Examen 2012-1 Calculo II pauta

1er. Semestre 2012
Carrera: Ing Civil
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Examen Cálculo II
1.
Calcule el área de la región limitada por las curvas y = x − 1
x − 3y + 1 = 0 .
y
Solución:
Las intersecciones de las curvas son
0,3 pto
los puntos (2, 1) y (5, 2).
El área pedida se puede calcular de dos maneras:
2
A = ∫ (3 y − 1 − y
1
2
(
− 1) dy = − 1 y 3 + 3 y 2 − 2 y
2
3
)| = − 83 + 6 − 4 + 13 − 32 + 2 = 16
2
1
0,6 pto
0,6 pto
O bien,
(
)
5
5
1
A = ∫ ( x − 1 − 1 x − 1 ) dx = 2 ( x − 1) x − 1 − 1 x 2 − 1 x | = 16 − 25 − 5 + 2 =
3
3
3
6
3
3
6
3 3
6
2
2
2.
La trayectoria de un móvil está determinada por las ecuaciones paramétricas:
t
sen z
∫ z + 1 dz ,
0
x(t ) =
y (t ) =
t
cos z
dz , con t > 0 .
z
+
1
0
∫
Calcule la distancia recorrida por este móvil desde t = 0 a t = π .
2
Solución:
Por el Teorema fundamental del Cálculo, x' (t ) =
Luego ( x' (t )) 2 + ( y ' (t )) 2 =
π
d=
2
∫
0
π
2
sen 2 t
(t + 1)
2
+
cos 2 t
(t + 1)
2
π
=
sen t
cos t
, y ' (t ) =
t +1
t +1
1
(t + 1) 2
( )
2
1
dt = ∫
dt = ln(t + 1) | = ln π + 1
2
t +1
(t + 1) 2
0
0
1
0,5 pto
y la distancia recorrida es:
0,5 pto
0,5 pto
1
3.
Considere la función f ( x) = 2π e − π x , con x ∈ ℜ . Demuestre que la integral impropia
∞
∫
x f ( x) dx converge al valor
0
2
.
π
Solución:
∞
∫
x f ( x) dx =
0
∞
∫ 2π x e
− πx
b
∫
b →∞
dx = 2 π lim
0
x e − πx dx
0,3 pto
0
Integrando por partes con u = x , dv = e − πx dx , du = dx y v = − 1 e − πx , se tiene que
π
∞
b
b


 − 1 x e −πx | + 1 e −πx dx 
=
π
(
)
2
lim
x
f
x
dx
∫
∫
π

b→∞ π
0
0
0


b


−πb 1  1 −πx  
1

= 2π lim − π b e
+ π − πe
| 

b→∞
0



(
= 2 lim − b e −πb − π1 e −πb + π1
b→∞
=
b
b → ∞ e πb
b→∞
a)
)
2
π
puesto que lim b e − πb = lim
4.
0,6 pto
1
= lim
b → ∞ π e πb
= 0 (Regla de L’Hôpital)
0,6 pto
Determine el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie de
∞
potencias
( x + 1) n
.
(
1
)
n
n
+
n =1
∑
Solución: Aplicamos el Criterio de la razón absoluta,
ρ = lim
n →∞
( x + 1) n +1 n(n + 1)
(n + 1)(n + 2)( x + 1)
n
n
= | x + 1|
n →∞ n + 2
= x + 1 lim
La serie converge para los x tales que ρ = | x + 1| < 1 , es decir, − 2 < x < 0 .
0,3 pto
∞
(−1) n
1
∑ n + 1 , serie alternante convergente puesto que an = n + 1
n =1
0,2 pto
es una sucesión decreciente y convergente a cero.
Si x = -2, la serie es
2
∞
1
que es convergente, según, por ejemplo, el
n =1 n( n + 1)
∞ 1
criterio de comparación con la p-serie convergente ∑
.
0,2 pto
2
n
n =1
Si x = 0 , la serie queda
∑
Por lo tanto, el radio de convergencia de la serie es R = 1 y el intervalo de convergencia
es I = [−2, 0] .
0,1 pto
 x
b) Desarrolle en serie de Maclaurin la función f ( x) = cos   .
2
f ( x) =
Solución:
∞
f ( n) (0) n
∑ n! x
n =1
0,1 pto
En este caso, f ' ( x) = − 1 sen x , f ' ' ( x) = − 1 cos x , f ' ' ' ( x) = 1 sen x ,
2
2
4
2
8
2
f (iv ) ( x) = 1 cos x , f (v ) ( x) = − 1 sen x , f (vi ) ( x) = − 1 cos x , .......
16
2
32
2
64
2
Por lo tanto,
f ( x) =
f ' ( 0)
f ' ' ( 0) 2
f ' ' ' ( 0) 3
f ( 0)
f ( iv ) (0) 4
f ( v ) ( 0) 5
+
x+
x +
x +
x +
x + ........
0!
1!
2!
3!
4!
5!
= 1 − 1  1  x 2 + 1  1  x 4 − 1  1  x 6 + ........
4  2! 
16  4 ! 
64  6 ! 
=
∞
(−1) n x 2n
n=0
2 2 n ( 2n) !
∑
0,3 pto
0,3 pto
3