1.- Una persona quiere ahorrar una cierta cantidad anual para comprar un auto dentro de cuatro años. El auto cuesta ahora $28,000. Se espera que la inflación anual en los siguientes cuatro años sea de 12%. Si el dinero se deposita en un banco que paga un interés de 10 % anual ¿de cuánto serán los cuatro depósitos anuales iguales que deberá hacer para que exactamente al hacer el último depósito pueda comprar el auto, si el primer depósito lo hace dentro de un año? El ejercicio debe resolverse en dos partes, primero tomando la inflación anual para determinar el valor final del automóvil al final de los 4 años. Se presenta como un valor futuro dado el valor presente, con una tasa de inflación de 12% por 4 años. La fórmula es la siguiente: 𝐹 = 𝑃(𝐹 ⁄𝑃 , 𝑖, 𝑛) Dónde: i es la tasa de inflación anual n es el número de años Y F⁄P es una constante tabulada para la condición determinada En éste caso F⁄P=1.5735 Quedando finalmente: F = P(F⁄P , 12,4) F = 28000(1.5735) F = 44059$ Ahora se procede a determinar la segunda parte. La cual corresponde a las anualidades que habría que pagar a una tasa de inflación de 10% durante 4 años. Dado por la fórmula: A = F(A⁄F , i, n) Para el presente caso A⁄F = 0.21547 Quedando: A = F(A⁄F , 10,4) A = 44059(0.21547) A = 9493$ Por lo que se concluye que harán falta 4 cuotas de 9493$ para poder comprar el auto. 2.- Un terreno tiene un valor de $ 100 000 el día de hoy. La TMAR de su propietario, sin incluir inflación, es de 7% Si se espera que la inflación anual sea de 10% los próximos 5 años y de 12% los siguientes 5, ¿en cuánto debe vender el terreno el dueño, al final de 10 años, para ganar su TMAR compensando la pérdida inflacionaria? Se debe determinar la TMAR para ambos periodos de % año, quedando pata los primeros 5 años: TMAR′ = 0.07 + 0.1 + (0.07 ∗ 0.01) = 0.177 o 17.7% Y para los siguientes 5 años: TMAR′ = 0.07 + 0.12 + (0.07x0.12) = 0.1984 o 19.84% Como el propietario espera que su dinero crezca a estas tasas en los periodos señalados, entonces deberá vender el terreno al final de los 10 años en: F = 100000(1 + 0.177)5 ∗ (1 + 0.1984 )5 = $558331 3.- Un hombre compró un auto al principio de 1986 en $3,200 y lo vendió al final de 1991 en $15,000. La economía del país donde vive tuvo los siguientes valores de inflación: en 1986 de 122%, en 1987 de 179%, en 1988 de 86 %, en 1989 de 62 %, en I990 de 55% y en 1991 de 48%. Al vender el auto, ¿cuál fue el porcentaje del valor inicial que obtuvo al venderlo en $ 15,000, en dinero del periodo cero? Tomando en cuenta que la tasa de inflación anual se determina mediante: ft+1 = Pt+1 − Pt ∗ (100) Pt Dónde: Pt = Precio del bien o servicio del año Pt+1 = Precio del bien o servicio del año siguiente f = Índice de inflación Puesto que en el presente ejercicio se proporciona la tasa de inflación anual y se desea hallar la tasa presente (1986), se despeja la ecuación quedando: Pt = Pt+1 ft+1 (100 + 1) Al aplicar esta formula para cada año y sustituir para el valor presente en 1968, queda: P1986 = 15000 (1.22 + 1) ∗ (1.79 + 1) ∗ (0.86 + 1) ∗ (0.62 + 1) ∗ (0.55 + 1) ∗ (.48 + 1) = $350 Por lo que el equivalente para el año 1986 de la venta en 1991, es $350 solo un 10.9% del valor inicial de la compra es recuperado. 4.- Una empresa necesita contar con una copiadora y tiene dos opciones para obtenerla: puede comprarla a un precio de $18000, en cuyo caso tendría que pagar además el mantenimiento anual que asciende a $3000 en dinero del año cero. Su valor de salvamento se calcula en $2500 al final del quinto año. También puede rentarla por el mismo periodo, teniendo que pagar renta por adelantado en cada año de uso; con esta opción no hay más gastos adicionales. La TMAR de la empresa es 5% sin incluir inflación. Si se ha calculado que el nivel de inflación será de 10% los próximos cinco años, ¿cuál es la cantidad uniforme que se debe pagar de renta durante los cinco años, para que las opciones de compra y renta sean indiferentes? A) Opción de compra: 0 4026 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3300 3360 3993 4392 5 8 0 0 4832 0 18000 0 Las cantidades del diagrama se calcularon con una inflación de 10% año Costo anual 0 3000 1 3300 2 3360 3 3993 4 4392 5 4832 El valor de salvamento se determinó mediante la siguiente ecuación: VS = 2500(1 + 0.5)5 = 4026 La TMAR' (con inflación) se calcula como: TMAR − 0.05 + 0.1 + (0.05 x 0.1) = 15.5% La ecuación que representa el VP del diagrama de compra es: 3300 3630 3993 4392 + + + 2 3 (1 + 0.155) (1 + 0.155) (1 + 0.155) (1 + 0.155)4 4832 − 4026 + (1 + 0.155)5 VPc = 18000 + VPc = $28851 El VS se resta al costo del quinto año puesto que es un ingreso. B) Opción de renta: al ser un sistema de pago por adelantado puede representarse en la forma del siguiente gráfico: A 0 A 1 A 2 A A 3 4 Es decir, el pago por adelantado para el uso de la copiadora durante el primer año se efectúa en el periodo cero, del mismo modo que al final del cuarto año se paga adelantada la renta del quinto año. El VP del diagrama se calcula como: VPR = A + A A A A + + + 2 3 (1 + 0.155) (1 + 0.155) (1 + 0.155) (1 + 0.155)4 VPR = 3.8263 ∗ A La condición para que ambas opciones sean indiferentes es que VPC = VPR , es decir, que sus costos sean iguales en un mismo instante de tiempo. Por lo tanto: 28851 = 3.8263 ∗ A A = 7540 5.- Una persona desea comprar un auto cuyo precio actual es de $41 000 y cuenta con el dinero para realizar la compra. Sin embrago, recibe el consejo de invertir su dinero a una tasa de ganancia constante de 11% anual durante cinco años. Las expectativas inflacionarias para ese periodo son de 8% los dos primeros años, 10% los dos siguientes y de 16% el último año. Determínese si es conveniente comprar ahora el auto o posponer la compra, suponiendo que el auto sólo aumentará de precio debido a la inflación. Se procede a determinar el valor futuro de la inversión en 5 años, dada por la fórmula: F = P(F⁄P , i, n) Los términos de la ecuación ya fueron explicados en el ejercicio 1. Finalmente la ecuación queda: F = 41 000(F⁄P , 11,5) F = 41 000(1.6851) F = 69 089.1 Luego se procede a determinar el precio del automóvil con las tasas inflacionarias anuales. Este procedimiento se realiza utilizando la fórmula utilizada para determinar el valor futuro de la inversión, la única diferencia es que debe ser realizado por partes pues existen tres tasas de inflación distintas. Entonces el valor futuro de la primera ecuación, será el valor presente de la siguiente. Se enumerará con un subíndice cada una de las etapas donde la inflación anual varíe. Entonces: Inflación, 8% por dos años F1 = 41 000(F⁄P , 8,2) F1 = 41 000(1.1664) F1 = 47 822.4 Inflación, 10% por dos años F2 = F1 (F⁄P , 10,2) F2 = 47 822.4(F⁄P , 10,2) F2 = 47 822.4(1.2100) F2 = 57 865.104 Inflación, 16% por un año F3 = F2 (F⁄P , 16,1) F3 = 57 865.104(F⁄P , 16,1) F3 = 57 865.104(1.1600) F3 = 67 123.5204 Finalmente, simplemente restando los valores resultantes F-F3 , se puede determinar si la inversión es favorable o no: 69 089.167 − 67 123.5204 = 1 965.64 El valor positivo obtenido indica que la inversión es favorable, pues en 5 años será aun posible comprar el automóvil y obtendrá además $1 965.64 como resultado de su inversión.
