3 0 ) * 0 .0 5 ~~ 420 A sf = 0 .0 0 1 0 6 8 m 2 110 111 C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I (J)Mnf = 0 . 9 * 0 . 0 0 1 0 6 8 * 4 2 0 0 0 0 * ( 0 . 4 4 - 0 . 0 5 / 2 ) = 167.54 kN -m b) D e te rm in a c ió n d e <|>Mnw y (A s - A sf): (j)Mnw = <J)Mn - (|)Mnf = 320.51 - 1 6 7 .5 4 - 1 5 2 . 9 7 kN -m P o r lo tan to , p a ra la z o n a c e n tra l re c ta n g u la r d e la v ig a “T ” se p lan tea : P r o b le m a 2 .2 2 R ev isar el d ise ñ o a fle x ió n p a ra m o m e n to m á x im o en el c e n tro d e la lu z d e 8 m etro s d e u n a v ig a “ T ” s im p le m e n te ap o y a d a , so m e tid a a c a rg a u n ifo rm e, que h ac e p a rte d e u n siste m a m o n o lític o de lo sa b a sa d o en v ig a s “ T ” , seg ú n la figura, d e te rm in a n d o el m o m e n to re s is te n te ú ltim o d e d ise ñ o y la c a rg a w en k N /m q u e p u e d e so p o rta r c u a n d o el fa c to r d e se g u rid a d sea d e 1.78. b=0.80 C o n cre to : f c' = 2 1 .1 M P a =<t>(p-Pf)fy| l - 0 . 5 9 ( p - p f ) Í - j b d 2 R efu e rzo : f y = 4 2 0 M P a 1 52.97 = 0 . 9 * ^ p - p f J* 4 2 0 0 0 0 * j l - 0 .5 9 * | p - p f j * - ^ y ^ j j j ^ j * 0 .3 0 * 0.44 ( p - p f ) = 0 .0 0 7 6 5 9 0.25 A s - A s f = 0 .0 0 7 6 5 9 * 3 0 0 * 4 4 0 = 1011 m m 2 ; b'=0.30j 0.25 l F ig u ra 2.46 A rm a d u ra : A s = 1 0 1 1 + 1 0 6 8 = 2 0 7 9 m m 2 :2<|) 1 ' 8 " + 2(1)1" (2 3 1 0 m m 2) p a ra u n a c o lo c a c ió n sim étrica. c) C o m p ro b a c ió n d e p < p m á x im a d e d ise ñ o p m áx d ise ñ o = 0 .0 1 3 6 2 + P™ P balanceada * S o lu ció n En p rim e r lu g ar, se d eb e re v is a r q u e la sec ció n c u m p la los re q u isito s g eo m étric o s d el R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra c o n sid e ra c ió n co m o v ig a “ T ” , y luego, o b te n e r <f)Mn se g ú n su fu n c io n a m ie n to estru c tu ral (p ro fu n d id a d del eje n eu tro ) sea co m o v ig a re c ta n g u la r o co m o v ig a “ T ” . 1068 300*440 p m á x d ise ñ o = 0 .0 1 3 6 2 + 0 .6 2 5 * 0 .0 0 8 0 9 1 = 0 .0 1 8 6 7 7 1) R ev isió n d e la “ T ” se g ú n R e g lam en to : a u n q u e esta re v isió n se efectu ó en el p ro b le m a a n te rio r, la re p e tim o s p a ra fijar el co n c e p to d e h ac erla ru tin ariam en te: 2 * 5 1 0 + 2 * 645 p ac tu a l = - ■= 0 .0 1 7 5 < p m á x d ise ñ o 300*440 d) A rm a d u ra ad icio n a l: se d eb e c o lo c a r u n a a rm a d u ra en las aletas, o rto g o n a l a la lu z p rin c ip a l y c o rre sp o n d ie n te al re fu e rz o p a ra re p a rtic ió n d e c a rg as, re tra c c ió n de fra g u a d o y v a ria c ió n de te m p e ra tu ra de lo sas m aciz as. 112 b < % lo n g itu d de la v ig a = b < 16t + b ' = 16*0.05 + 0 .3 0 = 1.10 m 2 .0 0 m b < se p a ra c ió n ce n tro a ce n tro d e v ig a s a d y a c e n te s = 0 .8 0 m 2) C h e q u e o d el c o m p o rta m ie n to co m o v ig a re c ta n g u la r de b = 0 .8 0 m A 231 0 p = —- = = 0 .0 0 6 5 6 3 ; p o r lo tan to : bd 800*440 113 Estructuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión a = p fy , — d = 0 .8 5 Lc 0 .0 0 6 5 6 3 * 4 2 0 ¿ * 4 4 0 = 6 7 .6 m m 0 .8 5 * 2 1 .1 / _ ♦ M ,. = < t> ( A ,- A ¡.r ) f y ( d - a / 2 ) e n d o n d e a = Pq ^ , yd 0 .0 0 9 4 0 9 * 4 2 0 R e m p la z a n d o : a = ----------------------- * 4 4 0 = 9 6 .9 m m 0 .8 5 * 2 1 .1 k u d = 1 .18*67.6 = 79.8 m m E ste re su lta d o sig n ific a q u e la p ro fu n d id a d d el re c tá n g u lo de c o m p re sio n e s y p o r c o n sig u ie n te , la d el eje n e u tro son m a y o re s q u e el e s p e s o r de la aleta. L u e g o el fu n c io n a m ie n to e stru c tu ra l es co m o v ig a (j)Mnw = 0.9 * 0 .0 0 1 2 4 2 * 4 2 0 0 0 0 * (0 .4 4 - 0 .0 8 6 4 / 2) (f,Mnw = 1 8 3 .8 2 kN -m c) 3) w (f)Mn y c h e q u e o de p ac tu a l < p m á x im a d e d iseñ o D e te rm in a c ió n d e <j)Mn : <j)Mn = 183.82 + 167.54 = 3 5 1 .3 6 kN -m a) <tiMnf y A ,f : p m á x d ise ñ o = 0 .0 1 3 6 2 + 0 .625 * — -0 6 = 0 .0 1 8 6 7 7 donde 300*440 (|>Mnf =<J>*0.85fc' ( b - b ' ) t ( d - t / 2 ) 0-625= p t/Pb <t>Mnf = 4>* A sf * f y ( d p a c tu a l = - 1/ 2 ), d e d o n d e: _ 0 .8 5 fc'( b - b ' ) t 0 .8 5 * 2 1 .1 * ( 8 0 0 - 3 0 0 ) * 5 0 A sf ~ 7 ~ -------------------- 7 7 7 ------------------ --- 1068 m m ' fy 420 2310 = 0 .0 1 7 5 0 < p m á x d iseñ o 300*440 4) D e te rm in ació n d e M y w (c a rg a q u e p u e d e so p o rta r p a ra F. d e S. = 1.78) Para F. d e S. = 1.78 se u tiliz a U = 1 .6 (|)Mnf = 0 .9 * 0 .0 0 1 0 6 8 * 4 2 0 0 0 0 * ( 0 .4 4 - 0 . 0 5 / 2 ) = 167.54 kN -m M _ 35L36 _ 219 6Q m . 1.6 w = 8 * 2 1 9 .6 0 = 2 k N /m 8 C ab e d e sta c a r q u e e sto s dos v a lo re s de A sf y (j)Mnf son c o n sta n te s p a ra la m ism a sec c ió n d el p ro b le m a b) 2 .2 1 <j>Mnwy ( A s - A sf): (A s- A sf) = 2 3 1 0 -1 0 6 8 = 1 2 4 2 m m 2 .\ f p - p , ) = ---------------= 0 .0 0 9 4 0 9 v ’ 300*440 La c a rg a w re s u lta u n p o co m a y o r q u e la c a rg a d e d ise ñ o d el p ro b le m a an terio r, en v ista d e q u e h e m o s re v isa d o p a ra u n a a rm a d u ra m a y o r que la te ó ric a allí re q u e rid a . Al fin al d e l p ro b le m a 2 .1 8 , m o d e lo d e la u tiliz a c ió n d el a c e ro a la co m p re sió n p a ra re d u c ir fle c h a s a la rg o p la z o , se h a b ló so b re la n e c e sid a d de esta m e to d o lo g ía c o m o fu n c ió n d e u n e stu d io so b re las d e fo rm a c io n e s elásticas y a la rg o p la z o , c u y o s fu n d a m e n to s y a p lic a c io n e s se e s tu d ia rá n en el sig u ien te títu lo “D e fle x io n e s y c o n tro l d e d e fle x io n e s ” , el cu a l se p re s e n ta com o u n a n e x o al p re s e n te ca p ítu lo . 114 115 C apitulo 2 Flexión Estructuras de C oncreto I D E F L E X IO N E S Y C O N T R O L D E D E F L E X IO N E S NOTAS: El R e g la m e n to N S R -1 0 en la se c c ió n C .9.5.1 d ice “ los e le m e n to s de c o n c re to re fo rz a d o so m e tid o s a fle x ió n d e b e n d ise ñ a rse p a ra q u e te n g a n una rig id e z a d e c u a d a co n el fin d e lim ita r c u a lq u ie r d e fle x ió n q u e p u diese a fe c ta r a d v e rsa m e n te la re s iste n c ia o el fu n c io n a m ie n to de la e stru c tu ra ” . Los valores d a d o s e n esta tab la se d eb en u s a r d irectam en te en ele m e n to s de c o n c re to de peso n o rm al y re fu e rz o g ra d o 4 2 0 M P a. P ara otras co n d ic io n e s, los v a lo re s d eben m odificarse co m o sigue: (a ) Para c o n creto liv ian o estru c tu ra l co n d e n sid a d w c d en tro del ran g o d e 1440 a 1840 kg/m 3, los v alo res d e la tab la d e b e n m u ltip lic a rse p o r (1 .6 5 -0 .0 0 0 3 w c), p ero n o m e n o s de 1.09. (b) P ara f y d istin to de 4 2 0 M P a , los v alo res de esta tab la d eb en m u ltip lic a rse p o r E le m e n to s r e fo r z a d o s en u n a d ir e c c ió n (n o p r e -e sfo r z a d o s) (0.4 + fy / 7 0 0 ) E l R e g la m e n to c o lo m b ia n o e sp e c ific a los e sp e so re s m ín im o s q u e pu ed an ap lic a rse p a ra los e le m e n to s q u e n o s o p o rte n o e sté n lig ad o s a p artic io n e s u o tro tip o de e le m e n to s q u e p u e d a n s u frir d a ñ o p o r d e fle x io n e s sin te n e r que c a lc u la r d e fle x io n e s q u e c o n fírm e n e sta h ip ó tesis. T ra n sc rib im o s la tabla C .9 .5 . (a ) del R eg lam en to . A d icio n alm en te, en el C o m e n ta rio , el R e g la m e n to in c lu y e el caso d e los espeso res p a ra a q u e llo s e le m e n to s q u e so p o rta n m u ro s d iv iso rio s o p articio n es frá g ile s q u e p u e d a n s u frir d añ o s c o n m o tiv o d e las d efle x io n es. T ra n scrib im o s la ta b la C R .9 .5 . T a b la C .9 .5 (a) A ltu r a s o e s p e s o r e s m ín im o s de v ig a s no p re -e sfo r z a d a s o lo sa s r e fo r z a d a s en u n a d ir e c c ió n a m e n o s q u e se c a lc u le n las d e fle x io n e s T abla C R .9 .5 - A ltu r a s o e sp e so r e s m ín im o s r e c o m e n d a d o s p a ra v ig a s no p r e -e sfo r z a d a s o lo sa s r e fo r z a d a s en u n a d ir e c c ió n q u e so p o rte n m uros d iv iso r io s y p a r tic io n e s fr á g ile s su sc e p tib le s d e d a ñ a r se d eb id o a d eflex io n es g r a n d e s, a m e n o s q u e se c a lc u le n la s d e fle x io n e s E sp eso r m inim o, h E s p e s o r m ín im o , h Con un Extremo Simplemente apoyados Elementos Losas macizas en una dirección Vigas o losas nervadas en una dirección continuo Ambos Extremos continuos Con un Extremo continuo Simplemente apoyados En voladizos En voladizos Elementos que soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de Elementos que N O soporten o estén ligados a divisiones u otro tipo de elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes £ £ £ £ 20 24 28 10 £ £ £ £ 16 18.5 21 8 Elementos Losas macizas en una dirección Vigas o losas nervadas en una dirección elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes £ £ £ £ 14 16 19 7 £ i £ £ 11 12 14 5 L as N o tas son las m ism as d e la T a b la C .9.5 (a) del R eg lam en to . 117 116 Ambos Extremos continuos E structuras de C oncreto I Capítulo 2 Flexión C o n tin ú a el R e g la m e n to N S R -1 0 s o b re el te m a d e las d e fle x io n e s en las s e c c io n e s C .9 .5 .2 .2 a C .9 .5 .2 .6 q u e n o s p e rm itim o s tra n sc rib ir: determ inarse m u ltip lic a n d o la d e fle x ió n in m ed iata ca u sa d a p o r la c a rg a perm anente p o r el fa c to r X A C .9 .5 .2 .2 C u a n d o se c a lc u le n las d e fle x io n e s, a q u é lla s q u e o cu rran in m e d ia ta m e n te co n la a p lic a c ió n d e la c a rg a d e b e n c a lc u la rse m e d ia n te los m éto d o s o fo rm u la s u su a le s p a ra d e fle x io n e s elástica s, to m a n d o en c o n sid e ra c ió n los e fecto s de la físu ra c ió n y del re fu e rz o en la rig id e z del elem e n to . C .9 .5 .2 .3 A m e n o s q u e los v a lo re s d e rig id e z se o b te n g a n m e d ia n te un an á lisis m ás co m p le to , las d e fle x io n e s in m e d ia ta s d e b e n c a lc u la rse u san d o el m ó d u lo d e e la stic id a d d el c o n c re to , E c, q u e se e sp e c ific a en C .8.5.1 (para c o n c re to d e p e so n o rm a l o liv ia n o ) y el m o m e n to d e in e rc ia e fe c tiv o , le, que r 3 Ie = Í M cr l M a„ > L+- 1 1- 8 3' X A =— — l + 50p' (C .9 -1 1 ) D onde P ' es el v a lo r en la m ita d d e la lu z p a ra tra m o s sim p le s y c o n tin u o s y en el p u n to de a p o y o p a ra v o la d iz o s. P u ed e to m a rse £,, el fa c to r d ep en d ien te d el tie m p o p a ra ca rg as so ste n id a s, ig u al a: añ o s o m á s .............................................................. 2 . 0 12 m e s e s ......................................................................1.4 6 m e s e s ........................................................................ 1 . 2 3 m e s e s ........................................................................ 1 . 0 5 M cr _Ma J1 lcr (C .9 -8 ) do n d e C .9.5.2.6 L a d e fle x ió n c a lc u la d a d e a c u e rd o co n C .9 .5 .2 .2 a C .9 .5 .2 .5 no debe ex c e d e r lo s lím ite s e sta b le c id o s en la ta b la C .9 .5 (b). T ran scrib im o s la ta b la C .9 .5 (b ) d el R eg lam en to . M„r = E k (C .9 -9 ) y, T abla C .9 .5 (b )-D e fle x ió n m á x im a a d m isib le ca lcu la d a y p a ra c o n c re to de p eso n o rm al, fr = 0 . 6 2 W ñ (C .9 -1 0 ) C .9 .5 .2 .4 P a ra e le m e n to s c o n tin u o s se p e rm ite to m a r Ie c o m o el p ro m e d io de los v a lo re s o b te n id o s d e la e c u a c ió n (C .9 -8 ) p a ra las s e c c io n e s c ritic a s de m o m e n to p o sitiv o y n eg a tiv o . P a ra e le m e n to s p rism á tic o s, se p e rm ite to m a r Ic co m o el v a lo r o b te n id o de la e c u a c ió n (C .9 -8 ) en el c e n tro de la lu z p a ra tra m o s sim p le s y c o n tin u o s, y en el p u n to d e a p o y o p a ra v o lad izo s. C .9 .5 .2 .5 A m e n o s q u e los v a lo re s se o b te n g a n m e d ia n te un an á lisis m as co m p le to , la d e fle x ió n ad ic io n a l a larg o p la z o , re su lta n te d el flujo p lá stic o y re tra c c ió n d e e le m e n to s en flex ió n (c o n c re to n o rm al o liv ia n o ), d eb e 118 T ip o de elem e n to Cubiertas planas que no soporten ni estén ligadas a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes. Entrepisos que no soporten ni estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes. Sistema de entrepisos o cubierta que soporte o esté ligado a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes. Sistema de entrepisos o cubierta que soporte o esté ligado a elementos no estructurales no susceptibles de sufrir daños debido a deflexiones grandes. D eflexión con sid er ad a L im ite de deflexión Deflexión inmediata debida a la carga viva, L f/1 8 0 ' Deflexión inmediata debida a la carga viva, L f/3 6 0 La parte de la deflexión total que ocurre después de la unión de los elementos no estructurales (la suma de la deflexión a largo plazo debida a todas las cargas permanentes, y la deflexión inmediata debida a cualquier carga viva adicional)* (./4 8 0 : (./2 40§ E structuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión * E ste lím ite no tien e c o m o o b je to c o n stitu irse en u n resg u a rd o c o n tra el em p o z a m ie n to de ag u as. E ste ú ltim o se d eb e v e rific a r m e d ia n te c á lc u lo s de d e fle x ió n a d e c u a d o s, incluyendo las d e fle x io n e s d e b id as al a g u a e sta n ca d a, y c o n sid e ra n d o lo s e fe c to s a la rg o p la z o de todas las ca rg a s p e rm a n e n te s, la c o n trafle c h a , las to le ra n c ia s de c o n stru c c ió n y la co n fía b ilid a d en las m e d id as to m a d as p ara el d ren aje. fL a s d e fle x io n e s a larg o p la z o d e b e n d e te rm in a rse d e ac u e rd o co n C .9 .5 .2 .5 ó C .9 .5.4.3, p ero se p u e d e n re d u c ir en la c a n tid a d d e d e fle x ió n c a lc u la d a q u e o c u rra a n te s de u n ir los ele m e n to s n o estru c tu rales. E sta c a n tid a d se d e te rm in a b a sá n d o se en d a to s d e ingeniería ace p ta b le s c o rre sp o n d ie n te a las c a ra c te rístic a s tie m p o -d efle x ió n de e le m e n to s sim ilares a los que se están c o n sid e ra n d o . (a) (b) L o sas co n á b a c o s co m o se d efin e en C .1 3 .2 .5 ..........................................................................................100 m m C .9.5-3-3 El e s p e s o r m ín im o h p a ra lo sas c o n v ig a s q u e se e x tie n d e n en tre los ap o y o s en to d o s lo s lad o s d eb e ser: (a) J E s te lím ite se p u e d e e x c ed e r si se to m a n m e d id a s a d e c u a d a s p a ra p re v e n ir d añ o s en e le m e n to s a p o y ad o s o u n id o s. § P e ro n o m a y o r q u e la to le ra n cia e sta b le c id a p a ra ele m e n to s n o e stru c tu ra les. E ste lím ite se p u e d e e x c e d e r si se p ro p o rc io n a u n a c o n tra fle c h a de m o d o q u e la d e fle x ió n to ta l m e n o s la co n tra fle c h a n o e x ce d a d ich o lím ite. L o sas sin á b a c o s co m o se d efin e en C .1 3 .2 .5 ..........................................................................................125 m m (b) P ara a fm ig u al o m e n o r a 0 .2 , se a p lic a n las d isp o sic io n e s d e C .9 .5 .3 .2. Para a fm m a y o r q u e 0 .2 p e ro n o m a y o r q u e 2.0, h n o d eb e se r m e n o r que: L 0.8 + — 1400 h = E le m e n to s re fo rz a d o s en d os d ir e c c io n e s (n o p r e -e sfo r z a d o s) — (C .9 -1 2 ) 3 6 + 5 P ( a fm - 0 . 2 ) El R e g la m e n to c o lo m b ia n o e sp e c ific a los e sp e so re s m ín im o s q u e p u ed e n a p lic a rse p a ra los e le m e n to s re fo rz a d o s en d o s d ire c c io n e s d e a c u e rd o a la se c c ió n C .9 .5 .3 en sus ap a rtes C .9.5.3.1 a C .9 .5 .3 .4 q u e n o s p e rm itim o s en tran sc rib ir: C .9 .5 .3 .1 D e b e e m p le a rse la se c c ió n C .9 .5 .3 p a ra d e fin ir el e s p e so r m ín im o d e lo sas u o tro s e le m e n to s re fo rz a d o s en d o s d ire c c io n e s d ise ñ a d o s de a c u e rd o c o n las d isp o sic io n e s d el C a p itu lo C .13 y q u e se a ju sten a los re q u isito s C. 13.6.1.2. El e s p e so r d e las lo sas sin v ig a s in te rio re s q u e se e x tie n d a n en tre los ap o y o s en to d o s se n tid o s d e b e n sa tis fa c e r los re q u isito s C .9 .5 .3 .2 ó C .9 .5 .3 .4 . El e s p e so r d e las lo sas c o n v ig a s q u e se ex tien d a n e n tre los a p o y o s en to d o s se n tid o s d e b e s a tisfa c e r los re q u isito s d e u n a de C .9 .5 .3 .3 o C .9 .5 .3 .4 . C .9 .5 .3 .2 El e sp e so r m ín im o d e las lo sas sin v ig a s in te rio re s q u e se ex tie n d a n en tre los ap o y o s y q u e tie n e n u n a re la c ió n en tre lad o s n o m a y o r q u e 2, d eb e c u m p lir co n lo re q u e rid o d e la ta b la C .9 .5 (c ) y n o d eb e ser in fe rio r q u e los sig u ie n te s v alo re s: 120 pero no m e n o r q u e 125 m m (c) P ara a fm m a y o r q u e 0 .2 , h n o d eb e se r m e n o r que: 0 .8 h— — 1400 (C .9 -1 3 ) 3 6 + 9P pero no m e n o r q u e 9 0 m m (d) E n b o rd e s d isc o n tin u o s d eb e d isp o n e rse d e u n a v ig a d e b o rd e q u e tenga u n a re la c ió n d e rig id e z ctf n o m e n o r de 0 .8 0 , o b ie n a u m e n ta r el esp eso r m ín im o re q u e rid o p o r las e c u a c io n e s (C .9 -1 2 ) ó (C .9 -1 3 ), p o r lo m enos u n 1 0 p o r c ie n to en el p a n e l q u e te n g a u n b o rd e d isco n tin u o . E structuras de C oncreto I Capítulo 2 Flexión T a b la C .9 .5 (c ) Espesores m ínim os de losas sin vigas interiores* Sin áb a c o s + C o n ábacos* P an eles e x te rio r fy M Paf Sin v ig as de b o rd e 1n P an eles in te rio r C on v ig as de b o rd e § P a n e le s e x te rio re s Sin v ig as de b o rd e C on v ig as de b o rd e 8 P an eles in terio r 280 33 Ír 36 Ír 36 Ir 36 Ír 40 Ir 40 Ír 33 Ír 33 Í r 33 ■'n 420 ín 30 36 ín _ 36 520 ín _ 28 ín _ 31 Ír 31 Ír 31 ín _ 34 ÍR 34 *P ara c o n stru c c ió n de d o s d ire c c io n e s, fy C 8.5.1- El m o m e n to d e in e rc ia e fe c tiv o , L , d eb e se r el o b te n id o p o r m ed io de la ec u ació n (C .9 -8 ); se p e rm ite e m p le a r o tro s v a lo re s si lo s re s u lta d o s del cálculo de la d e fle x ió n c o n c u e rd a n ra z o n a b le m e n te co n los re s u lta d o s de ensayos de alca n ce ap ro p ia d o . L a d e fle x ió n ad ic io n a l a larg o p la z o d eb e calcularse d e a c u e rd o co n C .9 .5 .2 .5 . A co n tin u ac ió n a lg u n o s p ro b le m a s de a p lic a c ió n de las n o c io n e s an terio res. P ro b le m a 2.23 (n, es la lu z lib re en la d ire c c ió n larga, m edida en tre c a ra de lo s a p o y o s en lo sas sin v ig a s y e n tre c a ra s de la s v ig as, p a ra lo sas co n v ig a s u o tro s ap o y o s en o tro s casos. fP a r a calcularse to m a n d o en c u e n ta el ta m a ñ o y la fo rm a d el p a n e l, las condiciones d e a p o y o y la n a tu ra le z a d e las re stric c io n e s en lo s b o rd e s d e la losa. El m o d u lo de e la s tic id a d del co n c reto , E c , d eb e se r el e s p e c ific a d o en En el p ro b lem a 2 .1 6 se d ise ñ ó u n a v ig a d e 0 .3 0 x 0 .5 0 m , sim p le m e n te apoyada en u n a lu z d e 8 m e tro s, a rm a d a en co n c re to d e f 'c = 2 1 . 1 M P a, refuerzo p a ra fy = 2 4 0 M P a y u n a c a rg a d e 2 5 .0 4 k N /m , o b te n ié n d o se los resultados de la fig u ra ad ju n ta. A h o ra c a lc u la re m o s p a ra esta v ig a las d eflexiones in m e d ia ta s c a u sa d a s p o r la c a rg a m u erta , las d e fle x io n e s inm ediatas ca u sa d a s p o r la c a rg a v iv a y las d e fle x io n e s a d ic io n a le s a larg o plazo ca u sad as p o r la re tra c c ió n d e frag u ad o y el flu jo p lástico . e n tre lo s v a lo res d a d o s e n la ta b la , el e sp e so r m ín im o d eb e o b te n e rse por in terp o la c ió n lineal, íA b a c o , c o m o se d e fin e C. 13.2.5. f ' = 2 1 .1 M P a §L o sas c o n v ig as e n tre las c o lu m n a s a lo larg o de los b o rd e s ex terio re s. E l v a lo r de a r para la v ig a de b o rd e n o d e b e s e r m e n o r q u e 0.8. f y = 2 4 0 M Pa 0.06 E l te rm in o ^ n ,e n (b) y (c) c o rre sp o n d e a la lu z lib re en la d ire c c ió n larga m e d id a c a ra a c a ra d e las v ig as. El te rm in o p en (b) y (c ) c o rre s p o n d e a la 0.35 ( p - p ') m í n < ( p - p ’) < 0.50 ( p - p ') m á x re la c ió n d e la lu z libre en la d ire c c ió n larg a a la lu z lib re en la d irec ció n co rta de la losa. (se g ú n p ro b le m a 2 .1 6 ) 201 1 / 4 ’ C .9 .5 .3 .4 P u ed e u tiliz a rse e sp e so re s d e lo sas m e n o re s q u e los m ín im o s re q u e rid o s en C .9 .5 .3 .1 , C .9 .5 .3 .2 y C .9 .5 .3 .3 c u a n d o las d e fle x io n e s c a lc u la d a s n o e x c e d a n los lím ites d e la ta b la C .9 .5 (b ). L a s d e fle x io n e s d eben 122 F ig u r a 2.47 123 Capítulo 2 Flexión Estructuras de C oncreto I S o lu ció n L a s d e fle x io n e s in m e d ia ta s se c a lc u la rá n p o r las fó rm u la s de la te o ría de la ela stic id a d , c o n s id e ra n d o los e fecto s q u e tie n e n la físu ra c ió n y el refuerzo so b re la rig id e z d e la v ig a; las d e fle x io n e s a d ic io n a le s d e b e n d eterm inarse m u ltip lic a n d o las d e fle x io n e s in m e d ia ta s c a u sa d a s p o r la c a rg a m u e rta p o r el 3 0 * 1 8 .9 0 + 3 5 9 .0 4 * (l 8 .9 0 - 6 ) 2 + 4 5 2 .2 6 * ( 4 1 - 1 8 . 9 0 )2 L = I = 3 4 8 1 4 9 cm 4 cr Por o tra p arte , Ig = m o m e n to d e in e rc ia d e la sec ció n to ta l d e c o n c re to es: fa c to r X A d el R e g la m e n to N S R -1 0 . I = P a ra el c á lc u lo d e las d e fle x io n e s in m e d ia ta s se d eb e d e te rm in a r la p ro fu n d id a d d el e je n e u tro b a jo las c a rg a s d e serv ic io , u tiliz a n d o el m étodo d e la sec c ió n tra n sfo rm a d a : 3 0 * 5 0 3/1 2 = 3 1 2 5 0 0 c m 4 yt = y d ista n c ia m e d id a d esd e el eje c e n tro id a l d e la s e c c ió n to tal, d e s p re c ia n d o el re fu e rz o , h a sta la fib ra e x tre m a en trac ció n : yt = 50 - 18.90 = 3 3 .1 0 cm A co n tin u ació n , se c a lc u la el M cr = m o m e n to d e físu ra c ió n = fllg / y t , en donde f r = 0 . 7 T ^ = 3 .2 1 M P a 3 2 1 0 * 0 .0 0 3 1 2 5 = ------------------------- = 3 2 .2 5 kN -m 0 .3 1 1 0 M C on el m o m e n to m á x im o en el ele m e n to Ma p a ra el n iv e l d e c a rg a q u e se Figura 2.48 está e v a lu a n d o , c a lc u la d o en el p ro b le m a 2 .1 6 calcu lar el m o m e n to d e in e rc ia e fe c tiv o Ie : D e te rm in a c ió n d e la p ro fu n d id a d d el e je n eu tro : bx2 — + ( 2 n - l ) A ; ( x - d ') = nA s ( d - x ) L = M, ]3 1- M, 150x2 + 3 5 9 04 * ( x - 60) = 4 5 2 2 6 * (4 1 0 -x ) d e 2 0 0 .3 2 kN -m , se p u e d e /. x = 1 8 9 .0 m m I = 1 8 f 3 2 .25 ' ] ~ M pcrr " 3' _M a ^ *312500 + < 1- ' 3 2 .25 * 3 4 8 1 4 9 = 3 4 7 9 9 9 crn 2 0 0 .3 2 [2 0 0 .3 2 P o r tan to , el m o m e n to de in e rc ia de la se c c ió n tra n sfo rm a d a A surada Icr es, 4 en cm : le > Ig I cr = le = 3 1 2500 c n f + (2 n - l)A ; ( x - d ' ) 2 + n A s (d - x ) 2 T am bién d el R e g la m e n to , E c = 4 7 0 0 ^ /f^ = 2 1 5 7 3 M P a 125 124 Estructuras de C oncreto I C apítulo 2 Flexión P o r lo tan to , la d e fle x ió n e lá stic a in m e d ia ta será: §= = J _ . ______ 25^ 3 8 4 E Ie 384 _____ Si la viga del p ro b le m a h a c e p a rte de u n a c u b ie rta o lo sa q u e so p o rta o está unida a e lem e n to s n o estru c tu ra le s q u e n o p u e d e n se r d a ñ a d o s p o r deflexiones g ra n d es, se d eb e cu m p lir: 2 1 5 7 3 0 0 0 * 0 .0 0 3 1 2 5 p a ra w en k N /m , L en m , E en k N /m 2 e Ie en m 4 D e f l e x i ó n a larg o p la z o p o r c a rg a m u e rta m ás d e f l e x i ó n p o r c a rg a v iv a d e b e , Si d el to ta l d e la c a rg a (2 5 .0 4 k N /m ) se p u d ie ra c o n c lu ir q u e el 8 0 % (peso p ro p io d e la v ig a y p a rte de la c a rg a so b re la v ig a) es c a rg a m u erta , se estab lece: t ser m en o r de — . • 0.0 1 7 2 + 0 .0 0 4 0 = 0 .0 2 1 2 < 8 = 0 .0 3 3 3 m 240 Por lo tanto, el d ise ñ o p re se n ta d o en el p ro b le m a 2 .1 6 re su lta c o rrec to . L a d e fle x ió n in m e d ia ta c a u sa d a p o r la c a rg a m u e rta es de: P ro b lem a 2 . 2 4 0 .8 0 * 0 .0 1 9 8 = 0 .0 1 5 8 m (1 5 .8 m m ) L a d e fle x ió n in m e d ia ta c a u sa d a p o r la c a rg a v iv a es de: 0 .2 0 * 0 .0 1 9 8 = 0 .0 0 4 0 m (4.0 m m ) L a d e fle x ió n ad ic io n a l a larg o p la z o (5 añ o s o m ás), c a u sa d a p o r la re tra c c ió n de fra g u a d o y el flujo p lá stic o , se d e te rm in a m u ltip lic a n d o la d e fle x ió n c a u sa d a p o r la c a rg a m u e rta p o r el fa c to r X A, donde: ^ = — “— 1+ 50p' No o b stan te el re su lta d o del p ro b le m a an terio r, en el p ro b le m a 2 .1 8 se diseñó la a rm a d u ra p a ra la m ism a v ig a co n el c rite rio d e re d u c ir la d e fle x ió n por p lastifícac ió n d el c o n c re to , ad o p ta n d o u n a c u a n tía ( p - p ') = lo cual se o b tu v ie ro n lo s re su lta d o s d e este d iseñ o las d e fle x io n e s in m e d ia ta s d eflexiones in m e d ia ta s c a u sa d a s p o r adicio n ales a larg o p la z o ca u sa d a s p o r plástico, e v a lu a n d o si la d ism in u c ió n ju stificab le. f ' = 2 1 .1 M P a (2445 mm f y = 240 M Pa = ( p - p )m ín < ( p - p ' ) < ( p - p ') m á x (4740 mm^ 5 0 i i / 4 " + i 0 i í/S " : = 1.09 1 + 5 0 * 0 .0 1 6 5 8 5 (s e g ú n p r o b | e m a 2 .1 8 ) F ig u r a 2.49 L u eg o la d e fle x ió n ad ic io n a l a la rg o p la z o será: 0 .0 1 5 8 * 1 .0 9 = 0 .0 1 7 2 m (1 7 .2 m m ) 126 Solución Se utiliza el m ism o p ro c e d im ie n to d el p ro b le m a an terio r, así: 127 , con la fig u ra. A h o ra se c a lc u la rá n p ara ca u sa d a s p o r la c a rg a m u e rta , las la c a rg a v iv a y las d e fle x io n e s la re tra c c ió n d e fra g u a d o y el flu jo de flec h a q u e se b u s c a es o no 301 l/8 " + 101 2040 c o n £, = 2 .0 y p ' = ---------------= 0 .0 1 6 5 8 5 ; 300*410 0 .0 2 0 C apítulo 2 Flexión E structuras de C oncreto I D e te rm in a c ió n d e la p ro fu n d id a d d e l eje n e u tro b a jo las ca rg a s d e servicio: yt = 50 - 18.39 = 31.61 cm w f rIg 3 2 1 0 * 0 .0 0 3 1 2 5 Q1_ El m o m ento d e fís u ra c io n M cr = — = ------- Q 3 1 6 1 ------- = IXT Y el m o m en to m á x im o M a = 197.12 kN -m . P o r lo tan to : 3' l3 1 - i J * * M. I = F ig u r a 2 .50 hx2 2 ’ M pr" cr Icr cr _M a. " 3 1 .73 " 3] 31.73 I ' * , . n n * 3 7 3 9 8 0 = 3 7 3 7 3 6 cm" * 3 1 2 5 0 0 + í,1 2 0 0 .32_ 2 0 0 .3 2 i J 1 + ( 2 n - l ) A ; ( x - d ') = n A s ( d - x ) le > Ig 150x2 + 4 3 0 3 2 * ( x - 6 0 ) = 44082 * ( 4 2 0 - x ) x = 183.9 m m L = 3 1 2 5 0 0 cm E c = 4 7 0 0 ^ = 21573 M Pa Por co n sig u ien te, la d e fle x ió n e lá s tic a in m e d ia ta será: El m o m e n to d e in e rc ia d e la se c c ió n tra n s fo rm a d a físu ra d a es en c m 4: c 5 wL4 5 2 5 .0 4 * 8 4 AA1AO 5 = ------------- = -------* --------------------------------- = 0 .0 1 9 8 m 384 E l 3 8 4 2 1 5 7 3 0 0 0 * 0 .0 0 3 1 2 5 I cr = b * + ( 2 n - l ) A 's ( x - d ') 2 + nA s( d - x )2 para w en k N /m , L en m , E en k N /m 2 e I„ = 3 0 * ^ 8 '39 + 4 3 0 .3 2 * (1 8 .3 9 - 6 )2 + 4 4 0 .8 2 * (4 2 - 1 8 . 3 9 ) “ le en m 4 Para los m ism o s p o rc e n ta je s d e c a rg a m u erta y c a rg a v iv a d el p ro b le m a anterior, se o b tien e: I„ = 3 7 3 9 8 0 c m 4 El m o m e n to de in erc ia d e la se c c ió n to ta l d e c o n c re to , Ig en c m 4: Ig = 3 0 * 5 0 3/1 2 = 3 1 2 5 0 0 cm 4 y L a d e fle x ió n in m e d ia ta p o r c a rg a m u erta : 0 .8 0 * 0 .0 1 9 8 = 0 .0 1 5 8 4 m = (1 5 .8 m m ) L a d e fle x ió n in m e d ia ta p o r la c a rg a v iv a: 0 .2 0 * 0 .0 1 9 8 = 0 .0 0 4 0 m = (4 .0 m m ) y t = d ista n c ia d e sd e el eje c e n tro id a l h a s ta la fib ra e x tre m a a trac ció n : 129 128 E structuras de C oncreto I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n L a d e fle x ió n ad icio n a l a la rg o p la z o (5 añ o s o m ás) será de: 0 .0 1 5 8 4 , en do n d e: X4 = ^ = ----------- 2 ,0 l + 50p' 1| 5Q* 2445 = 1 .0 2 300*420 L u e g o la d e fle x ió n ad ic io n a l será: 0 .0 1 5 8 4 * 1 .0 2 = 0 .0 1 6 m (16 m m ) C o n la m ism a c o n sid e ra c ió n d el p ro b le m a an terio r: D e flex ió n a larg o p la z o p o r c a rg a m u e rta m ás d e fle x ió n p o r c a rg a v iv a debe , se r m e n o r d e i . 240 Capítulo 3 .-. 0 .0 1 6 + 0 .0 0 4 0 = 0 .0 2 0 < = 0 .0 3 3 3 m (33.3 m m ) 8 240 L a so lu c ió n d e este p ro b le m a n o s m u e s tra u n a d ism in u c ió n en la d efle x ió n to ta l d e 0 . 0 0 1 2 m ( 1 . 2 m m ) p o r e fe c to d el a u m e n to en la a rm a d u ra de • ' 2 2 c o m p re sió n de 2 0 4 0 m m a 2 4 4 5 m m , lo cual n o s p a re c e p o co ju stific a b le , n o so la m e n te p o rq u e n o es e s tric ta m e n te n e c e sa rio d e sd e el p u n to d e vista d e d e fle x ió n a d m isib le , sino p o rq u e im p lic a un so b re co sto p a ra una so lu c ió n d e u n o rd en d e m a g n itu d m u y p e q u e ñ o y q u e ig u a lm e n te p o d ría lo g ra rse si, p o r ejem p lo , se s u m in istra a la v ig a u n a c o n tra fle c h a ap ro p ia d a en el m o m e n to de c o n stru irla . 130 CORTANTE Y TORSION 131 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n C O R T A N T E Y T O R S IÓ N CORTANTE Resistencia al cortante Según el R e g la m e n to N S R -1 0 , el d ise ñ o d e las se c c io n e s tra n sv e rsa le s som etidas a c o rta n te d eb e b a s a rs e en: +Vn * v u donde Vu es la fu e rza c o rta n te m a y o ra d a en la se c c ió n b a jo c o n s id e ra c ió n y V„ es la re siste n c ia n o m in a l al c o rta n te q u e se c a lc u la co m o : V„ = V . + V S en la cual Vc es la re s is te n c ia n o m in a l al c o rta n te p ro p o rc io n a d a p o r el concreto y V s es la re s is te n c ia n o m in a l al c o rta n te p ro p o rc io n a d a p o r el refuerzo d e co rtan te. Para efecto s d el d iseñ o , se tom a: X = ^ X = 4>X + 4>V, f y \ = Vu - <j)Vc , lo d e d o n d e, cu a l q u iere d e c ir q u e se p ro p o rc io n a rá re fu e rz o a cortante cu a n d o Vu e x c e d a la re s is te n c ia a c o rta n te d e d ise ñ o d el co n c reto . El co eficien te d e re d u c c ió n fy se to m a rá ig u al a 0.75. El cálculo de Vu d e b e e fe c tu a rse , p a ra e le m e n to s n o p re e s fo rz a d o s , en u n a sección lo c a liz a d a a u n a d ista n c ia d (a ltu ra efe c tiv a ) m e d id a d e sd e la cara del ap o y o y to d a s las se c c io n e s situ a d a s a m e n o s d e la d ista n c ia d se p o d rá n diseñar p ara el m ism o c o rta n te V u . A co n tin u ació n a n e x a m o s lo s ca so s típ ic o s p a ra la a p lic a c ió n d el re q u isito anterior. 133 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n Para e lem en to s d e g ra n a ltu ra so m e tid o s a flex ió n , m én su las, m u ro s, lo sas y zapatas, se a p lic a n d isp o sic io n e s e sp e c ia le s q u e se e stu d ia rá n en los capítulos co rr esp o n d ie n tes q u e estén d e n tro del alca n ce del p re s e n te tex to ; de todas m an eras, se re m ite al le c to r al R e g la m e n to N S R -1 0 , ca p ítu lo s C .l 1 y C .21, este ú ltim o co n lo s re q u isito s p a ra e stru c tu ra s co n c a p a c id a d de disipación d e e n e rg ía m ín im a (D M I), m o d e ra d a (D M O ) y esp e cial (D E S ). í Resistencia a la fu e r z a cortante p roporcion ada por el concreto Vu Vu d Para elem e n to s so m e tid o s a c o rta n te y flex ió n ú n ic a m e n te , la re siste n c ia F ig u ra 3.1a E x c e p c io n e s d el re q u isito del c á lc u lo a la d ista n c ia d c o rre sp o n d e n a los p ro p o rcio n ad a p o r el c o n c re to p a ra d ise ñ o será ig u al a: <t,Vc =<t>0.17VfÚ>wd , a m e n o s q u e se h a g a u n c á lc u lo m ás d e tallad o p o r la ecu ació n : m ie m b ro s e n m a rc a d o s p o r un a p o y o en tra c c ió n , los m ie m b ro s en los cu ales las ca rg as n o e stá n a p lic a d a s e n la c a ra su p e rio r, los m ie m b ro s en los cu ales el c o rta n te d ifie re ra d ic a lm e n te e n tre el c a lc u la d o en el a p o y o y el o b ten id o <t>vc = 4. jo . 16 ^ + 17p„ 5 ^ } b »d < <t>0 . 2 9 V fX d a u n a d ista n c ia d, tal co m o el caso en q u e se sitú a u n a c a rg a c o n c e n tra d a c e rca d el a p o y o , y en el c a so d e los v o la d iz o s co rto s y en las m én su las. donde M u es el sim u ltán e am en te co n m o m e n to fle c to r se p re sen ta Vu en la se c c ió n d e d iseñ o , ( V ud ) / M u n o d eb e tom arse m a y o r q u e 1.0 al c a lc u la r (J)Vc y fa c to riz a d o que Pw es la c u a n tía d el re fu e rz o lo ngitudinal e ig u al a A s/ ( b wd ) y b w es el a n c h o del n erv io . R esisten cia a la fu er za co r ta n te p r o p o r c io n a d a p o r el refu erzo El refu erz o d e c o rta n te p u e d e c o n s is tir en: F ig u r a 3.1b 134 a) E strib o s p e rp e n d ic u la re s al eje del elem en to ; b) M a lla e le c tro s o ld a d a de alam b re, p e rp e n d ic u la rm e n te al eje d el elem e n to ; 135 co n a la m b re s lo caliza d o s C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n E s tru c tu ra s d e C o n c re to I c) E strib o s q u e fo rm e n u n án g u lo d e 4 5 ° o m ás co n el refu erzo c) C o m b in a cio n es d e e strib o s y re fu e rz o lo n g itu d in a l d o b lad o : en este caso, co m o en to d o s en lo s q u e se u tilic e m ás d e u n tip o de re fu e rz o a lo n g itu d in a l a trac ció n ; co rtan te, la re s is te n c ia de d ise ñ o <|>VS se c a lc u la rá co m o la su m a d e los d) R efu e rzo lo n g itu d in a l c u y a p a rte d o b la d a fo rm e u n án g u lo d e 30° v alo res d e 4>VS c a lc u la d o s p a ra lo s d ife re n te s tip o s d e re fu erz o . o m á s co n el re fu e rz o lo n g itu d in a l a trac ció n ; e) C o m b in a c io n e s d e e strib o s y re fu e rz o lo n g itu d in a l d o b lad o ; En todos los ca so s, la fu e rz a de flu e n c ia d e d ise ñ o d el re fu e rz o a c o rta n te no debe ser m a y o r d e 4 2 0 M P a , e x c e p to m a lla e le c tro so ld a d a c u y o f y n o d eb e f) E sp ira le s, e strib o s c irc u la re s y e strib o s c e rra d o s d e c o n fin a m ie n to . ser m ay o r d e 5 5 0 M P a y la re s is te n c ia a c o rta n te p a ra d iseñ o , p ro p o rc io n a d a por el refu erzo , d e b e rá c u m p lir la co n d ició n : C o m o se d ijo an tes, c u a n d o la fu e rz a c o rta n te fa c to riz a d a Vu e x c e d a la re s is te n c ia a c o rta n te de d ise ñ o <|>Vc, se p ro p o rc io n a rá re fu e rz o a c o rta n te de (tV < < j> 0 .6 6 V fX ,d m a n e ra que: (f)Vs = V u - <j)Vc, en d o n d e (j)Vs se c a lc u la rá d e a c u e rd o al tip o de L ím ites d e e s p a c ia m ie n t o p a r a e l r e fu e r z o a c o r ta n t e re fu e rz o a u tiliz a r, así: Los estrib o s o la m alla ele c tro so ld a d a , am b o s p e rp e n d ic u la re s al e je del a) E strib o s p e rp e n d ic u la re s al eje d el e le m e n to o m a lla so ld a d a de elem ento, n o se e sp a c ia rá n a m ás d e d /2 , n i a m ás de 6 0 0 m m . L o s e strib o s ala m b re , c o n ala m b re s ta m b ié n p e rp e n d ic u la re s al m ism o eje: inclinados y el re fu e rz o lo n g itu d in a l d o b la d o se esp a c ia rá n d e m o d o que <j)A f d <J>VS = — , s cualquier lín ea a 4 5 ° tra z a d a d e sd e la m ita d de la a ltu ra d el e le m e n to d /2 , en d o n d e hacia el re fu e rz o lo n g itu d in a l e n tra c c ió n se c ru ce co n al m e n o s u n a lín e a de refuerzo a co rtan te. A v = A re a del re fu e rz o de c o rta n te d en tro d e u n a d ista n c ia s C uando b) E strib o s que fo rm a n un án g u lo de 45° o m ás co n el re fu erz o (j)Vs > (j)0.33^/f 7b wd , los a n te rio re s esp a c ia m ie n to s se re d u c e n a la mitad. lo n g itu d in a l a tra c c ió n o re fu e rz o lo n g itu d in a l c u y a p a rte d o b lad a fo rm e u n án g u lo d e 3 0 ° o m ás co n el re fu e rz o lo n g itu d in a l a trac ció n . A dem ás, d e b e n te n e rse en c u e n ta los re q u isito s c o n te n id o s en el C a p ítu lo C.21 del R e g la m e n to N S R -1 0 . A„ f„ ( s e n a + eos a ) d (j)Vs - <j>— ^ ------------------ }— , s en d o n d e a = A n g u lo e n tre los e strib o s in c lin a d o s o las b a rra s lo n g itu d in a le s d o b la d a s y el eje lo n g itu d in a l d el elem e n to . 136 137 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n R e fu e r z o m ín im o a co r ta n te Algunos de estos valores lím ites para concretos de varias calidades: E n to d o e lem e n to d e c o n c re to re fo rz a d o , en d o n d e la fu e rza d e corte fa c to riz a d a Vu sea m a y o r q u e la m ita d de la re s is te n c ia d e d ise ñ o al cortante al m e n o s sig u ie n d o la e s p e c ific a c ió n d e á rea m ín im a tra n sv e rsa l d ad a p o r la ex p resió n : A = 0 .0 6 2 ^ 0.3 5 b „ s / f y t, yt d o n d e b w y s se e x p re sa n en m ilím e tro s y f om <f>vt p ro p o rc io n a d a p o r el c o n c re to <|>Vc, se c o lo c a rá re fu e rz o a la fu e rz a cortante en M P a. Jt f ^ O M .3 3 # fc f*c' p.s.i. 2000 2500 M Pa M Pa M Pa M Pa M Pa 14.1 17.6 0.478 0.239 3000 3500 4000 4500 5000 21.1 24.6 28.1 31.6 35.2 0.536 0.585 0.632 0.268 0.293 0.928 1.040 1.856 2.080 2.272 M V 2 0.316 0.338 0.676 0.717 0.359 0.378 0.756 1.136 1.228 1.312 2.456 2 .624 1.391 1.468 2.782 2.936 E sta e x p re sió n p u e sta en fo rm a d e se p a ra c ió n d e estrib o s: E stribos p e r p e n d ic u la r e s - A ' f, 0 .0 6 2 7 ÍX „ Ayfy, A 0 .3 5 b w p artir de la e x p re sió n d el c o rta n te n o m in a l to tal p a ra el d ise ñ o V u , en u n a viga re c ta n g u la r d e d im e n sio n e s b w y d q u e h a sid o d ise ñ a d a a flex ió n con S e e x c e p tú a n del re q u isito a n te rio r las z a p a ta s y lo sas so lid as, los elem en to s una a rm a d u ra a tra c c ió n a lv e o la re s co n u n a a ltu ra to tal in fe rio r a 315 m m , las lo sas n e rv a d a s, las d eterm in ará u n a e x p re s ió n p a ra la se p a ra c ió n de e strib o s y su v a lo r m áx im o v ig a s c o n h n o m a y o r q u e 2 5 0 m m , las v ig a s in te g ra le s c o n lo sas c o n h en fu n ció n d e d = a ltu ra efectiv a. As y q u e so p o rta u n c o rte a la fa lla in fe rio r a 6 0 0 m m y n o m a y o r d e 2 .5 v e c e s el e s p e so r del ala ó 0.5 v ec es el a n c h o d el a lm a y las v ig a s c o n stru id a s co n c o n c re to d e p e so norm al 1 re fo rz a d o co n fib ra d e ac ero , c o n f é igual o m e n o r a 4 0 M P a, h in fe rio r a 7 6 0 0 m m y Vu n o m a y o r d e <|)0.17-N/f^ b wd . X i í X - 45° - E n e stru c tu ra s d e c a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e rg ía m o d e ra d a (D M O ) y e sp e c ia l (D E S ) se d e b e c u m p lir lo s re q u is ito s a d ic io n a le s del C a p ítu lo C.21 S d el R eg lam en to . s s d L a re siste n c ia a c o rta n te s u m in istra d a p o r el re fu e rz o d e b e c u m p lir la F ig u ra 3.2 co n d ic ió n : <|>VS < (j)0.66^/fjbwd 138 139 s s Vn se E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n S e su p o n e u n a p o rc ió n lo n g itu d in a l d e u n a v ig a re c ta n g u la r d e d im en sio n es La sep aració n d e e strib o s d e b e g a ra n tiz a r q u e las p o sib le s g rie ta s fo rm a d as b wd, co n a rm a d u ra a tra c c ió n As y q u e so p o rta u n c o rte d e fa lla V n , según el e sq u e m a d e la fig u ra , c o n u n án g u lo a p ro x im a d o co n la h o riz o n ta l fo rm á n d o se la g rie ta m o stra d a e n la fig u ra 3.2. de S ie n d o n el n ú m e ro d e e s trib o s d e á re a Av q u e a tra v ie s a n la grieta, c o n trib u y e n d o a re sis tir el co rte , se p la n te a : v n = v c + n Ay f y , 45 °> n u n c a p a se n d e la m ita d d e la a ltu ra e fe c tiv a d e la v ig a y p u e d a n interesar la z o n a d e c o m p re sio n e s, e s d ecir: s m áx im a = d/ 2 en d o n d e: Refuerzo L o n g itu d in a l D o b la d o Vn = c o rte d e falla A partir d e la e x p re sió n d e la fu e rz a n o m in a l to tal d e c o rte p a ra el d is e ñ o Vu Vc = re siste n c ia al c o rte s u m in istra d a p o r el c o n c re to en una v ig a re c ta n g u la r d e d im e n s io n e s b w y d, q u e h a sid o d is e ñ a d a a la flexión co n u n a a rm a d u ra a la tra c c ió n A s y so p o rta u n c o rte a la fa lla V n , se n = n ú m e ro d e e strib o s = d /s q u e a tra v ie sa n la g rieta , d o n d e s es la se p a ra c ió n d e los e strib o s determ inará u n a e x p re s ió n p a ra el á rea d e h ie rro s a d o b la r y el m á x im o d e la separación d e las b a rra s d o b la d a s a 45°. P a ra (j)Vn : Vn | dA vfv + v n =4>ve + <|>. v y s ••• v u =4>vc + f s= A v f yd • K Íyd ( V „ - + V c) F ig u r a 3.4 e x p re sió n d e la se p a ra c ió n d e e strib o s e n fu n c ió n la fu e rza co rta n te e x c e d e n te so b re la re sis te n c ia a c o rta n te d el co n c reto . Se supone u n a p o rc ió n lo n g itu d in a l d e u n a v ig a re c ta n g u la r d e d im e n sio n e s bwd, co n a rm a d u ra a tra c c ió n A s q u e so p o rta u n c o rte a la fa lla V n , y en la cual se fo rm a la g rie ta m o s tra d a en la fig u ra 3.4. t , d/ 2 d/ 2 Siendo n el n ú m e ro d e b a rra s d o b la d a s d e á rea Av q u e re s is te n el c o rte V n , se p uede p lan tea r: Vn = Vc + n A vf ysenct F ig u r a 3.3 140 141 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n e n do nde: Vn = c o rte de falla A Vc = re siste n c ia n o m in al al c o rte s u m in istra d a p o r el co n c re to n = n ú m e ro d e b a rra s d o b la d a s _ ^0 + C Q ta ) s m u ltip lic a n d o p o r <j>: ••• v u = <|>vc + f ( v u - * v c) s A " '= " d (l + c o ta ) A f sena ------------ — -------s 4>vn - + v c + Ú v u- W ) s =— r— , y c o n el á n g u lo m ás u su a l a = 4 5 ° se tiene: v' 4 >fy ( s e n a + c o s a ) d 4 .V 2 f yd La sep aració n d e b a rra s d o b lad as d eb e g a ra n tiz a r q u e ca d a lín ea a 4 5 ° q u e se extien d a h ac ia la re a c c ió n d esd e la m ita d de la altu ra del e le m e n to h acia el refu erzo lo n g itu d in al en tra c c ió n , sea cru z a d a p o r lo m e n o s p o r u n a lín ea A f ( s e n a + eos a ) d ------------------- > - de refu erzo a c o rta n te ; p o r tan to , en el c a so d e b a rra s d o b la d a s a 4 5 ° su separación m á x im a, se g ú n la F ig u ra 3 .6 , d eb e se r la a ltu ra e fe c tiv a d. A. - (V u - * V c )s El R eg lam en to N S R -1 0 e s p e c ific a ad e m á s q u e “ ú n ic a m e n te las tre s cu a rtas <j)f ( s e n a + c o s a ) d ( 3 / 4 ) p arte s ce n tra le s d e la p o rc ió n in clin ad a d e c u a lq u ie r b a rra lo n g itu d in al doblada p u ed e n c o n sid e ra rse efe c tiv a s co m o e sfu e rz o a c o rta n te '’. Lo an terior p u ed e in te rp re ta rse , p a ra el caso d e b a rra s d o b la d a s a 4 5 °, q u e su V u -< ()V c sep aració n m á x im a d eb e se r d e 3/4 d. 4>Vc F ig u r a 3.5 Si e n el d ia g ra m a d e fu e rz a c o rta n te a d ju n to , d e lo n g itu d S, se d e sig n a p o r A, el á rea to tal d e las b a rra s n e c e s a ria s a d oblar: X (v „ -4 > Y )A s A.. = V| (j)fy ( s e n a + c o s a ) d F ig u r a 3.6 q u e p a ra el c a so d e c a rg a u n ifo rm e y d ia g ra m a d e fu e rz a tria n g u la r, resu lta: 142 A co n tin u a c ió n a lg u n a s a p lic a c io n e s d e los c o n c e p to s an terio res. 143 C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n E s tru c tu ra s d e C o n c re to I P ro b le m a 3.1 V u = 1 .8 * 7 4 .2 9 = 13 3 .7 2 k N L a v ig a d el p ro b le m a 2 .1 6 , d e se c c ió n 0 .3 0 x 0 .5 0 m , sim p le m e n te ap o y ad a La re siste n c ia p ro p o rc io n a d a p o r el c o n c re to p a ra d iseñ o será: en u n a lu z d e 8 m e tro s, p o r c o n stru irse e n c o n c re to d e fe = 21.1 M P a y a c ero p a ra fy = 2 4 0 M P a, re su ltó d o b le m e n te a rm a d a c o n u n re fu e rz o a tra c c ió n d e 2<\>l/4 "+ 5({>1%" y un re fu e rz o a c o m p re sió n de 4(1)1", <|,vc = <t>0.17 , / f X . d = 0.75 * 0 .1 7 * s ¡ 2 \7 \ * 0 .3 0 * 0.41 * 1 0 0 0 = 7 1 ,9 8 k N C on esto s v a lo re s h a c e m o s el d ia g ra m a d e fu e rza s co rta n tes: c o n stitu y é n d o se a sí en u n a v ig a e sfo rz a d a p o r e n c im a d e lo n o rm al. Con esta p re m isa, se u tiliz a c o m o m o d e lo d e d ise ñ o a la fu e rz a c o rta n te p a ra los d ife re n te s tip o s d e re fu e rz o así: F ig u r a 3.7 Para las se c c io n e s lo ca liz a d a s a m e n o s d e la d ista n c ia “ d ” d e la c a ra del a) D ise ñ o p a ra e strib o s p e rp e n d ic u la re s al eje d el elem en to : R e a c cio n es: R A = R B = (c o rte e n el e je d e los ap o y o s) R . = R „ = - 2 1 . 4 4 * 8 . 0 0 = 8 5 .7 6 k N C o rte en u n a sec c ió n a la d ista n c ia “d ” d el b o rd e: V = 8 5 .7 6 - 0.25 ap oyo el v a lo r es V u —<t>Vc = 6 1 .7 4 k N . L a se p a ra c ió n d e e strib o s de <j) 1/4”, 3 /8 ” y 1/2” será: s (estrib o d e 1/4”): s= < t> A fd 0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 3 2 * 2 4 0 0 0 0 * 0 .4 1 _ = --------------------------------------------------= 0.0765 ~ 0.07 m (V u -cf>Vc) 61.74 7 + 0.41 * 2 1 .4 4 = 7 4 .2 9 k N s (e strib o s d e 3 /8 ” ): = ° - 0 7 6 5 * 71 = 0 .1 6 9 ~ 0 .1 7 m 32 U tiliz a n d o el m ism o c o e fic ie n te de c a rg a (U = 1.8) del p ro b le m a 2 .1 6 , que p a ra el d ise ñ o a c o rta n te F. de S. = 1.8/ 0.75 = 2 .4 0 resu lta: 144 re p re se n ta u n fa c to r d e seg u rid a d s (e strib o s d e 1/2”): = 0 0 765 *129 32 145 = 0 .3 0 8 m ~ 0 .3 0 m E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n R e v isió n d e la se p a ra c ió n m áx im a: Si ad em ás d eb e c o lo c a rse re fu e rz o a c o rta n te en d o n d e la fu e rza cortante m a y o ra d a Vu sea m a y o r q u e la m ita d d e la re siste n c ia Si Vu —<t>Vc > <J)0.33-s/f ^ b wd = 0 .1 4 0 M P a ~ 140 k N los esp a ciam ien to s a n te rio re s se re d u c e n a la m itad. su m in istrad a p o r el c o n c re to <|>Vc, la d ista n c ia to tal p a ra la c o lo c a c ió n del refu erzo será: S ep a ra c ió n m á x im a d e e strib o s = 0 .5 d = 0.5*0.41 = 0.205 ~ 0 .2 0 m L o s e strib o s c o lo c a d o s d e b e n c u m p lir la e x p re sió n d e área m ín im a d e re fu e rz o a cortante: D istan cia to tal d e s d e el b o rd e d el ap o y o : 2.01 + 1.865/2 = 2 .9 4 m Para la c o lo c a c ió n d e lo s e strib o s se u tiliza u n p ro c e d im ie n to q u e se basa en la d iv isió n d e la b a se del triá n g u lo d e 1.60 m en cu a n ta s p arte s sea n ec esario se g ú n su ta m a ñ o y seg ú n la m a g n itu d d e la se p a ra c ió n A • 0 .0 6 2 ^ f s yt ^ f ' yt en tre estrib o s a c o lo c a r en c a d a p a rte , su p o n ie n d o e n ca d a u n a d e ellas co n stan te la fu e rz a c o rta n te y p o r lo tan to la se p a ra c ió n d e lo s estrib o s, así: d e d o n d e: A f . 7 * 37 * 7 4 0 Sm a x (# V 4 ) = ~T= = ------------- 7 = -------- = 180 m m 0 .0 6 2 y f c'b w 0 .0 6 2 * V 2 1.1 * 300 Para estrib o s d e <j>= 1/4” : Ia zona: d ista n c ia = 0.95 - 1 5 8 4> 1/4” c/0 .0 7 q u e cu b re n 0 .9 8 m 2 a zona: d ista n c ia = 0.53 - 3a zona: d ista n c ia = 0.53 - 6 £ (1) 1/4” c/0 .1 0 q u e c u b re n 0 .6 0 m 4 8 1/4” c /0 .1 4 que c u b ren 0 .5 6 m A d icional: d ista n c ia = 0.93 - 6 £ y su lim ite r A vf'yt 2*32*240 smax ( # 1 / 4 ) = ------- — = ----------------- = 146 m m 0 .3 5 b w 0 .3 5 * 3 0 0 = 0.41 + 0 .5 4 1/4” c /0 .1 4 que c u b ren 0 .8 4 m a d o p tá n d o se 140 m m o 0 .1 4 m T o tal: 2 .9 4 m 2 .9 8 m P o r lo tan to , p a ra e<j) 3 /8 " s ma* (s<t>3 /8 ) = 146*71 — = 3 2 4 m m ~ 0 .3 2 m l a zona 2 a zona 3 a zona 146*129 Smax( # 1 / 2 ) = -------------- = 588 m m ~ 0 .5 8 m 32 I D ista n c ia S en la cu a l se n e c e sita re fu e rz o al co rtan te: i I 0.41 L 0 .5 4 | 0.53 | 0.53 s=2.01 S = 0.41 + -0 .9 3 0 ( 4 . 0 0 - 0 . 1 2 5 - 0 . 4 1 ) = 0 .4 1 + 1.60 = 2.01 m 1 3 3 .7 2 v ’ - 6 1 ’7 4 F igura 3.9 146 147 ■K 0V c ^ =35.99 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n L a se p a ra c ió n d e los e strib o s en la se g u n d a z o n a co rre sp o n d e n a 3 /2 * 0 .0 7 = 0.105 m ~ 0 .1 0 m . E n la te rc e ra zo n a , la se p a ra c ió n d e e strib o s d e u n m ism o d iá m e tro para u n a fu e rz a c o rta n te e x c e d e n te so b re la re s iste n c ia d el c o n c re to de un te rc io (1 /3 ) del se c o lo c a n c a d a m á x im o 0 .1 4 m de d iseñ o , p o rq u e la se rá 3 * 0 .0 7 = 0.21 m ; pero se p a ra c ió n no d eb e ex c ed er d/2 = 0 .2 0 m ni su p e rio r a la q u e c o rre sp o n d e al á rea m ín im a de re fu e rz o , o sea 0 .1 4 m . F ig u r a 3.10 E n la z o n a ad ic io n a l se c o lo c a n solo 6 e strib o s y a q u e en las zonas No se co lo ca e strib o s (f) 1/2” p u e sto q u e s ex c ed e a d/2. a n te rio re s se h a ex c e d id o la d is ta n c ia re q u erid a. En esta v ig a re fo rz a d a a c o m p re sió n p o r flex ió n , se d eb e a s e g u ra r este refuerzo co n e strib o s q u e c u m p la n lo e sp e c ific a d o e n el R e g la m e n to P a ra e strib o s d e (j>3 /8 ” : colom biano, C a p ítu lo C .7 , sie n d o su se p a ra c ió n m á x im a la m e n o r de: I a zo n a : d ista n c ia = = 0.41 + 0.80 - 16 d iám etro s de la b a rra lo n g itu d in al: 1 6 * 2 5 .4 = 4 0 6 .4 m m ~ 0 .4 0 m 1.21 - 9 s <|> 3 /8 ” c /0 .1 7 = 0 .8 0 - 4 e <|> 3 /8 ” c/0 .2 0 q u e cu b re n 0 .8 0 m A d ic io n a l: d ista n c ia = 0.93 - 4 e (j) 3 /8 ” c/0 .2 0 q u e c u b re n 0 .8 0 m 4 8 * 6 .4 = 3 0 7 .2 m m ~ 0 .3 0 m (p a ra e<j>1/4”) 2 .9 6 m 4 8 * 9 .5 = 4 5 6 .0 m m ~ 0.45 m (p a ra s<j) 3 /8 ”) 2 a zo n a : d ista n c ia T otal: 2 .9 4 m q u e cu b re n 1.36 m Se a c la ra q u e e n la seg u n d a z o n a , la se p a ra c ió n d e e strib o s d e un m ism o d iá m e tro p a ra u n a fu e rz a c o rta n te e x c e d e n te so b re la re sisten c ia d el c o n c re to d e u n m e d io (1 /2 ) d el m á x im o d e d iseñ o , será 2 * 0 .1 7 = - 48 d iám etro s d e la b a rra d el estrib o : - m enor d im e n sió n de la v ig a: 0 .3 0 m Por tanto, co n e strib o s d e 1/4” o 3 /8 ” , la se p a ra c ió n m á x im a a q u e se p u e d e n colocar los e strib o s p o r este co n c e p to es de 0 .3 0 m . 0 .3 4 m ; p e ro se c o lo c a n ca d a 0 .2 0 m p o rq u e la se p a ra c ió n n o debe e x c e d e r d/2 = 0 .2 0 m ni el á re a m ín im a d e re fu e rz o , o sea 0 .3 2 m . b) D iseñ o p a ra re fu e rz o lo n g itu d in a l d o b la d o fo rm a n d o u n án g u lo d e 45° con la h o rizo n ta l. Esta a lte rn a tiv a es só lo te ó ric a , y co m o tal se p re s e n ta a c o n tin u ac ió n : 148 149 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n c) C o m b in ació n d e e strib o s p e rp e n d ic u la re s al eje d el elem e n to y re fu e rz o lo n g itu d in al d o b la d o fo rm a n d o u n án g u lo d e 4 5 ° co n la h o rizo n ta l. Se esc o g e u n a d istrib u c ió n d e e strib o s co n v e n ie n te , p o r ejem p lo , estribos Ó 1/4” c a d a 0 .1 4 m y a la fu e rz a su m in istra d a p o r el c o n c re to y los estrib o s se su m a el sald o q u e d eb e se r re sistid o p o r los h ierro s do b lad o s, así: Los e strib o s (j) l / 4 ” c /0 .1 4 m su m in istra n u n a fu e rz a = V uestnbos = V ue F ig u r a 3.11 A re a d e h ie rro s a d o b la r A -,= A v p a ra a = 45°: ^(V ,,-< t> V c) S ^ ( 1 3 3 . 7 2 - 7 1 . 9 8 ) *2.01 § \Í 2 f d 0 .7 5 * V í * 2 4 0 0 0 0 * 0.41 A fd 0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 3 2 * 2 4 0 0 0 0 * 0 .4 1 0 0 ^ IXT/ 7 V . = <b — = ----------------------------------------------------= 33 .7 3 k N /m " ue s 0.14 = 0 .0 0 0 5 9 6 m 2 Se p u e d e c o lo c a r u n a so la b a rra <j)l X " d e las q u e v ie n e n d e la lu z y que y a n o se n e c e sita n , a u n a d ista n c ia del b o rd e del a p o y o co rre sp o n d ie n te al c e n tro id e del triá n g u lo d e b a se 2.01 m . S in e m b arg o , e sta p rim e ra b a rra d e b e d o b la rse a 0 .4 1 * 0 .7 5 = 0 .3 0 m del b o rd e del ap o y o , y p o r lo tan to p a sa rá a 0 .3 0 - 0 .2 0 = 0 .1 0 m del b o rd e d el a p o y o m e d id o s en el eje d e la v ig a (v é ase F ig u ra 3.12). D e to d a s m a n e ra s, e sta c o lo c a c ió n n o im p id e el a g rie ta m ie n to a p artir ** i d el d o b la je a 0 .3 0 m del b o rd e , p o r lo q u e te ó ric a m e n te d eb em o s c o lo c a r el re fu e rz o lo n g itu d in a l d o b la d o h a sta 2 .9 4 m , así: 2 a b a rra d o b la d a a 0 .6 0 m del b o rd e 3 a b a rra d o b la d a a 0 .9 0 m d el b o rd e 4 a b a rra d o b la d a a 1.20 m del b o rd e 5a b a rra d o b la d a a 1.50 m del b o rd e 6 a b a rra d o b la d a a 1.80 m d el b o rd e ad icio n a d a d e 0.93 m p a ra c u m p lir el R e g la m e n to d e c o lo c a r re fu erz o tran sv ersal d o n d e Vu > 0.5<j)Vc ; p o r c o n sig u ie n te , se re q u ie re n 22 estrib o s (j) 1/4” q u e c u b re n u n a lo n g itu d d e 2 .9 4 m . E l d ise ñ o d e los hierro s d o b la d o s c o m p le m e n ta rio s se h a rá a p a rtir d el c á lc u lo d e la 8a d istan cia Sd (F ig u ra 3 .1 3 ) en la cu a l es n e c e sa rio c o lo c a rlo s, así: b a rra d o b la d a a 2 .4 0 m d el b o rd e 10a b a rra d o b la d a a 3 .0 0 m del b o rd e 150 Los e strib o s d e <})1/4 ” so n n e c e sa rio s en u n a d ista n c ia d e Se = 2.01 m 7 a b a rra d o b la d a a 2 .1 0 m d el b o rd e 9a b a rra d o b la d a a 2 .7 0 m d el b o rd e F ig u r a 3.12 F ig u ra 3.13 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n 28 01 S, = 0 .4 1 + ----- — (4 .0 0 —0 .1 2 5 —0 .4 1 ) = 1.14 m d 1 3 3 .7 2 v ’ El á rea d e h ie rro s a d o b la r A p a ra a = 45°: La segunda b arra d eb e p a s a r a 0 .3 4 m d el b o rd e d el a p o y o m e d id o s e n el eje de la viga y d o b la rse a 0 .5 4 m d el m ism o b o rd e. La tercera b a rra d o b la d a d e b e p a s a r a 0 .7 0 m d el b o rd e del a p o y o m ed id o s en el eje de la v ig a, p e ro su se p a ra c ió n co n la a n te rio r n o d e b e e x c e d e r A 7 ( V U- V ue- ^ V C) S 2 * 2 8 .0 1 * 1 .1 4 =+ = = ------------------------------------- = 0 .0 0 0 1 5 3 m 2 <|)v2 f yd 0 .7 5 * V 2 * 2 4 0 0 0 0 * 0.41 0 30m; lu ego d eb e p a s a r a 0 .6 4 m d el b o rd e del a p o y o m ed id o s en el eje y doblarse a 0 .8 4 m del m is m o b o rd e. No o b stante h a b e rse c o m p le ta d o la n e c e sid a d te ó ric a d e re fu e rz o en fo rm a S e p u e d e c o lo c a r u n a so la b a rra d e (jdX" d e las q u e v ie n e n d e la lu z y que de hierros d o b la d o s, se d eb e c o lo c a r u n o ad ic io n a l, así: y a n o se n e c e sita , a u n a d ista n c ia d el b o rd e d el a p o y o ig u al al c e n tro id e del triá n g u lo d e b a s e 1.14 m ; sin e m b a rg o , p a ra d ism in u ir el n ú m e ro d e barras 4 a b arra: se d e b e d o b la r a 1.14 m d el b o rd e p o r c o lo c a r p a ra c u m p lir las e s p e c ific a c io n e s d e se p a ra c ió n y d ista n c ia en las cu a le s es n e c e sa rio situ a r el re fu e rz o a la fu e rz a c o rta n te (v é a se punto A m anera d e co n c lu sió n , esta a lte rn a tiv a d e c o m b in a c ió n p a ra el p re s e n te “b ” an terio r), se p re fie re d iv id ir el área d el triá n g u lo m e n c io n a d o en tres caso resu lta só lo te ó ric a , sie n d o p ra c tic a b le ú n ic a m e n te e n a q u e lla s v ig as á re a s ig u a le s c o lo c a n d o e n el c e n tro id e d e c a d a á re a ig u al y c o in c id e n te con especialm ente c a rg a d a s o e sfo rz a d a s y q u e ad e m á s te n g a n u n a sec c ió n lo el eje d e la v ig a, u n á rea d e re fu e rz o d o b la d o e q u iv a le n te a u n terc io d el área su ficientem ente a m p lia co m o p a ra h a c e r d e e sta so lu c ió n u n a a lte rn a tiv a n e c e s a ria A v . P o r tanto: aceptable p o r d ise ñ o y c o n stru c c ió n . vt Con fines co m p a ra tiv o s se re su e lv e el p ro b le m a a n te rio r p a ra u n a so lu c ió n con estrib o s, u tiliz a n d o la e x p re sió n d e re siste n c ia a la fu e rz a c o rta n te proporcionada p o r el c o n c re to c u a n d o se tien e en c u e n ta el e fe c to d e la flexión. Problem a 3.2 R esolver el p ro b le m a 3.1 p a ra u n a so lu ció n co n estrib o s, u tiliz a n d o la expresión d e re s is te n c ia d e la fu e rz a c o rta n te p ro p o rc io n a d a p o r el co n c reto <t>Vc =<|>jo . 1 6 ^ + 17 p w - ^ p j b wd < (|)0 .2 9 ^/fV b wd , su p o n ie n d o que la F ig u ra 3 .14 arm adura a la tra c c ió n p o r flex ió n , 2<j)l%"+5(j)l%" p a sa sin in te rru p c ió n L a p rim e ra b a rra d eb e p a s a r a 0 .1 0 m del b o rd e del a p o y o m e d id o s e n el eje d e la v ig a y d o b la rse a 0 .3 0 m d el m ism o borde. 152 hasta el ap o y o . 153 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n S o lu ció n P a ra la u tiliz a c ió n d e e sta e x p re sió n d e re sis te n c ia se d eb e c a lc u la r pw, V u y M u en v a rio s p u n to s d e la v ig a, o b te n ie n d o la c u rv a d e § V C q u e se compara c o n V u p a ra d e te rm in a r el re fu e rz o n e c e sa rio y su lo caliza ció n . C á lc u lo d e p w: p w 4863 = 0 .0 3 9 5 3 7 Pw 3 0 0 * 4 1 0 C á lc u lo d e V u: a p a rtir d e las re a c c io n e s R A = R B = 8 5 .7 6 k N , la carga u n ifo rm e w = 2 1 .4 4 k N /m y el m ism o c o e fic ie n te d e carga U = 1.8 d el p ro b le m a a n terio r; co n fin es c o m p a ra tiv o s, se c a lc u la V u al b o rd e d el a p o y o y a la d is ta n c ia “ d ” d el m ism o D is ta n c ia Mu Vu V ud V d a l e je d e l k N -m kN M u * 1?P" M u 1.00 0.71 0.35 0.21 0.14 0 .504 0.358 0.176 0.106 0.071 0.12 0.09 0.05 0.05 0.060 0.045 0.025 0.025 0.03 0.00 0.015 0.000 ni Ó J25 (1535 1.000 nóo 2.000 2.135 2.500 3.000 3.067 3.500 4.000 19.03 149.54 77.06 135.06 188.13 2 3 1 .5 4 241.61 265.31 28 9 .4 2 29 1 .9 2 133.71 115.77 96.47 303.90 30 8 .7 2 77.18 71.97 57.88 38.59 35.99 19.29 0.00 <f>Vc + vs M Pa kN 0.123 0.112 2 6 .5 4 21.71 0.089 0.081 26.77 15.47 0.18 0.00 0.00 0.0 0 0.00 0.077 0.075 0.073 0.071 0.071 0.070 0.068 0.00 0.00 borde: w u = 1 .8 * 2 1 .4 4 = 3 8 .5 9 k N /m y V U( R A = R B ú ltim a s) = 154.36 kN En la fig u ra se o b se rv a el d ia g ra m a de fu e rza s c o rta n te s E n el b o rd e : V u (b o rd e ) = 154.36 - 0 .1 2 5 * 3 8 .5 9 = 149.54 kN . Mu y Vu al b o rd e d el ap o y o , a la d ista n c ia “ d ” y c a d a 0 .5 0 m , h a sta la m ita d d e la luz, d e a c u e rd o a la sig u ie n te tabla: *Vc = + | o . l 6 ^ + 17pw^ | b wd ^ * 0 . 2 9 >/ffbwdS0.12 3 Figura 3.15 154 y el d e <|>Vc m arcando el e x c e d e n te y la zo n a p a ra la cu al n e c e sita m o s d ise ñ a r estrib o s: A la d ista n c ia “d ” : V u(d ) = 154.36 - (0 .1 2 5 + 0 .4 1 )* 3 8 .5 9 = 133.71 kN C á lcu lo d e 4>Vc: se c a lc u la rá n p a ra Vu 155 C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n E s tru c tu ra s d e C o n c re to I D e la fig u ra se o b tie n e q u e p a ra las se c c io n e s lo c a liz a d a s a m e n o s de la A dicionalm ente, p o r tra ta rs e d e u n a v ig a c o n re fu e rz o a c o m p re s ió n p o r d is ta n c ia “ d ” d e la c a ra d el a p o y o , el v a lo r d e (Vu-(|>Vc) es 21.71 k N y para flexión, se d eb e a s e g u ra r este re fu e rz o c o n e strib o s cu y a se p a ra c ió n m á x im a la s e c c ió n lo c a liz a d a a 1.00 m d e la ca ra d el ap o y o , el v a lo r (V U-<|>VC) es sea de 0.30 m (v é ase el p ro b le m a 3.1). 2 6 .7 7 k N ; p o r c o n sig u ie n te las se p a ra c io n e s d e e strib o s <j>1/4” y 3 /8 ” serán: A m anera d e c o m p a ra c ió n , se h a c e n o ta r q u e la a rm a d u ra tra n sv e rsa l P a ra e strib o s (j> 1/4” : colocada d e a c u e rd o a la e x p re sió n d e re siste n c ia a la fu e rza d e co rte proporcionada p o r el c o n c re to en fu n c ió n d e la flex ió n es in fe rio r a la q u e se <t>Avf d 0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 3 2 * 2 4 0 0 0 0 * 0 .4 1 s = 7 -------- — r = ---------------------------------------------------- = 0 .1 7 m (V u —<t>Vc) 2 6 .7 7 necesita cu a n d o <j>Vc se c a lc u la co m o ( j ) 0 . 1 7 ^ b wd . S in e m b a rg o , se com parte la o p in ió n co n a lg u n o s a u to re s en el se n tid o de q u e falta investigación al re s p e c to y q u e p o r lo tan to el d ise ñ a d o r d eb e p ro c e d e r co n L o s e strib o s c o lo c a d o s d e b e n c u m p lir el R e g la m e n to so b re sep aració n m á x im a 0 .5 d = 0 .2 0 m y á rea m ín im a d e re fu e rz o a co rtan te: prudencia en este tip o d e trab a jo s. P a ra e strib o s (}> 1/4” : s m á x im a = 2*32*240 = 146 m m ~ 0 .1 4 m 0 .3 5 * 3 0 0 P o r esta ra z ó n se c o lo c a rá n 23 ecj) 1/4” c /0 .1 4 a p a rtir d el b o rd e d el apoyo q u e c u b rirá n 3.08 m . > 3 .0 6 7 m n e c e sa rio s. P ara e strib o s <t> 3 /8 ” : s= (j)A f d 0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 7 1 * 2 4 0 0 0 0 * 0 .4 1 _ — - = ----------------------------------------------------= 0 .3 9 m ( V„ - <t>Vc ) 2 6 .7 7 L o s e strib o s c o lo c a d o s d e b e n c u m p lir el R e g la m e n to so b re sep a rac ió n m á x im a 0 .5 d = 0 .2 0 m y á rea m ín im a d e re fu e rz o a co rtan te: 2*71*240 P a ra e strib o s ó 3 /8 ” s m á x im a = ----------------- = 3 2 4 m m ~ 0 .3 2 m 0 .3 5 * 3 0 0 P o r lo a n te rio r se c o lo c a rá n 17 3 /8 ” c/0 .2 0 a p a rtir d el b o rd e d el apoyo q u e c u b rirá n 3 .2 0 m > 3 .0 6 7 m n e c e sa rio s. 156 157 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n T O R S IO N Una vez se h a d e te rm in a d o q u e la to rsió n d eb e c o n sid e ra rse , se d eb e A co n tin u a c ió n u n a b re v e p re s e n ta c ió n d e e ste tem a in clu y e n d o u n ejem plo verificar que la sec c ió n sea su ficien te , p a ra lo cu al d eb e cu m p lirse que: d e d iseño. \2 + Se p u e d e d e fin ir co m o el e fecto d e fu e rz a s e x te rio re s to rsio n a le s que S e c o n sid e ra n dos cla se s d e to rsió n : to rsió n p rim a ria , lla m a d a tam bién Vu = to rs ió n de e q u ilib rio o to rs ió n e stá tic a m e n te d e te rm in a d a , y se presenta p h = p e rím e tro c u a n d o la c a rg a e x te rn a n o p u e d e s e r re s istid a sin o p o r la to rsió n , co m o por ta m b ié n la to rsió n se c u n d a ria , lla m a d a ta m b ié n to rsió n p o r c o m p a tib ilid a d o El p ro c e d im ie n to p re se n ta d o en el R e g la m e n to N S R -1 0 p a ra el d ise ñ o d e la fu e rza c o rta n te m a y o ra d a en la sec ció n , en M P a; A oh= á rea d el eje del re fu e rz o tra n sv e rsa l c e rra d o e n c e rra d a p o r el eje d el re fu e rz o tra n sv e rsa l r m as c e rra d o 9 m as ex te rn o d isp u e sto p a ra re c ib ir to rsió n e x p re sa d a en m m "; Vc = re siste n c ia n o m in a l al c o rta n te p ro p o rc io n a d a p o r el c o n c re to , en M P a. a d y a c e n te s de u n a e stru c tu ra , co m o p o r e je m p lo la to rsió n p ro v o c a d a en la v ig a p e rim e tra l q u e so p o rta las c a rg a s d e las v ig u e ta s q u e allí term in an . V ■+ 0 . 6 6 ^ } , en d o n d e: b . d V w e x tern o d isp u e sto p a ra to rsió n en m m ; to rsió n e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a y se p re se n ta a p a rtir d e los requisitos d e c o n tin u id a d o d e c o m p a tib ilid a d d e d e fo rm a c io n e s en tre las partes < cj> vM y “ tie n d e n a re to rc e r al ele m e n to co n re sp e c to a su eje lo n g itu d in a l” . e je m p lo la e x iste n te so b re la v ig a q u e so p o rta u n a lo sa en v o la d iz o ; existe TuPh Una vez se h a d e te rm in a d o q u e la sec ció n es su fic ie n te , se d e te rm in a el refuerzo tran sv e rsal p a ra to rs ió n a p a rtir de: a rm a d u ra a to rsió n c o n te m p la u n p rim e r p a so en el cual se d e te rm in a si la to rsió n d e b e c o n sid e ra rse , d ic ie n d o q u e “ se p e rm ite d e s p re c ia r los efe c to s de <j)Tn > Tu en d o n d e la to rsió n si el m o m e n to to rsio n a l m a y o ra d o T u es m e n o r q u e : f K Tu < 4>0.083VfT Tn = i\ £p_ s , en d o n d e: v P Cp y con: Tu = m o m e n to d e to rsió n m a y o ra d o en la secció n ; A cp = área e n c e rra d a por el p e rím e tro = p e rím e tro e x te rio r d e A cp, en la s e c c ió n Tn = re siste n c ia n o m in a l a la to rsió n ; Ao = á rea b ru ta e n c e rra d a e x te rio r d e la secció n tra n sv e rsa l d e co n c reto , en m m 2; PcP c o t9 > — , 4> tra n sv e rsa l de e x p re sa d a en m m 2. Se p u e d e to m a r co m o 0 .8 5 ALoh co n creto A, mm; p o r la tra y e c to ria d el flu jo d e co rta n te, = área d e u n a ra m a d e u n estrib o c e rra d o q u e re siste la to rsió n , co n u n e sp a c ia m ie n to s, e x p re sa d a en m m "; ^ = fa c to r d e re d u c c ió n d e re siste n c ia ig u al a 0.75 p a ra to rs ió n ” . 158 159 .C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n E s tru c tu ra s d e C o n c re to I = re siste n c ia e s p e c ific a d a a la flu e n c ia f y d el refuerzo f = re siste n c ia e s p e c ific a d a a la flu e n c ia f y del re fu e rz o lo n g itu d in a l p ara to rsió n , e x p re s a d a en M P a, y tra n sv e rs a l p a ra to rsió n , e x p re s a d a en M P a; s = e sp a c ia m ie n to m ed id o c e n tro a ce n tro d el re fu e rz o a cortante A ,/ s N o d eb e to m a rse m e n o r q u e 0 .1 7 5 b w/ f yt en d o n d e f yt se re fiere al re fu e rz o tra sv e rsa l ce rra d o p a ra to rsió n . o a to rsió n e n u n a d ire c c ió n p a ra le la al re fu e rz o longitudinal, e x p re sa d o en m m ; 0 = El refuerzo án g u lo e n tre el eje d e la s d ia g o n a le s d e c o m p re sió n en la a n a lo g ía d e c e lo s ía p a ra to rsió n , e n g ra d o s. N o d eb e tom arse m e n o r d e 30° n i m a y o r d e 6 0 ° . Se p u e d e to m a r 0 = 45° alrededor lo n g itu d in a l p a ra to rsió n , así c a lc u la d o , d eb e del p e rím e tro de lo s e strib o s ce rra d o s co n d istrib u irse un m áx im o espaciam iento en tre b a rra s de 3 0 0 m m . L as b a rra s lo n g itu d in a le s d eb e n colocarse d en tro de lo s e strib o s y p o r lo m e n o s u n a b a rra lo n g itu d in a l en cada esq u in a del estrib o . L as b a rra s lo n g itu d in a le s d e b e n te n e r u n d iá m e tro E l e sp a c ia m ie n to d el re fu e rz o tra n s v e rsa l p a ra to rsió n así c o lo c a d o , n o debe de al m enos 0 .0 4 2 v ec es el d el e sp a c ia m ie n to en tre e strib o s y n o d e b e n ser e x c e d e r el m e n o r v a lo r e n tre p h / 8 y 3 0 0 m m . menores a la b a rra N ° 3 ( <j>3 /8 ” ) o 10 M (1 Omm). D o n d e se re q u ie ra re fu e rz o p a ra to rsió n , el á rea m ín im a d e e strib o s cerrados El refuerzo a to rs ió n ta n to lo n g itu d in a l co m o tra n sv e rsa l d eb e lle v a rse p o r c o m b in a d a c o n la c o rre sp o n d ie n te a la fu e rz a c o rta n te d eb e cu m p lir: una d istan cia m a y o r a (b t + d) m ás a llá del p u n to d o n d e y a n o se n e c e site por análisis, en d o n d e “b ” es el an c h o d e la se c c ió n tra n s v e rs a l d el ele m e n to A v + 2 A t = 0 .6 2 ^ /f7- ^ > (0 .3 5 b ws ) / f yt , e n donde: yt que con tien e los e strib o s c e rra d o s q u e re siste n la to rsió n . A co n tin u ació n un e je m p lo d e a p lic a c ió n d e lo s c o n c e p to s an terio res. A v= á re a del re fu e rz o d e c o rta n te c o n u n e s p a c ia m ie n to s, ex p resad o P ro b lem a 3 .3 en m m 2; La viga c o n tin u a d e 0.35 x 0.35 m d e la fig u ra , a p o y a d a en c o lu m n a s b w = an c h o d el alm a, e x p re s a d o en m m . cuadradas de lad o 0.35 m , so p o rta u n ático en m a n ip o ste ría d e lad rillo A c o n tin u a c ió n se c a lc u la el re fu e rz o lo n g itu d in a l p a ra to rsió n c o n la sig u ie n te e x p re sió n q u e e s p e c ific a el á re a m ín im a to ta l d e d ich o re fu erz o : 0-42^/f^A A í,min fy fA 1 s Ph f yt f. 160 macizo de 1.20 m d e a ltu ra y u n a lero en lo sa m a c iz a de e s p e s o r 0 .1 4 m , que sobresale 1.40 m c o n re sp e c to al b o rd e d e la v ig a o d e la fa ch ad a . C a lc u la r la arm ad u ra n e c e sa ria a la fu e rza c o rta n te y la to rsió n , si se u tiliz a co n c re to de fc = 21.1 M P a y a c ero d e re fu e rz o p a ra fy = 4 2 0 M P a en to d o s los e n donde: diám etros. 161 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n T. ^ Carga viva: (aunque se considera alero no accesible se utiliza este valor a criterio del diseñador) = 1.80 k N /m 2 Total: = 6.41 k N /m 2 El alero cargará sobre 0 .3 5 la viga 6 .4 1 * 1 .4 0 = 8.97 k N /m , con una excentricidad de 0 .8 7 5 m. 0.14 De la viga: Peso propio de la viga: 0 .3 5 * 0 .3 5 * 1 .0 0 * 2 4 = 2 .9 4 k N /m De pañete: (0 .3 5 + 0.35 + 0 .2 1 )* 0 .0 2 * 1 .0 0 * 2 2 = 0 .4 0 k N /m Del ático: 0 .2 5 * 1 .2 0 * 1 .0 0 * 1 8 = 5 .4 0 k N /m = 8 .7 4 k N /m 0 .3 5 F ig u r a 3 .16 S o lu ció n E n el d ise ñ o d e u n a v ig a co m o la p ro p u e sta se d eb e c o m e n z a r p o r el análisis T otal: d e c a rg a s d e la estru c tu ra, c o n tin u a r co n el an á lisis y d ise ñ o estru c tu ra l a flex ió n , cu y a s á re a s d e re fu e rz o re q u e rid a s e n e ste p ro b le m a se asum en Por tanto, la v ig a e s ta rá so m e tid a a u n a c a rg a u n ifo rm e to ta l p o r m etro o b te n id a s co n an te rio rid a d , y te rm in a r c o n el d ise ñ o a c o rta n te y to rsió n . de lo n g itu d d e 8 .9 7 + 8.74 = 17.71 k N /m y a u n m o m e n to to rs io n a l p o r 1) m etro d e lo n g itu d en el eje d e la v ig a de 8 .9 7 * 0 .8 7 5 = 7.85 kN -m . A n á lisis d e ca rg a s 2) D e l alero: P eso p ro p io d e la losa: 0 .1 4 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 3 .3 6 k N /m 2 D e a lista d o y d esn iv ele s: 0 .0 3 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 = 0 .6 6 k N /m 2 = 0.15 k N /m 2 = 0 .4 4 k N /m 2 = 4.61 k N /m 2 D e im p e rm e a b iliz a c ió n : D e p a ñ e te c ielo raso: 0 . 0 2 * 1. 0 0 * 1. 0 0 * 2 2 S u b to ta l (c a rg a m u erta ) D iseño a flex ió n De ac u erd o co n lo a rrib a e x p re sa d o , el re fu e rz o re q u e rid o a fle x ió n se calculó en o tro c a p ítu lo y c o rre sp o n d e a la c u a n tía m ín im a , es d ecir: A s = 0 .0 0 3 3 * 0 .3 5 * 0 .2 8 = 0 .0 0 0 3 2 3 m 2 3) D iseño d el re fu e rz o a la fu e rza c o rta n te y la to rsió n El co rte a u n a d ista n c ia “ d ” del b o rd e de las c o lu m n a s será: V = — * 1 7 .7 1 * (3 .3 5 —0.35 —0 .5 6 ) = 21.61 kN 2 162 163 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n p h = 2 * (x i + y i ) U tiliz a n d o u n fa c to r d e se g u rid a d d e 2 .0 se o b tien e: V u = 1.5*21.61 = 3 2 .4 2 k N P a ra e strib o s d e (j> 1/2” : E n la m ism a s e c c ió n d e c á lc u lo y co n el m ism o fa c to r de se g u rid a d , el Xi = 3 5 0 - 80 - 12.7 = 2 5 7 .3 m m ~ 0.25 m m o m e n to d e to rsió n to tal será: yi = 350 - 80 - 12.7 = 2 5 7 .3 m m ~ 0.25 m f 3.35 T -0 .1 7 5 -0 .2 8 = 1.5*7.85* = 14.37 kN -m Ph = 2 * (0 .2 5 + 0 . 2 5 ) = 1.00 m E n e le m e n to s n o p re e s fo rz a d o s la to rsió n se c o n sid e ra si: A•oh oh = xi *y i = 0 .2 5 * 0 .2 5 = 0 .0 6 2 5 m 2 = 6 2 5 0 0 m m 2 Pcp Ca 2 ^ T„ > < (> 0 .0 8 3 ^ cp , en donde: R eem p lazan d o : V Pcp J 350 Acp A ccp = 3 5 0 * 3 5 0 = 122500 m m 2 3 3 12 + p cp = 2 * (3 5 0 + 3 5 0 ) = 1400 m m 1 4 .3 7 * 1 .0 0 \2 < 0 .7 5 * Í0 .7 8 + 0 .6 6 * \/2 lT T )* 1 0 0 O ,1 .7 * 0 .0 6 2 5 ; . V 350 2 1 8 9 k N /m : < 2 8 5 8 k N /m 2 F ig u r a 3.17 luego, la secció n es su ficien te. R e m p la z a n d o : R efuerzo tr a n sv e r sa l p a ra la fu er za co r ta n te i kN 0 .7 5 * 0 .0 8 3 * V 2 1.1 * 1 0 0 0 — - * m 2 ___4 0 .1 2 2 5 m = 3.06 kN -m 1.40 m El refu erzo tra n s v e rs a l p a ra la fu e rza c o rta n te se d e te rm in a a p a rtir d e . (j)Vs > ( Vu - <j)Vc) E n este c a so ÓVc = 5 7 .3 5 , es m a y o r q u e V u , p o r lo q u e se L u e g o T u > 3 .0 6 kN -m y p o r lo ta n to la to rsió n d e b e c o n sid e ra rse . A c o n tin u a c ió n d eb e d e te rm in a rs e si la sec c ió n es su fic ie n te , p a ra lo colocan e strib o s d/2 = 0 .1 4 m cu a l d eb e c u m p lirse: A y. \2 v M , + / \ 2 / T uPh < f (j) 1/2” a la m e n o r y " ""2n I b s o .3 5 h - f V, — + 0 .6 6 - J fí \, en d o n d e 1.7 A oh / 164 de las sig u ie n te s sep a rac io n e s: 165 d e d o n d e, E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n A f 129 4ZU_ 7 * 1=2 1088 9 * 4 2 0m m _ 1 0 9 m --------2 s max s 0.062-v/f ^ b w = max > 0 .0 0 0 6 8 > 0 .0 0 0 8 3 350*65 0 .0 6 2 V 2 1 .1 * 3 5 0 0.0113 > 0 .0 0 0 8 3 , A vfyt 2*129*420 — = ------------------- = 885 m m ~ 0.88 m 0 .3 5 b w 0 .3 5 * 3 5 0 re su lta n d o c o rre c ta la se p a ra c ió n de 0 .065 m. Se d = 0 .2 8 d istrib u id a 2A A * f S e c a lc u la a p a rtir de: Tn = s T —c o t 9 > — , <j) en este c a so m uy fre c u e n te d e c a rg a u n ifo rm e m e n te ¡t— f R e fu e r z o tr a n sv e r sa l p a ra to rsió n : o b se rv a y u n m o m e n to de to rsió n a p lic a d o y d istrib u id o de en donde: ig u al fo rm a , q u e tan to V u co m o T u d ism in u y e n lin e a lm e n te h asta an u la rse en la m ita d d e la luz. A 0 se p u e d e to m a r c o m o 0 .8 5 * A oh = 0 .8 5 * 0 .0 6 2 5 = 0.0531 m 2 y 0 d e b e e s ta r e n tre 30° y 60°; p a ra e ste c a so se p u e d e to m a r 45°. R e m p la z a n d o e ig u alan d o : F ig u ra 3 .19 Por tanto, lo s re q u e rim ie n to s de re fu e rz o p a ra c o rta n te y to rsió n seg u irá n 2 * 0 .0 5 3 1 * 0 .0 0 0 0 1 2 9 * 4 2 0 0 0 0 _ 0 14.37 ------------------------------------------- co t 45° = ------------s 0.75 una m ism a v a ria c ió n , lo cu al, si se p u e d e , sig n ific a ría u n a u m e n to en la separación d e estrib o s, e n tre o tras p o sib ilid a d e s. S in e m b a rg o , en cu a lq u ie r caso es p re ferib le re m itirse al c rite rio del d is e ñ a d o r p a ra la c o rrec ta P o r ta n to s = 0 .3 0 m , p e ro n o d e b e e x c e d e r d e p h /8 = 1.00/8 = 0 .1 2 5 m , ni colocación de e stas arm a d u ras. E n este caso , p o r e jem p lo , se co lo ca n d e 0 .3 0 m . P o r c o n sig u ie n te se c o lo c a rá n £ (j> 1/2” c/0 .1 2 5 m. estribos p ara la fu e rza c o rta n te sin q u e e stric ta m e n te se n e c e s ite n y re sp ecto a R e fu e r z o tr a n sv e r sa l c o m b in a d o p a ra la fu er za c o r ta n te y to r sió n : (d losestribos p a ra to rsió n , + b) m ás a llá del qued eb en lle v a rse só lo h a sta u n a d ista n c ia p u n to d o n d e y a n o so n te ó ric a m e n te n e c e sa rio s, se especifican e strib o s a to d o lo larg o d e la v ig a. A l d istrib u irlo s re su lta n A v+1 = A v | 2 A , = 0 .0 0 0 2 5 8 |0 .0 0 0 2 5 8 = Q QQ391 s s s 0 .1 4 47 £<|> 1/2” c/0 .0 6 5 m. 0.125 Refuerzo lo n g itu d in a l p a ra e strib o s (|> 1/2” : s = 0 .0 0 0 2 5 8 /0 .0 0 3 9 1 = 0 .0 6 6 a d o p ta m o s 0 .0 6 5 m C orresponde a la sig u ie n te ex p resió n : E ste e sp a c ia m ie n to d eb e cu m p lir: A + 2A . JF 0.35 --------------- > 0 .0 6 2 > ------- , b ws fy, re m p la z a n d o : 166 167 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C a p ítu lo 3 C o rta n te y T o rs ió n A en d o n d e 9 y —1 d e b e n to m a rs e co m o los c a lc u la d o s en s Detalle del refu erzo : 2A A .f t „ = — ^ ^ c o t e . •y Se d e b e n c o lo c a r 0 .0 0 0 4 3 0 n r lo n g itu d in a le s, c o n u n lím ite d e 3 0 0 m m para la se p a ra c ió n en tre b a rra s, c o n u n d iá m e tro m a y o r o igual a 1/24 de la se p a ra c ió n e n tre e strib o s (6 5 /2 4 = 2.71 m m ) y n o p u e d e n se r m en o re s a la b a rra N ° 3. R e su m e n d e la a r m a d u r a lo n g itu d in a l A rrib a 0 .0 0 0 4 3 0 + 0 .0 0 0 3 2 3 = 0 .0 0 0 4 6 6 n r - 1 <|> 1/2” + 2 <J>5 /8 ” (5 2 7 m n r ) __________________ 0 1 / 4 " L= 2 . 1 5 c / 0 . 1 1 _________________ 3 165 0 .3 0 M ed io J O .10 0 .0 0 0 4 3 0 = 0 0 0 0 1 4 3 m ~ _ 2 <j> 1/2” (258 m m 2) F ig u r a 3.20 A b a jo 0 .0 0 0 4 3 0 + 0 .0 0 0 3 2 3 = 0 .0 0 0 4 6 6 m 2 - 1 <j) 1/2” + 2 if> 5 /8 ” (5 2 7 m m 2) R e fu e rz o a fle x ió n en la lo sa m a c iz a d e l alero: A p a rtir d e su d iseñ o , p re v ia m e n te e fe c tu a d o , se e sp e c ific a n <\>1/4” c /0 .1 1 m p a ra el v o la d iz o y 11 <j> 1/4” c /0 .1 25 m d e re p artició n . 168 169 0~?0 E s tru c tu ra s d e C o n c re to I C apítulo 4 Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo Capítulo 4 LONGITUD DE DESARROLLO Y EMPALMES DE REFUERZO 171 C apítulo 4 Estructuras de C oncreto I Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo L O N G IT U D d e d e s a r r o l l o y e m p a l m e s d e r e f u e r z o En este cap ítu lo se h a rá re fe re n c ia a las d e fin ic io n e s y e sp e c ific a c io n e s q u e trae el R eg lam en to N S R -1 0 so b re este tem a, ad ic io n a n d o ta b u la c io n e s de longitudes de d e sa rro llo y g a n c h o s está n d a r, u n e sq u e m a m u y g e n e ra l de los puntos de co rte del re fu e rz o co m o a y u d a d id á c tic a y u n e je m p lo de aplicación. L o n g i t u d de d e sa r r o llo d el r e fu erz o La define el R e g la m e n to c o lo m b ia n o co m o la lo n g itu d d el re fu e rz o em bebido d en tro d el c o n c re to , re q u e rid a p a ra d e s a rro lla r la re s is te n c ia de diseño del re fu e rz o en u n a se c c ió n crítica . P o r tan to , la tra c c ió n o com presión en el re fu e rz o c a lc u la d a en c a d a sec ció n de los e le m e n to s de concreto re fo rza d o d eb e d e sa rro lla rse en c a d a lad o d e d ic h a secció n m ediante lo n g itu d e m b e b id a en el co n c reto , p o r m e d io d e g a n c h o , b a rra corrugada co n c a b e z a , d isp o sitiv o m e c á n ic o o u n a c o m b in a c ió n de los anteriores. L os g an c h o s b a rra s y c o rru g a d a s co n ca b eza n o se d e b e n e m p le a r para d esarro llar b a rra s en c o m p re sió n . Desarrollo d el r e fu erz o a flex ió n Las seccio n es c rític a s p a ra el d e sa rro llo d el re fu e rz o e n los e le m e n to s a flexión co rre sp o n d e n a lo s p u n to s d e e sfu e rz o s m á x im o s, y en lo s sitio s dentro de la luz d o n d e te rm in a o se d o b la el re fu erz o a d y a cen te. El refuerzo d eb e e x te n d e rs e m ás a llá del p u n to en el cu a l y a n o se re q u ie ra para resistir la flex ió n , p o r u n a d ista n c ia ig u al a la a ltu ra e fe c tiv a “ d ” del elem ento, o 12db, la q u e sea m ay o r, e x c e p to en lo s a p o y o s d e lu c e s sim p le s y en el ex trem o lib re d e lo s v o la d iz o s. A d e m á s, el re fu e rz o q u e se p ro lo n g a debe ten er u n a lo n g itu d e m b e b id a n o m en o r q u e la lo n g itu d d e d esa rro llo l d m ás allá del p u n to d o n d e se d o b la o te rm in a el re fu e rz o a tra c c ió n q u e y a no se req u iera p a ra re s is tir flex ió n . El refuerzo a flex ió n n o d eb e su sp e n d e rse en la z o n a d e tra c c ió n , a m en o s que se cu m p la u n a d e las sig u ie n te s co n d icio n e s: 173 Estructuras de C oncreto I • • _ C apitulo 4 Q u e el c o rta n te m a y o ra d o V u en el p u n to d e su sp e n sió n n o exceda los 2/3 de la re siste n c ia de d ise ñ o a c o rta n te , (j>Vn in c lu y e n d o la re siste n c ia a c o rta n te d el re fu e rz o p a ra c o rta n te su m in istrad o . Q u e se p ro p o rc io n e u n á rea d e e strib o s ad ic io n a l a la que se re q u ie re p a ra c o rta n te y to rsió n a lo la rg o d e ca d a term in ac ió n de b a rra o a la m b re d e m a lla e le c tro so ld a d a , p o r u n a d ista n c ia igual a 3/4 d e la a ltu ra e fe c tiv a d el e le m e n to , a p a rtir d el punto de te rm in a c ió n . El á rea d e e strib o s Av ad ic io n a l n o d eb e ser menor qu e 0.41bws/fyt . El e s p a c ia m ie n to s n o d eb e e x c e d e r de d/8pb) d o n d e p b es la re la c ió n e n tre el á rea del re fu e rz o in terru m p id o en Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo debe anclarse p a ra d e s a rro lla r la re siste n c ia n o m in al a la flu e n c ia fy a tracción en la cara d el ap o y o . En apoyos sim p les y en p u n to s de in flex ió n , el re fu e rz o a tra c c ió n p a ra momento p o sitiv o d eb e lim itarse a u n d iá m e tro tal q u e id c a lc u la d a p a ra fy cumpla la c o n d ició n d e la ex p resió n : donde: u n a se c c ió n y el á rea to tal del re fu e rz o a tra c c ió n en esa sección. • Mn = re siste n c ia n o m in a l a m o m en to , o b te n id a su p o n ie n d o q u e to d o el re fu e rz o de la se c c ió n está tra b a ja n d o a u n e sfu e rz o de tra c c ió n ig u al a la re siste n c ia n o m in a l a la flu e n c ia f>; Vu = fu e rza c o rta n te m a y o ra d a en la secció n ; ia = en u n a p o y o es igual a la lo n g itu d d e a n c la je m ás allá del Q u e p a ra b a rra s N °3 6 M y m e n o re s, el re fu e rz o q u e c o n tin ú a sea el d o b le del á re a re q u e rid a p o r fle x ió n en el p u n to d e in te rru p c ió n y el c o rta n te m a y o ra d o V u n o e x c e d a el 7 5 % d e la re siste n c ia de diseño a c o rta n te (j)Vn . Se d eb e d a r an c la je ex te rn o a d e c u a d o al re fu e rz o a tra c c ió n en elem entos so m e tid o s a flex ió n d o n d e la tra c c ió n del re fu e rz o n o se a directam ente p ro p o rc io n a l al m o m e n to , co m o es el c a so d e z a p a ta s inclinadas, e sc a lo n a d a s o d e se c c ió n v a ria b le , e n m é n su la s, en e le m e n to s d e g ran altura so m e tid o s a fle x ió n o e le m e n to s en los c u a le s el re fu e rz o a tra c c ió n no sea p a ra le lo a la ca ra d e c o m p re sió n . D e sa r r o llo d el r e fu erz o p a ra m o m e n to p o sitiv o E l R e g la m e n to c o lo m b ia n o e sp e c ific a q u e p o r lo m e n o s 1/3 del refuerzo p a ra m o m e n to p o sitiv o e n e le m e n to s sim p le m e n te a p o y a d o s y 1/4 del re fu e rz o p a ra m o m e n to p o sitiv o en e le m e n to s c o n tin u o s, d eb e p ro lo n g arse a lo larg o d e la m ism a c a ra d el ele m e n to d e n tro d el ap o y o , y en v ig as esta e x te n sió n no d eb e s e r m e n o r d e 150 m m d e n tro d el apoyo. C u a n d o u n ele m e n to a fle x ió n h a g a p a rte de u n siste m a p rim a rio resistente a fu e rz a s h o riz o n ta le s, el re fu e rz o p o s itiv o q u e se e x tie n d e d e n tro d el apoyo 174 ce n tro d el ap o y o . E n el p u n to d e in fle x ió n d eb e lim ita rse a la altu ra e fe c tiv a del ele m e n to d o a 12db, la q u e sea m ay o r. En aquellos ca so s en lo s c u a le s el re fu erz o te rm in a d e sp u é s del ce n tro de u n apoyo sim ple, co n u n g a n c h o e s tá n d a r en su ex tre m o , o se d isp o n g a un anclaje m ecán ico e q u iv a le n te a u n g a n c h o están d a r, n o h a y n e c e sid a d de cum plir la ecu ació n an terio r. El valor de M n /V u p u e d e a u m e n ta rse en u n 3 0 % c u a n d o lo s e x tre m o s del refuerzo estén c o n fin a d o s p o r u n a re a c c ió n de c o m p re sió n . Desarrollo d el r e fu e r z o p a ra m o m en to n eg a tiv o El R eglam ento c o lo m b ia n o e s p e c ific a q u e el re fu e rz o p a ra m o m e n to negativo en un ele m e n to c o n tin u o , re strin g id o o en v o la d iz o , o en c u a lq u ie r elem ento de un p ó rtic o ríg id o re siste n te a m o m e n to s, d eb e a n c la rse en el Capítulo 4 Estructuras de C oncreto I Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo ele m e n to q u e le d a a p o y o o a tra v é s d e l m ism o , m e d ia n te la longitud e m b e b id a , p o r m e d io d e g a n c h o s o co n an c la je m e c á n ic o . donde id es la lo n g itu d d e d e sa rro llo a tra c c ió n p a ra b a rra s c o rru g a d a s, alambres c o rru g a d o s, re fu e rz o e le c tro so ld a d o de a la m b re liso o c o rru g a d o o torones de p re e sfu e rz o , p a ra la re siste n c ia n o m in a l a la flu e n c ia fy, sin el A l m e n o s 1/3 d el re fu e rz o to ta l a tra c c ió n su m in istra d o p a ra m om ento n e g a tiv o en u n a p o y o d eb e te n e r u n a lo n g itu d e m b e b id a , m ás a llá del punto factor de m o d ificac ió n . d e in fle x ió n , n o m e n o r q u e la a ltu ra e fe c tiv a d el ele m e n to d, 12db o 1/6 de la lu z libre, la q u e sea m ay o r. Los em p alm es p o r tra sla p o a tra c c ió n d e b a rra s c o rru g a d a s y alam b res corrugados q u e fo rm e n p a rte d e m a lla s ele c tro so ld a d a s, d e b e n se r C lase B, excepto q u e se p e rm ite n lo s d e C lase A c u a n d o el área d e re fu erz o sum inistrado es al m e n o s el d o b le d el re q u e rid o p o r an á lisis en to d a la longitud del e m p alm e y la m ita d o m e n o s del re fu e rz o to tal q u e se e m p alm a dentro de la lo n g itu d d e tra sla p o , c o m o lo in d ica la ta b la sig u ien te. E m p a lm e s d e refu erzo L o s e m p a lm e s d el re fu e rz o p u e d e n se r p o r tra sla p o , e m p a lm e s m ecá n ico s y em p a lm e s so ld a d o s y d e b e n d ise ñ a rse d e a c u e rd o a los re q u isito s del R e g la m e n to co lo m b ian o . T a b la 4.1 Em palm es a Tracción por Traslapo L o s e m p a lm e s p o r tra sla p o n o p u e d e n u tiliz a rs e p a ra b a rra s m ay o re s de la N °3 6 ; las b a rra s e m p a lm a d a s p o r tra sla p o s q u e n o e sté n en co n tac to , en e le m e n to s a fle x ió n , n o d e b e n e sp a c ia rse tra n s v e rsa lm e n te a m ás d e 1/5 de la lo n g itu d re q u e rid a p a ra el e m p a lm e tra sla p a d o , ni m ás d e 150 m m . Porcentaje m áxim o de As, em palm ado dentro de la longitud de traslapo requerida A s suministrado A g requerido T o d a c o n e x ió n m e c á n ic a to ta l d eb e d e sa rro lla r, a tra c c ió n o a com presión, s e g ú n se re q u ie ra , al m e n o s u n 125% d e la re siste n c ia n o m in a l a la fluencia M ayor o igual a 2 M enor que 2 f y d e la b a rra (1 .2 5 fy) . 50 100 Clase A Clase B Clase B Clase B E m palm es d e b a rra s c o r r u g a d a s a co m p r esió n T o d o e m p alm e to ta lm e n te so ld a d o d e b e e sta r fo rm a d o p o r b a rra s soldadas p a ra q u e d e sa rro lle a tra c c ió n al m e n o s u n 125% d e la re s iste n c ia n o m in a l a la flu e n c ia f y d e la b a rra (1 .2 5 f ) . La lo n gitud m ín im a p a ra e m p a lm e s tra sla p a d o s a c o m p re sió n es 0 .0 7 1 fydb para fy d e 4 2 0 M P a o m e n o s o (0 .1 3 fy- 2 4 ) d b p a ra fy m ayor de 420M Pa y n o d eb e se r m e n o r de 300 m m . P ara fc m en o re s d e 21 M P a, la E m p a lm e s a tr a c c ió n d e b a r r a s c o r r u g a d a s y d e a la m b r e s co rru g a d o s d e m a lla s e le c tr o so ld a d a s L a lo n g itu d m ín im a d e tra sla p o p a ra e m p a lm e s a tra c c ió n d e las clase s A y B n o d eb e se r m e n o r d e 3 0 0 m m , donde: E m p a lm e C lase A ............................. 1 . 0 i d longitud de tra sla p o d eb e in c re m e n ta rse en u n terc io (1 /3 ). Cuando se e m p a lm e n p o r tra sla p o a c o m p re sió n b a rra s d e d ife re n te diám etro, la lo n g itu d d el e m p alm e p o r tra sla p o d eb e s e r L m a y o r d e fdc la longitud d e d e sa rro llo d e la b a rra m a y o r o d e la lo n g itu d de tra sla p o d e la barra m enor. E m p a lm e C lase B ............................. 1 M d 176 177 Estructuras de C oncreto I Capítulo 4 E m p a lm e s en c o lu m n a s D e b e n u tiliz a rse e m p a lm e s p o r tra sla p o , e m p a lm e s m e c á n ic o s, em palm es s o ld a d o s a to p e, co n e x io n e s m e c á n ic a s o e m p a lm e s a to p e en el ex trem o y el e m p a lm e d e b e c u m p lir los re q u isito s d ad o s p a ra to d as las c o m b in ac io n e s de c a rg a en la co lu m n a. D e a c u e rd o al e sq u e m a d e la fig u ra 4 .1 , se requieren em p a lm e s p a ra re fu e rz o en las b a rra s d e c o m p re sió n , e sfu e rz o en las barras de tra c c ió n sin e x c e d e r 0 .5 fy , c la se A , y c u a n d o el e sfu e rz o en las barras Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo a) U n d o b le z d e 180° m ás u n a e x te n sió n re cta de lo n g itu d m ín im a igual a 4db, p e ro n o m e n o r d e 65 m m en el ex tre m o lib re d e la barra. b) U n d o b le z d e 90° m ás u n a e x te n sió n d e lo n g itu d m ín im a ig u al a 12db en el e x tre m o lib re d e la barra. c) Para estrib o s: U n d o b le z a 90° co n u n a e x te n sió n re cta de lo n g itu d m ín im a ig u al a 6db p a ra b a rra s N o .5 (5 /8 ”) y 16M (16 m m ) o m en o re s. e x c e d e en tra c c ió n 0 .5 fy , c la se B U n d o b le z a 90° co n u n a e x te n sió n re c ta de lo n g itu d m ín im a ig u al a 12db p a ra b arras N o .6 (3 /4 ” ) y 2 0 M (2 0 m m ) a N o .8 (1 ”) y 2 5 M (2 5 m m ). P ara b a rra s N o .8 (1 ”) y 2 5 M (2 5 m m ) y m e n o re s co n g a n c h o s de 135°, la lo n g itu d m ín im a d e la p a rte re cta en el e x tre m o lib re es d e 6db. E n los e strib o s d e c o n fin a m ie n to re q u e rid o s p o r el R e g la m e n to en e stru c tu ra s d e c a p a c id a d de d isip a c ió n de e n e rg ía m o d e ra d a (D M O ) y e sp e c ia l (D E S ), p a ra c o n s tru c c ió n sism o -re siste n te , d e b e n e m p le a rse g a n c h o s sísm ic o s c o n u n d o b le z d e 135° o m ás y u n a e x te n sió n re cta d e 6db p e ro no m e n o r d e 75 m m , q u e a b ra z a el re fu e rz o lo n g itu d in a l del ele m e n to y se p ro y e c ta h a c ia el in te rio r d e la sec ció n . E n los estrib o s s u p le m e n ta rio s el d o b le z en los ex tre m o s d e b e s e r un g an c h o sísm ic o d e 135° o m ás, co n u n a e x te n sió n re c ta d e 6db p ero n o m e n o r d e 75 m m , y se p e rm ite q u e en u n o d e los F ig u r a 4.1 G a n c h o s E stá n d a r ex tre m o s se u tilic e un e x te n sió n d e 6db. g a n c h o d e 90° o m ás, co n una Diám etros m ín im o s de d o b la m ie n to E l té rm in o “g a n c h o e stá n d a r” , sig n ific a u n d o b le z en el ex tre m o d e la barra de re fu e rz o q u e c u m p le los sig u ie n te s re q u is ito s d el R eg lam en to co lo m b ian o : El diám etro in te rio r p a ra el d o b la m ie n to d e las b arras d el re fu e rz o p rin c ip a l, no debe ser m e n o r q u e lo s v a lo re s m ín im o s d ad o s en la sig u ie n te tabla. 178 179 C apítulo 4 Estructuras de C oncreto I T ab la 4.1a Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo T ab la 4.2 Diám etros m ínim os de doblam iento Longitudes para ganchos estándar a 180° - fy = 240 y 420 M Pa B arra D iám etro m ínim o de doblam iento N o.3 (1/4”) a N o .8 (1”) 10M (10 mm) a 25M (25 mm) 6db D iám etro barra Barra No. mm E D C B A mm mm mm mm mm L o n g itu d ad icio n al de b a rra (m m ) 1 g an ch o 2 g an ch o s 2 6.4 65 38 45 135 110 100 200 3 9.5 65 57 67 169 131 130 260 4 12.7 65 76 89 205 154 155 310 5 15.9 65 95 111 240 176 175 350 6 19.1 76 115 134 286 210 225 450 7 22.2 89 133 155 333 244 250 500 8 25.4 102 152 178 381 279 275 550 E l d iá m e tro in te rio r d e d o b la m ie n to d e e strib o s d e b a rra s N o .5 (5 /8 ” ) ó 16M 9 28.7 115 230 258 521 377 375 750 (1 6 m m ) o m en o r, n o d e b e se r in fe rio r a 4db y p a ra b a rra s m a y o re s a la N°5 10 32.3 129 258 291 586 424 425 850 11 35.8 143 286 322 649 470 475 950 14 43.0 172 430 473 915 657 650 1300 18 57.3 229 573 630 1219 875 875 1750 N o .9 (l% " )a N o .ll( l% " ) 8db 30M (30 mm ) a 36 M (36m m ) No. 14 (1 % ") y No. 18 ( 2 j / ¡ " ) 10db 45M (45 mm) y 55M (55 mm) (5 /8 ” ) ó 16M (1 6 m m ) se d e b e n c u m p lir los d iá m e tro s m ín im o s in d icad o s en la ta b la an terio r. T a b la s p a ra g a n c h o s está n d a r T ab la 4.3 Longitudes para ganchos estándar a 90° - fy = 240 y 420 MPa A c o n tin u a c ió n a p a re c e n dos ta b la s q u e c o n tie n e n , e n tre o tras, las longitudes e n m m (B ) d e los g an c h o s e s tá n d a r (d o b le z a 180° y d o b le z a 9 0°) y lo que es m á s ú til, la lo n g itu d ad ic io n a l d e la b a rra h a s ta el recubrim iento, n e c e s a ria p a ra fo rm a r 1 o 2 g a n c h o s, p a ra los ac e ro s d e uso fre c u e n te en n u e stro m ed io y a p ro x im a d a s en fo rm a co n v e n ie n te. Barra No. 2 L o n g itu d ad icio n al de b arra (m m ) D iám etro barra mm E D C B A mm mm mm mm mm 1 g an ch o 2 g an ch o s 6.4 77 38 22 112 86 100 200 3 9.5 114 57 33 166 128 125 250 4 12.7 152 76 44 222 171 175 350 5 15.9 191 95 56 278 215 225 450 6 19.1 229 115 67 334 258 250 500 78 388 300 300 600 7 22.2 266 8 25.4 305 152 89 444 343 350 700 9 28.7 344 230 129 547 404 400 800 133 10 32.3 388 258 145 616 454 450 900 11 35.8 430 286 161 683 504 500 1000 14 43 .0 516 430 237 887 629 650 1300 18 57.3 688 573 315 1183 839 850 1700 181 C apítulo 4 E structuras de C oncreto I (9 A Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo Tabla 4.5 D C Longitudes de ganchos para estribos. Doblez a 135° B Figura 4.2 T a b la s p a ra g a n c h o s d e e str ib o s A c o n tin u a c ió n se p re se n ta n las ta b la s q u e c o n tie n e n , e n tre o tras, las lo n g itu d e s en m m (B ) d e los g a n c h o s p a ra e strib o s co n d o b le z d e 90° y 135°, y la lo n g itu d ad ic io n a l d e la b a rra h a s ta el re c u b rim ie n to , n ecesaria p a ra fo rm a r 1 o 2 g a n c h o s, a p ro x im a d a en fo rm a co n v e n ie n te. Tabla 4.4 Longitudes de ganchos para estribos. Doblez a 90° B arra No. D iám etro b arra mm E D C B A mm mm mm mm mm 2 6.4 38 26 16 63 44 L o n g itu d ad icio n al de b a rra (m m ) 1 g an ch o 2 gan ch o s 50 100 3 9.5 57 38 24 95 67 75 150 4 12.7 76 51 32 126 88 100 200 250 5 15.9 95 64 40 158 110 125 6 19.1 229 115 67 334 257 250 500 7 22.2 266 133 78 389 300 300 600 8 25.4 305 152 89 445 344 350 700 182 Figura 4.4 183 Estructuras de C oncreto I Capítulo 4 T a b la p a ra g a n ch o s d e estrib o s d e c o n fin a m ie n to Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo L o n g i t u d de d e s a r r o llo d e b a r r a s c o r r u g a d a s y a la m b r e co r ru g a d o a tracción A c o n tin u a c ió n se p re se n ta u n a ta b la q u e c o n tie n e la lo n g itu d en m m (B) de lo s g a n c h o s p a ra e strib o s d e c o n fin a m ie n to en e stru c tu ra s co n ca p acid ad de d is ip a c ió n m o d e ra d a (D M O ) y e sp e c ia l (D E S ), c o n d o b le z a 135° y ]a lo n g itu d ad ic io n a l d e la b a rra h a s ta el re c u b rim ie n to , n e c e sa ria p a ra formar 1 o 2 g a n c h o s, a p ro x im a d a en fo rm a co n v e n ie n te. T ab la 4.6 La longitud d e d e sa rro llo id , en té rm in o s d e db p a ra b a rra s c o rru g a d a s y alam bres c o rru g a d o s a tra c c ió n , d e b e c a lc u la rs e co m o el p ro d u c to d e la longitud de d e s a rro llo b á s ic a y el fa c to r o fa c to re s de m o d ific a c ió n aplicables, p ero id n o d eb e ser m e n o r q u e 3 0 0 m m . A co n tin u ació n se d e fin e la n o m e n c la tu ra básica: Longitudes de ganchos para estribos de confinam iento. Doblez a 135° L o n g itu d adicional de b a rra (m m ) \|/( = factor d e m o d ific a c ió n p a ra la lo n g itu d d e d e s a rro llo co n b a se e n la lo calizació n d el re fu erz o . B arra N o. D iám etro b arra mm E D C B A mm mm mm mm mm 3 9.5 75 38 24 132 104 100 200 R efuerzo h o riz o n ta l co lo c a d o d e tal m a n e ra q u e h a y a m ás d e 3 0 0 m m de co n c reto fresco en el m o m e n to d e v a c ia r el c o n c re to , d e b a jo de la 4 12.7 76 51 32 151 113 125 250 longitud d e d e sa rro llo o e m p a lm e 40 189 141 150 300 67 272 196 200 400 228 225 450 261 300 600 5 15.9 95 64 6 19.1 115 115 7 22.2 133 133 78 317 8 25.4 152 152 89 362 1 g a n ch o 2 ganchos v|/t = 1.3 O tro r e f u e r z o .....................................................................................................y , = 1 . 0 v|i = facto r d e m o d ific a c ió n p a ra la lo n g itu d d e d e s a rro llo re v estim ien to d el re fu erz o . co n b a s e en el B arras d e re fu e rz o , o a la m b re s co n re c u b rim ie n to e p ó x ico , co n re cu b rim ien to d e c o n c re to m e n o r q u e 3db, o se p a ra c ió n lib re en tre barras m e n o r q u e 6db ..............................................................................\|/e = 1.5 T odos lo s o tro s c a so s d e b a rra s y ala m b re s c o n re c u b rim ie n to ep ó x ico vj/e = 1.2 B arras y a la m b re s sin re c u b rim ie n to e p ó x ic o ............................ \|/e = 1.0 El p ro d u c to \j/,\|/c n o h a y n e c e s id a d d e q u e e x c e d a 1.7 F igura 4.5 184 E structuras de C oncreto I C apitulo 4 y = fa c to r d e m o d ific a c ió n p a ra la lo n g itu d de d e sa rro llo co n b ase en el ta m a ñ o d el refu erzo . B a rra s N o. 6 ( % " ) o 2 0 M (20 m m ) o m en o s y a la m b re c o rru g a d o B arras N o. ( % " ) o 2 2M (22 m m ) y m a y o re s .............................. y s = \ q c b = la m e n o r d e (a) la d ista n c ia m e d id a d el ce n tro d e u n a b a rra o alam bre a la su p e rfic ie m as c e rc a n a d el c o n c re to , o (b ) la m ita d d e la separación ce n tro a ce n tro d e las b a rra s o alam b res q u e se d esa rro llan . D e b e u tiliz a rse la d ista n c ia d e sd e el ce n tro d e la b a rra a la superficie m ás c e rc a n a del c o n c re to , o la m ita d d e la se p a ra c ió n ce n tro a centro de las b a rra s q u e se d e sa rro lla n , la m e n o r d e las dos. K tr= ín d ice d e re fu e rz o tra n s v e rsa l = 40A donde: sn A tr= á rea to tal de to d o el re fu e rz o tra n sv e rsa l en fo rm a de estribos, d e n tro d e u n a d ista n c ia d e e sp a c ia m ie n to s y q u e c ru z a u n plano p o te n c ia l d e h e n d im ie n to a d y a c e n te al re fu erz o q u e se desarrolla, en m m 2. s= esp a c ia m ie n to , c e n tro a c e n tro , del re fu e rz o tra n sv e rsa l q u e existe en la lo n g itu d d e d e sa rro llo £ d , e x p re sa d o en m m . n = anclaje o el d esa rro llo d e fy se re q u ie ra , o en e stru c tu ra s co n c a p a c id a d de disipación esp e cial d e en e rg ía D E S . ., ............................................................................. y s = q g n ú m e ro d e b a rra s e n u n a m ism a fila o ca p a, q u e se em palm an o d e sa rro lla n , a lo larg o d el p lan o d e fractu ra. C o m o u n a sim p lific a c ió n d e d ise ñ o , se p e rm ite u s a r K [r = 0 a u n q u e haya re fu e rz o tra n sv e rsa l p re sen te. R e fu e rzo en ex ceso Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo j , . . . . La reducción p u e d e n a c e rs e en la sig u ie n te p ro p o rc ió n : A c requerido ------------ A g su min istrado Longitud de desarrollo de barras corru gadas o alam bres corru gados. C asos sim plificados Para barras c o rru g a d a s o a la m b re c o rru g a d o a tra c c ió n , el v a lo r U calcularse así: n a r r a s ixo. o )i 2 0 M (20 m m ) o m en o res, y a la m b r e s c o r ru g a d o . E s p a c ia m ie n t o y r e c u b r i m i e n t o Espaciam iento libre en tre b arras o alam b res que están siendo em p alm ad o s o d esarro llad as no m enor que db, re c u b rim ie n to libre no menor que d b , y estrib o s a lo largo de h no menos que el m ín im o del T ítu lo C del Reglamento N S R -10 o f ,w t [ iax J F a j d eb e B ar ras N o. 7 (7 /8 ”) o 2 2 M (22 m m ) y m a y o res í fy V .V e ) a b espaciam iento libre en tre b arras o alam b res que están siendo d e sarro llad as o em p alm ad as no m enor a 2 db y re cu b rim ien to libre no menor a d K Otros casos (sep aració n m ín im a en tre barras según el A rtícu lo C .7.6.1, re cu b rim ien to mínimo según la S ecció n C .7 .7 y sin estribos mínimos)______ í f> ,V e A Qb [l.4 W ? J , i -i W s J A continuación, u n a ta b u la c ió n de las lo n g itu d e s d e d e sa rro llo d e b arras corrugadas a tra c c ió n p a ra los ca so s s im p lific a d o s y d istin tas co m b in a c io n e s V r V c ’ML y cby p a ra lo s ac ero s d e f v = 4 2 0 y 2 4 0 M Pa. L a lo n g itu d d e d e sa rro llo p u e d e re d u c irse c u a n d o el re fu erz o en u n elem ento a fle x ió n es m a y o r del q u e se re q u ie re p o r a n á lisis, e x c ep to cu a n d o el 187 E structuras de C oncreto I C apítulo 4 Tabla 4.7 Tabla 4.8 Longitud de desarrollo para barras corrugadas a tracción Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción vj/t = 1.0 fy = 420 MPa 21.1 24.6 28.1 341 506 306 453 300 41 4 300 38 4 300 359 677 847 606 553 693 832 513 642 48 0 600 721 1035 1184 1018 1461 1672 759 911 1308 1496 1889 212 6 1691 1903 5 10 17.6 fy 31.7 35.2 38.7 42.2 £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d (mm) Cfimm) ^d(mm) 2 3 4 6 7 8 9 1)/,= 1.0 V|/e — LO______________ 14.1 f ' (M P a ) B a r r a No 1195 1367 1544 1738 771 1106 1266 1430 1609 1338 1506 300 338 452 565 679 975 1115 1260 1418 300 321 429 536 644 925 1058 1196 1346 300 306 409 512 615 882 1009 1140 1283 =420 MPa fc' (MPa) Barra No 300 300 392 490 589 845 967 1092 1229 14.1 £d(mm) B a rra No 17.6 21.1 24.6 28.1 ¿d(mm) £d(mm) £d(mm) ( d(mm) ¿d(mm) 300 3 4 300 387 5 484 300 300 346 43 4 31.7 £á(mm) 35.2 38.7 £d(mm) ¿d(mm) 24.6 28.1 31.7 35.2 38.7 (mm) £d (mm) £d (mm) ¿d (mm) ¿d(mm) 42.2 (mm) 512 458 418 388 363 342 324 309 300 3 680 621 575 538 507 481 459 439 4 1015 909 830 769 719 677 643 613 587 5 1271 1138 1039 962 900 848 804 767 735 6 1526 1366 1248 1156 1081 1018 966 922 883 7 2258 2021 1846 1709 1600 1506 1429 1363 1305 8 2583 2312 2112 1956 1830 1723 1635 1559 1493 1687 1899 9 2919 2613 2386 2210 2068 1947 1848 1762 10 3285 2940 2685 2487 2327 2191 2079 1983 240 MPa________ \j/c = 1.0 42.2 £d(mm) ¿d (mm) ¿d(mm) 30 0 300 300 300 300 300 300 30 0 30 0 300 300 30 0 30 0 343 300 323 300 300 300 307 41 2 388 368 316 396 21.1 759 f (M P a) B a rra No 2 17.6 vj/ ,= 1.0 Vj/e = 1.0 fy = 14.1 \KC= 1 .0 2 \|/t = 1-0 fy = 240 MPa f ' (M P a ) Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo 14.1 17.6 21.1 24.6 28.1 3 1.7 35.2 £d(mm) ¿d(mm) ¿d(mm) £d(mm) ¿d(mm) Ci (mm) V ™ ) 38.7 42.2 £d(mm) £d(mm) 300 300 2 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 3 434 389 355 329 308 300 300 300 300 300 300 4 580 519 474 439 411 387 367 350 336 351 337 5 594 550 515 485 460 439 420 6 582 521 47 6 367 441 726 650 7 8 835 748 683 632 592 557 529 504 483 6 872 781 713 661 618 582 552 527 505 955 855 637 605 577 1290 1155 1055 977 914 861 817 779 746 966 765 720 683 652 553 624 7 1080 723 817 677 9 10 781 883 8 1476 1321 1207 1118 1046 985 935 891 854 1215 1087 993 920 861 810 769 734 702 9 1668 1493 1364 1263 1182 1113 1056 1007 964 10 1877 1680 1535 1421 1330 1252 1188 1133 1085 Artículo C. 12. 2. 2. Casos simplificados Separación libre entre barras, que se desarrollan o empalman, mayor o igual a db, estribos a lo largo de h cumpliendo el mínimo requerido o separación libre entre barras, que se desarrollan o empalman, mayor o igual a 2db. y recubrimiento libre Artículo C. 12. 2. 2. Casos simplificados Otros casos (separación mínima entre barras según el Artículo recubrimiento mínimo según la Sección C.7.7 y sin estribos mínimos) mayor o igual a db. 188 189 C.7.6.1, Estructuras de C oncreto I C apitulo 4 Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo T a b la 4.9 L o n g itu d d e d e sa r r o llo d e b a rra s c o r r u g a d a s o a la m b res co r ru g a d o s a tr a cció n Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción v|/t = 1.0 cb (mm) = 40 M/c = 1 .0 K tr=0 C a so g en er a l fy = 420 MPa P a ra b a rra s c o rru g a d a s o a la m b re c o rru g a d o el v a lo r í á d eb e calcularse 17.6 21.1 24.6 28.1 31.7 35.2 38.7 42.2 / d|mm| ¿d(mm) ¿d(mm) Li (mm) (d(mm) ¿’d(mm) (d(mm) ¿d(mm) ¿d(mm) Barra No u tiliz a n d o la ecu ació n : i-L ó 14.1 f' (MPa) MLVeVs (c b + K tr) c b + K tr db y <2.5 db A co n tin u a c ió n , u n a ta b u la c ió n d e las lo n g itu d e s de d esa rro llo d e barras c o rru g a d a s a tra c c ió n p a ra el caso g e n e ra l y d istin ta s c o m b in ac io n e s de 2 3 4 5 6 7 8 9 10 300 310 414 518 742 1253 1641 2094 2653 v|/t ,\j/e,\|/s y c by los ac e ro s d e fy = 4 2 0 y 2 4 0 M Pa. 300 300 370 464 665 1122 1468 1875 2374 300 300 338 423 607 1025 1341 1712 2169 300 300 313 392 562 949 1242 1586 2008 v|/t = 1.0 fy =240M Pa vj/,e = 300 300 300 367 526 888 1162 1484 1879 300 300 300 346 495 836 1094 1397 1769 300 300 300 328 470 793 1038 1326 1679 300 300 300 313 448 757 990 1264 1601 300 300 300 300 429 725 948 1211 1534 cb (mm) = 40 1.0 K tr=0 17.6 21.1 24.6 28.1 31.7 35.2 3 8.7 42.2 fc' (MPa) 14.1 ¿d(mm ) ¿d(m m ) ^d (m m ) ¿d(mm ) ¿d(mm) ¿d(mm) ¿d(mm) L, (mm) (d(mm) Barra No 2 3 4 5 6 7 8 9 10 300 300 300 300 424 716 938 1197 1516 300 300 300 300 380 641 839 1071 1357 300 300 300 300 347 586 767 979 1239 Artículo C. 12.2.3. C aso general 190 300 300 300 300 321 542 710 906 1148 300 300 300 300 301 508 664 848 1074 300 300 300 300 300 478 626 798 1011 300 300 300 300 300 454 594 758 960 300 300 300 300 300 433 566 723 915 300 300 300 300 300 414 542 692 877 C apítulo 4 E structuras de C oncreto I T a b l a 4 .1 1 T a b la 4 .1 0 Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción \|/t = 1.0 fy = 420 MPa f ' (M P a ) B a r r a No 14.1 cb (mm) = 45 \|/e = 1.0 17.6 21.1 ^ = 420 MPa 31.7 300 300 300 3 310 300 300 300 4 41 4 370 338 5 518 464 423 6 660 591 1114 997 300 300 300 300 300 3 00 300 300 3 310 300 300 300 300 300 300 300 300 300 4 414 370 338 313 300 300 300 300 300 518 464 423 392 367 346 328 313 300 346 500 468 440 418 399 382 911 844 789 743 705 673 644 6 622 557 509 471 441 415 394 376 360 923 880 843 7 1003 898 820 759 710 669 635 605 580 1178 1124 1076 8 1313 1175 1073 994 930 876 831 792 759 1363 9 1676 1500 1370 1269 1187 1118 1061 1012 969 10 2122 1900 1735 1607 1503 1416 1343 1281 1227 1928 1670 1785 1573 Vj/e = 1 .0 K tr = 0 24.6 28.1 1493 1423 fy = 240 MPa 3 1.7 35.2 38.7 f (MPa) Barra No 6 377 338 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 14.1 17.6 21.1 24.6 28.1 3 1.7 35.2 38.7 Ci (m m > £d (mm) ¿d(mm) £d(mm) Ci (m m ) ¿d(mm) C i(mm) C ,(mm) 42.2 (mm) 2 300 300 300 300 300 300 300 300 300 3 300 300 300 300 300 300 300 300 300 3 00 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 4 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 356 318 300 300 300 300 300 300 300 309 300 300 300 300 300 300 5 403 385 368 6 528 503 482 7 573 513 469 434 406 382 363 346 332 8 750 672 613 568 532 501 475 453 434 9 958 857 783 725 679 639 606 578 554 10 1213 1086 992 918 859 809 768 732 701 637 570 521 482 451 834 746 681 631 591 556 1206 K tr = 0 300 8 1348 vj/e = 1.0 300 7 952 cb (mm) = 50 300 425 1064 \j/1 = 1.0 42.2 21.1 17.6 14.1 ¿d(mm) l d(mm) ¿d(mm) £d(mm) £d(mm) ¿d(mm) £d(mm) <d(mm) £d(mm) 300 10 313 540 cb (mm) = 45 300 9 328 5 \j/t = 1.0 5 42.2 300 1242 300 38.7 300 1319 300 35.2 300 1033 4 31.7 (mm) ¿d(mm) £d(mm) ¿d(mm) V m|n) 300 1410 300 28.1 300 1104 300 24.6 2 1522 3 21.1 (mm) £d(mm) í d (mm) 300 1192 300 17.6 300 1666 300 £d(mm) 300 1305 fy = 240 MPa 14.1 (MPa) 300 1862 2 f' 300 1458 B a rra No 42.2 300 9 2111 K tr = 0 300 8 2 358 \j/e = 1 .0 300 367 392 Cb (mm) = 50 300 300 313 vj/t = 1 .0 300 973 f ' (M P a ) 3 8.7 B a rra No 2 10 35.2 £d(mm) í d(mm) £d(mm) ?á(mm) £d(mm) £¿ (mm) ¿d (mm) í d (mm) ¿ d(mm) 300 7 28.1 24.6 Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo 870 1102 806 754 710 674 642 615 1020 955 899 853 814 779 A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general Artículo C. 12.2.3. Caso general 192 193 Estructuras de C oncreto I B a rra No 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T abla 4.13 Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción 14.1 y , = 1.0 Cb(mm) = 55 y e = 1.0 K tr = 0 17.6 B arra 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No 24.6 28.1 31.7 38.7 35.2 £d(mm) í d(mm) £d(mm) £d (mm) i 300 310 414 518 622 912 1193 1523 1929 300 300 313 392 471 690 904 1153 1461 300 300 300 367 441 646 845 1079 1367 = 240 MPa f ' (M P a ) 21.1 fy = 4 2 0 MPa C] (mm) £d(mm) £d(mm) 300 300 370 464 557 816 1068 1364 1727 Vt fy Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo Tabla 4.12 fy = 420 MPa f ' (M P a ) C apítulo 4 300 300 338 423 509 745 976 1245 1577 = 1.0 Cb 300 300 300 346 415 608 796 1016 1287 300 300 300 328 394 577 755 964 1221 d (mm) 300 300 300 313 376 550 720 920 1165 (mm) 300 300 300 300 360 527 690 881 1115 17.6 ¿d(mm) V™ ) td (mm) £d(mm) Ci(mm) £d(mm) í á(mm) í á(mm) 300 300 300 300 356 521 682 871 1103 300 300 300 300 318 467 611 779 987 300 300 300 300 300 426 558 712 901 300 300 300 300 300 369 483 617 781 300 300 300 300 300 348 455 581 736 300 300 300 300 300 395 517 659 835 A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general Barra No 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14.1 28.1 31.7 35.2 300 300 300 300 300 330 432 551 698 38.7 300 300 300 300 300 315 412 526 666 42.2 V “ ) 300 300 300 300 300 301 394 503 638 f' (MPa) Barra 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No cb (mm) = 60 y e = 1.0 K tr = 0 17.6 21.1 24.6 28.1 35.2 38.7 42.2 £d(mm) 300 310 414 518 622 903 1094 1396 1769 300 300 370 464 557 809 979 1250 1583 14.1 300 300 338 423 509 739 894 1142 1446 300 300 313 392 471 684 828 1057 1339 300 300 300 367 441 640 775 989 1253 300 300 300 346 415 603 730 931 1180 y, = 1.0 cb (mm) = 60 y e = 1 .0 K tr = 0 17.6 21.1 24.6 28.1 31.7 300 300 300 328 394 572 692 884 1120 300 300 300 313 376 546 660 843 1068 300 300 300 300 360 522 632 807 1023 35.2 38.7 42.2 í d(mm) Ci<mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) ¿d(mm) ¿d (mm) £d(mm) 300 300 300 300 356 516 625 798 1011 300 300 300 300 318 462 560 714 905 300 300 300 300 300 422 511 653 826 300 300 300 300 300 391 474 604 765 Artículo C. 12.2.3. C aso general 194 31.7 £ d(mm) £d (mm) í á(mm) ¿d(mm) í á(mm) ¿d (mm) £á(mm) Li (mm) fy = 240 MPa 14.1 24.6 c (MPa) (mm) = 55 L: t r = o y e = 1.0 21.1 42.2 y, = 1.0 195 300 300 300 300 300 366 443 566 716 300 300 300 300 300 345 417 532 674 300 300 300 300 300 327 396 505 640 300 300 300 300 300 312 378 482 610 300 300 300 300 300 300 362 462 585 E structuras de C oncreto I fy f' B arra N o 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tabla 4.14 Tabla 4.15 Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción 14.1 v)/, = 1.3 cb (mm) = 40 v e = 1 .0 K lr=0 17.6 21.1 24.6 300 402 538 673 965 1629 2133 2723 3448 300 360 481 602 864 1458 1909 2437 3086 300 329 440 550 789 1332 1743 2226 2819 Barra No 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14.1 Ve = 17.6 300 300 381 477 684 1154 1511 1929 2443 300 305 407 510 731 1234 1615 2061 2611 1.0 21.1 300 300 359 449 644 1087 1422 1816 2300 35.2 3 8.7 42.2 V “ ) £á(mm) ^d(mm) 300 300 341 426 611 1031 1350 1723 2183 300 300 325 406 583 984 1287 1644 2082 300 300 300 344 494 834 1091 1393 1764 300 300 300 315 451 761 996 1272 1611 B a r r a No 2 3 4 5 6 7 8 9 10 300 300 311 389 558 942 1233 1574 1993 14.1 24.6 28.1 31.7 35.2 3 8.7 42.2 300 300 300 300 418 705 923 1178 1492 A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general A rtícu lo C. 12.2.4. Vt = 1.3 300 300 300 300 391 660 864 1102 1396 300 300 300 300 368 621 813 1038 1314 300 300 300 300 349 590 772 985 1247 300 300 300 300 333 562 736 939 1190 300 300 300 300 319 538 705 900 1139 f (MPa) Barra No Vi = 1-3 Cb (mm) = 45 Ve =1-0 K tr=0 17.6 21.1 24.6 28.1 300 402 538 673 858 1448 1896 2420 3065 14.1 300 360 481 602 768 1296 1697 2166 2744 300 329 440 550 701 1184 1550 1978 2506 300 305 407 510 650 1097 1435 1832 2321 300 300 381 477 608 1026 1343 1714 2171 300 300 359 449 572 966 1264 1614 2044 Vi = 1.3 cb (mm) = 45 Ve = 1 .0 K tr = 0 17.6 21.1 24.6 35.2 3 8 .7 28.1 31.7 42.2 V " ) 300 300 341 426 543 917 1200 1532 1940 300 300 325 406 518 874 1144 1461 1850 300 300 311 389 496 837 1096 1399 1772 35.2 38.7 42.2 ¿d (mm) £ (l (mm) £A(mm) £d (mm) í d(mm) £A(mm) £d (mm) £A(mm) £A(mm) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 300 300 300 300 300 300 307 300 300 344 385 315 490 439 401 741 828 677 1083 970 886 1383 1238 1131 1752 1568 1432 Artículo C. 12.2.3. Caso general 300 300 300 300 371 627 820 1047 1326 Artículo C. 12.2.4. v . = 1.3 196 31.7 ¿d(mm) £d(mm) £á(mm) ( d(mm) £A(mm) £¿ (mm) £á(mm) ¿d(mm) fy = 240 MPa £A(mm) ¿d(mm) £d (mm) Ai (mm) £d (mm) ¿d (mm) l d(mm) £á(mm) ¿d(mm) 300 300 307 385 552 931 1219 1556 1971 f ' (MPa) c (mm) = 40 II = 240 MPa (M P a ) 3 1 .7 o f' 28.1 fy = 420 MPa £á(mm) ¿d(mm) £A(mm) tá(mm) ¿d (mm) £á(mm) M6 = 1.3 fy Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción = 420 MPa (M P a ) C apítulo 4 197 300 300 300 300 348 587 768 980 1241 300 300 300 300 327 552 723 923 1168 300 300 300 300 311 524 686 876 1109 300 300 300 300 300 500 654 835 1058 300 300 300 300 300 479 626 800 1013 Capítulo 4 E structuras de C oncreto I Tabla 4.17 Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción Tabla 4.16 Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción fy = 420 M Pa f ' (M P a ) Barra No 14.1 vj/, = 1.3 c b (m m ) = 50 vj/e = 1.0 K tr = 0 17.6 í d (mm) i d (mm) 2 300 3 21.1 ¿d(mm) 300 300 24.6 28.1 i d (mm) í d(mm) fv =420 M P a 31.7 35.2 38.7 42.2 t d (mm) ¿d(mm) í d(mm) í d(mm) 300 300 300 300 300 402 360 329 305 300 300 300 300 300 538 481 440 407 381 359 341 325 311 5 673 602 550 510 477 449 426 406 389 6 808 724 661 612 573 539 512 488 468 7 1303 1167 1066 987 923 869 825 787 754 1080 1030 986 8 1706 1527 1395 1292 1209 1138 9 217 8 1950 1781 1649 1543 1453 1379 1315 1259 10 275 9 2 46 9 2255 2 089 1954 1840 1746 1665 1595 fy = 240 M Pa f ' (M P a ) Barra No 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14.1 c b (m m ) = 50 M/c = 1 . 0 K.tr = 0 17.6 21.1 24.6 28.1 300 300 300 344 414 667 873 1114 1411 300 300 300 315 378 609 797 1018 1289 300 300 300 300 350 564 738 943 1194 300 300 300 300 328 528 691 882 1117 Barra No 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fy = 31.7 35.2 3 8.7 42.2 í d(mm) í d ( mm ) l d (mm) Li (mm) i d (mm) Li(mm) t A(mm) L] (mm) ¿d(mm) 300 300 307 385 462 745 975 1245 1577 { [ (MPa) 300 4 \j/t = 1.3 300 300 300 300 308 497 651 830 1052 300 300 300 300 300 472 617 788 998 Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo 300 300 300 300 300 450 589 752 952 300 300 300 300 300 431 564 720 912 14.1 Barra No 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cb (m m ) = 55 v|/e=1.0 K t r =0 17.6 21.1 24.6 28.1 300 402 538 673 808 1185 1551 1980 2508 14.1 300 360 481 602 724 1061 1388 1772 2245 300 329 440 550 661 969 1268 1619 2050 300 305 407 510 612 897 1174 1499 1899 Vt = 1.3 Y|/c= 1.0 17.6 21.1 300 300 381 477 573 840 1099 1403 M il Cb (mm) K: tr 24.6 198 35.2 38.7 42.2 300 300 359 449 539 790 1035 1321 1673 300 300 341 426 512 750 982 1253 1587 300 300 325 406 488 715 936 1195 1514 300 300 311 389 468 685 897 1145 1450 35.2 38.7 42.2 = 55 =0 28.1 31.7 td (mm) y m m ) í d (mm) t d(mm) ( d(mm) í d(mm) t á(mm) í d(mm) í d(mm) 300 300 307 385 462 677 887 1132 1433 300 300 300 344 414 606 794 1013 1283 300 300 300 315 378 554 725 925 1172 300 300 300 300 350 513 671 857 1085 Artículo C. 12.2.3. Caso general Artículo C. 12.2.4. \j/t = 1.3 A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general A rtícu lo C. 12.2.4. \j/, = 1.3 31.7 l &(mm) í d(mm) V m m ) L] (mm) í d(mm) í d(mm) í á(mm) í d(mm) Cd (mm ) 240 MPa fc' (MPa) \|/,= 1.3 199 300 300 300 300 328 480 628 802 1015 300 300 300 300 308 452 591 755 956 300 300 300 300 300 429 561 716 907 300 300 300 300 300 409 535 683 865 300 300 300 300 300 392 513 654 829 C apítulo 4 Estructuras de C oncreto I Tabla 4.18 Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción fy = 420 M Pa f ' (M P a ) B a r r a No 14.1 y , = 1.3 cb (m m ) = 60 y e =1.0 K .r = 0 17.6 £d (mm) £d(mm) 21.1 £d(mm) 28.1 24.6 Tabla 4.19 Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción \j/( = 1.0 fy = 31.7 35.2 38.7 300 300 300 300 300 300 402 360 329 305 300 300 300 300 300 4 538 481 440 407 381 359 341 325 311 5 673 602 550 510 477 449 426 406 389 6 808 724 661 612 573 539 512 488 468 7 1174 1051 960 889 832 783 743 709 679 948 900 858 822 1049 300 8 1422 1273 1162 1077 1007 9 1815 1625 1484 1374 1286 1211 1149 1096 10 2299 205 8 1879 1741 1629 1533 1455 1388 fy = 240 M Pa f ' (M P a ) B a r r a No M Pa f' (MPa) B a rra No 300 3 420 42.2 £á(mm) £¿ (mm) £d(mm) £d(mm) £d (mm) ^d (mm) 300 2 14.1 vj/t = 1.3 cb (m m ) = 60 \)/e —1.0 K tr = 0 17.6 21.1 24.6 28.1 1329 2 14.1 Ye = 1 .0 __________(c b + K ,r) / d b = 2 .5 17.6 £d(mm) £d(mm) 21.1 24.6 28.1 31.7 35.2 38.7 42.2 £d(mm) £á(mm) £d (mm) £d(mm) £á(mm) £d (mm) ¿d(mm) 300 3 00 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 3 310 4 414 370 338 313 300 300 300 300 5 518 464 423 392 367 346 328 313 300 6 622 557 509 471 441 415 394 376 3 60 522 7 903 809 739 684 640 603 572 546 8 1034 925 845 783 732 690 654 624 598 9 1168 1045 955 884 827 779 739 705 675 10 1314 1176 1074 995 931 877 832 793 760 38.7 42.2 \|/,= 1.0 fy = 240 MPa 31.7 Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo 35.2 38.7 42.2 ( d(mm) £d (mm) £d(mm) ¿d(mm) £d (mm) <?d (mm) £d(mm) £d (mm) V « ) fc' (MPa) Barra No 14.1 vj/c = 1.0 17.6 21.1 ( c b + K tr) / d b = 2.5 24.6 28.1 31.7 35.2 £d(mm) £d(mm) ¿d(mm) £d(mm) £d(mm) £d (mm) £d(mm) £d(mm) L|(mm) 2 300 300 300 300 30 0 300 300 300 300 2 300 300 300 300 3 300 300 300 300 30 0 300 300 300 300 3 300 300 300 4 307 300 300 300 300 300 300 300 300 4 300 300 300 5 385 344 315 300 300 300 300 300 300 5 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 6 356 318 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 6 462 414 378 350 328 308 7 671 601 549 508 47 6 44 8 425 405 388 7 516 462 422 391 366 345 327 312 300 8 813 727 664 615 576 542 515 491 470 8 591 529 483 447 419 394 374 357 342 9 1037 929 848 786 735 692 657 626 600 9 668 546 506 473 445 423 403 386 832 793 760 598 931 876 10 751 672 614 569 532 501 476 454 434 10 1314 1176 1074 995 A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general A rtícu lo C. 12.2.4. \|/t = 1.3 Artículo C. 12.2.3. C aso general 200 C apítulo 4 Estructuras de C oncreto I Longitud de desarrollo de barras corrugadas a compresión T a b la 4.20 Longitud de desarrollo de barras corrugadas a tracción \|/t = 1.3 fy = 420 M Pa f ' (M P a ) B a rra No 14.1 \\ic = 1-0 17.6 21.1 28.1 3 1.7 35.2 t d(mm) £d(mm) t d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) í d(mm) los factores de m o d ific a c ió n a p lica b le s, p ero h e n o p u e d e se r m e n o r de 200 42.2 ¿ d (mm) ^d(mni) 300 300 300 300 329 305 300 300 300 300 440 407 381 359 341 325 u i0 P _ _ 311 426 406 389 300 300 3 402 360 481 5 673 602 550 510 477 449 6 808 724 661 612 573 539 512 488 468 7 1174 1051 960 889 832 783 743 709 679 952 896 851 811 777 8 1344 1203 1098 1017 9 1518 1359 1241 1149 1075 1013 961 916 878 10 1708 1529 1397 1293 1210 1140 1081 1031 988 fy = 240 M Pa f ' (M P a ) B a rra No 2 3 14.1 21.1 £d (mm) ¿d (mm) £d (mm) 300 300 24.6 £d(mm) 28.1 31.7 Cd (m m ) ¿ d (mm) 35.2 3 8.7 £d(mm) £d(mm) 42.2 ¿d(mm) 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 300 4 307 300 300 300 5 385 344 315 300 300 300 300 300 300 6 46 2 414 378 350 328 308 300 300 300 7 671 601 549 508 476 448 425 405 388 444 8 768 687 628 582 544 512 486 464 9 868 777 709 657 615 579 549 524 502 739 692 651 618 590 565 976 874 798 W p 1- 0 .0 4 3 d bfy (la c o n sta n te 0 .0 4 3 tien e u n id a d e s de ' m m 2/N) La longitud d e d e sa rro llo coeficientes a p lica b le s para: b ásica , h e , se puede A s re q u e rid o A s su m in istra d o b) E spirales y e s trib o s - R e fu e rz o e n c e rra d o d e n tro de re fu e rz o en e sp ira l de d iám etro no m e n o r d e N ° 2 (1 /4 ”) o 6 M (6 m m ) y cu y o p a so n o sea mayor de 100 m m o e s trib o s d e b a rra N ° 4 (1 /2 ”) o 13M (13 m m ) que cum plan lo s re q u is ito s d e l R e g la m e n to (A rtíc u lo C .7 .1 0 .5 ) y e s p a c ia d o s a m enos de 100 m m ce n tro a c e n t r o : ........................................................................0.75 A continuación, u n a ta b u la c ió n d e las lo n g itu d e s d e d e sa rro llo b á sic a s de barras co rru g ad as a c o m p re sió n p ara lo s ac e ro s fy = 4 2 0 y 240 M P a A rtícu lo C. 12.2.3. C aso general A rtícu lo C. 12.2.4. \j/t = 1.3 202 m u ltip lic a r p o r lo s a) R efuerzo en e x c eso (c b + K tr) / d b = 2.5 300 10 ^dc = R efu erzo en e x c e so d el q u e re q u ie re el an álisis: v|/t = 1.3 \|/c = 1.0 17.6 mm. La longitud de d e sa rro llo b ásica, h e , es: 300 300 538 38.7 300 2 4 La longitud de d e sa rro llo h e en m m , p a ra b a rra s c o rru g a d a s a c o m p re sió n , debe calcu larse co m o el p ro d u c to d e la lo n g itu d de d e sa rro llo b á sic a h e , y (c b + K tr) / d b = 2 .5 24.6 Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo 203 E structuras de C oncreto I C apítulo 4 Tabla 4.21 Longitud de desarrollo básica para barras corrugadas a com presión fy = 420 M Pa _______________________________ f (M P a ) B a rra No 14.1 21.1 24.6 3 1 .7 £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) 35.2 G a n c h o s está n d a r a tr a cció n La longitud de d esa rro llo , íd h , en m m , p a ra b arras c o rru g a d a s en tra c c ió n term inan en u n g a n c h o está n d a r, d eb e o b te n e rse co m o el p ro d u c to d e la longitud de d esa rro llo p o r el fa c to r o fa c to re s d e m o d ific a c ió n ap lica b le s, 38.7 42.2 ¿ d (mm) ¿ d (mm) ^d(mm) ero no debe ser m e n o r q u e el m a y o r e n tre 8 db y 150 m m . 2 200 3 4 256 341 5 6 7 8 427 9 10 771 11 14 1155 18 17.6 28.1 200 229 306 383 200 200 200 200 200 209 279 200 259 324 200 242 303 364 200 230 288 345 200 230 200 200 230 423 483 401 288 345 401 288 345 401 611 690 349 420 488 558 630 868 777 709 962 861 786 1034 944 513 596 682 1539 459 534 1377 1258 389 452 517 584 459 519 459 519 459 519 657 615 584 584 584 584 728 681 647 647 647 647 874 818 777 777 777 777 1035 1035 1035 1035 =420 B a rra No 2 3 4 5 14.1 17.6 21.1 24.6 28.1 £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) 200 200 200 244 200 200 200 219 263 3 1 .7 35.2 f ,( m m ) A, (mm) 200 200 200 200 200 200 200 200 200 208 200 200 279 200 222 258 242 230 276 263 200 200 200 200 240 200 200 200 Aih, p a ra una b a rra co n g an c h o , co n M P a, es: 0 .2 4 f y db La longitud de d e sa rro llo h h , d eb e m u ltip lic a rse p o r el fa c to r o fa cto res apropiados sig u ien tes: a) 42.2 £d(mm) ¿d(nim) Para g a n c h o s d e b a rra s N o .36 y m e n o re s, co n re c u b rim ie n to lateral (n o rm a l al p lan o del g a n c h o ) no m en o r d e 65 m m , y para ganchos de 90° con recubrim iento en la extensión de la barra m ás allá del gancho no m enor de 50 m m : ................................................................................................................0.7 b) Para ganchos de 90° de barras N o .36 y m e n o re s q u e se e n c u e n tra n c o n fin a d o s p o r e strib o s p e rp e n d ic u la re s a la b arra q u e se está d esa rro lla n d o , e sp a c ia d o s a lo larg o de 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 200 230 230 230 263 263 263 d e 3db a lo larg o d e la lo n g itu d d e d e sa rro llo d el ex trem o 297 334 297 334 del g an c h o m as el d o b l e z ......................................................................... 0.8 293 341 390 349 319 295 9 441 360 334 312 297 10 496 395 444 406 351 334 11 14 550 660 492 591 449 540 376 416 297 334 500 390 468 370 444 370 44 4 370 444 370 444 18 879 787 719 666 623 592 592 592 592 A rtícu lo C. 12.3.2 d e sa rro llo •dh 38.7 6 7 8 305 de ly ^~345 401 459 519 1090 f 288 546 1165 La longitud ~200 ~230 fy = 240 M Pa f ' (M P a ) Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo Idu a n o m ás 3db; o b ien , ro d e a d o c o n e strib o s p ara le lo s a la b arra q u e se está d e sa rro lla n d o y e sp a c ia d o s a no m ás 1 c) Para ganchos de 180° de barras N o . 11 (1 -3 /8 ”) o 36M (3 6 m m ) y m en o re s q u e se e n c u e n tra n c o n fin a d o s co n estrib o s p e rp e n d ic u la re s a la b a rra q u e se está d esa rro lla n d o , e sp a c ia d o s a n o m ás d e 3db a lo larg o de Id h ...................................................................................................................... 0.8 205 C apítulo 4 Estructuras de C oncreto I d) C u an d o n o se re q u ie ra e s p e c ifíc a d a m e n te an c la je o lo n g itu d de d e sa rro llo p a ra fy , y se d isp o n e d e una c u a n tía de re fu e rz o m ayor a la re q u e rid a 6db por a n á lisis .................................................................................................. No. 43 a No. 57 No. 2 9 , No. 3 2 , No. 36 No. 10 a No. 25 4db>65r A; rrcporacnafe P ara b a rra s q u e so n d e sa rro lla d a s m e d ia n te u n g a n c h o e stá n d a r e n extremos d isc o n tin u o s d e e le m e n to s co n re c u b rim ie n to so b re el g a n c h o d e m enos de 65 m m en a m b o s lad o s y en el b o rd e su p e rio r (o in fe rio r), la b a rra con el g an c h o se d eb e c o n fin a r co n estrib o s, p e rp e n d ic u la r a la b a rra en desarrollo, e sp a c ia d o s en n o m ás d e 3db a lo larg o de fdh. El p rim e r estrib o debe Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo , db Sección C rítica 12db c o n fin a r la p a rte d o b la d a d el g a n c h o d e n tro d e 2db d el e x te rio r d el doblez, d o n d e db es el d iá m e tro de la b a rra co n g an c h o . E n este ca so , n o deben db a p lic a rse los fa c to re s (b) y (c). F in a lm e n te , ca b e a c la ra r q u e los g a n c h o s n o se c o n s id e ra n efe c tiv o s en el d e sa rro llo d e b a rra s en c o m p re sió n . E n la fig u ra a d ju n ta , c o rre s p o n d ie n te a b a rra s c o n g a n c h o s som etidas a tra c c ió n , a p a re c e la d e n o m in a d a lo n g itu d d e d e sa rro llo to tal, r í h , la cual se m id e d e sd e la sec ció n c rític a h a sta el p u n to m ás d ista n te de la barra, en d ire c c ió n p a ra le la a su p o rc ió n recta. í dh F ig u ra 4.6 A co n tin u ació n se p re s e n ta u n a ta b u la c ió n d e las lo n g itu d e s d e d esa rro llo , ¿dh, en m m , p a ra b a rra s c o rru g a d a s en tra c c ió n q u e term in a n en u n g an c h o estándar, p ara fy = 4 2 0 y 2 4 0 M P a y su a fe c ta c ió n p o r la m u ltip lic a c ió n p o r algunos d e los c o e fic ie n te s a rrib a m en cio n a d o s. 206 Capítulo 4 E structuras de C oncreto I T abla 4.22 Tabla 4.23 L o n g it u d d e d e s a r r o ll o p a r a b a r r a s c o r r u g a d a s e n tr a c c ió n q u e L o n g itu d d e d e s a r r o ll o p a r a b a r r a s c o r r u g a d a s e n t r a c c ió n q u e te r m i n a n e n u n g a n c h o e s t á n d a r te rm in a n e n u n g a n c h o e s tá n d a r fy = 4 2 0 M P a fy = y e = 1 .0 f ' (M P a ) 14.1 Barra No ym m ) 17.6 21.1 24.6 28.1 31.7 35.2 38.7 42.2 | ¿d(mm) £d(mm) ( d(mm) ¿d(mm) ¿d (mm) ¿d(mm) ¿d(mm) 150 150 208 193 170 161 279 227 216 206 197 349 258 323 181 241 150 154 302 285 270 258 459 419 388 363 342 596 682 533 610 487 451 422 397 325 377 309 360 247 296 344 516 483 412 394 690 583 546 455 514 432 488 465 10 770 867 557 630 656 614 961 1154 860 1033 728 874 681 578 641 549 608 523 11 14 709 786 944 580 556 818 770 18 1538 1377 1257 1165 1090 1026 731 974 697 928 667 889 172 154 150 3 4 255 228 341 5 427 305 382 6 7 513 9 776 150 ~ l5 Í T ~ ~T50 445 501 B arra N o 17.6 21.1 £d(mm) ym m ) í d(mm) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 18 150 179 239 299 359 417 477 539 607 673 808 1077 150 160 2 14 150 150 195 244 24.6 28.1 31.7 £d (mm) £d (mm) £d (mm) 150 150 181 226 272 150 150 169 212 254 296 338 382 4 30 267 321 373 427 483 293 341 390 441 316 361 408 543 602 723 964 496 550 661 880 460 509 612 815 150 150 159 199 35.2 3 8 .7 £d(mm) £d(mm) 150 150 151 189 227 264 150 150 150 180 217 252 302 341 42.2 ¿ d (mm) 150 150 150 173 2 39 278 318 360 405 449 384 426 288 326 366 406 763 539 718 511 681 488 650 351 389 467 622 28.1 31.7 35.2 38.7 42.2 477 572 207 241 276 312 C o e fic ie n te u s a d o : 0 .7 ( lite r a l a) fy = 4 2 0 M P a 14.1 21.1 17.6 £d(mm) t d(mm) £d(mm) 24.6 28.1 ¿ d (mm) ¿ d (mm) 31.7 3 5.2 38.7 42.2 £d(mm) £d (mm) £d(mm) ^d (mm) 2 150 150 150 150 150 150 150 150 150 3 150 150 150 150 150 150 150 150 150 4 195 174 159 150 150 150 150 150 150 5 244 218 199 185 173 163 154 150 150 6 293 262 240 222 208 195 185 177 169 7 341 305 278 258 241 227 216 206 197 f' (MPa) 14.1 Barra No ¿d (mm) 2 3 4 5 6 7 8 9 8 390 349 319 295 276 260 247 235 225 9 440 394 360 333 312 294 279 266 254 10 495 443 405 375 351 330 314 299 286 11 549 492 449 416 389 366 348 331 317 14 660 590 539 499 467 440 417 398 381 10 11 14 508 18 18 14.1 (MPa) A rtícu lo C . 1 2 .5.3 fv = 2 4 0 M P a f ' (M P a ) f 420 M Pa B arra No 150 2 8 Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo 879 787 719 665 623 586 556 531 150 204 273 341 410 477 545 616 694 769 923 1231 _____ 17.6 21.1 £d (mm) £d(mm) 150 183 244 150 167 306 367 223 279 335 427 488 552 390 446 504 621 688 567 628 755 827 1101 1006 24.6 L, (m m ) 150 154 206 259 311 361 413 467 525 582 699 932 A rtícu lo C . 1 2 .5 .3 A rtícu lo s C. 12.5.1 y C . 12.5.2 Coeficiente usado: 0.8 (literal b ) 208 209 í d(mm) í d (mm) 150 150 193 242 291 338 386 437 491 545 654 872 ¿ d (mm) L, (mm) 150 150 182 150 150 173 228 274 216 260 302 345 318 364 411 463 513 616 821 390 439 487 584 779 í d(mm) 150 150 165 206 150 150 158 197 248 288 329 372 237 276 315 356 419 464 401 444 557 743 534 711 C apítulo 4 Estructuras de C oncreto I Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo T a b la 4.24 T a b la 4.25 L o n g it u d d e d e s a r r o ll o p a r a b a r r a s c o r r u g a d a s e n tr a c c ió n q u e L o n g itu d d e d e s a r r o ll o p a r a b a r r a s c o r r u g a d a s e n tr a c c ió n q u e te rm in a n e n u n g a n c h o e s tá n d a r te r m i n a n e n u n g a n c h o e s t á n d a r fy = 2 4 0 M P a fy = 4 2 0 M P a 14.1 f ' (M P a ) 17.6 (mm) £A(mm) B a rra No 150 2 3 4 5 6 150 150 171 205 7 8 9 10 11 14 18 150 150 150 153 184 238 273 308 347 384 213 244 462 615 413 551 276 310 344 21.1 24.6 £á(mm) £d(mm) 150 150 150 150 168 195 223 252 28 4 314 377 503 150 150 150 150 155 180 206 233 263 291 350 466 28.1 31.7 Li (mm) ¿d(mm) 150 150 150 150 153 178 203 150 150 150 150 153 178 203 230 35.2 3 8.7 42.2 f ' (M Pa) £d(mm) £A(mm) 150 150 150 150 150 150 153 178 150 150 230 258 28 6 344 258 286 344 203 230 258 286 344 458 458 458 B arra No 150 150 150 150 153 153 178 203 178 203 230 258 286 344 230 258 286 344 458 458 ■ 2 r 4 5 6 7 8 9 10 11 14 18 14.1 í d (mm) 150 150 191 239 287 334 382 431 486 538 646 861 17.6 21.1 £A(mm) £d(mm) 150 150 171 214 257 299 342 386 435 482 579 771 24.6 £d (mm) 150 150 150 181 217 150 150 150 169 203 273 312 353 397 253 289 327 368 236 270 306 440 528 704 407 489 652 381 458 C o e f ic i e n te s u s a d o s : 0 .7 ( l it e r a l a) fy = 2 4 0 M P a fy = 2 4 0 M P a _________________________________ f ' (M P a ) B a rra No 14.1 17.6 150 150 150 156 5 6 7 195 234 150 150 175 210 244 11 14 18 24.6 28.1 31.7 35.2 38.7 42.2 ¿d (mm) i (1(m m ) £d (mm) £A(mm) £d(mm) £A(mm) £á(mm) £á(mm) ¿d(mm) 2 3 4 8 9 10 21.1 272 312 352 396 439 528 703 279 150 150 150 160 192 223 255 288 324 315 355 393 472 359 431 629 575 150 150 150 150 177 206 236 267 300 333 399 532 150 150 150 150 166 193 221 249 281 311 374 498 150 150 150 150 156 182 208 235 264 293 352 469 150 150 150 150 150 150 153 150 150 153 178 203 178 203 230 f ' (M P a) B a rra No 150 153 178 203 2 3 4 5 6 7 8 150 150 150 14.1 21.1 150 150 150 150 150 150 150 164 191 150 153 150 150 153 178 203 230 178 203 230 258 286 344 258 286 344 458 458 230 258 9 10 286 344 258 286 344 218 247 277 286 344 458 458 458 11 14 18 308 369 492 230 258 17.6 £d(mm) £A(mm) £A(mm) 150 150 24.6 í d (m m ) 150 150 150 150 153 178 203 230 258 211 191 223 255 288 324 150 150 150 151 182 211 242 273 307 341 409 545 38.7 42.2 28.1 31.7 35.2 150 150 150 150 173 201 150 150 150 150 166 193 221 230 260 293 325 390 249 281 311 374 520 498 3 8.7 42.2 £á(mm) £A(mm) £d(mm) £d(mm) £d(mm) 150 150 150 150 150 150 150 150 153 178 203 153 178 458 A rtículo C . 12. 5. 3 150 150 150 159 610 458 C o e fic ie n te s u s a d o s : 0 .7 , 0 .8 ( lite r a le s a y b ) 35.2 359 431 574 286 344 C o e f ic i e n te u s a d o s : 0 .8 ( lite r a l b ) 210 344 230 258 286 344 A r tí c u lo C . 1 2 .5 .3 31.7 £A(mm) £á(mm) £¿(mm) £d(mm) £A(mm) 150 150 156 195 235 A rtículo C . 12 .5 .3 C o e fic ie n te s u s a d o s : 0 .7 * 0 .8 ( lit e r a le s a y b ) A r tí c u lo C . 1 2 .5 .3 28.1 203 230 150 150 150 150 150 150 153 178 150 150 153 203 258 286 344 230 258 286 344 458 458 178 203 230 258 286 344 458 150 150 150 150 153 178 203 230 258 286 344 458 C apítulo 4 Estructuras de C oncreto I A c o n tin u a c ió n se p re se n ta , co n el a lc a n c e d e só lo u n e sq u e m a m u y general lo s p o sib le s p u n to s d e c o rte p a ra u n a lu z e x tre m a co n el a p o y o exterior co m o sim p le ap o y o , c o n u n a lu z in te rio r so p o rta d a en c o lu m n a s y Un v o la d iz o en el o tro ex tre m o . L a s lu ces so n a p ro x im a d a m e n te ig u ales y la c a rg a e n to d o s los ca so s es u n ifo rm e e igual. f) Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo El esp a c ia m ie n to m ín im o d e las b a rra s n o d eb e s e r m e n o r de 4 d b. para las b arras c o rru g a d a s c o n c a b e z a q u e c u m p le n c o n C .3 .5 .9 , la lo n g itu d de desarrollo a tra c c ió n h \ , d eb e se r d e (0 .1 9 \|/e f J > /f^)db, d o n d e el v a lo r de f c usado p a ra c a lc u la r ü x n o d eb e e x c e d e r de 4 0 M P a, y el fa c to r \|/e d eb e tomarse com o 1.2 p a ra re fu e rz o s re c u b ie rto s c o n e p o x ic o y d e 1.0 p a ra o tro s casos. D onde el re fu e rz o este en e x c e so so b re el re q u e rid o p o r el a n á lisis, e x c e p to d o n d e el d e sa rro llo d e fy se re q u ie ra e sp e c ia lm e n te , se p e rm ite que /di sea m u ltip licad o p o r (A s re q u e rid o )/(A s en tre g ad o ). L a lo n g itu d fd in o debe ser m e n o r d el m a y o r e n tre 8 d b y 150 m m . Las cabezas n o se c o n s id e ra n efe c tiv a s e n el d esa rro llo d e las b a rra s a compresión. F ig u r a 4.7 D e sa r r o llo d e las b a r r a s c o r r u g a d a s co n ca b e z a y a n cla d a s Sección Crítica m e c á n ic a m e n te en tr a c c ió n L a lo n g itu d d e d e sa rro llo en tra c c ió n d e las b a rra s c o rru g a d a s co n cabeza, U , d eb e se r d e te rm in a d a c o n C . 12.6.2. E l u so d e c a b e z a p a ra d e sa rro lla r las b a rra s c o rru g a d a s en tra c c ió n d eb e q u e d a r lim itad o a c o n d ic io n e s que c u m p la n c o n (a ) h a sta la (f): a) El fy d e la b a rra n o d eb e e x c e d e r de 4 2 0 M P a. b) E l ta m a ñ o d e la b a rra n o d e b e se r m e n o r d e N o . 11(1 -3 /8 ” ) o 36M (3 6 m m ). c) E l c o n c re to d eb e se r d e p e so norm al. d) El á rea d e a p o y o d e la c a b e z a A brg n o d eb e s e r m e n o r a 4 A b. e) El re c u b rim ie n to lib re p a ra la b a rra n o d eb e se r m e n o r de 2 d b , y 212 F ig u ra 4.8 213 Estructuras de C oncreto I Capítulo 4 T abla 4.26 Longitud de desarrollo para barras corrugadas con cabeza A ncladas m ecánicam ente en tracción fy = 420 M Pa f ' (M P a ) Barra No 14.1 21.1 24.6 ¿d(mm) í d (mm) td (mm) í d(mm) 28.1 31.7 í d (mm) í d (mm) 2 3 4 150 202 27 0 150 181 242 150 166 221 150 153 205 150 150 192 5 338 406 472 540 610 303 364 277 332 386 442 256 308 358 409 462 240 288 335 383 6 7 8 9 10 11 14 687 761 914 18 1218 pesaíToll0 de m a lla e le c tr o so ld a d a de a la m b r e co r ru g a d o \|/e= 1.0 17.6 423 484 546 615 681 818 1090 49 9 562 622 748 996 520 576 692 922 433 487 539 648 863 150 150 181 226 271 315 361 407 458 508 610 813 35.2 38.7 í d(mm) í d(mm) 150 150 171 214 257 299 342 387 435 482 579 771 150 150 163 204 246 285 326 369 415 460 552 736 42.2 ^d(mm) ~150 150 157 196 235 273 313 ~353 397 440 529 704 fy = 240 M Pa f ' (M P a) Barra 14.1 No í d (mm) 2 3 4 5 150 150 6 7 232 8 9 10 11 14 18 155 194 270 309 349 393 435 523 696 A rtícu lo s C. 12.6.2 longitud de d e sa rro llo id en m m , p a ra m alla e le c tro so ld a d a d e a la m b re corrugado m ed id a d e sd e la se c c ió n c rítica h asta el ex tre m o d el alam b re, debe calcularse co m o el p ro d u c to de la lo n g itu d d e d esa rro llo p a ra alam b re corrugado an tes e x p u e sta y el fa c to r o fa c to re s d e m o d ific a c ió n a p lica b le s. Se perm ite re d u cir la lo n g itu d d e d e sa rro llo p a ra el caso d e re fu e rz o en ex ceso , A t u e n d o / A s s u m in is tra d o , p e ro id n o d eb e se r m e n o r d e 2 0 0 m m ex c ep to al calcular los em p a lm e s p o r traslap o . E n este caso , la lo n g itu d m ín im a de traslap o para em p a lm e s tra sla p a d o s d e m alla e le c tro so ld a d a d e alam b re corrugado, m ed id a e n tre lo s e x tre m o s d e c a d a m alla, n o d eb e se r m e n o r que 1 3 id ni de 200 m m y el tra sla p o m e d id o e n tre lo s a la m b re s tra n sv e rsa le s ex tre m o s de cad a m a lla n o d eb e se r m e n o r de 50 m m . El coeficiente d e m alla e le c tro so ld a d a y w de a la m b re c o rru g a d o q u e te n g a al menos un alam b re tra n sv e rsa l d e n tro d e la lo n g itu d d e d e s a rro llo a una separación no m e n o r d e 5 0 m m del p u n to d e la sec ció n crítica, d eb e se r el mayor de: ( fy - 240 ^ 17.6 ¿d (mm) 150 150 150 173 208 242 277 312 352 390 46 8 623 21.1 24.6 t d(mm) i d (mm) 150 150 150 150 150 150 158 190 221 253 150 176 205 234 264 285 321 356 427 569 297 330 396 527 28.1 f d (mm) 3 1 .7 150 150 150 150 150 150 150 165 150 155 180 191 219 247 278 308 370 493 35.2 í d(mm) í d(mm) 206 233 262 290 349 465 150 150 150 150 153 38.7 Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo 42.2 V f y V 0 Í5 d rí v sw y (mm) ¿d(mm) 150 150 150 150 150 178 204 230 150 153 178 204 150 150 153 178 204 230 230 259 287 344 259 287 344 259 287 344 459 45 9 459 Donde s w es el e sp a c ia m ie n to d el a la m b re q u e v a a d e sa rro lla rse o a empalmar, e x p re sa d o en m m . D e to d a s m a n e ra s, este c o e fic ie n te n o d eb e exceder a 1.0. Para m alla e le c tro so ld a d a d e a la m b re c o rru g a d o sin ala m b re s tra n sv e rsa le s dentro de la lo n g itu d d e d e sa rro llo , o co n u n so lo a la m b re a m e n o s de 50 mm de la se c c ió n crítica , el a n te rio r c o e fic ie n te d eb e to m a rse co m o 1.0 y la longitud d e d e s a rro llo d e b e se r la q u e se d e te rm in e p a ra alam b re corrugado. A continuación y co n u n a lc a n c e estric ta m e n te d id á c tic o , se p re se n ta un ejemplo de d iseñ o d e u n a v ig a d e d o s lu ces y u n v o la d iz o co m o a p lic a c ió n de los req u isito s y e sp e c ific a c io n e s a n te rio rm e n te ex p u e sto s. C apítulo 4 E structuras de C oncreto Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo L a v ig a d e la fig u ra 4 .9 tien e u n a se c c ió n d e 0 .6 0 x 0.45 m y fue diseñada p a ra c o n c re to de fc = 2 1 . 1 M P a y a c e ro d e re fu e rz o p a ra fy = 4 2 0 M Pa. En punto de in flex ió n , n o m e n o r q u e la a ltu ra e fe c tiv a del elem e n to , (0.38 m ), 12 db (12 x * 7 /8 ” = 1 2 * 0 .0 2 2 2 = 0 .2 6 6 m ) o 1/16 d e la luz libre ( ( 1/ 1 6 )* 6 .7 0 = 0 .4 2 m y (1 /1 6 )* 7 .7 0 = 0.48 m ). Se a d o p ta co m o longitud d e an c la je 0 .4 2 y 0.48 m en c a d a luz. la fig u ra 4 .9 se m u e s tra n los d ia g ra m a s d e c o rte y flex ió n , previam ente c a lc u la d o s y el re fu e rz o co lo cad o . L ongitud de d e sa rro llo de las b a rra s q u e se p ro lo n g a n (* 7 /8 ”): P ro b le m a 4.1 ( w t = 25 k N /m 'i 'i 'i 0.45 S -v _ |U 0.30 7.00 1.85 7.70 6.70 0.30 0.30 8.00 2.0 0 1) uWC ° b + K,f 1 < 2 . 5 c b + K Ir db V donde: Y|/.= c o e fic ie n te re la c io n a d o co n la lo c a liz a c ió n d e la b a rra y es 1.3 p a ra re fu e rz o su p erio r; V|/e= c o e fic ie n te re la c io n a d o co n el tip o d e su p e rfic ie del re fu e rz o y es 1.0 p a ra re fu e rz o sin re c u b rim ie n to ep ó x ico ; VJ/s = c o e fic ie n te d e e sc a la re la c io n a d o co n el d iá m e tro d e la b a rra y es 0.8 p ara b a rra s N o . 6 o m en o re s y 1.0 p a ra b a rra s N o . 7 y m ay o re s; Ktr = 40Atr / s n , tra n s v e rs a l s, sie n d o s tra n s v e rs a l F ig u r a 4.9 S o lu ció n Se p re se n ta n los c á lc u lo s d e las lo n g itu d e s d e d e sa rro llo n e c e sa ria s para la c o lo c a c ió n d e los re fu e rz o s p re v ia m e n te o b te n id o s a p a rtir d e los diseños a fle x ió n y co rta n te. El d ise ñ o se e fe c tu ó co n d = 0.38 m . V.VcVs Según la N S R -1 0 : i d - c. II 'fi R e fu e rz o n e g a tiv o A poyo 2 M o m e n to d e diseñ o : (j)Mn - 2 8 0 .2 kN -m R e fu e rz o re q u erid o : p = 0 .0 0 9 6 5 3 - A s = 0 .002201 m 2 R e fu e rz o s u m in is tr a d o ^ (j) 7 /8 ” + 1 <J) 3 /4 ” (0 .0 0 2 2 1 9 m ) e x p re sa d o en m m . A tr= 1*2*71 = 142 m m ; S = L o n g itu d d e an claje: A l m e n o s u n te rc io d el re fu e rz o to tal a tra c c ió n su m in istra d o para m o m e n to n e g a tiv o d e b e te n e r u n a lo n g itu d d e an c la je m ás allá del 216 en la cu al Air es el á rea to tal d e re fu e rz o en fo rm a d e estrib o s, d e n tro d e u n a d ista n c ia el e sp a c ia m ie n to , ce n tro a c e n tro , d el re fu erz o q u e ex iste en la lo n g itu d d e d e sa rro llo id , e s p a c ia m ie n to ce n tro a ce n tro del re fu e rz o tra n sv e rsa l q u e e x iste en la lo n g itu d d e d e sa rro llo i d . E n este p ro b le m a s = 90 m m ; 217 C apítulo 4 E structuras de C oncreto I n = Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo Longitud de d esa rro llo : n ú m e ro d e b a rra s, en u n a m ism a fila o capa, que Se d e sa rro lla n : 3; P ara ()>%": cb = d im e n sió n d el e s p a c ia m ie n to o d el re cu b rim ien to del re fu e rz o = 4 0 m m d jr 420 1 3*1 0 * 0 8 1.1* V 2 L 4 2.5 420 1 3*1 0 * 0 8 1.1* V21TT 2.5 g . = -------- r^ = * —------ :------ — * 15.9 = 5 5 0 m m (íd e m ta b la 4 .2 0 ) , A 142*40 4 0 H-------------Para R eem p la z a n d o :------—------ —= --------- — — = 2.75 > 2.5 db 2 2 .2 g . = -------- -------------------------- — * 1 2.7 = 4 4 0 m m (íd e m tab la 4 .2 0 ) d L o n g itu d d e d esa rro llo : A p o y o 1: P ara ((>%": 420 * 1 .1 * a/ 2 L Í 1 3*1 0*1 0 : * 2 2 .2 = 9 6 0 m m (íd e m ta b la 4.20) 2.5 - £ d = 7— Se 420 j = 1 .1 S /2 T I * re fu e rz o n o m in a l de 2 <J>5/ 8"+ 3 <J>l/2" (A s= 0 .0 0 0 7 8 5 n r ) , q u e re s u lta a p ro x im a d a m e n te s im ila r al ' m ín im o re q u e rid o (A s m ín im o 0 .0 0 3 3 * 0 .6 0 * 0 .3 8 = 0 .0 0 0 7 5 2 m 2) y de d iá m e tro s en c o n c o rd a n c ia co n los c o lo c a d o s en el re sto d e la viga. y p o r lo tan to p a ra <|>%": £á = su m in istra u n 1 3*1 0 * 0 8 : * 19.1 = 661 m m (íd e m ta b la 4.20) 2 .5 ’ 2) R efuerzo p o sitiv o Luz 1 - 2: A p o y o 3: M om ento de d iseñ o : M o m e n to d e d iseñ o : R e fu e rz o re q u e rid o : (|)Mn = 8 5 .0 kN -m p = 0 .0 0 3 3 (m ín im a ) - A s = 0 .0 0 0 7 5 2 m2 R efuerzo re q u erid o : R efuerzo su m in istra d o : (j)Mn = 139.1 kN -m p = 0 .0 0 4 4 8 7 - A s = 0 .0 0 1 0 2 3 m 2 5 (j)¡/2 " + 2 (j)%" (0 .0 0 1 0 4 3 m 2) R e fu e rz o su m in istra d o : 2 <|>%" + 3 § Y 2 " (0 .0 0 0 7 8 5 m 2) En los ap oyos: L o n g itu d d e an c la je: L a m a y o r en tre la a ltu ra e fe c tiv a (0.38 m ), 12db (12*0.0159 = 0 .1 9 m ) y j/¡6 d e ^u z ^ re (} i6 * 7 - 7 0 = 0-48 m ). S e adopta 0.48 m . 218 A l m en o s 1/3 d el re fu e rz o p a ra m o m e n to p o sitiv o en e le m e n to s sim plem ente a p o y a d o s y 1/4 d el re fu e rz o p o s itiv o en elem e n to s continuos, d eb e e x te n d e rs e a lo larg o d e la m is m a ca ra d el elem e n to dentro d el ap o y o . E n v ig a s, tal re fu e rz o d e b e e x te n d e rs e d e n tro del apoyo al m e n o s 0.15 m . E n v ig a s q u e h a c e n p a rte d el siste m a de 219 C apítulo 4 Estructuras de C oncreto I Longitud de D esarrollo y Em palm es de Refuerzo re s iste n c ia sísm ic a se d eb e n c u m p lir los re q u isito s d el C a p ítu lo C.21 • C2SL + Í , = — + 0 .3 8 = 1 .2 4 m •• V u a 118.2 d el R e g la m e n to C o lo m b ia n o . E n el e je m p lo se e n tra y e x tie n d e e n el a p o y o (1): 2 (j)5 / 8" + 3 (j>l /2 " y e n el a p o y o (2): 2 (j)5 /8 " + 2 (j)l/ 2 " . E n el a p o y o (1 ) el refuerzo te rm in a d e sp u é s d el c e n tro d el m ism o co n u n g a n c h o e stá n d a r en su e x tre m o , p o r tal ra z ó n h a y n e c e s id a d d e re v is a r la long itu d de d e sa rro llo p a ra b a rra s c o rru g a d a s a trac ció n . Luz 2 - 3 : f 420 1 0*1 0 * 0 8 = ___ A _ = * — — — -——— * 15.9 = 423 m m (íd e m ta b la 4 .1 9 ) 1 .1 * V 2 U 2.5 cu m p lién d o se el re q u isito m en cio n a d o . A continuación, la fig u ra 4 .1 0 q u e c o n tie n e lo s d ia g ra m a s y re fu erz o s M o m e n to d e d iseñ o : <\>Mn = 164.4 kN -m R e fu e rz o re q u erid o : p = 0 .0 0 5 3 6 0 R e fu e rz o su m in istra d o : Por otra parte: 5 ( j)^ " + 3 anunciados. - A s = 0 .0 0 1 2 2 2 m2 (0 .0 0 1 2 4 2 m ) E n los ap o y o s: E n el e je m p lo se e n tra y e x tie n d e e n los a p o y o s (2) y (3): 2 cj)5 / 8" + 2 (j)l / 2 " en lo n g itu d e s m a y o re s d e 0.15 m . P o r o tra p arte , para las b a rra s q u e se e x tie n d e n m ás allá d el p u n to d e in fle x ió n h a c ia el apoyo p o r u n a lo n g itu d n o m a y o r d e la a ltu ra e fe c tiv a d e la v ig a (d = 0.38 m) o 12 v e c e s el d iá m e tro d e la b a rra db (1 2 * 0 .0 1 5 9 = 0 .1 9 m ), se debe c u m p lir el re q u isito que: donde: M n = re siste n c ia n o m in a l a la fle x ió n del re fu e rz o 2 ( j ) j { " + 2 M n = 101.08 kN -m ; V u= fu e rza c o rta n te m a y o ra d a en la sec c ió n = 118.2 kN ; £ a = lo n g itu d d e a n c la je a d ic io n a l en el p u n to d e in fle x ió n = 0.38 m 220 221 Estructuras de C oncreto I O o co C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección M VWLL'Tfl 3 1 N V 1 3 O 0 V Z 33H 3 o o o o O O O o m oN O lo o ín o m o a < —— m 00 10 o m m t> -e- Capítulo 5 1 SISTEMA DE LOSAS ARMADAS EN UNA DIRECCION -©• C'i Figura 4.10 223 222 C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección E structuras de C oncreto I SISTEM A D E L O S A S A R M A D A S E N U N A D IR E C IO N En este cap ítu lo se tra ta rá n las lo sas a rm a d a s en u n a d ire c c ió n en su s dos tipos, m acizas y a lig e ra d a s, a p o y a d a s en v ig a s o en m u ro s. Se arm arán lo sas en u n a d ire c c ió n en el caso e v id en te en q u e só lo e x istan apoyos en esa d ire c c ió n o c u a n d o el g ra d o d e re c ta n g u la rid a d d e la lo sa es tai que la re la c ió n d e sus lu ces sea d e 0.5 o m en o s, en cu y o c a so la m a y o r parte de la c a rg a será lle v a d a p o r fle x ió n a los a p o y o s en el se n tid o d e la luz corta que p o r c o n sig u ie n te será la d e d iseñ o . E ste co n c e p to d e re p a rtic ió n de la carga se e stu d ia co n m ás d eta lle en el C a p ítu lo 7, S iste m a s d e lo sas armadas en d o s d irec cio n es. La utilización de lo s d o s tip o s, m a c iz a o a lig e ra d a , es en b u e n a p a rte fu n c ió n de la luz, sien d o m a c iz a la q u e c o rre sp o n d e a lu ces co rtas. A c o n tin u a c ió n se presentan eje m p lo s d e d iseñ o de u n a y o tra, en lo s cu a le s se e n u n c ia n las especificaciones a p lic a b le s en c a d a caso. Losas m a ciza s Problem a 5.1 Diseñar u n a lo sa m a c iz a d e d im e n sio n e s en p la n ta 4 .0 0 x 8 .0 0 m ., a p o y a d a sobre m u ro s d e la d rillo to le te y a p ta p a ra so p o rta r u n a so b re c a rg a o c a rg a de servicio de 1.8 k N /n T , si se u sa rá n p a rtic io n e s so b re la lo sa en lad rillo bloque h u eco de a rc illa p a ra u n a c a rg a re p a rtid a d e 3 k N /m 2 y se c o n stru irá en con creto d e = 2 1 . 1 M P a y a c e ro co n u n lím ite d e 240 M Pa. 225 flu e n c ia de C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección Estructuras de C oncreto I 375 t= 0.4 + 20 240^1 700 J = 0 .1 3 9 m ~ 0 .1 4 m Sin em bargo, el e s p e s o r fin al a d o p ta d o d e p e n d e rá de c o n sid e ra c io n e s ligadas a la so b re carg a , re c u b rim ie n to d el re fu e rz o co m o p ro te c c ió n del medio am b ien te, se g u rid a d y e c o n o m ía , y a u n e s p e s o r m ín im o , en to d o s los casos, de 0.10 m . P a ra el e je m p lo q u e se e x p o n e se ad o p ta t = 0.15 m . P o r lo tanto: Se d eb e o b te n e r el e s p e s o r “ t” a fin d e c a lc u la r las c a rg a s d e d iseñ o de la lo sa, u su a lm e n te p o r m e tro cu a d ra d o . P a ra este e fecto es p re c iso referirse a Cargas: la re c o m e n d a c ió n del R e g la m e n to N S R -1 0 , el cu a l e sp e c ific a en el cuerpo 0 .1 5 * 1.00* 1.00*24 3 .6 0 kN /m " acabado en v in ilo : 0 .03* 1.00* 1.00*22 0 .6 6 kN /m " Pañete c ielo raso : 0 .0 2 * 1.00* 1.00*22 0 .4 4 k N /m 2 d el R e g la m e n to y en su c o m e n ta rio los sig u ie n te s e sp e so re s m ín im o s para Peso p ro p io d e la losa: lo sas m a c iz a s n o p re e sfo rz a d a s q u e tra b a je n en u n a d ire c c ió n , a m en o s que Piso en m o rte ro a fin a d o u n c á lc u lo c u id a d o so de las d e fle x io n e s p e rm ita a d o p ta r e sp e so re s menores. I t = — 14 i t=— ^ p a ra m u ro s d iv iso rio s y p a rtic io n e s frá g ile s y p a ra m u ro s d iv iso rio s y p a rtic io n e s n o su sc e p tib le s d e dañarse an te d e fle x io n e s g ra n d es E sto s e sp e so re s se u sa rá n p a ra e le m e n to s cu y o re fu e rz o te n g a u n lím ite de C arga p o r p a rtic io n e s: 3 .0 0 k N /m 2 S ubtotal (c arg a m u erta): 7 .7 0 kN /m " C arga viva: 1.80 k N /m 2 Total 9 .5 0 kN /m " flu e n c ia d e 4 2 0 M P a; p a ra o tro s tip o s de a c ero d e re fu e rz o los valores El diseño de estas lo sas se e fe c tú a p o r m e tro d e an c h o ; p o r lo ta n to la c a rg a de diseño será 9 .5 0 k N /m . a n te rio re s se d eb e n m u ltip lic a r p o r 0.4 + Por tratarse d e u n a lo sa a p o y a d a d ire c ta m e n te so b re m u ro s de la d rillo 700 cerámico no in teg ra le s c o n la m ism a , la lu z d e cá lc u lo p a ra flex ió n será la luz entre ejes; si se co n stru y e in teg ra l c o n la lo sa u n a v ig a d e b o rd e p a ra su E n este caso , sie n d o t la lu z d e la lo sa c e n tro a c e n tro de ap o y o s, resu lta: apoyo (F ig u ra 5 .2 .a ) o si el m u ro se c o n tin ú a h a c ia a rrib a so b re ella (F ig u ra 5.2.b), se ten d rá u n a re stric c ió n d el lib re g iro d e la lo sa q u e sig n ific a un t= ^ * 14 0.4 + 240 = 0 .1 9 8 m ~ 0 .2 0 m 700 226 y momento n e g a tiv o en el a p o y o y u n a d ism in u c ió n d el m o m e n to p o s itiv o en la luz, ju s tific á n d o s e el d ise ñ o p a ra u n m o m e n to p o sitiv o in fe rio r al 227 Estructuras de C oncreto I c o rre sp o n d ie n te a la C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección lo sa s im p le m e n te apoyada o el em p leo en d e te rm in a c ió n de la lu z lib re, to d o a c rite rio d el d iseñ ad o r. Luego se puede d o b la r aproximadamente a % el re fu e rz o a del 0 . 1 5£ e je de apoyo o de la luz libre. Arm adura tr a n sv e r sa l De acuerdo co n el R e g la m e n to c o lo m b ia n o , en lo sas m a c iz a s re fo rz a d a s en una dirección d eb e c o lo c a rse u n re fu e rz o se c u n d a rio , p a ra e fe c to s de retracción y te m p e ra tu ra , en d ire c c ió n p e rp e n d ic u la r al re fu e rz o p rin c ip a l. La relación d e á rea d e re fu e rz o a á rea b ru ta de c o n c re to d e b e ten er, co m o mínimo, los sig u ie n te s v a lo re s, lo s cu a le s so n a p lica b le s c u a n d o la lo sa V IG A puede ex p an d irse o c o n tra e rse F ig u r a 5.2.a F ig u ra 5 .2 .b lib re m e n te , o cu a n d o se a d m ite q u e se presente físu ra ció n sin n in g ú n co n tro l, o c u a n d o el c o n tro l de fís u ra c ió n es innecesario: C o m o so lu c ió n a la tra c c ió n d e b id a a este m o m e n to n e g a tiv o , se acostumbra d o b la r la m ita d d e los h ie rro s c o rre s p o n d ie n te s al re fu e rz o p a ra momento p o sitiv o , d o n d e y a n o se n e c e s ita n p a ra este e fe c to (m o m e n to flector Para b arras c o rru g a d a s c o n re siste n c ia a la flu en c ia f y m en o r o ig u al a 3 5 0 M P a .........................................................................0 .0 0 2 0 p o sitiv o ig u al o m e n o r a la m ita d d el m á x im o d e d ise ñ o ) y p ro lo n g arlo s en Para b arras c o rru g a d a s co n re s is te n c ia a la flu e n c ia fy ig u al la p a rte su p e rio r h a sta el a p o y o , d e m a n e ra q u e la p a rte re c ta su p e rio r no sea a 420 M P a o re fu e rz o e le c tro so ld a d o d e a la m b re ............................... 0 .0 0 1 8 in fe rio r a 0 .3 0 m. Para re fu erz o co n re s is te n c ia a la f y flu e n c ia m a y o r de P o r lo tanto: 420 M P a, c o rre sp o n d ie n te a u n a d efo rm a c ió n u n itaria x M de flu en cia d e 0 .3 5 % p e ro n o m e n o r de 0 .0 0 1 4 ..................... _ (íí x = —¡= ~ 0 .3 5 i V8 M 0 .0 0 1 8 420 f y Este refuerzo d e re tra c c ió n y te m p e ra tu ra , d eb e te n e r u n a se p a ra c ió n máxima no m a y o r d e 5 v e c e s el e s p e s o r d e la lo sa o 5 0 0 m m , la q u e sea menor. \ / M/2 M /2 0.150 0.350 X 0.150 í/2 0/2 F igura 5.3 228 Finalm ente, ta m b ié n de ac u e rd o al R e g la m e n to c o lo m b ia n o , recubrim iento del re fu e rz o p a ra c o n c re to no ex p u e sto a la ni en co n tacto lo sas será de c o n el su elo , en 20 el in tem p erie, m m , lo cu a l p erm ite utilizar para el e je m p lo p ro p u e sto d = 0.15 - 0.03 = 0.12 m. Hechas las c o n sid e ra c io n e s an te rio re s, se p ro c e d e al d iseñ o , u tiliz a n d o un coeficiente de c a rg a q u e el d is e ñ a d o r c o n sid e re ap ro p iad o : C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección E structuras de C oncreto I U san d o U = 1.4 D + 1.6 L, se o b tie n e w u = 1 .4*7.70 + 1.6*1.80 = b) La arm ad u ra d e las lo sas m a c iz a s g e n e ra lm e n te se in d ic a p o r el diám etro d e la b a rra y su se p a ra c ió n o b te n id o s a p a rtir d el área de 1 3 .6 6 k N /m 2 refuerzo re q u e rid o p o r m e tro d e an c h o , así: ... U = I l ^ L l . 4 4 ( D + L ), 9 .5 0 fd e S = — = 1 .6 0 , 0.9 A s = 1 .0 —- ® M = Diseño a cortante: = 1 6 .7 0 k N -m 2 4 .0 5 k N -m (|)M„ = 1.44M Reacciones 9 5 0 * 3 75 Vd (kN) Vu = A im a d u ra : * / 2” c/0.26 c/0 .2 6 r / 2 " c/0 .2 6 ^ in fe rio r T ra n sv e rsa l <f>K" c/0.26 <t>^H c/0.13 A s = 0 .0 0 2 0 * 1 .00*0.15 = 0 .0 0 0 3 m 2/m = 17.81 k N 2 0 .0 0 0 9 8 2 m :/m As - <i>vc= 1.44V d R b == 17.81 kN j 15.48 15.48 I 2 2 .2 9 2 2 .2 9 j 70.23 70.23 |vu<4>vc VU<(|)VC (j) % " c/0.235 El resultado o b te n id o p a ra la fu e rza d e co rte es n o rm al en e stas lo sas a las N o ta s a) 1 - 0 .0 0 8 1 8 2 P < j)S u p e r io r p o r m e tro de an ch o ). 9 .5 0 * 3 .7 5 ' wt (á re a d e la b a rra /á re a d e re fu e rz o re q u e rid o cuales, p o r lo g e n e ra l, n o se les c o lo c a re fu e rz o p o r este c o n c ep to . E stas S eg ú n el R e g la m e n to , el área m ín im a d el re fu e rz o en la d ire c c ió n de la losas son e x c e p c ió n al re q u isito del R e g la m e n to d e c o lo c a c ió n d e un lu z refuerzo m ín im o d e c o rta n te d o n d e la fu e rz a c o rta n te m a y o ra d a V u sea d eb e se r la q u e se re q u ie ra p a ra re tra c c ió n y v a ria c ió n de te m p e ra tu ra ; sin e m b arg o , el e s p a c ia m ie n to m á x im o d e las b arras de re fu e rz o n o h a d e e x c e d e r d el m e n o r d e tre s v ec es el e s p e s o r d e la losa n i d e 4 5 0 m m . C u an d o se trate d e re fu e rz o re a lm e n te co lo c a d o para mayor que la m ita d d e la re s is te n c ia s u m in istra d a p o r el co n creto . En la F igura 5.4 se m u e s tra el re fu e rz o p a ra esta losa. e fecto s d e re tra c c ió n y te m p e ra tu ra , la se p a ra c ió n d e las b arras de re fu e rz o n o d eb e e x c e d e r d e c in c o v ec es el e sp e so r d e la losa, m a n te n ie n d o ta m b ié n el m á x im o de 4 5 0 m m . 230 231 Estructuras de C oncreto I C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección Escaleras Uno de los elem e n to s e stru c tu ra le s m ás fre c u e n te s so n las esc a le ra s d e l tip o de losa sim p le m e n te a p o y a d a , las cu a le s se c a lc u la n co m o la lo sa m a c iz a CARGA anterior co n u n a lu z d e c á lc u lo c o rre sp o n d ie n te a la p ro y e c c ió n h o riz o n ta l entre apoyos. A c o n tin u a c ió n u n e je m p lo d e este tip o d e escalera. P r o b le m a 5 .2 Diseñar u n a esc a le ra d e do s tra m o s in c lin a d o s y u n d e sc a n so d el tip o d e lo sa maciza in ferio r s im p le m e n te a p o y a d a, típ ic a d e u n ed ific io de a ltu ra d e p iso a piso term in ad o de 3 .5 0 m (a ltu ra lib re e n tre p iso s d e 2 .9 0 m , e s p e s o r de losas de en tre p iso d e 0 .5 0 m y h o lg u ra p a ra a c a b a d o s d e 0 .1 0 m ) y dim ensiones en p la n ta tal co m o a p a re c e en la fig u ra 5.9 si se u tiliz a c o n c re to de f c' = 2 1 .1 M P a, a c e ro p a ra f s = 1 7 0 M P a y n = 9 .3 . Antes de p ro c e d e r al d iseñ o , c a b e c o m e n ta r q u e las d im e n sio n e s m ás usuales p ara las a ltu ra s o c o n tra h u e lla s y las h u e lla s o p a so s e m p le a d o s p o r nuestros a rq u ite cto s en la a c tu a lid a d so n 0 .1 7 5 m en fu n c ió n d e la c o m o d id a d de la escalera y u n m ín im o de 0 .2 8 m se g ú n el R e g la m e n to c o lo m b ia n o respectivam ente. P o r o tra p arte , el d ise ñ o de las e sc alera s d e este tip o se basa en la c o n sid e ra c ió n co m o lu z d e c á lc u lo la q u e c o rre sp o n d e a la proyección h o riz o n ta l e n tre ap o y o s. $ 3 / 8 c / 0 .2 3 5 |í 7 i m m « i i i / i » n n u i u i » i i i H ^ ♦ l / 2 c / 0 . 1 3 (SON 621 0 .1 2 5 8.00 20í>3/8L =8.20(12(¡> 3/8C /0.235) ^ 3 — ± 0 .1 2 5 Figura 5.4 Figura 5.5 232 233 C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección E structuras de C oncreto I S e u tiliz a n , en este e jem p lo , las d im e n sio n e s u su a le s an tes enunciadasre sp e c to d el e sp e s o r d e la lo sa m a c iz a in fe rio r se p re d im e n sio n a : t _ A 02 _ o 20 Descanso: 0 .2 0 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 4 peso p ro p io losa: m = 4 .8 0 k N /m 2 De acab ad o su p erio r 20 0 .0 4 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 = 0 .8 8 k N /m 2 en granito: E n c u a n to a la p en d ien te : De afin ad o in fe rio r en 0 .0 2 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 = 0 .4 4 k N /m 2 pañete: tan a = ^iL Z £ = 0 .6 2 5 0.28 .\a ~ 3 2 ° Subtotal (carga m uerta): = 6 .1 2 k N /m 2 C on e stas d im e n sio n e s y p e n d ie n te se a n a liz a n las ca rg a s en k N p o r m 2 de C arga v iv a (se c o n sid e ra área en p ro y e c c ió n h o rizo n ta l: tam bién, su fic ie n te p a ra e ste caso): = 3 .0 0 k N /m 2 Total: = 9 .1 2 k N /m ' T r a m o in c lin a d o : P eso p ro p io losa: (0 .2 0 * 1 .0 0 * 1 .00*24)/cos<x = 5.66kN /m 2 D e p e ld a ñ o s: E1 diagram a d e ca rg a s e n p ro y e c c ió n h o riz o n ta l p o r m e tro d e an c h o será: (0 .1 7 5 * 0 .2 8 /2 * 1.0 0 * 2 4 )/0 .2 8 = 2.10kN /m 2 D e ac a b a d o en g ra n ito p a ra los p e ld a ñ o s (0.28 h o riz o n ta l o en p ro y e c c ió n y 0 .1 7 5 v ertic al o ad icio n a l): 0 .0 4 * (0 .175 + 0 .2 8 ) /0 .2 8 * l.0 0 * 2 2 = 1.43kN/m 2 D e a fin a d o in fe rio r en p a ñ e te :(0 .0 2 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 )/c o s a = 0 .5 2 k N /n f S u b to ta l (c arg a m u erta ): - Figura 5.6 9.71 kN/m" Reacciones: C a rg a v iv a (se c o n sid e ra su fic ie n te p a ra este caso): = 3.00kN /m T o tal: = 2.71 kN /m 2 234 R A = )< * 9 .1 2 * 4 .0 2 + 3 .5 9 * 2 .5 2 * 2 .7 6 /4 .0 2 = 2 4 .5 4 k N R B = > í * 9 .1 2 * 4 .0 2 + 3 .5 9 * 2 .5 2 * 1 .2 6 /4 .0 2 = 2 1 .1 7 k N M omento m áx im o M (+ )m á x = R A o , d o n d e x 0 = R a/12.71 = 1.93 m C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección E structuras de C oncreto I P o r lo ta n to M (+ ) m á x = 2 3 .6 8 k N -m /m D iseñ o : p = 0 .0 0 5 2 9 4 - A s = 0 .0 0 0 9 0 0 m 2/m ~ 9 0 0 m m 2/m A rm a d u ra tra n sv e rsa l: p a ra a c ero c o rru g a d o d e a lta re s is te n c ia se obtiene: A s= 0 .0 0 1 8 * 1 .0 0 * 0 .2 0 = 0 .0 0 0 3 6 m 2/m - 3 6 0 m m 2/m R e su m e n d e la arm ad u ra: ® (jjsuperior ® <\>y2" \ c /0 .2 8 <S>y2" !c/o.28 En la figura 5.9 se v e el d eta lle d el re fu e rz o d e esta escalera. (^inferior $ y 2n \ c/0 .2 8 <t) / 2" c/0 .1 4 <|>X"iC/0.28 <j)%" c/0 .1 9 (^transversal Losas N e r v a d a s Al aum entar la luz, las lo sas m a c iz a s re su lta n d e g ra n d e s e sp e so re s, c o n u n considerable a u m e n to en el p e so d el ed ific io , ad e m á s d e u n a sec c ió n C o rtan te: V d (kN ) transversal m u y p o c o u tiliz a d a c o n s titu id a p o r el á rea de c o n c re to a | 2 2 .3 8 19.62| compresión y el á rea d e las b a rra s d e re fu e rz o a tra c c ió n . Se p re s e n ta entonces, com o a lte rn a tiv a , la so lu c ió n c o n lo sa a lig e ra d a o co n n e rv a d u ra s, V u = 1 .5 * V d i 3 3 .5 7 29.4 3 | *V C(kN ) ! 9 9 .4 9 99.49! concentrando el re fu e rz o a tra c c ió n en lo s n e rv io s y elim in a n d o b u e n a p a rte del concreto a tra c c ió n que no se c o n sid e re e stá tic a m e n te ú til, reem plazándolo p o r u n a lig e ra m ie n to en b lo q u e d e co n c reto , p o lie stire n o , escoria, can astó n d e g u a d u a re c u b ie rto c o n u n a p e líc u la d e p o lie tile n o o lona o sim plem ente u tiliz a n d o u n a fo rm a le ta re m o v ib le q u e d eja los n e rv io s o las N o ta viguetas a la vista. El tra m o d e e sc a le ra d el d e sc a n so al sig u ie n te p iso tie n e la m ism a luz en p ro y e c c ió n h o riz o n ta l y p o r lo tan to el m ism o d ise ñ o y arm a d u ra. Figura 5.8 236 237 C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección E structuras de C oncreto I La losa alig erad a en u n a d ire c c ió n c o n siste, p o r c o n sig u ie n te , en la com binación p re fa b ric a d a o fu n d id a en el sitio de n e rv a d u ra s o v ig u etas esp a c ia d a s re g u la rm e n te y u n a lo se ta su p e rio r q u e ta m b ié n a c tú a e n u n a dirección co n alg u n as e sp e c ific a c io n e s p ro p ia s d el siste m a o b te n id a s en el Reglamento N S R -1 0 y q u e a c o n tin u a c ió n se co m en tan : Los nerv io s o v ig u e ta s n o d e b e n te n e r u n an c h o in fe rio r a 100 m m en la parte su p erio r c o n u n an c h o p ro m e d io n o in fe rio r d e 80 m m . S u a ltu ra libre no d eb e se r m a y o r d e 5 v e c e s el e s p e s o r p ro m e d io d el n e rv io o vigueta. La loseta su p erio r, p a ra el c a so d e fu n d id a en el sitio , d eb e te n e r m ás de 45 m m de esp e so r, p e ro n o m e n o s d e /20 d e la d ista n c ia lib re en tre nervios y d eb e e sta r p ro v is ta co m o m ín im o d el re fu e rz o d e re p a rtic ió n y tem p eratu ra c o rre sp o n d ie n te , co lo c a d o en án g u lo re cto c o n las viguetas. E n el caso en q u e se u tilic e n b lo q u es d e a lig e ra m ie n to perm anentes d e c o n c re to o d e a rc illa c o c id a o lo setas p re fa b ric a d a s , la loseta fu n d id a en el sitio p u e d e te n e r 4 0 m m . E n fo rm a m u y g e n e ra l se recom ienda p a ra esta lo se ta u n e sp e so r m ín im o d e 50 m m . La sep aració n m á x im a e n tre n e rv io s o v ig u e ta s m e d id a ce n tro a c e n tro , no debe ser m a y o r d e 2.5 v ec es el esp e so r to ta l d e la lo sa sin e x c e d e r de 1.20 m . El re cu b rim ien to m ín im o d el re fu e rz o será de 2 0 m m y la d ista n c ia libre en tre b a rra s p a ra le la s será d e 25 m m , p o r lo q u e la a rm a d u ra d- m áxim a p a ra u n a v ig u e ta de 0 .1 0 m d e an c h o es d e 2 b a rra s N o . 5 (2 4>X"). Se d eb en c o lo c a r v ig u etas tra n sv e rsa le s d e re p a rtic ió n e n sen tid o ortogonal a las de d iseñ o , c o n v e n ie n te m e n te d istrib u id a s p a ra arrio stram ien to d e la lo sa en este sen tid o , e sp e c ia lm e n te en el c a so de F igu ra 5.9 238 alig eram ien to flex ib le, c o n u n a se p a ra c ió n lib re m á x im a d e 239 10 v ec es el C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección E structuras de C oncreto I es p e so r to ta l d e la lo sa, sin e x c e d e r d e 4 m . E n el c a so de utili2ar Momentos negativos c a n a stó n d e g u a d u a se su g ie re u n e s p a c ia m ie n to d e e stas vigueta^ Cara exterior del p rim er apoyo interior: lla m a d a s ta m b ié n rio stra s, n o m a y o r d e 3m , fa c ilitá n d o se así Ja o 2 D os luces: p re fa b ric a c ió n y m a n e jo d e este m a te ria l. .......................................................................................... .yy u 9 F in a lm e n te , en c u a n to a su an á lisis y d ise ñ o p a ra ca rg as v erticales, dice M ás d e d o s lu ces: ........................................................................... w u 10 el R e g la m e n to N S R -1 0 q u e las lo sas q u e tra b a ja n en u n a dirección, m a c iz a s o a lig e ra d a s, c o n s tru id a s m o n o lític a m e n te c o n sus apoyos, Apoyos interiores: .................................................................... w u 11 p u e d e n a n a liz a rse y d ise ñ a rse c o m o lo sas c o n tin u a s so b re apoyos sim p le s c o n lu ces ig u a le s a las lu ces e n tre los ejes de las vigas o con Apoyos interiores de losas con luces m enores de lu c e s ig u ales a las lu c e s lib res si es q u e se p u e d e n o te n e r e n cuenta el 3.50 £ 2 m o elem entos que llegan a apoyos m uy ríg id o s:..... y y u 12 an c h o d e las v ig a s y su e fecto to rsio n a l. A g re g a ta m b ié n q u e en lugar d e este an á lisis d e ta lla d o se p u e d e u tiliz a r u n an á lisis ap ro x im ad o con Apoyo exterior de elem entos construidos integralm ente con sus apoyos: los sig u ie n te s m o m e n to s y c o rta n te s, sie m p re y c u a n d o se cum plan los A poyados sobre una viga: ........................................................ w sig u ie n te s re q u isito s: u 24 a. b. H a y a dos o m á s luces; e n tre dos lu c e s a d y a c e n te s n o se a m ás d el c. d. A poyados sobre una colum na:...................................................w L as lu c e s se a n a p ro x im a d a m e n te ig u a le s y la d ife re n c ia máxima 20 u 16 Cortante % d e la m en o r; £ L as ca rg a s sean u n ifo rm e m e n te re p a rtid a s; L uces fin ale s c a ra del p rim e r a p o y o :............................ L a c a rg a v iv a u n ita ria n o e x c e d a d e tre s v e c e s la c a rg a muerta 1 .1 5 * w u — 2 u n ita ria ; y e. £ O tros a p o y o s :........................................................................................ L o s e le m e n to s sean p rism á tic o s. yy — ¡l u 2 donde: M o m e n to s p o sitiv o s ¿n = L u c e s ex terio res: f n2 A p o y o e x te rio r n o re s trin g id o :....................................................... w u — lo n g itu d d e la lu z lib re en la d ire c c ió n e n la cu a l se d e te rm in a n los m o m en to s, m e d id a ca ra a ca ra d e lo s ap o y o s. La luz que se u tiliz a en el c á lc u lo d e los m o m e n to s n e g a tiv o s d e b e se r el A p o y o e x te rio r c o n stru id o in te g ra lm e n te ^ 2 f n2 co n el ele m e n to d e s o p o rte :............................................................. w u - L u ce s in te rio re s :..................................................................................... w u lo 240 promedio de las lu ces a d y a cen tes. C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección Estructuras de C oncreto I E s o p in ió n d el a u to r q u e la u tiliz a c ió n d e los an te rio re s m om entos y Carga viva: — 2 .0 0 k N /m “ Total: = 7 .4 6 k N /m 2 c o rta n te s a p ro x im a d o s en los e le m e n to s e stru c tu ra le s q u e cum plan |as c o n d ic io n e s p ro p u e sta s, c o rre sp o n d e a u n c rite rio d e c o m p a ra c ió n y límite co n re sp e c to a u n d ise ñ o p o r u n m é to d o m ás e x a c to d e análisis. \ c o n tin u a c ió n , u n m o d e lo d e a n á lisis y d ise ñ o d e lo sa n e rv a d a para cargas v e rtic a le s. Carga p o r v ig u eta = 7 .4 6 * 1 .2 0 = 8 .9 5 k N /m l os m om entos y c o rta n te s a p ro x im a d o s son: P r o b le m a 5.3 P re d im e n sio n a r y d ise ñ a r la lo sa n e rv a d a d e tre s lu ces de 8 .0 0 , 8.50 y 8.00 / 2 7 5752 M, = M 4 = w —^ = 8.95 * —-------- = 2 1 .4 0 kN -m Ml 24 24 m e tro s re sp e c tiv a m e n te , e sp e s o r d e 5 0 0 m m y a lig e ra d a co n canastones de p o lie stire n o (ic o p o r) re m o v ió le p a ra u n a se p a ra c ió n a p ro x im a d a d e nervios de 1.20 w p a rtic io n e s fijas d e m a m p o ste ria p a ra u n a c a rg a v a lo ra d a , se g ú n proyecto, i 2 7 792 ^ - = 8 .9 5 - l i l i - = 54.31 kN -m 10 m , q u e se c o n stru irá c o m o a d ic ió n a u n ed ific io d e o ficin a s, según el d e ta lle ad ju n to en la fig u ra 5.11. L a lo sa d e b e so p o rta r u n p iso de vinilo y en 2 .0 = 10 Mluz 1-2 = Mluz 3-4 = k N /m 2. L o s m a te ria le s son c o n c re to de fc = 2 1 . 1 M P a y acero con t 2 W i 2 = 8 .95 * 7 5752 = 3 6 .6 8 kN -m 8002 fy = 4 2 0 M P a en to d o s los d iám etro s. MiU7 7.3 = w — = 8 .9 5 * —------- = 3 5 .8 0 kN -m 16 16 S o lu c ió n 1 7575 v 1-d = v 4 - , - w * — = 8 .9 5 * —-2— = 3 3 .9 0 k N 2 A p a rtir d e la d is trib u c ió n e stru c tu ra l p re v ista se g ú n el d etalle anexo, se c a lc u la ro n a p ro x im a d a m e n te las ca rg a s v e rtic a le s y se a n a liz ó y diseñó u tiliz a n d o los m o m e n to s y c o rta n te s a p ro x im a d o s d el R eg lam en to . A c o n tin u a c ió n , se u s ó u n m é to d o m ás e x a c to d e an á lisis m a n te n ie n d o las m is m a s c a rg a s a p ro x im a d a s de la p re d im e n sió n , a fin de V: _d = V3_. = w * - ^ = 8.95 * — 2 comparar re su ltad o s. = 3 5 .8 0 kN 2 A sum iendo c o m o n e c e sa rio el c o e fic ie n te d e c a rg a d e 1.4 p a ra carg a C argas: m uerta y P eso p ro p io lo seta de re c u b rim ie n to : 0 .0 6 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 4 = 1.4 4 k N /n f V ig u etas: t 7575 V , : = V , , = 1 .1 5 * w * -s - = l . 1 5 * 8 .9 5 * = 3 8 .9 8 kN 2-t 2 2 1.6 p a ra c a rg a v iv a w u= 1 .4 * 5 .4 6 + 1 .6 * 2 .0 0 = 10.84 (0 .1 2 * 0 .4 4 * 1 .0 0 * 2 4 )/1 .20 = 1.06kN /m 2 P iso y a listad o : 0 .0 3 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 = 0.66kN /m 2 P eso p ro p io d el c ielo raso d e sc o lg a d o = 0.30kN /m P a rtic io n e s fijas d e m a m p o ste ria : = 2.00kN /m ' S u b to ta l (c arg a m u erta ): = 5.46kN /m 2 : U = 1 0 . 8 4 / 7 . 4 6 = 1.45 F de S a la fle x ió n = 1.45 / 0 .9 0 = 1.61 F de S al c o rta n te = 1.45 / 0.75 = 1.93 Estructuras de C oncreto I C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección cP M (k N -m ) = cP 9 2 1 .4 0 36.68 (t>Mn= 1 .4 5 M 31.03 5 3 .1 9 54.31 lo se ta su p erio r o d e re c u b rim ie n to se a rm a rá p e rp e n d ic u la rm e n te a las 3 3 5 .8 0 54 31 36.68 51.91 78.75 5 3.19 tas sig u ien d o la e s p e c ific a c ió n ' m p e ra tu ra. 9 u e Para e s te t ^ P ° 21.40: de re tra c c ió n de fra g u a d o y re fu erzo d e fy = 4 2 0 M P a re s u lta de 0 0 ig * i* 0 .0 6 = 0 .0 0 0 1 0 8 m 2/m , lo cu a l s ig n ific a <|>X"c/0.25 m y a q u e la 78.75 0.003219 0.005691 P = 0.005545 0.008763 0.008763 a ra c ió n m áx im a n o d e b e se r m a y o r de 5 v ec es el e s p e s o r d e la lo seta 21.03; (0 ?5 ni) ó 0.45 m . P a ra e ste c a so p u e d e se r d e u tilid a d el e m p le o d e u n a 0.00569 1 0.0032l9¡ malla electro so ld ad a c o n A s = 0 .0 0 0 1 0 8 m 2/m ó la re fe re n c ia c o m e rc ia l A s ( m m 2) = 182 313 494 321 (j) s u p e r i o r 24) 4<M X' 182 321 \*y¿ 2c(*%' N otas . i<t| Yi + _ (j) in ferio r: (1 + 1) _ i*y2' + 0 i) ♦ /í aproximada p o r exceso . 1 Se destaca q u e en las lu c e s se tie n e n v ig u e ta s “T ” d e 1 .2 0 x 0 .5 0 m -estru ctu ralm en te 14-V i + _ ■«♦X* 3 3 .9 0 38.98| 3 5 .8 0 35.80j 38.98 1 .0 8 x 0 .5 0 33.90 v d= 2 9 .6 9 34.77, 3 1 .5 9 3 1 .5 ^ 3 4 .7 7 29.69 V u = 1 .4 5 V d 4 3.05 50.42145.81 45.81 5 0 .4 2 43.05 .-. 5 3 .1 9 = 0 .9 * p * 4 2 0 0 0 0 * P >ü 33.01j 33.01 33.01 33.01 <t>v s = 10.04 17.4 lj 12.80 12.80 17.41 10.04| S (m ) = 1.24 1.62! 1.46 1.46 1.62 1.24 E strib o s: 7 #2 c/0.23 ii 33.01 8 #2 c/0.23 9#2 c/0.23 D o n d e e x is ta re fu e rz o su p e rio r d e b e n c o lo c a rs e e strib o s co n stru c ció n . - y en lo s ap o y o s * U j2 bd l-0 .5 9 * p l 420 x * 1 .0 8 * 0 .4 7 21.1, p = 0 .0 0 0 5 9 4 - A s = 0 .0 0 0 5 9 4 * 1 .0 8 * 0 .4 7 33.01 A s = 0 .0 0 0 3 0 2 m 2 ~ 302 m m 2 i 7 #2 c/0.23! c /0 .3 0 por Este re fu erz o es el re q u e rid o p o r an á lisis sin c o m p a ra r co n el m ín im o . Para esta cu an tía: p f v , 0 .0 0 0 5 9 4 * 4 2 0 . . . . . . ,. , , a = ----- — d = ----------------------- * 0 .4 7 = 0 .0 0 6 5 m y la p ro fu n d id a d 0 8 5 f' 0 .8 5 * 2 1 .1 A , c d el eje n eu tro : 0 .0 0 6 5 * 1 .1 8 = 0 .0 0 8 m < t = 0 .0 6 m Por lo tan to el d ise ñ o a n te rio r p re se n ta d o p u e d e se r ac ep tab le. 244 v ig u e ta s y 2 com o “ T ” , resu lta: 4)Mn =<|>*pfy * l - 0 . 5 9 p fy fc / V 9 #2 c/0 .2 3 18 #2 c/0.23 m rectangulares d e 0 .1 2 x 0 .50. P o r e je m p lo , al d ise ñ a r la lu z e n tre a p o y o s >4>%' 1 V (k N ) = de E structuras de C oncreto I Support A d ic io n a lm e n te p a ra c o lo c a r 3 0 2 m m 2 se u s a la m ism a armadura Span (m) Axis u tiliz a d a a n te rio rm e n te c u a n d o se h iz o la c o n s id e ra c ió n aproxim ada de 2. sec c ió n re c ta n g u la r d e 0 .1 2 x 0 .5 0 m : l(j)l/2 " + l(j) 5 /8 " , p o r lo que Se 1-2 8.00 p u e d e a c e p ta r co m o v á lid a a q u e lla su p o sició n . 2-3 8.50 3-4 8.00 P a ra los p e q u e ñ o s v a lo re s o b te n id o s d e <|>Vs se d eb e c o lo c a r estribos a u n a se p a ra c ió n m á x im a d e d/2 = 0.23 m o la co rresp o n d ien te al ¡lODE Ax i s DATA Floor Axis X Floor X Y re fu e rz o m ín im o d e c o rta n te, la m e n o r d e las dos. E stas losas son e x c e p c ió n d el R e g la m e n to d e c o lo c a c ió n d e re fu e rz o a la fuerza c o rta n te d o n d e Vu sea m a y o r q u e la m ita d d e la re siste n c ia suministrada A-l A-3 0.00 0.00 0.00 A-2 1 0.00 8.00 0.00 0.00 16.50 0.00 A-4 1 0.00 24.50 0.00 MATERIALS p o r el co n c re to <|>VC. Number o f m a t e r i a l s 3. E n los a p o y o s d o n d e n o sea n e c e sa rio c o lo c a r re fu e rz o a la fuerza co rta n te, se re c o m ie n d a colocar<j) 1/4 " c a d a d / 2 ó a la separación = REINFORCED CONCRETE Hat Ñame ca lc u la d a p a ra c u m p lir la c u a n tía m ín im a tra n sv e rsa l, la m e n o r de las f ys2 f ysl E f 'c (MPa) (MPa) (MPa; (MPa) (MPa) (MPa) 21.1 420 420 420 21600 8640 12 13 (mm4) j (mm4) 7.20E+07 2 . 44E +08 fy ( N/ m3 ) d o s, en u n a d ista n c ia m e d id a d e sd e el b o rd e d e l a p o y o h a c ia el centro de la lu z co m o m ín im o ig u al a la a ltu ra ú til d el elem e n to . En las 1 RConcretel estru c tu ra s d e c a p a c id a d d e d is ip a c ió n d e e n e rg ía m o d e ra d a (D M O ) y member e sp e c ia l (D E S ), se re c o m ie n d a la c o lo c a c ió n d e e sto s e strib o s en una Total number o f d ista n c ia d e d o s v e c e s la a ltu ra ú til. BEAM A c o n tin u a c ió n se in c lu y e n el an á lisis d e ta lla d o y el d ise ñ o d e la losa n e rv a d a an terio r, se g ú n el d ia g ra m a e stru c tu ra l y c a rg a uniforme d a t a beams = 3 S E C T I O N S Number o f p r i s m a t i c Sec Ñame 24000.0 Shape a p ro x im a d a a d ju n ta , u tiliz a n d o u n p ro g ra m a d e an á lisis (R C B E 8.0) y b (mm) sections h (mm) d ise ñ o p o r el m é to d o d e la re s is te n c ia ú ltim a , c o n los m ism o s m ateriales y 1 Beaml R e c t a n g 120 500 fa c to re s d e se g u rid a d e m p le a d o s en la p re d im e n sió n a fin de efectuar BEAMS tw (mm) = 1 tf (mm) - P1 (mm) - P2 (mm)i A (mm2 ) (mm4) 60000 1.25E+09 co m p a ra c ió n : Beam Floor GENERAL I NPUT DATA S tru ctu re type: C ontinuous Beam Number o f s p a n s .................. = 3 Beam t o t a l 246 length. = 24.50 (m) L C Sec Mat (m) Lu (m) (m) - - - 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1 1 1 1 1 G&L : G&L 1 1 8.00 8.00 A(2-3) 8.50 8.50 A (3—4) : 8.00 8.00 A(l-2) AXES INFORMATION a (m) 247 System G&L C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección E structuras de C oncreto I G R O U N D T otal S U P P O R T number o f ground D A T A supports K = 4 = Spring C haracteristics Valué = K constant(KN/mm) for Degrees Uz Type Uy 1 Fixed C C 2 Hinge C C 3 Hinge C C 4 Fixed C C Support A ll Dash = f r e e o f Fr e e dom C = constrained TetX F ig u ra 5.10 Linear A n a l y s i s - L 0 A D S T otal KN, number of load cases LOAD CASE 1 : OTHER LOAD CASE 2 : 1 . 4 5 (OT) = KN-m 2 (OT) Beam Number o f nodal Number o f beam Beam L o a d s G: G lobal U nits = ....= M: M o m e n t Force/M om ent Force/M om ent (1, 2, 3) if = D istrib u ted C oncentrated D istrib u ted referred System referred to = L, global or (X, to local Z) (KN), Forcé/ C oncentrated if A (1-2) A (2-3) A (3-4) Floor 1 1 1 X/L = 1 .0 Load = G A(2-3) Sys Axis F G Z F G Z F G Z 248 A/L 0.00 0.00 0.00 1 2 (KN-m) B/L 1.00 1 . 00 1.00 1 ( KN- m/ m) Moment C lass 1 2 A( 3 - 4 ) Beam X/L = 0 . 0 J (X,Y,Z) System Moment: Moment: 1 c o o r d i n a t e s (1,2,3) coordinates Y, F o r c é : (KN/m ), D i s t r i b u t e d Forcé: I END 0 A(l-2) Forcé Local Floor END M 2 ( + ) max M2 X/L 0.0 0.0 0.0 0.0 22.8 0.5 33.1 0.5 0.0 0.0 0.0 0.0 28.9 0.5 41.9 0.5 22.8 0.5 33.1 0.5 Axl Shr2 Shr3 Torque M2 M3 Axl Shr2 Shr3 Torque M2 M3 -45.7 = 3 (DL) C lass = F: S y s t e m = L: A xis loads loads Beam E n d F o r c e s Wi Wj 8.95 8.95 8.95 8.95 8.95 8.95 1 i 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -35.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -38.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 36.6 -50.8 53.1 38.0 -55.1 55.1 -36.6 35.0 -53.1 50.8 249 0.0 0.0 0.0 0.0 -75.3 0.0 0.0 0.0 0.0 -51.9 -75.3 -75.3 0.0 0.0 0.0 0.0 -51.9 -66.3 -51.9 -51. 9 -45.7 -75.3 -66.3 0.0 0.0 0.0 0.0 E structuras de C oncreto I DI SEÑO VTA PROB 5 - 3 MPa - U = 1 . 4 5 - C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección b = 1 2 0 mm - h = 5 0 0 mm = f y l = 4 2 0 MPa - fyt=240 2 La reiterad a re fe re n c ia q u e se h a c e a “ las ca rg a s a p ro x im a d a s d e la p red im en sió n ” se d e b e p rin c ip a lm e n te a d o s asp ecto s: 9 M (kN) 45.7 9 51. 9 5 1 . 9 22.8 a) El p e s ° p ro p io d e Ia l ° sa> el c u a l en el d ise ñ o d e fin itiv o d eb e 5 1 . 9 151.9 28.9 22.8 45.7, 33.1 6 6 .3, | <J)Mn (kN-m) 66.3 Ast (mm2) 7 5 . 3 175.3 41. 9 0.00833 0.00833 470 470 0.00723 p( - ) 75.3 75.3 33.1 0. 008331 0 . 0 0 8 3 3 4 7 0 ¡ 470 calcu larse te n ie n d o en c u e n ta el p e so d e las v ig a s y de las v ig u e ta s de repartición, o b te n ie n d o el v o lu m e n to tal d e la lo sa y d e sc o n tá n d o le el peso de los a lig e ra m ie n to s; 0 . 00723, b) La carga c o rre sp o n d ie n te a lo s m u ro s d iv iso rio s, la cu al se d eb e I (^superior l(j)5/8 + l(J)3/4 1 (J)5/ 8 -f l<t>3 / 4 l<i>5/8n<t>3/4 calcu lar a p a rtir d e la c u b ic a c ió n d e lo s m ism o s, se g ú n su d istrib u c ió n 1 <J)5/ 8 + y tipo de m a te ria l e sp e c ific a d o s en el p ro y e c to arq u ite c tó n ic o . S in Ast (mm2) ¿in ferio r Vd (kN) l<t>l/2__ 1 4 ) 3 / 8 + ___(l<í)l¡/2_____ 2<J)l/2 1 <t>l / 2 +1 <t>l|/2) 29.2 Vu (kN) 42.3 Ve (kN/m2) 33 30.2 43.8 33 31.6 45.8 9.3 10.8 11. 8 S 1.19 1.30 1.38 em bargo, el R e g la m e n to c o lo m b ia n o e s p e c ific a q u e se p u e d e u tiliz a r I ( l<j>l/[2___ 14)3/8+___ 14)1/2 ! + 1 4>1 /{2 ) 31.6 45.8 33 33 ¿Vs(kN/m2) (m) 0.00344 194 0.00441 249 0.00344 194 p( + ) 14)1 / 2 30.2 43.8 33 11. 8 10.8 1.38 1.30 i d 7e<j>l/4c/0 . 2 3 i d 7e<}>l/4c/0.23 7e<j)l/4c/0 . 2 3 E stribos ESTRIBOS CONSTRUCTIVOS ¿ 1 / 4 C / 0 . 3 0 HASTA DONDE EXISTA REFUERZO SUPERIOR 29.2! | 42 . 3 ¡ com o c a rg a d is trib u id a en las lo sas u n m ín im o de 2 k N /m 2 p a ra m u ro s-p articio n es fijo s d e m a n ip o stería. Para efectos so lam en te ilu stra tiv o s, se d ise ñ a a c o n tin u a c ió n la v ig a V 2 d e la planta estru ctu ral c o rre sp o n d ie n te al p ro b le m a 5 -3 , c o n s id e rá n d o la so m e tid a 11 331i aislado de los p iso s a d y a c e n te s su p e rio r e in ferio r, co n e m p o tra m ie n to en 9 -3j los extrem os le ja n o s d e las c o lu m n as. E ste p ro c e d im ie n to , a d e m á s de solamente a carg as g ra v ita c io n a le s y a n a liz á n d o la co m o u n p ó rtic o d e p iso ilustrar al le c to r s o b re los tem as a n te rio rm e n te tra ta d o s, p u e d e lle g a r a 1.19 1 íd¡ considerarse a p ro p ia d o en el p ro c e so d e d im e n sio n a m ie n to p re lim in a r d e u n proyecto. Problem a 5 -4 N o ta s : Diseñar la v ig a V -2 (0 .5 0 x 0 .5 0 ) de la p la n ta estru c tu ra l c o rre sp o n d ie n te al 1. L a d ife re n c ia d e a rm a d u ra en el re fu e rz o su p e rio r en los a p o y o s 1 y 4 se problema an terio r, p a ra c a rg a s ú n ic a m e n te g ra v ita c io n a le s y lo s m ism o s d e b e a la c o n sid e ra c ió n d e e m p o tra m ie n to u tiliz a d a en la versión materiales y fa c to re s d e c a rg a y se g u rid a d em p lea d o s en ese p ro b lem a . a n a liz a d a en c o m p a ra c ió n co n el s e m i-e m p o tra m ie n to correspondiente al m éto d o de los m o m e n to s y co rta n te s a p ro x im a d o s d el Reglamento. E sta situ a c ió n se re fle ja e n to n c e s en los re fu e rz o s p a ra flex ió n de las lu ces 1-2 y 3-4 y en los re fu e rz o s p o r e sfu e rz o co rtan te. 250 251 C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección Estructuras de C oncreto I © 0 - = Solución £1 análisis se re a liz ó co m o u n p ó rtic o d e p iso a isla d o u tiliz a n d o u n procesador au to m ático cu y o s d ato s d e e n tra d a c o rre sp o n d e n a la F ig u ra 5.12 y cuyos re su lta d o s se a n e x a ; el d ise ñ o se re a liz ó p o r el m é to d o d e la resistencia ú ltim a c o n fa c to re s d e c a rg a y s e g u rid a d allí en u n c ia d o s. S ¥ Para efectos d el an á lisis d e c a rg a s se u tiliz a las re a c c io n e s d e las v ig u e ta s obtenidas en la a lte rn a tiv a d e an á lisis e x p u e sta en el p ro b le m a a n te rio r y que, aplicadas co m o ca rg a s c o n c e n tra d a s c a d a 1.20 m se a sim ila ro n a c a rg a uniforme en k N /m . A c o n tin u a c ió n el e sq u e m a g e o m é tric o del p ó rtic o y los resultados an u n ciad o s: S|Vsfv* 5 [¿ ^ S Í 3 ? °3 v¡V S8V VMXsnnr 5C A A ¿Z sÍ - 6 8 .1 7 k N / m s i 0 .5 0 x 0 .5 0 A A -0 — 7 (0 9 0 » © F ig u ra 5.12 Cargas: 5 0 TOIOTIH — 3¿S 0V30OI y01.il = s Peso p ro p io d e la v ig a: 0 .5 0 * 0 .5 0 * 1.00*24 Losa alig erad a: 7 2 .6 0 -rl.2 0 6 .0 0 k N /m = 6 2 .1 7 k N /m = 6 8 .1 7 k N /m 0 w © La hipótesis n ú m ero 1 es la c o rre sp o n d ie n te a ca rg a s g ra v ita c io n a le s y la hipótesis n ú m ero Figura 5.11 252 factorizadas. 2 c o rre sp o n d e a la c o m b in a c ió n ca rg as g ra v ita c io n a le s C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección Estructuras de C oncreto I D ate: Time: 5-10-2010 Company: Engineer: Project: 3:27:11 JORGE SEGURA FRANCO Jo rg e I . Segura Franco E s t r u c t u r a s de C on creto R ectangular DATA ME M B E Plañe I - Problema T o t a l num ber o f members N u m b e r o f c o l u m n s ............... N u m b e r o f b e a m s .................... N u m b e r o f b r a c e s ................. 5-4 C O L U M N Frame S E C T I O N S Number o f p r i s m a t i c | AXES INFORMATION Sec Number o f Number o f Axis a x e s .................. sto rie s.... 2 2 = = Frame Frame to tal to tal 7 -44 (m) 7 . 0 0 (m) w id th .. height. H eight (m) Story Bay (m) sections = 1 | c o l u mn l Shape b (mm) h (mm) Rectang 500 350 tw (mm) tf (mm) A (mm2) - - 12 (mm4 ) 13 ( mm4 ) J ( mm4) 1 7 5 0 0 0 1 . 7 9 E + 0 9 3 . 65E+09 3. 99E+09 COLUMNS ground Col umn 3.50 7.44 ! Ñame Story L (m) Lu (m) a (m) 3.50 3.50 3.50 3.50 3.25 3.25 3.25 3.25 0.25 2 C Theta (m) (0) 0.00 90.0 90.0 90.0 90.0 Sec — Mat 1 1 1 1 “ System “ 3.50 DATA N O D E Axis Floor A-1 A-l A-1 1 2 3 X 0.00 0.00 0.00 Y z 0.00 0.00 0.00 3.50 7.00 Floor Axis 0.00 0.00 0.00 0.00 1 2 A-2 A-2 A-2 3 Y Z 7.44 7.44 7.44 0.00 X 3.50 7.00 M A T E R I A L S A-2 A-2 A-l A-l 2 1 2 1 BE AM = 0.25 0.00 0.25 0.00 0.25 Ñame Shape 1 1 1 1 1 1 G&L G&L G&L G&L S E C T I O N S Number o f p r i s m a t i c Sec Number o f m a t e r i a l s 0.00 Beaml R e c t a n g b (mm) h (mm) 500 500 tw (mm) - sections tf (mm) - A (mm2) = 1 12 (mm4) 13 (mm4) 250000 5.21E+09 5.21E+09 Sec Mat 1 1 J (mm4; 7.71E+09 REI NFORCED CONCRETE Mat 1 Ña me R C oncretel f'c (MPa) 21 fy (MPa) 420 f ysl (MPa) 420 f ys2 (MPa) 420 E (MPa) 21600 G (MPa) w (N/m3) BEAM Beam 8640 a 254 Floor C-2) 2 L Lu (m) (m) 7.44 7.09 a c (m) (m) 0.18 0.18 255 System G&L C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección E structuras de C oncreto I G R O U N D S U P P O R T LOAD D A T A combinations No T otal number o f ground supports = Load c o m b in a tio n 4 1 2 K = Spring OT 1.450T constant(KN/m m ) p-Delta A n a l y s i s - C h a r a c t e r i s t i c s f o r A l l D e g ree s o f Freedom Valué = K Dash = f r e e C = constrained Floor Type Uy Uz TetX Support 1 1 3 3 1 2 1 2 KN, KN m BOTTOM TOP C C C C C C C C C Fixed Fixed Fixed Fixed U nits: Column End F o r c e s c c c Col umn Stry Load A xial A xial Shear2 Shear2 Shear3 Shear3 Torque Torque Mom- 2 Mom- 2 1 -126.8 -126.8 -183. 9 -183.9 0.0 0.0 0.0 0.0 -54 . 6 -54 . 6 -79.2 -79.2 0.0 0.0 0.0 0.0 -115.3 62 .2 -167.2 90.2 126.8 126.8 183. 9 183. 9 0.0 0.0 0.0 0.0 -54 . 6 -54.6 -79.2 -79.2 0.0 0.0 0.0 0.0 - 6 2 .2 115.3 -90.2 167.2 -126.8 -126.8 -183.9 -183.9 0.0 0.0 0.0 0.0 54 . 6 54.6 79.2 79.2 0.0 0.0 0.0 0.0 115.3 -62.2 167.2 -90.2 0.0 0.0 0.0 126.8 126.8 183. 9 183.9 0.0 0.0 0.0 0.0 54 . 6 54 . 6 79.2 79.2 0.0 0.0 0.0 0.0 62.2 -115.3 90.2 -167.2 0.0 Mo m- 3 Mom- 3 L O A D S T otal number o f load cases h 12 1 = 2 2 LOAD CASE 1 : OTHER A-2 1 0 0 1 : 2 A-l 2 1 (OT) 2 C lass = F: F o r c é M: M o m e n t S y s t e m = L: L o c a l F o r c e / M o m e n t r e f e r r e d t o l o c a l c o o r d i n a t e s ( 1 , 2 , 3 ) G: G l o b a l F o r c e / M o m e n t r e f e r r e d t o g l o b a l c o o r d i n a t e s ( X , Y , Z ) A x i s = ( 1 , 2 , 3) i f S y s t e m = L , o r (X, Y, Z) i f S y s t e m = G U n i t s = D i s t r i b u t e d F o r c é : ( K N / m ) , D i s t r i b u t e d M o m e n t : ( KN- m/ m) C o n c e n t r a t e d F o r c é : ( K N ) , C o n c e n t r a t e d M o m e n t : (KN-m) D istributed Beam Floor Forcé/ C lass 0.0 0. 0 0.0 (OT) Number o f n o d a l l o a d s . . . . = Number o f c olum n l o a d s . . = N u m b e r o f b e a m l o a d s ............. = Beam L o a d s 0.0 A-l 1 1 2 Moment Sys A xis A/L B/L Wi Wj 257 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección Estructuras de C oncreto I P-D elta U nits: KN, A nalysis- A (1- Floor 2) 2 puntos de m o m e n to nulo: KN-m M = 2 4 1 .7 x - 68,12?X— 2 1 4 .6 = 0 END END Be a m Beam E n d F o r c e s I J M2 M2 Axl Axl Shr2 Shr2 Shr3 Shr3 Torque Torque 1 0.0 0.0 0.0 0.0 -241.7 241. 7 0.0 0.0 214.6 214.6 0 .0 0 .0 213 2 0.0 0.0 0.0 0.0 -350.5 350.5 0.0 0.0 311.2 311.2 0 .0 0 .0 303 Load P-D elta A nalysis- Support .'.x = 1.041 m y 6.0 5 1 m M 2 ( + ) ma x X/L = 0 . 0 X/L = 1 . 0 M3 M3 M2 xa .s •8 .5 R eactions 2 Axis Forcé Load Support Floor 1 1 2 i 1 3 2 3 Fx Fy 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 54.63 79.21 -54.63 -79.21 -54.63 -79.21 54 . 63 79.21 LdCase 1 2 1 2 1 2 I 2 Moment (KN) Fz 126.80 183.86 126.80 183.86 126.80 183.86 126.80 183.86 (KN-m) Mx My Mz 62 . 2 4 90.25 -62.24 -90.25 62 . 2 4 90 . 2 5 -62.24 -90.25 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 ^_________7 . 0 9 __________________ F ig u ra 5.13 A p a rtir d e las fu e rz a s in tern a s e n los e x tre m o s d e los e le m e n to s obtenem os los d ia g ra m a s de c o rte y flex ió n , d ise ñ a n d o p a ra los a p o y o s y la lu z así: Diseño de la lu z T rab ajan d o co m o v ig a re c ta n g u la r d e 0 .5 0 x 0 .5 0 m , co n “ d ” = 0.43 m: P u n to d e c o rte n u lo al b o rd e de la co lu m n a: <j>Mn = 1 .4 5 * 2 1 3 .7 = 3 0 9 .9 k N -m 2 4 L 7 = 3 .5 4 5 m x n = --------68.17 p = 0 .0 1 0 0 6 A rm adura: M o m e n to p o sitiv o m á x im o (x = x 0): .-. A s = 0 .0 1 0 0 6 * 0 .5 0 * 0 .4 3 = 0 .0 0 2 1 6 3 m 2~ 2 1 6 3 m m 2 2(j)l”+3(t)7/8” (2181 m m 2 ab ajo ). M(+)m áx = 213.70kN -m 258 259 C apítulo 5 Sistem a de Losas arm adas en una dirección Estructuras de C oncreto I T ra b a ja n d o co m o v ig a “ T ” , el m á x im o a n c h o d e a le ta co rresp o n d e a la A s = 0 .0 1 0 1 0 6 * 0 .5 0 * 0 .4 3 = 0 .0 0 2 1 7 3 m 2~ 2 1 7 3 m m 2 e sp e c ific a c ió n 16t + b ' = 16*0.06 + 0 .5 0 = 1.46 m . S u p o n ie n d o una viga A rm ad u ra: 2<j)l”+3<j)7/8” (2181 m m 2 arrib a). re c ta n g u la r d e 1.30 x 0 .5 0 b u sc a m o s la p o s ic ió n d e l e je n e u tro a p artir de: ( tA 2 C Esfuerzo co rta n te bd2 <t>Mn =<|>*pfy * l - 0 . 5 9 p - ' J Vd = 2 4 1 .7 -0 .4 3 * 6 8 .1 7 = 2 1 2 .3 9 k N R e em p laz an d o : V u = 1 .4 5 * 2 1 2 .3 9 = 3 0 7 .9 7 k N 3 0 9 .9 = 0 .9 * p * 4 2 0 0 0 0 * f 1 - 0 .5 9 p 42QQQQl * 1.46 * 0 .4 3 2 K ^ 21100 ) (t,Vc = 0.75 * 0 .1 7 * V 2 L 1 > 0 .5 0 * 0 .4 3 * 1 0 0 0 = 12 5 .8 2 k N / m 2 d e donde: . V u-(j)V c = 3 0 7 . 9 7 - 1 2 5 .8 2 = 1 8 2 .1 5 k N /m 2 p = 0 .0 0 3 1 5 D istancia to tal p a ra c o lo c a c ió n d e estrib o s: a = _ P ^ .d = 0 .8 5 fc' 0 QQ3 1 5 ! ^ * 0 . 4 3 = 0 .0 3 1 7 m 0 .8 5 * 2 1 .1 S = 0.43 + - ^ ^ ( 3 . 5 4 5 - 0 . 4 3 ) + ^ ^ 3 0 7 .9 7 v ’ 2 = 2.91 m L u e g o la p ro fu n d id a d d el eje n e u tro será k ud = 1.18a = 1.18*0.0317 = 0 .0 3 7 4 m < t (0 .0 6 m ) S ep aració n p a ra £(()% ": P o r lo ta n to es fa c tib le el d ise ñ o co m o v ig a re c ta n g u la r de 1.46 m d e ancho: s= 0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 7 1 * 4 2 0 0 0 0 * 0 .4 3 _ 1A^ . 1A = 0 .1 0 6 - 0 . 1 0 m 182.15 A s= 0 .0 0 3 1 7 * 1 .4 6 * 0 .4 3 = 0 .0 0 1 9 9 0 m 2 ~ 1990 m m 2 - 4<|>7/8”+l<|>l” (2 0 5 8 m m 2) E stribos: 13s(j)% " c /0 .1 0 + Se tie n e e n to n c e s u n a a rm a d u ra te ó ric a u n p o c o in fe rio r a la d e la viga c/0 .2 0 a p a rtir d el b o rd e e n ca d a apoyo. re c ta n g u la r in icial, a e s c o g e n c ia d el d iseñ ad o r. S ep aració n m á x im a p a ra este caso D ise ñ o d e los a p o y o s S ólo es p o sib le la o p c ió n d e v ig a re c ta n g u la r d e 0 .5 0 x 0 .5 0 m . d = O43 = 0.215 ó 2 2 4)Mn = 1 .4 5 * 2 1 4 .6 = 311.21 kN -m . \ p = 0 .0 1 0 1 0 6 260 261 Estructuras de C oncreto I A vf s= * 0 .3 5 b w 2*71*420 C ap ítu lo 5 S istem a de Losas a rm ad as en una dirección . . . . n _. = 3 4 0 .8 m m ~ 0 .3 4 m D etalle: 0 .3 5 * 5 0 0 E n la p a rte cen tral: £<)>%" c /0 .3 0 R e su m e n d el diseñ o : $ M (k N -m ) = 2 1 4 .6 2 1 3 .7 214.6' (J)M„ ( k N - m ) : 311.2 3 0 9 .9 311.2 ! P 0 .0 1 0 0 6 0 .0 0 3 1 7 O.OlOOó! (se c c ió n “ T ” ) 1990 A s (m m 2) = 2163 ^ su p e rio r: 2(j>r+3(l>7/8_____ ^ in fe rio r: 2<|>7/8+l(|)r______ V (k N ) = 2 4 1 .7 _ 2 <j>1 ” _____ 4(j)7/8”+ l( t> r 2163_ 2 ( | ) l ”+3(()7/8: l<t)l,,+2(()7/8’<¡ 47E((>3/8L=1.93 CORTE A-A 241.7! F ig u ra 5.14 V d (k N ) = 2 1 2 .3 9 212.39! Vu = 3 0 7 .9 7 307.97| (j)Vs (k N ) = 182.15 182.15! S to ta l (m ) = 2 .2 7 + 0 .6 4 = 2.91 E strib o s: 13e<J> 3 /8 ” C/ 0. 10+ 2.91! 13s<j> 3 /8 ” C/0.10+! e<t> 3 /8 ” c/0 .3 0 9s<J) 3 /8 ” c/0 .2 0 262 9e<t) 3 /8 ” c /0 .2 0 ! 263 E structuras de C oncreto i C apítulo 6 colum nas Capítulo 6 COLUMNAS C apítulo 6 colum nas E structuras de C oncreto I COLUM NAS Las colum nas so n e le m e n to s e s tru c tu ra le s so m e tid o s p rin c ip a lm e n te a c a rg a axial de c o m p re sió n o a c o m p re sió n y flex ió n , in clu y e n d o o n o to rs ió n o esfuerzos co rta n tes y c o n u n a re la c ió n d e lo n g itu d a la m e n o r d im e n s ió n de la sección de 3 o m ás. Tipos Distinguim os lo s sig u ie n te s tip o s d e co lu m n as: 1. C olum nas re fo rz a d a s lo n g itu d in a lm e n te tran sv e rsalm en te c o n e strib o s o esp ira le s. con b a rra s re d o n d a s y F ig u ra 6.1 2. C olum nas c o m p u e s ta s re fo rz a d a s lo n g itu d in a lm e n te c o n p e rfile s de acero estru c tu ra l ro d e a d o s o n o p o r c o n c re to o c o n c re to lle n a n d o d ich o s perfiles en o c a sio n e s co n b a rra s re d o n d a s lo n g itu d in a le s y a lg ú n tip o de refuerzo tran sv e rsal. Figura 6.2 C apítulo 6 colum nas Estructuras de C oncreto I D IM E N S IO N A M IE N T O REFUERZO D im e n s io n e s m ín im a s Refuerzo lo n g itu d in a l E l R e g la m e n to c o lo m b ia n o N S R -1 0 n o c o n te m p la la re stric ció n de d im e n s io n e s m ín im a s p a ra las e s tru c tu ra s c o n c a p a c id a d m ínim a de d isip a c ió n d e en e rg ía. U n ic a m e n te en la se c c ió n C R IO . 8 se m e n cio n a n con el c a rá c te r d e in fo rm a tiv o . P a ra e s tru c tu ra s c o n c a p a c id a d d e disipación de e n e rg ía m o d e ra d a (D M O ) y e sp e c ia l (D E S) se e sp e c ific a las dim ensiones m ín im a s de c o lu m n a s en el c a p itu lo C .21 en las s e c c io n e s C .21.3.5.1 y C .21 .6 .1.1 re sp e c tiv a m e n te , a lo s q u e n o s re fe rim o s a c o n tin u ac ió n : E s tr u c tu r a s c o n c a p a c id a d m o d e r a d a d e d isip a c ió n d e e n e r g ía (DM O) “L a d im e n sió n m e n o r d e la s e c c ió n tra n sv e rsa l, m e d id a e n u n a lín ea recta q u e p a sa a tra v é s d el c e n tro id e g e o m é tric o , n o d eb e se r m e n o r d e 250 mm. L a s c o lu m n a s en fo rm a d e T, C o I, p u e d e n te n e r u n a d im e n sió n m ínim a de 0 .2 0 m , p e ro su á rea n o p u e d e se r m e n o r d e 0 .0 6 2 5 m 2”. S e su g ie re que la re la c ió n e n tre la d im e n sió n m e n o r d e la se c c ió n tra n s v e rsa l y la dim ensión p e rp e n d ic u la r n o d eb e s e r m e n o r q u e 0.3. E s tr u c tu r a s c o n c a p a c id a d e s p e c ia l d e d isip a c ió n d e e n e r g ía (D E S ) “L a d im e n s ió n m e n o r de la se c c ió n tra n sv e rsa l, m e d id a en u n a lín ea recta q u e p a sa a tra v é s d e l c e n tro id e g e o m é tric o , n o d eb e se r m e n o r d e 300 mm. L as c o lu m n a s en fo rm a d e T , C o I, p u e d e n te n e r u n a d im e n sió n m ínim a de 0.25 m , p ero su á re a n o p u e d e s e r m e n o r de 0 .0 9 m 2”. L a re la c ió n entre la d im e n sió n m e n o r d e la s e c c ió n tra n sv e rs a l y la d im e n sió n p e rp e n d ic u la r no d eb e s e r m e n o r q u e 0.4. E n to d a s las e stru c tu ra s, D M I, D M O , y D E S la fu e rz a a x ial m ay o ra d a de c o m p re sió n Pu, b a jo c u a lq u ie r c o m b in a c ió n d e ca rg a, d eb e exceder 0 .1 0 fc'A g . 268 El área de re fu e rz o lo n g itu d in a l d e la c o lu m n a, sin te n e r e n c u e n ta la capacidad de d isip a c ió n d e e n e rg ía d e la e stru c tu ra a la cu al p e rte n e c e , no debe ser m en o r de 0 . 0 1 n i m a y o r d e 0.04 v e c e s el á rea to ta l A gd e la sec ció n . El núm ero m ín im o d e b a rra s d el re fu e rz o lo n g itu d in a l es de 4 p a ra b arras colocadas d e n tro de e strib o s re c ta n g u la re s o c irc u lares, d e 3 d e n tro de estribos trian g u lares y d e 6 p a ra b a rra s lo n g itu d in a le s c o lo c a d a s d e n tro de espirales que c u m p la n lo s re q u isito s d el R e g la m e n to N S R -1 0 . Pese a no estar e sp e c ific a d o en el R e g la m e n to c o lo m b ia n o , se re c o m ie n d a como d iám etro m ín im o d e las b a rra s d e re fu e rz o lo n g itu d in a l el N o. 4 p ara estructuras d e c a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e rg ía m ín im a (D M I) y moderada (D M O ): p a ra e s tru c tu ra s co n ca p a c id a d d e d isip a c ió n d e en e rg ía especial (DES) se re c o m ie n d a co m o d iá m e tro m ín im o p a ra el re fu erz o longitudinal el N o. 5. Especifica el R e g la m e n to c o lo m b ia n o q u e e n las b a rra s lo n g itu d in a le s dobladas en la s c o lu m n a s p o r c a m b io d e la s e c c ió n se d eb e c u m p lir q u e la pendiente de la p arte in c lin a d a d e u n a b a rra d e este tip o no d eb e e x c e d e r de 1 a 6 con re sp e c to al e je de la c o lu m n a y las p a rte s de la b a rra q u e están arriba y d eb a jo d e la z o n a d e d o b le z d e b e n se r p a ra le la s al eje d e la columna. L as b a rra s e n lo s ca m b io d e se c c ió n , lo cu al so lo se h a ra e n las losas de en tre p iso , se d e b e n d o b la r an te s de su c o lo c a c ió n en el e n c o fra d o y nunca d esp u é s d e fu n d id o el c o n c re to y e sta r las b a rra s p a rc ia lm e n te em bebidas en el c o n c re to e n d u re c id o . C u a n d o la ca ra d e u n a c o lu m n a esta desalineada 75 m m o m ás p o r c a m b io d e sec ció n , las b a rra s lo n g itu d in a le s no se deben d o b lar. Se d e b e n p ro p o rc io n a r esp ig o s e m p a lm a d o s p o r tra sla p o con las b arras lo n g itu d in a le s a d y a c e n te s a las c a ra s d e sa lin e a d a s de la columna. 269 E structuras de C oncreto I E l R e g la m e n to e sp e c ific a q u e d eb e p ro p o rc io n a rse so p o rte horizom i a d e c u a d o a la b a rra d o b la d a p o r c a m b io d e se c c ió n p o r m ed io de estribos tra n sv e rsa le s, e sp ira le s o p o rc io n e s d el sis te m a de en tre p iso . El s o p o ^ C apítulo 6 colum nas h o riz o n ta l d eb e d iseñ arse p a ra re s is tir 1.5 v e c e s la c o m p o n e n te horizontal de la fu e rz a c a lc u la d a en la p o rc ió n in c lin a d a d e la b arra. L o s estribos tra n sv e rsa le s o esp ira le s, e n caso d e u tiliz a rse , se d e b e n c o lo c a r a una d ista n c ia no m a y o r d e 150 m m d e los p u n to s d e d o b lad o . Cuando en las b a rra s lo n g itu d in a le s de la c o lu m n a lo s e sfu e rz o s debidos a las ca rg as m a y o ra d a s y c a lc u la d o s p a ra las d iv e rsa s co m b in acio n es de c a rg a no ex c e d e n d e 0.5 f y en trac ció n , lo s em p a lm e s por traslap o d e b e n se r C lase B , en c u a lq u ie r s e c c ió n d o n d e se e m p alm a m ás de la m ita d de las b arras, o C lase A d o n d e se e m p a lm a la m ita d o m enos de las b arras y lo s e m p a lm e s e n tre b a rra s a ltern as se e sc a lo n a n a una d istan cia al m e n o s ig u al a U . E n c o lu m n a s co n e strib o s o co n re fu e rz o en esp ira l, la d ista n c ia libre entre b a rra s lo n g itu d in a le s d e b e se r m a y o r o ig u al a 1.5db (db = d iám etro nominal d e la b arra), 40 m m o 1.33 v e c e s el ta m a ñ o d el a g re g a d o gru eso . C uando lo s e sfu e rz o s en las b arras lo n g itu d in a le s d e la c o lu m n a debidos a las c a rg a s m a y o ra d a s so n m a y o re s d e 0.5 f y en trac ció n , lo s em palm es p o r tra sla p o d e b e n se r C lase B. E l re c u b rim ie n to m ín im o p a ra el re fu e rz o e n c o lu m n a s de c o n c re to vaciado en el sitio se rá d e 40 m m p a ra la a rm a d u ra p rin c ip a l los e strib o s y los esp ira le s; e n a m b ie n te s a g re siv o s d e b e n u tiliz a rs e re c u b rim ie n to s m ayores. E m p a lm e d e b a r r a s lo n g itu d in a le s S e p u e d e u tiliz a r e m p a lm e s p o r tra sla p o , e m p a lm e s m e c á n ic o s, empalmes so ld a d o s a to p e, c o n e x io n e s m e c á n ic a s o e m p a lm e s a to p e con el cu m p lim ie n to d e lo s re q u isito s c o n te n id o s en el R e g la m e n to N S R -10 y sa tisfa c ie n d o lo s re q u e rim ie n to s p a ra to d a s las c o m b in a c io n e s d e carga de las co lu m n as. P o r s e r los e m p a lm e s p o r tra sla p o lo s m á s u su a le s, se citan a c o n tin u a c ió n a lg u n o s de lo s re q u is ito s m e n c io n a d o s p a ra este tipo de em p alm e: C u a n d o los e sfu e rz o s en la b a rra a e m p a lm a r, d e b id o s a la s cargas m ay o ra d as, so n d e co m p re sió n , la lo n g itu d m ín im a p a ra em palm es tra sla p a d o s a c o m p re s ió n es d e 0 .071fyd b p a ra f y d e 4 2 0 M P a o m en o s, o (13fy - 2 4 ) d b p a ra f y m a y o r de 4 2 0 M P a, y n u n c a debe s e r m e n o r d e 3 0 0 m m . P a ra f c' m e n o re s de 21.1 M P a la longitud del tra sla p o d eb e in c re m e n ta rse e n u n tercio. C u an d o p o r tra sla p o a c o m p re sió n se e m p a lm e n b a rra s de diferente d iám etro , la lo n g itu d de tra sla p o d eb e s e r la m a y o r e n tre la lo n g itu d de d e sa rro llo d e la b a rra m a y o r y la lo n g itu d de tra sla p o de la b a rra m enor. Figura 6.3 Para e stru c tu ra s c o n c a p a c id a d d e d isip a c ió n de e n e rg ía m o d e ra d a y esp ecial (D M O y D E S ), lo s e m p a lm e s p o r tra sla p o se p erm ite n ú n icam e n te en la m ita d c e n tra l d e la lo n g itu d del ele m e n to y d eb e n d iseñ arse co m o e m p a lm e s en tra c c ió n y d eb e n estar c o n fin a d o s d e n tro del re fu e rz o tra n sv e rsa l c o rre sp o n d ie n te se g ú n el g ra d o d e d isip a c ió n (véase c a p itu lo C .21 d el R e g lam en to ). S e in v ita al le c to r a la se c c ió n C .1 2 .1 7 d el R e g la m e n to c o lo m b ia n o co m o a c la ra c ió n y a m p lia c ió n de los re q u isito s an terio res. 271 Capítulo 6 colum nas Estructuras de C oncreto I R e fu e rzo T r a n sv e r sa l E stá co n stitu id o p o r e strib o s o fleje s y re fu e rz o en esp ira l. A continuación alg u n o s re q u isito s q u e d eb e n c u m p lir e sto s re fu erz o s: D eben c o lo c a rse e strib o s a d ic io n a le s d en tro d e lo s n u d o s o co n e x io n e s de v ig as y co lu m n as, a fin de c o n fin a r el co n c re to y g a ra n tiz a r su fu n cio n am ien to . E l á rea d e re fu e rz o tra n s v e rs a l n o p u ed e se r m e n o r q u e la dada p o r la ecu ació n : E strib o s 0 .0 6 2 V f;b ws ^ 0 .3 5 b ws A > El R e g lam en to N S R -1 0 e s p e c ific a e strib o s d e b a rra N o .3 (<!>%") o 10M ( 1 0 m m ) cu a n d o las b arras lo n g itu d in a le s se a n ig u a le s o m en o res a la N o .10 ( V A " ) o 3 2 M (32 m m ), y al m e n o s de b a rra N o .4 ( <|)/2") o 12M ( 1 2 m m ) cu a n d o las b a rra s lo n g itu d in a le s se a n m a y o re s o iguales a la N o. 11 (1 % " ) o 3 5 M (35 m m ) o se trate d e b a rra s en paquete. En estru c tu ras co n ca p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e rg ía m ín im a (DMI) se p erm iten e strib o s de b a rra N o .2 (<t>X") 0 6 M co lu m n as s o p o rta n ú n ic a m e n te u n o o d o s p isos. (6 3f, y se d eb e c o lo c a r en u n a d ista n c ia ig u al a la a ltu ra d el ele m e n to m ás alto de los q u e lle g a n a las co lu m n as. m m ) cuando las El esp a c ia m ie n to v e rtic a l e n tre e strib o s se rá el m e n o r entre 16 d iám etro s de la b a rra lo n g itu d in al, 48 d iá m e tro s d e la b a rra d el estribo o la m e n o r d im en sió n d e la co lu m n a. 4 b a r ra s 6 b a r ra s L os e strib o s d eb e n d isp o n e rse d e tal fo rm a q u e to d a s las barras lo n g itu d in ale s e sq u in e ra s y al m e n o s u n a d e p o r m ed io d e las q u e no lo son, p u e d a n a m arrarse o so p o rta rse la te ra lm e n te c o n la e sq u in a de un estrib o q u e h ag a c o n e lla s u n án g u lo in te rio r in fe rio r a 135°, y ninguna b arra d e b e rá e sta r se p a ra d a m ás de 150 m m lib res m e d id o s a lo largo del e strib o d e sd e u n a b a rra so p o rta d a co m o a n te s se dijo. C u an d o las barras lo n g itu d in a le s e sté n lo c a liz a d a s a lo larg o d el p e rím e tro de un círculo, p u ed e u tiliza rse u n estrib o c irc u la r co m p leto . Máximo 135° Distancias iguales o menores de 150 mm Distancias mayores de 150 mm F igura 6.4 272 Distancias mayores de 150 mm y ram as del estribo a más de 350 mm. 16 b a rra s M uro C o lu m n a F igura 6.5 2 73 C o lu m n a s E s q u in e ra C apítulo 6 colum nas Estructuras de C oncreto I s E sp ira le s R e fu e rz o tra n sv e rs a l c o n siste n te en b arras c o n tin ú a s ig u a lm e n te espaciadas, a lin e a d a s y firm e m e n te fija d a s en su lu g a r p o r m e d io de espaciadores v e rtic a le s. Se d ise ñ a n d e m a n e ra q u e la d e n o m in a d a c u a n tía d el refu erzo en e s p ira l p s no se a m e n o r q u e el v a lo r d ad o p o r la ex p resió n : = p aso o se p a ra c ió n e n tre esp ira s, e x p re sa d o en m m . • voium en del n ú cleo , m ed id o p o r la p a rte e x te rio r d e la esp ira l, e x p re sa d o enmm3. se calcu la por: = rfL * 1000 4 A, Ps = 0-45 -1 A ch IL para una lo n g itu d d e L 1000 m m de co lu m n a. A continuación a lg u n o s re q u isito s q u e d eb e c u m p lir el re fu e rz o tra n sv e rsa l en do nde: ps en espiral: = re la c ió n d el v o lu m e n d el re fu e rz o en esp ira l al v o lu m e n total d el n ú c le o c o n fin a d o p o r la e sp ira l (m ed id o p o r la parte El d iám etro m ín im o d el re fu e rz o en e sp ira l c o rre sp o n d e a b arras N°3 (<|>%") o 10M (10 m m ). e x te rio r d e las esp irales) = V e / V c A El e sp a ciam ien to lib re e n tre h é lic e s n o d eb e e x c e d e r de 75 m m n i se r m enor de 25 m m . = á rea b ru ta de la se c c ió n de c o n c re to , e x p re sa d a en m m . o A . Ch = á rea del n ú cleo , m e d id a h a sta el d iá m e tro e x te rio r de 2 la esp ira l, e x p re sa d a en m m . f y, = re siste n c ia n o m in a l e sp e c ific a d a a la flu e n c ia d el re fu erz o en El an claje del re fu e rz o e n e sp ira l d eb e h ac erse m e d ia n te 1.5 v u eltas adicionales en c a d a e x tre m o d e la u n id a d en esp ira l d en tro del ele m e n to co rresp o n d ien te a llí lo caliza d o . esp ira l, la cu a l n o d eb e s e r m a y o r d e 7 0 0 M P a. E l v o lu m e n d el re fu e rz o en e sp ira l en m m 3 se p u e d e e x p re sa r por: w A ^ Los em p alm es del re fu e rz o en e sp ira l d eb e n se r tra sla p o s e n u n a longitud m ín im a d e 48db, p a ra b a rra s c o rru g a d a s o 72db p a ra b arras lisas o em p a lm e s m e c á n ic o s o so ld ad o s. 1000 Ve = A s 7lDc ------s en do nde: As = á re a d e la b a rra q u e h ac e la esp ira l. Dc = d iá m e tro d el n ú c le o , m ed id o h a sta el d iá m e tro e x te rio r d e la esp ira l, e x p re sa d o en m m . El refu erzo en esp ira l d eb e e x te n d e rse d esd e la p arte su p e rio r d e la zapata o lo sa h a s ta la a ltu ra d el re fu e rz o h o riz o n ta l m ás b ajo del elem ento so p o rtad o . En los c a so s en d o n d e a u n a o m ás c a ra s d e la c o lu m n a no lleg an v ig a s o m én su las, d e b e n c o lo c a rse e strib o s p o r en c im a d e la te rm in a c ió n del refuerzo en esp ira l h a sta la p arte in fe rio r de la lo sa o á b a c o o d esco lg ad o p a ra co rtan te. C apítulo 6 colum nas E structuras de C oncreto I E n c o lu m n a s co n ca p ite l, el re fu e rz o en esp ira l d eb e llev arse hasta el p u n to e n d o n d e el d iá m e tro o a n c h o d el c a p ite l es el d o b le del de b c o lu m n a . . 1 la cu a n tía v o lu m é tric a d el re fu e rz o e n esp ira l, p s , o de e strib o s de confinam iento circ u la re s, d e b e se r m a y o r que: f' E n e s tru c tu ra s de c a p a c id a d de d isip a c ió n d e e n e rg ía m ín im a (DMI), de c a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e rg ía m o d e ra d a (D M O ) y d e capacidad de d is ip a c ió n d e e n e rg ía e sp e c ia l (D E S ), p a ra c o n stru c c io n e s sism o resistentes d eb e c u m p lirse a d e m á s c o n o tro s re q u isito s c o n te n id o s en el Reglamento a lg u n o s d e los cu a le s se m e n c io n a rá n a co n tin u a c ió n . ( A -1 p = 0 .0 8 -^ > 0 .4 5 f,. Cuando V A se u tilic e n e s trib o s re c ta n g u la re s, el á rea de lo s e strib o s p a ra un ( A A* =0.20Sb¿ ' f. la m á x im a d im e n sió n d el ele m e n to en la ca ra d el n u d o . y de la lo n g itu d lib re d el ele m e n to 500 m m ch diámetro m ín im o N o .3 (<t>%") o 10M (10 m m ) no p u e d e se r m e n o r que: C a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e r g ía m ín im a (D M I) N o o b sta n te n o e sta r e sp e c ific a d o e n el R eg lam en to , se sugiere la sig u ie n te c o lo c a c ió n d e e s trib o s d e c o n fin a m ie n to d e d iám etro No. (<(>%") o 10M (10 m m ) co n u n a re sis te n c ia n o m in a l a la fluencia del a c e ro de m ín im o f yb d e 2 4 0 M P a y u n a se p a ra c ió n s de 150 m m , en una lo n g itu d m e d id a a lo larg o d el e je lo n g itu d in a l d el e lem e n to y desde la c a ra d el n u d o , no m e n o r que: fe' ^ g VA Ch - 1 ) A.. = 0 . 0 6 ^ para las d o s d ire c c io n e s p rin c ip a le s d e la se c c ió n de la co lu m n a. La separación m á x im a d el re fu e rz o tra n s v e rs a l d e c o n fin a m ie n to d eb e ser menor que: 8 db de la b a rra lo n g itu d in a l m ás p eq u eñ a. 16db d el d iá m e tro del estrib o . S i la d ista n c ia h o riz o n ta l e n tre d o s ra m a s p a ra le la s de e strib o s e s mayor q u e la m ita d d e la m e n o r d im e n sió n d e la se c c ió n de la colum na o 2 0 0 m m d e b e n u tiliz a rse e s trib o s s u p le m e n ta rio s d el m ism o diám etro y y z d e la d im e n sió n m ín im a d e la s e c c ió n d el elem e n to . 150 m m . ca lid a d . C a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e r g ía m o d e r a d a (D M O ) D e b e u tiliz a rse re fu e rz o en e sp ira l o e strib o s c e rra d o s d e c o n fin a m ie n to de a c u e rd o a las sig u ie n te s e sp e c ific a c io n e s, a m e n o s q u e se requiera c a n tid a d e s m a y o re s p a ra e sfu e rz o c o rta n te . C u an d o se u tilice re fu erz o en A lternativam ente al re fu e rz o an terio r, p u e d e n c o lo c a rse e strib o s de confinam iento d e d iá m e tro N o. (<)>%") o 10M (10 m m ) c o n fy, d e 420 M P a, con una se p a ra c ió n s d e 100 m m . S i la d ista n c ia h o riz o n ta l e n tre d o s ra m a s paralelas del estrib o e s m a y o r q u e la m ita d de la m e n o r d im e n sió n d e la sección de la c o lu m n a o 2 0 0 m m , d eb e u sa rse e strib o s s u p le m e n ta rio s del mismo d iám etro y ca lid a d . Estructuras de C oncreto I C apítulo 6 colum nas E l re fu e rz o d e c o n fin a m ie n to se lo c a liz a rá en u n a lo n g itu d 1 0 m ed id a a lo la rg o d el eje lo n g itu d in a l d el ele m e n to y d e s d e la c a ra d el n u d o , no m enor que: ¡/6 d e la lo n g itu d lib re d e l elem e n to , El refuerzo tra n sv e rsa l de c o n fin a m ie n to p u e d e e sta r co n stitu id o sencillos o m ú ltip le s y ta m b ié n e strib o s s u p le m e n ta rio s d e especificaciones. L o s e strib o s su p le m e n ta rio s, o las ra m a s de múltiples, no d e b e n e sta r se p a ra d o s a m ás d e 350 m m ce n tro a dirección p e rp e n d ic u la r al eje d el ele m e n to estru c tu ral. p o r e strib o s las m ism a s lo s e strib o s c e n tro en la m a y o r d im e n sió n de la se c c ió n tra n sv e rs a l d e la co lu m n a. E x te n s ió n d e 6db 500 m m. 6db m in 7 .5 cm E n la z o n a d o n d e n o se c o lo c a re fu e rz o tra n s v e rsa l p o r c o n fin a m ie n to , el e sp a c ia m ie n to ce n tro a c e n tro d el re fu e rz o tra n sv e rsa l no d eb e s e r m ay o r a d o s v e c e s el u tiliz a d o en la z o n a d e c o n fin a m ie n to . C a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e r g ía e sp e c ia l (D E S ) D e b e u tiliz a rse re fu e rz o en e sp ira l o e s trib o s c e rra d o s d e co n fin a m ie n to de a c u e rd o a las sig u ie n te s e sp e c ific a c io n e s, a m e n o s q u e se requieran c a n tid a d e s m a y o re s p a ra e sfu e rz o c o rta n te. C u an d o se u tilice re fu e rz o en e sp ira l la c u a n tía v o lu m é tric a d el re fu e rz o en e sp ira l, p s, o d e e strib o s de c o n fin a m ie n to circ u la re s, d eb e s e r m a y o r que: A p s = 0 . 1 2 ^ - > 0.45 Figura 6. 6 La separación d el re fu e rz o tra n s v e rs a l a lo larg o d el eje lo n g itu d in a l d el elemento no d eb e e x c e d e r la m e n o r de: f: -1 V A ch la c u a rta ^ Pa rte de Ia d im e n sió n m ín im a del elem e n to : seis v e c e s el d iá m e tro de la b a rra lo n g itu d in a l m e n o r d iá m e tro m ín im o N o .3 (((>%") o 10M (10 m m ) n o p u e d e se r m e n o r que: s0, s e g ú n lo d e fin id o en la ec u a c ió n C .2 1 -5 d el R eg lam en to . sb f ' A sh = 0 . 3 0 —^ ( A , A (W C u an d o se u tilic e n e strib o s re c ta n g u la re s, el á rea de los e strib o s p a ra un ch s = > 100 + 3 5 0 -h . -1 ) El valor de s 0 n o d eb e se r m a y o r d e 150 m m y no es n e c e sa rio to m arlo menor a 1 0 0 m m sb f ' A sh= 0 . 0 9 - ^ y p a ra las d os d ire c c io n e s p rin c ip a le s de la se c c ió n de la co lu m n a. 278 Capítulo 6 colum nas E structuras de C oncreto I E l re fu e rz o d e c o n fin a m ie n to se lo c a liz a rá en u n a lo n g itu d 1 0 m edida a 10 Columnas co n ca r g a a x ia l larg o d el eje lo n g itu d in a l d el ele m e n to y d e sd e la ca ra del n u d o , no menor Obtener una e x p re sió n de d ise ñ o p a ra c o lu m n a s c o rta s c o n c a rg a ax ial p or medio de la te o ría de la ela stic id a d , a c la ra n d o la e x p re sió n a c tu a lm e n te en uso y su relació n co n la s d e n o m in a d a s ca rg a s de serv icio . que: la a ltu ra del e lem e n to en la c a ra d el n u d o o e n la sec ció n donde p u e d e o c u rrir flu e n c ia p o r flex ió n ; J/6 d e la lo n g itu d lib re d el elem e n to ; Al som eter u n a c o lu m n a a u n a c a rg a P d e b e ría a c o rta rse e n A, q u e e n lo s respectivos p e río d o s e lá stic o s d el c o n c re to y d el re fu e rz o sig n ifica: 450 m m E n la z o n a d o n d e no se c o lo c a re fu e rz o tra n s v e rsa l p o r co nfinam iento, el e sp a c ia m ie n to ce n tro a c e n tro d el re fu e rz o tra n s v e rsa l n o d e b e ser mayor q u e el m e n o r de: 6 db de las b a rra s lo n g itu d in a le s 150 m m L a s c o lu m n a s q u e s o p o rta n re a c c io n e s d e e le m e n to s ríg id o s discontinuos co m o m u ro s, d e b e n te n e r re fu e rz o tra n s v e rsa l en su a ltu ra total, en todos los n iv eles. E l re fu e rz o tra n s v e rsa l d e b e e x te n d e rs e en el ele m e n to discontinuo p o r u n a d ista n c ia al m e n o s ig u al a la lo n g itu d d e d e sa rro llo i d d e la barra de la c o lu m n a lo n g itu d in a l m ay o r, d o n d e se d e te rm in a por las e sp e c ific a c io n e s co n te n id a s en C .2 1 .7 .5 d el R eg la m e n to . S i el extremo in fe rio r d e la c o lu m n a te rm in a en u n m uro, el re fu e rz o tra n s v e rsa l requerido d eb e e x te n d e rse d e n tro d el m u ro p o r lo m e n o s d e la m a y o r barra lo n g itu d in a l d e la c o lu m n a e n el p u n to en q u e term in a. S i la columna te rm in a en u n a z a p a ta o u n a lo sa d e c im e n ta c ió n , el re fu e rz o transversal re q u e rid o d eb e e x te n d e rs e p o r lo m e n o s 300 m m en la z a p a ta o losa de cim en tac ió n . F ig u ra 6.7 Si se d en om ina: o Ag : á rea b ru ta d e la se c c ió n , e x p re sa d a en m A g - A s t: á re a d el c o n c re to en la sec ció n , e x p re sa d a en m 2 A st: á re a to ta l d el re fu e rz o lo n g itu d in al, e x p re sa d a en m o A c o n tin u a c ió n se hará re fe re n c ia a las c o lu m n a s c o n c a rg a ax ial; luego, c o lu m n a s c o n c a rg a ax ial y m o m e n to y se fin a liz a rá c o n el e stu d io de e fe c to s d e e sb e lte z en c o lu m n a s, in c lu y e n d o el tra ta m ie n to para e sfu e rz o s c o rta n te s en u n m o d e lo d e a p lic a c ió n (P ro b lem a 6 .6 ) d e las los los los se puede p lan tear: P = (A g - A s t) f c+ A stf s = ( A g - A st) f c + A stn f c a n te rio re s co n c ep to s. P = f c (A g + ( n - l ) A s t) 280 281 Estructuras de C oncreto I Capítulo 6 colum nas E sta e x p re sió n , q u e p e rm itiría el d ise ñ o (o b ten c ió n de A g y A st) de Una c o lu m n a en fu n c ió n de la c a rg a a x ia l P, h a sid o a b a n d o n a d a en la actualidad p o r las sig u ie n te s c o n s id e ra c io n e s s o b re el m a te ria l c o n c re to que nos im p id e n ig u a la r las d efo rm acio n es: 1. 2. E l c o n c re to no es u n m a te ria l elástico . L o s fe n ó m e n o s de re tra c c ió n de fra g u a d o , o sea, la d ism inución de v o lu m e n d el c o n c re to p o r se c a m ie n to , y la flu e n c ia lenta, es decir, la d e fo rm a c ió n ad ic io n a l a larg o p la z o p o r la a c c ió n d e cargas de c o m p re s ió n p erm a n en tes. E x p e rim e n ta lm e n te se h a lo g rad o e s ta b le c e r la c a rg a de fa lla de una c o lu m n a c o rta so m e tid a a c a rg a a x ial se g ú n la ex p resió n : Pn = = F .d e S.* P = 0 .8 5 f ;( A g - A S1) + A stf y , en donde: Pn = re sis te n c ia n o m in a l a c a rg a ax ial, e n kN a este respecto, el R e g la m e n to N S R -1 0 , al ig u al q u e el R e g lam en to A f 1-3 1 8 - l f l c o n sid e ra n el d ise ñ o p o r c a rg a a x ial a c o m p re sió n co m o u n a condición h ip o tétic a de ca rg a, p u e sto q u e lim itan la re siste n c ia de los miembros su jeto s a e sta c o n d ic ió n al 8 0 u 8 5 % d e la re siste n c ia a la carg a axial de diseño a rrib a ex p resad a . A sí, p a ra e le m e n to s n o p re e sfo rz a d o s, co n refuerzo tran sv ersal en fo rm a d e e strib o s ce rra d o s a p ro p ia d o s, la re siste n c ia de diseño a fu e rza ax ial c()Pn, s e g ú n lo s R e g la m e n to s m e n c io n a d o s, n o será mayor que: (j)Pn (m áxim a) = 0.75(j>[o.85fc' ( A g - A st) + fyA st] Para elem entos no p re e s fo rz a d o s c o n re fu e rz o en e sp ira l a p ro p ia d o , la resistencia de d ise ñ o a fu e rz a ax ial (j)Pn, ta m b ié n se g ú n lo s R e g la m e n to s antes citados, n o se rá m a y o r que: (j)Pn (m áxim a) = 0.80<j)[o.85fc' ( A g - A st) + fyA st] U = fa c to r de c a rg a en donde: f c' = re siste n c ia n o m in a l d el c o n c re to a la c o m p re sió n , ex p resad a en <J)Pn (m áxim a) = re s is te n c ia d e d ise ñ o a fu e rza a x ia l d e lo s e le m e n to s so m e tid o s a co m p resió n . (j> c o e fic ie n te d e re d u c c ió n de re siste n c ia ig u al a 0.65 p a ra m ie m b ro s a c o m p re s ió n a x ia l co n o s in fle x ió n y re fu e rz o tra n s v e rs a l en e strib o s; p a ra re fu erz o tra n s v e rs a l en esp ira l el c o e fic ie n te v a ld rá 0.75. k N /m 2 f y = re sis te n c ia n o m in al a la flu e n c ia del a c ero d e re fu erz o , expresada en k N /m 2 T a l co m o se e x p re sa arrib a, si a la e x p re sió n d e fa lla se le ap lic a u n fa cto r de se g u rid a d ap ro p ia d o , se te n d rá u n a e x p re sió n de d ise ñ o en fu n c ió n de la c a rg a ax ial d e se rv ic io a p lic a b le a c o lu m n a s co rta s, es d ecir, n o afectadas p o r la e sb e lte z. A sí, p o r ejem p lo , si se c o n sid e ra a p lic a b le u n fa c to r de se g u rid a d de 3, resu lta: = De esta m an era, v a lo re s d e U a p ro x im a d o s a lo s e sp e c ific a d o s p a ra estructuras co rrien tes, U = 1.5, e q u iv a le n a fa c to re s d e se g u rid a d elev a d o s como p u ed en s e r 3.0 p a ra c o lu m n a s a rm a d a s co n e strib o s y 2.50 p ara columnas a rm a d a s co n esp ira le s, así: 3P = 0 .8 5 f ;( A g - A st) + f yA st en d o n d e P se rá la c a rg a d e se rv ic io o de tra b a jo de la co lu m n a. 282 283 Capítulo 6 colum nas E structuras de C oncreto I a) P - 21 1 M P a = 2 1 1 0 0 k N /m 2 y f = 2 4 0 M P a = 2 4 0 0 0 0 k N /m 2 1c" p„= 3P = 0 .8 5 f ;( A g - A st) + f yA s, 3 p = 0.85 * 2 1 1 0 0 (A b - 0 . 0 1 A g )+ 240000 * 0 .0 1 A g = 2 0 1 5 5 A g E n lo s c o m e n ta rio s d el R eg la m e n to , se e x p lic a e sta re d u cció n de la re s is te n c ia d e d ise ñ o de u n a s e c c ió n en só lo co m p re sió n , p a ra d e esta forma te n e r en c u e n ta las p o sib le s e x c e n tric id a d e s a c c id e n ta le s n o co nsideradas en el a n á lis is y el h ec h o p o r el cu a l la re s iste n c ia d el c o n c re to re su lte inferior a fc p a ra c a rg a s a lta s p e rm a n e n te s; si é sta s so n las ra z o n e s de la reducción, a d ic io n a d a s co n la d ific u lta d d e lo g ra r en la p rá c tic a la co n d ic ió n de sólo c a rg a ax ial, se p re fie re la e sp e c ific a c ió n q u e n o a c e p ta el d ise ñ o para carga ax ial so la m e n te , e x ig ie n d o q u e é ste se e fe c tú e p a ra la c a rg a a x ial obtenida d el a n á lis is e stru c tu ra l c o rre s p o n d ie n te a u m e n ta d a de u n a excentricidad m ín im a , d e a c u e rd o a las sig u ie n te s e x p re sio n e s: - E x c e n tric id a d m ín im a p a ra c o lu m n a s co n e strib o s - E x c e n tric id a d m ín im a p a ra c o lu m n a s co n e sp ira le s ■. A g = 0 .0 0 0 15P p a ra A g e n m 2 y P en k N bj Pn= 3P 3P = 0 .8 5 f ;( A g - A st) + f yA st = 0.85 * 2 1 1 0 0 (A g - 0 .0 1 A g )+ 420000 * 0 .0 1 A g = 21955 A g .-. A g = 0 .0 0 0 1 4 P p a ra A g en m 2 y P en kN c) = O.lOt = 0.05t f c = 21.1 M P a y f y = 4 2 0 M P a f c = 35.2 M P a = 3 5 2 0 0 k N /m 2 y f y = 2 4 0 M P a P „ = 3P = 0 . 8 5 f '( A g - A st) + f yA st en d o n d e t es la d im e n sió n de la c o lu m n a en el se n tid o de la excentricidad. P o r tan to , es o p in ió n d el a u to r q u e la u tiliz a c ió n m ás a p ro p ia d a de e x p re s ió n p a ra d ise ñ o c o n c a rg a ax ial so la m e n te , c o rre sp o n d e a v e rific a c ió n d e las d im e n s io n e s m ín im a s co m o lím ite d e u n d iseñ o y a lg u n o s ca so s p u e d e c o n s id e ra rs e co m o d im e n sio n a m ie n to p relim in ar. c o n tin u a c ió n se v e rá su u tiliz a c ió n en p re d im e n sió n . 3P = 0 .8 5 * 3 5 2 0 0 (A g - 0 .0 1 A g ) + 2 4 0 0 0 0 * 0 .0 1 A g = 32021 A g la la en A .-. A g = 0 .0 0 0 0 9 4 P -0 .0 0 0 1 0 P p a ra A g e n m 2 y P e n kN d) f c = 35.2 M P a y f y = 4 2 0 M P a P „ = 3P = 0 . 8 5 f '( A g - A s t) + f yA st P r o b le m a 6.1 3P = 0 .8 5 * 3 5 2 0 0 (A g - 0 .0 1 A g ) + 4 2 0 0 0 0 * 0 .0 1 A g = 33 8 2 1 A g O b te n e r u n a e x p re sió n u tiliz a b le para la o b te n c ió n d e u n a p o sib le dim ensión m ín im a o p a ra el d im e n s io n a m ie n to p re lim in a r, co n este crite rio , de c o lu m n a s c o n la se c c ió n A g (en m 2) e n fu n c ió n de la c a rg a P de com presión (en kN ) s u p u e s ta ax ial, si se u tiliz a u n a a rm a d u ra lo n g itu d in a l d e l 1 % de la A g = 0 .0 0 0 0 8 9 P -0 .0 0 0 0 9 P p a ra A g e n m 2 y P e n kN se c c ió n , fa c to r de se g u rid a d d e 3.0, c o n c re to p a ra P c = 21.1 M P a y 35.2 M P a y re fu e rz o d e las c a lid a d e s f y = 240 M P a y 420 M P a. 284 285 E structuras de C oncreto I Capítulo 6 colum nas E n la o b te n c ió n d e las e x p re sio n e s an te rio re s, se p u ed e observar la im p o rta n te c o n trib u c ió n del c o n c re to a la re sis te n c ia de las colum nas en c o m p re sió n y , p o r tan to , la in flu e n c ia d e la c a lid a d d e este m aterial en la d e te rm in a c ió n d el ta m a ñ o de la se c c ió n ; p o r o tra p arte, la u tiliza ció n de las fó rm u la s a n te rio re s co m o p re d im e n sió n en lo s c a so s de n o rm al ocurrencia re s u lta rá m ás o m e n o s a p ro x im a d a d e p e n d ie n d o d el m e n o r o m ayor grado de la e x c e n tric id a d d e la c a rg a re sp e c tiv a m e n te . P o r consiguiente, la in te rp re ta c ió n d e los re su lta d o s d eb e h a c e rse co n p ru d e n cia. T niendo en cu e n ta las c o n d ic io n e s de eq u ilib rio y c o m p a tib ilid a d de Hformaciones Y ,o s re q u isito s c o n te n id o s en el R e g la m e n to c o lo m b ia n o • com o que la m á x im a d e fo rm a c ió n u n ita ria en la fib ra e x tre m a en compresión del c o n c re to d eb e s u p o n e rse ig u al a 0 .0 0 3 , q u e el e sfu e rz o de compresión en el co n c re to se s u p o n e d e d istrib u c ió n re c ta n g u la r c o n un v^or uniform e de 0.85 f 'c s o b re u n a z o n a e q u iv a le n te de c o m p re sió n limitada por los b o rd e s de la s e c c ió n tra n sv e rsa l y p o r u n a lín ea re cta paralela al eje n eu tro , lo c a liz a d a a u n a d ista n c ia a = p¡c de la fib ra de máxima d efo rm ació n en c o m p re sió n y q u e el c o e fic ie n te p i d eb e to m a rse C a r g a a x ia l y m o m en to com o E n esta sec c ió n se e n u n c ia n las e x p re sio n e s m ás u su a le s d e capacidad a fle x o c o m p re sió n d e c o lu m n a s re c ta n g u la re s so m e tid a s a co m b in acio n es de c a rg a ax ial y m o m e n to de fle x ió n in d ic a n d o los re q u isito s d e seg u rid ad del R e g la m e n to N S R -1 0 , las p o sib ilid a d e s de d ia g ra m a c ió n en interacción c o m p re s ió n -fle x ió n co m o a y u d a en el d ise ñ o y el em p le o de program as de 0.85 p ara re s is te n c ia s n o m in a le s d e c o m p re sió n d el c o n c re to de f c hasta 28.1 M P a, re d u c ié n d o s e 0.05 p o r ca d a 7 M P a de re siste n c ia p o r encima de 28.1 M P a, p e ro sin q u e p u e d a se r m e n o r de 0 .65, se p u ed e n plantear los e sfu e rz o s y fu e rz a s de la fig u ra 6 . 8 .b. D e allí: Pn = 0.85 f c' * ab + A ¡fy - A sfs c o m p u ta c ió n co n el m ism o p ro p ó sito . A p a rtir d e la e q u iv a le n c ia e n tre c a rg a e x c é n tric a y c a rg a a x ial y mom ento, fig u ra 6 .8 .a, se d e fin e la fre c u e n c ia d e su p re se n ta c ió n en el diseño e stru c tu ra l y su p e rm a n e n te n e c e sid a d d e so lu ció n . Para el caso de la falla p o rq u e el a c ero d e tra c c ió n a lc a n z a su lím ite e lástico al tiempo que el c o n c re to se ro m p e y el a c ero d e c o m p re sió n ta m b ié n lleg a a su límite elástico , se ten d rá la c a rg a n o m in a l b a la n c e a d a d e falla. P«b = 0 .8 5 f c'* a b + f y ( A ' - A s ) Para esta co n d ició n lla m a d a b a la n c e a d a ex iste u n a ex c e n tric id a d p a rtic u la r llamada e b , y a p a rtir de e sta situ a c ió n se p re se n ta n d o s casos: a) P ara ca rg a s P n > P nb co n e x c e n tric id a d e s e < e b , la s e c c ió n e sta rá co n tro la d a p o r la fa lla p o r c o m p re sió n . b) P ara ca rg a s Pn < P nb co n e x c e n tric id a d e s e > e b , la sec c ió n estará c o n tro la d a p o r la fa lla p o r tracció n . F igura 6.8.a 286 287 C apítulo 6 colum nas E structuras de C oncreto I Si f ' < 28.1 M P a: 600 ^Pn b = r 0 . 7 2 2 5 * ^ T - * f ; b d . e n do n d e: (j, = co e ficien te de re d u c c ió n de la c a p a c id a d d e la secció n . b= an ch o de la ca ra en c o m p re sió n de un m ie m b ro s u je to a flex o c o m p resió n . d= d istan cia d e la fib ra e x tre m a en c o m p re s ió n al c e n tro id e del refu erzo en ten sió n . Figura 6 .8 .b 5) P a ra e x c e n tric id a d e s g ra n d es, la fa lla se in icia p o r la flu e n c ia del acero se g u id a p o r el d e sp la z a m ie n to d el eje n e u tro h a c ia la z o n a d e compresiones h a sta c a u sa r la fa lla d el c o n c reto ; p a ra e x c e n tric id a d e s p eq u e ñ as, la falla es p o r c o m p re sió n en el c o n c re to a u n q u e el a c ero esté lejo s de su fluencia. Por tan to , ex istirá u n a e x c e n tric id a d de la c a rg a q u e p ro d u c irá la fa lla simultánea p o r la flu e n c ia d el a c ero y la c o m p re s ió n en el c o n c re to y a e sta situación se la llam a b a la n c e a d a co n la c a rg a co m o Pnb y la e x c e n tric id a d com o eb. E n to n ce s, si la c a rg a Pn es m a y o r q u e Pnb co n e x c e n tric id a d m e n o r que e b la fa lla se rá p o r c o m p re sió n ; si la c a rg a Pn es m e n o r q u e Pnb co n excentricidad Igualm ente, de a c u e rd o co n lo a n te s ex p re sa d o , la c a p a c id a d o c a rg a de diseño a la fa lla d e u n a c o lu m n a c o rta e sta rá c o n tro la d a p o r la tra c c ió n cuando <|>Pn se a m e n o r q u e (j)Pnb, es d ecir, q u e e s e a m a y o r q u e e b, y estará co n tro la d a p o r la c o m p re s ió n c u a n d o <|>Pn se a m a y o r q u e (j)Pnb, es decir, que e s e a m e n o r q u e e b . Por tanto, p ara la sec c ió n c o n tro la d a p o r la tra c c ió n c o n re fu e rz o sim étrico en las dos caras, c a d a u n a p a ra le la al eje d e fle x ió n y to d o el re fu e rz o en cada cara lo caliza d o a la m ism a d ista n c ia a p ro x im a d a d el eje d e flex ió n , la capacidad o c a rg a d e d ise ñ o a la falla esta rá d ad a por: m a y o r q u e e b , la falla se rá p o r trac ció n . 2 P ara la c a rg a b a la n c e a d a q u e los lim ita, así co m o p a ra lo s d o s casos antes e n u n c ia d o s, se h a n d e d u c id o las sig u ie n te s ex p resio n es; a) L a c a rg a b a la n c e a d a d e d ise ñ o (j)Pnb, es d ecir, c u a n d o la carg a y su e x c e n tric id a d p ro d u c e n la fa lla s im u ltá n e a d el a c ero a tracció n , del c o n c re to a c o m p re sió n y d e la a rm a d u ra a c o m p re sió n , se puede c a lc u la r u sa n d o la ex p resió n : <t>Pn = $ 0 .8 5 f ' bd l - e ' - pt + d 2 600 + L, 288 p a ra f y en M P a. dj ( 1- d^ dy + e' d en donde: e ' = ex c e n tric id a d d e la c a rg a m e d id a d e sd e el c e n tro id e d el re fu erz o en trac ció n . _ A st (^P„b = r 0 . 8 5 * p 1 * - - ® 0 0 - * f ' b d , + pt m' 1- l - 1 A„ á rea to ta l d el refu erzo á rea de la sec ció n 289 Estructuras de C oncreto I _ m = C apítulo 6 colum nas y 0 .8 5 1 ' 0Pno m'= m -l 0.80 ó d ' = d ista n c ia de la fib ra e x tre m a en c o m p re s ió n al centroide del re fu e rz o en c o m p re sió n . Ig u a lm e n te , cu a n d o la s e c c ió n e stá c o n tro la d a p o r la com presión con re fu e rz o sim é tric o en las d o s caras, c a d a u n a p a ra le la al eje de flexión y todo el re fu e rz o en c a d a ca ra lo c a liz a d o a la m ism a d ista n c ia a p ro x im a d a del eje de flex ió n , la ca p a c id a d o c a rg a de d ise ñ o a la fa lla e sta rá d ad a por: <t>Pn = <l> A sf y + 0.5 , M F ig u ra 6.9 Por tanto, en el d ise ñ o de u n a se c c ió n c u a lq u ie ra d e c o lu m n a d e co n c re to reforzado, se p u e d e e s ta b le c e r u n d ia g ra m a d e in te ra c c ió n c a lc u la n d o lo s bt*f' 3te O.90Mno puntos c o rresp o n d ien tes a (j)Pno, <|>Mno, <|>Pnb y a lg u n o s p u n to s a d ic io n a le s p or + 1.18 encima y p or d eb a jo d e 4>Pnb y de e sta m a n e ra e s ta b le c e r el fu n c io n a m ie n to de dicha secció n p a ra d iv e rsa s c o n d ic io n e s de ca rg a s y m o m en to s. d-d' en d o n d e A ' = á re a d el re fu e rz o en c o m p re s ió n y la m ism a nom enclatura u tiliz a d a en las e x p re sio n e s a n terio res. L a in fo rm a c ió n a n te rio r se v is u a liz a m á s fá c ilm e n te si se c o lo c a en un g rá fic o o d iag ra m a d e in te ra c c ió n , en d o n d e en las o rd e n a d a s se representan las ca rg a s ax iales, en las a b sc isa s los m o m e n to s, y se llam a Pno la carga ax ial de fa lla q u e p a ra d ise ñ o el R e g la m e n to la lim ita a 0 .8 0 o 0.85 de Pno, y M no cu a n d o la c a rg a ax ial e s cero ; a este re sp e c to el R e g la m e n to colom biano e sp e c ific a q u e “c u a n d o los v a lo re s de la c o m p re s ió n ax ial se a n bajos, el v a lo r d el c o e fic ie n te d e re d u c c ió n de re sis te n c ia (J> p u e d e aum entarse lin e a lm e n te h a sta 0 .9 en la m e d id a e n q u e <j)Pn d is m in u y a d e 0 .1 0 f c'A g ó <j)Pnb, el m e n o r de los dos, h a sta c e ro ”. L a p a rte d e la c u rv a e n tre a y b ó e n tre A y B c o rre sp o n d e a se c c io n e s c o n tro la d a s p o r la co m p re sió n ; el punto b o B c o rre sp o n d e a la co n d ic ió n b a la n c e a d a y la p a rte de la c u rv a entre b y c o e n tre B y C c o rre sp o n d e a se c c io n e s c o n tro la d a s p o r la tracció n . Basados en lo a n te rio rm e n te e x p u e sto se h a n e lab o rad o n u m e ro s o s g rá fic o s de ayuda para el d iseñ o , p u b lic a d o s e n tre o tro s p o r el In stitu to A m e ric a n o del C oncreto. A d ic io n a lm e n te , en la a c tu a lid a d e x iste n n u m e ro so s programas p ara u so en p ro c e sa d o re s a u to m á tic o s q u e fa c ilita n el tra b a jo de diseño que en e d ific io s co n m u c h a s se c c io n e s d e c o lu m n a s p u e d e re su lta r muy laborioso. Entre estos p ro g ra m a s se d e sta c a el e la b o ra d o p o r lo s in g e n ie ro s E d g ar Ardila R. y D a n ie l M o n ro y C. d e n o m in a d o “U N C O L ” co m o p a rte d e su proyecto de g ra d o “A n á lisis y d iseñ o d e c o lu m n a s de c o n c re to re fo rz a d o ” presentado en la U n iv e rsid a d N a c io n a l de C o lo m b ia en 1992. E n el p re sen te texto tam bién u tiliz a re m o s el p ro g ra m a R C B E cu y o a u to r es el in g en iero colombiano R ic a rd o E. B arb o sa. Finalmente, y d e a c u e rd o c o n lo ex p u e sto p o r alg u n o s au to re s, se recomienda u n fa c to r de se g u rid a d p ara el d ise ñ o d e c o lu m n a s v a ria b le en tre 2.5 y 3.0 de a c u e rd o al c rite rio d el d iseñ ad o r, q u e re s u lta su p e rio r al q u e se obtiene si se a p lica n lo s fa c to re s d e c a rg a d el C a p ítu lo B .2 del R e g lam en to colombiano, (1.2D + 1.6L ), q u e o b v ia m e n te , c o rre sp o n d e n a v a lo re s 291 Estructuras de C oncreto I C apítulo 6 colum nas m ín im o s q u e a d e m á s n o tie n e n en c u e n ta la in flu e n c ia d e la retracción de fra g u a d o y la flu e n c ia le n ta e n e le m e n to s ta n im p o rta n te s en la estabilidad d e las e d ific a c io n e s. que está d en tro d e lo s lím ite s p ro p u e sto s. 2 A c o n tin u a c ió n a lg u n o s e je m p lo s d e d ise ñ o d e c o lu m n a s c o rta s som etidas a c a rg a a x ial y m o m e n to s d e flex ió n . C hequeo d el c o n tro l d e la s e c c ió n p o r la fa lla a tra c c ió n o a c o m p re sió n Se o b tien e a p a rtir de la c a rg a b a la n c e a d a <j>Pnb: P r o b le m a 6.2 600 4 ^ = 4 ) * 0 .7 2 2 5 f c' b d p a ra f en M Pa. 600 + f. D ise ñ a r u n a se c c ió n re c ta n g u la r de c o lu m n a, p re d im e n sio n a d a de acuerdo co n lo ex p u e sto en el p ro b le m a 6.1, c o n b = 0 .3 5 m y t = 0.45 m, si se c o n s tru irá en c o n c re to d e f c' = 21.1 M P a y a c e ro d e re fu e rz o para f y = 240 M P a y d eb e so p o rta r las s ig u ie n te s c a rg a s y m o m en to s: R em p lazan d o : 600 (j)Pnb = 0 .6 5 * 0 .7 2 2 5 * * 2 1 1 0 0 * 0 .3 5 * 0 .3 8 6 0 0 + 240 C a rg a m u erta: PD L = 800.21 k N ; MDL = 3 9 .5 8 kN-m C a rg a v iv a: PLL = 2 0 0 .0 5 kN ; M LL = 9.89 kN-m T o tal: 1. P = 1 0 0 0 .2 6 k N M = <j>Pnb = 9 4 1 .3 6 K n 4 9 .4 7 kN-m de do n d e, si <j)Pn = Pu > 4>Pnb, la ca p a c id a d o c a rg a de d ise ñ o a la falla de la c o lu m n a e sta rá c o n tro la d a p o r la co m p re sió n . C o e fic ie n te d e c a rg a y fa c to r d e se g u rid a d D e a c u e rd o c o n lo e x p re sa d o , se p u e d e u s a r u n fa c to r d e seguridad de 2.5 p a ra la c a rg a m u e rta y u n fa c to r de se g u rid a d d e 3 .0 p a ra la carga v iv a, los cu a le s im p lic a n lo s sig u ie n te s c o e fic ie n te s d e carga: C a rg a m u erta: (j)Pn = Pu = 1 .6 2 5 * 8 0 0 .2 1 = 1300.34 kN C a rg a v iv a: (|)Pn = P u = 1 .9 5 * 2 0 0 .0 5 = 3 9 0 .1 0 kN 3. S o lución p o r la ec u a c ió n + fy *p„=p„=4 e d-d' (j)Pn = P u = U * 1000.26 = ^ , C o e fic ie n te d e carg a: tt 1690.44 t cn U = - p —p - z p = 1 .b9 1000.26 F a c to r d e seg u rid a d : F. d e S. = 1.69 L 6 0.65 292 r\ r + 0.5 3 te i i o — + 1.18 d2 1690.44 kN P o r tan to , el c o e fic ie n te de c a rg a y el fa c to r d e s e g u rid a d ponderados re su lta n te s serán: b t* f; en do n d e: 4 9 .4 7 k N - m e = --------------------- = 0.05 m 1 0 0 0 .2 6 kN d b = 0 .3 8 m ; = 0.35 m ; d' t = 2.6 293 = 0 .0 7 m = 0.45 m E structuras de C oncreto I 1690.44 C apítulo 6 colum nas A! *240000 = 0 .6 5 * 0.05 0 . 3 8 - 0 .0 7 + 0.5 ™ j fy 240000 o ,m = 0 .3 0 en d o n d e m = — —— = --------------------- = 13.38 pt 0 .8 5 fc 0 .8 5 * 2 1 1 0 0 0 .3 5 * 0 .4 5 * 2 1 1 0 0 3 * 0 .4 5 * 0 .0 5 ^ + 1.18 0.38 Pt = 0 .0 2 2 4 y A st = 0 .0 2 2 4 * 0 .3 5 * 0 .4 5 = 0 .0 0 3 5 2 8 m 2 Ag = 0 .0 0 1 5 9 5 m 2; A s t : es u su a l c o n s id e ra rla co m o 2 A ' A rm ad u ra: A s t = 2 A ; = 2 * 0 .0 0 1 5 9 5 = 0 .0 0 3 1 9 0 m 2 (3190 m m 2) Tam bién se p u e d e c o n c lu ir del g ráfico , u tiliz a d o co m o el d ia g ra m a de interacción q u e a n te s se ex p u so , q u e la sec c ió n e stá co n tro la d a p o r la com presión. A rm a d u ra : 4<j)l"+44>%" ( A st = 0 .0 0 3 5 8 8 m 2) • pt= 0 0 0 3 5 8 8 = 0 .0 2 2 8 p t 0 .3 5 * 0 .4 5 S e c o n c lu y e e n to n c e s q u e u tiliz a n d o lo s crite rio s p a ra u n a posible p re d im e n sió n p re lim in a r e x p u e sto s e n el p ro b le m a 6 . 1 , y n o ob stan te usar a h o ra u n fa c to r de s e g u rid a d in fe rio r al e m p le a d o en la o b ten ció n de las d im e n sio n e s, re su lta u n a s e c c ió n in su fic ie n te p a ra las c o n d ic io n e s esperadas cu a n d o se d ise ñ a p a ra c a rg a a x ial y m o m en to , co n firm á n d o se la re c o m e n d a c ió n e n el se n tid o d e q u e su u tiliz a c ió n co m o p re d im e n sió n para lo s c a so s d e n o rm al o c u rre n c ia n o es la m ás ap ro p ia d a. 4. U tiliz a n d o p a ra la s o lu c ió n d el p re se n te p ro b le m a g rá fic o s com o los q u e se m e n c io n a ro n , ta le s co m o los c o n te n id o s en la p u b lic a c ió n Guide fo r U ltim a te S tre n g h t D e sig n fo r R e in fo rc e d C o n c re te p o r C. S. W h itn e y y E. C ohén, resu lta: 44>1"+ 4<J>% " ( A st = 0 .0 0 3 5 8 8 m 2) 5. U tilizando el p ro g ra m a U N C O L 2.6 COLUMNA P ro b 6-2 UNCOL 2 .6 E.A.R .35 m H = rc= 2 1 .1 MPa fy = Pu= 1 6 9 0 .4 4 kN M ux = Pmáx = yPn = ro 1 6 9 0 .4 4 kN B= 1 690 kN .01 8 14 .45 m = 8 2 ,8 8 k N * m .0 0 2 8 9 5 m 2 CURUA DE INTERACCION = 0.84 q u e se a p ro x im a al v a lo r in fe rio r u tiliz a n d o d/t=0.80 Pu <j>fc'b t K = _ _ <j)fc' b t UNCOL 2.6 E.A.R. S e e n tra al g rá fico co n los v a lo re s e/t = 0 .0 5 /0 .4 5 = 0.111 K = .0 7 m 2 4 0 MPa S e id e n tific a el g rá fic o p o r u tiliz a r a p a rtir d el valor: Y= = 8 3 .6 0 k N * m As to ta l = yM n d' Pn fc'b t 1690.44 n700C = 0 .7 8 2 6 y se o b tien e: 0 .6 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .3 5 * 0 .4 5 J 295 C apítulo 6 colum nas E structuras de C oncreto I _______________ 6 . U tiliz a n d o el p ro g ra m a R C B E 6 .5 .3 E n g S o lU tio n s R C B V e ts io n 6.5.3 - tíc e n s e N o: A25036 .A30545 C o m p an y: JORGE SEGURA FRANCO « CIA S .e n C. P io je c t: U m ítle d _ _ E n g in e e r: J ORGE SEGURA FRANCO 0 6 * 0 :2 8 p .m . 0 2 *3 3 Q n C0LUHN: A - I ST 0 R Y : 1 P ro b lem a 6.3 Diseñar una s e c c ió n re c ta n g u la r de c o lu m n a p re d im e n sio n a d a p a ra b = 0.35 m y t = 0.45 m , y q u e d eb e so p o rta r las sig u ie n te s ca rg a s y momentos d istrib u id o s co m o sigue: sscr _ PHO - As (to*Z) 2914 Top Bot 1980 Bu cR li ng loai 0. 0185 LDCoab cr itical 1 0. 0126 1 Rce = 8 8 3 8 KN Pu (KM) 1690.66 1690.66 Hu3 m z Carga muerta: Carga viva: PD L = 2 0 0 .0 5 k N MDL = 8 0 .1 0 kN -m PLL = 50.01 k N M LL = 2 0 .0 2 kN -m Total: P (KN-*) 0.00 O. 00 (KW-fcl 83. 58 4S. S? 9 = 2 5 0 .0 6 k N M = 100.12 kN -m y los sig u ien tes m ateria le s: c o n c re to p a ra f c = 21.1 M P a y a c ero d e re fu erz o para fy = 240 M P a. 7. R e fu e rz o tra n sv e rsa l S u p o n ie n d o la c o lu m n a p e rte n e c ie n te a u n a e stru c tu ra c o n ca p acid ad de d isip a c ió n d e e n e rg ía m ín im a (D M I), se c o lo c a n e strib o s <t>%" a una s e p a ra c ió n m á x im a de la m e n o r d e las tre s sig u ie n te s e sp e cificac io n es: - 16 d iá m e tro s d e la b a rra lo n g itu d in a l = 16*19.1 = 3 0 5 .6 m m ~ 0.30 m - 48 d iá m e tro s d e la b a rra d el estrib o = 4 8 * 9 .5 - M e n o r d im e n sió n d e la s e c c ió n tra n sv e rsa l = 456 m m ~ 0.45 m = 350 m m ~ 0.35 m P o r tan to , se c o lo c a rá n estrib o $ % " c /0 .3 0 m , si no se re q u ie re u n a cantidad m a y o r p o r e sfu e rz o c o rta n te ; se c o n c e n tra rá n c e rc a de las v ig a s o losas en u n a lo n g itu d ig u al o m a y o r a u n se x to d e la lu z lib re d el elem en to , la m á x im a d im e n sió n d e la c o lu m n a o 0 .5 0 m ; en e stas zo n a s se colocarán s <j>%" c /0 .1 5 m . 296 1. C o eficien te de c a rg a y fa c to r de seg u rid a d C on el o b je to de c o te ja r re su lta d o s se u tiliz a n lo s m ism o s d el p ro b le m a 6.2, es d ecir, c o e fic ie n te d e c a rg a = 1.69 y fa c to r de s e g u rid a d = 2.6. Por tan to , (|)Pn = P u = 1 .6 9 * 2 5 0 .0 6 = 4 2 2 .6 0 kN . 2. C h eq u eo d el c o n tro l d e la se c c ió n p o r la falla a tra c c ió n o a c o m p re sió n C om o n o se h a n m o d ific a d o la se c c ió n n i lo s m a te ria le s, el v a lo r de <j)Pnb se rá el o b te n id o en el p ro b le m a an terio r, es d ecir, 9 4 1 .3 6 k N , de donde, si <j>Pn = Pu < (J)Pnb, la ca p a c id a d o c a rg a de d iseñ o a la falla d e la co lu m n a e sta rá c o n tro la d a p o r la ten sió n . 297 Estructuras de C oncreto I 3. C apítulo 6 colum nas S o lu c ió n p o r la ec u ació n En el g rá fico d /t = 0 .8 0 co n lo s v a lo re s e/t = 0 .4 0 /0 .4 5 = 0 .8 9 y \ r) r) 2 f l1 — e ' " <t>Pn=4) 0 .8 5 f¿ b d d 2 l m + Pt dy - e 'l f í i - l dy K = + — d ; = 0 .1 9 5 6 se o b tien e: 0 .6 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .3 5 * 0 .4 5 p tm = 0 .3 6 en d o n d e m = 13.38 en d o n d e: e = 1 0 0 .1 2 /2 5 0 .0 6 = 0 .4 0 m; p t = 0 .0 2 6 9 y A st = 0 .0 2 6 9 * 0 .3 5 * 0 .4 5 = 0 .0 0 4 2 3 7 m 2 e ' = e + (d - d ')/2 = 0 .4 0 + 0 .3 1 /2 = 0 .5 5 5 m d = 0 .3 8 m ; A rm ad u ra: 10 <() 1 ” ( A st = 0 .0 0 5 1 0 m 2) - a p ro x im a c ió n p o r e x c eso d ' = 0 .0 7 m 5. f» 240 m = — - — = ---------------- = 1 3 .3 8 ; 0 .8 5 f ' 0 .8 5 * 2 1 .1 U tilizando el p ro g ra m a U N C O L 2.6 m ' = m - 1 = 12.38 P rob 6-3 COIUMNA UNCOL 2.6 E.A.R .35 m H = fc = 21.1 MPa fy = Pu = 4 2 2 ,6 0 kN M ux = B = R e m p laza n d o : 422.60 = 0.65*0.85*21100*0.35*0.38* 0.555 pt ^ 0.38 2 / 1- x 0.555 x2 0.38 + P, 0.07^ 0.555 +12.38 1 0.38 0.38 Pmáx = 1 92 3,2 2 kN yPn = 4 2 2 ,7 7 kN ro = .032 yM n .45 m d’ = .07 m 2 4 0 MPa 1 6 9 ,2 0 k N *m = 169.5 k N * m As t o t a l = .0 0 5 0 4 5 m 2 SUGERENCIA : Coloque En cada by = En cada hx 3 b a rra s d e a p ro x /. .0 0 0 5 0 4 a d icio n e 2 b a rra s d e a p ro x /. m2 c /u 000504 m2 c /u Concentración (R efu erzo p o r u n id a d d e lo n g itu d ) = 1 .-. p t = 0 .0 2 9 8 4 , A s( = 0 .0 2 9 8 4 * 0 .3 5 * 0 .4 5 = 0 .0 0 4 7 0 0 m 2 CURUA DE INTERACCION | UNCOL 2.6 eTáTrT A rm a d u ra : 10 <j) 1” ( A st = 0 .0 0 5 1 0 m 2) pt = ^ = 0 .0 3 2 3 8 U. OO U.T J P ara este c a so d e g ra n e x c e n tric id a d co n u n a se c c ió n de columna A g = 0 .0 0 0 6 3 P , la c u a n tía d el re fu e rz o lo n g itu d in a l re su lta b astan te más alta d el 1 % , c o n firm á n d o se las re se rv a s so b re los criterio s de p re d im e n sió n d el p ro b le m a 6 . 1 , e s p e c ia lm e n te a m e d id a q u e aum enta la Colunna Probl 63 B= .35 n H; .45 h As - .00506? «2 po= .0322 tt b a rra s ; 10 f ' c ; 21.1 MPa fy = 240 MPa ex c en tricid ad . 4. S o lu c ió n p o r lo s g rá fic o s de la G u id e fo r U ltím a te S tre n g h t D esign for R ein fo rc e d C o n cre te p o r C. S. W h itn e y y E. C o h én 298 ííMn [ kN** I 299 Estructuras de C oncreto I _________________ 6 . C apítulo 6 colum nas U tiliz a n d o el p ro g ra m a R C B E 6.5.3 E n gS olU tiO ns R C B V e rsió n 6.5.3 - L ite n s e N o: A25036-A30545 C o m p a n y : JORGE SEGURA FRANCO 6 C IA S .e n C. P io je c t: U m itle d E n g in e e i: JORGE SEGURA FRAÑrft' 06:08:25 p.n, 02 03 5 ,» COLUJW: A - l STOBY: 1 DL p » 0 . 03 11 1— * Li-u B * »a‘— “ i _A I - 3.00 Lu - Z .78 c = 0.23 a Problem a 6.4 a a 1SOO a 1000 0.00 a r~ 5 00 JO Sec: Coiuaml. 71 b * 2S0.0 nn H * 4 S 0 . 0 ioí 100 J i D -- — ^ 200 -500 Diseñar una c o lu m n a c irc u la r co n a rm a d u ra lo n g itu d in a l en b a rra re d o n d a y transversal p rim e ro en e sp ira l y lu eg o en estrib o s, si fu e p re d im e n sio n a d a para un d iám etro D = 0.45 m c u a n d o se c o n sid e ra so m e tid a a u n a c a rg a P de 1000.10 kN y a u n m o m e n to d e 4 9 .9 5 kN -m , u tiliz a n d o lo s sig u ie n te s materiales: co n c re to p a ra f c = 21.1 M P a y a c ero de re fu e rz o p a ra fy = 240 TIES MPa. A SÍCT Toj> Bot As RHO L B Co ab fu (u>2) - criticar. <K»> 4937 1S7S Buckling load 7. 0 , 03 11 0.0100 0 Per = 8898 1 1 422,19 422.19 Muí Ku3 Solución Primero se d iseñ a p a ra a rm a d u ra tra n sv e rsa l en esp ira l y lu eg o p a ra estrib o s, IKR-*> 16 9.SI 96.76 O 00 0.00 K» a) A rm ad u ra lo n g itu d in a l en b a rra re d o n d a y tra n sv e rsa l en esp iral 1. C o eficiente de c a rg a y fa c to r de seg u rid a d : c o n sid e ra n d o q u e la arm adura en e sp ira l p ro v e e a la c o lu m n a de u n a m a y o r s e g u rid a d e n su fu n cio n am ien to , se u tiliz a n en este caso u n fa c to r de s e g u rid a d d e 2.5 que an tes se re c o m e n d ó co m o m ín im o p a ra el d ise ñ o d e c o lu m n as. P o r tanto: R e fu e rz o tra n sv e rsa l D e a c u e rd o co n el p ro b le m a an terio r, se c o lo c a rá n e strib o s <\>%" c/0 .3 5 m, si n o se re q u ie re u n a c a n tid a d m a y o r p o r e sfu e rz o c o rta n te y /o por c o n fin a m ie n to , y se c o n c e n tra rá n c e rc a de las v ig a s o lo sas en u n a longitud ig u al o m a y o r a u n sex to d e la lu z lib re d el elem e n to , la m á x im a dim ensión d e la c o lu m n a o 0 .5 0 m ; en e stas z o n a s se c o lo c a rá n s 300 " c/0 .1 5 m. U = F a c to r d e seguridad*(j) = 2 .5 * 0 .7 5 = 1.875 .-. <j)Pn = P u = 1 .8 7 5 * 1 0 0 0 .1 0 = 18 7 5 .1 9 kN 2. Para el c á lc u lo de la a rm a d u ra lo n g itu d in a l se u tiliz a n lo s g rá fic o s y a m en cio n ad o s de la G u id e fo r U ltim a te S tren g h t D e sig n fo r R ein fo rc ed C oncrete. 301 Estructuras de C oncreto C apítulo 6 colum nas E n el g rá fic o d/D = 0 .6 0 < (d/D = 0 .3 1 /0 .4 5 = 0 .6 9 ) co n los valor e/D = 0.111 y este caso es n o to ria la d ife re n c ia en el re su lta d o del U N C O L 2.6 e n el tratamiento de la s e c c ió n y m a te ria le s co n re sp e c to a o tro s p ro c e d im ie n to s aproximados. K= 1875.11 0.75 * 2 1 1 0 0 * 0.45 0 .5 8 5 2 , se o b tien e: 4 p (m = 0 .4 0 en d o n d e m = 13.38 .\ p t = 0 .0 3 0 A ., = 0 .0 3 0 * Para el d iseñ o d e la a rm a d u ra tra n s v e rs a l en esp iral, se u tiliz a la expresión de c u a n tía a n te s v ista 9 tt*0 452 -- - - - - - = 0 .0 0 4 7 6 9 m 2 4 A rm a d u ra : 13 <j)%" ( A st= 0 .0 0 5 0 3 1 m 2) i’ - - “ S e d e sta c a q u e p a ra c a rg a s ig u a le s y se c c ió n re la tiv a m e n te semejante, n o o b sta n te q u e se h a u sad o u n fa c to r de se g u rid a d in ferio r, la armadura re su lta su p e rio r a la c a lc u la d a p a ra la s e c c ió n del p ro b le m a 6 . 2 . 3. 6 -4 ESP I 1} * Í í - “ 8958 C om o p = — , en d o n d e Vc U tiliz a n d o el p ro g ra m a U N C O L 2.6 IC O LU M N A { b f - w » i~. * 1 0 0 0 V e = A s tcD c * --------, q u e p a ra <$>% resu lta: s UNCOL 2.62 E.A.R99 D iá m e tr o = fc = 2 1 .1 M Pa Pu = Pm áx .4 5 m 1 8 7 5 .1 9 = yPn = ro = kN d' = fy = .0 7 m V. = 7 1 * ^ * 3 7 0 * — y e s r\ 2 ^ o r7r\2 V = ^ * 1 0 0 0 = ” — *1000 = 107521260 m m 3 4 4 240 M Pa 9 3 .6 6 k N * m M ux = 2 0 3 2 .6 4 k N l8 7 5 k N .0 1 5 2 yM n = 9 4 .1 3 .0 0 2 4 1 1 A s to ta l = CURUA DE INTERACCION kN *m m2 s = 4 0 .4 9 m m , q u e se a p ro x im a a 0.04 m I UNC0L 2 6 E.A.R. A rm a d u ra tra n sv e rsa l: esp ira l $ % " co n p aso de 0.04 m . b. A rm ad u ra lo n g itu d in a l en b a rra re d o n d a y tra n sv e rsa l en e strib o s 1. C o eficien te d e c a rg a y fa c to r d e seg u rid a d : se u tiliz a el m ism o fa c to r de seg u rid ad d el p ro b le m a 6 . 2 co n el p ro p ó sito d e c o m p a ra r el d ise ñ o de co lu m n as re c ta n g u la re s y c irc u la re s c o n a rm a d u ra tra n sv e rsa l en estribos. C o e fic ie n te d e carg a: U = 1.69; F a c to r de seg u rid a d = 2.6 .-. (J)Pn = P u = 1 .6 9 * 1 0 0 0 .1 0 = 16 9 0 .1 7 kN 302 C apítulo 6 colum nas E structuras de C oncreto i CURVA DE INTERACCION | UNCOL 2 .6 E.A.R. 2. P ara el c a lc u lo d e la a rm a d u ra lo n g itu d in a l u tiliz a m o s los gráficos va m e n c io n a d o s d e la G u id e for U ltím a te S tre n g h t D e sig n for Reinforced C o n crete. jiPn t kN 1 20 00 E n el g rá fic o d /D = 0 .7 0 < (d/D = 0.73) c o n los v a lo re s e/D = 0.11 y Colunna Probl 64 1690.17 K = --------------------------0 .6 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .4 5 .45 m fls: .003104 m* ro= .0195 * barras: 8 f 'o : 21.1 MPa f s - 240 MPa „ „ AOC = 0 .6 0 8 6 , se o b tien e: p .m = C.4U en d o n d e m = 13.38 p t = 0 .0 3 0 MMn I kN*n 1 tt*0 452 9 A* = 0 . 0 3 0 * = 0 .0 0 4 7 7 1 m 2 st 4 3. A rm a d u ra: 13 <j> 7 /8 ” ( A st = 0 .0 0 5 0 3 1 m 2) U tilizando el p ro g ra m a R C B E 6 .5.3 EngSolU tioriS R C B V e rs ió n 6.5.3 . L Icense No: A25036-A30545 C om pany: JORGE SEGURA FRANCO * C IA S .en C. s e c c ió n re c ta n g u la r en el p ro b le m a 3. 6 .2 E n g ín e e i: JORGE SEGURA FRANCO 06:23:38 p .m . 02 03 2011 Pioject: Untltled T a m b ié n en este c a so ca b e a n o ta r q u e p a ra ca rg as aproxim adam ente ig u ales, á re a s s e m e ja n te s y u n fa c to r d e s e g u rid a d sim ilar, la armadura p ara c o lu m n a c irc u la r re s u lta m u y su p e rio r a la c a lc u la d a para una COLUMN: A- . U tiliz a n d o el p ro g ra m a U N C O L 2.6 CO LUMNA UNCOL 2.6 6 -4 EST .45 m d' = .07 m f ’c = 21.1 MPa fy = 2 40 MPa Pu = 169 0.1 7 kN Pmáx = 172 0.1 2 kN yPrt = 169 0.2 6 kN ro = .0191 D iá m e tro = 8 4.4 2 k N *m M ux = yM n SICT As RHO LI>CoBíb f*x*2) cricical Top 30S4 0.0192 1 1 Bot 1852 0.0116 Buchlmg load O Per * 8 4.8 4 k N 'm = .0 0 3 0 4 4 m 2 As to ta l = 5. 304 Pu <KN> 1690.22 1690.22 HuZ <KVnil 84 8? Ku3 (KM-ü) 0.00 A rm ad u ra tra n sv e rsa l: su p o n ie n d o la c o lu m n a ig u a lm e n te p e rte n e c ie n te a una e stru c tu ra c o n c a p a c id a d de d isip a c ió n d e e n e rg ía m ín im a (D M I), se co lo ca n e strib o s $ % " a u n a se p a ra c ió n m á x im a ig u al a la m e n o r de las tres sig u ie n te s e sp e cificac io n es: 305 C apítulo 6 colum nas E structuras de C oncreto I - 16 d iá m e tro s de la b a rra l o n g i t u d i n a l 16*22.2 = 355.2 m m ~ 0.35 ^ - 48 d iá m e tro s de la b a rra d el estrib o = 4 8 * 9 .5 = 4 5 6 - M e n o r d im e n sió n d e la se c c ió n tra n sv e rs a l = 0.45 0.45 m mm ~ m P o r tan to , se c o lo c a rá n e s trib o s s <|>%"c/0.35 m , si no se requiere una ca n tid a d m a y o r p o r e sfu e rz o c o rta n te y /o c o n fin a m ie n to , y se co n c e n tra rá n ce rca d e las v ig a s o lo sas en u n a lo n g itu d ig u al o mayor a u n sex to de la lu z lib re d el e le m e n to , la m á x im a d im en sió n de la c o lu m n a o 0 .5 0 m; en e stas z o n a s se c o lo c a rá e $ % " c /0 .1 5 m. C olum nas p a ra u n a e stru c tu ra c o n ca rg as g ra n d e s en la b ase y de localización en el in te rio r d e la p la n ta e stru c tu ra l d el e d ific io , a n iv e l de la cim en tació n . C olum nas p a ra u n a e stru c tu ra co n ca rg as p e q u e ñ a s en la b ase y de localización p e rim e tra l en la p la n ta e stru c tu ra l del ed ificio , a n iv e l del tramo m ás alto. Solución En ambos caso s, y te n ie n d o en c u e n ta q u e se tra ta de u n a p re d im e n sio n aproximada, se a d o p ta u n fa c to r de se g u rid a d d e 3 y las c o n d ic io n e s especiales m e n c io n a d a s de d ise ñ o q u e se fijan en c a d a o p o rtu n id ad : esto significa que p a ra c u a lq u ie r c o lu m n a p o r p re d im e n sio n a rse se d eb e n fijar estas co n d icio n es de a c u e rd o al p ro y e c to y a la lo c a liz a c ió n de la c o lu m n a en el m ism o, así: 1. Si la c o lu m n a tie n e ca rg a s g ra n d e s en la b a se (ed ificio s a lto s y /o lu ces grandes) d e b e rá te n e r v a lo re s d/t c e rc a n o s a la u n id ad , p o r e je m p lo d/t = 0.95; si a d e m á s su lo c a liz a c ió n es in te rio r en la p la n ta d el e d ific io , el v alo r de la e x c e n tric id a d e s p e q u e ñ o y p o r c o n s ig u ie n te el v a lo r de e/t p o d ría s e r d e 0 .1 0 . P o r o tra p arte, si se u sa pt = 0 .0 1 0 , e n el c a so de concreto p a ra f e = 21.1 M P a y a c ero co n fy = 240 M P a, se o b tie n e u n F ig u ra 6.12 T e n ie n d o en c u e n ta la n e c e sid a d de e fe c tu a r u n cuidadoso p re d im e n sio n a m ie n to d e las c o lu m n a s y h a b ie n d o co n stata d o las lim ita c io n e s d el s iste m a p ro p u e sto e n el p ro b le m a 6 . 1 , en el siguiente p ro b le m a se e x p o n e u n p ro c e d im ie n to u n tan to m ás a p ro x im a d o , pero que d e to d a s m a n e ra s e x ig e q u e lo s re s u lta d o s o b te n id o s se m an eje n con p ru d e n cia. valor d e p tm = 0 .1 3 3 8 . C o n estas e sp e c ific a c io n e s y d e lo s g rá fic o s antes u tiliz a d o s d e la G u id e fo r U ltím a te S tre n g h t D e sig n fo r R einforced C o n cre te , se ob tien e: K = 0 .7 6 = F deS * P A gf ' = 3P .-. 2110Q A g A 2 = 0 .0 0 0 1 8 7 P ~ 0 .0 0 0 1 9 P g En la m ism a fo rm a , p a ra f e = 2 1 . 1 M P a co n fy = 420 M P a y u n v a lo r de p t m = 0 .2 3 4 2 , se o b tie n e n de lo s m ism o s g rá fico s: P r o b le m a 6.5 O b te n e r u n a e x p re sió n p a ra el p re d im e n sio n a m ie n to d e c o lu m n a s con a rm a d u ra lo n g itu d in a l d el 1% de la se c c ió n , co n c re to p a ra f e = 2 1 . 1 M Pa y re fu e rz o s p a ra fy = 240 y 420 M P a, p a ra las sig u ie n te s co n d icio n e s de FdeS * P 3P K = 0 .8 3 = ———— - — A gf¿ 2110Q A g e stru c tu ra o b te n id a s a p a rtir d el a n te p ro y e c to a rq u ite ctó n ic o : 307 .-. Ap = 0 .0 0 0 1 7 1P ~ 0 .0 0 0 1 8 P 8 Estructuras de C oncreto I C apítulo 6 colum nas A sí q u e, p a ra u n a c o lu m n a c u a d ra d a de c a rg a p ro b a b le 5000 kN 1 d im e n sio n e s p re lim in a re s de su se c c ió n serán , en a m b o s caso*' h 0.9 5 x 0.95 m . ’ ae 2. S i la c o lu m n a tie n e ca rg a s p e q u e ñ a s, en el tra m o m á s alto el valor d/t Se ale ja rá de la u n id ad , p o r e je m p lo d /t = 0 .8 0 ; y si a d e m á s su localización es p e rim e tra l en la p la n ta del ed ific io el v a lo r de la ex cen tricid ad será g ra n d e y p o r c o n sig u ie n te el v a lo r d e e/t p o d ría se r de 0.5. Usando pt = 0 .0 1 0 en el caso d e c o n c re to p a ra f c = 21.1 M P a y acero para fy = 240 M P a se o b tie n e u n v a lo r d e p t m = 0 .1 3 3 8 p a ra el c u a l : FdpS*P K = a26 = ^ y 6 T = ™ ; Ag = 0 .0 0 0 5 4 7 P ~ 0.00055P 5 c capítulo. Efectos d e e sb e lte z en e le m e n to s a c o m p r e sió n continuación se tra n sc rib e n , ad ic io n a n d o co m en ta rio s, a lg u n o s d e los requerim ientos q u e trae el R e g la m e n to c o lo m b ia n o en su se c c ió n C .1 0 .1 0 a Se permite ig n o ra r lo s e fe c to s d e e sb e lte z en lo s sig u ie n te s casos: a) En elem e n to s s o m e tid o s a c o m p re s ió n d esp lazam ien to s la te ra le s cu an d o : no a rrio s tra d o s c o n tra M íl < 22 b) En elem en to s a c o m p re s ió n a riio s tra d o s c o n tra d e sp la z a m ie n to s laterales cuando: p t m = 0 .2 3 4 2 se o b tien e: f T d el p re sen te 5 E n la m ism a form a, p a ra f e = 2 1 . 1 M P a, a c e ro p a ra fy = 420 MP y K = a33 = ^ d isc u tid a s al c o m ie n z o 3P L FdeS*P uerdo con las e sp e c ific a c io n e s kP 3P = ¿ T lO Q A ; Ag = < 3 4 -1 2 D e m a n e ra q u e p a ra u n a c o lu m n a c u a d ra d a d e c a rg a p ro b a b le 200 kN las d im e n sio n e s p re lim in a re s d e su se c c ió n serán , en a m b o s casos, de 0 .3 0 x 0 .3 0 m. D e to d a s m a n e ra s y a u n q u e en a lg u n o s c a so s es p o sib le u tiliz a r los dos tipos de c a rg a s p a ra el p re d im e n sio n a m ie n to d el p rim e ro y ú ltim o tramo, in te rp o la n d o los in te rm e d io s, se re c o m ie n d a e sp e c ia l p ru d e n c ia en la a d o p c ió n d e las d im e n sio n e s d e las c o lu m n a s a p a rtir d e é ste o d e cualquier o tro p ro c e d im ie n to p o rq u e en la m a y o ría de lo s c a so s só lo se obtienen re s u lta d o s a p ro x im a d o s. P o r tan to , la v a lid e z de este p ro c e d im ie n to só lo lleg a h a sta las dim ensiones p re lim in a re s q u e p e rm ita n a n a liz a r la e stru c tu ra y o b te n e r las solicitaciones re a le s a p a rtir de las cu a le s e s p o sib le, u tiliz a n d o u n pro ced im ien to a p ro p ia d o co m o u n p ro g ra m a p a ra p ro c e sa d o r, lle g a r a las soluciones e sp e ra d a s, co n d istrib u c io n e s d el re fu e rz o en la se c c ió n q u e e sté n de a <40 v M 2y 0 .0 0 0 4 3 1 P ~ 0.00044P 5 Za, M, donde el térm in o M i/M 2 es p o sitiv o si la c o lu m n a está d e fle c ta d a en cu rv atu ra s im p le y n e g a tiv o si el elem e n to tien e c u rv a tu ra doble. A d icio n alm en te, M i /M 2 n o d eb e to m a rse m e n o r d e -0.5. & debe to m arse co m o la d ista n c ia lib re en tre lo sas d e p iso , v ig a s u o tro s elem entos ca p ace s de p ro p o rc io n a r a p o y o lateral en la d irec ció n considerada. C u an d o e x ista n c a p ite le s o c a rte la s en las c o lu m n a s, L d eb e medirse h a sta el e x tre m o in fe rio r d el ca p ite l o la ca rte la en el p lan o considerado. r, radio d e giro , se p u e d e to m a r c o m o 0 .3 v e c e s la d im e n sió n to ta l d e la sección en la d ire c c ió n en la cu a l se e stá c o n sid e ra n d o la e sta b ilid a d p a ra el caso de e le m e n to s re c ta n g u la re s y 0.25 v e c e s el d iá m e tro p a ra e le m e n to s circulares en c o m p re sió n . k, facto r de lo n g itu d efectiv a, se p u e d e e stim a r a p a rtir d e lo s á b a c o s de alineam iento de J a c k s o n y M o re la n d (fig u ra C R .1 0 .1 0 .1 d el R e g la m e n to colom biano) q u e p e rm ite n la d e te rm in a c ió n g rá fic a d e k p ara u n a c o lu m n a 309 E structuras de C oncreto I C apítulo 6 colum nas d e s e c c ió n tra n sv e rsa l c o n sta n te en u n p ó rtic o c o n v a rio s vanos. Como a p ro x im a c ió n se p u d e to m a r co m o la u n id ad . E l d iseñ o de los e le m e n to s a c o m p re sió n (c o lu m n a s y m u ro s), las vigas que le d an so p o rte lateral y los o tro s e le m e n to s d e so p o rte , cu a n d o los efectos de e sb e lte z no so n ig n o ra d o s, d eb e h a c e rse u tiliz a n d o la fu e rz a y los momentos m a y o ra d a s d e te rm in a d o s m e d ia n te u n a n á lisis d e se g u n d o o rd en de la estru c tu ra. E l a n á lisis d e se g u n d o o rd e n d eb e te n e r en c u e n ta la influencia d e la n o lin e a lid a d d e lo s m a te ria le s, la fisu ra c ió n d e los elem entos, la c u rv a tu ra d el elem e n to , las d e riv a s d e la e stru c tu ra , los efe c to s de duración d e las carg as, la re tra c c ió n de fra g u a d o y el flu jo p lá stic o del concreto y la in te ra c c ió n d e la e stru c tu ra c o n la c im e n ta c ió n s o b re la cu a l se apoya. Se p e rm ite u sa r las sig u ie n te s p ro p ie d a d e s p a ra lo s e le m e n to s de la estru c tu ra: a) M o d u lo d e e la stic id a d E c = 4 7 0 0 ^ ( s e c c ió n C .8.5.1) b) M o m e n to d e in ercia, I: Si las d im en sio n es de las s e c c io n e s de lo s e le m e n to s u tiliz a d o s en el an á lisis tienen v aria cio n es m a y o re s del 10% co n re sp e c to a las d im e n sio n e s q u e se muestran en lo s p lan o s, el a n á lis is d eb e rep etirse. por lo tanto, al d ise ñ a r lo s e le m e n to s so m e tid o s a c o m p re sió n p o r el procedimiento d esc rito , lo s e fe c to s d e e sb e lte z en lo s siste m a s a c o m p re sió n quedan ig u alm en te ev a lu a d o s. S in e m b arg o , el R e g lam en to a c ep ta, co m o alternativa, u tiliz a r p a ra esta e v a lu a ció n , el p ro c e d im ie n to a p ro x im a d o denominado “d e m a g n ific a c ió n de m o m e n to s ”. procedim iento d e m a g n ific a c ió n d e m o m e n to s Este p ro ced im ien to se b a sa en la d e sig n a c ió n de las c o lu m n a s y p iso s en u n a estructura co m o h a c ie n d o p a rte d e e stru c tu ra s co n d e s p la z a m ie n to s laterales (no arriostradas) o sin d e sp la z a m ie n to lateral (arrio strad as). Se perm ite s u p o n e r co m o a rrio stra d o (sin d esp la z a m ie n to lateral) a u n piso de una estru ctu ra si E le m e n to s en co m p re sió n : Q = C o lu m n a s 0 .7 0 Ig M u ro s no a g rie ta d o s 0 .7 0 Ig ag rie ta d o s 0 .3 5 Ig E le m e n to s a flex ió n : 0 .3 5 Ig P la cas p la n a s y lo sas p la n a s 0 .2 5 Ig u A 0 < 0 .0 5 V £ v us^c en donde: y Pu = Vus V ig a s yp A0 = c a rg a v e rtic a l m a y o ra d a en el p iso b ajo c o n sid e ra c ió n . = c o rta n te h o riz o n ta l m a y o ra d a d el piso. d e fo rm a c ió n lateral re la tiv a (d eriv as d e p rim e r o rd en e n tre la p a rte su p e rio r e in fe rio r d el p iso d e b id a a V us). c) A re a E l R e g la m e n to p re se n ta u n a alte rn a tiv a , a e le c c ió n d el d ise ñ a d o r, en la £c = lo n g itu d del ele m e n to en c o m p re sió n en u n p ó rtico , m e d id o ce n tro a ce n tro d e lo s n u d o s. sec c ió n C .10.10.4.1. 310 311 C apítulo 6 colum nas E structuras de C oncreto I P r o c e d im ie n to d e m a g n ific a c ió n d e m o m e n to s. E str u c tu r a sin C = 0 .6 + 0.4 M1 >0.4 v M 2y d e sp la z a m ie n to la ter a l L o s e le m e n to s a c o m p re sió n d e b e n d ise ñ a rse p a ra la fu e rz a a x ial mayorada Pu y p a ra el m o m e n to m a y o ra d o a m p lific a d a M c así: Mr = 8 M2 Donde el térm in o M i /M 2 es p o sitiv o si la c o lu m n a está d e fle c ta d a en curvatura sim p le y n e g a tiv o si el ele m e n to tien e c u rv a tu ra d o ble. P ara elementos co n c a rg a tra n s v e rs a le s e n tre lo s ap o y o s, Cm d eb e co n sid e ra rse como 1.0 donde El m om ento m a y o ra d o M 2, en la e c u a c ió n M c = 8 M 2 n o d eb e se r m e n o r 5= — ^ — > y 1.0 de: i- M 2, mín= Pu (1 5 + 0 .0 3 h ) 0.75P C en cada eje se p a ra d a m e n te , d o n d e 15 y h e stá n en m m . tt2EI P. = C Procedim iento de m a g n ific a c ió n d e m o m e n to s. E str u c tu r a co n desplazam iento la ter a l M E l d eb e to m a rse com o: Los m om en to s M i y M 2 en lo s e x tre m o s de u n e lem e n to in d iv id u a l a compresión d e b e n to m a rse com o: m = 0 . 2 E cI g + E sIse (l +Pdns) EI = M j = M lns + 8 SM ls 0 .4 E c I g M 2 = M 2ns+ 6 sM 2s (1+Pdns) en donde: E l term in o Pdns es la re la c ió n e n tre la m á x im a c a rg a a x ia l sostenida m a y o ra d a d e n tro de u n p iso y la m á x im a c a rg a a x ial m a y o ra d a aso ciad a con las m ism a c o m b in a c ió n d e ca rg a, p ero n o d eb e se r m a y o r de 1.0. En un p ro c eso de s im p lific a c ió n dice el R e g la m e n to c o lo m b ia n o q u e se puede s u p o n e r (3dns = 0.6 y en este caso E l en la ú ltim a e c u a c ió n q u e d a com o: E l = 0 .2 5 E cIg C o m o se e x p re so a n te s el v a lo r de k p a ra la lo n g itu d e fe c tiv a se puede c o n s id e ra r co m o 1.0 P a ra e le m e n to s sin c o n sid e ra rse co m o c a rg a s tra n s v e rs a le s e n tre lo s apoyos C m debe Mins y M 2ns: so n lo s m o m e n to s m a y o ra d o s en lo s e x tre m o s d el ele m e n to en com presión en lo s cu a le s a c tú a n M i y M 2 , d eb id o a ca rg as q u e n o cau san un d esp lazam ien to lateral ap re c ia b le , c a lc u la d o s p o r m ed io de u n an á lisis estructural e lá stic o de p rim e r o rd en . Mis y M 2s : so n lo s m o m e n to s m a y o ra d o s en lo s e x tre m o s d e lo s e le m e n to s en com presión en lo s c u a le s a c tú a n M i y M 2 , d e b id o s a ca rg a s q u e ca u san un d esp lazam ien to lateral ap re c ia b le , c a lc u la d o s p o r m ed io d e u n an á lisis estructural e lá stic o de p rim e r o rd en . Estructuras de C oncreto I C apítulo 6 colum nas M i: es el m e n o r m o m e n to m a y o ra d o de u n o de lo s e x tre m o s de u n elemento en c o m p re sió n , el cual se to m a co m o p o sitiv o si el e lem e n to presenta c u rv a tu ra sim p le y n e g a tiv o s i tien e c u rv a tu ra doble. M 2 : es el m a y o r m o m e n to m a y o ra d o en lo s e x tre m o s de u n elem ento en c o m p re sió n . E l v a lo r de M 2 es sie m p re p o sitiv o . 5 S: fa c to r d e m a g n ific a c ió n d el m o m e n to , d eb e c a lc u la rse co m o cinco ejes e stru c tu ra le s en lo s d o s se n tid o s (A -B -C -D -E y 1-2 -3 -4 -5 ) y lu ces ¡guales en c a d a d ire c c ió n d e 10 y 9 m e tro s re sp e c tiv a m e n te , d iseñ ar, utilizando co n c reto d e f c = 21.1 M P a y a c ero de a lta re siste n c ia p a ra f = 420 M P a e n d iá m e tro s d e 3 /8 ” a l ”, las c o lu m n a s ig u ales B 2, B 4, D 2 y p 4 en el tram o d e la c im e n ta c ió n al se g u n d o p iso , a p a rtir de lo s d ato s especificados en c a d a e ta p a y q u e se o b tu v ie ro n d el an á lisis estru c tu ra l c o rre s p o n d ie n te . 8 = — í— > 1 . 0 1 1-Q y es el fa c to r d e a m p lific a c ió n d el m o m e n to en p ó rtic o s no arriostrados c o n tra d e sp la z a m ie n to lateral p a ra te n e r en c u e n ta el d e sp la z a m ie n to lateral c a u sa d o p o r las c a rg a s g ra v ita c io n a le s y la te ra le s. S i el v a lo r calculado ex c ed e d e 1.5 el 5 S d eb e c a lc u la rse u sa n d o el a n á lisis e lá stic o de segundo o rd e n ó 8 1- 0 .7 5 1 P en donde: X Pu = es la su m a to ria d e to d a s las c a rg a s v e rtic a le s m a y o ra d a s en u n piso. £P = e s la su m a to ria d e to d a s las ca rg as c rític a s de p a n d e o de las c o lu m n a s q u e re sis te n el d e sp la z a m ie n to lateral d e u n piso. F ig u r a 6.13 A c o n tin u a c ió n se p re se n ta u n e je m p lo d e a p lic a c ió n d e a lg u n o s de los Solución c o n c e p to s en u n c ia d o s arriba. 1) P r o b le m a 6.6 E n u n a e stru c tu ra , co n c a p a c id a d m o d e ra d a d e d isip a c ió n de energía (D M O ), p a ra e sta c io n a m ie n to d e a u to m ó v ile s en d o s n iv e le s que se c o n s tru irá en lo sa a lig e ra d a e n d o s d ire c c io n e s so p o rta d a en c o lu m n a s y con c a p ite le s (retic u lar c e lu la d o ), co n siste m a s de p ó rtic o s e sta b le c id o s en los 314 D e sp la zam ien to s h o riz o n ta le s, d e riv a d e d ise ñ o y lím ite d e la deriv a. A u n q u e e s tric ta m e n te co n sid e ra d o , el tem a de la d e riv a n o es in d isp en sab le en el d ise ñ o d e las c o lu m n a s p ro p u e sta s, se in c lu y e a q u í porque su estu d io , ad e m á s d e se r u n a e x ig e n c ia d el R e g la m e n to co lo m b ian o en c u a lq u ie r d e sa rro llo estru c tu ral, se c o n sid e ra a so c ia d o con lo s e fecto s del s is m o re sp e c to de la d e fo rm a c ió n in e lá stic a d e los elem en to s, la e sta b ilid a d g lo b al de la e stru c tu ra y el d añ o de los Estructuras de C oncreto I C apítulo 6 colum nas e le m e n to s n o e stru c tu ra le s in sta la c io n e s, etc. ta le s co m o p a rtic io n e s, enchapados Ao (m m) 2PU (kN) (kN) 12^5 18506 4915 1 6 .5 8 18506 4915 pórticos — Ó ^T ídólíterái L a d e riv a m á x im a en c u a lq u ie r p u n to d el p iso i, se o b tien e como la d ife re n c ia e n tre los d e sp la z a m ie n to s h o riz o n ta le s to ta le s m áxim os del p u n to en el p iso i y lo s d e sp la z a m ie n to s h o riz o n ta le s to tales máximos de u n p u n to lo c a liz a d o en el m ism o eje v e rtic a l en el p iso i - i t ^ m ed io d e la sig u ie n te ecu ació n : ^ ¿ ^ m é r ic o Q O bservaciones 4000 0 .0 1 2 4000 0 .0 1 6 Piso arriostrado Piso arriostrado (m m ) P o r lo tan to n o se tie n e n en c u e n ta lo s e fe c to s g lo b a le s de esb e lte z. 3) Efectos locales de esbeltez Para ten er en c u e n ta lo s e fe c to s de e sb e lte z en e le m e n to s so m e tid o s a com presión se a n a liz a rá n lo s do s c a so s s e g ú n q u e se c o n sid e re n E n el sig u ie n te c u a d ro se re su m e n los re s u lta d o s an terio res: (mm) 6 .1 6 6 .1 6 Sentido numérico 8 .1 9 8 .1 9 (mm) (mm) 10.25 40 B2-B4 D2-D4 1 Sección kíu (m) (m) 0.55x0.65 3.25 K M, m2 (m) r ( N-m) ( N-m) 0.195 16.67 -56.23 96.04 1 Columnas Piso to 1% - (O.OlhpJ Pórtico e n s e n tid o lit e r a l £ Límite deriva máxima - 6.00 40.00 CM (mm) Sentido literal D eriva m áxim a Ai m áx £ i to P órticos D esp lazam ien tos relativos h orizon tales CM D esp lazam ien tos totales h orizon tales elásticos arriostrados o n o a rrio stra d o s c o n tra d e s p la z a m ie n to s laterales: Observaciones E l lím ite d e la d e riv a se h a to m a d o d e la tab la A .6.4-1 d el Reglam ento c o lo m b ia n o e n d o n d e el v a lo r hP¡ c o rre s p o n d e a la a ltu ra del piso i, m e d id a d esd e la su p e rfic ie d el d ia fra g m a d el p iso i (2o piso) hasta la su p e rfic ie d e l d ia fra g m a d el p iso in m e d ia ta m e n te in fe rio r (cim entación) 2) Columnas Piso B2- B4 D2-D4 1 Sección (m) K (m) (m) r M, ( N-m) m2 ( N-m) 0.65x0.55 3.25 0.165 19.70 -62.89 108.06 i -1 . No o b stan te In d ice d e estab ilid ad / ki \ — “ <22 Se c a lc u la p o r la ex p resió n : q K - 6.00 r?|J= Pórtico en sen tid o n u m é r ic o Observaciones 40.00 q u e las c o lu m n a s p ro p u e sta s m u e stra n u n v a lo r de k/ y — íl < M 3 4 _ i 2 — L , p o r lo q u e “se p u ed e ig n o ra r los efectos de e s b e lte z ” , se c a lc u la rá n a c o n tin u a c ió n co m o u n a m u e stra de Y P A su ap licació n . = ¿ f af k < 0,05 V US iv c en d o n d e el v a lo r A0 se h a o b te n id o de u n an á lisis elástico de Las c o lu m n a s d eb e n d ise ñ a rse p a ra la c a rg a a x ia l m a y o ra d a Pu y el m o m en to a m p lific a d o p o r e fecto s d e p a n d e o lo cal Me, u tiliz a n d o el p rim e r o rd e n u tiliz a n d o p a ra la lo sa en d o s d ire c c io n e s 0.25 Ig y co e ficien te de a m p lific a c ió n p o r e fe c to s lo c a le s d e p a n d e o 5 : p a ra las c o lu m n a s de so p o rte 0 .7 0 I g . =8M . 316 317 Estructuras de C oncreto I C apítulo 6 colum nas d o n d e el c o e fic ie n te lo cal d e a m p lific a c ió n , 5 , e stá d ad o por: A co n tin u ació n , lo s c u a d ro s re su m e n p a ra el c á lc u lo del m e n c io n a d o coeficiente. 5 = — % — > 1.0 10.75P C Sentido literal: columnas: 0.55x0.65; pdns= 0.85; k = 1; h =4.00; £ u = 3.25 m; L a c a rg a c rítica d e la c o lu m n a, P c, se d eb e c a lc u la r com o: P £,= 4 7 0 0 ^ MPa cm 112e i Tramo ' ■ ( w j L a rig id e z E l p a ra el c á lc u lo de la c a rg a c rític a d eb e to m a rse como: E I . °-2EA + E ^ 1 + P fc 2Cimiento oPiso " Mi M, m2 ^2 kN-m kN-m -56.23 173.5 -0.13 Cm 0.47 Pu= 1.625P kN 1285.2 0.40EcIg kN-m2 108616 El Pc Pcrit s/mat kN 7849 kN- m2 kN 58711 54902 o.7g>c 0.78 5 8 adoptado 0.60 1.00 Sentido num érico: columnas:0.65x0.55;pdns= 0.85; k = 1; h =4.00; ^ u =3.25 m; 6 1 + Pdns Ec=4700^/fJ MPa en donde: ■ I se = m o m e n to d e in e rc ia d el re fu e rz o co n re sp ecto al eje c e n tro id a l d e la se c c ió n tra n sv e rsa l d el elem e n to : e c TI Tramo Mi 2oPiso Cimiento -6 2 .8 9 m 2 M, 0 4 m ¿- Cm -0 .1 5 0.45 kN kN-m kN-m p dns= re la c ió n e n tre la m á x im a c a rg a ax ial sostenida m a y o ra d a d en tro d e u n p iso y la m á x im a carg a axial m a y o ra d a a so c ia d a c o n las m ism a c o m b in a c ió n de carga, p ero n o d eb e se r m a y o r de 1.0. 166.4 Pu= 0.40EcIg El kN-m2 kN- m2 77766 42036 1.625P 1232.7 Pcrit Pc kN s/mat kN 39239 7849 1— 0.73>c 8 0.79 0.57 8 adoptado 1.00 El v alo r P c se g ú n m a te ria le s c o rre sp o n d e a la re siste n c ia m á x im a de la colum na p o r su s p ro p io s m a te ria le s, c a lc u la d a p o r la ex p re sió n Pn = 0 .8 5 ^ (A g - A st) + A stf y p a ra u n a a rm a d u ra del 1% d e la secció n . E n lo s e le m e n to s sin c a rg a s tra n sv e rsa le s e n tre ap o y o s, C m debe to m a rse com o: C El v alo r de M 2 no d eb e se r m e n o r q u e M 2 mín = Pu (15 + 0 .0 3 h ) , c o n 15 y h en m m to m a d o c o n re sp e c to a ca d a eje in d e p e n d ie n te m e n te y =0.6 + 0 . 4 ^ M2 Pu = c a rg a a x ial m ay o ra d a. en d o n d e M i es el m e n o r d e lo s m o m e n to s m a y o ra d o s e n los extremos d e la c o lu m n a , p o s itiv o si el ele m e n to se d e fo rm a e n c u rv a tu ra sim ple y n e g a tiv o si se d e fo rm a co n c u rv a tu ra d o b le y M 2 es el m a y o r de los m o m e n to s m a y o ra d o s en los e x tre m o s, sie m p re p o sitiv o . E n este caso M 1/M 2 es n e g a tiv o , p o rq u e la c o lu m n a está d e fo rm a d a en curvatura doble. 318 4) D iseño d el re fu e rz o lo n g itu d in al Para el d ise ñ o p o r flex ió n b ia x ia l se u tiliz a en p rim e r térm in o , y con fines esp e c ia lm e n te d id á c tic o s, el m éto d o a p ro x im a d o d e sa rro lla d o p o r B oris B resler, el cu a l c o n siste en d ise ñ a r la c o lu m n a p a ra su ex c en tricid ad en ca d a d irec ció n , c o lo c a r u n a a rm a d u ra de 319 C apítulo 6 colum nas E structuras de C oncreto I c o m p e n s a c ió n y re v isa r p o r la fó rm u la d e in te ra c c ió n denominada “e c u a c ió n de B re s le r”. A c o n tin u a c ió n se p re se n ta n en c u a d ro s re su m e n los d ato s para el d ise ñ o p ro p ia m e n te d ich o en c a d a d ire c c ió n y la re v isió n de Bresler: D atos: correspondiente (5 = 1 .0 en este ejem p lo ) y m u ltip lic a d a s p o r 0 .9 3 q u e es el coeficiente q u e re la c io n a las p a rte s c o rre sp o n d ie n te s de las e c u a c io n e s C .9.5 (1 2D+1-0L) y C .9 .2 (1 .2 D + 1 .6 L ) en el e je m p lo p ro p u e sto , c o n la s fu e rza s internas p ro d u c id a s p o r las fu e rz a s h o riz o n ta le s o b te n id a s del an á lisis correspondiente y d iv id id a s p o r el c o e fic ie n te de ca p a c id a d d e d isip a c ió n de energía R (2.5 p a ra el s is te m a re tic u la r ce lu la d o en D M O ). E stas fu e rza s así obtenidas d eb e n c o m p a ra rse co n las c a lc u la d a s a p a rtir de las carg as verticales m a y o ra d a s y am p lific a d a s. P ó rtico se n tid o literal Revisión p o r el m é to d o d e la s c a r g a s r e c ip r o c a s d e B resler Columna Tramo Sección Pu = 1.625P B2-B4 D2-D4 P2 - Cto 0.55 x0.65 1285.2 m 2 173.5 8M2 Psu Msu 173.5 3.6 196.9 Adoptando un re fu e rz o d e 18 <t> 1 ” d e la s cu a le s 5 se c o lo ca n en 0 .5 5 m y aplicando: P ó rtic o s e n tid o n u m é ric o Columna Tramo Sección Pu = 1.625P B2-B4 D2-D4 P2 - Cto 0.65 x 0.55 1232.7 m 2 166.4 5M 2 Psu Msu 166.4 3.5 194.3 P2 - Cto 0.55x0.65 Pu 1285.2 Mu 358.3 Pt 0.0100 A st 0.003575 Refuerzo Sección P2 - Cto 0.65x0.55 E n e sta s ta b la s las in te rn a s d e b id a s a d ise ñ a d o r c o n sid e re a n á lisis e lá stic o d e Tramo Sección Arm. 8 <t>r P2Cto 0.55x0.65 18 f r P ó rtic o s e n tid o n u m é ric o Tram o 1 P 1 nO Pu 1285.2 a a en donde: = c a rg a n o m in a l de fa lla p a ra flex ió n b iax ial c o n e x c e n tric id a d e s ex y ey; Pnxo = carg a n o m in al de fa lla cu a n d o só lo e x iste ex c e n tric id a d en x : ex; Pny0 = c a rg a n o m in al d e fa lla c u a n d o só lo ex iste e x c e n tric id a d en y : ey; Pno = c a rg a n o m in a l d e falla p ara c a rg a axial. P ó rtic o s e n tid o literal Sección 1 = -----1 +^ — 1 — P P P rn nxO nyO Pn D iseñ o Tram o Consiste en o b te n e r <J>Pn a p a rtir d e d e la re la c ió n de ca rg as re c ip ro c a s así: Mu 349.1 Pt 0.0100 A st 0.003575 Refuerzo 8<M" ca rg a s Pu y Mu se o b tu v ie ro n su m a n d o las fuerzas c a rg a s v e rtic a le s m a y o ra d a s p o r u n fa c to r que el a p ro p ia d o (U = 1 .6 2 5 en este caso) y o b te n id a s de un p rim e r o rd en , a m p lific a d a s p o r el c o e fic ie n te local 320 As m2 0.00918 1 1 P *PnxO ^nxO 1nyO ^nyO kN 4548 0.000220 4072 0.000246 P„o 10102 1 Pn kN 0.000099 2724 kN 1771 La rev isió n re s u lta a d m isib le . E n este caso, p o r trata rse de e x c e n tric id a d e s grandes en a m b a s d irec cio n es, la a rm a d u ra a d o p ta d a re s u lta b astan te superior a la q u e se c a lc u ló en c a d a d ire c c ió n co n la su p o sic ió n de la existencia d e la flex ió n só lo en la d ire c c ió n c o n sid e ra d a . El m éto d o re su lta m ucho m e n o s o n ero so , c u a n d o las e x c e n tric id a d e s en té rm in o s d e e/t so n muy d e sig u a le s lle g a n d o h a sta la re c o m e n d a c ió n de a lg u n o s a u to re s en el sentido d e u tiliz a r el m é to d o de d ise ñ o p a ra flex ió n b iax ial so lo si la m e n o r excen tricid ad en té rm in o s d e e/t e x c e d e el 2 0 % d e la e x c e n tric id a d m ay o r. Por o tra p arte, y a d isc re c ió n d el d iseñ ad o r, el R e g la m e n to c o lo m b ia n o E structuras de C oncreto I Capítulo 6 colum nas UNCÜU.r "TaíT — P rob 6-6 .55 m x II f 'c = 21.1 MPa ^ || 4 2 0 MPa Pu = 1285.2 kN 1 B = = 4 8 9 9 .0 3 kN = 128 4.9 4 kN ro . m in = .01 d' = M uy = II Pmáx yPn .65 m 358 .3 k N *m yM nox = 731 .89 k N *m yM noy = .0255 ro . m ax = ro = Ecuación de B resler = .948 - .0 7 m s, = y o.20bcf; f Vg -1 V^ch J A sh% s, = 0 .0 6 b cf ' 349.1 k N *m 632.54 k N *m .04 -------------------C O N T O R N O D E CU RCO, Pu= 12 85.2 kN * f yt i COLUMNA A ^ s h 1 ta m b ié n p erm ite tra b a ja r las c o lu m n a s “p a ra u n e sta d o de esfuerz0s c a u sa d o p o r la c o n c u rre n c ia sim u ltá n e a d el 100% de las fu e rza s sísmicas en u n a d ire c c ió n y el 3 0 % d e la s fu e rz a s s ís m ic a s en la dirección p e rp e n d ic u la r”. 1 UNC0L 2 6 E.R.R. en do n d e: A . = 5 5 0 * 6 5 0 = 357500 m m 2 O A ch = ( 5 5 0 - 8 0 ) * ( 6 5 0 - 8 0 ) = 2 6 7 9 0 0 m m ; En el se n tid o x: A sh = 3 * 7 1 = 213 m m 2 bc = 5 5 0 - 2 * 4 0 = 470 m m 213*420000 s, = í 357500 ^ 0.20*470*21100* = 136.7 m m ~ 130 m m -1 V2 6 7 9 0 0 213*420000 So = 5) = 150.3 m m ~ 150 m m 0 .0 6 * 4 7 0 * 2 1 1 0 0 D iseñ o d el re fu e rz o tra n sv e rsa l En el s e n tid o y . R e q u isito s d e co n fin a m ie n to A sh = 4 * 7 1 = 284 m m 2 S e g ú n C .2 1 .3 .5 .7 d el R e g la m e n to c o lo m b ia n o , d eb e u tiliz a rse refuerzo en e strib o s de c o n fin a m ie n to d e a c u e rd o al sig u ie n te d iseñ o , a menos q u e se re q u ie ra n c a n tid a d e s m a y o re s p o r e sfu e rz o s c o rta n tes. U tiliz a n d o e strib o s re c ta n g u la re s, el á re a to ta l d e los e strib o s de c o n fin a m ie n to d e d iá m e tro m ín im o N o .3 d eb e s e r m a y o r de la que se o b tie n e p o r m ed io de las e c u a c io n e s sig u ie n te s, p a ra la s direcciones p rin c ip a le s de la se c c ió n d e la co lu m n a: 322 b c = 6 5 0 - 2 * 4 0 = 570 m m s, = 284*420000 0.20*570*21100* f 357500 ^ 1 267900 y 323 = 150.3 m m ~ 150 m m -1 E structuras de C oncreto I s„ 2 C apítulo 6 colum nas 284*420000 1C, Q ---------------------------- = 165.3 m m ~ 160 m m 0 .0 6 * 5 7 0 * 2 1 1 0 0 gl refuerzo d e c o n fin a m ie n to d e b e c o lo c a rse d e n tro de u n a d ista n c ia L a p a rtir d e la c a ra d el n u d o en a m b o s e x tre m o s de la c o lu m n a y en cualquier lu g a r d o n d e p u e d a p ro d u c irse p la stific a c ió n p o r flex ió n a so c ia d a m ed id a P o r tan to , la s e p a ra c ió n de lo s e s trib o s de c o n fin a m ie n to n o p u ed e ser mayor a 130 m m . E sto s e strib o s p u e d e n s e r se n c illo s o m ú ltip le s y se debe utilizar e s trib o s s u p le m e n ta rio s d el m ism o d iá m e tro d e b a rra y co n el mismo esp a c ia m ie n to . L o s e s trib o s s u p le m e n ta rio s n o d e b e n e s ta r sep arad o s o las ra m a s de lo s e strib o s m ú ltip le s n o d e b e n e sta r se p a ra d a s a m ás de 350 mm ce n tro a cen tro , en la d ire c c ió n p e rp e n d ic u la r al eje longitudinal del con los d esp la z a m ie n to s in e lá stic o s d el p ó rtico . L a lo n g itu d L n o p u e d e se r ele m e n to estru c tu ral. . 500 m m Por co n sig u ien te, se 650 m m a p a rtir de columnas, esta z o n a la losa de co n tra p iso A d ic io n a lm e n te , el R e g la m e n to c o lo m b ia n o e sp e c ific a q u e el refuerzo tra n sv e rsa l d e c o n fin a m ie n to d eb e c o lo c a rse a u n esp a c ia m ie n to que no ex ceda: 8 db d e la b a rra lo n g itu d in a l co n fin a d a d e m e n o r d iám etro : 8*25.4 = 203.2 mm 16 d b de la b a rra d el estrib o c e rra d o de c o n fin a m ie n to : 16*9.5 = 152 mm 1/3 d e la m e n o r d im e n sió n de la se c c ió n tra n sv e rsa l d e la co lu m n a: X*550 menor que: . la m á x im a d im e n sió n d el ele m e n to en la ca ra d el n u d o o e n el sitio d o n d e p u e d e o c u rrir la p la stific a c ió n p o r flex ió n . E n este p ro b le m a es 6 5 0 m m . . d e la lu z lib re d e la co lu m n a: } { * 3 2 5 0 = 542 m m c o n sid e ra u n a z o n a d e c o n fin a m ie n to de p o r lo m e n o s la c a ra d el n u d o . E n el caso d el p rim e r tra m o d e las d eb e p ro lo n g a rs e p a ra te n e r en c u e n ta la in flu e n c ia de s o b re la co lu m n a. Cuando el re fu e rz o d e c o n fin a m ie n to no se c o lo c a en to d a la lo n g itu d d e la columna, la z o n a d o n d e n o se c o lo c a d eb e te n e r re fu e rz o en e strib o s c o n la misma d isp o sic ió n , d iá m e tro d e b a rra y re siste n c ia a la flu e n c ia fy y su espaciam iento c e n tro a ce n tro no d eb e se r m a y o r d e do s v e c e s el espaciam iento u tiliz a d o en la z o n a d e c o n fin a m ie n to (260 m m en este caso) o 16 d b de la b a rra lo n g itu d in a l m ás p e q u e ñ a (406.4 m m ) o 48 d b d e la b arra de estribos (456 m m ) o la m e n o r d im e n sió n d e la sec c ió n d e la c o lu m n a (550 m m ). 150 m m L u eg o , la se p a ra c ió n c a lc u la d a de 130 m m es co rrec ta . C o m o u n a a lte rn a tiv a al d ise ñ o an terio r, d ice el R e g la m e n to N S R -1 0 que se p u e d e c o lo c a r e strib o s d e c o n fin a m ie n to de d iá m e tro N o .3 co n fyt =420 MPa y u n a se p a ra c ió n s d e 100 m m ; s i la d ista n c ia h o riz o n ta l e n tre dos ramas p a ra le la s d el estrib o es m a y o r q u e la m itad de la m e n o r d im e n sió n de la s e c c ió n de la c o lu m n a ó 200 m m , d e b e n u tiliz a rse e strib o s suplem entarios d el m ism o d iá m e tro y c a lid a d q u e s e a n n e c e sa rio s p a ra q u e e sta separación e n tre ra m a s p a ra le la s n o e x c e d a d e la m ita d d e la d im e n sió n m e n o r de la c o lu m n a ó 200 m m . E ste p ro c e d im ie n to so lo p u ed e e m p le a rse en columnas cu y o c o n c re to te n g a u n f Para el p ro b le m a q u e se ex p o n e , se u san lo s e strib o s de co n fin a m ie n to d e la alternativa, es d ecir, e strib o s d e b a rra N o .3 co n fy t = 420 M P a c o lo c a d o s cada 100 m m en u n a lo n g itu d d e m ín im o 6 5 0 m m , y d o n d e n o se c o lo c a refuerzo de c o n fin a m ie n to se p o n d rá n lo s m ism o s e strib o s a u n a se p a ra c ió n de 200 m m , co m o u n d ise ñ o p re lim in a r a la re v isió n p a ra co rtan te. c m e n o r o ig u al a 35 M P a. 324 325 E structuras de C oncreto I C apítulo 6 colum nas Cortante en la dirección x: R e q u isito s p a ra co rta n te E l <j>Vn d e las c o lu m n a s q u e re sis te n e fe c to s sísm ic o s, E, n o d eb e ser menor q u e el m e n o r de: a) L a su m a d el c o rta n te a so c ia d o c o n el d e s a rro llo d e lo s m om entos n o m in a le s d el ele m e n to e n ca d a e x tre m o re strin g id o d e la lu z libre y el c o rta n te c a lc u la d o p a ra ca rg as g ra v ita c io n a le s m ay o ra d as. C ortante en la colum na Para un d ia g ra m a d e c o rta n te c o n stan te , se ca lc u la § V s p a ra la z o n a no confinada o p a rte c e n tra l de la c o lu m n a co n lo s e strib o s c o lo c a d o s a la m ism a se p a ra c ió n d e la z o n a de c o n fin a m ie n to . A 1 ‘v = 3 * 0 .0 0 0 0 7 1 = 0 .0 0 0 2 1 3 m 2 bw = 0 . 5 5 m d = 0 .5 8 m s = 0 .1 0 m w w nr 0 .7 5 * 0 .0 0 0 2 1 3 * 4 2 0 0 0 0 * 0 .5 8 oonirllvT ♦v, = v u - 4.VC = -------------------- — ---------------------= 3 8 9 .15 k N ,j>Vc = <j>0.17^/Cbwd * 1000 = 0.75 * 0 .1 7 * V 2 L 1 * 0.55 * 0.58 * 1000 = 186.69kN ,j,Vs + (|>Vc = 5 7 5 .8 4 kN Con la m ism a se p a ra c ió n y e strib o s N o 4 se o b tien e w ^_ IWit + u' IVhb 4)VS = 70 7 .0 5 k N T» (j)Vs +(j>Vc = 8 9 3 .7 4 k N > V ex Pu F ig u r a 6.15 P o r lo tan to , p a ra la c a rg a P u ó <pPn = 1285.2 kN , o b te n e m o s de los d ia g ra m a s d e in te ra c c ió n lo s sig u ie n te s m o m en to s: (j)Mnox = 7 3 1 .8 9 kN -m M nox = 1125.98 kN -m y y <j)Mnoy = 6 3 2 .5 4 b) El co rtan te m á x im o o b te n id o de las c o m b in a c io n e s d e c a rg a de d iseñ o que in clu y e E, c o n sid e ra n d o E co m o el d o b le d e l p re sc rito p o r el títu lo A del R e g lam en to N S R -1 0 . En este caso, p o r e jem p lo , la co m b in a c ió n d e c a rg a d e fin id a p o r la ecuación kN -m . Luego M noy = 9 7 3 .1 4 kN -m . L o s v a lo re s de Vex y U = 1 .2 D + 1 .0 E + 1 .0 L Vey se c a lc u la n p a ra la a ltu ra lib re 3.25 m: queda: Vex = (1125.98 + 1 1 2 5 .9 8 )^ 3 .2 5 = 6 9 2 .9 1 kN Vey = (9 73.14 + 9 7 3.14) - 3 . 2 5 = 5 9 8 .8 5 k N U = 1 .2 D + 2 .0 E + 1 .0 L donde E es el v a lo r e sp e c ific a d o a rrib a m en cio n a d o Por lo tanto: 326 327 C apítulo 6 colum nas Estructuras de C oncreto I f .or7 0 Vex = 1 .2 * 1 7 .0 + 2 .0 * 8 8 .7 + 1 .0 * 7 .6 = 205.4 R esu lta n d o este v a lo r d e V ex m e n o r q u e 8 9 3 .7 4 p o r lo q u e se considera q u e el d ise ñ o allí e fe c tu a d o es v álid o . C o rta n te en la d ire c c ió n y A v = 4 * 0 . 0 0 0 1 2 9 = 0 .0 0 0 5 1 6 m 2 tra n sv e rsa l no d eb e s e r m e n o r q u e el re q u e rid o ur b s , , 0 .3 5 b s = 0 062-v/fc —5— p e ro no d eb e se r m e n o r a — . V-mi" ‘ fy, fyt por lo tanto, p ara u n e s p e s o r en el n u d o de 0 .4 0 m 2*129*420 = 586 m m s = ------------- .-----0 .0 6 2 * V 2 U * 650 bw =0.65 m s= d =0.48 m s = 0.10 m (se p arac ió n d e te rm in a d a en la d ire c c ió n V x) 2*129*420 p ero = 476 m m 0 .3 5 * 6 5 0 = 0 .7 5 * 0 .0 0 0 5 1 6 * 4 2 0 0 0 0 * 0 .4 8 = 7 8 0 19 v 5 por u v c 0.10 Se debe co lo car 2 e strib o s a 160 m m . Igualmente d en tro de la c im e n ta c ió n se c o lo c a n e strib o s co n e sp a c io s ig u ales y m enores a 476 m m , p a ra este caso e s c o g e m o s e strib o s N o 4 c/0 .2 2 5 . <()VC = * 0 . 1 7 ^ b wd * 1000 = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 U * 0.65 * 0.48 * 1000 <j)Vc = 1 8 2 .5 9 k N 4,Vs + 4)Vc = 9 6 2 .7 8 kN > V ey P o r o tra p a rte co n sid eran d o : U = 1 .2 D + 2 .0 E + 1 .0 L , resu lta: Vey = 1 .2 * 1 9 .1 + 2 .0 * 8 8 .8 + 1 .0 * 8 .6 = 209.1 y Vey es m e n o r q u e 9 6 2 .7 8 p o r lo q u e se c o n sid e ra q u e el diseño allí e fe c tu a d o es v álid o . R e q u isito s d el re fu e rz o tra n s v e rsa l en los n u d o s E l R e g la m e n to c o lo m b ia n o e s p e c ific a q u e en los n u d o s d e u n p órtico debe c o n fin a rse el co n c re to m e d ia n te la c o lo c a c ió n d e e strib o s adicionales, e sp ira le s o c o n c re to ex tern o . P a ra p ó rtic o s in te rm e d io s resistentes a m o m e n to c o n c a p a c id a d m o d e ra d e d isip a c ió n d e e n e rg ía (D M O ), el área de Figura 6.16 329 Estructuras de C oncreto I C apítulo 7 Sistem as de Losas Arm adas en Dos D irecciones Capítulo 7 SISTEMAS DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES 330 Estructuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones S IS T E M A S D E L O S A S A R M A D A S E N D O S D I R E C C I O N E S Tipos de lo sas Las losas se cla sific a n de a c u e rd o a su fo rm a d e a p o y o y c a ra c te rístic a s en dos grandes g ru p o s y su s c o rre sp o n d ie n te s su b g ru p o s, así: i - A poyadas o so p o rta d a s e n lo s b o rd e s II - A poyadas o so p o rta d a s en c o lu m n a s L o sa s m a c iz a s L o sa s m aciz as c o n áb a c o s o s o b re e sp e so re s y /o ca p ite le s de c o lu m n a L o sas a lig e ra d a s o re tic u la re s En las fig u ras 7 .1 .a y 7 .1 .b se m u e stra n lo s d ife re n te s tip o s d e lo sas, sin incluir aq u ellas a p o y a d a s s o b re el te rre n o u tiliz a d a s co m o cim e n ta c io n e s. 333 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I L o sa m a c iz a a rm a d a en d o s d irec cio n es s o p o rta d a en c o lu m n a s sin ca p ite le s L o sa m a c iz a a rm a d a en d o s d ire c c io n e s so p o rta d a p o r v ig a s en sus c u a tro b o rd e s L o sa m a c iz a a rm a d a en d o s d irec cio n es so p o rta d a en c o lu m n a s co n c a p ite le s y á b a co s L o sa a lig e ra d a a rm a d a en d o s d ire c c io n e s so p o rta d a en c o lu m n a s (retic u lar ced u lad o ) L o sa a lig e ra d a a rm a d a en dos d ire c c io n e s so p o rta d a p o r v ig a s en sus cu a tro b o rd e s F igura 7.1.b Figura 7.1.a 334 335 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I A c o n tin u a c ió n se tra ta rá el p rim e r g ru p o d e lo sas d o n d e su s paneles están a p o y a d o s en su s cu a tro b o rd e s so b re m u ro s o v ig a s ríg id a s an te deflexiones A v ertic ales. S istem a s de lo sa s e n d o s d ir e c c io n e s a p o y a d a s o so p o rta d a s sobre m u ro s o v ig a s ríg id a s A l so m e te r a c a rg a u n a lo sa c u a d ra d a o re c ta n g u la r so p o rtad a en su c o n to rn o , d ic h a c a rg a será lle v a d a a su s cu a tro b o rd e s pro d u cién d o se una su p e rfic ie d e fo rm a d a c u y a e x p re sió n m a te m á tic a -a p a rtir de la cual se p o d rían o b te n e r m o m e n to s flec to res, e s fu e rz o s d e c o rte y momentos to rsio n a le s- h a sid o o b te n id a p a ra d iv e rsa s c o n d ic io n e s d e borde, pero b a sá n d o se en h ip ó te sis de h o m o g e n e id a d y e la stic id a d q u e el concreto re fo rz a d o no cu m p le. P o r e sta ra zó n , p a ra el a n á lis is de e stas losas los m é to d o s e n u so se a p a rta n de la so lu c ió n m a te m á tic a elástica ; p o r una parte, se u sa n c o e fic ie n te s a p ro x im a d o s d e d u c id o s a p a rtir de an á lisis elásticos y d e re d istrib u c ió n in e lá stic a en lo s d e n o m in a d o s m é to d o s de los coeficientes y, p o r otra, se e stu d ia el c o m p o rta m ie n to in e lá stic o d el co n c re to reforzado en los d e n o m in a d o s m é to d o s p lá s tic o s d e a n á lisis y d iseñ o . L o anterior está de a c u e rd o co n la d is p o sic ió n d el R e g la m e n to q u e s o b re este tem a permite el an á lisis y d ise ñ o p o r c u a lq u ie r p ro c e d im ie n to q u e c u m p la las condiciones d e e q u ilib rio y c o m p a tib ilid a d g e o m é tric a , d e m o stra n d o a d e m á s que la re siste n c ia d e d ise ñ o es p o r lo m e n o s ig u al a la re siste n c ia re q u erid a. D e a c u e rd o c o n el a lc a n c e p re v isto d el p re s e n te tex to , só lo se expondrán b re v e m e n te las b a se s d e e sto s m é to d o s, re m itie n d o al le c to r co n necesidad d e p ro fu n d iz a r en su te o ría a la b ib lio g ra fía p re sen tad a. ' h Figura 7.2 La losa de la fig u ra 7.2, a rm a d a en d o s uniforme “q ” en k N /m 2, se c o n sid e ra franjas p aralelas en ca d a d ire c c ió n y d e intersecarse s o p o rta n p a rte d e la c a rg a q d ire c c io n e s y so m e tid a a u n a c a rg a c o n fo rm a d a p o r d o s c o n ju n to s de a n c h o u n itario , d o s de las cu a le s al en x y p arte en y , de m a n e ra que: q=qx+qy Las d eflex io n es m á x im a s d e las fran jas en el p u n to c o m ú n d e b e n s e r ig u ales y corresponder a e x p re s io n e s com o: Ax = k x(!.A .._. El A y = k yq / y _. J El en donde k x y k y c o rre s p o n d e n a las co n d ic io n e s de ap o y o , E es el m ó d u lo de elasticidad e I es el m o m e n to de in ercia. De las e x p re sio n e s a n te rio re s e ig u alan d o lo s m o m e n to s d e in e rc ia p ara ambas d irec cio n es se o b tien e, en fo rm a ap ro x im a d a: M é to d o s d e lo s c o e fic ie n te s L a m a y o r p a rte de e sto s m é to d o s se b a sa n en c o n sid e ra c io n e s com o la sig u ien te: km 4 q x = q -¡— i — ? k x + k ym y en d o n d e m = 336 337 < iy= % — kx f— * k x + k ym Estructuras de C oncreto i C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones U tiliz a n d o estas e x p re sio n e s p a ra id é n tic a s c o n d ic io n e s de borde v 1 c u a d ra d a co n m = 1 . 0 se o b tie n e q u e la c a rg a se re p a rte en p artes ig u a le s ^ c a d a d irec ció n ; d e la m ism a m an era, p a ra u n a lo sa d e ig u ales c o n d ic io n e s^ c a rg a p e ro de fo rm a re c ta n g u la r co n m = 0 .5 el 9 4 % de la carga ser* so p o rta d a en la lu z c o rta y só lo el 6 % en la lu z larga; en o tro s térm inos la lo sa id eal p a ra el arm a d o en dos d ire c c io n e s es la d e p a n e le s cuadrados y Su c o n v e n ie n c ia v a d ism in u y e n d o a m e d id a q u e a u m e n ta su rectangularidad de tal m a n e ra q u e para m = 0 .5 se d eb e a rm a r en u n a d ire c c ió n y en el sentido de la lu z co rta. P o r o tra parte, se rá m á s o b v io el a rm a d o en dos direcciones c u a n d o se a d e in te ré s re p a rtir la c a rg a o su s efecto s. El ra c io c in io a n te rio r es a p ro x im a d a m e n te v á lid o si se tra ta de franjas c e n tra le s a isla d a s; sin e m b arg o , la e x is te n c ia d e o tra s fra n ja s paralelas a los b o rd e s y a las c o n sid erad as, h a c e q u e éstas se a p o y e n n o so lo en los bordes sin o ta m b ié n en las fra n ja s o rto g o n a le s y en las p a ra le la s, dism inuyéndose su d e fle x ió n y p o r c o n sig u ie n te lo s m o m e n to s de flex ió n . P o r eso se puede d e c ir q u e la c a rg a en u n a lo sa d e e sta s c a ra c te rís tic a s la re su elv en no solo lo s m o m e n to s fle c to re s en a m b a s d ire c c io n e s sin o ta m b ié n lo s m om entos de to rsió n re su lta n d o los m o m e n to s m á x im o s re d u c id o s y facilitán d o se una re d is trib u c ió n in e lá stic a . A c o n tin u a c ió n u n e je m p lo d e ap lica ció n . B C Figura 7.3 Solución Como una p rim e ra a lte rn a tiv a p a ra la o b te n c ió n de u n esp e so r m ín im o de la losa se usa la ex p resió n : P r o b le m a 7.1 t _ p erím e tro lib re del p an e l > q Q9 m 180 D ise ñ a r u n a lo sa m a c iz a a rm a d a en d o s d ire c c io n e s a p o y a d a so b re vigas ríg id as. m t = 2 * ( 7 -55 + 8 . 4 0 ) _ Q 1 7 7 m ^ Q 1 8 m E n un p ro c eso d e só lo e v a lu a c ió n p re lim in a r, se tra ta de d ise ñ a r el tablero o p an e l in te rio r d e la fig u ra en lo sa m a c iz a a rm a d a en d o s direcciones so p o rta d a en to d o su c o n to rn o p o r v ig a s ríg id a s s o b re co lu m n as, si se c o n sid e ra q u e este p an e l h a c e p a rte de u n siste m a e stru c tu ra l m o n o lítico de c u b ie rta a c c e sib le d e u n s a ló n m ú ltip le p a ra u n c o n ju n to habitacional m u ltifa m ilia r de v a ria s luces, u tiliz a n d o c o n c re to de f c = 21.1 M P a y acero de re fu e rz o d e b aja re siste n c ia p a ra f y = 2 4 0 M P a. 338 180 Como o tra p o sib ilid a d en la o b ten ció n d el e sp e so r m ín im o de la lo sa, se pueden u tiliza r las s ig u ie n te s e x p re sio n e s d el R eg lam en to : a) Para a fm < 0 .2 se d eb e n c u m p lir lo s re q u isito s d e C .9 .5 .3 .2, c o rresp o n d ien tes al e s p e s o r m ín im o d e lo sas sin v ig a s in te rio re s en tre apoyos. 339 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I b) T a b la C.9.5(c) Espesores m ínim os de losas sin vigas interiores' P a ra 2 .0 > a fm > 0 .2 el e sp e s o r n o d eb e se r m e n o r que: h= S in á b a c o s ( P an eles ex terio res ^í°-8+¿ ] ^----------------¿ r > 125 m m 36 + 5 p [ a fm - 0 . 2 ] C.9-12 f, MPa (1) Sin v ig as de borde C o n v ig as de b orde (3)_____ c) P a ra a fm > 2.0 el e sp e s o r n o d e b e s e r m e n o r que: Ua8+¿, h = -A d) 280 420 - —2- > 90 m m 36 + 9P C.9-13 S i en los b o rd e s d isc o n tin u o s n o se c o lo c a u n a v ig a de b o rd e con una re la c ió n d e rig id e z a m a y o r d e 0.8, h a y n e c e sid a d d e au m en ta r en un d ie z p o r c ien to el e sp e so r re q u e rid o p o r la s e c u a c io n e s C .9 -1 2 o C.9-13 en el p a n e l co n el b o rd e d isco n tin u o . £n = lu z lib re e n la lo n g itu d larg a, en m m ; p = re la c ió n d e la lu z lib re la rg a a la corta; ay = re la c ió n de la rig id e z a la fle x ió n de la se c c ió n d e viga con re sp e c to a la rig id e z d e u n s e c to r de lo sa d e fin id o lateralmente p o r los e je s c e n tra le s d e lo s p a n e le s a d y a c e n te s (en caso de 520 733 y V' 7 30 728 V y y 736 733 731 C on ábacos ( P a n e le s ex terio res P an eles in terio res S in v ig as de b o rd e y y y y y y 736 736 733 733 731 /3 1 C o n v ig as de borde (3) y y y / 40 736 734 P an eles in terio res y y y 740 736 734 ♦Para construcción en dos direcciones, £ a, es la luz libre en la dirección larga, medida entre cara de los apoyos en losas sin vigas y entre caras de las vigas, para losas con vigas u otros apoyos en otros casos. (1) Para fy entre los valores dados en la tabla, el espesor m ínim o debe obtenerse por interpolación lineal. (2) Abaco, com o se define en C. 13.2.5. (3) Losas con vigas entre las colum nas a lo largo de los bordes exteriores. El valor de a f para la viga de borde no debe ser m enor que 0.8. Por tanto: q u e ex istan ) a a m b o s la d o s d e la viga; <xfm = v a lo r p ro m e d io d e a f p a ra to d a s las v ig a s ex iste n te s en los t _ luz lib re en la lo n g itu d la rg a _ 36 b o rd e s d e l pan el. S in e m b a rg o , co m o su u tiliz a c ió n im p lic a la ad o p c ió n d e u n a primera d im e n sió n , es p o sib le u sa r la T a b la C .9 .5 (c) d el R eg la m e n to , co m o si no e x istie ra n v ig a s in te rio re s, p a ra o b te n e r u n a d im e n sió n te n ta tiv a máxima e x istie n d o sie m p re la p o sib ilid a d , ta m b ié n co m o a lte rn a tiv a , d e comparar c o n las d e fle x io n e s m á x im a s p e rm is ib le s e sp e c ific a d a s en la T a b la C.9.5(b). 340 t=— 36 ” 36 = 0 .2 3 3 ~ 0 .2 4 m El espesor fin al q u e se ad o p te ta m b ié n te n d rá q u e v e r co n la m a g n itu d d e la carga v iv a y las cu a n tía s d e re fu e rz o esp e rad a s. P ara este e je m p lo se ad o p ta en form a p re lim in a r t = 0.21 m . P o r c o n sig u ie n te , las ca rg as a p ro x im a d a s serán: 341 Estructuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Refuerzo: C argas: P eso p ro p io d e la losa: 0 .2 1 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 4 A lista d o s y d esn iv ele s: 0 .0 4 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 Im p e rm e a b iliz a c ió n (c u b ie rta ): A fin a d o y cielo raso : 0 .0 2 * 1 .0 0 * 1 .0 0 * 2 2 = = = = 5.04 0 .8 8 0.15 0.44 S u b to ta l c a rg a m u erta: = 6.51 k N /m 2 C arg a v iv a: = T o tal: = kN /m 2 kN /m 2 k N /m 2 k N /m 2 D irección luz m enor: C onstantes para diseño: b = 1 .0 0 ; d = 0 .18; (?) d) M (kN-m) = 26.05 11.65 26.05 1.80 k N /m 2 (j)Mn = 1-5M = 39.08 17.48 39.08 8.31 k N /m 2 P= 0.005812 0.002543 0.005812 A s (m 2/m ) = 0.001046 0.000458 0.001046 U tiliz a n d o el p ro c e d im ie n to d e la S e c c ió n C .1 3 .9 - L o sa s en d o s direcciones a p o y a d as so b re m u ro s o v ig a s ríg id a s - d el R e g la m e n to v ig e n te (m étodo de lo s co e fic ie n te s), se d iv id e el p a n e l en c o n sid e ra c ió n e n c a d a dirección, en fran jas c e n tra le s cu y o an c h o es la m ita d d el p a n e l y m e d ia s franjas de c o lu m n a s c o n un an c h o ig u al a u n c u a rto d el p an e l, se g ú n la fig u ra 7.4. F ra n ja s cen trales: 0.0020*1.00*0.21 = 0.00042 m 2/m A s (m ínim o) = S uperior: Inferior: <j) l/2"c/0.12 (36) <j) 1/2” c/0.12 (36) (j> 3/8” c/0.155 (j> 3/8” c/0.155 (2 8 ) <}>3/8” c/0.155 D irecció n lu z m ay o r: / 7 55 P a ra u n a re la c ió n m = — = —— = 0 .8 9 9 ~ 0 .9 0 se calcula: £h 8.40 C o n sta n te s p a ra d iseñ o : b = 1 .0 0 ; d = 0 .17; ® © M o m e n to s n e g a tiv o s en lo s b o rd e s (T ab la C .13.5) M a (negativo) = 0 .0 5 5 * 8 .3 1 * 7 .5 5 2 = 26.05 kN- m M (kN-m) = 21.70 9.22 21.70 <J)Mn = 1.5M = 32.55 13.83 32.55 P= 0.005412 A s (m 2/m ) = A s (m ínim o) = 0.000920 S uperior: Inferior: 4> l / 2 ”c/0.14 (28) <J> 1/2” c/0.14 (28) (j> 3 /8 ” c/0.16___ <j>3/8” c/0.16 (2 4 )___ <}>3/8” c/0.16 M b (negativo) = 0 .0 3 7 * 8 .3 1 * 8 .4 0 2 = 2 1 .7 0 kN -m M o m e n to s p o sitiv o s (T ab las C .1 3 .6 y C. 13.7) M a (p o sitiv o c a rg a m u erta) = 0 .0 2 2 * 6 .5 1 * 7 .5 5 2 = 8.16 kN-m M a (p o sitiv o c a rg a viva) = 0 .0 3 4 * 1 .8 0 * 7 .5 5 2 = 3.49 kN-m M a (p o sitiv o total) = 11.65 kN-m M b (positivo c a rg a m u erta) = 0 .0 1 4 * 6 .5 1 * 8 .4 0 2 = 6 .4 3 kN-m M b (p o sitiv o c a rg a viva) = 0 .0 2 2 * 1 .8 0 * 8 .4 0 2 = 2 .7 9 kN-m M b (p o sitiv o total) = 342 0.002250 0.005412 0.000382 0.000920 0.0020*1.0*0.21 = 0.000420 m 2/m 9.22 kN-m 343 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I Refuerzo: 8.70 8 .4 0 Dirección lu z m enor: © © Superior: Inferior: M ed ia fr a n ja d e c o lu m n a s <1) l / 2 ”c/0 .1 7 (13 + 13) <t> 3 /8 ” c /0 .1 6 5 4> 1/2" c /0 .1 7 (13 +13) m ín: <j) 3 /8 ” c/0 .1 6 5 (12+ 12) 4> 3 /8 ” c/0 .1 6 5 Dirección lu z m ayor: F ra n ja © C e n tra l Superior: Inferior: <j> 1 /2 ”c /0 .2 1 (10 +10) <{) 3 /8 ” c/0 .1 6 5 <t> 1 /2 ” c/0.21 (10 +10) m ín: <j> 3 /8 ” c/0 .1 6 5 (10+ 10) <J) 3 /8 ” c/0.165 Esfuerzo cortante: M ed ia fr a n ja d e c o lu m n a s V (0.3 0 X 0.60) 2.10 2 .1 0 4 .2 0 Para el cálcu lo d e las re a c c io n e s, se u tiliz a la T a b la C .1 3 .8 en d o n d e p ara m = 0.90 en el c a so 2, el 6 0 % d e la c a rg a se tra n sm ite en la d ire c c ió n d e la luz m enor y el 4 0 % en la d ire c c ió n de la lu z m ay o r. El d ise ñ o d el e sfu erzo cortante p ara este e je m p lo d e lo sa m a c iz a se re d u c e a v e rific a r q u e p a ra el mayor esfu erzo n o se re q u ie re refu erzo . D irección lu z m en o r: F ig u r a 7.4 F r a n ja s d e co lu m n a : V (kN /m ) = 0 .6 0 * " ' 3 1 * 7-55 = 1 8 .8 2 18.82 L o s m o m e n to s en las fra n ja s d e c o lu m n a se re d u c e n lin e a lm e n te de su valor to ta l M a o M b en el lím ite de la fra n ja c e n tra l a X de e sto s v a lo re s en el b o rd e d el p an e l. E l re fu e rz o se c o lo c a rá a u n e s p a c ia m ie n to uniforme u tiliz a n d o u n m o m e n to p ro m e d io de % el c o rre sp o n d ie n te a las franjas ce n trales. P o r tan to , el á rea d e re fu e rz o se rá % d e la c o lo c a d a en la franja ce n tral, y p a ra las b arras d el m ism o d iá m e tro el e s p a c ia m ie n to será de /z i el u tiliz a d o en la fra n ja ce n tral, sie m p re y c u a n d o n o se e x c e d a el lím ite de esp a c ia m ie n to m á x im o y se te n g a e n c u e n ta la e sp e c ific a c ió n d e armadura V(d) (kN /m ) = 17.92 17.92 Vu = 1.5V = 26.88 26.88 105.34 105.34 Vu <c|)Vc m ín im a. 344 345 C dp itulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I D ire c c ió n lu z m ayor: V (k N /m )= 10. 40* V (d) (kN /m ) = j 13.36 0 01*0 4Q 2 — = 13.96 13.961 13.36: P a ra esta fu e rza de co rte, la fu e rz a c o rta n te re su lta inferior al o b te n id o en la d ire c c ió n d e la lu z m en o r. P o r tanto, las fuerzas c o rta n te s m a y o ra d o s re su lta n in fe rio re s a los re sistid o s p o r la losa. A m a n e ra d e ev a lu a c ió n d el e s p e so r ad o p ta d o , y sin te n e r en cuenta otras c o n sid e ra c io n e s in h e re n te s al p ro y e c to , se o b se rv a que éste resultó ap ro p ia d o , sin n in g ú n in c o n v e n ie n te d esd e el p u n to d e v ista de la fuerza c o rta n te y se o b tu v o u n a a rm a d u ra m u y p ró x im a a la m ín im a para el m o m e n to m e n o r en las fra n ja s c e n tra le s. S in em b arg o , al co lo ca r el refuerzo en las fra n ja s de c o lu m n a s se p re s e n ta la p o sib ilid a d d e h ab e r trabajado con u n esp e so r m en o r, lo q u e p o d ría sig n ific a r u n a u m e n to en la s deflexiones y p o s ib le m e n te en el to ta l d el re fu e rz o re q u e rid o . E n consecuencia, se m a n tie n e el e sp e s o r a d o p ta d o y , a m a n e ra de m u estra, se detalla la c o lo c a c ió n d el re fu e rz o , te n ie n d o en c u e n ta a lg u n a s especificaciones La c o lo ca ció n del re fu e rz o y su in te rru p c ió n o d o b laje d eb e h ac erse siguiendo lo s d ia g ra m a s d e fle x ió n y su s p u n to s de in fle x ió n respectivos. S in e m b arg o , p a ra te n e r en c u e n ta la p o sib le in d eterm in ació n en su o b te n c ió n , se re c o m ie n d a e sp e c ia l p ru d e n c ia en el d etallad o d el re fu e rz o a p a rtir de las n o rm a s u su a le s p a ra su colocación. El refu erzo p a ra m o m e n to p o sitiv o y el re fu e rz o p a ra m o m e n to negativo p e rp e n d ic u la re s a u n b o rd e n o c o n tin u o d e b e n e x te n d e rse en el ap o y o y a n c la rs e c o n o sin g a n c h o e n la s v ig a s, c o lu m n a s o m u ro s. En los p a n e le s e sq u in e ro s d eb e p ro p o rc io n a rs e u n re fu e rz o su p e rio r e inferior a lo larg o de u n a d ista n c ia e n c a d a d ire c c ió n ig u al a / 5 d e la lu z m ás larg a y d el m ism o c a lib re y esp a c ia m ie n to d el re fu e rz o p a ra el m áxim o m o m e n to p o sitiv o en el p an e l; el re fu e rz o su p e rio r d eb e ser paralelo a la d ia g o n a l d e sd e la e sq u in a y el re fu e rz o in ferio r, p erp en d icu lar a d ic h a d iag o n al. A lte rn a tiv a m e n te , el re fu e rz o d eb e co locarse en do s c a p a s p a ra le la s a lo s b o rd e s de la lo sa tan to en la p arte su p erio r co m o en la p a rte in fe rio r d e la losa. i /5 p artic u la res: 1/5 1- L a c o lo c a c ió n d el re fu e rz o se h ac e co n b a rra s paralelas y p e rp e n d ic u la re s a los b o rd e s. E l re fu e rz o p o sitiv o c o n sta de dos capas, p o r lo q u e se su g ie re d e ta lla r e s p e c ia lm e n te su p o sició n a fin de \ p re v e n ir la c o lo c a c ió n in d isc rim in a d a de u n a y o tra. 2 - P ara el re fu e rz o n e g a tiv o en lo s b o rd e s no c o n tin u o s se considera el m o m e n to n e g a tiv o co m o u n terc io d el m o m e n to p o sitiv o en la misma d ire c c ió n , y el re fu e rz o así co lo c a d o so lu c io n a rá la p o sib le restricción F ig u r a 7.5 e x iste n te en e sto s bo rd es. 3 - As s e g ú n C. 13.3.6 b a r r a s s u p e rio re s e in ferio res El á rea de re fu e rz o en c a d a d ire c c ió n no d eb e se r m en o r que la n e c e sa ria p a ra re tra c c ió n de fra g u a d o y v a ria c ió n d e tem p eratu ra, y su e sp a c ia m ie n to n o d eb e se r m a y o r d e d o s v e c e s el e sp e s o r de la losa. 346 347 Estructuras de C oncreto I Capítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones so CN NJ B-B Franja de C olum nas (luz m ay o r) © Sección © © i o CO Ntco ó o O LO co o o o o LO CO CN CN 0 + 0 v£> + vO II J II J o -4 O o CO CO S F igura 7.6 a Figura 7.6 b 348 349 Estructuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones El peso de la losa será: (7.55 * 8.40 * 0.35 - 90 * 0.71 * 0.71 * 0.26) * 24 = 249.60 kN P r o b le m a 7.2 D iseñar una losa aligerada arm ada en dos direcciones apoyada sobre vigas por lo tanto, las cargas aproxim adas serán: C on el m ism o alcance de sólo evaluación prelim inar, resolver el problema 7.1 utilizando un sistem a de losa aligerada con bloques de concreto en dos direcciones, utilizando el m ism o concreto de f c = 21.1 M Pa y acero de refuerzo de alta resistencia para f y = 420 M Pa, a fin de tener en cuenta la concentración de refuerzo en las nervaduras. Afinado y c ie lo raso: S o lu ció n A partir del espesor obtenido en el problem a anterior, se adopta un espesor tentativo teniendo en cuenta el tam año de los aligeram ientos que define la separación de las viguetas. armada = = = = 3.94 0.88 0.15 0.44 Sub total carga m uerta: = 5.41 kN /m 2 C arga viva: = 1.80 kN /m 2 = 7.21 kN /m 2 Peso propio de la losa: Alistado y d e sn iv e le s: 249.60 -^-(7.55*8.40) 0.04*1.00*1.00*22 Im perm eabilización (cubierta) 0.02*1.00*1.00*22 Total: kN /m 2 kN /m 2 kN /m 2 kN /m 2 © 0 .3 d 4 Para el procedim iento del problem a anterior, se divide el panel en consideración en cada dirección, en franjas centrales cuyo ancho es la m itad del panel (4 viguetas) y m edias franjas de colum nas con un ancho igual a un cuarto del panel (2 vig u etas). 8 .4 0 1 s 1 ------VTA B r© o R o R R| ” o B O.IO 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 o.io 0.10 0.75 0.75 0.75 . 0.75 . 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 .0.75 . |3----VTA A o R VTA A VTA VTA VTA A VTA B VTA < B 01 < f, 1 6 t « I- o R A_ 1 «H r- f- < $ % < < S - 5E 0.10 CORTE 1-1 A 1 - o < < 0.10 M om entos negativos en los bordes (Tabla C.13.5) M a (negativo) M b (negativo) = 0.055*0.85*7.21 *7.552 = 19.21 kN-m = 0.037*0.85*7.21 *8.402 = 16.00 kN-m < % i y i 7 55 Para una relación m = — = —— = 0.899 ~ 0.90 se calcula: £b 8.40 J'JO. * 0.3 0 © ° r Franjas ce n tra les 0.3C i A 0.10 0.75 L 0.10 0.75 0.30 M om entos positivos (Tablas C .13.6 y C.13.7) r-. M a (positivo carga m uerta) = 0.022*0.85*5.41*7.552 = 5.77 kN-m Ma (positivo carga viva) = 0.034*0.85*1.80*7.552 = 2.97 kN-m PLANTA F igura 7.7 350 M a (positivo total) = 8.74 kN-m 351 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I M b (positivo carga m uerta) M b (positivo carga viva) 0.014*0.85*5.41 *8.402 0 .0 22*0.85*1.80*8.402 M b (positivo total) = 4 -54 kN-m Franjas de co lu m n a : = 2.38 kN.m = _M 2 k Ñ ^ R efuerzo: Los m om entos en las franjas de colum na se reducen linealm ente de su valor total Ma o M b en el lím ite de la franja central a X de estos valores en el borde del panel. El refuerzo se colocará para un m om ento prom edio de % el correspondiente a las franjas centrales. Refuerzo: D irección luz m enor: C onstantes para diseño: b = 0.10; d = 0.32; <|)Mn (máx) = 50.3 kN-m Dirección luz m enor: 0) © 8.74 13.11 (|)Mn = 1.5M = 19.21 28.82 P= 0.008246 0.003537 0.008246 A s (m2) = 0.000264 0.000113 0.000264 Superior Inferior 1 <J>5/8” + 14> 1/2” M (kN-m) = 1 4> 1/2” ________ 28.22 1 1 4> 1/2” 5/8” + 14> 1/2” 1 4>1/2" 4>Mn = 1.5M = b.000176 0.000176 o.jjGetífs As (mín) = 0.000106 m2 4> Superior: 4> Inferior: 14>l/2”+14>3/8” 14>l/2”+14>3/8’ 1 4) 1/2’ 1 4> 1/2” _____ 1 4> 1/2” D irección luz m ayor: A s (m2) = © 6.92 10.38 0.000149 0.000149 o m m i As (míriD=0.000102 m2 <§> 16.00 24.00 As (m2) = © D irección luz m ayor: C onstantes para diseño: b = 0.10; d = 0.31; 4>Mn (máx) = 47.2 kN-m M (kN-m) = <D O 19.21 16.00 24.00 4>Superior: 4>Inferior: 1 4> 1/2” + 1 4> 3 /8 ” 1 4> 1 /2 ” 1 4> 1/2” + 1 4> 3 /8 ” 14) 1 /2 ” 1 4) 1 /2 ’ Fuerza co rta n te: P = 0.007221 A s (m2) = 0.000224 Superior: Inferior: 2 4) 1/2” 1 4> 1/2” 0.002961 0.007221 0.000092 0.000224 1 4> 1/2” 352 2 4) 1/2” 1 4) 1/2” Para el cálculo de las reacciones se utiliza la T abla C .13.8 en donde para m = 0.90 en el caso 2, el 60% de la carga se transm ite en la dirección de la luz m enor y el 40% en la dirección de la luz m ayor. Estructuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones D irección luz m enor: O 0 .8 5 - 7 .2 1 * 7 .5 5 = 1 1 = V (d)(kN ) = 12.70 12.70 V u = 1.5V = 19.05 19.05 +VC = 18.73 18.73 Estribos: 6 e (j) Va ”c/0.15 ídem t- e <|) Va ” c/0.35 hasta donde ex ista refuerzo superior (luz me n o r ) 43.88 de Col umnas V (kN) © = V(d) (kN) = 1.5V = V u = ii £ Estribos 0.40* 0-85*7.21*8.40 = 10 30 9.54 10.30 9.54 14.31 14.31 18.14 18.14 6 Vigueta <§> V (kN) 2 - Franja D irección luz m ayor: ídem ” c/0.15 + e (J>V a” c/0.35 hasta donde exista refuerzo superior A partir de los resultados anteriores, se concluye en principio que el espesor adoptado es apropiado. A l efectuar el diseño definitivo es posible tener en cuenta otros factores que perm itan ratificar o cam biar este espesor. A continuación el detalle del refuerzo obtenido. Figura 7.8a 354 355 Estructuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones gn este capítulo, y para el tipo de losas apoyadas o soportadas en los bordes sobre m uros o vigas rígidas, el R eglam ento colom biana acepta com o métodos plásticos de análisis y diseño apropiados, el m étodo de las líneas de fluencia (m étodo cinem ático de frontera superior), y el m étodo de las franjas (método estático de frontera inferior), en los cuales, los principios de equilibrio y com patibilidad de deform aciones pueden verificarse directamente a partir del análisis o indirectam ente a partir de la capacidad de deformación en los sitios donde se presentan las articulaciones plásticas o la fluencia. En el uso de estos m étodos debe tenerse en cuenta la capacidad de rotación de las secciones y las cuantías m áxim as de refuerzo longitudinal que se pueden em plear y que el R eglam ento lim ita a una deform acin unitaria neta a tracción s, m enor de 0.0075. Por tratarse de un m étodo de frontera superior, en com paración con el denom inado m étodo de los coeficientes, solamente se expondrá en el presente texto el m étodo de las líneas de fluencia. V ig u e ta B - Franja de C o lu m n a s (luz m ayor) IVÍétodos p lá stic o s d e a n á lisis y d ise ñ o M étodo de la s lín e a s d e flu e n c ia En los capítulos anteriores estudiam os el cálculo de losas de concreto reforzado con base en sus m om entos y esfuerzos obtenidos a partir del comportam iento elástico de los m ateriales y el diseño por el m étodo de la resistencia últim a que tiene en cuenta las deform aciones inelásticas que se presentan en estos m ism os m ateriales en el instante de la falla. E sta aparente incongruencia, que con factores de seguridad apropiados constituye un método generalizado de cálculo, ha m otivado el estudio de procedim ientos que obtengan los m om entos teniendo en cuenta el com portam iento inelástico de los m ateriales, y a este grupo pertenece el denom inado m étodo de las líneas de fluencia. Consecuentem ente con lo expresado al principio de este capítulo sobre el alcance del presente texto, sólo se hará una breve referencia a las bases de este m étodo, deteniéndose en su aplicación para un m odelo de diseño. Por tanto, al estudiar el com portam iento de una losa sim plem ente apoyada en una dirección, se encuentra que el acero de tracción entra en fluencia a lo Figura 7.8b 356 357 Estructuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones largo de la línea transversal correspondiente al m om ento positivo máximo aum entándose allí la deform ación en una m agnitud m uy superior a lá deform ación elástica de la losa, por lo que a esta deform ación en la línea de fluencia se la denom ina deform ación plástica. Para una estructura indeterm inada, com o puede ser la m ism a losa anterior em potrada en sus apoyos y suponiéndola igualm ente reforzada para m om entos positivos y negativos, las prim eras líneas de fluencia se producen a lo largo de los apoyos, y el hundim iento de la losa sólo se presentará al form arse una tercera línea de fluencia coincidente con la línea transversal del momento positivo m áxim o. P or tanto, la relación de 1:2 inicialm ente existente entre los m om entos positivos y negativos elásticam ente obtenidos ha variado, lográndose una redistribución inelástica de los m om entos debida a la deform ación tam bién inelástica que se presenta en la losa y que en buena parte depende de la cuantía relativam ente baja de la arm adura que le permite giros y deform aciones antes de la falla por com presión en el concreto. p r o b le m a 7 . 3 gesolver el problem a 7.1 utilizando el m étodo de las líneas de fluencia. Solución Se utiliza el m ism o predim ensionam iento con un espesor de t = 0.21 m y, por consiguiente, la m ism a carga q = 8.31 kN /m 2. Para entrar a las tablas mencionadas se calcula el valor de k: 7 85 k = — 7 = 0.9023. Con este valor y en la tabla para el Caso 2, al cual 8.70 se asim ila el panel que se diseñó, se obtiene: qk2L2 = 5 1 2 .0 8 m q k 2L2 U na vez supuestas las posibles líneas de fluencia de acuerdo a elementales criterios de funcionam iento estructural, su situación exacta y la carga de falla de la losa se obtienen por dos procedim ientos universalmente aceptados: el m étodo del equilibrio que, com o su nom bre lo indica, se basa en el equilibrio de los segm entos de losa resultantes estudiados para las cargas aplicadas, los m om entos a lo largo de las líneas de fluencia y las reacciones en los apoyos, y el m étodo de los trabajos virtuales, que se basa en la relación existente entre el trabajo externo que produce un pequeño aum ento en las cargas y sus correspondientes deform aciones, y el trabajo interno efectuado por la losa, es decir, una relación entre las cargas y los m om entos resistentes. C om o y a se anotó, el presente texto se lim ita a hacer las breves referencias anteriores, con un m odelo de aplicación utilizando las tablas anexas al texto publicado por la U niversidad N acional, Introducción al análisis plástico de estructuras de concreto reforzado, del profesor E nrique K erpel K., con la advertencia del m ism o autor en el sentido de que las soluciones allí tabuladas corresponden a una de las m últiples soluciones correctas del problem a propuesto. C om o m odelos, se utilizarán los problem as 7.1 y 7.2 antes estudiados. 358 qk L‘ = 0.02349; m = 12.03; m3, qk L‘ = 0.01381 pm = 7.07; ^ = -0 .0 3 3 9 8 ;m', = m i = -1 7 .4 0 2 ^ 2 = -0 .0 2 0 0 1 ; m¡ = m', = -1 0 .2 5 qk L‘ Diseño sentido kL: Constantes para diseño: b = 1.00; d = 0.18; (j)Mn (máx) = 183.8 kN-m (D (D M (kN-m) = 17.40 <j)Mn = 1.5M = 26.10 12.03 18.04 17.40 26.10 P = 0.003829 0.002626 0.003829 As (m2/m) = As m ínim o = 0.000689 0.000473 0.0020*1.0*0.21 = 0.000420 m2/m 0.000689 <{>Superior: <|>Inferior: <j) 1/2" c/0.18 (46) <f) 1/2” c/0.18 (46) <j) 3/8” c/0.15_____ <J>3/8” c/0.15 (55)______ <j>3/8” c/0.15 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I D iseño sentido L: C onstantes para diseño: b = 1.00; d = 0.17; <¡>Mn (máx) = 163.9 kN-m M (kN-m) = ii 2 LO >4 II c s -e- 10.25 15.38 Xi= ^ 10.25 15.38 1 8.70 V8.31 XjL = P = A s (m2/m) = A s m ínim o = 0.000426 (j) Superior: <j) inferior: ({>3/8” c/0.165 (45) (j>3/8” c/0.165 (j) 3/8” c/0.165 (45) m:)=X2 X,=J - J — (7 .0 7 + 10.25) = 0.4069 7.07 10.60 0.002508 ) W 0.001720 0-002508 0jm ZÍ2 0.000426: x3 = = 3.54 m ^ -— + m 3' 0.0020*1.00*0.21 = 0.00042 m7m <}) 3/8” c/0.165 (45) (J) 3/8” c/0.165 x 2L 3 , que para este caso resulta: + x 3 = 0.5 X3kL = 3.925 m P o sic ió n d e la s lín e a s d e flu e n c ia y e sfu e r z o co r ta n te A partir de los m om entos, se obtiene la posición exacta de las líneas de fluencia positivas en el panel bajo consideración y adem ás las cargas que v an a los diferentes apoyos a partir de las cuales se podría diseñar para esfuerzo cortante. L as ecuaciones de equilibrio deducidas en el texto m encionado son: Por tanto, y aunque se desconoce la exacta distribución del corte, se comprueba la fuerza cortante para el caso que pudiera ser el m ás desfavorable. V m áxim o = 3.925*8.31 = 32.62 kN V borde = 31.37 kN V „ = 1 .5 V borde = 47.06 kN <j)Vc = cj>* 0 .1 7^/fJbwd * 1000 <t>vc = 0.75 * 0.17 1.00 *0.18 *1000 = 105.34 kN A continuación se detalla el refuerzo correspondiente a este problem a: 360 1 Capítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones p r o b l e m a 7 .4 Resolver el problem a 7.2 utilizando el m étodo de las líneas de fluencia. Solución Se utiliza el m ism o predim ensionam iento y distribución del problem con un espesor de t = 0.35 m y la m ism a carga q = 7.21 kN /m 2. m ayor) q k 2L 2 S e c c ió n A-A Fra n ja C e n tra l q k 2L2 = 444.30 (luz Para entrar a las tablas m encionadas se em plea el m ism o valor de k = 0.9023 del problema 7.3 y en la tabla para el caso 2 se obtiene: m = 0.02349; m = 10.44; - -V y " 1* = -0 .0 3 3 9 8 ; m i = m'a = -1 5 .1 0 qk L' _H 5L = 0.01381; qm = 6.14; m ‘ , qk L qk L Diseño sentido kL: Constantes para diseño: b = 0.10; = -0 .0 2 0 0 1 ; m¡ =m' = - 8 .8 9 1 2 d = 0.32; <j)Mn (máx) = 50.3 kN-m O (3 ) M (kN-m) = 15.10 10.44 15.10 M/vta = 0.85M (|)M„ = 1.5M = 12.84 19.26 8.87 12.84 13.31 19.26 P= 0.005309 0.003593 0.005309 As (m2) = 0.000169 0.000115 0.000169 <}) Superior: CNI 363 -er-H 4>Inferior: 1 <t> 1/2” + l(j) 3/8” 1(1) 1/2” 1<1) 1/2” + 1 ({>3/8” ló 1/2” C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I D iseño sentido L: C onstantes para diseño: b = 0.10; d = 0.31; <()Mn (máx) - 47.2 kN-m O % 8.89 6.14 8.89: M /vta = 0.85M <j)Mn = 1.5M = 7.56 11.34 5.22 7.83 7.56 í P= 0.003248 0.0Ó2281 (mín = 0.0033) 0.003248: A s (m2) = 0.000102 0.000102 0.000102 (J) Superior: (j) Inferior: l(j) 1/2” l(j) 1/2” 1<J) 1/2” l<t> 1/2" 1(1) 1/2" M (kN-m) = Xl= l ^ m 11.341 X , 1 = — + m ;)=x2 . — 8 .7 0 V 7 .2 1 (6.14 + 8.89) = 0 .4 0 6 9 ’ XlL = x2L = 3.54 m x3kL = 3.925 m Por tanto, y con la m ism a observación del problem a anterior sobre el desconocimiento de la exacta distribución del corte, se diseña el esfuerzo cortante para el caso que pudiera ser el m ás desfavorable en cada sentido y como una m uestra del lím ite superior en la colocación del refuerzo correspondiente. P o sic ió n d e la s lín e a s d e flu e n c ia y fu e r z a co r ta n te (2 ) (D V (kN) de las cuales se podría V borde (kN) = 23.13 23.13 V u = 1.5V 34.70 34.70 <l>vc= 18.73 18.73 15.97 15.97 1.69 1.69 diseñar para fuerza cortante. L os resultados allí obtenidos corresponden a la figura 7.11. = S (m) = Estribos: ii £i >3 De igual m anera que en el problem a 7.3, a partir de los m om entos se obtiene la posición exacta de las líneas de fluencia positivas en el panel bajo consideración y adem ás las cargas que v an a los diferentes apoyos a partir 3.925*0.85*7.21 13 e =24.05 24.05 (j)14 ”c/0.15 + s <j>V \ " c/0.35 hasta donde exista refuerzo superior 365 ídem Estructuras de C oncreto I 3.54*0.85*7.21 = 21.69 V borde (kN) = 20.77 Estribos: II 1 >° >3 S (m) = 31.16 0. 80 20.77 li © ■ 31.16 3- 18.14 18.14 13.02 13.02 1.48 □ } 1.48 Vigueta luz mayor V u = 1.5V 21.69 11 s <j> l/4 ' c/0.15 ídem + e <j> 1/4” c/0.35 hasta donde exista refuerzo superior A continuación se detalla el refuerzo correspondiente: 0 d - F ig u ra 7.12 366 367 10.80 V (kN) = C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones N o ta s 1. 2. 3. En los ejercicios anteriores se han aplicado indiscrim inadam ente U m étodos de diseño tanto a las losas m acizas com o a las losas nervadas o aligeradas, con el m antenim iento en este últim o caso de la l0Sela superior integral con los nervios que se considera un elemento estructural indispensable para su funcionam iento com o losa. Para efecto del análisis y diseño estructural de las vigas portantes de la losa en todo su contorno, su trabajo será el corriente para este tipo de elem entos estructurales y solo se aclara que las cargas corresponderán a los diagram as que m uestran la posición exacta de las líneas de fluencia positivas en los m ódulos bajo consideración. Finalm ente, y m ientras se avanza en la investigación sobre su com portam iento estructural, el autor recom ienda para el diseño de losas de este tipo el em pleo de los dos m étodos antes expuestos, que, unidos al buen criterio del diseñador, le perm itirán adoptar el detallado final del refuerzo m ás conveniente. Losa 'A b a co o sobreespesor 'C ap itel (Tron co de p irám ide o tron co de cono) ^ C o lu m n a F ig u ra 7.13 A partir de la deform ada de un m ódulo del sistem a, se considera de particular im portancia el esquem a adjunto con el signo de los m om entos flectores y su variación en una y otra dirección, observándose que son siempre negativos (refuerzo superior) alrededor de las colum nas y siem pre positivos (refuerzo inferior) en el centro de los m ódulos; en los puntos intermedios será positivo en un sentido y negativo en el sentido ortogonal. S iste m a s d e lo sa s e n d o s d ir e c c io n e s a p o y a d a s o so p o r ta d a s en co lu m n a s C om prende las losas m acizas con o sin capiteles y /o ábacos (fíat píate y fíat slab) y aligeradas (reticular celulado) que, com o su nom bre lo indica, transm iten su carga directam ente a las colum nas; para este efecto resulta m ás apropiado adicionarle a las colum nas un engrasam iento superior denom inado “c a p itel”, el cual facilita, entre otras funciones, la “captaciónde la carga de la losa por la colum na. Esta característica del sistem a permite concluir que su funcionam iento y, por tanto su estabilidad, dependen de la relación losa-colum na, relación esta que en la actualidad todavía se encuentra en investigación, y que por consiguiente am erita especial prudencia del diseñador en el tratam iento de este tipo de losas. 368 F ig u ra 7.14 A continuación se tratarán los dos m étodos que trae el R eglam ento colombiano para el diseño de estos sistem as de losas, en su orden: m étodo directo de diseño y m étodo del pórtico equivalente, con algunas lim itaciones y variaciones que debe tener su utilización. i E structuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones M é to d o d ir e c to d e d ise ñ o j predim ensión del espesor y cargas: El autor considera que, independientem ente de las lim itaciones que e 1 R eglam ento colom biano para su aplicación, la utilización de este m étorP ^ dirigida a la predim ensión y lím ite del diseño de estos sistem as de I Va desde el punto de vista de la flexión. C onsiste, entonces, en la obtenció m edio de una expresión, de la sum a de los valores absolutos del mom P° F positivo y del prom edio de los m om entos negativos m ayorados para 0 *!!° dirección; a continuación la repartición de la sum a antes m encionada do i sistem a de coeficientes en m om entos m ayorados positivos y negativU finalm ente la distribución por tablas de los m om entos m ayorados negativ ^ y positivos para ser resistidos por las zonas denom inadas franjas dp colum nas o viguetas de capitel y franjas o viguetas centrales, cuyos anchos y dem ás especificaciones necesarias para su utilización se detallarán en los m odelos correspondientes. U tilizando la T abla C.9.5 (c) del R eglam ento: P r o b le m a 7.5 Carga viva: Con el único alcance de un predim ensionam iento, trabajar el módulo interior típico del esquem a para la utilización de un sistem a de losa maciza en dos direcciones soportada en colum nas con capiteles (fíat slab), si se considera que, com o en el problem a 7.1, este m ódulo hace parte de un sistem a estructural de cubierta de un salón m últiple para un conjunto habitacional m ultifam iliar con varios m ódulos en am bas direcciones, utilizando concreto de f c = 21.1 M Pa y acero de refuerzo para f = 420 MPa en todos los diám etros. y Total: t (mínimo) 33 33 = 0.255 m ~ 0.25 m. Por lo tanto; Cargas: Peso propio de la losa: Alistado y desniveles: Im perm eabilización: Afinado cielo raso: 0.25*1.00*1.00*24 0.04*1.00*1.00*22 0 . 0 2 * 1 . 0 0 * 1 . 00* 22 6.00 0.88 0.15 0.44 kN /m 2 kN /m 2 k N /m 2 kN /m 2 7.47 kN /m 2 Sub total carga m uerta: 1.80 kN /m ¿ 9.27 kN /m 2 Con esta carga y utilizando un capitel, C, de un 20% de la luz L(C/L = 0.20) se em plea la siguiente guía, proveniente de R eglam entos anteriores: w t = 0.106L + 0.0381 3 L J V fé -*-141 en donde: L y C estarán en m etros w en kN /m 2 f c en k N /m 2 t en m etros .-. t = 0 .1 0 6 * 8 .7 0 * 1 2 — — * 0.20 3 t = 0.237m ~ 0.24 m F igura 7.15 370 371 x 9.27 21100/141 + 0.0381 Capítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I 2. E sfuerzo cortante (j)Vc = 0 .7 5 * 0 .0 8 3 Se procede en segundo térm ino, y antes de aplicar el m étodo directo chequeo del esfuerzo cortante porque en el caso de que los resultad del m ism o no sean satisfactorios, la solución sería cam biar la este cam bio se debería acom eter antes del estudio de la flexión. ' 40* 0 .2 1 + 2 V 2 L Í* 7 .5 4 * 0 .2 1 * 1 0 0 0 7.54 (|)VC= 1407.03 kN (C) ^,VC = ((> * 0 .3 3 * 7 f;b od = 0 .7 5 * 0 .3 3 * V 2 U * 7 .5 4 * 0 .2 1 * 1 0 0 0 4>VC = 1 7 9 8 .7 8 kN C hequeo a “d /2 ” del borde del capitel “com o losa en dos direcciones"Por lo tanto <|>VC > V u A sum iendo d = 0.21 m y un capitel de 1.75 x 1.60 en form a de tronco de pirám ide, resulta (véase figura 7.16.a): V = 9.27*8.70*7.85 - 9.27*1.96*1.81 = 600.20 kN V u = 1.5*600.20 = 900.30 kN Chequeo a “d ” del borde del capitel “com o v ig a ”: V = 1/2*8.70*9.27 - (0.875 + 0.21)*9.27 = 30.26 kN V u = 1.5*30.26 = 45.39 kN <|>VC debe ser el m enor de: (j)Vc = <J)* 0 .17-s/ f j b 0d = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 E 1 * 1.00 *0.21*1000 (j)Vc = 122.90 kN (a) <t>V = 4»* 0.17 ,1 + P donde p= es la relación del lado largo al lado corto de la columna, la carga concentrada o el área de reacción y b 0 es el perím etro de la sección critica para cortante: 1/ 2 1 3 * 7 . 5 4 * 0 . 2 1 * 1 0 0 0 4)VC- 0 .7 5 * 0 .1 7 * 1 + 1.96-5-1.81 4)VC= 2640.9 kN (b) <j)Vc =<l)* 0.083 oyi Flexión Con el alcance del enunciado, se estudia la flexión por m edio de la expresión del R eglam ento a partir de la cual se obtiene “la sum a de los valores absolutos del m om ento positivo y del prom edio de los m om entos negativos m ay o rad o s”; para este caso únicam ente en la dirección de la luz m ayor, por tratarse de sólo una predim ensión: M _ •+ 2 l / f / b 0d M0 = V bo donde a s es 40 para colum nas interiores, 30 para columnas de borde y 20 para colum nas esquineras: n / / 2 9u 2 _n_ en donde: 8 m om ento estático m ayorado total; qu = carga m ayorada por unidad de área; i 2 = longitud de la luz transversal a £lf m edida centro a centro de apoyos; 372 373 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I t n = longitud de la luz libre en la dirección en la cual se determ inan los m om entos, m edida cara a cara de l0s apoyos, colum nas, capiteles, m énsulas o m uros. T eniendo en cuenta que la predim ensión corresponde a un diseño en el cual se deben considerar cargas gravitacionales y adem ás cargas de sism o, se recom ienda una variación al significado de £ a , tomándola com o la distancia entre las intersecciones de la línea central de la losa con la diagonal a 45° que pasa por el punto de unión entre la columna y el borde inferior de la losa (figura 7.16.b). Este m om ento estático total M 0 debe distribuirse com o sigue: M om ento m ayorado negativo: M om ento m ayorado positivo: 0.65*884.50 = 574.93 kN-m 0.35*884.50 = 309.57 kN-m A su vez, estos m om entos deben ser resistidos por las denom inadas franjas de colum nas y franjas centrales, que para el caso de la losa maciza en consideración corresponden al esquem a de la figura. se cció n crític a Media franja de colum nas u Franja C o O Central Media franja de colum nas Figura 7.16.a Figura 7.16.b De todas m aneras, este valo r de P o rta n to : £n no debe ser m enor que 0.65 t v q u = 1 .5 *9.27 = 13.91 k N /m 2 i 2 = 7.85 m £n = 8.70 - 2 * 0 .3 2 5 = 8.05 m w Figura 7.17 Para la franja de colum nas las porciones de m om entos m ayorados negativos y positivos corresponden a los porcentajes establecidos en la Tabla C. 13.6.4 del R eglam ento colom biano. El resto de los m om entos m ayorados negativos y positivos se le adjudican a la franja central. 1 3 .9 1 * 7 .8 5 * 8 .052 OG, c n l M = --------------------------- = 884.50 kN-m 374 375 Capítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I F ranjas de colum nas: b = 3.925; d = 0.21; (§> © (J)Mn (kN-m) = 0 .7 5 * 5 7 4.93 = 431.20 431.20 0.60*309.57 = 185.74 P= A s (m2) = fy sup: fy inf: 0.002941 0.007201 0-007201 0.002424 0.005935 (15 + 1 5 ) <)>5 /8 ” c /0 .1 3 (15+15) <(, 5/8" c/ d = 0.22; 0.13 4>Mn (máx) = 933.6 kN-m fyMn (kN-m) = 0 .2 5 * 5 7 4 .9 3 = 143.73 0.40*309.57 = 123.83 P = 0.002052 A s (m2) = A s m ín = 0.001771 143.73 0.001763 0.002052 QX)Q¥$22 0.001771 0.00 1 8 * 3 .9 2 5 * 0 .2 5 = 0 .0 0 1 7 6 6 m 2 1 con el único alcance de un predim ensionam iento, solucionar el 7.5 para la utilización de un sistem a de losa en dos direcciones, con bloques de concreto, soportada en colum nas (reticular con los m ism os m ateriales allí especificados. predim ensión del espesor y cargas U tilizando las m ism as norm as que se aplicaron en el problem a anterior y estim ando un aum ento apreciable del espesor allí obtenido, por tratarse ahora de una losa nervada, se adopta t = 0.40 m. Para este espesor de la losa, se escoge una separación de viguetas dentro de las posibilidades de uso de los bloques de concreto com erciales, es decir, bloques de 0.85x0.85x0.175 dejando un recubrim iento de 0.05 m. En el proceso de efectuar la distribución (figura 7.18) y para el diseño, se denom ina franja de colum nas la conform ada por las vigas que llegan al capitel, una de las cuales debe pasar por la colum na, y franja central la conform ada por las viguetas que no llegan al capitel. La sum a de los anchos de las vigas que llegan al capitel debe ser aproxim adam ente igual a la sum a de los anchos de las viguetas que no llegan al capitel. 2 6 4> 3 /8 ” c/0.145 26 4> 3 /8 ” c /0 .1 4 5 25 4> 3 /8 ” c /0 .1 5 __ También roblema aligerada celulado) 0-005935 (10+10)4)1/2 ”c /0 .1 9 5 ____ (10+10)4)1/2 ”c /0 .1 9 5 ____ (10+10)4>l/2"c/0.195 Franja central: b = 3.925; fy sup = fy in f = problem a 7.6 <J)Mn (máx) = 850.7 kN 254» 3 /8 ” c /0 .1 5 . 25 4> 3 /8 ” c/0.15 A l térm ino de la predim ensión se concluye que el espesor de losa adoptado es apropiado y a que funciona correctam ente la fuerza cortante, y por flexión la arm adura positiva de la franja central resulta m uy próxim a a la arm adura m ínim a; sin em bargo, se debe tener en cuenta que la predim ensión se trabajó únicam ente en el sentido de la luz m ayor. 377 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I Distribución de bloques y viguetas en el sentido 2-3: , v ‘gasde columnas o franj. de columnas 3 viguetas de capitel x 0.20 m 6 viguetas centrales x 0.10 m 8 bloques de 0.85 x 0.85 x 0.175 (tapa y fondo) 1 bloque de 0 .7 0 x 0 .8 5 x 0 .1 7 5 (tapa y fondo) T otal = = = = 0.60 m 0.60 m 6.80 m 0.70 m = 8.70 m Peso total del m ódulo: v ‘guetas centrales o franja central [8.70*7.85*0.4 0 -(5 6 -4 ) *0.81 * 0 .8 1 * 0 .3 1 -8 * 0 .7 6 * 0 .8 1 * 0 .3 1 7*0.66* 0 .8 1 * 0 .3 1 - 1*0.66*0.76*0.31]*24 = 333.36 kN Por tanto: Cargas: Vigas de colum nas o franja de columnas Vigas de co lu m n as o franja de co lu m n as V iguetas c en tra les o fran ja c en tra l Vigas de co lu m n as o fran ja de colum nas F ig u r a 7.18 D istribución de bloques y viguetas en el sentido B-C: 3 viguetas de capitel x 0.20 m 5 viguetas centrales x 0.10 m 7 bloques de 0.85 x 0.85 x 0.175 (tapa y fondo) 1 bloque de 0.80 x 0.85 x 0.175 (tapa y fondo) Total Peso propio de la losa: Alistado y desniveles: Im perm eabilización: Afinado cielo-raso: 3 3 3 .3 6 /(8 .7 0 * 7 .8 5 ) 0.04*1.00*1.00*22 0.02*1.00*1.00*22 = = = = 4.88 kN /m 2 0.88 kN /m 2 0.15 kN /m 0.44 kN /m 2 Subtotal carga m uerta: = 6.35 kN /m 2 Carga viva: = 1.80 kN /m 2 Total: = 8.15 kN /m 2 Fuerza cortante = = = = 0.60 m 0.50 m 5.95 m 0.80 m Por las m ism as razones expuestas en el problem a anterior, se procede en segundo térm ino a la revisión de la fuerza cortante. = 7.85 m Chequeo a “d /2 ” del borde del capitel “com o losa en dos direccio n es”: A partir de un capitel de 2.30 x 2.30 y asum iendo d = 0.35 m, resulta: 378 379 C ap itulo / sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I V = 8.15*8.70*7.85 - 8.15*(2.65*2.65) = 499.37 kN £ 2 = 7.85 m V u = 1.5*499.37 = 749.06 kN £n = 8.70 - 2*0.40 = 7.90 m 1 2 .2 3 * 7 .8 5 * 7 .902 _ . Q M M 0 = ---------------------------= 748.96 kN-m, el cual se distribuye asi: Para el caso de capiteles cuadrados, el cortante debido a las cargas ultim as en losas som etidas a flexión en las dos direcciones está limitado por: 8 M om ento m ayorado negativo: 0.65*748.96 M om ento m ayorado positivo: 0.35*748.96 <})Vc = (})*0.33*^/fJbod = 0 .7 5 * 0 .3 3 * V 2L 1 *12*0.20*0.35*1000 = 486.82 kN-m = 262.14 kN-m (})VC = 9 5 4 .2 6 kN Por lo tanto <j)Vc > Vu C hequeo a “d ” del borde de la colum na “com o v ig a ”: V = —*8.70 *8.15 * 7 .8 5 - 0.40 + 0.35 8 .1 5 * 7 .8 5 = 243.11 kN 2 A su vez, estos m om entos deben ser resistidos por las denom inadas franjas de colum nas y franjas centrales, que para el caso de la losa aligerada (reticular celulado) se consideran correspondientes a las vigas o viguetas de capitel y a las viguetas centrales respectivam ente. Por tanto: Franjas de colum nas: C onstituida por 3 vigas de capitel de b = 0.20, V u = 1.5*243.11 = 364.67 kN d ’ = 0.05 y (j)Mn (máx) = 94.20 kN-m respectivam ente © í()Vc = (j)*0.17*A/fJ b wd = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2TTT * 1 2 * 0 .2 0 * 0.35 * 1000 <j)Vc = 491.59 kN Por lo tanto U tilizando el m ism o procedim iento del problem a anterior, resulta: OuVn2 121.71 <\>VC> Vu, lo cual significa que es m anejable y esto es Flexión: M = © <j)Mn (kN-m) = 1/3*0.75*486.82 = 121.71 1/3*0.60*262.14 = 52.43 lo que se pretende dem ostrar en un análisis con el sólo alcance de una predim ensión. 3. d = 0.33 y 0.35, en donde: qu = 1.5*8.15 = 12.23 k N /m 2 380 0.006099 P= 27.51 AM (kN-m) = 27.51 Asi (m2) = A s2 (m2) = 0.000899 0.000260 A s total = 0.001159 m2 <|>sup: 4) inf: l<|>r+2<j>7/8” l<j>3/4”+l<j>5/8” 0.000899 0.000260 0.000427 m2 2<j)l/2” l(j)3/4”+l(j)5/8” 381 0.001159 m2 l<j>l”+2<l)7/8” l<{)3/4 ”+14)5/8” 1 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I Franja central: C onstituida por 5 viguetas centrales de b = 0.10, d = 0.36 y <j)Mn (má v = 56.05 kN-m <3> <|)Mn (kN-m) = 1 /5* 0 .2 5 * 4 86.82 = 24.34 24.31: 1/5*0.40*262.14 = 20.97 P= 0.005301 0.004524 0.005301 A s (m2) = 0.000191 0.000163 0.000191 <|>sup: <}>inf: l(j)l/2 ”+ l(j)3/8” 14>l/2”+ 14)3/8" 14) 1 / 2 ” ________ 14)1/2” + 14)3/8” 14)1/2” A l térm ino de la predim ensión se concluye que tanto el espesor de la losa com o los anchos adoptados de los elem entos son apropiados, no solamente por las revisiones del esfuerzo cortante, sino porque perm iten una colocación correcta del posible refuerzo por flexión. Sin em bargo, como en el caso de la losa m aciza, puede com pletarse la predim ensión trabajándola tam bién en el sentido de la luz m enor y de esta m anera tener una visión más am plia sobre la conveniencia de las secciones y de las cuantías o cantidades de refuerzo así com o del m ayor o m enor grado de dificultad en su construcción. , jaCjo de la colum na. El m om ento de inercia de las vigas-losa en Ca lauier sección transversal fuera de los nudos o capiteles de colum na se Clmará como el correspondiente al área bruta de concreto: el m om ento de 101 ia de las v igas-losa desde el centro de la colum na hasta la cara de la iumna, m énsula o capitel se tom ará igual al m om ento de inercia en la cara ¡je la columna, m énsula o capitel, dividido por la cantidad (1- c2/ ¿ 2 )2 donde se m iden transversalm ente a la dirección de la luz para la cual se determinan los m om entos. R especto de las colum nas, su m om ento de inercia en cualquier sección localizada fuera de los nudos o capiteles se tomará como el correspondiente al área bruta de concreto: el m om ento de inercia de la colum na dentro de la viga-losa puede suponerse com o infinito. Una vez obtenidos los m om entos de las secciones críticas de la viga-losa para cada pórtico, se distribuirán para la franja o vigas de colum nas y para la franja o viguetas centrales utilizando los porcentajes establecidos en las secciones C. 13.6.4, C. 13.6.5, C. 13.6.6, del R eglam ento si se cum ple con los requisitos de C. 13.6.1.6. Respecto de las secciones críticas se sugiere una variación para los momentos m ayorados negativos los cuales no se tom en en el borde de los apoyos rectilíneos, sino a una distancia del eje de la colum na obtenida como la intersección de la línea central de la losa con la diagonal a 45° que pasa por el punto de unión entre la colum na y el borde inferior de la losa, pero a no m ás de 0 .1 7 5 ^ , m edido desde el centro de la colum na, donde t x es la distancia entre ejes de colum nas (figura 7.19). 45° M é to d o de d ise ñ o d e l p ó r tic o e q u iv a le n te C onsiste en la consideración de la estructura constituida por pórticos equivalentes tom ados longitudinal y transversalm ente en el edificio sobre los ejes de las colum nas: cada pórtico está conform ado por una fila de colum nas o apoyos equivalentes y franjas de losa-viga limitadas lateralm ente por la línea central de la losa a cada lado del eje de las colum nas o apoyos. D ebe suponerse que las colum nas o apoyos estén unidos en la franja de viga-losa m ediante elem entos torsionales transversales a la dirección del vano para el cual se esta determ inando los m om entos extendiéndose hasta los ejes centrales a los paneles adyacentes a 382 sO. 175¿i F ig u ra 7.19 A continuación un ejem plo de aplicación de lo anteriorm ente expuesto. 383 E structuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones P r o b le m a 7.7 Pórtico E jes 2-3: D iseñar el m ódulo interior típico del esquem a correspondiente al problema 7.5 para la utilización de un sistem a de losa m aciza en dos direcciones soportada en colum nas con capiteles (fíat slab), si se considera que hace parte de una estructura de cubierta de un salón m últiple para un conjunto habitacional m ultifam iliar con tres m ódulos en am bas direcciones utilizando concreto de f'c = 21.1 M Pa y acero de refuerzo para f y = 420 MPa en todos los diám etros, y suponiendo que se utilizará un sistem a estructural de pórticos con capacidad m oderada de disipación de energía (DMO) en una zona de am enaza sísm ica interm edia. 12,27x0,25 le | 12,27x0,25 12,27x0,25 El (D \n 0.40x0,40 □ Ó 0,875 . 12,27x0,25 12,27x0,25 0,875 . © © © 12,27x0,25 PU ID 40x0,40 Ó 6,95 |- lo I ÚU ID 0,40x0,40 . 0,875 O © I PU O 6,95 |g HD . 0,875 0,875 . 6,95 © O © . 0,875 Ó © 0 F ig u ra 7.20 S o lu ció n Se utiliza la predim ensión del problem a 7.5 con el m ism o espesor de 0.25 m para el diseño por la aplicación del m étodo del pórtico equivalente. w = 9.27*7.85 = 72.77 kN /m Inercia luz Cargas Peso propio losa: alistado y desniveles: im perm eabilización: afinado cieloraso: 0.25*1.00*1.00*24 0.04*1.00*1.00*22 = = 0 .02 * 1.0 0 * 1.00*22 = = 7.85x0.25 6.00 kN/m2 0.88 kN/m2 0.15 kN/m2 0.44 kN/m2 Inercia capitel 7.85 ^capitel /- 7.47 kN/m2 Sub total carga m uerta: I luz: C orrespondiente a una viga-losa de sección \2 C arga viva: 1.80 kN/m2 Total: 9.27 kN/m2 f x 1.75 i - — V 7.85 xO. 25 = \2 xO. 25 = 1 2 .2 7 x 0 .2 5 8.70 ^2 J Pórtico E jes B-C: 2) O ~ ~ © 8 .7 to 0 .2 5 13,59x0,25 fc I A nálisis estructural 13,59x0,25 13,59x0,25 El U tilizando un m étodo apropiado de análisis estructural, se procesan los pórticos equivalentes correspondientes a los ejes 2-3 y B-C con inercias variables para la viga-losa, de acuerdo con los esquem as siguientes: ID El 0,40x0,40 |? Ó 0 O s 13,59x0,25 13,59x0,25 I LJ E] . 6,10 0,875 0,875 7,85 @ 0,875 0 © © 385 ------ Q 13,59x0,25 E [4 ^ ] 6,10 0,875 O 7,85 F ig u ra 7.21 384 0,875 7,85 © lio I 0,40x0,40 © 6,10 ^ 0 ,2 5 © El ID I 0,40x0,40 0,40 © 0,875 Q |q 0 © © O " Estructuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones 2 w = 9.27*8.70 = 80.65 kN /m -24.3 -24.3 399.1 399.1 295.0 295.0 343.6 343.6 3 I luz: C orrespondiente a una viga-losa de sección 8.70 x 0.25 4 8.70 , capitel n2 8.70 x 0 .2 5 = ' 5 x 0 .2 5 = 13.59x0.25 1 2 R esultados: 3 4 C o m p a n y : JORGE SEGURA FRANCO P r o j e c t : E s t r u c t u r a s de C o n c re to I - P r o b 7 . 7 - P o r t 2y 3 10:38:38 5 22- 01-2011 386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386 386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386 386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386 386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386386 2 - 1 b 2 3 L O A D C O M B I N A T I O N S 4 No Load c o m b i n a t i o n ÁÁÁÁÁA ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ 5 OT EQ 1 . 50T 1 . 2 0 T + EQ 1 . 2 0 T - EQ KN, 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -130.5 112.1 119.0 -233 . 0 -35.3 -74.3 225.7 -298.6 -18.1 -18.1 -72.3 -72 .3 -27.1 -27 .1 -94 . 0 -94.0 50.6 50.6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -23.8 46.4 -143.3 137 . 0 -35.7 69.6 -171.8 192.6 114.8 -81.4 68 3 . 6 6 83 . 6 -11.7 -11.7 1025.3 1025.3 808.6 808.6 831.9 831.9 18.1 18.1 - 7 2 .3 - 7 2 .3 27 . 1 27 . 1 -50.6 -50.6 94.0 94.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 23.8 -46.4 -143 .3 137.0 35.6 -69.5 -114 . 8 81.4 171.8 -192.7 266.1 266.1 24.3 24 . 3 399.1 399.1 343 .6 343 .6 295.0 295.0 -60.6 -60.6 -62.6 -62.6 -90 . 8 -90.8 -135.3 -135.3 -10.1 -10.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -79.3 155.4 -130.5 11 2 . 1 -119.0 233.1 -225.7 298.6 35.3 74.3 1 2 - A 2 4 - Column End F o r c e s 5 Units: 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 68 3 . 6 68 3 . 6 11.7 11.7 1025.3 1025.3 831.9 831.9 808.6 808.6 3 ]? L i n e a r A n a l y s i s 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 L60' 7.85 ^2 y -62.6 -62.6 90. 8 90. 8 10.1 10.1 135.3 135.3 KN-m BOTTOM TOP ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAAAA Column Stry Load Axial Axial Shear2 Shear2 Shear3 Shear3 Torque Torque Mom-2 Mom-2 Mom-3 Mom-3 Linear Analysis U nits: KN, - Be a m E n d F o r c e s KN-m ÁÁÁAAAAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁAÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁAAA 2 - D 1 1 266.1 266.1 60.6 60.6 0.0 0.0 386 0.0 0.0 0.0 0.0 79.3 -155.4 END END I J X/ L = 0 . 0 X/ L = 1 . 0 387 M2 ( + ) ma x C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I 2(BD'cI) ÁÁÁÁAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAÁÁÁÁÁÁÁÁAÁA £ Beam F l o o r Load Axl Shr2 Shr3 Torque M2 M3 Axl Shr2 Shr3 Torque M2 M3 2 2 ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁÁÁAAAAA 2 (A-AD) 2 1 2 3 4 5 60 60 58 58 90 90 13 0 130 14 14 .6 .6 .1 .1 .8 .8 .8 .8 .6 .6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 -251 .5 - 2 0 2 .4 - 2 4 .3 - 2 4 .3 - 3 7 7 .3 -303 . 6 -326.. 1 -267 .2 - 2 7 7 . .5 -218 .6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 -111 42 -115 -98 -166 63 -248 -48 -18 1 49 .2 .0 .7 .7 .5 .3 .3 .2 0 .0 0 .0 0 .0 0.0 0.0 0 .0 0.0 0 .0 0 .0 0 .0 1 3 42. .0 1. X 0 4 0. .0 nu , 0 5 63. .1 l ' r\ 0. .0 1 1nu 149. .2 o. un 2 1 2 3 4 5 60 . 6 60. . 6 17. . 6 17. .6 90. .8 90 . . 8 90 . ,3 90 . .3 55. .0 55 . .0 0 .0 0. . 0 0. . 0 0. . 0 0. . 0 0. .0 0.. 0 0.. 0 0. .0 0. .0 -202 .4 303 . 3 - 2 4 ,. 3 -24 .3 -303 .6 4 5 5 . .0 - 2 6 7 . .2 339. 7 - 2 1 8 .. 6 3 8 8 . .3 0 .0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0. . 0 0, .0 0. . 0 0.. 0 0. .0 0.0 42 . 0 -308 .7 -98 .7 70 . 0 63 . 1 -463 . 0 - 4 8 .3 -300.. 5 149. .1 - 4 4 0 . .4 0 .0 0 .0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0. .0 0.. 0 0.. 0 2(CI- c ) 2 1 2 323. .5 0. 4 70. .0 1. .0 485. .3 0,.4 360. .2 0. .45 422. .6 0. .35 4 5 2 ( C-CD) 2 1 2 3 2 (BI-B) 1 2 3 4 5 60. .6 60 . . 6 - 2 2 ..8 - 2 2 . .8 90 . 8 90.. 8 4 9 . .9 4 9 . .9 95 ..5 9 5 . .5 0. ,0 0. . 0 0. .0 0. ,0 0. .0 0. .0 0. .0 0 ..0 0. . 0 0. .0 3 0 3 ..3 3 5 2 ..5 - 2 4 ..3 -24 . 3 455. 0 528 . 7 339. 7 398 . 7 388. 3 447. 3 0.. 0 0. .0 0. ,0 0. .0 0. .0 0. .0 0. .0 0. . 0 0 ..0 0. .0 - 3 0 8 . .7 - 5 3 0 . .0 70 . . 0 86 ,. 3 -463 .1 - 7 9 5 . .0 - 3 0 0 . .5 - 5 4 9 . ,7 - 4 4 0 . .4 - 7 2 2 .,3 0. .0 0. . 0 0., 0 0.. 0 0. ,0 0..0 0. .0 0. .0 0. .0 0. . 0 0.. 0 0 .0 4 86. .3 1 .0 5 0.. 0 0 .0 0.. 0 0 .0 0.. 0 0 .0 2 ( CD- DI ) 2 1 2 3 2 (B-BD) 1 2 3 4 5 4 2 . .5 42 ..5 40. 5 40. 5 63. 7 63 . 7 91. 4 91. 4 10. 5 10. 5 0. .0 0. .0 0. .0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 -302. 0 -252 . 9 -12. 6 -12 . 6 -453 . 0 -379 . 4 -375 . 0 -316. 1 -349. 8 -290 . 8 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 4 9 1 . .5 - 3 0 4 . .2 - 5 2 . .3 - 4 3 .. 8 - 7 3 7 . .3 - 4 5 6 . .3 -642. 1 -408. 8 -537. 5 -321. 2 0. .0 0. .0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0.. 0 0 .0 4 0.. 0 0 .0 5 0.. 0 0 .0 0.. 0 0 .0 0., 0 0 .0 2 ( DI - D) 2 1 2 3 388 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -252.9 252 .9 -12.6 -12 . 6 -379.3 379.3 -316.1 316 .1 -290.8 316.1 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0.0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 -304. 2 -304. 2 -43 . 8 43 . 8 -456. 3 -456. 3 -408. 9 -260 . 4 -321. 2 -408. 9 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0.0 135. 2 0 .5 43 . 8 1. 0 202 . 7 0.5 1 62 . 2 0. 5 162. 2 0. 5 42.5 42.5 -40.5 -40.5 63 . 7 63 . 7 10.5 10.5 91.4 91.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 252 . 9 302.0 -12.6 -12 . 6 379.3 453 .0 290 . 8 349.8 316.1 375.0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0.0 0 .0 0. 0 0. 0 0 .0 0. 0 -304. 2 -491. 5 43 . 8 52 . 3 -456 . 3 -737 . 3 -321. 2 -537. 5 -408. 8 - 6 4 2 . .1 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0. 0 52. 3 1. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 60.6 60.6 22 . 8 22.8 90.8 90.8 95.5 95.5 49.9 49.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -352.5 -303.3 -24.3 -24.3 -528.7 -455.0 - 4 4 7 .2 -388.3 -398.7 -339.7 0 ..0 0 .0 0., 0 0.. 0 0.. 0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 - 5 3 0 . .0 - 3 0 8 . ,7 - 8 6 . .3 - 7 0 . .0 - 7 9 5 . .0 -463 .0 -722 .4 - 4 4 0 .4 - 549 .7 -300 .5 0. .0 0 ..0 0. ,0 0. , 0 0. . 0 0. .0 0.. 0 0 .0 0 .0 0 .0 0. .0 0 ..0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 60.6 60.6 -17.6 -17 .6 90.8 90.8 55.0 55.0 90.3 90.3 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -303.3 202 .4 -24.3 -24.3 -455.0 303.6 -388.3 218.6 -339.7 267.2 0 .0 0.0 0 .0 0 .0 0.0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 -308 42 -70 98 -463 63 -440 149 -300 -48 .7 .0 .0 .7 .0 .1 .4 .2 .5 .3 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 323 . 5 0 .6 98 . 7 1 .0 48 5 . 3 0 .6 42 2 . 6 0 .65 36 0 . 2 0 .55 60.6 60.6 -58.1 -58.1 90 . 8 90.8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 202.4 251.5 -24 .3 -24.3 30 3 . 6 377.3 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 42 -111 98 11 5 63 -166 .0 .2 .7 .1 .1 .7 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 42 . 0 0 .0 1 15 . 1 1 .0 63 . 1 0 .0 u 3 2 ( AD-BI) 42.5 42 . 5 0.0 0.0 63 . 7 63.7 51.0 51.0 51.0 51.0 389 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Estructuras de C oncreto I 4 5 _ C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones 14 . 6 14 . 6 130 . 8 130.8 t> L i n e a r A n a l y s i s Support Load 0.0 0.0 0.0 0.0 218.6 277 . 6 267.2 326.1 0.0 0.0 0.0 0.0 149.2 -18.3 -48.3 -248.5 0.0 0.0 0.0 0.0 10 A D C O M B I N A T I O N S No Load c o m b i n a ti o n ÁÁÁÁÁÁ ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁA 1 2 3 4 5 - Support Reactions Forcé (KN) Moment (KN-»i aááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááááaááaaaaaa Axis Stry LdComb Fx Fy Fz Mx B C D Ground Ground Ground Ground 1 2 3 4 5 60.57 62.62 90.85 135.30 10.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 266.09 24.27 399.13 343.57 295.03 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 79.34 130.53 119.01 225.74 -35.32 o.oo o.oo 0.00 o.oo o.oo 1 2 3 4 5 -18.09 72 . 3 3 -27.14 50.62 -94.04 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 683.56 -11.66 1025.34 808.61 831.94 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 - 2 3 .75 143 . 2 8 -35.63 114.77 -171.78 o.oo 0.00 0.00 o.oo 0.00 1 2 3 4 5 18.09 72 . 3 3 27.14 94 . 0 4 -50.62 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 683.56 11.66 1025.35 831.94 808.61 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 23.75 143.28 35.63 171.78 -114.77 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1 2 3 4 5 -60.57 62 . 62 -90.85 -10.05 -135.30 0.00 266.09 - 2 4 .27 399.14 295.03 343.57 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -79.34 130.53 -119.01 35.32 -225.74 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 . 00 0.00 0.00 0.00 }? L i n e a r A n a l y s i s yni CS: KN, ByC BOTTOM TOP ¿¿Á M M Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Column S t r y Load B- 4 1 : 2 3 4 5 - 3 1 3 4 5 B - 2 1 2 3 390 Axial Axial Shear2 Shear2 Shear3 Shear3 Torque Torque Mom-2 Mom-2 Mom-3 Mom-3 AÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ 1 2 : 5 1 : 29 390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390 390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390 390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390 390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390390 - Column End F o r c e s KN-m 2 C o m p a n y : JORGE SEGURA FRANCO P r o j e c t : E s t r u c t u r a s de C o n c r e t o I - P r o b 7 . 7 - P o r t 05-08-1999 EQ EQ My ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁAAÁÁM A OT EQ 1 . 50 T 1.20T + 1.20T - 263 .0 263 .0 -2 7 .4 -27.4 394.5 394.5 288.2 288.2 3 43 . 0 3 43 . 0 47 . 7 47 . 7 -6 3 .3 - 6 3 .3 71.5 71. 5 -6.1 -6.1 120.5 120.5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 62 . 5 -122.3 -130.2 115.1 93 . 7 -183 .4 -55.3 -31.7 205.2 -261.9 686.6 686.6 13.9 13.9 1030.0 1030.0 837.9 837.9 810.1 810.1 -14 . 8 -14.8 -71 .6 -71. 6 - 2 2 .2 - 2 2 .2 -89.4 -89.4 53.9 53 . 9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -19.4 37.9 -141.2 136.4 -29.1 56.9 -164.5 182 . 0 11 7 . 9 -90.9 686.6 686.6 -13.9 -13.9 1030.0 14.8 14.8 -71.6 -71.6 22 . 2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 19.4 -37.9 -141.2 136.4 29.1 391 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I 5 - i 22 . 2 -53.9 -53 .9 89.4 89.4 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 o o 4 1030.0 810.1 810.1 837.8 837.8 263 . 0 263.0 27 . 4 27.4 394.5 394.5 343.0 343.0 288.2 288.2 -47.7 -47.7 - 63 .3 - 63 .3 -71. 5 -71. 5 -120.5 -120.5 6.1 6.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1 2 3 4 5 1 '56.9 117.9 90.9 154.5 ■182.0 0.0 0.0 0.0 0.0 2 3 4 '62.5 12 2 . 3 ' 130. 2 H5 . 1 ' 93.7 183. 4 5 B(2-2D) 2 1 -205. 2 261. 9 2 55. 3 31 . 7 3 4 Linear Units: KN, Analysis - Beam End F o r c e s 5 KN- m END END I J M2( + )max X/L = 0 . 0 X/L = 1 . 0 B( 2D- 3I ) 2 2 ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAA Beam F l o o r Load Axl Shr2 Shr3 T o r q u e M2 M3 M2 x/L Axl Shr2 Shr3 T o r q u e M2 M3 3 ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁA B(1-1D) 2 1 2 3 4 5 B( 1D-2I) 2 1 2 47. .7 47. .7 58, .3 58. .3 71. .5 71. .5 115. .5 115. . 5 - 1 . .1 - 1 . .1 0 .0 0. 0 0. 0 0. .0 0 ..0 0. . 0 0. . 0 0. .0 0 .0 0..0 -246. 9 -192 . 4 -27 . 4 -27. 4 - 3 7 0 . .3 -288 . 7 - 3 2 3 ..7 -258. 3 - 2 6 8 . .8 - 2 0 3 .. 5 0. 0 0. 0 0. 0 0. .0 0 ..0 0 ..0 0 .. 0 0. .0 0. .0 0. .0 - 7 7 ..2 71. . 0 - 1 1 7 ..5 - 9 9 . ,0 - 1 1 5 . .9 106. .5 - 2 1 0 . .2 -13 . 8 24 . 8 184 ..2 .7 .7 0..0 0 ,.0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 - 1 9 2 ..4 299 . 5 - 2 7 ..4 - 2 7 . .4 - 2 8 8 . .6 0..0 0 ,. 0 0.. 0 0..0 0..0 0..0 0.. 0 0.. 0 0 .0 0 .0 71. .0 - 25 5. .6 - 99. .0 68 .2 106 . 5 - 3 8 3 .4 47 47 18 18 3 4 5 71 75 75 38 38 .3 .3 .5 .5 .5 .5 .9 .9 449. . 3 - 2 5 8 .3 332 . 0 - 203 .5 386 . 8 392 0. 0 0. .0 0. .0 0. .0 0. .0 0. . 0 0 ..0 0. .0 0. .0 0 .. 0 1 4 71. 0 1.0 0. .0 0.0 106. .5 1.0 0..0 0.0 2 184. .2 1.0 3 5 B( 3I -3) 2 1 4 - 13 -238 184 -374 .8 .5 .2 .9 0.,0 0.. 0 0..0 0..0 0..0 0..0 0.. 0 0 .0 0 .0 0 .0 300 .5 0.4 5 68 .2 1.0 450 . 7 0.4 330 .7 0.45 2 398 . 1 0.35 3 B (3 - 3 D) 2 1 0 0 0 0 - 2 5 5 . .6 - 4 7 6 . .2 68. .2 86. ,7 -383 .4 - 7 1 4 ..3 - 2 3 8 .,5 - 4 8 4 . .7 - 3 7 4 . .9 - 6 5 8 . .1 0. .0 0..0 0. .0 0. .0 0..0 0. .0 0. .0 0. .0 0. .0 0. 0 - 3 0 0 . .4 - 2 4 6 . .0 - 1 3 ..6 - 1 3 ..6 - 4 5 0 .. 6 -369..0 -374..1 - 3 0 8 ..8 -347..0 -281..6 0. 0 0. 0 0.0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. .0 - 4 4 7 ..1 - 2 6 2 ..7 -50., 5 - 4 1 . ,3 - 6 7 0 . .7 -394. - 5 8 7 . .0 -356., 5 - 4 8 6 . .0 - 2 7 3 ., 9 0. .0 0..0 0. .0 0. .0 0. .0 0..0 0 ..0 0 ..0 0. . 0 0. .0 0. .0 0 ..0 0. . 0 0. .0 0. .0 0. ,0 0. .0 0. ,0 0..0 0..0 - 2 4 6 . .0 2 4 6. .0 - 1 3 . .6 - 1 3 ..6 - 3 6 9 . ,0 369. .0 - 3 0 8 .,7 2 8 1. .6 - 2 8 1 . .6 308 ,. 7 0. .0 0. .0 0 ..0 0 ..0 0. . 0 0. .0 0. .0 0. . 0 0. .0 0. .0 - 2 6 2 . ,7 - 2 6 2 ,.7 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0 .0 0 .0 246. .0 300. .4 -13 . 6 - 1 3 . .6 369. . 0 450. . 6 281 . 6 347 . 0 308 .7 374 . 1 47 . 7 47 . 7 -21. 6 -21. 6 71 . 5 71 . 5 35 . 6 35 . 6 78 . 9 78 . 9 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0 .0 2 9 9 . .5 3 5 4. .0 - 2 7 . .4 - 2 7 . .4 44 9 ..3 5 3 1. .0 3 3 2. .0 3 9 7. .4 32 . 9 32 . 9 40 . 0 40 . .0 49 . .3 49 ..3 79 ..4 79 . .4 - 0 . .5 -0..5 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. .0 0 ..0 32. . 9 32. .9 0. .0 0. .0 49 ..3 49. .3 39. ,4 39. .4 39. .4 39. .4 32 ..9 32. .9 - 4 0 . .0 - 40. .0 49. .3 49 .3 -0 . 5 - 0 .5 79 . 4 79 . 4 47 47 21 21 71 71 .7 .7 .6 .6 .5 .5 0 0 0 0 0 0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 38 6 ..8 452 ..2 -354 -299 - 27 - 27 -531 -449 .0 .5 .4 .4 .0 .3 393 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 0 0 0 0 0 0. .0 0. 0 86 . 7 1. 0 0. .0 0. .0 0. 0. 0. 0. 0. .0 0. 0 0. .0 0. .0 0. .0 0. .0 0. .0 0. .0 0. .0 0 ..0 0. .0 0. .0 0 ..0 0. .0 0. . 0 0. .0 112. .5 0. .5 - 4 1 . ,3 41. .3 - 3 9 4 . .0 - 3 9 4 ..0 -356,. 5 - 2 7 3 ..9 - 2 7 3 ..9 - 3 5 6 . .5 0..0 0. .0 0..0 0..0 0..0 0..0 0.. 0 0.. 0 41. .3 .0 168. .7 0., 5 134 ..9 0..5 134. .9 0 ..5 0..0 0.. 0 0..0 0 .0 0..0 0..0 0.. 0 0.. 0 0..0 0..0 - 2 6 2 . .7 - 447. . 1 41. .3 50. .5 - 394 .0 -670 . 6 - 273 .9 - 486 .0 -356 . 5 -587 . 0 0.. 0 0.. 0 0..0 0. .0 0..0 0..0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0..0 0..0 50. . 5 1. .0 0.. 0 0..0 0 .0 0..0 0 .0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0.. 0 0 .0 0 .0 -476 -255 -86 -68 -714 - 383 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 0 .0 .2 .6 .7 .2 .3 .4 0 0 0 0 0 0 .0 .0 .0 .0 .0 .0 Estructuras de C oncreto I 4 1 47 ,.7 47 , 7 2 - 1 8 ..3 - 1 8 . .3 71. . 5 71, . 5 38. . 9 38. , 9 75. .5 75. .5 3 4 5 2 3 4 5 £ Linear Support 0.. 0 0.. 0 0..0 47 ..7 47. .7 - 5 8 . ,3 - 5 8 . .3 71 . 5 71. . 5 -1 -1 115 . 5 11.5 . 5 1 B ¡41-4' 0..0 0.. 0 0. . 0 0, ,0 78 .. 9 78 ..9 35. .6 35. .6 5 B ( 3D-4I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones - 4 5 2 . .2 -386., 8 - 3 9 7 ..4 - 3 3 2 . ,0 -299.. 5 192 .,4 - 2 7 ..4 - 2 7 .,4 0..0 0.. 0 0. ,0 0. .0 0., 0 0.. 0 0..0 0 .. 0 0 .. 0 0., 0 0.. 0 0. . 0 0..0 - 4 4 9 ,.3 28 8 .. 6 -386.. 8 203 .. 5 -332.. 0 25 8 . 3 0..0 0,.0 0.,0 0. . 0 0.. 0 0 ..0 0.,0 0 ,. 0 0.. 0 0..0 0..0 0.. 0 0..0 0.. 0 0..0 0.. 0 0.. 0 0 . .0 192 ..4 246. .9 - 2 7 ..4 - 2 7 ..4 288. . 6 370. .3 203 . 5 268. . 8 258. .3 323. .7 0.. 0 0..0 0 ,. 0 0.. 0 0.. 0 0..0 0..0 0.. 0 0 . .0 0 . .0 Analysis Load - Support Forcé - 6 5 8 . .1 - 3 7 4 . .9 -484. 7 - 2 3 8 .. 5 0..0 0..0 0. .0 0. 0 0. .0 0. .0 0.0 0.0 - 2 5 5 . ,6 71. .0 - 6 8 .,2 99. .0 - 3 8 3 . .4 106. . 5 - 3 7 4 ..9 184 .,2 - 2 3 8 . ,5 - 1 3 .. 8 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0 ..0 0. .0 0 ..0 0. .0 0 ..0 300. .5 n c u.6 99. .0 1 n 1 -0 450. .7 0 •í0; u 71, .0 - 7 7 , ,2 99. .0 117 ..5 106 .. 5 - 1 1 5 .. 9 184 ..2 24. . 8 -13 . 8 - 2 1 0 , .2 0..0 0. .0 0 .,0 0. .0 0..0 0..0 0.. 0 0 ..0 0 . .0 0 . .0 71 .0 398. .1 330. .7 Stry LdCo mb Fx Fy Mx 2 3 Gr ound 117 .5 1.0 106 . 5 1.0 184 .2 1.0 0 .0 0.0 (KN-m) My Ground Gr ound 686.65 -13.86 1029.97 810.12 837.84 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 -19.43 141.20 - 2 9 . 14 117.89 -164.52 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 686.65 13.86 1029.978 0. 00 0. 00 0. 00 19.43 141.20 29.14 0.00 0.00 0.00 1 2 3 4 5 -14.80 71.65 - 2 2 . 21 55.88 -89.41 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 1 2 3 14.80 71.65 22 . 21 0. 00 0. 00 0. 00 394 0 . 00 1 2 3 4 5 - 4 7 , . 67 63. . 31 - 7 1 . . 51 - 6 . . 10 - 1 2 0 . . 50 0. , 00 0. . 00 0. . 00 0. 00 0. 00 263 .. 01 - 2 7 . . 41 3 9 4. .52 288 .. 19 343 ..02 0. . 00 - 6 2 .. 47 130. . 25 - 9 3 .. 71 55. .29 - 2 0 5 ..21 0. .00 0. .00 0. 00 0. 00 0., 00 0. , 00 0. . 00 0. . 00 0..00 D iseño Estructural: Ms = -5 3 0 .0 1-491.5 135.2 9 -491.5 1-530.0 86.31-52.3 52.31-86.3 Muv = 1.5M v -795.0 1-737.3 -737.3 í -795.0 1.2M v+ M s = -5 4 9 .7 1-642.1 -537.5 j -722.3 1.2M v—M s = -722.31-537.5 -642.1! -549.7 Se adopta (j)Mn = 795.0 795.0 Mz 0. 00 0. 00 0. 00 63 . 31 71.51 120.52 -6.10 0. 00 0. . 00 0. . 00 (§ ) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 263.01 27.41 394.52 343.02 288.19 47.67 164 . 52 - 1 1 7 . . 88 1.0 62 . 47 130 . 25 93.71 205.21 -55.29 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 1 2 3 4 5 0 . 00 0.. 00 a. Sentido B -C (Pórtico equivalente ejes 2-3): ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ 1 837 . 84 810. . 12 Mv = Mo me nt Fz 0.. 00 0.. 00 0.55 ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁMÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁMÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ Axis 3) 89. . 41 - 5 3 . . 89 0.65 Reactions ( KN) G ro u n d 4 5 M v en sección de diseño = 419.3 135.2 419.3 <j>Mn = 629.0 202.8 629.0 i Vv = 352.5 |-3 0 2 .0 302.0! -352.5 j Vs = -24.31-12.6 -12.6 í-24.3 V u v = 1 .5 V v = 528.8,1-453.0 453.0; -528.8 | 0 .7 5 x l.5 V v + 2 V s = 348.0 -1365.0 395 3 1 4 .6 Í -445.2 i C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I © 0 .7 5 x l.5 V v -2 V s = 445.2 Se adopta Vu = 314.6 365.0 -348.0 453.0 453.0 Vv en sección de diseño = 272.2 272.2 Vu = 408.3 408.3 (p> . ^ n (kN-m) = P= 0.001146 0.002252 0.001944 0.0J>f209 0.001944 As mín = 0.0018*3.925*0.25 = 0.001766 Superior: Inferior: 28 (J>3/8 c/0.135 25 (J. 3/8,” c/0.15______25 <|>3/8” c/0.15 28 <j) 3/8” c/0.135 _ 25 (j) 3/8” c/0.15 dos direcciones. 0.60*202.8 = 121.7 471.8 0.00190 0.007954 15¿3 Revisión de la fuerza cortante a “d /2 ” del borde del capitel com o losa en <j)Mn (máx) = 748.6 kN-m 0.75*629^0 = 471.8 0.40*202.8 = 81.1 0.002252 As (m2) = 9 (j)Mn (kN-m) = 0.25*629.0 = 157.3 Ps 4 Franja de colum nas b = 3.925; d = 0.21; © Aunque esta verificación y a se había efectuado al predim ensionar en el problema 7.5, ahora se hace com o una rutina del diseño utilizando el m ism o capitel de 1.75 x 1.60 m etros. O.OÓ7954 V = 9.27*8.70*7.85 - 9.27*1.96*1.81 = 600.20 kN A s (m2) = 0.006556 0.Q&Í566 0.0Ó6553 S A, mín = 0.0018*3.925*0.25 = 0.001766 (j) Superior: 33 <|>5/8” c/0.12 <\>Inferior: 14 <j) 1/2” c/0.30 V u (kN) = 408.3 18 <{>3/8” c/0.24 14 <j) 1/2”c/0 .3 0 V u = 1.5*600.20 = 900.30 kN 33 <j>5/8 c/0.12 (f>Vc debe ser el m enor de: 14 <|> 1/2’ c/0.30 ( a H V c = < r 0 . 1 7 * [ u j f ) V C b od 408.3 (|)VC = 4 )*0.17V fJb d = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 0 * 3 .9 2 5 * 0 .2 1 * 1 0 0 0 = 482.37 kN donde p= es la relación del lado largo al lado corto de la colum na, la carga concentrada o el área de reacción y b 0 es el perím etro de la sección critica para cortante: *VC> V U V 2TTT * 7 .5 4 * 0 .2 1 * 1000 <t>Vc = 0.75 * 0 .1 7 ; 1+ 1.96-5-1.81 Franja central b = 3.925; d = 0.22; <\>Mn (máx) = 821.6 kN-m 396 d>V = 2640.9 kN 397 Estructuras de C oncreto I (b) <t)Vc = r C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones 0.083 * í ^ ¿ + 2 W b 0d l b« (?) ) donde cts es 40 para colum nas interiores, 30 para colum nas de borde 20 para colum nas esquineras: (W = 0 .7 5 * 0 .0 8 3 : 40* 0 .2 1 7.54 + 2 v 2 L l * 7.54 *0.21*1000 <j)Vc = 1407.03 kN (c) <J)VC = (()*0.33*^ /fjb 0d = 0 .7 5 * 0 .3 3 * V 2 L l * 7.54*0.21 *1000 Q Vv = 354.0 -300.4 300.4 -354.0 Vs = -27.4 -13.6 -13.6 -27.4 Vuv = 1.5V v = 531.0 -450.6 450.6 -531.0 0 .7 5 x 1 .5 V v + 2 V s= 343.5 -365.2 310.8 -453.1 0 .7 5 x 1 .5V v - 2 V s = 453.1 -310.8 365.2 -343.5 <j>V = 1 7 9 8 .7 8 kN Se adopta V u = P or lo tanto <})VC > Vu b) 450.6 de diseño = 267.3 267.3 Vu = 401.0 401.0 Vv en sección Sentido 2-3 (Pórtico equivalente ejes B-C) 0) Mv = 450.6 (3 ) -476.2 -447.0 112.5 -447.0 -476.2 <jjVc = <|)*0.17v/f jb d = 0 .7 5 * 0 .1 7 * \ / 2 L Í * 4 .3 5 * 0 .2 1 * 1 0 0 0 Ms = 50.5 -86.7 86.7 -50.5 M uv = 1 .5 M v = -714.2 -670.6 -670.6 -714.2 1 .2 M v + M s = -484.7 -587.0 -486.0 1 .2 M v —M s = -658.1 -486.0 -587.0 -484.7 71 4.2 714 .2 <(iVc = 534.60 kN ♦Vc > Vu Se adopta <t>Mn = 658.1 Franjas de colum nas b = 4.35; d = 0.21; <|>Mn (máx) = 829.7 N-m q> M v en sección 112.5 365 .2 (|)Mn (kN-m) = 0.75*547.8 = 410.9 547 .8 168.8 547 8 p= ii 365 .2 c S -e 9 de diseño = 398 0.006105 0.60*168.8 = 101.3 0.001424 399 410.9 0.006105 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I Q) A s (m2) = (3 ) O.OfXm 0.005577 0.005577 I As mín = 0.0018*4.35*0.25 = 0.001958 | (f Superior: 28 <j>5/8” c/0.16 14 <j>3/8”c/0.32 28 <j>5/8” c/0.16 <\>Inferior: 16<j> 1/2”c/0.29 16 (j> 1/2”c/0.29 16 <(> l/2 ” c/0.29 V u (kN ) = 1401.0 401.0 F ranja central b = 4.35; Franja de Columnas Luz M enor <1>VC > V U <j)Mn (máx) = 910.6 kN-m d = 0.22; Q> <j>M„ ( k N - m ) p = = 0.25*547.8 = 137.0 0.40*168.8 0.001760 = 67.5 0.000855 137.0 0.001760 A s (mz) = 0.001684 0.090618 0.001684 As mín = 0.0018*4.35*0.25 = 0.001958 (j) Superior: (j> Inferior: 28 <{>3/8” c/0.15 28 <{) 3/8” c/0.15 28 4>3/8” c/0.15 ___ 28 (j) 3/8” c/0.15 ___ 28 <j>3/8 c/0.15 A continuación el detalle del refuerzo: Figura 7.22a 400 401 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones de C oncreto I p ro b lem a 7 .8 Resolver el diseño del módulo interior típico del problema 7.7, mediante la tilizaciónde un sistema de losa aligerada en dos direcciones soportada en U 0lumnas (reticular celulado), empleando los mismos materiales allí especificadosy suponiendo lamismazonade amenazasísmica. Solución Seusa la predimensión del problema 7.6 para una carga total de w = 8.15 kN/m2yluego se aplica el método del pórtico equivalente. 1 ) Análisis estructural Utilizando un método apropiado de análisis estructural, se procesan los pórticos equivalentes correspondientes alos ejes 2-3 y B -C con inercias variables paralaviga-losa deacuerdo alos esquemas siguientes: Pórticos Ejes 2-3: 23,'2,— > 2,20x0,40 0 2,20x0.40 2,20x0,40 2,20x0,40 2,20x0,40 0 ID lio D GO Ó nr~10,40: □ 1,15 6,40 6,40 1,15 1,15 0 0 © ID 0 0,40x0,40 Ó 6,40 1,15 1,15 8,70 8,70 8,70 0 ID 0,40x0,40 o Ó 2,20x0,40 11 2 | D 0 0 © © © F ig u ra 7.23 w=8.15*7.85 =63.98 kN/m I (luz): Iluz:correspondiente aunaviga-losadesección 1.10x 0.40 I (capitel): Icapitel = 1. 10 1- „ -x0.40 = 1.10 / 1_2.3° c2 V 2y 403 7.85 x0.40 =2.20x0.40 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I ]? L i n e a r A n a l y s i s Pórticos E jes B-C: 231.21 ynits: Ig 2,18x0.40 2,18x0,40 2,18x0,40 El 0,40x0,40 O |q El E El 0,40x0,40 o 1,15 . 5,55 , 1,15 1,15 1,15 5,55 © 0 © 2,18x0,40 El 0,40x0,40 El 4.00 0.40x0.40 KN, KN-m BOTTOM TOP .xí^jy^AÁAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAÁÁAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAÁÁÁÁÁAÁ Column S t r y Load Axial Shear2 Shear3 Torque Mom-2 Mom-3 Axial Shear2 Shear3 Torque Mom-2 Mom-3 ^ ^ J iJ iA Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á 1,15 j 7,85 7,85 O © , El 2,18x0,40 2,18x0,40 | E l El LJ E □ I 5,55 j U5 o - D 7,85 0 © © 0© 1 i 2 F ig u r a 7.24 3 4 w = 8.15*8.70 = 70.91 kN /m 5 I (luz): I luz: correspondiente a una viga-losa de sección 1.20 x 0.40 2 - 1 20 C 1- ^ 2 1 1 20 I (capitel): I capW = —- - — - y x 0 .4 0 = - — — — yxO .40 = 2.18 x 0.40 / \ 2 ' 2.30 C2 V 2 3 8.70 J 4 R esultados: 5 C o m p a n y : JORGE SEGURA FRANCO P r o j e c t : E s t r u c t u r a s de C o n c re to I - P r o b 7 . 7 - P o r t 2y3 2 - B 1 2 404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404 404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404 404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404404 404404404404404404404404404404404404404404404404404400400400400 3 4 C O M B I N A T I O N S 5 No Load c o m b i n a ti o n ÁÁAÁÁÁ ÁÁAÁÁÁÁÁÁAÁÁÁÁÁÁ 2 - A 1 2 3 4 5 OT EQ 1 . 5 0T 1 . 2 0 T + EQ 1 . 2 Q T - EQ 1 2 3 404 238.4 238.4 -20.3 -20.3 357.7 357.7 265.8 265 . 8 306.4 306.4 74.1 74.1 -52.0 -52.0 111.1 111.1 36.9 36.9 140.9 140.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 96.5 -185.1 -110.1 87 . 5 144.7 -277 . 6 5.7 -134.6 225.9 -309.6 596.5 596 . 5 8.7 8.7 89 4 . 8 89 4 . 8 724.5 724.5 707 .1 707 .1 -21.3 -21.3 -63 .6 -63.6 -31.9 -31.9 -89.1 -89.1 38.1 38.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -28.0 52 . 9 -125.3 116.4 -41. 9 79.4 -158.9 179.9 91.8 -52.9 596.5 596.5 -8.7 -8.7 894.8 894.8 707.1 707.1 724.5 724.5 21.3 21.3 -63.6 -63 . 6 31.9 31.9 - 3 8 .1 -38.1 89.1 89.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 28.0 -52.9 -125.3 116.4 41. 9 -79.4 -91.8 52.9 158.9 -179.9 238.4 238.4 20.3 20.3 357 .6 357.6 -74.1 -74.1 -52.0 -52.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -96.5 185.1 -110.1 87.5 -144.7 277.6 10:38:38 22- 01-2011 L O A D - Column End F o r c e s - 111. 1 -111.1 405 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Estructuras de C oncreto I 306.4 306.4 265.8 265.8 -140.9 -140.9 -36.9 -36.9 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1 2 3 fc> L i n e a r Units: KN, Analysis - Beam End F o r c e s 4 5 KN- m END END I J X/L = 0 . 0 X/L = 1 . 0 (+)max AIBD-CI) 2 ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAAA Beam F l o o r Load Axl Shr2 Shr3 Torque M2 M3 M2 x /l Axl Shr2 Shr3 Torque M2 M3 2 3 á á á á á á á á á á á á á á á á á á á a a á á á á á á á a á á á á á á á á á á á a á á á á á á á á á á á á á á á á á a á á a á á á AAA 2 ( A- AD) 2 1 2 3 4 5 2(AD-BI) 1 2 3 4 5 2 (BI-B) 1 2 3 4 5 74. 1 74. 1 46. . 9 46. .9 111, 1 111, 135. .8 135. .8 42. .0 42 ,.0 0. .0 0. .0 0. ,0 0. .0 0. ,0 0. .0 0. .0 0.. 0 0., 0 0.,0 - 2 2 5 . ,6 - 1 6 4 . .9 - 2 0 . ,3 - 2 0 . ,3 - 3 3 8 . ,5 - 2 4 7 . ,3 -291. , 1 - 2 1 8 . .2 -250., 5 - 1 7 7 ..6 0. . 0 0. .0 0. .0 0. . 0 0. .0 0. .0 0. .0 0 ..0 0. .0 0. .0 - 1 5 3 . .5 32, .0 - 9 3 . .9 - 7 4 . .6 - 2 3 0 . .3 48 ..0 - 2 7 8 .,1 - 3 6 . .2 - 9 0 . .3 113 ..0 0.,0 0.,0 0..0 0..0 0,.0 0,.0 0.,0 0..0 0.,0 0..0 74. .1 74. .1 13 ..5 13 ,.5 111. .1 111. ,1 102 ..4 102 ..4 75. .4 75. .4 0..0 0 .. 0 0 .. 0 0. . 0 0..0 0,. 0 0. . 0 0 . .0 0..0 0 . .0 - 1 6 4 . .9 244 ..6 - 2 0 ..3 - 2 0 . .3 - 2 4 7 ..3 366 ,.9 - 2 1 8 ..2 273 ..2 - 1 7 7 ..6 313 ..8 0. .0 0. .0 0. , 0 0 . .0 0. .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 ..0 32. . 0 - 2 2 3 . ,2 - 7 4 . .6 55, .2 48. . 0 - 3 3 4 . .8 - 3 6 . .2 - 2 1 2 ..6 113. .0 - 3 2 3 . .0 0.,0 0. . 0 0. . 0 0 ,,0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0,. 0 0. . 0 0 . .0 74. .1 74. .1 - 20. .0 - 20 .0 111. .1 111. . 1 68 . 9 68 . 9 108 . 9 108 . 9 0 . .0 0..0 0.. 0 0. .0 0. .0 0. .0 0. . 0 0. . 0 0. . 0 0. . 0 244. .6 305. .4 - 2 0 . .3 - 2 0 . .3 366. .9 458. . 1 273. .2 346. .2 313. . 8 386. . 8 406 0 . .0 0 ,.0 0 . .0 0 . .0 0,.0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 - 2 2 3 ..2 -484 .4 55. .2 74. . 5 - 33 4. .8 - 72 6. .6 - 21 2. .6 - 50 6. .8 - 32 3. .0 - 65 5. .8 0. . 0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0..0 0. .0 32. .0 1.0 0..0 O.o 48. .0 1.0 4 5 A( CI - C) 0..0 1 2 1 0.0 2 113, .0 1.0 3 244. .4 0. 4 4 55. .2 1. 0 5 366. .6 0. 4 273. .6 0. 45 318 .1 0. 35 A(C-CD) 2 1 2 3 0 .0 0. 0 4 74 . 5 1. 0 5 0 .0 0. 0 0 .0 0. 0 0 .0 0. 0 A( CD-DI ) 2 1 2 3 0.. 0 0..0 0..0 0.,0 0..0 0..0 0..0 0.,0 -474.. 0 - 2 1 7 ..0 0., 0 0.. 0 0.. 0 0..0 0 ,,0 0,,0 0.. 0 0..0 0..0 0.. 0 0.. 0 0.,0 0.. 0 0..0 0.,0 0..0 0..0 0. .0 0..0 0..0 0. .0 0..0 115 .,7 0.. 5 37. .2 1.,0 0 .0 0 .,0 0..0 0..0 0 ..0 0.. 0 0..0 - 2 1 1 . .8 -211,. 8 - 3 7 ..2 37. .2 - 3 1 7 . .8 - 3 1 7 .. 8 - 2 9 1 . .4 - 2 1 7 . .0 - 2 1 7 ..0 - 2 9 1 , .4 173 . 6 0.,5 138. .9 0..5 138, .9 0. .5 204 . 7 265. . 5 - 1 1 . .6 -11. . 6 307 ,.1 398. . 3 234. .1 307 ..0 257 ..3 330. .2 0 ..0 0 ..0 0.. 0 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0,.0 0.,0 - 2 1 1 . .8 - 4 3 5 ..2 37, ,2 48 ..3 - 3 1 7 . ,7 - 6 5 2 . .8 - 2 1 7 ..0 - 4 7 4 ..0 - 2 9 1 . .4 -570.. 5 0. .0 0..0 0..0 0..0 0. .0 0. ,0 0. .0 0..0 0.,0 0..0 0..0 0. .0 48. .3 1 ..0 0..0 0. .0 0..0 0..0 0.,0 0..0 0..0 - 4 8 4 . .4 - 2 2 3 ..2 - 7 4 . .5 - 5 5 , .2 - 7 2 6 . .6 - 3 3 4 . .8 - 6 5 5 . .8 - 3 2 3 . .0 - 5 0 6 . .8 -212 . 6 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0 .0 0..0 0.. 0 0..0 0..0 0..0 0., 0 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0.,0 0..0 0..0 0.. 0 0 ..0 244. .4 0., 6 74. .6 1..0 366. .6 0..4 52, .8 52 ..8 33 ..4 33. ,4 79. .2 79. ,2 96. .8 96. .8 29. .9 29. .9 0..0 0..0 0..0 0..0 0,. 0 0.. 0 0.. 0 0..0 0..0 0 ,,0 - 265 .5 - 204 .7 - 11. .6 - 11. .6 - 3 9 8 . .3 - 3 0 7 . .1 - 3 3 0 . .2 - 2 5 7 . .2 - 3 0 7 . .0 - 2 3 4 . .0 52 ..8 52 .. 8 0.. 0 0..0 79. .2 79. ,2 63 ..4 63 ..4 63 ..4 63 ..4 0..0 0..0 0 ..0 0..0 0 ..0 0..0 0..0 0.,0 0..0 0..0 - 2 0 4 . .7 204. .7 - 1 1 . .6 - 1 1 . .6 - 3 0 7 .,1 307 .,1 - 2 5 7 ,.2 234. . 0 - 2 3 4 . .0 257 ..2 0.,0 52. .8 52. .8 - 3 3 ..4 - 3 3 ..4 79. .2 79. .2 29. .9 2 9 . .9 96. .8 96. .8 0..0 0..0 0..0 0,.0 0.,0 0..0 0..0 0 ,,0 0..0 74. .1 74. .1 20. ,0 20. .0 111. 1 111. , 1 108. .9 108. ,9 68. .9 68. .9 0..0 0.. 0 0.. 0 0..0 0..0 - 3 0 5 . .4 - 2 4 4 . .6 - 2 0 . .3 - 2 0 . .3 -458. . : - 3 6 6 . .9 - 3 8 6 . .8 - 3 1 3 .. 8 - 3 4 6 . .2 - 2 7 3 . .2 74 .. i 74, . 1 - 1 3 ..5 - 1 3 ..5 111. ,1 111. .1 0 .0 0..0 0..0 0..0 0..0 0.. 0 -244 .6 164. . 9 - 2 0 . .3 - 2 0 . .3 - 366. .9 247. .4 0,.0 0..0 0..0 0..0 0..0 407 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0..0 0.. 0 0..0 0..0 0 .0 0..0 0..0 0 .0 0 ..0 0..0 0..0 0 .0 0..0 0..0 0 ..0 0.0 0..0 0,. 0 0..0 0..0 - 4 3 5 . .2 - 2 1 1 . .8 - 4 8 . .3 - 3 7 . .2 - 6 5 2 ..8 - 3 1 7 . .7 - 5 7 0 . .5 - 2 9 1 . .4 - 2 2 3 . .2 32, .0 - 5 5 . .2 74. .6 -334 .8 48. .0 0..0 0 .0 0 ..0 0..0 0..0 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I 4 5 1 2 3 4 5 75.4 75.4 102.4 102 . 4 0.0 0.0 0.0 0.0 -313 . 8 177 . 6 - 2 7 3 .2 218.1 0.0 0.0 0.0 0.0 -323.0 113 . 0 -212.6 -36.2 0.0 0.0 0.0 0.0 74.1 74.1 -46.9 -46.9 111.1 111.1 42.0 42.0 135.8 135.8 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 164.9 225.6 -20.3 -20.3 247.4 338.5 177.6 250.4 218.1 291.1 0.0 0.0 0.0 0 .0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 32.0 -153.5 74.6 93 . 9 48.0 -230.2 113 . 0 -90.3 -36.2 -278.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 b Linear Support Analysis - Forcé Load Support any; 318. 1 COn^ e c t - JORGE SEGURA FRANCO E structuras 273. 6 32 . 0 93 . 9 48 . 0 M B I L0 A 1 1 3. 0 N A T 1 2 3 4 5 (KN-m) I O N S Load c om bi na ti o n AAAAAAAAAAAAAAAA No AAAAAA 0. 0 Moment 12:51:29 . o94 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4¡!g4094094094094 094 0 9 4 0 9 4 0 9 4 094 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 no40 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 4 0 9 qÍj4094 094 094 0 9 4 0 9 4 0 9 4 094 094 0 9 4 0 9 4 0 9 4 094 094 0 9 4 0 9 4 094 0 9 4 094 0 9 4 094 09 Reactions ( KN) d e C o n c r e t o I - P r o b 7 . 7 - P o r t ByC 8-1999 OT EQ 1 ; 50T 1 . 2 0 T + EQ 1 . 2 0 T - EQ aaááaaáááááaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaáaaaáaááA Axis Stry LdComb Fx Fy Fz Mx My Mz b á a a a a á a á a a a a á a á a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a AMA A B Ground Gr ound 74.09 52 . 0 0 111.14 140.91 36.91 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 238.44 20.28 357.66 306.41 265.85 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 96. 46 110. 06 144. 69 225.81 5.69 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1 2 3 4 5 -21.28 63 . 61 -31.92 38.07 -89.15 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 596.50 - 8 . 66 894.74 707 . 14 724.45 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 - 2 7 . 96 125.31 -41.94 91.76 -158.86 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1 2 3 4 5 21.28 63.61 31.93 89.15 -38.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 596.50 8.66 894.75 724.45 707 . 1 4 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 27.96 125.31 41.94 158.86 -91.76 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1 2 3 4 5 -74.09 52.00 -111.14 -36.91 -140.91 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 238.44 -20.28 357.66 265.85 306.41 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 -96.46 110.06 -144.69 -5.69 -225.81 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Uni ts: KN, KN-m BOTTOM TOP AÁÁÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁÁÁÁÁAAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ Column Stry Load Axial Axial Shear2 Shear2 Shear3 Shear3 Torque Torque Mom-2 Mom- 2 Mom-3 Mom- 3 AÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁ B- 4 1 1 2 3 4 5 - 3 1 2 3 408 - C o l u mn End F o r c e s 236.0 236.0 -23 .0 -23.0 354.0 354.0 260.3 260.3 306.2 306.2 60.5 60.5 -52.6 -52.6 90.7 90.7 20.0 20.0 125.1 125.1 0.0 0.0 0.0 0.0 0 .0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 78.8 -151.0 -109.6 90.2 118.2 -226.4 -15.1 -91.0 204 . 1 -271.3 598 . 9 598.9 10.4 10.4 898.4 898.4 -18.1 -18.1 -63 .0 -63 .0 -27.2 -27 .2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 -23 .7 45.0 - 1 2 3 .3 116.2 -35.6 67.5 409 o D Gr ound 1 2 3 4 5 Analysis o C Ground Linear Estructuras de C oncreto I 4 5 - 2 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones 729 729 708 .3 708 .3 - 84 .7 - 8 4 .7 41. .3 41 .3 598 . 9 598 . 9 - 1 0 . .4 - 1 0 . .4 898. .4 898. .4 708. .3 708. .3 729. . 1 72 9 ..1 2 3 6. .0 2 3 6. .0 23 ..0 23 .,0 3 5 4. .0 3 5 4. ,0 3 0 6. .2 3 0 6. .2 2 6 0. .3 2 6 0 . .3 0 .0 0 .0 0 .0 0. . 0 0 .0 0 .0 0. .0 0 .0 0. .0 0. . 0 18 . 1 18. . 1 - 6 3 . .0 - 6 3 ..0 27 ..1 27 .. 1 - 4 1 . .3 - 4 1 , .3 84 .,7 84. ,7 0. .0 0. .0 0. . 0 0. .0 0. .0 0. . 0 0. .0 0. .0 0. .0 0. .0 0. . 0 0. .0 0. .0 0. . 0 0. .0 0. .0 0 ..0 0. ,0 0. .0 0..0 0. .0 0..0 0..0 0., 0 0. .0 0. .0 0..0 0..0 0. .0 0. .0 - 6 0 . ,5 - 6 0 .. 5 - 5 2 .. 6 - 5 2 . .6 - 9 0 . ,7 - 9 0 . .7 -125.,1 - 1 2 5 .. 1 - 2 0 . .0 - 2 0 . .0 0. .0 0. .0 0. .0 0. ,0 0. . 0 0 .. 0 0. .0 0. .0 0 ..0 0. .0 0. .0 0. .0 0. . 0 0,.0 0. .0 0. .0 0. .0 0. ,0 0. .0 0. .0 0. .0 0. ,0 ■151.8 170.a 34.9 '62.2 0. . 0 0. . 0 0. . 0 0. .0 0. .0 0. .0 0. .0 0. 0 0. .0 0. 0 b , 1 D' 2 I ) 2 2 3 23.7 4 -45. 0 123.3 5 116.2 35.6 -67.5 1 -94. 9 62.2 151.8 • 170.1 -7 8 .8 151.0 - 1 09.6 90.2 - 1 18.2 2 2 6 .5 - 2 0 4 .2 2 7 1 .3 15.1 9 1 .0 1 2 3 4 5 B( 2-2D) 2 1 2 3 £> L i n e a r Units: KN, Analysis - Beam End F o r c e s 4 KN- m 5 END END I J X/L X/L Floor Load Axl Axl Shr2 Shr2 Shr3 Shr3 B( 2 D- 3 I ) 2 1 Torque Torque M2 M2 M3 M3 M2 ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAA 3 -221.8 -154 .5 -23 .0 -23.0 -332.8 -231.8 -289.2 -208.3 - 2 4 3 .2 -162.4 410 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 - 1 1 7 .3 61.5 -96.1 -74.3 -175.9 92 . 2 -236.8 -0.5 -44 . 6 148 . 1 0 5 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0 4 0 3 0 2 60.5 60.5 46.9 46.9 90.7 90.7 119.5 119.5 25.6 25.6 0 2 0 X /L 1 0. .0 0. .0 0 . .0 0 . ,0 - 1 5 4 . .5 239. ,1 - 2 3 ..0 - 2 3 ,. 0 -231, ,7 358. , 7 - 2 0 8 . .3 263 . 9 - 1 6 2 ..4 309. ,8 0 ..0 0.,0 0..0 0..0 0..0 0..0 0. .0 0..0 0. .0 0. ,0 61, .5 - 1 7 3 ..3 - 7 4 ..3 53 . 1 92 ..2 -259.. 9 - 0 . .5 - 1 5 4 , .9 148. 1. -261. 1 0 . .0 0 , ,0 0..0 0 . ,0 0 . ,0 0 . ,0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 2 3 9. . 1 306. ,4 - 2 3 .,0 -23 . 0 358. , 7 4 5 9. .7 - 1 7 3 . .3 - 4 3 2 . .4 53 ..1 74 . 9 - 2 5 9 . .9 - 6 4 8 . .6 - 1 5 4 . ,9 - 4 4 4 . .0 - 2 6 1 . ,7 - 5 9 3 ..8 0 . .0 0. .0 0. .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0. .0 0..0 0 . .0 0 . .0 86. . 6 58. , 5 58. .5 0 . .0 0 . .0 0. .0 0 . .0 0 . .0 0. .0 60. . 5 60 .. 5 - 1 8 .. 8 - 1 8 .. 8 90. .7 90 ..7 53 . 7 53 ..7 91. .4 91. .4 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 ..0 0 ..0 0 ..0 0 . .0 0 ..0 0 . .0 0 .. 0 2 6 3. ,9 344 ..7 3 0 9. ,9 390. .7 0 . ,0 0. .0 0. . 0 0 . .0 0 . .0 0..0 0. . 0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 42 ..4 42 ..4 32 ..9 32 .. 9 63 .. 6 63 .. 6 83. .7 83 .,7 18 . 0 18. .0 0 ..0 0 .. 0 0. .0 0..0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0. .0 - 2 6 4 .,1 - 1 9 6 . ,8 - 1 2 .. 6 - 1 2 . ,6 - 3 9 6 . ,2 - 2 9 5 . ,2 -329., 5 - 2 4 8 . .7 - 3 0 4 ,.4 - 2 2 3 ..6 0 . .0 0 . .0 0..0 0 . .0 0..0 0 . .0 0 . ,0 0 . .0 0. .0 0. .0 - 3 9 2 ..3 - 1 7 3 . .4 - 4 6 . .8 - 3 4 . ,9 - 5 8 8 . .5 - 2 6 0 . .0 - 5 1 7 . .6 - 2 4 2 ..9 - 4 2 4 . ,0 - 1 7 3 .,2 0..0 0 . .0 0 . .0 0..0 0. .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 ..0 0. .0 42 ..4 42 .,4 0. ,0 0. .0 63 . 6 63 ., 6 50. ,9 50. .9 50. .9 50. .9 0. .0 0 . .0 0. ,0 0. .0 0 . .0 0 . .0 0..0 0 . .0 0 . ,0 0..0 - 1 9 6 . .8 196, .8 - 1 2 . .6 - 1 2 ..6 - 2 9 5 . ,2 295. .2 -248.,7 223 ..6 - 2 2 3 . .6 248. .7 0 .,0 0. .0 0. .0 0..0 0. .0 0. .0 0..0 0..0 0 . ,0 0 . .0 - 1 7 3 ..4 - 1 7 3 ..4 -34 . 9 34. .9 - 2 6 0 . .0 - 2 6 0 . .0 -242 . 9 - 1 7 3 ..2 - 1 7 3 . .2 - 2 4 2 , ,9 0 ..0 0 . .0 0 . .0 0..0 0. .0 0..0 0. . 0 0 . .0 0.,0 0. . 0 42 ,.4 42 ..4 - 3 2 . .9 - 3 2 ..9 63. .6 63. .6 0 . .0 0..0 0,.0 0. . 0 0 . .0 0 . .0 196. .8 264. ,1 - 1 2 ..6 - 1 2 . .6 295. .2 396. .2 0 . ,0 0 . .0 0,.0 0 ., 0 0 . .0 0 .. 0 -173 . 4 -392 ,3 34. .9 46. .8 - 2 6 0 .. 0 - 5 8 8 . .4 0 ,,0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0..0 0 . .0 229 ..7 0.4 53 ..1 1.0 344. .5 0.4 2 5 4. .4 0.45 303 .. 0 0.35 0 . .0 0.0 74. .9 1.0 0 ,, 0 0.0 0. . 0 0.0 0 .. 0 0.0 0..0 0.0 0.. 0 0.0 0. . 0 0.0 0 . .0 0.0 0 . .0 0.0 99. .7 0.5 34. . 9 1.0 149 . 5 0.5 119. . 8 0.55 119. . 8 0.45 0. . 0 0.0 46. . 8 1.0 0. . 0 0.0 M2 ( + ) max = 0.0 = 1.0 ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁA Beam 60. . 5 60 .. 5 14. .0 14 ..0 90. .7 90. .7 86. .6 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 61.5 1.0 4 0. 0 0.0 5 92.2 1.0 0. 0 0.0 148.1 1.0 B ( 31 - 3 ) 2 1 2 3 411 Estructuras de C oncreto I 4 5 B ( 3 - 3 D) 1 2 3 4 5 B(3D-4i; 1. 2 3 4 5 B (41-4' 1 2 3 4 5 Capítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones 329. . 5 0. . 0 0..0 0..0 0..0 - 1 7 3 ..2 - 42 4. .0 -242 . 9 - 5 1 7 . .6 0..0 0..0 0.. 0 0..0 0.,0 0,.0 0. , 0 0.,0 0. .0 0 .,0 0..0 0 ..0 0. .0 0. .0 - 30 6. .4 - 2 3 9 . .1 - 2 3 .. 0 - 2 3 . .0 - 4 5 9 . .6 - 3 5 8 . .7 - 3 9 0 . .7 - 3 0 9 . .8 -344,. 8 - 2 6 3 .. 9 0.. 0 0.,0 0. ,0 0. ,0 0. .0 0. ,0 0. .0 0. .0 0. , 0 0. .0 - 4 3 2 . .4 -173 . 3 - 7 4 . .9 - 5 3 ..1 - 6 4 8 ..6 - 2 5 9 , .9 -593.. 8 - 2 6 1 . .0 - 4 4 4 . .0 - 1 5 4 ..9 0. . 0 0,,0 0..0 0.,0 0..0 0. ,0 0.,0 0.,0 0. .0 0 ..0 60. .5 60. . 5 - 1 4 . .0 - 1 4 . .0 90. .7 90. 7 58. . 5 58. . 5 86. . 6 86. .6 0. .0 0. . 0 0. .0 0..0 0 ..0 0. .0 0. .0 0. .0 0 ..0 0 ..0 - 2 3 9 . .1 154 ..5 - 2 3 ..0 -23 . 0 - 3 5 8 .,7 2 3 1, ,7 -309.. 8 162. .4 - 2 6 3 ., 9 2 0 8. .3 0 ..0 0. .0 0. .0 0 ..0 0 ..0 0. .0 0. .0 0..0 0. 0 0. 0 - 1 7 3 .,3 61. , 5 -53 . 1 74 .,3 - 2 5 9 . .9 92. .2 - 2 6 1 . .0 148 ..1 - 1 5 4 . ,9 - 0 . .5 60. .5 60 ..5 - 4 6 . .9 - 4 6 . .9 90. 7 90. 7 25 . .6 2 5 . .6 1 1 9. .5 1 1 9. .5 0. .0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 154. . 5 2 2 1. .8 - 2 3 .,0 - 2 3 ..0 2 3 1. , 7 3 3 2. .8 162 ..4 2 4 3. ,2 2 0 8. ,3 2 8 9. ,2 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0.0 0. 0 0. 0 0. 0 61. . 5 - 1 1 7 ..3 74 ..3 96. ,1 92 ..2 - 1 7 5 ..9 1 4 8. 1 - 4 4 . .6 - 0 ..5 - 2 3 6 . .8 18 . 0 18. .0 83. .7 83. .7 0. . 0 0..0 0 ..0 0 ,.0 223 . 6 304. . 4 248. . 7 60. .5 60. .5 18. .8 18 ..8 90. ,7 90. 7 91. .4 91. ,4 53 ..7 53 .. 7 p Linear Analysis - Support 0, .0 o. o 0. .0 n n u.o 0. .0 0 v .n U 0. .0 0 w • \J0 0. .0 0 0 0..0 0. 0 0. .0 o. o 0. .0 0. ,0 0. . 0 0. .0 0. .0 0. .0 0. .0 0 .. 0 0 ..0 0. .0 229. .7 0. 6 74. .3 1.0 344. .5 0.6 0. .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 0 . .0 61 .5 1.0 Mv = -484.4 -435.2 96 .1 1.0 Ms = 74.5 -48.3 92 .2 1.0 G ro u n d G ro u n d 303. .0 0.65 1 2 3 4 5 60.45 52.58 90.68 125.12 19.97 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 412 2) I 2 3 4 5 - 1 8 . ,07 63 .. 03 - 2 7 ,, 11 41. ,34 - 8 4 . .72 0. .00 0. .00 1 2 3 4 5 18. . 07 63 ..03 27 ,. 11 84. . 72 - 4 1 . . 34 0.. 00 0.. 00 0,. 00 0,. 00 0 .. 00 1 2 3 4 5 - 6 0 . . 45 52. . 58 - 9 0 . . 68 - 1 9 . 97 - 1 2 5 . 12 0. , 00 0. . 00 0. . 00 0. , 00 0. .00 0. ,00 0.. 00 0. . 00 0. 00 0. 00 0. . 00 0. . 00 0. . 00 - 2 3 .. 72 123 .. 32 - 3 5 . . 58 94. . 86 - 1 5 1 . . 78 598 .. 95 10 .. 39 898. . 42 729. . 13 708. . 34 0. . 00 0. . 00 0. . 00 23 .. 72 123 .. 32 35. . 58 151. . 78 - 9 4 . 86 236. . 02 - 2 2 . . 96 354. . 03 260 . 27 306. . 18 0. . 00 598. . 95 - 1 0 . . 39 898. , 43 7 0 8. . 34 7 2 9. . 13 148 .1 0.0 0 .0 1.0 0..0 0. 0 0 .. 00 0. . 00 0.. 00 0 .. 00 0 .. 00 0. . 00 -78 109 -118 15 -204 . 77 . 59 . 15 . 07 . 12 0. 00 0 . 00 0 .. 00 0. . 00 0. . 00 0. . 00 0. . 00 0. . 00 0. . 00 0 .. 00 0. , 00 0. , 00 0. . 00 0. . 00 0. . 00 Diseño E structural a. Sentido B -C (Pórtico equivalente ejes 2-3): 254 .4 0.55 © 115.7 -435.2 -484.4 48.3 -74.5 Muv = 1 .5 M v = -726.6 -652.8 -652.8 -726.6 1.2M v+ M s = -506.8 -570.5 -474.0 -655.8 1.2M v—M s = 655.8 -474.0 -570.5 -506.8 0. 0 Reactions Support Load F o r c é ( KN) Mo me nt (KN-m) ÁÁÁÁÁÁÁÁM ÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁAÁÁ Mv Mz Axis Stry LdCo mb Fx Fy Fz Mx My AAÁÁÁÁÁÁÁÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAÁAÁÁÁÁAÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁÁAAAAÁ Ground Ground 236.02 22.96 354.03 306.18 260.27 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 0. 00 78 . 7 7 109.59 118.15 204.12 -15.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 Se adopta (|)Mn = Mv en sección 726.6 726.6 i de diseño = 367.4 115.7 367.4 <t>Mn = 551.1 173.6 551.1 Vv = 265.5 Í-305.4 305.4 -265.5 413 E structuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones Vu Por v i 8 a: se distribuye la fuerza de corte proporcionalm ente a las inercias de los elem entos resistentes que son 3 vigas de capitel y 5 viguetas centrales y aceptando que las vigas de capitel pueden tom ar un 33% m ás de carga que las viguetas centrales. P or lo tanto: <?> Vs = -20.3 V uv = 1 .5 V v = 458.1 -398.3 1- 1 1 . 6 Vu/viga (kN) = 0 .7 5 x l.5 V v + 2 V s = 303.0 -321.9 0 .7 5 x 1 . 5V v - 2 V s = 384.2 -275.5 Se adopta V u = 83.76 - * 3 4 5 .5 * — = 83.76 3 110 4>VC= <(>* 0.17 ^ fjb d = 0.75*0.17*V 2L1 *0.20*0.33*1000 = 38.62 kN 398.3 43.14 4>vs = v u - v c = 43.14 S total (m) = 0.33 + 2.19 + 0.81 = 3.33 V v en sección de diseño = 230.3 345.5 Vu = Estribos: 3.33 10 e <}>3/8” c/0.08 ídem + s <j>3/8” c/0.16 en el resto de la longitud del elemento F ranja de colum nas C onstituida por 3 vigas de capitel de b = 0.20, d = 0.33 y 0.35, d ’ = 0.05 y (j)Mn (máx) = 94.20 kN-m y 106.0 kN -m respectivamente Franja central Constituida por 5 viguetas centrales de b = 0.10, d = 0.36 y <j)Mn (máx) = 56.1 kN-m (j)Mn (kN-m) = 1/3*0.75*551.1 = 137.8 1/3*0.60*173.6 = 34.7 AM = A si = A s2 = 43.6 (para d = 0.33) 0.000899 0.000412 A st = 0.001311 (() Inferior: V u (kN) = 0.000275 2 <t>5/8” 1 <|>7/8” +2 <)> 1” 1 <j>3/4”+l (}) 5/8” l<t> 3/4”+ 14> 5/8” 43.6 0.000899 0.000412 414 P = 0.006067 As (m2) = As m ín (m2) = 0.000218 0.002940 0.000106 0.0033*0.10*0.36 = 0.000119 27.6 0.006067 0.000218 0.001311 (j) Superior: 2 (J) 1 /2 ” <j>Inferior: 1 (j> 1/2” 2 <|) 1/2” 1 <(>7/8” +2 <i>1” 1 (j>3/4”+ld>5/8 345.51 ¡345.5 © (j)M„ (kN-m) = 1/5*0.25*551.1 =27.6 1/5*0.40*173.6 = 13.9 0.003929 (para d = 0.35) p = <j) Superior: 137.8 Vu (kN) = 1 (j) 1/2’ 1 <j) 1/2” 345.5 345.5 415 C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I V u por vigueta: de acuerdo a la distribución de la fuerza de corte que presentó para las vigas de la franja de colum nas o capitel, a las vigueta^ de la franja central les corresponde el com plem ento. Por tanto: V u/vigueta (kN) = 4 60 345.5 — * 3 4 5 .5 * ----3 110 = 18.9 18.9 4>VC= <(>*0.177f;bd = 0.75 * 0.17 * V 2 U * 0 .1 0 *0 .3 6 *1000 = 2 1 .lk N 4V > v u Estribos: 5 s (j> 1/4” c/0.18 ídem h e <j> 1/4” c/0.35 h asta donde exista refuerzo superior A continuación, el refuerzo. C O R T E A -A 8 .7 0 AiC 2 0 1 / 2 2 0 1 /2 U -------------------------------------------------------------------------- - L -------------- --mu ...................... l i l i E 0 1 /4 6 C /0 .3 5 t J Al> 5 C /0 .1 8 5 C /0 .1 8 111 111 n E 0 1 /4 \ 1 0 1 /2 i .................... r m i.. i u n í E 0 1 /4 6 C /0 .3 5 ' ' 3 .0 0 L i ------ 6 C /0 .3 5 1 0 1 / 2 L -6 .0 0 1 0 1 / 2 L=6.00 1 0 1 / 2 L = 3.00 ' 1 .5 0 1 0 1 /2 ___ ; L * 300 1 0 1 / 2 L -3 .0 0 L 1.50 *------------------- ’ 1 0 1 / 2 L -9 .5 0 j. 0. O j. |, O. F r a n ja c e n t r a l (v ig u e ta s c e n t r a l e s 0 .1 0 x 0 .4 0 ) M alla e le c tro s o ld a d a ó Figura 7.25 416 L i *i E 0 , / 4 5 C /0 .1 8 5 C /0 .1 8 6 C /0 .3 5 417 1 0 1 /2 ii C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones E structuras de C oncreto I Franjas de colum nas Sentido 2-3 (Pórtico equivalente E jes B-C) © Mv = Ms = Q ) -432.4 ¡-392.3 99.7 74.9 -46.8 -648.6 -588.4 -588.4|-648.6 1.2Mv+Ms= -444.01-517.6 -424.01-593.8 1.2M v-M s = -593.8¡-424.0 -517.61-444.0 648.6 Mv en sección de diseño = 315.5 99.7 315.5 Mu = 473.3 149.6 473.3 Vv = 306.4Í-264.1 -12.6-23.0 459.6 j-396.2 396.2 -459.6 0.75x1.5 Vv+2Vs = 298.71-322.3 271.9 ¡-390.7 0.75x1.5V v-2V s = 390.7Í-271.9 322.3 ¡-298.7 V uv= 1.5Vv = Se adopta Vu = Vv en sección de diseño = Vu = 0.35, © © óMn (kN-m) = 1/3*0.75*473.3 = 118.3 i 1/3*0.60*149.6 = 29.9 p = I 0.003355 (para d = 0.35) AM= Asi = As2 = 18.3 0.000926 0.000167 Ast = 0.001093 118.3 18.3 0.000926 0.000167 0 000235 0.001093 <j) Superior: 3<{) 7/8” _____________ 2 <J>5/8” 3(f> 7/8” (j>Inferior: 2<j> 5/8” ______________ 2 <j) 5/8” 2<j> 5/8” 264.1Í-306.4 -23.P -12.6 Vs = d = 0.34 y tj’ = 0.05 y <j)Mn (máx) = 100.0 y 106.0 kN-m respectivam ente 46.8 -74.9 648.6 b = 0.20, -392.31-432.4 Muv = 1.5Mv Se adopta <j)Mn = Constituidas por 3 vigas de capitel de Vu (kN) = ¡337.7 337.7 | Vu/viga (kN) = ! - * 337 .7 *— = 75.04 i 3 1.20 75.04 I 5 (t)V = (|)* 0 .1 7 © 'b d = 'p.75*0.17* V2L1 *0.20*0.33*1000 = 38.62 kN; (j)Vs = Vu - V c = ¡36.38 36.38 j S total (m) = ¡0.34 + 1.73 + 0.83 = 2.90 Estribos: 110 s <f) 3/8” c/0.08 ídemj + s <j) 3/ 8 ” c/0.17 en el resto de la longitud del elemento 396.2 396.2 225.1 225.1 ¡337.7 337.71 418 419 2.90 j E structuras de C oncreto I C apítulo 7 sistem as de losas arm adas en dos direcciones F ranja central Refuerzo loseta superior o de recubrim iento: Utilizando refuerzo para f y = 420 M Pa, resulta: C onstituida por 6 viguetas centrales de b = 0 . 10 , d = 0.36 (j)Mn (máx) = 56.1 kN-m As = 0.0018*1.00*0.05 = 0.00009 m 2/m etro. Arm adura: <|> 1/4” c/0.25 en am bas direcciones. (D (D 19 7 <j)M„ (kN-m) = 1/6*0^25*473.3 = 19.7 i 1/6*0.40*149.6 = 10.0 p = As (m2) = 0.004229 0.002094 0.000152 0.004229 0.090073 0.000207 0.0033*0.10*0.36 = 0.000119 (j) Superior: l<j)l/2”+ 1^3/8” Para este caso resultaría útil el em pleo de una m alla electrosoldada, que tuviera un área m ínim a de alam bre por m etro cuadrado de 90 mm2/m etro en am bas direcciones. Nota: Aunque no es aplicable al m ódulo interior típico de los problem as propuestos, cabe hacer notar al lector la necesidad de tener en cuenta el análisis y diseño de la torsión en aquellos elem entos que por su localización sean susceptibles de resistir tales esfuerzos. l<j>l/2”+ 14)3/8" A continuación se presenta el detalle con el refuerzo obtenido. ()) Inferior: 1 §1/2” ____ V u (kN) = V u/vigueta (kN) = (j)V = <í)*0.17N/fJb d 1 <j> 1 / 2 ” 1 <j>1/ 2" 337.7 337.7 3 3 7 .7 - - * 3 3 7 .7 * — 3 1.20 = 18.76 18.76 0.75 * 0.17 * V 2 U *0.10 *0.36 *1000 = 21.lk N <t>vc > v u Estribos: 5 e (j) 1/4” c/0.18 ídem + e 4> 1/4” c/0.35 hasta donde exista refuerzo superior 420 421 E structuras de C oncreto I . _ 0 .4 0 C apítulo 8 C im entaciones 0.40 Capítulo 8 CIMENTACIONES M alla e l e c t r o s o l d a d a ó F igura 7.26 422 Capítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto I C IM E N T A C IO N E S c denomina cim entación al conjunto de elem entos estructurales construidos en la base de una estructura con el objeto de transm itir las cargas de la m ism a al subsuelo de soporte. Los dos objetivos fundam entales que se buscan en el diseño de una cimentación son la obtención de asentam ientos lim itados a cantidades admisibles y que los asentam ientos diferenciales sean m ínim os; esto se logra si se apoya la estructura en un estrato apropiado y si el tam año de la fundación es suficiente, todo de acuerdo al estudio de suelos y recomendaciones de cim entación del especialista correspondiente. Cuando el estrato de apoyo se localiza inm ediatam ente abajo de la estructura, se tendrá una cim entación superficial o directa basada en zapatas, vigas o losas de fundación; en otro caso se tendrá la denom inada cimentación de profundidad constituida por pilotes o pilares que transm iten o disipan la carga en estratos profundos. En este capítulo se tratarán estos dos tipos de cim entaciones, en este orden y sólo desde el punto de vista del diseño estructural que tales elem entos im plican y con el alcance que corresponde a los propósitos del presente texto. C im entaciones s u p e r fic ia le s o d ir ecta s En el prim er tipo de cim entación, o sea, cim entaciones superficiales o directas, su diseño se hará a partir de la carga de la colum na o m uro, que si se considera sim étricam ente distribuida con respecto al cim iento, es decir, coincidentes el centro de gravedad de las cargas a cim entar con el centro de gravedad del cim iento el área de cim entación se puede obtener de la división de la carga total por la presión adm isible adjudicada al terreno. Esta suposición de uniform idad en la reacción del suelo no es estrictam ente exacta y variará en una u otra form a dependiendo en parte de las características del suelo e influyendo especialm ente en la adopción y aproxim aciones del diseño estructural. Por otra parte, si el centro de cargas y el del cim iento no coinciden, la reacción del terreno ya no se puede asim ilar a la uniform e, sino que variará según la excentricidad, de acuerdo con la figura 8 . 1. 425 ____________________________________________________Capítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto En este caso se puede considerar que no solam ente llega al cim iento una carga vertical P sino tam bién un m om ento M = P-e. Las reacciones del terreno pueden evaluarse según la expresión: y Cim entación aislada para colum nas (zapatas): p a™* = — A L en donde se denom ina: A = área de cim entación; L = dim ensión en el sentido de la excentricidad o flexión. F ig u ra 8 .2.b c) C im entación com binada para dos colum nas: L as clases de cim entaciones superficiales o directas contem pladas en el presente texto son: a) d) Cim entación con viga de contrapeso: C im entaciones en concreto reforzado para muros: A continuación se hará referencia a cada una de estas cim entaciones. Figura 8.2.a 426 Capítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I . P Arpa necesaria de cim entación: A = “ ^ a C im e n ta c ió n en c o n c r e to r e fo r z a d o p a ra m u ro s U na vez coincidentes los centros de gravedad de las cargas del muro v dei peso propio del cim iento con el centro de gravedad del cim iento, se dise' éste com o una viga invertida som etida a la reacción uniform e del terreno descontándole la reacción correspondiente al peso propio del cimiento no* considerarse íntegram ente apoyado sobre el estrato de fundación y n0r tanto, no productor de flexión y cortante. A unque el m om ento Héctor m áxim o se presenta en el eje del m uro, por la consideración de rigidez del m uro, el R eglam ento colom biano especifica que el m om ento de diseño debe calcularse en la cara del m uro para m uros de concreto y en la mitad de la distancia entre el centro y el borde del m uro para m uros de manipostería Para determ inar la fuerza de corte se debe calcular a una distancia “d" del borde del m uro. A continuación un ejem plo de lo anteriorm ente expuesto: 132.0 kN _ 1Q9 2 in n kN „ T ~ L Ó ¿ m / m 100 k N - m de l0ngitud Ancho de cim entación = 1.32 m que se aproxim a a 1.35 m. Reacción en kN /m 2 productora de flexión y cortante: Corresponde a la reacción total a la cual se le descuenta la correspondiente al peso propio del cim iento por considerarlo íntegram ente apoyado sobre el estrato de fundación y la denom inam os a neta: a neta = ___— — = ----- 12Q'°— = 88.89 k N /m 2 a A rea real 1 .3 5 m * 1 .0 0 m Flexión: P r o b le m a 8.1 U n m uro de carga de 0.25 m de espesor en ladrillo tolete macizo de cerám ica, que conform a una m anipostería confinada, soporta una carga, incluido su peso propio, de 120 kN /m etro lineal al nivel de la cimentación. Si la presión adm isible del estrato de fundación es de 0.1 M Pa (100 kN/m2), diseñar su cim iento utilizando concreto de fc = 21.1 M Pa, acero de refuerzo para f s = 1 7 0 M Pa en todos los diám etros y n = 9.3. S o lu c ió n Inicialm ente se dim ensiona según lo antes expuesto, procediendo luego a su diseño por flexión y al chequeo de cortante. Cargas: C arga del m uro (incluido su peso propio): Pm Peso propio del cim iento (se asum e aproxim adam ente com o el 10% de Pm ): Total: P = = = 120.0 kN/m 12.0 kN/m 132.0 kN/m Se debe calcular en la m itad de la distancia entre el centro y el borde del muro para un m etro de longitud: m = 88 .8 9 * 1 .0 0 * 0 .6 1 2 5 2 = 1 6 67 k N .m 2 En la suposición de que no hay lim itación de altura, se adopta la correspondiente a una arm adura m enor, que para este caso con acero de alta resistencia puede ser de p = 0 .0020 . Por tanto: d = R2 p í Vb d = 0 . 0 5 5 9 * . = 0 .2 2 8 m ~ 0.23 m. V 1.00 Utilizando la especificación del recubrim iento en 75 m m para concreto colocado directam ente sobre el suelo, el espesor resulta de 0.31 m que se aproxima a 0.35 m. 428 con k2 = 0.0559 para p = 0.0020 Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones x 0 1 0 * 0 29 = 0.058 m ~0.06 m . 0.50 d = 0 . 2 6 - (0 .1 0 - 0 .0 6 ) = 0 .2 2 m ^ = <)>0.17 N/ f J b 0d = 0 . 7 5 * 0 . 1 7 * \ / 2 L l * 1 .0 * 0 .2 2 * 1 0 0 0 = 128. 7 5 kN v„ < * v c 1.35 1 X ! Figura 8.3 u— Por consiguiente, el nuevo “d ” resulta de 0.26 m, que im plica un refuerzo m enor de A s = 0.0020*1.00*0.26 = 0.00052 m 2. Sin em bargo, esta armadura no puede ser inferior al requerim iento para arm adura m ínim a en losas de espesor uniform e, que para este tipo resulta de: A s m ínim o = 0.0018*1.00*0.35 = 0.00063 m 2/m ~ 630 m m 2/m .-. A rm adura transversal: <|>3 /8 ” c /0 .1 1 m C om o arm adura longitudinal se colocarán pasadores constructivos, antes que arm adura de repartición, contracción de fraguado o tem peratura: A rm adura longitudinal: 4 (j>3 /8 ” igualm ente espaciadas. Se dism inuye el espesor de la losa de 0.35 m a 0.25 m, que es una aproxim ación por exceso de la especificación del R eglam ento NSR-10 según la cual “ ...la altura de la zapata sobre el refuerzo inferior no debe ser m enor de 150m m para zapatas apoyadas sobre el s u e lo ...”. C ortante: 1 Uj lb .2 1 ¡ 0 . 2 9 0.55 Figura 8.4 En el diseño de este tipo de cim ientos se trata de evitar la colocación de refuerzo a cortante, trabajando con espesores de cim entación apropiados. Una m ejora sustancial en el funcionam iento del cim iento anterior se logra si se especifica, en conjunto con el ingeniero consultor de suelos y fundaciones, su trabajo com o puente de la carga en una luz de falla, la cual tendría que relacionarse con las características del estrato portante: en este caso, se trabajaría com o una viga T invertida adicionándole al diseño anterior el nervio necesario. S uponiendo en el diseño anterior una luz de falla de 1.50 m y un funcionam iento transversal sem ejante al calculado, desde el punto de vista longitudinal se tiene: E 0 3 / 8 C / O.23 0 3 /8 c /O .ll Se calcula a una distancia “d ” a partir del borde del m uro (figura 8.4). V(d) = 88.89*0.29*1.00 = 25.78kN Vu = 1.5*25.78 = 38.67kN Se corrige la nueva altura efectiva en la sección de cálculo: 430 Figura 8.5 C apítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I Flexión: = max .. 1 3 2 .0 * 1 .502 0 /1 7 C lM M = -------------------= 24.75 kN-m A ■f 0.35bw 2*71 *420 = 682 m m ~ 0.68 m 0 .3 5 * 2 5 0 12 Se adopta la altura necesaria para tener p m ínim a = 0.0033: 24 75 d - 0 .0 4 3 7 ./—— — = 0 .4 3 5 m ~ 0.44 m. V 0.25 Por lo tanto se colocara e cj) 3 /8 ”c/0.23 (d/2 = 0.23 m) en toda la longitud del cim iento. Cimentación aislada para colum nas Por lo tanto h = 0.53 m que se aproxim a a 0.55 m y d = 0.46 m. Zapatas aisladas cuadradas C on este valor de “d ” se obtiene: Las zapatas para colum nas cuadradas o circulares con carga axial se harán cuadradas y su com portam iento estructural se acepta com o el de losas con voladizos en dos direcciones som etidas a carga uniform e del terreno hacia arriba. Para efectos de diseño, se tendrán los siguientes aspectos: p = 0.002957, que se aproxim a a 0.0033 (m ínim a). A s = 0.0033*0.25*0.47 = 0.000388 m 2~ 388 m m 2. Se coloca 2 (j> 5/8 ” en la parte sup erior del nervio de la viga de cimentación; en la parte inferior y por tratarse de la cuantía m ínim a se coloca tam bién la m ism a arm adura: 2 (j> 5/8 ”. C ortante: Se calcula al borde del apoyo supuesto: V = - * 1 3 2 .0 * 1 .5 0 = 99 kN ; V = 1.5*99 = 148.5 kN 2 Flexión: El momento m áxim o para una zapata se calculará en una sección localizada en la cara de la colum na; por tanto, el m om ento externo en el plano “c e ” se determinará calculando el m om ento de las fuerzas que actúan sobre la totalidad del área de la zapata “a b c e ”. Igualm ente, el m om ento externo en el plano “fg ” se calculará a partir de las fuerzas que actúan sobre el área “bfgh”. Debe notarse la porción de área tom ada dos veces para efectos de esta determ inación del m om ento. <t>Vc = 0 .7 5 * 0 .1 7 * \Í2Ll * 0.25 * 0.46 * 1000 = 67.30 kN <|>V5 = Vu -<()Vr = 148.5 - 67.30 = 81.20 kN U tilizando estribos (J) 3 /8 ”: 0 .7 5 * 2 * 0 .0 0 0 0 7 1 * 4 2 0 0 0 0 * 0 .4 6 _ oco s = ------------------------------------------------- = 0.253 m 81.20 Figura 8.6 Para refuerzo m ínim o al cortante y un concreto fc' = 21.1 M Pa : 432 Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones C ortante: Existen dos m aneras de revisar el esfuerzo cortante: a) Para zapatas y tam bién para losas con com portam iento en dos direcciones con una sección critica perpendicular al plano de la losa localizada en una distancia d /2 del borde de la colum na puede calcularse com o el área de la corona correspondiente (fig 8.7) som etida a las fuerzas que actúan en ella v sus respectiva sección resistente. El valor de (j)Vc será el m enor de las siguientes expresiones: <j>Vc = <¡> 0 .1 7 ^ /f ^ l + j j j b 0d donde p es la relación del lado largo al lado corto de la colum na, la carga concentrada o el área de reacción y b 0 es el perím etro de la sección crítica para cortante, r A N <|)VC= <{>0.083 í B+d i bo=2(C+B)+4d A rea c o n tr ib u y e n te a c c ió n c o m o lo s a e n d o s d ir e c c io n e s F ig u ra 8.7 VÍM v bo y Transmisión de los esfuerzos en la colum na a la zapata. D onde a s es 40 para colum nas interiores, 30 para colum nas de borde y 20 para colum nas esquina, y <t>vc= <|>0.33VfXd Esta transm isión se efectúa en dos aspectos: la resistencia al aplastam iento en la base de la colum na de la parte de la zapata en com presión bajo ella y la transmisión del esfuerzo que traen las barras al concreto de la zapata. a) Resistencia al aplastam iento: b) La llam ada acción com o viga con una sección crítica que se extiende en un plano a través del ancho total y localizada a una distancia “d ” del borde de la colum na. Puede calcularse com o el área rectangular “fghi" (fig. 8.7) som etida a las fuerzas que actúan sobre ella y una sección resistente de ancho igual a “fg”. Para este chequeo, las especificaciones de resistencia sum inistrada por el concreto corresponden a las usadas en vigas. El Reglam ento colom biano especifica que “la resistencia de diseño al aplastamiento del concreto no debe exceder ^(O.SSf^Aj) excepto cuando la superficie de soporte sea m ás ancha en todos los lados que el área cargada, en cuyo caso se perm ite que la resistencia de diseño al aplastam iento en el área cargada sea m ultiplicada por yj A 2/ A l , pero no m ás que 2 ” Por lo tanto, la resistencia al aplastam iento <j>Pnb es: +Pnb= iK 0 .8 5 fcíA 1) 434 435 Capítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I sísmicos, el refuerzo debe extenderse dentro de la zapata, losa de cimentación o cabezal de pilotes y debe estar desarrollado por tracción en la interfaz y, si se requiere ganchos, deben proporcionarse ganchos de 90 arados cerca del fondo de la cim entación con el extrem o libre de las barras orientado hacia el centro de la colum na. en donde A, es el área cargada y (j>= 0.65. Para el caso de la zapata: ‘t’Pnb =<l, (0 -8 5 fc'A 1) N/ A z / A 1 < 24»(0.85fc'A ,) en donde A 2 es el área de la base inferior del tronco m ayor de la pirámide cono o cuña abusada, contenida en su totalidad dentro del apoyo y que tenga por base superior el área cargada y pendiente laterales de 1 vertical por 2 horizontal, en m m 2. E sta revisión es obvia cuando el concreto de la colum na es de mayor resistencia que el de la zapata. Al Figura 8.8b A continuación un ejem plo de diseño. Problem a 8.2 Figura 8.8a b) L ongitud de desarrollo del refuerzo de la colum na. P or otra parte, los hierros de la colum na deben transm itir el esfuerzo que traen a la zapata por m edio de suficiente longitud de anclaje de estos hierros en la zapata; esta longitud debe ser m ayor que la longitud de desarrollo necesaria para barras en com presión y en algunos casos se convertirá en un factor determ inante de la altura de estos elem entos de cim entación. Los extrem os de las barras deben term inarse en ángulo recto con el eje de las barras, sin que la parte horizontal sea com putable en el cálculo de la longitud de anclaje arriba m encionada. Sin em bargo, en las colum nas y m uros estructurales que resisten las fuerzas inducidas por los efectos 436 Diseñar la zapata para una colum na de 0.40 x 0.40 m. que soporta una carga axial de 1000 kN estando reforzada con 8 § 5/8 ” en un estrato de fundación cuya presión de trabajo es de 0.1 M Pa, em pleando concreto de f'c = 2 1 .1 MPa para la colum na y la zapata y refuerzo para f = 240 M Pa. Solución Se dim ensiona la zapata en planta para diseñarla luego a flexión y cortante, y finalmente confirm ar la transm isión de los esfuerzos de la colum na a la zapata. Dimensionamiento en planta: C apítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto I Cargas: D e colum na = 1000 kN Peso propio zapata (supuesto 11%) = 110 kN La armadura m ínim a para esta losa corresponde a la especificación de retracción y variación de tem peratura, que se calcula así: As m ínim a = 0.0020*3.35*0.60 = 0.04020 m 2~ 4020 m m 2 Se coloca 23 (j> 5/8 ” c/0.145 en cada dirección. T otal = A rea necesaria de cim entación aproxim a a 3.35 m = ^ 1110 kN 2 3 0 5 /8 = 11.1 m 2. Lado: 3.33 m que se N ota: T e rm in a c ió n del re fu e rz o d e u n a c o lu m n a e n c o m p re s ió n 2 3 0 5 /8 . 2 3 0 5 / 8 C / O .1 4 5 ________0 .0 5 0 .0 5 __________ 1 .4 2 5 t W l 3 .3 5 1 .4 2 5 t 2 3 + 2 3 0 5 / 8 L = 3 .5 5 c / 0 .145 3 .3 5 F ig u ra 8.10 Cortante: F ig u ra 8.9 Presión neta = a neta = reacción que produce flexión a) Acción en dos direcciones para sección crítica a “d /2 ” del borde de la columna: y cortante = = 8 9 .1 1 k N /m 2 J 3 .3 5 * 3 .3 5 Flexión: w J J , 8 9 .1 1 * 3 .3 5 * 1 .4 7 5 2 M al borde de la colum na: = 324.7 kN-m 0 .3 5 '0 .2 5 0.91 0.05TLJ 1-22 2 0 .2 0 5 1.475 (j)Mn = 1.5*324.7 = 487.05 kN-m Con el criterio de adoptar un espesor para la zapata de m anera que el refuerzo a colocar sea aproxim adam ente el m ínim o, se puede usar una cuantía p = 0.0025 para la cual resulta d = 0.52 m P or tanto, para una altura h de 0.61 m d = 0.51 m, resulta: que aproxim am os a 0.60 m y A s = 0.002636*3.35*0.51 = 0.004504 m 2~ 4504 m m 2 438 F ig u ra 8.11 v ( 'f ) = 89.11* —(0.91 + 3 .3 5 )* 1 .2 2 * 4 = 926.24 kN V = 1.5*926.24 = 1389.36kN 439 0 .6 0 Capítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto d = 0 .5 1 - 0 .3 5 - 0.35*1.22 (j,Vc = <t>0. 1 7 , / C M = 0.75 * 0.17 * 7 2 U * 3.35 * 0.40 * 1000 = 784.20 kN = 0.46 m 1.425 V„ < <t>Vc Para p = 1, <|>VC= 0 .7 5 * 0 .3 3 ^ b „ d Transmisión de los esfuerzos de la colum na a la zapata ij)Vc = 0 . 7 5 * 0 . 3 3 * V 3 L Í * 3 . 6 4 * 0 . 4 6 * 1 0 0 0 = 1 9 0 2 . 1 6 k N > V, a) Resistencia al aplastam iento: A sum iendo que la colum na es interior con a s=40 ¿V i = 0 .7 5 * 0 .0 8 3 * V 2 U * ( 40 *0 46 l Se presenta aquí solo com o una m uestra de su cálculo, puesto que su apropiada corresponderá al caso de una colum na con el concreto de mayor resistencia al de la zapata. u tiliz a c ió n +2 * 3 .6 4 * 0 .4 6 * 1 0 0 0 3.64 Para las condiciones del ejem plo, se revisa la transferencia en la interface de la columna y la zapata: (|)VC = 3372.88 kN Por lo tanto, Vu < (j)Vc b) A cción com o viga para sección crítica a “d ” del borde de la columna: fc' (columna) = 21.1 M Pa fy = 240 M Pa fc' (zapata) Pu = 1.5 * 1000 = 1500 kN = 21.1 M Pa Resistencia al aplastam iento en la base de la colum na: (j, pnb = ^ ( 0 . 8 5 ^ , ) = 0 .6 5 *(0.85 * 2 1 1 0 0 * 0 .4 0 * 0 .4 0 ) = 1865 kN > Pu Resistencia al aplastam iento de la zapata: 0 .3 5 0 .2 5 0 .0 5 " S , o . 4 6 3.35 0.60 . -i- 0 .9 6 5 1 .4 7 5 F ig u ra 8.12 V ( d ) = 89.11 * 0.965 * 3.35 = 288.07 kN V = 1.5*288.07 = 432.1 lk N d = 0 .5 1 - 0 .3 5 - 0.3 5 * 0 .9 6 5 1.425 = 0.40 m / 440 441 1 Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones La resistencia al aplastam iento de la zapata se aum enta por un factor ylA 2/A j < 2 debido al área m ayor correspondiente a la base inferior del tronco m ayor de la pirám ide, para este caso, contenida en su totalidad dentro del apoyo y que tenga por base superior el área cargada y pendientes laterales de 1 vertical por 2 horizontal: b) L o n g itu d d e d e s a r r o llo d e l r e f u e r z o d e la c o lu m n a : La longitud de anclaje de estos hierros en la zapata debe ser m ayor que la longitud de desarrollo necesaria para las barras en com presión, que para barras corrugadas es: r A 2 = (1.20+ 0 .4 0 + 1.20) *(1.20+ 0 .4 0 + 1.20) = 7 .8 4 m 2 . 0 .2 4 fy d h > (0.043f )d. Ve Por lo ta n to ^ A z/ A l = ^ 7 .8 4 /0 .1 6 = 7.0 > 2 . Se debe usar 2. L a presión de aplastam iento en el concreto de la colum na será prioritaria hasta exceder dos veces la del concreto de la zapata. En este caso para <J> 5 /8 ” con f y = 240 M Pa y fc'= 21.1M Pa se obtiene / (Jc= 200 m m (véase tabla 4.21), ae m anera que para el espesor adoptado de la zapata se tiene un buen m argen en cuanto a la necesidad de longitud de anclaje. R esistencia al aplastam iento del área cargada de la zapata (j)Pnb - <|>(0.85fc,A 1)2 - 0.65 * (0.85 * 21100 * 0.40 * 0.40) * 2 = 3730 kN > Pu Por otra parte el requisito contenido en la sección C. 15.8.1.2 del R eglam ento colom biano en el sentido del refuerzo requerido o los conectores m ecánicos entre los elem entos apoyados, en este caso columna y zapata, “deben ser adecuados para transm itir: a) T oda la fuerza de com presión que exceda de la resistencia al aplastam iento del concreto de cualquiera de los elem entos. b) C ualquier fuerza de tracción calculada a través de la in terfaz” Los conectores prefabricadas. m ecánicos se usan principalm ente para estructuras Este resultado significa que no se necesita pedestal. En caso de necesitarse, su dim ensionam iento se efectuaría a partir de una sección conveniente para una presión adm isible y la sobre-altura sería igual al sobre-ancho con la suposición de la repartición de la carga con un ángulo de 45°. 442 Finalmente, y com o en el problem a anterior, se aclara que se ha dism inuido el espesor de la zapata de 0.65 m a 0.25 m con la aproxim ación por exceso de la especificación del R eglam ento según la cual el espesor del concreto por encima del refuerzo debe ser superior a 0.15 m. Zapatas aisladas rectangulares Se presentan dos casos de zapatas aisladas rectangulares: cuando por limitación de espacio en la cim entación no es posible hacer zapatas cuadradas aunque la colum na sea cuadrada o circular y cuando la colum na es rectangular. A continuación se tratarán estos dos casos: Zapata a is la d a r e c ta n g u la r p a r a c o lu m n a s c u a d r a d a s o c ir c u la r e s En este caso, se tienen dos voladizos diferentes en las dos direcciones, por lo que teóricam ente debe hacerse el diseño por flexión y cortante en cada dirección colocando el refuerzo en el sentido m ayor uniform em ente espaciado, en tanto que en el sentido m enor debe colocarse de acuerdo a una especificación del R eglam ento que se tratará en el siguiente ejem plo: 443 Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones P r o b le m a 8.3 D iseñar la zapata para la colum na del problem a 8.2, si la dim ensión de la zapata en una dirección, por lim itación de espacio en la cim entación, no puede ser m ayor de 2.75 m. S o lu c ió n Se obtiene el área de la cim entación en form a idéntica al problem a 8.2 dim ensionándola de m anera que uno de sus lados no exceda de 2.75 m y luego se diseña a flexión y cortante. Cargas F ig u ra 8.14 De colum na = Peso propio zapata (supuesto 11%) = T otal = A rea necesaria de cim entación = 100 = 1 1 .1 m 2. 1000 kN 110 kN 1110 kN Flexión: Aunque teóricam ente se debería diseñar para am bos voladizos, con el criterio de adoptar un espesor de la zapata de m anera que el refuerzo a colocar sea aproxim adam ente el m ínim o, se utiliza el voladizo m ayor que corresponde al sentido m ayor: w fl 90.91* 2 .7 5 * 1 .8 0 2 m M M flexión = ---------------------------= 405.0 kN-m Para una dim ensión de 2.75 m, se obtiene la otra com o: <t>Mn = 1.5*405 = 607.5kN m L = 11,10 = 4 .0 4 m ~ 4.00 m 2.75 y la altura efectiva para p = 0.0025 resulta de “d ”=0.64m . a neta = reacción que produce flexión y cortante T om ando h = 0.75m y d As = 0.002387*2.75*0.66 = 0.66 m, resulta, en form a aproxim ada: = 0.004332 m 2~ 4332 m m 2 = 9 0 .9 1 kN /m 2 a neta = 2 .7 5 * 4 .0 0 La arm adura m ínim a para esta losa corresponde a la especificación de retracción y variación de tem peratura, que se calcula así: A s = 0.0020*2.75*0.75 = 0.004125 m 2~ 4125 m m 2 A rm adura en el sentido m ayor: 22 ({>5/8 ” c/0 .1 25 444 445 Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones 2 .7 5 en donde p es la relación del lado largo al lado corto de la zapata p" " 0: K Í 5 F - ! f 7 ! de donde x = 27 barras Estas 27 barras se distribuyen uniform em ente en una franja centrada sobre el eje de la colum na de un ancho igual a 2.75 m, es decir, se coloca 27 <í>5 /8 ” separadas 0.105 m y el resto del refuerzo requerido se ubica uniform em ente distribuido por fuera de la franja central, es decir, 3(f)5/8” c/0.185 a cada 4 .0 0 (------ 2 2 0 5 / 8 L = 4 .3 0 c /0 .125 3.85 (26+6)05/8L=3.O5 s/fígura 5 /8 ” —> ___ lado. C = ________________ =D 2.60 F ig u ra 8.15 Sentido m enor: Para la altura adoptada de acuerdo con el voladizo m ayor, en el sentido del voladizo m enor se coloca la m ism a arm adura o la arm adura m ínim a, según el caso: 0 .6 2 5 2 .7 5 0 .6 2 5 F ig u ra 8.16a A s = 0.002387*4.00*0.65 = 0.006206 m 2 (6206 m m 2) A smm = 0.0020*4.00*0.75 = 0.0060 m 2 (6000 m m 2) Esfuerzo cortante: a) Se coloca 32<j> 5 /8 ”. Este refuerzo se distribuye siguiendo el requisito del Reglamento colom biano que específica para una parte del refuerzo total una separación uniform e en una franja centrada sobre el eje de la colum na igual a la longitud del lado corto de la zapata y para el resto del refuerzo requerido en la dirección corta una distribución uniform e por fuera del ancho de la franja central, en un todo de acuerdo a la expresión: A cción en dos direcciones para sección crítica a “d /2 ” del borde de la colum na: A d/2 del borde de la colum na bi será = 0.40 + 2*0.215 = 0.83 m b 2 será = 0.40 + 2*0.505 = 1.41 m v ( | ) = 9 0 .9 1 * |[ ( 0 .8 3 + 2 .7 5)*1.47 + (1.41 + 4 )* .8 4 5 ]* 2 V ( | ) = 893.64 kN Re fuerzo a colocar en la franj a central _ Re fuerzo total en el sentido menor 446 2 (3+1 Vu = 1.5*893.64 = 1340.46kN 447 _ C apítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I d = 0 .6 6 - 0 .5 0 - 0.50*1.47 gesistencia aplastam iento en la zapata: 0 .7 5 = 0.58 m 0 .5 0 1.75 4 .0 0 Para (3 = 1, 2 .7 5 <j>Vc = <]> 0 .3 3 N/fJb od = 0 . 7 5 * 0 . 3 3 * V 2 lTT* (0 . 8 3 + 1 .4 1 ) * 2 * 0 .5 8 * 1 0 0 0 <|)VC = 2951.85 kN Vu < <1>VC 0 .5 0 0 .2 5 b) A cción com o viga para sección crítica a “d ” del borde de la columna: F ig u ra 8.1 6 b V ( d ) = 90.91*1.14 *2.75 = 285.00 kN <t»Pnb = <t> (0 .8 5 fc'A 1) N/ A z/ A 1 < 2ij>(0.85f['A 1) V = 1.5*285.00 = 427.5kN d = 0 .6 6 - 0.50 0.50*1.14 \ A z = (1.50 + 0 .4 0 + 1.50) * (1.175 + 0 .4 0 + 1.175) = 9 .3 5 m 2 = 0.49 m 1.75 Por lo tanto <|>VC = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 U * 2 .7 5 * 0 .4 9 * 1 0 0 0 = 788.60 kN yj A J A ] = <t>Pnb = 0 .6 5 * ( 0 .8 5 ^ 9 .3 5 / 0 .1 6 =1.6 >2 *2 1100 * 0 .4 0 * 0 .4 0 ) *2 = 3 7 3 0 kN > Pu b) Longitud de desarrollo del refuerzo de la colum na: Vu < <^VC T ransm isión de los esfuerzos de la colum na a la zapata a) R esistencia al aplastam iento: igualm ente se presenta sólo com o una m uestra de su cálculo ya que el concreto en este caso, es de igual resistencia en la colum na y en la zapata. Pu = 1 5 0 0 kN R esistencia al aplastam iento en la base de la colum na: (f>Pnb = <})(0.85fc'A 1) = 0.65 * (0.85 * 21100 * 0.40 * 0.40) = 1865 kN > Pu 448 Para este tem a, el resultado obtenido en el problem a 8.2 es aplicable. Como conclusión de la presente solución, y con base en la especificación de colocación del refuerzo para resolver una posible repartición de los esfuerzos que no está acorde con la solución de zapata rectangular cuando la columna es cuadrada o circular, se recom ienda que se adopte esta solución sólo cuando sea estrictam ente necesario. Zapatas a isla d a s r e c ta n g u la r e s p a ra co lu m n a s r e c ta n g u la r e s Siendo las colum nas rectangulares las m ás frecuentes, este tipo de zapata resulta de m áxim a ocurrencia en la construcción de edificios. Para su diseño, se trata de igualar los voladizos en am bas direcciones, así: 449 C apítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I | ( L - a) = ^ ( L! - ai) Siendo A = área = yp o L-L, = a-a, -asCargas- = L-Lj ■i A • • L - r = a - ai D e colum na: - Peso propio (supuesto 11%) = 110 kN C arga total: = 1110 kN 1110 ¿ rea n e c e s a r i a d e c i m e n t a c i ó n = 2 1t , = 1 1 .1 1000 kN m L2 - ( a - a 1) * L - A = 0 A p li c a n d o l a e x p r e s i ó n o b t e n i d a a r r i b a : L = - ( a - a i ) + J —(a-a¡)2 +A L = |( 0 .6 5 - 0 .2 5 ) + j i ( 0 . 6 5 - 0 . 2 5 ) 2 + l l . l 1 /2 (Lr a,) EM al 1/2 ( Lj-a,) L= 3 .5 4 L, = — 1 m, = de donde: 3.14m 3 .5 4 Se adopta L = 3.50 m y Lj = 3.10 m 1000 . 1 /2 ( L-a) a L 1 /2 (L-a) a n e ta = - 10° ^ - - = 92.17 kN /m 2 3 .1 0 * 3 .5 0 Figura 8.17 U na vez igualados los voladizos, se hará el diseño para uno de ellos colocando igual arm adura en am bos, de acuerdo al siguiente ejem plo. 1.425 P r o b le m a 8-4 1.425 0.25 D iseñar la zapata para la colum na del problem a 8.2, si ahora se supone de 0.25 x 0.65 m e iguales condiciones de terreno y m ateriales. S o lu c ió n Se obtiene el área de la cim entación en form a idéntica al problem a 8.2, dim ensionándola de m anera que se igualen los voladizos en ambas direcciones. Figura 8.18 Flexión M borde colum na 450 451 3.10 Estructuras de C oncreto I C apítulo 8 C im entaciones Esfuerzo cortante <j)Mn = 1.5*290.10 = 435.15kN -m A cción en dos d irecciones para sección crítica a “d /2 ” del borde de la columna: C on el m ism o criterio de adoptar un espesor para la zapata de m anera que el refuerzo a colocar sea aproxim adam ente el m ínim o, se usa: A d/2 del borde de la colum na bi será: 0.25 + 2*0.51/2 = 0.76 m b 2 será: 0.65 + 2*0.51/2 = 1.16 m p = 0.0025 y se obtiene d = 0.51 m Por lo tanto, h = 0.60 m: V (d/2)= 92.17* 1/2* [(0.76+3.10) *1.17+(1.16+3.5) *1.17] *2 = 918.93kN As = 0.002543*3.10*0.51 = 0.004020 m -4 0 2 0 miró Vv u = 1.5*918.93 = 1378.40kN La arm adura m ínim a para esta losa corresponde a la especificación de retracción de fraguado y variación de tem peratura, que se calcula así: d = 0.51 — 0 . 3 5 - 0 .3 5 * 1 .1 2 ^ = 0.44 m 1.375 As = 0.0020*3.10*0.60 = 0.00372 m -3 7 2 0 m m ‘ .-. A rm adura: 21 ( 0 65 <j,Vc = <t>0.17yfJ^l + | J b od donde p = ^ = 2.60 § 5 /8 ” c/0.145 en el sentido de 3.50 m 24 4> 5 /8 ” c/0.145 en el sentido de 3.10 m 1+ — «j>Vc = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 U P or consiguiente, igualados los voladizos, se hace el diseño para uno de ellos y se coloca igual arm adura en am bos. ad (j)Vc - 4>0.083VfJ V bo 0.35 + 2 b 0d J 0 .6 0 (j)Vc = 0.75* 0.083 * V 2 U * 0 .2 5 * 3 .8 4 * 0 .4 4 * 1 0 0 0 = 1750.17 kN 2.6 donde a s = 40 / 4 0 * 0 .4 4 x + 2 * 3 .8 4 * 0 .4 4 * 1 0 0 0 3.84 <(>VC = 3 1 7 6 .5 9 kN <|)VC = <t)0.33VfJ b 0d = 0.75 * 0.33 * V 2L 1 * 3.84 * 0.44 * 1000 3.50 <|>VC = 1919.43 kN 2 1 0 5 /8 L = 3 .7 O c /0 .145 3.35 .-. Por lo tanto Vu «j)Vc 2 4 0 5 /8 L = 3 .3 O c /0 .145 2.95 Acción com o viga para sección crítica a “d ” del borde de la colum na: F igura 8.19a V(d) = 92.17*0.915*3.10 = 261.44 kN 453 452 i E structuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones V = 1.5*261.44 kN = 392.16 kN A 2 = (1.20 + 0.65 + 1.20) * (1.20 + 0.25 + 1.20) = 8 .0 8 m 2 ' c 0 .3 5 * 0 .9 1 5 ^ = 0.39 m d = 0 .5 1 - U.35 — 1.37 5 por lo tanto ^ A 2/ A l = ^ 8 .0 8 /0 .1 6 = 7.1 > 2 (j,Pnb = 0.65 * (0.85 * 21100 * 0.25 * 0.65) * 2 = 3788 kN > Pu 4>VC= 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 L 1 * 3 .1 0 * 0 .3 9 * 1 0 0 0 = 707.53 kN b) Longitud de desarrollo del refuerzo de la colum na: Por lo tanto Vu <(j)Vc Para este tem a, el resultado obtenido en el problem a 8.2 es aplicable. T ransm isión de los esfuerzos de la colum na a la zapata a) R esistencia al aplastam iento: tam bién, en este caso, se m uestra como una rutina del proceso Pu=1500 kN R esistencia al aplastam iento en la base de la colum na: cj)PIlb = + ( 0 . 8 5 ^ , ) = 0 .6 5 * (0 .8 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .2 5 * 0 .6 5 ) = 1894 kN > Pu R esistencia al aplastam iento en la zapata: En los ejem plos anteriores se ha trabajado la cim entación aislada para columnas en el evento de sólo carga axial com o una introducción al lector a este tema. A continuación se tratará el caso usual de cim entaciones para columnas con carga axial y m om ento flector. Zapatas con carga axial y m om ento de flexión En la m ayoría de los casos la carga axial de las colum nas v a acom pañada de un momento flector en la base y a veces tam bién de una fuerza horizontal, produciéndose una excentricidad que se evalúa así: M + H -h e = ------------- d b 1.20 0 .2 2 5 0 .6 5 _ 1.20 ' ‘ 0 .2 2 5 F ig u r a 8.1 9 b = (t»(0.85fc'A 1)V A 2/ A 1 < 2<t>(0.85fc'A,) 454 F igura 8.20 455 C apítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I En este caso, las reacciones del terreno se calculan: m ax _ ^ mín L -B 1± Area cim entación = 342 . ,0 2 = 3.42 m .*. L = 1.85 m 6 e^ por un proceso de ensayos sucesivos se llega a L = 2.30 m L La diferencia entre las reacciones m áxim as y m ínim a dependerá de la excentricidad. P ara el caso de edificios de norm al ocurrencia, la excentricidad debe esencialm ente considerarse y con m ayor razón en aquellas construcciones con una carga P poco considerable que im plica una m ayor excentricidad. P r o b le m a 8.5 D iseñar la zapata para una colum na de 0.30 x 0.30 m que soporta una carga axial de 300 kN y un m om ento de 60 kN-m, estando reforzada con 4 (j> 5 /8 ”+4 <j) 1/2”, en un estrato de fundación cuya presión de trabajo es de 0.1 M Pa, em pleando concreto de fc' = 2 1 .1 M Pa y refuerzo para f y = 240 M Pa. De donde: máx _ ^mín 342 / 2 .3 0 * 2 .3 0 6 * 0 .2 0 ^ 2.30 a max = 98.27 kN /m 2 y a min = 3 1 .0 3 kN /m 2 Flexión Se considera el caso m ás desfavorable adm itiendo la posibilidad de la inversión del sentido del m om ento y descontándole el peso propio del cimiento, resulta: a f = 3 1 .0 3 + ^ - ( 9 8 . 2 7 - 31.03) = 69.04 kN /m 2 2.30 S o lu ció n D im ensionam iento en planta: C argas D e colum na: = Peso propio del cim iento (supuesto en el 14% para ten er en cuenta el sobredim ensionam iento con m otivo de la consideración de la excentricidad) C arga total: EP 300 kN = 42 kN = 342 kN F ig u ra 8.21 E xcentricidad = e = 60 = 0.20 m 300 M borde colum na = 6 9 .0 4 * 2 .3 0 * 1 .0 0 z S uponiendo reacción uniform e del terreno: 456 457 1 + - ^ ( 9 8 .2 7 - 6 9 .0 4 )* 2.30 * - * 1 .0 0 Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones 1 ......... 0.45*1.00* 2.30*24 -* 1 .0 0 --* 0 .2 0 * 0 .9 5 * 2.30*24* -*0.95+ 0.05 2 2 M borde colum na= 92.96 kN-m 2.30 (j)Mn = 1.5*92.96 = 139.44kN-m Con el criterio antes utilizado de adoptar un espesor de zapata para un refuerzo m enor, se obtiene para p = 0.0025 un “d ” de 0.34 m. 0.18 A proxim ando la altura h a 0.45 m se tiene d = 0.36 m y resulta: A s = 0.002199*2.30*0.36 = 0.001821 m 2 ü(d/2)=74.44 kN/m" La arm adura m ínim a será: 98.27 kN/m"’ F ig u ra 8.22 A s = 0.0020*2.30*0.45 = 0.002070 m 2 .-. A rm adura por colocar: 17 1/2” c/0.135 en cada dirección. Vu = 1.5*94.62*4 = 567.72kN Para (3 = 1.0 - <|>VC = 0 .7 5 * 0 .3 3 * C ortante <f,Vc = 0.75 * 0.33* n/ 2 Ü * 4 * 0.66 *0.33* 1000 = 989.70 kN a) A cción en dos direcciones para sección crítica a “d /2 ” del borde de la colum na: a ( | ) = 31.03 + ^ ^ ( 9 8 . 2 7 - 3 1 . 0 3 ) = 74.44 kN /m 2 2 ( 9 8 .27+ 74.44) * (J)VC= 0.75 * 0 .0 8 3 ,/?; f ocaA X ■+ 2 vb0 (|)VC = 0 .7 5 * 0 .0 8 3 V 2 L Í P rom ediando los cortes: V Í ^ j = t A sum iendo que la colum na es interior con a s = 40 t ( 2 . 3 0 + 0 .6 6 ) * 0 . 8 1 5 - — ( 2 . 3 0 + 0 .6 6 ) * 0 .8 1 5 * 2 bd ( 4 0 * 0 .3 3 + 2 2 .5 2 * 0 .3 3 * 1 0 0 0 2.52 4)VC= 1 7 2 0 .3 0 kN 2 Por lo tanto Vu < <|)VC 0.33*24 = 94.62 kN b) A cción com o viga para sección crítica a “d" del borde de la colum na: a (d ) = 31.03 + — (98.27 - 31.03) = 79.85 kN /m 2 v 7 2 .3 0 v 458 C apítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I Resistencia al aplastam iento en la zapata: Prom ediando los cortes: <j)Pnb =(J)(0.85fc'A 1)^/A 2/ A 1 < 2<t>(0.85fc'A 1) V ( d ) = - ( 9 8 .2 7 + 79.85) * 0 .6 4 * 2 . 3 0 - - ( 0 . 2 5 + 0.38) *0.64 *2.30* 2 2 A 2 V ( d ) = 119.97 kN V = 1.5*119.97 = 179.96kN d = 0 .3 6 - 0.20 Por lo tanto ^/A 2/A , = ^ 4 .4 1 /0 .0 9 = 7 > 2 0 .2 0 * 0 .6 4 0.95 = (0.90 + 0.30 + 0.90)* (0.90 + 0.30 + 0.90) = 4.41m 2 = 0.29 m (j,Pnb = 0.65 * (0.85 * 21100 * 0.30 * 0.30) * 2 = 2098 kN > Pu y (J)VC= 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 l T * 2 .3 0 * 0 .2 9 * 1 0 0 0 - 3 9 0 .3 5 kN 5) Longitud de desarrollo del refuerzo de la colum na: Vu <<f>Vc Para este tem a, es tam bién aplicable el resultado obtenido en el problem a 8 .2 . Cimentación com binada para dos o más colum nas T ransm isión de los esfuerzos de la colum na a la zapata a) Se denom ina cim entación com binada o continua cuando se tiene una zapata para dos o m ás colum nas. Su utilización depende de condiciones tales com o la de lim itación de espacio, cuando se pretende hacer cim entaciones aisladas para cada colum na, o cuando se com binan sus cim entaciones para solucionar la asim etría que representaría la zapata para una colum na de lindero. En cualquiera de los casos, se debe lograr que la reacción del terreno se pueda considerar uniform e bajo el cim iento, para lo cual se debe hacer coincidir el centro de gravedad de las cargas de las colum nas con el centro de gravedad del cim iento. En el caso de dos colum nas, para las condiciones anteriores, se tendrían los siguientes esquem as estructurales: R esistencia al aplastam iento Pu = 450 kN R esistencia al aplastam iento en la base de la colum na: (j>Pnb = ( ^ ( 0 . 8 5 ^ ) = 0 .6 5 * (0 .8 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .3 0 * 0 .3 0 ) = 1049 kN > Pu 461 Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones Solución $e procede a dim ensionar en planta haciendo coincidir el centro de gravedad de las cargas de las colum nas con el centro de gravedad del cim iento. Luego, se diseña longitudinalm ente y posteriorm ente en sentido transversal, de acuerdo con condiciones que se enunciarán en su oportunidad. pimensionam iento en planta. Centro de gravedad de las cargas de las colum nas: 850*5.00 = (850 + 400)-x .\ x = 3.40 m. Coincidencia d el ce n tro d e ca rg a s co n el c e n tro id e d el cim ien to : L = 7.05 m. - L = 3.40 + 0,25 = 3.525m . 2 2 F ig u ra 8.24 A continuación, algunos ejem plos de cim entaciones com binadas. P r o b le m a 8.6 D iseñar una cim entación com binada para una colum na exterior o de lindero de 0.35x0.25m , que carga Pi = 400 kN y una colum na interior adyacente de 0.65 x 0.25 m, que carga P 2 = 850 kN , si los ejes de las colum nas están separados i = 5.00 m y el terreno tiene una carga de trabajo de 0.1 MPa, em pleando concreto de fc' = 21.1 M Pa y refuerzo para f y= 420M Pa en todos los diám etros. Cargas: IP C arga total: * • ' = 1460 = 1l 4i .6 e m2 A rea cim entación 100 B= 14 6 = 2.07 ~ 2.05 m 7.05 462 1250 kN 210 kN De colum nas: Peso propio cto (17%): 463 1460 kN Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones fom entos: = 8 6 .4 9 kN /m 2 a neta = 7 .0 5 * 2 .0 5 Ma = D ise ñ o lo n g itu d in a l 177.30 * 0 .1 2 5 2 5----------- = 1.39 kN-m C arga bajo el cim iento, en kN /m : 86.49*2.05 = 177.30 kN /m M b = 177-30*1.9 2 5 2 _ 328 5 0 k N .m r> © 2 Diagrama de Cortante M luz = 377 8^ * 2 13 - 1.39 = 4 0 1 .0 1 k N m La altura del cim iento se determ ina de acuerdo a los siguientes criterios: 1. Que no se requiera refuerzo al corte: Suponiendo, y únicam ente dentro del alcance de una predim ensión, el corte Bi a la distancia “d ” del borde del apoyo com o un 85% del corte al eje: Diagrama de Momento 401.01 V(d) ~ 0.85*508.70 = 432.40 kN Vu = 1.5*432.40 = 648.60kN <j)Vc = 4)0.17A/f J b wd = 648.60 kN ., de donde: 3 2 8 .5 0 F ig u ra 8.26 d = ----------------- 648^60------------------ _ o 54 m 0 .7 5 * 0 .1 7 * v 2 U l * 2 .0 5 * 1 0 0 0 R eacciones: Ai Ad Bi Bd = - 177.30*0.125 = 4 0 0 - 22.16 = 3 4 1 .3 0 - 850 = 1.925*177.30 = = = = -2 2 .1 6 377.84 -5 0 8 .7 0 341.30 kN kN kN kN a i * 377.84 x 0 = punto de anulación corte = = 2.13 m 177.30 464 2. Que la arm adura por flexión aproxim adam ente la m ínim a: para un m om ento prom edio sea U tilizando Pmin= 0.0033 para M = 364.76 kN-m y U = 1.5 se obtiene d = 0.47 m. Sin em bargo, se aproxim a a d = 0.56 y h = 0.65 m para tener en cuenta el esfuerzo cortante en el diseño correspondiente. Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones A continuación el diseño: A rm adura longitudinal: 1) Viga bajo colum na exterior o de lindero M (kN-m) = 1.39 401.01 328.5Q A ncho de la viga: 0.25 + 0.56 = 0.81 m <J)Mn (kN-m) = 2.01 601.52 492.75 q = 400 = 195.12kN /m 41 2.05 0.0033*2.05*0.56 = 0.003788 m 2 A s mín V borde = 195.12*0.85 = 165.85 kN (¡) superior: 10 <}>5/8"c/0.20_____ 20 (f) 5/8”c/0.10____ 10(j> 5/8”c/0.20 V„= 1.5*165.85 = 248.78kN (j>inferior: 13 <J) 1/2” c/0.155 20 <j>5/8”c/0.10j 4>VC= 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 U * 0 .8 1 * 0 .5 6 * 1 0 0 0 = 265.46 kN V (kN) = 22.16 377.84 508.7 0 | 341.30 V(d) (kN) = 387.25j Vu = 580.88 +vc = 671.84 V. < <t>vc 1 9 5 .1 2 * 0 .8 5 2 M borde —--------------------- = 70.49 kN-m. .-. <j)Mn = 1.5*70.49 = 105.74 kN-m Vu <(j)Vc N o ta : Sólo se colocará arm adura constructiva en form a de “U ”, de acuerdo a la figura 8.29, para sostener la arm adura superior en su sitio antes de fundir. D ise ñ o tr a n sv e rsa l: A unque el diseño longitudinal debería ser suficiente para transm itir la carga de las colum nas al cim iento y al terreno, la m ayor parte de los autores coinciden en la necesidad de colocar vigas transversales bajo las columnas con el objeto de repartir su carga en el cim iento: uno de los criterios más usados a este respecto considera la repartición de la carga de las colum nas a 45° con la vertical, lo cual exige que el ancho de la viga se determ ine como el de la colum na m ás la altura necesaria del cim iento a cada lado. F ig u ra 8.27 Nuevamente, para d = 0.55 m se obtiene com o arm adura m ínim a p = 1.33*0.001159 = 0.001541 As = 0.001541*0.81*0.55 = 0.000687 m 2 466 C apítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I A rm adura: Detalle del refuerzo 6 ({> 1/2” c/0.15 m. © 2) V iga bajo colum na interior: A ncho de la viga = 0.25 + 2*0.56 = 1.37 m Sección 8 0 1 / 2 c / O.19 1 2 0 0 5 /8 0 .7 0 I 0 .6 5 t 2.05 Q.70 ' _801/2L =2.25c/O .195 T 90 Corte A-A = F ig u ra 8.28 © 0 0.81 q = 850 = 414.63 kN /m Ht 2.05 ..0.685 1.24 1 1.37 V borde = 414.63*0.70 = 290.24 kN Vu = 1.5*290.24 = 435.36kN i | 1 11 i 4 .7 5 l O 0 5 / 8 c /O.2O r f g g 1.80 0 .2 5 L -7 .0 5 C on el m ism o “d" anterior: 5 .0 0 L 1.925 6 0 1 / 2 C / 0 . 15 1— 1O05/8C/O.2O 4>VC = 0.75 * 0.17 * V 2T T * 1.37 *0.55 *1000 = 440.97 kN lO 0 5 /8 c /O .2 O 1301 / 2 C / 0 . 155 a 2.05 6 0 1 / 2 L ” 2 .2 5 c / 0 .15 es trib o s en "U" 1.90 2 O 0 5 / 8 c / 0 .10 0.50 v u < <t>0 [0. 0 .1 .125 25 00.12 .1 2 5 E s trib o si e n "U" "U" 0 3 /8 L1 = 1 .8 5 c /O .5 O 8 0 1 /2 c /O .1 9 5 W l 6 0 1 / 2 c / 0 . 15 .. 4 1 4 .6 3 * 0 .7 0 2 Ka , . T M borde = ---------------------- = 101.58 kN-m. 2 .-. (j)Mn = 1.5*101.58 = 152.37kN-m Cl o r t e B -B 2 O 0 5 / 8 c / 0 .10 \1 3 0 1 / 2 c / O .1 5 5 1O05/8C/O.2O 4 .7 5 C o r t e C -C 1 0 0 5 / 8 L -6 .2 5 c / 0 .2 0 6 .0 2 5 8 0 1 /2 C /O .1 9 5 L_ 1 0 0 5 / 8 L -3 .0 0 c / 0 .2 0 2 O 0 5 / 8 C / 0 . 10 2 .0 5 8 0 1 / 2 L * 2 .2 5 c / 0 ,195 p = 1.33*0.00098 = 0.00130 .'.A s = 0.00130*1.37*0.55 = 0.000980 m 2 A rm adura: 1.55 0.55J 8 <j) 1/2” c/0.195 468 1 3 0 1 / 2 L -1 .5 0 C /0 .1 5 5 1 0 0 5 /8 L-3.00C /0.20 ' 1 7 7 5 --------1 0 0 5 / 8 L - 4 .5 0 c /0 .2 0 4:275------- Figura 8.29 469 1.90 0 .5 0 0 .5 5 J 0 .1 2 5 |0 .5 5 0 .1 2 5 E s trib o s e n "U” 0 3 /8 L = 1 .8 5 c /O .S O Estructuras de C oncreto Capítulo 8 C im entaciones En el problem a anterior se utilizó el sistem a tradicional de viga con sección rectangular. P orque en opinión del autor parece de un m ejor funcionamiento estructural, se propone la solución de este problem a utilizando una viga de sección T invertida con las aletas actuando en sentido transversal reaccionando sobre el nervio que actúa en sentido longitudinal. Respecto a los costos, se pueden considerar sem ejantes para una u otra solución. Sin em bargo, en la elección de la alternativa m ás apropiada debe hacerse una cuidadosa evaluación de los parám etros funcionam iento y costo antes de optar por alguna de las posibilidades presentadas. 5.00 4.75 J. J. 1.80 L=7.05 P r o b le m a 8.7 R esolver el problem a 8.6 utilizando un cim iento com binado con sección en form a de “T ” invertida. S o lu c ió n F ig u ra 8.30 El dim ensionam iento en planta es sim ilar al del problem a anterior; la longitud del cim iento depende de la localización del centro de gravedad de las cargas de las colum nas y por lo tanto resulta igual; en cuanto al ancho, que es una función del peso propio del cim iento, siendo un poco m enor en este caso, resulta tam bién igual por aproxim ación, así: A rea de cim entación = B= 14 25 1425 100 = 14.25 m 2 = 2 .0 2 m ~ 2.05 m 7.05 Cargas: C argas de colum nas: = 1250 kN Peso propio cto (14% ): = 175 kN C arga total: 1425 kN L = 7.05 m; B = 2.05 m a neta = 86.49 kN /m 2 q £ = 177.30 kN /m a) D iseño transversal (aletas): M borde = 86.49 * 0 .7 7 5 2 Cj ocn71M = 25.97 kN-m <j)Mn = 1.5*25.97 = 38.96 kN-m Para este m om ento y una cuantía cercana a 0.0020 se obtiene: d = 0.23 m. Se adopta h= 0.30 m y por tanto d = 0.21 m. 470 471 l Capítulo 8 Cim entaciones Estructuras de C oncreto I C o n b = 0 .5 0 m y p = 0 .0 0 3 3 se o b tie n e h= 1 -05 m y d = 0 .9 6 m. p = 0 .0 0 2 4 0 8 y A s = 0 .0 0 2 4 0 8 * 1 .0 0 * 0 .2 1 = 0 .0 0 0 5 0 6 m 2 A , m ín im a = 0 .0 0 1 8 * 1 .0 0 * 0 .3 0 = 0 .0 0 0 5 4 0 m 2 d = 0 .9 5 m y se ad o p ta A c o n tin u a c ió n se d ise ñ a p a ra q l = 17 7 .3 0 k N /m R e fu e rz o : <})3/8c/0.13 (A ) V b o rd e = 8 6 .4 9 * 0 .7 7 5 = 6 7 .0 3 kN M Vu = 1 .5 * 6 7 .0 3 = 100.55kN (kN-m) = (kN-m ) = 4 ,M n 4)VC = 0 . 7 5 * 0 .1 7 * \ Í 2 \ A * 1 .0 0 * 0 .2 1 * 1000 = 122.90 kN P = v u < <t>vc A s ( m 2) = A rm a d u ra : 54 (j> 3 /8 ” c /0 .1 3 m. (§ ) 401.01 3 2 8 .5 0 60 1 .5 2 49 2 .7 5 0 .0 0 3 6 0 9 0 . 0 0 3 3 ( m ín ) 0 .0 0 1 7 3 2 0 .0 0 1 5 8 4 (j>superior: 3 (> 7/8" 4 <j)7/8" + 1 4>3/4” <j) inferior: 2 <{>7/8" 2 <j) 7/8" i 3 <{>7/8" 2 <j>7/8” 3 4>7/8" 2 <(. 3/4" 2 <J) 3 /8 ” lo n g itu d in a le s: u n a a c a d a lado d e la viga. V (kN) V borde c o lu m n a = = vu= <J)VC (k N /m 2) = vu-<t>vc= S (m) = 2 2 .1 6 3 7 7 .8 4 5 0 8 .7 0 3 4 1 .3 0 35 5 .6 8 48 6 .5 4 3 1 9 .1 4 5 3 3 .5 2 729.81 4 7 8 .7 1 2 8 0 .9 1 280.91 280.91 448.91 197.80 2 5 2 .6 1 1.68 + 0 .9 6 0 .9 5 + 0 .9 6 = 2 .6 4 =1 .9 1 Estribos: 8s(j) 0.7 4 + 0 .9 6 = 1.70 17e 4> 1/2" c/0.17 £ <J) l/2 ”c/0.39 1/2" c/0 .3 0 ~ aprox. , 5 4 0 3 / 8 L = 2 . 1 5 c / 0 . 13 1.90 —> Notas: Figura 8.31 1. b) D iseñ o lo n g itu d in al: A p a rtir d el d ia g ra m a d e m o m e n to s de flex ió n del p ro b le m a anterior, y p a ra u n m o m e n to p ro m e d io d e 3 6 4 .7 6 kN -m y U = 1.5 se d eterm ina la a ltu ra de la v ig a de m a n e ra q u e la a rm a d u ra p o r flex ió n sea a p ro x im a d a m e n te la m ín im a: 472 T e n ie n d o en c u e n ta la in d e te rm in a c ió n en su trab ajo , p a ra la o b ten ció n del n ú m ero d e e strib o s se p re fie re la e s p e c ific a c ió n d e l R e g la m e n to que ex ig e su c o lo c a c ió n h a sta u n a d ista n c ia “d ” - a ltu ra e fe c tiv a - m ás allá del p u n to d o n d e y a n o so n te ó ric a m e n te n e c e sa rio s y sin v a ria r su sep a rac ió n . 473 Estructuras de C oncreto 2. — Capítulo 8 C im entaciones D e p e n d ie n d o d e la a ltu ra y p a ra h m a y o r de 9 0 0 m m en elem entos e s tru c tu ra le s so m e tid o s a fle x ió n d eb e c o lo c a rse u n re fu erz o superficial lo n g itu d in a l u n ifo rm e m e n te d istrib u id o en a m b a s c a ra s laterales del e lem e n to d en tro d e u n a d ista n c ia h / 2 en la z o n a de tracció n , con el fin de c o n tro la r el a g rie ta m ie n to . c) Detalle del refuerzo: © 0.125 1.925 5.00 3 0 7 /8 6 0 1 /2 (ver corte) 4 0 7 /8 + 1 0 3 /4 ,2 0 7 /8 )5 4 0 3 /8 c /0 .13 2 0 7 /8 A p a rtir d e la ex p resió n : 280 s = 380 -2 .5 c , en d o n d e < 300 V fs , V fs , E 0 1 /2 _____________ | | | 11 1 8c/0 .3 0 fs= % f y = 2^*420 = 280 * Se c o lo c a n 3 b a rra s N o 3 en ca d a cara se p a ra d a s 0 .1 9 m m e d id o s ce n tro a centro en tre c a d a b a rra y la b a rra a tracció n ya ex isten te. 1 11 E 0 1 /2 6c/0 .3 9 * 1 0 7 /8 L=6.00 5.70 570 1 0 7 /8 + 1 0 3 /4 L=3.00 6 0 3 /8 L=7.15 6.90 207/8L=7.5O 6.90 1 0 7 /8 + 2 0 3 /4 L=4.10 3.85 ó 3.80 ,4- 280 7 h/2 = 1.05/2 = 0 .5 2 5 m 1.00 , ü_ - 2 . 5 * 7 5 = 192 m m < 3 0 0 m m 17C/0.17 2 0 7 /8 L=7.50 6.90 í— 280 0.25 L=7.05 cc = es la m e n o r d ista n c ia d esd e la su p e rfic ie d el re fu e rz o a la cara en tracció n : 75 m m s = 380* \ 3 0 7 /8+ 2 0 3 /4 —’ —, Figura 8.32.a - R efuerzo longitudinal del nervio 3 0 7 /8 + 3 0 3 /4 3 0 3 / 8 c / 0 . 19 3 0 3 /8 c /O .1 9 '10 3 / 8 0 .0 5 0 .2 5 1 0 3 /8 7 CORTE A-A 5 4 0 3 / 8 c / 0 . 13 2 .0 5 t 5 4 0 3 /8 L = 2 .1 5 c /0 .13 t 1.90 > 2 0 3 /8 L = 7 .1 5 6 .9 0 Figura 8.32.b - Sección transversal viga T invertida 474 E 01/2L = 3.O 5 Capítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto I E n el caso en q u e a m b a s c o lu m n a s so n in te rio re s, n o e x iste la lim itación de la lo n g itu d L y p o r c o n sig u ie n te d el an c h o B, ad o p tán d o se estas d im e n sio n e s d e m a n e ra q u e re su lte n a p ro p ia d a s, de a c u e rd o al siguiente ejem p lo . .-. B = 1 7 '6 7 = 2 . 3 2 5 - 2.35 m 7.60 Presión neta: Problem a 8.8 a neta = 1550 = 8 6 .7 9 k N /m 2 7 .6 0 * 2 .3 5 D is e ñ a r u n a c im e n ta c ió n c o m b in a d a p a ra u n a c o lu m n a in te rio r de 0.50 x 0 .2 5 m q u e c a rg a P i = 7 0 0 k N y u n a c o lu m n a in te rio r a d y a c e n te de 0.65 x 0 .2 5 m q u e c a rg a P 2 = 8 5 0 k N , si los ejes d e las c o lu m n a s están separados £ = 5 .0 0 m y el te rre n o tie n e u n a c a rg a de trab a jo de 0.1 M P a, em pleando c o n c re to de f c = 21.1 M P a y re fu e rz o p a ra f y = 4 2 0 M P a en todos los d iám etro s. Solución Se p ro c e d e a d im e n sio n a r en p la n ta h a c ie n d o c o in c id ir el c e n tro de gravedad de las c a rg a s de las c o lu m n a s co n el c e n tro d e g ra v e d a d d el cimiento. L u eg o , se d ise ñ a rá p a ra u n a s e c c ió n en fo rm a d e v ig a “T ” in v ertid a. a) D im e n sio n a m ie n to en p lan ta: C e n tro d e g ra v e d a d de las c a rg a s d e las co lu m n as: 8 5 0 * 5 .0 0 = (850 + 700) x . \ x = 2 .7 4 m F igura 8.33 C o in c id e n c ia d el ce n tro d e g ra v e d a d de las c a rg a s co n el cen tro id e del cim ien to : - L - 2.74 + 1.06 = 3 .8 0 C arg a b a jo c im ie n to en kN /m : 8 6 .7 9 * 2 .3 5 = 2 0 3 .9 6 k N /m L = 7 .6 0 m 2 b) D iseñ o lo n g itu d in al: R eaccio n es: C arg as: C a rg a s d e co lu m n as: = 1550 kN P eso p ro p io (~ 14% ): = 217 kN = 1767 k N T o tal: A re a cim e n ta c ió n = A = EP 1767 Ai = - 2 0 3 .9 6 * 1.06 = Ad = 7 0 0 . 0 0 - 2 1 6 .2 0 = 4 8 3 .8 0 k N Bi Bd = = 3 1 4 . 1 0 - 8 5 0 .0 0 1.54 * 2 0 3 .9 6 = = - 5 3 5 .9 0 k N 3 1 4 .1 0 k N 1 = 17.67 m 2 j , * P u n to d e a n u la c ió n d el corte: x 0 = 4 8 3 -8 0 477 OQ-7 — = 2 .3 7 m / I I 100 476 - 2 1 6 .2 0 k N M n Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones M o m en to s: M a = MR = 2 0 3 .9 6 * 1 .0 6 2 2 0 3 .9 6 * 1 .5 4 2 <D = 114.58 kN -m 0 íl1 0 P l„T = 2 4 1 .8 6 kN -m ,, 4 8 3 .8 0 * 2 .3 7 1 1/1C. Q /1, 0 7 9 , M M luz = - 1 1 4 .5 8 = 4 5 8 .7 2 kN -m 2 A) ( B M (kN-m) = 1 1 4 .5 8 4 5 8 .7 2 24 1 .8 6 (J,Mn = 1.5M 171.87 6 8 8 .0 8 3 6 2 .7 9 P= 0 . 0 0 3 3 ( m ín ) 0 .0 0 4 6 5 3 A s (m 2) = 0 .0 0 1 5 0 2 0 .0 0 2 1 1 7 <|>su p erio r: 2 <t> 7/8 ",.2 <)) 7/8" +2 tf) 1” (j) inferior: 4 <}>7/8" 2 «() 1”+ 3 2 ó 7/8” 4) 0 . 0 0 3 3 (m ín 0 .0 0 1 5 0 2 7/8" 2 <}>7/8”+2 4» 1" .2 ((. 7/8" 4 ó 7/8” D ia g ra m a d e C o rta n te 4 8 3 .8 0 3 1 4 .1 0 V (kN) = 2 1 6 .2 0 4 8 3 .8 0 5 3 5 .9 0 3 1 4 .1 0 Vborde = 190.70 4 5 8 .3 0 5 1 0 .4 0 2 8 8 .6 0 vu 2 8 6 .0 5 6 8 7 .4 5 7 6 5 .6 0 4 3 2 .9 0 2 6 6 .2 8 2 6 6 .2 8 2 6 6 .2 8 2 6 6 .2 8 19.77 4 2 1 .1 7 4 9 9 .3 2 166 .6 2 1.5 Vborde = = S (m) = ii 1 -5 3 5 .9 0 c< D ia g ra m a de M om ento 158.72 -en< <t>vc= 0 .0 6 + 0 .8 7 5 = 0 .9 3 5 1 1 4 .5 8 2 4 1 .8 6 E stribos: 1 .3 8 + 0 .9 1 1.6 3 + 0 .9 1 = 2 .2 9 e(f> 1 /2 ” c/0 .4 6 15e = 2.54 (j)l/2 " c / 0 .1 7 F igura 8.34 2 0e <j) 1/2" c/0 .1 45 0 .5 4 + 0 .8 7 5 = 1.415 e(j)l/2 " c/0 .3 5 s/criterio de separación) A p a rtir d el d ia g ra m a d e m o m e n to s, se d e te rm in a la a ltu ra de la v ig a de m a n e ra q u e la a rm a d u ra p o r fle x ió n s e a a p ro x im a d a m e n te la m ín im a; para Notas: u n m o m e n to p ro m e d io en la lu z y el a p o y o B de 3 5 0 .2 9 kN -m y u n an cho de 0 .5 0 m re s u lta d = 0 .9 3 m . 1. C o m o en el p ro b le m a an terio r, se p re fie re c o lo c a r e strib o s h a sta u n a d ista n c ia “d ” - a ltu ra efe c tiv a - m ás a llá d el p u n to d o n d e y a n o so n te ó ric a m e n te n ec esario s. 2. E l re fu e rz o su p e rfic ia l lo n g itu d in a l se c o lo c a co n el m ism o c rite rio del p ro b le m a a n te rio r re su lta n d o 3 b a rra s N o 3 en ca d a ca ra se p a ra d a s 0 .1 9 m m e d id o s ce n tro a ce n tro e n tre c a d a b a rra y la b a rra a tra c c ió n y a ex isten te. Se ad o p ta h = 1.00 m y d = 0.91 m. 478 479 i Capítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto I c) (j) D eta lle d e l refu erzo : D iseñ o tra n s v e rsa l (aletas): j 8 6 .7 9 * 0 .9 2 5 z M b o rd e = ---------------------- = 3 7 .1 3 k N -m (j)Mn = 1 .5 * 3 7 .1 3 = 5 5 .70kN -m . P a ra este m o m e n to y u n a c u a n tía c e rc a n a a 0 .0 0 2 0 se o b tien e d = 0 .2 7 m. Se a d o p ta h = 0.35 m y d = 0 .2 6 m .-. p = 0 .0 0 2 2 4 1 - A s = 0 .0 0 2 2 4 1 * 1 .0 0 * 0 .2 6 = 0 .0 0 0 5 8 3 m 2 A smín = 0 .0 0 1 8 * 1 .0 0 * 0 .3 5 = 0 .0 0 0 6 3 0 m 2 V b o rd e = 8 6 .7 9 * 0 .9 2 5 = 8 0 .2 8 kN 2 0 7 /8 L=8.05 7.45 0.25 201" L=5.50 1 0 7 /8 L=3.00 Vu = 1 .5 * 8 0 .2 8 = 120.42kN 6 0 3 /8 L=7.70 7.45 (j)Vr = 0 .7 5 * 0 .1 7 * \ / 2 L T * 1 .0 0 * 0 .2 6 * 1 0 0 0 = 152.16 kN 207/8L=8.O 5 7ÁT V U <<1>VC 2 0 7 /8L=3.45 3.15 2 0 7 /8L=2.45 2.15 A rm a d u ra : CORTE A-A 2 <j>3 /8 ” lo n g itu d in a le s: u n a a c a d a lad o de la viga. 69 (j> 3 /8 ” c/0.11 , 0.50 2 0 1 "+ 2 0 7 /8 30 3 / 8 c / 0 . 19 3 0 3 / 8 c / 0 . 19 ;0.10 0.25 ■8 / 2.35 2.20 203/8L=7.7O T 45 Figura 8.35 480 0.93 0.93 0.42 E1/2L=3.05 '4 0 7 / 8 6 9 0 3 /8 L = 2 .4 5 c /0 .11 . 220 1.00 1 0 3 /8 1----------- 6 9 0 3 / 8 L=2.45 c / O . l l 0.175 0.65 0.57 6 9 0 3 /8 c /O .l 1 0.42 Figura 8.36 Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones C im entación con viga de contrapeso S e u s a m u y fre c u e n te m e n te co m o s o lu c ió n p a ra la c im e n ta c ió n aislada e x c é n tric a d e u n a c o lu m n a de lin d ero y c o n siste en u n ir e sta cim entación a u n c im ie n to a d y a c e n te o c o n tra p e so p o r m ed io d e u n a v ig a llam ada de c o n tra p eso , co n el o b je to d e v o lv e r u n ifo rm e s las re a c c io n e s d el terreno bajo la z a p a ta a isla d a ex c én trica . pam bién, de a c u e rd o co n la fig u ra an terio r: Rj = a * b c = +AR R 2 = a * a 2 = Z P 2 - AR que so n las e x p re sio n e s q u e sirv e n d e b ase p a ra el d im e n sio n a m ie n to d e las zapatas del sistem a. En cu an to a la v ig a d e co n tra p e so , se a d o p ta el c rite rio de c o n s id e ra r la sección c rític a p a ra fle x ió n al b o rd e d e la z a p a ta ex terio r, to m á n d o la h a c ia el contrapeso: Md = A R (f-d ) A c o n tin u a c ió n u n e je m p lo de c im e n ta c ió n co n v ig a de co n tra p eso . P ro b le m a 8.9 R esolver el p ro b le m a 8 .6 , u tiliz a n d o el siste m a d e cim e n ta c ió n co n v ig a de contrapeso. S u p o n ie n d o q u e se ha lo g ra d o c o n v e rtir en u n ifo rm e la re a c c ió n d el terreno b ajo la za p a ta a isla d a e x c é n tric a , la re su lta n te de e sta s re a c c io n e s R j estaría a p lic a d a en el ce n tro de b y p o r lo tan to la c a rg a d e la c o lu m n a P i produciría S olución Se p ro c ed e a d im e n s io n a r en p la n ta el siste m a d e z a p a ta s y v ig a s de contrapeso. L u e g o se d ise ñ a la v ig a de c o n tra p e so y fin a lm e n te las z a p a ta s u n m o m e n to d e v o lc a m ie n to P r e q u e se c o m p e n sa co n u n a carg a de de las co lu m n as. c o n tra p e so AR, q u e p u e d e se r p arte de la c a rg a de la c o lu m n a a d y a c e n te P 2 o u n c o n tra p e so in d e p e n d ie n te v in c u la d o p o r m ed io d e la v ig a a sí llam ad a de c o n tra p e so y q u e te n d ría u n b ra zo (£ - e ) . L la m a n d o E P j y S P 2 las ca rg as d e las c o lu m n a s a d ic io n a d a s al respectivo p eso p ro p io de su s c im ie n to s y a la re a c c ió n del terren o b a jo ca d a u n o de eso s cim ien to s, se p u e d e p lan tea r, u tiliz a n d o u n m a rg e n ad icio n a l de se g u rid a d , la sig u ie n te e x p re sió n b á sic a de eq u ilib rio : £ P ,- e = A R (¿ -e ) A R = ^ A e x p re sió n a p a rtir de la cu a l se d im e n sio n a el c o n tra p e so n e c e sa rio para e q u ilib ra r el sistem a. Figura 8.38 482 483 Capítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I D im ensionam iento en planta: C arg as: P 2 (de c o lu m n a) Z a p a ta de la c o lu m n a e x te rio r o d e lindero: S e a d o p ta n las d im e n sio n e s de la z a p a ta p a ra la c o lu m n a ex terio r o de lin d e ro d e m a n e ra q u e “b ” e sté a p ro x im a d a m e n te e n tre u n 40 y 50% de V y d eb e te n e rse en c u e n ta o tras c o n s id e ra c io n e s p ro p ia s d el p royecto que p u e d a n m o d ific a r el re q u isito an terio r. C arg as: P, (de co lu m n a) = 400 kN P eso p ro p io z a p a ta (13% ) = 52 kN T o tal: = 4 5 2 kN = 8 5 0 kN P eso p ro p io z a p a ta (9% ) = 77 kN T o tal: = 927 kN IP 2 gn este caso se u sa p a ra el p e so p ro p io d el c im ie n to u n 9 % , p re v ie n d o que esta za p a ta re su lte a liv ia d a en el p eso d el co n tra p eso . J . ,, . X P 2 “ AR 9 2 7 -6 1 .6 4 . __ 2 A re a de c im e n ta c ió n : A = — = ----- —— = o.bo m a 100 , . L , i Z i j ! i z £ Í tA . 0 65 -0.25 + 1(0 65 ~ °'25 IP , S e u sa p a ra el p e so p ro p io d el c im ie n to u n 13% , p re v ie n d o q u e esta zapata s o p o rta rá ad e m á s el p eso d el c o n tra p eso , d e a c u e rd o a lo anteriorm ente v isto . S u p o n ie n d o u n a z a p a ta c u a d ra d a , re su lta: 2 V 4 V 2 4 L = 3 .1 5 m A 8.65 a L, = — = --------= 2.75 m . 1 L 3.15 la d o = 2 .1 3 m Por tanto, las d im e n sio n e s d e la z a p a ta en p la n ta serán : 2.75 x 3.15 m etro s. P o r tan to , en p rin c ip io se ad o p ta: b = 1.45 m , lo cual im p lic a q u e e = 0 .6 0 m y d = 1.325 m . X R. e 4 5 2 * 0 .6 0 fi1 C, 1M , , , A R = —— -— = ---------------- = 6 1 .6 4 k N de d o n d e t-e 5 . 0 0 - 0 .6 0 = X V AR = 452 + 6 1 .6 4 = ab 3 ^ _ 3 5Q m 2 R especto d e la v ig a d e c o n tra p eso , se ad o p ta, en p rin c ip io , apropiado p ara la c o lu m n a e x te rio r o d e lin d e ro d e 0.4 5 m . u n an ch o Diseño viga de contrapeso 1 0 0 * 1 .4 5 R e su lta n d o b = 0 .4 1 c, lo cual u n id a a o tras c o n sid e ra c io n e s de G e o te c n ia y lo c a liz a c ió n en el p ro y e c to p a ra u n tra b a jo de conjunto, p u ed e a su m irse a c e p ta b le p a ra este p ro b lem a . a n e ta i= 8 5 0 - 6 1 .6 4 , M/ a n e ta 2 = ------------------= 9 1 .01 k N /m 2 .7 5 * 3 .1 5 4 0 0 + 6 1 .6 4 nn 2 = 9 0 .9 6 k N /m F lex ió n : C o n el c rite rio d e an c h o a n te s e n u n c ia d o y se c c ió n a p ro p ia d a p ara d iseñ o a flex ió n : M d = A R ( ¿ - d ) = 6 1 .6 4 * ( 5 .0 0 - 1 .3 2 5 ) = 2 2 6 .5 3 k N -m 1 .4 5 * 3 .5 0 á>M = 1 .5M d = 3 3 9 .8 0 k N -m P a ra el c a so d e la z a p a ta d e la c o lu m n a in te rio r ad y a cen te: 484 485 Capítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto I P a ra este m o m e n to , y c o n el c rite rio d e a rm a d u ra m ín im a se o b t i d i d = 0 .7 9 m . ne 2 6 7 .2 9 S e a d o p ta h = 0 .9 0 m y d = 0.81 m . ~ p min = 0.0033 A s = 0 .0 0 3 3 * 0 .4 5 * 0 .8 1 = 0 .0 0 1 2 0 3 n i 2 2 1 3 .3 1 A rm a d u ra : 3 § 3/4 ” + 2 <{>5 /8 ” C o rtan te: C a rg a lo n g itu d in a l b ajo la z a p a ta e x te rio r = 9 0 .9 6 * 3 .5 0 = 318.36 kN/m F igura 8.39 R e ac cio n es: Ai = 0 .1 2 5 * 3 1 8 .3 6 = Ad = 400 - = 3 6 0 .2 0 kN 3 9 .8 0 V b o rd e d e la c o lu m n a 3 9 .8 0 kN = 3 6 0 .2 0 - 0 .1 2 5 * 3 1 8 .3 6 = 3 2 0 .4 0 kN Utilizando e strib o s d o b le s (J> 3 /8 ”: s= <l>Avf yd v u- * v c V (d) = 3 6 0 .2 0 - 1 .3 2 5 * 3 1 8 .3 6 = - 6 1 .6 3 kN ~ A R (61.64 kN) p a ra ss(j)3/8, s 0 .7 5 * 4 * 0 .0 0 0 0 7 1 * 4 2 0 0 0 0 * 0 -8 1 = ( ) ? 7 m 267 29 q u e se p re s e n ta co m o u n v a lo r d e re v isió n d el p ro c e so con un re s u lta d o co rrec to x 0 = p u n to d e a n u la c ió n d el c o rte = = 1 .1 3 m F 3 1 8 .3 6 También en este caso , p o r la in d e te rm in a c ió n q u e im p lic a el tra b a jo d e la cim entación a n te rio rm e n te ex p u e sta , p a ra la o b te n c ió n d el n u m e ro de estribos se p re fie re la e sp e c ific a c ió n d e su c o lo c a c ió n h a s ta u n a d ista n c ia "d" sie n d o “d ” la a ltu ra e fectiv a, m ás a llá d e l p u n to d o n d e y a no so n teóricam ente n e c e sa rio s (0.56 + 0.81 = 1.37 m ); p o r tan to se c o lo c a 7 Vu = 3 2 0 .4 0 * 1 .5 0 = 4 8 0 .6 0 kN estribos d o b le s * 3 /8 ” c /0 .2 7 (S = 1.62 m > 1.37 m re q u erid o s). D ise ñ a n d o lo s e strib o s al b o rd e d e la co lu m n a , resu lta: (j)Vc = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 TT1 * 0 .4 5 * 0 .8 1 * 1 0 0 0 = 213.31 kN (|)VS = 4 8 0 .6 0 - 2 1 3 .3 1 = 2 6 7 .2 9 k N x = 2 6 7 .2 9 4 8 0 .6 0 1 3 _ Q 125) = v Q 56 Dado q u e se c o n s id e ra d e e sp e c ia l im p o rta n c ia p a ra la c o lo c a c ió n del refuerzo, se p re se n ta n a c o n tin u a c ió n lo s d ia g ra m a s d e c o rta n te y m o m e n to a que re s u lta so m e tid a la v ig a de c o n tra p e so d ise ñ a d a y lu eg o u n d eta lle de su a rm a d u ra c o rre sp o n d ie n te . m ' 486 487 Capítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I petalle d el refu erzo : A rm a d u ra: (5) 0.125 0.125 Tr (j> S u p erio r: 3<j) 3 /4 " + 2(f> 5 / 8 ” . 2<j) 3 / 4 ” 2 (j> In ferio r: 3 (j> 3 / 8 ” __________ 3 (j> 3 / 8 ” 3 (1)3/8" 3 /4 ” 2 0 3 /4 3 0 3 /4 + 2 0 5 /8 0.90 \3 0 3 /8 0.25 0.125 E dobles 0 3 /8 7 s e 4) 3 /8 ” c /0 .2 7 a p a rtir del b o rd e d e la co lu m n a E strib o s 7 c /0 .2 7 + ee<f) 3 /8 ” c /0 .5 0 co n stru c tiv o s, en el re sto d e la longitud. 0.80 I 1 7 c /0 .5 0 0155 0.25 7/0 .78 0.25 E3/8L=2.31 ® D ia gra m a de C o rta n te (kN) 0.125 0.78 3 0 3 /4 L=6.45_________ 5.15 1 0 3 /4 +205/8L=4.5O 4.25 ó 4.275 303/8L=5.4O 5.15 360.20 \ F igura 8.41 IJ61.63 ~AR=61.64 kN 39.80 Diseño de Zapatas: 2 Z a p a ta b a jo c o lu m n a ex terio r: a n e ta i = 9 0 .9 6 k N /m 1.13 m Diagrialma de M om en to (kN m) M M d = 226.53 525 Figura 8.42 F igura 8.40 F lex ió n : Se c o n sid e ra n v o la d iz o s en el se n tid o larg o , so p o rta d o s en la v ig a d e c o n tra p eso : 489 488 Capítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I .. 9 0 .9 6 * 1 .4 5 * 1 .5 2 5 2 M = ------------------------------- = 153.36 kN -m D e ta lle del refu erzo : 2 (j)Mn = 1 .5 *153.36 = 2 3 0 .0 4 k N -m C o n sid e ran d o u n esp e so r a p ro p ia d o p a ra a rm a d u ra m ín im a, resulta para p = 0 .0 0 2 0 u n a “d ” = 0 .4 6 m. P o r lo tan to h = 0.55 m ; d = 0 .4 6 m ; h m ín im a = 0 .2 5 m .-.A s = 0 .0 0 2 0 * 1 .4 5 * 0 .4 6 = 0 .0 0 1 3 3 4 m 2 A s m ín im a = 0 .0 0 1 8 * 1 .4 5 * 0 .5 5 = 0 .0 0 1 4 3 6 m 2 A rm a d u ra: 1201/2L=3.7Oc/O.12 12 4> 1 /2 ” c /0 .1 2 e n el se n tid o de 3.50 m 3.35 2 ({>3/8” se p a ra d o s 0 .7 2 5 m a cada lado de (2+2)03/8L=1.55 (2 a cada lado de la viga) la v ig a en el se n tid o d e 1.45 m. 1.30 C ortante: Figura 8.43 R ev isió n al b o rd e de la viga: Zapata bajo colum na interior: V borde v ig a = 9 0 .9 6 * 1 .4 5 * 1 .5 2 5 = 2 0 1 .1 4 kN Vu = 1.5*201.14 = 3 0 1 .7 1 k N a n e t a 2 = 9 1 .01 k N /m 2 F lex ió n : (|>VC = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 U * 1 .4 5 * 0 .4 6 * 1000 = 3 9 0 .3 5 kN M b o rd e d e c o lu m n a = Vu < 4>Vr <j)Mn = 1 .5 * 2 2 3 .9 7 = 3 3 5 .9 6 k N -m 9 1 -0 1 * 3.15 * 1 ,2 5 z = m Figura 8.44 490 491 g ? fcN m Capítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I C o n sid e ra n d o u n esp e so r a p ro p ia d o p a ra a rm a d u ra m ín im a, resu lta para p = 0 .0 0 2 0 u n a “d ” = 0 .3 8 m. (|)VC = 0 .7 5 * 0 .8 3 * V 2 L 1 * f 4 0 * 0 .3 8 + 2 * 3 .4 4 * 0 .3 8 * 1 0 0 0 3.44 S e a d o p ta h = 0 .5 0 m; d = 0.41 m ; h m ín im a = 0.25 m <|)VC= 2 3 9 7 3 .6 8 k N .-. A s = 0 .0 0 1 7 5 5 * 3 .1 5 * 0 .4 1 = 0 .0 0 2 2 6 7 m 2 A s m ín im a = 0 .0 0 1 8 * 3 .1 5 * 0 .5 0 = 0 .0 0 2 8 3 5 m 2 A rm a d u ra: ••• VU<(|)VC 22 <|> 1/2" c / 0 .145 e n el se n tid o d e 2.75 m. (a.3) <t>Vc =(|) 0 . 3 3 ^ /fJb od = 0 .7 5 * 0 . 3 3 * V 2 L 1 * 3 .4 4 * 0 .3 8 * 1 .0 0 0 19 4> 1 /2 ” c/0 .1 4 5 e n el se n tid o d e 3.15 m. 4)Vc = 1 4 8 5 .2 4 kN C o rtan te: V u <(j>Vc a) A c c ió n en d o s d irec cio n es: E sta re v isió n ta m b ié n se p u ed e e fe c tu a r a p a rtir de: V (d/2) = 9 1 .0 1 * 1 /2 * [(3 .1 5 + 1.06) * 1 .0 4 5 + (2 .7 5 + 0 .6 6 ) * 1.045] *2 '0 .1 7 * (1 + 2 /p ) = 0 .1 7 * (1 + 0.77) = 0 .3 0 V (d/2) = 7 2 4 .4 4 k N (t)Vc V = 1 .5 *724.44 = 1 0 8 6 .6 6 k N d = 0 .4 1 - 0 .2 5 - 0 .2 5 * 1 .0 4 5 \ ^ 0.83(ccsd / b o + 2) = 0 .8 3 * 6.94 = 5.76 b od /. <|)VC c o rre sp o n d e a $ 0 . 1 7 ^ (1 + 2 /p ) b 0d = 0 .3 8 m 1.20 b) (a .l) <t>Vc = (|)0 .1 7 ^ fJ A c c ió n co m o v ig a: V (d) = 9 1 .0 1 * 0 .8 4 * 3 .1 5 = 2 4 0 .8 1 k N v Py V 4>VC = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 lT I* 1+ 0.65 0.25 (J)Vc = 1 3 5 4 .0 6 kN (j)Vc = ( ( > 0 .8 3 ^ = 1.5 * 2 4 0 .8 1 = 3 6 1 .2 2 k N * 3 .4 4 * 0 .3 8 * 1 .0 0 0 0 .2 5 * 0 .8 4 d = 0 .4 1 - 0 .2 5 - \ = 0 .3 3 5 m 1.20 (J)VC= 4)0.17VfJbwd*1000 ••• V U<(^VC (a.2) 0 .33 <j)Vc = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 Ü * 3 .1 5 * 0 .3 3 5 * 1 0 0 0 = 6 1 7 .5 6 kN a ¿ +2 b d P o r lo tan to V u < <j)Vc v bo 492 493 Capítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto I D e ta lle d el refu erz o : /d térm in o d e e s ta b re v e m u e s tra d e C im e n ta c io n e s S u p e rfic ia le s o D ire ctas, eS p reciso a g re g a r q u e a u n q u e c a d a c a so d e c im e n ta c ió n tie n e u n a so lu c ió n que p a re c e la m ás a p ro p ia d a , e n s u e le c c ió n y ad o p c ió n d eb e p ro c e d e rse siem pre d e co m ú n a c u e rd o c o n el In g e n ie ro d e S u e lo s y F u n d a c io n e s, y si en alg ú n c a so p a rtic u la r se p re s e n ta ra n d o s o m á s tip o s d e fu n d a c io n e s aceptables, la e le c c ió n fin a l d e p e n d e e n m u y b u e n a p arte , e n tre o tro s factores, d e lo s p re s u p u e s to s p a ra c a d a a lte rn a tiv a . Cimentaciones de profundidad 3.00 2201/2L=2.95c/O.145_ 2.60 F igura 8.45 T ra n sm isió n d e los e sfu e rz o s d e la c o lu m n a a la z a p ata a) R e siste n c ia al ap la sta m ie n to Pu = 1275 kN R e siste n c ia al ap la sta m ie n to en la b a se de la co lu m n a: <l>Pnb = < (> (0 .8 5 ^ ,) = 0 .6 5 * (0.85 * 21100 * 0.25 *0.65) = 1894 kN > Pu R e siste n c ia al a p la sta m ie n to en la zap ata: Como se m e n c io n o al c o m ie n z o d e este cap ítu lo , se d en o m in a n de esta m anera las c im e n ta c io n e s q u e tra n sm ite n o d isip a n su c a rg a en e stra to s profundos, p rin c ip a lm e n te p o r m ed io d e p ilo te s o ca jo n e s de c im en tac ió n . Desde el p u n to d e v is ta e stru c tu ra l, q u e c o rre sp o n d e al a lc a n c e ú n ico d e este texto, d is tin g u im o s d o s p artes: el d ise ñ o d el p ilo te o ca jo n e s de cim e n ta c ió n propiam ente d ich o y el d ise ñ o d e la lla m a d a cim e n ta c ió n s o b re el p ilo te o cajón d e cim e n ta c ió n c u y a fu n c ió n es la d e tra n sm itir la c a rg a d e la c o lu m n a a los e le m e n to s a n te s m e n c io n a d o s. E n este m ism o o rd e n se tra ta ra n a continu ació n las c im e n ta c io n e s s o b re p ilo te s y lu eg o so b re c a jó n de cim entación. Cimentación sobre pilotes Se d istin g u e n d o s g ra n d e s cla se s d e p ilo te s, d e p e n d ie n d o d e su fu n c ió n y de su fa b ricació n : (|>Pllb = <j>(0.85fc'A , )-v/A 2 / A , < 2<t,(0.85fc'A ,) A 2 = (1.00 + 0.25 + 1 .0 0 ) * (1.00 + 0 .6 5 + 1 .0 0 ) = 5 .9 6 n r T ra b a jo d e p u n ta T ra b a jo p o r fric ció n T ra b a jo co m b in ad o I. P o r su fu n c ió n P o r lo tan to V T 7 T = 7 5 .9 6 /0 .1 6 2 5 = 6 .0 6 > 2 <t>Pnb = 0 .6 5 * (0 .8 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .2 5 * 0 .6 5 ) * 2 = 3788 k N > Pu b) TT „ P , II. P or su fa b ric a c ió n P re fa b ric a d o s F u n d id o s en e , ^ L o n g itu d d e d e sa rro llo d el re fu e rz o d e la co lu m n a: S u p o n ie n d o la c o lu m n a re fo rz a d a c o n <f>5/8" de fy = 420 M P a: ^ db = 349 m m < d (adoptado) 49 4 D esde el p u n to d e v is ta e stru c tu ra l, in te re sa la fo rm a co m o el p ilo te transm ite o d isip a la ca rg a, p a ra d e te rm in a r lo s e sfu e rz o s a q u e estará som etid a c u a lq u ie r s e c c ió n d el m ism o y p o r tan to d e fin ir su d iseñ o : ta m b ié n es p re c iso te n e r en c u e n ta la fo rm a co m o fue fa b ric a d o , en la b ú sq u e d a de 495 Capítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I lo s e sfu e rz o s c a u sa d o s d u ra n te su m a n e jo (izado e h in cad o ) y, d esd e luego, d u ra n te su v id a útil. P a ra el d iseñ o d e los p ilo te s se p ro c e d e b á s ic a m e n te a tra ta rlo s com o co lu m n as, y su c o n sid e ra c ió n co m o c o rta s o e sb e lta s d e p e n d e rá d el grado de c o n fin a m ie n to q u e les im p a rta n lo s estra to s a tra v e sa d o s p o r el pilote; asi m ism o , la lo n g itu d d el re fu e rz o se rá u n a fu n c ió n , en tre otras c o n sid e ra c io n e s, d e la d isip a c ió n de la c a rg a del p ilo te p o r fric ció n con el te rre n o q u e lo ro d e a del g ra d o d e h o m o g e n e id a d d el m ism o terren o y de la lo c a liz a c ió n d el re fu e rz o tra n sv e rsa l q u e se re q u ie ra . Ig u alm en te, la a rm a d u ra tra n sv e rsa l, ad e m á s de su s p ro p ia s e sp e c ific a c io n e s, d eb e ser apta p a ra las fu e rz a s de co rte d e fin id a s p o r el in g e n ie ro a s e s o r d e su elo s y fu n d a c io n e s y c u m p lir las e sp e c ific a c io n e s c o n te n id a s en el C a p ítu lo C .15 y el T ítu lo H d el R eg la m e n to . S i a d ic io n a lm e n te se tra ta d e p ilo te s hincados, es d e v ita l im p o rta n c ia p re c isa r la fo rm a co m o se rá n m a n e ja d o s y el tipo de m a rtillo q u e se u tiliz a rá e n su hin ca, p a rá m e tro s e sto s q u e d eterm in a rán la ca n tid a d , lo c a liz a c ió n y d e ta lla d o d el re fu e rz o c o rre sp o n d ie n te . Se re c o m ie n d a a lo s le c to re s p ro v e e rse d el ca tá lo g o d e los e q u ip o s d e hincado q u e e n m u c h o s c a so s re su lta d e e sp e c ia l im p o rta n c ia p a ra lo g ra r u n buen problema 8.10 D iseñar la c im e n ta c ió n s o b re p ilo te s d el tip o d e z a p a ta aislad a , si se utilizarán p ilo te s de co n c re to fu n d id o s en el sitio d e 0 .6 0 m d e d iá m e tro com o s o lu c ió n p ara u n a c o lu m n a de 0 .4 0 x 0 .7 5 m (20 4>5/8" p ara fy = 240 M P a) q u e c a rg a 2 0 0 0 kN , y s i d e ac u e rd o co n el in fo rm e d e su elo s y re c o m e n d a c io n e s d e c im e n ta c ió n , lo s p ilo te s se lo c a liz a rá n c o n u n a sep aració n de u n a y m ed ia v e c e s el d iám etro (0.90 m) y su c a rg a d e trab a jo será d e 6 0 0 k N p o r p ilo te, u tiliz a n d o c o n c re to de fe = 21.1 M P a y a c ero para f y = 240 M P a. Solución Una v e z c o n o c id a s las c a ra c te rís tic a s y c a rg a s de las c o lu m n a s al n iv el de cim entació n , se d eb e p ro c e d e r a o b te n e r de lo s c o n tra tista s d el p ilo ta je la solución p re su p u e sta l m ás c o n v e n ie n te p a ra el p ro y e c to en d iseñ o ; establecid a ésta, de c o m ú n a c u e rd o co n el in g e n ie ro a se so r de su e lo s y fundaciones, se d e fin irá n las e sp e c ific a c io n e s d el p ro y e cto , n o so la m e n te de los p ilo te s p ro p ia m e n te d ich o s, sin o d e la cim e n ta c ió n s o b re lo s m ism o s. 1) D iseñ o d el pilote: d iseñ o . C arg as: E n lo re la tiv o a las d e n o m in a d a s c im e n ta c io n e s so b re p ilo te s, e x isten las m ism a s cla se s q u e en las lla m a d a s c im e n ta c io n e s d irectas, en d o n d e si a p a rtir de la c a rg a d e la c o lu m n a o m u ro se b u sc a su c o in c id e n c ia co n el c e n tro de g ra v e d a d de las re a c c io n e s d e los p ilo te s a p lic a d a s en el ce n tro de lo s m ism o s, se ten d rá n c im e n ta c io n e s s o b re p ilo te s en v ig a s p a ra m u ro s, en z a p a ta s a isla d a s p a ra c o lu m n a s c e n tra le s, c im e n ta c io n e s c o m b in a d a s y c im e n ta c io n e s co n v ig a d e c o n tra p e so co n las m ism a s e s p e c ific a c io n e s y p ro c e d im ie n to s d e d ise ñ o q u e a n te s se a n a liz a ro n en este c a p ítu lo , y co n la ü n ic a d ife re n c ia q u e sig n ific a no te n e r c a rg a s u p u e sta u n ifo rm e b a jo los e le m e n to s de c im e n ta c ió n , sin o c a rg a s c o n c e n tra d a s en las ca b eza s de los p ilo te s. A m a n e ra de ilu stra c ió n d e lo a n te rio rm e n te e x p u e sto se p re sen ta un e je m p lo d e d ise ñ o d e u n a cim e n ta c ió n so b re p ilo te s en z a p a ta a isla d a para u n a c o lu m n a cen tral. D e co lu m n a: P P eso p ro p io cim ien to : (7% de P) T o tal: IP 2 0 0 0 kN = 140 kN = 2 1 4 0 kN En el a n á lis is d e ca rg a s a n te rio r, se h a c o n sid e ra d o q u e el p e so p ro p io d e la cim entació n es so p o rta d o p o r lo s p ilo te s. P o r tan to : N o. de p ilo te s = v = 3 .5 7 ~ 4 p ilo tes. 600 Se a c la ra a q u í ta m b ié n q u e en la c a rg a d e tra b a jo d el p ilo te d e te rm in a d a p or el In g e n ie ro de S u e lo s y F u n d a c io n e s se ha in v o lu c ra d o el d en o m in ad o factor de e fic ie n c ia d e g ru p o . P o r tan to : C arg a p o r p ilo te = Ü Í 2 . = 496 = 535 kN Capítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto I A c e p ta d a la c o n d ic ió n de c o n fin a m ie n to d el te rre n o q u e ro d e a al pilote y de u n e fic ie n te tra b a jo p o r fric c ió n q u e rá p id a m e n te d isip a la carg a, a partir de las n o rm a s e x p u e sta s en el c a p ítu lo 6 d e este tex to y la e sp e cificac ió n que p erm ite la u tiliz a c ió n d e u n á re a e fe c tiv a re d u c id a h a sta la m ita d del área to tal c u a n d o la se c c ió n tra n sv e rsa l e s m a y o r q u e la re q u e rid a por las c o n s id e ra c io n e s d e carg a, así co m o las e s p e c ific a c io n e s d el C ap ítu lo C.15 d el R e g la m e n to (C im en tacio n es), es p o sib le u n a so lu c ió n d e d iseñ o com o la q u e se d e ta lla a co n tin u a c ió n , p a ra e s tru c tu ra s co n c a p a c id a d esp e cial (DES) y m o d e ra d a (D M O ) de d isip a c ió n de en erg ía. gn este caso, p a ra cu a tro p ilo te s resu lta: Flexión: S e d ise ñ a p a ra el s e n tid o m á s d esfav o rab le : M b o rd e d e la c o lu m n a = 2 * 5 3 5 * 0 .5 5 = 5 8 8.5 kN -m (J)Mn = 1 .5 * 5 8 8 .5 = 8 8 2 .7 5 k N -m 1.00 n «n 7 0 5 /8 E strib o s 0 3 / 8 colocados e n form a de e sp iral con u n a s ep a ra c ió n de: 75m m e n los 1 .20 m su p e rio re s y 16 d iám etros d e la b a rra lo n g itu d in al (0.25 p a ra este caso) a lo largo d e la z o n a reforzada. Figura 8.47 Con el m ism o c rite rio y a u tiliz a d o de a d o p ta r u n e sp e so r d e la z a p a ta de m anera q u e el re fu e rz o a c o lo c a r sea a p ro x im a d a m e n te el m ín im o , se 0.60 Figura 8.46 C ab e a d v e rtir q u e esta so lu c ió n d e d iseñ o , q u e c o rre s p o n d e a u n a de las a lte rn a tiv a s m ás u tiliz a d a s en n u e stro m ed io , es só lo p o sib le en aquellos ca so s e n q u e se v e rifiq u e el c u m p lim ie n to d e las p re m isa s e x p re s a d a s arriba. 2) D iseñ o d e la za p ata: obtiene p a ra p = 0.0 0 2 5 : h = 1.00 m y d = 0.84 m. .-. A s = 0 .0 0 2 5 * 2 .4 0 * 0 .8 4 = 0 .0 0 5 0 4 0 m 2 A s m ín im a = 0 .0 0 2 0 * 2 .4 0 * 1 .0 0 = 0 .0 0 4 8 0 0 m 2 D im e n sio n a m ie n to en planta: A rm a d u ra : 18 (j) 3 /4 ” c /0 .13 m en ca d a d irec ció n . E s u n a fu n c ió n del n ú m ero d e p ilo te s, d e su d iá m e tro y su se p a ra c ió n y en c ierto m o d o in d e p e n d ie n te de la fo rm a y ta m a ñ o d e la co lu m n a. 498 499 Capítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I £n el p re se n te p ro b lem a , la in te rp o la c ió n c o n re sp e c to a la sec c ió n re siste n te en cad a c a so d e la v e rific a c ió n , se p u e d e re s u m ir en el e sq u e m a q u e a p a rec e en la fig u ra 8 .49, en d o n d e la re a c c ió n d el p ilo te q u e e sté d pii0te/2 = 0 .3 0 m o más d e n tro de la s e c c ió n no se tien e en c u e n ta co m o p ro d u c to ra d e co rta n te en esa s e c c ió n y la re a c c ió n d el p ilo te q u e e stá dPiiote/2 = 0 .3 0 m o m ás p o r fuera d e la s e c c ió n se c o n sid e ra en su to ta lid a d co m o p ro d u c to ra d e co rtan te. D e ta lle d el refu erzo : 2.25 Figura 8.48 C o rtan te: M á s q u e u n d iseñ o , es u n a v e rific a c ió n p a ra la a c c ió n en d o s d ireccio n es y p a ra la a c c ió n co m o v ig a, ig u al q u e en las z a p a ta s a n te rio rm e n te diseñadas. S in e m b a rg o , p a ra te n e r en c u e n ta las p e q u e ñ a s d ife re n c ia s q u e puedan e x istir e n tre los p la n o s y la lo c a liz a c ió n en o b ra d e los pilotes, el R e g la m e n to c o lo m b ia n o c o n tie n e p a ra el c á lc u lo d e l c o rta n te la s siguientes e s p e c ific a c io n e s del A rtíc u lo C. 15.5.4 q u e a c o n tin u a c ió n se tran sc rib e en su s a p a rte s c o rre sp o n d ie n te s: Figura 8.49 De ac u erd o co n la fig u ra , só lo es p o sib le la v e rific a c ió n d el c o rta n te p a ra el denom in ad o c o m p o rta m ie n to en d o s d ire c c io n e s a la d ista n c ia d / 2 d el b o rd e de la co lu m n a. L a in te rp o la c ió n lin eal de la re a c c ió n d e lo s d o s p ilo te s en cada d ire c c ió n re s u lta ra en: a) S e d eb e c o n sid e ra r q u e la re a c c ió n to ta l d e to d o p ilo te co n su centro lo c a liz a d o dpii0te/ 2 o m ás h a c ia al la d o de a fu e ra de la sec c ió n produce c o rta n te en d ich a sec ció n . b) S e d eb e c o n sid e ra r q u e la re a c c ió n de c u a lq u ie r p ilo te c o n su centro lo c a liz a d o dPiiote/ 2 o m ás h a c ia al la d o in te rio r d e u n a se c c ió n no produce c o rta n te en d ic h a secció n . 0 43 P a ra la c o lu m n a en el s e n tid o d e 0.75 : —— * 535 = 3 8 3 .4 2 kN 0 .6 0 P a ra la c o lu m n a en el se n tid o de 0 .4 0 : 0.60 * 535 = 2 4 0 .7 5 kN V (d/2) = 2 * (3 8 3 .4 2 + 2 4 0 .7 5 ) = 1 2 4 8 .3 4 k N c) P a ra las p o sic io n e s in te rm e d ia s d el c e n tro d e l p ilo te, la p arte de la re a c c ió n d el p ilo te q u e p ro d u c e c o rta n te en la se c c ió n d eb e b a sa rse en una in te rp o la c ió n lin eal e n tre el v a lo r to ta l a d Piiote/ 2 h a c ia a fu e ra de la secció n y el v a lo r cero c o rre sp o n d ie n te a d piiote/ 2 h a c ia a d e n tro d e la sec ció n . 500 V = 1 .5 * 1 2 4 8 .3 4 = 1 8 7 2 .5 1 k N (j>Vc =(t)0.17Vf; b 0d d o n d e p = — = 1 -875 0.40 ,1 + P. 501 Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 Cim entaciones 1+ <t>Vc = 0 . 7 5 * 0 .1 7 * V 2 U * * 5 .6 6 * .8 4 * 1 0 0 0 Por lo tan to A 2 / A j = ^ 5 .7 6 /0 .3 0 = 4.38 > 2 1.875 (j,Pnb = 0 .6 5 * (0 .8 5 * 2 1 1 0 0 * 0 .4 0 * 0 .7 5 ) * 2 = 69 9 4 .6 5 kN > Pu (|>VC - 5 7 5 9 .5 6 k N b) L o n g itu d d e d e sa rro llo d el re fu e rz o de la co lu m n a: •• VU<^)VC ctrd (|)VC= * 0 . 0 8 3 ^ v bo +2 b d en d o n d e a r = 40 y <|>VC = 0 .7 5 * 0 .0 8 3 * V 2 U * 4 0 * 0 .8 4 5.66 +2 * 5 .6 6 * 0 .8 4 * 1 0 0 0 <|)VC = 1 0 7 8 6 .1 9 kN ••• V U<^)VC (|)VC = (j)0.33^/fJbod = 0 .7 5 * 0 .3 3 * V 2 U * 0 .8 4 * 5 .6 6 * 1000 <|>VC = 5 4 0 1 .1 2 k N Vu <(t)Vc T ra n s m is ió n d e los e s fu e rz o s d e la c o lu m n a a la zapata: a) R e siste n c ia al ap la sta m ie n to gl so b re sa lie n te e s p e s o r q u e n o rm a lm e n te se o b tie n e en el d ise ñ o d e este tipo de c im en tac io n e s, s u m in is tra u n b u e n m a rg e n en cu a n to a la n e c e sa ria longitud d e an c la je de lo s h ie rro s d e la co lu m n a. E n este caso , u n a b rev e revisión al p ro b le m a 8 . 2 p erm ite c o rro b o ra r lo a q u í ex p resad o . Modelo puntal - tensor M term ino d e la p re se n te s o lu c ió n de cim e n ta c ió n s o b re p ilo te s, en d o n d e la transmisión de la c a rg a de la c o lu m n a a lo s p ilo tes, o v ic e v e rsa , se e fe c tú a por m ed io de la fle x ió n e n el cim ien to , se su g ie re al lecto r u tiliz a r procedim ientos q u e c o m p ru e b e n o lim ite n el d iseñ o p re sen tad o , tal co m o el denominado “m o d e lo d el p u n ta l-te n s o r” , ta m b ié n d e n o m in a d o “m éto d o de las b ie la s ”, d e sc rito en el a p é n d ic e C -A d el R e g la m e n to N S R -1 0 , el cual supone q u e las ca rg as lle g a a las c a b e z a s d e lo s p ilo te s p o r m ed io de u n o s puntales e n c o m p re s ió n q u e se c o n sid e ra n fo rm a d o s d en tro de la za p a ta y que a su v e z re q u ie re n de u n o s tira n te s o te n so re s en la b a se q u e les im p id e n abrirse. P ara el d iseñ o lo s p u n ta le s s o n g e n e ra lm e n te id e a liz a d o s co m o elementos p rism á tic o s e n c o m p re s ió n q u e p u ed e n se r id e a liz a d o s co m o de ancho v aria b le. A c o n tin u a c ió n se p re s e n ta u n a m u e stra d e su funcionam iento co m o u n a s o lu c ió n ad ic io n a l o d e c o m p a ra c ió n p ara el caso de la z a p ata de cu a tro p ilo te s en estu d io : Pu = 3000 kN R e siste n c ia al a p la sta m ie n to en la b a se d e la co lu m n a: <J)Pnb = + ( 0 . 8 5 ^ ) = 0 .6 5 * (0.85 * 2 1 1 0 0 * 0 .4 0 * 0 .7 5 ) = 3 4 9 7 .3 2 kN > Pu R e siste n c ia al a p la sta m ie n to d e la zapata: <t>P„b = <t>(0.85fc'A ,) 7 A 2/ A , < 24>(0.85fr'A ,) J & 4 ____51L50— A 2 = 2 .4 0*2.40 = 5 .76m 2 A 502 Jo a $1 Sección A-A Figura 8.50 503 Capítulo 8 C im entaciones Estructuras de Concreto esfu erzo s so n ig u a le s en to d a s las caras. L a d im e n sió n m ín im a se o b tie n e a p artir del v a lo r fce= k N /m 2: Se tra ta d e e s ta b le c e r u n m o d e lo d e c e rc h a co n p u n tales y tensores c o n e c ta d o s en los n o d o s, c a p a c e s de tra n sfe rir las carg as m ay o rd as a las ca b e z a s de los p ilo te s. L o s n o d o s c o in c id e n co n los ejes de la colum na y de lo s p ilo te s y e stá n lo c a liz a d o s co m o ap a re c e n en la figura. E l m odelo está c o n stitu id o p o r d o s p u n ta le s (A -C y B -C ) y u n ten so r (A-B) y tres nodos (A B y C ). A d ic io n a lm e n te la c o lu m n a y lo s p ilo te s c o rresp o n d en a las re acc io n e s. 17935 La lo n g itu d d e la ca ra h o riz o n ta l en la z o n a n o d a l C c o rre sp o n d e a: onnn^ 1 c = £z la sec c ió n d e la c o lu m n a es de q u e p e rm ite la u b ic a c ió n de la cara. :— 0.75*17935 ^=0.470.40x0.65 La lo n g itu d de la s o tras c a ra s p e rp e n d ic u la re s a lo s p u n ta le s se p u ed e n obtener: 804 * = £2 q u e se p u e d e c o n sid e ra r lo c a liz a d a d e n tro d e la z a p ata L a lo n g itu d de los p u n ta le s = V o . 8 4 2 + 1 .0 6 2 = 1 .3 5 1:— 5 0.75*17935 P Í2 e v 2 ) 2 0 0 0 * 4 24 L a fu e rza de tra c c ió n en los te n so re s = — = ------------:— = 631 kN 16d 1 6 * 0 .8 4 P 1 35 L a fu e rz a en el p u n tal = — * —— = 804 kN 4 0.84 / 084 j E l án g u lo e n tre el p u n tal y el te n so r en el n o d o A = arctg = 38° > 25° 1.06 se g ú n el R eg lam en to . |=0.30 la re siste n c ia efe c tiv a del c o n c re to (fce) para el puntal, a su m ie n d o un puntal de sec c ió n tra n sv e rsa l u n ifo rm e a lo largo de su longitud. Figura 8.51 f ce = 0 .8 5 p ,f c' = 0.85 * 1 .0 0 * 2 1 1 0 0 = 17935 k N /m 2 El cen tro d e la z o n a n o d al esta c e rc a d e la p a rte su p e rio r d e la z a p ata. L a d e term in a ció n del n u d o A c o n firm a su fu n c io n a m ie n to y se d e sa rro lló en este p ro b le m a c o n el p ro p ó sito d e e x p lic a r al le c to r su o b ten ció n . L a re siste n c ia e fe c tiv a del c o n c re to para la zo n a nodal C co rresp o n d ien te a u n a z o n a C -C -C , c o n p n = 1 .0 f ce = 0 .8 5 * 1 .0 0 * 2 1 1 0 0 = 17935 k N /m 2 N odo A L a re siste n c ia en las zo n a s n o d a le s A y B c o rre sp o n d ie n te a u n a z o n a C-CT, co n p n = 0 .8 0 A p a rtir d e fce= 14348, el ta m a ñ o m ín im o d e la ca ra v e rtic a l d e la z o n a n o d al A es: 6 3 1 *1.5 n i_ --------------------------- = 0.15 m 0 .7 5 * 1 4 3 4 8 * 0 .6 0 f ce = 0.85 * 0 .8 0 * 2 1 1 0 0 = 14348 k N /m 2 N odo C El ce n tro d el te n so r se c o lo c a ra a 0.0 7 5 m de la c a b e z a de lo s p ilo tes. A su m ie n d o u n a z o n a n o d al h id ro stá tic a en el nodo C, las c a ra s de la zona n o d al so n p e rp e n d ic u la re s a lo s ejes d e lo s re sp ectiv o s p u n tales y los El an c h o d el n o d o en A. 505 504 i Capítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto — — = 0 .7 5 * 1 4 3 4 8 * 0 .6 0 0 .1 2 para el a n c la je de estas b a rra s se d eb e m e d ir su lo n g itu d d esd e el p u n to q u e corresponde al té rm in o de la z o n a n o d a l e x te n d id a co m o se m u e stra en la m siguiente g ráfica: F igura 8.52 R e siste n c ia d e los p u n tales: L a re siste n c ia n o m in a l a la c o m p re s ió n d e u n p u n ta l lo n g itu d in al; F ns, d eb e to m a rse co m o el m e n o r v a lo r de: sin refuerzo Fns = f ce A es e n lo s d o s e x tre m o s del p u n tal, d o n d e A cs es el á re a de la se c c ió n transversal en u n e x tre m o del p u n tal y fce, es p a ra este caso, la re sis te n c ia e fe c tiv a a la c o m p re sió n en el p u n tal Longitud ex iste n te p a ra el d esa rro llo de las b arras: 0 .0 9 5 + 0 .0 6 + 0 .4 5 .075=0.53 q u e es su fic ie n te p a ra el c a so de b a rra s c o rru g a d a s en tra c c ió n Fns = 1 4 3 4 8 * 0 .6 0 * 0 .3 0 = 2 5 8 3 kN ; que term in an en u n g an c h o están d ar. (j)Fns = 0 .7 5 * 2 5 8 3 = 1938 kN Cimentación sobre cajones: A partir de su fa b ricac ió n , se d istin g u e n d o s cla se s de ca jo n e s: lo s excavados m e c á n ic a m e n te (e stab ilizad o s) y a q u e llo s c u y a e x c a v a c ió n se efectúa d e m a n e ra m an u al. L o s p rim e ro s se co m p o rta n , d e sd e el p u n to de vista de su d ise ñ o y fu n c io n a m ie n to estru c tu ra l, co m o lo s p ilo te s fu n d id o s en sitio q u e se ex p u so an tes, c o n la o b v ia d ife re n c ia q u e im p lic a su g ran sección. R e sp e c to de lo s seg u n d o s, a u n q u e b á sic a m e n te su c o m p o rta m ie n to es igual, e x isten a lg u n a s e s p e c ific a c io n e s de d ise ñ o d irig id a s p rim e ro a su construcción y lu e g o a su trab a jo , q u e se c o m e n ta rá n p o r c o n s id e ra rla s de y se d eb e c u m p lir q u e <j)Fn > Fu en do n d e Fu = 1 .5 * 8 0 4 = 1206 kN R e siste n c ia de los tensores: L a re s is te n c ia n o m in a l de lo s te n so re s se ca lc u la F,„ = A Bf y interés p a ra el lecto r. D e donde : A s 631*1 5 :------= 0 .0 0 5 2 5 8 m 2 0 .7 5 * 2 4 0 0 0 0 506 11 b arras N ” 8 507 Capítulo 8 C im entaciones Estructuras de C oncreto I A d ic io n a l a lo an terio r, los p ila re s e x c a v a d o s a m an o se ju stific a n en a q u e llo s c a so s en q u e los estra to s q u e se d e b e n a tra v e s a r im piden su e x c a v a c ió n m e c á n ic a y su p ro c eso c o n stru c tiv o c o n siste en ex c a v a r tramos de a p ro x im a d a m e n te u n m e tro de p ro fu n d id a d , re v e stir la ex cav ació n con a n illo s d e c o n c re to co n o sin re fu e rz o de a p ro x im a d a m e n te un m etro de lo n g itu d y u n esp e so r en tre 0 .1 0 y 0.15 m y lu e g o re lle n a rla co n un material estru c tu ral c a p a z de re s istir c o m p re sió n , tal c o m o el c o n c re to ciclópeo. La e v e n tu a lid a d de c o lo c a r o no re fu e rz o en lo s a n illo s d ep e n d erá de la h o m o g e n e id a d d e los estra to s a tra v e s a d o s y, d e sd e lu eg o , d e la m agnitud de lo s e sfu e rz o s a q u e se so m e te el a n illo e n fu n c ió n d el te rre n o q u e lo rodea y la p ro fu n d id a d d e los m ism o s; en cu a n to a la c a lid a d d el m a te ria l de relleno ésta se rá u n a fu n c ió n de la c a rg a de la c o lu m n a y p o r c o n sig u ien te de los e sfu e rz o s q u e g en e re. A m a n e ra de ilu stra c ió n de los c o n c e p to s anteriores, se re su e lv e el sig u ie n te p ro b lem a . fc = 0 .1 8 f c u tiliz a b le p a ra co n c re to cicló p eo ; DP = d iá m e tro d e l pilar; P = c a rg a de la co lu m n a. El p eso p ro p io d el pilar, en este caso se c o n sid e ra so p o rta d o p o r la fric ció n c o n el terren o q u e lo ro d ea. • " T) = p 4P _ = y 7 i* 0 .1 8 fc' I D iseñ a r la cim e n ta c ió n so b re u n pilar, p a ra u n a c o lu m n a d e 0 .4 0 x 0.75 m (20 (j) 5 /8 ” de fy = 240 M P a) q u e c a rg a 2 0 0 0 k N , si se g ú n el inform e de su elo s y re c o m e n d a c io n e s de c im e n ta c ió n el e stra to de cim e n ta c ió n está a 15 m etro s de p ro fu n d id a d co n u n a c a rg a d e tra b a jo d e 0.4 MPa, co n sid e ra n d o d en tro d el p ro y e c to la c o lo c a c ió n d e v ig a s de a m arre en ambas V S i se a c e p ta u n d iá m e tro n e to m ín im o , p o r fa c ilid a d co n stru c tiv a , de 1.20 m y se u sa n a n illo s d e e s p e s o r 0 .1 0 m , re su lta ría Dp = 1.40 m. D iá m e tro de la b ase: Problem a 8.11 4*2000 . nn ------------------------ = 1 . 0 0 m 7 1 * 0 .1 8 * 1 4 1 0 0 I P= g ttD 2 —— 4 en do n d e: o = C a rg a d e tra b a jo d el terren o . Db = D iá m e tro de la b ase. d irec cio n es. L o s a n illo s se c o n stru irá n en c o n c re to d e f c = 21.1 M P a y el 14 re lle n o se h a rá en c o n c re to c ic ló p e o c o n fo rm a d o p o r u n 6 0 % de triturado y * 2 0 0 0 = 2 . 5 2 - 2.50 m. 40071 un 4 0 % d e c o n c re to de f c = 14.1 M P a. L a tra n sic ió n e n tre el d iá m e tro de 1.40 m d el p ila r p ro p ia m e n te d ich o y la b a se de 2.50 m d eb e h a c e rs e co n u n a p en d ie n te cu y o á n g u lo co n la Solución E n p rim e r térm in o se d ise ñ a el p ila r p ro p ia m e n te c im e n ta c ió n s o b re el m ism o . d ich o y luego la v e rtic a l n o sea su p e rio r a 30° y re m a ta rse co n u n s e g m e n to v e rtic a l c u y a a ltu ra m ín im a s e a d e 0 .3 0 m . E sta tra n sic ió n y el se g m e n to v e rtic a l se d e b e n re lle n a r c o n c o n c re to de f c = 21.1 M P a. 1) D iseñ o d el pilar: D iá m e tro d el pilar: en do nde: ttD 2 P = fc — - A n illo s: P a ra el c á lc u lo d e lo s e sfu e rz o s de c o m p re sió n , lo s a n illo s se c o n sid e ra n co m o u n tu b o de p ared d e lg a d a en el cu a l la p re s ió n es u n a fu n c ió n d e la p ro fu n d id a d , d el tip o d e terren o y d e la s o b re c a rg a q u e a 509 1 Estructuras de C oncreto I Capítulo 8 C im entaciones n iv el su p e rfic ia l se c o n sid e re a p lic a d a s o b re el m ism o . E stas tres c o n s id e ra c io n e s se re su m e n en la ex p resió n : ■■■ P „ = Y k Ah + w k A en donde: f - ch * p 2t do nde: y = 1 8 k N /m 3 Ka = 1/3 Ph = p re s ió n en el a n illo a la p ro fu n d id a d co n sid erad a: h = 13.75 m t = e sp e s o r del an illo ; w = 3 k N /m 2 DP = d iá m e tro d el pilar. Ph = 1 8 * 1 /3 * 1 3 .7 5 + 3 * 1 / 3 = 83.5 k N /m 2 E n el c á lc u lo de la p re sió n en el an illo , ad e m á s d e la p ro fu n d id a d y de la s o b re c a rg a so b re el te rre n o q u e s o n e sp e c ific a c io n e s d el proyecto, in te rv ie n e n el p eso u n ita rio y d el te rre n o y la c o n sta n te de em puje ac tiv o k A q u e d eb e m o s e x tra c ta r del in fo rm e d e su elo s y re c o m e n d a c io n e s d e cim en tac ió n . w w R eem p laz an d o en fc: 8 3 .5 * 1 .4 0 c = 5g4 5 k N /m 2„ 0 58 M Pa 2*0.10 P or tan to , lo s a n illo s se h arán en c o n c re to de f c= 2 1 .1 M P a, 0 .1 0 m de esp e so r y en p rin c ip io sin n in g ú n re fu erz o . N o o b stan te, se re c o m ie n d a co n sid e ra r la p o sib ilid a d d el re fo rz a m ie n to d e lo s a n illo s en to d o s los caso s p a ra p re v e n ir la p o sib ilid a d de u n e m p u je d ife re n te en u n an illo con p ro d u c c ió n d e fle x ió n y p o r tan to d e e sfu e rz o s de tra c c ió n en el anillo. 2). C im e n ta ció n s o b re el pilar: P ara este p ro p ó sito se u tiliz a n u n o o d o s de lo s a n illo s su p e rio re s del pilar, re lle n á n d o lo s c o n c o n c re to de = 2 1 .1 M P a y d e sd e lu eg o de a c u erd o a d e te rm in a n te s tales co m o el ta m a ñ o de la c o lu m n a o co lu m n as q u e se cim ie n ta n y la m a g n itu d d e la lo n g itu d de an claje n ec esaria p a ra q u e lo s h ierro s de la c o lu m n a tra n sm ita n su c a rg a al pilar. E n el p ro b le m a se c o n sid e ra su fic ie n te la u tiliz a c ió n d e u n so lo anillo p o r el ta m a ñ o d e la c o lu m n a y p o rq u e la lo n g itu d de d esa rro llo de las b a rra s en c o m p re sió n d e d iá m e tro <j) 5 /8 ” d e la m ism a, es m ás que su ficien te. S ó lo a m a n e ra d e re p a rtic ió n d e la c a rg a de la c o lu m n a en el Figura 8.54 510 511 Capítulo 8 C im entaciones E structuras de C oncreto I p ila r se re c o m ie n d a la c o lo c a c ió n d e u n a p a rrilla (j) 3 /8 ” c/0.15 m en el D etalle: fo n d o d el a n illo u tiliz a d o p a ra la c im e n ta c ió n . Notas: 1. E n alg u n o s casos, p o r c o n s id e ra c io n e s esp e c ia le s, co m o la localización d el p ila r en la p la n ta d e la e d ific a c ió n o la m a g n itu d de los esfuerzos d e b id o s a u n sism o , es n e c e sa rio c o m p ro b a r el fu n c io n a m ie n to del pilar p a ra e sto s efecto s. E n este caso , su c o m p ro b a c ió n d eb e efectu arse como u n a c o lu m n a d e c o n c re to sim p le p a ra la c o n d ic ió n m ás desfavorable d ep e n d ie n d o d e la d ire c c ió n en q u e a c tú a el sism o . E n el problema p re se n ta d o , si se s u p o n e lo c a liz a d o en el in te rio r de la construcción y a m a rra d o p o r v ig a s en las d ire c c io n e s, el d ise ñ o presentado es d e m o stra b le co m o su ficien te . 2. E s im p o rta n te v e rific a r los e sfu e rz o s de co rte e sp e cificad o s por el in g e n ie ro a se so r d e su e lo s y fu n d a cio n es. 3. Si el d iá m e tro d e la b a se re su lta m u y su p e rio r al d el p ila r propiam ente d ich o , se a c o stu m b ra a d ic io n a r u n a p a rrilla d e re fu e rz o en el fondo con el p ro p ó sito de re p a rtir los e sfu e rz o s d e c o m p re sió n y so lu cio n ar las tra c c io n e s q u e p o d ría n in d u c irse p o r ca u sa d el v o la d iz o a llí form ado. Figura 8.55 F in a lm e n te , en el asp e cto d e lo s d e ta lle s p a ra la co n stru c ció n , se d eb e c o n tar co n la a se so ría d el in g e n ie ro de su e lo s y fu n d a c io n e s p a ra la s o lu c ió n d e lo s asp e c to s q u e le co rre sp o n d a . E n el cad o de u n n iv el freático su p e rfic ia l se d eb e p ro v e e r a lo s an illo s d e lo s d e ta lle s re q u e rid o s p a ra su fa b ric a c ió n y u tiliza ció n . 512 513 Estructuras de C oncreto I Capítulo 9 M uros de C ontención Capitulo 9 MUROS DE CONTENCION Capítulo 9 M uros de C ontención E structuras de C oncreto I M UROS DE CONTENCION Son e le m e n to s e s tru c tu ra le s d ise ñ a d o s p a ra c o n te n e r m a te ria le s. D e u so m últiple en in g en iería , se u tiliz a n e n c a rre te ra s a m e d ia lad era, en ed ific acio n es co n stru id a s en te rre n o s co n d ife re n c ia s d e n iv el, en so p o rte s de tu b ería s e in sta la c io n e s esp e c ia le s, etc... D e p en d ien d o d e su fu n c io n a m ie n to y p o r lo tan to d e su p erfil, lo s h a y d e lo s sig u ien tes tipos: a) M u ro s d e g ra v ed ad C om o su n o m b re lo in d ic a s o n e stru c tu ra s c u y a e sta b ilid a d d e p e n d e d e su peso p ro p io . P o r lo tan to , s o n e stru c tu ra s p esa d as, d e g ra n d e s s e c c io n e s que exigen la u tiliz a c ió n d e m a te ria le s p o co c o s to s o s p ara q u e se a n p ra cticab les: esta c irc u n sta n c ia im p lic a q u e en su d ise ñ o se d eb e g a ra n tiz a r q u e n o h ay a esfuerzo s d e tra c c ió n e n n in g u n a de su s seccio n es. En c o n stru c c ió n de ed ific io s, su a ltu ra se lim ita a p e q u e ñ a s c o n te n c io n e s de alturas no m a y o re s a 3 m etro s. 517 Estructuras de C oncreto I b) Capítulo 9 M uros de C ontención M u ro s en v o la d iz o p e a c u e rd o co n el a lc a n c e p re v isto p a ra este tex to , só lo se a n a liz a rá n lo s S o n m u ro s cu y o fu n c io n a m ie n to es el d e lo sas en v o la d iz o co n stru id as en c o n c re to re fo rz a d o co n p e rfil q u e p u e d e s e r “T ” o “L ”. R eem p laz a la e stru c tu ra p e sa d a d el m u ro d e g ra v e d a d p o r u n a e stru c tu ra esbelta s u sc e p tib le de re sis tir e sfu e rz o s d e trac ció n . muros en v o lad izo . llu ros en Voladizo por lo g e n e ra l, están c o n stitu id o s p o r tre s v o la d iz o s, así: E n re a lid a d e sto s m u ro s está n c o n s titu id o s p o r dos o tre s voladizos d e p e n d ie n d o de su p erfil, y su a ltu ra , p o r ra z o n e s p rá cticas, n o d eb e exceder de 6 m etro s. F igura 9.4 Figura 9.2 c) M u ro s c o n c o n tra fu e rte s P a ra g ra n d e s a ltu ra s, los v o la d iz o s típ ic o s d el m u ro a n te rio r se co n v ie rte n en lo sas a p o y a d a s en la b ase y en u n o s c o n tra fu e rte s c o n v e n ie n tem en te e sp a ciad o s. Su fa lla in ic ia l p u e d e o c u rrir p o r v o lc a m ie n to c o n re sp e c to al p u n to A o p or d eslizam ien to a lo la rg o d e su b ase d e su ste n ta c ió n . E l e stu d io d e e stas d o s prim eras c o n d ic io n e s d e fa lla c o n stitu y e el d e n o m in a d o a n á lis is de estabilidad. U n a v e z q u e se h a v e rific a d o q u e el m u ro d e c o n te n c ió n es estable, se p ro c e d e al a n á lis is y d ise ñ o estru c tu ra l d e c a d a v o la d iz o in d iv id u alm en te co n sid e ra d o , e s d ecir, al d e n o m in a d o an á lisis estru c tu ral. En c u a lq u ie ra de lo s d o s ca so s, e s in d isp e n sa b le la ev a lu a c ió n de las fu e rza s que a c tú a n s o b re el m u ro , la s cu a le s se p u e d e n d iv id ir en d o s clases: las fuerzas v e rtic a le s q u e c o rre s p o n d e n al p eso del m u ro , al p eso d el m ateria l contenido, a la s so b re c a rg a s, etc. y las fu e rz a s h o riz o n ta le s que co rresp o n d en al e m p u je d el m a te ria l co n ten id o , d e las so b re c a rg a s, d e lo s requisito s del d ise ñ o sísm ic o re siste n te , etc... Figura 9.3 518 Por el a lc a n c e d el p re se n te tex to , no se ex p lic a rá n las te o ría s p a ra la d eterm in a ció n d e lo s e m p u je s, re m itie n d o al le c to r a lo s e stu d io s de su e lo s y cim en tac io n e s c o rre s p o n d ie n te s y a d ic io n a lm e n te a lo s te x to s d e m e c á n ic a 519 Capítulo 9 M uros de C ontención E s tru c tu ra s de C oncreto I d e su e lo s q u e trata n esto s te m a s y ta m b ié n al títu lo H d el R e g la m e n to NSR1 0 ; ú n ic a m e n te se a c la ra rá el p ro c e d im ie n to u tiliz a d o m ás a d e la n te en el m o d e lo d e d ise ñ o del m u ro p a ra la c o n sid e ra c ió n d e estas fuerzas h o riz o n ta le s, así: E n este caso p ' = w k A y p o r co n sig u ien te: E ' = w k Ah E l e m p u je d el co n g lo m e ra d o co n te n id o se a s im ila a u n em p u je hidrostático; p o r tan to , p a ra u n a a ltu ra h, la p re sió n vale: A lgun o s a u to re s asim ila n la so b re c a rg a a p lic a d a s o b re el re lle n o a u n a so b realtu ra d el m ism o re lle n o , d e a c u e rd o c o n la sig u ie n te figura: Ph = y k Ah h' en do n d e: y = kA = 5 <t> p e so u n ita rio d el m a te ria l co n ten id o ; fa c to r m e n o r q u e la u n id ad q u e in v o lu c ra v a lo re s de = talud; = án g u lo de fric c ió n in tern a. 5 y <t> \\ ~X~ Ph P(h+h') P o r tan to : Figura 9.7 E = - y k Ah 2 Por tan to : E n la m a y o ría d e los c a so s se p re se n ta u n a s o b re c a rg a a p lic a d a so b re el m ateria l co n ten id o : p ' = p h. = w k A = y k Ah ' de do n d e: h' = w y 520 521 Capítulo 9 M uros de C ontención Estructuras de C oncreto I y d o n d e h ' es la s o b re -a ltu ra e q u iv a le n te a la so b re c a rg a ap licad a. L ueg ° P,h-h-| = YkA ( h + h ') y p re sió n de tierras, e sta d o ac tiv o k A = 0 .3 3 c o n sid e ra n d o u n talu d h o rizo n ta l. El te rre n o de fu n d a c ió n es, ta m b ié n d e a c u e rd o al e stu d io a rrib a citad o , de la m ism a n a tu ra le z a q u e el m a te ria l d e re lle n o y c o n las sig u ie n te s ca ra c te rístic a s a d icio n a le s: c a p a c id a d p o rta n te a = 0.1 M P a y c o e fic ie n te de fric ció n co n el co n c re to d e la b a se f = 0.50. S e d eb e u tiliz a r c o n c re to E t = | Yk A ( h 2 + 2 h h ') de f c = 2 1 .1 M P a y re fu e rz o p a ra f y = 2 4 0 M P a. ap lic a d o en el ce n tro d e g ra v e d a d de u n tra p e c io d e p re sio n e s. Solución S in em b arg o , el p ro c eso n o rm a l d e u n d ise ñ o c o m ie n z a co n la su p o sició n de las d im e n s io n e s d el m uro, las cu a le s se v e rific a rá n co n lo s an á lisis de esta b ilid a d y e stru c tu ral; a c o n tin u a c ió n se tra n sc rib e u n a de las guías u su a le s p a ra este p ro c e d im ie n to , en el caso en q u e co m o el del p ro b lem a 9 .1 se a a p lic a b le , co n la n e c e sid a d d e a ju sta rla en ca d a caso p articu lar: S egún lo a n te rio rm e n te e x p u e sto , in ic ia lm e n te se d im e n sio n a el m u ro y luego se v e rific a este d im e n sio n a m ie n to a p a rtir d e lo s a n á lisis de estab ilid ad y estru c tu ral. 1) P re d im e n sio n a m ie n to Se u tiliz a la g u ía a n u n c ia d a tra b a ja n d o co n alg u n a h o lg u ra d e p e n d ie n d o de la m a g n itu d d e la estru c tu ra. w ri \ \ _\J .25 \ \ * Ps / \/ 4 .05 A c o n tin u a c ió n u n m o d e lo d e u n m u ro d e c o n te n c ió n en v o lad izo . Problem a 9.1 4.50 P+K /P4\ + 0 .5 0 D is e ñ a r u n m u ro d e c o n te n c ió n en v o la d iz o p a ra u n a a ltu ra d e 4 .5 0 m etros d e te rm in a d a a p a rtir d e las co ta s a rq u ite c tó n ic a s d el p ro y e c to y de la n e c e sid a d d e c im e n ta r el m u ro so b re un e stra to a p ro p ia d o . El relleno co n te n id o se rá u n m a te ria l s e le c c io n a d o s u sc e p tib le d e se r co m p actad o , so m e tid o a u n a so b re c a rg a q u e se e stim a en p n m ín im o d e 10 k N /m 2 y de las sig u ie n te s c a ra c te rístic a s s e g ú n el e stu d io d e su e lo s c o rre sp o n d ie n te : peso v ~i rsü & M i __L .....- ........ 0 .4 5 v \ L ^ 1 .0 0 Ai- A i 1.55 0.45 3 .0 0 u n ita rio y = 18 k N /m 3, án g u lo d e fric c ió n in te rn a <|> = 30° y c o e fic ie n te de Figura 9.9 522 523 Capítulo 9 M uros de C ontención E s tru c tu ra s de C oncreto I A u n q u e la d ife re n c ia d e co tas d el p ro y e c to q u e a m e rita la c o lo c a c ió n del m u ro d e c o n te n c ió n es d e 3 .5 0 m e tro s (+ 0 .5 0 a + 4.00), se su p o n e que la lo c a liz a c ió n del e stra to p o rta n te o b lig a a c im e n ta r el m u ro a u n nivel de E l b ra zo d e este e m p u je c o rre sp o n d e al c e n tro id e d el tra p e c io de p re sio n e s ad ju n to : - 0 .5 0 m p a ra u n a a ltu ra to tal d e 4 .5 0 m . N o se tien e en c u e n ta la carg a del re lle n o s o b re la b ase p o r su p o sib le c a rá c te r d e tem p o ra l, e sta n d o dentro de la s e g u rid a d p o r s e r ésta u n a c a rg a e sta b iliz a n te . 2) A n á lisis de e sta b ilid a d 1.65 C o n te m p la d o s asp e cto s: el del v o lc a m ie n to c o n re sp e c to al p u n to A y el del d e sliz a m ie n to a lo la rg o de la b ase d e su ste n ta c ió n p (h + h ') F igura 9.10 a) V o lc a m ie n to E n donde: E v a lu a c ió n d e las ca rg as v e rtic a le s y su m o m e n to c o n tra v o lcam ien to co n re sp e c to al p u n to A: Brazo (A) (m) Cargas (kN) Pi = P2 = P3 = P4 = P5 = 1/2*0.20*4.05*1.00*24 = 0.25*4.05*1.00*24 0.45*3.00*1.00*24 1.55*4.05*1.00*18 1.55*1.00*10 Totales 9.72 24.30 32.40 113.00 15.50 194.92 1.130 1.325 1.500 2.225 2.225 M om ento (kN-m) 10.98 32.20 48.60 251.43 34.49 377.70 E v a lu a c ió n d e la s c a rg a s h o riz o n ta le s y su m o m e n to de v o lcam ien to c o n re sp e c to al p u n to A: S e u tiliz a a q u í el p ro c e d im ie n to d e a s im ila c ió n d e la so b re carg a a p lic a d a so b re el re lle n o a u n a s o b re a ltu ra d el m ism o re lle n o , la cual se ca lc u la así: w 10 h' = = = 0 .5 6 m . P o r tanto: y 18 E, = - t y k A ( h z + 2 h h ') = —* 1 8 * 0 .3 3 * ( 4 .5 0 2 + 2 * 4 .5 0 * 0 .5 6 ) 2 2 p ' = y k Ah ' = 1 8 * 0 .3 3 * 0 .5 6 = 3 .3 3 k N /m 2 P(h+h) = ykA(h + h') = 1 8 * 0 .3 3 * ( 4 .5 0 + kN/m2 4 .5 0 * 3 0 .0 6 + 2 * 3 .3 3 . .. B ra z o = -------* ------------------------ = 1.65 m 3 3 0 .0 6 + 3.33 M a = 7 5 .1 1 * 1 .6 5 = 12 3 .9 3 kN -m El fa c to r de s e g u rid a d al v o lc a m ie n to se r á : a = 3 7 7 . 7 0 / 1 2 3 . 9 3 = 3 .0 5 el cu al d eb e se r m a y o r o ig u al a 3.0. A d ic io n a lm e n te , el m u ro p u e d e v o lc a rs e si el estra to d e so p o rte b a jo la b a se de s u s te n ta c ió n fa lla ra; lu eg o se d eb e v e rific a r q u e las re a c c io n e s d el te rre n o b a jo e sta b a se e sté n d e n tro de lím ites ad m isib le s. L a su m a d e m o m e n to s c o n re sp e c to a A resu lta: XM a = 3 7 7 . 7 0 - 1 2 3 . 9 3 = 2 5 3 .7 7 kN -m P u n to d e a p lic a c ió n de la re su lta n te co n re sp e c to al p u n to A: x A= £M A XFv 2 5 3 7 ^ = 1.30 m 1 9 4 .9 2 E, = 75.11 kN 524 0 .5 6 ) = 3 0 .0 6 525 Capítulo 9 M uros de C ontención Estructuras de C oncreto I lo cual sig n ific a q u e la re su lta n te cae d e n tro d el te rc io m ed io de la base P o r tan to , las re a c c io n e s d el te rre n o serán : _^máx ^mín — Z F v fi± 6e BL L B = 1.0 m ; aür = , en donde: L = 3.0 m; 194.92 ( 1 .0 0 * 3 .0 0 e = — 2 - 1 . 3 0 = 0 .2 0 m. 6 * 0 .2 0 ^ 3.00 = 9 0 .9 6 k N /m 2 a mín = 3 8 .9 8 k N /m 2 C o n u n a re a c c ió n m á x im a d el te rre n o de 9 0 .9 6 k N /m 2 se d eb e co n c lu ir que la b ase y el taló n del m uro, q u e en la v e rific a c ió n d el v o lc a m ie n to parecían u n tan to h o lg a d o s, p o r este co n c e p to d el tra b a jo d el te rre n o e stá n apenas d e n tro d el lím ite a d m isib le . P o r tan to , este fa c to r de la in flu e n c ia del terreno es d e g ra n im p o rta n c ia en el c rite rio d e a p lic a c ió n de la g u ía de p re d im e n sió n . b) fric ció n en tre el c o n c re to y el te rre n o en la llav e y el taló n , y d e fric c ió n entre el te rre n o y el te rre n o a n te s de la llav e, y a q u e el d e sliz a m ie n to im p lic a la ro tu ra d el su elo . L a v a lo ra c ió n d e lo q u e d e n o m in a m o s fric c ió n e n tre el terren o y el te rre n o co n ro tu ra d el te rre n o d eb e se r c o n su lta d a c o n el in g en iero d e s u e lo s y fu n d a c io n e s y p a ra el p ro b le m a q u e n o s o c u p a la h em o s c o n sid e ra d o co m o ta n g e n te 3 0 ° p o r la c o rre sp o n d ie n te re acc ió n . P o r o tra p arte, se p u e d e c o n sid e ra r u n e m p u je p a siv o d el te rre n o d e la n te d e la llav e y se p u e d e e x te n d e r a c o n sid e ra rlo d e la n te de la b ase sie m p re q u e se p u ed a g a ran tizar, e x p re sa m e n te p o r el c o n stru c to r, q u e el te rre n o d e la n te de esto s e le m e n to s n o se rá re m o v id o y ta m p o c o se rá a lte ra d o d u ra n te la c o n stru c ció n d e la estru c tu ra . P a ra el c á lc u lo d el e m p u je p a siv o se d eb e, tam b ién , c o n su lta r c o n el in g e n ie ro d e su e lo s y fu n d a c io n e s so b re las p o sib les a lte rn a tiv a s d el d ise ñ o (base y llav e o so lo llave) y la e v a lu a c ió n y a d o p c ió n del lla m a d o K P, c o e fic ie n te de p re sió n de tie rra s, e sta d o p asiv o . P ara el p re s e n te caso se su p o n e ig u al a 3 , y d e a c u e rd o co n la fig u ra 9 . 1 1 se calcula: s a_b = 3 8 .9 8 + R j R D e sliz a m ie n to = 2 = 3“ * (9 0 -9 6 -3 8 .9 8 ) ^ (7 3 .6 3 + 9 0 .9 6 ) * 1.00 * 1.00 1 (38.98 + 73.63)* 2.00 7 3 .63 k N /m 2 = 8 2 .3 0 kN = 112.61 kN *1.00 2 L a v e rific a c ió n p o r este c o n c e p to c o n siste en o b te n e r el fa c to r d e seg u rid ad re su lta n te d e la o p o sic ió n e n tre la fu e rz a d e fric ció n en la b ase de su s te n ta c ió n y la c o m p o n e n te h o riz o n ta l d el em p u je. XFv F = fu e rz a d e fric c ió n = f £ F v = 0 .5 0 * 1 9 4 .9 2 = 9 7 .4 6 kN E l fa c to r d e se g u rid a d al d e sp la z a m ie n to se rá d e p = q u e e stá p o r d eb a jo d e = 2 .0 = 1.28 q u e se c o n s id e ra el m ín im o p a ra esta co n d ició n . L a s o lu c ió n a este p ro b le m a e stá en la c o n stru c c ió n d e u n a ‘lla v e ’ o p ro lo n g a c ió n d el m u ro p ro p ia m e n te d ic h o p o r d e b a jo d e la b a se y el talón. E n este caso , el fu n c io n a m ie n to co n re sp e c to al d e sliz a m ie n to se rá de 526 Figura 9.11 527 = 194.91 kN Capítulo 9 M uros de C ontención E structuras de C oncreto I n " 0 .5 0 * 1 1 2 .61 + t g 30° * 8 2 .3 0 + ^ * 18 * 3 .0 0 * h^ave+baie) _ P ' 75.87 h (llave+base) —1-33 m P a ra un e sp e so r d e la b a se d e 0.45 m y ad o p ta n d o u n a p ro fu n d id a d de la llav e de 0 .9 0 m , se o b te n d rá u n p > 2.0 q u e es lo q u e se b u sca. P or su d im e n sió n y carg as, en este e je m p lo n o es n e c e s a ria la re v isió n d e la llave p a ra c o rta n te y flex ió n . P ara o tro s c a so s se re c o m ie n d a al le c to r tener en c u e n ta esta p o sib ilid ad . Figura 9.12 F in a lm e n te se c o n c lu y e , a p a rtir d el e stu d io de e stab ilid ad , que la p re d im e n sió n es co rrec ta ; en caso co n tra rio se d eb e a ju sta r las dim ensiones y v o lv e r a an a liz ar. 3) C o rtan te: V a c = 6 2 .0 9 kN ; Vu = 1 .5 * 6 2 .0 9 = 9 3 .1 4 kN <t>Vr = <|>0.17^Cbd = 0 .7 5 * 0 .1 7 * y Z T l * 1.00 * 0 .3 6 * 1000 = 2 1 0 .6 8 kN A n á lisis estru c tu ra l Se a n a liz a n los tre s v o la d iz o s, el d el m u ro p ro p ia m e n te d ich o , el d e la base y el d el talón, así: V„ < 4»VC F lex ió n : M a_c = 4 8 .7 2 * 1 * 4 .0 5 + 1 3 .3 7 * 1 * 4 .0 5 = 9 2 .8 4 kN -m a) M u ro 3 3 (J)Mn = 1 .5 * 9 2 .8 4 = 139.26 kN -m Se ev a lú a n las c a rg a s h o riz o n ta le s co m o la c o n g lo m e ra d o y de la so b re c a rg a so b re el m ism o . su m a de p re sio n e s del p = 0 .0 0 5 1 8 4 ; A s re p a rtic ió n = E = —y k Ah 2 = —* 1 8 * 0 .3 3 * 4 .0 5 2 = 4 8 .7 2 kN E ' = w k Ah = 1 0 * 0 .3 3 * 4 .0 5 = 1 3 .3 7 kN 2 1 A 2 A s = 0 .0 0 1 8 6 6 m 2/m 0 .0 0 2 0 * 1 .0 0 * 1 /2 * (0 .2 5 + 0.45) = 0 .0 0 0 7 r n / m A rm a d u ra lo n g itu d in a l:d e l la d o d el re llen o : d el la d o ex terio r: E to tal <j) 3/4 c /0 .1 5 <j) 3 /8 ” c /0 .2 0 = 6 2 .0 9 kN A rm a d u ra tra n sv e rsa l: d el lad o del re llen o : d el la d o e x terio r: 528 529 (j) 3/8 c /0 .2 0 <j> 3 /8 ” c /0 .2 0 Capítulo 9 M uros de C ontención E structuras de C oncreto I P or tan to , la fle x ió n de este v o la d iz o será h a c ia arrib a co n a rm a d u ra de trac ció n ab ajo . P ara la fle x ió n y el c o rta n te se re sta d el d ia g ra m a de re a c c io n e s d el terren o el p e so p ro p io de la b a se q u e se a p o y a so b re el m ism o terren o . C o rtan te: Va_5 = 0 .1 5 0 .1 5 1 (90.96 + 7 3 .6 3 )* 1.00 - 0 . 4 5 * 1 .0 0 * 24 = 7 1 .5 0 kN 2 0 .1 5 V u = 1 .5 * 7 1 .5 0 = 107.25 kN 0 .1 5 0 .1 5 0 .1 5 <t>vc = <t>0.17Tf;bd = 0 . 7 5 * 0 . 1 7 * , / 2 n * 1 . 0 0 * 0 . 3 6 * 1 0 0 0 = 2 1 0 .6 8 kN Figura 9.13 V„ < <t>Vc E n el e sq u e m a d e c o lo c a c ió n d el re fu erz o , se o b se rv a q u e tra tá n d o se de una c a rg a trap e z o id a l y p o r lo tan to d e u n d ia g ra m a de m o m e n to s en fo rm a de p a rá b o la de te rc e r g rad o , es p o sib le d iv id ir la a ltu ra del m u ro en dos o tres p a rte s d ism in u y e n d o la a rm a d u ra en u n o o d o s te rc io s o a la m itad , se g ú n el caso. F lex ió n : M a_b = 7 3 .6 3 * 1 .0 0 * L ° ° + 1 ( 9 0 .9 6 - 7 3 .6 3 )* 1 .0 0 * 2 *1 .0 0 2 2 3 - 0 .4 5 * 1.00 * 24 * b) V o la d iz o d e la base 1 00 2 = 3 7 .2 0 kN -m 4>Mn = 1 .5 * 3 7 .2 0 = 5 5 .8 0 kN -m E stará so m e tid o al sig u ie n te e sq u e m a de ca rg as, estan d o d e n tro de la se g u rid a d al no te n e r en c u e n ta el p eso d el re lle n o s o b re la base: p = 0 .0 0 2 0 2 1 ; A s = 0 .0 0 2 0 2 1 * 1 .0 0 * 0 .3 6 = 0 .0 0 0 7 2 8 m 7 m A s m ín im a = 0 .0 0 2 0 * 1 .0 0 * 0 .4 5 = 0 .0 0 0 9 m 7 m A rm a d u ra : <f>3/4" c/0 .3 1 5 abajo. Se e stá d e n tro de la se g u rid a d si se d o b la u n a de d o s b a rra s del re fu e rz o del m uro lle v á n d o la en el v o lad izo . gO.gókN/m2 R esp ecto d e la a rm a d u ra o rto g o n a l a la an terio r, só lo se c o lo c a rá n u n o s p asa d o res co n stru c tiv o s. V é a s e el d e ta lle d el refu erzo . 3 8 .g 8 k N /m a .-b = 7 3 .6 3 k N /m 2 Figura 9.14 530 531 Capítulo 9 M uros de C ontención Estructuras de C oncreto V = 1 .5 * 6 4 .0 0 = 9 6 .0 0 kN <j)Vc = < j> 0 .1 7 ,/f+ d = 0 .7 5 * 0 .1 7 * V 2 L 1 * 1 .0 0 * 0 .3 6 * 1 0 0 0 = 2 1 0 .6 8 kN Vu < 4>VC F lexión: M, = 1 2 8 .5 0 * 1.55 3 8 .9 8 * 1 .5 5 z 1 + -^ - (6 5 .8 4 - 3 8 .9 8 ) *1.55 F igura 9.15 c) 1 1 55 * - * 1 . 5 5 - 0 . 4 5 * 1 .5 5 * 2 4 * — 3 2 V o la d iz o del taló n E sta rá so m e tid o al sig u ie n te e sq u e m a d e c a rg as, p re d o m in a n d o m uy p ro b a b le m e n te las ca rg as d el re lle n o h a c ia ab a jo , p o r lo q u e la flex ió n de este v o la d iz o será h a c ia ab ajo , c o n a rm a d u ra d e tra c c ió n arriba. 4>Mn = 1 .5 * 5 4 .9 8 = 8 2 .4 7 kN -m T a m b ié n p a ra la fle x ió n y el c o rta n te re sta m o s d el d ia g ra m a d e reacciones d el te rre n o el p eso p ro p io del taló n q u e se a p o y a so b re el m ism o terreno. A rm ad u ra: p = 0 .0 0 3 0 0 6 - = 5 4 .9 8 kN -m A s = 0 .0 0 3 0 0 6 * 1 .0 0 * 0 .3 6 = 0 .0 0 1 0 8 2 m 2/m <J>5 /8 ” c /0 .1 8 arrib a C o m o a rm a d u ra o rto g o n a l a la a n te rio r só lo se co lo c a rá n u n o s p a sa d o re s c o n stru c tiv o s. V é a se el d etalle d el refu erzo . (9 0 .9 6 —38.98) *1.55 cjc-e - 38.98 + TOO cjc_e = 6 5 .8 4 k N /m Figura 9.17 C o rtan te, se g ú n fig u ra 9.16: 1 Vc_e = 1 1 3 .0 0 + 1 5 .5 0 - - ( 6 5 .8 4 + 3 8 .9 8 ) * 1 .5 5 - 0 .4 5 * 1 .5 5 * 2 4 = 64.00 kN 532 533 Capítulo 9 M uros de C ontención Estructuras de C oncreto I 4) E n o c a sio n e s, la u b ic a c ió n d el m u ro d e c o n te n c ió n se p re s e n ta de a c u e rd o a la fig u ra 9 .1 9 . E n este caso, d eb e o b te n e rse la d e fin ic ió n del án g u lo d e tra n sm isió n d e la s o b re c a rg a en el re lle n o so b re el cu a l actúa; D e ta lle d el re fu erz o 0.2 5 0 .125 si se ac e p ta a 45°, co m o en el e sq u e m a ad ju n to , su in c id e n c ia s o b re el m u ro se p re se n ta rá a p a rtir d e la lín ea p u n te a d a . L o s d em ás p ará m e tro s de d ise ñ o se rá n s im ila re s al m o d e lo p re se n ta d o te n ie n d o en c u e n ta que d eb e tra b a ja rse p a ra flex ió n y c o rta n te en el m u ro p ro p ia m e n te d ich o co n las co m p o n e n te s h o riz o n ta le s d e lo s em p u je s d eb id o s al re lle n o y a la s o b re c a rg a so b re el m ism o . Sobrecarga 1.35 0 .125 2 .5 2 5 F igura 9.18 Notas 1 Figura 9.19 E n la a u se n c ia de lim ita c io n e s de esp a cio , se p u ed e d ism in u ir el re fu e rz o lo n g itu d in a l del lad o d el re lle n o a u m e n ta n d o el esp e so r del m u ro p ro p ia m e n te d ich o ; sin e m b arg o , se d eb e s e r p ru d e n te en este a u m e n to p u e sto q u e c o n lle v a u n a u m e n to en el e sp e so r d e la b ase y el taló n q u e co n la d im e n sió n a c tu a l tra b a ja n c o rre c ta m e n te . L a g u ía de p re d im e n sió n a q u í u tiliz a d a re s u lta u n p o co in su fic ie n te en este aspecto p a ra m u ro s d e c o n te n c ió n co n a ltu ra su p e rio r a 3 .5 0 m. 534 535 Estructuras de C oncreto I Capítulo 10 Edificios en Estructura de C oncreto Reforzado Capítulo 10 E d if ic io s e n e s t r u c t u r a DE CONCRETO REFORZADO Estructuras de C oncreto I Capítulo 10 Edificios en Estructura de C oncreto R eforzado C o m o c a p ítu lo fin al de este p rim e ro y b re v e re c o rrid o p o r lo s e le m e n to s e stru c tu ra le s de c o n c re to re fo rz a d o , se p re s e n ta u n a e n u m e ra c ió n de lo s p aso s a s e g u ir en el d ise ñ o d e las e s tru c tu ra s d e este m ateria l c u a n d o h a c e n p arte d e e d ific io s p a ra u so m ú ltip le , en u n to d o d e ac u e rd o al R e g la m e n to c o lo m b ia n o N S R -1 0 , só lo p a ra a q u e lla s e s tru c tu ra s en d o n d e lo s c o n c ep to s an tes e n u n c ia d o s se a n a p lic a b le s. P o r tan to , n o cu b re las c o n stru c c io n e s a b ase d e m u ro s de c a rg a o m a n ip o s te ría e stru c tu ra l, co n c re to p re e sfo rz a d o , acero e stru c tu ra l y to d a s a q u e lla s e s tru c tu ra s c u y o s m a te ria le s no c o rre sp o n d e n a lo s d e sc rito s en el p re s e n te tex to y q u e m u y seg u ra m e n te h ac en p a rte de o tro s c u rso s d e s a rro lla d o s p a ra le la m e n te d en tro del p én su m de In g e n ie ría C iv il en la U n iv e rsid a d N a c io n a l d e C o lo m b ia. E l au to r c o n sid e ra q u e es su fic ie n te la s o la e n u m e ra c ió n de lo s p a so s a seg u ir, en v ista d e q u e el p re se n te tex to v a p rim o rd ia lm e n te d irig id o a lo s e stu d ia n te s de u n p rim e r cu rso d e e s tru c tu ra s d e c o n c re to re fo rz a d o , d e n tro del cu al d eb e n e la b o ra r en su to ta lid a d p la n o s y m e m o ria s ju s tific a tiv a s c o m p le ta s de un p ro y e c to e stru c tu ra l p a ra u n ed ific io p lan tea d o , d irig id o en su d ise ñ o y re v isa d o p o r el p ro fe s o r re sp e c tiv o y , p o r c o n sig u ie n te , co n m u ch as o p o rtu n id a d e s p ara c o m e n ta r y a m p lia r lo s c o n c e p to s d e la e n u m e ra c ió n m en cio n a d a. Procedim iento de diseño de edificaciones nuevas: 1. P re d im e n sió n A p a rtir d el a n te p ro y e c to a rq u ite c tó n ic o y u n a v e z e s ta b le c id a la lo c a liz a c ió n de lo s e je s e stru c tu ra le s, se e sc o g e rá la e stru c tu ra m ás a p ro p ia d a a p a rtir de c o n sid e ra c io n e s ta le s co m o lu ces, re siste n c ia a carg as v e rtic a le s y h o riz o n ta le s, c a lid a d d e lo s m a te ria le s a e m p lea r, fa c ilid a d d e su c o n se c u c ió n y c o n stru c c ió n , in flu e n c ia del tip o de su e lo y c la se de cim e n ta c ió n y la p re s e n c ia d e c o rte s y ta lu d e s q u e in flu y e n e n el c o m p o rta m ie n to d e la e stru c tu ra q u e se d iseñ ará. E n u n a o tra fo rm a , e sto s p ro c e so s d e b e n s e r c o o rd in a d o s co n lo s p ro fe sio n a le s de las á re a s a que co rresp o n d an . A sí, p o r e jem p lo , a p a rtir de lo s ejes e stru c tu ra le s d e la fig u ra s an e x as, p a ra u n ed ific io q u e se c o n stru irá en la ciu d ad d e B o g o tá D .C ., y te n ie n d o en cu e n ta , e n tre o tras co sas, las c o n s id e ra c io n e s an tes e n u n c ia d a s, es p o sib le e s ta b le c e r las tres d istrib u c io n e s e stru c tu ra le s 539 Capítulo 10 Edificios en Estructura de C oncreto Reforzado Estructuras de C oncreto I p re s e n ta d a s p a ra el siste m a d e p ó rtic o , c o n e le m e n to s estru ctu rales p re d im e n sio n a d o s sig u ie n d o los p la n te a m ie n to s d e los c a p ítu lo s anteriores. E s d e a d v e rtir q u e e stas tre s n o so n la s ú n ic a s so lu c io n e s y ad e m á s su e sc o g e n c ia fin al o b e d e c e rá a c o n s id e ra c io n e s a d ic io n a le s s o b re co sto s y se g u rid a d , tie m p o s y fa c ilid a d e s p a ra la c o n stru c c ió n , lo c a liz a c ió n y fyación - L a a m e n a z a s ísm ic a c o rre sp o n d ie n te a lo s p a rá m e tro s A a y A v, o Ad q u e re p re s e n ta n la a c e le ra c ió n h o riz o n ta l pico e fe c tiv a y la v e lo c id a d h o riz o n ta l p ico e fe c tiv a en fu n c ió n de la a c e le ra c ió n d el sis m o de d iseñ o . de d u c to s y tu b ería s, etc. - L a s c a ra c te rís tic a s de la e s tra tific a c ió n d el su elo su b y a c e n te en el sitio p o r m ed io d e lo s c o e fic ie n te s de sitio F a y F v, - El c o e fic ie n te de im p o rta n c ia I y su n e c e sid a d d e p re s e rv a r la co n stru c ció n . 2. S o lic ita c io n e s L as s o lic ita c io n e s v e rtic a le s y h o riz o n ta le s se p u ed e n e v a lu a r d e ac u erd o a lo s sig u ie n te s re q u erim ien to s: L o s m o v im ie n to s sísm ic o s d e d ise ñ o se ex p re sa n p o r m ed io del esp e c tro e lá stic o d e d iseñ o . E l R e g la m e n to c o n tie n e d e sc rip c io n e s a lte rn a tiv a s d el sism o d e d ise ñ o y ta m b ié n se p u ed e n o b te n e r d e los e s tu d io s d e m ic ro z o n ific a c ió n sísm ic a. A p a rtir de lo s m o v im ie n to s sísm ic o s d e d ise ñ o se o b tie n e las fu e rz a s sísm ic a s Fs. C a rg a s m u erta s s e g ú n el C a p itu lo B .3 d el R e g la m e n to y su s s e c c io n e s B.3.2 - M a sa y p e so s de los m a te ria le s, B .3 .3 - c a rg a s m u erta s m ín im as; B .3.4 E le m e n to s n o e stru c tu ra le s y B .3 .5 - E q u ip o s. C a rg a s v iv a s se g ú n el C a p itu lo B .4 y su s s e c c io n e s B .4 .2 - C arg a s vivas u n ifo rm e m e n te re p a rtid a s, B .4 .4 - Im p ac to , B .4 . 6 - P u en te g rú a s, B .4 .7 E fe c to s d in á m ic o s y B .4 .8 - C arg a s e m p o z a m ie n to de a g u a y g ra n iz o . En el C a p itu lo B .5 se e n c u e n tra lo re la c io n a d o co n el e m p u je de tierras y p re s io n e s h id ro s tá tic a y en el C a p itu lo B . 6 las fu e rz a s de v ien to . A d ic io n a lm e n te se d eb e d e te rm in a r las d e fo rm a c io n e s ca u sa d a s p o r efectos re o ló g ic o s d e lo s m a te ria le s e stru c tu ra le s y lo s p o sib le s a se n ta m ie n to s del su e lo s o b re la cual se c im e n ta rá la c o n stru c c ió n . E n c u a n to al d ise ñ o sísm ic o , se c o n sid e ra las sig u ie n te s etapas: a. O b te n c ió n d e la a m e n a z a s ísm ic a y lo s v a lo re s d e A a y A v a partir d el lu g a r d o n d e se c o n stru irá la e d ific a c ió n de a c u e rd o a los m apas d e z o n ific a c ió n s ísm ic a d el C a p itu lo A .2 d el R eg lam en to . En el A p é n d ic e A -4 se p re sc rib e u n lista d o d e m u n ic ip io s co n los valores A a y A v. b. D e fin ic ió n de los m o v im ie n to s sís m ic o s de d ise ñ o d e ac u e rd o a los re q u isito s del C a p itu lo A -2 así: 540 3. S iste m a s e stru c tu ra le s, g ra d o s d e irre g u la rid a d d e la estru c tu ra, p ro c e d im ie n to d e a n á lis is y c a ra c te rís tic a s d e lo s m a te ria le s estru c tu rales. A p artir de lo s g ra d o s d e re g u la rid a d o irre g u la rid a d d e la c o n fig u ra c ió n de la e d ific a c ió n tan to co m o en p la n ta co m o en altu ra, su g ra d o de re d u n d a n c ia o de a u se n c ia de ella, su altu ra, las c a ra c te rís tic a s d el su e lo d e so p o rte y el nivel d e a m e n a z a s ís m ic a se d e fin e el siste m a e stru c tu ra l d e re siste n c ia sísm ica d e a c u e rd o a lo s s is te m a s c o n te m p la d o s en el C a p itu lo A .3: S iste m a S iste m a S iste m a S iste m a d e m u ro s d e carg a co m b in a d o de p ó rtico dual. Los m a te ria le s e s tru c tu ra le s ta le s co m o el c o n c re to e stru c tu ra l, e stru c tu ra m etálica, m a n ip o ste ría e stru c tu ra l o e stru c tu ra de m a d e ra está n d e alg u n a form a lig a d o s a lo s s is te m a s e stru c tu ra le s a p ro p ia d o s y su s e le m e n to s estru ctu rales d e a c u e rd o a la re siste n c ia re q u e rid a p a ra lo s m o v im ie n to s sísm icos de d ise ñ o c o rre sp o n d ie n te s. 541 Capítulo 10 Edificios en Estructura de Concreto Reforzado Estructuras de C oncreto I 6. 4. A n á lisis sísm ic o de la e stru c tu ra y d e sp la z a m ie n to h o rizo n ta le s y d eriv a s E l an á lisis sísm ic o d e la e stru c tu ra se re a liz a a p lic a n d o los m ovim ientos sísm ic o s de d ise ñ o a u n m o d e lo m a te m á tic o a p ro p ia d o d e la estru c tu ra. Los m é to d o s d e a n á lis is a u tiliz a r son, de a c u e rd o al C a p ítu lo A .3: M é to d o M éto d o M é to d o M é to d o de la fu e rza h o riz o n ta l e q u iv a le n te d el an á lisis d in á m ic o e lástico d el a n á lis is d in ám ico in e lá stic o d el an á lisis n o lin eal e lá stic o d e p la stific a c ió n progresiva. E sto s an á lisis se re a liz a n p a ra los m o v im ie n to s s ísm ic o s de d ise ñ o sin ser d iv id id o s p o r el c o e fic ie n te d e c a p a c id a d de d isip a c ió n d e e n e rg ía R y deben o b te n e rse lo s d e sp la z a m ie n to s m á x im o s c o rre sp o n d ie n te s, los efectos to rs io n a le s y las d eriv a s, las c u a le s n o d e b e n e x c e d e r los lim ite s expresados en el C a p itu lo A . 6 . 5. D ise ñ o d e lo s e le m e n to s e stru c tu ra le s E l d ise ñ o se d eb e e fe c tu a r p a ra la c o m b in a c ió n d e las diferentes so lic ita c io n e s o b te n ie n d o las fu e rz a s in tern a s d e d ise ñ o d e la estru c tu ra de a c u e rd o co n los re q u isito s del C a p itu lo B .2 d el R eg lam en to . P a ra te n e r en c u e n ta la c a p a c id a d d e d isip a c ió n d e e n e rg ía d el s is te m a estru c tu ral se re d u c e n lo s e fe c to s sísm ic o s, E, d iv id ie n d o las fu e rz a s s ís m ic a s F s por el c o e fic ie n te de c a p a c id a d de d isip a c ió n de en e rg ía, R, (E = F S/R ). Este co e fic ie n te se d e te rm in a seg ü n la c la sific a c ió n d el siste m a d e resistencia s ís m ic a d el C a p itu lo A .3, del g ra d o d e irre g u la rid a d d e la ed ific ació n , del g ra d o d e re d u n d a n c ia o a u se n c ia d e ella en el s is te m a y d e los re q u isito s de d ise ñ o y d e ta lla d o d el m a te ria l p a ra el c o rre sp o n d ie n te g ra d o de disipación de e n e rg ía (D M I, D M O o D E S ). U n a v e z e sta b le c id a s la s fu e rza s in tern a s de d iseñ o , éste se d eb e e fe c tu a r para lo s v a lo re s m ás d e sfa v o ra b le s que se o b te n g a n d e las c o m b in a c io n e s m e n c io n a d a s. D ise ñ o de la c im en tac ió n . El d iseñ o d e lo s e le m e n to s e s tru c tu ra le s q u e co m p o n e n la c im e n ta c ió n se re a liz a u tiliz a n d o lo s re s u lta d o s d e las c o m b in a c io n e s m e n c io n a d a s en el p u n to a n te rio r e m p le a n d o las ca rg as q u e c o rre sp o n d a y las fu e rz a s sísm ic a s re d u c id a s d e d iseñ o , E, d e a c u e rd o a lo s re q u isito s p ro p io s d el m a te ria l e stru c tu ra l y d el títu lo H d el R eg la m e n to . En cu a n to a lo s e sfu e rz o s s o b re el su e lo d e c im en tac ió n , se e m p le a n las c o m b in a c io n e s de c a rg a p a ra el m é to d o d e los e sfu e rz o s de tra b a jo d e la sec ció n B .2 .3 y las fu e rz a s s ís m ic a s re d u c id a s, E. ig u a lm e n te d eb e ten erse en c u e n ta lo s re q u isito s d el T itu lo H. 7. D ise ñ o d e lo s e le m e n to s no e stru c tu ra le s El d ise ñ o d e lo s e le m e n to s n o e s tru c tu ra le s d eb e efe c tu a rse p a ra c u m p lir el g rad o d e d ese m p e ñ o su p e rio r, b u en o o b ajo en u n to d o de a c u e rd o al C ap itu lo A .9 y se g ú n el g ru p o d e u so al cu al p e rte n e c e la e d ific a c ió n . E n c u a n to a e le m e n to s n o e s tru c tu ra le s d ise ñ a d o s e in sta la d o s p o r su fa b ric a n te o c u y a in sta la c ió n se h a c e se g ú n s u s in stru c c io n e s, se d eb e c u m p lir lo in d icad o en A . 1.5.1.2. E l p ro fe s io n a l c o n s tru c to r q u e su sc rib e la lic e n c ia de c o n stru c c ió n d eb e su m in is tra r a la C u ra d u ría las m e m o ria s de d ise ñ o y lo s d etalles de lo s e le m e n to s n o e stru c tu ra le s, s u sc rito s p o r él m ism o , co m o u n a g a ra n tía d e su c o n stru c c ió n d e a c u e rd o a lo d iseñ ad o . 543 542 Estructuras de C oncreto I m a lla e l e c tr o s o l d a d a M .0 6 4 ó s im i l a r CORTE A-A 0 0 0 0 PLANTA DE DISTRIBUCION PARA SOLUCION DE LOSA ALIGERADA EN DOS DIRECCIONES SOPORTADA O APOYADA EN LOS BORDES m a lla e le c tr o s o ld a d a M .0 6 4 ó s im ila r CORTE A-A o 0 © O PLANTA D E DISTRIBUCION PARA SOLUCION D E LOSA ALIGERADA EN D O S D IRECCIONES APOYADA EN COLUM NAS (RETICULAR CELULADO) Apéndice M étodo Elástico APENDICES Estructuras de C oncreto I A péndice M étodo Elástico Apéndice 1.A M E T O D O E L A S T IC O V IG A S R E C T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A A T R A C C IO N fs /n E sq u em a M o m e n to en kN -m . D im e n sio n e s en m. E sfu e rzo s en M Po a. A rm a d u ra en m . P= As k = - n p + -\j (n p ) 2 + bd f J= l- = fs * c n k 1- k K = b ckj M = Kbd2 k2 = d = k2 M K 553 2 np Estructuras de C oncreto I A péndice M étodo Elástico D iagram a de flujo para el diseño de vigas a la flexión por el m étodo elástico Calidad de materiales en MPa, dimensiones de la sección en metros y momentos en kN-m ingresar: M, fs,fCi n, b, d / p= 0.00001 Calcular: n, r, pb,jb M M. < 0 .0 01 i i * k = -p n + ^(np) + 2np l M. = p - f • i p s H ) •bd2 A péndice l.B p = p + 0.0 0 0 0 1 T A B L A S P A R A D IS E Ñ O M É T O D O E L Á S T IC O V IG A S C O N A R M A D U R A A L A T R A C C IÓ N si ¿ — 1 calcula AM=M-Mr calcula: Ac = AM 2000f's ( d - d j imprimir: refuerzo a tracción = At refuerzo a compresión = Ac 554 555 Estructuras de C oncreto I A péndice M étodo Elástico fc = 21.1 MPa f c = 14.1 MPa Ec = 17600 MPa fs = 120 MPa Es = 200000 Mpa fs = 120 MPa n = 11.4 Cuantía balanceada = 0.009828 k p Ec = 21600 MPa n = 9.3 Cuantía balanceada = 0.016785 Cuantía mínima = 0.005833 fc (MPa) K (kN/m2) AK k2 Es = 200000 MPa Cuantía mínima = 0.005833 fc (MPa) K (kN/m2) AK k2 P k j 0.0010 0.0020 0.1274 0.9575 1.88 114.7 0.0599 0.1752 0.9416 2.74 226.0 111.3 0.0665 54.2 0.0548 0.0025 0.1936 0.9355 3.10 280.7 54.7 0.0597 437.8 104.9 0.0478 0.0030 0.2100 0.9300 3.43 334.9 54.2 0.0546 4.20 542.3 104.5 0.0429 0.0040 0.2381 0.9206 4.03 441.7 106.8 0.0476 0.8986 4.60 628.7 86.4 0.0399 0.0050 0.2620 0.9127 4.58 547.6 105.9 0.0427 0.3077 0.8974 4.68 646.1 17.4 0.0393 0.005833 0.2796 0.9068 5.01 635.1 87.5 0.0397 0.0070 0.3276 0.8908 5.13 748.5 102.4 0.0366 0.0060 0.2829 0.9057 5.09 652.1 17.0 0.0392 0.0080 0.3455 0.8848 5.56 849.8 101.3 0.0343 0.0070 0.3016 0.8995 5.57 755.5 103.4 0.0364 0.0090 0.3619 0.8794 5.97 950.0 100.2 0.0324 0.0080 0.3185 0.8938 6.03 858.3 0.009828 0.3744 0.8752 6.30 1032.2 82.2 0.0311 0.0090 0.3339 0.8887 6.47 959.9 102.8 101.6 0.0323 0.0100 0.0110 0.0120 0.3482 0.8839 6.89 1060.3 100.4 0.0307 0.3615 0.8795 7.31 1162.1 101.8 0.0293 0.3738 0.8754 7.70 1259.8 97.7 0.0282 0.0130 0.3855 0.8715 8.09 1359.0 99.2 0.0271 k2 0.0140 0.3964 0.8679 8.47 1457.0 98.0 0.0262 0.0934 0.0150 0.4068 0.8644 8.85 1556.0 99.0 0.0254 j 0.0010 0.0020 0.1400 0.9533 1.71 114.1 0.1920 0.9360 2.50 224.6 110.5 0.0667 0.0025 0.2119 0.9294 2.83 278.7 54.1 0.0030 0.2296 0.9235 3.14 332.9 0.0040 0.2598 0.9134 3.69 0.0050 0.2854 0.9049 0.005833 0.3042 0.0060 f c = 17.6 MPa fs = Ec = 19700 MPa 120 MPa 0.0936 Es = 200000 MPa n = lOMPa Cuantía balanceada = 0.013067 k P j Cuantía mínima = 0.005833 fc (MPa) AK K (kN/m2) 0.0934 0.0341 0.0010 0.0020 0.1318 0.9561 1.82 114.7 0.1810 0.9397 2.65 225.4 110.7 0.0666 0.0160 0.4167 0.8611 9.22 1654.2 98.2 0.0246 0.0025 0.2000 0.9333 3.00 280.0 54.6 0.0598 0.016785 0.4240 0.8587 9.50 1729.4 75.2 0.0240 0.0030 0.2168 0.9277 3.32 333.9 53.9 0.0547 0.0040 0.0050 0.2457 0.2702 0.9181 0.9099 3.91 4.44 441.0 545.8 107.1 104.8 0.0476 0.0428 0.005833 0.0060 0.2882 0.2916 0.9039 0.9028 4.86 4.94 633.0 650.2 87.2 17.2 0.0397 0.0392 0.0070 0.3107 0.8964 5.41 753.4 103.2 0.0364 0.0080 0.3279 0.8907 5.85 854.3 100.9 0.0342 0.0090 0.3437 0.8854 6.28 955.5 101.2 0.0324 0.0100 0.0110 0.0120 0.3583 0.8806 6.70 1057.0 101.5 0.0308 0.3718 0.8761 7.10 1156.4 99.4 0.0294 0.3844 0.8719 7.49 1255.2 98.8 0.0282 0.0130 0.3962 0.8679 7.87 1353.1 97.9 0.0272 0.013067 0.3970 0.8677 7.90 1360.7 7.6 0.0271 556 557 A péndice M étodo Elástico Estructuras de C oncreto I f c = 24.13 MPa Ec = 23300 MPa fs = 120 MPa n= Cuantía balanceada = 0.020491 P 0.0010 0.0020 k 0.1228 0.1691 f c = 28.1 MPa Es = 200000 MPa 8.6 0.9591 0.9436 fc (MPa) 1.95 2.84 K (kN/m2; AK 114.8 226.6 k2 0.0933 111.8 0.0664 0.0025 0.1870 0.9377 3.21 281.4 54.8 0.0596 0.0030 0.2028 0.9324 3.55 335.6 54.2 0.0546 0.0040 0.2301 0.9233 4.17 443.0 107.4 0.0475 0.0050 0.005833 0.2534 0.2705 0.9155 0.9098 4.74 5.17 549.8 636.2 106.8 86.4 0.0426 0.0396 P 2.93 226.6 3.32 282.3 55.7 0.0595 0.0030 0.1964 0.9345 3.67 336.8 54.5 0.0545 108.1 0.0474 0.0040 0.2230 0.9257 4.31 0.0050 0.2457 0.9181 4.89 551.5 106.6 0.0426 0.005833 0.2624 0.9125 5.34 639.3 87.8 0.0396 0.0060 0.2655 0.9115 5.42 655.8 16.5 0.0390 0.0070 0.2833 0.9056 5.93 760.7 104.9 0.0363 864.1 103.4 0.0340 0.2995 0.9002 6.41 0.0090 0.3142 0.8953 6.87 966.3 0.3279 0.8907 7.32 1068.9 102.2 102.6 0.0322 0.0100 0.0110 0.0120 0.3407 0.8864 7.75 1170.2 101.3 0.0292 0.8825 8.17 1271.1 100.9 0.0280 0.0080 0.0070 0.2920 0.9027 5.75 757.8 103.5 0.0363 0.0090 0.0100 0.0110 0.0120 0.0130 0.0140 0.3236 0.3376 0.8921 6.68 0.8875 0.3505 0.8832 0.3627 0.8791 0.3741 0.3849 0.8753 0.8717 0.0150 0.3951 0.8683 0.0160 0.4047 0.8651 7.11 7.53 7.94 8.34 8.73 9.11 9.49 964.2 1065.1 1165.5 1265.8 1365.5 1464.5 1562.7 1661.3 102.0 100.9 100.4 100.3 99.7 99.0 98.2 98.6 0.0322 0.0306 0.3526 0.0306 0.0293 0.0130 0.3638 0.8787 8.58 1371.4 100.3 0.0270 0.0281 0.0140 0.3744 0.8752 8.98 1471.3 99.9 0.0261 0.0271 0.0150 0.3844 0.8719 9.37 1570.2 98.9 0.0252 0.3939 0.8687 9.75 1668.1 97.9 0.0245 1767.1 99.0 0.0238 0.0261 0.0160 0.0253 0.0170 0.4030 0.8657 10.13 0.0245 0.0180 0.4116 0.8628 10.49 1862.6 95.5 0.0232 0.0190 0.4199 0.8600 1960.8 98.2 0.0226 0.0200 0.0210 0.0220 0.4279 0.8574 10.86 11.22 2058.2 97.4 0.0220 0.4355 0.8548 11.57 2153.6 95.4 0.0215 0.4429 0.8524 11.93 2252.0 98.4 0.0211 0.0230 0.4499 0.8500 12.27 2346.1 94.1 0.0206 0.023967 0.4565 0.8478 12.60 2438.2 92.1 0.0203 0.0170 0.4140 0.8620 9.86 1759.4 98.1 0.0238 0.0180 0.4227 0.8591 10.22 1855.7 96.3 0.0232 0.0190 0.4312 0.8563 10.58 1953.3 97.6 0.0200 0.4392 0.8536 10.93 2048.8 95.5 0.0221 0.020491 0.4431 0.8523 11.10 2096.0 47.2 0.0218 558 0.0664 444.9 0.0391 0.0341 k2 0.9397 18.1 104.4 AK 0.9455 654.3 862.2 K (kN/m2) 0.1810 5.26 6.23 fc (MPa) 0.1636 0.9087 0.8972 j 0.0025 0.2738 0.3085 k Cuantía mínima = 0.005833 0.0020 0.0060 0.0080 Es = 200000 MPa n = 8.0 Cuantía balanceada = 0.023967 Cuantía mínima = 0.005833 j Ec = 24900 MPa fs = 120 MPa 0.0226 559 Estructuras de C oncreto I fc = fs A péndice M étodo Elástico 31.6 MPa Ec = 26400 MPa = 120 MPa Cuantía balanceada = 0.028015 p Es = 200000 MPa k fc (MPa) K (kN/m2) Cuantía balanceada = 0.032038 k P AK k2 Es = 200000 MPa n = 7.2 fs = 120 MPa Cuantía mínima = 0.005856 j Ec = 28000 MPa f c = 35.2 MPa n = 7.6 j Cuantía mínima = 0.006180 K (kN/m2) AK fc (MPa) k2 0.0010 0.0020 0.1130 0.9623 2.12 115.3 0.1559 0.9480 3.08 227.6 112.3 0.0663 0.0025 0.1726 0.9425 3.48 283.1 55.5 0.0594 0.9375 3.84 337.3 54.2 0.0544 0.0931 0.0010 0.0020 0.1159 0.9614 2.07 115.3 0.1598 0.9467 3.00 226.9 111.6 0.0664 0.0030 0.1874 0.0025 0.1769 0.9410 3.39 282.2 55.3 0.0595 0.0040 0.2129 0.9290 4.51 446.0 108.7 0.0474 0.0030 0.1920 0.9360 3.75 337.0 54.8 0.0545 0.0050 0.2347 0.9218 5.11 552.8 106.8 0.0425 0.0474 0.0060 0.2539 0.9154 5.67 658.9 106.1 0.0390 0.2571 0.9143 5.77 678.2 19.3 0.0384 0.0362 0.0931 0.0040 0.2180 0.9273 4.40 444.7 107.7 0.0050 0.2403 0.9199 4.99 551.5 106.8 0.005856 0.2571 0.9143 5.46 641.7 90.2 0.0395 0.0070 0.2711 0.9096 764.4 0.0060 6.20 86.2 0.2598 0.9134 5.54 657.3 15.6 0.0390 0.0080 0.2867 0.9044 6.70 868.6 104,2 0.0339 0.0070 0.2773 0.9076 6.06 762.6 105.3 0.0362 0.3010 0.8997 7.18 972.2 103.6 0.0321 0.0080 0.0090 0.2932 0.9023 6.55 866.4 103.8 0.0340 0.8953 7.64 1074.6 102.4 0.0305 0.0090 0.3077 0.8974 7.02 0.0100 0.0110 0.0120 969.2 0.3266 8.08 1175.8 0.8929 7.47 1071.2 0.0306 0.3382 0.8873 8.52 1278.4 101.2 102.6 0.0292 0.3212 0.3338 0.8887 7.91 1173.2 0.0292 0.0130 0.3491 0.8836 8.94 1378.8 100.4 0.0269 0.3455 0.8848 8.34 1274.8 102.8 102.0 102.0 101.6 0.0100 0.0110 0.0120 0.3142 0.0280 0.0140 0.3594 0.8802 9.35 1478.9 100.1 0.0260 0.0270 0.0150 0.3691 0.8770 9.75 1578.0 99.1 0.0252 0.0426 0.0321 0.006180 0.8911 0.0280 0.0130 0.3566 0.8811 8.75 1374.6 99.8 0.0140 0.3670 0.8777 9.15 1473.7 99.1 0.0260 0.3784 0.8739 10.15 1678.2 100.2 0.0150 0.0160 0.0244 0.3769 0.8744 9.55 1573.7 100.0 0.0252 0.3873 0.8709 10.54 1777.6 99.4 0.0237 0.0160 0.0170 0.3863 0.8712 9.94 1672.6 98.9 0.0245 0.3958 0.8681 10.92 1876.0 98.4 0.0231 0.0170 0.0180 0.3953 0.8682 10.32 1770.9 98.3 0.0238 0.0190 0.8654 11.29 1973.1 97.1 0.0225 0.0180 0.4039 0.4039 0.8654 10.70 1870.0 99.1 0.0231 0.4116 2070.4 97.3 0.0220 0.4121 0.8626 11.07 0.0200 0.0210 0.0220 1967.6 97.6 0.0225 0.4199 0.8600 11.43 2063.8 96.2 0.0220 0.4275 0.0200 0.0210 0.0220 0.8628 0.0190 0.8575 11.79 2161.0 97.2 0.0215 0.0230 0.4348 0.8551 12.15 2258.7 97.7 0.0210 0.0240 0.4399 0.0230 0.4418 0.8527 12.50 2354.5 95.8 0.0206 0.4464 0.0240 0.0250 0.4485 0.8505 12.84 2448.9 94.4 0.0202 0.0260 0.4527 0.0250 0.4551 0.8483 13.19 2546.1 97.2 0.0198 0.0270 0.4587 0.0195 0.0280 0.4646 0.4191 0.8603 11.66 12.02 2166.9 96.5 0.0215 0.4263 0.8579 12.38 2263.8 96.9 0.0210 0.4333 0.8556 12.74 2361.6 97.8 0.0206 0.8534 13.09 2457.1 95.5 0.0202 0.8512 13.44 2553.4 96.3 0.0198 0.8491 13.79 2650.4 97.0 0.0194 0.8471 14.12 2743.3 92.9 0.0191 0.8451 14.46 2838.7 95.4 0.0188 0.0260 0.4614 0.8462 13.53 2641.3 95.2 0.0270 0.4675 0.8442 13.86 2735.0 93.7 0.0191 0.4703 0.8432 14.80 2934.5 95.8 0.0280 0.0290 0.0185 0.4734 0.8422 14.19 2828.8 93.8 0.0188 0.4758 0.8414 15.13 3028.6 94.1 0.0182 1.028015 0.0300 0.4735 0.8422 14.20 2831.4 2.6 0.0188 0.0310 0.4812 0.8396 15.46 3123.0 94.4 0.0179 0.0320 0.4865 0.8378 15.79 3217.9 94.9 0.0176 0.032038 0.4867 0.8378 15.80 3221.3 3.4 0.0176 560 561 Estructuras de C oncreto I Apéndice M étodo Elástico f c = 42.2 MPa Ec = 30500 MPa fs = 120 MPa n= uantía balanceada = 0.040454 k P 0.0010 0.0020 0.0030 0.0040 0.0050 0.0060 0.006767 0.0070 0.0080 0.0090 0.0100 0.0110 0.0120 0.0130 0.0140 0.0150 0.0160 0.0170 0.0180 0.0190 0.0200 0.0210 0.0220 0.0230 0.0240 0.0250 0.0260 0.0270 0.0280 0.0290 0.0300 0.0310 0.0320 0.0330 0.0340 0.0350 0.0360 0.0370 0.0380 0.0390 0.0400 0.040454 0.1085 0.1498 0.1802 0.2049 0.2260 0.2446 0.2575 0.2613 0.2764 0.2904 0.3033 0.3153 0.3266 0.3372 0.3473 0.3569 0.3659 0.3746 0.3829 0.3909 0.3985 0.4058 0.4129 0.4197 0.4263 0.4327 0.4388 0.4448 0.4506 0.4562 0.4617 0.4670 0.4722 0.4772 0.4821 0.4869 0.4915 0.4961 0.5005 0.5049 0.5091 0.5110 j 0.9638 0.9501 0.9399 0.9317 0.9247 0.9185 0.9142 0.9129 0.9079 0.9032 0.8989 0.8949 0.8911 0.8876 0.8842 0.8810 0.8780 0.8751 0.8724 0.8697 0.8672 0.8647 0.8624 0.8601 0.8579 0.8558 0.8537 0.8517 0.8498 0.8479 0.8461 0.8443 0.8426 0.8409 0.8393 0.8377 0.8362 0.8346 0.8332 0.8317 0.8303 0.8297 Es = 200000 MPa f c = 14.1 MPa 6.6 Cuantía mínima = 0.006767 K (kN/m2) fc (MPa) AK 2.21 3.20 4.00 4.69 5.31 5.89 6.31 6.43 6.95 7.44 7.92 8.37 8.82 9.25 9.67 10.09 10.49 10.89 11.28 11.67 12,05 12.42 12.79 13.15 13.51 13.87 14.22 14.57 14.91 15.25 15.59 15.93 16.27 16.60 16.92 17.25 17.57 17.90 18.22 18.54 18.86 19.00 562 115.6 227.7 338.7 447.7 554.8 661.6 742.7 766.9 872.0 975.7 1079.6 1180.8 1283.5 1384.3 1484.7 1586.3 1685.0 1784.9 1884.0 1983.7 2082.1 2179.1 2277.2 2373.5 2470.5 2568.1 2663.4 2759.8 2854.7 2949.4 3045.1 3140.5 3236.7 3330.6 3423.1 3517.9 3610.6 3705.7 3799.0 3892.7 3986.1 4027.8 112.1 111.0 109.0 107.1 106.8 81.1 24.2 105.1 103.7 103.9 101.2 102.7 100.8 100.4 101.6 98.7 99.9 99.1 99.7 98.4 97.0 98.1 96.3 97.0 97.6 95.3 96.4 94.9 94.7 95.7 95.4 96.2 93.9 92.5 94.8 92.7 95.1 93.3 93.7 93.4 41.7 Ec = 17600 MPa fs = 170 MPa k2 0.0930 0.0663 0.0543 0.0473 0.0425 0.0389 0.0367 0.0361 0.0339 0.0320 0.0304 0.0291 0.0279 0.0269 0.0260 0.0251 0.0244 0.0237 0.0230 0.0225 0.0219 0.0214 0.0210 Es = 200000 MPa n = 11.4 Cuantía balanceada = 0.005503 Cuantía mínima = 0.003333 k2 P k j fc (MPa) K (kN/m2;) 0.0010 0.1400 0.9533 2.43 162.2 0.0020 0.1920 0.9360 3.54 318.1 155.9 0.0030 0.2296 0.9235 4.44 470.7 152.6 0.0461 0.003333 0.2403 0.9199 4.72 521.7 51.0 0.0438 0.0040 0.2598 0.9134 5.23 620.5 98.8 0.0401 0.0050 0.2854 0.9049 5.96 769.6 149.1 0.0360 0.005503 0.2970 0.9010 6.30 842.9 73.3 0.0344 f c = 17.6 MPa Ec = 19700 MPa AK 0.0785 0.0561 Es = 200000 MPa n = 10.2 fs = 170 MPa Cuantía balanceada = 0.007472 Cuantía mínima = 0.003333 k2 P k J fc (MPa) K (kN/m2) 0.0010 0.0020 0.1330 0.9557 2.56 162.7 0.1826 0.9391 3.72 319.0 156.3 0.0560 0.0030 0.2187 0.9271 4.67 473.4 154.4 0.0460 0.003333 0.2290 0.9237 4.95 523.5 50.1 0.0437 0.0040 0.2478 0.9174 5.49 624.0 100.5 0.0400 0.0050 0.2724 0.9092 6.24 772.7 148.7 0.0360 AK 0.0205 0.0201 0.0197 0.0194 0.0190 0.0187 0.0184 0.0181 0.0178 0.0176 0.0173 0.0171 0.0169 0.0166 0.0164 0.0162 0.0160 0.0158 0.0158 0.0784 0.0060 0.2940 0.9020 6.94 920.2 147.5 0.0330 0.0070 0.3132 0.8956 7.60 1065.9 145.7 0.0306 0.007472 0.3216 0.8928 7.90 1134.1 68.2 0.0297 563 Estructuras de C oncreto I Apéndice M étodo Elástico f c = 21.1 MPa fs = 170 MPa Ec = 21600 MPa n = 9.3 Cuantía balanceada = 0.009555 0.0010 0.0020 J fc (MPa) K (kN/m2) 0.1274 0.9575 2.67 162.9 0.1752 0.9416 3.88 320.0 0.2100 0.0030 fc = 28.1 MPa Cuantía mínima = 0.003333 k p Es = 200000 MPa 0.9300 4.86 AK 474.6 154.6 0.0559 0.0459 0.003333 0.2199 0.9267 5.15 524.7 50.1 0.0437 0.0040 0.2381 0.9206 5.71 625.8 101.1 0.0400 150.2 0.0359 147.7 0.0329 0.0050 0.2620 0.0060 0.9127 0.2829 0.9057 6.49 776.0 7.21 923.7 0.0070 0.3016 0.8995 7.89 1070.2 146.5 0.0306 0.0080 0.3185 0.8938 8.54 1215.6 145.4 0.0287 143.5 0.0271 80.2 0.0264 0,0090 0.3339 0.009555 0.8887 0.3420 0.8860 9.16 1359.1 9.50 f c = 24.6 MPa 1439.3 Ec = 23300 MPa f,= 170 MPa n= Cuantía balanceada = 0.011740 P k 0.0010 0.0020 0.0030 Es = 200000 MPa 8.6 Cuantía balanceada = 0.013794 Cuantía mínima = 0.003333 k j fc (MPa) 0.0010 0.0020 0.1187 0.9604 2.86 163.0 0.1636 0.9455 4.16 321.7 158.7 0.0558 0.0030 0.1964 0.9345 5.19 476.3 154.6 0.0458 0.003333 0.2058 0.9314 5.51 528.1 51.8 0.0435 0.0040 0.2230 0.9257 6.10 629.6 101.5 0.0399 0.1228 0.9591 2.77 163.1 0.1691 0.9436 4.02 320.7 157.6 0.0558 0.2028 0.9324 5.03 475.6 154.9 0.0459 0.003333 0.2125 0.9292 5.33 526.2 50.6 0.0436 0.0040 0.2301 0.9233 5.91 627.8 101.6 0.0399 0.0050 0.2534 0.9155 6.71 778.3 150.5 0.0358 0.0060 0.2738 0.9087 7.45 926.8 148.5 0.0328 0.0070 0.2920 0.9027 8.15 1074.1 147.3 0.0305 0.0080 0.3085 0.8972 8.82 1220.6 146.5 0.0286 0.0090 0.3236 0.8921 9.46 1365.5 0.0100 0.0110 144.9 0.0271 0.3376 0.8875 10.07 1508.6 143.1 0.0257 0.3505 0.8832 10.67 1651.5 142.9 0.0246 0.011740 0.3596 0.8801 11.10 1756.5 105.0 0.0239 564 K (kN/m2) AK K (kN/m2) AK 0.0783 0.0050 0.2457 0.9181 6.92 780.5 150.9 0.0358 0.0060 0.2655 0.9115 7.68 929.3 148.8 0.0328 0.0305 0.0070 0.2833 0.9056 8.40 1077.5 148.2 0.0080 0.2995 0.9002 9.09 1225.4 147.9 0.0286 0.0090 0.3142 0.8953 9.74 1369.9 144.5 0.0270 0.0100 0.0110 0.0120 0.3279 0.8907 10.37 1514.3 144.4 0.0257 0.3407 0.8864 10.98 1658.0 143.7 0.0246 0.3526 0.8825 11.57 1800.1 142.1 0.0236 0.0130 0.3638 0.8787 12.15 1942.0 141.9 0.0227 0.013794 0.3722 0.8759 12.60 2053.9 111.9 0.0221 k2 fc (MPa) k2 P Cuantía mínima = 0.003333 J Es = 200000 MPa n = 8.0 k2 0.0784 157.1 Ec = 24900 MPa fs = 170 MPa 0.0783 565 A péndice M étodo Elástico Estructuras de C oncreto I f c = 31.6 MPa Ec = 26400 MPa fs = 170 MPa fc = 35.2 MPa Es = 200000 MPa Cuantía balanceada = 0.016218 Ec fs = 170 MPa n = 7.6 Cuantía balanceada = 0.018630 Cuantía mínima = 0.003346 K (kN/m2) k2 322.2 158.5 0.0557 5.45 478.7 156.5 0.0457 5.96 560.1 81.4 0.0423 0.0398 k 0.0783 0.0010 0.0020 0.1130 0.9623 3.01 163.7 0.1559 0.9480 4.36 0.0457 0.0030 0.1874 0.9375 0.2015 0.9328 j fc (MPa) 0.0010 0.0020 0.1159 0.9614 2.93 163.2 0.1598 0.9467 4.25 321.5 158.3 0.0558 0.0030 0.1920 0.9360 5.32 478.0 156.5 MPa AK P k Es = 200000 Cuantía mínima = 0.003532 k2 p AK = 28000 MPa n = 7.2 J fc (MPa) K (kN/m2) 0.0782 0.003346 0.2015 0.9328 5.64 530.0 52.0 0.0434 0.003532 0.0040 0.2180 0.9273 6.24 630.7 100.7 0.0398 0.0040 0.2129 0.9290 6.39 631.9 71.8 0.0050 0.2403 0.9199 7.08 782.5 151.8 0.0357 0.0050 0.2347 0.9218 7.24 783.2 151.3 0.0357 0.0060 0.2598 0.9134 7.85 931.4 148.9 0.0328 0.0060 0.2539 0.9154 8.03 933.2 150.0 0.0327 0.0070 0.2773 0.9076 8.58 1079.7 148.3 0.0304 0.0070 0.2711 0.9096 8.78 1082.5 149.3 0.0304 0.0285 0.0080 0.2867 0.9044 9.49 1230.3 147.8 0.0285 0.0270 0.0090 0.3010 1377.1 146.8 0.0269 0.3142 0.8953 10.82 1521.9 144.8 0.0256 0.3266 0.8911 11.45 1666.2 144.3 0.0245 0.0235 0.0100 0.0110 0.0120 0.3382 0.8873 12.07 1811.0 144.8 0.0235 0.0130 0.3491 0.8836 12.66 1952.6 141.6 0.0226 0.0080 0.2932 0.9023 9.28 1227.5 147.8 0.0090 0.3077 0.8974 9.94 1372.4 144.9 0.0100 0.0110 0.0120 0.3212 0.8929 10.58 1517.2 144.8 0.0257 0.3338 0.8887 11.21 1662.7 145.5 0.0245 0.3455 0.8848 11.81 1805.1 142.4 0.8997 10.17 0.0130 0.3566 0.8811 12.40 1948.0 142.9 0.0227 0.0140 0.3670 0.8777 12.97 2088.9 140.9 0.0219 0.0140 0.3594 0.8802 13.25 2095.8 143.2 0.0218 0.3691 0.8770 13.81 2235.2 139.4 0.0212 0.0150 0.3769 0.0160 0.3863 0.016218 0.3883 13.53 2229.5 140.6 0.0212 0.0150 0.8712 14.08 2369.3 139.8 0.0205 0.0160 0.3784 0.8739 14.37 2376.0 140.8 0.0205 0.8706 14.20 2400.2 30.9 0.0204 0.0170 0.3873 0.8709 14.93 2517.9 141.9 0.0199 0.0180 0.3958 0.8681 15.47 2657.7 139.8 0.0194 0.018630 0.4009 0.8664 15.80 2744.0 86.3 0.0191 0.8744 566 567 E s tru c tu ra s de C oncreto I A p én d ice M étodo de la R esistencia Ultima f c = 42.2 MPa Ec = 30500 MPa fs = 170 MPa n= Cuantía balanceada = 0.023723 A p é n d ic e 2 . A Es = 200000 MPa 6.6 Cuantía mínima = 0.003867 k2 p k 0.0010 0.0020 0.1085 0.9638 3.13 163.7 0.1498 0.9501 4.54 323.1 159.4 0.0556 0.0025 0.1659 0.9447 5.12 401.2 78.1 0.0499 J fc (MPa) K (kN/m2) AK M E T O D O D E L A R E S IS T E N C IA Ú L T IM A V IG A S R E C T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A A L A T R A C C IÓ N 0.0782 0.0030 0.1802 0.9399 5.66 479.3 78.1 0.0457 0.003867 0.2018 0.9327 6.51 612.7 133.4 0.0404 0.0040 0.2049 0.9317 6.64 633.8 21.1 0.0397 0.0050 0.2260 0.9247 7.52 785.8 152.0 0.0357 0.0060 0.2446 0.9185 8.34 936.9 151.1 0.0327 0.0070 0.2613 0.9129 9.11 1086.6 149.7 0.0303 0.0080 0.2764 0.9079 9.84 1234.6 148.0 0.0285 0.0090 0.2904 0.9032 10.54 1382.3 147.7 0.0269 0.0100 0.0110 0.0120 0.3033 0.8989 1528.1 145.8 0.0256 0.3153 0.8949 11.21 11.86 1673.2 145.1 0.0244 0.3266 0.8911 12.49 1817.5 144.3 0.0235 0.0130 0.3372 0.8876 13.10 1960.4 142.9 0.0226 0.0218 0.0140 0.3473 0.8842 13.71 2105.1 144.7 0.0150 0.3569 0.8810 14.29 2246.6 141.5 0.0211 0.0160 0.3659 0.8780 14.86 2387.0 140.4 0.0205 0.0170 0.3746 0.8751 15.43 2529.1 142.1 0.0199 0.0180 0.3829 0.8724 15.98 2669.0 139.9 0.0194 0.0190 0.3909 0.8697 16.53 2809.8 140.8 0.0189 0.0200 0.0210 0.0220 0.3985 0.8672 17.06 2947.8 138.0 0.0184 0.4058 0.8647 17.59 3086.1 138.3 0.0180 0.4129 0.8624 18.11 3224.3 138.2 0.0176 0.0230 0.4197 0.8601 18.63 3362.6 138.3 0.0172 0.023723 0.4245 0.8585 19.00 3462.1 99.5 0.0170 E sq u em a M o m e n to ú ltim o en kN -m . D im e n sio n e s en m. E sfu e rz o s e n M P a. •y A rm a d u ra en m . P= As Pf; bd 0 .8 5 f; jd = d PÚ j = l - d 2d f K = «.pf, 1 - 0 . 59p fAc' y <i)Mn = K b d k2 = 1 K d = k2 568 ♦M n 569 0 .8 5 f ' Estructuras de C oncreto I A p én d ice M étodo de la Resistencia Ultima Diagram a de flujo para el diseño de vigas a la flexión por el m étodo de la resistencia última C a lid ad de m a te ria le s en M P a, d im e n s io n e s d e la se c c ió n en m etro s y m o m e n to s en kN -m . Apéndice 2 B T A B L A S P A R A D IS E Ñ O . M É T O D O D E L A R E S IS T E N C IA Ú L T IM A V IG A S R E C T A N G U L A R E S C O N A R M A D U R A A L A T R A C C IO N 570 571 E s tru c tu ra s de C oncreto I A péndice M étodo de la Resistencia Ultima f c = 14.1 MPa fv = 240 MPa Cuantía mínima = 0.005833 p a/d pl = 0.85 Cuantía máxima de diseño = 0.01593 K (kN/m2) j AK k2 f c = 17.6 MPa fv = 240 MPa pl = 0.85 Cuantía mínima = 0.005833 Cuantía máxima de diseño = 0.01988 P a/d j K (kN/m2) 0.0 0 10 0.0160 0.0321 0.0401 0.0481 0.0642 0.0802 0.0936 0.0963 0.1123 0.1283 0.1444 0.1604 0.1765 0.1925 0.2086 0.2246 0.2406 0.2567 0.2727 0.2888 0.3048 0.3189 0.9920 0.9840 0.9800 0.9760 0.9679 0.9599 0.9532 0.9519 0.9439 0.9359 0.9278 0.9198 0.9118 0.9038 0.8957 0.8877 0.8797 0.8717 0.8637 0.8556 0.8476 0.8406 214.3 425.0 529.1 632.4 836.2 1036.6 0.0 020 0 .0 0 10 0.0 20 0 0 .0 020 0.0401 0.0501 0.0601 0.0801 0.0025 0.0030 0.0040 0.0050 0.005833 0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0 .0 10 0 0 .0 110 0 .0 12 0 0.0130 0.0140 0.0150 0.015930 0 .10 0 1 0.1168 0 .12 0 2 0.1402 0.1602 0.1802 0.2003 0.2203 0.2403 0.2603 0.2804 0.3004 0.3190 0.9900 0.9800 0.9750 0.9700 0.9600 0.9500 0.9416 0.9399 0.9299 0.9199 0.9099 0.8999 0.8899 0.8799 0.8699 0.8598 0.8498 0.8405 572 213.8 423.3 526.4 628.5 829.3 1025.8 1186.1 1217.9 1405.7 1589.2 1768.3 1943.1 2113.5 2279.6 2441.4 2598.8 2751.9 2890.4 209.5 103.1 10 2 .1 2 0 0 .8 196.5 160.3 31.8 187.8 183.5 179.1 174.8 170.4 166.1 161.8 157.4 153.1 138.5 0.0684 0.0486 0.0436 0.0399 0.0347 0.0312 0.0290 0.0287 0.0267 0.0251 0.0238 0.0227 0.0218 0.0209 0.0 20 2 0.0196 0.0191 0.0186 0.0025 0.0030 0.0040 0.0050 0.005833 0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0 .0 10 0 0 .0 110 0 .0 12 0 0.0130 0.0140 0.0150 0.0160 0.0170 0.0180 0.0190 0.019880 12 0 0 .8 1233.4 1426.8 1616.8 1803.2 1986.2 2165.7 2341.8 2514.3 2683.4 2849.0 3011.1 3169.8 3324.9 3476.6 3607.3 573 AK k2 210.7 104.1 103.3 203.8 200.4 164.2 32.6 193.4 190.0 186.4 183.0 179.5 176.1 172.5 169.1 165.6 162.1 158.7 155.1 151.7 130.7 0.0683 0.0485 0.0435 0.0398 0.0346 0.0311 0.0289 0.0285 0.0265 0.0249 0.0235 0.0224 0.0215 0.0207 0.0199 0.0193 0.0187 0.0182 0.0178 0.0173 0.0170 0.0166 A péndice M étodo de la Resistencia Ultima Estructuras de C oncreto I f c =21.1 MPa fv = 240 MPa Pl =0.85 Cuantía mínima = 0.005833 Cuantía máxima de diseño = 0.02384 p 0 .0 0 10 0 .0 020 0.0025 0.0030 0.0040 0.0050 0.005833 0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0.0 10 0 0 .0 110 0 .0 12 0 0.0130 0.0140 0.0150 0.0160 0.0170 0.0180 0.0190 0 .0 20 0 0.0 210 0.0 220 0.0230 0.023840 a/d j K (kN/m2) 0.0134 0.0268 0.0335 0.0401 0.0535 0.0669 0.0781 0.0803 0.0937 0.1071 0.1204 0.1338 0.1472 0.1606 0.1740 0.1873 0.2007 0.2141 0.2275 0.2409 0.2543 0.2676 0.2810 0.2944 0.3078 0.3190 0.9933 0.9866 0.9833 0.9800 0.9733 0.9666 0.9610 0.9599 0.9532 0.9465 0.9398 0.9331 0.9264 0.9197 0.9130 0.9064 0.8997 0.8930 0.8863 0.8796 0.8729 0.8662 0.8595 0.8528 0.8461 0.8405 214.6 426.2 530.9 635.0 840.8 1043.8 12 10 .6 1243.8 1441.0 1635.2 1826.6 2015.0 2200.6 2383.3 2563.0 2739.9 2913.9 3084.9 3253.1 3418.3 3580.7 3740.2 3896.7 4050.4 4201.2 4325.6 574 AK 2 11.6 104.7 104.1 205.8 203.0 166.8 33.2 197.2 194.2 191.4 188.4 185.6 182.7 179.7 176.9 174.0 171.0 168.2 165.2 162.4 159.5 156.5 153.7 150.8 124.4 k2 0.0683 0.0484 0.0434 0.0397 0.0345 0.0310 0.0287 0.0284 0.0263 0.0247 0.0234 0.0223 0.0213 0.0205 0.0198 0.0191 0.0185 0.0180 0.0175 0.0171 0.0167 0.0164 0.0160 0.0157 0.0154 0.0152 pi = 0.85 f c =24.6 MPa fv = 240 MPa Cuantía mínima = 0.005833 Cuantía máxima de diseño = 0.02779 P a/d j K (kN/m2) 0 .0 0 10 0.0115 0.0230 0.0287 0.0344 0.0459 0.0574 0.0669 0.0689 0.0803 0.0918 0.1033 0.1148 0.1263 0.1377 0.1492 0.1607 0.1722 0.1836 0.1951 0.2066 0.2181 0.2296 0.2410 0.2525 0.2640 0.2755 0.2869 0.2984 0.3099 0.3190 0.9943 0.9885 0.9857 0.9828 0.9771 0.9713 0.9666 0.9656 0.9599 0.9541 0.9484 0.9426 0.9369 0.9312 0.9254 0.9197 0.9139 0.9082 0.9025 0.8967 0.8910 0.8852 0.8795 0.8738 0.8680 0.8623 0.8566 0.8508 0.8451 0.8405 214.8 427.0 532.2 636.8 844.1 1048.9 1217.6 1251.2 1451.1 1648.4 1843.3 2035.7 2225.6 2413.0 2597.9 2780.3 2960.3 3137.7 3312.7 3485.2 3655.2 3822.7 3987.7 4150.2 4310.3 4467.8 4622.9 4775.5 4925.6 5042.4 0 .0 020 0.0025 0.0030 0.0040 0.0050 0.005833 0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0 .0 10 0 0 .0 110 0 .0 12 0 0.0130 0.0140 0.0150 0.0160 0.0170 0.0180 0.0190 0.0 20 0 0.0 210 0.0 220 0.0230 0.0240 0.0250 0.0260 0.0270 0.02779 575 AK 2 12 .2 105.2 104.6 207.3 204.8 168.7 33.6 199.9 197.3 194.9 192.4 189.9 187.4 184.9 182.4 180.0 177.4 175.0 172.5 170.0 167.5 165.0 162.5 160.1 157.5 155.1 152.6 150.1 116.8 k2 0.0682 0.0484 0.0433 0.0396 0.0344 0.0309 0.0287 0.0283 0.0263 0.0246 0.0233 0 .0 22 2 0.0 212 0.0204 0.0196 0.0190 0.0184 0.0179 0.0174 0.0169 0.0165 0.0162 0.0158 0.0155 0.0152 0.0150 0.0147 0.0145 0.0142 0.0141 E structuras de C oncreto I Apéndice M étodo de la Resistencia Ultima f c = 28.1 MPa fv = 240 MPa pl = 0.85 Cuantía mínima = 0.005833 Cuantía máxima de diseño = 0.03175 P 0.0010 0.0020 0.0025 0.0030 0.0040 0.0050 0.005833 0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0.0100 0.0110 0.0120 0.0130 0.0140 0.0150 0.0160 0.0170 0.0180 0.0190 0.0200 0.0210 0.0220 0.0230 0.0240 0.0250 0.0260 0.0270 0.0280 0.0290 0.0300 0.0310 0.03175 a/d 0.0100 0.0201 0.0251 0.0301 0.0402 0.0502 0.0586 0.0603 0.0703 0.0804 0.0904 0.1005 0.1105 0.1206 0.1306 0.1407 0.1507 0.1608 0.1708 0.1809 0.1909 0.2010 0.2110 0.2211 0.2311 0.2412 0.2512 0.2613 0.2713 0.2813 0.2914 0.3014 0.3115 0.3190 j 0.9950 0.9900 0.9875 0.9850 0.9799 0.9749 0.9707 0.9699 0.9649 0.9598 0.9548 0.9498 0.9448 0.9397 0.9347 0.9297 0.9247 0.9196 0.9146 0.9096 0.9046 0.8995 0.8945 0.8895 0.8845 0.8794 0.8744 0.8694 0.8644 0.8594 0.8543 0.8493 0.8443 0.8405 576 K (kN/m2) 214.9 427.6 533.2 638.2 846.6 1052.8 1222.9 1256.8 1458.7 1658.3 1855.8 2051.2 2244.3 2435.3 2624.1 2810.7 2995.1 3177.4 3357.4 3535.3 3711.1 3884.6 4056.0 4225.2 4392.2 4557.0 4719.7 4880.2 5038.5 5194.7 5348.6 5500.4 5650.0 5760.8 AK 212.7 105.6 105.0 208.4 206.2 170.1 33.9 201.9 199.6 197.5 195.4 193.1 191.0 188.8 186.6 184.4 182.3 180.0 177.9 175.8 173.5 171.4 169.2 167.0 164.8 162.7 160.5 158.3 156.2 153.9 151.8 149.6 110.8 k2 0.0682 0.0484 0.0433 0.0396 0.0344 0.0308 0.0286 0.0282 0.0262 0.0246 0.0232 0.0221 0.0211 0.0203 0.0195 0.0189 0.0183 0.0177 0.0173 0.0168 0.0164 0.0160 0.0157 0.0154 0.0151 0.0148 0.0146 0.0143 0.0141 0.0139 0.0137 0.0135 0.0133 0.0132 (31 =0.82 fc =31.6 MPa fy = 240 MPa Cuantía mínima = 0.005856 P 0.0010 0.0020 0.0025 0.0030 0.0040 0.0050 0.005856 0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0.0100 0.0110 0.0120 0.0130 0.0140 0.0150 0.0160 0.0170 0.0180 0.0190 0.0200 0.0210 0.0220 0.0230 0.0240 0.0250 0.0260 0.0270 0.0280 0.0290 0.0300 0.0310 0.0320 0.0330 0.0340 0.03444 a/d 0.0089 0.0179 0.0223 0.0268 0.0357 0.0447 0.0523 0.0536 0.0625 0.0715 0.0804 0.0894 0.0983 0.1072 0.1162 0.1251 0.1340 0.1430 0.1519 0.1608 0.1698 0.1787 0.1876 0.1966 0.2055 0.2144 0.2234 0.2323 0.2413 0.2502 0.2591 0.2681 0.2770 0.2859 0.2949 0.3038 0.3077 Cuantía máxima de diseño = 0.03444 K (kN/m2) 215.0 428.1 534.0 639.3 848.5 1055.8 1231.7 1261.2 1464.6 1666.1 1865.6 2063.2 2258.9 2452.6 2644.4 2834.3 3022.2 3208.2 3392.3 3574.4 3754.6 3932.8 4109.2 4283.5 4456.0 4626.5 4795.1 4961.7 5126.4 5289.2 5450.0 5608.9 5765.8 5920.9 6074.0 6225.1 6291.0 j 0.9956 0.9911 0.9889 0.9866 0.9822 0.9777 0.9739 0.9732 0.9688 0.9643 0.9598 0.9553 0.9509 0.9464 0.9419 0.9375 0.9330 0.9285 0.9241 0.9196 0.9151 0.9107 0.9062 0.9017 0.8973 0.8928 0.8883 0.8839 0.8794 0.8749 0.8705 0.8660 0.8615 0.8571 0.8526 0.8481 0.8462 577 AK k2 213.1 105.9 105.3 209.2 207.3 175.9 29.5 203.4 201.5 199.5 197.6 195.7 193.7 191.8 189.9 187.9 186.0 184.1 182.1 180.2 178.2 176.4 174.3 172.5 170.5 168.6 166.6 164.7 162.8 160.8 158.9 156.9 155.1 153.1 151.1 65.9 0.0682 0.0483 0.0433 0.0396 0.0343 0.0308 0.0285 0.0282 0.0261 0.0245 0.0232 0.0220 0.0210 0.0202 0.0194 0.0188 0.0182 0.0177 0.0172 0.0167 0.0163 0.0159 0.0156 0.0153 0.0150 0.0147 0.0144 0.0142 0.0140 0.0138 0.0135 0.0134 0.0132 0.0130 0.0128 0.0127 0.0126 Estructuras de C oncreto I A péndice M étodo de la Resistencia Ultima f c = 35.2 M P a fy = 240 M P a (31 = 0.80 C u an tía m ín im a = 0 .0 0 6 1 8 0 C u an tía m áx im a de d ise ñ o = 0 .03743 p a/d 0.0010 0.0020 0.0025 0.0030 0.0040 0.0050 0.0060 0.006180 0.0070 0.0080 0.0090 0.0100 0.0110 0.0120 0.0130 0.0140 0.0150 0.0160 0.0170 0.0180 0.0190 0.0200 0.0210 0.0220 0.0230 0.0240 0.0250 0.0260 0.0270 0.0280 0.0290 0.0300 0.0310 0.0320 0.0330 0.0340 0.0350 0.0360 0.0370 0.03743 0.0080 0.0160 0.0201 0.0241 0.0321 0.0401 0.0481 0.0496 0.0561 0.0642 0.0722 0.0802 0.0882 0.0963 0.1043 0.1123 0.1203 0.1283 0.1364 0.1444 0.1524 0.1604 0.1684 0.1765 0.1845 0.1925 0.2005 0.2086 0.2166 0.2246 0.2326 0.2406 0.2487 0.2567 0.2647 0.2727 0.2807 0.2888 0.2968 0.3002 (31 = 0.75 f c = 42.2 M Pa fv = 240 M Pa K (kN /m 2) j 0.9960 0.9920 0.9900 0.9880 0.9840 0.9800 0.9760 0.9752 0.9720 0.9679 0.9639 0.9599 0.9559 0.9519 0.9479 0.9439 0.9399 0.9359 0.9318 0.9278 0.9238 0.9198 0.9158 0.9118 0.9078 0.9038 0.8998 0.8957 0.8917 0.8877 0.8837 0.8797 0.8757 0.8717 0.8677 0.8637 0.8597 0.8556 0.8516 0.8499 215.1 428.5 534.6 640.2 850.1 1058.3 1264.7 1301.7 1469.4 1672.4 1873.6 2073.1 2270.9 2466.9 2661.2 2853.7 3044.5 3233.6 3420.9 3606.5 3790.3 3972.4 4152.8 4331.4 4508.3 4683.5 4856.9 5028.6 5198.6 5366.8 5533.2 5698.0 5861.0 6022.2 6181.8 6339.5 6495.6 6649.9 6802.5 6867.5 578 AK 213.4 106.1 105.6 209.9 208.2 206.4 37.0 167.7 203.0 201.2 199.5 197.8 196.0 194.3 192.5 190.8 189.1 187.3 185.6 183.8 182.1 180.4 178.6 176.9 175.2 173.4 171.7 170.0 168.2 166.4 164.8 163.0 161.2 159.6 157.7 156.1 154.3 152.6 65.0 C uantía m áxim a de diseño = 0.04207 C uantía m ínim a = 0.006767 k2 0.0682 0.0483 0.0432 0.0395 0.0343 0.0307 0.0281 0.0277 0.0261 0.0245 0.0231 0.0220 0.0210 0.0201 0.0194 0.0187 0.0181 0.0176 0.0171 0.0167 0.0162 0.0159 0.0155 0.0152 0.0149 0.0146 0.0143 0.0141 0.0139 0.0137 0.0134 0.0132 0.0131 0.0129 0.0127 0.0126 0.0124 0.0123 0.0121 0.0121 P a/d j < (kN/m2) 0.0010 0.0020 0.0067 0.0134 0.9967 0.9933 0.9900 0.9866 0.9833 0.9800 0.9774 0.9766 0.9733 0.9699 0.9666 0.9632 0.9599 0.9565 0.9532 0.9498 0.9465 0.9432 0.9398 0.9365 0.9331 0.9298 0.9264 0.9231 0.9197 0.9164 0.9130 0.9097 0.9064 0.9030 0.8997 0.8963 0.8930 0.8896 0.8863 0.8829 0.8796 0.8762 0.8729 0.8696 0.8662 0.8629 0.8595 0.8593 215.3 429.1 641.5 852.4 1061.9 1269.9 1428.5 1476.5 1681.6 1885.3 2087.5 2288.3 2487.6 2685.5 2881.9 3076.9 3270.5 3462.5 3653.2 3842.4 4030.1 4216.4 4401.2 4584.6 4766.5 4947.0 5126.1 5303.6 5479.8 5654.5 5827.7 5999.5 6169.8 6338.7 6506.2 6672.1 6836.7 6999.8 7161.4 7321.6 7480.4 7637.6 7793.5 7804.3 0.0030 0.0040 0.0050 0.0060 0.006767 0.0070 0.0080 0.0090 0.0100 0.0110 0.0120 0.0130 0.0140 0.0150 0.0160 0.0170 0.0180 0.0190 0.0200 0.0210 0.0220 0.0230 0.0240 0.0250 0.0260 0.0270 0.0280 0.0290 0.0300 0.0310 0.0320 0.0330 0.0340 0.0350 0.0360 0.0370 0.0380 0.0390 0.0400 0.0410 0.0420 0.04207 0.0201 0.0268 0.0335 0.0401 0.0453 0.0468 0.0535 0.0602 0.0669 0.0736 0.0803 0.0870 0.0937 0.1004 0.1071 0.1137 0.1204 0.1271 0.1338 0.1405 0.1472 0.1539 0.1606 0.1673 0.1740 0.1807 0.1873 0.1940 0.2007 0.2074 0.2141 0.2208 0.2275 0.2342 0.2409 0.2476 0.2543 0.2609 0.2676 0.2743 0.2810 0.2815 579 AK k2 213.8 212.4 210.9 209.5 208.0 158.6 48.0 205.1 203.7 0.0682 0.0483 0.0395 0.0343 0.0307 0.0281 0.0265 0.0260 0.0244 0.0230 0.0219 0.0209 202.2 200.8 199.3 197.9 196.4 195.0 193.6 192.0 190.7 189.2 187.7 186.3 184,8 183.4 181.9 180.5 179.1 177.5 176.2 174.7 173.2 171.8 170.3 168.9 167.5 165.9 164.6 163.1 161.6 160.2 158.8 157.2 155.9 10.8 0.0200 0.0193 0.0186 0.0180 0.0175 0.0170 0.0165 0.0161 0.0158 0.0154 0.0151 0.0148 0.0145 0.0142 0.0140 0.0137 0.0135 0.0133 0.0131 0.0129 0.0127 0.0126 0.0124 0.0122 0.0121 0.0120 0.0118 0.0117 0.0116 0.0114 0.0113 0.0113 Estructuras de C oncreto I R eferencias REFERENCIAS N ilso n , A . H; D a rw in , D ; D o lan , C. W ., "D e sig n o f C o n c re te S tru c tu re s ” 14th E d itio n , M c G ra w -H ill B o o k C o., N e w Y o rk , 2009. W ig h t, J. K .; M a c G re g o r, J. G ., R ein fo rc e d C o n cre te - M e c h a n ic s an d D e s ig n ”, F ifth E d itio n , P e a rso n P re n tic e H all, N e w J e rse y , 2 009 N a d im H a sso u n , M .; A l-M a n a se e r, A ., “S tru c tu ra l C o n c re te - T h e o ry and D e s ig n ”, F o u rth E d itio n , J o h n W ile y & S o n s, Inc, N e w J e rse y , 2008. F a n e lla , D ., A ., “R e in fo rc e d C o n cre te S tru c tu re s - A n a ly sis an d D e s ig n ” M e G ra w -H ill B o o k C o ., N e w Y o rk , 2010. W a n g , C ., K .; S alm ó n , C .,G .; P in c h eira , J. A .,“R ein fo rc e d D e s ig n ”, 7 th E d itio n , J o h n W ile y & S o n s, Inc., N e w Jerse y , 2007. C o n cre te P au lay , T .; P rie stle y , M . J. N ., “S e ism ic D e sig n o f R ein fo rc e d C o n c re te an d M a so n ry B u ild in g s ”, Jo h n W ile y & S o n s, In c .,N e w Y o rk , 1992. P ark, R.; P au lay , T ., “R e in fo rc e d C o n cre te S tru c tu re s ” J o h n W ile y & S ons, Inc. N e w J e rse y , 1975. G ó m ez , A . M ., “C o n c re to I ( I a y 2 a P a rte )”, U n iv e rsid a d N a cio n al, B o g o tá, 1972. K e rp el, E., “C o n cre to I I ”, U n iv e rsid a d N a cio n al, B o g o tá, 1971. K e rp el, E., “In tro d u c c ió n al A n á lisis P lá stic o de E stru c tu ra s de C o n cre to R e fo rz a d o ”, U n iv e rsid a d N a cio n al, B o g o tá, 1981. H su, T . T . C.; M o , Y . L., “U n ified T h e o ry o f C o n cre te S tru c tu re s ”, J o h n W ile y & S o n s, In c., N e w J e rse y , 2010. 581 R eferencias E structuras de C oncreto I P ark , R,; G a m b le, W . L., “R e in fo rc e d C o n c re te S la b s ” 2nd E d itio n , John W ile y & S o n s, Inc. N e w Je rse y , 1999. - G a rcía, L. E ., “C o lu m n a s y M u ro s E stru c tu ra le s d e C o n c re to R e fo rz a d o ”, U n iv e rsid a d d e lo s A n d es, B o g o tá, 1990. A rd ila, E.; M o n ro y , L. D ., “D iseñ o d e C o lu m n a s en C o n c re to R e fo rz a d o ”, (U N C O L 2.5) P ro y e c to de G ra d o p re se n ta d o a la U n iv e rsid a d N acional, se d e B o g o tá, p a ra o p ta r al g ra d o d e “In g e n ie ro C iv il”, 1992. - A IS C o m ité 100, “R e g la m e n to C o lo m b ia n o de C o n stru c c ió n S ism o R e siste n te N S R -1 0 ", A so c ia c ió n C o lo m b ia n a d e In g e n ie ría S ísm ic a A IS B o g o tá D .C ., 2010 B resler, B ., “D e sig n C rite ria fo r R e in fo rc e d C o n cre te C o lu m n s u n d e r A x ial L o ad an d B ia x ia l B e n d in g ,” A C I JO U R N A L , P ro c e e d in g s V. 57, N o .. 5, N o v . 1960. S P -1 7 2009, A C I D e sig n H a n d b o o k , F a rm in g to n H ills, M ic h ig a n , 2009. fo r S tru ctu ral “M in im u m D e sig n L o ad s fo r B u ild in g s an d O th e r S tru c tu re s ” (A S C E /S E I 7 -1 0 )", A S C E , R esto n , V A , 2010. “R eq u isito s E se n c ia le s p a ra E d ific io s d e C o n c re to R e fo rz a d o (IP S -1 )”, A so c ia c ió n C o lo m b ia n a d e In g e n ie ría S ísm ic a A IS , In stitu to d e N o rm a s T é c n ic a s y C e rtific a c ió n IC O N T E C y A C I C o m m itte e 314, S im p lified D e sig n o f C o n c re te B u ild in g s, A m e ric a n C o n c re te In stitu te , B o g o tá D C 2003. J o in t A C I-A S C E C o m m itte e 352, “R e c o m m e n d a tio n s fo r D e sig n o f B eam C o lu m n C o n n e c tio n s in M o n o lith ic R ein fo rc e d C o n c re te S tru c tu re s (A C I 3 5 2 R -0 2 ),” A m e ric a n C o n cre te In stitu te , F a rm in g to n H ills, M I, 2002. M C P 201 0 A C I, “M a n u a l o f C o n c re te P ra c tic e ”, A m e ric a n In stitu te , F a rm in g to n H ills, M ich ig an , 2010. 582 C o n c re te ***************************** - A C I C o m ité 318, “R e q u isito s d e R e g la m e n to p a ra C o n c re to E stru ctu ra l (A C I 3 1 8 S -0 8 ) y C o m e n ta rio ”, A m e ric a n C o n c re te In stitu te , F arm in g to n H ills, M ich ig an , 2008. “N o te s o n A C I 3 1 8 -0 8 B u ild in g C o d e R e q u ire m e n ts C o n c re te ”, P o rtla n d C e m e n t A sso c ia tio n , Illin o is, 2008. A m e ric a n C o n cre te 583 In stitu te , Indice Alfabético Estructuras de C oncreto I INDICE ALFABETICO A b a c o (figura): 369 A n c la je , lo n g itu d de: 173, 174, 217 B resler, m éto d o de: 319, 32 0 ,3 2 1 C ajo n es: 507, 513 (figura) C a p ite l (figura): 3 3 5 , 369 v ig u e ta s de: 377, 378 (figura), 382 C arg a (s) c o e fic ie n te de: 72 c rític a d e c o lu m n a s: 312, 318, 319 d e fa lla p a ra c o lu m n a s co rtas: 282 d e tra b a jo p a ra c o lu m n as: 282 h o riz o n ta le s: 540 m u e rta s: 540 v iv a s: 540 C im e n ta c ió n , d e fin ic ió n de: 425 p ro fu n d id a d , de p ilo te s: v e r p ilo te s ca jo n e s: v e r c a jo n e s su p e rfic ia le s p a ra c o lu m n a s aislad a s: 426 (figura), 433, 443, 449, 455 co m b in ad a s: 427 (figura), 461, 476 co n v ig a de c o n tra p eso : 482 p a ra m u ro s: 426 (fig u ra), 428 C o e fic ie n te (s) de a m p lific a c ió n d e m o m en to s: 312, 313, 314, 317, 3 1 8 ,3 1 9 de d ila ta c ió n térm ica : 5 M éto d o de los: 336, 344 p a ra d e fle x ió n a la rg o p lazo : 119, 126 de c a p a c id a d de d isip a c ió n de en e rg ía: 542 585 Indice Alfabético E structuras de C oncreto I d e lo n g itu d efe c tiv a (co lu m n as): 312, 313 de re d u c c ió n de re siste n c ia , d e fin ic ió n : 75 p a ra co m p re sió n , 283 p a ra co rta n te: 133 p a ra flex ió n : 75 p a ra p re sió n de co n tac to : 436 p a ra to rsió n : 158 lo n g itu d de d esa rro llo , a fe c ta c ió n de: 177, 185, 203, 205, 212, 215, 217 C o lu m n a s c o n fin a m ie n to e strib o s de: 2 7 6 -2 8 0 , 3 2 2 -3 2 8 lo n g itu d de: 2 7 7 -2 8 0 , 324, 325 d efin ic ió n : 267 d ia g ra m a de in te ra c c ió n p ara: 290 d im e n sio n a m ie n to : 268 esb e lte z, e fe c to s de: 309, 310, 317 e sfu e rz o c o rta n te en: 3 2 2 -3 2 9 re d u c c ió n d e sec ció n : 269 re fu e rz o lo n g itu d in al: 269, 319 re fu e rz o tra n sv e rsa l e sp ira le s: 2 7 4 -2 7 6 estrib o s: 272, 322, 327 n u d o s, re q u isito s en: 273, 328 tip o s de: 267 C o n c re to c o m p re s ió n -d e fo rm a c ió n (fig u ra): 5 d efin ic ió n : 3 d ilatació n , c o e fic ie n te de: 5 e lasticid ad , m ó d u lo de: 6 , 1 0 e sfu e rz o d e trab a jo : 17 flu e n c ia lenta: 6 frag u ad o , re tra c c ió n de: 6 p eso u n itario : 5 re fo rza d o : 3, 9 re siste n c ia n o m in al a la c o m p re sió n : 3 586 C o n ten ció n , m u ro s de: 517 co n c o n tra fu e rte s (figura): 518 de g ra v ed ad : 517 (figura) en v o lad izo : 518 (figura), 519, 522 e stab ilid ad , a n á lis is de: 524 e stru c tu ra l, an á lisis: 528 p re d im e n sio n a m ie n to : 523 re fu erz o , c o lo c a c ió n del: 534 C o rtan te, fu erza: 132 n o m in a l to tal, fu erza: 132 re fu e rz o m ín im o de: 138 (vigas) re siste n c ia p ro p o rc io n a d a p o r el co n c reto : 135 re siste n c ia p ro p o rc io n a d a p o r el refu erzo : 135 a c c ió n en d o s d ire c c io n e s p a ra lo sas aéreas: 372, 374 (figura) a c c ió n en d o s d ire c c io n e s p a ra za p atas: 4 3 3 (figura), 434 C u an tía b alan c ead a : 24 (M éto d o E lá stic o ), 63 (M éto d o d e la R esisten cia) d efin ic ió n : 20 e sp e c ific a c ió n p a ra p -p ': 8 6 , 87 m á x im a de d ise ñ o (v ig a s): 69 m ín im a p a ra fle x ió n (vigas): 77 m ín im a p a ra flex ió n (losas m acizas): 77, 229, 230 p a ra v ig a s "T": 106 D e flex io n es co n tro l de: 96, 116 e v a lu a ció n : 123 larg o p lazo : 119 lím ite s p a r a : 119 D eriv a d e fin ic ió n : 311, 316 lím ite de: 316 D e sa rro llo , lo n g itu d de: 185, 207 (fig u ra), 212, 2 1 5 ,2 1 7 D iseño b ala n c e a d o , d e fin ic ió n : 17 587 Estructuras de C oncreto I Indice Alfabético e le m e n to s e stru c tu ra le s, de: 542 M é to d o D ire c to de: 369, 370 ó p tim o , d e fin ic ió n : 18 so b re -re fo rz a d o , d efin ic ió n : 17 su b -re fo rz a d o , d efin ic ió n : 18 F lu e n cia, m é to d o d e las lín e a s de: 357, 358 F ra n ja s, d iv isió n d e lo sas en: 3 4 4 , 351 a n á lis is de: 342, 343, 351, 352, 3 7 4 -3 7 6 F rag u a d o , re tra c c ió n de: 6 , 118, 126 fs, e s fu e rz o m áx im o a d m isib le d el a c ero a trac ció n , 19 fy, re siste n c ia n o m in a l a la flu e n c ia d el acero : 8 G a n c h o están d a r: 178, 180, 205 E fe c tiv a , altu ra: 18 E je n eu tro G iro, ra d io d e (e le m en to s a co m p re sió n ): 309 H o o k e , ley de: 16 L o sas d e fo rm a c io n e s re sp e c to al: 16 p ro fu n d id a d se g ú n M é to d o E lástico : 19, 35, 53 p ro fu n d id a d se g ú n M é to d o d e la R esiste n c ia : 61, 62 n e rv a d a s en u n a d irec ció n : 237 E lástico , m éto d o : 15 e sp e c ific a c io n e s: 239 e sp e so r m ín im o : 116, 117 an á lisis a p ro x im a d o : 240 a rm a d a s en d o s d irec cio n es: 333 a p o y a d a s en co lu m n as: 369, a p o y a d a s en lo s b o rd e s: 336, 344, 357 re fu e rz o en m aciz as: 346, 347 tip o s de: 333, 3 3 4 -3 3 5 (figuras) e sp e so re s m ín im o s p ara: 116, 117, 122, 226, 339, 340, 341 m a c iz a s en u n a d irec ció n : 225 E q u iv a le n te , M é to d o del P ó rtico : 369, 382, 403 E m p a lm e , lo n g itu d de: 176 en co lu m n as: 270, 271 E m p u je s o b re m u ro s: 5 2 0 -5 2 2 , 525, 527 E sb eltez , e fecto s de: en co lu m n as: 309 e v a lu a c ió n : 309 lo cales: 317 E sta b ilid a d e s p e s o r m ín im o : 116, 117, 122 re fu e rz o m ín im o : v e r c u a n tía re c u b rim ie n to m ín im o : v e r r e fu e r z o M ó d u lo ín d ice de: 311, 316 an á lisis d e (m uros d e c o n te n c ió n ): 524 d e e la stic id a d del co n c reto : 6 , d e e la stic id a d d el refu erzo : 8 de ru p tu ra del c o n c reto : 118 M o m e n to in te rio r re siste n te E stru c tu ra l (es) a n á lisis (m uros d e c o n te n c ió n ): 528 m é to d o s d e an á lisis: 542 no, d ise ñ o de e le m e n to s: 543 siste m as: 541 se g ú n M é to d o E lástico : 16, 20, 37, 42 se g ú n M é to d o d e la R e sisten cia: 62, 76, M o m en to fc, e sfu e rz o m á x im o a d m isib le de c o m p re sió n p o r flex ió n , f c, re siste n c ia n o m in a l del c o n c re to a la c o m p re sió n : F le x ió n , fó rm u la de la: 15 F lu e n c ia lenta: 6 , 96 588 10 4 10, 19 86 , 99, 105, 113 d e fisu ra ció n : 118 d e in e rc ia (según s e c c ió n tra n sfo rm a d a ): 3 5 , 5 3 d e in e rc ia e fe c tiv o (p ara el cá lc u lo d e d efle x io n es): 118 m a g n ific a c ió n de: 3 1 1 ,3 1 2 589 Indice Alfabético Estructuras de C oncreto I P e d e sta l (figura): 442 P ilo tes: 495, 4 9 8 (figura) P u n ta l ten so r, m éto d o : 503 R efu e rzo c u a n tía del: 2 0 d efin ic ió n : 3 d e sa rro llo d e la re sisten c ia: 173 d im e n sio n e s n o m in a le s d e las b arras: 11 d istrib u c ió n en la sec ció n : 22, 26, 77 e la sticid ad , m ó d u lo de: 8 e m p a lm e s del: 176, 177, 270 (colu m n as) en esp ira l: 267, 274 e sfu erzo de flu en cia: 8 e s fu e rz o -d e fo rm a c ió n (fig u ra): 9 e sfu e rz o d e trab a jo : 19 esp a c ia m ie n to m áx im o e n losas: 77, 78, 229, 230 e strib o s p erp e n d ic u la re s: 139 lím ite s d e e s p a c ia m ie n to p a ra c o rta n te : 137 (vigas), 272 (colum nas) lo n g itu d in a l d o b lad o : 141 lo n g itu d in a l p a ra to rsió n : 159 p a ra c o lu m n as: 2 6 8 -2 8 0 , 3 1 9 -3 2 9 re c u b rim ie n to m ín im o : 22 (vigas), 2 2 9 (losas), 270 (colum nas), 429, 443 (cim ientos) tra n sv e rsa l co m b in a d o p a ra c o rta n te y to rsió n : 165, 166 tra n sv e rsa l p a ra co rta n te: 135 tra n sv e rsa l p a ra to rsió n : 160 R e la c ió n m o d u lar: 10 R e sisten cia al a p la sta m ie n to : 441, 435 de d iseñ o : 75 (flex ió n ), 282 (c o lu m n a s) M é to d o d e la: 58 R io stra s en lo sa alig erad a: 239, 252 (figura) S e g u rid a d , fa c to r de: 7 2 -7 5 (flexión), 283, 292 (co lu m n as) T o rsió n re fu e rz o p ara: 150, 166, 167 re s is te n c ia n o m in a l a la: 150 T ra sla p o , lo n g itu d de: 176, 270 V ig as d e ca p ite l: 377, 3 7 8 (fig u ra), 381 re c ta n g u la re s: 18, 48, 58, 85 "T": 40, 101 V ig u e ta s e sp e c ific a c io n e s: 239 diseñ o : 246 W h itn ey , M é to d o de: 65 definición: 158 590 591 Estructuras de C oncreto I La 7a. E dición de E structuras de C oncreto I se term inó de im prim ir en los talleres de A yala A vila y Cia Ltda a los30 días del m es de A bril de dos m il once 594