Subido por Hecthor Masos

UNICIENCIA - Álgebra

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INDICE
Presentación.................................................................................................................................................
11
CAPÍTULO 01: LÓGICA PROPOSICIONAL
Biografía: Gottlob Frege...............................................................................................................................
Enunciado.....................................................................................................................................................
Proposición...................................................................................................................................................
Variables lógicas...........................................................................................................................................
Clases de proposiciones...............................................................................................................................
Conectivos lógicos........................................................................................................................................
Tablas de verdad o Wilttgenstein..................................................................................................................
Estudio de los conectivos lógicos.................................................................................................................
Tautología, contradicción y contingencia......................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
13
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14
14
14
15
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32
CAPÍTULO 02; CONJUNTOS
Biografía: Georg Cantor...............................................................................................................................
Definición......................................................................................................................................................
Nomenclatura...............................................................................................................................................
Relación de pertenencia (e ).........................................................................................................................
Determinación de un conjunto......................................................................................................................
Clases de conjuntos......................................................................................................................................
Relaciones entre conjuntos..........................................................................................................................
Comparación entre conjuntos.......................................................................................................................
Representación gráfica de los conjuntos......................................................................................................
Operaciones con conjuntos...........................................................................................................................
Número de elementos de un conjunto..........................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
39
40
40
40
40
40
40
41
41
41
43
45
58
60
CAPÍTULO 03: EXPONENTES Y RADICALES EN IB
Biografía; Christoph Rudolff.........................................................................................................................
Leyes de exponentes....................................................................................................................................
Ecuaciones exponenciales...........................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas pospuestos..................................................................................................................................
67
68
70
71
82
84
CAPÍTULO 04: EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Biografía; Jean D’AIembert...........................................................................................................................
Conceptos previos........................................................................................................................................
Expresiones algebraicas...............................................................................................................................
Expresiones trascendentes...........................................................................................................................
Término algebraico.......................................................................................................................................
Clasificación de las expresiones algebraicas...............................................................................................
Valor numérico de un polinomio y cambio de variables...............................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
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90
91
91
91
91
93
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
97
98
CAPÍTULO 05: GRADOS
Biografía: Simón Stevin................................................................................................................................
Definición......................................................................................................................................................
Clases de grados..........................................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
101
102
102
104
108
109
CAPÍTULO 06: POLINOMIOS ESPECIALES
Biografía: Évariste Galois.............................................................................................................................
Definición......................................................................................................................................................
Polinomio homogéneo..................................................................................................................................
Polinomio ordenado......................................................................................................................................
Polinomio completo.......................................................................................................................................
Polinomio completo y ordenado............................................................................ .......................................
Polinomios idénticos.....................................................................................................................................
Polinomios idénticamente nulos...................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
113
114
114
114
114
114
114
114
116
120
123
CAPÍTULO 07: MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA - PRODUCTOS NOTABLES
Biografía: Adrien-Marie Legendre.................................................................................................................
Mulliplicación algebraica...............................................................................................................................
Productos notables.......................................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
127
128
128
131
143
144
CAPÍTULO 08: DIVISIÓN ALGEBRAICA - COCIENTES NOTABLES
Biografía: Paolo Ruffini.........................................................
División algebraica.......................................................................................................................................
División de polinomios..................................................................................................................................
Regla de Ruffini............................................................................................................................................
Teorema del residuo......................................................................................................................................
Divisibilidad poiinómica.................................................................................................................................
Residuos especiales.....................................................................................................................................
Cocientes notables.......................................................................................................................................
Probiemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI...............................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
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155
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CAPÍTULO 09: FACTORÍZACÍÓN
Biografía: Jean-Robert Argand.....................................................................................................................
177
Definición......................................................................................................................................................
178
Polinomio primo................................................................................................................................................. 178
Métodos de faetorización..............................................................................................................................
178
Faetorización reciproca o recurrente............................................................................................................
184
Método de los artificios.................................................................................................................................
186
Faetorización simétrica y alternativa............................................................................................................
187
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
189
_________________
A lg ebra ■
Problemas de examen de admisión UNI................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
198
200
CAPÍTULO 10: MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
FRACCIONES ALGEBRAICAS
Biografìa: William Homer..............................................................................................................................
Máximo común divisor (MCD).......................................................................................................................
Mínimo común múltiplo (MCM).....................................................................................................................
Fracciones algebraicas.................................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
205
206
206
208
213
218
219
CAPÍTULO 11: POTENCIACIÓN • BINOMIO OE NEWTON
Biografía: Isaac Newtori...............................................................................................................................
Factorial de un número entero y positivo.....................................................................................................
Cofactorial o semifactorial............................................................................................................................
Análisis combinatorio....................................................................................................................................
Binomio de Newton......................................................................................................................................
El triángulo de Pascal o Tartaglia.................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
225
226
226
227
232
237
239
250
252
CAPÍTULO 12; RADICACIÓN
Biografía: Gerolamo Cardano.......................................................................................................................
Definición......................................................................................................................................................
Clasificación..................................................................................................................................................
Homogeneización de radicales.....................................................................................................................
Valor aritmético de un radical.......................................................................................................................
Valor algebraico de un radical......................................................................................................................
Raíz cuadrada de polinomios.......................................................................................................................
Transformación de radicales dobles a suma o diferencia de radicales simples o sencillos........................
Racionalización............................................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
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258
258
258
258
258
258
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275
CAPÍTULO 13: NÚMEROS COMPLEJOS
Biografía: Lodovico Ferrari...........................................................................................................................
Cantidades imaginarias................................................................................................................................
Potencias de la ur\idad imaginaria................................................................................................................
Número complejo.........................................................................................................................................
Representación gráfica de los números complejos......................................................................................
Operaciones con números complejos..........................................................................................................
Propiedades de las raíces cúbicas de la unidad..........................................................................................
Fórmula de Euler...........................................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
281
282
282
282
283
283
285
285
288
300
303
CAPÍTULO 14: MATRICES Y DETERMINANTES
Biografía: Gabriel Cramer.............................................................................................................................
Matrices.........................................................................................................................................................
Orden de una matriz.....................................................................................................................................
309
310
310
Matrices especiales......................................................................................................................................
Igualdad de matrices....................................................................................................................................
Operaciones con matrices............................................................................................................................
Transpuesta de una matriz...........................................................................................................................
Taza de una matriz A [TrazíA)].....................................................................................................................
Matrices cuadradas especiales....................................................................................................................
Caracteristicas notables de algunas matrices cuadradas............................................................................
Determinantes..............................................................................................................................................
Menor complementario de una componente................................................................................................
Determinante de Vandennonde....................................................................................................................
Matriz inversa...............................................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
310
310
310
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312
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312
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313
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333
CAPÍTULO 15: TEORÍA DE ECUACIONES
Biografía: Al-Juarism i ...............................................................................................................................
Igualdad.........................................................................................................................................................
Clasificación.................................................................................................................................................
Conjunto solución de una ecuación (CS).....................................................................................................
Clases de ecuaciones..................................................................................................................................
Teorema para transformar ecuaciones en equivalentes...............................................................................
Ecuaciones de primer grado.........................................................................................................................
Sistemas de ecuaciones...............................................................................................................................
Sistema de ecuaciones lineales o de primer grado......................................................................................
Sistemas lineales: el método de eliminación de Gauss y Gauss-Jordan................................
Ecuaciones de segundo grado.....................................................................................................................
Ecuaciones de grado superior......................................................................................................................
Ecuaciones recíprocas.................................................................................................................................
Sistemas de ecuaciones de segundo grado y grado superior......................................................................
Ecuaciones cúbicas y cuárticas....................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
341
342
342
342
342
342
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389
CAPÍTULO 16: DESIGUALDADES - INECUACIONES - VALOR ABSOLUTO
Biografía: Bernhard Riemann.......................................................................................................................
Desigualdades..............................................................................................................................................
Axiomas de relación de orden......................................................................................................................
Relaciones que expresan desigualdades.....................................................................................................
Clases de desigualdades.............................................................................................................................
Intervaio.........................................................................................................................................................
Propiedades generales de las desigualdades..............................................................................................
Inecuaciones................................................................................................................................................
Gráfica de desigualdades con dos variables................................................................................................
Valor absoluto...............................................................................................................................................
Ecuaciones con valor absoluto.....................................................................................................................
Inecuaciones con valor absoluto..................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
401
402
402
402
402
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403
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411
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432
CAPÍTULO 17: PROGRAMACIÓN LINEAL
Biografía: George Dantzig............................................................................................................................
Definición...............
443
444
Desigualdades lineales..................................................................................................................................
Sistema de inecuaciones..............................................................................................................................
Problema general..........................................................................................................................................
Problemas resueitos......................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos...................................................................................................................................
c a p ít u l o
444
444
446
452
462
465
18: SUCESIONES Y SERIES
Biografía: Gustav Dirichiet............................................................................................................................
Sucesiones....................................................................................................................................................
Series............................................................................................................................................................
Problemas resueltos......................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
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470
470
474
483
485
CAPÍTULO 19: PROGRESIONES
Biografía: Fibonacci.......................................................................................................................................
Progresión.....................................................................................................................................................
Progresiones aritméticas (PA)......................................................................................................................
Progresiones geométricas (PG)...................................................................................................................
Problemas resueltos......................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..i...............................................................................................................................
491
492
492
495
499
506
508
CAPÍTULO 20: RELACIONES Y FUNCIONES
Biografía: Leonhard Euler.............................................................................................................................
Definiciones previas.....................................................................................................................................
Relación.........................................................................................................................................................
Función.........................................................................................................................................................
Dominio y rango de una función...................................................................................................................
Función de variable real...............................................................................................................................
Funciones especiales y representación gráfica............................................................................................
Gráfica de funciones de fonmas especiales..................................................................................................
Tipos de funciones: inyectiva, suryectiva, biyectiva.....................................................................................
Operaciones con funciones..........................................................................................................................
Composición de funciones...........................................................................................................................
Funciones monótonas crecientes y decrecientes.........................................................................................
Función inversa............................................................................................................................................
Función exponencial.....................................................................................................................................
Gráfica de la función exponencial................................................................................................................
Función exponencial de base e ....................................................................................................................
Inecuaciones exponenciales........................................................................................................................
Función logarítmica......................................................................................................................................
Gráfica de la función logarítmica..................................................................................................................
Problemas resueltos.....................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos..................................................................................................................................
513
514
514
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520
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521
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536
538
CAPÍTULO 21: LOGARITMOS
Biografía: John Napier..................................................................................................................................
Definición......................................................................................................................................................
Igualdades fundamentales...........................................................................................................................
Propiedades generales.................................................................................................................................
Cologaritmo (colog)......................................................................................................................................
Antilogaritmo (antilog)................................................ ..................................................................................
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548
548
548
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549
Logaritmos cxtmo progresiones.....................................................................................................................
Sistema de logaritmos...................................................................................................................................
Logaritmos de números negativos................................................................................................................
Operaciones con logaritmos decimales........................................................................................................
El número e y los logaritmos naturales........................................................................................................
Problemas resueltos......................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos...................................................................................................................................
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549
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552
555
562
564
CAPÍTULO 22: LÍMITES Y DERIVADAS
Biografía; Gottfried Leibniz............................................................................................................................
Limite.............................................................................................................................................................
Formas determinadas....................................................................................................................................
Formas indeterminadas.................................................................................................................................
Derivadas......................................................................................................................................................
Regla de L'Hospital-Bernoulli.......................................................................................................................
Máximos, mínimos y representación gráfica de funciones...........................................................................
Problemas resueltos......................................................................................................................................
Problemas de examen de admisión UNI......................................................................................................
Problemas propuestos...............................................................................................
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570
570
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588
590
Lógica
proposicional
_o
z>
a
o
o
Friedrich Ludwig Gottlob Fre§e
nació el 8 de noviem bre de 1848
en Wismar y m urió el 26 de ju­
lio de 1925 en Bad Kleinen. Fue
un m atem ático. lógico y filósofo
alem án, padre de la lógica m a­
tem ática y la filosofía analítica.
Frege es am pliam ente reconoci­
do com o el m ayor lógico desde
Aristóteles. Com enzó sus estu­
dios en la Universidad de Jena
en 1 869 trasladándose a Gotinga
para com pletar sus estudios de
Física. Quím ica, Filosofía y Ma­
temáticas. licenciándose en esta
últim a en 1873.
En 1879. Frege publicó su revo­
lucionaria obra titulada Concep-
tografía o Escritura de concep­
tos. en la que sentó las bases de
la lógica m atem ática m oderna.
M ediante la introducción de una
nueva sintaxis, co n la inclusión de los llam ados cuantificadores «para todo» o «para ai m enos
un» perm itió formalizar una enorm e cantidad de nuevos argum entos. También fue el prim ero
en distinguir la caracterización formal de las leyes lógicas de su contenido sem ántico.
Frege fue un defensor deí logícismo y de la ¡dea de que las m atem áticas son reducibles a la
lógica, en el sentido de que las verdades de la m atem ática son deducibles de las verdades de
la lógica. Sin em bargo, su defensa del logicismo era de alcance limitado, aplicándola solo a la
aritm ética y a la teoría de conjuntos, puesto que Frege perm aneció en gran m edida feantiano
respecto de la geom etría. Su obra titulada Leyes básicas de la aritmética fue un intenio de llevar
a cabo el proyecto logicista.
Fuente: Wifeipedia
<4 ENUNCIADO
Compuestas o moleculares
Es toda frase u oración (escrita o hablada).
Aquellas que están compuestas de dos o más propo­
siciones.
Ejem plos;
El muro está hecho de ladrillo
Quiero ese juguete.
¡Fuera!
¿Quién es?
2+ 3= 5
<<l PROPOSICIÓN
Es aquel enunciado al que se le puede asignar sola­
mente uno de los llamados valores de verdad (verda­
dero o falso).
Ejem plos:
Ejem plos:
Pedro es marino y
p
q
Luis se encuentra en Lima o se encuentra en Europa
P
No se consideran proposiciones a las preguntas, inter­
jecciones, mandatos, deseos, dudas o a cualquier otro
enunciado que no indique una vendad o falsedad.
Son símbolos que permiten ligar o enlazar una proposi­
ción con otra. Entre los cuales tenemos:
V
yo A
A
Ejem plos:
O
¿Cuál es tu nombre?
¡Eder, ayúdame!
Apaga el ventilador
¡Fuera!
En el lenguaje de ia lógica las proposiciones se denotan
por lo general con las siguientes letras del alfabeto: p,
q. r, s, t, etc.
Ejem plos:
P : Felipe es futbolista
P
Significado
negación
no p
disyunción inclusiva
poq
disyunción exclusiva
0p0q
conjunción
pyq
condicional
p entonces q
blcondicional
p si y solo si q
Rosa es doctora
q
Toda variable lógica p puede ser sustituida por cual­
quier enunciado y sus posibles valores de verdad son;
Verdadero (V)
Falso (F)
Para dos variables:
P
q
V
V
V
F
F
V
F
F
Para tres variables:
P
V
V
V
V
F
F
F
F
^ CLASES DE PROPOSICIONES
Simples o atómicas
Son aquellas que están compuestas de una sola pro­
posición.
Ejem plos:
p: Roberto estudia.
q; La mesa es de color manrón.
Pueden ser de dos tipos:
I. Predicativa; cuando establece una característica
o cualidad del sujeto.
Ejem plo:
ti.
Operación
^ TABLAS DE VERDAD O WITTGENSTEIN
<4 VARIABLES LÓGICAS
Q: Mario es ingeniero y
p
q
<4 CONECTIVOS LÓGICOS
Símbolo
El azufre es de color amarillo.
Los mamíferos son vertebrados.
Los canguros se encuentran en Australia.
Raúl es gimnasta
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
De donde: N = 2"; (n = n.® de variables)
^ ESTUDIO DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS
p: Pedro es basquetbolista.
Negación (~)
Relacionante: cuando establece una comparación
entre dos o más sujetos.
Ejem plo:
Tiene como significado no; no es cierto que; es fólso
que, etc.
q: Eder es más fuerte que Jorge.
Ejem plo:
Sea p: La nube es blanca.
Condicional (=»)
Su negación será ~p: La nube no es bianca.
Siendo su tabla de verdad:
p
V
~P
F
F
V
Cuando se usa el conectivo (entonces) y se puede cam­
biar por: luego, por lo tanto, ya que, es consecuencia.
Ejem plo:
Si estudias entonces apruebas.
p
Disyunción (V)
Disyunción débil o Inclusiva (v). Tiene como signi­
ficado (O), indica dentro de ia proposición que la ocu­
rrencia de uno de elios no descarta la ocurrencia del
otro.
=»
P
V
V
F
F
Ejem plo:
El veneno es mortal o
dañino
q
V
F
V
F
p =» q
V
F
V
V
Bicondicionai («»)
Su tabla de verdad es:
Está representado por el (si y solo si).
p vq
V
q
V
F
F
V
V
F
F
F
P
V
q
Su tabla de verdad es;
Ejem plo:
V
Todo número es par si y solo si es divisible por 2.
V
P
q
Su tabla de verdad es:
p«q
V
Fuerte o exclusiva (A o v ) . Tiene como significado
(O... O -..). Indica dentro de una proposición molecular
la ocurrencia de uno de ios hechos más no la de ambos.
P
V
V
q
V
F
Ejem plo:
F
V
F
F
F
V
O Luis se encuentra en Lima o se encuentra en Brasii
F
El valor de verdad de las proposiciones compuestas se
puede determinar a partir del valor de verdad de sus
componentes.
Su tabla de verdad es:
P
q
p A q
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
<4 TAUTOLOGÍA. CONTRADICCIÓN Y CONTIN­
GENCIA
Evaluar una fórmula proposicional consiste en haliar su
tabla de valores de verdad, pueden ser:
Tautología
Conjunción (a)
Si todos los valores de verdad son verdaderos.
Cuando se usa ei término de enlace (y), también puede
hacerse ta consideración para las siguientes palabras:
pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, no obs­
tante, dado que, etc.
Contradicción
Ejem plo:
Si algunos valores de verdad son verdaderos y otros
falsos.
Su tabla de verdad es:
2+2 = 4
3+4= 7
P
V
q
V
p A q
V
F
F
F
V
F
F
F
F
V
Si todos los valores de verdad son falsos.
Contingencia
Ejem plo:
1.
De las siguientes proposiciones:
I. Tol<ío es la capital de Japón, es una proposición
verdadera.
II, Ricardo Palma fue arequipeño, es una contra*
dicción.
III. Falsa, la coma (.) intermedia indica (entonces),
luego se trata de una condicional.
III. - p v q tiene la misma tabla de valores de ver­
dad que p q.
IV. ¡Vamos Boysl, es una proposición.
IV. Verdadera, ya que:
Determinar sus valores de verdad.
P
V
V
Resolución:
I. Verdadera
V
V
V
II. Faisa. es una afirmación.
p
q
~P
V
q
p
V
V
F
Tvl
V
V
q
Tvl
V
F
F
1^ 1 F
V
1P 1 F
F
V
V
1V 1 V
F
1v 1 V
F
F
V
F
lV j
F
lV j
V
V
V
V
F
F
•
Verdadera, tiene la misma tabla de valores de
verdad.
IV. Falsa, las exclamaciones no son proposiciones.
4.
[(P A q) V
V
V
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
F
F
(1)
~P]
P
5.
De las proposiciones:
I. 3 + 4 = 7, es una tautologia,
li. jArríba Perú!, es una proposición.
III. José es un buen estudiante, aprobará el ciclo
en ía universidad, es una disyunción.
IV. (p =» q) V (~r =» t), es una contingencia.
Resolución:
I. Falsa, es una proposición.
II. Falsa, es un enunciado.
V
F
F
V
V
V
•
•
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
V
•
•
F
V
•
.
;
•
La proposición es
verdadera.
Si la proposición compuesta;
[(p « q) V (q V ~r)] es falsa; determine los valores
de verdad de p; q y r.
Si la proposición compuesta:
(p ^ q) V ~[(q A ~r) v (r a ~q)] v ~(p v r) es falsa,
determine los valores de verdad de p, q y r.
Resolución:
Sea: a = (p =»q); b = ~[{q a ~r) v (r a ~q)] y c = ~(p v r)
Entonces se tendrá:
a V b V c = F; donde soío es posible sí a = F; b = F
y c = F.
Entonces: a = (p ^ q ) = F (así: p = v y q = F)
b = ~l(q A ~ r ) v ( r A ~ q ) l = F y c = ~ ( p v r ) s F
í(q A ~ r) V ( r a ~ q ) ] = V
pvr = V
F
F
V
V
como p = V
F
V
r= VoF
(3) (2) (4)
Determinar sus valores de verdad.
V
Entonces;
(p =» q) = F; donde solo se cumple si p = V y q = F.
(q V ~r) = F; de lo anterior se sabe que q = F; luego
~r debe ser F, entonces r = V.
Finalmente: p = V ;q = F y r = V
Et resultado (4) es equivalente a la proposición p.
Respuesta (IV).
3.
F
F
V
(P =» -q ) V (~r ^ t)
V
F
V
F
V
V
V
F
V
Resolución:
Por condición:
[(p =» q) V (q V ~r)l = F
Resolución:
Evaluando la fórmula, se tendrá:
q
F
F
V
t
V
F
Se trata de una
contingencia.
Al evaluarla fórmula lógica: [(p a q) v ~p] » p
Se obtiene que su tabla de valores de verdad es
equivalente a:
I. q
II. p A q
fll. ~q
IV. p
V. - p
P
V
F
F
r
V
V
F
‘----- iguales— '
2.
q
V
V
V
Finalmente; p = V; q = F; r = V
6.
Determine si estas proposiciones son motecutares
o atómicas.
I. La teoría de Newton es correcta pero la de
Einstein más moderna.
II. Sí una persona se corta la yugular por lo tanto
se desangra.
III. X + 1 = 3
IV. Fortunato cobra su sueldo y no trabaja.
Resolución:
I. 2 proposiciones » Molecular
1 conjunción (pero)
II. 2 proposiciones ^ Molecular
1 condicional (por lo tanto)
III. 1 proposición
» Atómica
IV. 2 proposiciones =» Molecular
1 conjunción (y)
7.
9.
•
F
=» F
= V
8 es mayor que 4 o 7 es menor que 5
VÌ6 = 4
•
V
T
=F
2 < 4 «^12 + 5 < 4 + 5
V
8.
«•
=V
y -3 ^ = 9
F
F
Donde: ~p a q = V
p = F ;q = V
También:
~r =3 ~s = F
r = F; s = V
V
T
II. ( p v q ) « ~ ( q v p ) : q = V
III. (~p v q ) =»r; r = V
Determinar si la información es suficiente o no para
hallar el valor de verdad de ias proposiciones.
Resolución:
I. p a (~q V r)
:
r= V
T
= F
W FF
Se sabe que; (p a q) = V; (q t) = F y se arirma:
I. ~ H q A p ) A p ]
II. ~ ( ~ p v t ) v q
lil. [~p V (q A M)] « ~(q => t)
Determinar cuáles son verdaderas.
Resolución :
De;
p A q = V » p = V;q=V
Pero:
q=» t = F
Entonces;
q = V; t = F
Enl: ~[~(VAV)AV] = ~[~(V)AV] = ~t FAV] =~F = V
P R O B LEM A S
1.
Si la pnDposición: ~[(~p A q)
(~r =» ~s)] es ver­
dadera, determinar ^ valor de verdad de p, q, r, s.
10. Dadas las proposiciones;
I. p A ( ~ q v r ) ; r = V
Si: 5 + 3 = 7. entonces 7 < 6
.
F
Resolución:
~t(~p A q) =» (~r => ~s)l = V
(~p A q) =*■(~r =» ~s) = F
•
F
F) V V = ~F v V = V V V = V
V
Resolución:
V
V
Enlll: [Fv(VAV)]o~(V=»F) = [ V ] « V = V
Todas son verdaderas
De las siguientes proposiciones compuestas:
• Si; 5 + 3 = 7, entonces 7 < 6
• 8 es mayor que 4 o 7 es menor que 5.
. /Te = 4 y -3 ^ = 9
. 2 < 4 » 1 2 + 5<4 + 5
Determine sus valores de verdad.
V
En H:
Simbolizar: ‘ Si Julieta es española entonces es afi­
cionada a la fiesta brava y Julieta no es aficionada
a la fiesta brava por lo tanto, no es española". De­
terminar su tabla de venilad.
Resolución:
Sea p: Julieta es española
q: Es aficionada a la fiesta brava
V
II. ( p v q )
No es suficiente
~(qvp) : q = V
F
I.
Si es suficiente
(~p V q) =» r
: V(r) = V
V
V
Si es suficiente
.-. Solo 11y lll cumplen la condición.
RESUELTO S
B " " *
[(p =» q) A ~q]
V
F
V
V
F F V
F V V
F F V
V V V
(3) (2) (4)
(1)
Tautología
2.
I.
Sabiendo que ia proposición: (p ^ ~q) v {~r => s)
es falsa; reduzca el vaior de verdad de;
[(~ r
<=> p) « t
V ^
V q ) A q ] « [(~ q v r) A s]
F ^ ? .
V
Resolución:
(p=»~q)v(~r=»s) = F
y
1
1
V
T
F
V
F
II. q v(t=»w/)
V V ?
V
F
III. (p «=» r) <=» (q « s)
F
Entonces;
[(~r V q) A q] » [(~q v r) a s] = [(V vV )
V]
a
F«F
V»V
V
V
« [(F V F) A F]
=V«F=F
3.
VW
Si p jj q se define por (~p) a (~q). Haiiar el equiva­
lente de ~(p q).
Resolución:
~(p q) = ~[(p =3 q) A (q =» p)]
s~[(~p V q) A (~q V p)] = (p A ~q) v (q
Se tiene:
a
~p)
Entonces;
4.
Clasificar las siguientes proposiciones:
I. ( p A q ) « ( q A ~ p )
II. [ p A ( p V t ) ] A H v p )
III. ( p= » q ) ^ q
Como tautología (T), contradicción (F) o contingen­
cia (C).
Resolución:
Hagamos la tabla de verdad en cada caso;
(p il q ) = (~P) A (~ q )
(p A ~ q )v (q A ~ p )=
6.
( - p llq ) v { ~ q ) lp )
i.
p
¿Cuái de ias siguientes proposiciones es equiva­
lente de; "Es necesario pagar 10 soles y ser socio
para ingresar ai teatro”?
I. No ingresar ai teatro o pagar 10 soles y ser
socio.
II. Pagar 10 soles o ser socio, y no ingresar al
teatro.
III. Pagar 10 soles y ser socio, o no ingresar al
teatro.
IV. Pagar 10 soles o ser socio, e ingresar al teatro.
V
Si (~(q » p)) =» (s r) es felsa, determinar el valor
veritativo de ias proposiciones adjuntas; siendo w y
t proposiciones lógicas.
I. ( ~ r « p ) = . t
F
«
¡ F
! F
(q A ~p)
1
V
1
F
V
F
V
F
V
V
: F
F
F
F
F
! F :
V
Es una contradicción
(F)
P
t
[P A (pVt)]
A
(-t V
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
V
V
t
Es una tautología
til.
II. q v ( t = » w )
Ili. (p » r) » (q « s)
Resolución:
~(q ^ p) ^ (s =9 r) es F
Entonces: ~(q =» p) es V y s r es F
De donde; (q ^ p) es F
Es decir: q es V y p es F; s es V y r es F.
V
(p A q)
' í '
Resolución:
p ; pagar 10 soles
q ; ser socio
r ; ingresar al teatro
r=(pAq)s~rv(pAq)
Pagar 10 soles y ser socio, o no ingresar ai teatro.
5.
q
=
P
q
(p=*q)
V
V
V
;V :V
V
F
F
¡\ ¡ F
F
V
V
¡V !V
F
F
V
1 F 1 F
' 1
Es una contingencia
*C
(T)
q
(C )
7.
Señale la secuencia correcta, al determinar
si la proposición es verdadera (V) o falsa (F),
si (p A q) A p es verdadera:
I. pA(~q=»p)
II. p =. [(~p V q) A {p A q)3
III. (p A ~q) =» (p A ~q)
Resolución:
(p A q) A p es V, entonces (p A q) es V y p es V;
qesF.
I. p A ( ^
A
F
=» p)
V
10.
II. P = » [ ( ^ V q ) A ( £ _ ^ ) ]
FV F
F
V
V
A
V
V.
V
lll.
( p A ^ ) =( p A ^ )
V A V
VA V
(F)
II. r es F y 8 es F, se tiene:
{ F - p ) « ( - q « F) = F
(V )« (~q » F ) = F
^ (~q=,F) = F
=► ~q = V; q es F
(V)
MI. r es V y p es F, se tiene:
S = (V =» F) « (~q « V)
S = ( F) «( V) = F
FVF
V =» V
V
I. p e s V y q e s V
S = (r=»V)«»(F=»r)
= ( V) o ( V) = V
S siempre es V, para cualquier valor de r.
(F)
Simplificar la siguiente proposición compuesta:
[p « (q V ~r)] a { [p ^ (q a ~r)] a [p A (q r)]}.
Resolución:
[p « (q V ~ r)] A { [p =í (q A -r)] A [p A {q =» r)]} = S
Nótese que:
p =» (q A ~r) A p = ~(~q v r)
= p =» ~(q r)
= ~p V -(q =» r)
= ~[p a (q =» r)]
Luego, S quedará asi:
^
S = [p « (q V ~r)] A {-[p A (q « r)]
FVF
8.
Si la siguiente proposición: (p a ~q) » (r ^ t), es
fóisa, indicar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones;
I. (r «91) V ~ r
II. [{ r ** p) A (t V r)] V H )
III. ( ~ p « r ) v ~ t
Resolución:
(p A ~q) => (r =» t) es F
entonces: (p A ~q) es V y (r =» t) es F,
entonces; p es V; q es F; r es V y t es F
I. { r * * t ) v ~ r = ( V « F ) v F = { F ) v F = F
II. [ { r « p ) A ( t v r ) l v ( ~ t )
= [(V V) a (F V V)] V (V)
= ((V) A (V)] v V = V
III. (~p =» r) V ~t = (F =» V) W = (V) v V = V
FW
9.
Dada la siguiente fónmula iógica S: (r=» p )«»(-q » r);
Indique el valor de verdad de las siguientes afirmadones:
I. Si p y q son verdaderas, para que S sea verda­
dera el valor de verdad de r siempre es F.
Ii. Si r es falsa y S es falsa, entonces q es F.
ill. Si r es venjadera y P es falsa, entonces S es V.
Resolución:
Si (r =» p ) « (- q=»r)
a
[p a (q - r)]}
t
S = [p « (q V ~r)] A {~t A t}
S = [p » (q V ~r)] A F = F
11. S im p lific a r la s ig u ie n te p ro p o s ic ió n co m p u e s ta :
~ { [{ ~ q =* ~ P ) A ~ ( ~ p ^ ~ q ) ] V (p =9 ~ q )}.
Resolución:
~ {[{~ q =* ^ p ) A ~ ( ~ p =» ~ q ) ] V (p =» ~ q )}
= ~ {[(q V ~ p ) A ~ ( p V ~ q ) ] V (~ p V ~ q )}
= - {[(q V ~ p ) A (~ p A q ) l V (~ p V ~ q )}
= - {[(q V ~ p ) A ~ p ] A q ) V ( ~ p V ~ q ) }
= ~ {( [ ~ p ] A q ) v (~ p V ~ q ) }
pu es: (q v ~ p ) a ~ p = ~ p
= ~ {((~ p A q )v ~ p ]v ~ q }
= ~ {(~ p )v ~ q }
= ~ (~ p )A ~ (~ q ) = p A q
1 2 . S im p lific a r la s ig u ie n te p ro p o s ic ió n co m p u e s ta :
[~ p ^ ~ ( p ^ q)] V [(p A (p « q )) => p].
Resolución:
[~ p =» ~ ( p =» q )] V [(p A (p =» q )) =» p]
= [ ~ p =» ~ ( ~ p V q ) ] V [(p A ( ~ p V q )) =» p]
= h p =» (p A ~ q ) l V [((p A - p ) V (p A q ) ) =» p ]
= [p V (p A ~ q ) ] V ((F V (p A q )) =* p j
= (P)
((P A q ) « p]
p u e s: p V (p A ~ q ) = p;
F v (p
a
q) = p a q
= p V h ( p A q) V p]
= p v [(~ p v ~ q )v p ]
= p V [V V - q ] : pues ~ p v p = V
= p v lV ] = V
13.
Si # es un operador lógico definido por:
p # q = {p V [(r « p) A p]} A {q A (p « ~p)}
Haiiar p # q
Resolución:
p # q = {pví(r
p)Ap]}
A{qA(p**~p) }
. p # q = {p V I ( ~ r V p ) A p ] } A F
p # q = {p V (p)} A F = p A F
p#q = p
14.
Si ~(~(p A q)) =» ~(r A p) es una proposición com­
puesta fóisa, determine ¿cuái(es) de ias siguientes
proposiciones son verdaderas?
i. ( ~ p A m ) = » { x « y )
ll. (p r) =» (8 A q)
iii. ( x v - y ) = * ( p A r A ~ q )
Resolución:
~(~(p A q)) ~(r A p) es F
Entonces: p A q es V y ~(r a p) es F
De donde: r a p es V; es decir: r es V y p es V; como
p A q es V, entonces q es F.
(P « r)
V» V
=»
** ^=»_q)
= r» r = V
Es una tautología
IV. [p A (~p q)] V ~p
= [p A (p V q)] V ~p
= (p)v~p = V
Es una tautología
1,11, ili y IV
16. En relación a la proposición compuesta:
T; Ip =» (q A r)l A [p A (~q V ~r)l
indique cuál de los siguientes enunciados son co­
rrectos:
I. S es una contradicción.
II. S es una contingencia.
III. S es una tautologia.
Resolución:
La proposición T se puede mejorar así:
T : Ip =» (q A r)] A [p A ~(q A r)]
= [p =» (q A r)l A ~[~p V (q A t )]
s [p =» (q A r)] A ~[p « (q A r)}
Por lo que T tiene la forma a A ~a, y como a, ~a
son de valores opuestos, entonces a A ~a es V
siempre: por lo tanto, T es una tautología.
Soío lll es correcto.
i. (~p A m) ^ (x «> y)
F
Ili. Como ~q =» --p = p s» q, entonces;
(p =» q ) « (~q =» ~p)
?
17. i ^ siguiente proposición:
[(~p V q) V ~(p A ~q)J A [p A ~ r] ; es equivalente a:
(SAq)
? A F
I. (p =. q) A ~{p =» r)
II. (p A q) V ~(p =. r)
III. {p =» q) => (p A r)
l l l . (X V ~ y ) =» ( p _ ^
V
A
A
q )
V
V
Son verdaderas I y iii.
15.
De las siguientes proposiciones'.
I. p « ( p v q )
II. (pAq)=»p
IIL (p=.q)<»(~q=»~p)
IV.
A (~p =» q)] V ~ p
Son tautológicas.
Resolución:
I. p=»( pvq) = ~ p v ( p v q )
= (~pvp)vq = V v q = V
Es una tautología
II. (pAq)=>p = ~ ( p A q ) v p
= (~pv~q)vp = {~pvp)v~q
= (V) V ~q = V
Es una tautología
IV. ~(p A q) =» r
V (p^q)A(p=^r)
Resolución:
I(~p V q) V ~(p A ~q)] A (p A ~r)
s {(-p V q) V [~p V ~(~q)I} a (p a -r )
= [-P V q) V (~p V q)} A ~ {-p V r)
= hpvqlA~(~pvr)
s (p =» q) A ~(p =» r)
Es equivalente a I.
18. Si * es un operador lógico definido mediante la si­
guiente tabla de verdad:
p
V
q P*q
V
F
V
F
F
F V
F
F
V
F
Simplificar la proposición: (p*q) * (q*p
Simplificar la proposición'.
[pD(~paq)]üq
Resolución;
p-q
-(P V q)
F ( V )
Resoiución:
F ( V )
F ( V )
V ( F )
Se nota que:
p * q = ~ ( p v q) = ~ p A ~ q
También, nótese que:
p . q = q « p A r * r = ~r
Se nota que: p D q = ~(q=>p) = q A ~ p
Luego: [p o (~ p a q)] d q = [p □ (q a p)] o q
= l(q A p) A ~ Pl D q
= [q A (p A ~ p)l □ q
= [q A (F)] o q = F □ q
= qA(~F) = q A V = q
Luego: {p * q) • ( q * p) s { p • q) * ( p * q)
= ~(p»q) = - l ~ ( p v q ) 3
= pvq
19. Si * es un operador lógico definido mediante la ta­
bla adjunta, tai que (s * t) • ( t • s) es verdadero.
21.
p
q
V
V
p*q
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
Hallar el valor de verdad de ~ (s * t).
Resolución:
q
V
p .q
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
P
F
Si p, q. X, z, y, t son proposiciones lógicas, tal
que cumplen las condiciones: p A q es verdadera,
~x y es verdadera, indicar el valor de la verdad
de las siguientes proposiciones:
I. z = » ~ p v - - q
II. p « ~ q
III. ( ~ x A ~ y ) » t
Resoiución:
pAqesVA-x^yesV
Luego: p y q tienen valores opuestos
( ~ x ^ y = x v y ) es V
I. z = * ~ p v ~ q
V pues uno de ellos es V
= z=»V = V
Ai igual que en el problema anterior:
p • q = ~(q =» p) = q A ~p
Luego: (s • t) * (l * s) = (t a ~ s ) • (s a -t)
= (s A ~ i) A
A ~ s)
= ( s A ~ t) A (~ t V S)
= S A [~ t A (~ t V S)]
= s A (~t) = - ( s =» t) es V
Entonces: s ^ t es F
Luego: s es V y t es F
~(s • t) = ~(t A ~s) = ~ t V s
= t s es V
~(s * t) es V
20. Si □ es un operador lógico definido mediante la si­
guiente tabla:
P
q
poq
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
II. p « » ~ q e s V
pues p y >^q tienen el mismo valor.
III. (~ x A - y) ^ t = ~(x V y) =» t
= -(V ) =» t = F =» t = V
VW
22. Simplificar la proposición:
-{[(~ p A ~q) V (p A (~p V q))] =* ~(p V q)}
Resolución:
~{[~P A ~q) V (p A (-P Vq))]«
p Vq)}
=
(p V q) V [(pA ~p) V (p A q)lJ ~(p V q)}
F
= ~ {[ ~{p V q) V (p A q)] =» ~(p V q)}
=~
(p V q) V (p A q)] V ~(p V q)}
Por una de las leyes de Morgan:
= Q~(pvq)v(pAq)lA(pvq)
= [ ~ ( p v q ) A ( p v q ) I VI(p Aq) A(p Vq)]
F
= (p A q) A (p V q) = p A [q A (p V q)l
q
= pAq
23.
Si se cumple:
(~ p A q) =» (p V r) = (s A t ) «»(- s V ~ t)
Simplificar la proposición:
[(P A r) =» (s V t)] A (q A t)
Resolución:
(SAt)«(~SV~t)
= {S A t) « ~ (S A t) = F
Es decir: (~p a q) =» (p v r) es F
Entonces: (~ p a q) es V y (p v r) es F, de donde
puede notarse que p es F; q es V y r es V.
Luego: [(p a r ) » (s v t)] a (q a t)
Fa y
F
?
=
V
A
(q A t)
= qA t = V A t = t
2 4 . H a lla r e i v a lo r d e v e rd a d de:
M = [(p A q ) =» r] + (p =» (q « r)]
Resolución:
M = l( p A q ) « r ]« [p = » ( q « r ) ]
M = [~ (p A q ) V r] « [p =» ( - q
v r)]
v r)]
M = h ( p A q ) V r] « [~ p V ( ~ q
M = [ ~ (p A q ) V r ] « [(~ p V ~ q ) V r]
M = h ( p A q ) V r ] « . h ( p A q ) V r]
M = s <9 s = V
M e s u n a ta u to lo g ía
25 . S im p lific a r: {[~ (q =» p)] a [~ (p
v ~ q )]} v ~ q
Resolución:
{ [ - (q - P)1 A h (p V ~ q ) ]} V ~ q
= ~ t(q « p )v (p v ~ q )3 v ~ q
= - I ( - 'q v p ) v ( p v ~ q ) 3 v ~ q
= ~ [-q v p 3 v ~ q
pues: r V r = r
= ~ [(~ q v p )A q ]
= ~ [ ( ~ q A q ) V (p A q )l
= ~ [F V (p A q ) l = ~ ( p A q )
= ~ p v ~ q = p = '- q
o
ta m b ié n = q ^ - p
2 6 . S i s e d e fin e : p V q = ~ p A ~ q , s im p lific a r:
M = [(p V q )V q ]V [(p V p )V ~ p ]
Resolución:
p V q = ~ p A --q = ~ (p v q )
M = [(p V q )V q ]
V [(p V p )V ~ p l
r
s
r = (p V q ) V q = ( ~ p A ~ q ) V q
= -(~ p A ~ q )A ~ q
s (p v q )A ~ q
= {p A -q )v (q A -q >
= pA ~q
F
s = (p V p )V ~ p = ~ (p v p )V ~ p
= ~ p V ~ p = ~ ( ~ p )A ~ (~ .p )
= pA p= p
L u e g o ; M = (p A ~ q ) V p
M = ~ (p A ~ q ) A ~ p
M = (~ p V q ) A - p
.
M = - p
27.
Si se conoce [(p * q) * r] * s es F, además:
q
V
V F
F V
p
V
F
F
p*q
V
V
F
V
Determinar los valores de verdad de los siguientes
enunciados:
I, p=» r
II. s « r
III. ~ p » q
Resolución:
De la tabla, se puede notar que: p • q = q ^ p
Además: [(p * q) * r] • s es falsa
s (p * q) * r es falsa
Entonces; s es V y (p * q) * r es F
r => (p * q) es falsa, de donde r es V y (p • q) es F; y
entonces; q es V y p es F.
Luego:
I. p » r es V
II. s «» r es V
F V
V V
III.
~ p «»q es V
V
V
28. Si definimos # como: p # q = ( p v q ) A ~(p A q)
Determíne una expresión equivalente de p # q.
Resolución:
p X q = (p V q) A ~ (p A q)
= (pvq) A ( ~ p v ~ q )
= [p A (~ p V ~ q)] V [q A ("P V ~q)]
= t(p A ~ p) V (p A ~ q )l V [(q A ~p) V (q A -q )}
= ÍF v(pA ~q)Jví{qA~p)vF]
= (p A ~ q) V (q A ~p)
= ~(~pvq)v~(~qvp)
= ~ (p - q) V ~ (q - p)
= ~((p=»q)A(q=»p)]
= ~{p«*q)
29. Sea A = {1; {1; 1}; {1}; {1; 1; 1}}, detennine la se­
cuencia correcta, al determinar si la proposición es
verdadera (V) o falsa (F).
I. A tiene 4 elementos
II. { 1 } e A
III. { 1 } c A
Resolución:
A = {1;{1;1};
=*A = {1:{1}: {1}: {1}}
«A -{1;{iy}
I. A tiene 2 elementos.
(F)
II. {1}esunelenr»ntodeA,porloque;{1}G A (V)
III. Tenga en cuenta que: s i x e A = > { x } c A
Como; 1 e A ^ {1} c A
(V)
.-. F W
30. Si p, q, r, s, t, u y w son proposiciones lógicas tal
que: p » (q ^ r) es falsa, q «»(p » t) es falsa, indi­
car el valor de verdad de las siguientes proposicio­
nes, es:
I. ~ t A { r = w)
II. q v ( ~ r « * u )
lll.t=»(s Ar)
Resolución:
A = {{1: { 1 } } ; { 0 } }
B = {{1};4;0}
n(A) = 2 ^ n(P(A)) = 2^ = 4
I. ín(P(A))} = { 4 } e B
pues: {4 } c B
Resolución;
Si: p » (q r) es F » p es V y q » r es F
Entonces: p es V; q es V y r es F
q « (p => t) es F.
Entonces p =* t es F y como p es V
Entonces t es F
I. ~ t A (r=> w) = V A (F =» w)
= V A (V) = V
II. q V ( ~ r « u) = V V (~r*=» u) = V
III. t ^ ( s A r ) = F ^ ( s A r ) = V
VW
31. Se sabe que x es un conjunto tal que; x g P(A).
Para todo conjunto A. Determinar cuáles de las si­
guientes afinmaciones son verdaderas:
I. x n x = x, V A
II. x - A = x , VA
l l l . ( A - x ) u ( x - A ) = A . VA
Resolución:
X e P(A), VA =» x c A
I. x n x = x. V A
II. x - A = x , V A
Como x c A = » x - A = 0
III. ( A - x ) u ( X - A ) = A
Es igual a: A - x
VFF
(V)
(F)
(F)
32. Sea el conjunto A = {0;1; {1}; {0;1}; { 0 } } y las
siguientes proposiciones;
I. { l l e A
II. {0:1} e A
IM.ÍDc A
IV{0;{1}}c A
V {{0}}cA
Determinar el número de proposiciones verda­
deras.
Resolución;
A-{0;1:{1};{0:1};{0»
I. { 1 } g A
(V)
II. {0:1} e A
(V)
III. { 1 } c A
(V)
IV. { 0 ; { 1 } } c A (V), pues OeAA {1} eA.
V. { { 0 } } c A
(V), pues {0 } g A
.'. Las 5 son verdaderas
33. Sean los conjuntos A = {{1; { 1} }; { 0 }}, y
B = {{1>: 4; 0 }. Hallar el valorde verdad de las
siguientes proposiciones:
I.
II.
III.
IV.
í n( P( A) } eB
A n B $ A, entonces (ji ^ P(A) n B
( 1 } e A , si y solo si A - B e P(A)
{{1}¡ 0 } e P ( B )
(F)
II. A n B í A » 0 ^ P ( A ) n B
F; pues: A n B = 0 c A
Luego, la proposición es (V)
III. { 1 } e A
« A - B e P(A)
F
V, pues; A - B = A
Luego, la proposidón es (F)
IV. {{ 1} ; 0 } e P(B); V, pues {{ 1}; 0 } c B
.-. FVFV
34.
Indicar el valor de verdad de cada una de las pro­
posiciones:
I. V x e IR, X* e E
II. v x G ® , V y e E : x' ' em
III. Vx Ei R, 3 y E ( S / x ’ E(&
Resolución:
I. V X e IR: x* e E (F),
pues: ( - 0,5)"®® í E
II. V x e ® , v y e E : x ^ e E (F)
■j\-0.S
pues:
?E
lll.
v x e E : 3 y e ® / x ^ e ® (F),
pues; x* € ®, V y € ®
.-. FFF
35. S e a A = { x e E / x < 1 « x > 0 } y B = {xeZ/{x*/16)eA>,
halle el número de elementos de B.
Resoiución:
A ={xeE /x<1*»x> 0}
p q = (p A q) V (~p A ~q)
x < 1 » x > 0 = (x< 1 A X > 0 )V (X > 1 A X < 0 ) =
= x < l A x > 0 = xe(0;1)
A = (0; 1); B = { x e Z / x V l 6 e A }
^ O < xVl6 < 1 =» O < x^< 16
« B = { - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1; 2; 3}
.-. n(B) = 7
36. Sea el conjunto A = {3; 5; {2; 8}}, halle el valorde
verdad de cada una de las proposiciortes:
I. 3 x e P ( A ) / 2 e x
II. 3 x e P ( A ) / { 2 ; 8 } c x
III. 3 x g P(A)/{{<|)}} c x
IV. 3 X € P(A)/{3} c X
Resolución:
A = { 3 ; 5; {2; 8}}
I. 3 x e P ( A ) / 2 e x
(F)
No hay un subconjunto x c A, de modo que: 2 e x.
Entonces:
[(~p) * q] # [(~q) # p] = [~(p n q)] # Ip n qj
= (p n q) n (p n q)
= pnq
ti 3 x e P ( A ) / { 2 ; 8 } 1 c x(F)
{ 2 : 8} e A =» { 2: 8} O i x c A
III. 3 x e P ( A ) / { { 0 } } C x (F)
pues { 0 } í A.
IV. 3 X € P(A)/ {3 } c X
(V)
Pues: 3 e A A {3 } c {3: 5} c A
FFFV
40. Sabiendo que:
p
V
V
F
F
37. Si el valor de verdad de la siguiente proposición;
(r u s) ^ [(p n -s ) => (p n ~ q ) ] es falso, hatiar el
valor de verdad de las proposiciones:
I. (p n ~ q ) r
II. q n (~p u ~s)
l ll.(~p=>r)u~s
V
V
poq
V
V
F
V
F
F
PesV
•~ s es V = 8 es F
De(*2) ~ q es F = q es V
De (*3) r V s = V;
re s V
De (*1)
V
q es V
res V
s es V
F
V
V
II) q A ( ~ p A ~ s )
V
V
V
(F)
41.
~V
V
V
Aque es igual: {(p ^ q) A [(p ^ q) v r]} a q
Resolución:
Í(P q) A [{p =9 q) V r]} A q: Absorción
V
(V)
(P=>q)
A q; Condicional
V
í ~ p v q)
(q V ~p)
A q: Conmutativa
(V)
q A (q V ~p);
lll) ( ~ p « r ) v
38. Simpliflcar ta siguiente proposición:
t = {(~p V q) V [(p =» q) A r]} A q
Resolución:
Sabemos que: p ^ q = ~p v q
t = {(~p V q) V t(~p V q) A r]} A q
Absorción
t = ( - P V q) A q
t = q A (q V ~p) => t = q
Absorción
39. Se definen las operaciones:
p *q = - . p « . ^ q A p # q = ~ p A q
Simplificar:
[(~p)*q]#[(-q)#p]
Resolución:
~ p *q =
~p«q
V«V
.S or
i i
V
lll)~p«»q
Resolución:
De la tabla de verdad:
p o q, es Falso « p es F a q es V
[(p o q) o r ] o s es falso
p es F
V________ F
V F
Luego tenemos:
I) ( p A ~ q ) « r
y si [(p o q) o r] o s, es falso
Hallar los valores de verdad de;
l )p=«r
iD s^r
Resolución:
(*3)
(*1)
(*2)
(r V s) ® [(p A ~s) ® (p A ~ q )]
V
q
V
F
V
F
p )= » ^ q = p = ,- ,q = ^ p u ~ q = ~ ( p n q )
- q # p = ~<~<i) n p = q n p = p n q
42.
A q; Conmutativa
Absorción
Simplificar el esquema: {(~p vq ) v [ ( p^ q ) A r ] } A q
Resolución:
Se sabe que: p » q = ~p v q:
Con lo cual: {(~p v q) v [(~p v q) a r ] }
a
q
Absorción
Luego se tendrá:
(-pvq)Aq:
(qv~p)Aq:
qA(qv~p) = q
Conmutativa
Conmutativa
Absorción
43. Simplificar la siguiente proposición;
~ r~ ( p A ~q) =*. p] V q
Resolución:
Se sabe que: p ^ q = ~p v q: luego aplicamos esta
propiedad dentro del corchete.
~ [(p A ~q) V p] V q:
~ [p V (p A ~ q ) ] v q
Conmutativa
'(P) v q = ~ p v q = p
Absorción
44.
Simplificar el esquema: (~p
a
q)
(q =» p)
Resolución:
Dado que: p =» q = ~p v q; entonces se tiene que:
(~p A q) (~q V p);
~ (~p A q) v (-q v p)
— I—
— I—
Condicional
(P V ~q) V (~q V p)
II. p = , [ q ^ ( r A s ) l
ill. (~p A q) =» [p V (~q V r)]
Resolución:
Sabemos que:
{[(p A q) =* rl A s} =» (q V r) = F
V
Conmutativa
(p V ~q) V (p V ~q) = p V ~q
•
•
Idempotencia
45. Si: p O q = [((p => q) => p) V q] A p
Simplificar:
{[(~p A r) O qí O (p O q )} 0 ( p v r )
Resolución:
Vamos a redefinir p O q
p O q = { [(p =► q) =» p] V q} A p
Aplicando dos veces condicional:
p O q = { [~(~p V q) V p] V q } A p
Por Morgan: = { [ ( p A ~ q ) v p ] v q} a p
Por absonsión, dos veces: = (p v q) a p = p
pG q = p
Luego, en la expresión a simplificar:
{ [(~p A r) Q q] Q (p O q)} O (p v r)
= [(~p A r) G q] O (p O q), (definición de O)
= (~p A r) O q
= ~p A r
46. La proposición equivalente a:
No es un buen estudiante, sin embarco destaca en
el fútbol es:
I. No es cierto que, sea un buen estudiante o no
destaque en fútbol.
II. Es un buen estudiante o no destaca en fútbol.
III. No es un buen estudiante y no destaca en fútbol.
IV. No es cierto que, no sea un buen estudiante y
destaque en fútbol.
V. No es el caso que, sea buen estudiante y no
destaque en el fútbol.
Resolución:
Consideremos:
p : es un buen estudiante
q : destaca en fútbol
Formalizando; no p, sin embargo q
Simbolizando:
= ~pAq
= ~(p V ~q), por Morgan
Resulta:
I. No es cierto que, sea un buen estudiante o no
destaque en fútbol.
47. Si el Siguiente esquema es falso:
{[(p Aq)=>r] a s } =>(q v r)
Hallar el valor de verdad de:
L t(pvs)Aq]«(rvs)
F
q v r = F=»q = F ; r = F
[(p A q) =» r] A s = V
V
V
s = V;
p= F
Además: (p A q) =» r = V
F
F
F
Luego;
I. [ ( p v s ) A q ] = > ( r v s ) = V
V F
V
Jí.
[ q ^ (r A s) J = V
F
V
lll.
(~ p A q )
[p V (~ q V r)]
=V
.-. V W
48. El equivalente de la proposición:
“Hay que pagar 100 soles y ser socio para ingresar
al teatro" es;
I. No ingresar al teatro o pagar 100 soles, y ser
socio.
il. Pagar 100 soles o ser socio, y no ingresar al
teatro.
III. Pagar 100 soles y ser socio, o no ingresar ai
teatro.
IV. Pagar 100 soles y no ser socio, y enb-ar ai teatro.
V: No es cierto que se pague 100 soles o sea so­
cio, o ingrese al teatro.
Resolución:
Formalizando tenemos:
p : pagar 100 soles
q ; ser socio
r ; ingresar al teatro
Simbolizando se tiene; tiay que p y q para r
= (p A q) r. por condicional; = -(p a q) v r
No es cierto que se pague 100 soles y sea socio,
o ingrese al teatro.
49. Si la proposición compuesta;
~ {~ (t => s) a ~ [ ( ~ p a q)
(r a p)]} es falsa,
¿cuántas de las proposiciones p, q, r, s y t son
verdaderas?
Resolución:
Sea:
I. ~ {~ (t => s) A ~[(~p A q) => (r A p)]} = F
V
II. ~ ( t = » s ) A ~[ ( ~p A q ) « ( r Ap ) ] = V
V
V
11!. ~ ( t ^ s ) = « V
t = » s = F =»t = V ; s = F
IV.
~[(~pAq) => (r Ap) ] = V
F
- Luego: (~p
a
q) =» (r A p) = F
y
Entonces: ~p
a
V
q=V
V
=>p = F ;q = V
También: r A p = F
rA F = F = » r = F
Son verdaderos: 2
50.
Si: p V (r => w) = ~(t => t) V ~(p p)
Simplificar la proposición molecular;
[(p =í (q A r)] A { [ ( ~ t V q) A (q =* ~q)] v ~ t }
Resoiución;
p V (r =» Vií) = ~ ( t =» t) V ~ (p =* p)
= ~ H V t) V ~(~p V p)
V
F
V
V
F= F
p V (r ^ w) = F
t
t
t
F V F
Reemplazando estos valores en la proposición pedida:
[(p =» (q A r)] A { [(~t V q) A (q =» ~q)] v ~t}
t
F
V
A
{ [(~t V q) A (~q V --q)] v ~t}
V
Idempotencia
A { [ ( ~ t v q ) A ~ q 3 v ~t}
V
A
V
Absorción
A ~ t = ~t
Absorción
{[(~q A ~ t)] V --t}
51. “Et equivalente de la proposición: Si Juan es depor­
tista. mantiene una dieta estricta"
Es:
I. O Juan es deportista o mantiene una dieta es­
tricta.
IL Juan no es deportista y mantiene una dieta es­
tricta.
III. Juan mantiene una dieta estricta o no es depor­
tista.
IV. Juan es deportista y no mantiene una dieta es­
tricta.
V. Juan no es deportista y no mantiene ta dieta
estricta.
Resoiución:
Simbolizando;
Si Juan es deportista, mantiene una dieta estricta,
p : Juan es deportista
q : mantiene una dieta estricta
Si:p, q = p=»q
Equivatente: ~p v q, por condicional
Luego;
‘Juan no es deportista o mantiene una dieta es­
tricta".
= “Juan mantiene una dieta estricta o no es de­
portista”.
52. Si vas at estadio pierdes tu dinero. Si no vas al es­
tadio, vas a la playa.
Si no fuiste a la playa, entonces:
I. No fuiste al estadio.
II. No perdiste tu dinero,
til. Pierdes tu dinero.
IV. Fuiste al estadio y ganaste dinero.
V. Perdiste tu dinero y no fuiste a la playa.
Resoiución:
Consideremos:
p : vas al estadio
q ; pierdes tu dinero
r : vas a la playa
Simbolizando tos enunciados, tenemos;
I. p=»q
II. ~p ^ r
Por propiedad de la condicional;
~p =» r = ~r » ~(~p),
transposición.
= ~r =» p,
doble negación
III. -r=»p
De I y Iti: ~ r => p a p q
~r=» q (transitiva)
Luego:
“Si no vas a la playa entonces pierdes tu dinero”.
53. Si la proposición:
(~p A q) => [(p a r) V t] = F
Hallar el valor de verdad de;
I- ~ t ( ~ p v ~ q ) « ( r v ~ t ) ]
II. ( ~ q A ~ r ) v H A ( p v q ) ]
III. ~ {~[~(p « p) - (s A w ))}
Resoiución:
De; (~p A q) * [(p A r) V t] = F
•
•
~p A q = V
V V
(p A r) V t = F
F
F
p = F; q = V
t= F
Luego, analizando cada caso:
(~ p V q ) A p
p A (~p V q )
I. ~ [ { ~ p v ~ q ) ^ ( r v ~ t ) ] = F
V
V
V
pvq
56. Si el costo de cada llave en la instalación mostrada
es de S/.10, ¿en cuánto se redudrá el costo de
esta instalación si se reemplaza este drcuito por
uno equivalente más simple?
V
I. ( ~ q A ~ r ) v [ ~ t A ( p v q ) ] = V
F
y
F
II. W
Conmutativa
Absorción
V.
V
H p «P)==(s a w )]}= V
F F
V
F
54.
FW
Resolución:
Considerando que:
De la ^Isedad de: (p => ~q) v (~ r : -s)
Hallar el valor de verdad de:
I. - ( ~ q v ~ s ) « ~ p
II. ~(~r A s) ^ (~p =» q)
III. p =, ~[q => ~{s =» r)]
p
q.
= pAq
|— P— 1
= pvq
Resoiución:
Del problema:
El circuito mostrado es equivalente a:
rp = V
(p=»~q) = F=» I q _ y
[ (p V q ) A p A q ] V p A
—q—
Absordón
(~-r^~s) = f q » { g “ y
(p A q )v (rA q A p ) = p Aq
q
Al reemplazar, se tendrá;
V
F
---------- p------------- 1
2 llaves
I— P-
— -p.
F
Es:
l-^=»~[q_«
V
q>
V
F
V
p
El circuito lógico más simple que representa a:
(~P =» q)
y ® y
—
Absorción
F
A^
s
Por lo tanto, las 8 llaves del drcuito mostrado pue­
den ser reemplazadas por 2.
Ahorro; (8 - 2) x S/.10 = S/.60
57.
'R
r A (~r V q )
Absordón
Resolución:
Simbolizando el circuito, tenemos:
[~ p V (~ p A q A r)] A ( p V q)
Por la absorción, se tiene:
= - p A ( p V q)
v i
= ~p Aq
FFF
55.
Hallar el equivalente del drcuito:
--------- ~p-----------
hP-
El circuito equivalente resulta;
~p
q -----58. Dada las proposiciones:
q; “ (7 es un número nactonal’’
p y r cualquier proposición, además se sat>e que:
~ l(r V q) =» (r => p)] es verdadera.
Hallar el valor de verdad de:
¡.
Resoiuclón:
Reduciendo el circuito;
r-(~ p v ~ q )
II. [(r ^ (p A q)] « (q A ~p)
m. (r V ~p) A (q V p)
i.
Resolución;
Del dato, q = F, además:
(rvq)«(r«p) = F
F
I. r=* p = F
V F
psF;
q = F-,
II. r V q = V
V F
r =V
Luego;
I. r=»( ~pv~q) = V
V
V
V
V
II. [ r « ( p A q ) ]
V
F
(qA~p) = V
F V
III. ( r v ~ p ) A ( q v p ) = F
V V
F F
V
F
WF
59. Si la proposición q =» r es falsa, detennine el valor
de verdad de las siguientes proposiciones;
i. r A (p V r)
II. ~(q A r)
l li.(rA~q)=sp
IV. p A (q » r)
Resolución:
Sabemos que: q ^ r = F
V F
.-. q = V; r = F
Luego;
I. r A (p V r) = F
F
V
ill. (rA~q)
F F
p=V
(~ p v ~ q )= » ~ r = - ( ~ p v ~ q ) v ~ r
= (p A q ) V ~ r = r (p A q )
II. ( ~ r v p ) A q
Iii. ( q A p ) v ( ~ r ) = r ^ ( p A q )
.'. i y ííl son equivalentes a la primera.
61. Cuáles de ias siguientes proposiciones son equiva­
lentes:
I. El café es agradable, a menos que se le añada
azúcar.
II. El café es agradable s) no añadimos azúcar.
Iii. SI añadimos azúcar, ei café es agradabíe.
ÍV. Si añadimos azúcar, ei café no es agradabíe.
Resolución:
Simbolizando las proposiciones, tenemos:
p ; el café es agradable
q ; se le añade azúcar
I. p, a menos que q = p a q
II. p si no q = ~q =» p
III. si q, p = q » p
ÍV. si q, no p = q => ~p
Expresando tas condicionaíes en función de a y v
i.
pAq
íí. ~q=»p = ~ ( ~ q )v p = q v p
iii. q=» p 2 ~ q V p
IV q « - - p = ~ q v ~ p = - . ( p A q )
Luego: ninguna proposición es equiváiente a otra.
62. Dado; p * q = {[(p =» q) =# q] v q}
Simplificar:
~(qAr)sV
V F
IV. p A (q • r) = F
, V F_,
F
.-. F WF
60. ¿Cuál(es) de ias proposiciones son equivalentes a:
Es necesario ser adulto y pagar diez soles para ver
)a película en el cine.
i. No ser adulto o no pagar diez soles es suficien­
te para no ver la película en el cine.
II. No ver la pelícuia o ser adulto, y pagar diez sotes,
ili. Pagar diez soles y ser adulto, o no ver la pelícu­
la en ei cine.
Resolución:
Sean las proposiciones:
p; ser aduito
q: pagar diez soies
r: ver la película en eí cine
Luego:
Es necesario ser aduito y pagar diez soies para ver
ía petíojía en el cine.
Se simboliza; r =» (p A q) y las 3 proposiciones si­
guientes:
a
p
{ [ ( ~ p ‘ q ) A (r * ~ q ) ] * (p « q ) } « (p V r)
Resolución:
Tenemos ei operador (*)
p ‘ q = { [ ( p = » q ) = » q ] v q }A p
= { [ ~ ( ~ p V q ) V q ] V q } A p (doble condicionaí)
= ( [ ( p A ~ q ) y q l v q } a p (Morgan)
= [{p V q) V q] A p (absorción)
= p (Asociando y absorción)
Reempiazando en ía expresión a simplificar:
{[(~p*q)A(r*~q)]’ (p « q )}
(p v r)
= [ ( - P * q ) A (r * ~ q ) I « (p V r), (d e f. *)
=
( - P A r) «■ (p V r), (d e f. *)
= [(~ P A r) A (p V r)] V ~[(~p A r) V (p V r)], (bicondicional)
= { ~ p A [ r A ( p v r ) ] } V [(p V ~r) a (~ p a ~ r)], (Morgan)
= ( ~ p a r) V { {(p V ~r) A ~r] a ~p} (absorción)
= (~p A r) V (~r A ~p), (absorción)
= ~p A (r V ~r). (distributiva)
= - p A V, (tercio excluido)
=
~p
63. D a d a las p ro p o s ic io n e s ;
p : Edy trabaja cuando gana más de 20 dólares
diarios.
q : Lolo trabaja, pero no se preocupa por sU salario.
Simbolizar la proposición:
Lolo no trabaja o se preocupa por su salario a me­
nos que Edy trabaje cuando gane más de 20 dó­
lares díanos.
Resolución:
Desdoblando la proposición tenemos:
q : Lolo trabaja, pero no se preocupa por su sa­
lario.
m : Lolo trabaja,
n : se preocupa por su salario.
Es decir: q = m a ~n
Formalizando la proposición propuesta, resulta:
No “m” o “n" a menos que “p”
s (~m V n) A p, por Morgan
= ~(m A ~n) A p
= ~qAp
P R O B L E M A S D E E X A M E N DE A D M I S I O N U N I
PROBLEMA 1 (tN I 2001 > I)
Simbolizar lògicamente la expresión "Juan Pérez saldrá
elegido y será congresista, si y solo sí obtiene apoyo en
su provincia".
A) P es q, r
D)(p Aq)=»r
B) p. q => r
E)p=»(q, r, s)
C) (p
a
q)
r
Respecto de: “Si gana Perú, no voy a estudiar”. Indique
la altemativa que se puede concluir:
Simbolizando la expresión:
p: saldrá elegido
q: será congresista
r: obtiene apoyo en su provincia
••• (P A q) « r
Clave: C
PROBLfMA 2 (liN I 2003 - 1)
Si se asumen las siguientes premisas:
Sí me pagan, trabajo
•
Si no me pagan, renuncio
Si me dan un incentivo, no renuncio
*
Me dan un incentivo o denuncio a la empresa
No trabajo
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son conclusio­
nes lógicas de estas premisas?
I. No renuncio
II. No me dan un incentivo
III. Denuncio a la empresa
A)lytl
D)l;llylll
8)1 y lll
E) Solo II
O H y Ili
p
=> t
Si no me pagan, renuncio
~p
^
r
Si me dan un incentivo, no renuncio
s
»
~r
Me dan un incentivo o denuncio a la empresa
s
V
A) Si estudié, ganó Perú
B) Sí no ganó Perú, estudié
C) Si no estudié, ganó Penj
D) Si fui a estudiar, no ganó Perú
E) Nunca, estudio porque siempre gana Perú
Resoiución:
Deí enunciado;
Sí gana Perú, no voy a estudiar
p
~
q
Si aplicamos la propiedad de transposición: q ^ ~p
Se concluye; si fui a estudiar, no ganó Perú.
Clave: O
PROBUEMA 4 (UNI 2006 • I)
Si la mentira es un antivalor, por tanto es negativa, sin
embargo, no es mentira que sea negativa. Luego es
correcto afirmar que:
A) La mentira es un antivalor
B) No es verdad que la mentira sea un antivalor y negativa
C) La mentira es negativa
D) Es falso que la mentira no sea un antivalor
E) Todas las anteriores son válidas
Resolución;
Si me pagan, trabajo
~t
Clave: C
PROBI£MA 3 (UNI 2004 - II)
Resolución:
No trabajo
Por tanto, a partir de la última premisa:
~t =» ~p: no me pagan
~p =» r: renuncio
r = ~s: no me dan incentivo
~s A q: denuncio a la empresa
Resolución:
De los datos podemos definir:
La mentira es un antivalor: p
Es negativa: q
Entonces: p q
~(~q)
q
Por lo tanto, la mentira es negativa
Clave- C
PROBLEMA 5 (tN I 2007 - 1)
Simplifique; [(r □ s) ^ t ] « [ - ( tes)]
Indique la fórmula que representa el siguiente circuito
lógico:
A )t
D) r «=»~s
Resotución:
Si
y.
salida
entrada
p D q = (p A q )= » q
= ~ (p A q ) V q
= {~ p V ~ q ) V q
B) ( p v q ) A ( r A s )
D) ( p A q ) v ( r v s )
A) (p A q) A (r A s)
C) (p V q) V (r V s)
E)(pvq)A(rvs)
c)~ t
B )^ r
E) r » ~ t
= ~ p V (~ q V q )
p□q =
Resolución:
... (equivalencia lógicas)
...(leyes de Morgan)
...(Ley asociativa)
...(Tautología)
V
p ® q = p = » (p v q )
...(equivalencia lógica)
= - p V (p V q )
_E/_
= (~p V p) V q
entrada q /
salida
J /_
La fórmula lógica es: (p v q) a (r v s)
Clave: E
Dadas ias inferencias:
I. Si ella compra un vestido, entonces comprará za­
patos. Ella compra zapatos, por lo tanto ella com­
pra un vestido.
II. Si Luis lee Caretas está bien informado. Luís está
bien informado, entonces Luis lee Caretas.
ill. Si estudio, obtengo buena nota. Si no estudio, me
divierto. Por lo tanto, obtengo buena nota o me di­
vierto.
Son válidas:
B) Solo ti
E) II y lll
V
C) Solo
t^ F
.-. ~ t
Clave: C
PROBlfMA 8 (UNI 2012 - I)
Señale el circuHo equivalente a la proposición
[(p =» q) =» p ] A [~ p =» (~ p =» q)]
A) — / p -
B) - ^ q -
C) - ^ ~ p -
D) ^ ~ q -
E) — / p
—/q -
PROBLEMA 9 (UNI 2012 - 1)
A) F FW
D )W F F
Resolución:
(P V ~q)
i
p o q = (pAq)=»q
p © q = p=»( pvq)
J
Si la proposición (p v ~q) => (r » ~s), es falsa. El valor
de verdad de p, q, r, s (en ese orden) es;
Clave: C
Si:
V
Resoluclón:
Considerando: A a B
A = (p =» q) =» p
B = ~p=>(~p^q)
= (~p V q) =» p
= p V (~p =» q)
= ~(~p V q) V p
=pvpvq
= (p A ~q) V p
B= pVq
A=p
Entonces; A A B = p A ( p v q )
AaB= p
Clave: A
Resolución:
Analizando:
I. Compra un vestido = p
Compra zapatos = q
Del enunciado p ^ q
Luego: q ^ p (no es válido)
II. Luis lee Caretas = p
Está bien informado = q
Del enunciado; p =» q
Luego: q ^ p (no es válido)
Iti. Estudio = p
Obtengo buena nota = q
Me divierto = r
Del enunciado; p q
~p=»r
.-. q V r(si es vàlido)
PROBLEMA 7 (tN I 2011 - 1)
[
(V =» t) «■ F
PROBLEMA 6 (tN I 2007 • II)
A) Solo I
D)lylf
... (Ley asociativa)
=
V
V q
... (tautología)
p®q =
V
~(t® s)
Simplificando; (rDs)=»t
B)FWF
E)FVFF
O V FV F
p: puede ser V o F
q: puede s e r F o V
Resolución:
p:VF
q:FV
r: V V
s:VV
La única alternativa que cumpie es la A
Lógica preposicional
Clave: A
(~p^q)vtr*~s)
l
PROBLEMA 10 (UNI 2012 - II)
Si ia proposición: [(~p v q) =» (q «=» r)] v (q a s)
es faisa, siendo “p” una proposición verdadera.
Determine ios vaiores de verdad de; q, r, s, en ese or­
den.
A) V W
D) FFV
B) VFV
E) FFF
C) VFF
v
V
1
i
V
V
F
p; F
F
q; F
r; V
V A V
V
V
V
V
q ) » (q » r) = F
il.
V
Como; p = V =* q; V; r; F; s: F
(~r V q)
F
[(~q
F
v
„
V
Si ia proposición; (~p =» q) v ( r » ~s) s F.
Determine ei vaior de verdad de ías siguientes propo­
siciones.
i. ( ~ p A ~ q ) v ~ q
ii. (~r V q) » [(~q v r) A s]
Ni. (p => q) => í(p V q) A ~q]
B) W F
E) FFF
si
[V A V]
PROBLEMA 11 (UNI 2012 • II)
VW
FW
r) a
V vV
Clave: C
A)
D)
s: V
Luego, ias proposiciones:
i. ( ~ p A ~ q )v (~ q )
Resoiución:
De la proposición;
[(~p V q) (q « r)] V (q A s) = F
F
Luego; (~p
F
C) VFF
(p =» q) =» [(p V q) A ~q]
F
F
F
F
IF A V]
VFF
Clave: C
■■■D
1.
B) Ii
E) Todas
4.
p—i
-q —
Es de S/.50; en cuanto se reducirá el costo de la
instalación si se reemplaza este circuito por su
equivalente más simple.
A)S/.350
D) S/.250
B)A = q=»p
D)A=pv(p=»q)
7.
B)S/.150
E) S/.300
OS/.200
Simplifique la siguiente proposición a su equivalen­
cia más simple.
{[(P =► q) V ~p] A (~q =» p)}
[( ~pAq) =. ( r A~r ) ] A( ~q)
Se define el operador lógico V de la siguiente ma­
nera:
- p V q = -[(~ p A q) V (~p A ~q)]
Simplifique el siguiente esquema:
{p ^ [(P V q) A (q A r)]} V (r A s)
A)(p«r)vq
D)(pvq)Ar
A) ~ p V q
D)p
B)V
E)~q
C)F
Si el enunciado: “si hay dinero pero hay infiación,
entonces es suficiente que no haya trabajo, para
que se tenga dinero”, es falso, concluimos que:
8.
9.
Se define et operador *, mediante la siguiente tabla
de verdad:
pVq
~p A
B) ~q
E) V
q
C) ~p
Indique cuáles son tautologías:
I. (-P A q ) « (p V ~ q )
II. [p A (p =* q)] =* q
III. [(p V q) A r] = {~p V [p A (~p =» q)]}
A )l
D) ti
B) II y lll
E) Todas
q
p.q
V
V
F
V
F
F
F
V
V
pAq:
-P — q—
F
F
F
pvq:
- P —I
\-q -l
B)a
D) «
E)=»
Olii
10. Si;
Simplifique y dé el equivalente del siguiente circui­
to lógico.
I—
C )v
p
Se tiene que:
• pAq:
pvq:
C) r A s
P
A) A
•
B) q A r
E )r
Si:p#q = [(p v ~ q )A (~ q ^ p )]
p © q = q v [ ( p « * q ) A ( q Ap)]
Simplificar la siguiente expresión:
W = { { - p # (q A ~ p ) ) A [(q » ~ p ) ffi q]} => q
A)
D)
Además:
p B q = ~ {[(p =» q) * (q ^ p)] v (p * q)}
Entonces, el operador b reemplaza a:
6.
P—1
r— P — I
- q — ^
L-q— I
C) lll
A) No hay dinero.
B) No hay inflación.
C) No hay inflación y sí dinero.
D) No hay trabajo.
E) Hay trabajo y dinero.
5.
Q I
Si el costo de cada llave en la instalación del
circuito:
Exprese la siguiente proposición compuesta a su
equivalencia condicional más simple.
A = {~p « q) A (p =* q)
A)A=p=»~q
C)A=(p=»q)Ap
E)A = ~p=»q
3.
PR O P U ES T O S
¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tau­
tológicas?
i- ~ { l( p J i q ) J i p ] ^ l ( q J i p ) i i p ] }
II- {[(P ü q) A pl
[(p li q) A q)}
III- ~ ( p U q ) « ( p v q )
Si además “p i q", indica “no p y no q”.
A) I
D) II y lll
2.
■ ■
PR O B LEM A S
q
^q^
q
|— P—1
q
A) p V ~q
D)~p A ~q
B)pvq
E)p=»q
C) ~q
A) q
D) - p
11. SI la proposición:
[(p A q) A (~p V w)l => es falsa
Se afirma que la siguiente proposición:
[s V (p A ~w] V (p q), es:
A )l
D)ll
12. Las letras P, Q, R y S representan afirmaciones de
las cuales solo dos son verdaderas. Se sabe lo siguíente:
A) Si 8 es verdadera entonces Q es verdadera.
B) Si Q es verdadera entonces R es verdadera.
C) Si P es verdadera, entonces S es verdadera.
Las verdaderas son;
B)PyS
E)PyQ
B) Solo
E)lyll
B) Solo lll
E)lylll
16.
B) W F
E) F W
C) Solo lll
O S o lo »
C) VFV
Sabiendo que la proposición compuesta;
p » (~r V s) es falsa
t ^ (p V s); p r; ~s =» t; r » p
¿Cuántas son verdaderas?
A )0
B)1
17. Simplificar;
(p V q) A ((q
0 )2
C)lll
— p — q —•
— P—
pvq;
—
— qJ
Simplifique y dé el equivalente del siguiente circui­
to lógico.
p H L-----~p_qJ
p P —1
15. Sabiendo que p y q son proposiciones con diferen­
tes valores de verdad, además;
M = p V q:
N = (~p A q) V p: S = ~q » p
¿Cuáles son los valores de verdad en ese orden?
A) W V
D) FVF
19. S i ; p Aq :
-
14. La subida del precio de la gasolina implica la subi­
da de pasajes.
* La subida de pasajes Implica el aumento del
costo de vida.
• La crisis económica impltca la suk^a de gasolina.
¿Cuáles no son con'ectas?
I. La crisis económica implica la subida de pasajes.
II. La subida del precio de la gasolina implica el
aumento del costo de vida.
III. La subida del pasaje implica la crisis económica.
A) Solo l
D) II y til
C) ~q
B) II y lll
E) Todas
OQyR
13. Sí la siguiente proposición compuesta: p ^ (r a s)
es falsa, entonces, ¿cuáles de las siguientes afir­
maciones son verdaderas?
I. ptiene un solo valorde verdad.
II. s puede ser verdadera.
III. r es necesariamente verdadera.
A) Solo I
D)lylll
p V ~q
p A ~q
18. Indique cuáles son tautologías;
I. (-P A q) « (p V ~q)
II. [ p A ( p « q ) ] ^ q
III. [(p V q) A r] =» {~p V [p A (~p =* q)]}
A) Verdadera
B) Falsa
C) No se afirma nada
D) Toma ambos valores de verdad
E) Faltan datos
A)QyS
D)PyR
B)
E)
D)3
P) =» {P => q)l
E)4
A) p V -q
D)~p A ~q
B)pvq
E)p=»q
C) ~p
20. Si el siguiente esquema es falso;
(p A ~q) =» [(m A r) V -r ]
Indique el valor veritativo de p, q, m y r
A) VFFV
D )W F F
B) V F W
E)FWF
C) VFFF
21 . Sean las proposiciones;
p Eduardo estudia en la UNI.
q Eduardo no es vendedor de periódicos,
r Eduardo no desayuna.
Simbolice el siguiente enunciado y luego simplifíquelo;
Es suficiente que Eduardo no sea vendedor de pe­
riódicos o no tome desayuno para que no estudie
en la UNI. Pero si estudia en la UNI entonces es
vendedor de periódicos.
A) p =* (~q A ~r)
C) p =» (q A r)
E)pvq
B) p A q A ~r
D) (p V q) A r
22 . Dado el siguiente esquema molecular;
[(P =» ~q) A r] (r =» (p A q)j
Si elaboramos su tabla de verdad, calcule la dife­
rencia entre el número de verdaderos y el número
de falsos de su matriz principal.
A) 1
B) 2
0 3
O) 4
E) O
23. Sí la proposición “s" es falsa, y el siguiente esque­
ma: (~p A q) [(q =» r) V (p A ~s)] es una tautolo­
gía, entonces los valores de verdad de p, q y r son
respectivamente:
A)FW
D)FFF
B)VFF
E)VW
C)FVF
24.
D) Pagar 231 soles y ser accionista, o no Ingresar
al club.
E) No es cierto que se pague 231 soles y ser ac>
cionista, o ingrese al club.
Se define:
q
V
p*q
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
p
V
30. Simbolizar: “No es el caso que Carlos sea médico
o abogado; en conclusión, Carlos no es abogado".
A) ~p V q =» q
C) ~(p A q) ^ ~q
E) ~( p« q ) = » ~ q
Simplificar la expresión:
[(p«q)* (P *''q)]v(~ p*'-q)
A) p
D)pA~q
25.
B) p A q
E)pv~q
C) p V q
31.
Se define el operador: (-i-), por la siguiente tabla;
p
V
V
F
F
Se definen los operadores V y (f por las siguientes
tablas:
P q
p V q
V V
F
p fr q
V
q
V
F
V
F
F
V
F
Simpliflcar: (p + q) + p
F V
F
V
F
F
V
A)
D)
V
F
Reducir: [(p ft q) v (~q V ~p]
A) q
D) p t q
B) p a q
E) P V q
a
[(p 1Ì q) A q]
C) p
26. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I. p=, ~q = ~ { p v ~ q )
II. ~ ( pV q ) v ( p j ? q ) = p = q
III. ~ p í tq = ~ ( ~ P ^ q )
A) Solo I
D)lylll
B) Solo II
E) Todas
O lyll
27. Señalar la expresión equivalente a la proposición:
(pv~p)A(~qv~p)
A)q=»p
C)(p=»q)=»~p
E) (q =» p) =» ~p
B)p=>q
D)~p=»(p=»q)
28. Sean las proposiciones;
• p,,,: v x e E , x° = 1
. q(„3 ye M //< 0
- 3* = (z + 3)(z - 3)
• r,^,; V z G E,
Indique el valor de verdad de: p » q: p => r; r v q
A) FFV
D)VW
8) ~q =» ~(p V q)
D) ~(p V q ) « ~q
B)FW
E)FFF
C)VFV
29. El equivalente de la proposición: “Hay que pagar 231
soles y ser accionistas para ingresar al club", es;
A) No ingresar al club o pagar 231 soles y ser ac­
cionista.
B) Pagar 231 soles o ser accionista y no ingresar
al club.
C) Pagar 231 soles y no ser accionista, y entrar al
club.
F
pAq
p + q
V
V
F
V
B) p V q
E) V
C) ~q V q
32. Dadas las proposiciones; q: 4 es un número impar;
p y r cualquiera tal que: -((r v q) =» (r ® p)] es ver­
dadera, hallar el valor de verdad de los siguientes
esquemas moleculares:
I. r ^ ( ~ p v ~ q )
II. [r « (p A q)] (~p A q)
A)VF
D) FF
B)W
C)FV
E) Depende de q
33. Si: p * q = p => ~q
p # ~q = (p « q) = ~p
Simplificar: [(p a q) * (p v q) # (p => q)]
A)-pvq
D)~pv~q
B)p
E)~p
C)~q
34. Un profesor de UNI denotaba por:
Apq; p A q; y con Np; ~p.
Escríbanse las siguientes proposiciones emplean­
do A y N en vez de A y
I, ~(p A q) A (~q A r)
II. ~(p A ~q) A (~q A ~r)
A)ANpqAqr: ANpNqANqr
B)ANpqANqr; ANApqANqr
OANApNqAqNr: ANApqANqNr
D)ANpqApq; ANqpANrq
E) ANApqANqr; ANApNqANqNr
35. Si T es una tautología y p. q son proposiciones,
¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verda­
deras?
I. {[(p A T) V (q A ~T)] A (p V q)) « p
II. {[(p V q) V (~p A -q )] A (p V q)} T
III. {[(p V q V ~T) A -T ] V [(~p A T) V T]} T
A) Solo I
D) tl l yl l
B) Solo II
E) Soto iti
O ly
36. Dadas las proposiciones: q: 13 es un número par;
~í(r V q) (r => p)] es verdadera,
A )p
D)p
B)W
OFV
E) Depende de q
37. Si la siguiente proporción:
[(q A ~p) ^ ~q] V (r =» s) es falsa, dar el valor veritath/o de:
I. [(p =» ~q) V (s =» r)] « (r V p)
II. {(r V p) =»-s ] V (vií =» r)
A )W
D) FF
1>—
H >Si s es falsa.
¿Cuáles son los valores de verdad de p y q, res­
pectivamente?
A )W
D) FF
B)VF
C)FV
E) Faltan datos
44. Hallar la proposición equivalente al circuito lógico:
p ------------------ q -----------
B)VF
C)FV
E) Depende de w
~q— I
38. Si la proposición compuesta: (p a q ) » (r v t)
Es falsa. Indicar las proposiciones que son verda­
deras;
A) p ;r
D) q: t
B) p:q
E) p; r; t
C) r;t
39. Simplificar; M = [{~p v q ) » (~q v p)} a ~{p a q)
A) q
D)~q
B) p
E)~pvq
C) ~p
40. Si la proposición: (p a q }» (q »»r) es falsa,tialtar el
valor de verdad de ias siguientes fórmulas;
I. ~ ( p v r ) « ( p v q )
II. (p V ~ q ) ( ~ r a q)
til. [(p A q) V {q A ~ r)] « (p v ~r)
A)WF
D) VFF
8) VFV
E) F W
C)VW
41. Determinar ei valor de verdad de cadauna de las
siguientes proposiciones;
I. Si; 3 + 1 » 7, entonces; 4 + 4 = 8
II. No es verdad que: 2 + 2 = 5, si y solo si
4 + 4=10.
til. Madrid está en España o Londres está en
Francia.
A) VFV
D)FVF
8)VW
E) FFF
~q— '
B) p V ~q
E) p A ~q
A)p
D)~pvq
C)pvq
45> De los siguientes enunciados;
• ¡Qué rico durazfio!
• 7 + 1 5 >50
• x^ + y" = 25
¿Qué altemativa es correcta?
A)
B)
C)
O)
E)
Una es proposición.
Dos son enunciados abiertos.
Dos son expresiones no proposicionales.
Dos son proposiciones.
Todas son pr<^sidones.
46. Los profesores de Aritmética de la academia han
diseñado un circuito integrado que recibe “p" y ‘q’’
como entradas y V como salida. Ñafiar V .
r ^
r= L >
OVFF
42. La proposición equivalente más simple del siguien­
te circuito;
— q -P -
LqJ
C)r
43. Dado el siguiente drcuito:
p y r cualquier valor.
Hallar et valor de las siguientes proposiciones;
I. r « ( ~ p A ~ q )
II. [ r « (p A q )]« (~p A q)
A)VF
D) FF
B)q
E)~q
A )p
B )q
C )V
D)F
E)pvq
D ) ~q
E )p A q
47. Hallar el equivalente de:
I > ------
L ~ p —J
-P
—q
•~ p - J
A)p
8)~p
C)q
48.
55.
Si la proposición que se obtiene es falsa, ¿cuáles
son los valores de p y q, respectivamente?
¿Cuántas de las siguientes expresiones son pro­
posiciones?
• Dios mío ... se murió
• El calor es ia energía en tránsito.
• Bai)a a menos que estés triste.
• Siempre que estudio, me siento feliz.
• El delfín es un cetáceo, ya que es un mamífero
marino.
A )W
D) FF
A)1
D)4
Simbolizar:
P'
B)VF
C)FV
E) No se puede precisar
49. Se tiene la siguiente equivalencia:
pA q = (-pvq)A(qA~p)
Reducir la expresión:
(pA ~q )A ~ p
A)pvq
D)pv~q
B)qA~p
E)~pA~q
56 .
C)qv~p
50. Si el esquema (~p ^ q) v ( p «»r) es falso. Hallar el
valor de verdad de;
I.
~{(pA q)= »(r= :*^p)}
II. { ( SA p ) = » ( t v ~ q ) ) v ( v A w )
A)FF
D) FV
57.
51. Si la proposición: p » (r v s)
Es falsa, ¿cuántas de las siguientes proposiciones
son verdaderas?
). í - s v t ) v ~ p
II. r « p
III.t=»-r
IV.(r=*p)v(s=»t)
A) Ninguna
D) Tres
B) Una
E) Cuatro
C) Dos
52. Si:
a*b = (a =* b) V [b V ~ (a ^ b)]
a » b s {a V [b=» (a v b ) } =* ~a
Reducir;
{[(p*q)» r ] * ( ~ p ' q ) } » í q * ( p A ~ q ) }
A)~p
D)p
B)V
E)q
C)F
A)WF
D) VFV
B)VFF
E) FFF
OWV
54. De los siguientes enunciados:
• Que rico durazno.
• 7 + 16 > 5 0
• x* + y^ = 25
¿Qué alternativa es correcta?
A)
B)
C)
D)
E)
Una es proposición
Oos son enunciados abiertos.
Dos son expresiones no proposicionales.
Dos son proposiciones.
Todas son proposiciones.
58.
B)1
E)4
02
Dadas las siguientes expresiones:
• Si en el curso de Lógica iiay 415 alumnos, erw
tonces por lo menos 50 estudiantes celebran el
mismo día su cumpleaños.
• Si eres vida. ¿Por qué me das la muerte? si
eres muerte, ¿Por qué me das la vida?
• Edy corre tras el éxito, es un hombre práctico,
y reside en un piso céntrico regando flores de
plástico y pendiente del teléfono.
• La feria del Señor de los Milagros en tiomenaje
al sesquicentenario de las t^atallas de Junin y
Ayacucho.
• Ei principilo no podía comprender a las perso­
nas adultas.
• Justo y José se odian a muerte.
¿Cuántas son proposiciones simpíés?
A) O
D )3 -
53. Si: (p A ~q) » r; es falsa, determinar los valores de
verdad de p, q y r
03
Dadas las siguientes expresiones;
• El átomo no se ve, pero existe.
• Los tigres no son paquidermos, tampoco las
nutrias.
• Toma una decisión rápida.
• Hay 900 números naturales que se representan
con tres cifras.
• La Matemática es ciencia táctica.
• Es imposible que el año no tenga 12 meses.
¿Cuántas no son proposiciones simples?
A) O
D )3
B)VF
C )W
E) Depende de w
8 )2
E)5
B)1
E)4
02
Si unimos proposiciones:
‘ Los canguros son marsupiales’ y T o s osos son
piantígrados’ con cada una de las siguientes es­
tructuras. ¿Cuántas de ellas se simbolizan con una
conjunción lógica?
...............a la vez q u e ................
...............puesto q u e ...................
...............sin embargo.................
...............cada vez qu e ...............
...............no obstante..................
N i...............n i ................
A) 2
D)5
B)3
E)6
C)4
59. El equivalente de la proposición; ‘ )Hay que pagar 231
soles y ser accionistas para ingresar al dub”, es:
A) No ingresar al club o pagar 231 soles y ser ac­
cionista.
6) Pagar 231 soles o ser accionista y no Ingresar
al dub.
C) Pagar 231 soles y no ser accionista, y entrar al
club.
D) Pagar 231 soles y ser accionista, o no ingresar
al dub.
E) No es cierto que se pague 231 soles y ser acdonista, o ingrese al club.
60. Simbolizar; “No es el caso que Timo sea médico o
abogado; en condusión, Timo no es abogado’
A)~pvq=»q
C)~(pAq)=»~q
E) ~( p**q) =»- q
A)W
O) FF
~p = [~q =» (~r A ~s)J
(~p =. q) =» ( ~ r A ~s)
(~p =» q) =» (~r A ~s)
~q => [~q =» ( - r A ~s)]
(~p => ~q) (~r A ~s)
62. Si la afirmación: ‘Si no como ni leo, entonces no
bebo”, es falsa.
Podemos afirmar que;
I. Como
II. Bebo
Ili. Leo
A) p; r
D) q ;t
63. El equivalente de la proposición: ‘Hay que pagar
200 soles y ser sodo para ingresar al teatro’ es:
A) No Ingresar al teatro o pagar 200 soles, y ser
socio.
B) Pagar 200 soles o ser sodo, y no ingresar al
teatro.
C) Pagar 200 soles y ser socio, o no ingresar al
teatro.
D) Pagar 200 soles y no ser sodo, y entrar af teatro.
E) No es cierto que se pague 200 soles y sea so­
cio, o ingrese al teatro.
64. De los siguientes esquemas;
• (q =» r) V (~p ^ r)
• [ pA ( p « q ) ] = » p
• [(~p A q) =» - r ] =* -( r A ~(p v ~q)]
Indicar en el orden dado cuál es Tautologia (T).
Contingencia (S) o Contradicción (C);
A) T, C. S
D)S,T, C
B) T, S, C
E)S, C,T
C) C, T. S
B)
E)
p;q
p: r; t
C) r ; t
67. Simplificar; M = [(~p v q) = (~q v p)] a ~(p a q)
A) q
D)~q
B) p
E)~pvq
C) ~p
68. Si se define; p A q = (p a ~q) v (q a -p )
Simplificar; ~[(p A ~q) =» -q ]
A) p A q
D)~p
B) p V q
E)~q
C) ~p A q
69. Decir cuál o cuáles son verdaderas, si se define;
pV q = pA~q:pirq = ~p vq
I. p =» ~q s ~(p V ~q)
II. ~ ( p V q ) v ( p t q ) = p - q
Hl. ~p Hq = ~(~p V q)
A) Solo I
D)lylll
70.
A) Solo I y II
B)Sol oi l y l ll
O S olo I y ili
0)1, II y Ili
E) Ninguna es equivalente
B)VF
C)FV
E) Depende de w
66. Si la proposición compuesta: {p a q) ^ (r v t)
Es falsa. Indicar las proposiciones que son verda­
deras:
B) ~q=»~( pvq)
D)~(pvq)=»~q
61. Simbolizar: “Si en Marte no hay agua, entonces no
hay vida; en consecuencia, no hay mardanos ni
platillos voladores '.
A)
B)
C)
D)
E)
65. Si la siguiente proposición;
[(q A -p ) =» - q ] V (r =» s)
es falsa, dar el valor veritativo de;
I. [ ( p = » ~ q ) v (s = » r) ] o ( r v p )
II. [{r V p) =» ~s] V (w =» r)
B) Solo II
E) Todas
O l y II
Si T es una tautología y “p”, “q” son proposidones,
¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verda­
deras?
I. {[(p A T) V (q A -T )l A (p V q)} » p
II. Ü(P V q) V (~p A ~q)] A (p V q)} •• T
III. Ü(p V q V ~T) A ~T} V [(~p A T) V TI) e* T
A) Solo I
D) lll y II
8) Solo II
E) Solo lll
O) Solo I y lll
71. Dadas las proposidones:
q; 13 es un número par
~[{r V q) » (r ^ p)] es verdadera.
‘p” y “r” cualquier valor
Hallar el valor de las siguientes proposidones;
I. r=»(~pA~q)
fl. (r (p A q)] (~p A q)
A)VF
D) FF
B)W
C)FV
E) Depende de q
72. indicar el valor de verdad de:
I. - [ ( p A q ) = * p l
II. (p Aq)=»p
lll. (p A q) =, (p q) IV. p =» (p V q)
A) VFVF
D)VFFV
8) V W F
E )F V W
C) FVFV
D) No son equivalentes.
E) Ambos esquemas tienen premisa exístendal
73. Sí definimos; p @ q - p a ~q
Entonces, si ~p @ (p v q) es verdadero.
Determinar eí valor de wrdad de;
(p @ q) y (~p @ ~q)
A)FV
D) FF
77. Si ía proposición compuesta; ~l(p a ~ r ) « (r A ~q)]
no es falsa. í-latlar et valor de vendad de las propo­
siciones r, p y q respectivamente.
B)VF
C )W
E) Fatta eí valor de p
A)FW
D)FVF
74. Eí esquema nvoíecuíar;
[p » (p A >-q)] «» [(~p V q) =» q] ^ falso
y ei esquema (p a q) ~p; es verdadero,
eí esquema: (p «» q) v p =» (p v q) es;
A) Falso
C) Consistente
E) Tautoíógico
I. ~( ~qv~s)=>~p
II. ~(~r AS).*» (~p => ~q)
III. p =» ~[q =» ~(s =» r)]
6) Verdadero
D) Contingente
B) FFFW
E) F W W
C)VFV
78. De la veracidad de: ~[(p ^ ~q) v (~r ^ ~s)]
Deducir el valor de verdad de;
75. Determine eí valor de verdad de tas siguientes pro­
posiciones;
I. 7 2 < 2 y / 5 e ®
Ií. Sí V divfdd a 12, entonces “n" divide a 4.
ííí. 3/5 es un número par o impar.
ÍV. Si 'n ' es par entonces ”n+ 1" es impar.
V. V3es racíonaí entonces ^ es entero.
A) FFFVF
D) FFW V
B)W F
E)VFF
A)FW
D) VFF
A)
B)
C)
D)
E)
80.
A) Son equivalentes por teorema de De Morgan.
B) Son premisas de ~q.
C) Son equivalentes por ley de implicación.
OFFV
79. Sí la proposición: (p => ~q) v (~r =» s) es falsa, de­
ducir eí valor de verdad de: (~p a ~q) v ~p
C) FFWF
76. Los esquemas moíecuíares; p ^ q a ~p v q
B)W F
E) FFF
V
F
VoF
No se puede determinar
Es V si p es F.
Simplificar:
- ( ( - p =. q) < ~p] =» (q =» (p
A) p A ~q
D) ~(p V q)
■-»' ■.i
T :a # r
B) ~p V q
E )p v q
~q)}
C) -(p A q)
Conjuntos
ü
Georg Ferdinand Ludwig Philipp
Cantor nació en San Petersburgo
(3 de marzo de 1845) y m urió en
Halle (6 de enero de 1918). Fue
un m atem ático alemán, inventor
con Dedebind y Frege de la teoría
de conjuntos, que es la base de las
matem áticas modernas. Gracias
a sus atrevidas investigaciones
sobre los conjuntos infinitos fue
el prim ero capaz de formalizar la
noción de infinito bajo la forma
de los núm eros transfinitos (car­
dinales y ordinales).
La educación primaria fue inicial­
m ente confiada a un profesor par­
ticular. pasando luego a la escuela
elemental de San Petersburgo. Sus
estudios universitarios se iniciaron
en 1862 en Zúrich. pero al siguien­
te año. después de la m uerte de
su padre, pasó a la Universidad de
Berlín donde se especializó en Ma­
temáticas. Filosofía y Física. En 1872. cuando contaba con 27 años de edad, se convirtió en catedrá­
tico en la Universidad de Halle, dando inicio entonces a sus principales investigaciones.
Sus primeros trabajos con las series de Fourier lo llevaron al desarrollo de una teoría de los núm e­
ros irracionales y en 1874 apareció su prim er trabajo sobre ía teoría de conjuntos. Además, trató
durante m uchos años de probar la hipótesis del continuo. Actualmente, su obra es am pllam eme
reconocida y ha sido acreedora de varios honores. Sistematizó el conjunto IR de los números
reales y usó el concepto de conjunto abierto.
Fuente: Wikipedia
^ DEHMfCIÓN
Ejem plo:
Es una reunión (colección o agrupación) de objetos o en>
tes materiales e inmateriales con características propias.
Sea el conjunto universal: U = {x e Dí/2 < x < 9}
Ejem plos:
A = {3; 4. 5}; B = {4; 6; 8}; C = {3; 5; 7}
Porque todos los elementos de los conjuntos A, B y C per­
tenecen al conjunto universal U.
es un universo de los conjuntos:
El conjunto de los animales mamíferos.
El conjunto de los países americanos.
El conjunto de los números impares.
Nulo o vacío
Llamado también conjunto nulo, es aquel que no posee
elementos; convencionalmente, el conjunto vacío es un
subconjunto de cualquier otro conjunto; se le represen­
ta por: 0 V { }
^ NOMENCLATURA
Usualmente se le denota por cualquier letra mayúscula
del abecedario A, B, C, D... X, Y o Z y los elementos
que componen el conjunto se designan por letras mi­
núsculas a, b, c, d, ... X, y o z; estos están separados
por comas o puntos y comas encerrados entre llaves.
Si un conjunto A está formado por tos elementos 1; 2; 3
y 4 se escribirá; A = {1; 2; 3; 4} y se lee: “A es el conjun­
to de ios elementos 1; 2; 3; 4”.
Ejem plo:
El conjunto de los números pares que terminan en 5.
Unitario
Aquel que tiene un solo elemento.
Ejem plo:
A = {x/x es el conjunto de planetas con el nombre Tierra}
B = {9}
•<1 RELACIÓN DE PERTENENCIA (e )
Es la que se establece entre un conjunto y un elemento.
Finito
Ejem plo:
Cuando tiene un número conocido o limitado de elemen­
tos. Es dedr son susceptibles a ser enumerados.
1 e A
Ejem plo:
conjunto
elemento
A =: {x/x es el conjunto de computadoras que tiene de­
terminada oficina}
Indica que 1 pertenece al conjunto A; 1 es un elemento
del conjunto A.
In fin ito
Es aquel conjunto que tiene una cantidad ilimitada de
elementos.
^ DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Por extensión
Ejem plo:
Cuando se nombran todos y cada uno de los elementos
que lo constituyen.
A = (x/x es un número primo}
ejem plos:
■<1 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
A = {a; e: i; o: u}; B = {2; 4; 6; 8; 10;...}
Conjuntos iguales
Por comprensión
Cuando tienen los mismos elementos, no importando
et orden y la forma de presentación de los elementos.
Cuando se nombra la característica que tienen todos
los elementos.
ejem plo:
A = {1:2; 4; 8; 16}; B = {2; 2'; M
Ejem plos:
P = {x/x e s
Conjunto de inclusión o sul»conjunto
.......... }; B = {x/x e W, es par}
Un conjunto A está incluido o está contenido en un con­
junto B, si todo elemento de A es elemento de B. Esto
se indica de la siguiente manera;
característica
^ CLASES DE CONJUNTOS
Ac B
Universal
t
Es el conjunto que se toma como referencia; es un con­
junto fijo del cual se toman otros conjuntos, usualmente
se le denota por U.
Los conjuntos universales más importantes en mate­
mática son los conjuntos numéricos: IR, IK, Z y ® en
ese orden.
; ^ ; 6°}
Está contenido
o está incluido
BdA
t
Incluye o
contiene
Ejem plo:
Sea: A = {1 ; 2; 3; 4}; B = {1 ; 2; 3; 4; 5; 6}
De donde se observa; A c 6.
jhsf
Generalmente al conjunto universal se le representa por
medio de un rectángulo (fig. 3).
St
SI;
A (.B *B rA « » A » 6
Ac B ' i B c Ç a A c C
t^c. A, V A
/ A • A
Diagramas lineales
Usado por lo general para conjuntos que están inclui­
dos en otros.
P or ejem plo:
^ COMPARACIÓN ENTRE CONJUNTOS
• A c B se representa de la siguiente manera:
B
Conjuntos ills|untos
Son aquellos que no tienen ningún elemento común.
Ejem plo:
A = {a; e}: B = {1; 2; 3}
A es disjunto con B
A c B j A c C y B c D , donde D y C son no com­
parables, se tiene:
D
Conjunto de conjuntos
1
B
Es un conjunto cuyos elementos son otros conjuntos.
C
^A ^
A = { { 1 } ; 0; {1;2};{1;2;3}}
M c P ; P c Q ; M d R ; R d T, R c M ; T c R
Conjunto potencia
Q
Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia o
conjunto A. Se denota por P(A).
Sea; A = {1;2;3}
P(A) = {{1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}; 0}
Donde el número de elementos del conjunto P(A) es
^ = 2^
En general se demuestra que:
n.° elementos del conjunto P(A) de un conjunto A que
tiene n elementos = 2".
^ OPERACIONES CON CONJUNTOS
Conjuntos comparables
Unión (U)
Dos conjuntos A y B serán comparables si A c B v B c A,
esto es si uno de los conjuntos es subconjunto del otro.
La unión o reunión de dos conjuntos A y B se define
como el conjunto de todos los elementos que pertene­
cen a A, a B o a ambos y se denota por:
A u B, se lee “A unión B'
Ejem plo:
SI A = {1; 2; 3); B = {1; 2; 3; 5)
Entonces A es comparable con 6 porque A c B.
-<1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CON­
JUNTOS
Existen dos formas para representar gráficamente las
relaciones entre los conjuntos. Las formas más conoci­
das son los diagramas de Venn-Euler y los diagramas
lineales.
Diagramas de Venn-Euler
Los conjuntos se pueden representar aquí, mediante
ciertas curvas simples y cerradas y de distintas formas
las cuales delimitan los elementos de un conjunto dado.
Ejem plo:
A = {a, e. i, o. u}; B = {1; 3; 5; 7}
fig. 1
fig. 2
fig. 3
Ejem plo:
Gráficamente;
Sean
A = {1:2; 3; 4}
B = {2;4:6}
A u B = {1: 2;3;4: 6}
En general. Dado dos conjuntos A y B, entonces existe:
A U B = {x/x e A V X e B}
1.
A u fi, S y e tú n ic a
2.
3l
Á
6
A U D -*B U A
^B )U C 3A u(B uC )
A. A - A
A U 3 -A
A^UU*=U
» A '. B .> A i . B - n
ñ.
Intersección (n)
Gráficamente:
La intersección de dos conjuntos A y B se define como
el conjunto de los elementos que son comunes a A y B,
es decir de aquellos elementos que pertenecen a A y
que también pertenecen a B.
Se denota por A n B; y se lee: “A intersección B"
Ejem plo:
Sean:
A = {a; b; c}
B = {b; c; d; e}
A n B = {b; c}
En general:
A n 8 = {x/x e A A X
1.
A -B ,.3 y e s ú fM »
? A - A « 0 ; A - U = (0; A - 0 = A
4. ^ - S ) c A
_
n-
Complemento de un conjunto
1.
2.
3.
4.
AnB, 3 yi
AnBsBnA
( A h B ) n C » A n ( B n 'C )
A ri(B u C )a (A o B )u (A n C )
A u (B u C) » (A U B) n (A U C)
5. A n A r= A
AO0S0
A -iU • A
6. A c B * * A n B = A .
7. < A n B )cA A ( A n B ) c ñ
Si A y B son conjuntos tales que A c B, se define el
complemento de A con respecto de B y se denota por:
C ; C^;
Entonces el compleniento de A será:
A* = B - A = {x/x e B A X ^ A}
Ejem plo:
Sean-, u = {1; 2; 3; 4; 5)
A = {3;4}
A' = u - A = {1;2;5}
Gráficamente:
Diferencia ( - )
La diferencia de dos conjuntos A y B se define como el
conjunto de todos los elementos del conjunto A que no
pertenecen al conjunto B.
Se denota por: A - 8 y se lee: “A diferencia B" o “A
menos B".
E jem plos:
•
Sean: A = {a; b: c; d; e} A B = {d; e}
» A - B = {a; b; c}
1.
2
3.
AoA>^U
A (iA '^ E ? = ’Hl
Gráficamente:
'k é im & É M ñ
A -È
Diferencia sim étrica
Sean: A = {0; 1; 2; 3} a B = {2; 3; 4}
« A - B = {0; 1}
Gráficamente:
Dados los conjuntos A y B entonces se define:
A A 8 = (A - B) u (B - A) v
A A B = (A U B) - (A n B)
Se lee: “A diferencia simétrica con 8 ”
Ejem plo:
A = {1; 2: 3; 6: 7} A 8 = {2; 3; 7; 4; 9}; entonces:
A A B = (A - B) u (B - A); A - B = {1; 5} A B - A = {4; 9 }
A A B = {1;4;5; 9 }
Gráficamente:
Sean: A = {a; e; 1} a B = {o; u}
=» A - B = {a; e; i}
t
A
a
B
V
m
Resoludón:
I. Es verdadera, dado que {2} es un elemento de
A, además, )a relación de pertenencia se em­
plea de elemento a conjunto.
II. Verdadera ya que { {2} } es un subconjunto
de A, no está por demás hacer la aclaración
que entre conjuntos se utiliza la relación de
inclusión.
III. Verdadera, ya que la pertenencia se utiliza de
elemento a conjunto.
IV. Falsa, ya que {5; 3} es un subconjunto de A,
entonces debería de haberse empleado la
inclusión.
V. Verdadera, se utiliza la inclusión para relacionar
conjuntos.
umai
i
J
A A f» -S lA
fA < .|h J.C •
^
A ^ b - .* «• A >
^ NÚMERO DE ELEMENTOS DE IIN CONJCJNTO
Dado un conjunto A cualquiera, la familia de elemen­
tos del conjunto se llama número cardinal de A y se
denota por:
n(A)
V
Card(A)
Se lee: “número de elementos de A” o “cardinal de A".
Se cumplen las siguientes propiedades:
1.
2.
Si A y B son dos conjuntos disjuntos, esto es:
A n B = 0: entonces;
n(AuB) = n(A) + n(B)
De ias siguientes notaciones:
I. {2; 5; 3} = {3; 5; 2}
II. {4} € { { 4} ; 5}
III. { 3} c { 2 ; 3; 4}
IV. 0 G {3; {4}; 2}
V 0c{3:{4};2}
Indicar la proposición falsa.
Resolución:
2.
Si A y B son dos conjuntos tales que A n B
entonces:
n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B)
I. Verdadera, son conjuntos iguales.
II. Verdadera, ya que {4} es un elemento del con­
junto.
III. Verdadera, ya que {3} es un subconjunto.
IV. Falsa, ya que 0 ^ a dicho conjunto.
V. Verdadera ya que 0 está contenido en cual­
quier conjunto.
0,
3.
3.
Sabiendo que;
Si son 3 conjuntos A; B y C:
n(A u B u C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A n B) n(A n C) - n(B n C) + n(A n B n C)
n(A - B) = n(A) - n(A n B)
Ejem plo:
A = {2; 3; 5; 7\ 9}
8 = {1:4; 8}
•
n(AuB) = n(A) + n(B)
5 +
3
n(AuB) = 8
C = {2;
3; 5;
7;
9}
D = {1: 4; 5; 7; 10} son no comparables
n(C U D) = n(C) + n(D) - n(C n D)
= 5 + 5
-
n(C U D) = 8
Aplicaciones
1. Dado el conjunto; A = {5; {2}; 3}
In d ic a r la p ro p o s ic ió n fa ls a :
I. {2>eA
lll. 3 e A
V. { 5 ; { 2 } } c A
II. { { 2 } > c A
I V . { 5 ; 3} eA
2
n(B) = 56;
n ( A n 8 ) = 15;
n( BnC) = 19
n(AriC) = 14
n(AoBnC) = 6
Hallar ei número de elementos de la parte som­
breada.
Resolución:
Trasladando los datos al diagrama tendremos:
Luego el n.° de elementos de la parte sombreada
será: 28 + 8 = 36
4.
6.
En una encuesta acerca del consumo de bebidas
se obtuvo la siguiente información:
• Toman Guaraná y Pasteurína 1/3 de los que
solo toman Pasteurína y 1/2 de los que toman
Guaraná.
• Toman otras bebidas diferentes tantos como los
que toman solo una bebida de las mencionadas.
Si los encudstados fueron 495 persor\as, hallar tos
que toman una bebida (Pasteurína o Guaraná).
Determinar la cantidad de personas que consumen
solamente un producto.
Resoiución:
Distribuyendo los datos en un diagrama de Venn:
Resolución:
Utilizando el diagrama de Venn:
Sea X el conjunto de los que toman las dos bebidas,
luego:
En el gráfico se pide: a + b -f c
De donde: 20 + a + b + c = 50
.-. a + b -t- c = 30
De donde:
2x + X + 3x + 2x + 3x = 495
toman otras
11x = 495
X
Como se observa consumen solamente un produc­
to 30.
= 45
Luego los que toman solo una t>ebida son:
2(45) + 3(45) = 225
5.
7.
De un grupo de 55 personas 25 hablan castellano,
32 quechua, 33 inglés y 5 los 3 idiomas.
Determinar el n.° de personas que hablan solo dos
de esos idiomas.
-^ (3 2 )
b \
( ^ é A
\ / '\ 5 / ^
\ / X \< /Z
8.
^
55
1(33)
+ y + a = 20
y + b + z = 27
X + c + z = 28
X
-.(1)
-
Si: A = {4; 5; {8>; {10; 11}; 9; 12; {15}}, determinar
cuáles son verdaderas.
I. { 4 } c A
lll. {10; 11} c A
II. ( 4 ; 5 } c A
IV { 1 5 } cA
Resoiución:
I. {4} c A es verdadera
({4} es subconjunto de A)
II. {4; 5} c A es verdadera
({4; 5} es subconjunto de A)
III. {10; 11}cAesfalsa
({10; 11} e Ay a que {10; 11} es elemento de A)
IV. {15} c A es falsa (por lll)
Resolución:
Llevando los datos a un diagrama, se tiene:
V
De una encuesta a 60 personas se recibió la si­
guiente información:
• 7personasconsumenelproductoAyBperonoC.
• 6 personas consumenel producto B yC pero no A.
• 3personasconsumenelproductoAyCperonoB.
> 50 personas consumen ai menos uno de estos
productos.
• 11 personas consumen el producto A y B.
Si a e A entonces:
a E (A u B)
a € (A - B)
a e (A n B)
a g A’
¿Cuáles son verdaderas si B es un conjunto cual­
quiera?
Resoiución:
* a E (A u B) es verdadero para cualquier conjunto B.
• a e ( A n B } =» a e A A a e B .
(2 )
...(3)
no se puede determ inar el valor de verdad (¿a e B 7)
Sumando (1), (2) y (3):
•
X + y + z + x + y + z + a + b + c = 75
50
.-. x + y + z = 25
Luego el número de personas que solo hablan dos
de estos idiomas es 25.
*
9,
a e ( A - B ) = » a e A A 3 ? B ( a puede o no
pertenecer a B).
a £ A' es verdadero.
Detemiinar la afirmación falsa:
I. A n A ' = 0
II. A u A ’ = u
U = {1; 2; 3; 4; ...; 10; 11; ...; 14; 15}
III. A - B = A n B ’
IV. (A n B) - C = (A - C) n {B - C)
V. A - B = j ^ B - A
Resolución:
I. A n A' = 0 por definición de complemento
(0 # 0)
II. A u A '= U tomando el dual de A
III. A - B = A n B' definición de la diferencia
de conjuntos
IV De (A - C) n (B - C) = (A n C ) n (B n C )
= A nB nC 'nC ’ = A nB nC ’
= (A n B) n C’ = (A n B) - C
V A -B /B -A
10.
¿Cuál de los siguientes subconjuntos no es sub­
conjunto de (A u B)'?
I.{5}
II. {5; 4}
Resolución:
(F)
(V)
De:(AuB)' = U - ( A u B )
A u B = {1;2; 3; 4; 13; 14}
U = {1; 2; 3 ; . . . ; 14; 15}
Entonces de (1):
(V)
(Au B)' = (5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}
(V)
(V)
Respondiendo:
I. (5} si es subconjunto de (A u By
II. {5; 4} no es subconjunto ya que 4 $ (A u B)'
Dados los conjuntos:
A = { 1 ; 2 : 3; 4}; B = {1; 4; 13; 14} y
.-. II no es subconjunto de A u B
RESU ELTO S
P R O B LEM A S
1.
II. ( ( A n B ) n C ) c A
lU. ( A u C ) c B
¿Cuál de los siguientes subconjuntos es subconjunlo de (A n B)'?
I. {1;2;3}
II. {2; 3; 5}
IV (A - B) c U
V. Todas son verdaderas
%
Resolución:
Entonces:
(AnB)' ={2; 3; 5; 6; 7;...; 14; 15; 16}
I. (AnB)cUestri vial yaqueA,ByCcU.
(V)
II. (A n B) n C c A es trivial
[(A n B) n C] n A’ = {A n fK[ ) n B n C - 0
(V)
III. A u C c B e s
®
(no se puede decir que (A u C) n B' = 0 )
Respondiendo:
i. {1;2;3}noessubconJuntode(AnB)’ (1 í (AnB)')
It. {2; 3; 5} si es subconjunto de (A n B)'
IV (A - B) c U
(A - B) n U' = (A - B) n 0 =
0
(F)
(V)
La afirmación en III es la falsa.
Dados los conjuntos:
A = {1;2; 3; 4}; B = {1; 4; 13; 14};
C = {4; 5; 12; 13}y U = {1;2: 3;...; 15; 16}
4.
Dados los conjuntos:
U = {- 1 ; O; 1; 2; 3; 4; 5}; A = {~1; 0; 2)
Señalar cuáles son verdaderas:
B = {2; 3;4} ;C = { - 1 ; 1 ; 3 ; 5}
t.
II.
D = {xeU/xeAAxgB};E = {xeU/x§ÉAvxeC}
4e(U -C )
1 e(AnB)
lll. ( B n C ) c ( U - A )
IV A c ( B u C )
Hallar el número de elementos de D u E.
Resolución:
I. (U - C ) = {1; 2;3;...; 15; 16} - {4; 5; 12; 13}
(U - C) = {1; 2; 3; 6;7; 8; 9; 10; 11; 14; 15; 16}
Entonces: 4 e (U - C)
II. A n B = {1; 4} ^ 1 e ( A n B )
Resolución:
(F)
(V)
III. B n C = {4; 13}
U - A = {5;6; 7; . . . ; 15; 16}
Entonces: (B n C) cr (U - A) (4 ¿ U - A)
IV B u C = {1;4; 5; 12; 13; 14}
A={1;2;3;4} =»Ad(BuC)
3.
Q
Sea: A = {1; 2; 4; 8; 16}. 8 = {1; 4; 7; 11; 14} y
U = {1;2;3... ;13; 14; 15; 16}
Resolución:
Sabemos que: (An B)' = U - (An B)
A n B = {1;4}; U = {1; 2; 3;...; 14; 15; 16}
2.
...(1)
IHallar cuál es la afirmación falsa.
I. ( A u B ) c U
(F)
(F)
U = {- 1 ; 0; 1; 2; 3; 4; 5}; A = {- 1 ; 0; 2}
B = {2; 3; 4}; C = {-1 ; 1; 3; 5}
D=
=
E=
=
{xeU /xeA A xgB )
{x e U /x e A A x s B ')= A n B
{ x e U / x í A v x e C}
{ x G U / x e A ' v x e C } = A ’ uC
Resolviendo;
O = {-1 ; 0; 2 } n { - 1 ; 0 ; 1; 5} = { - 1; 0 }
A
B'
E = {1; 3; 4; 5 } u { - 1 ; 1; 3; 5} = {-1 ; 1; 3; 4; 5}
A'
C
Reemplazando en R = {5; 5; 5; 5; 5} = {5}
R tiene 1 elemento.
A hor a: DuE = { - 1 ; 0 : 1 ; 3 ; 4 ; 5}
n (DuE ) = 6
5.
Dados los conjuntos;
U = {- 2 ; -1 ; 0; 1; 2; 3; 4}; A = {0; 1; 2; 3}
8.
B = { - 2 ; 0; 2; 4}; F = {x e U / x í A v x í B}
G = { x e U / x e A =»xeB}
Hallar el número de elementos de F - G.
Resolución;
B?É0 A A u B e s unitario a
A = {a^ + 2b; a + 2b + 2} 0
= » A = B = A u B = A n B y todos son conjuntos
unitarios. Luego;
De A: a^ + 2b = a + 2b + 2
Resolución:
F= {xe U /xíA vxíB }
{X e U / X e A' V X £ B'} = A' u B'
G = { x e U / x e A =» x e B ) = (p =»q) = ( ~ p v q )
q
= {xeU /~(x€A )vx6B }
=» a * - a - 2 = 0 =» a = 2 v a = - 1
= {X €U /X ^A VX €B }
= { x G U / x e A ' v x e B } = A’ u B
D eA u B : - 4 a + 3b* = 3a + 4b + 3
4
Sl a = 2 ; - | + 3b' = 6 + 4b + 3
Ahora:
F - G = F n G' = (A' u B') n (A' u B)’
=» 6 b ^ - 8 b - 2 3 = 0 =» b í Q
= (A' u B') n (A n B')
Si: a = - 1 : 4 + 3b^ = - 3 + 4b + 3
4
« 12b^ - 16b + 5 = 0
[(A' u B') n A] n B' = B’ n A = A - B
F - G = {0 :1 ; 2; 3} - { - 2 ; 0; 2; 4} = {1; 3}
^ Kb -- 1 2 - bK
n(F - G) = 2
6.
SI M = n.° de afirmaciones verdaderas; N = n.° de
afirmaciones falsas; y sean las afímiaciones:
I. El conjunto universal es único para todos los
conjuntos.
II. Si A d B entonces B A.
III. Para cualquier conjunto A se cumple A c A.
IV. Si se cumple que A <£ B entonces podemos
afirmar q u e A ^ B .
Determinar: M - N.
Resoiución:
I. El conjunto U es único (V)
II. Si ACE B=» B cc A. Por ejemplo, sean: A = {1:2}
A B = {2}; donde A C B , pero vea que B c A (F)
III. V A c U ; A c A
(V)
IV SiAcTB =» 3 x e A / x § É B
(V)
=» A # B
Luego: IWI = 3 a N = 1
7.
Sean a, b € ® t a l que bes el menor posible. Sean A
y B conjuntos tales que B # 0 ; A u B es el conjunto
unitario.
A = {a^ + 2b; a + 2b + 2}
A u B = {-5 /4 a + 3b*; 3a + 4b + 3}
Hallar A n B .
Resoiución:
A - {3m + n -11: 4m - 4};
B = {5m + 2n - 3; 4}
Son unitarios, entonces;
3m + n - 1 1 = 4 m - 4 a 5m + 2 n - 3 = 4
» m = n - 7 A 5m + 2n = 7
Resolviendo: m = - 1 a n = 6
5
g
Como b es el menor posible: b = 1
Luego: A n B = A = {2}
9.
Dado el conjunto unitario: A = {a + b; a + 2b - 3; 12}.
Determinar el valor de T = a^ + b*.
Resoiución:
A = {a + b; a + 2b - 3; 12} es unitario
^ a + b = a + 2b - 3 = 12
De donde: a = 9 a b = 3
T=
+ b^ = 90
10.
Dados los conjuntos;
A = {1; 2; {1; 2}; 3} A B = {{2; 1}; {1; 3}; 3}
Haliar el conjunto {(A\ B) n B] u (B \ A).
Resolución:
A = { 1 ; 2 ; 3; {1;2}}
B = {3; {1:2}; {1;3}}
A \B = A - B = {1;2}
(A \ B) n B = 0; pues 1 ^ B a 2 í B
B \ A = B - A = {{1;3}}
Luego; [(A \ B) n B] u (B \ A) = 0 u {{1: 3}} = {{1 ; 3}}
I^-N = 2
Si se sabe que:
A = {3m + n - 11; 4m - 4}
B = (5m + 2n - 3; 4} son conjuntos unitarios,
¿cuántos elementos tiene;
R = {m + n: 2m + n + 1: mn + 11; 2n - 7; 4 - m}
-
11.
Sea A = {2; 3; {2}; {3}; (2; 3}; 0 ; { 0 } }
De las siguientes proposiciones ¿cuántas son co­
rrectas?
I. {2; 3 } g A
lll.{ 0 } c P { A )
V 0eA
II. 0 C A
IV{2:3}cA
Vl.{2; 3; { 3 } } eP(A)
Resoiución:
A = {2: 3: {2}; {3}: {2; 3}: 0 ; {0 }}
1. {2; 3} es un elemento de A, por
lo que {2; 3} e A
II. V A e U : 0 c A
III. Como 0 c A =» 0 e P(A) ^ {0} c P(A)
IV. 2 e A A 3 e A = { 2 ; 3 } c A
V. 0 es un elemento de A, por lo que: 0 e A
VI. 2 e A A 3 e A A { 3 } e Á entonces
{2; 3; {3}} c A, con lo cual: {2; 3; {3}} g P(A)
(V)
ÍV)
(V)
(V)
(V)
(V)
Las 6 son correctas.
12.
Reducir: M = {[(A'= u B^) n (B u C)] \ (A n C)} n
si A, 8, C son tres conjuntos.
\ B;
=
n
n (P*^ n Q)} u P; {0*=^ = Q
= (P^ n Q) u P = (P*^ u P) n (Q u P)
u
=QuP=PuQ
16. En una institución deportiva de 58 personas de
los cuales: 38 juegan fútbol, 15 juegan básquet,
20 juegan béisbol, 03 juegan los tres deportes.
¿Cuántos juegan en dos de los tres deportes?
Resolución:
Totai de personas: 58
Resolución;
Tenga en cuenta que: A \ B = A - B = A n B ^
M = {((A^u B^) n (B u C)j \ (A n C)} n
\B
M = {((A n 8)^' n (B u C)] n (A n C f) n
\B
M = {[(A n B)*^ n (A n C f] n (B u C)} n
n B^)
Como: [(A n B) u (A n C ) f = [A n (8 u C)]*^
= A^ u (B u C f
M = {[A^ u (B u C)'"] n (8 u C)} n (C u B)^
Piden: x + y + z
M = {[A"" n (B u O I u [(B u C f n (8 u C)]} n (B u C f
p S í ó í l s = 3 6 - (X +
« M = {A^ n (B u C)} n (8 u C f
M = A'^ n [(B u C) n (B u C)'^] = a*^ n 0 = 0
13. Si A = {0}, 8 = P(A), C = B\ A y D = P(C), deter­
minar 8 n D.
Resolución:
A = {0} es unitario
8 = P(A) = {0 ; {0 }} = {0 : A}
C = B - A = {{0 }}
D = P(C) = {0 ; {{0 }}}
0 e B A 0 e D =» 0 e 8 n D y e s e l único elemento
en común para B y D.
.-. B n D = {0 } = A
14. Si A es un conjunto dado por;
A = {2; 6; 12; 20; ...; 992}, calcular el número de
subconjuntos propios de A.
Resolución;
(8 es subconjunto propio de A) « 8 c A a 8 A.
Si n(A) es el cardinal de A, entonces el n.° de sub­
conjuntos propios de A es: 2"‘*’-1 .
A = {2; 6; 12:20;...; 992}
A = {1 X 2; 2 X 3; 3 x 4 ; 4 X 5; . 31 x 32}
Se puede notar que; n(A) = 31 por lo tanto, el n.° de
subconjuntos propios de A es: 2^' -1 .
15. Simplificar: {[P u
n [(P^ n Q))} u P
Resolución:
{[P u Q ^ f n
n Q)} u P
y) +
X+
y+
3 + 12 -
(x + z) + z + 17 - (y + z)
0
=» 58 = 67 - (X + y + z)
x+ y+ z= 9
17. Dado M = {1; 2; 3; 4; 5}, indicar el valor de verdad
de las siguientes proposiciones:
I. 3 x e M / 3 x - 5 e M
II. v x e M ; 3 y e M / x + y < 7
III. 3 x e M / v y e M ; x + y = 7
Resolución:
M = {1;2; 3; 4; 5}
I. Para X = 2 e M vemos que:
3x - 5 = 1 e M » (I) es V
II. x
+
y<7
^ Nótese, cuando x toma los
^ valores indicados,
siempre
4 existe un y E M que verifica la
5 desigualdad dada » (íf) es V.
III. x
+
y= 7
Nótese, cuando y = 1 g M, no existe x g M que
verifique la igualdad dada.
^ (lll) es F
WF
18. De un total de 1000 camisas se piensa eliminar
aquellas que tengan 3 fallas y vender a la mitad de
precio las que tengan solo dos de ellas. Si luego
de la inspección de las camisas no se eliminó a
987 de ellas y se vendieron, pero no a mitad de
precio 875 camisas; 500 de las cuales no tenían
fallas, calcular cuántas camisas tenían solamente
una falla.
Resolución:
Luego: (® n Z = Z) ¿ (z n Dí = 0 )
U = 1000
V
V
La proposición es F:
lll. Z \ B Í = Z"U{O}9t 0
Luego: (Z \ Pí = 0 ) =» (n u Z = 0 )
F
- ( )
La proposición es V.
.-. Son correctos: I y lll
•
*
*
(F)
No se eliminan 987 camisas
^ Se eliminaron 13 camisas (tienen 3 fallas)
Las que no se vendieron a la mitad de precio
son las que tienen solo 1 falla o ninguna falla:
este total es: a + b + c + 500 = 875 (dato)
=* a + b + c - 375
N.° de camisas
con una falla
21. Se tiene un conjunto de 420 personas que ven los
canales A, B y C y se observa que: 240 no ven el
canal A, 180 no ven el canal B, 150 no ven el canal
C. Los que vieron por lo menos dos canales son 230
personas, ¿cuántas personas ven los 3 canales?
19. Sean U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y A = {1; 3; 7},
determinar el valor de verdad de las siguientes pro­
posiciones:
I. v x , y e A : 3 2 G U / x + y + z > 1 0
II. V x e A: 3 y e U / V z e A: X + z^>10 - y
III. ~(v x e A : 3 y e A / x + y > 5 )
♦ a + b + c + m + n + p + x = 420
• 240 no ven el canal A (A*^):
b + c + n = 240
• 180 no ven el canal B (B^):
a + c + p = 180
• 150 no ven el canal C (C“^):
a + b + m = 150
> 230 vieron por lo menos doscanales:
m + n + p + x = 230
Sumando las cuatro últimas:
2(a + b + c + m + n + p) + x = 800
Resolución;
I. Nótese cuando x y e toman sus mínimos valo­
res (unos), sí 3 un z que verifica la desigualdad.
Por tanto, para otros valores de x e y superiores
a uno también se verificará la desigualdad.
=» (l )esV
II. Observación: x + y + > 10
I
1
i
1 9 1
Para los mínimos valores de x, z se verifica la
desigualdad, por tanto para todos los valores
de X, z mayores que uno también se verifica la
desigualdad.
» (l l)esV
III. ~ ( v x e A : 3 y G A / x + y > 5 )
=s 3 x e A / V y G A : x + y < 5
Observación: Si x = 1 a y = 7 no se verifica la
desigualdad.
=»(111) es F .-. W F
20. En relación a los conjuntos numéricos IN, Z, Q, n
del universo £, cuales de los siguientes enuncia­
dos son correctos:
I. 1R\<EI = I[
II. ( ® n z = z ) A ( z n iN = 0 )
III. (2\Dí = 0 ) =» (nuS = (D)
Resoiución:
I. K = ® u H A ( D n i i = 0
por lo que: & \ <& = ü
II. Como Z c ® => ® n 2Z = Z y Z ' con Bí son
disjuntos: Z ' n IM = 0
(V)
420
- X
=> 840 - 2x + x = 800 =» X = 40
Ven los 3 canales 40 personas.
22.
En una encuesta realizada a 150 personas que
gustan dei vino se obtuvieron el siguiente resultado:
* 30 personas gustan del vino tinto pero no el
moscato.
* 20 personas no gustan de vino alguno.
• 80 hombres prefieren el moscato.
* 10 mujeres prefieren solo el moscato.
Determinar el número de mujeres que prefieren el
vino tinto y el moscato.
Resolución:
i20
(V)
El universo está formado por 150 personas;
30 + 80 + X + 10 + 20 = 150 =» X = 10
Luego, el número de mujeres que prefieren et vino
tinto y el moscato es x + 10 = 20
23. Durante todas las noches del mes de octubre, So­
ledad escucha música o lee un libro, si escucha
música 21 noches y lee un libro 16 noches. ¿Cuán­
tas noches escucha música y lee un libro simultá­
neamente?
=^
= AnB
u
(AnB)
^ (l )esV
II. ( A - B ) n C ^ = A n ,B^nC^
= A n (B u C)*^
= A - ( B u C ) ‘^ « ( l l ) e s V
III. Por lo anterior;
A - ( B u C ) = ( A - B ) n C ‘^ ^ ( l l l ) e s F
IV A n [B - (B - C)] = A n [B n (B - C)^]
= A n [ B n ( B ^ ü C ) ] = A n ( B n C ) =» (IV)es F
Resolución:
Como octubre tiene 31 días:
Música
= I ( A n B ) n A ] u [(An B n B]
Por absorción
Ubro
26. Si A, B, C son conjuntos del universo U. Tal que
A n C = E; simplificar; [(A - B) - C^] n (E - B)^
a + b = 21; b + c = 1 5 ; a + b + c = 31
Sumando las dos primeras;
a + 2b + c = 36
a + b + c + b = 36
b= 5
3Í
.-. Escucha música y lee un libro a la vez, durante
5 noches.
24. Indicar el valor de verdad de las proposiciones si­
guientes;
I. S I A n B ° = 0 = » A - B = A
II. SiC = ( A - B ) n B =* ( ( B - A ) u C ) u A = A u B
lll. Si A = {x e Z / x^ + 1 = 0} A
B = { x e I R / x - x = 1 } =»A‘^ n B ‘^ = U
Resolución:
1. Se sabe que; A n B^ = A - B, 0 sea que;
II. De; C = ( A - B ) n B = A n B ^ n B
0 =» C = 0
Luego;
[(B - A) u C] U A = (B n A'^) u 0 uA
Resolución:
Dato; A n C = E
Sea P = [ (A - B) - C^^] n (E - B)'"
P =(AnB'=nC)n(E-B)'=
P = (E n B‘=) n (E - B)^
P=(E - B)n(E-B)® = 0
27. En el siguiente diagrama las regiones sombreadas
se identifican como la expresión;
U
B
C
A
Resoiución:
Del gráfico, consideremos dos partes que definen
la región sombreada.
1. B n ( A u C )
= (BnA^)uA
Por absorción
= A u B =» (U)esV
III. DeA; 3 x e 2 / x ^ + 1 = O =»A = 0
D e B ; 3 x e E / x - x = 1 =»8 = 0
Luego: A‘^nB^ = U n U = U=» (l ll )esV
.-. F W
25. Dados los conjuntos A, B y C indique el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
I.
».
III.
IV.
(AnB)n(AuB) = AnB
( A - B ) n C ‘= = A - ( B U C )
A - (B U C) = (A - B) u (A n G)
A a [B - (B - C)1 = (A u B) n (C uA)
Rdsoluclón;
I. ( A n B ) n ( A u B )
Si a la (1) le restamos (diferencia de conjuntos),
la (2), se obtiene la región pedida, esto es:
ÍBn(A uC)]\(AnBnC).
28. Si A, B y C son subconjuntos del conjunto universal
U. según la figura, ¿cuáles son las zonas que re­
presentan a: (A n 8)' \ (C U A')?
juntos potencias es 112. indicar el número de ele­
mentos que posee su intersección.
Resolución;
Sean A y B los conjuntos, tales que: n(A) - n(B) = 3
Además: n(P(A)) - n(P(B)) =112
^ 2"*** —2"*®' =112
Sea: n(B) = x =» n(A) = x -i- 3
« 2” ^ - 2 * =112 ^ 2* (7) = 112
=»2“ = 16 = 2* ^ x = 4
Luego: n(A)
Resolución;
(A n B)' \ (C u A') =
(A n B )’ \ (C u A’) =
(AnB)'\(CuA') =
( A n B ) ' \ ( C u A ’) =
(A n 8)' \ (C u A ’) =
(A' u B') n (C u A’)'
(A- u B') n (C n A)
(A’ u B’) n (A n C)
((A’ u B') n A) n C
f(A;_r^) u (S’ n A)J n C
0
(A n B)’ \ (C U A') = (8’ n A) n C’ = (B' n C’) n A
(AnB)'\(CuA') = (8 u C )'n A
=
7
a
n(B)
=
4
31. En un salón de 150 alumnos, hay 90 que por lo me­
nos aprobaron uno de los cursos de aritmética, álge­
bra o geometría, pero no aprobaron física ni quími­
ca. 20 alumnos aprobaron física o química pero no
los dos. ¿Cuántos aprobaron física y química si hay
10 alumnos que no aprobaron ningún curso?
Resolución;
El problema nos habla de 5 conjuntos, pero de
estos solo 2 son los participantes y de donde nos
piden la respuesta (como U = 150 y por lo menos
90 aprobaron los anteriores).
Física
Química
región sombreada es la pedida, es decir: 5
29. Considere tres conjuntos; A, B y C tales que:
C n A = C: n(C) = 150; n(A' n B‘) = 90;
ní(Au B) - C] = 6n(C), hallar n(U).
U: conjunto universo.
Resolución:
C n A = C =» C c A
n(C') = 150; n(A’ n B') = 90 ^ n((A u B)') = 90
n [ ( A u B ) - C ] = 6n(C)
Hadendo un diagrama y ubicando los datos, se
tiene:
U = 60
a -I- b = 20 (dato) del gráfico:
a + x + b + 1 0 = 60
20 + X -I- 10 = 60
X = 30
32. En una población se determinó que el 50% de los
habitantes toman leche y que el 40% comen carne.
Si la suma de los que sólo toman leche más los
que sólo comen carne es el 54% de los habitantes.
Hallar que porcentaje de la población no come car­
ne ni toman leche.
Resoiución:
Se sabe que en este caso
U = 100%, graficando:
carne = 40%
leche = 50%
l_a región sombreada representa a: (Au 8) - C
n(C') = 6x + 90 = 150 =» x = 10
Luego: n(U) = 90 + 7x
n(U)=160
30. Considere dos conjuntos comparables cuyos car­
dinales son números que se diferencian en ^es,
además ia diferencia de los cardinales de sus con­
Por dato: a -i- c = 54%
Del gráfico: a + b = 40%
b + c = 50%
Como: a + b + c + x = 100% ...(IV)
Al sumar (I + II + lll): 2(a + b + c) = 144%
a + b + c == 72%: finalmente en (IV)
X = 28%
33.
36.
Resolución:
Si n(A) = x; entonces;
Subconjuntos; 2” = abcd (por dato) pero abcd debe
ser un número de 4 cifras, pares y además poten*
»a de 2; por lo tanto los posibles valores del nú­
mero son;
1024, 2048, 4096, 8192; la única posibilidad que
cumple es 2,048; finalmente: 2" = 2048; X = 11.
a + b + c + d + x = 26
Si P(A, tiene 16 elementos y P(e) tiene 32 elemen­
tos, determinar cuántos elementos, tierie P^^,; si
se sabe que A n B tiene 3 elementos.
Resolución:
Si
= 16 =» 2"^*» = 16
n(A) = 4
Si P,B, = 32
2"'®’ = 32 =» n(B) = 5
A=4
B=5
Además n(A n B) ) = 3, graficando;
Finalmente; P(aub> = 2®
= 64
34.
Si A es el conjunto de números de 3 cifras del sis­
tema senario. B es el conjunto de los números de
4 cifras del sistema quinario. Determinar el número
cardinal de ia intersección de A y B.
37. Una encuesta a 200 personas reveló la siguiente
información concerniente a 3 candidatos A, B y C
de un cierto club social, que se presentaban a 3
diferentes ca^os;
• 28 a favor de A y B; 98 a fóvor de A o B pero no
deC.
• 42 a ^ v o r de B pero no de A o C.
• 1 2 2 a f a v o r de B o C p e r o n o d e A .
• 64 a fóvorde C pero no d e A o B
■ 1 4 a f a v o r Ay C p e r o n o d e B .
¿CuánUs personas estaban a favor de los 3 can­
didatos?
Resotución:
Comenzando del úWmo dato tenemos:
U = 200
Colocando tos datos adecuadamente tenemos el
gráfico mostrado:
Resolución:
A ={ 1 0 0 , „ . . . ,5 5 5 „ , }
B = {1000,5,.... 4444,5,}
Pasando a base 10 cada coniwito tenemos:
B = {125....... 624}
A = Í 3 6 ......215}
n(AnB) = {125.......215}
.•. n(AnB) = 91
35.
A
En un salón de una academia donde hay 30 alum­
nos, se determinó que: 18 aprobaron aritmética,
20 aprobaron álgebra, 19 aprobaron geometría,
12 aprobaron aritmética y geometría. 11 aprobaron
aritmética y álgebra, 13 aprobaron álgebra y geo­
metría. De los que aprobaron aritmética y átget>ra
4 no aprobaron geometría. ¿Cuántos no aprobaron
ninguno de los 3 cursos?
Dei 1.*^dato
Resolución:
Aritmética y Álgebra, pero no geometría, tenemos
que: U = 30.
E)el gráfico;
Arit. * 18
Hallar (a + b + c + d + x), sabiendo que el con­
junto A tiene x elementos y en totel presenta abod
subconjuntos. donde; a, c y d son cifras pares.
B
Anteriormente;
b + c = 28
a + b = 56
Del U;
a + b + c + 4 2 + 16 + 14-l-64 = 200
a + b + c + 136 = 200; a + b -l- c = 64
a + b + c + b = 84
64 + b 9 b = 20; pero nos piden c
.-. c = 8
Alg. = 20
38 .
...(i)
•••(I)
Dados ios conjuntos binarios;
R = {6; X + y;
X
- y; 16} y P =
+
—
—:r ^ :c d ; c + d
Hallar (c - d)
Resolución:
Por ser conjuntos binarios, d^3e poseer 2 elemen­
tos, por io tanto:
de R
Por lo tanto: x + x + 2x + 16 = 96
4x = 80; X = 20
Solo A = 20
X + y = 16 © m/m
X- y = 6
2x = 2 2 ; x = 1 1 : y = 5
deP
41. S i A = {(}i, {(}•}, 1, {1} } , determinar el valor de ver­
dad de las siguientes proposiciones;
I.<|)CA
li.*eA
lll.(4.)cA
cd; c + d
P = {73: cd: c + d} ^ por ser binarios cd = 73
Nos piden: c - d = 4
39 .
En una clase mixta de 35 alumnos: 7 varones apro­
baron aritmética, 6 varones aprobaron álgebra, 5
varones y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los
2 cursos; 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron
sólo aritmética y 16 hombres hay en clase. ¿Cuán­
tas mujeres aprobaron solo álgebra?
• b+ c= 6
...(II)
• b + d = 5 ...(ili)
• a - i - e = 1 1 ...(IV)
• V = 1 6 = a + b + c + 5 (dato)
a + b + c = 11
(l + ll)a + b + c + b = 1 3
=»b = 2
Graficando nuevamente; U = 35
M
En (I) » a = 5; En (II)
c=4
En (lll) =» d = 3; En (IV) =*e = 6
Del gráfico: 5- i -6-i -2-i -3- i -4 + x + 5 + 8 = 35
x= 2
En una encuesta sobre las preferencias entre los
productos A y B, la mitad de los que respondieron
que preferían A también afirmaron que consumían
6, pero los que respondían que solo consumían B
fueron el doble de los que respondieron que solo
consumían A. Si 16 de los encuestados dijeron que
no consumían ni A ni B. ¿Cuántos de ios 96 en*
cuestados consumen solo A?
Resolución:
U = 96
42. SeaU = {O; 2 ’; ( - 1, 3 4 ) “; 3,1416; 12}
A = {xe U /xíIN A X í© }
B= {x£ U /xe IIvxíZ }
C = {xeU /xe® = »xeN }
Determinar ei número de elementos de (A u B) (AuC)
Resolución:
40.
Resolución:
A={4.¡ { ^ } ; 1 ; { 1 } }
I. (f c A (V); V conjunto A.
II. i|) e A (V); i|) es elemento de A.
ili. {4»} c A (V), también se tiene {i|)} e A.
VW
A = 2x
Resoiución:
U = {0: 1/2:1; 3,1416; 12}
A = {x € U/x € Dí A X € © } = {^2}
B = { x e U / x e n v x « 2 } = {1/2; 3,1416; 12}
C = {x e U/x e ® =»X e N } = { X e U/x í ® V X G DI}
= {l:«/2}
Luego: (A u B) - (A u C) = B - C = {1/2; 3,1416}
n((AuB)-(AuC)) = 2
43. Si n(Au B) = 11. n(P(A)) + n(P(B)) = 192, hallar
n[P(A n B)j, siendo A y B dos conjuntos cuales­
quiera.
Resolución:
• n( Au B ) = 1 1 ; n( A ) = x;n(B) = y
n(P(A)) + n(P(B))=192
2 * + 2>'= 192 = 128 + 64 « X = 7 A y = 6
• n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B)
=» 11 = 7 -i- 6 - n(AnB)
=^n(AnB) = 2
n(P(A-I-B)) = 2^ = 4
44. En una fiesta el 44% toman, el 37% fuman; además
el 25% de los que toman, fuman. Si no toman ni
fuman 84 personas. ¿Calcular el total de invitados?
Resolución:
Toman
No toman
x%
Fuman
3a%
a%
c%
44% toman; 3a + a = 44 ^ a = 11
37% fuman: a + c = 37 » c = 26
No toman ni fuman:
x% = 100% - (4a + c)% = 30%
Si N es el total de invitados:
30% N = 84 -
^
N = 84
N = 280
45. Se definen los conjuntos:
A - {x g 2 o/ -11 < 2x - 5 < 9}, 2° = enteros no
negativos
B = { x e A / x ^ - 2 x í A}
Haliar ia suma de elementos dei conjunto B.
48. Si A c B y A n D * 0.
Simplifique: [(A n D') n B®] u ÍB u (A - D)]
Resotución:
S i : A c B y A n D = 0 tenemos
Resolución:
A = {x G ES / - 1 1 < 2x - 5 < 9}
=. A = { x e Z o / - 3 < x < 7 }
=» A = { 0 : 1 : 2 ; 3; 4; 5: 6}
B = {xeA /x(x-2)íA }
X = 0 : x( X - 2 ) = 0 g A
X = 1:x{x-2) = - 1 € A
X = 2:x(x-2> = 0 e A
X = 3:x(x-2) = 3 e A
X = 4:X(X-2) = 8 Í A
Luego simplificando:
[(A n D°) n B*^] u [B u (A - D)1 = B
A
A
(No)
(Si)
(No)
(No)
(Si)
B
Simiiamiente, para 5 y 6.
=» B = {1: 4: 5; 6}
1 elementos = 16
46. Dado ei conjurrto A = {2; {3}; {2, 3}; 4 } ¿cuántas
proposiciones son verdaderas?
i. i ^e A
i V. 3€ { 2, 3}
II. 4>cA
V. {2} g A
IÜ.4GA
VI.{3}cA
i. (Ji € A (F), C A
II. ♦ c A ( V )
III.4 g A(V)
IV. 3 e {2; 3} (V)
V. í 2 } e A ( F ) : { 2 1 c A V Í . { 3 } c A ( F ) , {3} e A
.-. Hay 3 verdaderas
Sean A, B y C tres conjuntos contenidos en ei uni­
verso finito de 60 elementos. Si (B - C) u (C - B)
tiene 40 elementos, el conjunto A - (B u C) tiene
10 elementos, ia intersección de ios tres conjuntos
tiene 5 etementos, que el conjunto B n C o A' es
vacio.
¿Cuántos elementos tiene ei conjunto?. A' n B' n C.
Francés = 26
Inglés =
( * \ i 12 \
8
V / \ * )
\ J y X
V
x + y + 4 + B = 30
x-t-z + 4 + 1 2 = 26
y + z + 4 + 1 0 = 28
z \/
y Memán - 26
+ y = 18
+ z = 10 (+)
y + z = 14.
X
X
2x + 2y + 2z = 42
X + y + z = 21
=> X = 7 ; y = 1 l : z = 3
.-. Hablan inglés y alemán pero no francés = 11
SO. Un grupo de personas decide viajar y resulta que 40
mujeres van al extranjero, 37 hombres van a provindas, 28 casados van al exfranjero y 45 sesteros van
a provindas. Si se sabe que hay 42 hombres casa*
dos y que 18 mujeres solteras viscan ed ejdrar^ero,
entonces el número de mujeres solteras es.
Resoiución:
T = 60
D n 0 n A’ = $
Dando nombre a cada una de ias regiones vacías.
Por dato: e + b + d-t-c = 40
A' = { b : c ; n }
B’ = {c; d; 10; n}
C = {e: b: 10: n}
Dei total: e-i-b + d + c + 1 0 + 5 + n = 60
n= 5
40
Resolución:
U = 60
(
Resoiución:
A = Í 2 ; {3}; {2. 3}; 4}
47.
49. De un grupo de 60 estudiantes, 26 hablan fi^ncés
y 12 solamente francés, 30 hablan inglés y 8 so>
lamente inglés, 28 hablan a l^ á n y 10 sblámente
alemán: también 4 hablan los 3 idiomas mencio­
nados. ¿Cuántos hablan Inglés y alemán pero no
francés?
Resolución:
Realizando ei diagrama con los datos:
Nos piden calcular ei nún>ef0 de mujeres solteras.
Completando los datos en ei diagrama.
Hombres
•
•
Mujeres
1
Viajan a
provincias
Viajan al
extranjero
f
36
■J
Hay 44 + 18 = 62 mujeres solteras.
51 .
De 120 estudiantes. 25 personas que fuman no
leen. 13 mujeres fuman, 15 mujeres no fuman
ni leen, 32 personas leen pero no fuman. 80 son
hombres, 50 no leen. ¿Cuántos hombres leen y no
fuman?
A 180 les agrada solo 1 de las 3:
a + b + c = 180
Ninguno que gusta de la gastronomía penjana,
gustan de la francesa;
y + m = 0 = » y = 0; m = 0
Piden; x + y + z
Sabemos que:
a + b + c + x + y + z + m + 20 = 320
180 + X + y + z + O + 20 = 320
.-. x + y + z =120
53. La negación de la expresión; Para todo nú­
mero real x existe un número entero y tal que:
y < X < y + 1 es:
Resoiución;
La negación de ia expresión queda representada por:
~ [ v x e E ; 3 y e 2 ; y < x A x < y + 1] como;
~ [v x] = 3 X y ~ [3 y] = V y se tendrá lo siguiente:
3xeE;Vy€2;y>xvx>y+1
Resolución:
54. En una reunión de 120 alumnos. 30 son varones
que no les gusta el pescado, 50 eran mujeres que
sí gustan del pescado, si el número de varones que
les gusta el pescado es la tercera parte de las mu­
jeres que no gustan del pescado. ¿A cuántos les
gusta el pescado?
Resolución:
Hombres
•
•
•
•
•
•
52.
25 personas que fuman no leen.
13 mujeres fuman.
15 mujeras no fuman ni leen
32 personas leen pero no fuman
8 0 son hombres
50 no leen
20 hombres leen y no fuman.
Al realizar una encuesta a un grupo de 320 turistas
sobre la gastronomía peruana, francesa y mexica­
na, se obtuvo la siguiente información;
• A 180 turistas les agrada solo 1 de las 3 gastro­
nomías mencionadas.
• Ninguno de los turistas que gustan de la gastro­
nomía peruana, gustan de la francesa.
• A 20 turistas no les agrada ninguna de estas
gastronomías.
¿A cuántos turistas les agrada 2 de las 3
gastronomías mencionadas?
Mujeres
X
50
Gustan
pescado
30
3x
No gustan
pescado
De la figura:
+ 50 + 30 + 3x = 120
.-. 50 + X = 60
X
55 .
4x = 40 =»
X
= 10
A es un conjunto de 8n elementos. B un conjunto
de 5n elementos y tienen (2n - 1) elementos co­
munes. Si n(A - B) - n (B - A) = 12, ¿Cuántos
subconjuntos propios tienen A n B)?
Resoiución:
Resoiución:
320
Dató: n(A - B) - n(B - A ) = 12
(6n + 1) - (3n + 1 ) = 1 2
3n = 12 =« n = 4
297 < (45 - 20) (k) < 305
/Número de subconjuntos^
\
propios de (A n B
4-
Número entero
11, ... < k < 12,... =» k = 12
2^ - 1 = 127
56.
Hay 3 estaciones de radio A, B y C que pueden
ser recibidas en una ciudad de 3000 familias. Se
obtuvo la siguiente información:
•
•
•
•
•
•
•
1800 familias escuchan ta estación A.
1700 familias escuchan la estación B.
1200 familias escuchan la estación C.
1250 familias escuchan la estación A y B.
750 familias escuchan la estación A y C.
600 familias escuchan la estación B y C .
200 familias escuchan la estación A, B y C.
Varones que no beben; 6 x 12 = 72
58. En una encuesta realizado entre 100 personas, to­
dos los hombres tienen más de 20 años,
el gru>
po hay 50 noujeres, hay 60 personas de más de 20
años, 25 mujeres casadas, 15 personas casadas
con más de 20 años de edad y 10 mujeres casa*
das con más de 20 años. Determinar la cantidad de
hombres solteros.
Resoiuctón:
-Casados -^^/-Solteros-^
¿Cuál es et número de conjuntos de familias que
no escuchan a A pero escuchan B o C?.
>20
Hombres
Resolución:
Haciendo el gráfico:
Mujeres
T = 3000
a= 5
b
> 20
c = 10
d
< 20
e = 15
f
Por dato: a + b + c
c
Además: c = 10 ^
Como: a + b = 50
e + 200 = 1250 => e = 1050
d + 200 = 750 =» d = 550
f + 200 = 600 =» f = 400
a + e + d + 200 = 1800 =» a = <!•
1600
Total; 41
No escuchan a A pero escuchan 8 o C {b, c, f}.
Nos piden: b + c + f = 500
14k
Beben
6k
No beben
(5)x9k (5)x4k
Fuman
Sentados
(21)
9 ^
RM olución:
Tenemos las relaciones en el siguiente gráfico;
Mujeres t-lombres
+ d = 60
+ e = 25
e = 15
.•. b = 45
Resoiución:
c + d + f + 200 = 1200 = c = 50
En una reunión se observa que por cada 9 mujeres
hay 4 varones. Si de cada 10 varones, 7 beben.
¿Cuántos varones no beben?
Nota: La diferencia de la cantidad de mujeres y va­
rones está comprendida entre 297 y 306.
50
59. En un autobús viajan 41 pasajeros entre k>s cuales
se observa que:
• 21 personas están sentadas.
• Hay 16 mujeres en tota).
* De los que están parados, 10 son hombres que
no fuman.
* De ias 12 miqeres sentadas, 8 TK) fuman.
¿Cuántos hombres que están parados fuman, sí
hay 6 mujeres que fuman?
b + e + f + 200 = 1700 =» b = 50
1450
57.
■50
\^ 1 o por dato
< 2cy
Parados
(20)
4
6
10
\^rones(25)
60.
8
2
2
Mujeres (16)
En un salón de clase se tiene a 25 jóvenes cuyas
preferencias entre dos cursos (Física o Bioiogia)
se define así;
* Hay tantos varones morenos que les gusta sólo
Física como varones que g u s ^ ambos cursos.
* Hay tantos varones blancos que les gustan
soío Física como varones que les gusta sólo
biología.
* Hay 7 jóvenes que no les gusta esos cursos.
Si se elige un soio estudiante, ¿cuál
iidad de que le guste biología?
Resolucíón:
Morenos
la probabi-
* 20 no estudian ninguno de estos cursos.
¿Cuántos estudian Álgebra y Aritmética a la vez?
Resolución:
Blancos
Como el total de alumnos es 100, además tene­
mos
* 46 no estudian Álgebra
» 54 estudian Álgebra
* 50 no estudian Aritmética
^ 50 estudian Aritmética
Graficando tenemos:
U (100)
Dei gráfico:
2(a+ b + c) + 7 = 25
a+ b+c= 9
Pß-
a + b + c _ _9_
25
25
61. Un dub consta de 78 personas. De eiias 50 juegan
fútbol, 32 básquet, 23 vóiey, además, 6 practican
ios 3 deportes y 10 no practican ninguno. SI x es
el total de personas que practican solo un deporte,
e y es ei total de personas que practican solo 2
deportes, calcule x - y
Resolución:
Realizamos el diagrama de Venn-Euler.
U(78)
No estudian ninguno de los cursos
Del gráfico tenemos:
• 54 + a + 20 = 100 =» a = 26
a + x = 50=» 26 + x = 50 =»x = 24
.-. 24 alumnos estudian Aritmética y Álgebra a la
vez.
63. Un club deportivo xyz cuenta con 48 jugadores de
fútbol, 25 jugadores de básquet y 30 jugadores de
béisbol. Si son en total 68 jugadores y solo 6 figu­
ran en los 3 deportes. ¿Cuántos jugadores juegan
solo 1 deporte?
Resolución:
Haciendo un diagrama:
Luego, sea:
x: totai de personas que practican sólo un deporte
^x = a+ c+f
y: total de personas que practican sólo dos de­
portes
=>y = b + d + e
Del gráfico obtenemos
a + b + d = 44
b + c + e =26
+
e + d + f 17
a + b + c + d + e + f + b + d + e = 87
62
Sumando: a + b + c + 2(x +y + z) = 85
68 jug. en total: a + b + c + x + y + z = 62
y
62 + y = 87 =» y = 25
Además: a + c + f + b + d + e = 62
25
X + 25 = 62 =» X = 37
48 jug. de fúüjol ^ a + c + y = 42
25jug. de básquet =» b + x + z = 1 9
30 jug. de beísiMl => c + y + z = 24
X -
y =12
62. De un grupo de 100 alumnos se satte lo siguiente:
* 46 no estudian Álgebra.
* 50 no estudian Aritmética.
Restando ei doble de ésta última menos la anterior:
a -i- b -i- c = 2(62) - 8 5 =»a + b - f c = 39
Juegan 1 sólo deporte: a + b + c = 39
64. En un salón de 600 alumnos, 100 no estudian in­
glés ni francés y 50 estudian francés e inglés. Si
450 estudian francés.
¿Cuántos estudian solo inglés?
Resolución:
Haciendo y llenando el gráfico:
T = 600
Inglés
67.
Francés
50
400
En un autobús viajan 32 pasajeros entre perua*
nos y extranjeros en el cual hay 9 extranjeros de
sexo femenino, 6 niños extranjeros, 8 extranjeros
de sexo masculino, 10 niños, 4 niñas extranjeras,
8 señoras y 7 señores. ¿Cuántas niñas pemanas
hay en e! autobús?
Resolución:
Haciendo el gráfico:
w
100
X
65.
Hombres
+ 50 + 400 + 100 = 600
Mujeres
T = 32
x = 50
En ei salón de dase donde hay 50 alumnos se ob>
sen/a que: 6 veteranos usan bigotes, y 4 mujeres
veteranas usan falda; 32 veteranos no usan falda;
9 mujeres usan fólda y 8 hombres usan bigotes.
¿Cuántos no veteranos no usan ni bigotes ni falda?
Resolución:
Hadando el gráfico:
T = 50
Por dato; b + 6 = 8 ^ b = 2
Por dato; a + 6 = 1 0 ^ a = 4
c + 4 = 9=>c = 5
c+ d= 8 » d= 3
e + b = 7=»e = 5
Hombres + Mujeres = Total
5+2+4+6+3+5+4+x=32
X = 3
Por dato: 6 + m = 3 2 = » m = 26
Luego: 2 + 6 + m + 4 + 5 + x = 50
66. Sean los subconjuntos de R:
E = <a; b>, donde a < b;
A =: {x/x e (E n Q)} Q: racionales
B = {x/x e (E“ n I)} I: in-acionales.
Determinar: A® A B®
X= 7
68. En una competencia olímpica partidparon 100
atletas, se realizaron 10 pruebas atléticas y en la
premiación se nota que:
* 3 ganaron medallas de oro y plata y bronce.
* 5 ganaron medallas de oro y plata.
* 6 ganaron medallas de oro y bronce.
* 4 ganaron medallas de plata y bronce.
¿Cuántos atletas no ganaron medaHas?
Resoiución:
Resolución:
Haciendo el gráfico:
Q
A
y
X
B
A“ = {x; y; B}
B' = {A; x; y}
A ' a B“ = { A; B } = A u B
=» x + 2 + 2 + 6 + 4 + 4 = 100
X = 82
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
= {[A A (B A C)j A (C A B]}'^ de (2)
= {Aa[(BaC)a(CaB)]}^
= {A A
= A'^
PROBLEMA 1 (tN I 2 0 0 2 • I)
Sean los conjuntos; A = {x = (r/s) / r, s e Z, con
1 < r < 3 y 0 < s < 3 } ; B = {xeE /1<x<2}
Calcular: A u B
A) (1:2)
D)[1;2]
B)(1;2]
E ) [2; 3)
C) [1;2>
Resolución:
Como r, s e Z, se tiene: 1 < r < 3 » r = 2 ; 0 < s < 3
s = 1; s = 2
Luego; A = {1:2}
Además; B = (1; 2)
Uniendo:
A u B = [1; 2)
Clave; D
PROBIfMA 2 (UNI 2 0 0 4 • II)
Clave; A
PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 0 - 1)
En un colegio el 60% aprot>ó Aritmética, el 32% aprobó
Álgebra y los que aprobaron Aritmética y Álgebra re­
presentan el 60% de los que no aprobaron ninguno de
los dos cursos. Si 42 aprobaron Aritmética y Álgebra,
calcule el número de alumnos del colegio.
A) 340
D) 370
B) 350
E) 380
C) 360
Resolución;
Sea M; número total de alumnos del colegio:
Sea X un conjunto no vacio y R c P(X) un subconjunto
no vacío del conjunto potencia de X, R es un anillo de
conjuntos sí para cualquier par de elementos A y 6 se
cumple:
A u B € IB y A / B e m
Si R es un anillo de conjuntos, indique el valor de ver­
dad de las siguientes afirmaciones;
I.AABeE
A) VFF
D) W F
II.AnBeE
B)FVF
E) VFV
M I.0eIB
C)
WV
Resolución:
Por dato: 42 = 60%(8%M + 42)
Verdadero;
A A B = (A u B) \ (A n B) = (A \ B) u (B \ A)
Co m o ( B u A ) e l E y B \ A e E, entonces;
A \B y B \ A e l R =» ( A n B ) e l R
II. Verdadero;
A A B = (A u B) \ (A n B) G E A (A u B) G E
=» A n B e E
III. Verdadero:
0 6 E, el vacío es subconjunto de todo conjunto no
vacío.
M = 350
I.
Clave: C
PROBLEMA 3 (UNI 2 0 0 7 • i)
Dados los conjuntos A; B y C en U.
Simplifique la expresión; [A a (B A C) A [C A 8*^1
A)A^
D)A
B)B'=
E)B
Clave: B
PROBLEMA 5 ( tN I 2 0 1 0 • II)
Dados los conjuntos
A = {{a,; 3;) e
/ (a,; a^) e [3; 4] x [4; 5]} y
B = ({b,; b2> G E^/ bf + b| < 1}
Si se define: A + B = { a - i - b / a G A , E e B }
Determine el área de A + B
A) 1 + 71
D) 5 + n
B) 2 + 71
E) 6 + n
C) 3 + 71
Resolución:
Tenemos que;
A
=
{(a,; a,) g
E '/
(a,; a^) g [3; 4;]
OC' "
Resolución:
Sabemos que si:
M, N y P e U
=» M A N = (M nN'=)U (N nM =) ...(1)
M A N ' = (M A
...(2)
Luego:
[A A (B A C)J A [C A B'=] == [A A (B A C)] A [C A B]'^ de (2)
1 2
3
4
x
[4; 5]}
Resolución:
Tama: Conjuntos
P n Q =» 128 = 2^ =* n(P n Q) = 7
P - Q =» 64 = 2® = n(P - Q) = 6
P X Q =» 182 =» n(P) X n(Q) = 182
B = {{b i b2) e ® ^ / b ? + b | < 1}
X
-1
•••(0
...(II)
...(lll)
De (I) y (II): n(P) = 13
De (II) y (lll): n(Q) = 14
n(Q - P) = 7
n(Q\P) = 7
-1
La gráfica de A + B cuyos elementos tienen la forma
(a, + b,; 82 + bj) viene dada por:
Figura forrrtada por 5
cuadractos de lado 1 y
4 cuartos de círculo.
Clave: 0
PROBUMA 7 (UNI 2012 • II)
Sean A, 8 conjuntos del mismo universo U. Señale la
alternativa que presenta la secuencia correcta des­
pués de determinar si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F).
I.
Card (A u B) = Card{A) + Card(B) - Card (A n B)
Card(P(AnB)
Donde P(A) es el conjunto potencia de A.
1 2 3 4 5
III.
Área de A + B = 1(5) + 4 ^ = 5 + n
Clave: D
PROBl£MA 6 (UNI 2012 - 1)
Se sabe que un conjunto de n elementos tiene 2" sub­
conjuntos, la intersección de P y Q tiene 128 subcon­
juntos, la diferencia de P respecto de Q tiene 64 sub­
conjuntos. El producto cartesiano P x Q presenta 182
pares. Luego podemos afirmar que el número de ele­
mentos de Q\P es:
A) 5
D)8
8)6
E)9
07
SI Card (A n B) = O entonces A =
A) V W
D)FFV
B) W F
E)FFF
o B = 1^
C) VFF
Resolución:
Conjuntos
I. V (A; B) c U: n(A u 8 ) = n(A) + n(B) - n(A n B) (V)
II. v ( A ;B ) c U :2 '’‘*'-'®V2'’‘*^ + 2'^®'-2^*"®^
(F)
III. S i : A n B = 4 i
=» Los conjuntos son disjuntos, pero no r>ece$anamente nulos
(F)
VFF
Clave: O
PR O B LEM A S
La parte sombreada del diagrama de Venn-Euler
mostrado, con^sponde a la operación;
PROPUESTOS
lo * * "
7. En una reunión, el 80% hablan inglés; 65 personas
hablan castellano y el 5% los dos idiomas. ¿Cuán­
tas personas asistieron a la reunión?
A) 230
D) 260
B)200
E) 290
C)250
8. De 90 personas se sabe que 61 son solteros y 55
son hombres. Si son 12 mujeres casadas, ¿cuán­
tos son los hombres solteros?
A )A u (B n C )
D) (A U C) U C
B )A n (B u C )
E) (A n B) n C
2 . A un congreso internacional de medicina asistieron
240 personas: 60 pediatras, 80 ginecólogos y 90
de otras especialidades. De estos últimos 25 eran
pediatras y 35 eran ginecólogos. ¿Cuántos de los
que no son ginecólogos, no son pediatras ni de
otras especialidades, sabiendo además que nin­
gún pediatra es ginecólogo?
A) 50
D) 65
3.
B)2^*
E) 2'®
C)2*
Dado los conjuntos:
A = {x/x € Dí¡ - 3 < X < 5}
B = {x / x g 2Z; 1 8 < x < 19}
Calcular: n(A) -i- n(B)
A) 9
D) 5
5.
C)60
Se tienen tres conjuntos A, B y C cuyos cardinales
son números consecutivos, tal que:
n[P(A)J + n{P(B)] + n(P(C)] = 896.
Hallar el número de elementos que puede tener
como máximo el conjunto potencia de (A u B u C).
A) 24
0 ) 2 ’”
4.
B)56
E) 70
B)8
E) 7
B){15:3}
E){17;9}
C)15
C ){17;8}
Detemiinar n(C - B), si A, B y C están incluidos en
el universo U.
n(U) = 30: n(A') =14; n(B) = 13
n{8 - C ) = 7; n(An B n C ) = 2
n(A' n B' n C ) = 3; n(A n B' n C ) = 5
A) 6
D)13
B)8
E)12
9.
C)11
B) 28
E) 45
C) 18
Sabiendo que: n [{A u B )-C ] = 32; n [A u C )-B ] = 9;
n[C -(A u B)j = 14; n(8 n C) = 12.
Hallar: n(A u B u C).
A) 58
D) 67
B)71
E) 68
C) 69
10. Si el conjunto: A = {a'’; b®; ^ ^ } es unitario, ade­
más a, b £ 2*. Hallar, a + b
A) 4
D)7
8 )5
E)8
C )6
11. Sabiendo que A = {a^ + 3}; B = {7b}; A u B = {28}
Hallar; a + b
A) 8
D )7
8 )9
E)11
C) 10
12. Si n significa el número de elementos, siendo A y 8
dos conjuntos tales que: n(AuB) = 30; n (A - B )= 12
n (8 - A) = 8; hallar: 5[n(A)] - 4(n(B)]
A) 38
D)70
Si se cumple que:
A = {2 a -1- b; 17}, B = { b + 1 ;3 a - b }
son conjuntos unitarios.
Hallar la unión del conjunto A y 8 .
A) {16:8}
D){20;10}
A) 38
D)48
C )(A u B )n C
8 )60
E)100
C)48
13. ¿Es el centro de la circunferencia elemento de
dicha circunferencia?
A) Si
D) A veces
B) No
E) Faltan datos
C) Puede ser
14. Sean los conjuntos iguales A = {a^ + 1; 7};
B = {a + b; 10} ¿Cuál puede ser el valor de a - b?
A) 1
D )-1 3
8) 7
C) - 5
E)3
15. Indicar el cardinal del siguiente conjunto:
A = {x/-Í)? €Dí; X < 50}
A) 5
D)8
8 )6
E)9
0 )7
1 6 . D e te rm in a r p o r c o m p re n s ió n e l co n ju n to ;
A = {0;4;14; 30; 52;...}
A) FVFFW
D) FFWFF
A) {x^ + 2x / X e W . X 0}
B) {x^ - X * / X c W , X # 0}
C) {x^ + X + 2 / X e Bí, X 0}
D) {2x* + 5 x + 3 /x G n í^ }
E) {3x* - 5x + 2 / X € Dí*}
A) 2
C )9
A) 512
D) 32
18. Hallar a + b, si el siguiente conjunto:
03
D )4
E)5
19. Sean A; B y C tres conjuntos, tai que:
Ac B
AnC = 0
B n C = {1;3}
A - C = {4;6}
C - B = {2;5)
n(B) = 4
Hallar: n (B -A ) + n (0
A) 3
B )4
D)6
0 5
E)7
A) 10
A) 3
D)31
e Dí ; 3
<
X <
B )7
E) 63
A) 5
33}
C) 15
21. En una encuesta que se realizó entre 100 alumnos
se sabe que: 50 alumnos gustan de Aritmética y
60 alumnos gustan de Álgebra. Si el número de
alumnos que gustan de Aritmética y Álgebra es la
cuarta parte del nún>ero de alumnos que les gusta
solo Aritmética. ¿Cuántos alumnos prefieren solo
uno de estos cursos?
A) 70
D) 48
B) 80
E) 72
D)4
E)5
B)128
E)1024
C)64
09
D )7
E)3
B) 6
07
D) 8
E) 9
29. De 600 alumnos del CEPREVI se tienen los
siguientes datos: 320 practican ajedrez, 240
practican vóley y 100 no practican estos d ^ r t e s .
¿Cuántos practican ambos deportes?
A) 20
D)60
30.
B)50
E) 62
C) 40
Si A = {a + b; 12; 2a - b + 4} es un conjunto
unitario; además B = {x/x g Dí, b < x < a}
C = {x/x G Bí, a - 3 < X < 3b - 2}
¿Cuántos subconjuntos tiene (B n C) u A?
A) 8
D)3
C) 90
22. Dado el conjunto: A = {x^ + 1 / x e Z; - 3 < x < 4}
¿Qué proposiciones son verdaderas?
B)6
28. Dados los conjuntos A y B subconjuntos del univer­
so U;
A = {x^ / X G Dí; 1 < X < 6}
B = { X + 2 / x e Dí; 4 < X < 10}
U = { x /x e D í;1 < x < 1 0 }
Hallar: n(A) + n{B)
20. Cuantos subconjuntos propios tiene;
M = {x I
07
27. Dado el conjunto: A = {x + 2 / x e 2 ;x ^ < 9 }
Calcular la suma de los elementos del conjunto A.
A = {4a + 1; 2b + 9; 3a + 4}, es unitario.
B )2
B)9
26. Cuántos subconjuntos tiene el siguiente conjunto:
A = {x ^ /x e Z ; - 9 < 2x - 1 < 11}
B )7
E)10
A)1
E) WFVFV
25. Sabiendo que ios conjuntos:
A = {4a + 3b; 23} ; B = {3a + 7b; 41} son unitarios.
Hallar; a + b
17. Se sabe que el conjunto:
E = {a^ + 1; 17; 5b - 3 } es unitario
l^allar: a + b ; s ia y b e D í
A) 8
D)6
C) FFFW V
E) FVFVFV
B) 16
E)32
C )4
31. La parte sombreada representa:
I. n(A) = 5
II. Atiene 16subconjuntos.
III. Atiene 31 subconjuntos propios.
A) Solo I
D ) ly ll
B) Solo II
E ) ly ill
C) Solo lll
I. I A - ( B - C ) ] u [ C n D ]
II. ( A u B ) - ( B - C )
III. [ ( A u D ) - C ] n [ A - ( B - C ) l
23. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene M?
M = {x / x € Dí; - 2 < X < 5}
A) 15
0 )7
B)31
E)127
A) Solo I
D) Solo I y
C) 63
32.
24.
Colocar el valor de verdad a cada proposición si:
A = {2: 3; {1}; {2; 1} }
0 G A ; 3 e A ; lG A :
{1 }c A ; {3 }c A ; 0 c A
B) Solo II
E)Todas
C) Solo
Para los conjuntos A, B y C se tiene:
.
•
•
n(P(A)) = 256
N(P(AUBUC)) = 4096
n(P(AnC)) = n{P(AnB» = n(P(BnC)) = 2
•
•
p e a n a s están sentadas y hay 16 mujeres en to­
tal; de los que ^man, 5 hombres están sentados y
2 mujeres están paradas; de tos que no fuman, 8
mujeres están sentadas y 10 hombres están para­
dos. Hallar cuántas mujeres que están paradas no
fuman, si los que fuman en total suman 19.
n(A n B n C) = O
n(BAC) = 2 n ( C - ( A u B ) ) + 1
Calcular: n(A) + n(B) + n(C)
A ) 12
D )15
C) 14
B)13
E )16
33. De 3 conjuntos A, B y C contenidos en U se sat>e:
• n[P(AnB)) = 1
• n(A) = 2n(B)
• n[P<B)l = 1024
• n(U) = 50
A) 2
B) 25
E) 38
A) 6
D) 12
B)9
E)5
A) 3
0 )6 3
A) A
D)6
41.
36. Se dispone de 6 tipos de vinos,los cuales se com­
binan para obtener sat>ores distintos a los que
se tiene. ¿Cuántos nuevos sabores se podrán
obtener Si al mezclar siempre se realiza con una
misma cantidad de cada vino?
8)1
C )2
0 )3
B )A u B ‘'
E )A u B
C )B ‘=
Dados 3 conjuntos A, B y C se cumple que:
• n [A n ( C - B ) ] = 3
• B cC
• n[P(C - A)] = n[P(A - C)j = 16
E )4
38. En un vagón de tren se realiza una encuesta so>
bre el uso de cigarrillos. De los 41 pasajeros, 21
Si
•
•
•
B )3
05
D )2
E)4
se cumple:
A'^ c
n ( A - C ) = n(A)
n[(P(D - A)] = 64 = 2n{P [D n (A u B)J}
•
n ( C ) = |n [ C - ( A u D ) ]
•
n{C - [(A U D) n (A' n D' n C')]} = 15
•
n [A - ( B u D ) ] := 12
Calcular cuántos elementos tiene n(B - D) si A tie­
ne 5 elementos más que C.
A) 8
43.
C) 59
37. En un certamen de t>elleza participaron 50
señoritas, de las cuales 23 eran de cabello rubio,
20 eran morenas y 23 tenían ojos verdes, además 6
tenían cabello rubio y ojos verdes, 5 eran morenas
con cabello rubio y 7 eran morenas con ojos
verdes. También participaban 2 hermanas con las
tres características. ¿Cuántas preguntas han do
ser necesarias para conocer a dichas hermanas?
A) O
42.
C)13
B) 58
E) 57
C)15
Calcular: n(An B n C); sí n(Au B U C) = 13
35. Entre los varones que se alojan en un hotel: 40
eran peruanos de los cuales 3/4 tenían peluca;
60 eran ingenieros. De los peruanos con peluca
la mitad eran ingenieros, 5 de cada 6 ingenieros
tenían peluca. Calcularcuántos varones que
tenían peluca no eran peruanos ni ingenieros sí en
el hotel se alojan 85 varones con peluca.
A) 60
D) 56
B )7
E )31
40. Simplificar la expresión conjuntísta:
[A n (C A A)) u [(B n C)*^ n A] u [B u (A n B^)]
C)3
B)45
E)20
E)4
n{A u B) = 12, n(A n B) = 7, n{A) = n(B) + 1
A)1
A) 30
D)19
D)1
Además: n(A - B) = n({A u B)*]. Calcular cuántos
subconjuntos propios tiene A'.
C )30
34. De un grupo de 50 músicos,39tocan al menos la
guitarra, mandolina o charango.Si se sabe que los
que tocan solamente uno de estos instrumentos
son unos tantos como otros y que los que tocan
estos tres instrumentos son 1/2; 1/3 y 1/4 de los
que tocan guitarra y mandolina; mandolina y
charango; charango y guitarra respectivamente.
Calcular cuántos tocan estos 3 instrumentos.
C )3
39. A y B son dos conjuntos tales que:
Calcular: nfA*^ n B*^]
A )20
D) 35
B )5
B) 6
07
E) 9
Si: A = {4; 8; {4}; 0 ; {2; 7}; {0 }} de las siguientes
proposidones, ¿cuántas son verdaderas?
(V ){2 ;7 }e A
(V) {4; 8; 0 } e P(A)
(V ){{4 };{2 ;7 }}c A
(V ) 0 c A
A )5
44 .
D) 5
B )4
(F){{4} } g A
(V ){4 ;8 }c A
(V){{ 0 } } c A
07
D)3
E)6
De 60 personas se sabe:
•
•
>
>
6 hombres tienen 20 años
18 hombres no tienen 21 años
22 hombres no tienen 20 años
Tantas mujeres tienen 20 años Como hombres
tienen 21 años
Calcular cuántas mujeres no tienen 20 años.
A) 32
D) 26
B) 22
E)34
C) 18
45. En un salón de clase de 60 alumnos se tomaron 4
exámenes: Aritmética, Algebra, Geometría y Trigo­
nometría. De los resultados se sabe: los que apro­
baron Aritmética son tantos como los que aproba­
ron solo Geometría y Trigonometría y tantos como
los que aprobaron Algebra pero no Aritmética. SI
todos aprobaron Trigonometría y son el doble de
tos que aprobarcin al menos 2 cursos, ¿cuántos
aprobaron Aritmética o solo Trigonometría?
A) 40
D )20
B)30
E) 25
C)15
46. Dado un grupo de 100 personas se tuvo la siguiente
información:
* 45 personas son mudas
* 40 personas son ciegas
* 20 personas son mudas y ciegas
* 18 personas son sordas y ciegas
* 5 personas tienen los tres defectos
* 15 personas no tienen ninguno de los 3 defectos
* Finalmente los que son sordos solamente, son
tantos como los que son mudos o ciegos sola­
mente.
Determinar cuantos son sordos.
A) 20
D)13
47. Eri una reunión social se obtuvo la siguiente infor­
mación: de los hombres, 180 no bailan, 30 no tienen
corbata y bailan, 20 con corbata bailan pero no fu­
man. De las mujeres, 100 no bailan y no usan falda;
150 usan fótda; 50 fuman, bailan y no usan falda.
¿Cuántos hombres usan corbata, fuman y bailan;
o mujeres que no usan falda, no fuman y bailan,
sabiendo además que asistieron 600 personas?
.
A) 50
D)100
8 )7 0
E)60
C)80
48. En una er^cuesta de 1000 personas sobre tietiidas
gaseosas se obtuvo lo siguiente:
^ “"".^Reacción
EncuestadM"*«*....
Hombre < 30(H,)
Hombre > SOíHj)
Mujer < 30(M,)
Mujer > 30(M,)
Agradable Desagradable Indiférente
(A)
(B)
(1)
100
50
190
100
60
55
105
50
40
145
5
100
Utilizando la tabla, calcular:
n[(H 2uM 2)n(A ul)]
A) 300
D) 410
B) 480
E)310
A )F W
D) VFV
B) FFV
E) W F
C) 395
49. Sean A y B subconjuntos de un universo U. Indicar
las siguientes proposiciones con (V) o (F):
C )V W
50. Dado el conjunto:
A = {2; 3; 4; 5}
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son ver*
daderas?
p :3 x e A /^ í^ > 1
q :v x e A :V y e A /x ^ + / > 7
r : 3 x G A : v y e A / x + y >8
s: v x e A : x < 3
A) O
B)1
C )2
D )3
E)4
51. Se hizo una encuesta a 640 personas para saber ia
preferencia hacia 3 canales de televisión A, B y C.
Se obtuvo los siguientes resultados:
• 370 no ven ei canal A
• 350 no ven el canal B
• 340 no ven et canal C
• 140 no ven ningún canal o ven los tres canales
• 210 ven solo dos canales.
¿Cuántos ven solo un canal?
A) 180
D)280
0)7
B) 50
E)42
A a B*^ = B => B c A
. A '^ - B c A u B « A u B = U
I, A c B « B^cA'^
B)290
E)320
0240
52. En un grupo de 55 personas, 25 hablan iriglés, 32
francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. Si ^ o s
hablan por lo menos un idioma. ¿Cuántas personas
del grupo hablan exactamente 2 de estos idiomas?
A) 25
D)12
B) 26
E)40
C) 32
53. Si: A = {2; 2; 3; 4; 5}
B = {1;3; 5; 7; 9}
Calcular: n{(A x B) n (8 x A)] + n[<A x B) - (B x A)]
A) 32
D)48
8 )6 4
E)128
C)25
54. Si se sabe que:
• n[P(A n 8)1 = 1
• n ( C - A ) = 12 = 2n(A nC )
• n[C^ u (A n 0*=)] = 40
Calcular: n(u)
A) 48
D) 62
8 )5 0
E) 58
55. Da<io ei A = {a; (aV,
• 0 eA
• 0cA
• {0 }g A
•
C)60
{0»
• {{0}} c P(A)
• {{a}: 0 ; {0 }} € P(A)
• {{0 }}c A
{{a };0 } e p ( A )
¿Cuántos son verdaderos?
A) 4
B )5
0 )6
D )7
E) 8
56. Se tiene 3 cx>njuntos A. B y C tales que están inclui­
dos en el universo U, donde:
• AnC=C
• n(C ')=150
•
n B*^) = 90
• n [( A u B )- C l = 6n(C)
Calcular: n(U)
A) 160
0)220
8 )8 0
E)100
C)120
57. Si A = B, hallar la suma d© elementos de C.
A= {2‘ + 1
B = {2'; y); C = {x^ / x e A}
A) 5
B )2
03
D )8
E) 6
58. A y B son subconjuntos de U y se cumple que:
• AnB = 0
• 8^ tienen 512 subconjuntos
•
n(A) = |n {B )
•
El número de subconjuntos de B excede al
número de subconjuntos propios de A en 193.
¿Cuántos subconjuntos tiene A'^?
A) 526
D) 684
B )2048
E)1024
C ) 1496
59. De un grupo de 66 deportistas que practican
atletismo, fútbol o básquet se ha observado de
estos que 29 practican atletismo, 33 practicaban
fútbol y 31 practicaban básquet; 11 practican
atletísmo y básquet, 13 practican fútbol y básquet,
4 practican atletismo y fútbol. ¿Cuántos practican
los 3 deportes?
A) 3
B )2
C )0
D)1
C = {x e A /2 x ^ + 3x - 2 = 0}
El resultado de {A - C) n B es:
A ){-1 ;1 ;2 ;3 )
C ) { - 1 ;1 ;3 }
E ) { - 1 ;1 }
B ) { - 1 ;1 ; 2 }
D ){- 1 ;1 /2 ;1 ;2 }
63. Dado los conjuntos:
S = {x e E
/
< 0}
T = { x g ® / 4 x - 2 < 0}
Hallar. S n T
A) {- 1 :1 /2 }
C ) { x G ® / x < 1/2}
E ) { - 1 ;1 ; 2 }
B ) { x e ® / - 1 < x < 1 /2 }
D ){1/2}
64. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fúttrai,
55 básquetbol y 75 natación. Si 20 alumnos prac­
tican los tres deportes y 10 no practican ninguno,
¿cuántos alumnos practican un deporte y solo uno?
A) 50
D )70
B)55
E) 65
C)60
65. La diagramacíón correcta de la siguiente fórmula
es:
[(A u B) n (A’ u B)1 u tB u (A n B)3
A)
E)5
60. Sea el siguiente conjunto: A = {4; 3; {4; 3}; {4}; 0}
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
I. 0 e A A 0 e A
II. {4; 3 }e A A {4 ; 3 }c A
III. n(A) = n(P(A)) - 27
IV. {{4}}eP(A)
A) 4
B )3
06
0 )2
E)5
61. Sean los conjuntos:
S = {x e N/ 30 < x! < 50 000}
T = {x e N/ 5 < 2' < 300}
V = { x e N /2 0 < x‘ <4000}
Y las proposiciones:
1. S n V = V
II, S u V = T
H I.TnV = V
IV .S nT=S
V. s = T - V
Indicar cuántas son correctas
A) 2
B) 3
0 5
62. Dados los conjuntos:
A = { - 3 : - 2 ; - 1 ; 1/2; 1; 2; 3 }
B = {x e A / - 2 < X < 3 } y
D)1
66. Sedan:
S = {r; s; t; u), T = { r ; t ; v ; x ) ,
Hallar: (T u V) n S
A) {s; t}
D ) { r ;t}
B) {r }
E ){t}
V = {r;s ;x :y }
C) {r, s; t}
67. De un grupo de 100 señoritas: 10 son solamente
flaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamen­
te altas, además 8 tienen por lo menos 2 de estas
características. ¿Cuántas señoritas del grupo no
tienen ninguna de las tres características?
E)4
A) 50
D) Más de 60
B) 51
O 55
E) Menos de 40
68. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el
curso de Sociología y 53 no siguen el curso de
Filosofía. Si 27 alumnos no siguen Filosofía ni So­
ciología, ¿cuántos alumnos llevan exactamente
uno de tales cursos?
A) 40
D) 52
B)44
E) 56
C) 48
69. De 500 postulantes que se presentaron a las uni­
versidades Católica o Lima, 300 postularon a la
Católica, igual número a la U de Lima, Ingresando
la mitad del total de postulantes; los no ingresantes
se presentaron a la universidad Ricardo Palma, de
estos, 90 no se presentaron a Católica y 130 no se
presentaron a la U de Lima. ¿Cuántos postulantes
ingresaron a ia Católica y a la U de Lima?
A) 20
D )70
B) 30
E) 90
C) 80
70. Una institución educativa necesita contratar a 25
profesores de Física y a 40 profesores de Matemá*
tica. De estos contratados, se espera que 10 rea­
licen funciones tanto de profesor de Física como
de profesor de Matemática. ¿Cuántos profesores
deberán contratar la institución educativa?
A) 40
D) 75
B) 50
E) 55
C) 65
71. En un concurso de t>e{leza, participaron 44 señoritas,
de las «jales 19 eran de cabello aibio, 19 eran mo­
renas y 22 tenían ojos verdes. También se obsen/ó
que 5 eran morenas con cabello mbío, 7 eran more­
nas con ojos verdes y 6 tenían cabello njbio y ojos
verdes. También habia dos hermanas que tenían las
tres características. ¿Cuántas preguntas son nece­
sarias realizar para cortocer a dichas hermanas?
A) O
B)1
C )2
D )3
E)4
72. Sien un ómnibus viajan 30 pasajeros entre perua­
nos y extranjeros, donde hay 9 de sexo femenino
extranjero, 6 niños extranjenss, 8 extranjeros de
sexo masculino, 10 niños, 4 niñas exfranjeras, 8
señoras y 7 señores. ¿Ojántas niñas peruanas
hay en el autobús?
A )6
B )3
04
D)1
E)5
73. 41 estudiantes de idiomas, que hablan inglés, fran­
cés o alemán son sonr>etido8 a un examen de veri­
ficación, en e! cual se determinó que:
• 22 hablan inglés y 10 solamente inglés.
• 23 hablan francés y 8 solamente francés.
• 19 hablan alemán y 5 solamente alemán.
¿Cuántos hablan alemán, pero no inglés?
A) 14
0 )1 2
8 )1 0
E)13
C)11
74. De un gnjpo de músicos que tocan la flauta, quena
o tuba se sabe que la octava parte toca solo flauta.
la sétima parte toca solo quena, la diferencia de los
que tocan sólo flauta y los que tocan sólo quena
es igual a la cantidad de músicos que tocan solo
tuba. Si además 80 tocan por lo menos 2 de los
Insbumentos mencionados. ¿Cuántos tocan solo
quena?
A) 13
D)16
8 )1 4
E)17
C)15
75. En un banco se instala un sistema de alarma elec­
trónica para detectar rot>os, que de vez en cuando
emite una señal (9 días de cada 25 por término
medio). Las falsas alarmas tiene por lo general 8
veces la frecuencia de robos no alarmados.
Se sabe que con este sistema se detectan 2 robos
de cada 4. ¿Cuál es el porcentaje de días norma­
les para el sistema, o sea aquellos en que no hay
robos ni falsas alarmas?
A) 65%
D) 55%
8)50%
E) 70%
C)60%
76. En un conjunto de 30 personas; 16 estudiaron en
la universidad A; 11 en ia universidad 8 y 16 en la
universidad C. Si solo 2 personas estudiaron en las
universidades A, B y C.
¿Cuántos estudiaron exactamente en una de estas
universidades, considerando que todas las perso­
nas estudiaron al menos en una de didias univer­
sidades?
A) 16
D)19
8)17
0 1 8
E) 20
77. Si A, B y C son tres subconjuntos de un conjunto
universal de 98 elementos y además:
n[(A U 8) n C’] = 50, n(C)=34
Hallar:
n [(A u 8 u C )']
A) 13
D)16
8)14
E)17
015
78. El resultado de una encuesta sobre preferencia de
Jugos de fruta de manzana, fresa y piña es el si­
guiente:
60% gustan manzana.
50% gustan fresa.
40% gustan piña.
30% gustan manzana y fresa.
20% gustan fresa y piña.
10% gustan manzana y piña.
5% gustan de los tres.
¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no
gustan alguno de los jugos de frutas mencionados?
A) 5%
D)12%
B) 20%
E)10%
79. Dados los conjuntos:
S = {n^/ n e l H A 0 <
n < 20}
C) 50%
T = {2n / n e Z A 4 < < 500}
¿Cuántos elementos tiene S x T?
A) 380
D )800
80.
B)400
E )760
A)
B)
C)
D)
E)
0 342
La región sombreada de la siguiente figura corres­
ponde a:
(A n B n C ) u [C n ( A n B ) )
(A n B n C) n [(A u B) n (A n B)]
{[(A u B u C )-A ]-C }-B
[(A n B ) - C ]u [(B n C ) - A ]u [(A n C ) - 8]
(A u B u C )-(A n B n C )
83. ¿Cuántos elementos tiene el siguiente conjunto?
(5; 7; 9; 11; ...; 83)
A) 35
060
8 )40
E)45
0 41
84. Sea A un conjunto con dos elementos y B un con­
junto con tres elementos, el número de elementos
de P(A) X P(B) es:
A) 12
D) 64
A) {(Au C ) u ( B n C)] - (AnB)
B) {C - (A n B) n [(A n C) - (A n B)j
C) {(An B) - C] u [(B n C) - (AnB)]
D) {(An C) - (An B)] u [(An C) - (AnB)]
E) {(A - B) u C] - C
81. Lolo debe almorzar pollo o pescado (o ambos) en
su almuerzo de cada día del mes de marzo. Sí en
su almuerzo durante 20 días hubo pollo y duran­
te 25 días hubo pescado, entonces, el número de
días que almorzó pollo y pescado es:
A) 18
8 )1 6
E)13
D)14
B)24
E) 32
048
85. Sea A, 6 y C subconjuntos de un conjunto univer­
sal U. De las afirmaciones:
I. Si A c (B u C) y A n C = (j) entonces A c B.
II. Si A c B, entoncesAn B = <(• (8 = complemento
de B)
III. S iA n B = (|» y B c C ; entoncesAn C = (ji.
IV. S iA u B u C = U.
Entonces A n 8 n C = (|)
A)
B)
C)
D)
E)
015
82. En la figura la parte sombreada está representada
por:
Sólo II es verdadera.
Sólo I, II y IV son verdaderas.
Sólo I es verdadera.
Sólo I y II son verdaderas.
Todas son verdaderas.
86. Decir cuál de los siguientes enunciados es falso:
A )A c B a B c A =»A =B
B )A c B a B c C « A c C
C ) x e A A A e B => x e B
D ) x € A a A c B => x e B
E) x g A a x s B =» x G A n B
:" 't C
■¡ ^ > ' í
12 A
Y3 B . ‘
14. D
15. D
'.r f î c ; , „ .t& E
l :- ,* e
■ 17 A
tB. E
; te. L*
i
23
24.
25
26.
C
A
C
C
27 A
‘ 28 A
.29 0
30. A
20. B ' »1 A
» -c.- 1
D
22 E ‘ 33 A
^
34
35,
36
37.
38
39
4Û.
C
e
E
A
D
E
E
45
48.
47
48
A
8
8
e
42 A
0
50. C
51 B
52 A
53 c
43 E
44. B
54.
55 0
56
57
58
■ 59
* 60
;
'
1
'
r
A
A
M ’ -i-
D
A
eí
6Z 0
63 B
64 A
65 A
66
C
c
69. D
70 E
71 D
72 D
73 C
74. D
75 C
76 D
77 8
78.
79
80
81
82
A
E
C
D
D
83 B
84 E
85 D
86 C
Exponentes
y radicales
en ]R
Christoph Rudolff nació en 1499
en Jawor. región de Silesia y fa­
lleció en 1545 en Viena. Fue el
au to r del prim er libro alem án de
álgebra.
Rudolff fue desde 1517 a 1521
alum no de Henricus Gramm ateus - u n escriba de Érfurt- en
la Universidad de Viena y fue el
autor de un libro sobre com pu­
tación, bajo el n'iulo de Behend
und duTch die bübsch Rechnung
kunstreichen Regein Algebre.
Rudolff introdujo el uso del signo
radical { f ) en la raíz cuadrada.
Se cree que esto se debió a que
el símbolo se parecía a una «r»
m inúscula (por «radix»), aunque
potania. 1433 - Austria, 1545
no hay evidencia directa. Cajori
solo se limitó a decir que el «pun­
to es el em brión de nuestro ac­
tual sím bolo de raíz cuadrada», a
pesar de que según él m ismo «posiblemente, quizás probable» los símbolos posteriores a Rudolff
no fueran puntos, sino erres.
Fuente; Wibipedia
^ LEYES DE EXPONENTES
Porque: 0° = Número indeterminado
Es el conjunto de teoremas y definiciones que estudian
a ias diferentes relaciones, operaciones y transforma­
ciones que se puedan reaiizar con ios exponentes.
Por ejemplo:
• 273" = 1
•
• (0,5 - -~ )° = (4 - 4)° ==
v4
Exponente natural
A " = A x A x A .,.A
n e IN
Se define:
lA \
Ib)
(AB)" = A" B"
Exponente
-♦ Potencia
A" = P
indeterminado
Potenciación de una m ultiplicación y una
división
De donde: si:
r
• (-24)“ - 1
A"
B"
; V B #0
Por ejemplo;
-Base
Por ejemplo:
2^ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128
5® = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 3125
Exponente negativo
• (5 x4 )^ = 2 5 x 16 = 400
15\''_ 15"
7
T
• 2 " ’ x 3 ’'" ’ x 5 '* ’ = (30)'"'
3f
2/
2=
Potenciación de otra potencia
;
A *0
(A T =A"^"
1/0 = 55; porque la división de un número conocido por
cero matemáticamente no existe o no está definido.
•2
5
f:
fh !:*; V:'-’:'. ''S'i?! - ! ■ ; : í'-’í!: ; ;
En general: (a"*)" ^ a"
Por ejemplo:
, (2®)^ = 2’®
Por ejemplo: (0,5) ^ =
(0,5)^
0,125
=
4
=
8
•
3^ = 3*
($2)3 = 3®
( x V = x*'^
Radicación
Exponente fraccionado
"VÀB =''/A"1 b
Por ejemplo: ^V5x^/4x^/2 = ^5 x 4 x 2 = ^V40
A"
= ( - 3 )^ = g
Por ejemplo: (-27)^^ =
Radicación de una división
ÍA
B
M ultiplicación de bases iguales
A'"A" =A "'*''
; A^O
1,1,'
Por ejemplo: 5^ x5^ x5® =5^ ^ ® = 5
Por ejemplo:
^
"/A
Potencia de una raíz
A ^O
1.
= 3’ ' = 3^ - 27
2.
C orolario (exponente cero)
A® = 1
. A
Ejemplo:
O
3/? X
O
4 x j^ _ ?^2xy
V 2xV
División de liases iguales
Por ejemplo: ^
:
X ’V5T =
Aplicaciones:
1. Simpiífícar;
6.
2" * 3^ 2" ^ 2” * '
F=
2^n+i ^ 2"
Efectuar: E =
Resolución:
Para fransformar la expresión en otra más simple,
hacemos: 2" = a
Resoiución:
Extrayendo el factor común 2" ^ en el numerador
y 2" en el denominador
+ 2 -1 )
+1)
2'’(2^+1)
2"(2*+1)
E=
Transformando los radicales;
2a
2.
2«
2a
x*-2 + x»-2
F= 2
E=
Reducir lo siguiente:
2x*
' 7 3 ~ = 2x" ^
= 2xÍ ^
. . E = 2x
Z = Qm-2x16'> +2
Resolución:
Expresando el numerador y denominador en
base 2:
7.
ab
Reducir: C -
ab*
V ib
lV (a b f
Resolución:
Se sabe que:
■ ^ 4 n -f3 -3 m -4 n -2
- yVx
Z= 2
3.
Reducir:
C = b®^(ab)^
C= b
x [x w r
y=
Resolución:
Efectuando en el corchete y en el denominador ios
exponentes de 2 en 2 de arriba hada abajoy = _ * lL - - x L
^
x -"x -'"x «
X-«
4.
8.
Reducir: N =
. v = x’*
■■ ^
zl
__
9.
Resolución'.
Expresando en ftjnctón de un solo radical numera­
dor y denominador:
is
áfi
Efectuar: S -
(x r(x ^ )(x -= r'
(xT H x»-’)(x-®)-r
Resolución:
Efectuando denbx) del corchete, empleando el cri­
terio de potencia de potencia:
16
X* _= X- y* =_ ^X _= „X
— —r —
A
X'^X^X®
X3
(n-9X".±2^
X'^X^X*
E= 1
Reducir: x
il
^ _ 2 ’* X'V2*® = 2^® 2'® =2^* —2®
N= 8
E=
5.
4/l6V32yi28
Resolución:
Transfomiando el primer término en exponente
negativo y efectuando en el radical:
Dar la forma simplificada de:
E
= b(ab)^’« (ab)’"
Í6 '"x3 " + 2'"‘^"
T 6 "x3 "’ + 4"
10.
s
Reducir y dar el valor de:
p = f l3 - '+ ( | ) - v + K ^ ) - ’ - 1 r r
Resolución:
Expresando en base 3 y 2 ei numerador y denomi*
nador;
Resolución:
Reduciendo primero tos paréntesis:
X=
p = ([3 ‘ ' + ( f r V
2" x 3"'*" + 2 ^
FactorizarKk) 2" en el numerador y 2" en ^ denomi­
nador
X = mm ¿ n
2f n / ^ in + r >
, /> n \
_
^ Ì _ iaail^2^m-ñ)
2"(3"’*" + 2'‘)
. ^ s 2
Q _ „
... b
-x
+ [(f)-’ - f r T
♦
±
10
10
ECUACIONES EXPONENCIALES
4.
Son aquellas en las cuaies la incógnita figura en el ex­
ponente o en la base.
A continuación se estudiarán aquellos casos que son
factibles de resolverlos utilizando las leyes de exponen­
tes.
Calcular X si: (5x)‘ = 5®
Resolución:
Elevando a la quinta miembro a miembro:
[(5 x )"]^ =
;
V
x í í
O
a
5.
Resolver; 7^--s = 7>+3
Resolución:
72x - 5 ^ 7 . * 3 ^ 2x - 5 = x + 3
II.
x
=
Si:
= ^V^V2a ; hallar: N =
a
Resolución;
Transformando en un solo radical ambos miembros:
= ’'Í2a
Pero: 121x = (1lVx )^ luego: "^^(11/x)^ =®V2a
En el segundo miembro: multiplicando por 2 al írKüce y elevando al cuadrado el radicando:
: va?íO
Ejemplo:
Resolver:
’^^J(llVx)^ = ^ { 2 a f
= 32^
De donde podemos afirmar que: 11/x=:2a
Resolución:
Escribiendo el segundo miembro en base 2:
xio ^
« x '“ = 2’“
X= 2
2a
Reemplazando en la expresión pedida: N = —
N=2
; vx#0
6.
Llamado también el caso de las analogías, pero no
es genérico (es decir no siempre se cumple).
También:
a° «=» X = a
;
Hallar x en: Vs
V x y i O
= ^-'ñ25
= 5* « 5 9
Calcular a si: (a^)“ (a®)^ = (aY (a^)^ (a’)"’
S^x' + S
=9
= 9^ V V3*"‘ = 3*
■3“
=3^
De donde: 4
= 4 = > 8 * ' = 4^
4
Escribiendo la igualdad en función de la base 2:
(2")^*"'= 2“ « 2 -^ "’ = 2*; luego: -3 (x "’) = 4
^ -1 -4
1_ 4
x = ^
3
X 3
4
= 3
Resolución:
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
+
=3^ ^ 3'’ "® + x‘ = 3'’ "^ x ’‘ + 3=’
3" x“ + 3
Factorizando:
3 3 {3 r ^ 2 _ i) ^ X * (3 " " ^ -1 ) « 3=* = x‘
x= 3
= 5 ’'
Igualando los exponentes:
Resolución;
Efectuando en el primer y segundo miembro:
a^“ a ^ = a^“ a "a -' ^
= a^^
Entonces: 5a = 25
a= 5
3.
«/3®’
Resolución:
Por el caso 1: a* = a^
x = b; a O a 1
Transformando las bases en ambos miembros:
Aplicaciones:
Calcuiar X en:
x = 5^
I
te m p lo :
2.
^ f
Luego se puede afirmar: 5x = 5®
I.
1.
[ 5
Efectuando en el primer miembro: (5x)®* = (5®)®*
-*ií
7.
Si X € IR", calcular a partir de: x’'
s 2
Resolución:
Transformando el exponente del segundo miem­
bro: multiplicando su numerador y denominador
por *J2.
Calcular x si: x‘^ = 36
Resolución:
Elevando a) cubo miembro a miembro:
(x-')= = (36)^
Efectuando la permutación indicada:
(x^)'^= (6^)^ => (xY ^= 6® =.
Descomponiendo el primer exponente:
-"fie
-2
8^
U -T
\*l2
= 6
Utilizando el caso lll: Six^ = a‘ «9 x = a ; V x # 0
Luego podemos afirmar que:
— *1 — 1 __ p-1/4
Resolución:
Observemos que en el primer miembro el am ando
se repite 81 v e c ^ , entonces:
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
a32° + a ^ + . . . + a ^ = 81"’
81 veces
( x ^ f = (2-“ f = 2-“ = ( 2 - f = (1 )^
Nuevamente; si
que:
Entonces:
8 1 'a ^ = 81®’ =» a“ ° = B l“
pero: 81 = 3^
^ a^^” = (3'')“ * = 3“ ° =» a“ ®= 3“ °
= a" «» x = a; podemos afirmar
x^= ^ ;c o m o x e E"
8.
10. Si x ^ = 4, hallar:
Calcular el valor de x en:
,112+Jx
1 X*
Resolución:
E=
Eliminando el paréntesis en el primer miembro:
(4l25*)25'‘ ^ 4(s2i5
9.
3x +
2x =
10
X =
Transfomiemos convenientemente la expresión E:
Como x ^ = 4:
_L**
2
E=
Calcutar a en: a” ° + a^° + ... +a^” - 81
81 veces
J - 2 5 6 Jx
^2 56
' —
=
x ^
* 4
M
RESU ELTO S
B
• a
« -
Resolución:
(n -3 ) ve e n
Reducir:A=
.2 5 6
.266
J_4<
^256
P R O B LEM A S
1.
, 256
Resolución:
Transforrnando convenientemente cada miembro:
4(S3)*¡52)* ^ 45IO ^ 453* 52* ^ 45IO ^ c
= 5 ’
=9
a= 3
x^O
x x x ...X
Factorizando: A =
3 X 16X 7"+’
(n + 3) veces
Resolución:
Por definición de potencia;
5.
A=
2.
calcular: (4*)* +
C ° ™ :2 " = 5 -F = 5 - 2 - = 3
Determinar el exponente final de x en:
La expresión a calcular se transforma:
(22)2x ^ (2^)"’ + (2*)*^:
15 radicales
Resoiución:
2 ‘* + 2‘ + 2 ^ ; (2“)‘ +(2’') + (2*)^
Reemplazando: 3* + 3 + 3^ = 93
Por propiedad:
M=
M = x V x ^ . . x ’*
... 15factores
15(16)
M=
-15 ^ M = X 2
Exponente final: 120
=, M = x’“
J„3 3j~4
Reducir:
6.
Calcuiar el valor de: E = ^
,_____
y
Para: x =
Aplicando la regla práctica: ~ r 77=®Vx ^=®Vx
®Vx
Reducir: A = -^— r ; n g Z"
3 x2 “ x 7 ""’
y+ 1
Resoiución:
Del dato: x =
x^-^= y»
— = yy =»
x^ + ^'/x
= y+ 1
’'V7
Resolución:
4.
+ (16*V
Resolución:
M=
3.
Si: 2 '* =
Reemptazando: E =
como:
= y*'
x' +
=>'7x
y+ 1
=
E=
y
E = 2y>'
1
7.
3 - '" '* + 3 ( 3 " " ^ y i2 ( 3 '^ - ^
10. Si
Reducir: A Resolución:
hallar el valor de x.
Resolución:
A=
3 ^x 3 ’^ + 3 ^ x 3 ’'^ - 2 ^ x 3
,2
13
= 2'
3®x3‘ + 2 x 3 ^ x 3 * - 2 x 3 '
3^3
A=
Factorizando (3x2):
A= î N
v i^ r = H
( r ¥ ÿ
A = ^ñ*2¡2^‘>í3 q2 _
8.
= 2’
3 "'^ ' + 2 ( 3 * '^ V 6 ( 3 ’^ -')
+2 _ 2
Sabiendo que se cumple: 3 ® i3 V 5 ^ ^ = 1
3"^3“ + 3 ^ - 2 ^
= 2’
^ f = 2*
43
3“ (3® + 2 x 3 ^ - 2 )
Utilizando el caso I: 2^= 2*’ ’ ^ x - 1 = 3
I k *"*" ' _i_ K > + 2 ,
x=4
C« + 3
Encuentre el valor de: H 2'^ ^2*V2
Resolución:
Del dato, se reduce por regla práctica:
bc-n^+1
= 1 =» 3
= 3 "’
b c + c ^ + -\ ^
=» be + 0* + 1 = -a b e
abe
=» abe + be + c^ = -1
La expresión pedida, se reduce por regla práctica.
Resolución:
5 X 5” + 5^X S'*+ 5^x5* _ /cz^x-i
i 5 " V 5” + 5 -^ x 5 ''+ 5 -^ x 5 ’* ^ '
^
155
5” (5 + 5^ + 5^)
= 5'
5 *(5 -V 5 ' V 5 '^
3 1
^
g 2 x -2
125
5*^ = 5 ^-2 =*4/x = 2 x - 2 ;
..2
=» X*
- x - 2 = o « (X - 2)(x + 1) = o
X = 2 V X = -1 ; c o m o x e Z * =» x = 2
Nos piden: x + 8 = 10
12. Si x^^ = 4, hallarel valorde X®.
9.
Si: X € IR^ - {1}, hallar el valor de n que verifica la
Igualdad:
Resolución:
Recordar: x*“ = {x*f
De:
fi
X
_
1 ^ V lx i
Y dar como respuesta el valor de: (2n + 3) h- 7.
Resolución:
De la igualdad
= 2^ =» x^ = 2 (por et caso lll)
Nos piden: x* = ( x ^ = 2®
x* = 8
13. Si: X. y € Tt, tal que y - x > 2; hallar el valor más
simple de:
lx *^V + y^^V
I >,2yyx ^ y2xj^y
Resolución:
^x
i
/1 \"
^ 1 ■I ( x )
X
y -x
^
+ y *+ y x *
x2yy» + y2>'x>'
Buscando bases Iguales:
»
y->
x‘ xV '' +
,2»vy
x2yy-+ y-x
Al extraer la expresión común tenemos:
Se obtiene: I x - ' ’-Ix-' f T ' _
z±
-
x«=x^“
-
Q
_
X V (X Ñ ^
x V ( x " + y ’‘)
n
2! = 2 Í
Reemplazando en lo que se pide:
2(9)+ 3 21 o
— 7— - T " - ^
14. Dar las condiciones para que la expresión sea ra­
cional entera:
mx®
+ 1 0 2 6 3 ^ + (m -3 )W + 7
División de bases iguales:
Resolución:
La expresión será racional entera si: todos los ex­
ponentes de la variable x son enteros y positivos.
Para que ello suceda en primera circunstancia detierá anularse Vx y V x ; ello se produce aiar>do sus
coeficientes tomen el valor de cero.
Luego: n - 2 = 0 ^ n = 2 ; m - 3 = 0 ^ m = 3
Reemplazando y reduciendo al mínimo:
F=
— b-c ate c-a a+b a-fa
[x * “ X ^
X “
'
2 (a + b)
Operando en cada exponente;
2c 2a 2b 2(ac+b)
2(be’ +ca*+ab^
= X
E = X* X*“ X =
ab^+be^+ca^
E=
^ +1025Vx® + 7 = -V )r* + 1025x^ + 7
X®
E(x) =
+ 1025x^ + 7 = 1026x^ + 7
sb(a+b)
Por dato: ^ ~ ^
a^b - ca* = be*
ab^+a^b-ca^+ca^
Reemplazando: E = x
15. Luego de simplificar:
k
P=
R=
1
I
ïn
'Vn'Vnnff
Vn
17.
Si 2®" ” = 4'*"
= >
hallar el valor de n.
Resolución:
Recordar: (a*)^ = a*’' A 4 = 2*
_
.'»-iO
.n*20
-n-30
,.n + 20
De: 2®
=4*
=»2®
= (2')"
'^m^"Vm ■"Vñ "
"Vm^Viñ "Vm^"Vñ
Hallar: M = P"
Resolución:
Recuerde que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^
Transformando por partes:
- " ■
F
F
Recordar: a* a' = a*"^^
2 23n-90_^j2n +41 ^
=» 3 n - 9 0 = 2n + 41
Ï Ï = -"'/íí = " V ’
18.
n = 131
Calcular el valor de:
-oFTn =<-'‘>‘-'’'V¡T = '''VíT
ff
■VrWnW = 'V n "’V iï"'"V n = "Vñ "Vñ "Vñ
8 1 -® ^ 8 1 ^
P=
Reemplazando estos valores:
# )
SOveces
..8 1 ® ^
1^27® ^
1
P=
226 Bvacea
Si: a = Vñ;
b = "Vñ;
Resolución:
Analizando dos de los exponentes:
c - "Vñ
"k
Desdoblando:
R = '"Vm"Vm* "’Vm"‘Vñ
"Vm"’Vm"Vm*™Vñ
é); í
. - »K
r»ni
=(1)™ = 1
il
=(V 3 )^ = (^ r
Ahora si: a =
... M = P'^ = n
P= 9
i
16. Simplificar:
1
E=
r v x ^ - ' “V x '-“ 'Vx*-“> J
™¡.
b -c
i
r
3
■ •■ p = V 363a
=
m rrr*
3x2268
[(3^*1
’ = 3-^*---Í=27
19. Luego de simplificar los (2k) radicales que existe
para L y M. respectivamente, donde:
Resolución:
Llevando los radicales a exponentes fracdonarios;
¡ 6tci »+c ; a+b 2(a+b)
ÍX “ ix " íx ' ,
b -c i
m
c -a ■ a ^bi
X - 'X •’ ;x
- i
n A
A
1
X
>
X
; 1^ = '^x ™Vx
Señalar el cociente que resulta de dividir el expo­
nente final de X en L por el final de x en M.
20. Simplificar abreviadamente;
Resolución:
Exp. final de x en L
Se pide hallar: R = ,-..1
___
Exp. final de X en M
Para;
Resolución:
Observar;
n-'
L=
Operando con equivalencias;
=
Sea: c = 'VrV^
Luego;
ix - '
=
í '- r - X
su De
^
continúa
De esta observación se concluye que;
L = 'Vx-'
n
"'■Ix-r.. "/P '~
H
I
2k radicales
Por inducción matemática:
Buscamos la ley de formación tomando de dos en
dos puestos el últinio índice en n.
•
Para dos radicales;
__________
(n-fi)
ix - ' "V ^ = x "
(aplicando Ja
regla práctica)
.-.4 ? = n
21. Efectuar:
M=
^31-m -j '/F
\
Para cuatro radicales;
Resolución:
Efectuando;
[,■5™
Para seis radicales:
Analizando expresiones claves, como:
M
" ix - ' "-/x-'
" {F '
(n + 1 )[(m) 2 -(-(m) + l|
•
^VF = ^V F = V3
•
W =
X 3 = Va® X V3 = 9^73
•
= X
Podemos observar que en el 2.“ factor se fonna
una expresión en función de (m)'* ordenado
donde (*) es uno menos que el exponente de su
denominador.
Para 2k radicales;
(n + 1)f(m)"~'+(m)'^-^ + ...+ 1]
(m)^
.
=
^i% =
_ L _ V ? _ s jv
Reemplazando;
Haciendo; b = Vs =» b^ =
b® =
b® = 3
Para M el análisis es análogo solo que el factor
constante será dependiente de m y positivo.
(m +
... * l ]
22. Simplificar:
=» k = X
Luego;
- ( n + 1)[(m)'‘- V ( m ) * - ^ + ...+ l]
(m)^
R=
(m + 1)t(m)^-V(m)'^-^4-...+ 1]
(m )‘
... R =
Resolución:
Recuerde que; 'Va" = ’Va'"; si; a > O
Luego:
"Vi®
\m +1
rV27
iJ
4®-^-5
?ñl
-3
Observación: Vs*=*V5®x5 =VÍ®xVS = SxVS
Uego:
Operando:
=
- g ■Í+s%'J
^-{1 +8^)
“7 3 N V 3 ^
I
26. Simplificar:
Si hacemos que: V2 = a; Vs = b » 4 = a®
Reempiazando:
P=
Itesolución:
Para transfonnar ei exponente:
Observación:
Sia>0=» iá r
Luego:
.-. “73* = 3
23.
Si:
= "“^ 4 ^ = V i = 75
= V 3“
^V3‘ ' ‘ * x a ’
X"* * = 2 , d o n d e : x > 0 ; c a lc u la r:
Resolución:
En el dato:
Operando:
x~* = 2 elevando al cuadrado se tiene:
Transformando la base y reemplazando:
(x * " V = 2^ =» (x-*)"“ ' = (2)*
Por comparación:
1
1
_L
x * = 2 = *-L = 2 » x * = t t :^x = IÓ (puesx> 0)
X*
2
4_Sx+1
. .
i ^ piden: x
4.^*,
=x
p =
72
■-ii -J2
-J2
l-iacemos que: a = 72
Mk
= x*
--a™
=
P=
Reemplazando convenientemente:
k-12
Pero: a = 72 =» P = 72"’ = ~- i
,^ x + 1
.
f
X*
■
72 ■
r ,Ux
/2 = [x ’‘p = x*^
„ 4 ( 1 //2 ) 2 _
„ 4 (1 « ) _
"
"
v2 -
’ = a'
P == ^'^
2
27. Simplificar:
“Vs"
/
l 72j " 2
T=
24.
Si
{ x ^ 'f
“
Resolución:
= X"**, d o n d e : x > 1; h a lla r x '.
r-SSÜ
Resolución:
En: T =
De: (x '-y ^ * = x*’'^ (a T = á'
Observación:
X**
< :i
J i* ( 2 - x >
x‘
.
^
= x”^ : caso I: a" = a" « m = n
’^ = x ’^ = » x * = x* * « 2 = x*
.V x* = 2
8
« /F
«VT
. ■vr = ^ '‘‘78^'‘^ = '>78*
Operando y reemplazando sus equivalentes:
25. Simplificar
±UL.
V«
t
(x * + x)
Haciendo: a = ®7s ^ a® = 8
T = [a *{a '^-’- í W
Resolución:
Haciendo que: a = x**’ + 1
Además: x - t x - = x - + 1 = i í i S l i i =
X
X
= [«78^(«78'^^'®)
=
X
=i
X
»*
F =
T = ®783 = Ve
= [a*a-*^
28.
Hallar el valor de x que satisface la igualdad;
32.
x -1
A = 3
o x -2
Resolución:
2¿
Luego: | l = p
m -fZ
rt + 5
-3
3
n+ 1
y
2
Halle el valor de A - B.
8
2»-i
8
2*/2
SiseUeneque:
m-t-4
8
2‘ -^
Resolución:
Usamos los teoremas de potenciación:
4
^_16^16
2*
2V2"- =* 22 2*
m
4
m
3 x3 -3
2
n
x3
5
3""
- (2*)^ = 2’
n
0 ^ 2x2 -2 x 2
y
2 "x 2 "’
Simplificando obtenemos
^ 2 ^ = 2 ' ^ 2x = 7
X
= 3,5
A = 1 -- ^ =72
^
A - B = 12
29. Determine el valor de (n + 1f ‘ si se cumple que
3 "-i + 3 -2 + 3"-3 + 3"-^ = 3240
Resolución:
Factorizamos el 3 con su menor exponente (n - 4)
3"-'‘ (3^ + 3^ + a + 1) = 3240
3 "-“ (40) = 3240 « 3 ''-“ = 81
n - 4 = 4=»n = 8
(n + 1)* = 81
33. Si 16
3^
=8
4^
y
B=
= 60
2
, hallar x:
Resoiución:
(2“/
= (2"*/
= 4 X 3 ^ = 3X 4^=» ^
=1
30. Determíne el valor aproximado de S + T
T = /2V54V2V54-
S = ¡2Á2Á2-
A
34. Al reducir la expresión:
Resolución:
T=
=»
ÜL
se obtiene x ' ' . Halle el valor de m.
= 2-/&4T
T
= * r = 4x54T=»T=6
Resolución:
Usamos k)s teoremas
S = k V2V2 -
E = (lx ^ “ Vx)(^*‘Vx^'’®/x){®^Vx®'‘Vx)-''(®*'°Vx'°“ ’Vx)
=» S = V2S =» S* = 2S
S
Como: S > 0 = » S = 2
1
1
1
1
1
g _ ^2^2x3 x 3x4^4x5 ,.. j^SxIO
S+ T= 8
31. Hallar el equivalente de:
g
_
1
j^ 2 * 2 x 3
3 x 4 * 4x5'*■ '"*^ 9x10 " ^ lO - ^
j(2
3
2
3
4
4
5
10
11
P = 16
_1_
10
P a r a : a ^ O,
E = x " ^ ’ = x ’^
Resolución:
Operando por separado:
Por condición del problema tenemos;
Ifi
SI
x” = x ’’
m = lO
.-'A
16
16
35.
(4 T ^ f= (2 T ^
Resuelva la ecuación exponencial:
2*"' + 2“^ + 2‘ + 2"- ’ + 2- - " = 248
Calcule: 2“ ^ ' + 2* + 2 *"'
1
Resolución:
Descomponiendo;
•
(256)4 = (leO ” ^ = 416
•
(-3 2 )4 = ( - 2 f í = ( - 2 r = ^
= - l
2* X 2^ + 2* X 2' + 2* + 2’ X 4 + 2' X 4 = 248
2
4
Factorizando 2*;
Luego:
P= 1 +
2 16
P= O
(4
16
\
2
= 0®
2"
+ 2 + 1+
1
+
1 )2 ' = 248
= 32 =» 2'
=
2*
=» X= 5
Nos piden: 2®*’ + 2®+ 2 * - ’ = 112
(
36. Simplifique:
1* =
ab
be
-8 x8xV5
s=
abe
(abe)
ca
(¿ í
V abe # o
i
Si: b = V2
S = ['V ? I"V ? =
40. SI ab # O, reducir:
-I18*b
Resolución:
T=
bP
a*K£
P=
abci
Buscando bases iguales
x (f)’x
^/(abc)’ (abc)*^
Resolución:
T=
(a b c fi'" •••T = 1
(abe)*
líV -
37. Hallar la suma de las soluciones de:
64(2^*) + 1 = 65(2-)
P = (a b f
64(2“)* - 65(2*) + 1 = O =» 2* = m
Cambio de variable:
64m^ - 65m + 1 = 0
64m
-1
m
-1
(64m-1)(m-1) = 0
•
64m - 1 = 0
-
(tí
p= 1
41. Efectuar: T =
Resolución:
Análisis particulares:
m- 1 =0
m= 1
■"“ a
2* = 2’ ®
x, = - 6
2*
=
2°
•
/3 *= V 2 7 = -/? ^ = 3 V J
xj = 0
Luego:
a
3_
X, + X2 = - 6
t
38. Reducir:
»1
-■Vñ
=
3
)
=
3-» ,
1
T= 9
VT+ñ~'
T=
r * ” x (fr
-’ = ( F r x ( f r x ( E
Resolución:
4
^
:n # 0
.-'VF
i
(n + 1)
yo
42. SI: x* = - ^ , hallar el valor dex.
Resolución:
Resolución:
Como; ""Vñ = Vñ
Dándole una forma conocida.
Sea: a = Vñ
-a n /.
T=
a
(n + 1)
j -
1 +n
- ^ 1 +n
< -a )
[n + 1]^í..í>’- ’
n+ 1 ^ n+ 1 _ n+ 1
1+1
n +1
1 +n
n
n
■ ( x* ^ ( 3 Í F
T= n
Por comparación: Vx = ^
39. Efectuar:
( W f = (Z y
S=
Resolución:
Sí: a = ^/2 =» a* = V2
Reemplazando:
S = ‘ JP •J2*
43.
; Vx * 3”’
X = 3 '“
Hallar los valores de x en: 2^ + 128 == 3 y 2* ^
Resolución:
Transformando y frasponiendo tenemos:
2<^»í - (3)(2*K2®) + 128 = 0 :
(2*)* - 24(2*) + 128 = O
Sea; T ~ a
Reducir a su mínima expresión;
48.
reemplazando;
- 24a + 128 = O
a
-1 6
a
-8
De donde; a - 16 = 0; a = 16; 2* = 2*'; x = 4
a - 8 = 0; a = 8; 2" = 2®; x = 3
Los valores de x son; 4 y 3
Resolución:
Transformando a exponente fraccionario
3-JZ
/2+1
1-5/Z
B-V5
T = a ^ xa''^''^ x a ^ ^ ^ x a ^ ^ ^ ^
J - Q í¡
, 3-J2. 1-5/? , e-fí
~T~ 2/2
*
4 ( /2 T Í)+ 2 /5 (3 -/2 )+ 2 (1 -5 /5 )+ ^ (8 -^ )
T= a
44. Efectúe; P =
4/5+4 + 6/5-4+2-10^+8/2-2
Resolución:
Como; 8
8 /2
= a *^
4 fí
T= a
T=
= (2^)'^ = 2 '’ = ■!
Al efectuar T = (*^V 3 ^)
49.
Hagamos que; a = 1 + 72
se obtiene:
Resotución:
TransformarKio a exponente fraccionario;
5/íg”^
T = 3*«
P=
3
4 .3 8
= 2J
P=5
45.
...P =
T = 32“
A partir de: nn'^” = 5, hallar n
Resolución:
50.
T
46.
n=
t6 f3 8 -1 5
= 3^
T = 81
Simplifique:
_
nn^’ ” '*' = 5 = » n x n ® = 5
n® = 5
S
= 32-------- = 3"
T= 3
/3 “ ^ ^ - 3 ’‘ ^ V 3 ^
3 -2 _ 3 *-’ +3'
f 2 '- ‘ + 3 '- ‘ i‘’ -'^ '
Resolución:
Descomponiendo;
Calcularxen: x '* ”’^“ = Vj?.
Resolución:
(3’‘ )(3 ")-3 *(3 ) + 3 '
(3 *)(3 -*)-3 *(3 -’) + (3‘ )
T=
=M
De donde:
,
^1 +x'*' _= M ; x’
x’*“ = M
=M
=M
V 7 “ = M =» X "
= M
T=
••(II)
=9-6
T=3
9
00 en (I);
xi*M =
2Í3!^- k^
(2-)(3-)
2j:^^-Kf2*73
(3){2)
^ {9 -3 + 1 )
T=
...(I)
2* 3*
11+21
3
2
=. 1 + M = ^
En(l); x’ ^ * = 4
4
=» M = 4
x = ®V4
51.
= 27
Luego de resolver
Calcule; T = (-x)*’ *^'
Resolución:
47. Hallar el valor de X en:
’•Í2 x -3 'V 2 x -3 ^ y 2 x - ... = 2
De la ecuación:
Resolución:
«/5x9(/?.i)^/s-i}^ = 3* =*
= 3" =»
^2 x - 3V2x - 3V2x - S V S ir: = 2
2
3V2x - 3(2) = 2 ^ 2 x - 6 = B
• -+i»
'<:» ^
33'../ = 3'-?'
x= 7
—«—
3^1
= 3 =» 3
= 3’
= 3’
De donde;
SI = x’'^ = a* => a = x’'®
Reponiendo en (I) se tiene:
Evaluando;
1 / OK_
El exponente de x es: -;yf
’
21
52.
x -1
X*-1
A partir de la igualdad: 4 * - 3 ^ = 3 ^ - 2 ^
Hallar: x
55. Sabiendo que: ^ - I ^ ) = 2
Resolución:
Transponiendo los términos
Hallar el valor de: T =
4=“ + 2*
Resolución:
Se puede escribir así:
2^ + ^
= 3*(V3) + j -
í ^ v r
I
. - b T l + a® xb*
/U9)^
( a r ‘ + (b ^r
2>-Íi 4 ) = 3 < ( V 3 + ^
J_\
Del dato: a" = 2 y b* « 1/2
Reemplazando se tiene:
lT1+2xi
i i2
2‘ + l ^ f
T=
_ 2 __ _________
_
3
ñ ) ^ (2)(4)
(3)(V3)
2 x -3
22x- 1 -2 ^ 3 "
2^*-^ = 3 2
22.-3 ^ ^2x-3
2
V3
2^ +( i
_
Efectuando las operaciones:
T=
53.
Halle el equivalente de: S =
2 -f
56.
Resolución:
Por partes:
•
=f
.-.T = 8
Si: a^* = 3; a > 0. Calcular: (a“‘‘)'
Resolución:
Elevamos al cutx) la condición:
2
*W'.
Luego: S = 2*
54.
(472+1)4
(4 /2 + 1 )//J
k i'
fi I fi
^
?
2
S
2 /2
2 =~V2
= “ ^2
( a ^ f = 3^ ^ a®“' - 3"
=
TRES
r tF
'i 2^
= 2'
=»
..... = 4
de aquí: a® = 3 o también: a® = 73
Luego;
S= 4
( a - T = 73
Señalar el exponente final de X en:
57.
kradicales
Resolución:
Hagámoslo por inducción, pero para que sea más
sencillo, hagamos x’^ = a*, teniendo:
^i/a^Va” Va*... kradicales
2
• 1 rad: Va^ = a® -----------------
= (a ^)^ =íg®)
Si: S = (2"‘' ’f
- ( 3 " “"T -,T =
Halle el valor de; V =
T"
-2 ^ (S)
Donde: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = n
3li!
a
Resolución:
Transformando S y T
3^-1
•
2 rad:
- a" ___
•
3 r a d : = a ^
I
j—
^
S = 2*’’ - 3 ' “ = 2 - 3 ^ S = - 1
26
^
_
J
_
2 ^ x 1 )(2 x 2 )(2 x 3 ),..(2 x 7 )
T
=
2** ’* 2
3 > -1
•
k radicales------------------
3*
2 ^ x 4 X é X ... * 14
X 2 X ... x 2 )(1 x 2 x 3 x ... X 7)
Usando el dato, se tiene: T = 2*^''" ^ T" = 2^^
P=
2*'
V V = __ r
- ___ 4—
Luego:
= 1
- 2 '( S )
- 2 '( - 1 )
P “ 7y9xa (3*) x 9 * = Tx9xa/J
V=1
58. Hallar el valor de:
M=
Resolución:
En el numerador factorizamos 2 " ' y en el denomi­
nador 2'”^, así:
p= 1
= 2®
;x # o .
-Vx9
Resolución:
Haciendo que; a = x~\ y reduciendo:
'1
NU(*)
2'‘" ’ (1 + 2 + 2^ + 2^)
2 x-4(23 + 2 ' + 2 + 1 )
De aquí: E =
9xax7jjS
62. Hallar el equivalente simplificado de:
2»-i _j_ 2* "2 _|_ 2* "3 + 2*"*
E=
ax7^
E = 32
(x + y ) x 3 ’' ' ’‘ = 2
59.
i^Jí/7Ty = 3V2
Simplificar V x g Dí - {1}
S = V2’ + 3-’‘ + V 2 - + 3^
calcular: x e y
Resolución:
De (II); X + y =
Resolución:
Se puede escribir:
S=
Q _
...(II)
...(1)
{ 3 ^ 1 2 ] '" '
(1)en (I): (3V2y'"^x3>'-’‘ = 2
3V2J
= 2
V6ÑH
, Í 1 ! ± I j . . Í3 Z 1 !
V 3V 2’'
V6Ñ^
=
2
(®V2r" = 2 =» 2'’'-''»^ = 2’
. ’“V F + l
De donde:
VeÑH
ü i i = 1 ;x -y = 3
...(2)
Haciendo: ’V6’' + 1 = a
a+1
_ 3 2
S=
a
60.
(2)en(1):
5a
6a
X
• x = ^ '
-*
2 ’
Resolución:
Sea; 2*" = x
.
.
2^*'' =
64.
— 2*""^^ —(2*"f = X®
Reduzca; S =
Sea: a = x"*"'
Como: 2*** = 2 'x 2 ^
= 2^^”'*
2<22")’®^ 2*'®
S=
Reemplazando en el problema:
Hallando: b = 2*’
... s =
65.
61.
Hallar el equivalente de; P =
v = il
^
2
Resolución:
= 2^"^' = (2^”J = x^
2^^^ ' = 2*^*" =
...(3)
De: (2) y (3) se deduce que:
Simplificar: T =
«
+ y = (3V2)® =» X + y = 54
= X
Simplificar: M = (®^nía*^ )
Resolución:
Efectuando;
/(3 l 9 f
M=
Resolución:
Sea: V 3^= V sí = a
jhsf
-2*‘
»•'
.^2,* I
xa".. ■ = —
va’
..
Ojo con el artifìcio en el 2.*’ miembro, la idea es
buscar una cantidad elevada a ella misrha (como
en el primer miembro).
66. Resolver; x
Resolución:
Transformemos así:
*■ "'"” = ( #
(x y
= (!)■
Ite )
16;
Por comparación; (x’'*) =
.-. Elevando al cuatírado; x =
De aquí, comparando:
69. Se tiene la siguiente igualdad: (V>?*){Vx)=r V â ^
Anunciar el valor de no verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Las expresiones quedan bien definidas, si; x e IB.
II. La igualdad se verifica si y solo sí a € IB'"; x = a.
III. Si X existe entonces a existe.
Elevamos a la 1/4, asi:
Luego, comparando tenemos:
Vx =
67.
X = 1 = 0,25
Detemilnar el valor de verdad de las proposicio­
nes:
I. VX61R:X® = 1 = » (-2 )°= 1
II. Si; (x"’)(x") = X "*" « (3*)(3=') = 39
III. V X G m: ( -x)^ = X* A (-3)^ = - 9
II.
V - (l)e s V
(x")(x") = X"
(3^)(3®) = 39
F
Ili. V X e E: (-x)^ =
X* V
Resolución:
I. Para que las expresiones queden perfectamen­
te definidas; x e IB, pero además det» ser posi­
tivo (la proposición no lo dice), én caso contra­
río 7x ^ B.
=» (I) es F.
II. Es evidente que /a existe siempre que a > O
pero cuando a = O np se puede establecer por
comparación x = a = O porque se daría una
indeterminación de la fonna V0®x0 por tanto a
estrictamente es real positivo, siendo x - a .
=» (II) es V
III. Por la proposición anterior, x existirá siempre
que a exista y defina perfectamente la expre­
sión.
=>(111) es V
.'. Luego, el valor de no verdad de las proposicio­
nes será: VFF
Resolución:
I. Analicemos por lógica proposicional:
V X e E;x ° = 1 =» (-2)® = 1
F
1 = 4256
^ (II) es F
70. Si X* = 2; calcular el valor de; x * '**
(-3 )* = - 9
Resolución
Verifique las transformaciones;
V
V « (lll)e s V
.'. En consecuencia se tiene VFV.
68.
Reemf^eeando
» 2, se ttene:
.-. 2*^” = 2^-^'= 2’®
Resolver la ecuación: x*“ * =
71. De la igualdad x(K-lf == 2x + 1
•1
calcular; x — -
Resolución:
Se tiene:
X
Resolución:
Elevamos a ta (1/2):
De la igualdad se tiene:
1« (x’°)
Hagamos como se indica: (x )
=
-
= 2x +1
Multiplicando ambos miembros por x ^ ^
-
= (x ^ ^ ’)(2x + 1)
Por analogía:
K = * ; ? + '>-/ÿ + 'V4^ = 2 + 3 + 4
K= 9
>Í^'(x') = { i^ S \ 2 x + 1)
75. Indicar ei valor de: M =
Por comparación:
= 2x + 1
Transponiendo: x^ - 1 = 2x
1
Dividiendo por x: -
Resolución:
Operando convenientemente;
= 2
1
Desdoblando: x - —
=2
Sea: a = 3=''“
72. Simplifique; T = a ' ® * ^ ^ ( a * ' 'f ’
; para a # 0.
M=^ (7 2 9 f
M= 9
Resolución:
Efectuando;
T=
= a
T = a - " 'x a ‘* = a“
T= 1
73. Sabiendo que; a
Xa
;b#0
76. Efectúe: T =
Resolución:
Indique:
0. Efectué:
-r^
R = |-ü ^
=
Resolución:
(b -y? -'= b
Como: *^Va = ** Va = ®* Va = a* ‘
Haciendo que: a"* = m y operando:
R = V á ^
Luego: T =
T = b^
77. Simplifique:
Si: a"™ - X
T=
R = a""‘*""x a '"-’ x a '-“‘'íí'íí^'
R = a*“ xa-*'’ = a x a - ’
R= 1
2 -'x 1 0 -^ x 1 0 -^ x 1 0 -’'x 5 '"
± r \( ± r ^
20
\50
Resolución:
Agrupando exponentes comunes.
74. Reducir:
- i?
= bx b
+
2* + » 1 + 3 “ + J l + 4 =
+ 2-"
^ 1 + a-”
"V1 + 4
T=
Resolución:
.1 + 2 “
1+ 2 -
1+2®
1 ^ _L
2‘
1+2
1 = 2*
2V 1
2“
T=
(2 x 1 0 )-*x (1 0 x 5 )-"x 1 0 -'’
(2 0 -T ^^ x {50-T*^
20-‘ x50-'x10">'
20-^ x 20"'' x 50-'' x 50-"
10 r ’'l7 _ / 1
20x50
100
T=
T = 100
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
Resolución;
Descomponiendo tanto el numerador como el denomi­
nador:
PROBLEMA 1 (UNI 1 97 5)
Si se simplifica ia expresión:
3” ^ ^ - 3 " '
3(3’’*'')
Se obtiene:
A) 3" - 1
D) 3 " * ^ - 1
3X
B) 24
E)18
3''
2 7 x 3 "-3 x 3 "
3"
24 x3 " = 24
C) 1 - 3”
Clave: B
PROBUMA 2 (tN 1 1 9 7 ^
p w m m A á ( IM 1 1 9 7 9 )
Laexprestón; (n " 'r
es igual a:
A )x
■
Simplificar la slgúieüts e}g>r^ón:
E=
B)2x
C)x*
D)2x"
E)3x
A) X-**
D)x*
Resolución:
Efectuan<to, aireando leyes de exponentes:
+ x
= X- X+ x = x
Clave: C
B)x-*
E )x""
Resolución:
Efectuando tendremos que;
i r T U ‘ A»«/
ir r
Vx^
= Vx^
PROBLEMA 3 (UN11 9 7 8 )
E=
Si: P =
de donde: E -
.
Calcular E =
»75^
A) 1/2
B)10
C )x ^
E = X*
05
D )2
Clave: D
E)N.A.
Resolución:
PROBLEMA 5 (UN11 9 8 2 - 1)
Llamemos a: P = ^
Entonces:
N = W " * ™ ’ =* N = ’W
se obtiene:
=. 'VR = ’“Vio
A) W Í 9 b ^
Identificando N = 10
Análogamente; 0 = 5
D) b"*7b
. p _ N _ 10 _ o
^
D “
B)
C)
E) b*7b
Rescriución:
Llevando todo a un solo radical;
5
Se pide: E = 72^
E = 72^ =» ^VÉ = V2
E= 2
C lavero
Clave: D
PRO B LEM A S
1.
Si x” = 2; calcular el valor de:
A) 32
D) 24
,3yx*»
----x ^ + x^x^’' - 4
B) 30
E) 25
PR O PU ESTO S
9.
Si x; y E
!□ ■ ■ ■
; y ^ X > 2; hallar el vaior más simple de:
y' + y
x ^ y* + y ^ x’'
C) 28
B)1
2.
A) 16
D )60
3.
B )8
E) 32
Jx’NxNx®...Vx ; x>0
A)1
8 )2
n12
B) 2a
E)2
D)
O 4a
11. Simplificar:
E=
p+ 1-
0
A
p+1 -•
p+ 1- A
n corchetes
A ){1 }
D ){1 ;p }
x > 0 A x#1
El exponente final de x es 0,5; siendo a = 2^^ - 3;
hallar n.
A) 12
D)g
B)14
E)1
B ){p }
E)0
O 16
A=
1
+ 1 - a"
Vi + y r : ^ " ií a
B)a
x —
A) - 8
D)10
6.
1
1 + cb
13. Si se cumple: x ^ = 4; calcuiar:
A) 2
D)10
0-10
x^
08
14. Sabiendo que: a = VS75 ; b =
; simplificar;
Si 2* = y A 2*' = x; calcular: y* x*'
M = (Va + Vb)(Va - Vb)(a^ + ab + b^
A) 500
D)600
indicar el valor más simple de:
A) 3
D )4
8.
B)4
E)1
A) 2
D) 4
B )3
E )6
8)1
E)8
O í
0 2
0720
El monomio;
M(x) =
02
A 4
ax
bx^
cx*
e s d e g ra d o 9 ; c a lc u la r e l v a lo r d e n.
A) 20
D)28
^lOVIOVIO...
125
125
A A 1125
B) 1
8)480
E)530
ÍH
3^5
Calcular ei valor aproximado de:
A) O
E)4
t
15.
7.
D)2
O I
>.
1
+
i = -3
1 + ac'
B) - 9
E)4
O {p: 2}
12. Si O < a < 1; reducir;
Hallar el exponente finat de x en:
1
Si;
1 + ba
0 3 /1 1
4
2«
Si al reducir;
í
®2 1 2 3
[{ x Y X 2 X 2 X"2
S.
E)O
10. Indicar el exponente flrial de X en:
064
Si ab = a** = 2; hallar: ab®
A) a
D) 8a
4.
D )2
Si X = V8 y además se tiene: x ^ = (nx)*; hallar n^
B )24
E)16
16. Hallar el mayor valor de n si:
D )4
E )6
1
(n V ñ )^ =
C )26
A) V2
D)3
B)V2
26. Indicar el exponente final de X en:
C)4
É) VÍ6
A)m
D )n + 1
17. Si X e S - (± 1}; hallar n que venfica:
■
A) 8
D)4
M
B )9
E)5
C)10
F=
i
18. Considerando que: — » 5’^
X
Encontrar el valor de: Vx” * - 1 + Vx"* * + 3
A )4
O) nfi + 1
27. Simplificarla expresión;
4
i
B)n
E) mn
B )0
0 )2
E)8
D)3
V?
A )x
D) X-
B )x -’
E)1
C)x^
19. Indicar ei exponente final de X en:
28. Resolver la ecuación: 5^ * ’ - 3 x 5** * = 550
Y dar como respuesta el valor de x^.
Vx "Vx Vx
A)1 - -1
3"
6)1 + 4 :
3"
A) 2
D)2,75
0 )1 -3 "
D)2
A) 23
D)17
Calcular el valor de: (x")*'^ + (x")*''^ +
B) 3n
E) 8n
21. Si X* = 2; hallar x,x“
A )2
B )3
1 X* + x^
0 )4
E)6
D )5
A)
B) 2 * " - 1
0 ) x 2’«
E )x’°“ - 1
B )-7
C) 2” - 1
Ì
~t ^ - - +
a*+1
a+b
A) 2010
D) 2007
1 b^-1
0 )0
ti (12^)12-
+ir ^ +- ^ =
b+c
c+a
B)2009
E )2006
0 )4
B)x"
E)1
33. Calcular el valor de a + b -i- c, si:
a = iÍ6 ^+^3V3V3 ~
25. Hallar el valor de: K = (a‘ ^ )
A) 2
8 )4
0 ) 72
D )7
para: a = 2*
D) V2
E) 9
E) 1/2
b = J12 + V I 2 + VI2 + ...
c = J l3 - Ji3 +
1005
0)2008
32. Si X es positivo, simplificar la expresión;
1
2 s
x i x V x ...'’* ’Vx
M=
(>
A) V i
D )x
Vs"
8 )2
E)16
0 )2
1)
i± s f^
Sabiendo que;
B )-1
E)2
A)1
D)8
A )-9
= x; (x > O A X
31. Calcular el exponente final de x en:
23. Sabiendo que: a + r = l A b + - = 1
b
c
24. Reducir E -
019
30. Hallar la solución de ia ecuación trascendental.
22. Reducir íx íx ^ x Vx „ 100 radicales
A )-2
D)1
8 )2 0
E)16
C)n
>
Calcular el valor de: E = a
0 )2 ,5
29. Sabiendo que:
= i a y > O, además;
X + y = 6, calcular la suma de los valores que
admite y.
20. Sabiendo que: x = 'Vn'''"
A) 2n
D)2
B)2,25
E)3,5
C)x^
B )9
E)5
A) 10
0 )7
C )8
42. Reducir: 8 -
34. Sí X e y son dos núnwros positivos, hallar la exfM^eslón equivalente a:
2007
ÍÓ07
A)1
D )x + y
C):
B)2
E)xy
Sabiendo que: x € Z* / x > 2008
A)1
D)2
8 )x
E)x"
C)2x
X
43. Determinar el valor de: - x~
+x*
+ x
cuando: x = 2’ ’“ .
0 -1
A) O
8)1
D) X
64
E) 2 - ^
^+1
44. Sabiendo que:
= V2 ; además
HaHar el vaior de M - N.
A )0
B )7
014
D)28
E)36
A) 8
D) 1
36. Simplificar ta e x p re ^ n
bsuntandos
...'«Vi
1) tp ifc il« !
A=k
B)a
A) “Va
D) a-’
8 )4
E )16
0 )2
45. TeníerKio en cuenta que:
lV iV a ...V ?
(a *
, calcutar: zy(^ 2)2 *
yi
/ 1
^Vñ
(1)(2)(3)...n
V4ñ
V9ñ
+ .+ ’
O í
Además t cumple con la condición: x** = (tx)*;
_i
siendo x = 10^, calcular t^sgn(A).
37. Redudr
A) 10
D )-1 0 0
E=
A)1
D)1/2
B)2
E)1/4
04
8)100
E)0
0-10
46. Calcular n si en la expresión:
[...[[(X“)’'* x -^ r '^ x -^ ]...x -“ r
n corchetes
36. Calcuiar el valor de: R =
81"^’
A )-1
D)1/3
39. Sabiendo que;
valor de:
—
-m +1
F = m"
^
-(1/27)C) - 3
B)3
E )-1 /3
A) 100
a
n" = - 2 ; calcular el
+ n"
A) - 8
D)4
8)110
014
<1
47. Luego de resolver 2x + 1 = ^
D )2
X
sí X > O señalar, ei valor de:
B) 1
E) 1/9
C) -4 /9
A) 16
O) 1/256
40. Conociendo que: n" = n + 1, reducir la siguiente
expresión;
A) n
D }^
el exponente de x luego de reducir la expresión es
0,5; además a = 2’* - 3.
B) n"
E)n"^’
C) n" + 1
8) 81
E) 256
0 1 /6 4
48. Siendo x > O resolver:
’“ Vi +V2 *^V ^-1 = ’*Vl7 + 6V8
A) 4
D) - 3
B)3
E)6
C) - 2
49. Si: ( x '- * ^ ) ( x ^ ^ = ) = a “ '
4/
41. Si; n” = 2, calcutar el valor de: E % Vn"
A )2
8 )4
08
D)16
E)32
Hallar él equivalente a:
’í "
E )3
A)1
D)x^
B) /x
E)x
O x*
58. Efectuar: E = ^ Í Í 4 { 2 ^ ) f ''
B) V3 + 2 V2
E )3 -2 -/2
A )3 + 2V2
D ) 1 - - i2
C)V3 - 2 V2
B) V2^
E)2
A) 1/2
D)4
50. Luego de resolver; x'*
= 2x + 1. donde x > 0,
indicar el valor de: (x ^ ‘ V
C) /2
59. Si: X e
- {1}; hallar el valor de n que verifica la
igualdad:
ji
51. Si se cumplen las igualdades x** =
calcular: y®‘
A) 3
D) V3
B) 2
E) 27
;y =
■
C) ^
A) 3
D )4
B) 2
E)1
52. Siendo A = V2V4V8V16...
60. Calcular: S =
Calcular el valor aproximado de;
A) 4
53.
B) 2
08
x
D)1
05
<(6^x3)^x6^x3)2
(( 3 'x 6 )" x 3 ^ x 6 )'
A)1
D) 16
A R
B) 8
E)64
61. Simplificar: S = [(2 ^
A) 8
D) 1/4
m = (Vx^ V x*...)(Vx"Vx\..)..("’^Vx'""’
Calcular el valor aproximado de x en función de m.
A) m
B) m"
D )^
E) m^
B) 1
D)"Vrñ
E )^
m
3*"x36
X
Hallar el valor de: V =
C) m"’
A) 28
D) 20
B)21
E)24
64. HaHar el valor de: S =
SI; 'Vrñx = Vñx =
Calcular el valor aproximado de x„ cuando n crece
indefinidamente.
C )^
'3
56. Indicarelvalorde:
A)1
D )4
D)
03
O 15
m**n"’p''
= x
8 )2
E)1/4
C) 0.5
65. Dada la condlaón; x* ^ = 1 - x '
’
Simplificar T =
.
,
-VTtO,» / 1\(¡«)
SI se cumple que; x*
= /^ j
B )2
09
63. Si: X + -!. = 3
55. Sabiendo que:
'3
O 1/2
B)3
E)6
A) 16
D) 27
S i:x = '"*V m "'-’Vm ; m e Z A m > 9
A) m
B) 4
E) V2
62. Simplificar; T = "
O m"
54. Señalar el valor numérico de: M = — x"’ + "Vx
m m+ 1
A)1
O 32
E)0
Sabiendo que;
A )#
2
M
Y otorgar como respuesta el valor de (n + 3) + 7
D )4
E) V3
A )x
D)x*
B)1/x
E )Vx
C)1
66. Calcular el valor de:
57. S i:x = '’ VT : y = t * ^ / t > 0 A t 9 t l , hallar la relación entre x e y.
V
i
V (9 x r'V (4 x f"
(6x)2m+1
Sí es independiente de x
A) x" = y '
D) X* = /
B ) y ’' = x"
E )A y B
C) x ' = y*
A) 4
D) 1/2
B) 3/2
E) 2
O 2/3
67. Sabiendo que;
a ''= 2
b* = 0,5
74. Simplificar: T = x V ,x '-,- ''n''factores
X X X ..."n"factores
A)x"
D)x
Evaluar: S =
B )2
E)16
A) 10
D)8
04
A) 4
T = (®V5)'i ^ y
B) V5
O I
75. Hallar el valor de; V = (x"^ +
Si: x = 3 + V 2
y = 3 - V2
68. Dar el equivalente reducido de;
A) 13
D) 1/2
B )x '"
E) 1/x
8 )5
(xy"’ + x 'V )
07
D)1
E)0
76. Hallar el exponente final de x en:
O 25
E = Vx
n radicales
69. Simplificar; V = ii#57^5T5777=T^
A) íx
D)1
B) Vx
E)x^
Ox
70. Simplificar; S = ilx^x^-Zx^^x*...
Dando el exponente final de x
A) y?
D)1,5
B) 2
E)2,5
A) 4
D) V3
0 1
D) 4 " - 1
4
E) 4 "+ 1
' 2"
A )x '
D)^/x
A)1
X '“ + X
B)x*‘*
E)1
A) 16
D) 4«
0 1 /x
A)1
D) 0,5
O ab
ai C . 31, b }• 4ii^6‘
1 A
2 C
3 .C
D )8
B) 16»
E) 8*
04
M .*S
B)2
E)
04
V
R2 C
• H .A .
.i
M A ' *
49. C
M b
4 ? trí
■ttf o
. sV
4 ?
04
_ V4V4...^V4/2
80. Evaluar la expresión: D =
^V2V2 ..V2
S = (ab-^+ba^®)[a-'“ ^’i+ b - " > " V
B) a
E )a V
8 )2
U = ab“ *
+ X
73. Dar la forma más simple de:
5 .B
7. A
8 Q
9 B
1 0 .6
0 1 /x
79. Sl;ab = b'’ = 2
Hallar ei equivalente reducido de:
Simplificar; V = x
6. D
B)x
E)x’‘
78. Simplificar; T = (0,25)(16/^“’-“ ^®^'’''“ "“ "
O V2
72. Dado que: a + b + c = abe
A) 2
D)b
C) 2 "+ 1
r
Simplificar: S = *Vx "/x
N
B)2
E)3
A) O
D)x^
B) 4 " - 1
77. Si se tiene que; x“ = x + 1
W
71. Simplificar: T = 2 ^
A) 2 " - 1
2"
A '
16 E ‘
17«
tAA
:» g
29, »-
26. fe
28
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!'
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4» B
39. d
4 30. E . 40, A
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.
O i¡5Q. B ‘
68 B
98 B
rD .B
’ .'T è
I '
6 i
-. . J R 'Í I I í ;
E)16
Expresiones
algebraicas
ü
Jean Le Rond D’AIembert nació y
murió en París ( 16 de noviembre de
17 1 7-29 de octubre de 1783). Fue un
matemático, filósofo y enciclope­
dista francés, y uno de los máximos
exponentes dei movimiento ilus­
trado. D’AIembert recién nacido,
fue abandonado en la puerta de la
iglesia de Saint-Jean-le Rond (de ahí
el nombre que se le impuso).
A los 18 años consiguió el título
de bachiller en artes, después de
varios años de estudio en una es­
cuela jansenista. Tras dos años de
estudiar derecho empezó a cursar
la carrera de medicina, que pron­
to abandonó. La gran pasión de
D’AIembert fueron las matemáti­
cas. que había aprendido en for­
ma prácticamente autodidacta:
en 1739, presentó su primer traba­
jo en la prestigiosa Academia de
Ciencias de París. Dos años des­
pués. con tan solo 24 años de edad, fue elegido miembro de esa Academia.
Abordó la m atem ática a través de la física, con el problem a de los tres cuerpos, la precesión de
los equinoccios y ías cuerdas vibrantes. Esto le llevó a estudiar las ecuaciones diferenciales y las
ecuaciones a las derivadas parciales. También inventó un criterio para distinguir una serie con­
vergente de una divergente. Su obra m aestra fue el Tratado de dinámica, donde enunció el teo­
rem a que lleva su nom bre (principio de D’AIembert). El teorem a fundam ental del Álgebra recibe
en algunos países de Europa el nom bre de «teorema de D'Alembert*Gauss), dado que D’AIembert
fue el prim ero en dar una prueba casi com pleta sobre dicho teorema.
Fuente: Wifeipedia
<i CONCEPTOS PREVIOS
+
División
Cociente
Álgebra
()"
Potenciación
Potencia
Parte de la matemática elemental que estudia a las
cantidades en su forma general, describe también los
sistemas de operaciones que se llevan a cabo con las
cantidades para detemiinar por medio de aquellas,
n/~
Radicación
Raíz
oü'as desconocidas.
Notación matemática
Son formas de representar a ciertas expresiones para
diferenciar la función que representa cada una de ellas.
Para ello es necesario tener en cuenta los siguientes
conceptos:
Constante
Por lo general es un valor numérico detemiinado que
adopta los siguientes comportamientos:
Constante absoluta o numérica: son aquellas que no
cambian de valor de un problema a otro.
Ejemplo:
Signos de relación
=
para valores
s
para polinomios
< > comparación algebraica entre polinomios
>
mayor que
<
menor que
Signos de colección o agrupación
()
paréntesis
11 corchete
{}
llave
— barra o vínculo
Leyes de signos
Adición y sustracción
a + (b -c ) = a + b - c
a-(b-c) = a - b + c
Multiplicación y división
V3 = 1,7320
rt = 3,1416 (aproximadamente)
(+ ^ ) _ , a
(+a)(+b) = +ab
Constante relativa o parámetro: es aquella cuyo valor
se mantiene en una situación o probtema particular, pu­
diendo variar en otro.
ejemplo:
• ax + b = O
/ parám etros o constantesN
2x - 7 = O
4x - 6 = O
(- a )(-b ) = +ab
(~~9) _
(+ a )(-b ) = -a b
(+a)
(-b )
-" b
a
■"b
(-b )
(-a )(+ b ) = -a b
J
\^relatìvas
(+ b )
(+ b )
Potenciación
(+b)'’-‘‘“ ' = +b"''*'
(_b)-"p» = +b".-p“
(+b)n.‘lmpar _ +br,.-»^r
8= 2
b = -7
a=4
b= -6
^ jn .’ mpsr _
Variable
_^ n .*im p a f
Radicación
Es un valor arbitrario o desconocido, también se dice
que representa a ia cantidad en forma generai. Se re>
presenta siempre por letras. En consecuencia:
" ’“ VITb = i"
F(x; y) = 2x 2y® - 7y“ + 2x’
Se lee F está en función de x e y, o F de x, y.
1^ notación pennite diferenciar en una expresión las
variables de las constantes, siendo esto de mucha im­
portancia.
a'O m p«^
(i: n.° imaginario)
=
^ EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Resultado
Se denomina al conjunto de números yletras ligados
entre si por las diferentes operacionesaritméticas:
adición, sustracción, multiplicación, división, potencia­
ción natural o raíz aritmética en un número limitado de
veces.
+
Adición
Suma
Ejemplos:
-
Sustracción
Resta
Signos
Existen 3 clases de signos;
Signos de operación u operadores matemáticos
Símbolo
Operación
l^ultiplicación
Producto
F(x; y) = 4x® »
+7/
P(x; y; z) = 3x^ + 72^ -
^ EXPRESIONES TRASCENDENTES
Denominados también no algebraicas ya que es un
conjunlo de números y letras ligados entre si por las
operaciones de adición, multiplicación, división, poten­
ciación, etc. en un número infinito de veces; o en todo
caso ias que no estén incluidas en el caso anterior. En­
tre ellas tenemos:
Exponenciales: cuando su variable aparece en el ex­
ponente; 2"'''; a*; X*
Trigonométricas: cuando su variable está afectada de
alguna función trigonométrica: senx; cosx; tanx; ... etc.
•
Expresión algebraica racional entera (EARE):
los exponentes son enteros positivos.
•
Expresión albegraica racional fraccionaria
(EARF): los exponentes son enteros negativos o
también si aparecen variables como denominador.
es aquella
donde al menos uno de los exponentes que afectan a
las variables es fraccionario o también si aparecen va­
riables bajo radicales.
Expresión algebraica irracional (EAI):
De lo expuesto anteriormente, podemos resumir el si­
guiente cuadro:
Logarítmos: cuando su variable está afectada de la
función logaritmo Iogx; Inx.
EXPRESIÓN
Circulares: vienen a ser las funciones inversas a las
Racional
trigonométricas más conocidas como las funciones ar­
cos: arccosx; arctan; arcsenx; ... etc.
Irracional
Hiperbólicas: cuando su variable está afectada de las
funciones hiperbólicas; seno hiperbólico (senh), coseno
hiperbólico (cosh), ... etc.
Estas son bastante utilizadas en el cálculo superior.
<4 TÉRMINO ALGEBRAICO
Es aquella expresión algebraica donde no participan las
operaciones de adición ni sustracción.
Entera
Fraccionaria
•
•
3xV + 5 xV - 4xz
4 x ^ - x V + xz’ '
es una EARE
es una EARF
•
-/2 X* - 4xV + z®
es una EARE
•
3x^z - x’ ^2^
es una EARF
•
x^ + y"* + ^/z
es una EAI
es una EAI
P o r su n ú m e ro de té rm in o s
A(x; y) = 2xV
B(x; y; z) = 7xVz'
Pueden ser:
Partes de un término algebraico
j
F{x; y) - ^
Fraccionario
Ejemplos:
• x^'^ + y“ - zVx + y
Ejemplos:
•
•
SUBDIVISIÓN EXPONENTE
exponentes
x^ y^
t 1—í ------- partes literales o variables
--------------coeficiente
signo
IVIonomios: cuando tienen un solo término.
Ejemplos:
• A(x; y) = 8x^y®
• F(x; y; z) = ( S x Y z
Multinomios: cuando tienen dos o más términos.
Ejemplos:
Términos semejantes
.
P(x; y) = 3x"y -h 2x^y" - 7x’ V
Son aquellos que se caracterizan por tener las mismas
parles literales afectadas de los mismos exponentes.
•
F(x; y) = 4x^ + 2xy® - ®^x + 2
Un caso particular de estos es el polinomio.
Ejemplo:
P o lin o m io
S x ^ y ^ -y x V son términos semejantes
2Vy®; 2’x V
son términos semejantes
-4x^y^; -4x^y^ no son términos semejantes
Es aquella expresión algebraica cuyos términos son to­
dos racionales enteros.
<4 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES AL­
GEBRAICAS
Por su naturaleza
Se clasifican de acuerdo a la forma en que sus expo­
nentes afectan a sus variables.
Expresión algebraica racional (EAR): los exponentes
que afectan a las variables son números enteros. Esta
a su vez puede ser:
Ejemplos
•
•
F(x; y) = x" + x" - 2y'
P(x; y; z) = 3xy’ + 7xy“ - -/2xV
<4 VALOR NUMÉRICO DE LN POUNOMIO Y
CAMBIO DE VARIABLES
Es el resultado que se obtiene a partir de un polinomio
al reemplazar valores asignados a sus variables.
Ejemplo:
Sea: P(x) = x^ + 3x - 1
Entonces;
P(2) = 2' + 3{2) - 1 = 9
P(-2) = (-2)^ + 3(-2) - 1 = -3
P ( ^ ) = (V3)' + 3(/3) - 1 = 3 ^ + 2
P(a + 1) = (a + 1)^ + 3(a + 1) - 1=
+ 5a+ 3
P(x - 2) = ( X - 2)^ + 3(x - 2) ~ 1= x" - X - 3
P[P(x)] = P [x" + 3x - 1] = (x" + 3x - 1)' + 3(x^ + 3x -1) - 1
1.
3.
Resolución:
Calculando primero P(0): P(0) = O + O + 1 = 1
en la expresión se tendrá;
P(1) = 1^ + 1 + 1
P [ 2 - ( 0 ) ] - P ( l) - 3
4.
Calculando primero:
F(x + 1) = ( X + 1)' + ( X + 1) + 1 = x^ f 3x + 3
G(x - 1) = ( X - 1)' - 2(x - 1) + 2 = x^ - 4x + 5
Reemplazando:
H(x) = x" + 3x + 3 + x^ - 4x + 5 = 2x' - X + 8
Ejemplo:
Sea; P(x) = x^ + 4x* + 7x - 3
Icoeficientes = P{1 ) = + 4(1)* + 7(1) - 3 = 9
Luego: H(1) = 2(1)^ - (1) + 8
5.
En todo potinomio el ténnino independiente (Ti) se
obtiene reemplazando a su(s) variabte(s)
cero.
Si: P(x) = X+ 7; hallar P[P(x)]
Reemplazando el valor de P(x):
P(P(x)] = P(x) + 7; como P(x) = x + 7
Entonces; P[(x)] + 7 = x + 7 + 7 = x+14
6.
Si: P(x + 1) =
X
+ 3; hallar P(x)
Resolución:
Primera forma:
Ejemplos:
1.
H(1) = 9
Resolución:
TI = P{0)
Ejemplo:
Sea; P(x) = x^ + 4x^ + 7x - 3
Tt = P(0) = 0^ + 4(0)^ -f 7(0) - 3
Si; F(x) = x" + X + 1; G(x) = x" - 2x + 2 y
H(x)= F(x+ 1) + G (x-1): hallar: H(1)
Resolución:
En todo polinomio ta suma de coeficientes se
obtiene reempiazando a su(s) variabie(s) por ia
unidad.
Zcoeficlwites = P(1)
2.
Si: P(x) = x" + x + 1; hallar: P[2 - P{Q)]
Escribiendo (x + 3) en función de x + 1:
P(x + 1) = X + 1 + 2
Luego, donde aparezca (x + 1) se colocará x:
P(x) = X + 2
_ P (2 )-2 P (-2 )
Calcular: E
P (1 )-P (-1 )
Si; P(x) =
+ 3x - 1
Resolución:
Segunda forma:
Catculando separadamente:
P(2) = 4 + 6 - 1 = 9
P(-2) = 4 - 6 - 1 = -3
P(1) = 1 + 3 - 1 = 3
P(-1) = 1 - 3 - 1 = -3
Reemplazando en la expresión pedida;
^ _ 9 -2 (-3 )
15
= -^
E = 5/2
Haciendo; y = x + 1 =>x = y - 1
Escribiendo la expresión original en términos de y;
P(y) = y - 1 + 3 ^ P(y) = y + 2
Una vez reducida se hace; y = x
P(x) = x + 2
7.
Resolución:
3 -(-3 )
Haciendo: x + 7 = y = > x = y - 7
En la expresión original: P(y) = (y - 7 f +7(y - 7) - 3
Reduciendo:
P(y) = y^ - 7y - 3
Haciendo:
y = x =» P(x) = x^ - 7x- 3
SI; P(x) = x^ - 3x + 1
Hallar; S = ^
P (3 )- P(2)+ P(1)
+ 1
P ( 2 )- P ( 1 ) - P ( -2 )
Resolución:
8.
Calculando separadamente:
P(3) = 27 - 9 + 1 = 19
P(2) = 8 - 6 + 1 = 3
P(1) = 1 - 3 + 1 = -1
P (-2)= - 8 + 6 + 1 = -1
Reemplazando en la expresión dada:
S=
1 9 - 3 - 1
3+1+1
S = /2
+ 1=
Siendo: P(x + 7) = x^ + 4x - 3
Determinar; P(x)
Si; P,
X -
1
= X®- X + 1; hallar P(-2)
Resolución;
Para calcular la expresión pedida podemos hacer;
^
= - 2
^
x = - 3
Este valor se reemplaza en la igualdad original:
P(-2) = -23
Si: P(x - 3) = 5x - 7 y P[F(x) + 2] = lOx - 17
hallar: F(x - 2)
Resolución:
Resoiución:
En el primer polinomio en lugar de x colocaremos
F(x) + 5;
PIF(x) + 5 - 3] = 5[F(x) + 5] - 7
P(F(x) + 2] = 5 F(x) + 18
10x - 17 - 5F{x) + 18
Despejando tenemos: F(x) = 2x - 7
Entonces: F(x - 2) será: F{x - 2) = 2{x - 2) - 7
F{x - 2) = 2x - 11
Dándole una forma adecuada a la expresión:
10, Si: F(x’’ - 2) =
(x*
F(x^ - 2) =
(x«
Sea; x'' - 2 = 1 => x' = 3
Reemplazando se tendrá:
'3
, calcular F(1).
F(1) = 3^
R E S U E LT O S
PROBLEMAS
a
Dado: F(x) = 4x^ - 8x - 31; evaluar:
5.
2.
6.
Si: H(x) = 2x^+x‘'; P(x) = 4x®-2x^-x^ y
G(x) = 3x" - x^ calcular: H(4) + P(4) + G(4)
Calcular m en:
F(x) = (3x" + x"'-’)"'(mx^ - X + 3)^(x' + 192)
Sabiendo que el coeficiente principal del producto
es igual al término independiente del mismo.
Resolución;
F(x) = (x"’-')"’ (3x + 1)"(mx' - x + 3)'
Coeficiente principal = S^ím')
Término independiente = 3^(192)
3"'{m') = 3^(4^) ^ m = 4
Tenemos:
H(4) + P(4) + G(4) = 2(4)' + 4“ + 4(4)®- 2(4)^ - (4)'+
3{4)-‘ - (4)® = 1792
Si: P(x) = ax + b y además:
P[P[P(x)ll = 8x + 189. Calcular: P(3)
7.
Si: F(x) = x(x - 6) + 9; calcular:
í F(x)
F(x + 3 ) - F ( x - 2 ) - 5
Resolución:
[P(a{ax + b) + b]] = 8x + 189
a(a(ax + b) + b] + b = 8x + 189
a^x + a^b ab + b = 8 ^+ 189
t
Resolución;
F(x) =
t
Entonces: a^ = 8 = » a = 2 a
b(a' + a + 1) = b(2' + 2 + 1) = 189
Luego: P(x) = 2x + 27
=» P(3) = 2(3) + 27
P(3) - 33
4.
Si: G(x) = x - 1; F(x) = x
Determinar G
E=
- 3)
[(X
+ 3) - 3 f = x'
[(X
- 2) -
3 ]" =
(X -
(x -3 )
x " - ( x ^ - 10x + 2 5 )-5
Si: X 3; E = 1/10
1
1
8.
5 )"
X -3
10(x-3)
Sabiendo que: G(x) = x
G [5 P (x) - 4F(x)J = 13x + 18
G [2 P (x) + F (x)] = 15
Resoiución:
hallar el valor numérico de: G[P[F(2)]J
^' = 1 + 1
F(1
X
F(^)
'x '
(X
F(x + 3) =
F(x - 2) =
b = 27
G F(^)
'x '
1
y F(x) = PlF(x)l; calcular: P(64)
F(x) = P[F(x)] si: F(x) = a
=* P(a) = a
P(64) = 64
8(2) - 31 = -31
4(4)" - 8(4) - 31 = 1
4(0)^ - 8(0) - 31 = -31
(-31)1' = -31
4 (2 y -
Resolución:
3.
x+ 1
■ ■
■■
Resolución:
Resolución:
F(2) =
F(4) =
F(0) =
^ F=
Si: F(x) =
Q
X
= 1 + 1 -1 = 1
X
= G 1 = G(x) = x - 1
1_
X
X
Resolución:
Como: G(x) = x
G(*) = ’
... (I)
De(l);
5 P (x ) - 4 F (x ) = 1 3 x + 1 8
... (H)
2P{x) + F(x) = 15
...(lll)
+ ^ - (3 + 2^2)^ + -----x^
(3 + 2 ^ )^
P(x) = X + 6
P{-1) = 5
F(x) = 3 - 2x => F{2) = -1
Luego; G[P[F(2)H = G[P(-1)] = G(5} = 5
9.
Siendo: S(x) = 2x + 3
Además: S[F(x) + G(x)] = 4x + 3
S[F(x) - G(x)] = 7
= (3 +
13.
2 /2 )'
+
~
(9 -8 )'
=
2(9
( 3 - 2 /2 ) '
+ 8) = 34
'
Si: F(x) = 4x + 5 y F[g(x) + 3] = 8x + 5
Hallar: g(4)
Hallar: K = F(G(F(G...(F(G(1))...)))
Resolución:
Resolución:
F(g(x) + 3] = 4[g(x) + 3] + 5 = 8x + 5
Despejando: g(x) = 2x - 3 = g(4) = 5
S[F(x) + G(x)l = 2[F(x) + G(x)] + 3 = 4x + 3
S[F(x) - G(x)] = 2[F(x) - G(x)] + 3 = 7
F(x) + G(x) = 2x =» F(x) = X + 1
F(x) - G(x) = 2 => G(x) = x - 1
G{1) = 0 ^ F[G(1)]=F(0)=1
14.
Hallar el valor numérico de F(S) donde:
F(m) =
'"■^(m+ 4)'"“ V(m - 2)"'Vm + 2 f
"V(m-2)°"V(m + 4)
Como termina en ia evaluación de F:
K = F[G(F(G...))]=1
Resolución:
’’/ f i m i )
F(m) =
10. Si; P(x + 4) = 5x - 1 y P[F(x) + 3] = lOx + 14
’^/(m + 4)
calcular el valor de F(4)
Resolución:
F{5) = ®/9 . ^°/3 .
P(x + 4) = 5(X + 4) - 21
Si: X + 4 = a =» P(a) = 5a - 21
i
11. Si: F(x) =x^ + 1 y H(x) = x^ - 1
15.
calcular: E = H[F(x)] - F[H(x)j
j_
= 3‘
Si: P(x + 2) = x" + 4x + 4
Hallar: P(x + 4) - P(x - 4)
Resolución:
Resolución:
H[F(x)] = H(x' + 1) = (x' + 1)" - 1
= x“ + 2x' + 1 - 1
P(x + 2) = (x + 2 f
Si : x + 2 = a =» P(a) = a^
P(x + 4) = (X + 4)^
P(x - 4) = (X - A f ( - )
F[H(x)j = F(x' - 1) = (x' - 1)" + 1
= x' - 2x' + 1 + 1
^ H(F(x)] - F[H(x)] = 4x' - 2
12. Si; F ( x ) - 1 +
P(x + 4) - P(x - 4) = (x + A f - (X - 4)'
= x^ + 8x + 16 - x' + 8x - 16
P(x + 4) - P(x - 4) = 16x
G (x )-^
Calcular un valor de x que verifique la condición:
F[G{x)I = 2 - G[F(x)j; señalar: x^ + -^
x
Resolución:
F[G(x)] = F(
j_
35 320 3100
P[F(x) + 3] = 5[F(x) + 3] - 21 = lOx + 14
Despejando: F(x) = 2x + 4 => F(4) = 12
3 -x
5- x
)= 1
3-x.
3 -(1 + ^ )
x
Como F[G(x)] = 2 - 6[FG(x)]; tenemos:
5 - X _ 2 _ 2x
x
- 1
Hallarn en el polinomio:
p(x - 2) = (3nx - 8n)' + (x - 2)^" + 12x - 24
Sabiendo que el término independiente de la va­
riable excede en 14 a la suma de coeficientes del
polinomio.
Resolución:
2x
G[F(x)] = G(1 + f ) =
16.
Si: x - 2 = y = > x = y + 2
P(y) = [3n(y + 2) - 8n]^ + y=" + 12(y)
P(y) = (3 n y-2 n )^ + / " + 12y
término independiente - (-2n)^ = 4n^
2icoef. del polinomio =
[3 n(D - 2 n f + (1)'" + 12 = n' + 13
= 2¿ri6x+_1 = O = x = 3 ± 2 l2
P o r con d ició n :
Si: X = 3 + 2 ‘í 2 . tenemos:
TI - Icoef. = 14 ^ 4n^ - (n^ + 13) = 14
3n^ = 3 y 3^ = n = 3
2(x+ 1)
21. Si consideramos a los siguientes polinomios:
17. Si: F(x) = F(x - 1) + F(x - 2)
P(x) = 3 x -1 Q
P[F(x)] = 6x + 5
Hallar F(8).
Además: F(1) = 3 y F(2) = 4
calcular el valor de: F[F[F(0)])
Resolución:
Resolución:
Dando valores adecuados a x en la primera
relación.
Para x = 2: F(2) = F{1) + F(0) => F(0) = 1
Se pide: F[F[F(0)]] - F[F(1)] - F(3)
Nuevamente dando un valor adecuado a x en la
primera relación:
Parax = 3: F(3) = F(2) + F(1)
.-. F(3) = 7
4
„(1)
...(II)
En (I) hagamos: x = F(x): P[F(x)] = 3F(x) -10;como
P[(x)] = 6x + 5; luego se tendrá 6x +5 = 3F(x) - 10
=> 6x + 15 = 3F(x), es decir; F(x) = 2x + 5.
Finalmente, para calcular F(8), hagamos x = 8 en
F(x) ^ F(8) = 2(8) + 5 .-.Fifi) = 21
22. Si: P(x) =
3
encontrar el equivalente de: P[P(x)].
Resolución:
Para encontrar: P[P(x)] debemos reemplazar x por:
18. Señalar el valor de: x(11) sabiendo que;
x(2a - 1) = x(2a + 1) - a + 1; además: x(3) = 1
P(x) en la condición P[P(x)]=
t '■ como:
¿ i r í X ) •“ ó
Resolución:
P(x) =
Si: 2a —1 = 3 => a = 2
en la expresión: x(3) = x(5) - 2 + 1 => x(5) = 2
Si' 2a - 1 = 5 => a = 3; en la expresión:
x(5) = x(7) - 3 + 1 ^ x(7) = 4
P[P(x)] =
19. Si: F(x) =
F[F(x)] = 2
Hallare! valor de: E = ""V(x + 7)*''‘"
Resolución:
2 = F[F(x)] = F
^
20.
=2 ^
X
1 2
' 2 x - 1 ■■x - 2 ,
2 x -1 _ ,
x- 2
x- 1 ' _
X- 2 /
=2
4x - 2 - X 2
x- 2
2x - 1 - 2x ^ 4
x- 2
1
E = 'Í9® = 9" = 81
Dado el polinomio:
P(x - 1) = (2x - 3)^" + {3x -
-
32{x - 2)
Hallar n tal que el término independiente del
polinomio sea igual al doble de ia suma de
coeficientes del mismo.
Resolución:
D el e n u n c ia d o : T I = 2 X c o e f.
Es decir: P(0)= 2P(1)
...(’ )
En el polinomio para x = 1:
p(0) = (-1)2" +12-'... 32(-1) = 34
Para x = 2: P(1) = (1)^" + (4)'" + 32(0) - 1 + 4 ^ "
P(0)yP(1)en (*):
34 = 2 [1 + 4""] ^ 34 = 2 + 2 . 4"
' 3x + 4 ■
>2x - 3 .
9Í____
2 ||2 L + 4 1 -
3
. 2x " 3,
Finalmente efectuando operaciones se consigue:
P[P(x)] - x
Si: 2a - 1 == 7 => a = 4; en la expresión:
x(7} = x{9) - 4 + 1 ^ x(9) = 7
Si: 2a - 1 9 ^ a = 5; en la expresión:
x(9) = x{11) - 5 + 1
x(11) = 11
^ luego se tendrá;
23.
Si: P[P[P(x)]] = 27x + 52, calcularel valor de; P(-2).
Resolución:
Para resolver este problema se tendrá en cuen­
ta que el polinomio P(x) que ha dado origen a
P{P[P(x)]] es de 1.° grado, pues P[P[P(x)]] también
lo es, luego nos planteamos un problema general.
Si: P(x) = ax + b; a
0. Hallar el equivalente de:
P m - [ P (xM.-ÍÍV,
n veces
Dicho problema lo resolveremos por un método
inductivo:
• Hallemos P[P(x)] a partir del dato:
P[P(x)] = aP(x) + b
P[P(x)]=a(ax + b) + b =» P[P(x)] = a^x + b(a + 1) ...(I)
• Hallemos: P[P[P(x)]] a partir de (I):
P[P[P(x)l] = a'P(x) + b(a + 1)
P[P[P(x)l] = a'(ax + b) + b(a + 1)
=» P[P[P(x)]] = a'x + b(a' + a + 1)
,..(ll)
■ Hallemos: P[P[P[P(x)]]]] a partir de (II).
P[P[P[P(x)]]J] = a'P(x) + b(a^ + a + 1)
=» P[P[P[P(x)]]]]= a^(ax + b) + b(a^ í a i 1)
P[P[P{P(x)]]]] = a \
+ b
(a'
+
a' + a +
(III)
1)
32 “ 2^^'^ =» 2^ “ Q2n-1
De acuerdo a la forma que presenta (I), (II)
deducimos:
5 = 2n + 1
.-. n = 2
P [P [P ,.. [P (x)]...]i = a "x + b (a "-^ + a"- ^ + ... + a + 1);
n veces
^
a
(III)
Finalmente de sumando (I) y (11) se obtiene lo
pedido;
F[H(x)] + H[F(x)] = 2x
es decir;
P [P [P ,,.[P (x )]...3 l = a"x + b
•.a-11
27. Si: xF(x) + 16 = 4F(x) + x^; encontrar: F(x - 4),
Resolución:
Ahora en ei problema: P(x)=^ax-i b
...(I)
Por dato; P[P[P(x)j] = 27x + 52; según la propie­
dad planteamos;
a"x ( b a ' - 1 = 27x4-52.
a- 1
De ta identidad; a ''= 27
a
bl a ^ - 1 = 52
a- 1■
Con lo cual conseguimos: a = 3 a b = 4; luego en
(1) se obtiene. P(x)= 3x + 4, finalmente tenemos
P{-2) = 3(-2) + 4
P{-2) = -2
24. Calcuiar el valor de n si dado P(x) = nx + 3, se venfica; P(x) + P{2x) -i- P(3x) = 30x + m,
Resolución:
Observar que; P(2x) = n(2x) + 3 = 2nx + 3;
P(3x) = n(3x) + 3 - 3nx i- 3.
Por condición;
(nx + 3) + (2nx + 3) + (3nx + 3) = 30x + m; es decir;
6nx + 9 = 30x -r m; de la identidad: 6n = 30
.’. n = 5
Efectuando transposición de términos en la condi­
ción tenemos: xF(x) - 4F(x) = x^ - 16
=> ( x - 4 ) F(x) = x^ - 4^ = (x + 4)(x - 4)
De donde: F(x) = x -i- 4
...(I)
Como se pide; F(x - 4); debemos reemplazar
en (I) X por (x - 4) asi:
F(x- 4) - (X - 4) + 4
F(x - 4) = X
28. Sabiendo que:
4i(x + 5) = 2x - 1 y (|)(h'(x) + 1) =
4x
+3
Calcular: My[4>(7)}
Resolución:
Si; íi(x + 5) = 2x - 1 => <(1(7) = 3
Luego, se busca v|/(3):
De: (t*(x + 5) = 2x - 1 - 2(x + 5) - 11
Cambiando x + 5 por n/(x) + 1:
‘t'ívM + 1) = 2(v(x) + 1) - 11
Por dato: 2(y(x) + 1) - i i = 4x + 3
De donde: n/(x) = 2x + 6
v(3) = 12
29. Se sabe que un polinomio P(x) es tal que es
25. Sea: F(x)=
2F(x) vxeIR .tai que; F (x)-• 2,
calcular el valor numérico de; 2000 - F (/l 999^ - 1)
Resolución:
Como: F(x) '■ 2, podemos elevar al cuadrado a am­
bos miembros de la identidad mostrada:
[F(x)]^ = x^ + 2F(x), dando forma; [F(x)]^ - 2[F{x)] = x^
[F(x)]' - 2[F(x)j + 1 = x' + 1 ^ [F(x) -1 ]" = x^ + 1.
Es decir: F(x) = -Ix^ + 1 + 1
(I)
Allora reemplazando: x = /l999^ - 1 en (I) se con­
sigue:
F (/i9 9 9 ^ - 1) = A /1999^- l f + 1 + 1 = 2000,
Finalmente el valor pedido será; 2000 - 2000 = O
.-. VN = O
de 3.° grado, P(1) = P(-2), P(0,5) = 2P(1/2),
P(2) = 12, P(0) = 2. ¿Cuál es et coeficiente del
término lineal del polinomio?
Resolución:
P(x) es de tercer grado,
como: P(1/2) = O =» 1/2 es raíz.
Luego: P(x) = (2x - 1)(ax^ + bx + c),
como P(0) = 2 =* término independiente = 2
Luego; P(x) = (2x - 1)(ax' + bx - 2)
P(1) = P(-2): a + b + c = -5(4a - 2b - 2)
^ 7a - 3b = 4
...(I)
P(2) = 12; 3(4a + 2b - 2) = 12
4a + 2b = 6
...(II)
de (I) y (II): a = b = 1
26. Si; F(x) = X + 2; H(x) = x - 2. Proporcionar el equi­
valente de: F[H(x)j + H[F(x)].
Resolución:
•
Para encontrar F[H(x)j se deberá reemplazar x
por H(x) en F(x):
^lH(x)] = H(x) + 2; pero: H(x)= x - 2, luego
F(H(x)] = x - 2 ^ 2 - x
..,(1)
Para encontrar H[F(x)] se deberá reemplazar x
por F(x) en H(x);
H[F(x)] = F(x) - 2; pero F(x) = x + 2, luego
H[F(x)] = x + 2 - 2 = x
...(II)
P(x) = (2x - 1)(x' + x- 2)
=> P(x) = 2x^ + x^ - 5x +2
Coeficiente del término lineal = -5
30. Sea P(x) = ao + a,x + ... + a„x" un polinomio
de grado n.Definimos unoperador sobre los
polinomios mediante D(8o + a^x + ... + agx"] =
a, + 2a^x + 333X2+ ... + na„x''’ ’.
Determinar el polinomio P(x) tal que
D[P(x)] = 3x^ + 2x^ Dar la suma de sus coeficien­
tes como respuesta.
Resolución:
Nos piden: ZcoeflP] = P(1)= ®o + ^
Por dato: D{P{x)] = 3x^ + 2x^
Según e! operador: D[P(x)] = 3x^” ’
O bservar que el operador D aplicado al potinomio re­
Luego se concluye: P(x) = x^ + ^ x “* + ao
presenta a la prim era derivada del polinomio.
P R O BL E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI
PROBLEMA 1 (UNI 1 9 7 0 )
Resolución:
¿Cuál es el valor numérico de la expresión:
( 2 - x - x ') '- ‘ , parax = -2?
Por dato: P(i, = a + b + c = 0
P,3, = 9a + 3b + c = O
P,2, = 4a + 2b + c ~ 2
Resolviendo el sistema; a = -2 ; b =
Se pide: a - b + c = -16
A ) -0,25
D)0
B )-5 4
E)512
0 2
5; c =
Clave: D
Resolución;
Reemplazando el valor de x en la expresión dada, se
tendrá:
(2 - (-2 ) - (-2 )']' ■ = [2 + 2 =O
Clave: D
PROBUMA 2 ( t N I 1 9 7 1 )
ab
Para a = 1 ;
A) 7
11
a
b
c
b = j;
c = I
0 9
144
E )8 A
D )9 ^
Resolución:
Reemplazando los valores dados en la expresión dada:
1
1
ii\ ii)
1
.3/14
im
S= 9+
12
El valor numérico de:
P(x) = X®+ (3 - 3 /3 x" - 9^3x' + 5x + 7/3
4
8
6
4
9
Para: x = 3/3 es:
16
S= 9 ®
144'
144
En el siguiente polinomio: P,2, = ax" + bx + c
Se sabe que: P(,, = P(3, = O y P,2, = 2
Calcular; (a - b + c)
B }-8
E )-20
A)20/3
D)26/3
Clave: 0
PROBLEMA 3 ( t N I 197S )
A )- 4
D )-1 6
Además: P,., = P,
Pm
, = P,i>
=0 « a+b+c+d=0
- ( I)
(0 ) “
' (1)
P,.i, = 6
-b+c-d=6
...(II)
16a + 8b + 4c + 2d = 6
P/-H = P,„ = 6
8a + 4b + 2c + d = 3
...(IN)
(1 ) + (2): a + c = 3
a=3- c
...(IV )
(1) - (2): b + d= - 3 ^ d = - 3 - b
-..(V)
(IV)y(V) en (III);
8(3 - c) + 4b 4- 2c - 3 - b = 3
-6 c + 3b = -18
2c - b = 6
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 - II)
c ;= 1 2 4 .8 ,6 _ ^_ 3 _ 4 ,J _ _ J _ _ J L
2^3^4
04
Clave; E
l i
3
B)3-a
E) 6
ili
2
i) ( i
P(0) ~ P(-i) —6 y P|,| —P(i _
Calcular: (2c - b)
Como: P,o, = 0 => e = 0
B )7 ±
144
El polinomio: P«, = ax* + bx^ + cx" + dx + e es tal que;
Resolución:
A + A + _ L _ .^ _ .§ £ _ S ^ + a " -b " -c ^
ac
PROBLEMA 4 ( t N I 1 9 8 3 - II)
A) 2a
D)5
Encontrar el valor numérico de;
be
- 6
0 -1 2
B)22/3
E) 28/3
C )2 4 l3
Resolución:
Por Ruffini:
X
= 3/3
1 (3 - 3/3
3
1
3
-9 /3
9
0
0
0
0
5
0
5
7/3
15/3
22/3
R = P , , , = 2 2 /3
Clave: B
PROBLEMAS
n
1.
■
PROPUESTOS
P (a )
P (a P ) = 7 4 f ; a > p ,
C) 5
Además P(x) O, v x, calcular: P(6) x P(2) - P(3) x P(1)
2.
B)2
E)0
C)3
A) 2
D) -2
Si H(x) =
(X
E)9
B)3x
E) 3x +18
8)1
C) - 1
E) Faltan datos
12. Si: P(x -1- 5) = (x+ 3)'" + (x - 1)'- t (x - i;
determinar:P(x) + H(1 ) x F(-1)
3.
D )1
11. Si se cumple P{2x) = P{x + 3); calcular P{2) h- P(5)
Dado los polinomios;
H(x + 1) = 4x - 5
F(-x) = X + 1;
P(x) = H(x) + F(x)
A)3x-18
D)3x-8
■■
Se cumple que: suma de coeficiente es igual al
término independiente. Calcular
Sedefine:
A) 6
D)1
m
C) 3x +10
+1)(x + 2){x + 3)... fx + n)
20 sumandos
Calcular P(21)
A) O
D) 19"
B) 19'
E) 19-
C) 19'
10
n 6 Bí A n > 30; calcular
Si; [F(x}]' X f ( I ^ ) - ( I / ; calcular: F(3)
8 )5
A) -6
D)3
5.
7.
C) 188
calcular
A ,|
B )f
D)1
E)7
C)2
Indicar el valor de: P[P[P[P[P[P(2003)]]]]
A) T I
D) 10 + 71
A) 2003
D) ^
Si: P(x) =
B) IOti
E) 5571
C)0
^ ; encontrar el equivalente de P[P(x)]
—ó
B) / f
E)1000
C) /Ti
16. Si: f(2x + 1) = x, calcular
E = 2f{x) - f(2x)
B)x
E)2x
C)0
Si; 8{x + 1)^+b(x - 1)^ = 9x^ + lOx + c
Hallar: abe
A) 42
D) 224
9.
B) 172
E) 177
Si: P(x) = 7i; f(x) = 0: calcuiar: £(P (i) + f(i))
A) x'
D) X'
8.
A) 171
D) 189
14. Si: 5f(x) = x + 2 +
Si se cumple:
P(x - 1) + P(2) = P(x) + P(1- X ) + (5x - 4) P(x + 1) + 6x"
Calcular la suma de coeficientes de P(x + 8)
B)6
E )-2
P{x) = (n - 16)x" + 2x"-’ + 3x"■ '+ ...+ (n + 1)
es mónico; calcular la suma del término indepen­
diente con la suma de coeficientes.
C)2
E )-1
A) -6
D) 14
6.
13. Si el polinomio:
B)2
C) 10
E) mayor que 50
A)1
D)0
4.
( - i)
B) 48
E)36
C) 126
Si H(H(x))= 4x + 1, calcular el mayor valor de h |-^
17
A) ^
B)5
D)0
E)7
C)-5
A) 4
8) 1/4
d)
e)4
4
C)1
17. Si se cumple que: P{x) = q |2 + -1 |
y además Q(x) = 2x + 7; calcular: E = P(2)
A) 4
D) 10
B)8
E)11
0)12
18. Calcular: G[F(1)]
si: F(x) + G(x) = 5x - 8
F(x) - G{x) = 7x + 6
10. Del siguiente polinomio:
A)5
8)12
P(x + 3) = ax^ + bx + 2
D )7
E )6
C) - 12
19.
Si; P(x + 2) = 6(x + 1) - 5
además; P(f(x)) = 12x - 17
hallar; f(10)
A) 12
D)10
B)19
E)13
Q(x) = (x^ - 2x + 2)' + 9; hallar n.
A) 5
C) 20
20. Sea P{x) = Q(x) tal que P(x) = 3(x + a) - b{x - 2)
Q(x) = 2bx +11. calcular: a + b
A) 3
D) 6
8 )4
É) O
C)5
22.
B )1/2
E)2
E)8
0) x^ - 7
31. Si: P(x+ 1) = x" - 3x - 28, hallar: P(3x - 1)
A) 9
D)5
B) 9x " - 18
D) 9x^ + 21x + 18
P(Q(y)) = 6y + 7, hallar: Q(3)
a
B)7
E)13
0)11
A
F{-1) = 6, hallar:
F(F(5))
Obtener: F[F(x)]
C) 5x
A) O
D)10
8)5
E )-10
0)-5
E)x
34. Si: F(X) = (X- 1)" + a, hallar:
23. Sí se cumple que:
A) 4
D) - 2
F(x) = ^ : F[G(x)] =
x - 1’ ■
x -2
Dar el valor de G(x).
A) X
D) 2x - 1
B) x + 1
E)2x
C)
X
- 1
24. Si: F(x - 2) = 2x" - x - 1 , calcular F(1) + F(-1)
A) 15
D) 13
B) 16
E) 12
C ) 14
A) - 6
D) 12
B)6
E) -1 2
0 )2
35. Si: X, y G Z*; se cumple:
F(x + y) = F(x) + F{y) a F(1 ) = 6. hallar: F(3)
A)1
D) 16
B) 12
E)6
C) 18
36. Dar el valor de:
sabiendo que; p{ x A) 50
D)54
37 • Si: [F {x)f F i]1
Calcular: F (-3 ) + F(4)
8 )9
E)12
;x # O
= x^ -
C)0
X* + 1; X < 1
Vx + 1; X > 1
A) 15
D)13
B) - 4
E)1
+
:¿^[P(V2)1+ P(V3) + P(V4) + ... - P(VÍÓ2)]
25. Si: F(x^ + 1) = x^ + X - 12; calcular: F(9) + F(28)
26. Si: F{x) =
B) x" + 6x
E) x" + 9
33. Si: F(x) = ax + b ; F(1) = 4
/5 X -/2
B )f
D)2
Si; F(x + 3) = + 2x - 15. hallar: F(x + 5)
A) x^ + 6x - 7
D)x" + 5x + 7
32. Si: P(x) = 3x + 4
C) 1/3
Sabiendo que: F(x) =l2 x + Í3
A) 2x
X
D )4
5
0 4
A )3 x "-2 1 x
C) 9x^ - 21x - 18
E) 3x" - 7x - 9
21. Calculara en el polinomio: P{x) = 2x + 1
si: P(P(a)) = 5
A )1
0)1/5
30.
B )6
C) 11
B) 52
E)60
0)53
-X
+ X
I f
3Í
calcular el valor de F(3)
A) 2
D)3
B)5
E )-1
O) - 6
27. Si: P(x) = x" + 3x - 10. hallar: P{x + 3)
A )x ^+ 1 0 x + 8
C) x^ + 9x
E)x"
28. Si: P(x^ -
8)x^ + 9x + 8
D) x" + 8
calcular E = P(2)P(4)P(6)...P¡98)P(100)
P{3)P(5)P{7)...P(97)P(99)
= 5(x^ - / x f + 2(x" - Vx + 1) - 2
hallar: P (-2) + P(0)
A) 14
D) 18
38. Si: P V 3 x - 1 = V3x,
V 3x- 1
B) 16
E)20
C) 12
29. Si la suma de coeficientes de: P(x) = (x^ - nx - 1)^
es igual al término independiente de:
A) 2,01
D) V3
B) 2,02
C) 2,03
E)2
39. Sea: F una función tal que: F: IN"
IN'"; cumple:
I. F{2) = O
II. F(ab) = F(a) + F(b)
III. F(n) = 0; si la última cifra de n es 3
100
■
C o l e c c i ó n U n i c i e n c i a S a p ie n s
C )1993
B)0
E)(1994f
A )1994
D )1992
valor de F(3)
B) 12
E) 18
C) 15
B)2
E)5
C)3
C )-1 7
B)0
E) - 8
C)8
45. Si; P(x) = x^ + 2x + 1; Q(x) = x^ - 2x + 1; calcular
P(3) + Q(-3)
satisfacen:
P(4x + 1) + 3x = 7 + F(x + 3)
F(5x + 1) - 13 = x' - P(2x + 11)
A) 32
D)64
8)0
E)12
A) -12
D) -56
i
i
1
1
13.
14.
15.
16.
D
A
A
D
i ■’7' C
i 18. C
i
i
i
1
i
i
19.
20.
21,
22.
23.
24.
C)16
46. Si: F(x + 3) = x^ + 3x^ + 3 x+ 1; calcular: F(4) + F(-2)
Calcular: '/^(P(Í3)j
i 7. B
1 8. C
i 9. B
i 10. C
1 11. B
! 12. A
8)10
E )-19
A) 10
D )-10
42. Siendo P(x) y F(x) dos polinomios los cuales
E
A
D
A
A
B
A )-11
D)15
calcular: P(-2) + P(2) + P(-3) + P(3)
E = /P (3)-P (4)
1.
2.
3.
4.
§.
6.
calcular el valor de P(2); sabiendo que P(-4) = 7
44. Si: P(x) = x“ - 13x^ + 36
41. Si: P(x - 2) = x' - 4x + 4, hallar:
A)1
D)4
E)9
43. Dado; P(x - 1) = ax^ - bx^ + cx - 6
40. Si: F(x) = ax + b y F(2) = 11: F(-2) = -5 ; hallare!
A) 13
D) 16
C)6
8)2
A) 4
D)7
Calcular: F{1994)
B
B
B
É ■
C
C
25.
26.
27.
28.
29.
30.
A
D
B
B
C
A
1
1
i
[
]
1
C) -54
8 )- 2 0
E) -43
31
32
33
34
35
»
C
B
B
B
C
A
C
38 A
39 B
i 40. C
1 :
i 42. B
i 43.
1 44.
I''4 á
r-M .
E
B
A
D
Grados
Simón Stevin (1548-1620) también
conocido com o Simón de Brujas
o Stevinus (forma latinizada de su
nombre) íue un matemático, in­
geniero militar e hidráulico, cons­
tructor de m olinoy fortificaciones,
semiólogo, contable e intenden­
te neerlandés. Se le considera el
padre de los números negativos
por ser el primer m atemático que
los aceptó com o resultado de ias
ecuaciones algebraicas.
Se conoce m uy poco sobre su
vida privada, incluso la fecha
exacta de su nacim iento y la fe­
cha y lugar de su m uerte son des­
conocidas. Se sabe que fue criado
en la fe calvinista y que al morir
en 1620 dejó esposa y dos hijos, se
ha supuesto que no llevaba exce­
sivo tiem po casado con ella dada
la juventud de estos.
A sus 37 años, publicó La aritmética de Simón Stevin. de Brujas, breve tratado sobre las fracciones
decimales. En él, Stevin exponía con suma claridad el empleo de fracciones decimales para la ex­
tracción de la raíz cuadrada de un número. También introdujo una nueva notación para describir los
números decimales, de escaso éxito dada su complejidad trente a otras más compactas. Otra gran
apxDftación de Stevin fue la de la noción de número, pues hasta entonces los matemáticos descono­
cían que el núm ero implicaba la unidad, pertenecientes a una misma naturaíeza y. por tanto, divisi­
bles. Destacó, además, por ser el primer matemático que reconoció la validez del núm ero negativo.
Fuente: Wifeipedia
Resolución:
Simplificando la expresión se tendrá:
^ DEFINICIÓN
Es una característica atribuida a (os exponentes de las
variables; esto significa de que el grado es un número
natural.
33n
M(x) = 2 V (® V ^") = 2Vx®0
Luego, por condición: -|^n = 22
^ CLASES DE GRADOS
3.
Grado relativo (GR)
Está referido a una sota variable y se calcula de la si­
guiente manera:
Hallar la suma de los coeficientes del trinomio ho­
mogéneo:
P(x; y; z) = (m + n)x™" + (m^ - n")y"" (m + n)z""'
Resolución
Por concepto de polinomio homogéneo;
m” = n"’ = m"’ ■"
m" = m™”" => 2n = m
m" = n'" ^ (2n)''" = n""
De donde: n = 2 => m = 4
Suma de coeficientes:
m + n + m" - n^ - (m + n) = m" - n"
En un monomio; el grado relativo de una variable es el
exponente de dicha variable.
Ejemplo:
M(a; x; y) = 3 'a 'b V y ” z' = GR(a) = 7 a GR(x) = 5
En un polinomio: el grado relativo de una variable es
el mayor exponente que presenta dicha variable en uno
de los términos del polinomio.
Ejemplo:
P(x; y; z) =
n = 40
= 4" - 2' = 12
- - / 2 x '\ V + | x ” y V
4.
^ GR(x) = 13; GR(y) = 9; GR(z) = 10
Grado absoluto (GA)
Resolución:
Observamos que el polinomio está ordenado y el
GA está expresado por su término de mayor grado,
luego la única posibilidad es:
n + 2n + 3n = 12 .. n = 2
Está referido al conjunto de todas las variables; y se
calcula asi:
En un monomio: el grado absoluto es la suma de los
exponentes de las variables.
Ejemplo:
Sea el monomio: M(x; y; z) = a V y V
Entonces: GA(lvl) = 8 + 5 + 4 = 17
Oalcular “n" en la siguiente expresión:
M = xyz + 2xVz^ + 3x^'z^ + nxV"z^"
Si: GA(M) = 12
5,
GA(M) » GROí)J:
Hallar m + n, si el polinomio:
P(x; y) = 5x'™. 2«* lyo, - «. 3 ^ ^ ^^3
7x"
es de GA(P) = 41 y además el GR(x) es al GR(y)
como 5 es a 2,
En un polinomio: el grado absoluto es la mayor suma
de exponentes de variables obtenida en uno de sus tér­
minos.
Resolución;
De los datos:
• GA(P) = 41 ^ 4m + n + 7 = 41
4m + n = 34
..,(1)
Ejemplo: Sea el polinomio:
,
25
26
24
R(x; y; z) = /3 x Y x ” - 7 ^ 9 ? + l l x ^ ’V
GA{R) = 26
4 ( 2 ) - ( 1) : n = 2
Ejemplos:
1.
6,
S i:G A(P)=11
GR(x) - GR(y) = 5; P(x; y) = 4 V " V 'z " '"
Hallar: mn
Resolución;
n + 3 + m - 2 = 1 1 = m + n = 10...(I)
n + 3 - m -i-2 = 5=> m = n
...(II)
de (I) y (II): m = n = 5
2.
.-. mn = 25
Hallar “n” si la expresión:
M(x) =
es de grado 22,
GR(x) 5
GR(y) 2 ° *
m + 9n = 26
3m + 2n + 2 5
m -n + 6 2
.,,(2)
a
m=8
m + n=10
Si el término independiente y el coeficiente princi­
pal del polinomio:
P(x) = (x" - 3x + 5){6x" - X + n)(2x" + x" + n + 1)
(lO x"-’ - Sx" - 1); (n > 1)
son iguales. Hallar el grado de P(x).
Resolueiónr
Por dato; coef pnnc.(P) = Ti(p)
Del polinomio; (1)(6)(2)(-5) = (5)(n)(n + 1){-1)
=» n(n + 1) = 3 x 4 =» n = 3
Se pide: GA(P) = 2 + 3 + 4 + 3
GA(P) = 12
Luego, el número de términos podría observarse
en el polinomio:
X + x n-3,,3(1) + X 6y3|2)
Grado de multiplicación de polinomios
Sea: P = P, x Pj x ... x P„;
Donde;
GA(P,) = a,; GAíPj) = aj: GA^Pj) = 83; ...;
GA(P„) = a„.
Entonces; GA(P) = a, + a, + a, + ... + a„
+ X'n - 45y3(15)
De donde se puede apreciar que el número de
términos será: 15+1 = 16
10. Hallar el grado de:
P(x) = (x" + 1)(x’®+ 2)(x"® + 3)(x"’ + 4) ...
12 factores
■^TT2rin’ ®sde:GR(x)=l9
y
a
GR(y) = 22
^
calcular: b + 2a
Resolución:
Dato: GR(x) =19 =» 2a - 1- (2b - a) = 19
2a - 1 - 2b + a = 19 => 3a - 2b = 20
...(1)
También: GR(y) = 22
2b - 1 - (1 + 2a) = 22
2b - 1 - 1 - 2a = 22 ^ 2a - 2b = -2 4
De (I) - (II), se tiene: a = 44
En (II): 2(44) - 2b = -24 ^ b = 56
Se pide: b + 2a = 56 + 2(44) = 144
8.
...(II)
es 12
,,,(1)
Como el grado de
es 2
a + b —2 => a + b —8
a
b= 3
(11)
.•. GA(P) = 5
Sea P un polinomio, GA(P) = a
Entonces; GA((P)"] = an
9.
¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo:
P(x; y) = x" + x" ■'y ' + x" ’ V + • para que sea de
grado 45 con respecto a y?
Resolución;
C o m o e s h o m o g é n e o e l ú ltim o té rm in o e s d e la
forma:
t.
por sucesiones;
t„ = 7n^ - 13n + 17
+2
Luego:
GA(P) = 11 + 19 + 29 + 41 + ... + a
GA(P) = [7(1)' - 13(1) + 17] + [7(2)' - 13(2) + 17] +...
+ [7(12)^ - 13(12) + 17]
T/xy
GA(Q) = b
Como: GA(P) > GA(Q) ^ 3a - b = 12
De(I)y(ll): a = 5
t, t^ tj t,
11; 19; 29; 41^
11. Hallar el grado absoluto del monomio;
xy
xy
M(x; y) -
Resolución:
a
GA(P,) = 41;... ;G A (P J = a,2
Vemos la sucesión;
GA{P) = 7(1^ + 2^ + ... + 12') - 13(1 + 2 + ...
+ 12)+ 17x 12 = 3740
es 2, determinar; GA(P).
Sea: GA(P) = a
^ GA(P,) = 11; GA(Pj) = 19; GA(P3) = 29;
+2
es 12, y el grado de
El grado de
P,(x) = x’ ' + 1; P2 (x) = x’ * + 2; p 3 (x) = x^® + 3;
P,(x) = x^' + 4: ... ; P,2 (x) = x" + 12
+ 8 + 1 0 +12
Sean 2 polinomios: P(x); Q(x) donde se tiene que
[GA(P) - GA(Q)]
Si el grado de:
Resolución:
Resolución:
(xy)" ^ 1xy'"\
M(x; y) =
xy
\ xy"^ /
M(x; y )^ (xy)"’ - ’' ' - i ’ (xy)"
M(x; y) = (xy)’ (xy)-^ = (xy)^ = x Y
.-. GA(M) = 8
12. Sabiendo que el grado de P(x) y Q(x) son m y n
respectivamente. Hallar el grado de:
[P'(x)Q^(x) + P'(x)Q^(x)j; m > n
Resolución:
El grado de: P^(x)Q'(x) es 3m + 2n
El grado de: P^(x)Q^(x) es 2m + 3n y m > n
Como el grado de P'(x)Q'(x) es mayor que el grado
de P'(x)Q^(x) el grado de:
[P’ (x)Q^(x) + P^(x)Q'(x)] es 3m + 2n
1.
RE S UE LT OS
PROBLEMAS
a
Hallar la reducción de;
G(x; y) = 2mx" ’ ""y" ’ ^
Y debe ser mayor o Igual que cero
n" + 4n + 4 - (n^ + 4n + 1)
El grado de M(x; y) es 3
^ mni¿ O
Resolución:
Para que sea reductible, los términos tienen que
ser semejantes.
2 = m - 2 n A m - 3 = n + 2=>n = 3 a m = 8
G(x; y) = 2(8)xV + 3(3)x"y' = G(x; y) = 25xV'
2.
5.
Qué valor debe tener “n’’ para que la expresión
adjunta:
. sea de segundo grado.
Resolución:
Hallar el grado absoluto de J, donde:
De la expresión;
-5 x ''-^y ^ '
l(-1 )3 -1 |3 -n
Sabiendo además: 6 < GR(x) < 12
Resolución;
Como es de 2,° grado:
6.
También: 4 debe ser entero, entonces “n" es 4
4
6<n + 2 < 1 2 = f4 < n < 1 0
Como: n > 5 y n es 4 => n = 8; en J:
J(x: y) = 3 xV - x V - 5x'°y'
.-. GA(J) = 17
X
i5 -n
=
X
^ = 2 => n = -39
En el siguiente polinomio:
M = 2 x Y ’ ’ + Sx^'^'y" - 7x"' - V •" + x"” y * ’
el grado relativo con respecto a x vale 12, siendo
el grado absoluto del polinomio 18, Hallar el grado
relativo con respecto a y
De la expresión; el mayor exponente de x es m + 3.
Como GR(x) = 1 2 = » m + 3 = 12=»m = 9
El término con mayor grado es: x"" y •" ’
Como: GA(M) =18 => m + 3 + n + 1 = 18 =» n=5
^ „ ^ , ^
En la expresión: 2x®y^ + 3 x 'V ~ 7 x V + x’V
Por lo tanto: GR(y) = 7
Representa un monomio en el cual se cumple:
GR(y)
=
Resolución:
Sabiendo que at reducir la expresión:
F(x;y) = 2
= 20; según esto, hallar n/m.
7.
Resolución:
m+r
X
Resolución:
F{x; y) = 2(x™y")^‘ " =
De la expresión:
GA(x) = m + n + 5 a GA{y) = m + 2;
(m + n + 5 ) - ( m + 2) = 5 => n = 2
El menor exponente de y es:
m - 4 = 3=>m = 7
F(x; y) = 4 x Y + 7 x ' Y + 2 x Y
GA(F) = 17
10
GR{x) _ on .
+ n)
GR{y)
= 20
n(m + n)
^^20^-n-^16
8m
m
Determinar el grado de:
(X ^ .2 )n -2
M(x; y) =
En el polinomio:
F(x; y) = 4x^^" - y- = + 7 x " " " " y - ^ +
Se verifica que la diferencia entre los grados
relativos a x e y es 5, además que el menor
exponente de y es 3, Hallar el grado absoluto del
polinomio
F(x; y) = 2
4.
2 7 -12 -n
x(x)
Como “n” es positivo: GR(x) = n + 2
Además: n - 5 > 0 =» n>5;
3.
Q
(x"y''+ llíx""
Resolución:
El grado de (x" ’ - 2
2y
El grado de (x"y"' + 1) es 2n
El grado de (x"
es (n + 1)"
El grado de M(x; y) es: {n +
- [{n+1)" + 2n]
8.
De: P{x; y) = x"’ V " ‘ + x"^ Y - (xy)*
Calcular el GA mínimo:
Resolución;
Como el grado es (+); también para que el grado A
sea mínimo debe de tener el grado cero;
x = - y - ' = GA[P(x; y)] = 2(3 - 7) = O ^ a = 7
P(x; y) = xy'" + x®y* - 1
GA[P(x; y)j = 13
9.
Calcular el valor de "m" con la condición, que et
polinomio;
II. La suma de sus coefícientes es 25.
III. El término cuadrático de P(x) es 12x^
Sea de grado absoluto 28 y que la diferencia de los
grados relativos a x e y sea igual a 6.
Resolución:
De P(x) = (1 + 2x)" + (1 + 3x)"
Observar; GA(P) = n
Resolución:
GR(x) = 2m + n - 2 a GR(x) - GR(y) = 6
GR(y) = m + n + 3; (2m + n - 2 ) - ( m + n + 3) = 6
=> m = 11
GA(E) = 3m + 2n + 1 = 28
n = -3
• lcoef.(P) = P(1) = 3" + 4"
. T1(P) = P(0) = 1+ 1 = 2
Dato; 2coef,(P)= TI(P) + 23
3" + 4"
=
25
De aquí: n = 2; con esto:
10. Sabiendo que en el monomio:
GA(P) = n = 2 =. (I)es V
Scoef. = 25
(ll)es V
Térm. cuadr.(P) = 4x^ + 9x^ = 13x^ => (lll) es F
M(x; y) el GR(x) es 32. Hallar el GR(y)
Resolución:
M(x; y) = r
. . .
,
, nZr,
M(x; y) = (x
n
y )
[3 r -2 ..(2 n
M(x; y )= ( y " 'y " '’(y^'
13.
^3n-1 „ 2 n- 1
= x"
Resolución:
y
P(x; y) = 4 x "-'y '
n= 2
Se nota;
• GA(t,) = a + b - 1
• GA(tg) = a + b + 1
• GA(t3) = a + b + 1
Se tienen 3 polinomios enteros P, Q y R (definidos
en la variable x), sí se sabe que la suma de los
grados de Q y R excede en 10 unidades al grado
Resolución:
Supongamos: GA(P) = a; GA(Q) = b; GA(R) = c
Dato; b + c = a + 10
...(I)
Otro: GA(V p ^QR) = 10
2a < b 4- c = 10=»2a + b + c = 40
...(II)
(lll)
Nos piden: b - a
• (II) - (I): 2a = 30 - a = a = 10
• En (I): b + c = 2 0 = * c = 2 0 - b
• En (lll): 30 + 3b - 4(20 - b) = 34
^ 30 + 3b - 80 + 4b = 34
7b = 84 ^ b = 12
b- a= 2
Sea P un polinomio definido por:
p(x) = (1 + 2x)" + (1 + 3x)", tal que ia suma de
coeficientes excede en 23 al término independien­
te. Indicar el valor de verdad de las siguientes pro­
posiciones:
I. El polinomio P(x) es de grado 2.
GA(P) = a + b + 1
a + b + 1 = 20 .,.(1)
Además; GR(x) = a + 3 = 8 (dato)
En(l): 5 + b + 1 = 2 0 ^ b = 1 4
T = ab = (5)(14) = 70
14.
a= 5
Sea P un polinomio homogéneo definido por:
P(x; y) = ax" + bx'^” ' y* - cx^y“” - dy^''"^
Tal que la suma de sus coeficientes es - 8, enton­
ces el valor de M = a + b + c + d, es:
Resolución:
Del polinomio homogéneo:
P(x; y) = ax" + bx"’ \® - cx*y‘’ - dy^*"'^
,t
GA(t,) = GA(t,) = GA(Í3) = GA(tJ
=» c = c - 1 + a = a + b = 2 c - 3
(1)
(2)
(3)
(4)
T
Además: GA (PQ)= = 34
R"
=> 3a + 3b - 4c = 34
a
t.
de P; también el grado de VP^QR es 10 y el grado
(PQ\3
de -— ~ es 34, hallar la diferencia de los grados
R“*
en Q y P.
12.
Si P es un polinomio definido por:
^ 3 x3 ^y-i ^ ex'
tal que:
GA(P) = 20 y GR(x) = 8, hallar el valor de T = ab.
1)]
GR(x) = 3 2 ^
■ ' = 2''^^
GR(y) = n^" ■’ = 2''^’ ’ ' = 8
11.
WF
_____ vn^-2
h
y I
.
•
^
(1) = (4): c = 2c - 3 ^ c = 3
(1) = (3): a + b = 3
Además:
Icoef.(P) = P(1; 1) = a + b - c - d = -8
Aquí: 3 - (c + d) = -8 =» c + d = 11
M = 3 + 11 = 14
15. Acondíción;
a+b
b+c
absoluto de: P(x; y; z) =
a+c
, hallar el grado
18. La siguiente expresión en variable x;
Resolución:
•
Se pide: E = 7a^ + 6ac + 2bc
(a + b)^ +
-(I)
De la condición:
= -r
=
a+b
b+c
a+c
Aplicando propiedad de serie de razones iguales,
tenemos;
a
b____e c _ a + b + c _1
a + b b + c a + c 2(a + b + c) 2
Ahora, igualando cada término a: 1 se tendrá;
a = b = c = k (constante)
Finalmente reemplazando en (I) tenemos:
7k' + 6k^+2k^
(2k)" + k
(a +
+ (b - a)x
Puede reducirse a monomio; según esto, propor­
cionar su valor reducido.
Resolución:
Escribiendo así la expresión:
6
(a + b^)x®
Como se puede reducir a monomio; los términos
de la expresión tienen que ser semejantes, es
decir:
^
a -b
E=3
^
a+b
3xy
19. Encontrar el valor de “n" para el cual, la expresión;
+ 3.
[(x-2j3x2n 3J2^4
M(x) =
Si es homogéneo y de grado 20 respecto de "a”.
Resolución:
Sea de segundo grado.
Sea el polinomio de “n" términos:
Resolución:
,2 x y
'b^e''
= 1 = a - b = 6Aa + b = 4
Resolviendo: a = 5 a b = -1 . se pide;
M(x) = (a + b^ - ab + b - a)x
M(x) = 5x
16. Hallar los términos que tiene el polinomio
P(a; b; c) =
a
- abx^-*^ + (b - a)x
+3
Efectuando en cada corchete:
+ ...
+l
^ 3 n -5 „2 n - 3j2 ^4
M(x) =
con el grado de “a”;
nxy
= 20 => nxy = 60
•..(I)
^10 rt-1 S -.l
(x‘" - “ r
= x"
X-
Por condición: 6n - 22 = 2
Por concepto de polinomio homogéneo en los dos
primeros términos:
xy - X - y 2xy - x - 1 - y - 1
3
“
3
Efectuando resulta: xy = 2
,„(ll)
Al reemplazar (II) en (i): n = 30
n=4
20. Sabiendo que el grado de la expresión;
¡1 ^
Es -5, Calcular el valor de "n".
Resolución:
Llamemos P a la expresión, la cual escribiremos
Grado relativo a x = GR,(P)
Grado absoluto de P(x) = GA[P(x)] = [P]°
Grado absoluto = grado
x'
-w'
E! grado de la expresión P está dado por:
GA(P) = I
17. Calcular m + n, si el polinomio;
P(x; y) = 3 x 2 ' " * " -
5^2« -
n -
3ym-n +1
(2n + 1) + 2n
(2n - 3) + ^
_
. n- 2ym. n
Es de grado 10 y la diferencia entre los grados re­
lativos a X e y es 4,
Resolución:
Observar que: [P]° = 3m + 2n - 2 = 10.
es decir: 3m + 2n = 12
...(I)
También: GR(x) = 2m + n -2 ^ GR(y) = m + n + 2,
por dato: GR(x) - GR(y) - 4, es decir:
(2m + n -2) - ( m + n + 2) = 4 = . m = 8.
En (I); n = - 6
.-. m + n = 2
GA(P)= | ( 4 - n ) = 5 - §
Por condición se debe cumplir: 5 n =48
= -5
21. Si P es un polinomio sobre E definido por:
P(x;y) = x^""^-' ^ + x"'-"y5-" '
5 -m
hallar el valor de: T = 3m - 4n.
Resolución;
Si P es un polinomio, entonces los exponentes de
las variables deben ser números enteros no nega­
tivos (vea el cneficiente; m 4- 5).
Luego:
2n + m - 1 5 > 0
A
m -n>0
Luego;
P(x) = (5x - 1)'^(2x + 5)’®+ [(3x -I- 1)(x + 5)]’®+
(x^+ 18)(x - 2)
Donde; Grado (P) = 35 + 18 = 53
5-n>0A6-m >0
A
Donde; m; n e 2Z
=^2n + m > 1 5 A m > n A n < 5 A m < 6
(1 )
(2 )
• De (4): m =
(3 )
(4)
24.
5; 4; ...
(b - c)x’ ^y"
Es un polinomio idénticamente nulo, calcular el
grado de la expresión:
• De (3): n = ® ; 4; 3; ...
De aquí, los únicos valores de “m" y “n" que verifi­
can (1) y (2) son: m = 6 y n = 5
T = 3(6) - 4(5) = - 2
Q(x; y) =
Resoluclón:
Por ser polinomio; a e E” a [b; c] c IN y como
es idénticamente nulo se cumplirá lo siguiente:
abe + 16 = O -..(I)
be + a = O
...(II)
b- c= O
...(lll)
22. Indicar el valor de verdad de las siguientes propo­
siciones;
I. GA(P + Q) < GA(P) + GA(Q)
II. GA(P - Q) < GA(P) + GA(Q)
III. GA(P)" = GA(P); n e IN
IV. GA(PQ) = GA(P) + GA(Q)
De (II): be = -a ; en (I): a^ = 16 => a = ±4
Como: a G 2 => a = - 4
O sea: be = 4; de ()))): b = c =» b^ = 4
Como: beIN => b = 2 = c
Finalmente la expresión dada será:
Si M y N son los números de las proposiciones ver­
daderas y fafsas respect/vamente hallar la relación
entre M y N.
Resolución;
I. GA(P + Q) < GA(P) + GA(Q); esta proposición
se verifica siempre que el GA(P), el GA(Q) y
el GA(P + Q) estén perfectamente definidos (la
proposición no lo dice).
Por ejemplo: si P(x) =
+ x - 1a
Q(x) = -x^ - X + 1; P(x) + Q(x) = O
El grado de O no está definido, por tanto, no ve­
rificaría la desigualdad =» (I) es F
II. Es similar a la proposición (I) => (II) es F
III. GA(P") = GA(P) X n; n G IN ^ (lll) es F
IV. El grado de un producto es igual a la suma de los
grados de cada uno de los factores =» (IV) es V
= M= 1 a N= 3
N>IVI
23. Si P es un polinomio definido por:
P(x) = (5x -
1)^"-'(2x + 5)" + [(3 x + 1)(x + 5)]" +
(x^ + n)(x - 2)
Tal que tienen como término independiente -36,
hallar eí grado del polinomio P.
Resolución:
P(x) = (5x - 1f " ■\2 x + 5)" + ((3x + 1)(x + 5)1" +
(x^ + n)(x - 2)
Aquí: TI(P) = P(0) = (-1)^" ’(5)" + [(1)(5)]" + (n)(-2)
-5 " + 5" - 2n = -3 6 =» n = 18
Si: P(x; y) = (abe + 16)x'^y‘’ - (be -h a)x''y" +
Q(x; y) 25.
■■■ [Qr = 1
Dados dos polinomios P y Q (definido en la variable
x), indicar el valor de verdad de las siguientes pro­
posiciones:
I. Si GA(P) = 5 A GA(Q) = 5, entonces GA(P + Q) = 5
II. Si GA(P - Q) = 5, entonces GA(Q)<5
III. Si GA(P)
>1
A GA(P'Q')= 13, entonces
GA(PQ) = 6
Resolución:
I. Supongamos así;
P(x) = X* + x" + 1 => GA(Q) = 5
P(x) = x=+ 2 ^ GA(Q) = 5
Luego: P(x) + Q(x) = x'' + 3 => GA{P + Q) = 4
Con esto: (I) es F
II. Sea: P(x) = x® + x" + 1 a Q ( x ) = x ® + x - 2;
vemos que; P(x) - Q(x) = x* - x -i- 3
Donde: GA(P-Q)=5; pero GA(Q)=6>5 = (ll)esF
III. Sea; GA(P) = m > 1; GA(Q) = n
como.- GA(P'Q') = 13
=^ 3m + 2n = 13; m > 1
1
l
3
2 =^ única posibilidad
Luego: GA(PQ) = m + n = 5
= (lll)e s F
,. FFF
P R O BL E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI
PROBLEMA 1 (UNI 1 97 8)
Eí siguiente monomio es de grado 2. El valor de “n” es:
Aplicando Cardano, suma de raíces: -• ( - 4 )
- 3/2)
8
3
Clave: B
A) 1/2
D)2
B)3/2
E)1
PROBLEMA 4 (UNI 2 0 0 7 • II)
0 2/3
Resolución:
Por ser de grado 2: — + — = 2 =» 1 + - = 2
n
ri(n )
n
Resolviendo: n = 1
Clave: E
Si eí grado del siguiente mor^omio:
A) 2
D) 12
A) 28
D) 70
^Vx"" V2x^ es 8
B)6
E)16
P (X ) =
C)9
Resolución:
Por teoría de grados; GA = 6+
D
Resolviendo;
180 + 24 + 3m = 3 0 x 8
3m = 240 - 204 =» m = 12
+
B) 42
E) 84
O 56
Resolución:
Recordemos que si x,; Xj; X3; X4 son las raíces de un
polinomio Mónico P, entonces:
PROBLEMA 2 (UNI 1 9 8 2 - 1)
3x'
El valor de “m" es;
Determine el polinomio mónico de menor grado de
coeficientes enteros que tenga como raíces a los nú­
meros reales /2 - 3 y -/3 - 2. Dar como respuesta la
suma de sus coeficientes.
13
+
oU
=8
(X -
X ,)(X -
X ^)(X -
X j)(X
-
X4 )
También, si una raiz del polinomio es de la forma
a + /b , entonces, otra raíz debe ser a - -/bcuando los
coeficientes son racionales.
En el problema, tenemos de dato las raíces;
X( = —3 + /2 =* X2 = ~3 —
Xj = —2 + /3 =5 X4 = —2 — Í3
Luego, el polinomio Mónico de menor grado es;
P (X ) =
m = 12
(X -
X ,)(X
-
X j)(X -
X3)(X -
X 4)
P(X) = [X^ - (X, + X2 >X + X,X 2 ](X^ - (X3
Clave: D
PROBLEMA 3 (D M 2 0 0 4 - II)
X4 )X + X3 X4 ]
P(x) = [x^ - ( - 6)x + 7][x^ - (-4 )x + 1]
P(x) = (x^ + 6y^+ 7)(x^ + 4x + 1)
Id e coef.(P) = P(1) = (14)(6) = 84
Dados los siguientes polinomios: P(x) de grado 2 y tér­
mino independiente uno; y Q(x) = (x - 1)P(x) + 3x + 1.
Si Q(2) = 7 yP(1) = 2. Halle la suma de raíces de Q(x).
PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 5 - 1)
A) O
D)4
Halle el menor grado del polinomio; x" + ax + b, a
(n > 1), para que x^ - 1 sea un divisor
B )-8/3 0 10 /3
E)5
A) 2
D)5
Resolución:
Del problema se sabe:
P(x) = ax^ + bx + 1
Q(x) = (x - 1)P(x) + 3x + 1
(1) en (II); Q{x) = (x - 1)(ax^ + bx + 1) + 3x +
Q(x) = ax^ + (b - a)x^ + (4 - b)x
P(1) = 2; 2 = a + b + 1 ^ a + b = 1
Q(2) = 7; 7 = 8a + 4b - 4a + 8 - 2b
7 = 4a + 2b+ 8 =. 2a + b = -1/2
De (lll) y (IV): a - - | ;
b- |
Luego: Q(x) = - | x ' - 4x' + | x = O
Clave: E
..,(1)
,..{ll)
1
...(lll)
...(IV)
B)3
E)6
O,
0 4
Resolución:
Si P(x) = x” + ax + b, es divisible (x^ - 1)
= P(x) = ( x ^ - 1)q(x)
P(1) = 0 = > 1 + a + b = 0
...(I)
P (-1 ) = O « (-1 )" - a + b = O
.,,(11)
Restando (I) y (II): 1 - (-1 )" + 2a = O
2a = ( - 1 ) " - 1
Se tiene: a ? í 0 = » ( - 1) " - l 5¿0
Entonces "n" es impar
Grado mínimo de n: 3
Clave: B
PROBLEMAS
□
1.
9.
Si: P(x; y; z) = 5xVz®
calcular:
GR(z) + GA(P)
GR(x) + GR{y)
A) 23/7
D)9/5
B) 15/7
E) 13/11
C) 7/2
A) 6/11
D)7/10
3.
GR(x) + GR(z)
GR(y) + GA(Q)
B) 2/5
E14/5
B)4
E)9
A) 20
D) 32
a
y) = BxV®
GR/P) + GR,(Q) = 9
Q (x ;
a
8) 18
E) 24
A) b/c
D)1
C)36
B) a
E)c
C) b
C)3/5
Sea: P(x; y; z) = 5x®y^z° a Q(x; y; z) = 3x®yV
Además: GA(P) = GA(Q) a GR,(P) + GR^ÍQ) = 11
Calcular b.
A) 7
D) 10
Sea: P(x; y) = A x V
Si: P{x; / ) = Q(x^ y)
Hallar: 3a + 2b
10. Sea: P(x: y) = Ax^y"; Q(x; y) = B x V
Si: P(x'; y) = Q{x; f )
Hallar: GRx(Q) / GR/P)
2. Si: Q(x: y; z) = | x ' \ V °
calcuiar:
■■
PROPUESTOS
C) 11
11. ¿Qué tipo de polinomio es:
M(x: y; z) = (2x - y + z f + (y - z f +
6x(y - z)(2x - y + z) - 8x^?
A) Monomio
C) Trinomio
E) Nulo
B) Binomio
0) Polinomio de 3°
12. Si la expresión; P(x) = ""'•/x" + " / x ^ ;
4.
5.
Si: P(x; y) = x V ; Q{x; y) = x V a R(x: y) = x y
Sesabeque:GA(P)=13:GA(Q) = 11 a GA(R)=14
Hallar GR,(Q) + GR,{P)
Calcular
A) 10
D) 16
A) 2
D)8
C) 14
Sea el siguiente monomio: M(x; y) = 7 x V
Sabiendo que: GR(x) = 2 a GA{M) = 5
Calcular a^ +
A) 11
D) 14
6.
B) 12
E) 18
B) 12
E) 15
C) 13
P(x; y ; z ) - - ^ x ^ - y - V '; abci^o
Además: GR(x) = c a GR(z) = 8
Hallar el grado absoluto del monomio.
7.
C) 5
8 )4
E)7
C) 9
Se sabe que: J(a: b) = 3a"-^b^-™ + 4 a "'"'b "-^
es un monomio. Indicar el grado absoluto.
A) 3
0 )5
B)6
E)4
m, n e IN - {1}
8 )4
E) 10
C)6
13. Hallar el grado absoluto del siguiente polinomio:
P(x)=(x + 3)" + (1 -X)*
A) 5
0)6
A) 54
D) 58
B)4
E) 2
C)3
C)7
8)55
E) 60
C) 56
15. Sea: P(x; y) = x^ V“ ^
V ’®
Si: GR,(P) = GR/P) - 3; hallar “a".
A) 2
0 )5
Sea: P{x; y) = /3x"\®^"^
Además: GR(x) + GA(P) = 2GR(y); GA(P) = 10
Calcular:
+ b^
A) 5
D)8
8.
B) 6
E)10
m^ + n^
14. Sea: P(x) = (x + 1)(x" + 2){x’ + 3)... (x’° + 10)
Calcular GA{P),
Dado el siguiente monomio:
A) 7
0 )8
se reduce a un polinomio de un solo término.
8 )3
E)1
C )4
16. Sea: P(x; y) = x * * y + x ^ - y ’ ^+x^"" V + x " ' V
Además GR,(P) = 7. Hallar el GA(P).
A) 6
0 )7
B )5
E) 8
C)4
17. Sea: P{x; y) = x" ‘ ^y®' " + x" ^^y" ' ‘
Si cada término tiene el mismo grado absoluto,
hallar “n".
A) 2
B)G
C)4
D)8
E) 10
18. En cuánto excede el grado absoluto máximo al gra­
do mínimo que puede tomar el polinomio:
P(x; y) = (x^-2)2 +
- 7 y 8 -V “
B)5
E)4
A) 9
D)7
19. Sea:
C)2
A) 81
D)225
P(x) = (x-h 1)(x^ + 2)(x’ + 3), y sabiendo
n paréntesis
que el término independiente es 5040. Hallar el
grado del polinomio.
8)28
E)256
A) 128
D)32
26. Siendo;
P(x) = (X - 2)[p(x + 2) + ql + rx - 4x" - 15x + 34
idénticamente nulo.
Calcular: S = p^ + q^ + r^
A) 25B) 37
término independiente es {512)‘
A) 243
D) 657
22.
B) 435
E)531
n paréntesis
B )2
A) 16
D)5
30.
A)1
D)4
C) 49
A)
D)
37
13
B) 24
E) 12
B)4
E) /5
C) 25
B)27
E)23
C)
45
31. Dado el polinomio: P{x) = x^ - 3x + 15
Hallar el valor numérico del polinomio, cuando:
A) 10
D)5
C) 3
24. Si el polinomio:
P{x; y) = (m + n)x^y^ + 3 x V - llx 'y ^ + (n - m )xV
es nulo, determinar mn.
A) 28
D) 14
E )1/4
X = "/5 + -Z24 + V5 - 2/6
(x')"
B)2
E)5
D )1/2
Sean; P(x) = x" + n a Q(x) = x"' + m
23. Hallar “n”, si F(x) es de grado 128.
F(x) =
0 3
Si; GA[P(Q)] = 6 A TI[Q(P)] = 11; hallar; m^ + n i
Si el término independiente es 3840, hallar el grado
del polinomio.
B)36
E)64
E) 31
29. Sean; P{x) = x^ + mx -f- n
Q(x) = x' + nx -H m ; mn ^ O
Sabiendo que: GA(P) n = GA(Q) -h m; el término
independiente de P(x)Q(x) es 63.
Calcular: Vm + n .
C)90
Sea: P(x) = (x + 2)(x^ + 4)(x® + 6)(x' + 8).
A) 25
D) 16
A) 1
C ) 1034
21. Sea el siguiente polinomio:
P(x) = (x + 3){x* + 9)(x® 4- 27)...; si el término inde­
pendiente es (243)^, hallar el grado del polinomio.
D) 32
GA{PQ) = término independiente
Hallar; m^ + n^
m‘ + n'
n paréntesis
B) 36
E)1296
O 29
28. Sean: P{x) = x™+ x + n
Q(x) = x" - X + m; m, n e IN - {1}
P(x) = (x + 2)(x® + 4)(x^^ + 8 ) sabiendo que su
A) 72
D)4096
C)133
27. Sean: P(x) = x" + x^ + x + 1 - m
Q(x) = x"’ - h x + 1 + n ; m , n e I N - { 1 }
Si el grado absoluto de P{x)Q(x) es 7 y además el
término independiente es 7, calcular: m^ + n^.
C)64
20. Hallar el grado del siguiente polinomio:
8)77
E)363
C) 16
25. Hallar el valor de “n" para que la expresión:
B) 15
E) -1 0
32. Si P(x) = (a - b)x® + a + (3a + b)x" + (b - 2a)x + 2,
calcular ab, donde Scoef.(P(x)] = 12 y TI[P(x)] = 5,
A) 4
D)-1
8 )7
E)9
0 3
33. Indicar la mayor suma de coeficientes del polino­
mio P(x) = (5 - 2n)x"" ■' + (4 + n)x" ’ " - 5
A) 4
D)-2
B)2
E)0
C)3
34. En el polinomio homogéneo:
M(x) —x 31
reducida, sea de quinto grado.
P(x: y; z) = 4mx'*-''"’ '- ' -ihallar el menor valor de a + b.
A) 2
D)7
8)3
E) 10
A) 9
D) - 5
0 5
C)25
B)-1
E)4
+ 5z*'’* ’*';m
C) 3
O,
35. Si el polinomio P(x) es idénticamente nulo, siendo:
P(x) = (a + b -4abc}x' + (a+ c - 3abc)x + b + c - 7abc,
/I
^ + ~ 1 ; abc 9^0
B) 1/7
E) 1/3
0 4
calcular el valor de
A) 7
D) 1/4
1
1 v’
43. Sea el siguiente trinomio:
P(x; y) = {a - 3)x® ^ y" ' + x^'^y" ^ + (b - 3)x'' "y'*'
Hallar: GR,(P) + GR,(P) + GA(P).
A) 20
D) 19
36. Si el polinomio mónico P(x) representa ei volumen
de la caja:
B)15
E)21
0 30
44. Dado el polinomio ordenado y completo:
P(x) = ax'’ ^ + cx"^ + a + d, tal que el término
independiente es 9, hallar a + b + c + d.
A) 15
D)17
B)42
E)12
0 20
45. En el polinomio; P(x; y) = 2 x " * y ”^z®’ " +
Donde: GA(P) = 16; GR,(P) - GR,{P) = 5
Calcular el valor de; 2m + n -i- 1
Hallar: P(0) + P(1) + P(2)
A) 21
D)84
A) 5
D)20
+ P(7)
B)80
E) 49
que pueda tomar '‘a" para que P(1 ) = O
B) 1; - 1
E)0;1
C) -1; 1/2
P(x; y) = 4x"’ V ’ ^ + 5x'"‘ \ ' ’ '' + 7 x V ^ e s 8 y el
grado relativo de x supera en una unidad al grado
relativo de y.
A) 15
D)18
P(x: y; z) = 2 x"''-'y"'' "z® + 4x®yV + 6 xV z"'
se reduce a un solo término, calcular el mínimo va­
lor de m + n + p.
B)12
E)0
0 9
N(x; y; z ) - -|(x y 2 )V
A) 22
D)12
B)20
E)16
018
si: P(x; y) = - /7 (x^" ‘ y " ^)^
A) 4
D)6
P(x) = 4 { x ') V ) '( x ') ' ■■■
B) 420
E)410
0 16
48. El siguiente monomio es de grado 66. Calcular “a”,
39. Indique el grado del monomio:
A) 320
D)440
8)14
E)13
47. Hallar el grado del siguiente monomio:
38. Si el polinomio:
A) 7
D)6
O 15
46. Hallar: E = m + n + mn, si el GA del polinomio
0 75
37. Si P(ax + a) = 4x(x - 1), hallar los posibles valores
A )1; 1/2
D) 1/2:-1/2
B) 10
E)25
C) 350
B)10
E)12
0 5
49. Del monomio: M(x; y) = § a^x^" ' V
hallar el
grado.
40. Sea el polinomio cuadrático:
P(x) = (n i- 2)x''‘ ^ + nx + {3 - n), determíne el
grado de [P(x)]^ aumentado con el valor de "n".
A) 4
B}5
0 6
D)7
E) O
B)6n
E) Ninguno
C)3n
50. Dado el polinomio: P(x) = (3n - 5)^(V x^),
calcular su coeficiente, si dicho polinomio es de
tercer grado.
41. Sea: P(x) = x’“ - lOOx®® + 199,
Calcular P[P(1)] - 198
A) 4
R)P
D) 1
E) -2
A) 10
D)6
C)0
42. Del polinomio: P(x: y) = 4x"’ V""^ + 9x"*’y^ ",
A) 625
D)169
B)361
E)49
51. Si el polinomio M(x) =
0 961
es de se­
^
Hallar la suma de los grados relativos de x e y.
gundo grado, calcular su coeficiente.
A) 5
B)7
0)11
E)12
A) 10
D)12
C)6
B)5
E)13
0 25
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
A
E
B
A
C
A
D
i
1
1
i
i
i
i
8.
9.
ÍO.
11.
12.
13.
14.
B
E
D
E
B
B
B
1
í
1
1
i
i
i
15. B
16. E
17. C
18. A
19. B
20. E
21. B
i
1
1
[
1
22.
23.
24.
25.
26.
i 27.
1 28.
k
B
A
E
^
C
B
29.
30.
31.
22.
33.
34.
35.
B
D
C
C
B
B =
D
37. A
38. D
3 9 .0
40. E
4 1 .0
42. D
43.
44;
45.
46.
47.
48.
49.
B
A
C
A
B
C
D
f ^ A
i 5 1 -E
1
1
.
'
Polinomios
especiales
Évariste Galois nació el 25 de octu­
bre de 1811 y murió el 31 de mayo
de 1832, Fue un matemático fran­
cés. Mientras aún era un adoles­
cente. fue capaz de determ inar
la condición necesaria y sufi­
ciente para que un polinom io
sea resuelto por radicales. Dio
solución a un problem a abierto
m ediante e! nuevo concepto de
grupo de perm utaciones. Su tra­
bajo ofreció las bases fundam en­
tales para la teoría que lleva su
nom bre, una ram a principal del
álgebra abstracta. Fue el prim ero
en utilizar el térm ino «grupo» en
un contexto m atem ático.
Siendo todavía estudiante del
Louis-le-Grand, Galois logró p u ­
írancia. 1811- Francia. 1832
blicar su prim er trabajo (una de­
m ostración de un teorem a sobre
fracciones continuas periódicas)
y poco después dio con la clave para resolver un problem a que había tenido en jaque a los m a­
tem áticos durante más de un siglo (las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas
por radicales). Sin em bargo, sus avances más notables fueron los relacionados con ei desarrollo
de u n a teoría nueva cuyas aplicaciones desbordaban con m ucfio los límites de las ecuaciones
algebraicas: la teoría de grupos. Las contribuciones m atem áticas de Galois fueron publicadas
finalm ente en 1843 cuando Joseph Liouville revisó sus m anuscritos y declaró que aquel joven
en verdad había resuelto el problem a de Abe! por otros m edios que suponían una verdadera
revolución en la teoría de las m atem áticas em pleadas.
FuentG : W ífeip ed ia
<4 DEFINICIÓN
Son aquellos polinomios que poseen características
particulares que los diferencian de otros. Estos son;
Dos polinomios son idénticos si y solo si para los
mismos valores de las variables, los valores numéricos
de dichos polinomios son iguales.
Por ejemplo:
Sean: P(x) = 4x^ - 2bx + 5
Q(x) = ax^ + 6x + (c - 2)
<4 POUNOMIO HOMOGÉNEO
Es aquel polinomio cuyos términos tienen el mismo gra­
do absoluto. A este grado común se le denomina Grado
de homogeneidad.
Si: P(x) = Q(x) ^ a = 4; b = -3; c = 7
Ejemplo:
P(x; y) =
Además: a effi: P(a)=Q(a)
- 7x"y^z" +
14
14
14
es homogéneo. Grado de homogeneidad = 14
<4 POUNOMIO ORDENADO
Con respecto a una variable un polinomio está ordena­
do si los exponentes de esta variable lo están, (ya sea
en forma ascendente o descendente).
Ejemplo:
F(x, y) = 3x"y^ - x*y" + 6x'y®
<4 POLINOMIOS IDÉNTICAMENTE NULOS
Un polinomio reducido se dice que es idénticamente
nuio si los coeficientes de todos sus términos son igua­
les a cero.
Ejemplo:
Ax"“ + Bx + C = O
Entonces: A = B = C = O
Con respecto a x: 7; 5; 2 ordenado en forma descen­
dente. Con respecto a y: 2; 5; 6 ordenado ascendente.
Si un polinomio es idénticamente nulo para cualquier
valor de sus variables su valor numérico es igual a
cero.
Por ejemplo;
Sea: P(x) = (a - 3)x' + (b + 1)x' + (c + 4)x + d
Si:P(x) = 0 =» a = 3; b = -1; c = - 4 ; d = 0
<4 POUNOMIO COMPLETO
Con respecto a una variable un polinomio es completo,
si dicha variable presenta todos los exponentes natura­
les desde cero hasta el grado del polinomio.
Efl Ufl polifionírio de una sota variable. Si es completo
el número de términos es igual at grado de dicho poli! nomio más uno.
Ejemplos
1.
Calcuiar ab en el siguiente polinomio homogéneo;
P(x: y; z) -
Por^wi|:rfo: Q(x) = 2x - Sx^ - 3x? + x® - 3
Es <>3m(^to con respecto a x.
■ Nún^ro de términos: GA(P) + 1 = : 4 + 1 = 5
Resolución:
<4 POUNOMIO COMPLETO Y ORDENADO
De (l) y (lll): a - b = 2b = a = 3b
Con respecto a una variable, es aquel que presenta las
dos características anteriores.
De (II) y (NI); (2b)"'’ = (4b)^"
■ a H iH B Ü ii —
Si es homogéneo se cumple que:
(a + b)"-' = (a - b)""" - (a + b)'"
(l)
(II)
(Mi)
Ordenando en forma adecuada;
[(2b)']"'’ = (4b)'" => (2b)' = 4b =» 4b' = 4b
b = 1 => a = 3 .-. ab = 3
i
En un p^inomio com^rieto y ordenado de una sota
v^aUe la dfferencla de exponentes en dos términos
conseojtivos siempre es igual a la unidad.
2.
Por ^«nplo: P(x) = 4x® - x* + x®+ 4x^ - /2x + 3
Sabiendo que P(x) = ax^ + b y además
P[P(x)] = 8x“ + 24x' + c.
Calcular; a + b + c
Es completo y ordenado con respecto a x en forma de-
Resolución:
Calculamos: P[P(x)]
P[P(x)j = a V + 2a'bx' + ab' + b
<4 POUNOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios reducidos con las mismas variables y
los mismos grados son idénticos, si sus términos seme­
jantes poseen los mismos coeficientes.
L u e g o : a V + 2 a ’ bx^ + ab^ + b = Sx“* + 24x^ + c
D onde;
2a^b -
24
= 8
a = 2
= b - 3
ab^ + b = c = í 0 = 21
Se pide: a + b + c = 2 + 3 + 21
a + b + c = 26
3.
Transformando L se tendrá:
L = (a^ + b^ - 2ab)^c^ -t- (b^ + c^ - 2bc)^a^ -h
(c^ +
En la identidad;
ax^ + bx^ + cx = 1^ + 2^ + 3^ + 4^ + ... +
hallar; a. b, c y dar el valor de: E = a”'’'^
Resolución:
~
Se sabe:
L = 25(3)'+ 49(3)'+81(3)'
+ 2 ' + 3^ + ... n' = ’^( n + 1 ) ( 2 n + 1 )
6.
Para la identidad:
ax' + bx^ + cx =
x(x+ 1)(2x+ 1)
Resolución:
Como es homogéneo;
7n + 2 = 2m + 5n + 4 = 3m + 5n + 1
=m=3An=4
Icoef. = mn + 2n - m
Scoef. = 3(4) + 2(4) - 3 = 17
+ ^
b
3
¿
^~
o
^ ¿
Reemplazando en la expresión pedida;
Si se cumple;
E = a '"^ -' = a - - = ( 4 r
[''•/a"""]x' + ny"x - "Tñx^ - 2xy" = O
calcular el valor de a.
E = 81
Si el polinomio:
P(x) = (4a + 2)x^"- '° + 4ax^^ ’ + (4a - 2)x^" ’ + .,.
es completo y ordenado. Calcular a y el grado del
polinomio P sabiendo que sus coeficientes son po­
sitivos.
Resolución:
"Va"" - n "'""’ = 0 A n - 2
Si a b y se cumple:
a^x' + a^y® =
+ by
Supongamos que el polinomio está completo y
ordenado en forma creciente;
Luego: 2a - 30 = O => a = 15
calcular: '/ab
Resolución:
Además: P(x) = (4a + 2)x° + 4ax + (4a - 2)x^ +
(4a - 4)x^ -h ... + (4a - 58)x"
Como son idénticos;
De donde el número de términos es;
n.- de términos = último - anterior al primero
razón
a^ = b^
a" = b“
b' = 4a'
2a V b = -2a
4a b
Si; b = 2a == a'* = (2a)''*
a'"=[(2a)Y" = a = 4 a '
1 =4a
=> a = 1/4 A b = 1/2
También; n.° de términos = GA(P) + 1
GA(P) -- 30
Resolución'.
Como P(x) = O, se cumple;
•
a^ + 3ab +b^ = O => a^+
= -3ab
b^ + 5bc +
= O => b^+ c^ = -5bc
•
+Tea +
= O =»
= -7ca
•abe - 3 = 0= abe = 3
b = a'
b = a"
A
n.° de términos ^ (4a - 58) - (4a + 4) ^
Si el polinomio:
P(x) = (a^ + 3ab + b^)x^ + (b^ + 5bc + c^)x^ +
(c^ + 7ca + a^)x + abe - 3
es idénticamente nulo. Calcular:
L = (a - b)"c^ + (b - c)*a^ + (c - a)‘‘ b^
= 0=»n = 2
a = ‘/2
= 2" = *Í2’
Resolución:
5.
Calcular la suma de los coeficientes del siguiente
polinomio homogéneo:
,,4n,y,3n- 2 _j_ 2nx^^y*^ * * - mx''"y^" " ’
P(x; y) = mnx""
ax^ + bx^ + cx =
ax' + bx^ + cx = 4-x^ + 4-x^ + -ix
4.
L=1395
Efectuando en el segundo miembro;
Luego;
- 2ac)^b^
Reemplazando:
L = (-5ab)^c^ + (-Tbc)^a^ + (-9ca)^b^
L = 25(abc)^ + 49(abc)’ -h 81(abc)^
=i
9.
Calcular abcd si; P(x) = 2x‘’ " - 3x®* ^ + x* - 4x“’ ’ ^
es completo y ordenado descendentemente.
Resolución:
Como es completo y ordenado:
b- 1= O
b= 1
a+c= 1
c- O
a+b=2
a= 1
d= 3
d+ c= 3
abcd = O
10. Siendo el polinomio:
Q(x; y) =
homogéneo. Calcular: a + b + c
^ 3^ + 3 + 2 —2d + 62 ^ 3
a(a^ - 1) = 4(4^ - 1) => a = 4
(b c f ’ " + 6 = 4^+ 4 + 2
donde: [a; b: c] e 1C
(be)” -" = ( 4 x 1 ) * - '
Resolución:
=»b = 4 A c = 1
a + b + c = 4 + 4 + 1= 9
2a + 62 = (be)" ■" + 6 = a^ + a + 2
RE S UE LT OS
PROBLEMAS
B
1.
m+ n+ p= 3
-2 n - 3p = - 6
3p - n = 15
2n + m - 2p = -1 2
Si: P ( x ; y ; z ) = 2 ( x y ) * * V + 9x"‘’ ‘ ^ - 5 ( x z ^ ) y - '
es homogéneo, calcular: % +
Resoiución;
P(x; y; z) = 2x“ ‘ Y ' V + 9x“ " ' - 5x" z V - ’
2a + b + 4 = ab + 3 = b + 8 =» a = 2
"/b + a^ -
2.
a
Hallar: K = (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) en
función de n.
Determinar: (a + b + c) sabiendo que el polinomio
P(x) es idénticamente nulo.
P(x) = 3x^ + ax - 5 + bx' - 11x + c
Resolución:
Como poseen el mismo valor numérico para x en­
tonces los polinomios son idénticos:
a + b + c = n;
+ c' = n' a abe = 2n^
(n
c)
Resolución:
P(x) = (3 + b)x' + (a - 11)x + c - 5 = O
-2 a )
+ 4n(ab + ac+
Sabe ...(i)
como: a + b + e = n
+ b^ + c^ + 2(ab + be + ac) = n^
6.
n'
ab + be + ac = 0; en (I):
K = -17n^
Calcular el valor de mnp, siendo: P(x) o Q(x)
donde:
P(x) = m(x^ + 1) + n(x - 2)(x' - 1) +
p ( x - 2 ) ( x ' - x + 1)
Q(x) = 3(x^ - 2x^ + 5x - 4)
Resolución:
P(x) = mx^ + m + nx^ - nx - 2nx^ + 2n + px^ 3px^ + 3xp - 2p
P(x) = (m + n + p)x^ + (-2 n - 3p)x^ + (3p - n)x +
2n + m - 2p
Q(x) = 3x^ - ex' + 15x - 12
3 be)
+ b- = 0 =>b = - 3
a - 1 1 = 0 ^ a = 11
c - 5 = 0 =>c = 5
a + b + c = 13
Calcular la suma de coeficientes del siguiente poli­
nomio homogéneo.
P(x: y: z) = a^x*'’ - b'y^* + a b z *'"'
Resolución:
a'> = b" = a*-'^ =» a‘’ = a* ‘’ ^ a '“ = a* « a = 2b
a^ = b" ^ (2b)'^ = b"=
2“b'’ = b'
2 °= b“
b= 2 A a= 4
Zcoef. = a - b' + ab = 4* - 2 ' + 8 = 68
K = n^ - 2n'{n) + 4n(0) - 8(2n')
3.
El polinomio dado es homogéneo;
P(x; y) = ax"*^ - a b x " - y " ^ + 2by^'
hallar la suma de sus coeficientes.
Resolución:
Como es homogéneo;
a + 3 = a + b + 1 = b + 8 ® b = 2; a = 7
La icoef. = a - ab + 2b
= 7 - 14 + 4 = - 3
P(x) = (a + b + c)x^ + (a^ + b^ + c^)x + abe
S(x) = nx' + n^x + 2n^
2b)
m = 2
p =4
n = -3
mnp = -2 4
4.
- 3
K = n^ - 2n' (a + b +
B » "
b= 5
Si los polinomios siguientes poseen el mismo valor
numérico para todo x.
K = (n - 2c) (n -
“ 3 —60
7.
Hallar el grado de homogeneidad deí polinomio.
F(x; y) = 8 x '" " Y - 5 x '" " y " '’
Si se sabe que el grado respecto a x es menor en
dos unidades que el grado respecto a y.
Resolución:
Como es homogéneo:
m + 2n = m + n + 1 0 = » n =10
GR,(F) = m + n = m + 10
GR^(F) = n + 4 = 14
G R ,(F )-G R ,(F ) = 2
m + 1 0 ~ 1 4 = 2 => m = 6
Así: F(x; y) = 8 x Y " ~
El grado absoluto es 26.
8.
P( 2)=-^^— r - ( n + 1) = 1013
2"^’ - (n 4- 2) = 1013 = 2®"’ - (9 + 2)
n = 9 .-.1 = 9
Si el polinomio P(x) es completo y ordenado ascen­
dentemente, calcular el vaior de (2m - 3n + 4p):
P(x) =
- 4 x " - ' " " ^ + Tx"*®
Resolución:
Como es completo y ordenado ascendentemente:
p - n + 5 = 0l
p=+1
n-m + 3=1=> n = +6
m-6=2
m=8
(2m - 3n + 4p) = 2(8) - 3(6) + 4(1) = 2
9.
Si el polinomio P(x; z) es completo, homogéneo y
ordenado en forma decreciente respecto a x y en
forma creciente respecto a z. Calcular (a + b).
c w a -i,b + <
x-z“ + 3 - 5x®
P(x; z) = x * -1" '_rb + 2 +, ^.a,t>
- 7x“
Resolución:
Decreciente respecto a x:
b = -2
b+ 2= O
8-1=1
a= 2
a+ b= 0
12. Calcular: z =
Si el polinomio:
P(x) = (ab - be - m')x‘‘ -i- (be - ca - 4mn)x' +
(ca - ab - 4n^)
es idénticamente nulo.
Resolución:
Como el polinomio es idénticamente nulo,
ab - be - m' = 0
be - ea - 4mn = O
ca - ab - 4n' = O
(+)
m' + 4mn + 4n' = O
(m + 2n)' = O => m = -2 n
(I)
ab - be - m' = O
ca - ab - m '= O
_ ( a -hb)c
2ab = c(a + b)
ab
2
2ab
10. El polinomio F(x) toma un valor constante k para
todo X , y conociendo que:
F(x) = (ax + 2)(bx - 1) - x^ a > O
Resolución;
-2
2ab _ 2
ab
c
13. Se tienen dos polinomios completos y ordenados
P(x) y Q(x), si se verifica que la suma de grados
relativos de ios términos de P(x) exceden en 24
a la suma de grados relativos de los términos de
Q(x) y que el grado del producto de multiplicar
ambos es 15; hallar el grado absoluto de la suma
de ellos.
Calcular: E = b®''
-2
e(a + b)
ab
- H
= k
F(1) = ( a - ^ 2 ) ( b - 1 ) - 1 = - / l
Resolución:
Sea; P(x) = a -h bx + cx' + ... + zx"
la suma de grados relativos a x:
2 b ^ -2 -1 = -(¿
Sgrados = 1 + 2 + ... + n ^
2b' + J - = 2(1)^ + - U
b'
(1)'
b'=1=^b=lAa = 2
E = (1)' = 1
11. Calcular el término independiente del siguiente
polinomio racional;
P(x) = x"-' + 2 / ' + 3x"-' +... + (n - 2)x^ + (n - 1)x + n
Si al evaluarlo en P(2) resulta 1013.
Resolución:
P(2) = 2" -’ + 2(2"-') + 3(2"-') + ... + (n - 2)(2=) +
(n - 1)2 + n = 1013
2P(2) = 2" + 2(2"-') + 3(2"-') + ... + (n - 2)(2") +
(n - 1)(2') + 2n = 2026
P(2) = 2" + 2'” ’ + 2"‘ ' + 2 " - \ .. + 2' + 2 - n = 1013
^
Sea: Q(x) = t -i- fx + kx' + ... + ux"’
la suma de grados relativos a x;
„
.
, .
m(m -I-1)
Sgrados = 1 + 2 + ... + m = — — Asi-
+
1) ^ 24
=» (n - m)(n -t- m + 1) = 48
... (I)
El grado del producto es; m + n = 15
n - m = 3 = > m = 6 =í . - . n = 9
El grado de la suma de ellos es 9.
14. Encontrar el valor de N siendo P(x; y) = 4x®’^^y'^’ ®
Un polinomio homogéneo, además:
N*' = a V + 2ab"’ 4- 29.
Resolución:
Resolución:
Efectuando la multiplicación indicada en el polino­
mio P{x; y) se consigue:
P(x; y) = 4(5 ')
Por ser polinomios idénticos se cumple:
• a " = b'’
...(I)
•c = 9 - 2 c ^ c = 3
-..(II)
• b^* = a*”
...(lll)
Elevando a ambos miembros de (lll) al exponente b:
(b“’)*" = a“’^
...(IV)
Reemplazando (l) en (IV) conseguimos lo siguiente;
3^*8^ =í b^ - 4a^ =í b =2a
...(V)
_|_4Sj(.^2b+3y«,-2
Grado de cada término; 2a + 6b -h 1; a + 11b + 1.
Por ser polinomio homogéneo se deberá cumplir lo
siguiente:
2a + 6b + 1 = a + 11b + 1 => a = 5b
... (1)
Por dato;
N-= = a'b-' + 2ab-’ +29 ^ N
Reemplazando (V) en (l): a® = (2®)"®’ = (4a')®
( | ) ' + 2 (|) +29... (II)
Por comparación: a = 4a' =» a = ^ ;
Reemplazando (1) en (H) se consigue:
N -' = (5)^ + 2(5) + (29) = 64
^
= ■¡64 = 8
n = 1/8
De(V):b=|
5^=24
18. En cuanto difieren los coeficientes n y k para que
15. Hallar el término independiente del polinomio;
P(x) = x' "- ” + 2x^" + 3x'" ' " + 4x'"‘ ""^ + ... + qx^-*
Si es completo y ordenado en forma decreciente.
con cualquier valor de x se verifica que;
27 + 8x = n(x + 4) + k(2x + 3).
Resolución:
Resolución:
Por ser un polinomio completo y ordenado en for­
ma decreciente se cumple:
(3n - m) - (2n) =1 =^ n - m = 1
...(I)
(3m + b) - (m + n + b) = 1 =» 2m - n = 1
...(II)
Sumando (I) y (II); m = 2, luego reemplazando en
(I); n = 3
a - 5 = 0 = » a = 5; ahora el polinomio P(x) será:
P(x) = x' + 2x® + 3x® + ... + qx° donde q es su
término independiente.
Notar que en cada término el coeficiente y el expo­
nente suman: 8, en consecuencia: q + O = 8
q= 8
De acuerdo al enunciado la relación mostrada
corresponde a un par de polinomios idénticos:
27 + 8x = n(x + 4) + k(2x + 3), reacomodando la
identidad: 8x + 27 = (n + 2k)x + (4n + 3k), luego
se cumple:
n + 2k = 8
.
Resolviendo se obtiene; n = 6 A k = 1.
4n + 3k = 27J
n- k= 5
19. Dado el siguiente polinomio idénticamente nulo:
P(x) = b(x' + x) - 2ax' - 3cx + c - a + 1
Calcular el valor de: ac - b
Resoiución:
16. Indicar la suma de los coeficientes del siguiente
polinomio:
P(x) = n' x'" - " + (n' - 1)x'" - ' + (n' - 2) x'" - ‘ + ...
si es completo y ordenado.
Reacomodando el polinomio conseguimos:
P(x) = (b - 2a)x' + (b - 3c)x + (c - a + 1), como:
P(x) = 0. Se debe cumplir lo siguiente:
b - 2a =
Resolución:
Observar que los exponentes de las variables en
cada término van aumentando, en consecuencia se
puede deducir que P(x) es un polinomio completo
y ordenado en forma creciente, es decir, su primer
término deberá ser el término independiente: razón
por la cual se plantea 2 n - 6 = 0 =» n = 3. Con la
finalidad de encontrar al último término, analicemos
al polinomio P(x) = 9x° + 8x + 7x' + 6x^ + ...
Notar que los coeficientes disminuyen de 1 en 1,
luego el último término a fin que el polinomio sea
completo deberá ser; 1x®. Finalmente tenemos:
Icoef. = 9 + 8 + 7 + . . . + 2 + 1
Scoef. = 45
17. Si los polinomios: P(x; y) = a*x' + cxy + b“®
Q(x; y) = (9 - 2c)xy + a"y^ + b V
son idénticos, calcular: -%
ab
0^ 3 = 1
...(1)
b-3c = 0 ^ c = |
...(II)
c- a+
1= o
...(lll)
Reemplazando (I) a (II) en
b _ b + 1 = O =» b = 6; de (l)
3 2
.'. ac - b = O
20.
A
(II): a = 3
a
c=2
Proporcionar el valor; n + t + a, si se cumple;
50x^ + 5x' - 8x + 1 = n(ax + 1)"(tx - n)®
Resolución:
De la identidad: n + a = 3
Haciendo x = Otenemos: 1 = n(-n)®
Como a ; n e l N= » a = 2 A n = 1
Por coeficiente principal:
50 = n(a)"(f)
50 = (2)1^ =» t = 5
n+t+a=8
21. Calcular la suma de coeficientes del siguiente poli­
nomio completo:
P(x) = c(x^ +
+ a(x^ + X') + b(x^ + x“) + abe
Resolución:
Escribiendo así al polinomio:
P(x) = (b + c)x'’ + (a + clx"" + (a + b)x' + abe
Se pide: Scoef. P(x) = P(1 ) = 2(a + b + c) + abe
{a; b; c} = {1 ; 2; 3} pues P(x), es un polinomio com­
pleto de 4 términos, por lo tanto, es de 3.° grado. :
Notar que:
a + b + c = 6 = 1 + 2 + 3Aabc =
P(1) = 18
6 = (1)(2)(3)
Hallar el valor det coeficiente de x en el polinomio
P«(x).
Resolución:
Po(x) = x' + 213x' - 67x - 2000
P^(x) = P„_.{x - n)
• P ,(x )-P ,(x -1 )
= ( X - 1)^ + 213(x - 1)' - 67(x - 1) - 2000
•
P,(x) = P,(x - 2)
= (x - 3)^ + 213(x - 3)^ - 67(x - 3) - 2000
•
P,(x) - P,(x - 3)
•
P.{x) = P3(x - 4)
•
P,(x) - P,(x - 5)
•
P,{x) - P,(x -
= (x =
=
22. En el polinomio:
P (x + 1) = (2 x + 1)" + (x + 2 )" -
1 2 8 (2 x + 3),
=
- 10)^ + 213(x - 10)' - 67(x - 10) - 2000
(X
(X
6)^ + 213(x - 6)^ - 67(x - 6) - 2000
- 15)' + 213(x - 15)' - 67(x - 15) - 2000
(X
6)
- 21)^ + 213(x - 21)' - 67(x - 21) - 2000
donde n es impar, la suma de coeficientes y el tér­
mino independíente suman 1, hallar el valor de n.
De aquí:
Resolución:
Término en x: 3(x)(21)' + 213[-2(x)(21)] - 67(x)
Recordar que para un polinomio se cumple:
P(1) = S de coeficientes; P(0) = TI
Dato: P(1) + P(0) = 1
... (I)
Como; P(x + 1) = (2x + 1)" + ( X + 2)" - 128(2x + 3).
Hagamos x = -1 => P(0) = -128
Haciendo x = O tenemos: P(1) = 2" - 383. Reem­
plazando en (I) tenemos lo siguiente:
2" - 383 - 128 = 1
n= 9
23. Si P es un polinomio completo y ordenado:
P(x) = x^" " + 2x"
3x^
+ ... +
X + 1
Hallar P(x)
m
Si: P(x) es un polinomio completo y ordenado,
entonces, la diferencia de grados relativos de dos
términos consecutivos vale 1.
Coef. dex = 3(21)' - 213(42) - 67 = -7690
25. Sí P es un polinomio homogéneo definido por:
P(x; y) = 2-’(a + b)x"'"" + 3''(a - b)x‘’' * y +
12y'’'^ ’=
Hallar e) producto de sus coeficientes.
Resolución:
Si P es polinomio homogéneo, el grado en cada
uno de sus términos es el mismo.
= a' + n = + 2n = b' + 12
(I)
(II)
(lll)
•
(II) = (lll): n = 6
•(I) = (lll): a '+ 6
= b '+ 12 = a '- b '= 6
Nos piden:
^ -------.
Produotode , 1 ,^
^ 1>,3
coeficientes ¿
' 3/
= 2(a' - b') = 2(6) =
_
12
26. Si P es un polinomio completo y ordenado en forma
En nuestro caso, P(x) está ordenado descendente­
mente.
{3a - b) -2a = 1 = a - b = 1
...(a)
2a - (3b - c) = 1 =* 2a - 3b + c = 1
...(|3)
(3b - c) - (a + b - c) = 1
2b - a = 1
...(0)
(</) + (0). b - 2; en (a): a = 3, en (P):
6 - 6 + c =1 =>0=1
P(x) = + 2x® + 3x® + x"’ + ... + X + 1
24. Si P^; P,; P¿; ... P„ son polinomios definidos por:
Po(x) = x^ + 213x" - 67x - 2000
P„(x) = P,, ,{x - n), para n = 1; 2; 3; ...
descendente definido por:
P(x) = qx' +
+ 'VSn + Sx^'""'’-'" +
(m + 2)x'*"-=
tal que la suma de sus coeficientes es m + n + p,
hallar el valor de
.
Resolución:
Por ser completo y ordenado en forma descenden­
te vemos que:
• 2 m -6 = 2
=^m = 4
5m + n - 1 9 = 1 =» n = 0
p + n - 3 = 0 => p = 3
29. Si: P(x; y) es un polinomio completo y ordenado en
Además: Scoef. = q + 3 + 2 + 3
Por dato: q + 8 = m + n-^p
forma creciente con respecto a cualquiera de las
variables, tal que la suma de los grados del primer
y último término de P es 100, hallar el grado del
término 21, del polinomio.
7
q-
-1
3/q -
-1
27. Si: P(x; y) es un polinomio homogéneo definido por:
P(x;y) = (a +
'y"’ ’ ’ + (a' + 1)x‘= '-V
Hallar el número de términos que le faltan para ser
completo.
Resolución:
De acuerdo a lo planteado, suponemos al polino­
mio P(x: y), así:
P(x; y) = A + Bxy + cxV + D xV + ... + M xV
De aqui:
• GA(t,) = 2(0) = O
• G A(t,)-2(1) = 2
. GA(t3) = 2(2) = 4
• GA(t,) = 2(3) = 6
Resolución:
Por ser homogéneo, entonces:
GA(término 1) = GA{término 2)
a' + 2a - 2 =
+ a+2
De aqui: a = 4 ^ P{x; y) = 5xV= + 1 7 x'V
Luego, el polinomio P será homogéneo y completo
respecto a x e y, de GA = 22, cuando sea de la
forma:
P(x; y) = A x '"
+Bx^'y
GA(t2,) = 2(20) = 40
30. Si P y Q son dos polinomios definidos por:
P(x) = ax' + px - r
Q(x) = bx' - qx - t
+ 17x'V
4 términos
+ Ex'"y' + ... + 5x"y'^ +
10 términos
R y S son polinomios equivalentes, hallar el valor
P + q ^ r-t
de: M = a - b
a + b p- q r + 1
7 términos
n.° de términos faltantes:
28.
Tal que: R(x) = 2P(x) + 3Q(x)
S(x) = 3P(x) - 2Q(x)
My'
21
Resolución:
Si: P y Q son dos polinomios definidos por:
P(x; y; z) - (X - y +z)^ - (z - y - x)^
Q(x; y: z) = (x + y - z f - (y - x - zf
Hallar: P(x: y; z) + Q(x; y; z)
P(x) = ax' + px - r
Q(x) = bx' - qx - t
Por dato: 2P(x) + 3Q(x)
3P(x) - 2Q(x)
o también: 5Q(x) <> P(x)
Reemplazando: 5bx' - 5qx - 5t o ax' + px ~ r
De aquí: 5b = a; -5q = p; 5t = r
Resolución:
Como: (k)"' = (-k)^''; 2n es par.
Aplicando en P y Q (en los segundos paréntesis):
E n lo p e d id o :M = | | + 5 | a + |
P(x; y; z) = ( X - y +z)'’ - ( X + y - zf
{+ )
Q(x: y; z) = ( X + y - z)“*- ( X - y + zf
Sumando: P(x; y, z) + Q(x; y; z) = O
.■ .M = 3 ( | ) = 2
P R O B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI
PROBLEMA 1 (UNI 2 0 0 5 - II)
Indique la verdad o falsedad de ios siguientes enun­
ciados:
I. Sea P(x) = ax^ + bx' + cx -t- d, a O, d O
Si P tiene tres raíces reales, entonces
P(1/x) tendrá las mismas raices.
II. Todo polinomio complejo siempre tiene raices
complejas y sus respectivas conjugadas.
III. Si la suma de las raíces de un polinomio es ra­
cional, entonces cada una de ellas también es
racional.
A) FFF
D)W F
B) FW
E)V W
C) VFV
Resolución:
De los enunciados:
I,
Sea: P(x) = ax^ + bx' + cx + d; a 5^ 0. d O
Si P(x) tiene tres raíces reales, entonces P(1/x)
tendrá las mismas raices.
Analizando: P(x) = ax^ + bx' + cx + d
^ a (x - x ,) (x - X2 ) (x - X3 ) = O
,..(«>
Donde: x,; X2; X3 son las raíces de P(x)
Se observa del gráfico:
Q(x) > P(x), V X G (2a; 3a)
--X 3 = 0
X
PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 1 - II)
Donde: —; —; — son las raices de P(—ì
X,
X,
X,
\ x l
De (a) y (p): se concluye que tas raíces de P(x) son
diferentes a las de PI/'1
X
+^
3^3
son las raíces de p(x)
^
Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales cuya grá­
fica se muestra a continuación.
(F)
Todo polinomio compiejo siempre tiene raíces
complejas y sus respectivas conjugadas.
Sea el polinomio complejo: p(x) = (x - i)(x + 1)
• Donde: x, = i; X2= -1 son las raíces de p(x)
• Observamos que sus raices no son conju­
gadas
(F)
Si la suma de las raíces de un polinomio es ra­
cional, entonces cada una de ellas también es
racional.
•Analizando: Sea el polinomio; p(x) = 9x' + 6x - 1
Donde: X, =
Clave; D
...(P)
'
X.
Observamos que la suma de las raíces es racional
pero sus raices son irracionales
(F)
FFF
Indique la sucesión correcta después de verificar la ve­
racidad o falsedad de ias siguientes proposiciones:
I. P(x) tiene grado 3
II. P(x) tiene solo 2 raíces complejas
III. Existe c e IR tai que P(x + c) no tiene raíces com­
plejas.
A) V W
D) FFV
B)W F
E) FFF
OVFF
Resolución:
Tenemos:
Clave: A
PROBLEMA 2 (UNI 2 0 0 9 - II)
Sea P(x) = x^ - 3ax^ - a^x + 3a^, donde a > O y
Q(x) = -P (x - a). Diga cuál de las siguientes afirma­
ciones es correcta:
A) Q(x) > P(x), V X < O
B) Q(x) > P(x), V X e (0; a)
C) P(x)> Q(x), v x e (a; 2a)
D) Q(x)>P(x), v x e (2 a ; 3a)
E) P(x) > Q(x), V X > 3a
Del gráfico:
Si: X e < - 5o; a> u (b; +=c) => P(x) es creciente
Si: X e <a; b) => P(x) es decreciente
Entonces:
Resolución:
P(x) = x^ - 3ax' - a'x + 3a^ a > O
yQ(x) = -P(x - a)
Factorizando P(x):
P(x) = x'(x - 3a) - a'(x - 3a)
P(x) = (x - 3a) (x' - a')
=» P(x) = ( X - a) ( X + a) ( X - 3a), a > O
Calculo de Q(x): Q(x) = -P(x - a)
= -(x - 2a)(x)(x - 4a)
Graficando las funciones, tenemos;
\
/
±-----4 - ^ : ------ L------ ±------
crece a decrece b crece
I
1
multiplicidad multiplicidad
impar
impar
De donde P'(x) = K(x - a)'" ’ ’ {x - b)''^
n, m e
Con lo cual se deduce que el grado de P(x) es cualquier
número impar.
I.
II.
No necesariamente P(x) tiene grado 3
(F)
No necesariamente serán 2 raíces complejas, ya que
del gráfico P(x) tiene una raíz real y por ser de grado
impar las demás raices serán complejas
(F)
III. El desplazamiento horizontal no altera la cantidad
de raices de P(x)
(F)
Clave; E
y = 1 interseca al gráfico cuando x = 2, x = 4,siendo
P(2) = P(4) + O, siendo P(2) = P(4) = 0. Calcule elpo­
linomio P(x) - 1
PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 2 - 1)
Si X , = 2 y X 2 = -1 son raices de:
x'' - ax^ + b O, halle: a - b
A) -1
D) 2
B)0
E)3
A)
B)
C)
D)
E)
C)1
Resolución:
Como: Xj = -1 es raíz de la ecuación.
Reemplazamos: (-1)'* - a(-1)' + b = O
= 1- a+ b= 0
a -b = 1
x'(x - 2)(x - 4)
(X - I f ( x - 3 ) { x - 5 )
( x + 1 ) '( x - 1 ) ( x - 3 )
( x - 1 ) '( x - 2 ) ( x - 4 )
( x ^ 1 ) '( x - 2 ) ( x - 4 )
Resolución;
Clave: C
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 2 - II)
El gráfico del polinomio P(x) = x'* + ax^ + bx^ 4 cx + d
es tangente en (1 ; 1) a la recta y = 1. Además la recta
Definimos el polinomio:
H(x) = P(x) - 1 = x" + ax^ + bx' + cx + d - 1
H(1) = 0: H(2) = 0; H(4) = O
X = 1 raíz de multiplicidad 2
H(x) = P(x) - 1 = ( X - 1)' ( X - 2) ( X - 4)
Clave; D
PROBLEMAS
n
1.
PROPUESTOS
P (x;y)-x"'*’ y
P(x; y) =
^ Si el po­
linomio P es de grado 10 respecto a x, además en
el polinomio Q el grado de x es igual que y aumen­
tado en 4; calcular el grado de P.
A) 13
D)10
2.
B)7
E)12
014
Hallar la suma de coeficientes del siguiente
polinomio en variables x, y, z:
P(x; y; z) = m V ’ y - ' ’p V - y - 'z ^ - ’.
A) 76
D) 67
3.
O 57
¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo.
P(x; y) = x"’ + x"’ ’ V + x'^’ V + Si el grado re­
lativo a y es 40?
a) 19
d )25
4.
B) 64
E)77
b)21
e )7
c)23
Encontrar la suma de coeficientes del siguiente po­
linomio completo y ordenado.
P(x) = a, x"'®’ + 32 x"*®^ +... + 3^; siendo:
5.
A )^ (n -I)
B) |( n + 1)
0 §{n + 1)(n + 2)
D) n " - 1
b)26
e)29
c) 27
completo.
P(x) = x^"" + 2x'“
nos. Hallara.
7.
es una constante monómica.
¿Qué valor asume: a"?
A) 1/2
D) 1/4
9.
B)4
E)FD
Si ios términos: ^^2x/y
tes. ¿Cuál es su suma?
A )8 5 x y
D) 15xy
- 3x™' ^ + ... posee 2m térmi­
B)5
0 2
a
"'JSyTx son semejan­
B)15xy'
E) 75xy
C) 85x/
10. Si la expresión: M(x: y) = a V
+ dx^^’ V ' " +
bcx^y^ Puede reducirse a monomio, encontrar su
coeficiente.
A) -3/2
D) -2
B) -1/2
E) -2/3
C )-1
11. Si la expresión: nx" ’y^ " es: EARE clasifique al
equivalente de la expresión: '¿ ^ n ” ''x'’ ’ ‘'y^"
A) EAI
D) EAR
B) EARE
C) EARF
E) Expresión trascendente (ET)
12. Hallar a, si el equivalente de:
A) 10
B)11
012
D)13
13. Dado P(x; y) = x " - y - * + / 3
0 7
E) 11
Siendo:
P(x; y) = 2(mnx + y)x - (n + 9)x^ + (5m - 4n)xy.
un polinomio idénticamente nulo, calcular el pro­
ducto de los valores naturales de m y n.
E)14
- 3 x "-'Y '
Calcular su minimo grado absoluto.
B) 30
E) 33
14. El grado de
P(x)Q(x)
3/h W P ( x )
Q^(x)
0 31
es 3n. El grado de:
es cero. Calcular el grado de:
'i[H(x)f
6. Si el polinomio ordenado decrecientemente y
A) 3
D)9
8. Si: P(x) = 3x"
A) 29
D) 32
Si el polinomio es completo y ordenado.
P(x) = x,.2 a - b t c^ +, ,X, "a - 3 l ) - 2“c +, ,X, a“ - r 4 b + 8c , , , 2 a - b - 4 c
encontrar su número de términos.
a) 24
d)28
0 8
M(x) = /3x®V21x‘‘ Vx® V2x es un monomio de grado: 8.
^ _ (n+ 1)n.•; n e W.
^
a.
b
E) n -h 3
B) 6
E)2
A )4
D)10
Se tienen los polinomios
n
A) 1
B)2
0 3
D)4
Q(x)
E)5
15. Hallar el grado de homogeneidad del siguiente po­
linomio: P(x; y) = xy''"'"^ - x ' " ' ' + y*"”
A) 3
D}9
B) 5
E)11
C)7
16. Hallar el mínimo grado de homogeneidad diferente
de la unidad para el polinomio:
P(x; y; z) =
Bj 14
E)17
A) 13
D) 16
C) 15
17. Proporcionar el equivalente de:
sabiendo
a- b'
que: P(x) <> Q(x).
P(x) = m(x + a) + bx + o; Q(x) = ax + mx + n
B)a/3
E)1
A) a
D)a/6
C)a/2
25. Si se cumple: a(ax + y) -b(bx - y) < > 2(6x + y + 4).
Hallar a^ + b^
A) 10
B )-3
E)6
A) - 6
D )-9
0 6
8 )9
E)8
21. La suma de tos siguientes polinomios;
P(x) = ax^ + mnpx; Q(x) = (b + c)x^ - abcx, origina
un polinomio idénticamente nulo, según esto hallar
el equivalente de:
a^ + b^+ c^ + 3mnp
abe
P(x) = (a' + 2a ‘’bc - bc)x® + (b' + 4ab'’c - a c )/ +
/5 (c ' + 6abc” ’ - ab)x + (a + b + c - 7),
se anula para más de seis valores de x. Calcular:
B)4
E)7
A) 5
D)3
A) 2
D )8
A) 2
D)5
0 5
23.
8)147
E) 171
24. Si; a(x + 5)^ -b(x - 5)^ o
calcular; a + b
A) 9
D) - 3
8) - 9
E)27
0 4
B)3
E)6
04
A )8000
D )7539
B )7999
E )7989
O 7899
31. Si el siguiente polinomio: P(x; y) = (b - c)x°
+
(c - d)x"'" y"*'^ + (b - d)x'’ ‘ "y"“ ' es tiomogéneo.
Calcular el producto de sus coeficientes.
—
1^1
a b
0 5
Sabiendo que: P(x) = O, calcular b' - c'.
P(x) = (x^ - 1)(x^ - 4)(x^ - 2) + ax® + bx" 4- cx^ + d
A ) -147
D) 174
B) 6
E)16
30. Hallar el grado absoluto de:
M(x; y ;z ;w ;...) = 5 x y W ’T®’
Considerar 19 letras.
yV S xV “.
8 )7
E)3
O -5
29. Calcular n, si el grado absoluto de la expresión:
2 3^,2n+3
M(x; y; z) =
es 6.
son dos polinomios homogéneos, deducir un valor
A) 9
D)1
B) - 3
E)6
28. Sabiendo: P(x) = Q(x), calcular a + b - c.
P(x) = a{x - 1)(x + 2) + b(x - 1)(x + 3) +
c(x + 2)(x + 3);
Q(x) = 6x' + 13x - 7
Q(x: y) = x ^ Y - 2x^'*“'y-^‘'
para: E =
0 6
0 5
20. A un polinomio completo y ordenado de una sola
variable y de grado 4n se le suprimen todos los tér­
minos de grado impar, el polinomio resultante tiene
4n - 15 términos. Haliar n.
22. Si; P(x;y)= x*
8) 9
E)12
27. Si e( polinomto;
B)7
E)1
A) 3
D)6
E) 50
0 -9
Q(x) = x""' + (m -2n)x. Calcular: Vn' - m^
A) 2
D)7
D)40
Q(x) = 18x® + 7x" + 12. Calcular: 3T + 6A + 4C, a
partir de: P(x) = Q(x).
19. Si: P(x) = Q(x), siendo P(x) = x^ - 4x";
A) 9
D )3
0 30
26. Dados;
P(x) = T(x" + 2)(x" + 3) + A(x" + 4)(x" + 3) +
C(x" + 4)(x‘ + 2)
18. La suma de los polinomios:
P(x) = {a + xXb + cx) + ax + 4; Q(x) = (x + b)(x + 2) + x
origina un polinomio de grado cero. Calcular: 4cb'.
A) 9
D )3
B)20
O -174
3(x + 5)^ + 4(2a + b)x,
0 3
A) 4
D)8
32.
8 )6
E) 10
0 2
Dado el polinomio; P(x; y) = x® +
+ x“y ' +
x V + x V + x V liomogéneo. Calcular el valor de:
E = a + b + c + d + e, sabiendo que la suma de
todos los exponentes del polinomio es 42.
A) 23
D)27
B)25
E)29
0 21
33. Si:P(x;y) = (Vn + 2 - Vn"+ 1)x" + (Vn + 1 - /nix"’'y + -
es un polinomio completo y ordenado con respecto
a sus dos variables. Calcular et vator numérico de:
n/(n + 2)(m - n ), siendo además ta suma de sus
coeficientes igual a “n".
A) 2
8)12
C )4
D)8
E) 16
°>-T
40.
35. Si f(x) = x'(x
B )4 x -1 2
E )4 x -1 5
A)1
D) - 2
C )4 x + 1 5
- 3) + 3(x + 1)
Si P(x^ - x') = x’’ + X® + x^ + x^ + 2x' + 2x, hallar
P(cos’ ji).
34. Si: F(x + 1) = 4x - 3, hallar; F(x - 2).
A )x -1 5
D )x
0 - 4
A )^
- 4, determinar;
41.
B )-1
E)0
0 2
SI P |^ + 3j = X, determinar:
P(4) + P(5) + P(7) + P(11) +
E=
f(x:
[ f { x - 1 ) f 'V [f ( x + 1)1’
para: x = 2 x 10^
A) 2
B)4
E)
A )1
C)
B )|
4
42.
32
36.
Hallar el grado del producto
p(x) - ((x)^)''((x^)^>‘*((x')'‘ )^... n términos
A)
B)
C)
D)
n (n -1 )(n -2 )
2
D)4
43.
(2n + 1 )(3 n - 1 )(n ^-2 n + 3)
E)(n + 1 ) V - 1 )
37. Sea el potinomio: f(x) = x' + x + 41 y {f(0); f{1 ); f(2);
f(3):
f(39)} son números primos; encuentre a
partir de estos datos otros 40 números enteros que
at evaluar en f(x) nos reproduzca números primos.
44.
+
+
45.
Hallar el valor de f [ ^ i-
2
+ 4x®"'= + 6x"
B )1
+ ... + n tiene
C)4
Si: F (x - 14/x + 44) = x. hallar F(9x - 42 /x +44)
si: /x > 7
A) 9x
D) -2 x
C) 3 a 'b 'c '
46.
+ 3
O 1107
D)3
Determinar: P (-a; -b ; -c).
Dado: f(x) = (
x - in x - 1
8 )3
E)6
Calcular 2- íJ —+ 5 sabiendo que el polinomio es
'3
completo y ordenado:
A)
(x -a )(y -b )(z -c )
B)abc
E )a 'b 'c '
C) 1
Sea P un polinomio tal que:
P(xy) = P(x) + P(y) V x; y e IR st además
P(10) = O, calcular P(7) + P(99) + P(1001).
P(x) = 2x*
(a®) términos.
38. Sabiendo que: x^ + y^ +
= (a + b + c)[a' + b' +
c' - (ab + ac + be)] + 3abc; además:
B )1
^>5
A)1
D)0
A) {f(-1); f(-2); f(-3); ... ; f(-40)}
B ){-1 ; -2 ; -3 ;
-4 0 }
C) {f(40); f(41); f(42); ...;f(79)}
D){1; 2; 3;
40}
E ){-4 1 ; -4 2 ; -43; ...; -8 0 }
39.
Sabiendo que el polinomio:
P(x) = (ab - ac + n')x^ + (be - ab + 6n)x^ +
(ac - be + 9)
es idéntico al polinomio:
F(x) = 3o + a, X + 32 x^ + aa x^ + ,.. + a„x". el cual
se anula para cualquier valor asignado a x. hallar
A)
(n + 1 ) '( n - 2 ) ‘
A) O
D )-a b e
oc
b(a + c)
ac
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Pfx' V z) =
C )1
B) 2x
E)N.A.
O -9 x
Sea ei polinomio f(x) definido por:
xf(x + 1) - f(x') = 3x - 1, determinar el valor de:
f(1) + f(2) + f(3)
A) 15
D)23
B)7
E)0
0 5
47. Sea P(x) = 2x + 1. Además:
P(P( ... (P(x))...)) = a^
52. Si; f(x + 2) = x + f(x) + f(x + 1): f(y) = 2f(y - 1¡
hallar f(-3 ) + f(4)
b"x - 1
9 paréntesis
calcular: ab“*.
B) 64
E )1024
A) 32
D)256
C) 128
B )3
E)6
0 4
49. Calcular el coeficiente del equivalente de la expre­
sión:
M{x) =
4096)
B) 4
E)16
C) 32
calcular el valor deM = a + c + e
f
A) -1
B) 1
0 2
E
E
B
C
A
B
B
0
9. A
10. A
11. B
12. C
13. C
14. A
15. D
16. D
C
C
D
E
D
D
A
A
C) -e7t
B) en
E) - 2
54. Si el polinomio de variable x:
P(x) = (ab - be - m^)x'' + (be - ac - 2mn)x^ +
(ac - ab - n^) se anuía para más de 4 valores;
según ello calcular:
^ a
e \a - c
A)1
D) 1/2
B) -1
E)2
C) -1/2
B )-1
£) ab
i
1
i
i
1
i
i
;
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
B
C
C
C
B
B
C
C
O a
56. Déla identidad: a(x + 1)^ + b(x - 1 f = 9x^ + 10x + c.
calcular: abe.
A) 42
D) 224
B) 126
E)36
999 _ 2^-9
O 48
1997, calcular: P(3)
B )-1
E )1997
O 1986
58. Si los polinomios:
P(x; y; z) = (a - b)^x"' + (b - c ) V + (c ~ A f z’’
Q(x; y; z) = abx"^ + 3bcy" + Sacz'’
_ a -b
son idénticos, evaluar: M =
c
A) 8
D) 14
C) 1/4
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
y f{3) = 1;
A) 1/en
D) (ere)’
A) 1
D ) 1995
51. Sabiendo que: x®^ ’ x”^ ' x“^ ’ ; a, b, c son los
términos 1.°, 7.°, 13.°, y último respectivamente de
un polinomio P(x) completo y ordenado, calcular:
1 . 2 V
{a + b + c)'
^b - c a - c /
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
O í
f(1)
f( 4 ) - f( 7 )
57. Si P x + 1
X - 1
E )-I
B)2
E) 1/6
calcular: 3i
A) 1
D) - a
50. Sabiendo que se verifica la siguiente identidad:
x' - 4x^ + 2x" - 3x + 2 = a(x - l f + b(x - 1)" +
c(x - 1)^ + d(x - l f + e(x - 1) -h f,
A) 1/2
D)6
E)3
55. Dados: P(ax + b) = a - bx
Q(a + bx) = b - ax; obtener: P[Q(a)]
"■ ^2 x+ 'V 2 x-'V 2 x-"^
Si se reduce a un monomio de grado 72.
A) 8
D)1024
B )-1
D)2
53. Si: f(x) = e’ + n'
48. ¿Cuántos términos faltan en este polinomio:
R(x) = (1 + X + x^ + x’ + ... + x"){x""'’ + x") para
ser completo, sabiendo que en este otro polinomio
P(x - 2) = n^{3x - 8)' + (x - 2)[(x - 2)'" ’ + 12]
la suma de coeficientes excede en la unidad a su
término independiente?
A) 2
D)5
A) O
33. C
34. C
35. A
36. B
37. B
38. C
39. D
40. B
B) 11
E) 15
j
1
i
i
:
!
i
!
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
B
A
D
D
A
A
C
B
49. E
50. É
51. A
52. C
53. A
54. 0
55. C
56. B
b -c
a
O 13
57. E
58; E
a -c
Multiplicación
algebraica
Productos notables
O
D
a
o
ü
A d rie n -M a rie L e g e n d re n a c ió el
18 d e s e p tie m b r e d e 1752 y m u r ió
el 10 d e e n e r o d e 1853, fu e u n d e s ­
ta c a d ís im o m a t e m á t ic o fra n c é s.
H izo im p o r ta n te s c o n m b u c i o n e s
a la e s ta d ís tic a , a ia te o r ía d e n ú ­
m e ro s . al á lg e b ra a b s tr a c ta y al
a n á lisis m a te m á tic o . I n te rv in o
e n g e o d e s ia y e n la c o m is ió n q u e
e s ta b le c ió el m e tr o c o m o u n id a d
d e m e d id a in te r n a c io n a l. R e c ib ió
s u e d u c a c i ó n e n el C o llè g e M a z a ­
r í a e n P arís, y d e f e n d ió s u te sis e n
física y m a te m á tic a s e n 1770.
L e g e n d re h iz o u n a im p r e s io n a n te
c a n ti d a d d e tr a b a jo s s o b r e f u n c io ­
n e s e líp tic a s, in c lu y e n d o la c la ­
s ific a c ió n d e in te g ra le s e líp tic a s,
a u n q u e d e b e a N iels H e n rib A bel
la id e a d e e s tu d ia r las in v e rs a s d e
la s fu n c io n e s d e Ja c o b i y así r e s o l­
v e r c o m p l e ta m e n te e l p ro b le m a .
T a m b ié n h iz o u n tr a b a jo p io n e r o
Çranùa, 1752 - Francia, Í833
s o b re la d is trib u c ió n d e n ú m e r o s p r im o s y s o b r e la a p lic a c ió n d e l a n á lis is m a t e m á t ic o e n la te o r ía
d e n ú m ero s.
T a m b ié n le d e b e n s u n o m b r e lo s p o lin o m io s d e L e g e n d re . s o lu c io n e s a la e c u a c i ó n d if e re n c ia l d e
L e g e n d re , q u e se u tiliz a n c o n fr e c u e n c ia e n a p lic a c io n e s d e física e in g e n ie ría . E n m e c á n ic a , es
c o n o c id o p o r la tr a n s f o r m a d a d e L e g e n d re . u tiliz a d a p a r a p a s a r d e ia f o r m u la c ió n ia g r a n g ia n a
a la f o r m u la c ió n h a m i lt o n ia n a d e la m e c á n ic a c lá s ic a . T a m b ié n se u s a e n te r m o d i n á m i c a p a ra
o b te n e r la e n ta lp ia d e la s e n e rg ía s lib re s d e H e lm h o ltz y d e G ib b s p a r t ie n d o d e la e n e r g ía in te rn a .
F u e n te : W ífeipedia
<4 MULTIPUCACIÓN ALGEBRAICA
Consiste en calcular una expresión denominada pro­
ducto a partir de dos o mas expresiones denominadas
factores.
Casos que se presentan
Multiplicación de monomios. Para multiplicar mono­
mios, se multiplica primero los coeficientes según la ley
de signos luego las partes literales de acuerdo a las
leyes de exponentes.
Ejemplo:
A{x: y) = 3xV^ B(x; y) = -2 x ' y' z®
^A B = (3x\^)(-2x'yV ) = ~ 6x®y^z"
Resolución;
Por dato: TI = P(0) ^ -72 = ( - a H - lA - n ) ^
=» -3^2^ = -3 "n ^ ^ n = 2
Calculando el grado:
GA(P) = 4n + 5n +3n = 12n = 24
Coeficiente principal (P) = 2''n"2^ = 2^2^2^ = 128
X4 PRODUCTOS NOTABLES
Son casos especiales que se presentan dentro de la
multiplicación algebraica en los cuales se puede obte­
ner en forma directa el producto sin necesidad de efec­
tuar la operación. Presentándose los siguientes casos;
Multiplicación de un monomio por un polinomio. Se
multiplica cada uno de los términos del polinomio con el
monomio dado.
Binomio al cuadrado (trinom io cuadrado per­
fecto)
Ejemplo:
A(x: y) = 2x^ y*
B(x; y) = 4xV^ - 5x"y + 2x^®
^ AB = (2x"/)(4xV) - (2xV)(5x"y) + (2x y )( 2xV )
AB = 8x V - 10xV® + 4x^y”
•
(a + b)^ = a^ +
(a - b)^ = a^ -
2ab +
2ab +
Deducción de un trinomio cuadrado perfecto:
a^ ± 2ab + b^ = (a ± b)^
n
2 a
Multiplicación de polinomios. Se completan y orde­
b
nan los polinomios con respecto a una sola letra. Luego
se multiplica cada uno de los términos del multiplicando
por los del multiplicador.
Ejemplo:
(a - bf" = (b - af"; donde n € Z
Multiplicar A(x) por 8(x). siendo:
A(x) := 2x" - x + 4 A B(x) = 3x^ - 5x" -
Corolario; Identidades de Legendre:
X
(a + b f + (a - b f = 2(a^ + b^)
(a + b f - (a - b f = 4ab
+2
El procedimiento será el siguiente;
3x^ - 5x' - X + 2
______2x^ - X + 4
6x® - 10x " - 2x^ + 4x^
- 3x''+5x^+ x ^ -2 x
12x^ - 20x^ - 4x +
Suma por diferencia (diferencia de cuadrados)
• ( a + b )(a - b ) = a^ • (a'" + b"’){a"’ - b"") = { a ^ ' - (b"^f = a"'" - b'"’
8
6x® - 13x" + 15x^ - 15x' - 6x +
tm
m
m
1. El grado <tei producto ^ ^ual a Is suma de los gra­
dos de cada uno de sus Actores.
2. El término bid^ndiente del producá es
á1
resultado de mtjitipiicar ic« términos independien­
tes de cada uno de sus factores. El coeficiente prin­
cipal del producto es igual al resillado de multíplicar los coeficientes principales de cada uno de sus
factores.
Se denomina coeficiente principal de im pcdinomio
al coeficiente del término de rrrayor grado.
Binomio al cubo
• (a + b)^ = a^ + 3a^b + 3ab^ + b^ (forma desarrollada)
(a + b f = a^ + b^ + 3 ab (a + b) (forma semidesarrollada)
•
(a - b f = a^ - 3a^b + 3ab^ (a - b f = a^ - b^ - 3 a b (a - b)
Suma o diferencia de cubos (suma por dife­
rencia)
• ( a + b)(a^ - a b + b^) = a^ +
• (a - b)(a^ + a b + b^) = a^ - b^
Trinom io al cuadrado
(a + b + c f = a^ + b^ -I- c^ + 2 a b -i- 2 a c + 2 b c
Ejemplo:
Calcular el grado y el coeficiente principal del polinomio:
P(x) = (2X“ - 3)"{nx® - 1)''(2x' - x - n f
sabiendo que su término independiente es -72.
(a + b + c)^ =
(forma desarrollada)
+ c^ + 2(ab + ac + be)
(a + b - c f =
+ c^ + 2 a b - 2 a c - 2 b c
(forma semldesarrollada)
(a (a -
b + cf =
b - c)^ =
a'+ b' +a^+ b' +-
2ab +
2ab -
2ac - 2bc
2ac + 2bc
Aplicaciones;
1,
SI:
1 + 2
=
T rin o m io a l cubo
(a + b + c)^ =
evaluar: F =
+ 3a^ b + 3a^c + 3b'c +
3ac^ + 3bc^ + 6abc
+ 3{a + b)(a + c)(b + c)
{a + b + c)^ = a^ +
y^ + x + 3xy
( y - x ) ' + (x + y)^
Resolución:
Efectuando en el primer miembro:
2x + y __ 8
xy ~ 2x + y
( f o r m a s e m id e s a r r o lla d a )
P roducto de binom ios con un té rm in o com ún
(x + a)(x + b)
= + (a +b)x + ab
(x +a)(x + b)(x + c) = x^+ (a + b +c)x^ +
(ab + ac + bc)x + abe
Efectuando en aspa:
(2x + y)^ = 8xy ==• 4 x' + 4xy + y' = 8xy
4x^ - 4xy + y^ = O => (2x - y)' = O
identidades de La^ange
•
2x + y
t r in o m io c u a d r a d o p e r fe c t o
(a^ + b^)(x^ + y^) = (ax + by)^ + (ay - b x f
Extrayendo raíz cuadrada miembro a miembro:
2 x - y = 0 =» y = 2x
h
b
►^y
(a' + b^ + c^)(x' + y^ + z') = (ax + by + cz)' +
(ay - bx)^ + (az + cx)^ + (bz - cy)'
De donde:
P
(2x)"- + x^ + 3x(2x)
(2 x -x )^ + (x + 2x)^
4x^ + x^ + 6x' _ 11x^
x^ + 9x'
10x'
Identidades de Argand
•
x " + x ^ "+ 1 = (x'*'+ x'‘ + 1) (x ^ * - x '+ 1)
.
g4m ^
2 32.
g m|
^
(gjm ^
^
■ F ^ ll
•
{a"" - a"’b" + b^")
2,
- ■^(a + b + c)[(a - b)' + {a - c f + (b - c)^]
(a + b + c)^ =
(a + b + c + d)^ = 4(a + b)(e + d)
Resolución:
Nótese que seria dificultoso elevar al cuadrado el
polinomio de cuatro términos en el primer miem­
bro; pero si analizamos ta igualdad hay 2 expre­
siones que se repiten (a + b) y (o + d), es más,
también se presentan en ta expresión pedida. En
consecuencia cuando se presenten expresiones
repetidas dos o más veces en un mismo problema
conviene hacer cambio de variable.
a^+b^+c^-3abc = (a+b+c)(a' + b^+c^-ab-ac-bc)
(a + b + c)^ + 2(
Si:
encontrar el vator de: L =
o tra s identidades auxiliares
•
10
^
+ b^ + c^} =
3(a + b + c)(a^ + b' + c') + 6abc
+ b^ +
+
3{a + b + c)(ab + be + ca) - 3abc
(a + b)‘ - (a - b)“ = 8ab(a' + b^)
Haciendo:
a + b = m; c + d = n
(a + b)(b + c)(c + a) + abe = (a + b + e)(ab + ac + be)
A continuación se mostrarán más igualdades en las
cuales intervienen directamente los productos nota­
bles.
Tenemos: (m + n)' = 4mn = m^ + 2mn + n^ = 4mn
Luego:
m^ - 2mn + n' = O =s (m - n)' = O
Igualdades co n dicion ale s
Extrayendo raiz cuadrada miembro a miembro:
m - n = 0=»m = n
S i: a + b + e = O, se demuestra que:
a^ + b^ + c' = -2(ab + ac + be)
Se pide: L = ^^343" = '/343
3.
a^ + b' + c^ = 3abc
a'* + b'* + €■* = 2(a^b^ + a'c^ + b^c^)
.-.1 = 7
Después de efectuar :
P(u) = (u + 2)(u - 2)(u^ + 4)(u“ + 16) se obtiene :
a® + b®+ c® = -5abc(ab + ac + be)
Resolución;
(a^ + b^ + c^)' = 2(a' + b' + c")
P o r d ife re n c ia d e c u a d ra d o s s e tie n e que:
(ab + ac + be)' = a'b^ + a'c^ + b V
P(U) - (U + 2)(U - 2)(U^ + 4)(u' + 16)
,a l+ b _ t£ ,„ a ,
P(u) - (U^ - 4)(u^ + 4)(u' + 16)
,a '+ b ^ + c‘
P(u) = (u' - 16)(u'+ 16) = u' - 16'
- i- b ^ +
P {u ) = u“ - 2 5 6
4.
Efectuar: F(a) = (a + 1)^ - (a - 1)^
A g r u p a n d o lo s t r in o m io s y lo s t é r m in o s c o n te n id o s
e n io s c o r c h e t e s :
Resolución:
1.* forma: Efectuando el binomio suma y diferencia
al cubo;
F(a) =
+ 3a^ + 3a + 1 - (a^- 3a^ + 3a - 1)
L = (a + b)^ [c + (a - b)][c - (a - b)] +
diferencia de cuadrados
((a^+ b^) + (ac + be)] [(a^ - b^) - (ac + be)]
Reduciendo términos semejantes;
F(a) = 6a^ + 2
F(a) = 2(3 a ^+ 1)
diferencia de cuadrados
2.* forma; La expresión se podrá escribir como una
diferencia de cubos ;
F(a)= [ ( a + 1 ) - ( a - 1 ) ] x
[{a + 1)' + (a + 1)(a - 1) + (a - 1)']
En el segundo corchete aplicamos la identidad de
Legendre y la diferencia de cuadrados;
F(a) = [a +1 - a + 1][2(a^ + 1)(a^ - 1)]
L = (a + b)^[c^ - (a - b)^] + (a^ + b^)^ - (ac + be)^
(ac + bc)^ - (a^ - b^)^ + (a^ + b^)^ - (ac + be)^
L = (a^+ b Y - (a^- b")" ^ 4a^b^
K - 2ab
Legendre
L
8.
Reduciendo términos semejantes;
F(a) = 2(3a2+ 1)
5.
E fe c tu a r:
A = (x^ + x + 1)(x" + x + 2 ) - ( x ^ - x + 1 )(x ^ -x + 2 )2x(2x + 1)(x + 3)
Resolución:
Efectuar:
y = (a + b + c - d f + (a + b - c + d)^ 2(a - b + c + d f - 4(a + c)(b - d)
U t iliz a n d o e l c r it e r io d e p r o d u c t o d e b in o m io s c o n
u n t é r m in o c o m ú n ;
A = (x^ + x)^ + 3{x^ + x) + 2 - ( x ^ - x ) ^ - 3(x^ - x) -
Resolución:
Desdoblando:
-2 (a - b + c + d)^ = -(a - b + c + d)^ ( a - b + c + d)^
Agrupando en la forma indicada:
y = (a + b + c - d f - (a - b + c + d)^ +
(a + b - c + d)* - (a - b + c + d)^- 4(a + c){b - d)
2 - 2x(2x^ + 7x + 3)
A = (x^ + x)^ -
(x^ - x)^ + 6x - 4x^ - 14x^ - 6x
A = 4x^(x) + 6x - 4x^ - 1 4 x '- 6x
9.
S e ñ a la r la r a í z c u a d r a d a d e :
L = 0,5(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4) +
0,5(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x+
y = (2a + 2c)(2b - 2d) + (2a + 2dX2b - 2c) - 4(a + c)(b - d)
Resolución;
•1
y = 4(a + d)(b - c)
F a c t o r iz a n d o ^ V a g r u p a n d o e n la f o r m a in d ic a d a :
Efectuar:
F = [(X + 1)(x - 1)(x^ + X + 1)(x^ - X + 1) X
(x=* + /x^ + 1)(x" - /x^+ 1){x® - x^ +1) + 1]''®
r
L = 4 [(x + 1 ){x + 2 )(x -3 )(x -4 ) +
L
Resolución;
F = [(x + 1)(x - 1)(x^ + X + 1)(x^ - x + 1)
i
(X -
i
1)(x - 2){x
Argand
L = l[{ x ^ - 2x
Argand
+
4)]
+
(x^ - 15)
- 3)(x^ - 2x - 8)
+
Utilizando el criterio de producto de binomios con
un término común:
Argand
[(x® - 1)(x’^ + X® + 1) + 1]’'®= [x’®- 1 + 1]'
L =l [ ( x ' - 2x)' -
diferencia de cubos
11 (x' - 2x) + 24 + (x^ + 2x)^ 11(x' + 2x) + 24] + x ' - 15
F = x^
7.
3)(x
(x^ + 2x - 3 ) (x^ + 2x - 8)] + x^ - 15
F = [(x^ - 1)(x" + X^ + 1)(x® + X^ + 1)(X® - X^ + 1) + I ] ’ '®
diferencia de cubos
+
t__________ í
(X^ + 7x^ + 1)(X^ - ■/x^+ 1)(X® -X ^ + 1 )+ lf®
F =
4) +
(x + 4)(x - 4) + 1
y = 4(a + c)(b - d) + 4(a + d)(b - c) - 4(a + c)(b - d)
6.
A = -1 4 x '
L = l [ x " - 4x’ + 4x' - 11x' + 22x + 24 + x" +
I n d ic a r la r a iz c u a d r a d a d e l r e s u lt a d o ( a > 0 ; b > 0 )
L = (a + b )^ (a -
b + c )(b + c -
a) +
{ a (a + c ) + b ( b + c )J [a (a -
4x^+ 4x^ - 11x^ - 22x + 24 + 2x^ - 30]
c ) + b (b -
c ))
L = x" - 6x" + 9 = (x' - 3)'
Resolución:
10.
E f e c tu a n d o d e n t r o d e lo s c o r c h e te s :
L = (a + b )^ (a - b + c )(b + c - a ) +
[a ^ + a c + b ^ + b c ] [ a ^ -
a c + b^ -
be]
/L = x ' - 3
Efectuar:
y = (a + b + c)^ + {a + b - c)^ + (b + c - a)^ +
{c + a - b)^
Resolución:
Agrupando a los trinomios en forma adecuada:
y = [(a + b) + c]^ + [(a + b) - c f +
Legendre
[c + (b - a )f + [c - (b - a}]^
y = 2 [(a + b f + c^] + 2 [c ' + (b - a f l
y = 2 [(a + b f + 2c^ + {b - a f ]
Pero: (b - a f = (a - b f
y - 2[(a + b f + 2c' + (a - b f ]
Legendre
RE S UE LT OS
PROBLEMAS
1.
S ix + y + z = 0 , reducir:
,
x‘ y + f z + z*x + x 'z + z"y + y^x
X2 + y2 + z P
Del tercer dato: 2(a' + b^ + c^ + ab + be + ca) = 66
17
=» ab + be + ca = 16
También;
{a + b + c f = a^ +
L = x * ( -x ) + y '( - y ) + z ^ - z ) ^ -(x ^ + y^ + z^:
x 2 + y9 + z 7
X2 + y 2 + z ?
2(a^ + b^ + c^) + 6abc
43
Luego, tenemos: abe= 12
Reemplazando en la expresión pedida:
(7)(12)
L=
16
, _5
x^+y^ + z^
6
+ y"* + Z^)
Luego: L = ^ ( x ^ + y^ +z^) ;
O
4.
Pero: x^ + y^ + z^ = 3xyz
^ L = :^ (3 x y z )
2.
.. L = ^x y z
SI X y su inverso multiplicativo suman 3. calcular:
. 1.
E = [ x " + ( 1 ) '] [ x - + {3Í)-]
Resoiución;
Por dato: x +
= 3 =? |x +
Dadas las condiciones:
a + b + c = 1; a^ + b^+ c^ = 9 y a'^ +
Transformando la expresión pedida: R= a V b V c '*
abe
Por la identidad:
(a + b + c)^ = 3(a + b + c)(a' + b^ + c^) -
= 27
= x' + -L + 3(3) = 27 ^ x ' + ^ = 18
x^
x^
Efectuando en la expresión pedida;
E = 20
1
Si: a" + b" + c" = 17 ^ a '+ b' + c" = 43
y (a + b f + (b + c f + (c + a f = 66
calcular; IL _
a+ b+ c
a 1+, b . 1+ c’ 1
9
2(a^ + b^ + c^) + 6abc
s
De aqui: abe = ~4
=* ( a + b + c f
= a^ + b^ + c" + 2 (a b + be + a c)
1
9
De donde: ab + be + ca = - 4
(ab + be + c a f = aV + b V + c V + 2abe(a + b + c)
-4
1
Luego: a^b^ + b V + c^a^ = 24
Por último; ( +
3.
+ c^ = 1
calcular: R = ^ + — + -% ; (abe ^ 0)
be ca ab '
'
Resolución;
x = + i + 3 x (l)(x + l ) = 27
=» E = 18 + 2
16
Como; (a + b + cf = 3(a + b + c) (a^ + b' + c^) 343
7
'
17
x^ + y^ + z^ \ / x^ + / +z®\ _ X®+ y® + z®
2
/\
3
/
5
(Ver igualdades condicionales)
=
+ c^ + 2(ab + be + ca)
17
a+ b+ c= 7
Se sabe que:
. . ,5
i B " “"
Resolución;
La expresión pedida puede escribirse:
^ _ (a + b + c)abc
~ ab + ac + be
Resolución;
Agrupando en el numerador en forma adecuada y
utilizando la condición :
x^(y + z) + y^z + X) + z ^x + y)
x^ + y^ + z'
.5
=. y- 2(2a' + 2b' + 2c']
y = 4(a^ + b^ + c^)
b^ + c^ f = a* + b'* + c"
81
+ 2(a^b"' + b^e^ + c V '
a" + b" + c" = 33
R=
5.
Resolución:
Si (a - b f + (b - c f + (c - a f = 1. calcular:
S = {a - 2b + c)(b - 2c + a) + (b - 2c + aKc - 2a + b)+
(c - 2a + b)(a - 2b + c)
Sabemos que;
(a"+ b^ + c ^ f ^ a* + b V c^ + 2(a^b^-f c^a^+ b V )
83
19
=> + b^ +
^ 11
• (a + b + c)^ = a^ + _b^ + c^- + 2(ab + be
^ + ca)-
Resolución;
Escribiendo la expresión pedida en función de;
(a - b), (b - c) y (c - a);
Tenemos;
S = I(a - b) - (b - c)I(b - c) - (c - a)] +
((b - c) - (c - a)][(c - a) - (a - b)] +
[(c - a) - (a - b)l((a - b) - (b - c)]
•
Haciendo; (a - b) = m; {b - c) = n; (c - a) = p
=9 a ' + b^ + c^ = 3abc + 20
De donde; m + n + p = O
S = (m - n)(n - p) + (n - p)(p - m) + (p - m)(m - n)
S = mn - n^ ~ mp + np + np - mn - p^ + mp +
mp - pn + mn
S = mn + pm + np - (m^ + n^ + p^)
Del dato:
- a+b+e=5
a^ + b^ + c^ - 3abc =
(a + b + c)' -3(ab+ be+ ca)(a + b + e) = 20
Reemplazando;
^ _ 3abe + 20 - 11
abe + 3
_ 3(abc -t- 3)
(abe + 3 )
.^ = 3
+ n^ + p^ = 1
Además; m + n + p = O
( m + n - h p f
=
+ n^ + p^ + 2 ( m n +
n p +
pm )
cón (as ccA vd^ion^ p»,e)w sof^:
mámñitíMiacio: ' .
O
1
=> mn + np + pm =
Reemplazando: S = -
6.
^ . p f o t^
i : a = 3: b = í; ^ » 1
-
Si: x + y = J7xy, calcular: E = { - + 1 f + (-^ + 1)®
y
X
Como se cbser^ « i to le tein^^ns
Resolución;
Elevando el dato al cuadrado;
8.
x^ + / = 5xy=> - + ^ = 5
'
'
y X
(£ + i ) + (y + 1) = 7
Vy
' '■X
'
Haciendo: - + 1 = a ;
y
Resolución:
Sea A el valor pedido:
- + 1= b
X
Luego; a + b = 7
También; ab =
A= ( í ± ! í + í ^
:
b
...(I)
Elevando al cuadrado ia expresión (1);
a* + b^ + 2ab = 49 => a^ + b" = 35
Elevando al cubo la expresión (I):
+ b" + 3ab(a + b) = 343 ^
... (II)
9.
= 196...(IJI)
X(lll);a® + a^b^ + a^b^ + b® = (35)(196)
Agrupando: a® + b® + (ab)^{a + b) = (35) (196)
a®+ b® = (35){196) - (ab)^{a + b)
a®+ b® = (35)(196) - (7)'(7)
E = 6517
7.
Si; a“ + b'* + c“ = 83; a^b^ + b^c'^ +
A ab + be + ca = 7
calcular; E = a^ + b' + e^ - 11
abe + 3
^19
+^
a
b+ c
a+ c
a + b,
De la condición: a + b + e = 0; se obtiene:
a + b = - c ; a + c = -b ; b + c = -a
Luego en A;
A = (-1 -1 -1 )(-1 -1 -1 )= (-3 )(-3 )
A= 9
= 7
Se pide: E = a® + b®
(11)
Si: a + b + c = 0; que valor asume:
a + b , a + c , b+c _ ^ + _ ^ + _ 2 _
c
b
a
b+c
a+c
a+b
Si: a + b + e = 3; con a # 0 ;b í¿ 1 a c # 2
a^ + ( b - 1 ) ' + ( c - 2 ) '
c a ic u a re lv a b rd e :------ —a (b -1 )(c -2 )
Resolución:
De la condición; a + b + c = 3 =» a + b + c = 1 + 2
=» a + (b - 1) + (e - 2) = O
Luego se cumple que;
a’ + (b - 1)^ + (c - 2 f = 3a(b - 1)(c - 2)
Sea P el valor pedido: P = ^ ^
3 a (b - 1 )(e -2 )
P=
a (b -1 )(c -2 )
a (b -1 )(c -2 )
10.
Del dato; a + b + c = 0; luego se cumple que:
a^ + b^ +
= Sabe
(3abc) - (0) Sabe
S=
(Sabe) + (0) Sabe
S= 1
Si se cumple: - 3x + 1 = O
calcular el valor de; ^ - x + x
X®
Resolución:
Sea A el valor pedido, es decir:
A
_
X
-
X
e
+ X
_
2< 1_2 C
j:
,
e “t"
14. Si; p - q - r = 2
T = p2 + q^ + r".
-
A = x‘^ - 1 + -!t =»A = x^ + - V - 1
x““
x"
De la condición: -3 x + 1 = 0 ;
=. x' + 1 = 3x =>
-O )
= 3 « x + -= 3
X
X
Elevando al cuadrado; x^ + - ^ = 7
... (II)
X
Finalmente reemplazando (II) en (I) se tendrá:
A= 6
11.
Hallar el equivalente de:
(x' + x - 4)' - (X - 2)(x - 1)(x + 2)(x + 3).
a
pq + pr = qr. hallar el valor de
Resolución:
Datos; p - q - r = 2
,..(l)
pq + pr - qr = O
,..(ll)
Elevando (I) al cuadrado;
p' + q^ + r^ - 2pq - 2pr + 2qr = 4
=. p^ + q^ + r^ - 2(pq + pr - qr) = 4
O
T = p^ + q^ + r^ = 4
15. Si; X =
hal l ar el valor de:
■ •/s -i
R ^ (x' + 2 x + 1 )‘‘ + ( x '- 2 x + 1 ) "
(x ^ + 2 x + 1 )* -(x ^ ~ 2 x + 1 ) *
4)' - (X - 2)(x
- 1)(x + 2)(x +
3)
Resolución:
Reacomodando la expresión para utilizar ta 1.®
R se puede escribir así:
equivalencia de Steven;
B = (x^ + X
4)^ - (X - 2)(x
+ 3)(x - p1)(x
_ [+( x + i )2)
^ r + [( x - i) ^ r _ ( x + i) U ( x ~ i) ^
B = (x' + X
4)^ - (x" + X 6)(x' + X - 2)[ ( x + 1 ) ' f - [ ( x - 1 ) ' f
(x + 1 )« -(x -1 )'
Resolución;
Sea B el equivalente:
B = (x" + X
-
Hagamos: x^ + x = m =» B = (m - 4)^ - (m - 6) (m - 2)
B = m^ - 8m + 16 - m" + 8m - 12 = 16 - 12
.-.8 = 4
12.
Del dato; -j = V3 + 1
V3 - 1
Por propiedad de proporciones: ^X + ^
^
Si: 5a + 5c + ac = O,
calcular el valor de
5ac
(a + 5)(5 + c)(a + c)
Resolución:
Sea R el valor pedido; R =
5ac
(5 + a)(5 + c)(a + c)
Efectuando la multiplicación indicada;
5ac
R
(25 + 5a + 5c + ac) (a + c)
Como: 5a + 5c + ac = 0;
R=
5ac
_
ac
(25)(a + c) 5(a + c)
También del dato: ac = -5 (a + c)
Nuevamente, propiedad de proporciones;
(x + 1 )V (x -1 )^
9+1
- p - 10 _ 5
(x + 1 )® -(x -1 )®
9 -1
EstoesR
16. Si; X + y + z = 2; x^ + / +
= 2.
hallar el valor de:
E = x"(x - 2) + y"(y - 2) + z"(z - 2) - Sxyz.
Resolución;
Efectuando; E = x^ + y^ +
- 2(x '+ y ' + z^) - Sxyz
2
5(a + 0)
13.
Si: a = 2 + /3 ; b = 1 - 2 /3 A c = Vs - 3,
hallar el valor de:
a(a + 1)(a - 1) + b(b + 1)(b - 1) + c(c + 1)(c - 1)
a(bc + 1) + b(ac + 1) + c(ab + 1)
Resolución:
Sea S el valor pedido:
a(a + 1)(a - 1) + b(b+ 1)(b - 1) + c(c + 1)(c - 1)
a(bc + 1) + b(ac+ 1) +c(ab+ 1)
Efectuando en el numerador y denominador:
S = (a^ + b ^ + c ^ )-(a + b + c)
(3abc) + (a + b + c)
=» E = (x^ + y^ + z® - Sxyz) - 4
Sabemos que;
x^ + y^ + z^ - Sxyz =
(x + y + z)(x^ + /
+ z^- xy - xz - yz) ...(a)
De los datos; x + y + z = 2
...(I)
x^ + / + z^ =2
...(II)
Hallemos: xy + xz + yz
Elevando (I) al cuadrado:
x^ + / + z^ + 2(xy + xz + yz) = 4
2
=»
xy
+
XZ +
yz
=
1
En (a); x "+ /+ z "-3 x y z = (2K2 - 1) = 2
E = 2 - 4 = -2
17. S i ; - + -r + - = -:— i!—
a b c
a+b+c
Resolución;
hallar el valor de:
Dato:
(X + y + z + w)^ + (x + y - z -- w)^ = 4(x + y)(z + w)
a + b + c)®- a® - b®- c®
a^b^ + b^c^ + a^c^
Por la segunda identidad de Legendre, se tiene:
(X + y + z + w)^ - (x + y - z - w)^ = 4 (x + yXz + w)
Resolución;
De donde, sumando, resulta que:
(x + y - z -w /)^ = 0 => x + y - z - v^ = 0
De aquí: x - z = w - y a x - w = z - y
X- z '
X - v>/' = (1^+f)^
z -y ,
w - y ,.
De: 1 + 1 + 1 =
^
a b c
a+b+c
=> (be + ac + ab){a + b + c) = abe
(a + b + c)(ab + be + ac) - abe = O
conocido
Conocido: (a + b)( b + c)(c + a) = O
Si asumimos: a + b = 0 = » a = - b
-b ® + b "c ^ -b "c "
P= 2
S=
21. Si: g-+ ^ . ^ + ^.+ ^ + -l = 4 ; a # 1 , b # - 2 :
9 —
D
I
hallar el valor de:
_______ 54_______
a^ - b ^ - 3ab(a - b)
-b®
a“ - 4a^b + 6a^b^ - 4ab^ + b*
27
Resolución;
Si se asume que: b + c = 0
obtiene lo mismo (verificar).
18. Si:
v
p g :
c + a = 0, se
1+ b + 2 , a-1 +
a-1^b+2
Resolución:
^
1=4
b + 2 , a-1 = 2 = a - 1 = b + 2
a-1
b+2
Del dato: x^ - 3x + 1 = O
x^+ 1 = 3 » x + — = 3
X
1
Al cuadrado: x + -^
+ 2= 9
1
^
~ = 7
x
x" + 1 = 3x
=> a - b = 3
Tenga en cuenta que:
- 3ab(a - b) = {a - b)^
a* - 4a^b + 6a^b^ - 4ab^ + b^ = (a - b)*
(a - b)^
T = 54
T - f + I - 2 + 3-5
27
(a-b)^
Al cubo: X® + 4 + 3xV 4 Í íx^ + 4 \ = 7"
^ X®+ ^
=4
a-1+b+2.a-1+b+2
a-1
b+ 2
- 3x + 1 = O, calcular: E = x® + -1
X®
« X“ + ^
a ^ L ^ + a + ^
a -1
b+2
+ 3(7) = r
22. Si: ''ímñ +
= 6 =» ‘-/m^~n^ -
calcular: */mñ -
= 7" - 3(7) = 7(7^ - 3)
= 24
donde; {p; q; m; n} c Ití*
Resotución:
De los datos: (Vmn)^ - (*^M)^ = 24
E = X« + 4 = 322
X®
Por diferencia de cuadrados:
19. Sia A b e ffi - {0>; a + bí¿ OA 1 ~ ^
a a+b
a+b
b
a ;b e E -{ 0 }
1a + 1b =
a
a + b# 0
a
1 ^
a a+b
3
a+b
1
b
= O
j _ a^+ b^a 4 3a^b, j _
+ 3a^
ab^ + 3a^b + b
a + 3a + a
T= 1
20. Si: (X+y + 2 + w)^ + (x + y - z - w)^ = 4(x + y){z + w). ha­
llar el valor de: S = ( —
lw- y
X- w
2-y
“Vmñ -
= 4
23. Reducir: (a + b)^ + (a - b)^ - 8a^ + 6a(a - b)(a + b)
(a + b)^ = 4ab
a+ b
=»
+ b^ = 2ab =»
2ab +
=» (a - b)^ = O =» a = b
- Vm) = 24
(6)(*Vrññ - “/ m ) = 24
hallar el valor de: T = a^+b^a + 3a^b
ab" + 3a^b + b'
Resolución:
(Vrññ +
Resolución;
Sea A la expresión dada, la cual se podrá escribir
así:
A = (a + b)’ + (a - b)^ + 6a(a - b)(a + b) - 8a^
Reacomodando el segundo miembro;
A = (a + b)® + (a - b)^ + 3(2a)( a - b)( a + b) - 8a^
A = (a + b)^ + (a - b)^ +
3(a - b )(a + b)[(a + b) + (a - b)] - 8a^
Notar que la expresión de arriba fue obtenida por
ser un binomio al cubo.
A = 1(3 + b) + (a - b)]^ - 8a^ ^ A = [2 a f - 8a^
=5 A = 8a^ - 0a^
A= o
24.
27. Si; a , b, c e E -{0}
Si; X + y + z = O, hallar el valor de:
(x + y - 2 z f f (y + z + (x + z xyz
2y)^
z -
2x)^ +
(x +
z-
2y)^
(a^ - ab + b^)(a + b) + c^
De la condición: x - y + z = 0: se obtiene:
X + y = -z: y + z = - X A X + z = - y
Reemplazando:
-27(x^+y^ + z^
.. (-3z)^ + (-3xl^ + (-3y)^
R
R=
xyz
xyz
Como: x + y + z = 0 =
= 3xyz
p _ -27(3xyz) _
(27)(3)
•. R = -81
^
xyz
25. Si se cumple: ^(ab)"''’" '' = —
4
calcular el valor de:
A = [(a + b)^ - (a - b)^] [{a^ + b')^ - (a' - b^)^]...
,..[(a" + b ")'-(a '’ - b T ]
Resolución:
n factores
A = 4"(ab)'*^' " - A = 4"(ab) ^ = 4"J(ab)"<""'*
Por dato; /(ab)"'"''’ = —
4"
Luego: A 4 "|-^ j
A= 1
^
Reemplazando: E = 3abc
6abc
28. Si se cumple que: x + 4y + 9z = O, simplifique:
(x-2 y)^ ^ (2y-3z)^ ^ (3z-x)^
xy
yz
Resolución:
(2 y -3 z )‘ (3z - x)‘
yz
xz
xy
x'-4xy+4y^ 4y^-12yz+9z^ 9z ^-6X2+ x^
N=
xy
yz
xz
N = (? ^
N= --4
X
z
y
x + 9z I 4y + 9z ^ x + 4y
y
X
z
Como: X + 4y + 9z = O
X
^ N = ^ ^ + í— U ( ^ ^ U 2 2
y
'
X
'
2
22
N = -3 6
\ z
29. Si:
X + y = /TO; (x - z f + (z + y)^ = 6,
hallar el valor de: M = xz + xy - yz - z^
Resolución;
M = x(z + y) - z(y + z) = (x - z)(z + y)
^
2z)^
Datos; x + y = -f\0 a (x - z f + [z + y f = 6
(x - z) + (y + z) = /To, al cuadrado:
(x - z f + (y + z f + 2(x - z)(y + z) = io
^
.-. M = 2
6
(x" + z)" + (y' + x )" -( x ^ + y)'
Resolución:
Reduciendo el segundo miembro de M con el
auxilio del trinomio al cuadrado se consigue:
M = 6x^ + 6y^ + 6z' - 6xy - 6xz - 6yz
Reduciendo el segundo miembro de N con el
auxilio dei binomio al cuadrado se consigue:
N = 2x'‘ + 2y^ + 2z^ - 2xy - 2xz - 2yz
Por condición: M = N; luego reduciendo;
4x^ + 4y“^ + 4z^ = 4xy i 4xz i 4yz
O sea: x^ + y^ + z^ = xy + xz + yz
De acuerdo a propiedad se cumple:
x = y = z = cte.
Finalmente el valor pedido será:
+
2M
= 10
30. Si: a^ + b' + c' = 2; a' + b' + c^ = 3,
calcular: A
2 - ab - be - ca
Resolución;
A
________3 - Sabe________
3(a + b + e)(2 - ab - be - ea)
Datos: a^ + b^ + = 2 a
= 3
^ ^ ______ a^ + b^ + e^- 3abe______
3(a+b+c)(a^ + b' + c^-ab-bc-ca)
Pero, por la identidad de Gauss:
(a + b + c)(a' + b' + c' - ab - be - ca) =
- 3abc
.'. A = 1/3
31. Si tres números reales positivos a, b y c cumplen
(x^ + x )^ -(x " + x)^+(x^ + x)^ ^ (x^ + x)-
(x^ + x>^ + (x^ + x f - (x^ + x f
R= 1
a^ + b^ + c
6abc
M = xz + xy - yz - z^
26. Si: M = N. donde:
M = (y + z - 2x)^ + (z + x - 2 y f + (x + y N = (y - z)^ + (z - x f + ( X - y)^
R
_
6abc
N=
Aplicando la equivalencia de Legendre en cada uno
de los factores: A = [4(ab)][4 (a^b^)] ... [4(a"b")]
Notar que existen n factores:
A = [4 , 4 ...^][(ab)(ab)^... (ab)"*]
^
hallar el valor de:
c;
Resolución:
a, b, c e E - { 0 } a a + b + c = 0
=» a’ + b^ + c^ = 3abc(propiedad)
xyz
hallarelvalorde: R =
a = -b -
6abc
Resolución:
Sea R el valor pedido:
^ ^ ( x + y - 2 z f + (y +
a
_ _ (a^ - ab + b^)(a + b) + c^
que: -^(b + e) + ^(e + a) + ^(a + b) = 6, hallarel
(x^ + x)‘
valor de la expresión; M =
(a + b + e)
+ b’ + abe
De aqui: x = y
Reponiendo: a + b = c + d
Resolución;
De la condición, escribimos;
b ^ c ^ g ^ a ^ a _ ^ b ^2 + 2+ 2
a a ¿ b c
— '
De aqui: a - e = d - b; también: b - c = d - a
^ S=
Transponiendo y agrupando;
34.
Cada paréntesis se puede escribir:
a- c
+
,•.8 = 2
b -c
Si; x =
hallar el valor de;
R = (8x^ - 6x)
Resolución;
a
Ve I
D a ,c :x = l( |. |
Para que la suma de cuadrados valga O, la única
posibilidad es que cada sumando tiene valor 0.
Al cubo: (2x)^ =
>a
ya
’a
=» b^ = a^ => a = b
^b
En forma similar; a = c
a
a
b
2x = rb + -a
a
b
b= c
8x’ - 6 x = ( f r + ( i
Conclusión; a = b = c = k
Reemplazando en lo pedido:
M=
32.
Si:
X,
3k"
, m = 9
3k^
35.
y, z e E; tal que satisface;
halle el valor de: ^ ~ ^
a
X" - yz , y - xz ^ z - xy _ Q
7
ie: T = ^
hallar elvalcr de:
x'^ + y ’ + z
Resolución:
Hacemos un cambio de variable.
Sea: x = a - b
Resolución:
Reemplacemos: (x - c)^ - (x + e)^ = 2(x^ + c^)
- yz y^ - xz z^ - xy ^
De: ------^ + - --------+ -------- ^ = 0
x
y
z
x^yz - {yzf + y^xz - (x z f + z^xy - (xy)^ = O
_
Usando la identidad de Legendre, tenemos;
-4 xc = 2{x^ + c^}
=» x^ + c^ = -2 xc => x^ + 0^ + 2xc = O
Hagamos los cambios: xy = a; yz = b; xz = c
=;> ac - b^ + ab - c^ + be = O
=> a^ + b^ +
- ab - be - ac = O
conocido
^ [(a - b f + (b - c r + (c - 3)1 = O
=» (a - b)^ + (b - c)^ + (c - a)^ = O
(x + e)^ = O =9 X = - c
Regresando a tas variables iniciales, obtenemos:
x = a - b = - c =» a = b - c
• b -c _ ^
a
36.
Para que la suma de cuadrados valga O, la única
posibilidad es que cada sumando tiene valor 0.
a ~ b = Q: b - c = 0: c - a = O
a= b
b= c
c=a
Reponiendo:
xy = yz; yz = xz; xy = xz =s y = z; z = x;
Luego: x = y = z = k
j ^ (2k)(2k){2k) _ 8k^
3k-^
Sk-“
33.
Si se cumple que:
(a - b - c)^ - (a - b + c)^ = 2{(a - b)^ + c*}
Si tenemos que 2^* + 2~*' - 47, halle el valor de:
2” + 2 -
Resolución:
Completamos el trinomio cuadrado perfecto;
2*”+ 2 '^ + 2 = 49
(2^“ + 2-'*)^ = 49 ^ (2^‘ + 2'2’-) = 7
y= x
Razonando de igual forma obtenemos:
(22. + 2'^* + 2) = 9
T = 8/3
(2« + 2 - ‘ f = 9 => 2 ' + 2 ' = 3
Si: (a + b + c + d)^ = 4(a + b)(c + d), hallar el
valor de: 8 =
d- b
+
37.
d- a
Si x + 1 =
1;
X
halle el valor de; x® + -7
X®
Resolución:
Resolución:
En el dato, hagamos los cambios; a + b = x;c + d = y
=» (x + y)^ = 4xy
=> x^ + 2xy + / = 4xy =» (x - y)^ = O
Para obtener la suma de potencias quintas, pode­
mos multiplicar la suma de cubos por la suma de
cuadrados.
=» 3(x + y + z)^ = 51(x + y + z) -7 8
Vemos que: x + y + z = 2
=^x + y + ( z - 2) = 0
...(1)
Como: a + b + c = 0 =» a^ + b^ + c^ = Sabe
De (1): x' + y^ + (z - 2)' = Sxy (z - 2)
x' + y^ + ( z - 2)'
■('}
Del dato tenemos;
1 ■= 1 2 = ,
X + -L
X/
x+1
X
X + -Í-)
x/
x=+ 4 +
2 = 1
x^
P=
== 1^
x' + -V = -1
X
= 1'
x 3 + , + 3 x ( l) ( x + | | = 1
= f = * x ' + 4
x^
40.
= 1 - 3 = 2
X®
+ -L = 1
X®
38.
Si: x’
+
=
3xyz, encontrar el equivalente de;
T = n-1 | x + y + z gabiendo que; x + y + z
^ ( x + y + zj'
O
41.
Resolución:
Dato: x^ + y^ + z^ - Sxyz = O
Calcular: P = b - a
b -c
Efectuando:
b -a b+c
P=
b + a b -c
...{1}
...(2)
b+ c
b+ a
a -b
a -c
a+ c
a+ b
Como:
x + y + Z i¿ 0 = > la única posibilidad es que:
(X - y)^ + (y - z f + (z - x)' - O
P = b - a b + 3a
b + a b -a
y
zx = y = z
x
Luego la expresión propuesta equivale a:
a+c
a -c
( 1)
a + b = 2 = 0 - 2ab
Pero: 1 + 1 = 1
a bb e
ab
c
a+ b
Reemplazando el valor de c en la expresión (1);
h , 2ab
a + 2ab
a+ b
a+b
P = b -a
b+ a b
2ab
2ab.
a+ b
a+ b
l ( x + y + z)í(x - y f + (y - z)= + {z - x)^] = O
T = n-
Reducir;
M = (m - n + p - q)^ - (m - n + p)^ +
Sq(m - n + p - q)(m - n + p)
Resolución:
Igualando (1) y (2):
Se debe cumplir que:
( x - y f = 0=» x - y = 0 =» x =
(y -z )^ = 0 = y - z = 0 = » y =
{ z - x ) ^ = 0 =^ z - x = 0 => z =
P = -6
si; 1 + 1 = 1
a b e
Se sabe que:
x^ + y^ + z - 3xyz = 1 ^ (x +y +z) ({x - y)^ +
(y - z)^ + (z - x f l
x ' + y S (z -2 )^
- Sz
xy
Resolución:
Hacemos un cambio de variable: m - n + p = x
Reemplazando;
M = (x - q)^ - (x)' + Sq(x - q) (x)
M = x^ - Sx^q + 3xq^ - q^ - x^ + (3qx^- Sq^x)
M = -q '
Reemplazamos en (1): (-1 ) (-2 ) = x^ + - ^ + 1
.-.
= 3z - 6
xy
P
42.
x" + x" + x" _ ^_,|_3x^ _ p_i| 3x"
(x + x + x)"
(Sxy'
S^x'’
T=
= (b -a )
(b + a)
a + Sb
a -b
4(b + a)
(b -a )
P= 4
Determinar la expresión algebraica p para que la
siguiente igualdad;
p2 = (x^ + / + z^ + p)^ - (X + y + zf{%^ + y^ + z^)
se convierta en identidad.
Resolución:
39.
Si; x^ + y^ + z^ = 5.6; x^ + y^ + 2^ = 7 A xyz = - 2
Sea; x^ + y^ + z^ = a
(x + y + z)' = x^ + y'+ z^ + 2(xy + yz + xz)
(x + y + z f ^
a
+ 2(xy + yz + xz)
«
= (a + p)^ - [a + 2{xy + yz + xz)]a
Efectuando operaciones y reduciendo quedará;
2ap = 2a (xy + yz + zx)
p = xy + yz + zx
^ x^ + y^ + (z - 2 f
detemiinar el valor de: P =
-3 z
xy
Resolución:
Recordemos la siguiente identidad:
(x + y + z f s 3(x^ + y^ + z^){x + y + z) 2(x’ + y' + z') + 6xyz
En nuestro caso, reemplazando datos;
(x + y + z)^ ^ 3 ( |í) ( x + y + z) - 2(7) + 6 (- 2)
43.
Si a + b + c =
+ b^ +
= 1,
calcular: a’ + b* + c^ - 3ab
a'' + b'* I c“ - 4abc
Resolución:
Dato: a + b + c = 1
Elevando al cuadrado:
a^ +
4- 2(ab + be + ac) = 1
La suma de cuadrados de números reales igual a
O, implica que cada sumando (base) vale 0.
« a - b = 0, b - c = 0, c = a = 0, x = 0. y = 0,z = 0
1
^ ab + be + ac = O
Sabemos que;
(a^+ b^ + c^)^ = a'’ + b“* + e'* + 2(a^b^ + b V + aV) .. .(I)
Además:
(ab + be + ac)^ = a^b^ + b^e^ +
+ 2abe (a + b + c)
O
1
Usando los datos; a^b^ + b^c^ + a^c^ = - 2abc
En (I): (1)" = a" + b" + e" + 2(-2abc)
=> a“* + b“ + c“" - 4abc = 1
También sabemos que:
a^ + b^+ c^ = (a + b + c)^ 3(a + b + c)(ab+ be + ac) + 3abc
De aquí; a = b = C A x = y = z = 0
Luego, en lo que nos piden:
3a'
46.
(a -b )^
Dato:
2(x + y)^ + 2(z + w)^ = [(x + y) + (z + v\/)]^ [(X + y) - (z + w)]^
Hacemos: x + y = a;z + v\/ = b
En el dato: 2a^ + 2b^ = (a +b)^ - (a - b)^
2a' + 2b' = 4ab =» 2a' - 4ab + 2b' = O
a "- 2ab + b'^ = O => (a - b)' = O^ a = b
De donde; x + y = z + víí
•z + w
( c - a )"
( b - e )
(e -a )(a -b )
En M:
(a -b )(b -c )
Hagamos los cambios:
a - b = x, b - e = y, c - a = z
47.
X
+
y
1¿
+
z
-.(a )
-
(c + a)
ca
De las dos condiciones, se obtiene:
(a^e + b'a + c'b) + (b'c + e'a -»• a'b) = 12abc + 18abc
=> a'c + b'^a + e‘ b + b'c + c'a + a'b = 30 abe ... (u)
Transformemos lo que nos piden:
c(a + b)' + a(b + e)' + b(c + a)^
abe
3
Si {a: b; c; x; y; z} c IR, que verifica:
(a + b+ c)^ = 3(ab + be + ea - x^ - y^ - z^)
hallar el valor de:
ea^ + 2abc + cb*^ + ab' + 2abc + ac^ + be + 2abe + ba
abe
a^ + b^ + c^
b^ + c^)(a= + b^+c®
Agrupando en el numerador:
(ea' + cb' + ab' + ae' + be' + ba') + 6abe
abe
Resolución:
De la condición:
a^ + b^ + c^ + 2(ab + be + ac) = 3(ab + be + ae) 3(x^ + +z^)
=> a^ + b^ + c^ - ab - be - ac + 3(x^ + / +z^) = O
Multiplicamos por 2 y desdoblamos:
+ a^ + ¿^ + b^ + c^ + - 2ab - 2^ ~ 2gg +
6(x^ + / + z^) - O
Agrupando como se indica:
(a - b)^ + (b - c)^ + (c - a)^ + 6(x^ + y^ + z^) = O
lo
(a + b) , (b + e f
ab
be
Resolución:
Pero de los cambios vemos que: x + y + z = O,
entonces se cumple que:
x^ + y'’ + z^ = 3xyz
Reempiazando en (a ) :
Si que se cumple:
calcular:
xyz
(x' + y" + z-* + :
I z + w/
a ‘ o + b;a + c^b , 3,^^ ^ b^c + c^a + a ‘ b ^
Nos piden: — + — + —
yz zx xy
45.
M=
M= 1
Resolución:
Operando se tiene:
H
\ z +^w r/
Resolución:
Simplificar:
(b -e )(c -a )
Si:
2(x + y)^ + 2{z + w)^ = ( X + y + z + w)^ - (x + y - z - w f
hallar: M
Con los datos: a^ + b^ + e^ = (1)^ - 3(1)(0) + Sabe
=í a^ + b^ + c^ - 3abc = 1
Reemplazando en lo pedido:
a^+ b^ + c^ - 3abc
c - 4abc
44.
= 27 3a' = 9
9a"
(3a^)(3a'
Usando (a), se obtiene:
30abc + 6abc 36abc = 36
abe
48.
abe
Si; ( x + b)^ + ( X + c f = O
...(1)
(x + a)(x-*-b) (x + a)(xrc) (x + b)(x+c)
- 1 .,.(2)
x+b
hallar:
(x + b)(x + c|
Resotución;
Efectuando operaciones en la expresión (2):
(X + a f (x + b f + (x + a f ( x + c f + (x + b f (x +
cf
M a ^ b ^ + c - ^ f - S la V b ^ T c ^
a- + b“ + c'’
(x + a){x + b)(x + c)
Agrupando términos en eí numerador;
O
(x + a f[(x + b f + (x + c f ] + ( X + b f( x + c f _
(x + a){x + b)(x + c)
+ b)(x + c)
= 1
(x + a)
■ ^(a'* + b‘' + c‘*) ^ .
a^ + b V c "
51. Si x^ + 4 r =
y"
rs j
(x + b f( x + c f
.
De donde; — ^— .,
. ., — - = 1
( x + a ) { x + b)(x + c )
(X
=. (a^ + b' + c^f = 2(3“ + b" + c")
Al cuadrado; (a^ + b^ + c^)^ = 4(a“ + b* + c*)^
Reemplazando en lo que nos piden;
+ -T = 1• hallar el valor de (xyz)’“ - 1
z'
Resolución;
De la condición: x^ + 4 r = 1
y
x+a
= 1
(x + b)(x + c)
=» x V + 1 = y^ => x y = y^ - 1
49. Si: ( 1 + a 'x)(a + y)(1 + a ’z) = a + x + y + z,
calcular; P = x ^ + y’ ’ + z’ ’
Resolución;
Con el dato: (1 + f—)(a
) ( a + yy)) (1
( 1++ -f : ) = a + (x + y + z)
Además: y ^ + 4 r = 1 =» -V = 1 - y ^
2
z
1
Invirtiendo: z^ =
(P)
1 -y ^
1
L - ( y ^ - i)
(a )x (p ): x y z ^ = (y ^ - 1 )
'a + X )(a + y ) ( i ^ ) = a + (x + y + z)
...(a )
=
-1
Elevando a la 34: (xyz)'°^ = 1
(xyz)'^^ - 1 = 0
+ z) = + a^(x + y + z)
z)
+ a(xy+ yz + 52.
zx) +Reducir:
xyz =
a^ + a^(x + y + z)
(x^ + x + l f - 2 ( x '* + x^+ 1) + ( x ^ - x + l f
=» a(xy + yz + zx) = -xyz
(x^ + / 3 f + 2(x^ - 3) + (x' - i 3 f
^ xy + yz + zx _ 1 ^
xy ^ yz ^ 2x ^ 1
Resolución:
xyz
a
xyz xyz xyz a
=> (a + x)(a
a^ + a'(x +
+ y)(a
y+
^ l+ I + I . - l
z X y
a
I S
En P: P = z’ ’ + X"’ + y ’
■'
+ c'’f
_______________________________
Observamos que el numerador (N) y denominador
(D) son trinomios cuadrados perfectos.
N = (x' + X + 1)' - 2(x' + X + 1)(x' - x + 1) +
(x' -
Resolución;
Recordando la identidad condicional;
a + b + c = 0=> (a' + b^ + c^)^ = 2{a' + b‘ + c^)
Además, si: a + b + c = 0 = » a + b = - c
Elevamos al cuadrado: a' + b' + 2ab = c^
=> a^ + b^ - c^ = -2ab
Volvemos a elevar al cuadrado:
a" + b" + c" + 2a"b' - 2 b V - 2a'c" = 4 a V
=* a^ + b“ + c'‘ = 2(a'b^ + b^c^ + a^c')
...(a )
También; a + b + c = O
=> a^ + b^ + c^ = -2(ab + be + ac)
Elevando al cuadrado nuevamente:
(a^ + b^ + c^f = 4[(a^b* + b^c^ +a^c^ + 2abc(a + b + c)]
O
De aqui, decimos:
(a^ + b^ +
B
x“ + X^ + 1 = (x^ + X + 1)(x^ - x + 1)
P= -1
a
50. Si se cumple que: a + b + c = 0. hallar el valor de;
j(a^ + b' + c^)'* - 3(a^ +
a V b" + c"
Ü
^
= 2(a"b^ +
Reemplazamos en (a):
a- + b- + c * = Í 2 - ^ ± ^
+ a'c^)
X +
1)'
^ N = [{x' + X + 1) - (x' - X + 1 )f ^ N = (2x)*
Como; x" - 3 = (x' + /3 )(x' - / 3 )
D = (x" + i 3 f + 2(x' + -/3)(x' -V 3 ) + { x ^ - - Í3 f
^ D = [(x' + ¡3 ) + {x^~ i 3 ) f = D = (2x^)^
Luego:
D
N
'■ D
4x‘
53. Si:. x - z ,
z - y
hallar;
=
X
= 1,
(x +
y ) ( z - y )
+
Resolución:
Del dato; (x - z)(x + y) + z' = (x + y)(z - y)
^ (X
- z)(x +
y) - ( X + y)(z - y) + z' = O
« (X
+ y)(x - z - z + y) +
z' = 0
( X + y)(x + y - 2z) + z^ = 0
=. (x
+ y)^ - 2(x + y)z + = O =»(x+y - z)^ = O
TCP
De aquí; x + y = z
D = [2a' + 2b' + 2ab]' ^ D = 4(a' + b' + ab)^
z - y=
X
Reemplazando en lo pedido:
'Z,2
X\2
54.
57.
Si
+ be + bd + cd = O, calcular:
(a + b)(a + c)(a + d)
(b + c)(b + d)(c + d)
Resolución;;
(F T ^ K ÍT ^ X ÍT d ) = 5
Lueao' ^
^
D
58.
59.
2
Si:a+ b + c = 1, hallar el valor de:
__________ 1 - Sabe__________
2(a^ + b^ + c^) - 3(a' + b^ + c^)
Reducir:
T = (m - n + p - q)^ - (m - n + p)^ +
3q(m - n + p)(m - n + p - q) + q^
Si:
^ = 1 , calcular:
x -1
y
(1 + y ')(1 + x '
(x + y f
Resolución:
Los datos los elevaremos al cubo:
(a + b)^ =
= a^ + 3a^b + 3ab" + b^ = 3 ,..(l)
(a - b)^ = ^V3^=* a^ - 3a'b + 3ab' - b^ = 2 ,..(ll)
Sumando (!) y (II): 2a^ + 6ab^ = 5
^ 2 a (a '+ 3b') - 5
...(lll)
Restando (I) y (II); 2b^ + 6a^b = 1
^ 2b(b^ + 3a^) = 1
...(IV)
(lll) X (IV): 4ab(a' + 3b")(b^ + 3a^) = 5
(x + y)'
( 1 + y ')( 1 +x^)
Del dato: xy + y = - x + 1 => xy + x + y = 1
Elevando al cuadrado:
x V + x' + y '+ 2x'y + 2xy' + 2xy = 1
2xy( x + y + 1)
Pero: x + y = 1 - xy
•••(a)
=>
+ / + 2xy(2 - xy) = 1
Sumando 1 y transponiendo términos:
1 + 2^ + x' + / = 2 - 2xy(2 - xy)
56. Encontrar el valor numérico de la expresión:
a“ + b" + (a + b)^
P=
para; a = 73 - 1;
(1 + x') + y'(1 + x ') = 2(1 - 2xy + x V )
[a^ + b^ + ( a + b)^]"
(1 + x')(1 + / ) = 2(1 - xy)=
b = '/V2TV3
Reemplazando (a); (1 + x')(1 + / ) = 2(x + y)^
2(x + y f (x + y)' _
1 5
(x + y f 2(x + y f
^2 2
Resolución:
D = [a' + b' + a' + 2ab + b']'
- p ^ I
Resolución:
Sea: m - n + p = x, reemplazando en T:
T = ( X - q)' - x' + 3qx (x - q) + q'
T = x^ - 3xq(x - q) - x^ + 3qx(x - q) +
T= 0
Resolución:
Efectuando operaciones en el numerador (N) de P
se tiene:
N = a" + b" + a"+ 4a®b + 6a^b' + 4ab' + b"
N = 2a" + 4a^b + 6 a V + 4ab' + 2b“
N = 2[a‘' + 2a^b + 3a^b^ + 2ab^ + b"]
Desdoblemos: 3a'b^ en 2a'b^ y a'b'
N = 2[(a" + 2 a V + b") + (2a^b + 2ab') + a^b^]
N = 2[(a^ + b')^ + 2ab(a' + b^) + a^b^
N = 2[(a' + b') + ab]' « N = 2[a' + ab + b']'
El denominador (D) de P se puede escribir;
4{a^ + ab + h ^ f
2(a^ + b^ + c^) - 3 (a '+ b^ + e^)
+ c)(b + d)(c + d)
(b + c)(b + d)(c + d)
55. Si a + b = -/3 y a - b = V 2, determinar el valor
de: 4ab(a^ + 3b^)(b^ + 3a^)
2(a^ + ab + b^)^
D
Resolución;
Sabemos que:
{a + b + c)^ = 3(a' + b' + c')(a + b + e) 2{a^+ b^ + c’ ) + 6abc
Reemplazando el dato: a + b + e = 1
^ = 3(a' + b' + e')(1) - 2(a^ + b' + c') + 6abe
=> 1- 6abe = - (2(a^+ b^ + c^) - 3(a' + b^+ c^)]
1 - 6abc
= -1
Sabemos que:
(a + b + c)(ab + be + ac) - abe = (a + b)(b + c)(c + a)
(a + b)(a + c)(a + d) n
Trabajamos con el numerador (N):
N = a^ + (b + o + d)a^ + (be + bd + cd)a + bcd
Del dato: be + bd + cd = -a^
=^ N = (a^ + (b + c + d)a^ + (-a^)a + bcd
=s N = (b + c + d)[-(bc + bd + cd)]+ bcd
=» N = - [(b -t- c + d) (be + bd + cd) - bcd]
conocido por identidad
Reemplazando: N = - (b + c)(b + d)(c + d)
N
60.
En base a las condiciones;
m' + n' + p' = 16: mn + np + pm = - 6; mnp = 4
calcular eí valor de:
m'^n + n‘ p + p'm + m^p + n‘ m + p^n
además; (m + n + p)” ' < O
Resolución:
Transformemos lo que nos piden (agrupamos):
(m*n + n*m) + (n*p + p^n) + (p‘‘m + m^p) =
m n(m ^ + n^) + np(n^ + p^) + pm (p^ + m ’ ) . . . ( l)
Reemplazando arriba, se tiene;
3 /a x /b x /c = 3
/a x /b x /c
Del dato:
+ n' + p' + 2(mn + np + pm) = 16 - 2(6)
(m + n + p f
De aqui: m + n + p = 2 o m + n + p = - 2
Tomamos: m + n + p = - 2 (por dato)
Sabemos que:
m^ +
+ p’ = (m + n + p)^ 3(m + n + p)(mn + mp + np) + 3mnp
Usando los datos tenemos:
+ n^ + p' = (- 2 )' - 3 (-2 )(-6 ) + 3(4)
=>
+ n^ + p^ = -3 2
Usando en (I):
= mn(-32 - p^) + np(-32 - m®) + mn (-3 2 - n^)
63. Si; a - b b + c A c + a > 1, determinar:
b + c - 2a'
P = a - 2b -^c , / a - b - 2c
b
/ \
c
/ \
a
Resolución:
Del dato: a^ - ab = be + c^ =» a^ - c^ = ab + be
=> (a + c)(a - c) = b(a + c)
_
. a- b= c
De aquí; a - c = b i .
b+ c= a
Reemplazando en lo que nos piden:
P = b -2 b \ + (c - 2 e f ^ / a - 2 a
Agrupando adecuadamente:
= ~ 32(mn + np + mp) - mnp^ - npm^ - mpn^
= - 32(mn + np + mp) - mnp(p^ +
+ n^)
(-6)
Efectuando resulta: 128
(16)
P=
64.
61. Reducir la expresión:
b /
\ c
' a
Si se verifica que; V/x + 1 + ^//x + 1 = 1 , calcular
el valor numérico de la expresión:
T(x) = 64x^ - 129x^ + 876x
Resoiución:
Í4(a" + b' + c')-(a + b - c)^'-(a - b + c)' - (b + c - af
siendo: a + b + c = 2p
Elevando al cubo el dato: (V/x + 1 + V/x - l f = [ l f
Desarrollando:______
/x + 1 + 3V(/x + 1)(/x-11(V/x + 1+ V/x-1) + /x - 1 = 1
liDatoi
2/x + 3 ^ / j n = 1 ^ 3 ^ / x ^ = 1 - 2/x
...(I)
Elevando al cubo ambos miembros de (I):
[3 ^ /> r ^ f = [1 - 2 /x]^
=» 27(x - 1) = 1 - 3(2 /x ) + 3(4x) - (4x)(2 /x )
= 6/x + 8x/x - 28 - 15x
...(II)
Elevando al cuadrado ambos miembros de (II):
36x + 96x' + 64x' = 784 - 840x + 225x'
=. 64x^ - 129x^ + 876x = 784
TM
T(x) =784
Resolución:
La expresión pedida se puede escribir:
J(2af+ (2bf+ (2c f-(a + b - c f- ( a - b + cf-^(b~+"c^af
Sea: a + b - c = x, a - b + c = y = b + c - a = z
De aqui podemos decir que:
X + y = 2a, X + z = 2b, y + z = 2c
Ademas, sumando se deduce que:
x+y+z=a+b+c
Reemplazando en lo pedido se tiene;
J(x + y f + (x + z f + (y + z f - x^ Desarrollando y reduciendo, queda:
=
+ y^ + z^ + 2xy + 2xz + 2yz
= ^{x + y + z f = x + y + z
Reponiendo se tiene; a + b + c = 2p
62. Si a + /ac = b + í b c .
además: a # b a abe O
Calcular el valor de:
+-~
Vbc Vac Vab
65.
Si; x^ + 1 = O A X # - 1, calcular
. _ (x-1)^ (X-1)^
x^
X
Resolución;
Resolución;
Transformando el dato por suma de cubos;
= ( X + 1)(x' - X + 1) = O
De aqui: x = - 1 v x ^ - x + 1 = 0
De: a + Jác = b + ■/be => a - b = -/be - /ic
=í (/a + /b)(/a - /b) = /c(/b - /a)
=i (/a + /b)(/a - /b) = - / c ( / a - Vb)
^ • / a + /b + - /c = 0
...(I)
Consideramos: x^ - x + 1 = 0
( x - lf
( x - lf
Nos piden: A =
x
Nos piden:
Se
/a x /b x /c
+
Vac
/ab
/a x /b x /c
F
V
(I)
(x^f
X
De(l); X - 1 = x^ ^ A =
x"
= ,A = x“ - x " ^ A = x’ (x - x')
Pero si: /a + /b + /c = O
Pero del dato: x® = -1 y de (I): x -
^ /a^ + / b V / c ^ = 3 / i / ^
Luego; A = (-1)(1)
A= -
1
= 1
Reemplazando en T;
66. Efectuar y simplificar;
A = (x + y - 2)(x + y) + (X - y + z)(x + z) +
(y + z - x)(y + z) - 2(x^ + y^)
T= (-c -c f ^(-a -a f ^(-b -b f
ac
ab
be
c^ + a ' + babc
ab
be
ac
4
X
3abc
. T = 12
T=
abe
Resolución:
A=
(X
+ y ~ z)
(X
+ y) +
(X
(y + z -
- y + z)
X)
(X
+ z) +
(y + z) - 2{x^ + / )
Multiplicando convenientemente;
A = (x + y f - z ( X + y) + (x + zf - y(x + z) + jy + zf -
68.
x{y + z) - 2x' - 2y^
Si la diferencia de las cuartas potencias de dos nú­
meros es 369 y el cuadrado de la suma de ios cua­
drados es: 1681, ¿Cuál es la suma de los números?
Resolución:
Desarrollando dichas equivalencias:
A = x^ + 2xy + / - z x - z y + x^ + 2xz + z^ -
a " - b ' = 369
(a' + b ^ = 1681
De (1): (a^ + b^)(a^ - b') = 369
De (2); (a^ + b^)' = 41^ ^ a' + b' = 41
yx - yz + y' + 2yz + z^ - xy - xz - 2x^ - 2y^
A = 2x'
67.
Reemplazando (4) en (3):
41(a^ - b^) = 369 =» a^ - b^ = 9
Sumando (4) + (5); 2a^ = 50 => a = 5
Reemplazando en (4): 5^ - b^ = 41 =» b = 4
Piden; a + b = 9
Si:
a+b+c=
a -b )(b -c )
hallar: T = í i ± ^
ab
(b -c )(c -a )
(c-a ){a -b )
+ ( h + ^ ^ (c + a - b f
be
ac
Resolución:
Del dato:
a + b + c _= c - a + a - b + b - c
(a - b)(b - c)(c - a)
O
a+ b+ c=
(a - b)(b - c)(c - a)
a+ b+ c= O
...(I)
De (I); a + b = -c ; b + c = -a ; a + c = - b
69.
...(1)
...(2)
...(3)
...(4)
(5)
Siendo: ab = '/TOO - V Í 0 + 1,a + b - 1 = VTÜ,
hallar: 3ab{a -i- b)
Resolución:
Primera igualdad: ab = VTo^ - VTO + 1
Segundo igualdad: a + b = ViO + 1
Multiplicando miembro a miembro (da suma de cu­
bos):
=9 ab(a + b) = VÍÓ^ + f = 11
3ab(a + b) = 33
P RO B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI
PROBLEMA 1 (UNI 1 9 7 8 )
Si se tiene la suma S y el producto P de dos cantidades
x, y; entonces:
■x' + y '-
De donde: ^ ^ + ^ ^ = 3
Nuevamente sumando 2 miembro a miembro:
es igual a:
2L = 3 +
Va
A) (S - P)^ - (s - P)^
B)0,25S" - PS' + P'
C) S" - 2PS' - 3P'S + P^
D) S" - PS(1 - S) + | P '
2 =.
Vx®
a
=5
TCP
E) S’ - PS + | P '
^ +
a
Clave: C
Resolución:
Sumando y restando 2xy en el numerador de la base:
TCP
+ y^ + 2xy - 2xy _ (x + y f - 2xy
si;
Reemplazando datos:
S' - 2P
S' -4S=P + 4P' = 0,258“ - S'P + P^
Clave: B
PROBLEMA 2 (UNI 1 9 7 8 )
Determinar los dos números consecutivos: x >
cumplen la siguiente relación:
x -
y
X 4 - y \ / x ^ + y^
x+y
X
PROBLEMA 4 ( tN I 1 9 8 2 • If)
Cuál es el valor que asume la expresión:
X + 2y
2y
2x
X + 3y
xy
B)x = 9, y =
D) X = 2, y = 1 E) N. A,
que
xy
11
I 2 ^ -2 = 5
- y /\ 2xy
A )x = 3, y = 2
y,
! x^ + y"
8
C )x = 7, y =
6
1X + 1y
A) 2
x+y
B)3
C)1
D)4
E)N.A.
Resolución:
1+
, 1- = 4
Efectuando !a condición: —
X
y x+y
(X + y)^ = 4xy = x^ + 2xy + / = 4xy => (x - y)' = O
Sacando f ~ miembro a miembro; x - y = O
De donde x = y
Reemplazando en U:
2x
U = 2+ J
U = x' + x' , X + 2x
2x
X + 3x
4
x‘
U=4
Clave: D
Resolución:
Efectuando operaciones en cada uno de los paréntesis:
(x -t-y f+ (x -y )^ (x + y)'
xy
2xy x' + y'
(x + y)(x - yi
2ix^ - y^) (x + y f
xy
2xy [x^ + y^
(x i - y)(x - y)
x+y
=5
x -y
De donde, x + y - 5x - 5y 6y = 4x =* 2x = 3y
Por condición y de la igualdad: x = 3; y = 2
Clave: A
x^
a
A)
B) 4
C )/5
e
s
D)5
:
E)
Resolución:
Sumando 2 miembro a miembro en la condición:
+ 2
halle el valor de: K = ^ + ‘> + ^ ^
A) o
B)1/6
0 1 /3
D)1/2
O
E) 1
Resolución:
Si: a X b X c = O
a+b+c= 1
2
=7
El vaior de la expresión: ^
Sabiendo que se cumple: a x b x c = 0
a+b+c= 1
+ b^ + c^
PROBLEMA 3 (UNI 1 9 8 1 )
Sabiendo que'
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 - II)
a' + b' + c^
3
a' + b' + c' = 1 - 2(ab + be ac)
+ b^ + c^ = 1 - 3(ab + be + ae)
Reempiazando en K:
1 - 2(ab + be + ac) 1 - 3(ab + be + ae)
K=
3
K = 1 - {ab + be + ac) - 1
(ab + be
ac)
= 7+ 2+
Clave: B
■ ■
PROBLEMAS
O
PROPUESTOS
10. Simplificar:
1.
Calcular el valor de: S =
3i:
b =V2;
V = ^l(a^ + 2ab - b ')' + (a^ - 2ab - b ')‘
= /3
a
A) 6
D)9
2.
3 b -'+ a-^
,
B) 12
E) /5
Si a, b y c son números que satisfacen las condi­
ciones: a + b + c = 3;
+ c^ = 30, abe = 4;
3.
Si X ,
y
B) 1/2
E) 1/6
Indicar:
C) 1/5
$
■/x
+
Jy
12.
= 42- 9 / Í - / 7
4.
B )25
E)2G
5.
A) a + b + c
D) a' + b' + c'
Si: ^ t ^ = 5: X
A) 525
D) 528
0; calcular: T = x® + -L
X“
8)527
0 526
E) 529
Dada la expresión:
2(x + y)' + 2{z + w) =
(X
+ y + z + w)' - (x + y - z - w)';
calcular: v = ( ^ f
\ z + w/
A) 3
D)1
8.
B)4
E)0
0 2
Reducir: S = (x + 1)(x - 1)(x^ + x^ + 1),
si: x = /3 + /5 + J 3 --/5
A) 99
D)999
9.
E)4
S = x' + x' + l . + -L
x'^ x
B) 25
O 26
E)28
X
7.
D)3
Sea x > O que verifica: x^ - 3x + 1 = O,
calcular el valor numérico de:
A) 24
D)27
6.
0 2
Efectuar: T
A) 7
D)9
B) 100
E)1
=
O 1000
+ 5 ) ^ - ( x + 1 1 )(x - 1)
( x + 3 ) ^ - ( x + 5)(x + 1)
(X
B)6
E )-5
8 )3
E) - 2
O í
13. Si; a + b + c = 2p; calcular:
T - (p - a)' + (p - b)" + (p - c f + p'
v .4 + 4 - 4 - 4 + 2 i+ y
y“ x^ y"
y X
B)1
C)1
Encontrar el valor de: X* - 4x - 4,
A) 4
D)0
C) 10
S( X , y e E , calcular el menor valor de:
A) O
8 )3
E)x
si: x = //2 + 1 + ^ / 2 - Í
calcular: x + y
A )7
D)13
S-x^
T - 5x' -
A) 2
D )0
€ IR; t a l que se v e r i f i c a :
C)2b^
11. Sean: S = (x + 1)(x + 2){x + 3)
T = (x + 2)( X + 3) + (x + 2)( X + 4)
calcular: T = 1 1 1
a b e
A) 1/4
D) 1/3
B)2a^
E)ab
A) a' - b^
D) a' + b
C)1
8) abe
E) 1
C) 1 + abe
14. Efectuar:
S = (x' + 1 - x)(x' + 1 + x)(x® + 1)(x' - 1)
Dar el valorde: S + 1
A)1
D )x '
B)0
E)x^'
Ox®
15. Dados los números: a, b, c; tal que a
más; (a + b + c)^ = 3(ab + ac + be)
j^c; ade­
Calcular: V = (a + b)^ + (a + c ) '+ (b + c)'
a ' + b ' + c'
A) 2
D)5
0 )8
B)4
E)1
16. Calcular el valor de: T = (x + a)(x + b) _
a + 2x + b
ab
si; (a + 2x + b)(a - 2x + b) = (a - b)'
A) 11
D )2
8 )0
E)3
C)4
17. Si: a - 1 - 2, calcular: S ^ fa^ + 47 V a ^a
A) 78
0 )84
B) 80
E) 86
0 82
o
,
■■
{a + b)“ - ( a - b ) ‘
18. Sea la expresión: — — ~ — ~
^
=4
(a^ + b V - ( a ^ - b V
calcular: N =
0 8
A)1
4a t 2b
4a - b
8 )2
0 3/4
D)5/3
E j4
19.
Si: a +
+ c = ab + ac + be,
(1 - a)bc + (1 - b)ac + (1 - c)ab
simplificar: S =
^ ^-----------—
a(a - b) + b(b - c) + c(c - a)
A) a + b + c
D)0
B)a + b “ C
E)1
20. Si: a + 1 = 5, calcular: T ^
A) 5/2
D)2
C)a-b-c
A)1
(a -b )
D)
(a + b)
í í i. + ^
4a”
B) 2/5
E)5
C) 1
ly'^
„ 2 ,3
| j ) = 3(x^+y^); X®- y® = 6 x V
calcular: X' - y A)1
D)2/3
B) -2/3
E) '1 /3
22. Apartir de; ^
+
b^
C) - 3
A )-1
D) -1 3
+ ^ " ^ = 2 (1 + 1 + :i
c^
\a b c
donde (a; b: c} c E
calcular:
B) 1/3
E )1/27
23.
24.
B) 1
E) - 2
25.
32.
a+b+c
= 1
a"
b'
c'
d’
+,
+,
■+,
b+c+d
a+c+d
a+b+d
a+b+c
B)1
0 2
D)4
B)2
C)3
Si;
be
ab
ac
hallar; b + c ^ c + a ^ a + b
a
b
e
A) 2
D)4
hallar el valor de;
A) O
0 3
Si: X + y + z = 1, hallar el valor de;
A)1
33.
0 2
Si se cumple:
a
b
•+
+■
b+c+d
a+c+d
a+b+d
B)2
E)5
D )1
Si: a + b + c + d = 0; calcular;
abe + abd + acd + bcd
a ^+ b ^+ c^ + d^
B)1/2
E )1/9
x " + y 'V z 'V 11x^y^z^(xy + yz + zx)
xyz(x' + / + z*")
+ y^ + z^ + 3(xy + xz + yz) - 1
xyz
0 2
B)1
E) 1/x
0 -1
Siendo x, y. z tres números reales diferentes de
cero que verifican:
(x - y)^ + (y - z f + (z - x)^ = (x + y - 2z)^ +
(y + z - 2x)^ + (z + X -
A)1
D)4
C)2
O -9
B) 1
E )-2
simplificar:
Si se cumple que; 2x ’ = 2 -x , calcular el valor de
[x'’ - (x- + x' + 1)(x® + x^ + 1))'
A) 1
0)1/3
27.
0 3
B )-1
E)0
A) O
D)x^
26.
31.
Sabiendo que: abe = 1, hallar el valor de:
b
c _
§____+
ab + a + 1 bc + b + 1 ae + c + 1
A) 3
D) 1
B) - 4
E) -1 5
A) O
D)2
C)3
Si; X + y + z = 1; x^ + y^ + 2^ = 4,
1 , 1 , 1
calcular:
x + yz y + xz z + xy
A) 3/2
D )-1
O 1/2
30. Si; ■§ + - = 1, calcular ei valor de:
b a
(aV b® + c^)
A)1
D) 27
B)0
(a + b)
E)
(a -b )
29. Sabiendo que:
(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b) =
2(a + b + c)^
donde abe ^ O, hallar ei valor de:
a + 3b + c , b + 3c + a ^ c + 3a + b
ab
ac
be
a ’ + b~ + G
21. Suponiendo que;
, 2 \3
28. Calcular el valor de Z. sí:
P-KI
p -a _
a ^ -b ‘
" 2 a" + b^ x-^ + x "
a + b 2pO
cuando: x=
a -b
E)1/4
B)3
E )A v C
34. Dadas las relaciones:
a = (a - b)^ + b(a +1);
c - (c - a)^ + a(c + 1)
simplificar:
A) a V
D) a V
0 6
b = {b - c)^ + c{b + 1)
(a®-b')2
c ® -4 a 'b '
B) b V
E)e"
C)
f b®
hallar el valor de:
16x"y" + {x -y " )"
44.
xV + xV
A) 3
36.
0 8
B)2
38.
39.
B) 2
E)0
+ y + z
s
45.
A xy
. ^
(x ^ + y® -i-
E = (x^ + x + 1)(x" + x^+ 1)(x® + x"+ 1 ) - x ’^ -x ",
46,
42.
0 -2
47.
(a + b + c)’“
A) - 2
D) 1
a
x" -
1
a+ 1
1
a- 1
a" - 1
1
1 -a "
C)
a "- 1
49. Calcular: 25a^ + 9b^, si: 5a + 3b = 11 = ab + 9
D)3
A) 31
D)7
B)61
E)71
cuando; x +y + z = 3
A) - 2
D) - 4
0 27
E )1
Seanx, y. z e E,tal que:x^ - 2x + y^ -- 6y +
calcular xy
D) 1
0 91
E) 6
x^ +
O 5
C)2
(1 + a x ) '- { x + a)'
50. Calcular: 3j í í.\ + |ü \
- y / [y :
B)9
mn + np + mp = mnp,
B)3
E)0
Simplificar:
D)
0,5
x+y+z
01
mn(m + n) + mp(m + p) + np(n + p)
hallar valor de:
mnp
(x + y - 2z) V (y + z - 2x)^ + (x + z - 2 y f
(1 - x ) ( 1 - y ) ( 1 - z )
B) 3
= 3abc; a + b + c 7^^ O,
8 )9
E)0
Si: m + n = 1 - p
A)
Calcular el valor de:
A) 2
43.
Si se cumple que: a^ + b’ +
determinar el valor de:
A) 2/3
D) 1/3
48.
2 )^ - (X + y )^ - (y + z )^ - (z + x )^
+ y)’ (y + z f + (y + z)^(z + x)^+ (z + x ) \x + y)^
A) 3
D )8í
0 3
■V(a + b + c)^
6 4 (x + y +
41.
8 )2
E) x'
A) 1
D)x
O 1/2
B)2
E)3
B )-3
Simplificar:
si se cumple que x" = x
+ yz + xz = xyz;
9
^ / ___________ 1______
2 ®)
x 'V y ^ V z " + 1
Si: — 1— + — 1— + ■'
x+y y+z z+x
hallar el valor de;
A) 2
O 1/2
{a, b, c) e IR
= 1
,, s
B>3/2
E)3/5
O -4
,
A) 1
D) 1/3
(X
A) 5/2
D)2/3
Tres números reales diferentes a, b y c verifican la
siguiente condición:
a = Vp~+ qa ; b = Vp + qb ; c = Vp -i- qc
Determinar a^ + b^ + c^
pq
A) 5
B)9
O 2/3
E) -6
D)6
c a l c u la r :
40.
0; se­
Sabiendo que:
A = ( X -t- y - 1)3 -t- 3(x + y)( X + y - 1)
B = (x + y + 1f - 3(x + y) (x + y -H 1)
C = [(X + y)^ + 1]^ + [(X + y)3 - 1 f
¿a qué es igual: 2AB - C?
Si: X
x^ + 3x - 3x^ - 1
y^ + 3y^ + 3y
B) x' + /
D) x^ + y^ -t-z^
A) 4
D)-2
Sea: x = V2 + 1; y = V5 - 1: calcular:
e )1
- 3xyz(x^ + y^ + z V 6 ^ W
x® + y® + z®-3x^y'z^
A) xyz
C) x -f y + z
E) (X + y + z f
37.
D)4
Sabiendo que: x"’ + y ' + z"' = O a xyz
ñalar el equivalente de:
? + y^ +
O 600
B)700
E) 500
A) 900
D) 300
10 = O,
E) O
Si; a+ b + c = 20; a^ + b^ + = 300, hallar el
valor de; (a + b)^ + (a + c f + (b + c f
+ 4 , si se cumple que;
= 5xy; {x; y) c E ‘
B)3
E)1
05
51. La diferencia de dos números es “a" y la diferencia
de sus cuadrados es "b", hallar el producto de di­
chos números.
a ^ -b ^
4a^
b^4a''
a ^ -b ^
4a^
a "-b '
C)
52. Sabiendo que a, b e IR* / ab = 1, calcular:
^2 + /(a '-b ^ )^ + 4
A) a' - b^
B)a - b
a+ b
D)2(a + b)
C )a + b
53. Reduzca la expresión:
V[(m + 1)^(m^ + 2m - 1 ) - (m - 1)^(m^-2m - 1)f
A) 3m^
D) 9m
B)
E) {2m f
C) (3m)^
61. Si; X + 2x ' = 2, hallar:
M = x^ - (x" + x^ +1){x® + x^ + 1)
^ )^
D) - x
B)-1
E) 1/x
C )x
62. Si;
S = (a + b)(a + c)(b - c) + {c - a)(a+b)(b + e)
T = (a -b)(b + c)(a + e) + (b - e)(c - a)(a - b)
Calcular: S + T.
A) abe
B) a + b + c
C) O
D) a' + b^ + e^ E) a^ + b^ + c^
54. Calcular: H = (x - 2)(y^ - 1),
si: x = a + ^ ;
b a ^
A) 2
D)8
a -b
B)4
E)11
0 6
Calcular el valor de; S = •J- + — + -%■
be ac ab
55. Reducir la expresión:
________________________3 ( a
^
b
(a + b)'’ + (a - b)‘*
A) 5
D)4
56. Si:
V
________________________
(a + b)^(a - b)^
O a - b
B)3
E)a + b
+c^ = 3, a' + b' + c" = 2;
calcular: Q =
+ b + 0(2 - ab - be ^ ca)
1 - abo
A) 1/3
D) 1/2
B>3
E) 1
0 2
57. Sabiendo que a, b, c e Ifi,abe # O y además;
ibe
^ + ca
- + - ab
^ = -a+ Kb + c-8
hallar: J =
b^c®
A)1
D) a + b + e
63. Si el polinomio:
P(x) = (ab - a^b^ ~ c)x^ + (abc^ - be - a)x^ +
(a^bc - a V - b)x + (abe - 5)
es idénticamente nulo.
1.8
.8
c^a®
a^b®
B)2
E) a^b^e^
0 3
58. Dado: a^ = b^ + c^; reducir la expresión;
j^ j(i± ^ + c y a + b + c _ g |^ a + _ b + c _ |^ w a ± b + c _ '
A) O
D) - 5
B) bc/2
E) ab/2
59. Si: ---- ^
+
^
+ ---- ^
(a -b )
(b -e )
(c-a)
calcular el valor de: E = —^
a -b
A) 500
D )0
B )1000
E )4000
80. Si: a + b + c = 0;
C) ac
A)1
D )9
= 2007'
~
^
b -c
c -a
O 2007
m+ n+ p= Oa
B) b
E)1
B )5
E)13
0 7
65. Hallar el VN de: T = (m ^ + n '^) '
si: mn = 2 y m + n = 2¡2
A) 2
D)3
B) 1
E)4
O /2
66. Dado:
= 2(a + b)I(a +b)^ - 2ab + (a - b)^] +
(a - b)[(a + b)^ + 4(a^ + b^) - (a - b)^]
hallar el valor de M.
A) 2a
D)8a’
B)2b
E) 8b^
C) -2ab
Vn^-m"
3n - m
calcular el valor de; S =
— + ^ + - - 1 = 0, calcular: E = ma^ + nb^ + pc^
a b e
A) a
D) abe
C) 1/5
64. Calcuiar ei valor de:
(x® + x^+ 1)(x®-x^+ I)(x'^-X ® + 1)(x'‘' - x ’^+ 1)
para: x = ^■*/3
67. Si:
A) be
D)a"
8)1
E)2/5
Oc
A) 1
D) n'
~ +— ~
mn + n
m +m
B)0
E)n- 1
C) m + n
68. Dado: a + b + e = O, evaluar;
/ a
b
c a- b I b- e ^c-a
Ib - c c - a a - b íl c
c
b
A )3
D) - 6
B )6
E) - 3
69. Si: a + b + c = a‘ 'bc
09
t
b Va + c 'ab,
calcular: S = a^ + b V c^ - 3abc
a+ b+ c
C) 2/3
B) 1/3
E )- 1
A) O
D)1
T = Jx(x - yz) + y(y - 2xz) + z(z + 2xy)
A) a + b + c
70. Sabiendo que: x = - { a , + aj + 83 + ... + a„)
2
2
2
D)2
2
n ^ a ^ + a 2 + a 3 + ...+a^
calcular: (x - a ,f + (x - 82)' + (x - 83)^+ ... + (x - aJ
A) O
D)n - 1
B) n
71. Si:
(m^ +
76. Si: X + 2 = 23/2 x . calcular: T = í i T T l T
V2x
= 2mnp(m + n + p) +
,
,
,
.
+ m V + nV
calcular: S = (a + b - c)(b + c -a )(c + a ~ b)
A )-1 3 m 3
D )-m ^
C)6
72. Calcular el valor numérico de;
(a^ - ac - bc)^ + (b^ - ba - ca)^ + (c^ - cb - ba)^+
2(a3c + b^a + c^b)
para: a = ■Js - /3 ; b - ■l'ÍS - 1; c = /3
A)/3
D)49
B)8
E)7
O /8
77. Siendo: a + b + c = m
a^ + b^ + c^ = 3m'
a^ + b^ + c^ = 7m^
_
B)4
E) 10
A)1
D)8
B)4
E)5
A) 3
D) 75
C) n'
m3 + 2r)3+3p3
calcular el valor de: T = -----------------—
mnp
,
016
B)6m '
E)7m^
O 2m^
78. Sabiendo que: a^ + b^ +
= 3
a^ + b^ + c^ = 2
(a + b + c)(2 - ab - ac - be)
calcular: S =
1 - abe
0 2
A) 1/3
B) 3
D) 1/2
E)1
79. Si: a + b+ c = O, hallar el valor de x.
73. Si: a + b= X , reducir:
V x(x+ 1){x“ -x -’ + x^ ~ 3 a b (x - l f ] - ( b x + a f - ax
A) a
D) b(a + b)
B) b
E) O
ab
5abc(a’ ’ + b’ ’ + c’ ’)
O a(a + b)
A) a + b + c
O a^ + b ' + c^
E) a ' - c'
74. Si; mnp = m + n + p = 1, calcular:
(m + m’ ’f + (n + n’ ’f + (p + p
(m + m ’) (n + n’ ’)(p + p ’)
A)1
D )4
B)2
E)5
75 . Si:
ab
calcular el valor de:
1. B
2. A
D
4. C
5. B
a B
7. D
8. D
9. D
to. D
11.
12.
13.
14.
15.
m
17.
18.
19.
20.
01
B )l + i +l
a b e
E)0
0 3
ac
C
B
D
E
6
B
D
B
A
A
80. Si: X = ^2[3(mn + mp + np) - (m + n + p f ]
calcular el valor de;
(x + m - n f + fx + n - p)3 + (x + p - m /
M=
(m - n)(m - p)(n - p)
A)1
D) - 2
be
21 ;
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
B )-1
E )-3
ÜE&33HI
B
A
E
D
B
D
A
E
D
A
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
D
C
E
E
C
C
c
A
C
A
B) ab + be + ca
D)3abc
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
D
B
B
C
A
A
A
C
e
Q
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57 ;
58.
59.
€0.
B
C
E
B
6
B
C
B
C
D
81.
82.
63.
64.
65.
66.
&r.
68.
69
70.
0 2
A
C
A
E
C
A
A
C
A
B
7 \.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
C
0
B
D
D
D
A
B
B
E
Division algebraica
Cocientes notables
Paolo Ruffini nació en Valentano (22 de septiembre de 1765) y
m urió en M ódena (l Ode mayo de
1822). Fue un matemático, profe­
sor y m édico italiano. Paolo entró
en la Universidad de Módena en
1783 para estudiar Matemáticas,
Medicina, Filosofía y Literatura.
Finalmente, el 9 de junio de 1788,
Ruffini se graduó en Filosofía,
Medicina y Cirugía. Poco después
consiguió su grado en Matemáti­
cas.
El 15 de octubre de 1788 fue nom ­
brado profesor de Fundamentos
de Análisis. Ruffini fue elegido
catedrático de Elementos de Ma­
temáticas en 1791. Sin embargo,
no era solo matem ático, pues en
1791 obtuvo la licencia para ejer­
cer la Medicina en Módena.
Paolo Ruffini es conocido com o
el descubridor del llam ado m étodo de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio
que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binom io x - a. Sin embargo, no fue
esta su m ayor contribución al desarrollo de la m atemática. Hacia 1805 elaboró una dem ostración
de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y supe­
riores. aunque com etió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el m atem ático noruego
Niels Henrib Abel. En 1806 acepta una cátedra de Matemática Aplicada en la escuela militar de
Módena.
Fuente; Wífeipedia
6a^ +
5 a 'b - 2 6 a ’ b ‘ -t- 33 a ^b ^ - 2 4 a b * *- 6b*
2a‘ - 3ab + b'
6a® +
g a 'b
3a^ + Ta^b - 4ab^ + 7 b
^ DIVISIÓN ALGEBRAICA
Es la operación que consiste en hadar una expresión
llamada cociente dadas otras denominadas dividendo y
divisor, de modo tal que se cumpla:
-
1 4 a ‘ Ci -
3a^b^
29a ^b ^ + 33a^b^
14a“b + 2 l a V
-
q (a ; b)
7a^D ’
- 8 a ’b’ + 26a^b' - 24ab‘
D{x) = d(x)q(x) 4- r(x)
d(x)
8a V -
^ d(x)
12aV +
l4 a V
De donde;
q(x); cociente entero
D(x); dividendo;
r(x); resto o residuo
d(x); divisor;
r(x)
q(x) +
: cxiciente compieto
1.
2.
3.
Para efectuar ta división entre dos polinomios se co*
nocen varios métodos. Presentamos a continuación
algunos de ellos:
4.
Método clásico
Para dividir polinomios se debe tener en cuenta los si­
guientes pasos:
Se comptetan y ordenan los polinomios con
respecto a una sola letra o variable (en caso falte
un término este se completará con cero).
En caso existan dos o más variables se asumirá
solo a una de ellas como tal y ias demás harán el
papel de números o constantes.
Se divide el primer término del 0, por el primero
del d, obteniéndose el primer término del q. Luego
este se multiplica por cada uno de los términos del
divisor y el resultado se resta del dividendo.
•
Dividir; 6x‘* + x^ + x^+11x + 2
3x^ + 5x + 2
-9x^
9x^
- 3x^ + 11x
+ 15x^ + 6x
3x^ + 5x + 2
2x^ - 3x + 4
q (x )
12x' + 17x + 2
- 20x - 8
^3x - 6
r(x)
2,
Dividir;
(6a® - 2 6 a V + 5a"b + 33a^b^ - 24ab‘ + 6b") (2a" - 3ab + b")
Ordenando a( D;
b*
G(q) = G(0)--G(d)
THD) = ■n(d)TT<q) + Tí(r)
El cociente de dos potinomíos ho m o g ^e ^
corK> ri^ulteck>
poHr^mks NMitògàiea
Solo en una divisan e)^da tento
corno el divisor puedet
c(»n(Metos y ordenados en
o ascended cxin f> ^ p e ^ a
cocente
^tera (sigue ^ n d o «cadp).
Reglas o pasos a seguir;
Ejemplos:
+ x^ + 11x + 2
- 4x^
7b'
ab' -
Método de H o m e r
Se emplea para dividir por lo general polinomios entre
divisores que sean de grado dos o más.
Se baja el témiino siguiente del D. y se repite el
paso anterior tantas veces hasta que el resto sea
a lo más un grado menos que el grado del D (resto
de grado máximo). O en todo caso, sí la división es
exacta, el resto será un polinomio idénticamente
nulo.
6x" + X®
-6 x" - 10x"
- 1 4 a 'b = + 2 l a b ‘ -
r(a ; b )
^ DIVISIÓN DE POUNOMIOS
1.
4ab‘
- 2 0 ab* + 6b*
•
Se completan y ordenan los polinomios. En caso
falte un término este se completará con cero.
En caso existan dos o más variables se asumen a
una de ellas como tal y las demás harán el papel
de números o constantes.
Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes
del dividendo, y en forma vertical los coeficientes
de divisor, todos cambiados de signo a excepción
del primero.
Se divide el primer coeficiente del dividendo por
el primero del divisor, obteniendo el primero del
cociente. Luego este se multiplica por cada uno
de los coeficientes del divisor que han cambiado
de signo, y los resultados se colocan dejando una
columna de lado.
Se reduce la siguiente columna y se repite el paso
anterior, tantas veces hasta que la última opera­
ción efectuada caiga debajo del último coeficiente
del dividendo. Llegado este momento se reduce
las columnas que falten; separando los coeficien­
tes dei cociente y el resto respectivamente.
Esquema gráfico:
4.
Ejemplos:
1-
Dividir:
Resolución:
Resolución:
21
:5 i
10
:9 i
-9 ,
. 6
8
.
Completando el dividendo y utilizando el método
de Horner:
-7
1
2
-6
q(x)
Resolución:
Aplicando el método de Horner:
3
15
-9
-7
-11
0
56
-35
0
70
-55
73 -23
21 33
0 -49 -77
0 -84 -132
5x3 - 3x" + 7x + 12 -16x^ - 88x -155
q(x)
r{x)
Luego se obtiene que:
q(x) = 5x^ - 3x^ + 7x + 12 (cociente entero)
r(x) = -16x^ - 88x - 155
8)x + (24 - 2n) = O
Luego: m - 8 = 0 =>m = 8
Por ser exacta: (m -
24 - 2n = O « n = 12
Cuánto vale (m + n + p)
si: 6x® + 11x* - lOx* + 8x’ + mx^ + nx + p
es divisible por: 3x^ + x^ + x + 2
Como los dos polinomios están ordenados y com­
pletos respecto a “x”, y como el divisor es de grado
3, podemos efectuar por Horner;
3
-2
2
-2
-3
-4
-3
5
3 - 5 2
m
n
p
-6
5
10
-2
-2
-4
(m-3) (n + 8 )(p -4 )
Por ser divisible; (m - 3)x^ + (n + 8)x + (p - 4) = O
=>m = 3;n = -8 y p = 4
m+ n + p = 3 - 8+ 4=-1
4x" + 4x‘' + 3x^ + Ax^ + 3x + C
2x^ + X + 2
deja como residuo: 2(x - 5)
6. En la siguiente división:
Resolución:
Como el divisor es de grado 2, empleamos el mé­
todo de Horner:
4
-2
3
-4
A
3
C
-1
-2
-1
3x + ax - b
El residuo obtenido es de grado cero e igual a;
-2
1
n
a
Resolución:
Primero hallaremos "a" y "b” por Horner;
2
A-1
1
9x" + 6ax3 + (a^ + 3b)x' + abx + 9a'
6ab + b^ Calcular: S =
2
2
6 11 -10 8
-1
-1
-2
Calcular A y C, si ta división:
4
4
-12
24
(m - 8) (24 - 2n)
Resolución;
0
_
2
-1
-2
-6
- 2n
m
0
-4
-2
-1
Hallar el cociente entero y el residuo de dividir;
15x^ - 9x^ + 56x" + 70x^ + 73x - 23
3x3+ 7x+ 11
0
-3
2
-4
3 -3
5x -- 10
r{x)
3x^ + 2x+
2.
es exacta.
x^ - 2x + 4
7x" - 3x + 3
Aplicando Horner;
7
+3
-3
Determinar m y n, si la división;
21x" + 5x3+ 10x^ + 8 x - 7
- n - 2n
(5 - n)x + (C - 2n)
r(x)
De donde: A - 1 = n ^ A = 2n + 1
Pero del dato: (5 - n)x + C - 2n = 2(x - 5)
=5 (5 - n)x + (C -2n) = 2x - 10
Igualando términos: 5 - n = 2=» n = 3
C - 2n = -10 = C = -4
A = 2(3) + 1 = 7
3
-a
b
9
6a (a^ + 3b)
-3a
3b
ab
9a^
ab
- 2ab
2b^
3
a
2b
Ox + 9a^ + 2b"
r(x)
Por condición, el residuo es de grado cero, es de­
cir, un número, luego;
9a^ + 2b^ = 6ab + b^ = 9a^ - 6ab -i- b^ = O
^ (3a - b)^ = O => 3a = b
pejado de la variable y el resultado se coloca deba­
jo de la siguiente columna.
Se reduce la columna siguiente y se repite el paso
anterior tantas veces hasta que la última operación
efectuada caiga debajo del último coeficiente del
D. Llegado este momento, se reduce la columna
que falta, y siempre se cumplirá que la última co­
lumna le va a pertenecer al resto, y este siempre
será un valor numérico.
Reemplazando en la expresión pedida:
^ _ 3a^ + 9a^ _ 12a^
a^
a"
. ^ -- \2
Sabiendo que la división:
Ax^ + SSx“ + Bx^ - 3x + 15
5x^ + 5x^ - 2x - 2
deja como residuo: 37x^ - x + 9. Hallar: A + B .
Resolución:
Como las incógnitas se presentan en los primeros
términos del dividendo convendría que estas estén
al final; para eso se requiere que la división sea
exacta, entonces recurrimos a lo siguiente.
Esquema gráfico:
DIVI DEND O
X
= N
eoe
Cuando en una división al dtvidertdo ¡
residuo ^ t a se convierte en e)3c^; I
que e( residuo es un poinomio ídéntícan^itenuiQ.
Luego; D(x) - r(x) = Ax^ + 55x" + Bx^ - 37x^ - 2x + 6
Ejemplos:
1.
Dividir: 2X- - 7X + 3X- - 5X- +11
x+2
Resolución;
Ordenando al dividendo; 3x^ - 5x^ + 2x^ - 7x + 11
Aplicando el método de Ruffini;
6
5x^ + 5x^ - 2x - 2
Aplicamos Horner, pero el polinomio lo ordenamos
en forma ascendente:
X
+ 2= 0
X
-2
6 - 2 -3 7
2
-6
-5
15
8
-5
-3
4
7
B
55
-2 0
14
-3 5
3
-5
2
-7
11
-6
22
-4 8
110
= -2
A
i
15
-2 0
resto
1.*' caso: cuando el primer coeficiente del divisor es la
unidad (x ± b)
Entonces:
Ax^ + 55x^+B xJ-37x^-2x +
ENTE
-2
3x^ - 11x^ + 24x - 55
-3 5
(B + 9)x' + Ox + (A - 35)
r(x)
Teniendo en cuenta que: r(x) = O
• B + 9 = 0 * B = -9
• A - 3 5 = 0=»A=35
A + B = 26
2
2x ^-^372 x ° - 1 2 x ‘ +. 3 . ^ - 2 .
X - /2
2
Se emplea para dividir polinomios por divisores de la
forma: ax ± b, o cualquier otra expresión transformable
a esta.
-1 2
3/2
-2
2/2
10
-2 /2
2
5/2
-2
/2
ZÍ2
x^/2
1
Í2
Reglas o pasos a seguir:
2
Se completan y ordenan los polinomios con res­
pecto a una sola letra o variable. En caso falte un
término este se completa con cero.
Se baja el primer coeficiente del D siendo este el
primero del q. Luego se multiplica por el valor des-
Dividir
Resolución:
Utilizando el criterio de Ruffini;
<4 REGLA DE RUFFINI
En caso hubiesen dos o más variables se conside­
ra solo a una de ellas como tal y las demás harán
el papef de números o constantes. Se distribuyen
en forma horizontal los coeficientes del dividendo;
en forma paralela a este paso se iguala el divisor
a (0), se despeja la variable y ésta se coloca en el
ángulo inferior izquierdo del gráfico.
121
r(x)
q(x)
.-. q(x) = 3x' - 11x" + 24x - 55
r(x) = 121
q(x)
0
r(x)
q(x) = 2x^ + 5Í2x^ - 2x + 12
r(x) - O
2.“ caso; cuando el primer coeficiente del divisor es di­
ferente de la unidad {ax ± D. a i)
•
En este caso se procede en forma similar a la ante­
rior pero se debe tener presente que para obtener
el cociente verdadero se divide cada uno de los
coeficientes del aparente cociente por el primer
coeficiente del divisor.
Ejemplos:
Resolución:
1,
Por el método de Ruffini, se tendrá;
Dividir; (6x^ - 19x^+ 19x - 1 6 ) - ( 3 x - 2 )
4
Resolución:
X-
2
(1+ ^ )
-273 (1 +3/3)0 -3/3
/3 -1
2
/3 -1
(2/3-2) (3-/3) (2 ^ -2 ) 1 - / 3 2
2
.2
4 2/3
4
-2 2 + 2/3 2 -2/3-1
2x®+/3x‘ + ?x^ - 1x^ + Í1 + /3ÌX+1 r(x)
q(x)
Por condición; R = - 2 / 3 - 1
,', S + R = 4
y S = 2/3 + 5
< i TEOREMA DEL RESIDUO
q(x) = 2x^ - 5x + 3
r(x) = -10
2,
/3 - 1
- , ... (lOx“ + 39x^ + 29x" + 51x + 28)
Dividir; ^
5x + 2
Resolución:
Utilizando el criterio de Ruffini;
Se emplea para calcular el resto en forma directa sin
necesidad de efectuar la operación de la división. Por lo
general se emplea para divisores de la forma: ax ± b, o
cualquier otra expresión transformable a esta.
Lema o e nunciado de descartes
Dado un P(x) como D y un divisor de la forma ax ± b,
para calcular el resto en forma directa se iguala el divi­
sor a cero; se despeja la variable y esta se reemplaza
en el dividendo.
Demostración:
Datos
D = P{x)
d = ax - b
q = Q(x)
r =R
D = dq + r
Sabemos: P{x) = (ax - b)Q(x)- I - R
q(x) = 2x^ + 7x^ + 3x + 9
r(x) = 10
3.
Dividir: (3x‘' + 2/2x^ + 4x' + /2x + 6) - (3x - /2)
Resolución:
Usando el método de Ruffini;
q(x) = x^ + -/2 x" + 2x +
r(x) - 8
4,
/2
Para la división;
4x^ + 2x^ + (1 + /3)x^ - 2/3 x^ + (1 + S/3)x^ + 1 - 3 ^
2x - /3 + 1
Suponga que R es el residuo de la división y S es
la suma de coeficientes del cociente. Calcular:
R+ S
, . . ( l)
Según Descartes: a x - b = 0 » x = —
d
Reemplazando en (l): P(^) = a í ^ l - b
■■■ '’ ( ! ) =
Casos que se presentan:
D
d
r
P(x)
ax - b
P(b/a)
P(x)
ax + b
P(x)
x -b
P(b)
P(x)
X+ b
P(-b)
p (- |)
Ejemplos:
1, Hallar el residuo en (2x‘ + 9x‘* -i- 3x - 4) -r (2x - 1)
Resolución:
Por el teorema del residuo:
2x-1=0
*x=-l
Reemplazando en el dividendo:
2 ( l f - 9 ( |r + 3 ( l) - 4 = ± - ± +| - 4 = - 3
2.
Hallar el residuo en (3x^^ - 5x’’ + 3x - 5) (x^ + 1)
Lo contrario también se cumple, es decir si un
polinomio es divisible por un producto de varias
expresiones, será divisible por cada una de ellas
separadamente.
Resolución:
Ei dividendo se puede escribir de la siguiente manera;
3(x^)"‘* -5 ¡x ")"x ^ + 3 x -5
x^ + 1
Por el teorema del resto; x^ + 1 = O =» = -1
Reemplazando se tendrá;
r(x) = 3(-1)'" -- 5 {-1 )V + 3x - 5
r(x) = 5x^ + 3x - 2
3.
Si;
P(x) = (X - a)(x - b)(x - c)q(x) =. r = O
P(x) = (x-a )q ,{x)
r = O
P(x) = (x - b)q2(x) ^ r = O
P{x) = (x - c)q3(x) =. r s O
2.
Hallare! residuo de;
(x -1 )' + 2(x - 1)" + 5x - 7 -x (x - 2)
Resolución:
La expresión se puede escribir;
Si ai dividir un polinomio por varias expresiones
da un mismo resto, entonces al dividir dicho
polinomio por el producto de ellas, también nos
dará el mismo resto común.
Si; P(x) = d,(x)q,(x) + r(x)
P(x) = d2(x)qj(x) + r(x)
[(x - 1 ) ^ f( x - 1 ) + 2 H x -1 )^ f + 5 x - 7
P(x) = d,(x) d^Cx) q(x) + r(x)
x^-2
Efectuando los paréntesis;
3.
[x ^ -2 x + l f ( x - 1) + 2 [x ^ -2 x + i f + 5 X -7
x " - 2x
P(x) = (X - a)q(x)
Por el teorema del resto; x^ -- 2x = O
Reemplazando;
r(x) = (O + 1)^(x - 1) + 2(0 + 1)" + 5x - 7
« r(x) = (x - 1) + 2 + 5x - 7
r(x) = 6(x - 1)
Calcular el residuo en la división;
[{x + 2)' + 3(x + 2)- + X + 1] ^ (x + 1)(x + 3)
4.
Además x = a, es un cero o raiz de P(x).
Ejemplos:
1.
Al dividir P(x) por (x - 1)(x - 2) se halla por resto
2x + 1. ¿Qué resto se encontrará si se divide P(x)
por x - 2?
Resolución:
Resolución:
Sea; d(x) = x^ + 4x + 3 + 1 - 1 = (x + 2)^ - 1
D(x) = l ( x + 2 f ] \ x + 2) + 3l(x + 2 f f ( x + 2) + x + 1
Por dato; P(x) = (x - 1)(x- 2)q,(x) + (2x + 1)... (1)
Además se sabe que:
P(x) = ( X - 2)q3(x) ^ R
... (11)
En (11): parax = 2 « P(2) = R
... (NI)
En (i): parax - 2 =* P(2) = 5
En (III): resto = R 5
Por el teorema del resto;
(x + 2)' - 1 = O = (x + 2)^ = 1
Luego, hallando r(x);
r(x) = (1)(x + 2) + 3{1)(x + 2) + X + 1
=> r(x) = X + 2 + 3x + 6 + X + 1
r(x) = 5x + 9
2.
<4 D IV IS IB ILID AD POLINÓMICA
Se dice que un polinomio P(x) es divisible por el polinomío d(x) si y solo si la división
P (x )
Por datos: P(x) = (x - 1)qi(x) + 8
P(x) = ( X + 2)q:(x) - 7
P(x) es divisible por d(x) » p{x) = d(x)q(x)
resto
Además:
P(x) = (x" + X - 2)qj(x) + mx + n ^
Luego: m + n = 8
-2m + n = -7
Si un polinomio es divisible por separado entre
varias expresiones, será divisible por ei producto
de ellas.
Sea P(x) = (x - a)qi(x) =» r = O
P(x) = (X - b)q,(x) ^ r = O
P(x) = (X - c)q3(x)
r = O
P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)q(x)
Los restos de las divisiones de P(x) por los bino­
mios (x - 1) y (x + 2) son, respectivamente, 8 y
-7 . Hallar el resto al dividir P(x) por x^ + x - 2.
Resolución:
es exacta; además
se dice que d(x) es un factor del polinomio P(x).
1.
Sea: P(x)
Si para: x = a; P(a) = O
Restando (1) y (11):
P(1) = 8
P(-2) = - 7
P(1)=m + n
P(-2)= -2m-n
...(i)
...(11)
3m = 15=» m = 5
5 + n = 8 ==n - 3
R(x) = 5x + 3
3.
r = O
Calcuiar ‘'m" para que el polinomio:
{ x ' + y^ + z y ■+ m(x^ + y" +- z")
sea divisible por x + y + z.
Resolución:
4.
(2x^’ - 5x’^ + 4x
- 11 ) (X + 1)
(2x^' - 5x’^ + 4x -
1)(x + 1)
Sabemos que:
(x" + / -f
+ mix“ + y" + z‘ ) = (x + y + z)q(x; y; z)
Por el teorema del resto: x + y + z = O
En consecuencia pueden darse valores adecuados
a (x; y: z) de modo tal que su suma dé cero:
Transformando el dividendo:
[2(x")’° x - 5 ( x y x + 4 x - l](x + 1)
x^+ 1
Asi, para x = 0;y = 1 a z = -1 ; se tiene;
(O + 1 +
+ m(0 + 1 + 1) = (O + 1 - 1)q
=> 4 + 2m = O
m = -2
Por el teorema del resto: x ^ + 1 = 0 = x ^ = - 1
Luego se tendrá;
r„„,(x) - (2x + 5x + 4x - 1)(x + 1)
( x + 1 ) ( x ^ - x + l)
~
x’ + l
_ (1 1 x -1 )(x + 1 )
(x + 1)
Hallar el resto al efectuar:
( x - m x + 2):(x-1)(x-2)
= 11X - 1
Resolución;
Sabemos que:
(x - 1}'°(x + 2) = (x - 1)(x - 2)q(x) + R(x)
Dividiendo por ( x - 1 ) ;
^ COCIENTES NOTABLES
Son casos especiales de división exacta entre divisores
binómicos de la forma:
(x-1)V + 2 ) - ( x - 2 ) q ( x ) + ^
Donde:
x; a : bases
( x- 1) ^( x + 2 ) - ( x - 2 ) q ( x ) + R'
Parax = 2; (1)®(4) = R'
R '= 4
R(x)
R(x)= R'(x - 1)
x -1
R(x) = 4 (x - 1) = 4x - 4
Pero; R’ =
5.
Hallar el resto ai efectuar:
+
- 4(x + 2 f + 5(x + 2 f^ + 3(x + 2 f - 7 +
x' + 4x + 5
(X
Resoiución;
Como: d(x) = x^ + 4x + 4 + 1 = (x + 2)* + 1
Haciendo: (x + 2)' = y
Luego; D(y) = y"' - 4y^’(x + 2) + 5y’^ + 3y(x + 2) - 7
d(y) = y + 1
R(x) = D (-1) = (-1 )"’ - 4 ( - 1 f ( X + 2) +
5 (-1 )’^ + 3(-1)(x + 2 ) - 7
R(x)= - 1 + 4 x + 8 + 5 - 3 x - 6 - 7
R(x) = X - 1
n e IN
Estudio del caso; - — —
x -a
Cálculo dei resto
Por el teorema del resto: x - a = 0 = > x = a
R = a" - a" = O
Es un cociente notable (CN).
Cálculo del cociente
Por Ruffini:
1
x -a = 0
X= a
a
0
Ix "’
0
-
0
0
a
. . a"
a"~'
ax"-" a V -^ . . a"-'x a "-’
-a "
a"
0
Luego: x - a ' = x"’ ’ + x"'"a + x"’ V +... + x'a"’ " + a""'
Ejemp
<<l RESIDUOS ESPECIALES
X + x a + x‘a + xa
Son residuos que requieren de ciertas transformacio­
nes y o adecuaciones de modo tal que se pueda em­
plear el teorema del resto en forma coherente.
Sea; D(x) = d{x)q(x) + r(x) y M(x) ^ O
1,
a
D(x)M(x) = [d(x)M(x)]q(x) + r(x)M(x)
(X)
r(x)<
Cálculo del término general
Del cociente encontrado se observa:
t, = x^'^a"
= x" ^a
tj = x ^ 'V
t.. = x " - V
M (x )
2.
M(x)
r(x) <
t, =
< > ^ q (x ) +- í^
M (x)^'
M(x)
,(x)
Ejemplos:
1.
r„ o(x)M(x)
Ejemplo:
,
Hallar el residuo en;
Resolución;
+ 4x - 1
x ^ - x
f ò r m u la d e l t é r m in o g e n e r a l
+
1
Multiplicando y dividiendo convenientemente por ¡x -i-1):
Hallar el desarrollo en cada uno de los casos:
= x®+ x®a + x“a^ + XV ... xa® + a'
x -a
3 2 x^-a ^
2x -
a
{2 x f-a ^
2x -
a
= (2x)" + (2x)"a... + a^
nomio suma, los términos de cociente serán alter­
nados (positivos los de lugar impar y negativos de
lugar par).
x'-a^
x^-a^
x~^ - a~ = No es cociente notable
X- a
1
1
X ~ Q = No es cociente notable
X- a
x®-1
x-1
x ^ - 1- = x“ + x^ + x^ + x + 1
x-1
x '^ -1
x'-l
(x ^ f-1 ^ = (x^)^ + (x^)' + (y^f + (x^) + 1
x"-1
(x-i-af-a^
X
(x + a f- a
= (x+a)' + (x + afa + ...+a^
(x+a)-a
(x + a f - ( x - a f _ (x + a / - ( x - a f _
2a
X- a
X- a
+ X
+
5.
Para calcular un término contado a partir del extre­
mo final (o del lado derecho), basta con intercam­
biar simultáneamente las bases y aplicar la formula
conocida del término general.
Ejemplo:
Si:
3, ^ . ( x ^ r - ( i r
X
x*-^- a"
es un cociente notable.
Demostrar que:
— = - = constante = número de términos
P q
Dados los desarrollos, hallar el cociente al que per­
tenece;
X
Solo si el número de términos es par. existirá un
único término central cuyos exponentes de sus ba­
ses serán respectivamente iguales.
(x + a ) - ( x - a )
(x + a f + (x + a f{x - a) + ...+(x - a f
2.
4.
x - ^~i
O«n^ostrac(ór\'.
(vP)"^ - ía°)^
Dándole la forma adecuada: -i— '■----- — —
x''^- a"
Para que sea CN necesariamente los exponentes de las
bases deben ser iguales, luego:
— = - = constante = número de términos
P q
Ejemplos:
1.
x® + x"a" + x‘ a' + a” = x ° - a °
Calcular “m” para que la expresión;
A
_
%.3 m - 5
y
genere un cociente notable entero.
x’° + x®a" + x®a' + x V + x V + a'" =
Resolución;
Por propiedad:
2m + 3 3m - 3
2m + 1 3m - 5
Estudio de los cuatro casos
Caso
^ x "-a "
X —
a
Condición
(r-0 )
es un CN
Cociente (n términos)
Término general
=> 2m = 12 => m = 6
+ + -t-... +
Reemplazando:
o x" + a"
no es un CN
X- a
^ x" + a"
x+a
x"-a"
X+ a
+- +
2.
(-(•) lugar impar
(—) lugar par
Leyes de un cociente notable
1.
2.
3-
x'"-y'
x '" - y '
Obsérvese que 15/13 no es entero.
Nunca genera un cociente notable exacto.
es un CN
+ - + -... +
(n es impar)
es un CN
(n par)
6m^ - m - 1 5 = 6m^ - 3m - 3
El número de términos del desarrollo de un cocien­
te estará expresado por el exponente común de las
bases en el numerador
El polinomio desarrollado se caracteriza por ser
completo y ordenado respecto a sus bases (en for­
ma descendente respecto a la 1.®) y ascendente
respecto a la 2.® además de ser homogéneo.
Si el divisor es el binomio diferencia, los términos
del cociente serán todos positivos, pero si es el bi-
Indicar el equivalente de: a®-b® +, a®+ b
a - b ' a -I- b
Resolución;
Efectuando la primera y segunda división:
a'' + a^b + a^b^ + ab^ + b'* + a" - a^b + a^b^ - ab^ + b^
2(a‘’ + a^b^ + b“) -= 2(a^ + ab + b^)(a^ - ab + b^)
Hallar el coeficiente de
(x“®- 243) : (x^ - 5/3 )
en el cociente de:
Resolución:
Dándole una forma adecuada tenemos;
(x')’' - (^/3 '^)^{x ^-'/3 )
Luego, por la fórmula del término general se tiene;
t, = ( x T ' W ’ '
...(I)
Por fórmula:
Si el exponente de x es 24: 3{15 - k) = 24
^15-k = 8 ^k = 7
En (1) el coeficiente será: (V 3 f ^ = 9
4.
Por dato:
Determinar (m + n), si el t,, del cociente notable:
Dedonde:
X®-
- x"’V ^
2 "'-
1 = 15 ^ p =
2
También: 3" - 2® - 1 = 210 == 3" = 243 =* n = 5
Resoluciórt:
Dándole una forma adecuada:
Por propiedad:
-
=
D
= 7
x=-y'
6. Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente
x“° - y " °
— — el término que tiene grado abx^ - y
soluto 34,
•(I)
/
notable:
(y y ^ x -V '
Resolución:
Por dato: x'"-"® y"'- x” 'y '"
Cualquier término estará expresado por:
= » m - 8 5 = 1 1 5 => m = 200
En (I): n - 280 => m + n = 200 + 280 = 480
5.
t , - ( x T ^ ' y ' " ' - x ^ ‘’- V
Por dato: 4 0 - 2 k + k - 1 = 3 4 ^ k = 5
Si en el cociente-notable: x^"’ ^ - y^"’ ^
el segundo término es x^210y,,IS. calcular
E,
Calcular el t „ en el cociente notable:
Resolución:
4p n
Dándole la forma adecuada;
1_1 + 2a - a ^ 1 - ( 1 - 2a + a^)
Resolución:
Transformando el cociente se tendrá:
?
3” - 3
-1
.2f> 1\2"
(x^
-5
3*^-3
0
1—(a —l1)U
t„ = a - 1
=^
’ -(y
■ ■
Q
1.
R E S U EL TO S
PROBLEMAS
2a -,____
a'
1 - 2° / ? ^
l-(a-l)^
1 - ( a - 1 ) ’''°
- t , = ( i r " ’[ ( a - i r T
B
" " '
Por Horner:
Si al dividir un polinomio P(x) entre (x^ + 1). el resto
resultante es (x" + x - 1). Hallar el resto de dividir
P(x) entre (x^ - x + 1).
Resoiución:
P(x)= (x^+1)q(x) + x^ + x - 1
P(x) = {x+1)(x^- X + 1)q{x) + x"+ x - 1
Se pide el resto de;
—
x^-x + 1
Por el teorema del resto:
x^ - x + 1 = O =5 x"= X - 1
R(x)= O + ( x - 1 ) + x - 1 = 2 x - 2
2.
Determinar a + b, si el polinomio:
ax' + bx" - 26x’ + 30x" - 13x + 2
es divisible por: 2x^ - 3x + 1
Resolución:
Como es divisible, la división es exacta.
Se habrá dado cuenta que la división se ha efec­
tuado con los polinomios ordenados en forma cre­
ciente. Luego: a = 6 a b = 1
a+ b= 7
3.
Determinar el polinomio P(x) de 4.° grado, tal que
sea divisible entre (3x^ - 2) y que al dividirlo sepa­
radamente entre (x - 1) y {x + 3), los restos obteni­
dos sean, respectivamente: - 5 y -249
4.
Resolución:
Reemplazamos 'n" por 4p:
P{x) de 4.' grado y divisible entre (3x^-2).
^ P(x) = (3x^-2){ax + b)
• P(x) = ( x - l) q , ( x ) - 5 ^ P ( 1 ) - - 5
• P{x) = ( X + 3)q 2
(x) - 249 = P{-3) = -249
P(1) = (1){a + b) = - 5 =»a + b = - 5
P{-3) = (-81 - 2){-3a + b) = -249 => -3a + b = 3
Resolviendo: a = -2 a b = -3
=, P(x) = (3x^ - 2)(-2x - 3)
P(x) - 6x* - 9x^ + 4x + 6
m(4p)p - 5mp - 4(16p^) = O
4mp - 64p = 5m
= 4p(m - 16) = 5m
De aqui:
7.
Si P(x) es un polinomio de quinto grado divisible
entre (2x'‘ - 3), al dividir P(x) separadamente entre
(x + 1) y (x - 2), los restos obtenidos son, respecti­
vamente, 7 y 232. Determinar la suma de los coefi­
cientes del polinomio P(x).
3x®+ mx^ + nx^ - x + 2
x" + 3
da como residuo 5 x -1 0 , hallar el valor de:
T= m + n
Si la siguiente división:
Resolución:
3x^ + mx^ -(- n x " - X + 2 .
: R(x) = 5x - 10
x ^ +3
Dividimos por Homer:
Resolución:
P(x) es de 5.° grado y divisible entre (2x^ - 3).
^ P(x) = (2x"-3)(ax +
b)
• P(x) = (x + 1)q,(x) +
7 =*P(-1) = 7
. P(x) = ( X - 2)qz(x) +
232= P(2)= 232
P (-1)= (2 - 3)(-a + b) = 7 = a - b = 7
P(2) == (32 - 3)(2a + b) = 232 =» 2a + b = 8
Resolviendo: a = 5 a b= -2
= P(x)= (2x" - 3)(5x - 2)
Icoef(P )=P (1) = (-1)(3)= -3
5.
R(x) = (26 - 3m)x + (2 - 3n) = 5x - 10
Observamos que:
♦ 2 6 - 3 m = 5 =»m = 7
Determinar el conjunto:
-y
-y
n e lN /
es un cociente notable
•
Resolución.2 n - 4 _ n - 1 = p, p e M
n- 2
n-3
=» 2(n - 3) = n - 1 a
n?^2; 3 =» n = 5
+ Dx + Cx + D
exacta, hallar
D x'+E
una relación entre los coeficientes de la división.
Reemplazando: p =
2 e IN
Resolución:
^ n -2 _ y n -í
6.
8.
2 - 3n = -1 0 ^ n = 4
T= m + n = 11
R = {5}
Si la división: ^
Por Horner (completar el dividendo)
Si la siguiente división:
(3mx^ + 3nx‘* + (5m^ + 3p)x^ + 9mnx^ + mnpx+n^)
(mx^-(-nx+p)
es exacta, hallar el valor de: T = — (m - 16)
m
'
Resolución:
Dividimos por Horner:
m
3m
-n
3n (5m^-i-3p) 9mn
-3 n
VJ
-P
3
0
-3 p
0
■VI
5m
mnp
n^
Observamos que:
♦D-E=0
^D=E
0
-5m n -5m p
4n
Observamos que:
.
= 4np = 0 => n" = 4np
mnp - 5mp - 4n^ = O
• C - f
-4n^ -4pn
0
0
Te}®
A= C
AD = EC
9.
n = 4p
=0
Si la siguiente división:
(x* + x’ + ax^+b) -í- (x^+x^+cx+1) es exacta, hallar el
valor de: T= abe
(x - 1)(x -
Resoiución:
6)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x -
Dividimos por Homer (completar el dividendo);
1
-1
0
' 1
-c
1
a
-c
-1
1
c
c-
-1
-
b
1
0
1 (2 - c)
0
2 (c' - 2c) c - 2
0
0
División exacta
•
•
a - 2 c - 3 - 0 ...(!)
c' ' 2c - 1 = O - (c - 1)^ = O ^ c = 1
10. Calcular el residuo de:
(X ■ 5 ) ’ = +
(X -
6)" +
6
(x -5 )(x -6 )
Resoiución:
Sea R(x) = ax + b el residuo (de 1 grado, pues el
divisor es de 2.' grado). Por el algoritmo de la divi­
sión:
( X - 5)’- -(• ( X - 6)"+ 6 = ( X - 5)(x - 6)q(x) + ax + b
Si x - 5 : - 1 + 6 = 0-t-5a + b=»5a- ^ b = 5
Six = 6: l +6 = 0 + 6a - r b - :> 6a + b = 7
Resolviendo: a = 2 a b = - 5
R (x)= 2 x -5
11. Si "n" es un número naturai impar y múltiplo tíe 3,
determinar el resto en la siguiente división:
(x'" x" + 2) + (x' - X + 1)
Resoiución:
Multiplicando por (x-t-1) al dividendo y al divisor
(tenga en cuenta que el resto también queda multi­
plicado por x +1 ). se tiene
(x^Vx^ ^ 2 ) ( x - 1)
x^"' ’ + x"'~'rx'^~’ + x^ + 2x + 2
( X ^ - X + 1){x + 1)
X^-r 1
Por el teorema del resto: x^ + 1 = O = x^ = -1
Acomodando el dividendo (n = 3):
2n
2
£
P(x)= (X')^x + (x V + (x V x + (x^)^ + 2x + 2
Reemplazando: (— es par
2r
^
a
impar)
n
n
Rp(x) = ( - 1)^x + ( - 1 )^+ (- 1)^ x + ( - 1)’ + 2x + 2
^ Rp(x) = x + 1 - x - 1 + 2 x + 2
R,(x) - 2(x + 1)
Luego: R , ( x ) = ^ = 2
12. Hallar el resto de la siguiente división:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x 4 )( x -5 )(x -6 )
x" - 7x + 11
Resolución:
Ordenamos el dividendo:
(x "-7 x + 6)(x -- 7x+ 10)(x"-7 x+ 12)
x ^-7 x + 1 1
Por el teorema del resto:
x" - 7x+ 11 = O =
- 7x = -11
^ R(x) = ( -11 + 6)(-11 + 10)(-11 + 12)
R (x )-(-5 )(-1 )(1 )-5
13. Determinar ei residuo de dividir:
(x^^^í 4- x^ - 2) entre (x“ - x" + 1)
Resoiución:
(x^-° + x ^ - 2 ) ( x ^ ^ 1)
En (I). a - f 2 - 3 = 0 - a = 1
• b-^ c -2 = 0 = b = 1
T = (1)(1)(1) = 1
2)
x " - 7x (11
^ (x^^° + x^-2) (x^
1)
( x " - x '+ 1)(x "+ í)
^
x ®+1
Por el teorema del resto:
X®^ 1 = O ^ X«= -1
. P{x) = [(x Y V + x ' - 2Kx"+ 1)
. Rp(x) = [ { - 1) V t x' -- 21(x" + 1)
=> Rp(x) = (x^ - x‘ - 2)(x" + 1)
^ R(X) =
x^ + 1
= x' - x' - 2
Como este no tiene grado menor que el divisor, en­
tonces: x" - x^ + 1 = O =• x'* = x" - 1
R(x) = (x")x - x"- 2 = (x' - 1)x - x^ - 2
R(x)= x^ - x^- X - 2
14. Un polinomio P(x) de sexto grado al ser dividido
por (x + 1)^, arroja un cociente entero g(x) y un
residuo: 3x + 2. Si g(x) tiene como coeficiente
principal al número 7, y ta suma de los coeficientes
de P(x) es 325. Determinar el término independien­
te de g(x).
Resoiución;
P{x)=(x+1)^g(x)
3x
= P(x) = (x+1f { a x + b) + 3x + 2
Coeficiente principal de g(x)= 7 =. a = 7
P(1) = 325=(2)V+b) + 5 ^ b = 3
Tl(g)=b=3
15. Si P es un polinomio definido por:
P(x) = ax* + bx^ + cx - 8, tal que el residuo de divi­
dir P(x) entre (x + 3) es 6, Hallar el residuo de dividir
P(x) entre (x-3),
Resoiución;
P(x) = ax^+bx^+cx - 8
...(I)
P(x) - (x + 3)
R = P(-3) = 6
En (I): R = P(-3) = -243a - 27b - 3c ^ 243a + 27b ^ 3c = - 1 4
...(II)
Nos piden: R = P(3)
En (l): R = P(3) = 243a + 27b + 3c - 8
Con (II): R = -14 - 8^ -22
8= 6
16. Si al dividir P(x) por x“-1 dacomorestoR(x)=2x" - 1,
hallar el resto de dividir [P(x)]^ por x^ - 1.
Resolución:
P(x)^ (x^ - 1) ^ R(x) = 2 x ^-1
^ P(x) = (x‘ -1)q{x) + (2x^-1)
Elevando al cuadrado;
[P(x)]^ = [(x ^ -1 )q (x )+ (2x^-1
Nos piden ei resto de [P(x)]^ (x^ - 1)
Por el teorema del resto;
x" - 1 = O == x" = 1
En(l): R = [{1)'-1]q(x) + [2 (1 )-1 f
.• R = 1
17-
Después de efectuar la siguiente división;
(ex“ - 4x^ + x^ + lOx - 2) -i- (3x + 1), indicar cual
de los siguientes enunciados son correctos;
I. El polinomio cociente es 6x^ + 3x + 9.
II. El resto e s -5II!. El término independiente del cociente es 3.
(n - 1) coeficientes
.-. Q(1) = 1 + {n - 1){n + 1) = n"
20.
Si R(x) = Bx^ + Cx es el resto de la división
—■
+ Bx + 2 (determinar el valor de:
3x^ - X + 1
T = A - 3B + C
Resolución:
Reconstruyendo la división por el método de Homer:
3
6
3x + 1 = 0
6
-4
- 4
1
6
2
-2
-6
-2
1
2
10 -2
-1 - 3
3
9
3
1
De donde: ■3- =
-5
h
i
12
e
a
b
j
N
2
k
L
P
F 20
e -28
d
g
Determinar el valor: ab + j + N + ad - g
Resolución:
Del esquema;
ab = 12, j + N = 2; ad = -28 a g = -8
ab + j + N + ad - g = 12 + 2 - 28 - ( - 8) =
-6
Sea Q(x) el cociente de efectuar la división;
(x" + nx"’ ' - n - 1) ^ ( x - 1), calcular Q(1).
Resolución:
Por Ruffini:
n coeficientes
1
2
-2
n
0
0
0 .. 0
1
6
2
B
C
0
A = 18
T = 29
El siguiente esquema representa una división por
el método de Ruffini.
x=
0 B
-6
1 -1
0 2
B = - 5 A (B + 1 = C ^ C = -4 )
Luego: T = A - 3 B + C = 1 8 - 3 (-5 ) - 4
I. Elpolinomiococientees;q(x)=2x^-2x^+x+3 (F)
II. El resto es; R(x) = - 5
(V)
III. El término independiente del cociente es q(0) = 3 (V)
Son correctos; II y III
=0
0
6
0
6
■M
+3
x -1
0
3
Por el método de Ruffini:
19.
3
-1
Resolución;
18.
A
0
0 - n -1
n+1 n+1 n+1 , . n+1 n+1 n +1
n+1 n+1 n+1 n+1 . . n+1 n+1
0
( n - 1) coeficientes
Q(1 ) es la suma de coeficientes del cociente Q(x);
21. Si el residuo de dividir: (ax^ + ax^ - 4x + 2a) entre
(x^ - bx + 2) es 2x. Determinar la suma de coefi­
ciente del cociente.
Resolución;
Usando el algoritmo de la división:
ax^ + ax^ - 4x -f- 2a = (x" - bx + 2)q{x) + 2x
Donde q(x) es de primer grado,
ax^ + ax^ - 4x + 2a = (x^ - bx -h 2)(mx + n) + 2x
Notar que; m = a a n = a
ax^ + ax" - 4x+ 2a = (x^ - bx + 2)(ax + a) + 2x
= ax^ + (a - ab)x" + (2a - ab -1- 2)x + 2a
=» a = a - ab A 2a - ab + 2 = - 4
=»ab = O A 2 a = - 6 = » b = 0 A a = - 3
q(1) = 2a = - 6
22. Sea el polinomio definido por: P(x)= x^ - ax" + bx + c,
tal que P(x) es divisible separadamente entre
( x - a). ( X - b)y (x -c ), hallar el valor de T = a + b + c,
con b # 0.
Resolución:
P(x) =
- ax" + bx + c
Si P(x) es divisible separadamente entre (x - a),
(x - b) y (x - c), entonces lo será por su producto.
- P(x) = ( X - a)(x - b)(x - c)Q(x)
Luego, efectuando:
x^ - ax" -I- bx + c = x^ - (a + b + c)x^ +
(ab + be + ac)x - abe
Identificando coeficientes;
• - a = - a - b - i - c =»b- i - e = 0 ...(a)
• b = ab 4- be + ac
b = a(b + c) + bc =>b = b c = » c = 1
'~ 0 ~ '
En (a); b= -1
• c - -abc =» ab = -1 => a ( - 1) = -1 =» a = 1
a+ b+ c= 1
23. Sea P un polinomio (definido en x), tal que P(x)
es divisible separadamente por (x" + x - 6 ) y
(x^ + X - 2). Hallar e! resto que se obtiene de dividir
P(x)+(x" + 2 x-3 )(x" - 4)
Resolución;
P(x) es divisible por (x" + x - 6)
P(x) es divisible por (x" + x - 2)
=> P(x) es divisible por el producto de:
(x^ + X - 6)(x^ + x - 2)
Observamos que; (x^ + x - 6) (x^ + x - 2)
P (x )- (X + 1) ^ R = P (-1 ) = ?
=» P(x) será divisible por el producto de (x" - 9)(x - 1).
- ,P (x U (x '-9 )íx -1 )Q(x)
4,°G
3.°G
1.°G
De aquí; Q(x) = ax + b
Donde, además; a = 3
P(x) = (x" - 9)(x - 1)(3x + b)
• P(2) = (-5)(1)(6 + b) = -50=> b = 4
P(x) = (x^ - 9)(x - 1)(3x + 4)
. P ( -i) = (-8)(-2)(1)
R = p (_ 1 )= 1 6
26. Hallar el número de términos del cociente notable:
Resolución:
^ i7 ,5 _ y 8 rs
j( X _ 2
X
2
= (x + 3 ) ( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x + 2)
= (x^ + 2x - 3 )(x"- 4)
Como P(x) es divisible por el producto de;
(x^ + 2x - 3)(x" - 4).
El residuo de dicha división es 0.
24.
De
X" - y
_ 17,5 _ 8,75 _
N.° de términos del CN =
= 35
1/2
1/4
27. El esquema siguiente muestra la división de dos
polinomios según la regla del Horner.
-2 b
d
bd
3d
Si el desarrollo del siguiente cociente notable;
^
tiene un término de la forma
d
f
;b = a
bf
cf
e
c
-I-
e
X
a(x^ - 1f , hallar el valor de: T = a + b
Hallar el valor de; T = a' + b' + c' + d" + e" -h f"
Resolución;
Resolución;
Escribamos en la forma de cociente notable;
a
(x + 1)^' + ( x - 1 ) ’
b
(x + 1)’' + ( x - 1 ) ’
= 2
2x
= 2
Ahora, supongamos que el término de ia forma
a(x" - I f ocupa lugar k.
t, = 2 [ ( - i r ’(x+ 1)"-^(x - 1)^-'] = a(x" - D"
Obsérvese que se debe cumplir:
11-k = k -1 = k = 6
Reemplazando tenemos: -2(x" - 1)* = a(x" - 1)“
Comparando: a = - 2 a b = 5
T= 3
25.
Si un polinomio P(x) de cuarto grado, cuyo coeficien­
te del término de mayor grado es 3, es divisible por
(x^ - 9) y por (x - 1 ). Si al dividir P(x) entre (x - 2) se
obtiene como residuo -5 0 , hallar el residuo que se
obtiene de la división de P(x) entre (x -i-1).
Resoiución:
Datos:
P(x) es de 4.° grado, donde el coeficiente principal
vale 3.
P(x) es divisible por (x" - 9)
P(x) es divisible por (x - 1)
P(x) + (X - 2) ^ R = P(2) = -5 0
-2 b
d
bd
3d
c
(x+1)’' + ( x - 1 ) '
(X+1) + (X -1)
e
d
f
c
bf
cf
e
c
Dato: b = a + 6
Del esquema:
^ = d
e = ad
...(I)
a
de = 3d =» c = 3
- 2 b + bd
3
-f
...(II)
• 4d + bf = e
...(III)
• e + cf = e =>f = 0
En (II): -2 b + bd = O =» bd = 2b = d = 2
En (III): 4d = e = e = 8
En (I): 8 = a(2) ^ a = 4
En el dato: b = 12
T = 16 + 144 + 9 + 4 + 64 + O = 237
28. Si P es un polinomio definido por P(x) = ax" + bx^ + c,
tal que si la diferencia de los restos de dividir, res­
pectivamente, entre: x" -t- 1 a
+ 1 es 2(x + 2),
Hallar el valor de: T = ab
Resolución;
Dato; P(x) = ax" + bx^ + c
•
Hallemos el resto de P{x) + (x^ + 1)
PorTRix^ + 1 = 0 ^
= -1
P(x) = a(x^)^ + b{x^)x + c
=5- R,(x) = a(-1)^+ b { - l) x + c
R,(x) = -b x + (a + c)
• Hallemos el resto de P(x) (x^ + 1)
PorTR; x^ + 1 = O =. x^ = -1
P(x) = a(x^)x + b(x^) + c
« Rj(x) = a(-1)x + b (-1 ) + c
Rz(x) =
+ (c - b)
Por dato: R,(x) - R2(x) = 2{x + 2)
=» ( - b + a)x + (a + b) = 2x + 4
Observamos que: a - b = 2A a + b = 4
=» a = 3; b = 1
T -{3 ) (1 ) = 3
29. Dada ta siguiente división:
3 + (x - 3 f ' + x^ - 26 + 27x - 9x^ n c Z‘
hallar el resto.
Resolución:
D(x) = 3 + ( X - 3)'"*^
d(x) = x^ - 9x^ + 27x - 26
Por TR: x" - 9x^ + 27x - 26 = O
x^ - 9x' + 27x - 27 + 1 = O
= (x - 3 f + 1= O =» (X - 3)' = -1
Del dividendo: D = 3 + [(x-3)^}^"" ^
=» R = 3 +
R = 3 + (-1 ) = 2
impar
30. Sea P(x) un polinomio que cumple:
Por ser identidad, damos valores;
x = 2 => 0 = 0 + 2a + b => 2a + b = 0
...(I)
x = 1 =»0 = 0 + a + b = 5 a + b = 0
,..(il)
Resolviendo (l) y (ll) se obtiene: a = Oa b = O
.-. R(x) = Ox + O = O
32. Hallar el resto en:
X
+ x'"" + 1
x "- 1
x- 1
Resolución:
Multipliquemos dividendo y divisor por (x - i;
x + x'^^+ 1/ x - 1'
x"-1 l x - 1 ,
x=- 1
x- 1
^200 _ ^199 ^
x'-1
Por el teorema del resto: d = x * - 1 = 0 = > x ® = 1
Del dividendo: D = (x^)'“’ - (x^)^V + x^ - 1
Luego: R’ = (1)^“ - {1 )'V + x' - 1
R' = 1 - x^ + x^ - 1 =, R' = - x^(x^ - 1)
^ R’ = -x '(x + 1)(x - 1)
Para hallar el resto (R) debemos dividir — — ;
X —
R=
R'
x - 1
1
= - x ‘^(x + i;
33. Si al dividir P(x) / ax'' + bx^ + cx^ + 3x + 1 entre
x^ - x + 1 se obtiene un cociente cuya suma de
coeficientes es 22 y un resto R(x) = 10x - 1, hallar
a+ c
Resolución:
P(x) - P(x - 1) = 2x(2x - 1), hallar ladiferen­
cia de los residuos quese obtienen al dividir
P(x) entre (x - 1) y {x + 1), respectivamente.
Resolución;
P(x) - P(x - 1) = 2x(2x - 1)
...{i)
El resto de dividir P(x) <x - 1) es; R = P(1)
El resto de dividir P(x) + (x + 1) es; R = P ( - 1)
Lo que nos piden es: P(1) - P{-1)
En (I):
= 1 = P(1) - P(0) = 2
©
= O = P{0) - P {-1) = O
••• P (1 )- P ( -1 ) = 2
X
• 1 -b-c = -1 ^ b + c= 2
...(II)
Restando (ll) menos (I): a + b = - 5
Por dato; q(1 ) = a + (a + b) + (b + c) = 22
X
31. Calcular e! residuo de la división siguiente;
(x-1)^-(x-2)^-1
x^ - 3x + 2
Resolución;
d(x) = x ' - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)
El divisor es de segundo grado, luego el máximo
grado del resto es 1, implica que el resto tomaria
la forma: R(x) = ax + b
Sabemos que; D(x) = d(x)q(x) + R(x)
^ (X - I f - (X - 2)' - 1 = (x - 2)(x - 1)q(x) +
(ax + b)
a - 3 = 22=»a =
a + c = 57
2 5 A C
= 32
34. Al dividir F(x) entre (4x‘ - 9)(x + 3) se obtuvo como
residuo 2(x - 3)^. Hallar el residuo de dividir F(x)
entre (2x^ + 9x + 9).
Resolución:
4x^ - 9 s (2x + 3)(2x - 3)
Por identidad fundamental:
F(x) = (2x + 3)(2x - 3)(x + 3)q(x) + 2(x - 3)'
F(x) = (2x - 3)(2x' + 9x + 9)q(x) + 2x^ - 12x + 18
descomponemos
Resoiución:
2x" - 12x + 18 = (2x^ + 9x + 9) + (-21x + 9)
F(x) = (2x^ 4- 9x + 9)[(2x - 3)q(x) +1] + (-21x + 9)
GA(P) = 4 A P(x) divisible: x" - 1
^ ^ ) = (x ^ -1 )q ^
4.'
2.’
P(x) = (x^ - 1)(ax^ + bx + c)
D(x)
.
P(x) deja resto: R,(x) = 2x - 6
x"+ 1
Por el teorema del resto: x' + 1 = 0 =»x " = -1
En (1): R,(x) = (-1 - 1 ) ( - a +bx+ c) = 2x - 6
-2 b x - 2 ( c - a) = 2x - 6
=sb=-lAc-a = 3
-••(«)
II.
— - deja resto: R2(x) = 6 - x
x^-2
F(x) = {2x - 3)(2x^ + 9x + 9)q(x) + (2x^ + 9x + 9) +
( - 2 1 X + 9)
d(x)
Q(x)
R(x)
R(x) es el resto de dividir D(x) entre(2x^ + 9x + 9)
R(x) = - 21x + 9
4
2
35. ¿Qué valor toma pq en: ^
+ ,9 ^^le modo que
X + X -t-1
su resto sea idéntico a 3x + 4?
Resolución;
1
-1
-1
1
1
0
-1
-1
p
-1
1
p
0
q
1
-P
-P
Por el teorema del resto; x " - 2 = 0=>x^ = 2
En (1): Rj(x) = (2 - 1)(2a + bx + c) = 6 - x
=>b=-lA2a + c = 6
,..(|3)
De (a) y (P): a = 1 a c = 4
^ P(x) = (x' - 1)(x' - x + 4)
T1(P) = P(0) = -4
(1 -p ) (q-p)
resto
Como; (1 - p)x + (q - p) = 3x + 4 (dato)
p = -2
1 -p = 3
pq
q- p= 4
q= 2
36. En la división siguiente:
3xV
6bx^+ x + a
x‘^ - x + b
se sabe que el resto es; 2x + 3; además ta suma
de coeficientes del cociente es mayor que 15. Cal­
cular ab.
.( 1 )
38.
2x” ^ + 1
Si la siguiente división;----- ^ — es inexacta, ha1 + x^ - x
llar el residuo.
Resoiución:
De; 2 x "''+ 1
...(I)
X^ - X + 1
Recuerde que si; D(x) = d(x)q(x) + R(x)
= D(x)M(x) = Ld(x) X M(x))]q(x) + R(x)M(x)
Esto es, si at dividendo y divisor se les multiplica
por M(x) (M(x) ^ 0), entonces el resto también que­
dará multiplicado por M(x).
Resolución:
(2x’’^+ 1)(x+ 1)
(x^ • x+1) ( x 1)
2j^119 x + 1
Por (x + 1):
2x’“
...(II)
x^+ 1
Por el teorema del resto en (11):
x H
1 = O => x ^ = - 1
P (x) R f(x ) =
=»
•
•
b" - 5b + 6 - 2
b' - 5b + 4 = O =» (b - 4)(b - 1) = O
=» b = 4 V b = 1
a - 5b = 3
Si: b = 4 =. a
= 23
Si: b = 1 => a
=8
Observe que cuando b = 1 a a = 8, suma de
coeficientes del cociente sale mayor que 15 pero
no cuando b = 4 = > b = l A a = 8
ab = 8
37. Sea P un polinomio de cuarto grado divisible por
(x" - 1). Si P(x) se divideseparadamenteentre
(x^ + 1) y (x" - 2) tos residuos son(2x - 6)y (6- x)
respectivamente, hallar el término independiente
de P(x).
2(x^)*° +
2 ( x ^)^®x ^ +
2 ( - 1 ) “° +
R p (x) =
-
2x" +
2 ( - 1 ) ' V
X +
3
=
+
x
+
1
1
x -
( - 2 x
+
3)(x +
1)
Luego, el resto de (I) será:
( - 2 x + 3)(x + 1)
r (x) = 5 eM _ _
' '
X+1
X + 1
R(x) = -2 x + 3
39. Si P es un polinomio de cuarto grado, cuyo coefi­
ciente principal es 6, tiene como término indepen­
diente -4 ; es divisible separadamente por (x + 1) y
( X + 2) y al dividirlo entre (x - 2) el residuo es 240,
hallar la suma de coeficientes de polinomio P.
Resolución:
GA(P) = 4; CP(P) = 6; TI(P) = - 4
P(x) es divisible entre (x + 1) y (x + 2)
^ ^ ) = (x + 1)(x+2)q^)
4.*
2.“
=> P(x) = (X + 1)(x + 2)(ax^ + bx + c)
CP{P) = 8 = 6; TI(P) = 2c = - 4 = c = - 2
=» P(x) = {X + 1)(x + 2)(6x' + bx - 2)
P(x)
deja resto; R = 240
Además;
x -2
^ P(2) = R = 240 =. {3)(4)(24 + 2b - 2) = 240
^ b = -1
=> P(x) = (x + 1)(x + 2)(6x^ - X - 2)
P(1) = (2)(3)(3)=18
40.
Si P es un polinomio, ta! que a! dividir P(x) entre
(X® + X + 1) se obtiene como residuo {-x^ + 1).
hallar el residuo que se obtiene al dividir P(x) entre
{x' + X + 1)
Resolución:
P(x) = (x® + X + 1)q(x) + (-x^ + 1)
P(x) = (x^ + X + 1)(x^ - x^ + 1)q(x) + (-x^ + 1)
P(x)
, apliquemos el
x+x+1
teorema del resto; x^ + x + 1 = O => -x^ = x + 1
=> R(x) = O X q(x) + (x + 1 + 1)
.. R(x) = X + 2
Para calcular el resto de
41.
Si un término del cociente notable que resulta de
dividir;
. ^ ^
es x’^ Hallar el valor de m + n.
Resolución:
x^-y"
Se tiene: y 3 . . m - 3 „ m + 2
Ay
y
Dándole la forma;
1
y - 3
grado absoluto 40. Calcular el grado absoluto del
t . , 2. contado a partir del primero.
Resolución:
El término “k” contado a partir del final es el mismo
término que se obtiene invirtiendo el desarrollo del
cociente notable, lo cual se logra, cambiando de
signos, así:
y 3 0 -^ 7 5
y^-x=
(y^)-(x^)
Cálculo del término k: (invertido el orden)
Dato; (GAtJ = 40 = 30 - 2k + 5k - 5
^ 3 k = 15 ^ k = 5
=í Nos piden calcular e l ^ ^ 2 =■ t, {sin invertir)
5
GA(t7) = 40 + 12 = 52
43. Si al dividir: abx® + b^x* + bcx^ - abx + acx^ + c^
ax + bx + c
. b(a + c)
se obtiene por resto: acx, calcular:
Resolución:
Por el método de Horner;
1
x -y ’
(x^)^-(y^) 5
x'-y'
Se cumple que; y = m + n
» 5m = 3m + 3n =9 2m = 3n
2m
Sabemos que un término cualquiera del desarrollo
estará expresado por;
-3yk
1 / „ 3 \ T - l > / , . 5 s k - 1 ____
= X
Por dato, uno de sus términos es x'^ en conse­
cuencia;
De donde: R(x) = (-a b - bc)x = acx (dato)
=» - ab - be - ac => ab + be = -a c
• *^(3 + c) _ ^
ac
44. Calcular “n” sí el residuo de la división:
(x + 3)"(x + I)'* + nx(x - 1)(x + 5) + 1
(x + 2)^
es: 2(1 - 18x); n es par
De donde;
• m - 3k = 12 ^ m = 3k + 12 ...{II)
• 5 k - m - 2 = 0 = 5 k - 3 k - 1 2 - 2 = 0=>k = 7
Reemplazando el valor de k = 7 en (II);
m = 3{7) + 12 =» m = 33
•í\
n = 22
E n ,,):„ = Í M
Luego: R = { - 4 + 3)" + nx(-4 - 5) + 1
m + n = 33 + 22 = 55
42.
Si el término “k" contado a partir del extremo final
del desarrollo del cociente notable:
Resolución:
Por el teorema del resto:
d = x^ + 4x + 4 = O => x^ + 4x = - 4
Del dividendo:
D = [{X + 3){x + 1)1" + nx{x - 1){x + 5) + 1
D = (x" + 4x + 3)" + nx{x^ + 4x - 5) + 1
X -y
tiene
Como "n” es par, entonces:
R = 1 - 9nx + 1 = -9 n x + 2
Por dato: -9 n x + 2 = -3 8 x + 2
=9 —9n = —36 = n = 4
45. Hallar el resto en la división:
48. Al efectuar la división:
( x+1) ( x + 2)
Resolución:
Se tiene que:
D(x) = + Ox^ + Ox + O
d(x) = x" + 3x + 2
Por el método clásico:
x^ + Ox^ + Ox +
- x^ - 3x" - 2x
- 3x^ - 2x +
3x" + 9x +
7x +
Se obtuvo un resto R(x), hallar el valor de:. R ( - 1 )
R(1)
Resolución:
Se tiene que:
d(x) = x^ - x" +
O
Resolución:
Por el teorema del resto:
d(x) = ax" - b = O =» x" = b/a
Del dividendo, dando forma:
D = 3 (x 'f - 5(x")"+ 3(x")x + 3(x") - 5x - 5
Para que sea la división exacta: R(x) = O
X+
3 ( b f _ 5 ( b f + 3 (b)-5Ì
\a l
\a l
[a l
=0
De aquí: 3 ( | | - 5 - O ^ 3b = 5a
Como "a" y "b" e Z * : a = 3 A b = 5
47. Si se sabe que la división de:
F(x) = ax" + {3a - b)x""’ + (5a - 3b)x"”" +
(7a - 5b)x'’-^ + ...
de (n + 1) témiinos, entre ax - b, da como residuo
11a; (a b). Hallar el valor de “n’’.
Resolución:
Efectuamos la división por Ruffini. para esto ana­
licemos tos coeficientes del dividendo, nótese que
posee (n + 1) términos.
1 coef. = a
2.“ coef. = (3a - b) = (2 x 1 + 1)8 - (2 x 1 - 1)b
3.®' coef. = (5a - 3b) = (2 X 2 + 1)a - (2 X 2 - 1)b
4.“ coef. = (7a - 5b) = (2 X 3 + 1)8 - (2 X 3 - 1)b
(n + 1)." coef. =
a
= (2n +1)a - (2n - 1)b
a (3a - b) (5a - 3b)
I
b
3b
3a
(2n + 1)a - (2n - 1)b
(2n - 1)b
5a.,,(2n-1)a
(2n+1)a
resto
(2n -H 1)a = 11a
n= 5
X
- 1 = x^(x - 1) +
(X
- 1)
•
Factorizando (x - 1): d(x) = (x - 1)(x^ + 1)
Luego; d(x) es de tercer grado, entonces el
máximo grado de R(x) es 2; es decir;
R(x) = ax" + bx + c
Sabemos que; D(x) = d(x)q(x) -t- R(x), entonces
(x^ + 1)® + (x - 1)^ -t- 3x =
(x - 1)(x" + 1)q(x) + (ax" -i- bx + c) ...(I)
•
Por ser identidad, damos valores;
x = 1 => 35 = a- i ' b + c
...(II)
También se puede escribir en (I) así:
(x" + 1)' + (x" - 3x' + 3x - 1) + 3x =
(x - 1)(x" + 1)q(x) + (ax"+ bx + c)
x^ = -1 =» - X + 3 + 3x - 1 + 3x = - a + bx + c
=> 5x + 2 = bx + (c - a)
De aquí: b = 5 A c - a =
21 0 = 1 6
Pero b = 5 en (II): a-i -c =
3 0 j a = 14
^ R(x) = 14x' 5x + 16
R (-1)
14^5+16 5
R(1)
14 + 5 + 16 7
x-3
O
6
6 = resto
46. En la siguiente división:
3x^" - 5x^° + 3x^ + 3x' - 5x - 5
ax" - b
determinar el valor entero y positivo de “a” y “b",
para que dicha división sea exacta, siendo: a < 4
3\(a- l) - 5
(x"+ 1)^ + ( x - 1)^ + 3x
X ^ - x" + X - 1
49. Si el resto de dividir:
P(x) = (2x^ + 6x + 9)"® - 3(x" + 3x + l<)” + 5
por d(x) = x" + 3x + 4 es 3, hallar la suma de los
valores de k.
Resolución;
Por el algoritmo de la división;
P(x) = d(x)q(x) + R(x)
Donde q(x); cociente de la división, R(x) = 3
(2x" + 6x +
- 3(x" + 3x + k)"* + 5 =
(x^ + 3x + 4)q(x) + 3
[2(x" + 3x) + 9]"' - 3{(x^+ 3x) + k]"‘ + 5 =
[(x" + 3x) + 4]q(x) + 3
Para anular q(x) =» x' + 3x + 4 = O =» x" + 3x = - 4
Reemplazando;
[2(-4) + 9]*' - 3 (-4 + k)" + 5 = ( - 4 + 4)q(x) + 3
1“® - 3 (-4 + k)'** + 5 = 0 + 3=»3 = 3 (-4 + k)”
=» 1 = ( - 4 + k)"" =. 1 = ( - 4 + k)
=»-4 + k = 1 v - 4 + k = - 1 = » k = 5 v k = 3
.-. k = {3; 5} =» Ek = 3 + 5 = 8
50. Si el resto de dividir P(x) entre (x - 2) es el mismo
que el dividir P(x) entre (x -1 ) e igual a 8, ¿Cuál es
el resto de dividir P(x) entre (x - 1)(x -2 )7
Resolución:
Por teoría:
Si: P(x)+ (X - 2) =» R = 8
P ( x ) ^ ( x - 1) ^ R = 8
Entonces al dividir: P(x) (x - 2)(x - 1)
El resto también será igual a 8.
51. Encontrar el resto de dividir un polinomio P(n) entre
(2n - 1), si se sabe que el término independiente
del cociente es 5 y además P(0) = 18,
Ecuación fundamental:
P(n) = (2n - 1)Q(n) + R
1.“
»Grado cero
Datos: P(0) = 18 a Q{0) = 5
Para n = 0: P(0) = (-1)Q{0) + R
18 = - 5 + R
R = 23
52. Al dividir un polinomio P{x) entre (x + 4) se obtu­
vo como residuo 13, al dividir el mismo polinomio
entre (x + 2) el residuo es -5 . Hallar el residuo de
dividir dicho polinomio entre: (x + 4){x + 2)
Resolución:
...(I)
...(II)
Resolución:
Sea:
P(x) = ax“ + (a + 1)x^ + (a + 2)x^ + (a + 3)x + (a + 4)
Dato: P(1) = 35. luego:
P(1) = a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 = 35
=> 5a = 25 =» a = 5
Coeficiente del término lineal: a + 3 = 8
Coeficiente del termino cúbico: a + 1 = 6
8 + 6 = 14
54. Un polinomio entero en x, al ser dividido por (x - 1)
y por (x - 2) separadamente, los residuos son 6 y
8. respectivamente. Cuánto se debe restar al poli­
nomio para que al dividirlo entre (x - 1)(x - 2). el
cociente resulte exacto.
P(x) + (X - 1) ^ R = 6 ^ P(1) = 6
P(x) + ( x - 2 ) ^ R = 8=^ P(2) = 8
Ecuación fundamental;
P(x) = (X - 1)(x-2)q(x) + R
Resolución:
l- P(x) => grado; n + 1
II. P(0) = -3
III. 1 coeficiente; 1
IV. P(x) + (x'' -f-1) => R = O
V. P{2) = -33, nos piden n
De (l):
grado son número enteros consecutivos, si se divi­
de P(x) entre (x - 1) el resto es 35, hallar la suma
de coeficientes de los términos lineal y cúbico.
Dato:
55. Un polinomio presenta las siguientes característi­
cas; grado (n + 1), término independiente -3, pri­
mer coeficiente 1, es divisible por (x" + 1 ). además
P(2) = -33. Según lo mencionado, hallar "n".
Ecuación fundamental:
De (IV): P(x) = (x" + 1)Q(x)
53. Los coeficientes de un polinomio P(x) de cuarto
Resolucíón:
...(I)
...(II)
Resolviendo (I) y (ll):
a = 2 / ^ b = 4=^ R = 2 x + 4
q(x) será exacto cuando se le reste; 2x + 4
Resolución:
Datos:
P(x) - (X + 4) => R = 13 ^ P(-4) = 13
P(x) - (X + 2) ^ R = -5 ^ P{-2) = -5
Ecuación fundamental:
P(x) = (X +4)(x + 2)q(x) + R_
2. “
1.°
De donde: R = ax + b
P{-4) = O + {-4)a + b = 4a + b= 13
P(-2) = O + (-2)a + b == 2a + b= -5
Resolviendo {I) y (II): a = -9 a b = -23
R = -9x - 23
De donde; R = ax + b
P(1) = o + (1)a + b ^ a + b = 6
P(2) = O + (2)a + b ^ 2 a + b = 8
(n + 1).°
n.°
I.”
De donde:
P(x) = (x" + 1)(ax + b)
de (III): a = 1
P(x) = (x"+ 1 )(x + b ) ^ de (II); b = - 3
P(x) = ( x " + 1 ) ( x - 3 ) = de (V): (2"+1)(-1) = -3 3
n= 5
56- Al dividir el polinomio P(x) entre (2x^ + x + 3) se
obtiene por residuo 6 y un cociente cuya suma de
P(x)
coeficientes es 9. Halle el resto en:
x- 1
Resolución:
Ecuación fundamental;
P(x) = (2x^ + x + 3)Q(x) + 6
Además: Q(1) = 9
^ R = P ( 1 ) = (2 + 1 + 3)Q(1) +
R = 60
6
57. Calcular el mínimo valor de “k" de manera que en
el cociente notable;
Lti
a +’ + b"
•; para (m = impar)
a"’ + b
el grado absoluto del término que ocupa el lugar “k”
exceda en (4m - 4) al grado absoluto del término
que ocupa el lugar “k" contado desde la derecha.
Resolución:
Sea;
(a"^ + (b)
Si el desarrollo es un cociente notable entero nece­
sariamente: m = n.“ impar.
Dato: GA(t,) - GA(tk) = 4m - 4
...(a)
r = (signo)(a"
"(b)^
K = (signo)(a'")''-'(b)''
En (a):
- k) + ( k - 1}] - [m(k - 1) + (m"" - k)] =4n - 4
Operando; m"" = 2k + 3 =» k = ^
^
■■■ k _ = 1 2 ( p a r a m = 3)
58. Al dividir P(x) = mx^ + 2nx^ - 7x^ - 3x + 2 entre
d(x) = x^ + X + 1, se obtiene por cociente q{x) y
resto r{x) = 5x - 1. Hallar el valor de P(m).
Resolución:
Por el algoritmo de la división;
P(x) = d(x)q(x) + r(x)
Luego, reemplazando;
mx^ + 2nx^ - 7x^ - 3x + 2 = {x^ + x + 1)q(x) + 5x - 1
mx* + 2nx^ - 7x^ - 8x + 3 = (x^ + x + 1)q(x)
Por Horner invertido;
-1 3
-1
- 1
-8 -7
3 -3
11
3
-11
1
2n
(
11
-1
°
^
^
m >1
-1
-(2n + 10) -(2n+ 10)
2n + 10 ^
0
) L
0
J
Luego; O + { - 1) + l-(2n + 10)] = O=> 2n = -11
También; m + f-(2n + 10)] = 0 =5 m = -1
P(x) = -x® - 11x^ - 7x^ - 3x + 2
•. P (-l) = 1+11 - 7 + 3 + 2 = 10
59. Un polinomio entero en x de tercer grado se anula
para x = 7 y para x = -3 , y al dividirlo entre x - 10
da como residuo 39 si e! primer coeficiente del po­
linomio es 3. Hallar el resto de dividirlo entre x - 8.
Resolución:
Sabemos que es un polinomio entero de tercer gra­
do cuyo primer coeficiente es 3 y se anula para
X = 7 y X = -3 , podemos plantear que;
P(x) = (x - 7)(x +3)(3x + B)
3.“
Dato;
...(I)
P(x)
10
R = 39 . P(10)= 39
En (I); P{10) = (10 - 7)(10 + 3)(10 x 3 + B) = 39
B = -29.
Luego; P(x) = (x - 7)(x + 3)(3x - 29)
Piden; P(x) R = P(8)
^ P(8) =
61. Al dividir P(x) = mx* + nx^ + 5x^ + 5x - 6 entre
d(x) = x' - 3x + 2, el resto es x - 2. Hallar; n^ - m^
Resolución:
Del algoritmo de ia división;
mx“ + nx' + 5x' + 5x - 6 = (x^ - 3x + 2)q(x) + x - 2
mx“ + nx' + 5x' + 5x - 6 = ( X - 2)(x - 1)q(x)+x - 2
S i x = 1;
m(1)“ + n(1)^ + 5(1)' + 5 ( 1 ) - 6 =
(1-2)(1-1)q(1)+1-2
m + n + 4 = - 1 = » m + n = -5
...(I)
S ix = 2;
m(2)“ + n(2)^ + 5(2)^ + 5(2) - 6 =
(2-2)(2-1)q(2) + 2 - 2
16m + 8n + 24 = O =5 2m + n = - 3
...(II)
De (I) y (II): m = 2; n = - 7
n' - m' = (-7 )' - (2)^ = 45
62. Qué lugar ocupa en el desanollo del cociente rwtable;
^160 _ y2B0
— -—
el ténnino que tiene grado absoluto 252.
x“ - y '
Resoiución:
Dándole la forma adecuada;
x160 _ yzao _ (^4^.0 _ (y7)40
y- - y '
y^ - f
Sabemos que un término cualquiera del desarrollo
estará expresado por; t^ = (x^)“° ' ‘‘(y')*'” '
Pero; GA(t,) = 160 - 4k + 7k - 7 = 153 + 3k
Dato; GA(tJ = 252 = 153 + 3k=» k = 33
El término de lugar; 33
1,'
X -
Resolución:
Por Euclides;
x“ + Ax' + Bx' + 2x - 1 = d(x)(x' - 1) + (2x + 1)
Parax = 1: A + 8 = 1
...(a)
Parax=- 1; B - A = 1
...(ji)
Sumando (a) + (P); B = 1
63. Dar la suma de coeficientes del cociente de la si-
guiente división indicada:. x®-14x“ + 49x^-36
(x -1 )(x -2 )(x -3 )
Resolución:
Por la regla de Ruffini
x=
(8 - 7)( 8 + 3)(3 X 8 - 29) - R
(-5)
1
x-1
- R
R = -55
60. Al dividir; P(x) = x“ + Ax^ + Bx^ + 2x -- 1 entre
un polinomio de segundo grado, se obtuvo como
cociente: (x^ - 1) y como residuo: (2x + 1). Indique
el valor de B.
x= 3
1 0 -14
1
1
0
-13
49
-13
3
-7
18
-13
3C
-14 -54
-27 1-18
33 ! 18
1 6
11
6 1 0
-13
2
1 3
6
Q(x) = x ' + 6x' + 11x + 6
iCoef, = Q(1) = 24
0
36
36
-36
0
-36
36
0
64.
Cuál es el resto de la división:
-2
67.
x +1
Resolución;
Multiplicando el dividendo y el divisor por ( x + 1 )
obtenemos;
(x '"^ -2 ) ((x+ 1 ))
ibs
Expresando en
ei fundón de
20 __ a _
b ~ 3~
al dividendo tendríamos;
/-3yi^^ x - 2 x - 2
( x,3M
Y22.,2
''x ' +, (x'
x^ + 1
^7 ^
1
De (I), por Ruffini:
-1
1
Luego: ^
-1
-1
-2
más la suma de coeficientes del residuo generado
porla división:
( x - 1)'“ + x^ + 20
Sx“ - 5x^ + x + 2
Resolución;
Usando la propiedad deducimos que nos piden
q(1) + R(1), donde q(x) y R(x) son el cociente y
residuo, respectivamente.
R(x) = x - 2
De la identidad fundamental, obtenemos;
S ix = 1: 21 = (1)q(1) + R(1)
q(1) + R(1) = 21
2) V x^ + X - n . 2x'^ + nx + n^
X -2
x+1
66. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) se obtuvo
por residuo - 5 y un cociente cuya suma de coefi­
cientes es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir
P(x) entre ( x - 1 ) .
Resolución:
Datos:
P(x) - ( X + 3) ^ P(x) = ( X + 3)Q(x) - 5
Suma de coeficientes de Q(x), es decir; Q(1) = 3
Aplicamos el teorema del resto: x - i = o
= X = 1 « R = P (l)
En P(x), para x = 1;
R = P (i) = (1 + 3)Q(1)-® ^ R = 4Q(1) ^
Pero; Q(1 ) = 3 = R = 4(3) - 5 =. R = 7
b = 2 A .^ = 10 =»3 = 30
68. Determine la suma de coeficientes del cociente
-2
+2
0
Resolución;
Aplicamos el teorema del resto para cada división.
De la primera división;
• x - 2 = 0 =>x = 2
• R, = (2 - 2)® + 2' + 2 - n =» R, = 6 - n
De la segunda división;
• x + 1 = 0 =»x = -1
• Ra = 2 (-1 )’®+ n (-1 ) + n^ ^ R^ = 2 - n + n^
Por dato: R, = R2 =>6 - n = 2 - n + n^
=»n^ = 4=»n = 2 V n = - 2
Ei menor valor de n es -2 .
- 10
a + b = 32
65. Determine el menor valor de “n" para que las si­
guientes divisiones tengan el mismo resto.
(x -
10
b
...{!)
x +1
N.° de términos
del cociente
20
Aplicando el teorema del resto;
x^ + 1 = O =» x^ = - 1
Reemplazando en el dividendo, obtenemos:
( X + 1)R(x) = (-1 )’^ V + ( - l ) ’^^x - 2x - 2
( X + 1)R(x) = x" + X - 2x - 2
R(x) -
10 términos, halle el valor de: a + b
Resolución
Para que genere la división un cociente notable,
debe cumplirse que:
- 2x - 2
x^+ 1
( x ^ - x + 1)(( x + 1))
Si el cociente notable que se genera de la división
x“ - V®
—— ^ tiene
x“ -y®
69.
Al dividir P(x) = 3ax® + (a + 1)x^ + 4x^ - 6x + a
entre (x - 1) y (x^ - 1) los restos que se obtuvieron
fueron 14 y (bx + c), respectivamente. Calcular;
a + b + c.
Resolución:
1.
3ax® + (a + 1)x^ + 4 x ^ - 6 x + a
(x-1)
-R ,-14
...(I)
Calculando R, por el teorema del resto:
x-1=0=>x = 1
Reemplazando en el dividendo;
R, = 3a(1)® + (a + 1)(1)^ + 4(1)^ - 6(1) + a
Ri = 3a + ( a + 1 ) + 4 ~ 6 + a
^ R, = 5a - 1
...(II)
De (I) = (11); 5a - 1 = 14
5a = 15 =» a = 3
„ „ 3ax® + (a + 1)x^ + 4x^ - 6x + a
( x^ - 1)
=> Rj = bx + c
...(111)
Calculando Rj por el teorema del resto;
x^ - 1 = O => x^ = 1
Transformando el dividendo;
3a(x^)^x + (a + 1)x^x + 4x^ -
6x + a
Igualando: (III) = (IV):
Reemplazando (x^ = 1) en el dividendo:
R2 = 3a(1)'x + (a + 1)(1)x + 4(1) - 6x + a
Rj = 3ax + (a + 1)x + 4 - 6x + a
^
Donde:
R^ = (3a + a + 1 - 6)x + (a + 4)
« Rj = (4a - 5)x + (a + 4)
+ c = (4a - 5)x + (a + 4)
b = 4 a - 5 = » b = 4(3) - 5 ^ b = 7
a + b + c = 3 + 7+ 7 = 17
...(IV)
c = a + 4 => c = 7
P RO B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI
PROBLEMA 1 ( t N I 1 9 8 8 )
(0; 2)eP ^ a = -1
Dos de las raíces del polinomio P(x) = ax^ + bx^ + cx + d;
son 3 y r. Hallar un polinomio de tercer grado, dos de
r+ 1
cuyas raíces sean 4 y —
*5
r
^ P(x)--(x-1)^(x-2)
Se pide el residuo de:
p (x )
x -3
Por teorema del resto:
R(x) = P(3) = -(3 - 1)^(3 - 2) = - 4
(a b)x^ + (b + d - c)x + (a + b - d)
Clave: B
(c 3d)x^ + (b + 3d - 2c)x + (a + c - b - d)
3dx^
+ (3b + d)x + (a - b - c)
PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 1 • I)
2cx^
+ bx + (a - b - d)
Si P(x) = x’ ax' - x + b - 6 es divisible entre x' - 1 y
(2a + b)x' + (b + c)x + (b - a c)
la suma de los valores de x que cumplen P(x) = Oes -4 .
Resolución:
Calcule el producto de a y b.
A) cx^ +
B) dx^ +
C) dx^ D) ax^ E) bx" +
Quiere decir que existe un P(y) de raices 1 +
>3
a
1+ •
r
El polinomio P(y) se determina haciendo:
1 + -= y
X
o sea que: P(y) = P
'
y =
B)-4
04
D)5
Resolución:
Si:
X -1
P(x)
^ R= 0
x '- 1
1
x -1
Finalmente el polinomio buscado es:
1
n / 1 \ _/ 1
+d
+ b[ 1
x-1,
X - 1/
I x - 1/ ' \ x - 1,
(7 ^
A)-7
= dx" + (c - 3d)x' + (b + 3d - 2c)x +
(a + c - b - d ) = 0
Clave: B
0
1
P(x) =
(X
a i -1
0 11
10
a 10
a
a - i - b - 6 =» a - i - b - 6 = 0
+ 1)(x - 1)(x + a)
X = -1
P(x) = o
X
,X
PROBLEMA 2 (IIISII 2 0 0 9 - 1)
b- 6
= 1
= -a
-1 + 1 - a = - 4
a = 4 A
b = 2
Sea P(x) el polinomio de grado “n", donde “n" es ei me­
nor posible y cuya gráfica se representa a continuación:
ab = 8
Clave: E
PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 1 - II)
Al dividir un polinomio p(x) entre x* - 1 se obtuvo como
residuo 3x" + nx' + mx - 2; si además se sabe que, el
resto de dividir p(x) entre (x' - 1) es 5x - 4, entonces
el valor de m" es:
A) - 4
D) 1/4
B) -2
E)4
Encuentre el residuo al efectuar ta división de P(x) con
Q(x) = x - 3
Resolución:
A)-6
D)1
P(x) =
B)-4
E)4
0-1
Resolución:
Del gráfico: P(x) = a(x - 1)"’(x - 2) (grado minimo)
O 1/2
D ei dato:
(X'*
- 1)q(x) + 3x^ + nx^ + mx - 2
P(x)
Además:
deja residuo: R(x) = 5x - 4
x "- 1
Por teorema del resto en (II): x' = 1
,..(l)
En (I): 3(x^)x + (x^) + mx - 2 = 3x + n + mx - 2
3(x^)x + (x^) + mx - 2 = (m + 3)x + (n - 2)
f^(x) = 5x - 4
Identificando con el dato: m = 2 a n = 2
/. m" = 1/4
Clave: D
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 • I)
Halle el cociente al dividir
P(x) = Sx" + x^ +
+ X - 2 entre (x + 1)(x - 2/3)
A)2(x'-1)
D)3(x^ + 1)
B)3(x^ + 2x)
E)3(x' -2)
C )4(x' + 4)
Resotución:
Factorizamos: P(x) = (x + 1)(x - 2/3)(3x^ + 3)
Nos piden el cociente de dividir:
(x+DÍx-|)(3x'+3)
= 3(x^+1)
(x+1)/xClave; D
PROBLEMAS
□
PROPUESTOS
8.
A l e f e c t u a r la d iv is ió n :
n
A l e f e c t u a r la s ig u ie n t e d iv is ió n :
x "^ ^ -(n -2 )x + 2 n -3
X®+ 5x“ - 5x^ + (9m + 1)x^ + n
(x -1 )^
s e o b tie n e u n c o c ie n t e c u y a s u m a d e c o e fic ie n t e s
e l r e s id u o e s R ( x ) = 8 . C a lc u la r ( m + n )^
e s 1 9 0 , H a lla r e l r e s t o d e la d iv is ió n ,
A )
A )x + 16
D )3 x + 16
4
B ) 1 616
D )6 4
2.
E)
0 )3 6
100
C a lc u la r e l r e s t o d e d iv id ir :
9.
8x^ + 4x^ - 6a x
B ) 3 x - 16
O x
-
16
E )4
S i s e d iv id e :
Q ( x ) = ( a + b ) x ^ + (b - c )x ^ + (b + c )x + a - b
15
2 x - 1
e n tre x
+ n ^ e l r e s id u o e s c e r o . C a lc u la r :
s i la s u m a d e c o e f ic ie n t e s d e l c o c ie n t e e s 3 7 ,
3.
A ) 46
B )4 5
D) 43
E )42
0 ) 44
E n e i e s q u e m a d e la d iv is ió n p o r R u ff in i;
A ) 3
B ) 1 /2
D )1
E )3 /2
C ) 1 /4
10. E l e s q u e m a r e p r e s e n t a l a d i v i s i ó n p o r e l m é t o d o d e
H o rn e r:
4
*
*
c a lc u la r ; a c -
A)1
D) - 3
-3
*
1
a
- b l e
*
*
b
*
i *
! 3
c
c
be.
B )-1
0
3
S e d e f in e e l p o lin o m io m ó n ic o ;
11.
A )x + 2
B )3 x + 2
D )4 x + 7
E ) 7 x + 11
6 x ® - x '‘ + 4 x ^ - 5 x ^ - x - 1 5
X -
B) 40
E ) 34
O
ó
36
C a lc u la r ta s u m a d e c o e fic ie n t e s d e l c o c ie n t e a l
y99
_1_ Y
1
e f e c t u a r la d i v i s i ó n ; -------------- -----------
X- 1
A) 50
D)70
6.
B )99
E)1
0
4
+ 90
X- b
el coGficient© del término cuadrático del cociente
es -1 , Calcular b.
A ) -4
D ) -3
10x» - 2 1 x
B )3
E )B V D
C )x + 2
(x -2 )(x -1 )
III. L a d i v is ió n e s e x a c t a .
E )6
x '-
1
II. E l r e s t o e s x + 1 .
P A y d e ja d e r e s t o ig u a l a : 3 x + q
A i d iv id ir ;
E )1
I- S c o e f i c i e n t e s ( q ) = 1 2 ,
s e o b tie n e u n c o c ie n t e c u y o s c o e fic ie n t e s e s t á n e n
7.
B) 4x -
D )0
In d ic a r e l v a lo r d e v e r d a d :
- X+ 1
B )3
A ) 2x + 1
100
2x^ + m x^ + nx^ + px + q
A ) 2
D )5
2 x " -x + 3
In d ic a r e l re s to ,
12. Dividir; 2 x ' - 8 x + x “ + 1 2 - 7 x ^
0
C a lc u la r m + n + p , s i a l d iv id ir :
x"
C ) 2x + 1
E f e c t u a r la d iv is ió n :
c a lc u la r e l r e s t o d e la d iv is ió n :
A) 38
D)42
c^
In d ic a r e l re s to ,
E)4
P{x) = ( a - 3)x^ - 5x' + 2x - a
b'
a‘ + c ‘
A ) V W
B) VFF
D )V F V
E )F W
C ) FFV
13. C a l c u l a r e l v a l o r d e m \ s í l a d i v i s i ó n :
x'“ + 4- mx^ - 6x 4- 8
es exacta.
x" + 2x + 8
A )3
8 )7
D ) 1 /4
E ) 1 /7
14. A l d i v i d i r ; 2x - X 4- 4x + 7x + m
X - X + n
e l r e s t o e s 3 x + 4 , c a l c u la r m " '’ .
A) 3
D) 1
B)4
E)5
A) x"
D) x" +
C) 1/3
15. S* el resto de la división;
B)n
E)0
0-10
16. Sí la división de;
P(x) = x' - x" - (a + 3)x^ + (b + 3)x^ + (c - 2)x - 2
entre x" - 8x + 2 es exacta, calcular:
/P(a) + P(b)P(c)
B)17
E)20
A) 16
D) 19
018
17. El polinomio; P(x) = mx** + nx" - 9x^ + 4x + 10
es divisible por Q(x) = x^ - 3x + 5. Calcular m - n
B) - 6
E) - 2
A) 4
D) 5
0 6
18. En la división: ^
~
~ ^ , señalar la suma
x -2
de coeficientes del cociente.
A )8
D) 11
B) 10
E) 12
0 9
.tn Ai j - .!• Sx“ + (n + 1)x^ + nx - 5
19. Al dividir;
^
------------ el resto es 1,
x+3
calcular: ‘’/n + 1
A)1
B)2
0 3
20. Calcular el resto de dividir;
A) O
0341X + 2046
E)273x + 2036
D)4
E)5
x^ + 9x + 18
B)25x + 203
D )-3 6 x + 20 461
21. Al dividir P{x) entre x^ - x^ - 2x + 2, se obtuvo de
resto x + 2. Hallar el resto de dividir P^(x) entre
x" -
C)x^
24. En la división siguiente:
8x^ + 4x^ + mx^ + nx + p
2x^ + x^ - 3
es R(x) = 5x^
- 3x + 7, calcular; m + n +p
A) 10
D)-n
B)x
E)x + 1
X
2x^ + 3x" + bx^ + 6bx^+x + a
x^ - x + b
se sabe que el resto es 2x + 3, además, ia suma
de coeficientes del cociente es mayor que 15. Cal­
cular ab.
A) 4
D)2
C)7
B)9
E)8
25. ¿Qué relación debe guardar los coeficientes del
polinomio (ax'* + bx" + cx + d) para que sea divisi­
ble entre (x^ - 2x + 1)?
A) d = 2a + b
O d = 3a + 2b
E) d = a + b
B) d = 2a + 3b
D) d = a + 2b
26. Determinar A y B / P(x) = Ax“ + Bx^ + 1, Verificar;
P(x) - R(x) = (x - 1)^q(x), si R(k) = O, V k e E.
A) 3; 4
D)-2;4
B)3;-4
E)-2;-4
O 2;-4
27. Sabiendo que P(x) = 4x* - Bx“* + 3x^ + x^ - x - 1,
se puede expresar según potencias de ( x - 1 ) , es
decir, P(x) se puede expresar así:
a(x - 1)* + b(x - 1)^ + c(x - 1) + d(x - 1)" + dx - 1) + f
Indicar el valor numérico de: E = ^
^
a+c+e
A) - 1
D)1
B) - 5
E)5
O -1 0
28. Calcular el valor de "m" en la siguiente división indica­
da (2X - 1)"
si el cociente admite como TI = 4.
(x + 2) ( x - 3)
A) 2
D)1
C)6
B)4
E)3
29. S iF (^ ) es el resto de dividir F(x) entre (x +2a), donde
F(x) = 2x"+a(a + 4)x^ + (1 + a^ + a^)x + 2(a" - a“ + 1)
2.
A )x - 3
O 14x + 20
E) 2 x - 16
B) 2x + 8
D ) 8x + 18
22. Dado el polinomio P(x) mónico de grado n, que
cumple: P(1) = 1: P(2) = 2; P(3) = 3;... ; P(n) = n.
Determinar el resto de dividir: P(x)
calcular F|.^
A)
B )g
C )U
e f
30. Et cociente y resto de ta siguiente división:
S ^ + ( l]x ^ ^ + 2 x - 2
A) O
D)U1-1
B) 2[n_
E )(-1 )'\ri
O n +1
23. Al dividir P(x) entre (x^ + x +1 ) se obtuvo por residuo
(x + 1) y al dividir P(x) entre (x ^ -x + 1 ) el resto es
{ x - 1 ) . Calcular el resto de dividir P{x) + (x* + x^ + 1)
3X-1
es (CqX®“ + CiX*® + CjX*® + ... + C50); -5 , respectiva­
mente, donde:
Co + Ci + Cj + ... + C50 = ~ + .^ /a , b e m .
a b/
se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes
es igual a 30 y un resto idéntico a 5ax + a + 2, a / 0.
Calcular a+b.
C )|
B )f
Calcular —77^ — , donde q(x) es cociente.
q ( 1) - a ’
E)5
D) - 4
31. Si P(x) es divisible por ( x ^ + x + 1 ) , donde
P(x) = x^A(x^) + B(x^), calcular la suma de los res­
tos de dividir A(x) y 8 (x) entre (x - 1), respectiva­
mente.
A)1
D) -1
B)2
E) - 2
OO
C) X* + 1
[(1 + x + x^ + x^) ^- x^f
1 + X + x + X + x“
B)x
D) 1 +
X
+
x^
+
x^
34. Calcular el resto de dividir:
( x - 1)^® + (2x)’ V x ^-1
3x® - 15x" + 30x^ - 30x^ + 21x - 3
A) O
D)x^-1
B) - 1
E) 3 x ^ - 3
siguiente división sea exacta.
+ Kxyz(x^
x+ y+ z
A ) -5/2
B)5/6
D)5
E)15
+ y^ + z^)
0)5/2
36. Determinar el resto de la división:
(x" + x“ + x^ + 3 )(x"-x^+ 1) + x(x*+ 1) + x^x+ 1)
x^ - x + 1
A) 1-x
D) 4 x - 3
B) 2x - 1
E)x^ + x - 1
0 3 -2x
37. Indicar el valor de “a" y "b”, para que (x® + ax'* + b)
sea divisible por (x^ + x + 1).
A) 1; 2
D )-1 ,1
B)2;1
A) 2x - 5
D)5
0 5
(x-5)'° + ( x - 6 ) ' + 6
(x-5)(x-6)
B) 2x + 5
E)3x - 5
O 2x
A) [P(a)]'
D) / P ^
B) 1
E)0
C) P(a)
42. Si "n" es un número natural impar y múltiplo de 3,
determinar el resto en la siguiente división:
(x^" + x" + 2) + (x^ - X + 1)
A)1
D)4
B)2
E)5
C)3
C)x^
35. Determinar ei valor del parámetro K, para que la
x^ +
B )3
E)8
41. Sabiendo que P(x) es un polinomio y si a # b son
números reales, tales que P{a) = P(b), hallar el res­
to de la división de P(x) entre x^ -{a + b)x + ab.
33. Cuál será el residuo de la división:
A) - X
OO
E) 1 - X
O)-1
39. El polinomio P{x) dividido separadamente entre
(x^ - x + 1) y (x^ + X + 1) originan residuos - x + 1
y 3x + 5, respectivamente. Determinar el térmi­
no independiente del residuo de dividir P(x) entre
x^ + x^ + 1.
40. Hallar el residuo:
hallar el resto.
B)2
E) 2x^ + 1
B) 1/4
E)4
A) 1
D)6
32. Luego de efectuar la división:
x^' + x‘ + 1
x«_x®° + x“ - . . . + 1
A)1
D) x" - 1
A) 1
D )-1 /4
O 3; 2
E)1; 1
43. Si P es un polinomio de tercer grado, tal que al di­
vidir P entre (x^ - 2x + 2) deja un residuo (3x - 6).
Al dividir P entre (x^ + x) su residuo es (6x + 2).
Calcular el residuo que se obtiene de dividir P entre
(x+1)(x-2),
A ) - 8x + 4
D)4x + 8
B)4x - 8
E) 8x - 4
O 8x + 4
44. Si los cocientes de dividir P(x) entre (x - 1) y (x - 2)
son, respectivamente. Q(x) y q(x), determinar P{3),
sabiendo que: P(1) = 3; P(2) = 2; 2Q(3) + q(3) = 5
A) - 3
D)4
B) - 5
E)5
0 )2
45. Al dividir separadamente el polinomio P(x) entre
- (b + 1)x + b y entre x^ - (b + 2)x + 2b. se ob­
tiene por restos 7x - 4 y 5x - 8. respectivamente.
Hallar la suma de coeficiente del resto de dividir
P(x) entre x^ - (b + 3)x^ + (3b + 2)x-2b.
A)-1
B) 0
01
0)2
E)3
38. Al efectuar la división:
3ax“ - 4dx^ - 2cx^ + 2x + 2
3x^ + 2x - a
46. Un polinomio P(x) de sexto grado, al ser dividido
por (x + 1)® arroja un cociente entero q(x) y un re-
siduo 3x+2. Si q(x) tiene como coeficiente prin­
cipal al número 7, y la suma de coeficientes de
P(x) es 325, determinar el término independiente
de q(x).
A)1
D )4
47.
B)2
E)5
0 3
Determinar elresiduode la división:
x ' V + x + 1) + x'®(x + 1)
A) - x '
D) 2x’ -
B)
E)
-2 x ’
3x^'
O x’®
48. Hallar el resto de ia división:
( x - 1 ) ( x + 2)(x + 3) ( 2x - 1)
x^+ x - 5
A) x + 8
9x + 21
B)2x + 7
E)9x + 11
0 6x + 10 D
49. Hallar el residuo de dividir:
x-’íx +1 r + (2x^ + 2x - 1 + (x + 1)' - (x + 2)
entre x^ + x -1 ,
A )x + 1
D) -1
B)2
E)0
O I
50. Calcular el resto de dividir:
(x + 1)^^ + 7( x+ 1)^^ + 3(x+ 1)^^+ (x+ 1)^+ 3
x^+ 2x + 2
A) 2x+11
D) 2x +13
B) 2 x - 1 1
E) 2x- 13
51. Hallar el resto de la división:
A) - 4 + x
D)3
B)4-x
E) - 3
0 2X + 7
x+y+z
es exacta.
O í
53. Determinar el resto de dividir:
( x + 2 ) ^ ( x ® + X + 1) por x ^ “ X + 1
Dar como respuesta el coeficiente del término
lineal.
A) 12
D) 29
B) 16
E) 55
O 18
54. Si el polinomio P(x) de tercer grado es divisible por
X - 2, se anula para x = -1 ; tiene término indepen­
diente -1 0 y al ser dividido por (x - 3) su resto es
56. Calcular P(5).
A) 164
D)160
B)170
E)156
B)124
E)24
0128
0108
4 x ^ + 1 0 x " - 2 x ^ + 1 5 x - 2 dé
2x^ + 3x - 1
como respuesta la suma de coeficientes del co­
ciente aumentado en el término independiente del
residuo.
56. Luego de efectuar
A) 6
D) 5
B)9
E)4
O 10
57. Si en la división:
9x‘* + 6ax^ + (a^ + 3b)x' + 9a^x - 3ab
3x^ + ax - b
su resto es 6ab + b' 1ab
O, calcule: 3 + (-|^
B)84
E)78
A) 72
D) 76
0 82
58. ¿Cuál es el valor de m + n, si nx^+ 13x^+ 9x + 2
mx^ + 3x + 1
es exacta?
B)6
E)4
A) 5
D)8
C)7
59. En el esquema de Horner,
A
2
^
x^ + x + 1
0 2 -x
x(y + z) + y(x + z) + z(x + y) + M(x^ + y^ + z^)
B) -1
E)3
A) 120
D)144
B
52. Determinar el valor de M, si la siguiente división:
A) - 3
D)2
55. Si el polinomio de tercer grado P(x) se divide sepa­
radamente por (x - 3), {x + 2) y ( X - 1) se obtiene
el mismo resto -3 6 , además 4 es raíz de P(x). Cal­
cular P(5).
3
C
8
12
P
Q
m
E
F
Y
A
calcule: A + B + C - D - E
A) 6
D)9
D
Q+ F
B)37
E) - 1
O -7
(n + 2)x + n + 1
, el té rm in o
x-1
independiente del cociente es -1 0 . ¿De qué grado
es su dividendo?
60. En la división
A) 12
D)9
B)8
E) 10
O 11
61. En ei esquema de Ruffini:
2
a
b
c
d
i
6
P
40
a
8
20
e
el re sto e s 2. C a lcu le : a
A) -1 5
D> -2 8
B) -11
E) 13
b+ c+ d+ e + p
O -1 3
62. Dado el polinomio:
P(x) = X® + 2/ 2x" + 2/ 2x^ + 2 / 2x + 7, halle el
valor numérico del polinomio cuando x = -ÍS - /2
B)8
E) 13
A) 6
D) 10
Halle P(1), si R(1) = 3
0 9
A) 7
D )6
63. En la base a la división
x' +
X -
(1 +
B )S ololl
E) l l yl l l
O Solo lll
64. Halle m + n, sabiendo que la división:
2x^ + mx^ + nx^ - 3x + 1
x^ + 3
da un residuo igual a: 3x - 2
A) 5
D)13
8 )9
E)11
0 10
65. Dados los polinomios:
P(x) = 4x* + x^ - x" + 4x + 3; D{x) = 2x^ - x + 1
Al dividir P(x) entre D(x), mediante el esquema de
Horner, un estudiante se olvida de cambiar de sig­
no a los coeficientes del divisor. Indique el polino­
mio que se debe sumar al cociente para que este
sea el correcto.
B) x' - X + 1
D) 2x^ + X + 1
66. Al dividir un polinomio P(x) entre x - 1 se obtiene
que el término independiente, del cociente es 21,
indique el residuo, si P(0) = 7.
A) 28
D)21
B)32
E)40
C)25
67. Determine el valor de b - a - c, si se cumple que:
- 4x'* - 10x^ + 27x^ -Hax + b = q(x)
1
x -5
x ^ - 4x^ - 11x + c
A) 4
D) 14
8)6
E)13
0 9
68. Sea P(x) = {1 - / 2)x® + 2x" - 2 /2 x + 10
q(x) =
X*
- 9x“ +
X
+ 2
se sabe que Juan gana “b” soles por cada "a" soles
que invierte, donde; P(1 + /2 ) - b a q(b) = a
Determine cuánto gana Juan, si Invierte 22 soles
más.
A) 14
D)39
8)27
E)41
0 4
70. Al dividir P(x) = x "'"' + 3x"'’ " + 3x"'‘ ®+ ... + 3x + 6
entre D(x) = x - 2; se obtiene que la suma de
coeficientes del cociente es 109; halle n^ - R.
{R: residuo de la división).
A ) -12
D)-20
0 32
B)36
E) - 19
015
71. Si en la división
(x-a)(x-b)
He el máximo valor de a + b.
el residuo es 1, ha-
B)2
E)4
A) O
D )2006
0 3
72. Dada la división:
^ 1 2 n ^ 2 x ’ ^n.
A) x^ - I- 2x^ - X + 1
C)2x' - 2x + 1
E)2x^ - X + 1
B) 5
E)9
¿cuál de
X)
las proposiciones es verdadera?
I. El resto no es 22.
II. IR]:.,, es 6,
III. Su resto es de grado cero,
A) Solo l
D) i y l l
P(x)
se obtiene un cociente que es
2x" + X - 1
igual al divisor y un residuo R(x), tal que R(0) = 0.
69. Ai dividir
+
+ nx’^+ 1
(x®+ 1 )(x'+ 1)
Si el residuo es 56, halle ei valor de “n”.
A) 10
D)9
B)15
E)8
73. SI el cociente de la división
0 11
I Ow
I o
^
7 £ ©s divisor
x^ + x + 3
de q(x) = x^ - 2x* + 5x + b, calcule el valor de b.
A) - 2
D)9
B) - 4
E)11
O -7
74. Si P(x) es un polinomio mónico cúbico y es divisible
por x^ - 5x + 6, además al dividir P(x) con x^ - x - 2
se obtiene como residuo 8x - 16, ¿Cuál es el resto
de dividir P(x) con x^ - 2x + 3?
A)3x-2
D )-2 x + 6
B)2x-3
E)6
C)x-1
75. Determinar el residuo de dividir:
P(x) = X®+ 3x^ + 5x -H1 entre el cociente de x - 1
X - 1
A) 2x + 1
B )x - 2
Ox - 3
E)2x- 1
D) 2 + 3x
76. Un polinomio mónico de tercer grado es divisible
por {x + 2) y por (x - 1), además al ser dividido por
(x + 4) resultó como resto 10. Calcule el resto de
dividir dicho polinomio entre ( x+1) .
A)-8
D)3
8)-3
E)6
O O
77. De un polinomio mónico de séptimo grado P(x) se
conoce que 3 de sus raices que son 2; -1 y -3 ;
además es divisible por (x^ + 1) y (x - 4). Determi­
ne el residuo de dividir P(x) entre x, si la suma de
coeficientes de P(x) es 96.
A) 4
0 )4 8
B)8
E)60
C)24
78. Si el polinomio: P(x) = x^ + ax
5x“^ - bx + o
a -b
2c + 1
es divisible por (x^ - x); halle el valor de
A) -1
D) - 6
B) ~3
E) - 7
1,
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
D
C
D
D
D
C
e
D
B
E
11.
12.
13.
14.
15.
16.
,17.
18.
19.
20.
C) - 5
D
D
E
D
C
E
B
D
B
C
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
C
E
D
E
C
B
D
A
C
C
■7ÍX El
ei residuo
-V de
j dividir:-------j- x^®+(x^-x)^^+5x^-hx^-H2x
79.
'---------X - x + 1
tiene la forma ax + bx -h c, halle:, a + b - 1
c
A) -1
8 )2
C) -1/4
D) 3
E)-5
80. Dado P(x) = x^ + bx^ + mx + 6, s¡ P(x) es divisible
por (X + 1 ) y (X + 2), halle:
5
8) 4
E) 1/5
A) - 2
D) - 1
31.
32.
33.
34.
36.
36.
37.
38.
39.
40.
C
A
C
D
A
A
E
E
A
A
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
60.
C
B
C
E
E
C
A
D
B
A
51.
52.
53
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
C
C
E
B
<?
A
B
0
B
B
6 1 .B
62. B
63. g
64. A
65. C
m .A
67 . A
68. B
69. A
?0. E
C) -3/5
71. 8
i
?2. A i
73. B
:
74; g
I
75. E í
76. A i
77. C ;
78. D J
79. C 1
sao
i
Factorízacíón
Jean-Robert Argand nació el í8
de julio de 1768 y m urió el 13 de
agosto de 1822. Fue un contable
y un talentoso m atem ático a u to ­
didacta francés, nacido en Suiza,
que describió en 1806. m ientras
atendía una tienda de libros en
París, la representación geom é­
trica de los núm eros complejos,
publicando la idea de lo que se
conoce com o plano de Argand.
Su form ación y la educación que
recibió son -e n su m ayoría- des­
conocidas.
Argand se trasladó a París en
1 8 0 6 junto con su familia y,
m ientras trabajaba en una libre­
ría. publicó a sus expensas su
Essai sur une manière de repré­
senter ¡es quantités imaginaires
dans ¡es constructions géométri­
ques (Ensayo sobre una forma de
Francia, (822
representar las cantidades imaginarias m ediante construcciones geométricas). El ensayo dis­
cute un m étodo de representación gráfica de los núm eros com plejos a través de la geom etría
analítica. Propone la interpretación del -calor «i» com o una rotación de 90 grados en el plano
coordenado. llam ado para este fin plano de Argand. En este ensayo tam bién se propone por
vez prim era la idea de m ódulo para indicar la m agnitud de los vectores y los núm eros com ple­
jos, así com o la típica notación para los vectores con una flecha horizontal sobre las letras que
señalan sus extremos. También es reconocido por ofrecer una prueba del teorem a fundam ental
del álgebra.
Fuente: Wífeipedia
2.
^ DEFINICIÓN
Es la transformación de un polinomio en la multiplica­
ción indicada de dos o más polinomios primos dentro
de cierto campo de números.
M(x)N(x) = P(x)
M(x)N(x)
F a c t o r iz a r :
A(x; y) = x' -I- x®y -i- x V + x Y + x Y +
+ x f +f
Resolución:
A g r u p a n d o c o n v e n ie n te m e n t e :
A (x ; y ) = x^ + x® y + x V
Multiplicación
Multiplicación indicada
4 - / y ^ -i-
x Y
-h x y ® + y '
+
A ( x ; y ) = x ® ( x -t- y ) + x V ( x + y ) + x ^ y “ ( x + y ) + f ( x
+
y)
E x t r a y e n d o f a c t o r c o m ú n ( x -i- y ) :
^ POUNOMIO PRIMO
A { x ; y ) = ( x -H y ) ( x ® + x “ y ^ - h x ' y ' * -i- y ® )
Es aquel polinomio de grado mayor que cero que no ad­
mite ser transformado en multiplicación indicada. Tam­
bién se dice de aquel polinomio que es divisible entre
si mismo y cualquier constante de un cierto campo de
números.
A ( x ; y ) = ( x + y ) [x ‘ (x ^ + y ') + y ^ ( x ' + / ) ]
E x t r a y e n d o d e l c o r c h e t e e l f a c t o r : ( x ' -i-
3.
Ejemplos:
2x + 3
•
Es primo en
f )
L u e g o ; A ( x ; y ) = ( x + y ) ( x ^ + y ' ) ( x “* -i- y '’ )
Factorizar;
J{x; y; z) = x ^ - xyz' + x'y^
yz zx 4- XZ
x‘ yz +
E, C.
- 5
Es primo en ©.
No es primo en IR.
x^ - X + 1
Es primo en ®, IR.
No es primo en C.
Resolución:
A g r u p a n d o e n f o r m a c o n v e n ie n te :
J (x ; y; z ) - x y (x ' -
z ') + y '( x ' - z ') -
y z (x ' -
z ') -
x z {x ' -
z ')
E x tr a y e n d o fa c to r c o m ú n : (x ^ - z ^ );
Generalmente se ha de trabajar en los racionales, Pero
debe tenerse en cuenta lo siguiente;
J { x ; y ; z ) = ( x ' - z ^ ) ( x y 4J ( x : y ; z ) = (x 4- z ) ( x -
f -
yz - xz)
z ){x (y -
z ) 4- y ( y -
z )j
E x tra y e n d o fa c to r c o m ú n (y - z ):
P(x) = (x^ + 1)(x' - 3)(x + 4)(x -2), está factorizado
en (G.
J (x : y ; z ) = { x + z ) { x - z ) ( y 4- x ) ( y -
P(x) = (x' + 1)(x -i- /3)(x - /3)(x + 4)(x - 2), está
factorizado en E.
z)
F a c t o r iz a r :
E ( a : b ; c ) = a "’ b -
P(x) = (x i)(x - i)(x -H /3 )(x - /3 ){x 4- 4)(x - 2), está
factorizado en <E.
a ‘* c 4 - a ^ b ^ -
a^bc -
a b c ^ 4-
be"
ac‘* - b'c^
Resolución:
E x t r a y e n d o lo s f a c t o r e s ; { a “ ), ( a ^ b ) , ( a c ^ ) y ( b c ^ )
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN
E {a ; b ; c ) = a^C b
-
c) +
a ^ b (b -
c) -
a c ^ (b -
Método del factor común por agrupación
b c ^ (b -
Consiste en agrupar los términos de un polinomio de
dos en dos o tres en tres, de tal manera que se obtenga
un mismo factor
E x tra y e n d o fa c to r c o m ú n {b -
Ejemplos:
1.
E (a ; b ; c ) = (b -
c ) ( a “ 4- a ^ b - a c ^ -
E {a ; b ; c ) = {b -
c ) [a ’ { a 4- b ) -
E (a ; b ; c ) = (b -
c )(a ^ -
E {a ; b ;
a' +
Resolución:
be’)
c ^ (a 4- b )]
c ^ )(a 4- b )
5.
c ) = (b -
c )(a -
c ) ( a ' 4- a c 4- c ') ( a 4- b )
F a c t o r iz a r ; S ( a ; b ; x ; y ) = a b ( x 4- y )^ 4- x y ( a -
Efectuando las operaciones indicadas:
Resolución:
P(a; b) = ba^ + ab b ab' + ab + a -f a^ -(- b^
P(a; b) = a ' -I- 2ab + b^ + ba' -i- ab^ + a + b
S ( a : b ; x : y ) = a b ( x ^ j- 2 x y 4- / ) + x y ( a ^ -
Agrupando de la manera indicada se tendrá:
P(a; b) = (a -H b)^ + (a -t- b) + ab(a + b)
c)
c ):
D e s a r r o lla n d o la d ife r e n c ia d e c u b o s :
Factorizar:
P{a; b) = b(a^ -i- a -i- 1) -f a(b^ -h b + 1)
c) -
b )'
D e s a r r o lla n d o lo s b in o m io s a l c u a d r a d o s e t e n d r á ;
2 a b 4- b ^)
E fe c tu a n d o :
S ( a ; b ; x ; y ) = a b x ' 4- 2 a b x y 4- a b y '
a 'x y -
Extrayendo factor común (a + b):
P(a; b) = (a -h b)((a -i- 1) -i- b(a + 1)]
S ( a ; b : x : y ) = a x { b x -h a y ) 4 - b y ( a y 4 - b x )
Factorizado en el corchete;
P(a: b) = (a + b)(b + 1)(a + 1)
S ( a : b : x ; y ) = ( a y 4- b x ) ( a x + b y )
2 a b x y -I- b ^ x y
F in a lm e n t e e x t r a y e n d o f a c t o r c o m ú n ( a y 4- b x ) :
6,
Resolución;
F a c t o r iz a r :
Q (a : b ; c ) = a ^b ^c + b c^ -
abc^ -
ab^ + b^c +
Extrayendo factor común (a^) de los 3 primeros y
(-b^) de los úitimos.
A(a; b) = a^(a -k 1 + b) - b^(b + a -h 1)
A(a; b) = (a + b + 1)(a^ - b^)
a^bc^ - ac^ - ab^c
Resolución:
A g r u p a n d o c o m o s e in d ic a :
Q (a ; b ; c ) = a ^b ^c + b c ^ -
abc^ -
ab^ + b^c +
A(a; b) = (a + b + 1)(a + b)(a - b)
a^bc^ - ac^ - ab^c
S e o b te n d rá :
Q (a ; b ; c ) = a b c (a b -
c) -
3.
b c (a b - c ) b ^ {a b - c ) + a c ^ {a b -
E x tra y e n d o e l fa c to r c o m ú n
{a b -
Q (a ; b ; c ) = (a b ~ c )[a b c -
Resolución:
Agrupando ios tres últimos términos;
N = X® - (x" - 2x^ + 1)
c)
c)
be -
+ ac^]
N - x® - (x^ - - (x^)^
F a c t o r iz a n d o e n e l c o r c h e te :
7.
Q (a ; b : e )
= {a b - c )[b {a c -
Q (a ; b ; e )
= (a b -
e )(a e -
b ) + c (a e -
4.
R (x ; y ; z ) = x y z + ( x y z ) ’^ + (x y z )® (x ^ + y ^ + z ') +
(x V ) + y V
Factorizar:
A(a: b; e) = (a^ + b^ + ab)^ - a^b^ - a V - b^e^
Resolución:
+ z V
Agrupando los dos primeros sumandos y de los úl­
timos extrayendo factor común (-c^):
Resolución:
T r a n s f o r m a n d o ia e x p r e s ió n s e t e n d r á :
A{a; b; c) = (a^ + b^ + ab + ab){a^ + b^ + ab - ab) ~
c"(a^ + b^)
Simplificando:
A(a; b; c) = (a^ + b^)(a^ -h b^ + 2ab) - c^{a* + b^)
= xyz + x ’ ^ y ' + x ’ V z® + x®y’ ^z® +
x Y z ’3
x 'y ' + y V + z V
L u e g o d e a g r u p a r d e ia m a n e r a in d ic a d a :
R (x ; y; z ) = x y (z + x V ) +
x V z '^ (z + x V ) +
( ¡ T b i^
z ® x ^ ( z + x ^ y ^ ) + y ’ z ® (z + x® y® )
A(a; b; c) = (a^ + b^)((a + b)^ - c^]
E x tra y e n d o e l fa c to r c o m ú n (z + x V ) :
R (x ; y; z ) =
(2 +
x V )(x y + x V z ’^ + x V
A(a; b; e) = (a^ + b^)(a + b + e)(a+ b - c)
+ y V )
R(x; y ; z ) = ( z + x V ) [ x { y + x V ) + y V ( y + x V ) J
R { x ; y ; z ) = ( z + x V ) ( y + x V ) ( x + y ® z ® )]
5.
Método de las identidades
Agrupando en ia forma indicada:
M(x) = x \x - 1) - 2x^{x - 1) + (x - 1)
m a in v e r s a ; e n t r e la s m á s im p o r t a n t e s y a c o n o c e m o s :
_
^
( a ' " + b ' " ) = ( a " + b ' ’ ) ( a ^ '' (a ^ " -
b '" ) = ( a " -
(a ^ " ±
2 a "b " + b ^ ") = (a " ±
Extrayendo factor común (x - 1):
M(x) = (X - 1)(x" - 2x' + 1)
a "b "+ b ^ ")
b ' ’ ) ( a ^ '’ + a ' ' b " + b ^ " )
M(x) - (X - 1){x^ - 1)^ = (x - 1)[(x + 1)(x -
b ")^
F a c t o r iz a r :
D (a ; b ; c ; d ) = b^ + c^ -
6.
a^ -
d^ + 2 a d + 2 b c
A g r u p a n d o e n la f o r m a in d ic a d a :
D (a ; b ; c ; d ) = (b ^ + c ^ + 2 b c ) -
{ a ^ -h d ^ -
2ad)
L u e g o s e te n d rá :
D ( a ; b ; c ; d ) = ( b + e )^ ~ ( a ~ d f
Desarrollando la diferencia de cuadrados:
F(a; X) = (x + 1)(x - 1)(a + 1)(a - 1)
P o r d ife r e n c ia d e c u a d r a d o s :
D (a ; b ; c; d ) = (b + c + a -
d )(b + c -
a + d)
7.
F a c to r iz a r :
A (a ; b ) = a^ + a * + a ^b -
b^ -
ab^ -
Factorizar: F(a; x) = ax(ax - 2) - (x^ - 1) + a(2x - a)
Resolución:
Efectuando el primer y último sumando:
F(a; x) = a V - 2ax - (x^ - 1) + 2ax - a^
Reduciendo términos semejantes y agrupando:
F(a; X) = a^{x^ - 1) - (x^ - 1) = (x^ - 1)(a^ - 1)
Resolución:
2-
^)f
Finalmente: M(x) = (x - 1)^(x + 1)^
Ejemplos:
1.
Factorizar:
M(x) = x= - x‘ - 2x' + 2x^ + X - 1
Resolución;
P a r a e s t e c a s o s e u t iliz a r á lo s p r o d u c t o s n o ta b ie s e n f o r ­
(g 2 n
- (x"- l f
Desarroilando ia diferencia de cuadrados:
N = (x^ + x^ - 1)(x^ - x ^ + 1)
b )]
b )(b + c )
F a c to r iz a r :
R(x; y; z)
Factorizar:
N = X®- x" + 2x^ - 1
b^
Factorizar:
P(a; b; c) = (a“ + a^b^ + b*)^ - a^b' - b-e“ - c“a‘
Método de las aspas
Resolución:
Transformando la expresión;
P(a; b; c) = (a“ +
Método del aspa simple: se utiliza para factorizar tri­
+ b“}^ - (a^b^ - c‘ (a^ + b‘ )
nomios de la forma general;
Diferencia de cuadrados
P(x; y) = ax^"’ + b x V + c / "
P(a; b; c) = (a“ + 2a^b^ + b“)(a* + b“) - c^ía“ + b*)
8.
Extrayendo e! factor común (a“ + b“);
Ouando: m = 1
P(a; b; c) = (a‘ + b*)[(a^ + b^)^- (c^)^]
P(a; b; c) = (a“ + b^Ka^ + b^ + c^)(a^ + b^ - c^)
SI: m = 1
Factorizar;
Q(x; y; z) = x(xy +
- x^) + y(xy +
- /)
Resolución:
Efectuando se tendrá;
Q(x; y: z) = x^y + xz^ - x^ + x / + yz^ - y^
A
a
n = O =» P(x; y) = ax^ + bx + c
El método consiste en descomponer los términos ex­
tremos, de tal manera que al sumar los productos en
aspa nos reproduzca el término central. Los factores se
escribirán horizontalmente.
Ejemplos:
1.
Luego agrupar;
Q{x; y; z) = xy(x + y) + (x + y) - (x + yKx^ - xy + / )
Q(x; y: 2 ) = ( X + y)(xy + z ^ - x^ + xy - / )
Factorizar: F(x) = 8x^ - 22x + 15
Resolución:
F(x) = 8x^ - 22x+ 15
Q(x; y: z) = ( X + y)[z^ - (x^ - 2xy + / ) ]
Q (x ;y ;z )-(x + y )[z ^ -(x - y )^ ]
4x
2x
-lO x
-5
12i
------
L_
Q(x; y; z) = (x + y)(z + x - y)(z - x + y)
9.
n = 1; P(x; y) = ax^ + bxy + cy
22x
.. F(x) = (4x - 5)(2x - 3)
Factorizar:
R(a; b; c) = (a + b)(b + c)(c + a) + a^ + b^ + c^ - 2abc
2.
Resolución:
Factorizar: F(x) = 7x^ + 29x - 36
Resolución:
De la identidad:
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + be + ca) - abe
En la expresión:
R(a; b; c) = (a + b + c)(ab + be + ca) - abe + a^ +
b^ + c^ - 2abc
R(a; b; c) = (a + b + e)(ab + be + ca) + a^ + b^ +
c^ - 3abc
_ 7x^ + 29x - 36
7x
X
36x
-7 x
29x
F(x) = (7x + 3 6 )(x - 1)
3.
Haciendo uso de la identidad;
36
-1
Factorizar; F(x) = abx^ + (a^ + b^)x + ab
a^ + b^ + c^ - Sabe = (a + b + c)(a^ + b^ + c^ -
Resolución:
ab - ac - be)
R(a; b; c) = (a + b + c)(ab + be + ca) +
F(x) = abx^ + (a^ + b^)x + ab
(a + b + c)(a^ + b^ + c^ - ab - ac - be)
b^x
a^x
(a^ + b^)x
Simplificando se tendrá;
R(a; b; c) = (a + b + e)(a^ + b^ + c^)
F(x) = (ax + b)(bx + a)
10. Factorizar; S(x) = x® + 2x^ + x - 1
4.
Resolución:
Resolución:
Transformando ta expresión dada:
S(x) = X® + x^ + x^ - 1 + X
8x® + 215xV - 27y'
Desarrollando la diferencia de cubos:
S(X) =
x(x" + X^ + 1) + {X - 1)(x' + X + 1)
S(x) = x(x^ +
X
+ 1)(x^ -
X
+ 1) + (x - 1)(x^ + x + 1)
Extrayendo el factor común (x^ + x - 1);
S (x ) =
(x ^ +
X +
S(x) = (x^ +
X
1 )[x^ -
x^ +
X +
X -
Factorizar; P(x; y) = 8x® + 215xV - 27y®
1)
+ 1)(x^ - x^ + 2x - 1)
í
-y
+27y'
+216xV
■ 215xV
Luego; P(x; y) = (8x^ - y^)(x" + 27y^)
Desarrollando la suma y diferencia de cubos;
P(x; y) =(2x - y)(4x^ + 2xy + y^)(x + 3y)(x^ - 3xy + 9y^)
Factorizar; R(x; y) = (a^ - a)x^ - (3a - 5)xy - 1 0 /
II. (2y)3 + y (-1 ) = 5y
III. (9x)3 + (-1)(x) = 26x
Resolución:
Como la expresión tiene la fomia general:
a(a - 1)x^ - (3a - 5)xy - iOy^
t
S(x; y) = (9x + 2y - 1)(x + y + 3)
3.
__K „
Factorizar: A(x; y) = 2x^ + 7xy - 1 5 / - 6x + 22y - 8
Resolución:
A(x; y) = 2x^ + 7xy - 1 5 / - 6x + 22y - 8
-5 {a -1 )x y
2axy
(3a - 5}xy
Luego: R(x; y) = (ax - 5y)[(a - 1)x + 2yl
Factorizar; P(x) = x® - 3x^ - x^ + 1
A(x; y) = (2x - 3y + 2)(x + 5y - 4)
Resolución:
Ordenando el px)i¡nomio:
4.
x' - (2x^ + x^) - (x^ - 1)
- ( x ' + X + 1)
Factorizar;
B(x; y) = 30x^ + 2xy - 4 / + 47x - 12y + 7
Resolución:
B(x; y) = 30x^ + 2xy - 4 / + 47x - 12y + 7
- X * - X"
(x -1 )
-{2x^ + x^)
Luego; P(x) = (x^ - x^ - x -1)(x^ + x - 1)
Aspa doble: se utiliza para factorizar polinomios que
adoptan la siguiente forma;
B(x; y) = (6x - 2y + 1)(5x + 2y + 7)
5.
Ax^" + bx''y'' + cy^" + dx" + ey" + f
El método consiste en descomponer todos los términos
que produzcan aspa de tal manera que la suma de la
multiplicación en aspa nos compruebe cada uno de los
términos del polinomio. Si faltará algún ténnino se le
completará con ceros, los factores se toman iiorizontalmente.
Ejemplos:
1.
Factorizar: C(x; y) = lOx^ - 17xy + 3 / + 5x - y
Resolución;
C(x; y) = lOx^ - 17xy + 3 / + 5x - y + O
2x ^ " ' A ^ 3 y C(x; y ) - ( 5 x - y ) ( 2 x - 3 y + 1)
6.
Factorizar: E(x; y) = 3x^ + 4xy + y^ + 4x + 2y + 1
Factorizar: E(x; y) = 21xy - 39y^ + 56x - 92y + 32
Resolución:
Resolución:
Completando el polinomio;
E(x; y) = 3x^ + 4xy + / + 4x + 2y + 1
E(x; y) = Ox^ + 21xy - 3 9 / + 56x - 92y + 32
Comprobaciones:
I. (3x)y + x(y) = 4xy
II. y(1) + y(1) = 2y
III. (3x)(1) + (x )(1 )-4 x
••• E(x;y) = (7 x -1 3 y + 4)(3y + 8)
E(x; y) = (3x + y + l)(x + y + 1)
Factorizar; S(x; y) = 9x^ + 11xy + 2y^ + 26x + 5y - 3
Resolución:
S(x; y) = 9x^ + 11xy + 2y^ + 26x + 5y - 3
7.
Factorizar;
R(x; y) = 12x' + 10xy - 1 2 / + 11x + 36y - 15
Resolución:
R(x; y) = 12x" + lOxy - 12y^ + 11x + 36y - 15
4 x < -------3x
6y^
^—♦ - 3
-2y~
R(x; y) = (4x + 6y - 3)(3x - 2y + 5)
Método del aspa doble especial: se utiliza para factori­
zar polinomios que adopten la siguiente forma;
Comprobaciones;
I. (9x)y + 2y(x) =11xy
P(x; y) = ax*"’ -i- bx*'^ +cx^"'/" + dx^y®" + ey*'’
El método consiste en descomponer los términos ex­
tremos de tal manera que la suma, de la multiplicación
en aspa nos de un valor igual o aproximado al término
central, la cantidad fáltente se agregará descompuesta
de tal manera que se compruebe cada uno de los tér­
minos del polinomio.
Ejemplos:
1.
Se tiene:
4x
Se debe tener:_______^ í ( - )
Se necesita:
-3x^
Luego: C(x) = (x^ + 3x + 2)(x^ - x + 2)
C(x)
5,
Factorizar: E(x) = x" + 5x^ + 9x^ + 11x + 6
2)
D(x) = x" - 2x^ - lOx^ + 5x + 12
5x^
9x^ í(4x"
Los factores serán:
E(x) = (x^ + 4x + 3)(x^ +
x -v ^ ^ 3
x ^ ^ ^ 1
(X
X
Se tiene:
Se debe tener;
Se necesita:
6,
+ 3)(x -I- 1)(x^ +
X
+ 2)
Factorizar: F(x) = x‘ + 7x^ + 19x^ + 36x + 18
Factorizar; H{x) = x" + 2x^ - 4x^ + 8x - 32
Resolución:
H(x) = x" + 2x^ - 4x" + 8x - 32
( in ( iii) :jn (
x ^ > ^ '% . 0 x / ^ '^ 4
Se tiene:
Se debe tener;
Se necesita;
Se tiene:
Se debe tener:
Se necesita:
9x"
19x^ ! ( - )
lOx^
-7x^
IH
-lOx^
-3x"
Luego; D(x) = (x^ + x - 3)(x^ - 3x - 4)
D(x) = (x^ + X - 3){x - 4)(x + 1)
+ 2)
Resolución:
F(x) = x" 7x^ + 19x^ + 36x + 18
-4 x '
-4x^ t( Ox
Luego: H(x) = (x^ + 2x - 8)(x^ + 4)
H(x)
F(x) = (x^ + 5x + 3)(x^ + 2x + 6)
=
(X +
4)(x - 2) (x^
+
4)
Factorizar;
P{x; y) = ex" - xV - 13xV + 5xy^ + 3y*
Factorizar B(x) = x“ - x^ - x^ + 4x - 2
Resolución:
Resolución:
P(x; y) = 6x* - x^y - 13xV + 5 x / + 3y"
B(x) = x‘ - x^ - x^ + 4x - 2
-2xy
xy
> r : ( lli) í ( ii)
Se tiene:
Se debe tener:
Se necesita:
B (x )
x^
-x ' t( - )
2x^
= {x^ - 2 x + 2){x^ +
X
- 1)
Se tiene:
Se debe tener;
Se necesita:
-llx ^ y ^ ♦
-13x^y^ ^
-2 x V
Luego: P{x; y) = (3x^ - 2xy - y"){2x^ + xy - 3 / )
Factorizando cada paréntesis por aspa simple:
A P(x; y) = (3x
4.
+
x ^ ^ '^ - 3 x / ' ' ^ - 4
Se tiene:
Se debe tener:
Se necesita:
3.
2)(x^ - x
Factorizar: D(x) = x" - 2x^ - lOx^ + 5x + 12
X
2-
+
Resolución:
Resolución:
E(x) = / + 5x^ + 9x^ -I- 11x + 6
E(x) =
1)(x
= (X +
+ y)(x
-yf
(2x + 3y)
Factorizar: C (x ) = x* + 2x^ + x^ + 4 x + 4
Resolución:
C (x) = x ' -H 2x^ + x^ + 4 x + 4
Factorizar; Q(x) = x® + 5x® - Sx“* + 5 x ^ - 6
Resolución:
Q(x)
, ( i C d i 'O i i ) .
x V ^ '^ - x - ^
= X® +
5x® - 5x“ + 5 x ^ - 6
/-6
-5x"
Se tiene:
Se debe tener: - 5 x t ( - )
Se necesita:
Ox'*
Parax = 1: E(1) = 1' - 11(1) + 31(1) - 21 =0, se
anula, luego tendrá un factor ( x - 1 ) , determinando
el otro factor por Ruffini:
1 -11
31 -21
Luego: Q(x) = (x^ + 5x^ - 6)(x“ + 1)
1
1 -1 0
=^Q(x) = (x' + 6)(x^ - 1)(x^ + 1)
Q(x) = (x' + 6)(x + 1)(x - IXx-* + 1)
9.
Resolución:
PC = ±1; ±2; ±3; - 6
R(x) = a(a - 1)x" + (2a' - a + 1)x’ + (3a' - 2)x^ +
(2a^ + a + 1)x + a(a + 1)
Para x = 2: E(2) = (2)^ - 2 - 6 = O, se anula, en­
tonces tendrá un factor (x - 2). luego por Ruffini:
(a + i:
a
2
:
E (X ) -
Luego.
R(x) = [ax^ + (a - 1)x + (a + 1)][(a - 1)x^ + (a + 1)x + a]
Método de los divisores binómicos: se utiliza para
factorizar polinomios que aceptan como factores a bi­
nomios de la forma ax + b, basándose en el siguiente
principio de la división algebraica.
Si el polinomio se anula para x = a, entonces un factor
será (x - a).
I.
X
X
II.
= 2: P(2) = 2^ - 14 + 6 = O
= 2 es un cero de P(x)
Forma de calcular los posibles ceros de un po­
linomio: se divide cada uno de >os divisores del
término independiente entre los divisores del pri­
mer coeficiente (con su doble signo).
PC =
Divisores del tennirxj independiente
Divisores del coeficiente principal
0
i
2
-1
4
6
1
2
3
0
6
(X - 2 ) ( x ' + 2 x + 3 )
Factorizar: B(x) = x + 5x“ -h 7x^
X - 8x - 4
Para x = 1 = 8(1) = O
X = - 2 =* B (-2 ) = O
X = -1 = B ('1 ) = O
Aplicando Ruffini 3 veces:
'
valores que tienen la propiedad de anular (valor
numérico cero) a un polinomio dado.
• Si:
1
Resolución:
PC = ±1; ±2; ±4
Cero de un polinomio: es el valor o conjunto de
Por ejemplo: para P(x) = x^ - 7x + 6
• Si: X - 1: P(x) = 1 - 7 + 6 = O
x = 1 es un cero de P(x)
O
Factorizar: E(x) = x^ - x - 6
Resolución:
Se tiene: a^x^ + (a^ - l)x ' = (2a^ - 1)x'
Se debe tener: (3a^ - 2)x'
Se necesita: (a^ - 1)x
21
21
Luego: E(x) = (x - 1)(x^ - lOx + 21)
E(x)-(x-1)(x-7)(x-3)
Factorizar:
R(x) = a(a - 1)x" + {2a^ - a + 1)x^ + (3a^ - 2) x' +
(2a^ + a + 1)x + a(a + 1)
(a - 1)x
(a + 1)x
-10
1
1
5
7 - 1 - 8
i
1
6
6
-2
-2
-1
-1
4
13
-4
12
13
12
4
-8
-1 0
-4
5
-3
2
4
O
-2
Luego B(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 1)(x^ + 3x + 2)
B(x) = (x - 1)(x +2)^(x + 1)"
Factorizar: E(x) = 2x^ + 3x^ + 3x + 1
Resolución:
PC
1
=
+
1;
»
1/2
E je m p lo s :
1.
Factorizar: E(x) = x^ - 11x + 31x - 21
-ÍU 2 Í-1
Resolución:
PC = ± 1; i 3; “ 7 : = 21
se anula, entonces tendrá un factor (2x + 1),
184
■
C o l e c c ió n U n ic ie n c ia S a p ie n s
Aplicando Ruffini:
Aplicando Ruffini:
2
3
-1
+2
2
3
-1
+2
1
-1
1
1
-1
2
1
0
l
-1
4
2
1
0
-5
-6
-2
0
-5
-6
-2
0
-5
Luego P(x) = (x - 1)(x‘‘ + Ox^ - 5x' - 6x - 2)
( iO ( iii) : jiií
2x
E(x) = (2x + 1)(x' + x + 1)
5.
Factorizar: E(x) = 12x^ + 8x^ - 3x - 2
P(x) =
(X
- 1)(x^ - 2x - 2)(x + 1f
Resolución:
1,2
PC = =
8.
= ± l- l- l.
’ 2’ 3 "
1;2;3;4;6;12
Resolución:
1.
Para x =
Factorizar: P(x) = x^(3x + 1)^ - (6x + 1)^ - 15
Desarrollando el binomio al cuadrado y dándole
forma al primero:
P(x) = [x(3x + 1 )f - 36x" - 12x - 1 - 15
P(x) = [3x' + x f - 12(3x^ + X ) - 16
se anula, entonces tendrá un factor (2x - 1).
Por Ruffini:
12
= 1/2
X
-2
8
-3
-2
6
7
2
0
12
14
4
6
7
2
Haciendo; 3x" + x = a
P(a) = a' - 12a - 16 = a' + Oa' - 12a - 16
Para a = -2 :
P(-2) = (-2 )' + (2)^0 - 12(-2) - 16 - O, se anula,
entonces tendrá un factor (a + 2).
0
-2
E(x) = (6x' + 7x + 2)(2x - 1)
2 X '- '" ^ ^ 1
E(x) = {3x + 2)(2x+ 1)(2x - 1)
6.
Factorizar: E(x) = 12x^ - 56x^ + 77x - 30
-1 2 -1 6
-2
4
-2
-8
16
0
P = (a + 2)(a' - 2a - 8) = (a +
Entonces; P = (a + 2 f (a - 4)
2)(a +2)(a-
4
Reponiendo x; P(x) = (3x^ + x +
2)^(3x^+ x3x
4
x -^ ^ -1
4
Resolución:
^ p-,2;3;5;6-, 10;30
1;2;3;4;6;12
P(x) = (3x^ + x + 2)^ (3x + 4)(x - 1)
Para x = ^ se anula, aplicando Ruffini;
< i fa c to ríz a c íó n re c íp ro c a o RECUBREME
Polinomio recíproco
12
-5 6
12
-4 8
45
4
-1 6
15
X = 2/3
+3
77
-3 0
8 -3 2
30
0
Luego E(x) = (4x' - 16x + 15)(3x - 2}
2 x - . , ^ ^ ^ -5
2 x - '^ ^ * ^ -3
7,
E(x) = (2x - 3}(2x - 5)(3x - 2)
Factorizar; P(x) = x^ - x'* - 5x^ - x^ + 4x + 2
Resolución;
Los posibles ceros; PC = {± 1 ; ±2}
Para X = 1: P(1) = f - f - 5 ( lf - f + 4(1) + 2 = 0,
se anula, entonces tendrá un factor (x - 1).
Es aquel que se caracteriza porque los coeficientes de
los términos equidistantes de los extremos son iguales
(en valor absoluto).
Ejemplos:
P(x) = ax* + bx^ + cx* + bx + a
(recíproco de primera especie)
P(x) = ax“ + bx^ + cx^ + bx - a
(recíproco de segunda especie)
Reglas o pasos a seguir para factorizar este
tipo de polinomios
Cuando el polinomio es de grado par;
Se extrae la parte literal del término central con su
respectivo exponente.
Se busca ta expresión base: x +
o x-
para
2,
luego proceder a un cambio de variable y a par­
tir de ello deducir las expresiones derivadas tales
como: x' + 1/x^ : x^ + 1/x^; x* + 1/x'*. etc.
Escrita la expresión en función del cambio de va­
riable, esta se factorízará por los criterios antes
estudiados. Es necesario tener en cuenta las si­
guientes relaciones:
Factorizar:
R(x) = X® - 4x" + 3x" - 8x^ + 3x' - 4x + 1
Resolución:
Factorizando x^:
R(x) = x' x ' - 4x' + 3x - 8 + - - 4 + 4
R(x) = X- 3(x + ^ ) ~ 4Íx' +
+ x^ +
■
Haciendo:
Si: X + -í- = m
X
X
+ -¡r =
x^
m
X + 1 = t;
X
- 3m
R
x'* + - ^ = m‘ - 4m' + 2
X
=
- 2: x" + 4 = t' - 3t
x^
x'
x^[3t - 4(t^ - 2)
+
t^ - 3t - 8)]
=
x^(t^ - 4t^)
R = x ¥ (t - 4)
Reponiendo x:
Si; X
!- = m
x
x' + _L = m' + 2
x
R(x) = x=(x + I f ( x + l - 4 )
x + -V = m + 3m
x^
R(x)=
X* + _L = m‘ - 4m' + 2
3.
Tiene la propiedad de anularse para x = 1 o x = -1
implica entonces que aceptaran como uno de sus
factores a (x - 1) o {x + 1),
Factorizar: P(x) = 3x® + 5x'' + 3x^ + 3x^ + 5x + 3
Resolución:
Para x = - 1 , se anula, entonces tendrá un factor
(x + 1 ).
Luego por Ruffini:
Por Ruffini se deduce el otro factor que también
será recíproco y de grado par, que se factorízará
utilizando los pasos del caso A.
5
-3
~2
-1
Ejemplos:
1.
(x^+ 1)^ (x^ - 4x + 1)
x^
X
R(x) = (x^ + 1)2 (x' - 4 x + 1)
x
Cuando el polinomio es de grado impar:
X-
3 3
- 2 -1
i
2
5
3
-2 -3
3 I O
Factorizar: M(x) = 8x“ - 2x^ + 13x^ - 2x + 8
P (x ) =
(X + 1)(3x" + 2 x ' + x^ + 2 x + 3)
Resolución:
Extrayendo x':
+5x
M{x) = x‘ 8x - 2x + 13 - -2 +-!%
X
Se tiene:
Se debe tener:
Se necesita:
M(x) = x‘ - 2 ( x + 1 ) + 8( x^ + A ) + i 3
Haciendo: x + — = m ; x ^ + - ~ = m ^ - 2
X
x^
M(x) = x^[-2m + 8(m^ - 2} + 13]
M(x) = x"[8m" - 2m - 3]
4 m ^ ^ -3
2 m ^ -^ ^ + 1
,-, P(x) =
4,
-5 x '
1)(3x' + 5x + 3)(x^ - x + 1 )
(X +
Factorizar:
F(x) = x’’ + 8x® + 17x‘ + 9x'’ + 9x^ + 17x^ + 8x + 1
Para x = -1 , se anula, entonces tendrá un factor
(x + 1 ).
Reponiendo x:
1
2(x + l W
l
XI
1
M(x) = X
x^ / 4x^ - 3x + 4 l 2x^ + x +
l
x
\
x
2\
M(x) = (4x' - 3x + 4)(2x^ + x +2)
6x'
Resolución:
M(x) = x^(4m - 3)(2m + 1)
M(x) = xx'= 4(x + - ) - 3
\
xl
[> ^ 1
-X
x*’
-1
1
/
8
-1
7
17
9
-7
-1 0
10
-1
9
17
8
1
1 -1 0
-7
-1
10
7
1
0
F(x)- (x+1)(x® + 7x®+10x'--x^ + 10x^ + 7x+ 1)
(a )
Factorizar:
F(x) = (x^ + x)(x^ + 5x + 6) + (x^ + 3x + 1)^ + 1
7x" + l O x - 1 + — + ^ + 4
a = X' 'x>+
Resolución:
1 ) + 7(x‘ + ^ ) + 1 0 ( x + i ) - 1
Expresando en su forma de factores al primer su­
mando:
F(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x^ + 3x + i; '
1
Haciendo:
X + 1 = a: x' + 4 = a' - 2; x' + 4r = a' - 3a
X
x^
x^
Agrupando y efectuando en la forma indicada:
F(x) = (x^ + 3x)(x' + 3x + 2) + (x' + 3x + 1)^ + 1
a = x V - 3a + 7(a^ - 2) + 10a - 1]
a = x V + 7a' + 7a - 15)
Haciendo; x^ + 3x
F(t) = t(t + 2) + (t
F(t) = t{t + 2) + (t
F(t) = t(t + 2) + (t
Por Ruffini:
7
7
1
8
8
-1 5
15
15
0
=
+
+
+
t
1)^ + 1 = 2t^ + 4t + 2
1)^ + 1 = 2{t^ + 2t + 1)
1)" + 1 = 2(t +
Reponiendo x: F(x) = 2(x" + 3x + 1)^
a = x^(a - 1)(a^ + 8 a + 15)
4.
Factorizar;
F(m; n) = {m + n + 1)“* - 5(m + n)^ - 10(m + n) -1
a = x^(a - 1)(a + 3 ) ( a + 5)
Resolución:
Reponiendo x:
Haciendo: m + n + 1 = p
F {p )-p “ - 5 ( p - 1 ) ^ - 1 0 { p - 1 ) - 1
a = x’ (x + l - l ) ( x + l + 3)(x + I + 5)
„3/ x^ -
X
F{p) = p“ - 5p^ +10p - 5 - lOp + 10 - 1
F(p) = p“ - 5p' + 4 - (p' - 1)(p' - 4)
+ 1\/ x^ + 3x + 1\/ x" + 5x + 1'
F (p ) = t p + 1 ) ( p - 1 ) ( p + 2 ) ( p - 2 )
En (I):
F(x) =
(X
Reponiendo las variables m y n;
F(m; n) = (m + n + 1 + 1)(m + n -i- 1 - 1)
(m + n + 1 + 2){m + n + 1 - 2)
+ 1)(x" - x + 1)(x^ + 3x + 1)(x^+ 5x+ 1)
« MÉTODO DE LOS ARTIFICIOS
Cam bio de varia ble
Mediante transformaciones u operaciones adecuadas
se pueden lograr expresiones iguales para luego proce­
der a un cambio de variable o factorizar la expresión por
los métodos ya estudiados.
F(m; n) = (m
n + 2)(m + n)(m -h n + 3)(m -h n -1 )
Q uita y pon o re d u cció n a d ife re n c ia de cua­
dra d o s
Ejemplos:
Consiste en sumar y restar una misma expresión en
forma conveniente de modo tal que al hacer agrupa­
ciones, el objetivo, sea llegar a una diferencia de cua­
drados.
1.
Factorizar: F(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2){x - 1) + 3
Ejemplos:
Resolución;
1.
Agrupando y efectuando en la forma indicada:
F{x) = (x^ + X - 6)(x" + X - 2) + 3
Haciendo: x^ + x = a
F(a) = {a - 6)(a - 2) + 3
F(a) = (a" - 8a + 15) = (a - 3)(a - 5)
Reponiendo x: F(x) = (x^ + x - 3)(x^ + x - 5)
2,
Factorizar: M(x) = 1 + x(x -t- 1)(x + 2){x + 3)
Resolución:
La expresión puede escribirse como.
M(x) = 1 + (x + 0)(x + 1)(x + 2)(x + 3)
M{x) = 1 + (x^ + 3x)(x" + 3x + 2)
Haciendo: x^ + 3x = m
M(m) = 1 + m{m + 2) = m^ + 2m + 1 = (m + 1)^
Reponiendo x: M (x) = (x^ + 3x + 1)^
Factorizar: F(x) = sex'" + 15x^ + 4
Resolución:
Utilizando el criterio del trinomio cuadrado perfec­
to;
F(x) = 36x" + 15x" + 4
r
2(6x0
r
(X)
+ 9x'
(2) = 24x‘‘
Quitando y poniendo 9x^:
F(x) = 36x" + 15x^ + 4 + 9x^ - 9x'
F(x) = 36x^ + 24x^ + 4 - 9x^
F (x ) =
(6 x ^ +
2f -
9x^ =
(6 x ^ +
2f
-
F(x) = (6x^ + 3x + 2)(6x^ - 3x + 2)
(3 x )^
2.
Factorizar: F(m; n; p) =
2.
+ 64p^
Resolución:
Utilizando el criterio del trinomio cuadrado perfecto
para detectar la expresión que falta: quitando y po­
niendo ISm^n'p':
F(m; n; p) = m^n“* + 64p'’ + 16m^n'p^ - 16m^n'p^
F(m; n; p) = (m'n^+ 8p^)^ - (4mnp)^
F(m; n; p) = (m^n^ + 4mnp + 8p^)(mV - 4mnp + 8p^)
3.
Factorizar: F(x) = x + x - 1
Resolución:
Sumando y restando x^:
F(x) = x^ + x - 1 - x ^ + x^ =
F(x) = x^ (x^ + 1) - (x^ - X + 1)
F (x) = x^(x + 1 )(x ' - X + 1) - (x^ - X + 1)
F(x) = ( x ^ - X + 1)[x' (x + 1) - 11
.-. F(x) =(x^ - x + 1)(x^ + x' - 1)
Otra forma: completando el polinomio sumando y
restando x** + x® + x^
x^ + X - 1 + x'' + x^ + x' - x“ - x^ - x^
Factorizar: P(x: y) = 49x“' + 25y" - 11xV
Resolución;
Ordenando la expresión:
P(x; y) = 49x* - 11xV + 25y"
Ordenando convenientemente y factorizando;
F(x) = X® - x" + x^ + x"* + x' - x^ + X - 1- x^
Deduciendo la expresión que falta:
F (x )
49x" - 11xV + 25y"
r
2(7x^)
ir
(x)
=
x^(x^ -
X+
1)
+
x^(x^ - X
F (x ) = ( x ' - X + 1 )(x^ + x^ -
(5 /)
3.
=70xV
+
1)
-
(x^ - X
+
1)
1)
Factorizar: P(x) = x’“ + x® + 1
Resolución:
Haciendo; x^ = y => P(y) = y^ + y' + 1
Sumando y restando
luego agrupando:
P(y) = / + y V l + / - / - / ( / - 1 ) + ( / + y^ + 1)
Sumando y restando 70x^/
P(x; y) = 49x" - 11x^y^ + 25y“ + 70xV - 70xV^
Reduciendo y agrupando en la forma indicada:
P(x: y) = 49x" + 70x^y^ + 25y' - 81 x '/
Argand
TCP
P(y) - /{y - i)(y" + y + i) + (/ + y + i)(/-y + i)
P(x; y) = (7x' + 5 / ) ' - (9xy)^
P(y)-(y^ + y + 1)(y^-y + 1)
Luego, por diferencia de cuadrados:
Reponiendo x:
P(x) = (x" + x^ + 1)(x® - x^ + 1)
P(x: y) = (7x' + 5y" + 9yx)(7x^ + 5y' - 9xy)
P(x: y) = (7x^ - 9xy + 5/)(7x" + 9xy + 5 / )
P (x) = (x" + X + 1)(x" - X + 1)(x® - x ' + 1)
Suma y re sta s especíales
Consiste en sumar y restar una expresión en forma
conveniente de modo tal que se obtenga por lo general
(x^ + x + 1) o (x^ - X + 1), ambos componentes de una
diferencia o suma de cubos; en otros casos se puede
buscar otro tipo de expresiones que conduzcan a la factorización del polinomio.
<4 FACTORIZACIÓN SIMÉTRICA Y ALTERNADA
Ejemplos:
1.
Otra forma: completando con x®, x". x^
P(X) = x'“ + X® + X®+ x" + x" + 1 - x® - x" - x"
P(X) = x V + x^ +1) + (x“ + x^ +1) - x^(x“ + x^ +1)
P(x) = (X- + x' +1)(x® - x' + 1)
P(x) = (X^ + X +1)(x^ - X +1)(x® - x^ +1)
Factorizar: F(x) = x* + x + 1
P o lin o m io s im é tric o
Resolución;
Es aquel que se caracteriza porque ai intercambiar
cualquier par de variables entre si no cambia de valor.
Por ejemplo:
x^ + y^ + z^ - 8xyz
Sumando y restando x'
F(x) = x^ + X + 1 + x^ - x^
F(x) = x V - 1) + (x^ +
X
+ 1)
F(x) = x^(x -1)(x' + X + 1) + (x' + X + 1)
F(x) = (x^ + X + 1)[x^ (x - 1) +1]
.-. F(x) = (x' + x + 1)(x' - x '+ 1)
Si: x - y
Otra forma: completando el polinomio para ello
sumamos y restamos x'’ + x^ + x^:
F(x) = x^ + x'’ + x"' +
+ x + 1 - x“ - x^ F(x) = x"(x' 4- x + 1) + (x^ + X + 1) - x'(x' +
F(x) = {x^ + X + 1)(x^ - x^ + 1)
X
y
y^ + x^ + z^ - 8yxz
+ y3 + _ 8xyz
P o lin o m io a lte rn a d o
X +
1)
Es aquel que se caracteriza porque al Intercambiar
cualquier par de sus variables entre sí solo se altera
su signo.
Ejemplos:
1. Factorizar: E(a; b; c) = (a - b)^ + (b - c f + (o - a f
Por ejemplo:
a'(b
-
c)
+ b^(c
-
a) + c^(a - b)
Resolución:
Si se intercambian “a" con “b" en el polinomio:
E'(a; b; c) = (b - a f + (a - c f + (c - b f = -E
El polinomio solo cambia de signo, por lo tanto, es
alternado.
Buscando monomios para ello hacemos: a = O
-b^ + (b - c f + 0^ ? O
Para buscar factores binómioos hacemos: a = b
Si: a = b
b^(a - c) + a^(c - b) + c^{b - a)
-b*(c - a) -
(b - c) - c"(a - b)
-{b^ (a - c) + a"{b - c) + c*(a - b)}
El polinomio es alternado.
Luego:
(a - a f + (a - c f + (o - a f =» (a - c f - (a - c f = O
Lo que implica que (a - b) es un factor del polinomio.
Los otros serán: (b - c). (c - a)
(a - b)^ + (b - c f + (c - a f s k(a - b)(b - c)(c - a)
1.
La suma, el producá y el <x)dente de dos 0)ípfesiones simétricas cualesquiera debe ser eim^rica.
2.
El producto de un polirKjmto simétrico «>n un pdinomlo alternado da otro {x)linomio alternado.
Para a = 1 A b = 2 A c = 3 tenemos:
3.
Si ur> pofinomio simétrico 8© anula para ur» de
sus varíabies, también se artulará
iQdas las
demás variables.
.-. E{a: b; c) = 3(a - b)(b - c)(c -a )
4.
-1 - 1 + 8 = k(-1){-1)(2) -> k = 3
2.
Si un polirKwnio simétric» se mu\a p ^ una yariat^e igual a otra o su negativo entonces ^ arHjIa
todas las combinadones entre ettas.
Resolución:
Haciendo: ab = x; be = y; ac = z
Reemplazando en la expresión:
M = ( X + y + z)^ - x^ -z^
Intercambiando x con z:
M = (z + y + x f - z^ -y^ - x^
El polinomio no se altera, entonces será simétrico.
Si el polinomio simétrico tiene 3 varíabies y se
anuia para x = z. entonas un
del poHrK^lo
será (x - z) y los (^ros serán s ^ ú n se indica en ^
gráfico siguiente:
l
5.
Hacemos:
X = O =5 M = (y + z)^ - y^ - z^ ^ O
Hacemos:
X = -y ^
M = (-y + y + z f +
- y^ -
(z -y )
Las propiedades de tos potincrniios siméM«» son
válidos también p ^ los pollrtomíos aMemados.
V
S e d ^ c e » el rrarmomio es sim étrico o ^ i
S e busca factores mcwipmios tiro ie n íto cua lq yteí
varia ble igual a cera­
se iHiScan b s fa<^ores bir^omios^ haciendo im a
dable igual a otra o a su negativo.
S e t^ c e la e q u iv a le r la del pcMinomto
tos fMincipios de las identidades.
y ss
= O
Un factor será: (x + y)
Pasos a seguir
1.
Factorizar:
M(a; b; o) = (ab + be + ac)^- a^b^ - a V - b^c^
(X
.
+
y
Los otros serán: (y + z), (z + x)
+ z)^ -
y^
- x^ - z^ s R(x +
y )(y
+ z) (z + x)
Para: x = 1 A y = 1 a z = 0 , tendremos:
8 - 1 - 1 = R(2)(1)(1) ^ R = 3
Luego: M = 3{x + y ) ( y + z)(z + x)
Reemplazando: M = 3(ab + be)(be + ac)(ac + ab)
I\/1 = 3abc(a + c) (b + a)(c + b)
R E S U EL TO S
PROBLEMAS
■■■O
3.
Señalar la cantidad total de factores primos de:
(a + d / - 2(b' + c^)(a + d)' + {b^ -
P(a) = a®x^ - x' + a®x - X
Tomando de 2 en 2 en la forma indicada;
P(a) = a®x{x + 1) - x{x + 1)
Extrayendo el factor común:
P{a) = ( X + 1)(a®x - X )
P(a) = {x + 1 )(x ){a ® -1 )
P{a) = x(x + 1)(a’ + 1){a^- 1)
Aplicando suma y diferencia de cubos:
P(a) = x(x+ 1)(a + 1)(a^ - a + 1)(a - l)(a^ + a + 1)
Buscando factores lineales, en función de "a" tene­
mos (a + 1)(a - 1).
Existen 2 factores lineales
(a + d)'' - 2(b^ + c^)(a + d)^ +
Diferencia de cuadrados
Aplicando aspa simple:
(a + d )“' - 2(b^ + c ')(a + d ) ' + (b + c)^ (b - c )'
-(a + d)^ (b + c)
-{a + d)'[(b - c)2 + (b + c)^]
-(a + d)^2(b^ + c') ^ -2(b' + c^)(a + d^)
Tomando los factores en forma horizontal:
[(a + d)^ - (b + c)^l[(a + d)^ - (b - c)^]
Aplicando ia diferencia de cuadrados:
(a + d+ b + c)(a + d - b - c)(a + d + b - c)(a + d - 1?+ c)
2.°
3.“
4.
Dar el grado de un factor de: x'* + 6x^
7x" - 6x + 1
Resolución:
x " + 6 x^ + 7 x^ - 6 x + 1
Aplicando aspa doble especial;
4,'
Balanceo
x^ + 6 x^ + 7x^ - 6 x + 1
Existen 4 factores primos
2.
Dar la cantidad de factores lineales de:
P(a) = a®x^ - x^ + a®x - X
Resolución:
Resolución:
1.'
Q
x \-
/3 x \
,» -1
=
-x ^
S DT=
7x'
{-)
Factorizar P(x) = {x^ + x' + x + 1)^ - x^: indicando
luego la mayor suma de coeficientes de los facto­
res primos encontrados.
3xf
Resolución:
- 1 = -x '
-2 x '
ST = -2 x '
Falta: 9x"
Tomando los factores en forma horizontal:
(x '+ 3x - 1){x"+ 3x - 1)
Por diferencia de cubos tenemos:
P (x) = [(x^ + x ' + X + 1 ) - x][x^ + x ' + X + 1 ) ' +
{x ^ +
+
1)
X +
X +
x ']
5.
Efectuando operaciones dentro de los corchetes y
agrupando en la forma indicada:
P(x) = (x^+ x^+ 1)[x®+ 2 x V + X + 1) +
(x^ + X + 1)' + / + x(x^ + x + 1) + x^]
Agrupando los sumandos subrayados y extrayen­
do el factor común x^:
Resolución:
Agrupando de la siguiente manera:
P(x) = x’ + X® + x H x'* 4 X^ + x' + X+ 1
P(x) = x®(x + 1) + x‘ (x + 1) + x^(x +1) + (x + 1)
Extrayendo factor común:
P(x) = (X + 1)(x®+ x"+ x^+ 1)
P(x) = (X + 1)[x"(x' + 1) + (x' +1)1
P(x) = (X + 1)(x^+ 1)(xV 1)
Un factor primo es: x^ + 1
P(x) = (x^ + x^ + 1)[x^(x‘‘ + x^ + 1) + 2x^(x^ + x + 1) +
( x '+ x + 1)^ + x ( x '+ x + 1)1
P(x) = (x^+ x ^ + 1 )(x V + X + 1)(x^- x + 1) +
2 x V + X + 1) + (x '+ X + 1)^+x(x'+ X + 1)1
Extrayendo el factor común: {x^ + x + 1)
P(x) = (x^+ x '+ 1)(x^+ x + 1 ) x V - X + 1) + 2x’ +
(x^ +
X
+
P (X ) =
La
(X ^ + X ^ +
1 ){X^ +
x
+ 2x^ 4-
Resolución:
P{x) = x' + (b + c + 2d)x + d' + (b + c)d + be
+ 1)
m ayor sum a
de
+
x)
X 4 - 1 )(x ‘ 4 - x U 2 x ^ 4 - 2 x +
1)
c o e fic ie n te s
factor, e s d e c ir: 1 4 - 1 + 2 4 - 2
+
x +
será
1 =
7
6.
Si P es un polinomio factorizable definido por:
P(x) = x^ + (b + c +2d)x +
+ (b + c)d + be
hallar un factor primo.
Efectuando operaciones:
P(x) = (x^ + x^ + 1)(x^ 4- x + 1)(x^ - x H
Señalar un factor primo luego de factorizar:
P(x) = x^ + x®+ X®+ x“ + x^ + x^ + X + 1
1
Factoricemos los términos (aspa simple):
d^ + (b + c)d + be = (d + b)(d + c)
d e l te rcer
d
c
Luego:
P(x) =
X
+ (b + c + 2d)x + (d + b)(d + c)
------------1
d+ b
----------
X
Q
P{x) = (x + d + b)(x + d + c)
Un factor primo es: x + b + d
7.
Si P es un polinomio factorizable definido por;
P{x; y;z) = x^ + x - / + y - z ^ - z + 2yz
hallar uno de los factores.
Resolución:
P = x ^ + x - / + y - z ^ - z + 2yz
P = x^ + X + y - z - (y^ + - 2yz)
P = x(x + 1) + {y - z) - (y - z f
(y -z )
X
X +
1
- z)
=» P = (x + y - z){x + 1 - y + z)
Uno de los factores de P es: x - y + z + 1
8.
(X
Si H es un polinomio factorizable definido por:
H(x; y; z; w) =
+ y + z)(x + y + w)(x + z + w)(y + z + w) - xyzw
hallar un factor primo.
Resolución;
H= (x + y + z){x + y + w)(x + z + w)(y + z + w )xyzw
Sea: x + y + z + w = a, entonces:
H = (a - w)(a - z){a - y)(a - x) - xyzw
H= a" - (x + y + z + w)a^ + (xy + xz + xw
+ yz + yw + zw)a^ + (xyz + xyw + xzw
+ yzw)a + xyzw - xyzw
=> H = (xy + xz + xw + yz + yw + zw)a" +
M
(xyz + xyw + xzw + yzw)a
N
^ H = a[(M)a + (N)]
H = (x + y + z + w)í(M)(x + y + z + w) + (N)]
Un factor primo de H es: x + y + z + w
9.
Si E es un polinomio factorizable definido por:
E(x) = X® + 4x^ + 3x' - 2x - 1
hallar la suma de coeficientes de un factor
Resolución:
Apliquemos aspa doble, introduzcamos Ox^:
E(x) = X® + 4x* + 3x^ + Ox^ - 2x - 1
^ E(x) = (x '+ 3x + 1)(x’ +
X
- 1)
S coeficientes de x^ + 3x + 1 = 5
10. Si P es un polinomio factorizable definido por:
P(x; y) = x’° - y Y + x^y - xy' + x V - y’° hallar
uno de sus factores primos.
Resolución:
P(x; y) = x’° - y V + x®y - xy®+ x V - y’°
P(x; y) = x^(x®- y®) + xy(x® - y®) + y"(x® - f )
P(x; y) = (x®-y®)(x'+xy + / )
P(x: y) = (x^ + y')(x' - y^(x' + xy + / )
P(x; y) = (X* + yO(x" + /)(x" - y')(x^ + xy + y*)
P(x; y) = (x" + y^(x^ + /)(x + y)(x - y)(x" + xy + / )
.-. Un factor primo de P es: x* + xy + y^
11. Si Q es un polinomio factorizable definido por:
Q(x; y) = 2x" + 1-(4x^y + 6 xV + 4xy^ + y'*)
determinar un factor primo de Q.
Resolución:
Q = 2x^ + 1 - (4xV + 6 x V + 4xy^ + y*)
Q = x" + 2x" + 1 - (x" + 4xV + 6 xV + 4xy’ + y")
Q = (x'+ 1)2- (X + y)^
Q = [x' + 1 + (x + y)'][x' + 1 - (X + y f ]
Q = (2x^ + 2xy + y^ + 1)(-2xy + 1)
Un factor primo es: 1 - 2xy - y"
12. SiP(x;y;z) = 5(x' + y"-z')+ 10xy + 2(x + y + z)' +
2(x + y - z f
es un polinomio factorizable, hallar un factor primo.
Resolución
P = 5(x^ + / - z^) + 1Cbcy+ 2(x + y + z)" + 2(x + y - z f
P = 5(x" + y' + 2xy - z^) + 2(x + y + z)2 + 2(x + y - z)2
P = 5((x + y)' - ^ ] + 2(x + y + z f + 2{x + y - z f
= 2(x + y + z f + 5(x + y + zXx + y - z) + 2(x + y - z f
2(x + y + z) ---(x + y + z) —-----
\
(x + y - z)
— ♦ 2(x + y - z)
P = (2x + 2y + 2z + x + y-zXx + y + z + 2x + 2y-2z)
P = (3x + 3y + z)(3x + 3y - z)
Un factor primo es: 3x + 3y - z
13. Determinar el término independiente de uno de los
factores primos del polinomio P si:
P(x) = (X + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38
Resolución:
P(x) = (X* - 2x - 3)(x^ - 2x - 24) + 38
Haciendo: x" - 2x - 3 = a
« P(a) = a(a - 21) + 38 = a^ - 21a + 38
a•"-^ -*-2
^ P(a) = (a - 19)(a - 2)
P(x) = (x^ - 2x - 3 - 19)(x" - 2x - 3 P(x) = (x^ - 2x - 22)(x* - 2x - 5)
.'. El TI en un factor primo es -5.
14. Si P es un polinomio factorizable definido por;
P(x; y) = 4(x" + y - 1)^ - (x* - 1)(2x^ + 3y - 2 f
Señalar un factor primo.
Resolución:
P(x; y) = 4(x’ + y - 1)^ - (x^ - 1)(2x^ + 3y - 2 f
P(x; y) = 4(x' - 1 + y)' - (x' - 1) [2(x' - 1)+ 3y]'
Sea x^ - 1 = a, reemplazando
2)
P = 4(a + y)^ - a(2a + 3y)'
P = 4a’ 4- l2aV + 12a/ + 4 / - 4a^ - 12a^ - 9 a /
P = 3 a / + 4y^ = y^(3a + 4y)
18.
Reponiendo "a"'
P{x: y) = /(3x^ - 3 + 4y)
Un factor primo de P es: 3x^ - 3 + 4y
Resolución:
Agrupando en la forma indicada:
1)^(x -
1)
(x -
-
1) - (X -
1)’ ( x + 1 ) + 4
1 ) ' - 4 (x ^ -
1)
Extrayendo el factor común (x -í- 1)(x - 1);
b)'
H(x) =
Sumando:
m + n p = bx - cx - ab + ac + cx - ax - be +
ab + ax - bx - ac + be
m + n + p = 0; por identidad se cumple:
+ n^ p'’ = 3mnp
P(x) = 3(x - a)(b - c)(x - b)(c - a)(x - c)(a - b)
1.°
2°
3.“
Deben estar en función “x"
El N.° de factores primos es 3.
(X
+ l)(x - 1)[13(x -!- 1)' -
(X
- 1)^ - 4]
Reduciendo dentro del corchete:
H(x) = { X + 1)(x - 1)4(3x' + 7x + 2)
Realizando el siguiente cambio de variable;
m = (x - aXb - c); n = (x - b)(c - a); p = (x - c)(a - b)
m = bx - cx - ab + ac; n = cx - ax - be + ab
p = ax - bx - ac + be
H(x) = 4(x + 1){x - 1)(3x + 1)(x + 2)
19.
Indicar el número de factores primos en:
P(a; b; e) = (a + b)’’ + c^(a b)*“ - c‘‘{a + b)^ - c^
Resolución:
Agrupando en la forma indicada:
P(a; b; c) = (a + b)^ + c’{a + b)'* - c‘'(a -i- b)^ - e'
P(a; b; c) = (a + b)'’((a + b^ + c^] - c"[(a + b)^ + c^]
Extrayendo el factor común:
P(a; b; c) = [(a + b)^ + c^][(a + b)" - c“].
16. Factoriza e indicar un factor,
M(x; y: z) = x \ z - / ) + / ( x - z') + z^(y - x") +
xyz(xyz - 1)
Resolución;
Efectuando operaciones con los últimos suman­
dos:
M(x; y; z) = x^(z - y^) + y^{x - z^) + z^{y - x') +
xyz(xyz - 1)
M(x; y; z) = x^(z - y') + y^(x - z') -tz y - z x -I- X y z - xyz
Agrupando en la forma indicada:
M(x; y; z) = x^(z - f ) + y^{x - z') - yz(x - z') xV (z - / )
M(x; y; z) - x'(z - /)(x - z') - y(x - z')(z - / )
Extrayendo factor común:
M(x; y; z) = (z - /)(x - z^)(x^ - y)
Un factor será; x - z^.
2.
(a' + b^
c' -H 2ab - ac - be)
Número de factores primos; 4
20. Determinar el número de factores primos para eí
polinomio P.
P(x)= X* + x^ - x^ + X +2
Resolución:
+
1
X
=
X^ -H X +
1
-H
x^ - x'
- 1) + ( x ' + X + 1) + (x" - x ' + 1)
P (x) = x '(x - 1)(X^ + X + 1 )-(-(x ' + X -H l) + (x^ - x ' + 1 )
Resolución:
M(x; y) = (x^ - 3y + 1)(x^ - y + 1)
Un factor es; (x^ - 3y + 1)
1.
P (x) = (X^ + X + 1 ){x’ - x^ -f- 1 )+ (x^ - x" + 1 )
Ordenando el polinomio para aplicar un aspa doble:
M(x; y) X®- 4x^ Sy'^ + 2x" - 4y + 1
—
Desarrollando:
P(a; b; c) = {a + b + c)(a^ + b' + c^ -(- 2ab - ac -be)
(a^ -(- b' + c' + 2ab)(a + b + c)(a + b - c)
P(a; b; c) = {a + b + c)^(a + b - c)(a^ + + c^ -i- 2ab)
P {x) = x V
Factorizar; M(x; y) = x® + 3y' - 4x’y + 2x^ - 4y+1 e
indicar un factor:
y ——
4-
H (x ) = 1 3 ( x + 1 ) ’ (x - 1 ) - ( x - l f ( x - H ) - 4 (x->-1)(x - 1 )
Resolución:
17.
1 3 {x
H ( x ) = 1 3 (x + l f ( x -
expresión:
P(x) = (X - a)^{b - c)^ + (x - b)^{c - a)^ +
c)"(a -
=
H (x )
15. Dar el número de factores primos de la siguiente
(X -
Indicar uno de los factores primos de la siguiente
expresión:
H(x) = 13(x + l f { x - 1) - 4x" - (x - lf(x+ 1 ) -i- 4
"I
^
P (x ) = (x^ - x ' + 1)(x^ + X + 2)
P tiene 2 factores primos.
21. Si P es un polinomio factorizable definido por:
P(x; y; z; w) = 2{x -f- y)^ + {x 4- y)(z 4- w) + z(v/ - z).
hallar un factor primo,
Resolución:
P = 2(x 4- y)^ + (z 4- w/){x 4- y) 4- z(w - z)
2
(x t y) — __
(X
+ y)
w - z
2{x + y)z + (x -t- y){w - z) = (z + w)(x + y)
Balanceo:
SDT: 3x2y2
=> P(x: y; z; w) = (2x + 2y + w - z){x + y + z)
Un factor primo es: x + y + z
ST:
F(x; y) = 16[(x2 + xy + /)(x2 + xy +
F(x: y) = 16[(x2 + xy + y2)2]"
=> F(x ; y) = 16(x2 + xy + /)®
Resolución;
(X
+ 2)' + (x + 5)2 - 6(x + 2) - 8
Sustituyendo sus variables originales:
F(a: b) = 16(a’2 + a®b® + b’")«
Por identidad trinómica:
F(a; b) = 16(a® + a 'b' + b®)®(a® - a 'b' + b®)®
Número máximo de factores algebraicos;
(8 + 1)(8 + 1) = 81
Haciendo: x + 2 = a
P(a) = a" + (a + 3)" - 6a - 8
P(a) = a“* + a^ + 1 = (a^ + a + 1)(a" - a + 1)
= P(x) = [(X + 2)2 + X + 2 + 1][{x + 2 f - ( X + 2)+1]
P(x) = (x2 + 5x + 7){x2 + 3x + 3)
P no tiene factores primos lineales,
23. Hallar ia suma de los factores primos del polinomio:
P(x) = (2x2 _
24(2x - 1)(x - 1)x
Resolución:
P(x) = (2x2 - 9x + 1)" + 24(2x - 1)(x - 1)x
P(x) = (2x' - 9x + 1)2 + 24(2x2 - 3x + 1)x
P(x) = (2x2 _ 3x + 1 _ 0^)2 + 4(2x^ - 3x + 1)(6x)
Como: (a - b)^ + 4ab = (a + b)"
« P(x) = (2x2 _
P(x) = (2x2 +
^ ^2x + 1)2(x + 1)^
Factores primos: 2x + 1 a x + 1
La suma de factores primos es: 3x + 2
24. Obtener la suma de los factores primos del polino­
mio P, definido por: P(x) = x2(a2 + b^x) + ab(x® + 1)
Resolución:
P(x) = x2(a2 + p2x) + ab(x® + 1)
P(x) = a2x2 + b^x^ + abx^ + ab
P(x) = bx'(ax2 + b) + a(ax2 + b)
P(x) = (ax2 + b)(bx^ + a)
Suma de factores primos; bx^ + ax" + a + b
25. Calcule el número máximo de factores algebraicos
en: F(a; b) =
+ b^" + (a® + b®)Y
26.
Factorizar el polinomio en E,
P(a) = (a^ - 2)2 - a2l(a - 2 f - 5(a + 1)2(a - 1)"]
señalar un factor.
Resolución:
P(a) = (a" - 2)2 - a'((a - 2)" - 5(a + 1)^(8 - I)"]
P(a) = (a^ - 2)2 - a2((a ' 2 f - 5(a2 - 1)2]
Efectuando en toda la expresión:
P(a) = a®- 4a^ + 4 - a" [a^ - 4a + 4 - 5a* + lOa" - 5]
P(a) = a®- 4a®+ 4 - a“ + 4a^ - 4a2 + 5a®- 10a^ + Sa^
Reduciendo;
P(a) = 6a®- 11a" + a" + 4
Haciendo: a^ = m => P(m) = 6m® - Hm" + m + 4
Evaluando para m = 1;
P(1) = 6(1)^ - 11(1)2 ^ ^.,^2 ^ 4
=> P(1) = O (se anula)
En consecuencia un factor es (m - 1) y el otro fac­
tor lo hallaremos dividiendo por Ruffini, asi:
m- 1= 0
6
-11
m= 1
i
6
6
-5
+ 1 +4
-5
-4
-4
0
P(m) = (m - 1)(6m" - 5m - 4)
Resolución:
F(a; b) = [a2" + b"“ + (a® + b®)Y
3m
2m
Efectuando dos cambios: a® = x A b® = y
F(x; y) = [x" + y V (x + y)"]"
P(m) = (m - 1)(3m - 4)(2m + 1)
F(x; y) = {x" + / + (x" + 4 x ^ + B x "/ + 4xy^ + y")]“
Reduciendo:
F(x; y) = [2x'‘ + 2y" + 4x^y + 6x Y + 4xy^]";
F(x; y) = [2(x" + y* + 2xV + S x "/ + 2xy^)]‘'
Agrupando en el corchete para aplicar un aspa do­
ble especial:
F(x; y) - 16(x- + 2x=y + 3 x V + 2xf + y^)"
x2^
',+xy<
(-)i
Falta:
22. ¿Cuántos factores primos lineales tiene el polino­
mio P, si: P(x) = ( X + 2)'* + (x + 5)^ - 6(x + 2) - 8
P(x) =
2x2y2
= xY
2xV
Reponiendo fa variable original:
P(a) = (a2 - 1)(3a2 - 4)(2a" + 1)
P(a) - (a - 1)(a + 1)(;3a + 2 )(/3 a - 2)( 23^ + 1)
Un factor es; a + 1
27. Factorizar;
F(x; y; z) = z V - y V + 2xz" - xyz + 2y"x + z - y
Resolución:
Agrupamos los sumandos y extraemos factor co­
mún de cada grupo:
F(x; y; z) = (z"x" - y"x") + (2xz" - xyz + 2 /x ) + z - y
F{x; y; z) = x ^ z ’ ~ f ) + (2z^ - yz + 2 / ) x + z - y
Resolviendo por productos notables y aplicando un
aspa simple:
F{x; y; z) - x'(2-y)(z'+yz+/)+(2z'-yz+2/)x+(z-y)
Entonces; a - 6 + 1 2 = 0 = > a = - 6
b + 72 = 0 ^ b = - 7 2
También; Q(x) + (x' - x - 6) el residuo es cero
Por Horner:
x(z-y)
3 - 7
x(z"+y2+ / ) .
1
6
3
0
18
-4
F(x; y: z) - [x{z - y) + 1][x(z' + yz + / ) + z - y]
3
Efectuando operacior^es dentro de corchetes:
F(x; y; z) = (xz - xy + 1)(xz^ + x / + xyz + z - y)
Hay 3 factores primos: (x + y), (y + z), (z + x)
29. Factorice:
H(x; y; z) = 4x“ + 12x^ + 0 / - x V - 27yz^ - 18z“
Resolución:
Por aspa doble;
4x" + 12x'y + 0 / - x^z' - 27yz^ - 182*
x'
3y
— + 2z'
H(x; y; z) = (4x^ - 9z^)(x^ + 3y + 2z')
H(x; y; z) = (2x + 3z)(2x - 3z)(x' + 3y + 2x')
Hay 3 factores primos; 2 lineales y 1 cuadrático.
2
(x^ - x - 6) el resto es cero
-3
2
6
2
-1
1
12
-1
12
-2 4
14
0
84
0
Piden: an + bm = (-6 )(-84)+(-72)(10) = -216
31. Factorice:
P(x; y; z) = x^ + / + z^ + x'y + x'z + / x + / z + z^x + zV
Resolución;
Agrupando convenientemente de 3 en 3;
P(x; y: z) = x'(x + y + z) + / ( y + x + z ) + z^(z + X + y)
Extrayendo factor común:
P(x; y; z) = (x + y + z)(x' + y^ + z')
32. Factorice: P(x) = x® + 2x® + I3x‘ + 8x' + 36
Resolución;
X® + 2x® + 1 3 x ‘' + 8 x ' + 3 6
x * - - . . J ^ 2 x '^ t ^ + 9
x"
O
--^ ^ ^ + 4
13x* + Ox‘ = 13X“
(x* + 2x' + 9)(x* + 4)
Completando términos para volver a intentar aspa
doble especial:
x"* + Ox^ + 2x^ + Ox + 9
+3
2 x -^ ^ + 3
6x' - 4x' = 2x^
x“ + Ox^ + Ox' + Ox + 4
x '^ + 2 x ^ + 2
x'
- 2 x +2
4x' - 4x' = Ox'
P(x) = (x^+2x + 3)(x'- 2x + 3)(x' + 2x + 2Kx'-2x+2)
33. Se sabe que el producto de multiplicar el MCD y
MCM de dos polinomios es (x® - x^) y además la
suma de dichos polinomios es (x^ + x^ - 1). Halle
el residuo de dividir el MCM de dichos polinomio
entre x + 2.
30. El MCD de P y Q es x' - x - 6, donde;
P(x) = 2x" - 3x^ + x' + ax + b
Q(x) = 3x“ - 7x^ + mx+ n
Halle: an + bm
Resoiución:
Por definición: P(x)
Por Horner:
14
n
m - 2 4 + 1 4 = 0=» m = 1 0
n + 84 = 0
= n = -8 4
28. Factorice:
F(x; y; 2) = x(z - y f + y(z - x f + z(x - y f + 8xyz
Resolución:
Efectuando operaciones:
xz^ - 2xyz + x / + yz' - 2xyz + yx' + zx^ - 2xyz +
z / + 8xyz
Agrupando convenientemente:
xz' + x f + yz' + yx^ + zx' + z f + 2xyz
Extrayendo factor común:
x(z' + y' + 2yz) + yz(z + y) + x'(y + z)
x(y + z f + yz(z + y) + x'(y + z)
(y + z)[xy + xz + yz + x']
Agrupando convenientemente:
(y + z)[x(y + X ) + z(x + y)]
(y + z)(x + y)[x + z]
F(x; y: z) = (x + y)(y + z)(z + x)
-4
m
a
b
-6
12
0
72
0
Resolución:
Sean los polinomios A(x) y B(x)
Por teorema A(x) x B(x) = MCD x MCM
Datos: MCD x MCM = x" - x^
=» A(x) X B(x) = x* - x^
Además:A(x) + B(x) = x' +
- 1
D e (l)y (ll): A(x) = x^ B(x) - 1
...(I)
...(II)
Luego, el MCM = x^(x^ - 1)
Piden el resto:
x+2
Por el teorema del resto: x + 2 = 0 = » x = - 2
R(x) = ( - 2 )'l(-2 )' - 1] = -2 4
34. Factorice: A{x; y) = 8x® - 1 9 xV ~ 27y®
39. Si se cumple que: a^ + b^ + c^ = O
Resolución;
Por aspa simple:
8x^
X^
-27y^
+y^
simplificar:
Por suma y diferencia de cubos:
A(x; y) = (2x - 3yK4x" + 6xy + 9y")(x + y)(x" - xy + / )
35. Factorice: P(x; y) = 8x^ - 12x"y + 6xy^ - 65y^
Resolución:
y por Rufñni:
8
i
8
-1 2 y
20y
8y
6y^
20/
26y"
4
4y
13y"
- 65y'
+ 65y^
0
2
36. Al factorizar: P(x) = (2x + 7c + d)(x + 3c) + cd - c"
indique la suma de coeficientes de uno de sus fac­
tores primos.
Resolución;
Efectuando se tiene:
P(x) = 2x^ + x(13c + d) + 4c(5c + d)
t
____{5c + d)
• 4c
P(x) = (2x + 5c + d)(x + 4c)
Un factor primo es (x + 4c); la suma de coefi­
cientes es (4c + 1).
37. Factorice: P(x) = (x - a)(x - 3a)(x + 4a)(x + 6a) + 40a“
Resolución:
P(x) = (x" + 3ax - 4a")(x" + 3ax - 18a") + 403“
Hacemos x" + 3ax = z
Luego: (z - 4a")(z - 18a") + 40a*
Efectuando:
3abc
- (a + b + c - ab - be - ca)
_
a^ + b^ + c^ - 3abc
(a^ + b^ + e^ - ab - be - ca)
a+ b+ c
40. Indicar el número de factores primos en:
(x " + 7 x + 5 )" + 3 {x " + 1 ) + 2 1 x + 2
Resolución:
P{x; y) = {2x - 5y)(4x' + 4xy + 13y")
——
Piden:
(a + b + c)(a" + b" + c" - ab - be - ca)
(a" + b" + c" - ab - be - ca)
PC = ±(1,2,5,13,65,1
X
3abc
•; abe ^ O
a(b - a) + b(c - b)+ c(a - c
Resolución:
A(x; y) = (8x^ - 27y^){x^ + y")
2x
Ordenando convenientemente
P(x) = 9x® - 42x* + 49x" - (16x* - 8x" + 1)
P(x) = (3x^ - 7 x f - (4x' - 1)"
Por diferencia de cuadrados
P(x) = (3x^ - 7x + 4x" - 1)(3x^ - 7x - 4x^ + 1)
P(x) = (3x^ + 4x" - 7x - 1)(3x^ - 4x^ - 7x + 1;
z" - 22a^ z + 112a*
z
- 14a"
z
- 8a"
Reemplazando:
P(x) = (x' + 3ax - 14a')(x' + 3ax - 8a')
38. Factorice: P(x) = 9x® - SSx“ + 57x^ - 1
Resolución:
Artificio; buscar diferencia de cuadrados
P(x) = 9x® - 42x"' - 16x* + 49x" + 8x" - 1
Agrupando: (x" + 7x + 5)" + 3(x" + 7x + 5) - 10
Sea; x" + 7x + 5 = a
a" + 3a - 10 por aspa simple
a
5
(a + 5)(a - 2) reponiendo variable
=» (x" + 7x + 10)(x' + 7x + 3)
x
5
X
2
( X + 5)(x + 2)(x" + 7x + 3)
Tenemos 3 factores primos
41. Luego de factorizar, indicar la suma de los coefi­
cientes principales de los factores primos de:
p(x; y) = y^x* + 1 - x" - y^x^ + y^ - 2/x^
Resolución:
Agrupando convenientemente y aplicando el crite­
rio del aspa simple, se tiene;
P(x: y) = x V - 1 ) + x ^ {-/-2 y ") + (y + i)(y" - y + 1)
x " ( y - i)
* - ... t^ - ( y " - y + i)
x"(y" + y + 1)
- {y + 1)
P(x; y) - [x " ( y - i) - ( y " - y + i)][(x^(y" + y + i) - ( y + l)]
La suma de los coeficientes principales de los
factores primos es: y^ + y + 1 + y - 1 = y^ + 2y
42. Luego de factorizar: P(x) = x® + 4x* +
indicar un factor primo binómico
Resolución:
Aplicando factor común se tiene:
P(x) = x[¿ + 4¿ + x^ + 4x + 2]
+ 4x^ + 2x
Agrupando convenientemente;
P(x) = x[x(x" + 4x" + 4) + (x^ + 2)]
P(x)= x[x(x' + 2 f + (x" + 2)3
R e s o lu c ió n :
Aplicando el criterio del aspa doble:
P(x; y) = 5x^ + 4xy - / + lOx - 2y + O
Aplicando factor común;
P(x) = x(x^ + 2)(x^ + 2x + 1)
"“ V — I
x "-^ ^ y—
P{x; y) - (5x - y)(x + y + 2)
Un factor primo binómico es: x^ + 2
43. Luego de factorizar, indicar el nùmero de factores
primos lineales de:
F(a; b; c) = (a - bXa + b)^+(b - cXb + c)^+(c - aXc + a)^
47.
Los trinomios (2x^ + ax + 6) y (2x^ + bx + 3)
admiten un factor común de (a forma (2x + c).
Calcule el valor de: {a - b)c
R e s o lu c ió n :
R e s o lu c ió n :
Usando el teorema del residuo.
Si P(x) = 2x^ + ax + 6
Si: a = b resulta
F(a; b; c) = (b - c)(b + c)' + (c - b)(c + b)' = 0
Si: b = c resulta
F(a; b; c) = (a - c)(a + c)^ + {c - a) (c + a)^ = 0
Si: a c resulla
F(a; b; c) = (c - b)(c + b)^ + {b + c)^(b - c) = 0
F(a; b;c) = (a - b)(b - c)(a - c) M
es una constante
Existen 3 factores primos lineales.
Ri = P ( - | ) = 2 ( ^
= R ,^Q (-f)=.2(^) + b(-f) + 3 = 0
De R, = Rj: c{a - b) = 6
48. Luego de factorizar:
N(a; b; c) = a^(b - c) + b^(c - a) + c^(a - b)
indicar uno de sus factores compuestos.
(x^ + xy + y^f - x^z^ - y^z^ - x^y^
Resolución:
Efectuando y agrupando se tiene:
(x + y-z)(x^ + y^)
el cociente es idéntico a: Q(x; y; z> = ax + by + cz
Hallar; a + b - c
N(a; b; c) = a^(b - c) + b^c - b^a + c^a - c^b
N{a; b; c) = a^(b - c) + bc(b - c) - a(b + c) (b - c)
N(a; b; c) = (b - c)[a^ - a(b + c) + be]
Un factor compuesto es: a^ - a(b + c) + be
Resolución:
Agrupando convenientemente el dividendo se tiene;
{x^ + xy +
- x V - z^(x^ + y^)
(x^ + 2xy + /)(x^ + y^) - z^{x^ + f )
(x" + /)[(x + y)'- z^I = (x^ + /){x + y + z)(x + y - z)
49. Determine la suma de valores de n para que el po­
linomio F(x) = X - n sea un factor de
P{x) = X-'' + (2 - n)x^ + (1 - 2n)x + n^
Resolución:
F(x) es factor de P(x)
(x^ + y^)(x + y + z)(x + y- z)
Luego se tiene; ------ — ----- ------ ---^ --------- (x + y - z ) ( x" + y")
=s'x + y + z = ax + by + cz=» a = 1 ; b = 1 ; c =
Me piden: a + b - c = 1
1
x- n= 0
n
Dadas las condiciones:
a" +
1
\
1
P(x)
F(x)
es exacta.
2 - n 1 - 2n
n
2n
2
1
n^
n
0
Por ser una división exacta:
n^ + n = 0
n(n + 1 ) ^ 0
n, = 0 V n = -1
,-. n, +
= -1
+ c" = 2
(a + b + c)(1 + ab + be + ca) = 32
Calcule a + b + c
Resolución:
50.
Dato:
a^ + b^ + c^ = 2
a í-^ l + 6 = 0
Si Q{x) = 2x^ + bx + 3
44. Luego de dividir;
45.
O
— 2
,..(P )
(a + b + c)(2 + 2ab + 2bc + 2ca) = 64
...{a)
(p)en (a):
{a + b + c)(a^ + b^+ c^ + 2ab + 2bc + 2ca) = 64
(a + b + c)2
a+ b+ c=4
46. Factorizar: P{x; y) = 5x^ - / + lOx - 2y + 4xy
Luego indicar un factor primo.
Factorice el polinomio: F(x) = x* - 6x^ - 27
Luego indique el factor primo de menor término in­
dependiente,
Resotución;
Podemos utilizar el criterio del aspa simple por la
forma que tiene,
F(x) = x" - 6x^ - 27
A
F(x) =
- . i. : '
(X
9)(x^ + 3)
F(x) =
(X
54. Señale un factor primo de la siguiente expresión:
- 3)(x + 3)(x^ + 3)
^FP "
Ef factor primo de menor término independiente
es (x - 3).
51. Factorice et polinomio siguiente
P(x; y) = (x^y + x ' / f - 4x^ - 8xy - 4y^
e indique el número de factores primos.
Resolución:
P(x; y) = (xy (x + y))^ - 4(x^ + 2xy + / )
P(x; y) = (xy)^(x + y f - 4(x + y f - 4(x + y)'
P(x: y) = ( X + y)'[(xy)' - 4]
P(x; y )= (x + y f[(x y -2 )(x y + 2)]
Entonces, sus factores primos son
(x + y), (xy - 2) y (xy + 2)
Por lo tanto, tiene 3 factores primos.
52. Factorice et polinomio: P(x) = 2x^ - x^ - 18x + 9
Luego iguale a cero cada factor primo y encuentre
los valores de x.
Resolución:
Agrupando convenientemente tenemos
P(x) = 2 x ^ - x ^ - 18x + 9
P(x) = x^(2x - 1) - 9(2x - 1)
P(x) = (2x - 1)(x^ - 9)
P(x) = _(2x - 1)(x - 3)(x + 3)
^FP~^ FP
igualamos a cero cada factor para encontrar sus
raíces.
2 x-1 = 0 vx-3 = 0vx + 3= 0
1 vx = 3 v x = -3
Por lo tanto, las raíces de P(x) son:
53.
R(z; w) = 5z® - 2 z V - 75z" + 32v/ - 80
Resolución:
Completando términos para aplicar aspa doble:
R(z; w) = 5z® - 2 z V + Ow® 75z‘ +
32v/‘- 80
5z*
-2 w 5
Ov/
=* R(z; v^) = (5z“ - 2 v / + 5)(z* - 16)
R(z; w) = (5z“ - 2w“ + 5)(z' +
4){z" 4)
R(z; w) = (5z“ - 2w* + 5)(z^ +
4)(z + 2) (z - 2)
Un factor primo es: (z^ + 4)
55. Factorizar:
A(x) = X*" + (1 - 2n)x'" + (1 - 2n - 3n^)x^" (2n + 3n^)x'' - 3n^
Resolución:
A(x) = x‘'n + x^" - 2nx^" + x^" - 2nx^" - 3n^x^" 2nx" - 3 n V - 3n^
A(x) = x^''(x^" + x" + 1) - 2nx"(x^'' + x" + 1) 3n^(x^" + x" + 1)
A(x) = (x"" + x" + 1)(x"" - 2nx" - 3n*)
X"
-3 n
x"
+n
A(x) = (x^" + x" + 1){x’’ - 3n)(x" + n)
56. Factorizar: A(m; p) = (m® - 2m^p®)^ + (2m®p^ - p®)^
Resolución:
(n f + (2 m V - ^ f
[m^(m® - 2p®)]^ + [p^(2m® - p^)f
m®(m® - 2p®)^ + p®(2m® - p®)'
Haciendo: m® = a’ : p® = b®
+ b'(2a^- b^)^
1. 3 y -3
Señale uno de los factores primos de:
P(x; y) = x*(x - y f - 14x/(x - y) + 2 4 /
Resolución:
Efectuando en los primeros dos sumandos:
P(x; y) = x"(x - y f - 14x/(x - y) + *2 4 /
P(x; y) = (x(x - y)]^ - 14(x* - x y ) / + 24y*
P(x; y) = [x^ - xy]^ - 14(x' - x y ) / + 24y*
(x^ - xy) t
-1 2 /
(x' - xy)
- 2/
(x^ - xy - 1 2 /)(x ' - xy - 2 / )
Luego:
P(x; y) = (x^ - xy - 12/)(x^ - x y - 2 / )
x ^ J Ú ^ -4 y x ^ ^ - 2 y
X ' - ' ' ^ ^ + 3y X '- '^ y
P(x; y) - ( X - 4y)(x + 3y)(x - 2y)(x + y)
Un factor primo es: (x + y)
a'(a* - 6a®b^ + 12aV - 8b®) + b^(8a' - 12aV + 6aV -b®)
a'2 - ^
+ i2a®b® - 8^3b®+ ^
-12a®b® + 6 ^ -b ’^
a’^ + 2a®b^ - 2 a V - b'*
(a’^ - b’^) + 2aV(a® - b®)
(a® + b®)(a® - b®) + 2a=^b^(a® - b®)
(a® - b®) [a® + b® + 2a^b^]
(a' + b')(a' - b'Ka^ + b’ )^
(a^ + b')'(a' - b^)
(a - b)(a^+ ab + b^)[(a + b)(a^ - ab + b^)]^
(a - b)(a^+ ab + b^)(a + b)*(a^ - ab + b^)^
Sabemos que: m® = a^ =* a = m^
p® = b^ =» b = p^
(m^ - p^X^'* +
- m^p^ + p y
(m + pY(m'' - m*p^ + p'’) V + P)(m - P)
(m^ + mp + p^Xm^ - mp + p^
57. Factorizar;
P(x) = x^[(a^ + 1)x^ +8a"] - 5x[(a' + 1)x^ + a^] +
8x^ - 5x + 1 + a^
Resolución;
P(x) =
+ 1)x^ + 8a^l - 5xt(a" + 1)x" + a^] +
X ____________ T
-C___________ 3-
8x^ - 5x + 1 +
= x‘ (a^ + 1) + 8 a V - 5(a^ + 1)x^ - 5a'x + 8x^ 5x + (1 + a^)
= x * (¿ jM ) - 5(a^+ 1)x^ + 8(a"+ 1)x^ 5 (¿ i_ 1 )x + ( 1 i ¿ )
= (a' + 1)(x" - 5x' + 8x" - 5x + 1)
Por aspa doble especial:
X* - 5x^ + 8x^ - 5x + 1
Balanceo
x^
x" ^ ^ \ - 2 x
í
1 = x^
1= ^
2x^
SDT: 8x^
ST: 2x^
Falta: 6x"
P(x) = (a^ + 1)(x^ - 3x + 1)(x' - 2x + 1)
P(x) = {a' + 1)(x' - 3x + 1)(x - 1)'
58. Factorice:
P(x) = (a^ + 2ab)x^ + b(a - 4b)x + {b - a)<a - 2b)
e indicar uno de sus factores primos.
Resolución;
Aplicando aspa simple:
P(x) = a(a + 2b)x^ + b(a - 4b)x + (b - a)(a - 2b)
ax
“ 2b) = (a^ - 4b^)x
(a + 2b)x
(b - a) = (ab - a^)x
b(a - 4b)x
=■ P(x) = (ax + a - 2b)l(a + 2b)x + b - a]
•. Un factor es: ax + a - 2b
59. Al factorizar: M(x) = 32x* + (x + 1)^ - x^
hallar la menor suma de coeficientes de uno de sus
factores primos.
Resolución;
Desarrollando
M(x) = 32x' + x^ + 2x + 1 - x^
M(x) = 32x® + 2x + 1 = (2x)* + (2x) + 1
Sea: 2x = a =» M(a) = a® + a + 1 + a^ Agrupando:
M(a) = a^(a^ - 1) + (a^ + a + 1)
M(a) = a^(a - 1)(a^ + a + 1) + (a^ + a + 1 )
M(a) = (a^ + a + 1)(a^ + 1)
Reponiendo variables:
M(x) = (4x^ + 2x + 1)(8x^ -4 x ^ + 1)
2 coef. de (4x^ + 2x + 1) es 7
2 coef. (8x^ - 4x + 1) es 5
60. Los polinomios; P(x) = x* + 2x^ - x - 2 a
Q(x) = x^ + 6x^ + 11x + 6
tienen un factor común. Indicar la suma de coefi­
cientes de dicho factor común.
Resolución:
Factorizando cada polinomio para encontrar el fac­
tor común
P(x) = x" -h 2x^ - X - 2; agrupando:
P(x) = X ^ ( X -I- 2) - ( X + 2)
P(x) = (x-t- 2 ) ( x " - 1)
P(x)= (x + 2)(x - 1)(x^ + x + 1)
Q(x) = x' -I- 6x^ + 11x -H 6
Por divisores binómicos'.
-1
1
6
11 i - 6
-1
-5 i -6
5
6! 0
q(.,
« Q(x)= ( X + 1)q(x)
Q(x) = (x + 1)(x^-i-5x + 6)
2
^ Q (x ) = ( X + 1)(x -I- 3)(x + 2)
De aquí observamos que el factor común a P(x)
y Q(x) es (x + 2); siendo 3 la suma de sus coefi­
cientes.
61. Factorizar el polinomio:
P{x) = (x -t- 2)(x - 1)(x - 3)(x - 6) + 7x^ - 28x + 1
e indicar un factor primoResolución;
Multiplicando convenientemente:
P(x) = ( X + 2)(x - 6) ( X - 1)(x - 3) + 7(x^ - 4x) -i-1
P(x) = (x^ - 4x - 12)(x' - 4x + 3) + 7(x^ - 4x) + 1
Haciendo: x^ - 4x = a
« P(a) = (a - 12)(a + 3) + 7a + 1
P(a) = a^ - 2a - 35
a O ^ - 7 ; -7 a
a - ' ' ^ - ^ 5; _5a
-2 a
P(a) = (a “ 7)(a + 5) reponiendo variables
P(x) = (x^ - 4x - 7)(x^ - 4x -I- 5)
.-. Un factor primo es: x^ - 4x + 5
62. Al factorizar el polinomio:
P(x) = (x + 2)^(x + 1)(x + 3) - 42 seobtiene un
factor de la forma Q(x) = x^ + 4x -t-n.Hallar el
mayor valor de Q(-3),
Resolución;
De; P(x) = (X + 2)'(x -i- 1)(x + 3) - 42
P(x) = (x^ + 4x -I- 4)(x^ + 4x + 3) - 42
Hacemos:
-(- 4x = a
P(a) = (a + 4)(a + 3) - 42
P(a) = a" + 7a - 30
10
P (a )= (a + 1 0 )(a -3 )
=» P(x) = (x^ + 4x + 10)(x^ + 4x - 3)
Q(x) = x^ i- 4x + n
=»n = 1 0 v n = - 3
Q(x) = x^ + 4x -t- 10 V Q(x) = x^ + 4x - 3
Q (-3 ) = 7 V Q (-3 ) = - 6
Mayor = 7
63. Si F(x) es ei factor primo de mayor
gradoquere­ => P(x; y) = (x + 4y)(x^ - xy + 7y^ : factores
sulta al factorizar P(x) = x® + x“ + 1 en Z(x),hallar
Suma de coeficientes de (x + 4y) es 5.
F(3).
Suma de coeficientes de (x^ - xy + 7y^) es 7
Resolución:
65. Factorice: P(x) = (x^ + x + 1)(x' - x+ 1) + 7x^ - 385
P(x) = X^ + X* + 1
e indicar la suma de sus factores primos lineales.
Aplicando el método del quita y pon;
Resolución:
P(x) = x^ + x* + 1 + x^ x^(x^ - 1) + x"* +
+ 1 + x^ - x^
Efectuando: P(x) = (x* + x^ + 1) + 7x^ - 385
x^(x' - 1) + X ^ ( x ^ - 1 ) + x^ + x' + 1 + X - X
P(x) = x“ + 8x^ - 384 factorizando por aspa simple
x^(x' - 1 ) + X^(x^ - 1 ) + x(x* - 1 ) + x^ + X + 1
x^
+ 24
= ( x ^ - 1) ( x ^ + X ^ + X ) + x ' + X + 1
x'
- 16
= x (x ' -
1 )(x^ + x + 1 ) + {x * + x + 1 )
= (x^ + x + 1)(x(x^ - 1) + 1)
= (x' + X + 1)(x' - x + 1 )
^ F(x) - x' - X + 1
F(3) = 3' - 3 + 1 = 25
64. Factorizar; P(x; y) = x^ + 28 + 3xy(x + y) e indi­
car la suma de coeficientes de uno de sus factores
primos.
Resolución:
Desdoblando términos para formar desarrollo de
un binomio al cubo
P(x; y) = x^ +
+ 3xy(x + y) + 27y^
P(x; y) = (x + y)^ (3y)^ suma de cubos
P(x; y) =
(X
+ y + 3y) [(x + y)' - (x + y)(3y) + (3y)'3
P(x) = (x" + 24)(x' - 16)
^ P(x) = (x^ + 24)(x + 4)(x - 4)
.-. Nos piden: (x + 4) + (x - 4) = 2x
66. Factorizar: P(x: y) = y V + 2yx^ - xy + x* - x^ - 20
e indicar un factor primo.
Resolución:
Agrupando convenientemente se tiene;
P(x; y) = y"x' + y(2x' - x) + (x^ + 4)(x' - 5)
yx
yx — —
I
x^ + 4
x'
- 5
P(x; y) = (yx + x^ + 4){yx + x^ - 5)
Un factor primo es: yx + x^ - 5
PR OB LE MA S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI
PROBLEMA 1 (UNI 1 9 7 5 )
Uno de tos factores de: x® - x^ - 8x - 16, es:
A) x^ - 4
D) - x - 4
B)
x^ - 2x + 4
E) x^ - X + 4
(x + y - 1)[x^ + y^ + 2xy + x + y + 1 - 3xy]
.-. (x + y - 1)(x* - x y + y^ + x + y + 1 )
Clave: C
C) x^ + 2x - 4
Resolución:
Extrayendo el signo ( - ) a los tres últimos términos se
tendrá:
X®
- (x^ + 8x + 16) = (x')' - ( X +
( x ^ + X + 4)(x^ - X - 4)
Clave: D
P B0B LE M A 2 (UNI 1 9 7 8 )
Descomponer en dos factores;
(x + y)^ + 3xy (1 - x - y) - 1
A) (x + y +1)(x^+ 2xy + y^ + x + y + 1)
B) {x + y - 1)(x^+ 2xy + / x - y+1)
C) (x + y - 1)(x^ - x y + y ^ + x + y + 1 )
D) (x - y - 1) ( x ^ - 2xy +
+ X - y + 3)
E) (x - y +l)(x^ - 2xy + y^ + x + y -3 )
Resolución:
Agrupando en la forma indicada:
( X + y)^ - 1 - 3xy ( X + y - 1)
{x + y - 1)[(x + y)^ + X + y + 1] - 3xy(x + y - 1)
PROBLEMA 3 (UNI 1983-1)
Factorizar: (a - b)^(c - d)^ + 2ab(c - d)^ + 2cd(a^ + b*)
e indicar la suma de sus factores
A) a^ + b' + c^ + d^
B) a + 2b + c + 2d
C) a + b^ + c + d
D) a* - b* +
- d^
E) a^ - b + c - d
Resolución:
Sacando factor común (c - d)^ a los primeros términos:
(c - d)^[(a - b)*
+ 2ab] + 2cd(a^+b^
(c - d)^(a^ + b^) + 2cd(a^ + b^)
Factorizamos ahora: (a^ + b^
(a^ + b')[(c - d)^ + 2cd] = (a* + b^(c^ + d^)
Se pide la suma de factores: a^ +
Clave: A
PROBLEMA 4 (UNI 1 9 8 4 - II)
Uno de los factores de:
zx* + 4x^/ - 4xV z + 4y‘'z - x“- 4y*, es:
2
A) 1 + z
B) 2 -
D) X - 2y
E) X + 2y
C) z - 1
Resolución;
Agrupando en la forma indicada:
(zx" - 4xV^2 + 4y‘ z) - (x‘ - 4 x V + 4y‘ )
z(x" - 4 x y + 4y“) - (x" - 4 x V + 4y‘ )
A) a((iogx)^ + Slogx - 1
0) adogx + 3)(logx - 25)
E) adogx - 2)(logx + 2)
Sumando factor común:
(X* - 4 x V + 4y")(z - 1) = (x^ - 2 f f { z - 1)
TCP
Ciave; C
B) a(logx^ + 6logx - 2)^
D) a((logx)^ + 4logx - 1)
Resoiución;
Haciendo el cambio de variable:
Iogx = y, tendremos:
ay" + 1 0 /a + 2 3 /a - lOya + a
a ly - + 1 0 y * + 2 3 / -
10y +
^]
PROBLEMAS 5 (UNI 1 9 8 5 • II)
Descomponer en factores la siguiente expresión:
a(logx)“ + 10(logxfa + 23a(logx)^ - 10(logx)a + a
^ a[y" + 5y - 1]"
Reponiendo x; quedaría: a((logx)^ + 5log - 1)^
Clave: A
PROBLEMAS
□
1.
PROPUESTOS
A) 2x + 5
D) 2x + 3
Hallar un factor primo del siguiente polinomio;
[ ( x - y + 2) ( x - y - z ) + 1 ] ^ - 4 ( x - y ) '
A )x + y + z + 1 B ) x - y + 2 + 1 C ) x - y + z
D ) x - y + z + 2 E)z + y - x +2
2.
Sabiendo que x^ + 2x + 3, es un factor de;
P(x) = x** + x^ + 6x^ + mx + n
entonces es verdad que:
A) m + n = 21
D) n es par
3.
B) mn < O
C) m < O
E) n - 2n = 1
Calcular el número de factores cuadráticos de:
P(x) = 4x* - 37x' + 9
A) 2
D)5
B)3
E)6
0 4
4. Siendo n el valor que debe admitir x para que los
factores de primer grado de T{x)= 2x^ + 7x +6,
tengan el mismo valor numérico, señalar un factor
de: E(a; b; c) = a(a + c ) + nb(b + c)
A) a + b
D) a + b + c
B)b + c
E)a + b - c
C )c + a
5. Factorizar:
M(a; b;c) = a^ - b^ + 2(a + b - c + be)
Dar como respuesta la suma de sus factores primos.
A) 2a
B)2b + c
E) 2a + b + 1
D) 3a + c
C)2a + 2
6. Señalar cuántos factores lineales admite la expresión:
J(x; y) = x’ - x y + x“y^ - /
A) 1
B) 2
E)5
D)4
0
3
7. Hallar un factor primo del siguiente polinomio:
R(x; y; z) - |[8(x + y + z)' - (x + y)" - (y + z f - (z + x)"]
A) X + y
D) X + y +
8.
O
x^ + y" + z ’
B) F W
E)VFF
C )2 x -3
Si P(x; y; z) = (ax + by + cz)(mx + ny + pz). p e Z,
representa al polinomio:
P(x; y; z) = 2l(x + y + z)^ + (x + y - z)^] +
5(x^ + y^ - z^ + 2xy)
Luego de haber sido factorizado, calcular el valor de;
E
_
a jt.b
+
c
m- n+ p
A) 1/9
B)3/7
D) 7/5
E) 9/5
0 5/7
11. ¿Cuántos valores admite n para que el polinomio;
P(x) = ( X - n)(x - 6)" - ^(2x - 3)’' ’ "
admite dos factores primos repetidos?
A) 6
B)7
0 5
D)4
E) 8
12. Luego de factorizar:
P(x; y) = x^y^(x^ + xy) - x^^(xy + yz), dar como
respuesta la suma de sus factores primos.
A) 3x + 2y + z B) 3x + 2y - z O 2x + y - z
D)2x + y + z E) x + y + z
13. Calcular la suma de coeficientes de un factor primo de:
Q(x; y) = x^ - 25z^ + 6xy + 9 /
A) 4
D) 4 - 5z
B) 9
C) 4 + 5z
E) Hay dos correctas
14. Si P(x; y; z) = (x + 2y + 3z)(x + 3y + 5z) + 2yz
es un polinomio factorizable, hallar un factor primo.
A )x + y + 2z B) x + y + z
D) X + 2y + 5z E) x + xy + y
C )x + y + 3 z
15. Señalar un factor del siguiente polinomio:
( X + y)^(x^ + 3xy + y^) - 6xy(x* + xy + y^).
A) x + y
B )x -y
D) x^ - xy + y^ E) x + xy + y
C)x^ + xy + y^
16. Si P(x; y) = x^ + 28y^ + 3xy(x+y) es un polinomio
Sea el polinomio:
Q(n) = (n^ + 3n - 9)' + n^ + 3n - 11
dar el valor de verdad de las siguientes proposicio­
nes:
I. (n - 5) es un factor primo.
II. (n^ + 3n - 7) es un factor primo.
III. Presenta dos factores primos lineales.
A) FFV
D )W F
9.
z
B) xyz
E) xy + 2z
10.
B)2x - 5
E)2x
o
FVF
Si a uno de los factores primos de:
P(x) = (x + 4)(x + 5)(x - 3)(x - 2) + 6
se le suma 3x; se obtienen dos factores primos li­
neales. Hallar la suma de ellos.
factorizable. indicar la suma de coeficientes de uno
de sus factores primos.
A) 3
B)5
0 6
D)9
E) 10
17. Si P(x) = (3x + 2)(4x - 3)(x - 1)(12x + 11) - 14 es
un polinomio factorizable en los racionales, señalar
un factor primo.
A )x - 1
D )1 2 x -1 3
B) 12x^ - 4x - 3 C) 13x + 12
E )2 x -1
18. Indicar un factor de:
R(x) - 2(x + 21)" + ( X + 20)" A) 2x + 46
D) X - 23
B) X - 20
E) x + 9
{X
+ 19)= - 1
O 2x - 46
19. Indicar cuál es el factor común de las siguientes
expresiones:
P(x) = x" - 8x' + 16
Q(x) = ( X + 1)(x' - 3) - X - 1
R(x) = 2x" + 16x
A) X - 2
D )x -1
B) X + 2
E )x -3
A) - 4
D)3
B)x + 2
E)x - 3
C) X + 1
Si M(x) es el polinomio que resulta de sumar los
factores primos de tercer grado, hallar una raíz irra­
cional de M(x),
C )x + 3
21. Si P(x) = x^ + (2m - 1)x + (m - 1)^ es factorizable
mediante un aspa simple (en el campo numérico
de los racionales), además m g
a m < 13, indi­
car un factor primo.
A) x + 5
D)x + 11
B)x + 7
E )x -1
27.
B) F W
E)FFF
C) V W
23. Luego de factorizar:
P(x) = x“ - 3x’ - 25x^ + 39x + 180 ( X + 3)(x - 4)(2x + 17)
indicar uno de los factores primos,
A) x - 4
D )x + 1
B)x + 2
E )x -1
C)x + 8
24. Con respecto al polinomio:
M(x) = (x' + 1)2 - x2(x^ + 4)
indicar lo correcto;
I. Tiene 2 factores cúbicos primos.
II- La diferencia entre sus factores primos es
± 2x(x - 2).
III. La suma de coeficientes de un factor primo es 1.
IV. En los complejos tiene 6 factores primos.
A ) ly ll
C ) ly lV
E) Ninguno
B) II, III y IV
D) Todos
25. Luego de factorizar el polinomio:
P(x) = (x - 1)(x" - 2)(x^ - 3) + 2(2x^ - 3x + 3)
este admite la forma: P(x) = x" (x + c)"(x" + ax - a)
Calcular el valor numérico de: n - ac
7Ï3 - 5
4
/2Ï-2
72
-
C) ñ 7 - 1
1
2
Indicar falso o verdadero según corresponda.
I. Todos los divisores del término Independiente
de un polinomio de coeficientes enteros son raí­
ces enteras del mismo.
II. Para que un polinomio tenga raíces enteras no
es necesario que tenga coeficientes enteros.
til. El polinomio P(x) = x* - 6x^ + 11x^ - 6x tiene
raíces racionales.
22. Determinar la verdad o falsedad de las siguientes
proposiciones.
A) FVF
D )W F
J 7 -2
4
5
C )x + 9
I. Un polinomio mónico de segundo grado de
coeficientes; si no se factoriza por aspa simple
es primo.
II. Un polinomio mónico de coeficientes racionales
y de grado 3; si no se factoriza por divisores bi­
nómicos es primo en Q.
III. Un polinomio mónico de coeficientes racionales
y de grado 4; si no se factoriza por aspa doble
especial es primo en Q.
OO
26. Factorizar en TL los polinomios
P(x) = x' + x® - x" - 2x' - 1
Q(x) = x’ - 2x‘‘ - 1
20. Luego de factorizar; T(x) = (x - 1)®- (x - 1)^ - 2
Indicar un factor
A )x + 1
D)x
B )-1
E)5
A) V W
D)FFV
28.
8) VFV
E) FFF
O FW
Si X , es un raíz real del polinomio:
P(x) = x^ + X - 8; indicar lo correcto:
A ) x , í (1;2)
D)
x,e / | ; 2
29. Señalar un factor primo de (2x + 1)^ + 4x(x + 1) + 2
A) 4x^ + 7x + 3 B) 4x^ + 6x + 3 C) 4x^ + 4x + 1
D) 4x^ + 2x + 1 E) 4x^ - 2x + 1
30. Sea el polinomio:
P(x) = Sqx" + aix"” ^ + ... + a„ _ ,x + a„; de coefi­
cientes enteros. Si al menos de un modo, se puede
elegir un número primo m que satisfaga las condi­
ciones siguientes;
I. 3qno es divisible entre m.
II. Todos los demás coeficientes son divisibles en­
tre m.
III. a„ es divisible por m, pero no por m^.
Entonces el polinomio es:
A) divisible entre cualquier polinomio.
B) irreductible en ®.
C) irreductible en E.
D) tiene factores en IR.
E) No se puede afirmar nada.
31. Indicar un factor del siguiente polinomio:
P(x) =
+ x '’ + X
A) x' -X + 1
D) x^ + x + 1
B) x' + 2x - 3
E) X* + X + 1
O x' + X - 2
32. Luego de factorizar el polinomio:
P(x) = x' - 2x^ + x“ - x' + X - 1, indicarun factor.
A) x^ + X + 1
D) x^ - X + 1
B) x' - 1
E) x" + x^ + 1
C) x" - x" - 1
40. ¿Cuántos divisores algebraicos primos admite el
polinomio: P(x; y) = [x’’ + y“' + (x + y)Y"^
33. Si al factorizar
P(x) = ax® - (a + bjx“* + bx^ + ax^ - (a + b)x + b,
se encuentra un factor primo racional doble, hallar
( i) -
A ) 1I
B) 2
D)-1
E)^1
2
C) 1
A)1
B)2
P(x) = x® + (2a - a*)x‘‘ + (a^ - 2a) x^ - 1 e indicar
el nùmero de términos de la suma de todos sus
factores primos, si dos de sus factores primos son
de segundo grado.
B)2
E)5
04
D)8
E)9
41. Hallar la suma de los factores primos del siguiente
polinomio:
H(x; y) = 15x' + 7xy - 6x - 17y - 21
A) 8x + y + 4
D) 8x - y + 4
34. Sabiendo que a s ZZ - {1; O ;-1}; factorizar
A)1
D)4
C)2(a + b + c)
D) a(a + b) + b(b + c) + c(a + c)
E) a(a + 1) + b(b + 1) + e(c + 1)
B) 8x - y - 4 C) 8x + y - 4
E) Bx + 4y + 1
42. Luego de factorizar:
N(x; y) = 6x^ + 19xy + 15y^ - 11x + 4 - 17y
indicar un factor.
A )2x + 3 y - 1
D) 3x + y + 4
B ) 2 x - 3 y + 1C )3 x -5 y + 4
E) 3x + 5y + 4
0 3
43. En el siguiente esquema:
3x^ - 2xy - By' + 22x + 6y + 35
35. Indicar un término de un factor primo de
S(x) = x V + 4) + (3x + 1)(x - 1)
A) 2
D)5x
B) 3
E)2x^
O 3x
se observa el procedimiento de faetorización por el
criterio de aspa doble. Hallar el valor de: ab + e
36. Factorizar apücando identidades
P{a; b; c) = {a + bf(c - d f - 3ab(a + b)(c - d)^ +
{a' + b^)(c + d)^
Señalar el número de factores primos en <B.
A) 2
D)5
B)3
E)6
0 4
37. Factorizar:
P(a; b, c; d) = (a + b + c - 2 d f - (2b - a - d + 2c)^(2a - b - c - d)^
Señalar un factor.
A) a + b + c +d
C) -2a + b + c + d
E)2a - b - c + 2d
B) a - 2b - 2c + d
D }a-b + c - d
38. Luego de factorizar
P(a; b; c) = a V c + a^bc^ + ab^c^ + a V c^ + 1 +
a'b + b^c + c^a
indicar la suma de todos sus factores primos.
A) a^b + b^c + c^a + 1
B) 1 + ab + be + ac
C) a"b + 1
D) b'c + 1
E) a^b + 1 + b^c + 1 + c^a + 1
39. Si se suma los factores primos de:
P(a; b; c) = a(b - c)^ + b(c - a f + c(a - b)' + 8abc
se obtiene
A) a(b + 1) + b(c + 1) + G(a + 1)
B) ab + be + ac
A) 14
D) IB
O 17
8)15
E)20
44. Calcular el valor numérico delfactor primo de ma­
yor grado respecto de "y" que se obtiene al facto­
rizar:
P(x; y) = 3x" - 2 x Y - 7x^ + 8y^ - 20
para: x = 1 a y = O
A )-8
B)6
0 -6
D)8
E)12
45. Señalar un factor primo del siguiente polinomio;
P(x; y; z) = x‘ - xV + 5yz^ - x V - 2y^ - 2z“
A) - y + 3z'
C) x^ - y + 4z"
B) x' + y + 6z^
D) x' + y - 2z"
E) X + y -H z
46. Calcular el número de factores primos del siguiente
polinomio: P(x) = x“* - 2x^ + 2x^ - 7x + 6
A) O
D)3
B) 1
E)4
0 2
47. Luego de factorizar el polinomio:
A(x) = 3x^ - 2x^ - 19x - 6
Determinar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Tiene dos factores primos mónicos.
II. La suma de sus factores primos es 5x.
Ili. Todos sus factores primos son lineales.
A) WF
D)FFV
B)FVF
E)FVV
OWV
48. Luego de factorizar;
A) 3
D) 12
C )x’ + 3x2 ^ 27
E) x' -3x2 + 9
0 8
B)6
E) 15
49. Señalar un factor de;
P(x) = 6x" + 41x" + 97x^ + 97x2 + 41x + 6
A)x-1
B)x-2
D) 3x2 + 7x + 2 E) 3x + 1
los factores primos de: P(x;y) = 64x‘ + f
Calcular el valor de: ab’ ’
B) 2
0
3
D)4
E)5
51. Factorizar F{x) = x“ - 4x^ + 11x2 _
+ io y dar
como respuesta el mayor TI de uno de sus factores
primos.
A)1
B)2
0 )3
D)4
E)5
52. Determinar cuántos factores cuadráticos admite;
F(x) = 25X-' + 5x^- X - 1
A)1
B)2
0 )3
D)4
E)5
53. Si luego de factorizar M(x) = 2x* - 3 x ^ - 1
Un factor se evalúa para x= ■¡2 . s e obtiene;
A)2 - /2
D)1 + /2
B) 1 - 72
E ) 3 + 72
0)5+72
M(x; y) = x” - 2x'y - 39x2y2 + 8xy’ +140y"
es: ax + by, entonces podemos afirmar que;
B) a + b = -2
E)a“ =16
C) a - b = 2
P(x) = x^ - 5x - 2, tiene la forma;
mx^ + nx + p, calcular el valor de;
R = (m - n + p)“ "
8)0
0)1
D)3
E)9
O 3x - 1
57. Al factorizar el polinomio P(x) = 3x'^ - 21x + 18
se obtiene: a(x - b)(x - c)(x - d), con a, b,c y d
constantes enteras, tal que. b < c < d.
Calcular el valor de a - b + c - d.
A)-7
B)3
0 5
D)6
E)9
58. Hallar un factor primo del siguiente polinomio;
P(x) = x^ + 81x + 243
+
x^ + x2
+ x + 1)2 - x^
x +1
B)x®
D) x^ + x2 + x + 1
61. Cuántos factores tiene;
P(a; b) = a^ - 4 + 2ab + b^
A)1
D)4
B)2
E) es primo
0 3
62. Señale un factor primo de;
M(a; b; c) = a(b2 + c2) + b(c^ + a^)
A) a - b
D) c2 + ab
B) b - a
E) abe + 1
C) c2 - ab
A) 1
D)4
8 )2
E)5
0 3
64. Señale un factor primo de
P(a; b; c) = a2 + b^ - 4c^ + 2ab + 3bc + 3ac
B)a + b - c
C )a + b + 5c
E )-a + b - c
P(a; b) = (a + b)'* - (a - b)“ + a** + 2a^b + 2a2b2 +
Si P(0; 5)= O, hallar un factor primo de dicho poli­
nomio.
B)x + 2
E)3x - 2
A)x" + x" + x2
C) X* + 1
E) x" + 1
C) x - 7 b ^
65. Factorice el siguiente polimonio
56. Sea el polinomio P(x) = 6x^ - x^ - 5x + m.
A) 2x + 1
D) 5x - 1
60. Indicar un factor de;
S(x) = (x® + x*
+
A )a + b + 3c
D)a-b-c
55. Si la suma de los factores primos de:
A) -1
B )x -7 á T l
E) x2 + 1 - a
63. Cuántos factores primos presenta;
l(x;y) = x^ + y^ + 6xy - 8
54. Si la suma de los factores primos de:
A) ^Tab = 2
D)b2=16
59. Siendo (b + 1) a (a - 1) cuadrados perfectos, fac­
torizar;
M(x) = x® - (a + b + 1)x* + (ab + 2a -1)x2 - a +
b - ab + 1
y señalar aquel que no es factor de M(x).
A )x + 7 b T Í
D) x2 - 1
C)2x+1
50. Si (a + 1)x^ + (b - 3)y2, representa a la suma de
A) 1
B) x^ - 3x + 9
D) x2 - x + 1
A) x^ + 3x + 9
M(x) = X®+ x“ - 2x^ - 2x^ + X + 1
se obtiene: (x - 1)""” 2(x + l)"'"
Hallar el valor de mn.
2ab^ + b“
e indique la suma de coeficientes de un factor
primoA)12
D)10
8 )4
E)3
0 )8
66. Factorice el polinomio
P(a; b) = (a + b)' + Z{2s^ + 3ab + b^) + 2(2a + b)24a - 3b - 3
e indique un factor primo.
A) 7a + 4b D) 5a + 3b -
2B) 5a + 3b + 3 O 2a + 2b + 2
3
E) 3a + 2b - 1
67. Factorice el polinomio:
N(x:y) = (x - 1)(y2 + x + 1) + (y - 1)(y2 + y + i )+
(x + y)(3xy + 1)
-
e indique la suma de coeficientes de un (ador
primo.
A) 2
68.
B)5
E) 4
B) X* - X + 1
E )x ^ -x + 4
C)
74.
B) x* - 6x + 6
E)x^ - 2
B) -1
E }-2
C) - 3
C) 2m + n
76. Después de factorizar indique un factor:
A(x; y) = x®y“ + x V - 6
A) x V - xy - 3
O x V - xy - 2
E )x V - xy + 3
A) x^ + xy - /
D) X*- xy + y
B )x V + xy + 2
D)
- xy + 3
A) 2x + 3
D)
C) m^= 8n
B) x^ + xy - y C) x^ + xy + y^
E) x^ - xy + y*
78. Señale un factor primo de:
T(x) = 20x® + 3 1 x ^ -9 x
C )a + c + 2
72. Qué relación debe existir entre m y n para que el
polinomio:
P(x) = m / + (n + 3m))í + (2 + m + 3n)>^ + (n + 6)x + 2
presente un factor primo lineal.
B) n = 8m
E) n' = 8m
0 3
77. Indique un factor después de factorizar:
P(x; y) = x^ - y^ + X* + xy + y^
71. Señale un factor primo de:
S(a; b; c) = (a - b / + (b + c f - 2{b - a)(b + c)+
(a + c - 2)
A) m = 8n*
D) m = n*
B)2
E)5
A) 2m + 2n + 3 B) 2m + 3
D)2m + 1
E)2n + 3
C) X* - 7x - 2
Calcule a + b + c; a, b, c, X e IR
B )a + c - 2
E)a-c-1
Cuántos factores primos tiene:
j(x ) = (X + 1)(x^ - 4){x + 5) - 13
75. Después de factorizar, indicar la suma de sus fac­
tores primos de: P{m; n) = m^ + 3m - n* + n + 2
b^ + 2b
a+ 2
A )a + c + 1
D)a-c + 2
0 6
B)5
E)4
A)1
D)4
- X+ 6
En el siguiente polinomio, al aplicar el criterio de
aspa simple se obtiene el siguiente esquema:
P(x) = ax^ - 2x + c
A) - 4
D) - 5
Sea: P(x) = x" + 3x"’ ^ - 4x^ - 12
calcule n, si P(x) presenta 3 factores primos cua­
dráticos.
A) 2
D)8
Señale un factor primo de:
P(x) = 3x" + x^ - 6x - 2
A) + 2
D)3x* - X - 1
70.
D)8
Luego de factorizar:
J(x) = (x" - l)(x^ - 4) - 3(2x + 3)
tenemos como factor primo a:
P(x) = ax* + bx + 1, V X e IR, P(x) > O
Señale P(x).
A) X* + X + 1
D )x^+x + 5
69.
C )6
73.
B) 5x" + 3
E) 2x - 3
2x + 1
C) 6x' - 3
79. Señale el número de factores primos de:
P(x) = x® + 4x* + 3x^ + x^ + 7x* ~ 6
A) 2
B )3
0 4
D)5
E) 6
80. Cuántos factores primos tiene: P(x; y) = x“y® + 4
A) 2
B)3
D)5
0 4
E) 6
Ê Ê Ê B S S ^ Ê IÊ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
B
E
E
D
C
B
D
B
A
G
11.
12.
13.
14.
15,
16.
17.
18.
19.
20.
C
B
E
D
D
B
D
A '
B
D
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
C
D
A
D
E
0
C
E ■
B
B
D
D
E
C
0
B
C
E
C
40. A
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
0
A
C
D
D
D
C
C
E
C
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
E
B
B
D
e
E
0
A
C
A
6Î.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68:
69.
70.
C
D
B
B
A
D
D
A
e
C
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
8Û-
C
É
C
B
B
P
C
D
B
A
Máximo común
divisor y mínimo
común múltiplo
Fracciones
algebraicas
O
Z)
a
o
ü
William George Horner nació
en Bristol (Inglaterra) el 22 de
septiem bre de 1789 y m urió en
Bath (Inglaterra) en 1837. Fue un
m atem ático inglés. A los 14 años
se convirtió en maestro, cuatro
años después se convirtió en
director de la misma escuela en
que estudió. En 1809 se trasladó
a Bath, donde fundó su propio
colegio.
Com o investigador solo tiene en
su Iiaber una contribución: el lla­
m ado algoritm o de Horner para
resolver ecuaciones algebraicas,
publicado por la Royal Society
en 1819. Este m étodo alcanzó
cierta popularidad en Inglaterra
y Estados Unidos gracias al tam ­
\n9\atóTB, t7B3 - Ingtateirs, 183?
bién m atem ático De Morgan,
que lo utilizó en sus artículos divulgativos, aunque finalm ente se
popularizó la regla de Paolo Ruffini. descrito y publicado en 1814, por e! cual le fue concedida
la medalla de oro por la ItaÜan M athematical Society for Science.
Horner hizo otras contribuciones m atem áticas, com o la publicación de una serie de do cu ­
m entos sobre la transform ación y resolución de ecuaciones algebraicas, en donde tam bién se
aplican técnicas similares a las ecuaciones funcionales. Después de que m uriera Horner. su hijo
llam ado tam bién William Horner m antuvo en funcionam iento la escuela de Bath.
Fuente: Wifeipedia
<4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
ím E
Se flama máximo común divisor de dos o más expre­
siones algebraicas, a la expresión algebraica entera de
mayor grado y coeficiente numérico contenida un nú­
mero exacto de veces en cada una de las expresiones
mencionadas.
Ejemplo:
1.
B MCf)
übs ó
p re sio n es prírrias
entre si es ta unidad y su MCM ef (»tKlucto de
2.
Soto para dos e x^^io n e s o pt^nomios se
cumple que: AX B = MCD(A;
B)
Ejemplos
Sean los números 12 y 6;
^.
Divisores comunes
Indicar el MCD y MCM de:
F(x) = x*(x + 1) A G(x) = x(x + 2)
Resolución:
Como F(x) y G(x) están factorizados:
MCD(F; G) = x
MCM(F; G) = x*(x -i- 1)(x + 2)
12
6
El MCD de 12 y 6 es 6.
2.
Dar el MCD y MCM de:
A(x; y) = xV^(x - 2) a B(x; y) = xV (y - 1)
Resolución:
Análogamente:
MCD(A; B) = x^y*
MCM(A; B) = x‘‘ y^(x - 2){y - 1)
3.
Dar el MCD y MCM de:
P(x) = X* - X - 6 A Q(x) = X* - 3x - 10
Resolución:
Factorizando a cada uno de los trinomios:
P{x) = x ^ - x - 6 = ( x - 3)(x + 2)
Q(x) = x' - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)
MCD(P; Q) = x + 2
MCM(P; Q) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
4.
Dar el MCD y MCM de:
M(x;y) = x' - 2xy - 1 5 /
N(x; y) = x' - 7xy - 18y^
<4 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Se llama mínimo común múltiplo de dos o más expre­
siones algebraicas, a la mínima expresión algebraica
entera y de menor coeficiente que contiene un número
entero de veces las expresiones mencionadas.
Ejemplo:
Sean los números 6 y 8.
Múltiplos comunes
24
72
24
72
(48
El MCM de 6 y 8 es 24.
Pasos a seguir para calcular el MCD y MCM de
dos o más polinom ios
1.
Se factorizan las expresiones dadas.
2.
Ef MCD se determina considerando solo factores
comunes a todas las expresiones pero elevados a
su menor exponente.
3.
Ef MCM estará expresado por la multiplicación de
los factores comunes a todas las expresiones pero
elevados a su mayor exponente luego multiplicado
por los no comunes.
Resolución;
Factorizando cada uno de los trinomios:
M(x; y) = ( X - 5y)(x + 3y)
N(x; y) = (x - 9y)(x + 2y)
MCD(M: N) - 1
MCM{M; N) = (x - 5y)(x + 3y)(x - 9y)(x -i- 2y)
5.
Ejemplos:
Sean:
• A(x) = ( X + l f ( x + 2f(x - 3)
• B(x) = ( X + l f ( x + 2 f
MCD(A; B) = (x + 1)*(x + 2 f
MCM(A; B) = (x + 1)^(x + 2)'(x - 3)
• C(x) (x + 2){x + 3)
• D(x)-(x-1)(x-3)
IV1CD(C; D) = 1
MCM(C; D) = ( X + 2){x + 3)(x -1 )(x - 3)
Dar el MCD y MCM de:
A(x) = x" - 1 A B{x) = x^ + 2x - 3
Resolución:
Factorizando cada expresión:
A(x) = (x' + 1)(x' - 1) = (x' + 1){x + 1)(x - 1)
B(x) = (x + 3)(x - 1)
MCD(A; B) = X - 1
MCM(A; B) = (x - 1)(x^ + 1)(x + 1)(x + 3)
6.
Calcular MCD y MCM de:
A(x) = X® - ax“ - a“x + a"
B(x) = x“ - ax^ - a V + a^x
Resolución;
Resolución:
Factorizando A:
Factorizando A:
A(x) = x‘‘(x - a) - a‘*(x - a) = (x - a)(x^ - a‘ )
A(x) = (x - af{x + a)(x' + a')
Factorizando B:
B(x) = x"(x - a) - (a^x)(x - a) = (x - a)(x^ - a'x)
B(x) = x(x - a)'{x + a)
MCD(A; B) = (x - a)^(x + a)
MOM(A; B) - (X - a )V + a){x^ + a")(x)
Extrayendo factor común: x f
A(x; y) = x/(x® - 2 x \" + f ) = x f{x " - f f
TCP
A(x: y) = xy'(x^ - y^)^(x' A(x; y) = x/(x^ + f) { x + y)^(x - y f
Factorizando B:
Agrupando convenientemente:
B(x: y) = 3xV'(x^ + y') + x'y(x® + y®)
Calcular el MCD y MCM de;
A(x) = x^ + 5x^ + 8x + 4
B{x) = x^ -f 3x^ - 4
C(x) = x' + 6x' + 12x + 8
B(x: y) = 3x“y^(x^ + / ) + x^y(x' + y^)(x^ - x^/ + y“)
Extrayendo factor común: x'y(x' + y^)
B(x; y) = xV(x^+ y^)(3xV^ + x‘ - x^^ + y")
B(x; y) = x^y(x"+ /){x " + 2 x Y + y")
B(x; y) = x^y(x^+ y^)(x^ + y^f = x'y(x^ + f f
Resolución;
Factorizando cada expresión:
A(x) = x^ + 5x^ + 8x + 4
Para x = -1 : A{-1) = 0; se anula, entonces tendrá
un factor (x+1).
Por Ruffini:
1
-1
1
5
8
4
-1
-4
-4
4
4
0
Luego A(x) = ( X + 1) ( X ^ + 4x + 4)
A(x) = (x + 1)(x + 2 f
B(x)- x' + 3x' - 4
Para x = 1: B(1 ) = 0 se anula, entonces
factor (x - 1’
Por Ruffini:
1
1
1
Luego B(x) =
B(x) =
3
0
-4
1
4
4
4
4
0
(X (X
1)(x^ + 4x + 4)
1)(x + 2 f
C(x) = x^ + 6x^ + 12x + 8
Para x = -2: C(x) = 0; se anula, entonces
un factor (x + 2).
Por Ruffini:
-2
6
12
8
-2
-8
4
-8
4
0
Luego: C(x) = (x + 2)(x^ + 4x + 4)
0(x) = (x + 2)(x + 2 f = (x + 2 f
MCD(A; B: C) = (x + 2 f
MCM(A; B; C) = (x + 2)'(x + 1)(x - 1)
Calcular el MCD de A, B y C:
A(x; y) = x V + xy'“ - 2xV
B(x; y) = 3xV(x^ + y^) + x®y +
C(x; y) = x“y - x V - x f +
Factorizando 0:
Agrupando en la forma indicada:
C(x; y) = x^y(x^ + y^) - xy^(x^ + y^)
Extrayendo factor común: xy(x^ + f )
C(x; y) = xy(x' + /) ( x - f )
MCD(A; B: O) = xy(x' + f )
9.
Si el producto de dos expresiones es
(X + 1)'(x + 2)(x + 5) y su MCD es (x + 2), hallar el
MCM de las expresiones.
Resolución;
Sean las expresiones: A(x); B(x)
Por condición; A x B = (x + 1)^(x + 2)(x + 5)
Por propiedad:
[MOM(A: B)][MOD(A; B)] = (x + 1)^(x + 2)(x + 5)
' (x"+'2) ^
== M C M (A ; B) = (X + 1)^(x +
5) =
(x^ + 2 x + 1 )(x +
5)
M C M (A ; B ) = x^ + 7x^ + 1 1 x + 5
10. Hallar el MCM de:
A = 3(x + 1); B = 2(x^ -
X
+ 1) y C = 6 {x V 1)
Resolución;
En este caso solo falta factorizar 0.
0 = 6(x^ + 1) = 6(x + 1)(x^ - x + 1 )
^ MCD(A; B; C) = 1
MCM(A; B: C) = 6(x + 1)(x" - x + 1 )
11. Dadas las expresiones algebraicas:
A = (x^ - 4)(x^y + 3xy) A B = x V + 8 x /,
¿por qué expresiones deberá multiplicarse cada
una de ellas para que su MCD sea xV(x^ - 4)?
Resolución:
Factorizando A:
A = (x + 2)(x - 2)xy(x + 3)
Factorizando B:
B = x/(x^ + 8) = xy^(x + 2)(x' - 2x + 4)
=» MCD(A; B) = xy(x + 2)
Para que su MCD sea x'y'(x' - 4), a A habría que
multiplicarlo por xy y a B habría que multiplicarlo
por x(x - 2).
12.
Clasificación de fracciones
Fracción propia. Se caracteriza porque el grado del
numerador es menor que el grado dei denominador.
Ejemplos:
Si (X - 1) es divisor de x^ - 6x^ + 11x - 6 y de
- 7x + 6, ¿cuál es su MCD?
x^ - 1 , xy + 2
x“ + 1 x ' + y^
Resolución:
Factorizando el primer polinomio:
1
-6
11
-6
1
-5
6
-5
6
0
En el caso inverso, donde el grado del numerador es
mayor o igual que el grado del denominador, se dirá
que es una fracción impropia.
Ejemplo:
(X
- 1)(x^ - 5x + 6) =
(X
Análogamente con el segundo polinomio:
1
0
1
1
1
7
1
Fracciones equivalentes. Son aquellas que teniendo
formas diferentes se caracterizan porque siempre ten­
drán los mismos valores numéricos; para cualquier va­
lor asignado a sus variables, a excepción de aquellos
que hagan cero el denominador.
6
-
x' + 2
- 1)(x - 2){x - 3)
6
1
O
Ejemplos:
(X
- 1)(x" + X MCD =
13.
(X
6 )
=
(X
- 1)(x + 3)(x - 2)
x+ 3
^ ^
1
V x # -3 ; - 2
x^ + 5x + 6 ^ ^ X + 2 '
- 1)(x - 2)
Al sumar el MCD de (x - 1 y x®- 1 con el MCD de:
(x - 1)®y X® - 1 , se obtiene:
Resolución:
Factorizando x® - 1, por divisores binómicos:
Para x = 1 se anula, entonces tendrá un factor (x -1 ).
0
0
0
0
-1
1
0
1
Parax = 0: | = 4
o ¿
Fracciones complejas o compuestas. Se caracteri­
zan porque en su numerador o denominador aparecen
otras fracciones algebraicas.
Ejemplo:
x+1
F= 3+
1
x^ - 1 = ( X - 1){x'’ +
=*MCD = {X - 1)
+ x' +
X
x - 1 ^
x ^ -1
Fracciones continuas. Es un caso auxiliar de las frac­
ciones complejas, que se caracterizan porque el nume­
rador de cada fracción siempre es la unidad.
+ 1)
El segundo polinomio x® - 1, puede escribirse:
{x^ + 1)(x^ - 1) = (x + 1){X^ - X + i)(x - 1)(x^ + x + 1)
^M C D = {x - 1)
Ejemplo:
1
M= 3+
1
Suma de los MCD= 2(x - 1)
X +
14.
Hallas) MCD de:
A = x^ + 3x^ + 3x + 1; B = x^ + 2x + 1; C =
X -
1
Resolución;
A = ( X + I f ; B = ( X + I f ; C = (x - 1)
.-. MCD(A; B; C) = 1
1
x+1
Fracción irreductible: Son aqueüas fracciones que se
caracterizan porque en el numerador y denominador
aparecen expresiones que no tienen ningún factor co­
mún (el numerador y denominador son primos entre sí),
es decir, no admiten simplificación.
Ejemplo:
<4 FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracción algebraica es el cociente indicado entre dos
expresiones algebraicas racionales en donde al menos
en el denominador debe de figurar una letra.
E je m p lo s :
X + y , 2 . x + y . a+1
x - y ’ x'
z 'a + b + c
x + 2. 2
X + 1' X
Signos de una fracción
Toda fracción posee tres signos (signo de la fracción,
signo del numerador, signo del denominador); el cam­
bio de dos de estos signos no altera el signo total de la
fracción.
Para dividir fracciones, se invierte la fracción del
divisor y se procede como en la multiplicación.
Ejemplos:
F=
+b
Ejemplo:
. -m
E = - -m
-n
+n
-n
(x - a)(x - b)(x - c) = (a - x)(b - x){x - c)
iS
1.
(x - a) {x - b)
{a - x) {b - x)
x -2
x -2
2 -x
7
x -2
/ X + 1\ . / X + 3 \ _ / X + 1 w X - 5 >_ x‘ - 4x - 5
U - 7 j ' U - 5 l U - 7 .) lx + 3 )’ x '- 4 x - 2 1
S im p lific a c ió n de fra c c io n e s
Simplificar una fracción es transformarla en otra equiva­
lente e irreductible.
Ejemplos:
1.
B B E B Ìv
En toda fracción podrán efectuarse tres juegos
pares de signos y tendremos como resultado
otras fracciones equivalentes.
Ejemplo;
M
2 -x _
2
7 -x
7 -x
2.
Simplificar:
M = 2ax^ + 2x^ - 3bx^ - 2b^x - 3abx + 3b^
2x^ + 2cx - 3bx - 3bc
Resolución;
Factorizando el numerador y denominador:
, 2 -x
x -7
Si a los compKjnentes de una fracción se les multi­
plica o di\^de por una expresión diferente de cero
tendremos como resultado otras fracciones equivaientes. Sea:
am
/b m \
fracciones
f=
= Vm ^ O
equivalentes
\
i
/
_ ax(2x - 3b) + x^(2x - 3b) - b^(2x - 3b)
(2 x -3 b )(x + c)
M=
2.
(2x-3b){ax + x^-b^)
{2x-3 b )(x + c)
,
mx + ny + p
la fracción:-------- -—~
rx + sy + 1
es independiente de sus variables (x e y) o toma siem­
pre un vator constante, entonces se cumpliré:
S i
ü! = Í1 =: £ = constante
Efectuar:
(a - b) (a - c)
+
(b - c) (b - a)
O peraciones con fraccio n e s
•
Para sumar o restar fracciones es necesario dar
común denominador.
(x + 2 )(x + 4 )-(x -5 )(x -1 )
(x-1)(x+4)
x^+6x+8-(x^-6x + 5)
(x-1)(x+4)
+ 6x + 8 + 6x - 5
(x~1)(x + 4)
12x + 3
(x-1 )(x + 4)
Para multiplicar fraccionea, se multiplican numera­
dores y denominadores entre si.
Transformando los denominadores de las dos últi­
mas fracciones:
a^__________ b^
,
c^
(a-b)(a-c) (b-c)(a-b) {c-a){c-b)
Factorizando el numerador:
N = a^(b - c) - ab^ + b^c + ac^ - bc^
N = a^(b - c) - a(b^ - c^) + bc(b - c)
N = {b - c)(a^ - ab - ac + be)
N = (b - c)(a(a - b) - c{a - b)j
N = (b - c)(a - b)(a - c)
Reemplazando:
(b - c)(a - b)(a - c)
x^ + 2 x - 3
3 x -4
= 1
Reducir:
M=
1
n(n + 1)
1
(n + 1)(n + 2)
1
{n + 2)(n + 3)
f
^
______
(n + k - 1)(n + k)
Resolución;
Como los denominadores dan como diferencia los
numeradores, podemos descomponer cada frac­
ción de la siguiente manera:
1- 1
1
1
1
1
M = -^
+ ...
n n + 1 n+1 n+2
2 n+3
Ejemplo:
/ x - 1\/x + 3 \
,x + 1/1X - 4,
(c - a) (c - b)
Resolución:
(a - b)(a - c)(b - c)
x -5
x+4
x' + a x -b '
X+ c
M
_ a^(b - c) - b^(a - c) + c^(a - b)
(a - b)(a - c)(b - c)
m
x+2
x-1
,
M= n
n+ k
1
1
n+k-1
n+k
(n + k)n
Otra forma de resolución;
Luego; B = JL
2b
Utilizando el criterio de la inducción:
1
Para 1 fracción: M
n(n + 1)
Para 2 fracciones:
1
1
n+ 2+ n
n(n+1) (n+1)(n+2) n(n+1)(n+2)
Para 3 fracciones;
1
1
M=
■+ ■
n (n + 1 ) (n + 1)(n + 2)
M=
2
n(n + 2)
Agrupando en forma conveniente en la expresión 0:
0=
n(n+2)
Por Legendre en el numerador y denominador:
Q_
4ab + 4ac
4a(b + c)
(b+c)¡4a(c+b) + 4a(c~b)] (b+c)54a]íc+b+c-b)
1
(n + 2)(n + 3)
1
_
3
(n + 2)(n + 3) n(n + 3)
Para k fracciones: M =
Luego: C =
Reemplazando en la expresión pedida;
k
n(n + k)
Efectuar;^ =
3(a"-bO
(a + b)^ + (a + c)‘ - (a - b)^ - (a c)^
(b+c)l(a+b+c)V(a+c-b)^-{a+b-c)^-(a-b-c)‘
F--1/—' l +
= 1/bc + ac + ab\ _ 1/4abe\
~ 2 \ a ' ' ’ b c/ 2\
abe
j ~ 2Í abe /
+ b - 2a ,
7a
b -a
3(a + b)
■■■ E - ^ ( 4 ) ^ 2
Resolución:
Transformando el primer denominador;
M = 4ab 4- 2b^ - I2a^ 2a - b _
7a
3(a + b )( a -b )
a -b
3(a + b)
Hallando el MOM de los denominadores y efec­
tuando;
4ab+2b^-12a^+6a^-3ab+6ab-3b^+7a^-7ab
3(a + b )(a -b )
Reduciendo en el numerador;
(a + b )(a -b )
a ^-b ^
M=
3{a + b )(a -b ) 3(a + b )(a -b )
5.
. ^ = I
3
Si; ab + be + ac = 4abc, dar el equivalente de
E = A + B -f C, donde:
(b + c)^+(a + c ) ^ - ( b - c ) ^ - ( a - c ) ^
(a-i-b){(a+b+c)^+(a-b+c)^-(b+c-a)^-(c-b-a)^]
B=
(a + b)^ + (a + c)^ - (a - b)^ - (a - c)^
(b+c)[(a+b4-e)^+(a+b-c)^'-(a+b-c)^-(a-b-c)^j
(a + b)^4-(a + c ) " - ( a - b ) " - ( a - c ) "
(b+c)[(a+b+c)^+(a+c-b)^-(a+b-c)^-(a-b-c)^]
Resolución:
Agrupando en la forma indicada en la expresión A:
A=-
(b + c)^ + (a + c)^- (b - c)^- (a - c)^
(a+b)[{a+b+c)^+(a-b+c)^-{b+c-a)^-(c-b-a)‘
Por Legendre en el numerador y denominador:
D escom posición de ias fra c c io n e s ra cio n a ie s
Dada una fracción racional de una soia variable x, siem­
pre podrá ser reemplazada, dividiendo su numerador
por su denominador ordenados ambos según las po­
tencias decrecientes, por una función entera de x (que
puede ser nula), y por una fracción racional comple­
mentaria, en la cual el grado del numerador será menor
que el grado del denominador.
Designaremos esta fracción racional:
f(x)
-(1)
F(x)
Se puede suponer siempre que esta fracción es irre­
ductible, es decir que f(x) y F(x) son primos entre si,
y admitiremos además que se conocen las raices de
F(x) = O que se designarán por a. b, c, ... y sus grados
de multiplicidad por m, n, ...
En este capitulo vamos a tratar de la descomposición
de las fracciones racionales de la forma antes dicha en
fracciones simples.
Nos preguntamos: ¿es posible siempre expresar una
función racional en fracciones simples? Si bien no he­
mos definido una fracción simple, la respuesta es afir­
mativa, pero debemos tener presente las siguientes
consideraciones:
Recordemos algunos conceptos previos:
1.
Un polinomio en la variable x es una expresión de
la forma p(x) = aox" -h a,x"
+ a„, donde los
a, (i = 0;...: n) son números reales. El grado de este
polinomio es n (mayor exponente), siempre que
2.
Todo polinomio puede factorizarse en producto de
polinomios cuadrátieos o lineales. Esto equivale
a decir que las raíces de cualquier polinomio son
reales o complejas.
3.
El cociente de dos funciones polinomiales se llama
función racional. Si f es una función racional, en­
tonces:
. 4bc + 4ac
_
4c(b + a)
(a+b)[4c(a+b)+4c(a-b)] (a+b)[4c(a+b+a-b)]
i 0.
Agrupando en forma conveniente en la expresión B:
p_
(a + b)^ + (a + c)^ - (a ^ b)" - (a - c)^
(b+c)[(a+b+c)^+(a+b-c)^-(a-b+c)^-(a--b-c)^]
Por Legendre en el numerador y denominador:
4a (b + c)
4ab 4 4ac
B:
(b+c)[4a(b+c)+4a(b-c) (b+c)[4a(b+c+b-c)]
f{x) _ P W
•(2)
qW
donde p(x) y q(x) son polinomios. Esta fracción se
llama propia si el grado de p(x) es menor que el
grado de q(x). En otro caso se llama impropia.
4.
Toda fracción impropia (función racional) puede
expresarse como la suma de un polinomio y una
fracción propia (función racional).
Ejemplo:
Determinar qué clase de fracción es f(x) =
x'
x+1
Si multiplicamos por el MCM de los denomir^adores,
obtenemos:
1 = A(x - 1)(x + 2)+ B(x +2)x + Cx(x -1 )
... (4)
A continuación presentamos un método abreviado que
nos permita calcular las constantes A, B y C. Este con­
siste en asignar valores a x que nos permiten eliminar
algunas constantes y calcular más fácilmente otras.
Por ejemplo: si en (4) hacemos x = 1, obtenemos B =-^;
si X = 2, obtenemos C = 4 ; si x = O, obtenemos A = 4,
O
¿
luego:
-1 /2 , 1/3
Resolución:
x^ + x*' - 2x
Claramente fes impropia y si dividimos x^ por x + 1,
obtenemos como cociente x^ ~ x + 1 y como
resto -1 . Sabemos que:
dividendo / divisor = cociente + residuo
divisor ’
1
= x^ - x + 1 +
x+ 1
x+1
lo cual comprueba que:
fracción propia = polinomio + fracción propia
Ahora, para convertir una fracción propia en frac­
ciones simples se presentan 4 casos, a saber:
Luego tenemos que:
Caso 1
El denominador es un producto de factores lineales
distintos. Diremos que a cada factor linea! diferente
ax + b. que aparezca una vez en el denominador de
una fracción propia, le corresponde una fracción propia
de la forma
r-, donde A es una constante que deax + b
bemos determinar.
En otras palabras y considerando la notación anterior,
diremos que si en la fracción propia f(x) ^
q(x) se
expresa como un producto de factores lineales (grado 1)
distintos de la forma:
q(x) = (a,x + b,)(a2X + b j) ... (a^,x + b„),
Entonces:
PW q(x)
A,
^
a,x + bl
,
A,
a„x + b„
Caso 2
El denominador de una fracción propia contiene, fac­
tores lineales repetidos ax + b, n veces. La descom­
posición en fracciones parciales contiene términos de
la forma;
A,
A;
Ap
ax + b (ax + b)^
(ax + b)"
Donde: A, (i = 1: ...; n) son constantes por determinar.
Esto se produce cuan<lo en la fracción propia:
P(x)
, Q(x) = d(x - a)"(x - b)" ... (x - k)^
Q(x)
y por lo menos uno de los exponentes es mayor que 1.
Ejemplo:
y I O
Descomponer; —r--------- -------------------( x ^ - 2 x + 1)(x^ + 4x + 4)
Resolución:
Factorizando al máximo el denominador obtenemos;
(x^ - 2x + 1)(x" + 4x + 4) = (X - 1)^(x +
Luego;
x+3
(x^-2x+1)(x^+4x+4)
A ,
B
, C +.
D
x-1 (x -l)2
x+2 ' (x+2)=
l'^ultiplicando por (x^ - 2x + 1)(x^ + 4x + 4) obtenemos:
El método no abreviado consiste en igualar los coefi­
cientes de las potencias de x y resolver el sistema de
ecuaciones que se obtiene, pero por supuesto optare­
mos por el abreviado que es más rápido y fácil.
S ix = 1 : B = ^ : six = -2 ; D = •^. Como no hay otro
Ejemplo:
— \ -----x" + x^ - 2x
Resolución:
Primero debemos factorizar el denominador:
x^ + x^ - 2x = x(x - 1)(x + 2)
1
B
Esta igualLuego;
x^ + x^ - 2x
X x -1
x+ 2
dad debe ser válida para todo x en el dominio de
1
x® + x^ - 2x'
1/6
1^ x + 2
x + 3 = A(x-1)(x + 2)' + B(x + 2)^ + C(x + 2)(x-1)^ + D (x-1)'
Donde los números a,: b, y A, (i = 1; 2;...; n) son cons­
tantes y debemos encontrar los valores A, que verifi­
quen la igualdad (3).
Descomponer;
X -
valor que permita eliminar las constantes y poder calcu­
lar otra, le asignamos a x, 2 valores cualesquiera para
producir un sistema de ecuaciones, considerando que
ya tenemos los valores de B y D.
Si x = O ^ 3 = -4 A + 4B + 2C + D
Reemplazando los valores de B y D, obtenemos;
-3 6 A + 180 = 10
De igual modo, sí x = -1 , obtenemos:
-1 8 A + 360 = 10
Juntando ambas ecuaciones obtenemos un sistema de
ecuaciones en dos variables, donde
___ _
Luego:
(x^-2x+1)(x'+4x+4)
-5/27
x -1
4/9
(x-1)2
5/27 , 1/9
x+2 (x+2)'
Caso 3
En este caso trabajaremos con factores cuadráticos di­
ferentes, entonces a cada factor cuadrático irreductible
ax' + bx + c, que aparezca una vez en el denominador
de una fracción propia, le corresponde una fracción pro­
pia de la forma:
Ax + B
ax^ + bx + c
Donde A y B son constantes por determinar.
Recuerda que factor irreductible ax^ + bx + c, significa
que no se puede factorizar en los reales, o que sus raí­
ces son complejas.
Ejemplo:
Descomponer: —^
-----(x '+ 1 ) (x ' + 2)
Resolución:
Observemos que los factores del denominador son irre­
ductibles, por lo tanto:
------1—------ ^ ^
^
(x^+1)(x^ + 2)
x^+1
obtenemos:A=0; C = 0; 8 = 1; D = -1 ,
Por lo tanto, la fracción se convierte en:
1
1
1
(x '+ 1 )(x ' + 2) x '+ 1
x^ + 2
^ , nos conduce a:
x' + 2
1 = (Ax + B)(x^ + 2) + (Cx + D)(x' + 1)
El método más general para determinar las constantes
consiste en igualar los respectivos coeficientes de los
polinomios; en este caso:
Caso 4
Este caso es similar at anterior excepto que los factores
cuadráticos irreductibles se repiten.
A cada factor cuadrático irreductible (ax' + bx + c)'”,
con m entero mayor que 1, le corresponde una suma
de fracciones de la forma:
A,x + B,
AjX + Bj
A^x + B^
(ax + bx + c)"
ax^ + bx + c (ax' + bx + c)"
Donde los A, y B, (i = 1; 2;
debemos determinar.
Ejemplo:
Descomponer:
(x -1 )(x " + x + 1 )"
Resolución:
F(x) está descompuesta en factores de primer y segun­
do grado, y las raices de segundo grado son imagina­
rias conjugadas, así que tenemos:
(x -1 )(x ' + x + 1)'
(x - 1 )
S ix =
Si X =
Si X =
Si X =
0=. 1=
B(2) + D(1)
1 ^ 1=
(B + A)(3) + (C +D)(2)
-1 ^ 1= (- A + B)(3) + ( - 0 + D)(2)
2 =» 1=
(2A + B)(6) + (2C+ D)(5)
Resolviendo ei sistema:
1 = 2B + D
1 = 3(B + A) + 2(C + D)
1 = 3 ( - A + B) + 2 (-C + D)
1 = 6(2A + B) + 5(2C + D)
Dx + E
(x^ + x + 1)
Desarrollando y agrupando:
x^ = A
Igualando ios coeficientes respectivos tenemos:
A+C = 0
2A+C = 0
B+ D= 0
2B + D = 1
Otra forma de resolverlo sería:
Bx + C
(x^ + x + 1)^
Multiplicando por F(x) ambos miembros:
x^ = A(x' + x+1)^ + (Bx + C )(x -1 ) +
(Dx + E )(x -1 )(x '+ x + 1 )
xV 2A
x^+3A
x^+
3A
x '+ 22A
A
x+A
+B
-B
+C
-D
-C
1 = (A + C)x' + (B + D)x' + (2A + C)x + 2B + D
Cuya solución es: C = 0; D = -1 ; B = 1; A = 0.
n) son constantes que
-E
+E
De donde el sistema de ecuaciones será:
A+ D = O
2A + e = 1
3A + B = O
2 A -B + C - D = 0
A -C - E= O
Resolviendo el sistema obtenemos:
A ——• B
B —
_ -1•
3 , CC -———
3 ,• D
ü -———
g ,• E
h -—
g—
A - g ,
Y la descomposición será:
x'
1
(x -1 )(x '+ x + 1 )' 9 (x-1)
x+2
3 (X ^ + X + 1 )'
9{x^+x+1)
a
1.
Simplificar.,, x^ + 4x^-2 1 x
x ' - 9x
9.
x ^ -x + 1 ,
2 x (x ^ -1 )
X^ + X + 1 x^(x + 1) - (x + 1)
rr
2ax + ay - 4bx - 2by
Simplificar: ------------------------^
ax - 4a - 2bx + 8b
x ^ - x +1 , 2 x (x + 1 )(x - 1 )
x^ + x + 1 (x+ 1 )(x^- 1)
x^-x+1 ,
xy
3x^y - 3xy^
Simplificar:
x ^ -x + 1
2x
x+x+1
X + X + 1
= 1
x+x + 1
Resolución:
(a + 1)^
(a=-1)^
Simplificar; x^ - 2x - 3
x -3
(a + 1)^
[(a+1)(a-1)f
(a+1)=
( a + l) > - 1 ) =
a+ 1
(a-1)^
ab
a+ b
a + ab
a -b
a11. Reducir.
x ^ -2 x -3
(x -3 )(x + 1 )
x -3
"
x -3
"
Resolución:
Simplificar: ( l ± , b)^ - (c - d)^
(a + c) - (b - d)
Efectuando en el numerador y denominador por
separado;
Resolución;
a^ + ab - ab
a+b
- ab + ab
(a+b)^-(c-d)^ _ (a+b+c-d)(a+b-c+d) a+b-c+d
(a+c)*-(b-d)^ (a+c+b-d)(a+c-b+d) ~ a-b+c+d
Simplificar: 1 2 a "-7 a "-1 0 a
12.
Resolución;
16a^x-25x
a(12a^ - 7a - 10)
x(16a^-25)
a(4a - 5)(3a + 2)
x(4a + 5) (4a - 5) _ x(4a + 5)
a (4 a -5 )(3 a + 2) “ a(3a + 2)
Simplificar:
a^ - 25a
2 a '- 8 a ^ - 1 0 a
a (a "-2 5 )
2 a ( a '- 4 a - 5 )
a(a + 5 )( a -5 )
2 a (a -5 )(a + 1)
a+5
2(a + 1)
Si a’ ’ - 1 se divide por (a -1 ), hallar el cociente.
Resolución:
1
a
a -1
a -1
1- a
a(a -1 )
a -1
a (a -1 )
a^
a+b
'a ' - b’
' a‘ ^ + b'
hallar MN.
Si: M
a -b
a+b
y N=
a
b'
+ b'
Resolución:
Transformando y reduciendo primero M;
-1 b ' - a '
b+a
í ■'
■'
ab
ab(a + b)
a^
b'
a^b=
M=
b+a
b^-a^
a b
ab
a^b"
M=
Resolución:
8.
(x + 1 )(x - 1 )(x + X + 1)
10. Simplificar:„ a^ + 3a^ + 3a + 1
^
a-’ - 2 a '+ 1
Resolución:
7.
2x(x + 1 )(x -1 )
X +X+1
X +X +1
Factorizando en este caso solo ei denominador:
xy
1
3 x y (x -y )
3 {x -y )
6.
(x ^ -x )
Resolución:
Resolución:
5.
2
Reducir; ^ V ^ ^ +
X'' + X + 1 x + X'’ - X - 1
Simplificando el segundo sumando:
Factorizando numerador y denominador:
a(2x + y) - 2b(2x + y) (2x + y)(a - 2b) 2x + y
a (x - 4 )-2 b (x - 4 ) " (x -4 ){a -2 b ) ” x - 4
4.
B " '"
Factorizando numerador y denominador:
Resolución:
3.
■ ■. .
Resolución;
x(x^ + 4 x -2 1 ) _ xíx + 7 ) { x - 3 ) ^ x + 7
x (x ^ -9 )
x(x + 3 )( x -3 )
x+3
2,
I
R E SUE LT OS
PROBLEMAS
ab(a + b)
(b + a)(b - a)
ab
b -a
Análogamente con N;
- 1
í b- a
í
^
a
b
ab
N=
b ' + a'
_
N=
b^+ a'
ab(b - a)
b^+a^
a^b^
b -a
ab
ab
b -a
Se pide: MN =
b^ + a^
(b -a )
b^ + a^
ab(b - a)
MN = b^ + a^
(a - b )^
13. Simplificar
( x - a ) " + 2(a^ + x') + (x + a)'
(x + a ) " - ( x - a ) ^
y dar como respuesta el valor numérico para:
x = /3 -1 y a = ■/3+1
Resolución:
Efectuando operaciones:
________ Legendre________
(x - a)^ + 2(a^ + x^) + (x + a f
(x + a) - (x -a )^
Legendre
2 ( a H x V 2 ( a ^ + x^
4ax
4(a^ + xQ ^
4ax
+ x^
ax
Reemplazando los valores numéricos respectivos,
se tendrá;
(/3 + 1 ) ^ + ( ^ - 1 ) ^
(;3 + 1 ) ( / 3 - i ;
2(-/3^+1^)
3 -1
2(4)
=4
14. Si a * b = a ' + b ’ + (ab) ’ - (a + b). hallar:
{ ñ + Í 2) ' {iZ - l 2 )
Resolución:
El operador (•) puede interpretarse:
^ ■ '’ = l + E + iÉ - ^ ( = + ‘=>
En nuestro caso:
a = / 3 + ‘/ 2; b = / 3 - / 2
(/3 + Í2 ).{)3 -/2 ) = ^
/3+/2
•+ •
/3-/2
(/3 + /2 )(^-^ )
- (/3 + /2 + /3 - /2)
^ /3--/2 + Z3 + -/2
^
3 -2
1____ 2^3
3 -2
=0+1=1
15. Si para todo n
n ^ -1
^
n+1
16. Si P, y P2son dos polinomios factorizables, defini­
dos por;
Pi(x) = ax^ + 2x - b
Pjíx) = ax^ - 4x + b
Tal que “a" y “b” son números enteros positivos y
MCM(Pi: Pj) = x^ - x^ - 9x + 9, hallar el valor de;
T = b^- a
Resolución;
P,(x) = ax^ + 2x - b; a, b s
P2(x) = ax^ - 4x + b
MCM(P,; Pj) = x' - x= - 9x + 9
MCM(P,; P^) = (X - 1)(x + 3)(x - 3)
Como: P1P2 = (MCD)(MCM)
4.°
*3 ^^
=> MCD es de grado 1.
P, y P2 tienen un factor común de 1.® grado
=> P, - P2contiene a este
P,(x) = P , ( x ) - 6 x - 2 b - 6 ( x - | )
Como b
Resoiución:
Efectuando operaciones en el segundo miembro:
1 _ A(n - 1) + B(n + 1)
n^ - 1
n^ - 1
De donde:
1 = An - A + Bn + B
1 = (A + B)n + (B - A)
También el primer miembro puede escribirse;
(0)n + 1 = (A + B)n + (B - A)
A+ B = O
x - |.x - 3
b=3
V
b=9
b = 3: P,(x) = ax^ + 2x - 3
PjÍx ) = ax^ - 4x + 3
Contienen al factor (x - 1) =» a = 1
b = 9; P,(x) = ax^ + 2x - 9
Pjíx) = ax^ - 4x + 9
Contienen al factor (x - 3); pero esto no es posible,
pues:
Pi (3) = 9a + 6 - 9 = 0 ^ a = 1/3; a ^ Z"
T = b^ - a = 3' - 1 = 8
17. Si P y Q son dos polinomios factorizables, defini­
dos por:
P(x) = x" + 5x^ + 12x' + 14x + 8
Q(x) = x^ + 6x^ + 16x^ + 21x + 12
hallar la suma de los coeficientes del MCD(P; Q).
Resolución:
Factorizando cada polinomio;
P(x) =
x" + 5x'+12x' + 14 x + 8
x^
3x
4
1, se cumple que;
^ . calcular: A + B
n -1
TL'. entonces;
x-H .x-1
x'
2x
2
6x'
Falta;
'6x^
=» P(x) = (x^ + 3x + 4)(x^ + 2x + 2)
Q(x)=
x^
^
x‘ + 6x^+16x' + 21x + 12
3x
^ 4
Falta;
7x^
9x"
Q ( x ) = (x^ + 3 x + 4 )(x ^ + 3 x + 3 )
Luego; MCD(P: Q) = x^ + 3x + 4
S coef (MCD) = 8
18. Si P y Q son polinomios factorizables, definidos por:
P(x) =
- 3x" - X + 3
Q(x) = x= - x" - 5x - 3
hallar el término independiente del MCD(P; Q).
Resolución:
Factorizando en E:
P(x) = x" + 1 = x“ + 2x^ + 1 - 2x^
P(x) = (x' + 1)^ - ( Í 2 x f
P(x) = (x' + /2 x + 1)(x' - /2 x +1)
Q(x) = x^ - /2x= + X = x(x^ - ■/Ix + 1)
Resolución:
Factorizando cada poìinomio:
P(x) = x' 3x' - X + 3
P(x) = x'(x-- 3 ) - ( x - 3) - ( X P ( X ) = (X - 3)(x + 1)(x - 1)
Q{x) = x' - x' - 5x - 3
-
X
=-1
1
-1
1
1
-1
-2
-5
2
-3
H(x) = x“ - 2/2 x^ + 4 x ^ -2 /2 x + 1
-3
3
0
H(x) = (x' - 7 2 x + 1)^
MCD(P; Q; H) = x" - /2 x + 1
El coeficiente irracional: --/2
- Q(x) = (X + 1)(x'- 2x - 3 )
X
3
22. Sean los polinomios: P(x) = Ax^ - x - B a
Q(x) = Ax^ - 5x + B, con valores de A y B enteros
positivos. Si el MCM(P; Q) = x^ - 3x^ - 4x + 12,
hallar el valor de: T = 3B + 6A
== Q(x)=.(x+1)^(x-3)
Luego: MCD(P: Q} = (x + 1)(x - 3)
TI(MCD) = MCD(0)= -3
19. Determinar cuál {o cuáles) de las siguientes propo­
siciones son correctas:
I. Si P y Q son polinomios definidos por:
P(x) = (X - 1/(x + 3 ) " A Q(x) = (X - l f { x + 3 f ;
entonces el MCD(P, Q) = (x - 1)'(x + 3)"
II. Si P(x) = x“* - 5x^ + 4 es un polinomio factorizable, entonces (x + 1) es un factor.
III. (x'^^ - a®^)+(x^ - a®) origina un cociente notable.
Resolución:
I. Si P(x) = (x - 1)^{x + 3y A Q(x) = (X - 1)'(x + 3 f,
entonces: MCD{P; Q) (x - 1)^(x + 3)^
(V)
II. P(x) = X* - 5x' + 4 = (x^ - 1)(x" - 4)
P{x) = (X + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2)
= x + 1 es un factor (primo).
(V)
y l5 5
111 ^
9-'
—a no origina CN, pues
b
- a
Son correctas: I y II
^
b
X"
(F)
20 . Si: P(x) = ax^ - 4x + b; Q(x) = ax^ + 2x - b a
MCM(P; Q) = x^ - x^ - 9x + 9, calcular: T = a + b
Resolución:
MCM(P; Q) = x^ MCM(P; Q) = ( X P(x) = ax^ - 4x +
Q(x) = ax' + 2x => a = 1 A b = 3
a+ b= 4
x' - 9x + 9
l)(x + 3)(x - 3)
b = (x - 1)(x - 3)
b = ( X - 1)(x + 3)
21. Determine al MCD para los polinomios:
P(x) = x“* + 1
=
x" - 2/2x^
+
23. Dar la suma de los coeftcíentes del MCM de los
polinomios.
P(x) = x" - x' - 2 x - 1
Q(x) = (x^ + x + 1)^(x+1)
Resolución:
Factorizancto cada polinomio;
P(x) = x“ - x^ - 2x - 1 = x" - (x' + 2x + 1)
P(x) = x" - (X+ 1)' = (x^ + X + 1)(x' - x - 1 )
Q(x) = (x' + x+ 1)"(x + 1)
= MCM(P; Q) = (x^ + X + 1 ) V ~ x - 1)(x + 1)
La suma de coeficientes del MCM es;
MCM(1) = (3)'(-1)(2) = -5 4
24. Si P y Q son dos polinomios factorizables, definidos por
P(x) = 2x" - x^ - 3x^ + 3x - 9
Q(x) = lOx^ - 9x' + 17x - 6
hallar el coeficiente de mayor valor absoluto de!
MCD(P; Q).
Resolución:
Factorizando cada polinomio:
P(x) = 2x" - x^ - 3x' + 3x 9
.x „:x
2 x 'v .
Q{x) = x^ - /2 x ' + x
H(x)
Resolución:
P(x) = Ax' - x - B: A, B e
Q(x) = Ax' - 5x + B
MCM(P; Q) = x^ - 3x^ - 4x + 12
MCM(P; Q) = (X - 3){x + 2)(x - 2)
De donde:
P(x) = Ax^ - X - a - (X - 3)(x + 2)
Q(x) = Ax^ - 5x + B = (X - 3)(x - 2)
Luego: A = 1 a B = 6
T = 3B + 6 A = 18 + 6 = 24
4x^ - 2 / 2 x
+
1
Dar como respuesta el cxseficiente irracional del
MCD.
^ ' X \
^
3
_3
^ P(x) = (2x" - X + 3)(x' - 3)
Q(x) = lOx' - 9x' + 17x - 6
falta; Ox
2
5
10 -9
4
i
17
-2
-6
6
10 -5
2 -1
15
3
0
:5
Resolución:
Sean los polinomios; P y Q
MCD(P; Q) = a - b, MCM(P; Q) = a" - ab^ + a"b - b"
=> MCM = (a + b)(a - b)(a' + ab + b^)
Por propiedad: PQ = [MCD(P; Q)][MCM(P; Q)]
Sea: P(a; b) = a' - b', reemplazando:
(a' - b')Q = (a - b)(a + b)(a ~ b)(a' + ab + b')
=> Q(a: b) = (a - b)(a' + ab + b')
.-. Q(a; b) = a^ - b"
^ Q(x) = (2x - 5)(2x' - x + 3)
Luego; MCD(P; Q) = 2x' - x + 3
El coeficiente de mayor vaior absoluto es 3.
25.
Si P, Q y R son tres polinomios factorizables, defi­
nidos por:
P(x; y) = x“ + 3x^y + 3 xV + xy^
Q{x: y) = 3x^ + 5x'y + xy' - y^
R(x: y) = x'* + xy^ + x’y + y“
hallar el MCD(P; Q; R).
28.
Resolución:
Resolución;
MCD es factor de P y R.
P es una división exacta.
MCD
Factorizando cada polinomio:
P(x; y) = x“ + 3xV + 3x^y^ + xy^
=. P(x: y) = x{x^ + 3x'y + 3 x / + y^) = x(x + y)'
Q(x; y) = 3x^ + 5x^y + xy^ - y^
3
5y
/
2
-2
-1
-y=
6
4
-6
-2
5
-3
2
4
-1
2
-3 y -2 y '
-y
3
2y
-y '
0
3
Q(x; y) = (x + y)(3x' + 2xy - y')
^ Q(x; y) = (x + y}'(3x - y)
R(x: y) = x“ + xy" + x"y + y'*
R(x; y) = x(x^ + y^) + y(x^ + y^}
R(x: y) - (x + y}(x^ + y')
=> R(x; y) = (X + y)^(x'-xy + y')
MCD(P; Q; R)=(x + y)^
26.
Si los polinomios:
P(x) = 6x'* + 4x^ + 5x' + mx + n
R(x) = 2mx" + 2nx' + px - q
admiten como MCD a 2x^ + 2x + 1, hallar un divi­
sor de R(x).
2
-2
(a‘‘ - ab^ + a’ b - b‘*). Si uno de los polinomios es
- b^ determinar el otro polinomio.
6
■O'
4
-6
-2
3
-1
-1
- 4 -2
0 0
p -q
-3
0
0
^ R ( x ) = { 2 x ' + 2 x + 1 )(3 x -
Resolución;
27. El MCM y el MCD de dos polinomios son (a - b) y
1
De donde: m = 3 a n = 2
P
También:
es una división exacta, donde:
R(x} = 6x" + 4x' + px - q
Si el producto de dos polinomios es x^ - 18x^ + 81
y el cociente de su MCM y MCD es x' - 6x + 9,
hallar el MCD de dichos polinomios.
Sean P(x) y Q(x) los polinomios:
P(x)Q(x) - x" - 18x^ + 81
M C M {^
,
(X - 3)'
MCD(P;Q)
Por propiedad:
P(x)Q(x) = MCD(P; Q) x MCM(P; Q)
= MCD{P: Q) X MCM(P; Q) = x" - 18x' + 81
= MCD{P; Q) X MCM(P; Q) = (x + 3)^(x - 3)^
Pero: MCM{P; Q) = (x - 3)'MCD(P; Q)
Reemplazando:
MCD(P; Q)[(x - 3)^MCD(P; Q)} = (x + 3)^(x - 3)^
=* [MCD(P; Q)]' = (X + 3 f
MCD(P: Q) = X + 3
m n
.-. Un divisorde
29.
R
es:
3x -
1)
1
Si el MCD de los polinomios:
= 2 x ^ - x ' + 3x + a a G{x) = x" + x' + b
F(x)
es x^ - X+ 2: determinar: E = 1
Resolución:
F{x) = 2x^ - x' + 3x + a
G(x)= x^ + x' + b
MCD{F; G) = x' - X + 2
Como MCD es factor de F y G
F(x) = (x^ - X + 2)q,(x)
G(x) = (x' - X + 2)q2(x)
F(x) = (x' -- X I 2)(2x+ | )
^x^ - 2x^ = -x^ = a - 2
G (x) - (x^ - X + 2 )(x + | )
33.
=, b= 4
Calcular el producto resultante de:
1
p = íi- ^ - V i+
x /\
y ~ n i\ '
■
30.
a
b
2
4
4
Reducir la siguiente expresión;
A _ x ^ + x+1
x^ + 2 ■+ 2 x - 1
2x“^+ X
2x^ - X - 1 x^ - X
Resolución:
Factorizando los denominadores, resulta:
x+1
x^ + 2
2 x - 1
A=
x(2x+ 1) {2x+ 1 )(x - 1) ' x ( x - 1)
Se obtiene como MCM de las tres fracciones:
x(2x + 1)(x - 1)
( x - 1)(x' + x + 1 )-x (x ^ + 2 ) + (2x + 1 )(2x- 1)
x (2 x + 1 )(x -1 )
Efectuando operaciones y reduciendo:
A=
Resolución:
Efectuando operaciones en cada factor;
P = x + 1 w x + 2\ / x + 3\ / x + n \ / x + n - 1 '
x
. • . A =
/\ X + 1
X + 2.
34. Calcular la suma de ia serie de Stirling.
2
6
12
2 -1
3 -2
4 -3 ,
1 x 2 ^ 2x3 ^ 3x4
2 (2 x ^ -x -1 )
x (2 x ^ -x -1 )
2
X
2
31. Obtener la suma de las fracciones:
2x + 4 ■+ ■
1
R
•+ x + 2
x^ + 2x - 3 x^ + 4x + 3 x - 1
Desdoblando cada fracción, se tiene:
S -1 -1 +1 -I +I 2+ 2 3+ 3
1
Luego: S = 1 -
_
R=
x -1
_ (x + b)(x^ -f 2ax + a^) _ (x + b)(x + a)'“
(x-H a)(x^ + 2bc + b^) (x + a)(x + b)‘
b + be + c
(a -b )(a -c )
c + ca +
(b -a ) (b -c )
Resolución:
Cambiando de signo a las fracciones:
ab + b
be + c
ca + a
(c -a )(b -c ) (a -b )(c -a ) (a -b )(b -c )
Resolución:
Efectuando operaciones e identificando:
8x - 11 = A(2x - 1) + B{x + 3)
Como el MCM = (a - b)(b - c)(c - a), se tiene:
j ^
Tomando valor numérico en ambos miembros:
= -3 : ^ -3 5 = A (-7 ) ^ A = 5
36. Reducir la expresión
T= a+ab + b
(c -a )(c -b )
calcular el valor de {A + B).
X
x^
+ 2ax^ -H bx^ + a^x+ 2abx + a^b
x^ + ax^ + 2bx^ + b^x + 2abx + ab^
R= " ‘
x+ b
32. De la descomposición parcial mostrada:
8 x -1 1
2x' + 5x - 3 X + 3 2x - 1
= B(|
n+ 1
_ x^(x + b) + 2ax(x + b) + a^(x + b)
x^(x + a) + 2bc(x + a) + b^(x + a)
3x^+12x + 9
(x + 3 )( x + 1 )( x -3 )
4 ^ - 7
S=
1
n+1
Resolución:
Efectuando operaciones y factorizando:
5x + 6
R = 2x^ + 6x + 4 + X - 1
(x + 3 )( x + 1 )( x -1 )
x
!+ ■ '
n n
^ _ x^ + (2a + b)x^ + a(a+2b)x + a^b
x^ + (a + 2b)x^ -H b(b + 2a)x + ab^
+ 1)(2x + 4) + ( x - 1) + (x + 3 ){x + 2)
(x + 3)(x + 1 )(x -1 )
3(x + 1)(x + 3)
(x + 3 )( x + 1 )( x -1 )
, (n + 1 ) - n
^ n(n + 1)
35. Señale la fracción irreductible:
Resolución:
Factorizando y buscando el MCM de los denomi­
nadores:
2x + 4
1
x+2
R=
(x + 3 )( x -1 ) (x + 1 )(x + 3) ' (x + 1 )(x -1 )
(X
n^ + n
Resolución:
Expresando la serie finita del siguiente modo:
1
1x 2
2x3 3x4
n (n + 1)
De los numeradores, se deduce que;
n 4-1
n _
X+ n - 1
X+ n + 1
- 1 - x^ - 2x + 4x^ - 1
x (2 x + 1 )(x - 1 )
4 x ^ -2 x -2
x(2x + 1 )(x -1 )
x + n,
- ¡ ( a - b ) ( a ^ i- a b + b'*) + (b
c|(b~ + be - c ^ + (c - a ) ( c ^ + ca i- a'^lj
(a - b ) ( b - c ) ( c - a )
Por diferencia de cubos, resulta:
B = -2
A+B = 3
- ( a ^ - b ^ + b ^ -c ^ + c ^ -a ^
(a - b)(b - c)(c - a)
T= O
P R O BL E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNÍ
PROBLEMA 1 (UNI 1 9 8 4 -1)
PROBLEMA 4 ( U \ l 1 9 8 7 )
1
A , B , entonces:
Si;
n "- 1 n+1 n -1
Hallar el MCD de las siguientes expresiones:
C = x“ + xy" + x ^ + y''
B = 3 x’ + 5 x 'y + x y ' - y"
A = x“ + 3xV + 3x^y' + xy^
A)
D)
+ y
x^ - y'
X
B) x ' + y '
E) 2x + y
A) A+ B = 0 A
B) A + B = O A
C)A+ B - 1 a
D)A+B=1 a
E) A+ B = 1 a
C) (x + y )'
Resolución:
Factorizando cada una de las expresiones por separado:
C = x" + )^ ' + xV + y" = x(x^ + y^) + y(x^+ y^)
C = (x" + y^)(x + y) = C = (x + y)'(x' - xy + y')
B = 3 x" + 3 x 'y + 2 x 'y + x y ' - y"
B = 3x'{x + y) + y(2x' + xy - / )
B = 3 x '(x + y) + y (2 x - y)(x + y)
B = (X + y )(3 x ' + 2 x y - y ') = (x + y )'(3 x - y)
A = x(x" + 3x'y + S x / + y^) = x(x + y)^
MCD(A; B; C) = (x + y)'
Clave: C
PROBLEMA 2 (UNI 1 9 8 7 )
B) x^/labc)
E )x "-'
Resolución:
Efectuando en el segundo miembro y transformando en
el primero, se tendrá;
A (n~ 1) + B(n + 1)
1
O
n ^ -1 :1
(n + 1 )(n - 1)
(n + 1 )(n - 1)
Entonces: A(n - 1) + B(n + 1) <
Dando valores adecuados:
Para n = 1 => B = 1/2
Para n = -1 =» A = -1/2
Luego:A +B = 0 a B - A = 1
Clave: A
Si; A =
X +
X -
1
X -
X +
1
X +
1
X -
1
X -
C) x" '
.
X +
x+
2
calcular: A + B
Hallar el MCD de:
1. 5 x ^ -5 x ' + 2 x - 2
II. 2 x ^ + 2 x '- 2 x - 2
III. x' + x " - x ' - x
A)
8) x - 2
E) x' + 1
A
^
-
C)x+ I
2
D )x + 1
E)x - 1
Resolución:
Simplificando:
C)x-3
Lo mismo con el segundo:
2x'(x + 1) - 2(x + 1) = 2(x + l}(x^ - 1)
2x'(x + 1) - 2(x + 1) = 2(x + l)'(x - 1)
Y con el tercero:
x^(x + 1) - x{x + 1) = x(x + 1)(x' - 1)
x"(x + 1) - x(x + 1) = x(x + 1}^(x - 1)
+1
B)
2
Resolución;
Factorizando el primer polinomio:
5x'(x - 1) + 2(x - 1} = (x - 1)(5x' + 2)
-h ^
X -2
X
PROBLEMA 3 (UNI 1 9 8 8 )
A) x' - 1
D) X - 1
-
Clave: C
X
x^ +1 \ . 2x
2a" - 2b ' a - b
x -1
B=
Resolución:
Por teoría el MCD será; x" ' ^
1
PRO BUM A 5 (UNI 1 9 8 8 )
Hallar el MCD de la siguiente expresión:
b -'x "-^ c“ 'x"- =
A) abcx"
D ) x " ''
B-A=1
A- B= 1
B-A=0
A-B=1
B - A = -1
A=
( x + 1 ) '- ( x - 1 ) x '- 1
( x - 1 ) " + (x + 1)‘
1
A=
4x
2 (x '+ 1)
„(1)
.(II)
.(III)
X
1
2 (a ^ -b )
a -b
2x ,
4x
+ 1
B = X- 1
x + 2 - ^^ +2)(x M )
x' + 2
A+B = x - ^
De I, II y ili, se concluye que el MCD = x - 1
Clave: O
Clave; A
PROBLEMAS
1.
Reducir:
M =
(a + c ^ )-b ^
A)1
D )a -b + c
2.
^ b ^ -(a -c )"
^ c ^ -(a -b )'
(b + a) - c
(b + c) - a
a" + b"
0 2
A) O
D)3
(i)
4.
Hallar el MCD de:
P(x) =
- 1A Q(x)
A) x^ + X + 1
D) x^ - X + 1
5.
6.
8.
=
x"
B)x^ + x - l
C)x^-Hx + 1
E) -x^ + X + 1
+
B) x^ + 1
E) x^ - 1
x'
+
0 2
B) 1
E)4
E) 1/2
13. Efectuar: ^
,■+ - — - 1. Dar como res1 + (a b )-’
b + a’ ’
puesta el numerador.
1
A) 2b
D) ab - 1
O x - 1
B) 2a
E)17
O a b + 10
Hallar el número de factores primos en que se des­
compone el MCM de los polinomios:
P(x)= x^ - 3x + 3
Q(x) = x^ - 5x + 6
R(x)= x^ - 4x + 3
14. Efectuar:
A)1
x+1 3
15. Efectuar _________
x^ + X + 1 x^ + 1
B)2
0 3
D )4
E)5
Hallar la suma de coeficientes de MCM de:
x ' - 9 x ' + 24x - 24 A x^ + 2 x ' - 13x + 10
A) O
D)3
7.
D) - 2
0 2
B) -1
O xy
B) xV zw
E) xyzw
12. Hallar la suma de coeficientes deí MCM de:
x^ - 9x^ + 24x - 24 A X^ + 2x^ - 13x + 10
Reducir: ( ¡ H |)
A )1
A) x^y^zw
D) x V
A)x^-x+1
D) -x^ - x + 1
b ^ -a "
B)1
E)a + b
A) 8 - b
D)3
10. Hallar el MCM de:
P(x; y; z) = x V ^ a Q(x ; y: w) = x^/w
11. El producto de dos polinomios es (x® - 2x^+ 1) y el
cociente de su MCM y su MCD es (x - 1)^. Hallar
el MCD.
Efectuar:
a "+ b"
3.
C) a + b + c
B) -1
E) 1/2
PROPUESTOS
Simplificar:
B)1
E)4
0 2
a '-2 7 a y/a" + 20a + 100\
a‘^+ 7a-3 0 A a'^ + 3a^ + 9a
A) a + 3
a-10
B) a - 3
a + 10
D) a - 3
a-10
E)1
a -100
a -3
C) a - 3
a -I- 3
Si el MCD de:
x"* -I- 2x^ - px^ -H qx + r a x^ + 7x^ - qx + 20
es {x^ + 3x + 5), hallar pqr.
A) -340
D )-680
B) 340
E )170
O 680
A )x - 2
D) 1
A )x + 2
O) (x + 1)
x-2
x-3
2x-5
x ^ -5 x + 6
B)x-3
E) x" - 5x + 6
B) x + 1
E )(x -1 )-'
O O
x^ + X + 3
x“ + x^ + 1
Ox-1
16. Hallar el MCM de:
P(x) = x' - 2x - 15
Q(x) = x^ - 25
R(x) = 4ax^ + 40ax + 100a
A) (x + 3)(x - 5)
B) 4a(x + 3)(x - 5)(x + 5)"
O 4a(x + 3)(x + 5)
D) (x + 3)(x - 5)(x + 5)
E)4(x + 3)(x + 5 )(x -5 )
17. Encontrar el MCD de los polinomios:
A(x) = x" - 3x^
+ 2 A B(x)= x"+ x^ - X- 1
A) x' - 1
D) X - 1
B) x' + 1
E) x^ + X - 1
O
X
+1
18. Hallar el MCD de las siguientes expresiones:
9. Ei producto de dos polinomios es (x^ - 1)^ y el co­
ciente de su MCM y MCD es (x - 1 ) l Calcular el
MCD.
A )x + 1
X- 1
B) x^ + 1
E) - ( x - 1 )
O - ( x + 1) D
a -’x "-’ ; b’ ’x"-"- c 'X
A) abcx"
B)
D )x "■^
E)x" '
abe
O x"
28. Hallar el MCD de: P(x) = x'
19. Encontrar el MCD de tos polinomios:
R(x) = X* - 5x= + 4
S(x) = x' + - 4x - 4
T(x) = x^ - 2x^ - X + 2
A)x^-x-1
D)x^ + X + 2
B)x^ + x - 1
E) x - 1
A) x ^ +
C )x^-x-2
P(x)
=
x^ - 5x^ -
X
4- 5 A Q(x)
=
B)(x' + 3)
E) {x^ - 8)
cuando: a = 4mn
B)0
A) 1
D) m + n
x" + 2x^ - 2x - 1
a + 2m
a - 2m
a + 2n.
a - 2n ’
P(x) =
C) 4mn
=
- 5
B) x^ + 1
E )-(x-l)
^
ab-Hl
A) O
D) ab
Ay=
- 1
b"
2nb"-2nx
2na" - 2nx
O -2/n
+ x^ -- 4x - 4A Q(x) = x’ + 3x^ + 2x
B) X + 1
E) X + 5
O
X
- 2
31. Dado el polinomio P(x) = x^ - 2x + 1, si
MCM[P(x): Q(x)]MCD[P(x): Q(x)] = 2x^ + x^ + 2x^ +ax + b
calcular la suma de coeficientes de Q(x).
ciente de su MCM y MCD es {x - 1)1 Calcular el
MCD.
X
X
30. Hallar el MCD de ios polinomios:
22. El producto de dos polinomios es (x^ - 1 y el co­
23. Si:
O
E) x' - t
B)2/n
E)0
A) n
D) 1/n
A) X - 1
D) X - 5
E)2
A) X + 1
D)x-1
B) x ^ + 1
para x = a" + b"
C)( x^-1)
21 . Calcuiar el valor de la expresión:
+1
29. Calcular el valor de:
20. Hallar el MCD de los polinomios:
A){x' + 2)
D) (x““ + 4)
X
D) x' - X + 1
- 1a Q(x) = x'+ x^ + 1
ab-Hl
B)a
E) ab + 1
A) 24
D)10
C) -{x + 1)
B) 25
E)14
O
20
32. Luego de simplificar: 2x^ + x" + 7x^ - 3
calcutar:
x% 3x - 2
señalar la suma de los términos lineales del nume­
rador y denominador.
]
x-y+1
C)1
A)x
D)4x
24. Calcular el valor de (a^ + b^) si se sabe que la fracción:
3ax^+(a + 2b)y^+9z^
2ax® + 4yV{4a-b)z®
B)2x
E )- X
C)3x
33. Hallar el equivalente reducido de:
1 +-n^
n'’ - 2n^ + 3n^ - 2n + 1
n^ + 2 n - 1 - 2n^
n '+ 1
es independiente de sus variables (x: y: z).
A) 2
D)24
8)16
E)12
A) n' + 1
D)2
0 8
25. El MCD de:
x“* + 2x^ - • mx^ 4 - nx + p a x’ + 7x^ - - nx
es (x^ + 3x + 5), tiallar: m + n -t- p
A) 40
D) 35
B ) -40
E) 50
+
20
1
1 +a"
A)1 + a
D)a
1 + a"” ^ + a" ^
B)3
E)1
C)a^
35. Indicar el valor reducido de:
> ( X - a)(x-b)(x-c)
^ ' (d-a)(d - b)(d-c)
B)2x - 1
E) x' + 1
(x - a)(x - b)(x - d)
(c - a) (c - b) (c - d)
O 2x + 1
' X-y
■x + y
1-
A )x--a-b-c-d
C)x+a+D+c+a
E)a + b + c + d
X + y
x -y
X - y
x+ y
hallar la relación entre x e y.
A)x-y = 0
B)x-y=1
O 2x + y = O
D) 3x - y = 2
E) x + y = 1
íx-b)(x-c)(x-d) ,
( a - b ) ( a - c )( a - d ) ^
p ,
P = 3x^ + x^ - Sx + 4 A Q = 3x^ + 7x^ - 4
e indicar el producto de sus factores no comunes.
27. Si el VN de la expresión:
0 2n^
34. Reduzca
1
0-35
26. Hallar el MCD y MCM de:
A) 3x - 2
D) - 1
B) n^ + 3
E)2n^+ 1
es 2,
36.
(x - a)(x - c)(x - d)
(b - a) (b - c) (b - d)
B) (X - a)(x - b)(x - c)(x - d)
D)1
Hallar:
+ p^, si las expresior^es:
n . p
_m
.
x^ - 10x + 13
X - 2 ' x -3 ' x - 1
( X - 1)(x-2)(x - 3 )
tienen los mismos valores numéricos, v x y-1; 2; 3.
A) 1
D)7
B )29
E)24
El MCM de dos o más polinomios es un poli­
nomio que divide exactamente a los polinomios
mencionados
0 5
37. Hallar una de las fracciones parciales e irreducti­
3x^ + X - 2
bles de:
(1 - 2 x ) ( x - 2 ) =
A)
(x -2 )‘
D) -
3 {x -2 )
B)
O
(x -2 )‘
-5
1 -2 x
A) V W
D) FFV
B) W F
E) FFF
O FVF
43. ¿Cuántos factores algebraicos tienen el MCM de
los siguientes polinomios?
P íx) = 1 -H X + x^ + ... + x *
4
E)
'3 ( x - 2 )
Q (x) = 1 + X + x^ + . . + x '
_
, ,
,,
( a - 2 ) x + (0 - 2 a + 1 ) y - 40
38. Paraquelafraccion: ------- — _ ' . --------------------5 x+ 2y + 12
sea independiente de x e y:
A) es conveniente que el valor de u sea igual al
valor de 8.
B) precisamos conocer los valores de a y B, con lo
que se hace nulo el numerador.
O tenemos que escoger los valores de a y tí por
tanteo, ya que es una fracción de 4 variables.
D) los valores de a y 0 tienen que ser 1/3 y ( -1 )
respectivamente.
E) la suma de los valores de a y 0 sea 3; 2 respec­
tivamente.
39. Si las constantes A, B, C y D son los numeradores
de las fracciones parciales en que puede ser des4x^ - x^ - 3x - 2
compuesta la fracción: f{x) =
x^(1 + x )'
F(x) = 1 + X + x^ -f ... + x "
A) 63
D)31
B )1 5
E)243
0 81
44. Sabiendo que:
(a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b) =
2(a + b + c)^
donde: abe t- O, hallar el valor de:
a + Sb+c
ac
b + 3c + a , c + 3a + b
ab
be
a "' + b ■' + c
O -6
A) -1
B) - 4
D) -1 3
E) -1 5
45. A partir de:
reducir:
.
^
a
= -a b e
b
a® + b®\i b« + c'^' \[ e® + a ‘
+ b' b^ + c ' /'■c" * a'
Hallar: 4A + 4B + 2C + D
A) 2
D) -1
B) - 2
E )0
C)1
40. Hallar el tVlCD de los siguientes polinomios:
P(x; y) =
+ x f + x^y -r y“
R(x; y) = 3x^ + 5x^y -h xy^ - y^
Q(x; y) = x^ + 3xV + 3x^y^ + x f
A) X + y
D) x^ - f
B) x ' + /
E) 2x + y
O Ix + y f
a+b
Dar como respuesta la suma
A)1
D)2b
B )0
E)2
O 2a
47. Simplificar: [(x - 1)’ ' - 2(x' - i r ' ] ( x + i;
0 2
42. Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes
proposiciones:
I.
a -b
del numerador y el denominador.
P(x) = (x^ - 2x + 1)"(x^ + 3x + 2 f
0(x) = {x' - 3x' + 3x - 1)"(x + 2)®
es (ax^ -H bx + c)": a > O, hallar: abe + n
B) -1
E) 10
1+
46. Reducir:
O 1
a -b
41. Si el IVICD de los polinomios:
A )-2
D )6
B) -(abc)^
E) -abe
A) abe
D )(abc)'
Si el polinomio P{x)es divisibleen formas separa­
das portes polinomios: P,(x): p 2 (x):P 3 (x);...: P,(x)
entonces el polinomio P(x) es divisible por
[Pi(x)P^(x).,.P„(x)]
II. Ei MCD de dos o más polinomios es divisible
por dichos polinomios.
A )x
D) 1/x
B)x^
O x'
E)1
48. Dada la expresión: F(x) =
1
1
x "-4 x + 3
x '^ -S x + IS
determinar el verdadero valor para x = 3.
A) 1/2
D) - 2
49. Reducir: F -
B ) -1 /2
E)2
v
2y + y '
■'
4 + 2y
nu m era dor.
A)1
D) - 2
0 4
8 )2
E) - 4 y
11
- — - Tí, e in d ica r el
y
2
222
■
C o l e c c ió n U n ic ie n c ia S a p ie n s
1
50. Simplificar; F =
1
A)x
2x - 1
Indicar el numerador.
1
8
1
1+
x-1
B )x
E)x- 1
x - 4
52. Si
x+4
B)2x
E)3x'
A) 112
D)115
C) 3x
B)113
E)116
2x - 1
53. Simplificar; R _ 2x+ 1
2x
4 x ^ -1
A) -8 x
0 )2
1
para; x = -Í2
0-3
55. Simplificar; [x - 2(x + 2x) ’]
O 1/x
8)3
E)2
59.
B) -a/b
E) 1/ab
A)
B) (x+1)'
D)(x+1)'(x-1)
B)-3
E)-6
b
A) 2
8)4
0 3
A) 3x - 2
D)3x + 2
B)x + 3
E)1
O x-3
1
x-1
O i/a
67. Simpliflcar; E =
x-1
8)
A)
8
Calcular el valor de A y B.
D)5
66. Efectuar; 6x^ + x - 2 \ . / 2 x ^ - 7 x + 3\
x+ 3
x'-9
I
Al descomponer en fracciones parciales se obtiene:
x +
O x+4
x -4
65. Reducir: 2a^~ 10a I a^+ 16a + 15
a^-25
a^ + 6a + 5
- b) + ab(a - b)
a ^(a ^-b ')
x^2x-3
O 4
x -4
x
1
x -4
x-4
D)0
O -a^/b'
B) 1/b
E)b/a
2
C) (a^ - b^)^
64. Reducir: x^ + 9x + 20 _ _ 5
x^-16
x-4
Ox + 1
1 +
_ a b -a ;a
57. Hallar el equivalente de: S =
1 +
b a -b
A) 1
D)a/b
B) (a + b)^
E)(a-b)'
A)(x + 1)^
C)(x + 1 )"(x -1 )
E)x- 1
A)-1
D) 5
4x^+ 12x + 9 \ . /2x^ + 3x
2x^ - X - 6
' x^ - 2x
58. Simpliflcar: T =
O ab
63. Si et MCM de dos polinomios es: 6x' + 5x^ + 2mx - 3n;
y uno de ios polinomios es: 2x^ + x + 3; hallar m + n.
(x + 2).
8)1
E )-2 /x
A) -b/a
D) -b^/a^
B)b
E)a-b
P(x) = x^ + 1 + 3x + 3x^ A Q(x) = x^ - 1 + x^ - x
indicar: MCM[P(x); Q(x)]
'' “ x T 2
A)1
D)x - 3
■ Dar el denomina-
a -b
dor de ia fracción simplificada.
62. Dado los polinomios:
C )x
B)-2
E) 1
56. Simplificar; R =
r
1+
A) (a - b)^
D )(a ^ -b ')=
2x - 1
1-
A)-1
D)2/x
60. Simpliflcar; P
61. Calcular el MCM de;
P(a; b) = a^ - b'
Q(a; b) = a^ - ab - 2b^
R(a; b) =
- 4ab + 4b^
2x + 1
2x - 1
54. Calcular el VN de: F =
A)-1
D) / 2
E)A-0
8=5/2
A) a
D)a + b
0114
B)8x
E) 2x
C ) A = -1/2
B = 5/2
1-
X + 4 -4 X
ax + b
, calcular ab.
(x + 4)(x + 5)
^
x+5
2
1
X + 4 + 4X
Dar como respuesta la raíz cuadrada del numerador.
A) X
D) 2x'
=
D)A= 1
B= 1
1
51. Reducir; A =
8 ) A = 1/2
8=2
A )A = 1
x+ 3
x-1
X
D)
-
X
X
X
x" + 1
E)
x+
+1
x'- 1
1
C)
E)6
68. Efectuar;
75.
2x^ - X - 1
2x
A)
x -1
D)1
Efectuar:
2x" + 5x + 2
B)2
C)x
E)0
B) 1
x+2
A) X + 1
1
x-2
B)x+ 1
E)0
C)
1-1
E)
(x^ -
+
A)
1)
I
x-1
A)12x + 3
D)3
B)12x
E)0
C)12x - 3
1+
1+1
+ 1
A) 3m + 2
B)
D) 2m + 3
3m + 2
E) 3m + 2
2m + 3
2m + 1
2m + 1
3m + 2
C) 2m + 3
3rri + 1
78. Si: b(x - y) = y(a - b)
72. Efectuar:
Simplificar:
+y
M=
xy + 1
x+2
m
X • 5 \ (x^ + 3x - 4)
X + 4/
X
C)
x+ 1
77. Simplificar:
C) x^ - 1
71. Efectuar:
1X4-2
\x- 1
x'-1
X
B)
x-1
D) x + 1
x-2
B) - X
E)1
A) x
D) x^ + 1
x
C )x + 2
1
x+3
'x+1
1
1 + J.
1 --L
70. Simplificar;
JL±^ +/ ^ V
yx + 1 U + y j
B)y
E)0
a^ + 2 b ^ / xy
ab^
x' + 2y'
A) -1
C)xy
C) ^
y
E)1
by
79. Simplificar:
73. Reducir:
1
2x-4
xy
x^ - y-
- X"
B)y
A)x
D)x-y
x+y
C )x + y
E )0
x^ + 4x + 3
x^ + 5x + 6
x^ + 8 x + 1 5
x^ + 7 x + 1 2
B) 1
E )0
x^ +
x^ +
x^ +
x^ +
5x + 6
6x + 8
8x + 15
7 x +10
C) - 2
x + 10
2x^-8
A)
1
x-2
B)
D)
1
2-x
E)
74. Simplificar:
A) -1
D)2
x + 1 / \ 2 x ^ + 2-
A)x- 1
D) 1
x '~ 1\/ x^ + x + 1 \
x"--i /Vx^ + 3x + 2/
A)x
D) X + y
x - 1 \/ x - 1
76. Efectuar;
69. Simplificar
D)
X+ 1
x - 1
2
x -2
1
x+ 2
O
x^
2- x
2 -x
80. Efectuar:
1 - a'
(1 + ax + a + x) (1 + ax - a - x)
A)1
1
1-x
D)
1
1+x'
C)
1
1
2.
3.
4,
5.
6.
7.
8.
9.
10
A
B
A
A
C
A
A
C
A
A
11.
12,
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
C
A
B
C
D
B
A
C
C
C
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28,
29.
30,
E
A
B
C
C
D
C
A
D
A
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
B
B
D
E
D
B
D
D
6
C
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
D
E
A
D
D
C
E
B
E
D
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
B
D
B
B
B
A
C
C
C
A
61. C
62. D
63. C
64. A
65. C
66. D
67. C
68. D
69. B
70, D
71,
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
A
E
C
B
D
B
B
E
D
0
Potenciación
Binomio
de Newton
o
D
a
Ö
Ü
Isaac Newton nació en Wooisthorpe (Lincoinshire) el 4 de enero
de 1643 y murió en Kensington
(Londres) el 31 de marzo de 1727.
Fue un fisico, filòsofo, teólogo, in­
ventor. alquim ista y m atem ático
inglés. Es a u to r de P hilosophie
naturaüs principia mathematica,
m ás conocidos c o m o los Princi­
pia. d o n d e describe la ley de la
gravitación universal y estableció
las bases de la m ecán ica clásica
m ediante las leyes q ue llevan su
nom bre. Entre sus otros descubri­
m ientos científicos destacan los
trabajos sobre la naturaleza de la
luz y la óptica (que se presentan
principalm ente en su o bra Opticbs) y el desarrollo del cálculo
m atem ático.
\í\Q\atBrpa. 1B43 - Inglaterra, ¡727
Newton com parte con Gottfried
Leibniz el crédito por el desarro­
llo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También con­
tribuyó en otras áreas de la m atemática, desarrollando el teorem a del binom io y las fórmulas de
Newton-Cotes. Desde finales de 1664 trabajó intensam ente en diferentes problemas matemáticos.
Abordó entonces el teorem a del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis y desarrolló un
m étodo propio denom inado cálculo de fluxiones. Fue respetado durante toda su vida com o nin­
gún otro científico, y prueba de eüo fueron los diversos cargos con que se le iionró.
Fuente: Wífeipedia
^FA C TO R IA L DE UN NÚMERO ENTERO Y
POSITIVO
5-
n x n! = (n + 1)! - n!
Demostración;
(n + 1)1 - n! = n x n!
(n -h 1)n! - n! = n x n!
n!(n + 1 - 1) = n X n!
n!(n) = n X n!
Se llama así al producto que resulta de multiplicar to­
dos los números enteros y positivos desde ta unidad
tiasia el número considerado. Solo existe el factorial de
cantidades enteras y positivas y su representación es
la siguiente:
Ejemplos:
n! ; In : n|
5 X 5! = 6! - 5!
13 X 13! = 14! - 13!
n factorial o factorial de n.
Por definición:
n! = 1 x 2 x 3 x . . . x ( n - 1 ) x n ; n e I N
21 = 1 X 2 = 2
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
50! = 50 X 49 x 48 ... 3 x 2 x 1
(2n 4- 7)! = 1 X 2 X 3 ... (2n + 7)
n! = n(n - 1)(n - 2){n - 3)(n - 4)... 3 x 2 x 1
(2n - 4)! = (2n - 4)(2n - 5)... 3 x 2x 1, (2n - 4) g IN
-<♦ COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL
Se define;
Ejemplos:
71! =
(3
X 5 X 7)
(4n + 1)1 = (4n + 1)(4n)... 3 x 2 x 1. (4n - 1 )e lN
Propiedades:
1.
(2n)!} = 2 x 4 X 6 X ... X (2 n )
( 2 n)!! =
( f ) ' = f ( f - C - 2 ) . ’' 3 > ^ 2 x i , a - b
abl = ab(ab - 1)(ab - 2)... 3 x 2 x 1 , (ab) e ttí
8
Propiedades:
3
o
2.
1.
n!
Por definición
por convención
1! = 1
O! = 1
consecuencia: a! = 1 » a = 1 v a = 0
a! = b! =» a = b
Ejemplo:
Resolver: (x^ - x)! = 720
" X n!
» = 2" X 4!
x
x
4
x ... x (2 n )
6
y ( 2 n - 1)!i = 1 X 3 X 5 X ...X ( 2 n - 1)
=*{2n)l! (2n
- 1)!l = 1 x 2 x 3 x 4
(2 n)!! (2 n -
1
Pwque;
3!l
=
x 3 a (3!)! = 6!
1
Ejemplos:
1.
Hallar el valor de X en:
(X + 5 )! + (x +
^
( x + 5 ) ! + (x + 6 ) ( x + 5 ) !
Todo factorial mayor contiene por lo menos un fac­
torial menor.
^
Ejemplos:
=» X +
También:
• 20 x 19 X 18 x 17! = 20!
• 12 x 11! = 12!
= 11!
)!
E s c rib ie n d o el d e n o m in a d o r e n fu n ció n d e (x -i- 5)!
Resolución;
(x^ - X)! = 720 = 6! « x^ - x = 6
Luego: x = 3 v x = - 2
• n! = (n - 1)!n = (n - 2)!(n - 1)n
• (2n - 3)! = (2n - 3)(2n - 4>(2n - 5)(2n - 6)1
• (a + 2)! = (a + 2)(a + 1)a!
6
Resolución:
(x + 7 ) !( x + 5 )!
4.
- 1)02n)
)!l = ( 2 n)!
Im portante: a!t * (ai)!
Ejemplo:
(2x - 3)! = 1
3.
2
S }(2 n )!l = 2
n e z;
Entonces: 2 x - 3 = 1 =»x = 2
2x - 3 = O =» X = 3/2
6!! = (2 x 4 X 6)
jm a m m m m m
(a + b)l = (a + b)(a + b - 1)... 3 x 2 x l . { a + b)eIN
2.
. X a (si a es impar)
x a (si a es par)
1x3x5
2 x4 x6
(x + 5 ) !( x + 7 )!
(x + 5) ! + [1 + x +
.
6
(X + |)_ !^ ^ ^
6
= 11
2. Hatlarnen:
. (x +
]
'
1 1
7)!
^
(x + 7)
! ^
X= 5
^ +4 ^ ^
(n + 3)1 + (n + 4 )!
Resolución:
Transformando la expresión:
(n 4 3 ) !( n + 4 ) f
(n + 3)! 4- (1 + (n + 4))
^
5
,(n + 4)
(n 4 5)
(n + 5)
(n + 4)! = 5! (n + 4)^ (n + 4)(n + 3)! = (n + 4)5!
n+ 3= 5
3.
Hallar a en:
Multiplicando numerador y denominador por;
[2 X 4 X . . . X (2n - 6)]
n= 2
6 + a!
(2n-6)!í2x4x6x8,..(2n-6)]
= 4096
(n - 3)![1 X 2 X 3 X 4 X 5...(2n - 7)(2n - 6)]
=20
Resolución;
(2 n -6 )!
(2n-6)! ( 2x1)(2x2)( 2x3). . . 2(n- 3) ^
( n - 3 ) !( 2 n - 6 ) l
La expresión se puede escribir como:
(1 + a!)a! = 120 + 20a!
Hacemos; a! = m
Reemplazando; (1 + m)m = 120 + 20m
Entonces:
- 19m - 120 = O
-2 4
m
— 5
(m - 24){m + 5) = O
Si: m = 24 => a! = 24 = 4! => a = 4
Si; m + 5 = O =» m = - 5 =» a! = - 5 (imposible)
Única solución; a = 4
4.
Hallar x en:
( X - 1)(x - 2)! + x(x - 1)! +
(X
(n-3)veces
[2x2..,2] x [ 1 x 2 x 3 x 4 . . . ( n - 3 ) ]
= 4096
(n-3)l
2" - ^( n- 3) !
= 4096 ^ 2" - ' = 2’' => n - 3 = 12
(n-3)!
.'. n = 15
7.
Resolución;
(a + 2 ) ! - ( a + 1 ) !
( a - 1 ) ! + ( a) ! + (8 + 1)!
La expresión se puede escribir como;
( X ~ 1)(x - 2)! + x(x - 1)(x - 2)! +
(x + 1)x(x - 1)(x - 2)! = 864
Factorizando:
( X -2 )!((x - 1) + x(x - 1) + (x + 1)x(x - 1)] = 864
( X - 2)!(x - 1)[x" + 2x + 1] = 864
( X - 2)!(x - 1)(x+ 1)^ = 864
Escribiendo la fracción en función de (a -1)!
M
(a + 1)a(a - 1)l(a + 1)
(a -1 )!(a '^ + 2a + 1)
^ N= a
8.
(a + 1)^a(a - 1)!
(a-1)!(a+1)^
N = 6! - 720
Hallar X en: (x - 4)1 + (x - 3^ + (x - 2)! ^
( x ' - 7 x + 1 0 ) ( x ^ - 6 x + 8)
Resolución:
Hatiar el equivalente de la raíz cuadrada de:
A - (n + 2)!
Escribiendo toda la expresión en función del facto­
rial del número menor (x - 2)! en el numerador y
factorizando en el denominador:
Resolución:
(x -4 )! + (x -3 )(x -4 )! + (x -2 )(x -3 )(x -4 )l
Transformando (n + 2)1 en función de (n - 2)!;
(n + 2)! = (n + 2)(n + 1)n(n - 1)(n - 2)!
En el problema:
6.
(a + 2)(a + 1 )(a )(a - 1)! - (a + 1)a(a - 1)!
(a - 1)1 + a(a - 1)! + (a + 1)a(a - 1)1
N=
Descomponiendo el segundo miembro:
I-----------------------------------1
( X - 1)! ( X + 1)^ = 24(36) = 4 ! (6)'
5.
[(3!)! + 2 ]!-[(3 !) + 1]!
[(3 !)!-1 ]! + (6 )!+ [(3 !)!+ 1 ]!
Resolución;
Haciendo; (3!)! = 6! = a
+ 1)x! = 864
Igualando: x - 1 = 4 = > x = 5
x+1=6=»x = 5
X = 5
Reducir; N =
(x-5)(x~2)(x-4)(x-2)
( x - 4 ) ! [ l + x - 3 + x ^ - 5 x + 6]
= (4)!
(x-2)^(x-4)(x-5)
A = (n + 2 ) ( n + 1 ) n ( n - 1 ) ( n - 2 ) í , ,
(n-2)l
=» A = (n + 2)(n + 1)n(n - 1) + 1
(x-2)'(x-4)(x-5)
Agrupando en la forma indicada y efectuando.
A = (n^ + n - 2Xn^ + n) + 1 = (n^ + n)^ - 2(n^ + n) + 1
A = (n^ + n - 1)^
Se pide /A = n" + n -1
=>
Hallar n en: 4096 =
Resolución:
La expresión puede escribirse;
(2 n -6 )!
4096 =
(n-3)![1x3x5-(2n-7)]
= 4!
( x - 4 ) ! ( x ^ - 4 x + 4)
= 4!
(x-4)(x-5)(x-6)!(x-2)= 4!
(x-2)^(x-4)(x-5)
(X
- 6)1 = 4! ^ x - 6 = 4
X
= 10
<4 ANÁLISIS COMBINATORIO
Parte del Álgebra que estudia a los grupos, ya sea por
el número de integrantes que lo conforman o por et
orden en que están dispuestos y como se diferencian
unos de otros.
Este tipo de agrupaciones se estudiarán en dos con­
ceptos bien definidos permutaciones y combinaciones.
P rin c ip io de ia m u ltip lic a c ió n
Si un evento puede realizarse de n, maneras diferen­
tes y si confinuando el procedimiento se puede pasar
o realizar otro segundo procedimiento de nj maneras
diferentes y así sucesivamente. Ei número de maneras
en que los eventos pueden realizarse en el orden indi­
cado estará expresado por;
n, X Oj X n , ...
2.
¿Cuántas banderas bicolores diferentes pueden
formarse con los colores amarillo, negro y blanco?
Resolución:
Sea el conjunto; {amarillo, negro, blanco} de donde
los bicolores diferentes se pueden disponer así;
amarillo - negro; amarillo - blanco; negro - blanco;
blanco - amarillo; blanco - negro; negro - amarillo
El total de banderas diferentes que pueden for­
marse es 6.
Es decir;
V5=6 o V2=3x2
Ejemplo:
Una persona tiene 3 pares de zapatillas y 2 pares de me­
dias. ¿de cuántas formas diferentes puede colocárselas?
■’r" factores
Resolución;
zapatillas (pares)
V" = n ( n - 1) ( n- 2) .
En general:
medias (pares)
O también:
La primera zapatilla puede usarla con las medias x o y
(2 maneras diferentes), igual la segunda y la tercera, es
decir, en total habrán;
3.
3 x 2 = 6 formas diferentes de usarlas.
P rin c ip io de la a d ició n
Sí un evento (1) puede realizarse de n, maneras o for­
mas diferentes y otro evento (2) puede realizarse de n2
maneras diferentes; pero no puede pasarse del evento
(1) al evento (2). Entonces el total de formas diferentes
que puede realizarse el evento (1) o (2) estará dado
por; n, + nj
Puede tomar uno de los 2 colectivos de 2 formas dife­
rentes o uno de los 3 ómnibus de 3 formas diferentes.
En total de; 2 + 3 = 5 formas diferentes.
V ariaciones
Se llama variaciones, coordinaciones o regias de n ma­
neras tomados de k en k a los diferentes grupos que
se puedan formar con k elementos de tal manera que
un grupo se diferencia de otro en un elemento o en el
orden de sus elementos.
Ejemplos:
1.
Sean los elementos a. b, c, d.
Entonces las variaciones de 4 elementos tomados
de 2 en 2 serán;
ab
ba
ac
ca
ad
da
be
cb
bd
db
cd
do
Como se observa ab, ba son grupos diferentes.
Notación: se denota de la siguiente manera: \C. y se
le© variaciones de n elementos tomados de k en k.
En un campeonato de 10 equipos, un periódico
deportivo ofrece un premio al que acierte la cla­
sificación final de los 3 primeros equipos. ¿Cuán­
tas soluciones debe enviar un aficionado para que
asegure el premio?
Resolución:
Sea abe el equipo ganador, en ese sentido prime­
ro, segundo y tercer lugar; bac es otro grupo, por­
que en este caso b es el primero, a el segundo y
c el tercero, como se observa (abe) y (bac) son
grupos diferentes con los mismos elementos, por
lo tanto será:
wio 101 7 1 x 8 x 9 x 1 0
" T T -----------7!
Ejemplo:
Si para ir al cine una persona puede tomar 2 colectivos
o 3 ómnibus. ¿De cuántas formas diferentes podría via­
jar para cumplir su objetivo?
Resolución;
(n-r)!
.-. V',^’ = 720 soluciones
V a riaciones con re p e tició n
Son aquellas cuyos elementos pueden repetirse una
o v a ria s v e ce s, se re p re se n ta p o r V R " n ú m e ro m a yo r
de VR^
Formula:
VR: = n'
Ejemplos:
1.
¿Cuántos números de 4 cifras existen?
Resolución;
Sean los números abcd en que txx! pueden valer
(0; 1; 2; ...; 9) y “a" solo (1; 2; 3; ...; 9); los números
serán de ia forma Ibcd, 2bcd, 3bcd
9bcd. Con
bcd se puede hacer las variaciones con repetición
de 10 objetos tomados de 3 en 3.
V ;" = 10^ ^ 1000
En total será 9 x 1000 = 9000 números
Hallar el número de boletos distintos posibles en
una jornada de tas apuestas mutuas de fútbol en
que se juegan 14 partidos.
Resolución:
Entiéndase que en un partido de fútbol existen 3
posibilidades:
Si el equipo 1 gana, se marcará el 1.
Si el equipo 2 gana, se marcará el 2.
Si ambos empatan, se marcará el x.
Analizando, observa que se trata de variaciones
con repetición de los elementos 1; 2 y x, tomados
14 a 14, es decir, el número de posibilidades para
los boletos a emitirse estará dado por:
Para nuestro caso: V
boletos.
= 3’“ = 4 782 969
P erm utaciones
Se llama permutaciones de n elementos a los diferen­
tes grupos que se pueden formar con todos tos elemen­
tos, de tal manera que un grupo se diferencia del otro
en el orden de sus elementos.
Ejemplo:
Sean los elementos a, b, c, entonces las permutaciones
de 3 elementos serán: abe, acb, bac, bca, cab, cba.
Notación: se le denota de la siguiente manera: P„, y se
lee permutaciones de n elementos.
que A y E son inamovibles eso significa que solo
los tres centrales (B; C y D) son los que pueden
cambiar de ubicación, entonces el número total de
formas estará expresado por:
P3 = 1 X 2 X 3 = 6 formas distintas
4.
Con las cifras 0; 1; 2: 4, ¿cuántos números de cin­
co cifras no repetidas pueden escribirse?
Resolución:
Aquí habría que considerar que el O es cifra no sig­
nificativa si figura como primer numeral, en conse­
cuencia, habría que descartar las posibilidades de
la
Oabcd
Que son: P4 - 4! = 24
Luego, el total de fíL'merales con cinco cifras no repe­
tidas estará dado por:
P5 - P, = 5! - 4! = 120 - 24 = 96
Como se ha observado se restan todos los nume­
rales cuya primera cifra es O,
En total son 6 las formas diferentes en que pueden
colocarse.
P3 = 3! = 1 X 2 X 3 = 6
P erm utaciones c irc u la re s
Son agrupaciones donde no hay primer ni último ele­
mento por hallarse todos en una línea cerrada se repre­
senta P í se demuestra.
Ejemplos:
1.
P'=(n-1)!
¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse
Juan y Carlos en una carpeta de dos asientos?
Resolución:
Las formas pueden ser Juan y Carlos o Carlos y
Juan en ese orden, es decir, 2.
Pero: 2 = 1 x 2 = 2!
P2 = 2!
2.
¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse
las tetras a, b, c?
Resolución:
Sea el conjunto a, b, c, los diferentes grupos de
tres elementos que se puedan formar son: abe,
bca, cba, cab, acb y bac.
En total son 6 las formas diferentes en que pueden
colocarse: P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6
De los ejemplos 1 y 2, puede deducirse y se de­
muestra que las permutaciones de n elementos
tomados todos a la vez estarán dados por:
P. = n!
¿De cuántas formas pueden colocarse los cinco
delanteros de un equipo de fútbol si los extromos
permanecen invariables?
Resolución:
Asumiendo que los delanteros sean A, B, C, D y E,
si tuviesen la disposición que se indica, se obs erva
Ejemplo:
¿De cuántas formas se pueden disponer 5 muchachos
para formar una rueda?
Resolución:
Pg = (5 - 1)! = 4! = 24 maneras.
P erm u ta cio n e s con re p e tició n
El número de permutaciones de n elementos con la
condición de que en todas, los elementos b,, bj, bj,
b„ entran, respectivamente, a,, 82, 83...... a,, veces es:
p :3^32.33
ai.
ni
a ila jla a l.-a J
Ejemplo;
Hallar el número de permutaciones distintas que se
pueden formar con las letras de la palabra COMPUTA­
DORA.
Resolución:
Hay 2 letras A y O; hay una letra: C, M, P, U, T, D, R,
total 11 letras, luego:
11! = 9 979 200
2 !2 !
C om binaciones
Se llama combinaciones de n elementos tomados de k
en k al número de maneras en que se pueda agrupar los
n elementos en gnjpos de k elementos cada uno de tal
manera que cada gaipo se diferencie por lo menos en un
elemento.
Resolución:
4!x5x6x7
0 ' = 7!
= 35 maneras
314!
6x4!
Número combinatorio:
C om binaciones co n re p e tició n
índice superior
Se define:
índice inferior
Ejemplo:
c:
=
Se lee: combinaciones de n elementos tomados de k
en k.
¿Cuántos productos diferentes, cada uno de tres fac­
tores podrán obtenerse con los cuatro factores primos
2; 3; 5; 7?
Ejemplo:
Hallar el número de maneras en que se pueden ao^^psr
4 elementos a, b. c, d en grupos de 2, de rr,añera que
cada gnjpo se diferencie en un eler^i^nto.
Resolución:
Según el enunciado, nada se opone a que en los fac­
tores primos de cada producto haya dos o tres factores
iguales.
Resolución:
Sea el conjunto = a, b, c, d.
Los grupos serán, ab, ac, ad, be, bd, cd.
Dos productos solo podrán ser diferentes cuando ten­
gan factores distintos, luego los diferentes productos
serán las combinaciones con repetición de 4 elementos
tomados de 3 en 3.
6! = 20
cr: = C U
313!
De donde ©n: Cj = 6
Tratemos de expresarlo en fundón de 4 y 2:
r'*
4x3x2x1
02-3x2x1—
----------
4!
4!
2! x2!
De aqui se tiene como consecuencia la siguiente re­
lación:
Fórmula matemática:
c:: =
51
3! 2!
30!
28! 2!
n!
(n -k )!k !
5x4x3!
3! 2!
5x4
2
donde: n, k e Di
n>k
=
10
30x29x28!
= 15x29 = 435
28! 2!
Estos productos son:
2 x3 x3 =
2x2x2= 8
2X 3X5=
2 x 2 x 3 = 12
2x3x7=
2 X 2 X 5 = 20
2X 5X 5=
2 X 2 x 7 = 28
3X 3X 7=
3X 5X 5=
3x5 x7=
3x7x7=
'
k factores
Qr, ^ n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)
'
1 x 2 x 3 . . ,k
4x3
fs
C5f0 = 50 X 49 X 48 = 2 5 x 4 9 x 16
1x2x3
p 7
/ X 6 X 5X 4
7
C.-:j
x2x3x4
5x5x5=
5 x5 x7 =
5 x 7 X7 =
7 x7 x7 =
2 X5
2 X7
3 X3
3 x3
X7 =
X7 =
X3 =
x5 =
125
175
245
343
Donde; n e IR a k e E
Solo cuando n e IN; C¡J =
n
k
'
Ejemplos:
c u
7\
3/
7 x 6 x 5 = 35
1x2x3
1/1 .\/1
1/2
4
1x2 x 3x 4
-2
3
(-2)(-2-1)(-4)
1x2x3
24
-2x3x4
1x2x3
i)
^128
.
= 35
Ejemplo:
¿De cuántas maneras se puede escoger una comisión
de 4 personas de un grupo de 7 personas?
70
98
27
45
Coeficiente bínómico [( )]
________k factores
n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1)
n
Se define
1 x 2 x 3 ...k
k
Forma simplificada
ni
c: = ( n- k)
! k!
n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . ( n - k + 1) ( n - k ) l
( 1 x 2 x 3 . . . k) ( n- k) l
63
75
105
147
18
30
42
50
Propiiedades de lo s n ú m e ro s c o m b in a to rio s
1.
( '" existe si y solo si n g Z*. k g 2Z a n > k
2.
C" ^
(combinaciones complementarias)
Resolución:
Ejemplos:
Sumando las dos expresiones se tendrá:
■ c l^ c l
S + k^C^, + C l + C l + C] + C l+ ... + C ^ + CVs
.
c;; = c:_„ = CS = 1
3.
c; ; = c "
4.
Cí=n
5.
C^ + Ck*, = C^, I
el
, = cs= 1
el
Ejemplos:
•
6.
3.
Degradación de índices
3)
s = C“ - k
c +c! = c;
c^' + c ¿ " - c ¡ ’
Reducir:
^
j^Cf..,
, x( x+ 1) , x{ x + 1)(x + 2) ,
2!
3!
Ejemplos:
^
Resolución:
Cx- 3^ > L ^ C ‘
- gCs
Cada sumando representa a un número combina­
torio; es decir:
b)
E - c ' + O,- + c r ’ + c r ' + c r ' +... + c r " * ’
Ejemplo:
C: =
cr'
- C . - ^ ¿-/-s
Cs
• C^ =
C)
n- k
C".-.
Ejemplo:
, ^9 _
7.
9 /-%8 _ 9/^8
9 -4
5^
4.
Si: Ca = C^, entonces: a = b v a + b = n
Calcular n en:
c r , '+ c
1.
= ^(c^n-^ - c:_-; - c ^ :;)
si: 3n - 6
m -I- 2
Efectuando y agrupando convenientemente;
Reducir: F - c ; f + C f° + Cf ° + ... + c ;“ “ °
1 0 0
C|^-2 +
sum andos
c:_,
Resolución:
Utilizando la propiedad 2 (combinaciones comple­
mentarias): Ck = C"_k
+ 2[CÜ'_,' +
+
'] +
2c:
+
+ 0™+,'] = Cjn-?
c:.,
=cr^,
Desdoblando: 2C|^ = C" +
c : _ , + c : + c : + c : , , = c^;_^.
La expresión puede escribirse:
F = c : ” + C f ° + C f ' ’ + . „ + C ¡ ° ““
Por propiedad:C^ + C¡^.,1 = Ck’ i ; se tendrá:
Por la propiedad 4: C, = n
c :^ v c :,v ^ c^^,
F = 100 + 200 + 300 + ... -H 10 000
F = 100(1 + 2 + 3 + ... + 100)
^
1 0 0 ( 1 0 0 )(1 0 0
+
c:;,-
1)
•
valor de: S = C?e + C¡® + ... + Cg’ + C® + C l + C2
n + 1 = 2 n - 7 = » n =
8
• n + 1 + 2 n - 7 = m - h 2 » 3 n - 6 = m-i -2
(No puede ser por la condición del problema)
F = 505 000
Si; C^+C® + C^ + C ;°+... + C??=k, calcular el
= cr_^.
De donde por propiedad:
2
2.
E = cr*
Resolución:
Ejemplos:
1.
x(x + 1)(x + 2)...(x + n - 1)
n!
5.
H a lla r e l m e n o r v a lo r q u e d e b e to m a r
expresión: A =
C"
Co
O,
n p a ra
q u e la
C"
^ . sea un entero positivo.
Cj
Resolución:
Transformando los numeradores a través de la for­
ma práctica; al igual que el denominador (en los 2
primeros se utilizan propiedades).
n ( n -1 )
n
1 x2
n(n-1)(n-2)
1x2x3
n (n-1)
4(x - y + 1) x - y + 1 + 1
C L , = 5CV - 2
y -1
y
4(x-y-t- 1) x - y + 2
(2)
= 5
y-1
y
(1)en ( 2 ) : ^ = | -
y-9
E n (1 ) : X = 17
1 x2
« BINOMIO DE NEWTON
De donde para que la expresión sea entera;
D esarrollo del binom io de Ne%»ton con exponente
n a tu ra l (n € IN)
11n - 7 =6
Sabemos:
De los conjuntos de valores que puede tomar el
menor es 48. es decir: 11n - 7 = 48
n= 5
(x + a)’ = (X + a) = Cj,x + C¡a
(x + a)^ = x^ + 2ax + a^ = CqX^ + Ci^xa +
(X -H a)^ = x^ + 3xa^ + 3x^a + a^
(x + a)^ = CqX^ -h C?x^a -h Cjxa^ -f- C^a^
Calcular n a partir de:
nCÍ ^ 2(n-1)C^ ^ 3 ( n - 2 ) C ’ ^
Cq
C"
(X + a)"* = x'“ -1- 4x^a + 6x^a^ + 4xa^ + a"
= 204
C"
(x + a)^= Cpx" + Cíx'a +
Resolución;
En general:
Aplicando la propiedad:
(X + a)" =
m - n + 1c^
+ x=a^ + C^xa’ + C^a“
Cgx" + C"x'' 'a + C2X ^a^ + ... + Cp_iXa
+ C^a
Forma práctica del desarrollo de un binomio
2 (n -1 )Í^ ^ C Í
CS
3 (n -2 )< ^ ^ C ^
(X + a)" =
x^ + 4x'a
^ (n -r^
Donde los coeficientes se calculan con la relación:
f 3' + 2^ + 1' = 204
n(n + 1)(2n + 1)
Se sabe que: 1^ + 2^ -i- 3^ + .
^ n(n + 1)(2n + 1) ^ ^04
Dándole una forma adecuada al segundo miembro:
n(n + 1)(2n + 1) = 8(8 + 1)(2x8) + 1)
Se tendrá:
n= 8
7.
Resolver:
C'_,= C¡;
' E x p . d e la
base
té rm in o a n te rio r
C o e f. d e un
té rm in o c u a lq u ie ra
a®
C o e f. d el
té rm in o a n te rio r
(n ú m e ro d e té rm in o s q u e le p re c e d a n )
T riá n g u lo de Pascal o T a rta g lia
Es un triángulo formado por los coeficientes del desa­
rrollo del binomio de Nevi/ton. Así tendremos que;
9 x 17
n(n +1)(2n + 1) = 8 x
4xa^ + a"
(X + a)* = x^ + 5x‘*a + 10x^a^ + lOx^a^ + 5 xa “
•= 204
n^ + (n - 1)^ + (n - 2 f +
+ 6xV +
Cí
•..(O
4CJ = 5C:
Resolución:
En la primera igualdad, transformando el segundo
miembro utilizando ia propiedad:
x - ^
X- y + 1
1=
(X + a f =
(x + a)’ =
(x + a)' =
(x + a)’ =
(X + a)“ =
(X + a)^ =
(X + a)® =
(x + a)’ =
^
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
6
7
1
3
6
10
15
21
1
4
10
20
35
1
5
15
35
1
6
21
1
7
Es recomendable utilizarlo para potencias menores o
iguales a 10.
Cálculo de) término general
En el desarrollo general:
2y = X + 1
..(1)
En (II) utilizando la propiedad 2 veces consecutivas
en el primer miembro:
4C: = 5C’
, = 5Cy - 2
(X + a)" = CqX" + C','x'' ’ a 4 - CjX"
Se tiene;
ti = CcX" a'^
t^ - Cíx" " ’a
+ ... -i- C"
t = C^x"
- 1"~
En general;
a
(fórmula del término general)
•
Cuando n es impar (3 dos términos centrales)
tr,H
Ejemplos:
1.
En
(X
t. = '
+ a)“ °, calcularte
I. I
Resolución:
.
_
t.
Uoc * 1~
2.
p 6 60U
0U ^500 - 400^400 _
'- '4 0 0 ^
d
/^ 5 0 0 ^ 1 0 0 _ 4 0 0
— ^400*
a
E! polinomio desarrollo se caracteriza por ser com­
pleto y ordenado respecto a sus bases (en forma
descendente respecto a la primera y ascendente
respecto a la segunda). Además de ser homogéneo.
3.
Si la base es el binomio suma, los términos del de­
sarrollo serán positivos todos; pero si es el binomio
diferencia serán alternados (positivos los de lugar
impar y negativos los de lugar par).
4.
5.
Solo cuando e) exponente del binomio sea par
existirá un número impar de términos; y en conse­
cuencia habrá un solo término central que tendrá
!a propiedad de tener los exponentes de sus bases
respectivamente iguales.
I
De donde:
Suma de los lugares impares:
cs + C 2+ C4 + ... + c;:_i = 2"-'
Suma de los lugares pares:
C" + C 3+ C 5+ ... + Cp = 2’’ '
Suma de coeficientes de (x - a)" = O
Sabemos que;
• Término de lugar (k + 1) contado de izquierda a
derecha normalmente esta dada por:
•
Término de lugar (k + 1) contado de derecha a
izquierda, es decir a partir del extremo final:
exponentes = ( a
P)
n(n + 1)
Form ula del té rm in o m áxim o de un b in o m io de
newton p a ra determ inados valores de x y a
Para calcular e! término, debe cumplir la siguiente re­
lación;
'n - k + r
:t ) > '
siendo el t,,,, el máximo.
Ejemplo:
Hadar el lugar que ocupa eí término de máximo valor en
el siguiente desarrollo (3 + 2x)'^ cuando x = ^
Resoiución:
16- k \ / 2x7/ 2' > 1
Los coeficientes de los términos equidistantes de
los extremos serán respectivamente iguales (por
combinaciones complementarias).
6. La suma de coeficientes de (x + a)" estará dada
por; Cq + Cí + ^2 + .- + C" = 2”
7.
10, En(x“ + a")"
El número de términos del desarrollo estará expre­
sado por el exponente binómico aumentado en la
unidad.
2.
m)"
r términos
. .. .
(n + r - 1)l
Numero de términos = -i—n
tttn ( r - 1)
- c r.(x T -^ “ ( y T -
Leyes del d e s a rro llo d e l b in o m io
c)" es;
(n + 1)(n + 2)
2
En general, si se tuviera; (a + b + c + d +
En (x^ + yy^. calcular tj.
= t,„ _ ,
2'
El número de términos de (a h
Resolución:
1.
^ ~ ^k 1
Cálculo de la posición dei término central (n expo­
nente del binomio).
• Cuando n es par (3 un solo término central)
t,a= C ? ,X "-V ^
-1 — C^,x
®
7(16 - k) > 3k
k < 112 ^
10
10
Como nos interesa el máximo valor, este satisface para
el mayor valor entero de k, es decir k = 11. Entonces el
término máximo será k + 1 = 12,
.'. El término de máximo valor ocupa el lugar 12,
Ejemplos:
1.
En el desarrollo (5 + 2x^)" el coeficiente del término
que contiene a x'^ es 15 veces el coeficiente del
término que contiene a x^®. Hallar el valor de n.
Resolución:
Cualquier término del desarrollo estará expresado
por t k . i = C:(5)"-^(2x')^= CÍ5"-^2^x' ^
El coeficiente será: CJ 5" “ 2^
Por dato; 3k = 33 => k = 11
c;',5^- 11 2“'^
Luego el coeficiente será: C",5''
También por dato: 3I< = 36i =* k = 12
Luego el coeficiente será: 0^25"
CÍ25"De (1) y (2) por dato:
Cí , 5" - " 2” =
12 2 ^ 2
(1)
Por dato:
¿ ^ 6 ''^ ’ = 6
C’ 3 <— '(2)^
.( 2 )
’'2'^
Luego: x - 12_
5.
6
•. X = 9
Si un término del desarrollo:
1
B(x) =
es 3 ^2'
Degradando el indice inferior del segundo miembro:
Calcular m.
^ 2:^n-11
Resolución:
Efectuando la expresión que hace de base:
Hallar el término independiente del desarrollo de:
íx^
Entonces:
B(x) =
Resolución:
= 8"(x® + x’ ®)"
Cualquier término del desan’ollo estará expresado por:
De donde:
t,_, - C ^ i x Y - ' ^ i x - y =
t , . , - c ¡ n x r “ (x-' "r
=
,..(1)
t^ ., = 8""
Para que sea término independiente:
26 - 2k -
Pero: S'" C™ = 3 x 2' ^
Por condición: 8m - 16k = O
En (I): C;^ = 13x12x11 x 1 0 x 9 x 8
1x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
Calcular el coeficiente del término dei desarrollo
del binomio (1 + x f ° que es el doble del coeficiente
del término anterior.
Resolución:
Del problema: t,,, = Cf(1)“ ’ "x“ = C f x ‘
20 k-1
= Cf_,(1),20-k • 1„k-1 = c k-1"
Por inspección: = m = {2; 4; 6; 8}
Para m = 4; se tendrá: 2'^ x 2 x 3 =
.-. m = 4
6.
Determinar (a + b) en la expansión de:
B(x: y) =
4x^"
y“ -"
de modo que admita un
solo término central cuya parte literal sea x^’’ y’^,
b ; 4x
Ck 1—^6 —2 0 x11x92xx138xx 41 7x x51x66x 1 5
2\y
( '■ ¿ V _
C f = 38 760
y
2x"
Por propiedad;
20 - k + 1Cf:, = 2Cf_, - k = 7
_
3 x 2’
Resolución;
Por dato: C f = 2 C ¡ \
¿a
k
Reemplazando en (I): 8'" 0^/2 = 3 x 2'"^
CP = 1716
También: t, =
(I)
k= 6
=O
O
'«^(sr
-y
2x^ /
íx*
. C f = 77 520
t, = C : , , ( - 2 r x
Determinar x en /^/2 ■ ^
^/3.
sabiendo que en el
desarrollo del binomio la relación entre ei séptimo
término contando desde e! principio y el séptimo
término desde el final vale 1/6.
Por dato:
da' x^" y'^ = x'"’ ' ’“ y"
Luego;
f
=15
Resolución:
El séptimo término contado del principio es;
• (a - 1)b = 24
a + b = 11
El séptimo término contado del extremo final será:
Hallar el número de términos irracionales y racio­
t. final:
nales que tendrá el desarrollo de: (/x +
= C‘ {3-'''=y ^
= C^,3-'¥'(2)^
Resolución:
Degradando los indices:
Sabemos que las expresiones algebraicas se clasi­
fican en:
D - i (nj cs V 2 jc r V 3 ^ c r V 4 5 c r '+ . . . + n n c ^
( Enteros (x^; f ; z^)
[Fraccionarios (x' ,y ,z }
D = n(C" ’ + C?-' + C r ' + C r ’ + - + C n i;) =n2" - '
Racionaies (2)
Del numerador;
EA
N = Co + (■* + 2)C? + (1 + 4)C"2 + (1 + 6)CS
irracionales^ (x^'^;
Primero se calcula ei número de términos raciona­
ies y los irracionales por diferencia:
Cualquier término del desarrollo estará expresado
por;
+ ... + (1*C2n)C;:
N
N = 2" + 2n X 2" ■■' = 2" + 2" x n
N.° totai dej
términos I
Reemplazando en la expresión dada se tendrá:
2" + n2"
n2"-
21 - -|k g E; luego; k = 6
D
Para ello el exponente debe ser entero;
k = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42}
Entonces habrá 8 términos racionales.
Luego;
+ Cn
+ 2[C? + 2C2+ 3C 3 + 4C4+ ... + nCn]
Donde: O < k < 42
Calculando ei número de términos racionales:
N.° de términos'
irracionales f
— Cq + C" + C2+ C 3 4- C4+ ...
10.
2" ( n+1)
2" ( nx2'
2 + 2n
45
22
• • ri 44
n QFI Qn Qfl
Qfl
Reducir:S = ^ + ^ + ^ + ^ + . . . + ^
Resolución:
'N.° de términos ]
1 racionaies I
(n + i ) s = í = ^ c ; . < í ± l ) c ; + í = ^ c ;
Reemplazando;
+ ([l± l> c ;+ ...+ ín ± :!lc ;
4
^
n +1 "
n.° de términos irracionales: 43 - 8 = 35
8-
(n + 1) S=Co‘ ’ + C r ’ + C 2’ U C3'
Hallar el coeficiente de x y V en ei desarrollo de
( X - 2y + 2 z f
S = 2"*'- 1
n+ 1
Resolución:
Agrupando el trinomio y dándote una forma binómi­
ca: t,., = C ,^x-2y)^-^(2z)"
Luego, cuatquier término dei desarrollo estará ex­
presado por:
t,,,
= C«2^ ( x - 2 y ) ^ - “ z''
La única forma que esta expresión contenga a
ocurrirá si p = 3.
te = C^2=(x - 2y fz ^
+ C " : l- 1
F o rm u la de Leibniz (n e m )
Se utiliza para determinar ei coeficiente de un término
cualquiera en el desarrollo de un binomio elevado a un
exponente natural.
Si queremos calcular el coeficiente de x?’ ;
tará expresado por:
; Xj^ ; es­
>n Z n ! x^.xí^..xL‘“
X, + X2 + X3 + ... + x j = —,—T— ¡— ------ ^
^
^
a,!a2!u3! + ... + aJ
Para el binomio (x - 2 y f en su desarrollo, cual­
quier término estará expresado por;
Donde
a, + a 2 + 03 + ... +
= n
t ^ . , = C^2^C®x'- "’( - 2 y r z '
Analizando para que esta expresión contenga a
y^; m = 4
Finalmente se tendrá;
El coeficiente será;
= C32^C42^ x 'y V
Hallar n en:
CS + 3C?-f5C; + 7C3+... + (2n + 1)C:;
Oí + 2C 2+ 305 + 4C 4+ ... + nCn
45
22
Resoiución:
Del denominador.
D = C U 2C2+ 3Ca 4- 4C 4+ ... + nc;; = n
1.
Calcular el coeficiente de x® en ei desarrollo de:
(1 + 2x - x^)^
Resolución;
C32'C® = 280 X 128 = 35 840
9.
Ejemplos:
X
2" ■ '
El coeficiente estará dado por:
^ 5! /.va,o„Nb,
( i r {2x)‘’ (-x^^
alblci
Donde; a + b + c = 5
1
l l
2
0 3
1
2
2
O
4
1
2 T ( | ^ ( 1 « 2 x)'( - xY +
(1 + X)" s: 1 + nx
(1)'(2x) V x¥ +
Ejemplo:
^ ( 1 ¡ ”(2x)-(-x1’ = 30x=
Calcuiar
Resolución:
Coeficiente = 30
2.
Como: ^/28= 28’ '
Calcular el coeficiente de x' en el desarrollo de:
(1 - 3x - 2x^ 6x')''^
Escribiendo: 28 = 27 + 1
(27+ 1)’'^« 2 7 ( 1 + ^ '
Resolución:
3 ( 1 . i ) , p » 3.03
Donde: a + b + c = k
Cálculo del término general
Pero: a b c k
0 0 11
Si (x + a)'’ =
a+
1102
3 0 0 3 para que resulte x^
El coeficiente será:
( | ) ( - 3)“(2)^(6)
n-2
a2+
n
3
X
Tenemos: t, = (o|^
( | ) ( | - l ) ( - 3 ) \ - 2)^(6)°
-t
'
0!0!1!
n\
2 .) "
t, =
11110!
t, =
( f ) ( f - ' ) ( f - 2 ) ( - 3 ) V 2 ) “ (6)»
"
3! 0101
t. =
t . = (i 9)x" ’V
■
3
3
3
B ino m io de new ton (n ^ im)
Para estos casos se usa el coeficiente binómico:
^n i Xr + /í n x^' 1a
0
1
/n
L
\2
X"
^a ‘
Donde:
Donde deberá tenerse en cuenta las observaciones si­
guientes:
1. El desarrollo de (x a)" es una serie de un número
ilimitado de términos.
2.
fórmula del término general
Es necesario tener el binomio en la forma: (1 + b)"
Ejemplos:
1.
E;emp/os;
/n\
/n\
/n\ ^
n; exponente del binomio
(k + 1): lugar del término
x: primera base
a: segunda base.
Haliar el tj5en {x’ Resolución:
/n\ ,
t., = ( “ ) ( x T “ ( ' ^ r
•
(X
+ a f = x"(1 ^
^
3.
:
-1
a < 1
X ''
X
2.
Si X es pequeño se puede considerar:
(1 - x ^ ' ' 1 • (mx)
Demostración;
t . - t « , , = ( i (i )^ V
'6
■n i r\\
¡ ü \ -, / n ■
.
(1 + x r= lo )M i|^ +l2 r ^!3,r
1 f nx + n (n (1
+
X)
Si X e s p e q u e ñ o :
n(n - 1)x^ o y
2!
1) x ‘
Hallar el séptimo término en (1 + x)
Resolución:
n ( n - 1 ) { n - 2 )x^
^
3!
^Q
'
2
6!
„h h h h h k
1x2x3x4v5x6
t= t
- -21
<4 EL TRIÀNGtLO DE PASCAL 0 TARTAGLIA
El sistema de tabuiadón para calcular coeficientes de
potencias de binomios o triángulo aritmético, rectán­
gulo de Tartaglia o triángulo de Pascal, es uno de los
modelos numéricos más famosos en la historia de la
Malemàlica; lai pareciera inagotable de riquezas mate­
máticas, ofrece una notable correspondencia entre su
simple construcción, los coeficientes del desarrollo del
binomio de Newton y tos relevantes conceptos de com­
binaciones y variaciones del análisis combinatorio y el
cálculo de probabilidades.
Durante la edad media oriental, en China, el matemá­
tico Chia Hsien (1100 d, C,) lo define como sistema
de tabulación para calcular coeficientes de binomios.
En ta obra del matemático chino Chu Shih Chieh
(1270 -1330 d. C ), Ssu - yuan yu - chien (Espejo pre­
cioso de los cuatro elementos) escrita en 1303, en la
primera página aparece un delicado diagrama (ver figu­
ra) del triángulo; la obra refiere su estudio a los “cuatro
elementos" como las cuatro incógnitas figurativamente
llamadas cielo, tierra, hombre y objeto.
Posteriormente, la Alemania renacentista dará a cono­
cer su contenido al mundo matemático europeo en la
segunda mitad del siglo XVI. con el matemático alemán
Michael Stifel (1487-1567) y su obra Arithmetica inte­
gra (1544) considerado como el más importante de los
libros de álgebra impresos hasta esa época (aunque
algunos años atrás, en 1527. un dibujo del triángulo
habia aparecido decorando la portada del libro sobre
aritmética comercial Rechnung del cosmógrafo y mate­
mático alemán Petrus Apianus).
El matemático italiano Niccolo Tartaglia estudia en su
obra, que consta de tres volúmenes publicados entre
1556 y 1560. General trattato di numeri et misure (Trata­
do general sobre el número y la medida) una disposición
numèrica similar que llamó Rectángulo aritmético.
El matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) es el
primero en relacionar rigurosamente los números com­
binatorios con el Teorema del Binomio (ya en alguna
forma conocidos desde el siglo XIV), en un tratado es­
crito en 1653 y postumamente publicado en 1665 (que
incluía también su muy particular método de inducción):
Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo
aritmético), deduciendo nuevas propiedades y aplica­
ciones del triángulo a la teoria combinatoria y a la teo­
ria de probabilidades. En 1886 el matemático escocés
George Chrystal lo denomina Triángulo de Pascal en el
volumen 1de su obra Álgebra.
C o n stru cció n del triá n g u lo
Se ubican los números en un arreglo triangular con
unos ( 1) en el vértice superior y en los lados adyacen­
tes a dicho vértice. Cada uno de los demás términos
resulta de sumar los dos números inmediatamente su­
periores a su izquierda y a su derecha, en una dispo­
sición infinita. Las lineas o filas se enumeran de arriba
hacia abajo y los términos, las verticales o columnas
y las diagonales, de izquierda a derecha, partiendo de
cero y considerando la simetría.
1
1
i t
Estudia ecuaciones simultáneas, ecuaciones elevadas
a exponentes tan altos como el decimocuarto, el algo­
ritmo fan-fan (redescubierto por William Horner y Pao­
lo Ruffini en 1819), la suma de series y progresiones
geométricas y aritméticas, y una disposición del bino­
mio (x -H y)" con los coeficientes dispuestos hasta la
octava potencia, valiéndose para ello el autor dei que
llama método celestial o método m u y antiguo para cal­
cular las potencias hasta la octava inclusive.
1
7
1
1
1
4
10
15
21
2
35
1
1
3
3
5
6
1
6
20
1
4
10
1
6
15
35
1
5
21
7
1
Diagrama del triángulo de Pascal; en él se muestran las
ocho primeras filas ( de la fila Oa la fila 7).
Algunas propiedades en el triá n g u lo de Pascal
Las tres propiedades siguientes, son textualmente ex­
traídas del Traité du triangle arithmétique de Blaise Pas­
cal y referidas a un particular diagrama con un giro de
45° con respecto al actual.
1
2
1
1
1
3
4
3
4
5
6
10
10
20
15
6
21
7
28
36
35
56
84
5
15
35
70
126
8
1
6
21
56
126
1
1
7
28
84
9
1
En todo triángulo aritmético, si dos células son con­
tiguas en la misma bas6, la superior es a la inferior
como el número de células desde la superior hasta
lo alto de la base es al número de células desde la
inferior hasta abajo inclusive.
En todo triángulo aritmético, la suma de las células
desde una fila paralela cualquiera es igual al núme­
ro de combinaciones dei exponente de ia fila en el
exponente del triángulo; propiedad que lo relaciona
con la teoría combinatoria.
En un juego de dos jugadores, a cada uno de los
cuales le falta un cierto número de partidas para
terminar el juego. Encontrar mediante el triángulo
aritmético el reparto que hay que hacer (si quieren
separarse sin jugar), teniendo en cuenta las parti­
das que le faltan a cada uno.
Resolución; tómese en el triángulo la base en la
que haya tantas células como partidas les falte a
los dos juntos; a continuación, tómense en esta
base tantas células seguidas, comenzando por la
primera, como partidas le falten al primer jugador, y
lómese la suma de sus números. Por tanto quedan
tantas células como partidas le faltan al otro juga­
dor, Tómese de nuevo ta suma de sus números.
Estas sumas son la una a la otra como tas ven­
tajas recíprocas de los jugadores. Esta particular
propiedad, relaciona al triángulo de Pascal con el
problema de determinar las apuestas entre dos ju­
gadores que juegan varias partidas.
Las propiedades que se proponen luego hacen re­
ferencia al diagrama que se usa en la actualidad y
que mostramos a continuación:
1
1
2
1
1
1
1
1
6
8
10
28
35
56
1
1
5
6
15
21
35
70
1
4
10
20
15
21
7
6
4
5
1
3
3
56
1
7
28
numero
c,
Los unos en el vértice superior (o fila cero) y los
lados adyacentes son fácilmente verificables me­
diante:
9
1
El término situado en la fila n y la columna m es el
1
8
1
filaO
fila 1
fila 2
fila 3
fila 4
fila 5
fila 6
fila 7
fila 8
n
/n
n
0
- i°
0„
= 1, para todo n > O
Si la simetría bilateral, consecuencia de la relación.
n
n- m
que expresa la igualdad de los números colocados
simétricamente respecto del eje vertical (eje de si­
metría del triángulo). Todas las filas son simétricas
respecto a dicho eje, pues la propiedad de simetría
se consen/a al pasar de una fila a otra.
La enésima fila contiene n + 1 términosLa diagonal nula da el equivalente en el espacio
cero y solo puede concebirse como formada por el
punto (ei vértice) en el que aparece el número 1.
La primera diagonal está formada exclusivamente
por unos ( 1).
La segunda diagonal está formada por los núme­
ros naturales.
La tercera diagonal proporciona los números trian­
gulares 1; 3; 6; 10; 15; ... así llamados por ser el
cardinal de un conjunto de puntos que componen
una disposición triangular con n puntos por lado en
el espacio bidimensional. Cada uno de elfos se de­
duce del número triangular anterior sumándote el
número de términos anteriores incluyendo el selec­
cionado.
La expresión del enésimo número triangular
^ ^ nos dice cuántos términos del triángulo de
¿ /
Pascal contiene sus n primeras filas, desde Ja cero
hasta la n - 1.
La cuarta diagonal contiene los números tetraédricos y piramidales o triángulo-piramidales 1; 4; 10;
20; 35; ... que se obtienen por adición de triángulos
sucesivos en el espacio tridimensional.
El enésimo número tetraèdrico está dado por la expresión
ln +
2\
y geométricamente representa el
número de puntos de una red piramidal de base
una red triangular de orden n.
La quinta diagonal 1; 5; 15; 35; 70; ... da el número
de puntos que forman disposiciones triangulares
en el espacio ( n - 1)dimensional.
La suma de los cuadrados de los números de una
fila es igual al número del mismo triángulo.
La suma de los términos de la enésima fila es equiva­
lente al doble 2n de la suma de la siguiente fila n - 1.
La suma de los números de la fila n es 2".
La suma de todos los números situados sobre
cualquier diagonal hasta una cierta posición, es el
número situado directamente debajo y a la dere­
cha.
La suma de las diagonales de menor pendiente for­
man la famosa sucesión de Fibonacci: 1; 1; 2; 3; 5:
8; 13; propiedad no conocida por Pascal, pues
fue descubierta recién a finales del siglo XIX.
Si se eliminan diagonales del lado izquierdo dei
triángulo se obtienen sumas parciales de la suce­
sión de Fibonacci (propiedad descubierta por el
matemático Verner E. Hoggatt Jr.J: si se eliminan
k diagonales, se obtienen las sumas parciales de
orden k de la sucesión de Fibonacci.
PROBLEMAS
■■■O
1.
Si A = {x e Z ' /3
■lOx
indicar el valor de; a
-4196
0} = {abe}
b+c
R e s o lu c ió n :
'lOx
5x
De A: 3Í
;xe2Z= 4196
3
Desarrollando los coeficientes binómicos:
3(10x)(10x- 1)(10x-2) 4196(5x)(5x- 1)
1x2x3
~
1 x2
2(5x)(10x - 1)2(5x - 1) = 4196(5x)(5x - 1)
4(10x - 1) = 4(1049) = 10x - 1 = 1049 ^ x =
105
Luego: A = {105}
.-. a -f b + c = 6
guetes entre 3 niños, de tal manera que cada niño
reciba cuatro juguetes?
Resolución:
N.° de juguetes: 12
•
Para el 1.®' niño; el N." de maneras en que se
le distribuye los 12 juguetes de tal manera que
reciba 4 es:
Para el 2.° niño, el N.° de maneras en que se
le puede distribuir 8 juguetes de manera que
reciba 4 es : C"
Para el 3.“' niño, el N.° de maneras en que se le
distribuirá 4 juguetes de manera que reciba 4 es:
Por principio de la multiplicación, lo pedido viene
dado por: C\- x C®x C4
Calculando c/u se tiene: 495 x 70 x 1= 34 650
3.
Si: C!|' + C2+ C3
n- 1
m
í n -1
\m - 1
dada por M. Stifel (1544), permite calcular recursivamente estos coeficientes binomiales.
Todos los números de la fila n son impares si y solo
si n = 2' - 1 para algún entero r.
Todos los números del interior de la fila n (excep­
tuando los extremos) son divisibles por n si y solo
si n es primo.
R E S U E LT O S
l o * “ "
Resolución:
Sumamos: Cq y C" (C o=C "=1)
=» Cq + CÍ + C2+ + C„
Cn = 30 + Co
Conocido
2" = 30 4- 1 + 1 ^ 2" = 2’
n= 5
C"
En un estante hay 4 libros de Aritmética y 5 de
Geometría. ¿De cuántas maneras diferentes se
pueder^ coger 5 libros de modo que 2 sean de Arit­
mética y 3 de Geométrica?
R e s o lu c ió n :
4 libros de A
5 libros de G
{abe}
2. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 12 ju­
•
La fila n contiene los coeficientes del desarrollo
de las potencias enésimas de! binomio de Newton
(x +
propiedad que relaciona inmediatamente
al triángulo de Pascal con la combinación elemen­
tal y la teoría de probabilidades, Y la expresión:
C|;_, = 30, hallar el valor den.
• N.° de maneras de
• N.° de maneras de
escoger 2 libros
de escoger 3 libros
de A: C5
deG:CÍ
Por principio de la multiplicación, el N.° de maneras
de escoger 5 libros, donde 2 son de A y 3 de G:
C2XC 3 = 6 X 10 = 60
Se quiere seleccionar 5 preguntas de un total de
12, pero 2 de ellos no pueden escogerse a la vez.
¿Cuántas formas existen?
R e s o lu c ió n :
12 preguntas: A. B; C; ...: M
• Si se escoge A y no B = hay que escoger 4 pre­
guntas de las 10 restantes ^ N.° de formas: C''^
• Si se escoge B y no A (similar al anterior =» N.°
de formas: C^”
Si no escoge A ni B € 5°
.'. N.° total de formas: 2Cl° + Cl° = 672
6. Si el desarrollo de (x, X2+ X3+ X4+ Xjf admite 495
R e s o lu c ió n
términos, entonces determinar el número de térmi­
nos que posee el desarrollo de (x, + X2+ X3 + x j ^ :
Por la fórmula de Leibniz;
5!
-If(1 )' A a + p+y = 5
a!p!y!
5! (-1)‘^x“ '^ A a + p + y = 5
alpiyl
R e s o lu c ió n :
En el desarrollo de: (x, + X2+ Xj + x^ + X5)"
N.° de términos =
= 495 =>
= 495
Además, como el término es independiente de x;
a - p = 0 » a = P =»2a+y=5
^ n T 4 = 12 == n= 8 ,
En el desarrollo de: (x, + X2 + X3 +
^•4-1
,
,
N.‘ de términos =
=04 = 03
2
N " de términos =
7.
Por la fórmula de Leibniz, un término del desarrollo
de: {a^ + b - a)“ será:
8!
{ a 'r b V a f A a + k + ¡3 =
u!k!p!
_1)Hg2.-Pb^ A a + k
/x«
Dado el polinomio;
q
- 3x‘
R e s o lu c ió n :
I. El desarrollo tiene 23 términos.
(F)
II. Como n = 22 es par, entonces hayun solo tér­
mino central.
(V)
III. La suma de coeficientes de todoslos términos
es parax=
8. Hallar la suma de coeficientes de los cuatro prime­
1;
=
ÍF)
FVF
11.
Si el único término central del desarrollo de
es 1120x''. Determinar el séptimo térmi­
R e s o lu c ió n :
no de dicho desarrollo.
1
1
= (1 +x)
1 +3x + 3x^ + x^ (1 +x)/-3
/-3 \ 2 /-3 \
1 -3
+1, 1 x . ( 21 X + \ 3
R e s o lu c ió n :
Si ^x^ - -^1 tiene un único término central, entonces
n es par. Dicho término ocupa el lugar:
-3
/-3
2 /^ ( 3
+ 1]
t , - t ( | + l ) ^ C | ( x ') ^ - 2 x - ^ ) ^
-n -n
Comparando la variable = x^
(-3 )(-4 ) . (-3 )(-4 )(-5 )
S = 1 + (-3 )
1x2
1x2x3
S = 1 - 3 + 6 -10 = -6
Determinar el valor del término independiente del
desarrollo de la potencia:
1
5!
O! O! 5!
nos es ^22
r { - 1)'a'°b^ = 420a’V
41212!'
(no hay más posibilidades)
.-. Ei coeficiente es: 420
9.
- 1 )’ = -20
indicar el valor de verdad de los siguientes enun­
ciados:
I. El número de términos del desarrollo es 11.
II. El desarrollo solo tiene un término central.
III- La suma de los coeficientes de todos los térmi-
Además: 2a + p = 10 A k es par; k ^ O
Notar que p a a deben ser pares.
• a = O =í p = 10 (no puede ser)
• a. = 2 -i 3 = 6 A k - O(no puede ser)
• o. = 4 => p = 2 A k = 2
Se pide:
( -3
O
(-1)^ = 30
El TI será: 30 - 20 + 1 = 11
10.
ros términos del siguiente desarrollo;
1
1 + 3x + 3x
1!1!3!'
y = 5 A a = 0Ap = 0 =
En el desarrollo de (a^ + b - a )®, indicar el coefi­
ciente del término de la forma a'^b\ donde k es un
número par no nulo.
alklp!
2 ! 211!
y = 3 A a = lA P = 1 =
^ = 35
1X ^ X J
R e s o lu c ió n
5!
y = lA a = 2 A p = 2
Usando el dato:
= x'“ =■ n = 8
El término pedido es: t? = +C®(x^)^ ( 2 x ' ^
Ct { 2 f X ®
12.
X 64x-
t, = 1792X"
Una clinica tiene 25 empleados profesionales, 4
de ellos cirujanos.¿De cuántas maneras puede for-
marse grupos de tres profesionales donde por lo
menos uno de ellos sea cirujano?
Resoiución:
El N.“ total de maneras en que se pueden agrupar
los 25 profesionales en grupos de 3 es C f .
El N.° total de maneras en que se puede los pro­
fesionales en grupos de 3 sin que participe ningún
cirujano es C f .
Luego, ei N.° de maneras en que puede formarse
grupos de 3, donde por lo menos uno de ellos sea
cirujano es
- C f = 970
13. Determinar el coeficiente del término
en el
desarrollo de (x^ +
Resoiución:
Supongamos que el término en
ocupa lugar
k + 1,
De: (x^ + y^)'“ == t,. , - C f
■■(y^)'
_
=>
4
ij
-1 —
_
r2 0 „4 0
X
2k ,,3 k
y
De aqui; 40 - 2k = 28 => 3k = 18 ^ k = 6
Coeficiente pedido: C f
14. Los exponentes de x en el desarrollo <Jel binomio
16. Si el décimo término del desarrollo del binomio
(x'’ + x*")" es x’®. hallar el valor de (q + n).
Resolución;
De: (x^ + x T ^
Por dato: t,o = x’' ^ t,o = C^x‘’‘"
De aquí: Cg = 1 =» n = 9
p(n - 9) + 9q = 18 =» q = 2
= x'"
q + n = 11
17. Determinar el tio3del desarrollo de:
Resolución:
De: (x* ^ tio3 ^ CX(x')= (3/y)'“ (lugar impar)
, , _ p104 6 34
- - ‘ 103 “ *^102* y
18. En la expansión de (4x^ + 3y^)"; la suma de los
grados absolutos de todos los términos de su ex­
pansión es 275, determinar el valor de n.
Resolución:
Del desarrollo de (4x^ + 3y^)" se tiene:
2 de grados de todos los términos:
n(n + 1)
= 275 (Dato)
2
n(n +1)
1
|x + -^ ^ 1 van disminuyendo de 8 en 8. el tér­
= 55 =í n(n + 1) = 110
De donde: n(n + 1) = 10 x Ti
mino de lugar 13 es independiente de x. Hallar el
número de términos de su desarrollo.
Resolución;
Desarrollando se tiene:
(X m ^
/
3 jn
^
^
Exp. de X
19. En el desarrollo del binomio (1 + y f ^ ios coeficien­
n (X^)” ~^ ( x ' +
...
mn - m - ^
O
Por dato: mn - (mn - m - y ] = 8
m+
3
mn
-
n= 10
tes de los términos de lugares 2m + 1 y m + 2 son
iguales. Determinar dichos lugares.
Resoiución:
De: (1 + y)^'
m- 6
Por condición:
El binomio es: (x® + x^)"
- t,3 - C Í^ (x Y '’^ ( x " T - CÍ,x^"-^^-TI(x)
De aquí: 6n - 96 = O =» n = 16
.'. N.° de términos del desarrollo: 16+1 = 17
15. Si el término n contado a partir dei último término
en el desarrollo de ^x^ +
es px'^ y ^ hallar el
valor de: T = np
Resolución:
Dg: ( x^ + ^ [ ^ t^ = CÍ_,(x^)"-'(y-^)'
Posibilidades:
• 2m = m + 1 = m= 1
(Incorrecto)
Se trataría del mismo término.
• 2m + (m + 1) = 52 =» m = 17 (Correcto)
Los términos son de lugares 35 y 19.
20. Determinar el coeficiente de x®en el desarrollo de:
(1 + 3x^ - 2x")®
Resoiución:
Por la fórmula de Leibniz:
61
(r)(3 x 7 (-2 x ‘ )'^ A a + P + y = 6
alply!
Luego: C",_,x^" ’ y'^ =
=» 3(n - 1) = 18 =» n = 7
Cn_, = C "= n = p=s.p = T
... T = 7 X 7 = 49
6!
(3)°(-2)'x^"'"^'* A a + p + y = 6
a!p!y!
Además: 2(p + 2y) = 8 ^ p + 2y = 4
Se nota que p es par a p < 4
•
p = 0AY = 2 A a = 4
6! r{3 )°(-2 )V = 60x®
4! O! 2!'
P = 2 A Y = lA a = 3:
-
•
Resolución:
Aplicando en el problema;
(4n)!!= 2^"(2n)!
(2 n -1 )!l = - í 2 ^
2" \ n - 1)!
Reemplazando nos queda:
3 íf^ (3 ) V 2 ) V - - 1 0 8 0 x ®
p=4
Y = 0 A a = 2:
A
El c o e f ic i e n t e d e X® s e r á :
2"[(2n)!f
60-1080 + 1215 = 195
21. A qué exponente se debe elevar el binomio
+
si el término de lugar 11 de su expan­
sión es de grado 20.
Resolución:
^ 2"(2n)!x2^~’(n -1 )!
2^"(2n-1)l
^ 2”(2 n )(2 n -1 )!x2 ^-’(n -1 )!
2"'(2n - 1)!
2"x 2 x 2'’ '^x n(n - 1)!
Supongamos que el exponente sea n:
-h ■ l ' j
De aquí: t„ = C ío (x'r'’'’ ( ¿
^ G{t„) = 2(n - 10) - 10
Por dato: 2(n - 10) - 10 = 20
n = 25
22. Determinar el valor de n en la siguiente igualdad:
1 + 2(2!) + 3(3!) + ... + n(n!) = 719
Resolución:
Tenga en cuenta que: [ al + a(al) - (a+1)l]
Sumemos 1 a ambos miembros en la igualdad
dada, se tendrá:
1_+_1 + 2(21) + 3(3!) + 4(4!) + + n(n!) = 719+1
21 +2(21) + 3(3!) + 4(4!) + ,„ + n(n!) = 720
3!
4!
2^"xn!
= n!
25. Determinar el valor de n en la siguiente igualdad:
[3(3n'+ 10n + 8)](3n + 5)!(3n + 4)!
= 108!
(3n + 5 }!-(3 n + 4)!
Resolución;
Como; 3n^ + lOn + 8 = (3n + 4)(n + 2)
Reemplazando
3(3n + 4)(n + 2)(3n + 5)!(3n + 4)
= 108!
(3n + 5)(3n + 4 )!-(3 n + 4)!
(3n + 4)(3n + 6)(3n + 5)!(3n + 4)!
= 108!
(3n + 4)!(3n + 5 - 1)
=> (3n + 6)(3n + 5)1 = 1081
(3n + 6)!
,•, n = 34
= 108! => 3n + 6 = 108
26. Determinar el coeficiente de x'® en el desarrollo de:
, , 1 »30
IX + - 1 , dar como respuesta la suma de sus cifras.
Resolución:
Sea k + 1 el lugar del término que contiene a x’®.
Entonces: t^., = C“ (x')’°“ (x')' = px'®
(n + 1)l = 6!
n + 1= 6
2 - ( 2 n ) !x - í2 ;i^
2 "-'(n -1 )l
n= 5
= px'® ^ 90 - 4k = 78
k- 3
Luego, el coeficiente será-
23. Determinar la suma de los valores de n que verifi­
can la siguiente igualdad:
^ Cf
b(n!) —y
= 80
Resolución
Hagamos; n! = x = x(x - 321) = 80(5x - 9)
^ x' - 721x + 720 = O^ (x - 720)(x - 1) = O
De aquí:
Si X = 720 =^ n! = 720 =» n = 6
Six = 1 =>n! = 1 =>n = 0 v n = 1
2 de los valores de n: 6 + O + 1 = 7
P- Cf -
1x2x3
.'. Suma de cifras: 4 + 6 = 1 0
27. Determinar n + r, en:
C" + 3C^ 1+ 3C"_2 + CP_3 37 —r
C^, + 2C" 2+ C"_3
*
r
Resolución:
Trabajemos por separado con el numerador (N) y
denominador (D) de la 1 fracción.
Desdoblando se puede escribir:
24. Determinar una expresión equivalente al simplificar:
2'‘[(2n)!f
(4n)!!(2n-1)ü
N = C" + C"., + 2C"_i + 2C"_2 + C"_2 + Cí’_3
N=
c r'
2C^^'
+
C^-;
N=
c " * ’ + c ":; + c^*,'+ c":-
N=
c""" + c : : f =
D = Cf_, + Cf_2 + C"_ 2
D=
c " :;
N.° deben contener 2 ases
-
Son ases
No son ases
C^
X
Cf = N
D=
+
Reemplazando
31. En el desarrollo del binomio
n+3
C"
37 - r
n+3
r
37- r
37 - r
r
Pertanto:
M+
N
18 864
¿qué lugar ocupa ei término independiente de x?
Resolución:
I ■, 1 \20
De: ¡ X - con n = 20
r= 34
28. Determinar el valor de J = 3x + 7y, si se cumple:
C*_, - CJ ; 4Cy - 5Cy_2
Sabemos que; tj,_, = C^(x^)"' ’'(l/x)*'
f
_ r'20/v3\20 Uk
* _ ^20 60- 4k
- 1 ~
Resolución:
J
^ + 1 “
'- 'k
SI es término independiente, entonces el exponen­
te de X debe ser cero (0);
60 - 4k = O « 4k = 60 =» k = 15
.-. t«,, =tig ^ Iugarl6
De C*.., = C’ ; única posibilidad:
y - 1 + y = x « x = 2 y -1
...(I)
De 4Cy = 5Cy,2Í reemplazando/;
4CJ^'’ = 5 C fV
32. Hallar el término independiente del desarrollo de:
De4Cy''’ ' = SCy^//; degradando:
Resolución:
^ 4(y+ 1 ) - 5 ( y - 1)
y -9
(II) en (l):x = 17
J = 3(17) + 7(9) = 114
...(U)
^ +7 )
-
=
t, = t,_ ,- C Í( x ') " - ^ ( ^
29. Determinar el valor de x en el siguiente igualdad:
C f., + Cr_,
Cf.2 + Cf_2
19
16
Si t^., 1es independiente
^ 2n - 4k = O = 20 = 4k => k = 5
Resoiución:
Por combinaciones complementarias:
2x
- C!’ x^
__
CK+1“ ^x-1 ’ ^* +2“ ^x-2
2Cf_,
Reemplazando tenemos;
2CÍ
Sabemos que; c r =
n - k -t-
Aplicando en el numerador:
(2x) - ( x - 1 ) + 1^2x
19
X - 1
16
X
t, = ('10;__10l = 252
5! X 5!
19
16
33. Hallar el octavo término en el desarrollo del bino­
mio (x' I- y ' Y -
1
Resolución:
Sabemos que:
x+2
x- 1
19
16
= 17
30. Se considera una baraja de 20 naipes repartida en
cuatro colores, cada color se compone de 5 nai­
pes: as, rey, dama, valet, diez: se denomina mano
a todo subconjunto de 5 naipes elegidos de esta
baraja. Obtenga M + N, si:
M es el número de mano distintas.
N es el número de manos distintas que contienen
dos asesResolución:
M = Ni.®d e m a n o s
d is tin ta s =
C=°
= Ck(x^)"” ''(y”^)''
Si: k = 7; n = 10 ^ t^., = C^°(x^)’“ - V V
tg = 120x®y'"’
34. Los coeficientes de 2‘’^ 3®' y 4." términos del desa­
rrollo del binomio (1 + x)" forman una progresión
aritmética. La suma de los 10 primeros términos de
esa progresión es
Resolución:
Desarrollando el binomio
(1 + x)" = CS + C"x +
+ C^x^ + ...
=> C,;C2;C 3 forman una PA
Luego; 2C2 = Oí + Cj : n > 3
^
'** - n I
» 6(n^ - n) = 6n + - 3n^ + 2n
=» - 9n^ + 14n = 0 =» n(n - 2)(n - 7 ) = 0=»n = 7
Luego, los términos indicados de la PA son:
c ; =7; C l =21;
= 35
=» a, = 7; 82 = 21; 83 = 35 =» r = 14
|2(7)+9(14)]
—
o
C ^ ^ ^ g + C : ¡ : ¡ = 84
= 84
C r : + C ^ ’ =84
ni
= 84
3 !(n -3!)
39.
n= 9
Determine el valor de x si el tercer y sexto término
d e |- 3 x + -|J suman cero.
S,„ = 700
Resolución:
35.
Si el coeficiente del término de grado 14 en el bino­
mio (x^ - 3x)'° es a. resolver: ax - 3® = 0
De: (-3X + I ) '
Resolución;
Por dato; tj + tg = O
De: (x^ - 3x)’°
( - 3 x ) ^ j|
2l
3)V
v , = f “ )(x r-(-3 x )" =
(-3 x f + ( |
Por dato: 30 - 2k = 14 =»
10
: - 3 f x '‘ = ax'
a = 45 X 3®
Al resolver: ax - 3 = 0 =» x = 3®
a
36.
=0
Si en el desarrollo del binomio
(- 3 x )^ + (|l
40.
3®
45x3®
+—
tiene
X
solo un término centrai de la forma a x ^ ’*. hallar
el valor de ab.
=
X=
0
2
9
En un circo, un payaso tiene a su disposición 5
trajes multicolores diferentes. 6 gorras especiales
diferentes y 3 triciclos. ¿De cuántas maneras pue­
de seleccionar su equipo para salir a la función?.
Resolución:
En el siguiente gráfico, se representa los elemen­
tos que dispone el payaso para su función.
Trajes
Gorras
Triciclos
Resolución:
El desarrollo del binomio tiene b + 1 términos, para
qua tenga término centrai, entonces b es par.
Como la elección de cada uno es independiente de
la elección de los demás, se aplica el principio de
la multiplicación:
b -5
W n tra l “
■y
S(a-1)
5 X
-i=
Igualando exponentes:
^ _ |( b -5 ) - 1 5
A
=E1T
|( a - 1 ) = 3
b=6
A
3 (a -1 ) = 3 ^ a = 2
Nos piden: ab = 6(2) = 12
37. Los coeficientes de los términos de lugares 7 y 5
del desarrollo del binomio (x + y)^" son iguales,
donde n e IN. Hallar n.
Resolución:
De: (x + y)^"
Recordar: t,, , = C f (x)^''“ ^(y)^
De dato: Coef. tj = Coef. t,; Coef. t, ,, = Coef. t«,,
^ C f = C f ^ 4 + 6 = 2n
n= 5
38. Si C;¡:I + C;::' + C;::; =84, hallar n.
Resolución:
Por propiedad; Oí + 0^,, = CJlJ
6
X 3 = 90
41. En un Congreso de estudiantes de ingeniería se
está realizando un taller en una sala de exposicio­
nes. donde participan 10 estudiantes, los cuales
deben agruparse en 3 gnjpos: 2 de 3 personas y el
último de 4. ¿De cuantas formas se pueden agru­
par los 10 estudiantes?
Resolución;
Para formar el primer grupo, se eligen 3 de los 10
posibles, esto es; C3° = 120. En el segundo grupo,
se eligen 3 de los 7 restantes, esto es; C3 = 35. El
último grupo de 4 se forma con los 4 que no han
sido elegidos, sólo hay una forma. El total de for­
mas en que se pueden agrupar viene dado;
120X35X
1
=4200
42. En una reunión 10 amigos desean ordenarse para
tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de
enamorados que no desea separarse, ¿de cuántas
maneras pueden ordenarse?
Resoiución;
La pareja de enamorados, A y B, es considerado
como un solo elemento, luego con los 8 restantes
se tendrá que ordenar 9 elementos; y esto viene
dado por = [9 = 9!
A su vez la pareja puede ordenarse como AB o BA,
es decir de 2 formas posibles. Por tanto el número
total de formas que se pueden ordenar es:
9! + 9! = 2 X 9!
43. En una reunión cumbre entre los presidentes de 10
países de América del Sur, el día final de sesiones
deciden retratarse para la posteridad. ¿De cuántas
maneras pueden disponerse los 10 mandatarios,
si los presidentes del Perú y Ecuador por voluntad
propia no desean pasar juntos.
Resolución:
La cantidad de formas en que se pueden ubicar los
10 presidentes, sin que el de Perú (P) y Ecuador
(E) estén juntos, se calcula restando at total de for­
mas en que se pueden disponer los 10 presidentes
(P,o = 10!), la cantidad de formas en que los pre­
sidentes de P y E estén juntos. En este caso, se
considera a P y E como un solo elemento, habría
9 y las formas de disponer sería 9!, pero también
se puede tomar ei orden E - P. con el cual también
habría 9! form as.Luego la cantidad pedida será:
10! - (9! + 9!) = 10 X 9! - 2 X 9! = 8 X 9!
44. Seis compañeras de la Universidad se encuentran
en un evento tecnológico.
Determinar, ¿cuántos saludos se intercambian
como mínimo, si 2 de ellas están reunidas?
Resolución:
Considerando que cada persona que asiste al
evento, saluda a los demás, se calcula la cantidad
de formas en que se pueden agrupar de dos en
dos, esto es: C® = 15 formas, pero como ya hay 2
reunidas, ellas no se han saludado en el evento.
Como minimo el número de saludos será:
15 - 1 = 14
45. La compañía de teléfonos desea averiguar cuántas
lineas adicionales puede instalar en la serie 531, si
se sabe que hasta el n:^o^:^ento no ha usado 2 cifras
para las últimas 3 casillas y 5 para la cuarta casilla.
Observación: El número telefónico dispone de 7
casillas.
Resolución:
Realizando el gráfico correspondiente a ios núme­
ros telefónicos con 7 caracteres.
5
3
1
i
5
4.
2
i
2
4.
2
Del esquema, la cuarta casilla podrá ser cualquiera
de las 5 cifras no utilizadas, y las últimas 3 casillas
podrá utilizar las 2 cifras que no se han empleado
hasta el momento.
De aquí 5 x 2 x 2 x 2 nos da la cantidad de nú­
meros de 4 cifras, existiendo una línea telefónica
adicional por cada número de 4 cifras,
n.° de líneas teléf. adicionales; 5 x 2 x 2 x 2 = 40
46. En un programa de concursos en la TV se presen­
ta un juego que consiste en abrir 4 puertas con­
tando con un juego de 7 llaves. ¿Cuántos intentos
como máximo dispone un participante para ganar
el premio?
Resolución:
Al tratar de abrir la primera puerta, podrá realizar
7 intentos, uno por cada llave que tiene; como s©
desea el mayor número de intentos posibles enton­
ces la primera puerta se abre con la llave de lugar
7. Para la segunda puerta, tiene 6 llaves posibles
(ya no se considera la que abrió la puerta anterior)
y podrá realizar 6 intentos como máximo y para
este caso abrirá la segunda puerta con la llave de
lugar 6, y así sucesivamente.
El mayor número de intentos será;
7 x 6 x 5 x 4 = 840
47. Un turista europeo desea realizar un tour en el Penj.
Para tal efecto ha contactado con una agencia de
viajes: la cual le ofrece una estadía en 8 ciudades,
5 de la región andina y 3 de la región costeña. Pero
por el tiempo del que dispone dicho turista solo de­
sea visitar 6 ciudades. ¿De cuántas maneras puede
seleccionar dichas ciudades a visitar, si 4 ciudades
andinas son punto obligatorio de visita?
Resoiución:
El turista puede viajar a 4 o 5 ciudades andinas,
luego se tendrá los posibles casos;
• Viaja a 4 ciudades andinas y 2 ciudades coste­
ñas.
C !x C | = 5 x 3 = 15
*
Viaja a 5 ciudades andinas y 1 ciudad costeña
CjXC,^ = 1 x 3 = 3
El total de formas que el turista puede seleccio­
nar las ciudades que va a visitar será: 1 5 + 3 = 1 8
48. En una reunión entre 5 compañeros de colegio que
se encuentran después de 10 años de haber egre­
sado, ellos van acompañados de sus respectivas
esposas. ¿De cuántas maneras pueden disponer­
se en una mesa circular si siempre deben estar
hombres y mujeres en forma alternada?
Resolución:
Sentando primero a las esposas, alrededor de la
mesa circular, se tiene Í5 - 1 = [4 = 2 4 . Luego,
quedan 5 lugares alternados para que se sienten
los varones y esto se realiza de [5 = 120.
El total de formas diferentes obtenidas es:
24x 120 = 2880
Determine una expresión equivalente al simplificar
49.
2 '’ [( 2 n ) ! f
( 4 n )!!(2n -1)!!
Resolución:
• (2n)i! = 2 x 4 x 6 x 8 x ...(2n)
De otra forma: (2n)ü = 2n(n!)
• (2n - 1)1! = 1 x 3 x 5 x 7 x ... X {2n - 1)
De otra forma: {2n - 1)!! = —
2'’ -'ín -1 )!
•
(4n)*! = 2^"{2n)5
Reemplazando nos queda:
2 l(2 '')!f
2"(2n!)2" n - 1)1
(2 n -1 )
2""(2n - 1)!
2'"(2n)!x
,
2 - '{ n - 1 )
2"(2n)(2n- 1 )!2 "-\n - 1)1.
2^72 n - 1)!
2"{2)2"-'n(n-1)!
50.
2^"n! = ni
Cuántos números pares y mayores que 5 x 10^ se
pueden formar con los dígitos: 1,2,3,4, 5, 6, Si no
hay repetición de dígitos?
Resolución;
Dígitos a usar: 1. 2, 3, 4, 5, 6; los números pares
mayores que 500 000, que se pueden formar con
dichos dígitos, necesariamente tienen que empe­
zar con la cifra 5 o 6.
Es decir, los números son de la forma:
5abcde o 6abcde
Caso (1)
Sabcde
Se puede
Por ser par, solo pue­
perm utar
de tomar 3 valores
de 4! = 24
maneras
=» Cantidad de n.‘ : 1 X 24 X 3 = 72
Caso (2)
6abcde
Similar al
Como la 1.® cifra es par, e
caso (1)
puede tomar sólo 2 valores
=> Cantidad de n.° = 1 x 24 x 2 = 48
La cantidad total de n° pares mayores que 5x10®
es: 72 + 48 = 120
puede acomodar si la condición es que tres libros
específicos Jamás deben estar juntos.
Resoluctón:
El número de formas en que se puede ordenar los
libros es: Pg = 9!
El número de formas en que se pueden ordenar los
9 libros de manera que 3 de ellos siempre estén
juntos (los 3 hacen como un solo elemento) es:
P; = 7!, pero entre los 3 se pueden permutar.
^ n.° total de formas: 7! x 3!
Lo pedido es: 9! - 71 x 3! = 332 640
52. Timoteo se encuentra en el origen de un sistema
cartesiano rectangular de ejes OX y OY. Él puede
dar solo un paso a la vez, para el norte (N) o para
el este (E). Cuántas trayectorias puede recorrer, si
da exactamente 4 pasos?
Resolución;
Lo puede realizar de ia siguiente manera:
Primer paso
2 formas
Segundo paso 2 formas
Tercer paso
2 formas
Cuarto paso 2 formas
Como: n.° de trayectoria o n.° de formas
.-. n.° total de trayectorias: 2 x 2 x 2 x 2 = 16
53. Cuántos números de tres dígitos, sin digitos repeti­
dos, pueden escribirse con los digitos del conjunto
{3; 4; 5; 6; 7; 8}
Resolución;
Dígitos a usar: {3; 4; 5; 6; 7; 8}
Números a formar:
abe
*1'•i'4'
n.“ de valores que puede tomar —*-654
Cuando "a” toma cualquiera de los 6 valores, en­
tonces, “b" puede tomar cualquiera de los 5 restan­
tes mientras que “c" solo podrá tomar cualquiera
de los 4 valores restantes.
Total de n.° de 3 dígitos: 6 x 5 x 4 = 120
54. Sobre una mesa se encuentran 10 bolas de fas
cuales 5 son azules, 3 son blancas y las restantes
de color negro. ¿De cuántas maneras diferentes se
pueden colocar dichas bolas en fila?
Resolución;
Este problema corresponde a permutaciones con
repetición, nótese que intervienen 10 elementos
(5 bolas azules, 3 blancas y 2 negras).
=» n.° de maneras diferentes en que se puede colocar dichas bolas en fila es: 10!
55312»
51.
Salvador ordenará nueve libros en la repisa de
su dormitorio. Determine de cuántas maneras los
10x9x8x7x6x5!
51x6x2
55. ¿De cuántas formas diferentes se podrían sentar
en una fila de 7 asientos, 4 hombres y 3 mujeres, de
tal manera que las 3 mujeres siempre estén juntas?
H,
Resolución:
Teniendo en cuenta la teoría de números comple­
jos, Sabemos que:
(1 + / 3 i r = CS + C Í ( ^ i) + C l ( ^ í 3 i f + C5(/3i)^+
H.
Se considera como un
solo elemento.
C 2 (/3 ir+ C ; { i 3 \ f + ... + c : ( / 3 ir
(1 + / 3 i r = Co + -/S iC '-a C j -3-/3ÍC3 + 9C4+
9 -ÍZ \C¡ - 2 7 C I - •/3ÍC? + ...
El n.° de maneras en que se pueden sentar, tal que
ellas 3 siempre estén juntas, viene dado por:
Pj = 5! = 120
Pero entre ellas puede haber intercambio de posi­
ciones y como son 3, entonces, el n.° de maneras
de intercambiar asientos entre ellas es: Pj 3! = 6
Agrupando parte real e imaginaria:
(1 + /3 i)n = (CS+3C2 + 9CÜ-27CS+...) +
( ^ C "-3 /3 C 3 + 9/3C 5-27y3C ; + ...)i ...(a)
Ahora, sea Z = 1 + /3i; lo transformemos a forma
trigonométrica. Se puede escribir:
Lo pedido viene dado por: 120 x 6 = 720
56. Determine el coeficiente del término
desarrollo de: (x^ -i-
y'® en el
+
Z" = (1 + /3i)'’ - 2 '’(c o s ^ + is e n í^ )
Z" - (2'’co sí^) + (2"sení^)i
2^sen^ = /3(C" - 3C^ + 9C^ - 27C? + .,.)
De aquí, despejando el paréntesis:
Coef. pedido: C f
c;* - 3C^ + 9C^ - 27C? + ... = - ^ s e n i^
57. Hallar el término de mayor valor en el desarrollo de
1 1 ','00
12 + 2>') ' cuando: x = 1
59. Hallar el término independiente de x en el desarro-
Resolución;
1
Resolución:
Supongamos que el término independíente ocupa
el lugar k + 1
- t , „ - C?"x^''-^(-x r
Reduciendo: t , ., = C ^(-1 )V "-^ '‘
...(a)
De aqui; 3 n - 3 k = 0 « n = k
(i+x)"^°
Como todos los términos del desarrollo de (1 + x)'“
estarán multiplicados por (1/2)'°“, bastará calcular
el término de mayor valor numérico en (1 + x)’'“ ,
teniendo en cuenta lo siguiente: "
1
t.
Luego, de (1 + x)’™
Cioo^.
t,., = C ^ x ‘ ; t, = C’“ x^-’
> 1
100
1
C;"_',x'
k -1
100- k+ 1xc;°°,x
Degradando:
> 1
f'lOO
'-'k. 1
101
...(p)
De (a) y (P), igualando partes imaginarias, se tiene:
Coef.
De aquí: 40 - 2k = 28 Ì . _ _
3k = i s r “ ®
Para x = 1
^ Z = 2 (cos§-usen f )
Luego, aplicando la ley de Moivre:
Resoiución:
Supongamos que el término en x^® y’®ocupa lugar
k+1;
□e; (x^ + y')'“
Se puede escribir:
hOO x2~
(l50f
58. Calcular: C !|'- 3C3+ 9Cj - 27C5 + ...; n e IN
Resoiución:
Supongamos la distribución:
Hi
Término de máximo valor =
1 = k < 50,5
En (a); t„. , = C r(-1 )"
60.
xr.
TI de x: (-1)"
l3n
l2n la
Siendo n un número positivo, hallar el valor de
T - ^ [c s "-c r+ c r-c ^ "+ ,..+ c ::i
Resolución;
Sabemos que:
i^ = -1 ; i"* = 1, además (1 ± i)“ = -4
Podemos decir que para todo k hasta 50 se cumple
que tk-1 tu, por tanto, el término de máximo valor
es de lugar 51, Luego, para: t = 51. x = 1
Calculemos los desarrollos siguientes:
f1^1 = Vr'°°
— [100
en
—
l^ x [5 0
Sumamos miembro a miembro:
(1+ i r + ( i - i r = 2 f c f + + c y + . . . + c:"í"'’]
(1 +
= C j" + C f ^ + C f
+ C f i ’ + ... +
CT/"
(1 - ¡ r - c r - c r i + c^p-c3^''i"+ ..- + c ::i^
(1 + ¡ r + (1 - i)'" = 2[c^" -
+ cT - c r
Llamemos P
(-4)" + (-4)" = 2p ^ 2(-4)" - 2p
De aqui: (-1)" x 4" = p
Reemplazando en lo pedido:
T = TíTÍ(-'')"x4"] = ( - i r
4
=^TI: 2 4 - 4 k = 0 = k = 6
TI = t, = C^2V = 28X4 = 112
c:^]
65. En (x + l + I + i
+^1
, halle la raíz cua­
drada del coeficiente del tercer término.
Resolución:
■^.T = { - ^ r
61. Hallar el equivalente de:
C ix (1 - X )"” ' + 2C2X^(1 - X)" ^ + ... + nClilx"
Resolución
Degradación de Índices: Ck = ^C^rJ
K
Aplicando en el problema:
nCS” ’x(1 - x)"’ ' + nC"’ V(1 - x)"’ ^ + ... + nC":Jx''
Factorizamos nx y ordenamos:
nx[C5’ (1 - x r ' + c r ’(1 - x r ' x + . . . + C ":lx"-’]
Observe que la expresión dentro del corchete es el
desarrollo de: [(1 - x) + x]" ’ ’
=» nx(1)"’ ' .-. nx
62. Si los coeficientes binomiales
/
\X
4 \
2
/ 4
VU
~^X
equidistan de los extremos en el desarrollo de un
binomio elevado a un exponente n g IN. Halle el
valor de x.
Resolución:
4
Si los coeficientes
X' - X I
2 x -2
equidistan
de los extremos en el desarrollo de un binomio. Se
cumple que: (x^ - x) + (2x - 2) = 4
=> x^ + x - 6 = 0=»x = 2 V x = - 3
Como: (x^ - X ) G IN A (2x - 2) g Dí =»x = 2
63. En (2a -
se cumple que: -p = 1, además en:
(2x + (x + 7)^' + (-7 - x f - 2 f " el término inde­
pendiente es 64, Halle (a + n)"; donde: a > 0; n G IN;
t.,: término enésimo
Resolución:
En (2a - a^)8
- ts = t,
(2af(-a^)^
3i
=> - 8a'^ = - 32a" v a > 0 = » a = 2
En; [2x + (X + 7 f + ( - 7 - x f ' - 2f" = [2x - 21®'
TI = 64 = (-2)®" = 2®" = 2® ^ 6n = 6 ^ n = 1
(a + n)" = 3
5
64.
(2a)^(-a^)^ =
En: |2x + —| , halle el término independiente.
Resolución:
De
2x^ + X
t,., = C®(2x^)®-^U
,
En: (x +
7 110
iC oiflT =
66.
=> Coef t, =
45(X! =
10
l í = 4 5 il
l2.
21/5
Encontrar x, sabiendo que el término central de
1 es
X+ —
, además; x > O
X
4
Resolución:
En el desarrollo de ^x + ^ j ; t'C^nirdl
Pero, como hay 9 términos
■X\''
.. x = 2
,4
t,■central
(t)
67. Un coleccionista de artículos precolombinos ha Ido
a exponer sus mejores cerámicas Nazca. Dicho
coleccionista ha decidido presentar 8 cerámicos
de los 10 de su colección. ¿De cuántas maneras
puede seleccionarlos. 5/3 de ellos no pueden faltar
en la exposición?
Resolución:
Sean los cerámicos A, B y C los que no pueden fal­
tar en la exposición, como se ha decidido presentar
8, entonces quedaría por seleccionar 5 cerámicos
de los 7 que quedan; esto viene dado por;
.
— 7x6
1 x2
68. Un agente vendedor de productos farmacéuticos
de primera calidad visita diariamente 5 farmacias
en el Centro de Lima. Para no tratar de dar prefe­
rencias a uno u otro establecimiento ha decidido
alterar el orden de sus visitas. ¿De cuántas mane­
ras puede hacerlo?
Resolución:
La primera farmacia que visite el vendedor, pue­
de ser cualquiera de las 5 indicadas (5 formas de
elegir), la segunda solo puede ser elegida de los 4
que han quedado (4 formas a elegir) y así sucesi­
vamente.
Ps = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
69. En un simposio organizado por la Municipalidad
de Lima participan 4 alcaldes del Cono Norte y 3
alcaldes del Cono Sur, los cuales están ubicados
en una mesa rectangular dando de frente al público
asistente. ¿De cuántas maneras pueden disponer­
se los alcaldes, si los burgomaestres de un mismo
Cono no pueden estar separados?
Resolución:
Según el enunciado, los 4 alcaldes del Cono Norte
deben sentarse juntos, a la derecha o a la izquierda
de los 3 alcaldes del Cono Sur que también están
juntos. Habría 2 formas en que pueden ubicarse,
pero a su vez, los 4 alcaldes pueden ordenarse de
|4_ = 24 formas diferentes y los otros 3 alcaldes se
ordenan dejs = 6 formas.
.-. El total de formas es: 2 x 24 x 6 = 288
(1 + 5)"’ \ luego nos quedará:
—^ [(1 + 5 f - ’ - c " :,'¡ =
n + 1’'
" ‘
n+
72.
71. Sumar: 5C3-i-
2
5"C^
, ---- + ------ +
3
4
Resolución
( x '" -
(x " + x - " )" "
= - ^ + 1 = 2n + 1
Luego: t, = t^,., =
Por condición:
=
|4n
[2n [2a
|4n _
Í4n
[2n l2n I l2 - n l5 n - 12
=> 2n = 12 - n A 2n = 5n - 12
L = c^:' - c:®
73.
n= 4
Hallar el equivalente de:
^
Cí 2C^ 3C3 4C4
nC"
S = - ^ + —^ + ^ ^ + —^ + ... + — ^
3
3' 3'
3"
3"
Resolución:
Degradación de índfces:
Aplicando en lo pedido se tendrá:
o
nC27—+,
, nCp_i
—
O_
—-------H------ ?----^----3
3^
3^
3"
Extraemos (n/3) y ordenamos asi:
c r v c n i ) ^ c r ’U )+ ...+ c -í(¿ )
La expresión en corchete es el desarrollo de
+■3j
- ®^ i ( l í ’
74.
Hallar2n en:(C:C"2C3...C;;)(1!2!3!... n!)^ = (40 320)®
Resolución:
Reduzcamos e! primer miembro;
(C?C2C3...C")(1!2!3! ... n!)^
_
n!
n!
ni
0,„x(1!2!3l...n!)^
(n-1)!1! (n-2 )!2 l
Aplicando proceso inverso a ia degradación de ín­
dices se tiene;
{n\f
^ ^ [ C r 'x 5 + C2''x5‘ + C r'x5^+ .., + Cn;;x5"’ ’¡
( n - 1)!(n-2)!(n-3)!,..1!
X 1!2!3!.,.(n - 1)!n!
=» (n!)" x n! = (n!)" ' ^
Luego, tendremos; (n!)" ' ’ = (40 320)®
PQro: 40 320 = 8! (n!)" ' ' = (8!)®n = 8
2n = 16
Sumamos y restamos: 1 = CS*'=C"Ti
...
+ c :;!Íx5 '’ * '- c : ; ! í ]
Observe que la expresión en corchete exceptuan­
do el último término, viene a ser el desarrollo de
'" + 2 ) '" = [(x " + x - " ) f '
Lugar de
+I!_L4c>5"^
n+ 1 "
^ ^ 1 c" - ' + c r ' X 5 + c r ’ X 5 ^+ c r ’ X
X
Sea te es el término central.
5""'C"
H---------2n+1
Resolución:
Multipliquemos y dividamos por (n + 1). Además
ordenemos convenientemente.
1 n+ 1
CaX5 n Í c í x 5^ + ^ ^ ^ C 2 x 5' +
n+ 1 1
Señale el valor del término central en el desarrollo
de (x^" + X ^" + 2)^" si se sabe que es equivalente a:
[4n
|12 - n |5 n - 12
70. Se han matriculados 5 caballeros y 7 señoritas en
el curso inicial de Química, en el cual las prácticas
se dan en el laboratorio. En dicho laboratorio se
deben formar grupos bipersonales, necesariamen­
te formados por un caballero y una señorita, ¿De
cuántas maneras pueden seleccionarse dichos
grupos si un caballero decide no trabajar con 2 de
sus compañeras?
Resolución:
Sea el caballero señalado como A, se presentan
los siguientes casos:
a) Si A no forma del grupo, se debe elegir un caba­
llero de 4 posibles y una señorita de 7 posibles,
esto es: 4 x 7 = 28 formas
b) Si A forma parte del grupo, falta elegir a la se­
ñorita que acompaña a A, pero no elige a 2 de
sus compañeras, sólo lo hace de 5 posibles,
existiendo 5 formas.
De (a) y (b): 28 + 5 = 33 es el número total de
formas para seleccionar los grupos.
1
75.
Hallar e! término independiente de x en el desarro-
Resolución:
Supongamos que el TI de x ocupa el lugar: k + 1
l. 2[n - (n - 1) In - 1 = [n + |n - 1 ; n e S”
II
In + 1
De aquí: t,_, =
1
|
la
in__
+1
111. ¿ kin ^ In + 1 - 1
k 1
1 8 -3 k
Resolución:
Por ser TIdex =■ 1 8 -3 k = 0 ^ k = 6
I. 2ln_ - nin - 1 + In - 1 = 2(n - (n + In - 1
E n (l):t, = T I = C ' ( | f ( 4 f
r,
76. Sean rn, n y p los coeficientes de tres términos con­
secutivos en la expansión de: B(x; y) = (x + y f
Haliar: a, si: m + 2n + p = Ci“
Resolución:
Los coeficientes de los términos en la expresión
son los coeficientes binomiales. Si m, n y p son ios
coeficientes de tres términos consecutivos, enton­
ces supongamos que:
m = Ck: n = _i ; p = , 2
Entonces en el dato; C®+ 2C®, 1+
2 =C?®
^a +1. ^3-1 ^30
pk3-t2 _ ^30
^ ^k-1 ^ '^k.2 —^t2 ^
—^^2
De donde: a -1- 2 = 30
a = 28
77. Con respecto a las proposiciones siguientes, indi­
car cuáles son verdaderas;
n
In -r 1
'II. I
n + 1- 1
h+1
- In + In - 1
n+1
1
n -I 1 |n + 1
1
1
kk - t i k ± S
k=1
...(V)
...(V)
Ll + l i - [2
k-1
+ l4 -
(3 + ... + In + 1 - |n
= ln + 1 - ll = In + 1 - ll
...(V)
Todas son verdaderas.
78.
Hallar el equivalente de:
T = C" + 3Cj + 5Cj + 7C" + ... + nC„
Resolución:
De la sumatoria se deduce que n es impar Apli­
cando degradación de ambos índices, superior e
inferior, en cada número combinatorio, resulta;
T = nCS ' + nCo’ ’ + nCj ' + nCg ’ + ,.. + n C ^j
T - n { c s ' + c r ' + c^ V c r ’ + ... + c:¡:;}
.-. T = n{2"-^}
P R O B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI
PROBLEMA 1 (UNI 2 0 0 1 - 1)
En la suma combinatoria
n /n - 1
S=
, donde n ^ 3, n g IN
2 )^( 2
Al simplificarse se obtiene siempre:
A) Un número primo
C) Un número impar
E) Un múltiplo de 4
B) Un cuadrado perfecto
D) Un número par
Resolución:
Del problema:
n (n -1 ) ( n - 1 ) ( n - 2 )
1
S = ---- ^— + ------- g
= .^(n - 1)(n + n - 2)
el número de maneras en que puede elegir las 10 pre­
guntas es:
A) 80
D)286
B) 220
E)316
C) 276
Resolución:
Del problema:
T o ta l- 13
menos 3)
l 8 (las restantes)
El número de maneras de elegir 10 preguntas será:
C^xCf + C!xC6+C®xC^ =276
Clave: C
PROBLEMA 3 (LINI 2 0 0 4 - 1)
S = (n - 1)^, es un cuadrado perfecto
Clave: 6
PROBLEMA 2 (UNI 2 0 0 3 -1)
En un examen un estudiante debe resolver 10 pregun­
tas de las 13 dadas. Si tiene que contestar necesaria­
mente por lo menos 3 de entre las 5 primeras, entonces
De 6 números positivos y 5 números negativos se es­
cogen 4 números al azar y se multiplican. Entonces, el
número de maneras en que el producto resultará posi­
tivo es:
A) 45
D) 480
B) 170
E )1080
0 330
Resolución:
Para que el producto de cuatro números sea positivo,
existen tres casos: dos positivos y dos negativos, cua­
tro positivos y cuatro negativos.
1.®'caso: C2XC 2 = 150 maneras
2.° caso: C® = 15 maneras
3.®' caso: C® = 5 maneras
Total de maneras: 150
15 + 5 = 170
Clave: B
PROBLEMA 4 (LN I 2 0 0 4 • II)
En una exposición en el Museo de Arte de París, se van
a colocar en línea 3 cuadros de Picasso, 4 cuadros de
Rembrandt y 2 cuadoros de Van Gogh. ¿De cuántas
maneras puede ser ubicados los cuadros, de modo que
los de Rembrandt se encuentren siempre juntos?
A) 288
D) 17280
B )1728
E) 36 288
C )2880
x
6! = 17 280
Clave:D
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 0 5 -1 )
Para elaborar un examen de 6 preguntas se dispone de
un banco de 5 preguntas fáciles, 4 intermedias y 3 pre­
guntas difíciles. De cuántas formas puede elaborarse
dicho examen si el número de preguntas fáciles debe
ser estrictamente mayor que ias intermedias y el nú­
mero de estas a su vez mayor o igual que las difíciles.
B) 60
E) 274
5
4
4
(D)
3
N.° Preg.
intermedias
N.° Preg.
difíciles
C^xC?xC^ = 4
C !x C 2xC ^= 30
C!xC?xC? = 60
C^xC^xC? = 180
Luego, el total de formas para elaborar dicho examen
es: 4 + 30 + 60 + 180 = 274
Clave: E
PROBLEMA 6 (UNI 2 0 1 2 - 1 )
El dueño de un concesionario automotriz desea vender
todos los autos que le quedan, los cuales son de dife­
rentes modelos, pero en el salón de exhibición entran
solo 3 autos, el dueño calcula que existen 210 maneras
diferentes de ordenar la exhibición ¿cuántos autos le
quedan por vender?
B)5
0
6
C) 120
Resolución:
Según el enunciado, disponemos de:
5 preguntas fáciles
4 preguntas intermedias
3 preguntas difíciles
Debemos seleccionar 6 preguntas además se debe
cumplir:
E) 8
D)7
Resolución:
Por condición del problema:
1.°
2.“
3.“
n
(n -1 ) (n -2 )
Para que los 4 cuadros de Rembrandt estén juntos, se
toma como uno solo. Luego; Pg = 6!
Además los 4 cuadros de Rembrandt pueden permutar­
se entre ellos; P4- 4!
A) 30
D) 180
(A)
(B)
(C)
A) 4
Resolución;
Tenemos:
p,, pj, P3 => 3 cuadros de Picasso
R,, Rj, R3, R4 => 4 cuadros de Rembrandt
V,, V^ => 2 cuadros de Van Gogh
Finalmente: n.° de maneras = 4!
N.° Preg.
fáciles
=
210
n = 7 autos
Clave; D
PROBLEMA 7 (LINI 2 0 1 3 • II)
Un juego de azar (tipo lotería) consiste en elegir 5 nú­
meros diferentes de los primeros 30 números naturales.
Cada persona que participa en este juego compra 26
jugadas diferentes. Calcule la cantidad mínima de juga­
dores que se necesita para ganar el juego.
A )2349
D )6264
B)3915
E)7047
C )5481
Resolución:
{1:2; 3; ...; 30}
E: Cada persona elige 5 números diferentes
Como no interesa el orden, sino el grupo de 5 números
distintos: porejemplo{1; 3: 5; 7: 9}o{2: 4:10; 20; 25}...,
esto se puede hacer de:
C30^ 3 0 x 2 9 x 2 8 x 2 7 x 2 6 ^naneras
*
5x4x3x2x1
Y como cada persona hace 26 jugadas, el número miniC^°
mo de personas para asegurar el triunfo es:
= 5481
Clave: C
PROBLEMAS
n
1.
Indicar la suma de los términos máximos del deP
1
sarrollo de (a + b)" para: a = . ^ , b = - : ^ y n = 6
O
^
32
A)
27
« S
PROPUESTOS
8. Calcular la suma de: 2C- + 8C2+ 24C3+ 64C4+
n sumados
E)N. A.
« i
2. En la expansión de f
|S ( m - „ ) ^ 2 ím .r
vx‘
2 (m . n)
9.
el término cuyo coeficiente es 2C?8n” , contiene a x
3.
B)2
10.
Calcular el valor de k en el desarrollo de: (1 +
de manera que el término genérico t,,,,, sea al mis­
mo tiempo mayor que los términos anteriores y
posteriores en dicho desarrollo.
B)84
E}51
A) 96
D)64
4.
0 3
E )5
11.
12.
E)
n+
1
Sumar;
+
A) 2" ’ - 1
n+ 1
D)
n-
ci
C2
2 + 3
D)
1
4 ■
n+ 1
n+
0)8
Determinar la suma de los valores de n en
(x^ - x y , para los cuales el desarrollo de la ex­
presión anterior admite solamente 8 términos ra­
cionales enteros.
B)60
E) N.A.
O 10
Señalar el lugar que ocupa el término de máximo
Determinar el coeficiente del término del desarrollo
de: ( 2x^ -
A) 495
D) 520
4 (n + 1 )c ;^
13.
B)(n + 2)2"E) n2''
B)
B)2
E)N.A.
en el que los exponentes de x, y ,
z en ese orden forman una progresión aritmética.
Sumar: C^ + 2C" + 30^ + 4 C 3
A )3 "-’ - 1
n- 1
Cuántos términos posee el desarrollo de (x^ + x
Sabiendo que dos de sus términos consecutivos
contienen a x" y x, respectivamente.
valor, al desarrollar (5 + 3x)'®, cuando: x = 4
O
B)4.°
0 9.
E) 6.”
E) N.A.
C"
E )(f)r
A) 7.=
D)3.^
c, f (I)'
B if d í
Efectuar:
0 (^ )6 ^
O 72
(M ^ r
6.
B)
A) 40
D)30
Haliar el coeficiente máximo del desarrollo de:
A ) n2 ""'
D ) (n + 1)2" '
Ai
A)10
D)9
elevando al exponente 12n. Hallar el valor de
A) 1
D)4
o
C"
n+ 1
O 3% 1
n -1
B) 34
E)N, A.
C) 40
El coeficiente de x" en el desan"ollo de (1 - x f" es de
la fonna:, , . Obtener el valor de (a + b + c),
(bn)!(cn)!
'
sabiendo que n es par.
1
2^C'¡
2 ' 3 +
C) 354
Si A, B y C son los coeficientes de tres términos
consecutivos del desarrollo de (a + b)", los cuales
cumplen: A + 28 + C - C^g. Hallar el número de
términos de la expansión del mismo.
A) 39
D)44
14.
B) 201
E) N.A.
2 ^C?
n+
A) 8
D) 10
1
C) 4 ''- 1
n+ 1
15.
8)2
E)6
'
0)5
Señalar cuántos términos fraccionarios admite la
4
expansión de:
A) 11
D) 17
B)2
E) N.A.
24. Indicar el coeficiente de x^^ en la expansión de:
(1 - 2x + 3x^ - x V x')"
C) 30
16. En la potencia de (2 + 3x^)", el coeficiente de x^“
es el cuádruplo del coeficiente de x^^. Señalar el
número de términos de su desarrollo.
A) 20
D) 44
8)31
E)38
C) 17
17. Calcular el valor de a en la potencia de; (^/x
sabiendo que dos términos consecutivos del desa­
rrollo son de igual grado.
A) 4
D)1
8)0
E)N.A.
0 3
B) 10
E) 13
O 11
19. Proporcionar el valor de x que verifica:
^
^
1
,
2
I
3
D)4
C ,
_
x+1
B)2
E)5
A )1
0 3
26. Si el desarrollo de (1 + x + x ) es:
3o + a, + a^x^ + ., + a^x'"
determinar el valor que asume: 83 + a^
D )c " :í-’
E)cr.^
A )-1
D) -n
o ,k p 2 n - 1
B)39
E)42
2
O 40
23x
12
E)N.A.
C)
24
■25
2n >4 , -1
E) N.A
A) C f:V
8) C^"
D )c ;;-’
E) c^"V
23x
12
(2n)l
n!(n - 1)!
gj
(2n)!
C)
n!(n + 1)1
E)
+1
0 )0 "^ "
31. Sumar: {C^,f + 2 { C l f + 3 ( C l f + ... +
A)
X
8)
30. Efectuar: (CJ)^ + (C?)^ + 3 { C l f + ... + n(C:i)^
O 1800
despreciarse. Hallar el equivalente de:
3 - 19x
12
01
E)n
2n
A) I
B) 180
E )1880
8)
O C^
8) O
0 4
23. El valor de x es muy pequeño, de tal modo que
su cuadrado y demás potencias superiores pueden
17x
x+1
Cn-K
29. Efectuar: S = £ ( | )
22. Hallar el número de términos que se debe tomar
del desarrollo de (1 - x)’ ^ para que la suma de sus
coeficientes sea 820.
3
0 6
B )C ^ ^ '
21. Al desarrollar (x® - 1)"(x" + x" + 1)'"(x' - 1)"", se
obtienen 25 términos. Indicar la suma de los expo­
nentes de su desarrollo.
A) 38
D)41
8)7
E)9
A)C"-^
dos términos cualesquiera pre­
8) 3
E)6
A )1080
D )1008
0 32
llo de (1 + x)^ siendo n un número natura! no nulo.
Hallar el valor de:
Cjj —2C" + 3C2~ 4C3+
(-1)"(n + 1)C"
2
sentan igual grado.
A) 2
D)5
B) 512
E)482
A) 672
D)384
28. Si Co,C",C2..-C" son los coeficientes en el desarro­
21
20. Hallar el valor de a, si en la expansión de
( 3- u ^ +
25. En la expansión de (1 - 2xy^ +
hallar el coefi­
ciente cuya parte literal toma la forma x^^ y^.
27. Efectuar: c " + c " - v c r ^ +
2C2-I- 3C3- I - ... + nCp =11 264
A) 9
O) 12
01
8)10
E)N.A.
A) 5
D)8
18. Qué valor de n verifica:
C^ +
A )-10
D )-1
(2n + 1)!
( n - 1)!(n +
1)1
(2n - 1)l
D)
( n - 1)!{n + 1)!
(2n)!
ni n!
32. Reducir: C^C^ + C"Cp,, + CjC ^_2 + ... + CoCo
A ) c '" - "
B)c™,,"
D) C -:;
E)
O c - j;
33.
Reducir:
CoC^oo + C^Cgg’ ' + C2C9e'^+ ... 101 términos.
V m > 100 A m G S"
A)2C™
B)
D)2C?Í
E)2'^q
2"'Cl
0 2X^0
A) 271xV'
D) 278xV°
B) 276xV^
E) 280xV’®
40. Hallar número de
{x -I- y + z + w)^
A) 16
D)18
términos
B)20
E)21
O 277xV'^
del
desarrollo:
O 10
34. Calcular el valor de n, si se sabe que el desarrollo
de
contiene solo 15 términos enteros.
A)21
D)24
B)22
E)25
0 23
41. Si en el desarrollo del binomio {ax® + bx°)", los tér­
minos de lugares (a + 3) y (b - 1) equidistan de los
extremos, además la suma de todos los coeficien­
tes es 27, calcular la suma de todos los exponen­
tes de la variable x en su desarrollo.
35. Hallar ia suma de todos los elementos de la distri­
bución triangular con n filas.
A) 20
D) 14
B) 18
E) 15
O 16
1
3
7
13
5
9
15
17
n'(n+ 1)
2
n"(n+ 1)
2
n^(n^+ 1)
36.
B)
D)
19
D)
n^(n^ -H2n + 1)
A) 103,103
D) 671,125
O
(2m)l
(ml)^
A) 27
D)30
C)
n(n + 1)
’
A) 364
D)367
46.
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
n(n + 1)(2n + 1)
6
0 24
B)9
E) 15
B) 365
E)368
C) 366
Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones:
A) FW
D) FVF
,
'
38. Determinar para qué valor de rt, aparece en el de­
sarrollo de (Va + ^/b + ‘‘/c f un término de la forma
abe
A) 12
D) 8
B)26
E)20
I. 1! + 2! + 3! = 6!
II. Cl = C^ ^ x = 4
III. 31! = 720
n(n+ 1)(2n+ 1)
'
C )266
45. Sea:
P{x) = (1 + x) + (1 + x)^ + (1 + x f + ... + (1 -f- xy^
calcular el coeficiente de x^.
n
P n(n+ 1)
B)232
E)418
E)0
C r ’ + 2 [C2 + C5 ' + ...+c¡]
B)
C) 408.408
44. Dado el binomio (x^ - y^")®, en la expansión un tér­
mino es de la forma a x 'H a l l a r el valor de: a + n
Hallar el equivalente de
A)
B) 240,042
E) 362,362
43. Calcular el coeficiente de x® en el desarrollo de:
(1 + x' + x y
A )182
D)320
B) c ^ ;
m!
( m - i;
42. Suponga que se quiere expandir la expresión
(x + y + z)^’ . ¿cuál es el coeficiente del término
x 'y V “?
n(n + 1)^(2n + 1)
Sumar (CS')' + ( C n ^ + - + ( C f
A) m
37.
11
O 16
39. La suma de coeficientes del desarrollo:
[{x^ + 2xy + / ) Y , es 2^“. Hallar el antepenúltimo
término.
B) VFF
E) W F
47. Calcular el valor de n en:
(n + 2)! + (n + 1)1 + ni
(n+1)! + n!
A) 3
D) O
B)2
E)4
O FFV
^
C) 1
48. Calcular la suma de los valores de x que verifica la
igualdad: C' = 2x
A) 2
D)5
B )-3
E)0
0 4
49. Efectuar la suma:
3 ^ 101-91 ^ 9! - 85
8!
7!
B)276
E)294
A) 270
D)290
58. ¿Qué valor asume n de manera que en el desa­
rrollo de (x" +
el producto de bs términos
centrales sea constante?
2! - 1'
O!
A) 1/3
D)4
C) 285
50. Calcular el grado absoluto del octavo término en el
desarrollo de: (3x +
A )12
D)16
B)17
EÌ13
C)15
51. Hallar eí término que contiene a x” en el desarrollo
y.
A)
D) 620x'V^“
B) 580x'\^
E) 680x'V®
C)610xV
f^ - —
IVI , propor52. En el desarrollo del binomio 3Va'
clonar el término independiente
A )4004
D) -4004
B )3003
E )6006
53. Sea el binomio |
C )5005
+ -^ j . Si la suma de los coefi­
cientes de los términos primero, segundo y tercero
es 46, señalar el número de términos del desa­
rrollo,
A) 8
D) 11
B)9
E) 12
C) 10
54. Hallar el término central en la expansión del binomlo:
A)921x^
D)924x'
B)920x
E) 926x-
0
918X "
55. Determinar el número de términos que son fraccio­
narios en el desarrollo de: | x®- 2x^ +
A) 22
0)25
B) 23
E) 26
|
0 24
56. En el desarrollo del binomio | x - / x , el coefi­
ciente del tercer término es mayor que el coeficien­
te del segundo término en 44 unidades. Calcular el
término que no contiene x.
A) 150
D) 165
B) 141
E) 180
O 161
57. Hallar: S = 3CÍ - 70" + 110^ + ... + (4n - 1)C[:
A) 2'' n - 2" ■' 4- 1
C )2 "-' - 2 " n
E)2"’ ' + 2"-^ + 1
- 2"+ 1
D) 2^n - 2" ■'
C)2
E)6
59. Sabiendo que en la expresión:
C^a"; 3C;a''’ '; S^Cja"-^ ...: SX"
los términos que ocupan los lugares noveno y déci­
mo tienen coeficientes iguales. Hallar su expresión
binómica de origen.
A) { a + 3)'°
D)(a + 3)'^
de: ( x^y-^ + - '
B) 1/2
B)(a + 3)”
E){a- 3 ) ’^
O (a - 3)’'
60. Si se verifica que/i’'* 5 < 2.'5-x-oi4is92
calcular el
número de términos del desarrollo de (a + b + o + 6)“.
A) 28
D)72
B)32
E)81
0
56
61. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar con 10
rectas?
A)210
D)96
B) 120
E)240
O 110
62. Salvador tiene que contestar 8 de diez preguntas
en un examen. Si las tres primeras son obligato­
rias, ¿de cuántas maneras puede escoger las pre­
guntas?
A) 45
D) 18
B)25
E)6
0 21
63. Determinar el número de planos que se pueden
formar con 8 puntos sí se tiene que no hay más de
tres puntos que sean coplanarias.
A) 56
0)8
B) 72
E) 24
0)336
64. El asta de bandera de un barco tiene tres posicio­
nes en las que pueden colocarse una bandera.
Suponiendo que el barco lleva 4 banderas (diferen­
tes) para hacer señales, ¿cuántas señales diferen­
tes pueden hacerse con dos banderas?
A) 12
D)36
B) 24
E)72
0)30
65. Timoteo tiene que acomodar 6 expedientes uno
sobre otro, si hay dos expedientes que no pueden
estar en forma consecutiva, ¿de cuántas maneras
puede acomodar los expedientes?
A) 3600
D)480
B) 600
E) 120
C) 540
66. De un grupo formado por 7 hombres y 4 mujeres
hay que escoger 6 personas de forma que entre
ellas haya no menos de 2 mujeres, ¿de cuántas
maneras pueden efectuarse la elección?.
A) 641
D)371
B)115
E)420
0 271
B)60
E)720
(x" +
8)15
0 20
D)25
E) 75
69. Dos parejas asisten a un almuerzo con otros cua­
tro amigos solteros. ¿De cuántas maneras se pue­
den sentar alrededor de una mesa redonda, si los
miembros de cada pareja se mantienen vecinos?
A) 240
D)720
8)120
E)2880
0 480
70. Hallar el exponente de "a" en el término independiente de x, en el desarrollo de; i x" ■"/a r '
A) 1
8)2
0 4
D) 16
E)20
71. Hallar el término independiente de x en el desarro­
llo de; f 2 x ^ - - lí'
A )7000
D )8020
B )7920
E )5890
0 4720
B)11
0 12
D)13
E)14
73. Si el único término central del desarrollo de
(x +
) es de sexto grado, hallar el coeficiente de
dicho termino central.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A
E
D
A
6
D
8
E
C
B
11.
12.
13.
14.
15,
16.
17.
18.
19.
20.
B
A
A
E
E
D
D
C
E
A
de grado 9, ¿qué lugar ocupa el tér-
mino de grado 17?
A) 6 °
D) 8.
B)5,'
E)9.^
0 4.°
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
C
0
C
B
A
E
D
B
B
B
75. En una reunión hay 40 damas y 20 varones. Se
desea elegir un presidente, vicepresidente, teso­
rero y un secretario. La condición es que el tesore­
ro sea una dama y el secretario un varón y nadie
puede ocupar más de un cargo. Haliar el número
de maneras en que puede elegirse ese grupo di­
rectivo.
A) 2 644 800
D) 3 088 400
8) 2 844 600
E) 3 244 800
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
D
A
C
D
D
C
c
B
B
B
O 2 866 400
76. ¿De cuántas maneras tres argentinos, 4 peruanos,
4 chilenos y 2 bolivianos pueden sentarse, ordena­
damente, en una mesa redonda de modo que los
de la misma nacionalidad se sienten juntos?
A) 3456
D) 41 472
8)6912
E) 165 888
0 20 736
77. En un examen, un estudiante debe resolver 10
preguntas de las 13 dadas. Si tiene que contestar
necesariamente por lo menos 3 de entre las 5 pri­
meras, hallar el número de maneras en que puede
elegir las 10 preguntas.
A) 80
D)285
72. Haliar el grado absoluto del sexto termino en el de­
sarrollo de; (x + 2y^)*
A) 10
O 12
0 120
68. ¿De cuántas formas podemos pedir que nos sir­
van un cono de helado con dos bolitas diferentes o
iguales, si en la heladería hay 5 sabores; vainilla,
lúcuma, fresa, chocolate y limón?
A) 18
B) 15
E)22
74. Si el sexto término del desarrollo del binomio
67. Se quiere seleccionar 5 preguntas de un total de
12, pero 2 de ellas no pueden escogerse a la vez
¿Cuántas formas existen?
A) 286
D) 672
A) 20
D) 28
B) 220
E)316
C) 276
78. ¿Cuántas palabras de seis letras, que contengan
dos vocales diferentes y cuatro consonantes distin­
tas, se puede formar con cuatro vocales incluyen­
do la “e" y seis consonantes incluyendo la “s", de
manera que empiecen con “e" y contengan a “s"?
A) 216 000
E)9600
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
0
C
C
D
A
D
A
D
C
B
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
8)3600
D) 10 800
E
C
0
D
D
D
B
C
B
0
61.
62.
63.
64.
65.
66.
87.
68.
69.
70.
A
A
0
D
D
D
D
B
C
A
0 7200
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
B
D
A
B
A
E
C
B
O
Radicación
D
•H-
a
o
o
Gerolam o Cardano o Girolamo
Cardano nació el 24 de septiem ­
bre de 1501 y m urió el 21 de sep­
tiembre de 1576. Fue un m édico
notable, adem ás de un célebre
m atem ático italiano del Renaci­
m iento. un astrólogo de valía y
un estudioso del azar. Este filósoío y destacado enciclopedista,
fue autor de una de las prim eras
autobiografías m odernas. En
1520, entró en la Universidad de
Pavía y estudió m edicina consi­
guiendo excelentes calificacio­
nes.
En prim er lugar, destaca por sus
trabajos de Álgebra. En 1539 pu­
blicó su libro de aritm ética Prac­
tica arithmetica et mensurandi
singulares. Publicó las solucio­
\talia.l5Dl-Italie, (576
nes a las ecuaciones de tercer y
cuarto grado en su Ars magna.
datado en 1545. La solución a un caso particular de ecuación cúbica x' + ax = b (en notación
m oderna) le fue com unicada a través de Niccolò Fontana (más conocido com o Tartaglia) a
quien Cardano había jurado no desvelar el secreto de la resolución; no obstante, Cardano con­
sideró que el juram ento había expirado tras obtener inform ación de otras fuentes por lo que
polemizó con Tartaglia, a quien adem ás cita. Su libro sobre juegos de azar, Líber de ludo aleae,
escrito en la década de 1560, pero publicado postum am ente en 1663. constituye el prim er tra­
tado serio de probabilidad abordando m étodos de cierta efectividad.
Fuenie; Wihipedia
<4 DEFINICIÓN
Es la operación inversa de la potenciación que se pro­
pone hallar una cantidad llamada raíz, tal que elevado
a un cierto índice nos reproduzca una cantidad llamada
radicando o cantidad subradicai.
"/a = r « r^ = A
El valor algebraico de ''/a tiene n valores y va a ser
igual al valor aritmético de "Va multiplicado por los n
valores de "/T. Así:
=+5
3/8 -1 + V-3
-1 -
Elementos:
I---------- ►
Signo radical
1 " " ^ = r —►Raíz enésima
Cantidad subradical o radicando
Indice 1---------- ►
<4 CLASIFICACIÓN
Radicales homogéneos
<4 RAÍZ CUADRADA DE POLINOMIOS
Al extraer la raiz cuadrada de un polinomio este debe
ser de grado par y debe estar completo y ordenado en
forma descendente, de no estar completo se deberá
completar con términos que contengan coeficientes
iguales a cero.
Se caracterizan por tener el mismo ¡ndice.
El procedimiento es el siguiente;
Ejem plo:
•
V
s x V
;
Radicales semejantes
Se caracterizan porque además de ser homogéneos
tienen la misma cantidad subradical.
•
E jem plo:
•
<4 HOMOGENEIZACIÓN DE RADICALES
Para homogeneizar radicales se calcula el MCM de los
índices, luego a cada índice se le debe multiplicar por
la cantidad necesaria para que sea igual al MCM y para
que no se altere a los exponentes del radicando se le
debe multiplicar por la misma cantidad.
•
Inmediatamente después se baja el siguiente grupo
de dos, de donde el primer término se divide entre
el duplo de la raíz hallada inicialmente, obteniendo
así el segundo término de la raíz, inmediatamente
se le adiciona el duplo y a toda la expresión se le
multiplica por lo mismo pero con el signo cambia­
do, colocando los resultados debajo del grupo de
dos bajado inicialmente.
•
En seguida se forma ei duplo de la raíz hallada y
luego se baja el siguiente grupo de dos, a partir de
aquí se sigue el mismo procedimiento enunciado
en el paso (4) sucesivamente hasta obtener un res­
to de grado inferior al de la raíz.
Ejem plo:
C=
MCM(5: 6; 10; 3; 2) = 30
5x6^>c6y2x6j(6x5^^4.5y5 j^10x3j^7.3^3
Luego; C 3 x l0 /„ 2 x 1 0 ,,5 x 1 0
C=
^
3O^j^20y5O30^j^15y45
E jem plos:
8 „2 0 .,5 „2 1 ..3
. j x , 1' ‘2 y, , 1-x
‘ 'y 'x ‘ 'y^
r
c =
Se coloca el polinomio debajo del signo radical (or­
denado en forma descendente y completo), ense­
guida se agrupan términos de dos en dos comen­
zando por el término independiente, al realizar esta
agrupación siempre sobrará un término.
A este término sobrante: se le extrae su raíz cua­
drada y así se obtendrá el primer término de la raiz.
Con este primer término, primero se forma su du­
plo, luego se eleva al cuadrado y se pasa con el
signo cambiado debajo del primer término del poli­
nomio anulando así dicha columna.
?vvy«
- ■'* ''
- y- 2(ioJx®y^)
<4 VALOR ARITMÉTICO DE t N RADICAL
Es la cantidad real y positiva, tal que elevada al índice
del radical nos reproduzca el radicando.
El valor aritmético es único, asi: /9 = 3
<4 VALOR ALGEBRAICO DE LN RADICAL
Es una cantidad de cualquier naturaleza {reales e ima­
ginarios), tal que elevado al índice radical nos reproduz­
ca el radicando-
1. Hallar Jp . si: P(x) = 9x‘ - 12x^ + 22x' - 12x + 9
Resolución:
JSx"
-9x"
- 12x^ + 22x' - 12x + 9 3x^ - 2x + 3
(6x' - 2x)(-2x)
-12x'* + 22x'
(6x^ 4x + 3)3
+ 12x^- 4x^
18x^ - 12x + 9
-18x' - 12x - 9
0
., VP = (3x' - 2x + 3)
2.
Hallar ÍQ, si: Q(x) = 49x® + 42x® - 61x" - 1 6x^- 5
Sumando (I) + (II); M + /B + M - Vb = 2Vx
Resolución:
Extrayendo la raiz cuadrada a tos polinomios:
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
/49x^+42x® - 6 1 x ‘ - l 6 x ’ + Ox^ + O x - 5
7 x ^ + 3 x ^ -5 x + 1
-49x®
(1 4 x '+ 3 x ')(3 x ^)
0 + 4 2 x ' - 61 x‘
(1 4 x ' + 6 x '- 5 x ) ( - 5 x )
-42x® - 9x‘
(1 4 x = + 6 x ^ -1 0 x + 1 )(1 )
0 -
70x^ - 1 6 x ' + Ox^
2 A + 2 V a ^-B = 4x
Sea: ÍA ^ - B = C
Luego: x = - ^ ;
+ 70x‘ + 30x’ - 2 5 x '
0 + 1 4 x ^ - 2 5 x ^ + Ox - 5
-I4 x ’ -
A + Vb + A/B + 2ÍA^~~- /B^ = 4x
y =
Reemplazando en (1) y (II);
6x' + l0 x - 1
(Ä ± M =
0 -3 1 x ^ + 1 0 x -6
r(x)
-/Q = 7x’ +3x'-5x + 1
±
Donde: C = Va ' - B
Hallar la raíz cuadrada de;
A(x) = X®+ 4x®+ 10x" + 20x' + 25x' +13
c u a d ra d o p e rfe c to
Ejem plo:
Ve+ Veo
Resolución;
^x® + 4x^ + 10x“ + 2 0 x ’ + 25x^ + Ox + 13
x^ + 2 x ^ + 3 x + 4
-X®
(2x’ + 2 x 'K 2 x '')
C = Va ^ - 8 = V64 - 60 = 2
Luego:
+ , [ S 3 = Is + J3
(2x’ + 4 x ' + 3x)(3 x)
0 + 4 x*+ 1 0 x“
- 4 x ' - 4x'*
(2x^+ 4x^ + 6x + 4)(4 )
Regla práctica:
6 x'' + 2 0 x ' + 25x^
6x
-
''-
12x ’
-
Va + b±2Vib = Vi±Vb
9x^
8x^+ 16x^+ O x+13
Ejem plos:
- 8 x ^ - 16x^ - 2 4 x - 16
^7 + 2/12 =V4 + V3 = 2 + V3
-2 4 x - 3
•/Ä = x^ + 2x^ + 3x + 4
4,
A
4x3
4+3
V7-2VÍ2 = V4 - V3 = 2 - V3
Si el residuo de; ^(x+1)"+4(x+1)^-2(x+1)"-11x
es equivalente a (ax + b), calcular ab.
4+3
‘
Resolución:
4x3
V8 + V6Ö =VS + 2VÍ5 =V3+V5
Haciendo x + 1 = a. se tendrá;
JaV4a^-2a^-11(a-1)
-I a“ +4a
2a^ - 11a + 11
-a"
a^ 4- 2a - 3
(2a' + 2a)(2a)
(2a' + 4 a -3 )(-3 )
4a 2a^
-4a^ - 4a^
-6a" - 11a + 11
6a^ + 12a - 9
r(a) = a + 2
a+2
=s r(x) = x + 1 + 2 = x + 3, pero: r(x) = ax + b
Por dato: a x + b = x + 3 = a = 1 A b = 3
ab = 1x3 = 3
<4 mNISFORMACIÓN DE RADKAUS D O B lfS A
SUMA O DIFERENCIA DE RADICALES SIMPIES O
SENaUDS
Prim er caso:
Asumiendo; VA + VE = Vx + /y
/A-M
= Vx - / y
3x5
32
1,1
22
A
2^2
Ejem plos:
1.
Obtener un radical doble equivalente a:
S = JlW T T W - ^ h ? + J2B8
Resolución:
Escribiendo el segundo radical como raíz cuadrada;
ÍzIt + T W -
^288
Para aplicar la regla práctica, el radical deberá ex­
presarse como:
S = ^ V 7 + 2 M - J V i 7+2VT2 =^2(V3+V4)- VVl+VÍ
?+4
Va ± / b
5 ^
3x4
8 ^
8 x9
S - j2(2 + Vf)--Í2V2 + 3
...(I)
S - V4)2/3"
...(II)
3 ^
V3 + 2 V2 = (V 3 + 1)-(V 2+ 1)-V 3 -V 2
3^1 2 Í T
2x 1
Agrupando de la manera indicada.
E = x^{x'-1) + (x^+x + 1 )(x '-x + 1)
E = x^(x-1)(x^ + x + 1)+ (x^ + x + 1)(x^-x + 1)
Elevando al cuadrado y sacando raíz cuadrada:
S=
=
^ 3 - 2 / 6 + 2)
S= h -2 l6
2.
Efectuando los dos primeros paréntesis y los dos
últimos;
E = (x^+ X + 1){x^-x + 1)
Reemplazando;
Calcular X en:
■ ¡X + 4 4 +
14/x - 5 + -/x + 59 + 16Vx - 5 = 17
Resolución:
Dándole forma a los radicales para aplicar la regla
práctica:
Q = ^x"* + x" + 2 + 2
^x + 44 + 2/49(x"^5") +^x + 59 + 2/64(x-5)
Sum a
U§
Producto
+
Suma
=» Vx - 5 = 1
Segundo caso: -/a + Vb + Ve + Vd = Vx + /y + Vz
Donde a, b, c y d serán los datos: x, y, z serán las incóg­
nitas a determinar, esta se hará medíante transforma­
ciones que conduzcan a un sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas, cuyas soluciones darán (valga la
redundancia) los valores de x, y. z.
x=6
Hallar (a + b) en:
¡2 V/5 + 2 + J Í Í ~-~2
/a - Vb
Ejem plo:
VV5 + 1 + /V T -1
Resolución:
Elevando al cuadrado el numerador:
U ^ = ^ { Í J Í +2 + n í ^ f = J 5 + 2 + - Í 5 - 2 + 2Í W
Transformar a radicales simples;
Vi2 + V84 + V24 + / ^
^
N^= 2V5 + 2 = 2(V5 + 1) =» N = V2 VV5 + 1
Elevando al cuadrado el denominador:
D ^ = ( / V ^ + J V ^ } ^ = V 5 + 1+V5-1+2V4
D^= 2V5 + 4 = 2(V5 + 2) => D = / 2 VV5 + 2
Reemplazando; V2 V 2 /7 r7 i = Vi - Vb
V2 V/5+2
Multiplicando por el factor racionalizante (Vs - 2)
en el radicando;
V2
(V5 + 1) (V5-2)
= ^ - Vb
(V5+2) l(/5 - 2)
V2
(V5 + I) (V5-2)
= Va - Vb
(V5 + 2) (V 5 -2 )l
Resolución:
Sea: Vl2 + V84 + V ^ + V ^
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
12+V84+V24-HVM=x+y+z-f2/xy+2V«+2/^
12+2V2T+2/6+2/Í4=x+y+z+2/)^+2V3E‘+2/yz
De donde;
+z=
xy =
xz =
yz =
12
21
6
14
..,(1)
,..(11)
...(III)
...(IV)
Resolviendo (II) (III) y (IV) que verifiquen (I) se tendrá:
x = 3; y = 7; z = 2
Vl2 + Vá4 + V^+V 56 = V3 + V7 +V2
Forma práctica:
^ + b + c + 2Váb+2Vic + 2Vbc = J(Va + /b+Vc)^
= Va + Vb + Ve
i- V 5 ) = Va - Vb
E jem plos:
/ 6 - 2V5 = Va - Vb
1
5+1
i
4.
•
5x1
V5-VT = Vi-Vb
a+ b= 6
a= 5
A
b= 1
Transformar en radicales sencillos:
Q=
+ 1)
/. Q = Vx^ + x+~1 + Vx^-x + 1
7 + 2 / x ^ + 8 = 17
3.
X
P roducto
Producto
+ 764 + V(x - 5) = 17
2Vx - 5 = 2
+ x + 1) (x^ -
Sum a
+ x H 2 + 2Vx® + xÑM
Resolución:
Sea: E = x* + x‘ + 1
Haciendo un artificio se tendrá:
E = x®+ x“ + 1 + x^- x^
'/1O+V24+V6O+V4O = ^0+2V6+2VÍ5+2VTÓ
1 1 4
1
3+ 2+ 5 3x2 3x5 2x5
= V3 + V2 + V5
V14l
2V35 - 2VT4 + 2VTO = -V 7 + Vs + V2
i
7 + 2 + 5 5x7
l
i
7x2
5 x2
Tercer caso: ^/a±Vb = x ± /y
Donde: C = ^Va ^ - B (racional)
Además; 4x^ - 3Cx - A = 0 ; y = x ^ -C
Ejem plo:
Resolución:
^Vi o -/T o8 = X- /To
30
^/675
C = ^/100- 108
C=- 2
4 x U 6 x - 10 = O =. x = 1
y = 1 ^ -(-2 ) ^ y = 3
^ h o --fm
6.
Simplificar:
V2
= 1 -/3
Racionalizando cada fracción tendremos:
18 ^ '/ 4 , 24 „ ^/4 _ 18^/4 , 24^/4 _
Es el proceso que consiste en transformar un denomi­
nador (o numerador) irracional, en otro racionai a través
de un factor denominado factor racionalizante.
Simplificar: ^
Factor racionalizante (F,)
Resolución:
Casos que se presentan
Cuando el denominador es un monomio: en estos
8.
V sxV ?
Resolución;
En este caso, racionalizamos el denominador y
luego simplifícamos la fracción:
Racionalizar:
^
9.
'/ iV
Resolución:
)
e
De modo similar
al anterior:
A(F,) _ A(F,)
’/ ¡ V
3b
abc®/3a^b
^/2^(3a^bc)
A
Racionalizar
y2
AF F'2
A
AFF
La expresión racionalizada es: — ^
x^y
abe ^¡2V \
® /2 ^ \^ ^ V /
^c
^ 3^(5/4^)
2
Cuando el denominador presenta radicales de la
forma *"/a ± *"/b ; para estos casos el factor racionali­
zante estará expresado por la conjugada del denomina­
dor que se empleará tantas veces liaste que el denomi­
nador quede transformado en una expresión algebraica
racional.
Ejem plos:
Racionalizar:
1.
Resolución:
F,
xy
N
5 ^ 1 4 .,3
NR
Racionalizar
N
/á + /b
Resolución;
NF,
x^y
Racionalizar: ’/54
N
/ i + /b
2.
Resolución:
3
Reducir:
V25a^bc
Resolución:
N
/x ’ y
5,/Í2? yz‘
xzVl2x*'y®z^
2xyz
/xz®^3xV^z
i 5^2^x^yz"
Ejem plos:
3
^/54
Reducir:
x> z“
casos el factor racionalizante estará expresado por otro
radical que tenga el mismo índice, pero cuyos exponen­
tes del radicando estarán expresados por la diferencia
existente entre el índice original de la raiz y los expo­
nentes que afectan a sus letras.
3.
+^
De manera similar al anterior:
15^/3 ,
= 5V3+2W
W^/3 ^/3"/9
El factor racionalizante es una expresión irracional, tal
que al multiplicar a otra también irracional la convierte
en una expresión completamente racional.
2.
VÍ6
Resolución:
<4 RACIONAUZACIÓN
1.
_ 3 p v ^ , _ , 4; ^
5x3
30
/i- /b \
N
/a/b\/á-/b ,
Kacionalizar:
NF,
a -b
A
'* /a - ‘'/b
Resolución:
V3^X2"
®/3"x2"
Racionalizar: - 30
■ /^
3^/144 _ ^/Í44
3x2
A
2
Va - “Vb
3.
^/a - ■
’/b \ ^/^ + “/b /\ /á 4- /b
Racionalizar;
N
+
®/y
a -b
Resolución:
N
_
8.
N
.
Racionalizar y simplificar cada uno de los casos
siguientes:
2/2
I
4.
N
Racionalizar:
3
/5 -/2
Resolución:
______ N
/6 + /Í5 + /2 + 75
N .
/2(y3 + 1) + y5(/3 + 1)
N
(/3 + l){/5 + /2) (/5’- 1 ) ( / Í - / 2 )
5.
/2 -/3
Í
Racionalizar:
I.
,—
^—
V36+ 12(/2 + /3 + /6)
^36 + i2(/2 + /3 + /6)
V e ^ e T ^ T fT iT fT iT f
Í
2+
^
,,2 /3 + 3 /2
IV
= (/5 + /2) + 8/5
2 /6 + 6 -6 -3 /6
- / 6
/ 6
12-18
^ -/5
/2 ( / 2 - /5 )
1 .,/2
/2 /2
/2
2
/x-1 + /x+1
/ x - 1 - /x + i
Jé.,
^
/6 ¡{1+/2)-/3]
2-/3F,^
x - i- x - 1
-/3F,,
12 " ~6~^
El denominador racionalizado es 6.
Racionalizar: A =
/2 -/3
■ 2/3-S/2 2/3+S/2
:
~6{3 + 2 / 2 - 3 ] ' 6/2 ' Tf “
ñ
2 /10 + 4
3
-p ^ x ^ ^ Í^ +^ x ^
/5 - / 2 /5 + /2 5 / 5 / 5
M
2
/6.F,^ /2
2-
Resolución:
2/2 ,./5 + /2
• /5 -/2
/5 + /2
2/6F,^
2+/3_^ 2 -/3
VI.
2 /3 - 3 / 2
Analizando cada caso propuesto, tendremos que:
Resolución:
6.
/x - 1 - /x + 1
/)T- 1 + /x + 1
200
/Í25
NRMF,'2_______
NF^ F'2
_ ____
(3 -1 M 5 -2 )
6
____ 2________
2
/6(/3+/2+1) /6((1+/2) + /3]
/2 -/5
/4 -/ÍÓ
IV.
/5 -/2
_ x -1 + x + 1 -2 /)? ^ 2x-2/x^-1
------------ T2
T2
a~í
^
,,,
(2+/3)^
^
(2 -j3 )^
'''■ 'V(2-/3)(2+/3) ^(2 + /3 )(2 -/3)
^ + /3 -/5
4 -3
Resolución;
Agrupando en el denominador de modo que la
suma de los dos prin:>€ros radicandos (2 + 3) den
el otro (5);
F,
6
,.{i/^J^)+J5]
6F, _6F, /6
A=
(/2 + /3)-/5 [(/2 + /3 )+ ^l S+2/6-5 2/6 /6
A=
7,
Reducir la expresión:
3/2 - 2 / 3
/Í0 - /6 + /5 -/3
Resolución:
1
3/3 + 3 /2
Resolución:
6/ 2 + 4/3 + 12/ 2 - 8/3
1
(3 /2 -2 /3 )(3 /2 + 2/3)
3(/3 + /2)
1 8 /2 -4 /3
Agrupando los dos primeros términos y facíorizando /2 en el denominador:
10/ 2 - 3/3
3
/2 { /5 -/3 ) + (/5 -/3 )
10. Racionalizar:
Q=
3/2 + 2 /3
Efectuando los dos primeros sumandos y raciona­
lizando el tercero:
/6F,
Racionalizar: Q =
Q=
2 + /3 ^ 2 -/3 = 4
1
1
{■/5-/3)(/2+1),/5 + /3 1 /2 -1
2(1)
/3 -/2
9 /2 - 2 / 3
(/3 - /2)
/3 - /2
10/2
" 3
/x - y
/x + y - / ^ y
Resolución;
Observando el denominador podemos determinar
la respectiva expresión racionalizante:
h - y
/x T y - h - y
h + y + h - y
Vx + y + h - y
2.
N
Racionalizar:
I
Resolución:
_ J
- y'^ + X - y
X +
11.
y-
x +
X - y + Jx^ -
y
y^
N
_ 6/b \ ^7^ + ^/b A Vi^ + 3 /^ + 3/b^ r
2y
12
Racionalizar:
/5 + / 2 - - Í 3
3.
Resolución:
Agrupando y ordenando de manera conveniente
los radicales del denominador;
Resolución:
P
'/x -V y
12
/5 + (/3 - /2) 12(/5 + /3 - j2)
v'5 - (/3 - -/2) ' -/5 + (/3 - /2) " 5 - (-/3 - -/2)'
12(V5 + /3 - /2) 12(/5 ^ Í 3 - - Í 2 )
5 - 5 + 2/6
”
2/6
^
Racionalizar:
4.
/6
M=
f:r
^ --------(a + b)''^+b'^ (a + b)”^ + a'''
Resolución:
Racionalizando cada sumando:
a(Va + b - v'b)
b(^a + b - -/a)
+ b -r /b)(^a 4 b - /b) { l a T b + 7a)(^a + b - la)
_ aj-la + b - ■ib)
a + b -b
b(Va + b - /¥)
a + b -a
= /a + b - /b - Va + b + /¥ = /a - /b
Cuando el denominador presente radicales de índi­
ce superior: para estos casos debe tenerse en cuenta
las siguientes equivalencias algebraicas:
a^ + b^= (a +b)(a^ - ab + b^)
a"* - b^ = (a - b)(a^ - ab + b^)
a® + b^= (a f b)(a‘‘ - a’b + a^b^ - ab^ + b“*)
a^ - b' = (a - b)(a‘’ + a^b + a^b^ + ab^ + b“)
- b^ = (a-b)(a^+a^b + a V -i- a^b’ + a^b'’ + ab' + b®)
a^ + b' = (a + b)(a®-a^b + a'‘b^-aV+a^b‘'-a b ‘^+b®)
E je m p lo s :
1.
Racionalizar:
A
^ /i + ^Vb
Resolución:
A
/
■Q
1.
PRR
'1 '2
R
'Vio -
3/3 - ^/6 + V2Ò + V5 - VÌ2
Resoiución:
Extrayendo factor común: ^/5 y
en el denomi­
nador:
_____________ 7_____________
(W + ^/4 + 1) - ^/3 (1 + ^/4 + V2)
Simplificar:
“
P
Vx + /y
Racionalizar
= /6 (/5 + /3 -/2 ) = / ^ - . '18-/12 = / ^ + 3/ 2 - /2
12.
5.
M=
F. \/
F,
7
’/2 + ^/4 + 1)(2/5 - ^/3)\ '/2 - 1A '/25 + '/Í5 + ^/9
M=
RrR
1 r2
(2 -1 )(5 -3 )
7R,1Fr2
Racionalizar: N =
xVx + y^/x + ^/x V
Resolución;
Introduciendo x e y a los radicales respectivamente:
N=-= — 4 — r =
+ ^/7 + ' W
Haciendo: ^/x = a
I
a‘‘+a^bVb''
a
^/y = b
1
'a -b \/a + b '
(a^+ab+b^)(a^-ab+bV
A a+b,
N = a ^- b^
a '- b "
AR
PROBLEMAS
Reponiendo x e y: N =
x^-y^
R E S U EL TO S
b
Efectuar: V3 + /8 V3 + -/8
V/2 + 1 VVf 1
3 + /8 = 3 + 2/2 = ( / 2 + 1)^
Resolución;
E= @
E = Í 3 + /S V3 + /8
NF,,F,^
( /2 + 1 ) ( / 2 -1 ) = 1 = / 2 -1 = (/2 + 1)-1
^■¡Í2
í jZ S ± jZ
+ 1®^(-/2 + 1)-'
2_2_2 I
E - ( /2 + 1 ) " ’ 3’ 3’ ®
E - /2 + 1
2.
Dar el denominador después de racionalizar:
E = _______ ^ -----------f\5 +
5.
Resolución:
p _ ( J T + JTÉ + J A - J T s j J ^
Resolución:
^
A
+ - Í T ^ + ■Í2 ^
{Ve + Z s f- /6 - /3 5 ) /2
Factorizando el denominador:
4
E=
/5(/3 + /7) + /2 (/3 + '/7 )
E=
« E=
(/5 - /2 )( /7 -/3 )
4
(/5 + /2 )(/7 + /3 ) ( / 5 - / 2 ) ( / 7 - / 3 )
^ _ 4 {Í5 --Í2 ){^ --l3 )
3x4
(Í5 - ■Í2){J7 ~-Í3)
'
/5 + /3 + / 5 - / 3
6.
3
^
=■
Vsx^ + s x /x '- 1 - 4
Si el polinomio P, definido por:
P(x) = ax®+ bx®+ cx'‘ + 16x^+ 8x^+ 16, tiene raiz
cuadrada exacta, indicar el valor de: a + b + c
^16 + 8x^ + 16x^ + ex' + bx^ + ax®
-16
calcular: T = E(8) + E(6) + E(4)
Resolución;
8x^ + 16x^- ex” + bx®+ ax®
-8x^
- x“
E{x) =
¡ 8x^
- 4 + 2/4x^[4(x^- 1)]
(8 + 2x' + 2x^)(2x^
( c - 1)x% (b-4)x®+(a-4)x® = 0
4x' + 4(x" - 1) = 8x^ - 4
De donde: c = 1 A b = 4 A a = 4
a+ b + c = 9
E(x) / / 4 x ^ + Í4 p ^ T ^
7.
En la siguiente igualdad, determinar el valor de m.
2
E(x) =
hx
1___ = ____ 3___ + ___ i ___
-r
/II - 2 /ÍTÍ
3
__________
3
,
T - ( / 9 - / 7 ) - f (/ 7^; S) + (/5-J3)
T = 3 - - /3
Si el radical doble: ^ax + by + Jxy(ab
admite una descomposición en radicales simples.
Determinar el valor de — .
c
Resolución:
Acomodando el radical doble:
J8~+ 4/3
- /iT i/lf
= 4
3
/ 6 +/2
1
= /5 + /2 + / 6 - / 2 = /5 + /6
/11 -2 /m
1
Je + Js
= J6 - J 5
^ /11 - 2 /r ñ = /11- 2 ^
8.
c
3
Luego;
/by
= (ax)(by) - ^ ( a b + c)
=» 4ab = ab + c =» 3ab = c
/ 5- / 2Í / 5 + / 2 .
/11 - 2/m =
+
( . ^ ± ^ ^ 3(/5+/2)^ ^ ^
J 7 - 2 JÌÒ
( /6 + /2 ) ( /6 - /2 )
i a x + bY + ¡x y (ab"+ c)
= Ja x + by + 2 j ^ ( a b + c) =
/e + 4/3
J 7 - 2 JÌÒ
Resolución;
/x T i+ 7 jr n
Luego: T = E(8) + E(6) ( E(4)
4.
4 + x^ + 2x
(8 + x=)(x=)
16x^+(c-lK+bx*+ax^
-16x"..,
-4x^-4x®
E(x) =
E(X) =
E= 2 ^ = 1
2/5
Resolución:
Extrayendo la raíz cuadrada, pero en orden cre­
ciente por ser exacta.
Sea la expresión:
E{x) -
^8 + 2 J l 5 +
/12 + 2/ 35 - / l 2 - 2 / ^
J f + J5 ~ (J7 - J5)
Denominador luego de racionalizar: 3
3.
- Í6- M
Je +
Í 6 + ITa
+
+ U --/W
Reducir: E =
m = 30
Si el polinomio;
P(x; y) = qx^ - 4x^y + x V + mxy^+ y® - 2xy^ es
un cuadrado perfecto, determinar el valor de m + q.
12. Racionalizar y señalar el denominador racionalizado:
Resolución:
P = qx^ - 4x^y + x V + mxy^ - 2xy'‘ + y®
Es un cuadrado perfecto, entonces;
P(x; y) - [Q(x; y)]^
Identificando los términos de Q:
P(x; y) = [/q x - xy +
x^ + 3x^ + 2x + 1
x (^ ^ ) + x(^/x) + 1
Resolución;
De la expresión, factorizando el denominador:
x^ + x^ + 2x + 1
P(x; y) = qx^ - 2 /q x^y + x V + 2 /q xy^ - 2xy'‘ + y®
De donde: - 2 /q = -4=» q = 4
Luego: m = 2/q=> m = 4
m+ q= 8
9.
Simplificar la siguiente suma;
S1 I
1
I
1
Í3 + W
/5+2/6 / 7 + 4
Resolución;
/T
1
S=
/3+2/2 /5+2/6
S=
/ 2+ I
/3 + /2
+ 1
x^ + 3x^ + 2x+1
( W ' f W + 1 )( 3 /í^ - W + 1)
____________ (x^ + 3x^+2x+1)____________
(WV/x'+1)[(x+1)-W][(x+1)^+W(x+1)+W^]{W-1)
+ .,,{n sumandos)
/f
(x^+3x'+2x + 1)(F,)(F^) _ (x^+3x^+2x+1)(F,)(F^)
(x-1)[(x+1)'-x]
(x-1)(x'+3x^+2x+1)
F,.F„
Luego: ' ri’ r2
X -1
1
+ ...(n sumandos)
/ 7+2'M
1
■/ñ+i-/ñ
/4 + /3
Cada fracción es de la forma:
1
/ir n - /k
/im + /k
( / ¡ r r í + / k ) ( / k T i- / i< )
El denominador racionalizado es; x - 1
13. Transformar: / I 6 + 2 / ^ + 2/28 + 2/35
Resolución;
Acomodando los radicandos tenemos;
/ l 6 + 2 / ^ + 2 / ^ + 2 / f ^ = / 4 + / 5 + /7=2+/5 + /7
= / k T l - / k ; k = 1; 2 ;...; n
S = ( /2 - 1 ) + ( / 3 - / 2 ) + ( / 4 - / 3 ) + ...
... + {Vn + 1 - /ñ)
s = /ñ + i - 1
14. Transformar: /a + 3b + 4 + 4/a - 4/3b - 2/3ab
Resolución;
Trabajando en los radicandos:
J a + 3 a + 4 + 2 / 4 a - 2 / 4 ^ - 2 / a ^ = /4 + / a - / ^
1
10. Racionalizar: M
= 2+/a -/^
+1
15. Reducir: Jl0 + /Í5 + /21 - 6 / 1 0 - / 6 - 2 / 1 0
Resolución:
El denominador puede escribirse:
1
M=
2 /7 +
/
- 1
Resolución;
Transformando los radicandos:
^10 + / l 5 - / 6 + /2 1 - 2 / 9 0 - 2 /ÍÓ
■ ■ ■ ^ -3-1
2
1
■/x(y - z) + /y {z - x) + /z (x - y)
11. Racionalizar; E =
Resolución:
Factorizando el denominador:
1
E=
/ x y - /xz + ( y z - J y x + í z x - ■ f z y
E=
E=
1_________________
J x y iiy - /x) + z(Jy - /x) - /i( /x + /y){Vx - /y)
1__________
=
+
/6 -
= / i y ^ 2 7 r l - 2 ^ - 2/ÍÓ = /5 + / 3 - / 2
16. Reducir: ’/3xh-2+2/x^-1-2/?+3x+2-2/x^+x-2
Resolución:
Factorizando los radicandos:
j3x + 2 + 2/(x + 1)(x-1)-2/(x + 1)(x+ 2 y - /( x - 1 ) ( x ^
= /x”+ 1 - /x"+ 2 + /x - 1
17. Simplincar.
/21 - 4 ./5+8/3 - 4/T5
Racionalizando (multiplicando por sus conjugadas)
Resolución;
Acomodando los radicandos;
________________
(/3 r-/7 )( /7 - /i) (- /i~ /^ ) (/í+ /7 ){ /7 + /l) ( /l+ /7 )
/2 1 -2 /2 0 + 2 /4 3 T Í2 -2 /4 ^
E=
{ í x + l y ) { { y + - í z ) ( i x + (z)
(x -y )(y -z )(z -x )
2/10
= / 2 1 - 2 / 4 ^ + 2 /tx Í2 - 2 /Í2 3 ^
= /Í2 - /5 + /4 = 2 /3 -/5 + 2
18. Si T es una expresión irracional definido por
Je I 2 Tfi
T = ------^
entonces al racionalizar!
2 + /6 + '/3 + /2
se obtiene;
■¡5 + 2~l6
2 + -Í6 +
I3 + -Í2
Factorizando el denominador y descomponiendo el
numerador;
T =
.
E
si E asume un valor real.
Resolución:
Elevando a la 12 en ambos miembros:
Resolución:
T =
21. Efectuar:
J 3 + -Í2
12 ^ (/3 + /2 )(/3 -/2 )^ (/3 + /2)^
(/3 - J 2 f
E'" = (/3 + /2)(/3 - /2)'‘ {/3 + /2)^
E'^ = {/3 + /2)(/3 - /2)(/3 - /2)^(/3 + ¡2)-
J2 i ^ + J3] + { ^ + l 2 )
E’^ = (1)(1)'
Z3+-/2
/2 - 1
(/3+./2)(-/2 + 1) / 2 - 1
.-. E = 1
T = 72 - 1
22. Reducir;
19. Simplificar:
(/5
A= 1
Í5 Í
2)(/5 -- 3)(-Í45^- 9) ^ 13 + 2/ÍO
{5 -2 /5 ){2 -/T 0 )
5-/2
P = ^ 3 -/3
+ V 2 + 2 /2 ^ + //2 -/T 2 + /l8 -^ 7 1 ^
Resolución:
Resolución:
Llamemos A a;
,
A - -/s + -//2 -
1 /(/5 -2 )(/5 -3 ){ /5 -3 ) , 13 + 2/TÓ
/sN / 5 ( / 5 - 2 ) ( 2 - / ^ )
5/2
_ 1 3(/5-3)^ ,
/ 5 ‘'|/5 (2-/10)
13
+ 2 /1 0
5 /2
2 /3
+ /íe"+2-2/16x2
A= |3 + / / 2 - 2 / 3 + 4
V
.'3-1
-/2
A - / 3 + / 3 - 1 = /2 + / 3 = / | + ^
1 I 6 (7 -3 /5 ) 13 + 2 /1 0 \
/5 '^ /5 (2 -/Í0 )
5/2 1
Entonces; P - ja - /3 + ^2 + 2 / 2 ( ||
j
P = Í3 -W + -íT + 2 l3 + 2
20. Hallar el valor más simple de:
_ _ ja(a^ + 3b^r+ (a^ -~b^) ■¡a^ ^a(a^ + 3b^)-(a^-b^)/a^-^
E+ 1 = /ab
E-1
Resotución:
Resolución:
De la expresión transformada:
E=
E^
+ 6a^ + 2 v(a + b)^(a
g ^ ^(a + b)^ + ^(a-b7~
/(a + b)^ - i[a - bp
Del dato:
.
b ;a b + J \ ^
a la b - l)
'
5 - /7 K Z /s T ly )
bf
a -b /
E=
7 K/34 / f ]
U32 + 1 0 /7 -Í 8 +2 J7
E = ^/25 W + 2 / í ^
E = /5 + /7 - /7 - 1
= ab
Por proporciones; ^
b
'
E+1
E -1
a+b = /^
a -b
a -b
- I
E ^ i( / l3 - / 7 - / 5 - /
Í2a^ + 6b^ - 2/(a + b)'{a
E+ 1
E- 1
/3 7 /3 + 1
23. Ejecutar: E = (J /fs - / f ~ - / s - / f )(^3 + /7 !
Siendo: V . ( f i J ) ( É )
ha^
P = h - ñ + 'lA + 2 ( z ^ P =
.-. P = 2
-"7 T + 1 7 2 / 7 ^
E= 2
24. Reducir: P = 4 + 2^10 + 2 /8 ^ 2 /7
ab -
1■
Resolución:
Transformando de adentro hacia afuera:
h -2 Í7
- / 7 + I - 2/ 7^ = / 7 - 1
Resolución:
Escribiendo como radicales dobles:
Reemplazando en la expresión propuesta:
P - j6 + 2-ilO + 2 ( l7 - 1)
2M - /11 - 2M + /13 + 2M
2/3 + 2/2 + /9 - 2/8 + /l2 - 2/32
E = /15 -
p = ■ le V z J s + T W
P = /6 + 2(/7 + 1)
P = h + 2-¡7
25.
Transformando a radicales simples:
P = -/7 + 1
E = /T0 - / 5 - / T 0 + I + 2/2 + /5
2/ 2+2 + 2/ 2 - I + 2/2 + 2
Calcular el VN de un radical simple de:
R(x) = h * + 2x^ + 6x - 3 + 4(x^ + x + 1 ) / x ^
para: x = 5
Reduciendo: E =
Resolución:
29.
R(x) = Jx“ + 2x^ + 6x - 3 + 2 /(4x - 4) (x^ + X
‘
(x^ +x + 1)' = x‘ + x' + 1 + 2x^ + 2x^ + 2x
•
(x^ +
X +
1)^
=
x“
+
+ X +
2x^ + 3x^ + 2x + 1
1)^ + (4x -
4) + 2 /(4x -
R(x) = x^ + x+1 + V 4x-4
26.
4 )
(x' +
X +
^
R(5) = /16 = 4
£^
/ 5 2 - 2/27x25
1 0 -/7 6 + 2 / 7 ^
Transformando a radicales simples:
3/ 3 - 5 _ 3 / 3 - 5
E=
1 0 -5 /3 -1
9 - 5 /3
(3 /3 -5 )
/3 (3 /3 -5 )
Reducir a su forma más simple.
M - ^6 + ^6 + ie"+ ... +
Calcular: E = / 26- I 5/3
5 /2 -/3 S + 5/3
Resolución:
Multiplicando y dividiendo por /2:
R(x) = Í(xV2 x^+3x^+2x+1)+4x-4+2A4x-4){ x'+ x+1)'
R(x) =
( 2/2 + 1)
3 (2 /2+ 1)
/3
/3I/ 3 .
-¡6 + ~ f h + 4 /2 + 7
30. Reducir: R = V/s - 2/6 ^//s + 2/6 /49 + 20/6
Resolución:
M = J e + J e + i r + . - . + ’J e + ' J e + A l I + 7 - /
2'
= >6+ ^ + J6 + ... + ^6 + /2 + /2 + 7-/2
2+J2
R - V(7S - /2 )C /3 + /2 )(5 + M )
R = ®J(/3 - / 2 f ( Í j + /2)(5 + 2/6)
Desdoblando adecuadamente el primer factor del
radicando:
M = Je + ■/e + /e + T .T + T iT f"
Así sucesivamente: M = /6 + 3
Resolución:
La expresión puede escribirse:
.. M = 3
R - Í(-Í3 - /2 )'(/3 - /2){/3 + /2)(5 + 2/6)
R = ^/(5-2/6)(1)(5 + 2/6)
27. Calcular:
E = //2 -l(/5 6 + 4 0 /2 -/3 4 + 2 6 /2 + /2 3 + 3 7 /2 )
Resolución:
Multiplicando las raíces se obtiene:
E = /56 /2 + 8 0-5 6-40 /2 -/3 4 /2 + 52-34-26/2 +
/23/2 + 7 4 - 2 3 - 37/2
R = ®V25 - 24 = "/T
R= 1
31. Si se cumple que: A** = ‘^xNx'Vx...
ii
además: A = ( V 3 x /3 ) ' ; según ello calcule x
Resolución:
E=/24 + 2 / Í ^ - / l 8 + 2 / l 6 ^ + /51 - 2 / 4 9 ^
Dato: A** = ’'/x “Vx Vx...
E = /Í6 + / 8 - / Í 6 - / 2 + / ^ - / 2
E= 4 + 2 /2 -4 -/2 + 7 -/2
Por propiedad: A =
Reemplazando el valor de A
.-. E = 7
28. Calcular:
£ ^ /1 5 -1 0 /2 - / I I - 2M + /13 + 4 /TO
2/3 + 2/2 + /9~- 4 / f + /l2 + 8/2
^/3/3 ~
Resolución:
Racionalizando se tiene;
Por analogía tenemos: x = 3
32. Calcule la solución de la ecuación:
1
3
, 4
ÍT -z M
V8 + 4/3
(72 + 73)--75
(72 + 73 )+ 75 (72 + m - -75
E = 72 + 73 - 75
(72 + 7 3 )'- 5
Resolución:
Transformando los radicales dobles a simples;
72 + 73 - 75
276
Racionalizando nuevamente:
/7 - 2 /ÌÒ = -/5 - /2
/8 + 2/Ì2 = ■/6 + /2
Luego, racionalizando en el segundo miembro:
4F.,
3R
1
711-277
(75 - 72)R, (76+ .^2)^^
Donde: FM= 75 + 72
72 + 73 - 75 t,' 76 t
^ 276
''.76Í
F _ /
p ^
7Ì2 + 7Ì8-73Ò
12
36. Sea la expresión matemática:
x • +, 7l - x ’ ;x ? í{ - 1:0; 1}
7T^
Determine m (m g E ’ ), si se cumple que f(A) =
f(x) =
F,'2 = 76 - 72
a
.
■
7l1 - 27x = ^
(76 + 75)1^3
2,
cuando; A =
F, = 76 - 75
Resolución:
7l1 - 27x = 7 6-75 == 1 1 -2 7 x =(76 - 75/
^ 1 1 -2 7 x = 1 1 - 2 /^ ^
x
Del dato se tiene que:
= J-^-
= 30
Efectuando, tenemos: m^ = 4
172
1
33. Halle el valor de X , si: x =
2-
Valor positivo; m = 2
1
22-
37. En la siguiente igualdad, determine el valor de m.
:Ü p ¿ O H = (m
Resolución:
D e x = - l^
2-
+ 1) + 273rT^
7?T-7 í W
Resolución;
2--I
+
711 - 2730
. ( m + 1) + 2/3BÍ
E=2-
Sea; E = 2 -
.a ,
22 -t
Racionalizando;
sigue
siendoE
76 - 75176 +
E '- 2 E + 1 = 0 = ( E - l f = 0 ^ E = 1
X- 1 ^ =
11 + 2730 == (m + 1) + 2 7 ^
1 - 72
34. Sea: x, = 7T; x, = 7l
m = 10
+ 7T; x,= /i -^7l +7T :...
hallar el valor de; x^,, - 2x„,,
38.
- x„_, v n > 2
= -i'l + -/I
(a )-(ü ): 1 +x„_, = x :., - 2 x^, + 1
x ^ , , - 2 x L i- x ,
35. Sea: E =
1
=0
— ~— ^
72 + 73 f 75
hallar la expresión racionalizada.
5 y 72 +'x - 78^ - 3 + 72 , hallar
También: 72 + x - 7 ^ = 3 + 7 2
+ ... (n radicales)
Luego: x„ = 71 + x„_, => x^ =
1 + x„_,
Además: x^., = 1 + x„ =» x„ = x^_. - 1
A! cuadrado;
2x^_,+1
...(P)
Si 2x
Resolución:
Dato; 2x > 5 =» X 2,5
Resolución:
Por recun’enda;
75 /
J2 + X - Í2^(2x) = J2 + X - 2 -Í2X = 3 + 7 2
...(a)
Recordar; a > b
^(a + b) - 27ab = 7a - 7b
7 x - 7 2 - 3 + 7 2 = 7 x = 3 + 272
Elevando al cuadrado:
X
= (3 + 2 / 2 f = 17 + 1272
Nos piden;
■ X -
17i'
■
/14+ 12/2 - 17\" = 18
39.
Simplificar: P = / 3 Ì + 8/T5
2/23 + 8/7 + 2 /2 3 - 8 /7
Resolución;
Luego:
42.
p ^ /31 + 2 / Ì 6 '> ^ + /3 1 -2716x15
2/23 + 2716x7 + 2 /2 3 -2 V 1 6 x7
p _
Simplificar: T =
16 w
x'°x
16
—
2
/4 - /T f + / e T W
{/Ì^+/T5) + (/T6-/T5)
Resolución;
Recordar: J(A + B) + 27AB = /A ± /B
2(/T6 + /7) + 2 ( / Ì 6 - / 7 )
Dando la forma a los radicales dobles:
2 /Ì6 ^ J_
4/16
2
40.
Ax B
B
/ 4 - 2 / I + /e + 2/5
2
T=
Simplificar: P = / 2 + /3 + / 3 - / 5
^ ( 3 + 1 ) - 2 / 1 T T + ^ [ 5 + 1)+ 2 V 5 x 1
/ 2 - / 3 + /3 + /5
T=-
Resolución;
2
^
T=
/3 - /T ) + (/5 + /T )
2
,/5-/3
/3 + / 5 '/ 5 - / 3 .
Como: /(A + B) + VAB = /A ± /B
Multiplicamos a la expresión por Í 2 en el numera­
dor y en el denominador:
/5^-V3^
43. Si:
^ ^ .< ^ 2 + /3 + / ^ ' / 5 )
/ 2 ' ( / 2 - / 3 + / 3 + /5 )
-/8 X
=
1^ -
2/3 + /2
Resoiución;
Si: X ' 3
Como: /(A + B) + 2/AB = /A - /B ; A
^(3 + 1) + 2 / 3 ^ + J(5 + 1) - 2-Z5 x 1
_ (/ 3 + /T) + ( / 5 - / T )
;s +/5
/ 3 - / T + /5 + /T
P= 1
/ 3 + /5
B
10
Además: /2 + x - / ^ =
2/3 + /2
Racionalizando:
^{3 + 1) - 2 / f 7 T + / ( 5 + 1) + 2 / 5 ^
41.
3 A /2 + X
hallar el valor de: ^ - 1
/4 + 2/3 + /6 - 2 /S
/ 4 - 2 / 3 + /B + 2/5
P=
X '
/(2 + x ) -2 /2 x =
Siendo X ^ O, simplificar:
10 =1 / 2 / 3
—
=—- / -2 ,
2 /3 + /2 ^ 2 /3 -/2 /
Por propiedad: /x - /2 = 2/3 - /2
/x = 2 /3 ^ ( / x f = (2 /3 f = x = 4 x3 = > x = 12
Nos piden: x/3 - 1 =» 12/3 - 1 = 3
44.
Resolución;
Sea:
Si se cumple que:
= 0; xyz
calcular:
A=
A = x’
Resolución'.
Deldalo:
i/y
+ s íK 9
J I + s jf^ ^ q
Vy “Vz
x_ _
Multipiicando por:
Vz
y
[y
J i- W il) ( 9 / £ ^ + g / ^ 9 / Í + 9 / y % 0
Wy
^z/'Vy
Vy^z
Vz/
Se forma una dlfQrgncia dQ cubos:
Del mismo modo, sea:
I-2 ÍI
y - Vz
-3 3
= ix -^ /x - ^ /x - ^ /F
=* B _= xV '6
Nos piden:
y^
=1 -1 = 0
O
45. Siendo x e E ' - (1), indique el exponente final de
X , al reducir:
n eIN
n>2
Reemplazando en el denominador:
D = 1 + a + a^ + a^ = (1 + a) + a^ +
^ D = (1 + a)(1 + a') '
Reponiendo “a" y racionalizando:
N
(V2 + 1)(^72 + 1)
F, de (®72 + 1) es la expresión:
(®T2 - 1)(^72^ + ^72 + 1)
Resolución;
F,^ de (^/2 + 1) es
W +1
Sea: A =
Luego:
A" " ' = x"
A=
A=
^
(®73 + 1)(W + 1)
X
(2 -1 K 2 + 1)
3
Denominador racional: 3
49. Siendo; x^ = x + 1; x > O
B=
Luego: A =
Resolución:
Dato: x^ = x + 1
- x^
Resolución;
m' = 2000 + -/ÍS
= 1997 + 7T3
a
X =
X
Jx - 1
- 1
Reemplazando en: P(x) = 7x + 7x -
EI exponente final es 3.
46. Si: m = ^72000 + ñ 3
hallar: m® - 9m^n^ -
simplificar: P(x) = 7x + 7x -
n = V1997 + /Í3
P(x) ^ 7x + 7x^-1 -
X -
1
2
(1)
Por fórmula de transformación;
7x + 7 x ^ - i = j l ^ + ^
nr^ -
=3
Elevando al cubo: m® - n® - 3m^n^(m^ - n^) = 27
^ m' - n®- 3mV(3) = 27
m® - 9m^n^ - n®= 27
47. Averiguar el denominador racional de la expresión:
Donde: c = 7x - (x^ - 1) =. o = 1
= 7x + 7x^-1 =
X+ 1 ^ / x - 1
En(l):
x+ 1
x -1
2 ' V
m2 / V 2
Reemplazando nuevamente el dato;
P(x) =
x+ 1
9 ^ ' ________________
P(x) =
Resolución;
Llamemos N al numerador:
El F. del denominador es: ®/9 + 1
N
/ ^/9 + 1
9/98_9/9^+,„ + i I«;9 + 1
N(®/9 + 1) N(^/9 + 1)
9+1
”
10
Denominador racional: 10
48. Hallar el denominador racional de la expresión:
N
1 + 72 + '/2 + ®V32
Resolución:
Sea ^■¡2 = a
n
= B^
72 = a'
72
50. Al racionalizar el denominador de:
323
M=
21 - 2^7121+^7TÍ
se obtiene una expresión equivalente cuyo deno­
minador es;
Resolución:
Sea: VTÏ = a
^7ï 2Ï =
21 = 2a^- 1
El denominador quedará:
D = 2 a ^ -4 - 2 a ^ + g = 2a^(a - 1) + (a - i;
^ D = (a - 1)(2a' + 1)
Reponiendo en M:
323
323
M
(VTÏ-1)(2VT2Ï+1) (^TTÏ - 1)(^7968 + 1)
Resolución:
F,. de l'/TÌ - 1) es ^/TT^ + ^VTl + 1
F,. de
+ 1) es ^7968^ - ^/968 + 1
M=
323
rs r
E = - ^ ( / l + x+ "/2 x+ 1 + / l + X - /2x + 1
/2
F, F.
(^/TT- V i ^ M s
323(F,,F,.)
M=
(11 - 1)(968+ 1)
i ( 2 + 2 x ) - T 2 / ( 2 x + 11 + j ( 2 + 2 x j - 2 / ( 2 x + 1(
323(F,F,^)_ F,F,^
30
10x969
Transformemos por partes:
Denominador racional es 30.
•
M = ¡ {2 + 2x)T2/(2x7"i)(1)
51. Proporcionar el denominador racional de la expresión:
1
t—
■/10 + -ÍU+ -/T5 + -/TÍ
•
Resolución:
Agrupemos en el denominador así:
= (v^ + /T5) + ( /Í4 + /2 Í)
= * ^ ( /2 ^ - /3 ) tv 7(V2 + /3)
= (/2 ^-/3 )(/5 4-■/7)
Reemplazamos y racionalizamos:
(/3 -/2 )(/7 -/5 )
1
{/3 + /2KVT + /5) ( / 3 - / 2 K / 7 - / 5 )
Dato; -i •: x ■: O
- O < 2x + 1 < 1
O
/2 x T T < /T
1
Racionalizando; E = /2
55.
6 + /Ì2 _ í^ ( / 3 + 1)
/3(/3 - 1)
V 3 -/3
2(/3 + Ii /3 + 1)
2t/3 + l f
V /3 -1
/3 + 1 ' 1 (3 -1 )
.-. E = /3 + 1
53. Determine el vator del término racional que se ob­
E=
Dato; y - /TI + /29 + /13
/ T Í - / ^ + /T3
tenga al efectuar 1 6 ^ ~ 8/2
^■14 - J2
m+ 1
m- 1
2(/T i + /T3)
-d )
2 /^
/^
Pero: n =
-(2 )
/Tl + / i ^
De(1)y(2): ^m + 1 ^
mn + n = m - 1
n
De aquí: m - n - mn = 1
(m - n - m nf = 1
Resolución;
16í^/4)- 8(/2) 2 H W ) - 2 ^ { - Í 2 )
^ /4 -/2
“
^/2’^- /2^
^/2^ - /2
Por cociente notable de 7 términos:
^/2" + ^/2’“(/2 ¡ + =/2^(/2^) +
Determinar ei valor de:
m^ + m’n^ + n^ - 2m^n + 2mn^ - 2mn
s i:m = S ^ L S ^ A n =
^
/T Í- /2 9 + /13 '■ "
/1 Í + /T3
Resolución;
Piden; m^ + m^n' + n^ - 2m^n + 2mn^ - 2mn
■n________nz______________ zx~
= (m - n)^ - 2mn(m - n) + m^n^
= [(m - n) - mn]^ = ?
Racionalizando el denominador;
+ ^/2^/2^)
+ ^/2^(/2 =) + /2®
.-. Término racional:
- 1 < 2x < O
E = ^ [( /2 7 T 1 + 1) + (1 - / 2 i r p í ) ] - ^
Halla el equivalente de: 6 + /Í2
3 -/3
Resolución:
^/2^S7^ ^/2^ - /2
\
o ^(1 - / 2 T + í ;
(H)
Luego; 1 - /2x + 1 > O
positivo
Consideramos (II), luego: B = /T - V2x +
•. Denominador racional; 2.
Transformando; E =
N = i(2 + 2xi^-2/(2x + 1)(1)
/
iu fx T T ^
(I)
(/3 -/2 )(/7 -/5 )
( /3 --/2 )(/7 --/5 )
1x2
“
2
52.
—
De aquí; A = V2x + 1 + /T
+ /2® = 2'’ + 2^ = 24
54. Determine el equivalente de la expresión;
E = V1 + X + -/2x 4 1 + / l + X - -/2x - 1
para: -0,5 x <' O
56.
Hallar el denominador racional de la expresión:
/l6cos(2n)
/W +V2 + 2®/6(3/9-3/3 ^
j. _
R e s o lu c ió n :
^ 6 cos(^ tc) = /I6 ( i) = 4
V W + W n W = /(V3 + W f = ®/3 (- ®/2
Reemplazando: T = ——---= —
Además: V 9 /3 - 1 1 / I = / x - / y
------ = ----+ 1)
(1)x(2): V(9/3 + 1l/2)(9 /3 - 11/2) = x - y
í
De aqui: x - y = 1
...(3)
Luego:
• F,, de (®/3 + ®/2) es la expresión:
¡6/3 _ s/2 )(=/3^ +
•
+ ^ÍT)
(1) + {2): V9/3 + 11/2 +3/9/3 - 11/2 = 2/x
En nuestro caso, elevando al cubo:
+ 1) es 3/3 +1
R,de
F.Pr,
T=
18/3 +33/{9/3 + 1l/2)(9/3 - 1 l/2 ){2 /x ) = 8/ x 3
(®/3 + ®/2 )('/3^ - =/3 ^ 1)
=» 18/3 + 6 /x = 8x/x =» x = 3
Luego, en (3): y = 2
T=
3 -2 H 3 + 1)
1
Denominador racional: 1
57.
Et denominador racionai de:
V9/3 + 11/2 = /3 + /2
-6
-, sera:
•2 f /2 - "/2 '
R e s o lu c ió n :
1.“ Muitiplicamos y dividimos por: f, = (/2 - 2) + ‘‘/2
-6
fi
{/2 -2 )-"/2
{ / 2 - 2 ) + "/2
_
- 6f,
{ Í 2 - 2 f ~ “r P
- 6f,
6 -4 /2 -/2
2.° Multiplicamos y dividimos por:
= 6 + 5/2
60. Hallar ei equivalente de:
2 + /3
,
2 -/3
M=
/2 + /2 + /3
/2 -/2 -/3
Resolución:
Multiplicamos y dividimos por /2 :
/2 /
2 + /3
,
2-/3
/ 2 \ / 2 + / 2 + /3
/2 - /2 - /3 .
M = /2
/ - 6fi y
\ _ - 6^1
U - 5 / 2 / 'e + 5/2 ' 6 ^ - ( 5 /2 f
2 -/3
2 - / 4 - 2 /3
(/3 - 1)
Multiplicamos y dividimos por 2:
3f,f2
-14 “ 7
Denominador racional: 7
M = /2
■ i^/8-//2 + 1
J‘'/8 + //2 - 1 - ■^“’/S - //2 - 1
2 + /3 , 2 - / 3 \ / 2
3 + /3 3 - / 3 A 2
2 ' 3 + /3
M = /2
R e s o lu c ió n :
Sea eí denominador:
D - /"/8 + //2 - 1 - M
2 + /3
2 + / 4 + '2 /f
(/3 +1 )
_
58. Reducir: S =
.,.(2)
- /7 fT T
3 -/3
(/3 + l f ^ ( / 3 - l f
/3(/3 + 1) /3 (/3 - 1 )
M = ^ ( / 3 + 1 + /3 - 1) ^ ^ < 2 / 3 ) = /2
Elevando ai cuadrado:
D " - ‘/8 + //2 + 1 -
+
-
1)(‘/8 - //2 + 1)
+ "/8 -//2 -1
D '= 2‘' / 8 - 2 / / 8 - ( / 2 - 1)
61. Indicar un radical simple de: ^ 2a
.j.
Resolución:
Modificando la expresión dada: se puede escribir:
D '= 2 ^ /8 -2 /2 /2 - /2 + 1 = 2("/8 - //2 + 1)
De aquí: D = / 2 ( / '/ 8 - / / 2 + l )
Reemplazando en lo pedido:
S=
/"/8 - //2 + T
/2 ( /^ /8 - //2 + l )
59.
1
^
/2
/2
a + /2 a + 2 (‘'/2a)(/á)
2
Hallar la raiz cúbica de: 9/T 4-1 1 /2
_
Resolución;
Piden: ^9/3 + 11 /2
Hacemos: ^/9/3 + 11 /2 = /x + /y
,..(1)
(/á + " / ^ f
2
/ií + ‘/2 Í
/2
Pero sabemos que: ‘'/4 = / 2 , desdoblando;
/a+^/Sa
/a / / 2a
/a , 4/ !
/2
/2 ^ "/4
= •/9+/8 = 3 + 2/2
Un radicai simple: M
/17 + 12/2 = (/2 + l f
La igualdad: ^17 + 12/2 + 7 = jx + 2V128
62.
•
Í3 + /8
se
verifica, si "x" toma el valor de:
/3 + /8 =</3 + 2 /2 x 1 = /2 + 1
Luego:
/2 + 1
Resolución:
^ /2 + 8 = ■ix + 2 ^
Transformamos ios radicales dobles:
•
Elevando al cuadrado: 66 + 16/2 = x + 16/2
V17+ 12-/2 = h ? + 2 - l 6 ^ x 2
=
+ 7 = Vx + 2/128
717 + 2 /9 x 8
X = 66
P R O B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI
es
A)
O
E)
PRO BUM A 1 (LIMI 1 9 8 4 - 1)
1 -/3
Efectuar:
/3 / 3 /3 -^
/3
igual a:
/a - /b - /F
/a + /b + /c
/á + 2 / b - / c
B) /a - /b + Ve
D )/a -2 /b -/c
Resolución:
R)
B
) - I2 4+- ^ ^
Descomponiendo el numerador mediante un aspa simple:
a - c + (1 + /2 )/ib - (1 - /2)/bc + b/2
/a - / c
—^
/2b
/a + /c
- *■ /b
E) N.A.
D )l.f
Resolución;
Reduciendo primero el corchete:
2(1
1 -/3
/3 -5
2
1
/3
/3
/3 2(1 - / 3 )
2_
/3
1 + /3 ■ 1 + / 3
_
_
/a + /b + /c
Clave: C
il
2
PRO BUM A 4 (UNI 1 9 8 3 )
Clave; A
PRO BU M A 2 (UNI 1 9 S 6 )
Expresar con denominador racional la siguiente expresión;
A) (3^* + 3®'®+ 3’ ^)/8
O (3"'^ + 3^'^ + 3' ®)/8
E) (3*"^ + 3®^®+ 3’ =)/8
Simplificar: /20/6 + 49 + “/441 + I 8O/6
A) 1 /(8 -3 /6 )
0 2 + /6
E)8 + 2/6
Entonces se tendrá:
(/a - /c + /2b)(/a + /b + /c )
-----------= —
^
/a -/c + /2 b
8 )8 + 3/6
D)(6 - / 6 ) / ( 3
/6)
(3^ + 3’ + 3' ®)/8
D)(3^ + 3® + 3' ®)/8
Resolución:
/3 ----La expresión puede expresarse como: ^7=—^
V3(V9-1)
Resolución:
Transformando:
8 = V49 + 2/600 + ^ /4 ^ + 2/225x216
S = /49 + 2V25X24 + V/225 + /216
S = /25 + /24 + /15 + 6/6
S = 5 + 2/6 + 3 + /6
8 = 8 + 3/6
Multiplicamos ahora por su factor racionalizante:
/3
/ V9^ + ^/9 + 1
'/ 3 ( W - 1 ) \ W + W + 1 ,
3V6(3« + 32,3+ 1) 33/2^ 3:
Clave: D
Clave: B
PRO BUM A 3 (UNI 1 9 8 8 )
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 4 - 1 )
La expresión siguiente:
a - c + (1 + / 2 )/ab - (1 - /2)/bc + b/2
/a + /2b - /c
Si X(j es la solución de la ecuación:
/17 + 2/72
/3 + /8
-7
calcular el valor de; U o + 34
A )5
D)20
B)10
E)25
/sTTs
C) 15
V3 +
:- = /x + 2Vl28 - 7 =
/3 + V8 = Vx + 2V128 - 7
-/8
/s T IT f + 7 = / x T z / W
Resolución;
Racionalizando:
= / x + 2Vl26 - 7
/3 + /8
=-ÍX + 2-/128 - 7
V3+V8
8 + -Í2 = VX + 2V128
Se cumple que; x
=
V64
= 64 + 2 =
+ V2 = Vx + 2V128
6 6
- / x T 3 4 = 10
Clave: B
PROBLEMAS
D
1.
Hallar el valor de (x + y) en:
J1 3 -J 8 8
A) 64
D) 100
2.
1
=/4 + =/2 + 1
-'¡3 6 - 5 /4 4
1
1 + J2 + J3 +J6
C) 227
B) 201
E) 225
/2-lp+lP^ (Jp+I- / p - 1;
3.
B)2
E) -2
10. Hallar el denominador racionalizado de:
4 , siendo: x < -^
4
4 + 2x
o
2x
C )I
4
2x
•/12
Indicar el radical doble equivalente.
B) /6 + /2
E) V2 + /6
O /6 -./2
Si ^Jx +^ J ÿ =
A) 18
D)1
B )/2
E)1
B )a -b = 1
E )a -b = 4
+ ^J 2 + ^ J 4
B) 19
E)3
B) J2
E) - / 3
0 9
2
D)45
/1 2
E)2
0 3
0 9
O /5
Racionalizar e indicar el denominador resultante
en cada uno de los casos siguientes:
1
/3 + /5 + /7 + 1
+ / f + J2 - J 2
A) J2
D)
+1
C )j
E)2/2
2/2
14. Hallar el denominador racionalizado:
V ïÿ (W + Vÿ)
^v'x + ^/ÿ - Vx + y
0 4a + b = 5
; calcular 9yx.
+ 4 /6
/8 + 4/6
A) a
D)3
B)b
E)3(a+b)
Oa+b
15. Determinar el valor de N para que la fracción sea
igual a 1.
9xy^ + (y^ + 24x' ) V - 3 x^
Indicar et producto de los radicales simples obteni­
dos de; V/Í08 - 10
A) /ÏÔ
D) J3
9.
B)10
/2
/¡^ J t + J a - J E = 2
8.
A) 5
ÍA
Señalar ta relación que debe existir entre a y b para
que se verifique la igualdad;
A) a + b= 1
D) 4 a -b = 4
O -V
12. Señalar el denominador racionalizado:
18
=/3 - '/5 + V2
13. Calcular; E =
Dar como respuesta el valor de;
7.
B)^/2
E) 1 - ^/2
h + J3 + / 3 - / 3 + 1
/11/2 - 12 = Va - Vb
6.
Cr-
1 + V2
y señalar el coeficiente de x del numerador que se
obtiene.
X -
Calcular A y B de la igualdad;
A) 1,5/2
D)2
X^ + 1 + 3 x ^J2
...ÍE.
M + /Í2 - /4 -
5.
1
V8-®/4+1
O 33
11. Racionalizar la siguiente expresión;
A)1
D) 1 + V2
Reducir la expresión:
A) h - M
D) /4 + 7T2
B)245
E)3
A) 243
D)234
D) 1 - 2x
4.
O 18; 1
0 3
Reducir; J4x A)
B) 17; 1
E) 19; 1
A) 16:1
D) 15; 1
Calcular el equivalente reducido de;
A)1
D )-1
¡■»
PROPUESTOS
A) 3x
B) /y2 - 3x^
C )3x+ /y ' - 3x^
D) 3x - /y^ - 3x^
E)x + / y '- 3 x '
16. Racionalizar y señalar el denominador:
1_____
V54/3 4-41/5
A) 4
D)5
B)9
E) 12
17. Simplificar: E =
C)7
V2 + V Î
- 2
h --Í2
2 + /2
25. Determinar el equivalente de;.
A ,f
Í2
Ve + V2 +1
‘72 + 72 +2
o #
4
-/2
, 2 -7 2
^78
2 + 72
A) O
D)3
8)1
E)272
C)2
18. Reducir y racionalizar el denominador de:
/ s -7 5
72 + 7 / - 37f
A) 20
D)4
0 5
8 ) 10
E)3
3 + 473
19. Indicar el equivalente de:
76 + 72 - 75
A) 76
8) 76 + 72
0)76 + 72 + 75
E)1
O Æ + /2 -7 5
^ _ 7 8+ 7 ^ + 73 .
72 + 75 + 73 ’
b=
B )-2
E)0
21. Simplificar:
O I
1 + '7á + aVP
8) ^7á + 2
E) 1
O Va - 1
22. Indicar el denominador racionalizado de S (a > 2):
^■^(2a + 2 - í e F ^ y '
7a + 72 - Va - 72
A) 4
D)3
B)1
E) 2a
0 2
23. Racionalizar e indicar el denominador de:
1
1 -7 2 + Ti
A)a^ + a + 1
0) a^ - a + 3
24. Efectuar:
8 ) a ^ - 2 a - 1 O a ^ -2 a + 3
E) - 6a + 1
76
72 - -/2 - /T
A) 73
8)273
D) 76
E)
B) Ve
E) 7 2 -1
O V3 + 1
27. Luego de multiplicar: ^ '*"(1 x
1 + 75
y dividir el resultado entre: 6 + 275
76+72
Indicar una expresión equivalente.
A) 73 + 72
8) 73 - 72
D) ^2 + 73
E) ^ 2 ^
O 7 5-72
73
72 + Æ
( a - 1 ) ( l + a -V a ^ )
A) Va
D) V i + 1
A) "73
D) (/2 + 1)
28. Indicar el denominador de la expresión racionali­
zada de:
1
20. Calcular ab + b - a; si:
A) 2
D )-1
. (•’/ 3 + 78){'V3 + 272)
26. Efectuar;
A)1
0) 1/3
B)2
E)1/2
29. Proporcionar el equivalente reducido, con denomi­
nador racional, de:
V 3 -^72
7V3 + V2 + 2®76
A) V3 + =*72
B) V3 - ^72
D)
E) V3 + V2
+ ®72
30. Calcular:
73 + 1
0 373
C) ®73 - ®72
73
7ï ^ + 7t5 - 7 ï 2
A) 1/9
D) 73
31. Racionalizar;
B) 1/3
E) 1/5
C) 1/2
75 +72 + 73
A) 75+73
2
75-72
3
D) 7Ï5 - 76
7 Î5 -7 5
76
l2 + h + J Ï
0 3
32. Luego de racionalizar:
1
(V5 + 1)(‘‘7 2« + 1) + 73(V3 + 1)
Indicar el denominador obtenido.
C) 76-72
A) 4
D)1
B)3
E) 16
0 2
41. Indicar el equivalente racionalizado de:
33. Indicar el denominador racionalizado de:
1
VÌ6 + ®/Ì2 + V9
A) V4 + 1
B)
n )^K ± M .
' 2
''
h -
A)1
D) V2 + 1
C)
42. Racionalizar e indicar el denominador de:
2 + 6/7 - W
' 2
43.
^
Fi
35. Efectuar:
D
Luego de transformar a radicales simples, indicar
uno de los radicandos.
2X + ^
/14 + 4V6 + /2
V5 - 2V6 + /8
A) 4
0)2
-
A)x+1
D) X + 2
01
B)3
E) 5
44.
-, si: 0 < I X I < 1
0 /7 + T
A) V2 + x " - 1
B) /2
D) V1 + x "+ 1
E) / ü o ? - 1
37. Racionalizar e indicar el denominador en:
a - 9b
a + 6b + 5 /Ìb
1(1 + - ^
\
x " - l/
,
8)x
E) x" - 1
1
C )2 x -1
+ x^z^(9ab - ^ x y
puede descomponerse en radicales sencillos, calcularel vaior de: E =
ab
A)1
B)2
0 3
D)4
E)5
45. Después de extraer la raíz cuadrada al polinomio:
P(x) = 4x®+ 20x’ + 13x®- 14x®+ 69x* + 28x^ 14x'+40x + 25
si: a > 25 A 2 > b > 0
A) a - 4b
D) a + 4b
: ,X >
x +
Sabiendo que el radical doble;
J sa x^y +
36. Racionalizar:
O 456
1+
+1
' 5
' 2
8) 520
E) 342
A) 568
0)426
1
'/4+ V 2 - 1 gj V 2 ^
u
A
ni
O / 3-/2
B )/3 + V2
E) 72 - 1
1
34. Racionalizar:
A)
2/2
B) a - 2b
E)a + 2b
C )a -2 c
indicar el enunciado correcto.
39. Si Jo.a + VO.b = Jo^TT7o!W, indicar el producto
A) El polinomio es un cuadrado perfecto.
6) La suma de coeficientes de la raíz cuadrada es 13.
C) El coeficiente del término cuadrático de la raíz
cuadrada es 3.
D) El coeficiente del término lineal de la raiz cua­
drada es (-3).
E) En la raiz cuadrada existen dos ténninos que
tienen sus coeficientes Iguales.
de sus radicales simples de; E = /a^ + 3 /b + 1 ;
46. Si el polinomio P(x) = x^ + 6x + 2íx + a - bi, admi­
38. Indicar el denominador racionalizado para x en:
-V 3 ) = 2(10-X )
A) 9
0)3
B)1
E) 27
02
te raiz cuadrada exacta, hallar ab. (a; b € £)
para: a > b
A) 1
B) 2
O V2
D )J I
E)N.A.
A) 8
D) -48
B) 64
E)0
C) -6
47. Efectuar;
4 Í-U +
40. Calcular; s =
1+^/4
STvf
A) 4
D)15
8)9
E)17
013
A)13 + 5-/3
D )5 -1 3 /3
'
1 + 7 3 + ■ ’74 A l - “V4
8 )1 3 -5 /3
E )-1 3 + 5/3
1 - - ' / 4 + V3
0 5 + 1 3 /3
57. Indicar el denominador simplificado al racionalizar;
48. Calcular A y B de la igualdad:
V11/2 - 12 = Va - •'7b ; (A; B) G
® X
Luego indicar el valor de: /A
?B
A) 3/2
'7TÒC75 + '72)
'75 - '77 + '72
F=
A) 2
D) 5
0 2
0 4
8)3
E)7
58. Dar el denominador luego de racionalizar:
D) -Í3
E ) - i|
K=
49. Efectuar: R = 5, V il 72 + 973 + V 20 - 1472
“'797 + 5673
A)1
D) 72+1
8)2
E) 73 + 1
8)3
D)2
E ) l + =^
O 1/3
A) a
D)a+b
O 686
61. Reducir:
3 ^ 713 - 2740 + 77 + 740 + 7l1 +27Ì8
O 20
733 + 872 + 73 - 78 + 711 - 772
A) 72
D)1
53. Racionalizar e indicar el denominador de:
7
n > 5, n e IN
^^Ü + n
62. Efectuar: A =
B)2
E)5
23
-, obtenemos una
1 + 3/2 + 2V4 '
B)655
E)0
A) 243
D)717
52. Reducir: 72076 + 49 + "7441 + 18076 - 376
A) 3
D) 1
O a-b
expresión que adopta la forma: '7a + '7b + ^7c . ha­
llar; E = a + b + c
O 100
B) 10
E) 18
Ox + 1
B)b
E)1
60. Si al efectuar: L =
B)96
E)4
A) 8
D) 30
B)x - 1
E)1
x + 7l +x"
51. Reducir: ( - ¡ h + Js +72 - 73 + “76)"
A) 80
D) 125
A)x + 2
D)x
59. Calcular: J = 2a/T
O ^72
50. Si: VV2 - 1 = '7a + Vb + ^7c ; (a; b; c) c ®.
calcular: a + b + c.
A)1
27)T n
7 x ^ - 7 ^ + 7xTl
0 6
A)1
D) 3
B)372
E)372 -1
O 72 -
728 - 673 - 7'7 - 47Í + 712 + 673
713 - 473 + 721 - 1273 + 719 + 873
B) 3/2
E)5/2
O 2
54. Determinar el equivalente más elemental de:
2 + 73
72 + 72 + 73
A) 6
D) 73
63. Efectuar: L = 7 5 - 7 ^ - 7 4 - 7 1 5
2 -7 3
72 - 7 2 - - ^ i
B)3
E) 72
7 3 - 75 - 74 - 77
A )-1
D) 1/2
0 2
64. Reducir: V =
55. Efectuar:
-®7a +1
( * ^ + ^ 7 ? + i) (= ;? - ^ ^ + 1 ) -a
A) -2
D)1
8) -1
00
A)
1
D) 7 3 - 7 2
8)
-
1/2
01
E)2
711 + 772 -7 3 -78
714-718Ó + 76 - 720
B> 2
C ) 3
E) 73 + 72
E)2
65. Racionalizar: D =
56. Simplifica,; R = M + f i 5 f W ( 4 - f l 5 ) ]
J(6 +
A) 1
D) 13/7
B) 1/3
E)3
- -1(6 - ■¡35)-
0 7/13
5 - 7 Í5 + 7TÜ-76
señale el denominador.
A) 1
D)4
1
B)2
E)6
0 3
66. Reducir;
/3 - 2/2 + /5 - 2/6 + V7 - 2VÍ2 + ... + ^49 - 2V600
A) 2
D)5
B)3
E) 6
04
12
/3 -/2
3 /2 - 2 /S
e indicar el denominador racionalizado.
Efectuar; V =_ /9 + 2 / ^ + /13 -4/TÓ
/4 + / 12 - / 5 - -/2 4
A)1
B)2
03
0)4
E)5
67. Simplificar; T =
A)1
D)4
0 3
B)2
E) 5
68. Efectuar: (/11 +2/Ì8)(1 + ‘'/2)(1 - * ¡ 2 ) + ¡8
A) 2
0)6
B)3
E)1
D)
1 +/2
g j
/T Ü -/2
/3 + /5
B}3
E) 15
C)5
71. Hallar el valor equivalente de; - ^ ¿ ¿ - 2 / 2
/2 -/3
B) /6
E) /2 + 1
0 ) /2
72. Efectuar: P = 2 /Ì8 - +
A)1
D)4
B)2
E)0
C) /3
“/4 -
2
/18
0 3
B)2
E) -2x
76. Efectuar; T =
A) /2
D) V7
D )-V5
^1 + 4/1 + 4 /9 + 4/S +
B) /3
E)0
+1
B) /3 + /2
E) /2 - 1
O /3-/2
82. Oespués de racionalizar, hallar el denominador de:
1
2 + ®/7 - ®/7
B)520
E) 342
0 456
83. Luego de racionalizar, hallar el denominador;
7
F=
; n > 5, n e Di
B)2
E)5
O 6
A) 6
D) /3
B)3
E) /2
0 2
85. Efectúe;
S=VÌ3 + V48 - V15-V200 - Vl7 + 4Vl5 - V5-2 /4
0 /5
0 /2 + /Í
/3 -2 /2
A) 1
D) ^
S=
B ) - /ÌÒ
0 Vx + 2
0 3
75. Efectuar;
A) -2
in-
84. Hallar el equivalente más elemental de:
2 + /3
,
2 -/3
,/2 + /2 + /3 /2 - /2 - /3 j
0 3
S = /8 + /60 - /1 2 - 2 /2 7 - /3 2 + 2V135 + /3
B )-1
E) 5
S=
A) 3
D) 1
74. Efectuar:
A) -3
D)4
B)1
E )3 + /2
A)0
0)2 + /5
A) 568
D) 426
73. Efectuar: P = V x^-2x+ 1 + Vx' + 2x + 1
si: 0 < X < 1
A)1
0) 2x
40(
Halle et equivalente racionalizando de:
70. Luego de racionalizar y simplificar;
: el
/T 5 -/4 5
denominador resulta:
A)1
B) Vx - 2
E) Vx - 10
-
Efectuar; /3 + /8 + / 7 - / 4 0 - /5
E) 1 + /3
A) 1
0)6
Convertir a radical simple: ^2x +
dicar uno de ellos.
A) Vx+ 10
0) Vx - 1
C)4
69. Al efectuar; ■¡2 - V6 - V20 , se obtiene
A) /1 0 + /2
2
Reducir: A/1 = / 1 0 - 2 / 2 Ì - / 8 -2 /1 5
/9 + 2 / Ì 4 - / 7 + 2/ÍÓ
A )-1
B)1
0 2
D) -2
E)3
O /5
E)3
A )-2
5/i^ + 6 V Í+ 1 )('/i;^ -® /i7 + l)-a
B )-1
00
86. Efectuar: T = 2 - / 3
/3 + 1
A) O
D) V3 - 2
B)1
E)2/3
0)1
2 - /3
/3-1
0 2
-V a + 1
E)2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
C
B
D
E
A
D
A
E
A
A
E
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
A
B
D
C
C
B
A
D
6
D
C
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
£
B
D
D
E
B
C
A
E
A
e
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
E
D
E
A
D
B
A
D
C
A
C
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53,
54.
55.
A
D
E
B
A
C
B
A
D
C
E
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
C
B
B
D
6
D
A
A
B
B
C
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
A
E
B
D
B
E
B
A
B
C
B
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85,
86.
B
A
B
D
C
D
C
E
D
Números
complejos
Lodovico Ferrari fue un m ate­
m ático italiano que nació en
Bolonia (Italia) el 2 de febrero
de 1522 y m urió en la misma
ciudad envenenado con trióxi­
do de arsénico p or su herm ana
el 5 de octubre de 1565. Fue un
estudioso de las m atem áticas y
en unión de otros colaborado­
res, siendo el más im portante de
ellos Cardano. llegó a ser uno de
los m ayores representantes de la
escuela de Bolonia, que se dedi­
caba principalm ente al estudio
del álgebra; así descubrió la re­
solución algebraica de la ecua­
ción general de cuarto grado.
Asimismo, dem ostró la fórmula
para resolver ecuaciones de ter­
cer grado.
a
o
ü
\iaVm. 1522-Italia, J5B5
Lodovico Ferrari puso de m a­
nifiesto en su exposición lo que
hoy se conoce com o núm eros imaginarios. Cardano y Ferrari estudiaron la solución de las
cúbicas que Tartaglia les había com unicado. Ellos resolvieron los problem as que Zuanne da Coi
había propuesto y escribieron los casos en que podía presentarse una cúbica con coeficientes
positivos. En este proceso. Ferrari descubrió tam bién la solución general de la cuáriica en 1540.
con un bello argum ento reducía el problem a a resolver una cúbica por el m étodo de Tartaglia.
Com o Cardano había jurado a Tartaglia que no publicaría la solución de las cúbicas, estos no
podían publicar tam poco las cuárticas que dependían de !a solución de aquellas.
Fuente: Wifeipedla
<4 CANTIDADES IMAGINARIAS
Se originan al extraer raiz de Índice par a una cantidad
negativa.
Así: J - 16;
son cantidades imaginarias,
En el problema:
r= i-r+p+r^j-+,„+¡«+...+j^" V i^ " - '+ r i^i4n^¡4n.,
0
i" = i“*" "
0
^
0
entonces; n = 4 1
Se pide:
tn íd a d im a g in a ria
La cantidad imaginaria
es llamada unidad imagi­
naria. con esta definición, podemos representar a todas
las cantidades imaginarias puras.
Notación: según la notación de Gauss, la unidad ima­
ginaria se representa por la letra i.
Se define:
m par
-I'
E -
- -i
<4 NÚMERO COMPLEJO
Es un número que resulta de la unión de un número real
más un número imaginario.
Sea el complejo:
i' = -1
z=a
E je m p lo :
Efectuar: E =
L
x
Parte real
Resolución;
E = {JQ
E = -4
= /8 i -/2i = •/Tèi'« E = 4(-1)
-í^ )
<4 POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA
=i
= -1
_
i* = i
i®= - 1
i^= - i
i- 1
_ j
= 1
i^ = i
-1
i" = - i
i’^= 1
Como se puede observar, los resultados de las poten­
cias de la unidad imaginaria se repiten en períodos de 4
en 4, y si los exponentes son múltiplos de 4 ei resultado
es 1. Esto implica que estas potencias están goberna­
das por propiedades que veremos a continuación.
P ropiedades de las potencias de ia unidad
im a g in a ria
1.
2,
3,
Siendo a y b números reales, nos indica que el comple­
jo esta formado por “ a" unidades reales y "b" unidades
imaginarias.
También se les define como el conjunto de pares or­
denados de números reales, donde la primera compo­
nente (abscisa) se le denomina parte real y la segunda
componente (ordenada) parte imaginaria.
Notación:
z = (a; b)
Donde;
a; b G E
Parte real;
Re(z) = a
Parte imaginaria: lm(z) = b
Luego, dado z = a + bi
Si a = O A b O=í z = bi es un número imaginario puro.
Si a OA b = O=» 2 = a es un número real.
S ia = b = 0 « z = 0 es un número complejo nulo.
C om plejos conjugados
i + i^ + i^ + i" = O
Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales
e iguales pero de signos contrarios sus partes imagi­
narias.
Sea; 2 = a + bi, su conjugado será; z = a - bi.
C om plejos opuestos
E je m p lo s :
Calcular:
1.
=
2,
4.
Parte imaginaria
i""=1
Corolario:
i'' + i" ‘ ' + i" • ^ + i" * ^ = O
3.
bi
=
=
=
=
Si i" = i + i' +
+ i“ + ... + i^" ■'
reducir: E = i‘"
n e IN
Resolución;
Sabemos por el corolario que:
i" + i" ■' + i" ■^ + í'" ^ = o
Son dos complejos que se caracterizan porque se di­
ferencian solo en el signo de la parte real e imaginaria,
pero teniendo las mismas partes real e imaginaria (en
valor absoluto).
Así, los complejos; 2, = a + bi a z.^= -a - bi
son dos complejos opuestos.
C om plejos iguales
Dos complejos son iguales si tienen iguales sus partes
reales y sus partes imaginarias,
Si:a + b i = c + d i =5 a = C A b = d
<1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
Donde:
R epresentación ca rte s ia n a o g e o m é trica
También: tanB = a
Se realiza en el plano cartesiano en donde el eje "x” sir­
ve para representar los números reales y el eje “y" sirve
para representar las cantidades imaginarias.
Como se puede observar, la parte real está represen­
tada por pcose.
=
+
=
Izl = ja + bij
E jem plos:
1.
Expresar en su forma polar:
a) z = 3 + 4i
Resoiución:
Calculando el módulo: p =
+ 4^ = 5
Luego el argumento: tanO = ,1 => 9 = 53°
.-. z = 3 + 41 = 5cis53°
Ai plano formado por los ejes reai e imaginario se le
llama plano de Gauss.
b) z = 4 - 3 i
Afijo de un complejo: es un punto en el plano gaussia­
no que se representa por un par ordenado formado por
la parte reai y el coeficiente de ia parte imaginaria que
representan respectivamente la abscisa y ordenada del
punto.
Resoiución:
El módulo será; p = </4 + 3^ = 5
—3
El argumento: tan9 =
lo que implica que: 0 = 360° - 37° = 323'
z = 4 - 31 = 5cis323°
R epresentación p o la r o trig o n o m é tric a
Toma como base las coordenadas polares, donde se
conocen el origen (polo) y una semirrecta llamada eje
polar. Para ubicar el afijo, se debe conocer la distancia
del polo al afijo (módulo o radio vector) y el ángulo (argu­
mento) comprendido entre eí radio vector y el eje polar
c) z = - 2 - 2-/3Í
Resolución;
El módulo estará dado por; i(-2)^+(-2V3)^ = 4
El argumento: tanO = 73^ =» 0 = 180" + 60° = 240°
z = -2 - 2/31 = 4cis240°
2.
eje polar
Donde;
p: módulo o radio vector
9: argumento
Relación existente e n tre la fo rm a ca rte s ia n a y
la fo rm a p o la r
Calcular el complejo en ta forma polar;
a) z = - 4cis30°
Resoiución;
z = - 4 cis30° = -4[cos30° + isenSO“]
z = 4[-cos30° - isen30°]
z = 4(cos(180° + 30°) + isen{180° + 30°)1
.-. 2 = 4cis210°
b) z = 3[cos20° - isen20°]
Resolución:
z = 3[cos20° - isen20°]
z = 3[cos(360° - 20°) + isen(360° - 20°)]
.-. z = 3cis340°
Sea z = a + bi
c) z = - 3 + 3 /3i
Resoiución:
Hallando: p = ys^+(3/3)^ = 6
tanO = 3/3 = -73 => 0 = 120°
En el gráfico
Del AOAB:
z =
6
c is 1
2 0
''
senB = - =• b = psene; cos9 = - =» a = pcosB
P
P
<4 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
Luego: z = (a; b) = a + bi = p(co90 + isenO) = pds6 = piii^
S um a y d ife re n c ia
Representación
canesiana
Representación
polar
Para sumar o restar números complejos, se suman o
restan partes reales e imaginarias respectivamente.
Asi.
Zj =
z, +
z, -
z, = a + bi
c + di
Z2= (a - c) + (b + d)i
Zj = (a - c) + (b - d)i
Luego: — = ^[cos(24° - 10°) + isen(24° - 10°))
Zt j
- -|cis14"
ó
P roducto
A. Forma cartesiana
Sea z, = a + bi
z^ = c + di
^ z, Z2= (a + bi)(c + di) = ac + adi + bei + bdi'
Como i^ = -1
z,
=
(ac - bd) + (ad + bc)i
P otenciación
A. Forma cartesiana: la potencia de un complejo por
esta forma solo resulta práctica cuando el exponen1e es pequeño, Para efectuar la operación se
aplica el desarrollo del binomio de Newton; tenien­
do cuidado al reducir las potencias de i.
(a + bi)" por binomio de Newton
Ademas: (1 + i)(1 - i) = 2
B. Forma polar: se multiplican primero los módulos y
luego se suman los argumentos:
Si: z, = p,(cos0i -*■ isenO,)
^2 ~ PiícosBj + isen02)
=> Z1Z2= P1P2[cos(0, + Üj) + isen(0, + O^)]
z,Z2= p,p2cis(6, + 62)
B.
Propiedades:
a) (1 + i)' = 2i
b){1 - \ Y ^ 2 i
Corolarios:
a) (1 + i)^ =
b)(1 - i)^ = -4
-4
Forma polar
Sea: z = [p(cos0 + isenO)]''
=• z = p" [cos(nO) + isen(nO)] = p" cis(n0)
Ejem ptos:
Ejem plo:
1. Sea: z = 2(cosl0° + isen10°). calcularz^
Sean: z, = 2(cos10° + isen10°)
z¡ = 3(cos13° + isen13°)
=? z^zj = 2)^3[cos(l0°+13°) + isen(10°+13”)5
Z1Z2= 6[cos23° + isen23°]
Resolución;
z^ = [2(cos10° + isen10°j^
z® = 2*(cos50° + isen50°) = 32cis50°
2. Calcular:
D ivisión
Resoiución:
A. Forma cartesiana; para dividir complejos se multi­
plican numerador y denominador por la conjugada
de este último,
z, = a + bi
Z2= c + di
Hallando el módulo: P
El argumento será: ta n 8 = -/3
=» e = (180" - 60°) = 120"
Del enunciado: z = (cis120°)^’^ = cis25 560°
^ z = cis25 560° = cis360(71 )
=> z = cisO" = cosO° + isenO°
z= 1
£1 _ a +bi (a + bí)(c~di) (ac + bd)(bc -ad)í
^ Z2 “ c+di(c + di){c-di)
^
Entonces: — = ac, + bd
Zz c' + d-
+
be - adc' + d'
R adicación
Propiedades;
B.
A.
Forma polar: para dividir complejos se dividen pri­
mero los módulos y luego se restan los argumentos,
z, = pi(cos 9, + isenO,)
Zj = Psícos 02 + isenOj)
= ^[co s( 0, - Oj) + isen(Oi -
=>
— = -^cis( 0,- e ,)
Z
2
P2
^
Ejem plo:
Dados: z, = 5(cos24'" isen24°)
2Z= 3(cos10° + isenlO”)
62)]
Forma cartesiana: la raiz enésima de un complejo
es otro complejo, entonces:
Va + bi = X + iy = a -1- bi = ( x -1- yi)"
Por binomio de Newton
Luego se igualan las partes reales e imaginarias
entre si:
Ejem plo:
Hallar V-^3 - 4i
Resolución;
De: V- 3-41 = 7 - 3 - 4 /'- 1 = V-"3 - 2 ^
(~4){1)
Luego: / - 3 - 4i = ±(/T - ( ^ ) = ± ( ^ - 2i)
V -3 -4 Í = 1 - 2i V -1 + 2i
B.
Forma polar:
Sea: z == "Vp(cosO + isen0)
£jemp/os;
1.
_ „ r - j cosO + 2kn
n
isen9_+^l^\
n
j
Evaluar; C = i + 4 i ‘ + 7 i '+ 1 0 i'^ + „. + { 3 n - 2 ) i ^ "
donde: n = 4k / k g Z ’
Resolución;
Número de términos =
También: z - "/pcÜ0 -
Ejem plo:
*-6i - 6
-6i - 6
= 1
5 grupos
Resolución;
=
1
X =
C = 5 (-6 i-6 )= :^ (1 + i)
^‘ ■ P T T Ó í
Escribiendo en su forma polar;
c = -1,5n(1 + ()
X ^ ^/cosO -I- isenO=cos +isen'^
Para; k = 0; x - 1
k = 1: X - cos120° + isen120° - ^
k = 2: X ^ cos240° + isen240° = ^
2.
Si:x’ = 1
X2-
■> _
Sea: w -
O oj
^
sea un número real.
Resolución:
Asumamos que el cociente es una constante real k:
3 - 2 ai = k =» 3 - 2ai = 4k - 3ki
4-3i
De donde: k = ^
•{1)
4
-
2 ^ 2'
3X 2
Hallar el valor que debe tomar ''a" para que el cociente ^
1
También: 2a = 3k
2 '
(2)
(2) en (1); 2a - |
+^ i
Elevando al cuadrado: v / =
—1
'
3.
Si X^ = 1 =» X , = 1, Xj = V/, X3 = w'
Donde; 1, w y v / son las raíces cúbicas de la unidad.
•
a= |
Efectuar; A = (i'^ V^’ i'' )'
Resolución:
„ 6 . 2i , ,4 - 2.
A = i'
A=
<4 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES CÚBICAS DE
LA UNIDAD
= 1
1+w+
ó
Agrupando cada cuatro términos:
C = i + 4 - 7i - 10 + 13i + 16 - 19i - 22
Donde en ambos casos: k = 0:1; 2; ...;(n - 1)
Calcular las raíces de:
^
Efectuar;
A = i'
r^ ¡
E = (1+ i)'”' '~'ÍT^'-!2
Resolución:
vv' ■' = w'
=o
Ejem plos:
Luego: E -
1.
2. w '"“ '
3.
^ w ' ■' - w
4.
= w"
Calcular; S = w +
^
=> E=
, PT
^
',70
Calcular el valor de: Q = ( - ^ + -^ij
Resolución;
Sabemos que;
+ ... + w'®
Resolución:
Por la propiedad 3: S = w +
+ ... + w'’’ +
—1
+
^ i = w
En; Q =
O
Pero: S =
^
^^ w +
Sea : w + v/^ + w^ = 0 = » w + w ' = -w^
. - . s = -w= = -1
<4 FÓRMULA DE EULER
Sea;
z = {a; b) = 8 + bi = pcis = pe'
G en radianes para
calcular la forma exponencial de un complejo previamen­
te hay que tener la forma polar o en todo caso deducirla.
w
-1
Luego: Q = l - - ^ i
c
6.
o . . ..
(2 + 2i)Vl5 8i
Reducir: M =
^-----1+1
Resolución;
La expresión también puede escribirse;
M ^ ^ iil4 ^ V i5 ^ r iC T
(1 - I )
M = -2iVl5 - 2 7^T f
M =
2i^15-2^{16)(-1)
M = - 2 í (/T6 7.
= 2i(4 - i)
M = -8i-2
La suma de dos complejos es -2 - 6i. la parte
real de uno de ellos es - 4 y el cociente de ellos es
imaginario puro. Indicar uno de los complejos.
Resolución:
Sea uno de los complejos: z, = - 4 + ai
Luego, el otro será: Z2= 2 - (6 + a)i
Por dato el cociente de z,/z2es imaginario puro:
- 4 + ai = ki =• - 4 + ai = k(6 + a) + 2ki
2 - ( 6 + a)i
Luego: a = 2k ==• k = ^
-4 = k(6 + a) =»
+ 6a + 8 = 0= (a + 4)(a + 2)
Si: a = -4: z, = - 4 - 41
Z2= 2 - 2i
Si: a = -2: z, = -4 - 21
^ 2 - 4i
8.
(1 +2i)’^ + 4(1 +2í)® + 4 ( i - 2 ) “
(2- i ) “ + 4(2- i ) " + 4
proporcionando luego la parte imaginaria del com­
plejo resultante .
Factorizando por divisores binómicos, para k = -3
se anula, luego tendrá un factor (k + 3).
Luego por Ruffini:
k = -3
0 -19 -30
-3
9 30
0
-3 -10
(k + 3)(k^ - 3k - 10) = O= (k + 3)(k - 5)(k + 2) = O
Si: k = -3 , a = -3i, b = 4
Se pide: (ab)' = ((-3i)(4)f = -144
Si: k = 5
-4
a = 5i
En (II): b =
Luego: (ab)' = - 4 X 5ii
(ab)' = -44,44
Si: k = -2
En (II): b = 17
a = -21
(ab)^ = -128,44
.-. (ab)^ minimo será-144
Efectuar: E =
Resolución:
I
10. Calcular el número complejo que debe sumarse a
z = (1 - ■ÍZi)* para que el residuo sea un complejo
cuyo módulo sea 4 y su argumento 120°.
Resolución:
Sea z, el complejo pedido.
Por condición:
(1 - -/Si)" + z, = 4cis120°
(1 - 3 - 2/3 i)' + z, = 4(cos120° + isen120°)
I
- (i - 2Y = (1 + 2ir
2 -i = l ^
^ (2 - i)" = (1 + 2i)" A (2 + i)® = (2 - \ f
En la expresión;
E=
+2i)^^ + 4(1 +2i)^ + 4(1 +2i)^
(1 + 2i)® + 4(1 +2i )*+4
E = (1+ 21)" = (1 - 4 + 4i)' = (-3 + 4i)'
E = 9 - 16 - 24i = - 7 - 24i
Parte Imaginaria: -24
( _ 2 * 2 / 3i ) ^ + z , = 4 ( - l + ^ i )
4 - 1 2 + 8/3Í + Z, = - 2 + 2/3i
=> z, = 6 —6 /3 i
Hallando su módulo: p = -¡6^ + ( S / S f = 12
El argumento: tane = - /3
= 2n-
- ni
.'. z, = 12e^"
9.
Calcular (ab)^ mínimo, si “a"; imaginario puro y
“b”: real. A partir de:
a(2b - 2 + a) + b(a - 3) = -301 - 21
Resolución
Del problema se plantea:
“a" es imaginario puro =» a = ki: b e IR
En el dato: klí2b - 2 + ki] + b(ki - 3) = -30i - 21
Efectuando:
( - k '- 3b) + (2bk - 2k + bk)i = -30i - 21
2bk - 2k 4 bk = -30
...(I)
21
-k
^
-k" - 3b = -21
b=
(II)
11. Calcular el argumento de z, Zj s i:
z, 1 - cos17° + isen17°
z¿= 1 + cos53° + isen53°
Resolución:
Sabemos que: 1 + cos2a = 2cos'a
1 - cos2a = 2sen^a
En; Zi = 2 sen^-^ + 2isen-^ eos™
z, = 2 s e n ^ ^ s e n ^ + i c o s ^ j
z, = 2 s e n ^
(II) en (I): 2 k ( ^ l ^ ) - 2k + ( ^ l ^ ) k - -30
k(21 - k') - 2k - -30
k' - 19k - 30 = O
Zi = 2 s e n ^ c ¡s Í|^
+ is e n ^ ^ J
n
=
5n
En: Zj = 1 + cos53° - isen53’
14, Hallar x, si x‘
Z2= 2cos-^ ( c o s ^ - tsen-^l
z, = 2cos 53 c o s (3 6 0 -y ) + ise n (3 6 0 -y|
Resolución:
Sabemos que:
Z2= 2 c o s ^ c i s ^
i'
360° + 55°
a + (b + 8)i
12. Se tienen: z, = a + b + 2 i.
a - b - 3i ’
^
a - bi
si z, y z¡ representa un número real y un imaginario
puro, respectivamente, calcular (a - b), ab + 0.
Resolución:
z - m 4- ni = k ; (kE E)
p + qi
Expresando linealmente: m + ni = pk + qki
Observamos que: m = pk a n = qK =■ k =
=
k i;
(k e
p
D e { l ) y ( l l ) : b =
^
a
q
E )
p + qi
Escribierido Sineaimente; m + ni = -q k + pki
Observamos que: m = -qk a n = pk ;=• k = - m
Lo que implica que: mp -t- nq = O
En el problema:
Si z, es real: a + b - 2
5a = -b
a -b
3
Si Z2es imaginario puro:
^ = b(b + 8) = a^ = b' + 8b
(2' ) = e ^ = e ^ = i' = e
^ (x“)"' =
' ’
\ q -^]
0 = 55°
H L + jli
1
ÍT-
En el problema: x”’ ' = (x‘)'' =
17
Luego. z,z2= 4 s e n ^ c o s -^ cis 415°
Z ^
=
q
n
P
■(1)
(M)
L (e
Luego: x" = e ^ = i'
1
'
X
=i
Hallar un complejo que verifique:
z-12
5, z- 4
,
2 -Si
3’ z- 8
Resolución:
Sea: z = a + bi
Elevando al cuadrado el segundo dato:
|z - 4|2 = |z - 8|' ^ (a - 4)^ + b^ =(a- 8)^ + b^
== (a - 4)^ = (a - 8)^ =» a = 6
Expresando linealmente el primer dato elevado al
cuadrado:
9|z - 12p - 25|z - 8i|'
^ 9[(a - 12)' + b'l = 25[a' + (b - 8)']
Reemplazando el valor de ‘a" y efectuando:
b' - 25b + 136 = O =» (b - 17)(b - 8) = O
=. b = 1 7 V b = 8
Lo que implica que hay 2 complejos que verifiquen,
siendo estos: z, = 6 + 17i v z¿ = 6 +81
a= |
16. Señalar a que es igual: i'^ =1
30
Se pide: a - b = -|
a - b - 10
O 3
3
1
1
1. 1
13. Si: z =
a + bi b + di e s conjugado de
a, b c E. Calcular: E = (a - 1)' + (b - 1)^
Resolución:
Por definición de conjugado:
1 1
1 1i
a + bi b + ai 2 2
Efectuando en el primer miembro:
a - bi
b - ai
_J. _ 11
(a + bi)(a - bi) (b + ai)(b - ai) ~ 2 2
(a*bi) + (b-ai) (a+b) (a + b ) . 1 ii
a^ + b^
" a ‘ + b^ a' + b ^ ' " 2
2
a
+
b
Luego:
2a + 2b = a' r b'
Trasladando los términos a un solo miembro y su­
mando y restando 2.
- 2a + 1 + b ' - 2 b + 1 = 0 + 2
+ ' (^-1 )^ ' - 2
E= 2
Resolución:
i^^^ i^ ^ 1
17. Dados los números complejos: z, = 3 + 21; z¿= 5 - 4i,
calcular;
I, z, + Z2
II, z, - Z2
III, Z,Z2
Resolución:
I. z, + Z2= 8 - 2i
II. z, - Zj = -2 + Bi
III. z,z^= (3 + 2i)(5 - 41) = 15 - 121 + lOi - 8i'
=» ZiZj = 23 - 2i
18. Dados los números complejos: z,
z, = {a + 2) + {b +
3)i:
Ademas: z, =Zj,determinar; a y b
Zj = 4 + (5 - b)i
Resolución:
Como; z, = Z j
=
= a+ 2= 4 =» a = 2
b
+3
= 5 - b=>b=1
,-, a = 2 A b = 1
19. Si Zj es el conjugado de z,, calcular m y n.
20.
z. = (2 T m) + 31: 7..- 5 - (2 - n)i
Resoiución:
Como: z, De donde:
10
n - 2 - --3 -5 n -- -1
Donde: 6 + m = O
0. cos6c!
O
f - 2k;r
Resolución:
7 = ; 1 - itanu w 1 4 i tan 2a \
11 - Itan a 1 - i tan 2a /
H
^ 1sen2a
14- 1;Sencí
--------
___
cosa
j sena ^
cosu 1
^
4.
tan 6a
(a^ + b
^
r-i-s
• !z "| = |z |-:
|z | =
V n € Z‘
( s '+ b r
r' + s'
= 1
A[ graficar las raíces de la ecuación z^“ - 1 = i en
el plano complejo, hallar el número de raíces que
se encuentran en el tercer cuadrante.
z
1
=
“/m
i
-
Z ^- =
5.
el modulo de z para que el número w = —
1 + z^
sea real.
Resolución:
Por propiedad:
a 4- bi es real « - =
c + di
c d
z
X + yi
X 4 - yi
I 4-Z
1+(x4-yi)^
x^ - y^ + 1 4- 2xyi
X
w es real
^
z = “ /T fc is U
_ y
- y^ + 1 2xy
4
2x' =
^
- y' + 1 =
W
+ y" = 1
A y?iG
+ y^ = 1
2 k :i
50
= (/2 + U )
Si: z = X 4- ¡y xeE, y ?^0, además: 1 + zVO . Hallar
1 + ¡
= 5or/icís4
+
^ E= 2 +
w=
Resolución:
-
Reemplazando:
|w|
(a ->■ bi)" = r 4- s ^ n c 2
=> |(a 4- bi)"| = |r 4- sí|
== |(a - b i) f = r 4- sip
^ (la + bip)" = r + sip
(a' 4- b^)" ~
r
.^
— = 9í, siendo “a” y “b"
3‘’ - ( a + b)i
Resolución:
3'i + 54.
a, b e E - {0}
3“ ~ (a + b)i
=. 3^i + 54 = 9i[3" - {a 4- b)i]
^ 54 + 3"i = 9{a + b) + 9i{3)'^
^ 9(a+b) = 54 A 3*' = 9(3)"
=>a4'b = 6 A a = b4-2
De donde; a = 4 a b = 2
Si (a 4- bi)’’ = r 4- si, n e S, {a; b: r: s} c IR, determi
Resolución:
Recuerde que: ♦ s - z = w
Sabiendo que:
números reales no nulos. Calcular: E -
z = cis(2(x)cis(4i/.) = cis(6a)
c
MC21. ^
37
En el INC, hay 13 raíces.
, _ i císa ]/ cis2a \
'.c is ( - a ) / '. c is { - 2 a ) /
2.
^ k = 25: 26; 27;
Valores de k: 37 - 24 = 13
eos 2a
j sen2a
eos 2a
lm(z)
sen6a
Re(z) - eos 6a
.
<k<
^
__ j cosa - isenu w eos2a 4 isen2a 1
eos u - ¡sena A eos 2a - isen2a Ì
,
B
Donde: k = 0; 1: 2;
49
El afijo de z, e llIC, sí:
Simplificar: z ^ l U . l t a n a w W ita n 2 a | ^
' 1- ita n u A l - ita n 2 u I
, si ccsd o, cos2u
m = -6
RESUELTOS
PROBLEMAS
Re(z)
dará
Resolución:
2 + mi ,3 - i' _ 6 - 2i + 3mi - mi^
3 ^ \ h - V
9-i'
(6 4- m) + (3m - 2)i
5 - (2 - n)i = {2 + m) - 31
2 -^m = 5r= m - 3
1.
Para que valor de m, la operación ^
O4" t
como resultado un número imaginario puro.
••• |z| = 1
6.
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son ver­
daderas?
I. V 2, w e C; z = z A (z + w) = z + w
3 + 3i = 3/2e"
n/4
II. v z , v / e C - { 0 } : ( - ) = —
III. |2 + 11 <2|2]
IV. 3zGlC/|2| =
V
/3 - 3i - 2 ^ g f '
2
V 2 G C / | Z | > |2| + 1
Resolución:
I. V 2, Vl' G <C: 2 = 2
-3
4jt
(z + w) = 2 +
A
F
z es real).
La proposición es falsa.
(2 = 2
-1
W
-1 - 731 -
V
(F)
I. V 2, W G I - {0} : (—) = —
' w' w
No es cierto, porque z # z
2e ^ ‘
-V3
— I
2e"*'
(F)
[2 + 1! < 2|2|: porque v 2 = {x; y)
(X + 1 ) ' + ( - y ) ' < 4 ( x ' -f y ')
« 3x' - 2x - 1 + 3 / > O
Esta desigualdad no es cierta v xy s SI
IV.3 2 G C / |z| = 2
Es cierto, para 2 = (x; 0), v x > O
V
Si ±ii'
2 = 3/6e'^ ^
9.
(F)
(V)
V 2 G C / 12| > |z| + 1, e s fa ls o pues:
|z) = |2| y por tanto O> 1 es absurdo.
(F)
= 3/6
Determinar x e E*, tal que: Imi ^
= 4\x + 2i/ 2
Resolución:
1+xi
(1+xl )(x-2i)
x + 2i (x + 2 i)(x-2 i)
_
3x , / x ^ - 2
x" + 4 \x" + 4
l x + 2i/
Solo IV es verdadera.
x^ + 4
2
2 x ' - 4 = x ' -K 4 => X =
7.
Determinar el menor número natural n de 2 cifras
para el cual (i - J z f es imaginario puro.
Resolución:
z={\-J3f =
2 = 2 "c is
b
5nn
¿
D
además:
10
10 < -|^ < 99
< n < 99
-1
< k < 165
Dado el número complejo: z =
1
Si; y < O =» " y > (|x| - 1|
o también; y < - ||x| - 1¡
Como n es el menor natural, entonces k es el me­
nor impar a k = 5
„ _ 3(25)
k = 25
= 15
8.
Determinar la gráfica del conjunto;
A- { zGC/ | l m( z) | >!|Re(z)|-1|}
= k i , v k e l N A k impar
=> n =
^
10.
X = 2 /2
Resolución:
Sea: 2 = x 4- yi
En A; }yi > IW - 11
Analicemos:
• Si: y > O => y > ||x| - 1|
Gráfico;
(S c is ^ '”
2 es imaginario puro si y solo si;
^
,
7 _ (3/2,e^')(2/3e~')
III. V 2 G C, n o n e c e s a ria m e n te ;
|z + 1 1' < 4|2|^
3
Gráfico:
-1
1
(3 + 3 i ) ( / 3 - 3 i )
- 1 - -/3i
expresar z en su forma exponencial.
Resolución:
De, 2 ^ (3 + 3 i)(/3 -3 i)
-1--/3I
Expresando en forma exponencial cada compiejo:
Finalmente la unión de las gráficas nos reprodu­
ce la gráfica de A,
y
11. Determinar la gráfica del conjunto:
A = (z e C / |Re(z)| + Re(z) - |lm(z)| > 1}
Resolución:
Sea: z = x + yi
En A: |x| + x - |y| > 1
• S i y > 0 =» |x¡ + X - y > 1
o también: y < |x| + x - 1
Aquí: x > 0 = = y < 2 x - 1
Pero no olvide que: y > O
Resolución:
cosa -i- isenu = cisa
cosa - isena = cis(-a)
I ■ n >60
I eos—- tsen—'
,..(1)
V
4
iI costt-
4'
tsen—
í • TI \60
ÍCIS3 )
E=
Gráfico:
( cís 2 0 ti) [ c ís ( - 3 0 n )]
[ c i s ( - 1 5 n )J [c is (- 5:t)]
1/2
Gráfico (a)
Ahora: x < O =s y < -1
Pero como: y > O
En este caso no existen z e A
Si: y < O =» |x| + X + y > 1
=*• y > 1 - X - |x|
Aquí; x > 0 = : > y > 1 - 2 x
Pero no olvide que: y < O
Gráfico:
^
cis(- lOn)
• , .r,
E= . ,
= cis{-10n
cis(-2 0 ji)
E = c ís IO ti = cisO = 1
-..(2)
14. Si la gráfica del número complejo z = ^ f l ; a g IR
1 - ai
es ia que se muestra en la figura.
(a; b)
Afiio del complejo
1
1/2'
R(ejereal)
Determinar el valor de "a”.
Gráfico
Ahora: x < O => y > 1
Pero como: y < O
En este caso no existen z e A
Finalmente la unión de
los gráficos (a) y (p) nos
reproduce la grafica de A.
Resolución;
De la gráfica: z = ]
= qi
1 - ai
Donde; q > O => 1 + ai = qi(1 - ai)
=■ 1 + ai = aq + qi
= aq = 1 A a = q
(a > 0)
^ a^ = 1 .-. a = 1
15. Reducir el siguiente número complejo:
^ _ 73 + 2a + iV3 - 2a
V3 +2a - i 7 3 - 2 a
= 2e^, Z2= ^ + - ^ i. Determinar. —
¿
Z2
¿
Resolución:
Resolución:
Sea: x = 73 + 2a
2=
2e^ = 2.e
= 2e^
y = 73- 2 a
(x + yi)^______ (y + xi)^
(x-yí)(x + yi) {y-xi )(y + xi)
2 ^ (x + yi)^ _ i^(x - yi)^
= 2 i l + S - \ ) = 1 +/3Í
r = (x + yi)^ + ( x - y i ) -
X2 + y2
13. Calcular;
Tt
•
71 \6 0 /
]T
( c o s - j 4- i s e n - j )
(c o s -^ /
/
a
Entonces, el complejo queda asi:
x + yi y + xi
X - yi y - xi
z, = 28^
E =
V3 - 2a + iV3 + 2a
V3 - 2a - iV3 + 2a
donde: - | < a < |
12. D a d o lo s n ú m e ro s co m p le jo s :
z^
-20-))
7T -
IT>50/
.
Tr ,120
is e n ^ )
TT .
TT»40
(sen^ + icos^) (se n | + icos^)
2[x^Myi)^]
x^ + y^
2(x^-y^)
x^ + y^
Pero: ^
y
+
V3-2a
3 + 2a
3 -2a
(3 + 2 a ) - { 3 - 2 a )
+ y^ " (3 + 2a) + (3 - 2a)
16.
4a
6
Luego; Z,Z2Z = 2/2 x 2 / 2 i x ( / 6 + /2)(1 + i)
z,zjz= 8(/6 + /2 )(-1 + i)
2a
Sea z G <C, tal que cumple;
jz + ZqI < a, donde Zg = (a; a), a g Ifi*.
Determinar el argumento de z cuya distancia a la
recta vertical que pasa por x = -3a sea minima.
18. Sea: |zp = 3Re(z), determinar: |z - 3/2|
Resolución:
Sea; z = a + bi =^ |z] = /a^ + b^
En el dato: [zp = 3Re(z) => a' + b^ = 3a
Nos piden;
Resolución:
Sea: z = (x; y) g C; Zq= (a; a)
Luego, en el dato;
|(x; y) + (a; a)| < a;
|(x + a ; y + a)| < a
=> ( X + a ) ^ + (y -t- a ) ^ < a ^
Graficando;
a + bi -
2
-
(a + bi
'
2Ì
+b^ = ^ a ^ - 3 a + | + b^
- I
19.
Determinare! módulo del complejo; z = (1 + e )“
Resolución:
Sea: w = 1 + e® = 1 + cis^
=» w = |1 + cos-^i + i : sen-^ ;
El argumento del z buscado es: 6 = 180° + a
Cálculo de a (triángulo notable):
2a
w = 2 c o s "i + i2 s e n ic o s i
w = 2 c o s i ( o o s i + is e n i)
53°
= 180° + 53”
|wl
cis
'16
Observar; |w| = 2cos:^
1b
Pero: |z| = |w^| = |wp
413
17. Se sabe que los afijos de tres números complejos
son los vértices de un triángulo equilátero de lado
igual a 4 m, como se muestra en la figura adjun­
ta. Determinar el producto de estos tres números
complejos.
|z| - 4 c o s ':^
20.
Dado los números complejos:
z, = 2e ^ . Zj = 4 +
determinar el módulo de —
Resolución:
Nos piden:
k il = 2
Resolución:
Observar; z = (2 + 2/3 )(cos45® + isen45®
T T
2
z - 2 ( 1 + / 3 ) x : J ( 1 +i)
2 = (x; y)
(0; a)
(0; 0)
2{1
(a ; 0 ) = z,
- z = (/6 + /2 )(1 + i)
Además: z, = 2/2 a z , = 2 / 2 í
^
2
21. Sea z e C, tal que: z =
(i;-i)^« . De(3; —1)(2; 0)
terminar el complejo equivalente de z.
Resolución:
(3;-1)(2;0)
_ (2 + 3í)(-1 - 2i)
z=
(3-i)(2)
_ ( - 2 - 4 i - 3 i + 6)(3 + i)
z=
[(1 - i)1'
2(3-i ) (3 + i)
, _ (4-7i)(3 + i)
(-4)^
2 ( 10)
Resolución
K
i * que: a
i(b - ai) - 1
Notar
, + bi. = 4:-------^
b-ai
b-ai
7 = / 725 + 47if / 41 +28i \^^ - 1
U 7 - 7 2 5 Í Í ■^Í28-41i
z= (i)^® + (i)^^ - 1 = i + 1 - 1 = ¡
Observar que; (1 - i)‘ = -4
(12-21Í + 4Í + 7)
2=
20
19
17i
20
22.
Sean z, y
dos números complejos,tales
que; 2|z,| = \z^\ = 2, además: arg(z,z2) =
y
arg(z,/z2) =
Determinar el área del triángulo
formado en el plano complejo porz,, Z2y el origen
de coordenadas.
Luego: |(z + 1)(z + i)| = |z +
11 + ill^l = 2/2
26. Resolver la ecuación:
= 8 - 61, dar como res­
puesta ei producto de los módulos de las raíces.
Resolución:
La ecuación:
= 8 - 6i, tiene dos raíces w/, y Wj,
donde:
w? = 8 - 6i = W2 A Wj = -wí.
Se pide: iw,||w2| = ¡w^ill-w,!
= |w,||w,| = |w?| = |8 -6 i |
Resolución:
Del dato; 2|z,| = Izj] = 2
|z,| ^ 1 A \z¡\ = 2
a rg (z ,z 2 ) =
^
A
a rg |^ )
z+
=
K I N = /8' + (-6)^ = 10
Por propiedad;
arg(Zi) + arg{Zj) = - y
a
De donde; arg(z,) = ^
Luego; z, = c is -^
o
Graficando:
A
arg(z,) - argíZj) =
27. Si 45° es el argumento del complejo; a e E
z = (1 - a)V1 + i + a(1 + i)), hallar su modulo.
^ arg(Z2) =
Resolución:
Por condición;
(1 - a)V1 + i + a(1 + i) = rcis^
2, = 2cis-^
o
(1 - a)/1 + i + a +ai = ^ r + ^ r i
(1 - a ) / r n = J - ^ r - a ) + ( /2.
-^r-an
Elevamos al cuadrado:
( 1- a) ^ + (1-a)^i = 2 ( - ^ r - a j i
De aquí: •
23. Efectuar: z = 1 + (11 + 2i)'" + (1 + 21)®’
Resolución;
De la expresión: z = 1 + (11 + 2i)’^ + (1 + 2i)®’
Como: (1 + 2i)=’ = [(1 + 2i)Y'
(1 + 21)" = (1 + 3(21) + 3(2i)" + (2i)")’"
(1 + 2i)*’ = (1 + 6i - 12 - 8i)’'
(1 + 2i)*’ = (-11 - 2i)'' = -(11 + 2i)’'
z = 1 +(11 + 2 i ) ' ' - ( 1 1 +2i)’^= 1
~ a)^ = O =» a = 1
* (1 -a)^ = 2 ( ^ r - a ' "
r = Izj = /2
28.
Si z = 2e , determinar un complejo 'n que satisfa­
ce la condición; |z| = |z + w/| = |w|
Resolución:
24. Si |zí| = 4 y arg(z(1 + i)) =
hallar el número
complejo z en su forma polar.
z = 2 c o s ^ + is e n ^ l; |z| = 2
Resolución:
|zi| = 4 => |z||j| = 4
« z —2 |—-^ + " ^ ‘1
» |z| = 4
arg(z(1 + i)) = i =, arg(z) + arg(1 + i) = -|
^ arg(z) + f = f
arg(z) = |
z = 4cis4
4
25. S e a : z = í m á n f % / 4 1 + 2 8 i ' ^ ^
47-7251/
128I-41Í
determinar: \{z + 1)(z
=1 2 ——1 +
/3 i
Luego, si w = a + bi
De la condición:
2 = / ( - 1 + a)' + (/3 + b)^ =
Tenemos;
Vp + b^ = 2
• i i - 1 + a)^ + (/3 + b)^ = /a^ + b^
=» a - /3 b = 2=»a = 2 + / 3 b
(2) en ( 1) :( 2+ /3b)' + b' = 4
..(1)
« 4 + 4/3b + 3b^ + b' = 4
4b(b + V3) = 0 = » b = 0 V b = - / 3
En (2): a = 2 v a = -1
El número complejo es: w = -1 - /3 i
Resolución;
g [k + k^if
ki -k^
=>
29.
Dados los siguientes enunciados;
I. El módulo del complejo
z = 1 + cos74° + isen74® es ~
II. El argumento del compiejo
z = 1 + cos20° + isen20° es 5°,
Ifl. El módulo del complejo
z = 21(1 + i)(2 + i)(3 + i) es 20.
Cuáles son correctos;
Resolución;
De (1); multiplicamos por i al numerador y al deno­
minador
ki -k^ 1=1
k + k^i
k i- k^
ki-k' i i
IV .
n
p^
\y + { - \ f + ... ( - ¡)=‘'^
P = - Í - - 1 + i + 1 - i - - 1 + ¡ + 1...
o
-
1
o
.. P = - i
1. z = 1 + cos74° + isen74°
Z = 2cos^37° + i X 2sen37°cos37®
z = 2cos37° (cos37° + isen37°)
32. Hallar el número complejo cuya segunda potencia
sea igual a su conjugado, dar como respuesta la
parte real.
Resolución:
« |z| = 2cos37° = 2 X i
O
(I) es F
11. z = 1 + cos20® + isen20®
z = 2cos^10‘’ + i X 2sen10®cos10®
z = 2 cosió® (cosió® + isenlO®)
=»arg(z)=10“ ^ ( l l ) e s F
III.
|z| = |2i| |1 + i| 12 + i| |3 + i|
|z| = 2 x ./2 x V5 x VTó
=»|z| = 20 =(MI)esV
Solo III es correcta.
30.
Sea z e c y z su conjugada; se cumple que:
zz + 2z = 12 + 4i, arg(z) e . 3ti
Sea; z = a + b i = » i = a - b i
Dato: (a + bi)^ = (a - bi)
a^ + 2abi + b^i^ = a - bi =» a^ + 2abi - b^ = a - bi
(a^ - b^) -I- 2abi = a - bi
= = — = E z ^ -J
-(1 )
De donde; a^ - b^ = a
2ab = ~ b
De la relación (2); 2ab = - b =» a = - ^1
En(1); { - ¿
1
El número complejo es de la forma: z = - ^ ± - ^ i
La parte real es:
33. Sea el número complejo T, expresado como:
Calcular ¡z|
T = 1 + --------1--------
Resolución;
Sea: z = a + bi
Si: arg(2) € . 3rt
1+
1 4-
a Ab G
indicar su magnitud escalar.
En el dato: zz + 2z = 12 + 4i
=> (a + bi)(a - bi) + 2(a - bi) = 12 + 4i
^ ( a ' + b ' + 2a) - 2bi = 12 + 4Ì
•
•
-2b = 4 ^ b = - 2
a^ + 4 + 2a = 12 =»a^ + 2a - 8 = O
(a + 4)(a - 2 ) = 0 = » a = - 4 v a = = 2
Donde: (a < 0) =» a = -4
O sea que; z = - 4 + 2i
|z| =
Resolución;
“
,u e :l^ =í l ±
| ^
=f= i
1=1-1-
T= 1+
= 2/5
31. Calcular el valor de: P = ¿
1 +i
1- i
T = 1+
2
2
k+ ri
2 + 3 -1
5
1:
ki-k^
2
2
2
= 1+ 3 + i
34.
Determinar sí es falso (F) o verdadero (V) las si­
guientes proposiciones respecto al número com­
piejo:
36.
Calcular un valor de: 1 - 2 ^ Resolución:
Transformando de adentro hacia afuera; teniendo
presente que i <> i^
z - (1 I. |z| = (1 - -/3)®(-/2f
II. Su argumento principal es ^
Reemplazando:
(2i) = (1 + i)'
III. Su argumento es ~
- y - 2 il-2 '° J ¡ Íl - J ( 1 + i f
IV. Su argumento es
z - (1 - Í2f
Se puede escribir así:
-
(-) (+)(+),
n.° negativo
= V-2/(1 - i f =
“z" no está expresado en forma polar, para ello,
el número dentro del corchete debe ser positivo
(éste sería el módulo de z). Por tanto el signo
debe ser absorbido por la expresión entre pa­
réntesis, asi:
i'
2 + 2i
Pero: - 2 + 2i = (1 + i)^
Reemplazando nos queda: 1 + i
» z = [n." negativo](cos-|+ ’sen^)
•
; pero: i^ o
^ Í - 2 Í - 2 " ^ ^ = ^ /-2 j^ 2 Q
(1 - V a f d - - í z f í
(+)
; pero; - i <> i'^
^
Resolución:
1 + "f\
37. Si: T =
y k = 0; 1:2;
(n - 1)
2 cosí
\ n
calcular: |T|
Resolución:
z = [n.° positivo](cos-^ -h ísen|-)(-1)
Calculemos las raíces enésimas de 1, asi:
= [n.° positivo](cos(n + -j) -Hisen^Tt -h
''/T ^ cos|-?^J + isen^-?^
Pues: -1 = COSTI + isenn
•
Por condición: l< = 0; 1; 2; ...; (n - 1)
De aquí;
1 + VT = 1 -Hcosí— Ì + isen 2krt
z = [n.° positivo]|cos-^ + isen^-^jj
Luego:
)z| = (1 -
-
1)^ e^e^ = n.° positivo
1 + VT = 2 c o s'(^ j + i X 2 s e n |^ ) c o s |^
arg(z) = ^
(I)
35.
es F; (II) es V; (III) es F; (IV) es F.
1 + -/T - 2cosíl^' c o s ( ^ ) + is e n í^ j
Hallar el argumento del complejo: z = i ", siendo w
una raiz cúbica no real de la unidad.
Reemplazando en T:
Resolución:
T = eos — + isen—
n
n
Dato: w - - - l + - ^ i o w - - - l - - ^ i
Por Moivre: T = 1[cos(kp7i] + isen(kpn)]
|T| = 1
-14
|2
2
38.
De aquí, se puede escribir: z = i i^(i ')^2
Por Euler: e“ = cos9 + isen0; v 6 en rad.
Si; 9 = -|- =>
= cos-| + isen^ =>
Dado un complejo z, tal que: Re(z) ^ lm(z)
A a rg (z )/
Calcular el resultado de efectuar; P =
^t
z + 2| z f
sabiendo que es un imaginario puro.
Elevando a ia i, tenemos: (e^) = i' = i' =
Enz; z = i^(e
z= e
Resolución:
Sea; z = a + bi / a # b; ab
Sabemos que; lz|^ = zz
P=
2i^ + j2|
z" + 2 |i|
2z*^ + z x z
z^ + 2zz
O
P=
z(2z + z)
i
z (z + 2 i) "
2
(m + ni)' + (m - ni)^ _ 2(m^ + n^i‘
m^-(ni)^
m^ + n^
Es decir; P = - — ^ = n.° imaginario puro (dato)
3 H~ DI
Tener en cuenta que:
z=
Si: P = È— ^ = n imaginano puro
c + di
Entonces se cumple que: ac + bd = O
En nuestro caso:
a(a) + b (- b) = O ^ (a + b)(a - b) = O
De aqui: a = - b v a = b, pero
2(m' - n^)
m +n
Pero: m^ = 3 + 2a
2 (4a)
Luego: z =
a
n^ = 3 - 2a
z = 4a
42. Darei valor real de: E =
En P: P = - b - bi
- b + bi
39.
~
bi(1 -_i)j
Determinar la gráfica de:
H = {z e (D IRe(z) + lm{z)l < 2
a
_3,25(2-i)
Del dato; E + i =
3 + 4Í
O< arg{z) < ti/2}
Elevando al cubo:
.^3 _ 25(2 - i ) ( 3 - 4 i ) _ 25¡2 + i)(3-4i)
(E + i)^ =
3 + 4i (3-41)
(9 - 16i^h^ 2 5
Resolución:
Sea: z = x + yi =■ |x + y| < 2 (dato)
De aquí: - 2 < x + y < 2
Como: O< arg(z) < n/2 =* x e y son negativos
Es decir: x > O a y > O
Entonces: O< x + y < 2
De donde: y < 2 - x
La gráfica de H será la región (incluido el contorno)
determinada por las rectas: x = O, y = O, y = 2 - x.
(E + i)® = 6 - 8i - 3i - 4
+ 3E^i - 3E - i = 2 - 11Í
(E^ - 3E) + (3 E '- 1)i = 2 - 11i
1 = ____________ í
Igualando:
• E' - 3E = 2 ^ E^ - 3E - 2 = O
=* E = 2
...(1)
Y
X
y
0 2
2 0
2
3 + 4Í
Resolución:
3E' - 1 = -11
y=2- X
H
F^= M
3
...(2)
De (1) y (2) la única solución real es 2.
40. Si; |z +
= |z - w|, V z, w e C, hallar: Re(zvií)
Resolución:
Como: \z\^ = zz
De la condición: |z + w| = |z - wj
Elevando al cuadrado: |z + w|^ - \ z - w|^
De aquí: (z + w)(z + w) = (z - w)(z - w)
(z + w)(z + w) = (z - w)(z - w)
zz + 2w + wz + vm = zz - zv/ - zw + ww
Transponiendo términos nos queda:
2(zw + zw) = 0 => zw + zw = O
Pero: zw = zw
zw (zw ) = 0
2Re(2w' = 0
Re(zw) = O
41. Reducir el siguiente número complejo:
^ _ V3 + 2a + i /3 - 2a V3 - 2a + i 73 + 2a
I 2a i/3 ^
/3 ^
iV3 i 2a
donde;
Resolución:
Sea: V3 + 2a = m a V3 - 2a = n
Multiplicamos y dividimos por i, la segunda fracción
i
m + ni , m - ni
m + ni (h mi),,
X T ^ Z —
. +
m - ni m + ni
m - ni (n - mi) I
43.
¿Cuál es el número complejo, que su inverso es
igual a su conjugado e igual a su opuesto?
Resolución;
Sea el número complejo; z = x + yi
Dato; -1 = =
z = z_• => 1 = x - y i = - x - y i
z
X + yi
(3)
(2 )
7TT
(2) = (3): X - yi = - X - yí
x = -x=»x = 0
= -y i
( 1 ) = ( 2 ): — ^— : - X - yi =>
_x_ + y
^
yi
O
=, y2= 1 => y = ±1
Luego: z = O + (±1)i
z = ±i
44. Si el producto del complejo; (a + bi) por el opuesto
del conjugado del conjugado de dicho imaginario,
es ima9¡nario puro y val© —2i, determinar la forma
polar de dicho complejo (a + bi), (a > 0)
Resolución:
El opuesto del conjugado del conjugado de;
(a + bi) es: ( - a - bi)
Luego: (a + bi) [ - (a + bi)] = - 2i
(a + bi)'
= 2i
Como: a > 0 =» a = 1 ;b = 1
^ w ^ 2 c o s ^ { c o s ^ + is e n ^ )
Entonces: (1 + i) = -/2cis^
(1 + i) = V2(cos^ + is e n jj
Observar: |vȒ | = 2cos:;^
Ib
45. Sea z e C, tai que se cumple: |z + z j < a, donde
Zo = (a; a), a e E '. Determine ei argumento de z
cuya distancia a la recia verücal que pasa por x = - 3a
sea ia mínima.
Resolución:
Sea z = (x; y) e (E; z^ = (a; a)
Luego, en el dato:
|(x; y) + (a; a)l < a; a e ffi"
|(x + a; y + a j < a => (x + a)^ + {y +
Pero: \z\ = |w^| o |z| = |w|^
|z |= W
48.
i
Calcular: z = — ^
( 1 - ir
, n es entero positivo.
Resolución:
Gomo: 1 + i = -/2 e'^'" y 1 - i = -Í2 e’ "'"
a)^
(/2 e '^ T
<
I(iü4 + n í í ) ^ n - 2 ^ g lil/4 -^ 2
* z = 2(e’"^)"-V '^ = 2Í" M = 2 i"-’ ,pues: e'^'^ = i
.. z = 2 f ~ '
49. Si w # 1 es una raíz enésima de la unidad, calcular
la suma; S = 1 + 4w + 9w^+ ... + nV "”’’
Observar que el argumento del z buscado es:
e = 180” + a
Cálculo de a (triángulo notable):
2a
53“
Resolución:
Nos piden:
S = 1 + 4w -I- 9v/ + 16w^+ ... + n V ' ’
...(a )
Multiplicamos porw ambos miembros:
wS = w + 4w^ + 9^ + ... + (n - 1 ) V '’ + nV.,.(P)
Restamos (a) - (p);
S(1-w)=1+3wí+5w^+7w^+...+(2n-1)w'^'-nV ...(I)
‘
^ a = ~
e - 180“ +
=
46. Probar que el número complejo ^/4 - 2i es la raíz
de P(z) = O, siendo P{z) un polinomio de coeficien­
tes enteros.
Resolución:
Sea: z =
- 2i o 2 + 2i = ^V4
Elevando al cubo:
z^ + 3z'(2i) + 3z(2i)^ + (2i)^ = 4
^ z' - 12z - 4 = i(8 - 6z^)
Elevando al cuadrado;
P{z) = z® + 122“ - 8z® + 48z^ + 96z + 80 = O
que es una ecuación polinomial que tiene a
z = ^/4 -21 como una raíz.
47. Determine et módulo del complejo: z = (i + e®)
I
Sea;
E = 1 + 3v\/ + 5 v / + 7w^+ ... + (2n - 1)w/"”’ ,,,(1)
Multiplicamos por vi ambos miembros:
wE = w + 3v/ + Sw" + ... + (2n - 3)w"-' + (2n - 1)w".,,(2)
Restamos (1) - (2);
E (l-w ) = 1+2w + 2w" + 2w^ + ...+ 2 w ";^ - ( 2 n - i r
E(1 - wí) = 1 + 2w/(1 + v j + vj^ + ... + v/''^) - (2n E(1 - w) = 1 -H 2w X 1 - vj"’
1 - Wí
- {2n - 1)w"
2 (w -w '')
- (2n - 1)w''
1 -w
E(1 - w ) = 1 + -
No olvide que: si w es una raíz enésima de 1 =» w" = 1
Luego: E(1 - w) = 1 + 2 ^^
- (2n - 1)
= E(1 - w) = 1 - 2 ~ 2n + 1 ^ E = -2 n
1 -w
Reemplazando E en (I): S(1 - w) = -2n
—
Resolución;
Sea: w/ = 1 + e^ = 1 + cis-^
O
=»
calculemos por separado E
S=
= Ico s^ -t- isen-5-
- 2 n - n^(1 —w)
S=
n^(w - 1) - 2n
(1 -w )^
50. I-tallar la suma de los números complejos en la ex­
w = 2cos^:^ + 2isen:^cos:^
ID
V 'O
l o
presión A;
A=(1 + i)+ (2 + i^) + (3 + i^) + (4 + i*)+ ... +(4n + i*")
Resolución:
z® = 2 ® ( c o s 2 4 0 ° + i s e n 2 4 0 ° )
S u m a n d o s e p a ra d a m e n te :
2
A = (1 + 2 + 3 + ... + 4 n ) + (i + P + P + . .. + n
P o r s e p a ra d o :
2
z® = - 128(1 + -/3i)
S , = 1 + 2 + 3 + ... + 4 n = 2 n ( 4 n + 1 )
C o n s id e r e m o s :
s , = i + i '+ i ^ + i - + ( i ^ + . . . + ¡ V . . . + ( j* ^ V i* '^ + i* - - ^ + i* )
I.
E s c l a r o q u e : i + i ' + P + i"' = O
=> ¡^ + i® +
1^ +
i® = ¡■’ ( i +
¡2 +
$2
51.
IV4 + iVl5 i = 2
II. { I 2T J
¡3 + j'» ) = o
=> i“' " ■ " { i + i ' + i^ + 1^) = O , p o r t o t a n t o ; S j = O
F in a lm e n te : A = S , +
54. Indicar el valor de verdad de las siguientes afirma­
ciones:
2T W
+ \ - l Y - l 2 + Í2 f
= ~ {2 f
III. |1 - e^^p + |1 + e^l' = 4
A = 2 n (4 n + 1)
R e s o lu c ió n :
H a lla r lo s z e C , t a l q u e s e a c o n ju g a d o c o n s u c u a ­
I.
d ra d o .
Recuerde que: | "Vz | = '’/jT [
a
|a + bi| =
I V7 + iJÍ5 I - 3 ^ + " i/ Í 5 I -
Resolución:
S e a ; z = r e " = ^ z = r e ” "® y
|z | = |z | = r
C om o: z = z^=>z = z = ?
= (z )^
=
+ /15^
= «/64 = 2
(V)
II. (a + bi)' = (a' - b^) + 2abi
( / 2 W 2 T W + \¡ 2 - Í 2 + ^ f
R e e m p la z a n d o z p o r s u f o r m a e x p o n e n c ia l:
z - re^ = (re-")' [ h + Í 2 ~ + ñ + i ^2 - -/2 + /2 f f
E s ta ig u a ld a d e s e q u iv a le n t e a :
r =
«
= 2 + V2 + V2 - 2 + V2 + /2 + 2 iM - ( 2 + V2)f
v r = O (e n E )
r = 1
e** = e"""' « 36 = 2l<n « 0. =
C o n s id e r a n d o :
-
2kn ; k = O , 1 , 2
1
^
z =
- 4
_
k = 2 ^ z = -e o
"'®
^2=- e
2
+
i^ 2 - /
2
f
M V 2 + V2 + iJ 2 - /
2
f
-/2
2
= 2®|{V2 + /2 + i J 2 - ; 2 } " f
= e“° = e*“ = 1
k = O
k =
r = 1 y 0 ;, =
- [ 2 V2 +
•; l< = O, 1,2
+ 5 -i
2
=
2
®[2
+ -/2 +
/ 2
2
+ V2 +
2
/2 if -
2
2
i/2 ' -
"(2 / 2
) ^ 1
2
f
+ i)^
(V)
III. |1 - e*"!^ + |1 + e "|' = 4
C o n s id e r a n d o r = 0 = » | z | = r = 0 = > z = 0
z
2 ® [2
= 2 ® x 2 ''x 2 '( - 4 ) = - 2 ' ®
2
P o r lo t a n t o , lo s p o s ib le s v a lo r e s d e
-
= |1 - COS0 - isentíp + |1 + cosO + isen0p
“
~ cose)' + sen^e + ( 1 + cos0)' + sen'0
son:
z = o,z = 1 . z ^ - l + f i . z = 4 - f ¡
= 2(1 + cos'e) + 2sen'e
52.
D e m o s t r a r q u e s i: | z |
<
^
= 2(1 -H cos^e + sen'6) = 2(1 + 1)= 4
1(1 + i) z ^ + iz | < - |-
í
Resolución:
.-. W V
1(1 + i)Z^ 4- ÍZ| = !Z||{1 + i)Z^ + i| < |Z|(|1 + i| |Z|^ +
55. Si z es un número complejo definido por
-iz|(/2|z|= + 1 ) < l ( / 2 ( I ) ' + l )
8
( - 1 - if( /2 c is ( 3 1 5 ° ) ) ‘'
2 + 1 ^ 3
8 2 4
+
2
{ ¡ 2 e^' f
hallar el equivalente de z.
53.
S i: z = -
1 +
^ 3 i, h a l l a r e l c o m p l e j o z ® .
R e s o lu c ió n :
Resolución:
z = -1
!z | =
+
=>
z
/3 i
2j . ................
2
a rg (z ) =
=
120°
1 V
2013120“
>^20'
z® = [ 2c i s 120“ ]®
z® = 2® c is ( 8 x 120° )
2® =
( - 1 - i)^(/2cis(315°))'
Im
-1
.
2 ® c is { 9 6 0 “ ) = 2 ® c is 2 4 0
c
•
- 1 - i = V2 cis 225°
•
i2 o ^ ‘ = Í2 c \ s ^ = i2 cis45°
4
Re
Lueqo- 2 =
< ^ c is ^ 2 5 ° ) ^ /2 c ¡ s 3 1 5 ° ) '
( / 2 c is 4 5 “ )®
(V)
|x + iy + 2 - i| ¿ 3 - l(x 4 2) + (y - 1)i)‘ < 9
= (x + 2)^ ^ (y - 1)^ < 9
--,(2)
Graficando tas regiones (1) y (2):
_ /2^cis(3x225 )/2‘*cis(4x315 )
I2^cis(5x45")
z = ■/2^cis(675'’ + 1260° - 225°)
z = 2cis1710° = 2cis270°
z -2 (- i) - - 2 i
56. En la figura adjunta se muestran los números com­
plejos A, B, C, D, M, P, Q, R, S y T. Determine A^,
B^
y D^ (en ese orden)
Resolución:
De la figura, nótese que:
A = 2cis 45° =>= 4cis90° =
P
B = 2cis 135° =.
= 4cis270° = M
C = 2cis 225° ^
= 4cis450° = 4cis90°= P
D = 2cis315* => D^ = 4cis630° = 4cis270° = M
A' = P B" = M,
= P D" = M
57. Si el complejo z =
conjugado
1
a + bi
Del gráfico, tomando z,, a Zj en A (cualesquiera)
|z, - Z2I será máximo solo en el caso 2, para esto:
z, = -5 + i; Z2= 5 + i (o al revés)
Z,Z2 = (-5 + i)(5 + i)
Z,Z2 = i^ - 25 = -26
59. De todos los complejos z que cumplan:
+ ■ 1 - , a y b e E es el
b + ai
determine el valor de:
Resolución;
E = (a -1 )^ + (b -1 )^
Resolución:
En z:
1 ,a - bi. -H■ 1 /b - a i
a + bi a - bi
b + ai b - a i
a+ b
a - bi j b - a i
a' + b'
+ a^
|z + 3| = 2; O<. arg(z) <~ 2n
Seleccionar et que tenga mayor y menor argumen­
to y dar como respuesta la suma de sus partes
imaginarias.
a ' + b^ '
2
2'
Los z G C que verifican la igualdad |z -1- 3| = 2, son
todos aquellos que se encuentran en el contorno
de la circunferencia con centro en (-3; 0) y de ra­
dio 2. Graficamos, y véase cuál es ei complejo de
mayor y menor argumento.
Complejo de menor
De aqui:
# T F = 5 - ^ “ + *>^ = 2(a + b)
En lo pedido'.
E - a_^^-2^+1+b" - 2b + 1
E = (a^ + b') - 2(a + b) + 2
E= 2
58. A es una región definida por
A ={z e C / |z - 2 - i| < 3 v |z + 2 - i| < 3}
si Zi y Zj está en A, tal que |z, - Z2I es máximo,
hallar el valor de ZiZ^.
Resolución:
A = { z c ( [ : / z - 2 - i | < 3 v |z - t- 2 - i|< 3 }
Si: z = (x; y)G C, x, y s E.
|x + iy- 2 - i| < 3 ^ |(x + 2) + (y - 1) i|^< 9
^ (x + 2 f + (y - 1)^ < 9
...(1)
Obsérvese que z, y
caracterizan puntos simé­
tricos respecto al eje real y cuando ello ocurre, los
complejos son conjugados (difieren en el signo de
su parte imaginaria),
,-, Suma de partes imaginanas: O
60. Si A es un conjunto definido por
A = {z e C / Re(z) + lm(z) > 1 ^ \z\ < 1} cuya gráfi­
ca determina una región cerrada, hallar el área de
ia región.
Resolución:
A = {z e <E/ Re(z) + lm(z) 1 a |z| < 1}
Si z = (x; y) e (E; X, y e E
• Re(z) + lm(2) > 1 => X + y > 1
• |zl < 1 = |z f < 1 = x^ + y^ < 1
Graficando;
>
S/41 —
n(1)'
63. Si A es un conjunto definido por;
1(1)
A -{z e < C /2 < ( z ( < 4
4
s,., -
Intersecando las tres regiones, resulta:
A
¡a rg (z )l< p
hallar la gráfica de A.
71 - 2
R e s o lu c ió n ;
61. Hallar la gràfica de: A = {z +4i /|Re(a) + lm(z)| < 4}
R e s o lu c ió n ;
A = {z + 4i / |Re{z) + lm(z)| < 4}
Sì: z = (x; y) e C. x, y e E
A = {(x; y + 4) / jx + (-y )| < 4}
A = { ( x ; y + 4) / |x - y l < 4}
Sea; B = {x; y) / |x - y| < 4}
( x - y ( < 4 =• ~ 4 < x - y < 4
=>
-
4
= > y < x
<
x
+
-
y
A
x
-
y
4
A
y
>
x
- 4
La gràfica es:
<
A = {z e C /2 < jzj < 4 A |arg(z)| <
2 < |2| < 4 A z = (x; y) e C
^ 2^ < x" + / < 4=
y sus gráficas es como sigue:
4
■Im
La gráfica es:
Im
Re
fe
La gràfica de A será (aumentando 4 unidades a
todas las ordenadas).
Im
La intersección de estas regiones genera la re­
gión definida por A.
64. En ia figura adjunta se muestra la gráfica de un
conjunto A c C. Hallar la gráfica de; B = {z / z e A}
8
Im
-8
0
Re
/ i
-3
62. Hallar la gráfica que representa el conjunto
A = {z € (C/ O < arg(z) < n a |z| < 2 A [z - i| > 1}
/
/
R e s o lu c ió n ;
R e s o lu c ió n :
A = { z s C / 0 < arg(z) < n a |z) < 2 a |z - i) > 1}
• O < arg(z) < n =» z está en el semiplano por
encima del eje real (incluyendo este).
• |z| < 2, su gráfica es un disco con centro en el
origen y radio 2.
• |z - i| > 1, si z = (x; y) e C
^ l z - i | ' > 1 =» l( x ; y - 1 ) | '> 1
=» x^ + (y - 1)' > 1, cuya gráfica es la región exterior a un disco de radio 1 y centro (0; 1)
Si; z
=
(x; y)
e
C; X,
,
3
Re
-3
ye E
=
z
=
(x;
-
y)
Luego: B = {z / z e A} tendrá por gráfica:
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
Graficando: |z| < 1
PROBLEMA 1 (UNI 2 00 2 - II)
Al resolver, en el conjunto de los números conrtplejos,
el sistema:
(1 + i)z - w = -1 - i
2iz + (1 - i)w = i
-1
Intersecando ambas gráficas:
El valor de — es:
w
l_ i
2 6
-^ 5 .
-1
E)
D i- l.i
Clave: D
Resolución:
PROBLEMA 3 (UNI 200 4 - 1)
Calculando el determinante del sistema:
A =
1+ i - 1
2i 1 - i
Calculando
Hallar la suma A de números complejos:
A - (1 + i) + (2 + i'’) + (3 + i') + (4 + i") + ...+ (4n + i"^)
A = 2(i + 1)
A )n (2 + 1 )
D) n(4 + 1)
y
Az =
-1 - i -1
^ Aj = -2 + i
i
1- i
Aw =
1+ i
21
B)2n(4n + 1)
E)2n(4n - 1)
C) O
Resolución:
Agrupando convenientemente:
A = (1 + 2 + 3 + ... + 4n) + (i + + i^ + ... + i'*")
4r^
Recordando la propiedad: ^ í" = O
- 1- i
- A . = 3 ( i- 1 )
i
k = 1
Luego:
—=
w
A„
a"
A„
3 ( i- 1 )
.z = l + l
■
2 6
Aplicando: A = 1 + 2 + 3 + ...+ 4 n
A=
(4n) {4n + 1)
A = 2n(4n + 1)
Clave: B
Clave; C
PROBLEMA 4 (UM 2 0 0 6 - 1)
PROBLEMA 2 (UNI 2 0 0 3 - II)
Indique gráficamente todos los puntos del plano que
verifican las relaciones: |e^| < 1 y [z| < 1
donde: z = x + iy
A)
B)
yt
D}-
Resolución:
Como: z = X + iy, tenemos que: |e^| = |e’' '’'| = e‘
Graficando: |e"¡ < 1: e' ? 1; e’ <
♦V
= x<O
Determine la representación geométrica de todos los
puntos del plano complejo que satisfacen la condición;
jz - 1! < 6 - !z + 11
Resolución:
Con: z = X + iy
z +
>3
=• |z - 1| ’ 3|z + 1|
1
Reemplazando z: (x - 1)^ + y^ '■ 9(x +1)^ + 9 /
Resolviendo: x^
-|x + 1 + y^ < O
Luego, completando cuadrados:
+
Su gráfica será:
y
!
(-5/4; 0)'.,
Resolución;
(0:0)
3/4..''
Aplicando teoría en la desigualdad planteada, z = x + yi,
este valor se reemplaza en la expresión dada;
¡X + yi - 1 | < 6 - |x + yi + 1|
|{ x - 1 ) + y i|< 6 - | ( x + 1 ) + yi|
/(X -
+ y ' < 6 - / ( x + l f + y'
Clave: A
PROBLEMA 6 (UNI 2 0 0 7 - 1)
Determine la suma de las raíces de la ecuación:
16(z^ - 2ÍZ - 1 )' = z"
Luego, al elevar al cuadrado se obtiene:
V ( x + lf + y" < 9 + X
A) 3 - 4 Í
8x^ + 9 / < 72
3^
(2 /2 f
B)
15
D)
< 1
Finalmente, se concluye que la gráfica adecuada es:
(0; 2-/2)
2 + 4i
- 2 + 4Í
Resolución:
Sea:
16(z^ - 2 iz
-
1)^
= z‘ , desarrollando obtenemos:
15z" - 64iz^ - 9 6 z ' + 64ÍZ + 1 6 = 0
Por teorema de Cardano:
(-3:0)'
'(3; 0)
Suma de raíces: -•
(0; - 2 V 2 )
(-6 4 Í)
64Í
(15)
15
Clave; E
Clave: B
PROBLEMA 7 (UNI 200 7 - 1)
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 0 6 - II)
Si z = X +iy, grafique los puntos en el plano cartesiano
que representa el conjunto z!
(-5/4:0)\
\j/r^-= 314/
O
1
>3
calcule el valor de R:
/2
1
A) O
D)3
.... y
/
z z+
Si n = 8k y k G
/2
B) -1
E)4
Í2 '
0 2
Resolución;
(0;0)
(3/4; 0)'.,
(0:0)-
R = ( ^ ) [((1 +i)^)^^ + ( ( - i + i) T J
R = ^ [ ( 1 4 2i - 1)^^ + (1 - 21 - 1)^‘] = ^[(2 i)^‘=+
■••/r = 3/4.
v'(0;0)
R = ^ ¡ 2 ( 2 in = ^ (2 X 2 /^ = 2
Clave: C
PROBLEMA 8 (UNI 2011 - II)
Ai resolver el sistema
E = ■Í2<
|z - 3i| = 2
y - x' = 1
donde z = x + iy es un número complejo, ta suma de las
ordenadas de los puntos solución es:
A) 9
D)6
B)8
E)5
De donde:
Re(E) -
0 7
lm(E) = ~ ~ ^
A
A
arg{E) =
I y III son correctas
Resolución:
Clave: D
Siendo: z = x + yi = » z - 3 i = x + ( y - 3)i, su módulo:
|z - 3i| =
PROBLEMA 10 (LM 2014 - 1)
+ (y - 3 f , por dato: |z- 3i|= 2
- Jx^ + ( y - 3 f - 2 => + {y - 3)^ = 2=
De la 2.^ ecuación: y = x ' + 1
Reemplazando p en a: x' + (x' - 2 f = 4
Resolviendo: x'(x' - 3) = O
X = O => y = 1
Su gráfica será: •x = /3 => y = 4
X = -/3 = y = 4
...(a)
...(P)
A) Solo I
D ) ly ll
Puntos solución: {0; 1), { / 3 ; 4), ( - / 3 : 4)
La suma de las ordenadas es: 1 + 4 + 4 = 9
Clave: A
C) Solo III
S„ = i + i^ + i^+ ... + i"
i- 1
= - i x i( i^ - 1)
^ i( i- l)
s„ = i"i +- 11
Sn + S„ . , = i
i6
Í2 3 i
2
2
Indique cuál de las siguientes proposiciones es verda­
dera
I. Re(E) = 1 - / 3
2
II.
lm{E) = 1 +-/3
III.
E = -/2 e '
A) Solo I
D ) ly lll
(1 + i ) ( - f + f
I -h 1
1+ 1
i" + i" " ’ - 2 = i(i + 1) ^ i"(1 + i) = -1 + i + 2
i"(1 + i) = (1 + i) =, r = 1
n = 4k
(F)
r- 1
i+ 1
i" - 1
B) Solo I
E) I. II y
C) Solo III
S_r-M
r - ' _ 1 , ¡"-^1
i+ 1
i+ 1
=, i " - 1 = 0 - 2
i" = -1
=» n = 4k + 2
(F)
S„ = -1
Resolución:
E=
B) Solo II
E ) ly tll
Resolución:
S =
"
PROBLEMA 9 (UNI 2012 - 1)
Sea E =
Considere: S„ =i + i' + i^+ ... i", donde i' = 1, con
n e IN. Dadas las siguientes proposiciones.
I.
S„ + S„ 1 = i, si n
es impar
II. S„ = S„ 1 + Sr,. 1,
si n es par
III. Sn = -1 , si n tiene
la forma n = 4k + 3, con kente­
re no negativo
Son correctas:
i) ( Í2 ¡ )
(1 + í ) ( - ^ +
f/3i j: ß x ß i
E - ( i+ i) J - I + : J i) r - / 2 c is ^ c is ^ c is | - - / 2 c is ^
i" - 1 = -1
i+ 1
i" - 1 = - i - 1
¡" = -1 =, n = 4 k + 3
Solo III
(V)
Clave: C
PROBLEMAS
Calcular:
2 = (1-2iX2-i)+{3-4iX4-3i)' .+ {39 - 401X40-391)
luego indicar el mòdulo de 2.
A) 22 140
D) 22 104
0 24 201
B) 22 410
E) 22 100
A) 2a/3
D)4a/3
3.
4.
§
B) -2a/3
E) -4a/3
B)i
E)4 + i
Si: z = 12 + 1213Ì
calcular:
C)0
E-
z + w1
A)1
D)0
5.
B )1213
E) 12/54
6.
B)--4
0 3
D )-2
E) 1
Calcular la suma de las siguientes 12 fracciones:
2 - 4 i , 5 - 151 , 10 -401
17-85Ì .
73 + 4Ì TsTeì 715 + 81 724 + lOi
A) -5871
D) -6281
8.
C) 75
Dado el polinomio: P(z) = {z - a)z^ + (4 + 2i)z + 6
Donde: z c C, calcular el valor de “a" para que:
P(1 + i) sea un nùmero real.
A)5
7.
C) 11 031
8) /3
E)2/5
Si
X
+ yi =
B) -6621
E) -626t
(s
ti)"; n
calcular el valor de
C) -5851
S /, {x; y; z}
c
IR
(s' + t^r
r
A)1
D) 3
9.
B)0
(4 -3 .)^
A) 2"'
D) 2'®
B) 2'
E) 2"
0 2"
(1+i)^
{1 - i)
1- i
1 + 1+i
1- i
A)2i
D)4
B) -21
C)1
E) -4
B)i
E )1+ i
C)n
E) 2
Los cocientes siguientes: a + 2 i. b + ai + Bi
b - 31 ’ a + bi
corresponden a un complejo real y un complejo imagi­
nario puro. Calcular al producto de dichos cocientes.
O 1- i
A
13. Si se verifica que
Resolver la ecuación: z’’ + z^ 4 (4i + 1)z + 5 = 0
Si una de sus raices es imaginaria pura, indicar el
mòdulo de una de sus otras raices.
A)
D)2 73
(6 + 8i)‘ (1 + l 3 \ y ^
A) - i
D) 1
+ — 2------
— 2—
“ 4 '
12. Hallar un valor de: V -2'/-2'°'/i''V l - ■/2®7T
w = 54 + 11 031i,
A
B ) - |i
11. Reducir: z =
C)a/3
Si zes un complejo que verifica: + (1 - /2 )z = 0,
calcular el valor de'
E = z + z' + z’’ + z‘ + + 1 + z'' + z^
A)1
D)2i
A )- f i
10. Calcular el mòdulo del complejo:
Reducir el siguiente complejo:
, ^ 73 - 2a + iV3 - 2a 73 - 2a 4 iV3 + 2a
73 + 2a - i 73 - 2a
73 - 2a - i 73 + 2a
donde: “ f - ^
■ ■
PROPUESTOS
Bj
C ;B g IR.
a - bl B C
Determinar la relación correcta.
A)A + B = C
C )A ' + B' = C
E)A' + B' + 1 = C
B) B^ + C^ = A^
D) ABC= 1
14. Siendo: i = (0; 1), calcular el valor de z.
______________x'* + 4_____________
( x - 1 - i)(x - 1
+ i)(x + 1+ i)(x +
1 - i)
A) O
15. Si z -
0 2
B)1
D )-1
E)3
(a -t)i)^ + (b -c i)^ + ( c - a i) '
a(b - ci) + b(c - ai) + c(a - bi)
calcular: Re{z); v a, b, c e IR - {0}
A) O
D)2
B )-1
E)abc
C)1
16. Dados: z, = (a; b); Z2= c + di,
tal que: z,, Zj e C : a, b, c, d e IR
Hallar la condición para que ( — ) sea imaginario
puro.
A) be = ad
C)a + b = c + d
E) bd = ac
B) ac + bd = O
D) ab = cd
17. Si z,; Z2e C, tal que: [3z,j = [2z2| = 12
Calcular el valor de: E = |z, +
A) 105
0)101
8)104
E )98
+ |z, 0 102
z¡
18. Sea F(x) = x' + ix^ + i{-2 + i)x' + 3x - 1 + 3i,
hallar el valor de F(1 + i).
A) 3
D)í
B) 5
E)2i
C) - i
19. Calcular la suma de losmódulos de los cuatro va­
lores de z, si: z = 73 + 4i + 73 - 41
A) 8
D) 12
8)8
E) 14
C)10
20. Resolver la ecuación: x - {5 - i)x + 8 - i = O
Señalar e! cuadrado de una de las raices.
A) 3 - 4i
D)4 + 12i
B)5 + 12i
E)4 + 3i
0 3 + 4i
21. Entre los números complejos z que satisfacen la
condición: |z - 25i| < 15. Hallar el complejo z con
menor argumento, luego indicar:
W=
A) -250
D) -112
\ 2
Ì ' \
B)-196
E )-105
2
Ì
B)4
E)7
B) 11
E) 14
0 5
O 12
24. Hallar es el mayor número entero y positivo de 4
cifras, menor que 3000, que verifica la relación;
/1 -•/3Í\''
A )2999
D )2994
B)45°
E)44°
26. Dados los complejos:
Zi = 4(cos25° + isen25°)
A)2e^'
D) 2
B ) - 2 /2 e " '
E)
28. Siendo: i =
C )272e"‘
además; z =
.
(73-í)^
Hallar lm(z)^
A) 1/4
D) -1/2
B) -1/4
E) 1/8
O 1/2
29. Calcular;
(1+i)^°
( 1 - i) ‘
A) 16
D) 128
0 64
B) 32
E) -64
^ _ [2(cos7°+ isen7°)]^[2(cos8° + isen8°)]^
[16 (eos 17° + isen 17°) f
A )/3 i
D) 1 - /3i
B)i
E)2 + i
0 1 -/3 Í
31. Calcular la suma:
S = i' + 2i" + 3i® - 4í® + ... + 2ni‘"
donde: i =
A)1
D)n - 1
O 2n
B)0
E)n
32. Hallar Re(z), si z(1 + ai) = 1 - ai; a e E
1
A)
B) 2a
O -2 a
1 +a "
E)
1 +a'
1- a ‘
C )2990
33. Si Re(z) =11. hallar: A = ¡2 + z|^ - |2 - z|^
< arg(z) < n. Determinar arg(z).
A) 21°
D) 63°
z= (1 + /3i)(1 -Hi)(cos-| - ísen^)
D) - 1
1 - a'
25. Siendo: z e € / |z| = 1 y z^ - z'* = /2i,
con
27. Calcular la forma exponencial;
1 +a "
1 , /3;
B )2998
E)2992
0 -^ (1 + í)
30. Hallar el complejo que resulta de efectuar;
23. El perímetro del polígono que tiene como vértices
a los afijos de las raíces de orden 8 de 16 es un
numero irracional de la forma; a 7b - 7a . Hallar el
valor de (a + b).
A) 10
D) 13
B ) - 2 ( 3 - i)
E ) /7 ( 2 - i)
0 -1 4 8
22. Hallar los números complejos z que cumplan la
condición-, z = (z)^. Indicar cuántos son.
A) 3
D)6
A )4 (1 + í)
D ) - 3 ( 1 - i)
C )8 r
A) 22
0)121
B)44
E)9
C)88
34. Determinar el número complejo que multiplicado
por i da otro complejo cuyo módulo es 5, que su
componente real sea (-4) y que esté en el tercer
cuadrante.
A) - 4 - 21
D) - 4 - 4i
B) -4 + 2i
E) -4 - 3¡
O -4 + 3i
Zj = 2(cos70° + isen70°)
hallar: —i
z.
35. Si B es un conjunto definido por:
B = {z e C / tRe(z)l > 1/2 a \ \ < 1}
z
señalar la gráfica que mejor representa al conjunto B.
Im
E)
A)
Re
^ 2 ^
•Re
Re
39. En la igualdad:
eos (49 + g) -isen (46 + g)
eos{20)-isen(26)
•Re
Re
eos (40 + a ) + isen (40 + a )
cos(20)+ísen(29)
= Acos(B9 + a)
determinar el valor de AB.
A )-4
B)2
0 -2
D)1
E)4
40. Determinar una de las raíces de la ecuación:
z" + {2 + i)z - 13(1 - i) = O
A) 3 + 51
D) 1 + i
•Re
B) 1 + 21
Ë)2 + 3i
C) 3 - 2i
41. Determinar el valor de x en:
36. Dada la ecuación polir>omial;
+ 1 = 0.
calcular la suma de las partes reales de las raíces
que están en et primer cuadrante.
C) /6 + /2
A) O
B )2 /6
D )f
E) -/6+V2
1 - z - a,
1+ z
determinar el conjunto de puntos que representa la
gráfica de esta igualdad.
37, Sea z e C; a > O ^ a
z = (1 - i)^{cis(x +
O< x < 2
Si 2 es un imaginario puro, indicar cuál(es) de los
siguientes enunciados es (son) correcto(s):
I. X e 0
» .x e jO ;f¡
4 ti. 3n
3’ 2
A ) ly ll
D) Solo II
B ) ly lll
Ë) Solo I
C )lly
1. Si
A) Circunferencia de radio; ^
—:
42. Indicar cuál(es) de las siguientes proposiciones es
(son) correcta(s):
1 + iz > 1
1 - iz
1©^ + é^l > 2
B) Circunferencia de centro:
\
} :0
a- 1
C) Elipse de centro ^ ^
1
a + ^’ 2
C) Elipse de centro a + 2 . 1
3 ’2
E) Parábola de vértice í a + 2 . a
5 ’ 3,
38. Sea el conjunto: A = {z e C / |z| < 2 + lm(z)},
hallar la gráfica que mejor representa al conjunto A.
III. arg[1 + (2 A) Solo I
D) I y II
b
B) Solo
E) II y III
C) Solo
43. Si n e Z'; 1^g (0; n - 1) c Z, indicar.
I,
=> x = c i s ( - ; ^ + —
X" = i
\2n
II. x" = - 1 =
X
=
III. x'' = 1 « ;
IV .x " = - i
A) O
Ì
n /
c is ( 'ü
. j^
+ 2kít)
4 )
^ x = a s ( |a + 2k„¡
B )1
0 2
D) 3
44. Si w e C, además: w = c o s -^ + ise n -^,
u
O
calcular: E = (1 + w)", n e Z’
a
n > 2008}
A) c o s ^ + is e n -^
B)
C) co s^ + isen-|
D) cos.| -
E) 2cos"M
’
3
A) 2'^
D) -2 '
/2 c is ^) (-3 + ¡)
45.
Efectuar: z =
53. Indicar cuántas raices complejas de la ecuación:
x" - 1 = O, (n € IN), tienen argumentos en el intervalo
2 (¡s e n |)'(/2 e M '(3 + ¡)
A) 3 - 5 Í
/ 4 ti. 16rt'
B) - 3 - 4 i
2
5'
n
n
B)4
E) 12
A) 3
D)8
46.
Sean z , y
dos complejos, tales que:
Determinar el área del triángulo formado en el pla­
no complejo por z „ z¡ y el origen de coordenadas.
B)1
D )f
E)
C )f
A) 70°
D) -70°
I
| +f¡e A
III.
0 215°
B)210°
E) 240°
16p
- i GA
A) F W
D) W V
56. Si z es un complejo, tal que;
C)
B)
16p
A }6
D )A o B
Si z es el complejo conjugado de z, de argumento
principal 0 (6 g IR), además: |=J + ( -|) = 1
B) I
D )0
E) -1
50. Sea: z = cis6; z e C
6 e E, determinar el valor
A) 2 + /3
2
1
+
/5
D)
B)n
E)0
O 4 + 2/3
B) 3 + /5
F) -/T+ /3
'
2
59. Simplificar;
W = i + i^ + i^ -h i“ + i® +
0 2
51. Determinar el módulo y el argumento principal de:
A )-1
B)1 + i
D ) i- 1
E )~ i
+
i = /T i
00
60. Reducir:
z = \^ + \
A)
01
B )w
z+I = 1
z
de: lm|z'’ + -^
A) 2cos(n6)
D)1
O A yB
58. Sea z un número complejo, hallar el máximo valor
de su módulo si se sabe que:
o í
a
8 )18
E)36
E)8
Determinar el valor de cos(180)
A) 1
= V2^'^,
57. Si 1, w,
son las raíces cúbicas de la unidad, cal­
cular:
M = (1 + w'°)'^ (1 + w')'® (1 +
(1 + w y
A) O
D)2
49.
O FVF
B) W F
E) VFF
calcular: A = [1 + z|' + ¡1 - z|^
48. Sabiendo que: cos5® = VÎT a senS® = ”7p
.
_
(1 +sen80° + icos80°)^
hallar: T = -i--------------------------(1 -sen80° + icos80°
A)
0110°
B)20
E) -20°
55. Si: A = {z £ (C / z^ = 1}, indicar el valor de verdad
de las siguientes proposiciones:
47. Si z = 8cis^, determinar el argumento de:
ó
w = z^ - 16z
A ) 180°
D )225°
O 5
54. Hallar el argumento de: z = -cos70° + isen70°
2|Zi| = IÍ 2I = 2; además arg(z,z2) = ^
A) i
O 2'
B )-2 '*
E)2^'
A) i
D) 13
O e ^f
61.
+ r’
+,
B)1
E) -1
O 13i
S im p lif ic a r , s i z e C
W = [1 - Re(z) + i lm(z)][1 - Re(z) - i lm(z)] + 2Re(z)
52. Sea z e € ; tal que: z = /3 - 1 + i(73 + 1),
determinar el valor de: Re {z’')
A)
D)
1 + [z f
1 - [2]^
B) 1 + [z]
E) [z]
C) 1 - íz]
62. Determinar el área de la región formada por el con­
junto:
A = { z e C / | z - i - 1 | < l A | z | < 3 + 2/2
a}
^ < arelan (z - i - 1) < 37t •
A )|
D )f
B) ■ÎX
3
E) 71
12
C ) t4
Si:
z + 1 = 1; z?¿(0;0)
2
A) 1 + /3
2
B) 1 + /5
2
D) - 1 + / 5
2
E) - 1 - / 5
2
0 ) 1 + /3
68. Sabiendo que z es un número complejo, resolver la
ecuación z^ -i- z - 2 = -2 .
63. Hallar el lugar geométrico de los puntos que repre­
sentan a los números complejos z que satisfacen
|z + 3 - i| < 8 - |z - 3 - i|
A) El interior de un círculo de radio 2 /2 .
B) El interior y ei contorno de un circulo de radio 2 / 3 .
C) El interior y el contorno de una elipse.
D) El contorno de un círculo y su parte extema.
E) El contorno de un circulo.
64. Siendo z un complejo, esbozar el gráfico de:
Iz + 11 < 4 - I z - 11
Señalar la suma de tos módulos de todas sus solu­
ciones.
A) 3
B)1
0 )8
69. Si: z, ü) e C, |z| = 2
a
|® |
D )9
E)5
= 1, calcular;
Iz I + m z
Ztú + zco
A) 4
D)64
70. Efectuar: 8 = 1 -f i
1- i
A)1
O 16
B)8
E)1
B)2
/I - i
ll +i
/ ^
0 )3
D)4
E)0
71. Sea el número complejo z, tat que:
_
(1+1)^ + 0 - i )
z=^
(1 _¡)2 + (i+ i) 3 ’
A) 4
D) - 2
Re(z) + 1
halle el valor de; ,
^
lm (z )-1
0)3
B) - 3
E)1
72. Calcule el valor de; 3i^’ + 4i^'' - i^°
A) 1 + i
D)5I
B) i
E )-2 i
73. Si: E =
A) 3
O) 3i
, calcule n, si; |E| = 32
( i- ¡ r
B)5
0 )7
0 )9
E) 10
65. Sabiendo que: co, = cos^^^ + isen.^2.
74. Sea: z = (1 + i)’°, halle; lm(z)
calcular: M = y
A) 7
D) -1 4
A) 32
D)128
to„
B) - 7
E)0
75. Efectuar; S =
presenta solución única, donde z e <C. Indicar un
valor de a -I- b.
B)6
E )-5
0 64
C) 14
66. Calcular “a” y “b" de modo que el sistema:
|z -2 | = a
...(1)
|z - 4 |< b
...(2)
A) 2
D)10
B)10
E)256
0 )8
67. Determinar el valor máximo que puede adquirir ei
módulo del número complejo z.
A)1
B )2
3i + 5
/ i' = - 1
0 )3
D)4
E)5
D )4
E)5
76. Dado a e IR, i = / ^ simplificar;
/ 3 - ai
100- a i
a -1001
/3 i + a
A)1
B )2
0 3
77. Si: a + bi = /7 + 24 i, calcular:
A) 20
D) 27
8)25
E)32
-h b^
O 30
78. Simplificar: T =
B)7
A) 2
79. Reducir: S =
A) 1 + ¡
D )4 + ¡
z \’oo
85. Sean: z = 1 + i , w = 1 - i, calcular; í —
'w
5 -5 i
1+ i
1- i
A) 5
C) 20
D)5
8) 4
0 3
86. Sean: z,, Zj e (C, hallar: Re
- -ÍTi : i =
B)2 + i
E)1 - i
E)1
D)2
E)24
03 + i
A) - 2
B)2
z.
Z2
2i + Z2
D)0
E)1
D) 71
E) -2 i
Re
z, +
C )-1
87. Dados los complejos:
Zi = 3 +5i; Zj = - 5 + i; Z3 = 1
80. Calcular el módulo del complejo:
£ -,(2 n -1 ) (2 n + 1 )’
8)3/7
E) 51/93
A) 56/93
D) 34/3
A) 2i
0 31/7
I.
II.
III.
IV.
k = -5
8 )3
0 2
D)1
E)0
2(a^ + b^)
(m' + n^)^
A)1
8 )2
0 3
0 8
8)13
D)4
E)5
A) - 5
A) 1
7 i'+ 5 i^ + 3 i^
3i-' + 5i-® + 7 r '
B )2
1. A
2. D
3.
4.
5.
6.
78.
9.
10.
11.
12.
C
A
C
C
B
A
E
C
E
E
C) VFVF
D)2
0 3
A) 5
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
C
B
C
B
B
E
D
C
E
8
C
B
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
C
C
C
D
E
C
E
C
C
E
C
0
02
D)1
E)0
B )3
C )-3
D)1
E)2
91. Si; z = 3 + 2i. hallar; T = |z + z + i* | + 2'/T3
E) 1
A)2'/T3
D) VT5
B)3-/T3
E) O
0 5 /1 3
92. Si: z, w e C; |z| = |w| y Re(z) - Re(w) = O,
calcular; |1 + z f - |1 + w|^
+ 2i''
D)4
B) - 3
90. Dado; z + 1 = mi; m e E; z e C. Determir>e; Izj
84. Halle el módulo del complejo z, si
z=
8) W W
E)FVFV
89. Sea z g I , tal que; (z + 2)^ + Re(z) = O
calcular; Re(z)
83. Sea el complejo;
z - (sena + icosa)(sen2a + icos2a)...
(senna + icosna);
na 6 IC, para n e E". Además: |z| = a* + bi
Calcular; a^ + b^ siendo a, b e E
A) 29
z + z = 2Re(z); z e C
z - z = lm(z); z e C
zz=|z('
z = z » z es un complejo real
A) V FW
D)FFFF
82. Si; Va + bi = m + ni; a, b, m, n e E - {0}
calcular:
O 41
88. Indicar el valor de verdad;
81. Dado: F{x; y) = x + yi; i =
6
calcular el módulo de:
F (k :-k )
A ) /5
8)51
A )-2
E)5
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
A
C
E
C
E
8
C
A
6
8
B
A
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
E
E
A
B
C
0
C
D
C
D
D
C
B )-1
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
A
0
C
C
D
A
B
A
A
E
D
A
0 2
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
0 )1
C
A
B
B
B
D
A
A
E
B
E
C
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
E)0
E
E
D
A
E
D
B
E
Matrices
y
Determinantes
O
D
a
o
o
Gabriel Cram er nació en Gine­
bra el 31 de julio de 1704 y m u­
rió el 4 de enero de 1752. Fue un
m atem ático suizo que m ostró
gran precocidad, pues a los 18
años recibió su doctorado y a los
20 era profesor adjunto de Ma­
temática. También fue profesor
de M atemática en la Universidad
de Ginebra durante el periodo
1724-1727 y en 1750 ocupó la
cátedra de Filosofía en la misma
casa de estudios. En 1731 pre­
sentó ante la Academia de las
Ciencias de París, una m em oria
sobre las múltiples causas de la
inclinación de las órbitas de los
planetas.
Editó las obras de Johann Ber­
noulli (1742) y de Jacques Ber­
noulli (1744) y el C om erdum epístoíarum de Leibniz. Su obra
fundam ental fue la Introduction à ¡'analyse des courbes algébriques {M 50), en la que se desa­
rrolla la teoría de las curvas algebraicas según los principios new tonianos. La regla de Cram er
es un teorem a en álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en
térm inos de determ inantes. Recibe este nom bre en honor a Gabriel Cram er (1704-1752), quien
la publicó en su Introduction. .. aunque Colin Maclaurin tam bién publicó el m étodo en su
Treatise o í G eom etry de 1748 (y probablem ente sabía del m étodo desde 1729).
Fuente: Wibipedla
^ MATRICES
A=
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dis­
puestos en filas y columnas.
Para representara una matriz, se utiliza letras mayúsculas.
2
1
4
7
M atriz nula
Es aquella matriz, donde todos sus elementos son iguales a cero.
Ejemplos:
A=
B=
5
-3
6'
5.
-2 0
3 0
2 -3
4
'4
.0
Fila
0
0
A=
0
0
0
0
0
0
0
A=
o'
0
0
0
0
0
0
<4 IGUALDAD DE MATRICES
8_
Dadas las matrices:
A = [a -X .„
<4 ORDEN DE LIMA MATRIZ
A
B
=
Viene dada por la representación m x n, donde “m" es el
número de filas y “n” el número de columnas de la ma­
triz. Para los ejemplos citados anteriormente, tenemos:
Si estas son iguales, es decir: A = B, se verifican simul­
táneamente las condiciones:
A es una matriz de orden 2 x 3
B es una matriz de orden 3 x 3
2.° Los elementos correspondientes son iguales.
Forma general de una m atriz de m fíla s y n
colum nas
^ OPERACIONES CON MATRICES
A=
1 A y B son de igual orden m x n.
a¡,= b„; v i ; j
a,i
a,
Adición
021
02
Dadas las matrices de igual orden:
A = [a„L,„ A B =
83,
A + B = [aJ„.„ + [b,jL.„=[aij+ b,]„
Se define:
Por ejemplo:
Donde:
es el elemento genérico, ubicado en la fila
“i", columna “j".
En forma abreviada se tendrá:
A =[a,J^.„
i = 1; 2; 3;...; m = 1; m
j = 1;2; 3;
Hallar la matriz A + 8 , a partir de:
A=
2 1 3
0 - 1 2
n = 1; n
A+ B=
2 1 3
0 - 1 2
A+ B=
(2 + 1)
(0 -1 )
^ MATRICES ESPECIALES
M atriz fila
Es aquella matriz que tiene una sola fila.
[ 1 5 7 10]
' 2'
A=
1 2
-1 4
5
3
'i
2
- 1 4
5'
3
(1 + 2 )
(-1 + 4 )
(3 + 5)
(2 + 3)
8
3 3
-1 3
M atriz colum na
Es aquella matriz que tiene una sola columna.
B=
A
5
M ultiplicación
Multiplicación de un escalar por una matriz. Sean:
A = [ajm.n A k e E. se define:
k A = k [a „]„.. = Ik a ,]„.„
M atriz rectangular
Es aquella matriz, donde el número de filas y el número
de columnas son diferentes.
A=
2 3
4 _2 - 1 .
Por ejemplo:
Multipliquemos por 2 a la matriz:
’1
M atriz cuadrada
Es aquella matriz, donde el número de filas y el número
de columnas son iguales.
i A=
2
1
-1 3
.-. 2A =
4
-2
4'
0 2A = 2 2 1
2.
-1 3
2
8
6
4
4
2,
Multiplicación de una matriz fila por una matriz co>
lumna. Sean: A = [a „ a,2 3,3... a,n]
B=
Se define:
A-B—[8i,b,i+ a,2b2, +. ai3b3
+ a,nb,,]
2
2
B = 4 =» A.B = [2 1 3] 4
A
6
Potenciación
6
Siendo A una matriz cuadrada y “n" un entero positivo,
se define:
n= 1
A" =
A.B = [(2)(2) + (1)(4) + {3){6)]
A.B = [4 + 4 + 18] = [26]
; A" = AA =
n = C„ n
2 -1
1.
A
B=
'2
-2 5 '
2 -3
.1
2
-1
3
1
2 -2
1 2
A .B =
(3)(2) + (1)(1)
AB =
AB =
4 -1
6+1
( 3 ) ( - 2 ) + (1){2)
-1
3
1
2
-1
1 . [3
-1
1 J
(2 ) ( - 1) + ( - 1)(1)
(3 )(-1 )+ (1 )(1 )
(4 -3 ) (-2 -1 )
A" =
(6 + 3) (-3 + 1 ).
A^ =
1
-3
9
-2
<4 TRANSPUESTA DE UNIA MATRIZ
Dada una matriz A, existe su matriz transpuesta deno­
tada por A^ y definida como aquella matriz que se ob­
tiene al transformar todas las filas de A en columnas.
5
~3
A = [a,L-n ^ A^= (ajj„.
Por ejemplo:
Ahora se multiplican:
(2)(2) + ( - 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( - 2 ) + ( - 1 ) ( 2 )
2
(2)(2) + (-1)(3)
A" =
_(3)(2) + (1)(3)
Veamos si existe AB
A tiene orden 2 x 2 =» N.° columnas = 2
B tiene orden 2 x 3 = N." filas = 2
Como: N.° columnas de A = N.° filas de B, se afimia que
si existe AB, cuyo orden es de 2 x 3.
AB =
2
[3
Por ejemplo: Hallar AB y BA
.3
Por ejemplo;
Hallar A^, si: A =
N.° de columnas de A = N.° de filas de B
A=
n >2
A .A .A ... .A
Multiplicación de las matrices. Dadas las matrices Ay
B, existe el producto matricial de A por B denotado por
A.B, si se verifica lo siguiente:
Luego: A,
k(A +B ) = kA + kB
A + B = B+A
ABC = (AB)C = A{BC)
A(B + C )= A B + A C
AB = 0; no implica A = O v B = 10
A B = AC no implica 8 = C
^ a n ^ matrices A y B, de mocto qt«
1. Si;AB = PA, s e d k » q w A y B i
mutat^s.
2. S: AB= -BA, sedicequeAyB!
{»rMTiutaWes.
,
Por ejemplo: multipliquemos A por B, donde:
A = [2 1 3]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(2){5) + ( - 1 ) ( - 3
A=
(3)(5) + { 1 ) ( - 3 )
2
1
O -1
2
0'
-1
,4
5 ,
^ A "-
- 4 - 2 10 + 3
-6 + 2 1 5 -3
Siendo A y B matrices, y ei escalar k.
1. (A + B)^ = A^ + B^
3.
2. (kA)^ = kA^
4.
3 -6 13
7 -4 12
Veamos si existe BA
N.° columnas de B = 3 y N.° filas de A = 2
Como: N.° columnas de B N.° filas de A
Se podrá afirmar que BA no existe.
Estudio de las m atrices cuadradas
En general; el producto matricial no es conmutativo.
P Í8 S H B M I
Sean A, B y C mathcds para las cuates se
adición y/o muttípiícación. además al escalar K.
la
M atriz tria n g u la r superior
1. Toda matriz cuadrada de n fihas y n cohimnas es de
orden n
2. La diagonal trazada de izquierda a derecha recibe
^ nombre de diagonal principal
3. La diagonal trazada de derecha a l^ ie n ja recibe
el nombre de diagonal secundas
<4 TRAZA OE UNA MATRIZ A [Traz(A)J
Se denomina así, a la suma de todos los elementos de
la diagonal principal.
Traz(A) = a„ + ajj + 833 + ... + a„
Es aquella matriz donde solamente todos los elementos
ubicados debajo de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
A=
M atriz tria n g u la r in fe rio r
Es aquella matriz donde solamente todos los elementos
ubicados encima de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
3 '\ 0
Por ejemplo:
Para la matriz:
A=
2 -1
sO
8
<4 CARACTERÍSTICAS NOTABLES DE ALGUNAS
MATRICES CUADRADAS
A=
Traz(A) = (2) + (8) + (-4 )
Traz(A) = 6
M atriz sim étrica
Si A es una matriz simétrica, verifica:
A^ = A
Siendo A y B matrices y el escalar k.
1. Traz(A+ B) = Traz(A) + Traz(B)
2. Traz(kA) = kITraz(A)]
3. Traz(AB) = Traz(BA)
M atriz antisim é trica
Si A es una matriz aotisimétrica, verifica:
A^= -A
<4 MATRICES CUADRADAS ESPECIALES
M atriz idem potente
Si A es una matriz idempotente, verifica:
M atriz diagonal
A' =A
Es aquella matriz no nula, donde todos los elementos
fuera de la diagonal principal son ceros.
M atriz involutiva
Ejemplos:
Si A es una matriz involutiva, verifica:
'2
A= 0
0
0
0
■3 0 0 ■
0
0
3j
B= 0
0
5 0
0 .0
A^ = 1; (matriz identidad)
M atriz nilpotente
Si A es una matriz nilpotente, verifica:
M atriz escalar
Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos
de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
■4 0 0
A= 0
0
4
0
0
4
M atriz identidad (1)
Es aquella matriz escalar donde todos los ele­
mentos de la diagonal principal son iguales a la
unidad.
Ejemplo:
0
0
0
0
0
0
1
A‘’ = 0; (matriz nula)
p: índice de nilpotencia
<4 DETERMINANTES
Un determinante es la relación funcional que aplicada
a una matriz cuadrada la transforma en un escalar (nú­
mero real).
Si Aes una matriz cuadrada, su determinante se denota
asi: det(A) o |A|.
D eterm inante de orden uno
A=
r
-
.c
b
d
^
|A| =
|A| = ad - be
?
c
b
d
D eterm inante de orden tre s
A=
Para: A =
a b e
d e f
g h i
- 2 + (-1 ) 1
1
3
|A| = 18 - 7 + 39
©
©
|A¡ = M - N
<4 MENOR COMPLEMENTARIO DE tN A COM­
PONENTE
El menor complementario de la componente (elemen­
to) a,j denotado por M,, es el determinante de la ma­
triz que resulta al eliminar la fila i y la columna j de la
matriz dada.
Ejemplo:
Para
hallar el menor complementario de; a,2= 4
2
3
|A| = 2 5
2
- 2 + (-3 )
1
1
3
5
2
[A |=(2)(9) + (-1)(7) + (-3 )( -1 3 )
Según ia regla de Sarrus
5
1
-3
-2
1
Con los elementos de la primera fila;
|A| = a(ei - hf) + b{fg - di) + c(dh - ge)
M„ =
2 -1
1 5
3 2
|A| = 50
I Pora
Para aplicar el teorema anterior, se recomienda
escoger la fila (o columna) que presente más ceros.
Dadas las matices cuadradas A. B y eí escalar k.
1. |AB| = |A|lBi
2. |A V |A |
3. )kAl = k"iA|: n orden de A.
4. Si dos filas (o columnas) son proporcionales, ei de-'
tenninante será igual a cero.
5. Sí todos los elementos de una fila (o columna) son
c«ros, el determinante será igual a cero.
6. Si se permutan dos filas (o columnas) consecutivas,
el determinante cambia de signo.
7. B detemiir\ante rw varia si a todos k^s ^emw\tos de
una fila (o columna) se 1^ aum^ita un tTK^itiiido de
otra.
8. E) determinante de una matriz triangular superior,
triangular inferior y diagonal se obtiene multiplican­
do todos los elementos de ta diagonal principal.
= (5)(3)-(1)(2)
<4 DETERMINANTE DE VANDERMONDE
15 - 2 = 13
De orden dos
C ofactor de una componente
El cofactor de la componente (elemento) a¡j denotado
por A,, se define de la manera siguiente;
A
i
= b- a
De orden tres
1 1 1
a b e
- (c - b)(c - a)(b - a)
a" b' e^
Para: A =
De orden cuatro
El cofactor de la componente a ,3 es;
1
A ,3 = (-1 )"^ M ,3 = (-1 )‘
2
-1
3
A ,3 -(1 )[(1 )(3 )-(2 )(-1 )]
An = 3 + 2 = 5
Teorema: el determinante de una matriz será igual a la
suma de los productos obtenidos al multiplicar todos los
elementos de una fila (o columna) por sus respectivos
cofactores.
1 1 1 1
a b c d
= (d - c){d - b)(d - a){c - b)(c - a)(b - a)
a^ b'^ c^ d^
a'
d’
Definición: Una matriz cuadrada A es no singular, si
|A| ^ O, asimismo, si: |Aj = O, la matriz A será singular.
< i MATRIZ INVERSA
Dada una matriz cuadrada no singular A, si existe una
única matriz B cuadrada del mismo orden, tal que:
AB = BA = I (matriz identidad), entonces, definimos B
como matriz inversa de A y lo denotamos por A’ ’.
2 -3 -5
-1
3 5'
4 5 + 1 -3 -5
-1 3
5
1 -3 -4
A^ + B^ = A + B = -1
iS S B S S B
Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si es una
matriz no singular, en tat caso se dice que la matriz es
Inversible.
m
Sean A y B m a íc e s cuadradas no singulares y el escalar k.
’1
0
0
A ' + B^ =
0
0
= 1
_
Sean el polinomio: F{x) = x
3x - 2 y la matriz
2 -3
A=
determinar !a suma de ios elementos
2
1. a A " ’ = A " ' A = I
de F(A).
2. ( A B )'’ = B '’ A~'
Resotución:
3. (A"’)"’ = A
0
1
0
4. (k A )"’ = k ' ’ A ' ’
F(x) = x^ + 3x - 2
5. IA-’l = | A r = i ^
= F(A) = A" + 3 A - 21.
A^ =
C álculo de m atrices inversas
■2
.2
-3
2
1. , 2
A = [a] ^ A-' =
;a
O
a
c
b
= A -' - ,
d,
1A|
-3 '
1,
.
-2 -9
6 -5 .
'1
-3
- 2
0
1,
0 '
1.
2 -18
.12 - 4 ,
De orden dos
A=
2 -3
2 1
A=
-9 + 3 ' 2
.2
-5,
F(A) = -2
.6
De orden uno
A
d
.-c
-b
a
La suma de elementos es: - 8
Resolver la ecuación matricial en x, si
(A^ + B)^ + Síx’^- i) = 2B^A, además:
3 -2
-1 0 '
y B, 1 2,
.6
1,
Indicar luego la traza de x.
A-2t =
Para m atrices de orden m ayores o iguales a tres se
recom ienda utilizar el m étodo de G aus-Jordan, el cual
consiste en construir una m atriz am pliada {A : I) donde
por operaciones elem entales debem os encontrar otra
m atriz am pliada (I : B), con lo cual se podrá afirm ar que
B es la inversa de A, es decir: B = A "'.
Ejemplos:
1.
D a d a s las m a trice s:
■2 - 3 - 5
A= -1 4
5
^1 -3-4
B=
-1
3 5'
1 -3 -5
-1
3 5
determinar: A^ + B^
(A% B)^ + 3(x^- t) = 2B^A
(A^)^+ B^ + 3x^ - 31 = 2B^A
3x^ = 2B^A - A - B^ + 31
3x^ = 2B^A - 4B" + 3B' - A + 2! + 1
= 2B^(A-2i) - (A-21) +
I
= (2B ^- l)(A -2 l) + 3B^ + I
-
2Í-3;-5'
2 -3 -5
-11 4 j 5 = - 1 4
5
1 -3 -4
. 1Í-3Í-4
-1
3 5'
-1
-1
3 5'
3 5
B^ = 1 - 3 - 5 = 1 - 3 - 5 = 1 - 3 - 5
-1
3 5
-1
3 5
-1
3 5
B es idempotente
1
2
1
0
0
1.
2 ' 3 -2 + 3 -1
,0
3 u6 1 ,
3x^ =
3
18
3x^ =
1 11
18 10
A^ = A ^ Aes idempotente
B' = B
2 -1
0
^ 3x^ - - 3
.0
Resolución:
2 -3 -5
A '- - Í " ' 4 " S
1 -3 -4
Resolución:
8
3
■-3
.0
3' + 1
6,
.0
Traz(3x^) = 1
3traz(x') = 11 =s iraz{x) =
Si A =
1
L -1
O
1
11
, liallar el valor de;
E = A^" - A'= + A
151
-3
.0
2■
3.
1 ■+ 1
2.
,0
0'
1.
10
0'
1.
7,
Resolución:
Sea
1 1 0
A= 0 1 1
0 0 1
=
'i
_m
A .A„ =
0
1
■1
n
0
1,
.m + n
o'
1,
1
km
0
1 1
x - ' - 1/2 -1/2 1
0
0 1
0^
1
Entonces;
0
-1
1.
0'
vkelN
1,
1 O
-1 5 1
15 O
O 15
O 1
1/2 ^
2
o o
■16 O
-1 5 16
8.
5.
Si las matrices A y B son conmutables, determinar
ab.
a 1
' 2 -1^
; B=
A=
.b 5 .
. 3
A
.
B Conmutan
2
-1
3
■'
'4
,0
D=
0'
1.
1
n -1
3n - A 1
^
0
1
= 27 ==•
X
1 O n
£ -j n(n2
4
O o 1
2 -1
O1
O1
+ 2y = 3 =» y = 2
l ) ^ - y ^ 3 - = 2 =. z - - 109^2
=^ E = x + y + z = - 1 + 2 - Icg32
9.
Sea A una matriz simétrica, tal que:
X
A = -3
5
Resolución:
Tenemos; A'=(A^)^ =[(C + D)Y=(C^+CD + DC + D^)',
Notemos que:
X
+y
-3
X
+z
3y
f
determinar: E = xyz
Resolución:
16
O
=
O
1
Como:
CD =
8 16
DC =
A
Luego
/
'16
A^ =
-5
= x ''A"x
n
1 2 -1
1 n
1 O 1
O 1 O O 1
(0,2)’“ ’ 3‘ -^^
25 27
; B=
I
y 4
3
hallar A^, donde: A = C + D
CD + DC =
•’>
2
n
1
E - 1 - log32
Dadas las matrices:
2 4'
A
C=
.-1 -2.
A
1
0
(0,2)‘ ■’ = 25 = (5’ ')' - ' = 5" ^ X = -1
3» ’
» 1 - 3 =-3 A 5 -b = 8
=>a = 4 A b = - 3
ab = -12
C^ = O
n
Las matrices A y B son iguales.
Entonces:
1
í
2a + 3 1 - a
2b+15 5 - b
'2 a -b - 3
3a+ b 8
1
0
0
Resolución:
AB = BA
a
b
A" =
Si las matrices A y B son iguales, hallar:
E = X + y + z, siendo:
A=
Resolución:
A
A
Ahora: B = (x ’ Ax)"
O
1 1 1
1/2 - 1/2 1 O
O O 1 O
A^ + 151
1 O
-2 5 1.
E=
'1
,-k
=> A“ -
E=A
E=
1 2 -1
1 0 1
0 0 1
X =
Resolución:
De donde: (An,)" = A^^ =
' 1
;
determinar: B = (x 'Ax)"
^ A „A .-A ^ ..
A=
Dadas:
-1
-2
16 20
-5 -4
x^ x + y x^ + z
A = -3
y'
3y es simétrica
5 -3
y^
= > - 3 = x + y A 5 = x^ + z A
= > y = -1 A x = -2 A z=1
E = xyz = 2
- 3 = 3y
10. Indicar el valor de verdad de las siguientes propo­
siciones:
20
-4 .
16
.0
32 20 32 20
- 5 -3 - 5 - 3
0 '
1 ,
924 580
-145 -91
I. Sea An^n entonces A + A’^es simétrica.
II. Sea
entonces A es antisimétrica.
III. Toda matriz cuadrada es igual a la suma de una
matriz simétrica y de una matriz antisimétrica.
Resolución:
I.
es simétrica »
(A +
A = 1 ( A + A ) = I ( A + A^ + A - A ^ )
= M
=A^ + [A y = A^ + A = A + A^
=* A + A"^ es simétrica
A - I ( A + A") + 1 ( A - A " )
(V)
II. Mn „ es antisimétrica
= -M
(A - A'^)^ = a ' - (A^)^ = a’ - A = -(A - A')
=> A - A^ es antisimétrica
(V)
simétrica
RESUELTOS
_ |3, si i = j
Si A = {aJ3 ,;taiqu 0 a„ =
2. si \ i ^ \
Siendo C = AB, determinar; D =
r
Luego: B^A'- B^A'C - A'B®
= B A - lie = II
=> C = BA - I ^ Traz{C) = Traz(BA - I)
Traz(C) = Traz(BA) - Traz(l)
2
-3 -6
1 0 0
3 6 8
BA = 2 4 --1 - 1 -1 --1 = - 2 - 4 - 5
2 3 0
0 0 1
-1 - 3 - 3
n
C „ —C?
3 2 2 2
^A = 2 3 2 2
2 2 3 2
*= j
si 1?í=j
=> Traz(BA) = 3 — i - 3= -4
Traz{C)= -4 -(3 }= -7
2 O
3 4
i + j; i = j
2 i- j; i# j
B = (b„),.,/b„ =
5 4
7 6
3.
2 o
3 2 2 2
3 4
= 2 3 2 2
C=
5 4
^31 C32 2 2 3 2 7 6
2.
32
A
0
2
0 y
4
C,i =
36
A
C
22 =
O
-1 -1 -1
O o
i
1
-1
O
O
-1
32;
C
O
O
-1
1
Si: A’ ' = B = AB =
10 0
0 0
0
X10 2 0 = 0
0 y 1 4 2
0 0
1
0
0
x+2 1
0
2y+4 y + 2 1
36 28
C = 37 32
39 32
31 =
39
Dadas las matrices:
1 0 0
-3 -6
2
A = -1 -1 - 1 A B =
2 4 -1
0 0 1
2 3 0
determinar la traz(C), en la siguiente ecuación
matricial: B'A® - B'A'C = A*B®
Resolución:
1 O
X
0
0
2
1
Resolución:
C12
=
Calcular X + y, si;
1
0
0
0
C =A B = (C„)3.
=5 C32
O " ""
^ gn _ ÍB, si n es impar
\ 1, si n es par
Resolución;
A=(a„)34/a,j=-
antisimétrica
VW
PROBLEMAS
1.
(V)
0 0
= 0
0
0 0 1
A^ = I =» A es involutiva.
^ (A: n impar
l I ; n par
-3 -6 2 -3 -6 2
1 0 0
B= ^
2 4 -1
2 4 -1 = 0 1 0
2 3 0
2 3 0
0 0 1
= 1
B es invotutiva
X+ 2 = 0
X = - 2
X
4.
+y=
A
A
y+2
-
0
0
1
0 0
0 0
0 0 1
0
y = -2
- 4
Si A® = 1, A matriz de orden n, \ la matriz identidad.
Determinar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Aes ia inversa de A'*,
II. A^ es la inversa de A^
III. A^ es la inversa de 1.
Resolución:
A" = I
I. A'A= I
(A") ' = A
(V)
II. A^A^= 1 ^ (A^) ' = A^
(V)
III. A^ = IA'' = I =» r ' = A^
(V)
Recuerde que:
Si M N = I == M’ ’ = N
.-. Vaior de verdad: W V
5.
(A')^ = (AA)' = A^
=> A^es simétrica
2 4 6
Hallar B’ ’ , si B = |B| 3 5 6 ; |B| ;> 0.
2 4 5
= AA = A'
(V)
3 2
es simétrica.
2 -3
^ Traz(A) = 3 + ( - 3 ) = O
(F>
FVF
La matriz A =
Resolución:
2 4 6
Tenemos de: B = |B| 3 5 6
2 4 5
B’ ' -
0 0 3
0 2 - 1 calcular |B|
1 -1
4
(donde I: matriz identidad)
2 4 6
3 5 6
2 4 5
Por otro lado, de (I) también;
Resolución:
2 4 6
|B| = |Br 3 5 6 , |B ^(2 ) ^ |B| =
2 4 5
2
Reemplazando en (II): B ' = Í2 3
2
IB ^A V IH - |B W l = 1 « |BllAt=1
/2
B - '= /2
1
6.
•{O
2 -3
-1
3 =
0 -1
v2
2
-3/2
2
72
/2
4 6
5 6
4 5
Se tiene: |B| =
2/2
- 3/2
0
-V 2
9.
3/ 2
1
A -(a,),,,/a „-{j^; ; | ' j
i- j ;
o -1-2-3
o -1 -2
8 2 2
^23
1
33 2
a 33
D onde:
2 3
2
|A| =
-2 -1
0 - 1 = (-1 )' 2
0 1
0
-3 -2 -1
O
3 2
10
2
0
2 3
|A| = 2
0 1
0
3 2
8 2 2 = 321 + a , 2
323 = 322 + a,3
a,2 = 831 + 3^2
^33 ~
8 32
+ a23
Entonces;
+ 1 = 2;
1 + 2 = 3;
0
|A| =
—- 0
0
=2+1=3
= 3 3= 6
a.2 =
a j, =
0
0 1 2
2 3
0
0
- 2 - -3
0 2 - 2 - -6
0 1 2
1 2
3
0
= -(-2)
0 -4 - 6
0
0 - 6 -12
0
0
1 2
2
3
3
0 2
0 - 6 -12
0 1 2
0
2 3
= 2
2(1)(1)(2)(--3) - - 1 2
0 0 2 3 =
0
3
0 0
1 1 1
^ A= 1 2 3
1 3 6
Sea A = |a,J
0
-1
1
1
b
Dada la matriz: A = ( a t a l que:
, SI 1> j
= J
a,. =
, calcular det(A).
. i - ) , SI 1 j
Resolución:
Resolución:
De la ley de formación de a,, se tiene:
1
)A1
0 0 3
O 3
= 1(0 - 6) = - 6
|A| = 0 2 1 = 1
2 -1
1 -1 4
Sea A = (8:^)3 , 3, donde a,, = a,, = 1.
Para i, j = 1: 2; 3 y a,, = a„_„^ + a,.,,,, (i; j = 2; 3)
Hallar |A|.
A =
|Bl =
indicar el valor de verdad de los
siguientes enunciados:
i. Si A es antisimétrica, entonces, A^ es antisimétrica.
11. Si A es simétrica, entonces, A^ es simétrica.
II!. Si A es simétnca, entonces, Traz(A) 0.
Resolución:
A = (a,,)„.,
I. A es antisimétrica =» A^ = - A
(A')^ = (AA)^ =
= (-A )(-A ) = A^
=» A^ es simétrica
(F)
II. A es simétrica A"^ = A
10.
Dada las matrices:
A
(a„)3.3/a„
B -(b„),.,/b,+ ^ = 0 y b„= l
si: i < j , hallar det(A + B).
Resolución:
A = ( a jj. 3 /a =
2 -1 -2
A= 1 4-1
2 1 6
+ j , i =j
- j . i^ j
Resolución:
B = (b„)3.3/bi, + b„ = 0 A b „ = l : i < j
0
B = -1
-1
lA'^B^I = |]| ^ iA^!|B^| = 1
1 11
0 1
-1
|A|1B|=1 - |B| = ^
0
2 0 -1
= A+ B = 0 4 0
1 0 6
0
|A| = 0
Por la regla de Sarrus;
det(A + B) = 48 - (-4 ) = 52
|A| = 1(0 - 6) = - 6
Luego, en (I): |B| =
11. Suponga que A es una matriz cuadrada inversible
de orden n. Determinar el valor de verdad de cada
una de las afirmaciones siguientes:
'■
= dsW
B=
|B| = 3
• 1^«
c = I a PI b M
simplrficar:
E
I2B r\A^
Simplificando E:
III. Si n es impar, entonces A - A^ es singular.
E=
Resolución:
A inversible de orden n.
det(A^)-’ = — U : - = -3- ^
^
det(A^)
det(A)
II. det(cA) = c"det(A)
(V)
' '
(V)
III. A-A^ es antisimétrica de orden n impar
= det(A - A^) = O => A- A^ es singular
.-. W V
l AñB^I
|2BnA'
klí-- 1
-_29
1 k -4
Resolución:
2
Bl
2®|B|"A
iAriBi
(2^|BD>f
1
E=
(2®)(3^)(2)
1
(2^)(3^)
1
(128)(9)
2®ÍBp|A|
1
1152
16. Calcular el valor del determinante de la matriz A:
V
2^
A=
3^
4^
(V)
12. Determinar todos los valores de k para que:
det(A) = O, si A
15. Si: A = [aj3,3; |A| = 2;
Resolución:
II. det(cA) = c"det(A)
I.
0 3
2 -1
0 3
0 3
2 -1 = 0
+0
+
-1 4
-1 4
2 -1
-1 4
2^
3^
4^
5^
3^
4“*
5^
6^
4‘
5‘
6‘
7‘
Resolución:
1
4
|A| =
9
16
4
9
16
25
9
16
25
36
16
1
25
4
36 — 9
49
16
3 5
5 7
7 9
9 11
C5-C2 C . - C j
det(A) = (k - 1)(k - 4) + 2 = O
det(A) = k^ - 5k + 6 = O = (k - 2)(k - 3) = O
Si k = 2 o k = 3, se tendrá det(A) = O
|A|
16 9
abe
Si det(A) = 5 donde A = d e f : liallar:
g h i
d e f
1. det g h i
abe
3a 3b 3c
II. det d e f
4g 4h 4i
Resolución:
I.
Como aqui se han efectuado 2 intercambios de
fitas, entonces: det{A|) = (-1)^ |A| = 5
If. La primera fila se multiplica por 3, enton­
ces, |A| queda multiplicado por 3. y como la ter­
cera fila se multiplica por 4, entonces |A| queda
multiplicada por4. Luego: det(A,i)= 3 x 4 x 5 = 60.
0 0 3
14. Si A^B^= I; A = 0 2 - 1 ; calcular |B|
1 -1
4
donde I: matriz identidad
= O
2. i = j
O, i / j
17. Si B = (by)„,„; tatque: b,
AB+AB^ = 6I, hallar |A|.
Resolución:
B = (b „U /b „+ b „ = Í2, i = j
0.
AB + AB^ = 61 => A(B + B^) = 61
det(A(B + B^)) = det(6l)
det(A)det(B + B^) = 6"det(t)
Pero:B+B^=(bi, + b„)„.„
B + B^ =
2 O O ... O
O 2 O ... O
O O 2 ... O
O O O ... 2
det(B + B^) = 2"
7
9
11
13
=> det(A) . 2" = 6" det(l) = 6"
•. det(A) = 3"
18. Determinar el valor de verdad de los siguientes
enunciados:
I. Sea A una matriz cuadrada de orden impar, en­
tonces lA - A^i = 0.
II. Sea A regular, tai que A^ = A , entonces 1A| = 1.
III. Sea A regular, entonces |A - Álj = | A’^- ;^ll.
Resolución:
I. Si A y B conmutan =í B.A = A.B
PorB-'; BAB-’ = A B.B~;
BAB-' = A
‘
PorB ': B;'BAB ' = B 'A
i
Resolución:
Propiedad'
Si matriz M es antisimétrica de orden impar
^ det(A) = O
^ AB-' = B-'A
.-. A y B ' conmutan --=> (í) es V
II. Usando lo anterior: B^'A = AB '
Por A-': B -'A _ ^ =AB’ '
I. A - A^ es antisimétrica de orden impar
- |A - A^l - O
(V)
II. A es regular ^ det(A) 0.
A" = A
det(A') - det(A)
^ det(A).det(A) = det(A)
^ B“' - AB ’A '
Por A-': A-’ B ’ = A ;'AB~'A~'
(V)
^ A-'B-' = b ' a ’
Coef: A” ' y B '’ conmutan =» (II) es V
i
det(A) = 1
A es regular = det(A) - ]A| O
|A->J| = |( A - /.in = |A^-(Ál)^|
= | A^- >.r| = IA'' - /.l|
(V)
VW
3 111
19. Calcular el determinante:
Resolución:
3 111
A =
A =
1 3 11
113 1
1113
1 3 11
113 1
1113
Sumando Cj, C3y C,, a la C,;
se obtiene:
1
6
63
3
1
=6
3 1
6 3
6
3
3
A = 6
1
0
0
0
1
^ M' =A-'BIBA ^ M' =A 'B'A
PorM: M^ = MA 'B'A
=
= A ’ B AA~'b ^A =.
= A-'B^A
í
Si seguimos así sucesivamente, se tiene:
M" = A 'B"A ^ (III) es F
(I) y (II) son correctos.
22. Sea A = (a.)5, „ tal que: a,j = •
<i
=j
>j
Resolución;
111
2 0 0
= 6{2 x 2 x 2) = 48
0 2 1
0 0 2
Resolución:
a -b
a -b
e
- d e - f - ( - 1) d - e
g - h i
g -h
III. Si M = A’ 'BA
=> M^ = M.M = A ~ 'B ^ 'B A
calcular el determinante de A.
abe
a -b
c
20. Si d e f = 5, calcular - d e - f
g h i
g -h
i
c
f
i
abe
= (-1 )(-1 ) d e f
g h i
21.
III. Si M = A 'BA y A es inversible, entonces:
M" = A’ 'B'"A.
indicar cuáles son correctas.
Dados los siguientes enunciados (con A „, „ y B^,. „)
I. Si A, y B, conmutan, entonces A y B ’ eonmutan.
II. Si A, y B, conmutan, entonces A"' y B”' conmutan.
Luego de construir la matriz A, se tiene:
■ O 2 3 4 5'
- 2 0 3 4 5
A= -3 -3 O 4 5
-4 - 4 - 4 0 5
.-5 - 5 -5 -5 0.
Observar que la matriz es antisimétrica de orden
impar (orden 5). Por tanto, por propiedad, el deter­
minante de toda matriz de este tipo vale 0.
23. Sea A una matriz cuadrada de orden 4 x 4 con |A| =2.
Determinar el valor de |A^*'”' (2A)^|
Resolución:
Aplicando propiedades:
|(A^*’-'(2A)^| = |{A^*’ 'll(2A)^l
|A^^'-’ |2A|
|(A^‘ ’-'(2A)^|
|{A'^’-'(2A)^1
(|A"||A|) ’ 2 > |
1
21A| =
IA A
Al
.-. Reemplazando ei valor: 16/2 = 8
24. Si A es de orden 4x4 y |A| = ^'^í2. determinar ei
vaior de T = ||A^| A^||A|
Resolución:
De: T = ||A^|A^||A|: |A| =
T
T
|A| = =
| A1®
Luego:! =
|A|A¡| == |A|'”
m i- Z, si m < X
, sabiendo que [xl = m,
m + 1, entonces |A| = n.
M = |A^||A|.4(A'')-'
HM = 7 ^ . A \ |A '! . ! a | •4(A^
|A|
(F)
(V)
II, |A|A|| = | A | " "
28. Sea A una matriz involutiva, tal que:
O O O xi
O Oy O
A=
Oz OO
w OOO
V i < i: O < i < 1
1
1
= 1, entonces:
O O
calcule: (x’' f (w")’
det(A)=1
(F)
801 3n2
.-. Es correcto solo
26. Sea A una matriz definida por:
Resolución:
A' = I
0 0 0 X 0
0 0 y 0 0
0 z 0 0 0
w 0 0 0 w
4 9 2 11
3 8 7 8
A=
5 11 6 5
10 - 6 7 - 2
haiiar: |A|.
xw
0
0
0
(X > 'f
2 11
7 8
6 5
7 -2
1
^2~ 3f,
0
5
A| = f, - 5f,
0
6
f . - 10f, 0 - 16
1 -5
3
8 7 8
3
= f.-f^
5 11 6 5
7 -2
10 - 6
-5
3
1
22
31 - 1 0
57 - 3 2
1 - 5
3
- 1 - 9
9
A| - f^ - fo
O
6 31 - 1 0
O - 1 6 57 - 3 2
0
0
Z
0
0 X
y 0
0 0
0 0
0 0 0
yz 0 0
0 zy 0
0 0 wx
=í xw = 1
Luego:
Resolución:
4
9
3
8
|A| =
5 11
10 - 6
= 4®
|HM| = |4®l| = 4 '“ = 2‘
A=(a,)„,„/a„ =
821 1 O
A - 831 832 1
27. Siendo A una matriz cuadrada de orden 4, tal que:
¡A| = 4 A H = |4A 'lA'^ A ÍV1 = K x A|(4A’ ’ r
calcuiar: |H x M|
A matriz cuadrada de orden 4 / ¡A| = 4
Resolución:
i. A de orden nxn, entonces:
v i = j:
23 -4 4
201 -176
Resolución;
Ade orden nxn.
Si A = {a„)„. „/a„ -
-2 3
44
201 -176
|Aj = 23(-176) - 201(-44) = 4796
T - =/2
25. De ias siguientes afirmaciones, cual(es) son
correctas:
I,
- 11 "|A|, Ade orden n xn.
ii.
1
1 -5
3
0 -1
9
-9
0
0 -2 3
44
0
0 201 -176
f3 + 6f.
f4-16f2
K )* =
A
10 0 0
0
y 0
0 0
0
0 0 0 1
0 0
0
0
0 0
0 0 0
0'
0
0
1
yz = 1
X © = ’W ® ' '
XV/ =
1
29. Indicar si es verdadero o falso las siguientes pro­
posiciones;
I. Si A es una matriz nilpotente de orden (2), en­
tonces A(l ± A)" = A; V n g 2 '
II. Dados A y B dos matrices, donde AB = 0
{AB es nula), entonces por lo menos una de
eilas es nula,
III. Si AB = -B A =» ias matrices son anticonmuta­
bles,
IV. Dadas dos matrices cuadradas A y B tal que
B = A + al; a: escalar =» AB = BA
Observación: 1es la matriz identidad
Resolución:
n = 4 =» A4 =
I. Es verdadero debido a que:
= 9 = matriz nula
=> A" = e « I ± A" = I
^ A(l ±A") = A.i = A
=> A(l +A") = A
Es falso, basta ver:
1 O OO
0 0 /01/
O 1
O
10 0\
o o
No necesariamente ias matrices son nulas
III. Es verdadero, por definición de matrices anticonmutablesIV. Es verdadero,
B = A + a l =» AB = A A + a Al
^ AB = (A + a l ) A = BA
=» AB = BA
Luego: B =
O
O
b
d
además: (x,x4 - X2X3)(bc - ad) = 10; abcd
Calcular |A|
Resolución:
Mediante las operaciones elementales:
A F3 -
F ,-
"A" queda
lo
A=
2
2^
X3
a~^
d
c
0
1
0
0
1
2^
1
z*
2"■’
1
0
2
1-5 7
I 2 - S / ’'
lo ij
y
..(I)
9 1
\7 51
..(II)
y luego calcular la suma de los elementos de la
matriz (x + y).
Resolución:
O
2 1\-’ ' 6 3\
3 1 -2 7 "
- 1 1 Y 6 3\
3 - 2A - 2 7 “
-8 4 \
22 - 5
-8 4
22 - 5 ,
X4
O a cb
■d
d
c
d
Reemplazando en la segunda ecuación:
M x-3 r~
La cual es triangular inferior:
/ 1 5
[29 0
-5 7 ’V
5'
- 3 -7 \ 1 5
2 - 3 \29 0 ~ - 2 - 5 , 29 0,
¡A|= (X,X4 - X2X3){ad - cb)
.-. |A[ = -1 0
31. Definamos la matriz: A„ =
hallar la matriz: B = A,A 2A3 ... A„A„^.,.,,
(Nótese que "n” no crece indefinidamente)
La suma de elementos de x + y es: -365
33. Sea: N =
O -a
, hallar: N
a O
Resolución:
N=
O -a
a O,
n = 1 =» A, =
O 1.
-206 -1 5
147 -1 0
Luego: x =
Resolución:
Si:
Sea: J =
O 1
o
1
(aJ)® = a ^J
0 -1 /o
Pero: f =
1 0 (i 0
De aquí:
n —3 =» A, —
0 -r
1 O,
O -1
, entonces N = aJ
U o
Luego: N® =
n —2 » A, —
1
como n
32. Resolver el sistema:
/2 1\
/ 66 3
2 7
(3 i r
O
2"
1 1
B=
y=
X,
1
Multiplicamos por partes:
O 1
X2 O
X4 O
b a
d c
f1
? 1
0
30. Si:
X,
X3
A=
a
c
2""
1
= -I
= j= x J = -J
•{I)
-1 0 ^
0 -1
/i 0
lo 1
Resolución:
J* =
X J' = I
J® = J" X J = J
De: A + B = I
0 -1 \
De (I): N ' = a®
1 0)
a b
0 c
0 -a ^
a' 0
34. Dada las matrices;
2 b
b c
a + 2 2b
b 2b
|^ 0
c=
_j_
10
0 1
1 0
0 1
Luego: a + 2 = 1
Entonces se puede afirmar que C®D® es;
También: 2 c = 1 »
Resolución:
.-. a + b + 2c = 0
a = -1
c =
2
;b = 0
Inductivamente;
M O /1 0\
1 1 \1 1
= (1 O
1.3 1
D^ =
=
C®-
C®D® =
donde Xo = yo, dada según la regla de Cramer por:
°
U 1
D^ =
-4 m
5 n
yo =
d
Si m y n son primos relativos, iiallar un valor para:
m + n -I- d
Resolución:
19
O 1
Por dato:
/ I 0\ 1 9\
1
8 1 0 ^ |~ 8
35. A es una matriz de orden 3. Se intercambian la pri­
mera y tercera filas y se obtiene la matriz Aq. En A,,
a la primera fila se le multiplica por 3 y a la tercera
por 2 obteniéndose la matriz A,, de manera que
det(A,) = 66. Halle det(A’ ')
Xq =
yo
2m + n -4 n -5 m
d
d
De aqui: 7m = -5 n
De esta última condición y por dato, m y n son pri­
mos relativos, tenemos;
(m = - 5 A n = 7) v (m = 5 a n = -7 )
Luego: m + n + d = -1 v m + n + d = - 5
3 O
a b'
OO
8=
C=
O8
d .)
OO
38. Sean: A =
Resolución:
.0
3ii 3 i 2 ^13
Sea la matriz: A = 021 322 ^2
a „ 832 83.,
De las operaciones indicadas se obtiene la matriz A,
A, =
m -1
n 2
Xo =
d
i
12
O1
1 1W1 1
0 l|\0 1
1 3
O1
37. La solución de un sistema no homogéneo es (Xq; y^)
/1 0^
2 1
3a^)i 3a.^^
32 Sa.^
a. 322 ^ 23
2a,, 2a ,2
tales que; A^ - 2A - B = C
hallar la matriz A con elementos no negativos que
satisface esa ecuación. Dar como respuesta la
suma de los elementos de la matriz A.
Resolución:
Dato: A =
Por dato; |A,| = 66
c d i'
\0 8/
C=
Además:
A" - 2A - B = C
A' - 2A = B + C
Hallando el determinante de A,
83, 832 83
|A,| = 6 a2i 822 82
811 ®12 8,
A ^ - 2 A + I = B + C + I,I: matriz identidad
(A. - 1)^ = B + C + 1
Cambiando fi por fj; |A,| = -6|A|
Reemplazando datos: (A - I) =
Por dato: - 6 |A| = 66 => |A| = -11
Del cual obtenemos:
2 O
-2 O
A - IV A- I=
O 3,
O 3
Nos piden: |A j =
1
1
11
36. Sean las matrices:
A=
(a b
io c
0 0
0 0.
A B=
2 b
b c
SI se cumple que A + B = donde:
, / I 0 , halle a -I- b + 2c
0 1
A - I=
4 0\
O 9,
2 O1
- 2 0|
V A- I=
O -31
O
3)
Como A es una matriz de elementos no negativos,
tendremos:
A - I=
Suma: 7
39. Si
es solución dei sistema Ax =
2\
Traz(x"^b). Donde: A =
; b=
X
e
b,
calcule:
42. Determine el valor del siguiente determinante;
4
3
7
8
Resolución:
Como: |A| = -1 ; entonces A esinvertibie
1 / 1 -1
=
{ - 1)\-2
^x^b={-1
x^=(-1
2\
3 ) ^ =( 1)
22
22
22
22
3)
Traz{x^b) = 1
Restamos
y
B-
0 11'
1 b c
a+b b^ c^
7
9
= 22
2
5
|A| =
1 1 1
= (c - a)(c - b)(b - a)
a b e
b ' c^
|B| =
0 1 1
1 b c
a+b b^ c^
6
6
7
5
7
9
2
5
a todas tas demás filas:
^22x1
-1 0
2
1 1 -5
-1 -1 - 2
43. De la siguiente igualdad;
-3
6 -1 - 5
- 4 - 3 - 2 -2 0
+6
5 -4
-1 5
-1 - 5 0
5
..(I)
0
1
1
1 b -c c
|B| =
a+b b^-c^ c^
determine; a + b + a + b
Resolución:
Calculemos:
^ |B| = (b - c)[(b + c) - (a + b)] = (b - cKc - a)...(
Usando (i) y {II), se tiene:
|A| = (a - b)|B|
2x
x+1
-1
A = X e 2 / 3x+1 2x+2 - x - 2 = 0
2x
x+1 2x-1
Resolución:
En el determinante, hacemos: f, - fj; f2 - 2Í3
-e----- e— ; " 2x " r
- x + 1 O - ;ix
2x x+1 2x1-1
Desarrottamos respecto a C,:
2 -1 5 -1 0
(-1 ) 2 2 -2 0 = (1)(-250) = 250
-1 - 5
5
=> a = l A b = 6
a+ b+
= 44
44. Determine el valor del siguiente determinante
1+a 1 1
1
l i s i
1
1
1 1+b 1
1
1
1 1- b
-x +1 o
{-2 x}
= O
2x x+1
De aquí: -2x(1 - x^) = O = x(1 + x)(1 - x) = O
Donde: x = 0; x = -1 ; x = 1
Luego: A = (0; -1 ; 1}
-3
6 -1
- 4 - 3 - 2 -2 0
5 - 4 1 -15
-1 -5 0
5
=6— 6 - : - i:- = 5 2 -1 5 ' t ' -1 0
2
2
I -2 0
-1 - 5
')
5
(c - a)(c - b)(b - a) _
(b-a)(c-a)
Número de elementos de A: 3
5
4
6
4
22(2 - 2 + 2 + 5) = 22(7) = 154
Resoiución:
IA I
|B|
6
6
7
5
22
Entonces podemos afirmar que:
C ,-C ,
5
4
6
4
■'i':—5— 6— 7- \
40. Dadas (as matrices:
1
1
A= a b e
a" b" c^
7
9
2
5
Sumamos a C^ todas las demás columnas:
Ax = b = A '’Ax = A-'b
-1
3
6
6
7
5
Resolución:
1
1 -1 \
Ix =
2Ì ^ X -2 1 )
5
4
6
4
para: a = "V72; b = */ÏÔ8
Resolución;
C
4 — C 3;
C
3—
C si
C
2~
C,
1+a - a
1 -a
1
0
1
0
La raíz común no puede ser del trinomio
+ X + 1 porque estas son complejas y tendrían
que presentarse por pares conjugadas; y en este
caso, tendrían 2 raíces comunes.
=5 La raiz común es: x = 1
Q 0
a 0
b -b
0 -b
1+a -a
1 -a
0
0
0
0
0 0
a 0
b -b
0 -b
Luego: P(1) = a-i -b + c = 0
a -a 0 0
0 -a a 0
0 0 b -b - {
0 0 0 -b
Reemplazando valores:
(®/72x®/TÒ8f - { V 3 ^ x 2 ' x 2 ^ x 3 ^ y
(a b f = 5 / ( 3 ^
= 36
cosa
1
45. Para: A =
, cosa / ±1
1 cosa
cuát(es) de los siguientes enunciados son verda­
deros.
I. Traz(A"') = 2cosa + 3
II. jA^I = (cos^a - 1
III. |{A^)” ’A^| = cos^a + 1
fcosa
1
1 cosa
I. A ’ =
cosa - 1 \
- 1 cosa/
cosa
1
1 cosa
A ’ = -csc^a
cosa - 1
- 1 cosa
cos^a - 1
-s e n ^
cosa - 1 \
- 1 cosa/
=» Traz{A ’) = -csc^a(2cosa) =» (I) es F
II. |A^( = |A|^ = (cos^a - 1)^ =9 (II) es V
III. Ka Y ’A^I - KAY'jjA^j = jA V lA j^
= jA r ’iA r = |A|
- cos^a - 1 =» (III) es F
Solo (II) es verdadero,
46. Los polinomios:
P(x) = ax^ + bx + c; a; b; c e E
Q(x) = x' - 1
tienen una raíz común, indique cuál(es) de los si­
guientes enunciados son correctos.
abe
bea
cab
-
7
Sumemos a C, todas las demás columnas;
a+ b+c b c
0 b c
a + b + c c a = 0 c a = 0 « (I) es V.
a+b+ c a b
0 a b
II. En forma similar al anterior se obtiene que (II)
es F,
III. En forma igual a la 1.® obtenemos que (III) es V.
(I) y (lll)son correctos
47. Halle x, si se definen las matrices;
2 -1
-1 2 0
A= 1 x
0 ; B = x -1 2 1
0 2x -1
3 2 1
Resolución:
Resolución:
A=
abe
bea
cab
abe
abe
= 0 II. a c b = 0 III. b a c = O
a a a
c b a
Resolución:
P(x) = ax^ + bx -I- c; a; b; c e IR
Q(x) = (x - l)(x^ + X + 1)
Reemplazando las matrices, se tiene;
3
2 - 2
| 2 A - B | = 3 - x 2 x - 2 -1
- 3 4x-2 - 3
Desarrollando;
|2A - Bj = ~18x + 18 - 2(3 - x)(4x - 2) + 6 6(2x - 2) + 3(4x - 2) + 6(3 - x)
Efectuando y reduciendo;
8x^ - 52x + 60 = 8x^ - 20x - 4
=. 32x = -6 4
X= 2
48. Determine el mayor valor que debe tomar “k” para
que la matriz:
k 1 -1
A= O 2
k : no tenga inversa
4 O -k
Resotución:
k 1 -1
A = O 2 k : no tiene inversa, si |A| = O
4 O -k
Luego: |A| = -2k^ + 4k + 8 = O
=» k^ - 2k - 4 = O
=
=. K = 1 ± - / 5
Mayor valor de k: 1 +
0
■Í5
0 3
2 - 1 , calcular |B|.
1 -1 4
49. Si A^B^ = 1; A = 0
I: matriz identidad
Resolución:
lA llB l =
-(•)
O 3
2
2 -1 = O
-1
1 -1 4
|A| = 1(0
-
+0
suma de los elementos de la primera columna de
la matriz E" (n g 1L*).
O 3
-1 4
Resoiuciórx:
2 0 0
E= 0 2 1
1 0 2
6) = -6
Luego en (I): |B| = - - 1
50.
A-[aj3.3;|A| =
S i:
calcular; E =
2
2 0 0
0 2 1 , determinar la
1O2
53. Se defìne la matriz: E
lA^B^I = |l| =. \ A V \ = I
B=
A
A' ^
|B[ - 3
= 2i +
0 0 0
A; donde: A = 0 0 1
1 0 0,
0 0 0
0 0 0
1 0 0 ; A' = 0 0 0 = 0
0 0 0
0 0 0
=» A" = 0, V n G D í A n > 3
| 2Br|AM
Resolución:
Como Al = IA; V A matriz cuadrada
E=
(W+A)'' = i¿ (kl)" +
(2'|B|f|Ap
E=
1
2®x3^x2
2^Bf\A\
1
2'x3^
E=
Se liene:
E" = (21 + A)" =
E" = 2M" + 2'” \ n .
13 2 2
4 5 2 2
=0
9 7 22
16 9 2 2
idértticss
E" = 2"" '
1 columna: S = 2"' ^[8 + n(n - 1) + 4n]
Suma: 2'’ ” ^(n^ + 3n + 8)
54.
2
A = -1 - 2 -1
1 1 O
1 2
2
A' = -1 - 2 -1
1 1 0
Si A y B son matrices simétricas de orden n y C,
es una matriz cuadrada de orden n que cumplen la
condición: C + AB' + (C - I') = A'(BC - I)
Determinar la matriz C.
1 2 2
1 0 0
-1 - 2 -1 ^ A ' = 0 1 0
1 1 0
0 0 1
3 6 -2
B = -2 -4
1
-2 -3 0
3 6 -2
B" = - 2 - 4 1
-2 -3 O
[8 0 0
0 0 0
0
0 0]
0 8 0 + 0 0 4n + n(n-1) 0 0
[o 0 8
4n 0 0
0
0 oj
0 0
8
E" = 2 " ' ' n(n-1) 8 4n
4n
0 8
1 2 2
3 6 -2
sabiendo que: A = -1 - 2 -1 B = - 2 - 4
1
1 1 0
-2 -3 0
Resolución:
1.A + 2 " - = í l í ^ . r - ^ A '
E" = 2" ■^(81 + 4nA + n(n - 1)A^)
52. Si p. q G E determinar la matriz: Q = pA^ + qB^
2
: (2I)'’ - \ A +
^1,
.A' +
|A| = O
1
(2ir+
3^
4*
5^
6^
16
13 5 7
25
4 5 7 9
36
9 7 9 11
49
16 9 11 13
c.-c. c,-c, c.-c.
A2
+ Í" )a "
n/
1
1152
Resolución;
1 4 9
4 9 16
|A| =
9 16 25
16 25 36
,-c. c,-c,
n -
(kiy
2^\ Bf \ A\
51. Calcular el valor del determinante de la matriz A;
A=
(ki)"-’A + r
3
6 -2
-2 -4
1
-2 -3 0
a 2 + qB^ = pl + ql = (p + q)l
Q -= ^pA^
1 0 0
0
0
0 0 1
Resolución:
A y B son matrices simétricas;
=» A' = A A B' = B A I' = I
0' + AB‘(C - I') = A‘(BC - I)
C + AB'C - ABT = A'BC - A'l
C + ABC - ABI = ABC - Al
C’ - AB = - Al ^ C = AB - Al
C' = A(B - I) = A‘(B' - I')
C' = A'(B - 1/ = [{B - \)A]'
« C = (B - l)A
C = BA - A
55. Si B es la matriz definida por:
-0
12 3 4
A=
-1 2
0 1
4 6 0 3
2 10 5
e------ 6—
O O
2y
6
O 2y
O
(
2x x - y x - y x-l-y
; calcule el |A|
Desarrollando respecto a f,:
Resolución;
O
-1-----2 -^ > .3 .^
-1 2 ■1 1
|A| =
4
6
1 3
2
1 '' 5
O
-(2y) O
2 /"
O
,2 < x -y x - y
= -(2y){-8xy^) = 16xy'
58.
Desarrollando respecto a C,
Calcule el valor del siguiente determinante:
-1 2 1
5
8
9
8
5
1A| = 3 4 6 3
2 1 5
|A| = 3(-30 + 4 + 12 - 12 + 3 - 40)
|A| = 3{-63) = -189
43
86
99
88
55
2
4
6
8
5
1
2
3
4
5
56. Calcule el valor del siguiente determinante;
1 1
12
E=
13
14
1 1
3 4
6 10
20 10
Resolución:
= 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
Restamos C, a todas las demás columnas:
10
11
12
13
.i.
0
1 2
T ^ 3
t 1 14
í
f 3- Í 2
1 2 3
E= 1 3 6
1 14 0
0
2
5
19
59.
0
3
9
9
0
3
6
0
Resolución:
-y
-y
-y
+y
x+y
x+y
x+y
x -y
2 4
-1 - 2
—J
-6 ^ :-i)
2
-2 -6
2
0 -4
-6 -2
U+
42 + 12
U+ h
f, - 4Í3
De f, extraemos (-2):
57. Si S es una matriz definida por:
x
8 = x
x
x
Calcule el valor del siguiente determinante:
2 -2 -4 -6 -i
3
10 - 1 - 2
2 0 - 1 - 2 -3
4
2 1
0 -3
5
3 2
3
0
x+y x+y
x+ y x -y
x -y x -y
x -y x -y
Resolución:
x -y x + y x + y x + y
x -y x + y x + y x -y
S=
x -y x+ y x -y x -y
x + y x -y x -y x -y
O
O O
f, ^2
O
O 2y
f . - f 3 - 2y
2y O
u -u
x + yx - y x - y
2y
O
O
x~y
hallar |S|
3
3
(-2 ) 2
6
6
1 O
1 O
0 -1
2 O
2 0
-1
-1
-2
-2
0
-2
-2
-3
-6
-4
^
= (-2)(0) = O
60. Calcule el valor del siguiente determinante:
4
3
3
3
3
3
4
3
3
3
3
3
4
3
3
3
3
3
4
3
3
3
3
3
4
Resolución:
Sumamos a f, todas las demás filas y luego extrae­
mos 16 a f,:
16
3
3
3
3
16
4
3
3
3
16
3
4
3
3
16
3
3
4
3
16
3
3 4
3 = 16 3 3
3
3 3
4
3 3
3
4
3
3
3
3
4
3
1
3
3
3
4
i 63. Determinar el valor de la verdad de las siguientes
proposiciones:
1. Si A B ^ ie n e inversa, entonces A y B separada­
mente poseen inversas.
f. - 3fi
II. Existen matrices A y B de orden n x n , tal que
AB = BA + I
III- Si A y B son no singulares, entonces AB es no
singular.
3f,
f, - 3f,
Resolución:
fs - 3f,
h -
A=
a b O O
O a b O
O O a b
O O
O O
O O
0 0 0 0
b O O O
a b
O a
I. AB”^ posee inversa, entonces AB’ ^ es no sin­
gular: det(AB’ ^) 9^ O
^ det(A) det(B’ ') O
« det(A) # O A det(B’ ^) O
== det(A) O A det{B
O
^ det(A) O A det(B) ^ O
Luego, A y B poseen inversa
(V)
II. Recuerde que:
Traz(A -i- B) = Traz(A) + Traz(B)
Traz(AB) = Traz(BA)
Sean A y B de orden n, tales que: AB = BA -i-1
Traz(AB) = Traz(BA + I)
=» Traz(AB) = Traz(BA) + Traz(l)
=> Traz{i) = O ;
absurdo, pues Traz(l) = n, v n € Di, n > 1 (F)
Resolución:
A=
4'a> b O O
a b O
O a b
-e-0O O
O O
Ó O OO
:b; 0 0 0
a b
O a
Desarrollamos respecto a la 1.^ columna:
III. A y B son no singulares, entonces:
det(A) ^ 0 A det(B) # O
= det(AB) = det(A)det(B) ^ O
=> AB es no singular
VFV
64. Si: A^ =
triangular superior
y A -(3 ir =
+(-i;
5
1
4
2
1 3\ 3 4
2 4 I1 5
2
3
3
1
^27 26
25 24
a b
- 12A’
c d
Hallar el vator de: (a^ -i- b^ -i- c^ + d^
Resolución:
De la primera:
triangular inferior
=> A = a{a" ') + (-1)"^'b(b"
A - a" + ( - 1 ) " - ’b"
62. Dada la matriz M =
O -a '
, hallar el valor de: M’
a O,
A^ =
1 3\ 15 2 \
3 4 ¡4 3
2 4, ,1 3.)^ 1 5 (21
A^ =
8 11
14 16
20 13
14 8
A^ =
1 -2
3 O
A=
A-' =
1 (0-3
I Al 2 1
Resolución;
0 -1
1 0.
-1 O
= a'
O -1
De la matriz: M = a
Se tiene;
= -a "l
Luego:
= (M T 'M = ( - a ^ ir a ( ° “ J j -
¡27
26
(25 24,
27 26
25 24
1 3
-2 O
O -3
2 1
De la segunda:
a b
A -(3 ir =
- 12Ac d,
1 3
-2
1
3 O
lo 3
a b
c d
(V)
=
a b'
c d,
1 | ( 5 “ -1)
0
a^ + b^ + c^ + d^ = 4 + 9 + 4 + 1 = 1 8
2 5
, determinar la suma de los elementos
.1 3,
de la matriz A'^
65. SiA =
Resolución:
68. Sean las matrices A y B, tales
1 -1 1
A = 0 1/2 - 1 ; B =
0 0 1/4
Resolución:
AB = I, reemplazando:
14 - 2 5 \
5 9
S elementos: 14 - 5 - 25 + 9 = - 7
66. Si A. B y P son matrices cuadradas del mismo or­
den con |P| # O, yA = P’ ’BP. Determinar el valor de
verdad de cada una de las siguientes afirmaciones:
I. B = P -’AP
II. |A V | = |B1^
III. A^ = P-’ B^P
1 -1
1
0 1/2
0 0
-1
u v w
1 0 0
X
y
= 0 1 0
1/4 0 0
z
0 0
0
u
v -x
w -y + z
0
Ix
0
0
iy -z
I
■jZ
2
1 0 0
= 0 1 0
0 0
—1
u = 1;
X
^ : = 4;
/ - X = 0 = V = X == 2
I,
ly -z = 0
P (A )P -’ = P (P -’ B P )P -'
II. B A = B P - ’ BP
|A V | = |(BA/| = |BA| = |BP-’BP|
|A V ! = |B!|P-’ ||B||P|
|AV1 - |B||Pr'|B||Pi - |B|^
17
' ' ; hallar a “
O5
Resolución:
1 7
/ I a\
en general, sea: A = ^
0 5 ’
bj
1 a
a+ab\
A^ 0 b l o b| lo
1
A=
A^ -
1 a+ab / I a _ 11 a-f-ab+b^’
0 b^
0 b ‘ o
b^
,
1 a b " - l\
b -i;
0
b"
Reemplazando: n = 50; a = 7; b = 5
A" =
1 a + ab + ab^ + ..+ab'' ' j _
0
b"
y = 2z => y = 8
w - y + z = O = V/ = y - z =» v^ = 4
u + v + w + x + y + z = 21
(F)
(V)
III. A ' = A A = (P -’BP)(P-'BP)
A^ = P-’B(PP-’ )BP = P-’BBP
A ' = P-’B ^
FW
1
= 1 - X
A, B y P matrices cuadradas del mismo orden, con
|P| ^ O, es decir, existe: P” ’ a A = P” 'BP
PAP-' = (PP;’J B(PP~')
I
^ B = PAP-'
1
4
De d o n d e :
Resolución;
67. Si : A=
que:
u V w
0 X y
0 0 z
Encontrar u-t-v + w + x-i-y + z, si cumple que AB =
(I: matriz identidad).
det(A') = [det(A)]' = 1 = |A
Luego: A ’ ^ = (A^)"'' = -1 — Adj(A') =
5“
69. Calculara -Hb -i- m, para que A sea la matriz identidad:
2a^-15 2 0 -b
40-a
5
m
a
A= t-b
$ -1 1
i^ -1 1
4
o
a
a A 4m -15
— 40 ' 11 ■
10
Resolución:
(V)
A = I, entonces:
.
•
_ 15 = 1
a = 40
^ -1 1 = 1
D
b = 20
D
4m - 15 = 1 • m = 44
11
Con esto, los demás elementos son nulos.
.-. a + b + m = 104
/ I a /'I b
1 a-hbi
Teniendo en cuenta que:
O
1 I
.0 1 O 1
Para: A„
70. Hallar aben:
1
2"
O 1
7 0 3 a 0 5
51 0 2
4 5 2 0 3 4 = 30 15 18
3 0 6 3 0b
36 0 -5 1
Resolución;
7 0 3 a 0 5
51 0 2
4 5 2 0 3 4 = 30 15 18
3 0 6 3 0 b
36 0 -5 1
7a+9 0 35+3b
51 0 2
4a+6 15 40+2b = 30 15 18
,3a+18 0 15+6b
36 0 -51
De donde: 7 a + 9 = 51 =»a = 6
35 + 3b = 2 = b = -11
.. ab = - 66
1 2
1 -1
Calcular;
2
1 3
|A|-
-3
-4
-8 -8
- 8 -1 5
1 5 11
- 3 -8 -8
- 4 -8 -1 5
0 1
1 0
1 -1
5 11
7 25
|A| = 0 7 25 12
29
0 12 29
73. Hallar el valor de la determinante;
1 •• 1
2 1 •- 1
3 •- 1
Resolución;
1 2
1 -1
Sea; A =
2 1
1 3
3
- í.; h -- 2f '
f , - fv
4
0 1
1 0
1 -1
1 • • 98
Resolución:
1 2 3 4
0 - 3 - 3 -3
A=
0 - 3 - 5 -8
0 1 - 2 -5
Tomando menores complementos respecto a la
primera columna;
-3 -3 -3
1
1
A = - 3 - 5 -8 = - 3 - 3 - 5 -8
1 -2 -5
1 -2 - 5
Í2 + 3f,
A
1
= -3
-2 -5
- 3 -6
A = -3(12 - 15) = 9
i i >j
72. Dada la matriz A ==(81)4,4 definida por; 8i, ='1 1 i = j
j '< j
calcule; det(A)
Resolución:
a„ =
A = (a,)4
12 3 4
2 13 4
i; i > j
1 ; i= j
j: i< j
3 3 14
4 4 4 1
f3 -3 f,
1 2
|A| =
O
1
1
1
1 1 1
98
La matriz es de orden 98.
Restando a cada fila, a partir de la segunda, la pri­
mera; se obtiene;
1 1 1 ••• 1
O 1 O
O
0 0 2
O
a
3
97
0 0 0
1
0 - 3 -6
Í2 -2 f,;
1 1 1
1 2 1
A= 1 1 3
fj - f,:
A = - 3 0 -2 - 5
|A1 =
Í 2 + 3f,
h + 4f,
|A| = 7 x 2 9 - 1 2 x 2 5 = -9 7
4
3
-3
!A| = - 3
-4
Ha resultado una matriz triangular superior.
Luego: A = 1 x 1 x 2 x 3 ... 97 = 97!
74. Dada la matriz; A = [a j 2.3 /
hallar; E = Traz(A^A) + [AA^j
Resolución:
A = [a,j2,3 A a,. = Í 1 + j:
1 ; i= j
13 4
A=
i2 1 4
1 2
1 3 4\
A^A = 3 1
1 4 = [bj3
4 4
bl, = (1 2)
=
5
f4 -4 f,;
4
= (3 1)
= 10
-3 -3 -4
O - 3 -8 -8
O - 4 -8 -1 5
b33 = (4 4)
4
= 32
=
1 + j;
1 ; i= j
Tomando menores con respecto a la primera co­
lumna. resulta;
=> Traz(A^A) = b„ + bjj + bjj
Traz(A''A) = 5 + 10 + 32 = 47
'1 2
13 4
26 21
AA^ =
3 1
2 1 4
21 21
14 4
lAA^I = 26 X 21 - 21^ = 21 X 5 = 105
a -b
O
a -b a -b
|A| = a a - b a - b
a-b
Traz(A^A) + lAA'"! = 152
a -x
|A |-a {a -b )"-’
77. Sean las matrices:
A = (a .),,,/a , = { 2 7 i
-X
-X
-X
b- x
-X
-X
-X
= O
+
i< j
2+j
i ->j
Además AX = B. Calcular e! determinante de X.
Resolución:
= 0
A = (a
abe - a(b + c)x - bcx = 0
ab + be + ac
tal que: a, =
hallar: |A|
b i<j
a i
a i> j
Resolución:
a b b ••b
a a b •- b
b; i < j
a: i - j « |A| = a a a • • b
a; i > i
a a a ' a
Restando a cada fila, a partir de la segunda, la pri­
mera:
a
b
b •••
b
O a -b
O •••
O
|A| = Oa - b a - b •••
O
a -b
B - ( b „ ) , . , / b
c- x
- x)(c - X) - x^l + b[x{x - c) - x^] = O
a[bc - (b + c)x] + b(-cx) = O
O a -b
a-b
n - 1 veces
a [(b
A = (a,,)„. „ / a. =
a-b
Luego: |A| = a(a - b)(a - b). ( a - b )
Tomando menores complementarios con respecto
a la primera columna;
b -x - X
-X
- xV
+ b
- X
c -x
- X
c - x
76. Sea la matriz A = (a,,)„,
a-b
O
O
O
La matriz que resulta es triangular inferior de orden
(n-1).
75. Resolver la ecuación y hallar x:
1111
X a OO
= O
X Ob O
XOOc
Resolución:
Í2 - xf,; (3 - xf, A fí - xf,:
1 1 1 1
O a -x - x
-X
=O
O - X b -x - X
O -X
-X
c -x
a
- X
- X
c, - c¡: - b b - x - X
O -X
c -x
O
O •••
a-b -
a -b
A=
■la.. =
a^,
11 <a=>1„2\
^21 ^22
B = (b,^)2>2/b
'2 i- j
i< j
i> j
1
.
/1 O
A=
i2 2
= I i + 2j:
2 + j:
b'11 bi2
b•’ 21„ ^221
b
|A|-2
i< j
i> j
3 5\
3 6j
|B| = 3
AX = B ^ |AX( = |B|
=» |A||X| = |B|, reemplazando: 2|X| = 3
■■ 1 X 1 - I
78. Calcular;
0 a, 82
- a , 0 83
-32 - a , 0
Resolución:
O a,
Sea: A = - a , O 83
- a j -83 O
Se observa que: A^ = - A; es decir, A es antisimé­
trica de orden 3, luego:
1A"| = 1-A1 = !A V (-1 )^|A |
|A| = -iA|
2|A| = 0 .-. |A| = 0
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (UNI 2011 - II)
c Oc
ha))e: a b o
14 k
Considere la matriz: A = 1 k 4
1k k
d c b
Donde; a, c, d e (0: ac) y b e (-ac; 0)
Determinar el conjunto de valores de k para que A sea
invertible.
A)kem \{0}
D) k = - 4
A) - 4
D)4
C )k 6 E \{4 }
B)keIR
E) k = O
B) - 2
E)6
Resolución:
c
2c
c
5b
a
3b
b + 5c b + d b + 3c
Resolución:
Dado
Si es invertible, entonces |A] # O
Siendo;
1
4
k
14 k
fj - f.
0 (k-4) (4-k)
|A|- 1 k 4
^3 “ ^2
0
0
(k-4)
1k k
A partir de:
c
2c
c
5b
a
3b
b + 5c b + d b + 3c
Luego:
k
< 3 -X .k -4 r(4 -k ) ^ 0 « (k - 4)(k - 4 ) ^ 0 ^ k ^ 4
0 ''a - - ..( k - '4 ) Luego afirmamos; k e E \ { 4 }
Ciave: C
PROBLEMA 2 (UNI 2 0 1 2 ■ I)
abe
Dada la matriz A =
determine la matriz P; tal
a c b
que PAP = g i h
d f e
1 0
0 - b 1
1 0 -c
0 1 0
D) 0 -1 0
1 0 1
C, - -C ,
2 '
^
0
2c
c
a 0
2c b + d b
2b
0 2c
c
2b a
3b
2c b + d b + 3c
C, - C3
0 c c
2b a 0
2c d b
Oc c
Factorizando el 2 de la columna 1, tenemos: 2 b a O
c d b
Intercambiamos la columna C, por C^:
c Oc
a b O = -4
d c b
c Oc
a b O
d c b
PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 2 - II)
00
B) 0 0 1
0
0
-1 1 0
C) 1 - 1 0
0 0 1
00
E) 0 0
Resolución:
Determine A.
Luego; |P^| = 1
Igualdad que verifica la matriz involutiva P,
tal qu9 P^ = 1
c
2c
c
= -4
5b
a
3b
b + 5c b + d b + 3c
2 3 1
A) 1 5 2
2 -1 3
2
Clave: B
PROBLEMA 3 (UNI 2 01 2 - 1)
Las siguientes operaciones elementales:
C, « Cj; Sfj: f¡ - fl, en este orden, transformar la ma1 5
2
triz A en: - 4 6 - 8 , la cual se puede expresar
6 -3
9
como (RPQ)A. donde RPQ son matrices de orden 3 x 3
no singulares.
0
Con los elementos dados de las matrices A y PAP, ob­
servamos que: |A| = |PAP|
SI:
'
Cj —C3
Clave:C
-a
A)
0 2
-
1 4
- 1
2 - 1
D) 4 3
1 2 5
B) - 1 3 1
2
0
-1
4 3 -5
E) 1 - 1 2
2 0 3
Resolución:
i En la matnz transformada;
1 5
2
-4 6 -8
6 -3
9
-2 -5 1
3 4 1
1 3 -1
A )T + A
D) A + 2T
1 5 2
2 3 1
6-3 9
5 2
2 3 1
2-13
f, + f,:
Resolución:
Sea ia matriz:
/a b\
A=
c di ^
Corrección: f,
Í2
Í2 3 1
Se obtiene; A = 1 5 2
2-13
B)
+ 2A
E) A^ + 2T
C) 2A + T
a^+ be ab + bd
ac + ed d^ + be
Se tiene:
|A| = A = ad - be
...(1)
Traz(A^) = T = a^ + d^ + 2be ...(2)
Clave: A
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 - 1)
Sea A una matriz cuadrada de orden 2 x 2, si se sabe
que su determinante es A y la traza de la matriz A^ es T,
Determine el valor [Traz{A)]^
Piden:
[Traz(A)]^ = (a + d)^ = a^ + d^ + 2a^
(T - 2bc) + 2{A + be)
= T - 2bc + 2A + 2bc
= T + 2A
Clave;C
PROBLEMAS
Dadas las matrices:
1 O 2
A=
-1 1 2
Si:
=
2.
9.
A
5 1
-1 2
8 =
a b
, hallar: (ab + cd)
c d
A) 243
D) 181
B) 633
E)377
Dadas las
-1
A=
4
1
B) n(n + 1)
D) n(1 - n)
4.
B)1
E) - 4
Si A = (aJ2.3 / a„ =
O O
6.
7.
0 10
D)3
8)A* + A®
E) 2A^
E)8
SiA =
B )6
0 8
E) Faltan datos
-2
3
2 -1
A
B=
B)300
E) 600
-2
-1 - 3
-2
2
8.
SiA =
B) 24
E) 36
0
-1
A)-2
C) -1 2
B)-1
C)0
B=
w -3
2z-1
5
-3
B)6
E) 12
1 1
-2-2
13. SeaA =
A
0 8
A + 1= K, calcular; K + A^°“ .
A)
1 2
O 1
3 1
O 1
D)
2 4
-1 O
1 O
O 1
O
3 -1
1 1
14. Calcular (A + B)(A - B). si;
A^ + B' =
1
, hallar la suma de los elementos de ;
0
la primera fila de: A'°^ + A'
O 400
2
hallar: Traz(AB + BA)
A) 10
O) -2 4
+ 2"
-1
4
A) 4
D) 10
C)2A"
Si A^= 1, hallar la traza de: A® + A‘* + A^ + I; Aj.^.
A) 4
D) 10
O
O 1
1 O
2w - 2z 2z
- 3 -w
C=
Si A = (a,,)„,„; tal que A " = A: hallar; A"=®"+ A '“
A) 2!
D) A + 1
B ) 2 x 3"
E) 2"
8, si:A =
A=
Calcular la suma de los elementos de la matriz B.
5.
mentos de la matriz A",
12. Si las matrices A y 8 son iguales, hallar la traza de
2A + 3C, siendo:
2 i- j: i>j
&¡ + j; i < j
8 )2
2 1
, hallar la suma de ele1 2
10. Dada la matriz A =
A) 200
D) 500
Ademas, de la igualdad matricial:
n
A^B =
, n G ttí
A) 6
n (1 - n)
11. Sea 8 = A + A^ + A^ + ... + A^“°, hatiar ía traza de
1 1
. haliar la traza de P(A)
O1
A)-1
D)4
C) -n(n + 1)
O -2
B) 12
E) 30
Dado el polinomio: P(x) = 2 x ' ^ t 2 x - 4 y la matriz
A=
E)
A) 3" + 2"
D)5" + 1
calcular d22, si: D = (2A - ^B)C
3.
n * "
Hallar la suma de los elementos de la matriz B,
donde; B = A+A^+A^+...+A"; n > 2; n e IN.
1 -2
Siendo: A =
O 1
0121
matrices:
3
3 -9
4 -1 5
2 ; B = 6 12 ; C =
2 1 1
0
0 15
A) 24
D) - 6
PROPUESTOS
1 O
0 -1
2 í
;AB =
; BA =
O 1
1 2
-1 0
A)
1 1
-1 1
B)
1 -1
1 1
D)
2 -2
~2
2
E)
2 2
-2 -2
15. Si A =
1 1
, calcular; A 4O 1
C)
i
2 -2
2 2
i A“
A)
D)
1 10
0 1
4 10
O 4
10 16
16 20
O 16
1 O
O 1
O 10
16. Sea:A =
c)
A) 6
D)4
A ) -3/ 4
C) 12
E) 10
17. Hallar la suma de todos los elementos de la matriz
A, que satisface:
1 -1 O
1 -3 2
A O 1 O
04
B) 3
A) 2
O -1 1
1
E)6
D)5
18. Sea: A = (a,,)2.2/Traz(A) = O a
Además: an = 5 ; 821= -4 .
Hallar A", si n es par.
A) 9" 1
D) 9"'®l
B)9"'^ I
E) T ''°\
= O
O 9"
D)
2 -1 -2
8 7 -1
B)
0 0
106
E)
2 12
87 1
4 3
2 1
6 4
2 O
1 O
O 1
6 4
6 3
O 2
2 1
C)
0 -1 -2
8 0-1
4 6
O
2 O
B)0
E)68
E)5
D)3
E)4
25. Si:
i- j ;i< j
i+j:i>¡
A = { a X i a„ =
B —(bij)5>9 b], — i + j ; i = j
>/j;i^j
hallar: C25 + C,,; si C = AB = (C,j)4v9
B) 18/7
E) -113
O -3 8
1
1
1
1
16
1
0
2
2
0
16
2
0
0
2
0 8
A) 3x2' =
D)2'^
00
B) - 3 X 2 ’^
E) 3’'
2:
i= j
A) O
B )3
0 -3
D)2
E) - 2
-1 -1 -1
28. SeaA =
O 1 O . calcular la traza de A
O O 1
B)0
E) 18
0 4
29. Hallar w + x + y -rz de:
O
12
2 -1
, además F(x) = x^ - 5x + 31
-3
3
B )5
0 2
B)1
A) 3
D) 24
hallar la traza de F(A).
A) O
D) 5/2
hallar la suma de los elementos de A
2 3
C=
4 5
hallar la traza de AA
22. SiA =
0-15/4
27. Si. A = (311)4,3 / a,. =
21. Sea la matriz A = (ajj.s. definida de la siguiente
forma:
' - j;' < i
ij ; i = i
i + j;i>]
A) - 3
D) 24
B)1/4
A) O
A=
hallar X, si : 2(x - 3A) = (B - C) +4(X - A - B )
D)
2
1 4
3
hallar el valor de: a,
1 2
20. Sean: A =
3 4
A)
A X- Y=
26. Si: A = (a,|)2>2> tal'i'J®
A = (a„)2. 3/ a„ =
2 1 O
87 6
1
A) 89/6
D) -66
19. Escribir explícitamente la matriz:
A)
2
3 -2
; 24. En la igualdad:
a 2
d + 12
29
a 3 1
1b
1 c b d 2 7d + 4 d + 21
Calcular d. si: a, b, c. d e m.
9 10
14 16
O -1
X+Y=
hallar la traza de: XV^
2 3
3 2
y 8=
1b
a 5
hallar ab, siAB =
23. Dado el sistema matricial
10
10
12 3 4 0 10 1
w X y z 0 0 11
5 6 8 5
5 15 0
1 1 1 0
A) 5
B)6
Oo
D) 7
E)1
30. Determinar la suma de los valores de x que satisfa­
cen la siguiente ecuación;
P(x) X
O
1 2 = 0
O
- 1 x+1
donde; P(x) = 2x“ + x ^ - 11x^ + x + 2
D)12
E)24
A ) -7/2
B)-7
0 7/2
D) 3
E)7
31. Hallarla traza de (A - 5 I)'\ sabiendo que la matriz:
a 7 5
A=^ 0 - 8 6 verifica A^ - A - 211 = 0
0 0 3
B) 14
A) 13
C) 15
E) 3
D)32
B ) A + 31
E) A - 31
33. Dada la matriz: A =
3 1
y A'X= A^
2 1
hallar el mayor elemento de la matriz X,
A) 2
D)5
41. S i : A -
32. Si A^ = 331, hallar la inversa de:
A" + 2A^ + 4A^ + 8A + 161
A ) A ^ 21
D ) A ' 21
40. Si:A =
C)A+ I
-1
1
2 -1
0 2
, al resolver la ecuación
1 3
8) VFV
E) W F
Dar como respuesta la suma de los elementos de
la segunda fila de x.
Calcular |A|, si; A = (a,,)g.6, ta! que
A) -1
D)2
A) -120
D)70
8 )0
E)3
C)1
O -1
¿cuál de las siguientes proposi1 O
34. Si: A -
0 4
matricial AX = B, indicar el valor de verdad;
I. X es singular
II. X es simétrica
III. Existe X’ '
A) W V
D) FFV
hallar x en la ecuación (Ax)^ = - A + 1.
B)3
E)6
O FFF
1
8) 120
E) 36
C)7
a
b
c
d
Si a = b+c+d. hallar el valor de:
clones es falsa?
A) A” = 1
8)A"=A
C) |A"|
D) |l + A"! ? O
E) |l + A"| = O
V n par, n g IN
V n impar, n e IN
V n € IN
V n par, n e IN
V n G IN
A) -2 a
D)a
8) 17/4
E)19/2
A)FW
D)FVF
C) 3
1 O
O 1
8 ) 1 1 /1 0
a) 3" - ’
D) 10x3" ' ’
C)
9/10
E) 1/2
37. Sea; D = A ' BA; A es inversible, hallar; D"; n e IN
A)A-"8A
D)A "8"A"
8) A '8"A
E)-ABA
C)A ’BA"
2 3
y B4 5
hallar el determinante de;
Sean las matrices: A =
A-
-1 - 3
-4 -4
+ 8^ + ABA + BA^ + B^A + A^B + AB^ + BAB
A) 1
D)64
B)8
E )1000
0 36
39. Si A - |B[.B', hallar el valor de: C = lA.A""! A||
Sabier>do que jBÍ = 4 y \a matriz B es de orden 4.
A) 4'"
D)4^"
B )4 ''
E )4^
B)VFF
E)FFV
OFFF
45. Si |A| = 3, hallar; ||A|. A| - IIAIA” ’!. La matriz A es
de orden n.
e indicar la traza de X.
A) 2
D) O
O -a
B) 2a
E) 3a
II, Sí |A( + O, entonces det{3A ’) =
A es de
orden n.
1^1
III, det(A) = O,entoncesAes lamatriz nula.
36. Resolver la ecuación matricial
2 1
-1 2
1
1
0
1
1 0 1
1
0
44. Indicar el valor de verdad de;
í. Si A" = 1, entonces |A| = 1
1 OO
35. Dada la matriz simétrica; A = 8 2 0
hallar la Traz(A + A ’ ’ )
b c 4
A) 35/4
D)8
i
; i
0 4'®
B) 8 x 3 "
E) 3" * '
0 8x3"
46. Calcular el valor del determinante;
0 1111
1 0 3 33
1 3 0 33
1 3 3 03
1 3 3 33
A) 54
D) 243
8)108
E ) 27
0
81
47. Sean A y M, dos matrices de orden n, donde:
M = I - A(A^.A)’ ' A^. Hallar |M^|
A) O
D)2^
B)1
E) 3 x 2 "
0=-1
48. Si: A = (a,j)3. j / A^ = A, hallar el valor de;
del {A” ') + Traz(2A)
A) 9
D) 27
B) 7
0 8
E) Faltan datos
-4
49. Calcular:
1 --4
1
1
1
A) 4
D)0
50. Calcular:
1 1 1
1 1 1
-4 1 1
1 -4 1
1 1 -4
57. Hallar el valor de:
1 . . 100
0)43
B) 44
E)42
A) 91!
D)97!
O a, 82
- a , O 83
—89 —8-> O
51. Indicar un factor de:
A) /
D)2x^+2y^
C) - 3,82
Indicar la suma de elementos de X.
A) 2
D) - 4
x+ y y
x
X x+y
y
y
X x +y
B) x^
E)x-1/ y
C) x V
A) A
D )A -I
1111
a OO
= O
52. Resolver la ecuación:
X Ob O
X OOc
53. Calcular:
A) O
1 2
3 4
1 - 1 0
1
1 O
1 -1
B )3
0)-9
+
+
54. Hallar el valor de
8 ,2
822
B)8
E) 18
B)0
C)1
E)81
3ii “ 3 i 2
8 2 1 —82 2
C) -1 5
D)2
es singular,
5 8 11
7 10 13
D)
5 7 9
7 10 13
5 8 11
7 10 11
5 7
0) 8 10
11 3
0 )4
A) 192
D) 48
B) 144
C) 16
E)0
A) 45
D) 15a
C)0
B) 45a
l) 15
Sean B y 0 dos matrices definidas por;
E)3
1 2 3
1 x 0 0
= O
2 0 x 0
3 O O x
B)2
E) 14
5 8 11
5 10 13
c
6
a
b
0 0 0 0 a
Indicar el cuadrado de una de las soluciones.
A) 1
D)9
A)
62. Hallar el determinante:
2 a b
0 3 4 5
0 0 5 2
0 0 0 3
X
56. Dada la ecuación:
OA+31
hallar; Traz(A’°)
D)9
1
X
1
O x -1
55. Si la m8triz: A = x - 3
1 x+2 3
hallar el menor valor de x.
A)-1
B)A-2i
E) No existe
O ®/2 O
61. Sea la matriz; A = V8 O O
O O V4
= 10
A) -10
D) -20
0 )0
60. Consideremos ia matriz A = [a¡,]2. 3, tal que:
a¡j = 2i + 3j, para todo valor admisible del i y de j.
Hallar A.
abe
O 2bc
B)
ab + ac + be
E) 2a + b
c
D) 3 + b + o
B)4
E) - 2
59. Sea A una matriz cuadrada, tal que; A^ = 101,
determinar: (A - 31)” ’
X
A) abo
ab + c
0)98!
B) 100!
E) 96!
58. Resolver la ecuación matricial:
3 -2
-1 2
X
5 -4
-5 6
B)0
E) 3^8283
A) 1
D) 83a,
1 ,. 1
2 1 .. 1
3 ,. 1
n
f-1 2
[3
4
y c-
3/4 - 5 / 2
0
1/5
Si A y X son matrices que satisfacen las ecuacio­
nes matriciales:
A + C^ =
1 O
O 1
B + AB^ = (X - BC
hallar la suma de los elementos de la matriz X.
A)10
D) 16
B) 12
E)18
C) 14
64. Hallar la suma de los elementos de la diagonal
principal de la matriz x; que satisface la ecuación:
2 5
13
A) 8
D) 12
71. Resolver la ecuación:
2+x
X
X
3+
X
4 -6
2 1
C) 10
0
72. Si la matriz: P = x + y
x -y
B)1
E)4
calcular
C ) - 10
B )2
E) - 2
1
2
b- X
67. Si la matriz: A =
a -b
3
a- X
B) 40
E)38
A) O
calcular Traz(AB).
A) - 2
D)4
C) 1 - t
B) -1
E)3
X
1
x-1
3
OO
n
1
O 1- n
76. Dada la matriz: A„ =
calcular: A^, +
+ A'
es singular, hallar el menor valor de x.
14 7
A)
O 5
B)
14 7
1 5
A) - 1
D) 2
D)
14 3
O 5
E)
13 7
O 4
B) 0
E) 3
1-1
70. Si A = 2 - 3
0 0
calcular: jA)
A) 14
O
x+2
B)7
0
4
1
C )4
1 4
B = -2 3
O 1
1 3
-2 4
A=
69. Si la matriz;
1
A = x-3
1
C) 3
75. Dadas las matrices:
2t
1 + t"
B)1 + t
E) 1 - t'
b
y
X
a -1
0
ys/
y- 3
X
- X 2 -x
B)2
E) 10
D )6
1 -t^
1 + t"
X
y -2
es antisimétrica, calcular: x + y + z + w
C) 34
-2 1 -t'
1 + t" 1 + t"
A)1
D) 1 + t"
0
¿
-5
w
V
X —
68. Calcular el valor de:
lA l =
B)2
E) ' 2
74. Si: A =
es simétrica, hallar Traz(A^).
A ) 30
D)42
es simétrica.
x+y
a
A) 1
D)4
-1
b
4
- 1
a+1 X
y
1
73. Si se cumple que
hallar el valor de la traza de B^
A )1
D) -2 0
3
13
A) Es nula.
B) Es matriz antisimétrica.
C) No es una matriz idempotente.
D) Es la matriz identidad.
E) No es involutiva.
0 2
66. Si A es una matriz definida por
O 1
A=
y B = A + A ' + A ' + ...+ A’^ - A "
1 O
C") —
entonces ¿qué se puede afirmar de
hallar el valor de:T = a + b + c + d + e
A) -1
D)3
X
B)
■^^ 13
65. Si A es una matriz antisimétrica definida por:
a -b
d
c
A=
a
b+1
- 4
e
4
c- 2
= O
X
4+
X
11
13
E) 11
13
A )- l i
B)4
E) 16
X
X
0) 1
3
C)
14 7
O 4
77
,|1 2 1]
1
O 1
D) 28
E) 0
proposiciones.
I. A; B e E"-" ; (A+B)" = A' + 2AB + B^
II. Si;AB = CB= » A= C
til. A G IR'''"; A es involutiva « A^ = I
2 x -y
y -x
C) FFF
B) F W
E) VFV
A) FFV
D) W F
A)1
D)4
B)2
E) -3 5
78. Hallar Traz(A + B). at resolver el sistema matricial;
A + 2B =
3 4
5 1
A - 2B =
1 0
2 1
86. Hallar el valor de:
A) 120
D) 240
C)4
B)3
E)5
A)1
D)2
; dada
1 1
A= O 1
O O
la matriz:
O
1
1
8)4
E)4008
1+ í 1
i
1- i
calcular: |det(AB)|
B)25
E)20
O 10
x V 2 x +2
x^-1
x^+1
x '-2 x + 2 '
81. Dada la matriz A =
B) 2000
E)5
87. Si A es una matriz cuadrada de orden n, tal que
A)1
O 532 048
B)
D)a^ + b^
E)aV
83. Sea la matriz: A
1
1
1
84. Dado A =
A^ +
A) 1
D)-l
0 0
1 0
- b^
A) F FW
D )V F W
89. Si A=
n
-1
O Ja^-b^
x -2
2x+1
3x-2
3x
- O
O) FW F
B) x"|Al
I A|"
O x^-iriAj
lAl
es una matriz definida por:
a b O O ....... O
Oa b O
O
A=
O 780
0 0 0 0
O
; n e IR'", además:
1-n
b OOO
B) a" + ( - i r “" ' . b"
D)2a"
E ) b"
O O
85. Sean las matrices:
-4 -8
2 6 -b
a - 3b a
: B=
; 0=
1 6 -a
2 3
1
a
a b
O a
hallar el valor de det(A).
A) a" + b"
C)a"+b"-'
4 0
, hallar |A|
0 -3
Si A = B, calcular: )3A + 20)
3x
X
B) FFFF
E)VFVF
D) x’' ( - - i r
lAT
91. Si:
A=
E) 1
Determinar la función h.
2 3
2^ 3^ calcular |A1.
2® 3®
B) 2
E) - 2
D)2n
tal que |A| # 0 , además: f(x) = |A -x l|;
90. Si A = (a¡|)
S) 720
E) 120
0 -2
2x -1
2x +1
2x -1
A)
y J^ = - l . Calcular det(M).
A) -/aVb^
B)2
88. Si S es el conjunto solución de la siguiente ecuación:
82. Dada ia matriz M = al + bJ; donde a, b son reales
A) 72
D) 360
O 180
g(x):. IA ' - x l j / 0 y g{x) = h (x ).f(^
calcular ¡Aj, para: x = 2004
A) 2004
D)10
4
9
25
49
Indicar el valor de verdad de las siguientes afirma­
ciones:
f. n{8} = 3
II. S = 0
III. La ecuación posee 3 raíces
IV Sn{1;2;3} = 0
0 1 +2i
1
10
B=
A) 5
D)15
2
3
5
7
B) 160
E)264
0 5
80. Dada las matrices:
A=
8
27
125
343
A-^ = A. A \ Hallar |A|.
79. Hallar la traza de A
A) 3
D )2004
1
1
1
1
O -3 0
abe
d e f = 8, calcular
g h i
R= 6
b a c
a d g
e d f -9 b e h
c f i
h g i
C) -100
B) -2 4
E) -150
A) 24
D ) -120
99. Dada la matriz J =
hallar:
1 2 3
92. Hallar | A - f , si: Adj(A) = 2
1
2 4 3
B) 1/9
E) 1/4
A) 1/27
D) 1/243
A)
O
C) 1/81
0
C)
93. Calcular el valor de:
-, si:
B)1/4
01/3
1 2 3
x y z = 0
4 5 6
D)1/5
E) 1/6
94. Si Aes deorden 3x3, |A|= 2, calcular E = |A|A^|A’^|
A) 32
D) 256
B)36
E) 264
0 216
95. SI B es una matriz definida por:
1 sec^x
tan^x
4 4cos^x
-4sen^x
5 Ssen^x
-Scos^x
.6
6
0
a
b
0
0
b
a
0
0
4 n -1
0
lOO.Suponga que A y B son matrices de orden n. Deter­
minar el valor de verdad de:
I. A^ - B '= (A + B )(A -B )
II. Si A^ = (A+ B )(A - B), entonces A y B con­
mutan.
III. Si: A y B conmutan, entonces:
A ^ - B " =( A + B ) { A- B ) .
O FW
II. Toda la matriz idempotente es una matriz perió­
dica.
1 1
I. La matriz A =
es periódica-1 O
A) V W
D)FFF
C) a' - b"
3a^
a^ + 2a
2a+ 1
3
3a
2a+ 1
a+2
3
B) a^(a- 1)'
E) (a-1)«
Hallar el valor de:
1 1 1 ...
1 2 1 ...
1 1 3 ...
1 1 1 ...
1 1 1 ...
B) 97!
E) 102!
B) VFF
E) VFV
OFVF
102.Dadas las matrices:
1 O
1 1
:D=
1 1
O 1
1
1
1
1
hallar el valor del det(A).
A) 92!
D) 99!
B) VVF
E) VFV
I. La matriz Identidad es una matriz periódica.
97. Si A es una matriz definida por;
A) 2a' (a-1)^
D)a(a-1f
O
B) (senxcosx)^
D) sen^x + tan^x
B) (a+b)^
E)0
a^
a^
A=
a
1
O
101.Indicar el valor de verdad de cada una de las si­
guientes proposiciones:
b
0
: hallar el valor de |A|.
0
a
A) (a-b)=
D)(a
-a "'
O
O
96. Si Aes una matriz definida por:
a
0
A—
—
r\
0
b
D)
4n* 1
O
— a
A) FFV
D) W V
hallare! valor de |B|.
A) senxcosx
C) sec^xtan^x
E)0
B)
1
0
A) 1/2
O -a
si n e 1L\
a
O
se puede afirmar que C“.D® es igual a
A)
1 8
9 7
71 8
9 7
D)
73 9
8 1
1 9
8 73
O a'*(a
C)
72 8
9 1
103.Considerar la matriz;
A=
1
1
1
1
1
1
97 1
1 98
C) 98!
2 -2
; n g IN. calcular:
1 -1
A " + ( A Y + A " ' ’ + (A ^ )"
' +
4n - n
- n -2 n
4n n
O O
4n O
4n O
1 4n
O -4 n
+ A + (A ^ )
C)
n n
1 n
105.lndicar el valor de verdad de cada una de las si­
guientes proposiciones:
I. A y B del mismo orden n; conmutan ® A + Kl y
B + Kl conmutan.
II. Si A es una matriz nílpotente de Indice 2, enton­
ces: A{l + A)^° = A.
III. Si A es involuntiva, entonces 1/2(1 + A) y
1/2(1 - A ) son idempotentes.
A) VFV
D)FVF
1 0 6 . Dada
B)VVV
E)FFV
OFFF
108.Sea la matriz A = {a,j)2>3, definida de la siguiente
forma;
Determinar la traza de matriz AA^.
A) 15
B)18
048
0; i = j
1 ; i< j
2 ; i> ]
A = (ai,)2.3 / a„ =
B = (b„)3.2/b„ =
0
1
hallar la suma de los elementos de A^
8 ) 6“
E)6^
A) 6
D) 9
lIO.Sea N
I. Si A = (3 )2, 2. 'al que a,, =
8
5
2b
20
III. Si 8 =
D)
B) V W
E)FFV
Q
D
A
A
D
E
C
E
B
D
5
B
C
B
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
B
A
A
C
E
A
C
A
E
B
D
B
C
A
E
A
C
D
C
E
A
D
D
A
C
D
D
B
a+6
b+9
2a a + b + 15
4b
7a
es triangular inferior.
A)1
D)6
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
-1 2
4 -3
3 -1
1 1
1 O
O 1
a+ b
a- b
2a - b
O FW
29.
30.
31,
32.
33.
34.
35.
36.
37,
38.
39.
40,
41.
42.
C)
111. Calcular a - b, si la matriz:
antisimétrica, entonces el valor de a = O
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11,
12.
13.
14.
2 4
-1 O
4
a -3
3 a -1 es una matriz
-4
1 a
A) FVF
D) VFF
0 8
-1 1
2 -2
A)
7
a + 3c , es una matriz
3c
simétrica, entonces la traza de la matrizAes 16.
B)7
E) 10
determinar R, tal que N + 1 = R, e indicar R -1- N.
[O, i > j
entonces la suma de todos los elementos de la
matriz A^ + 1 es 6.
a + 2b
2b + 3c
;i = j
;i9^j
hallar la suma de elementos de la matriz A^ + B.
0 6'
lOT.Indicar el valor de verdad de las siguientes propo­
siciones:
ti. SiA
E) 68
D)62
109.Sean A y B dos matrices definidas por;
O 1 O
la matriz A = 0 0 2
3 0 0
A) 6"
D) 6'^
i- j; i >]
ij ; i - j
i+j; i < j
a -
D
B
C
E
A
B
D
B
D
B
A
D
C
E
57,
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
A
A
C
B
E
B
D
C
A
E
E
A
C
E
8 )0
E)9
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
A
D
B
C
A
D
A
E
A
A
E
A
B
E
0 3
85,
86.
87.
88.
89.
90.
91.
9293.
94.
95.
96.
97.
98.
E
D
A
A
D
B
D
8
A
D
E
0
E
B
‘
‘
i
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i
!
:
i
99.
1(».
101.
102.
103.
104.
105.
106:
107.
ice .
m .
110.
111.
A
C
A
A
0
C
c'
E
0
c
c
c
Teoría
de
ecuaciones
o
D
a
o
o
Abu Abdallah Muhammad ibn
Musa al-JwarizmT (Abu Ya fiar),
conocido generalm ente com o
Al-Juarismi, fue un matemático,
astrónom o y geógrafo persa m u­
sulmán, que vivió aproximada­
m ente entre los años 780 y 850.
Estudió y trabajó en Bagdad en la
primera mitad del siglo IX, en la
corte del califa AI-Mamun, Para
m uchos fue el más grande de los
matem áticos de su época.
Debemos a su nom bre y al de su
obra principal, nuestras palabras
«álgebra», «guarismo» y «algorit­
mo». De hecho, es considerado
com o el padre del álgebra y com o
el introductor de nuestro siste­
m a de num eración denom inado
arábigo. En su tratado de álgebra
Hisab
al-yabr
wa'I
muqabala
(Compendio de cálculo por compleción y com paración), obra em inentem ente didáctica, se pretende enseñar un álgebra aplicada
a la resolución de problemas de la vida cotidiana del imperio islámico de entonces. La traducción
de Rosen de las palabras de Al-Juarizmi describiendo los fines de su libro dan cuenta de lo que el
sabio pretendía enseñar: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o cuadráticas y
están com puestas de unidades, raíces y cuadrados.
Fuente; Wibipedia
^ IGUALDAD
Ecuaciones equivalentes
Es aquella relación que existe entre dos cantidades y
que nos indica que tienen ei mismo valor.
Dos ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos solu­
ciones poseen los mismos elementos.
^ CUSIFICACIÓN
^TEOREMAS PARA TRANSFORMAR ECUACIO­
NES EN EQUIVALENTES
Igualdades absolutas o identidades
I.
Es aquella que se verifican para cualquier sistema de
valores atribuido a sus variables. También denomina­
das identidades.
Sea: A = B (Ecuación original y m un número o
expresión algebraica).
Por ejemplo; (x + y)(x - y) = x^ - y^
En esta igualdad el lector puede dar valores voluntarios
a las incógnitas y podrá comprobar que siempre se va
a verificar.
Igualdades relativas o ecuaciones
Se llama ecuación algebraica a la igualdad relativa de
dos expresiones algebraicas, las cuales adquieren et
mismo valor, para los mismos valores de sus tetras de­
nominadas Incógnitas.
Por ejemplo:
3x + 1
4x + 2
Primer miembro Segundo miembro
Donde si: x = -1
3 {-1 ) + 1 = 4 ( - 1 ) + 2 => - 2 = -2(cumple)
Luego x = -1 es la solución de ta ecuación.
^CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
(CS)
Es el conjunto formado por todas las soluciones de una
cierta ecuación.
Por ejemplo: para la ecuación - 7x + 6 = O
X, = 1 ; Xj = 2 ; Xj = - 3
Luego el conjunto solución es: CS = {1; 2; - 3 }
<4 CLASES DE ECUACIONES
Si en ambos miembros de una ecuación, se suma
o resta una misma expresión, ta ecuación asi obte­
nida es equivalente a la primera.
= » A ± m = B ± m (Ecuación equivalente).
II.
Si en ambos miembros de una ecuación, se mul­
tiplican o dividen entre una misma constante dife­
rente de cero; la ecuación asi obtenida es equiva­
lente a ia primera.
Si el factor por et cual se multiplican ambos miem­
bros de una ecuación contienen a la incógnita, es
posible que se introduzcan soluciones extrañas a
dictia ecuación; para esto, los factores deben con­
siderarse diferente de cero.
Si el divisor por el cual se dividen ambos miembros de
una ecuación contiene a ia incógnita, es posible que
se estén eliminando soluciones de dicha ecuación;
para esto cada uno de ellos se debe igualar a cero.
Ejemplos:
1. Resolver: ü i + i ± | = - l
x + 5 x -1
3
Re&oluctón:
Multiplicando en forma conveniente por
3(x + 5)(x - 1); donde x -5 ; 1
3(x + 1)(x - 1) + 3(x + 5)(x + 2) = -(x + 5)(x - 1)
7x' + 25x + 22 = O « (7x + 11)(x + 2) = O
7 x^^^1 1
Luego:
Ecuación compatible
7x + 11 = O
Es aquella cuyo conjunto solución tiene por lo menos
un elemento. Esta a su vez puede ser:
x + 2 = 0 ^ x = -2
La ecuación es compatible determinada.
Ecuación compatible determinada: es aquella
en la que se pueden enumerar los elementos del
conjunto solución.
Por ejemplo:
x' - 7x + 6 = O
Ecuación compatible indeterminada: es aquetta
en la que no se pueden enumerar los elementos:
4x
Por ejemplo: x + 1 x - 1
x -1
x+1
-1
Ecuación incom patible
Denominada también absurda o inconsistente; es
aquella cuyo conjunto solución no presenta ningún ele­
mento.
Por ejemplo: (x - 1)^ + 4x = (x + 4)(x - 2)
x^ + 2x + 1 = x^ + 2x - 8 =» 1 = - 8 (absurdo)
2. Resolver:
V
2x^ - 3x - 2 = x^ - 4
Resolución;
Descomponiendo en factores ambos miembros:
(2x + 1 ) ( x - 2 ) = ( x + 2 ) ( x - 2 )
Dividiendo convenientemente entre (x - 2):
(2x+1)(x-2)
(x+2)(x-2)
(x-2)
(X-2)
2x + 1 = x + 2
x= 1
Como la otra solución se canceló por haber di­
vidido la ecuación entre (x - 2). se hará:
x - 2 = 0 ==x = 2
.•. Las soluciones serán; 1 v 2
Si los miembros de una ecuación se elevan a un
mismo exponente es posible que se introduzcan
soluciones extrañas a dicha ecuación; para esto
las soluciones encontradas deben comprobarse
en la ecuación original y tomar como soluciones
correctas a aquellas que se verifiquen.
Ejemplo:
1. Resolver: x + -/x + 5 = 7
Transponiendo x al segundo miembro:
Vx + 5 = 7 - X
Elevando ai cuadrado miembro a miembro:
( / x T 5 f = (7 - x f
X + 5 = 49 + x^ - 14x := O = x^ - 15x + 44
^ ( X - 11){x - 4 ) = 0
=
11
a
x =
4
Para saber cual es la solución que se ha intro­
ducido al elevar al cuadrado, se verifican los
valores encontrados en la ecuación original.
Para
x = 11:
11 + V il + 5 = 7
15 7 (no cumple)
X = 4:
4 + ^ T 5 =7
7 = 7 (cumple)
La única solución es: x = 4
IV. Si a los miembros de una ecuación se les extrae
una misma raíz, es posible que se estén elimi­
nando soluciones de dicha ecuación, para esto se
debe recurrir a otros criterios.
Ejemplo:
1, Resolver: (3x + 7)^ = (2x - 5)^
Resolución:
Sacando raíz cuadrada a ambos miembros:
3x + 7 = 2 x - 5 = > x = -1 2
La otra solución se halla por el siguiente criterio:
a= b
a' = b'
a = -b
Luego:
3x + 7 = -(2 x - 5) = -2 x
2x + 2
9x^-4
x -2
9 x ^ -h 1 2 x
- 2
x
9x^-4
Forma general: ax + b = O
Resolución:
ax = - b
Siendo:
a# O
- 2
Si eliminamos (x - 2); hacemos:
x -2 = 0 ^x=2
Pero: 9x^ - 4
O => x # 2/3
Luego: 9x^ + 12x + 4 = 9x^ - 4
- 8 = 12x ^ X = -2/3
Conjunto solución: 2
2, Resolver (12 346)^ - (24 961)f ^ 3 ^
(12344)^-(24689)^
Análisis de la ecuación: ax -h b = O
1.
2.
3.
4.
Si: a O A b O => ax + b = O
La ecuación es compatible determinada.
Si' a # 0 A b = 0 =»ax 4-0 = 0
La ecuación es compatible.
Si: a = O a b = O = Ox + O = O
La ecuación es compatible indeterminada.
Si: a = 0 A b ^ O
=>0x±b = 0
La ecuación es incompatible o absurda.
3x - 2
Resolución:
Desdoblando las diferencias de cuadrados;
(37 037)(- 12 345) ^ 3x + 2
(37033)(- 12345) 3x - 2
Por la propiedad de proporciones.
a- b c- d
b d
b
d
37 037 - 37 033 (3x -i- 2) - (3x - 2)
3x-2
37 033
4
37 033
4
3x-2
1
37 033
1
3x - 2
Efectuando: 3x - 2 = 37 033
x = 12 345
Hallar x en las siguientes ecuaciones:
7xJ6 - 5/3 = 3x/5 - 1/4
X
1 2x + 7 2x-f-1 + 3
2 6"^
3
9
x~1_y_4+x
23- x
4
4
5
( X -I- 1)(2x -1 ) - (2x +1)(x-3) =
3[3(x + 1) -3 1 + 4
x-a
ab
a
x=-b
a
x+4
9x^-4
9x^+12x + 4
2 / 3 x - 5 / x = 7/ 10- 3/ 2x
<4 ECUACIONES DE PRIMER GRADO
+4
Resolución:
Agrupando en un solo término las expresiones que
tengan el mismo denominador;
x
Resolución:
Luego: x
Ejemplos:
1, Resolver:
x-b
a+b
1.
x-c
be
a- b
4ax + 1 - 3 = - ^ + 2
b
Resolución:
Trasladando las incógnitas a un solo miembro y
los datos al otro se tendrá:
7 x _ ^ _ 5_2
6
5 “ 3
3 5 x - 18x
30
4
20-3
12
17x _ 17 „ _ 5 _ 2 5
30 - 1 2 ^ ’^ - 2
Análogo al anterior, incógnitas a un miembro y
los datos al otro:
X , 2x + 7
2x + 1
soluciones habrá que comprobarla en la ecua­
ción original
= 1 + V jrn
. 1
9x + 12x + 4 2 - 4 x - 2
Elevando al cuadrado:
x + 4 = 1 + ( x - 1 ) + 2 / x^
Nuevamente al cuadrado:
4 = x - 1 = x=5
18 + 1
18
17X + 40
3
19
^
17x = 17
X
17x + 4 0 = 57
Comprobando: V5 + 4 - -15 - 1 = 1
3 - 2 = 1 (cumple)
Única solución: x = 5
= 1
Agrupando en un solo miembro a las fracciones
que tienen igual denominador:
^
+ 4 +
4
X
4
4+
X -1
_
_ 23
^
-
Efectuando:
X
5 + a + ■i5a + a^ = 15
35 - 2 3 +
X
2x
+ 3 _ 12 +
4
5
6x
= 33
X
X
V5a + a^ = 10 - a
Elevando al cuadrado miembro a miembro;
5a + a^ = 100 - 20a + a^
25a = 100
a=4
Comprobando:
=> lOx + 15 = 48 + 4x
«=f
=
V5 + 4 + /4 =
= 3 + 2 = 4 r (cumple)
V5 + 4
3
Única solución: a = 4
Efectuando en ambos miembros:
2x^ + 2x - x - 1 - 2x^ + 6x - X + 3 = 9x + 4
- 2 = 3x
= 2 = -/x ^
..x = ^
Resolver:
La ecuación puede escribirse:
3x X 2x 10
4 - 3 0 + 9 7 + 10
6x
10
11 I I
- 1 0 = 6x
6x
10
2x^
x+ 1
X
X
ab
ac
be
X
= -5/3
a+ b- e
X
1 _ / a+ b- a + b
a
l ( a - b ) ( a + b)
a^-b'
2ab
4ax + 1 - 3 x _
b
^
x+1
2x^-2
^
X
X + 2 ^ 3x - 2
X
x
+ 2 + 3x - 2
X
2( x ^ - 1)
x+1
4x
^ 2(x -1 ) = 4
X
= 3
X
Resolver:
a + b + 2b'
X
a"-b
a-b,a +b
a -b
a^+b^
Resolución;
De modo análogo al anterior;
a+b
X
a -b
X
a ' + b^
a' ^-b"
x= 5 b -l
4a- 3
Resolver las ecuaciones irracionales:
Vx + 4 - Jx - 1 = 1
V5 + a + ■fs — 15
Resolución:
Debe tenerse en cuenta que es una ecuación
irracional, entonces una vez encontradas las
2b . - a" X
2b
X
2b + a + b
a-b
a'-b"
(a + b)^
- a ^ - b ^ - 2b^
a^-b^
^ ( a - b ) ( a + b)
a+b- a+b
4ax - 3x + 1 = 5b
=> x(4a - 3) = 5b - 1
•
2x^
x+1
x + 1
6.
X
a -b
a+b
1
1
- = xl
a
la -b
a+b
x+ 1
Agrupando en un solo miembro aquellas fraccio­
nes con igual denominador.
(c - b - a) = -b ^
abe
abe
ac
x + 2
X
Resolución:
Desdoblando cada fracción:
X
1
X
^ b _ X 1
ab b ac ac be b
X
3x - 2
- 2b • + + 2ab +
(a + b)(a - b)
2 a b - 2b
(a + b) (a - b)
2b
2 b (a -b )
xX
(a + b) (a - b)
Despejando; x = a + b
Si: ax^ + 2ax^ - (a + 3)x + 3a - 1 = O
determinar el valor de “a" para que la ecuación ad­
mita como raiz a (-2).
Resolución;
Si ia ecuación admite como raíz a x = -2 , implica
que ai reemplazar en ia ecuación originai, ia verifica:
a(-2)^ + 2a(-2)^ - (a + 3 )(-2 ) + 3a - 1 = O
—8a + 8a + 2a + 6 + 3a —1 = 0
=> 5a + 5 = O
a = -1
Resolver:
x -3
x -2
x -4
x -3
11. Hallar el valor de X en: Vx + 4 + V x -4 = 4
Resolución:
La ecuación puede escribirse:
Vx + 4 = 4 - Vx - 4
X + 4 = 16 - Q - i x - 4 + X - 4
x + 2 _ X+ 3
x+1
X+2
Resolución:
-8=-8-Í)T ^ ^
Escribiendo cada numerador en función de su de­
nominador. Por ejemplo, veamos para ei primero:
(x-4) + 1 _ x - 4 ^
1 = 1+ 1
x-4
x-4
x-4
''x -4
Hagamos este artificio para todas las fracciones y
se tendrá:
De donde; x - 4 = 1 =>x = 5
Comprobando en la ecuación original;
V5 + 4 + V5 - 4 = 4 (cumple)
.-. Única solución; x = 5
x-4
- 1-
x -3
x
X - 3 - X + 4
X + 2 - X - 1
(x-4)(x-3)
(x + 1){x + 2)
- 1-
X
+2
x^ - 7x + 12 = x^ + 3x + 2
^ lOx = 1 0
X= 1
9.
2a^ + 2ax - 3b^ - 3bx = 6a^ - 12b^
(2a - 3b)x = 4a^ - 9D^
(2a - 3b)x = (2a + 3D){2a - 3b)
X = 2a + 3b
Resolver:
3x - 1
9x^-1
3x - 1
Resolución:
Transponiendo el primer sumando del primer
miembro al segundo:
2
2
8
9x^-1
3x - 1 3x - 1
’^
3
-9 x - 3 = 1
10. Resolver para x cada caso siguiente:
.
x+a
x -a
x -a
x+a
2(a + x)
b
a(2x + ab)
x^-a^
3(b + x) 6(a^-2b^)
a
’
ab
Resolución:
•
12. Si la edad de Alberto es 3 veces la edad de Julio
y juntos suman 52 años. ¿Cuántos años le llevará
Alberto a Julio dentro de 5 años?
Resolución:
Sea x la edad de Julio, entonces Alberto tendrá 3x
Por dato; x + 3x = 52
= X = 13
Dentro de 5 años Julio tendrá: x + 5 = 18
Alberto tendrá: 3x + 5 = 44
.-. Alberto le llevará a Julio dentro de 5 años;
44 - 18 = 26 años
13. Un número es tal que multiplicado por 2, por 3 y por
5 da tres números cuyo producto es 15 360. ¿Cuál
es el número?
Resolución:
Sea a el número; del enunciado;
(2a)(3a)(5a) = 15 360 ^ a^ = 512 => a = 8
El número es: 8
2
_ -6
(3x+1)(3x-1)
3x-1
3x + 1
= 1
Dando común denominador en el primer miembro:
(X + a)^ - (x - a)^ _ a(2x + ab)
(x + a ) ( x - a )
”
x ^ -a ^
4ax = a(2x + ab); x ± a
=» 4x = 2x + ab ^ X = (ab/2)
14. Si el séxtuplo de la edad que tenía hace 5 años le
resto el doble de la edad que tendré dentro de 15
años, obtengo mi edad. ¿Qué edad tengo?
Resolución:
Sea x mi edad, entonces;
6(x - 5) - 2(x + 15) = X
6x - 30 - 2x - 30 = X => X = 20
Tengo 20 años.
15. Un automovilista estima que si recorre 75 l<m más,
completa la mitad de su viaje, del cual ya ha re­
corrido la tercera parte. Hallar la distancia que ha
recorrido.
Resolución:
D el e n u n c ia d o se p u e d e e s b o z a r el gráfico;
•
Dando común denominador
2a{a + X) - 3b(b + x)
ab
6(a" - 2b^)
ab
Por dato;
o
= 75
Lo recorrido:
X
Como al primero le toca 1700, entonces;
- 450
- 1700
I 2x + 50 i
= 150 km
3900X = 3 4 0 0 x + 5 0 (1 7 0 0 ) ^
16. Una persona tiene S/.120 y otra tan solo S/.50,
después que cada una de ellas gastó la misma
cantidad de dinero, a la primera le queda el triple
de lo que le sobra a la segunda, ¿Cuánto les queda
en conjunto a ambas personas?
x = 170
El jornal del primer obrero es de 170 soles.
20-
Viajando a 100 km/h un piloto llegaría a su destino
a las 19 :00 horas, pero viajando a 150 km/h llega­
ría a las 1 7 ;0 0 horas, ¿A qué velocidad debe ir para
llegar a las 18 :00 horas?
Resolución:
Sea x la cantidad que gastaron:
120 - X = 3(50 - X)
Resolución;
Sea: x horas el tiempo de partida;
Resolviendo: x = 15
Luego la primera queda con: 120 - 15 = 105
V = 100
La segunda queda con: 50 - 15 = 35
.-. Les queda en conjunto: 105 + 35 = 140
17. Una persona compra un grabado y paga por el
marco lo mismo que el grabado. Si el marco costa­
se 25 soles menos y el grabado 18,75 soles más,
el marco costaría la mitad del grabado. ¿Cuál es el
valor del grabado?
Resolución:
Sea x el costo del grabado. Luego el costo del mar­
co también será x
Pero por dato:
x - 2 5 ^ x+1^8,75
2x - 50 = X + 18,7 ^ x = 68,75
El grabado cuesta: 68,75 soles
18. Al preguntar un padre a su hijo qué cantidad habla
gastado de los 350 soles que le dio, este le contes­
ta; "Las tres cuartas de lo que no gasté", ¿Cuánto
ga stó?
Segundo Caso
V = 150
t = 17 - X
Primer caso
t = 19 - X
Como el espacio recorrido es el mismo en ambos
casos puede establecerse que
e = 100(19 - X) = 150 (17 - x)
Resolviendo:
190 - lOx = 255 - 15x = X = 13
Se pide la velocidad para que llegue a las 18 horas
es decir el tiempo empleado sería 18 - 13 == 5
e
v= j
Luego;
100(19-13)
^ 600
,-, V = 120 km/h
21, Considerando; X
Resolver;
O
x^ + 2 x +2 , x^+8x + 20
X+ 1
x^ + 4 x +6 ^ x^ + 6x +12
x+2
X+ 3
x + 4
Resolución:
Formando trinomios cuadrados perfectos en los
numeradores:
(x + 1
)V l
X + 1
, (x + 4 ) ^ +
x+4
(x + 2)^ + 2 , (x + 3)^ + 3
x+2
x+3
4
“
Resolución:
Sea X la cantidad que ha gastado el hijo.
Descomponiendo cada fracción:
No gastó: 350 - x
(x + 1 )'
Del enunciado: x = - | ( 3 5 0 - x )
x+1
,
1
, (x + 4 )^
x+1
^
x+4
(x + 2)^ ,
4x = 1050 - 3x = 7x = 1050 => x = 150
Gastó 150 soles.
19. Se ha repartido 3900 soles entre dos obreros en
partes proporcionales a sus jornales, Al primero le
correspondió S/,1700 y su jornal es 50 soles me­
nos que el del segundo, ¿Cuál es el jornal del pri­
mero?
Resolución;
Sea X el jornal del primero; luego del segundo será
x + 50. Luego la constante de proporcionalidad es­
tará dada por;
3900
2 X + 50
x+2
4
(x + 4)
2
, (X + 3 ) ' ^
X h2
x+3
3
x+3
x + 1+ ^
! ^ + x + 4 + —^ = x + 2 + - ^ + x - r 3 + - ^
x+1
x +4
x+2
x+2
1 2
x+1 x + 2
4
x+4
-X
-x
X + 2 - 2x - 2 _ 3x + 12 - 4x - 12 _
(x+1)(x + 2)
(x + 3)(x + 4)
^
=> x =
3
x+3
^
^
O
Por condición está solución esta descartada, luego:
x' + 3x + 2 = x' + 7x + 12
4x = -1 0
X-
-|
22.
Resolver:
(x + 2 ) ( x - 4 )
7(x+3)(x-5)
{x + 4 ) ( x - 7 )
12(x + 5 ) ( x -
5_
84
^ \ .N a v e
Jugador\^
1."
2."
3."
A
4x
5x - 500
3x + 3000
B
4x - 1000
4x + 4000
3x
Resolución:
Desdoblando el segundo miembro como:
_L = 1 _J_
84
7
Resolución;
12
(x + 2 ) ( x - 4 )
7(x + 3 ) { x - 5 )
(x + 4 ) ( x - 7 )
12(x + 5 ) ( x - 8 )
7
PT(A); puntaje total de A
PT(A) = (4x + 5x - 500 + 3x + 3000)
PT(B): puntaje total de B
PT(B) = (4x - 1000) + 4x + 4000 + 3x)
Por dato; PT(A) - PT(B) = 2000
(12x + 2500) - (11x + 3000) = 2000
X = 2500
J_
12
Dando común denominador en ambos miembros:
x ^ - 2 x - 8 - x '+ 2 x + 1 5
x ^ -3 x -2 8 -x ^ + 3 x + 4 0
12(x + 5 ) ( x -
7(x + 3 ) ( x - 5 )
- 2x - 15 = x' - 3x
40
X
= - 25
PT(A) = (12x + 2500) = 32 500 son mayores
PT(B) = (11x + 3000) = 30 500 que 30 000
23. Sean: A = Vx + 4; B = Vx - 1
si al restar B de A se obtiene 1, hallar el valor de A;
Siguen jugando ambos
Resolución:
<4 SISTEMAS DE ECUACIONES
A - B= 1
Vx + 4 - Vx - 1 = 1
Elevando al cuadrado ambos miembros;
(VxT4f-{1
X + 4 = 1 + 2Vx - 1 +
4 = 2 /)^
X
Se llaman también ecuaciones simultáneas.
- 1
=> 2 =
4 = X- 1
X = 5 (comprobando, verifica en ia ecuación original)
A = VxT 4 = V5+T = 3
24. Hace 3 años, yo tenía el doble de tu edad en ese
entonces. Dentro de 17 años yo tendré 5 veces la
edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu
tendrás dentro de 7 años. ¿Que edad tengo?
Resolución:
Pasado
Presente
Futuro
A
2x
2x + 3
2x + 2 0
B
X
X
+ 3
2x + 20 = 5(z)
X
Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones para
dos o más incógnitas, las cuales se verifican simultá­
neamente para los mismos valores de las incógnitas.
+ 20
x V + xy = 6
Por Ejemplo:
x+ y= 3
(I) y (II) forman un sistema de ecuaciones.
Conjunto solución de un sistema
Se llama solución particular o simplemente solución de
un sistema a los correspondientes valores de las incóg­
nitas que lo verifican, al conjunto de todas estas solu­
ciones se les denomina conjunto solución del sistema
(y es único).
Se tiene de (I):
(xy)^ + xy - 6 = O
(xy + 3)(xy - 2) = O
Donde: xy = - 3 v xy = 2
xy = - 3 ; X +y = 3; t^ - 3t+ 2 = O
...(1)
V - 3±V2Í
2
Dentro de 7 años B tendrá x + 10:
2x + 3 - ( X + 10) = X - 7
x: es el tiempo entre presente y el pasado:
z = X + 3 - (x - 7) = 10
En(1): 2x + 20 = 5x1 0
x = 15
3-V21
^
xy = 2;
X
+ y=3
A tendrá: 2x + 3 = 33 años
25. Dos alumnos A y B en el intermedio de clase van al
pinball a jugar en la máquina Defender que les pro­
porciona 3 naves a cada uno. Si los puntajes obteni­
dos por cada nave, antes de que la derriben, apare­
ce en la tabla y además sabiendo que cada 30 000
puntos la máquina les proporciona otra nave. Deter­
minar si seguirán jugando con una cuarta nave. Si A
posee en total 2000 puntos más que B.
...(I)
...(II)
3 + V^
2
3-/2Ì
: y? = 3 + V2Ì
f - 3t + 2 = O
t == +2 => t = 1
Xa = 2 ^ y3 = 1
X, = 1 ^ y, = 2
CS = í ( 3 + - / ^ . 3 - V ? ^ \. /3 - V ^ . 3 + V ^ \ ; ( 2 ; 1) ( 1 ;2 )
Clases de sistemas
1.
S is te m a c o m p a tib le : e s a q u e l q u e al m e n o s a d m ite
u n a s o lu ció n . A su v e z p u e d e ser;
•
Sistema compatible determinado: si el n ú ­
m e ro d e s o lu c io n e s s e p u e d e en u m e ra r, esto
ocurre cuando el número de ecuaciones inde­
pendientes dei sistema es igual al número de
incógnitas.
De (I):
Vi =
- b,
Por ejemplo: x V + xy = 6
X+ y = 3
número de soluciones no se puede enumerar
esto ocurre cuando el número de ecuaciones
independientes del sistema es menor que el nú­
mero de incógnitas.
2.
3.
Análisis del sistema lineal. El sistema está formado
por (I) y (II). Puede ser:
1.
x + 2y + z = 5
X -h 4y -H 3z = 11
Compatibie determinado
Si;
V
02
b,
As/0
Gráficamente; ^
—— ¥=- r ^
D2
^2 ^2
Las rectas y, e y¿ tienen pendientes diferentes:
Sistema incompatible: denominado también sis­
tema absurdo o inconsistente, es aquel que no
admite alguna solución, esto ocurre cuando el nú­
mero de ecuaciones independientes del sistema es
mayor que el número de incógnitas.
Por ejemplo:
b3
Donde; (x^; y^) es la solución del sistema.
Sistema compatibie indeterminado: si el
Por ejemplo:
-
x + 5y = 7
2x + lOy = 14
Sistemas equivalentes: dos sistemas son equiva­
lentes si tienen las mismas soluciones particulares,
es decir el mismo conjunto solución.
2.
<4 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES O DE
PRIMER GRADO
Sistema lineal de dos incógnitas
Ejemplo:
a,x + ajX = 83
b,x + bjy = bj
Compatible indeterminado
S i : ^
=
J¿
=
^
V
A x=A y = As = 0
Gráficamente;
Las dos rectas y, e yj coinciden
...(I)
...(II)
Resolución:
1.
Método de reducción o eliminación
b^(l) : a^bjx + 3;bjy = a,b2 \
32(11): b.asX+ bja^y = bjBj J
(-)
Si:
(a,b2 - b.aj) x = ajb^ - b3a¿
aj bj - b ^ a ^
3i \^2 —
Análogamente: y =
2.
bj
=
bj
bj
V
As = 0, Ax?^0, Ay?:0
Gráficamente;
3b
'
a^b2
3i 3o
De; ^ = i l i .
b,
b,a3
Bjbi
—3
b l. rtg. £2
b, '
£3 _ £3 , ^
b, ^ b,
a, ^ b.
Método de Cramer
83 32
a, a,
bl b^
x—
a, a
b, b3
83 a,
b, b
As
b-, b-
Método gráfico
Sistema lineal de tres Incógnitas
a,x + a2y + a^z - a^
b,x + b¿y + b3Z = b4
c,x + CiV + C3Z = C4
...(I)
...(II)
...(III)
Resolución;
Por Cramer:
x = ^ ;
As
y = ^ ;
AS
AZ
As
83
82 83
As = bi b2 b3 ; Ax = ^4 1^2 1^3
C4 C2 C3
C, C2 C3
a, a¿
84 83
a^ 82 84
bí
b3 ; AZ = b,
Ct Cj C4
Ci C4 C3
a,
A y - b,
3.
Resolver el sistema y dar como respuesta xy.
h
+ y + 5 - 72^x + 20y = O
3 ^ f x - 1 = /ÍO + /6
Resolución:
Transformando el radical doble:
ix + y + 5 - 2V5(x + y) = O
Análisis del sistema lineal de tres incógnitas. El sis­
tema formado por (I), (II), (III) puede ser:
1. Compatible determinado: Si: As?^0
2. Compatible indeterminado: Si:
AX
3.
=
Ay
=
Az
=
As
ax
?=O, A y
producto
/T0 + /6
O, A z * O
2
Ejemplos:
1.
...(1)
Transformando la segunda ecuación:
= o
Incompatible; Si: A s = O a
suma
Aplicando la regla práctica:
Vx + y - •Í5 - O ^ X + y - 5
x+
i
suma
Dado ei sistema: 5xy=12(x-fy)
5yz = 18(y z)
13xz = 36(x -f z)
Hallar: x + y + z
VTÓ- v6
producto
A radicales simples: M +
^
^
Resolución:
Las ecuaciones propuestas pueden escribirse:
Despejando la incógnita
1+1 =A =
Luego en (1) :
y^
X
1
1__5__^
z^y
12
18
..,(1)
36
1 + 1 = 11
z
X
(1)
...(3)
36
+ (2 )+ (3 ):
2 (l + l
X
36
(4)
(1)en(4): z = 9
(2) en (4): x = 4
(3) en (4): y = 6
1
=
1/2
2
2
xy = 4
Para que sea incompatible deberá cumplirse lo si­
guiente;
2m
5m - 9
,„(l)
m
3m - 2 ^ 2m + 1
Efectuando: 3m^ + 7m - 6 = 2m^ + 8m
m^ - m - 6 = O
(m - 3)(m + 2) =» m = 3 a m = -2
Se pide: X + y -t 2 = 4 + 6 + 9 = 19
Calcular el valor de x del siguiente sistema:
ay + bx = c;
ex + az = b;
bz + cy = a
Resolución;
Las ecuaciones pueden escribirse como:
bx + ay + Oz = c
ex + Oy + az = b
Ox + cy -I- bz = a
Por Cramer:
c a 0c
b 0 ab
a c ba
b a 0b
c 0 ac
0 c b0
x = 4; y =
2
Resolución:
+ l) = f
19
X
Calcular el valor de m para que el sistema sea in­
compatible.
(m + 3)x + 2my = 5m - 9
(m + 4)x + (3m - 2)y = 2m + 1
...(2)
36
x - 1
•
Si m = 3: en (I): y = y
y (no puede ser)
•
Sim = -2: e n ( l ) : l - l / ^
m =-2
Resolver:
6x - 5y = -9
4x + 3y = 13
Dar como respuesta el valor de x.
Resoiución:
a
0
c
a
0
c
e +b - a
2bc
Multiplicando por tres a la primera ecuación y por
c in c o a la s e g u n d a :
a - ac -ab
- abe - abe
a ( c ^ b^ a^)
-2abc
Sumando
18x - 15y = -27
2ÜX + 15y = 65
38x + 0 - 38 . - . x - 1
Hallar el valor de x si:
3 + 2(x + 4) = 5(y + 1) - 4
5(x + 1) - 2y = 4(y + 1)
( 1) + (2): 2a = -1 ^ a = -1/2
(1) - (3): 2b = - 4 == b = - 2
Resolución:
Reduciendo cada ecuación:
2x - 5y = -10
5x - 6y = -1
-.(2)
En (2): - 1 - ( - 2 ) + 0 - 2
La ecuación (1) por 6 y la ecuación (2) por 5:
12x -' 30y = -6 0
25x -' 30y = - 5
- 13x = -5 5
10. Resolver el sistema;
mx + ny = fn^ + n^
my + nx = m^ - n^
Si y = a + b/x, con a y b constantes, determinar
valor de m en:
X
-1
-4
-2
y
2
5
m
Resolución:
Reemplazando valores de acuerdo al cuadro, se
tendrá:
Para x = -1 ; y = 2, entonces.
2 = a -b
...(1)
Para x = - 4; y = 5, luego:
20 = 4a - b
Finalmente para x = -2 ; y = m
m= 6+ 4
-2
.(2 )
m=4
Dado el sistema: 3x + 2y = a + 2
2x - 3y = 2a - 1
determinar el valor de "a" para que x valga el doble
de y.
Resolución:
Por dato: x = 2y
• 3(2y) +2y = a + 2 ^ 8y = a + 2
2{2y) - 3y = 2a - 1
- y = 28-1
.„(2)
Pero(1) = (2): ^ 4 ^ = 2a - 1
O
a + 2 = 16a - 8
9.
Resolución:
Multiplicando a la primera ecuación por n y por m a
la segunda:
mnx + n^y = n{m^ + n^)
...(1)
m^y + mnx = m(m^ - n^)
...(2)
Restando (1) - (2):
(n^ - m^)y = m^n + n' - mn^
(n + m)(n - m)y = (n - m)(n^ + nm + m^)
^
^
m^ + mn + n^
m+ n
En (1): mnx + n = ( in ! ± J H 2 ^ j = n K + n^)
Restando las relaciones (2) - (1)
18 = 3a ^ a = 6; a b = 4
•
- 2 + ^ = -2
/ \
( )
x = 55/13
8.
Se pide: a + b + c =
c- 1
.-. a = 2/3
Si P(x) = {a + b - c + 3)x^ + (a - b + c - 2)x +
(a - b - c - 1)
es un polinomio idénticamente nulo, calcular:
a+ b+ c
^ x = - ^
m+n
.-.x + y = 2m^+mn + n^
^
m+ n
11. Una gallina le dice a otra: “Si yo tripíicase mi pro­
ducción diaria y tú la duplicaras, pondríamos 151
huevos, pero si hiciéramos al revés solo pondría­
mos 139 huevos”. ¿Cuántos huevos semanales
recoge el dueño de estas dos gallinas?
Resolución:
Sean x e y la producción de la primera y la segunda
gallina, respectivamente:
3x + 2y = 151
2x + 3 y = 1 3 9
...(1)
...(2)
La ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por 2;
9x + 6y = 453 ( - )
4x + 6y = 278
5x
=175
^ X = 35
En (1): 3<35) + 2y = 151 ^ y = 23
Se pide: 7(23 + 35) = 406 huevos
12. A! dividir un terreno en dos partes, resulta que los
2/5 de la primera parte miden igual que los 3/7 de
la segunda. Si el terreno mide 11 600 m', ¿Cuánto
mide la parte mayor?
Resolución:
Resolución:
Supongamos que ei terreno se ha dividido en dos
áreas que son x e y, respectivamente.
Por ser idénticamente nulo:
a í b - c = -3
...(1)
a -b + c = 2
...(2)
a- b- c= 1
...(3)
Del enunciado: |^x = ^ y
O
f
=» y =
10
...(1)
Además: x + y = 11 600
(1)en(2): x +
IO
De donde: b = 8; en (1): a = 60
Se pide: a + b = 68
(2)
= 11 600
29x = 11 600 - X = 6000
15
En (1): y = 5600
La mayor parte mide: 6000
13. En un teatro las entradas valen S/.65 y S/.25. Si al
vender un total de 740 entradas se obtiene 38 500
soles, ¿cuántas entradas de S/.65 se vendió?
Resolución:
Sean: x: n.° de entradas vendidas de S/.65
y: n.'’ de entradas vendidas de S/.25
Del enunciado;
x + y = 740
65x + 25y = 38 500
13x + 5y = 7700
...(1)
...(2)
Resolviendo (1) y (2): x = 500
.-. Se vendieron 500 entradas de S/.65
14. La razón del número de varones ai de niñas, en un
grupo era de 3 a 5. Después se fueron 24 niñas y
llegaron 24 varones, con lo que la nueva razón de
varones a niñas es de 5 a 3. ¿Cuántos varones
habia en el grupo?
Resolución:
Sea: V: n.° de varones y N: n.° de niñas.
Del enunciado.
N=fv
•(1)
16. Dividir 46 en dos sumandos tales que dividiendo el
primero por 7 y el segundo por 3, la suma de ios
cocientes sea 10. Dar como respuesta la diferencia
de los mismos.
Resolución:
Sean a y b los sumandos:
De donde:
a + b = 46
•
y f - ^ = 10 = 3a + 7b = 210
•( 2 )
/
ó
De(1)y{2): b = 18;a = 28
.-. Se pide: a - b = 10
17. Un estudiante se compromete a presentar a su pa­
dre la resolución de ocho problemas diarios. El pa­
dre da al hijo S/.9 por cada problema bien resuelto
y el hijo abona a su padre S/.6 por cada problema
que deje de presentar o este mal resuelto, Al cabo
de 20 días el hijo ganó S/.540. ¿Cuántos proble­
mas resolvió bien el estudiante?
Resolución:
Asumiendo que no se equivocó en ningún proble­
ma entonces debería haber cobrado;
(8){9)(20) = 1440
Pero recibe: 540
Devolvió al padre; 1440 - 540 = 900
Por cada problema mai resuello pierde 15
Se equivoco en ; 900 + 15 = 60
Recibió en total 160 problemas.
Resolvió bien; 160 - 60 = 100 problemas
18. Si un padre tiene ahora 2 años más que sus dos
hijos juntos y hace 8 años tenia 3 veces la edad del
hijo menor y dos veces la del mayor. ¿Qué edad
tiene ahora el hijo mayor?
Además:
= I ^ 3V + 72 = 5N - 120
3V + 72 = 5 (|V ) - 120 = V = 36
Resolución:
.-. El n.'" de varones es: 36
Sea: x; edad del hijo mayor
y; edad del hijo menor
15. Hallar la suma de dos números tales que dividien­
do el mayor entre el menor su cociente sea 7 y el
resto 4, y que la división del triple del mayor entre
el doble del menor resulte de cociente 11 y resto 4.
Resolución:
Sean a y b los números (a > b)
1.®' caso:
2 .° caso:
-r- “ 7
r=4
b
a = 7b + 4
■ü =
{1)en (2): 3(7b -r 4) = 22b + 4
21b + 12 = 22b + 4
Actualmente
.,(1)
(2)
hace 8 años
P=x+ y+ 2
x + y- 6
H= x
X- 8
Hm = y
y -8
Luego; x + y - 6 = 3(y - 8) = 2(x - 8)
• x + y - 6 = 3(y-8} ^ x + y - 6 = 3y- 24
x - 2 y = -18
...(1)
•
^ r= 4
2b
3a = 22b I 4
d)
3{y - 8) = 2{x - 8)
2x - 3y = - 8
^ 3 y - 2 4
.. .(2)
= 2 x - 1 6
Resolviendo (1) en (2): x = 38 a y = 28
El hijo mayor tiene: x = 38 años.
19. Jaime le dice a Hugo: yo tengo el doble de la edad
que tu tenias, cuando yo tenía la edad que tu tie­
nes. si la suma de nuestras edades actuales es 42
años, ¿qué edad tendré cuando tengas la edad
que yo tengo?
Resolución:
Haciendo un cuadro de edades:
Pasado
Presente
Jaime
y
2x
Hugo
X
y
De donde:
(2 )en (1 ):
=
2x + y = 42
y - X = 2x - y
2y = 3x
2x + ^
- 42 ^
En (2):
ay + y + X + 2 = a + 3
a+3
En (3):
az + X + y + z = -2 a - 4
az = -2 a - 4
22-
...(1)
Resolver:
x+ y+z = 0
ax + by + cz = O
box + cay + abz = 1
( 1)
...(2)
...{3)
Resolución:
.(2 )
Utilizando el criterio de reducción o eliminación:
(1)c;
^
xc + ye + zc = O \
ax + by + cz = O*
(a - c)x +(b - c)y = O
( 2 ):
X = 12
En (2): y = 18; luego la diferencia de edades es:
2x - y = 6
Cuando Hugo tenga 24 años Jaime tendrá 30.
20, Un automóvil sube una cuesta a 60 km/h y la baja a
90 km/h, el liano va a 80 km/h. Para recorrer 230 km
de A hasta B, emplearía 3 horas, y en el regreso
10 min más. Calcular el camino llano que hay entre
“A " y '‘B'’.
(1)ab:
(3);
(I)b:
(II):
Graficando el recorrido:
' ^
...(I)
abx + aby + abz = O
bcx + cay + abz
b(a - c)x + a(b - c)y = - 1
.,,(11)
b(a - c)x + b(b - e)y = O
b(a - c)x + a(b - c)y : - i )
(b - c)(b - a)y = 1
1
Luego: y =
(b-a)(b-c)
Resolución:
Análogamente;
1
1
(a-b)(b-c)’
(c-a)(e-b)
23. Resolver:
Del enunciado:
=. z =
x + y + z = 230
...{1)
X + y+ z = 1
ax + by + cz = d
a^x + b^y + c^2 = d^
Resolución:
,..(2)
80
X
90
80
60
= 3
—
60
(3)
'
Utilizando la resolución de Cramer:
AS -
Resolviendo (1 ), (2) y (3): y = 80 km
1
21.
Dado el sistema:
(a + 1)x + y + z= a + 1
X + (a + 1)y + z= a + 3
X + y + (a + 1)2 = -2 a - 4
AS =
...(1)
..,(2)
...(3)
1
1
1
1
a- a
a ^- a ^
b - a
c- a
e^-a‘
1
O b- a
O b ^- a ^
1
c- a
c^-a‘
1
1 I
b c ' = (d - b)(b - c)(c - d)
b^ c^
Resolución:
AX =
Sumando las tres expresiones:
x(a I 3) -t- y(a + 3) + z(a + 3) =• O
(a + 3)(x + y + 2) = O
AX
Por condición: a -3 , lo que implica que:
x+ y + z =O
Luego-y =
Lueyu.y
(t,_a)(b-c)
(1):
b- a
b^-a^
c - a
AS =(b - a)(c - a)(c + a) - (c - a)(b - a)(b + a)
AS = (a - b)(b - c)(c - a)
Resolverlo si: a ^ ~3
En
b^ - a^
AS
(d - b)<b - c ) ( c - d)
(a - b)(c - a)(b - c)
(d - b)(d-c)
(a-b)(a-e)
a
(d-a)(d-b)
(c-a)(c-b)
ax + x -r y +z = a + 1
ax = a + 1 = X =
24, Un canal se puede hacer en 6 horas por 3 traba*
jadores, si el primero inicia su trabajo cuando los
Para el problema:
e, = 60t,; 62 = Stji 83 =
otros dos han trabajado, entonces se necesita 4
horas y media más para la obra, si el segundo tra­
bajador llega 3 horas más tarde que ios otros dos,
se necesita 4 horas más para la obra. ¿Cuántas
horas necesita el trabajador más ocioso para aca­
bar el canal sin la ayuda de los otros dos?
Del dato:
BOt, + 5(t2 + tj) = 90
Simplificando: 12t, + tj + t, =
También:
Resolución;
Trabajando solo en 1 hora
1 obrero
2 obreros
3 obreros
...(1)
...(2)
...(3)
(1) = (2): 1 2 t , + t , + t , - t , + t 3 + 12Í3 == t , - t ^
1/x
1/y
1/z
En (1): 12t, + ^ t , + t, = 18 =* t, = 1,3 horas
tj = 1,1 horas; t, = 1,3 horas
Luego: t = 1,1 + 1,3 + 1,3 = 3,7 horas
tp = ta + - 2,4 horas
...(1)
26. Resolver:
7 ¡1 + 1 W 4 Í J - U 1
18
t, + ti + 12tj = 18
60t, = 5t, + Stj + SOtj
11t, = 13t2
-..{3)
(b + c)(y + z) - ax = b - c
(c + a)(2 + x) - by = c - a
(a + b)(x + y) - cz = a - b
Resolución:
De (2):
6(1 + 1
'V z
r/
De (3);
,x
1 ^ 1\
1
7(1 + 1 + 1
\ X
V
zzy/
Desdoblando los factores en
tendrá:
{b + c)y + (b + c)z - ax = b
-b y + (c + a)z + (c + a)x = c
(a + b)y - C2 + {a + b)x = a
y
1^1
y
1
,.,(4)
3 Í l U 1 = 1 = J_
\y
18
Luego, podemos decir que; x + y + z=
En (4):
En (1):
(b + c)(-x) - ax = b - c
-x ta + b + c) = b - c
X= c - b
a+ b+ c
(1) + (2):
cy + (a+ b + c + c)z + ex = b - a
cy + (a+ b + c)z + cz + ex = b - a
c(x + y + z) + (a + b + c)z = b - a
(a + b + c)z = b - a
En(1)
El más ocioso necesitará 36 horas.
25, Dos poblaciones A y B distan 90 km. De A parten
al mismo tiempo en dirección AB. un peatón y un
automóvil con un pasajero, en un cierto punto in­
termedio C se baja el pasajero del auto y sigue ca­
minando hasta B; el auto vuelve desde C en busca
del peatón para llevarlo a B punto al que llegan al
mismo tiempo el peatón que subió al auto y el pa­
sajero que se bajo de el. Hallar el tiempo total que
duró el viaje y ei tiempo que anduvo a pie cada
uno.
= 5 km/h)
Kuto = 60 km/h; v.
Trasladando los datos a un gráfico:
5t.
5t,
— :— >H ^
z=
Como:
N
C
P
Stj
60t,
—60t,
Se pide: t = t, + ti + t3
Se sabe: e = vt
B
Stj
X
a+ b+c
+ y+z= O
b -a \
y= - a + b + c/
/ c- b
la + b + c
-b+a-c+b
a + b+ c
a- o
y = a+ b+c
27.
Resolución:
M
60t,
- c ...(1)
- a ...(2)
- b ...(3)
(1 ) + (2) + (3): (a + b + c)(x+ y + z) = O
y = 18 horas
A
las ecuaciones se
Resolver:
(c + a )y + (a + b)z - {b + c)x = 2a^
(a + b)z 4 (b + c)z - (c + a)y = 2b^
(b + c)x + {c + a)y - (a + b)z = 2c^ e indicar z.
Resolución:
Haciendo: (b + c)x = m; (c + a)y = n; (a + b)z = p.
En las ecuaciones tendremos;
n + p - m = 2a^
...(1)
m + p - n = 2b
(2 )
m + n - p = 2c^
(3)
O
maño. La idea del método es bastante sencilla: ir redu­
ciendo en cada paso ei sistema a otro (equivalente) que
tiene una ecuación menos y una incógnita menos. Este
método es conocido como método de escalerización,
método de eliminación de Gauss o método de elimina­
ción gaussiana. Los dos últimos nombres aluden a que
en cada paso vamos eliminando a una o más incógnitas,
y son un reconocimiento a quien introdujo el método: el
matemático Cari Friederich Gauss (1 7 7 7 -1 8 5 5 ).
La solución directa de sistemas de ecuaciones lineales
conlleva esencialmente dos etapas' transformación del
sistema original a otro sistema equivalente más simple
y luego la solución del nuevo sistema equivalente. La
transformación del sistema original a uno más simple
toma muchas formas, la más importante de ellas es ei
proceso de eliminación gaussiana.
(1) + (2): 2p = 2(a^ + b^)
Reponiendo a y b: 2(a + b)z = 2(a^ + b^)
»
(a + b)z = {a + b)(a^ - ab + b^)
z =
- a b + b^
28. Calcular n para que el sistema:
nx + y = 1
X
+
y
=2
X - y = n, s e a co m p a tib le .
Resolución:
Si el sistema:
ax + by = c
dx + ey = f
gx + hy = j
es compatible, se debe cumplir que:
a b c
d e f =O
g h j
Para el problema:
n
1
1
1
1
-1
Para los procesos de transformación de un sistema de
ecuaciones lineales, debemos tener en cuenta algunos
aspectos a saber:
1
2 = O
Teorem a
n
- 1 + 2 - 1 + 2 n -n = 0
+ 2n - n = O
n(n + 1) = O => n = O =. n = - 1
Comprobando y reemplazando los valores de n:
Si n = 0:
y= 1
A x = 1
Si n = - 1 : x - y = -1 a x + y = 2
X - y no es independiente, el sistema tiene solución.
29. Cuando yo tenga la edad que el tiene, que es lo que
tenías cuando el tenia la edad que yo tengo, el tendrá
la edad que tienes y a ti te faltará 15 años para du­
plicar la edad que yo tengo ¿Cuántos años tengo, si
hace 10 años tenía la mitad de la edad que tienes?
Resolución:
Pasado
Presente
Yo
y
Tú
X
z
10 = é
x - y = z - x =>2x = y + z
z - X = 2y - 15 - 2 => 2z = 2y + x - 15
z = 2y - 20
2x = 3y - 20
E n (II
2 y - X = 25
(1) + 2(2): 4y = 3y - 20 + 50
3 ,2X2
a,iX,
(S)
ainX„
= b,,
a,,x, -i- 3,2X2
+ a.^x,, = b,,
a,,x, + 3,2X2
+ a,nXn = b ,,
amiXi +
+ a „„x „
■b „
y que sumamos a la ecuación j el resultado de multipli­
car ambos miembros de la ecuación i por un número p.
Obtenemos un nuevo sistema;
a „X i
+
a „x ,
+ a,¿X2
3
, 2 X2
+ . . . + a ,„x „ = b ,.
+ ... + a,„x„
= b,,
(S’)
a^iX, + ... + a,„Xn + P (a ,,x , + ., + a.^x^) = pb „
a „ ,x ,
^
•(I)
De (I)
En (II)
Demostración: supongamos que el sistema original sea;
Futuro
2y-15^
El
Si en un sistema lineal de ecuaciones se sustituye una
ecuación por el resultado de sumar a esa misma ecua­
ción un múltiplo de otra, entonces el sistema resultante
es equivalente al original.
...(II)
...(MI)
( 1)
(2 )
.-. y = 30
<4 SISTEMAS UNEALES: EL MÉTODO DE ELI­
MINACIÓN DE GALSS Y GAUSS^ORDAN
En esta sección, presentaremos un método sistemático
para la resolución de sistemas lineales de cualquier ta­
+ a,„,x,
+ ... + a _ x .
= b„.
Para probar que ambos son equivalentes deberemos
ver quecualquier solución de S es solución de S' yvi­
ceversa. Es decir, que sol(S) = sol(S’), donde sol(S) y
sol(S') son los conjuntos de S y S’, respectivamente.
Veamos primero que cualquier solución de 8 es solu­
ción de S’. Sea (u,; Uj;
a„) una solución de (S). Es
claro que (a,; a^, . a^) satisface todas las ecuaciones
de ( S ') pues son las mismas que las de ( S ) salvo, tal
vez, la J-ésima. Como (a,; a{, ■■■'■
debe verificar la
i-ésima yj-ésima ecuación de (S) se tiene que:
a ,,c z ,
+ a ,;a ^
+ ...+
a „ ,( i,,
= b,,
a,,a, + a 2a¿ + ,,.+ a,„a„ = b,.
Multiplicando ambos miembros de la primera igualdad
por p y sumando miembro a miembro, se deduce inme­
diatamente que;
a .,a , + ...+
c u a lq u ie r a . D e h e c h o , p a r a d e t e r m in a r la s s o lu c io n e s
+ ( 3 ( a ,,a ,
d e u n s is t e m a e s s u f ic ie n t e c o n c o n o c e r lo s c o e f ic ie n ­
p o r lo t a n t o , t a m b i é n la j- é s im a e c u a c ió n d e S ' s e s a ­
t is f a c e .
t e s y e l t é r m in o in d e p e n d ie n t e d e l m is m o . N a tu r a lm e n t e
n o a lc a n z a c o n c o n o c e r lo s v a lo r e s d e e s t o s n ú m e r o s ,
L a v e r ific a c ió n d e q u e c u a lq u ie r s o lu c ió n d e S ’ e s t a m ­
s in o q u e e s n e c e s a n o s a b e r e l lu g a r q u e o c u p a n : a q u é
b ié n s o lu c ió n d e S e m p le a e s e n c ia lm e n t e e l m is m o a r ­
e c u a c ió n p e r te n e c e n y a q u é in c ó g n it a m u ltip lic a n . P o r
g u m e n to . Ig u a l q u e a n te s e s c la r o q u e ( a , ;
02;
...; a J
e s t o r e s u lt a c o n v e n ie n t e in t r o d u c ir la n o c ió n d e m a t r iz .
d e b e v e r if ic a r t o d a s la s e c u a c io n e s d e ( S ) s a lv o t a l v e z
L la m a r e m o s m a t n z A d e m f ila s p o r n c o lu m n a s ( o s im ­
la j- é s im a . P o r la j- é s im a e c u a c ió n e n S ' s a b e m o s q u e :
p le m e n te m a tn z m
a,,a, + ...+ a,„a„ + P(a,,a, + ...-I- a,pa„) = b, + pb„
a
x
n ) d e e n tra d a s .
1; 2:
i =
...; m
j =
a
1; 2;
n
en tanto que la i-ésima implica
a , i a i + a , 2t t 2 + . . . +
E n u n c u e r p o K , a u n o r d e n a m ie n t o r e c t a n g u la r d e n ú ­
a^O n
= bj
M u lt ip lic a m o s a m b o s m ie m b r o s d e la
m e ro s .
i - é s i m a p o r p,
a ,,
^ _
y r e s t a m o s d e la e c u a c ió n q u e o c u p a e l lu g a r j, p a r a
a
,2
a,
a^,
a-
c o n c lu ir .
3)1«! + a,2(^2 + •••+ a¡na„ = b|
E s to m u e s tra q u e ( a ,:
a¡\
...; a ^ ) e s o l( S ) y la p r u e b a
E n g e n e r a l in d ic a r e m o s c o n m a y ú s c u la s la s m a t n c e s , y
c o n la le t r a m in ú s c u l a c o r r e s p o n d i e n t e a s u s e n t r a d a s .
e s t á c o n c lu id a .
E l te o r e m a a n te r io r e s e l f u n d a m e n t o t e ó n c o d e l m é ­
t o d o d e e lim in a c ió n q u e p r e s e n ta r e m o s y n o s a s e g u r a
P o r e j e m p l o , a l a m a t r i z A c o n e n t r a d a s a ,, l a i n d i c a r e ­
m o s p o r:
q u e e n c a d a p a s o r e s p e t a r e m o s la e q u iv a le n c ia e n tr e e l
s is t e m a d e p a r tid a y e l d e lle g a d a .
En
e l p ro c e s o d e
e lim in a c ió n
A = ((a ,,))
hay veces en
que es
j =
1;
n
im p r e s c in d ib le in t e r c a m b ia r e c u a c io n e s . J u n t o c o n la
t r a n s f o r m a c ió n d e s u m a r a u n a e c u a c ió n u n m ú ltip lo d e
o m á s b r e v e m e n t e A = ((a ,^ )), c u a n d o la s d i m e n s i o n e s
o t r a , e s t o e s t o d o lo q u e n e c e s it a r e m o s p a r a e l m é t o d o
e s t é n c l a r a s . E l p r i m e r í n d i c e i, i n d i c a l a f i l a y e l s e g u n ­
d e e lim in a c ió n d e G a u s s , o e s c a le r iz a c ió n . A d e m á s d e
d o í n d i c e j , la c o l u m n a a la q u e p e r t e n e c e la e n t r a d a .
e s t a s o p e r a c io n e s r e c u r r ir e m o s a la d e m u ltip lic a r u n a
e c u a c ió n p o r a lg ú n n ú m e r o d is tin t o d e c e r o . L la m a r e ­
m o s t r a n s f o r m a c io n e s e le m e n ta le s a e s t a s o p e r a c io ­
n e s . E s d e c ir , a la s s ig u ie n t e s o p e r a c io n e s e f e c t u a d a s
a la s e c u a c io n e s d e u n s is t e m a lin e a l:
D o s m a t r ic e s s o n ig u a le s s i t ie n e n e l m is m o t a m a ñ o y
la s m is m a s e n tr a d a s e n la s m is m a s p o s ic io n e s . D ic h o
d e o tr o m o d o , s iA y B s o n d o s m a t r ic e s m
a ,j = b ,, V , =
1.
S u m a r a u n a e c u a c ió n u n m ú ltip lo d e o tr a .
2.
I n t e r c a m b ia r d e lu g a r d o s e c u a c io n e s .
3.
M u ltip lic a r u n a e c u a c ió n p o r u n n ú m e r o d is tin to d e
x n . e n to n ­
c e s A = B s i y s o l o s i:
D os
m a t r ic e s
de
1;
d is tin to
m ; j =
1;
...: n
ta m a ñ o ja m á s
pueden
ser
ig u a le s .
D a d o u n s is t e m a lin e a l d e e c u a c io n e s :
N o te m o s q u e c u a n d o u n a e c u a c ió n e s s u s titu id a p o r e l
r e s u lt a d o d e s u r n a r le u n m ú ltip lo d e o t r a , la in f o m ia c jó n
a „x ,
-I-
82, X ,
4-
3, 2X 2 -I822X 2 +
+ 32n>^n = bj,
3m2^2
+ a^,x„ = b„,
-f a,„x„ = b,,
c o n t e n id a e n la e c u a c ió n e lim in a d a n o d e s a p a r e e :
3m1^l
e s t á in ^ l f c i t e e r t ta n u e v a e c u a c ió n , p o r q u e ia e c u a c i^
s u s t i t u i d a e n t t ’ó « > n u n c o e f i c i e n t e n o n u l o e n l a
f o r m a c ió n d e e s t a n u e v a e c u a c ió n ( e n la m a y o fia
lo s c a s o s e s t e c o e fic íd n te s e r á ig u a l a 1 ) . E s ta n u e v a
e c u a c ió n , ju n t o c o n la q u e s e u s ó e n la c o m b in a c ió n
L la m a r e m o s m a t r iz d e l s is t e m a a la m a t r iz A , c u y a d i­
m e n s ió n m X n e s ig u a l a l t a m a ñ o d e l s is t e m a , f o r m a d a
p o r s u s c o e fic ie n t e s . E s t o e s :
i i n e ^ , p e r m i t e n i ^ c u p e r a r l a e c u a c i ó n e N m in d d a .
A =
N otación m a tric ia l
A l t r a b a ja r c o n
u n s is t e m a
d e e c u a c io n e s , la r e p r e ­
s e n ta c ió n d e la s in c ó g n it a s ( x . y , z , o x ,
x „, e tc .)
n o d e s e m p e ñ a n in g ú n p a p e l im p o r t a n t e y p u e d e u s a r s e
L la m a r e m o s m a t r iz a m p lia d a d e l s is t e m a a la m a t n z
m
X {n +
1)
a ,,
a,
U n a e n t r a d a a ,, i g u a l a O e n l a m a t r i z A e s e q u i v a l e n t e a
ain
q u e ia in c ó g n it a x , n o a p a r e z c a e n la i- é s im a e c u a c ió n .
3-)i 3")
L la m a r e m o s p iv o t e a la p r im e r a e n tr a d a n o n u la d e
q u e in c o r p o r a lo s t é r m in o s in d e p e n d ie n t e s . C o r r ie n t e ­
c a d a f ila d e u n a m a t r iz . C o n e s t a t e m ii n o l o g ia p o d e ­
m e n t e e s c r ib ir e m o s e s t a m a t r iz e n la f o r m a :
m o s d e s c r ib ir la e lim in a c ió n d e G a u s s c o m o u n p r o c e ­
,2
^21 822
a „
a
d im ie n t o q u e b u s c a , a b - a v é s d e la a p l i c a c i ^ r e ite r a d a
• -
a ,„
b,
. -
32,
b.
d e la s t r a n s f o r m a c io n e s e le m e n ta le s , d e ja r u n ú n ic o
p iv o t e p o r c o lu m n a . E n c a d a p a s o d e la e s c a le r iz a c ió n ,
u n a v e z e s c o g id o u n p iv o t e , lo e m p le a m o s p a r a e lim i­
am 2
p a ra
re c o rd a r q u e
• • a^n
e s ta m o s
n a r t o d o s lo s p iv o t e s d e la m is m a c o lu m n a .
c o n s id e r a n d o
la
m a t r iz
a m p lia d a d e u n s is t e m a , c u y a ú ltim a c o lu m n a t ie n e u n
L la m a r e m o s m a t r iz e s c a le r iz a d a a u n a m a t r iz q u e c u m ­
s ig n if ic a d o d if e r e n t e a la s a n te r io r e s . T a m b ié n la s r e p r e ­
p la la s s ig u ie n t e s c o n d ic io n e s :
s e n t a r e m o s e n la f o r m a b r e v e A |B . N a tu r a lm e n t e , t o d a
1.
T o d a s la s f ila s , s a l v o q u iz á s la p r i m e r a , c o m i e n z a n
2.
C a d a f ila t ie n e a l p r in c ip io p o r lo m e n o s u n c e r o
la in fo r m a c ió n q u e n e c e s it a m o s s o b r e e l s is t e m a lin e a l
e s tá
m ás
e n c e rra d a
en
la
m a t r iz a m p lia d a
A |B . V e r e m o s
a d e la n t e q u e . e n r e a lid a d , m u c h a d e la
in fo r m a ­
c o n u n a s u c e s ió n d e c e r o s ;
m á s q u e la f ila in m e d ia t a s u p e r io r ,
c i ó n r e l e v a n t e a c e r c a d e l s i s t e m a s o l o d e p e n d e d e la
m a t r iz A f o r m a d a p o r s u s c o e fic ie n t e s .
E s c a le r iz a r u n a m a t r iz e s lle v a r la a u n a f o r m a e s c a le r i­
L a d e fin ic ió n a n t e r io r in tr o d u c e u n a n o ta c ió n m á s c o m ­
z a d a p o r m e d io d e t r a n s f o r m a c io n e s e le m e n ta le s .
p a c ta ( m a t r ic ia l) p a r a u n s is t e m a d e e c u a c io n e s .
S i E e s u n a m a t r iz q u e s e o b tie n e e s c a le r iz a n d o o tr a
m a t r iz A , e n to n c e s d ir e m o s q u e E e s u n a f o r m a e s c a le ­
P o r e je m p lo : c o n s id e r e m o s e l s is t e m a
r iz a d a d e A , D ir e m o s q u e u n s is t e m a e s tá e s c a ie r iz a d o
X + y + 2z = 9
s i s u m a t r iz a m p lia d a lo e s t á , E s c a le r iz a r u n s is t e m a
5z = O
es
2 x -I- 4 y -
32 = 1
N a tu r a lm e n t e , e s c a le r iz a r u n s is t e m a e s e q u iv a le n t e a
E n t o n c e s la m a t r i 2d e l s i s t e m a y la m a t r i z a m p l i a d a s o n :
1
A =
E s ta
2
3
6
- 5
2
4
- 3
.
A |B =
1
1
3
6
- 5
0
2
4
- 3
1
2
e n c o n tra r o tro
e q u iv a le n t e .
e s c a le r iz a r la m a t r iz a m p lia d a d e l s is t e m a .
P o r e j e m p l o : r e s o l v e r e n IR e l s i s t e m a :
9
4- 2X2-I- X3+ X5 -f- Xg
=1
- 2 x ¿ 4- X3-f x „ - Xg
= 0
2x2 + x ¡+ 2X4 -I- 5X5 -I- 3xg = 1
4- 2X24- X34- X5 4- 3Xg
=3
4- 2x¿-H X34- 4X4 4- 9X5 4- 3Xe = -1
X,
-x ,
X,
X,
X,
n o ta c ió n m á s c o m p a c t a s im p lif ic a r á la e s c r itu r a e
im p le m e n t a c ió n d e l a lg o r itm o d e e lim in a c ió n d e G a u s s .
A n t e s d e m o s t r a r c o n u n e je m p lo la im p le m e n t a c ió n d e l
s is t e m a
e s c a I e r Í 2a d o
3x + 6y -
L a m a t r iz a m p lia d a d e l s is t e m a e s :
m é t o d o d e e s c a le r iz a c ió n c o n la n o ta c ió n m a t r ic ia l, v a le
1
la p e n a h a c e r a lg u n a s o b s e r v a c io n e s .
2
-1
; C á d a f ila d e la m ^ i z d e l s is t e m a c o r r e ^ n d e a u n a
d e 1 ^ e c i | a ; io n e s d e l s is t e m a . L a s o p e r a c io n e s d e l
( T ^ o d o d e ^ c a i ^ l z a d ó n s e t r a d u c i r á n e n t C H ic e s e n
c ^ i i a c i p n e s ^ r e ia s fU a s d e la m a t r iz . E n p a r tic u la r ,
; ( s s t t a n ^ o f m a d e m e s e le m e n t£ r ie s s e r á n , e n e s t e c o n ­
te x to , ta s s ig u ie n t e :
1.
S u m a r a u n a f ila e l r e s u lt a d o d e m u ltip lic a r o t r a p o r
u n n ú m e r o c u a lq u ie r a .
2.
3.
I n t e r c a m b ia r d Q lu g a r d o s f ila s .
M u ltip lic a r u n a f ila p o r u n n ú m e r o
a
0.
C a d a in c ó g n it a d e l s is t e m a q u e d a e n c o r r e s p o n d e n c ia
c o n u n a d e la s c o lu m n a s d e la m a t r iz A d e l s is t e m a .
0
- 2
1
0
1
1
-1
0
1
2
2
5
3
1
1
2
0
1
3
3
1
2
4
9
3
-
1
E l p r o c e s o c o m ie n z a f ija n d o la e n t r a d a n o n u la d e p r i­
m e r a f ila c o m o p iv o t e y u t iliz á n d o la p a r a lo g r a r c e r o s
e n e l r e s t o d e la p r i m e r a c o l u m n a . E l r e s u lt a d o e s la
m a t r iz
1
2
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
4
0
1
1
0
1
+
4
2
0
-f,
0
2
2
2
-í.
8
- 2
-f,
H e m o s a n o t a d o a l m a r g e n d e la m a t r iz la s t r a n s f o r m a ­
c io n e s q u e e n e s t e p r i m e r p a s o d e la e s c a le r i z a c ió n
f u e r o n h e c h a s a la m a t r iz a m p lia d a d e l s is t e m a . C r e e ­
Método de e lim in a c ió n gaussiana
m o s q u e la n o t a c ió n e m p le a d a s e e x p lic a p o r s i s o la .
E s t e m é t o d o t a m b ié n s e d e n o m in a d e r e d u c c ió n e s c a ­
C o n t in u a m o s n u e s t r o a lg o r itm o u s a n d o e l p r iv ó t e 2 d e
lo n a d a o d e e s c a le r iz a c ió n . P a r a t r a n s f o r m a r e l s is t e m a
la e n tr a d a a ^ ,. H e a q u i la m a t r iz q u e s e o b tie n e , ju n t o
e n u n o q u e s e a e s c a lo n a d o s e c o m b in a r á n la s e c u a c io ­
c o n la in d ic a c ió n d e la s o p e r a c i o n e s r e a liz a d a s :
n e s e n tr e s í ( s u m á n d o la s , r e s t á n d o la s , m u ltip lic á n d o la s
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
p o r u n n ú m e ro , e tc .).
1 1
0 1
2
1
0 1
0 2 4
2 0
0 0 0
2 2
0 0 0 -2 -2
P o r e je m p lo :
2x + 3 y -7 z = -1
2f ,
U -
La 1
E n e l t e r c e r p a s o o p e r a r e m o s s o b r e la s e x t a c o l u m n a :
1
2
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
6z
3x + 4y ~
=
(A )
5
(B )
5x - 2y + 42 = -7
(C )
e c u a c ió n s ie m p r e s e d e ja ig u a l, ( p r o c u r a n d o q u e
e s t a s e a l a m á s s e n c i l l a ) y a l a 2 .® y 3 . " e c u a c i ó n s e
d e b e a n u la r e l t é r m in o q u e lle v a la x .
1
1
1
1
2x + 3y - 7z = -1
4
2
0
3x + 4y -
0
0
2
2
0
0
0
0
5x -
62 =
(A )
(B )
5
2y + 4z = -7
(C )
f. + f.
( A ') -
2x + 3 y -7 z = -1
-y
Y a t e n e m o s la f o r m a e s c a le r iz a d a , c o n p iv o t e s e n la s
+ 9z =
-1 9 y + 4 3 z =
c o lu m n a s p r im e r a , t e r c e r a , c u a r ta y s e x t a . E l s is t e m a
(A )
( B ') = - 3 ( A ) + 2 ( 8 )
( C ') = - 5 ( A ) + 2 ( C )
13
-9
lin e a l, e q u iv a le n t e a l s is t e m a o r ig in a ) e n e l s e n tid o d e
q u e t ie n e e x a c t a m e n t e la s m is m a s s o lu c io n e s , q u e c o ­
r r e s p o n d e a e s t a m a t r iz e s :
U n a v e z q u e h e m o s a n u la d o lo s t é r m in o s e n x , d e b e ­
1.®
m o s d e ja r f ija la
2.®
y
e c u a c ió n y a n u la r e l t é r m in o
q u e ll e v a la y e n la 3 .^ e c u a c ió n .
X,
2X3 +
+ 2xj -H X3 + X5 +
Xg = 1
2x + 3y -
+ X5 = 1
2Xi +
7 z = - 1 (A ") = {A )
-y + 9 z =
4X 5
+
2X 5 = O
2X e =2
( C " ) = - 1 9 ( B ’)
+ (C )
D e la ú lt im a e c u a c ió n o b t e n e m o s q u e z = - 2 5 6 / - 1 2 8 =
D e la ú ltim a e c u a c ió n r e s u lt a Xg = 1 . C o n e s t a in fo r m a ­
c i ó n v a m o s a l a t e r c e r a y c o n c l u i m o s : X 4+
1 3 ( B " ) = { B ')
-1 2 8 z = -2 5 6
2X g
=
-1
2 , q u e s u s t it u y e n d o e n B r e s u lt a :
- y
E s t o n o p e r m i t e d e t e r m i n a r x ^ n i X 5, p e r o p o d e m o s d e j a r
+ 9 x 2
= 13
^ y = 5
y a s u v e z s u s tit u y e n d o e n A " o b te n e m o s q u e ;
e x p r e s a d a u n a in c ó g n it a e n t é r m in o s d e la o t r a . E x p r e ­
s e m o s X 4, u n a v a r i a b l e q u e c o r r e s p o n d e a u n a c o l u m n a
c o n u n p iv o t e e n la f o r m a e s c a le r iz a d a , e n t é r m in o s d e
X 5, c o m o : X 4 =
-1
-
2X 5
2x + 3 x 5 - 7 x 2
= -1
= » x = -1
P o r lo t a n t o , la s o lu c ió n d e l s is t e m a e s :
(x ; y : z ) = ( - 1 ; 5 ;
2)
S u s t it u y e n d o e n la s e g u n d a e c u a c ió n o b te n e m o s :
V e a m o s o tr o e je m p lo ;
Ilu s t r a r e m o s e l m é t o d o d e G a u s s a p lic a n d o e t p r o c e d i­
m ie n t o a u n s is t e m a d e c u a tr o e c u a c io n e s c o n c u a tr o
C o m b in a n d o
to d a
e s ta
in fo r m a c ió n c o n
3x
e c u a c i ó n r e s u l t a : x , + 2x ¡ +
+ 1=0
la
p r im e r a
N u e v a m e n t e e s c o g e m o s d e s p e ja r la v a r ia b le q u e c o r r e s p o n d e a l p iv o t e p a r a e s c r ib ir : x , = -
2X 2—
3x
^
-
1
C o n c lu im o s e n t o n c e s q u e t o d a s la s s o lu c io n e s d e l s is ­
t e m a s o n d e la f o r m a :
in c ó g n it a s , p e r o t r a b a ja n d o c o n la m a t r iz d e l s is t e m a :
6x ,
—
12x,
-
2X 2
8X 2
+
3x,
-
13X j
+
6X 1
+
4X 2
+
“
donde
-
2x ¡¡
-
8x 5/ 2; x ^ ; 1
Xj /
2: -1
— 2X 5; x ^ ,
1) ,
y x ^ s o n d o s p a r á m e t r o s r e a le s q u e p o d e m o s
f ija r a n u e s t r o a n to jo . L a s o lu c ió n
n o e s ú n ic a , p e r o
p u e d e d e s c r ib i r s e c o m p le t a m e n t e e n t é r m in o s d e la s
v a r ia b le s
y x^.
2X 3
6X 3
9X 3
X3
+
4x^
=
12
+
10X 4
3X 4
1 8X 4
=
34
+
-
=
27
=
-3 8
E s t e s is t e m a g e n e r a lo s ig u ie n t e :
6
(-1
+
2
4
12
-8
6
10
Xi
X2
3
-1 3
4
9
1
3
-1 8
X3
X4
-6
- 2
12
34
27
-3 8
E n e l p r im e r p a s o , m u lt ip lic a r e m o s la p r im e r a e c u a ­
c i ó n p o r 12/6 = 2 y l a r e s t a m o s a l a s e g u n d a , d e s p u é s
m u lt ip lic a m o s la p r im e r a e c u a c ió n p o r 3 / 6 =
1 / 2 y la
restamos a la tercera y finalmente multiplicamos la pri­
mera ecuación por - 6/6 = -1 y la restamos a la cuarta.
Los números 2, 1/2 y -1 son ios multiplicadores del
primer paso del proceso de eliminación. El número 6
es el elemento pivote de este primer paso y la primera
fila, que no sufre modificación alguna, se denomina fila
pivote. El sistema en estos momentos tiene el siguiente
aspecto:
6 - 2
0 - 4
2
2
0 -1 2
8
0
3
2
12
10
21
4
2
x.
X2
1 X3
-1 4 X4
-2 6
En el siguiente paso del proceso, la segunda fila se em­
plea como fila pivote y - 4 como elemento pivote. Apli­
camos de nuevo el proceso: multiplicamos la segunda
fila por ( - 1 2 /- 4) = 3 y la restamos de la tercera fila
y después multiplicamos la segunda fila por 2 /(-4) =
-1/2 y la restamos a la cuarta fila. Los multiplicadores
son en esta ocasión 3 y -1/2 y el sistema de ecuacio­
nes se reduce a:
6 - 2
0 - 4
0
0
0
0
2
2
2
4
4
2
-5
-1 3
X,
X2
X3
X4
2
2
2
0
4
2
-5
-3
X,
X2
X3
X4
-21
12
10
-9
-3
6Xi - 2X2 -h 2X3 + 4x^ = 12
- 4x2 -H2x3 + 2X4 = 10
2 X3 - 5 X4 = - 9
- 3 X4 - - 3
La solución del sistema es: (x,; X2; x^; x j = (1; -3 ; -2 ; 1);
o en todo caso:
1
-3
-2
1
a„x, + 3 ,2X2 + ... + a,„x„ =b,,
a^iX, "i- a^.iXi ••• + a2.Xn = b2,
+
a .„x „ = b .
a ’ , 3X 3 +
....
+
a ’,„x„
b ’,
e introduciendo la expresión de x, que results de (2) en
las restantes ecuaciones ( 1), se obtiene:
(3)
A' 2
ojX,
A ,iX^ 4-... 4- A
—B 2
2-^2 +' '^23''3
A,„x„ = B \
A
4- A .íoXo
A ’njXs + A ^ jX j
4-...4- A'„„Xn
= B ’„,
que es un sistema de n - 1 ecuaciones con n — 1 in­
cógnitas.
Repitiendo el procedimiento; es decir, dividiendo la pri­
mera ecuación de (3) por A’22.
(4) X2 + a’23X3 4- ...+ a'2pX„ = b'^
y reemplazando en las restantes ecuaciones, resulta
un sistema de n - 2 ecuaciones con n - 2 incógnitas.
Continuando con el proceso, después de n eliminacio­
nes, obtendremos el sistema (A?t 0):
1+
a ' , 2X2 + a ’ , 3X3 +
a ’ , „ x , = b\
X2 + a'23X3 +...+ a’2„x,= b ’2
(5)
x „_ , + a ’„_i,n x „ = b ’„_i
X. = b’„
que es equivalente al sistema original (1). De este sis­
tema se obtiene, de abajo hacia arriba, la solución x„,
X n -,
X 2 , x,.
Si en una etapa k del procedimiento el coeficiente de x^
es nulo, es necesario, entonces, reordenar las ecuacio­
nes o las variables, o ambas. En otro sentido, es con­
veniente que ese coeficiente sea pequefio comparado
con los restantes, para reducir a un mínimo los errores
del redondeo.
El caso A = O, se pone en evidencia cuando, después
de r eliminaciones (donde r sería el rango de la matriz
de los coeficientes), los coeficientes de las incógnitas
del sistema de (n - r) ecuaciones son ñutos, a menos de
los errores del redondeo. En este caso, si los miem­
bros derechos son nulos, las (n - r) ecuaciones citadas
no se tienen en cuenta y la incógnita x, resulta de la
r-ésima ecuación expresada por una constante y una
combinación lineal de las {x,_,, x^^j. •••. x„). En cambio, si
los miembros derechos no son nulos, el sistema inicial
no se puede resolver.
Por ejemplo:
8x
3x
6x
Generalización dei método de eliminación de Gauss
Consideremos un sistema de n ecuaciones con n in­
cógnitas:
a^.iX, + a„-X2 -I- . . .
4 - a ’ i 2X 2 +
X,
-9
El sistema resultante es triangular superior y equiva­
lente al sistema original (las soluciones de ambos sis­
temas coinciden). Luego el sistema se transforma en:
(1)
(2 )
12
10
El último paso consiste en multiplicar la tercera ecua­
ción por (4/2) = 2 y restarla a ta cuarta. Ei sistema re­
sultante resulta ser:
6 - 2
0 - 4
0
0
0
0
Dividiendo ia primera ecuación por a,,:
•
resolver el sistema
- 7y 4- 4z = 6
+ 5y - 2z = 7
- y 4- 7z =25
Eliminar x de la segunda y tercera ecuación.
x -(7 /8 )y + (1/2)z = 3/4
y -(2 8 /6 1 )z = 38/61
y + (16/17)2 = 82/17
E lim in a r y d e la te r c e r a e c u a c ió n .
X - (7/8)y + (1/2)z = 3/4
y -
( 2 8 /6 1 ) z = 3 8 /6 1
1
2=
1
3
1
O
L u e g o , r e e m p la z a n d o z =
3
3 e n la s e g u n d a y p r im e r a
2; x == 1; e s
2= 3.
e c u a c ió n , r e s u lt a ; y =
d e c ir ; la s o l u c ió n d e l
- 4
1
Í2 = Í2 + fl
= fs - f,
-1
2
1
f, - fi - 4f2 => 0
0
^3 = ^3 - 4f¿
s is t e m a e s : x = 1 , y = 2 ,
Método de Gauss-Jordan
E l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n e s u n a e x t e n s ió n d e l m é t o ­
d o d e e lim in a c ió n g a u s s ia n a , q u e c o n s is t e e n e lim in a r
- f, - Í3 -
la v a r i a b l e p r i n c ip a l d e la e c u a c ió n c o r r e s p o n d i e n t e n o
s o la m e n te e n
la s e c u a c io n e s q u e a p a r e c e n s it u a d a s
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
m a t r i2 a m p lia d a
-4
-1
4
1 2
0 3
1 1
-10
- 3
13
23
3
13
p o r d e b a jo d e la m is m a , s in o e n t o d a s la s e c u a c io n e s
La
d e l s is t e m a . P o r e llo , ía e s t r a t e g ia e s la m is m a q u e la
f o r m a e s c a lo n a d a r e d u c id a . E l s is t e m a e s , p o r ta n to ,
d e l m é t o d o d e e lim in a c ió n