UNICIENCIA - Álgebra

INDICE Presentación................................................................................................................................................. 11 CAPÍTULO 01: LÓGICA PROPOSICIONAL Biografía: Gottlob Frege............................................................................................................................... Enunciado..................................................................................................................................................... Proposición................................................................................................................................................... Variables lógicas........................................................................................................................................... Clases de proposiciones............................................................................................................................... Conectivos lógicos........................................................................................................................................ Tablas de verdad o Wilttgenstein.................................................................................................................. Estudio de los conectivos lógicos................................................................................................................. Tautología, contradicción y contingencia...................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 13 14 14 14 14 14 14 14 15 17 29 32 CAPÍTULO 02; CONJUNTOS Biografía: Georg Cantor............................................................................................................................... Definición...................................................................................................................................................... Nomenclatura............................................................................................................................................... Relación de pertenencia (e )......................................................................................................................... Determinación de un conjunto...................................................................................................................... Clases de conjuntos...................................................................................................................................... Relaciones entre conjuntos.......................................................................................................................... Comparación entre conjuntos....................................................................................................................... Representación gráfica de los conjuntos...................................................................................................... Operaciones con conjuntos........................................................................................................................... Número de elementos de un conjunto.......................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 39 40 40 40 40 40 40 41 41 41 43 45 58 60 CAPÍTULO 03: EXPONENTES Y RADICALES EN IB Biografía; Christoph Rudolff......................................................................................................................... Leyes de exponentes.................................................................................................................................... Ecuaciones exponenciales........................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas pospuestos.................................................................................................................................. 67 68 70 71 82 84 CAPÍTULO 04: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Biografía; Jean D’AIembert........................................................................................................................... Conceptos previos........................................................................................................................................ Expresiones algebraicas............................................................................................................................... Expresiones trascendentes........................................................................................................................... Término algebraico....................................................................................................................................... Clasificación de las expresiones algebraicas............................................................................................... Valor numérico de un polinomio y cambio de variables............................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... 89 90 90 91 91 91 91 93 Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 97 98 CAPÍTULO 05: GRADOS Biografía: Simón Stevin................................................................................................................................ Definición...................................................................................................................................................... Clases de grados.......................................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 101 102 102 104 108 109 CAPÍTULO 06: POLINOMIOS ESPECIALES Biografía: Évariste Galois............................................................................................................................. Definición...................................................................................................................................................... Polinomio homogéneo.................................................................................................................................. Polinomio ordenado...................................................................................................................................... Polinomio completo....................................................................................................................................... Polinomio completo y ordenado............................................................................ ....................................... Polinomios idénticos..................................................................................................................................... Polinomios idénticamente nulos................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 113 114 114 114 114 114 114 114 116 120 123 CAPÍTULO 07: MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA - PRODUCTOS NOTABLES Biografía: Adrien-Marie Legendre................................................................................................................. Mulliplicación algebraica............................................................................................................................... Productos notables....................................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 127 128 128 131 143 144 CAPÍTULO 08: DIVISIÓN ALGEBRAICA - COCIENTES NOTABLES Biografía: Paolo Ruffini......................................................... División algebraica....................................................................................................................................... División de polinomios.................................................................................................................................. Regla de Ruffini............................................................................................................................................ Teorema del residuo...................................................................................................................................... Divisibilidad poiinómica................................................................................................................................. Residuos especiales..................................................................................................................................... Cocientes notables....................................................................................................................................... Probiemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI............................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 149 150 150 152 153 154 155 155 157 169 171 CAPÍTULO 09: FACTORÍZACÍÓN Biografía: Jean-Robert Argand..................................................................................................................... 177 Definición...................................................................................................................................................... 178 Polinomio primo................................................................................................................................................. 178 Métodos de faetorización.............................................................................................................................. 178 Faetorización reciproca o recurrente............................................................................................................ 184 Método de los artificios................................................................................................................................. 186 Faetorización simétrica y alternativa............................................................................................................ 187 Problemas resueltos..................................................................................................................................... 189 _________________ A lg ebra ■ Problemas de examen de admisión UNI................ Problemas propuestos.................................................................................................................................. 198 200 CAPÍTULO 10: MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO FRACCIONES ALGEBRAICAS Biografìa: William Homer.............................................................................................................................. Máximo común divisor (MCD)....................................................................................................................... Mínimo común múltiplo (MCM)..................................................................................................................... Fracciones algebraicas................................................................................................................................. Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 205 206 206 208 213 218 219 CAPÍTULO 11: POTENCIACIÓN • BINOMIO OE NEWTON Biografía: Isaac Newtori............................................................................................................................... Factorial de un número entero y positivo..................................................................................................... Cofactorial o semifactorial............................................................................................................................ Análisis combinatorio.................................................................................................................................... Binomio de Newton...................................................................................................................................... El triángulo de Pascal o Tartaglia................................................................................................................. Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 225 226 226 227 232 237 239 250 252 CAPÍTULO 12; RADICACIÓN Biografía: Gerolamo Cardano....................................................................................................................... Definición...................................................................................................................................................... Clasificación.................................................................................................................................................. Homogeneización de radicales..................................................................................................................... Valor aritmético de un radical....................................................................................................................... Valor algebraico de un radical...................................................................................................................... Raíz cuadrada de polinomios....................................................................................................................... Transformación de radicales dobles a suma o diferencia de radicales simples o sencillos........................ Racionalización............................................................................................................................................ Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 257 258 258 258 258 258 258 259 261 263 273 275 CAPÍTULO 13: NÚMEROS COMPLEJOS Biografía: Lodovico Ferrari........................................................................................................................... Cantidades imaginarias................................................................................................................................ Potencias de la ur\idad imaginaria................................................................................................................ Número complejo......................................................................................................................................... Representación gráfica de los números complejos...................................................................................... Operaciones con números complejos.......................................................................................................... Propiedades de las raíces cúbicas de la unidad.......................................................................................... Fórmula de Euler........................................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 281 282 282 282 283 283 285 285 288 300 303 CAPÍTULO 14: MATRICES Y DETERMINANTES Biografía: Gabriel Cramer............................................................................................................................. Matrices......................................................................................................................................................... Orden de una matriz..................................................................................................................................... 309 310 310 Matrices especiales...................................................................................................................................... Igualdad de matrices.................................................................................................................................... Operaciones con matrices............................................................................................................................ Transpuesta de una matriz........................................................................................................................... Taza de una matriz A [TrazíA)]..................................................................................................................... Matrices cuadradas especiales.................................................................................................................... Caracteristicas notables de algunas matrices cuadradas............................................................................ Determinantes.............................................................................................................................................. Menor complementario de una componente................................................................................................ Determinante de Vandennonde.................................................................................................................... Matriz inversa............................................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 310 310 310 311 312 312 312 312 313 313 313 316 331 333 CAPÍTULO 15: TEORÍA DE ECUACIONES Biografía: Al-Juarism i ............................................................................................................................... Igualdad......................................................................................................................................................... Clasificación................................................................................................................................................. Conjunto solución de una ecuación (CS)..................................................................................................... Clases de ecuaciones.................................................................................................................................. Teorema para transformar ecuaciones en equivalentes............................................................................... Ecuaciones de primer grado......................................................................................................................... Sistemas de ecuaciones............................................................................................................................... Sistema de ecuaciones lineales o de primer grado...................................................................................... Sistemas lineales: el método de eliminación de Gauss y Gauss-Jordan................................ Ecuaciones de segundo grado..................................................................................................................... Ecuaciones de grado superior...................................................................................................................... Ecuaciones recíprocas................................................................................................................................. Sistemas de ecuaciones de segundo grado y grado superior...................................................................... Ecuaciones cúbicas y cuárticas.................................................................................................................... Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 341 342 342 342 342 342 343 347 348 354 360 365 367 368 369 373 386 389 CAPÍTULO 16: DESIGUALDADES - INECUACIONES - VALOR ABSOLUTO Biografía: Bernhard Riemann....................................................................................................................... Desigualdades.............................................................................................................................................. Axiomas de relación de orden...................................................................................................................... Relaciones que expresan desigualdades..................................................................................................... Clases de desigualdades............................................................................................................................. Intervaio......................................................................................................................................................... Propiedades generales de las desigualdades.............................................................................................. Inecuaciones................................................................................................................................................ Gráfica de desigualdades con dos variables................................................................................................ Valor absoluto............................................................................................................................................... Ecuaciones con valor absoluto..................................................................................................................... Inecuaciones con valor absoluto.................................................................................................................. Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 401 402 402 402 402 403 403 404 407 411 411 412 415 429 432 CAPÍTULO 17: PROGRAMACIÓN LINEAL Biografía: George Dantzig............................................................................................................................ Definición............... 443 444 Desigualdades lineales.................................................................................................................................. Sistema de inecuaciones.............................................................................................................................. Problema general.......................................................................................................................................... Problemas resueitos...................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos................................................................................................................................... c a p ít u l o 444 444 446 452 462 465 18: SUCESIONES Y SERIES Biografía: Gustav Dirichiet............................................................................................................................ Sucesiones.................................................................................................................................................... Series............................................................................................................................................................ Problemas resueltos...................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 469 470 470 474 483 485 CAPÍTULO 19: PROGRESIONES Biografía: Fibonacci....................................................................................................................................... Progresión..................................................................................................................................................... Progresiones aritméticas (PA)...................................................................................................................... Progresiones geométricas (PG)................................................................................................................... Problemas resueltos...................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos..i............................................................................................................................... 491 492 492 495 499 506 508 CAPÍTULO 20: RELACIONES Y FUNCIONES Biografía: Leonhard Euler............................................................................................................................. Definiciones previas..................................................................................................................................... Relación......................................................................................................................................................... Función......................................................................................................................................................... Dominio y rango de una función................................................................................................................... Función de variable real............................................................................................................................... Funciones especiales y representación gráfica............................................................................................ Gráfica de funciones de fonmas especiales.................................................................................................. Tipos de funciones: inyectiva, suryectiva, biyectiva..................................................................................... Operaciones con funciones.......................................................................................................................... Composición de funciones........................................................................................................................... Funciones monótonas crecientes y decrecientes......................................................................................... Función inversa............................................................................................................................................ Función exponencial..................................................................................................................................... Gráfica de la función exponencial................................................................................................................ Función exponencial de base e .................................................................................................................... Inecuaciones exponenciales........................................................................................................................ Función logarítmica...................................................................................................................................... Gráfica de la función logarítmica.................................................................................................................. Problemas resueltos..................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos.................................................................................................................................. 513 514 514 514 514 515 517 518 519 520 520 520 521 521 521 522 522 523 523 525 536 538 CAPÍTULO 21: LOGARITMOS Biografía: John Napier.................................................................................................................................. Definición...................................................................................................................................................... Igualdades fundamentales........................................................................................................................... Propiedades generales................................................................................................................................. Cologaritmo (colog)...................................................................................................................................... Antilogaritmo (antilog)................................................ .................................................................................. 547 548 548 548 549 549 Logaritmos cxtmo progresiones..................................................................................................................... Sistema de logaritmos................................................................................................................................... Logaritmos de números negativos................................................................................................................ Operaciones con logaritmos decimales........................................................................................................ El número e y los logaritmos naturales........................................................................................................ Problemas resueltos...................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos................................................................................................................................... 549 549 550 551 552 555 562 564 CAPÍTULO 22: LÍMITES Y DERIVADAS Biografía; Gottfried Leibniz............................................................................................................................ Limite............................................................................................................................................................. Formas determinadas.................................................................................................................................... Formas indeterminadas................................................................................................................................. Derivadas...................................................................................................................................................... Regla de L'Hospital-Bernoulli....................................................................................................................... Máximos, mínimos y representación gráfica de funciones........................................................................... Problemas resueltos...................................................................................................................................... Problemas de examen de admisión UNI...................................................................................................... Problemas propuestos............................................................................................... 569 570 570 570 571 572 575 576 588 590 Lógica proposicional _o z> a o o Friedrich Ludwig Gottlob Fre§e nació el 8 de noviem bre de 1848 en Wismar y m urió el 26 de ju lio de 1925 en Bad Kleinen. Fue un m atem ático. lógico y filósofo alem án, padre de la lógica m a tem ática y la filosofía analítica. Frege es am pliam ente reconoci do com o el m ayor lógico desde Aristóteles. Com enzó sus estu dios en la Universidad de Jena en 1 869 trasladándose a Gotinga para com pletar sus estudios de Física. Quím ica, Filosofía y Ma temáticas. licenciándose en esta últim a en 1873. En 1879. Frege publicó su revo lucionaria obra titulada Concep- tografía o Escritura de concep tos. en la que sentó las bases de la lógica m atem ática m oderna. M ediante la introducción de una nueva sintaxis, co n la inclusión de los llam ados cuantificadores «para todo» o «para ai m enos un» perm itió formalizar una enorm e cantidad de nuevos argum entos. También fue el prim ero en distinguir la caracterización formal de las leyes lógicas de su contenido sem ántico. Frege fue un defensor deí logícismo y de la ¡dea de que las m atem áticas son reducibles a la lógica, en el sentido de que las verdades de la m atem ática son deducibles de las verdades de la lógica. Sin em bargo, su defensa del logicismo era de alcance limitado, aplicándola solo a la aritm ética y a la teoría de conjuntos, puesto que Frege perm aneció en gran m edida feantiano respecto de la geom etría. Su obra titulada Leyes básicas de la aritmética fue un intenio de llevar a cabo el proyecto logicista. Fuente: Wifeipedia <4 ENUNCIADO Compuestas o moleculares Es toda frase u oración (escrita o hablada). Aquellas que están compuestas de dos o más propo siciones. Ejem plos; El muro está hecho de ladrillo Quiero ese juguete. ¡Fuera! ¿Quién es? 2+ 3= 5 <<l PROPOSICIÓN Es aquel enunciado al que se le puede asignar sola mente uno de los llamados valores de verdad (verda dero o falso). Ejem plos: Ejem plos: Pedro es marino y p q Luis se encuentra en Lima o se encuentra en Europa P No se consideran proposiciones a las preguntas, inter jecciones, mandatos, deseos, dudas o a cualquier otro enunciado que no indique una vendad o falsedad. Son símbolos que permiten ligar o enlazar una proposi ción con otra. Entre los cuales tenemos: V yo A A Ejem plos: O ¿Cuál es tu nombre? ¡Eder, ayúdame! Apaga el ventilador ¡Fuera! En el lenguaje de ia lógica las proposiciones se denotan por lo general con las siguientes letras del alfabeto: p, q. r, s, t, etc. Ejem plos: P : Felipe es futbolista P Significado negación no p disyunción inclusiva poq disyunción exclusiva 0p0q conjunción pyq condicional p entonces q blcondicional p si y solo si q Rosa es doctora q Toda variable lógica p puede ser sustituida por cual quier enunciado y sus posibles valores de verdad son; Verdadero (V) Falso (F) Para dos variables: P q V V V F F V F F Para tres variables: P V V V V F F F F ^ CLASES DE PROPOSICIONES Simples o atómicas Son aquellas que están compuestas de una sola pro posición. Ejem plos: p: Roberto estudia. q; La mesa es de color manrón. Pueden ser de dos tipos: I. Predicativa; cuando establece una característica o cualidad del sujeto. Ejem plo: ti. Operación ^ TABLAS DE VERDAD O WITTGENSTEIN <4 VARIABLES LÓGICAS Q: Mario es ingeniero y p q <4 CONECTIVOS LÓGICOS Símbolo El azufre es de color amarillo. Los mamíferos son vertebrados. Los canguros se encuentran en Australia. Raúl es gimnasta q V V F F V V F F r V F V F V F V F De donde: N = 2"; (n = n.® de variables) ^ ESTUDIO DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS p: Pedro es basquetbolista. Negación (~) Relacionante: cuando establece una comparación entre dos o más sujetos. Ejem plo: Tiene como significado no; no es cierto que; es fólso que, etc. q: Eder es más fuerte que Jorge. Ejem plo: Sea p: La nube es blanca. Condicional (=») Su negación será ~p: La nube no es bianca. Siendo su tabla de verdad: p V ~P F F V Cuando se usa el conectivo (entonces) y se puede cam biar por: luego, por lo tanto, ya que, es consecuencia. Ejem plo: Si estudias entonces apruebas. p Disyunción (V) Disyunción débil o Inclusiva (v). Tiene como signi ficado (O), indica dentro de ia proposición que la ocu rrencia de uno de elios no descarta la ocurrencia del otro. =» P V V F F Ejem plo: El veneno es mortal o dañino q V F V F p =» q V F V V Bicondicionai («») Su tabla de verdad es: Está representado por el (si y solo si). p vq V q V F F V V F F F P V q Su tabla de verdad es; Ejem plo: V Todo número es par si y solo si es divisible por 2. V P q Su tabla de verdad es: p«q V Fuerte o exclusiva (A o v ) . Tiene como significado (O... O -..). Indica dentro de una proposición molecular la ocurrencia de uno de ios hechos más no la de ambos. P V V q V F Ejem plo: F V F F F V O Luis se encuentra en Lima o se encuentra en Brasii F El valor de verdad de las proposiciones compuestas se puede determinar a partir del valor de verdad de sus componentes. Su tabla de verdad es: P q p A q V V V F F V F V V F F F <4 TAUTOLOGÍA. CONTRADICCIÓN Y CONTIN GENCIA Evaluar una fórmula proposicional consiste en haliar su tabla de valores de verdad, pueden ser: Tautología Conjunción (a) Si todos los valores de verdad son verdaderos. Cuando se usa ei término de enlace (y), también puede hacerse ta consideración para las siguientes palabras: pero, sin embargo, además, aunque, a la vez, no obs tante, dado que, etc. Contradicción Ejem plo: Si algunos valores de verdad son verdaderos y otros falsos. Su tabla de verdad es: 2+2 = 4 3+4= 7 P V q V p A q V F F F V F F F F V Si todos los valores de verdad son falsos. Contingencia Ejem plo: 1. De las siguientes proposiciones: I. Tol<ío es la capital de Japón, es una proposición verdadera. II, Ricardo Palma fue arequipeño, es una contra* dicción. III. Falsa, la coma (.) intermedia indica (entonces), luego se trata de una condicional. III. - p v q tiene la misma tabla de valores de ver dad que p q. IV. ¡Vamos Boysl, es una proposición. IV. Verdadera, ya que: Determinar sus valores de verdad. P V V Resolución: I. Verdadera V V V II. Faisa. es una afirmación. p q ~P V q p V V F Tvl V V q Tvl V F F 1^ 1 F V 1P 1 F F V V 1V 1 V F 1v 1 V F F V F lV j F lV j V V V V F F • Verdadera, tiene la misma tabla de valores de verdad. IV. Falsa, las exclamaciones no son proposiciones. 4. [(P A q) V V V V V F V V V F F F F V V F V F V V F F F F F V V F F (1) ~P] P 5. De las proposiciones: I. 3 + 4 = 7, es una tautologia, li. jArríba Perú!, es una proposición. III. José es un buen estudiante, aprobará el ciclo en ía universidad, es una disyunción. IV. (p =» q) V (~r =» t), es una contingencia. Resolución: I. Falsa, es una proposición. II. Falsa, es un enunciado. V F F V V V • • F V F V F V V F F F V F V V V V • • F V • . ; • La proposición es verdadera. Si la proposición compuesta; [(p « q) V (q V ~r)] es falsa; determine los valores de verdad de p; q y r. Si la proposición compuesta: (p ^ q) V ~[(q A ~r) v (r a ~q)] v ~(p v r) es falsa, determine los valores de verdad de p, q y r. Resolución: Sea: a = (p =»q); b = ~[{q a ~r) v (r a ~q)] y c = ~(p v r) Entonces se tendrá: a V b V c = F; donde soío es posible sí a = F; b = F y c = F. Entonces: a = (p ^ q ) = F (así: p = v y q = F) b = ~l(q A ~ r ) v ( r A ~ q ) l = F y c = ~ ( p v r ) s F í(q A ~ r) V ( r a ~ q ) ] = V pvr = V F F V V como p = V F V r= VoF (3) (2) (4) Determinar sus valores de verdad. V Entonces; (p =» q) = F; donde solo se cumple si p = V y q = F. (q V ~r) = F; de lo anterior se sabe que q = F; luego ~r debe ser F, entonces r = V. Finalmente: p = V ;q = F y r = V Et resultado (4) es equivalente a la proposición p. Respuesta (IV). 3. F F V (P =» -q ) V (~r ^ t) V F V F V V V F V Resolución: Por condición: [(p =» q) V (q V ~r)l = F Resolución: Evaluando la fórmula, se tendrá: q F F V t V F Se trata de una contingencia. Al evaluarla fórmula lógica: [(p a q) v ~p] » p Se obtiene que su tabla de valores de verdad es equivalente a: I. q II. p A q fll. ~q IV. p V. - p P V F F r V V F ‘----- iguales— ' 2. q V V V Finalmente; p = V; q = F; r = V 6. Determine si estas proposiciones son motecutares o atómicas. I. La teoría de Newton es correcta pero la de Einstein más moderna. II. Sí una persona se corta la yugular por lo tanto se desangra. III. X + 1 = 3 IV. Fortunato cobra su sueldo y no trabaja. Resolución: I. 2 proposiciones » Molecular 1 conjunción (pero) II. 2 proposiciones ^ Molecular 1 condicional (por lo tanto) III. 1 proposición » Atómica IV. 2 proposiciones =» Molecular 1 conjunción (y) 7. 9. • F =» F = V 8 es mayor que 4 o 7 es menor que 5 VÌ6 = 4 • V T =F 2 < 4 «^12 + 5 < 4 + 5 V 8. «• =V y -3 ^ = 9 F F Donde: ~p a q = V p = F ;q = V También: ~r =3 ~s = F r = F; s = V V T II. ( p v q ) « ~ ( q v p ) : q = V III. (~p v q ) =»r; r = V Determinar si la información es suficiente o no para hallar el valor de verdad de ias proposiciones. Resolución: I. p a (~q V r) : r= V T = F W FF Se sabe que; (p a q) = V; (q t) = F y se arirma: I. ~ H q A p ) A p ] II. ~ ( ~ p v t ) v q lil. [~p V (q A M)] « ~(q => t) Determinar cuáles son verdaderas. Resolución : De; p A q = V » p = V;q=V Pero: q=» t = F Entonces; q = V; t = F Enl: ~[~(VAV)AV] = ~[~(V)AV] = ~t FAV] =~F = V P R O B LEM A S 1. Si la pnDposición: ~[(~p A q) (~r =» ~s)] es ver dadera, determinar ^ valor de verdad de p, q, r, s. 10. Dadas las proposiciones; I. p A ( ~ q v r ) ; r = V Si: 5 + 3 = 7. entonces 7 < 6 . F Resolución: ~t(~p A q) =» (~r => ~s)l = V (~p A q) =*■(~r =» ~s) = F • F F) V V = ~F v V = V V V = V V Resolución: V V Enlll: [Fv(VAV)]o~(V=»F) = [ V ] « V = V Todas son verdaderas De las siguientes proposiciones compuestas: • Si; 5 + 3 = 7, entonces 7 < 6 • 8 es mayor que 4 o 7 es menor que 5. . /Te = 4 y -3 ^ = 9 . 2 < 4 » 1 2 + 5<4 + 5 Determine sus valores de verdad. V En H: Simbolizar: ‘ Si Julieta es española entonces es afi cionada a la fiesta brava y Julieta no es aficionada a la fiesta brava por lo tanto, no es española". De terminar su tabla de venilad. Resolución: Sea p: Julieta es española q: Es aficionada a la fiesta brava V II. ( p v q ) No es suficiente ~(qvp) : q = V F I. Si es suficiente (~p V q) =» r : V(r) = V V V Si es suficiente .-. Solo 11y lll cumplen la condición. RESUELTO S B " " * [(p =» q) A ~q] V F V V F F V F V V F F V V V V (3) (2) (4) (1) Tautología 2. I. Sabiendo que ia proposición: (p ^ ~q) v {~r => s) es falsa; reduzca el vaior de verdad de; [(~ r <=> p) « t V ^ V q ) A q ] « [(~ q v r) A s] F ^ ? . V Resolución: (p=»~q)v(~r=»s) = F y 1 1 V T F V F II. q v(t=»w/) V V ? V F III. (p «=» r) <=» (q « s) F Entonces; [(~r V q) A q] » [(~q v r) a s] = [(V vV ) V] a F«F V»V V V « [(F V F) A F] =V«F=F 3. VW Si p jj q se define por (~p) a (~q). Haiiar el equiva lente de ~(p q). Resolución: ~(p q) = ~[(p =3 q) A (q =» p)] s~[(~p V q) A (~q V p)] = (p A ~q) v (q Se tiene: a ~p) Entonces; 4. Clasificar las siguientes proposiciones: I. ( p A q ) « ( q A ~ p ) II. [ p A ( p V t ) ] A H v p ) III. ( p= » q ) ^ q Como tautología (T), contradicción (F) o contingen cia (C). Resolución: Hagamos la tabla de verdad en cada caso; (p il q ) = (~P) A (~ q ) (p A ~ q )v (q A ~ p )= 6. ( - p llq ) v { ~ q ) lp ) i. p ¿Cuái de ias siguientes proposiciones es equiva lente de; "Es necesario pagar 10 soles y ser socio para ingresar ai teatro”? I. No ingresar ai teatro o pagar 10 soles y ser socio. II. Pagar 10 soles o ser socio, y no ingresar al teatro. III. Pagar 10 soles y ser socio, o no ingresar al teatro. IV. Pagar 10 soles o ser socio, e ingresar al teatro. V Si (~(q » p)) =» (s r) es felsa, determinar el valor veritativo de ias proposiciones adjuntas; siendo w y t proposiciones lógicas. I. ( ~ r « p ) = . t F « ¡ F ! F (q A ~p) 1 V 1 F V F V F V V : F F F F F ! F : V Es una contradicción (F) P t [P A (pVt)] A (-t V V V F V V V F F V V F V V V F F F F V V t Es una tautología til. II. q v ( t = » w ) Ili. (p » r) » (q « s) Resolución: ~(q ^ p) ^ (s =9 r) es F Entonces: ~(q =» p) es V y s r es F De donde; (q ^ p) es F Es decir: q es V y p es F; s es V y r es F. V (p A q) ' í ' Resolución: p ; pagar 10 soles q ; ser socio r ; ingresar al teatro r=(pAq)s~rv(pAq) Pagar 10 soles y ser socio, o no ingresar ai teatro. 5. q = P q (p=*q) V V V ;V :V V F F ¡\ ¡ F F V V ¡V !V F F V 1 F 1 F ' 1 Es una contingencia *C (T) q (C ) 7. Señale la secuencia correcta, al determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F), si (p A q) A p es verdadera: I. pA(~q=»p) II. p =. [(~p V q) A {p A q)3 III. (p A ~q) =» (p A ~q) Resolución: (p A q) A p es V, entonces (p A q) es V y p es V; qesF. I. p A ( ^ A F =» p) V 10. II. P = » [ ( ^ V q ) A ( £ _ ^ ) ] FV F F V V A V V. V lll. ( p A ^ ) =( p A ^ ) V A V VA V (F) II. r es F y 8 es F, se tiene: { F - p ) « ( - q « F) = F (V )« (~q » F ) = F ^ (~q=,F) = F =► ~q = V; q es F (V) MI. r es V y p es F, se tiene: S = (V =» F) « (~q « V) S = ( F) «( V) = F FVF V =» V V I. p e s V y q e s V S = (r=»V)«»(F=»r) = ( V) o ( V) = V S siempre es V, para cualquier valor de r. (F) Simplificar la siguiente proposición compuesta: [p « (q V ~r)] a { [p ^ (q a ~r)] a [p A (q r)]}. Resolución: [p « (q V ~ r)] A { [p =í (q A -r)] A [p A {q =» r)]} = S Nótese que: p =» (q A ~r) A p = ~(~q v r) = p =» ~(q r) = ~p V -(q =» r) = ~[p a (q =» r)] Luego, S quedará asi: ^ S = [p « (q V ~r)] A {-[p A (q « r)] FVF 8. Si la siguiente proposición: (p a ~q) » (r ^ t), es fóisa, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones; I. (r «91) V ~ r II. [{ r ** p) A (t V r)] V H ) III. ( ~ p « r ) v ~ t Resolución: (p A ~q) => (r =» t) es F entonces: (p A ~q) es V y (r =» t) es F, entonces; p es V; q es F; r es V y t es F I. { r * * t ) v ~ r = ( V « F ) v F = { F ) v F = F II. [ { r « p ) A ( t v r ) l v ( ~ t ) = [(V V) a (F V V)] V (V) = ((V) A (V)] v V = V III. (~p =» r) V ~t = (F =» V) W = (V) v V = V FW 9. Dada la siguiente fónmula iógica S: (r=» p )«»(-q » r); Indique el valor de verdad de las siguientes afirmadones: I. Si p y q son verdaderas, para que S sea verda dera el valor de verdad de r siempre es F. Ii. Si r es falsa y S es falsa, entonces q es F. ill. Si r es venjadera y P es falsa, entonces S es V. Resolución: Si (r =» p ) « (- q=»r) a [p a (q - r)]} t S = [p « (q V ~r)] A {~t A t} S = [p » (q V ~r)] A F = F 11. S im p lific a r la s ig u ie n te p ro p o s ic ió n co m p u e s ta : ~ { [{ ~ q =* ~ P ) A ~ ( ~ p ^ ~ q ) ] V (p =9 ~ q )}. Resolución: ~ {[{~ q =* ^ p ) A ~ ( ~ p =» ~ q ) ] V (p =» ~ q )} = ~ {[(q V ~ p ) A ~ ( p V ~ q ) ] V (~ p V ~ q )} = - {[(q V ~ p ) A (~ p A q ) l V (~ p V ~ q )} = - {[(q V ~ p ) A ~ p ] A q ) V ( ~ p V ~ q ) } = ~ {( [ ~ p ] A q ) v (~ p V ~ q ) } pu es: (q v ~ p ) a ~ p = ~ p = ~ {((~ p A q )v ~ p ]v ~ q } = ~ {(~ p )v ~ q } = ~ (~ p )A ~ (~ q ) = p A q 1 2 . S im p lific a r la s ig u ie n te p ro p o s ic ió n co m p u e s ta : [~ p ^ ~ ( p ^ q)] V [(p A (p « q )) => p]. Resolución: [~ p =» ~ ( p =» q )] V [(p A (p =» q )) =» p] = [ ~ p =» ~ ( ~ p V q ) ] V [(p A ( ~ p V q )) =» p] = h p =» (p A ~ q ) l V [((p A - p ) V (p A q ) ) =» p ] = [p V (p A ~ q ) ] V ((F V (p A q )) =* p j = (P) ((P A q ) « p] p u e s: p V (p A ~ q ) = p; F v (p a q) = p a q = p V h ( p A q) V p] = p v [(~ p v ~ q )v p ] = p V [V V - q ] : pues ~ p v p = V = p v lV ] = V 13. Si # es un operador lógico definido por: p # q = {p V [(r « p) A p]} A {q A (p « ~p)} Haiiar p # q Resolución: p # q = {pví(r p)Ap]} A{qA(p**~p) } . p # q = {p V I ( ~ r V p ) A p ] } A F p # q = {p V (p)} A F = p A F p#q = p 14. Si ~(~(p A q)) =» ~(r A p) es una proposición com puesta fóisa, determine ¿cuái(es) de ias siguientes proposiciones son verdaderas? i. ( ~ p A m ) = » { x « y ) ll. (p r) =» (8 A q) iii. ( x v - y ) = * ( p A r A ~ q ) Resolución: ~(~(p A q)) ~(r A p) es F Entonces: p A q es V y ~(r a p) es F De donde: r a p es V; es decir: r es V y p es V; como p A q es V, entonces q es F. (P « r) V» V =» ** ^=»_q) = r» r = V Es una tautología IV. [p A (~p q)] V ~p = [p A (p V q)] V ~p = (p)v~p = V Es una tautología 1,11, ili y IV 16. En relación a la proposición compuesta: T; Ip =» (q A r)l A [p A (~q V ~r)l indique cuál de los siguientes enunciados son co rrectos: I. S es una contradicción. II. S es una contingencia. III. S es una tautologia. Resolución: La proposición T se puede mejorar así: T : Ip =» (q A r)] A [p A ~(q A r)] = [p =» (q A r)l A ~[~p V (q A t )] s [p =» (q A r)] A ~[p « (q A r)} Por lo que T tiene la forma a A ~a, y como a, ~a son de valores opuestos, entonces a A ~a es V siempre: por lo tanto, T es una tautología. Soío lll es correcto. i. (~p A m) ^ (x «> y) F Ili. Como ~q =» --p = p s» q, entonces; (p =» q ) « (~q =» ~p) ? 17. i ^ siguiente proposición: [(~p V q) V ~(p A ~q)J A [p A ~ r] ; es equivalente a: (SAq) ? A F I. (p =. q) A ~{p =» r) II. (p A q) V ~(p =. r) III. {p =» q) => (p A r) l l l . (X V ~ y ) =» ( p _ ^ V A A q ) V V Son verdaderas I y iii. 15. De las siguientes proposiciones'. I. p « ( p v q ) II. (pAq)=»p IIL (p=.q)<»(~q=»~p) IV. A (~p =» q)] V ~ p Son tautológicas. Resolución: I. p=»( pvq) = ~ p v ( p v q ) = (~pvp)vq = V v q = V Es una tautología II. (pAq)=>p = ~ ( p A q ) v p = (~pv~q)vp = {~pvp)v~q = (V) V ~q = V Es una tautología IV. ~(p A q) =» r V (p^q)A(p=^r) Resolución: I(~p V q) V ~(p A ~q)] A (p A ~r) s {(-p V q) V [~p V ~(~q)I} a (p a -r ) = [-P V q) V (~p V q)} A ~ {-p V r) = hpvqlA~(~pvr) s (p =» q) A ~(p =» r) Es equivalente a I. 18. Si * es un operador lógico definido mediante la si guiente tabla de verdad: p V q P*q V F V F F F V F F V F Simplificar la proposición: (p*q) * (q*p Simplificar la proposición'. [pD(~paq)]üq Resolución; p-q -(P V q) F ( V ) Resoiución: F ( V ) F ( V ) V ( F ) Se nota que: p * q = ~ ( p v q) = ~ p A ~ q También, nótese que: p . q = q « p A r * r = ~r Se nota que: p D q = ~(q=>p) = q A ~ p Luego: [p o (~ p a q)] d q = [p □ (q a p)] o q = l(q A p) A ~ Pl D q = [q A (p A ~ p)l □ q = [q A (F)] o q = F □ q = qA(~F) = q A V = q Luego: {p * q) • ( q * p) s { p • q) * ( p * q) = ~(p»q) = - l ~ ( p v q ) 3 = pvq 19. Si * es un operador lógico definido mediante la ta bla adjunta, tai que (s * t) • ( t • s) es verdadero. 21. p q V V p*q F V F F F V V F F F Hallar el valor de verdad de ~ (s * t). Resolución: q V p .q V V F F F V V F F F P F Si p, q. X, z, y, t son proposiciones lógicas, tal que cumplen las condiciones: p A q es verdadera, ~x y es verdadera, indicar el valor de la verdad de las siguientes proposiciones: I. z = » ~ p v - - q II. p « ~ q III. ( ~ x A ~ y ) » t Resoiución: pAqesVA-x^yesV Luego: p y q tienen valores opuestos ( ~ x ^ y = x v y ) es V I. z = * ~ p v ~ q V pues uno de ellos es V = z=»V = V Ai igual que en el problema anterior: p • q = ~(q =» p) = q A ~p Luego: (s • t) * (l * s) = (t a ~ s ) • (s a -t) = (s A ~ i) A A ~ s) = ( s A ~ t) A (~ t V S) = S A [~ t A (~ t V S)] = s A (~t) = - ( s =» t) es V Entonces: s ^ t es F Luego: s es V y t es F ~(s • t) = ~(t A ~s) = ~ t V s = t s es V ~(s * t) es V 20. Si □ es un operador lógico definido mediante la si guiente tabla: P q poq V V F V F F F V V F F F II. p « » ~ q e s V pues p y >^q tienen el mismo valor. III. (~ x A - y) ^ t = ~(x V y) =» t = -(V ) =» t = F =» t = V VW 22. Simplificar la proposición: -{[(~ p A ~q) V (p A (~p V q))] =* ~(p V q)} Resolución: ~{[~P A ~q) V (p A (-P Vq))]« p Vq)} = (p V q) V [(pA ~p) V (p A q)lJ ~(p V q)} F = ~ {[ ~{p V q) V (p A q)] =» ~(p V q)} =~ (p V q) V (p A q)] V ~(p V q)} Por una de las leyes de Morgan: = Q~(pvq)v(pAq)lA(pvq) = [ ~ ( p v q ) A ( p v q ) I VI(p Aq) A(p Vq)] F = (p A q) A (p V q) = p A [q A (p V q)l q = pAq 23. Si se cumple: (~ p A q) =» (p V r) = (s A t ) «»(- s V ~ t) Simplificar la proposición: [(P A r) =» (s V t)] A (q A t) Resolución: (SAt)«(~SV~t) = {S A t) « ~ (S A t) = F Es decir: (~p a q) =» (p v r) es F Entonces: (~ p a q) es V y (p v r) es F, de donde puede notarse que p es F; q es V y r es V. Luego: [(p a r ) » (s v t)] a (q a t) Fa y F ? = V A (q A t) = qA t = V A t = t 2 4 . H a lla r e i v a lo r d e v e rd a d de: M = [(p A q ) =» r] + (p =» (q « r)] Resolución: M = l( p A q ) « r ]« [p = » ( q « r ) ] M = [~ (p A q ) V r] « [p =» ( - q v r)] v r)] M = h ( p A q ) V r] « [~ p V ( ~ q M = [ ~ (p A q ) V r ] « [(~ p V ~ q ) V r] M = h ( p A q ) V r ] « . h ( p A q ) V r] M = s <9 s = V M e s u n a ta u to lo g ía 25 . S im p lific a r: {[~ (q =» p)] a [~ (p v ~ q )]} v ~ q Resolución: { [ - (q - P)1 A h (p V ~ q ) ]} V ~ q = ~ t(q « p )v (p v ~ q )3 v ~ q = - I ( - 'q v p ) v ( p v ~ q ) 3 v ~ q = ~ [-q v p 3 v ~ q pues: r V r = r = ~ [(~ q v p )A q ] = ~ [ ( ~ q A q ) V (p A q )l = ~ [F V (p A q ) l = ~ ( p A q ) = ~ p v ~ q = p = '- q o ta m b ié n = q ^ - p 2 6 . S i s e d e fin e : p V q = ~ p A ~ q , s im p lific a r: M = [(p V q )V q ]V [(p V p )V ~ p ] Resolución: p V q = ~ p A --q = ~ (p v q ) M = [(p V q )V q ] V [(p V p )V ~ p l r s r = (p V q ) V q = ( ~ p A ~ q ) V q = -(~ p A ~ q )A ~ q s (p v q )A ~ q = {p A -q )v (q A -q > = pA ~q F s = (p V p )V ~ p = ~ (p v p )V ~ p = ~ p V ~ p = ~ ( ~ p )A ~ (~ .p ) = pA p= p L u e g o ; M = (p A ~ q ) V p M = ~ (p A ~ q ) A ~ p M = (~ p V q ) A - p . M = - p 27. Si se conoce [(p * q) * r] * s es F, además: q V V F F V p V F F p*q V V F V Determinar los valores de verdad de los siguientes enunciados: I, p=» r II. s « r III. ~ p » q Resolución: De la tabla, se puede notar que: p • q = q ^ p Además: [(p * q) * r] • s es falsa s (p * q) * r es falsa Entonces; s es V y (p * q) * r es F r => (p * q) es falsa, de donde r es V y (p • q) es F; y entonces; q es V y p es F. Luego: I. p » r es V II. s «» r es V F V V V III. ~ p «»q es V V V 28. Si definimos # como: p # q = ( p v q ) A ~(p A q) Determíne una expresión equivalente de p # q. Resolución: p X q = (p V q) A ~ (p A q) = (pvq) A ( ~ p v ~ q ) = [p A (~ p V ~ q)] V [q A ("P V ~q)] = t(p A ~ p) V (p A ~ q )l V [(q A ~p) V (q A -q )} = ÍF v(pA ~q)Jví{qA~p)vF] = (p A ~ q) V (q A ~p) = ~(~pvq)v~(~qvp) = ~ (p - q) V ~ (q - p) = ~((p=»q)A(q=»p)] = ~{p«*q) 29. Sea A = {1; {1; 1}; {1}; {1; 1; 1}}, detennine la se cuencia correcta, al determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. A tiene 4 elementos II. { 1 } e A III. { 1 } c A Resolución: A = {1;{1;1}; =*A = {1:{1}: {1}: {1}} «A -{1;{iy} I. A tiene 2 elementos. (F) II. {1}esunelenr»ntodeA,porloque;{1}G A (V) III. Tenga en cuenta que: s i x e A = > { x } c A Como; 1 e A ^ {1} c A (V) .-. F W 30. Si p, q, r, s, t, u y w son proposiciones lógicas tal que: p » (q ^ r) es falsa, q «»(p » t) es falsa, indi car el valor de verdad de las siguientes proposicio nes, es: I. ~ t A { r = w) II. q v ( ~ r « * u ) lll.t=»(s Ar) Resolución: A = {{1: { 1 } } ; { 0 } } B = {{1};4;0} n(A) = 2 ^ n(P(A)) = 2^ = 4 I. ín(P(A))} = { 4 } e B pues: {4 } c B Resolución; Si: p » (q r) es F » p es V y q » r es F Entonces: p es V; q es V y r es F q « (p => t) es F. Entonces p =* t es F y como p es V Entonces t es F I. ~ t A (r=> w) = V A (F =» w) = V A (V) = V II. q V ( ~ r « u) = V V (~r*=» u) = V III. t ^ ( s A r ) = F ^ ( s A r ) = V VW 31. Se sabe que x es un conjunto tal que; x g P(A). Para todo conjunto A. Determinar cuáles de las si guientes afinmaciones son verdaderas: I. x n x = x, V A II. x - A = x , VA l l l . ( A - x ) u ( x - A ) = A . VA Resolución: X e P(A), VA =» x c A I. x n x = x. V A II. x - A = x , V A Como x c A = » x - A = 0 III. ( A - x ) u ( X - A ) = A Es igual a: A - x VFF (V) (F) (F) 32. Sea el conjunto A = {0;1; {1}; {0;1}; { 0 } } y las siguientes proposiciones; I. { l l e A II. {0:1} e A IM.ÍDc A IV{0;{1}}c A V {{0}}cA Determinar el número de proposiciones verda deras. Resolución; A-{0;1:{1};{0:1};{0» I. { 1 } g A (V) II. {0:1} e A (V) III. { 1 } c A (V) IV. { 0 ; { 1 } } c A (V), pues OeAA {1} eA. V. { { 0 } } c A (V), pues {0 } g A .'. Las 5 son verdaderas 33. Sean los conjuntos A = {{1; { 1} }; { 0 }}, y B = {{1>: 4; 0 }. Hallar el valorde verdad de las siguientes proposiciones: I. II. III. IV. í n( P( A) } eB A n B $ A, entonces (ji ^ P(A) n B ( 1 } e A , si y solo si A - B e P(A) {{1}¡ 0 } e P ( B ) (F) II. A n B í A » 0 ^ P ( A ) n B F; pues: A n B = 0 c A Luego, la proposición es (V) III. { 1 } e A « A - B e P(A) F V, pues; A - B = A Luego, la proposidón es (F) IV. {{ 1} ; 0 } e P(B); V, pues {{ 1}; 0 } c B .-. FVFV 34. Indicar el valor de verdad de cada una de las pro posiciones: I. V x e IR, X* e E II. v x G ® , V y e E : x' ' em III. Vx Ei R, 3 y E ( S / x ’ E(& Resolución: I. V X e IR: x* e E (F), pues: ( - 0,5)"®® í E II. V x e ® , v y e E : x ^ e E (F) ■j\-0.S pues: ?E lll. v x e E : 3 y e ® / x ^ e ® (F), pues; x* € ®, V y € ® .-. FFF 35. S e a A = { x e E / x < 1 « x > 0 } y B = {xeZ/{x*/16)eA>, halle el número de elementos de B. Resoiución: A ={xeE /x<1*»x> 0} p q = (p A q) V (~p A ~q) x < 1 » x > 0 = (x< 1 A X > 0 )V (X > 1 A X < 0 ) = = x < l A x > 0 = xe(0;1) A = (0; 1); B = { x e Z / x V l 6 e A } ^ O < xVl6 < 1 =» O < x^< 16 « B = { - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1; 2; 3} .-. n(B) = 7 36. Sea el conjunto A = {3; 5; {2; 8}}, halle el valorde verdad de cada una de las proposiciortes: I. 3 x e P ( A ) / 2 e x II. 3 x e P ( A ) / { 2 ; 8 } c x III. 3 x g P(A)/{{<|)}} c x IV. 3 X € P(A)/{3} c X Resolución: A = { 3 ; 5; {2; 8}} I. 3 x e P ( A ) / 2 e x (F) No hay un subconjunto x c A, de modo que: 2 e x. Entonces: [(~p) * q] # [(~q) # p] = [~(p n q)] # Ip n qj = (p n q) n (p n q) = pnq ti 3 x e P ( A ) / { 2 ; 8 } 1 c x(F) { 2 : 8} e A =» { 2: 8} O i x c A III. 3 x e P ( A ) / { { 0 } } C x (F) pues { 0 } í A. IV. 3 X € P(A)/ {3 } c X (V) Pues: 3 e A A {3 } c {3: 5} c A FFFV 40. Sabiendo que: p V V F F 37. Si el valor de verdad de la siguiente proposición; (r u s) ^ [(p n -s ) => (p n ~ q ) ] es falso, hatiar el valor de verdad de las proposiciones: I. (p n ~ q ) r II. q n (~p u ~s) l ll.(~p=>r)u~s V V poq V V F V F F PesV •~ s es V = 8 es F De(*2) ~ q es F = q es V De (*3) r V s = V; re s V De (*1) V q es V res V s es V F V V II) q A ( ~ p A ~ s ) V V V (F) 41. ~V V V Aque es igual: {(p ^ q) A [(p ^ q) v r]} a q Resolución: Í(P q) A [{p =9 q) V r]} A q: Absorción V (V) (P=>q) A q; Condicional V í ~ p v q) (q V ~p) A q: Conmutativa (V) q A (q V ~p); lll) ( ~ p « r ) v 38. Simpliflcar ta siguiente proposición: t = {(~p V q) V [(p =» q) A r]} A q Resolución: Sabemos que: p ^ q = ~p v q t = {(~p V q) V t(~p V q) A r]} A q Absorción t = ( - P V q) A q t = q A (q V ~p) => t = q Absorción 39. Se definen las operaciones: p *q = - . p « . ^ q A p # q = ~ p A q Simplificar: [(~p)*q]#[(-q)#p] Resolución: ~ p *q = ~p«q V«V .S or i i V lll)~p«»q Resolución: De la tabla de verdad: p o q, es Falso « p es F a q es V [(p o q) o r ] o s es falso p es F V________ F V F Luego tenemos: I) ( p A ~ q ) « r y si [(p o q) o r] o s, es falso Hallar los valores de verdad de; l )p=«r iD s^r Resolución: (*3) (*1) (*2) (r V s) ® [(p A ~s) ® (p A ~ q )] V q V F V F p )= » ^ q = p = ,- ,q = ^ p u ~ q = ~ ( p n q ) - q # p = ~<~<i) n p = q n p = p n q 42. A q; Conmutativa Absorción Simplificar el esquema: {(~p vq ) v [ ( p^ q ) A r ] } A q Resolución: Se sabe que: p » q = ~p v q: Con lo cual: {(~p v q) v [(~p v q) a r ] } a q Absorción Luego se tendrá: (-pvq)Aq: (qv~p)Aq: qA(qv~p) = q Conmutativa Conmutativa Absorción 43. Simplificar la siguiente proposición; ~ r~ ( p A ~q) =*. p] V q Resolución: Se sabe que: p ^ q = ~p v q: luego aplicamos esta propiedad dentro del corchete. ~ [(p A ~q) V p] V q: ~ [p V (p A ~ q ) ] v q Conmutativa '(P) v q = ~ p v q = p Absorción 44. Simplificar el esquema: (~p a q) (q =» p) Resolución: Dado que: p =» q = ~p v q; entonces se tiene que: (~p A q) (~q V p); ~ (~p A q) v (-q v p) — I— — I— Condicional (P V ~q) V (~q V p) II. p = , [ q ^ ( r A s ) l ill. (~p A q) =» [p V (~q V r)] Resolución: Sabemos que: {[(p A q) =* rl A s} =» (q V r) = F V Conmutativa (p V ~q) V (p V ~q) = p V ~q • • Idempotencia 45. Si: p O q = [((p => q) => p) V q] A p Simplificar: {[(~p A r) O qí O (p O q )} 0 ( p v r ) Resolución: Vamos a redefinir p O q p O q = { [(p =► q) =» p] V q} A p Aplicando dos veces condicional: p O q = { [~(~p V q) V p] V q } A p Por Morgan: = { [ ( p A ~ q ) v p ] v q} a p Por absonsión, dos veces: = (p v q) a p = p pG q = p Luego, en la expresión a simplificar: { [(~p A r) Q q] Q (p O q)} O (p v r) = [(~p A r) G q] O (p O q), (definición de O) = (~p A r) O q = ~p A r 46. La proposición equivalente a: No es un buen estudiante, sin embarco destaca en el fútbol es: I. No es cierto que, sea un buen estudiante o no destaque en fútbol. II. Es un buen estudiante o no destaca en fútbol. III. No es un buen estudiante y no destaca en fútbol. IV. No es cierto que, no sea un buen estudiante y destaque en fútbol. V. No es el caso que, sea buen estudiante y no destaque en el fútbol. Resolución: Consideremos: p : es un buen estudiante q : destaca en fútbol Formalizando; no p, sin embargo q Simbolizando: = ~pAq = ~(p V ~q), por Morgan Resulta: I. No es cierto que, sea un buen estudiante o no destaque en fútbol. 47. Si el Siguiente esquema es falso: {[(p Aq)=>r] a s } =>(q v r) Hallar el valor de verdad de: L t(pvs)Aq]«(rvs) F q v r = F=»q = F ; r = F [(p A q) =» r] A s = V V V s = V; p= F Además: (p A q) =» r = V F F F Luego; I. [ ( p v s ) A q ] = > ( r v s ) = V V F V Jí. [ q ^ (r A s) J = V F V lll. (~ p A q ) [p V (~ q V r)] =V .-. V W 48. El equivalente de la proposición: “Hay que pagar 100 soles y ser socio para ingresar al teatro" es; I. No ingresar al teatro o pagar 100 soles, y ser socio. il. Pagar 100 soles o ser socio, y no ingresar al teatro. III. Pagar 100 soles y ser socio, o no ingresar ai teatro. IV. Pagar 100 soles y no ser socio, y enb-ar ai teatro. V: No es cierto que se pague 100 soles o sea so cio, o ingrese al teatro. Resolución: Formalizando tenemos: p : pagar 100 soles q ; ser socio r ; ingresar al teatro Simbolizando se tiene; tiay que p y q para r = (p A q) r. por condicional; = -(p a q) v r No es cierto que se pague 100 soles y sea socio, o ingrese al teatro. 49. Si la proposición compuesta; ~ {~ (t => s) a ~ [ ( ~ p a q) (r a p)]} es falsa, ¿cuántas de las proposiciones p, q, r, s y t son verdaderas? Resolución: Sea: I. ~ {~ (t => s) A ~[(~p A q) => (r A p)]} = F V II. ~ ( t = » s ) A ~[ ( ~p A q ) « ( r Ap ) ] = V V V 11!. ~ ( t ^ s ) = « V t = » s = F =»t = V ; s = F IV. ~[(~pAq) => (r Ap) ] = V F - Luego: (~p a q) =» (r A p) = F y Entonces: ~p a V q=V V =>p = F ;q = V También: r A p = F rA F = F = » r = F Son verdaderos: 2 50. Si: p V (r => w) = ~(t => t) V ~(p p) Simplificar la proposición molecular; [(p =í (q A r)] A { [ ( ~ t V q) A (q =* ~q)] v ~ t } Resoiución; p V (r =» Vií) = ~ ( t =» t) V ~ (p =* p) = ~ H V t) V ~(~p V p) V F V V F= F p V (r ^ w) = F t t t F V F Reemplazando estos valores en la proposición pedida: [(p =» (q A r)] A { [(~t V q) A (q =» ~q)] v ~t} t F V A { [(~t V q) A (~q V --q)] v ~t} V Idempotencia A { [ ( ~ t v q ) A ~ q 3 v ~t} V A V Absorción A ~ t = ~t Absorción {[(~q A ~ t)] V --t} 51. “Et equivalente de la proposición: Si Juan es depor tista. mantiene una dieta estricta" Es: I. O Juan es deportista o mantiene una dieta es tricta. IL Juan no es deportista y mantiene una dieta es tricta. III. Juan mantiene una dieta estricta o no es depor tista. IV. Juan es deportista y no mantiene una dieta es tricta. V. Juan no es deportista y no mantiene ta dieta estricta. Resoiución: Simbolizando; Si Juan es deportista, mantiene una dieta estricta, p : Juan es deportista q : mantiene una dieta estricta Si:p, q = p=»q Equivatente: ~p v q, por condicional Luego; ‘Juan no es deportista o mantiene una dieta es tricta". = “Juan mantiene una dieta estricta o no es de portista”. 52. Si vas at estadio pierdes tu dinero. Si no vas al es tadio, vas a la playa. Si no fuiste a la playa, entonces: I. No fuiste al estadio. II. No perdiste tu dinero, til. Pierdes tu dinero. IV. Fuiste al estadio y ganaste dinero. V. Perdiste tu dinero y no fuiste a la playa. Resoiución: Consideremos: p : vas al estadio q ; pierdes tu dinero r : vas a la playa Simbolizando tos enunciados, tenemos; I. p=»q II. ~p ^ r Por propiedad de la condicional; ~p =» r = ~r » ~(~p), transposición. = ~r =» p, doble negación III. -r=»p De I y Iti: ~ r => p a p q ~r=» q (transitiva) Luego: “Si no vas a la playa entonces pierdes tu dinero”. 53. Si la proposición: (~p A q) => [(p a r) V t] = F Hallar el valor de verdad de; I- ~ t ( ~ p v ~ q ) « ( r v ~ t ) ] II. ( ~ q A ~ r ) v H A ( p v q ) ] III. ~ {~[~(p « p) - (s A w ))} Resoiución: De; (~p A q) * [(p A r) V t] = F • • ~p A q = V V V (p A r) V t = F F F p = F; q = V t= F Luego, analizando cada caso: (~ p V q ) A p p A (~p V q ) I. ~ [ { ~ p v ~ q ) ^ ( r v ~ t ) ] = F V V V pvq 56. Si el costo de cada llave en la instalación mostrada es de S/.10, ¿en cuánto se redudrá el costo de esta instalación si se reemplaza este drcuito por uno equivalente más simple? V I. ( ~ q A ~ r ) v [ ~ t A ( p v q ) ] = V F y F II. W Conmutativa Absorción V. V H p «P)==(s a w )]}= V F F V F 54. FW Resolución: Considerando que: De la Îsedad de: (p => ~q) v (~ r : -s) Hallar el valor de verdad de: I. - ( ~ q v ~ s ) « ~ p II. ~(~r A s) ^ (~p =» q) III. p =, ~[q => ~{s =» r)] p q. = pAq |— P— 1 = pvq Resoiución: Del problema: El circuito mostrado es equivalente a: rp = V (p=»~q) = F=» I q _ y [ (p V q ) A p A q ] V p A —q— Absordón (~-r^~s) = f q » { g “ y (p A q )v (rA q A p ) = p Aq q Al reemplazar, se tendrá; V F ---------- p------------- 1 2 llaves I— P- — -p. F Es: l-^=»~[q_« V q> V F V p El circuito lógico más simple que representa a: (~P =» q) y ® y — Absorción F A^ s Por lo tanto, las 8 llaves del drcuito mostrado pue den ser reemplazadas por 2. Ahorro; (8 - 2) x S/.10 = S/.60 57. 'R r A (~r V q ) Absordón Resolución: Simbolizando el circuito, tenemos: [~ p V (~ p A q A r)] A ( p V q) Por la absorción, se tiene: = - p A ( p V q) v i = ~p Aq FFF 55. Hallar el equivalente del drcuito: --------- ~p----------- hP- El circuito equivalente resulta; ~p q -----58. Dada las proposiciones: q; “ (7 es un número nactonal’’ p y r cualquier proposición, además se sat>e que: ~ l(r V q) =» (r => p)] es verdadera. Hallar el valor de verdad de: ¡. Resoiuclón: Reduciendo el circuito; r-(~ p v ~ q ) II. [(r ^ (p A q)] « (q A ~p) m. (r V ~p) A (q V p) i. Resolución; Del dato, q = F, además: (rvq)«(r«p) = F F I. r=* p = F V F psF; q = F-, II. r V q = V V F r =V Luego; I. r=»( ~pv~q) = V V V V V II. [ r « ( p A q ) ] V F (qA~p) = V F V III. ( r v ~ p ) A ( q v p ) = F V V F F V F WF 59. Si la proposición q =» r es falsa, detennine el valor de verdad de las siguientes proposiciones; i. r A (p V r) II. ~(q A r) l li.(rA~q)=sp IV. p A (q » r) Resolución: Sabemos que: q ^ r = F V F .-. q = V; r = F Luego; I. r A (p V r) = F F V ill. (rA~q) F F p=V (~ p v ~ q )= » ~ r = - ( ~ p v ~ q ) v ~ r = (p A q ) V ~ r = r (p A q ) II. ( ~ r v p ) A q Iii. ( q A p ) v ( ~ r ) = r ^ ( p A q ) .'. i y ííl son equivalentes a la primera. 61. Cuáles de ias siguientes proposiciones son equiva lentes: I. El café es agradable, a menos que se le añada azúcar. II. El café es agradable s) no añadimos azúcar. Iii. SI añadimos azúcar, ei café es agradabíe. ÍV. Si añadimos azúcar, ei café no es agradabíe. Resolución: Simbolizando las proposiciones, tenemos: p ; el café es agradable q ; se le añade azúcar I. p, a menos que q = p a q II. p si no q = ~q =» p III. si q, p = q » p ÍV. si q, no p = q => ~p Expresando tas condicionaíes en función de a y v i. pAq íí. ~q=»p = ~ ( ~ q )v p = q v p iii. q=» p 2 ~ q V p IV q « - - p = ~ q v ~ p = - . ( p A q ) Luego: ninguna proposición es equiváiente a otra. 62. Dado; p * q = {[(p =» q) =# q] v q} Simplificar: ~(qAr)sV V F IV. p A (q • r) = F , V F_, F .-. F WF 60. ¿Cuál(es) de ias proposiciones son equivalentes a: Es necesario ser adulto y pagar diez soles para ver )a película en el cine. i. No ser adulto o no pagar diez soles es suficien te para no ver la película en el cine. II. No ver la pelícuia o ser adulto, y pagar diez sotes, ili. Pagar diez soles y ser adulto, o no ver la pelícu la en ei cine. Resolución: Sean las proposiciones: p; ser aduito q: pagar diez soies r: ver la película en eí cine Luego: Es necesario ser aduito y pagar diez soies para ver ía petíojía en el cine. Se simboliza; r =» (p A q) y las 3 proposiciones si guientes: a p { [ ( ~ p ‘ q ) A (r * ~ q ) ] * (p « q ) } « (p V r) Resolución: Tenemos ei operador (*) p ‘ q = { [ ( p = » q ) = » q ] v q }A p = { [ ~ ( ~ p V q ) V q ] V q } A p (doble condicionaí) = ( [ ( p A ~ q ) y q l v q } a p (Morgan) = [{p V q) V q] A p (absorción) = p (Asociando y absorción) Reempiazando en ía expresión a simplificar: {[(~p*q)A(r*~q)]’ (p « q )} (p v r) = [ ( - P * q ) A (r * ~ q ) I « (p V r), (d e f. *) = ( - P A r) «■ (p V r), (d e f. *) = [(~ P A r) A (p V r)] V ~[(~p A r) V (p V r)], (bicondicional) = { ~ p A [ r A ( p v r ) ] } V [(p V ~r) a (~ p a ~ r)], (Morgan) = ( ~ p a r) V { {(p V ~r) A ~r] a ~p} (absorción) = (~p A r) V (~r A ~p), (absorción) = ~p A (r V ~r). (distributiva) = - p A V, (tercio excluido) = ~p 63. D a d a las p ro p o s ic io n e s ; p : Edy trabaja cuando gana más de 20 dólares diarios. q : Lolo trabaja, pero no se preocupa por sU salario. Simbolizar la proposición: Lolo no trabaja o se preocupa por su salario a me nos que Edy trabaje cuando gane más de 20 dó lares díanos. Resolución: Desdoblando la proposición tenemos: q : Lolo trabaja, pero no se preocupa por su sa lario. m : Lolo trabaja, n : se preocupa por su salario. Es decir: q = m a ~n Formalizando la proposición propuesta, resulta: No “m” o “n" a menos que “p” s (~m V n) A p, por Morgan = ~(m A ~n) A p = ~qAp P R O B L E M A S D E E X A M E N DE A D M I S I O N U N I PROBLEMA 1 (tN I 2001 > I) Simbolizar lògicamente la expresión "Juan Pérez saldrá elegido y será congresista, si y solo sí obtiene apoyo en su provincia". A) P es q, r D)(p Aq)=»r B) p. q => r E)p=»(q, r, s) C) (p a q) r Respecto de: “Si gana Perú, no voy a estudiar”. Indique la altemativa que se puede concluir: Simbolizando la expresión: p: saldrá elegido q: será congresista r: obtiene apoyo en su provincia ••• (P A q) « r Clave: C PROBLfMA 2 (liN I 2003 - 1) Si se asumen las siguientes premisas: Sí me pagan, trabajo • Si no me pagan, renuncio Si me dan un incentivo, no renuncio * Me dan un incentivo o denuncio a la empresa No trabajo ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son conclusio nes lógicas de estas premisas? I. No renuncio II. No me dan un incentivo III. Denuncio a la empresa A)lytl D)l;llylll 8)1 y lll E) Solo II O H y Ili p => t Si no me pagan, renuncio ~p ^ r Si me dan un incentivo, no renuncio s » ~r Me dan un incentivo o denuncio a la empresa s V A) Si estudié, ganó Perú B) Sí no ganó Perú, estudié C) Si no estudié, ganó Penj D) Si fui a estudiar, no ganó Perú E) Nunca, estudio porque siempre gana Perú Resoiución: Deí enunciado; Sí gana Perú, no voy a estudiar p ~ q Si aplicamos la propiedad de transposición: q ^ ~p Se concluye; si fui a estudiar, no ganó Perú. Clave: O PROBUEMA 4 (UNI 2006 • I) Si la mentira es un antivalor, por tanto es negativa, sin embargo, no es mentira que sea negativa. Luego es correcto afirmar que: A) La mentira es un antivalor B) No es verdad que la mentira sea un antivalor y negativa C) La mentira es negativa D) Es falso que la mentira no sea un antivalor E) Todas las anteriores son válidas Resolución; Si me pagan, trabajo ~t Clave: C PROBI£MA 3 (UNI 2004 - II) Resolución: No trabajo Por tanto, a partir de la última premisa: ~t =» ~p: no me pagan ~p =» r: renuncio r = ~s: no me dan incentivo ~s A q: denuncio a la empresa Resolución: De los datos podemos definir: La mentira es un antivalor: p Es negativa: q Entonces: p q ~(~q) q Por lo tanto, la mentira es negativa Clave- C PROBLEMA 5 (tN I 2007 - 1) Simplifique; [(r □ s) ^ t ] « [ - ( tes)] Indique la fórmula que representa el siguiente circuito lógico: A )t D) r «=»~s Resotución: Si y. salida entrada p D q = (p A q )= » q = ~ (p A q ) V q = {~ p V ~ q ) V q B) ( p v q ) A ( r A s ) D) ( p A q ) v ( r v s ) A) (p A q) A (r A s) C) (p V q) V (r V s) E)(pvq)A(rvs) c)~ t B )^ r E) r » ~ t = ~ p V (~ q V q ) p□q = Resolución: ... (equivalencia lógicas) ...(leyes de Morgan) ...(Ley asociativa) ...(Tautología) V p ® q = p = » (p v q ) ...(equivalencia lógica) = - p V (p V q ) _E/_ = (~p V p) V q entrada q / salida J /_ La fórmula lógica es: (p v q) a (r v s) Clave: E Dadas ias inferencias: I. Si ella compra un vestido, entonces comprará za patos. Ella compra zapatos, por lo tanto ella com pra un vestido. II. Si Luis lee Caretas está bien informado. Luís está bien informado, entonces Luis lee Caretas. ill. Si estudio, obtengo buena nota. Si no estudio, me divierto. Por lo tanto, obtengo buena nota o me di vierto. Son válidas: B) Solo ti E) II y lll V C) Solo t^ F .-. ~ t Clave: C PROBlfMA 8 (UNI 2012 - I) Señale el circuHo equivalente a la proposición [(p =» q) =» p ] A [~ p =» (~ p =» q)] A) — / p - B) - ^ q - C) - ^ ~ p - D) ^ ~ q - E) — / p —/q - PROBLEMA 9 (UNI 2012 - 1) A) F FW D )W F F Resolución: (P V ~q) i p o q = (pAq)=»q p © q = p=»( pvq) J Si la proposición (p v ~q) => (r » ~s), es falsa. El valor de verdad de p, q, r, s (en ese orden) es; Clave: C Si: V Resoluclón: Considerando: A a B A = (p =» q) =» p B = ~p=>(~p^q) = (~p V q) =» p = p V (~p =» q) = ~(~p V q) V p =pvpvq = (p A ~q) V p B= pVq A=p Entonces; A A B = p A ( p v q ) AaB= p Clave: A Resolución: Analizando: I. Compra un vestido = p Compra zapatos = q Del enunciado p ^ q Luego: q ^ p (no es válido) II. Luis lee Caretas = p Está bien informado = q Del enunciado; p =» q Luego: q ^ p (no es válido) Iti. Estudio = p Obtengo buena nota = q Me divierto = r Del enunciado; p q ~p=»r .-. q V r(si es vàlido) PROBLEMA 7 (tN I 2011 - 1) [ (V =» t) «■ F PROBLEMA 6 (tN I 2007 • II) A) Solo I D)lylf ... (Ley asociativa) = V V q ... (tautología) p®q = V ~(t® s) Simplificando; (rDs)=»t B)FWF E)FVFF O V FV F p: puede ser V o F q: puede s e r F o V Resolución: p:VF q:FV r: V V s:VV La única alternativa que cumpie es la A Lógica preposicional Clave: A (~p^q)vtr*~s) l PROBLEMA 10 (UNI 2012 - II) Si ia proposición: [(~p v q) =» (q «=» r)] v (q a s) es faisa, siendo “p” una proposición verdadera. Determine ios vaiores de verdad de; q, r, s, en ese or den. A) V W D) FFV B) VFV E) FFF C) VFF v V 1 i V V F p; F F q; F r; V V A V V V V V q ) » (q » r) = F il. V Como; p = V =* q; V; r; F; s: F (~r V q) F [(~q F v „ V Si ia proposición; (~p =» q) v ( r » ~s) s F. Determine ei vaior de verdad de ías siguientes propo siciones. i. ( ~ p A ~ q ) v ~ q ii. (~r V q) » [(~q v r) A s] Ni. (p => q) => í(p V q) A ~q] B) W F E) FFF si [V A V] PROBLEMA 11 (UNI 2012 • II) VW FW r) a V vV Clave: C A) D) s: V Luego, ias proposiciones: i. ( ~ p A ~ q )v (~ q ) Resoiución: De la proposición; [(~p V q) (q « r)] V (q A s) = F F Luego; (~p F C) VFF (p =» q) =» [(p V q) A ~q] F F F F IF A V] VFF Clave: C ■■■D 1. B) Ii E) Todas 4. p—i -q — Es de S/.50; en cuanto se reducirá el costo de la instalación si se reemplaza este circuito por su equivalente más simple. A)S/.350 D) S/.250 B)A = q=»p D)A=pv(p=»q) 7. B)S/.150 E) S/.300 OS/.200 Simplifique la siguiente proposición a su equivalen cia más simple. {[(P =► q) V ~p] A (~q =» p)} [( ~pAq) =. ( r A~r ) ] A( ~q) Se define el operador lógico V de la siguiente ma nera: - p V q = -[(~ p A q) V (~p A ~q)] Simplifique el siguiente esquema: {p ^ [(P V q) A (q A r)]} V (r A s) A)(p«r)vq D)(pvq)Ar A) ~ p V q D)p B)V E)~q C)F Si el enunciado: “si hay dinero pero hay infiación, entonces es suficiente que no haya trabajo, para que se tenga dinero”, es falso, concluimos que: 8. 9. Se define et operador *, mediante la siguiente tabla de verdad: pVq ~p A B) ~q E) V q C) ~p Indique cuáles son tautologías: I. (-P A q ) « (p V ~ q ) II. [p A (p =* q)] =* q III. [(p V q) A r] = {~p V [p A (~p =» q)]} A )l D) ti B) II y lll E) Todas q p.q V V F V F F F V V pAq: -P — q— F F F pvq: - P —I \-q -l B)a D) « E)=» Olii 10. Si; Simplifique y dé el equivalente del siguiente circui to lógico. I— C )v p Se tiene que: • pAq: pvq: C) r A s P A) A • B) q A r E )r Si:p#q = [(p v ~ q )A (~ q ^ p )] p © q = q v [ ( p « * q ) A ( q Ap)] Simplificar la siguiente expresión: W = { { - p # (q A ~ p ) ) A [(q » ~ p ) ffi q]} => q A) D) Además: p B q = ~ {[(p =» q) * (q ^ p)] v (p * q)} Entonces, el operador b reemplaza a: 6. P—1 r— P — I - q — ^ L-q— I C) lll A) No hay dinero. B) No hay inflación. C) No hay inflación y sí dinero. D) No hay trabajo. E) Hay trabajo y dinero. 5. Q I Si el costo de cada llave en la instalación del circuito: Exprese la siguiente proposición compuesta a su equivalencia condicional más simple. A = {~p « q) A (p =* q) A)A=p=»~q C)A=(p=»q)Ap E)A = ~p=»q 3. PR O P U ES T O S ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son tau tológicas? i- ~ { l( p J i q ) J i p ] ^ l ( q J i p ) i i p ] } II- {[(P ü q) A pl [(p li q) A q)} III- ~ ( p U q ) « ( p v q ) Si además “p i q", indica “no p y no q”. A) I D) II y lll 2. ■ ■ PR O B LEM A S q ^q^ q |— P—1 q A) p V ~q D)~p A ~q B)pvq E)p=»q C) ~q A) q D) - p 11. SI la proposición: [(p A q) A (~p V w)l => es falsa Se afirma que la siguiente proposición: [s V (p A ~w] V (p q), es: A )l D)ll 12. Las letras P, Q, R y S representan afirmaciones de las cuales solo dos son verdaderas. Se sabe lo siguíente: A) Si 8 es verdadera entonces Q es verdadera. B) Si Q es verdadera entonces R es verdadera. C) Si P es verdadera, entonces S es verdadera. Las verdaderas son; B)PyS E)PyQ B) Solo E)lyll B) Solo lll E)lylll 16. B) W F E) F W C) Solo lll O S o lo » C) VFV Sabiendo que la proposición compuesta; p » (~r V s) es falsa t ^ (p V s); p r; ~s =» t; r » p ¿Cuántas son verdaderas? A )0 B)1 17. Simplificar; (p V q) A ((q 0 )2 C)lll — p — q —• — P— pvq; — — qJ Simplifique y dé el equivalente del siguiente circui to lógico. p H L-----~p_qJ p P —1 15. Sabiendo que p y q son proposiciones con diferen tes valores de verdad, además; M = p V q: N = (~p A q) V p: S = ~q » p ¿Cuáles son los valores de verdad en ese orden? A) W V D) FVF 19. S i ; p Aq : - 14. La subida del precio de la gasolina implica la subi da de pasajes. * La subida de pasajes Implica el aumento del costo de vida. • La crisis económica impltca la sukâ de gasolina. ¿Cuáles no son con'ectas? I. La crisis económica implica la subida de pasajes. II. La subida del precio de la gasolina implica el aumento del costo de vida. III. La subida del pasaje implica la crisis económica. A) Solo l D) II y til C) ~q B) II y lll E) Todas OQyR 13. Sí la siguiente proposición compuesta: p ^ (r a s) es falsa, entonces, ¿cuáles de las siguientes afir maciones son verdaderas? I. ptiene un solo valorde verdad. II. s puede ser verdadera. III. r es necesariamente verdadera. A) Solo I D)lylll p V ~q p A ~q 18. Indique cuáles son tautologías; I. (-P A q) « (p V ~q) II. [ p A ( p « q ) ] ^ q III. [(p V q) A r] =» {~p V [p A (~p =* q)]} A) Verdadera B) Falsa C) No se afirma nada D) Toma ambos valores de verdad E) Faltan datos A)QyS D)PyR B) E) D)3 P) =» {P => q)l E)4 A) p V -q D)~p A ~q B)pvq E)p=»q C) ~p 20. Si el siguiente esquema es falso; (p A ~q) =» [(m A r) V -r ] Indique el valor veritativo de p, q, m y r A) VFFV D )W F F B) V F W E)FWF C) VFFF 21 . Sean las proposiciones; p Eduardo estudia en la UNI. q Eduardo no es vendedor de periódicos, r Eduardo no desayuna. Simbolice el siguiente enunciado y luego simplifíquelo; Es suficiente que Eduardo no sea vendedor de pe riódicos o no tome desayuno para que no estudie en la UNI. Pero si estudia en la UNI entonces es vendedor de periódicos. A) p =* (~q A ~r) C) p =» (q A r) E)pvq B) p A q A ~r D) (p V q) A r 22 . Dado el siguiente esquema molecular; [(P =» ~q) A r] (r =» (p A q)j Si elaboramos su tabla de verdad, calcule la dife rencia entre el número de verdaderos y el número de falsos de su matriz principal. A) 1 B) 2 0 3 O) 4 E) O 23. Sí la proposición “s" es falsa, y el siguiente esque ma: (~p A q) [(q =» r) V (p A ~s)] es una tautolo gía, entonces los valores de verdad de p, q y r son respectivamente: A)FW D)FFF B)VFF E)VW C)FVF 24. D) Pagar 231 soles y ser accionista, o no Ingresar al club. E) No es cierto que se pague 231 soles y ser ac> cionista, o ingrese al club. Se define: q V p*q F V F F F V F F F V p V 30. Simbolizar: “No es el caso que Carlos sea médico o abogado; en conclusión, Carlos no es abogado". A) ~p V q =» q C) ~(p A q) ^ ~q E) ~( p« q ) = » ~ q Simplificar la expresión: [(p«q)* (P *''q)]v(~ p*'-q) A) p D)pA~q 25. B) p A q E)pv~q C) p V q 31. Se define el operador: (-i-), por la siguiente tabla; p V V F F Se definen los operadores V y (f por las siguientes tablas: P q p V q V V F p fr q V q V F V F F V F Simpliflcar: (p + q) + p F V F V F F V A) D) V F Reducir: [(p ft q) v (~q V ~p] A) q D) p t q B) p a q E) P V q a [(p 1Ì q) A q] C) p 26. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. p=, ~q = ~ { p v ~ q ) II. ~ ( pV q ) v ( p j ? q ) = p = q III. ~ p í tq = ~ ( ~ P ^ q ) A) Solo I D)lylll B) Solo II E) Todas O lyll 27. Señalar la expresión equivalente a la proposición: (pv~p)A(~qv~p) A)q=»p C)(p=»q)=»~p E) (q =» p) =» ~p B)p=>q D)~p=»(p=»q) 28. Sean las proposiciones; • p,,,: v x e E , x° = 1 . q(„3 ye M //< 0 - 3* = (z + 3)(z - 3) • r,^,; V z G E, Indique el valor de verdad de: p » q: p => r; r v q A) FFV D)VW 8) ~q =» ~(p V q) D) ~(p V q ) « ~q B)FW E)FFF C)VFV 29. El equivalente de la proposición: “Hay que pagar 231 soles y ser accionistas para ingresar al club", es; A) No ingresar al club o pagar 231 soles y ser ac cionista. B) Pagar 231 soles o ser accionista y no ingresar al club. C) Pagar 231 soles y no ser accionista, y entrar al club. F pAq p + q V V F V B) p V q E) V C) ~q V q 32. Dadas las proposiciones; q: 4 es un número impar; p y r cualquiera tal que: -((r v q) =» (r ® p)] es ver dadera, hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares: I. r ^ ( ~ p v ~ q ) II. [r « (p A q)] (~p A q) A)VF D) FF B)W C)FV E) Depende de q 33. Si: p * q = p => ~q p # ~q = (p « q) = ~p Simplificar: [(p a q) * (p v q) # (p => q)] A)-pvq D)~pv~q B)p E)~p C)~q 34. Un profesor de UNI denotaba por: Apq; p A q; y con Np; ~p. Escríbanse las siguientes proposiciones emplean do A y N en vez de A y I, ~(p A q) A (~q A r) II. ~(p A ~q) A (~q A ~r) A)ANpqAqr: ANpNqANqr B)ANpqANqr; ANApqANqr OANApNqAqNr: ANApqANqNr D)ANpqApq; ANqpANrq E) ANApqANqr; ANApNqANqNr 35. Si T es una tautología y p. q son proposiciones, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verda deras? I. {[(p A T) V (q A ~T)] A (p V q)) « p II. {[(p V q) V (~p A -q )] A (p V q)} T III. {[(p V q V ~T) A -T ] V [(~p A T) V T]} T A) Solo I D) tl l yl l B) Solo II E) Soto iti O ly 36. Dadas las proposiciones: q: 13 es un número par; ~í(r V q) (r => p)] es verdadera, A )p D)p B)W OFV E) Depende de q 37. Si la siguiente proporción: [(q A ~p) ^ ~q] V (r =» s) es falsa, dar el valor veritath/o de: I. [(p =» ~q) V (s =» r)] « (r V p) II. {(r V p) =»-s ] V (vií =» r) A )W D) FF 1>— H >Si s es falsa. ¿Cuáles son los valores de verdad de p y q, res pectivamente? A )W D) FF B)VF C)FV E) Faltan datos 44. Hallar la proposición equivalente al circuito lógico: p ------------------ q ----------- B)VF C)FV E) Depende de w ~q— I 38. Si la proposición compuesta: (p a q ) » (r v t) Es falsa. Indicar las proposiciones que son verda deras; A) p ;r D) q: t B) p:q E) p; r; t C) r;t 39. Simplificar; M = [{~p v q ) » (~q v p)} a ~{p a q) A) q D)~q B) p E)~pvq C) ~p 40. Si la proposición: (p a q }» (q »»r) es falsa,tialtar el valor de verdad de ias siguientes fórmulas; I. ~ ( p v r ) « ( p v q ) II. (p V ~ q ) ( ~ r a q) til. [(p A q) V {q A ~ r)] « (p v ~r) A)WF D) VFF 8) VFV E) F W C)VW 41. Determinar ei valor de verdad de cadauna de las siguientes proposiciones; I. Si; 3 + 1 » 7, entonces; 4 + 4 = 8 II. No es verdad que: 2 + 2 = 5, si y solo si 4 + 4=10. til. Madrid está en España o Londres está en Francia. A) VFV D)FVF 8)VW E) FFF ~q— ' B) p V ~q E) p A ~q A)p D)~pvq C)pvq 45> De los siguientes enunciados; • ¡Qué rico durazfio! • 7 + 1 5 >50 • x^ + y" = 25 ¿Qué altemativa es correcta? A) B) C) O) E) Una es proposición. Dos son enunciados abiertos. Dos son expresiones no proposicionales. Dos son proposiciones. Todas son pr<^sidones. 46. Los profesores de Aritmética de la academia han diseñado un circuito integrado que recibe “p" y ‘q’’ como entradas y V como salida. Ñafiar V . r ^ r= L > OVFF 42. La proposición equivalente más simple del siguien te circuito; — q -P - LqJ C)r 43. Dado el siguiente drcuito: p y r cualquier valor. Hallar et valor de las siguientes proposiciones; I. r « ( ~ p A ~ q ) II. [ r « (p A q )]« (~p A q) A)VF D) FF B)q E)~q A )p B )q C )V D)F E)pvq D ) ~q E )p A q 47. Hallar el equivalente de: I > ------ L ~ p —J -P —q •~ p - J A)p 8)~p C)q 48. 55. Si la proposición que se obtiene es falsa, ¿cuáles son los valores de p y q, respectivamente? ¿Cuántas de las siguientes expresiones son pro posiciones? • Dios mío ... se murió • El calor es ia energía en tránsito. • Bai)a a menos que estés triste. • Siempre que estudio, me siento feliz. • El delfín es un cetáceo, ya que es un mamífero marino. A )W D) FF A)1 D)4 Simbolizar: P' B)VF C)FV E) No se puede precisar 49. Se tiene la siguiente equivalencia: pA q = (-pvq)A(qA~p) Reducir la expresión: (pA ~q )A ~ p A)pvq D)pv~q B)qA~p E)~pA~q 56 . C)qv~p 50. Si el esquema (~p ^ q) v ( p «»r) es falso. Hallar el valor de verdad de; I. ~{(pA q)= »(r= :*^p)} II. { ( SA p ) = » ( t v ~ q ) ) v ( v A w ) A)FF D) FV 57. 51. Si la proposición: p » (r v s) Es falsa, ¿cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? ). í - s v t ) v ~ p II. r « p III.t=»-r IV.(r=*p)v(s=»t) A) Ninguna D) Tres B) Una E) Cuatro C) Dos 52. Si: a*b = (a =* b) V [b V ~ (a ^ b)] a » b s {a V [b=» (a v b ) } =* ~a Reducir; {[(p*q)» r ] * ( ~ p ' q ) } » í q * ( p A ~ q ) } A)~p D)p B)V E)q C)F A)WF D) VFV B)VFF E) FFF OWV 54. De los siguientes enunciados: • Que rico durazno. • 7 + 16 > 5 0 • x* + y^ = 25 ¿Qué alternativa es correcta? A) B) C) D) E) Una es proposición Oos son enunciados abiertos. Dos son expresiones no proposicionales. Dos son proposiciones. Todas son proposiciones. 58. B)1 E)4 02 Dadas las siguientes expresiones: • Si en el curso de Lógica iiay 415 alumnos, erw tonces por lo menos 50 estudiantes celebran el mismo día su cumpleaños. • Si eres vida. ¿Por qué me das la muerte? si eres muerte, ¿Por qué me das la vida? • Edy corre tras el éxito, es un hombre práctico, y reside en un piso céntrico regando flores de plástico y pendiente del teléfono. • La feria del Señor de los Milagros en tiomenaje al sesquicentenario de las tâtallas de Junin y Ayacucho. • Ei principilo no podía comprender a las perso nas adultas. • Justo y José se odian a muerte. ¿Cuántas son proposiciones simpíés? A) O D )3 - 53. Si: (p A ~q) » r; es falsa, determinar los valores de verdad de p, q y r 03 Dadas las siguientes expresiones; • El átomo no se ve, pero existe. • Los tigres no son paquidermos, tampoco las nutrias. • Toma una decisión rápida. • Hay 900 números naturales que se representan con tres cifras. • La Matemática es ciencia táctica. • Es imposible que el año no tenga 12 meses. ¿Cuántas no son proposiciones simples? A) O D )3 B)VF C )W E) Depende de w 8 )2 E)5 B)1 E)4 02 Si unimos proposiciones: ‘ Los canguros son marsupiales’ y T o s osos son piantígrados’ con cada una de las siguientes es tructuras. ¿Cuántas de ellas se simbolizan con una conjunción lógica? ...............a la vez q u e ................ ...............puesto q u e ................... ...............sin embargo................. ...............cada vez qu e ............... ...............no obstante.................. N i...............n i ................ A) 2 D)5 B)3 E)6 C)4 59. El equivalente de la proposición; ‘ )Hay que pagar 231 soles y ser accionistas para ingresar al dub”, es: A) No ingresar al club o pagar 231 soles y ser ac cionista. 6) Pagar 231 soles o ser accionista y no Ingresar al dub. C) Pagar 231 soles y no ser accionista, y entrar al club. D) Pagar 231 soles y ser accionista, o no ingresar al dub. E) No es cierto que se pague 231 soles y ser acdonista, o ingrese al club. 60. Simbolizar; “No es el caso que Timo sea médico o abogado; en condusión, Timo no es abogado’ A)~pvq=»q C)~(pAq)=»~q E) ~( p**q) =»- q A)W O) FF ~p = [~q =» (~r A ~s)J (~p =. q) =» ( ~ r A ~s) (~p =» q) =» (~r A ~s) ~q => [~q =» ( - r A ~s)] (~p => ~q) (~r A ~s) 62. Si la afirmación: ‘Si no como ni leo, entonces no bebo”, es falsa. Podemos afirmar que; I. Como II. Bebo Ili. Leo A) p; r D) q ;t 63. El equivalente de la proposición: ‘Hay que pagar 200 soles y ser sodo para ingresar al teatro’ es: A) No Ingresar al teatro o pagar 200 soles, y ser socio. B) Pagar 200 soles o ser sodo, y no ingresar al teatro. C) Pagar 200 soles y ser socio, o no ingresar al teatro. D) Pagar 200 soles y no ser sodo, y entrar af teatro. E) No es cierto que se pague 200 soles y sea so cio, o ingrese al teatro. 64. De los siguientes esquemas; • (q =» r) V (~p ^ r) • [ pA ( p « q ) ] = » p • [(~p A q) =» - r ] =* -( r A ~(p v ~q)] Indicar en el orden dado cuál es Tautologia (T). Contingencia (S) o Contradicción (C); A) T, C. S D)S,T, C B) T, S, C E)S, C,T C) C, T. S B) E) p;q p: r; t C) r ; t 67. Simplificar; M = [(~p v q) = (~q v p)] a ~(p a q) A) q D)~q B) p E)~pvq C) ~p 68. Si se define; p A q = (p a ~q) v (q a -p ) Simplificar; ~[(p A ~q) =» -q ] A) p A q D)~p B) p V q E)~q C) ~p A q 69. Decir cuál o cuáles son verdaderas, si se define; pV q = pA~q:pirq = ~p vq I. p =» ~q s ~(p V ~q) II. ~ ( p V q ) v ( p t q ) = p - q Hl. ~p Hq = ~(~p V q) A) Solo I D)lylll 70. A) Solo I y II B)Sol oi l y l ll O S olo I y ili 0)1, II y Ili E) Ninguna es equivalente B)VF C)FV E) Depende de w 66. Si la proposición compuesta: {p a q) ^ (r v t) Es falsa. Indicar las proposiciones que son verda deras: B) ~q=»~( pvq) D)~(pvq)=»~q 61. Simbolizar: “Si en Marte no hay agua, entonces no hay vida; en consecuencia, no hay mardanos ni platillos voladores '. A) B) C) D) E) 65. Si la siguiente proposición; [(q A -p ) =» - q ] V (r =» s) es falsa, dar el valor veritativo de; I. [ ( p = » ~ q ) v (s = » r) ] o ( r v p ) II. [{r V p) =» ~s] V (w =» r) B) Solo II E) Todas O l y II Si T es una tautología y “p”, “q” son proposidones, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verda deras? I. {[(p A T) V (q A -T )l A (p V q)} » p II. Ü(P V q) V (~p A ~q)] A (p V q)} •• T III. Ü(p V q V ~T) A ~T} V [(~p A T) V TI) e* T A) Solo I D) lll y II 8) Solo II E) Solo lll O) Solo I y lll 71. Dadas las proposidones: q; 13 es un número par ~[{r V q) » (r ^ p)] es verdadera. ‘p” y “r” cualquier valor Hallar el valor de las siguientes proposidones; I. r=»(~pA~q) fl. (r (p A q)] (~p A q) A)VF D) FF B)W C)FV E) Depende de q 72. indicar el valor de verdad de: I. - [ ( p A q ) = * p l II. (p Aq)=»p lll. (p A q) =, (p q) IV. p =» (p V q) A) VFVF D)VFFV 8) V W F E )F V W C) FVFV D) No son equivalentes. E) Ambos esquemas tienen premisa exístendal 73. Sí definimos; p @ q - p a ~q Entonces, si ~p @ (p v q) es verdadero. Determinar eí valor de wrdad de; (p @ q) y (~p @ ~q) A)FV D) FF 77. Si ía proposición compuesta; ~l(p a ~ r ) « (r A ~q)] no es falsa. í-latlar et valor de vendad de las propo siciones r, p y q respectivamente. B)VF C )W E) Fatta eí valor de p A)FW D)FVF 74. Eí esquema nvoíecuíar; [p » (p A >-q)] «» [(~p V q) =» q] ^ falso y ei esquema (p a q) ~p; es verdadero, eí esquema: (p «» q) v p =» (p v q) es; A) Falso C) Consistente E) Tautoíógico I. ~( ~qv~s)=>~p II. ~(~r AS).*» (~p => ~q) III. p =» ~[q =» ~(s =» r)] 6) Verdadero D) Contingente B) FFFW E) F W W C)VFV 78. De la veracidad de: ~[(p ^ ~q) v (~r ^ ~s)] Deducir el valor de verdad de; 75. Determine eí valor de verdad de tas siguientes pro posiciones; I. 7 2 < 2 y / 5 e ® Ií. Sí V divfdd a 12, entonces “n" divide a 4. ííí. 3/5 es un número par o impar. ÍV. Si 'n ' es par entonces ”n+ 1" es impar. V. V3es racíonaí entonces ^ es entero. A) FFFVF D) FFW V B)W F E)VFF A)FW D) VFF A) B) C) D) E) 80. A) Son equivalentes por teorema de De Morgan. B) Son premisas de ~q. C) Son equivalentes por ley de implicación. OFFV 79. Sí la proposición: (p => ~q) v (~r =» s) es falsa, de ducir eí valor de verdad de: (~p a ~q) v ~p C) FFWF 76. Los esquemas moíecuíares; p ^ q a ~p v q B)W F E) FFF V F VoF No se puede determinar Es V si p es F. Simplificar: - ( ( - p =. q) < ~p] =» (q =» (p A) p A ~q D) ~(p V q) ■-»' ■.i T :a # r B) ~p V q E )p v q ~q)} C) -(p A q) Conjuntos ü Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor nació en San Petersburgo (3 de marzo de 1845) y m urió en Halle (6 de enero de 1918). Fue un m atem ático alemán, inventor con Dedebind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matem áticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el prim ero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los núm eros transfinitos (car dinales y ordinales). La educación primaria fue inicial m ente confiada a un profesor par ticular. pasando luego a la escuela elemental de San Petersburgo. Sus estudios universitarios se iniciaron en 1862 en Zúrich. pero al siguien te año. después de la m uerte de su padre, pasó a la Universidad de Berlín donde se especializó en Ma temáticas. Filosofía y Física. En 1872. cuando contaba con 27 años de edad, se convirtió en catedrá tico en la Universidad de Halle, dando inicio entonces a sus principales investigaciones. Sus primeros trabajos con las series de Fourier lo llevaron al desarrollo de una teoría de los núm e ros irracionales y en 1874 apareció su prim er trabajo sobre ía teoría de conjuntos. Además, trató durante m uchos años de probar la hipótesis del continuo. Actualmente, su obra es am pllam eme reconocida y ha sido acreedora de varios honores. Sistematizó el conjunto IR de los números reales y usó el concepto de conjunto abierto. Fuente: Wikipedia ^ DEHMfCIÓN Ejem plo: Es una reunión (colección o agrupación) de objetos o en> tes materiales e inmateriales con características propias. Sea el conjunto universal: U = {x e Dí/2 < x < 9} Ejem plos: A = {3; 4. 5}; B = {4; 6; 8}; C = {3; 5; 7} Porque todos los elementos de los conjuntos A, B y C per tenecen al conjunto universal U. es un universo de los conjuntos: El conjunto de los animales mamíferos. El conjunto de los países americanos. El conjunto de los números impares. Nulo o vacío Llamado también conjunto nulo, es aquel que no posee elementos; convencionalmente, el conjunto vacío es un subconjunto de cualquier otro conjunto; se le represen ta por: 0 V { } ^ NOMENCLATURA Usualmente se le denota por cualquier letra mayúscula del abecedario A, B, C, D... X, Y o Z y los elementos que componen el conjunto se designan por letras mi núsculas a, b, c, d, ... X, y o z; estos están separados por comas o puntos y comas encerrados entre llaves. Si un conjunto A está formado por tos elementos 1; 2; 3 y 4 se escribirá; A = {1; 2; 3; 4} y se lee: “A es el conjun to de ios elementos 1; 2; 3; 4”. Ejem plo: El conjunto de los números pares que terminan en 5. Unitario Aquel que tiene un solo elemento. Ejem plo: A = {x/x es el conjunto de planetas con el nombre Tierra} B = {9} •<1 RELACIÓN DE PERTENENCIA (e ) Es la que se establece entre un conjunto y un elemento. Finito Ejem plo: Cuando tiene un número conocido o limitado de elemen tos. Es dedr son susceptibles a ser enumerados. 1 e A Ejem plo: conjunto elemento A =: {x/x es el conjunto de computadoras que tiene de terminada oficina} Indica que 1 pertenece al conjunto A; 1 es un elemento del conjunto A. In fin ito Es aquel conjunto que tiene una cantidad ilimitada de elementos. ^ DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Por extensión Ejem plo: Cuando se nombran todos y cada uno de los elementos que lo constituyen. A = (x/x es un número primo} ejem plos: ■<1 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS A = {a; e: i; o: u}; B = {2; 4; 6; 8; 10;...} Conjuntos iguales Por comprensión Cuando tienen los mismos elementos, no importando et orden y la forma de presentación de los elementos. Cuando se nombra la característica que tienen todos los elementos. ejem plo: A = {1:2; 4; 8; 16}; B = {2; 2'; M Ejem plos: P = {x/x e s Conjunto de inclusión o sul»conjunto .......... }; B = {x/x e W, es par} Un conjunto A está incluido o está contenido en un con junto B, si todo elemento de A es elemento de B. Esto se indica de la siguiente manera; característica ^ CLASES DE CONJUNTOS Ac B Universal t Es el conjunto que se toma como referencia; es un con junto fijo del cual se toman otros conjuntos, usualmente se le denota por U. Los conjuntos universales más importantes en mate mática son los conjuntos numéricos: IR, IK, Z y ® en ese orden. ; ^ ; 6°} Está contenido o está incluido BdA t Incluye o contiene Ejem plo: Sea: A = {1 ; 2; 3; 4}; B = {1 ; 2; 3; 4; 5; 6} De donde se observa; A c 6. jhsf Generalmente al conjunto universal se le representa por medio de un rectángulo (fig. 3). St SI; A (.B *B rA « » A » 6 Ac B ' i B c Ç a A c C t^c. A, V A / A • A Diagramas lineales Usado por lo general para conjuntos que están inclui dos en otros. P or ejem plo: ^ COMPARACIÓN ENTRE CONJUNTOS • A c B se representa de la siguiente manera: B Conjuntos ills|untos Son aquellos que no tienen ningún elemento común. Ejem plo: A = {a; e}: B = {1; 2; 3} A es disjunto con B A c B j A c C y B c D , donde D y C son no com parables, se tiene: D Conjunto de conjuntos 1 B Es un conjunto cuyos elementos son otros conjuntos. C Â ^ A = { { 1 } ; 0; {1;2};{1;2;3}} M c P ; P c Q ; M d R ; R d T, R c M ; T c R Conjunto potencia Q Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia o conjunto A. Se denota por P(A). Sea; A = {1;2;3} P(A) = {{1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}; 0} Donde el número de elementos del conjunto P(A) es ^ = 2^ En general se demuestra que: n.° elementos del conjunto P(A) de un conjunto A que tiene n elementos = 2". ^ OPERACIONES CON CONJUNTOS Conjuntos comparables Unión (U) Dos conjuntos A y B serán comparables si A c B v B c A, esto es si uno de los conjuntos es subconjunto del otro. La unión o reunión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos que pertene cen a A, a B o a ambos y se denota por: A u B, se lee “A unión B' Ejem plo: SI A = {1; 2; 3); B = {1; 2; 3; 5) Entonces A es comparable con 6 porque A c B. -<1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CON JUNTOS Existen dos formas para representar gráficamente las relaciones entre los conjuntos. Las formas más conoci das son los diagramas de Venn-Euler y los diagramas lineales. Diagramas de Venn-Euler Los conjuntos se pueden representar aquí, mediante ciertas curvas simples y cerradas y de distintas formas las cuales delimitan los elementos de un conjunto dado. Ejem plo: A = {a, e. i, o. u}; B = {1; 3; 5; 7} fig. 1 fig. 2 fig. 3 Ejem plo: Gráficamente; Sean A = {1:2; 3; 4} B = {2;4:6} A u B = {1: 2;3;4: 6} En general. Dado dos conjuntos A y B, entonces existe: A U B = {x/x e A V X e B} 1. A u fi, S y e tú n ic a 2. 3l Á 6 A U D -*B U A ^B )U C 3A u(B uC ) A. A - A A U 3 -A AÛU*=U » A '. B .> A i . B - n ñ. Intersección (n) Gráficamente: La intersección de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de los elementos que son comunes a A y B, es decir de aquellos elementos que pertenecen a A y que también pertenecen a B. Se denota por A n B; y se lee: “A intersección B" Ejem plo: Sean: A = {a; b; c} B = {b; c; d; e} A n B = {b; c} En general: A n 8 = {x/x e A A X 1. A -B ,.3 y e s ú fM » ? A - A « 0 ; A - U = (0; A - 0 = A 4. ^ - S ) c A _ n- Complemento de un conjunto 1. 2. 3. 4. AnB, 3 yi AnBsBnA ( A h B ) n C » A n ( B n 'C ) A ri(B u C )a (A o B )u (A n C ) A u (B u C) » (A U B) n (A U C) 5. A n A r= A AO0S0 A -iU • A 6. A c B * * A n B = A . 7. < A n B )cA A ( A n B ) c ñ Si A y B son conjuntos tales que A c B, se define el complemento de A con respecto de B y se denota por: C ; C^; Entonces el compleniento de A será: A* = B - A = {x/x e B A X ^ A} Ejem plo: Sean-, u = {1; 2; 3; 4; 5) A = {3;4} A' = u - A = {1;2;5} Gráficamente: Diferencia ( - ) La diferencia de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B. Se denota por: A - 8 y se lee: “A diferencia B" o “A menos B". E jem plos: • Sean: A = {a; b: c; d; e} A B = {d; e} » A - B = {a; b; c} 1. 2 3. AoA>Û A (iA '^ E ? = ’Hl Gráficamente: 'k é im & É M ñ A -È Diferencia sim étrica Sean: A = {0; 1; 2; 3} a B = {2; 3; 4} « A - B = {0; 1} Gráficamente: Dados los conjuntos A y B entonces se define: A A 8 = (A - B) u (B - A) v A A B = (A U B) - (A n B) Se lee: “A diferencia simétrica con 8 ” Ejem plo: A = {1; 2: 3; 6: 7} A 8 = {2; 3; 7; 4; 9}; entonces: A A B = (A - B) u (B - A); A - B = {1; 5} A B - A = {4; 9 } A A B = {1;4;5; 9 } Gráficamente: Sean: A = {a; e; 1} a B = {o; u} =» A - B = {a; e; i} t A a B V m Resoludón: I. Es verdadera, dado que {2} es un elemento de A, además, )a relación de pertenencia se em plea de elemento a conjunto. II. Verdadera ya que { {2} } es un subconjunto de A, no está por demás hacer la aclaración que entre conjuntos se utiliza la relación de inclusión. III. Verdadera, ya que la pertenencia se utiliza de elemento a conjunto. IV. Falsa, ya que {5; 3} es un subconjunto de A, entonces debería de haberse empleado la inclusión. V. Verdadera, se utiliza la inclusión para relacionar conjuntos. umai i J A A f» -S lA fA < .|h J.C • ^ A ^ b - .* «• A > ^ NÚMERO DE ELEMENTOS DE IIN CONJCJNTO Dado un conjunto A cualquiera, la familia de elemen tos del conjunto se llama número cardinal de A y se denota por: n(A) V Card(A) Se lee: “número de elementos de A” o “cardinal de A". Se cumplen las siguientes propiedades: 1. 2. Si A y B son dos conjuntos disjuntos, esto es: A n B = 0: entonces; n(AuB) = n(A) + n(B) De ias siguientes notaciones: I. {2; 5; 3} = {3; 5; 2} II. {4} € { { 4} ; 5} III. { 3} c { 2 ; 3; 4} IV. 0 G {3; {4}; 2} V 0c{3:{4};2} Indicar la proposición falsa. Resolución: 2. Si A y B son dos conjuntos tales que A n B entonces: n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B) I. Verdadera, son conjuntos iguales. II. Verdadera, ya que {4} es un elemento del con junto. III. Verdadera, ya que {3} es un subconjunto. IV. Falsa, ya que 0 ^ a dicho conjunto. V. Verdadera ya que 0 está contenido en cual quier conjunto. 0, 3. 3. Sabiendo que; Si son 3 conjuntos A; B y C: n(A u B u C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A n B) n(A n C) - n(B n C) + n(A n B n C) n(A - B) = n(A) - n(A n B) Ejem plo: A = {2; 3; 5; 7\ 9} 8 = {1:4; 8} • n(AuB) = n(A) + n(B) 5 + 3 n(AuB) = 8 C = {2; 3; 5; 7; 9} D = {1: 4; 5; 7; 10} son no comparables n(C U D) = n(C) + n(D) - n(C n D) = 5 + 5 - n(C U D) = 8 Aplicaciones 1. Dado el conjunto; A = {5; {2}; 3} In d ic a r la p ro p o s ic ió n fa ls a : I. {2>eA lll. 3 e A V. { 5 ; { 2 } } c A II. { { 2 } > c A I V . { 5 ; 3} eA 2 n(B) = 56; n ( A n 8 ) = 15; n( BnC) = 19 n(AriC) = 14 n(AoBnC) = 6 Hallar ei número de elementos de la parte som breada. Resolución: Trasladando los datos al diagrama tendremos: Luego el n.° de elementos de la parte sombreada será: 28 + 8 = 36 4. 6. En una encuesta acerca del consumo de bebidas se obtuvo la siguiente información: • Toman Guaraná y Pasteurína 1/3 de los que solo toman Pasteurína y 1/2 de los que toman Guaraná. • Toman otras bebidas diferentes tantos como los que toman solo una bebida de las mencionadas. Si los encudstados fueron 495 persor\as, hallar tos que toman una bebida (Pasteurína o Guaraná). Determinar la cantidad de personas que consumen solamente un producto. Resoiución: Distribuyendo los datos en un diagrama de Venn: Resolución: Utilizando el diagrama de Venn: Sea X el conjunto de los que toman las dos bebidas, luego: En el gráfico se pide: a + b -f c De donde: 20 + a + b + c = 50 .-. a + b -t- c = 30 De donde: 2x + X + 3x + 2x + 3x = 495 toman otras 11x = 495 X Como se observa consumen solamente un produc to 30. = 45 Luego los que toman solo una t>ebida son: 2(45) + 3(45) = 225 5. 7. De un grupo de 55 personas 25 hablan castellano, 32 quechua, 33 inglés y 5 los 3 idiomas. Determinar el n.° de personas que hablan solo dos de esos idiomas. -^ (3 2 ) b \ ( ^ é A \ / '\ 5 / ^ \ / X \< /Z 8. ^ 55 1(33) + y + a = 20 y + b + z = 27 X + c + z = 28 X -.(1) - Si: A = {4; 5; {8>; {10; 11}; 9; 12; {15}}, determinar cuáles son verdaderas. I. { 4 } c A lll. {10; 11} c A II. ( 4 ; 5 } c A IV { 1 5 } cA Resoiución: I. {4} c A es verdadera ({4} es subconjunto de A) II. {4; 5} c A es verdadera ({4; 5} es subconjunto de A) III. {10; 11}cAesfalsa ({10; 11} e Ay a que {10; 11} es elemento de A) IV. {15} c A es falsa (por lll) Resolución: Llevando los datos a un diagrama, se tiene: V De una encuesta a 60 personas se recibió la si guiente información: • 7personasconsumenelproductoAyBperonoC. • 6 personas consumenel producto B yC pero no A. • 3personasconsumenelproductoAyCperonoB. > 50 personas consumen ai menos uno de estos productos. • 11 personas consumen el producto A y B. Si a e A entonces: a E (A u B) a € (A - B) a e (A n B) a g A’ ¿Cuáles son verdaderas si B es un conjunto cual quiera? Resoiución: * a E (A u B) es verdadero para cualquier conjunto B. • a e ( A n B } =» a e A A a e B . (2 ) ...(3) no se puede determ inar el valor de verdad (¿a e B 7) Sumando (1), (2) y (3): • X + y + z + x + y + z + a + b + c = 75 50 .-. x + y + z = 25 Luego el número de personas que solo hablan dos de estos idiomas es 25. * 9, a e ( A - B ) = » a e A A 3 ? B ( a puede o no pertenecer a B). a £ A' es verdadero. Detemiinar la afirmación falsa: I. A n A ' = 0 II. A u A ’ = u U = {1; 2; 3; 4; ...; 10; 11; ...; 14; 15} III. A - B = A n B ’ IV. (A n B) - C = (A - C) n {B - C) V. A - B = j ^ B - A Resolución: I. A n A' = 0 por definición de complemento (0 # 0) II. A u A '= U tomando el dual de A III. A - B = A n B' definición de la diferencia de conjuntos IV De (A - C) n (B - C) = (A n C ) n (B n C ) = A nB nC 'nC ’ = A nB nC ’ = (A n B) n C’ = (A n B) - C V A -B /B -A 10. ¿Cuál de los siguientes subconjuntos no es sub conjunto de (A u B)'? I.{5} II. {5; 4} Resolución: (F) (V) De:(AuB)' = U - ( A u B ) A u B = {1;2; 3; 4; 13; 14} U = {1; 2; 3 ; . . . ; 14; 15} Entonces de (1): (V) (Au B)' = (5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13} (V) (V) Respondiendo: I. (5} si es subconjunto de (A u By II. {5; 4} no es subconjunto ya que 4 $ (A u B)' Dados los conjuntos: A = { 1 ; 2 : 3; 4}; B = {1; 4; 13; 14} y .-. II no es subconjunto de A u B RESU ELTO S P R O B LEM A S 1. II. ( ( A n B ) n C ) c A lU. ( A u C ) c B ¿Cuál de los siguientes subconjuntos es subconjunlo de (A n B)'? I. {1;2;3} II. {2; 3; 5} IV (A - B) c U V. Todas son verdaderas % Resolución: Entonces: (AnB)' ={2; 3; 5; 6; 7;...; 14; 15; 16} I. (AnB)cUestri vial yaqueA,ByCcU. (V) II. (A n B) n C c A es trivial [(A n B) n C] n A’ = {A n fK[ ) n B n C - 0 (V) III. A u C c B e s ® (no se puede decir que (A u C) n B' = 0 ) Respondiendo: i. {1;2;3}noessubconJuntode(AnB)’ (1 í (AnB)') It. {2; 3; 5} si es subconjunto de (A n B)' IV (A - B) c U (A - B) n U' = (A - B) n 0 = 0 (F) (V) La afirmación en III es la falsa. Dados los conjuntos: A = {1;2; 3; 4}; B = {1; 4; 13; 14}; C = {4; 5; 12; 13}y U = {1;2: 3;...; 15; 16} 4. Dados los conjuntos: U = {- 1 ; O; 1; 2; 3; 4; 5}; A = {~1; 0; 2) Señalar cuáles son verdaderas: B = {2; 3;4} ;C = { - 1 ; 1 ; 3 ; 5} t. II. D = {xeU/xeAAxgB};E = {xeU/x§ÉAvxeC} 4e(U -C ) 1 e(AnB) lll. ( B n C ) c ( U - A ) IV A c ( B u C ) Hallar el número de elementos de D u E. Resolución: I. (U - C ) = {1; 2;3;...; 15; 16} - {4; 5; 12; 13} (U - C) = {1; 2; 3; 6;7; 8; 9; 10; 11; 14; 15; 16} Entonces: 4 e (U - C) II. A n B = {1; 4} ^ 1 e ( A n B ) Resolución: (F) (V) III. B n C = {4; 13} U - A = {5;6; 7; . . . ; 15; 16} Entonces: (B n C) cr (U - A) (4 ¿ U - A) IV B u C = {1;4; 5; 12; 13; 14} A={1;2;3;4} =»Ad(BuC) 3. Q Sea: A = {1; 2; 4; 8; 16}. 8 = {1; 4; 7; 11; 14} y U = {1;2;3... ;13; 14; 15; 16} Resolución: Sabemos que: (An B)' = U - (An B) A n B = {1;4}; U = {1; 2; 3;...; 14; 15; 16} 2. ...(1) IHallar cuál es la afirmación falsa. I. ( A u B ) c U (F) (F) U = {- 1 ; 0; 1; 2; 3; 4; 5}; A = {- 1 ; 0; 2} B = {2; 3; 4}; C = {-1 ; 1; 3; 5} D= = E= = {xeU /xeA A xgB ) {x e U /x e A A x s B ')= A n B { x e U / x í A v x e C} { x G U / x e A ' v x e C } = A ’ uC Resolviendo; O = {-1 ; 0; 2 } n { - 1 ; 0 ; 1; 5} = { - 1; 0 } A B' E = {1; 3; 4; 5 } u { - 1 ; 1; 3; 5} = {-1 ; 1; 3; 4; 5} A' C Reemplazando en R = {5; 5; 5; 5; 5} = {5} R tiene 1 elemento. A hor a: DuE = { - 1 ; 0 : 1 ; 3 ; 4 ; 5} n (DuE ) = 6 5. Dados los conjuntos; U = {- 2 ; -1 ; 0; 1; 2; 3; 4}; A = {0; 1; 2; 3} 8. B = { - 2 ; 0; 2; 4}; F = {x e U / x í A v x í B} G = { x e U / x e A =»xeB} Hallar el número de elementos de F - G. Resolución; B?É0 A A u B e s unitario a A = {a^ + 2b; a + 2b + 2} 0 = » A = B = A u B = A n B y todos son conjuntos unitarios. Luego; De A: a^ + 2b = a + 2b + 2 Resolución: F= {xe U /xíA vxíB } {X e U / X e A' V X £ B'} = A' u B' G = { x e U / x e A =» x e B ) = (p =»q) = ( ~ p v q ) q = {xeU /~(x€A )vx6B } =» a * - a - 2 = 0 =» a = 2 v a = - 1 = {X €U /X Â VX €B } = { x G U / x e A ' v x e B } = A’ u B D eA u B : - 4 a + 3b* = 3a + 4b + 3 4 Sl a = 2 ; - | + 3b' = 6 + 4b + 3 Ahora: F - G = F n G' = (A' u B') n (A' u B)’ =» 6 b ^ - 8 b - 2 3 = 0 =» b í Q = (A' u B') n (A n B') Si: a = - 1 : 4 + 3b^ = - 3 + 4b + 3 4 « 12b^ - 16b + 5 = 0 [(A' u B') n A] n B' = B’ n A = A - B F - G = {0 :1 ; 2; 3} - { - 2 ; 0; 2; 4} = {1; 3} ^ Kb -- 1 2 - bK n(F - G) = 2 6. SI M = n.° de afirmaciones verdaderas; N = n.° de afirmaciones falsas; y sean las afímiaciones: I. El conjunto universal es único para todos los conjuntos. II. Si A d B entonces B A. III. Para cualquier conjunto A se cumple A c A. IV. Si se cumple que A <£ B entonces podemos afirmar q u e A ^ B . Determinar: M - N. Resoiución: I. El conjunto U es único (V) II. Si ACE B=» B cc A. Por ejemplo, sean: A = {1:2} A B = {2}; donde A C B , pero vea que B c A (F) III. V A c U ; A c A (V) IV SiAcTB =» 3 x e A / x § É B (V) =» A # B Luego: IWI = 3 a N = 1 7. Sean a, b € ® t a l que bes el menor posible. Sean A y B conjuntos tales que B # 0 ; A u B es el conjunto unitario. A = {a^ + 2b; a + 2b + 2} A u B = {-5 /4 a + 3b*; 3a + 4b + 3} Hallar A n B . Resoiución: A - {3m + n -11: 4m - 4}; B = {5m + 2n - 3; 4} Son unitarios, entonces; 3m + n - 1 1 = 4 m - 4 a 5m + 2 n - 3 = 4 » m = n - 7 A 5m + 2n = 7 Resolviendo: m = - 1 a n = 6 5 g Como b es el menor posible: b = 1 Luego: A n B = A = {2} 9. Dado el conjunto unitario: A = {a + b; a + 2b - 3; 12}. Determinar el valor de T = a^ + b*. Resoiución: A = {a + b; a + 2b - 3; 12} es unitario ^ a + b = a + 2b - 3 = 12 De donde: a = 9 a b = 3 T= + b^ = 90 10. Dados los conjuntos; A = {1; 2; {1; 2}; 3} A B = {{2; 1}; {1; 3}; 3} Haliar el conjunto {(A\ B) n B] u (B \ A). Resolución: A = { 1 ; 2 ; 3; {1;2}} B = {3; {1:2}; {1;3}} A \B = A - B = {1;2} (A \ B) n B = 0; pues 1 ^ B a 2 í B B \ A = B - A = {{1;3}} Luego; [(A \ B) n B] u (B \ A) = 0 u {{1: 3}} = {{1 ; 3}} I^-N = 2 Si se sabe que: A = {3m + n - 11; 4m - 4} B = (5m + 2n - 3; 4} son conjuntos unitarios, ¿cuántos elementos tiene; R = {m + n: 2m + n + 1: mn + 11; 2n - 7; 4 - m} - 11. Sea A = {2; 3; {2}; {3}; (2; 3}; 0 ; { 0 } } De las siguientes proposiciones ¿cuántas son co rrectas? I. {2; 3 } g A lll.{ 0 } c P { A ) V 0eA II. 0 C A IV{2:3}cA Vl.{2; 3; { 3 } } eP(A) Resoiución: A = {2: 3: {2}; {3}: {2; 3}: 0 ; {0 }} 1. {2; 3} es un elemento de A, por lo que {2; 3} e A II. V A e U : 0 c A III. Como 0 c A =» 0 e P(A) ^ {0} c P(A) IV. 2 e A A 3 e A = { 2 ; 3 } c A V. 0 es un elemento de A, por lo que: 0 e A VI. 2 e A A 3 e A A { 3 } e Á entonces {2; 3; {3}} c A, con lo cual: {2; 3; {3}} g P(A) (V) ÍV) (V) (V) (V) (V) Las 6 son correctas. 12. Reducir: M = {[(A'= u B^) n (B u C)] \ (A n C)} n si A, 8, C son tres conjuntos. \ B; = n n (P*^ n Q)} u P; {0*=^ = Q = (P^ n Q) u P = (P*^ u P) n (Q u P) u =QuP=PuQ 16. En una institución deportiva de 58 personas de los cuales: 38 juegan fútbol, 15 juegan básquet, 20 juegan béisbol, 03 juegan los tres deportes. ¿Cuántos juegan en dos de los tres deportes? Resolución: Totai de personas: 58 Resolución; Tenga en cuenta que: A \ B = A - B = A n B ^ M = {((Aû B^) n (B u C)j \ (A n C)} n \B M = {((A n 8)^' n (B u C)] n (A n C f) n \B M = {[(A n B)*^ n (A n C f] n (B u C)} n n B^) Como: [(A n B) u (A n C ) f = [A n (8 u C)]*^ = A^ u (B u C f M = {[A^ u (B u C)'"] n (8 u C)} n (C u B)^ Piden: x + y + z M = {[A"" n (B u O I u [(B u C f n (8 u C)]} n (B u C f p S í ó í l s = 3 6 - (X + « M = {A^ n (B u C)} n (8 u C f M = A'^ n [(B u C) n (B u C)'^] = a*^ n 0 = 0 13. Si A = {0}, 8 = P(A), C = B\ A y D = P(C), deter minar 8 n D. Resolución: A = {0} es unitario 8 = P(A) = {0 ; {0 }} = {0 : A} C = B - A = {{0 }} D = P(C) = {0 ; {{0 }}} 0 e B A 0 e D =» 0 e 8 n D y e s e l único elemento en común para B y D. .-. B n D = {0 } = A 14. Si A es un conjunto dado por; A = {2; 6; 12; 20; ...; 992}, calcular el número de subconjuntos propios de A. Resolución; (8 es subconjunto propio de A) « 8 c A a 8 A. Si n(A) es el cardinal de A, entonces el n.° de sub conjuntos propios de A es: 2"‘*’-1 . A = {2; 6; 12:20;...; 992} A = {1 X 2; 2 X 3; 3 x 4 ; 4 X 5; . 31 x 32} Se puede notar que; n(A) = 31 por lo tanto, el n.° de subconjuntos propios de A es: 2^' -1 . 15. Simplificar: {[P u n [(P^ n Q))} u P Resolución: {[P u Q ^ f n n Q)} u P y) + X+ y+ 3 + 12 - (x + z) + z + 17 - (y + z) 0 =» 58 = 67 - (X + y + z) x+ y+ z= 9 17. Dado M = {1; 2; 3; 4; 5}, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. 3 x e M / 3 x - 5 e M II. v x e M ; 3 y e M / x + y < 7 III. 3 x e M / v y e M ; x + y = 7 Resolución: M = {1;2; 3; 4; 5} I. Para X = 2 e M vemos que: 3x - 5 = 1 e M » (I) es V II. x + y<7 ^ Nótese, cuando x toma los ^ valores indicados, siempre 4 existe un y E M que verifica la 5 desigualdad dada » (íf) es V. III. x + y= 7 Nótese, cuando y = 1 g M, no existe x g M que verifique la igualdad dada. ^ (lll) es F WF 18. De un total de 1000 camisas se piensa eliminar aquellas que tengan 3 fallas y vender a la mitad de precio las que tengan solo dos de ellas. Si luego de la inspección de las camisas no se eliminó a 987 de ellas y se vendieron, pero no a mitad de precio 875 camisas; 500 de las cuales no tenían fallas, calcular cuántas camisas tenían solamente una falla. Resolución: Luego: (® n Z = Z) ¿ (z n Dí = 0 ) U = 1000 V V La proposición es F: lll. Z \ B Í = Z"U{O}9t 0 Luego: (Z \ Pí = 0 ) =» (n u Z = 0 ) F - ( ) La proposición es V. .-. Son correctos: I y lll • * * (F) No se eliminan 987 camisas ^ Se eliminaron 13 camisas (tienen 3 fallas) Las que no se vendieron a la mitad de precio son las que tienen solo 1 falla o ninguna falla: este total es: a + b + c + 500 = 875 (dato) =* a + b + c - 375 N.° de camisas con una falla 21. Se tiene un conjunto de 420 personas que ven los canales A, B y C y se observa que: 240 no ven el canal A, 180 no ven el canal B, 150 no ven el canal C. Los que vieron por lo menos dos canales son 230 personas, ¿cuántas personas ven los 3 canales? 19. Sean U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y A = {1; 3; 7}, determinar el valor de verdad de las siguientes pro posiciones: I. v x , y e A : 3 2 G U / x + y + z > 1 0 II. V x e A: 3 y e U / V z e A: X + z^>10 - y III. ~(v x e A : 3 y e A / x + y > 5 ) ♦ a + b + c + m + n + p + x = 420 • 240 no ven el canal A (A*^): b + c + n = 240 • 180 no ven el canal B (B^): a + c + p = 180 • 150 no ven el canal C (C“^): a + b + m = 150 > 230 vieron por lo menos doscanales: m + n + p + x = 230 Sumando las cuatro últimas: 2(a + b + c + m + n + p) + x = 800 Resolución; I. Nótese cuando x y e toman sus mínimos valo res (unos), sí 3 un z que verifica la desigualdad. Por tanto, para otros valores de x e y superiores a uno también se verificará la desigualdad. =» (l )esV II. Observación: x + y + > 10 I 1 i 1 9 1 Para los mínimos valores de x, z se verifica la desigualdad, por tanto para todos los valores de X, z mayores que uno también se verifica la desigualdad. » (l l)esV III. ~ ( v x e A : 3 y G A / x + y > 5 ) =s 3 x e A / V y G A : x + y < 5 Observación: Si x = 1 a y = 7 no se verifica la desigualdad. =»(111) es F .-. W F 20. En relación a los conjuntos numéricos IN, Z, Q, n del universo £, cuales de los siguientes enuncia dos son correctos: I. 1R\<EI = I[ II. ( ® n z = z ) A ( z n iN = 0 ) III. (2\Dí = 0 ) =» (nuS = (D) Resoiución: I. K = ® u H A ( D n i i = 0 por lo que: & \ <& = ü II. Como Z c ® => ® n 2Z = Z y Z ' con Bí son disjuntos: Z ' n IM = 0 (V) 420 - X => 840 - 2x + x = 800 =» X = 40 Ven los 3 canales 40 personas. 22. En una encuesta realizada a 150 personas que gustan dei vino se obtuvieron el siguiente resultado: * 30 personas gustan del vino tinto pero no el moscato. * 20 personas no gustan de vino alguno. • 80 hombres prefieren el moscato. * 10 mujeres prefieren solo el moscato. Determinar el número de mujeres que prefieren el vino tinto y el moscato. Resolución: i20 (V) El universo está formado por 150 personas; 30 + 80 + X + 10 + 20 = 150 =» X = 10 Luego, el número de mujeres que prefieren et vino tinto y el moscato es x + 10 = 20 23. Durante todas las noches del mes de octubre, So ledad escucha música o lee un libro, si escucha música 21 noches y lee un libro 16 noches. ¿Cuán tas noches escucha música y lee un libro simultá neamente? =^ = AnB u (AnB) ^ (l )esV II. ( A - B ) n C ^ = A n ,B^nC^ = A n (B u C)*^ = A - ( B u C ) ‘^ « ( l l ) e s V III. Por lo anterior; A - ( B u C ) = ( A - B ) n C ‘^ ^ ( l l l ) e s F IV A n [B - (B - C)] = A n [B n (B - C)^] = A n [ B n ( B ^ ü C ) ] = A n ( B n C ) =» (IV)es F Resolución: Como octubre tiene 31 días: Música = I ( A n B ) n A ] u [(An B n B] Por absorción Ubro 26. Si A, B, C son conjuntos del universo U. Tal que A n C = E; simplificar; [(A - B) - C^] n (E - B)^ a + b = 21; b + c = 1 5 ; a + b + c = 31 Sumando las dos primeras; a + 2b + c = 36 a + b + c + b = 36 b= 5 3Í .-. Escucha música y lee un libro a la vez, durante 5 noches. 24. Indicar el valor de verdad de las proposiciones si guientes; I. S I A n B ° = 0 = » A - B = A II. SiC = ( A - B ) n B =* ( ( B - A ) u C ) u A = A u B lll. Si A = {x e Z / x^ + 1 = 0} A B = { x e I R / x - x = 1 } =»A‘^ n B ‘^ = U Resolución: 1. Se sabe que; A n B^ = A - B, 0 sea que; II. De; C = ( A - B ) n B = A n B ^ n B 0 =» C = 0 Luego; [(B - A) u C] U A = (B n A'^) u 0 uA Resolución: Dato; A n C = E Sea P = [ (A - B) - C^^] n (E - B)'" P =(AnB'=nC)n(E-B)'= P = (E n B‘=) n (E - B)^ P=(E - B)n(E-B)® = 0 27. En el siguiente diagrama las regiones sombreadas se identifican como la expresión; U B C A Resoiución: Del gráfico, consideremos dos partes que definen la región sombreada. 1. B n ( A u C ) = (BnA^)uA Por absorción = A u B =» (U)esV III. DeA; 3 x e 2 / x ^ + 1 = O =»A = 0 D e B ; 3 x e E / x - x = 1 =»8 = 0 Luego: A‘^nB^ = U n U = U=» (l ll )esV .-. F W 25. Dados los conjuntos A, B y C indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ». III. IV. (AnB)n(AuB) = AnB ( A - B ) n C ‘= = A - ( B U C ) A - (B U C) = (A - B) u (A n G) A a [B - (B - C)1 = (A u B) n (C uA) Rdsoluclón; I. ( A n B ) n ( A u B ) Si a la (1) le restamos (diferencia de conjuntos), la (2), se obtiene la región pedida, esto es: ÍBn(A uC)]\(AnBnC). 28. Si A, B y C son subconjuntos del conjunto universal U. según la figura, ¿cuáles son las zonas que re presentan a: (A n 8)' \ (C U A')? juntos potencias es 112. indicar el número de ele mentos que posee su intersección. Resolución; Sean A y B los conjuntos, tales que: n(A) - n(B) = 3 Además: n(P(A)) - n(P(B)) =112 ^ 2"*** —2"*®' =112 Sea: n(B) = x =» n(A) = x -i- 3 « 2” ^ - 2 * =112 ^ 2* (7) = 112 =»2“ = 16 = 2* ^ x = 4 Luego: n(A) Resolución; (A n B)' \ (C u A') = (A n B )’ \ (C u A’) = (AnB)'\(CuA') = ( A n B ) ' \ ( C u A ’) = (A n 8)' \ (C u A ’) = (A' u B') n (C u A’)' (A- u B') n (C n A) (A’ u B’) n (A n C) ((A’ u B') n A) n C f(A;_r^) u (S’ n A)J n C 0 (A n B)’ \ (C U A') = (8’ n A) n C’ = (B' n C’) n A (AnB)'\(CuA') = (8 u C )'n A = 7 a n(B) = 4 31. En un salón de 150 alumnos, hay 90 que por lo me nos aprobaron uno de los cursos de aritmética, álge bra o geometría, pero no aprobaron física ni quími ca. 20 alumnos aprobaron física o química pero no los dos. ¿Cuántos aprobaron física y química si hay 10 alumnos que no aprobaron ningún curso? Resolución; El problema nos habla de 5 conjuntos, pero de estos solo 2 son los participantes y de donde nos piden la respuesta (como U = 150 y por lo menos 90 aprobaron los anteriores). Física Química región sombreada es la pedida, es decir: 5 29. Considere tres conjuntos; A, B y C tales que: C n A = C: n(C) = 150; n(A' n B‘) = 90; ní(Au B) - C] = 6n(C), hallar n(U). U: conjunto universo. Resolución: C n A = C =» C c A n(C') = 150; n(A’ n B') = 90 ^ n((A u B)') = 90 n [ ( A u B ) - C ] = 6n(C) Hadendo un diagrama y ubicando los datos, se tiene: U = 60 a -I- b = 20 (dato) del gráfico: a + x + b + 1 0 = 60 20 + X -I- 10 = 60 X = 30 32. En una población se determinó que el 50% de los habitantes toman leche y que el 40% comen carne. Si la suma de los que sólo toman leche más los que sólo comen carne es el 54% de los habitantes. Hallar que porcentaje de la población no come car ne ni toman leche. Resoiución: Se sabe que en este caso U = 100%, graficando: carne = 40% leche = 50% l_a región sombreada representa a: (Au 8) - C n(C') = 6x + 90 = 150 =» x = 10 Luego: n(U) = 90 + 7x n(U)=160 30. Considere dos conjuntos comparables cuyos car dinales son números que se diferencian en ês, además ia diferencia de los cardinales de sus con Por dato: a -i- c = 54% Del gráfico: a + b = 40% b + c = 50% Como: a + b + c + x = 100% ...(IV) Al sumar (I + II + lll): 2(a + b + c) = 144% a + b + c == 72%: finalmente en (IV) X = 28% 33. 36. Resolución: Si n(A) = x; entonces; Subconjuntos; 2” = abcd (por dato) pero abcd debe ser un número de 4 cifras, pares y además poten* »a de 2; por lo tanto los posibles valores del nú mero son; 1024, 2048, 4096, 8192; la única posibilidad que cumple es 2,048; finalmente: 2" = 2048; X = 11. a + b + c + d + x = 26 Si P(A, tiene 16 elementos y P(e) tiene 32 elemen tos, determinar cuántos elementos, tierie P^^,; si se sabe que A n B tiene 3 elementos. Resolución: Si = 16 =» 2"^*» = 16 n(A) = 4 Si P,B, = 32 2"'®’ = 32 =» n(B) = 5 A=4 B=5 Además n(A n B) ) = 3, graficando; Finalmente; P(aub> = 2® = 64 34. Si A es el conjunto de números de 3 cifras del sis tema senario. B es el conjunto de los números de 4 cifras del sistema quinario. Determinar el número cardinal de ia intersección de A y B. 37. Una encuesta a 200 personas reveló la siguiente información concerniente a 3 candidatos A, B y C de un cierto club social, que se presentaban a 3 diferentes caôs; • 28 a favor de A y B; 98 a fóvor de A o B pero no deC. • 42 a ^ v o r de B pero no de A o C. • 1 2 2 a f a v o r de B o C p e r o n o d e A . • 64 a fóvorde C pero no d e A o B ■ 1 4 a f a v o r Ay C p e r o n o d e B . ¿CuánUs personas estaban a favor de los 3 can didatos? Resotución: Comenzando del úWmo dato tenemos: U = 200 Colocando tos datos adecuadamente tenemos el gráfico mostrado: Resolución: A ={ 1 0 0 , „ . . . ,5 5 5 „ , } B = {1000,5,.... 4444,5,} Pasando a base 10 cada coniwito tenemos: B = {125....... 624} A = Í 3 6 ......215} n(AnB) = {125.......215} .•. n(AnB) = 91 35. A En un salón de una academia donde hay 30 alum nos, se determinó que: 18 aprobaron aritmética, 20 aprobaron álgebra, 19 aprobaron geometría, 12 aprobaron aritmética y geometría. 11 aprobaron aritmética y álgebra, 13 aprobaron álgebra y geo metría. De los que aprobaron aritmética y átget>ra 4 no aprobaron geometría. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los 3 cursos? Dei 1.*^dato Resolución: Aritmética y Álgebra, pero no geometría, tenemos que: U = 30. E)el gráfico; Arit. * 18 Hallar (a + b + c + d + x), sabiendo que el con junto A tiene x elementos y en totel presenta abod subconjuntos. donde; a, c y d son cifras pares. B Anteriormente; b + c = 28 a + b = 56 Del U; a + b + c + 4 2 + 16 + 14-l-64 = 200 a + b + c + 136 = 200; a + b -l- c = 64 a + b + c + b = 84 64 + b 9 b = 20; pero nos piden c .-. c = 8 Alg. = 20 38 . ...(i) •••(I) Dados ios conjuntos binarios; R = {6; X + y; X - y; 16} y P = + — —:r ^ :c d ; c + d Hallar (c - d) Resolución: Por ser conjuntos binarios, d^3e poseer 2 elemen tos, por io tanto: de R Por lo tanto: x + x + 2x + 16 = 96 4x = 80; X = 20 Solo A = 20 X + y = 16 © m/m X- y = 6 2x = 2 2 ; x = 1 1 : y = 5 deP 41. S i A = {(}i, {(}•}, 1, {1} } , determinar el valor de ver dad de las siguientes proposiciones; I.<|)CA li.*eA lll.(4.)cA cd; c + d P = {73: cd: c + d} ^ por ser binarios cd = 73 Nos piden: c - d = 4 39 . En una clase mixta de 35 alumnos: 7 varones apro baron aritmética, 6 varones aprobaron álgebra, 5 varones y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los 2 cursos; 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron sólo aritmética y 16 hombres hay en clase. ¿Cuán tas mujeres aprobaron solo álgebra? • b+ c= 6 ...(II) • b + d = 5 ...(ili) • a - i - e = 1 1 ...(IV) • V = 1 6 = a + b + c + 5 (dato) a + b + c = 11 (l + ll)a + b + c + b = 1 3 =»b = 2 Graficando nuevamente; U = 35 M En (I) » a = 5; En (II) c=4 En (lll) =» d = 3; En (IV) =*e = 6 Del gráfico: 5- i -6-i -2-i -3- i -4 + x + 5 + 8 = 35 x= 2 En una encuesta sobre las preferencias entre los productos A y B, la mitad de los que respondieron que preferían A también afirmaron que consumían 6, pero los que respondían que solo consumían B fueron el doble de los que respondieron que solo consumían A. Si 16 de los encuestados dijeron que no consumían ni A ni B. ¿Cuántos de ios 96 en* cuestados consumen solo A? Resolución: U = 96 42. SeaU = {O; 2 ’; ( - 1, 3 4 ) “; 3,1416; 12} A = {xe U /xíIN A X í© } B= {x£ U /xe IIvxíZ } C = {xeU /xe® = »xeN } Determinar ei número de elementos de (A u B) (AuC) Resolución: 40. Resolución: A={4.¡ { ^ } ; 1 ; { 1 } } I. (f c A (V); V conjunto A. II. i|) e A (V); i|) es elemento de A. ili. {4»} c A (V), también se tiene {i|)} e A. VW A = 2x Resoiución: U = {0: 1/2:1; 3,1416; 12} A = {x € U/x € Dí A X € © } = {^2} B = { x e U / x e n v x « 2 } = {1/2; 3,1416; 12} C = {x e U/x e ® =»X e N } = { X e U/x í ® V X G DI} = {l:«/2} Luego: (A u B) - (A u C) = B - C = {1/2; 3,1416} n((AuB)-(AuC)) = 2 43. Si n(Au B) = 11. n(P(A)) + n(P(B)) = 192, hallar n[P(A n B)j, siendo A y B dos conjuntos cuales quiera. Resolución: • n( Au B ) = 1 1 ; n( A ) = x;n(B) = y n(P(A)) + n(P(B))=192 2 * + 2>'= 192 = 128 + 64 « X = 7 A y = 6 • n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B) =» 11 = 7 -i- 6 - n(AnB) =^n(AnB) = 2 n(P(A-I-B)) = 2^ = 4 44. En una fiesta el 44% toman, el 37% fuman; además el 25% de los que toman, fuman. Si no toman ni fuman 84 personas. ¿Calcular el total de invitados? Resolución: Toman No toman x% Fuman 3a% a% c% 44% toman; 3a + a = 44 ^ a = 11 37% fuman: a + c = 37 » c = 26 No toman ni fuman: x% = 100% - (4a + c)% = 30% Si N es el total de invitados: 30% N = 84 - ^ N = 84 N = 280 45. Se definen los conjuntos: A - {x g 2 o/ -11 < 2x - 5 < 9}, 2° = enteros no negativos B = { x e A / x ^ - 2 x í A} Haliar ia suma de elementos dei conjunto B. 48. Si A c B y A n D * 0. Simplifique: [(A n D') n B®] u ÍB u (A - D)] Resotución: S i : A c B y A n D = 0 tenemos Resolución: A = {x G ES / - 1 1 < 2x - 5 < 9} =. A = { x e Z o / - 3 < x < 7 } =» A = { 0 : 1 : 2 ; 3; 4; 5: 6} B = {xeA /x(x-2)íA } X = 0 : x( X - 2 ) = 0 g A X = 1:x{x-2) = - 1 € A X = 2:x(x-2> = 0 e A X = 3:x(x-2) = 3 e A X = 4:X(X-2) = 8 Í A Luego simplificando: [(A n D°) n B*^] u [B u (A - D)1 = B A A (No) (Si) (No) (No) (Si) B Simiiamiente, para 5 y 6. =» B = {1: 4: 5; 6} 1 elementos = 16 46. Dado ei conjurrto A = {2; {3}; {2, 3}; 4 } ¿cuántas proposiciones son verdaderas? i. i ê A i V. 3€ { 2, 3} II. 4>cA V. {2} g A IÜ.4GA VI.{3}cA i. (Ji € A (F), C A II. ♦ c A ( V ) III.4 g A(V) IV. 3 e {2; 3} (V) V. í 2 } e A ( F ) : { 2 1 c A V Í . { 3 } c A ( F ) , {3} e A .-. Hay 3 verdaderas Sean A, B y C tres conjuntos contenidos en ei uni verso finito de 60 elementos. Si (B - C) u (C - B) tiene 40 elementos, el conjunto A - (B u C) tiene 10 elementos, ia intersección de ios tres conjuntos tiene 5 etementos, que el conjunto B n C o A' es vacio. ¿Cuántos elementos tiene ei conjunto?. A' n B' n C. Francés = 26 Inglés = ( * \ i 12 \ 8 V / \ * ) \ J y X V x + y + 4 + B = 30 x-t-z + 4 + 1 2 = 26 y + z + 4 + 1 0 = 28 z \/ y Memán - 26 + y = 18 + z = 10 (+) y + z = 14. X X 2x + 2y + 2z = 42 X + y + z = 21 => X = 7 ; y = 1 l : z = 3 .-. Hablan inglés y alemán pero no francés = 11 SO. Un grupo de personas decide viajar y resulta que 40 mujeres van al extranjero, 37 hombres van a provindas, 28 casados van al exfranjero y 45 sesteros van a provindas. Si se sabe que hay 42 hombres casa* dos y que 18 mujeres solteras viscan ed ejdrarêro, entonces el número de mujeres solteras es. Resoiución: T = 60 D n 0 n A’ = $ Dando nombre a cada una de ias regiones vacías. Por dato: e + b + d-t-c = 40 A' = { b : c ; n } B’ = {c; d; 10; n} C = {e: b: 10: n} Dei total: e-i-b + d + c + 1 0 + 5 + n = 60 n= 5 40 Resolución: U = 60 ( Resoiución: A = Í 2 ; {3}; {2. 3}; 4} 47. 49. De un grupo de 60 estudiantes, 26 hablan fi^ncés y 12 solamente francés, 30 hablan inglés y 8 so> lamente inglés, 28 hablan a l^ á n y 10 sblámente alemán: también 4 hablan los 3 idiomas mencio nados. ¿Cuántos hablan Inglés y alemán pero no francés? Resolución: Realizando ei diagrama con los datos: Nos piden calcular ei nún>ef0 de mujeres solteras. Completando los datos en ei diagrama. Hombres • • Mujeres 1 Viajan a provincias Viajan al extranjero f 36 ■J Hay 44 + 18 = 62 mujeres solteras. 51 . De 120 estudiantes. 25 personas que fuman no leen. 13 mujeres fuman, 15 mujeres no fuman ni leen, 32 personas leen pero no fuman. 80 son hombres, 50 no leen. ¿Cuántos hombres leen y no fuman? A 180 les agrada solo 1 de las 3: a + b + c = 180 Ninguno que gusta de la gastronomía penjana, gustan de la francesa; y + m = 0 = » y = 0; m = 0 Piden; x + y + z Sabemos que: a + b + c + x + y + z + m + 20 = 320 180 + X + y + z + O + 20 = 320 .-. x + y + z =120 53. La negación de la expresión; Para todo nú mero real x existe un número entero y tal que: y < X < y + 1 es: Resoiución; La negación de ia expresión queda representada por: ~ [ v x e E ; 3 y e 2 ; y < x A x < y + 1] como; ~ [v x] = 3 X y ~ [3 y] = V y se tendrá lo siguiente: 3xeE;Vy€2;y>xvx>y+1 Resolución: 54. En una reunión de 120 alumnos. 30 son varones que no les gusta el pescado, 50 eran mujeres que sí gustan del pescado, si el número de varones que les gusta el pescado es la tercera parte de las mu jeres que no gustan del pescado. ¿A cuántos les gusta el pescado? Resolución: Hombres • • • • • • 52. 25 personas que fuman no leen. 13 mujeres fuman. 15 mujeras no fuman ni leen 32 personas leen pero no fuman 8 0 son hombres 50 no leen 20 hombres leen y no fuman. Al realizar una encuesta a un grupo de 320 turistas sobre la gastronomía peruana, francesa y mexica na, se obtuvo la siguiente información; • A 180 turistas les agrada solo 1 de las 3 gastro nomías mencionadas. • Ninguno de los turistas que gustan de la gastro nomía peruana, gustan de la francesa. • A 20 turistas no les agrada ninguna de estas gastronomías. ¿A cuántos turistas les agrada 2 de las 3 gastronomías mencionadas? Mujeres X 50 Gustan pescado 30 3x No gustan pescado De la figura: + 50 + 30 + 3x = 120 .-. 50 + X = 60 X 55 . 4x = 40 =» X = 10 A es un conjunto de 8n elementos. B un conjunto de 5n elementos y tienen (2n - 1) elementos co munes. Si n(A - B) - n (B - A) = 12, ¿Cuántos subconjuntos propios tienen A n B)? Resoiución: Resoiución: 320 Dató: n(A - B) - n(B - A ) = 12 (6n + 1) - (3n + 1 ) = 1 2 3n = 12 =« n = 4 297 < (45 - 20) (k) < 305 /Número de subconjuntos^ \ propios de (A n B 4- Número entero 11, ... < k < 12,... =» k = 12 2^ - 1 = 127 56. Hay 3 estaciones de radio A, B y C que pueden ser recibidas en una ciudad de 3000 familias. Se obtuvo la siguiente información: • • • • • • • 1800 familias escuchan ta estación A. 1700 familias escuchan la estación B. 1200 familias escuchan la estación C. 1250 familias escuchan la estación A y B. 750 familias escuchan la estación A y C. 600 familias escuchan la estación B y C . 200 familias escuchan la estación A, B y C. Varones que no beben; 6 x 12 = 72 58. En una encuesta realizado entre 100 personas, to dos los hombres tienen más de 20 años, el gru> po hay 50 noujeres, hay 60 personas de más de 20 años, 25 mujeres casadas, 15 personas casadas con más de 20 años de edad y 10 mujeres casa* das con más de 20 años. Determinar la cantidad de hombres solteros. Resoiuctón: -Casados -^^/-Solteros-^ ¿Cuál es et número de conjuntos de familias que no escuchan a A pero escuchan B o C?. >20 Hombres Resolución: Haciendo el gráfico: Mujeres T = 3000 a= 5 b > 20 c = 10 d < 20 e = 15 f Por dato: a + b + c c Además: c = 10 ^ Como: a + b = 50 e + 200 = 1250 => e = 1050 d + 200 = 750 =» d = 550 f + 200 = 600 =» f = 400 a + e + d + 200 = 1800 =» a = <!• 1600 Total; 41 No escuchan a A pero escuchan 8 o C {b, c, f}. Nos piden: b + c + f = 500 14k Beben 6k No beben (5)x9k (5)x4k Fuman Sentados (21) 9 ^ RM olución: Tenemos las relaciones en el siguiente gráfico; Mujeres t-lombres + d = 60 + e = 25 e = 15 .•. b = 45 Resoiución: c + d + f + 200 = 1200 = c = 50 En una reunión se observa que por cada 9 mujeres hay 4 varones. Si de cada 10 varones, 7 beben. ¿Cuántos varones no beben? Nota: La diferencia de la cantidad de mujeres y va rones está comprendida entre 297 y 306. 50 59. En un autobús viajan 41 pasajeros entre k>s cuales se observa que: • 21 personas están sentadas. • Hay 16 mujeres en tota). * De los que están parados, 10 son hombres que no fuman. * De ias 12 miqeres sentadas, 8 TK) fuman. ¿Cuántos hombres que están parados fuman, sí hay 6 mujeres que fuman? b + e + f + 200 = 1700 =» b = 50 1450 57. ■50 \^ 1 o por dato < 2cy Parados (20) 4 6 10 \^rones(25) 60. 8 2 2 Mujeres (16) En un salón de clase se tiene a 25 jóvenes cuyas preferencias entre dos cursos (Física o Bioiogia) se define así; * Hay tantos varones morenos que les gusta sólo Física como varones que g u s ^ ambos cursos. * Hay tantos varones blancos que les gustan soío Física como varones que les gusta sólo biología. * Hay 7 jóvenes que no les gusta esos cursos. Si se elige un soio estudiante, ¿cuál iidad de que le guste biología? Resolucíón: Morenos la probabi- * 20 no estudian ninguno de estos cursos. ¿Cuántos estudian Álgebra y Aritmética a la vez? Resolución: Blancos Como el total de alumnos es 100, además tene mos * 46 no estudian Álgebra » 54 estudian Álgebra * 50 no estudian Aritmética ^ 50 estudian Aritmética Graficando tenemos: U (100) Dei gráfico: 2(a+ b + c) + 7 = 25 a+ b+c= 9 Pß- a + b + c _ _9_ 25 25 61. Un dub consta de 78 personas. De eiias 50 juegan fútbol, 32 básquet, 23 vóiey, además, 6 practican ios 3 deportes y 10 no practican ninguno. SI x es el total de personas que practican solo un deporte, e y es ei total de personas que practican solo 2 deportes, calcule x - y Resolución: Realizamos el diagrama de Venn-Euler. U(78) No estudian ninguno de los cursos Del gráfico tenemos: • 54 + a + 20 = 100 =» a = 26 a + x = 50=» 26 + x = 50 =»x = 24 .-. 24 alumnos estudian Aritmética y Álgebra a la vez. 63. Un club deportivo xyz cuenta con 48 jugadores de fútbol, 25 jugadores de básquet y 30 jugadores de béisbol. Si son en total 68 jugadores y solo 6 figu ran en los 3 deportes. ¿Cuántos jugadores juegan solo 1 deporte? Resolución: Haciendo un diagrama: Luego, sea: x: totai de personas que practican sólo un deporte ^x = a+ c+f y: total de personas que practican sólo dos de portes =>y = b + d + e Del gráfico obtenemos a + b + d = 44 b + c + e =26 + e + d + f 17 a + b + c + d + e + f + b + d + e = 87 62 Sumando: a + b + c + 2(x +y + z) = 85 68 jug. en total: a + b + c + x + y + z = 62 y 62 + y = 87 =» y = 25 Además: a + c + f + b + d + e = 62 25 X + 25 = 62 =» X = 37 48 jug. de fúüjol ^ a + c + y = 42 25jug. de básquet =» b + x + z = 1 9 30 jug. de beísiMl => c + y + z = 24 X - y =12 62. De un grupo de 100 alumnos se satte lo siguiente: * 46 no estudian Álgebra. * 50 no estudian Aritmética. Restando ei doble de ésta última menos la anterior: a -i- b -i- c = 2(62) - 8 5 =»a + b - f c = 39 Juegan 1 sólo deporte: a + b + c = 39 64. En un salón de 600 alumnos, 100 no estudian in glés ni francés y 50 estudian francés e inglés. Si 450 estudian francés. ¿Cuántos estudian solo inglés? Resolución: Haciendo y llenando el gráfico: T = 600 Inglés 67. Francés 50 400 En un autobús viajan 32 pasajeros entre perua* nos y extranjeros en el cual hay 9 extranjeros de sexo femenino, 6 niños extranjeros, 8 extranjeros de sexo masculino, 10 niños, 4 niñas extranjeras, 8 señoras y 7 señores. ¿Cuántas niñas pemanas hay en e! autobús? Resolución: Haciendo el gráfico: w 100 X 65. Hombres + 50 + 400 + 100 = 600 Mujeres T = 32 x = 50 En ei salón de dase donde hay 50 alumnos se ob> sen/a que: 6 veteranos usan bigotes, y 4 mujeres veteranas usan falda; 32 veteranos no usan falda; 9 mujeres usan fólda y 8 hombres usan bigotes. ¿Cuántos no veteranos no usan ni bigotes ni falda? Resolución: Hadando el gráfico: T = 50 Por dato; b + 6 = 8 ^ b = 2 Por dato; a + 6 = 1 0 ^ a = 4 c + 4 = 9=>c = 5 c+ d= 8 » d= 3 e + b = 7=»e = 5 Hombres + Mujeres = Total 5+2+4+6+3+5+4+x=32 X = 3 Por dato: 6 + m = 3 2 = » m = 26 Luego: 2 + 6 + m + 4 + 5 + x = 50 66. Sean los subconjuntos de R: E = <a; b>, donde a < b; A =: {x/x e (E n Q)} Q: racionales B = {x/x e (E“ n I)} I: in-acionales. Determinar: A® A B® X= 7 68. En una competencia olímpica partidparon 100 atletas, se realizaron 10 pruebas atléticas y en la premiación se nota que: * 3 ganaron medallas de oro y plata y bronce. * 5 ganaron medallas de oro y plata. * 6 ganaron medallas de oro y bronce. * 4 ganaron medallas de plata y bronce. ¿Cuántos atletas no ganaron medaHas? Resoiución: Resolución: Haciendo el gráfico: Q A y X B A“ = {x; y; B} B' = {A; x; y} A ' a B“ = { A; B } = A u B =» x + 2 + 2 + 6 + 4 + 4 = 100 X = 82 PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI = {[A A (B A C)j A (C A B]}'^ de (2) = {Aa[(BaC)a(CaB)]}^ = {A A = A'^ PROBLEMA 1 (tN I 2 0 0 2 • I) Sean los conjuntos; A = {x = (r/s) / r, s e Z, con 1 < r < 3 y 0 < s < 3 } ; B = {xeE /1<x<2} Calcular: A u B A) (1:2) D)[1;2] B)(1;2] E ) [2; 3) C) [1;2> Resolución: Como r, s e Z, se tiene: 1 < r < 3 » r = 2 ; 0 < s < 3 s = 1; s = 2 Luego; A = {1:2} Además; B = (1; 2) Uniendo: A u B = [1; 2) Clave; D PROBIfMA 2 (UNI 2 0 0 4 • II) Clave; A PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 0 - 1) En un colegio el 60% aprot>ó Aritmética, el 32% aprobó Álgebra y los que aprobaron Aritmética y Álgebra re presentan el 60% de los que no aprobaron ninguno de los dos cursos. Si 42 aprobaron Aritmética y Álgebra, calcule el número de alumnos del colegio. A) 340 D) 370 B) 350 E) 380 C) 360 Resolución; Sea M; número total de alumnos del colegio: Sea X un conjunto no vacio y R c P(X) un subconjunto no vacío del conjunto potencia de X, R es un anillo de conjuntos sí para cualquier par de elementos A y 6 se cumple: A u B € IB y A / B e m Si R es un anillo de conjuntos, indique el valor de ver dad de las siguientes afirmaciones; I.AABeE A) VFF D) W F II.AnBeE B)FVF E) VFV M I.0eIB C) WV Resolución: Por dato: 42 = 60%(8%M + 42) Verdadero; A A B = (A u B) \ (A n B) = (A \ B) u (B \ A) Co m o ( B u A ) e l E y B \ A e E, entonces; A \B y B \ A e l R =» ( A n B ) e l R II. Verdadero; A A B = (A u B) \ (A n B) G E A (A u B) G E =» A n B e E III. Verdadero: 0 6 E, el vacío es subconjunto de todo conjunto no vacío. M = 350 I. Clave: C PROBLEMA 3 (UNI 2 0 0 7 • i) Dados los conjuntos A; B y C en U. Simplifique la expresión; [A a (B A C) A [C A 8*^1 A)A^ D)A B)B'= E)B Clave: B PROBLEMA 5 ( tN I 2 0 1 0 • II) Dados los conjuntos A = {{a,; 3;) e / (a,; a^) e [3; 4] x [4; 5]} y B = ({b,; b2> G E^/ bf + b| < 1} Si se define: A + B = { a - i - b / a G A , E e B } Determine el área de A + B A) 1 + 71 D) 5 + n B) 2 + 71 E) 6 + n C) 3 + 71 Resolución: Tenemos que; A = {(a,; a,) g E '/ (a,; a^) g [3; 4;] OC' " Resolución: Sabemos que si: M, N y P e U =» M A N = (M nN'=)U (N nM =) ...(1) M A N ' = (M A ...(2) Luego: [A A (B A C)J A [C A B'=] == [A A (B A C)] A [C A B]'^ de (2) 1 2 3 4 x [4; 5]} Resolución: Tama: Conjuntos P n Q =» 128 = 2^ =* n(P n Q) = 7 P - Q =» 64 = 2® = n(P - Q) = 6 P X Q =» 182 =» n(P) X n(Q) = 182 B = {{b i b2) e ® ^ / b ? + b | < 1} X -1 •••(0 ...(II) ...(lll) De (I) y (II): n(P) = 13 De (II) y (lll): n(Q) = 14 n(Q - P) = 7 n(Q\P) = 7 -1 La gráfica de A + B cuyos elementos tienen la forma (a, + b,; 82 + bj) viene dada por: Figura forrrtada por 5 cuadractos de lado 1 y 4 cuartos de círculo. Clave: 0 PROBUMA 7 (UNI 2012 • II) Sean A, 8 conjuntos del mismo universo U. Señale la alternativa que presenta la secuencia correcta des pués de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. Card (A u B) = Card{A) + Card(B) - Card (A n B) Card(P(AnB) Donde P(A) es el conjunto potencia de A. 1 2 3 4 5 III. Área de A + B = 1(5) + 4 ^ = 5 + n Clave: D PROBl£MA 6 (UNI 2012 - 1) Se sabe que un conjunto de n elementos tiene 2" sub conjuntos, la intersección de P y Q tiene 128 subcon juntos, la diferencia de P respecto de Q tiene 64 sub conjuntos. El producto cartesiano P x Q presenta 182 pares. Luego podemos afirmar que el número de ele mentos de Q\P es: A) 5 D)8 8)6 E)9 07 SI Card (A n B) = O entonces A = A) V W D)FFV B) W F E)FFF o B = 1^ C) VFF Resolución: Conjuntos I. V (A; B) c U: n(A u 8 ) = n(A) + n(B) - n(A n B) (V) II. v ( A ;B ) c U :2 '’‘*'-'®V2'’‘*^ + 2'^®'-2^*"®^ (F) III. S i : A n B = 4 i =» Los conjuntos son disjuntos, pero no r>ece$anamente nulos (F) VFF Clave: O PR O B LEM A S La parte sombreada del diagrama de Venn-Euler mostrado, con^sponde a la operación; PROPUESTOS lo * * " 7. En una reunión, el 80% hablan inglés; 65 personas hablan castellano y el 5% los dos idiomas. ¿Cuán tas personas asistieron a la reunión? A) 230 D) 260 B)200 E) 290 C)250 8. De 90 personas se sabe que 61 son solteros y 55 son hombres. Si son 12 mujeres casadas, ¿cuán tos son los hombres solteros? A )A u (B n C ) D) (A U C) U C B )A n (B u C ) E) (A n B) n C 2 . A un congreso internacional de medicina asistieron 240 personas: 60 pediatras, 80 ginecólogos y 90 de otras especialidades. De estos últimos 25 eran pediatras y 35 eran ginecólogos. ¿Cuántos de los que no son ginecólogos, no son pediatras ni de otras especialidades, sabiendo además que nin gún pediatra es ginecólogo? A) 50 D) 65 3. B)2^* E) 2'® C)2* Dado los conjuntos: A = {x/x € Dí¡ - 3 < X < 5} B = {x / x g 2Z; 1 8 < x < 19} Calcular: n(A) -i- n(B) A) 9 D) 5 5. C)60 Se tienen tres conjuntos A, B y C cuyos cardinales son números consecutivos, tal que: n[P(A)J + n{P(B)] + n(P(C)] = 896. Hallar el número de elementos que puede tener como máximo el conjunto potencia de (A u B u C). A) 24 0 ) 2 ’” 4. B)56 E) 70 B)8 E) 7 B){15:3} E){17;9} C)15 C ){17;8} Detemiinar n(C - B), si A, B y C están incluidos en el universo U. n(U) = 30: n(A') =14; n(B) = 13 n{8 - C ) = 7; n(An B n C ) = 2 n(A' n B' n C ) = 3; n(A n B' n C ) = 5 A) 6 D)13 B)8 E)12 9. C)11 B) 28 E) 45 C) 18 Sabiendo que: n [{A u B )-C ] = 32; n [A u C )-B ] = 9; n[C -(A u B)j = 14; n(8 n C) = 12. Hallar: n(A u B u C). A) 58 D) 67 B)71 E) 68 C) 69 10. Si el conjunto: A = {a'’; b®; ^ ^ } es unitario, ade más a, b £ 2*. Hallar, a + b A) 4 D)7 8 )5 E)8 C )6 11. Sabiendo que A = {a^ + 3}; B = {7b}; A u B = {28} Hallar; a + b A) 8 D )7 8 )9 E)11 C) 10 12. Si n significa el número de elementos, siendo A y 8 dos conjuntos tales que: n(AuB) = 30; n (A - B )= 12 n (8 - A) = 8; hallar: 5[n(A)] - 4(n(B)] A) 38 D)70 Si se cumple que: A = {2 a -1- b; 17}, B = { b + 1 ;3 a - b } son conjuntos unitarios. Hallar la unión del conjunto A y 8 . A) {16:8} D){20;10} A) 38 D)48 C )(A u B )n C 8 )60 E)100 C)48 13. ¿Es el centro de la circunferencia elemento de dicha circunferencia? A) Si D) A veces B) No E) Faltan datos C) Puede ser 14. Sean los conjuntos iguales A = {a^ + 1; 7}; B = {a + b; 10} ¿Cuál puede ser el valor de a - b? A) 1 D )-1 3 8) 7 C) - 5 E)3 15. Indicar el cardinal del siguiente conjunto: A = {x/-Í)? €Dí; X < 50} A) 5 D)8 8 )6 E)9 0 )7 1 6 . D e te rm in a r p o r c o m p re n s ió n e l co n ju n to ; A = {0;4;14; 30; 52;...} A) FVFFW D) FFWFF A) {x^ + 2x / X e W . X 0} B) {x^ - X * / X c W , X # 0} C) {x^ + X + 2 / X e Bí, X 0} D) {2x* + 5 x + 3 /x G n í^ } E) {3x* - 5x + 2 / X € Dí*} A) 2 C )9 A) 512 D) 32 18. Hallar a + b, si el siguiente conjunto: 03 D )4 E)5 19. Sean A; B y C tres conjuntos, tai que: Ac B AnC = 0 B n C = {1;3} A - C = {4;6} C - B = {2;5) n(B) = 4 Hallar: n (B -A ) + n (0 A) 3 B )4 D)6 0 5 E)7 A) 10 A) 3 D)31 e Dí ; 3 < X < B )7 E) 63 A) 5 33} C) 15 21. En una encuesta que se realizó entre 100 alumnos se sabe que: 50 alumnos gustan de Aritmética y 60 alumnos gustan de Álgebra. Si el número de alumnos que gustan de Aritmética y Álgebra es la cuarta parte del nún>ero de alumnos que les gusta solo Aritmética. ¿Cuántos alumnos prefieren solo uno de estos cursos? A) 70 D) 48 B) 80 E) 72 D)4 E)5 B)128 E)1024 C)64 09 D )7 E)3 B) 6 07 D) 8 E) 9 29. De 600 alumnos del CEPREVI se tienen los siguientes datos: 320 practican ajedrez, 240 practican vóley y 100 no practican estos d ^ r t e s . ¿Cuántos practican ambos deportes? A) 20 D)60 30. B)50 E) 62 C) 40 Si A = {a + b; 12; 2a - b + 4} es un conjunto unitario; además B = {x/x g Dí, b < x < a} C = {x/x G Bí, a - 3 < X < 3b - 2} ¿Cuántos subconjuntos tiene (B n C) u A? A) 8 D)3 C) 90 22. Dado el conjunto: A = {x^ + 1 / x e Z; - 3 < x < 4} ¿Qué proposiciones son verdaderas? B)6 28. Dados los conjuntos A y B subconjuntos del univer so U; A = {x^ / X G Dí; 1 < X < 6} B = { X + 2 / x e Dí; 4 < X < 10} U = { x /x e D í;1 < x < 1 0 } Hallar: n(A) + n{B) 20. Cuantos subconjuntos propios tiene; M = {x I 07 27. Dado el conjunto: A = {x + 2 / x e 2 ;x ^ < 9 } Calcular la suma de los elementos del conjunto A. A = {4a + 1; 2b + 9; 3a + 4}, es unitario. B )2 B)9 26. Cuántos subconjuntos tiene el siguiente conjunto: A = {x ^ /x e Z ; - 9 < 2x - 1 < 11} B )7 E)10 A)1 E) WFVFV 25. Sabiendo que ios conjuntos: A = {4a + 3b; 23} ; B = {3a + 7b; 41} son unitarios. Hallar; a + b 17. Se sabe que el conjunto: E = {a^ + 1; 17; 5b - 3 } es unitario lâllar: a + b ; s ia y b e D í A) 8 D)6 C) FFFW V E) FVFVFV B) 16 E)32 C )4 31. La parte sombreada representa: I. n(A) = 5 II. Atiene 16subconjuntos. III. Atiene 31 subconjuntos propios. A) Solo I D ) ly ll B) Solo II E ) ly ill C) Solo lll I. I A - ( B - C ) ] u [ C n D ] II. ( A u B ) - ( B - C ) III. [ ( A u D ) - C ] n [ A - ( B - C ) l 23. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene M? M = {x / x € Dí; - 2 < X < 5} A) 15 0 )7 B)31 E)127 A) Solo I D) Solo I y C) 63 32. 24. Colocar el valor de verdad a cada proposición si: A = {2: 3; {1}; {2; 1} } 0 G A ; 3 e A ; lG A : {1 }c A ; {3 }c A ; 0 c A B) Solo II E)Todas C) Solo Para los conjuntos A, B y C se tiene: . • • n(P(A)) = 256 N(P(AUBUC)) = 4096 n(P(AnC)) = n{P(AnB» = n(P(BnC)) = 2 • • p e a n a s están sentadas y hay 16 mujeres en to tal; de los que ^man, 5 hombres están sentados y 2 mujeres están paradas; de tos que no fuman, 8 mujeres están sentadas y 10 hombres están para dos. Hallar cuántas mujeres que están paradas no fuman, si los que fuman en total suman 19. n(A n B n C) = O n(BAC) = 2 n ( C - ( A u B ) ) + 1 Calcular: n(A) + n(B) + n(C) A ) 12 D )15 C) 14 B)13 E )16 33. De 3 conjuntos A, B y C contenidos en U se sat>e: • n[P(AnB)) = 1 • n(A) = 2n(B) • n[P<B)l = 1024 • n(U) = 50 A) 2 B) 25 E) 38 A) 6 D) 12 B)9 E)5 A) 3 0 )6 3 A) A D)6 41. 36. Se dispone de 6 tipos de vinos,los cuales se com binan para obtener sat>ores distintos a los que se tiene. ¿Cuántos nuevos sabores se podrán obtener Si al mezclar siempre se realiza con una misma cantidad de cada vino? 8)1 C )2 0 )3 B )A u B ‘' E )A u B C )B ‘= Dados 3 conjuntos A, B y C se cumple que: • n [A n ( C - B ) ] = 3 • B cC • n[P(C - A)] = n[P(A - C)j = 16 E )4 38. En un vagón de tren se realiza una encuesta so> bre el uso de cigarrillos. De los 41 pasajeros, 21 Si • • • B )3 05 D )2 E)4 se cumple: A'^ c n ( A - C ) = n(A) n[(P(D - A)] = 64 = 2n{P [D n (A u B)J} • n ( C ) = |n [ C - ( A u D ) ] • n{C - [(A U D) n (A' n D' n C')]} = 15 • n [A - ( B u D ) ] := 12 Calcular cuántos elementos tiene n(B - D) si A tie ne 5 elementos más que C. A) 8 43. C) 59 37. En un certamen de t>elleza participaron 50 señoritas, de las cuales 23 eran de cabello rubio, 20 eran morenas y 23 tenían ojos verdes, además 6 tenían cabello rubio y ojos verdes, 5 eran morenas con cabello rubio y 7 eran morenas con ojos verdes. También participaban 2 hermanas con las tres características. ¿Cuántas preguntas han do ser necesarias para conocer a dichas hermanas? A) O 42. C)13 B) 58 E) 57 C)15 Calcular: n(An B n C); sí n(Au B U C) = 13 35. Entre los varones que se alojan en un hotel: 40 eran peruanos de los cuales 3/4 tenían peluca; 60 eran ingenieros. De los peruanos con peluca la mitad eran ingenieros, 5 de cada 6 ingenieros tenían peluca. Calcularcuántos varones que tenían peluca no eran peruanos ni ingenieros sí en el hotel se alojan 85 varones con peluca. A) 60 D) 56 B )7 E )31 40. Simplificar la expresión conjuntísta: [A n (C A A)) u [(B n C)*^ n A] u [B u (A n B^)] C)3 B)45 E)20 E)4 n{A u B) = 12, n(A n B) = 7, n{A) = n(B) + 1 A)1 A) 30 D)19 D)1 Además: n(A - B) = n({A u B)*]. Calcular cuántos subconjuntos propios tiene A'. C )30 34. De un grupo de 50 músicos,39tocan al menos la guitarra, mandolina o charango.Si se sabe que los que tocan solamente uno de estos instrumentos son unos tantos como otros y que los que tocan estos tres instrumentos son 1/2; 1/3 y 1/4 de los que tocan guitarra y mandolina; mandolina y charango; charango y guitarra respectivamente. Calcular cuántos tocan estos 3 instrumentos. C )3 39. A y B son dos conjuntos tales que: Calcular: nfA*^ n B*^] A )20 D) 35 B )5 B) 6 07 E) 9 Si: A = {4; 8; {4}; 0 ; {2; 7}; {0 }} de las siguientes proposidones, ¿cuántas son verdaderas? (V ){2 ;7 }e A (V) {4; 8; 0 } e P(A) (V ){{4 };{2 ;7 }}c A (V ) 0 c A A )5 44 . D) 5 B )4 (F){{4} } g A (V ){4 ;8 }c A (V){{ 0 } } c A 07 D)3 E)6 De 60 personas se sabe: • • > > 6 hombres tienen 20 años 18 hombres no tienen 21 años 22 hombres no tienen 20 años Tantas mujeres tienen 20 años Como hombres tienen 21 años Calcular cuántas mujeres no tienen 20 años. A) 32 D) 26 B) 22 E)34 C) 18 45. En un salón de clase de 60 alumnos se tomaron 4 exámenes: Aritmética, Algebra, Geometría y Trigo nometría. De los resultados se sabe: los que apro baron Aritmética son tantos como los que aproba ron solo Geometría y Trigonometría y tantos como los que aprobaron Algebra pero no Aritmética. SI todos aprobaron Trigonometría y son el doble de tos que aprobarcin al menos 2 cursos, ¿cuántos aprobaron Aritmética o solo Trigonometría? A) 40 D )20 B)30 E) 25 C)15 46. Dado un grupo de 100 personas se tuvo la siguiente información: * 45 personas son mudas * 40 personas son ciegas * 20 personas son mudas y ciegas * 18 personas son sordas y ciegas * 5 personas tienen los tres defectos * 15 personas no tienen ninguno de los 3 defectos * Finalmente los que son sordos solamente, son tantos como los que son mudos o ciegos sola mente. Determinar cuantos son sordos. A) 20 D)13 47. Eri una reunión social se obtuvo la siguiente infor mación: de los hombres, 180 no bailan, 30 no tienen corbata y bailan, 20 con corbata bailan pero no fu man. De las mujeres, 100 no bailan y no usan falda; 150 usan fótda; 50 fuman, bailan y no usan falda. ¿Cuántos hombres usan corbata, fuman y bailan; o mujeres que no usan falda, no fuman y bailan, sabiendo además que asistieron 600 personas? . A) 50 D)100 8 )7 0 E)60 C)80 48. En una er^cuesta de 1000 personas sobre tietiidas gaseosas se obtuvo lo siguiente: ^ “"".^Reacción EncuestadM"*«*.... Hombre < 30(H,) Hombre > SOíHj) Mujer < 30(M,) Mujer > 30(M,) Agradable Desagradable Indiférente (A) (B) (1) 100 50 190 100 60 55 105 50 40 145 5 100 Utilizando la tabla, calcular: n[(H 2uM 2)n(A ul)] A) 300 D) 410 B) 480 E)310 A )F W D) VFV B) FFV E) W F C) 395 49. Sean A y B subconjuntos de un universo U. Indicar las siguientes proposiciones con (V) o (F): C )V W 50. Dado el conjunto: A = {2; 3; 4; 5} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son ver* daderas? p :3 x e A /^ í^ > 1 q :v x e A :V y e A /x ^ + / > 7 r : 3 x G A : v y e A / x + y >8 s: v x e A : x < 3 A) O B)1 C )2 D )3 E)4 51. Se hizo una encuesta a 640 personas para saber ia preferencia hacia 3 canales de televisión A, B y C. Se obtuvo los siguientes resultados: • 370 no ven ei canal A • 350 no ven el canal B • 340 no ven et canal C • 140 no ven ningún canal o ven los tres canales • 210 ven solo dos canales. ¿Cuántos ven solo un canal? A) 180 D)280 0)7 B) 50 E)42 A a B*^ = B => B c A . A '^ - B c A u B « A u B = U I, A c B « B^cA'^ B)290 E)320 0240 52. En un grupo de 55 personas, 25 hablan iriglés, 32 francés, 33 alemán y 5 los tres idiomas. Si ^ o s hablan por lo menos un idioma. ¿Cuántas personas del grupo hablan exactamente 2 de estos idiomas? A) 25 D)12 B) 26 E)40 C) 32 53. Si: A = {2; 2; 3; 4; 5} B = {1;3; 5; 7; 9} Calcular: n{(A x B) n (8 x A)] + n[<A x B) - (B x A)] A) 32 D)48 8 )6 4 E)128 C)25 54. Si se sabe que: • n[P(A n 8)1 = 1 • n ( C - A ) = 12 = 2n(A nC ) • n[C^ u (A n 0*=)] = 40 Calcular: n(u) A) 48 D) 62 8 )5 0 E) 58 55. Da<io ei A = {a; (aV, • 0 eA • 0cA • {0 }g A • C)60 {0» • {{0}} c P(A) • {{a}: 0 ; {0 }} € P(A) • {{0 }}c A {{a };0 } e p ( A ) ¿Cuántos son verdaderos? A) 4 B )5 0 )6 D )7 E) 8 56. Se tiene 3 cx>njuntos A. B y C tales que están inclui dos en el universo U, donde: • AnC=C • n(C ')=150 • n B*^) = 90 • n [( A u B )- C l = 6n(C) Calcular: n(U) A) 160 0)220 8 )8 0 E)100 C)120 57. Si A = B, hallar la suma d© elementos de C. A= {2‘ + 1 B = {2'; y); C = {x^ / x e A} A) 5 B )2 03 D )8 E) 6 58. A y B son subconjuntos de U y se cumple que: • AnB = 0 • 8^ tienen 512 subconjuntos • n(A) = |n {B ) • El número de subconjuntos de B excede al número de subconjuntos propios de A en 193. ¿Cuántos subconjuntos tiene A'^? A) 526 D) 684 B )2048 E)1024 C ) 1496 59. De un grupo de 66 deportistas que practican atletismo, fútbol o básquet se ha observado de estos que 29 practican atletismo, 33 practicaban fútbol y 31 practicaban básquet; 11 practican atletísmo y básquet, 13 practican fútbol y básquet, 4 practican atletismo y fútbol. ¿Cuántos practican los 3 deportes? A) 3 B )2 C )0 D)1 C = {x e A /2 x ^ + 3x - 2 = 0} El resultado de {A - C) n B es: A ){-1 ;1 ;2 ;3 ) C ) { - 1 ;1 ;3 } E ) { - 1 ;1 } B ) { - 1 ;1 ; 2 } D ){- 1 ;1 /2 ;1 ;2 } 63. Dado los conjuntos: S = {x e E / < 0} T = { x g ® / 4 x - 2 < 0} Hallar. S n T A) {- 1 :1 /2 } C ) { x G ® / x < 1/2} E ) { - 1 ;1 ; 2 } B ) { x e ® / - 1 < x < 1 /2 } D ){1/2} 64. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican fúttrai, 55 básquetbol y 75 natación. Si 20 alumnos prac tican los tres deportes y 10 no practican ninguno, ¿cuántos alumnos practican un deporte y solo uno? A) 50 D )70 B)55 E) 65 C)60 65. La diagramacíón correcta de la siguiente fórmula es: [(A u B) n (A’ u B)1 u tB u (A n B)3 A) E)5 60. Sea el siguiente conjunto: A = {4; 3; {4; 3}; {4}; 0} ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas? I. 0 e A A 0 e A II. {4; 3 }e A A {4 ; 3 }c A III. n(A) = n(P(A)) - 27 IV. {{4}}eP(A) A) 4 B )3 06 0 )2 E)5 61. Sean los conjuntos: S = {x e N/ 30 < x! < 50 000} T = {x e N/ 5 < 2' < 300} V = { x e N /2 0 < x‘ <4000} Y las proposiciones: 1. S n V = V II, S u V = T H I.TnV = V IV .S nT=S V. s = T - V Indicar cuántas son correctas A) 2 B) 3 0 5 62. Dados los conjuntos: A = { - 3 : - 2 ; - 1 ; 1/2; 1; 2; 3 } B = {x e A / - 2 < X < 3 } y D)1 66. Sedan: S = {r; s; t; u), T = { r ; t ; v ; x ) , Hallar: (T u V) n S A) {s; t} D ) { r ;t} B) {r } E ){t} V = {r;s ;x :y } C) {r, s; t} 67. De un grupo de 100 señoritas: 10 son solamente flaquitas, 12 solamente morenas, 15 son solamen te altas, además 8 tienen por lo menos 2 de estas características. ¿Cuántas señoritas del grupo no tienen ninguna de las tres características? E)4 A) 50 D) Más de 60 B) 51 O 55 E) Menos de 40 68. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Sociología y 53 no siguen el curso de Filosofía. Si 27 alumnos no siguen Filosofía ni So ciología, ¿cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos? A) 40 D) 52 B)44 E) 56 C) 48 69. De 500 postulantes que se presentaron a las uni versidades Católica o Lima, 300 postularon a la Católica, igual número a la U de Lima, Ingresando la mitad del total de postulantes; los no ingresantes se presentaron a la universidad Ricardo Palma, de estos, 90 no se presentaron a Católica y 130 no se presentaron a la U de Lima. ¿Cuántos postulantes ingresaron a ia Católica y a la U de Lima? A) 20 D )70 B) 30 E) 90 C) 80 70. Una institución educativa necesita contratar a 25 profesores de Física y a 40 profesores de Matemá* tica. De estos contratados, se espera que 10 rea licen funciones tanto de profesor de Física como de profesor de Matemática. ¿Cuántos profesores deberán contratar la institución educativa? A) 40 D) 75 B) 50 E) 55 C) 65 71. En un concurso de t>e{leza, participaron 44 señoritas, de las «jales 19 eran de cabello aibio, 19 eran mo renas y 22 tenían ojos verdes. También se obsen/ó que 5 eran morenas con cabello mbío, 7 eran more nas con ojos verdes y 6 tenían cabello njbio y ojos verdes. También habia dos hermanas que tenían las tres características. ¿Cuántas preguntas son nece sarias realizar para cortocer a dichas hermanas? A) O B)1 C )2 D )3 E)4 72. Sien un ómnibus viajan 30 pasajeros entre perua nos y extranjeros, donde hay 9 de sexo femenino extranjero, 6 niños extranjenss, 8 extranjeros de sexo masculino, 10 niños, 4 niñas exfranjeras, 8 señoras y 7 señores. ¿Ojántas niñas peruanas hay en el autobús? A )6 B )3 04 D)1 E)5 73. 41 estudiantes de idiomas, que hablan inglés, fran cés o alemán son sonr>etido8 a un examen de veri ficación, en e! cual se determinó que: • 22 hablan inglés y 10 solamente inglés. • 23 hablan francés y 8 solamente francés. • 19 hablan alemán y 5 solamente alemán. ¿Cuántos hablan alemán, pero no inglés? A) 14 0 )1 2 8 )1 0 E)13 C)11 74. De un gnjpo de músicos que tocan la flauta, quena o tuba se sabe que la octava parte toca solo flauta. la sétima parte toca solo quena, la diferencia de los que tocan sólo flauta y los que tocan sólo quena es igual a la cantidad de músicos que tocan solo tuba. Si además 80 tocan por lo menos 2 de los Insbumentos mencionados. ¿Cuántos tocan solo quena? A) 13 D)16 8 )1 4 E)17 C)15 75. En un banco se instala un sistema de alarma elec trónica para detectar rot>os, que de vez en cuando emite una señal (9 días de cada 25 por término medio). Las falsas alarmas tiene por lo general 8 veces la frecuencia de robos no alarmados. Se sabe que con este sistema se detectan 2 robos de cada 4. ¿Cuál es el porcentaje de días norma les para el sistema, o sea aquellos en que no hay robos ni falsas alarmas? A) 65% D) 55% 8)50% E) 70% C)60% 76. En un conjunto de 30 personas; 16 estudiaron en la universidad A; 11 en ia universidad 8 y 16 en la universidad C. Si solo 2 personas estudiaron en las universidades A, B y C. ¿Cuántos estudiaron exactamente en una de estas universidades, considerando que todas las perso nas estudiaron al menos en una de didias univer sidades? A) 16 D)19 8)17 0 1 8 E) 20 77. Si A, B y C son tres subconjuntos de un conjunto universal de 98 elementos y además: n[(A U 8) n C’] = 50, n(C)=34 Hallar: n [(A u 8 u C )'] A) 13 D)16 8)14 E)17 015 78. El resultado de una encuesta sobre preferencia de Jugos de fruta de manzana, fresa y piña es el si guiente: 60% gustan manzana. 50% gustan fresa. 40% gustan piña. 30% gustan manzana y fresa. 20% gustan fresa y piña. 10% gustan manzana y piña. 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan alguno de los jugos de frutas mencionados? A) 5% D)12% B) 20% E)10% 79. Dados los conjuntos: S = {n^/ n e l H A 0 < n < 20} C) 50% T = {2n / n e Z A 4 < < 500} ¿Cuántos elementos tiene S x T? A) 380 D )800 80. B)400 E )760 A) B) C) D) E) 0 342 La región sombreada de la siguiente figura corres ponde a: (A n B n C ) u [C n ( A n B ) ) (A n B n C) n [(A u B) n (A n B)] {[(A u B u C )-A ]-C }-B [(A n B ) - C ]u [(B n C ) - A ]u [(A n C ) - 8] (A u B u C )-(A n B n C ) 83. ¿Cuántos elementos tiene el siguiente conjunto? (5; 7; 9; 11; ...; 83) A) 35 060 8 )40 E)45 0 41 84. Sea A un conjunto con dos elementos y B un con junto con tres elementos, el número de elementos de P(A) X P(B) es: A) 12 D) 64 A) {(Au C ) u ( B n C)] - (AnB) B) {C - (A n B) n [(A n C) - (A n B)j C) {(An B) - C] u [(B n C) - (AnB)] D) {(An C) - (An B)] u [(An C) - (AnB)] E) {(A - B) u C] - C 81. Lolo debe almorzar pollo o pescado (o ambos) en su almuerzo de cada día del mes de marzo. Sí en su almuerzo durante 20 días hubo pollo y duran te 25 días hubo pescado, entonces, el número de días que almorzó pollo y pescado es: A) 18 8 )1 6 E)13 D)14 B)24 E) 32 048 85. Sea A, 6 y C subconjuntos de un conjunto univer sal U. De las afirmaciones: I. Si A c (B u C) y A n C = (j) entonces A c B. II. Si A c B, entoncesAn B = <(• (8 = complemento de B) III. S iA n B = (|» y B c C ; entoncesAn C = (ji. IV. S iA u B u C = U. Entonces A n 8 n C = (|) A) B) C) D) E) 015 82. En la figura la parte sombreada está representada por: Sólo II es verdadera. Sólo I, II y IV son verdaderas. Sólo I es verdadera. Sólo I y II son verdaderas. Todas son verdaderas. 86. Decir cuál de los siguientes enunciados es falso: A )A c B a B c A =»A =B B )A c B a B c C « A c C C ) x e A A A e B => x e B D ) x € A a A c B => x e B E) x g A a x s B =» x G A n B :" 't C ■¡ ^ > ' í 12 A Y3 B . ‘ 14. D 15. D '.r f î c ; , „ .t& E l :- ,* e ■ 17 A tB. E ; te. L* i 23 24. 25 26. C A C C 27 A ‘ 28 A .29 0 30. A 20. B ' »1 A » -c.- 1 D 22 E ‘ 33 A ^ 34 35, 36 37. 38 39 4Û. C e E A D E E 45 48. 47 48 A 8 8 e 42 A 0 50. C 51 B 52 A 53 c 43 E 44. B 54. 55 0 56 57 58 ■ 59 * 60 ; ' 1 ' r A A M ’ -i- D A eí 6Z 0 63 B 64 A 65 A 66 C c 69. D 70 E 71 D 72 D 73 C 74. D 75 C 76 D 77 8 78. 79 80 81 82 A E C D D 83 B 84 E 85 D 86 C Exponentes y radicales en ]R Christoph Rudolff nació en 1499 en Jawor. región de Silesia y fa lleció en 1545 en Viena. Fue el au to r del prim er libro alem án de álgebra. Rudolff fue desde 1517 a 1521 alum no de Henricus Gramm ateus - u n escriba de Érfurt- en la Universidad de Viena y fue el autor de un libro sobre com pu tación, bajo el n'iulo de Behend und duTch die bübsch Rechnung kunstreichen Regein Algebre. Rudolff introdujo el uso del signo radical { f ) en la raíz cuadrada. Se cree que esto se debió a que el símbolo se parecía a una «r» m inúscula (por «radix»), aunque potania. 1433 - Austria, 1545 no hay evidencia directa. Cajori solo se limitó a decir que el «pun to es el em brión de nuestro ac tual sím bolo de raíz cuadrada», a pesar de que según él m ismo «posiblemente, quizás probable» los símbolos posteriores a Rudolff no fueran puntos, sino erres. Fuente; Wibipedia ^ LEYES DE EXPONENTES Porque: 0° = Número indeterminado Es el conjunto de teoremas y definiciones que estudian a ias diferentes relaciones, operaciones y transforma ciones que se puedan reaiizar con ios exponentes. Por ejemplo: • 273" = 1 • • (0,5 - -~ )° = (4 - 4)° == v4 Exponente natural A " = A x A x A .,.A n e IN Se define: lA \ Ib) (AB)" = A" B" Exponente -♦ Potencia A" = P indeterminado Potenciación de una m ultiplicación y una división De donde: si: r • (-24)“ - 1 A" B" ; V B #0 Por ejemplo; -Base Por ejemplo: 2^ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128 5® = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 3125 Exponente negativo • (5 x4 )^ = 2 5 x 16 = 400 15\''_ 15" 7 T • 2 " ’ x 3 ’'" ’ x 5 '* ’ = (30)'"' 3f 2/ 2= Potenciación de otra potencia ; A *0 (A T =A"^" 1/0 = 55; porque la división de un número conocido por cero matemáticamente no existe o no está definido. •2 5 f: fh !:*; V:'-’:'. ''S'i?! - ! ■ ; : í'-’í!: ; ; En general: (a"*)" ^ a" Por ejemplo: , (2®)^ = 2’® Por ejemplo: (0,5) ^ = (0,5)^ 0,125 = 4 = 8 • 3^ = 3* ($2)3 = 3® ( x V = x*'^ Radicación Exponente fraccionado "VÀB =''/A"1 b Por ejemplo: ^V5x^/4x^/2 = ^5 x 4 x 2 = ^V40 A" = ( - 3 )^ = g Por ejemplo: (-27)^^ = Radicación de una división ÍA B M ultiplicación de bases iguales A'"A" =A "'*'' ; AÔ 1,1,' Por ejemplo: 5^ x5^ x5® =5^ ^ ® = 5 Por ejemplo: ^ "/A Potencia de una raíz A Ô 1. = 3’ ' = 3^ - 27 2. C orolario (exponente cero) A® = 1 . A Ejemplo: O 3/? X O 4 x j^ _ ?^2xy V 2xV División de liases iguales Por ejemplo: ^ : X ’V5T = Aplicaciones: 1. Simpiífícar; 6. 2" * 3^ 2" ^ 2” * ' F= 2^n+i ^ 2" Efectuar: E = Resolución: Para fransformar la expresión en otra más simple, hacemos: 2" = a Resoiución: Extrayendo el factor común 2" ^ en el numerador y 2" en el denominador + 2 -1 ) +1) 2'’(2^+1) 2"(2*+1) E= Transformando los radicales; 2a 2. 2« 2a x*-2 + x»-2 F= 2 E= Reducir lo siguiente: 2x* ' 7 3 ~ = 2x" ^ = 2xÍ ^ . . E = 2x Z = Qm-2x16'> +2 Resolución: Expresando el numerador y denominador en base 2: 7. ab Reducir: C - ab* V ib lV (a b f Resolución: Se sabe que: ■ ^ 4 n -f3 -3 m -4 n -2 - yVx Z= 2 3. Reducir: C = b®^(ab)^ C= b x [x w r y= Resolución: Efectuando en el corchete y en el denominador ios exponentes de 2 en 2 de arriba hada abajoy = _ * lL - - x L ^ x -"x -'"x « X-« 4. 8. Reducir: N = . v = x’* ■■ ^ zl __ 9. Resolución'. Expresando en ftjnctón de un solo radical numera dor y denominador: is áfi Efectuar: S - (x r(x ^ )(x -= r' (xT H x»-’)(x-®)-r Resolución: Efectuando denbx) del corchete, empleando el cri terio de potencia de potencia: 16 X* _= X- y* =_ ^X _= „X — —r — A X'^X^X® X3 (n-9X".±2^ X'^X^X* E= 1 Reducir: x il ^ _ 2 ’* X'V2*® = 2^® 2'® =2^* —2® N= 8 E= 5. 4/l6V32yi28 Resolución: Transfomiando el primer término en exponente negativo y efectuando en el radical: Dar la forma simplificada de: E = b(ab)^’« (ab)’" Í6 '"x3 " + 2'"‘^" T 6 "x3 "’ + 4" 10. s Reducir y dar el valor de: p = f l3 - '+ ( | ) - v + K ^ ) - ’ - 1 r r Resolución: Expresando en base 3 y 2 ei numerador y denomi* nador; Resolución: Reduciendo primero tos paréntesis: X= p = ([3 ‘ ' + ( f r V 2" x 3"'*" + 2 ^ FactorizarKk) 2" en el numerador y 2" en ^ denomi nador X = mm ¿ n 2f n / ^ in + r > , /> n \ _ ^ Ì _ iaail^2^m-ñ) 2"(3"’*" + 2'‘) . ^ s 2 Q _ „ ... b -x + [(f)-’ - f r T ♦ ± 10 10 ECUACIONES EXPONENCIALES 4. Son aquellas en las cuaies la incógnita figura en el ex ponente o en la base. A continuación se estudiarán aquellos casos que son factibles de resolverlos utilizando las leyes de exponen tes. Calcular X si: (5x)‘ = 5® Resolución: Elevando a la quinta miembro a miembro: [(5 x )"]^ = ; V x í í O a 5. Resolver; 7^--s = 7>+3 Resolución: 72x - 5 ^ 7 . * 3 ^ 2x - 5 = x + 3 II. x = Si: = ^V^V2a ; hallar: N = a Resolución; Transformando en un solo radical ambos miembros: = ’'Í2a Pero: 121x = (1lVx )^ luego: "^^(11/x)^ =®V2a En el segundo miembro: multiplicando por 2 al írKüce y elevando al cuadrado el radicando: : va?íO Ejemplo: Resolver: ’^^J(llVx)^ = ^ { 2 a f = 32^ De donde podemos afirmar que: 11/x=:2a Resolución: Escribiendo el segundo miembro en base 2: xio ^ « x '“ = 2’“ X= 2 2a Reemplazando en la expresión pedida: N = — N=2 ; vx#0 6. Llamado también el caso de las analogías, pero no es genérico (es decir no siempre se cumple). También: a° «=» X = a ; Hallar x en: Vs V x y i O = ^-'ñ25 = 5* « 5 9 Calcular a si: (a^)“ (a®)^ = (aY (a^)^ (a’)"’ S^x' + S =9 = 9^ V V3*"‘ = 3* ■3“ =3^ De donde: 4 = 4 = > 8 * ' = 4^ 4 Escribiendo la igualdad en función de la base 2: (2")^*"'= 2“ « 2 -^ "’ = 2*; luego: -3 (x "’) = 4 ^ -1 -4 1_ 4 x = ^ 3 X 3 4 = 3 Resolución: Elevando al cuadrado miembro a miembro: + =3^ ^ 3'’ "® + x‘ = 3'’ "^ x ’‘ + 3=’ 3" x“ + 3 Factorizando: 3 3 {3 r ^ 2 _ i) ^ X * (3 " " ^ -1 ) « 3=* = x‘ x= 3 = 5 ’' Igualando los exponentes: Resolución; Efectuando en el primer y segundo miembro: a^“ a ^ = a^“ a "a -' ^ = a^^ Entonces: 5a = 25 a= 5 3. «/3®’ Resolución: Por el caso 1: a* = a^ x = b; a O a 1 Transformando las bases en ambos miembros: Aplicaciones: Calcuiar X en: x = 5^ I te m p lo : 2. ^ f Luego se puede afirmar: 5x = 5® I. 1. [ 5 Efectuando en el primer miembro: (5x)®* = (5®)®* -*ií 7. Si X € IR", calcular a partir de: x’' s 2 Resolución: Transformando el exponente del segundo miem bro: multiplicando su numerador y denominador por *J2. Calcular x si: x‘^ = 36 Resolución: Elevando a) cubo miembro a miembro: (x-')= = (36)^ Efectuando la permutación indicada: (x^)'^= (6^)^ => (xY ^= 6® =. Descomponiendo el primer exponente: -"fie -2 8^ U -T \*l2 = 6 Utilizando el caso lll: Six^ = a‘ «9 x = a ; V x # 0 Luego podemos afirmar que: — *1 — 1 __ p-1/4 Resolución: Observemos que en el primer miembro el am ando se repite 81 v e c ^ , entonces: Elevando al cuadrado miembro a miembro: a32° + a ^ + . . . + a ^ = 81"’ 81 veces ( x ^ f = (2-“ f = 2-“ = ( 2 - f = (1 )^ Nuevamente; si que: Entonces: 8 1 'a ^ = 81®’ =» a“ ° = B l“ pero: 81 = 3^ ^ a^^” = (3'')“ * = 3“ ° =» a“ ®= 3“ ° = a" «» x = a; podemos afirmar x^= ^ ;c o m o x e E" 8. 10. Si x ^ = 4, hallar: Calcular el valor de x en: ,112+Jx 1 X* Resolución: E= Eliminando el paréntesis en el primer miembro: (4l25*)25'‘ ^ 4(s2i5 9. 3x + 2x = 10 X = Transfomiemos convenientemente la expresión E: Como x ^ = 4: _L** 2 E= Calcutar a en: a” ° + a^° + ... +a^” - 81 81 veces J - 2 5 6 Jx ^2 56 ' — = x ^ * 4 M RESU ELTO S B • a « - Resolución: (n -3 ) ve e n Reducir:A= .2 5 6 .266 J_4< ^256 P R O B LEM A S 1. , 256 Resolución: Transforrnando convenientemente cada miembro: 4(S3)*¡52)* ^ 45IO ^ 453* 52* ^ 45IO ^ c = 5 ’ =9 a= 3 xÔ x x x ...X Factorizando: A = 3 X 16X 7"+’ (n + 3) veces Resolución: Por definición de potencia; 5. A= 2. calcular: (4*)* + C ° ™ :2 " = 5 -F = 5 - 2 - = 3 Determinar el exponente final de x en: La expresión a calcular se transforma: (22)2x ^ (2^)"’ + (2*)*^: 15 radicales Resoiución: 2 ‘* + 2‘ + 2 ^ ; (2“)‘ +(2’') + (2*)^ Reemplazando: 3* + 3 + 3^ = 93 Por propiedad: M= M = x V x ^ . . x ’* ... 15factores 15(16) M= -15 ^ M = X 2 Exponente final: 120 =, M = x’“ J„3 3j~4 Reducir: 6. Calcuiar el valor de: E = ^ ,_____ y Para: x = Aplicando la regla práctica: ~ r 77=®Vx ^=®Vx ®Vx Reducir: A = -^— r ; n g Z" 3 x2 “ x 7 ""’ y+ 1 Resoiución: Del dato: x = x^-^= y» — = yy =» x^ + ^'/x = y+ 1 ’'V7 Resolución: 4. + (16*V Resolución: M= 3. Si: 2 '* = Reemptazando: E = como: = y*' x' + =>'7x y+ 1 = E= y E = 2y>' 1 7. 3 - '" '* + 3 ( 3 " " ^ y i2 ( 3 '^ - ^ 10. Si Reducir: A Resolución: hallar el valor de x. Resolución: A= 3 ^x 3 ’^ + 3 ^ x 3 ’'^ - 2 ^ x 3 ,2 13 = 2' 3®x3‘ + 2 x 3 ^ x 3 * - 2 x 3 ' 3^3 A= Factorizando (3x2): A= î N v i^ r = H ( r ¥ ÿ A = ^ñ*2¡2^‘>í3 q2 _ 8. = 2’ 3 "'^ ' + 2 ( 3 * '^ V 6 ( 3 ’^ -') +2 _ 2 Sabiendo que se cumple: 3 ® i3 V 5 ^ ^ = 1 3"^3“ + 3 ^ - 2 ^ = 2’ ^ f = 2* 43 3“ (3® + 2 x 3 ^ - 2 ) Utilizando el caso I: 2^= 2*’ ’ ^ x - 1 = 3 I k *"*" ' _i_ K > + 2 , x=4 C« + 3 Encuentre el valor de: H 2'^ ^2*V2 Resolución: Del dato, se reduce por regla práctica: bc-n^+1 = 1 =» 3 = 3 "’ b c + c ^ + -\ ^ =» be + 0* + 1 = -a b e abe =» abe + be + c^ = -1 La expresión pedida, se reduce por regla práctica. Resolución: 5 X 5” + 5^X S'*+ 5^x5* _ /cz^x-i i 5 " V 5” + 5 -^ x 5 ''+ 5 -^ x 5 ’* ^ ' ^ 155 5” (5 + 5^ + 5^) = 5' 5 *(5 -V 5 ' V 5 '^ 3 1 ^ g 2 x -2 125 5*^ = 5 ^-2 =*4/x = 2 x - 2 ; ..2 =» X* - x - 2 = o « (X - 2)(x + 1) = o X = 2 V X = -1 ; c o m o x e Z * =» x = 2 Nos piden: x + 8 = 10 12. Si x^^ = 4, hallarel valorde X®. 9. Si: X € IR^ - {1}, hallar el valor de n que verifica la Igualdad: Resolución: Recordar: x*“ = {x*f De: fi X _ 1 ^ V lx i Y dar como respuesta el valor de: (2n + 3) h- 7. Resolución: De la igualdad = 2^ =» x^ = 2 (por et caso lll) Nos piden: x* = ( x ^ = 2® x* = 8 13. Si: X. y € Tt, tal que y - x > 2; hallar el valor más simple de: lx *^V + y^^V I >,2yyx ^ y2xj^y Resolución: ^x i /1 \" ^ 1 ■I ( x ) X y -x ^ + y *+ y x * x2yy» + y2>'x>' Buscando bases Iguales: » y-> x‘ xV '' + ,2»vy x2yy-+ y-x Al extraer la expresión común tenemos: Se obtiene: I x - ' ’-Ix-' f T ' _ z± - x«=x^“ - Q _ X V (X Ñ ^ x V ( x " + y ’‘) n 2! = 2 Í Reemplazando en lo que se pide: 2(9)+ 3 21 o — 7— - T " - ^ 14. Dar las condiciones para que la expresión sea ra cional entera: mx® + 1 0 2 6 3 ^ + (m -3 )W + 7 División de bases iguales: Resolución: La expresión será racional entera si: todos los ex ponentes de la variable x son enteros y positivos. Para que ello suceda en primera circunstancia detierá anularse Vx y V x ; ello se produce aiar>do sus coeficientes tomen el valor de cero. Luego: n - 2 = 0 ^ n = 2 ; m - 3 = 0 ^ m = 3 Reemplazando y reduciendo al mínimo: F= — b-c ate c-a a+b a-fa [x * “ X ^ X “ ' 2 (a + b) Operando en cada exponente; 2c 2a 2b 2(ac+b) 2(be’ +ca*+ab^ = X E = X* X*“ X = ab^+be^+ca^ E= ^ +1025Vx® + 7 = -V )r* + 1025x^ + 7 X® E(x) = + 1025x^ + 7 = 1026x^ + 7 sb(a+b) Por dato: ^ ~ ^ a^b - ca* = be* ab^+a^b-ca^+ca^ Reemplazando: E = x 15. Luego de simplificar: k P= R= 1 I ïn 'Vn'Vnnff Vn 17. Si 2®" ” = 4'*" = > hallar el valor de n. Resolución: Recordar: (a*)^ = a*’' A 4 = 2* _ .'»-iO .n*20 -n-30 ,.n + 20 De: 2® =4* =»2® = (2')" '^m^"Vm ■"Vñ " "Vm^Viñ "Vm^"Vñ Hallar: M = P" Resolución: Recuerde que: 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^ Transformando por partes: - " ■ F F Recordar: a* a' = a*"^^ 2 23n-90_^j2n +41 ^ =» 3 n - 9 0 = 2n + 41 Ï Ï = -"'/íí = " V ’ 18. n = 131 Calcular el valor de: -oFTn =<-'‘>‘-'’'V¡T = '''VíT ff ■VrWnW = 'V n "’V iï"'"V n = "Vñ "Vñ "Vñ 8 1 -® ^ 8 1 ^ P= Reemplazando estos valores: # ) SOveces ..8 1 ® ^ 1^27® ^ 1 P= 226 Bvacea Si: a = Vñ; b = "Vñ; Resolución: Analizando dos de los exponentes: c - "Vñ "k Desdoblando: R = '"Vm"Vm* "’Vm"‘Vñ "Vm"’Vm"Vm*™Vñ é); í . - »K r»ni =(1)™ = 1 il =(V 3 )^ = (^ r Ahora si: a = ... M = P'^ = n P= 9 i 16. Simplificar: 1 E= r v x ^ - ' “V x '-“ 'Vx*-“> J ™¡. b -c i r 3 ■ •■ p = V 363a = m rrr* 3x2268 [(3^*1 ’ = 3-^*---Í=27 19. Luego de simplificar los (2k) radicales que existe para L y M. respectivamente, donde: Resolución: Llevando los radicales a exponentes fracdonarios; ¡ 6tci »+c ; a+b 2(a+b) ÍX “ ix " íx ' , b -c i m c -a ■ a ^bi X - 'X •’ ;x - i n A A 1 X > X ; 1^ = '^x ™Vx Señalar el cociente que resulta de dividir el expo nente final de X en L por el final de x en M. 20. Simplificar abreviadamente; Resolución: Exp. final de x en L Se pide hallar: R = ,-..1 ___ Exp. final de X en M Para; Resolución: Observar; n-' L= Operando con equivalencias; = Sea: c = 'VrV^ Luego; ix - ' = í '- r - X su De ^ continúa De esta observación se concluye que; L = 'Vx-' n "'■Ix-r.. "/P '~ H I 2k radicales Por inducción matemática: Buscamos la ley de formación tomando de dos en dos puestos el últinio índice en n. • Para dos radicales; __________ (n-fi) ix - ' "V ^ = x " (aplicando Ja regla práctica) .-.4 ? = n 21. Efectuar: M= ^31-m -j '/F \ Para cuatro radicales; Resolución: Efectuando; [,■5™ Para seis radicales: Analizando expresiones claves, como: M " ix - ' "-/x-' " {F ' (n + 1 )[(m) 2 -(-(m) + l| • ^VF = ^V F = V3 • W = X 3 = Va® X V3 = 9^73 • = X Podemos observar que en el 2.“ factor se fonna una expresión en función de (m)'* ordenado donde (*) es uno menos que el exponente de su denominador. Para 2k radicales; (n + 1)f(m)"~'+(m)'^-^ + ...+ 1] (m)^ . = î% = _ L _ V ? _ s jv Reemplazando; Haciendo; b = Vs =» b^ = b® = b® = 3 Para M el análisis es análogo solo que el factor constante será dependiente de m y positivo. (m + ... * l ] 22. Simplificar: =» k = X Luego; - ( n + 1)[(m)'‘- V ( m ) * - ^ + ...+ l] (m)^ R= (m + 1)t(m)^-V(m)'^-^4-...+ 1] (m )‘ ... R = Resolución: Recuerde que; 'Va" = ’Va'"; si; a > O Luego: "Vi® \m +1 rV27 iJ 4®-^-5 ?ñl -3 Observación: Vs*=*V5®x5 =VÍ®xVS = SxVS Uego: Operando: = - g ■Í+s%'J ^-{1 +8^) “7 3 N V 3 ^ I 26. Simplificar: Si hacemos que: V2 = a; Vs = b » 4 = a® Reempiazando: P= Itesolución: Para transfonnar ei exponente: Observación: Sia>0=» iá r Luego: .-. “73* = 3 23. Si: = "“^ 4 ^ = V i = 75 = V 3“ ^V3‘ ' ‘ * x a ’ X"* * = 2 , d o n d e : x > 0 ; c a lc u la r: Resolución: En el dato: Operando: x~* = 2 elevando al cuadrado se tiene: Transformando la base y reemplazando: (x * " V = 2^ =» (x-*)"“ ' = (2)* Por comparación: 1 1 _L x * = 2 = *-L = 2 » x * = t t :^x = IÓ (puesx> 0) X* 2 4_Sx+1 . . i ^ piden: x 4.^*, =x p = 72 ■-ii -J2 -J2 l-iacemos que: a = 72 Mk = x* --a™ = P= Reemplazando convenientemente: k-12 Pero: a = 72 =» P = 72"’ = ~- i ,^ x + 1 . f X* ■ 72 ■ r ,Ux /2 = [x ’‘p = x*^ „ 4 ( 1 //2 ) 2 _ „ 4 (1 « ) _ " " v2 - ’ = a' P == ^'^ 2 27. Simplificar: “Vs" / l 72j " 2 T= 24. Si { x ^ 'f “ Resolución: = X"**, d o n d e : x > 1; h a lla r x '. r-SSÜ Resolución: En: T = De: (x '-y ^ * = x*’'^ (a T = á' Observación: X** < :i J i* ( 2 - x > x‘ . ^ = x”^ : caso I: a" = a" « m = n ’^ = x ’^ = » x * = x* * « 2 = x* .V x* = 2 8 « /F «VT . ■vr = ^ '‘‘78^'‘^ = '>78* Operando y reemplazando sus equivalentes: 25. Simplificar ±UL. V« t (x * + x) Haciendo: a = ®7s ^ a® = 8 T = [a *{a '^-’- í W Resolución: Haciendo que: a = x**’ + 1 Además: x - t x - = x - + 1 = i í i S l i i = X X = [«78^(«78'^^'®) = X =i X »* F = T = ®783 = Ve = [a*a-*^ 28. Hallar el valor de x que satisface la igualdad; 32. x -1 A = 3 o x -2 Resolución: 2¿ Luego: | l = p m -fZ rt + 5 -3 3 n+ 1 y 2 Halle el valor de A - B. 8 2»-i 8 2*/2 SiseUeneque: m-t-4 8 2‘ -^ Resolución: Usamos los teoremas de potenciación: 4 ^_16^16 2* 2V2"- =* 22 2* m 4 m 3 x3 -3 2 n x3 5 3"" - (2*)^ = 2’ n 0 ^ 2x2 -2 x 2 y 2 "x 2 "’ Simplificando obtenemos ^ 2 ^ = 2 ' ^ 2x = 7 X = 3,5 A = 1 -- ^ =72 ^ A - B = 12 29. Determine el valor de (n + 1f ‘ si se cumple que 3 "-i + 3 -2 + 3"-3 + 3"-^ = 3240 Resolución: Factorizamos el 3 con su menor exponente (n - 4) 3"-'‘ (3^ + 3^ + a + 1) = 3240 3 "-“ (40) = 3240 « 3 ''-“ = 81 n - 4 = 4=»n = 8 (n + 1)* = 81 33. Si 16 3^ =8 4^ y B= = 60 2 , hallar x: Resoiución: (2“/ = (2"*/ = 4 X 3 ^ = 3X 4^=» ^ =1 30. Determíne el valor aproximado de S + T T = /2V54V2V54- S = ¡2Á2Á2- A 34. Al reducir la expresión: Resolución: T= =» ÜL se obtiene x ' ' . Halle el valor de m. = 2-/&4T T = * r = 4x54T=»T=6 Resolución: Usamos k)s teoremas S = k V2V2 - E = (lx ^ “ Vx)(^*‘Vx^'’®/x){®^Vx®'‘Vx)-''(®*'°Vx'°“ ’Vx) =» S = V2S =» S* = 2S S Como: S > 0 = » S = 2 1 1 1 1 1 g _ ^2^2x3 x 3x4^4x5 ,.. j^SxIO S+ T= 8 31. Hallar el equivalente de: g _ 1 j^ 2 * 2 x 3 3 x 4 * 4x5'*■ '"*^ 9x10 " ^ lO - ^ j(2 3 2 3 4 4 5 10 11 P = 16 _1_ 10 P a r a : a ^ O, E = x " ^ ’ = x ’^ Resolución: Operando por separado: Por condición del problema tenemos; Ifi SI x” = x ’’ m = lO .-'A 16 16 35. (4 T ^ f= (2 T ^ Resuelva la ecuación exponencial: 2*"' + 2“^ + 2‘ + 2"- ’ + 2- - " = 248 Calcule: 2“ ^ ' + 2* + 2 *"' 1 Resolución: Descomponiendo; • (256)4 = (leO ” ^ = 416 • (-3 2 )4 = ( - 2 f í = ( - 2 r = ^ = - l 2* X 2^ + 2* X 2' + 2* + 2’ X 4 + 2' X 4 = 248 2 4 Factorizando 2*; Luego: P= 1 + 2 16 P= O (4 16 \ 2 = 0® 2" + 2 + 1+ 1 + 1 )2 ' = 248 = 32 =» 2' = 2* =» X= 5 Nos piden: 2®*’ + 2®+ 2 * - ’ = 112 ( 36. Simplifique: 1* = ab be -8 x8xV5 s= abe (abe) ca (¿ í V abe # o i Si: b = V2 S = ['V ? I"V ? = 40. SI ab # O, reducir: -I18*b Resolución: T= bP a*K£ P= abci Buscando bases iguales x (f)’x ^/(abc)’ (abc)*^ Resolución: T= (a b c fi'" •••T = 1 (abe)* líV - 37. Hallar la suma de las soluciones de: 64(2^*) + 1 = 65(2-) P = (a b f 64(2“)* - 65(2*) + 1 = O =» 2* = m Cambio de variable: 64m^ - 65m + 1 = 0 64m -1 m -1 (64m-1)(m-1) = 0 • 64m - 1 = 0 - (tí p= 1 41. Efectuar: T = Resolución: Análisis particulares: m- 1 =0 m= 1 ■"“ a 2* = 2’ ® x, = - 6 2* = 2° • /3 *= V 2 7 = -/? ^ = 3 V J xj = 0 Luego: a 3_ X, + X2 = - 6 t 38. Reducir: »1 -■Vñ = 3 ) = 3-» , 1 T= 9 VT+ñ~' T= r * ” x (fr -’ = ( F r x ( f r x ( E Resolución: 4 ^ :n # 0 .-'VF i (n + 1) yo 42. SI: x* = - ^ , hallar el valor dex. Resolución: Resolución: Como; ""Vñ = Vñ Dándole una forma conocida. Sea: a = Vñ -a n /. T= a (n + 1) j - 1 +n - ^ 1 +n < -a ) [n + 1]^í..í>’- ’ n+ 1 ^ n+ 1 _ n+ 1 1+1 n +1 1 +n n n ■ ( x* ^ ( 3 Í F T= n Por comparación: Vx = ^ 39. Efectuar: ( W f = (Z y S= Resolución: Sí: a = ^/2 =» a* = V2 Reemplazando: S = ‘ JP •J2* 43. ; Vx * 3”’ X = 3 '“ Hallar los valores de x en: 2^ + 128 == 3 y 2* ^ Resolución: Transformando y frasponiendo tenemos: 2<^»í - (3)(2*K2®) + 128 = 0 : (2*)* - 24(2*) + 128 = O Sea; T ~ a Reducir a su mínima expresión; 48. reemplazando; - 24a + 128 = O a -1 6 a -8 De donde; a - 16 = 0; a = 16; 2* = 2*'; x = 4 a - 8 = 0; a = 8; 2" = 2®; x = 3 Los valores de x son; 4 y 3 Resolución: Transformando a exponente fraccionario 3-JZ /2+1 1-5/Z B-V5 T = a ^ xa''^''^ x a ^ ^ ^ x a ^ ^ ^ ^ J - Q í¡ , 3-J2. 1-5/? , e-fí ~T~ 2/2 * 4 ( /2 T Í)+ 2 /5 (3 -/2 )+ 2 (1 -5 /5 )+ ^ (8 -^ ) T= a 44. Efectúe; P = 4/5+4 + 6/5-4+2-10^+8/2-2 Resolución: Como; 8 8 /2 = a *^ 4 fí T= a T= = (2^)'^ = 2 '’ = ■! Al efectuar T = (*^V 3 ^) 49. Hagamos que; a = 1 + 72 se obtiene: Resotución: TransformarKio a exponente fraccionario; 5/íg”^ T = 3*« P= 3 4 .3 8 = 2J P=5 45. ...P = T = 32“ A partir de: nn'^” = 5, hallar n Resolución: 50. T 46. n= t6 f3 8 -1 5 = 3^ T = 81 Simplifique: _ nn^’ ” '*' = 5 = » n x n ® = 5 n® = 5 S = 32-------- = 3" T= 3 /3 “ ^ ^ - 3 ’‘ ^ V 3 ^ 3 -2 _ 3 *-’ +3' f 2 '- ‘ + 3 '- ‘ i‘’ -'^ ' Resolución: Descomponiendo; Calcularxen: x '* ”’^“ = Vj?. Resolución: (3’‘ )(3 ")-3 *(3 ) + 3 ' (3 *)(3 -*)-3 *(3 -’) + (3‘ ) T= =M De donde: , ^1 +x'*' _= M ; x’ x’*“ = M =M =M V 7 “ = M =» X " = M T= ••(II) =9-6 T=3 9 00 en (I); xi*M = 2Í3!^- k^ (2-)(3-) 2j:^^-Kf2*73 (3){2) ^ {9 -3 + 1 ) T= ...(I) 2* 3* 11+21 3 2 =. 1 + M = ^ En(l); x’ ^ * = 4 4 =» M = 4 x = ®V4 51. = 27 Luego de resolver Calcule; T = (-x)*’ *^' Resolución: 47. Hallar el valor de X en: ’•Í2 x -3 'V 2 x -3 ^ y 2 x - ... = 2 De la ecuación: Resolución: «/5x9(/?.i)^/s-i}^ = 3* =* = 3" =» ^2 x - 3V2x - 3V2x - S V S ir: = 2 2 3V2x - 3(2) = 2 ^ 2 x - 6 = B • -+i» '<:» ^ 33'../ = 3'-?' x= 7 —«— 3^1 = 3 =» 3 = 3’ = 3’ De donde; SI = x’'^ = a* => a = x’'® Reponiendo en (I) se tiene: Evaluando; 1 / OK_ El exponente de x es: -;yf ’ 21 52. x -1 X*-1 A partir de la igualdad: 4 * - 3 ^ = 3 ^ - 2 ^ Hallar: x 55. Sabiendo que: ^ - I ^ ) = 2 Resolución: Transponiendo los términos Hallar el valor de: T = 4=“ + 2* Resolución: Se puede escribir así: 2^ + ^ = 3*(V3) + j - í ^ v r I . - b T l + a® xb* /U9)^ ( a r ‘ + (b ^r 2>-Íi 4 ) = 3 < ( V 3 + ^ J_\ Del dato: a" = 2 y b* « 1/2 Reemplazando se tiene: lT1+2xi i i2 2‘ + l ^ f T= _ 2 __ _________ _ 3 ñ ) ^ (2)(4) (3)(V3) 2 x -3 22x- 1 -2 ^ 3 " 2^*-^ = 3 2 22.-3 ^ ^2x-3 2 V3 2^ +( i _ Efectuando las operaciones: T= 53. Halle el equivalente de: S = 2 -f 56. Resolución: Por partes: • =f .-.T = 8 Si: a^* = 3; a > 0. Calcular: (a“‘‘)' Resolución: Elevamos al cutx) la condición: 2 *W'. Luego: S = 2* 54. (472+1)4 (4 /2 + 1 )//J k i' fi I fi ^ ? 2 S 2 /2 2 =~V2 = “ ^2 ( a ^ f = 3^ ^ a®“' - 3" = TRES r tF 'i 2^ = 2' =» ..... = 4 de aquí: a® = 3 o también: a® = 73 Luego; S= 4 ( a - T = 73 Señalar el exponente final de X en: 57. kradicales Resolución: Hagámoslo por inducción, pero para que sea más sencillo, hagamos x’^ = a*, teniendo: î/a^Va” Va*... kradicales 2 • 1 rad: Va^ = a® ----------------- = (a ^)^ =íg®) Si: S = (2"‘' ’f - ( 3 " “"T -,T = Halle el valor de; V = T" -2 ^ (S) Donde: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = n 3li! a Resolución: Transformando S y T 3^-1 • 2 rad: - a" ___ • 3 r a d : = a ^ I j— ^ S = 2*’’ - 3 ' “ = 2 - 3 ^ S = - 1 26 ^ _ J _ 2 ^ x 1 )(2 x 2 )(2 x 3 ),..(2 x 7 ) T = 2** ’* 2 3 > -1 • k radicales------------------ 3* 2 ^ x 4 X é X ... * 14 X 2 X ... x 2 )(1 x 2 x 3 x ... X 7) Usando el dato, se tiene: T = 2*^''" ^ T" = 2^^ P= 2*' V V = __ r - ___ 4— Luego: = 1 - 2 '( S ) - 2 '( - 1 ) P “ 7y9xa (3*) x 9 * = Tx9xa/J V=1 58. Hallar el valor de: M= Resolución: En el numerador factorizamos 2 " ' y en el denomi nador 2'”^, así: p= 1 = 2® ;x # o . -Vx9 Resolución: Haciendo que; a = x~\ y reduciendo: '1 NU(*) 2'‘" ’ (1 + 2 + 2^ + 2^) 2 x-4(23 + 2 ' + 2 + 1 ) De aquí: E = 9xax7jjS 62. Hallar el equivalente simplificado de: 2»-i _j_ 2* "2 _|_ 2* "3 + 2*"* E= ax7^ E = 32 (x + y ) x 3 ’' ' ’‘ = 2 59. i^Jí/7Ty = 3V2 Simplificar V x g Dí - {1} S = V2’ + 3-’‘ + V 2 - + 3^ calcular: x e y Resolución: De (II); X + y = Resolución: Se puede escribir: S= Q _ ...(II) ...(1) { 3 ^ 1 2 ] '" ' (1)en (I): (3V2y'"^x3>'-’‘ = 2 3V2J = 2 V6ÑH , Í 1 ! ± I j . . Í3 Z 1 ! V 3V 2’' V6Ñ^ = 2 (®V2r" = 2 =» 2'’'-''»^ = 2’ . ’“V F + l De donde: VeÑH ü i i = 1 ;x -y = 3 ...(2) Haciendo: ’V6’' + 1 = a a+1 _ 3 2 S= a 60. (2)en(1): 5a 6a X • x = ^ ' -* 2 ’ Resolución: Sea; 2*" = x . . 2^*'' = 64. — 2*""^^ —(2*"f = X® Reduzca; S = Sea: a = x"*"' Como: 2*** = 2 'x 2 ^ = 2^^”'* 2<22")’®^ 2*'® S= Reemplazando en el problema: Hallando: b = 2*’ ... s = 65. 61. Hallar el equivalente de; P = v = il ^ 2 Resolución: = 2^"^' = (2^”J = x^ 2^^^ ' = 2*^*" = ...(3) De: (2) y (3) se deduce que: Simplificar: T = « + y = (3V2)® =» X + y = 54 = X Simplificar: M = (®^nía*^ ) Resolución: Efectuando; /(3 l 9 f M= Resolución: Sea: V 3^= V sí = a jhsf -2*‘ »•' .^2,* I xa".. ■ = — va’ .. Ojo con el artifìcio en el 2.*’ miembro, la idea es buscar una cantidad elevada a ella misrha (como en el primer miembro). 66. Resolver; x Resolución: Transformemos así: *■ "'"” = ( # (x y = (!)■ Ite ) 16; Por comparación; (x’'*) = .-. Elevando al cuatírado; x = De aquí, comparando: 69. Se tiene la siguiente igualdad: (V>?*){Vx)=r V â ^ Anunciar el valor de no verdad de las siguientes proposiciones: I. Las expresiones quedan bien definidas, si; x e IB. II. La igualdad se verifica si y solo sí a € IB'"; x = a. III. Si X existe entonces a existe. Elevamos a la 1/4, asi: Luego, comparando tenemos: Vx = 67. X = 1 = 0,25 Detemilnar el valor de verdad de las proposicio nes: I. VX61R:X® = 1 = » (-2 )°= 1 II. Si; (x"’)(x") = X "*" « (3*)(3=') = 39 III. V X G m: ( -x)^ = X* A (-3)^ = - 9 II. V - (l)e s V (x")(x") = X" (3^)(3®) = 39 F Ili. V X e E: (-x)^ = X* V Resolución: I. Para que las expresiones queden perfectamen te definidas; x e IB, pero además det» ser posi tivo (la proposición no lo dice), én caso contra río 7x ^ B. =» (I) es F. II. Es evidente que /a existe siempre que a > O pero cuando a = O np se puede establecer por comparación x = a = O porque se daría una indeterminación de la fonna V0®x0 por tanto a estrictamente es real positivo, siendo x - a . =» (II) es V III. Por la proposición anterior, x existirá siempre que a exista y defina perfectamente la expre sión. =>(111) es V .'. Luego, el valor de no verdad de las proposicio nes será: VFF Resolución: I. Analicemos por lógica proposicional: V X e E;x ° = 1 =» (-2)® = 1 F 1 = 4256 ^ (II) es F 70. Si X* = 2; calcular el valor de; x * '** (-3 )* = - 9 Resolución Verifique las transformaciones; V V « (lll)e s V .'. En consecuencia se tiene VFV. 68. Reemfêeando » 2, se ttene: .-. 2*^” = 2^-^'= 2’® Resolver la ecuación: x*“ * = 71. De la igualdad x(K-lf == 2x + 1 •1 calcular; x — - Resolución: Se tiene: X Resolución: Elevamos a ta (1/2): De la igualdad se tiene: 1« (x’°) Hagamos como se indica: (x ) = - = 2x +1 Multiplicando ambos miembros por x ^ ^ - = (x ^ ^ ’)(2x + 1) Por analogía: K = * ; ? + '>-/ÿ + 'V4^ = 2 + 3 + 4 K= 9 >Í^'(x') = { i^ S \ 2 x + 1) 75. Indicar ei valor de: M = Por comparación: = 2x + 1 Transponiendo: x^ - 1 = 2x 1 Dividiendo por x: - Resolución: Operando convenientemente; = 2 1 Desdoblando: x - — =2 Sea: a = 3=''“ 72. Simplifique; T = a ' ® * ^ ^ ( a * ' 'f ’ ; para a # 0. M=^ (7 2 9 f M= 9 Resolución: Efectuando; T= = a T = a - " 'x a ‘* = a“ T= 1 73. Sabiendo que; a Xa ;b#0 76. Efectúe: T = Resolución: Indique: 0. Efectué: -r^ R = |-ü ^ = Resolución: (b -y? -'= b Como: *^Va = ** Va = ®* Va = a* ‘ Haciendo que: a"* = m y operando: R = V á ^ Luego: T = T = b^ 77. Simplifique: Si: a"™ - X T= R = a""‘*""x a '"-’ x a '-“‘'íí'íí^' R = a*“ xa-*'’ = a x a - ’ R= 1 2 -'x 1 0 -^ x 1 0 -^ x 1 0 -’'x 5 '" ± r \( ± r ^ 20 \50 Resolución: Agrupando exponentes comunes. 74. Reducir: - i? = bx b + 2* + » 1 + 3 “ + J l + 4 = + 2-" ^ 1 + a-” "V1 + 4 T= Resolución: .1 + 2 “ 1+ 2 - 1+2® 1 ^ _L 2‘ 1+2 1 = 2* 2V 1 2“ T= (2 x 1 0 )-*x (1 0 x 5 )-"x 1 0 -'’ (2 0 -T ^^ x {50-T*^ 20-‘ x50-'x10">' 20-^ x 20"'' x 50-'' x 50-" 10 r ’'l7 _ / 1 20x50 100 T= T = 100 PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI Resolución; Descomponiendo tanto el numerador como el denomi nador: PROBLEMA 1 (UNI 1 97 5) Si se simplifica ia expresión: 3” ^ ^ - 3 " ' 3(3’’*'') Se obtiene: A) 3" - 1 D) 3 " * ^ - 1 3X B) 24 E)18 3'' 2 7 x 3 "-3 x 3 " 3" 24 x3 " = 24 C) 1 - 3” Clave: B PROBUMA 2 (tN 1 1 9 7 ^ p w m m A á ( IM 1 1 9 7 9 ) Laexprestón; (n " 'r es igual a: A )x ■ Simplificar la slgúieüts e}g>r^ón: E= B)2x C)x* D)2x" E)3x A) X-** D)x* Resolución: Efectuan<to, aireando leyes de exponentes: + x = X- X+ x = x Clave: C B)x-* E )x"" Resolución: Efectuando tendremos que; i r T U ‘ A»«/ ir r Vx^ = Vx^ PROBLEMA 3 (UN11 9 7 8 ) E= Si: P = de donde: E - . Calcular E = »75^ A) 1/2 B)10 C )x ^ E = X* 05 D )2 Clave: D E)N.A. Resolución: PROBLEMA 5 (UN11 9 8 2 - 1) Llamemos a: P = ^ Entonces: N = W " * ™ ’ =* N = ’W se obtiene: =. 'VR = ’“Vio A) W Í 9 b ^ Identificando N = 10 Análogamente; 0 = 5 D) b"*7b . p _ N _ 10 _ o ^ D “ B) C) E) b*7b Rescriución: Llevando todo a un solo radical; 5 Se pide: E = 72^ E = 72^ =» ^VÉ = V2 E= 2 C lavero Clave: D PRO B LEM A S 1. Si x” = 2; calcular el valor de: A) 32 D) 24 ,3yx*» ----x ^ + x^x^’' - 4 B) 30 E) 25 PR O PU ESTO S 9. Si x; y E !□ ■ ■ ■ ; y ^ X > 2; hallar el vaior más simple de: y' + y x ^ y* + y ^ x’' C) 28 B)1 2. A) 16 D )60 3. B )8 E) 32 Jx’NxNx®...Vx ; x>0 A)1 8 )2 n12 B) 2a E)2 D) O 4a 11. Simplificar: E= p+ 1- 0 A p+1 -• p+ 1- A n corchetes A ){1 } D ){1 ;p } x > 0 A x#1 El exponente final de x es 0,5; siendo a = 2^^ - 3; hallar n. A) 12 D)g B)14 E)1 B ){p } E)0 O 16 A= 1 + 1 - a" Vi + y r : ^ " ií a B)a x — A) - 8 D)10 6. 1 1 + cb 13. Si se cumple: x ^ = 4; calcuiar: A) 2 D)10 0-10 x^ 08 14. Sabiendo que: a = VS75 ; b = ; simplificar; Si 2* = y A 2*' = x; calcular: y* x*' M = (Va + Vb)(Va - Vb)(a^ + ab + b^ A) 500 D)600 indicar el valor más simple de: A) 3 D )4 8. B)4 E)1 A) 2 D) 4 B )3 E )6 8)1 E)8 O í 0 2 0720 El monomio; M(x) = 02 A 4 ax bx^ cx* e s d e g ra d o 9 ; c a lc u la r e l v a lo r d e n. A) 20 D)28 ^lOVIOVIO... 125 125 A A 1125 B) 1 8)480 E)530 ÍH 3^5 Calcular ei valor aproximado de: A) O E)4 t 15. 7. D)2 O I >. 1 + i = -3 1 + ac' B) - 9 E)4 O {p: 2} 12. Si O < a < 1; reducir; Hallar el exponente finat de x en: 1 Si; 1 + ba 0 3 /1 1 4 2« Si al reducir; í ®2 1 2 3 [{ x Y X 2 X 2 X"2 S. E)O 10. Indicar el exponente flrial de X en: 064 Si ab = a** = 2; hallar: ab® A) a D) 8a 4. D )2 Si X = V8 y además se tiene: x ^ = (nx)*; hallar n^ B )24 E)16 16. Hallar el mayor valor de n si: D )4 E )6 1 (n V ñ )^ = C )26 A) V2 D)3 B)V2 26. Indicar el exponente final de X en: C)4 É) VÍ6 A)m D )n + 1 17. Si X e S - (± 1}; hallar n que venfica: ■ A) 8 D)4 M B )9 E)5 C)10 F= i 18. Considerando que: — » 5’^ X Encontrar el valor de: Vx” * - 1 + Vx"* * + 3 A )4 O) nfi + 1 27. Simplificarla expresión; 4 i B)n E) mn B )0 0 )2 E)8 D)3 V? A )x D) X- B )x -’ E)1 C)x^ 19. Indicar ei exponente final de X en: 28. Resolver la ecuación: 5^ * ’ - 3 x 5** * = 550 Y dar como respuesta el valor de x^. Vx "Vx Vx A)1 - -1 3" 6)1 + 4 : 3" A) 2 D)2,75 0 )1 -3 " D)2 A) 23 D)17 Calcular el valor de: (x")*'^ + (x")*''^ + B) 3n E) 8n 21. Si X* = 2; hallar x,x“ A )2 B )3 1 X* + x^ 0 )4 E)6 D )5 A) B) 2 * " - 1 0 ) x 2’« E )x’°“ - 1 B )-7 C) 2” - 1 Ì ~t ^ - - + a*+1 a+b A) 2010 D) 2007 1 b^-1 0 )0 ti (12^)12- +ir ^ +- ^ = b+c c+a B)2009 E )2006 0 )4 B)x" E)1 33. Calcular el valor de a + b -i- c, si: a = iÍ6 ^+^3V3V3 ~ 25. Hallar el valor de: K = (a‘ ^ ) A) 2 8 )4 0 ) 72 D )7 para: a = 2* D) V2 E) 9 E) 1/2 b = J12 + V I 2 + VI2 + ... c = J l3 - Ji3 + 1005 0)2008 32. Si X es positivo, simplificar la expresión; 1 2 s x i x V x ...'’* ’Vx M= (> A) V i D )x Vs" 8 )2 E)16 0 )2 1) i± s f^ Sabiendo que; B )-1 E)2 A)1 D)8 A )-9 = x; (x > O A X 31. Calcular el exponente final de x en: 23. Sabiendo que: a + r = l A b + - = 1 b c 24. Reducir E - 019 30. Hallar la solución de ia ecuación trascendental. 22. Reducir íx íx ^ x Vx „ 100 radicales A )-2 D)1 8 )2 0 E)16 C)n > Calcular el valor de: E = a 0 )2 ,5 29. Sabiendo que: = i a y > O, además; X + y = 6, calcular la suma de los valores que admite y. 20. Sabiendo que: x = 'Vn'''" A) 2n D)2 B)2,25 E)3,5 C)x^ B )9 E)5 A) 10 0 )7 C )8 42. Reducir: 8 - 34. Sí X e y son dos núnwros positivos, hallar la exfMêslón equivalente a: 2007 ÍÓ07 A)1 D )x + y C): B)2 E)xy Sabiendo que: x € Z* / x > 2008 A)1 D)2 8 )x E)x" C)2x X 43. Determinar el valor de: - x~ +x* + x cuando: x = 2’ ’“ . 0 -1 A) O 8)1 D) X 64 E) 2 - ^ ^+1 44. Sabiendo que: = V2 ; además HaHar el vaior de M - N. A )0 B )7 014 D)28 E)36 A) 8 D) 1 36. Simplificar ta e x p re ^ n bsuntandos ...'«Vi 1) tp ifc il« ! A=k B)a A) “Va D) a-’ 8 )4 E )16 0 )2 45. TeníerKio en cuenta que: lV iV a ...V ? (a * , calcutar: zy(^ 2)2 * yi / 1 ^Vñ (1)(2)(3)...n V4ñ V9ñ + .+ ’ O í Además t cumple con la condición: x** = (tx)*; _i siendo x = 10^, calcular t^sgn(A). 37. Redudr A) 10 D )-1 0 0 E= A)1 D)1/2 B)2 E)1/4 04 8)100 E)0 0-10 46. Calcular n si en la expresión: [...[[(X“)’'* x -^ r '^ x -^ ]...x -“ r n corchetes 36. Calcuiar el valor de: R = 81"^’ A )-1 D)1/3 39. Sabiendo que; valor de: — -m +1 F = m" ^ -(1/27)C) - 3 B)3 E )-1 /3 A) 100 a n" = - 2 ; calcular el + n" A) - 8 D)4 8)110 014 <1 47. Luego de resolver 2x + 1 = ^ D )2 X sí X > O señalar, ei valor de: B) 1 E) 1/9 C) -4 /9 A) 16 O) 1/256 40. Conociendo que: n" = n + 1, reducir la siguiente expresión; A) n D }^ el exponente de x luego de reducir la expresión es 0,5; además a = 2’* - 3. B) n" E)n"^’ C) n" + 1 8) 81 E) 256 0 1 /6 4 48. Siendo x > O resolver: ’“ Vi +V2 *^V ^-1 = ’*Vl7 + 6V8 A) 4 D) - 3 B)3 E)6 C) - 2 49. Si: ( x '- * ^ ) ( x ^ ^ = ) = a “ ' 4/ 41. Si; n” = 2, calcutar el valor de: E % Vn" A )2 8 )4 08 D)16 E)32 Hallar él equivalente a: ’í " E )3 A)1 D)x^ B) /x E)x O x* 58. Efectuar: E = ^ Í Í 4 { 2 ^ ) f '' B) V3 + 2 V2 E )3 -2 -/2 A )3 + 2V2 D ) 1 - - i2 C)V3 - 2 V2 B) V2^ E)2 A) 1/2 D)4 50. Luego de resolver; x'* = 2x + 1. donde x > 0, indicar el valor de: (x ^ ‘ V C) /2 59. Si: X e - {1}; hallar el valor de n que verifica la igualdad: ji 51. Si se cumplen las igualdades x** = calcular: y®‘ A) 3 D) V3 B) 2 E) 27 ;y = ■ C) ^ A) 3 D )4 B) 2 E)1 52. Siendo A = V2V4V8V16... 60. Calcular: S = Calcular el valor aproximado de; A) 4 53. B) 2 08 x D)1 05 <(6^x3)^x6^x3)2 (( 3 'x 6 )" x 3 ^ x 6 )' A)1 D) 16 A R B) 8 E)64 61. Simplificar: S = [(2 ^ A) 8 D) 1/4 m = (Vx^ V x*...)(Vx"Vx\..)..("’^Vx'""’ Calcular el valor aproximado de x en función de m. A) m B) m" D )^ E) m^ B) 1 D)"Vrñ E )^ m 3*"x36 X Hallar el valor de: V = C) m"’ A) 28 D) 20 B)21 E)24 64. HaHar el valor de: S = SI; 'Vrñx = Vñx = Calcular el valor aproximado de x„ cuando n crece indefinidamente. C )^ '3 56. Indicarelvalorde: A)1 D )4 D) 03 O 15 m**n"’p'' = x 8 )2 E)1/4 C) 0.5 65. Dada la condlaón; x* ^ = 1 - x ' ’ Simplificar T = . , -VTtO,» / 1\(¡«) SI se cumple que; x* = /^ j B )2 09 63. Si: X + -!. = 3 55. Sabiendo que: '3 O 1/2 B)3 E)6 A) 16 D) 27 S i:x = '"*V m "'-’Vm ; m e Z A m > 9 A) m B) 4 E) V2 62. Simplificar; T = " O m" 54. Señalar el valor numérico de: M = — x"’ + "Vx m m+ 1 A)1 O 32 E)0 Sabiendo que; A )# 2 M Y otorgar como respuesta el valor de (n + 3) + 7 D )4 E) V3 A )x D)x* B)1/x E )Vx C)1 66. Calcular el valor de: 57. S i:x = '’ VT : y = t * ^ / t > 0 A t 9 t l , hallar la relación entre x e y. V i V (9 x r'V (4 x f" (6x)2m+1 Sí es independiente de x A) x" = y ' D) X* = / B ) y ’' = x" E )A y B C) x ' = y* A) 4 D) 1/2 B) 3/2 E) 2 O 2/3 67. Sabiendo que; a ''= 2 b* = 0,5 74. Simplificar: T = x V ,x '-,- ''n''factores X X X ..."n"factores A)x" D)x Evaluar: S = B )2 E)16 A) 10 D)8 04 A) 4 T = (®V5)'i ^ y B) V5 O I 75. Hallar el valor de; V = (x"^ + Si: x = 3 + V 2 y = 3 - V2 68. Dar el equivalente reducido de; A) 13 D) 1/2 B )x '" E) 1/x 8 )5 (xy"’ + x 'V ) 07 D)1 E)0 76. Hallar el exponente final de x en: O 25 E = Vx n radicales 69. Simplificar; V = ii#57^5T5777=T^ A) íx D)1 B) Vx E)x^ Ox 70. Simplificar; S = ilx^x^-Zx^^x*... Dando el exponente final de x A) y? D)1,5 B) 2 E)2,5 A) 4 D) V3 0 1 D) 4 " - 1 4 E) 4 "+ 1 ' 2" A )x ' D)^/x A)1 X '“ + X B)x*‘* E)1 A) 16 D) 4« 0 1 /x A)1 D) 0,5 O ab ai C . 31, b }• 4ii^6‘ 1 A 2 C 3 .C D )8 B) 16» E) 8* 04 M .*S B)2 E) 04 V R2 C • H .A . .i M A ' * 49. C M b 4 ? trí ■ttf o . sV 4 ? 04 _ V4V4...^V4/2 80. Evaluar la expresión: D = ^V2V2 ..V2 S = (ab-^+ba^®)[a-'“ ^’i+ b - " > " V B) a E )a V 8 )2 U = ab“ * + X 73. Dar la forma más simple de: 5 .B 7. A 8 Q 9 B 1 0 .6 0 1 /x 79. Sl;ab = b'’ = 2 Hallar ei equivalente reducido de: Simplificar; V = x 6. D B)x E)x’‘ 78. Simplificar; T = (0,25)(16/^“’-“ ^®^'’''“ "“ " O V2 72. Dado que: a + b + c = abe A) 2 D)b C) 2 "+ 1 r Simplificar: S = *Vx "/x N B)2 E)3 A) O D)x^ B) 4 " - 1 77. Si se tiene que; x“ = x + 1 W 71. Simplificar: T = 2 ^ A) 2 " - 1 2" A ' 16 E ‘ 17« tAA :» g 29, »- 26. fe 28 s !' aoc 4» B 39. d 4 30. E . 40, A a» . O i¡5Q. B ‘ 68 B 98 B rD .B ’ .'T è I ' 6 i -. . J R 'Í I I í ; E)16 Expresiones algebraicas ü Jean Le Rond D’AIembert nació y murió en París ( 16 de noviembre de 17 1 7-29 de octubre de 1783). Fue un matemático, filósofo y enciclope dista francés, y uno de los máximos exponentes dei movimiento ilus trado. D’AIembert recién nacido, fue abandonado en la puerta de la iglesia de Saint-Jean-le Rond (de ahí el nombre que se le impuso). A los 18 años consiguió el título de bachiller en artes, después de varios años de estudio en una es cuela jansenista. Tras dos años de estudiar derecho empezó a cursar la carrera de medicina, que pron to abandonó. La gran pasión de D’AIembert fueron las matemáti cas. que había aprendido en for ma prácticamente autodidacta: en 1739, presentó su primer traba jo en la prestigiosa Academia de Ciencias de París. Dos años des pués. con tan solo 24 años de edad, fue elegido miembro de esa Academia. Abordó la m atem ática a través de la física, con el problem a de los tres cuerpos, la precesión de los equinoccios y ías cuerdas vibrantes. Esto le llevó a estudiar las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones a las derivadas parciales. También inventó un criterio para distinguir una serie con vergente de una divergente. Su obra m aestra fue el Tratado de dinámica, donde enunció el teo rem a que lleva su nom bre (principio de D’AIembert). El teorem a fundam ental del Álgebra recibe en algunos países de Europa el nom bre de «teorema de D'Alembert*Gauss), dado que D’AIembert fue el prim ero en dar una prueba casi com pleta sobre dicho teorema. Fuente: Wifeipedia <i CONCEPTOS PREVIOS + División Cociente Álgebra ()" Potenciación Potencia Parte de la matemática elemental que estudia a las cantidades en su forma general, describe también los sistemas de operaciones que se llevan a cabo con las cantidades para detemiinar por medio de aquellas, n/~ Radicación Raíz oü'as desconocidas. Notación matemática Son formas de representar a ciertas expresiones para diferenciar la función que representa cada una de ellas. Para ello es necesario tener en cuenta los siguientes conceptos: Constante Por lo general es un valor numérico detemiinado que adopta los siguientes comportamientos: Constante absoluta o numérica: son aquellas que no cambian de valor de un problema a otro. Ejemplo: Signos de relación = para valores s para polinomios < > comparación algebraica entre polinomios > mayor que < menor que Signos de colección o agrupación () paréntesis 11 corchete {} llave — barra o vínculo Leyes de signos Adición y sustracción a + (b -c ) = a + b - c a-(b-c) = a - b + c Multiplicación y división V3 = 1,7320 rt = 3,1416 (aproximadamente) (+ ^ ) _ , a (+a)(+b) = +ab Constante relativa o parámetro: es aquella cuyo valor se mantiene en una situación o probtema particular, pu diendo variar en otro. ejemplo: • ax + b = O / parám etros o constantesN 2x - 7 = O 4x - 6 = O (- a )(-b ) = +ab (~~9) _ (+ a )(-b ) = -a b (+a) (-b ) -" b a ■"b (-b ) (-a )(+ b ) = -a b J \^relatìvas (+ b ) (+ b ) Potenciación (+b)'’-‘‘“ ' = +b"''*' (_b)-"p» = +b".-p“ (+b)n.‘lmpar _ +br,.-»^r 8= 2 b = -7 a=4 b= -6 ^ jn .’ mpsr _ Variable _^ n .*im p a f Radicación Es un valor arbitrario o desconocido, también se dice que representa a ia cantidad en forma generai. Se re> presenta siempre por letras. En consecuencia: " ’“ VITb = i" F(x; y) = 2x 2y® - 7y“ + 2x’ Se lee F está en función de x e y, o F de x, y. 1^ notación pennite diferenciar en una expresión las variables de las constantes, siendo esto de mucha im portancia. a'O m p«^ (i: n.° imaginario) = ^ EXPRESIONES ALGEBRAICAS Resultado Se denomina al conjunto de números yletras ligados entre si por las diferentes operacionesaritméticas: adición, sustracción, multiplicación, división, potencia ción natural o raíz aritmética en un número limitado de veces. + Adición Suma Ejemplos: - Sustracción Resta Signos Existen 3 clases de signos; Signos de operación u operadores matemáticos Símbolo Operación lûltiplicación Producto F(x; y) = 4x® » +7/ P(x; y; z) = 3x^ + 72^ - ^ EXPRESIONES TRASCENDENTES Denominados también no algebraicas ya que es un conjunlo de números y letras ligados entre si por las operaciones de adición, multiplicación, división, poten ciación, etc. en un número infinito de veces; o en todo caso ias que no estén incluidas en el caso anterior. En tre ellas tenemos: Exponenciales: cuando su variable aparece en el ex ponente; 2"'''; a*; X* Trigonométricas: cuando su variable está afectada de alguna función trigonométrica: senx; cosx; tanx; ... etc. • Expresión algebraica racional entera (EARE): los exponentes son enteros positivos. • Expresión albegraica racional fraccionaria (EARF): los exponentes son enteros negativos o también si aparecen variables como denominador. es aquella donde al menos uno de los exponentes que afectan a las variables es fraccionario o también si aparecen va riables bajo radicales. Expresión algebraica irracional (EAI): De lo expuesto anteriormente, podemos resumir el si guiente cuadro: Logarítmos: cuando su variable está afectada de la función logaritmo Iogx; Inx. EXPRESIÓN Circulares: vienen a ser las funciones inversas a las Racional trigonométricas más conocidas como las funciones ar cos: arccosx; arctan; arcsenx; ... etc. Irracional Hiperbólicas: cuando su variable está afectada de las funciones hiperbólicas; seno hiperbólico (senh), coseno hiperbólico (cosh), ... etc. Estas son bastante utilizadas en el cálculo superior. <4 TÉRMINO ALGEBRAICO Es aquella expresión algebraica donde no participan las operaciones de adición ni sustracción. Entera Fraccionaria • • 3xV + 5 xV - 4xz 4 x ^ - x V + xz’ ' es una EARE es una EARF • -/2 X* - 4xV + z® es una EARE • 3x^z - x’ ^2^ es una EARF • x^ + y"* + ^/z es una EAI es una EAI P o r su n ú m e ro de té rm in o s A(x; y) = 2xV B(x; y; z) = 7xVz' Pueden ser: Partes de un término algebraico j F{x; y) - ^ Fraccionario Ejemplos: • x^'^ + y“ - zVx + y Ejemplos: • • SUBDIVISIÓN EXPONENTE exponentes x^ y^ t 1—í ------- partes literales o variables --------------coeficiente signo IVIonomios: cuando tienen un solo término. Ejemplos: • A(x; y) = 8x^y® • F(x; y; z) = ( S x Y z Multinomios: cuando tienen dos o más términos. Ejemplos: Términos semejantes . P(x; y) = 3x"y -h 2x^y" - 7x’ V Son aquellos que se caracterizan por tener las mismas parles literales afectadas de los mismos exponentes. • F(x; y) = 4x^ + 2xy® - ®^x + 2 Un caso particular de estos es el polinomio. Ejemplo: P o lin o m io S x ^ y ^ -y x V son términos semejantes 2Vy®; 2’x V son términos semejantes -4x^y^; -4x^y^ no son términos semejantes Es aquella expresión algebraica cuyos términos son to dos racionales enteros. <4 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES AL GEBRAICAS Por su naturaleza Se clasifican de acuerdo a la forma en que sus expo nentes afectan a sus variables. Expresión algebraica racional (EAR): los exponentes que afectan a las variables son números enteros. Esta a su vez puede ser: Ejemplos • • F(x; y) = x" + x" - 2y' P(x; y; z) = 3xy’ + 7xy“ - -/2xV <4 VALOR NUMÉRICO DE LN POUNOMIO Y CAMBIO DE VARIABLES Es el resultado que se obtiene a partir de un polinomio al reemplazar valores asignados a sus variables. Ejemplo: Sea: P(x) = x^ + 3x - 1 Entonces; P(2) = 2' + 3{2) - 1 = 9 P(-2) = (-2)^ + 3(-2) - 1 = -3 P ( ^ ) = (V3)' + 3(/3) - 1 = 3 ^ + 2 P(a + 1) = (a + 1)^ + 3(a + 1) - 1= + 5a+ 3 P(x - 2) = ( X - 2)^ + 3(x - 2) ~ 1= x" - X - 3 P[P(x)] = P [x" + 3x - 1] = (x" + 3x - 1)' + 3(x^ + 3x -1) - 1 1. 3. Resolución: Calculando primero P(0): P(0) = O + O + 1 = 1 en la expresión se tendrá; P(1) = 1^ + 1 + 1 P [ 2 - ( 0 ) ] - P ( l) - 3 4. Calculando primero: F(x + 1) = ( X + 1)' + ( X + 1) + 1 = x^ f 3x + 3 G(x - 1) = ( X - 1)' - 2(x - 1) + 2 = x^ - 4x + 5 Reemplazando: H(x) = x" + 3x + 3 + x^ - 4x + 5 = 2x' - X + 8 Ejemplo: Sea; P(x) = x^ + 4x* + 7x - 3 Icoeficientes = P{1 ) = + 4(1)* + 7(1) - 3 = 9 Luego: H(1) = 2(1)^ - (1) + 8 5. En todo potinomio el ténnino independiente (Ti) se obtiene reemplazando a su(s) variabte(s) cero. Si: P(x) = X+ 7; hallar P[P(x)] Reemplazando el valor de P(x): P(P(x)] = P(x) + 7; como P(x) = x + 7 Entonces; P[(x)] + 7 = x + 7 + 7 = x+14 6. Si: P(x + 1) = X + 3; hallar P(x) Resolución: Primera forma: Ejemplos: 1. H(1) = 9 Resolución: TI = P{0) Ejemplo: Sea; P(x) = x^ + 4x^ + 7x - 3 Tt = P(0) = 0^ + 4(0)^ -f 7(0) - 3 Si; F(x) = x" + X + 1; G(x) = x" - 2x + 2 y H(x)= F(x+ 1) + G (x-1): hallar: H(1) Resolución: En todo polinomio ta suma de coeficientes se obtiene reempiazando a su(s) variabie(s) por ia unidad. Zcoeficlwites = P(1) 2. Si: P(x) = x" + x + 1; hallar: P[2 - P{Q)] Escribiendo (x + 3) en función de x + 1: P(x + 1) = X + 1 + 2 Luego, donde aparezca (x + 1) se colocará x: P(x) = X + 2 _ P (2 )-2 P (-2 ) Calcular: E P (1 )-P (-1 ) Si; P(x) = + 3x - 1 Resolución: Segunda forma: Catculando separadamente: P(2) = 4 + 6 - 1 = 9 P(-2) = 4 - 6 - 1 = -3 P(1) = 1 + 3 - 1 = 3 P(-1) = 1 - 3 - 1 = -3 Reemplazando en la expresión pedida; ^ _ 9 -2 (-3 ) 15 = -^ E = 5/2 Haciendo; y = x + 1 =>x = y - 1 Escribiendo la expresión original en términos de y; P(y) = y - 1 + 3 ^ P(y) = y + 2 Una vez reducida se hace; y = x P(x) = x + 2 7. Resolución: 3 -(-3 ) Haciendo: x + 7 = y = > x = y - 7 En la expresión original: P(y) = (y - 7 f +7(y - 7) - 3 Reduciendo: P(y) = y^ - 7y - 3 Haciendo: y = x =» P(x) = x^ - 7x- 3 SI; P(x) = x^ - 3x + 1 Hallar; S = ^ P (3 )- P(2)+ P(1) + 1 P ( 2 )- P ( 1 ) - P ( -2 ) Resolución: 8. Calculando separadamente: P(3) = 27 - 9 + 1 = 19 P(2) = 8 - 6 + 1 = 3 P(1) = 1 - 3 + 1 = -1 P (-2)= - 8 + 6 + 1 = -1 Reemplazando en la expresión dada: S= 1 9 - 3 - 1 3+1+1 S = /2 + 1= Siendo: P(x + 7) = x^ + 4x - 3 Determinar; P(x) Si; P, X - 1 = X®- X + 1; hallar P(-2) Resolución; Para calcular la expresión pedida podemos hacer; ^ = - 2 ^ x = - 3 Este valor se reemplaza en la igualdad original: P(-2) = -23 Si: P(x - 3) = 5x - 7 y P[F(x) + 2] = lOx - 17 hallar: F(x - 2) Resolución: Resoiución: En el primer polinomio en lugar de x colocaremos F(x) + 5; PIF(x) + 5 - 3] = 5[F(x) + 5] - 7 P(F(x) + 2] = 5 F(x) + 18 10x - 17 - 5F{x) + 18 Despejando tenemos: F(x) = 2x - 7 Entonces: F(x - 2) será: F{x - 2) = 2{x - 2) - 7 F{x - 2) = 2x - 11 Dándole una forma adecuada a la expresión: 10, Si: F(x’’ - 2) = (x* F(x^ - 2) = (x« Sea; x'' - 2 = 1 => x' = 3 Reemplazando se tendrá: '3 , calcular F(1). F(1) = 3^ R E S U E LT O S PROBLEMAS a Dado: F(x) = 4x^ - 8x - 31; evaluar: 5. 2. 6. Si: H(x) = 2x^+x‘'; P(x) = 4x®-2x^-x^ y G(x) = 3x" - x^ calcular: H(4) + P(4) + G(4) Calcular m en: F(x) = (3x" + x"'-’)"'(mx^ - X + 3)^(x' + 192) Sabiendo que el coeficiente principal del producto es igual al término independiente del mismo. Resolución; F(x) = (x"’-')"’ (3x + 1)"(mx' - x + 3)' Coeficiente principal = S^ím') Término independiente = 3^(192) 3"'{m') = 3^(4^) ^ m = 4 Tenemos: H(4) + P(4) + G(4) = 2(4)' + 4“ + 4(4)®- 2(4)^ - (4)'+ 3{4)-‘ - (4)® = 1792 Si: P(x) = ax + b y además: P[P[P(x)ll = 8x + 189. Calcular: P(3) 7. Si: F(x) = x(x - 6) + 9; calcular: í F(x) F(x + 3 ) - F ( x - 2 ) - 5 Resolución: [P(a{ax + b) + b]] = 8x + 189 a(a(ax + b) + b] + b = 8x + 189 a^x + a^b ab + b = 8 ^+ 189 t Resolución; F(x) = t Entonces: a^ = 8 = » a = 2 a b(a' + a + 1) = b(2' + 2 + 1) = 189 Luego: P(x) = 2x + 27 =» P(3) = 2(3) + 27 P(3) - 33 4. Si: G(x) = x - 1; F(x) = x Determinar G E= - 3) [(X + 3) - 3 f = x' [(X - 2) - 3 ]" = (X - (x -3 ) x " - ( x ^ - 10x + 2 5 )-5 Si: X 3; E = 1/10 1 1 8. 5 )" X -3 10(x-3) Sabiendo que: G(x) = x G [5 P (x) - 4F(x)J = 13x + 18 G [2 P (x) + F (x)] = 15 Resoiución: hallar el valor numérico de: G[P[F(2)]J ^' = 1 + 1 F(1 X F(^) 'x ' (X F(x + 3) = F(x - 2) = b = 27 G F(^) 'x ' 1 y F(x) = PlF(x)l; calcular: P(64) F(x) = P[F(x)] si: F(x) = a =* P(a) = a P(64) = 64 8(2) - 31 = -31 4(4)" - 8(4) - 31 = 1 4(0)^ - 8(0) - 31 = -31 (-31)1' = -31 4 (2 y - Resolución: 3. x+ 1 ■ ■ ■■ Resolución: Resolución: F(2) = F(4) = F(0) = ^ F= Si: F(x) = Q X = 1 + 1 -1 = 1 X = G 1 = G(x) = x - 1 1_ X X Resolución: Como: G(x) = x G(*) = ’ ... (I) De(l); 5 P (x ) - 4 F (x ) = 1 3 x + 1 8 ... (H) 2P{x) + F(x) = 15 ...(lll) + ^ - (3 + 2^2)^ + -----x^ (3 + 2 ^ )^ P(x) = X + 6 P{-1) = 5 F(x) = 3 - 2x => F{2) = -1 Luego; G[P[F(2)H = G[P(-1)] = G(5} = 5 9. Siendo: S(x) = 2x + 3 Además: S[F(x) + G(x)] = 4x + 3 S[F(x) - G(x)] = 7 = (3 + 13. 2 /2 )' + ~ (9 -8 )' = 2(9 ( 3 - 2 /2 ) ' + 8) = 34 ' Si: F(x) = 4x + 5 y F[g(x) + 3] = 8x + 5 Hallar: g(4) Hallar: K = F(G(F(G...(F(G(1))...))) Resolución: Resolución: F(g(x) + 3] = 4[g(x) + 3] + 5 = 8x + 5 Despejando: g(x) = 2x - 3 = g(4) = 5 S[F(x) + G(x)l = 2[F(x) + G(x)] + 3 = 4x + 3 S[F(x) - G(x)] = 2[F(x) - G(x)] + 3 = 7 F(x) + G(x) = 2x =» F(x) = X + 1 F(x) - G(x) = 2 => G(x) = x - 1 G{1) = 0 ^ F[G(1)]=F(0)=1 14. Hallar el valor numérico de F(S) donde: F(m) = '"■^(m+ 4)'"“ V(m - 2)"'Vm + 2 f "V(m-2)°"V(m + 4) Como termina en ia evaluación de F: K = F[G(F(G...))]=1 Resolución: ’’/ f i m i ) F(m) = 10. Si; P(x + 4) = 5x - 1 y P[F(x) + 3] = lOx + 14 ’^/(m + 4) calcular el valor de F(4) Resolución: F{5) = ®/9 . ^°/3 . P(x + 4) = 5(X + 4) - 21 Si: X + 4 = a =» P(a) = 5a - 21 i 11. Si: F(x) =x^ + 1 y H(x) = x^ - 1 15. calcular: E = H[F(x)] - F[H(x)j j_ = 3‘ Si: P(x + 2) = x" + 4x + 4 Hallar: P(x + 4) - P(x - 4) Resolución: Resolución: H[F(x)] = H(x' + 1) = (x' + 1)" - 1 = x“ + 2x' + 1 - 1 P(x + 2) = (x + 2 f Si : x + 2 = a =» P(a) = a^ P(x + 4) = (X + 4)^ P(x - 4) = (X - A f ( - ) F[H(x)j = F(x' - 1) = (x' - 1)" + 1 = x' - 2x' + 1 + 1 ^ H(F(x)] - F[H(x)] = 4x' - 2 12. Si; F ( x ) - 1 + P(x + 4) - P(x - 4) = (x + A f - (X - 4)' = x^ + 8x + 16 - x' + 8x - 16 P(x + 4) - P(x - 4) = 16x G (x )-^ Calcular un valor de x que verifique la condición: F[G{x)I = 2 - G[F(x)j; señalar: x^ + -^ x Resolución: F[G(x)] = F( j_ 35 320 3100 P[F(x) + 3] = 5[F(x) + 3] - 21 = lOx + 14 Despejando: F(x) = 2x + 4 => F(4) = 12 3 -x 5- x )= 1 3-x. 3 -(1 + ^ ) x Como F[G(x)] = 2 - 6[FG(x)]; tenemos: 5 - X _ 2 _ 2x x - 1 Hallarn en el polinomio: p(x - 2) = (3nx - 8n)' + (x - 2)^" + 12x - 24 Sabiendo que el término independiente de la va riable excede en 14 a la suma de coeficientes del polinomio. Resolución: 2x G[F(x)] = G(1 + f ) = 16. Si: x - 2 = y = > x = y + 2 P(y) = [3n(y + 2) - 8n]^ + y=" + 12(y) P(y) = (3 n y-2 n )^ + / " + 12y término independiente - (-2n)^ = 4n^ 2icoef. del polinomio = [3 n(D - 2 n f + (1)'" + 12 = n' + 13 = 2¿ri6x+_1 = O = x = 3 ± 2 l2 P o r con d ició n : Si: X = 3 + 2 ‘í 2 . tenemos: TI - Icoef. = 14 ^ 4n^ - (n^ + 13) = 14 3n^ = 3 y 3^ = n = 3 2(x+ 1) 21. Si consideramos a los siguientes polinomios: 17. Si: F(x) = F(x - 1) + F(x - 2) P(x) = 3 x -1 Q P[F(x)] = 6x + 5 Hallar F(8). Además: F(1) = 3 y F(2) = 4 calcular el valor de: F[F[F(0)]) Resolución: Resolución: Dando valores adecuados a x en la primera relación. Para x = 2: F(2) = F{1) + F(0) => F(0) = 1 Se pide: F[F[F(0)]] - F[F(1)] - F(3) Nuevamente dando un valor adecuado a x en la primera relación: Parax = 3: F(3) = F(2) + F(1) .-. F(3) = 7 4 „(1) ...(II) En (I) hagamos: x = F(x): P[F(x)] = 3F(x) -10;como P[(x)] = 6x + 5; luego se tendrá 6x +5 = 3F(x) - 10 => 6x + 15 = 3F(x), es decir; F(x) = 2x + 5. Finalmente, para calcular F(8), hagamos x = 8 en F(x) ^ F(8) = 2(8) + 5 .-.Fifi) = 21 22. Si: P(x) = 3 encontrar el equivalente de: P[P(x)]. Resolución: Para encontrar: P[P(x)] debemos reemplazar x por: 18. Señalar el valor de: x(11) sabiendo que; x(2a - 1) = x(2a + 1) - a + 1; además: x(3) = 1 P(x) en la condición P[P(x)]= t '■ como: ¿ i r í X ) •“ ó Resolución: P(x) = Si: 2a —1 = 3 => a = 2 en la expresión: x(3) = x(5) - 2 + 1 => x(5) = 2 Si' 2a - 1 = 5 => a = 3; en la expresión: x(5) = x(7) - 3 + 1 ^ x(7) = 4 P[P(x)] = 19. Si: F(x) = F[F(x)] = 2 Hallare! valor de: E = ""V(x + 7)*''‘" Resolución: 2 = F[F(x)] = F ^ 20. =2 ^ X 1 2 ' 2 x - 1 ■■x - 2 , 2 x -1 _ , x- 2 x- 1 ' _ X- 2 / =2 4x - 2 - X 2 x- 2 2x - 1 - 2x ^ 4 x- 2 1 E = 'Í9® = 9" = 81 Dado el polinomio: P(x - 1) = (2x - 3)^" + {3x - - 32{x - 2) Hallar n tal que el término independiente del polinomio sea igual al doble de ia suma de coeficientes del mismo. Resolución: D el e n u n c ia d o : T I = 2 X c o e f. Es decir: P(0)= 2P(1) ...(’ ) En el polinomio para x = 1: p(0) = (-1)2" +12-'... 32(-1) = 34 Para x = 2: P(1) = (1)^" + (4)'" + 32(0) - 1 + 4 ^ " P(0)yP(1)en (*): 34 = 2 [1 + 4""] ^ 34 = 2 + 2 . 4" ' 3x + 4 ■ >2x - 3 . 9Í____ 2 ||2 L + 4 1 - 3 . 2x " 3, Finalmente efectuando operaciones se consigue: P[P(x)] - x Si: 2a - 1 == 7 => a = 4; en la expresión: x(7} = x{9) - 4 + 1 ^ x(9) = 7 Si: 2a - 1 9 ^ a = 5; en la expresión: x(9) = x{11) - 5 + 1 x(11) = 11 ^ luego se tendrá; 23. Si: P[P[P(x)]] = 27x + 52, calcularel valor de; P(-2). Resolución: Para resolver este problema se tendrá en cuen ta que el polinomio P(x) que ha dado origen a P{P[P(x)]] es de 1.° grado, pues P[P[P(x)]] también lo es, luego nos planteamos un problema general. Si: P(x) = ax + b; a 0. Hallar el equivalente de: P m - [ P (xM.-ÍÍV, n veces Dicho problema lo resolveremos por un método inductivo: • Hallemos P[P(x)] a partir del dato: P[P(x)] = aP(x) + b P[P(x)]=a(ax + b) + b =» P[P(x)] = a^x + b(a + 1) ...(I) • Hallemos: P[P[P(x)]] a partir de (I): P[P[P(x)l] = a'P(x) + b(a + 1) P[P[P(x)l] = a'(ax + b) + b(a + 1) =» P[P[P(x)]] = a'x + b(a' + a + 1) ,..(ll) ■ Hallemos: P[P[P[P(x)]]]] a partir de (II). P[P[P[P(x)]]J] = a'P(x) + b(a^ + a + 1) =» P[P[P[P(x)]]]]= a^(ax + b) + b(a^ í a i 1) P[P[P{P(x)]]]] = a \ + b (a' + a' + a + (III) 1) 32 “ 2^^'^ =» 2^ “ Q2n-1 De acuerdo a la forma que presenta (I), (II) deducimos: 5 = 2n + 1 .-. n = 2 P [P [P ,.. [P (x)]...]i = a "x + b (a "-^ + a"- ^ + ... + a + 1); n veces ^ a (III) Finalmente de sumando (I) y (11) se obtiene lo pedido; F[H(x)] + H[F(x)] = 2x es decir; P [P [P ,,.[P (x )]...3 l = a"x + b •.a-11 27. Si: xF(x) + 16 = 4F(x) + x^; encontrar: F(x - 4), Resolución: Ahora en ei problema: P(x)=âx-i b ...(I) Por dato; P[P[P(x)j] = 27x + 52; según la propie dad planteamos; a"x ( b a ' - 1 = 27x4-52. a- 1 De ta identidad; a ''= 27 a bl a ^ - 1 = 52 a- 1■ Con lo cual conseguimos: a = 3 a b = 4; luego en (1) se obtiene. P(x)= 3x + 4, finalmente tenemos P{-2) = 3(-2) + 4 P{-2) = -2 24. Calcuiar el valor de n si dado P(x) = nx + 3, se venfica; P(x) + P{2x) -i- P(3x) = 30x + m, Resolución: Observar que; P(2x) = n(2x) + 3 = 2nx + 3; P(3x) = n(3x) + 3 - 3nx i- 3. Por condición; (nx + 3) + (2nx + 3) + (3nx + 3) = 30x + m; es decir; 6nx + 9 = 30x -r m; de la identidad: 6n = 30 .’. n = 5 Efectuando transposición de términos en la condi ción tenemos: xF(x) - 4F(x) = x^ - 16 => ( x - 4 ) F(x) = x^ - 4^ = (x + 4)(x - 4) De donde: F(x) = x -i- 4 ...(I) Como se pide; F(x - 4); debemos reemplazar en (I) X por (x - 4) asi: F(x- 4) - (X - 4) + 4 F(x - 4) = X 28. Sabiendo que: 4i(x + 5) = 2x - 1 y (|)(h'(x) + 1) = 4x +3 Calcular: My[4>(7)} Resolución: Si; íi(x + 5) = 2x - 1 => <(1(7) = 3 Luego, se busca v|/(3): De: (t*(x + 5) = 2x - 1 - 2(x + 5) - 11 Cambiando x + 5 por n/(x) + 1: ‘t'ívM + 1) = 2(v(x) + 1) - 11 Por dato: 2(y(x) + 1) - i i = 4x + 3 De donde: n/(x) = 2x + 6 v(3) = 12 29. Se sabe que un polinomio P(x) es tal que es 25. Sea: F(x)= 2F(x) vxeIR .tai que; F (x)-• 2, calcular el valor numérico de; 2000 - F (/l 999^ - 1) Resolución: Como: F(x) '■ 2, podemos elevar al cuadrado a am bos miembros de la identidad mostrada: [F(x)]^ = x^ + 2F(x), dando forma; [F(x)]^ - 2[F{x)] = x^ [F(x)]' - 2[F(x)j + 1 = x' + 1 ^ [F(x) -1 ]" = x^ + 1. Es decir: F(x) = -Ix^ + 1 + 1 (I) Allora reemplazando: x = /l999^ - 1 en (I) se con sigue: F (/i9 9 9 ^ - 1) = A /1999^- l f + 1 + 1 = 2000, Finalmente el valor pedido será; 2000 - 2000 = O .-. VN = O de 3.° grado, P(1) = P(-2), P(0,5) = 2P(1/2), P(2) = 12, P(0) = 2. ¿Cuál es et coeficiente del término lineal del polinomio? Resolución: P(x) es de tercer grado, como: P(1/2) = O =» 1/2 es raíz. Luego: P(x) = (2x - 1)(ax^ + bx + c), como P(0) = 2 =* término independiente = 2 Luego; P(x) = (2x - 1)(ax' + bx - 2) P(1) = P(-2): a + b + c = -5(4a - 2b - 2) ^ 7a - 3b = 4 ...(I) P(2) = 12; 3(4a + 2b - 2) = 12 4a + 2b = 6 ...(II) de (I) y (II): a = b = 1 26. Si; F(x) = X + 2; H(x) = x - 2. Proporcionar el equi valente de: F[H(x)j + H[F(x)]. Resolución: • Para encontrar F[H(x)j se deberá reemplazar x por H(x) en F(x): ^lH(x)] = H(x) + 2; pero: H(x)= x - 2, luego F(H(x)] = x - 2 ^ 2 - x ..,(1) Para encontrar H[F(x)] se deberá reemplazar x por F(x) en H(x); H[F(x)] = F(x) - 2; pero F(x) = x + 2, luego H[F(x)] = x + 2 - 2 = x ...(II) P(x) = (2x - 1)(x' + x- 2) => P(x) = 2x^ + x^ - 5x +2 Coeficiente del término lineal = -5 30. Sea P(x) = ao + a,x + ... + a„x" un polinomio de grado n.Definimos unoperador sobre los polinomios mediante D(8o + a^x + ... + agx"] = a, + 2a^x + 333X2+ ... + na„x''’ ’. Determinar el polinomio P(x) tal que D[P(x)] = 3x^ + 2x^ Dar la suma de sus coeficien tes como respuesta. Resolución: Nos piden: ZcoeflP] = P(1)= ®o + ^ Por dato: D{P{x)] = 3x^ + 2x^ Según e! operador: D[P(x)] = 3x^” ’ O bservar que el operador D aplicado al potinomio re Luego se concluye: P(x) = x^ + ^ x “* + ao presenta a la prim era derivada del polinomio. P R O BL E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 (UNI 1 9 7 0 ) Resolución: ¿Cuál es el valor numérico de la expresión: ( 2 - x - x ') '- ‘ , parax = -2? Por dato: P(i, = a + b + c = 0 P,3, = 9a + 3b + c = O P,2, = 4a + 2b + c ~ 2 Resolviendo el sistema; a = -2 ; b = Se pide: a - b + c = -16 A ) -0,25 D)0 B )-5 4 E)512 0 2 5; c = Clave: D Resolución; Reemplazando el valor de x en la expresión dada, se tendrá: (2 - (-2 ) - (-2 )']' ■ = [2 + 2 =O Clave: D PROBUMA 2 ( t N I 1 9 7 1 ) ab Para a = 1 ; A) 7 11 a b c b = j; c = I 0 9 144 E )8 A D )9 ^ Resolución: Reemplazando los valores dados en la expresión dada: 1 1 ii\ ii) 1 .3/14 im S= 9+ 12 El valor numérico de: P(x) = X®+ (3 - 3 /3 x" - 9^3x' + 5x + 7/3 4 8 6 4 9 Para: x = 3/3 es: 16 S= 9 ® 144' 144 En el siguiente polinomio: P,2, = ax" + bx + c Se sabe que: P(,, = P(3, = O y P,2, = 2 Calcular; (a - b + c) B }-8 E )-20 A)20/3 D)26/3 Clave: 0 PROBLEMA 3 ( t N I 197S ) A )- 4 D )-1 6 Además: P,., = P, Pm , = P,i> =0 « a+b+c+d=0 - ( I) (0 ) “ ' (1) P,.i, = 6 -b+c-d=6 ...(II) 16a + 8b + 4c + 2d = 6 P/-H = P,„ = 6 8a + 4b + 2c + d = 3 ...(IN) (1 ) + (2): a + c = 3 a=3- c ...(IV ) (1) - (2): b + d= - 3 ^ d = - 3 - b -..(V) (IV)y(V) en (III); 8(3 - c) + 4b 4- 2c - 3 - b = 3 -6 c + 3b = -18 2c - b = 6 PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 - II) c ;= 1 2 4 .8 ,6 _ ^_ 3 _ 4 ,J _ _ J _ _ J L 2^3^4 04 Clave; E l i 3 B)3-a E) 6 ili 2 i) ( i P(0) ~ P(-i) —6 y P|,| —P(i _ Calcular: (2c - b) Como: P,o, = 0 => e = 0 B )7 ± 144 El polinomio: P«, = ax* + bx^ + cx" + dx + e es tal que; Resolución: A + A + _ L _ .^ _ .§ £ _ S ^ + a " -b " -c ^ ac PROBLEMA 4 ( t N I 1 9 8 3 - II) A) 2a D)5 Encontrar el valor numérico de; be - 6 0 -1 2 B)22/3 E) 28/3 C )2 4 l3 Resolución: Por Ruffini: X = 3/3 1 (3 - 3/3 3 1 3 -9 /3 9 0 0 0 0 5 0 5 7/3 15/3 22/3 R = P , , , = 2 2 /3 Clave: B PROBLEMAS n 1. ■ PROPUESTOS P (a ) P (a P ) = 7 4 f ; a > p , C) 5 Además P(x) O, v x, calcular: P(6) x P(2) - P(3) x P(1) 2. B)2 E)0 C)3 A) 2 D) -2 Si H(x) = (X E)9 B)3x E) 3x +18 8)1 C) - 1 E) Faltan datos 12. Si: P(x -1- 5) = (x+ 3)'" + (x - 1)'- t (x - i; determinar:P(x) + H(1 ) x F(-1) 3. D )1 11. Si se cumple P{2x) = P{x + 3); calcular P{2) h- P(5) Dado los polinomios; H(x + 1) = 4x - 5 F(-x) = X + 1; P(x) = H(x) + F(x) A)3x-18 D)3x-8 ■■ Se cumple que: suma de coeficiente es igual al término independiente. Calcular Sedefine: A) 6 D)1 m C) 3x +10 +1)(x + 2){x + 3)... fx + n) 20 sumandos Calcular P(21) A) O D) 19" B) 19' E) 19- C) 19' 10 n 6 Bí A n > 30; calcular Si; [F(x}]' X f ( I ^ ) - ( I / ; calcular: F(3) 8 )5 A) -6 D)3 5. 7. C) 188 calcular A ,| B )f D)1 E)7 C)2 Indicar el valor de: P[P[P[P[P[P(2003)]]]] A) T I D) 10 + 71 A) 2003 D) ^ Si: P(x) = B) IOti E) 5571 C)0 ^ ; encontrar el equivalente de P[P(x)] —ó B) / f E)1000 C) /Ti 16. Si: f(2x + 1) = x, calcular E = 2f{x) - f(2x) B)x E)2x C)0 Si; 8{x + 1)^+b(x - 1)^ = 9x^ + lOx + c Hallar: abe A) 42 D) 224 9. B) 172 E) 177 Si: P(x) = 7i; f(x) = 0: calcuiar: £(P (i) + f(i)) A) x' D) X' 8. A) 171 D) 189 14. Si: 5f(x) = x + 2 + Si se cumple: P(x - 1) + P(2) = P(x) + P(1- X ) + (5x - 4) P(x + 1) + 6x" Calcular la suma de coeficientes de P(x + 8) B)6 E )-2 P{x) = (n - 16)x" + 2x"-’ + 3x"■ '+ ...+ (n + 1) es mónico; calcular la suma del término indepen diente con la suma de coeficientes. C)2 E )-1 A) -6 D) 14 6. 13. Si el polinomio: B)2 C) 10 E) mayor que 50 A)1 D)0 4. ( - i) B) 48 E)36 C) 126 Si H(H(x))= 4x + 1, calcular el mayor valor de h |-^ 17 A) ^ B)5 D)0 E)7 C)-5 A) 4 8) 1/4 d) e)4 4 C)1 17. Si se cumple que: P{x) = q |2 + -1 | y además Q(x) = 2x + 7; calcular: E = P(2) A) 4 D) 10 B)8 E)11 0)12 18. Calcular: G[F(1)] si: F(x) + G(x) = 5x - 8 F(x) - G{x) = 7x + 6 10. Del siguiente polinomio: A)5 8)12 P(x + 3) = ax^ + bx + 2 D )7 E )6 C) - 12 19. Si; P(x + 2) = 6(x + 1) - 5 además; P(f(x)) = 12x - 17 hallar; f(10) A) 12 D)10 B)19 E)13 Q(x) = (x^ - 2x + 2)' + 9; hallar n. A) 5 C) 20 20. Sea P{x) = Q(x) tal que P(x) = 3(x + a) - b{x - 2) Q(x) = 2bx +11. calcular: a + b A) 3 D) 6 8 )4 É) O C)5 22. B )1/2 E)2 E)8 0) x^ - 7 31. Si: P(x+ 1) = x" - 3x - 28, hallar: P(3x - 1) A) 9 D)5 B) 9x " - 18 D) 9x^ + 21x + 18 P(Q(y)) = 6y + 7, hallar: Q(3) a B)7 E)13 0)11 A F{-1) = 6, hallar: F(F(5)) Obtener: F[F(x)] C) 5x A) O D)10 8)5 E )-10 0)-5 E)x 34. Si: F(X) = (X- 1)" + a, hallar: 23. Sí se cumple que: A) 4 D) - 2 F(x) = ^ : F[G(x)] = x - 1’ ■ x -2 Dar el valor de G(x). A) X D) 2x - 1 B) x + 1 E)2x C) X - 1 24. Si: F(x - 2) = 2x" - x - 1 , calcular F(1) + F(-1) A) 15 D) 13 B) 16 E) 12 C ) 14 A) - 6 D) 12 B)6 E) -1 2 0 )2 35. Si: X, y G Z*; se cumple: F(x + y) = F(x) + F{y) a F(1 ) = 6. hallar: F(3) A)1 D) 16 B) 12 E)6 C) 18 36. Dar el valor de: sabiendo que; p{ x A) 50 D)54 37 • Si: [F {x)f F i]1 Calcular: F (-3 ) + F(4) 8 )9 E)12 ;x # O = x^ - C)0 X* + 1; X < 1 Vx + 1; X > 1 A) 15 D)13 B) - 4 E)1 + :¿^[P(V2)1+ P(V3) + P(V4) + ... - P(VÍÓ2)] 25. Si: F(x^ + 1) = x^ + X - 12; calcular: F(9) + F(28) 26. Si: F{x) = B) x" + 6x E) x" + 9 33. Si: F(x) = ax + b ; F(1) = 4 /5 X -/2 B )f D)2 Si; F(x + 3) = + 2x - 15. hallar: F(x + 5) A) x^ + 6x - 7 D)x" + 5x + 7 32. Si: P(x) = 3x + 4 C) 1/3 Sabiendo que: F(x) =l2 x + Í3 A) 2x X D )4 5 0 4 A )3 x "-2 1 x C) 9x^ - 21x - 18 E) 3x" - 7x - 9 21. Calculara en el polinomio: P{x) = 2x + 1 si: P(P(a)) = 5 A )1 0)1/5 30. B )6 C) 11 B) 52 E)60 0)53 -X + X I f 3Í calcular el valor de F(3) A) 2 D)3 B)5 E )-1 O) - 6 27. Si: P(x) = x" + 3x - 10. hallar: P{x + 3) A )x ^+ 1 0 x + 8 C) x^ + 9x E)x" 28. Si: P(x^ - 8)x^ + 9x + 8 D) x" + 8 calcular E = P(2)P(4)P(6)...P¡98)P(100) P{3)P(5)P{7)...P(97)P(99) = 5(x^ - / x f + 2(x" - Vx + 1) - 2 hallar: P (-2) + P(0) A) 14 D) 18 38. Si: P V 3 x - 1 = V3x, V 3x- 1 B) 16 E)20 C) 12 29. Si la suma de coeficientes de: P(x) = (x^ - nx - 1)^ es igual al término independiente de: A) 2,01 D) V3 B) 2,02 C) 2,03 E)2 39. Sea: F una función tal que: F: IN" IN'"; cumple: I. F{2) = O II. F(ab) = F(a) + F(b) III. F(n) = 0; si la última cifra de n es 3 100 ■ C o l e c c i ó n U n i c i e n c i a S a p ie n s C )1993 B)0 E)(1994f A )1994 D )1992 valor de F(3) B) 12 E) 18 C) 15 B)2 E)5 C)3 C )-1 7 B)0 E) - 8 C)8 45. Si; P(x) = x^ + 2x + 1; Q(x) = x^ - 2x + 1; calcular P(3) + Q(-3) satisfacen: P(4x + 1) + 3x = 7 + F(x + 3) F(5x + 1) - 13 = x' - P(2x + 11) A) 32 D)64 8)0 E)12 A) -12 D) -56 i i 1 1 13. 14. 15. 16. D A A D i ■’7' C i 18. C i i i 1 i i 19. 20. 21, 22. 23. 24. C)16 46. Si: F(x + 3) = x^ + 3x^ + 3 x+ 1; calcular: F(4) + F(-2) Calcular: '/^(P(Í3)j i 7. B 1 8. C i 9. B i 10. C 1 11. B ! 12. A 8)10 E )-19 A) 10 D )-10 42. Siendo P(x) y F(x) dos polinomios los cuales E A D A A B A )-11 D)15 calcular: P(-2) + P(2) + P(-3) + P(3) E = /P (3)-P (4) 1. 2. 3. 4. §. 6. calcular el valor de P(2); sabiendo que P(-4) = 7 44. Si: P(x) = x“ - 13x^ + 36 41. Si: P(x - 2) = x' - 4x + 4, hallar: A)1 D)4 E)9 43. Dado; P(x - 1) = ax^ - bx^ + cx - 6 40. Si: F(x) = ax + b y F(2) = 11: F(-2) = -5 ; hallare! A) 13 D) 16 C)6 8)2 A) 4 D)7 Calcular: F{1994) B B B É ■ C C 25. 26. 27. 28. 29. 30. A D B B C A 1 1 i [ ] 1 C) -54 8 )- 2 0 E) -43 31 32 33 34 35 » C B B B C A C 38 A 39 B i 40. C 1 : i 42. B i 43. 1 44. I''4 á r-M . E B A D Grados Simón Stevin (1548-1620) también conocido com o Simón de Brujas o Stevinus (forma latinizada de su nombre) íue un matemático, in geniero militar e hidráulico, cons tructor de m olinoy fortificaciones, semiólogo, contable e intenden te neerlandés. Se le considera el padre de los números negativos por ser el primer m atemático que los aceptó com o resultado de ias ecuaciones algebraicas. Se conoce m uy poco sobre su vida privada, incluso la fecha exacta de su nacim iento y la fe cha y lugar de su m uerte son des conocidas. Se sabe que fue criado en la fe calvinista y que al morir en 1620 dejó esposa y dos hijos, se ha supuesto que no llevaba exce sivo tiem po casado con ella dada la juventud de estos. A sus 37 años, publicó La aritmética de Simón Stevin. de Brujas, breve tratado sobre las fracciones decimales. En él, Stevin exponía con suma claridad el empleo de fracciones decimales para la ex tracción de la raíz cuadrada de un número. También introdujo una nueva notación para describir los números decimales, de escaso éxito dada su complejidad trente a otras más compactas. Otra gran apxDftación de Stevin fue la de la noción de número, pues hasta entonces los matemáticos descono cían que el núm ero implicaba la unidad, pertenecientes a una misma naturaíeza y. por tanto, divisi bles. Destacó, además, por ser el primer matemático que reconoció la validez del núm ero negativo. Fuente: Wifeipedia Resolución: Simplificando la expresión se tendrá: ^ DEFINICIÓN Es una característica atribuida a (os exponentes de las variables; esto significa de que el grado es un número natural. 33n M(x) = 2 V (® V ^") = 2Vx®0 Luego, por condición: -|^n = 22 ^ CLASES DE GRADOS 3. Grado relativo (GR) Está referido a una sota variable y se calcula de la si guiente manera: Hallar la suma de los coeficientes del trinomio ho mogéneo: P(x; y; z) = (m + n)x™" + (m^ - n")y"" (m + n)z""' Resolución Por concepto de polinomio homogéneo; m” = n"’ = m"’ ■" m" = m™”" => 2n = m m" = n'" ^ (2n)''" = n"" De donde: n = 2 => m = 4 Suma de coeficientes: m + n + m" - n^ - (m + n) = m" - n" En un monomio; el grado relativo de una variable es el exponente de dicha variable. Ejemplo: M(a; x; y) = 3 'a 'b V y ” z' = GR(a) = 7 a GR(x) = 5 En un polinomio: el grado relativo de una variable es el mayor exponente que presenta dicha variable en uno de los términos del polinomio. Ejemplo: P(x; y; z) = n = 40 = 4" - 2' = 12 - - / 2 x '\ V + | x ” y V 4. ^ GR(x) = 13; GR(y) = 9; GR(z) = 10 Grado absoluto (GA) Resolución: Observamos que el polinomio está ordenado y el GA está expresado por su término de mayor grado, luego la única posibilidad es: n + 2n + 3n = 12 .. n = 2 Está referido al conjunto de todas las variables; y se calcula asi: En un monomio: el grado absoluto es la suma de los exponentes de las variables. Ejemplo: Sea el monomio: M(x; y; z) = a V y V Entonces: GA(lvl) = 8 + 5 + 4 = 17 Oalcular “n" en la siguiente expresión: M = xyz + 2xVz^ + 3x^'z^ + nxV"z^" Si: GA(M) = 12 5, GA(M) » GROí)J: Hallar m + n, si el polinomio: P(x; y) = 5x'™. 2«* lyo, - «. 3 ^ ^ ^^3 7x" es de GA(P) = 41 y además el GR(x) es al GR(y) como 5 es a 2, En un polinomio: el grado absoluto es la mayor suma de exponentes de variables obtenida en uno de sus tér minos. Resolución; De los datos: • GA(P) = 41 ^ 4m + n + 7 = 41 4m + n = 34 ..,(1) Ejemplo: Sea el polinomio: , 25 26 24 R(x; y; z) = /3 x Y x ” - 7 ^ 9 ? + l l x ^ ’V GA{R) = 26 4 ( 2 ) - ( 1) : n = 2 Ejemplos: 1. 6, S i:G A(P)=11 GR(x) - GR(y) = 5; P(x; y) = 4 V " V 'z " '" Hallar: mn Resolución; n + 3 + m - 2 = 1 1 = m + n = 10...(I) n + 3 - m -i-2 = 5=> m = n ...(II) de (I) y (II): m = n = 5 2. .-. mn = 25 Hallar “n” si la expresión: M(x) = es de grado 22, GR(x) 5 GR(y) 2 ° * m + 9n = 26 3m + 2n + 2 5 m -n + 6 2 .,,(2) a m=8 m + n=10 Si el término independiente y el coeficiente princi pal del polinomio: P(x) = (x" - 3x + 5){6x" - X + n)(2x" + x" + n + 1) (lO x"-’ - Sx" - 1); (n > 1) son iguales. Hallar el grado de P(x). Resolueiónr Por dato; coef pnnc.(P) = Ti(p) Del polinomio; (1)(6)(2)(-5) = (5)(n)(n + 1){-1) =» n(n + 1) = 3 x 4 =» n = 3 Se pide: GA(P) = 2 + 3 + 4 + 3 GA(P) = 12 Luego, el número de términos podría observarse en el polinomio: X + x n-3,,3(1) + X 6y3|2) Grado de multiplicación de polinomios Sea: P = P, x Pj x ... x P„; Donde; GA(P,) = a,; GAíPj) = aj: GA^Pj) = 83; ...; GA(P„) = a„. Entonces; GA(P) = a, + a, + a, + ... + a„ + X'n - 45y3(15) De donde se puede apreciar que el número de términos será: 15+1 = 16 10. Hallar el grado de: P(x) = (x" + 1)(x’®+ 2)(x"® + 3)(x"’ + 4) ... 12 factores ■^TT2rin’ ®sde:GR(x)=l9 y a GR(y) = 22 ^ calcular: b + 2a Resolución: Dato: GR(x) =19 =» 2a - 1- (2b - a) = 19 2a - 1 - 2b + a = 19 => 3a - 2b = 20 ...(1) También: GR(y) = 22 2b - 1 - (1 + 2a) = 22 2b - 1 - 1 - 2a = 22 ^ 2a - 2b = -2 4 De (I) - (II), se tiene: a = 44 En (II): 2(44) - 2b = -24 ^ b = 56 Se pide: b + 2a = 56 + 2(44) = 144 8. ...(II) es 12 ,,,(1) Como el grado de es 2 a + b —2 => a + b —8 a b= 3 (11) .•. GA(P) = 5 Sea P un polinomio, GA(P) = a Entonces; GA((P)"] = an 9. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo: P(x; y) = x" + x" ■'y ' + x" ’ V + • para que sea de grado 45 con respecto a y? Resolución; C o m o e s h o m o g é n e o e l ú ltim o té rm in o e s d e la forma: t. por sucesiones; t„ = 7n^ - 13n + 17 +2 Luego: GA(P) = 11 + 19 + 29 + 41 + ... + a GA(P) = [7(1)' - 13(1) + 17] + [7(2)' - 13(2) + 17] +... + [7(12)^ - 13(12) + 17] T/xy GA(Q) = b Como: GA(P) > GA(Q) ^ 3a - b = 12 De(I)y(ll): a = 5 t, t^ tj t, 11; 19; 29; 41^ 11. Hallar el grado absoluto del monomio; xy xy M(x; y) - Resolución: a GA(P,) = 41;... ;G A (P J = a,2 Vemos la sucesión; GA{P) = 7(1^ + 2^ + ... + 12') - 13(1 + 2 + ... + 12)+ 17x 12 = 3740 es 2, determinar; GA(P). Sea: GA(P) = a ^ GA(P,) = 11; GA(Pj) = 19; GA(P3) = 29; +2 es 12, y el grado de El grado de P,(x) = x’ ' + 1; P2 (x) = x’ * + 2; p 3 (x) = x^® + 3; P,(x) = x^' + 4: ... ; P,2 (x) = x" + 12 + 8 + 1 0 +12 Sean 2 polinomios: P(x); Q(x) donde se tiene que [GA(P) - GA(Q)] Si el grado de: Resolución: Resolución: (xy)" ^ 1xy'"\ M(x; y) = xy \ xy"^ / M(x; y )^ (xy)"’ - ’' ' - i ’ (xy)" M(x; y) = (xy)’ (xy)-^ = (xy)^ = x Y .-. GA(M) = 8 12. Sabiendo que el grado de P(x) y Q(x) son m y n respectivamente. Hallar el grado de: [P'(x)Q^(x) + P'(x)Q^(x)j; m > n Resolución: El grado de: P^(x)Q'(x) es 3m + 2n El grado de: P^(x)Q^(x) es 2m + 3n y m > n Como el grado de P'(x)Q'(x) es mayor que el grado de P'(x)Q^(x) el grado de: [P’ (x)Q^(x) + P^(x)Q'(x)] es 3m + 2n 1. RE S UE LT OS PROBLEMAS a Hallar la reducción de; G(x; y) = 2mx" ’ ""y" ’ ^ Y debe ser mayor o Igual que cero n" + 4n + 4 - (n^ + 4n + 1) El grado de M(x; y) es 3 ^ mni¿ O Resolución: Para que sea reductible, los términos tienen que ser semejantes. 2 = m - 2 n A m - 3 = n + 2=>n = 3 a m = 8 G(x; y) = 2(8)xV + 3(3)x"y' = G(x; y) = 25xV' 2. 5. Qué valor debe tener “n’’ para que la expresión adjunta: . sea de segundo grado. Resolución: Hallar el grado absoluto de J, donde: De la expresión; -5 x ''-^y ^ ' l(-1 )3 -1 |3 -n Sabiendo además: 6 < GR(x) < 12 Resolución; Como es de 2,° grado: 6. También: 4 debe ser entero, entonces “n" es 4 4 6<n + 2 < 1 2 = f4 < n < 1 0 Como: n > 5 y n es 4 => n = 8; en J: J(x: y) = 3 xV - x V - 5x'°y' .-. GA(J) = 17 X i5 -n = X ^ = 2 => n = -39 En el siguiente polinomio: M = 2 x Y ’ ’ + Sx^'^'y" - 7x"' - V •" + x"” y * ’ el grado relativo con respecto a x vale 12, siendo el grado absoluto del polinomio 18, Hallar el grado relativo con respecto a y De la expresión; el mayor exponente de x es m + 3. Como GR(x) = 1 2 = » m + 3 = 12=»m = 9 El término con mayor grado es: x"" y •" ’ Como: GA(M) =18 => m + 3 + n + 1 = 18 =» n=5 ^ „ ^ , ^ En la expresión: 2x®y^ + 3 x 'V ~ 7 x V + x’V Por lo tanto: GR(y) = 7 Representa un monomio en el cual se cumple: GR(y) = Resolución: Sabiendo que at reducir la expresión: F(x;y) = 2 = 20; según esto, hallar n/m. 7. Resolución: m+r X Resolución: F{x; y) = 2(x™y")^‘ " = De la expresión: GA(x) = m + n + 5 a GA{y) = m + 2; (m + n + 5 ) - ( m + 2) = 5 => n = 2 El menor exponente de y es: m - 4 = 3=>m = 7 F(x; y) = 4 x Y + 7 x ' Y + 2 x Y GA(F) = 17 10 GR{x) _ on . + n) GR{y) = 20 n(m + n) ^^20^-n-^16 8m m Determinar el grado de: (X ^ .2 )n -2 M(x; y) = En el polinomio: F(x; y) = 4x^^" - y- = + 7 x " " " " y - ^ + Se verifica que la diferencia entre los grados relativos a x e y es 5, además que el menor exponente de y es 3, Hallar el grado absoluto del polinomio F(x; y) = 2 4. 2 7 -12 -n x(x) Como “n” es positivo: GR(x) = n + 2 Además: n - 5 > 0 =» n>5; 3. Q (x"y''+ llíx"" Resolución: El grado de (x" ’ - 2 2y El grado de (x"y"' + 1) es 2n El grado de (x" es (n + 1)" El grado de M(x; y) es: {n + - [{n+1)" + 2n] 8. De: P{x; y) = x"’ V " ‘ + x"^ Y - (xy)* Calcular el GA mínimo: Resolución; Como el grado es (+); también para que el grado A sea mínimo debe de tener el grado cero; x = - y - ' = GA[P(x; y)] = 2(3 - 7) = O ^ a = 7 P(x; y) = xy'" + x®y* - 1 GA[P(x; y)j = 13 9. Calcular el valor de "m" con la condición, que et polinomio; II. La suma de sus coefícientes es 25. III. El término cuadrático de P(x) es 12x^ Sea de grado absoluto 28 y que la diferencia de los grados relativos a x e y sea igual a 6. Resolución: De P(x) = (1 + 2x)" + (1 + 3x)" Observar; GA(P) = n Resolución: GR(x) = 2m + n - 2 a GR(x) - GR(y) = 6 GR(y) = m + n + 3; (2m + n - 2 ) - ( m + n + 3) = 6 => m = 11 GA(E) = 3m + 2n + 1 = 28 n = -3 • lcoef.(P) = P(1) = 3" + 4" . T1(P) = P(0) = 1+ 1 = 2 Dato; 2coef,(P)= TI(P) + 23 3" + 4" = 25 De aquí: n = 2; con esto: 10. Sabiendo que en el monomio: GA(P) = n = 2 =. (I)es V Scoef. = 25 (ll)es V Térm. cuadr.(P) = 4x^ + 9x^ = 13x^ => (lll) es F M(x; y) el GR(x) es 32. Hallar el GR(y) Resolución: M(x; y) = r . . . , , nZr, M(x; y) = (x n y ) [3 r -2 ..(2 n M(x; y )= ( y " 'y " '’(y^' 13. ^3n-1 „ 2 n- 1 = x" Resolución: y P(x; y) = 4 x "-'y ' n= 2 Se nota; • GA(t,) = a + b - 1 • GA(tg) = a + b + 1 • GA(t3) = a + b + 1 Se tienen 3 polinomios enteros P, Q y R (definidos en la variable x), sí se sabe que la suma de los grados de Q y R excede en 10 unidades al grado Resolución: Supongamos: GA(P) = a; GA(Q) = b; GA(R) = c Dato; b + c = a + 10 ...(I) Otro: GA(V p ^QR) = 10 2a < b 4- c = 10=»2a + b + c = 40 ...(II) (lll) Nos piden: b - a • (II) - (I): 2a = 30 - a = a = 10 • En (I): b + c = 2 0 = * c = 2 0 - b • En (lll): 30 + 3b - 4(20 - b) = 34 ^ 30 + 3b - 80 + 4b = 34 7b = 84 ^ b = 12 b- a= 2 Sea P un polinomio definido por: p(x) = (1 + 2x)" + (1 + 3x)", tal que ia suma de coeficientes excede en 23 al término independien te. Indicar el valor de verdad de las siguientes pro posiciones: I. El polinomio P(x) es de grado 2. GA(P) = a + b + 1 a + b + 1 = 20 .,.(1) Además; GR(x) = a + 3 = 8 (dato) En(l): 5 + b + 1 = 2 0 ^ b = 1 4 T = ab = (5)(14) = 70 14. a= 5 Sea P un polinomio homogéneo definido por: P(x; y) = ax" + bx'^” ' y* - cx^y“” - dy^''"^ Tal que la suma de sus coeficientes es - 8, enton ces el valor de M = a + b + c + d, es: Resolución: Del polinomio homogéneo: P(x; y) = ax" + bx"’ \® - cx*y‘’ - dy^*"'^ ,t GA(t,) = GA(t,) = GA(Í3) = GA(tJ =» c = c - 1 + a = a + b = 2 c - 3 (1) (2) (3) (4) T Además: GA (PQ)= = 34 R" => 3a + 3b - 4c = 34 a t. de P; también el grado de VP^QR es 10 y el grado (PQ\3 de -— ~ es 34, hallar la diferencia de los grados R“* en Q y P. 12. Si P es un polinomio definido por: ^ 3 x3 ^y-i ^ ex' tal que: GA(P) = 20 y GR(x) = 8, hallar el valor de T = ab. 1)] GR(x) = 3 2 ^ ■ ' = 2''^^ GR(y) = n^" ■’ = 2''^’ ’ ' = 8 11. WF _____ vn^-2 h y I . • ^ (1) = (4): c = 2c - 3 ^ c = 3 (1) = (3): a + b = 3 Además: Icoef.(P) = P(1; 1) = a + b - c - d = -8 Aquí: 3 - (c + d) = -8 =» c + d = 11 M = 3 + 11 = 14 15. Acondíción; a+b b+c absoluto de: P(x; y; z) = a+c , hallar el grado 18. La siguiente expresión en variable x; Resolución: • Se pide: E = 7a^ + 6ac + 2bc (a + b)^ + -(I) De la condición: = -r = a+b b+c a+c Aplicando propiedad de serie de razones iguales, tenemos; a b____e c _ a + b + c _1 a + b b + c a + c 2(a + b + c) 2 Ahora, igualando cada término a: 1 se tendrá; a = b = c = k (constante) Finalmente reemplazando en (I) tenemos: 7k' + 6k^+2k^ (2k)" + k (a + + (b - a)x Puede reducirse a monomio; según esto, propor cionar su valor reducido. Resolución: Escribiendo así la expresión: 6 (a + b^)x® Como se puede reducir a monomio; los términos de la expresión tienen que ser semejantes, es decir: ^ a -b E=3 ^ a+b 3xy 19. Encontrar el valor de “n" para el cual, la expresión; + 3. [(x-2j3x2n 3J2^4 M(x) = Si es homogéneo y de grado 20 respecto de "a”. Resolución: Sea de segundo grado. Sea el polinomio de “n" términos: Resolución: ,2 x y 'bê'' = 1 = a - b = 6Aa + b = 4 Resolviendo: a = 5 a b = -1 . se pide; M(x) = (a + b^ - ab + b - a)x M(x) = 5x 16. Hallar los términos que tiene el polinomio P(a; b; c) = a - abx^-*^ + (b - a)x +3 Efectuando en cada corchete: + ... +l ^ 3 n -5 „2 n - 3j2 ^4 M(x) = con el grado de “a”; nxy = 20 => nxy = 60 •..(I) ^10 rt-1 S -.l (x‘" - “ r = x" X- Por condición: 6n - 22 = 2 Por concepto de polinomio homogéneo en los dos primeros términos: xy - X - y 2xy - x - 1 - y - 1 3 “ 3 Efectuando resulta: xy = 2 ,„(ll) Al reemplazar (II) en (i): n = 30 n=4 20. Sabiendo que el grado de la expresión; ¡1 ^ Es -5, Calcular el valor de "n". Resolución: Llamemos P a la expresión, la cual escribiremos Grado relativo a x = GR,(P) Grado absoluto de P(x) = GA[P(x)] = [P]° Grado absoluto = grado x' -w' E! grado de la expresión P está dado por: GA(P) = I 17. Calcular m + n, si el polinomio; P(x; y) = 3 x 2 ' " * " - 5^2« - n - 3ym-n +1 (2n + 1) + 2n (2n - 3) + ^ _ . n- 2ym. n Es de grado 10 y la diferencia entre los grados re lativos a X e y es 4, Resolución: Observar que: [P]° = 3m + 2n - 2 = 10. es decir: 3m + 2n = 12 ...(I) También: GR(x) = 2m + n -2 ^ GR(y) = m + n + 2, por dato: GR(x) - GR(y) - 4, es decir: (2m + n -2) - ( m + n + 2) = 4 = . m = 8. En (I); n = - 6 .-. m + n = 2 GA(P)= | ( 4 - n ) = 5 - § Por condición se debe cumplir: 5 n =48 = -5 21. Si P es un polinomio sobre E definido por: P(x;y) = x^""^-' ^ + x"'-"y5-" ' 5 -m hallar el valor de: T = 3m - 4n. Resolución; Si P es un polinomio, entonces los exponentes de las variables deben ser números enteros no nega tivos (vea el cneficiente; m 4- 5). Luego: 2n + m - 1 5 > 0 A m -n>0 Luego; P(x) = (5x - 1)'^(2x + 5)’®+ [(3x -I- 1)(x + 5)]’®+ (x^+ 18)(x - 2) Donde; Grado (P) = 35 + 18 = 53 5-n>0A6-m >0 A Donde; m; n e 2Z =^2n + m > 1 5 A m > n A n < 5 A m < 6 (1 ) (2 ) • De (4): m = (3 ) (4) 24. 5; 4; ... (b - c)x’ ^y" Es un polinomio idénticamente nulo, calcular el grado de la expresión: • De (3): n = ® ; 4; 3; ... De aquí, los únicos valores de “m" y “n" que verifi can (1) y (2) son: m = 6 y n = 5 T = 3(6) - 4(5) = - 2 Q(x; y) = Resoluclón: Por ser polinomio; a e E” a [b; c] c IN y como es idénticamente nulo se cumplirá lo siguiente: abe + 16 = O -..(I) be + a = O ...(II) b- c= O ...(lll) 22. Indicar el valor de verdad de las siguientes propo siciones; I. GA(P + Q) < GA(P) + GA(Q) II. GA(P - Q) < GA(P) + GA(Q) III. GA(P)" = GA(P); n e IN IV. GA(PQ) = GA(P) + GA(Q) De (II): be = -a ; en (I): a^ = 16 => a = ±4 Como: a G 2 => a = - 4 O sea: be = 4; de ()))): b = c =» b^ = 4 Como: beIN => b = 2 = c Finalmente la expresión dada será: Si M y N son los números de las proposiciones ver daderas y fafsas respect/vamente hallar la relación entre M y N. Resolución; I. GA(P + Q) < GA(P) + GA(Q); esta proposición se verifica siempre que el GA(P), el GA(Q) y el GA(P + Q) estén perfectamente definidos (la proposición no lo dice). Por ejemplo: si P(x) = + x - 1a Q(x) = -x^ - X + 1; P(x) + Q(x) = O El grado de O no está definido, por tanto, no ve rificaría la desigualdad =» (I) es F II. Es similar a la proposición (I) => (II) es F III. GA(P") = GA(P) X n; n G IN ^ (lll) es F IV. El grado de un producto es igual a la suma de los grados de cada uno de los factores =» (IV) es V = M= 1 a N= 3 N>IVI 23. Si P es un polinomio definido por: P(x) = (5x - 1)^"-'(2x + 5)" + [(3 x + 1)(x + 5)]" + (x^ + n)(x - 2) Tal que tienen como término independiente -36, hallar eí grado del polinomio P. Resolución: P(x) = (5x - 1f " ■\2 x + 5)" + ((3x + 1)(x + 5)1" + (x^ + n)(x - 2) Aquí: TI(P) = P(0) = (-1)^" ’(5)" + [(1)(5)]" + (n)(-2) -5 " + 5" - 2n = -3 6 =» n = 18 Si: P(x; y) = (abe + 16)x'^y‘’ - (be -h a)x''y" + Q(x; y) 25. ■■■ [Qr = 1 Dados dos polinomios P y Q (definido en la variable x), indicar el valor de verdad de las siguientes pro posiciones: I. Si GA(P) = 5 A GA(Q) = 5, entonces GA(P + Q) = 5 II. Si GA(P - Q) = 5, entonces GA(Q)<5 III. Si GA(P) >1 A GA(P'Q')= 13, entonces GA(PQ) = 6 Resolución: I. Supongamos así; P(x) = X* + x" + 1 => GA(Q) = 5 P(x) = x=+ 2 ^ GA(Q) = 5 Luego: P(x) + Q(x) = x'' + 3 => GA{P + Q) = 4 Con esto: (I) es F II. Sea: P(x) = x® + x" + 1 a Q ( x ) = x ® + x - 2; vemos que; P(x) - Q(x) = x* - x -i- 3 Donde: GA(P-Q)=5; pero GA(Q)=6>5 = (ll)esF III. Sea; GA(P) = m > 1; GA(Q) = n como.- GA(P'Q') = 13 =^ 3m + 2n = 13; m > 1 1 l 3 2 =^ única posibilidad Luego: GA(PQ) = m + n = 5 = (lll)e s F ,. FFF P R O BL E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 (UNI 1 97 8) Eí siguiente monomio es de grado 2. El valor de “n” es: Aplicando Cardano, suma de raíces: -• ( - 4 ) - 3/2) 8 3 Clave: B A) 1/2 D)2 B)3/2 E)1 PROBLEMA 4 (UNI 2 0 0 7 • II) 0 2/3 Resolución: Por ser de grado 2: — + — = 2 =» 1 + - = 2 n ri(n ) n Resolviendo: n = 1 Clave: E Si eí grado del siguiente morômio: A) 2 D) 12 A) 28 D) 70 ^Vx"" V2x^ es 8 B)6 E)16 P (X ) = C)9 Resolución: Por teoría de grados; GA = 6+ D Resolviendo; 180 + 24 + 3m = 3 0 x 8 3m = 240 - 204 =» m = 12 + B) 42 E) 84 O 56 Resolución: Recordemos que si x,; Xj; X3; X4 son las raíces de un polinomio Mónico P, entonces: PROBLEMA 2 (UNI 1 9 8 2 - 1) 3x' El valor de “m" es; Determine el polinomio mónico de menor grado de coeficientes enteros que tenga como raíces a los nú meros reales /2 - 3 y -/3 - 2. Dar como respuesta la suma de sus coeficientes. 13 + oU =8 (X - X ,)(X - X ^)(X - X j)(X - X4 ) También, si una raiz del polinomio es de la forma a + /b , entonces, otra raíz debe ser a - -/bcuando los coeficientes son racionales. En el problema, tenemos de dato las raíces; X( = —3 + /2 =* X2 = ~3 — Xj = —2 + /3 =5 X4 = —2 — Í3 Luego, el polinomio Mónico de menor grado es; P (X ) = m = 12 (X - X ,)(X - X j)(X - X3)(X - X 4) P(X) = [X^ - (X, + X2 >X + X,X 2 ](X^ - (X3 Clave: D PROBLEMA 3 (D M 2 0 0 4 - II) X4 )X + X3 X4 ] P(x) = [x^ - ( - 6)x + 7][x^ - (-4 )x + 1] P(x) = (x^ + 6y^+ 7)(x^ + 4x + 1) Id e coef.(P) = P(1) = (14)(6) = 84 Dados los siguientes polinomios: P(x) de grado 2 y tér mino independiente uno; y Q(x) = (x - 1)P(x) + 3x + 1. Si Q(2) = 7 yP(1) = 2. Halle la suma de raíces de Q(x). PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 5 - 1) A) O D)4 Halle el menor grado del polinomio; x" + ax + b, a (n > 1), para que x^ - 1 sea un divisor B )-8/3 0 10 /3 E)5 A) 2 D)5 Resolución: Del problema se sabe: P(x) = ax^ + bx + 1 Q(x) = (x - 1)P(x) + 3x + 1 (1) en (II); Q{x) = (x - 1)(ax^ + bx + 1) + 3x + Q(x) = ax^ + (b - a)x^ + (4 - b)x P(1) = 2; 2 = a + b + 1 ^ a + b = 1 Q(2) = 7; 7 = 8a + 4b - 4a + 8 - 2b 7 = 4a + 2b+ 8 =. 2a + b = -1/2 De (lll) y (IV): a - - | ; b- | Luego: Q(x) = - | x ' - 4x' + | x = O Clave: E ..,(1) ,..{ll) 1 ...(lll) ...(IV) B)3 E)6 O, 0 4 Resolución: Si P(x) = x” + ax + b, es divisible (x^ - 1) = P(x) = ( x ^ - 1)q(x) P(1) = 0 = > 1 + a + b = 0 ...(I) P (-1 ) = O « (-1 )" - a + b = O .,,(11) Restando (I) y (II): 1 - (-1 )" + 2a = O 2a = ( - 1 ) " - 1 Se tiene: a ? í 0 = » ( - 1) " - l 5¿0 Entonces "n" es impar Grado mínimo de n: 3 Clave: B PROBLEMAS □ 1. 9. Si: P(x; y; z) = 5xVz® calcular: GR(z) + GA(P) GR(x) + GR{y) A) 23/7 D)9/5 B) 15/7 E) 13/11 C) 7/2 A) 6/11 D)7/10 3. GR(x) + GR(z) GR(y) + GA(Q) B) 2/5 E14/5 B)4 E)9 A) 20 D) 32 a y) = BxV® GR/P) + GR,(Q) = 9 Q (x ; a 8) 18 E) 24 A) b/c D)1 C)36 B) a E)c C) b C)3/5 Sea: P(x; y; z) = 5x®y^z° a Q(x; y; z) = 3x®yV Además: GA(P) = GA(Q) a GR,(P) + GR^ÍQ) = 11 Calcular b. A) 7 D) 10 Sea: P(x; y) = A x V Si: P{x; / ) = Q(x^ y) Hallar: 3a + 2b 10. Sea: P(x: y) = Ax^y"; Q(x; y) = B x V Si: P(x'; y) = Q{x; f ) Hallar: GRx(Q) / GR/P) 2. Si: Q(x: y; z) = | x ' \ V ° calcuiar: ■■ PROPUESTOS C) 11 11. ¿Qué tipo de polinomio es: M(x: y; z) = (2x - y + z f + (y - z f + 6x(y - z)(2x - y + z) - 8x^? A) Monomio C) Trinomio E) Nulo B) Binomio 0) Polinomio de 3° 12. Si la expresión; P(x) = ""'•/x" + " / x ^ ; 4. 5. Si: P(x; y) = x V ; Q{x; y) = x V a R(x: y) = x y Sesabeque:GA(P)=13:GA(Q) = 11 a GA(R)=14 Hallar GR,(Q) + GR,{P) Calcular A) 10 D) 16 A) 2 D)8 C) 14 Sea el siguiente monomio: M(x; y) = 7 x V Sabiendo que: GR(x) = 2 a GA{M) = 5 Calcular a^ + A) 11 D) 14 6. B) 12 E) 18 B) 12 E) 15 C) 13 P(x; y ; z ) - - ^ x ^ - y - V '; abciô Además: GR(x) = c a GR(z) = 8 Hallar el grado absoluto del monomio. 7. C) 5 8 )4 E)7 C) 9 Se sabe que: J(a: b) = 3a"-^b^-™ + 4 a "'"'b "-^ es un monomio. Indicar el grado absoluto. A) 3 0 )5 B)6 E)4 m, n e IN - {1} 8 )4 E) 10 C)6 13. Hallar el grado absoluto del siguiente polinomio: P(x)=(x + 3)" + (1 -X)* A) 5 0)6 A) 54 D) 58 B)4 E) 2 C)3 C)7 8)55 E) 60 C) 56 15. Sea: P(x; y) = x^ V“ ^ V ’® Si: GR,(P) = GR/P) - 3; hallar “a". A) 2 0 )5 Sea: P{x; y) = /3x"\®^"^ Además: GR(x) + GA(P) = 2GR(y); GA(P) = 10 Calcular: + b^ A) 5 D)8 8. B) 6 E)10 m^ + n^ 14. Sea: P(x) = (x + 1)(x" + 2){x’ + 3)... (x’° + 10) Calcular GA{P), Dado el siguiente monomio: A) 7 0 )8 se reduce a un polinomio de un solo término. 8 )3 E)1 C )4 16. Sea: P(x; y) = x * * y + x ^ - y ’ ^+x^"" V + x " ' V Además GR,(P) = 7. Hallar el GA(P). A) 6 0 )7 B )5 E) 8 C)4 17. Sea: P{x; y) = x" ‘ ^y®' " + x" ^^y" ' ‘ Si cada término tiene el mismo grado absoluto, hallar “n". A) 2 B)G C)4 D)8 E) 10 18. En cuánto excede el grado absoluto máximo al gra do mínimo que puede tomar el polinomio: P(x; y) = (x^-2)2 + - 7 y 8 -V “ B)5 E)4 A) 9 D)7 19. Sea: C)2 A) 81 D)225 P(x) = (x-h 1)(x^ + 2)(x’ + 3), y sabiendo n paréntesis que el término independiente es 5040. Hallar el grado del polinomio. 8)28 E)256 A) 128 D)32 26. Siendo; P(x) = (X - 2)[p(x + 2) + ql + rx - 4x" - 15x + 34 idénticamente nulo. Calcular: S = p^ + q^ + r^ A) 25B) 37 término independiente es {512)‘ A) 243 D) 657 22. B) 435 E)531 n paréntesis B )2 A) 16 D)5 30. A)1 D)4 C) 49 A) D) 37 13 B) 24 E) 12 B)4 E) /5 C) 25 B)27 E)23 C) 45 31. Dado el polinomio: P{x) = x^ - 3x + 15 Hallar el valor numérico del polinomio, cuando: A) 10 D)5 C) 3 24. Si el polinomio: P{x; y) = (m + n)x^y^ + 3 x V - llx 'y ^ + (n - m )xV es nulo, determinar mn. A) 28 D) 14 E )1/4 X = "/5 + -Z24 + V5 - 2/6 (x')" B)2 E)5 D )1/2 Sean; P(x) = x" + n a Q(x) = x"' + m 23. Hallar “n”, si F(x) es de grado 128. F(x) = 0 3 Si; GA[P(Q)] = 6 A TI[Q(P)] = 11; hallar; m^ + n i Si el término independiente es 3840, hallar el grado del polinomio. B)36 E)64 E) 31 29. Sean; P{x) = x^ + mx -f- n Q(x) = x' + nx -H m ; mn ^ O Sabiendo que: GA(P) n = GA(Q) -h m; el término independiente de P(x)Q(x) es 63. Calcular: Vm + n . C)90 Sea: P(x) = (x + 2)(x^ + 4)(x® + 6)(x' + 8). A) 25 D) 16 A) 1 C ) 1034 21. Sea el siguiente polinomio: P(x) = (x + 3){x* + 9)(x® 4- 27)...; si el término inde pendiente es (243)^, hallar el grado del polinomio. D) 32 GA{PQ) = término independiente Hallar; m^ + n^ m‘ + n' n paréntesis B) 36 E)1296 O 29 28. Sean: P{x) = x™+ x + n Q(x) = x" - X + m; m, n e IN - {1} P(x) = (x + 2)(x® + 4)(x^^ + 8 ) sabiendo que su A) 72 D)4096 C)133 27. Sean: P(x) = x" + x^ + x + 1 - m Q(x) = x"’ - h x + 1 + n ; m , n e I N - { 1 } Si el grado absoluto de P{x)Q(x) es 7 y además el término independiente es 7, calcular: m^ + n^. C)64 20. Hallar el grado del siguiente polinomio: 8)77 E)363 C) 16 25. Hallar el valor de “n" para que la expresión: B) 15 E) -1 0 32. Si P(x) = (a - b)x® + a + (3a + b)x" + (b - 2a)x + 2, calcular ab, donde Scoef.(P(x)] = 12 y TI[P(x)] = 5, A) 4 D)-1 8 )7 E)9 0 3 33. Indicar la mayor suma de coeficientes del polino mio P(x) = (5 - 2n)x"" ■' + (4 + n)x" ’ " - 5 A) 4 D)-2 B)2 E)0 C)3 34. En el polinomio homogéneo: M(x) —x 31 reducida, sea de quinto grado. P(x: y; z) = 4mx'*-''"’ '- ' -ihallar el menor valor de a + b. A) 2 D)7 8)3 E) 10 A) 9 D) - 5 0 5 C)25 B)-1 E)4 + 5z*'’* ’*';m C) 3 O, 35. Si el polinomio P(x) es idénticamente nulo, siendo: P(x) = (a + b -4abc}x' + (a+ c - 3abc)x + b + c - 7abc, /I ^ + ~ 1 ; abc 9^0 B) 1/7 E) 1/3 0 4 calcular el valor de A) 7 D) 1/4 1 1 v’ 43. Sea el siguiente trinomio: P(x; y) = {a - 3)x® ^ y" ' + x^'^y" ^ + (b - 3)x'' "y'*' Hallar: GR,(P) + GR,(P) + GA(P). A) 20 D) 19 36. Si el polinomio mónico P(x) representa ei volumen de la caja: B)15 E)21 0 30 44. Dado el polinomio ordenado y completo: P(x) = ax'’ ^ + cx"^ + a + d, tal que el término independiente es 9, hallar a + b + c + d. A) 15 D)17 B)42 E)12 0 20 45. En el polinomio; P(x; y) = 2 x " * y ”^z®’ " + Donde: GA(P) = 16; GR,(P) - GR,{P) = 5 Calcular el valor de; 2m + n -i- 1 Hallar: P(0) + P(1) + P(2) A) 21 D)84 A) 5 D)20 + P(7) B)80 E) 49 que pueda tomar '‘a" para que P(1 ) = O B) 1; - 1 E)0;1 C) -1; 1/2 P(x; y) = 4x"’ V ’ ^ + 5x'"‘ \ ' ’ '' + 7 x V ^ e s 8 y el grado relativo de x supera en una unidad al grado relativo de y. A) 15 D)18 P(x: y; z) = 2 x"''-'y"'' "z® + 4x®yV + 6 xV z"' se reduce a un solo término, calcular el mínimo va lor de m + n + p. B)12 E)0 0 9 N(x; y; z ) - -|(x y 2 )V A) 22 D)12 B)20 E)16 018 si: P(x; y) = - /7 (x^" ‘ y " ^)^ A) 4 D)6 P(x) = 4 { x ') V ) '( x ') ' ■■■ B) 420 E)410 0 16 48. El siguiente monomio es de grado 66. Calcular “a”, 39. Indique el grado del monomio: A) 320 D)440 8)14 E)13 47. Hallar el grado del siguiente monomio: 38. Si el polinomio: A) 7 D)6 O 15 46. Hallar: E = m + n + mn, si el GA del polinomio 0 75 37. Si P(ax + a) = 4x(x - 1), hallar los posibles valores A )1; 1/2 D) 1/2:-1/2 B) 10 E)25 C) 350 B)10 E)12 0 5 49. Del monomio: M(x; y) = § a^x^" ' V hallar el grado. 40. Sea el polinomio cuadrático: P(x) = (n i- 2)x''‘ ^ + nx + {3 - n), determíne el grado de [P(x)]^ aumentado con el valor de "n". A) 4 B}5 0 6 D)7 E) O B)6n E) Ninguno C)3n 50. Dado el polinomio: P(x) = (3n - 5)^(V x^), calcular su coeficiente, si dicho polinomio es de tercer grado. 41. Sea: P(x) = x’“ - lOOx®® + 199, Calcular P[P(1)] - 198 A) 4 R)P D) 1 E) -2 A) 10 D)6 C)0 42. Del polinomio: P(x: y) = 4x"’ V""^ + 9x"*’y^ ", A) 625 D)169 B)361 E)49 51. Si el polinomio M(x) = 0 961 es de se ^ Hallar la suma de los grados relativos de x e y. gundo grado, calcular su coeficiente. A) 5 B)7 0)11 E)12 A) 10 D)12 C)6 B)5 E)13 0 25 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. A E B A C A D i 1 1 i i i i 8. 9. ÍO. 11. 12. 13. 14. B E D E B B B 1 í 1 1 i i i 15. B 16. E 17. C 18. A 19. B 20. E 21. B i 1 1 [ 1 22. 23. 24. 25. 26. i 27. 1 28. k B A E ^ C B 29. 30. 31. 22. 33. 34. 35. B D C C B B = D 37. A 38. D 3 9 .0 40. E 4 1 .0 42. D 43. 44; 45. 46. 47. 48. 49. B A C A B C D f ^ A i 5 1 -E 1 1 . ' Polinomios especiales Évariste Galois nació el 25 de octu bre de 1811 y murió el 31 de mayo de 1832, Fue un matemático fran cés. Mientras aún era un adoles cente. fue capaz de determ inar la condición necesaria y sufi ciente para que un polinom io sea resuelto por radicales. Dio solución a un problem a abierto m ediante e! nuevo concepto de grupo de perm utaciones. Su tra bajo ofreció las bases fundam en tales para la teoría que lleva su nom bre, una ram a principal del álgebra abstracta. Fue el prim ero en utilizar el térm ino «grupo» en un contexto m atem ático. Siendo todavía estudiante del Louis-le-Grand, Galois logró p u írancia. 1811- Francia. 1832 blicar su prim er trabajo (una de m ostración de un teorem a sobre fracciones continuas periódicas) y poco después dio con la clave para resolver un problem a que había tenido en jaque a los m a tem áticos durante más de un siglo (las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas por radicales). Sin em bargo, sus avances más notables fueron los relacionados con ei desarrollo de u n a teoría nueva cuyas aplicaciones desbordaban con m ucfio los límites de las ecuaciones algebraicas: la teoría de grupos. Las contribuciones m atem áticas de Galois fueron publicadas finalm ente en 1843 cuando Joseph Liouville revisó sus m anuscritos y declaró que aquel joven en verdad había resuelto el problem a de Abe! por otros m edios que suponían una verdadera revolución en la teoría de las m atem áticas em pleadas. FuentG : W ífeip ed ia <4 DEFINICIÓN Son aquellos polinomios que poseen características particulares que los diferencian de otros. Estos son; Dos polinomios son idénticos si y solo si para los mismos valores de las variables, los valores numéricos de dichos polinomios son iguales. Por ejemplo: Sean: P(x) = 4x^ - 2bx + 5 Q(x) = ax^ + 6x + (c - 2) <4 POUNOMIO HOMOGÉNEO Es aquel polinomio cuyos términos tienen el mismo gra do absoluto. A este grado común se le denomina Grado de homogeneidad. Si: P(x) = Q(x) ^ a = 4; b = -3; c = 7 Ejemplo: P(x; y) = Además: a effi: P(a)=Q(a) - 7x"y^z" + 14 14 14 es homogéneo. Grado de homogeneidad = 14 <4 POUNOMIO ORDENADO Con respecto a una variable un polinomio está ordena do si los exponentes de esta variable lo están, (ya sea en forma ascendente o descendente). Ejemplo: F(x, y) = 3x"y^ - x*y" + 6x'y® <4 POLINOMIOS IDÉNTICAMENTE NULOS Un polinomio reducido se dice que es idénticamente nuio si los coeficientes de todos sus términos son igua les a cero. Ejemplo: Ax"“ + Bx + C = O Entonces: A = B = C = O Con respecto a x: 7; 5; 2 ordenado en forma descen dente. Con respecto a y: 2; 5; 6 ordenado ascendente. Si un polinomio es idénticamente nulo para cualquier valor de sus variables su valor numérico es igual a cero. Por ejemplo; Sea: P(x) = (a - 3)x' + (b + 1)x' + (c + 4)x + d Si:P(x) = 0 =» a = 3; b = -1; c = - 4 ; d = 0 <4 POUNOMIO COMPLETO Con respecto a una variable un polinomio es completo, si dicha variable presenta todos los exponentes natura les desde cero hasta el grado del polinomio. Efl Ufl polifionírio de una sota variable. Si es completo el número de términos es igual at grado de dicho poli! nomio más uno. Ejemplos 1. Calcuiar ab en el siguiente polinomio homogéneo; P(x: y; z) - Por^wi|:rfo: Q(x) = 2x - Sx^ - 3x? + x® - 3 Es <>3m(^to con respecto a x. ■ Nún^ro de términos: GA(P) + 1 = : 4 + 1 = 5 Resolución: <4 POUNOMIO COMPLETO Y ORDENADO De (l) y (lll): a - b = 2b = a = 3b Con respecto a una variable, es aquel que presenta las dos características anteriores. De (II) y (NI); (2b)"'’ = (4b)^" ■ a H iH B Ü ii — Si es homogéneo se cumple que: (a + b)"-' = (a - b)""" - (a + b)'" (l) (II) (Mi) Ordenando en forma adecuada; [(2b)']"'’ = (4b)'" => (2b)' = 4b =» 4b' = 4b b = 1 => a = 3 .-. ab = 3 i En un pînomio com^rieto y ordenado de una sota vâUe la dfferencla de exponentes en dos términos conseojtivos siempre es igual a la unidad. 2. Por ^«nplo: P(x) = 4x® - x* + x®+ 4x^ - /2x + 3 Sabiendo que P(x) = ax^ + b y además P[P(x)] = 8x“ + 24x' + c. Calcular; a + b + c Es completo y ordenado con respecto a x en forma de- Resolución: Calculamos: P[P(x)] P[P(x)j = a V + 2a'bx' + ab' + b <4 POUNOMIOS IDÉNTICOS Dos polinomios reducidos con las mismas variables y los mismos grados son idénticos, si sus términos seme jantes poseen los mismos coeficientes. L u e g o : a V + 2 a ’ bx^ + ab^ + b = Sx“* + 24x^ + c D onde; 2a^b - 24 = 8 a = 2 = b - 3 ab^ + b = c = í 0 = 21 Se pide: a + b + c = 2 + 3 + 21 a + b + c = 26 3. Transformando L se tendrá: L = (a^ + b^ - 2ab)^c^ -t- (b^ + c^ - 2bc)â^ -h (c^ + En la identidad; ax^ + bx^ + cx = 1^ + 2^ + 3^ + 4^ + ... + hallar; a. b, c y dar el valor de: E = a”'’'^ Resolución: ~ Se sabe: L = 25(3)'+ 49(3)'+81(3)' + 2 ' + 3^ + ... n' = ’^( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6. Para la identidad: ax' + bx^ + cx = x(x+ 1)(2x+ 1) Resolución: Como es homogéneo; 7n + 2 = 2m + 5n + 4 = 3m + 5n + 1 =m=3An=4 Icoef. = mn + 2n - m Scoef. = 3(4) + 2(4) - 3 = 17 + ^ b 3 ¿ ^~ o ^ ¿ Reemplazando en la expresión pedida; Si se cumple; E = a '"^ -' = a - - = ( 4 r [''•/a"""]x' + ny"x - "Tñx^ - 2xy" = O calcular el valor de a. E = 81 Si el polinomio: P(x) = (4a + 2)x^"- '° + 4ax^^ ’ + (4a - 2)x^" ’ + .,. es completo y ordenado. Calcular a y el grado del polinomio P sabiendo que sus coeficientes son po sitivos. Resolución: "Va"" - n "'""’ = 0 A n - 2 Si a b y se cumple: a^x' + a^y® = + by Supongamos que el polinomio está completo y ordenado en forma creciente; Luego: 2a - 30 = O => a = 15 calcular: '/ab Resolución: Además: P(x) = (4a + 2)x° + 4ax + (4a - 2)x^ + (4a - 4)x^ -h ... + (4a - 58)x" Como son idénticos; De donde el número de términos es; n.- de términos = último - anterior al primero razón a^ = b^ a" = b“ b' = 4a' 2a V b = -2a 4a b Si; b = 2a == a'* = (2a)''* a'"=[(2a)Y" = a = 4 a ' 1 =4a => a = 1/4 A b = 1/2 También; n.° de términos = GA(P) + 1 GA(P) -- 30 Resolución'. Como P(x) = O, se cumple; • a^ + 3ab +b^ = O => a^+ = -3ab b^ + 5bc + = O => b^+ c^ = -5bc • +Tea + = O =» = -7ca •abe - 3 = 0= abe = 3 b = a' b = a" A n.° de términos ^ (4a - 58) - (4a + 4) ^ Si el polinomio: P(x) = (a^ + 3ab + b^)x^ + (b^ + 5bc + c^)x^ + (c^ + 7ca + a^)x + abe - 3 es idénticamente nulo. Calcular: L = (a - b)"c^ + (b - c)*a^ + (c - a)‘‘ b^ = 0=»n = 2 a = ‘/2 = 2" = *Í2’ Resolución: 5. Calcular la suma de los coeficientes del siguiente polinomio homogéneo: ,,4n,y,3n- 2 _j_ 2nx^^y*^ * * - mx''"y^" " ’ P(x; y) = mnx"" ax^ + bx^ + cx = ax' + bx^ + cx = 4-x^ + 4-x^ + -ix 4. L=1395 Efectuando en el segundo miembro; Luego; - 2ac)^b^ Reemplazando: L = (-5ab)^c^ + (-Tbc)â^ + (-9ca)^b^ L = 25(abc)^ + 49(abc)’ -h 81(abc)^ =i 9. Calcular abcd si; P(x) = 2x‘’ " - 3x®* ^ + x* - 4x“’ ’ ^ es completo y ordenado descendentemente. Resolución: Como es completo y ordenado: b- 1= O b= 1 a+c= 1 c- O a+b=2 a= 1 d= 3 d+ c= 3 abcd = O 10. Siendo el polinomio: Q(x; y) = homogéneo. Calcular: a + b + c ^ 3^ + 3 + 2 —2d + 62 ^ 3 a(a^ - 1) = 4(4^ - 1) => a = 4 (b c f ’ " + 6 = 4^+ 4 + 2 donde: [a; b: c] e 1C (be)” -" = ( 4 x 1 ) * - ' Resolución: =»b = 4 A c = 1 a + b + c = 4 + 4 + 1= 9 2a + 62 = (be)" ■" + 6 = a^ + a + 2 RE S UE LT OS PROBLEMAS B 1. m+ n+ p= 3 -2 n - 3p = - 6 3p - n = 15 2n + m - 2p = -1 2 Si: P ( x ; y ; z ) = 2 ( x y ) * * V + 9x"‘’ ‘ ^ - 5 ( x z ^ ) y - ' es homogéneo, calcular: % + Resoiución; P(x; y; z) = 2x“ ‘ Y ' V + 9x“ " ' - 5x" z V - ’ 2a + b + 4 = ab + 3 = b + 8 =» a = 2 "/b + a^ - 2. a Hallar: K = (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) en función de n. Determinar: (a + b + c) sabiendo que el polinomio P(x) es idénticamente nulo. P(x) = 3x^ + ax - 5 + bx' - 11x + c Resolución: Como poseen el mismo valor numérico para x en tonces los polinomios son idénticos: a + b + c = n; + c' = n' a abe = 2n^ (n c) Resolución: P(x) = (3 + b)x' + (a - 11)x + c - 5 = O -2 a ) + 4n(ab + ac+ Sabe ...(i) como: a + b + e = n + b^ + c^ + 2(ab + be + ac) = n^ 6. n' ab + be + ac = 0; en (I): K = -17n^ Calcular el valor de mnp, siendo: P(x) o Q(x) donde: P(x) = m(x^ + 1) + n(x - 2)(x' - 1) + p ( x - 2 ) ( x ' - x + 1) Q(x) = 3(x^ - 2x^ + 5x - 4) Resolución: P(x) = mx^ + m + nx^ - nx - 2nx^ + 2n + px^ 3px^ + 3xp - 2p P(x) = (m + n + p)x^ + (-2 n - 3p)x^ + (3p - n)x + 2n + m - 2p Q(x) = 3x^ - ex' + 15x - 12 3 be) + b- = 0 =>b = - 3 a - 1 1 = 0 ^ a = 11 c - 5 = 0 =>c = 5 a + b + c = 13 Calcular la suma de coeficientes del siguiente poli nomio homogéneo. P(x: y: z) = a^x*'’ - b'y^* + a b z *'"' Resolución: a'> = b" = a*-'^ =» a‘’ = a* ‘’ ^ a '“ = a* « a = 2b a^ = b" ^ (2b)'^ = b"= 2“b'’ = b' 2 °= b“ b= 2 A a= 4 Zcoef. = a - b' + ab = 4* - 2 ' + 8 = 68 K = n^ - 2n'{n) + 4n(0) - 8(2n') 3. El polinomio dado es homogéneo; P(x; y) = ax"*^ - a b x " - y " ^ + 2by^' hallar la suma de sus coeficientes. Resolución: Como es homogéneo; a + 3 = a + b + 1 = b + 8 ® b = 2; a = 7 La icoef. = a - ab + 2b = 7 - 14 + 4 = - 3 P(x) = (a + b + c)x^ + (a^ + b^ + c^)x + abe S(x) = nx' + n^x + 2n^ 2b) m = 2 p =4 n = -3 mnp = -2 4 4. - 3 K = n^ - 2n' (a + b + B » " b= 5 Si los polinomios siguientes poseen el mismo valor numérico para todo x. K = (n - 2c) (n - “ 3 —60 7. Hallar el grado de homogeneidad deí polinomio. F(x; y) = 8 x '" " Y - 5 x '" " y " '’ Si se sabe que el grado respecto a x es menor en dos unidades que el grado respecto a y. Resolución: Como es homogéneo: m + 2n = m + n + 1 0 = » n =10 GR,(F) = m + n = m + 10 GR^(F) = n + 4 = 14 G R ,(F )-G R ,(F ) = 2 m + 1 0 ~ 1 4 = 2 => m = 6 Así: F(x; y) = 8 x Y " ~ El grado absoluto es 26. 8. P( 2)=-^^— r - ( n + 1) = 1013 2"^’ - (n 4- 2) = 1013 = 2®"’ - (9 + 2) n = 9 .-.1 = 9 Si el polinomio P(x) es completo y ordenado ascen dentemente, calcular el vaior de (2m - 3n + 4p): P(x) = - 4 x " - ' " " ^ + Tx"*® Resolución: Como es completo y ordenado ascendentemente: p - n + 5 = 0l p=+1 n-m + 3=1=> n = +6 m-6=2 m=8 (2m - 3n + 4p) = 2(8) - 3(6) + 4(1) = 2 9. Si el polinomio P(x; z) es completo, homogéneo y ordenado en forma decreciente respecto a x y en forma creciente respecto a z. Calcular (a + b). c w a -i,b + < x-z“ + 3 - 5x® P(x; z) = x * -1" '_rb + 2 +, ^.a,t> - 7x“ Resolución: Decreciente respecto a x: b = -2 b+ 2= O 8-1=1 a= 2 a+ b= 0 12. Calcular: z = Si el polinomio: P(x) = (ab - be - m')x‘‘ -i- (be - ca - 4mn)x' + (ca - ab - 4n^) es idénticamente nulo. Resolución: Como el polinomio es idénticamente nulo, ab - be - m' = 0 be - ea - 4mn = O ca - ab - 4n' = O (+) m' + 4mn + 4n' = O (m + 2n)' = O => m = -2 n (I) ab - be - m' = O ca - ab - m '= O _ ( a -hb)c 2ab = c(a + b) ab 2 2ab 10. El polinomio F(x) toma un valor constante k para todo X , y conociendo que: F(x) = (ax + 2)(bx - 1) - x^ a > O Resolución; -2 2ab _ 2 ab c 13. Se tienen dos polinomios completos y ordenados P(x) y Q(x), si se verifica que la suma de grados relativos de ios términos de P(x) exceden en 24 a la suma de grados relativos de los términos de Q(x) y que el grado del producto de multiplicar ambos es 15; hallar el grado absoluto de la suma de ellos. Calcular: E = b®'' -2 e(a + b) ab - H = k F(1) = ( a - ^ 2 ) ( b - 1 ) - 1 = - / l Resolución: Sea; P(x) = a -h bx + cx' + ... + zx" la suma de grados relativos a x: 2 b ^ -2 -1 = -(¿ Sgrados = 1 + 2 + ... + n ^ 2b' + J - = 2(1)^ + - U b' (1)' b'=1=^b=lAa = 2 E = (1)' = 1 11. Calcular el término independiente del siguiente polinomio racional; P(x) = x"-' + 2 / ' + 3x"-' +... + (n - 2)x^ + (n - 1)x + n Si al evaluarlo en P(2) resulta 1013. Resolución: P(2) = 2" -’ + 2(2"-') + 3(2"-') + ... + (n - 2)(2=) + (n - 1)2 + n = 1013 2P(2) = 2" + 2(2"-') + 3(2"-') + ... + (n - 2)(2") + (n - 1)(2') + 2n = 2026 P(2) = 2" + 2'” ’ + 2"‘ ' + 2 " - \ .. + 2' + 2 - n = 1013 ^ Sea: Q(x) = t -i- fx + kx' + ... + ux"’ la suma de grados relativos a x; „ . , . m(m -I-1) Sgrados = 1 + 2 + ... + m = — — Asi- + 1) ^ 24 =» (n - m)(n -t- m + 1) = 48 ... (I) El grado del producto es; m + n = 15 n - m = 3 = > m = 6 =í . - . n = 9 El grado de la suma de ellos es 9. 14. Encontrar el valor de N siendo P(x; y) = 4x®’^^y'^’ ® Un polinomio homogéneo, además: N*' = a V + 2ab"’ 4- 29. Resolución: Resolución: Efectuando la multiplicación indicada en el polino mio P{x; y) se consigue: P(x; y) = 4(5 ') Por ser polinomios idénticos se cumple: • a " = b'’ ...(I) •c = 9 - 2 c ^ c = 3 -..(II) • b^* = a*” ...(lll) Elevando a ambos miembros de (lll) al exponente b: (b“’)*" = a“’^ ...(IV) Reemplazando (l) en (IV) conseguimos lo siguiente; 3^*8^ =í b^ - 4a^ =í b =2a ...(V) _|_4Sj(.^2b+3y«,-2 Grado de cada término; 2a + 6b -h 1; a + 11b + 1. Por ser polinomio homogéneo se deberá cumplir lo siguiente: 2a + 6b + 1 = a + 11b + 1 => a = 5b ... (1) Por dato; N-= = a'b-' + 2ab-’ +29 ^ N Reemplazando (V) en (l): a® = (2®)"®’ = (4a')® ( | ) ' + 2 (|) +29... (II) Por comparación: a = 4a' =» a = ^ ; Reemplazando (1) en (H) se consigue: N -' = (5)^ + 2(5) + (29) = 64 ^ = ■¡64 = 8 n = 1/8 De(V):b=| 5^=24 18. En cuanto difieren los coeficientes n y k para que 15. Hallar el término independiente del polinomio; P(x) = x' "- ” + 2x^" + 3x'" ' " + 4x'"‘ ""^ + ... + qx^-* Si es completo y ordenado en forma decreciente. con cualquier valor de x se verifica que; 27 + 8x = n(x + 4) + k(2x + 3). Resolución: Resolución: Por ser un polinomio completo y ordenado en for ma decreciente se cumple: (3n - m) - (2n) =1 =^ n - m = 1 ...(I) (3m + b) - (m + n + b) = 1 =» 2m - n = 1 ...(II) Sumando (I) y (II); m = 2, luego reemplazando en (I); n = 3 a - 5 = 0 = » a = 5; ahora el polinomio P(x) será: P(x) = x' + 2x® + 3x® + ... + qx° donde q es su término independiente. Notar que en cada término el coeficiente y el expo nente suman: 8, en consecuencia: q + O = 8 q= 8 De acuerdo al enunciado la relación mostrada corresponde a un par de polinomios idénticos: 27 + 8x = n(x + 4) + k(2x + 3), reacomodando la identidad: 8x + 27 = (n + 2k)x + (4n + 3k), luego se cumple: n + 2k = 8 . Resolviendo se obtiene; n = 6 A k = 1. 4n + 3k = 27J n- k= 5 19. Dado el siguiente polinomio idénticamente nulo: P(x) = b(x' + x) - 2ax' - 3cx + c - a + 1 Calcular el valor de: ac - b Resoiución: 16. Indicar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio: P(x) = n' x'" - " + (n' - 1)x'" - ' + (n' - 2) x'" - ‘ + ... si es completo y ordenado. Reacomodando el polinomio conseguimos: P(x) = (b - 2a)x' + (b - 3c)x + (c - a + 1), como: P(x) = 0. Se debe cumplir lo siguiente: b - 2a = Resolución: Observar que los exponentes de las variables en cada término van aumentando, en consecuencia se puede deducir que P(x) es un polinomio completo y ordenado en forma creciente, es decir, su primer término deberá ser el término independiente: razón por la cual se plantea 2 n - 6 = 0 =» n = 3. Con la finalidad de encontrar al último término, analicemos al polinomio P(x) = 9x° + 8x + 7x' + 6x^ + ... Notar que los coeficientes disminuyen de 1 en 1, luego el último término a fin que el polinomio sea completo deberá ser; 1x®. Finalmente tenemos: Icoef. = 9 + 8 + 7 + . . . + 2 + 1 Scoef. = 45 17. Si los polinomios: P(x; y) = a*x' + cxy + b“® Q(x; y) = (9 - 2c)xy + a"y^ + b V son idénticos, calcular: -% ab 0^ 3 = 1 ...(1) b-3c = 0 ^ c = | ...(II) c- a+ 1= o ...(lll) Reemplazando (I) a (II) en b _ b + 1 = O =» b = 6; de (l) 3 2 .'. ac - b = O 20. A (II): a = 3 a c=2 Proporcionar el valor; n + t + a, si se cumple; 50x^ + 5x' - 8x + 1 = n(ax + 1)"(tx - n)® Resolución: De la identidad: n + a = 3 Haciendo x = Otenemos: 1 = n(-n)® Como a ; n e l N= » a = 2 A n = 1 Por coeficiente principal: 50 = n(a)"(f) 50 = (2)1^ =» t = 5 n+t+a=8 21. Calcular la suma de coeficientes del siguiente poli nomio completo: P(x) = c(x^ + + a(x^ + X') + b(x^ + x“) + abe Resolución: Escribiendo así al polinomio: P(x) = (b + c)x'’ + (a + clx"" + (a + b)x' + abe Se pide: Scoef. P(x) = P(1 ) = 2(a + b + c) + abe {a; b; c} = {1 ; 2; 3} pues P(x), es un polinomio com pleto de 4 términos, por lo tanto, es de 3.° grado. : Notar que: a + b + c = 6 = 1 + 2 + 3Aabc = P(1) = 18 6 = (1)(2)(3) Hallar el valor det coeficiente de x en el polinomio P«(x). Resolución: Po(x) = x' + 213x' - 67x - 2000 P^(x) = P„_.{x - n) • P ,(x )-P ,(x -1 ) = ( X - 1)^ + 213(x - 1)' - 67(x - 1) - 2000 • P,(x) = P,(x - 2) = (x - 3)^ + 213(x - 3)^ - 67(x - 3) - 2000 • P,(x) - P,(x - 3) • P.{x) = P3(x - 4) • P,(x) - P,(x - 5) • P,{x) - P,(x - = (x = = 22. En el polinomio: P (x + 1) = (2 x + 1)" + (x + 2 )" - 1 2 8 (2 x + 3), = - 10)^ + 213(x - 10)' - 67(x - 10) - 2000 (X (X 6)^ + 213(x - 6)^ - 67(x - 6) - 2000 - 15)' + 213(x - 15)' - 67(x - 15) - 2000 (X 6) - 21)^ + 213(x - 21)' - 67(x - 21) - 2000 donde n es impar, la suma de coeficientes y el tér mino independíente suman 1, hallar el valor de n. De aquí: Resolución: Término en x: 3(x)(21)' + 213[-2(x)(21)] - 67(x) Recordar que para un polinomio se cumple: P(1) = S de coeficientes; P(0) = TI Dato: P(1) + P(0) = 1 ... (I) Como; P(x + 1) = (2x + 1)" + ( X + 2)" - 128(2x + 3). Hagamos x = -1 => P(0) = -128 Haciendo x = O tenemos: P(1) = 2" - 383. Reem plazando en (I) tenemos lo siguiente: 2" - 383 - 128 = 1 n= 9 23. Si P es un polinomio completo y ordenado: P(x) = x^" " + 2x" 3x^ + ... + X + 1 Hallar P(x) m Si: P(x) es un polinomio completo y ordenado, entonces, la diferencia de grados relativos de dos términos consecutivos vale 1. Coef. dex = 3(21)' - 213(42) - 67 = -7690 25. Sí P es un polinomio homogéneo definido por: P(x; y) = 2-’(a + b)x"'"" + 3''(a - b)x‘’' * y + 12y'’'^ ’= Hallar e) producto de sus coeficientes. Resolución: Si P es polinomio homogéneo, el grado en cada uno de sus términos es el mismo. = a' + n = + 2n = b' + 12 (I) (II) (lll) • (II) = (lll): n = 6 •(I) = (lll): a '+ 6 = b '+ 12 = a '- b '= 6 Nos piden: ^ -------. Produotode , 1 ,^ ^ 1>,3 coeficientes ¿ ' 3/ = 2(a' - b') = 2(6) = _ 12 26. Si P es un polinomio completo y ordenado en forma En nuestro caso, P(x) está ordenado descendente mente. {3a - b) -2a = 1 = a - b = 1 ...(a) 2a - (3b - c) = 1 =* 2a - 3b + c = 1 ...(|3) (3b - c) - (a + b - c) = 1 2b - a = 1 ...(0) (</) + (0). b - 2; en (a): a = 3, en (P): 6 - 6 + c =1 =>0=1 P(x) = + 2x® + 3x® + x"’ + ... + X + 1 24. Si P^; P,; P¿; ... P„ son polinomios definidos por: Po(x) = x^ + 213x" - 67x - 2000 P„(x) = P,, ,{x - n), para n = 1; 2; 3; ... descendente definido por: P(x) = qx' + + 'VSn + Sx^'""'’-'" + (m + 2)x'*"-= tal que la suma de sus coeficientes es m + n + p, hallar el valor de . Resolución: Por ser completo y ordenado en forma descenden te vemos que: • 2 m -6 = 2 =^m = 4 5m + n - 1 9 = 1 =» n = 0 p + n - 3 = 0 => p = 3 29. Si: P(x; y) es un polinomio completo y ordenado en Además: Scoef. = q + 3 + 2 + 3 Por dato: q + 8 = m + n-^p forma creciente con respecto a cualquiera de las variables, tal que la suma de los grados del primer y último término de P es 100, hallar el grado del término 21, del polinomio. 7 q- -1 3/q - -1 27. Si: P(x; y) es un polinomio homogéneo definido por: P(x;y) = (a + 'y"’ ’ ’ + (a' + 1)x‘= '-V Hallar el número de términos que le faltan para ser completo. Resolución: De acuerdo a lo planteado, suponemos al polino mio P(x: y), así: P(x; y) = A + Bxy + cxV + D xV + ... + M xV De aqui: • GA(t,) = 2(0) = O • G A(t,)-2(1) = 2 . GA(t3) = 2(2) = 4 • GA(t,) = 2(3) = 6 Resolución: Por ser homogéneo, entonces: GA(término 1) = GA{término 2) a' + 2a - 2 = + a+2 De aqui: a = 4 ^ P{x; y) = 5xV= + 1 7 x'V Luego, el polinomio P será homogéneo y completo respecto a x e y, de GA = 22, cuando sea de la forma: P(x; y) = A x '" +Bx^'y GA(t2,) = 2(20) = 40 30. Si P y Q son dos polinomios definidos por: P(x) = ax' + px - r Q(x) = bx' - qx - t + 17x'V 4 términos + Ex'"y' + ... + 5x"y'^ + 10 términos R y S son polinomios equivalentes, hallar el valor P + q ^ r-t de: M = a - b a + b p- q r + 1 7 términos n.° de términos faltantes: 28. Tal que: R(x) = 2P(x) + 3Q(x) S(x) = 3P(x) - 2Q(x) My' 21 Resolución: Si: P y Q son dos polinomios definidos por: P(x; y; z) - (X - y +z)^ - (z - y - x)^ Q(x; y: z) = (x + y - z f - (y - x - zf Hallar: P(x: y; z) + Q(x; y; z) P(x) = ax' + px - r Q(x) = bx' - qx - t Por dato: 2P(x) + 3Q(x) 3P(x) - 2Q(x) o también: 5Q(x) <> P(x) Reemplazando: 5bx' - 5qx - 5t o ax' + px ~ r De aquí: 5b = a; -5q = p; 5t = r Resolución: Como: (k)"' = (-k)^''; 2n es par. Aplicando en P y Q (en los segundos paréntesis): E n lo p e d id o :M = | | + 5 | a + | P(x; y; z) = ( X - y +z)'’ - ( X + y - zf {+ ) Q(x: y; z) = ( X + y - z)“*- ( X - y + zf Sumando: P(x; y, z) + Q(x; y; z) = O .■ .M = 3 ( | ) = 2 P R O B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 (UNI 2 0 0 5 - II) Indique la verdad o falsedad de ios siguientes enun ciados: I. Sea P(x) = ax^ + bx' + cx -t- d, a O, d O Si P tiene tres raíces reales, entonces P(1/x) tendrá las mismas raices. II. Todo polinomio complejo siempre tiene raices complejas y sus respectivas conjugadas. III. Si la suma de las raíces de un polinomio es ra cional, entonces cada una de ellas también es racional. A) FFF D)W F B) FW E)V W C) VFV Resolución: De los enunciados: I, Sea: P(x) = ax^ + bx' + cx + d; a 5^ 0. d O Si P(x) tiene tres raíces reales, entonces P(1/x) tendrá las mismas raices. Analizando: P(x) = ax^ + bx' + cx + d ^ a (x - x ,) (x - X2 ) (x - X3 ) = O ,..(«> Donde: x,; X2; X3 son las raíces de P(x) Se observa del gráfico: Q(x) > P(x), V X G (2a; 3a) --X 3 = 0 X PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 1 - II) Donde: —; —; — son las raices de P(—ì X, X, X, \ x l De (a) y (p): se concluye que tas raíces de P(x) son diferentes a las de PI/'1 X +^ 3^3 son las raíces de p(x) ^ Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales cuya grá fica se muestra a continuación. (F) Todo polinomio compiejo siempre tiene raíces complejas y sus respectivas conjugadas. Sea el polinomio complejo: p(x) = (x - i)(x + 1) • Donde: x, = i; X2= -1 son las raíces de p(x) • Observamos que sus raices no son conju gadas (F) Si la suma de las raíces de un polinomio es ra cional, entonces cada una de ellas también es racional. •Analizando: Sea el polinomio; p(x) = 9x' + 6x - 1 Donde: X, = Clave; D ...(P) ' X. Observamos que la suma de las raíces es racional pero sus raices son irracionales (F) FFF Indique la sucesión correcta después de verificar la ve racidad o falsedad de ias siguientes proposiciones: I. P(x) tiene grado 3 II. P(x) tiene solo 2 raíces complejas III. Existe c e IR tai que P(x + c) no tiene raíces com plejas. A) V W D) FFV B)W F E) FFF OVFF Resolución: Tenemos: Clave: A PROBLEMA 2 (UNI 2 0 0 9 - II) Sea P(x) = x^ - 3ax^ - a^x + 3a^, donde a > O y Q(x) = -P (x - a). Diga cuál de las siguientes afirma ciones es correcta: A) Q(x) > P(x), V X < O B) Q(x) > P(x), V X e (0; a) C) P(x)> Q(x), v x e (a; 2a) D) Q(x)>P(x), v x e (2 a ; 3a) E) P(x) > Q(x), V X > 3a Del gráfico: Si: X e < - 5o; a> u (b; +=c) => P(x) es creciente Si: X e <a; b) => P(x) es decreciente Entonces: Resolución: P(x) = x^ - 3ax' - a'x + 3a^ a > O yQ(x) = -P(x - a) Factorizando P(x): P(x) = x'(x - 3a) - a'(x - 3a) P(x) = (x - 3a) (x' - a') =» P(x) = ( X - a) ( X + a) ( X - 3a), a > O Calculo de Q(x): Q(x) = -P(x - a) = -(x - 2a)(x)(x - 4a) Graficando las funciones, tenemos; \ / ±-----4 - ^ : ------ L------ ±------ crece a decrece b crece I 1 multiplicidad multiplicidad impar impar De donde P'(x) = K(x - a)'" ’ ’ {x - b)''^ n, m e Con lo cual se deduce que el grado de P(x) es cualquier número impar. I. II. No necesariamente P(x) tiene grado 3 (F) No necesariamente serán 2 raíces complejas, ya que del gráfico P(x) tiene una raíz real y por ser de grado impar las demás raices serán complejas (F) III. El desplazamiento horizontal no altera la cantidad de raices de P(x) (F) Clave; E y = 1 interseca al gráfico cuando x = 2, x = 4,siendo P(2) = P(4) + O, siendo P(2) = P(4) = 0. Calcule elpo linomio P(x) - 1 PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 2 - 1) Si X , = 2 y X 2 = -1 son raices de: x'' - ax^ + b O, halle: a - b A) -1 D) 2 B)0 E)3 A) B) C) D) E) C)1 Resolución: Como: Xj = -1 es raíz de la ecuación. Reemplazamos: (-1)'* - a(-1)' + b = O = 1- a+ b= 0 a -b = 1 x'(x - 2)(x - 4) (X - I f ( x - 3 ) { x - 5 ) ( x + 1 ) '( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x - 1 ) '( x - 2 ) ( x - 4 ) ( x ^ 1 ) '( x - 2 ) ( x - 4 ) Resolución; Clave: C PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 2 - II) El gráfico del polinomio P(x) = x'* + ax^ + bx^ 4 cx + d es tangente en (1 ; 1) a la recta y = 1. Además la recta Definimos el polinomio: H(x) = P(x) - 1 = x" + ax^ + bx' + cx + d - 1 H(1) = 0: H(2) = 0; H(4) = O X = 1 raíz de multiplicidad 2 H(x) = P(x) - 1 = ( X - 1)' ( X - 2) ( X - 4) Clave; D PROBLEMAS n 1. PROPUESTOS P (x;y)-x"'*’ y P(x; y) = ^ Si el po linomio P es de grado 10 respecto a x, además en el polinomio Q el grado de x es igual que y aumen tado en 4; calcular el grado de P. A) 13 D)10 2. B)7 E)12 014 Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio en variables x, y, z: P(x; y; z) = m V ’ y - ' ’p V - y - 'z ^ - ’. A) 76 D) 67 3. O 57 ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo. P(x; y) = x"’ + x"’ ’ V + x'^’ V + Si el grado re lativo a y es 40? a) 19 d )25 4. B) 64 E)77 b)21 e )7 c)23 Encontrar la suma de coeficientes del siguiente po linomio completo y ordenado. P(x) = a, x"'®’ + 32 x"*®^ +... + 3^; siendo: 5. A )^ (n -I) B) |( n + 1) 0 §{n + 1)(n + 2) D) n " - 1 b)26 e)29 c) 27 completo. P(x) = x^"" + 2x'“ nos. Hallara. 7. es una constante monómica. ¿Qué valor asume: a"? A) 1/2 D) 1/4 9. B)4 E)FD Si ios términos: ^^2x/y tes. ¿Cuál es su suma? A )8 5 x y D) 15xy - 3x™' ^ + ... posee 2m térmi B)5 0 2 a "'JSyTx son semejan B)15xy' E) 75xy C) 85x/ 10. Si la expresión: M(x: y) = a V + dx^^’ V ' " + bcx^y^ Puede reducirse a monomio, encontrar su coeficiente. A) -3/2 D) -2 B) -1/2 E) -2/3 C )-1 11. Si la expresión: nx" ’y^ " es: EARE clasifique al equivalente de la expresión: '¿ ^ n ” ''x'’ ’ ‘'y^" A) EAI D) EAR B) EARE C) EARF E) Expresión trascendente (ET) 12. Hallar a, si el equivalente de: A) 10 B)11 012 D)13 13. Dado P(x; y) = x " - y - * + / 3 0 7 E) 11 Siendo: P(x; y) = 2(mnx + y)x - (n + 9)x^ + (5m - 4n)xy. un polinomio idénticamente nulo, calcular el pro ducto de los valores naturales de m y n. E)14 - 3 x "-'Y ' Calcular su minimo grado absoluto. B) 30 E) 33 14. El grado de P(x)Q(x) 3/h W P ( x ) Q^(x) 0 31 es 3n. El grado de: es cero. Calcular el grado de: 'i[H(x)f 6. Si el polinomio ordenado decrecientemente y A) 3 D)9 8. Si: P(x) = 3x" A) 29 D) 32 Si el polinomio es completo y ordenado. P(x) = x,.2 a - b t c^ +, ,X, "a - 3 l ) - 2“c +, ,X, a“ - r 4 b + 8c , , , 2 a - b - 4 c encontrar su número de términos. a) 24 d)28 0 8 M(x) = /3x®V21x‘‘ Vx® V2x es un monomio de grado: 8. ^ _ (n+ 1)n.•; n e W. ^ a. b E) n -h 3 B) 6 E)2 A )4 D)10 Se tienen los polinomios n A) 1 B)2 0 3 D)4 Q(x) E)5 15. Hallar el grado de homogeneidad del siguiente po linomio: P(x; y) = xy''"'"^ - x ' " ' ' + y*"” A) 3 D}9 B) 5 E)11 C)7 16. Hallar el mínimo grado de homogeneidad diferente de la unidad para el polinomio: P(x; y; z) = Bj 14 E)17 A) 13 D) 16 C) 15 17. Proporcionar el equivalente de: sabiendo a- b' que: P(x) <> Q(x). P(x) = m(x + a) + bx + o; Q(x) = ax + mx + n B)a/3 E)1 A) a D)a/6 C)a/2 25. Si se cumple: a(ax + y) -b(bx - y) < > 2(6x + y + 4). Hallar a^ + b^ A) 10 B )-3 E)6 A) - 6 D )-9 0 6 8 )9 E)8 21. La suma de tos siguientes polinomios; P(x) = ax^ + mnpx; Q(x) = (b + c)x^ - abcx, origina un polinomio idénticamente nulo, según esto hallar el equivalente de: a^ + b^+ c^ + 3mnp abe P(x) = (a' + 2a ‘’bc - bc)x® + (b' + 4ab'’c - a c )/ + /5 (c ' + 6abc” ’ - ab)x + (a + b + c - 7), se anula para más de seis valores de x. Calcular: B)4 E)7 A) 5 D)3 A) 2 D )8 A) 2 D)5 0 5 23. 8)147 E) 171 24. Si; a(x + 5)^ -b(x - 5)^ o calcular; a + b A) 9 D) - 3 8) - 9 E)27 0 4 B)3 E)6 04 A )8000 D )7539 B )7999 E )7989 O 7899 31. Si el siguiente polinomio: P(x; y) = (b - c)x° + (c - d)x"'" y"*'^ + (b - d)x'’ ‘ "y"“ ' es tiomogéneo. Calcular el producto de sus coeficientes. — 1^1 a b 0 5 Sabiendo que: P(x) = O, calcular b' - c'. P(x) = (x^ - 1)(x^ - 4)(x^ - 2) + ax® + bx" 4- cx^ + d A ) -147 D) 174 B) 6 E)16 30. Hallar el grado absoluto de: M(x; y ;z ;w ;...) = 5 x y W ’T®’ Considerar 19 letras. yV S xV “. 8 )7 E)3 O -5 29. Calcular n, si el grado absoluto de la expresión: 2 3^,2n+3 M(x; y; z) = es 6. son dos polinomios homogéneos, deducir un valor A) 9 D)1 B) - 3 E)6 28. Sabiendo: P(x) = Q(x), calcular a + b - c. P(x) = a{x - 1)(x + 2) + b(x - 1)(x + 3) + c(x + 2)(x + 3); Q(x) = 6x' + 13x - 7 Q(x: y) = x ^ Y - 2x^'*“'y-^‘' para: E = 0 6 0 5 20. A un polinomio completo y ordenado de una sola variable y de grado 4n se le suprimen todos los tér minos de grado impar, el polinomio resultante tiene 4n - 15 términos. Haliar n. 22. Si; P(x;y)= x* 8) 9 E)12 27. Si e( polinomto; B)7 E)1 A) 3 D)6 E) 50 0 -9 Q(x) = x""' + (m -2n)x. Calcular: Vn' - m^ A) 2 D)7 D)40 Q(x) = 18x® + 7x" + 12. Calcular: 3T + 6A + 4C, a partir de: P(x) = Q(x). 19. Si: P(x) = Q(x), siendo P(x) = x^ - 4x"; A) 9 D )3 0 30 26. Dados; P(x) = T(x" + 2)(x" + 3) + A(x" + 4)(x" + 3) + C(x" + 4)(x‘ + 2) 18. La suma de los polinomios: P(x) = {a + xXb + cx) + ax + 4; Q(x) = (x + b)(x + 2) + x origina un polinomio de grado cero. Calcular: 4cb'. A) 9 D )3 B)20 O -174 3(x + 5)^ + 4(2a + b)x, 0 3 A) 4 D)8 32. 8 )6 E) 10 0 2 Dado el polinomio; P(x; y) = x® + + x“y ' + x V + x V + x V liomogéneo. Calcular el valor de: E = a + b + c + d + e, sabiendo que la suma de todos los exponentes del polinomio es 42. A) 23 D)27 B)25 E)29 0 21 33. Si:P(x;y) = (Vn + 2 - Vn"+ 1)x" + (Vn + 1 - /nix"’'y + - es un polinomio completo y ordenado con respecto a sus dos variables. Calcular et vator numérico de: n/(n + 2)(m - n ), siendo además ta suma de sus coeficientes igual a “n". A) 2 8)12 C )4 D)8 E) 16 °>-T 40. 35. Si f(x) = x'(x B )4 x -1 2 E )4 x -1 5 A)1 D) - 2 C )4 x + 1 5 - 3) + 3(x + 1) Si P(x^ - x') = x’’ + X® + x^ + x^ + 2x' + 2x, hallar P(cos’ ji). 34. Si: F(x + 1) = 4x - 3, hallar; F(x - 2). A )x -1 5 D )x 0 - 4 A )^ - 4, determinar; 41. B )-1 E)0 0 2 SI P |^ + 3j = X, determinar: P(4) + P(5) + P(7) + P(11) + E= f(x: [ f { x - 1 ) f 'V [f ( x + 1)1’ para: x = 2 x 10^ A) 2 B)4 E) A )1 C) B )| 4 42. 32 36. Hallar el grado del producto p(x) - ((x)^)''((x^)^>‘*((x')'‘ )^... n términos A) B) C) D) n (n -1 )(n -2 ) 2 D)4 43. (2n + 1 )(3 n - 1 )(n ^-2 n + 3) E)(n + 1 ) V - 1 ) 37. Sea el potinomio: f(x) = x' + x + 41 y {f(0); f{1 ); f(2); f(3): f(39)} son números primos; encuentre a partir de estos datos otros 40 números enteros que at evaluar en f(x) nos reproduzca números primos. 44. + + 45. Hallar el valor de f [ ^ i- 2 + 4x®"'= + 6x" B )1 + ... + n tiene C)4 Si: F (x - 14/x + 44) = x. hallar F(9x - 42 /x +44) si: /x > 7 A) 9x D) -2 x C) 3 a 'b 'c ' 46. + 3 O 1107 D)3 Determinar: P (-a; -b ; -c). Dado: f(x) = ( x - in x - 1 8 )3 E)6 Calcular 2- íJ —+ 5 sabiendo que el polinomio es '3 completo y ordenado: A) (x -a )(y -b )(z -c ) B)abc E )a 'b 'c ' C) 1 Sea P un polinomio tal que: P(xy) = P(x) + P(y) V x; y e IR st además P(10) = O, calcular P(7) + P(99) + P(1001). P(x) = 2x* (a®) términos. 38. Sabiendo que: x^ + y^ + = (a + b + c)[a' + b' + c' - (ab + ac + be)] + 3abc; además: B )1 ^>5 A)1 D)0 A) {f(-1); f(-2); f(-3); ... ; f(-40)} B ){-1 ; -2 ; -3 ; -4 0 } C) {f(40); f(41); f(42); ...;f(79)} D){1; 2; 3; 40} E ){-4 1 ; -4 2 ; -43; ...; -8 0 } 39. Sabiendo que el polinomio: P(x) = (ab - ac + n')x^ + (be - ab + 6n)x^ + (ac - be + 9) es idéntico al polinomio: F(x) = 3o + a, X + 32 x^ + aa x^ + ,.. + a„x". el cual se anula para cualquier valor asignado a x. hallar A) (n + 1 ) '( n - 2 ) ‘ A) O D )-a b e oc b(a + c) ac n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Pfx' V z) = C )1 B) 2x E)N.A. O -9 x Sea ei polinomio f(x) definido por: xf(x + 1) - f(x') = 3x - 1, determinar el valor de: f(1) + f(2) + f(3) A) 15 D)23 B)7 E)0 0 5 47. Sea P(x) = 2x + 1. Además: P(P( ... (P(x))...)) = a^ 52. Si; f(x + 2) = x + f(x) + f(x + 1): f(y) = 2f(y - 1¡ hallar f(-3 ) + f(4) b"x - 1 9 paréntesis calcular: ab“*. B) 64 E )1024 A) 32 D)256 C) 128 B )3 E)6 0 4 49. Calcular el coeficiente del equivalente de la expre sión: M{x) = 4096) B) 4 E)16 C) 32 calcular el valor deM = a + c + e f A) -1 B) 1 0 2 E E B C A B B 0 9. A 10. A 11. B 12. C 13. C 14. A 15. D 16. D C C D E D D A A C) -e7t B) en E) - 2 54. Si el polinomio de variable x: P(x) = (ab - be - m^)x'' + (be - ac - 2mn)x^ + (ac - ab - n^) se anuía para más de 4 valores; según ello calcular: ^ a e \a - c A)1 D) 1/2 B) -1 E)2 C) -1/2 B )-1 £) ab i 1 i i 1 i i ; 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. B C C C B B C C O a 56. Déla identidad: a(x + 1)^ + b(x - 1 f = 9x^ + 10x + c. calcular: abe. A) 42 D) 224 B) 126 E)36 999 _ 2^-9 O 48 1997, calcular: P(3) B )-1 E )1997 O 1986 58. Si los polinomios: P(x; y; z) = (a - b)^x"' + (b - c ) V + (c ~ A f z’’ Q(x; y; z) = abx"^ + 3bcy" + Sacz'’ _ a -b son idénticos, evaluar: M = c A) 8 D) 14 C) 1/4 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. y f{3) = 1; A) 1/en D) (ere)’ A) 1 D ) 1995 51. Sabiendo que: x®^ ’ x”^ ' x“^ ’ ; a, b, c son los términos 1.°, 7.°, 13.°, y último respectivamente de un polinomio P(x) completo y ordenado, calcular: 1 . 2 V {a + b + c)' ^b - c a - c / 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. O í f(1) f( 4 ) - f( 7 ) 57. Si P x + 1 X - 1 E )-I B)2 E) 1/6 calcular: 3i A) 1 D) - a 50. Sabiendo que se verifica la siguiente identidad: x' - 4x^ + 2x" - 3x + 2 = a(x - l f + b(x - 1)" + c(x - 1)^ + d(x - l f + e(x - 1) -h f, A) 1/2 D)6 E)3 55. Dados: P(ax + b) = a - bx Q(a + bx) = b - ax; obtener: P[Q(a)] "■ ^2 x+ 'V 2 x-'V 2 x-"^ Si se reduce a un monomio de grado 72. A) 8 D)1024 B )-1 D)2 53. Si: f(x) = e’ + n' 48. ¿Cuántos términos faltan en este polinomio: R(x) = (1 + X + x^ + x’ + ... + x"){x""'’ + x") para ser completo, sabiendo que en este otro polinomio P(x - 2) = n^{3x - 8)' + (x - 2)[(x - 2)'" ’ + 12] la suma de coeficientes excede en la unidad a su término independiente? A) 2 D)5 A) O 33. C 34. C 35. A 36. B 37. B 38. C 39. D 40. B B) 11 E) 15 j 1 i i : ! i ! 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. B A D D A A C B 49. E 50. É 51. A 52. C 53. A 54. 0 55. C 56. B b -c a O 13 57. E 58; E a -c Multiplicación algebraica Productos notables O D a o ü A d rie n -M a rie L e g e n d re n a c ió el 18 d e s e p tie m b r e d e 1752 y m u r ió el 10 d e e n e r o d e 1853, fu e u n d e s ta c a d ís im o m a t e m á t ic o fra n c é s. H izo im p o r ta n te s c o n m b u c i o n e s a la e s ta d ís tic a , a ia te o r ía d e n ú m e ro s . al á lg e b ra a b s tr a c ta y al a n á lisis m a te m á tic o . I n te rv in o e n g e o d e s ia y e n la c o m is ió n q u e e s ta b le c ió el m e tr o c o m o u n id a d d e m e d id a in te r n a c io n a l. R e c ib ió s u e d u c a c i ó n e n el C o llè g e M a z a r í a e n P arís, y d e f e n d ió s u te sis e n física y m a te m á tic a s e n 1770. L e g e n d re h iz o u n a im p r e s io n a n te c a n ti d a d d e tr a b a jo s s o b r e f u n c io n e s e líp tic a s, in c lu y e n d o la c la s ific a c ió n d e in te g ra le s e líp tic a s, a u n q u e d e b e a N iels H e n rib A bel la id e a d e e s tu d ia r las in v e rs a s d e la s fu n c io n e s d e Ja c o b i y así r e s o l v e r c o m p l e ta m e n te e l p ro b le m a . T a m b ié n h iz o u n tr a b a jo p io n e r o Çranùa, 1752 - Francia, Í833 s o b re la d is trib u c ió n d e n ú m e r o s p r im o s y s o b r e la a p lic a c ió n d e l a n á lis is m a t e m á t ic o e n la te o r ía d e n ú m ero s. T a m b ié n le d e b e n s u n o m b r e lo s p o lin o m io s d e L e g e n d re . s o lu c io n e s a la e c u a c i ó n d if e re n c ia l d e L e g e n d re , q u e se u tiliz a n c o n fr e c u e n c ia e n a p lic a c io n e s d e física e in g e n ie ría . E n m e c á n ic a , es c o n o c id o p o r la tr a n s f o r m a d a d e L e g e n d re . u tiliz a d a p a r a p a s a r d e ia f o r m u la c ió n ia g r a n g ia n a a la f o r m u la c ió n h a m i lt o n ia n a d e la m e c á n ic a c lá s ic a . T a m b ié n se u s a e n te r m o d i n á m i c a p a ra o b te n e r la e n ta lp ia d e la s e n e rg ía s lib re s d e H e lm h o ltz y d e G ib b s p a r t ie n d o d e la e n e r g ía in te rn a . F u e n te : W ífeipedia <4 MULTIPUCACIÓN ALGEBRAICA Consiste en calcular una expresión denominada pro ducto a partir de dos o mas expresiones denominadas factores. Casos que se presentan Multiplicación de monomios. Para multiplicar mono mios, se multiplica primero los coeficientes según la ley de signos luego las partes literales de acuerdo a las leyes de exponentes. Ejemplo: A{x: y) = 3xV^ B(x; y) = -2 x ' y' z® Â B = (3x\^)(-2x'yV ) = ~ 6x®y^z" Resolución; Por dato: TI = P(0) ^ -72 = ( - a H - lA - n ) ^ =» -3^2^ = -3 "n ^ ^ n = 2 Calculando el grado: GA(P) = 4n + 5n +3n = 12n = 24 Coeficiente principal (P) = 2''n"2^ = 2^2^2^ = 128 X4 PRODUCTOS NOTABLES Son casos especiales que se presentan dentro de la multiplicación algebraica en los cuales se puede obte ner en forma directa el producto sin necesidad de efec tuar la operación. Presentándose los siguientes casos; Multiplicación de un monomio por un polinomio. Se multiplica cada uno de los términos del polinomio con el monomio dado. Binomio al cuadrado (trinom io cuadrado per fecto) Ejemplo: A(x: y) = 2x^ y* B(x; y) = 4xV^ - 5x"y + 2x^® ^ AB = (2x"/)(4xV) - (2xV)(5x"y) + (2x y )( 2xV ) AB = 8x V - 10xV® + 4x^y” • (a + b)^ = a^ + (a - b)^ = a^ - 2ab + 2ab + Deducción de un trinomio cuadrado perfecto: a^ ± 2ab + b^ = (a ± b)^ n 2 a Multiplicación de polinomios. Se completan y orde b nan los polinomios con respecto a una sola letra. Luego se multiplica cada uno de los términos del multiplicando por los del multiplicador. Ejemplo: (a - bf" = (b - af"; donde n € Z Multiplicar A(x) por 8(x). siendo: A(x) := 2x" - x + 4 A B(x) = 3x^ - 5x" - Corolario; Identidades de Legendre: X (a + b f + (a - b f = 2(a^ + b^) (a + b f - (a - b f = 4ab +2 El procedimiento será el siguiente; 3x^ - 5x' - X + 2 ______2x^ - X + 4 6x® - 10x " - 2x^ + 4x^ - 3x''+5x^+ x ^ -2 x 12x^ - 20x^ - 4x + Suma por diferencia (diferencia de cuadrados) • ( a + b )(a - b ) = a^ • (a'" + b"’){a"’ - b"") = { a ^ ' - (b"^f = a"'" - b'"’ 8 6x® - 13x" + 15x^ - 15x' - 6x + tm m m 1. El grado <tei producto ^ ûal a Is suma de los gra dos de cada uno de sus Actores. 2. El término bid^ndiente del producá es á1 resultado de mtjitipiicar ic« términos independien tes de cada uno de sus factores. El coeficiente prin cipal del producto es igual al resillado de multíplicar los coeficientes principales de cada uno de sus factores. Se denomina coeficiente principal de im pcdinomio al coeficiente del término de rrrayor grado. Binomio al cubo • (a + b)^ = a^ + 3a^b + 3ab^ + b^ (forma desarrollada) (a + b f = a^ + b^ + 3 ab (a + b) (forma semidesarrollada) • (a - b f = a^ - 3a^b + 3ab^ (a - b f = a^ - b^ - 3 a b (a - b) Suma o diferencia de cubos (suma por dife rencia) • ( a + b)(a^ - a b + b^) = a^ + • (a - b)(a^ + a b + b^) = a^ - b^ Trinom io al cuadrado (a + b + c f = a^ + b^ -I- c^ + 2 a b -i- 2 a c + 2 b c Ejemplo: Calcular el grado y el coeficiente principal del polinomio: P(x) = (2X“ - 3)"{nx® - 1)''(2x' - x - n f sabiendo que su término independiente es -72. (a + b + c)^ = (forma desarrollada) + c^ + 2(ab + ac + be) (a + b - c f = + c^ + 2 a b - 2 a c - 2 b c (forma semldesarrollada) (a (a - b + cf = b - c)^ = a'+ b' +a^+ b' +- 2ab + 2ab - 2ac - 2bc 2ac + 2bc Aplicaciones; 1, SI: 1 + 2 = T rin o m io a l cubo (a + b + c)^ = evaluar: F = + 3a^ b + 3a^c + 3b'c + 3ac^ + 3bc^ + 6abc + 3{a + b)(a + c)(b + c) {a + b + c)^ = a^ + y^ + x + 3xy ( y - x ) ' + (x + y)^ Resolución: Efectuando en el primer miembro: 2x + y __ 8 xy ~ 2x + y ( f o r m a s e m id e s a r r o lla d a ) P roducto de binom ios con un té rm in o com ún (x + a)(x + b) = + (a +b)x + ab (x +a)(x + b)(x + c) = x^+ (a + b +c)x^ + (ab + ac + bc)x + abe Efectuando en aspa: (2x + y)^ = 8xy ==• 4 x' + 4xy + y' = 8xy 4x^ - 4xy + y^ = O => (2x - y)' = O identidades de Laânge • 2x + y t r in o m io c u a d r a d o p e r fe c t o (a^ + b^)(x^ + y^) = (ax + by)^ + (ay - b x f Extrayendo raíz cuadrada miembro a miembro: 2 x - y = 0 =» y = 2x h b ►^y (a' + b^ + c^)(x' + y^ + z') = (ax + by + cz)' + (ay - bx)^ + (az + cx)^ + (bz - cy)' De donde: P (2x)"- + x^ + 3x(2x) (2 x -x )^ + (x + 2x)^ 4x^ + x^ + 6x' _ 11x^ x^ + 9x' 10x' Identidades de Argand • x " + x ^ "+ 1 = (x'*'+ x'‘ + 1) (x ^ * - x '+ 1) . g4m ^ 2 32. g m| ^ (gjm ^ ^ ■ F ^ ll • {a"" - a"’b" + b^") 2, - ■^(a + b + c)[(a - b)' + {a - c f + (b - c)^] (a + b + c)^ = (a + b + c + d)^ = 4(a + b)(e + d) Resolución: Nótese que seria dificultoso elevar al cuadrado el polinomio de cuatro términos en el primer miem bro; pero si analizamos ta igualdad hay 2 expre siones que se repiten (a + b) y (o + d), es más, también se presentan en ta expresión pedida. En consecuencia cuando se presenten expresiones repetidas dos o más veces en un mismo problema conviene hacer cambio de variable. a^+b^+c^-3abc = (a+b+c)(a' + b^+c^-ab-ac-bc) (a + b + c)^ + 2( Si: encontrar el vator de: L = o tra s identidades auxiliares • 10 ^ + b^ + c^} = 3(a + b + c)(a^ + b' + c') + 6abc + b^ + + 3{a + b + c)(ab + be + ca) - 3abc (a + b)‘ - (a - b)“ = 8ab(a' + b^) Haciendo: a + b = m; c + d = n (a + b)(b + c)(c + a) + abe = (a + b + e)(ab + ac + be) A continuación se mostrarán más igualdades en las cuales intervienen directamente los productos nota bles. Tenemos: (m + n)' = 4mn = m^ + 2mn + n^ = 4mn Luego: m^ - 2mn + n' = O =s (m - n)' = O Igualdades co n dicion ale s Extrayendo raiz cuadrada miembro a miembro: m - n = 0=»m = n S i: a + b + e = O, se demuestra que: a^ + b^ + c' = -2(ab + ac + be) Se pide: L = ^^343" = '/343 3. a^ + b' + c^ = 3abc a'* + b'* + €■* = 2(a^b^ + a'c^ + b^c^) .-.1 = 7 Después de efectuar : P(u) = (u + 2)(u - 2)(u^ + 4)(u“ + 16) se obtiene : a® + b®+ c® = -5abc(ab + ac + be) Resolución; (a^ + b^ + c^)' = 2(a' + b' + c") P o r d ife re n c ia d e c u a d ra d o s s e tie n e que: (ab + ac + be)' = a'b^ + a'c^ + b V P(U) - (U + 2)(U - 2)(U^ + 4)(u' + 16) ,a l+ b _ t£ ,„ a , P(u) - (U^ - 4)(u^ + 4)(u' + 16) ,a '+ b ^ + c‘ P(u) = (u' - 16)(u'+ 16) = u' - 16' - i- b ^ + P {u ) = u“ - 2 5 6 4. Efectuar: F(a) = (a + 1)^ - (a - 1)^ A g r u p a n d o lo s t r in o m io s y lo s t é r m in o s c o n te n id o s e n io s c o r c h e t e s : Resolución: 1.* forma: Efectuando el binomio suma y diferencia al cubo; F(a) = + 3a^ + 3a + 1 - (a^- 3a^ + 3a - 1) L = (a + b)^ [c + (a - b)][c - (a - b)] + diferencia de cuadrados ((a^+ b^) + (ac + be)] [(a^ - b^) - (ac + be)] Reduciendo términos semejantes; F(a) = 6a^ + 2 F(a) = 2(3 a ^+ 1) diferencia de cuadrados 2.* forma; La expresión se podrá escribir como una diferencia de cubos ; F(a)= [ ( a + 1 ) - ( a - 1 ) ] x [{a + 1)' + (a + 1)(a - 1) + (a - 1)'] En el segundo corchete aplicamos la identidad de Legendre y la diferencia de cuadrados; F(a) = [a +1 - a + 1][2(a^ + 1)(a^ - 1)] L = (a + b)^[c^ - (a - b)^] + (a^ + b^)^ - (ac + be)^ (ac + bc)^ - (a^ - b^)^ + (a^ + b^)^ - (ac + be)^ L = (a^+ b Y - (a^- b")" ^ 4a^b^ K - 2ab Legendre L 8. Reduciendo términos semejantes; F(a) = 2(3a2+ 1) 5. E fe c tu a r: A = (x^ + x + 1)(x" + x + 2 ) - ( x ^ - x + 1 )(x ^ -x + 2 )2x(2x + 1)(x + 3) Resolución: Efectuar: y = (a + b + c - d f + (a + b - c + d)^ 2(a - b + c + d f - 4(a + c)(b - d) U t iliz a n d o e l c r it e r io d e p r o d u c t o d e b in o m io s c o n u n t é r m in o c o m ú n ; A = (x^ + x)^ + 3{x^ + x) + 2 - ( x ^ - x ) ^ - 3(x^ - x) - Resolución: Desdoblando: -2 (a - b + c + d)^ = -(a - b + c + d)^ ( a - b + c + d)^ Agrupando en la forma indicada: y = (a + b + c - d f - (a - b + c + d)^ + (a + b - c + d)* - (a - b + c + d)^- 4(a + c){b - d) 2 - 2x(2x^ + 7x + 3) A = (x^ + x)^ - (x^ - x)^ + 6x - 4x^ - 14x^ - 6x A = 4x^(x) + 6x - 4x^ - 1 4 x '- 6x 9. S e ñ a la r la r a í z c u a d r a d a d e : L = 0,5(x + 1)(x + 2)(x - 3)(x - 4) + 0,5(x - 1)(x - 2)(x + 3)(x+ y = (2a + 2c)(2b - 2d) + (2a + 2dX2b - 2c) - 4(a + c)(b - d) Resolución; •1 y = 4(a + d)(b - c) F a c t o r iz a n d o ^ V a g r u p a n d o e n la f o r m a in d ic a d a : Efectuar: F = [(X + 1)(x - 1)(x^ + X + 1)(x^ - X + 1) X (x=* + /x^ + 1)(x" - /x^+ 1){x® - x^ +1) + 1]''® r L = 4 [(x + 1 ){x + 2 )(x -3 )(x -4 ) + L Resolución; F = [(x + 1)(x - 1)(x^ + X + 1)(x^ - x + 1) i (X - i 1)(x - 2){x Argand L = l[{ x ^ - 2x Argand + 4)] + (x^ - 15) - 3)(x^ - 2x - 8) + Utilizando el criterio de producto de binomios con un término común: Argand [(x® - 1)(x’^ + X® + 1) + 1]’'®= [x’®- 1 + 1]' L =l [ ( x ' - 2x)' - diferencia de cubos 11 (x' - 2x) + 24 + (x^ + 2x)^ 11(x' + 2x) + 24] + x ' - 15 F = x^ 7. 3)(x (x^ + 2x - 3 ) (x^ + 2x - 8)] + x^ - 15 F = [(x^ - 1)(x" + X^ + 1)(x® + X^ + 1)(X® - X^ + 1) + I ] ’ '® diferencia de cubos + t__________ í (X^ + 7x^ + 1)(X^ - ■/x^+ 1)(X® -X ^ + 1 )+ lf® F = 4) + (x + 4)(x - 4) + 1 y = 4(a + c)(b - d) + 4(a + d)(b - c) - 4(a + c)(b - d) 6. A = -1 4 x ' L = l [ x " - 4x’ + 4x' - 11x' + 22x + 24 + x" + I n d ic a r la r a iz c u a d r a d a d e l r e s u lt a d o ( a > 0 ; b > 0 ) L = (a + b )^ (a - b + c )(b + c - a) + { a (a + c ) + b ( b + c )J [a (a - 4x^+ 4x^ - 11x^ - 22x + 24 + 2x^ - 30] c ) + b (b - c )) L = x" - 6x" + 9 = (x' - 3)' Resolución: 10. E f e c tu a n d o d e n t r o d e lo s c o r c h e te s : L = (a + b )^ (a - b + c )(b + c - a ) + [a ^ + a c + b ^ + b c ] [ a ^ - a c + b^ - be] /L = x ' - 3 Efectuar: y = (a + b + c)^ + {a + b - c)^ + (b + c - a)^ + {c + a - b)^ Resolución: Agrupando a los trinomios en forma adecuada: y = [(a + b) + c]^ + [(a + b) - c f + Legendre [c + (b - a )f + [c - (b - a}]^ y = 2 [(a + b f + c^] + 2 [c ' + (b - a f l y = 2 [(a + b f + 2c^ + {b - a f ] Pero: (b - a f = (a - b f y - 2[(a + b f + 2c' + (a - b f ] Legendre RE S UE LT OS PROBLEMAS 1. S ix + y + z = 0 , reducir: , x‘ y + f z + z*x + x 'z + z"y + y^x X2 + y2 + z P Del tercer dato: 2(a' + b^ + c^ + ab + be + ca) = 66 17 =» ab + be + ca = 16 También; {a + b + c f = a^ + L = x * ( -x ) + y '( - y ) + z ^ - z ) ^ -(x ^ + y^ + z^: x 2 + y9 + z 7 X2 + y 2 + z ? 2(a^ + b^ + c^) + 6abc 43 Luego, tenemos: abe= 12 Reemplazando en la expresión pedida: (7)(12) L= 16 , _5 x^+y^ + z^ 6 + y"* + Z^) Luego: L = ^ ( x ^ + y^ +z^) ; O 4. Pero: x^ + y^ + z^ = 3xyz ^ L = :^ (3 x y z ) 2. .. L = ^x y z SI X y su inverso multiplicativo suman 3. calcular: . 1. E = [ x " + ( 1 ) '] [ x - + {3Í)-] Resoiución; Por dato: x + = 3 =? |x + Dadas las condiciones: a + b + c = 1; a^ + b^+ c^ = 9 y a'^ + Transformando la expresión pedida: R= a V b V c '* abe Por la identidad: (a + b + c)^ = 3(a + b + c)(a' + b^ + c^) - = 27 = x' + -L + 3(3) = 27 ^ x ' + ^ = 18 x^ x^ Efectuando en la expresión pedida; E = 20 1 Si: a" + b" + c" = 17 ^ a '+ b' + c" = 43 y (a + b f + (b + c f + (c + a f = 66 calcular; IL _ a+ b+ c a 1+, b . 1+ c’ 1 9 2(a^ + b^ + c^) + 6abc s De aqui: abe = ~4 =* ( a + b + c f = a^ + b^ + c" + 2 (a b + be + a c) 1 9 De donde: ab + be + ca = - 4 (ab + be + c a f = aV + b V + c V + 2abe(a + b + c) -4 1 Luego: a^b^ + b V + câ^ = 24 Por último; ( + 3. + c^ = 1 calcular: R = ^ + — + -% ; (abe ^ 0) be ca ab ' ' Resolución; x = + i + 3 x (l)(x + l ) = 27 =» E = 18 + 2 16 Como; (a + b + cf = 3(a + b + c) (a^ + b' + c^) 343 7 ' 17 x^ + y^ + z^ \ / x^ + / +z®\ _ X®+ y® + z® 2 /\ 3 / 5 (Ver igualdades condicionales) = + c^ + 2(ab + be + ca) 17 a+ b+ c= 7 Se sabe que: . . ,5 i B " “" Resolución; La expresión pedida puede escribirse: ^ _ (a + b + c)abc ~ ab + ac + be Resolución; Agrupando en el numerador en forma adecuada y utilizando la condición : x^(y + z) + y^z + X) + z ^x + y) x^ + y^ + z' .5 =. y- 2(2a' + 2b' + 2c'] y = 4(a^ + b^ + c^) b^ + c^ f = a* + b'* + c" 81 + 2(a^b"' + bê^ + c V ' a" + b" + c" = 33 R= 5. Resolución: Si (a - b f + (b - c f + (c - a f = 1. calcular: S = {a - 2b + c)(b - 2c + a) + (b - 2c + aKc - 2a + b)+ (c - 2a + b)(a - 2b + c) Sabemos que; (a"+ b^ + c ^ f ^ a* + b V c^ + 2(a^b^-f câ^+ b V ) 83 19 => + b^ + ^ 11 • (a + b + c)^ = a^ + _b^ + c^- + 2(ab + be ^ + ca)- Resolución; Escribiendo la expresión pedida en función de; (a - b), (b - c) y (c - a); Tenemos; S = I(a - b) - (b - c)I(b - c) - (c - a)] + ((b - c) - (c - a)][(c - a) - (a - b)] + [(c - a) - (a - b)l((a - b) - (b - c)] • Haciendo; (a - b) = m; {b - c) = n; (c - a) = p =9 a ' + b^ + c^ = 3abc + 20 De donde; m + n + p = O S = (m - n)(n - p) + (n - p)(p - m) + (p - m)(m - n) S = mn - n^ ~ mp + np + np - mn - p^ + mp + mp - pn + mn S = mn + pm + np - (m^ + n^ + p^) Del dato: - a+b+e=5 a^ + b^ + c^ - 3abc = (a + b + c)' -3(ab+ be+ ca)(a + b + e) = 20 Reemplazando; ^ _ 3abe + 20 - 11 abe + 3 _ 3(abc -t- 3) (abe + 3 ) .^ = 3 + n^ + p^ = 1 Además; m + n + p = O ( m + n - h p f = + n^ + p^ + 2 ( m n + n p + pm ) cón (as ccA vdîon^ p»,e)w sof^: mámñitíMiacio: ' . O 1 => mn + np + pm = Reemplazando: S = - 6. ^ . p f o t^ i : a = 3: b = í; ^ » 1 - Si: x + y = J7xy, calcular: E = { - + 1 f + (-^ + 1)® y X Como se cbser^ « i to le tein^^ns Resolución; Elevando el dato al cuadrado; 8. x^ + / = 5xy=> - + ^ = 5 ' ' y X (£ + i ) + (y + 1) = 7 Vy ' '■X ' Haciendo: - + 1 = a ; y Resolución: Sea A el valor pedido: - + 1= b X Luego; a + b = 7 También; ab = A= ( í ± ! í + í ^ : b ...(I) Elevando al cuadrado ia expresión (1); a* + b^ + 2ab = 49 => a^ + b" = 35 Elevando al cubo la expresión (I): + b" + 3ab(a + b) = 343 ^ ... (II) 9. = 196...(IJI) X(lll);a® + a^b^ + a^b^ + b® = (35)(196) Agrupando: a® + b® + (ab)^{a + b) = (35) (196) a®+ b® = (35){196) - (ab)^{a + b) a®+ b® = (35)(196) - (7)'(7) E = 6517 7. Si; a“ + b'* + c“ = 83; a^b^ + b^c'^ + A ab + be + ca = 7 calcular; E = a^ + b' + e^ - 11 abe + 3 ^19 +^ a b+ c a+ c a + b, De la condición: a + b + e = 0; se obtiene: a + b = - c ; a + c = -b ; b + c = -a Luego en A; A = (-1 -1 -1 )(-1 -1 -1 )= (-3 )(-3 ) A= 9 = 7 Se pide: E = a® + b® (11) Si: a + b + c = 0; que valor asume: a + b , a + c , b+c _ ^ + _ ^ + _ 2 _ c b a b+c a+c a+b Si: a + b + e = 3; con a # 0 ;b í¿ 1 a c # 2 a^ + ( b - 1 ) ' + ( c - 2 ) ' c a ic u a re lv a b rd e :------ —a (b -1 )(c -2 ) Resolución: De la condición; a + b + c = 3 =» a + b + c = 1 + 2 =» a + (b - 1) + (e - 2) = O Luego se cumple que; a’ + (b - 1)^ + (c - 2 f = 3a(b - 1)(c - 2) Sea P el valor pedido: P = ^ ^ 3 a (b - 1 )(e -2 ) P= a (b -1 )(c -2 ) a (b -1 )(c -2 ) 10. Del dato; a + b + c = 0; luego se cumple que: a^ + b^ + = Sabe (3abc) - (0) Sabe S= (Sabe) + (0) Sabe S= 1 Si se cumple: - 3x + 1 = O calcular el valor de; ^ - x + x X® Resolución: Sea A el valor pedido, es decir: A _ X - X e + X _ 2< 1_2 C j: , e “t" 14. Si; p - q - r = 2 T = p2 + q^ + r". - A = x‘^ - 1 + -!t =»A = x^ + - V - 1 x““ x" De la condición: -3 x + 1 = 0 ; =. x' + 1 = 3x => -O ) = 3 « x + -= 3 X X Elevando al cuadrado; x^ + - ^ = 7 ... (II) X Finalmente reemplazando (II) en (I) se tendrá: A= 6 11. Hallar el equivalente de: (x' + x - 4)' - (X - 2)(x - 1)(x + 2)(x + 3). a pq + pr = qr. hallar el valor de Resolución: Datos; p - q - r = 2 ,..(l) pq + pr - qr = O ,..(ll) Elevando (I) al cuadrado; p' + q^ + r^ - 2pq - 2pr + 2qr = 4 =. p^ + q^ + r^ - 2(pq + pr - qr) = 4 O T = p^ + q^ + r^ = 4 15. Si; X = hal l ar el valor de: ■ •/s -i R ^ (x' + 2 x + 1 )‘‘ + ( x '- 2 x + 1 ) " (x ^ + 2 x + 1 )* -(x ^ ~ 2 x + 1 ) * 4)' - (X - 2)(x - 1)(x + 2)(x + 3) Resolución: Reacomodando la expresión para utilizar ta 1.® R se puede escribir así: equivalencia de Steven; B = (x^ + X 4)^ - (X - 2)(x + 3)(x - p1)(x _ [+( x + i )2) ^ r + [( x - i) ^ r _ ( x + i) U ( x ~ i) ^ B = (x' + X 4)^ - (x" + X 6)(x' + X - 2)[ ( x + 1 ) ' f - [ ( x - 1 ) ' f (x + 1 )« -(x -1 )' Resolución; Sea B el equivalente: B = (x" + X - Hagamos: x^ + x = m =» B = (m - 4)^ - (m - 6) (m - 2) B = m^ - 8m + 16 - m" + 8m - 12 = 16 - 12 .-.8 = 4 12. Del dato; -j = V3 + 1 V3 - 1 Por propiedad de proporciones: ^X + ^ ^ Si: 5a + 5c + ac = O, calcular el valor de 5ac (a + 5)(5 + c)(a + c) Resolución: Sea R el valor pedido; R = 5ac (5 + a)(5 + c)(a + c) Efectuando la multiplicación indicada; 5ac R (25 + 5a + 5c + ac) (a + c) Como: 5a + 5c + ac = 0; R= 5ac _ ac (25)(a + c) 5(a + c) También del dato: ac = -5 (a + c) Nuevamente, propiedad de proporciones; (x + 1 )V (x -1 )^ 9+1 - p - 10 _ 5 (x + 1 )® -(x -1 )® 9 -1 EstoesR 16. Si; X + y + z = 2; x^ + / + = 2. hallar el valor de: E = x"(x - 2) + y"(y - 2) + z"(z - 2) - Sxyz. Resolución; Efectuando; E = x^ + y^ + - 2(x '+ y ' + z^) - Sxyz 2 5(a + 0) 13. Si: a = 2 + /3 ; b = 1 - 2 /3 A c = Vs - 3, hallar el valor de: a(a + 1)(a - 1) + b(b + 1)(b - 1) + c(c + 1)(c - 1) a(bc + 1) + b(ac + 1) + c(ab + 1) Resolución: Sea S el valor pedido: a(a + 1)(a - 1) + b(b+ 1)(b - 1) + c(c + 1)(c - 1) a(bc + 1) + b(ac+ 1) +c(ab+ 1) Efectuando en el numerador y denominador: S = (a^ + b ^ + c ^ )-(a + b + c) (3abc) + (a + b + c) =» E = (x^ + y^ + z® - Sxyz) - 4 Sabemos que; x^ + y^ + z^ - Sxyz = (x + y + z)(x^ + / + z^- xy - xz - yz) ...(a) De los datos; x + y + z = 2 ...(I) x^ + / + z^ =2 ...(II) Hallemos: xy + xz + yz Elevando (I) al cuadrado: x^ + / + z^ + 2(xy + xz + yz) = 4 2 =» xy + XZ + yz = 1 En (a); x "+ /+ z "-3 x y z = (2K2 - 1) = 2 E = 2 - 4 = -2 17. S i ; - + -r + - = -:— i!— a b c a+b+c Resolución; hallar el valor de: Dato: (X + y + z + w)^ + (x + y - z -- w)^ = 4(x + y)(z + w) a + b + c)®- a® - b®- c® a^b^ + b^c^ + a^c^ Por la segunda identidad de Legendre, se tiene: (X + y + z + w)^ - (x + y - z - w)^ = 4 (x + yXz + w) Resolución; De donde, sumando, resulta que: (x + y - z -w /)^ = 0 => x + y - z - v^ = 0 De aquí: x - z = w - y a x - w = z - y X- z ' X - v>/' = (1^+f)^ z -y , w - y ,. De: 1 + 1 + 1 = ^ a b c a+b+c => (be + ac + ab){a + b + c) = abe (a + b + c)(ab + be + ac) - abe = O conocido Conocido: (a + b)( b + c)(c + a) = O Si asumimos: a + b = 0 = » a = - b -b ® + b "c ^ -b "c " P= 2 S= 21. Si: g-+ ^ . ^ + ^.+ ^ + -l = 4 ; a # 1 , b # - 2 : 9 — D I hallar el valor de: _______ 54_______ a^ - b ^ - 3ab(a - b) -b® a“ - 4a^b + 6a^b^ - 4ab^ + b* 27 Resolución; Si se asume que: b + c = 0 obtiene lo mismo (verificar). 18. Si: v p g : c + a = 0, se 1+ b + 2 , a-1 + a-1^b+2 Resolución: ^ 1=4 b + 2 , a-1 = 2 = a - 1 = b + 2 a-1 b+2 Del dato: x^ - 3x + 1 = O x^+ 1 = 3 » x + — = 3 X 1 Al cuadrado: x + -^ + 2= 9 1 ^ ~ = 7 x x" + 1 = 3x => a - b = 3 Tenga en cuenta que: - 3ab(a - b) = {a - b)^ a* - 4a^b + 6a^b^ - 4ab^ + b^ = (a - b)* (a - b)^ T = 54 T - f + I - 2 + 3-5 27 (a-b)^ Al cubo: X® + 4 + 3xV 4 Í íx^ + 4 \ = 7" ^ X®+ ^ =4 a-1+b+2.a-1+b+2 a-1 b+ 2 - 3x + 1 = O, calcular: E = x® + -1 X® « X“ + ^ a ^ L ^ + a + ^ a -1 b+2 + 3(7) = r 22. Si: ''ímñ + = 6 =» ‘-/m^~n^ - calcular: */mñ - = 7" - 3(7) = 7(7^ - 3) = 24 donde; {p; q; m; n} c Ití* Resotución: De los datos: (Vmn)^ - (*^M)^ = 24 E = X« + 4 = 322 X® Por diferencia de cuadrados: 19. Sia A b e ffi - {0>; a + bí¿ OA 1 ~ ^ a a+b a+b b a ;b e E -{ 0 } 1a + 1b = a a + b# 0 a 1 ^ a a+b 3 a+b 1 b = O j _ a^+ bâ 4 3a^b, j _ + 3a^ ab^ + 3a^b + b a + 3a + a T= 1 20. Si: (X+y + 2 + w)^ + (x + y - z - w)^ = 4(x + y){z + w). ha llar el valor de: S = ( — lw- y X- w 2-y “Vmñ - = 4 23. Reducir: (a + b)^ + (a - b)^ - 8a^ + 6a(a - b)(a + b) (a + b)^ = 4ab a+ b =» + b^ = 2ab =» 2ab + =» (a - b)^ = O =» a = b - Vm) = 24 (6)(*Vrññ - “/ m ) = 24 hallar el valor de: T = a^+bâ + 3a^b ab" + 3a^b + b' Resolución: (Vrññ + Resolución; Sea A la expresión dada, la cual se podrá escribir así: A = (a + b)’ + (a - b)^ + 6a(a - b)(a + b) - 8a^ Reacomodando el segundo miembro; A = (a + b)® + (a - b)^ + 3(2a)( a - b)( a + b) - 8a^ A = (a + b)^ + (a - b)^ + 3(a - b )(a + b)[(a + b) + (a - b)] - 8a^ Notar que la expresión de arriba fue obtenida por ser un binomio al cubo. A = 1(3 + b) + (a - b)]^ - 8a^ ^ A = [2 a f - 8a^ =5 A = 8a^ - 0a^ A= o 24. 27. Si; a , b, c e E -{0} Si; X + y + z = O, hallar el valor de: (x + y - 2 z f f (y + z + (x + z xyz 2y)^ z - 2x)^ + (x + z- 2y)^ (a^ - ab + b^)(a + b) + c^ De la condición: x - y + z = 0: se obtiene: X + y = -z: y + z = - X A X + z = - y Reemplazando: -27(x^+y^ + z^ .. (-3z)^ + (-3xl^ + (-3y)^ R R= xyz xyz Como: x + y + z = 0 = = 3xyz p _ -27(3xyz) _ (27)(3) •. R = -81 ^ xyz 25. Si se cumple: ^(ab)"''’" '' = — 4 calcular el valor de: A = [(a + b)^ - (a - b)^] [{a^ + b')^ - (a' - b^)^]... ,..[(a" + b ")'-(a '’ - b T ] Resolución: n factores A = 4"(ab)'*^' " - A = 4"(ab) ^ = 4"J(ab)"<""'* Por dato; /(ab)"'"''’ = — 4" Luego: A 4 "|-^ j A= 1 ^ Reemplazando: E = 3abc 6abc 28. Si se cumple que: x + 4y + 9z = O, simplifique: (x-2 y)^ ^ (2y-3z)^ ^ (3z-x)^ xy yz Resolución: (2 y -3 z )‘ (3z - x)‘ yz xz xy x'-4xy+4y^ 4y^-12yz+9z^ 9z ^-6X2+ x^ N= xy yz xz N = (? ^ N= --4 X z y x + 9z I 4y + 9z ^ x + 4y y X z Como: X + 4y + 9z = O X ^ N = ^ ^ + í— U ( ^ ^ U 2 2 y ' X ' 2 22 N = -3 6 \ z 29. Si: X + y = /TO; (x - z f + (z + y)^ = 6, hallar el valor de: M = xz + xy - yz - z^ Resolución; M = x(z + y) - z(y + z) = (x - z)(z + y) ^ 2z)^ Datos; x + y = -f\0 a (x - z f + [z + y f = 6 (x - z) + (y + z) = /To, al cuadrado: (x - z f + (y + z f + 2(x - z)(y + z) = io ^ .-. M = 2 6 (x" + z)" + (y' + x )" -( x ^ + y)' Resolución: Reduciendo el segundo miembro de M con el auxilio del trinomio al cuadrado se consigue: M = 6x^ + 6y^ + 6z' - 6xy - 6xz - 6yz Reduciendo el segundo miembro de N con el auxilio dei binomio al cuadrado se consigue: N = 2x'‘ + 2y^ + 2z^ - 2xy - 2xz - 2yz Por condición: M = N; luego reduciendo; 4x^ + 4y“^ + 4z^ = 4xy i 4xz i 4yz O sea: x^ + y^ + z^ = xy + xz + yz De acuerdo a propiedad se cumple: x = y = z = cte. Finalmente el valor pedido será: + 2M = 10 30. Si: a^ + b' + c' = 2; a' + b' + c^ = 3, calcular: A 2 - ab - be - ca Resolución; A ________3 - Sabe________ 3(a + b + e)(2 - ab - be - ea) Datos: a^ + b^ + = 2 a = 3 ^ ^ ______ a^ + b^ + e^- 3abe______ 3(a+b+c)(a^ + b' + c^-ab-bc-ca) Pero, por la identidad de Gauss: (a + b + c)(a' + b' + c' - ab - be - ca) = - 3abc .'. A = 1/3 31. Si tres números reales positivos a, b y c cumplen (x^ + x )^ -(x " + x)^+(x^ + x)^ ^ (x^ + x)- (x^ + x>^ + (x^ + x f - (x^ + x f R= 1 a^ + b^ + c 6abc M = xz + xy - yz - z^ 26. Si: M = N. donde: M = (y + z - 2x)^ + (z + x - 2 y f + (x + y N = (y - z)^ + (z - x f + ( X - y)^ R _ 6abc N= Aplicando la equivalencia de Legendre en cada uno de los factores: A = [4(ab)][4 (a^b^)] ... [4(a"b")] Notar que existen n factores: A = [4 , 4 ...^][(ab)(ab)^... (ab)"*] ^ hallar el valor de: c; Resolución: a, b, c e E - { 0 } a a + b + c = 0 =» a’ + b^ + c^ = 3abc(propiedad) xyz hallarelvalorde: R = a = -b - 6abc Resolución: Sea R el valor pedido: ^ ^ ( x + y - 2 z f + (y + a _ _ (a^ - ab + b^)(a + b) + c^ que: -^(b + e) + ^(e + a) + ^(a + b) = 6, hallarel (x^ + x)‘ valor de la expresión; M = (a + b + e) + b’ + abe De aqui: x = y Reponiendo: a + b = c + d Resolución; De la condición, escribimos; b ^ c ^ g ^ a ^ a _ ^ b ^2 + 2+ 2 a a ¿ b c — ' De aqui: a - e = d - b; también: b - c = d - a ^ S= Transponiendo y agrupando; 34. Cada paréntesis se puede escribir: a- c + ,•.8 = 2 b -c Si; x = hallar el valor de; R = (8x^ - 6x) Resolución; a Ve I D a ,c :x = l( |. | Para que la suma de cuadrados valga O, la única posibilidad es que cada sumando tiene valor 0. Al cubo: (2x)^ = >a ya ’a =» b^ = a^ => a = b ^b En forma similar; a = c a a b 2x = rb + -a a b b= c 8x’ - 6 x = ( f r + ( i Conclusión; a = b = c = k Reemplazando en lo pedido: M= 32. Si: X, 3k" , m = 9 3k^ 35. y, z e E; tal que satisface; halle el valor de: ^ ~ ^ a X" - yz , y - xz ^ z - xy _ Q 7 ie: T = ^ hallar elvalcr de: x'^ + y ’ + z Resolución: Hacemos un cambio de variable. Sea: x = a - b Resolución: Reemplacemos: (x - c)^ - (x + e)^ = 2(x^ + c^) - yz y^ - xz z^ - xy ^ De: ------^ + - --------+ -------- ^ = 0 x y z x^yz - {yzf + y^xz - (x z f + z^xy - (xy)^ = O _ Usando la identidad de Legendre, tenemos; -4 xc = 2{x^ + c^} =» x^ + c^ = -2 xc => x^ + 0^ + 2xc = O Hagamos los cambios: xy = a; yz = b; xz = c =;> ac - b^ + ab - c^ + be = O => a^ + b^ + - ab - be - ac = O conocido ^ [(a - b f + (b - c r + (c - 3)1 = O =» (a - b)^ + (b - c)^ + (c - a)^ = O (x + e)^ = O =9 X = - c Regresando a tas variables iniciales, obtenemos: x = a - b = - c =» a = b - c • b -c _ ^ a 36. Para que la suma de cuadrados valga O, la única posibilidad es que cada sumando tiene valor 0. a ~ b = Q: b - c = 0: c - a = O a= b b= c c=a Reponiendo: xy = yz; yz = xz; xy = xz =s y = z; z = x; Luego: x = y = z = k j ^ (2k)(2k){2k) _ 8k^ 3k-^ Sk-“ 33. Si se cumple que: (a - b - c)^ - (a - b + c)^ = 2{(a - b)^ + c*} Si tenemos que 2^* + 2~*' - 47, halle el valor de: 2” + 2 - Resolución: Completamos el trinomio cuadrado perfecto; 2*”+ 2 '^ + 2 = 49 (2^“ + 2-'*)^ = 49 ^ (2^‘ + 2'2’-) = 7 y= x Razonando de igual forma obtenemos: (22. + 2'^* + 2) = 9 T = 8/3 (2« + 2 - ‘ f = 9 => 2 ' + 2 ' = 3 Si: (a + b + c + d)^ = 4(a + b)(c + d), hallar el valor de: 8 = d- b + 37. d- a Si x + 1 = 1; X halle el valor de; x® + -7 X® Resolución: Resolución: En el dato, hagamos los cambios; a + b = x;c + d = y =» (x + y)^ = 4xy => x^ + 2xy + / = 4xy =» (x - y)^ = O Para obtener la suma de potencias quintas, pode mos multiplicar la suma de cubos por la suma de cuadrados. =» 3(x + y + z)^ = 51(x + y + z) -7 8 Vemos que: x + y + z = 2 =^x + y + ( z - 2) = 0 ...(1) Como: a + b + c = 0 =» a^ + b^ + c^ = Sabe De (1): x' + y^ + (z - 2)' = Sxy (z - 2) x' + y^ + ( z - 2)' ■('} Del dato tenemos; 1 ■= 1 2 = , X + -L X/ x+1 X X + -Í-) x/ x=+ 4 + 2 = 1 x^ P= == 1^ x' + -V = -1 X = 1' x 3 + , + 3 x ( l) ( x + | | = 1 = f = * x ' + 4 x^ 40. = 1 - 3 = 2 X® + -L = 1 X® 38. Si: x’ + = 3xyz, encontrar el equivalente de; T = n-1 | x + y + z gabiendo que; x + y + z ^ ( x + y + zj' O 41. Resolución: Dato: x^ + y^ + z^ - Sxyz = O Calcular: P = b - a b -c Efectuando: b -a b+c P= b + a b -c ...{1} ...(2) b+ c b+ a a -b a -c a+ c a+ b Como: x + y + Z i¿ 0 = > la única posibilidad es que: (X - y)^ + (y - z f + (z - x)' - O P = b - a b + 3a b + a b -a y zx = y = z x Luego la expresión propuesta equivale a: a+c a -c ( 1) a + b = 2 = 0 - 2ab Pero: 1 + 1 = 1 a bb e ab c a+ b Reemplazando el valor de c en la expresión (1); h , 2ab a + 2ab a+ b a+b P = b -a b+ a b 2ab 2ab. a+ b a+ b l ( x + y + z)í(x - y f + (y - z)= + {z - x)^] = O T = n- Reducir; M = (m - n + p - q)^ - (m - n + p)^ + Sq(m - n + p - q)(m - n + p) Resolución: Igualando (1) y (2): Se debe cumplir que: ( x - y f = 0=» x - y = 0 =» x = (y -z )^ = 0 = y - z = 0 = » y = { z - x ) ^ = 0 =^ z - x = 0 => z = P = -6 si; 1 + 1 = 1 a b e Se sabe que: x^ + y^ + z - 3xyz = 1 ^ (x +y +z) ({x - y)^ + (y - z)^ + (z - x f l x ' + y S (z -2 )^ - Sz xy Resolución: Hacemos un cambio de variable: m - n + p = x Reemplazando; M = (x - q)^ - (x)' + Sq(x - q) (x) M = x^ - Sx^q + 3xq^ - q^ - x^ + (3qx^- Sq^x) M = -q ' Reemplazamos en (1): (-1 ) (-2 ) = x^ + - ^ + 1 .-. = 3z - 6 xy P 42. x" + x" + x" _ ^_,|_3x^ _ p_i| 3x" (x + x + x)" (Sxy' S^x'’ T= = (b -a ) (b + a) a + Sb a -b 4(b + a) (b -a ) P= 4 Determinar la expresión algebraica p para que la siguiente igualdad; p2 = (x^ + / + z^ + p)^ - (X + y + zf{%^ + y^ + z^) se convierta en identidad. Resolución: 39. Si; x^ + y^ + z^ = 5.6; x^ + y^ + 2^ = 7 A xyz = - 2 Sea; x^ + y^ + z^ = a (x + y + z)' = x^ + y'+ z^ + 2(xy + yz + xz) (x + y + z f ^ a + 2(xy + yz + xz) « = (a + p)^ - [a + 2{xy + yz + xz)]a Efectuando operaciones y reduciendo quedará; 2ap = 2a (xy + yz + zx) p = xy + yz + zx ^ x^ + y^ + (z - 2 f detemiinar el valor de: P = -3 z xy Resolución: Recordemos la siguiente identidad: (x + y + z f s 3(x^ + y^ + z^){x + y + z) 2(x’ + y' + z') + 6xyz En nuestro caso, reemplazando datos; (x + y + z)^ ^ 3 ( |í) ( x + y + z) - 2(7) + 6 (- 2) 43. Si a + b + c = + b^ + = 1, calcular: a’ + b* + c^ - 3ab a'' + b'* I c“ - 4abc Resolución: Dato: a + b + c = 1 Elevando al cuadrado: a^ + 4- 2(ab + be + ac) = 1 La suma de cuadrados de números reales igual a O, implica que cada sumando (base) vale 0. « a - b = 0, b - c = 0, c = a = 0, x = 0. y = 0,z = 0 1 ^ ab + be + ac = O Sabemos que; (a^+ b^ + c^)^ = a'’ + b“* + e'* + 2(a^b^ + b V + aV) .. .(I) Además: (ab + be + ac)^ = a^b^ + bê^ + + 2abe (a + b + c) O 1 Usando los datos; a^b^ + b^c^ + a^c^ = - 2abc En (I): (1)" = a" + b" + e" + 2(-2abc) => a“* + b“ + c“" - 4abc = 1 También sabemos que: a^ + b^+ c^ = (a + b + c)^ 3(a + b + c)(ab+ be + ac) + 3abc De aquí; a = b = C A x = y = z = 0 Luego, en lo que nos piden: 3a' 46. (a -b )^ Dato: 2(x + y)^ + 2(z + w)^ = [(x + y) + (z + v\/)]^ [(X + y) - (z + w)]^ Hacemos: x + y = a;z + v\/ = b En el dato: 2a^ + 2b^ = (a +b)^ - (a - b)^ 2a' + 2b' = 4ab =» 2a' - 4ab + 2b' = O a "- 2ab + b'^ = O => (a - b)' = O^ a = b De donde; x + y = z + víí •z + w ( c - a )" ( b - e ) (e -a )(a -b ) En M: (a -b )(b -c ) Hagamos los cambios: a - b = x, b - e = y, c - a = z 47. X + y 1¿ + z -.(a ) - (c + a) ca De las dos condiciones, se obtiene: (aê + b'a + c'b) + (b'c + e'a -»• a'b) = 12abc + 18abc => a'c + b'â + e‘ b + b'c + c'a + a'b = 30 abe ... (u) Transformemos lo que nos piden: c(a + b)' + a(b + e)' + b(c + a)^ abe 3 Si {a: b; c; x; y; z} c IR, que verifica: (a + b+ c)^ = 3(ab + be + ea - x^ - y^ - z^) hallar el valor de: ea^ + 2abc + cb*^ + ab' + 2abc + ac^ + be + 2abe + ba abe a^ + b^ + c^ b^ + c^)(a= + b^+c® Agrupando en el numerador: (ea' + cb' + ab' + ae' + be' + ba') + 6abe abe Resolución: De la condición: a^ + b^ + c^ + 2(ab + be + ac) = 3(ab + be + ae) 3(x^ + +z^) => a^ + b^ + c^ - ab - be - ac + 3(x^ + / +z^) = O Multiplicamos por 2 y desdoblamos: + a^ + ¿^ + b^ + c^ + - 2ab - 2^ ~ 2gg + 6(x^ + / + z^) - O Agrupando como se indica: (a - b)^ + (b - c)^ + (c - a)^ + 6(x^ + y^ + z^) = O lo (a + b) , (b + e f ab be Resolución: Pero de los cambios vemos que: x + y + z = O, entonces se cumple que: x^ + y'’ + z^ = 3xyz Reempiazando en (a ) : Si que se cumple: calcular: xyz (x' + y" + z-* + : I z + w/ a ‘ o + b;a + c^b , 3,^^ ^ b^c + câ + a ‘ b ^ Nos piden: — + — + — yz zx xy 45. M= M= 1 Resolución: Operando se tiene: H \ z +^w r/ Resolución: Simplificar: (b -e )(c -a ) Si: 2(x + y)^ + 2{z + w)^ = ( X + y + z + w)^ - (x + y - z - w f hallar: M Con los datos: a^ + b^ + e^ = (1)^ - 3(1)(0) + Sabe =í a^ + b^ + c^ - 3abc = 1 Reemplazando en lo pedido: a^+ b^ + c^ - 3abc c - 4abc 44. = 27 3a' = 9 9a" (3a^)(3a' Usando (a), se obtiene: 30abc + 6abc 36abc = 36 abe 48. abe Si; ( x + b)^ + ( X + c f = O ...(1) (x + a)(x-*-b) (x + a)(xrc) (x + b)(x+c) - 1 .,.(2) x+b hallar: (x + b)(x + c| Resotución; Efectuando operaciones en la expresión (2): (X + a f (x + b f + (x + a f ( x + c f + (x + b f (x + cf M a ^ b ^ + c - ^ f - S la V b ^ T c ^ a- + b“ + c'’ (x + a){x + b)(x + c) Agrupando términos en eí numerador; O (x + a f[(x + b f + (x + c f ] + ( X + b f( x + c f _ (x + a){x + b)(x + c) + b)(x + c) = 1 (x + a) ■ ^(a'* + b‘' + c‘*) ^ . a^ + b V c " 51. Si x^ + 4 r = y" rs j (x + b f( x + c f . De donde; — ^— ., . ., — - = 1 ( x + a ) { x + b)(x + c ) (X =. (a^ + b' + c^f = 2(3“ + b" + c") Al cuadrado; (a^ + b^ + c^)^ = 4(a“ + b* + c*)^ Reemplazando en lo que nos piden; + -T = 1• hallar el valor de (xyz)’“ - 1 z' Resolución; De la condición: x^ + 4 r = 1 y x+a = 1 (x + b)(x + c) =» x V + 1 = y^ => x y = y^ - 1 49. Si: ( 1 + a 'x)(a + y)(1 + a ’z) = a + x + y + z, calcular; P = x ^ + y’ ’ + z’ ’ Resolución; Con el dato: (1 + f—)(a ) ( a + yy)) (1 ( 1++ -f : ) = a + (x + y + z) Además: y ^ + 4 r = 1 =» -V = 1 - y ^ 2 z 1 Invirtiendo: z^ = (P) 1 -y ^ 1 L - ( y ^ - i) (a )x (p ): x y z ^ = (y ^ - 1 ) 'a + X )(a + y ) ( i ^ ) = a + (x + y + z) ...(a ) = -1 Elevando a la 34: (xyz)'°^ = 1 (xyz)'^^ - 1 = 0 + z) = + a^(x + y + z) z) + a(xy+ yz + 52. zx) +Reducir: xyz = a^ + a^(x + y + z) (x^ + x + l f - 2 ( x '* + x^+ 1) + ( x ^ - x + l f =» a(xy + yz + zx) = -xyz (x^ + / 3 f + 2(x^ - 3) + (x' - i 3 f ^ xy + yz + zx _ 1 ^ xy ^ yz ^ 2x ^ 1 Resolución: xyz a xyz xyz xyz a => (a + x)(a a^ + a'(x + + y)(a y+ ^ l+ I + I . - l z X y a I S En P: P = z’ ’ + X"’ + y ’ ■' + c'’f _______________________________ Observamos que el numerador (N) y denominador (D) son trinomios cuadrados perfectos. N = (x' + X + 1)' - 2(x' + X + 1)(x' - x + 1) + (x' - Resolución; Recordando la identidad condicional; a + b + c = 0=> (a' + b^ + c^)^ = 2{a' + b‘ + c^) Además, si: a + b + c = 0 = » a + b = - c Elevamos al cuadrado: a' + b' + 2ab = c^ => a^ + b^ - c^ = -2ab Volvemos a elevar al cuadrado: a" + b" + c" + 2a"b' - 2 b V - 2a'c" = 4 a V =* a^ + b“ + c'‘ = 2(a'b^ + b^c^ + a^c') ...(a ) También; a + b + c = O => a^ + b^ + c^ = -2(ab + be + ac) Elevando al cuadrado nuevamente: (a^ + b^ + c^f = 4[(a^b* + b^c^ +a^c^ + 2abc(a + b + c)] O De aqui, decimos: (a^ + b^ + B x“ + X^ + 1 = (x^ + X + 1)(x^ - x + 1) P= -1 a 50. Si se cumple que: a + b + c = 0. hallar el valor de; j(a^ + b' + c^)'* - 3(a^ + a V b" + c" Ü ^ = 2(a"b^ + Reemplazamos en (a): a- + b- + c * = Í 2 - ^ ± ^ + a'c^) X + 1)' ^ N = [{x' + X + 1) - (x' - X + 1 )f ^ N = (2x)* Como; x" - 3 = (x' + /3 )(x' - / 3 ) D = (x" + i 3 f + 2(x' + -/3)(x' -V 3 ) + { x ^ - - Í3 f ^ D = [(x' + ¡3 ) + {x^~ i 3 ) f = D = (2x^)^ Luego: D N '■ D 4x‘ 53. Si:. x - z , z - y hallar; = X = 1, (x + y ) ( z - y ) + Resolución: Del dato; (x - z)(x + y) + z' = (x + y)(z - y) ^ (X - z)(x + y) - ( X + y)(z - y) + z' = O « (X + y)(x - z - z + y) + z' = 0 ( X + y)(x + y - 2z) + z^ = 0 =. (x + y)^ - 2(x + y)z + = O =»(x+y - z)^ = O TCP De aquí; x + y = z D = [2a' + 2b' + 2ab]' ^ D = 4(a' + b' + ab)^ z - y= X Reemplazando en lo pedido: 'Z,2 X\2 54. 57. Si + be + bd + cd = O, calcular: (a + b)(a + c)(a + d) (b + c)(b + d)(c + d) Resolución;; (F T ^ K ÍT ^ X ÍT d ) = 5 Lueao' ^ ^ D 58. 59. 2 Si:a+ b + c = 1, hallar el valor de: __________ 1 - Sabe__________ 2(a^ + b^ + c^) - 3(a' + b^ + c^) Reducir: T = (m - n + p - q)^ - (m - n + p)^ + 3q(m - n + p)(m - n + p - q) + q^ Si: ^ = 1 , calcular: x -1 y (1 + y ')(1 + x ' (x + y f Resolución: Los datos los elevaremos al cubo: (a + b)^ = = a^ + 3a^b + 3ab" + b^ = 3 ,..(l) (a - b)^ = ^V3^=* a^ - 3a'b + 3ab' - b^ = 2 ,..(ll) Sumando (!) y (II): 2a^ + 6ab^ = 5 ^ 2 a (a '+ 3b') - 5 ...(lll) Restando (I) y (II); 2b^ + 6a^b = 1 ^ 2b(b^ + 3a^) = 1 ...(IV) (lll) X (IV): 4ab(a' + 3b")(b^ + 3a^) = 5 (x + y)' ( 1 + y ')( 1 +x^) Del dato: xy + y = - x + 1 => xy + x + y = 1 Elevando al cuadrado: x V + x' + y '+ 2x'y + 2xy' + 2xy = 1 2xy( x + y + 1) Pero: x + y = 1 - xy •••(a) => + / + 2xy(2 - xy) = 1 Sumando 1 y transponiendo términos: 1 + 2^ + x' + / = 2 - 2xy(2 - xy) 56. Encontrar el valor numérico de la expresión: a“ + b" + (a + b)^ P= para; a = 73 - 1; (1 + x') + y'(1 + x ') = 2(1 - 2xy + x V ) [a^ + b^ + ( a + b)^]" (1 + x')(1 + / ) = 2(1 - xy)= b = '/V2TV3 Reemplazando (a); (1 + x')(1 + / ) = 2(x + y)^ 2(x + y f (x + y)' _ 1 5 (x + y f 2(x + y f ^2 2 Resolución: D = [a' + b' + a' + 2ab + b']' - p ^ I Resolución: Sea: m - n + p = x, reemplazando en T: T = ( X - q)' - x' + 3qx (x - q) + q' T = x^ - 3xq(x - q) - x^ + 3qx(x - q) + T= 0 Resolución: Efectuando operaciones en el numerador (N) de P se tiene: N = a" + b" + a"+ 4a®b + 6a^b' + 4ab' + b" N = 2a" + 4a^b + 6 a V + 4ab' + 2b“ N = 2[a‘' + 2a^b + 3a^b^ + 2ab^ + b"] Desdoblemos: 3a'b^ en 2a'b^ y a'b' N = 2[(a" + 2 a V + b") + (2a^b + 2ab') + a^b^] N = 2[(a^ + b')^ + 2ab(a' + b^) + a^b^ N = 2[(a' + b') + ab]' « N = 2[a' + ab + b']' El denominador (D) de P se puede escribir; 4{a^ + ab + h ^ f 2(a^ + b^ + c^) - 3 (a '+ b^ + e^) + c)(b + d)(c + d) (b + c)(b + d)(c + d) 55. Si a + b = -/3 y a - b = V 2, determinar el valor de: 4ab(a^ + 3b^)(b^ + 3a^) 2(a^ + ab + b^)^ D Resolución; Sabemos que: {a + b + c)^ = 3(a' + b' + c')(a + b + e) 2{a^+ b^ + c’ ) + 6abc Reemplazando el dato: a + b + e = 1 ^ = 3(a' + b' + e')(1) - 2(a^ + b' + c') + 6abe => 1- 6abe = - (2(a^+ b^ + c^) - 3(a' + b^+ c^)] 1 - 6abc = -1 Sabemos que: (a + b + c)(ab + be + ac) - abe = (a + b)(b + c)(c + a) (a + b)(a + c)(a + d) n Trabajamos con el numerador (N): N = a^ + (b + o + d)a^ + (be + bd + cd)a + bcd Del dato: be + bd + cd = -a^ =^ N = (a^ + (b + c + d)a^ + (-a^)a + bcd =s N = (b + c + d)[-(bc + bd + cd)]+ bcd =» N = - [(b -t- c + d) (be + bd + cd) - bcd] conocido por identidad Reemplazando: N = - (b + c)(b + d)(c + d) N 60. En base a las condiciones; m' + n' + p' = 16: mn + np + pm = - 6; mnp = 4 calcular eí valor de: m'^n + n‘ p + p'm + m^p + n‘ m + p^n además; (m + n + p)” ' < O Resolución: Transformemos lo que nos piden (agrupamos): (m*n + n*m) + (n*p + p^n) + (p‘‘m + m^p) = m n(m ^ + n^) + np(n^ + p^) + pm (p^ + m ’ ) . . . ( l) Reemplazando arriba, se tiene; 3 /a x /b x /c = 3 /a x /b x /c Del dato: + n' + p' + 2(mn + np + pm) = 16 - 2(6) (m + n + p f De aqui: m + n + p = 2 o m + n + p = - 2 Tomamos: m + n + p = - 2 (por dato) Sabemos que: m^ + + p’ = (m + n + p)^ 3(m + n + p)(mn + mp + np) + 3mnp Usando los datos tenemos: + n^ + p' = (- 2 )' - 3 (-2 )(-6 ) + 3(4) => + n^ + p^ = -3 2 Usando en (I): = mn(-32 - p^) + np(-32 - m®) + mn (-3 2 - n^) 63. Si; a - b b + c A c + a > 1, determinar: b + c - 2a' P = a - 2b -^c , / a - b - 2c b / \ c / \ a Resolución: Del dato: a^ - ab = be + c^ =» a^ - c^ = ab + be => (a + c)(a - c) = b(a + c) _ . a- b= c De aquí; a - c = b i . b+ c= a Reemplazando en lo que nos piden: P = b -2 b \ + (c - 2 e f ^ / a - 2 a Agrupando adecuadamente: = ~ 32(mn + np + mp) - mnp^ - npm^ - mpn^ = - 32(mn + np + mp) - mnp(p^ + + n^) (-6) Efectuando resulta: 128 (16) P= 64. 61. Reducir la expresión: b / \ c ' a Si se verifica que; V/x + 1 + ^//x + 1 = 1 , calcular el valor numérico de la expresión: T(x) = 64x^ - 129x^ + 876x Resoiución: Í4(a" + b' + c')-(a + b - c)^'-(a - b + c)' - (b + c - af siendo: a + b + c = 2p Elevando al cubo el dato: (V/x + 1 + V/x - l f = [ l f Desarrollando:______ /x + 1 + 3V(/x + 1)(/x-11(V/x + 1+ V/x-1) + /x - 1 = 1 liDatoi 2/x + 3 ^ / j n = 1 ^ 3 ^ / x ^ = 1 - 2/x ...(I) Elevando al cubo ambos miembros de (I): [3 ^ /> r ^ f = [1 - 2 /x]^ =» 27(x - 1) = 1 - 3(2 /x ) + 3(4x) - (4x)(2 /x ) = 6/x + 8x/x - 28 - 15x ...(II) Elevando al cuadrado ambos miembros de (II): 36x + 96x' + 64x' = 784 - 840x + 225x' =. 64x^ - 129x^ + 876x = 784 TM T(x) =784 Resolución: La expresión pedida se puede escribir: J(2af+ (2bf+ (2c f-(a + b - c f- ( a - b + cf-^(b~+"câf Sea: a + b - c = x, a - b + c = y = b + c - a = z De aqui podemos decir que: X + y = 2a, X + z = 2b, y + z = 2c Ademas, sumando se deduce que: x+y+z=a+b+c Reemplazando en lo pedido se tiene; J(x + y f + (x + z f + (y + z f - x^ Desarrollando y reduciendo, queda: = + y^ + z^ + 2xy + 2xz + 2yz = ^{x + y + z f = x + y + z Reponiendo se tiene; a + b + c = 2p 62. Si a + /ac = b + í b c . además: a # b a abe O Calcular el valor de: +-~ Vbc Vac Vab 65. Si; x^ + 1 = O A X # - 1, calcular . _ (x-1)^ (X-1)^ x^ X Resolución; Resolución; Transformando el dato por suma de cubos; = ( X + 1)(x' - X + 1) = O De aqui: x = - 1 v x ^ - x + 1 = 0 De: a + Jác = b + ■/be => a - b = -/be - /ic =í (/a + /b)(/a - /b) = /c(/b - /a) =i (/a + /b)(/a - /b) = - / c ( / a - Vb) ^ • / a + /b + - /c = 0 ...(I) Consideramos: x^ - x + 1 = 0 ( x - lf ( x - lf Nos piden: A = x Nos piden: Se /a x /b x /c + Vac /ab /a x /b x /c F V (I) (x^f X De(l); X - 1 = x^ ^ A = x" = ,A = x“ - x " ^ A = x’ (x - x') Pero si: /a + /b + /c = O Pero del dato: x® = -1 y de (I): x - ^ /a^ + / b V / c ^ = 3 / i / ^ Luego; A = (-1)(1) A= - 1 = 1 Reemplazando en T; 66. Efectuar y simplificar; A = (x + y - 2)(x + y) + (X - y + z)(x + z) + (y + z - x)(y + z) - 2(x^ + y^) T= (-c -c f ^(-a -a f ^(-b -b f ac ab be c^ + a ' + babc ab be ac 4 X 3abc . T = 12 T= abe Resolución: A= (X + y ~ z) (X + y) + (X (y + z - - y + z) X) (X + z) + (y + z) - 2{x^ + / ) Multiplicando convenientemente; A = (x + y f - z ( X + y) + (x + zf - y(x + z) + jy + zf - 68. x{y + z) - 2x' - 2y^ Si la diferencia de las cuartas potencias de dos nú meros es 369 y el cuadrado de la suma de ios cua drados es: 1681, ¿Cuál es la suma de los números? Resolución: Desarrollando dichas equivalencias: A = x^ + 2xy + / - z x - z y + x^ + 2xz + z^ - a " - b ' = 369 (a' + b ^ = 1681 De (1): (a^ + b^)(a^ - b') = 369 De (2); (a^ + b^)' = 41^ ^ a' + b' = 41 yx - yz + y' + 2yz + z^ - xy - xz - 2x^ - 2y^ A = 2x' 67. Reemplazando (4) en (3): 41(a^ - b^) = 369 =» a^ - b^ = 9 Sumando (4) + (5); 2a^ = 50 => a = 5 Reemplazando en (4): 5^ - b^ = 41 =» b = 4 Piden; a + b = 9 Si: a+b+c= a -b )(b -c ) hallar: T = í i ± ^ ab (b -c )(c -a ) (c-a ){a -b ) + ( h + ^ ^ (c + a - b f be ac Resolución: Del dato: a + b + c _= c - a + a - b + b - c (a - b)(b - c)(c - a) O a+ b+ c= (a - b)(b - c)(c - a) a+ b+ c= O ...(I) De (I); a + b = -c ; b + c = -a ; a + c = - b 69. ...(1) ...(2) ...(3) ...(4) (5) Siendo: ab = '/TOO - V Í 0 + 1,a + b - 1 = VTÜ, hallar: 3ab{a -i- b) Resolución: Primera igualdad: ab = VTo^ - VTO + 1 Segundo igualdad: a + b = ViO + 1 Multiplicando miembro a miembro (da suma de cu bos): =9 ab(a + b) = VÍÓ^ + f = 11 3ab(a + b) = 33 P RO B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 (UNI 1 9 7 8 ) Si se tiene la suma S y el producto P de dos cantidades x, y; entonces: ■x' + y '- De donde: ^ ^ + ^ ^ = 3 Nuevamente sumando 2 miembro a miembro: es igual a: 2L = 3 + Va A) (S - P)^ - (s - P)^ B)0,25S" - PS' + P' C) S" - 2PS' - 3P'S + P^ D) S" - PS(1 - S) + | P ' 2 =. Vx® a =5 TCP E) S’ - PS + | P ' ^ + a Clave: C Resolución: Sumando y restando 2xy en el numerador de la base: TCP + y^ + 2xy - 2xy _ (x + y f - 2xy si; Reemplazando datos: S' - 2P S' -4S=P + 4P' = 0,258“ - S'P + P^ Clave: B PROBLEMA 2 (UNI 1 9 7 8 ) Determinar los dos números consecutivos: x > cumplen la siguiente relación: x - y X 4 - y \ / x ^ + y^ x+y X PROBLEMA 4 ( tN I 1 9 8 2 • If) Cuál es el valor que asume la expresión: X + 2y 2y 2x X + 3y xy B)x = 9, y = D) X = 2, y = 1 E) N. A, que xy 11 I 2 ^ -2 = 5 - y /\ 2xy A )x = 3, y = 2 y, ! x^ + y" 8 C )x = 7, y = 6 1X + 1y A) 2 x+y B)3 C)1 D)4 E)N.A. Resolución: 1+ , 1- = 4 Efectuando !a condición: — X y x+y (X + y)^ = 4xy = x^ + 2xy + / = 4xy => (x - y)' = O Sacando f ~ miembro a miembro; x - y = O De donde x = y Reemplazando en U: 2x U = 2+ J U = x' + x' , X + 2x 2x X + 3x 4 x‘ U=4 Clave: D Resolución: Efectuando operaciones en cada uno de los paréntesis: (x -t-y f+ (x -y )^ (x + y)' xy 2xy x' + y' (x + y)(x - yi 2ix^ - y^) (x + y f xy 2xy [x^ + y^ (x i - y)(x - y) x+y =5 x -y De donde, x + y - 5x - 5y 6y = 4x =* 2x = 3y Por condición y de la igualdad: x = 3; y = 2 Clave: A x^ a A) B) 4 C )/5 e s D)5 : E) Resolución: Sumando 2 miembro a miembro en la condición: + 2 halle el valor de: K = ^ + ‘> + ^ ^ A) o B)1/6 0 1 /3 D)1/2 O E) 1 Resolución: Si: a X b X c = O a+b+c= 1 2 =7 El vaior de la expresión: ^ Sabiendo que se cumple: a x b x c = 0 a+b+c= 1 + b^ + c^ PROBLEMA 3 (UNI 1 9 8 1 ) Sabiendo que' PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 - II) a' + b' + c^ 3 a' + b' + c' = 1 - 2(ab + be ac) + b^ + c^ = 1 - 3(ab + be + ae) Reempiazando en K: 1 - 2(ab + be + ac) 1 - 3(ab + be + ae) K= 3 K = 1 - {ab + be + ac) - 1 (ab + be ac) = 7+ 2+ Clave: B ■ ■ PROBLEMAS O PROPUESTOS 10. Simplificar: 1. Calcular el valor de: S = 3i: b =V2; V = ^l(a^ + 2ab - b ')' + (a^ - 2ab - b ')‘ = /3 a A) 6 D)9 2. 3 b -'+ a-^ , B) 12 E) /5 Si a, b y c son números que satisfacen las condi ciones: a + b + c = 3; + c^ = 30, abe = 4; 3. Si X , y B) 1/2 E) 1/6 Indicar: C) 1/5 $ ■/x + Jy 12. = 42- 9 / Í - / 7 4. B )25 E)2G 5. A) a + b + c D) a' + b' + c' Si: ^ t ^ = 5: X A) 525 D) 528 0; calcular: T = x® + -L X“ 8)527 0 526 E) 529 Dada la expresión: 2(x + y)' + 2{z + w) = (X + y + z + w)' - (x + y - z - w)'; calcular: v = ( ^ f \ z + w/ A) 3 D)1 8. B)4 E)0 0 2 Reducir: S = (x + 1)(x - 1)(x^ + x^ + 1), si: x = /3 + /5 + J 3 --/5 A) 99 D)999 9. E)4 S = x' + x' + l . + -L x'^ x B) 25 O 26 E)28 X 7. D)3 Sea x > O que verifica: x^ - 3x + 1 = O, calcular el valor numérico de: A) 24 D)27 6. 0 2 Efectuar: T A) 7 D)9 B) 100 E)1 = O 1000 + 5 ) ^ - ( x + 1 1 )(x - 1) ( x + 3 ) ^ - ( x + 5)(x + 1) (X B)6 E )-5 8 )3 E) - 2 O í 13. Si; a + b + c = 2p; calcular: T - (p - a)' + (p - b)" + (p - c f + p' v .4 + 4 - 4 - 4 + 2 i+ y y“ x^ y" y X B)1 C)1 Encontrar el valor de: X* - 4x - 4, A) 4 D)0 C) 10 S( X , y e E , calcular el menor valor de: A) O 8 )3 E)x si: x = //2 + 1 + ^ / 2 - Í calcular: x + y A )7 D)13 S-x^ T - 5x' - A) 2 D )0 € IR; t a l que se v e r i f i c a : C)2b^ 11. Sean: S = (x + 1)(x + 2){x + 3) T = (x + 2)( X + 3) + (x + 2)( X + 4) calcular: T = 1 1 1 a b e A) 1/4 D) 1/3 B)2a^ E)ab A) a' - b^ D) a' + b C)1 8) abe E) 1 C) 1 + abe 14. Efectuar: S = (x' + 1 - x)(x' + 1 + x)(x® + 1)(x' - 1) Dar el valorde: S + 1 A)1 D )x ' B)0 E)x^' Ox® 15. Dados los números: a, b, c; tal que a más; (a + b + c)^ = 3(ab + ac + be) j^c; ade Calcular: V = (a + b)^ + (a + c ) '+ (b + c)' a ' + b ' + c' A) 2 D)5 0 )8 B)4 E)1 16. Calcular el valor de: T = (x + a)(x + b) _ a + 2x + b ab si; (a + 2x + b)(a - 2x + b) = (a - b)' A) 11 D )2 8 )0 E)3 C)4 17. Si: a - 1 - 2, calcular: S ^ fa^ + 47 V a â A) 78 0 )84 B) 80 E) 86 0 82 o , ■■ {a + b)“ - ( a - b ) ‘ 18. Sea la expresión: — — ~ — ~ ^ =4 (a^ + b V - ( a ^ - b V calcular: N = 0 8 A)1 4a t 2b 4a - b 8 )2 0 3/4 D)5/3 E j4 19. Si: a + + c = ab + ac + be, (1 - a)bc + (1 - b)ac + (1 - c)ab simplificar: S = ^ ^-----------— a(a - b) + b(b - c) + c(c - a) A) a + b + c D)0 B)a + b “ C E)1 20. Si: a + 1 = 5, calcular: T ^ A) 5/2 D)2 C)a-b-c A)1 (a -b ) D) (a + b) í í i. + ^ 4a” B) 2/5 E)5 C) 1 ly'^ „ 2 ,3 | j ) = 3(x^+y^); X®- y® = 6 x V calcular: X' - y A)1 D)2/3 B) -2/3 E) '1 /3 22. Apartir de; ^ + b^ C) - 3 A )-1 D) -1 3 + ^ " ^ = 2 (1 + 1 + :i c^ \a b c donde (a; b: c} c E calcular: B) 1/3 E )1/27 23. 24. B) 1 E) - 2 25. 32. a+b+c = 1 a" b' c' d’ +, +, ■+, b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c B)1 0 2 D)4 B)2 C)3 Si; be ab ac hallar; b + c ^ c + a ^ a + b a b e A) 2 D)4 hallar el valor de; A) O 0 3 Si: X + y + z = 1, hallar el valor de; A)1 33. 0 2 Si se cumple: a b •+ +■ b+c+d a+c+d a+b+d B)2 E)5 D )1 Si: a + b + c + d = 0; calcular; abe + abd + acd + bcd a ^+ b ^+ c^ + d^ B)1/2 E )1/9 x " + y 'V z 'V 11x^y^z^(xy + yz + zx) xyz(x' + / + z*") + y^ + z^ + 3(xy + xz + yz) - 1 xyz 0 2 B)1 E) 1/x 0 -1 Siendo x, y. z tres números reales diferentes de cero que verifican: (x - y)^ + (y - z f + (z - x)^ = (x + y - 2z)^ + (y + z - 2x)^ + (z + X - A)1 D)4 C)2 O -9 B) 1 E )-2 simplificar: Si se cumple que; 2x ’ = 2 -x , calcular el valor de [x'’ - (x- + x' + 1)(x® + x^ + 1))' A) 1 0)1/3 27. 0 3 B )-1 E)0 A) O D)x^ 26. 31. Sabiendo que: abe = 1, hallar el valor de: b c _ §____+ ab + a + 1 bc + b + 1 ae + c + 1 A) 3 D) 1 B) - 4 E) -1 5 A) O D)2 C)3 Si; X + y + z = 1; x^ + y^ + 2^ = 4, 1 , 1 , 1 calcular: x + yz y + xz z + xy A) 3/2 D )-1 O 1/2 30. Si; ■§ + - = 1, calcular ei valor de: b a (aV b® + c^) A)1 D) 27 B)0 (a + b) E) (a -b ) 29. Sabiendo que: (a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b) = 2(a + b + c)^ donde abe ^ O, hallar ei valor de: a + 3b + c , b + 3c + a ^ c + 3a + b ab ac be a ’ + b~ + G 21. Suponiendo que; , 2 \3 28. Calcular el valor de Z. sí: P-KI p -a _ a ^ -b ‘ " 2 a" + b^ x-^ + x " a + b 2pO cuando: x= a -b E)1/4 B)3 E )A v C 34. Dadas las relaciones: a = (a - b)^ + b(a +1); c - (c - a)^ + a(c + 1) simplificar: A) a V D) a V 0 6 b = {b - c)^ + c{b + 1) (a®-b')2 c ® -4 a 'b ' B) b V E)e" C) f b® hallar el valor de: 16x"y" + {x -y " )" 44. xV + xV A) 3 36. 0 8 B)2 38. 39. B) 2 E)0 + y + z s 45. A xy . ^ (x ^ + y® -i- E = (x^ + x + 1)(x" + x^+ 1)(x® + x"+ 1 ) - x ’^ -x ", 46, 42. 0 -2 47. (a + b + c)’“ A) - 2 D) 1 a x" - 1 a+ 1 1 a- 1 a" - 1 1 1 -a " C) a "- 1 49. Calcular: 25a^ + 9b^, si: 5a + 3b = 11 = ab + 9 D)3 A) 31 D)7 B)61 E)71 cuando; x +y + z = 3 A) - 2 D) - 4 0 27 E )1 Seanx, y. z e E,tal que:x^ - 2x + y^ -- 6y + calcular xy D) 1 0 91 E) 6 x^ + O 5 C)2 (1 + a x ) '- { x + a)' 50. Calcular: 3j í í.\ + |ü \ - y / [y : B)9 mn + np + mp = mnp, B)3 E)0 Simplificar: D) 0,5 x+y+z 01 mn(m + n) + mp(m + p) + np(n + p) hallar valor de: mnp (x + y - 2z) V (y + z - 2x)^ + (x + z - 2 y f (1 - x ) ( 1 - y ) ( 1 - z ) B) 3 = 3abc; a + b + c 7^^ O, 8 )9 E)0 Si: m + n = 1 - p A) Calcular el valor de: A) 2 43. Si se cumple que: a^ + b’ + determinar el valor de: A) 2/3 D) 1/3 48. 2 )^ - (X + y )^ - (y + z )^ - (z + x )^ + y)’ (y + z f + (y + z)^(z + x)^+ (z + x ) \x + y)^ A) 3 D )8í 0 3 ■V(a + b + c)^ 6 4 (x + y + 41. 8 )2 E) x' A) 1 D)x O 1/2 B)2 E)3 B )-3 Simplificar: si se cumple que x" = x + yz + xz = xyz; 9 ^ / ___________ 1______ 2 ®) x 'V y ^ V z " + 1 Si: — 1— + — 1— + ■' x+y y+z z+x hallar el valor de; A) 2 O 1/2 {a, b, c) e IR = 1 ,, s B>3/2 E)3/5 O -4 , A) 1 D) 1/3 (X A) 5/2 D)2/3 Tres números reales diferentes a, b y c verifican la siguiente condición: a = Vp~+ qa ; b = Vp + qb ; c = Vp -i- qc Determinar a^ + b^ + c^ pq A) 5 B)9 O 2/3 E) -6 D)6 c a l c u la r : 40. 0; se Sabiendo que: A = ( X -t- y - 1)3 -t- 3(x + y)( X + y - 1) B = (x + y + 1f - 3(x + y) (x + y -H 1) C = [(X + y)^ + 1]^ + [(X + y)3 - 1 f ¿a qué es igual: 2AB - C? Si: X x^ + 3x - 3x^ - 1 y^ + 3y^ + 3y B) x' + / D) x^ + y^ -t-z^ A) 4 D)-2 Sea: x = V2 + 1; y = V5 - 1: calcular: e )1 - 3xyz(x^ + y^ + z V 6 ^ W x® + y® + z®-3x^y'z^ A) xyz C) x -f y + z E) (X + y + z f 37. D)4 Sabiendo que: x"’ + y ' + z"' = O a xyz ñalar el equivalente de: ? + y^ + O 600 B)700 E) 500 A) 900 D) 300 10 = O, E) O Si; a+ b + c = 20; a^ + b^ + = 300, hallar el valor de; (a + b)^ + (a + c f + (b + c f + 4 , si se cumple que; = 5xy; {x; y) c E ‘ B)3 E)1 05 51. La diferencia de dos números es “a" y la diferencia de sus cuadrados es "b", hallar el producto de di chos números. a ^ -b ^ 4a^ b^4a'' a ^ -b ^ 4a^ a "-b ' C) 52. Sabiendo que a, b e IR* / ab = 1, calcular: ^2 + /(a '-b ^ )^ + 4 A) a' - b^ B)a - b a+ b D)2(a + b) C )a + b 53. Reduzca la expresión: V[(m + 1)^(m^ + 2m - 1 ) - (m - 1)^(m^-2m - 1)f A) 3m^ D) 9m B) E) {2m f C) (3m)^ 61. Si; X + 2x ' = 2, hallar: M = x^ - (x" + x^ +1){x® + x^ + 1) ^ )^ D) - x B)-1 E) 1/x C )x 62. Si; S = (a + b)(a + c)(b - c) + {c - a)(a+b)(b + e) T = (a -b)(b + c)(a + e) + (b - e)(c - a)(a - b) Calcular: S + T. A) abe B) a + b + c C) O D) a' + b^ + e^ E) a^ + b^ + c^ 54. Calcular: H = (x - 2)(y^ - 1), si: x = a + ^ ; b a ^ A) 2 D)8 a -b B)4 E)11 0 6 Calcular el valor de; S = •J- + — + -%■ be ac ab 55. Reducir la expresión: ________________________3 ( a ^ b (a + b)'’ + (a - b)‘* A) 5 D)4 56. Si: V ________________________ (a + b)^(a - b)^ O a - b B)3 E)a + b +c^ = 3, a' + b' + c" = 2; calcular: Q = + b + 0(2 - ab - be ^ ca) 1 - abo A) 1/3 D) 1/2 B>3 E) 1 0 2 57. Sabiendo que a, b, c e Ifi,abe # O y además; ibe ^ + ca - + - ab ^ = -a+ Kb + c-8 hallar: J = b^c® A)1 D) a + b + e 63. Si el polinomio: P(x) = (ab - a^b^ ~ c)x^ + (abc^ - be - a)x^ + (a^bc - a V - b)x + (abe - 5) es idénticamente nulo. 1.8 .8 câ® a^b® B)2 E) a^bê^ 0 3 58. Dado: a^ = b^ + c^; reducir la expresión; j^ j(i± ^ + c y a + b + c _ g |^ a + _ b + c _ |^ w a ± b + c _ ' A) O D) - 5 B) bc/2 E) ab/2 59. Si: ---- ^ + ^ + ---- ^ (a -b ) (b -e ) (c-a) calcular el valor de: E = —^ a -b A) 500 D )0 B )1000 E )4000 80. Si: a + b + c = 0; C) ac A)1 D )9 = 2007' ~ ^ b -c c -a O 2007 m+ n+ p= Oa B) b E)1 B )5 E)13 0 7 65. Hallar el VN de: T = (m ^ + n '^) ' si: mn = 2 y m + n = 2¡2 A) 2 D)3 B) 1 E)4 O /2 66. Dado: = 2(a + b)I(a +b)^ - 2ab + (a - b)^] + (a - b)[(a + b)^ + 4(a^ + b^) - (a - b)^] hallar el valor de M. A) 2a D)8a’ B)2b E) 8b^ C) -2ab Vn^-m" 3n - m calcular el valor de; S = — + ^ + - - 1 = 0, calcular: E = ma^ + nb^ + pc^ a b e A) a D) abe C) 1/5 64. Calcuiar ei valor de: (x® + x^+ 1)(x®-x^+ I)(x'^-X ® + 1)(x'‘' - x ’^+ 1) para: x = ^■*/3 67. Si: A) be D)a" 8)1 E)2/5 Oc A) 1 D) n' ~ +— ~ mn + n m +m B)0 E)n- 1 C) m + n 68. Dado: a + b + e = O, evaluar; / a b c a- b I b- e ^c-a Ib - c c - a a - b íl c c b A )3 D) - 6 B )6 E) - 3 69. Si: a + b + c = a‘ 'bc 09 t b Va + c 'ab, calcular: S = a^ + b V c^ - 3abc a+ b+ c C) 2/3 B) 1/3 E )- 1 A) O D)1 T = Jx(x - yz) + y(y - 2xz) + z(z + 2xy) A) a + b + c 70. Sabiendo que: x = - { a , + aj + 83 + ... + a„) 2 2 2 D)2 2 n ^ a ^ + a 2 + a 3 + ...+a^ calcular: (x - a ,f + (x - 82)' + (x - 83)^+ ... + (x - aJ A) O D)n - 1 B) n 71. Si: (m^ + 76. Si: X + 2 = 23/2 x . calcular: T = í i T T l T V2x = 2mnp(m + n + p) + , , , . + m V + nV calcular: S = (a + b - c)(b + c -a )(c + a ~ b) A )-1 3 m 3 D )-m ^ C)6 72. Calcular el valor numérico de; (a^ - ac - bc)^ + (b^ - ba - ca)^ + (c^ - cb - ba)^+ 2(a3c + bâ + c^b) para: a = ■Js - /3 ; b - ■l'ÍS - 1; c = /3 A)/3 D)49 B)8 E)7 O /8 77. Siendo: a + b + c = m a^ + b^ + c^ = 3m' a^ + b^ + c^ = 7m^ _ B)4 E) 10 A)1 D)8 B)4 E)5 A) 3 D) 75 C) n' m3 + 2r)3+3p3 calcular el valor de: T = -----------------— mnp , 016 B)6m ' E)7m^ O 2m^ 78. Sabiendo que: a^ + b^ + = 3 a^ + b^ + c^ = 2 (a + b + c)(2 - ab - ac - be) calcular: S = 1 - abe 0 2 A) 1/3 B) 3 D) 1/2 E)1 79. Si: a + b+ c = O, hallar el valor de x. 73. Si: a + b= X , reducir: V x(x+ 1){x“ -x -’ + x^ ~ 3 a b (x - l f ] - ( b x + a f - ax A) a D) b(a + b) B) b E) O ab 5abc(a’ ’ + b’ ’ + c’ ’) O a(a + b) A) a + b + c O a^ + b ' + c^ E) a ' - c' 74. Si; mnp = m + n + p = 1, calcular: (m + m’ ’f + (n + n’ ’f + (p + p (m + m ’) (n + n’ ’)(p + p ’) A)1 D )4 B)2 E)5 75 . Si: ab calcular el valor de: 1. B 2. A D 4. C 5. B a B 7. D 8. D 9. D to. D 11. 12. 13. 14. 15. m 17. 18. 19. 20. 01 B )l + i +l a b e E)0 0 3 ac C B D E 6 B D B A A 80. Si: X = ^2[3(mn + mp + np) - (m + n + p f ] calcular el valor de; (x + m - n f + fx + n - p)3 + (x + p - m / M= (m - n)(m - p)(n - p) A)1 D) - 2 be 21 ; 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. B )-1 E )-3 ÜE&33HI B A E D B D A E D A 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. D C E E C C c A C A B) ab + be + ca D)3abc 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. D B B C A A A C e Q 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57 ; 58. 59. €0. B C E B 6 B C B C D 81. 82. 63. 64. 65. 66. &r. 68. 69 70. 0 2 A C A E C A A C A B 7 \. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. C 0 B D D D A B B E Division algebraica Cocientes notables Paolo Ruffini nació en Valentano (22 de septiembre de 1765) y m urió en M ódena (l Ode mayo de 1822). Fue un matemático, profe sor y m édico italiano. Paolo entró en la Universidad de Módena en 1783 para estudiar Matemáticas, Medicina, Filosofía y Literatura. Finalmente, el 9 de junio de 1788, Ruffini se graduó en Filosofía, Medicina y Cirugía. Poco después consiguió su grado en Matemáti cas. El 15 de octubre de 1788 fue nom brado profesor de Fundamentos de Análisis. Ruffini fue elegido catedrático de Elementos de Ma temáticas en 1791. Sin embargo, no era solo matem ático, pues en 1791 obtuvo la licencia para ejer cer la Medicina en Módena. Paolo Ruffini es conocido com o el descubridor del llam ado m étodo de Ruffini que permite hallar los coeficientes del polinomio que resulta de la división de un polinomio cualquiera por el binom io x - a. Sin embargo, no fue esta su m ayor contribución al desarrollo de la m atemática. Hacia 1805 elaboró una dem ostración de la imposibilidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grados quinto y supe riores. aunque com etió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el m atem ático noruego Niels Henrib Abel. En 1806 acepta una cátedra de Matemática Aplicada en la escuela militar de Módena. Fuente; Wífeipedia 6a^ + 5 a 'b - 2 6 a ’ b ‘ -t- 33 a ^b ^ - 2 4 a b * *- 6b* 2a‘ - 3ab + b' 6a® + g a 'b 3a^ + Ta^b - 4ab^ + 7 b ^ DIVISIÓN ALGEBRAICA Es la operación que consiste en hadar una expresión llamada cociente dadas otras denominadas dividendo y divisor, de modo tal que se cumpla: - 1 4 a ‘ Ci - 3a^b^ 29a ^b ^ + 33a^b^ 14a“b + 2 l a V - q (a ; b) 7a^D ’ - 8 a ’b’ + 26a^b' - 24ab‘ D{x) = d(x)q(x) 4- r(x) d(x) 8a V - ^ d(x) 12aV + l4 a V De donde; q(x); cociente entero D(x); dividendo; r(x); resto o residuo d(x); divisor; r(x) q(x) + : cxiciente compieto 1. 2. 3. Para efectuar ta división entre dos polinomios se co* nocen varios métodos. Presentamos a continuación algunos de ellos: 4. Método clásico Para dividir polinomios se debe tener en cuenta los si guientes pasos: Se comptetan y ordenan los polinomios con respecto a una sola letra o variable (en caso falte un término este se completará con cero). En caso existan dos o más variables se asumirá solo a una de ellas como tal y ias demás harán el papel de números o constantes. Se divide el primer término del 0, por el primero del d, obteniéndose el primer término del q. Luego este se multiplica por cada uno de los términos del divisor y el resultado se resta del dividendo. • Dividir; 6x‘* + x^ + x^+11x + 2 3x^ + 5x + 2 -9x^ 9x^ - 3x^ + 11x + 15x^ + 6x 3x^ + 5x + 2 2x^ - 3x + 4 q (x ) 12x' + 17x + 2 - 20x - 8 ^3x - 6 r(x) 2, Dividir; (6a® - 2 6 a V + 5a"b + 33a^b^ - 24ab‘ + 6b") (2a" - 3ab + b") Ordenando a( D; b* G(q) = G(0)--G(d) THD) = ■n(d)TT<q) + Tí(r) El cociente de dos potinomíos ho m o g ê ^ corK> riûlteck> poHr^mks NMitògàiea Solo en una divisan e)^da tento corno el divisor puedet c(»n(Metos y ordenados en o ascended cxin f> ^ p e ^ a cocente ^tera (sigue ^ n d o «cadp). Reglas o pasos a seguir; Ejemplos: + x^ + 11x + 2 - 4x^ 7b' ab' - Método de H o m e r Se emplea para dividir por lo general polinomios entre divisores que sean de grado dos o más. Se baja el témiino siguiente del D. y se repite el paso anterior tantas veces hasta que el resto sea a lo más un grado menos que el grado del D (resto de grado máximo). O en todo caso, sí la división es exacta, el resto será un polinomio idénticamente nulo. 6x" + X® -6 x" - 10x" - 1 4 a 'b = + 2 l a b ‘ - r(a ; b ) ^ DIVISIÓN DE POUNOMIOS 1. 4ab‘ - 2 0 ab* + 6b* • Se completan y ordenan los polinomios. En caso falte un término este se completará con cero. En caso existan dos o más variables se asumen a una de ellas como tal y las demás harán el papel de números o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo, y en forma vertical los coeficientes de divisor, todos cambiados de signo a excepción del primero. Se divide el primer coeficiente del dividendo por el primero del divisor, obteniendo el primero del cociente. Luego este se multiplica por cada uno de los coeficientes del divisor que han cambiado de signo, y los resultados se colocan dejando una columna de lado. Se reduce la siguiente columna y se repite el paso anterior, tantas veces hasta que la última opera ción efectuada caiga debajo del último coeficiente del dividendo. Llegado este momento se reduce las columnas que falten; separando los coeficien tes dei cociente y el resto respectivamente. Esquema gráfico: 4. Ejemplos: 1- Dividir: Resolución: Resolución: 21 :5 i 10 :9 i -9 , . 6 8 . Completando el dividendo y utilizando el método de Horner: -7 1 2 -6 q(x) Resolución: Aplicando el método de Horner: 3 15 -9 -7 -11 0 56 -35 0 70 -55 73 -23 21 33 0 -49 -77 0 -84 -132 5x3 - 3x" + 7x + 12 -16x^ - 88x -155 q(x) r{x) Luego se obtiene que: q(x) = 5x^ - 3x^ + 7x + 12 (cociente entero) r(x) = -16x^ - 88x - 155 8)x + (24 - 2n) = O Luego: m - 8 = 0 =>m = 8 Por ser exacta: (m - 24 - 2n = O « n = 12 Cuánto vale (m + n + p) si: 6x® + 11x* - lOx* + 8x’ + mx^ + nx + p es divisible por: 3x^ + x^ + x + 2 Como los dos polinomios están ordenados y com pletos respecto a “x”, y como el divisor es de grado 3, podemos efectuar por Horner; 3 -2 2 -2 -3 -4 -3 5 3 - 5 2 m n p -6 5 10 -2 -2 -4 (m-3) (n + 8 )(p -4 ) Por ser divisible; (m - 3)x^ + (n + 8)x + (p - 4) = O =>m = 3;n = -8 y p = 4 m+ n + p = 3 - 8+ 4=-1 4x" + 4x‘' + 3x^ + Ax^ + 3x + C 2x^ + X + 2 deja como residuo: 2(x - 5) 6. En la siguiente división: Resolución: Como el divisor es de grado 2, empleamos el mé todo de Horner: 4 -2 3 -4 A 3 C -1 -2 -1 3x + ax - b El residuo obtenido es de grado cero e igual a; -2 1 n a Resolución: Primero hallaremos "a" y "b” por Horner; 2 A-1 1 9x" + 6ax3 + (a^ + 3b)x' + abx + 9a' 6ab + b^ Calcular: S = 2 2 6 11 -10 8 -1 -1 -2 Calcular A y C, si ta división: 4 4 -12 24 (m - 8) (24 - 2n) Resolución; 0 _ 2 -1 -2 -6 - 2n m 0 -4 -2 -1 Hallar el cociente entero y el residuo de dividir; 15x^ - 9x^ + 56x" + 70x^ + 73x - 23 3x3+ 7x+ 11 0 -3 2 -4 3 -3 5x -- 10 r{x) 3x^ + 2x+ 2. es exacta. x^ - 2x + 4 7x" - 3x + 3 Aplicando Horner; 7 +3 -3 Determinar m y n, si la división; 21x" + 5x3+ 10x^ + 8 x - 7 - n - 2n (5 - n)x + (C - 2n) r(x) De donde: A - 1 = n ^ A = 2n + 1 Pero del dato: (5 - n)x + C - 2n = 2(x - 5) =5 (5 - n)x + (C -2n) = 2x - 10 Igualando términos: 5 - n = 2=» n = 3 C - 2n = -10 = C = -4 A = 2(3) + 1 = 7 3 -a b 9 6a (a^ + 3b) -3a 3b ab 9a^ ab - 2ab 2b^ 3 a 2b Ox + 9a^ + 2b" r(x) Por condición, el residuo es de grado cero, es de cir, un número, luego; 9a^ + 2b^ = 6ab + b^ = 9a^ - 6ab -i- b^ = O ^ (3a - b)^ = O => 3a = b pejado de la variable y el resultado se coloca deba jo de la siguiente columna. Se reduce la columna siguiente y se repite el paso anterior tantas veces hasta que la última operación efectuada caiga debajo del último coeficiente del D. Llegado este momento, se reduce la columna que falta, y siempre se cumplirá que la última co lumna le va a pertenecer al resto, y este siempre será un valor numérico. Reemplazando en la expresión pedida: ^ _ 3a^ + 9a^ _ 12a^ a^ a" . ^ -- \2 Sabiendo que la división: Ax^ + SSx“ + Bx^ - 3x + 15 5x^ + 5x^ - 2x - 2 deja como residuo: 37x^ - x + 9. Hallar: A + B . Resolución: Como las incógnitas se presentan en los primeros términos del dividendo convendría que estas estén al final; para eso se requiere que la división sea exacta, entonces recurrimos a lo siguiente. Esquema gráfico: DIVI DEND O X = N eoe Cuando en una división al dtvidertdo ¡ residuo ^ t a se convierte en e)3c^; I que e( residuo es un poinomio ídéntícanîtenuiQ. Luego; D(x) - r(x) = Ax^ + 55x" + Bx^ - 37x^ - 2x + 6 Ejemplos: 1. Dividir: 2X- - 7X + 3X- - 5X- +11 x+2 Resolución; Ordenando al dividendo; 3x^ - 5x^ + 2x^ - 7x + 11 Aplicando el método de Ruffini; 6 5x^ + 5x^ - 2x - 2 Aplicamos Horner, pero el polinomio lo ordenamos en forma ascendente: X + 2= 0 X -2 6 - 2 -3 7 2 -6 -5 15 8 -5 -3 4 7 B 55 -2 0 14 -3 5 3 -5 2 -7 11 -6 22 -4 8 110 = -2 A i 15 -2 0 resto 1.*' caso: cuando el primer coeficiente del divisor es la unidad (x ± b) Entonces: Ax^ + 55x^+B xJ-37x^-2x + ENTE -2 3x^ - 11x^ + 24x - 55 -3 5 (B + 9)x' + Ox + (A - 35) r(x) Teniendo en cuenta que: r(x) = O • B + 9 = 0 * B = -9 • A - 3 5 = 0=»A=35 A + B = 26 2 2x ^-^372 x ° - 1 2 x ‘ +. 3 . ^ - 2 . X - /2 2 Se emplea para dividir polinomios por divisores de la forma: ax ± b, o cualquier otra expresión transformable a esta. -1 2 3/2 -2 2/2 10 -2 /2 2 5/2 -2 /2 ZÍ2 x^/2 1 Í2 Reglas o pasos a seguir: 2 Se completan y ordenan los polinomios con res pecto a una sola letra o variable. En caso falte un término este se completa con cero. Se baja el primer coeficiente del D siendo este el primero del q. Luego se multiplica por el valor des- Dividir Resolución: Utilizando el criterio de Ruffini; <4 REGLA DE RUFFINI En caso hubiesen dos o más variables se conside ra solo a una de ellas como tal y las demás harán el papef de números o constantes. Se distribuyen en forma horizontal los coeficientes del dividendo; en forma paralela a este paso se iguala el divisor a (0), se despeja la variable y ésta se coloca en el ángulo inferior izquierdo del gráfico. 121 r(x) q(x) .-. q(x) = 3x' - 11x" + 24x - 55 r(x) = 121 q(x) 0 r(x) q(x) = 2x^ + 5Í2x^ - 2x + 12 r(x) - O 2.“ caso; cuando el primer coeficiente del divisor es di ferente de la unidad {ax ± D. a i) • En este caso se procede en forma similar a la ante rior pero se debe tener presente que para obtener el cociente verdadero se divide cada uno de los coeficientes del aparente cociente por el primer coeficiente del divisor. Ejemplos: Resolución: 1, Por el método de Ruffini, se tendrá; Dividir; (6x^ - 19x^+ 19x - 1 6 ) - ( 3 x - 2 ) 4 Resolución: X- 2 (1+ ^ ) -273 (1 +3/3)0 -3/3 /3 -1 2 /3 -1 (2/3-2) (3-/3) (2 ^ -2 ) 1 - / 3 2 2 .2 4 2/3 4 -2 2 + 2/3 2 -2/3-1 2x®+/3x‘ + ?x^ - 1x^ + Í1 + /3ÌX+1 r(x) q(x) Por condición; R = - 2 / 3 - 1 ,', S + R = 4 y S = 2/3 + 5 < i TEOREMA DEL RESIDUO q(x) = 2x^ - 5x + 3 r(x) = -10 2, /3 - 1 - , ... (lOx“ + 39x^ + 29x" + 51x + 28) Dividir; ^ 5x + 2 Resolución: Utilizando el criterio de Ruffini; Se emplea para calcular el resto en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de la división. Por lo general se emplea para divisores de la forma: ax ± b, o cualquier otra expresión transformable a esta. Lema o e nunciado de descartes Dado un P(x) como D y un divisor de la forma ax ± b, para calcular el resto en forma directa se iguala el divi sor a cero; se despeja la variable y esta se reemplaza en el dividendo. Demostración: Datos D = P{x) d = ax - b q = Q(x) r =R D = dq + r Sabemos: P{x) = (ax - b)Q(x)- I - R q(x) = 2x^ + 7x^ + 3x + 9 r(x) = 10 3. Dividir: (3x‘' + 2/2x^ + 4x' + /2x + 6) - (3x - /2) Resolución: Usando el método de Ruffini; q(x) = x^ + -/2 x" + 2x + r(x) - 8 4, /2 Para la división; 4x^ + 2x^ + (1 + /3)x^ - 2/3 x^ + (1 + S/3)x^ + 1 - 3 ^ 2x - /3 + 1 Suponga que R es el residuo de la división y S es la suma de coeficientes del cociente. Calcular: R+ S , . . ( l) Según Descartes: a x - b = 0 » x = — d Reemplazando en (l): P(^) = a í ^ l - b ■■■ '’ ( ! ) = Casos que se presentan: D d r P(x) ax - b P(b/a) P(x) ax + b P(x) x -b P(b) P(x) X+ b P(-b) p (- |) Ejemplos: 1, Hallar el residuo en (2x‘ + 9x‘* -i- 3x - 4) -r (2x - 1) Resolución: Por el teorema del residuo: 2x-1=0 *x=-l Reemplazando en el dividendo: 2 ( l f - 9 ( |r + 3 ( l) - 4 = ± - ± +| - 4 = - 3 2. Hallar el residuo en (3x^^ - 5x’’ + 3x - 5) (x^ + 1) Lo contrario también se cumple, es decir si un polinomio es divisible por un producto de varias expresiones, será divisible por cada una de ellas separadamente. Resolución: Ei dividendo se puede escribir de la siguiente manera; 3(x^)"‘* -5 ¡x ")"x ^ + 3 x -5 x^ + 1 Por el teorema del resto; x^ + 1 = O =» = -1 Reemplazando se tendrá; r(x) = 3(-1)'" -- 5 {-1 )V + 3x - 5 r(x) = 5x^ + 3x - 2 3. Si; P(x) = (X - a)(x - b)(x - c)q(x) =. r = O P(x) = (x-a )q ,{x) r = O P(x) = (x - b)q2(x) ^ r = O P{x) = (x - c)q3(x) =. r s O 2. Hallare! residuo de; (x -1 )' + 2(x - 1)" + 5x - 7 -x (x - 2) Resolución: La expresión se puede escribir; Si ai dividir un polinomio por varias expresiones da un mismo resto, entonces al dividir dicho polinomio por el producto de ellas, también nos dará el mismo resto común. Si; P(x) = d,(x)q,(x) + r(x) P(x) = d2(x)qj(x) + r(x) [(x - 1 ) ^ f( x - 1 ) + 2 H x -1 )^ f + 5 x - 7 P(x) = d,(x) d^Cx) q(x) + r(x) x^-2 Efectuando los paréntesis; 3. [x ^ -2 x + l f ( x - 1) + 2 [x ^ -2 x + i f + 5 X -7 x " - 2x P(x) = (X - a)q(x) Por el teorema del resto; x^ -- 2x = O Reemplazando; r(x) = (O + 1)^(x - 1) + 2(0 + 1)" + 5x - 7 « r(x) = (x - 1) + 2 + 5x - 7 r(x) = 6(x - 1) Calcular el residuo en la división; [{x + 2)' + 3(x + 2)- + X + 1] ^ (x + 1)(x + 3) 4. Además x = a, es un cero o raiz de P(x). Ejemplos: 1. Al dividir P(x) por (x - 1)(x - 2) se halla por resto 2x + 1. ¿Qué resto se encontrará si se divide P(x) por x - 2? Resolución: Resolución: Sea; d(x) = x^ + 4x + 3 + 1 - 1 = (x + 2)^ - 1 D(x) = l ( x + 2 f ] \ x + 2) + 3l(x + 2 f f ( x + 2) + x + 1 Por dato; P(x) = (x - 1)(x- 2)q,(x) + (2x + 1)... (1) Además se sabe que: P(x) = ( X - 2)q3(x) ^ R ... (11) En (11): parax = 2 « P(2) = R ... (NI) En (i): parax - 2 =* P(2) = 5 En (III): resto = R 5 Por el teorema del resto; (x + 2)' - 1 = O = (x + 2)^ = 1 Luego, hallando r(x); r(x) = (1)(x + 2) + 3{1)(x + 2) + X + 1 => r(x) = X + 2 + 3x + 6 + X + 1 r(x) = 5x + 9 2. <4 D IV IS IB ILID AD POLINÓMICA Se dice que un polinomio P(x) es divisible por el polinomío d(x) si y solo si la división P (x ) Por datos: P(x) = (x - 1)qi(x) + 8 P(x) = ( X + 2)q:(x) - 7 P(x) es divisible por d(x) » p{x) = d(x)q(x) resto Además: P(x) = (x" + X - 2)qj(x) + mx + n ^ Luego: m + n = 8 -2m + n = -7 Si un polinomio es divisible por separado entre varias expresiones, será divisible por ei producto de ellas. Sea P(x) = (x - a)qi(x) =» r = O P(x) = (X - b)q,(x) ^ r = O P(x) = (X - c)q3(x) r = O P(x) = (x - a)(x - b)(x - c)q(x) Los restos de las divisiones de P(x) por los bino mios (x - 1) y (x + 2) son, respectivamente, 8 y -7 . Hallar el resto al dividir P(x) por x^ + x - 2. Resolución: es exacta; además se dice que d(x) es un factor del polinomio P(x). 1. Sea: P(x) Si para: x = a; P(a) = O Restando (1) y (11): P(1) = 8 P(-2) = - 7 P(1)=m + n P(-2)= -2m-n ...(i) ...(11) 3m = 15=» m = 5 5 + n = 8 ==n - 3 R(x) = 5x + 3 3. r = O Calcuiar ‘'m" para que el polinomio: { x ' + y^ + z y ■+ m(x^ + y" +- z") sea divisible por x + y + z. Resolución: 4. (2x^’ - 5x’^ + 4x - 11 ) (X + 1) (2x^' - 5x’^ + 4x - 1)(x + 1) Sabemos que: (x" + / -f + mix“ + y" + z‘ ) = (x + y + z)q(x; y; z) Por el teorema del resto: x + y + z = O En consecuencia pueden darse valores adecuados a (x; y: z) de modo tal que su suma dé cero: Transformando el dividendo: [2(x")’° x - 5 ( x y x + 4 x - l](x + 1) x^+ 1 Asi, para x = 0;y = 1 a z = -1 ; se tiene; (O + 1 + + m(0 + 1 + 1) = (O + 1 - 1)q => 4 + 2m = O m = -2 Por el teorema del resto: x ^ + 1 = 0 = x ^ = - 1 Luego se tendrá; r„„,(x) - (2x + 5x + 4x - 1)(x + 1) ( x + 1 ) ( x ^ - x + l) ~ x’ + l _ (1 1 x -1 )(x + 1 ) (x + 1) Hallar el resto al efectuar: ( x - m x + 2):(x-1)(x-2) = 11X - 1 Resolución; Sabemos que: (x - 1}'°(x + 2) = (x - 1)(x - 2)q(x) + R(x) Dividiendo por ( x - 1 ) ; ^ COCIENTES NOTABLES Son casos especiales de división exacta entre divisores binómicos de la forma: (x-1)V + 2 ) - ( x - 2 ) q ( x ) + ^ Donde: x; a : bases ( x- 1) ^( x + 2 ) - ( x - 2 ) q ( x ) + R' Parax = 2; (1)®(4) = R' R '= 4 R(x) R(x)= R'(x - 1) x -1 R(x) = 4 (x - 1) = 4x - 4 Pero; R’ = 5. Hallar el resto ai efectuar: + - 4(x + 2 f + 5(x + 2 f^ + 3(x + 2 f - 7 + x' + 4x + 5 (X Resoiución; Como: d(x) = x^ + 4x + 4 + 1 = (x + 2)* + 1 Haciendo: (x + 2)' = y Luego; D(y) = y"' - 4y^’(x + 2) + 5y’^ + 3y(x + 2) - 7 d(y) = y + 1 R(x) = D (-1) = (-1 )"’ - 4 ( - 1 f ( X + 2) + 5 (-1 )’^ + 3(-1)(x + 2 ) - 7 R(x)= - 1 + 4 x + 8 + 5 - 3 x - 6 - 7 R(x) = X - 1 n e IN Estudio del caso; - — — x -a Cálculo dei resto Por el teorema del resto: x - a = 0 = > x = a R = a" - a" = O Es un cociente notable (CN). Cálculo del cociente Por Ruffini: 1 x -a = 0 X= a a 0 Ix "’ 0 - 0 0 a . . a" a"~' ax"-" a V -^ . . a"-'x a "-’ -a " a" 0 Luego: x - a ' = x"’ ’ + x"'"a + x"’ V +... + x'a"’ " + a""' Ejemp <<l RESIDUOS ESPECIALES X + x a + x‘a + xa Son residuos que requieren de ciertas transformacio nes y o adecuaciones de modo tal que se pueda em plear el teorema del resto en forma coherente. Sea; D(x) = d{x)q(x) + r(x) y M(x) ^ O 1, a D(x)M(x) = [d(x)M(x)]q(x) + r(x)M(x) (X) r(x)< Cálculo del término general Del cociente encontrado se observa: t, = x^'â" = x" â tj = x ^ 'V t.. = x " - V M (x ) 2. M(x) r(x) < t, = < > ^ q (x ) +- í^ M (x)^' M(x) ,(x) Ejemplos: 1. r„ o(x)M(x) Ejemplo: , Hallar el residuo en; Resolución; + 4x - 1 x ^ - x f ò r m u la d e l t é r m in o g e n e r a l + 1 Multiplicando y dividiendo convenientemente por ¡x -i-1): Hallar el desarrollo en cada uno de los casos: = x®+ x®a + x“a^ + XV ... xa® + a' x -a 3 2 x^-a ^ 2x - a {2 x f-a ^ 2x - a = (2x)" + (2x)"a... + a^ nomio suma, los términos de cociente serán alter nados (positivos los de lugar impar y negativos de lugar par). x'-a^ x^-a^ x~^ - a~ = No es cociente notable X- a 1 1 X ~ Q = No es cociente notable X- a x®-1 x-1 x ^ - 1- = x“ + x^ + x^ + x + 1 x-1 x '^ -1 x'-l (x ^ f-1 ^ = (x^)^ + (x^)' + (y^f + (x^) + 1 x"-1 (x-i-af-a^ X (x + a f- a = (x+a)' + (x + afa + ...+a^ (x+a)-a (x + a f - ( x - a f _ (x + a / - ( x - a f _ 2a X- a X- a + X + 5. Para calcular un término contado a partir del extre mo final (o del lado derecho), basta con intercam biar simultáneamente las bases y aplicar la formula conocida del término general. Ejemplo: Si: 3, ^ . ( x ^ r - ( i r X x*-^- a" es un cociente notable. Demostrar que: — = - = constante = número de términos P q Dados los desarrollos, hallar el cociente al que per tenece; X Solo si el número de términos es par. existirá un único término central cuyos exponentes de sus ba ses serán respectivamente iguales. (x + a ) - ( x - a ) (x + a f + (x + a f{x - a) + ...+(x - a f 2. 4. x - ^~i O«nôstrac(ór\'. (vP)"^ - ía°)^ Dándole la forma adecuada: -i— '■----- — — x''^- a" Para que sea CN necesariamente los exponentes de las bases deben ser iguales, luego: — = - = constante = número de términos P q Ejemplos: 1. x® + x"a" + x‘ a' + a” = x ° - a ° Calcular “m” para que la expresión; A _ %.3 m - 5 y genere un cociente notable entero. x’° + x®a" + x®a' + x V + x V + a'" = Resolución; Por propiedad: 2m + 3 3m - 3 2m + 1 3m - 5 Estudio de los cuatro casos Caso ^ x "-a " X — a Condición (r-0 ) es un CN Cociente (n términos) Término general => 2m = 12 => m = 6 + + -t-... + Reemplazando: o x" + a" no es un CN X- a ^ x" + a" x+a x"-a" X+ a +- + 2. (-(•) lugar impar (—) lugar par Leyes de un cociente notable 1. 2. 3- x'"-y' x '" - y ' Obsérvese que 15/13 no es entero. Nunca genera un cociente notable exacto. es un CN + - + -... + (n es impar) es un CN (n par) 6m^ - m - 1 5 = 6m^ - 3m - 3 El número de términos del desarrollo de un cocien te estará expresado por el exponente común de las bases en el numerador El polinomio desarrollado se caracteriza por ser completo y ordenado respecto a sus bases (en for ma descendente respecto a la 1.®) y ascendente respecto a la 2.® además de ser homogéneo. Si el divisor es el binomio diferencia, los términos del cociente serán todos positivos, pero si es el bi- Indicar el equivalente de: a®-b® +, a®+ b a - b ' a -I- b Resolución; Efectuando la primera y segunda división: a'' + a^b + a^b^ + ab^ + b'* + a" - a^b + a^b^ - ab^ + b^ 2(a‘’ + a^b^ + b“) -= 2(a^ + ab + b^)(a^ - ab + b^) Hallar el coeficiente de (x“®- 243) : (x^ - 5/3 ) en el cociente de: Resolución: Dándole una forma adecuada tenemos; (x')’' - (^/3 '^)^{x ^-'/3 ) Luego, por la fórmula del término general se tiene; t, = ( x T ' W ’ ' ...(I) Por fórmula: Si el exponente de x es 24: 3{15 - k) = 24 ^15-k = 8 ^k = 7 En (1) el coeficiente será: (V 3 f ^ = 9 4. Por dato: Determinar (m + n), si el t,, del cociente notable: Dedonde: X®- - x"’V ^ 2 "'- 1 = 15 ^ p = 2 También: 3" - 2® - 1 = 210 == 3" = 243 =* n = 5 Resoluciórt: Dándole una forma adecuada: Por propiedad: - = D = 7 x=-y' 6. Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente x“° - y " ° — — el término que tiene grado abx^ - y soluto 34, •(I) / notable: (y y ^ x -V ' Resolución: Por dato: x'"-"® y"'- x” 'y '" Cualquier término estará expresado por: = » m - 8 5 = 1 1 5 => m = 200 En (I): n - 280 => m + n = 200 + 280 = 480 5. t , - ( x T ^ ' y ' " ' - x ^ ‘’- V Por dato: 4 0 - 2 k + k - 1 = 3 4 ^ k = 5 Si en el cociente-notable: x^"’ ^ - y^"’ ^ el segundo término es x^210y,,IS. calcular E, Calcular el t „ en el cociente notable: Resolución: 4p n Dándole la forma adecuada; 1_1 + 2a - a ^ 1 - ( 1 - 2a + a^) Resolución: Transformando el cociente se tendrá: ? 3” - 3 -1 .2f> 1\2" (x^ -5 3*^-3 0 1—(a —l1)U t„ = a - 1 =^ ’ -(y ■ ■ Q 1. R E S U EL TO S PROBLEMAS 2a -,____ a' 1 - 2° / ? ^ l-(a-l)^ 1 - ( a - 1 ) ’''° - t , = ( i r " ’[ ( a - i r T B " " ' Por Horner: Si al dividir un polinomio P(x) entre (x^ + 1). el resto resultante es (x" + x - 1). Hallar el resto de dividir P(x) entre (x^ - x + 1). Resoiución: P(x)= (x^+1)q(x) + x^ + x - 1 P(x) = {x+1)(x^- X + 1)q{x) + x"+ x - 1 Se pide el resto de; — x^-x + 1 Por el teorema del resto: x^ - x + 1 = O =5 x"= X - 1 R(x)= O + ( x - 1 ) + x - 1 = 2 x - 2 2. Determinar a + b, si el polinomio: ax' + bx" - 26x’ + 30x" - 13x + 2 es divisible por: 2x^ - 3x + 1 Resolución: Como es divisible, la división es exacta. Se habrá dado cuenta que la división se ha efec tuado con los polinomios ordenados en forma cre ciente. Luego: a = 6 a b = 1 a+ b= 7 3. Determinar el polinomio P(x) de 4.° grado, tal que sea divisible entre (3x^ - 2) y que al dividirlo sepa radamente entre (x - 1) y {x + 3), los restos obteni dos sean, respectivamente: - 5 y -249 4. Resolución: Reemplazamos 'n" por 4p: P{x) de 4.' grado y divisible entre (3x^-2). ^ P(x) = (3x^-2){ax + b) • P(x) = ( x - l) q , ( x ) - 5 ^ P ( 1 ) - - 5 • P{x) = ( X + 3)q 2 (x) - 249 = P{-3) = -249 P(1) = (1){a + b) = - 5 =»a + b = - 5 P{-3) = (-81 - 2){-3a + b) = -249 => -3a + b = 3 Resolviendo: a = -2 a b = -3 =, P(x) = (3x^ - 2)(-2x - 3) P(x) - 6x* - 9x^ + 4x + 6 m(4p)p - 5mp - 4(16p^) = O 4mp - 64p = 5m = 4p(m - 16) = 5m De aqui: 7. Si P(x) es un polinomio de quinto grado divisible entre (2x'‘ - 3), al dividir P(x) separadamente entre (x + 1) y (x - 2), los restos obtenidos son, respecti vamente, 7 y 232. Determinar la suma de los coefi cientes del polinomio P(x). 3x®+ mx^ + nx^ - x + 2 x" + 3 da como residuo 5 x -1 0 , hallar el valor de: T= m + n Si la siguiente división: Resolución: 3x^ + mx^ -(- n x " - X + 2 . : R(x) = 5x - 10 x ^ +3 Dividimos por Homer: Resolución: P(x) es de 5.° grado y divisible entre (2x^ - 3). ^ P(x) = (2x"-3)(ax + b) • P(x) = (x + 1)q,(x) + 7 =*P(-1) = 7 . P(x) = ( X - 2)qz(x) + 232= P(2)= 232 P (-1)= (2 - 3)(-a + b) = 7 = a - b = 7 P(2) == (32 - 3)(2a + b) = 232 =» 2a + b = 8 Resolviendo: a = 5 a b= -2 = P(x)= (2x" - 3)(5x - 2) Icoef(P )=P (1) = (-1)(3)= -3 5. R(x) = (26 - 3m)x + (2 - 3n) = 5x - 10 Observamos que: ♦ 2 6 - 3 m = 5 =»m = 7 Determinar el conjunto: -y -y n e lN / es un cociente notable • Resolución.2 n - 4 _ n - 1 = p, p e M n- 2 n-3 =» 2(n - 3) = n - 1 a n?^2; 3 =» n = 5 + Dx + Cx + D exacta, hallar D x'+E una relación entre los coeficientes de la división. Reemplazando: p = 2 e IN Resolución: ^ n -2 _ y n -í 6. 8. 2 - 3n = -1 0 ^ n = 4 T= m + n = 11 R = {5} Si la división: ^ Por Horner (completar el dividendo) Si la siguiente división: (3mx^ + 3nx‘* + (5m^ + 3p)x^ + 9mnx^ + mnpx+n^) (mx^-(-nx+p) es exacta, hallar el valor de: T = — (m - 16) m ' Resolución: Dividimos por Horner: m 3m -n 3n (5m^-i-3p) 9mn -3 n VJ -P 3 0 -3 p 0 ■VI 5m mnp n^ Observamos que: ♦D-E=0 ^D=E 0 -5m n -5m p 4n Observamos que: . = 4np = 0 => n" = 4np mnp - 5mp - 4n^ = O • C - f -4n^ -4pn 0 0 Te}® A= C AD = EC 9. n = 4p =0 Si la siguiente división: (x* + x’ + ax^+b) -í- (x^+x^+cx+1) es exacta, hallar el valor de: T= abe (x - 1)(x - Resoiución: 6)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - Dividimos por Homer (completar el dividendo); 1 -1 0 ' 1 -c 1 a -c -1 1 c c- -1 - b 1 0 1 (2 - c) 0 2 (c' - 2c) c - 2 0 0 División exacta • • a - 2 c - 3 - 0 ...(!) c' ' 2c - 1 = O - (c - 1)^ = O ^ c = 1 10. Calcular el residuo de: (X ■ 5 ) ’ = + (X - 6)" + 6 (x -5 )(x -6 ) Resoiución: Sea R(x) = ax + b el residuo (de 1 grado, pues el divisor es de 2.' grado). Por el algoritmo de la divi sión: ( X - 5)’- -(• ( X - 6)"+ 6 = ( X - 5)(x - 6)q(x) + ax + b Si x - 5 : - 1 + 6 = 0-t-5a + b=»5a- ^ b = 5 Six = 6: l +6 = 0 + 6a - r b - :> 6a + b = 7 Resolviendo: a = 2 a b = - 5 R (x)= 2 x -5 11. Si "n" es un número naturai impar y múltiplo tíe 3, determinar el resto en la siguiente división: (x'" x" + 2) + (x' - X + 1) Resoiución: Multiplicando por (x-t-1) al dividendo y al divisor (tenga en cuenta que el resto también queda multi plicado por x +1 ). se tiene (x^Vx^ ^ 2 ) ( x - 1) x^"' ’ + x"'~'rx'^~’ + x^ + 2x + 2 ( X ^ - X + 1){x + 1) X^-r 1 Por el teorema del resto: x^ + 1 = O = x^ = -1 Acomodando el dividendo (n = 3): 2n 2 £ P(x)= (X')^x + (x V + (x V x + (x^)^ + 2x + 2 Reemplazando: (— es par 2r ^ a impar) n n Rp(x) = ( - 1)^x + ( - 1 )^+ (- 1)^ x + ( - 1)’ + 2x + 2 ^ Rp(x) = x + 1 - x - 1 + 2 x + 2 R,(x) - 2(x + 1) Luego: R , ( x ) = ^ = 2 12. Hallar el resto de la siguiente división: (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x 4 )( x -5 )(x -6 ) x" - 7x + 11 Resolución: Ordenamos el dividendo: (x "-7 x + 6)(x -- 7x+ 10)(x"-7 x+ 12) x ^-7 x + 1 1 Por el teorema del resto: x" - 7x+ 11 = O = - 7x = -11 ^ R(x) = ( -11 + 6)(-11 + 10)(-11 + 12) R (x )-(-5 )(-1 )(1 )-5 13. Determinar ei residuo de dividir: (x^^^í 4- x^ - 2) entre (x“ - x" + 1) Resoiución: (x^-° + x ^ - 2 ) ( x ^ ^ 1) En (I). a - f 2 - 3 = 0 - a = 1 • b-^ c -2 = 0 = b = 1 T = (1)(1)(1) = 1 2) x " - 7x (11 ^ (x^^° + x^-2) (x^ 1) ( x " - x '+ 1)(x "+ í) ^ x ®+1 Por el teorema del resto: X®^ 1 = O ^ X«= -1 . P{x) = [(x Y V + x ' - 2Kx"+ 1) . Rp(x) = [ { - 1) V t x' -- 21(x" + 1) => Rp(x) = (x^ - x‘ - 2)(x" + 1) ^ R(X) = x^ + 1 = x' - x' - 2 Como este no tiene grado menor que el divisor, en tonces: x" - x^ + 1 = O =• x'* = x" - 1 R(x) = (x")x - x"- 2 = (x' - 1)x - x^ - 2 R(x)= x^ - x^- X - 2 14. Un polinomio P(x) de sexto grado al ser dividido por (x + 1)^, arroja un cociente entero g(x) y un residuo: 3x + 2. Si g(x) tiene como coeficiente principal al número 7, y ta suma de los coeficientes de P(x) es 325. Determinar el término independien te de g(x). Resoiución; P{x)=(x+1)^g(x) 3x = P(x) = (x+1f { a x + b) + 3x + 2 Coeficiente principal de g(x)= 7 =. a = 7 P(1) = 325=(2)V+b) + 5 ^ b = 3 Tl(g)=b=3 15. Si P es un polinomio definido por: P(x) = ax* + bx^ + cx - 8, tal que el residuo de divi dir P(x) entre (x + 3) es 6, Hallar el residuo de dividir P(x) entre (x-3), Resoiución; P(x) = ax^+bx^+cx - 8 ...(I) P(x) - (x + 3) R = P(-3) = 6 En (I): R = P(-3) = -243a - 27b - 3c ^ 243a + 27b ^ 3c = - 1 4 ...(II) Nos piden: R = P(3) En (l): R = P(3) = 243a + 27b + 3c - 8 Con (II): R = -14 - 8^ -22 8= 6 16. Si al dividir P(x) por x“-1 dacomorestoR(x)=2x" - 1, hallar el resto de dividir [P(x)]^ por x^ - 1. Resolución: P(x)^ (x^ - 1) ^ R(x) = 2 x ^-1 ^ P(x) = (x‘ -1)q{x) + (2x^-1) Elevando al cuadrado; [P(x)]^ = [(x ^ -1 )q (x )+ (2x^-1 Nos piden ei resto de [P(x)]^ (x^ - 1) Por el teorema del resto; x" - 1 = O == x" = 1 En(l): R = [{1)'-1]q(x) + [2 (1 )-1 f .• R = 1 17- Después de efectuar la siguiente división; (ex“ - 4x^ + x^ + lOx - 2) -i- (3x + 1), indicar cual de los siguientes enunciados son correctos; I. El polinomio cociente es 6x^ + 3x + 9. II. El resto e s -5II!. El término independiente del cociente es 3. (n - 1) coeficientes .-. Q(1) = 1 + {n - 1){n + 1) = n" 20. Si R(x) = Bx^ + Cx es el resto de la división —■ + Bx + 2 (determinar el valor de: 3x^ - X + 1 T = A - 3B + C Resolución: Reconstruyendo la división por el método de Homer: 3 6 3x + 1 = 0 6 -4 - 4 1 6 2 -2 -6 -2 1 2 10 -2 -1 - 3 3 9 3 1 De donde: ■3- = -5 h i 12 e a b j N 2 k L P F 20 e -28 d g Determinar el valor: ab + j + N + ad - g Resolución: Del esquema; ab = 12, j + N = 2; ad = -28 a g = -8 ab + j + N + ad - g = 12 + 2 - 28 - ( - 8) = -6 Sea Q(x) el cociente de efectuar la división; (x" + nx"’ ' - n - 1) ^ ( x - 1), calcular Q(1). Resolución: Por Ruffini: n coeficientes 1 2 -2 n 0 0 0 .. 0 1 6 2 B C 0 A = 18 T = 29 El siguiente esquema representa una división por el método de Ruffini. x= 0 B -6 1 -1 0 2 B = - 5 A (B + 1 = C ^ C = -4 ) Luego: T = A - 3 B + C = 1 8 - 3 (-5 ) - 4 I. Elpolinomiococientees;q(x)=2x^-2x^+x+3 (F) II. El resto es; R(x) = - 5 (V) III. El término independiente del cociente es q(0) = 3 (V) Son correctos; II y III =0 0 6 0 6 ■M +3 x -1 0 3 Por el método de Ruffini: 19. 3 -1 Resolución; 18. A 0 0 - n -1 n+1 n+1 n+1 , . n+1 n+1 n +1 n+1 n+1 n+1 n+1 . . n+1 n+1 0 ( n - 1) coeficientes Q(1 ) es la suma de coeficientes del cociente Q(x); 21. Si el residuo de dividir: (ax^ + ax^ - 4x + 2a) entre (x^ - bx + 2) es 2x. Determinar la suma de coefi ciente del cociente. Resolución; Usando el algoritmo de la división: ax^ + ax^ - 4x -f- 2a = (x" - bx + 2)q{x) + 2x Donde q(x) es de primer grado, ax^ + ax^ - 4x + 2a = (x^ - bx -h 2)(mx + n) + 2x Notar que; m = a a n = a ax^ + ax" - 4x+ 2a = (x^ - bx + 2)(ax + a) + 2x = ax^ + (a - ab)x" + (2a - ab -1- 2)x + 2a =» a = a - ab A 2a - ab + 2 = - 4 =»ab = O A 2 a = - 6 = » b = 0 A a = - 3 q(1) = 2a = - 6 22. Sea el polinomio definido por: P(x)= x^ - ax" + bx + c, tal que P(x) es divisible separadamente entre ( x - a). ( X - b)y (x -c ), hallar el valor de T = a + b + c, con b # 0. Resolución: P(x) = - ax" + bx + c Si P(x) es divisible separadamente entre (x - a), (x - b) y (x - c), entonces lo será por su producto. - P(x) = ( X - a)(x - b)(x - c)Q(x) Luego, efectuando: x^ - ax" -I- bx + c = x^ - (a + b + c)x^ + (ab + be + ac)x - abe Identificando coeficientes; • - a = - a - b - i - c =»b- i - e = 0 ...(a) • b = ab 4- be + ac b = a(b + c) + bc =>b = b c = » c = 1 '~ 0 ~ ' En (a); b= -1 • c - -abc =» ab = -1 => a ( - 1) = -1 =» a = 1 a+ b+ c= 1 23. Sea P un polinomio (definido en x), tal que P(x) es divisible separadamente por (x" + x - 6 ) y (x^ + X - 2). Hallar e! resto que se obtiene de dividir P(x)+(x" + 2 x-3 )(x" - 4) Resolución; P(x) es divisible por (x" + x - 6) P(x) es divisible por (x" + x - 2) => P(x) es divisible por el producto de: (x^ + X - 6)(x^ + x - 2) Observamos que; (x^ + x - 6) (x^ + x - 2) P (x )- (X + 1) ^ R = P (-1 ) = ? =» P(x) será divisible por el producto de (x" - 9)(x - 1). - ,P (x U (x '-9 )íx -1 )Q(x) 4,°G 3.°G 1.°G De aquí; Q(x) = ax + b Donde, además; a = 3 P(x) = (x" - 9)(x - 1)(3x + b) • P(2) = (-5)(1)(6 + b) = -50=> b = 4 P(x) = (x^ - 9)(x - 1)(3x + 4) . P ( -i) = (-8)(-2)(1) R = p (_ 1 )= 1 6 26. Hallar el número de términos del cociente notable: Resolución: ^ i7 ,5 _ y 8 rs j( X _ 2 X 2 = (x + 3 ) ( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x + 2) = (x^ + 2x - 3 )(x"- 4) Como P(x) es divisible por el producto de; (x^ + 2x - 3)(x" - 4). El residuo de dicha división es 0. 24. De X" - y _ 17,5 _ 8,75 _ N.° de términos del CN = = 35 1/2 1/4 27. El esquema siguiente muestra la división de dos polinomios según la regla del Horner. -2 b d bd 3d Si el desarrollo del siguiente cociente notable; ^ tiene un término de la forma d f ;b = a bf cf e c -I- e X a(x^ - 1f , hallar el valor de: T = a + b Hallar el valor de; T = a' + b' + c' + d" + e" -h f" Resolución; Resolución; Escribamos en la forma de cociente notable; a (x + 1)^' + ( x - 1 ) ’ b (x + 1)’' + ( x - 1 ) ’ = 2 2x = 2 Ahora, supongamos que el término de ia forma a(x" - I f ocupa lugar k. t, = 2 [ ( - i r ’(x+ 1)"-^(x - 1)^-'] = a(x" - D" Obsérvese que se debe cumplir: 11-k = k -1 = k = 6 Reemplazando tenemos: -2(x" - 1)* = a(x" - 1)“ Comparando: a = - 2 a b = 5 T= 3 25. Si un polinomio P(x) de cuarto grado, cuyo coeficien te del término de mayor grado es 3, es divisible por (x^ - 9) y por (x - 1 ). Si al dividir P(x) entre (x - 2) se obtiene como residuo -5 0 , hallar el residuo que se obtiene de la división de P(x) entre (x -i-1). Resoiución: Datos: P(x) es de 4.° grado, donde el coeficiente principal vale 3. P(x) es divisible por (x" - 9) P(x) es divisible por (x - 1) P(x) + (X - 2) ^ R = P(2) = -5 0 -2 b d bd 3d c (x+1)’' + ( x - 1 ) ' (X+1) + (X -1) e d f c bf cf e c Dato: b = a + 6 Del esquema: ^ = d e = ad ...(I) a de = 3d =» c = 3 - 2 b + bd 3 -f ...(II) • 4d + bf = e ...(III) • e + cf = e =>f = 0 En (II): -2 b + bd = O =» bd = 2b = d = 2 En (III): 4d = e = e = 8 En (I): 8 = a(2) ^ a = 4 En el dato: b = 12 T = 16 + 144 + 9 + 4 + 64 + O = 237 28. Si P es un polinomio definido por P(x) = ax" + bx^ + c, tal que si la diferencia de los restos de dividir, res pectivamente, entre: x" -t- 1 a + 1 es 2(x + 2), Hallar el valor de: T = ab Resolución; Dato; P(x) = ax" + bx^ + c • Hallemos el resto de P{x) + (x^ + 1) PorTRix^ + 1 = 0 ^ = -1 P(x) = a(x^)^ + b{x^)x + c =5- R,(x) = a(-1)^+ b { - l) x + c R,(x) = -b x + (a + c) • Hallemos el resto de P(x) (x^ + 1) PorTR; x^ + 1 = O =. x^ = -1 P(x) = a(x^)x + b(x^) + c « Rj(x) = a(-1)x + b (-1 ) + c Rz(x) = + (c - b) Por dato: R,(x) - R2(x) = 2{x + 2) =» ( - b + a)x + (a + b) = 2x + 4 Observamos que: a - b = 2A a + b = 4 =» a = 3; b = 1 T -{3 ) (1 ) = 3 29. Dada ta siguiente división: 3 + (x - 3 f ' + x^ - 26 + 27x - 9x^ n c Z‘ hallar el resto. Resolución: D(x) = 3 + ( X - 3)'"*^ d(x) = x^ - 9x^ + 27x - 26 Por TR: x" - 9x^ + 27x - 26 = O x^ - 9x' + 27x - 27 + 1 = O = (x - 3 f + 1= O =» (X - 3)' = -1 Del dividendo: D = 3 + [(x-3)^}^"" ^ =» R = 3 + R = 3 + (-1 ) = 2 impar 30. Sea P(x) un polinomio que cumple: Por ser identidad, damos valores; x = 2 => 0 = 0 + 2a + b => 2a + b = 0 ...(I) x = 1 =»0 = 0 + a + b = 5 a + b = 0 ,..(il) Resolviendo (l) y (ll) se obtiene: a = Oa b = O .-. R(x) = Ox + O = O 32. Hallar el resto en: X + x'"" + 1 x "- 1 x- 1 Resolución: Multipliquemos dividendo y divisor por (x - i; x + x'^^+ 1/ x - 1' x"-1 l x - 1 , x=- 1 x- 1 ^200 _ ^199 ^ x'-1 Por el teorema del resto: d = x * - 1 = 0 = > x ® = 1 Del dividendo: D = (x^)'“’ - (x^)^V + x^ - 1 Luego: R’ = (1)^“ - {1 )'V + x' - 1 R' = 1 - x^ + x^ - 1 =, R' = - x^(x^ - 1) ^ R’ = -x '(x + 1)(x - 1) Para hallar el resto (R) debemos dividir — — ; X — R= R' x - 1 1 = - x ‘^(x + i; 33. Si al dividir P(x) / ax'' + bx^ + cx^ + 3x + 1 entre x^ - x + 1 se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es 22 y un resto R(x) = 10x - 1, hallar a+ c Resolución: P(x) - P(x - 1) = 2x(2x - 1), hallar ladiferen cia de los residuos quese obtienen al dividir P(x) entre (x - 1) y {x + 1), respectivamente. Resolución; P(x) - P(x - 1) = 2x(2x - 1) ...{i) El resto de dividir P(x) <x - 1) es; R = P(1) El resto de dividir P(x) + (x + 1) es; R = P ( - 1) Lo que nos piden es: P(1) - P{-1) En (I): = 1 = P(1) - P(0) = 2 © = O = P{0) - P {-1) = O ••• P (1 )- P ( -1 ) = 2 X • 1 -b-c = -1 ^ b + c= 2 ...(II) Restando (ll) menos (I): a + b = - 5 Por dato; q(1 ) = a + (a + b) + (b + c) = 22 X 31. Calcular e! residuo de la división siguiente; (x-1)^-(x-2)^-1 x^ - 3x + 2 Resolución; d(x) = x ' - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1) El divisor es de segundo grado, luego el máximo grado del resto es 1, implica que el resto tomaria la forma: R(x) = ax + b Sabemos que; D(x) = d(x)q(x) + R(x) ^ (X - I f - (X - 2)' - 1 = (x - 2)(x - 1)q(x) + (ax + b) a - 3 = 22=»a = a + c = 57 2 5 A C = 32 34. Al dividir F(x) entre (4x‘ - 9)(x + 3) se obtuvo como residuo 2(x - 3)^. Hallar el residuo de dividir F(x) entre (2x^ + 9x + 9). Resolución: 4x^ - 9 s (2x + 3)(2x - 3) Por identidad fundamental: F(x) = (2x + 3)(2x - 3)(x + 3)q(x) + 2(x - 3)' F(x) = (2x - 3)(2x' + 9x + 9)q(x) + 2x^ - 12x + 18 descomponemos Resoiución: 2x" - 12x + 18 = (2x^ + 9x + 9) + (-21x + 9) F(x) = (2x^ 4- 9x + 9)[(2x - 3)q(x) +1] + (-21x + 9) GA(P) = 4 A P(x) divisible: x" - 1 ^ ^ ) = (x ^ -1 )q ^ 4.' 2.’ P(x) = (x^ - 1)(ax^ + bx + c) D(x) . P(x) deja resto: R,(x) = 2x - 6 x"+ 1 Por el teorema del resto: x' + 1 = 0 =»x " = -1 En (1): R,(x) = (-1 - 1 ) ( - a +bx+ c) = 2x - 6 -2 b x - 2 ( c - a) = 2x - 6 =sb=-lAc-a = 3 -••(«) II. — - deja resto: R2(x) = 6 - x x^-2 F(x) = {2x - 3)(2x^ + 9x + 9)q(x) + (2x^ + 9x + 9) + ( - 2 1 X + 9) d(x) Q(x) R(x) R(x) es el resto de dividir D(x) entre(2x^ + 9x + 9) R(x) = - 21x + 9 4 2 35. ¿Qué valor toma pq en: ^ + ,9 ^^le modo que X + X -t-1 su resto sea idéntico a 3x + 4? Resolución; 1 -1 -1 1 1 0 -1 -1 p -1 1 p 0 q 1 -P -P Por el teorema del resto; x " - 2 = 0=>x^ = 2 En (1): Rj(x) = (2 - 1)(2a + bx + c) = 6 - x =>b=-lA2a + c = 6 ,..(|3) De (a) y (P): a = 1 a c = 4 ^ P(x) = (x' - 1)(x' - x + 4) T1(P) = P(0) = -4 (1 -p ) (q-p) resto Como; (1 - p)x + (q - p) = 3x + 4 (dato) p = -2 1 -p = 3 pq q- p= 4 q= 2 36. En la división siguiente: 3xV 6bx^+ x + a x‘^ - x + b se sabe que el resto es; 2x + 3; además ta suma de coeficientes del cociente es mayor que 15. Cal cular ab. .( 1 ) 38. 2x” ^ + 1 Si la siguiente división;----- ^ — es inexacta, ha1 + x^ - x llar el residuo. Resoiución: De; 2 x "''+ 1 ...(I) X^ - X + 1 Recuerde que si; D(x) = d(x)q(x) + R(x) = D(x)M(x) = Ld(x) X M(x))]q(x) + R(x)M(x) Esto es, si at dividendo y divisor se les multiplica por M(x) (M(x) ^ 0), entonces el resto también que dará multiplicado por M(x). Resolución: (2x’’^+ 1)(x+ 1) (x^ • x+1) ( x 1) 2j^119 x + 1 Por (x + 1): 2x’“ ...(II) x^+ 1 Por el teorema del resto en (11): x H 1 = O => x ^ = - 1 P (x) R f(x ) = =» • • b" - 5b + 6 - 2 b' - 5b + 4 = O =» (b - 4)(b - 1) = O =» b = 4 V b = 1 a - 5b = 3 Si: b = 4 =. a = 23 Si: b = 1 => a =8 Observe que cuando b = 1 a a = 8, suma de coeficientes del cociente sale mayor que 15 pero no cuando b = 4 = > b = l A a = 8 ab = 8 37. Sea P un polinomio de cuarto grado divisible por (x" - 1). Si P(x) se divideseparadamenteentre (x^ + 1) y (x" - 2) tos residuos son(2x - 6)y (6- x) respectivamente, hallar el término independiente de P(x). 2(x^)*° + 2 ( x ^)^®x ^ + 2 ( - 1 ) “° + R p (x) = - 2x" + 2 ( - 1 ) ' V X + 3 = + x + 1 1 x - ( - 2 x + 3)(x + 1) Luego, el resto de (I) será: ( - 2 x + 3)(x + 1) r (x) = 5 eM _ _ ' ' X+1 X + 1 R(x) = -2 x + 3 39. Si P es un polinomio de cuarto grado, cuyo coefi ciente principal es 6, tiene como término indepen diente -4 ; es divisible separadamente por (x + 1) y ( X + 2) y al dividirlo entre (x - 2) el residuo es 240, hallar la suma de coeficientes de polinomio P. Resolución: GA(P) = 4; CP(P) = 6; TI(P) = - 4 P(x) es divisible entre (x + 1) y (x + 2) ^ ^ ) = (x + 1)(x+2)q^) 4.* 2.“ => P(x) = (X + 1)(x + 2)(ax^ + bx + c) CP{P) = 8 = 6; TI(P) = 2c = - 4 = c = - 2 =» P(x) = {X + 1)(x + 2)(6x' + bx - 2) P(x) deja resto; R = 240 Además; x -2 ^ P(2) = R = 240 =. {3)(4)(24 + 2b - 2) = 240 ^ b = -1 => P(x) = (x + 1)(x + 2)(6x^ - X - 2) P(1) = (2)(3)(3)=18 40. Si P es un polinomio, ta! que a! dividir P(x) entre (X® + X + 1) se obtiene como residuo {-x^ + 1). hallar el residuo que se obtiene al dividir P(x) entre {x' + X + 1) Resolución: P(x) = (x® + X + 1)q(x) + (-x^ + 1) P(x) = (x^ + X + 1)(x^ - x^ + 1)q(x) + (-x^ + 1) P(x) , apliquemos el x+x+1 teorema del resto; x^ + x + 1 = O => -x^ = x + 1 => R(x) = O X q(x) + (x + 1 + 1) .. R(x) = X + 2 Para calcular el resto de 41. Si un término del cociente notable que resulta de dividir; . ^ ^ es x’^ Hallar el valor de m + n. Resolución: x^-y" Se tiene: y 3 . . m - 3 „ m + 2 Ay y Dándole la forma; 1 y - 3 grado absoluto 40. Calcular el grado absoluto del t . , 2. contado a partir del primero. Resolución: El término “k” contado a partir del final es el mismo término que se obtiene invirtiendo el desarrollo del cociente notable, lo cual se logra, cambiando de signos, así: y 3 0 -^ 7 5 y^-x= (y^)-(x^) Cálculo del término k: (invertido el orden) Dato; (GAtJ = 40 = 30 - 2k + 5k - 5 ^ 3 k = 15 ^ k = 5 =í Nos piden calcular e l ^ ^ 2 =■ t, {sin invertir) 5 GA(t7) = 40 + 12 = 52 43. Si al dividir: abx® + b^x* + bcx^ - abx + acx^ + c^ ax + bx + c . b(a + c) se obtiene por resto: acx, calcular: Resolución: Por el método de Horner; 1 x -y ’ (x^)^-(y^) 5 x'-y' Se cumple que; y = m + n » 5m = 3m + 3n =9 2m = 3n 2m Sabemos que un término cualquiera del desarrollo estará expresado por; -3yk 1 / „ 3 \ T - l > / , . 5 s k - 1 ____ = X Por dato, uno de sus términos es x'^ en conse cuencia; De donde: R(x) = (-a b - bc)x = acx (dato) =» - ab - be - ac => ab + be = -a c • *^(3 + c) _ ^ ac 44. Calcular “n” sí el residuo de la división: (x + 3)"(x + I)'* + nx(x - 1)(x + 5) + 1 (x + 2)^ es: 2(1 - 18x); n es par De donde; • m - 3k = 12 ^ m = 3k + 12 ...{II) • 5 k - m - 2 = 0 = 5 k - 3 k - 1 2 - 2 = 0=>k = 7 Reemplazando el valor de k = 7 en (II); m = 3{7) + 12 =» m = 33 •í\ n = 22 E n ,,):„ = Í M Luego: R = { - 4 + 3)" + nx(-4 - 5) + 1 m + n = 33 + 22 = 55 42. Si el término “k" contado a partir del extremo final del desarrollo del cociente notable: Resolución: Por el teorema del resto: d = x^ + 4x + 4 = O => x^ + 4x = - 4 Del dividendo: D = [{X + 3){x + 1)1" + nx{x - 1){x + 5) + 1 D = (x" + 4x + 3)" + nx{x^ + 4x - 5) + 1 X -y tiene Como "n” es par, entonces: R = 1 - 9nx + 1 = -9 n x + 2 Por dato: -9 n x + 2 = -3 8 x + 2 =9 —9n = —36 = n = 4 45. Hallar el resto en la división: 48. Al efectuar la división: ( x+1) ( x + 2) Resolución: Se tiene que: D(x) = + Ox^ + Ox + O d(x) = x" + 3x + 2 Por el método clásico: x^ + Ox^ + Ox + - x^ - 3x" - 2x - 3x^ - 2x + 3x" + 9x + 7x + Se obtuvo un resto R(x), hallar el valor de:. R ( - 1 ) R(1) Resolución: Se tiene que: d(x) = x^ - x" + O Resolución: Por el teorema del resto: d(x) = ax" - b = O =» x" = b/a Del dividendo, dando forma: D = 3 (x 'f - 5(x")"+ 3(x")x + 3(x") - 5x - 5 Para que sea la división exacta: R(x) = O X+ 3 ( b f _ 5 ( b f + 3 (b)-5Ì \a l \a l [a l =0 De aquí: 3 ( | | - 5 - O ^ 3b = 5a Como "a" y "b" e Z * : a = 3 A b = 5 47. Si se sabe que la división de: F(x) = ax" + {3a - b)x""’ + (5a - 3b)x"”" + (7a - 5b)x'’-^ + ... de (n + 1) témiinos, entre ax - b, da como residuo 11a; (a b). Hallar el valor de “n’’. Resolución: Efectuamos la división por Ruffini. para esto ana licemos tos coeficientes del dividendo, nótese que posee (n + 1) términos. 1 coef. = a 2.“ coef. = (3a - b) = (2 x 1 + 1)8 - (2 x 1 - 1)b 3.®' coef. = (5a - 3b) = (2 X 2 + 1)a - (2 X 2 - 1)b 4.“ coef. = (7a - 5b) = (2 X 3 + 1)8 - (2 X 3 - 1)b (n + 1)." coef. = a = (2n +1)a - (2n - 1)b a (3a - b) (5a - 3b) I b 3b 3a (2n + 1)a - (2n - 1)b (2n - 1)b 5a.,,(2n-1)a (2n+1)a resto (2n -H 1)a = 11a n= 5 X - 1 = x^(x - 1) + (X - 1) • Factorizando (x - 1): d(x) = (x - 1)(x^ + 1) Luego; d(x) es de tercer grado, entonces el máximo grado de R(x) es 2; es decir; R(x) = ax" + bx + c Sabemos que; D(x) = d(x)q(x) -t- R(x), entonces (x^ + 1)® + (x - 1)^ -t- 3x = (x - 1)(x" + 1)q(x) + (ax" -i- bx + c) ...(I) • Por ser identidad, damos valores; x = 1 => 35 = a- i ' b + c ...(II) También se puede escribir en (I) así: (x" + 1)' + (x" - 3x' + 3x - 1) + 3x = (x - 1)(x" + 1)q(x) + (ax"+ bx + c) x^ = -1 =» - X + 3 + 3x - 1 + 3x = - a + bx + c => 5x + 2 = bx + (c - a) De aquí: b = 5 A c - a = 21 0 = 1 6 Pero b = 5 en (II): a-i -c = 3 0 j a = 14 ^ R(x) = 14x' 5x + 16 R (-1) 14^5+16 5 R(1) 14 + 5 + 16 7 x-3 O 6 6 = resto 46. En la siguiente división: 3x^" - 5x^° + 3x^ + 3x' - 5x - 5 ax" - b determinar el valor entero y positivo de “a” y “b", para que dicha división sea exacta, siendo: a < 4 3\(a- l) - 5 (x"+ 1)^ + ( x - 1)^ + 3x X ^ - x" + X - 1 49. Si el resto de dividir: P(x) = (2x^ + 6x + 9)"® - 3(x" + 3x + l<)” + 5 por d(x) = x" + 3x + 4 es 3, hallar la suma de los valores de k. Resolución; Por el algoritmo de la división; P(x) = d(x)q(x) + R(x) Donde q(x); cociente de la división, R(x) = 3 (2x" + 6x + - 3(x" + 3x + k)"* + 5 = (x^ + 3x + 4)q(x) + 3 [2(x" + 3x) + 9]"' - 3{(x^+ 3x) + k]"‘ + 5 = [(x" + 3x) + 4]q(x) + 3 Para anular q(x) =» x' + 3x + 4 = O =» x" + 3x = - 4 Reemplazando; [2(-4) + 9]*' - 3 (-4 + k)" + 5 = ( - 4 + 4)q(x) + 3 1“® - 3 (-4 + k)'** + 5 = 0 + 3=»3 = 3 (-4 + k)” =» 1 = ( - 4 + k)"" =. 1 = ( - 4 + k) =»-4 + k = 1 v - 4 + k = - 1 = » k = 5 v k = 3 .-. k = {3; 5} =» Ek = 3 + 5 = 8 50. Si el resto de dividir P(x) entre (x - 2) es el mismo que el dividir P(x) entre (x -1 ) e igual a 8, ¿Cuál es el resto de dividir P(x) entre (x - 1)(x -2 )7 Resolución: Por teoría: Si: P(x)+ (X - 2) =» R = 8 P ( x ) ^ ( x - 1) ^ R = 8 Entonces al dividir: P(x) (x - 2)(x - 1) El resto también será igual a 8. 51. Encontrar el resto de dividir un polinomio P(n) entre (2n - 1), si se sabe que el término independiente del cociente es 5 y además P(0) = 18, Ecuación fundamental: P(n) = (2n - 1)Q(n) + R 1.“ »Grado cero Datos: P(0) = 18 a Q{0) = 5 Para n = 0: P(0) = (-1)Q{0) + R 18 = - 5 + R R = 23 52. Al dividir un polinomio P{x) entre (x + 4) se obtu vo como residuo 13, al dividir el mismo polinomio entre (x + 2) el residuo es -5 . Hallar el residuo de dividir dicho polinomio entre: (x + 4){x + 2) Resolución: ...(I) ...(II) Resolución: Sea: P(x) = ax“ + (a + 1)x^ + (a + 2)x^ + (a + 3)x + (a + 4) Dato: P(1) = 35. luego: P(1) = a + a + 1 + a + 2 + a + 3 + a + 4 = 35 => 5a = 25 =» a = 5 Coeficiente del término lineal: a + 3 = 8 Coeficiente del termino cúbico: a + 1 = 6 8 + 6 = 14 54. Un polinomio entero en x, al ser dividido por (x - 1) y por (x - 2) separadamente, los residuos son 6 y 8. respectivamente. Cuánto se debe restar al poli nomio para que al dividirlo entre (x - 1)(x - 2). el cociente resulte exacto. P(x) + (X - 1) ^ R = 6 ^ P(1) = 6 P(x) + ( x - 2 ) ^ R = 8=^ P(2) = 8 Ecuación fundamental; P(x) = (X - 1)(x-2)q(x) + R Resolución: l- P(x) => grado; n + 1 II. P(0) = -3 III. 1 coeficiente; 1 IV. P(x) + (x'' -f-1) => R = O V. P{2) = -33, nos piden n De (l): grado son número enteros consecutivos, si se divi de P(x) entre (x - 1) el resto es 35, hallar la suma de coeficientes de los términos lineal y cúbico. Dato: 55. Un polinomio presenta las siguientes característi cas; grado (n + 1), término independiente -3, pri mer coeficiente 1, es divisible por (x" + 1 ). además P(2) = -33. Según lo mencionado, hallar "n". Ecuación fundamental: De (IV): P(x) = (x" + 1)Q(x) 53. Los coeficientes de un polinomio P(x) de cuarto Resolucíón: ...(I) ...(II) Resolviendo (I) y (ll): a = 2 / ^ b = 4=^ R = 2 x + 4 q(x) será exacto cuando se le reste; 2x + 4 Resolución: Datos: P(x) - (X + 4) => R = 13 ^ P(-4) = 13 P(x) - (X + 2) ^ R = -5 ^ P{-2) = -5 Ecuación fundamental: P(x) = (X +4)(x + 2)q(x) + R_ 2. “ 1.° De donde: R = ax + b P{-4) = O + {-4)a + b = 4a + b= 13 P(-2) = O + (-2)a + b == 2a + b= -5 Resolviendo {I) y (II): a = -9 a b = -23 R = -9x - 23 De donde; R = ax + b P(1) = o + (1)a + b ^ a + b = 6 P(2) = O + (2)a + b ^ 2 a + b = 8 (n + 1).° n.° I.” De donde: P(x) = (x" + 1)(ax + b) de (III): a = 1 P(x) = (x"+ 1 )(x + b ) ^ de (II); b = - 3 P(x) = ( x " + 1 ) ( x - 3 ) = de (V): (2"+1)(-1) = -3 3 n= 5 56- Al dividir el polinomio P(x) entre (2x^ + x + 3) se obtiene por residuo 6 y un cociente cuya suma de P(x) coeficientes es 9. Halle el resto en: x- 1 Resolución: Ecuación fundamental; P(x) = (2x^ + x + 3)Q(x) + 6 Además: Q(1) = 9 ^ R = P ( 1 ) = (2 + 1 + 3)Q(1) + R = 60 6 57. Calcular el mínimo valor de “k" de manera que en el cociente notable; Lti a +’ + b" •; para (m = impar) a"’ + b el grado absoluto del término que ocupa el lugar “k” exceda en (4m - 4) al grado absoluto del término que ocupa el lugar “k" contado desde la derecha. Resolución: Sea; (a"^ + (b) Si el desarrollo es un cociente notable entero nece sariamente: m = n.“ impar. Dato: GA(t,) - GA(tk) = 4m - 4 ...(a) r = (signo)(a" "(b)^ K = (signo)(a'")''-'(b)'' En (a): - k) + ( k - 1}] - [m(k - 1) + (m"" - k)] =4n - 4 Operando; m"" = 2k + 3 =» k = ^ ^ ■■■ k _ = 1 2 ( p a r a m = 3) 58. Al dividir P(x) = mx^ + 2nx^ - 7x^ - 3x + 2 entre d(x) = x^ + X + 1, se obtiene por cociente q{x) y resto r{x) = 5x - 1. Hallar el valor de P(m). Resolución: Por el algoritmo de la división; P(x) = d(x)q(x) + r(x) Luego, reemplazando; mx^ + 2nx^ - 7x^ - 3x + 2 = {x^ + x + 1)q(x) + 5x - 1 mx* + 2nx^ - 7x^ - 8x + 3 = (x^ + x + 1)q(x) Por Horner invertido; -1 3 -1 - 1 -8 -7 3 -3 11 3 -11 1 2n ( 11 -1 ° ^ ^ m >1 -1 -(2n + 10) -(2n+ 10) 2n + 10 ^ 0 ) L 0 J Luego; O + { - 1) + l-(2n + 10)] = O=> 2n = -11 También; m + f-(2n + 10)] = 0 =5 m = -1 P(x) = -x® - 11x^ - 7x^ - 3x + 2 •. P (-l) = 1+11 - 7 + 3 + 2 = 10 59. Un polinomio entero en x de tercer grado se anula para x = 7 y para x = -3 , y al dividirlo entre x - 10 da como residuo 39 si e! primer coeficiente del po linomio es 3. Hallar el resto de dividirlo entre x - 8. Resolución: Sabemos que es un polinomio entero de tercer gra do cuyo primer coeficiente es 3 y se anula para X = 7 y X = -3 , podemos plantear que; P(x) = (x - 7)(x +3)(3x + B) 3.“ Dato; ...(I) P(x) 10 R = 39 . P(10)= 39 En (I); P{10) = (10 - 7)(10 + 3)(10 x 3 + B) = 39 B = -29. Luego; P(x) = (x - 7)(x + 3)(3x - 29) Piden; P(x) R = P(8) ^ P(8) = 61. Al dividir P(x) = mx* + nx^ + 5x^ + 5x - 6 entre d(x) = x' - 3x + 2, el resto es x - 2. Hallar; n^ - m^ Resolución: Del algoritmo de ia división; mx“ + nx' + 5x' + 5x - 6 = (x^ - 3x + 2)q(x) + x - 2 mx“ + nx' + 5x' + 5x - 6 = ( X - 2)(x - 1)q(x)+x - 2 S i x = 1; m(1)“ + n(1)^ + 5(1)' + 5 ( 1 ) - 6 = (1-2)(1-1)q(1)+1-2 m + n + 4 = - 1 = » m + n = -5 ...(I) S ix = 2; m(2)“ + n(2)^ + 5(2)^ + 5(2) - 6 = (2-2)(2-1)q(2) + 2 - 2 16m + 8n + 24 = O =5 2m + n = - 3 ...(II) De (I) y (II): m = 2; n = - 7 n' - m' = (-7 )' - (2)^ = 45 62. Qué lugar ocupa en el desanollo del cociente rwtable; ^160 _ y2B0 — -— el ténnino que tiene grado absoluto 252. x“ - y ' Resoiución: Dándole la forma adecuada; x160 _ yzao _ (^4^.0 _ (y7)40 y- - y ' y^ - f Sabemos que un término cualquiera del desarrollo estará expresado por; t^ = (x^)“° ' ‘‘(y')*'” ' Pero; GA(t,) = 160 - 4k + 7k - 7 = 153 + 3k Dato; GA(tJ = 252 = 153 + 3k=» k = 33 El término de lugar; 33 1,' X - Resolución: Por Euclides; x“ + Ax' + Bx' + 2x - 1 = d(x)(x' - 1) + (2x + 1) Parax = 1: A + 8 = 1 ...(a) Parax=- 1; B - A = 1 ...(ji) Sumando (a) + (P); B = 1 63. Dar la suma de coeficientes del cociente de la siguiente división indicada:. x®-14x“ + 49x^-36 (x -1 )(x -2 )(x -3 ) Resolución: Por la regla de Ruffini x= (8 - 7)( 8 + 3)(3 X 8 - 29) - R (-5) 1 x-1 - R R = -55 60. Al dividir; P(x) = x“ + Ax^ + Bx^ + 2x -- 1 entre un polinomio de segundo grado, se obtuvo como cociente: (x^ - 1) y como residuo: (2x + 1). Indique el valor de B. x= 3 1 0 -14 1 1 0 -13 49 -13 3 -7 18 -13 3C -14 -54 -27 1-18 33 ! 18 1 6 11 6 1 0 -13 2 1 3 6 Q(x) = x ' + 6x' + 11x + 6 iCoef, = Q(1) = 24 0 36 36 -36 0 -36 36 0 64. Cuál es el resto de la división: -2 67. x +1 Resolución; Multiplicando el dividendo y el divisor por ( x + 1 ) obtenemos; (x '"^ -2 ) ((x+ 1 )) ibs Expresando en ei fundón de 20 __ a _ b ~ 3~ al dividendo tendríamos; /-3yi^^ x - 2 x - 2 ( x,3M Y22.,2 ''x ' +, (x' x^ + 1 ^7 ^ 1 De (I), por Ruffini: -1 1 Luego: ^ -1 -1 -2 más la suma de coeficientes del residuo generado porla división: ( x - 1)'“ + x^ + 20 Sx“ - 5x^ + x + 2 Resolución; Usando la propiedad deducimos que nos piden q(1) + R(1), donde q(x) y R(x) son el cociente y residuo, respectivamente. R(x) = x - 2 De la identidad fundamental, obtenemos; S ix = 1: 21 = (1)q(1) + R(1) q(1) + R(1) = 21 2) V x^ + X - n . 2x'^ + nx + n^ X -2 x+1 66. Al dividir un polinomio P(x) entre (x + 3) se obtuvo por residuo - 5 y un cociente cuya suma de coefi cientes es igual a 3. Encontrar el residuo de dividir P(x) entre ( x - 1 ) . Resolución: Datos: P(x) - ( X + 3) ^ P(x) = ( X + 3)Q(x) - 5 Suma de coeficientes de Q(x), es decir; Q(1) = 3 Aplicamos el teorema del resto: x - i = o = X = 1 « R = P (l) En P(x), para x = 1; R = P (i) = (1 + 3)Q(1)-® ^ R = 4Q(1) ^ Pero; Q(1 ) = 3 = R = 4(3) - 5 =. R = 7 b = 2 A .^ = 10 =»3 = 30 68. Determine la suma de coeficientes del cociente -2 +2 0 Resolución; Aplicamos el teorema del resto para cada división. De la primera división; • x - 2 = 0 =>x = 2 • R, = (2 - 2)® + 2' + 2 - n =» R, = 6 - n De la segunda división; • x + 1 = 0 =»x = -1 • Ra = 2 (-1 )’®+ n (-1 ) + n^ ^ R^ = 2 - n + n^ Por dato: R, = R2 =>6 - n = 2 - n + n^ =»n^ = 4=»n = 2 V n = - 2 Ei menor valor de n es -2 . - 10 a + b = 32 65. Determine el menor valor de “n" para que las si guientes divisiones tengan el mismo resto. (x - 10 b ...{!) x +1 N.° de términos del cociente 20 Aplicando el teorema del resto; x^ + 1 = O =» x^ = - 1 Reemplazando en el dividendo, obtenemos: ( X + 1)R(x) = (-1 )’^ V + ( - l ) ’^^x - 2x - 2 ( X + 1)R(x) = x" + X - 2x - 2 R(x) - 10 términos, halle el valor de: a + b Resolución Para que genere la división un cociente notable, debe cumplirse que: - 2x - 2 x^+ 1 ( x ^ - x + 1)(( x + 1)) Si el cociente notable que se genera de la división x“ - V® —— ^ tiene x“ -y® 69. Al dividir P(x) = 3ax® + (a + 1)x^ + 4x^ - 6x + a entre (x - 1) y (x^ - 1) los restos que se obtuvieron fueron 14 y (bx + c), respectivamente. Calcular; a + b + c. Resolución: 1. 3ax® + (a + 1)x^ + 4 x ^ - 6 x + a (x-1) -R ,-14 ...(I) Calculando R, por el teorema del resto: x-1=0=>x = 1 Reemplazando en el dividendo; R, = 3a(1)® + (a + 1)(1)^ + 4(1)^ - 6(1) + a Ri = 3a + ( a + 1 ) + 4 ~ 6 + a ^ R, = 5a - 1 ...(II) De (I) = (11); 5a - 1 = 14 5a = 15 =» a = 3 „ „ 3ax® + (a + 1)x^ + 4x^ - 6x + a ( x^ - 1) => Rj = bx + c ...(111) Calculando Rj por el teorema del resto; x^ - 1 = O => x^ = 1 Transformando el dividendo; 3a(x^)^x + (a + 1)x^x + 4x^ - 6x + a Igualando: (III) = (IV): Reemplazando (x^ = 1) en el dividendo: R2 = 3a(1)'x + (a + 1)(1)x + 4(1) - 6x + a Rj = 3ax + (a + 1)x + 4 - 6x + a ^ Donde: R^ = (3a + a + 1 - 6)x + (a + 4) « Rj = (4a - 5)x + (a + 4) + c = (4a - 5)x + (a + 4) b = 4 a - 5 = » b = 4(3) - 5 ^ b = 7 a + b + c = 3 + 7+ 7 = 17 ...(IV) c = a + 4 => c = 7 P RO B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 ( t N I 1 9 8 8 ) (0; 2)eP ^ a = -1 Dos de las raíces del polinomio P(x) = ax^ + bx^ + cx + d; son 3 y r. Hallar un polinomio de tercer grado, dos de r+ 1 cuyas raíces sean 4 y — *5 r ^ P(x)--(x-1)^(x-2) Se pide el residuo de: p (x ) x -3 Por teorema del resto: R(x) = P(3) = -(3 - 1)^(3 - 2) = - 4 (a b)x^ + (b + d - c)x + (a + b - d) Clave: B (c 3d)x^ + (b + 3d - 2c)x + (a + c - b - d) 3dx^ + (3b + d)x + (a - b - c) PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 1 • I) 2cx^ + bx + (a - b - d) Si P(x) = x’ ax' - x + b - 6 es divisible entre x' - 1 y (2a + b)x' + (b + c)x + (b - a c) la suma de los valores de x que cumplen P(x) = Oes -4 . Resolución: Calcule el producto de a y b. A) cx^ + B) dx^ + C) dx^ D) ax^ E) bx" + Quiere decir que existe un P(y) de raices 1 + >3 a 1+ • r El polinomio P(y) se determina haciendo: 1 + -= y X o sea que: P(y) = P ' y = B)-4 04 D)5 Resolución: Si: X -1 P(x) ^ R= 0 x '- 1 1 x -1 Finalmente el polinomio buscado es: 1 n / 1 \ _/ 1 +d + b[ 1 x-1, X - 1/ I x - 1/ ' \ x - 1, (7 ^ A)-7 = dx" + (c - 3d)x' + (b + 3d - 2c)x + (a + c - b - d ) = 0 Clave: B 0 1 P(x) = (X a i -1 0 11 10 a 10 a a - i - b - 6 =» a - i - b - 6 = 0 + 1)(x - 1)(x + a) X = -1 P(x) = o X ,X PROBLEMA 2 (IIISII 2 0 0 9 - 1) b- 6 = 1 = -a -1 + 1 - a = - 4 a = 4 A b = 2 Sea P(x) el polinomio de grado “n", donde “n" es ei me nor posible y cuya gráfica se representa a continuación: ab = 8 Clave: E PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 1 - II) Al dividir un polinomio p(x) entre x* - 1 se obtuvo como residuo 3x" + nx' + mx - 2; si además se sabe que, el resto de dividir p(x) entre (x' - 1) es 5x - 4, entonces el valor de m" es: A) - 4 D) 1/4 B) -2 E)4 Encuentre el residuo al efectuar ta división de P(x) con Q(x) = x - 3 Resolución: A)-6 D)1 P(x) = B)-4 E)4 0-1 Resolución: Del gráfico: P(x) = a(x - 1)"’(x - 2) (grado minimo) O 1/2 D ei dato: (X'* - 1)q(x) + 3x^ + nx^ + mx - 2 P(x) Además: deja residuo: R(x) = 5x - 4 x "- 1 Por teorema del resto en (II): x' = 1 ,..(l) En (I): 3(x^)x + (x^) + mx - 2 = 3x + n + mx - 2 3(x^)x + (x^) + mx - 2 = (m + 3)x + (n - 2) f^(x) = 5x - 4 Identificando con el dato: m = 2 a n = 2 /. m" = 1/4 Clave: D PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 • I) Halle el cociente al dividir P(x) = Sx" + x^ + + X - 2 entre (x + 1)(x - 2/3) A)2(x'-1) D)3(x^ + 1) B)3(x^ + 2x) E)3(x' -2) C )4(x' + 4) Resotución: Factorizamos: P(x) = (x + 1)(x - 2/3)(3x^ + 3) Nos piden el cociente de dividir: (x+DÍx-|)(3x'+3) = 3(x^+1) (x+1)/xClave; D PROBLEMAS □ PROPUESTOS 8. A l e f e c t u a r la d iv is ió n : n A l e f e c t u a r la s ig u ie n t e d iv is ió n : x "^ ^ -(n -2 )x + 2 n -3 X®+ 5x“ - 5x^ + (9m + 1)x^ + n (x -1 )^ s e o b tie n e u n c o c ie n t e c u y a s u m a d e c o e fic ie n t e s e l r e s id u o e s R ( x ) = 8 . C a lc u la r ( m + n )^ e s 1 9 0 , H a lla r e l r e s t o d e la d iv is ió n , A ) A )x + 16 D )3 x + 16 4 B ) 1 616 D )6 4 2. E) 0 )3 6 100 C a lc u la r e l r e s t o d e d iv id ir : 9. 8x^ + 4x^ - 6a x B ) 3 x - 16 O x - 16 E )4 S i s e d iv id e : Q ( x ) = ( a + b ) x ^ + (b - c )x ^ + (b + c )x + a - b 15 2 x - 1 e n tre x + n ^ e l r e s id u o e s c e r o . C a lc u la r : s i la s u m a d e c o e f ic ie n t e s d e l c o c ie n t e e s 3 7 , 3. A ) 46 B )4 5 D) 43 E )42 0 ) 44 E n e i e s q u e m a d e la d iv is ió n p o r R u ff in i; A ) 3 B ) 1 /2 D )1 E )3 /2 C ) 1 /4 10. E l e s q u e m a r e p r e s e n t a l a d i v i s i ó n p o r e l m é t o d o d e H o rn e r: 4 * * c a lc u la r ; a c - A)1 D) - 3 -3 * 1 a - b l e * * b * i * ! 3 c c be. B )-1 0 3 S e d e f in e e l p o lin o m io m ó n ic o ; 11. A )x + 2 B )3 x + 2 D )4 x + 7 E ) 7 x + 11 6 x ® - x '‘ + 4 x ^ - 5 x ^ - x - 1 5 X - B) 40 E ) 34 O ó 36 C a lc u la r ta s u m a d e c o e fic ie n t e s d e l c o c ie n t e a l y99 _1_ Y 1 e f e c t u a r la d i v i s i ó n ; -------------- ----------- X- 1 A) 50 D)70 6. B )99 E)1 0 4 + 90 X- b el coGficient© del término cuadrático del cociente es -1 , Calcular b. A ) -4 D ) -3 10x» - 2 1 x B )3 E )B V D C )x + 2 (x -2 )(x -1 ) III. L a d i v is ió n e s e x a c t a . E )6 x '- 1 II. E l r e s t o e s x + 1 . P A y d e ja d e r e s t o ig u a l a : 3 x + q A i d iv id ir ; E )1 I- S c o e f i c i e n t e s ( q ) = 1 2 , s e o b tie n e u n c o c ie n t e c u y o s c o e fic ie n t e s e s t á n e n 7. B) 4x - D )0 In d ic a r e l v a lo r d e v e r d a d : - X+ 1 B )3 A ) 2x + 1 100 2x^ + m x^ + nx^ + px + q A ) 2 D )5 2 x " -x + 3 In d ic a r e l re s to , 12. Dividir; 2 x ' - 8 x + x “ + 1 2 - 7 x ^ 0 C a lc u la r m + n + p , s i a l d iv id ir : x" C ) 2x + 1 E f e c t u a r la d iv is ió n : c a lc u la r e l r e s t o d e la d iv is ió n : A) 38 D)42 c^ In d ic a r e l re s to , E)4 P{x) = ( a - 3)x^ - 5x' + 2x - a b' a‘ + c ‘ A ) V W B) VFF D )V F V E )F W C ) FFV 13. C a l c u l a r e l v a l o r d e m \ s í l a d i v i s i ó n : x'“ + 4- mx^ - 6x 4- 8 es exacta. x" + 2x + 8 A )3 8 )7 D ) 1 /4 E ) 1 /7 14. A l d i v i d i r ; 2x - X 4- 4x + 7x + m X - X + n e l r e s t o e s 3 x + 4 , c a l c u la r m " '’ . A) 3 D) 1 B)4 E)5 A) x" D) x" + C) 1/3 15. S* el resto de la división; B)n E)0 0-10 16. Sí la división de; P(x) = x' - x" - (a + 3)x^ + (b + 3)x^ + (c - 2)x - 2 entre x" - 8x + 2 es exacta, calcular: /P(a) + P(b)P(c) B)17 E)20 A) 16 D) 19 018 17. El polinomio; P(x) = mx** + nx" - 9x^ + 4x + 10 es divisible por Q(x) = x^ - 3x + 5. Calcular m - n B) - 6 E) - 2 A) 4 D) 5 0 6 18. En la división: ^ ~ ~ ^ , señalar la suma x -2 de coeficientes del cociente. A )8 D) 11 B) 10 E) 12 0 9 .tn Ai j - .!• Sx“ + (n + 1)x^ + nx - 5 19. Al dividir; ^ ------------ el resto es 1, x+3 calcular: ‘’/n + 1 A)1 B)2 0 3 20. Calcular el resto de dividir; A) O 0341X + 2046 E)273x + 2036 D)4 E)5 x^ + 9x + 18 B)25x + 203 D )-3 6 x + 20 461 21. Al dividir P{x) entre x^ - x^ - 2x + 2, se obtuvo de resto x + 2. Hallar el resto de dividir P^(x) entre x" - C)x^ 24. En la división siguiente: 8x^ + 4x^ + mx^ + nx + p 2x^ + x^ - 3 es R(x) = 5x^ - 3x + 7, calcular; m + n +p A) 10 D)-n B)x E)x + 1 X 2x^ + 3x" + bx^ + 6bx^+x + a x^ - x + b se sabe que el resto es 2x + 3, además, ia suma de coeficientes del cociente es mayor que 15. Cal cular ab. A) 4 D)2 C)7 B)9 E)8 25. ¿Qué relación debe guardar los coeficientes del polinomio (ax'* + bx" + cx + d) para que sea divisi ble entre (x^ - 2x + 1)? A) d = 2a + b O d = 3a + 2b E) d = a + b B) d = 2a + 3b D) d = a + 2b 26. Determinar A y B / P(x) = Ax“ + Bx^ + 1, Verificar; P(x) - R(x) = (x - 1)^q(x), si R(k) = O, V k e E. A) 3; 4 D)-2;4 B)3;-4 E)-2;-4 O 2;-4 27. Sabiendo que P(x) = 4x* - Bx“* + 3x^ + x^ - x - 1, se puede expresar según potencias de ( x - 1 ) , es decir, P(x) se puede expresar así: a(x - 1)* + b(x - 1)^ + c(x - 1) + d(x - 1)" + dx - 1) + f Indicar el valor numérico de: E = ^ ^ a+c+e A) - 1 D)1 B) - 5 E)5 O -1 0 28. Calcular el valor de "m" en la siguiente división indica da (2X - 1)" si el cociente admite como TI = 4. (x + 2) ( x - 3) A) 2 D)1 C)6 B)4 E)3 29. S iF (^ ) es el resto de dividir F(x) entre (x +2a), donde F(x) = 2x"+a(a + 4)x^ + (1 + a^ + a^)x + 2(a" - a“ + 1) 2. A )x - 3 O 14x + 20 E) 2 x - 16 B) 2x + 8 D ) 8x + 18 22. Dado el polinomio P(x) mónico de grado n, que cumple: P(1) = 1: P(2) = 2; P(3) = 3;... ; P(n) = n. Determinar el resto de dividir: P(x) calcular F|.^ A) B )g C )U e f 30. Et cociente y resto de ta siguiente división: S ^ + ( l]x ^ ^ + 2 x - 2 A) O D)U1-1 B) 2[n_ E )(-1 )'\ri O n +1 23. Al dividir P(x) entre (x^ + x +1 ) se obtuvo por residuo (x + 1) y al dividir P(x) entre (x ^ -x + 1 ) el resto es { x - 1 ) . Calcular el resto de dividir P{x) + (x* + x^ + 1) 3X-1 es (CqX®“ + CiX*® + CjX*® + ... + C50); -5 , respectiva mente, donde: Co + Ci + Cj + ... + C50 = ~ + .^ /a , b e m . a b/ se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes es igual a 30 y un resto idéntico a 5ax + a + 2, a / 0. Calcular a+b. C )| B )f Calcular —77^ — , donde q(x) es cociente. q ( 1) - a ’ E)5 D) - 4 31. Si P(x) es divisible por ( x ^ + x + 1 ) , donde P(x) = xÂ(x^) + B(x^), calcular la suma de los res tos de dividir A(x) y 8 (x) entre (x - 1), respectiva mente. A)1 D) -1 B)2 E) - 2 OO C) X* + 1 [(1 + x + x^ + x^) ^- x^f 1 + X + x + X + x“ B)x D) 1 + X + x^ + x^ 34. Calcular el resto de dividir: ( x - 1)^® + (2x)’ V x ^-1 3x® - 15x" + 30x^ - 30x^ + 21x - 3 A) O D)x^-1 B) - 1 E) 3 x ^ - 3 siguiente división sea exacta. + Kxyz(x^ x+ y+ z A ) -5/2 B)5/6 D)5 E)15 + y^ + z^) 0)5/2 36. Determinar el resto de la división: (x" + x“ + x^ + 3 )(x"-x^+ 1) + x(x*+ 1) + x^x+ 1) x^ - x + 1 A) 1-x D) 4 x - 3 B) 2x - 1 E)x^ + x - 1 0 3 -2x 37. Indicar el valor de “a" y "b”, para que (x® + ax'* + b) sea divisible por (x^ + x + 1). A) 1; 2 D )-1 ,1 B)2;1 A) 2x - 5 D)5 0 5 (x-5)'° + ( x - 6 ) ' + 6 (x-5)(x-6) B) 2x + 5 E)3x - 5 O 2x A) [P(a)]' D) / P ^ B) 1 E)0 C) P(a) 42. Si "n" es un número natural impar y múltiplo de 3, determinar el resto en la siguiente división: (x^" + x" + 2) + (x^ - X + 1) A)1 D)4 B)2 E)5 C)3 C)x^ 35. Determinar ei valor del parámetro K, para que la x^ + B )3 E)8 41. Sabiendo que P(x) es un polinomio y si a # b son números reales, tales que P{a) = P(b), hallar el res to de la división de P(x) entre x^ -{a + b)x + ab. 33. Cuál será el residuo de la división: A) - X OO E) 1 - X O)-1 39. El polinomio P{x) dividido separadamente entre (x^ - x + 1) y (x^ + X + 1) originan residuos - x + 1 y 3x + 5, respectivamente. Determinar el térmi no independiente del residuo de dividir P(x) entre x^ + x^ + 1. 40. Hallar el residuo: hallar el resto. B)2 E) 2x^ + 1 B) 1/4 E)4 A) 1 D)6 32. Luego de efectuar la división: x^' + x‘ + 1 x«_x®° + x“ - . . . + 1 A)1 D) x" - 1 A) 1 D )-1 /4 O 3; 2 E)1; 1 43. Si P es un polinomio de tercer grado, tal que al di vidir P entre (x^ - 2x + 2) deja un residuo (3x - 6). Al dividir P entre (x^ + x) su residuo es (6x + 2). Calcular el residuo que se obtiene de dividir P entre (x+1)(x-2), A ) - 8x + 4 D)4x + 8 B)4x - 8 E) 8x - 4 O 8x + 4 44. Si los cocientes de dividir P(x) entre (x - 1) y (x - 2) son, respectivamente. Q(x) y q(x), determinar P{3), sabiendo que: P(1) = 3; P(2) = 2; 2Q(3) + q(3) = 5 A) - 3 D)4 B) - 5 E)5 0 )2 45. Al dividir separadamente el polinomio P(x) entre - (b + 1)x + b y entre x^ - (b + 2)x + 2b. se ob tiene por restos 7x - 4 y 5x - 8. respectivamente. Hallar la suma de coeficiente del resto de dividir P(x) entre x^ - (b + 3)x^ + (3b + 2)x-2b. A)-1 B) 0 01 0)2 E)3 38. Al efectuar la división: 3ax“ - 4dx^ - 2cx^ + 2x + 2 3x^ + 2x - a 46. Un polinomio P(x) de sexto grado, al ser dividido por (x + 1)® arroja un cociente entero q(x) y un residuo 3x+2. Si q(x) tiene como coeficiente prin cipal al número 7, y la suma de coeficientes de P(x) es 325, determinar el término independiente de q(x). A)1 D )4 47. B)2 E)5 0 3 Determinar elresiduode la división: x ' V + x + 1) + x'®(x + 1) A) - x ' D) 2x’ - B) E) -2 x ’ 3x^' O x’® 48. Hallar el resto de ia división: ( x - 1 ) ( x + 2)(x + 3) ( 2x - 1) x^+ x - 5 A) x + 8 9x + 21 B)2x + 7 E)9x + 11 0 6x + 10 D 49. Hallar el residuo de dividir: x-’íx +1 r + (2x^ + 2x - 1 + (x + 1)' - (x + 2) entre x^ + x -1 , A )x + 1 D) -1 B)2 E)0 O I 50. Calcular el resto de dividir: (x + 1)^^ + 7( x+ 1)^^ + 3(x+ 1)^^+ (x+ 1)^+ 3 x^+ 2x + 2 A) 2x+11 D) 2x +13 B) 2 x - 1 1 E) 2x- 13 51. Hallar el resto de la división: A) - 4 + x D)3 B)4-x E) - 3 0 2X + 7 x+y+z es exacta. O í 53. Determinar el resto de dividir: ( x + 2 ) ^ ( x ® + X + 1) por x ^ “ X + 1 Dar como respuesta el coeficiente del término lineal. A) 12 D) 29 B) 16 E) 55 O 18 54. Si el polinomio P(x) de tercer grado es divisible por X - 2, se anula para x = -1 ; tiene término indepen diente -1 0 y al ser dividido por (x - 3) su resto es 56. Calcular P(5). A) 164 D)160 B)170 E)156 B)124 E)24 0128 0108 4 x ^ + 1 0 x " - 2 x ^ + 1 5 x - 2 dé 2x^ + 3x - 1 como respuesta la suma de coeficientes del co ciente aumentado en el término independiente del residuo. 56. Luego de efectuar A) 6 D) 5 B)9 E)4 O 10 57. Si en la división: 9x‘* + 6ax^ + (a^ + 3b)x' + 9a^x - 3ab 3x^ + ax - b su resto es 6ab + b' 1ab O, calcule: 3 + (-|^ B)84 E)78 A) 72 D) 76 0 82 58. ¿Cuál es el valor de m + n, si nx^+ 13x^+ 9x + 2 mx^ + 3x + 1 es exacta? B)6 E)4 A) 5 D)8 C)7 59. En el esquema de Horner, A 2 ^ x^ + x + 1 0 2 -x x(y + z) + y(x + z) + z(x + y) + M(x^ + y^ + z^) B) -1 E)3 A) 120 D)144 B 52. Determinar el valor de M, si la siguiente división: A) - 3 D)2 55. Si el polinomio de tercer grado P(x) se divide sepa radamente por (x - 3), {x + 2) y ( X - 1) se obtiene el mismo resto -3 6 , además 4 es raíz de P(x). Cal cular P(5). 3 C 8 12 P Q m E F Y A calcule: A + B + C - D - E A) 6 D)9 D Q+ F B)37 E) - 1 O -7 (n + 2)x + n + 1 , el té rm in o x-1 independiente del cociente es -1 0 . ¿De qué grado es su dividendo? 60. En la división A) 12 D)9 B)8 E) 10 O 11 61. En ei esquema de Ruffini: 2 a b c d i 6 P 40 a 8 20 e el re sto e s 2. C a lcu le : a A) -1 5 D> -2 8 B) -11 E) 13 b+ c+ d+ e + p O -1 3 62. Dado el polinomio: P(x) = X® + 2/ 2x" + 2/ 2x^ + 2 / 2x + 7, halle el valor numérico del polinomio cuando x = -ÍS - /2 B)8 E) 13 A) 6 D) 10 Halle P(1), si R(1) = 3 0 9 A) 7 D )6 63. En la base a la división x' + X - (1 + B )S ololl E) l l yl l l O Solo lll 64. Halle m + n, sabiendo que la división: 2x^ + mx^ + nx^ - 3x + 1 x^ + 3 da un residuo igual a: 3x - 2 A) 5 D)13 8 )9 E)11 0 10 65. Dados los polinomios: P(x) = 4x* + x^ - x" + 4x + 3; D{x) = 2x^ - x + 1 Al dividir P(x) entre D(x), mediante el esquema de Horner, un estudiante se olvida de cambiar de sig no a los coeficientes del divisor. Indique el polino mio que se debe sumar al cociente para que este sea el correcto. B) x' - X + 1 D) 2x^ + X + 1 66. Al dividir un polinomio P(x) entre x - 1 se obtiene que el término independiente, del cociente es 21, indique el residuo, si P(0) = 7. A) 28 D)21 B)32 E)40 C)25 67. Determine el valor de b - a - c, si se cumple que: - 4x'* - 10x^ + 27x^ -Hax + b = q(x) 1 x -5 x ^ - 4x^ - 11x + c A) 4 D) 14 8)6 E)13 0 9 68. Sea P(x) = {1 - / 2)x® + 2x" - 2 /2 x + 10 q(x) = X* - 9x“ + X + 2 se sabe que Juan gana “b” soles por cada "a" soles que invierte, donde; P(1 + /2 ) - b a q(b) = a Determine cuánto gana Juan, si Invierte 22 soles más. A) 14 D)39 8)27 E)41 0 4 70. Al dividir P(x) = x "'"' + 3x"'’ " + 3x"'‘ ®+ ... + 3x + 6 entre D(x) = x - 2; se obtiene que la suma de coeficientes del cociente es 109; halle n^ - R. {R: residuo de la división). A ) -12 D)-20 0 32 B)36 E) - 19 015 71. Si en la división (x-a)(x-b) He el máximo valor de a + b. el residuo es 1, ha- B)2 E)4 A) O D )2006 0 3 72. Dada la división: ^ 1 2 n ^ 2 x ’ ^n. A) x^ - I- 2x^ - X + 1 C)2x' - 2x + 1 E)2x^ - X + 1 B) 5 E)9 ¿cuál de X) las proposiciones es verdadera? I. El resto no es 22. II. IR]:.,, es 6, III. Su resto es de grado cero, A) Solo l D) i y l l P(x) se obtiene un cociente que es 2x" + X - 1 igual al divisor y un residuo R(x), tal que R(0) = 0. 69. Ai dividir + + nx’^+ 1 (x®+ 1 )(x'+ 1) Si el residuo es 56, halle ei valor de “n”. A) 10 D)9 B)15 E)8 73. SI el cociente de la división 0 11 I Ow I o ^ 7 £ ©s divisor x^ + x + 3 de q(x) = x^ - 2x* + 5x + b, calcule el valor de b. A) - 2 D)9 B) - 4 E)11 O -7 74. Si P(x) es un polinomio mónico cúbico y es divisible por x^ - 5x + 6, además al dividir P(x) con x^ - x - 2 se obtiene como residuo 8x - 16, ¿Cuál es el resto de dividir P(x) con x^ - 2x + 3? A)3x-2 D )-2 x + 6 B)2x-3 E)6 C)x-1 75. Determinar el residuo de dividir: P(x) = X®+ 3x^ + 5x -H1 entre el cociente de x - 1 X - 1 A) 2x + 1 B )x - 2 Ox - 3 E)2x- 1 D) 2 + 3x 76. Un polinomio mónico de tercer grado es divisible por {x + 2) y por (x - 1), además al ser dividido por (x + 4) resultó como resto 10. Calcule el resto de dividir dicho polinomio entre ( x+1) . A)-8 D)3 8)-3 E)6 O O 77. De un polinomio mónico de séptimo grado P(x) se conoce que 3 de sus raices que son 2; -1 y -3 ; además es divisible por (x^ + 1) y (x - 4). Determi ne el residuo de dividir P(x) entre x, si la suma de coeficientes de P(x) es 96. A) 4 0 )4 8 B)8 E)60 C)24 78. Si el polinomio: P(x) = x^ + ax 5x“^ - bx + o a -b 2c + 1 es divisible por (x^ - x); halle el valor de A) -1 D) - 6 B) ~3 E) - 7 1, 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. D C D D D C e D B E 11. 12. 13. 14. 15. 16. ,17. 18. 19. 20. C) - 5 D D E D C E B D B C 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. C E D E C B D A C C ■7ÍX El ei residuo -V de j dividir:-------j- x^®+(x^-x)^^+5x^-hx^-H2x 79. '---------X - x + 1 tiene la forma ax + bx -h c, halle:, a + b - 1 c A) -1 8 )2 C) -1/4 D) 3 E)-5 80. Dado P(x) = x^ + bx^ + mx + 6, s¡ P(x) es divisible por (X + 1 ) y (X + 2), halle: 5 8) 4 E) 1/5 A) - 2 D) - 1 31. 32. 33. 34. 36. 36. 37. 38. 39. 40. C A C D A A E E A A 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 60. C B C E E C A D B A 51. 52. 53 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. C C E B <? A B 0 B B 6 1 .B 62. B 63. g 64. A 65. C m .A 67 . A 68. B 69. A ?0. E C) -3/5 71. 8 i ?2. A i 73. B : 74; g I 75. E í 76. A i 77. C ; 78. D J 79. C 1 sao i Factorízacíón Jean-Robert Argand nació el í8 de julio de 1768 y m urió el 13 de agosto de 1822. Fue un contable y un talentoso m atem ático a u to didacta francés, nacido en Suiza, que describió en 1806. m ientras atendía una tienda de libros en París, la representación geom é trica de los núm eros complejos, publicando la idea de lo que se conoce com o plano de Argand. Su form ación y la educación que recibió son -e n su m ayoría- des conocidas. Argand se trasladó a París en 1 8 0 6 junto con su familia y, m ientras trabajaba en una libre ría. publicó a sus expensas su Essai sur une manière de repré senter ¡es quantités imaginaires dans ¡es constructions géométri ques (Ensayo sobre una forma de Francia, (822 representar las cantidades imaginarias m ediante construcciones geométricas). El ensayo dis cute un m étodo de representación gráfica de los núm eros com plejos a través de la geom etría analítica. Propone la interpretación del -calor «i» com o una rotación de 90 grados en el plano coordenado. llam ado para este fin plano de Argand. En este ensayo tam bién se propone por vez prim era la idea de m ódulo para indicar la m agnitud de los vectores y los núm eros com ple jos, así com o la típica notación para los vectores con una flecha horizontal sobre las letras que señalan sus extremos. También es reconocido por ofrecer una prueba del teorem a fundam ental del álgebra. Fuente: Wífeipedia 2. ^ DEFINICIÓN Es la transformación de un polinomio en la multiplica ción indicada de dos o más polinomios primos dentro de cierto campo de números. M(x)N(x) = P(x) M(x)N(x) F a c t o r iz a r : A(x; y) = x' -I- x®y -i- x V + x Y + x Y + + x f +f Resolución: A g r u p a n d o c o n v e n ie n te m e n t e : A (x ; y ) = x^ + x® y + x V Multiplicación Multiplicación indicada 4 - / y ^ -i- x Y -h x y ® + y ' + A ( x ; y ) = x ® ( x -t- y ) + x V ( x + y ) + x ^ y “ ( x + y ) + f ( x + y) E x t r a y e n d o f a c t o r c o m ú n ( x -i- y ) : ^ POUNOMIO PRIMO A { x ; y ) = ( x -H y ) ( x ® + x “ y ^ - h x ' y ' * -i- y ® ) Es aquel polinomio de grado mayor que cero que no ad mite ser transformado en multiplicación indicada. Tam bién se dice de aquel polinomio que es divisible entre si mismo y cualquier constante de un cierto campo de números. A ( x ; y ) = ( x + y ) [x ‘ (x ^ + y ') + y ^ ( x ' + / ) ] E x t r a y e n d o d e l c o r c h e t e e l f a c t o r : ( x ' -i- 3. Ejemplos: 2x + 3 • Es primo en f ) L u e g o ; A ( x ; y ) = ( x + y ) ( x ^ + y ' ) ( x “* -i- y '’ ) Factorizar; J{x; y; z) = x ^ - xyz' + x'y^ yz zx 4- XZ x‘ yz + E, C. - 5 Es primo en ©. No es primo en IR. x^ - X + 1 Es primo en ®, IR. No es primo en C. Resolución: A g r u p a n d o e n f o r m a c o n v e n ie n te : J (x ; y; z ) - x y (x ' - z ') + y '( x ' - z ') - y z (x ' - z ') - x z {x ' - z ') E x tr a y e n d o fa c to r c o m ú n : (x ^ - z ^ ); Generalmente se ha de trabajar en los racionales, Pero debe tenerse en cuenta lo siguiente; J { x ; y ; z ) = ( x ' - z ^ ) ( x y 4J ( x : y ; z ) = (x 4- z ) ( x - f - yz - xz) z ){x (y - z ) 4- y ( y - z )j E x tra y e n d o fa c to r c o m ú n (y - z ): P(x) = (x^ + 1)(x' - 3)(x + 4)(x -2), está factorizado en (G. J (x : y ; z ) = { x + z ) { x - z ) ( y 4- x ) ( y - P(x) = (x' + 1)(x -i- /3)(x - /3)(x + 4)(x - 2), está factorizado en E. z) F a c t o r iz a r : E ( a : b ; c ) = a "’ b - P(x) = (x i)(x - i)(x -H /3 )(x - /3 ){x 4- 4)(x - 2), está factorizado en <E. a ‘* c 4 - a ^ b ^ - a^bc - a b c ^ 4- be" ac‘* - b'c^ Resolución: E x t r a y e n d o lo s f a c t o r e s ; { a “ ), ( a ^ b ) , ( a c ^ ) y ( b c ^ ) MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN E {a ; b ; c ) = a^C b - c) + a ^ b (b - c) - a c ^ (b - Método del factor común por agrupación b c ^ (b - Consiste en agrupar los términos de un polinomio de dos en dos o tres en tres, de tal manera que se obtenga un mismo factor E x tra y e n d o fa c to r c o m ú n {b - Ejemplos: 1. E (a ; b ; c ) = (b - c ) ( a “ 4- a ^ b - a c ^ - E {a ; b ; c ) = {b - c ) [a ’ { a 4- b ) - E (a ; b ; c ) = (b - c )(a ^ - E {a ; b ; a' + Resolución: be’) c ^ (a 4- b )] c ^ )(a 4- b ) 5. c ) = (b - c )(a - c ) ( a ' 4- a c 4- c ') ( a 4- b ) F a c t o r iz a r ; S ( a ; b ; x ; y ) = a b ( x 4- y )^ 4- x y ( a - Efectuando las operaciones indicadas: Resolución: P(a; b) = ba^ + ab b ab' + ab + a -f a^ -(- b^ P(a; b) = a ' -I- 2ab + b^ + ba' -i- ab^ + a + b S ( a : b ; x : y ) = a b ( x ^ j- 2 x y 4- / ) + x y ( a ^ - Agrupando de la manera indicada se tendrá: P(a; b) = (a -H b)^ + (a -t- b) + ab(a + b) c) c ): D e s a r r o lla n d o la d ife r e n c ia d e c u b o s : Factorizar: P{a; b) = b(a^ -i- a -i- 1) -f a(b^ -h b + 1) c) - b )' D e s a r r o lla n d o lo s b in o m io s a l c u a d r a d o s e t e n d r á ; 2 a b 4- b ^) E fe c tu a n d o : S ( a ; b ; x ; y ) = a b x ' 4- 2 a b x y 4- a b y ' a 'x y - Extrayendo factor común (a + b): P(a; b) = (a -h b)((a -i- 1) -i- b(a + 1)] S ( a ; b : x : y ) = a x { b x -h a y ) 4 - b y ( a y 4 - b x ) Factorizado en el corchete; P(a: b) = (a + b)(b + 1)(a + 1) S ( a : b : x ; y ) = ( a y 4- b x ) ( a x + b y ) 2 a b x y -I- b ^ x y F in a lm e n t e e x t r a y e n d o f a c t o r c o m ú n ( a y 4- b x ) : 6, Resolución; F a c t o r iz a r : Q (a : b ; c ) = a ^b ^c + b c^ - abc^ - ab^ + b^c + Extrayendo factor común (a^) de los 3 primeros y (-b^) de los úitimos. A(a; b) = a^(a -k 1 + b) - b^(b + a -h 1) A(a; b) = (a + b + 1)(a^ - b^) a^bc^ - ac^ - ab^c Resolución: A g r u p a n d o c o m o s e in d ic a : Q (a ; b ; c ) = a ^b ^c + b c ^ - abc^ - ab^ + b^c + A(a; b) = (a + b + 1)(a + b)(a - b) a^bc^ - ac^ - ab^c S e o b te n d rá : Q (a ; b ; c ) = a b c (a b - c) - 3. b c (a b - c ) b ^ {a b - c ) + a c ^ {a b - E x tra y e n d o e l fa c to r c o m ú n {a b - Q (a ; b ; c ) = (a b ~ c )[a b c - Resolución: Agrupando ios tres últimos términos; N = X® - (x" - 2x^ + 1) c) c) be - + ac^] N - x® - (x^ - - (x^)^ F a c t o r iz a n d o e n e l c o r c h e te : 7. Q (a ; b : e ) = {a b - c )[b {a c - Q (a ; b ; e ) = (a b - e )(a e - b ) + c (a e - 4. R (x ; y ; z ) = x y z + ( x y z ) ’^ + (x y z )® (x ^ + y ^ + z ') + (x V ) + y V Factorizar: A(a: b; e) = (a^ + b^ + ab)^ - a^b^ - a V - bê^ Resolución: + z V Agrupando los dos primeros sumandos y de los úl timos extrayendo factor común (-c^): Resolución: T r a n s f o r m a n d o ia e x p r e s ió n s e t e n d r á : A{a; b; c) = (a^ + b^ + ab + ab){a^ + b^ + ab - ab) ~ c"(a^ + b^) Simplificando: A(a; b; c) = (a^ + b^)(a^ -h b^ + 2ab) - c^{a* + b^) = xyz + x ’ ^ y ' + x ’ V z® + x®y’ ^z® + x Y z ’3 x 'y ' + y V + z V L u e g o d e a g r u p a r d e ia m a n e r a in d ic a d a : R (x ; y; z ) = x y (z + x V ) + x V z '^ (z + x V ) + ( ¡ T b i^ z ® x ^ ( z + x ^ y ^ ) + y ’ z ® (z + x® y® ) A(a; b; c) = (a^ + b^)((a + b)^ - c^] E x tra y e n d o e l fa c to r c o m ú n (z + x V ) : R (x ; y; z ) = (2 + x V )(x y + x V z ’^ + x V A(a; b; e) = (a^ + b^)(a + b + e)(a+ b - c) + y V ) R(x; y ; z ) = ( z + x V ) [ x { y + x V ) + y V ( y + x V ) J R { x ; y ; z ) = ( z + x V ) ( y + x V ) ( x + y ® z ® )] 5. Método de las identidades Agrupando en ia forma indicada: M(x) = x \x - 1) - 2x^{x - 1) + (x - 1) m a in v e r s a ; e n t r e la s m á s im p o r t a n t e s y a c o n o c e m o s : _ ^ ( a ' " + b ' " ) = ( a " + b ' ’ ) ( a ^ '' (a ^ " - b '" ) = ( a " - (a ^ " ± 2 a "b " + b ^ ") = (a " ± Extrayendo factor común (x - 1): M(x) = (X - 1)(x" - 2x' + 1) a "b "+ b ^ ") b ' ’ ) ( a ^ '’ + a ' ' b " + b ^ " ) M(x) - (X - 1){x^ - 1)^ = (x - 1)[(x + 1)(x - b ")^ F a c t o r iz a r : D (a ; b ; c ; d ) = b^ + c^ - 6. a^ - d^ + 2 a d + 2 b c A g r u p a n d o e n la f o r m a in d ic a d a : D (a ; b ; c ; d ) = (b ^ + c ^ + 2 b c ) - { a ^ -h d ^ - 2ad) L u e g o s e te n d rá : D ( a ; b ; c ; d ) = ( b + e )^ ~ ( a ~ d f Desarrollando la diferencia de cuadrados: F(a; X) = (x + 1)(x - 1)(a + 1)(a - 1) P o r d ife r e n c ia d e c u a d r a d o s : D (a ; b ; c; d ) = (b + c + a - d )(b + c - a + d) 7. F a c to r iz a r : A (a ; b ) = a^ + a * + a ^b - b^ - ab^ - Factorizar: F(a; x) = ax(ax - 2) - (x^ - 1) + a(2x - a) Resolución: Efectuando el primer y último sumando: F(a; x) = a V - 2ax - (x^ - 1) + 2ax - a^ Reduciendo términos semejantes y agrupando: F(a; X) = a^{x^ - 1) - (x^ - 1) = (x^ - 1)(a^ - 1) Resolución: 2- ^)f Finalmente: M(x) = (x - 1)^(x + 1)^ Ejemplos: 1. Factorizar: M(x) = x= - x‘ - 2x' + 2x^ + X - 1 Resolución; P a r a e s t e c a s o s e u t iliz a r á lo s p r o d u c t o s n o ta b ie s e n f o r (g 2 n - (x"- l f Desarroilando ia diferencia de cuadrados: N = (x^ + x^ - 1)(x^ - x ^ + 1) b )] b )(b + c ) F a c to r iz a r : R(x; y; z) Factorizar: N = X®- x" + 2x^ - 1 b^ Factorizar: P(a; b; c) = (a“ + a^b^ + b*)^ - a^b' - b-e“ - c“a‘ Método de las aspas Resolución: Transformando la expresión; P(a; b; c) = (a“ + Método del aspa simple: se utiliza para factorizar tri + b“}^ - (a^b^ - c‘ (a^ + b‘ ) nomios de la forma general; Diferencia de cuadrados P(x; y) = ax^"’ + b x V + c / " P(a; b; c) = (a“ + 2a^b^ + b“)(a* + b“) - c^ía“ + b*) 8. Extrayendo e! factor común (a“ + b“); Ouando: m = 1 P(a; b; c) = (a‘ + b*)[(a^ + b^)^- (c^)^] P(a; b; c) = (a“ + b^Ka^ + b^ + c^)(a^ + b^ - c^) SI: m = 1 Factorizar; Q(x; y; z) = x(xy + - x^) + y(xy + - /) Resolución: Efectuando se tendrá; Q(x; y: z) = x^y + xz^ - x^ + x / + yz^ - y^ A a n = O =» P(x; y) = ax^ + bx + c El método consiste en descomponer los términos ex tremos, de tal manera que al sumar los productos en aspa nos reproduzca el término central. Los factores se escribirán horizontalmente. Ejemplos: 1. Luego agrupar; Q{x; y; z) = xy(x + y) + (x + y) - (x + yKx^ - xy + / ) Q(x; y: 2 ) = ( X + y)(xy + z ^ - x^ + xy - / ) Factorizar: F(x) = 8x^ - 22x + 15 Resolución: F(x) = 8x^ - 22x+ 15 Q(x; y: z) = ( X + y)[z^ - (x^ - 2xy + / ) ] Q (x ;y ;z )-(x + y )[z ^ -(x - y )^ ] 4x 2x -lO x -5 12i ------ L_ Q(x; y; z) = (x + y)(z + x - y)(z - x + y) 9. n = 1; P(x; y) = ax^ + bxy + cy 22x .. F(x) = (4x - 5)(2x - 3) Factorizar: R(a; b; c) = (a + b)(b + c)(c + a) + a^ + b^ + c^ - 2abc 2. Resolución: Factorizar: F(x) = 7x^ + 29x - 36 Resolución: De la identidad: (a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + be + ca) - abe En la expresión: R(a; b; c) = (a + b + c)(ab + be + ca) - abe + a^ + b^ + c^ - 2abc R(a; b; c) = (a + b + e)(ab + be + ca) + a^ + b^ + c^ - 3abc _ 7x^ + 29x - 36 7x X 36x -7 x 29x F(x) = (7x + 3 6 )(x - 1) 3. Haciendo uso de la identidad; 36 -1 Factorizar; F(x) = abx^ + (a^ + b^)x + ab a^ + b^ + c^ - Sabe = (a + b + c)(a^ + b^ + c^ - Resolución: ab - ac - be) R(a; b; c) = (a + b + c)(ab + be + ca) + F(x) = abx^ + (a^ + b^)x + ab (a + b + c)(a^ + b^ + c^ - ab - ac - be) b^x a^x (a^ + b^)x Simplificando se tendrá; R(a; b; c) = (a + b + e)(a^ + b^ + c^) F(x) = (ax + b)(bx + a) 10. Factorizar; S(x) = x® + 2x^ + x - 1 4. Resolución: Resolución: Transformando ta expresión dada: S(x) = X® + x^ + x^ - 1 + X 8x® + 215xV - 27y' Desarrollando la diferencia de cubos: S(X) = x(x" + X^ + 1) + {X - 1)(x' + X + 1) S(x) = x(x^ + X + 1)(x^ - X + 1) + (x - 1)(x^ + x + 1) Extrayendo el factor común (x^ + x - 1); S (x ) = (x ^ + X + S(x) = (x^ + X 1 )[x^ - x^ + X + X - Factorizar; P(x; y) = 8x® + 215xV - 27y® 1) + 1)(x^ - x^ + 2x - 1) í -y +27y' +216xV ■ 215xV Luego; P(x; y) = (8x^ - y^)(x" + 27y^) Desarrollando la suma y diferencia de cubos; P(x; y) =(2x - y)(4x^ + 2xy + y^)(x + 3y)(x^ - 3xy + 9y^) Factorizar; R(x; y) = (a^ - a)x^ - (3a - 5)xy - 1 0 / II. (2y)3 + y (-1 ) = 5y III. (9x)3 + (-1)(x) = 26x Resolución: Como la expresión tiene la fomia general: a(a - 1)x^ - (3a - 5)xy - iOy^ t S(x; y) = (9x + 2y - 1)(x + y + 3) 3. __K „ Factorizar: A(x; y) = 2x^ + 7xy - 1 5 / - 6x + 22y - 8 Resolución: A(x; y) = 2x^ + 7xy - 1 5 / - 6x + 22y - 8 -5 {a -1 )x y 2axy (3a - 5}xy Luego: R(x; y) = (ax - 5y)[(a - 1)x + 2yl Factorizar; P(x) = x® - 3x^ - x^ + 1 A(x; y) = (2x - 3y + 2)(x + 5y - 4) Resolución: Ordenando el px)i¡nomio: 4. x' - (2x^ + x^) - (x^ - 1) - ( x ' + X + 1) Factorizar; B(x; y) = 30x^ + 2xy - 4 / + 47x - 12y + 7 Resolución: B(x; y) = 30x^ + 2xy - 4 / + 47x - 12y + 7 - X * - X" (x -1 ) -{2x^ + x^) Luego; P(x) = (x^ - x^ - x -1)(x^ + x - 1) Aspa doble: se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la siguiente forma; B(x; y) = (6x - 2y + 1)(5x + 2y + 7) 5. Ax^" + bx''y'' + cy^" + dx" + ey" + f El método consiste en descomponer todos los términos que produzcan aspa de tal manera que la suma de la multiplicación en aspa nos compruebe cada uno de los términos del polinomio. Si faltará algún ténnino se le completará con ceros, los factores se toman iiorizontalmente. Ejemplos: 1. Factorizar: C(x; y) = lOx^ - 17xy + 3 / + 5x - y Resolución; C(x; y) = lOx^ - 17xy + 3 / + 5x - y + O 2x ^ " ' A ^ 3 y C(x; y ) - ( 5 x - y ) ( 2 x - 3 y + 1) 6. Factorizar: E(x; y) = 3x^ + 4xy + y^ + 4x + 2y + 1 Factorizar: E(x; y) = 21xy - 39y^ + 56x - 92y + 32 Resolución: Resolución: Completando el polinomio; E(x; y) = 3x^ + 4xy + / + 4x + 2y + 1 E(x; y) = Ox^ + 21xy - 3 9 / + 56x - 92y + 32 Comprobaciones: I. (3x)y + x(y) = 4xy II. y(1) + y(1) = 2y III. (3x)(1) + (x )(1 )-4 x ••• E(x;y) = (7 x -1 3 y + 4)(3y + 8) E(x; y) = (3x + y + l)(x + y + 1) Factorizar; S(x; y) = 9x^ + 11xy + 2y^ + 26x + 5y - 3 Resolución: S(x; y) = 9x^ + 11xy + 2y^ + 26x + 5y - 3 7. Factorizar; R(x; y) = 12x' + 10xy - 1 2 / + 11x + 36y - 15 Resolución: R(x; y) = 12x" + lOxy - 12y^ + 11x + 36y - 15 4 x < -------3x 6y^ ^—♦ - 3 -2y~ R(x; y) = (4x + 6y - 3)(3x - 2y + 5) Método del aspa doble especial: se utiliza para factori zar polinomios que adopten la siguiente forma; Comprobaciones; I. (9x)y + 2y(x) =11xy P(x; y) = ax*"’ -i- bx*'^ +cx^"'/" + dx^y®" + ey*'’ El método consiste en descomponer los términos ex tremos de tal manera que la suma, de la multiplicación en aspa nos de un valor igual o aproximado al término central, la cantidad fáltente se agregará descompuesta de tal manera que se compruebe cada uno de los tér minos del polinomio. Ejemplos: 1. Se tiene: 4x Se debe tener:_______^ í ( - ) Se necesita: -3x^ Luego: C(x) = (x^ + 3x + 2)(x^ - x + 2) C(x) 5, Factorizar: E(x) = x" + 5x^ + 9x^ + 11x + 6 2) D(x) = x" - 2x^ - lOx^ + 5x + 12 5x^ 9x^ í(4x" Los factores serán: E(x) = (x^ + 4x + 3)(x^ + x -v ^ ^ 3 x ^ ^ ^ 1 (X X Se tiene: Se debe tener; Se necesita: 6, + 3)(x -I- 1)(x^ + X + 2) Factorizar: F(x) = x‘ + 7x^ + 19x^ + 36x + 18 Factorizar; H{x) = x" + 2x^ - 4x^ + 8x - 32 Resolución: H(x) = x" + 2x^ - 4x" + 8x - 32 ( in ( iii) :jn ( x ^ > ^ '% . 0 x / ^ '^ 4 Se tiene: Se debe tener; Se necesita; Se tiene: Se debe tener: Se necesita: 9x" 19x^ ! ( - ) lOx^ -7x^ IH -lOx^ -3x" Luego; D(x) = (x^ + x - 3)(x^ - 3x - 4) D(x) = (x^ + X - 3){x - 4)(x + 1) + 2) Resolución: F(x) = x" 7x^ + 19x^ + 36x + 18 -4 x ' -4x^ t( Ox Luego: H(x) = (x^ + 2x - 8)(x^ + 4) H(x) F(x) = (x^ + 5x + 3)(x^ + 2x + 6) = (X + 4)(x - 2) (x^ + 4) Factorizar; P{x; y) = ex" - xV - 13xV + 5xy^ + 3y* Factorizar B(x) = x“ - x^ - x^ + 4x - 2 Resolución: Resolución: P(x; y) = 6x* - x^y - 13xV + 5 x / + 3y" B(x) = x‘ - x^ - x^ + 4x - 2 -2xy xy > r : ( lli) í ( ii) Se tiene: Se debe tener: Se necesita: B (x ) x^ -x ' t( - ) 2x^ = {x^ - 2 x + 2){x^ + X - 1) Se tiene: Se debe tener; Se necesita: -llx ^ y ^ ♦ -13x^y^ ^ -2 x V Luego: P{x; y) = (3x^ - 2xy - y"){2x^ + xy - 3 / ) Factorizando cada paréntesis por aspa simple: A P(x; y) = (3x 4. + x ^ ^ '^ - 3 x / ' ' ^ - 4 Se tiene: Se debe tener: Se necesita: 3. 2)(x^ - x Factorizar: D(x) = x" - 2x^ - lOx^ + 5x + 12 X 2- + Resolución: Resolución: E(x) = / + 5x^ + 9x^ -I- 11x + 6 E(x) = 1)(x = (X + + y)(x -yf (2x + 3y) Factorizar: C (x ) = x* + 2x^ + x^ + 4 x + 4 Resolución: C (x) = x ' -H 2x^ + x^ + 4 x + 4 Factorizar; Q(x) = x® + 5x® - Sx“* + 5 x ^ - 6 Resolución: Q(x) , ( i C d i 'O i i ) . x V ^ '^ - x - ^ = X® + 5x® - 5x“ + 5 x ^ - 6 /-6 -5x" Se tiene: Se debe tener: - 5 x t ( - ) Se necesita: Ox'* Parax = 1: E(1) = 1' - 11(1) + 31(1) - 21 =0, se anula, luego tendrá un factor ( x - 1 ) , determinando el otro factor por Ruffini: 1 -11 31 -21 Luego: Q(x) = (x^ + 5x^ - 6)(x“ + 1) 1 1 -1 0 =^Q(x) = (x' + 6)(x^ - 1)(x^ + 1) Q(x) = (x' + 6)(x + 1)(x - IXx-* + 1) 9. Resolución: PC = ±1; ±2; ±3; - 6 R(x) = a(a - 1)x" + (2a' - a + 1)x’ + (3a' - 2)x^ + (2a^ + a + 1)x + a(a + 1) Para x = 2: E(2) = (2)^ - 2 - 6 = O, se anula, en tonces tendrá un factor (x - 2). luego por Ruffini: (a + i: a 2 : E (X ) - Luego. R(x) = [ax^ + (a - 1)x + (a + 1)][(a - 1)x^ + (a + 1)x + a] Método de los divisores binómicos: se utiliza para factorizar polinomios que aceptan como factores a bi nomios de la forma ax + b, basándose en el siguiente principio de la división algebraica. Si el polinomio se anula para x = a, entonces un factor será (x - a). I. X X II. = 2: P(2) = 2^ - 14 + 6 = O = 2 es un cero de P(x) Forma de calcular los posibles ceros de un po linomio: se divide cada uno de >os divisores del término independiente entre los divisores del pri mer coeficiente (con su doble signo). PC = Divisores del tennirxj independiente Divisores del coeficiente principal 0 i 2 -1 4 6 1 2 3 0 6 (X - 2 ) ( x ' + 2 x + 3 ) Factorizar: B(x) = x + 5x“ -h 7x^ X - 8x - 4 Para x = 1 = 8(1) = O X = - 2 =* B (-2 ) = O X = -1 = B ('1 ) = O Aplicando Ruffini 3 veces: ' valores que tienen la propiedad de anular (valor numérico cero) a un polinomio dado. • Si: 1 Resolución: PC = ±1; ±2; ±4 Cero de un polinomio: es el valor o conjunto de Por ejemplo: para P(x) = x^ - 7x + 6 • Si: X - 1: P(x) = 1 - 7 + 6 = O x = 1 es un cero de P(x) O Factorizar: E(x) = x^ - x - 6 Resolución: Se tiene: a^x^ + (a^ - l)x ' = (2a^ - 1)x' Se debe tener: (3a^ - 2)x' Se necesita: (a^ - 1)x 21 21 Luego: E(x) = (x - 1)(x^ - lOx + 21) E(x)-(x-1)(x-7)(x-3) Factorizar: R(x) = a(a - 1)x" + {2a^ - a + 1)x^ + (3a^ - 2) x' + (2a^ + a + 1)x + a(a + 1) (a - 1)x (a + 1)x -10 1 1 5 7 - 1 - 8 i 1 6 6 -2 -2 -1 -1 4 13 -4 12 13 12 4 -8 -1 0 -4 5 -3 2 4 O -2 Luego B(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 1)(x^ + 3x + 2) B(x) = (x - 1)(x +2)^(x + 1)" Factorizar: E(x) = 2x^ + 3x^ + 3x + 1 Resolución: PC 1 = + 1; » 1/2 E je m p lo s : 1. Factorizar: E(x) = x^ - 11x + 31x - 21 -ÍU 2 Í-1 Resolución: PC = ± 1; i 3; “ 7 : = 21 se anula, entonces tendrá un factor (2x + 1), 184 ■ C o l e c c ió n U n ic ie n c ia S a p ie n s Aplicando Ruffini: Aplicando Ruffini: 2 3 -1 +2 2 3 -1 +2 1 -1 1 1 -1 2 1 0 l -1 4 2 1 0 -5 -6 -2 0 -5 -6 -2 0 -5 Luego P(x) = (x - 1)(x‘‘ + Ox^ - 5x' - 6x - 2) ( iO ( iii) : jiií 2x E(x) = (2x + 1)(x' + x + 1) 5. Factorizar: E(x) = 12x^ + 8x^ - 3x - 2 P(x) = (X - 1)(x^ - 2x - 2)(x + 1f Resolución: 1,2 PC = = 8. = ± l- l- l. ’ 2’ 3 " 1;2;3;4;6;12 Resolución: 1. Para x = Factorizar: P(x) = x^(3x + 1)^ - (6x + 1)^ - 15 Desarrollando el binomio al cuadrado y dándole forma al primero: P(x) = [x(3x + 1 )f - 36x" - 12x - 1 - 15 P(x) = [3x' + x f - 12(3x^ + X ) - 16 se anula, entonces tendrá un factor (2x - 1). Por Ruffini: 12 = 1/2 X -2 8 -3 -2 6 7 2 0 12 14 4 6 7 2 Haciendo; 3x" + x = a P(a) = a' - 12a - 16 = a' + Oa' - 12a - 16 Para a = -2 : P(-2) = (-2 )' + (2)^0 - 12(-2) - 16 - O, se anula, entonces tendrá un factor (a + 2). 0 -2 E(x) = (6x' + 7x + 2)(2x - 1) 2 X '- '" ^ ^ 1 E(x) = {3x + 2)(2x+ 1)(2x - 1) 6. Factorizar: E(x) = 12x^ - 56x^ + 77x - 30 -1 2 -1 6 -2 4 -2 -8 16 0 P = (a + 2)(a' - 2a - 8) = (a + Entonces; P = (a + 2 f (a - 4) 2)(a +2)(a- 4 Reponiendo x; P(x) = (3x^ + x + 2)^(3x^+ x3x 4 x -^ ^ -1 4 Resolución: ^ p-,2;3;5;6-, 10;30 1;2;3;4;6;12 P(x) = (3x^ + x + 2)^ (3x + 4)(x - 1) Para x = ^ se anula, aplicando Ruffini; < i fa c to ríz a c íó n re c íp ro c a o RECUBREME Polinomio recíproco 12 -5 6 12 -4 8 45 4 -1 6 15 X = 2/3 +3 77 -3 0 8 -3 2 30 0 Luego E(x) = (4x' - 16x + 15)(3x - 2} 2 x - . , ^ ^ ^ -5 2 x - '^ ^ * ^ -3 7, E(x) = (2x - 3}(2x - 5)(3x - 2) Factorizar; P(x) = x^ - x'* - 5x^ - x^ + 4x + 2 Resolución; Los posibles ceros; PC = {± 1 ; ±2} Para X = 1: P(1) = f - f - 5 ( lf - f + 4(1) + 2 = 0, se anula, entonces tendrá un factor (x - 1). Es aquel que se caracteriza porque los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales (en valor absoluto). Ejemplos: P(x) = ax* + bx^ + cx* + bx + a (recíproco de primera especie) P(x) = ax“ + bx^ + cx^ + bx - a (recíproco de segunda especie) Reglas o pasos a seguir para factorizar este tipo de polinomios Cuando el polinomio es de grado par; Se extrae la parte literal del término central con su respectivo exponente. Se busca ta expresión base: x + o x- para 2, luego proceder a un cambio de variable y a par tir de ello deducir las expresiones derivadas tales como: x' + 1/x^ : x^ + 1/x^; x* + 1/x'*. etc. Escrita la expresión en función del cambio de va riable, esta se factorízará por los criterios antes estudiados. Es necesario tener en cuenta las si guientes relaciones: Factorizar: R(x) = X® - 4x" + 3x" - 8x^ + 3x' - 4x + 1 Resolución: Factorizando x^: R(x) = x' x ' - 4x' + 3x - 8 + - - 4 + 4 R(x) = X- 3(x + ^ ) ~ 4Íx' + + x^ + ■ Haciendo: Si: X + -í- = m X X + -¡r = x^ m X + 1 = t; X - 3m R x'* + - ^ = m‘ - 4m' + 2 X = - 2: x" + 4 = t' - 3t x^ x' x^[3t - 4(t^ - 2) + t^ - 3t - 8)] = x^(t^ - 4t^) R = x ¥ (t - 4) Reponiendo x: Si; X !- = m x x' + _L = m' + 2 x R(x) = x=(x + I f ( x + l - 4 ) x + -V = m + 3m x^ R(x)= X* + _L = m‘ - 4m' + 2 3. Tiene la propiedad de anularse para x = 1 o x = -1 implica entonces que aceptaran como uno de sus factores a (x - 1) o {x + 1), Factorizar: P(x) = 3x® + 5x'' + 3x^ + 3x^ + 5x + 3 Resolución: Para x = - 1 , se anula, entonces tendrá un factor (x + 1 ). Luego por Ruffini: Por Ruffini se deduce el otro factor que también será recíproco y de grado par, que se factorízará utilizando los pasos del caso A. 5 -3 ~2 -1 Ejemplos: 1. (x^+ 1)^ (x^ - 4x + 1) x^ X R(x) = (x^ + 1)2 (x' - 4 x + 1) x Cuando el polinomio es de grado impar: X- 3 3 - 2 -1 i 2 5 3 -2 -3 3 I O Factorizar: M(x) = 8x“ - 2x^ + 13x^ - 2x + 8 P (x ) = (X + 1)(3x" + 2 x ' + x^ + 2 x + 3) Resolución: Extrayendo x': +5x M{x) = x‘ 8x - 2x + 13 - -2 +-!% X Se tiene: Se debe tener: Se necesita: M(x) = x‘ - 2 ( x + 1 ) + 8( x^ + A ) + i 3 Haciendo: x + — = m ; x ^ + - ~ = m ^ - 2 X x^ M(x) = x^[-2m + 8(m^ - 2} + 13] M(x) = x"[8m" - 2m - 3] 4 m ^ ^ -3 2 m ^ -^ ^ + 1 ,-, P(x) = 4, -5 x ' 1)(3x' + 5x + 3)(x^ - x + 1 ) (X + Factorizar: F(x) = x’’ + 8x® + 17x‘ + 9x'’ + 9x^ + 17x^ + 8x + 1 Para x = -1 , se anula, entonces tendrá un factor (x + 1 ). Reponiendo x: 1 2(x + l W l XI 1 M(x) = X x^ / 4x^ - 3x + 4 l 2x^ + x + l x \ x 2\ M(x) = (4x' - 3x + 4)(2x^ + x +2) 6x' Resolución: M(x) = x^(4m - 3)(2m + 1) M(x) = xx'= 4(x + - ) - 3 \ xl [> ^ 1 -X x*’ -1 1 / 8 -1 7 17 9 -7 -1 0 10 -1 9 17 8 1 1 -1 0 -7 -1 10 7 1 0 F(x)- (x+1)(x® + 7x®+10x'--x^ + 10x^ + 7x+ 1) (a ) Factorizar: F(x) = (x^ + x)(x^ + 5x + 6) + (x^ + 3x + 1)^ + 1 7x" + l O x - 1 + — + ^ + 4 a = X' 'x>+ Resolución: 1 ) + 7(x‘ + ^ ) + 1 0 ( x + i ) - 1 Expresando en su forma de factores al primer su mando: F(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x^ + 3x + i; ' 1 Haciendo: X + 1 = a: x' + 4 = a' - 2; x' + 4r = a' - 3a X x^ x^ Agrupando y efectuando en la forma indicada: F(x) = (x^ + 3x)(x' + 3x + 2) + (x' + 3x + 1)^ + 1 a = x V - 3a + 7(a^ - 2) + 10a - 1] a = x V + 7a' + 7a - 15) Haciendo; x^ + 3x F(t) = t(t + 2) + (t F(t) = t{t + 2) + (t F(t) = t(t + 2) + (t Por Ruffini: 7 7 1 8 8 -1 5 15 15 0 = + + + t 1)^ + 1 = 2t^ + 4t + 2 1)^ + 1 = 2{t^ + 2t + 1) 1)" + 1 = 2(t + Reponiendo x: F(x) = 2(x" + 3x + 1)^ a = x^(a - 1)(a^ + 8 a + 15) 4. Factorizar; F(m; n) = {m + n + 1)“* - 5(m + n)^ - 10(m + n) -1 a = x^(a - 1)(a + 3 ) ( a + 5) Resolución: Reponiendo x: Haciendo: m + n + 1 = p F {p )-p “ - 5 ( p - 1 ) ^ - 1 0 { p - 1 ) - 1 a = x’ (x + l - l ) ( x + l + 3)(x + I + 5) „3/ x^ - X F{p) = p“ - 5p^ +10p - 5 - lOp + 10 - 1 F(p) = p“ - 5p' + 4 - (p' - 1)(p' - 4) + 1\/ x^ + 3x + 1\/ x" + 5x + 1' F (p ) = t p + 1 ) ( p - 1 ) ( p + 2 ) ( p - 2 ) En (I): F(x) = (X Reponiendo las variables m y n; F(m; n) = (m + n + 1 + 1)(m + n -i- 1 - 1) (m + n + 1 + 2){m + n + 1 - 2) + 1)(x" - x + 1)(x^ + 3x + 1)(x^+ 5x+ 1) « MÉTODO DE LOS ARTIFICIOS Cam bio de varia ble Mediante transformaciones u operaciones adecuadas se pueden lograr expresiones iguales para luego proce der a un cambio de variable o factorizar la expresión por los métodos ya estudiados. F(m; n) = (m n + 2)(m + n)(m -h n + 3)(m -h n -1 ) Q uita y pon o re d u cció n a d ife re n c ia de cua dra d o s Ejemplos: Consiste en sumar y restar una misma expresión en forma conveniente de modo tal que al hacer agrupa ciones, el objetivo, sea llegar a una diferencia de cua drados. 1. Factorizar: F(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2){x - 1) + 3 Ejemplos: Resolución; 1. Agrupando y efectuando en la forma indicada: F{x) = (x^ + X - 6)(x" + X - 2) + 3 Haciendo: x^ + x = a F(a) = {a - 6)(a - 2) + 3 F(a) = (a" - 8a + 15) = (a - 3)(a - 5) Reponiendo x: F(x) = (x^ + x - 3)(x^ + x - 5) 2, Factorizar: M(x) = 1 + x(x -t- 1)(x + 2){x + 3) Resolución: La expresión puede escribirse como. M(x) = 1 + (x + 0)(x + 1)(x + 2)(x + 3) M{x) = 1 + (x^ + 3x)(x" + 3x + 2) Haciendo: x^ + 3x = m M(m) = 1 + m{m + 2) = m^ + 2m + 1 = (m + 1)^ Reponiendo x: M (x) = (x^ + 3x + 1)^ Factorizar: F(x) = sex'" + 15x^ + 4 Resolución: Utilizando el criterio del trinomio cuadrado perfec to; F(x) = 36x" + 15x" + 4 r 2(6x0 r (X) + 9x' (2) = 24x‘‘ Quitando y poniendo 9x^: F(x) = 36x" + 15x^ + 4 + 9x^ - 9x' F(x) = 36x^ + 24x^ + 4 - 9x^ F (x ) = (6 x ^ + 2f - 9x^ = (6 x ^ + 2f - F(x) = (6x^ + 3x + 2)(6x^ - 3x + 2) (3 x )^ 2. Factorizar: F(m; n; p) = 2. + 64p^ Resolución: Utilizando el criterio del trinomio cuadrado perfecto para detectar la expresión que falta: quitando y po niendo ISm^n'p': F(m; n; p) = m^n“* + 64p'’ + 16m^n'p^ - 16m^n'p^ F(m; n; p) = (m'n^+ 8p^)^ - (4mnp)^ F(m; n; p) = (m^n^ + 4mnp + 8p^)(mV - 4mnp + 8p^) 3. Factorizar: F(x) = x + x - 1 Resolución: Sumando y restando x^: F(x) = x^ + x - 1 - x ^ + x^ = F(x) = x^ (x^ + 1) - (x^ - X + 1) F (x) = x^(x + 1 )(x ' - X + 1) - (x^ - X + 1) F(x) = ( x ^ - X + 1)[x' (x + 1) - 11 .-. F(x) =(x^ - x + 1)(x^ + x' - 1) Otra forma: completando el polinomio sumando y restando x** + x® + x^ x^ + X - 1 + x'' + x^ + x' - x“ - x^ - x^ Factorizar: P(x: y) = 49x“' + 25y" - 11xV Resolución; Ordenando la expresión: P(x; y) = 49x* - 11xV + 25y" Ordenando convenientemente y factorizando; F(x) = X® - x" + x^ + x"* + x' - x^ + X - 1- x^ Deduciendo la expresión que falta: F (x ) 49x" - 11xV + 25y" r 2(7x^) ir (x) = x^(x^ - X+ 1) + x^(x^ - X F (x ) = ( x ' - X + 1 )(x^ + x^ - (5 /) 3. =70xV + 1) - (x^ - X + 1) 1) Factorizar: P(x) = x’“ + x® + 1 Resolución: Haciendo; x^ = y => P(y) = y^ + y' + 1 Sumando y restando luego agrupando: P(y) = / + y V l + / - / - / ( / - 1 ) + ( / + y^ + 1) Sumando y restando 70x^/ P(x; y) = 49x" - 11x^y^ + 25y“ + 70xV - 70xV^ Reduciendo y agrupando en la forma indicada: P(x: y) = 49x" + 70x^y^ + 25y' - 81 x '/ Argand TCP P(y) - /{y - i)(y" + y + i) + (/ + y + i)(/-y + i) P(x; y) = (7x' + 5 / ) ' - (9xy)^ P(y)-(y^ + y + 1)(y^-y + 1) Luego, por diferencia de cuadrados: Reponiendo x: P(x) = (x" + x^ + 1)(x® - x^ + 1) P(x: y) = (7x' + 5y" + 9yx)(7x^ + 5y' - 9xy) P(x: y) = (7x^ - 9xy + 5/)(7x" + 9xy + 5 / ) P (x) = (x" + X + 1)(x" - X + 1)(x® - x ' + 1) Suma y re sta s especíales Consiste en sumar y restar una expresión en forma conveniente de modo tal que se obtenga por lo general (x^ + x + 1) o (x^ - X + 1), ambos componentes de una diferencia o suma de cubos; en otros casos se puede buscar otro tipo de expresiones que conduzcan a la factorización del polinomio. <4 FACTORIZACIÓN SIMÉTRICA Y ALTERNADA Ejemplos: 1. Otra forma: completando con x®, x". x^ P(X) = x'“ + X® + X®+ x" + x" + 1 - x® - x" - x" P(X) = x V + x^ +1) + (x“ + x^ +1) - x^(x“ + x^ +1) P(x) = (X- + x' +1)(x® - x' + 1) P(x) = (X^ + X +1)(x^ - X +1)(x® - x^ +1) Factorizar: F(x) = x* + x + 1 P o lin o m io s im é tric o Resolución; Es aquel que se caracteriza porque ai intercambiar cualquier par de variables entre si no cambia de valor. Por ejemplo: x^ + y^ + z^ - 8xyz Sumando y restando x' F(x) = x^ + X + 1 + x^ - x^ F(x) = x V - 1) + (x^ + X + 1) F(x) = x^(x -1)(x' + X + 1) + (x' + X + 1) F(x) = (x^ + X + 1)[x^ (x - 1) +1] .-. F(x) = (x' + x + 1)(x' - x '+ 1) Si: x - y Otra forma: completando el polinomio para ello sumamos y restamos x'’ + x^ + x^: F(x) = x^ + x'’ + x"' + + x + 1 - x“ - x^ F(x) = x"(x' 4- x + 1) + (x^ + X + 1) - x'(x' + F(x) = {x^ + X + 1)(x^ - x^ + 1) X y y^ + x^ + z^ - 8yxz + y3 + _ 8xyz P o lin o m io a lte rn a d o X + 1) Es aquel que se caracteriza porque al Intercambiar cualquier par de sus variables entre sí solo se altera su signo. Ejemplos: 1. Factorizar: E(a; b; c) = (a - b)^ + (b - c f + (o - a f Por ejemplo: a'(b - c) + b^(c - a) + c^(a - b) Resolución: Si se intercambian “a" con “b" en el polinomio: E'(a; b; c) = (b - a f + (a - c f + (c - b f = -E El polinomio solo cambia de signo, por lo tanto, es alternado. Buscando monomios para ello hacemos: a = O -b^ + (b - c f + 0^ ? O Para buscar factores binómioos hacemos: a = b Si: a = b b^(a - c) + a^(c - b) + c^{b - a) -b*(c - a) - (b - c) - c"(a - b) -{b^ (a - c) + a"{b - c) + c*(a - b)} El polinomio es alternado. Luego: (a - a f + (a - c f + (o - a f =» (a - c f - (a - c f = O Lo que implica que (a - b) es un factor del polinomio. Los otros serán: (b - c). (c - a) (a - b)^ + (b - c f + (c - a f s k(a - b)(b - c)(c - a) 1. La suma, el producá y el <x)dente de dos 0)ípfesiones simétricas cualesquiera debe ser eim^rica. 2. El producto de un polirKjmto simétrico «>n un pdinomlo alternado da otro {x)linomio alternado. Para a = 1 A b = 2 A c = 3 tenemos: 3. Si ur> pofinomio simétrico 8© anula para ur» de sus varíabies, también se artulará iQdas las demás variables. .-. E{a: b; c) = 3(a - b)(b - c)(c -a ) 4. -1 - 1 + 8 = k(-1){-1)(2) -> k = 3 2. Si un polirKwnio simétric» se mu\a p ^ una yariatê igual a otra o su negativo entonces ^ arHjIa todas las combinadones entre ettas. Resolución: Haciendo: ab = x; be = y; ac = z Reemplazando en la expresión: M = ( X + y + z)^ - x^ -z^ Intercambiando x con z: M = (z + y + x f - z^ -y^ - x^ El polinomio no se altera, entonces será simétrico. Si el polinomio simétrico tiene 3 varíabies y se anuia para x = z. entonas un del poHrK^lo será (x - z) y los (^ros serán s ^ ú n se indica en ^ gráfico siguiente: l 5. Hacemos: X = O =5 M = (y + z)^ - y^ - z^ ^ O Hacemos: X = -y ^ M = (-y + y + z f + - y^ - (z -y ) Las propiedades de tos potincrniios siméM«» son válidos también p ^ los pollrtomíos aMemados. V S e d ^ c e » el rrarmomio es sim étrico o ^ i S e busca factores mcwipmios tiro ie n íto cua lq yteí varia ble igual a cera se iHiScan b s fa<ôres birômios^ haciendo im a dable igual a otra o a su negativo. S e t^ c e la e q u iv a le r la del pcMinomto tos fMincipios de las identidades. y ss = O Un factor será: (x + y) Pasos a seguir 1. Factorizar: M(a; b; o) = (ab + be + ac)^- a^b^ - a V - b^c^ (X . + y Los otros serán: (y + z), (z + x) + z)^ - y^ - x^ - z^ s R(x + y )(y + z) (z + x) Para: x = 1 A y = 1 a z = 0 , tendremos: 8 - 1 - 1 = R(2)(1)(1) ^ R = 3 Luego: M = 3{x + y ) ( y + z)(z + x) Reemplazando: M = 3(ab + be)(be + ac)(ac + ab) I\/1 = 3abc(a + c) (b + a)(c + b) R E S U EL TO S PROBLEMAS ■■■O 3. Señalar la cantidad total de factores primos de: (a + d / - 2(b' + c^)(a + d)' + {b^ - P(a) = a®x^ - x' + a®x - X Tomando de 2 en 2 en la forma indicada; P(a) = a®x{x + 1) - x{x + 1) Extrayendo el factor común: P{a) = ( X + 1)(a®x - X ) P(a) = {x + 1 )(x ){a ® -1 ) P{a) = x(x + 1)(a’ + 1){a^- 1) Aplicando suma y diferencia de cubos: P(a) = x(x+ 1)(a + 1)(a^ - a + 1)(a - l)(a^ + a + 1) Buscando factores lineales, en función de "a" tene mos (a + 1)(a - 1). Existen 2 factores lineales (a + d)'' - 2(b^ + c^)(a + d)^ + Diferencia de cuadrados Aplicando aspa simple: (a + d )“' - 2(b^ + c ')(a + d ) ' + (b + c)^ (b - c )' -(a + d)^ (b + c) -{a + d)'[(b - c)2 + (b + c)^] -(a + d)^2(b^ + c') ^ -2(b' + c^)(a + d^) Tomando los factores en forma horizontal: [(a + d)^ - (b + c)^l[(a + d)^ - (b - c)^] Aplicando ia diferencia de cuadrados: (a + d+ b + c)(a + d - b - c)(a + d + b - c)(a + d - 1?+ c) 2.° 3.“ 4. Dar el grado de un factor de: x'* + 6x^ 7x" - 6x + 1 Resolución: x " + 6 x^ + 7 x^ - 6 x + 1 Aplicando aspa doble especial; 4,' Balanceo x^ + 6 x^ + 7x^ - 6 x + 1 Existen 4 factores primos 2. Dar la cantidad de factores lineales de: P(a) = a®x^ - x^ + a®x - X Resolución: Resolución: 1.' Q x \- /3 x \ ,» -1 = -x ^ S DT= 7x' {-) Factorizar P(x) = {x^ + x' + x + 1)^ - x^: indicando luego la mayor suma de coeficientes de los facto res primos encontrados. 3xf Resolución: - 1 = -x ' -2 x ' ST = -2 x ' Falta: 9x" Tomando los factores en forma horizontal: (x '+ 3x - 1){x"+ 3x - 1) Por diferencia de cubos tenemos: P (x) = [(x^ + x ' + X + 1 ) - x][x^ + x ' + X + 1 ) ' + {x ^ + + 1) X + X + x '] 5. Efectuando operaciones dentro de los corchetes y agrupando en la forma indicada: P(x) = (x^+ x^+ 1)[x®+ 2 x V + X + 1) + (x^ + X + 1)' + / + x(x^ + x + 1) + x^] Agrupando los sumandos subrayados y extrayen do el factor común x^: Resolución: Agrupando de la siguiente manera: P(x) = x’ + X® + x H x'* 4 X^ + x' + X+ 1 P(x) = x®(x + 1) + x‘ (x + 1) + x^(x +1) + (x + 1) Extrayendo factor común: P(x) = (X + 1)(x®+ x"+ x^+ 1) P(x) = (X + 1)[x"(x' + 1) + (x' +1)1 P(x) = (X + 1)(x^+ 1)(xV 1) Un factor primo es: x^ + 1 P(x) = (x^ + x^ + 1)[x^(x‘‘ + x^ + 1) + 2x^(x^ + x + 1) + ( x '+ x + 1)^ + x ( x '+ x + 1)1 P(x) = (x^+ x ^ + 1 )(x V + X + 1)(x^- x + 1) + 2 x V + X + 1) + (x '+ X + 1)^+x(x'+ X + 1)1 Extrayendo el factor común: {x^ + x + 1) P(x) = (x^+ x '+ 1)(x^+ x + 1 ) x V - X + 1) + 2x’ + (x^ + X + P (X ) = La (X ^ + X ^ + 1 ){X^ + x + 2x^ 4- Resolución: P{x) = x' + (b + c + 2d)x + d' + (b + c)d + be + 1) m ayor sum a de + x) X 4 - 1 )(x ‘ 4 - x U 2 x ^ 4 - 2 x + 1) c o e fic ie n te s factor, e s d e c ir: 1 4 - 1 + 2 4 - 2 + x + será 1 = 7 6. Si P es un polinomio factorizable definido por: P(x) = x^ + (b + c +2d)x + + (b + c)d + be hallar un factor primo. Efectuando operaciones: P(x) = (x^ + x^ + 1)(x^ 4- x + 1)(x^ - x H Señalar un factor primo luego de factorizar: P(x) = x^ + x®+ X®+ x“ + x^ + x^ + X + 1 1 Factoricemos los términos (aspa simple): d^ + (b + c)d + be = (d + b)(d + c) d e l te rcer d c Luego: P(x) = X + (b + c + 2d)x + (d + b)(d + c) ------------1 d+ b ---------- X Q P{x) = (x + d + b)(x + d + c) Un factor primo es: x + b + d 7. Si P es un polinomio factorizable definido por; P{x; y;z) = x^ + x - / + y - z ^ - z + 2yz hallar uno de los factores. Resolución: P = x ^ + x - / + y - z ^ - z + 2yz P = x^ + X + y - z - (y^ + - 2yz) P = x(x + 1) + {y - z) - (y - z f (y -z ) X X + 1 - z) =» P = (x + y - z){x + 1 - y + z) Uno de los factores de P es: x - y + z + 1 8. (X Si H es un polinomio factorizable definido por: H(x; y; z; w) = + y + z)(x + y + w)(x + z + w)(y + z + w) - xyzw hallar un factor primo. Resolución; H= (x + y + z){x + y + w)(x + z + w)(y + z + w )xyzw Sea: x + y + z + w = a, entonces: H = (a - w)(a - z){a - y)(a - x) - xyzw H= a" - (x + y + z + w)a^ + (xy + xz + xw + yz + yw + zw)a^ + (xyz + xyw + xzw + yzw)a + xyzw - xyzw => H = (xy + xz + xw + yz + yw + zw)a" + M (xyz + xyw + xzw + yzw)a N ^ H = a[(M)a + (N)] H = (x + y + z + w)í(M)(x + y + z + w) + (N)] Un factor primo de H es: x + y + z + w 9. Si E es un polinomio factorizable definido por: E(x) = X® + 4x^ + 3x' - 2x - 1 hallar la suma de coeficientes de un factor Resolución: Apliquemos aspa doble, introduzcamos Ox^: E(x) = X® + 4x* + 3x^ + Ox^ - 2x - 1 ^ E(x) = (x '+ 3x + 1)(x’ + X - 1) S coeficientes de x^ + 3x + 1 = 5 10. Si P es un polinomio factorizable definido por: P(x; y) = x’° - y Y + x^y - xy' + x V - y’° hallar uno de sus factores primos. Resolución: P(x; y) = x’° - y V + x®y - xy®+ x V - y’° P(x; y) = x^(x®- y®) + xy(x® - y®) + y"(x® - f ) P(x; y) = (x®-y®)(x'+xy + / ) P(x: y) = (x^ + y')(x' - y^(x' + xy + / ) P(x; y) = (X* + yO(x" + /)(x" - y')(x^ + xy + y*) P(x; y) = (x" + y^(x^ + /)(x + y)(x - y)(x" + xy + / ) .-. Un factor primo de P es: x* + xy + y^ 11. Si Q es un polinomio factorizable definido por: Q(x; y) = 2x" + 1-(4x^y + 6 xV + 4xy^ + y'*) determinar un factor primo de Q. Resolución: Q = 2x^ + 1 - (4xV + 6 x V + 4xy^ + y*) Q = x" + 2x" + 1 - (x" + 4xV + 6 xV + 4xy’ + y") Q = (x'+ 1)2- (X + y)^ Q = [x' + 1 + (x + y)'][x' + 1 - (X + y f ] Q = (2x^ + 2xy + y^ + 1)(-2xy + 1) Un factor primo es: 1 - 2xy - y" 12. SiP(x;y;z) = 5(x' + y"-z')+ 10xy + 2(x + y + z)' + 2(x + y - z f es un polinomio factorizable, hallar un factor primo. Resolución P = 5(x^ + / - z^) + 1Cbcy+ 2(x + y + z)" + 2(x + y - z f P = 5(x" + y' + 2xy - z^) + 2(x + y + z)2 + 2(x + y - z)2 P = 5((x + y)' - ^ ] + 2(x + y + z f + 2{x + y - z f = 2(x + y + z f + 5(x + y + zXx + y - z) + 2(x + y - z f 2(x + y + z) ---(x + y + z) —----- \ (x + y - z) — ♦ 2(x + y - z) P = (2x + 2y + 2z + x + y-zXx + y + z + 2x + 2y-2z) P = (3x + 3y + z)(3x + 3y - z) Un factor primo es: 3x + 3y - z 13. Determinar el término independiente de uno de los factores primos del polinomio P si: P(x) = (X + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38 Resolución: P(x) = (X* - 2x - 3)(x^ - 2x - 24) + 38 Haciendo: x" - 2x - 3 = a « P(a) = a(a - 21) + 38 = a^ - 21a + 38 a•"-^ -*-2 ^ P(a) = (a - 19)(a - 2) P(x) = (x^ - 2x - 3 - 19)(x" - 2x - 3 P(x) = (x^ - 2x - 22)(x* - 2x - 5) .'. El TI en un factor primo es -5. 14. Si P es un polinomio factorizable definido por; P(x; y) = 4(x" + y - 1)^ - (x* - 1)(2x^ + 3y - 2 f Señalar un factor primo. Resolución: P(x; y) = 4(x’ + y - 1)^ - (x^ - 1)(2x^ + 3y - 2 f P(x; y) = 4(x' - 1 + y)' - (x' - 1) [2(x' - 1)+ 3y]' Sea x^ - 1 = a, reemplazando 2) P = 4(a + y)^ - a(2a + 3y)' P = 4a’ 4- l2aV + 12a/ + 4 / - 4a^ - 12a^ - 9 a / P = 3 a / + 4y^ = y^(3a + 4y) 18. Reponiendo "a"' P{x: y) = /(3x^ - 3 + 4y) Un factor primo de P es: 3x^ - 3 + 4y Resolución: Agrupando en la forma indicada: 1)^(x - 1) (x - - 1) - (X - 1)’ ( x + 1 ) + 4 1 ) ' - 4 (x ^ - 1) Extrayendo el factor común (x -í- 1)(x - 1); b)' H(x) = Sumando: m + n p = bx - cx - ab + ac + cx - ax - be + ab + ax - bx - ac + be m + n + p = 0; por identidad se cumple: + n^ p'’ = 3mnp P(x) = 3(x - a)(b - c)(x - b)(c - a)(x - c)(a - b) 1.° 2° 3.“ Deben estar en función “x" El N.° de factores primos es 3. (X + l)(x - 1)[13(x -!- 1)' - (X - 1)^ - 4] Reduciendo dentro del corchete: H(x) = { X + 1)(x - 1)4(3x' + 7x + 2) Realizando el siguiente cambio de variable; m = (x - aXb - c); n = (x - b)(c - a); p = (x - c)(a - b) m = bx - cx - ab + ac; n = cx - ax - be + ab p = ax - bx - ac + be H(x) = 4(x + 1){x - 1)(3x + 1)(x + 2) 19. Indicar el número de factores primos en: P(a; b; e) = (a + b)’’ + c^(a b)*“ - c‘‘{a + b)^ - c^ Resolución: Agrupando en la forma indicada: P(a; b; c) = (a + b)^ + c’{a + b)'* - c‘'(a -i- b)^ - e' P(a; b; c) = (a + b)'’((a + b^ + c^] - c"[(a + b)^ + c^] Extrayendo el factor común: P(a; b; c) = [(a + b)^ + c^][(a + b)" - c“]. 16. Factoriza e indicar un factor, M(x; y: z) = x \ z - / ) + / ( x - z') + z^(y - x") + xyz(xyz - 1) Resolución; Efectuando operaciones con los últimos suman dos: M(x; y; z) = x^(z - y^) + y^{x - z^) + z^{y - x') + xyz(xyz - 1) M(x; y; z) = x^(z - y') + y^(x - z') -tz y - z x -I- X y z - xyz Agrupando en la forma indicada: M(x; y; z) = x^(z - f ) + y^{x - z') - yz(x - z') xV (z - / ) M(x; y; z) - x'(z - /)(x - z') - y(x - z')(z - / ) Extrayendo factor común: M(x; y; z) = (z - /)(x - z^)(x^ - y) Un factor será; x - z^. 2. (a' + b^ c' -H 2ab - ac - be) Número de factores primos; 4 20. Determinar el número de factores primos para eí polinomio P. P(x)= X* + x^ - x^ + X +2 Resolución: + 1 X = X^ -H X + 1 -H x^ - x' - 1) + ( x ' + X + 1) + (x" - x ' + 1) P (x) = x '(x - 1)(X^ + X + 1 )-(-(x ' + X -H l) + (x^ - x ' + 1 ) Resolución: M(x; y) = (x^ - 3y + 1)(x^ - y + 1) Un factor es; (x^ - 3y + 1) 1. P (x) = (X^ + X + 1 ){x’ - x^ -f- 1 )+ (x^ - x" + 1 ) Ordenando el polinomio para aplicar un aspa doble: M(x; y) X®- 4x^ Sy'^ + 2x" - 4y + 1 — Desarrollando: P(a; b; c) = {a + b + c)(a^ + b' + c^ -(- 2ab - ac -be) (a^ -(- b' + c' + 2ab)(a + b + c)(a + b - c) P(a; b; c) = {a + b + c)^(a + b - c)(a^ + + c^ -i- 2ab) P {x) = x V Factorizar; M(x; y) = x® + 3y' - 4x’y + 2x^ - 4y+1 e indicar un factor: y —— 4- H (x ) = 1 3 ( x + 1 ) ’ (x - 1 ) - ( x - l f ( x - H ) - 4 (x->-1)(x - 1 ) Resolución: 17. 1 3 {x H ( x ) = 1 3 (x + l f ( x - expresión: P(x) = (X - a)^{b - c)^ + (x - b)^{c - a)^ + c)"(a - = H (x ) 15. Dar el número de factores primos de la siguiente (X - Indicar uno de los factores primos de la siguiente expresión: H(x) = 13(x + l f { x - 1) - 4x" - (x - lf(x+ 1 ) -i- 4 "I ^ P (x ) = (x^ - x ' + 1)(x^ + X + 2) P tiene 2 factores primos. 21. Si P es un polinomio factorizable definido por: P(x; y; z; w) = 2{x -f- y)^ + {x 4- y)(z 4- w) + z(v/ - z). hallar un factor primo, Resolución: P = 2(x 4- y)^ + (z 4- w/){x 4- y) 4- z(w - z) 2 (x t y) — __ (X + y) w - z 2{x + y)z + (x -t- y){w - z) = (z + w)(x + y) Balanceo: SDT: 3x2y2 => P(x: y; z; w) = (2x + 2y + w - z){x + y + z) Un factor primo es: x + y + z ST: F(x; y) = 16[(x2 + xy + /)(x2 + xy + F(x: y) = 16[(x2 + xy + y2)2]" => F(x ; y) = 16(x2 + xy + /)® Resolución; (X + 2)' + (x + 5)2 - 6(x + 2) - 8 Sustituyendo sus variables originales: F(a: b) = 16(a’2 + a®b® + b’")« Por identidad trinómica: F(a; b) = 16(a® + a 'b' + b®)®(a® - a 'b' + b®)® Número máximo de factores algebraicos; (8 + 1)(8 + 1) = 81 Haciendo: x + 2 = a P(a) = a" + (a + 3)" - 6a - 8 P(a) = a“* + a^ + 1 = (a^ + a + 1)(a" - a + 1) = P(x) = [(X + 2)2 + X + 2 + 1][{x + 2 f - ( X + 2)+1] P(x) = (x2 + 5x + 7){x2 + 3x + 3) P no tiene factores primos lineales, 23. Hallar ia suma de los factores primos del polinomio: P(x) = (2x2 _ 24(2x - 1)(x - 1)x Resolución: P(x) = (2x2 - 9x + 1)" + 24(2x - 1)(x - 1)x P(x) = (2x' - 9x + 1)2 + 24(2x2 - 3x + 1)x P(x) = (2x2 _ 3x + 1 _ 0^)2 + 4(2x^ - 3x + 1)(6x) Como: (a - b)^ + 4ab = (a + b)" « P(x) = (2x2 _ P(x) = (2x2 + ^ ^2x + 1)2(x + 1)^ Factores primos: 2x + 1 a x + 1 La suma de factores primos es: 3x + 2 24. Obtener la suma de los factores primos del polino mio P, definido por: P(x) = x2(a2 + b^x) + ab(x® + 1) Resolución: P(x) = x2(a2 + p2x) + ab(x® + 1) P(x) = a2x2 + b^x^ + abx^ + ab P(x) = bx'(ax2 + b) + a(ax2 + b) P(x) = (ax2 + b)(bx^ + a) Suma de factores primos; bx^ + ax" + a + b 25. Calcule el número máximo de factores algebraicos en: F(a; b) = + b^" + (a® + b®)Y 26. Factorizar el polinomio en E, P(a) = (a^ - 2)2 - a2l(a - 2 f - 5(a + 1)2(a - 1)"] señalar un factor. Resolución: P(a) = (a" - 2)2 - a'((a - 2)" - 5(a + 1)^(8 - I)"] P(a) = (a^ - 2)2 - a2((a ' 2 f - 5(a2 - 1)2] Efectuando en toda la expresión: P(a) = a®- 4a^ + 4 - a" [a^ - 4a + 4 - 5a* + lOa" - 5] P(a) = a®- 4a®+ 4 - a“ + 4a^ - 4a2 + 5a®- 10a^ + Sa^ Reduciendo; P(a) = 6a®- 11a" + a" + 4 Haciendo: a^ = m => P(m) = 6m® - Hm" + m + 4 Evaluando para m = 1; P(1) = 6(1)^ - 11(1)2 ^ ^.,^2 ^ 4 => P(1) = O (se anula) En consecuencia un factor es (m - 1) y el otro fac tor lo hallaremos dividiendo por Ruffini, asi: m- 1= 0 6 -11 m= 1 i 6 6 -5 + 1 +4 -5 -4 -4 0 P(m) = (m - 1)(6m" - 5m - 4) Resolución: F(a; b) = [a2" + b"“ + (a® + b®)Y 3m 2m Efectuando dos cambios: a® = x A b® = y F(x; y) = [x" + y V (x + y)"]" P(m) = (m - 1)(3m - 4)(2m + 1) F(x; y) = {x" + / + (x" + 4 x ^ + B x "/ + 4xy^ + y")]“ Reduciendo: F(x; y) = [2x'‘ + 2y" + 4x^y + 6x Y + 4xy^]"; F(x; y) = [2(x" + y* + 2xV + S x "/ + 2xy^)]‘' Agrupando en el corchete para aplicar un aspa do ble especial: F(x; y) - 16(x- + 2x=y + 3 x V + 2xf + y^)" x2^ ',+xy< (-)i Falta: 22. ¿Cuántos factores primos lineales tiene el polino mio P, si: P(x) = ( X + 2)'* + (x + 5)^ - 6(x + 2) - 8 P(x) = 2x2y2 = xY 2xV Reponiendo fa variable original: P(a) = (a2 - 1)(3a2 - 4)(2a" + 1) P(a) - (a - 1)(a + 1)(;3a + 2 )(/3 a - 2)( 23^ + 1) Un factor es; a + 1 27. Factorizar; F(x; y; z) = z V - y V + 2xz" - xyz + 2y"x + z - y Resolución: Agrupamos los sumandos y extraemos factor co mún de cada grupo: F(x; y; z) = (z"x" - y"x") + (2xz" - xyz + 2 /x ) + z - y F{x; y; z) = x ^ z ’ ~ f ) + (2z^ - yz + 2 / ) x + z - y Resolviendo por productos notables y aplicando un aspa simple: F{x; y; z) - x'(2-y)(z'+yz+/)+(2z'-yz+2/)x+(z-y) Entonces; a - 6 + 1 2 = 0 = > a = - 6 b + 72 = 0 ^ b = - 7 2 También; Q(x) + (x' - x - 6) el residuo es cero Por Horner: x(z-y) 3 - 7 x(z"+y2+ / ) . 1 6 3 0 18 -4 F(x; y: z) - [x{z - y) + 1][x(z' + yz + / ) + z - y] 3 Efectuando operaciorês dentro de corchetes: F(x; y; z) = (xz - xy + 1)(xz^ + x / + xyz + z - y) Hay 3 factores primos: (x + y), (y + z), (z + x) 29. Factorice: H(x; y; z) = 4x“ + 12x^ + 0 / - x V - 27yz^ - 18z“ Resolución: Por aspa doble; 4x" + 12x'y + 0 / - x^z' - 27yz^ - 182* x' 3y — + 2z' H(x; y; z) = (4x^ - 9z^)(x^ + 3y + 2z') H(x; y; z) = (2x + 3z)(2x - 3z)(x' + 3y + 2x') Hay 3 factores primos; 2 lineales y 1 cuadrático. 2 (x^ - x - 6) el resto es cero -3 2 6 2 -1 1 12 -1 12 -2 4 14 0 84 0 Piden: an + bm = (-6 )(-84)+(-72)(10) = -216 31. Factorice: P(x; y; z) = x^ + / + z^ + x'y + x'z + / x + / z + z^x + zV Resolución; Agrupando convenientemente de 3 en 3; P(x; y: z) = x'(x + y + z) + / ( y + x + z ) + z^(z + X + y) Extrayendo factor común: P(x; y; z) = (x + y + z)(x' + y^ + z') 32. Factorice: P(x) = x® + 2x® + I3x‘ + 8x' + 36 Resolución; X® + 2x® + 1 3 x ‘' + 8 x ' + 3 6 x * - - . . J ^ 2 x '^ t ^ + 9 x" O --^ ^ ^ + 4 13x* + Ox‘ = 13X“ (x* + 2x' + 9)(x* + 4) Completando términos para volver a intentar aspa doble especial: x"* + Ox^ + 2x^ + Ox + 9 +3 2 x -^ ^ + 3 6x' - 4x' = 2x^ x“ + Ox^ + Ox' + Ox + 4 x '^ + 2 x ^ + 2 x' - 2 x +2 4x' - 4x' = Ox' P(x) = (x^+2x + 3)(x'- 2x + 3)(x' + 2x + 2Kx'-2x+2) 33. Se sabe que el producto de multiplicar el MCD y MCM de dos polinomios es (x® - x^) y además la suma de dichos polinomios es (x^ + x^ - 1). Halle el residuo de dividir el MCM de dichos polinomio entre x + 2. 30. El MCD de P y Q es x' - x - 6, donde; P(x) = 2x" - 3x^ + x' + ax + b Q(x) = 3x“ - 7x^ + mx+ n Halle: an + bm Resoiución: Por definición: P(x) Por Horner: 14 n m - 2 4 + 1 4 = 0=» m = 1 0 n + 84 = 0 = n = -8 4 28. Factorice: F(x; y; 2) = x(z - y f + y(z - x f + z(x - y f + 8xyz Resolución: Efectuando operaciones: xz^ - 2xyz + x / + yz' - 2xyz + yx' + zx^ - 2xyz + z / + 8xyz Agrupando convenientemente: xz' + x f + yz' + yx^ + zx' + z f + 2xyz Extrayendo factor común: x(z' + y' + 2yz) + yz(z + y) + x'(y + z) x(y + z f + yz(z + y) + x'(y + z) (y + z)[xy + xz + yz + x'] Agrupando convenientemente: (y + z)[x(y + X ) + z(x + y)] (y + z)(x + y)[x + z] F(x; y: z) = (x + y)(y + z)(z + x) -4 m a b -6 12 0 72 0 Resolución: Sean los polinomios A(x) y B(x) Por teorema A(x) x B(x) = MCD x MCM Datos: MCD x MCM = x" - x^ =» A(x) X B(x) = x* - x^ Además:A(x) + B(x) = x' + - 1 D e (l)y (ll): A(x) = x^ B(x) - 1 ...(I) ...(II) Luego, el MCM = x^(x^ - 1) Piden el resto: x+2 Por el teorema del resto: x + 2 = 0 = » x = - 2 R(x) = ( - 2 )'l(-2 )' - 1] = -2 4 34. Factorice: A{x; y) = 8x® - 1 9 xV ~ 27y® 39. Si se cumple que: a^ + b^ + c^ = O Resolución; Por aspa simple: 8x^ X^ -27y^ +y^ simplificar: Por suma y diferencia de cubos: A(x; y) = (2x - 3yK4x" + 6xy + 9y")(x + y)(x" - xy + / ) 35. Factorice: P(x; y) = 8x^ - 12x"y + 6xy^ - 65y^ Resolución: y por Rufñni: 8 i 8 -1 2 y 20y 8y 6y^ 20/ 26y" 4 4y 13y" - 65y' + 65y^ 0 2 36. Al factorizar: P(x) = (2x + 7c + d)(x + 3c) + cd - c" indique la suma de coeficientes de uno de sus fac tores primos. Resolución; Efectuando se tiene: P(x) = 2x^ + x(13c + d) + 4c(5c + d) t ____{5c + d) • 4c P(x) = (2x + 5c + d)(x + 4c) Un factor primo es (x + 4c); la suma de coefi cientes es (4c + 1). 37. Factorice: P(x) = (x - a)(x - 3a)(x + 4a)(x + 6a) + 40a“ Resolución: P(x) = (x" + 3ax - 4a")(x" + 3ax - 18a") + 403“ Hacemos x" + 3ax = z Luego: (z - 4a")(z - 18a") + 40a* Efectuando: 3abc - (a + b + c - ab - be - ca) _ a^ + b^ + c^ - 3abc (a^ + b^ + e^ - ab - be - ca) a+ b+ c 40. Indicar el número de factores primos en: (x " + 7 x + 5 )" + 3 {x " + 1 ) + 2 1 x + 2 Resolución: P{x; y) = {2x - 5y)(4x' + 4xy + 13y") —— Piden: (a + b + c)(a" + b" + c" - ab - be - ca) (a" + b" + c" - ab - be - ca) PC = ±(1,2,5,13,65,1 X 3abc •; abe ^ O a(b - a) + b(c - b)+ c(a - c Resolución: A(x; y) = (8x^ - 27y^){x^ + y") 2x Ordenando convenientemente P(x) = 9x® - 42x* + 49x" - (16x* - 8x" + 1) P(x) = (3x^ - 7 x f - (4x' - 1)" Por diferencia de cuadrados P(x) = (3x^ - 7x + 4x" - 1)(3x^ - 7x - 4x^ + 1) P(x) = (3x^ + 4x" - 7x - 1)(3x^ - 4x^ - 7x + 1; z" - 22a^ z + 112a* z - 14a" z - 8a" Reemplazando: P(x) = (x' + 3ax - 14a')(x' + 3ax - 8a') 38. Factorice: P(x) = 9x® - SSx“ + 57x^ - 1 Resolución: Artificio; buscar diferencia de cuadrados P(x) = 9x® - 42x"' - 16x* + 49x" + 8x" - 1 Agrupando: (x" + 7x + 5)" + 3(x" + 7x + 5) - 10 Sea; x" + 7x + 5 = a a" + 3a - 10 por aspa simple a 5 (a + 5)(a - 2) reponiendo variable =» (x" + 7x + 10)(x' + 7x + 3) x 5 X 2 ( X + 5)(x + 2)(x" + 7x + 3) Tenemos 3 factores primos 41. Luego de factorizar, indicar la suma de los coefi cientes principales de los factores primos de: p(x; y) = y^x* + 1 - x" - y^x^ + y^ - 2/x^ Resolución: Agrupando convenientemente y aplicando el crite rio del aspa simple, se tiene; P(x: y) = x V - 1 ) + x ^ {-/-2 y ") + (y + i)(y" - y + 1) x " ( y - i) * - ... t^ - ( y " - y + i) x"(y" + y + 1) - {y + 1) P(x; y) - [x " ( y - i) - ( y " - y + i)][(x^(y" + y + i) - ( y + l)] La suma de los coeficientes principales de los factores primos es: y^ + y + 1 + y - 1 = y^ + 2y 42. Luego de factorizar: P(x) = x® + 4x* + indicar un factor primo binómico Resolución: Aplicando factor común se tiene: P(x) = x[¿ + 4¿ + x^ + 4x + 2] + 4x^ + 2x Agrupando convenientemente; P(x) = x[x(x" + 4x" + 4) + (x^ + 2)] P(x)= x[x(x' + 2 f + (x" + 2)3 R e s o lu c ió n : Aplicando el criterio del aspa doble: P(x; y) = 5x^ + 4xy - / + lOx - 2y + O Aplicando factor común; P(x) = x(x^ + 2)(x^ + 2x + 1) "“ V — I x "-^ ^ y— P{x; y) - (5x - y)(x + y + 2) Un factor primo binómico es: x^ + 2 43. Luego de factorizar, indicar el nùmero de factores primos lineales de: F(a; b; c) = (a - bXa + b)^+(b - cXb + c)^+(c - aXc + a)^ 47. Los trinomios (2x^ + ax + 6) y (2x^ + bx + 3) admiten un factor común de (a forma (2x + c). Calcule el valor de: {a - b)c R e s o lu c ió n : R e s o lu c ió n : Usando el teorema del residuo. Si P(x) = 2x^ + ax + 6 Si: a = b resulta F(a; b; c) = (b - c)(b + c)' + (c - b)(c + b)' = 0 Si: b = c resulta F(a; b; c) = (a - c)(a + c)^ + {c - a) (c + a)^ = 0 Si: a c resulla F(a; b; c) = (c - b)(c + b)^ + {b + c)^(b - c) = 0 F(a; b;c) = (a - b)(b - c)(a - c) M es una constante Existen 3 factores primos lineales. Ri = P ( - | ) = 2 ( ^ = R ,^Q (-f)=.2(^) + b(-f) + 3 = 0 De R, = Rj: c{a - b) = 6 48. Luego de factorizar: N(a; b; c) = a^(b - c) + b^(c - a) + c^(a - b) indicar uno de sus factores compuestos. (x^ + xy + y^f - x^z^ - y^z^ - x^y^ Resolución: Efectuando y agrupando se tiene: (x + y-z)(x^ + y^) el cociente es idéntico a: Q(x; y; z> = ax + by + cz Hallar; a + b - c N(a; b; c) = a^(b - c) + b^c - bâ + câ - c^b N{a; b; c) = a^(b - c) + bc(b - c) - a(b + c) (b - c) N(a; b; c) = (b - c)[a^ - a(b + c) + be] Un factor compuesto es: a^ - a(b + c) + be Resolución: Agrupando convenientemente el dividendo se tiene; {x^ + xy + - x V - z^(x^ + y^) (x^ + 2xy + /)(x^ + y^) - z^{x^ + f ) (x" + /)[(x + y)'- zÎ = (x^ + /){x + y + z)(x + y - z) 49. Determine la suma de valores de n para que el po linomio F(x) = X - n sea un factor de P{x) = X-'' + (2 - n)x^ + (1 - 2n)x + n^ Resolución: F(x) es factor de P(x) (x^ + y^)(x + y + z)(x + y- z) Luego se tiene; ------ — ----- ------ ---^ --------- (x + y - z ) ( x" + y") =s'x + y + z = ax + by + cz=» a = 1 ; b = 1 ; c = Me piden: a + b - c = 1 1 x- n= 0 n Dadas las condiciones: a" + 1 \ 1 P(x) F(x) es exacta. 2 - n 1 - 2n n 2n 2 1 n^ n 0 Por ser una división exacta: n^ + n = 0 n(n + 1 ) ^ 0 n, = 0 V n = -1 ,-. n, + = -1 + c" = 2 (a + b + c)(1 + ab + be + ca) = 32 Calcule a + b + c Resolución: 50. Dato: a^ + b^ + c^ = 2 a í-^ l + 6 = 0 Si Q{x) = 2x^ + bx + 3 44. Luego de dividir; 45. O — 2 ,..(P ) (a + b + c)(2 + 2ab + 2bc + 2ca) = 64 ...{a) (p)en (a): {a + b + c)(a^ + b^+ c^ + 2ab + 2bc + 2ca) = 64 (a + b + c)2 a+ b+ c=4 46. Factorizar: P{x; y) = 5x^ - / + lOx - 2y + 4xy Luego indicar un factor primo. Factorice el polinomio: F(x) = x* - 6x^ - 27 Luego indique el factor primo de menor término in dependiente, Resotución; Podemos utilizar el criterio del aspa simple por la forma que tiene, F(x) = x" - 6x^ - 27 A F(x) = - . i. : ' (X 9)(x^ + 3) F(x) = (X 54. Señale un factor primo de la siguiente expresión: - 3)(x + 3)(x^ + 3) ^FP " Ef factor primo de menor término independiente es (x - 3). 51. Factorice et polinomio siguiente P(x; y) = (x^y + x ' / f - 4x^ - 8xy - 4y^ e indique el número de factores primos. Resolución: P(x; y) = (xy (x + y))^ - 4(x^ + 2xy + / ) P(x; y) = (xy)^(x + y f - 4(x + y f - 4(x + y)' P(x: y) = ( X + y)'[(xy)' - 4] P(x; y )= (x + y f[(x y -2 )(x y + 2)] Entonces, sus factores primos son (x + y), (xy - 2) y (xy + 2) Por lo tanto, tiene 3 factores primos. 52. Factorice et polinomio: P(x) = 2x^ - x^ - 18x + 9 Luego iguale a cero cada factor primo y encuentre los valores de x. Resolución: Agrupando convenientemente tenemos P(x) = 2 x ^ - x ^ - 18x + 9 P(x) = x^(2x - 1) - 9(2x - 1) P(x) = (2x - 1)(x^ - 9) P(x) = _(2x - 1)(x - 3)(x + 3) ^FP~^ FP igualamos a cero cada factor para encontrar sus raíces. 2 x-1 = 0 vx-3 = 0vx + 3= 0 1 vx = 3 v x = -3 Por lo tanto, las raíces de P(x) son: 53. R(z; w) = 5z® - 2 z V - 75z" + 32v/ - 80 Resolución: Completando términos para aplicar aspa doble: R(z; w) = 5z® - 2 z V + Ow® 75z‘ + 32v/‘- 80 5z* -2 w 5 Ov/ =* R(z; v^) = (5z“ - 2 v / + 5)(z* - 16) R(z; w) = (5z“ - 2w“ + 5)(z' + 4){z" 4) R(z; w) = (5z“ - 2w* + 5)(z^ + 4)(z + 2) (z - 2) Un factor primo es: (z^ + 4) 55. Factorizar: A(x) = X*" + (1 - 2n)x'" + (1 - 2n - 3n^)x^" (2n + 3n^)x'' - 3n^ Resolución: A(x) = x‘'n + x^" - 2nx^" + x^" - 2nx^" - 3n^x^" 2nx" - 3 n V - 3n^ A(x) = x^''(x^" + x" + 1) - 2nx"(x^'' + x" + 1) 3n^(x^" + x" + 1) A(x) = (x"" + x" + 1)(x"" - 2nx" - 3n*) X" -3 n x" +n A(x) = (x^" + x" + 1){x’’ - 3n)(x" + n) 56. Factorizar: A(m; p) = (m® - 2m^p®)^ + (2m®p^ - p®)^ Resolución: (n f + (2 m V - ^ f [m^(m® - 2p®)]^ + [p^(2m® - p^)f m®(m® - 2p®)^ + p®(2m® - p®)' Haciendo: m® = a’ : p® = b® + b'(2a^- b^)^ 1. 3 y -3 Señale uno de los factores primos de: P(x; y) = x*(x - y f - 14x/(x - y) + 2 4 / Resolución: Efectuando en los primeros dos sumandos: P(x; y) = x"(x - y f - 14x/(x - y) + *2 4 / P(x; y) = (x(x - y)]^ - 14(x* - x y ) / + 24y* P(x; y) = [x^ - xy]^ - 14(x' - x y ) / + 24y* (x^ - xy) t -1 2 / (x' - xy) - 2/ (x^ - xy - 1 2 /)(x ' - xy - 2 / ) Luego: P(x; y) = (x^ - xy - 12/)(x^ - x y - 2 / ) x ^ J Ú ^ -4 y x ^ ^ - 2 y X ' - ' ' ^ ^ + 3y X '- '^ y P(x; y) - ( X - 4y)(x + 3y)(x - 2y)(x + y) Un factor primo es: (x + y) a'(a* - 6a®b^ + 12aV - 8b®) + b^(8a' - 12aV + 6aV -b®) a'2 - ^ + i2a®b® - 8^3b®+ ^ -12a®b® + 6 ^ -b ’^ a’^ + 2a®b^ - 2 a V - b'* (a’^ - b’^) + 2aV(a® - b®) (a® + b®)(a® - b®) + 2a=^b^(a® - b®) (a® - b®) [a® + b® + 2a^b^] (a' + b')(a' - b'Ka^ + b’ )^ (a^ + b')'(a' - b^) (a - b)(a^+ ab + b^)[(a + b)(a^ - ab + b^)]^ (a - b)(a^+ ab + b^)(a + b)*(a^ - ab + b^)^ Sabemos que: m® = a^ =* a = m^ p® = b^ =» b = p^ (m^ - p^X^'* + - m^p^ + p y (m + pY(m'' - m*p^ + p'’) V + P)(m - P) (m^ + mp + p^Xm^ - mp + p^ 57. Factorizar; P(x) = x^[(a^ + 1)x^ +8a"] - 5x[(a' + 1)x^ + a^] + 8x^ - 5x + 1 + a^ Resolución; P(x) = + 1)x^ + 8a^l - 5xt(a" + 1)x" + a^] + X ____________ T -C___________ 3- 8x^ - 5x + 1 + = x‘ (a^ + 1) + 8 a V - 5(a^ + 1)x^ - 5a'x + 8x^ 5x + (1 + a^) = x * (¿ jM ) - 5(a^+ 1)x^ + 8(a"+ 1)x^ 5 (¿ i_ 1 )x + ( 1 i ¿ ) = (a' + 1)(x" - 5x' + 8x" - 5x + 1) Por aspa doble especial: X* - 5x^ + 8x^ - 5x + 1 Balanceo x^ x" ^ ^ \ - 2 x í 1 = x^ 1= ^ 2x^ SDT: 8x^ ST: 2x^ Falta: 6x" P(x) = (a^ + 1)(x^ - 3x + 1)(x' - 2x + 1) P(x) = {a' + 1)(x' - 3x + 1)(x - 1)' 58. Factorice: P(x) = (a^ + 2ab)x^ + b(a - 4b)x + {b - a)<a - 2b) e indicar uno de sus factores primos. Resolución; Aplicando aspa simple: P(x) = a(a + 2b)x^ + b(a - 4b)x + (b - a)(a - 2b) ax “ 2b) = (a^ - 4b^)x (a + 2b)x (b - a) = (ab - a^)x b(a - 4b)x =■ P(x) = (ax + a - 2b)l(a + 2b)x + b - a] •. Un factor es: ax + a - 2b 59. Al factorizar: M(x) = 32x* + (x + 1)^ - x^ hallar la menor suma de coeficientes de uno de sus factores primos. Resolución; Desarrollando M(x) = 32x' + x^ + 2x + 1 - x^ M(x) = 32x® + 2x + 1 = (2x)* + (2x) + 1 Sea: 2x = a =» M(a) = a® + a + 1 + a^ Agrupando: M(a) = a^(a^ - 1) + (a^ + a + 1) M(a) = a^(a - 1)(a^ + a + 1) + (a^ + a + 1 ) M(a) = (a^ + a + 1)(a^ + 1) Reponiendo variables: M(x) = (4x^ + 2x + 1)(8x^ -4 x ^ + 1) 2 coef. de (4x^ + 2x + 1) es 7 2 coef. (8x^ - 4x + 1) es 5 60. Los polinomios; P(x) = x* + 2x^ - x - 2 a Q(x) = x^ + 6x^ + 11x + 6 tienen un factor común. Indicar la suma de coefi cientes de dicho factor común. Resolución: Factorizando cada polinomio para encontrar el fac tor común P(x) = x" -h 2x^ - X - 2; agrupando: P(x) = X ^ ( X -I- 2) - ( X + 2) P(x) = (x-t- 2 ) ( x " - 1) P(x)= (x + 2)(x - 1)(x^ + x + 1) Q(x) = x' -I- 6x^ + 11x -H 6 Por divisores binómicos'. -1 1 6 11 i - 6 -1 -5 i -6 5 6! 0 q(., « Q(x)= ( X + 1)q(x) Q(x) = (x + 1)(x^-i-5x + 6) 2 ^ Q (x ) = ( X + 1)(x -I- 3)(x + 2) De aquí observamos que el factor común a P(x) y Q(x) es (x + 2); siendo 3 la suma de sus coefi cientes. 61. Factorizar el polinomio: P{x) = (x -t- 2)(x - 1)(x - 3)(x - 6) + 7x^ - 28x + 1 e indicar un factor primoResolución; Multiplicando convenientemente: P(x) = ( X + 2)(x - 6) ( X - 1)(x - 3) + 7(x^ - 4x) -i-1 P(x) = (x^ - 4x - 12)(x' - 4x + 3) + 7(x^ - 4x) + 1 Haciendo: x^ - 4x = a « P(a) = (a - 12)(a + 3) + 7a + 1 P(a) = a^ - 2a - 35 a O ^ - 7 ; -7 a a - ' ' ^ - ^ 5; _5a -2 a P(a) = (a “ 7)(a + 5) reponiendo variables P(x) = (x^ - 4x - 7)(x^ - 4x -I- 5) .-. Un factor primo es: x^ - 4x + 5 62. Al factorizar el polinomio: P(x) = (x + 2)^(x + 1)(x + 3) - 42 seobtiene un factor de la forma Q(x) = x^ + 4x -t-n.Hallar el mayor valor de Q(-3), Resolución; De; P(x) = (X + 2)'(x -i- 1)(x + 3) - 42 P(x) = (x^ + 4x -I- 4)(x^ + 4x + 3) - 42 Hacemos: -(- 4x = a P(a) = (a + 4)(a + 3) - 42 P(a) = a" + 7a - 30 10 P (a )= (a + 1 0 )(a -3 ) =» P(x) = (x^ + 4x + 10)(x^ + 4x - 3) Q(x) = x^ i- 4x + n =»n = 1 0 v n = - 3 Q(x) = x^ + 4x -t- 10 V Q(x) = x^ + 4x - 3 Q (-3 ) = 7 V Q (-3 ) = - 6 Mayor = 7 63. Si F(x) es ei factor primo de mayor gradoquere => P(x; y) = (x + 4y)(x^ - xy + 7y^ : factores sulta al factorizar P(x) = x® + x“ + 1 en Z(x),hallar Suma de coeficientes de (x + 4y) es 5. F(3). Suma de coeficientes de (x^ - xy + 7y^) es 7 Resolución: 65. Factorice: P(x) = (x^ + x + 1)(x' - x+ 1) + 7x^ - 385 P(x) = X^ + X* + 1 e indicar la suma de sus factores primos lineales. Aplicando el método del quita y pon; Resolución: P(x) = x^ + x* + 1 + x^ x^(x^ - 1) + x"* + + 1 + x^ - x^ Efectuando: P(x) = (x* + x^ + 1) + 7x^ - 385 x^(x' - 1) + X ^ ( x ^ - 1 ) + x^ + x' + 1 + X - X P(x) = x“ + 8x^ - 384 factorizando por aspa simple x^(x' - 1 ) + X^(x^ - 1 ) + x(x* - 1 ) + x^ + X + 1 x^ + 24 = ( x ^ - 1) ( x ^ + X ^ + X ) + x ' + X + 1 x' - 16 = x (x ' - 1 )(x^ + x + 1 ) + {x * + x + 1 ) = (x^ + x + 1)(x(x^ - 1) + 1) = (x' + X + 1)(x' - x + 1 ) ^ F(x) - x' - X + 1 F(3) = 3' - 3 + 1 = 25 64. Factorizar; P(x; y) = x^ + 28 + 3xy(x + y) e indi car la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. Resolución: Desdoblando términos para formar desarrollo de un binomio al cubo P(x; y) = x^ + + 3xy(x + y) + 27y^ P(x; y) = (x + y)^ (3y)^ suma de cubos P(x; y) = (X + y + 3y) [(x + y)' - (x + y)(3y) + (3y)'3 P(x) = (x" + 24)(x' - 16) ^ P(x) = (x^ + 24)(x + 4)(x - 4) .-. Nos piden: (x + 4) + (x - 4) = 2x 66. Factorizar: P(x: y) = y V + 2yx^ - xy + x* - x^ - 20 e indicar un factor primo. Resolución: Agrupando convenientemente se tiene; P(x; y) = y"x' + y(2x' - x) + (x^ + 4)(x' - 5) yx yx — — I x^ + 4 x' - 5 P(x; y) = (yx + x^ + 4){yx + x^ - 5) Un factor primo es: yx + x^ - 5 PR OB LE MA S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 (UNI 1 9 7 5 ) Uno de tos factores de: x® - x^ - 8x - 16, es: A) x^ - 4 D) - x - 4 B) x^ - 2x + 4 E) x^ - X + 4 (x + y - 1)[x^ + y^ + 2xy + x + y + 1 - 3xy] .-. (x + y - 1)(x* - x y + y^ + x + y + 1 ) Clave: C C) x^ + 2x - 4 Resolución: Extrayendo el signo ( - ) a los tres últimos términos se tendrá: X® - (x^ + 8x + 16) = (x')' - ( X + ( x ^ + X + 4)(x^ - X - 4) Clave: D P B0B LE M A 2 (UNI 1 9 7 8 ) Descomponer en dos factores; (x + y)^ + 3xy (1 - x - y) - 1 A) (x + y +1)(x^+ 2xy + y^ + x + y + 1) B) {x + y - 1)(x^+ 2xy + / x - y+1) C) (x + y - 1)(x^ - x y + y ^ + x + y + 1 ) D) (x - y - 1) ( x ^ - 2xy + + X - y + 3) E) (x - y +l)(x^ - 2xy + y^ + x + y -3 ) Resolución: Agrupando en la forma indicada: ( X + y)^ - 1 - 3xy ( X + y - 1) {x + y - 1)[(x + y)^ + X + y + 1] - 3xy(x + y - 1) PROBLEMA 3 (UNI 1983-1) Factorizar: (a - b)^(c - d)^ + 2ab(c - d)^ + 2cd(a^ + b*) e indicar la suma de sus factores A) a^ + b' + c^ + d^ B) a + 2b + c + 2d C) a + b^ + c + d D) a* - b* + - d^ E) a^ - b + c - d Resolución: Sacando factor común (c - d)^ a los primeros términos: (c - d)^[(a - b)* + 2ab] + 2cd(a^+b^ (c - d)^(a^ + b^) + 2cd(a^ + b^) Factorizamos ahora: (a^ + b^ (a^ + b')[(c - d)^ + 2cd] = (a* + b^(c^ + d^) Se pide la suma de factores: a^ + Clave: A PROBLEMA 4 (UNI 1 9 8 4 - II) Uno de los factores de: zx* + 4x^/ - 4xV z + 4y‘'z - x“- 4y*, es: 2 A) 1 + z B) 2 - D) X - 2y E) X + 2y C) z - 1 Resolución; Agrupando en la forma indicada: (zx" - 4xV^2 + 4y‘ z) - (x‘ - 4 x V + 4y‘ ) z(x" - 4 x y + 4y“) - (x" - 4 x V + 4y‘ ) A) a((iogx)^ + Slogx - 1 0) adogx + 3)(logx - 25) E) adogx - 2)(logx + 2) Sumando factor común: (X* - 4 x V + 4y")(z - 1) = (x^ - 2 f f { z - 1) TCP Ciave; C B) a(logx^ + 6logx - 2)^ D) a((logx)^ + 4logx - 1) Resoiución; Haciendo el cambio de variable: Iogx = y, tendremos: ay" + 1 0 /a + 2 3 /a - lOya + a a ly - + 1 0 y * + 2 3 / - 10y + ^] PROBLEMAS 5 (UNI 1 9 8 5 • II) Descomponer en factores la siguiente expresión: a(logx)“ + 10(logxfa + 23a(logx)^ - 10(logx)a + a ^ a[y" + 5y - 1]" Reponiendo x; quedaría: a((logx)^ + 5log - 1)^ Clave: A PROBLEMAS □ 1. PROPUESTOS A) 2x + 5 D) 2x + 3 Hallar un factor primo del siguiente polinomio; [ ( x - y + 2) ( x - y - z ) + 1 ] ^ - 4 ( x - y ) ' A )x + y + z + 1 B ) x - y + 2 + 1 C ) x - y + z D ) x - y + z + 2 E)z + y - x +2 2. Sabiendo que x^ + 2x + 3, es un factor de; P(x) = x** + x^ + 6x^ + mx + n entonces es verdad que: A) m + n = 21 D) n es par 3. B) mn < O C) m < O E) n - 2n = 1 Calcular el número de factores cuadráticos de: P(x) = 4x* - 37x' + 9 A) 2 D)5 B)3 E)6 0 4 4. Siendo n el valor que debe admitir x para que los factores de primer grado de T{x)= 2x^ + 7x +6, tengan el mismo valor numérico, señalar un factor de: E(a; b; c) = a(a + c ) + nb(b + c) A) a + b D) a + b + c B)b + c E)a + b - c C )c + a 5. Factorizar: M(a; b;c) = a^ - b^ + 2(a + b - c + be) Dar como respuesta la suma de sus factores primos. A) 2a B)2b + c E) 2a + b + 1 D) 3a + c C)2a + 2 6. Señalar cuántos factores lineales admite la expresión: J(x; y) = x’ - x y + x“y^ - / A) 1 B) 2 E)5 D)4 0 3 7. Hallar un factor primo del siguiente polinomio: R(x; y; z) - |[8(x + y + z)' - (x + y)" - (y + z f - (z + x)"] A) X + y D) X + y + 8. O x^ + y" + z ’ B) F W E)VFF C )2 x -3 Si P(x; y; z) = (ax + by + cz)(mx + ny + pz). p e Z, representa al polinomio: P(x; y; z) = 2l(x + y + z)^ + (x + y - z)^] + 5(x^ + y^ - z^ + 2xy) Luego de haber sido factorizado, calcular el valor de; E _ a jt.b + c m- n+ p A) 1/9 B)3/7 D) 7/5 E) 9/5 0 5/7 11. ¿Cuántos valores admite n para que el polinomio; P(x) = ( X - n)(x - 6)" - ^(2x - 3)’' ’ " admite dos factores primos repetidos? A) 6 B)7 0 5 D)4 E) 8 12. Luego de factorizar: P(x; y) = x^y^(x^ + xy) - x^^(xy + yz), dar como respuesta la suma de sus factores primos. A) 3x + 2y + z B) 3x + 2y - z O 2x + y - z D)2x + y + z E) x + y + z 13. Calcular la suma de coeficientes de un factor primo de: Q(x; y) = x^ - 25z^ + 6xy + 9 / A) 4 D) 4 - 5z B) 9 C) 4 + 5z E) Hay dos correctas 14. Si P(x; y; z) = (x + 2y + 3z)(x + 3y + 5z) + 2yz es un polinomio factorizable, hallar un factor primo. A )x + y + 2z B) x + y + z D) X + 2y + 5z E) x + xy + y C )x + y + 3 z 15. Señalar un factor del siguiente polinomio: ( X + y)^(x^ + 3xy + y^) - 6xy(x* + xy + y^). A) x + y B )x -y D) x^ - xy + y^ E) x + xy + y C)x^ + xy + y^ 16. Si P(x; y) = x^ + 28y^ + 3xy(x+y) es un polinomio Sea el polinomio: Q(n) = (n^ + 3n - 9)' + n^ + 3n - 11 dar el valor de verdad de las siguientes proposicio nes: I. (n - 5) es un factor primo. II. (n^ + 3n - 7) es un factor primo. III. Presenta dos factores primos lineales. A) FFV D )W F 9. z B) xyz E) xy + 2z 10. B)2x - 5 E)2x o FVF Si a uno de los factores primos de: P(x) = (x + 4)(x + 5)(x - 3)(x - 2) + 6 se le suma 3x; se obtienen dos factores primos li neales. Hallar la suma de ellos. factorizable. indicar la suma de coeficientes de uno de sus factores primos. A) 3 B)5 0 6 D)9 E) 10 17. Si P(x) = (3x + 2)(4x - 3)(x - 1)(12x + 11) - 14 es un polinomio factorizable en los racionales, señalar un factor primo. A )x - 1 D )1 2 x -1 3 B) 12x^ - 4x - 3 C) 13x + 12 E )2 x -1 18. Indicar un factor de: R(x) - 2(x + 21)" + ( X + 20)" A) 2x + 46 D) X - 23 B) X - 20 E) x + 9 {X + 19)= - 1 O 2x - 46 19. Indicar cuál es el factor común de las siguientes expresiones: P(x) = x" - 8x' + 16 Q(x) = ( X + 1)(x' - 3) - X - 1 R(x) = 2x" + 16x A) X - 2 D )x -1 B) X + 2 E )x -3 A) - 4 D)3 B)x + 2 E)x - 3 C) X + 1 Si M(x) es el polinomio que resulta de sumar los factores primos de tercer grado, hallar una raíz irra cional de M(x), C )x + 3 21. Si P(x) = x^ + (2m - 1)x + (m - 1)^ es factorizable mediante un aspa simple (en el campo numérico de los racionales), además m g a m < 13, indi car un factor primo. A) x + 5 D)x + 11 B)x + 7 E )x -1 27. B) F W E)FFF C) V W 23. Luego de factorizar: P(x) = x“ - 3x’ - 25x^ + 39x + 180 ( X + 3)(x - 4)(2x + 17) indicar uno de los factores primos, A) x - 4 D )x + 1 B)x + 2 E )x -1 C)x + 8 24. Con respecto al polinomio: M(x) = (x' + 1)2 - x2(x^ + 4) indicar lo correcto; I. Tiene 2 factores cúbicos primos. II- La diferencia entre sus factores primos es ± 2x(x - 2). III. La suma de coeficientes de un factor primo es 1. IV. En los complejos tiene 6 factores primos. A ) ly ll C ) ly lV E) Ninguno B) II, III y IV D) Todos 25. Luego de factorizar el polinomio: P(x) = (x - 1)(x" - 2)(x^ - 3) + 2(2x^ - 3x + 3) este admite la forma: P(x) = x" (x + c)"(x" + ax - a) Calcular el valor numérico de: n - ac 7Ï3 - 5 4 /2Ï-2 72 - C) ñ 7 - 1 1 2 Indicar falso o verdadero según corresponda. I. Todos los divisores del término Independiente de un polinomio de coeficientes enteros son raí ces enteras del mismo. II. Para que un polinomio tenga raíces enteras no es necesario que tenga coeficientes enteros. til. El polinomio P(x) = x* - 6x^ + 11x^ - 6x tiene raíces racionales. 22. Determinar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones. A) FVF D )W F J 7 -2 4 5 C )x + 9 I. Un polinomio mónico de segundo grado de coeficientes; si no se factoriza por aspa simple es primo. II. Un polinomio mónico de coeficientes racionales y de grado 3; si no se factoriza por divisores bi nómicos es primo en Q. III. Un polinomio mónico de coeficientes racionales y de grado 4; si no se factoriza por aspa doble especial es primo en Q. OO 26. Factorizar en TL los polinomios P(x) = x' + x® - x" - 2x' - 1 Q(x) = x’ - 2x‘‘ - 1 20. Luego de factorizar; T(x) = (x - 1)®- (x - 1)^ - 2 Indicar un factor A )x + 1 D)x B )-1 E)5 A) V W D)FFV 28. 8) VFV E) FFF O FW Si X , es un raíz real del polinomio: P(x) = x^ + X - 8; indicar lo correcto: A ) x , í (1;2) D) x,e / | ; 2 29. Señalar un factor primo de (2x + 1)^ + 4x(x + 1) + 2 A) 4x^ + 7x + 3 B) 4x^ + 6x + 3 C) 4x^ + 4x + 1 D) 4x^ + 2x + 1 E) 4x^ - 2x + 1 30. Sea el polinomio: P(x) = Sqx" + aix"” ^ + ... + a„ _ ,x + a„; de coefi cientes enteros. Si al menos de un modo, se puede elegir un número primo m que satisfaga las condi ciones siguientes; I. 3qno es divisible entre m. II. Todos los demás coeficientes son divisibles en tre m. III. a„ es divisible por m, pero no por m^. Entonces el polinomio es: A) divisible entre cualquier polinomio. B) irreductible en ®. C) irreductible en E. D) tiene factores en IR. E) No se puede afirmar nada. 31. Indicar un factor del siguiente polinomio: P(x) = + x '’ + X A) x' -X + 1 D) x^ + x + 1 B) x' + 2x - 3 E) X* + X + 1 O x' + X - 2 32. Luego de factorizar el polinomio: P(x) = x' - 2x^ + x“ - x' + X - 1, indicarun factor. A) x^ + X + 1 D) x^ - X + 1 B) x' - 1 E) x" + x^ + 1 C) x" - x" - 1 40. ¿Cuántos divisores algebraicos primos admite el polinomio: P(x; y) = [x’’ + y“' + (x + y)Y"^ 33. Si al factorizar P(x) = ax® - (a + bjx“* + bx^ + ax^ - (a + b)x + b, se encuentra un factor primo racional doble, hallar ( i) - A ) 1I B) 2 D)-1 E)^1 2 C) 1 A)1 B)2 P(x) = x® + (2a - a*)x‘‘ + (a^ - 2a) x^ - 1 e indicar el nùmero de términos de la suma de todos sus factores primos, si dos de sus factores primos son de segundo grado. B)2 E)5 04 D)8 E)9 41. Hallar la suma de los factores primos del siguiente polinomio: H(x; y) = 15x' + 7xy - 6x - 17y - 21 A) 8x + y + 4 D) 8x - y + 4 34. Sabiendo que a s ZZ - {1; O ;-1}; factorizar A)1 D)4 C)2(a + b + c) D) a(a + b) + b(b + c) + c(a + c) E) a(a + 1) + b(b + 1) + e(c + 1) B) 8x - y - 4 C) 8x + y - 4 E) Bx + 4y + 1 42. Luego de factorizar: N(x; y) = 6x^ + 19xy + 15y^ - 11x + 4 - 17y indicar un factor. A )2x + 3 y - 1 D) 3x + y + 4 B ) 2 x - 3 y + 1C )3 x -5 y + 4 E) 3x + 5y + 4 0 3 43. En el siguiente esquema: 3x^ - 2xy - By' + 22x + 6y + 35 35. Indicar un término de un factor primo de S(x) = x V + 4) + (3x + 1)(x - 1) A) 2 D)5x B) 3 E)2x^ O 3x se observa el procedimiento de faetorización por el criterio de aspa doble. Hallar el valor de: ab + e 36. Factorizar apücando identidades P{a; b; c) = {a + bf(c - d f - 3ab(a + b)(c - d)^ + {a' + b^)(c + d)^ Señalar el número de factores primos en <B. A) 2 D)5 B)3 E)6 0 4 37. Factorizar: P(a; b, c; d) = (a + b + c - 2 d f - (2b - a - d + 2c)^(2a - b - c - d)^ Señalar un factor. A) a + b + c +d C) -2a + b + c + d E)2a - b - c + 2d B) a - 2b - 2c + d D }a-b + c - d 38. Luego de factorizar P(a; b; c) = a V c + a^bc^ + ab^c^ + a V c^ + 1 + a'b + b^c + câ indicar la suma de todos sus factores primos. A) a^b + b^c + câ + 1 B) 1 + ab + be + ac C) a"b + 1 D) b'c + 1 E) a^b + 1 + b^c + 1 + câ + 1 39. Si se suma los factores primos de: P(a; b; c) = a(b - c)^ + b(c - a f + c(a - b)' + 8abc se obtiene A) a(b + 1) + b(c + 1) + G(a + 1) B) ab + be + ac A) 14 D) IB O 17 8)15 E)20 44. Calcular el valor numérico delfactor primo de ma yor grado respecto de "y" que se obtiene al facto rizar: P(x; y) = 3x" - 2 x Y - 7x^ + 8y^ - 20 para: x = 1 a y = O A )-8 B)6 0 -6 D)8 E)12 45. Señalar un factor primo del siguiente polinomio; P(x; y; z) = x‘ - xV + 5yz^ - x V - 2y^ - 2z“ A) - y + 3z' C) x^ - y + 4z" B) x' + y + 6z^ D) x' + y - 2z" E) X + y -H z 46. Calcular el número de factores primos del siguiente polinomio: P(x) = x“* - 2x^ + 2x^ - 7x + 6 A) O D)3 B) 1 E)4 0 2 47. Luego de factorizar el polinomio: A(x) = 3x^ - 2x^ - 19x - 6 Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Tiene dos factores primos mónicos. II. La suma de sus factores primos es 5x. Ili. Todos sus factores primos son lineales. A) WF D)FFV B)FVF E)FVV OWV 48. Luego de factorizar; A) 3 D) 12 C )x’ + 3x2 ^ 27 E) x' -3x2 + 9 0 8 B)6 E) 15 49. Señalar un factor de; P(x) = 6x" + 41x" + 97x^ + 97x2 + 41x + 6 A)x-1 B)x-2 D) 3x2 + 7x + 2 E) 3x + 1 los factores primos de: P(x;y) = 64x‘ + f Calcular el valor de: ab’ ’ B) 2 0 3 D)4 E)5 51. Factorizar F{x) = x“ - 4x^ + 11x2 _ + io y dar como respuesta el mayor TI de uno de sus factores primos. A)1 B)2 0 )3 D)4 E)5 52. Determinar cuántos factores cuadráticos admite; F(x) = 25X-' + 5x^- X - 1 A)1 B)2 0 )3 D)4 E)5 53. Si luego de factorizar M(x) = 2x* - 3 x ^ - 1 Un factor se evalúa para x= ■¡2 . s e obtiene; A)2 - /2 D)1 + /2 B) 1 - 72 E ) 3 + 72 0)5+72 M(x; y) = x” - 2x'y - 39x2y2 + 8xy’ +140y" es: ax + by, entonces podemos afirmar que; B) a + b = -2 E)a“ =16 C) a - b = 2 P(x) = x^ - 5x - 2, tiene la forma; mx^ + nx + p, calcular el valor de; R = (m - n + p)“ " 8)0 0)1 D)3 E)9 O 3x - 1 57. Al factorizar el polinomio P(x) = 3x'^ - 21x + 18 se obtiene: a(x - b)(x - c)(x - d), con a, b,c y d constantes enteras, tal que. b < c < d. Calcular el valor de a - b + c - d. A)-7 B)3 0 5 D)6 E)9 58. Hallar un factor primo del siguiente polinomio; P(x) = x^ + 81x + 243 + x^ + x2 + x + 1)2 - x^ x +1 B)x® D) x^ + x2 + x + 1 61. Cuántos factores tiene; P(a; b) = a^ - 4 + 2ab + b^ A)1 D)4 B)2 E) es primo 0 3 62. Señale un factor primo de; M(a; b; c) = a(b2 + c2) + b(c^ + a^) A) a - b D) c2 + ab B) b - a E) abe + 1 C) c2 - ab A) 1 D)4 8 )2 E)5 0 3 64. Señale un factor primo de P(a; b; c) = a2 + b^ - 4c^ + 2ab + 3bc + 3ac B)a + b - c C )a + b + 5c E )-a + b - c P(a; b) = (a + b)'* - (a - b)“ + a** + 2a^b + 2a2b2 + Si P(0; 5)= O, hallar un factor primo de dicho poli nomio. B)x + 2 E)3x - 2 A)x" + x" + x2 C) X* + 1 E) x" + 1 C) x - 7 b ^ 65. Factorice el siguiente polimonio 56. Sea el polinomio P(x) = 6x^ - x^ - 5x + m. A) 2x + 1 D) 5x - 1 60. Indicar un factor de; S(x) = (x® + x* + A )a + b + 3c D)a-b-c 55. Si la suma de los factores primos de: A) -1 B )x -7 á T l E) x2 + 1 - a 63. Cuántos factores primos presenta; l(x;y) = x^ + y^ + 6xy - 8 54. Si la suma de los factores primos de: A) ^Tab = 2 D)b2=16 59. Siendo (b + 1) a (a - 1) cuadrados perfectos, fac torizar; M(x) = x® - (a + b + 1)x* + (ab + 2a -1)x2 - a + b - ab + 1 y señalar aquel que no es factor de M(x). A )x + 7 b T Í D) x2 - 1 C)2x+1 50. Si (a + 1)x^ + (b - 3)y2, representa a la suma de A) 1 B) x^ - 3x + 9 D) x2 - x + 1 A) x^ + 3x + 9 M(x) = X®+ x“ - 2x^ - 2x^ + X + 1 se obtiene: (x - 1)""” 2(x + l)"'" Hallar el valor de mn. 2ab^ + b“ e indique la suma de coeficientes de un factor primoA)12 D)10 8 )4 E)3 0 )8 66. Factorice el polinomio P(a; b) = (a + b)' + Z{2s^ + 3ab + b^) + 2(2a + b)24a - 3b - 3 e indique un factor primo. A) 7a + 4b D) 5a + 3b - 2B) 5a + 3b + 3 O 2a + 2b + 2 3 E) 3a + 2b - 1 67. Factorice el polinomio: N(x:y) = (x - 1)(y2 + x + 1) + (y - 1)(y2 + y + i )+ (x + y)(3xy + 1) - e indique la suma de coeficientes de un (ador primo. A) 2 68. B)5 E) 4 B) X* - X + 1 E )x ^ -x + 4 C) 74. B) x* - 6x + 6 E)x^ - 2 B) -1 E }-2 C) - 3 C) 2m + n 76. Después de factorizar indique un factor: A(x; y) = x®y“ + x V - 6 A) x V - xy - 3 O x V - xy - 2 E )x V - xy + 3 A) x^ + xy - / D) X*- xy + y B )x V + xy + 2 D) - xy + 3 A) 2x + 3 D) C) m^= 8n B) x^ + xy - y C) x^ + xy + y^ E) x^ - xy + y* 78. Señale un factor primo de: T(x) = 20x® + 3 1 x ^ -9 x C )a + c + 2 72. Qué relación debe existir entre m y n para que el polinomio: P(x) = m / + (n + 3m))í + (2 + m + 3n)>^ + (n + 6)x + 2 presente un factor primo lineal. B) n = 8m E) n' = 8m 0 3 77. Indique un factor después de factorizar: P(x; y) = x^ - y^ + X* + xy + y^ 71. Señale un factor primo de: S(a; b; c) = (a - b / + (b + c f - 2{b - a)(b + c)+ (a + c - 2) A) m = 8n* D) m = n* B)2 E)5 A) 2m + 2n + 3 B) 2m + 3 D)2m + 1 E)2n + 3 C) X* - 7x - 2 Calcule a + b + c; a, b, c, X e IR B )a + c - 2 E)a-c-1 Cuántos factores primos tiene: j(x ) = (X + 1)(x^ - 4){x + 5) - 13 75. Después de factorizar, indicar la suma de sus fac tores primos de: P{m; n) = m^ + 3m - n* + n + 2 b^ + 2b a+ 2 A )a + c + 1 D)a-c + 2 0 6 B)5 E)4 A)1 D)4 - X+ 6 En el siguiente polinomio, al aplicar el criterio de aspa simple se obtiene el siguiente esquema: P(x) = ax^ - 2x + c A) - 4 D) - 5 Sea: P(x) = x" + 3x"’ ^ - 4x^ - 12 calcule n, si P(x) presenta 3 factores primos cua dráticos. A) 2 D)8 Señale un factor primo de: P(x) = 3x" + x^ - 6x - 2 A) + 2 D)3x* - X - 1 70. D)8 Luego de factorizar: J(x) = (x" - l)(x^ - 4) - 3(2x + 3) tenemos como factor primo a: P(x) = ax* + bx + 1, V X e IR, P(x) > O Señale P(x). A) X* + X + 1 D )x^+x + 5 69. C )6 73. B) 5x" + 3 E) 2x - 3 2x + 1 C) 6x' - 3 79. Señale el número de factores primos de: P(x) = x® + 4x* + 3x^ + x^ + 7x* ~ 6 A) 2 B )3 0 4 D)5 E) 6 80. Cuántos factores primos tiene: P(x; y) = x“y® + 4 A) 2 B)3 D)5 0 4 E) 6 Ê Ê Ê B S S ^ Ê IÊ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. B E E D C B D B A G 11. 12. 13. 14. 15, 16. 17. 18. 19. 20. C B E D D B D A ' B D 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. C D A D E 0 C E ■ B B D D E C 0 B C E C 40. A 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 0 A C D D D C C E C 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. E B B D e E 0 A C A 6Î. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68: 69. 70. C D B B A D D A e C 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 8Û- C É C B B P C D B A Máximo común divisor y mínimo común múltiplo Fracciones algebraicas O Z) a o ü William George Horner nació en Bristol (Inglaterra) el 22 de septiem bre de 1789 y m urió en Bath (Inglaterra) en 1837. Fue un m atem ático inglés. A los 14 años se convirtió en maestro, cuatro años después se convirtió en director de la misma escuela en que estudió. En 1809 se trasladó a Bath, donde fundó su propio colegio. Com o investigador solo tiene en su Iiaber una contribución: el lla m ado algoritm o de Horner para resolver ecuaciones algebraicas, publicado por la Royal Society en 1819. Este m étodo alcanzó cierta popularidad en Inglaterra y Estados Unidos gracias al tam \n9\atóTB, t7B3 - Ingtateirs, 183? bién m atem ático De Morgan, que lo utilizó en sus artículos divulgativos, aunque finalm ente se popularizó la regla de Paolo Ruffini. descrito y publicado en 1814, por e! cual le fue concedida la medalla de oro por la ItaÜan M athematical Society for Science. Horner hizo otras contribuciones m atem áticas, com o la publicación de una serie de do cu m entos sobre la transform ación y resolución de ecuaciones algebraicas, en donde tam bién se aplican técnicas similares a las ecuaciones funcionales. Después de que m uriera Horner. su hijo llam ado tam bién William Horner m antuvo en funcionam iento la escuela de Bath. Fuente: Wifeipedia <4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) ím E Se flama máximo común divisor de dos o más expre siones algebraicas, a la expresión algebraica entera de mayor grado y coeficiente numérico contenida un nú mero exacto de veces en cada una de las expresiones mencionadas. Ejemplo: 1. B MCf) übs ó p re sio n es prírrias entre si es ta unidad y su MCM ef (»tKlucto de 2. Soto para dos e x^îo n e s o pt^nomios se cumple que: AX B = MCD(A; B) Ejemplos Sean los números 12 y 6; ^. Divisores comunes Indicar el MCD y MCM de: F(x) = x*(x + 1) A G(x) = x(x + 2) Resolución: Como F(x) y G(x) están factorizados: MCD(F; G) = x MCM(F; G) = x*(x -i- 1)(x + 2) 12 6 El MCD de 12 y 6 es 6. 2. Dar el MCD y MCM de: A(x; y) = xV^(x - 2) a B(x; y) = xV (y - 1) Resolución: Análogamente: MCD(A; B) = x^y* MCM(A; B) = x‘‘ y^(x - 2){y - 1) 3. Dar el MCD y MCM de: P(x) = X* - X - 6 A Q(x) = X* - 3x - 10 Resolución: Factorizando a cada uno de los trinomios: P{x) = x ^ - x - 6 = ( x - 3)(x + 2) Q(x) = x' - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) MCD(P; Q) = x + 2 MCM(P; Q) = (x + 2)(x - 3)(x - 5) 4. Dar el MCD y MCM de: M(x;y) = x' - 2xy - 1 5 / N(x; y) = x' - 7xy - 18y^ <4 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Se llama mínimo común múltiplo de dos o más expre siones algebraicas, a la mínima expresión algebraica entera y de menor coeficiente que contiene un número entero de veces las expresiones mencionadas. Ejemplo: Sean los números 6 y 8. Múltiplos comunes 24 72 24 72 (48 El MCM de 6 y 8 es 24. Pasos a seguir para calcular el MCD y MCM de dos o más polinom ios 1. Se factorizan las expresiones dadas. 2. Ef MCD se determina considerando solo factores comunes a todas las expresiones pero elevados a su menor exponente. 3. Ef MCM estará expresado por la multiplicación de los factores comunes a todas las expresiones pero elevados a su mayor exponente luego multiplicado por los no comunes. Resolución; Factorizando cada uno de los trinomios: M(x; y) = ( X - 5y)(x + 3y) N(x; y) = (x - 9y)(x + 2y) MCD(M: N) - 1 MCM{M; N) = (x - 5y)(x + 3y)(x - 9y)(x -i- 2y) 5. Ejemplos: Sean: • A(x) = ( X + l f ( x + 2f(x - 3) • B(x) = ( X + l f ( x + 2 f MCD(A; B) = (x + 1)*(x + 2 f MCM(A; B) = (x + 1)^(x + 2)'(x - 3) • C(x) (x + 2){x + 3) • D(x)-(x-1)(x-3) IV1CD(C; D) = 1 MCM(C; D) = ( X + 2){x + 3)(x -1 )(x - 3) Dar el MCD y MCM de: A(x) = x" - 1 A B{x) = x^ + 2x - 3 Resolución: Factorizando cada expresión: A(x) = (x' + 1)(x' - 1) = (x' + 1){x + 1)(x - 1) B(x) = (x + 3)(x - 1) MCD(A; B) = X - 1 MCM(A; B) = (x - 1)(x^ + 1)(x + 1)(x + 3) 6. Calcular MCD y MCM de: A(x) = X® - ax“ - a“x + a" B(x) = x“ - ax^ - a V + a^x Resolución; Resolución: Factorizando A: Factorizando A: A(x) = x‘‘(x - a) - a‘*(x - a) = (x - a)(x^ - a‘ ) A(x) = (x - af{x + a)(x' + a') Factorizando B: B(x) = x"(x - a) - (a^x)(x - a) = (x - a)(x^ - a'x) B(x) = x(x - a)'{x + a) MCD(A; B) = (x - a)^(x + a) MOM(A; B) - (X - a )V + a){x^ + a")(x) Extrayendo factor común: x f A(x; y) = x/(x® - 2 x \" + f ) = x f{x " - f f TCP A(x: y) = xy'(x^ - y^)^(x' A(x; y) = x/(x^ + f) { x + y)^(x - y f Factorizando B: Agrupando convenientemente: B(x: y) = 3xV'(x^ + y') + x'y(x® + y®) Calcular el MCD y MCM de; A(x) = x^ + 5x^ + 8x + 4 B{x) = x^ -f 3x^ - 4 C(x) = x' + 6x' + 12x + 8 B(x: y) = 3x“y^(x^ + / ) + x^y(x' + y^)(x^ - x^/ + y“) Extrayendo factor común: x'y(x' + y^) B(x; y) = xV(x^+ y^)(3xV^ + x‘ - x^^ + y") B(x; y) = x^y(x"+ /){x " + 2 x Y + y") B(x; y) = x^y(x^+ y^)(x^ + y^f = x'y(x^ + f f Resolución; Factorizando cada expresión: A(x) = x^ + 5x^ + 8x + 4 Para x = -1 : A{-1) = 0; se anula, entonces tendrá un factor (x+1). Por Ruffini: 1 -1 1 5 8 4 -1 -4 -4 4 4 0 Luego A(x) = ( X + 1) ( X ^ + 4x + 4) A(x) = (x + 1)(x + 2 f B(x)- x' + 3x' - 4 Para x = 1: B(1 ) = 0 se anula, entonces factor (x - 1’ Por Ruffini: 1 1 1 Luego B(x) = B(x) = 3 0 -4 1 4 4 4 4 0 (X (X 1)(x^ + 4x + 4) 1)(x + 2 f C(x) = x^ + 6x^ + 12x + 8 Para x = -2: C(x) = 0; se anula, entonces un factor (x + 2). Por Ruffini: -2 6 12 8 -2 -8 4 -8 4 0 Luego: C(x) = (x + 2)(x^ + 4x + 4) 0(x) = (x + 2)(x + 2 f = (x + 2 f MCD(A; B: C) = (x + 2 f MCM(A; B; C) = (x + 2)'(x + 1)(x - 1) Calcular el MCD de A, B y C: A(x; y) = x V + xy'“ - 2xV B(x; y) = 3xV(x^ + y^) + x®y + C(x; y) = x“y - x V - x f + Factorizando 0: Agrupando en la forma indicada: C(x; y) = x^y(x^ + y^) - xy^(x^ + y^) Extrayendo factor común: xy(x^ + f ) C(x; y) = xy(x' + /) ( x - f ) MCD(A; B: O) = xy(x' + f ) 9. Si el producto de dos expresiones es (X + 1)'(x + 2)(x + 5) y su MCD es (x + 2), hallar el MCM de las expresiones. Resolución; Sean las expresiones: A(x); B(x) Por condición; A x B = (x + 1)^(x + 2)(x + 5) Por propiedad: [MOM(A: B)][MOD(A; B)] = (x + 1)^(x + 2)(x + 5) ' (x"+'2) ^ == M C M (A ; B) = (X + 1)^(x + 5) = (x^ + 2 x + 1 )(x + 5) M C M (A ; B ) = x^ + 7x^ + 1 1 x + 5 10. Hallar el MCM de: A = 3(x + 1); B = 2(x^ - X + 1) y C = 6 {x V 1) Resolución; En este caso solo falta factorizar 0. 0 = 6(x^ + 1) = 6(x + 1)(x^ - x + 1 ) ^ MCD(A; B; C) = 1 MCM(A; B: C) = 6(x + 1)(x" - x + 1 ) 11. Dadas las expresiones algebraicas: A = (x^ - 4)(x^y + 3xy) A B = x V + 8 x /, ¿por qué expresiones deberá multiplicarse cada una de ellas para que su MCD sea xV(x^ - 4)? Resolución: Factorizando A: A = (x + 2)(x - 2)xy(x + 3) Factorizando B: B = x/(x^ + 8) = xy^(x + 2)(x' - 2x + 4) =» MCD(A; B) = xy(x + 2) Para que su MCD sea x'y'(x' - 4), a A habría que multiplicarlo por xy y a B habría que multiplicarlo por x(x - 2). 12. Clasificación de fracciones Fracción propia. Se caracteriza porque el grado del numerador es menor que el grado dei denominador. Ejemplos: Si (X - 1) es divisor de x^ - 6x^ + 11x - 6 y de - 7x + 6, ¿cuál es su MCD? x^ - 1 , xy + 2 x“ + 1 x ' + y^ Resolución: Factorizando el primer polinomio: 1 -6 11 -6 1 -5 6 -5 6 0 En el caso inverso, donde el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, se dirá que es una fracción impropia. Ejemplo: (X - 1)(x^ - 5x + 6) = (X Análogamente con el segundo polinomio: 1 0 1 1 1 7 1 Fracciones equivalentes. Son aquellas que teniendo formas diferentes se caracterizan porque siempre ten drán los mismos valores numéricos; para cualquier va lor asignado a sus variables, a excepción de aquellos que hagan cero el denominador. 6 - x' + 2 - 1)(x - 2){x - 3) 6 1 O Ejemplos: (X - 1)(x" + X MCD = 13. (X 6 ) = (X - 1)(x + 3)(x - 2) x+ 3 ^ ^ 1 V x # -3 ; - 2 x^ + 5x + 6 ^ ^ X + 2 ' - 1)(x - 2) Al sumar el MCD de (x - 1 y x®- 1 con el MCD de: (x - 1)®y X® - 1 , se obtiene: Resolución: Factorizando x® - 1, por divisores binómicos: Para x = 1 se anula, entonces tendrá un factor (x -1 ). 0 0 0 0 -1 1 0 1 Parax = 0: | = 4 o ¿ Fracciones complejas o compuestas. Se caracteri zan porque en su numerador o denominador aparecen otras fracciones algebraicas. Ejemplo: x+1 F= 3+ 1 x^ - 1 = ( X - 1){x'’ + =*MCD = {X - 1) + x' + X x - 1 ^ x ^ -1 Fracciones continuas. Es un caso auxiliar de las frac ciones complejas, que se caracterizan porque el nume rador de cada fracción siempre es la unidad. + 1) El segundo polinomio x® - 1, puede escribirse: {x^ + 1)(x^ - 1) = (x + 1){X^ - X + i)(x - 1)(x^ + x + 1) ^M C D = {x - 1) Ejemplo: 1 M= 3+ 1 Suma de los MCD= 2(x - 1) X + 14. Hallas) MCD de: A = x^ + 3x^ + 3x + 1; B = x^ + 2x + 1; C = X - 1 Resolución; A = ( X + I f ; B = ( X + I f ; C = (x - 1) .-. MCD(A; B; C) = 1 1 x+1 Fracción irreductible: Son aqueüas fracciones que se caracterizan porque en el numerador y denominador aparecen expresiones que no tienen ningún factor co mún (el numerador y denominador son primos entre sí), es decir, no admiten simplificación. Ejemplo: <4 FRACCIONES ALGEBRAICAS Fracción algebraica es el cociente indicado entre dos expresiones algebraicas racionales en donde al menos en el denominador debe de figurar una letra. E je m p lo s : X + y , 2 . x + y . a+1 x - y ’ x' z 'a + b + c x + 2. 2 X + 1' X Signos de una fracción Toda fracción posee tres signos (signo de la fracción, signo del numerador, signo del denominador); el cam bio de dos de estos signos no altera el signo total de la fracción. Para dividir fracciones, se invierte la fracción del divisor y se procede como en la multiplicación. Ejemplos: F= +b Ejemplo: . -m E = - -m -n +n -n (x - a)(x - b)(x - c) = (a - x)(b - x){x - c) iS 1. (x - a) {x - b) {a - x) {b - x) x -2 x -2 2 -x 7 x -2 / X + 1\ . / X + 3 \ _ / X + 1 w X - 5 >_ x‘ - 4x - 5 U - 7 j ' U - 5 l U - 7 .) lx + 3 )’ x '- 4 x - 2 1 S im p lific a c ió n de fra c c io n e s Simplificar una fracción es transformarla en otra equiva lente e irreductible. Ejemplos: 1. B B E B Ìv En toda fracción podrán efectuarse tres juegos pares de signos y tendremos como resultado otras fracciones equivalentes. Ejemplo; M 2 -x _ 2 7 -x 7 -x 2. Simplificar: M = 2ax^ + 2x^ - 3bx^ - 2b^x - 3abx + 3b^ 2x^ + 2cx - 3bx - 3bc Resolución; Factorizando el numerador y denominador: , 2 -x x -7 Si a los compKjnentes de una fracción se les multi plica o di\^de por una expresión diferente de cero tendremos como resultado otras fracciones equivaientes. Sea: am /b m \ fracciones f= = Vm ^ O equivalentes \ i / _ ax(2x - 3b) + x^(2x - 3b) - b^(2x - 3b) (2 x -3 b )(x + c) M= 2. (2x-3b){ax + x^-b^) {2x-3 b )(x + c) , mx + ny + p la fracción:-------- -—~ rx + sy + 1 es independiente de sus variables (x e y) o toma siem pre un vator constante, entonces se cumpliré: S i ü! = Í1 =: £ = constante Efectuar: (a - b) (a - c) + (b - c) (b - a) O peraciones con fraccio n e s • Para sumar o restar fracciones es necesario dar común denominador. (x + 2 )(x + 4 )-(x -5 )(x -1 ) (x-1)(x+4) x^+6x+8-(x^-6x + 5) (x-1)(x+4) + 6x + 8 + 6x - 5 (x~1)(x + 4) 12x + 3 (x-1 )(x + 4) Para multiplicar fraccionea, se multiplican numera dores y denominadores entre si. Transformando los denominadores de las dos últi mas fracciones: a^__________ b^ , c^ (a-b)(a-c) (b-c)(a-b) {c-a){c-b) Factorizando el numerador: N = a^(b - c) - ab^ + b^c + ac^ - bc^ N = a^(b - c) - a(b^ - c^) + bc(b - c) N = {b - c)(a^ - ab - ac + be) N = (b - c)(a(a - b) - c{a - b)j N = (b - c)(a - b)(a - c) Reemplazando: (b - c)(a - b)(a - c) x^ + 2 x - 3 3 x -4 = 1 Reducir: M= 1 n(n + 1) 1 (n + 1)(n + 2) 1 {n + 2)(n + 3) f ^ ______ (n + k - 1)(n + k) Resolución; Como los denominadores dan como diferencia los numeradores, podemos descomponer cada frac ción de la siguiente manera: 1- 1 1 1 1 1 M = -^ + ... n n + 1 n+1 n+2 2 n+3 Ejemplo: / x - 1\/x + 3 \ ,x + 1/1X - 4, (c - a) (c - b) Resolución: (a - b)(a - c)(b - c) x -5 x+4 x' + a x -b ' X+ c M _ a^(b - c) - b^(a - c) + c^(a - b) (a - b)(a - c)(b - c) m x+2 x-1 , M= n n+ k 1 1 n+k-1 n+k (n + k)n Otra forma de resolución; Luego; B = JL 2b Utilizando el criterio de la inducción: 1 Para 1 fracción: M n(n + 1) Para 2 fracciones: 1 1 n+ 2+ n n(n+1) (n+1)(n+2) n(n+1)(n+2) Para 3 fracciones; 1 1 M= ■+ ■ n (n + 1 ) (n + 1)(n + 2) M= 2 n(n + 2) Agrupando en forma conveniente en la expresión 0: 0= n(n+2) Por Legendre en el numerador y denominador: Q_ 4ab + 4ac 4a(b + c) (b+c)¡4a(c+b) + 4a(c~b)] (b+c)54a]íc+b+c-b) 1 (n + 2)(n + 3) 1 _ 3 (n + 2)(n + 3) n(n + 3) Para k fracciones: M = Luego: C = Reemplazando en la expresión pedida; k n(n + k) Efectuar;^ = 3(a"-bO (a + b)^ + (a + c)‘ - (a - b)^ - (a c)^ (b+c)l(a+b+c)V(a+c-b)^-{a+b-c)^-(a-b-c)‘ F--1/—' l + = 1/bc + ac + ab\ _ 1/4abe\ ~ 2 \ a ' ' ’ b c/ 2\ abe j ~ 2Í abe / + b - 2a , 7a b -a 3(a + b) ■■■ E - ^ ( 4 ) ^ 2 Resolución: Transformando el primer denominador; M = 4ab 4- 2b^ - I2a^ 2a - b _ 7a 3(a + b )( a -b ) a -b 3(a + b) Hallando el MOM de los denominadores y efec tuando; 4ab+2b^-12a^+6a^-3ab+6ab-3b^+7a^-7ab 3(a + b )(a -b ) Reduciendo en el numerador; (a + b )(a -b ) a ^-b ^ M= 3{a + b )(a -b ) 3(a + b )(a -b ) 5. . ^ = I 3 Si; ab + be + ac = 4abc, dar el equivalente de E = A + B -f C, donde: (b + c)^+(a + c ) ^ - ( b - c ) ^ - ( a - c ) ^ (a-i-b){(a+b+c)^+(a-b+c)^-(b+c-a)^-(c-b-a)^] B= (a + b)^ + (a + c)^ - (a - b)^ - (a - c)^ (b+c)[(a+b4-e)^+(a+b-c)^'-(a+b-c)^-(a-b-c)^j (a + b)^4-(a + c ) " - ( a - b ) " - ( a - c ) " (b+c)[(a+b+c)^+(a+c-b)^-(a+b-c)^-(a-b-c)^] Resolución: Agrupando en la forma indicada en la expresión A: A=- (b + c)^ + (a + c)^- (b - c)^- (a - c)^ (a+b)[{a+b+c)^+(a-b+c)^-{b+c-a)^-(c-b-a)‘ Por Legendre en el numerador y denominador: D escom posición de ias fra c c io n e s ra cio n a ie s Dada una fracción racional de una soia variable x, siem pre podrá ser reemplazada, dividiendo su numerador por su denominador ordenados ambos según las po tencias decrecientes, por una función entera de x (que puede ser nula), y por una fracción racional comple mentaria, en la cual el grado del numerador será menor que el grado del denominador. Designaremos esta fracción racional: f(x) -(1) F(x) Se puede suponer siempre que esta fracción es irre ductible, es decir que f(x) y F(x) son primos entre si, y admitiremos además que se conocen las raices de F(x) = O que se designarán por a. b, c, ... y sus grados de multiplicidad por m, n, ... En este capitulo vamos a tratar de la descomposición de las fracciones racionales de la forma antes dicha en fracciones simples. Nos preguntamos: ¿es posible siempre expresar una función racional en fracciones simples? Si bien no he mos definido una fracción simple, la respuesta es afir mativa, pero debemos tener presente las siguientes consideraciones: Recordemos algunos conceptos previos: 1. Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma p(x) = aox" -h a,x" + a„, donde los a, (i = 0;...: n) son números reales. El grado de este polinomio es n (mayor exponente), siempre que 2. Todo polinomio puede factorizarse en producto de polinomios cuadrátieos o lineales. Esto equivale a decir que las raíces de cualquier polinomio son reales o complejas. 3. El cociente de dos funciones polinomiales se llama función racional. Si f es una función racional, en tonces: . 4bc + 4ac _ 4c(b + a) (a+b)[4c(a+b)+4c(a-b)] (a+b)[4c(a+b+a-b)] i 0. Agrupando en forma conveniente en la expresión B: p_ (a + b)^ + (a + c)^ - (a ^ b)" - (a - c)^ (b+c)[(a+b+c)^+(a+b-c)^-(a-b+c)^-(a--b-c)^] Por Legendre en el numerador y denominador: 4a (b + c) 4ab 4 4ac B: (b+c)[4a(b+c)+4a(b-c) (b+c)[4a(b+c+b-c)] f{x) _ P W •(2) qW donde p(x) y q(x) son polinomios. Esta fracción se llama propia si el grado de p(x) es menor que el grado de q(x). En otro caso se llama impropia. 4. Toda fracción impropia (función racional) puede expresarse como la suma de un polinomio y una fracción propia (función racional). Ejemplo: Determinar qué clase de fracción es f(x) = x' x+1 Si multiplicamos por el MCM de los denomirâdores, obtenemos: 1 = A(x - 1)(x + 2)+ B(x +2)x + Cx(x -1 ) ... (4) A continuación presentamos un método abreviado que nos permita calcular las constantes A, B y C. Este con siste en asignar valores a x que nos permiten eliminar algunas constantes y calcular más fácilmente otras. Por ejemplo: si en (4) hacemos x = 1, obtenemos B =-^; si X = 2, obtenemos C = 4 ; si x = O, obtenemos A = 4, O ¿ luego: -1 /2 , 1/3 Resolución: x^ + x*' - 2x Claramente fes impropia y si dividimos x^ por x + 1, obtenemos como cociente x^ ~ x + 1 y como resto -1 . Sabemos que: dividendo / divisor = cociente + residuo divisor ’ 1 = x^ - x + 1 + x+ 1 x+1 lo cual comprueba que: fracción propia = polinomio + fracción propia Ahora, para convertir una fracción propia en frac ciones simples se presentan 4 casos, a saber: Luego tenemos que: Caso 1 El denominador es un producto de factores lineales distintos. Diremos que a cada factor linea! diferente ax + b. que aparezca una vez en el denominador de una fracción propia, le corresponde una fracción propia de la forma r-, donde A es una constante que deax + b bemos determinar. En otras palabras y considerando la notación anterior, diremos que si en la fracción propia f(x) ^ q(x) se expresa como un producto de factores lineales (grado 1) distintos de la forma: q(x) = (a,x + b,)(a2X + b j) ... (a^,x + b„), Entonces: PW q(x) A, ^ a,x + bl , A, a„x + b„ Caso 2 El denominador de una fracción propia contiene, fac tores lineales repetidos ax + b, n veces. La descom posición en fracciones parciales contiene términos de la forma; A, A; Ap ax + b (ax + b)^ (ax + b)" Donde: A, (i = 1: ...; n) son constantes por determinar. Esto se produce cuan<lo en la fracción propia: P(x) , Q(x) = d(x - a)"(x - b)" ... (x - k)^ Q(x) y por lo menos uno de los exponentes es mayor que 1. Ejemplo: y I O Descomponer; —r--------- -------------------( x ^ - 2 x + 1)(x^ + 4x + 4) Resolución: Factorizando al máximo el denominador obtenemos; (x^ - 2x + 1)(x" + 4x + 4) = (X - 1)^(x + Luego; x+3 (x^-2x+1)(x^+4x+4) A , B , C +. D x-1 (x -l)2 x+2 ' (x+2)= l'ûltiplicando por (x^ - 2x + 1)(x^ + 4x + 4) obtenemos: El método no abreviado consiste en igualar los coefi cientes de las potencias de x y resolver el sistema de ecuaciones que se obtiene, pero por supuesto optare mos por el abreviado que es más rápido y fácil. S ix = 1 : B = ^ : six = -2 ; D = •^. Como no hay otro Ejemplo: — \ -----x" + x^ - 2x Resolución: Primero debemos factorizar el denominador: x^ + x^ - 2x = x(x - 1)(x + 2) 1 B Esta igualLuego; x^ + x^ - 2x X x -1 x+ 2 dad debe ser válida para todo x en el dominio de 1 x® + x^ - 2x' 1/6 1^ x + 2 x + 3 = A(x-1)(x + 2)' + B(x + 2)^ + C(x + 2)(x-1)^ + D (x-1)' Donde los números a,: b, y A, (i = 1; 2;...; n) son cons tantes y debemos encontrar los valores A, que verifi quen la igualdad (3). Descomponer; X - valor que permita eliminar las constantes y poder calcu lar otra, le asignamos a x, 2 valores cualesquiera para producir un sistema de ecuaciones, considerando que ya tenemos los valores de B y D. Si x = O ^ 3 = -4 A + 4B + 2C + D Reemplazando los valores de B y D, obtenemos; -3 6 A + 180 = 10 De igual modo, sí x = -1 , obtenemos: -1 8 A + 360 = 10 Juntando ambas ecuaciones obtenemos un sistema de ecuaciones en dos variables, donde ___ _ Luego: (x^-2x+1)(x'+4x+4) -5/27 x -1 4/9 (x-1)2 5/27 , 1/9 x+2 (x+2)' Caso 3 En este caso trabajaremos con factores cuadráticos di ferentes, entonces a cada factor cuadrático irreductible ax' + bx + c, que aparezca una vez en el denominador de una fracción propia, le corresponde una fracción pro pia de la forma: Ax + B ax^ + bx + c Donde A y B son constantes por determinar. Recuerda que factor irreductible ax^ + bx + c, significa que no se puede factorizar en los reales, o que sus raí ces son complejas. Ejemplo: Descomponer: —^ -----(x '+ 1 ) (x ' + 2) Resolución: Observemos que los factores del denominador son irre ductibles, por lo tanto: ------1—------ ^ ^ ^ (x^+1)(x^ + 2) x^+1 obtenemos:A=0; C = 0; 8 = 1; D = -1 , Por lo tanto, la fracción se convierte en: 1 1 1 (x '+ 1 )(x ' + 2) x '+ 1 x^ + 2 ^ , nos conduce a: x' + 2 1 = (Ax + B)(x^ + 2) + (Cx + D)(x' + 1) El método más general para determinar las constantes consiste en igualar los respectivos coeficientes de los polinomios; en este caso: Caso 4 Este caso es similar at anterior excepto que los factores cuadráticos irreductibles se repiten. A cada factor cuadrático irreductible (ax' + bx + c)'”, con m entero mayor que 1, le corresponde una suma de fracciones de la forma: A,x + B, AjX + Bj A^x + B^ (ax + bx + c)" ax^ + bx + c (ax' + bx + c)" Donde los A, y B, (i = 1; 2; debemos determinar. Ejemplo: Descomponer: (x -1 )(x " + x + 1 )" Resolución: F(x) está descompuesta en factores de primer y segun do grado, y las raices de segundo grado son imagina rias conjugadas, así que tenemos: (x -1 )(x ' + x + 1)' (x - 1 ) S ix = Si X = Si X = Si X = 0=. 1= B(2) + D(1) 1 ^ 1= (B + A)(3) + (C +D)(2) -1 ^ 1= (- A + B)(3) + ( - 0 + D)(2) 2 =» 1= (2A + B)(6) + (2C+ D)(5) Resolviendo ei sistema: 1 = 2B + D 1 = 3(B + A) + 2(C + D) 1 = 3 ( - A + B) + 2 (-C + D) 1 = 6(2A + B) + 5(2C + D) Dx + E (x^ + x + 1) Desarrollando y agrupando: x^ = A Igualando ios coeficientes respectivos tenemos: A+C = 0 2A+C = 0 B+ D= 0 2B + D = 1 Otra forma de resolverlo sería: Bx + C (x^ + x + 1)^ Multiplicando por F(x) ambos miembros: x^ = A(x' + x+1)^ + (Bx + C )(x -1 ) + (Dx + E )(x -1 )(x '+ x + 1 ) xV 2A x^+3A x^+ 3A x '+ 22A A x+A +B -B +C -D -C 1 = (A + C)x' + (B + D)x' + (2A + C)x + 2B + D Cuya solución es: C = 0; D = -1 ; B = 1; A = 0. n) son constantes que -E +E De donde el sistema de ecuaciones será: A+ D = O 2A + e = 1 3A + B = O 2 A -B + C - D = 0 A -C - E= O Resolviendo el sistema obtenemos: A ——• B B — _ -1• 3 , CC -——— 3 ,• D ü -——— g ,• E h -— g— A - g , Y la descomposición será: x' 1 (x -1 )(x '+ x + 1 )' 9 (x-1) x+2 3 (X ^ + X + 1 )' 9{x^+x+1) a 1. Simplificar.,, x^ + 4x^-2 1 x x ' - 9x 9. x ^ -x + 1 , 2 x (x ^ -1 ) X^ + X + 1 x^(x + 1) - (x + 1) rr 2ax + ay - 4bx - 2by Simplificar: ------------------------^ ax - 4a - 2bx + 8b x ^ - x +1 , 2 x (x + 1 )(x - 1 ) x^ + x + 1 (x+ 1 )(x^- 1) x^-x+1 , xy 3x^y - 3xy^ Simplificar: x ^ -x + 1 2x x+x+1 X + X + 1 = 1 x+x + 1 Resolución: (a + 1)^ (a=-1)^ Simplificar; x^ - 2x - 3 x -3 (a + 1)^ [(a+1)(a-1)f (a+1)= ( a + l) > - 1 ) = a+ 1 (a-1)^ ab a+ b a + ab a -b a11. Reducir. x ^ -2 x -3 (x -3 )(x + 1 ) x -3 " x -3 " Resolución: Simplificar: ( l ± , b)^ - (c - d)^ (a + c) - (b - d) Efectuando en el numerador y denominador por separado; Resolución; a^ + ab - ab a+b - ab + ab (a+b)^-(c-d)^ _ (a+b+c-d)(a+b-c+d) a+b-c+d (a+c)*-(b-d)^ (a+c+b-d)(a+c-b+d) ~ a-b+c+d Simplificar: 1 2 a "-7 a "-1 0 a 12. Resolución; 16a^x-25x a(12a^ - 7a - 10) x(16a^-25) a(4a - 5)(3a + 2) x(4a + 5) (4a - 5) _ x(4a + 5) a (4 a -5 )(3 a + 2) “ a(3a + 2) Simplificar: a^ - 25a 2 a '- 8 a ^ - 1 0 a a (a "-2 5 ) 2 a ( a '- 4 a - 5 ) a(a + 5 )( a -5 ) 2 a (a -5 )(a + 1) a+5 2(a + 1) Si a’ ’ - 1 se divide por (a -1 ), hallar el cociente. Resolución: 1 a a -1 a -1 1- a a(a -1 ) a -1 a (a -1 ) a^ a+b 'a ' - b’ ' a‘ ^ + b' hallar MN. Si: M a -b a+b y N= a b' + b' Resolución: Transformando y reduciendo primero M; -1 b ' - a ' b+a í ■' ■' ab ab(a + b) a^ b' a^b= M= b+a b^-a^ a b ab a^b" M= Resolución: 8. (x + 1 )(x - 1 )(x + X + 1) 10. Simplificar:„ a^ + 3a^ + 3a + 1 ^ a-’ - 2 a '+ 1 Resolución: 7. 2x(x + 1 )(x -1 ) X +X+1 X +X +1 Factorizando en este caso solo ei denominador: xy 1 3 x y (x -y ) 3 {x -y ) 6. (x ^ -x ) Resolución: Resolución: 5. 2 Reducir; ^ V ^ ^ + X'' + X + 1 x + X'’ - X - 1 Simplificando el segundo sumando: Factorizando numerador y denominador: a(2x + y) - 2b(2x + y) (2x + y)(a - 2b) 2x + y a (x - 4 )-2 b (x - 4 ) " (x -4 ){a -2 b ) ” x - 4 4. B " '" Factorizando numerador y denominador: Resolución: 3. ■ ■. . Resolución; x(x^ + 4 x -2 1 ) _ xíx + 7 ) { x - 3 ) ^ x + 7 x (x ^ -9 ) x(x + 3 )( x -3 ) x+3 2, I R E SUE LT OS PROBLEMAS ab(a + b) (b + a)(b - a) ab b -a Análogamente con N; - 1 í b- a í ^ a b ab N= b ' + a' _ N= b^+ a' ab(b - a) b^+a^ a^b^ b -a ab ab b -a Se pide: MN = b^ + a^ (b -a ) b^ + a^ ab(b - a) MN = b^ + a^ (a - b )^ 13. Simplificar ( x - a ) " + 2(a^ + x') + (x + a)' (x + a ) " - ( x - a ) ^ y dar como respuesta el valor numérico para: x = /3 -1 y a = ■/3+1 Resolución: Efectuando operaciones: ________ Legendre________ (x - a)^ + 2(a^ + x^) + (x + a f (x + a) - (x -a )^ Legendre 2 ( a H x V 2 ( a ^ + x^ 4ax 4(a^ + xQ ^ 4ax + x^ ax Reemplazando los valores numéricos respectivos, se tendrá; (/3 + 1 ) ^ + ( ^ - 1 ) ^ (;3 + 1 ) ( / 3 - i ; 2(-/3^+1^) 3 -1 2(4) =4 14. Si a * b = a ' + b ’ + (ab) ’ - (a + b). hallar: { ñ + Í 2) ' {iZ - l 2 ) Resolución: El operador (•) puede interpretarse: ^ ■ '’ = l + E + iÉ - ^ ( = + ‘=> En nuestro caso: a = / 3 + ‘/ 2; b = / 3 - / 2 (/3 + Í2 ).{)3 -/2 ) = ^ /3+/2 •+ • /3-/2 (/3 + /2 )(^-^ ) - (/3 + /2 + /3 - /2) ^ /3--/2 + Z3 + -/2 ^ 3 -2 1____ 2^3 3 -2 =0+1=1 15. Si para todo n n ^ -1 ^ n+1 16. Si P, y P2son dos polinomios factorizables, defini dos por; Pi(x) = ax^ + 2x - b Pjíx) = ax^ - 4x + b Tal que “a" y “b” son números enteros positivos y MCM(Pi: Pj) = x^ - x^ - 9x + 9, hallar el valor de; T = b^- a Resolución; P,(x) = ax^ + 2x - b; a, b s P2(x) = ax^ - 4x + b MCM(P,; Pj) = x' - x= - 9x + 9 MCM(P,; P^) = (X - 1)(x + 3)(x - 3) Como: P1P2 = (MCD)(MCM) 4.° *3 ^^ => MCD es de grado 1. P, y P2 tienen un factor común de 1.® grado => P, - P2contiene a este P,(x) = P , ( x ) - 6 x - 2 b - 6 ( x - | ) Como b Resoiución: Efectuando operaciones en el segundo miembro: 1 _ A(n - 1) + B(n + 1) n^ - 1 n^ - 1 De donde: 1 = An - A + Bn + B 1 = (A + B)n + (B - A) También el primer miembro puede escribirse; (0)n + 1 = (A + B)n + (B - A) A+ B = O x - |.x - 3 b=3 V b=9 b = 3: P,(x) = ax^ + 2x - 3 PjÍx ) = ax^ - 4x + 3 Contienen al factor (x - 1) =» a = 1 b = 9; P,(x) = ax^ + 2x - 9 Pjíx) = ax^ - 4x + 9 Contienen al factor (x - 3); pero esto no es posible, pues: Pi (3) = 9a + 6 - 9 = 0 ^ a = 1/3; a ^ Z" T = b^ - a = 3' - 1 = 8 17. Si P y Q son dos polinomios factorizables, defini dos por: P(x) = x" + 5x^ + 12x' + 14x + 8 Q(x) = x^ + 6x^ + 16x^ + 21x + 12 hallar la suma de los coeficientes del MCD(P; Q). Resolución: Factorizando cada polinomio; P(x) = x" + 5x'+12x' + 14 x + 8 x^ 3x 4 1, se cumple que; ^ . calcular: A + B n -1 TL'. entonces; x-H .x-1 x' 2x 2 6x' Falta; '6x^ =» P(x) = (x^ + 3x + 4)(x^ + 2x + 2) Q(x)= x^ ^ x‘ + 6x^+16x' + 21x + 12 3x ^ 4 Falta; 7x^ 9x" Q ( x ) = (x^ + 3 x + 4 )(x ^ + 3 x + 3 ) Luego; MCD(P: Q) = x^ + 3x + 4 S coef (MCD) = 8 18. Si P y Q son polinomios factorizables, definidos por: P(x) = - 3x" - X + 3 Q(x) = x= - x" - 5x - 3 hallar el término independiente del MCD(P; Q). Resolución: Factorizando en E: P(x) = x" + 1 = x“ + 2x^ + 1 - 2x^ P(x) = (x' + 1)^ - ( Í 2 x f P(x) = (x' + /2 x + 1)(x' - /2 x +1) Q(x) = x^ - /2x= + X = x(x^ - ■/Ix + 1) Resolución: Factorizando cada poìinomio: P(x) = x' 3x' - X + 3 P(x) = x'(x-- 3 ) - ( x - 3) - ( X P ( X ) = (X - 3)(x + 1)(x - 1) Q{x) = x' - x' - 5x - 3 - X =-1 1 -1 1 1 -1 -2 -5 2 -3 H(x) = x“ - 2/2 x^ + 4 x ^ -2 /2 x + 1 -3 3 0 H(x) = (x' - 7 2 x + 1)^ MCD(P; Q; H) = x" - /2 x + 1 El coeficiente irracional: --/2 - Q(x) = (X + 1)(x'- 2x - 3 ) X 3 22. Sean los polinomios: P(x) = Ax^ - x - B a Q(x) = Ax^ - 5x + B, con valores de A y B enteros positivos. Si el MCM(P; Q) = x^ - 3x^ - 4x + 12, hallar el valor de: T = 3B + 6A == Q(x)=.(x+1)^(x-3) Luego: MCD(P: Q} = (x + 1)(x - 3) TI(MCD) = MCD(0)= -3 19. Determinar cuál {o cuáles) de las siguientes propo siciones son correctas: I. Si P y Q son polinomios definidos por: P(x) = (X - 1/(x + 3 ) " A Q(x) = (X - l f { x + 3 f ; entonces el MCD(P, Q) = (x - 1)'(x + 3)" II. Si P(x) = x“* - 5x^ + 4 es un polinomio factorizable, entonces (x + 1) es un factor. III. (x'^^ - a®^)+(x^ - a®) origina un cociente notable. Resolución: I. Si P(x) = (x - 1)^{x + 3y A Q(x) = (X - 1)'(x + 3 f, entonces: MCD{P; Q) (x - 1)^(x + 3)^ (V) II. P(x) = X* - 5x' + 4 = (x^ - 1)(x" - 4) P{x) = (X + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) = x + 1 es un factor (primo). (V) y l5 5 111 ^ 9-' —a no origina CN, pues b - a Son correctas: I y II ^ b X" (F) 20 . Si: P(x) = ax^ - 4x + b; Q(x) = ax^ + 2x - b a MCM(P; Q) = x^ - x^ - 9x + 9, calcular: T = a + b Resolución: MCM(P; Q) = x^ MCM(P; Q) = ( X P(x) = ax^ - 4x + Q(x) = ax' + 2x => a = 1 A b = 3 a+ b= 4 x' - 9x + 9 l)(x + 3)(x - 3) b = (x - 1)(x - 3) b = ( X - 1)(x + 3) 21. Determine al MCD para los polinomios: P(x) = x“* + 1 = x" - 2/2x^ + 23. Dar la suma de los coeftcíentes del MCM de los polinomios. P(x) = x" - x' - 2 x - 1 Q(x) = (x^ + x + 1)^(x+1) Resolución: Factorizancto cada polinomio; P(x) = x“ - x^ - 2x - 1 = x" - (x' + 2x + 1) P(x) = x" - (X+ 1)' = (x^ + X + 1)(x' - x - 1 ) Q(x) = (x' + x+ 1)"(x + 1) = MCM(P; Q) = (x^ + X + 1 ) V ~ x - 1)(x + 1) La suma de coeficientes del MCM es; MCM(1) = (3)'(-1)(2) = -5 4 24. Si P y Q son dos polinomios factorizables, definidos por P(x) = 2x" - x^ - 3x^ + 3x - 9 Q(x) = lOx^ - 9x' + 17x - 6 hallar el coeficiente de mayor valor absoluto de! MCD(P; Q). Resolución: Factorizando cada polinomio: P(x) = 2x" - x^ - 3x' + 3x 9 .x „:x 2 x 'v . Q{x) = x^ - /2 x ' + x H(x) Resolución: P(x) = Ax' - x - B: A, B e Q(x) = Ax' - 5x + B MCM(P; Q) = x^ - 3x^ - 4x + 12 MCM(P; Q) = (X - 3){x + 2)(x - 2) De donde: P(x) = Ax^ - X - a - (X - 3)(x + 2) Q(x) = Ax^ - 5x + B = (X - 3)(x - 2) Luego: A = 1 a B = 6 T = 3B + 6 A = 18 + 6 = 24 4x^ - 2 / 2 x + 1 Dar como respuesta el cxseficiente irracional del MCD. ^ ' X \ ^ 3 _3 ^ P(x) = (2x" - X + 3)(x' - 3) Q(x) = lOx' - 9x' + 17x - 6 falta; Ox 2 5 10 -9 4 i 17 -2 -6 6 10 -5 2 -1 15 3 0 :5 Resolución: Sean los polinomios; P y Q MCD(P; Q) = a - b, MCM(P; Q) = a" - ab^ + a"b - b" => MCM = (a + b)(a - b)(a' + ab + b^) Por propiedad: PQ = [MCD(P; Q)][MCM(P; Q)] Sea: P(a; b) = a' - b', reemplazando: (a' - b')Q = (a - b)(a + b)(a ~ b)(a' + ab + b') => Q(a: b) = (a - b)(a' + ab + b') .-. Q(a; b) = a^ - b" ^ Q(x) = (2x - 5)(2x' - x + 3) Luego; MCD(P; Q) = 2x' - x + 3 El coeficiente de mayor vaior absoluto es 3. 25. Si P, Q y R son tres polinomios factorizables, defi nidos por: P(x; y) = x“ + 3x^y + 3 xV + xy^ Q{x: y) = 3x^ + 5x'y + xy' - y^ R(x: y) = x'* + xy^ + x’y + y“ hallar el MCD(P; Q; R). 28. Resolución: Resolución; MCD es factor de P y R. P es una división exacta. MCD Factorizando cada polinomio: P(x; y) = x“ + 3xV + 3x^y^ + xy^ =. P(x: y) = x{x^ + 3x'y + 3 x / + y^) = x(x + y)' Q(x; y) = 3x^ + 5x^y + xy^ - y^ 3 5y / 2 -2 -1 -y= 6 4 -6 -2 5 -3 2 4 -1 2 -3 y -2 y ' -y 3 2y -y ' 0 3 Q(x; y) = (x + y)(3x' + 2xy - y') ^ Q(x; y) = (x + y}'(3x - y) R(x: y) = x“ + xy" + x"y + y'* R(x; y) = x(x^ + y^) + y(x^ + y^} R(x: y) - (x + y}(x^ + y') => R(x; y) = (X + y)^(x'-xy + y') MCD(P; Q; R)=(x + y)^ 26. Si los polinomios: P(x) = 6x'* + 4x^ + 5x' + mx + n R(x) = 2mx" + 2nx' + px - q admiten como MCD a 2x^ + 2x + 1, hallar un divi sor de R(x). 2 -2 (a‘‘ - ab^ + a’ b - b‘*). Si uno de los polinomios es - b^ determinar el otro polinomio. 6 ■O' 4 -6 -2 3 -1 -1 - 4 -2 0 0 p -q -3 0 0 ^ R ( x ) = { 2 x ' + 2 x + 1 )(3 x - Resolución; 27. El MCM y el MCD de dos polinomios son (a - b) y 1 De donde: m = 3 a n = 2 P También: es una división exacta, donde: R(x} = 6x" + 4x' + px - q Si el producto de dos polinomios es x^ - 18x^ + 81 y el cociente de su MCM y MCD es x' - 6x + 9, hallar el MCD de dichos polinomios. Sean P(x) y Q(x) los polinomios: P(x)Q(x) - x" - 18x^ + 81 M C M {^ , (X - 3)' MCD(P;Q) Por propiedad: P(x)Q(x) = MCD(P; Q) x MCM(P; Q) = MCD{P: Q) X MCM(P; Q) = x" - 18x' + 81 = MCD{P; Q) X MCM(P; Q) = (x + 3)^(x - 3)^ Pero: MCM{P; Q) = (x - 3)'MCD(P; Q) Reemplazando: MCD(P; Q)[(x - 3)^MCD(P; Q)} = (x + 3)^(x - 3)^ =* [MCD(P; Q)]' = (X + 3 f MCD(P: Q) = X + 3 m n .-. Un divisorde 29. R es: 3x - 1) 1 Si el MCD de los polinomios: = 2 x ^ - x ' + 3x + a a G{x) = x" + x' + b F(x) es x^ - X+ 2: determinar: E = 1 Resolución: F{x) = 2x^ - x' + 3x + a G(x)= x^ + x' + b MCD{F; G) = x' - X + 2 Como MCD es factor de F y G F(x) = (x^ - X + 2)q,(x) G(x) = (x' - X + 2)q2(x) F(x) = (x' -- X I 2)(2x+ | ) ^x^ - 2x^ = -x^ = a - 2 G (x) - (x^ - X + 2 )(x + | ) 33. =, b= 4 Calcular el producto resultante de: 1 p = íi- ^ - V i+ x /\ y ~ n i\ ' ■ 30. a b 2 4 4 Reducir la siguiente expresión; A _ x ^ + x+1 x^ + 2 ■+ 2 x - 1 2x“^+ X 2x^ - X - 1 x^ - X Resolución: Factorizando los denominadores, resulta: x+1 x^ + 2 2 x - 1 A= x(2x+ 1) {2x+ 1 )(x - 1) ' x ( x - 1) Se obtiene como MCM de las tres fracciones: x(2x + 1)(x - 1) ( x - 1)(x' + x + 1 )-x (x ^ + 2 ) + (2x + 1 )(2x- 1) x (2 x + 1 )(x -1 ) Efectuando operaciones y reduciendo: A= Resolución: Efectuando operaciones en cada factor; P = x + 1 w x + 2\ / x + 3\ / x + n \ / x + n - 1 ' x . • . A = /\ X + 1 X + 2. 34. Calcular la suma de ia serie de Stirling. 2 6 12 2 -1 3 -2 4 -3 , 1 x 2 ^ 2x3 ^ 3x4 2 (2 x ^ -x -1 ) x (2 x ^ -x -1 ) 2 X 2 31. Obtener la suma de las fracciones: 2x + 4 ■+ ■ 1 R •+ x + 2 x^ + 2x - 3 x^ + 4x + 3 x - 1 Desdoblando cada fracción, se tiene: S -1 -1 +1 -I +I 2+ 2 3+ 3 1 Luego: S = 1 - _ R= x -1 _ (x + b)(x^ -f 2ax + a^) _ (x + b)(x + a)'“ (x-H a)(x^ + 2bc + b^) (x + a)(x + b)‘ b + be + c (a -b )(a -c ) c + ca + (b -a ) (b -c ) Resolución: Cambiando de signo a las fracciones: ab + b be + c ca + a (c -a )(b -c ) (a -b )(c -a ) (a -b )(b -c ) Resolución: Efectuando operaciones e identificando: 8x - 11 = A(2x - 1) + B{x + 3) Como el MCM = (a - b)(b - c)(c - a), se tiene: j ^ Tomando valor numérico en ambos miembros: = -3 : ^ -3 5 = A (-7 ) ^ A = 5 36. Reducir la expresión T= a+ab + b (c -a )(c -b ) calcular el valor de {A + B). X x^ + 2ax^ -H bx^ + a^x+ 2abx + a^b x^ + ax^ + 2bx^ + b^x + 2abx + ab^ R= " ‘ x+ b 32. De la descomposición parcial mostrada: 8 x -1 1 2x' + 5x - 3 X + 3 2x - 1 = B(| n+ 1 _ x^(x + b) + 2ax(x + b) + a^(x + b) x^(x + a) + 2bc(x + a) + b^(x + a) 3x^+12x + 9 (x + 3 )( x + 1 )( x -3 ) 4 ^ - 7 S= 1 n+1 Resolución: Efectuando operaciones y factorizando: 5x + 6 R = 2x^ + 6x + 4 + X - 1 (x + 3 )( x + 1 )( x -1 ) x !+ ■ ' n n ^ _ x^ + (2a + b)x^ + a(a+2b)x + a^b x^ + (a + 2b)x^ -H b(b + 2a)x + ab^ + 1)(2x + 4) + ( x - 1) + (x + 3 ){x + 2) (x + 3)(x + 1 )(x -1 ) 3(x + 1)(x + 3) (x + 3 )( x + 1 )( x -1 ) , (n + 1 ) - n ^ n(n + 1) 35. Señale la fracción irreductible: Resolución: Factorizando y buscando el MCM de los denomi nadores: 2x + 4 1 x+2 R= (x + 3 )( x -1 ) (x + 1 )(x + 3) ' (x + 1 )(x -1 ) (X n^ + n Resolución: Expresando la serie finita del siguiente modo: 1 1x 2 2x3 3x4 n (n + 1) De los numeradores, se deduce que; n 4-1 n _ X+ n - 1 X+ n + 1 - 1 - x^ - 2x + 4x^ - 1 x (2 x + 1 )(x - 1 ) 4 x ^ -2 x -2 x(2x + 1 )(x -1 ) x + n, - ¡ ( a - b ) ( a ^ i- a b + b'*) + (b c|(b~ + be - c ^ + (c - a ) ( c ^ + ca i- a'^lj (a - b ) ( b - c ) ( c - a ) Por diferencia de cubos, resulta: B = -2 A+B = 3 - ( a ^ - b ^ + b ^ -c ^ + c ^ -a ^ (a - b)(b - c)(c - a) T= O P R O BL E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNÍ PROBLEMA 1 (UNI 1 9 8 4 -1) PROBLEMA 4 ( U \ l 1 9 8 7 ) 1 A , B , entonces: Si; n "- 1 n+1 n -1 Hallar el MCD de las siguientes expresiones: C = x“ + xy" + x ^ + y'' B = 3 x’ + 5 x 'y + x y ' - y" A = x“ + 3xV + 3x^y' + xy^ A) D) + y x^ - y' X B) x ' + y ' E) 2x + y A) A+ B = 0 A B) A + B = O A C)A+ B - 1 a D)A+B=1 a E) A+ B = 1 a C) (x + y )' Resolución: Factorizando cada una de las expresiones por separado: C = x" + )^ ' + xV + y" = x(x^ + y^) + y(x^+ y^) C = (x" + y^)(x + y) = C = (x + y)'(x' - xy + y') B = 3 x" + 3 x 'y + 2 x 'y + x y ' - y" B = 3x'{x + y) + y(2x' + xy - / ) B = 3 x '(x + y) + y (2 x - y)(x + y) B = (X + y )(3 x ' + 2 x y - y ') = (x + y )'(3 x - y) A = x(x" + 3x'y + S x / + y^) = x(x + y)^ MCD(A; B; C) = (x + y)' Clave: C PROBLEMA 2 (UNI 1 9 8 7 ) B) x^/labc) E )x "-' Resolución: Efectuando en el segundo miembro y transformando en el primero, se tendrá; A (n~ 1) + B(n + 1) 1 O n ^ -1 :1 (n + 1 )(n - 1) (n + 1 )(n - 1) Entonces: A(n - 1) + B(n + 1) < Dando valores adecuados: Para n = 1 => B = 1/2 Para n = -1 =» A = -1/2 Luego:A +B = 0 a B - A = 1 Clave: A Si; A = X + X - 1 X - X + 1 X + 1 X - 1 X - C) x" ' . X + x+ 2 calcular: A + B Hallar el MCD de: 1. 5 x ^ -5 x ' + 2 x - 2 II. 2 x ^ + 2 x '- 2 x - 2 III. x' + x " - x ' - x A) 8) x - 2 E) x' + 1 A ^ - C)x+ I 2 D )x + 1 E)x - 1 Resolución: Simplificando: C)x-3 Lo mismo con el segundo: 2x'(x + 1) - 2(x + 1) = 2(x + l}(x^ - 1) 2x'(x + 1) - 2(x + 1) = 2(x + l)'(x - 1) Y con el tercero: x^(x + 1) - x{x + 1) = x(x + 1)(x' - 1) x"(x + 1) - x(x + 1) = x(x + 1}^(x - 1) +1 B) 2 Resolución; Factorizando el primer polinomio: 5x'(x - 1) + 2(x - 1} = (x - 1)(5x' + 2) -h ^ X -2 X PROBLEMA 3 (UNI 1 9 8 8 ) A) x' - 1 D) X - 1 - Clave: C X x^ +1 \ . 2x 2a" - 2b ' a - b x -1 B= Resolución: Por teoría el MCD será; x" ' ^ 1 PRO BUM A 5 (UNI 1 9 8 8 ) Hallar el MCD de la siguiente expresión: b -'x "-^ c“ 'x"- = A) abcx" D ) x " '' B-A=1 A- B= 1 B-A=0 A-B=1 B - A = -1 A= ( x + 1 ) '- ( x - 1 ) x '- 1 ( x - 1 ) " + (x + 1)‘ 1 A= 4x 2 (x '+ 1) „(1) .(II) .(III) X 1 2 (a ^ -b ) a -b 2x , 4x + 1 B = X- 1 x + 2 - ^^ +2)(x M ) x' + 2 A+B = x - ^ De I, II y ili, se concluye que el MCD = x - 1 Clave: O Clave; A PROBLEMAS 1. Reducir: M = (a + c ^ )-b ^ A)1 D )a -b + c 2. ^ b ^ -(a -c )" ^ c ^ -(a -b )' (b + a) - c (b + c) - a a" + b" 0 2 A) O D)3 (i) 4. Hallar el MCD de: P(x) = - 1A Q(x) A) x^ + X + 1 D) x^ - X + 1 5. 6. 8. = x" B)x^ + x - l C)x^-Hx + 1 E) -x^ + X + 1 + B) x^ + 1 E) x^ - 1 x' + 0 2 B) 1 E)4 E) 1/2 13. Efectuar: ^ ,■+ - — - 1. Dar como res1 + (a b )-’ b + a’ ’ puesta el numerador. 1 A) 2b D) ab - 1 O x - 1 B) 2a E)17 O a b + 10 Hallar el número de factores primos en que se des compone el MCM de los polinomios: P(x)= x^ - 3x + 3 Q(x) = x^ - 5x + 6 R(x)= x^ - 4x + 3 14. Efectuar: A)1 x+1 3 15. Efectuar _________ x^ + X + 1 x^ + 1 B)2 0 3 D )4 E)5 Hallar la suma de coeficientes de MCM de: x ' - 9 x ' + 24x - 24 A x^ + 2 x ' - 13x + 10 A) O D)3 7. D) - 2 0 2 B) -1 O xy B) xV zw E) xyzw 12. Hallar la suma de coeficientes deí MCM de: x^ - 9x^ + 24x - 24 A X^ + 2x^ - 13x + 10 Reducir: ( ¡ H |) A )1 A) x^y^zw D) x V A)x^-x+1 D) -x^ - x + 1 b ^ -a " B)1 E)a + b A) 8 - b D)3 10. Hallar el MCM de: P(x; y; z) = x V ^ a Q(x ; y: w) = x^/w 11. El producto de dos polinomios es (x® - 2x^+ 1) y el cociente de su MCM y su MCD es (x - 1)^. Hallar el MCD. Efectuar: a "+ b" 3. C) a + b + c B) -1 E) 1/2 PROPUESTOS Simplificar: B)1 E)4 0 2 a '-2 7 a y/a" + 20a + 100\ a‘^+ 7a-3 0 A a'^ + 3a^ + 9a A) a + 3 a-10 B) a - 3 a + 10 D) a - 3 a-10 E)1 a -100 a -3 C) a - 3 a -I- 3 Si el MCD de: x"* -I- 2x^ - px^ -H qx + r a x^ + 7x^ - qx + 20 es {x^ + 3x + 5), hallar pqr. A) -340 D )-680 B) 340 E )170 O 680 A )x - 2 D) 1 A )x + 2 O) (x + 1) x-2 x-3 2x-5 x ^ -5 x + 6 B)x-3 E) x" - 5x + 6 B) x + 1 E )(x -1 )-' O O x^ + X + 3 x“ + x^ + 1 Ox-1 16. Hallar el MCM de: P(x) = x' - 2x - 15 Q(x) = x^ - 25 R(x) = 4ax^ + 40ax + 100a A) (x + 3)(x - 5) B) 4a(x + 3)(x - 5)(x + 5)" O 4a(x + 3)(x + 5) D) (x + 3)(x - 5)(x + 5) E)4(x + 3)(x + 5 )(x -5 ) 17. Encontrar el MCD de los polinomios: A(x) = x" - 3x^ + 2 A B(x)= x"+ x^ - X- 1 A) x' - 1 D) X - 1 B) x' + 1 E) x^ + X - 1 O X +1 18. Hallar el MCD de las siguientes expresiones: 9. Ei producto de dos polinomios es (x^ - 1)^ y el co ciente de su MCM y MCD es (x - 1 ) l Calcular el MCD. A )x + 1 X- 1 B) x^ + 1 E) - ( x - 1 ) O - ( x + 1) D a -’x "-’ ; b’ ’x"-"- c 'X A) abcx" B) D )x "■^ E)x" ' abe O x" 28. Hallar el MCD de: P(x) = x' 19. Encontrar el MCD de tos polinomios: R(x) = X* - 5x= + 4 S(x) = x' + - 4x - 4 T(x) = x^ - 2x^ - X + 2 A)x^-x-1 D)x^ + X + 2 B)x^ + x - 1 E) x - 1 A) x ^ + C )x^-x-2 P(x) = x^ - 5x^ - X 4- 5 A Q(x) = B)(x' + 3) E) {x^ - 8) cuando: a = 4mn B)0 A) 1 D) m + n x" + 2x^ - 2x - 1 a + 2m a - 2m a + 2n. a - 2n ’ P(x) = C) 4mn = - 5 B) x^ + 1 E )-(x-l) ^ ab-Hl A) O D) ab Ay= - 1 b" 2nb"-2nx 2na" - 2nx O -2/n + x^ -- 4x - 4A Q(x) = x’ + 3x^ + 2x B) X + 1 E) X + 5 O X - 2 31. Dado el polinomio P(x) = x^ - 2x + 1, si MCM[P(x): Q(x)]MCD[P(x): Q(x)] = 2x^ + x^ + 2x^ +ax + b calcular la suma de coeficientes de Q(x). ciente de su MCM y MCD es {x - 1)1 Calcular el MCD. X X 30. Hallar el MCD de ios polinomios: 22. El producto de dos polinomios es (x^ - 1 y el co 23. Si: O E) x' - t B)2/n E)0 A) n D) 1/n A) X - 1 D) X - 5 E)2 A) X + 1 D)x-1 B) x ^ + 1 para x = a" + b" C)( x^-1) 21 . Calcuiar el valor de la expresión: +1 29. Calcular el valor de: 20. Hallar el MCD de los polinomios: A){x' + 2) D) (x““ + 4) X D) x' - X + 1 - 1a Q(x) = x'+ x^ + 1 ab-Hl B)a E) ab + 1 A) 24 D)10 C) -{x + 1) B) 25 E)14 O 20 32. Luego de simplificar: 2x^ + x" + 7x^ - 3 calcutar: x% 3x - 2 señalar la suma de los términos lineales del nume rador y denominador. ] x-y+1 C)1 A)x D)4x 24. Calcular el valor de (a^ + b^) si se sabe que la fracción: 3ax^+(a + 2b)y^+9z^ 2ax® + 4yV{4a-b)z® B)2x E )- X C)3x 33. Hallar el equivalente reducido de: 1 +-n^ n'’ - 2n^ + 3n^ - 2n + 1 n^ + 2 n - 1 - 2n^ n '+ 1 es independiente de sus variables (x: y: z). A) 2 D)24 8)16 E)12 A) n' + 1 D)2 0 8 25. El MCD de: x“* + 2x^ - • mx^ 4 - nx + p a x’ + 7x^ - - nx es (x^ + 3x + 5), tiallar: m + n -t- p A) 40 D) 35 B ) -40 E) 50 + 20 1 1 +a" A)1 + a D)a 1 + a"” ^ + a" ^ B)3 E)1 C)a^ 35. Indicar el valor reducido de: > ( X - a)(x-b)(x-c) ^ ' (d-a)(d - b)(d-c) B)2x - 1 E) x' + 1 (x - a)(x - b)(x - d) (c - a) (c - b) (c - d) O 2x + 1 ' X-y ■x + y 1- A )x--a-b-c-d C)x+a+D+c+a E)a + b + c + d X + y x -y X - y x+ y hallar la relación entre x e y. A)x-y = 0 B)x-y=1 O 2x + y = O D) 3x - y = 2 E) x + y = 1 íx-b)(x-c)(x-d) , ( a - b ) ( a - c )( a - d ) ^ p , P = 3x^ + x^ - Sx + 4 A Q = 3x^ + 7x^ - 4 e indicar el producto de sus factores no comunes. 27. Si el VN de la expresión: 0 2n^ 34. Reduzca 1 0-35 26. Hallar el MCD y MCM de: A) 3x - 2 D) - 1 B) n^ + 3 E)2n^+ 1 es 2, 36. (x - a)(x - c)(x - d) (b - a) (b - c) (b - d) B) (X - a)(x - b)(x - c)(x - d) D)1 Hallar: + p^, si las expresiorês: n . p _m . x^ - 10x + 13 X - 2 ' x -3 ' x - 1 ( X - 1)(x-2)(x - 3 ) tienen los mismos valores numéricos, v x y-1; 2; 3. A) 1 D)7 B )29 E)24 El MCM de dos o más polinomios es un poli nomio que divide exactamente a los polinomios mencionados 0 5 37. Hallar una de las fracciones parciales e irreducti 3x^ + X - 2 bles de: (1 - 2 x ) ( x - 2 ) = A) (x -2 )‘ D) - 3 {x -2 ) B) O (x -2 )‘ -5 1 -2 x A) V W D) FFV B) W F E) FFF O FVF 43. ¿Cuántos factores algebraicos tienen el MCM de los siguientes polinomios? P íx) = 1 -H X + x^ + ... + x * 4 E) '3 ( x - 2 ) Q (x) = 1 + X + x^ + . . + x ' _ , , ,, ( a - 2 ) x + (0 - 2 a + 1 ) y - 40 38. Paraquelafraccion: ------- — _ ' . --------------------5 x+ 2y + 12 sea independiente de x e y: A) es conveniente que el valor de u sea igual al valor de 8. B) precisamos conocer los valores de a y B, con lo que se hace nulo el numerador. O tenemos que escoger los valores de a y tí por tanteo, ya que es una fracción de 4 variables. D) los valores de a y 0 tienen que ser 1/3 y ( -1 ) respectivamente. E) la suma de los valores de a y 0 sea 3; 2 respec tivamente. 39. Si las constantes A, B, C y D son los numeradores de las fracciones parciales en que puede ser des4x^ - x^ - 3x - 2 compuesta la fracción: f{x) = x^(1 + x )' F(x) = 1 + X + x^ -f ... + x " A) 63 D)31 B )1 5 E)243 0 81 44. Sabiendo que: (a - b)(a - c) + (b - c)(b - a) + (c - a)(c - b) = 2(a + b + c)^ donde: abe t- O, hallar el valor de: a + Sb+c ac b + 3c + a , c + 3a + b ab be a "' + b ■' + c O -6 A) -1 B) - 4 D) -1 3 E) -1 5 45. A partir de: reducir: . ^ a = -a b e b a® + b®\i b« + c'^' \[ e® + a ‘ + b' b^ + c ' /'■c" * a' Hallar: 4A + 4B + 2C + D A) 2 D) -1 B) - 2 E )0 C)1 40. Hallar el tVlCD de los siguientes polinomios: P(x; y) = + x f + x^y -r y“ R(x; y) = 3x^ + 5x^y -h xy^ - y^ Q(x; y) = x^ + 3xV + 3x^y^ + x f A) X + y D) x^ - f B) x ' + / E) 2x + y O Ix + y f a+b Dar como respuesta la suma A)1 D)2b B )0 E)2 O 2a 47. Simplificar: [(x - 1)’ ' - 2(x' - i r ' ] ( x + i; 0 2 42. Indicar si son verdaderas o falsas las siguientes proposiciones: I. a -b del numerador y el denominador. P(x) = (x^ - 2x + 1)"(x^ + 3x + 2 f 0(x) = {x' - 3x' + 3x - 1)"(x + 2)® es (ax^ -H bx + c)": a > O, hallar: abe + n B) -1 E) 10 1+ 46. Reducir: O 1 a -b 41. Si el IVICD de los polinomios: A )-2 D )6 B) -(abc)^ E) -abe A) abe D )(abc)' Si el polinomio P{x)es divisibleen formas separa das portes polinomios: P,(x): p 2 (x):P 3 (x);...: P,(x) entonces el polinomio P(x) es divisible por [Pi(x)P^(x).,.P„(x)] II. Ei MCD de dos o más polinomios es divisible por dichos polinomios. A )x D) 1/x B)x^ O x' E)1 48. Dada la expresión: F(x) = 1 1 x "-4 x + 3 x '^ -S x + IS determinar el verdadero valor para x = 3. A) 1/2 D) - 2 49. Reducir: F - B ) -1 /2 E)2 v 2y + y ' ■' 4 + 2y nu m era dor. A)1 D) - 2 0 4 8 )2 E) - 4 y 11 - — - Tí, e in d ica r el y 2 222 ■ C o l e c c ió n U n ic ie n c ia S a p ie n s 1 50. Simplificar; F = 1 A)x 2x - 1 Indicar el numerador. 1 8 1 1+ x-1 B )x E)x- 1 x - 4 52. Si x+4 B)2x E)3x' A) 112 D)115 C) 3x B)113 E)116 2x - 1 53. Simplificar; R _ 2x+ 1 2x 4 x ^ -1 A) -8 x 0 )2 1 para; x = -Í2 0-3 55. Simplificar; [x - 2(x + 2x) ’] O 1/x 8)3 E)2 59. B) -a/b E) 1/ab A) B) (x+1)' D)(x+1)'(x-1) B)-3 E)-6 b A) 2 8)4 0 3 A) 3x - 2 D)3x + 2 B)x + 3 E)1 O x-3 1 x-1 O i/a 67. Simpliflcar; E = x-1 8) A) 8 Calcular el valor de A y B. D)5 66. Efectuar; 6x^ + x - 2 \ . / 2 x ^ - 7 x + 3\ x+ 3 x'-9 I Al descomponer en fracciones parciales se obtiene: x + O x+4 x -4 65. Reducir: 2a^~ 10a I a^+ 16a + 15 a^-25 a^ + 6a + 5 - b) + ab(a - b) a ^(a ^-b ') x^2x-3 O 4 x -4 x 1 x -4 x-4 D)0 O -a^/b' B) 1/b E)b/a 2 C) (a^ - b^)^ 64. Reducir: x^ + 9x + 20 _ _ 5 x^-16 x-4 Ox + 1 1 + _ a b -a ;a 57. Hallar el equivalente de: S = 1 + b a -b A) 1 D)a/b B) (a + b)^ E)(a-b)' A)(x + 1)^ C)(x + 1 )"(x -1 ) E)x- 1 A)-1 D) 5 4x^+ 12x + 9 \ . /2x^ + 3x 2x^ - X - 6 ' x^ - 2x 58. Simpliflcar: T = O ab 63. Si et MCM de dos polinomios es: 6x' + 5x^ + 2mx - 3n; y uno de ios polinomios es: 2x^ + x + 3; hallar m + n. (x + 2). 8)1 E )-2 /x A) -b/a D) -b^/a^ B)b E)a-b P(x) = x^ + 1 + 3x + 3x^ A Q(x) = x^ - 1 + x^ - x indicar: MCM[P(x); Q(x)] '' “ x T 2 A)1 D)x - 3 ■ Dar el denomina- a -b dor de ia fracción simplificada. 62. Dado los polinomios: C )x B)-2 E) 1 56. Simplificar; R = r 1+ A) (a - b)^ D )(a ^ -b ')= 2x - 1 1- A)-1 D)2/x 60. Simpliflcar; P 61. Calcular el MCM de; P(a; b) = a^ - b' Q(a; b) = a^ - ab - 2b^ R(a; b) = - 4ab + 4b^ 2x + 1 2x - 1 54. Calcular el VN de: F = A)-1 D) / 2 E)A-0 8=5/2 A) a D)a + b 0114 B)8x E) 2x C ) A = -1/2 B = 5/2 1- X + 4 -4 X ax + b , calcular ab. (x + 4)(x + 5) ^ x+5 2 1 X + 4 + 4X Dar como respuesta la raíz cuadrada del numerador. A) X D) 2x' = D)A= 1 B= 1 1 51. Reducir; A = 8 ) A = 1/2 8=2 A )A = 1 x+ 3 x-1 X D) - X X X x" + 1 E) x+ +1 x'- 1 1 C) E)6 68. Efectuar; 75. 2x^ - X - 1 2x A) x -1 D)1 Efectuar: 2x" + 5x + 2 B)2 C)x E)0 B) 1 x+2 A) X + 1 1 x-2 B)x+ 1 E)0 C) 1-1 E) (x^ - + A) 1) I x-1 A)12x + 3 D)3 B)12x E)0 C)12x - 3 1+ 1+1 + 1 A) 3m + 2 B) D) 2m + 3 3m + 2 E) 3m + 2 2m + 3 2m + 1 2m + 1 3m + 2 C) 2m + 3 3rri + 1 78. Si: b(x - y) = y(a - b) 72. Efectuar: Simplificar: +y M= xy + 1 x+2 m X • 5 \ (x^ + 3x - 4) X + 4/ X C) x+ 1 77. Simplificar: C) x^ - 1 71. Efectuar: 1X4-2 \x- 1 x'-1 X B) x-1 D) x + 1 x-2 B) - X E)1 A) x D) x^ + 1 x C )x + 2 1 x+3 'x+1 1 1 + J. 1 --L 70. Simplificar; JL±^ +/ ^ V yx + 1 U + y j B)y E)0 a^ + 2 b ^ / xy ab^ x' + 2y' A) -1 C)xy C) ^ y E)1 by 79. Simplificar: 73. Reducir: 1 2x-4 xy x^ - y- - X" B)y A)x D)x-y x+y C )x + y E )0 x^ + 4x + 3 x^ + 5x + 6 x^ + 8 x + 1 5 x^ + 7 x + 1 2 B) 1 E )0 x^ + x^ + x^ + x^ + 5x + 6 6x + 8 8x + 15 7 x +10 C) - 2 x + 10 2x^-8 A) 1 x-2 B) D) 1 2-x E) 74. Simplificar: A) -1 D)2 x + 1 / \ 2 x ^ + 2- A)x- 1 D) 1 x '~ 1\/ x^ + x + 1 \ x"--i /Vx^ + 3x + 2/ A)x D) X + y x - 1 \/ x - 1 76. Efectuar; 69. Simplificar D) X+ 1 x - 1 2 x -2 1 x+ 2 O x^ 2- x 2 -x 80. Efectuar: 1 - a' (1 + ax + a + x) (1 + ax - a - x) A)1 1 1-x D) 1 1+x' C) 1 1 2. 3. 4, 5. 6. 7. 8. 9. 10 A B A A C A A C A A 11. 12, 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. C A B C D B A C C C 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28, 29. 30, E A B C C D C A D A 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. B B D E D B D D 6 C 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. D E A D D C E B E D 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. B D B B B A C C C A 61. C 62. D 63. C 64. A 65. C 66. D 67. C 68. D 69. B 70, D 71, 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. A E C B D B B E D 0 Potenciación Binomio de Newton o D a Ö Ü Isaac Newton nació en Wooisthorpe (Lincoinshire) el 4 de enero de 1643 y murió en Kensington (Londres) el 31 de marzo de 1727. Fue un fisico, filòsofo, teólogo, in ventor. alquim ista y m atem ático inglés. Es a u to r de P hilosophie naturaüs principia mathematica, m ás conocidos c o m o los Princi pia. d o n d e describe la ley de la gravitación universal y estableció las bases de la m ecán ica clásica m ediante las leyes q ue llevan su nom bre. Entre sus otros descubri m ientos científicos destacan los trabajos sobre la naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan principalm ente en su o bra Opticbs) y el desarrollo del cálculo m atem ático. \í\Q\atBrpa. 1B43 - Inglaterra, ¡727 Newton com parte con Gottfried Leibniz el crédito por el desarro llo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También con tribuyó en otras áreas de la m atemática, desarrollando el teorem a del binom io y las fórmulas de Newton-Cotes. Desde finales de 1664 trabajó intensam ente en diferentes problemas matemáticos. Abordó entonces el teorem a del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis y desarrolló un m étodo propio denom inado cálculo de fluxiones. Fue respetado durante toda su vida com o nin gún otro científico, y prueba de eüo fueron los diversos cargos con que se le iionró. Fuente: Wífeipedia ^FA C TO R IA L DE UN NÚMERO ENTERO Y POSITIVO 5- n x n! = (n + 1)! - n! Demostración; (n + 1)1 - n! = n x n! (n -h 1)n! - n! = n x n! n!(n + 1 - 1) = n X n! n!(n) = n X n! Se llama así al producto que resulta de multiplicar to dos los números enteros y positivos desde ta unidad tiasia el número considerado. Solo existe el factorial de cantidades enteras y positivas y su representación es la siguiente: Ejemplos: n! ; In : n| 5 X 5! = 6! - 5! 13 X 13! = 14! - 13! n factorial o factorial de n. Por definición: n! = 1 x 2 x 3 x . . . x ( n - 1 ) x n ; n e I N 21 = 1 X 2 = 2 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 50! = 50 X 49 x 48 ... 3 x 2 x 1 (2n 4- 7)! = 1 X 2 X 3 ... (2n + 7) n! = n(n - 1)(n - 2){n - 3)(n - 4)... 3 x 2 x 1 (2n - 4)! = (2n - 4)(2n - 5)... 3 x 2x 1, (2n - 4) g IN -<♦ COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL Se define; Ejemplos: 71! = (3 X 5 X 7) (4n + 1)1 = (4n + 1)(4n)... 3 x 2 x 1. (4n - 1 )e lN Propiedades: 1. (2n)!} = 2 x 4 X 6 X ... X (2 n ) ( 2 n)!! = ( f ) ' = f ( f - C - 2 ) . ’' 3 > ^ 2 x i , a - b abl = ab(ab - 1)(ab - 2)... 3 x 2 x 1 , (ab) e ttí 8 Propiedades: 3 o 2. 1. n! Por definición por convención 1! = 1 O! = 1 consecuencia: a! = 1 » a = 1 v a = 0 a! = b! =» a = b Ejemplo: Resolver: (x^ - x)! = 720 " X n! » = 2" X 4! x x 4 x ... x (2 n ) 6 y ( 2 n - 1)!i = 1 X 3 X 5 X ...X ( 2 n - 1) =*{2n)l! (2n - 1)!l = 1 x 2 x 3 x 4 (2 n)!! (2 n - 1 Pwque; 3!l = x 3 a (3!)! = 6! 1 Ejemplos: 1. Hallar el valor de X en: (X + 5 )! + (x + ^ ( x + 5 ) ! + (x + 6 ) ( x + 5 ) ! Todo factorial mayor contiene por lo menos un fac torial menor. ^ Ejemplos: =» X + También: • 20 x 19 X 18 x 17! = 20! • 12 x 11! = 12! = 11! )! E s c rib ie n d o el d e n o m in a d o r e n fu n ció n d e (x -i- 5)! Resolución; (x^ - X)! = 720 = 6! « x^ - x = 6 Luego: x = 3 v x = - 2 • n! = (n - 1)!n = (n - 2)!(n - 1)n • (2n - 3)! = (2n - 3)(2n - 4>(2n - 5)(2n - 6)1 • (a + 2)! = (a + 2)(a + 1)a! 6 Resolución: (x + 7 ) !( x + 5 )! 4. - 1)02n) )!l = ( 2 n)! Im portante: a!t * (ai)! Ejemplo: (2x - 3)! = 1 3. 2 S }(2 n )!l = 2 n e z; Entonces: 2 x - 3 = 1 =»x = 2 2x - 3 = O =» X = 3/2 6!! = (2 x 4 X 6) jm a m m m m m (a + b)l = (a + b)(a + b - 1)... 3 x 2 x l . { a + b)eIN 2. . X a (si a es impar) x a (si a es par) 1x3x5 2 x4 x6 (x + 5 ) !( x + 7 )! (x + 5) ! + [1 + x + . 6 (X + |)_ !^ ^ ^ 6 = 11 2. Hatlarnen: . (x + ] ' 1 1 7)! ^ (x + 7) ! ^ X= 5 ^ +4 ^ ^ (n + 3)1 + (n + 4 )! Resolución: Transformando la expresión: (n 4 3 ) !( n + 4 ) f (n + 3)! 4- (1 + (n + 4)) ^ 5 ,(n + 4) (n 4 5) (n + 5) (n + 4)! = 5! (n + 4)^ (n + 4)(n + 3)! = (n + 4)5! n+ 3= 5 3. Hallar a en: Multiplicando numerador y denominador por; [2 X 4 X . . . X (2n - 6)] n= 2 6 + a! (2n-6)!í2x4x6x8,..(2n-6)] = 4096 (n - 3)![1 X 2 X 3 X 4 X 5...(2n - 7)(2n - 6)] =20 Resolución; (2 n -6 )! (2n-6)! ( 2x1)(2x2)( 2x3). . . 2(n- 3) ^ ( n - 3 ) !( 2 n - 6 ) l La expresión se puede escribir como: (1 + a!)a! = 120 + 20a! Hacemos; a! = m Reemplazando; (1 + m)m = 120 + 20m Entonces: - 19m - 120 = O -2 4 m — 5 (m - 24){m + 5) = O Si: m = 24 => a! = 24 = 4! => a = 4 Si; m + 5 = O =» m = - 5 =» a! = - 5 (imposible) Única solución; a = 4 4. Hallar x en: ( X - 1)(x - 2)! + x(x - 1)! + (X (n-3)veces [2x2..,2] x [ 1 x 2 x 3 x 4 . . . ( n - 3 ) ] = 4096 (n-3)l 2" - ^( n- 3) ! = 4096 ^ 2" - ' = 2’' => n - 3 = 12 (n-3)! .'. n = 15 7. Resolución; (a + 2 ) ! - ( a + 1 ) ! ( a - 1 ) ! + ( a) ! + (8 + 1)! La expresión se puede escribir como; ( X ~ 1)(x - 2)! + x(x - 1)(x - 2)! + (x + 1)x(x - 1)(x - 2)! = 864 Factorizando: ( X -2 )!((x - 1) + x(x - 1) + (x + 1)x(x - 1)] = 864 ( X - 2)!(x - 1)[x" + 2x + 1] = 864 ( X - 2)!(x - 1)(x+ 1)^ = 864 Escribiendo la fracción en función de (a -1)! M (a + 1)a(a - 1)l(a + 1) (a -1 )!(a '^ + 2a + 1) ^ N= a 8. (a + 1)â(a - 1)! (a-1)!(a+1)^ N = 6! - 720 Hallar X en: (x - 4)1 + (x - 3^ + (x - 2)! ^ ( x ' - 7 x + 1 0 ) ( x ^ - 6 x + 8) Resolución: Hatiar el equivalente de la raíz cuadrada de: A - (n + 2)! Escribiendo toda la expresión en función del facto rial del número menor (x - 2)! en el numerador y factorizando en el denominador: Resolución: (x -4 )! + (x -3 )(x -4 )! + (x -2 )(x -3 )(x -4 )l Transformando (n + 2)1 en función de (n - 2)!; (n + 2)! = (n + 2)(n + 1)n(n - 1)(n - 2)! En el problema: 6. (a + 2)(a + 1 )(a )(a - 1)! - (a + 1)a(a - 1)! (a - 1)1 + a(a - 1)! + (a + 1)a(a - 1)1 N= Descomponiendo el segundo miembro: I-----------------------------------1 ( X - 1)! ( X + 1)^ = 24(36) = 4 ! (6)' 5. [(3!)! + 2 ]!-[(3 !) + 1]! [(3 !)!-1 ]! + (6 )!+ [(3 !)!+ 1 ]! Resolución; Haciendo; (3!)! = 6! = a + 1)x! = 864 Igualando: x - 1 = 4 = > x = 5 x+1=6=»x = 5 X = 5 Reducir; N = (x-5)(x~2)(x-4)(x-2) ( x - 4 ) ! [ l + x - 3 + x ^ - 5 x + 6] = (4)! (x-2)^(x-4)(x-5) A = (n + 2 ) ( n + 1 ) n ( n - 1 ) ( n - 2 ) í , , (n-2)l =» A = (n + 2)(n + 1)n(n - 1) + 1 (x-2)'(x-4)(x-5) Agrupando en la forma indicada y efectuando. A = (n^ + n - 2Xn^ + n) + 1 = (n^ + n)^ - 2(n^ + n) + 1 A = (n^ + n - 1)^ Se pide /A = n" + n -1 => Hallar n en: 4096 = Resolución: La expresión puede escribirse; (2 n -6 )! 4096 = (n-3)![1x3x5-(2n-7)] = 4! ( x - 4 ) ! ( x ^ - 4 x + 4) = 4! (x-4)(x-5)(x-6)!(x-2)= 4! (x-2)^(x-4)(x-5) (X - 6)1 = 4! ^ x - 6 = 4 X = 10 <4 ANÁLISIS COMBINATORIO Parte del Álgebra que estudia a los grupos, ya sea por el número de integrantes que lo conforman o por et orden en que están dispuestos y como se diferencian unos de otros. Este tipo de agrupaciones se estudiarán en dos con ceptos bien definidos permutaciones y combinaciones. P rin c ip io de ia m u ltip lic a c ió n Si un evento puede realizarse de n, maneras diferen tes y si confinuando el procedimiento se puede pasar o realizar otro segundo procedimiento de nj maneras diferentes y así sucesivamente. Ei número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indi cado estará expresado por; n, X Oj X n , ... 2. ¿Cuántas banderas bicolores diferentes pueden formarse con los colores amarillo, negro y blanco? Resolución: Sea el conjunto; {amarillo, negro, blanco} de donde los bicolores diferentes se pueden disponer así; amarillo - negro; amarillo - blanco; negro - blanco; blanco - amarillo; blanco - negro; negro - amarillo El total de banderas diferentes que pueden for marse es 6. Es decir; V5=6 o V2=3x2 Ejemplo: Una persona tiene 3 pares de zapatillas y 2 pares de me dias. ¿de cuántas formas diferentes puede colocárselas? ■’r" factores Resolución; zapatillas (pares) V" = n ( n - 1) ( n- 2) . En general: medias (pares) O también: La primera zapatilla puede usarla con las medias x o y (2 maneras diferentes), igual la segunda y la tercera, es decir, en total habrán; 3. 3 x 2 = 6 formas diferentes de usarlas. P rin c ip io de la a d ició n Sí un evento (1) puede realizarse de n, maneras o for mas diferentes y otro evento (2) puede realizarse de n2 maneras diferentes; pero no puede pasarse del evento (1) al evento (2). Entonces el total de formas diferentes que puede realizarse el evento (1) o (2) estará dado por; n, + nj Puede tomar uno de los 2 colectivos de 2 formas dife rentes o uno de los 3 ómnibus de 3 formas diferentes. En total de; 2 + 3 = 5 formas diferentes. V ariaciones Se llama variaciones, coordinaciones o regias de n ma neras tomados de k en k a los diferentes grupos que se puedan formar con k elementos de tal manera que un grupo se diferencia de otro en un elemento o en el orden de sus elementos. Ejemplos: 1. Sean los elementos a. b, c, d. Entonces las variaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2 serán; ab ba ac ca ad da be cb bd db cd do Como se observa ab, ba son grupos diferentes. Notación: se denota de la siguiente manera: \C. y se le© variaciones de n elementos tomados de k en k. En un campeonato de 10 equipos, un periódico deportivo ofrece un premio al que acierte la cla sificación final de los 3 primeros equipos. ¿Cuán tas soluciones debe enviar un aficionado para que asegure el premio? Resolución: Sea abe el equipo ganador, en ese sentido prime ro, segundo y tercer lugar; bac es otro grupo, por que en este caso b es el primero, a el segundo y c el tercero, como se observa (abe) y (bac) son grupos diferentes con los mismos elementos, por lo tanto será: wio 101 7 1 x 8 x 9 x 1 0 " T T -----------7! Ejemplo: Si para ir al cine una persona puede tomar 2 colectivos o 3 ómnibus. ¿De cuántas formas diferentes podría via jar para cumplir su objetivo? Resolución; (n-r)! .-. V',^’ = 720 soluciones V a riaciones con re p e tició n Son aquellas cuyos elementos pueden repetirse una o v a ria s v e ce s, se re p re se n ta p o r V R " n ú m e ro m a yo r de VR^ Formula: VR: = n' Ejemplos: 1. ¿Cuántos números de 4 cifras existen? Resolución; Sean los números abcd en que txx! pueden valer (0; 1; 2; ...; 9) y “a" solo (1; 2; 3; ...; 9); los números serán de ia forma Ibcd, 2bcd, 3bcd 9bcd. Con bcd se puede hacer las variaciones con repetición de 10 objetos tomados de 3 en 3. V ;" = 10^ ^ 1000 En total será 9 x 1000 = 9000 números Hallar el número de boletos distintos posibles en una jornada de tas apuestas mutuas de fútbol en que se juegan 14 partidos. Resolución: Entiéndase que en un partido de fútbol existen 3 posibilidades: Si el equipo 1 gana, se marcará el 1. Si el equipo 2 gana, se marcará el 2. Si ambos empatan, se marcará el x. Analizando, observa que se trata de variaciones con repetición de los elementos 1; 2 y x, tomados 14 a 14, es decir, el número de posibilidades para los boletos a emitirse estará dado por: Para nuestro caso: V boletos. = 3’“ = 4 782 969 P erm utaciones Se llama permutaciones de n elementos a los diferen tes grupos que se pueden formar con todos tos elemen tos, de tal manera que un grupo se diferencia del otro en el orden de sus elementos. Ejemplo: Sean los elementos a, b, c, entonces las permutaciones de 3 elementos serán: abe, acb, bac, bca, cab, cba. Notación: se le denota de la siguiente manera: P„, y se lee permutaciones de n elementos. que A y E son inamovibles eso significa que solo los tres centrales (B; C y D) son los que pueden cambiar de ubicación, entonces el número total de formas estará expresado por: P3 = 1 X 2 X 3 = 6 formas distintas 4. Con las cifras 0; 1; 2: 4, ¿cuántos números de cin co cifras no repetidas pueden escribirse? Resolución: Aquí habría que considerar que el O es cifra no sig nificativa si figura como primer numeral, en conse cuencia, habría que descartar las posibilidades de la Oabcd Que son: P4 - 4! = 24 Luego, el total de fíL'merales con cinco cifras no repe tidas estará dado por: P5 - P, = 5! - 4! = 120 - 24 = 96 Como se ha observado se restan todos los nume rales cuya primera cifra es O, En total son 6 las formas diferentes en que pueden colocarse. P3 = 3! = 1 X 2 X 3 = 6 P erm utaciones c irc u la re s Son agrupaciones donde no hay primer ni último ele mento por hallarse todos en una línea cerrada se repre senta P í se demuestra. Ejemplos: 1. P'=(n-1)! ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse Juan y Carlos en una carpeta de dos asientos? Resolución: Las formas pueden ser Juan y Carlos o Carlos y Juan en ese orden, es decir, 2. Pero: 2 = 1 x 2 = 2! P2 = 2! 2. ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse las tetras a, b, c? Resolución: Sea el conjunto a, b, c, los diferentes grupos de tres elementos que se puedan formar son: abe, bca, cba, cab, acb y bac. En total son 6 las formas diferentes en que pueden colocarse: P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6 De los ejemplos 1 y 2, puede deducirse y se de muestra que las permutaciones de n elementos tomados todos a la vez estarán dados por: P. = n! ¿De cuántas formas pueden colocarse los cinco delanteros de un equipo de fútbol si los extromos permanecen invariables? Resolución: Asumiendo que los delanteros sean A, B, C, D y E, si tuviesen la disposición que se indica, se obs erva Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden disponer 5 muchachos para formar una rueda? Resolución: Pg = (5 - 1)! = 4! = 24 maneras. P erm u ta cio n e s con re p e tició n El número de permutaciones de n elementos con la condición de que en todas, los elementos b,, bj, bj, b„ entran, respectivamente, a,, 82, 83...... a,, veces es: p :3^32.33 ai. ni a ila jla a l.-a J Ejemplo; Hallar el número de permutaciones distintas que se pueden formar con las letras de la palabra COMPUTA DORA. Resolución: Hay 2 letras A y O; hay una letra: C, M, P, U, T, D, R, total 11 letras, luego: 11! = 9 979 200 2 !2 ! C om binaciones Se llama combinaciones de n elementos tomados de k en k al número de maneras en que se pueda agrupar los n elementos en gnjpos de k elementos cada uno de tal manera que cada gaipo se diferencie por lo menos en un elemento. Resolución: 4!x5x6x7 0 ' = 7! = 35 maneras 314! 6x4! Número combinatorio: C om binaciones co n re p e tició n índice superior Se define: índice inferior Ejemplo: c: = Se lee: combinaciones de n elementos tomados de k en k. ¿Cuántos productos diferentes, cada uno de tres fac tores podrán obtenerse con los cuatro factores primos 2; 3; 5; 7? Ejemplo: Hallar el número de maneras en que se pueden ao^^psr 4 elementos a, b. c, d en grupos de 2, de rr,añera que cada gnjpo se diferencie en un elerî^nto. Resolución: Según el enunciado, nada se opone a que en los fac tores primos de cada producto haya dos o tres factores iguales. Resolución: Sea el conjunto = a, b, c, d. Los grupos serán, ab, ac, ad, be, bd, cd. Dos productos solo podrán ser diferentes cuando ten gan factores distintos, luego los diferentes productos serán las combinaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3. 6! = 20 cr: = C U 313! De donde ©n: Cj = 6 Tratemos de expresarlo en fundón de 4 y 2: r'* 4x3x2x1 02-3x2x1— ---------- 4! 4! 2! x2! De aqui se tiene como consecuencia la siguiente re lación: Fórmula matemática: c:: = 51 3! 2! 30! 28! 2! n! (n -k )!k ! 5x4x3! 3! 2! 5x4 2 donde: n, k e Di n>k = 10 30x29x28! = 15x29 = 435 28! 2! Estos productos son: 2 x3 x3 = 2x2x2= 8 2X 3X5= 2 x 2 x 3 = 12 2x3x7= 2 X 2 X 5 = 20 2X 5X 5= 2 X 2 x 7 = 28 3X 3X 7= 3X 5X 5= 3x5 x7= 3x7x7= ' k factores Qr, ^ n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1) ' 1 x 2 x 3 . . ,k 4x3 fs C5f0 = 50 X 49 X 48 = 2 5 x 4 9 x 16 1x2x3 p 7 / X 6 X 5X 4 7 C.-:j x2x3x4 5x5x5= 5 x5 x7 = 5 x 7 X7 = 7 x7 x7 = 2 X5 2 X7 3 X3 3 x3 X7 = X7 = X3 = x5 = 125 175 245 343 Donde; n e IR a k e E Solo cuando n e IN; C¡J = n k ' Ejemplos: c u 7\ 3/ 7 x 6 x 5 = 35 1x2x3 1/1 .\/1 1/2 4 1x2 x 3x 4 -2 3 (-2)(-2-1)(-4) 1x2x3 24 -2x3x4 1x2x3 i) ^128 . = 35 Ejemplo: ¿De cuántas maneras se puede escoger una comisión de 4 personas de un grupo de 7 personas? 70 98 27 45 Coeficiente bínómico [( )] ________k factores n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1) n Se define 1 x 2 x 3 ...k k Forma simplificada ni c: = ( n- k) ! k! n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . ( n - k + 1) ( n - k ) l ( 1 x 2 x 3 . . . k) ( n- k) l 63 75 105 147 18 30 42 50 Propiiedades de lo s n ú m e ro s c o m b in a to rio s 1. ( '" existe si y solo si n g Z*. k g 2Z a n > k 2. C" ^ (combinaciones complementarias) Resolución: Ejemplos: Sumando las dos expresiones se tendrá: ■ c l^ c l S + k^C^, + C l + C l + C] + C l+ ... + C ^ + CVs . c;; = c:_„ = CS = 1 3. c; ; = c " 4. Cí=n 5. C^ + Ck*, = C^, I el , = cs= 1 el Ejemplos: • 6. 3. Degradación de índices 3) s = C“ - k c +c! = c; c^' + c ¿ " - c ¡ ’ Reducir: ^ j^Cf.., , x( x+ 1) , x{ x + 1)(x + 2) , 2! 3! Ejemplos: ^ Resolución: Cx- 3^ > L ^ C ‘ - gCs Cada sumando representa a un número combina torio; es decir: b) E - c ' + O,- + c r ’ + c r ' + c r ' +... + c r " * ’ Ejemplo: C: = cr' - C . - ^ ¿-/-s Cs • C^ = C) n- k C".-. Ejemplo: , ^9 _ 7. 9 /-%8 _ 9/^8 9 -4 5^ 4. Si: Ca = C^, entonces: a = b v a + b = n Calcular n en: c r , '+ c 1. = ^(c^n-^ - c:_-; - c ^ :;) si: 3n - 6 m -I- 2 Efectuando y agrupando convenientemente; Reducir: F - c ; f + C f° + Cf ° + ... + c ;“ “ ° 1 0 0 C|^-2 + sum andos c:_, Resolución: Utilizando la propiedad 2 (combinaciones comple mentarias): Ck = C"_k + 2[CÜ'_,' + + '] + 2c: + + 0™+,'] = Cjn-? c:., =cr^, Desdoblando: 2C|^ = C" + c : _ , + c : + c : + c : , , = c^;_^. La expresión puede escribirse: F = c : ” + C f ° + C f ' ’ + . „ + C ¡ ° ““ Por propiedad:C^ + C¡^.,1 = Ck’ i ; se tendrá: Por la propiedad 4: C, = n c :^ v c :,v ^ c^^, F = 100 + 200 + 300 + ... -H 10 000 F = 100(1 + 2 + 3 + ... + 100) ^ 1 0 0 ( 1 0 0 )(1 0 0 + c:;,- 1) • valor de: S = C?e + C¡® + ... + Cg’ + C® + C l + C2 n + 1 = 2 n - 7 = » n = 8 • n + 1 + 2 n - 7 = m - h 2 » 3 n - 6 = m-i -2 (No puede ser por la condición del problema) F = 505 000 Si; C^+C® + C^ + C ;°+... + C??=k, calcular el = cr_^. De donde por propiedad: 2 2. E = cr* Resolución: Ejemplos: 1. x(x + 1)(x + 2)...(x + n - 1) n! 5. H a lla r e l m e n o r v a lo r q u e d e b e to m a r expresión: A = C" Co O, n p a ra q u e la C" ^ . sea un entero positivo. Cj Resolución: Transformando los numeradores a través de la for ma práctica; al igual que el denominador (en los 2 primeros se utilizan propiedades). n ( n -1 ) n 1 x2 n(n-1)(n-2) 1x2x3 n (n-1) 4(x - y + 1) x - y + 1 + 1 C L , = 5CV - 2 y -1 y 4(x-y-t- 1) x - y + 2 (2) = 5 y-1 y (1)en ( 2 ) : ^ = | - y-9 E n (1 ) : X = 17 1 x2 « BINOMIO DE NEWTON De donde para que la expresión sea entera; D esarrollo del binom io de Ne%»ton con exponente n a tu ra l (n € IN) 11n - 7 =6 Sabemos: De los conjuntos de valores que puede tomar el menor es 48. es decir: 11n - 7 = 48 n= 5 (x + a)’ = (X + a) = Cj,x + C¡a (x + a)^ = x^ + 2ax + a^ = CqX^ + Ci^xa + (X -H a)^ = x^ + 3xa^ + 3xâ + a^ (x + a)^ = CqX^ -h C?xâ -h Cjxa^ -f- Câ^ Calcular n a partir de: nCÍ ^ 2(n-1)C^ ^ 3 ( n - 2 ) C ’ ^ Cq C" (X + a)"* = x'“ -1- 4xâ + 6xâ^ + 4xa^ + a" = 204 C" (x + a)^= Cpx" + Cíx'a + Resolución; En general: Aplicando la propiedad: (X + a)" = m - n + 1c^ + x=a^ + C^xa’ + Câ“ Cgx" + C"x'' 'a + C2X â^ + ... + Cp_iXa + Câ Forma práctica del desarrollo de un binomio 2 (n -1 )Í^ ^ C Í CS 3 (n -2 )< ^ ^ C ^ (X + a)" = x^ + 4x'a ^ (n -r^ Donde los coeficientes se calculan con la relación: f 3' + 2^ + 1' = 204 n(n + 1)(2n + 1) Se sabe que: 1^ + 2^ -i- 3^ + . ^ n(n + 1)(2n + 1) ^ ^04 Dándole una forma adecuada al segundo miembro: n(n + 1)(2n + 1) = 8(8 + 1)(2x8) + 1) Se tendrá: n= 8 7. Resolver: C'_,= C¡; ' E x p . d e la base té rm in o a n te rio r C o e f. d e un té rm in o c u a lq u ie ra a® C o e f. d el té rm in o a n te rio r (n ú m e ro d e té rm in o s q u e le p re c e d a n ) T riá n g u lo de Pascal o T a rta g lia Es un triángulo formado por los coeficientes del desa rrollo del binomio de Nevi/ton. Así tendremos que; 9 x 17 n(n +1)(2n + 1) = 8 x 4xa^ + a" (X + a)* = x^ + 5x‘*a + 10xâ^ + lOxâ^ + 5 xa “ •= 204 n^ + (n - 1)^ + (n - 2 f + + 6xV + Cí •..(O 4CJ = 5C: Resolución: En la primera igualdad, transformando el segundo miembro utilizando ia propiedad: x - ^ X- y + 1 1= (X + a f = (x + a)’ = (x + a)' = (x + a)’ = (X + a)“ = (X + a)^ = (X + a)® = (x + a)’ = ^ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 1 5 15 35 1 6 21 1 7 Es recomendable utilizarlo para potencias menores o iguales a 10. Cálculo de) término general En el desarrollo general: 2y = X + 1 ..(1) En (II) utilizando la propiedad 2 veces consecutivas en el primer miembro: 4C: = 5C’ , = 5Cy - 2 (X + a)" = CqX" + C','x'' ’ a 4 - CjX" Se tiene; ti = CcX" a'^ t^ - Cíx" " ’a + ... -i- C" t = C^x" - 1"~ En general; a (fórmula del término general) • Cuando n es impar (3 dos términos centrales) tr,H Ejemplos: 1. En (X t. = ' + a)“ °, calcularte I. I Resolución: . _ t. Uoc * 1~ 2. p 6 60U 0U ^500 - 400^400 _ '- '4 0 0 ^ d /^ 5 0 0 ^ 1 0 0 _ 4 0 0 — ^400* a E! polinomio desarrollo se caracteriza por ser com pleto y ordenado respecto a sus bases (en forma descendente respecto a la primera y ascendente respecto a la segunda). Además de ser homogéneo. 3. Si la base es el binomio suma, los términos del de sarrollo serán positivos todos; pero si es el binomio diferencia serán alternados (positivos los de lugar impar y negativos los de lugar par). 4. 5. Solo cuando e) exponente del binomio sea par existirá un número impar de términos; y en conse cuencia habrá un solo término central que tendrá !a propiedad de tener los exponentes de sus bases respectivamente iguales. I De donde: Suma de los lugares impares: cs + C 2+ C4 + ... + c;:_i = 2"-' Suma de los lugares pares: C" + C 3+ C 5+ ... + Cp = 2’’ ' Suma de coeficientes de (x - a)" = O Sabemos que; • Término de lugar (k + 1) contado de izquierda a derecha normalmente esta dada por: • Término de lugar (k + 1) contado de derecha a izquierda, es decir a partir del extremo final: exponentes = ( a P) n(n + 1) Form ula del té rm in o m áxim o de un b in o m io de newton p a ra determ inados valores de x y a Para calcular e! término, debe cumplir la siguiente re lación; 'n - k + r :t ) > ' siendo el t,,,, el máximo. Ejemplo: Hadar el lugar que ocupa eí término de máximo valor en el siguiente desarrollo (3 + 2x)'^ cuando x = ^ Resoiución: 16- k \ / 2x7/ 2' > 1 Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos serán respectivamente iguales (por combinaciones complementarias). 6. La suma de coeficientes de (x + a)" estará dada por; Cq + Cí + ^2 + .- + C" = 2” 7. 10, En(x“ + a")" El número de términos del desarrollo estará expre sado por el exponente binómico aumentado en la unidad. 2. m)" r términos . .. . (n + r - 1)l Numero de términos = -i—n tttn ( r - 1) - c r.(x T -^ “ ( y T - Leyes del d e s a rro llo d e l b in o m io c)" es; (n + 1)(n + 2) 2 En general, si se tuviera; (a + b + c + d + En (x^ + yy^. calcular tj. = t,„ _ , 2' El número de términos de (a h Resolución: 1. ^ ~ ^k 1 Cálculo de la posición dei término central (n expo nente del binomio). • Cuando n es par (3 un solo término central) t,a= C ? ,X "-V ^ -1 — C^,x ® 7(16 - k) > 3k k < 112 ^ 10 10 Como nos interesa el máximo valor, este satisface para el mayor valor entero de k, es decir k = 11. Entonces el término máximo será k + 1 = 12, .'. El término de máximo valor ocupa el lugar 12, Ejemplos: 1. En el desarrollo (5 + 2x^)" el coeficiente del término que contiene a x'^ es 15 veces el coeficiente del término que contiene a x^®. Hallar el valor de n. Resolución: Cualquier término del desarrollo estará expresado por t k . i = C:(5)"-^(2x')^= CÍ5"-^2^x' ^ El coeficiente será: CJ 5" “ 2^ Por dato; 3k = 33 => k = 11 c;',5^- 11 2“'^ Luego el coeficiente será: C",5'' También por dato: 3I< = 36i =* k = 12 Luego el coeficiente será: 0^25" CÍ25"De (1) y (2) por dato: Cí , 5" - " 2” = 12 2 ^ 2 (1) Por dato: ¿ ^ 6 ''^ ’ = 6 C’ 3 <— '(2)^ .( 2 ) ’'2'^ Luego: x - 12_ 5. 6 •. X = 9 Si un término del desarrollo: 1 B(x) = es 3 ^2' Degradando el indice inferior del segundo miembro: Calcular m. ^ 2:^n-11 Resolución: Efectuando la expresión que hace de base: Hallar el término independiente del desarrollo de: íx^ Entonces: B(x) = Resolución: = 8"(x® + x’ ®)" Cualquier término del desan’ollo estará expresado por: De donde: t,_, - C ^ i x Y - ' ^ i x - y = t , . , - c ¡ n x r “ (x-' "r = ,..(1) t^ ., = 8"" Para que sea término independiente: 26 - 2k - Pero: S'" C™ = 3 x 2' ^ Por condición: 8m - 16k = O En (I): C;^ = 13x12x11 x 1 0 x 9 x 8 1x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Calcular el coeficiente del término dei desarrollo del binomio (1 + x f ° que es el doble del coeficiente del término anterior. Resolución: Del problema: t,,, = Cf(1)“ ’ "x“ = C f x ‘ 20 k-1 = Cf_,(1),20-k • 1„k-1 = c k-1" Por inspección: = m = {2; 4; 6; 8} Para m = 4; se tendrá: 2'^ x 2 x 3 = .-. m = 4 6. Determinar (a + b) en la expansión de: B(x: y) = 4x^" y“ -" de modo que admita un solo término central cuya parte literal sea x^’’ y’^, b ; 4x Ck 1—^6 —2 0 x11x92xx138xx 41 7x x51x66x 1 5 2\y ( '■ ¿ V _ C f = 38 760 y 2x" Por propiedad; 20 - k + 1Cf:, = 2Cf_, - k = 7 _ 3 x 2’ Resolución; Por dato: C f = 2 C ¡ \ ¿a k Reemplazando en (I): 8'" 0^/2 = 3 x 2'"^ CP = 1716 También: t, = (I) k= 6 =O O '«^(sr -y 2x^ / íx* . C f = 77 520 t, = C : , , ( - 2 r x Determinar x en /^/2 ■ ^ ^/3. sabiendo que en el desarrollo del binomio la relación entre ei séptimo término contando desde e! principio y el séptimo término desde el final vale 1/6. Por dato: da' x^" y'^ = x'"’ ' ’“ y" Luego; f =15 Resolución: El séptimo término contado del principio es; • (a - 1)b = 24 a + b = 11 El séptimo término contado del extremo final será: Hallar el número de términos irracionales y racio t. final: nales que tendrá el desarrollo de: (/x + = C‘ {3-'''=y ^ = C^,3-'¥'(2)^ Resolución: Degradando los indices: Sabemos que las expresiones algebraicas se clasi fican en: D - i (nj cs V 2 jc r V 3 ^ c r V 4 5 c r '+ . . . + n n c ^ ( Enteros (x^; f ; z^) [Fraccionarios (x' ,y ,z } D = n(C" ’ + C?-' + C r ' + C r ’ + - + C n i;) =n2" - ' Racionaies (2) Del numerador; EA N = Co + (■* + 2)C? + (1 + 4)C"2 + (1 + 6)CS irracionales^ (x^'^; Primero se calcula ei número de términos raciona ies y los irracionales por diferencia: Cualquier término del desarrollo estará expresado por; + ... + (1*C2n)C;: N N = 2" + 2n X 2" ■■' = 2" + 2" x n N.° totai dej términos I Reemplazando en la expresión dada se tendrá: 2" + n2" n2"- 21 - -|k g E; luego; k = 6 D Para ello el exponente debe ser entero; k = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42} Entonces habrá 8 términos racionales. Luego; + Cn + 2[C? + 2C2+ 3C 3 + 4C4+ ... + nCn] Donde: O < k < 42 Calculando ei número de términos racionales: N.° de términos' irracionales f — Cq + C" + C2+ C 3 4- C4+ ... 10. 2" ( n+1) 2" ( nx2' 2 + 2n 45 22 • • ri 44 n QFI Qn Qfl Qfl Reducir:S = ^ + ^ + ^ + ^ + . . . + ^ Resolución: 'N.° de términos ] 1 racionaies I (n + i ) s = í = ^ c ; . < í ± l ) c ; + í = ^ c ; Reemplazando; + ([l± l> c ;+ ...+ ín ± :!lc ; 4 ^ n +1 " n.° de términos irracionales: 43 - 8 = 35 8- (n + 1) S=Co‘ ’ + C r ’ + C 2’ U C3' Hallar el coeficiente de x y V en ei desarrollo de ( X - 2y + 2 z f S = 2"*'- 1 n+ 1 Resolución: Agrupando el trinomio y dándote una forma binómi ca: t,., = C ,^x-2y)^-^(2z)" Luego, cuatquier término dei desarrollo estará ex presado por: t,,, = C«2^ ( x - 2 y ) ^ - “ z'' La única forma que esta expresión contenga a ocurrirá si p = 3. te = C^2=(x - 2y fz ^ + C " : l- 1 F o rm u la de Leibniz (n e m ) Se utiliza para determinar ei coeficiente de un término cualquiera en el desarrollo de un binomio elevado a un exponente natural. Si queremos calcular el coeficiente de x?’ ; tará expresado por: ; Xj^ ; es >n Z n ! x^.xí^..xL‘“ X, + X2 + X3 + ... + x j = —,—T— ¡— ------ ^ ^ ^ a,!a2!u3! + ... + aJ Para el binomio (x - 2 y f en su desarrollo, cual quier término estará expresado por; Donde a, + a 2 + 03 + ... + = n t ^ . , = C^2^C®x'- "’( - 2 y r z ' Analizando para que esta expresión contenga a y^; m = 4 Finalmente se tendrá; El coeficiente será; = C32^C42^ x 'y V Hallar n en: CS + 3C?-f5C; + 7C3+... + (2n + 1)C:; Oí + 2C 2+ 305 + 4C 4+ ... + nCn 45 22 Resoiución: Del denominador. D = C U 2C2+ 3Ca 4- 4C 4+ ... + nc;; = n 1. Calcular el coeficiente de x® en ei desarrollo de: (1 + 2x - x^)^ Resolución; C32'C® = 280 X 128 = 35 840 9. Ejemplos: X 2" ■ ' El coeficiente estará dado por: ^ 5! /.va,o„Nb, ( i r {2x)‘’ (-x^^ alblci Donde; a + b + c = 5 1 l l 2 0 3 1 2 2 O 4 1 2 T ( | ^ ( 1 « 2 x)'( - xY + (1 + X)" s: 1 + nx (1)'(2x) V x¥ + Ejemplo: ^ ( 1 ¡ ”(2x)-(-x1’ = 30x= Calcuiar Resolución: Coeficiente = 30 2. Como: ^/28= 28’ ' Calcular el coeficiente de x' en el desarrollo de: (1 - 3x - 2x^ 6x')''^ Escribiendo: 28 = 27 + 1 (27+ 1)’'^« 2 7 ( 1 + ^ ' Resolución: 3 ( 1 . i ) , p » 3.03 Donde: a + b + c = k Cálculo del término general Pero: a b c k 0 0 11 Si (x + a)'’ = a+ 1102 3 0 0 3 para que resulte x^ El coeficiente será: ( | ) ( - 3)“(2)^(6) n-2 a2+ n 3 X Tenemos: t, = (o|^ ( | ) ( | - l ) ( - 3 ) \ - 2)^(6)° -t ' 0!0!1! n\ 2 .) " t, = 11110! t, = ( f ) ( f - ' ) ( f - 2 ) ( - 3 ) V 2 ) “ (6)» " 3! 0101 t. = t . = (i 9)x" ’V ■ 3 3 3 B ino m io de new ton (n ^ im) Para estos casos se usa el coeficiente binómico: ^n i Xr + /í n x^' 1a 0 1 /n L \2 X" â ‘ Donde: Donde deberá tenerse en cuenta las observaciones si guientes: 1. El desarrollo de (x a)" es una serie de un número ilimitado de términos. 2. fórmula del término general Es necesario tener el binomio en la forma: (1 + b)" Ejemplos: 1. E;emp/os; /n\ /n\ /n\ ^ n; exponente del binomio (k + 1): lugar del término x: primera base a: segunda base. Haliar el tj5en {x’ Resolución: /n\ , t., = ( “ ) ( x T “ ( ' ^ r • (X + a f = x"(1 ^ ^ 3. : -1 a < 1 X '' X 2. Si X es pequeño se puede considerar: (1 - x ^ ' ' 1 • (mx) Demostración; t . - t « , , = ( i (i )^ V '6 ■n i r\\ ¡ ü \ -, / n ■ . (1 + x r= lo )M i|^ +l2 r ^!3,r 1 f nx + n (n (1 + X) Si X e s p e q u e ñ o : n(n - 1)x^ o y 2! 1) x ‘ Hallar el séptimo término en (1 + x) Resolución: n ( n - 1 ) { n - 2 )x^ ^ 3! ^Q ' 2 6! „h h h h h k 1x2x3x4v5x6 t= t - -21 <4 EL TRIÀNGtLO DE PASCAL 0 TARTAGLIA El sistema de tabuiadón para calcular coeficientes de potencias de binomios o triángulo aritmético, rectán gulo de Tartaglia o triángulo de Pascal, es uno de los modelos numéricos más famosos en la historia de la Malemàlica; lai pareciera inagotable de riquezas mate máticas, ofrece una notable correspondencia entre su simple construcción, los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton y tos relevantes conceptos de com binaciones y variaciones del análisis combinatorio y el cálculo de probabilidades. Durante la edad media oriental, en China, el matemá tico Chia Hsien (1100 d, C,) lo define como sistema de tabulación para calcular coeficientes de binomios. En ta obra del matemático chino Chu Shih Chieh (1270 -1330 d. C ), Ssu - yuan yu - chien (Espejo pre cioso de los cuatro elementos) escrita en 1303, en la primera página aparece un delicado diagrama (ver figu ra) del triángulo; la obra refiere su estudio a los “cuatro elementos" como las cuatro incógnitas figurativamente llamadas cielo, tierra, hombre y objeto. Posteriormente, la Alemania renacentista dará a cono cer su contenido al mundo matemático europeo en la segunda mitad del siglo XVI. con el matemático alemán Michael Stifel (1487-1567) y su obra Arithmetica inte gra (1544) considerado como el más importante de los libros de álgebra impresos hasta esa época (aunque algunos años atrás, en 1527. un dibujo del triángulo habia aparecido decorando la portada del libro sobre aritmética comercial Rechnung del cosmógrafo y mate mático alemán Petrus Apianus). El matemático italiano Niccolo Tartaglia estudia en su obra, que consta de tres volúmenes publicados entre 1556 y 1560. General trattato di numeri et misure (Trata do general sobre el número y la medida) una disposición numèrica similar que llamó Rectángulo aritmético. El matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) es el primero en relacionar rigurosamente los números com binatorios con el Teorema del Binomio (ya en alguna forma conocidos desde el siglo XIV), en un tratado es crito en 1653 y postumamente publicado en 1665 (que incluía también su muy particular método de inducción): Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo aritmético), deduciendo nuevas propiedades y aplica ciones del triángulo a la teoria combinatoria y a la teo ria de probabilidades. En 1886 el matemático escocés George Chrystal lo denomina Triángulo de Pascal en el volumen 1de su obra Álgebra. C o n stru cció n del triá n g u lo Se ubican los números en un arreglo triangular con unos ( 1) en el vértice superior y en los lados adyacen tes a dicho vértice. Cada uno de los demás términos resulta de sumar los dos números inmediatamente su periores a su izquierda y a su derecha, en una dispo sición infinita. Las lineas o filas se enumeran de arriba hacia abajo y los términos, las verticales o columnas y las diagonales, de izquierda a derecha, partiendo de cero y considerando la simetría. 1 1 i t Estudia ecuaciones simultáneas, ecuaciones elevadas a exponentes tan altos como el decimocuarto, el algo ritmo fan-fan (redescubierto por William Horner y Pao lo Ruffini en 1819), la suma de series y progresiones geométricas y aritméticas, y una disposición del bino mio (x -H y)" con los coeficientes dispuestos hasta la octava potencia, valiéndose para ello el autor dei que llama método celestial o método m u y antiguo para cal cular las potencias hasta la octava inclusive. 1 7 1 1 1 4 10 15 21 2 35 1 1 3 3 5 6 1 6 20 1 4 10 1 6 15 35 1 5 21 7 1 Diagrama del triángulo de Pascal; en él se muestran las ocho primeras filas ( de la fila Oa la fila 7). Algunas propiedades en el triá n g u lo de Pascal Las tres propiedades siguientes, son textualmente ex traídas del Traité du triangle arithmétique de Blaise Pas cal y referidas a un particular diagrama con un giro de 45° con respecto al actual. 1 2 1 1 1 3 4 3 4 5 6 10 10 20 15 6 21 7 28 36 35 56 84 5 15 35 70 126 8 1 6 21 56 126 1 1 7 28 84 9 1 En todo triángulo aritmético, si dos células son con tiguas en la misma bas6, la superior es a la inferior como el número de células desde la superior hasta lo alto de la base es al número de células desde la inferior hasta abajo inclusive. En todo triángulo aritmético, la suma de las células desde una fila paralela cualquiera es igual al núme ro de combinaciones dei exponente de ia fila en el exponente del triángulo; propiedad que lo relaciona con la teoría combinatoria. En un juego de dos jugadores, a cada uno de los cuales le falta un cierto número de partidas para terminar el juego. Encontrar mediante el triángulo aritmético el reparto que hay que hacer (si quieren separarse sin jugar), teniendo en cuenta las parti das que le faltan a cada uno. Resolución; tómese en el triángulo la base en la que haya tantas células como partidas les falte a los dos juntos; a continuación, tómense en esta base tantas células seguidas, comenzando por la primera, como partidas le falten al primer jugador, y lómese la suma de sus números. Por tanto quedan tantas células como partidas le faltan al otro juga dor, Tómese de nuevo ta suma de sus números. Estas sumas son la una a la otra como tas ven tajas recíprocas de los jugadores. Esta particular propiedad, relaciona al triángulo de Pascal con el problema de determinar las apuestas entre dos ju gadores que juegan varias partidas. Las propiedades que se proponen luego hacen re ferencia al diagrama que se usa en la actualidad y que mostramos a continuación: 1 1 2 1 1 1 1 1 6 8 10 28 35 56 1 1 5 6 15 21 35 70 1 4 10 20 15 21 7 6 4 5 1 3 3 56 1 7 28 numero c, Los unos en el vértice superior (o fila cero) y los lados adyacentes son fácilmente verificables me diante: 9 1 El término situado en la fila n y la columna m es el 1 8 1 filaO fila 1 fila 2 fila 3 fila 4 fila 5 fila 6 fila 7 fila 8 n /n n 0 - i° 0„ = 1, para todo n > O Si la simetría bilateral, consecuencia de la relación. n n- m que expresa la igualdad de los números colocados simétricamente respecto del eje vertical (eje de si metría del triángulo). Todas las filas son simétricas respecto a dicho eje, pues la propiedad de simetría se consen/a al pasar de una fila a otra. La enésima fila contiene n + 1 términosLa diagonal nula da el equivalente en el espacio cero y solo puede concebirse como formada por el punto (ei vértice) en el que aparece el número 1. La primera diagonal está formada exclusivamente por unos ( 1). La segunda diagonal está formada por los núme ros naturales. La tercera diagonal proporciona los números trian gulares 1; 3; 6; 10; 15; ... así llamados por ser el cardinal de un conjunto de puntos que componen una disposición triangular con n puntos por lado en el espacio bidimensional. Cada uno de elfos se de duce del número triangular anterior sumándote el número de términos anteriores incluyendo el selec cionado. La expresión del enésimo número triangular ^ ^ nos dice cuántos términos del triángulo de ¿ / Pascal contiene sus n primeras filas, desde Ja cero hasta la n - 1. La cuarta diagonal contiene los números tetraédricos y piramidales o triángulo-piramidales 1; 4; 10; 20; 35; ... que se obtienen por adición de triángulos sucesivos en el espacio tridimensional. El enésimo número tetraèdrico está dado por la expresión ln + 2\ y geométricamente representa el número de puntos de una red piramidal de base una red triangular de orden n. La quinta diagonal 1; 5; 15; 35; 70; ... da el número de puntos que forman disposiciones triangulares en el espacio ( n - 1)dimensional. La suma de los cuadrados de los números de una fila es igual al número del mismo triángulo. La suma de los términos de la enésima fila es equiva lente al doble 2n de la suma de la siguiente fila n - 1. La suma de los números de la fila n es 2". La suma de todos los números situados sobre cualquier diagonal hasta una cierta posición, es el número situado directamente debajo y a la dere cha. La suma de las diagonales de menor pendiente for man la famosa sucesión de Fibonacci: 1; 1; 2; 3; 5: 8; 13; propiedad no conocida por Pascal, pues fue descubierta recién a finales del siglo XIX. Si se eliminan diagonales del lado izquierdo dei triángulo se obtienen sumas parciales de la suce sión de Fibonacci (propiedad descubierta por el matemático Verner E. Hoggatt Jr.J: si se eliminan k diagonales, se obtienen las sumas parciales de orden k de la sucesión de Fibonacci. PROBLEMAS ■■■O 1. Si A = {x e Z ' /3 ■lOx indicar el valor de; a -4196 0} = {abe} b+c R e s o lu c ió n : 'lOx 5x De A: 3Í ;xe2Z= 4196 3 Desarrollando los coeficientes binómicos: 3(10x)(10x- 1)(10x-2) 4196(5x)(5x- 1) 1x2x3 ~ 1 x2 2(5x)(10x - 1)2(5x - 1) = 4196(5x)(5x - 1) 4(10x - 1) = 4(1049) = 10x - 1 = 1049 ^ x = 105 Luego: A = {105} .-. a -f b + c = 6 guetes entre 3 niños, de tal manera que cada niño reciba cuatro juguetes? Resolución: N.° de juguetes: 12 • Para el 1.®' niño; el N." de maneras en que se le distribuye los 12 juguetes de tal manera que reciba 4 es: Para el 2.° niño, el N.° de maneras en que se le puede distribuir 8 juguetes de manera que reciba 4 es : C" Para el 3.“' niño, el N.° de maneras en que se le distribuirá 4 juguetes de manera que reciba 4 es: Por principio de la multiplicación, lo pedido viene dado por: C\- x C®x C4 Calculando c/u se tiene: 495 x 70 x 1= 34 650 3. Si: C!|' + C2+ C3 n- 1 m í n -1 \m - 1 dada por M. Stifel (1544), permite calcular recursivamente estos coeficientes binomiales. Todos los números de la fila n son impares si y solo si n = 2' - 1 para algún entero r. Todos los números del interior de la fila n (excep tuando los extremos) son divisibles por n si y solo si n es primo. R E S U E LT O S l o * “ " Resolución: Sumamos: Cq y C" (C o=C "=1) =» Cq + CÍ + C2+ + C„ Cn = 30 + Co Conocido 2" = 30 4- 1 + 1 ^ 2" = 2’ n= 5 C" En un estante hay 4 libros de Aritmética y 5 de Geometría. ¿De cuántas maneras diferentes se pueder^ coger 5 libros de modo que 2 sean de Arit mética y 3 de Geométrica? R e s o lu c ió n : 4 libros de A 5 libros de G {abe} 2. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 12 ju • La fila n contiene los coeficientes del desarrollo de las potencias enésimas de! binomio de Newton (x + propiedad que relaciona inmediatamente al triángulo de Pascal con la combinación elemen tal y la teoría de probabilidades, Y la expresión: C|;_, = 30, hallar el valor den. • N.° de maneras de • N.° de maneras de escoger 2 libros de escoger 3 libros de A: C5 deG:CÍ Por principio de la multiplicación, el N.° de maneras de escoger 5 libros, donde 2 son de A y 3 de G: C2XC 3 = 6 X 10 = 60 Se quiere seleccionar 5 preguntas de un total de 12, pero 2 de ellos no pueden escogerse a la vez. ¿Cuántas formas existen? R e s o lu c ió n : 12 preguntas: A. B; C; ...: M • Si se escoge A y no B = hay que escoger 4 pre guntas de las 10 restantes ^ N.° de formas: C''^ • Si se escoge B y no A (similar al anterior =» N.° de formas: C^” Si no escoge A ni B € 5° .'. N.° total de formas: 2Cl° + Cl° = 672 6. Si el desarrollo de (x, X2+ X3+ X4+ Xjf admite 495 R e s o lu c ió n términos, entonces determinar el número de térmi nos que posee el desarrollo de (x, + X2+ X3 + x j ^ : Por la fórmula de Leibniz; 5! -If(1 )' A a + p+y = 5 a!p!y! 5! (-1)‘^x“ '^ A a + p + y = 5 alpiyl R e s o lu c ió n : En el desarrollo de: (x, + X2+ Xj + x^ + X5)" N.° de términos = = 495 => = 495 Además, como el término es independiente de x; a - p = 0 » a = P =»2a+y=5 ^ n T 4 = 12 == n= 8 , En el desarrollo de: (x, + X2 + X3 + ^•4-1 , , N.‘ de términos = =04 = 03 2 N " de términos = 7. Por la fórmula de Leibniz, un término del desarrollo de: {a^ + b - a)“ será: 8! { a 'r b V a f A a + k + ¡3 = u!k!p! _1)Hg2.-Pb^ A a + k /x« Dado el polinomio; q - 3x‘ R e s o lu c ió n : I. El desarrollo tiene 23 términos. (F) II. Como n = 22 es par, entonces hayun solo tér mino central. (V) III. La suma de coeficientes de todoslos términos es parax= 8. Hallar la suma de coeficientes de los cuatro prime 1; = ÍF) FVF 11. Si el único término central del desarrollo de es 1120x''. Determinar el séptimo térmi R e s o lu c ió n : no de dicho desarrollo. 1 1 = (1 +x) 1 +3x + 3x^ + x^ (1 +x)/-3 /-3 \ 2 /-3 \ 1 -3 +1, 1 x . ( 21 X + \ 3 R e s o lu c ió n : Si ^x^ - -^1 tiene un único término central, entonces n es par. Dicho término ocupa el lugar: -3 /-3 2 /^ ( 3 + 1] t , - t ( | + l ) ^ C | ( x ') ^ - 2 x - ^ ) ^ -n -n Comparando la variable = x^ (-3 )(-4 ) . (-3 )(-4 )(-5 ) S = 1 + (-3 ) 1x2 1x2x3 S = 1 - 3 + 6 -10 = -6 Determinar el valor del término independiente del desarrollo de la potencia: 1 5! O! O! 5! nos es ^22 r { - 1)'a'°b^ = 420a’V 41212!' (no hay más posibilidades) .-. Ei coeficiente es: 420 9. - 1 )’ = -20 indicar el valor de verdad de los siguientes enun ciados: I. El número de términos del desarrollo es 11. II. El desarrollo solo tiene un término central. III- La suma de los coeficientes de todos los térmi- Además: 2a + p = 10 A k es par; k ^ O Notar que p a a deben ser pares. • a = O =í p = 10 (no puede ser) • a. = 2 -i 3 = 6 A k - O(no puede ser) • o. = 4 => p = 2 A k = 2 Se pide: ( -3 O (-1)^ = 30 El TI será: 30 - 20 + 1 = 11 10. ros términos del siguiente desarrollo; 1 1 + 3x + 3x 1!1!3!' y = 5 A a = 0Ap = 0 = En el desarrollo de (a^ + b - a )®, indicar el coefi ciente del término de la forma a'^b\ donde k es un número par no nulo. alklp! 2 ! 211! y = 3 A a = lA P = 1 = ^ = 35 1X ^ X J R e s o lu c ió n 5! y = lA a = 2 A p = 2 Usando el dato: = x'“ =■ n = 8 El término pedido es: t? = +C®(x^)^ ( 2 x ' ^ Ct { 2 f X ® 12. X 64x- t, = 1792X" Una clinica tiene 25 empleados profesionales, 4 de ellos cirujanos.¿De cuántas maneras puede formarse grupos de tres profesionales donde por lo menos uno de ellos sea cirujano? Resoiución: El N.“ total de maneras en que se pueden agrupar los 25 profesionales en grupos de 3 es C f . El N.° total de maneras en que se puede los pro fesionales en grupos de 3 sin que participe ningún cirujano es C f . Luego, ei N.° de maneras en que puede formarse grupos de 3, donde por lo menos uno de ellos sea cirujano es - C f = 970 13. Determinar el coeficiente del término en el desarrollo de (x^ + Resoiución: Supongamos que el término en ocupa lugar k + 1, De: (x^ + y^)'“ == t,. , - C f ■■(y^)' _ => 4 ij -1 — _ r2 0 „4 0 X 2k ,,3 k y De aqui; 40 - 2k = 28 => 3k = 18 ^ k = 6 Coeficiente pedido: C f 14. Los exponentes de x en el desarrollo <Jel binomio 16. Si el décimo término del desarrollo del binomio (x'’ + x*")" es x’®. hallar el valor de (q + n). Resolución; De: (x^ + x T ^ Por dato: t,o = x’' ^ t,o = C^x‘’‘" De aquí: Cg = 1 =» n = 9 p(n - 9) + 9q = 18 =» q = 2 = x'" q + n = 11 17. Determinar el tio3del desarrollo de: Resolución: De: (x* ^ tio3 ^ CX(x')= (3/y)'“ (lugar impar) , , _ p104 6 34 - - ‘ 103 “ *^102* y 18. En la expansión de (4x^ + 3y^)"; la suma de los grados absolutos de todos los términos de su ex pansión es 275, determinar el valor de n. Resolución: Del desarrollo de (4x^ + 3y^)" se tiene: 2 de grados de todos los términos: n(n + 1) = 275 (Dato) 2 n(n +1) 1 |x + -^ ^ 1 van disminuyendo de 8 en 8. el tér = 55 =í n(n + 1) = 110 De donde: n(n + 1) = 10 x Ti mino de lugar 13 es independiente de x. Hallar el número de términos de su desarrollo. Resolución; Desarrollando se tiene: (X m ^ / 3 jn ^ ^ Exp. de X 19. En el desarrollo del binomio (1 + y f ^ ios coeficien n (X^)” ~^ ( x ' + ... mn - m - ^ O Por dato: mn - (mn - m - y ] = 8 m+ 3 mn - n= 10 tes de los términos de lugares 2m + 1 y m + 2 son iguales. Determinar dichos lugares. Resoiución: De: (1 + y)^' m- 6 Por condición: El binomio es: (x® + x^)" - t,3 - C Í^ (x Y '’^ ( x " T - CÍ,x^"-^^-TI(x) De aquí: 6n - 96 = O =» n = 16 .'. N.° de términos del desarrollo: 16+1 = 17 15. Si el término n contado a partir dei último término en el desarrollo de ^x^ + es px'^ y ^ hallar el valor de: T = np Resolución: Dg: ( x^ + ^ [ ^ t^ = CÍ_,(x^)"-'(y-^)' Posibilidades: • 2m = m + 1 = m= 1 (Incorrecto) Se trataría del mismo término. • 2m + (m + 1) = 52 =» m = 17 (Correcto) Los términos son de lugares 35 y 19. 20. Determinar el coeficiente de x®en el desarrollo de: (1 + 3x^ - 2x")® Resoiución: Por la fórmula de Leibniz: 61 (r)(3 x 7 (-2 x ‘ )'^ A a + P + y = 6 alply! Luego: C",_,x^" ’ y'^ = =» 3(n - 1) = 18 =» n = 7 Cn_, = C "= n = p=s.p = T ... T = 7 X 7 = 49 6! (3)°(-2)'x^"'"^'* A a + p + y = 6 a!p!y! Además: 2(p + 2y) = 8 ^ p + 2y = 4 Se nota que p es par a p < 4 • p = 0AY = 2 A a = 4 6! r{3 )°(-2 )V = 60x® 4! O! 2!' P = 2 A Y = lA a = 3: - • Resolución: Aplicando en el problema; (4n)!!= 2^"(2n)! (2 n -1 )!l = - í 2 ^ 2" \ n - 1)! Reemplazando nos queda: 3 íf^ (3 ) V 2 ) V - - 1 0 8 0 x ® p=4 Y = 0 A a = 2: A El c o e f ic i e n t e d e X® s e r á : 2"[(2n)!f 60-1080 + 1215 = 195 21. A qué exponente se debe elevar el binomio + si el término de lugar 11 de su expan sión es de grado 20. Resolución: ^ 2"(2n)!x2^~’(n -1 )! 2^"(2n-1)l ^ 2”(2 n )(2 n -1 )!x2 ^-’(n -1 )! 2"'(2n - 1)! 2"x 2 x 2'’ '^x n(n - 1)! Supongamos que el exponente sea n: -h ■ l ' j De aquí: t„ = C ío (x'r'’'’ ( ¿ ^ G{t„) = 2(n - 10) - 10 Por dato: 2(n - 10) - 10 = 20 n = 25 22. Determinar el valor de n en la siguiente igualdad: 1 + 2(2!) + 3(3!) + ... + n(n!) = 719 Resolución: Tenga en cuenta que: [ al + a(al) - (a+1)l] Sumemos 1 a ambos miembros en la igualdad dada, se tendrá: 1_+_1 + 2(21) + 3(3!) + 4(4!) + + n(n!) = 719+1 21 +2(21) + 3(3!) + 4(4!) + ,„ + n(n!) = 720 3! 4! 2^"xn! = n! 25. Determinar el valor de n en la siguiente igualdad: [3(3n'+ 10n + 8)](3n + 5)!(3n + 4)! = 108! (3n + 5 }!-(3 n + 4)! Resolución; Como; 3n^ + lOn + 8 = (3n + 4)(n + 2) Reemplazando 3(3n + 4)(n + 2)(3n + 5)!(3n + 4) = 108! (3n + 5)(3n + 4 )!-(3 n + 4)! (3n + 4)(3n + 6)(3n + 5)!(3n + 4)! = 108! (3n + 4)!(3n + 5 - 1) => (3n + 6)(3n + 5)1 = 1081 (3n + 6)! ,•, n = 34 = 108! => 3n + 6 = 108 26. Determinar el coeficiente de x'® en el desarrollo de: , , 1 »30 IX + - 1 , dar como respuesta la suma de sus cifras. Resolución: Sea k + 1 el lugar del término que contiene a x’®. Entonces: t^., = C“ (x')’°“ (x')' = px'® (n + 1)l = 6! n + 1= 6 2 - ( 2 n ) !x - í2 ;i^ 2 "-'(n -1 )l n= 5 = px'® ^ 90 - 4k = 78 k- 3 Luego, el coeficiente será- 23. Determinar la suma de los valores de n que verifi can la siguiente igualdad: ^ Cf b(n!) —y = 80 Resolución Hagamos; n! = x = x(x - 321) = 80(5x - 9) ^ x' - 721x + 720 = O^ (x - 720)(x - 1) = O De aquí: Si X = 720 =^ n! = 720 =» n = 6 Six = 1 =>n! = 1 =>n = 0 v n = 1 2 de los valores de n: 6 + O + 1 = 7 P- Cf - 1x2x3 .'. Suma de cifras: 4 + 6 = 1 0 27. Determinar n + r, en: C" + 3C^ 1+ 3C"_2 + CP_3 37 —r C^, + 2C" 2+ C"_3 * r Resolución: Trabajemos por separado con el numerador (N) y denominador (D) de la 1 fracción. Desdoblando se puede escribir: 24. Determinar una expresión equivalente al simplificar: 2'‘[(2n)!f (4n)!!(2n-1)ü N = C" + C"., + 2C"_i + 2C"_2 + C"_2 + Cí’_3 N= c r' 2C^^' + C^-; N= c " * ’ + c ":; + c^*,'+ c":- N= c""" + c : : f = D = Cf_, + Cf_2 + C"_ 2 D= c " :; N.° deben contener 2 ases - Son ases No son ases C^ X Cf = N D= + Reemplazando 31. En el desarrollo del binomio n+3 C" 37 - r n+3 r 37- r 37 - r r Pertanto: M+ N 18 864 ¿qué lugar ocupa ei término independiente de x? Resolución: I ■, 1 \20 De: ¡ X - con n = 20 r= 34 28. Determinar el valor de J = 3x + 7y, si se cumple: C*_, - CJ ; 4Cy - 5Cy_2 Sabemos que; tj,_, = C^(x^)"' ’'(l/x)*' f _ r'20/v3\20 Uk * _ ^20 60- 4k - 1 ~ Resolución: J ^ + 1 “ '- 'k SI es término independiente, entonces el exponen te de X debe ser cero (0); 60 - 4k = O « 4k = 60 =» k = 15 .-. t«,, =tig ^ Iugarl6 De C*.., = C’ ; única posibilidad: y - 1 + y = x « x = 2 y -1 ...(I) De 4Cy = 5Cy,2Í reemplazando/; 4CJ^'’ = 5 C fV 32. Hallar el término independiente del desarrollo de: De4Cy''’ ' = SCy^//; degradando: Resolución: ^ 4(y+ 1 ) - 5 ( y - 1) y -9 (II) en (l):x = 17 J = 3(17) + 7(9) = 114 ...(U) ^ +7 ) - = t, = t,_ ,- C Í( x ') " - ^ ( ^ 29. Determinar el valor de x en el siguiente igualdad: C f., + Cr_, Cf.2 + Cf_2 19 16 Si t^., 1es independiente ^ 2n - 4k = O = 20 = 4k => k = 5 Resoiución: Por combinaciones complementarias: 2x - C!’ x^ __ CK+1“ ^x-1 ’ ^* +2“ ^x-2 2Cf_, Reemplazando tenemos; 2CÍ Sabemos que; c r = n - k -t- Aplicando en el numerador: (2x) - ( x - 1 ) + 1^2x 19 X - 1 16 X t, = ('10;__10l = 252 5! X 5! 19 16 33. Hallar el octavo término en el desarrollo del bino mio (x' I- y ' Y - 1 Resolución: Sabemos que: x+2 x- 1 19 16 = 17 30. Se considera una baraja de 20 naipes repartida en cuatro colores, cada color se compone de 5 nai pes: as, rey, dama, valet, diez: se denomina mano a todo subconjunto de 5 naipes elegidos de esta baraja. Obtenga M + N, si: M es el número de mano distintas. N es el número de manos distintas que contienen dos asesResolución: M = Ni.®d e m a n o s d is tin ta s = C=° = Ck(x^)"” ''(y”^)'' Si: k = 7; n = 10 ^ t^., = C^°(x^)’“ - V V tg = 120x®y'"’ 34. Los coeficientes de 2‘’^ 3®' y 4." términos del desa rrollo del binomio (1 + x)" forman una progresión aritmética. La suma de los 10 primeros términos de esa progresión es Resolución: Desarrollando el binomio (1 + x)" = CS + C"x + + C^x^ + ... => C,;C2;C 3 forman una PA Luego; 2C2 = Oí + Cj : n > 3 ^ '** - n I » 6(n^ - n) = 6n + - 3n^ + 2n =» - 9n^ + 14n = 0 =» n(n - 2)(n - 7 ) = 0=»n = 7 Luego, los términos indicados de la PA son: c ; =7; C l =21; = 35 =» a, = 7; 82 = 21; 83 = 35 =» r = 14 |2(7)+9(14)] — o C ^ ^ ^ g + C : ¡ : ¡ = 84 = 84 C r : + C ^ ’ =84 ni = 84 3 !(n -3!) 39. n= 9 Determine el valor de x si el tercer y sexto término d e |- 3 x + -|J suman cero. S,„ = 700 Resolución: 35. Si el coeficiente del término de grado 14 en el bino mio (x^ - 3x)'° es a. resolver: ax - 3® = 0 De: (-3X + I ) ' Resolución; Por dato; tj + tg = O De: (x^ - 3x)’° ( - 3 x ) ^ j| 2l 3)V v , = f “ )(x r-(-3 x )" = (-3 x f + ( | Por dato: 30 - 2k = 14 =» 10 : - 3 f x '‘ = ax' a = 45 X 3® Al resolver: ax - 3 = 0 =» x = 3® a 36. =0 Si en el desarrollo del binomio (- 3 x )^ + (|l 40. 3® 45x3® +— tiene X solo un término centrai de la forma a x ^ ’*. hallar el valor de ab. = X= 0 2 9 En un circo, un payaso tiene a su disposición 5 trajes multicolores diferentes. 6 gorras especiales diferentes y 3 triciclos. ¿De cuántas maneras pue de seleccionar su equipo para salir a la función?. Resolución: En el siguiente gráfico, se representa los elemen tos que dispone el payaso para su función. Trajes Gorras Triciclos Resolución: El desarrollo del binomio tiene b + 1 términos, para qua tenga término centrai, entonces b es par. Como la elección de cada uno es independiente de la elección de los demás, se aplica el principio de la multiplicación: b -5 W n tra l “ ■y S(a-1) 5 X -i= Igualando exponentes: ^ _ |( b -5 ) - 1 5 A =E1T |( a - 1 ) = 3 b=6 A 3 (a -1 ) = 3 ^ a = 2 Nos piden: ab = 6(2) = 12 37. Los coeficientes de los términos de lugares 7 y 5 del desarrollo del binomio (x + y)^" son iguales, donde n e IN. Hallar n. Resolución: De: (x + y)^" Recordar: t,, , = C f (x)^''“ ^(y)^ De dato: Coef. tj = Coef. t,; Coef. t, ,, = Coef. t«,, ^ C f = C f ^ 4 + 6 = 2n n= 5 38. Si C;¡:I + C;::' + C;::; =84, hallar n. Resolución: Por propiedad; Oí + 0^,, = CJlJ 6 X 3 = 90 41. En un Congreso de estudiantes de ingeniería se está realizando un taller en una sala de exposicio nes. donde participan 10 estudiantes, los cuales deben agruparse en 3 gnjpos: 2 de 3 personas y el último de 4. ¿De cuantas formas se pueden agru par los 10 estudiantes? Resolución; Para formar el primer grupo, se eligen 3 de los 10 posibles, esto es; C3° = 120. En el segundo grupo, se eligen 3 de los 7 restantes, esto es; C3 = 35. El último grupo de 4 se forma con los 4 que no han sido elegidos, sólo hay una forma. El total de for mas en que se pueden agrupar viene dado; 120X35X 1 =4200 42. En una reunión 10 amigos desean ordenarse para tomarse una foto. Si entre ellos hay una pareja de enamorados que no desea separarse, ¿de cuántas maneras pueden ordenarse? Resoiución; La pareja de enamorados, A y B, es considerado como un solo elemento, luego con los 8 restantes se tendrá que ordenar 9 elementos; y esto viene dado por = [9 = 9! A su vez la pareja puede ordenarse como AB o BA, es decir de 2 formas posibles. Por tanto el número total de formas que se pueden ordenar es: 9! + 9! = 2 X 9! 43. En una reunión cumbre entre los presidentes de 10 países de América del Sur, el día final de sesiones deciden retratarse para la posteridad. ¿De cuántas maneras pueden disponerse los 10 mandatarios, si los presidentes del Perú y Ecuador por voluntad propia no desean pasar juntos. Resolución: La cantidad de formas en que se pueden ubicar los 10 presidentes, sin que el de Perú (P) y Ecuador (E) estén juntos, se calcula restando at total de for mas en que se pueden disponer los 10 presidentes (P,o = 10!), la cantidad de formas en que los pre sidentes de P y E estén juntos. En este caso, se considera a P y E como un solo elemento, habría 9 y las formas de disponer sería 9!, pero también se puede tomar ei orden E - P. con el cual también habría 9! form as.Luego la cantidad pedida será: 10! - (9! + 9!) = 10 X 9! - 2 X 9! = 8 X 9! 44. Seis compañeras de la Universidad se encuentran en un evento tecnológico. Determinar, ¿cuántos saludos se intercambian como mínimo, si 2 de ellas están reunidas? Resolución: Considerando que cada persona que asiste al evento, saluda a los demás, se calcula la cantidad de formas en que se pueden agrupar de dos en dos, esto es: C® = 15 formas, pero como ya hay 2 reunidas, ellas no se han saludado en el evento. Como minimo el número de saludos será: 15 - 1 = 14 45. La compañía de teléfonos desea averiguar cuántas lineas adicionales puede instalar en la serie 531, si se sabe que hasta el n:ô^:ênto no ha usado 2 cifras para las últimas 3 casillas y 5 para la cuarta casilla. Observación: El número telefónico dispone de 7 casillas. Resolución: Realizando el gráfico correspondiente a ios núme ros telefónicos con 7 caracteres. 5 3 1 i 5 4. 2 i 2 4. 2 Del esquema, la cuarta casilla podrá ser cualquiera de las 5 cifras no utilizadas, y las últimas 3 casillas podrá utilizar las 2 cifras que no se han empleado hasta el momento. De aquí 5 x 2 x 2 x 2 nos da la cantidad de nú meros de 4 cifras, existiendo una línea telefónica adicional por cada número de 4 cifras, n.° de líneas teléf. adicionales; 5 x 2 x 2 x 2 = 40 46. En un programa de concursos en la TV se presen ta un juego que consiste en abrir 4 puertas con tando con un juego de 7 llaves. ¿Cuántos intentos como máximo dispone un participante para ganar el premio? Resolución: Al tratar de abrir la primera puerta, podrá realizar 7 intentos, uno por cada llave que tiene; como s© desea el mayor número de intentos posibles enton ces la primera puerta se abre con la llave de lugar 7. Para la segunda puerta, tiene 6 llaves posibles (ya no se considera la que abrió la puerta anterior) y podrá realizar 6 intentos como máximo y para este caso abrirá la segunda puerta con la llave de lugar 6, y así sucesivamente. El mayor número de intentos será; 7 x 6 x 5 x 4 = 840 47. Un turista europeo desea realizar un tour en el Penj. Para tal efecto ha contactado con una agencia de viajes: la cual le ofrece una estadía en 8 ciudades, 5 de la región andina y 3 de la región costeña. Pero por el tiempo del que dispone dicho turista solo de sea visitar 6 ciudades. ¿De cuántas maneras puede seleccionar dichas ciudades a visitar, si 4 ciudades andinas son punto obligatorio de visita? Resoiución: El turista puede viajar a 4 o 5 ciudades andinas, luego se tendrá los posibles casos; • Viaja a 4 ciudades andinas y 2 ciudades coste ñas. C !x C | = 5 x 3 = 15 * Viaja a 5 ciudades andinas y 1 ciudad costeña CjXC,^ = 1 x 3 = 3 El total de formas que el turista puede seleccio nar las ciudades que va a visitar será: 1 5 + 3 = 1 8 48. En una reunión entre 5 compañeros de colegio que se encuentran después de 10 años de haber egre sado, ellos van acompañados de sus respectivas esposas. ¿De cuántas maneras pueden disponer se en una mesa circular si siempre deben estar hombres y mujeres en forma alternada? Resolución: Sentando primero a las esposas, alrededor de la mesa circular, se tiene Í5 - 1 = [4 = 2 4 . Luego, quedan 5 lugares alternados para que se sienten los varones y esto se realiza de [5 = 120. El total de formas diferentes obtenidas es: 24x 120 = 2880 Determine una expresión equivalente al simplificar 49. 2 '’ [( 2 n ) ! f ( 4 n )!!(2n -1)!! Resolución: • (2n)i! = 2 x 4 x 6 x 8 x ...(2n) De otra forma: (2n)ü = 2n(n!) • (2n - 1)1! = 1 x 3 x 5 x 7 x ... X {2n - 1) De otra forma: {2n - 1)!! = — 2'’ -'ín -1 )! • (4n)*! = 2^"{2n)5 Reemplazando nos queda: 2 l(2 '')!f 2"(2n!)2" n - 1)1 (2 n -1 ) 2""(2n - 1)! 2'"(2n)!x , 2 - '{ n - 1 ) 2"(2n)(2n- 1 )!2 "-\n - 1)1. 2^72 n - 1)! 2"{2)2"-'n(n-1)! 50. 2^"n! = ni Cuántos números pares y mayores que 5 x 10^ se pueden formar con los dígitos: 1,2,3,4, 5, 6, Si no hay repetición de dígitos? Resolución; Dígitos a usar: 1. 2, 3, 4, 5, 6; los números pares mayores que 500 000, que se pueden formar con dichos dígitos, necesariamente tienen que empe zar con la cifra 5 o 6. Es decir, los números son de la forma: 5abcde o 6abcde Caso (1) Sabcde Se puede Por ser par, solo pue perm utar de tomar 3 valores de 4! = 24 maneras =» Cantidad de n.‘ : 1 X 24 X 3 = 72 Caso (2) 6abcde Similar al Como la 1.® cifra es par, e caso (1) puede tomar sólo 2 valores => Cantidad de n.° = 1 x 24 x 2 = 48 La cantidad total de n° pares mayores que 5x10® es: 72 + 48 = 120 puede acomodar si la condición es que tres libros específicos Jamás deben estar juntos. Resoluctón: El número de formas en que se puede ordenar los libros es: Pg = 9! El número de formas en que se pueden ordenar los 9 libros de manera que 3 de ellos siempre estén juntos (los 3 hacen como un solo elemento) es: P; = 7!, pero entre los 3 se pueden permutar. ^ n.° total de formas: 7! x 3! Lo pedido es: 9! - 71 x 3! = 332 640 52. Timoteo se encuentra en el origen de un sistema cartesiano rectangular de ejes OX y OY. Él puede dar solo un paso a la vez, para el norte (N) o para el este (E). Cuántas trayectorias puede recorrer, si da exactamente 4 pasos? Resolución; Lo puede realizar de ia siguiente manera: Primer paso 2 formas Segundo paso 2 formas Tercer paso 2 formas Cuarto paso 2 formas Como: n.° de trayectoria o n.° de formas .-. n.° total de trayectorias: 2 x 2 x 2 x 2 = 16 53. Cuántos números de tres dígitos, sin digitos repeti dos, pueden escribirse con los digitos del conjunto {3; 4; 5; 6; 7; 8} Resolución; Dígitos a usar: {3; 4; 5; 6; 7; 8} Números a formar: abe *1'•i'4' n.“ de valores que puede tomar —*-654 Cuando "a” toma cualquiera de los 6 valores, en tonces, “b" puede tomar cualquiera de los 5 restan tes mientras que “c" solo podrá tomar cualquiera de los 4 valores restantes. Total de n.° de 3 dígitos: 6 x 5 x 4 = 120 54. Sobre una mesa se encuentran 10 bolas de fas cuales 5 son azules, 3 son blancas y las restantes de color negro. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar dichas bolas en fila? Resolución; Este problema corresponde a permutaciones con repetición, nótese que intervienen 10 elementos (5 bolas azules, 3 blancas y 2 negras). =» n.° de maneras diferentes en que se puede colocar dichas bolas en fila es: 10! 55312» 51. Salvador ordenará nueve libros en la repisa de su dormitorio. Determine de cuántas maneras los 10x9x8x7x6x5! 51x6x2 55. ¿De cuántas formas diferentes se podrían sentar en una fila de 7 asientos, 4 hombres y 3 mujeres, de tal manera que las 3 mujeres siempre estén juntas? H, Resolución: Teniendo en cuenta la teoría de números comple jos, Sabemos que: (1 + / 3 i r = CS + C Í ( ^ i) + C l ( ^ í 3 i f + C5(/3i)^+ H. Se considera como un solo elemento. C 2 (/3 ir+ C ; { i 3 \ f + ... + c : ( / 3 ir (1 + / 3 i r = Co + -/S iC '-a C j -3-/3ÍC3 + 9C4+ 9 -ÍZ \C¡ - 2 7 C I - •/3ÍC? + ... El n.° de maneras en que se pueden sentar, tal que ellas 3 siempre estén juntas, viene dado por: Pj = 5! = 120 Pero entre ellas puede haber intercambio de posi ciones y como son 3, entonces, el n.° de maneras de intercambiar asientos entre ellas es: Pj 3! = 6 Agrupando parte real e imaginaria: (1 + /3 i)n = (CS+3C2 + 9CÜ-27CS+...) + ( ^ C "-3 /3 C 3 + 9/3C 5-27y3C ; + ...)i ...(a) Ahora, sea Z = 1 + /3i; lo transformemos a forma trigonométrica. Se puede escribir: Lo pedido viene dado por: 120 x 6 = 720 56. Determine el coeficiente del término desarrollo de: (x^ -i- y'® en el + Z" = (1 + /3i)'’ - 2 '’(c o s ^ + is e n í^ ) Z" - (2'’co sí^) + (2"sení^)i 2^sen^ = /3(C" - 3C^ + 9C^ - 27C? + .,.) De aquí, despejando el paréntesis: Coef. pedido: C f c;* - 3C^ + 9C^ - 27C? + ... = - ^ s e n i^ 57. Hallar el término de mayor valor en el desarrollo de 1 1 ','00 12 + 2>') ' cuando: x = 1 59. Hallar el término independiente de x en el desarro- Resolución; 1 Resolución: Supongamos que el término independíente ocupa el lugar k + 1 - t , „ - C?"x^''-^(-x r Reduciendo: t , ., = C ^(-1 )V "-^ '‘ ...(a) De aqui; 3 n - 3 k = 0 « n = k (i+x)"^° Como todos los términos del desarrollo de (1 + x)'“ estarán multiplicados por (1/2)'°“, bastará calcular el término de mayor valor numérico en (1 + x)’'“ , teniendo en cuenta lo siguiente: " 1 t. Luego, de (1 + x)’™ Cioo^. t,., = C ^ x ‘ ; t, = C’“ x^-’ > 1 100 1 C;"_',x' k -1 100- k+ 1xc;°°,x Degradando: > 1 f'lOO '-'k. 1 101 ...(p) De (a) y (P), igualando partes imaginarias, se tiene: Coef. De aquí: 40 - 2k = 28 Ì . _ _ 3k = i s r “ ® Para x = 1 ^ Z = 2 (cos§-usen f ) Luego, aplicando la ley de Moivre: Resoiución: Supongamos que el término en x^® y’®ocupa lugar k+1; □e; (x^ + y')'“ Se puede escribir: hOO x2~ (l50f 58. Calcular: C !|'- 3C3+ 9Cj - 27C5 + ...; n e IN Resoiución: Supongamos la distribución: Hi Término de máximo valor = 1 = k < 50,5 En (a); t„. , = C r(-1 )" 60. xr. TI de x: (-1)" l3n l2n la Siendo n un número positivo, hallar el valor de T - ^ [c s "-c r+ c r-c ^ "+ ,..+ c ::i Resolución; Sabemos que: i^ = -1 ; i"* = 1, además (1 ± i)“ = -4 Podemos decir que para todo k hasta 50 se cumple que tk-1 tu, por tanto, el término de máximo valor es de lugar 51, Luego, para: t = 51. x = 1 Calculemos los desarrollos siguientes: f1^1 = Vr'°° — [100 en — l^ x [5 0 Sumamos miembro a miembro: (1+ i r + ( i - i r = 2 f c f + + c y + . . . + c:"í"'’] (1 + = C j" + C f ^ + C f + C f i ’ + ... + CT/" (1 - ¡ r - c r - c r i + c^p-c3^''i"+ ..- + c ::i^ (1 + ¡ r + (1 - i)'" = 2[c^" - + cT - c r Llamemos P (-4)" + (-4)" = 2p ^ 2(-4)" - 2p De aqui: (-1)" x 4" = p Reemplazando en lo pedido: T = TíTÍ(-'')"x4"] = ( - i r 4 =^TI: 2 4 - 4 k = 0 = k = 6 TI = t, = C^2V = 28X4 = 112 c:^] 65. En (x + l + I + i +^1 , halle la raíz cua drada del coeficiente del tercer término. Resolución: ■^.T = { - ^ r 61. Hallar el equivalente de: C ix (1 - X )"” ' + 2C2X^(1 - X)" ^ + ... + nClilx" Resolución Degradación de Índices: Ck = ^C^rJ K Aplicando en el problema: nCS” ’x(1 - x)"’ ' + nC"’ V(1 - x)"’ ^ + ... + nC":Jx'' Factorizamos nx y ordenamos: nx[C5’ (1 - x r ' + c r ’(1 - x r ' x + . . . + C ":lx"-’] Observe que la expresión dentro del corchete es el desarrollo de: [(1 - x) + x]" ’ ’ =» nx(1)"’ ' .-. nx 62. Si los coeficientes binomiales / \X 4 \ 2 / 4 VU ~^X equidistan de los extremos en el desarrollo de un binomio elevado a un exponente n g IN. Halle el valor de x. Resolución: 4 Si los coeficientes X' - X I 2 x -2 equidistan de los extremos en el desarrollo de un binomio. Se cumple que: (x^ - x) + (2x - 2) = 4 => x^ + x - 6 = 0=»x = 2 V x = - 3 Como: (x^ - X ) G IN A (2x - 2) g Dí =»x = 2 63. En (2a - se cumple que: -p = 1, además en: (2x + (x + 7)^' + (-7 - x f - 2 f " el término inde pendiente es 64, Halle (a + n)"; donde: a > 0; n G IN; t.,: término enésimo Resolución: En (2a - a^)8 - ts = t, (2af(-a^)^ 3i => - 8a'^ = - 32a" v a > 0 = » a = 2 En; [2x + (X + 7 f + ( - 7 - x f ' - 2f" = [2x - 21®' TI = 64 = (-2)®" = 2®" = 2® ^ 6n = 6 ^ n = 1 (a + n)" = 3 5 64. (2a)^(-a^)^ = En: |2x + —| , halle el término independiente. Resolución: De 2x^ + X t,., = C®(2x^)®-Û , En: (x + 7 110 iC oiflT = 66. => Coef t, = 45(X! = 10 l í = 4 5 il l2. 21/5 Encontrar x, sabiendo que el término central de 1 es X+ — , además; x > O X 4 Resolución: En el desarrollo de ^x + ^ j ; t'C^nirdl Pero, como hay 9 términos ■X\'' .. x = 2 ,4 t,■central (t) 67. Un coleccionista de artículos precolombinos ha Ido a exponer sus mejores cerámicas Nazca. Dicho coleccionista ha decidido presentar 8 cerámicos de los 10 de su colección. ¿De cuántas maneras puede seleccionarlos. 5/3 de ellos no pueden faltar en la exposición? Resolución: Sean los cerámicos A, B y C los que no pueden fal tar en la exposición, como se ha decidido presentar 8, entonces quedaría por seleccionar 5 cerámicos de los 7 que quedan; esto viene dado por; . — 7x6 1 x2 68. Un agente vendedor de productos farmacéuticos de primera calidad visita diariamente 5 farmacias en el Centro de Lima. Para no tratar de dar prefe rencias a uno u otro establecimiento ha decidido alterar el orden de sus visitas. ¿De cuántas mane ras puede hacerlo? Resolución: La primera farmacia que visite el vendedor, pue de ser cualquiera de las 5 indicadas (5 formas de elegir), la segunda solo puede ser elegida de los 4 que han quedado (4 formas a elegir) y así sucesi vamente. Ps = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 69. En un simposio organizado por la Municipalidad de Lima participan 4 alcaldes del Cono Norte y 3 alcaldes del Cono Sur, los cuales están ubicados en una mesa rectangular dando de frente al público asistente. ¿De cuántas maneras pueden disponer se los alcaldes, si los burgomaestres de un mismo Cono no pueden estar separados? Resolución: Según el enunciado, los 4 alcaldes del Cono Norte deben sentarse juntos, a la derecha o a la izquierda de los 3 alcaldes del Cono Sur que también están juntos. Habría 2 formas en que pueden ubicarse, pero a su vez, los 4 alcaldes pueden ordenarse de |4_ = 24 formas diferentes y los otros 3 alcaldes se ordenan dejs = 6 formas. .-. El total de formas es: 2 x 24 x 6 = 288 (1 + 5)"’ \ luego nos quedará: —^ [(1 + 5 f - ’ - c " :,'¡ = n + 1’' " ‘ n+ 72. 71. Sumar: 5C3-i- 2 5"C^ , ---- + ------ + 3 4 Resolución ( x '" - (x " + x - " )" " = - ^ + 1 = 2n + 1 Luego: t, = t^,., = Por condición: = |4n [2n [2a |4n _ Í4n [2n l2n I l2 - n l5 n - 12 => 2n = 12 - n A 2n = 5n - 12 L = c^:' - c:® 73. n= 4 Hallar el equivalente de: ^ Cí 2C^ 3C3 4C4 nC" S = - ^ + —^ + ^ ^ + —^ + ... + — ^ 3 3' 3' 3" 3" Resolución: Degradación de índfces: Aplicando en lo pedido se tendrá: o nC27—+, , nCp_i — O_ —-------H------ ?----^----3 3^ 3^ 3" Extraemos (n/3) y ordenamos asi: c r v c n i ) ^ c r ’U )+ ...+ c -í(¿ ) La expresión en corchete es el desarrollo de +■3j - ®^ i ( l í ’ 74. Hallar2n en:(C:C"2C3...C;;)(1!2!3!... n!)^ = (40 320)® Resolución: Reduzcamos e! primer miembro; (C?C2C3...C")(1!2!3! ... n!)^ _ n! n! ni 0,„x(1!2!3l...n!)^ (n-1)!1! (n-2 )!2 l Aplicando proceso inverso a ia degradación de ín dices se tiene; {n\f ^ ^ [ C r 'x 5 + C2''x5‘ + C r'x5^+ .., + Cn;;x5"’ ’¡ ( n - 1)!(n-2)!(n-3)!,..1! X 1!2!3!.,.(n - 1)!n! =» (n!)" x n! = (n!)" ' ^ Luego, tendremos; (n!)" ' ’ = (40 320)® PQro: 40 320 = 8! (n!)" ' ' = (8!)®n = 8 2n = 16 Sumamos y restamos: 1 = CS*'=C"Ti ... + c :;!Íx5 '’ * '- c : ; ! í ] Observe que la expresión en corchete exceptuan do el último término, viene a ser el desarrollo de '" + 2 ) '" = [(x " + x - " ) f ' Lugar de +I!_L4c>5"^ n+ 1 " ^ ^ 1 c" - ' + c r ' X 5 + c r ’ X 5 ^+ c r ’ X X Sea te es el término central. 5""'C" H---------2n+1 Resolución: Multipliquemos y dividamos por (n + 1). Además ordenemos convenientemente. 1 n+ 1 CaX5 n Í c í x 5^ + ^ ^ ^ C 2 x 5' + n+ 1 1 Señale el valor del término central en el desarrollo de (x^" + X ^" + 2)^" si se sabe que es equivalente a: [4n |12 - n |5 n - 12 70. Se han matriculados 5 caballeros y 7 señoritas en el curso inicial de Química, en el cual las prácticas se dan en el laboratorio. En dicho laboratorio se deben formar grupos bipersonales, necesariamen te formados por un caballero y una señorita, ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dichos grupos si un caballero decide no trabajar con 2 de sus compañeras? Resolución: Sea el caballero señalado como A, se presentan los siguientes casos: a) Si A no forma del grupo, se debe elegir un caba llero de 4 posibles y una señorita de 7 posibles, esto es: 4 x 7 = 28 formas b) Si A forma parte del grupo, falta elegir a la se ñorita que acompaña a A, pero no elige a 2 de sus compañeras, sólo lo hace de 5 posibles, existiendo 5 formas. De (a) y (b): 28 + 5 = 33 es el número total de formas para seleccionar los grupos. 1 75. Hallar e! término independiente de x en el desarro- Resolución: Supongamos que el TI de x ocupa el lugar: k + 1 l. 2[n - (n - 1) In - 1 = [n + |n - 1 ; n e S” II In + 1 De aquí: t,_, = 1 | la in__ +1 111. ¿ kin ^ In + 1 - 1 k 1 1 8 -3 k Resolución: Por ser TIdex =■ 1 8 -3 k = 0 ^ k = 6 I. 2ln_ - nin - 1 + In - 1 = 2(n - (n + In - 1 E n (l):t, = T I = C ' ( | f ( 4 f r, 76. Sean rn, n y p los coeficientes de tres términos con secutivos en la expansión de: B(x; y) = (x + y f Haliar: a, si: m + 2n + p = Ci“ Resolución: Los coeficientes de los términos en la expresión son los coeficientes binomiales. Si m, n y p son ios coeficientes de tres términos consecutivos, enton ces supongamos que: m = Ck: n = _i ; p = , 2 Entonces en el dato; C®+ 2C®, 1+ 2 =C?® â +1. ^3-1 ^30 pk3-t2 _ ^30 ^ ^k-1 ^ '^k.2 —^t2 ^ —^^2 De donde: a -1- 2 = 30 a = 28 77. Con respecto a las proposiciones siguientes, indi car cuáles son verdaderas; n In -r 1 'II. I n + 1- 1 h+1 - In + In - 1 n+1 1 n -I 1 |n + 1 1 1 kk - t i k ± S k=1 ...(V) ...(V) Ll + l i - [2 k-1 + l4 - (3 + ... + In + 1 - |n = ln + 1 - ll = In + 1 - ll ...(V) Todas son verdaderas. 78. Hallar el equivalente de: T = C" + 3Cj + 5Cj + 7C" + ... + nC„ Resolución: De la sumatoria se deduce que n es impar Apli cando degradación de ambos índices, superior e inferior, en cada número combinatorio, resulta; T = nCS ' + nCo’ ’ + nCj ' + nCg ’ + ,.. + n C ^j T - n { c s ' + c r ' + c^ V c r ’ + ... + c:¡:;} .-. T = n{2"-^} P R O B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI PROBLEMA 1 (UNI 2 0 0 1 - 1) En la suma combinatoria n /n - 1 S= , donde n ^ 3, n g IN 2 )^( 2 Al simplificarse se obtiene siempre: A) Un número primo C) Un número impar E) Un múltiplo de 4 B) Un cuadrado perfecto D) Un número par Resolución: Del problema: n (n -1 ) ( n - 1 ) ( n - 2 ) 1 S = ---- ^— + ------- g = .^(n - 1)(n + n - 2) el número de maneras en que puede elegir las 10 pre guntas es: A) 80 D)286 B) 220 E)316 C) 276 Resolución: Del problema: T o ta l- 13 menos 3) l 8 (las restantes) El número de maneras de elegir 10 preguntas será: C^xCf + C!xC6+C®xC^ =276 Clave: C PROBLEMA 3 (LINI 2 0 0 4 - 1) S = (n - 1)^, es un cuadrado perfecto Clave: 6 PROBLEMA 2 (UNI 2 0 0 3 -1) En un examen un estudiante debe resolver 10 pregun tas de las 13 dadas. Si tiene que contestar necesaria mente por lo menos 3 de entre las 5 primeras, entonces De 6 números positivos y 5 números negativos se es cogen 4 números al azar y se multiplican. Entonces, el número de maneras en que el producto resultará posi tivo es: A) 45 D) 480 B) 170 E )1080 0 330 Resolución: Para que el producto de cuatro números sea positivo, existen tres casos: dos positivos y dos negativos, cua tro positivos y cuatro negativos. 1.®'caso: C2XC 2 = 150 maneras 2.° caso: C® = 15 maneras 3.®' caso: C® = 5 maneras Total de maneras: 150 15 + 5 = 170 Clave: B PROBLEMA 4 (LN I 2 0 0 4 • II) En una exposición en el Museo de Arte de París, se van a colocar en línea 3 cuadros de Picasso, 4 cuadros de Rembrandt y 2 cuadoros de Van Gogh. ¿De cuántas maneras puede ser ubicados los cuadros, de modo que los de Rembrandt se encuentren siempre juntos? A) 288 D) 17280 B )1728 E) 36 288 C )2880 x 6! = 17 280 Clave:D PROBLEMA 5 (UNI 2 0 0 5 -1 ) Para elaborar un examen de 6 preguntas se dispone de un banco de 5 preguntas fáciles, 4 intermedias y 3 pre guntas difíciles. De cuántas formas puede elaborarse dicho examen si el número de preguntas fáciles debe ser estrictamente mayor que ias intermedias y el nú mero de estas a su vez mayor o igual que las difíciles. B) 60 E) 274 5 4 4 (D) 3 N.° Preg. intermedias N.° Preg. difíciles C^xC?xC^ = 4 C !x C 2xC ^= 30 C!xC?xC? = 60 C^xC^xC? = 180 Luego, el total de formas para elaborar dicho examen es: 4 + 30 + 60 + 180 = 274 Clave: E PROBLEMA 6 (UNI 2 0 1 2 - 1 ) El dueño de un concesionario automotriz desea vender todos los autos que le quedan, los cuales son de dife rentes modelos, pero en el salón de exhibición entran solo 3 autos, el dueño calcula que existen 210 maneras diferentes de ordenar la exhibición ¿cuántos autos le quedan por vender? B)5 0 6 C) 120 Resolución: Según el enunciado, disponemos de: 5 preguntas fáciles 4 preguntas intermedias 3 preguntas difíciles Debemos seleccionar 6 preguntas además se debe cumplir: E) 8 D)7 Resolución: Por condición del problema: 1.° 2.“ 3.“ n (n -1 ) (n -2 ) Para que los 4 cuadros de Rembrandt estén juntos, se toma como uno solo. Luego; Pg = 6! Además los 4 cuadros de Rembrandt pueden permutar se entre ellos; P4- 4! A) 30 D) 180 (A) (B) (C) A) 4 Resolución; Tenemos: p,, pj, P3 => 3 cuadros de Picasso R,, Rj, R3, R4 => 4 cuadros de Rembrandt V,, V^ => 2 cuadros de Van Gogh Finalmente: n.° de maneras = 4! N.° Preg. fáciles = 210 n = 7 autos Clave; D PROBLEMA 7 (LINI 2 0 1 3 • II) Un juego de azar (tipo lotería) consiste en elegir 5 nú meros diferentes de los primeros 30 números naturales. Cada persona que participa en este juego compra 26 jugadas diferentes. Calcule la cantidad mínima de juga dores que se necesita para ganar el juego. A )2349 D )6264 B)3915 E)7047 C )5481 Resolución: {1:2; 3; ...; 30} E: Cada persona elige 5 números diferentes Como no interesa el orden, sino el grupo de 5 números distintos: porejemplo{1; 3: 5; 7: 9}o{2: 4:10; 20; 25}..., esto se puede hacer de: C30^ 3 0 x 2 9 x 2 8 x 2 7 x 2 6 ^naneras * 5x4x3x2x1 Y como cada persona hace 26 jugadas, el número miniC^° mo de personas para asegurar el triunfo es: = 5481 Clave: C PROBLEMAS n 1. Indicar la suma de los términos máximos del deP 1 sarrollo de (a + b)" para: a = . ^ , b = - : ^ y n = 6 O ^ 32 A) 27 « S PROPUESTOS 8. Calcular la suma de: 2C- + 8C2+ 24C3+ 64C4+ n sumados E)N. A. « i 2. En la expansión de f |S ( m - „ ) ^ 2 ím .r vx‘ 2 (m . n) 9. el término cuyo coeficiente es 2C?8n” , contiene a x 3. B)2 10. Calcular el valor de k en el desarrollo de: (1 + de manera que el término genérico t,,,,, sea al mis mo tiempo mayor que los términos anteriores y posteriores en dicho desarrollo. B)84 E}51 A) 96 D)64 4. 0 3 E )5 11. 12. E) n+ 1 Sumar; + A) 2" ’ - 1 n+ 1 D) n- ci C2 2 + 3 D) 1 4 ■ n+ 1 n+ 0)8 Determinar la suma de los valores de n en (x^ - x y , para los cuales el desarrollo de la ex presión anterior admite solamente 8 términos ra cionales enteros. B)60 E) N.A. O 10 Señalar el lugar que ocupa el término de máximo Determinar el coeficiente del término del desarrollo de: ( 2x^ - A) 495 D) 520 4 (n + 1 )c ;^ 13. B)(n + 2)2"E) n2'' B) B)2 E)N.A. en el que los exponentes de x, y , z en ese orden forman una progresión aritmética. Sumar: C^ + 2C" + 30^ + 4 C 3 A )3 "-’ - 1 n- 1 Cuántos términos posee el desarrollo de (x^ + x Sabiendo que dos de sus términos consecutivos contienen a x" y x, respectivamente. valor, al desarrollar (5 + 3x)'®, cuando: x = 4 O B)4.° 0 9. E) 6.” E) N.A. C" E )(f)r A) 7.= D)3.^ c, f (I)' B if d í Efectuar: 0 (^ )6 ^ O 72 (M ^ r 6. B) A) 40 D)30 Haliar el coeficiente máximo del desarrollo de: A ) n2 ""' D ) (n + 1)2" ' Ai A)10 D)9 elevando al exponente 12n. Hallar el valor de A) 1 D)4 o C" n+ 1 O 3% 1 n -1 B) 34 E)N, A. C) 40 El coeficiente de x" en el desan"ollo de (1 - x f" es de la fonna:, , . Obtener el valor de (a + b + c), (bn)!(cn)! ' sabiendo que n es par. 1 2^C'¡ 2 ' 3 + C) 354 Si A, B y C son los coeficientes de tres términos consecutivos del desarrollo de (a + b)", los cuales cumplen: A + 28 + C - C^g. Hallar el número de términos de la expansión del mismo. A) 39 D)44 14. B) 201 E) N.A. 2 ^C? n+ A) 8 D) 10 1 C) 4 ''- 1 n+ 1 15. 8)2 E)6 ' 0)5 Señalar cuántos términos fraccionarios admite la 4 expansión de: A) 11 D) 17 B)2 E) N.A. 24. Indicar el coeficiente de x^^ en la expansión de: (1 - 2x + 3x^ - x V x')" C) 30 16. En la potencia de (2 + 3x^)", el coeficiente de x^“ es el cuádruplo del coeficiente de x^^. Señalar el número de términos de su desarrollo. A) 20 D) 44 8)31 E)38 C) 17 17. Calcular el valor de a en la potencia de; (^/x sabiendo que dos términos consecutivos del desa rrollo son de igual grado. A) 4 D)1 8)0 E)N.A. 0 3 B) 10 E) 13 O 11 19. Proporcionar el valor de x que verifica: ^ ^ 1 , 2 I 3 D)4 C , _ x+1 B)2 E)5 A )1 0 3 26. Si el desarrollo de (1 + x + x ) es: 3o + a, + a^x^ + ., + a^x'" determinar el valor que asume: 83 + a^ D )c " :í-’ E)cr.^ A )-1 D) -n o ,k p 2 n - 1 B)39 E)42 2 O 40 23x 12 E)N.A. C) 24 ■25 2n >4 , -1 E) N.A A) C f:V 8) C^" D )c ;;-’ E) c^"V 23x 12 (2n)l n!(n - 1)! gj (2n)! C) n!(n + 1)1 E) +1 0 )0 "^ " 31. Sumar: {C^,f + 2 { C l f + 3 ( C l f + ... + A) X 8) 30. Efectuar: (CJ)^ + (C?)^ + 3 { C l f + ... + n(C:i)^ O 1800 despreciarse. Hallar el equivalente de: 3 - 19x 12 01 E)n 2n A) I B) 180 E )1880 8) O C^ 8) O 0 4 23. El valor de x es muy pequeño, de tal modo que su cuadrado y demás potencias superiores pueden 17x x+1 Cn-K 29. Efectuar: S = £ ( | ) 22. Hallar el número de términos que se debe tomar del desarrollo de (1 - x)’ ^ para que la suma de sus coeficientes sea 820. 3 0 6 B )C ^ ^ ' 21. Al desarrollar (x® - 1)"(x" + x" + 1)'"(x' - 1)"", se obtienen 25 términos. Indicar la suma de los expo nentes de su desarrollo. A) 38 D)41 8)7 E)9 A)C"-^ dos términos cualesquiera pre 8) 3 E)6 A )1080 D )1008 0 32 llo de (1 + x)^ siendo n un número natura! no nulo. Hallar el valor de: Cjj —2C" + 3C2~ 4C3+ (-1)"(n + 1)C" 2 sentan igual grado. A) 2 D)5 B) 512 E)482 A) 672 D)384 28. Si Co,C",C2..-C" son los coeficientes en el desarro 21 20. Hallar el valor de a, si en la expansión de ( 3- u ^ + 25. En la expansión de (1 - 2xy^ + hallar el coefi ciente cuya parte literal toma la forma x^^ y^. 27. Efectuar: c " + c " - v c r ^ + 2C2-I- 3C3- I - ... + nCp =11 264 A) 9 O) 12 01 8)10 E)N.A. A) 5 D)8 18. Qué valor de n verifica: C^ + A )-10 D )-1 (2n + 1)! ( n - 1)!(n + 1)1 (2n - 1)l D) ( n - 1)!{n + 1)! (2n)! ni n! 32. Reducir: C^C^ + C"Cp,, + CjC ^_2 + ... + CoCo A ) c '" - " B)c™,," D) C -:; E) O c - j; 33. Reducir: CoCôo + C^Cgg’ ' + C2C9e'^+ ... 101 términos. V m > 100 A m G S" A)2C™ B) D)2C?Í E)2'^q 2"'Cl 0 2X^0 A) 271xV' D) 278xV° B) 276xV^ E) 280xV’® 40. Hallar número de {x -I- y + z + w)^ A) 16 D)18 términos B)20 E)21 O 277xV'^ del desarrollo: O 10 34. Calcular el valor de n, si se sabe que el desarrollo de contiene solo 15 términos enteros. A)21 D)24 B)22 E)25 0 23 41. Si en el desarrollo del binomio {ax® + bx°)", los tér minos de lugares (a + 3) y (b - 1) equidistan de los extremos, además la suma de todos los coeficien tes es 27, calcular la suma de todos los exponen tes de la variable x en su desarrollo. 35. Hallar ia suma de todos los elementos de la distri bución triangular con n filas. A) 20 D) 14 B) 18 E) 15 O 16 1 3 7 13 5 9 15 17 n'(n+ 1) 2 n"(n+ 1) 2 n^(n^+ 1) 36. B) D) 19 D) n^(n^ -H2n + 1) A) 103,103 D) 671,125 O (2m)l (ml)^ A) 27 D)30 C) n(n + 1) ’ A) 364 D)367 46. 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1)(2n + 1) 6 0 24 B)9 E) 15 B) 365 E)368 C) 366 Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones: A) FW D) FVF , ' 38. Determinar para qué valor de rt, aparece en el de sarrollo de (Va + ^/b + ‘‘/c f un término de la forma abe A) 12 D) 8 B)26 E)20 I. 1! + 2! + 3! = 6! II. Cl = C^ ^ x = 4 III. 31! = 720 n(n+ 1)(2n+ 1) ' C )266 45. Sea: P{x) = (1 + x) + (1 + x)^ + (1 + x f + ... + (1 -f- xy^ calcular el coeficiente de x^. n P n(n+ 1) B)232 E)418 E)0 C r ’ + 2 [C2 + C5 ' + ...+c¡] B) C) 408.408 44. Dado el binomio (x^ - y^")®, en la expansión un tér mino es de la forma a x 'H a l l a r el valor de: a + n Hallar el equivalente de A) B) 240,042 E) 362,362 43. Calcular el coeficiente de x® en el desarrollo de: (1 + x' + x y A )182 D)320 B) c ^ ; m! ( m - i; 42. Suponga que se quiere expandir la expresión (x + y + z)^’ . ¿cuál es el coeficiente del término x 'y V “? n(n + 1)^(2n + 1) Sumar (CS')' + ( C n ^ + - + ( C f A) m 37. 11 O 16 39. La suma de coeficientes del desarrollo: [{x^ + 2xy + / ) Y , es 2^“. Hallar el antepenúltimo término. B) VFF E) W F 47. Calcular el valor de n en: (n + 2)! + (n + 1)1 + ni (n+1)! + n! A) 3 D) O B)2 E)4 O FFV ^ C) 1 48. Calcular la suma de los valores de x que verifica la igualdad: C' = 2x A) 2 D)5 B )-3 E)0 0 4 49. Efectuar la suma: 3 ^ 101-91 ^ 9! - 85 8! 7! B)276 E)294 A) 270 D)290 58. ¿Qué valor asume n de manera que en el desa rrollo de (x" + el producto de bs términos centrales sea constante? 2! - 1' O! A) 1/3 D)4 C) 285 50. Calcular el grado absoluto del octavo término en el desarrollo de: (3x + A )12 D)16 B)17 EÌ13 C)15 51. Hallar eí término que contiene a x” en el desarrollo y. A) D) 620x'V^“ B) 580x'\^ E) 680x'V® C)610xV f^ - — IVI , propor52. En el desarrollo del binomio 3Va' clonar el término independiente A )4004 D) -4004 B )3003 E )6006 53. Sea el binomio | C )5005 + -^ j . Si la suma de los coefi cientes de los términos primero, segundo y tercero es 46, señalar el número de términos del desa rrollo, A) 8 D) 11 B)9 E) 12 C) 10 54. Hallar el término central en la expansión del binomlo: A)921x^ D)924x' B)920x E) 926x- 0 918X " 55. Determinar el número de términos que son fraccio narios en el desarrollo de: | x®- 2x^ + A) 22 0)25 B) 23 E) 26 | 0 24 56. En el desarrollo del binomio | x - / x , el coefi ciente del tercer término es mayor que el coeficien te del segundo término en 44 unidades. Calcular el término que no contiene x. A) 150 D) 165 B) 141 E) 180 O 161 57. Hallar: S = 3CÍ - 70" + 110^ + ... + (4n - 1)C[: A) 2'' n - 2" ■' 4- 1 C )2 "-' - 2 " n E)2"’ ' + 2"-^ + 1 - 2"+ 1 D) 2^n - 2" ■' C)2 E)6 59. Sabiendo que en la expresión: Câ"; 3C;a''’ '; S^Cja"-^ ...: SX" los términos que ocupan los lugares noveno y déci mo tienen coeficientes iguales. Hallar su expresión binómica de origen. A) { a + 3)'° D)(a + 3)'^ de: ( x^y-^ + - ' B) 1/2 B)(a + 3)” E){a- 3 ) ’^ O (a - 3)’' 60. Si se verifica que/i’'* 5 < 2.'5-x-oi4is92 calcular el número de términos del desarrollo de (a + b + o + 6)“. A) 28 D)72 B)32 E)81 0 56 61. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar con 10 rectas? A)210 D)96 B) 120 E)240 O 110 62. Salvador tiene que contestar 8 de diez preguntas en un examen. Si las tres primeras son obligato rias, ¿de cuántas maneras puede escoger las pre guntas? A) 45 D) 18 B)25 E)6 0 21 63. Determinar el número de planos que se pueden formar con 8 puntos sí se tiene que no hay más de tres puntos que sean coplanarias. A) 56 0)8 B) 72 E) 24 0)336 64. El asta de bandera de un barco tiene tres posicio nes en las que pueden colocarse una bandera. Suponiendo que el barco lleva 4 banderas (diferen tes) para hacer señales, ¿cuántas señales diferen tes pueden hacerse con dos banderas? A) 12 D)36 B) 24 E)72 0)30 65. Timoteo tiene que acomodar 6 expedientes uno sobre otro, si hay dos expedientes que no pueden estar en forma consecutiva, ¿de cuántas maneras puede acomodar los expedientes? A) 3600 D)480 B) 600 E) 120 C) 540 66. De un grupo formado por 7 hombres y 4 mujeres hay que escoger 6 personas de forma que entre ellas haya no menos de 2 mujeres, ¿de cuántas maneras pueden efectuarse la elección?. A) 641 D)371 B)115 E)420 0 271 B)60 E)720 (x" + 8)15 0 20 D)25 E) 75 69. Dos parejas asisten a un almuerzo con otros cua tro amigos solteros. ¿De cuántas maneras se pue den sentar alrededor de una mesa redonda, si los miembros de cada pareja se mantienen vecinos? A) 240 D)720 8)120 E)2880 0 480 70. Hallar el exponente de "a" en el término independiente de x, en el desarrollo de; i x" ■"/a r ' A) 1 8)2 0 4 D) 16 E)20 71. Hallar el término independiente de x en el desarro llo de; f 2 x ^ - - lí' A )7000 D )8020 B )7920 E )5890 0 4720 B)11 0 12 D)13 E)14 73. Si el único término central del desarrollo de (x + ) es de sexto grado, hallar el coeficiente de dicho termino central. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. A E D A 6 D 8 E C B 11. 12. 13. 14. 15, 16. 17. 18. 19. 20. B A A E E D D C E A de grado 9, ¿qué lugar ocupa el tér- mino de grado 17? A) 6 ° D) 8. B)5,' E)9.^ 0 4.° 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. C 0 C B A E D B B B 75. En una reunión hay 40 damas y 20 varones. Se desea elegir un presidente, vicepresidente, teso rero y un secretario. La condición es que el tesore ro sea una dama y el secretario un varón y nadie puede ocupar más de un cargo. Haliar el número de maneras en que puede elegirse ese grupo di rectivo. A) 2 644 800 D) 3 088 400 8) 2 844 600 E) 3 244 800 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. D A C D D C c B B B O 2 866 400 76. ¿De cuántas maneras tres argentinos, 4 peruanos, 4 chilenos y 2 bolivianos pueden sentarse, ordena damente, en una mesa redonda de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? A) 3456 D) 41 472 8)6912 E) 165 888 0 20 736 77. En un examen, un estudiante debe resolver 10 preguntas de las 13 dadas. Si tiene que contestar necesariamente por lo menos 3 de entre las 5 pri meras, hallar el número de maneras en que puede elegir las 10 preguntas. A) 80 D)285 72. Haliar el grado absoluto del sexto termino en el de sarrollo de; (x + 2y^)* A) 10 O 12 0 120 68. ¿De cuántas formas podemos pedir que nos sir van un cono de helado con dos bolitas diferentes o iguales, si en la heladería hay 5 sabores; vainilla, lúcuma, fresa, chocolate y limón? A) 18 B) 15 E)22 74. Si el sexto término del desarrollo del binomio 67. Se quiere seleccionar 5 preguntas de un total de 12, pero 2 de ellas no pueden escogerse a la vez ¿Cuántas formas existen? A) 286 D) 672 A) 20 D) 28 B) 220 E)316 C) 276 78. ¿Cuántas palabras de seis letras, que contengan dos vocales diferentes y cuatro consonantes distin tas, se puede formar con cuatro vocales incluyen do la “e" y seis consonantes incluyendo la “s", de manera que empiecen con “e" y contengan a “s"? A) 216 000 E)9600 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 0 C C D A D A D C B 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 8)3600 D) 10 800 E C 0 D D D B C B 0 61. 62. 63. 64. 65. 66. 87. 68. 69. 70. A A 0 D D D D B C A 0 7200 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. B D A B A E C B O Radicación D •H- a o o Gerolam o Cardano o Girolamo Cardano nació el 24 de septiem bre de 1501 y m urió el 21 de sep tiembre de 1576. Fue un m édico notable, adem ás de un célebre m atem ático italiano del Renaci m iento. un astrólogo de valía y un estudioso del azar. Este filósoío y destacado enciclopedista, fue autor de una de las prim eras autobiografías m odernas. En 1520, entró en la Universidad de Pavía y estudió m edicina consi guiendo excelentes calificacio nes. En prim er lugar, destaca por sus trabajos de Álgebra. En 1539 pu blicó su libro de aritm ética Prac tica arithmetica et mensurandi singulares. Publicó las solucio \talia.l5Dl-Italie, (576 nes a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su Ars magna. datado en 1545. La solución a un caso particular de ecuación cúbica x' + ax = b (en notación m oderna) le fue com unicada a través de Niccolò Fontana (más conocido com o Tartaglia) a quien Cardano había jurado no desvelar el secreto de la resolución; no obstante, Cardano con sideró que el juram ento había expirado tras obtener inform ación de otras fuentes por lo que polemizó con Tartaglia, a quien adem ás cita. Su libro sobre juegos de azar, Líber de ludo aleae, escrito en la década de 1560, pero publicado postum am ente en 1663. constituye el prim er tra tado serio de probabilidad abordando m étodos de cierta efectividad. Fuenie; Wihipedia <4 DEFINICIÓN Es la operación inversa de la potenciación que se pro pone hallar una cantidad llamada raíz, tal que elevado a un cierto índice nos reproduzca una cantidad llamada radicando o cantidad subradicai. "/a = r « r^ = A El valor algebraico de ''/a tiene n valores y va a ser igual al valor aritmético de "Va multiplicado por los n valores de "/T. Así: =+5 3/8 -1 + V-3 -1 - Elementos: I---------- ► Signo radical 1 " " ^ = r —►Raíz enésima Cantidad subradical o radicando Indice 1---------- ► <4 CLASIFICACIÓN Radicales homogéneos <4 RAÍZ CUADRADA DE POLINOMIOS Al extraer la raiz cuadrada de un polinomio este debe ser de grado par y debe estar completo y ordenado en forma descendente, de no estar completo se deberá completar con términos que contengan coeficientes iguales a cero. Se caracterizan por tener el mismo ¡ndice. El procedimiento es el siguiente; Ejem plo: • V s x V ; Radicales semejantes Se caracterizan porque además de ser homogéneos tienen la misma cantidad subradical. • E jem plo: • <4 HOMOGENEIZACIÓN DE RADICALES Para homogeneizar radicales se calcula el MCM de los índices, luego a cada índice se le debe multiplicar por la cantidad necesaria para que sea igual al MCM y para que no se altere a los exponentes del radicando se le debe multiplicar por la misma cantidad. • Inmediatamente después se baja el siguiente grupo de dos, de donde el primer término se divide entre el duplo de la raíz hallada inicialmente, obteniendo así el segundo término de la raíz, inmediatamente se le adiciona el duplo y a toda la expresión se le multiplica por lo mismo pero con el signo cambia do, colocando los resultados debajo del grupo de dos bajado inicialmente. • En seguida se forma ei duplo de la raíz hallada y luego se baja el siguiente grupo de dos, a partir de aquí se sigue el mismo procedimiento enunciado en el paso (4) sucesivamente hasta obtener un res to de grado inferior al de la raíz. Ejem plo: C= MCM(5: 6; 10; 3; 2) = 30 5x6^>c6y2x6j(6x5^^4.5y5 j^10x3j^7.3^3 Luego; C 3 x l0 /„ 2 x 1 0 ,,5 x 1 0 C= ^ 3O^j^20y5O30^j^15y45 E jem plos: 8 „2 0 .,5 „2 1 ..3 . j x , 1' ‘2 y, , 1-x ‘ 'y 'x ‘ 'y^ r c = Se coloca el polinomio debajo del signo radical (or denado en forma descendente y completo), ense guida se agrupan términos de dos en dos comen zando por el término independiente, al realizar esta agrupación siempre sobrará un término. A este término sobrante: se le extrae su raíz cua drada y así se obtendrá el primer término de la raiz. Con este primer término, primero se forma su du plo, luego se eleva al cuadrado y se pasa con el signo cambiado debajo del primer término del poli nomio anulando así dicha columna. ?vvy« - ■'* '' - y- 2(ioJx®y^) <4 VALOR ARITMÉTICO DE t N RADICAL Es la cantidad real y positiva, tal que elevada al índice del radical nos reproduzca el radicando. El valor aritmético es único, asi: /9 = 3 <4 VALOR ALGEBRAICO DE LN RADICAL Es una cantidad de cualquier naturaleza {reales e ima ginarios), tal que elevado al índice radical nos reproduz ca el radicando- 1. Hallar Jp . si: P(x) = 9x‘ - 12x^ + 22x' - 12x + 9 Resolución: JSx" -9x" - 12x^ + 22x' - 12x + 9 3x^ - 2x + 3 (6x' - 2x)(-2x) -12x'* + 22x' (6x^ 4x + 3)3 + 12x^- 4x^ 18x^ - 12x + 9 -18x' - 12x - 9 0 ., VP = (3x' - 2x + 3) 2. Hallar ÍQ, si: Q(x) = 49x® + 42x® - 61x" - 1 6x^- 5 Sumando (I) + (II); M + /B + M - Vb = 2Vx Resolución: Extrayendo la raiz cuadrada a tos polinomios: Elevando al cuadrado miembro a miembro: /49x^+42x® - 6 1 x ‘ - l 6 x ’ + Ox^ + O x - 5 7 x ^ + 3 x ^ -5 x + 1 -49x® (1 4 x '+ 3 x ')(3 x ^) 0 + 4 2 x ' - 61 x‘ (1 4 x ' + 6 x '- 5 x ) ( - 5 x ) -42x® - 9x‘ (1 4 x = + 6 x ^ -1 0 x + 1 )(1 ) 0 - 70x^ - 1 6 x ' + Ox^ 2 A + 2 V a ^-B = 4x Sea: ÍA ^ - B = C Luego: x = - ^ ; + 70x‘ + 30x’ - 2 5 x ' 0 + 1 4 x ^ - 2 5 x ^ + Ox - 5 -I4 x ’ - A + Vb + A/B + 2ÍA^~~- /B^ = 4x y = Reemplazando en (1) y (II); 6x' + l0 x - 1 (Ä ± M = 0 -3 1 x ^ + 1 0 x -6 r(x) -/Q = 7x’ +3x'-5x + 1 ± Donde: C = Va ' - B Hallar la raíz cuadrada de; A(x) = X®+ 4x®+ 10x" + 20x' + 25x' +13 c u a d ra d o p e rfe c to Ejem plo: Ve+ Veo Resolución; ^x® + 4x^ + 10x“ + 2 0 x ’ + 25x^ + Ox + 13 x^ + 2 x ^ + 3 x + 4 -X® (2x’ + 2 x 'K 2 x '') C = Va ^ - 8 = V64 - 60 = 2 Luego: + , [ S 3 = Is + J3 (2x’ + 4 x ' + 3x)(3 x) 0 + 4 x*+ 1 0 x“ - 4 x ' - 4x'* (2x^+ 4x^ + 6x + 4)(4 ) Regla práctica: 6 x'' + 2 0 x ' + 25x^ 6x - ''- 12x ’ - Va + b±2Vib = Vi±Vb 9x^ 8x^+ 16x^+ O x+13 Ejem plos: - 8 x ^ - 16x^ - 2 4 x - 16 ^7 + 2/12 =V4 + V3 = 2 + V3 -2 4 x - 3 •/Ä = x^ + 2x^ + 3x + 4 4, A 4x3 4+3 V7-2VÍ2 = V4 - V3 = 2 - V3 Si el residuo de; ^(x+1)"+4(x+1)^-2(x+1)"-11x es equivalente a (ax + b), calcular ab. 4+3 ‘ Resolución: 4x3 V8 + V6Ö =VS + 2VÍ5 =V3+V5 Haciendo x + 1 = a. se tendrá; JaV4a^-2a^-11(a-1) -I a“ +4a 2a^ - 11a + 11 -a" a^ 4- 2a - 3 (2a' + 2a)(2a) (2a' + 4 a -3 )(-3 ) 4a 2a^ -4a^ - 4a^ -6a" - 11a + 11 6a^ + 12a - 9 r(a) = a + 2 a+2 =s r(x) = x + 1 + 2 = x + 3, pero: r(x) = ax + b Por dato: a x + b = x + 3 = a = 1 A b = 3 ab = 1x3 = 3 <4 mNISFORMACIÓN DE RADKAUS D O B lfS A SUMA O DIFERENCIA DE RADICALES SIMPIES O SENaUDS Prim er caso: Asumiendo; VA + VE = Vx + /y /A-M = Vx - / y 3x5 32 1,1 22 A 2^2 Ejem plos: 1. Obtener un radical doble equivalente a: S = JlW T T W - ^ h ? + J2B8 Resolución: Escribiendo el segundo radical como raíz cuadrada; ÍzIt + T W - ^288 Para aplicar la regla práctica, el radical deberá ex presarse como: S = ^ V 7 + 2 M - J V i 7+2VT2 =^2(V3+V4)- VVl+VÍ ?+4 Va ± / b 5 ^ 3x4 8 ^ 8 x9 S - j2(2 + Vf)--Í2V2 + 3 ...(I) S - V4)2/3" ...(II) 3 ^ V3 + 2 V2 = (V 3 + 1)-(V 2+ 1)-V 3 -V 2 3^1 2 Í T 2x 1 Agrupando de la manera indicada. E = x^{x'-1) + (x^+x + 1 )(x '-x + 1) E = x^(x-1)(x^ + x + 1)+ (x^ + x + 1)(x^-x + 1) Elevando al cuadrado y sacando raíz cuadrada: S= = ^ 3 - 2 / 6 + 2) S= h -2 l6 2. Efectuando los dos primeros paréntesis y los dos últimos; E = (x^+ X + 1){x^-x + 1) Reemplazando; Calcular X en: ■ ¡X + 4 4 + 14/x - 5 + -/x + 59 + 16Vx - 5 = 17 Resolución: Dándole forma a los radicales para aplicar la regla práctica: Q = ^x"* + x" + 2 + 2 ^x + 44 + 2/49(x"^5") +^x + 59 + 2/64(x-5) Sum a U§ Producto + Suma =» Vx - 5 = 1 Segundo caso: -/a + Vb + Ve + Vd = Vx + /y + Vz Donde a, b, c y d serán los datos: x, y, z serán las incóg nitas a determinar, esta se hará medíante transforma ciones que conduzcan a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, cuyas soluciones darán (valga la redundancia) los valores de x, y. z. x=6 Hallar (a + b) en: ¡2 V/5 + 2 + J Í Í ~-~2 /a - Vb Ejem plo: VV5 + 1 + /V T -1 Resolución: Elevando al cuadrado el numerador: U ^ = ^ { Í J Í +2 + n í ^ f = J 5 + 2 + - Í 5 - 2 + 2Í W Transformar a radicales simples; Vi2 + V84 + V24 + / ^ ^ N^= 2V5 + 2 = 2(V5 + 1) =» N = V2 VV5 + 1 Elevando al cuadrado el denominador: D ^ = ( / V ^ + J V ^ } ^ = V 5 + 1+V5-1+2V4 D^= 2V5 + 4 = 2(V5 + 2) => D = / 2 VV5 + 2 Reemplazando; V2 V 2 /7 r7 i = Vi - Vb V2 V/5+2 Multiplicando por el factor racionalizante (Vs - 2) en el radicando; V2 (V5 + 1) (V5-2) = ^ - Vb (V5+2) l(/5 - 2) V2 (V5 + I) (V5-2) = Va - Vb (V5 + 2) (V 5 -2 )l Resolución: Sea: Vl2 + V84 + V ^ + V ^ Elevando al cuadrado miembro a miembro: 12+V84+V24-HVM=x+y+z-f2/xy+2V«+2/^ 12+2V2T+2/6+2/Í4=x+y+z+2/)^+2V3E‘+2/yz De donde; +z= xy = xz = yz = 12 21 6 14 ..,(1) ,..(11) ...(III) ...(IV) Resolviendo (II) (III) y (IV) que verifiquen (I) se tendrá: x = 3; y = 7; z = 2 Vl2 + Vá4 + V^+V 56 = V3 + V7 +V2 Forma práctica: ^ + b + c + 2Váb+2Vic + 2Vbc = J(Va + /b+Vc)^ = Va + Vb + Ve i- V 5 ) = Va - Vb E jem plos: / 6 - 2V5 = Va - Vb 1 5+1 i 4. • 5x1 V5-VT = Vi-Vb a+ b= 6 a= 5 A b= 1 Transformar en radicales sencillos: Q= + 1) /. Q = Vx^ + x+~1 + Vx^-x + 1 7 + 2 / x ^ + 8 = 17 3. X P roducto Producto + 764 + V(x - 5) = 17 2Vx - 5 = 2 + x + 1) (x^ - Sum a + x H 2 + 2Vx® + xÑM Resolución: Sea: E = x* + x‘ + 1 Haciendo un artificio se tendrá: E = x®+ x“ + 1 + x^- x^ '/1O+V24+V6O+V4O = ^0+2V6+2VÍ5+2VTÓ 1 1 4 1 3+ 2+ 5 3x2 3x5 2x5 = V3 + V2 + V5 V14l 2V35 - 2VT4 + 2VTO = -V 7 + Vs + V2 i 7 + 2 + 5 5x7 l i 7x2 5 x2 Tercer caso: ^/a±Vb = x ± /y Donde: C = ^Va ^ - B (racional) Además; 4x^ - 3Cx - A = 0 ; y = x ^ -C Ejem plo: Resolución: ^Vi o -/T o8 = X- /To 30 ^/675 C = ^/100- 108 C=- 2 4 x U 6 x - 10 = O =. x = 1 y = 1 ^ -(-2 ) ^ y = 3 ^ h o --fm 6. Simplificar: V2 = 1 -/3 Racionalizando cada fracción tendremos: 18 ^ '/ 4 , 24 „ ^/4 _ 18^/4 , 24^/4 _ Es el proceso que consiste en transformar un denomi nador (o numerador) irracional, en otro racionai a través de un factor denominado factor racionalizante. Simplificar: ^ Factor racionalizante (F,) Resolución: Casos que se presentan Cuando el denominador es un monomio: en estos 8. V sxV ? Resolución; En este caso, racionalizamos el denominador y luego simplifícamos la fracción: Racionalizar: ^ 9. '/ iV Resolución: ) e De modo similar al anterior: A(F,) _ A(F,) ’/ ¡ V 3b abc®/3a^b ^/2^(3a^bc) A Racionalizar y2 AF F'2 A AFF La expresión racionalizada es: — ^ x^y abe ^¡2V \ ® /2 ^ \^ ^ V / ^c ^ 3^(5/4^) 2 Cuando el denominador presenta radicales de la forma *"/a ± *"/b ; para estos casos el factor racionali zante estará expresado por la conjugada del denomina dor que se empleará tantas veces liaste que el denomi nador quede transformado en una expresión algebraica racional. Ejem plos: Racionalizar: 1. Resolución: F, xy N 5 ^ 1 4 .,3 NR Racionalizar N /á + /b Resolución; NF, x^y Racionalizar: ’/54 N / i + /b 2. Resolución: 3 Reducir: V25a^bc Resolución: N /x ’ y 5,/Í2? yz‘ xzVl2x*'y®z^ 2xyz /xz®^3xV^z i 5^2^x^yz" Ejem plos: 3 ^/54 Reducir: x> z“ casos el factor racionalizante estará expresado por otro radical que tenga el mismo índice, pero cuyos exponen tes del radicando estarán expresados por la diferencia existente entre el índice original de la raiz y los expo nentes que afectan a sus letras. 3. +^ De manera similar al anterior: 15^/3 , = 5V3+2W W^/3 ^/3"/9 El factor racionalizante es una expresión irracional, tal que al multiplicar a otra también irracional la convierte en una expresión completamente racional. 2. VÍ6 Resolución: <4 RACIONAUZACIÓN 1. _ 3 p v ^ , _ , 4; ^ 5x3 30 /i- /b \ N /a/b\/á-/b , Kacionalizar: NF, a -b A '* /a - ‘'/b Resolución: V3^X2" ®/3"x2" Racionalizar: - 30 ■ /^ 3^/144 _ ^/Í44 3x2 A 2 Va - “Vb 3. ^/a - ■ ’/b \ ^/^ + “/b /\ /á 4- /b Racionalizar; N + ®/y a -b Resolución: N _ 8. N . Racionalizar y simplificar cada uno de los casos siguientes: 2/2 I 4. N Racionalizar: 3 /5 -/2 Resolución: ______ N /6 + /Í5 + /2 + 75 N . /2(y3 + 1) + y5(/3 + 1) N (/3 + l){/5 + /2) (/5’- 1 ) ( / Í - / 2 ) 5. /2 -/3 Í Racionalizar: I. ,— ^— V36+ 12(/2 + /3 + /6) ^36 + i2(/2 + /3 + /6) V e ^ e T ^ T fT iT fT iT f Í 2+ ^ ,,2 /3 + 3 /2 IV = (/5 + /2) + 8/5 2 /6 + 6 -6 -3 /6 - / 6 / 6 12-18 ^ -/5 /2 ( / 2 - /5 ) 1 .,/2 /2 /2 /2 2 /x-1 + /x+1 / x - 1 - /x + i Jé., ^ /6 ¡{1+/2)-/3] 2-/3F,^ x - i- x - 1 -/3F,, 12 " ~6~^ El denominador racionalizado es 6. Racionalizar: A = /2 -/3 ■ 2/3-S/2 2/3+S/2 : ~6{3 + 2 / 2 - 3 ] ' 6/2 ' Tf “ ñ 2 /10 + 4 3 -p ^ x ^ ^ Í^ +^ x ^ /5 - / 2 /5 + /2 5 / 5 / 5 M 2 /6.F,^ /2 2- Resolución: 2/2 ,./5 + /2 • /5 -/2 /5 + /2 2/6F,^ 2+/3_^ 2 -/3 VI. 2 /3 - 3 / 2 Analizando cada caso propuesto, tendremos que: Resolución: 6. /x - 1 - /x + 1 /)T- 1 + /x + 1 200 /Í25 NRMF,'2_______ NF^ F'2 _ ____ (3 -1 M 5 -2 ) 6 ____ 2________ 2 /6(/3+/2+1) /6((1+/2) + /3] /2 -/5 /4 -/ÍÓ IV. /5 -/2 _ x -1 + x + 1 -2 /)? ^ 2x-2/x^-1 ------------ T2 T2 a~í ^ ,,, (2+/3)^ ^ (2 -j3 )^ '''■ 'V(2-/3)(2+/3) ^(2 + /3 )(2 -/3) ^ + /3 -/5 4 -3 Resolución; Agrupando en el denominador de modo que la suma de los dos prin:>€ros radicandos (2 + 3) den el otro (5); F, 6 ,.{i/^J^)+J5] 6F, _6F, /6 A= (/2 + /3)-/5 [(/2 + /3 )+ ^l S+2/6-5 2/6 /6 A= 7, Reducir la expresión: 3/2 - 2 / 3 /Í0 - /6 + /5 -/3 Resolución: 1 3/3 + 3 /2 Resolución: 6/ 2 + 4/3 + 12/ 2 - 8/3 1 (3 /2 -2 /3 )(3 /2 + 2/3) 3(/3 + /2) 1 8 /2 -4 /3 Agrupando los dos primeros términos y facíorizando /2 en el denominador: 10/ 2 - 3/3 3 /2 { /5 -/3 ) + (/5 -/3 ) 10. Racionalizar: Q= 3/2 + 2 /3 Efectuando los dos primeros sumandos y raciona lizando el tercero: /6F, Racionalizar: Q = Q= 2 + /3 ^ 2 -/3 = 4 1 1 {■/5-/3)(/2+1),/5 + /3 1 /2 -1 2(1) /3 -/2 9 /2 - 2 / 3 (/3 - /2) /3 - /2 10/2 " 3 /x - y /x + y - / ^ y Resolución; Observando el denominador podemos determinar la respectiva expresión racionalizante: h - y /x T y - h - y h + y + h - y Vx + y + h - y 2. N Racionalizar: I Resolución: _ J - y'^ + X - y X + 11. y- x + X - y + Jx^ - y y^ N _ 6/b \ ^7^ + ^/b A Vi^ + 3 /^ + 3/b^ r 2y 12 Racionalizar: /5 + / 2 - - Í 3 3. Resolución: Agrupando y ordenando de manera conveniente los radicales del denominador; Resolución: P '/x -V y 12 /5 + (/3 - /2) 12(/5 + /3 - j2) v'5 - (/3 - -/2) ' -/5 + (/3 - /2) " 5 - (-/3 - -/2)' 12(V5 + /3 - /2) 12(/5 ^ Í 3 - - Í 2 ) 5 - 5 + 2/6 ” 2/6 ^ Racionalizar: 4. /6 M= f:r ^ --------(a + b)''^+b'^ (a + b)”^ + a''' Resolución: Racionalizando cada sumando: a(Va + b - v'b) b(â + b - -/a) + b -r /b)(â 4 b - /b) { l a T b + 7a)(â + b - la) _ aj-la + b - ■ib) a + b -b b(Va + b - /¥) a + b -a = /a + b - /b - Va + b + /¥ = /a - /b Cuando el denominador presente radicales de índi ce superior: para estos casos debe tenerse en cuenta las siguientes equivalencias algebraicas: a^ + b^= (a +b)(a^ - ab + b^) a"* - b^ = (a - b)(a^ - ab + b^) a® + b^= (a f b)(a‘‘ - a’b + a^b^ - ab^ + b“*) a^ - b' = (a - b)(a‘’ + a^b + a^b^ + ab^ + b“) - b^ = (a-b)(a^+a^b + a V -i- a^b’ + a^b'’ + ab' + b®) a^ + b' = (a + b)(a®-a^b + a'‘b^-aV+a^b‘'-a b ‘^+b®) E je m p lo s : 1. Racionalizar: A ^ /i + ^Vb Resolución: A / ■Q 1. PRR '1 '2 R 'Vio - 3/3 - ^/6 + V2Ò + V5 - VÌ2 Resoiución: Extrayendo factor común: ^/5 y en el denomi nador: _____________ 7_____________ (W + ^/4 + 1) - ^/3 (1 + ^/4 + V2) Simplificar: “ P Vx + /y Racionalizar = /6 (/5 + /3 -/2 ) = / ^ - . '18-/12 = / ^ + 3/ 2 - /2 12. 5. M= F. \/ F, 7 ’/2 + ^/4 + 1)(2/5 - ^/3)\ '/2 - 1A '/25 + '/Í5 + ^/9 M= RrR 1 r2 (2 -1 )(5 -3 ) 7R,1Fr2 Racionalizar: N = xVx + y^/x + ^/x V Resolución; Introduciendo x e y a los radicales respectivamente: N=-= — 4 — r = + ^/7 + ' W Haciendo: ^/x = a I a‘‘+a^bVb'' a ^/y = b 1 'a -b \/a + b ' (a^+ab+b^)(a^-ab+bV A a+b, N = a ^- b^ a '- b " AR PROBLEMAS Reponiendo x e y: N = x^-y^ R E S U EL TO S b Efectuar: V3 + /8 V3 + -/8 V/2 + 1 VVf 1 3 + /8 = 3 + 2/2 = ( / 2 + 1)^ Resolución; E= @ E = Í 3 + /S V3 + /8 NF,,F,^ ( /2 + 1 ) ( / 2 -1 ) = 1 = / 2 -1 = (/2 + 1)-1 ^■¡Í2 í jZ S ± jZ + 1®^(-/2 + 1)-' 2_2_2 I E - ( /2 + 1 ) " ’ 3’ 3’ ® E - /2 + 1 2. Dar el denominador después de racionalizar: E = _______ ^ -----------f\5 + 5. Resolución: p _ ( J T + JTÉ + J A - J T s j J ^ Resolución: ^ A + - Í T ^ + ■Í2 ^ {Ve + Z s f- /6 - /3 5 ) /2 Factorizando el denominador: 4 E= /5(/3 + /7) + /2 (/3 + '/7 ) E= « E= (/5 - /2 )( /7 -/3 ) 4 (/5 + /2 )(/7 + /3 ) ( / 5 - / 2 ) ( / 7 - / 3 ) ^ _ 4 {Í5 --Í2 ){^ --l3 ) 3x4 (Í5 - ■Í2){J7 ~-Í3) ' /5 + /3 + / 5 - / 3 6. 3 ^ =■ Vsx^ + s x /x '- 1 - 4 Si el polinomio P, definido por: P(x) = ax®+ bx®+ cx'‘ + 16x^+ 8x^+ 16, tiene raiz cuadrada exacta, indicar el valor de: a + b + c ^16 + 8x^ + 16x^ + ex' + bx^ + ax® -16 calcular: T = E(8) + E(6) + E(4) Resolución; 8x^ + 16x^- ex” + bx®+ ax® -8x^ - x“ E{x) = ¡ 8x^ - 4 + 2/4x^[4(x^- 1)] (8 + 2x' + 2x^)(2x^ ( c - 1)x% (b-4)x®+(a-4)x® = 0 4x' + 4(x" - 1) = 8x^ - 4 De donde: c = 1 A b = 4 A a = 4 a+ b + c = 9 E(x) / / 4 x ^ + Í4 p ^ T ^ 7. En la siguiente igualdad, determinar el valor de m. 2 E(x) = hx 1___ = ____ 3___ + ___ i ___ -r /II - 2 /ÍTÍ 3 __________ 3 , T - ( / 9 - / 7 ) - f (/ 7^; S) + (/5-J3) T = 3 - - /3 Si el radical doble: âx + by + Jxy(ab admite una descomposición en radicales simples. Determinar el valor de — . c Resolución: Acomodando el radical doble: J8~+ 4/3 - /iT i/lf = 4 3 / 6 +/2 1 = /5 + /2 + / 6 - / 2 = /5 + /6 /11 -2 /m 1 Je + Js = J6 - J 5 ^ /11 - 2 /r ñ = /11- 2 ^ 8. c 3 Luego; /by = (ax)(by) - ^ ( a b + c) =» 4ab = ab + c =» 3ab = c / 5- / 2Í / 5 + / 2 . /11 - 2/m = + ( . ^ ± ^ ^ 3(/5+/2)^ ^ ^ J 7 - 2 JÌÒ ( /6 + /2 ) ( /6 - /2 ) i a x + bY + ¡x y (ab"+ c) = Ja x + by + 2 j ^ ( a b + c) = /e + 4/3 J 7 - 2 JÌÒ Resolución; /x T i+ 7 jr n Luego: T = E(8) + E(6) ( E(4) 4. 4 + x^ + 2x (8 + x=)(x=) 16x^+(c-lK+bx*+ax^ -16x".., -4x^-4x® E(x) = E(X) = E= 2 ^ = 1 2/5 Resolución: Extrayendo la raíz cuadrada, pero en orden cre ciente por ser exacta. Sea la expresión: E{x) - ^8 + 2 J l 5 + /12 + 2/ 35 - / l 2 - 2 / ^ J f + J5 ~ (J7 - J5) Denominador luego de racionalizar: 3 3. - Í6- M Je + Í 6 + ITa + + U --/W Reducir: E = m = 30 Si el polinomio; P(x; y) = qx^ - 4x^y + x V + mxy^+ y® - 2xy^ es un cuadrado perfecto, determinar el valor de m + q. 12. Racionalizar y señalar el denominador racionalizado: Resolución: P = qx^ - 4x^y + x V + mxy^ - 2xy'‘ + y® Es un cuadrado perfecto, entonces; P(x; y) - [Q(x; y)]^ Identificando los términos de Q: P(x; y) = [/q x - xy + x^ + 3x^ + 2x + 1 x (^ ^ ) + x(^/x) + 1 Resolución; De la expresión, factorizando el denominador: x^ + x^ + 2x + 1 P(x; y) = qx^ - 2 /q x^y + x V + 2 /q xy^ - 2xy'‘ + y® De donde: - 2 /q = -4=» q = 4 Luego: m = 2/q=> m = 4 m+ q= 8 9. Simplificar la siguiente suma; S1 I 1 I 1 Í3 + W /5+2/6 / 7 + 4 Resolución; /T 1 S= /3+2/2 /5+2/6 S= / 2+ I /3 + /2 + 1 x^ + 3x^ + 2x+1 ( W ' f W + 1 )( 3 /í^ - W + 1) ____________ (x^ + 3x^+2x+1)____________ (WV/x'+1)[(x+1)-W][(x+1)^+W(x+1)+W^]{W-1) + .,,{n sumandos) /f (x^+3x'+2x + 1)(F,)(F^) _ (x^+3x^+2x+1)(F,)(F^) (x-1)[(x+1)'-x] (x-1)(x'+3x^+2x+1) F,.F„ Luego: ' ri’ r2 X -1 1 + ...(n sumandos) / 7+2'M 1 ■/ñ+i-/ñ /4 + /3 Cada fracción es de la forma: 1 /ir n - /k /im + /k ( / ¡ r r í + / k ) ( / k T i- / i< ) El denominador racionalizado es; x - 1 13. Transformar: / I 6 + 2 / ^ + 2/28 + 2/35 Resolución; Acomodando los radicandos tenemos; / l 6 + 2 / ^ + 2 / ^ + 2 / f ^ = / 4 + / 5 + /7=2+/5 + /7 = / k T l - / k ; k = 1; 2 ;...; n S = ( /2 - 1 ) + ( / 3 - / 2 ) + ( / 4 - / 3 ) + ... ... + {Vn + 1 - /ñ) s = /ñ + i - 1 14. Transformar: /a + 3b + 4 + 4/a - 4/3b - 2/3ab Resolución; Trabajando en los radicandos: J a + 3 a + 4 + 2 / 4 a - 2 / 4 ^ - 2 / a ^ = /4 + / a - / ^ 1 10. Racionalizar: M = 2+/a -/^ +1 15. Reducir: Jl0 + /Í5 + /21 - 6 / 1 0 - / 6 - 2 / 1 0 Resolución: El denominador puede escribirse: 1 M= 2 /7 + / - 1 Resolución; Transformando los radicandos: ^10 + / l 5 - / 6 + /2 1 - 2 / 9 0 - 2 /ÍÓ ■ ■ ■ ^ -3-1 2 1 ■/x(y - z) + /y {z - x) + /z (x - y) 11. Racionalizar; E = Resolución: Factorizando el denominador: 1 E= / x y - /xz + ( y z - J y x + í z x - ■ f z y E= E= 1_________________ J x y iiy - /x) + z(Jy - /x) - /i( /x + /y){Vx - /y) 1__________ = + /6 - = / i y ^ 2 7 r l - 2 ^ - 2/ÍÓ = /5 + / 3 - / 2 16. Reducir: ’/3xh-2+2/x^-1-2/?+3x+2-2/x^+x-2 Resolución: Factorizando los radicandos: j3x + 2 + 2/(x + 1)(x-1)-2/(x + 1)(x+ 2 y - /( x - 1 ) ( x ^ = /x”+ 1 - /x"+ 2 + /x - 1 17. Simplincar. /21 - 4 ./5+8/3 - 4/T5 Racionalizando (multiplicando por sus conjugadas) Resolución; Acomodando los radicandos; ________________ (/3 r-/7 )( /7 - /i) (- /i~ /^ ) (/í+ /7 ){ /7 + /l) ( /l+ /7 ) /2 1 -2 /2 0 + 2 /4 3 T Í2 -2 /4 ^ E= { í x + l y ) { { y + - í z ) ( i x + (z) (x -y )(y -z )(z -x ) 2/10 = / 2 1 - 2 / 4 ^ + 2 /tx Í2 - 2 /Í2 3 ^ = /Í2 - /5 + /4 = 2 /3 -/5 + 2 18. Si T es una expresión irracional definido por Je I 2 Tfi T = ------^ entonces al racionalizar! 2 + /6 + '/3 + /2 se obtiene; ■¡5 + 2~l6 2 + -Í6 + I3 + -Í2 Factorizando el denominador y descomponiendo el numerador; T = . E si E asume un valor real. Resolución: Elevando a la 12 en ambos miembros: Resolución: T = 21. Efectuar: J 3 + -Í2 12 ^ (/3 + /2 )(/3 -/2 )^ (/3 + /2)^ (/3 - J 2 f E'" = (/3 + /2)(/3 - /2)'‘ {/3 + /2)^ E'^ = {/3 + /2)(/3 - /2)(/3 - /2)^(/3 + ¡2)- J2 i ^ + J3] + { ^ + l 2 ) E’^ = (1)(1)' Z3+-/2 /2 - 1 (/3+./2)(-/2 + 1) / 2 - 1 .-. E = 1 T = 72 - 1 22. Reducir; 19. Simplificar: (/5 A= 1 Í5 Í 2)(/5 -- 3)(-Í45^- 9) ^ 13 + 2/ÍO {5 -2 /5 ){2 -/T 0 ) 5-/2 P = ^ 3 -/3 + V 2 + 2 /2 ^ + //2 -/T 2 + /l8 -^ 7 1 ^ Resolución: Resolución: Llamemos A a; , A - -/s + -//2 - 1 /(/5 -2 )(/5 -3 ){ /5 -3 ) , 13 + 2/TÓ /sN / 5 ( / 5 - 2 ) ( 2 - / ^ ) 5/2 _ 1 3(/5-3)^ , / 5 ‘'|/5 (2-/10) 13 + 2 /1 0 5 /2 2 /3 + /íe"+2-2/16x2 A= |3 + / / 2 - 2 / 3 + 4 V .'3-1 -/2 A - / 3 + / 3 - 1 = /2 + / 3 = / | + ^ 1 I 6 (7 -3 /5 ) 13 + 2 /1 0 \ /5 '^ /5 (2 -/Í0 ) 5/2 1 Entonces; P - ja - /3 + ^2 + 2 / 2 ( || j P = Í3 -W + -íT + 2 l3 + 2 20. Hallar el valor más simple de: _ _ ja(a^ + 3b^r+ (a^ -~b^) ■¡a^ â(a^ + 3b^)-(a^-b^)/a^-^ E+ 1 = /ab E-1 Resotución: Resolución: De la expresión transformada: E= E^ + 6a^ + 2 v(a + b)^(a g ^ ^(a + b)^ + ^(a-b7~ /(a + b)^ - i[a - bp Del dato: . b ;a b + J \ ^ a la b - l) ' 5 - /7 K Z /s T ly ) bf a -b / E= 7 K/34 / f ] U32 + 1 0 /7 -Í 8 +2 J7 E = ^/25 W + 2 / í ^ E = /5 + /7 - /7 - 1 = ab Por proporciones; ^ b ' E+1 E -1 a+b = /^ a -b a -b - I E ^ i( / l3 - / 7 - / 5 - / Í2a^ + 6b^ - 2/(a + b)'{a E+ 1 E- 1 /3 7 /3 + 1 23. Ejecutar: E = (J /fs - / f ~ - / s - / f )(^3 + /7 ! Siendo: V . ( f i J ) ( É ) ha^ P = h - ñ + 'lA + 2 ( z ^ P = .-. P = 2 -"7 T + 1 7 2 / 7 ^ E= 2 24. Reducir: P = 4 + 2^10 + 2 /8 ^ 2 /7 ab - 1■ Resolución: Transformando de adentro hacia afuera: h -2 Í7 - / 7 + I - 2/ 7^ = / 7 - 1 Resolución: Escribiendo como radicales dobles: Reemplazando en la expresión propuesta: P - j6 + 2-ilO + 2 ( l7 - 1) 2M - /11 - 2M + /13 + 2M 2/3 + 2/2 + /9 - 2/8 + /l2 - 2/32 E = /15 - p = ■ le V z J s + T W P = /6 + 2(/7 + 1) P = h + 2-¡7 25. Transformando a radicales simples: P = -/7 + 1 E = /T0 - / 5 - / T 0 + I + 2/2 + /5 2/ 2+2 + 2/ 2 - I + 2/2 + 2 Calcular el VN de un radical simple de: R(x) = h * + 2x^ + 6x - 3 + 4(x^ + x + 1 ) / x ^ para: x = 5 Reduciendo: E = Resolución: 29. R(x) = Jx“ + 2x^ + 6x - 3 + 2 /(4x - 4) (x^ + X ‘ (x^ +x + 1)' = x‘ + x' + 1 + 2x^ + 2x^ + 2x • (x^ + X + 1)^ = x“ + + X + 2x^ + 3x^ + 2x + 1 1)^ + (4x - 4) + 2 /(4x - R(x) = x^ + x+1 + V 4x-4 26. 4 ) (x' + X + ^ R(5) = /16 = 4 £^ / 5 2 - 2/27x25 1 0 -/7 6 + 2 / 7 ^ Transformando a radicales simples: 3/ 3 - 5 _ 3 / 3 - 5 E= 1 0 -5 /3 -1 9 - 5 /3 (3 /3 -5 ) /3 (3 /3 -5 ) Reducir a su forma más simple. M - ^6 + ^6 + ie"+ ... + Calcular: E = / 26- I 5/3 5 /2 -/3 S + 5/3 Resolución: Multiplicando y dividiendo por /2: R(x) = Í(xV2 x^+3x^+2x+1)+4x-4+2A4x-4){ x'+ x+1)' R(x) = ( 2/2 + 1) 3 (2 /2+ 1) /3 /3I/ 3 . -¡6 + ~ f h + 4 /2 + 7 30. Reducir: R = V/s - 2/6 ^//s + 2/6 /49 + 20/6 Resolución: M = J e + J e + i r + . - . + ’J e + ' J e + A l I + 7 - / 2' = >6+ ^ + J6 + ... + ^6 + /2 + /2 + 7-/2 2+J2 R - V(7S - /2 )C /3 + /2 )(5 + M ) R = ®J(/3 - / 2 f ( Í j + /2)(5 + 2/6) Desdoblando adecuadamente el primer factor del radicando: M = Je + ■/e + /e + T .T + T iT f" Así sucesivamente: M = /6 + 3 Resolución: La expresión puede escribirse: .. M = 3 R - Í(-Í3 - /2 )'(/3 - /2){/3 + /2)(5 + 2/6) R = ^/(5-2/6)(1)(5 + 2/6) 27. Calcular: E = //2 -l(/5 6 + 4 0 /2 -/3 4 + 2 6 /2 + /2 3 + 3 7 /2 ) Resolución: Multiplicando las raíces se obtiene: E = /56 /2 + 8 0-5 6-40 /2 -/3 4 /2 + 52-34-26/2 + /23/2 + 7 4 - 2 3 - 37/2 R = ®V25 - 24 = "/T R= 1 31. Si se cumple que: A** = ‘^xNx'Vx... ii además: A = ( V 3 x /3 ) ' ; según ello calcule x Resolución: E=/24 + 2 / Í ^ - / l 8 + 2 / l 6 ^ + /51 - 2 / 4 9 ^ Dato: A** = ’'/x “Vx Vx... E = /Í6 + / 8 - / Í 6 - / 2 + / ^ - / 2 E= 4 + 2 /2 -4 -/2 + 7 -/2 Por propiedad: A = Reemplazando el valor de A .-. E = 7 28. Calcular: £ ^ /1 5 -1 0 /2 - / I I - 2M + /13 + 4 /TO 2/3 + 2/2 + /9~- 4 / f + /l2 + 8/2 ^/3/3 ~ Resolución: Racionalizando se tiene; Por analogía tenemos: x = 3 32. Calcule la solución de la ecuación: 1 3 , 4 ÍT -z M V8 + 4/3 (72 + 73)--75 (72 + 73 )+ 75 (72 + m - -75 E = 72 + 73 - 75 (72 + 7 3 )'- 5 Resolución: Transformando los radicales dobles a simples; 72 + 73 - 75 276 Racionalizando nuevamente: /7 - 2 /ÌÒ = -/5 - /2 /8 + 2/Ì2 = ■/6 + /2 Luego, racionalizando en el segundo miembro: 4F., 3R 1 711-277 (75 - 72)R, (76+ .^2)^^ Donde: FM= 75 + 72 72 + 73 - 75 t,' 76 t ^ 276 ''.76Í F _ / p ^ 7Ì2 + 7Ì8-73Ò 12 36. Sea la expresión matemática: x • +, 7l - x ’ ;x ? í{ - 1:0; 1} 7T^ Determine m (m g E ’ ), si se cumple que f(A) = f(x) = F,'2 = 76 - 72 a . ■ 7l1 - 27x = ^ (76 + 75)1^3 2, cuando; A = F, = 76 - 75 Resolución: 7l1 - 27x = 7 6-75 == 1 1 -2 7 x =(76 - 75/ ^ 1 1 -2 7 x = 1 1 - 2 /^ ^ x Del dato se tiene que: = J-^- = 30 Efectuando, tenemos: m^ = 4 172 1 33. Halle el valor de X , si: x = 2- Valor positivo; m = 2 1 22- 37. En la siguiente igualdad, determine el valor de m. :Ü p ¿ O H = (m Resolución: D e x = - l^ 2- + 1) + 273rT^ 7?T-7 í W Resolución; 2--I + 711 - 2730 . ( m + 1) + 2/3BÍ E=2- Sea; E = 2 - .a , 22 -t Racionalizando; sigue siendoE 76 - 75176 + E '- 2 E + 1 = 0 = ( E - l f = 0 ^ E = 1 X- 1 ^ = 11 + 2730 == (m + 1) + 2 7 ^ 1 - 72 34. Sea: x, = 7T; x, = 7l m = 10 + 7T; x,= /i -^7l +7T :... hallar el valor de; x^,, - 2x„,, 38. - x„_, v n > 2 = -i'l + -/I (a )-(ü ): 1 +x„_, = x :., - 2 x^, + 1 x ^ , , - 2 x L i- x , 35. Sea: E = 1 =0 — ~— ^ 72 + 73 f 75 hallar la expresión racionalizada. 5 y 72 +'x - 78^ - 3 + 72 , hallar También: 72 + x - 7 ^ = 3 + 7 2 + ... (n radicales) Luego: x„ = 71 + x„_, => x^ = 1 + x„_, Además: x^., = 1 + x„ =» x„ = x^_. - 1 A! cuadrado; 2x^_,+1 ...(P) Si 2x Resolución: Dato; 2x > 5 =» X 2,5 Resolución: Por recun’enda; 75 / J2 + X - Í2^(2x) = J2 + X - 2 -Í2X = 3 + 7 2 ...(a) Recordar; a > b ^(a + b) - 27ab = 7a - 7b 7 x - 7 2 - 3 + 7 2 = 7 x = 3 + 272 Elevando al cuadrado: X = (3 + 2 / 2 f = 17 + 1272 Nos piden; ■ X - 17i' ■ /14+ 12/2 - 17\" = 18 39. Simplificar: P = / 3 Ì + 8/T5 2/23 + 8/7 + 2 /2 3 - 8 /7 Resolución; Luego: 42. p ^ /31 + 2 / Ì 6 '> ^ + /3 1 -2716x15 2/23 + 2716x7 + 2 /2 3 -2 V 1 6 x7 p _ Simplificar: T = 16 w x'°x 16 — 2 /4 - /T f + / e T W {/Ì^+/T5) + (/T6-/T5) Resolución; Recordar: J(A + B) + 27AB = /A ± /B 2(/T6 + /7) + 2 ( / Ì 6 - / 7 ) Dando la forma a los radicales dobles: 2 /Ì6 ^ J_ 4/16 2 40. Ax B B / 4 - 2 / I + /e + 2/5 2 T= Simplificar: P = / 2 + /3 + / 3 - / 5 ^ ( 3 + 1 ) - 2 / 1 T T + ^ [ 5 + 1)+ 2 V 5 x 1 / 2 - / 3 + /3 + /5 T=- Resolución; 2 ^ T= /3 - /T ) + (/5 + /T ) 2 ,/5-/3 /3 + / 5 '/ 5 - / 3 . Como: /(A + B) + VAB = /A ± /B Multiplicamos a la expresión por Í 2 en el numera dor y en el denominador: /5^-V3^ 43. Si: ^ ^ .< ^ 2 + /3 + / ^ ' / 5 ) / 2 ' ( / 2 - / 3 + / 3 + /5 ) -/8 X = 1^ - 2/3 + /2 Resoiución; Si: X ' 3 Como: /(A + B) + 2/AB = /A - /B ; A ^(3 + 1) + 2 / 3 ^ + J(5 + 1) - 2-Z5 x 1 _ (/ 3 + /T) + ( / 5 - / T ) ;s +/5 / 3 - / T + /5 + /T P= 1 / 3 + /5 B 10 Además: /2 + x - / ^ = 2/3 + /2 Racionalizando: ^{3 + 1) - 2 / f 7 T + / ( 5 + 1) + 2 / 5 ^ 41. 3 A /2 + X hallar el valor de: ^ - 1 /4 + 2/3 + /6 - 2 /S / 4 - 2 / 3 + /B + 2/5 P= X ' /(2 + x ) -2 /2 x = Siendo X ^ O, simplificar: 10 =1 / 2 / 3 — =—- / -2 , 2 /3 + /2 ^ 2 /3 -/2 / Por propiedad: /x - /2 = 2/3 - /2 /x = 2 /3 ^ ( / x f = (2 /3 f = x = 4 x3 = > x = 12 Nos piden: x/3 - 1 =» 12/3 - 1 = 3 44. Resolución; Sea: Si se cumple que: = 0; xyz calcular: A= A = x’ Resolución'. Deldalo: i/y + s íK 9 J I + s jf^ ^ q Vy “Vz x_ _ Multipiicando por: Vz y [y J i- W il) ( 9 / £ ^ + g / ^ 9 / Í + 9 / y % 0 Wy ^z/'Vy Vy^z Vz/ Se forma una dlfQrgncia dQ cubos: Del mismo modo, sea: I-2 ÍI y - Vz -3 3 = ix -^ /x - ^ /x - ^ /F =* B _= xV '6 Nos piden: y^ =1 -1 = 0 O 45. Siendo x e E ' - (1), indique el exponente final de X , al reducir: n eIN n>2 Reemplazando en el denominador: D = 1 + a + a^ + a^ = (1 + a) + a^ + ^ D = (1 + a)(1 + a') ' Reponiendo “a" y racionalizando: N (V2 + 1)(^72 + 1) F, de (®72 + 1) es la expresión: (®T2 - 1)(^72^ + ^72 + 1) Resolución; F,^ de (^/2 + 1) es W +1 Sea: A = Luego: A" " ' = x" A= A= ^ (®73 + 1)(W + 1) X (2 -1 K 2 + 1) 3 Denominador racional: 3 49. Siendo; x^ = x + 1; x > O B= Luego: A = Resolución: Dato: x^ = x + 1 - x^ Resolución; m' = 2000 + -/ÍS = 1997 + 7T3 a X = X Jx - 1 - 1 Reemplazando en: P(x) = 7x + 7x - EI exponente final es 3. 46. Si: m = ^72000 + ñ 3 hallar: m® - 9m^n^ - simplificar: P(x) = 7x + 7x - n = V1997 + /Í3 P(x) ^ 7x + 7x^-1 - X - 1 2 (1) Por fórmula de transformación; 7x + 7 x ^ - i = j l ^ + ^ nr^ - =3 Elevando al cubo: m® - n® - 3m^n^(m^ - n^) = 27 ^ m' - n®- 3mV(3) = 27 m® - 9m^n^ - n®= 27 47. Averiguar el denominador racional de la expresión: Donde: c = 7x - (x^ - 1) =. o = 1 = 7x + 7x^-1 = X+ 1 ^ / x - 1 En(l): x+ 1 x -1 2 ' V m2 / V 2 Reemplazando nuevamente el dato; P(x) = x+ 1 9 ^ ' ________________ P(x) = Resolución; Llamemos N al numerador: El F. del denominador es: ®/9 + 1 N / ^/9 + 1 9/98_9/9^+,„ + i I«;9 + 1 N(®/9 + 1) N(^/9 + 1) 9+1 ” 10 Denominador racional: 10 48. Hallar el denominador racional de la expresión: N 1 + 72 + '/2 + ®V32 Resolución: Sea ^■¡2 = a n = B^ 72 = a' 72 50. Al racionalizar el denominador de: 323 M= 21 - 2^7121+^7TÍ se obtiene una expresión equivalente cuyo deno minador es; Resolución: Sea: VTÏ = a ^7ï 2Ï = 21 = 2a^- 1 El denominador quedará: D = 2 a ^ -4 - 2 a ^ + g = 2a^(a - 1) + (a - i; ^ D = (a - 1)(2a' + 1) Reponiendo en M: 323 323 M (VTÏ-1)(2VT2Ï+1) (^TTÏ - 1)(^7968 + 1) Resolución: F,. de l'/TÌ - 1) es ^/TT^ + ^VTl + 1 F,. de + 1) es ^7968^ - ^/968 + 1 M= 323 rs r E = - ^ ( / l + x+ "/2 x+ 1 + / l + X - /2x + 1 /2 F, F. (^/TT- V i ^ M s 323(F,,F,.) M= (11 - 1)(968+ 1) i ( 2 + 2 x ) - T 2 / ( 2 x + 11 + j ( 2 + 2 x j - 2 / ( 2 x + 1( 323(F,F,^)_ F,F,^ 30 10x969 Transformemos por partes: Denominador racional es 30. • M = ¡ {2 + 2x)T2/(2x7"i)(1) 51. Proporcionar el denominador racional de la expresión: 1 t— ■/10 + -ÍU+ -/T5 + -/TÍ • Resolución: Agrupemos en el denominador así: = (v^ + /T5) + ( /Í4 + /2 Í) = * ^ ( /2 ^ - /3 ) tv 7(V2 + /3) = (/2 ^-/3 )(/5 4-■/7) Reemplazamos y racionalizamos: (/3 -/2 )(/7 -/5 ) 1 {/3 + /2KVT + /5) ( / 3 - / 2 K / 7 - / 5 ) Dato; -i •: x ■: O - O < 2x + 1 < 1 O /2 x T T < /T 1 Racionalizando; E = /2 55. 6 + /Ì2 _ í^ ( / 3 + 1) /3(/3 - 1) V 3 -/3 2(/3 + Ii /3 + 1) 2t/3 + l f V /3 -1 /3 + 1 ' 1 (3 -1 ) .-. E = /3 + 1 53. Determine el vator del término racional que se ob E= Dato; y - /TI + /29 + /13 / T Í - / ^ + /T3 tenga al efectuar 1 6 ^ ~ 8/2 ^■14 - J2 m+ 1 m- 1 2(/T i + /T3) -d ) 2 /^ /^ Pero: n = -(2 ) /Tl + / i ^ De(1)y(2): ^m + 1 ^ mn + n = m - 1 n De aquí: m - n - mn = 1 (m - n - m nf = 1 Resolución; 16í^/4)- 8(/2) 2 H W ) - 2 ^ { - Í 2 ) ^ /4 -/2 “ ^/2’^- /2^ ^/2^ - /2 Por cociente notable de 7 términos: ^/2" + ^/2’“(/2 ¡ + =/2^(/2^) + Determinar ei valor de: m^ + m’n^ + n^ - 2m^n + 2mn^ - 2mn s i:m = S ^ L S ^ A n = ^ /T Í- /2 9 + /13 '■ " /1 Í + /T3 Resolución; Piden; m^ + m^n' + n^ - 2m^n + 2mn^ - 2mn ■n________nz______________ zx~ = (m - n)^ - 2mn(m - n) + m^n^ = [(m - n) - mn]^ = ? Racionalizando el denominador; + ^/2^/2^) + ^/2^(/2 =) + /2® .-. Término racional: - 1 < 2x < O E = ^ [( /2 7 T 1 + 1) + (1 - / 2 i r p í ) ] - ^ Halla el equivalente de: 6 + /Í2 3 -/3 Resolución: ^/2^S7^ ^/2^ - /2 \ o ^(1 - / 2 T + í ; (H) Luego; 1 - /2x + 1 > O positivo Consideramos (II), luego: B = /T - V2x + •. Denominador racional; 2. Transformando; E = N = i(2 + 2xi^-2/(2x + 1)(1) / iu fx T T ^ (I) (/3 -/2 )(/7 -/5 ) ( /3 --/2 )(/7 --/5 ) 1x2 “ 2 52. — De aquí; A = V2x + 1 + /T + /2® = 2'’ + 2^ = 24 54. Determine el equivalente de la expresión; E = V1 + X + -/2x 4 1 + / l + X - -/2x - 1 para: -0,5 x <' O 56. Hallar el denominador racional de la expresión: /l6cos(2n) /W +V2 + 2®/6(3/9-3/3 ^ j. _ R e s o lu c ió n : ^ 6 cos(^ tc) = /I6 ( i) = 4 V W + W n W = /(V3 + W f = ®/3 (- ®/2 Reemplazando: T = ——---= — Además: V 9 /3 - 1 1 / I = / x - / y ------ = ----+ 1) (1)x(2): V(9/3 + 1l/2)(9 /3 - 11/2) = x - y í De aqui: x - y = 1 ...(3) Luego: • F,, de (®/3 + ®/2) es la expresión: ¡6/3 _ s/2 )(=/3^ + • + ^ÍT) (1) + {2): V9/3 + 11/2 +3/9/3 - 11/2 = 2/x En nuestro caso, elevando al cubo: + 1) es 3/3 +1 R,de F.Pr, T= 18/3 +33/{9/3 + 1l/2)(9/3 - 1 l/2 ){2 /x ) = 8/ x 3 (®/3 + ®/2 )('/3^ - =/3 ^ 1) =» 18/3 + 6 /x = 8x/x =» x = 3 Luego, en (3): y = 2 T= 3 -2 H 3 + 1) 1 Denominador racional: 1 57. Et denominador racionai de: V9/3 + 11/2 = /3 + /2 -6 -, sera: •2 f /2 - "/2 ' R e s o lu c ió n : 1.“ Muitiplicamos y dividimos por: f, = (/2 - 2) + ‘‘/2 -6 fi {/2 -2 )-"/2 { / 2 - 2 ) + "/2 _ - 6f, { Í 2 - 2 f ~ “r P - 6f, 6 -4 /2 -/2 2.° Multiplicamos y dividimos por: = 6 + 5/2 60. Hallar ei equivalente de: 2 + /3 , 2 -/3 M= /2 + /2 + /3 /2 -/2 -/3 Resolución: Multiplicamos y dividimos por /2 : /2 / 2 + /3 , 2-/3 / 2 \ / 2 + / 2 + /3 /2 - /2 - /3 . M = /2 / - 6fi y \ _ - 6^1 U - 5 / 2 / 'e + 5/2 ' 6 ^ - ( 5 /2 f 2 -/3 2 - / 4 - 2 /3 (/3 - 1) Multiplicamos y dividimos por 2: 3f,f2 -14 “ 7 Denominador racional: 7 M = /2 ■ i^/8-//2 + 1 J‘'/8 + //2 - 1 - ■^“’/S - //2 - 1 2 + /3 , 2 - / 3 \ / 2 3 + /3 3 - / 3 A 2 2 ' 3 + /3 M = /2 R e s o lu c ió n : Sea eí denominador: D - /"/8 + //2 - 1 - M 2 + /3 2 + / 4 + '2 /f (/3 +1 ) _ 58. Reducir: S = .,.(2) - /7 fT T 3 -/3 (/3 + l f ^ ( / 3 - l f /3(/3 + 1) /3 (/3 - 1 ) M = ^ ( / 3 + 1 + /3 - 1) ^ ^ < 2 / 3 ) = /2 Elevando ai cuadrado: D " - ‘/8 + //2 + 1 - + - 1)(‘/8 - //2 + 1) + "/8 -//2 -1 D '= 2‘' / 8 - 2 / / 8 - ( / 2 - 1) 61. Indicar un radical simple de: ^ 2a .j. Resolución: Modificando la expresión dada: se puede escribir: D '= 2 ^ /8 -2 /2 /2 - /2 + 1 = 2("/8 - //2 + 1) De aquí: D = / 2 ( / '/ 8 - / / 2 + l ) Reemplazando en lo pedido: S= /"/8 - //2 + T /2 ( /^ /8 - //2 + l ) 59. 1 ^ /2 /2 a + /2 a + 2 (‘'/2a)(/á) 2 Hallar la raiz cúbica de: 9/T 4-1 1 /2 _ Resolución; Piden: ^9/3 + 11 /2 Hacemos: ^/9/3 + 11 /2 = /x + /y ,..(1) (/á + " / ^ f 2 /ií + ‘/2 Í /2 Pero sabemos que: ‘'/4 = / 2 , desdoblando; /a+^/Sa /a / / 2a /a , 4/ ! /2 /2 ^ "/4 = •/9+/8 = 3 + 2/2 Un radicai simple: M /17 + 12/2 = (/2 + l f La igualdad: ^17 + 12/2 + 7 = jx + 2V128 62. • Í3 + /8 se verifica, si "x" toma el valor de: /3 + /8 =</3 + 2 /2 x 1 = /2 + 1 Luego: /2 + 1 Resolución: ^ /2 + 8 = ■ix + 2 ^ Transformamos ios radicales dobles: • Elevando al cuadrado: 66 + 16/2 = x + 16/2 V17+ 12-/2 = h ? + 2 - l 6 ^ x 2 = + 7 = Vx + 2/128 717 + 2 /9 x 8 X = 66 P R O B L E M A S DE E X A M E N DE A D M I S I O N UNI es A) O E) PRO BUM A 1 (LIMI 1 9 8 4 - 1) 1 -/3 Efectuar: /3 / 3 /3 -^ /3 igual a: /a - /b - /F /a + /b + /c /á + 2 / b - / c B) /a - /b + Ve D )/a -2 /b -/c Resolución: R) B ) - I2 4+- ^ ^ Descomponiendo el numerador mediante un aspa simple: a - c + (1 + /2 )/ib - (1 - /2)/bc + b/2 /a - / c —^ /2b /a + /c - *■ /b E) N.A. D )l.f Resolución; Reduciendo primero el corchete: 2(1 1 -/3 /3 -5 2 1 /3 /3 /3 2(1 - / 3 ) 2_ /3 1 + /3 ■ 1 + / 3 _ _ /a + /b + /c Clave: C il 2 PRO BUM A 4 (UNI 1 9 8 3 ) Clave; A PRO BU M A 2 (UNI 1 9 S 6 ) Expresar con denominador racional la siguiente expresión; A) (3^* + 3®'®+ 3’ ^)/8 O (3"'^ + 3^'^ + 3' ®)/8 E) (3*"^ + 3®^®+ 3’ =)/8 Simplificar: /20/6 + 49 + “/441 + I 8O/6 A) 1 /(8 -3 /6 ) 0 2 + /6 E)8 + 2/6 Entonces se tendrá: (/a - /c + /2b)(/a + /b + /c ) -----------= — ^ /a -/c + /2 b 8 )8 + 3/6 D)(6 - / 6 ) / ( 3 /6) (3^ + 3’ + 3' ®)/8 D)(3^ + 3® + 3' ®)/8 Resolución: /3 ----La expresión puede expresarse como: ^7=—^ V3(V9-1) Resolución: Transformando: 8 = V49 + 2/600 + ^ /4 ^ + 2/225x216 S = /49 + 2V25X24 + V/225 + /216 S = /25 + /24 + /15 + 6/6 S = 5 + 2/6 + 3 + /6 8 = 8 + 3/6 Multiplicamos ahora por su factor racionalizante: /3 / V9^ + ^/9 + 1 '/ 3 ( W - 1 ) \ W + W + 1 , 3V6(3« + 32,3+ 1) 33/2^ 3: Clave: D Clave: B PRO BUM A 3 (UNI 1 9 8 8 ) PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 4 - 1 ) La expresión siguiente: a - c + (1 + / 2 )/ab - (1 - /2)/bc + b/2 /a + /2b - /c Si X(j es la solución de la ecuación: /17 + 2/72 /3 + /8 -7 calcular el valor de; U o + 34 A )5 D)20 B)10 E)25 /sTTs C) 15 V3 + :- = /x + 2Vl28 - 7 = /3 + V8 = Vx + 2V128 - 7 -/8 /s T IT f + 7 = / x T z / W Resolución; Racionalizando: = / x + 2Vl26 - 7 /3 + /8 =-ÍX + 2-/128 - 7 V3+V8 8 + -Í2 = VX + 2V128 Se cumple que; x = V64 = 64 + 2 = + V2 = Vx + 2V128 6 6 - / x T 3 4 = 10 Clave: B PROBLEMAS D 1. Hallar el valor de (x + y) en: J1 3 -J 8 8 A) 64 D) 100 2. 1 =/4 + =/2 + 1 -'¡3 6 - 5 /4 4 1 1 + J2 + J3 +J6 C) 227 B) 201 E) 225 /2-lp+lP^ (Jp+I- / p - 1; 3. B)2 E) -2 10. Hallar el denominador racionalizado de: 4 , siendo: x < -^ 4 4 + 2x o 2x C )I 4 2x •/12 Indicar el radical doble equivalente. B) /6 + /2 E) V2 + /6 O /6 -./2 Si ^Jx +^ J ÿ = A) 18 D)1 B )/2 E)1 B )a -b = 1 E )a -b = 4 + ^J 2 + ^ J 4 B) 19 E)3 B) J2 E) - / 3 0 9 2 D)45 /1 2 E)2 0 3 0 9 O /5 Racionalizar e indicar el denominador resultante en cada uno de los casos siguientes: 1 /3 + /5 + /7 + 1 + / f + J2 - J 2 A) J2 D) +1 C )j E)2/2 2/2 14. Hallar el denominador racionalizado: V ïÿ (W + Vÿ) ^v'x + ^/ÿ - Vx + y 0 4a + b = 5 ; calcular 9yx. + 4 /6 /8 + 4/6 A) a D)3 B)b E)3(a+b) Oa+b 15. Determinar el valor de N para que la fracción sea igual a 1. 9xy^ + (y^ + 24x' ) V - 3 x^ Indicar et producto de los radicales simples obteni dos de; V/Í08 - 10 A) /ÏÔ D) J3 9. B)10 /2 /¡^ J t + J a - J E = 2 8. A) 5 ÍA Señalar ta relación que debe existir entre a y b para que se verifique la igualdad; A) a + b= 1 D) 4 a -b = 4 O -V 12. Señalar el denominador racionalizado: 18 =/3 - '/5 + V2 13. Calcular; E = Dar como respuesta el valor de; 7. B)^/2 E) 1 - ^/2 h + J3 + / 3 - / 3 + 1 /11/2 - 12 = Va - Vb 6. Cr- 1 + V2 y señalar el coeficiente de x del numerador que se obtiene. X - Calcular A y B de la igualdad; A) 1,5/2 D)2 X^ + 1 + 3 x ^J2 ...ÍE. M + /Í2 - /4 - 5. 1 V8-®/4+1 O 33 11. Racionalizar la siguiente expresión; A)1 D) 1 + V2 Reducir la expresión: A) h - M D) /4 + 7T2 B)245 E)3 A) 243 D)234 D) 1 - 2x 4. O 18; 1 0 3 Reducir; J4x A) B) 17; 1 E) 19; 1 A) 16:1 D) 15; 1 Calcular el equivalente reducido de; A)1 D )-1 ¡■» PROPUESTOS A) 3x B) /y2 - 3x^ C )3x+ /y ' - 3x^ D) 3x - /y^ - 3x^ E)x + / y '- 3 x ' 16. Racionalizar y señalar el denominador: 1_____ V54/3 4-41/5 A) 4 D)5 B)9 E) 12 17. Simplificar: E = C)7 V2 + V Î - 2 h --Í2 2 + /2 25. Determinar el equivalente de;. A ,f Í2 Ve + V2 +1 ‘72 + 72 +2 o # 4 -/2 , 2 -7 2 ^78 2 + 72 A) O D)3 8)1 E)272 C)2 18. Reducir y racionalizar el denominador de: / s -7 5 72 + 7 / - 37f A) 20 D)4 0 5 8 ) 10 E)3 3 + 473 19. Indicar el equivalente de: 76 + 72 - 75 A) 76 8) 76 + 72 0)76 + 72 + 75 E)1 O Æ + /2 -7 5 ^ _ 7 8+ 7 ^ + 73 . 72 + 75 + 73 ’ b= B )-2 E)0 21. Simplificar: O I 1 + '7á + aVP 8) ^7á + 2 E) 1 O Va - 1 22. Indicar el denominador racionalizado de S (a > 2): ^■^(2a + 2 - í e F ^ y ' 7a + 72 - Va - 72 A) 4 D)3 B)1 E) 2a 0 2 23. Racionalizar e indicar el denominador de: 1 1 -7 2 + Ti A)a^ + a + 1 0) a^ - a + 3 24. Efectuar: 8 ) a ^ - 2 a - 1 O a ^ -2 a + 3 E) - 6a + 1 76 72 - -/2 - /T A) 73 8)273 D) 76 E) B) Ve E) 7 2 -1 O V3 + 1 27. Luego de multiplicar: ^ '*"(1 x 1 + 75 y dividir el resultado entre: 6 + 275 76+72 Indicar una expresión equivalente. A) 73 + 72 8) 73 - 72 D) ^2 + 73 E) ^ 2 ^ O 7 5-72 73 72 + Æ ( a - 1 ) ( l + a -V a ^ ) A) Va D) V i + 1 A) "73 D) (/2 + 1) 28. Indicar el denominador de la expresión racionali zada de: 1 20. Calcular ab + b - a; si: A) 2 D )-1 . (•’/ 3 + 78){'V3 + 272) 26. Efectuar; A)1 0) 1/3 B)2 E)1/2 29. Proporcionar el equivalente reducido, con denomi nador racional, de: V 3 -^72 7V3 + V2 + 2®76 A) V3 + =*72 B) V3 - ^72 D) E) V3 + V2 + ®72 30. Calcular: 73 + 1 0 373 C) ®73 - ®72 73 7ï ^ + 7t5 - 7 ï 2 A) 1/9 D) 73 31. Racionalizar; B) 1/3 E) 1/5 C) 1/2 75 +72 + 73 A) 75+73 2 75-72 3 D) 7Ï5 - 76 7 Î5 -7 5 76 l2 + h + J Ï 0 3 32. Luego de racionalizar: 1 (V5 + 1)(‘‘7 2« + 1) + 73(V3 + 1) Indicar el denominador obtenido. C) 76-72 A) 4 D)1 B)3 E) 16 0 2 41. Indicar el equivalente racionalizado de: 33. Indicar el denominador racionalizado de: 1 VÌ6 + ®/Ì2 + V9 A) V4 + 1 B) n )^K ± M . ' 2 '' h - A)1 D) V2 + 1 C) 42. Racionalizar e indicar el denominador de: 2 + 6/7 - W ' 2 43. ^ Fi 35. Efectuar: D Luego de transformar a radicales simples, indicar uno de los radicandos. 2X + ^ /14 + 4V6 + /2 V5 - 2V6 + /8 A) 4 0)2 - A)x+1 D) X + 2 01 B)3 E) 5 44. -, si: 0 < I X I < 1 0 /7 + T A) V2 + x " - 1 B) /2 D) V1 + x "+ 1 E) / ü o ? - 1 37. Racionalizar e indicar el denominador en: a - 9b a + 6b + 5 /Ìb 1(1 + - ^ \ x " - l/ , 8)x E) x" - 1 1 C )2 x -1 + x^z^(9ab - ^ x y puede descomponerse en radicales sencillos, calcularel vaior de: E = ab A)1 B)2 0 3 D)4 E)5 45. Después de extraer la raíz cuadrada al polinomio: P(x) = 4x®+ 20x’ + 13x®- 14x®+ 69x* + 28x^ 14x'+40x + 25 si: a > 25 A 2 > b > 0 A) a - 4b D) a + 4b : ,X > x + Sabiendo que el radical doble; J sa x^y + 36. Racionalizar: O 456 1+ +1 ' 5 ' 2 8) 520 E) 342 A) 568 0)426 1 '/4+ V 2 - 1 gj V 2 ^ u A ni O / 3-/2 B )/3 + V2 E) 72 - 1 1 34. Racionalizar: A) 2/2 B) a - 2b E)a + 2b C )a -2 c indicar el enunciado correcto. 39. Si Jo.a + VO.b = Jo^TT7o!W, indicar el producto A) El polinomio es un cuadrado perfecto. 6) La suma de coeficientes de la raíz cuadrada es 13. C) El coeficiente del término cuadrático de la raíz cuadrada es 3. D) El coeficiente del término lineal de la raiz cua drada es (-3). E) En la raiz cuadrada existen dos ténninos que tienen sus coeficientes Iguales. de sus radicales simples de; E = /a^ + 3 /b + 1 ; 46. Si el polinomio P(x) = x^ + 6x + 2íx + a - bi, admi 38. Indicar el denominador racionalizado para x en: -V 3 ) = 2(10-X ) A) 9 0)3 B)1 E) 27 02 te raiz cuadrada exacta, hallar ab. (a; b € £) para: a > b A) 1 B) 2 O V2 D )J I E)N.A. A) 8 D) -48 B) 64 E)0 C) -6 47. Efectuar; 4 Í-U + 40. Calcular; s = 1+^/4 STvf A) 4 D)15 8)9 E)17 013 A)13 + 5-/3 D )5 -1 3 /3 ' 1 + 7 3 + ■ ’74 A l - “V4 8 )1 3 -5 /3 E )-1 3 + 5/3 1 - - ' / 4 + V3 0 5 + 1 3 /3 57. Indicar el denominador simplificado al racionalizar; 48. Calcular A y B de la igualdad: V11/2 - 12 = Va - •'7b ; (A; B) G ® X Luego indicar el valor de: /A ?B A) 3/2 '7TÒC75 + '72) '75 - '77 + '72 F= A) 2 D) 5 0 2 0 4 8)3 E)7 58. Dar el denominador luego de racionalizar: D) -Í3 E ) - i| K= 49. Efectuar: R = 5, V il 72 + 973 + V 20 - 1472 “'797 + 5673 A)1 D) 72+1 8)2 E) 73 + 1 8)3 D)2 E ) l + =^ O 1/3 A) a D)a+b O 686 61. Reducir: 3 ^ 713 - 2740 + 77 + 740 + 7l1 +27Ì8 O 20 733 + 872 + 73 - 78 + 711 - 772 A) 72 D)1 53. Racionalizar e indicar el denominador de: 7 n > 5, n e IN ^^Ü + n 62. Efectuar: A = B)2 E)5 23 -, obtenemos una 1 + 3/2 + 2V4 ' B)655 E)0 A) 243 D)717 52. Reducir: 72076 + 49 + "7441 + 18076 - 376 A) 3 D) 1 O a-b expresión que adopta la forma: '7a + '7b + ^7c . ha llar; E = a + b + c O 100 B) 10 E) 18 Ox + 1 B)b E)1 60. Si al efectuar: L = B)96 E)4 A) 8 D) 30 B)x - 1 E)1 x + 7l +x" 51. Reducir: ( - ¡ h + Js +72 - 73 + “76)" A) 80 D) 125 A)x + 2 D)x 59. Calcular: J = 2a/T O ^72 50. Si: VV2 - 1 = '7a + Vb + ^7c ; (a; b; c) c ®. calcular: a + b + c. A)1 27)T n 7 x ^ - 7 ^ + 7xTl 0 6 A)1 D) 3 B)372 E)372 -1 O 72 - 728 - 673 - 7'7 - 47Í + 712 + 673 713 - 473 + 721 - 1273 + 719 + 873 B) 3/2 E)5/2 O 2 54. Determinar el equivalente más elemental de: 2 + 73 72 + 72 + 73 A) 6 D) 73 63. Efectuar: L = 7 5 - 7 ^ - 7 4 - 7 1 5 2 -7 3 72 - 7 2 - - ^ i B)3 E) 72 7 3 - 75 - 74 - 77 A )-1 D) 1/2 0 2 64. Reducir: V = 55. Efectuar: -®7a +1 ( * ^ + ^ 7 ? + i) (= ;? - ^ ^ + 1 ) -a A) -2 D)1 8) -1 00 A) 1 D) 7 3 - 7 2 8) - 1/2 01 E)2 711 + 772 -7 3 -78 714-718Ó + 76 - 720 B> 2 C ) 3 E) 73 + 72 E)2 65. Racionalizar: D = 56. Simplifica,; R = M + f i 5 f W ( 4 - f l 5 ) ] J(6 + A) 1 D) 13/7 B) 1/3 E)3 - -1(6 - ■¡35)- 0 7/13 5 - 7 Í5 + 7TÜ-76 señale el denominador. A) 1 D)4 1 B)2 E)6 0 3 66. Reducir; /3 - 2/2 + /5 - 2/6 + V7 - 2VÍ2 + ... + ^49 - 2V600 A) 2 D)5 B)3 E) 6 04 12 /3 -/2 3 /2 - 2 /S e indicar el denominador racionalizado. Efectuar; V =_ /9 + 2 / ^ + /13 -4/TÓ /4 + / 12 - / 5 - -/2 4 A)1 B)2 03 0)4 E)5 67. Simplificar; T = A)1 D)4 0 3 B)2 E) 5 68. Efectuar: (/11 +2/Ì8)(1 + ‘'/2)(1 - * ¡ 2 ) + ¡8 A) 2 0)6 B)3 E)1 D) 1 +/2 g j /T Ü -/2 /3 + /5 B}3 E) 15 C)5 71. Hallar el valor equivalente de; - ^ ¿ ¿ - 2 / 2 /2 -/3 B) /6 E) /2 + 1 0 ) /2 72. Efectuar: P = 2 /Ì8 - + A)1 D)4 B)2 E)0 C) /3 “/4 - 2 /18 0 3 B)2 E) -2x 76. Efectuar; T = A) /2 D) V7 D )-V5 ^1 + 4/1 + 4 /9 + 4/S + B) /3 E)0 +1 B) /3 + /2 E) /2 - 1 O /3-/2 82. Oespués de racionalizar, hallar el denominador de: 1 2 + ®/7 - ®/7 B)520 E) 342 0 456 83. Luego de racionalizar, hallar el denominador; 7 F= ; n > 5, n e Di B)2 E)5 O 6 A) 6 D) /3 B)3 E) /2 0 2 85. Efectúe; S=VÌ3 + V48 - V15-V200 - Vl7 + 4Vl5 - V5-2 /4 0 /5 0 /2 + /Í /3 -2 /2 A) 1 D) ^ S= B ) - /ÌÒ 0 Vx + 2 0 3 75. Efectuar; A) -2 in- 84. Hallar el equivalente más elemental de: 2 + /3 , 2 -/3 ,/2 + /2 + /3 /2 - /2 - /3 j 0 3 S = /8 + /60 - /1 2 - 2 /2 7 - /3 2 + 2V135 + /3 B )-1 E) 5 S= A) 3 D) 1 74. Efectuar: A) -3 D)4 B)1 E )3 + /2 A)0 0)2 + /5 A) 568 D) 426 73. Efectuar: P = V x^-2x+ 1 + Vx' + 2x + 1 si: 0 < X < 1 A)1 0) 2x 40( Halle et equivalente racionalizando de: 70. Luego de racionalizar y simplificar; : el /T 5 -/4 5 denominador resulta: A)1 B) Vx - 2 E) Vx - 10 - Efectuar; /3 + /8 + / 7 - / 4 0 - /5 E) 1 + /3 A) 1 0)6 Convertir a radical simple: ^2x + dicar uno de ellos. A) Vx+ 10 0) Vx - 1 C)4 69. Al efectuar; ■¡2 - V6 - V20 , se obtiene A) /1 0 + /2 2 Reducir: A/1 = / 1 0 - 2 / 2 Ì - / 8 -2 /1 5 /9 + 2 / Ì 4 - / 7 + 2/ÍÓ A )-1 B)1 0 2 D) -2 E)3 O /5 E)3 A )-2 5/i^ + 6 V Í+ 1 )('/i;^ -® /i7 + l)-a B )-1 00 86. Efectuar: T = 2 - / 3 /3 + 1 A) O D) V3 - 2 B)1 E)2/3 0)1 2 - /3 /3-1 0 2 -V a + 1 E)2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. C B D E A D A E A A E 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. A B D C C B A D 6 D C 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. £ B D D E B C A E A e 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. E D E A D B A D C A C 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53, 54. 55. A D E B A C B A D C E 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. C B B D 6 D A A B B C 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. A E B D B E B A B C B 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85, 86. B A B D C D C E D Números complejos Lodovico Ferrari fue un m ate m ático italiano que nació en Bolonia (Italia) el 2 de febrero de 1522 y m urió en la misma ciudad envenenado con trióxi do de arsénico p or su herm ana el 5 de octubre de 1565. Fue un estudioso de las m atem áticas y en unión de otros colaborado res, siendo el más im portante de ellos Cardano. llegó a ser uno de los m ayores representantes de la escuela de Bolonia, que se dedi caba principalm ente al estudio del álgebra; así descubrió la re solución algebraica de la ecua ción general de cuarto grado. Asimismo, dem ostró la fórmula para resolver ecuaciones de ter cer grado. a o ü \iaVm. 1522-Italia, J5B5 Lodovico Ferrari puso de m a nifiesto en su exposición lo que hoy se conoce com o núm eros imaginarios. Cardano y Ferrari estudiaron la solución de las cúbicas que Tartaglia les había com unicado. Ellos resolvieron los problem as que Zuanne da Coi había propuesto y escribieron los casos en que podía presentarse una cúbica con coeficientes positivos. En este proceso. Ferrari descubrió tam bién la solución general de la cuáriica en 1540. con un bello argum ento reducía el problem a a resolver una cúbica por el m étodo de Tartaglia. Com o Cardano había jurado a Tartaglia que no publicaría la solución de las cúbicas, estos no podían publicar tam poco las cuárticas que dependían de !a solución de aquellas. Fuente: Wifeipedla <4 CANTIDADES IMAGINARIAS Se originan al extraer raiz de Índice par a una cantidad negativa. Así: J - 16; son cantidades imaginarias, En el problema: r= i-r+p+r^j-+,„+¡«+...+j^" V i^ " - '+ r iî4n^¡4n., 0 i" = i“*" " 0 ^ 0 entonces; n = 4 1 Se pide: tn íd a d im a g in a ria La cantidad imaginaria es llamada unidad imagi naria. con esta definición, podemos representar a todas las cantidades imaginarias puras. Notación: según la notación de Gauss, la unidad ima ginaria se representa por la letra i. Se define: m par -I' E - - -i <4 NÚMERO COMPLEJO Es un número que resulta de la unión de un número real más un número imaginario. Sea el complejo: i' = -1 z=a E je m p lo : Efectuar: E = L x Parte real Resolución; E = {JQ E = -4 = /8 i -/2i = •/Tèi'« E = 4(-1) -í^ ) <4 POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA =i = -1 _ i* = i i®= - 1 i^= - i i- 1 _ j = 1 i^ = i -1 i" = - i i’^= 1 Como se puede observar, los resultados de las poten cias de la unidad imaginaria se repiten en períodos de 4 en 4, y si los exponentes son múltiplos de 4 ei resultado es 1. Esto implica que estas potencias están goberna das por propiedades que veremos a continuación. P ropiedades de las potencias de ia unidad im a g in a ria 1. 2, 3, Siendo a y b números reales, nos indica que el comple jo esta formado por “ a" unidades reales y "b" unidades imaginarias. También se les define como el conjunto de pares or denados de números reales, donde la primera compo nente (abscisa) se le denomina parte real y la segunda componente (ordenada) parte imaginaria. Notación: z = (a; b) Donde; a; b G E Parte real; Re(z) = a Parte imaginaria: lm(z) = b Luego, dado z = a + bi Si a = O A b O=í z = bi es un número imaginario puro. Si a OA b = O=» 2 = a es un número real. S ia = b = 0 « z = 0 es un número complejo nulo. C om plejos conjugados i + i^ + i^ + i" = O Son dos complejos que tienen iguales sus partes reales e iguales pero de signos contrarios sus partes imagi narias. Sea; 2 = a + bi, su conjugado será; z = a - bi. C om plejos opuestos E je m p lo s : Calcular: 1. = 2, 4. Parte imaginaria i""=1 Corolario: i'' + i" ‘ ' + i" • ^ + i" * ^ = O 3. bi = = = = Si i" = i + i' + + i“ + ... + i^" ■' reducir: E = i‘" n e IN Resolución; Sabemos por el corolario que: i" + i" ■' + i" ■^ + í'" ^ = o Son dos complejos que se caracterizan porque se di ferencian solo en el signo de la parte real e imaginaria, pero teniendo las mismas partes real e imaginaria (en valor absoluto). Así, los complejos; 2, = a + bi a z.^= -a - bi son dos complejos opuestos. C om plejos iguales Dos complejos son iguales si tienen iguales sus partes reales y sus partes imaginarias, Si:a + b i = c + d i =5 a = C A b = d <1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Donde: R epresentación ca rte s ia n a o g e o m é trica También: tanB = a Se realiza en el plano cartesiano en donde el eje "x” sir ve para representar los números reales y el eje “y" sirve para representar las cantidades imaginarias. Como se puede observar, la parte real está represen tada por pcose. = + = Izl = ja + bij E jem plos: 1. Expresar en su forma polar: a) z = 3 + 4i Resoiución: Calculando el módulo: p = + 4^ = 5 Luego el argumento: tanO = ,1 => 9 = 53° .-. z = 3 + 41 = 5cis53° Ai plano formado por los ejes reai e imaginario se le llama plano de Gauss. b) z = 4 - 3 i Afijo de un complejo: es un punto en el plano gaussia no que se representa por un par ordenado formado por la parte reai y el coeficiente de ia parte imaginaria que representan respectivamente la abscisa y ordenada del punto. Resoiución: El módulo será; p = </4 + 3^ = 5 —3 El argumento: tan9 = lo que implica que: 0 = 360° - 37° = 323' z = 4 - 31 = 5cis323° R epresentación p o la r o trig o n o m é tric a Toma como base las coordenadas polares, donde se conocen el origen (polo) y una semirrecta llamada eje polar. Para ubicar el afijo, se debe conocer la distancia del polo al afijo (módulo o radio vector) y el ángulo (argu mento) comprendido entre eí radio vector y el eje polar c) z = - 2 - 2-/3Í Resolución; El módulo estará dado por; i(-2)^+(-2V3)^ = 4 El argumento: tanO = 73^ =» 0 = 180" + 60° = 240° z = -2 - 2/31 = 4cis240° 2. eje polar Donde; p: módulo o radio vector 9: argumento Relación existente e n tre la fo rm a ca rte s ia n a y la fo rm a p o la r Calcular el complejo en ta forma polar; a) z = - 4cis30° Resoiución; z = - 4 cis30° = -4[cos30° + isenSO“] z = 4[-cos30° - isen30°] z = 4(cos(180° + 30°) + isen{180° + 30°)1 .-. 2 = 4cis210° b) z = 3[cos20° - isen20°] Resolución: z = 3[cos20° - isen20°] z = 3[cos(360° - 20°) + isen(360° - 20°)] .-. z = 3cis340° Sea z = a + bi c) z = - 3 + 3 /3i Resoiución: Hallando: p = ys^+(3/3)^ = 6 tanO = 3/3 = -73 => 0 = 120° En el gráfico Del AOAB: z = 6 c is 1 2 0 '' senB = - =• b = psene; cos9 = - =» a = pcosB P P <4 OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS Luego: z = (a; b) = a + bi = p(co90 + isenO) = pds6 = piii^ S um a y d ife re n c ia Representación canesiana Representación polar Para sumar o restar números complejos, se suman o restan partes reales e imaginarias respectivamente. Asi. Zj = z, + z, - z, = a + bi c + di Z2= (a - c) + (b + d)i Zj = (a - c) + (b - d)i Luego: — = ^[cos(24° - 10°) + isen(24° - 10°)) Zt j - -|cis14" ó P roducto A. Forma cartesiana Sea z, = a + bi z^ = c + di ^ z, Z2= (a + bi)(c + di) = ac + adi + bei + bdi' Como i^ = -1 z, = (ac - bd) + (ad + bc)i P otenciación A. Forma cartesiana: la potencia de un complejo por esta forma solo resulta práctica cuando el exponen1e es pequeño, Para efectuar la operación se aplica el desarrollo del binomio de Newton; tenien do cuidado al reducir las potencias de i. (a + bi)" por binomio de Newton Ademas: (1 + i)(1 - i) = 2 B. Forma polar: se multiplican primero los módulos y luego se suman los argumentos: Si: z, = p,(cos0i -*■ isenO,) ^2 ~ PiícosBj + isen02) => Z1Z2= P1P2[cos(0, + Üj) + isen(0, + O^)] z,Z2= p,p2cis(6, + 62) B. Propiedades: a) (1 + i)' = 2i b){1 - \ Y ^ 2 i Corolarios: a) (1 + i)^ = b)(1 - i)^ = -4 -4 Forma polar Sea: z = [p(cos0 + isenO)]'' =• z = p" [cos(nO) + isen(nO)] = p" cis(n0) Ejem ptos: Ejem plo: 1. Sea: z = 2(cosl0° + isen10°). calcularz^ Sean: z, = 2(cos10° + isen10°) z¡ = 3(cos13° + isen13°) =? z^zj = 2)^3[cos(l0°+13°) + isen(10°+13”)5 Z1Z2= 6[cos23° + isen23°] Resolución; z^ = [2(cos10° + isen10°j^ z® = 2*(cos50° + isen50°) = 32cis50° 2. Calcular: D ivisión Resoiución: A. Forma cartesiana; para dividir complejos se multi plican numerador y denominador por la conjugada de este último, z, = a + bi Z2= c + di Hallando el módulo: P El argumento será: ta n 8 = -/3 =» e = (180" - 60°) = 120" Del enunciado: z = (cis120°)^’^ = cis25 560° ^ z = cis25 560° = cis360(71 ) => z = cisO" = cosO° + isenO° z= 1 £1 _ a +bi (a + bí)(c~di) (ac + bd)(bc -ad)í ^ Z2 “ c+di(c + di){c-di) ^ Entonces: — = ac, + bd Zz c' + d- + be - adc' + d' R adicación Propiedades; B. A. Forma polar: para dividir complejos se dividen pri mero los módulos y luego se restan los argumentos, z, = pi(cos 9, + isenO,) Zj = Psícos 02 + isenOj) = ^[co s( 0, - Oj) + isen(Oi - => — = -^cis( 0,- e ,) Z 2 P2 ^ Ejem plo: Dados: z, = 5(cos24'" isen24°) 2Z= 3(cos10° + isenlO”) 62)] Forma cartesiana: la raiz enésima de un complejo es otro complejo, entonces: Va + bi = X + iy = a -1- bi = ( x -1- yi)" Por binomio de Newton Luego se igualan las partes reales e imaginarias entre si: Ejem plo: Hallar V-^3 - 4i Resolución; De: V- 3-41 = 7 - 3 - 4 /'- 1 = V-"3 - 2 ^ (~4){1) Luego: / - 3 - 4i = ±(/T - ( ^ ) = ± ( ^ - 2i) V -3 -4 Í = 1 - 2i V -1 + 2i B. Forma polar: Sea: z == "Vp(cosO + isen0) £jemp/os; 1. _ „ r - j cosO + 2kn n isen9_+^l^\ n j Evaluar; C = i + 4 i ‘ + 7 i '+ 1 0 i'^ + „. + { 3 n - 2 ) i ^ " donde: n = 4k / k g Z ’ Resolución; Número de términos = También: z - "/pcÜ0 - Ejem plo: *-6i - 6 -6i - 6 = 1 5 grupos Resolución; = 1 X = C = 5 (-6 i-6 )= :^ (1 + i) ^‘ ■ P T T Ó í Escribiendo en su forma polar; c = -1,5n(1 + () X ^ ^/cosO -I- isenO=cos +isen'^ Para; k = 0; x - 1 k = 1: X - cos120° + isen120° - ^ k = 2: X ^ cos240° + isen240° = ^ 2. Si:x’ = 1 X2- ■> _ Sea: w - O oj ^ sea un número real. Resolución: Asumamos que el cociente es una constante real k: 3 - 2 ai = k =» 3 - 2ai = 4k - 3ki 4-3i De donde: k = ^ •{1) 4 - 2 ^ 2' 3X 2 Hallar el valor que debe tomar ''a" para que el cociente ^ 1 También: 2a = 3k 2 ' (2) (2) en (1); 2a - | +^ i Elevando al cuadrado: v / = —1 ' 3. Si X^ = 1 =» X , = 1, Xj = V/, X3 = w' Donde; 1, w y v / son las raíces cúbicas de la unidad. • a= | Efectuar; A = (i'^ V^’ i'' )' Resolución: „ 6 . 2i , ,4 - 2. A = i' A= <4 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES CÚBICAS DE LA UNIDAD = 1 1+w+ ó Agrupando cada cuatro términos: C = i + 4 - 7i - 10 + 13i + 16 - 19i - 22 Donde en ambos casos: k = 0:1; 2; ...;(n - 1) Calcular las raíces de: ^ Efectuar; A = i' r^ ¡ E = (1+ i)'”' '~'ÍT^'-!2 Resolución: vv' ■' = w' =o Ejem plos: Luego: E - 1. 2. w '"“ ' 3. ^ w ' ■' - w 4. = w" Calcular; S = w + ^ => E= , PT ^ ',70 Calcular el valor de: Q = ( - ^ + -îj Resolución; Sabemos que; + ... + w'® Resolución: Por la propiedad 3: S = w + + ... + w'’’ + —1 + ^ i = w En; Q = O Pero: S = ^ ^^ w + Sea : w + v/^ + w^ = 0 = » w + w ' = -w^ . - . s = -w= = -1 <4 FÓRMULA DE EULER Sea; z = {a; b) = 8 + bi = pcis = pe' G en radianes para calcular la forma exponencial de un complejo previamen te hay que tener la forma polar o en todo caso deducirla. w -1 Luego: Q = l - - ^ i c 6. o . . .. (2 + 2i)Vl5 8i Reducir: M = ^-----1+1 Resolución; La expresión también puede escribirse; M ^ ^ iil4 ^ V i5 ^ r iC T (1 - I ) M = -2iVl5 - 2 7^T f M = 2i^15-2^{16)(-1) M = - 2 í (/T6 7. = 2i(4 - i) M = -8i-2 La suma de dos complejos es -2 - 6i. la parte real de uno de ellos es - 4 y el cociente de ellos es imaginario puro. Indicar uno de los complejos. Resolución: Sea uno de los complejos: z, = - 4 + ai Luego, el otro será: Z2= 2 - (6 + a)i Por dato el cociente de z,/z2es imaginario puro: - 4 + ai = ki =• - 4 + ai = k(6 + a) + 2ki 2 - ( 6 + a)i Luego: a = 2k ==• k = ^ -4 = k(6 + a) =» + 6a + 8 = 0= (a + 4)(a + 2) Si: a = -4: z, = - 4 - 41 Z2= 2 - 2i Si: a = -2: z, = -4 - 21 ^ 2 - 4i 8. (1 +2i)’^ + 4(1 +2í)® + 4 ( i - 2 ) “ (2- i ) “ + 4(2- i ) " + 4 proporcionando luego la parte imaginaria del com plejo resultante . Factorizando por divisores binómicos, para k = -3 se anula, luego tendrá un factor (k + 3). Luego por Ruffini: k = -3 0 -19 -30 -3 9 30 0 -3 -10 (k + 3)(k^ - 3k - 10) = O= (k + 3)(k - 5)(k + 2) = O Si: k = -3 , a = -3i, b = 4 Se pide: (ab)' = ((-3i)(4)f = -144 Si: k = 5 -4 a = 5i En (II): b = Luego: (ab)' = - 4 X 5ii (ab)' = -44,44 Si: k = -2 En (II): b = 17 a = -21 (ab)^ = -128,44 .-. (ab)^ minimo será-144 Efectuar: E = Resolución: I 10. Calcular el número complejo que debe sumarse a z = (1 - ■ÍZi)* para que el residuo sea un complejo cuyo módulo sea 4 y su argumento 120°. Resolución: Sea z, el complejo pedido. Por condición: (1 - -/Si)" + z, = 4cis120° (1 - 3 - 2/3 i)' + z, = 4(cos120° + isen120°) I - (i - 2Y = (1 + 2ir 2 -i = l ^ ^ (2 - i)" = (1 + 2i)" A (2 + i)® = (2 - \ f En la expresión; E= +2i)^^ + 4(1 +2i)^ + 4(1 +2i)^ (1 + 2i)® + 4(1 +2i )*+4 E = (1+ 21)" = (1 - 4 + 4i)' = (-3 + 4i)' E = 9 - 16 - 24i = - 7 - 24i Parte Imaginaria: -24 ( _ 2 * 2 / 3i ) ^ + z , = 4 ( - l + ^ i ) 4 - 1 2 + 8/3Í + Z, = - 2 + 2/3i => z, = 6 —6 /3 i Hallando su módulo: p = -¡6^ + ( S / S f = 12 El argumento: tane = - /3 = 2n- - ni .'. z, = 12e^" 9. Calcular (ab)^ mínimo, si “a"; imaginario puro y “b”: real. A partir de: a(2b - 2 + a) + b(a - 3) = -301 - 21 Resolución Del problema se plantea: “a" es imaginario puro =» a = ki: b e IR En el dato: klí2b - 2 + ki] + b(ki - 3) = -30i - 21 Efectuando: ( - k '- 3b) + (2bk - 2k + bk)i = -30i - 21 2bk - 2k 4 bk = -30 ...(I) 21 -k ^ -k" - 3b = -21 b= (II) 11. Calcular el argumento de z, Zj s i: z, 1 - cos17° + isen17° z¿= 1 + cos53° + isen53° Resolución: Sabemos que: 1 + cos2a = 2cos'a 1 - cos2a = 2senâ En; Zi = 2 sen^-^ + 2isen-^ eos™ z, = 2 s e n ^ ^ s e n ^ + i c o s ^ j z, = 2 s e n ^ (II) en (I): 2 k ( ^ l ^ ) - 2k + ( ^ l ^ ) k - -30 k(21 - k') - 2k - -30 k' - 19k - 30 = O Zi = 2 s e n ^ c ¡s Í|^ + is e n ^ ^ J n = 5n En: Zj = 1 + cos53° - isen53’ 14, Hallar x, si x‘ Z2= 2cos-^ ( c o s ^ - tsen-^l z, = 2cos 53 c o s (3 6 0 -y ) + ise n (3 6 0 -y| Resolución: Sabemos que: Z2= 2 c o s ^ c i s ^ i' 360° + 55° a + (b + 8)i 12. Se tienen: z, = a + b + 2 i. a - b - 3i ’ ^ a - bi si z, y z¡ representa un número real y un imaginario puro, respectivamente, calcular (a - b), ab + 0. Resolución: z - m 4- ni = k ; (kE E) p + qi Expresando linealmente: m + ni = pk + qki Observamos que: m = pk a n = qK =■ k = = k i; (k e p D e { l ) y ( l l ) : b = ^ a q E ) p + qi Escribierido Sineaimente; m + ni = -q k + pki Observamos que: m = -qk a n = pk ;=• k = - m Lo que implica que: mp -t- nq = O En el problema: Si z, es real: a + b - 2 5a = -b a -b 3 Si Z2es imaginario puro: ^ = b(b + 8) = a^ = b' + 8b (2' ) = e ^ = e ^ = i' = e ^ (x“)"' = ' ’ \ q -^] 0 = 55° H L + jli 1 ÍT- En el problema: x”’ ' = (x‘)'' = 17 Luego. z,z2= 4 s e n ^ c o s -^ cis 415° Z ^ = q n P ■(1) (M) L (e Luego: x" = e ^ = i' 1 ' X =i Hallar un complejo que verifique: z-12 5, z- 4 , 2 -Si 3’ z- 8 Resolución: Sea: z = a + bi Elevando al cuadrado el segundo dato: |z - 4|2 = |z - 8|' ^ (a - 4)^ + b^ =(a- 8)^ + b^ == (a - 4)^ = (a - 8)^ =» a = 6 Expresando linealmente el primer dato elevado al cuadrado: 9|z - 12p - 25|z - 8i|' ^ 9[(a - 12)' + b'l = 25[a' + (b - 8)'] Reemplazando el valor de ‘a" y efectuando: b' - 25b + 136 = O =» (b - 17)(b - 8) = O =. b = 1 7 V b = 8 Lo que implica que hay 2 complejos que verifiquen, siendo estos: z, = 6 + 17i v z¿ = 6 +81 a= | 16. Señalar a que es igual: i'^ =1 30 Se pide: a - b = -| a - b - 10 O 3 3 1 1 1. 1 13. Si: z = a + bi b + di e s conjugado de a, b c E. Calcular: E = (a - 1)' + (b - 1)^ Resolución: Por definición de conjugado: 1 1 1 1i a + bi b + ai 2 2 Efectuando en el primer miembro: a - bi b - ai _J. _ 11 (a + bi)(a - bi) (b + ai)(b - ai) ~ 2 2 (a*bi) + (b-ai) (a+b) (a + b ) . 1 ii a^ + b^ " a ‘ + b^ a' + b ^ ' " 2 2 a + b Luego: 2a + 2b = a' r b' Trasladando los términos a un solo miembro y su mando y restando 2. - 2a + 1 + b ' - 2 b + 1 = 0 + 2 + ' (^-1 )^ ' - 2 E= 2 Resolución: i^^^ i^ ^ 1 17. Dados los números complejos: z, = 3 + 21; z¿= 5 - 4i, calcular; I, z, + Z2 II, z, - Z2 III, Z,Z2 Resolución: I. z, + Z2= 8 - 2i II. z, - Zj = -2 + Bi III. z,z^= (3 + 2i)(5 - 41) = 15 - 121 + lOi - 8i' =» ZiZj = 23 - 2i 18. Dados los números complejos: z, z, = {a + 2) + {b + 3)i: Ademas: z, =Zj,determinar; a y b Zj = 4 + (5 - b)i Resolución: Como; z, = Z j = = a+ 2= 4 =» a = 2 b +3 = 5 - b=>b=1 ,-, a = 2 A b = 1 19. Si Zj es el conjugado de z,, calcular m y n. 20. z. = (2 T m) + 31: 7..- 5 - (2 - n)i Resoiución: Como: z, De donde: 10 n - 2 - --3 -5 n -- -1 Donde: 6 + m = O 0. cos6c! O f - 2k;r Resolución: 7 = ; 1 - itanu w 1 4 i tan 2a \ 11 - Itan a 1 - i tan 2a / H ^ 1sen2a 14- 1;Sencí -------- ___ cosa j sena ^ cosu 1 ^ 4. tan 6a (a^ + b ^ r-i-s • !z "| = |z |-: |z | = V n € Z‘ ( s '+ b r r' + s' = 1 A[ graficar las raíces de la ecuación z^“ - 1 = i en el plano complejo, hallar el número de raíces que se encuentran en el tercer cuadrante. z 1 = “/m i - Z ^- = 5. el modulo de z para que el número w = — 1 + z^ sea real. Resolución: Por propiedad: a 4- bi es real « - = c + di c d z X + yi X 4 - yi I 4-Z 1+(x4-yi)^ x^ - y^ + 1 4- 2xyi X w es real ^ z = “ /T fc is U _ y - y^ + 1 2xy 4 2x' = ^ - y' + 1 = W + y" = 1 A y?iG + y^ = 1 2 k :i 50 = (/2 + U ) Si: z = X 4- ¡y xeE, y ?^0, además: 1 + zVO . Hallar 1 + ¡ = 5or/icís4 + ^ E= 2 + w= Resolución: - Reemplazando: |w| (a ->■ bi)" = r 4- s ^ n c 2 => |(a 4- bi)"| = |r 4- sí| == |(a - b i) f = r 4- sip ^ (la + bip)" = r + sip (a' 4- b^)" ~ r .^ — = 9í, siendo “a” y “b" 3‘’ - ( a + b)i Resolución: 3'i + 54. a, b e E - {0} 3“ ~ (a + b)i =. 3î + 54 = 9i[3" - {a 4- b)i] ^ 54 + 3"i = 9{a + b) + 9i{3)'^ ^ 9(a+b) = 54 A 3*' = 9(3)" =>a4'b = 6 A a = b4-2 De donde; a = 4 a b = 2 Si (a 4- bi)’’ = r 4- si, n e S, {a; b: r: s} c IR, determi Resolución: Recuerde que: ♦ s - z = w Sabiendo que: números reales no nulos. Calcular: E - z = cis(2(x)cis(4i/.) = cis(6a) c MC21. ^ 37 En el INC, hay 13 raíces. , _ i císa ]/ cis2a \ '.c is ( - a ) / '. c is { - 2 a ) / 2. ^ k = 25: 26; 27; Valores de k: 37 - 24 = 13 eos 2a j sen2a eos 2a lm(z) sen6a Re(z) - eos 6a . <k< ^ __ j cosa - isenu w eos2a 4 isen2a 1 eos u - ¡sena A eos 2a - isen2a Ì , B Donde: k = 0; 1: 2; 49 El afijo de z, e llIC, sí: Simplificar: z ^ l U . l t a n a w W ita n 2 a | ^ ' 1- ita n u A l - ita n 2 u I , si ccsd o, cos2u m = -6 RESUELTOS PROBLEMAS Re(z) dará Resolución: 2 + mi ,3 - i' _ 6 - 2i + 3mi - mi^ 3 ^ \ h - V 9-i' (6 4- m) + (3m - 2)i 5 - (2 - n)i = {2 + m) - 31 2 -^m = 5r= m - 3 1. Para que valor de m, la operación ^ O4" t como resultado un número imaginario puro. ••• |z| = 1 6. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son ver daderas? I. V 2, w e C; z = z A (z + w) = z + w 3 + 3i = 3/2e" n/4 II. v z , v / e C - { 0 } : ( - ) = — III. |2 + 11 <2|2] IV. 3zGlC/|2| = V /3 - 3i - 2 ^ g f ' 2 V 2 G C / | Z | > |2| + 1 Resolución: I. V 2, Vl' G <C: 2 = 2 -3 4jt (z + w) = 2 + A F z es real). La proposición es falsa. (2 = 2 -1 W -1 - 731 - V (F) I. V 2, W G I - {0} : (—) = — ' w' w No es cierto, porque z # z 2e ^ ‘ -V3 — I 2e"*' (F) [2 + 1! < 2|2|: porque v 2 = {x; y) (X + 1 ) ' + ( - y ) ' < 4 ( x ' -f y ') « 3x' - 2x - 1 + 3 / > O Esta desigualdad no es cierta v xy s SI IV.3 2 G C / |z| = 2 Es cierto, para 2 = (x; 0), v x > O V Si ±ii' 2 = 3/6e'^ ^ 9. (F) (V) V 2 G C / 12| > |z| + 1, e s fa ls o pues: |z) = |2| y por tanto O> 1 es absurdo. (F) = 3/6 Determinar x e E*, tal que: Imi ^ = 4\x + 2i/ 2 Resolución: 1+xi (1+xl )(x-2i) x + 2i (x + 2 i)(x-2 i) _ 3x , / x ^ - 2 x" + 4 \x" + 4 l x + 2i/ Solo IV es verdadera. x^ + 4 2 2 x ' - 4 = x ' -K 4 => X = 7. Determinar el menor número natural n de 2 cifras para el cual (i - J z f es imaginario puro. Resolución: z={\-J3f = 2 = 2 "c is b 5nn ¿ D además: 10 10 < -|^ < 99 < n < 99 -1 < k < 165 Dado el número complejo: z = 1 Si; y < O =» " y > (|x| - 1| o también; y < - ||x| - 1¡ Como n es el menor natural, entonces k es el me nor impar a k = 5 „ _ 3(25) k = 25 = 15 8. Determinar la gráfica del conjunto; A- { zGC/ | l m( z) | >!|Re(z)|-1|} = k i , v k e l N A k impar => n = ^ 10. X = 2 /2 Resolución: Sea: 2 = x 4- yi En A; }yi > IW - 11 Analicemos: • Si: y > O => y > ||x| - 1| Gráfico; (S c is ^ '” 2 es imaginario puro si y solo si; ^ , 7 _ (3/2,e^')(2/3e~') III. V 2 G C, n o n e c e s a ria m e n te ; |z + 1 1' < 4|2|^ 3 Gráfico: -1 1 (3 + 3 i ) ( / 3 - 3 i ) - 1 - -/3i expresar z en su forma exponencial. Resolución: De, 2 ^ (3 + 3 i)(/3 -3 i) -1--/3I Expresando en forma exponencial cada compiejo: Finalmente la unión de las gráficas nos reprodu ce la gráfica de A, y 11. Determinar la gráfica del conjunto: A = (z e C / |Re(z)| + Re(z) - |lm(z)| > 1} Resolución: Sea: z = x + yi En A: |x| + x - |y| > 1 • S i y > 0 =» |x¡ + X - y > 1 o también: y < |x| + x - 1 Aquí: x > 0 = = y < 2 x - 1 Pero no olvide que: y > O Resolución: cosa -i- isenu = cisa cosa - isena = cis(-a) I ■ n >60 I eos—- tsen—' ,..(1) V 4 iI costt- 4' tsen— í • TI \60 ÍCIS3 ) E= Gráfico: ( cís 2 0 ti) [ c ís ( - 3 0 n )] [ c i s ( - 1 5 n )J [c is (- 5:t)] 1/2 Gráfico (a) Ahora: x < O =s y < -1 Pero como: y > O En este caso no existen z e A Si: y < O =» |x| + X + y > 1 =*• y > 1 - X - |x| Aquí; x > 0 = : > y > 1 - 2 x Pero no olvide que: y < O Gráfico: ^ cis(- lOn) • , .r, E= . , = cis{-10n cis(-2 0 ji) E = c ís IO ti = cisO = 1 -..(2) 14. Si la gráfica del número complejo z = ^ f l ; a g IR 1 - ai es ia que se muestra en la figura. (a; b) Afiio del complejo 1 1/2' R(ejereal) Determinar el valor de "a”. Gráfico Ahora: x < O => y > 1 Pero como: y < O En este caso no existen z e A Finalmente la unión de los gráficos (a) y (p) nos reproduce la grafica de A. Resolución; De la gráfica: z = ] = qi 1 - ai Donde; q > O => 1 + ai = qi(1 - ai) =■ 1 + ai = aq + qi = aq = 1 A a = q (a > 0) ^ a^ = 1 .-. a = 1 15. Reducir el siguiente número complejo: ^ _ 73 + 2a + iV3 - 2a V3 +2a - i 7 3 - 2 a = 2e^, Z2= ^ + - ^ i. Determinar. — ¿ Z2 ¿ Resolución: Resolución: Sea: x = 73 + 2a 2= 2e^ = 2.e = 2e^ y = 73- 2 a (x + yi)^______ (y + xi)^ (x-yí)(x + yi) {y-xi )(y + xi) 2 ^ (x + yi)^ _ i^(x - yi)^ = 2 i l + S - \ ) = 1 +/3Í r = (x + yi)^ + ( x - y i ) - X2 + y2 13. Calcular; Tt • 71 \6 0 / ]T ( c o s - j 4- i s e n - j ) (c o s -^ / / a Entonces, el complejo queda asi: x + yi y + xi X - yi y - xi z, = 28^ E = V3 - 2a + iV3 + 2a V3 - 2a - iV3 + 2a donde: - | < a < | 12. D a d o lo s n ú m e ro s co m p le jo s : z^ -20-)) 7T - IT>50/ . Tr ,120 is e n ^ ) TT . TT»40 (sen^ + icos^) (se n | + icos^) 2[x^Myi)^] x^ + y^ 2(x^-y^) x^ + y^ Pero: ^ y + V3-2a 3 + 2a 3 -2a (3 + 2 a ) - { 3 - 2 a ) + y^ " (3 + 2a) + (3 - 2a) 16. 4a 6 Luego; Z,Z2Z = 2/2 x 2 / 2 i x ( / 6 + /2)(1 + i) z,zjz= 8(/6 + /2 )(-1 + i) 2a Sea z G <C, tal que cumple; jz + ZqI < a, donde Zg = (a; a), a g Ifi*. Determinar el argumento de z cuya distancia a la recta vertical que pasa por x = -3a sea minima. 18. Sea: |zp = 3Re(z), determinar: |z - 3/2| Resolución: Sea; z = a + bi =^ |z] = /a^ + b^ En el dato: [zp = 3Re(z) => a' + b^ = 3a Nos piden; Resolución: Sea: z = (x; y) g C; Zq= (a; a) Luego, en el dato; |(x; y) + (a; a)| < a; |(x + a ; y + a)| < a => ( X + a ) ^ + (y -t- a ) ^ < a ^ Graficando; a + bi - 2 - (a + bi ' 2Ì +b^ = ^ a ^ - 3 a + | + b^ - I 19. Determinare! módulo del complejo; z = (1 + e )“ Resolución: Sea: w = 1 + e® = 1 + cis^ =» w = |1 + cos-î + i : sen-^ ; El argumento del z buscado es: 6 = 180° + a Cálculo de a (triángulo notable): 2a w = 2 c o s "i + i2 s e n ic o s i w = 2 c o s i ( o o s i + is e n i) 53° = 180° + 53” |wl cis '16 Observar; |w| = 2cos:^ 1b Pero: |z| = |w^| = |wp 413 17. Se sabe que los afijos de tres números complejos son los vértices de un triángulo equilátero de lado igual a 4 m, como se muestra en la figura adjun ta. Determinar el producto de estos tres números complejos. |z| - 4 c o s ':^ 20. Dado los números complejos: z, = 2e ^ . Zj = 4 + determinar el módulo de — Resolución: Nos piden: k il = 2 Resolución: Observar; z = (2 + 2/3 )(cos45® + isen45® T T 2 z - 2 ( 1 + / 3 ) x : J ( 1 +i) 2 = (x; y) (0; a) (0; 0) 2{1 (a ; 0 ) = z, - z = (/6 + /2 )(1 + i) Además: z, = 2/2 a z , = 2 / 2 í ^ 2 21. Sea z e C, tal que: z = (i;-i)^« . De(3; —1)(2; 0) terminar el complejo equivalente de z. Resolución: (3;-1)(2;0) _ (2 + 3í)(-1 - 2i) z= (3-i)(2) _ ( - 2 - 4 i - 3 i + 6)(3 + i) z= [(1 - i)1' 2(3-i ) (3 + i) , _ (4-7i)(3 + i) (-4)^ 2 ( 10) Resolución K i * que: a i(b - ai) - 1 Notar , + bi. = 4:-------^ b-ai b-ai 7 = / 725 + 47if / 41 +28i \^^ - 1 U 7 - 7 2 5 Í Í ■^Í28-41i z= (i)^® + (i)^^ - 1 = i + 1 - 1 = ¡ Observar que; (1 - i)‘ = -4 (12-21Í + 4Í + 7) 2= 20 19 17i 20 22. Sean z, y dos números complejos,tales que; 2|z,| = \z^\ = 2, además: arg(z,z2) = y arg(z,/z2) = Determinar el área del triángulo formado en el plano complejo porz,, Z2y el origen de coordenadas. Luego: |(z + 1)(z + i)| = |z + 11 + ill^l = 2/2 26. Resolver la ecuación: = 8 - 61, dar como res puesta ei producto de los módulos de las raíces. Resolución: La ecuación: = 8 - 6i, tiene dos raíces w/, y Wj, donde: w? = 8 - 6i = W2 A Wj = -wí. Se pide: iw,||w2| = ¡wîll-w,! = |w,||w,| = |w?| = |8 -6 i | Resolución: Del dato; 2|z,| = Izj] = 2 |z,| ^ 1 A \z¡\ = 2 a rg (z ,z 2 ) = ^ A a rg |^ ) z+ = K I N = /8' + (-6)^ = 10 Por propiedad; arg(Zi) + arg{Zj) = - y a De donde; arg(z,) = ^ Luego; z, = c is -^ o Graficando: A arg(z,) - argíZj) = 27. Si 45° es el argumento del complejo; a e E z = (1 - a)V1 + i + a(1 + i)), hallar su modulo. ^ arg(Z2) = Resolución: Por condición; (1 - a)V1 + i + a(1 + i) = rcis^ 2, = 2cis-^ o (1 - a)/1 + i + a +ai = ^ r + ^ r i (1 - a ) / r n = J - ^ r - a ) + ( /2. -^r-an Elevamos al cuadrado: ( 1- a) ^ + (1-a)î = 2 ( - ^ r - a j i De aquí: • 23. Efectuar: z = 1 + (11 + 2i)'" + (1 + 21)®’ Resolución; De la expresión: z = 1 + (11 + 2i)’^ + (1 + 2i)®’ Como: (1 + 2i)=’ = [(1 + 2i)Y' (1 + 21)" = (1 + 3(21) + 3(2i)" + (2i)")’" (1 + 2i)*’ = (1 + 6i - 12 - 8i)’' (1 + 2i)*’ = (-11 - 2i)'' = -(11 + 2i)’' z = 1 +(11 + 2 i ) ' ' - ( 1 1 +2i)’^= 1 ~ a)^ = O =» a = 1 * (1 -a)^ = 2 ( ^ r - a ' " r = Izj = /2 28. Si z = 2e , determinar un complejo 'n que satisfa ce la condición; |z| = |z + w/| = |w| Resolución: 24. Si |zí| = 4 y arg(z(1 + i)) = hallar el número complejo z en su forma polar. z = 2 c o s ^ + is e n ^ l; |z| = 2 Resolución: |zi| = 4 => |z||j| = 4 « z —2 |—-^ + " ^ ‘1 » |z| = 4 arg(z(1 + i)) = i =, arg(z) + arg(1 + i) = -| ^ arg(z) + f = f arg(z) = | z = 4cis4 4 25. S e a : z = í m á n f % / 4 1 + 2 8 i ' ^ ^ 47-7251/ 128I-41Í determinar: \{z + 1)(z =1 2 ——1 + /3 i Luego, si w = a + bi De la condición: 2 = / ( - 1 + a)' + (/3 + b)^ = Tenemos; Vp + b^ = 2 • i i - 1 + a)^ + (/3 + b)^ = /a^ + b^ =» a - /3 b = 2=»a = 2 + / 3 b (2) en ( 1) :( 2+ /3b)' + b' = 4 ..(1) « 4 + 4/3b + 3b^ + b' = 4 4b(b + V3) = 0 = » b = 0 V b = - / 3 En (2): a = 2 v a = -1 El número complejo es: w = -1 - /3 i Resolución; g [k + kîf ki -k^ => 29. Dados los siguientes enunciados; I. El módulo del complejo z = 1 + cos74° + isen74® es ~ II. El argumento del compiejo z = 1 + cos20° + isen20° es 5°, Ifl. El módulo del complejo z = 21(1 + i)(2 + i)(3 + i) es 20. Cuáles son correctos; Resolución; De (1); multiplicamos por i al numerador y al deno minador ki -k^ 1=1 k + kî k i- k^ ki-k' i i IV . n p^ \y + { - \ f + ... ( - ¡)=‘'^ P = - Í - - 1 + i + 1 - i - - 1 + ¡ + 1... o - 1 o .. P = - i 1. z = 1 + cos74° + isen74° Z = 2cos^37° + i X 2sen37°cos37® z = 2cos37° (cos37° + isen37°) 32. Hallar el número complejo cuya segunda potencia sea igual a su conjugado, dar como respuesta la parte real. Resolución: « |z| = 2cos37° = 2 X i O (I) es F 11. z = 1 + cos20® + isen20® z = 2cos^10‘’ + i X 2sen10®cos10® z = 2 cosió® (cosió® + isenlO®) =»arg(z)=10“ ^ ( l l ) e s F III. |z| = |2i| |1 + i| 12 + i| |3 + i| |z| = 2 x ./2 x V5 x VTó =»|z| = 20 =(MI)esV Solo III es correcta. 30. Sea z e c y z su conjugada; se cumple que: zz + 2z = 12 + 4i, arg(z) e . 3ti Sea; z = a + b i = » i = a - b i Dato: (a + bi)^ = (a - bi) a^ + 2abi + bî^ = a - bi =» a^ + 2abi - b^ = a - bi (a^ - b^) -I- 2abi = a - bi = = — = E z ^ -J -(1 ) De donde; a^ - b^ = a 2ab = ~ b De la relación (2); 2ab = - b =» a = - ^1 En(1); { - ¿ 1 El número complejo es de la forma: z = - ^ ± - ^ i La parte real es: 33. Sea el número complejo T, expresado como: Calcular ¡z| T = 1 + --------1-------- Resolución; Sea: z = a + bi Si: arg(2) € . 3rt 1+ 1 4- a Ab G indicar su magnitud escalar. En el dato: zz + 2z = 12 + 4i => (a + bi)(a - bi) + 2(a - bi) = 12 + 4i ^ ( a ' + b ' + 2a) - 2bi = 12 + 4Ì • • -2b = 4 ^ b = - 2 a^ + 4 + 2a = 12 =»a^ + 2a - 8 = O (a + 4)(a - 2 ) = 0 = » a = - 4 v a = = 2 Donde: (a < 0) =» a = -4 O sea que; z = - 4 + 2i |z| = Resolución; “ ,u e :l^ =í l ± | ^ =f= i 1=1-1- T= 1+ = 2/5 31. Calcular el valor de: P = ¿ 1 +i 1- i T = 1+ 2 2 k+ ri 2 + 3 -1 5 1: ki-k^ 2 2 2 = 1+ 3 + i 34. Determinar sí es falso (F) o verdadero (V) las si guientes proposiciones respecto al número com piejo: 36. Calcular un valor de: 1 - 2 ^ Resolución: Transformando de adentro hacia afuera; teniendo presente que i <> i^ z - (1 I. |z| = (1 - -/3)®(-/2f II. Su argumento principal es ^ Reemplazando: (2i) = (1 + i)' III. Su argumento es ~ - y - 2 il-2 '° J ¡ Íl - J ( 1 + i f IV. Su argumento es z - (1 - Í2f Se puede escribir así: - (-) (+)(+), n.° negativo = V-2/(1 - i f = “z" no está expresado en forma polar, para ello, el número dentro del corchete debe ser positivo (éste sería el módulo de z). Por tanto el signo debe ser absorbido por la expresión entre pa réntesis, asi: i' 2 + 2i Pero: - 2 + 2i = (1 + i)^ Reemplazando nos queda: 1 + i » z = [n." negativo](cos-|+ ’sen^) • ; pero: i^ o ^ Í - 2 Í - 2 " ^ ^ = ^ /-2 j^ 2 Q (1 - V a f d - - í z f í (+) ; pero; - i <> i'^ ^ Resolución: 1 + "f\ 37. Si: T = y k = 0; 1:2; (n - 1) 2 cosí \ n calcular: |T| Resolución: z = [n.° positivo](cos-^ -h ísen|-)(-1) Calculemos las raíces enésimas de 1, asi: = [n.° positivo](cos(n + -j) -Hisen^Tt -h ''/T ^ cos|-?^J + isen^-?^ Pues: -1 = COSTI + isenn • Por condición: l< = 0; 1; 2; ...; (n - 1) De aquí; 1 + VT = 1 -Hcosí— Ì + isen 2krt z = [n.° positivo]|cos-^ + isen^-^jj Luego: )z| = (1 - - 1)^ eê^ = n.° positivo 1 + VT = 2 c o s'(^ j + i X 2 s e n |^ ) c o s |^ arg(z) = ^ (I) 35. es F; (II) es V; (III) es F; (IV) es F. 1 + -/T - 2cosíl^' c o s ( ^ ) + is e n í^ j Hallar el argumento del complejo: z = i ", siendo w una raiz cúbica no real de la unidad. Reemplazando en T: Resolución: T = eos — + isen— n n Dato: w - - - l + - ^ i o w - - - l - - ^ i Por Moivre: T = 1[cos(kp7i] + isen(kpn)] |T| = 1 -14 |2 2 38. De aquí, se puede escribir: z = i i^(i ')^2 Por Euler: e“ = cos9 + isen0; v 6 en rad. Si; 9 = -|- => = cos-| + isen^ => Dado un complejo z, tal que: Re(z) ^ lm(z) A a rg (z )/ Calcular el resultado de efectuar; P = ^t z + 2| z f sabiendo que es un imaginario puro. Elevando a ia i, tenemos: (e^) = i' = i' = Enz; z = i^(e z= e Resolución: Sea; z = a + bi / a # b; ab Sabemos que; lz|^ = zz P= 2i^ + j2| z" + 2 |i| 2z*^ + z x z z^ + 2zz O P= z(2z + z) i z (z + 2 i) " 2 (m + ni)' + (m - ni)^ _ 2(m^ + nî‘ m^-(ni)^ m^ + n^ Es decir; P = - — ^ = n.° imaginario puro (dato) 3 H~ DI Tener en cuenta que: z= Si: P = È— ^ = n imaginano puro c + di Entonces se cumple que: ac + bd = O En nuestro caso: a(a) + b (- b) = O ^ (a + b)(a - b) = O De aqui: a = - b v a = b, pero 2(m' - n^) m +n Pero: m^ = 3 + 2a 2 (4a) Luego: z = a n^ = 3 - 2a z = 4a 42. Darei valor real de: E = En P: P = - b - bi - b + bi 39. ~ bi(1 -_i)j Determinar la gráfica de: H = {z e (D IRe(z) + lm{z)l < 2 a _3,25(2-i) Del dato; E + i = 3 + 4Í O< arg{z) < ti/2} Elevando al cubo: .^3 _ 25(2 - i ) ( 3 - 4 i ) _ 25¡2 + i)(3-4i) (E + i)^ = 3 + 4i (3-41) (9 - 16i^h^ 2 5 Resolución: Sea: z = x + yi =■ |x + y| < 2 (dato) De aquí: - 2 < x + y < 2 Como: O< arg(z) < n/2 =* x e y son negativos Es decir: x > O a y > O Entonces: O< x + y < 2 De donde: y < 2 - x La gráfica de H será la región (incluido el contorno) determinada por las rectas: x = O, y = O, y = 2 - x. (E + i)® = 6 - 8i - 3i - 4 + 3Eî - 3E - i = 2 - 11Í (E^ - 3E) + (3 E '- 1)i = 2 - 11i 1 = ____________ í Igualando: • E' - 3E = 2 ^ E^ - 3E - 2 = O =* E = 2 ...(1) Y X y 0 2 2 0 2 3 + 4Í Resolución: 3E' - 1 = -11 y=2- X H F^= M 3 ...(2) De (1) y (2) la única solución real es 2. 40. Si; |z + = |z - w|, V z, w e C, hallar: Re(zvií) Resolución: Como: \z\^ = zz De la condición: |z + w| = |z - wj Elevando al cuadrado: |z + w|^ - \ z - w|^ De aquí: (z + w)(z + w) = (z - w)(z - w) (z + w)(z + w) = (z - w)(z - w) zz + 2w + wz + vm = zz - zv/ - zw + ww Transponiendo términos nos queda: 2(zw + zw) = 0 => zw + zw = O Pero: zw = zw zw (zw ) = 0 2Re(2w' = 0 Re(zw) = O 41. Reducir el siguiente número complejo: ^ _ V3 + 2a + i /3 - 2a V3 - 2a + i 73 + 2a I 2a i/3 ^ /3 ^ iV3 i 2a donde; Resolución: Sea: V3 + 2a = m a V3 - 2a = n Multiplicamos y dividimos por i, la segunda fracción i m + ni , m - ni m + ni (h mi),, X T ^ Z — . + m - ni m + ni m - ni (n - mi) I 43. ¿Cuál es el número complejo, que su inverso es igual a su conjugado e igual a su opuesto? Resolución; Sea el número complejo; z = x + yi Dato; -1 = = z = z_• => 1 = x - y i = - x - y i z X + yi (3) (2 ) 7TT (2) = (3): X - yi = - X - yí x = -x=»x = 0 = -y i ( 1 ) = ( 2 ): — ^— : - X - yi => _x_ + y ^ yi O =, y2= 1 => y = ±1 Luego: z = O + (±1)i z = ±i 44. Si el producto del complejo; (a + bi) por el opuesto del conjugado del conjugado de dicho imaginario, es ima9¡nario puro y val© —2i, determinar la forma polar de dicho complejo (a + bi), (a > 0) Resolución: El opuesto del conjugado del conjugado de; (a + bi) es: ( - a - bi) Luego: (a + bi) [ - (a + bi)] = - 2i (a + bi)' = 2i Como: a > 0 =» a = 1 ;b = 1 ^ w ^ 2 c o s ^ { c o s ^ + is e n ^ ) Entonces: (1 + i) = -/2cis^ (1 + i) = V2(cos^ + is e n jj Observar: |v»í | = 2cos:;^ Ib 45. Sea z e C, tai que se cumple: |z + z j < a, donde Zo = (a; a), a e E '. Determine ei argumento de z cuya distancia a la recia verücal que pasa por x = - 3a sea ia mínima. Resolución: Sea z = (x; y) e (E; z^ = (a; a) Luego, en el dato: |(x; y) + (a; a)l < a; a e ffi" |(x + a; y + a j < a => (x + a)^ + {y + Pero: \z\ = |w^| o |z| = |w|^ |z |= W 48. i Calcular: z = — ^ ( 1 - ir , n es entero positivo. Resolución: Gomo: 1 + i = -/2 e'^'" y 1 - i = -Í2 e’ "'" a)^ (/2 e '^ T < I(iü4 + n í í ) ^ n - 2 ^ g lil/4 -^ 2 * z = 2(e’"^)"-V '^ = 2Í" M = 2 i"-’ ,pues: e'^'^ = i .. z = 2 f ~ ' 49. Si w # 1 es una raíz enésima de la unidad, calcular la suma; S = 1 + 4w + 9w^+ ... + nV "”’’ Observar que el argumento del z buscado es: e = 180” + a Cálculo de a (triángulo notable): 2a 53“ Resolución: Nos piden: S = 1 + 4w -I- 9v/ + 16w^+ ... + n V ' ’ ...(a ) Multiplicamos porw ambos miembros: wS = w + 4w^ + 9^ + ... + (n - 1 ) V '’ + nV.,.(P) Restamos (a) - (p); S(1-w)=1+3wí+5w^+7w^+...+(2n-1)w'^'-nV ...(I) ‘ ^ a = ~ e - 180“ + = 46. Probar que el número complejo ^/4 - 2i es la raíz de P(z) = O, siendo P{z) un polinomio de coeficien tes enteros. Resolución: Sea: z = - 2i o 2 + 2i = ^V4 Elevando al cubo: z^ + 3z'(2i) + 3z(2i)^ + (2i)^ = 4 ^ z' - 12z - 4 = i(8 - 6z^) Elevando al cuadrado; P{z) = z® + 122“ - 8z® + 48z^ + 96z + 80 = O que es una ecuación polinomial que tiene a z = ^/4 -21 como una raíz. 47. Determine et módulo del complejo: z = (i + e®) I Sea; E = 1 + 3v\/ + 5 v / + 7w^+ ... + (2n - 1)w/"”’ ,,,(1) Multiplicamos por vi ambos miembros: wE = w + 3v/ + Sw" + ... + (2n - 3)w"-' + (2n - 1)w".,,(2) Restamos (1) - (2); E (l-w ) = 1+2w + 2w" + 2w^ + ...+ 2 w ";^ - ( 2 n - i r E(1 - wí) = 1 + 2w/(1 + v j + vj^ + ... + v/''^) - (2n E(1 - w) = 1 -H 2w X 1 - vj"’ 1 - Wí - {2n - 1)w" 2 (w -w '') - (2n - 1)w'' 1 -w E(1 - w ) = 1 + - No olvide que: si w es una raíz enésima de 1 =» w" = 1 Luego: E(1 - w) = 1 + 2 ^^ - (2n - 1) = E(1 - w) = 1 - 2 ~ 2n + 1 ^ E = -2 n 1 -w Reemplazando E en (I): S(1 - w) = -2n — Resolución; Sea: w/ = 1 + e^ = 1 + cis-^ O =» calculemos por separado E S= = Ico s^ -t- isen-5- - 2 n - n^(1 —w) S= n^(w - 1) - 2n (1 -w )^ 50. I-tallar la suma de los números complejos en la ex w = 2cos^:^ + 2isen:^cos:^ ID V 'O l o presión A; A=(1 + i)+ (2 + i^) + (3 + i^) + (4 + i*)+ ... +(4n + i*") Resolución: z® = 2 ® ( c o s 2 4 0 ° + i s e n 2 4 0 ° ) S u m a n d o s e p a ra d a m e n te : 2 A = (1 + 2 + 3 + ... + 4 n ) + (i + P + P + . .. + n P o r s e p a ra d o : 2 z® = - 128(1 + -/3i) S , = 1 + 2 + 3 + ... + 4 n = 2 n ( 4 n + 1 ) C o n s id e r e m o s : s , = i + i '+ i ^ + i - + ( i ^ + . . . + ¡ V . . . + ( j* ^ V i* '^ + i* - - ^ + i* ) I. E s c l a r o q u e : i + i ' + P + i"' = O => ¡^ + i® + 1^ + i® = ¡■’ ( i + ¡2 + $2 51. IV4 + iVl5 i = 2 II. { I 2T J ¡3 + j'» ) = o => i“' " ■ " { i + i ' + i^ + 1^) = O , p o r t o t a n t o ; S j = O F in a lm e n te : A = S , + 54. Indicar el valor de verdad de las siguientes afirma ciones: 2T W + \ - l Y - l 2 + Í2 f = ~ {2 f III. |1 - e^^p + |1 + e^l' = 4 A = 2 n (4 n + 1) R e s o lu c ió n : H a lla r lo s z e C , t a l q u e s e a c o n ju g a d o c o n s u c u a I. d ra d o . Recuerde que: | "Vz | = '’/jT [ a |a + bi| = I V7 + iJÍ5 I - 3 ^ + " i/ Í 5 I - Resolución: S e a ; z = r e " = ^ z = r e ” "® y |z | = |z | = r C om o: z = z^=>z = z = ? = (z )^ = + /15^ = «/64 = 2 (V) II. (a + bi)' = (a' - b^) + 2abi ( / 2 W 2 T W + \¡ 2 - Í 2 + ^ f R e e m p la z a n d o z p o r s u f o r m a e x p o n e n c ia l: z - re^ = (re-")' [ h + Í 2 ~ + ñ + i ^2 - -/2 + /2 f f E s ta ig u a ld a d e s e q u iv a le n t e a : r = « = 2 + V2 + V2 - 2 + V2 + /2 + 2 iM - ( 2 + V2)f v r = O (e n E ) r = 1 e** = e"""' « 36 = 2l<n « 0. = C o n s id e r a n d o : - 2kn ; k = O , 1 , 2 1 ^ z = - 4 _ k = 2 ^ z = -e o "'® ^2=- e 2 + i^ 2 - / 2 f M V 2 + V2 + iJ 2 - / 2 f -/2 2 = 2®|{V2 + /2 + i J 2 - ; 2 } " f = e“° = e*“ = 1 k = O k = r = 1 y 0 ;, = - [ 2 V2 + •; l< = O, 1,2 + 5 -i 2 = 2 ®[2 + -/2 + / 2 2 + V2 + 2 /2 if - 2 2 i/2 ' - "(2 / 2 ) ^ 1 2 f + i)^ (V) III. |1 - e*"!^ + |1 + e "|' = 4 C o n s id e r a n d o r = 0 = » | z | = r = 0 = > z = 0 z 2 ® [2 = 2 ® x 2 ''x 2 '( - 4 ) = - 2 ' ® 2 P o r lo t a n t o , lo s p o s ib le s v a lo r e s d e - = |1 - COS0 - isentíp + |1 + cosO + isen0p “ ~ cose)' + senê + ( 1 + cos0)' + sen'0 son: z = o,z = 1 . z ^ - l + f i . z = 4 - f ¡ = 2(1 + cos'e) + 2sen'e 52. D e m o s t r a r q u e s i: | z | < ^ = 2(1 -H cosê + sen'6) = 2(1 + 1)= 4 1(1 + i) z ^ + iz | < - |- í Resolución: .-. W V 1(1 + i)Z^ 4- ÍZ| = !Z||{1 + i)Z^ + i| < |Z|(|1 + i| |Z|^ + 55. Si z es un número complejo definido por -iz|(/2|z|= + 1 ) < l ( / 2 ( I ) ' + l ) 8 ( - 1 - if( /2 c is ( 3 1 5 ° ) ) ‘' 2 + 1 ^ 3 8 2 4 + 2 { ¡ 2 e^' f hallar el equivalente de z. 53. S i: z = - 1 + ^ 3 i, h a l l a r e l c o m p l e j o z ® . R e s o lu c ió n : Resolución: z = -1 !z | = + => z /3 i 2j . ................ 2 a rg (z ) = = 120° 1 V 2013120“ >^20' z® = [ 2c i s 120“ ]® z® = 2® c is ( 8 x 120° ) 2® = ( - 1 - i)^(/2cis(315°))' Im -1 . 2 ® c is { 9 6 0 “ ) = 2 ® c is 2 4 0 c • - 1 - i = V2 cis 225° • i2 o ^ ‘ = Í2 c \ s ^ = i2 cis45° 4 Re Lueqo- 2 = < ^ c is ^ 2 5 ° ) ^ /2 c ¡ s 3 1 5 ° ) ' ( / 2 c is 4 5 “ )® (V) |x + iy + 2 - i| ¿ 3 - l(x 4 2) + (y - 1)i)‘ < 9 = (x + 2)^ ^ (y - 1)^ < 9 --,(2) Graficando tas regiones (1) y (2): _ /2^cis(3x225 )/2‘*cis(4x315 ) I2^cis(5x45") z = ■/2^cis(675'’ + 1260° - 225°) z = 2cis1710° = 2cis270° z -2 (- i) - - 2 i 56. En la figura adjunta se muestran los números com plejos A, B, C, D, M, P, Q, R, S y T. Determine A^, B^ y D^ (en ese orden) Resolución: De la figura, nótese que: A = 2cis 45° =>= 4cis90° = P B = 2cis 135° =. = 4cis270° = M C = 2cis 225° ^ = 4cis450° = 4cis90°= P D = 2cis315* => D^ = 4cis630° = 4cis270° = M A' = P B" = M, = P D" = M 57. Si el complejo z = conjugado 1 a + bi Del gráfico, tomando z,, a Zj en A (cualesquiera) |z, - Z2I será máximo solo en el caso 2, para esto: z, = -5 + i; Z2= 5 + i (o al revés) Z,Z2 = (-5 + i)(5 + i) Z,Z2 = i^ - 25 = -26 59. De todos los complejos z que cumplan: + ■ 1 - , a y b e E es el b + ai determine el valor de: Resolución; E = (a -1 )^ + (b -1 )^ Resolución: En z: 1 ,a - bi. -H■ 1 /b - a i a + bi a - bi b + ai b - a i a+ b a - bi j b - a i a' + b' + a^ |z + 3| = 2; O<. arg(z) <~ 2n Seleccionar et que tenga mayor y menor argumen to y dar como respuesta la suma de sus partes imaginarias. a ' + b^ ' 2 2' Los z G C que verifican la igualdad |z -1- 3| = 2, son todos aquellos que se encuentran en el contorno de la circunferencia con centro en (-3; 0) y de ra dio 2. Graficamos, y véase cuál es ei complejo de mayor y menor argumento. Complejo de menor De aqui: # T F = 5 - ^ “ + *>^ = 2(a + b) En lo pedido'. E - a_^^-2^+1+b" - 2b + 1 E = (a^ + b') - 2(a + b) + 2 E= 2 58. A es una región definida por A ={z e C / |z - 2 - i| < 3 v |z + 2 - i| < 3} si Zi y Zj está en A, tal que |z, - Z2I es máximo, hallar el valor de ZiZ^. Resolución: A = { z c ( [ : / z - 2 - i | < 3 v |z - t- 2 - i|< 3 } Si: z = (x; y)G C, x, y s E. |x + iy- 2 - i| < 3 ^ |(x + 2) + (y - 1) i|^< 9 ^ (x + 2 f + (y - 1)^ < 9 ...(1) Obsérvese que z, y caracterizan puntos simé tricos respecto al eje real y cuando ello ocurre, los complejos son conjugados (difieren en el signo de su parte imaginaria), ,-, Suma de partes imaginanas: O 60. Si A es un conjunto definido por A = {z e C / Re(z) + lm(z) > 1 ^ \z\ < 1} cuya gráfi ca determina una región cerrada, hallar el área de ia región. Resolución: A = {z e <E/ Re(z) + lm(z) 1 a |z| < 1} Si z = (x; y) e (E; X, y e E • Re(z) + lm(2) > 1 => X + y > 1 • |zl < 1 = |z f < 1 = x^ + y^ < 1 Graficando; > S/41 — n(1)' 63. Si A es un conjunto definido por; 1(1) A -{z e < C /2 < ( z ( < 4 4 s,., - Intersecando las tres regiones, resulta: A ¡a rg (z )l< p hallar la gráfica de A. 71 - 2 R e s o lu c ió n ; 61. Hallar la gràfica de: A = {z +4i /|Re(a) + lm(z)| < 4} R e s o lu c ió n ; A = {z + 4i / |Re{z) + lm(z)| < 4} Sì: z = (x; y) e C. x, y e E A = {(x; y + 4) / jx + (-y )| < 4} A = { ( x ; y + 4) / |x - y l < 4} Sea; B = {x; y) / |x - y| < 4} ( x - y ( < 4 =• ~ 4 < x - y < 4 => - 4 = > y < x < x + - y A x - y 4 A y > x - 4 La gràfica es: < A = {z e C /2 < jzj < 4 A |arg(z)| < 2 < |2| < 4 A z = (x; y) e C ^ 2^ < x" + / < 4= y sus gráficas es como sigue: 4 ■Im La gráfica es: Im Re fe La gràfica de A será (aumentando 4 unidades a todas las ordenadas). Im La intersección de estas regiones genera la re gión definida por A. 64. En ia figura adjunta se muestra la gráfica de un conjunto A c C. Hallar la gráfica de; B = {z / z e A} 8 Im -8 0 Re / i -3 62. Hallar la gráfica que representa el conjunto A = {z € (C/ O < arg(z) < n a |z| < 2 A [z - i| > 1} / / R e s o lu c ió n ; R e s o lu c ió n : A = { z s C / 0 < arg(z) < n a |z) < 2 a |z - i) > 1} • O < arg(z) < n =» z está en el semiplano por encima del eje real (incluyendo este). • |z| < 2, su gráfica es un disco con centro en el origen y radio 2. • |z - i| > 1, si z = (x; y) e C ^ l z - i | ' > 1 =» l( x ; y - 1 ) | '> 1 =» x^ + (y - 1)' > 1, cuya gráfica es la región exterior a un disco de radio 1 y centro (0; 1) Si; z = (x; y) e C; X, , 3 Re -3 ye E = z = (x; - y) Luego: B = {z / z e A} tendrá por gráfica: PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI Graficando: |z| < 1 PROBLEMA 1 (UNI 2 00 2 - II) Al resolver, en el conjunto de los números conrtplejos, el sistema: (1 + i)z - w = -1 - i 2iz + (1 - i)w = i -1 Intersecando ambas gráficas: El valor de — es: w l_ i 2 6 -^ 5 . -1 E) D i- l.i Clave: D Resolución: PROBLEMA 3 (UNI 200 4 - 1) Calculando el determinante del sistema: A = 1+ i - 1 2i 1 - i Calculando Hallar la suma A de números complejos: A - (1 + i) + (2 + i'’) + (3 + i') + (4 + i") + ...+ (4n + i"^) A = 2(i + 1) A )n (2 + 1 ) D) n(4 + 1) y Az = -1 - i -1 ^ Aj = -2 + i i 1- i Aw = 1+ i 21 B)2n(4n + 1) E)2n(4n - 1) C) O Resolución: Agrupando convenientemente: A = (1 + 2 + 3 + ... + 4n) + (i + + i^ + ... + i'*") 4r^ Recordando la propiedad: ^ í" = O - 1- i - A . = 3 ( i- 1 ) i k = 1 Luego: —= w A„ a" A„ 3 ( i- 1 ) .z = l + l ■ 2 6 Aplicando: A = 1 + 2 + 3 + ...+ 4 n A= (4n) {4n + 1) A = 2n(4n + 1) Clave: B Clave; C PROBLEMA 4 (UM 2 0 0 6 - 1) PROBLEMA 2 (UNI 2 0 0 3 - II) Indique gráficamente todos los puntos del plano que verifican las relaciones: |e^| < 1 y [z| < 1 donde: z = x + iy A) B) yt D}- Resolución: Como: z = X + iy, tenemos que: |e^| = |e’' '’'| = e‘ Graficando: |e"¡ < 1: e' ? 1; e’ < ♦V = x<O Determine la representación geométrica de todos los puntos del plano complejo que satisfacen la condición; jz - 1! < 6 - !z + 11 Resolución: Con: z = X + iy z + >3 =• |z - 1| ’ 3|z + 1| 1 Reemplazando z: (x - 1)^ + y^ '■ 9(x +1)^ + 9 / Resolviendo: x^ -|x + 1 + y^ < O Luego, completando cuadrados: + Su gráfica será: y ! (-5/4; 0)'., Resolución; (0:0) 3/4..'' Aplicando teoría en la desigualdad planteada, z = x + yi, este valor se reemplaza en la expresión dada; ¡X + yi - 1 | < 6 - |x + yi + 1| |{ x - 1 ) + y i|< 6 - | ( x + 1 ) + yi| /(X - + y ' < 6 - / ( x + l f + y' Clave: A PROBLEMA 6 (UNI 2 0 0 7 - 1) Determine la suma de las raíces de la ecuación: 16(z^ - 2ÍZ - 1 )' = z" Luego, al elevar al cuadrado se obtiene: V ( x + lf + y" < 9 + X A) 3 - 4 Í 8x^ + 9 / < 72 3^ (2 /2 f B) 15 D) < 1 Finalmente, se concluye que la gráfica adecuada es: (0; 2-/2) 2 + 4i - 2 + 4Í Resolución: Sea: 16(z^ - 2 iz - 1)^ = z‘ , desarrollando obtenemos: 15z" - 64iz^ - 9 6 z ' + 64ÍZ + 1 6 = 0 Por teorema de Cardano: (-3:0)' '(3; 0) Suma de raíces: -• (0; - 2 V 2 ) (-6 4 Í) 64Í (15) 15 Clave; E Clave: B PROBLEMA 7 (UNI 200 7 - 1) PROBLEMA 5 (UNI 2 0 0 6 - II) Si z = X +iy, grafique los puntos en el plano cartesiano que representa el conjunto z! (-5/4:0)\ \j/r^-= 314/ O 1 >3 calcule el valor de R: /2 1 A) O D)3 .... y / z z+ Si n = 8k y k G /2 B) -1 E)4 Í2 ' 0 2 Resolución; (0;0) (3/4; 0)'., (0:0)- R = ( ^ ) [((1 +i)^)^^ + ( ( - i + i) T J R = ^ [ ( 1 4 2i - 1)^^ + (1 - 21 - 1)^‘] = ^[(2 i)^‘=+ ■••/r = 3/4. v'(0;0) R = ^ ¡ 2 ( 2 in = ^ (2 X 2 /^ = 2 Clave: C PROBLEMA 8 (UNI 2011 - II) Ai resolver el sistema E = ■Í2< |z - 3i| = 2 y - x' = 1 donde z = x + iy es un número complejo, ta suma de las ordenadas de los puntos solución es: A) 9 D)6 B)8 E)5 De donde: Re(E) - 0 7 lm(E) = ~ ~ ^ A A arg{E) = I y III son correctas Resolución: Clave: D Siendo: z = x + yi = » z - 3 i = x + ( y - 3)i, su módulo: |z - 3i| = PROBLEMA 10 (LM 2014 - 1) + (y - 3 f , por dato: |z- 3i|= 2 - Jx^ + ( y - 3 f - 2 => + {y - 3)^ = 2= De la 2.^ ecuación: y = x ' + 1 Reemplazando p en a: x' + (x' - 2 f = 4 Resolviendo: x'(x' - 3) = O X = O => y = 1 Su gráfica será: •x = /3 => y = 4 X = -/3 = y = 4 ...(a) ...(P) A) Solo I D ) ly ll Puntos solución: {0; 1), { / 3 ; 4), ( - / 3 : 4) La suma de las ordenadas es: 1 + 4 + 4 = 9 Clave: A C) Solo III S„ = i + i^ + i^+ ... + i" i- 1 = - i x i( i^ - 1) ^ i( i- l) s„ = i"i +- 11 Sn + S„ . , = i i6 Í2 3 i 2 2 Indique cuál de las siguientes proposiciones es verda dera I. Re(E) = 1 - / 3 2 II. lm{E) = 1 +-/3 III. E = -/2 e ' A) Solo I D ) ly lll (1 + i ) ( - f + f I -h 1 1+ 1 i" + i" " ’ - 2 = i(i + 1) ^ i"(1 + i) = -1 + i + 2 i"(1 + i) = (1 + i) =, r = 1 n = 4k (F) r- 1 i+ 1 i" - 1 B) Solo I E) I. II y C) Solo III S_r-M r - ' _ 1 , ¡"-^1 i+ 1 i+ 1 =, i " - 1 = 0 - 2 i" = -1 =» n = 4k + 2 (F) S„ = -1 Resolución: E= B) Solo II E ) ly tll Resolución: S = " PROBLEMA 9 (UNI 2012 - 1) Sea E = Considere: S„ =i + i' + i^+ ... i", donde i' = 1, con n e IN. Dadas las siguientes proposiciones. I. S„ + S„ 1 = i, si n es impar II. S„ = S„ 1 + Sr,. 1, si n es par III. Sn = -1 , si n tiene la forma n = 4k + 3, con kente re no negativo Son correctas: i) ( Í2 ¡ ) (1 + í ) ( - ^ + f/3i j: ß x ß i E - ( i+ i) J - I + : J i) r - / 2 c is ^ c is ^ c is | - - / 2 c is ^ i" - 1 = -1 i+ 1 i" - 1 = - i - 1 ¡" = -1 =, n = 4 k + 3 Solo III (V) Clave: C PROBLEMAS Calcular: 2 = (1-2iX2-i)+{3-4iX4-3i)' .+ {39 - 401X40-391) luego indicar el mòdulo de 2. A) 22 140 D) 22 104 0 24 201 B) 22 410 E) 22 100 A) 2a/3 D)4a/3 3. 4. § B) -2a/3 E) -4a/3 B)i E)4 + i Si: z = 12 + 1213Ì calcular: C)0 E- z + w1 A)1 D)0 5. B )1213 E) 12/54 6. B)--4 0 3 D )-2 E) 1 Calcular la suma de las siguientes 12 fracciones: 2 - 4 i , 5 - 151 , 10 -401 17-85Ì . 73 + 4Ì TsTeì 715 + 81 724 + lOi A) -5871 D) -6281 8. C) 75 Dado el polinomio: P(z) = {z - a)z^ + (4 + 2i)z + 6 Donde: z c C, calcular el valor de “a" para que: P(1 + i) sea un nùmero real. A)5 7. C) 11 031 8) /3 E)2/5 Si X + yi = B) -6621 E) -626t (s ti)"; n calcular el valor de C) -5851 S /, {x; y; z} c IR (s' + t^r r A)1 D) 3 9. B)0 (4 -3 .)^ A) 2"' D) 2'® B) 2' E) 2" 0 2" (1+i)^ {1 - i) 1- i 1 + 1+i 1- i A)2i D)4 B) -21 C)1 E) -4 B)i E )1+ i C)n E) 2 Los cocientes siguientes: a + 2 i. b + ai + Bi b - 31 ’ a + bi corresponden a un complejo real y un complejo imagi nario puro. Calcular al producto de dichos cocientes. O 1- i A 13. Si se verifica que Resolver la ecuación: z’’ + z^ 4 (4i + 1)z + 5 = 0 Si una de sus raices es imaginaria pura, indicar el mòdulo de una de sus otras raices. A) D)2 73 (6 + 8i)‘ (1 + l 3 \ y ^ A) - i D) 1 + — 2------ — 2— “ 4 ' 12. Hallar un valor de: V -2'/-2'°'/i''V l - ■/2®7T w = 54 + 11 031i, A B ) - |i 11. Reducir: z = C)a/3 Si zes un complejo que verifica: + (1 - /2 )z = 0, calcular el valor de' E = z + z' + z’’ + z‘ + + 1 + z'' + z^ A)1 D)2i A )- f i 10. Calcular el mòdulo del complejo: Reducir el siguiente complejo: , ^ 73 - 2a + iV3 - 2a 73 - 2a 4 iV3 + 2a 73 + 2a - i 73 - 2a 73 - 2a - i 73 + 2a donde: “ f - ^ ■ ■ PROPUESTOS Bj C ;B g IR. a - bl B C Determinar la relación correcta. A)A + B = C C )A ' + B' = C E)A' + B' + 1 = C B) B^ + C^ = A^ D) ABC= 1 14. Siendo: i = (0; 1), calcular el valor de z. ______________x'* + 4_____________ ( x - 1 - i)(x - 1 + i)(x + 1+ i)(x + 1 - i) A) O 15. Si z - 0 2 B)1 D )-1 E)3 (a -t)i)^ + (b -c i)^ + ( c - a i) ' a(b - ci) + b(c - ai) + c(a - bi) calcular: Re{z); v a, b, c e IR - {0} A) O D)2 B )-1 E)abc C)1 16. Dados: z, = (a; b); Z2= c + di, tal que: z,, Zj e C : a, b, c, d e IR Hallar la condición para que ( — ) sea imaginario puro. A) be = ad C)a + b = c + d E) bd = ac B) ac + bd = O D) ab = cd 17. Si z,; Z2e C, tal que: [3z,j = [2z2| = 12 Calcular el valor de: E = |z, + A) 105 0)101 8)104 E )98 + |z, 0 102 z¡ 18. Sea F(x) = x' + ix^ + i{-2 + i)x' + 3x - 1 + 3i, hallar el valor de F(1 + i). A) 3 D)í B) 5 E)2i C) - i 19. Calcular la suma de losmódulos de los cuatro va lores de z, si: z = 73 + 4i + 73 - 41 A) 8 D) 12 8)8 E) 14 C)10 20. Resolver la ecuación: x - {5 - i)x + 8 - i = O Señalar e! cuadrado de una de las raices. A) 3 - 4i D)4 + 12i B)5 + 12i E)4 + 3i 0 3 + 4i 21. Entre los números complejos z que satisfacen la condición: |z - 25i| < 15. Hallar el complejo z con menor argumento, luego indicar: W= A) -250 D) -112 \ 2 Ì ' \ B)-196 E )-105 2 Ì B)4 E)7 B) 11 E) 14 0 5 O 12 24. Hallar es el mayor número entero y positivo de 4 cifras, menor que 3000, que verifica la relación; /1 -•/3Í\'' A )2999 D )2994 B)45° E)44° 26. Dados los complejos: Zi = 4(cos25° + isen25°) A)2e^' D) 2 B ) - 2 /2 e " ' E) 28. Siendo: i = C )272e"‘ además; z = . (73-í)^ Hallar lm(z)^ A) 1/4 D) -1/2 B) -1/4 E) 1/8 O 1/2 29. Calcular; (1+i)^° ( 1 - i) ‘ A) 16 D) 128 0 64 B) 32 E) -64 ^ _ [2(cos7°+ isen7°)]^[2(cos8° + isen8°)]^ [16 (eos 17° + isen 17°) f A )/3 i D) 1 - /3i B)i E)2 + i 0 1 -/3 Í 31. Calcular la suma: S = i' + 2i" + 3i® - 4í® + ... + 2ni‘" donde: i = A)1 D)n - 1 O 2n B)0 E)n 32. Hallar Re(z), si z(1 + ai) = 1 - ai; a e E 1 A) B) 2a O -2 a 1 +a " E) 1 +a' 1- a ‘ C )2990 33. Si Re(z) =11. hallar: A = ¡2 + z|^ - |2 - z|^ < arg(z) < n. Determinar arg(z). A) 21° D) 63° z= (1 + /3i)(1 -Hi)(cos-| - ísen^) D) - 1 1 - a' 25. Siendo: z e € / |z| = 1 y z^ - z'* = /2i, con 27. Calcular la forma exponencial; 1 +a " 1 , /3; B )2998 E)2992 0 -^ (1 + í) 30. Hallar el complejo que resulta de efectuar; 23. El perímetro del polígono que tiene como vértices a los afijos de las raíces de orden 8 de 16 es un numero irracional de la forma; a 7b - 7a . Hallar el valor de (a + b). A) 10 D) 13 B ) - 2 ( 3 - i) E ) /7 ( 2 - i) 0 -1 4 8 22. Hallar los números complejos z que cumplan la condición-, z = (z)^. Indicar cuántos son. A) 3 D)6 A )4 (1 + í) D ) - 3 ( 1 - i) C )8 r A) 22 0)121 B)44 E)9 C)88 34. Determinar el número complejo que multiplicado por i da otro complejo cuyo módulo es 5, que su componente real sea (-4) y que esté en el tercer cuadrante. A) - 4 - 21 D) - 4 - 4i B) -4 + 2i E) -4 - 3¡ O -4 + 3i Zj = 2(cos70° + isen70°) hallar: —i z. 35. Si B es un conjunto definido por: B = {z e C / tRe(z)l > 1/2 a \ \ < 1} z señalar la gráfica que mejor representa al conjunto B. Im E) A) Re ^ 2 ^ •Re Re 39. En la igualdad: eos (49 + g) -isen (46 + g) eos{20)-isen(26) •Re Re eos (40 + a ) + isen (40 + a ) cos(20)+ísen(29) = Acos(B9 + a) determinar el valor de AB. A )-4 B)2 0 -2 D)1 E)4 40. Determinar una de las raíces de la ecuación: z" + {2 + i)z - 13(1 - i) = O A) 3 + 51 D) 1 + i •Re B) 1 + 21 Ë)2 + 3i C) 3 - 2i 41. Determinar el valor de x en: 36. Dada la ecuación polir>omial; + 1 = 0. calcular la suma de las partes reales de las raíces que están en et primer cuadrante. C) /6 + /2 A) O B )2 /6 D )f E) -/6+V2 1 - z - a, 1+ z determinar el conjunto de puntos que representa la gráfica de esta igualdad. 37, Sea z e C; a > O ^ a z = (1 - i)^{cis(x + O< x < 2 Si 2 es un imaginario puro, indicar cuál(es) de los siguientes enunciados es (son) correcto(s): I. X e 0 » .x e jO ;f¡ 4 ti. 3n 3’ 2 A ) ly ll D) Solo II B ) ly lll Ë) Solo I C )lly 1. Si A) Circunferencia de radio; ^ —: 42. Indicar cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) correcta(s): 1 + iz > 1 1 - iz 1©^ + é^l > 2 B) Circunferencia de centro: \ } :0 a- 1 C) Elipse de centro ^ ^ 1 a + ^’ 2 C) Elipse de centro a + 2 . 1 3 ’2 E) Parábola de vértice í a + 2 . a 5 ’ 3, 38. Sea el conjunto: A = {z e C / |z| < 2 + lm(z)}, hallar la gráfica que mejor representa al conjunto A. III. arg[1 + (2 A) Solo I D) I y II b B) Solo E) II y III C) Solo 43. Si n e Z'; 1^g (0; n - 1) c Z, indicar. I, => x = c i s ( - ; ^ + — X" = i \2n II. x" = - 1 = X = III. x'' = 1 « ; IV .x " = - i A) O Ì n / c is ( 'ü . j^ + 2kít) 4 ) ^ x = a s ( |a + 2k„¡ B )1 0 2 D) 3 44. Si w e C, además: w = c o s -^ + ise n -^, u O calcular: E = (1 + w)", n e Z’ a n > 2008} A) c o s ^ + is e n -^ B) C) co s^ + isen-| D) cos.| - E) 2cos"M ’ 3 A) 2'^ D) -2 ' /2 c is ^) (-3 + ¡) 45. Efectuar: z = 53. Indicar cuántas raices complejas de la ecuación: x" - 1 = O, (n € IN), tienen argumentos en el intervalo 2 (¡s e n |)'(/2 e M '(3 + ¡) A) 3 - 5 Í / 4 ti. 16rt' B) - 3 - 4 i 2 5' n n B)4 E) 12 A) 3 D)8 46. Sean z , y dos complejos, tales que: Determinar el área del triángulo formado en el pla no complejo por z „ z¡ y el origen de coordenadas. B)1 D )f E) C )f A) 70° D) -70° I | +f¡e A III. 0 215° B)210° E) 240° 16p - i GA A) F W D) W V 56. Si z es un complejo, tal que; C) B) 16p A }6 D )A o B Si z es el complejo conjugado de z, de argumento principal 0 (6 g IR), además: |=J + ( -|) = 1 B) I D )0 E) -1 50. Sea: z = cis6; z e C 6 e E, determinar el valor A) 2 + /3 2 1 + /5 D) B)n E)0 O 4 + 2/3 B) 3 + /5 F) -/T+ /3 ' 2 59. Simplificar; W = i + i^ + i^ -h i“ + i® + 0 2 51. Determinar el módulo y el argumento principal de: A )-1 B)1 + i D ) i- 1 E )~ i + i = /T i 00 60. Reducir: z = \^ + \ A) 01 B )w z+I = 1 z de: lm|z'’ + -^ A) 2cos(n6) D)1 O A yB 58. Sea z un número complejo, hallar el máximo valor de su módulo si se sabe que: o í a 8 )18 E)36 E)8 Determinar el valor de cos(180) A) 1 = V2^'^, 57. Si 1, w, son las raíces cúbicas de la unidad, cal cular: M = (1 + w'°)'^ (1 + w')'® (1 + (1 + w y A) O D)2 49. O FVF B) W F E) VFF calcular: A = [1 + z|' + ¡1 - z|^ 48. Sabiendo que: cos5® = VÎT a senS® = ”7p . _ (1 +sen80° + icos80°)^ hallar: T = -i--------------------------(1 -sen80° + icos80° A) 0110° B)20 E) -20° 55. Si: A = {z £ (C / z^ = 1}, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: 47. Si z = 8cis^, determinar el argumento de: ó w = z^ - 16z A ) 180° D )225° O 5 54. Hallar el argumento de: z = -cos70° + isen70° 2|Zi| = IÍ 2I = 2; además arg(z,z2) = ^ A) i O 2' B )-2 '* E)2^' A) i D) 13 O e ^f 61. + r’ +, B)1 E) -1 O 13i S im p lif ic a r , s i z e C W = [1 - Re(z) + i lm(z)][1 - Re(z) - i lm(z)] + 2Re(z) 52. Sea z e € ; tal que: z = /3 - 1 + i(73 + 1), determinar el valor de: Re {z’') A) D) 1 + [z f 1 - [2]^ B) 1 + [z] E) [z] C) 1 - íz] 62. Determinar el área de la región formada por el con junto: A = { z e C / | z - i - 1 | < l A | z | < 3 + 2/2 a} ^ < arelan (z - i - 1) < 37t • A )| D )f B) ■ÎX 3 E) 71 12 C ) t4 Si: z + 1 = 1; z?¿(0;0) 2 A) 1 + /3 2 B) 1 + /5 2 D) - 1 + / 5 2 E) - 1 - / 5 2 0 ) 1 + /3 68. Sabiendo que z es un número complejo, resolver la ecuación z^ -i- z - 2 = -2 . 63. Hallar el lugar geométrico de los puntos que repre sentan a los números complejos z que satisfacen |z + 3 - i| < 8 - |z - 3 - i| A) El interior de un círculo de radio 2 /2 . B) El interior y ei contorno de un circulo de radio 2 / 3 . C) El interior y el contorno de una elipse. D) El contorno de un círculo y su parte extema. E) El contorno de un circulo. 64. Siendo z un complejo, esbozar el gráfico de: Iz + 11 < 4 - I z - 11 Señalar la suma de tos módulos de todas sus solu ciones. A) 3 B)1 0 )8 69. Si: z, ü) e C, |z| = 2 a |® | D )9 E)5 = 1, calcular; Iz I + m z Ztú + zco A) 4 D)64 70. Efectuar: 8 = 1 -f i 1- i A)1 O 16 B)8 E)1 B)2 /I - i ll +i / ^ 0 )3 D)4 E)0 71. Sea el número complejo z, tat que: _ (1+1)^ + 0 - i ) z=^ (1 _¡)2 + (i+ i) 3 ’ A) 4 D) - 2 Re(z) + 1 halle el valor de; , ^ lm (z )-1 0)3 B) - 3 E)1 72. Calcule el valor de; 3i^’ + 4i^'' - i^° A) 1 + i D)5I B) i E )-2 i 73. Si: E = A) 3 O) 3i , calcule n, si; |E| = 32 ( i- ¡ r B)5 0 )7 0 )9 E) 10 65. Sabiendo que: co, = cos^^^ + isen.^2. 74. Sea: z = (1 + i)’°, halle; lm(z) calcular: M = y A) 7 D) -1 4 A) 32 D)128 to„ B) - 7 E)0 75. Efectuar; S = presenta solución única, donde z e <C. Indicar un valor de a -I- b. B)6 E )-5 0 64 C) 14 66. Calcular “a” y “b" de modo que el sistema: |z -2 | = a ...(1) |z - 4 |< b ...(2) A) 2 D)10 B)10 E)256 0 )8 67. Determinar el valor máximo que puede adquirir ei módulo del número complejo z. A)1 B )2 3i + 5 / i' = - 1 0 )3 D)4 E)5 D )4 E)5 76. Dado a e IR, i = / ^ simplificar; / 3 - ai 100- a i a -1001 /3 i + a A)1 B )2 0 3 77. Si: a + bi = /7 + 24 i, calcular: A) 20 D) 27 8)25 E)32 -h b^ O 30 78. Simplificar: T = B)7 A) 2 79. Reducir: S = A) 1 + ¡ D )4 + ¡ z \’oo 85. Sean: z = 1 + i , w = 1 - i, calcular; í — 'w 5 -5 i 1+ i 1- i A) 5 C) 20 D)5 8) 4 0 3 86. Sean: z,, Zj e (C, hallar: Re - -ÍTi : i = B)2 + i E)1 - i E)1 D)2 E)24 03 + i A) - 2 B)2 z. Z2 2i + Z2 D)0 E)1 D) 71 E) -2 i Re z, + C )-1 87. Dados los complejos: Zi = 3 +5i; Zj = - 5 + i; Z3 = 1 80. Calcular el módulo del complejo: £ -,(2 n -1 ) (2 n + 1 )’ 8)3/7 E) 51/93 A) 56/93 D) 34/3 A) 2i 0 31/7 I. II. III. IV. k = -5 8 )3 0 2 D)1 E)0 2(a^ + b^) (m' + n^)^ A)1 8 )2 0 3 0 8 8)13 D)4 E)5 A) - 5 A) 1 7 i'+ 5 i^ + 3 i^ 3i-' + 5i-® + 7 r ' B )2 1. A 2. D 3. 4. 5. 6. 78. 9. 10. 11. 12. C A C C B A E C E E C) VFVF D)2 0 3 A) 5 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. C B C B B E D C E 8 C B 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. C C C D E C E C C E C 0 02 D)1 E)0 B )3 C )-3 D)1 E)2 91. Si; z = 3 + 2i. hallar; T = |z + z + i* | + 2'/T3 E) 1 A)2'/T3 D) VT5 B)3-/T3 E) O 0 5 /1 3 92. Si: z, w e C; |z| = |w| y Re(z) - Re(w) = O, calcular; |1 + z f - |1 + w|^ + 2i'' D)4 B) - 3 90. Dado; z + 1 = mi; m e E; z e C. Determir>e; Izj 84. Halle el módulo del complejo z, si z= 8) W W E)FVFV 89. Sea z g I , tal que; (z + 2)^ + Re(z) = O calcular; Re(z) 83. Sea el complejo; z - (sena + icosa)(sen2a + icos2a)... (senna + icosna); na 6 IC, para n e E". Además: |z| = a* + bi Calcular; a^ + b^ siendo a, b e E A) 29 z + z = 2Re(z); z e C z - z = lm(z); z e C zz=|z(' z = z » z es un complejo real A) V FW D)FFFF 82. Si; Va + bi = m + ni; a, b, m, n e E - {0} calcular: O 41 88. Indicar el valor de verdad; 81. Dado: F{x; y) = x + yi; i = 6 calcular el módulo de: F (k :-k ) A ) /5 8)51 A )-2 E)5 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. A C E C E 8 C A 6 8 B A 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. E E A B C 0 C D C D D C B )-1 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. A 0 C C D A B A A E D A 0 2 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 0 )1 C A B B B D A A E B E C 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92. E)0 E E D A E D B E Matrices y Determinantes O D a o o Gabriel Cram er nació en Gine bra el 31 de julio de 1704 y m u rió el 4 de enero de 1752. Fue un m atem ático suizo que m ostró gran precocidad, pues a los 18 años recibió su doctorado y a los 20 era profesor adjunto de Ma temática. También fue profesor de M atemática en la Universidad de Ginebra durante el periodo 1724-1727 y en 1750 ocupó la cátedra de Filosofía en la misma casa de estudios. En 1731 pre sentó ante la Academia de las Ciencias de París, una m em oria sobre las múltiples causas de la inclinación de las órbitas de los planetas. Editó las obras de Johann Ber noulli (1742) y de Jacques Ber noulli (1744) y el C om erdum epístoíarum de Leibniz. Su obra fundam ental fue la Introduction à ¡'analyse des courbes algébriques {M 50), en la que se desa rrolla la teoría de las curvas algebraicas según los principios new tonianos. La regla de Cram er es un teorem a en álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en térm inos de determ inantes. Recibe este nom bre en honor a Gabriel Cram er (1704-1752), quien la publicó en su Introduction. .. aunque Colin Maclaurin tam bién publicó el m étodo en su Treatise o í G eom etry de 1748 (y probablem ente sabía del m étodo desde 1729). Fuente: Wibipedla ^ MATRICES A= Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dis puestos en filas y columnas. Para representara una matriz, se utiliza letras mayúsculas. 2 1 4 7 M atriz nula Es aquella matriz, donde todos sus elementos son iguales a cero. Ejemplos: A= B= 5 -3 6' 5. -2 0 3 0 2 -3 4 '4 .0 Fila 0 0 A= 0 0 0 0 0 0 0 A= o' 0 0 0 0 0 0 <4 IGUALDAD DE MATRICES 8_ Dadas las matrices: A = [a -X .„ <4 ORDEN DE LIMA MATRIZ A B = Viene dada por la representación m x n, donde “m" es el número de filas y “n” el número de columnas de la ma triz. Para los ejemplos citados anteriormente, tenemos: Si estas son iguales, es decir: A = B, se verifican simul táneamente las condiciones: A es una matriz de orden 2 x 3 B es una matriz de orden 3 x 3 2.° Los elementos correspondientes son iguales. Forma general de una m atriz de m fíla s y n colum nas ^ OPERACIONES CON MATRICES A= 1 A y B son de igual orden m x n. a¡,= b„; v i ; j a,i a, Adición 021 02 Dadas las matrices de igual orden: A = [a„L,„ A B = 83, A + B = [aJ„.„ + [b,jL.„=[aij+ b,]„ Se define: Por ejemplo: Donde: es el elemento genérico, ubicado en la fila “i", columna “j". En forma abreviada se tendrá: A =[a,J^.„ i = 1; 2; 3;...; m = 1; m j = 1;2; 3; Hallar la matriz A + 8 , a partir de: A= 2 1 3 0 - 1 2 n = 1; n A+ B= 2 1 3 0 - 1 2 A+ B= (2 + 1) (0 -1 ) ^ MATRICES ESPECIALES M atriz fila Es aquella matriz que tiene una sola fila. [ 1 5 7 10] ' 2' A= 1 2 -1 4 5 3 'i 2 - 1 4 5' 3 (1 + 2 ) (-1 + 4 ) (3 + 5) (2 + 3) 8 3 3 -1 3 M atriz colum na Es aquella matriz que tiene una sola columna. B= A 5 M ultiplicación Multiplicación de un escalar por una matriz. Sean: A = [ajm.n A k e E. se define: k A = k [a „]„.. = Ik a ,]„.„ M atriz rectangular Es aquella matriz, donde el número de filas y el número de columnas son diferentes. A= 2 3 4 _2 - 1 . Por ejemplo: Multipliquemos por 2 a la matriz: ’1 M atriz cuadrada Es aquella matriz, donde el número de filas y el número de columnas son iguales. i A= 2 1 -1 3 .-. 2A = 4 -2 4' 0 2A = 2 2 1 2. -1 3 2 8 6 4 4 2, Multiplicación de una matriz fila por una matriz co> lumna. Sean: A = [a „ a,2 3,3... a,n] B= Se define: A-B—[8i,b,i+ a,2b2, +. ai3b3 + a,nb,,] 2 2 B = 4 =» A.B = [2 1 3] 4 A 6 Potenciación 6 Siendo A una matriz cuadrada y “n" un entero positivo, se define: n= 1 A" = A.B = [(2)(2) + (1)(4) + {3){6)] A.B = [4 + 4 + 18] = [26] ; A" = AA = n = C„ n 2 -1 1. A B= '2 -2 5 ' 2 -3 .1 2 -1 3 1 2 -2 1 2 A .B = (3)(2) + (1)(1) AB = AB = 4 -1 6+1 ( 3 ) ( - 2 ) + (1){2) -1 3 1 2 -1 1 . [3 -1 1 J (2 ) ( - 1) + ( - 1)(1) (3 )(-1 )+ (1 )(1 ) (4 -3 ) (-2 -1 ) A" = (6 + 3) (-3 + 1 ). A^ = 1 -3 9 -2 <4 TRANSPUESTA DE UNIA MATRIZ Dada una matriz A, existe su matriz transpuesta deno tada por A^ y definida como aquella matriz que se ob tiene al transformar todas las filas de A en columnas. 5 ~3 A = [a,L-n ^ A^= (ajj„. Por ejemplo: Ahora se multiplican: (2)(2) + ( - 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( - 2 ) + ( - 1 ) ( 2 ) 2 (2)(2) + (-1)(3) A" = _(3)(2) + (1)(3) Veamos si existe AB A tiene orden 2 x 2 =» N.° columnas = 2 B tiene orden 2 x 3 = N." filas = 2 Como: N.° columnas de A = N.° filas de B, se afimia que si existe AB, cuyo orden es de 2 x 3. AB = 2 [3 Por ejemplo: Hallar AB y BA .3 Por ejemplo; Hallar A^, si: A = N.° de columnas de A = N.° de filas de B A= n >2 A .A .A ... .A Multiplicación de las matrices. Dadas las matrices Ay B, existe el producto matricial de A por B denotado por A.B, si se verifica lo siguiente: Luego: A, k(A +B ) = kA + kB A + B = B+A ABC = (AB)C = A{BC) A(B + C )= A B + A C AB = 0; no implica A = O v B = 10 A B = AC no implica 8 = C ^ a n ^ matrices A y B, de mocto qt« 1. Si;AB = PA, s e d k » q w A y B i mutat^s. 2. S: AB= -BA, sedicequeAyB! {»rMTiutaWes. , Por ejemplo: multipliquemos A por B, donde: A = [2 1 3] 1. 2. 3. 4. 5. 6. (2){5) + ( - 1 ) ( - 3 A= (3)(5) + { 1 ) ( - 3 ) 2 1 O -1 2 0' -1 ,4 5 , ^ A "- - 4 - 2 10 + 3 -6 + 2 1 5 -3 Siendo A y B matrices, y ei escalar k. 1. (A + B)^ = A^ + B^ 3. 2. (kA)^ = kA^ 4. 3 -6 13 7 -4 12 Veamos si existe BA N.° columnas de B = 3 y N.° filas de A = 2 Como: N.° columnas de B N.° filas de A Se podrá afirmar que BA no existe. Estudio de las m atrices cuadradas En general; el producto matricial no es conmutativo. P Í8 S H B M I Sean A, B y C mathcds para las cuates se adición y/o muttípiícación. además al escalar K. la M atriz tria n g u la r superior 1. Toda matriz cuadrada de n fihas y n cohimnas es de orden n 2. La diagonal trazada de izquierda a derecha recibe ^ nombre de diagonal principal 3. La diagonal trazada de derecha a l^ ie n ja recibe el nombre de diagonal secundas <4 TRAZA OE UNA MATRIZ A [Traz(A)J Se denomina así, a la suma de todos los elementos de la diagonal principal. Traz(A) = a„ + ajj + 833 + ... + a„ Es aquella matriz donde solamente todos los elementos ubicados debajo de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: A= M atriz tria n g u la r in fe rio r Es aquella matriz donde solamente todos los elementos ubicados encima de la diagonal principal son ceros. Ejemplo: 3 '\ 0 Por ejemplo: Para la matriz: A= 2 -1 sO 8 <4 CARACTERÍSTICAS NOTABLES DE ALGUNAS MATRICES CUADRADAS A= Traz(A) = (2) + (8) + (-4 ) Traz(A) = 6 M atriz sim étrica Si A es una matriz simétrica, verifica: A^ = A Siendo A y B matrices y el escalar k. 1. Traz(A+ B) = Traz(A) + Traz(B) 2. Traz(kA) = kITraz(A)] 3. Traz(AB) = Traz(BA) M atriz antisim é trica Si A es una matriz aotisimétrica, verifica: A^= -A <4 MATRICES CUADRADAS ESPECIALES M atriz idem potente Si A es una matriz idempotente, verifica: M atriz diagonal A' =A Es aquella matriz no nula, donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros. M atriz involutiva Ejemplos: Si A es una matriz involutiva, verifica: '2 A= 0 0 0 0 ■3 0 0 ■ 0 0 3j B= 0 0 5 0 0 .0 A^ = 1; (matriz identidad) M atriz nilpotente Si A es una matriz nilpotente, verifica: M atriz escalar Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo: ■4 0 0 A= 0 0 4 0 0 4 M atriz identidad (1) Es aquella matriz escalar donde todos los ele mentos de la diagonal principal son iguales a la unidad. Ejemplo: 0 0 0 0 0 0 1 A‘’ = 0; (matriz nula) p: índice de nilpotencia <4 DETERMINANTES Un determinante es la relación funcional que aplicada a una matriz cuadrada la transforma en un escalar (nú mero real). Si Aes una matriz cuadrada, su determinante se denota asi: det(A) o |A|. D eterm inante de orden uno A= r - .c b d ^ |A| = |A| = ad - be ? c b d D eterm inante de orden tre s A= Para: A = a b e d e f g h i - 2 + (-1 ) 1 1 3 |A| = 18 - 7 + 39 © © |A¡ = M - N <4 MENOR COMPLEMENTARIO DE tN A COM PONENTE El menor complementario de la componente (elemen to) a,j denotado por M,, es el determinante de la ma triz que resulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz dada. Ejemplo: Para hallar el menor complementario de; a,2= 4 2 3 |A| = 2 5 2 - 2 + (-3 ) 1 1 3 5 2 [A |=(2)(9) + (-1)(7) + (-3 )( -1 3 ) Según ia regla de Sarrus 5 1 -3 -2 1 Con los elementos de la primera fila; |A| = a(ei - hf) + b{fg - di) + c(dh - ge) M„ = 2 -1 1 5 3 2 |A| = 50 I Pora Para aplicar el teorema anterior, se recomienda escoger la fila (o columna) que presente más ceros. Dadas las matices cuadradas A. B y eí escalar k. 1. |AB| = |A|lBi 2. |A V |A | 3. )kAl = k"iA|: n orden de A. 4. Si dos filas (o columnas) son proporcionales, ei de-' tenninante será igual a cero. 5. Sí todos los elementos de una fila (o columna) son c«ros, el determinante será igual a cero. 6. Si se permutan dos filas (o columnas) consecutivas, el determinante cambia de signo. 7. B detemiir\ante rw varia si a todos k^s êmw\tos de una fila (o columna) se 1^ aumîta un tTKîtiiido de otra. 8. E) determinante de una matriz triangular superior, triangular inferior y diagonal se obtiene multiplican do todos los elementos de ta diagonal principal. = (5)(3)-(1)(2) <4 DETERMINANTE DE VANDERMONDE 15 - 2 = 13 De orden dos C ofactor de una componente El cofactor de la componente (elemento) a¡j denotado por A,, se define de la manera siguiente; A i = b- a De orden tres 1 1 1 a b e - (c - b)(c - a)(b - a) a" b' e^ Para: A = De orden cuatro El cofactor de la componente a ,3 es; 1 A ,3 = (-1 )"^ M ,3 = (-1 )‘ 2 -1 3 A ,3 -(1 )[(1 )(3 )-(2 )(-1 )] An = 3 + 2 = 5 Teorema: el determinante de una matriz será igual a la suma de los productos obtenidos al multiplicar todos los elementos de una fila (o columna) por sus respectivos cofactores. 1 1 1 1 a b c d = (d - c){d - b)(d - a){c - b)(c - a)(b - a) a^ b'^ c^ d^ a' d’ Definición: Una matriz cuadrada A es no singular, si |A| ^ O, asimismo, si: |Aj = O, la matriz A será singular. < i MATRIZ INVERSA Dada una matriz cuadrada no singular A, si existe una única matriz B cuadrada del mismo orden, tal que: AB = BA = I (matriz identidad), entonces, definimos B como matriz inversa de A y lo denotamos por A’ ’. 2 -3 -5 -1 3 5' 4 5 + 1 -3 -5 -1 3 5 1 -3 -4 A^ + B^ = A + B = -1 iS S B S S B Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si es una matriz no singular, en tat caso se dice que la matriz es Inversible. m Sean A y B m a íc e s cuadradas no singulares y el escalar k. ’1 0 0 A ' + B^ = 0 0 = 1 _ Sean el polinomio: F{x) = x 3x - 2 y la matriz 2 -3 A= determinar !a suma de ios elementos 2 1. a A " ’ = A " ' A = I de F(A). 2. ( A B )'’ = B '’ A~' Resotución: 3. (A"’)"’ = A 0 1 0 4. (k A )"’ = k ' ’ A ' ’ F(x) = x^ + 3x - 2 5. IA-’l = | A r = i ^ = F(A) = A" + 3 A - 21. A^ = C álculo de m atrices inversas ■2 .2 -3 2 1. , 2 A = [a] ^ A-' = ;a O a c b = A -' - , d, 1A| -3 ' 1, . -2 -9 6 -5 . '1 -3 - 2 0 1, 0 ' 1. 2 -18 .12 - 4 , De orden dos A= 2 -3 2 1 A= -9 + 3 ' 2 .2 -5, F(A) = -2 .6 De orden uno A d .-c -b a La suma de elementos es: - 8 Resolver la ecuación matricial en x, si (A^ + B)^ + Síx’^- i) = 2BÂ, además: 3 -2 -1 0 ' y B, 1 2, .6 1, Indicar luego la traza de x. A-2t = Para m atrices de orden m ayores o iguales a tres se recom ienda utilizar el m étodo de G aus-Jordan, el cual consiste en construir una m atriz am pliada {A : I) donde por operaciones elem entales debem os encontrar otra m atriz am pliada (I : B), con lo cual se podrá afirm ar que B es la inversa de A, es decir: B = A "'. Ejemplos: 1. D a d a s las m a trice s: ■2 - 3 - 5 A= -1 4 5 ^1 -3-4 B= -1 3 5' 1 -3 -5 -1 3 5 determinar: A^ + B^ (A% B)^ + 3(x^- t) = 2BÂ (A^)^+ B^ + 3x^ - 31 = 2BÂ 3x^ = 2BÂ - A - B^ + 31 3x^ = 2BÂ - 4B" + 3B' - A + 2! + 1 = 2B^(A-2i) - (A-21) + I = (2B ^- l)(A -2 l) + 3B^ + I - 2Í-3;-5' 2 -3 -5 -11 4 j 5 = - 1 4 5 1 -3 -4 . 1Í-3Í-4 -1 3 5' -1 -1 3 5' 3 5 B^ = 1 - 3 - 5 = 1 - 3 - 5 = 1 - 3 - 5 -1 3 5 -1 3 5 -1 3 5 B es idempotente 1 2 1 0 0 1. 2 ' 3 -2 + 3 -1 ,0 3 u6 1 , 3x^ = 3 18 3x^ = 1 11 18 10 A^ = A ^ Aes idempotente B' = B 2 -1 0 ^ 3x^ - - 3 .0 Resolución: 2 -3 -5 A '- - Í " ' 4 " S 1 -3 -4 Resolución: 8 3 ■-3 .0 3' + 1 6, .0 Traz(3x^) = 1 3traz(x') = 11 =s iraz{x) = Si A = 1 L -1 O 1 11 , liallar el valor de; E = A^" - A'= + A 151 -3 .0 2■ 3. 1 ■+ 1 2. ,0 0' 1. 10 0' 1. 7, Resolución: Sea 1 1 0 A= 0 1 1 0 0 1 = 'i _m A .A„ = 0 1 ■1 n 0 1, .m + n o' 1, 1 km 0 1 1 x - ' - 1/2 -1/2 1 0 0 1 0^ 1 Entonces; 0 -1 1. 0' vkelN 1, 1 O -1 5 1 15 O O 15 O 1 1/2 ^ 2 o o ■16 O -1 5 16 8. 5. Si las matrices A y B son conmutables, determinar ab. a 1 ' 2 -1^ ; B= A= .b 5 . . 3 A . B Conmutan 2 -1 3 ■' '4 ,0 D= 0' 1. 1 n -1 3n - A 1 ^ 0 1 = 27 ==• X 1 O n £ -j n(n2 4 O o 1 2 -1 O1 O1 + 2y = 3 =» y = 2 l ) ^ - y ^ 3 - = 2 =. z - - 109^2 =^ E = x + y + z = - 1 + 2 - Icg32 9. Sea A una matriz simétrica, tal que: X A = -3 5 Resolución: Tenemos; A'=(A^)^ =[(C + D)Y=(C^+CD + DC + D^)', Notemos que: X +y -3 X +z 3y f determinar: E = xyz Resolución: 16 O = O 1 Como: CD = 8 16 DC = A Luego / '16 A^ = -5 = x ''A"x n 1 2 -1 1 n 1 O 1 O 1 O O 1 (0,2)’“ ’ 3‘ -^^ 25 27 ; B= I y 4 3 hallar A^, donde: A = C + D CD + DC = •’> 2 n 1 E - 1 - log32 Dadas las matrices: 2 4' A C= .-1 -2. A 1 0 (0,2)‘ ■’ = 25 = (5’ ')' - ' = 5" ^ X = -1 3» ’ » 1 - 3 =-3 A 5 -b = 8 =>a = 4 A b = - 3 ab = -12 C^ = O n Las matrices A y B son iguales. Entonces: 1 í 2a + 3 1 - a 2b+15 5 - b '2 a -b - 3 3a+ b 8 1 0 0 Resolución: AB = BA a b A" = Si las matrices A y B son iguales, hallar: E = X + y + z, siendo: A= Resolución: A A Ahora: B = (x ’ Ax)" O 1 1 1 1/2 - 1/2 1 O O O 1 O A^ + 151 1 O -2 5 1. E= '1 ,-k => A“ - E=A E= 1 2 -1 1 0 1 0 0 1 X = Resolución: De donde: (An,)" = A^^ = ' 1 ; determinar: B = (x 'Ax)" ^ A „A .-A ^ .. A= Dadas: -1 -2 16 20 -5 -4 x^ x + y x^ + z A = -3 y' 3y es simétrica 5 -3 y^ = > - 3 = x + y A 5 = x^ + z A = > y = -1 A x = -2 A z=1 E = xyz = 2 - 3 = 3y 10. Indicar el valor de verdad de las siguientes propo siciones: 20 -4 . 16 .0 32 20 32 20 - 5 -3 - 5 - 3 0 ' 1 , 924 580 -145 -91 I. Sea An^n entonces A + A’ês simétrica. II. Sea entonces A es antisimétrica. III. Toda matriz cuadrada es igual a la suma de una matriz simétrica y de una matriz antisimétrica. Resolución: I. es simétrica » (A + A = 1 ( A + A ) = I ( A + A^ + A - A ^ ) = M =A^ + [A y = A^ + A = A + A^ =* A + A"^ es simétrica A - I ( A + A") + 1 ( A - A " ) (V) II. Mn „ es antisimétrica = -M (A - A'^)^ = a ' - (A^)^ = a’ - A = -(A - A') => A - A^ es antisimétrica (V) simétrica RESUELTOS _ |3, si i = j Si A = {aJ3 ,;taiqu 0 a„ = 2. si \ i ^ \ Siendo C = AB, determinar; D = r Luego: BÂ'- BÂ'C - A'B® = B A - lie = II => C = BA - I ^ Traz{C) = Traz(BA - I) Traz(C) = Traz(BA) - Traz(l) 2 -3 -6 1 0 0 3 6 8 BA = 2 4 --1 - 1 -1 --1 = - 2 - 4 - 5 2 3 0 0 0 1 -1 - 3 - 3 n C „ —C? 3 2 2 2 Â = 2 3 2 2 2 2 3 2 *= j si 1?í=j => Traz(BA) = 3 — i - 3= -4 Traz{C)= -4 -(3 }= -7 2 O 3 4 i + j; i = j 2 i- j; i# j B = (b„),.,/b„ = 5 4 7 6 3. 2 o 3 2 2 2 3 4 = 2 3 2 2 C= 5 4 ^31 C32 2 2 3 2 7 6 2. 32 A 0 2 0 y 4 C,i = 36 A C 22 = O -1 -1 -1 O o i 1 -1 O O -1 32; C O O -1 1 Si: A’ ' = B = AB = 10 0 0 0 0 X10 2 0 = 0 0 y 1 4 2 0 0 1 0 0 x+2 1 0 2y+4 y + 2 1 36 28 C = 37 32 39 32 31 = 39 Dadas las matrices: 1 0 0 -3 -6 2 A = -1 -1 - 1 A B = 2 4 -1 0 0 1 2 3 0 determinar la traz(C), en la siguiente ecuación matricial: B'A® - B'A'C = A*B® Resolución: 1 O X 0 0 2 1 Resolución: C12 = Calcular X + y, si; 1 0 0 0 C =A B = (C„)3. =5 C32 O " "" ^ gn _ ÍB, si n es impar \ 1, si n es par Resolución; A=(a„)34/a,j=- antisimétrica VW PROBLEMAS 1. (V) 0 0 = 0 0 0 0 1 A^ = I =» A es involutiva. ^ (A: n impar l I ; n par -3 -6 2 -3 -6 2 1 0 0 B= ^ 2 4 -1 2 4 -1 = 0 1 0 2 3 0 2 3 0 0 0 1 = 1 B es invotutiva X+ 2 = 0 X = - 2 X 4. +y= A A y+2 - 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 y = -2 - 4 Si A® = 1, A matriz de orden n, \ la matriz identidad. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Aes ia inversa de A'*, II. A^ es la inversa de A^ III. A^ es la inversa de 1. Resolución: A" = I I. A'A= I (A") ' = A (V) II. AÂ^= 1 ^ (A^) ' = A^ (V) III. A^ = IA'' = I =» r ' = A^ (V) Recuerde que: Si M N = I == M’ ’ = N .-. Vaior de verdad: W V 5. (A')^ = (AA)' = A^ => Aês simétrica 2 4 6 Hallar B’ ’ , si B = |B| 3 5 6 ; |B| ;> 0. 2 4 5 = AA = A' (V) 3 2 es simétrica. 2 -3 ^ Traz(A) = 3 + ( - 3 ) = O (F> FVF La matriz A = Resolución: 2 4 6 Tenemos de: B = |B| 3 5 6 2 4 5 B’ ' - 0 0 3 0 2 - 1 calcular |B| 1 -1 4 (donde I: matriz identidad) 2 4 6 3 5 6 2 4 5 Por otro lado, de (I) también; Resolución: 2 4 6 |B| = |Br 3 5 6 , |B ^(2 ) ^ |B| = 2 4 5 2 Reemplazando en (II): B ' = Í2 3 2 IB Â V IH - |B W l = 1 « |BllAt=1 /2 B - '= /2 1 6. •{O 2 -3 -1 3 = 0 -1 v2 2 -3/2 2 72 /2 4 6 5 6 4 5 Se tiene: |B| = 2/2 - 3/2 0 -V 2 9. 3/ 2 1 A -(a,),,,/a „-{j^; ; | ' j i- j ; o -1-2-3 o -1 -2 8 2 2 ^23 1 33 2 a 33 D onde: 2 3 2 |A| = -2 -1 0 - 1 = (-1 )' 2 0 1 0 -3 -2 -1 O 3 2 10 2 0 2 3 |A| = 2 0 1 0 3 2 8 2 2 = 321 + a , 2 323 = 322 + a,3 a,2 = 831 + 3^2 ^33 ~ 8 32 + a23 Entonces; + 1 = 2; 1 + 2 = 3; 0 |A| = —- 0 0 =2+1=3 = 3 3= 6 a.2 = a j, = 0 0 1 2 2 3 0 0 - 2 - -3 0 2 - 2 - -6 0 1 2 1 2 3 0 = -(-2) 0 -4 - 6 0 0 - 6 -12 0 0 1 2 2 3 3 0 2 0 - 6 -12 0 1 2 0 2 3 = 2 2(1)(1)(2)(--3) - - 1 2 0 0 2 3 = 0 3 0 0 1 1 1 ^ A= 1 2 3 1 3 6 Sea A = |a,J 0 -1 1 1 b Dada la matriz: A = ( a t a l que: , SI 1> j = J a,. = , calcular det(A). . i - ) , SI 1 j Resolución: Resolución: De la ley de formación de a,, se tiene: 1 )A1 0 0 3 O 3 = 1(0 - 6) = - 6 |A| = 0 2 1 = 1 2 -1 1 -1 4 Sea A = (8:^)3 , 3, donde a,, = a,, = 1. Para i, j = 1: 2; 3 y a,, = a„_„^ + a,.,,,, (i; j = 2; 3) Hallar |A|. A = |Bl = indicar el valor de verdad de los siguientes enunciados: i. Si A es antisimétrica, entonces, A^ es antisimétrica. 11. Si A es simétrica, entonces, A^ es simétrica. II!. Si A es simétnca, entonces, Traz(A) 0. Resolución: A = (a,,)„., I. A es antisimétrica =» A^ = - A (A')^ = (AA)^ = = (-A )(-A ) = A^ =» A^ es simétrica (F) II. A es simétrica A"^ = A 10. Dada las matrices: A (a„)3.3/a„ B -(b„),.,/b,+ ^ = 0 y b„= l si: i < j , hallar det(A + B). Resolución: A = ( a jj. 3 /a = 2 -1 -2 A= 1 4-1 2 1 6 + j , i =j - j . i^ j Resolución: B = (b„)3.3/bi, + b„ = 0 A b „ = l : i < j 0 B = -1 -1 lA'^BÎ = |]| ^ iA^!|B^| = 1 1 11 0 1 -1 |A|1B|=1 - |B| = ^ 0 2 0 -1 = A+ B = 0 4 0 1 0 6 0 |A| = 0 Por la regla de Sarrus; det(A + B) = 48 - (-4 ) = 52 |A| = 1(0 - 6) = - 6 Luego, en (I): |B| = 11. Suponga que A es una matriz cuadrada inversible de orden n. Determinar el valor de verdad de cada una de las afirmaciones siguientes: '■ = dsW B= |B| = 3 • 1^« c = I a PI b M simplrficar: E I2B r\A^ Simplificando E: III. Si n es impar, entonces A - A^ es singular. E= Resolución: A inversible de orden n. det(A^)-’ = — U : - = -3- ^ ^ det(A^) det(A) II. det(cA) = c"det(A) (V) ' ' (V) III. A-A^ es antisimétrica de orden n impar = det(A - A^) = O => A- A^ es singular .-. W V l AñBÎ |2BnA' klí-- 1 -_29 1 k -4 Resolución: 2 Bl 2®|B|"A iAriBi (2^|BD>f 1 E= (2®)(3^)(2) 1 (2^)(3^) 1 (128)(9) 2®ÍBp|A| 1 1152 16. Calcular el valor del determinante de la matriz A: V 2^ A= 3^ 4^ (V) 12. Determinar todos los valores de k para que: det(A) = O, si A 15. Si: A = [aj3,3; |A| = 2; Resolución: II. det(cA) = c"det(A) I. 0 3 2 -1 0 3 0 3 2 -1 = 0 +0 + -1 4 -1 4 2 -1 -1 4 2^ 3^ 4^ 5^ 3^ 4“* 5^ 6^ 4‘ 5‘ 6‘ 7‘ Resolución: 1 4 |A| = 9 16 4 9 16 25 9 16 25 36 16 1 25 4 36 — 9 49 16 3 5 5 7 7 9 9 11 C5-C2 C . - C j det(A) = (k - 1)(k - 4) + 2 = O det(A) = k^ - 5k + 6 = O = (k - 2)(k - 3) = O Si k = 2 o k = 3, se tendrá det(A) = O |A| 16 9 abe Si det(A) = 5 donde A = d e f : liallar: g h i d e f 1. det g h i abe 3a 3b 3c II. det d e f 4g 4h 4i Resolución: I. Como aqui se han efectuado 2 intercambios de fitas, entonces: det{A|) = (-1)^ |A| = 5 If. La primera fila se multiplica por 3, enton ces, |A| queda multiplicado por 3. y como la ter cera fila se multiplica por 4, entonces |A| queda multiplicada por4. Luego: det(A,i)= 3 x 4 x 5 = 60. 0 0 3 14. Si A^B^= I; A = 0 2 - 1 ; calcular |B| 1 -1 4 donde I: matriz identidad = O 2. i = j O, i / j 17. Si B = (by)„,„; tatque: b, AB+AB^ = 6I, hallar |A|. Resolución: B = (b „U /b „+ b „ = Í2, i = j 0. AB + AB^ = 61 => A(B + B^) = 61 det(A(B + B^)) = det(6l) det(A)det(B + B^) = 6"det(t) Pero:B+B^=(bi, + b„)„.„ B + B^ = 2 O O ... O O 2 O ... O O O 2 ... O O O O ... 2 det(B + B^) = 2" 7 9 11 13 => det(A) . 2" = 6" det(l) = 6" •. det(A) = 3" 18. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados: I. Sea A una matriz cuadrada de orden impar, en tonces lA - Aî = 0. II. Sea A regular, tai que A^ = A , entonces 1A| = 1. III. Sea A regular, entonces |A - Álj = | A’^- ;^ll. Resolución: I. Si A y B conmutan =í B.A = A.B PorB-'; BAB-’ = A B.B~; BAB-' = A ‘ PorB ': B;'BAB ' = B 'A i Resolución: Propiedad' Si matriz M es antisimétrica de orden impar ^ det(A) = O ^ AB-' = B-'A .-. A y B ' conmutan --=> (í) es V II. Usando lo anterior: B^'A = AB ' Por A-': B -'A _ ^ =AB’ ' I. A - A^ es antisimétrica de orden impar - |A - A^l - O (V) II. A es regular ^ det(A) 0. A" = A det(A') - det(A) ^ det(A).det(A) = det(A) ^ B“' - AB ’A ' Por A-': A-’ B ’ = A ;'AB~'A~' (V) ^ A-'B-' = b ' a ’ Coef: A” ' y B '’ conmutan =» (II) es V i det(A) = 1 A es regular = det(A) - ]A| O |A->J| = |( A - /.in = |A^-(Ál)^| = | A^- >.r| = IA'' - /.l| (V) VW 3 111 19. Calcular el determinante: Resolución: 3 111 A = A = 1 3 11 113 1 1113 1 3 11 113 1 1113 Sumando Cj, C3y C,, a la C,; se obtiene: 1 6 63 3 1 =6 3 1 6 3 6 3 3 A = 6 1 0 0 0 1 ^ M' =A-'BIBA ^ M' =A 'B'A PorM: M^ = MA 'B'A = = A ’ B AA~'b Â =. = A-'BÂ í Si seguimos así sucesivamente, se tiene: M" = A 'B"A ^ (III) es F (I) y (II) son correctos. 22. Sea A = (a.)5, „ tal que: a,j = • j Resolución; 111 2 0 0 = 6{2 x 2 x 2) = 48 0 2 1 0 0 2 Resolución: a -b a -b e - d e - f - ( - 1) d - e g - h i g -h III. Si M = A’ 'BA => M^ = M.M = A ~ 'B ^ 'B A calcular el determinante de A. abe a -b c 20. Si d e f = 5, calcular - d e - f g h i g -h i c f i abe = (-1 )(-1 ) d e f g h i 21. III. Si M = A 'BA y A es inversible, entonces: M" = A’ 'B'"A. indicar cuáles son correctas. Dados los siguientes enunciados (con A „, „ y B^,. „) I. Si A, y B, conmutan, entonces A y B ’ eonmutan. II. Si A, y B, conmutan, entonces A"' y B”' conmutan. Luego de construir la matriz A, se tiene: ■ O 2 3 4 5' - 2 0 3 4 5 A= -3 -3 O 4 5 -4 - 4 - 4 0 5 .-5 - 5 -5 -5 0. Observar que la matriz es antisimétrica de orden impar (orden 5). Por tanto, por propiedad, el deter minante de toda matriz de este tipo vale 0. 23. Sea A una matriz cuadrada de orden 4 x 4 con |A| =2. Determinar el valor de |A^*'”' (2A)^| Resolución: Aplicando propiedades: |(A^*’-'(2A)^| = |{A^*’ 'll(2A)^l |A^^'-’ |2A| |(A^‘ ’-'(2A)^| |{A'^’-'(2A)^1 (|A"||A|) ’ 2 > | 1 21A| = IA A Al .-. Reemplazando ei valor: 16/2 = 8 24. Si A es de orden 4x4 y |A| = ^'^í2. determinar ei vaior de T = ||A^| A^||A| Resolución: De: T = ||A^|A^||A|: |A| = T T |A| = = | A1® Luego:! = |A|A¡| == |A|'” m i- Z, si m < X , sabiendo que [xl = m, m + 1, entonces |A| = n. M = |A^||A|.4(A'')-' HM = 7 ^ . A \ |A '! . ! a | •4(A^ |A| (F) (V) II, |A|A|| = | A | " " 28. Sea A una matriz involutiva, tal que: O O O xi O Oy O A= Oz OO w OOO V i < i: O < i < 1 1 1 = 1, entonces: O O calcule: (x’' f (w")’ det(A)=1 (F) 801 3n2 .-. Es correcto solo 26. Sea A una matriz definida por: Resolución: A' = I 0 0 0 X 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 w 0 0 0 w 4 9 2 11 3 8 7 8 A= 5 11 6 5 10 - 6 7 - 2 haiiar: |A|. xw 0 0 0 (X > 'f 2 11 7 8 6 5 7 -2 1 ^2~ 3f, 0 5 A| = f, - 5f, 0 6 f . - 10f, 0 - 16 1 -5 3 8 7 8 3 = f.-f^ 5 11 6 5 7 -2 10 - 6 -5 3 1 22 31 - 1 0 57 - 3 2 1 - 5 3 - 1 - 9 9 A| - f^ - fo O 6 31 - 1 0 O - 1 6 57 - 3 2 0 0 Z 0 0 X y 0 0 0 0 0 0 0 0 yz 0 0 0 zy 0 0 0 wx =í xw = 1 Luego: Resolución: 4 9 3 8 |A| = 5 11 10 - 6 = 4® |HM| = |4®l| = 4 '“ = 2‘ A=(a,)„,„/a„ = 821 1 O A - 831 832 1 27. Siendo A una matriz cuadrada de orden 4, tal que: ¡A| = 4 A H = |4A 'lA'^ A ÍV1 = K x A|(4A’ ’ r calcuiar: |H x M| A matriz cuadrada de orden 4 / ¡A| = 4 Resolución: i. A de orden nxn, entonces: v i = j: 23 -4 4 201 -176 Resolución; Ade orden nxn. Si A = {a„)„. „/a„ - -2 3 44 201 -176 |Aj = 23(-176) - 201(-44) = 4796 T - =/2 25. De ias siguientes afirmaciones, cual(es) son correctas: I, - 11 "|A|, Ade orden n xn. ii. 1 1 -5 3 0 -1 9 -9 0 0 -2 3 44 0 0 201 -176 f3 + 6f. f4-16f2 K )* = A 10 0 0 0 y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0' 0 0 1 yz = 1 X © = ’W ® ' ' XV/ = 1 29. Indicar si es verdadero o falso las siguientes pro posiciones; I. Si A es una matriz nilpotente de orden (2), en tonces A(l ± A)" = A; V n g 2 ' II. Dados A y B dos matrices, donde AB = 0 {AB es nula), entonces por lo menos una de eilas es nula, III. Si AB = -B A =» ias matrices son anticonmuta bles, IV. Dadas dos matrices cuadradas A y B tal que B = A + al; a: escalar =» AB = BA Observación: 1es la matriz identidad Resolución: n = 4 =» A4 = I. Es verdadero debido a que: = 9 = matriz nula => A" = e « I ± A" = I ^ A(l ±A") = A.i = A => A(l +A") = A Es falso, basta ver: 1 O OO 0 0 /01/ O 1 O 10 0\ o o No necesariamente ias matrices son nulas III. Es verdadero, por definición de matrices anticonmutablesIV. Es verdadero, B = A + a l =» AB = A A + a Al ^ AB = (A + a l ) A = BA =» AB = BA Luego: B = O O b d además: (x,x4 - X2X3)(bc - ad) = 10; abcd Calcular |A| Resolución: Mediante las operaciones elementales: A F3 - F ,- "A" queda lo A= 2 2^ X3 a~^ d c 0 1 0 0 1 2^ 1 z* 2"■’ 1 0 2 1-5 7 I 2 - S / ’' lo ij y ..(I) 9 1 \7 51 ..(II) y luego calcular la suma de los elementos de la matriz (x + y). Resolución: O 2 1\-’ ' 6 3\ 3 1 -2 7 " - 1 1 Y 6 3\ 3 - 2A - 2 7 “ -8 4 \ 22 - 5 -8 4 22 - 5 , X4 O a cb ■d d c d Reemplazando en la segunda ecuación: M x-3 r~ La cual es triangular inferior: / 1 5 [29 0 -5 7 ’V 5' - 3 -7 \ 1 5 2 - 3 \29 0 ~ - 2 - 5 , 29 0, ¡A|= (X,X4 - X2X3){ad - cb) .-. |A[ = -1 0 31. Definamos la matriz: A„ = hallar la matriz: B = A,A 2A3 ... A„A„^.,.,, (Nótese que "n” no crece indefinidamente) La suma de elementos de x + y es: -365 33. Sea: N = O -a , hallar: N a O Resolución: N= O -a a O, n = 1 =» A, = O 1. -206 -1 5 147 -1 0 Luego: x = Resolución: Si: Sea: J = O 1 o 1 (aJ)® = a ^J 0 -1 /o Pero: f = 1 0 (i 0 De aquí: n —3 =» A, — 0 -r 1 O, O -1 , entonces N = aJ U o Luego: N® = n —2 » A, — 1 como n 32. Resolver el sistema: /2 1\ / 66 3 2 7 (3 i r O 2" 1 1 B= y= X, 1 Multiplicamos por partes: O 1 X2 O X4 O b a d c f1 ? 1 0 30. Si: X, X3 A= a c 2"" 1 = -I = j= x J = -J •{I) -1 0 ^ 0 -1 /i 0 lo 1 Resolución: J* = X J' = I J® = J" X J = J De: A + B = I 0 -1 \ De (I): N ' = a® 1 0) a b 0 c 0 -a ^ a' 0 34. Dada las matrices; 2 b b c a + 2 2b b 2b |^ 0 c= _j_ 10 0 1 1 0 0 1 Luego: a + 2 = 1 Entonces se puede afirmar que C®D® es; También: 2 c = 1 » Resolución: .-. a + b + 2c = 0 a = -1 c = 2 ;b = 0 Inductivamente; M O /1 0\ 1 1 \1 1 = (1 O 1.3 1 D^ = = C®- C®D® = donde Xo = yo, dada según la regla de Cramer por: ° U 1 D^ = -4 m 5 n yo = d Si m y n son primos relativos, iiallar un valor para: m + n -I- d Resolución: 19 O 1 Por dato: / I 0\ 1 9\ 1 8 1 0 ^ |~ 8 35. A es una matriz de orden 3. Se intercambian la pri mera y tercera filas y se obtiene la matriz Aq. En A,, a la primera fila se le multiplica por 3 y a la tercera por 2 obteniéndose la matriz A,, de manera que det(A,) = 66. Halle det(A’ ') Xq = yo 2m + n -4 n -5 m d d De aqui: 7m = -5 n De esta última condición y por dato, m y n son pri mos relativos, tenemos; (m = - 5 A n = 7) v (m = 5 a n = -7 ) Luego: m + n + d = -1 v m + n + d = - 5 3 O a b' OO 8= C= O8 d .) OO 38. Sean: A = Resolución: .0 3ii 3 i 2 ^13 Sea la matriz: A = 021 322 ^2 a „ 832 83., De las operaciones indicadas se obtiene la matriz A, A, = m -1 n 2 Xo = d i 12 O1 1 1W1 1 0 l|\0 1 1 3 O1 37. La solución de un sistema no homogéneo es (Xq; y^) /1 0^ 2 1 3a^)i 3a.^^ 32 Sa.^ a. 322 ^ 23 2a,, 2a ,2 tales que; A^ - 2A - B = C hallar la matriz A con elementos no negativos que satisface esa ecuación. Dar como respuesta la suma de los elementos de la matriz A. Resolución: Dato: A = Por dato; |A,| = 66 c d i' \0 8/ C= Además: A" - 2A - B = C A' - 2A = B + C Hallando el determinante de A, 83, 832 83 |A,| = 6 a2i 822 82 811 ®12 8, A ^ - 2 A + I = B + C + I,I: matriz identidad (A. - 1)^ = B + C + 1 Cambiando fi por fj; |A,| = -6|A| Reemplazando datos: (A - I) = Por dato: - 6 |A| = 66 => |A| = -11 Del cual obtenemos: 2 O -2 O A - IV A- I= O 3, O 3 Nos piden: |A j = 1 1 11 36. Sean las matrices: A= (a b io c 0 0 0 0. A B= 2 b b c SI se cumple que A + B = donde: , / I 0 , halle a -I- b + 2c 0 1 A - I= 4 0\ O 9, 2 O1 - 2 0| V A- I= O -31 O 3) Como A es una matriz de elementos no negativos, tendremos: A - I= Suma: 7 39. Si es solución dei sistema Ax = 2\ Traz(x"^b). Donde: A = ; b= X e b, calcule: 42. Determine el valor del siguiente determinante; 4 3 7 8 Resolución: Como: |A| = -1 ; entonces A esinvertibie 1 / 1 -1 = { - 1)\-2 ^x^b={-1 x^=(-1 2\ 3 ) ^ =( 1) 22 22 22 22 3) Traz{x^b) = 1 Restamos y B- 0 11' 1 b c a+b b^ c^ 7 9 = 22 2 5 |A| = 1 1 1 = (c - a)(c - b)(b - a) a b e b ' c^ |B| = 0 1 1 1 b c a+b b^ c^ 6 6 7 5 7 9 2 5 a todas tas demás filas: ^22x1 -1 0 2 1 1 -5 -1 -1 - 2 43. De la siguiente igualdad; -3 6 -1 - 5 - 4 - 3 - 2 -2 0 +6 5 -4 -1 5 -1 - 5 0 5 ..(I) 0 1 1 1 b -c c |B| = a+b b^-c^ c^ determine; a + b + a + b Resolución: Calculemos: ^ |B| = (b - c)[(b + c) - (a + b)] = (b - cKc - a)...( Usando (i) y {II), se tiene: |A| = (a - b)|B| 2x x+1 -1 A = X e 2 / 3x+1 2x+2 - x - 2 = 0 2x x+1 2x-1 Resolución: En el determinante, hacemos: f, - fj; f2 - 2Í3 -e----- e— ; " 2x " r - x + 1 O - ;ix 2x x+1 2x1-1 Desarrottamos respecto a C,: 2 -1 5 -1 0 (-1 ) 2 2 -2 0 = (1)(-250) = 250 -1 - 5 5 => a = l A b = 6 a+ b+ = 44 44. Determine el valor del siguiente determinante 1+a 1 1 1 l i s i 1 1 1 1+b 1 1 1 1 1- b -x +1 o {-2 x} = O 2x x+1 De aquí: -2x(1 - x^) = O = x(1 + x)(1 - x) = O Donde: x = 0; x = -1 ; x = 1 Luego: A = (0; -1 ; 1} -3 6 -1 - 4 - 3 - 2 -2 0 5 - 4 1 -15 -1 -5 0 5 =6— 6 - : - i:- = 5 2 -1 5 ' t ' -1 0 2 2 I -2 0 -1 - 5 ') 5 (c - a)(c - b)(b - a) _ (b-a)(c-a) Número de elementos de A: 3 5 4 6 4 22(2 - 2 + 2 + 5) = 22(7) = 154 Resoiución: IA I |B| 6 6 7 5 22 Entonces podemos afirmar que: C ,-C , 5 4 6 4 ■'i':—5— 6— 7- \ 40. Dadas (as matrices: 1 1 A= a b e a" b" c^ 7 9 2 5 Sumamos a C^ todas las demás columnas: Ax = b = A '’Ax = A-'b -1 3 6 6 7 5 Resolución: 1 1 -1 \ Ix = 2Ì ^ X -2 1 ) 5 4 6 4 para: a = "V72; b = */ÏÔ8 Resolución; C 4 — C 3; C 3— C si C 2~ C, 1+a - a 1 -a 1 0 1 0 La raíz común no puede ser del trinomio + X + 1 porque estas son complejas y tendrían que presentarse por pares conjugadas; y en este caso, tendrían 2 raíces comunes. =5 La raiz común es: x = 1 Q 0 a 0 b -b 0 -b 1+a -a 1 -a 0 0 0 0 0 0 a 0 b -b 0 -b Luego: P(1) = a-i -b + c = 0 a -a 0 0 0 -a a 0 0 0 b -b - { 0 0 0 -b Reemplazando valores: (®/72x®/TÒ8f - { V 3 ^ x 2 ' x 2 ^ x 3 ^ y (a b f = 5 / ( 3 ^ = 36 cosa 1 45. Para: A = , cosa / ±1 1 cosa cuát(es) de los siguientes enunciados son verda deros. I. Traz(A"') = 2cosa + 3 II. jAÎ = (cosâ - 1 III. |{A^)” ’A^| = cosâ + 1 fcosa 1 1 cosa I. A ’ = cosa - 1 \ - 1 cosa/ cosa 1 1 cosa A ’ = -cscâ cosa - 1 - 1 cosa cosâ - 1 -s e n ^ cosa - 1 \ - 1 cosa/ =» Traz{A ’) = -cscâ(2cosa) =» (I) es F II. |A^( = |A|^ = (cosâ - 1)^ =9 (II) es V III. Ka Y ’AÎ - KAY'jjA^j = jA V lA j^ = jA r ’iA r = |A| - cosâ - 1 =» (III) es F Solo (II) es verdadero, 46. Los polinomios: P(x) = ax^ + bx + c; a; b; c e E Q(x) = x' - 1 tienen una raíz común, indique cuál(es) de los si guientes enunciados son correctos. abe bea cab - 7 Sumemos a C, todas las demás columnas; a+ b+c b c 0 b c a + b + c c a = 0 c a = 0 « (I) es V. a+b+ c a b 0 a b II. En forma similar al anterior se obtiene que (II) es F, III. En forma igual a la 1.® obtenemos que (III) es V. (I) y (lll)son correctos 47. Halle x, si se definen las matrices; 2 -1 -1 2 0 A= 1 x 0 ; B = x -1 2 1 0 2x -1 3 2 1 Resolución: Resolución: A= abe bea cab abe abe = 0 II. a c b = 0 III. b a c = O a a a c b a Resolución: P(x) = ax^ + bx -I- c; a; b; c e IR Q(x) = (x - l)(x^ + X + 1) Reemplazando las matrices, se tiene; 3 2 - 2 | 2 A - B | = 3 - x 2 x - 2 -1 - 3 4x-2 - 3 Desarrollando; |2A - Bj = ~18x + 18 - 2(3 - x)(4x - 2) + 6 6(2x - 2) + 3(4x - 2) + 6(3 - x) Efectuando y reduciendo; 8x^ - 52x + 60 = 8x^ - 20x - 4 =. 32x = -6 4 X= 2 48. Determine el mayor valor que debe tomar “k” para que la matriz: k 1 -1 A= O 2 k : no tenga inversa 4 O -k Resotución: k 1 -1 A = O 2 k : no tiene inversa, si |A| = O 4 O -k Luego: |A| = -2k^ + 4k + 8 = O =» k^ - 2k - 4 = O = =. K = 1 ± - / 5 Mayor valor de k: 1 + 0 ■Í5 0 3 2 - 1 , calcular |B|. 1 -1 4 49. Si A^B^ = 1; A = 0 I: matriz identidad Resolución: lA llB l = -(•) O 3 2 2 -1 = O -1 1 -1 4 |A| = 1(0 - +0 suma de los elementos de la primera columna de la matriz E" (n g 1L*). O 3 -1 4 Resoiuciórx: 2 0 0 E= 0 2 1 1 0 2 6) = -6 Luego en (I): |B| = - - 1 50. A-[aj3.3;|A| = S i: calcular; E = 2 2 0 0 0 2 1 , determinar la 1O2 53. Se defìne la matriz: E lA^BÎ = |l| =. \ A V \ = I B= A A' ^ |B[ - 3 = 2i + 0 0 0 A; donde: A = 0 0 1 1 0 0, 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ; A' = 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 0 =» A" = 0, V n G D í A n > 3 | 2Br|AM Resolución: Como Al = IA; V A matriz cuadrada E= (W+A)'' = i¿ (kl)" + (2'|B|f|Ap E= 1 2®x3^x2 2^Bf\A\ 1 2'x3^ E= Se liene: E" = (21 + A)" = E" = 2M" + 2'” \ n . 13 2 2 4 5 2 2 =0 9 7 22 16 9 2 2 idértticss E" = 2"" ' 1 columna: S = 2"' ^[8 + n(n - 1) + 4n] Suma: 2'’ ” ^(n^ + 3n + 8) 54. 2 A = -1 - 2 -1 1 1 O 1 2 2 A' = -1 - 2 -1 1 1 0 Si A y B son matrices simétricas de orden n y C, es una matriz cuadrada de orden n que cumplen la condición: C + AB' + (C - I') = A'(BC - I) Determinar la matriz C. 1 2 2 1 0 0 -1 - 2 -1 ^ A ' = 0 1 0 1 1 0 0 0 1 3 6 -2 B = -2 -4 1 -2 -3 0 3 6 -2 B" = - 2 - 4 1 -2 -3 O [8 0 0 0 0 0 0 0 0] 0 8 0 + 0 0 4n + n(n-1) 0 0 [o 0 8 4n 0 0 0 0 oj 0 0 8 E" = 2 " ' ' n(n-1) 8 4n 4n 0 8 1 2 2 3 6 -2 sabiendo que: A = -1 - 2 -1 B = - 2 - 4 1 1 1 0 -2 -3 0 Resolución: 1.A + 2 " - = í l í ^ . r - ^ A ' E" = 2" ■^(81 + 4nA + n(n - 1)A^) 52. Si p. q G E determinar la matriz: Q = pA^ + qB^ 2 : (2I)'’ - \ A + ^1, .A' + |A| = O 1 (2ir+ 3^ 4* 5^ 6^ 16 13 5 7 25 4 5 7 9 36 9 7 9 11 49 16 9 11 13 c.-c. c,-c, c.-c. A2 + Í" )a " n/ 1 1152 Resolución; 1 4 9 4 9 16 |A| = 9 16 25 16 25 36 ,-c. c,-c, n - (kiy 2^\ Bf \ A\ 51. Calcular el valor del determinante de la matriz A; A= (ki)"-’A + r 3 6 -2 -2 -4 1 -2 -3 0 a 2 + qB^ = pl + ql = (p + q)l Q -= ^pA^ 1 0 0 0 0 0 0 1 Resolución: A y B son matrices simétricas; =» A' = A A B' = B A I' = I 0' + AB‘(C - I') = A‘(BC - I) C + AB'C - ABT = A'BC - A'l C + ABC - ABI = ABC - Al C’ - AB = - Al ^ C = AB - Al C' = A(B - I) = A‘(B' - I') C' = A'(B - 1/ = [{B - \)A]' « C = (B - l)A C = BA - A 55. Si B es la matriz definida por: -0 12 3 4 A= -1 2 0 1 4 6 0 3 2 10 5 e------ 6— O O 2y 6 O 2y O ( 2x x - y x - y x-l-y ; calcule el |A| Desarrollando respecto a f,: Resolución; O -1-----2 -^ > .3 .^ -1 2 ■1 1 |A| = 4 6 1 3 2 1 '' 5 O -(2y) O 2 /" O ,2 < x -y x - y = -(2y){-8xy^) = 16xy' 58. Desarrollando respecto a C, Calcule el valor del siguiente determinante: -1 2 1 5 8 9 8 5 1A| = 3 4 6 3 2 1 5 |A| = 3(-30 + 4 + 12 - 12 + 3 - 40) |A| = 3{-63) = -189 43 86 99 88 55 2 4 6 8 5 1 2 3 4 5 56. Calcule el valor del siguiente determinante; 1 1 12 E= 13 14 1 1 3 4 6 10 20 10 Resolución: = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 Restamos C, a todas las demás columnas: 10 11 12 13 .i. 0 1 2 T ^ 3 t 1 14 í f 3- Í 2 1 2 3 E= 1 3 6 1 14 0 0 2 5 19 59. 0 3 9 9 0 3 6 0 Resolución: -y -y -y +y x+y x+y x+y x -y 2 4 -1 - 2 —J -6 ^ :-i) 2 -2 -6 2 0 -4 -6 -2 U+ 42 + 12 U+ h f, - 4Í3 De f, extraemos (-2): 57. Si S es una matriz definida por: x 8 = x x x Calcule el valor del siguiente determinante: 2 -2 -4 -6 -i 3 10 - 1 - 2 2 0 - 1 - 2 -3 4 2 1 0 -3 5 3 2 3 0 x+y x+y x+ y x -y x -y x -y x -y x -y Resolución: x -y x + y x + y x + y x -y x + y x + y x -y S= x -y x+ y x -y x -y x + y x -y x -y x -y O O O f, ^2 O O 2y f . - f 3 - 2y 2y O u -u x + yx - y x - y 2y O O x~y hallar |S| 3 3 (-2 ) 2 6 6 1 O 1 O 0 -1 2 O 2 0 -1 -1 -2 -2 0 -2 -2 -3 -6 -4 ^ = (-2)(0) = O 60. Calcule el valor del siguiente determinante: 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 4 Resolución: Sumamos a f, todas las demás filas y luego extrae mos 16 a f,: 16 3 3 3 3 16 4 3 3 3 16 3 4 3 3 16 3 3 4 3 16 3 3 4 3 = 16 3 3 3 3 3 4 3 3 3 4 3 3 3 3 4 3 1 3 3 3 4 i 63. Determinar el valor de la verdad de las siguientes proposiciones: 1. Si A B ^ ie n e inversa, entonces A y B separada mente poseen inversas. f. - 3fi II. Existen matrices A y B de orden n x n , tal que AB = BA + I III- Si A y B son no singulares, entonces AB es no singular. 3f, f, - 3f, Resolución: fs - 3f, h - A= a b O O O a b O O O a b O O O O O O 0 0 0 0 b O O O a b O a I. AB”^ posee inversa, entonces AB’ ^ es no sin gular: det(AB’ ^) 9^ O ^ det(A) det(B’ ') O « det(A) # O A det(B’ ^) O == det(A) O A det{B O ^ det(A) O A det(B) ^ O Luego, A y B poseen inversa (V) II. Recuerde que: Traz(A -i- B) = Traz(A) + Traz(B) Traz(AB) = Traz(BA) Sean A y B de orden n, tales que: AB = BA -i-1 Traz(AB) = Traz(BA + I) =» Traz(AB) = Traz(BA) + Traz(l) => Traz{i) = O ; absurdo, pues Traz(l) = n, v n € Di, n > 1 (F) Resolución: A= 4'a> b O O a b O O a b -e-0O O O O Ó O OO :b; 0 0 0 a b O a Desarrollamos respecto a la 1.^ columna: III. A y B son no singulares, entonces: det(A) ^ 0 A det(B) # O = det(AB) = det(A)det(B) ^ O => AB es no singular VFV 64. Si: A^ = triangular superior y A -(3 ir = +(-i; 5 1 4 2 1 3\ 3 4 2 4 I1 5 2 3 3 1 ^27 26 25 24 a b - 12A’ c d Hallar el vator de: (a^ -i- b^ -i- c^ + d^ Resolución: De la primera: triangular inferior => A = a{a" ') + (-1)"^'b(b" A - a" + ( - 1 ) " - ’b" 62. Dada la matriz M = O -a ' , hallar el valor de: M’ a O, A^ = 1 3\ 15 2 \ 3 4 ¡4 3 2 4, ,1 3.)^ 1 5 (21 A^ = 8 11 14 16 20 13 14 8 A^ = 1 -2 3 O A= A-' = 1 (0-3 I Al 2 1 Resolución; 0 -1 1 0. -1 O = a' O -1 De la matriz: M = a Se tiene; = -a "l Luego: = (M T 'M = ( - a ^ ir a ( ° “ J j - ¡27 26 (25 24, 27 26 25 24 1 3 -2 O O -3 2 1 De la segunda: a b A -(3 ir = - 12Ac d, 1 3 -2 1 3 O lo 3 a b c d (V) = a b' c d, 1 | ( 5 “ -1) 0 a^ + b^ + c^ + d^ = 4 + 9 + 4 + 1 = 1 8 2 5 , determinar la suma de los elementos .1 3, de la matriz A'^ 65. SiA = Resolución: 68. Sean las matrices A y B, tales 1 -1 1 A = 0 1/2 - 1 ; B = 0 0 1/4 Resolución: AB = I, reemplazando: 14 - 2 5 \ 5 9 S elementos: 14 - 5 - 25 + 9 = - 7 66. Si A. B y P son matrices cuadradas del mismo or den con |P| # O, yA = P’ ’BP. Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones: I. B = P -’AP II. |A V | = |B1^ III. A^ = P-’ B^P 1 -1 1 0 1/2 0 0 -1 u v w 1 0 0 X y = 0 1 0 1/4 0 0 z 0 0 0 u v -x w -y + z 0 Ix 0 0 iy -z I ■jZ 2 1 0 0 = 0 1 0 0 0 —1 u = 1; X ^ : = 4; / - X = 0 = V = X == 2 I, ly -z = 0 P (A )P -’ = P (P -’ B P )P -' II. B A = B P - ’ BP |A V | = |(BA/| = |BA| = |BP-’BP| |A V ! = |B!|P-’ ||B||P| |AV1 - |B||Pr'|B||Pi - |B|^ 17 ' ' ; hallar a “ O5 Resolución: 1 7 / I a\ en general, sea: A = ^ 0 5 ’ bj 1 a a+ab\ A^ 0 b l o b| lo 1 A= A^ - 1 a+ab / I a _ 11 a-f-ab+b^’ 0 b^ 0 b ‘ o b^ , 1 a b " - l\ b -i; 0 b" Reemplazando: n = 50; a = 7; b = 5 A" = 1 a + ab + ab^ + ..+ab'' ' j _ 0 b" y = 2z => y = 8 w - y + z = O = V/ = y - z =» v^ = 4 u + v + w + x + y + z = 21 (F) (V) III. A ' = A A = (P -’BP)(P-'BP) A^ = P-’B(PP-’ )BP = P-’BBP A ' = P-’B ^ FW 1 = 1 - X A, B y P matrices cuadradas del mismo orden, con |P| ^ O, es decir, existe: P” ’ a A = P” 'BP PAP-' = (PP;’J B(PP~') I ^ B = PAP-' 1 4 De d o n d e : Resolución; 67. Si : A= que: u V w 0 X y 0 0 z Encontrar u-t-v + w + x-i-y + z, si cumple que AB = (I: matriz identidad). det(A') = [det(A)]' = 1 = |A Luego: A ’ ^ = (A^)"'' = -1 — Adj(A') = 5“ 69. Calculara -Hb -i- m, para que A sea la matriz identidad: 2a^-15 2 0 -b 40-a 5 m a A= t-b $ -1 1 i^ -1 1 4 o a a A 4m -15 — 40 ' 11 ■ 10 Resolución: (V) A = I, entonces: . • _ 15 = 1 a = 40 ^ -1 1 = 1 D b = 20 D 4m - 15 = 1 • m = 44 11 Con esto, los demás elementos son nulos. .-. a + b + m = 104 / I a /'I b 1 a-hbi Teniendo en cuenta que: O 1 I .0 1 O 1 Para: A„ 70. Hallar aben: 1 2" O 1 7 0 3 a 0 5 51 0 2 4 5 2 0 3 4 = 30 15 18 3 0 6 3 0b 36 0 -5 1 Resolución; 7 0 3 a 0 5 51 0 2 4 5 2 0 3 4 = 30 15 18 3 0 6 3 0 b 36 0 -5 1 7a+9 0 35+3b 51 0 2 4a+6 15 40+2b = 30 15 18 ,3a+18 0 15+6b 36 0 -51 De donde: 7 a + 9 = 51 =»a = 6 35 + 3b = 2 = b = -11 .. ab = - 66 1 2 1 -1 Calcular; 2 1 3 |A|- -3 -4 -8 -8 - 8 -1 5 1 5 11 - 3 -8 -8 - 4 -8 -1 5 0 1 1 0 1 -1 5 11 7 25 |A| = 0 7 25 12 29 0 12 29 73. Hallar el valor de la determinante; 1 •• 1 2 1 •- 1 3 •- 1 Resolución; 1 2 1 -1 Sea; A = 2 1 1 3 3 - í.; h -- 2f ' f , - fv 4 0 1 1 0 1 -1 1 • • 98 Resolución: 1 2 3 4 0 - 3 - 3 -3 A= 0 - 3 - 5 -8 0 1 - 2 -5 Tomando menores complementos respecto a la primera columna; -3 -3 -3 1 1 A = - 3 - 5 -8 = - 3 - 3 - 5 -8 1 -2 -5 1 -2 - 5 Í2 + 3f, A 1 = -3 -2 -5 - 3 -6 A = -3(12 - 15) = 9 i i >j 72. Dada la matriz A ==(81)4,4 definida por; 8i, ='1 1 i = j j '< j calcule; det(A) Resolución: a„ = A = (a,)4 12 3 4 2 13 4 i; i > j 1 ; i= j j: i< j 3 3 14 4 4 4 1 f3 -3 f, 1 2 |A| = O 1 1 1 1 1 1 98 La matriz es de orden 98. Restando a cada fila, a partir de la segunda, la pri mera; se obtiene; 1 1 1 ••• 1 O 1 O O 0 0 2 O a 3 97 0 0 0 1 0 - 3 -6 Í2 -2 f,; 1 1 1 1 2 1 A= 1 1 3 fj - f,: A = - 3 0 -2 - 5 |A1 = Í 2 + 3f, h + 4f, |A| = 7 x 2 9 - 1 2 x 2 5 = -9 7 4 3 -3 !A| = - 3 -4 Ha resultado una matriz triangular superior. Luego: A = 1 x 1 x 2 x 3 ... 97 = 97! 74. Dada la matriz; A = [a j 2.3 / hallar; E = Traz(AÂ) + [AA^j Resolución: A = [a,j2,3 A a,. = Í 1 + j: 1 ; i= j 13 4 A= i2 1 4 1 2 1 3 4\ AÂ = 3 1 1 4 = [bj3 4 4 bl, = (1 2) = 5 f4 -4 f,; 4 = (3 1) = 10 -3 -3 -4 O - 3 -8 -8 O - 4 -8 -1 5 b33 = (4 4) 4 = 32 = 1 + j; 1 ; i= j Tomando menores con respecto a la primera co lumna. resulta; => Traz(AÂ) = b„ + bjj + bjj Traz(A''A) = 5 + 10 + 32 = 47 '1 2 13 4 26 21 AA^ = 3 1 2 1 4 21 21 14 4 lAAÎ = 26 X 21 - 21^ = 21 X 5 = 105 a -b O a -b a -b |A| = a a - b a - b a-b Traz(AÂ) + lAA'"! = 152 a -x |A |-a {a -b )"-’ 77. Sean las matrices: A = (a .),,,/a , = { 2 7 i -X -X -X b- x -X -X -X = O + i< j 2+j i ->j Además AX = B. Calcular e! determinante de X. Resolución: = 0 A = (a abe - a(b + c)x - bcx = 0 ab + be + ac tal que: a, = hallar: |A| b i<j a i a i> j Resolución: a b b ••b a a b •- b b; i < j a: i - j « |A| = a a a • • b a; i > i a a a ' a Restando a cada fila, a partir de la segunda, la pri mera: a b b ••• b O a -b O ••• O |A| = Oa - b a - b ••• O a -b B - ( b „ ) , . , / b c- x - x)(c - X) - x^l + b[x{x - c) - x^] = O a[bc - (b + c)x] + b(-cx) = O O a -b a-b n - 1 veces a [(b A = (a,,)„. „ / a. = a-b Luego: |A| = a(a - b)(a - b). ( a - b ) Tomando menores complementarios con respecto a la primera columna; b -x - X -X - xV + b - X c -x - X c - x 76. Sea la matriz A = (a,,)„, a-b O O O La matriz que resulta es triangular inferior de orden (n-1). 75. Resolver la ecuación y hallar x: 1111 X a OO = O X Ob O XOOc Resolución: Í2 - xf,; (3 - xf, A fí - xf,: 1 1 1 1 O a -x - x -X =O O - X b -x - X O -X -X c -x a - X - X c, - c¡: - b b - x - X O -X c -x O O ••• a-b - a -b A= ■la.. = a^, 11 <a=>1„2\ ^21 ^22 B = (b,^)2>2/b '2 i- j i< j i> j 1 . /1 O A= i2 2 = I i + 2j: 2 + j: b'11 bi2 b•’ 21„ ^221 b |A|-2 i< j i> j 3 5\ 3 6j |B| = 3 AX = B ^ |AX( = |B| =» |A||X| = |B|, reemplazando: 2|X| = 3 ■■ 1 X 1 - I 78. Calcular; 0 a, 82 - a , 0 83 -32 - a , 0 Resolución: O a, Sea: A = - a , O 83 - a j -83 O Se observa que: A^ = - A; es decir, A es antisimé trica de orden 3, luego: 1A"| = 1-A1 = !A V (-1 )^|A | |A| = -iA| 2|A| = 0 .-. |A| = 0 PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI PROBLEMA 1 (UNI 2011 - II) c Oc ha))e: a b o 14 k Considere la matriz: A = 1 k 4 1k k d c b Donde; a, c, d e (0: ac) y b e (-ac; 0) Determinar el conjunto de valores de k para que A sea invertible. A)kem \{0} D) k = - 4 A) - 4 D)4 C )k 6 E \{4 } B)keIR E) k = O B) - 2 E)6 Resolución: c 2c c 5b a 3b b + 5c b + d b + 3c Resolución: Dado Si es invertible, entonces |A] # O Siendo; 1 4 k 14 k fj - f. 0 (k-4) (4-k) |A|- 1 k 4 ^3 “ ^2 0 0 (k-4) 1k k A partir de: c 2c c 5b a 3b b + 5c b + d b + 3c Luego: k < 3 -X .k -4 r(4 -k ) ^ 0 « (k - 4)(k - 4 ) ^ 0 ^ k ^ 4 0 ''a - - ..( k - '4 ) Luego afirmamos; k e E \ { 4 } Ciave: C PROBLEMA 2 (UNI 2 0 1 2 ■ I) abe Dada la matriz A = determine la matriz P; tal a c b que PAP = g i h d f e 1 0 0 - b 1 1 0 -c 0 1 0 D) 0 -1 0 1 0 1 C, - -C , 2 ' ^ 0 2c c a 0 2c b + d b 2b 0 2c c 2b a 3b 2c b + d b + 3c C, - C3 0 c c 2b a 0 2c d b Oc c Factorizando el 2 de la columna 1, tenemos: 2 b a O c d b Intercambiamos la columna C, por C^: c Oc a b O = -4 d c b c Oc a b O d c b PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 2 - II) 00 B) 0 0 1 0 0 -1 1 0 C) 1 - 1 0 0 0 1 00 E) 0 0 Resolución: Determine A. Luego; |P^| = 1 Igualdad que verifica la matriz involutiva P, tal qu9 P^ = 1 c 2c c = -4 5b a 3b b + 5c b + d b + 3c 2 3 1 A) 1 5 2 2 -1 3 2 Clave: B PROBLEMA 3 (UNI 2 01 2 - 1) Las siguientes operaciones elementales: C, « Cj; Sfj: f¡ - fl, en este orden, transformar la ma1 5 2 triz A en: - 4 6 - 8 , la cual se puede expresar 6 -3 9 como (RPQ)A. donde RPQ son matrices de orden 3 x 3 no singulares. 0 Con los elementos dados de las matrices A y PAP, ob servamos que: |A| = |PAP| SI: ' Cj —C3 Clave:C -a A) 0 2 - 1 4 - 1 2 - 1 D) 4 3 1 2 5 B) - 1 3 1 2 0 -1 4 3 -5 E) 1 - 1 2 2 0 3 Resolución: i En la matnz transformada; 1 5 2 -4 6 -8 6 -3 9 -2 -5 1 3 4 1 1 3 -1 A )T + A D) A + 2T 1 5 2 2 3 1 6-3 9 5 2 2 3 1 2-13 f, + f,: Resolución: Sea ia matriz: /a b\ A= c di ^ Corrección: f, Í2 Í2 3 1 Se obtiene; A = 1 5 2 2-13 B) + 2A E) A^ + 2T C) 2A + T a^+ be ab + bd ac + ed d^ + be Se tiene: |A| = A = ad - be ...(1) Traz(A^) = T = a^ + d^ + 2be ...(2) Clave: A PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 - 1) Sea A una matriz cuadrada de orden 2 x 2, si se sabe que su determinante es A y la traza de la matriz A^ es T, Determine el valor [Traz{A)]^ Piden: [Traz(A)]^ = (a + d)^ = a^ + d^ + 2a^ (T - 2bc) + 2{A + be) = T - 2bc + 2A + 2bc = T + 2A Clave;C PROBLEMAS Dadas las matrices: 1 O 2 A= -1 1 2 Si: = 2. 9. A 5 1 -1 2 8 = a b , hallar: (ab + cd) c d A) 243 D) 181 B) 633 E)377 Dadas las -1 A= 4 1 B) n(n + 1) D) n(1 - n) 4. B)1 E) - 4 Si A = (aJ2.3 / a„ = O O 6. 7. 0 10 D)3 8)A* + A® E) 2A^ E)8 SiA = B )6 0 8 E) Faltan datos -2 3 2 -1 A B= B)300 E) 600 -2 -1 - 3 -2 2 8. SiA = B) 24 E) 36 0 -1 A)-2 C) -1 2 B)-1 C)0 B= w -3 2z-1 5 -3 B)6 E) 12 1 1 -2-2 13. SeaA = A 0 8 A + 1= K, calcular; K + A^°“ . A) 1 2 O 1 3 1 O 1 D) 2 4 -1 O 1 O O 1 O 3 -1 1 1 14. Calcular (A + B)(A - B). si; A^ + B' = 1 , hallar la suma de los elementos de ; 0 la primera fila de: A'°^ + A' O 400 2 hallar: Traz(AB + BA) A) 10 O) -2 4 + 2" -1 4 A) 4 D) 10 C)2A" Si A^= 1, hallar la traza de: A® + A‘* + A^ + I; Aj.^. A) 4 D) 10 O O 1 1 O 2w - 2z 2z - 3 -w C= Si A = (a,,)„,„; tal que A " = A: hallar; A"=®"+ A '“ A) 2! D) A + 1 B ) 2 x 3" E) 2" 8, si:A = A= Calcular la suma de los elementos de la matriz B. 5. mentos de la matriz A", 12. Si las matrices A y 8 son iguales, hallar la traza de 2A + 3C, siendo: 2 i- j: i>j &¡ + j; i < j 8 )2 2 1 , hallar la suma de ele1 2 10. Dada la matriz A = A) 200 D) 500 Ademas, de la igualdad matricial: n A^B = , n G ttí A) 6 n (1 - n) 11. Sea 8 = A + A^ + A^ + ... + A^“°, hatiar ía traza de 1 1 . haliar la traza de P(A) O1 A)-1 D)4 C) -n(n + 1) O -2 B) 12 E) 30 Dado el polinomio: P(x) = 2 x ' ^ t 2 x - 4 y la matriz A= E) A) 3" + 2" D)5" + 1 calcular d22, si: D = (2A - ^B)C 3. n * " Hallar la suma de los elementos de la matriz B, donde; B = A+A^+A^+...+A"; n > 2; n e IN. 1 -2 Siendo: A = O 1 0121 matrices: 3 3 -9 4 -1 5 2 ; B = 6 12 ; C = 2 1 1 0 0 15 A) 24 D) - 6 PROPUESTOS 1 O 0 -1 2 í ;AB = ; BA = O 1 1 2 -1 0 A) 1 1 -1 1 B) 1 -1 1 1 D) 2 -2 ~2 2 E) 2 2 -2 -2 15. Si A = 1 1 , calcular; A 4O 1 C) i 2 -2 2 2 i A“ A) D) 1 10 0 1 4 10 O 4 10 16 16 20 O 16 1 O O 1 O 10 16. Sea:A = c) A) 6 D)4 A ) -3/ 4 C) 12 E) 10 17. Hallar la suma de todos los elementos de la matriz A, que satisface: 1 -1 O 1 -3 2 A O 1 O 04 B) 3 A) 2 O -1 1 1 E)6 D)5 18. Sea: A = (a,,)2.2/Traz(A) = O a Además: an = 5 ; 821= -4 . Hallar A", si n es par. A) 9" 1 D) 9"'®l B)9"'^ I E) T ''°\ = O O 9" D) 2 -1 -2 8 7 -1 B) 0 0 106 E) 2 12 87 1 4 3 2 1 6 4 2 O 1 O O 1 6 4 6 3 O 2 2 1 C) 0 -1 -2 8 0-1 4 6 O 2 O B)0 E)68 E)5 D)3 E)4 25. Si: i- j ;i< j i+j:i>¡ A = { a X i a„ = B —(bij)5>9 b], — i + j ; i = j >/j;i^j hallar: C25 + C,,; si C = AB = (C,j)4v9 B) 18/7 E) -113 O -3 8 1 1 1 1 16 1 0 2 2 0 16 2 0 0 2 0 8 A) 3x2' = D)2'^ 00 B) - 3 X 2 ’^ E) 3’' 2: i= j A) O B )3 0 -3 D)2 E) - 2 -1 -1 -1 28. SeaA = O 1 O . calcular la traza de A O O 1 B)0 E) 18 0 4 29. Hallar w + x + y -rz de: O 12 2 -1 , además F(x) = x^ - 5x + 31 -3 3 B )5 0 2 B)1 A) 3 D) 24 hallar la traza de F(A). A) O D) 5/2 hallar la suma de los elementos de A 2 3 C= 4 5 hallar la traza de AA 22. SiA = 0-15/4 27. Si. A = (311)4,3 / a,. = 21. Sea la matriz A = (ajj.s. definida de la siguiente forma: ' - j;' ] A) - 3 D) 24 B)1/4 A) O A= hallar X, si : 2(x - 3A) = (B - C) +4(X - A - B ) D) 2 1 4 3 hallar el valor de: a, 1 2 20. Sean: A = 3 4 A) A X- Y= 26. Si: A = (a,|)2>2> tal'i'J® A = (a„)2. 3/ a„ = 2 1 O 87 6 1 A) 89/6 D) -66 19. Escribir explícitamente la matriz: A) 2 3 -2 ; 24. En la igualdad: a 2 d + 12 29 a 3 1 1b 1 c b d 2 7d + 4 d + 21 Calcular d. si: a, b, c. d e m. 9 10 14 16 O -1 X+Y= hallar la traza de: XV^ 2 3 3 2 y 8= 1b a 5 hallar ab, siAB = 23. Dado el sistema matricial 10 10 12 3 4 0 10 1 w X y z 0 0 11 5 6 8 5 5 15 0 1 1 1 0 A) 5 B)6 Oo D) 7 E)1 30. Determinar la suma de los valores de x que satisfa cen la siguiente ecuación; P(x) X O 1 2 = 0 O - 1 x+1 donde; P(x) = 2x“ + x ^ - 11x^ + x + 2 D)12 E)24 A ) -7/2 B)-7 0 7/2 D) 3 E)7 31. Hallarla traza de (A - 5 I)'\ sabiendo que la matriz: a 7 5 A=^ 0 - 8 6 verifica A^ - A - 211 = 0 0 0 3 B) 14 A) 13 C) 15 E) 3 D)32 B ) A + 31 E) A - 31 33. Dada la matriz: A = 3 1 y A'X= A^ 2 1 hallar el mayor elemento de la matriz X, A) 2 D)5 41. S i : A - 32. Si A^ = 331, hallar la inversa de: A" + 2A^ + 4A^ + 8A + 161 A ) A ^ 21 D ) A ' 21 40. Si:A = C)A+ I -1 1 2 -1 0 2 , al resolver la ecuación 1 3 8) VFV E) W F Dar como respuesta la suma de los elementos de la segunda fila de x. Calcular |A|, si; A = (a,,)g.6, ta! que A) -1 D)2 A) -120 D)70 8 )0 E)3 C)1 O -1 ¿cuál de las siguientes proposi1 O 34. Si: A - 0 4 matricial AX = B, indicar el valor de verdad; I. X es singular II. X es simétrica III. Existe X’ ' A) W V D) FFV hallar x en la ecuación (Ax)^ = - A + 1. B)3 E)6 O FFF 1 8) 120 E) 36 C)7 a b c d Si a = b+c+d. hallar el valor de: clones es falsa? A) A” = 1 8)A"=A C) |A"| D) |l + A"! ? O E) |l + A"| = O V n par, n g IN V n impar, n e IN V n € IN V n par, n e IN V n G IN A) -2 a D)a 8) 17/4 E)19/2 A)FW D)FVF C) 3 1 O O 1 8 ) 1 1 /1 0 a) 3" - ’ D) 10x3" ' ’ C) 9/10 E) 1/2 37. Sea; D = A ' BA; A es inversible, hallar; D"; n e IN A)A-"8A D)A "8"A" 8) A '8"A E)-ABA C)A ’BA" 2 3 y B4 5 hallar el determinante de; Sean las matrices: A = A- -1 - 3 -4 -4 + 8^ + ABA + BA^ + BÂ + A^B + AB^ + BAB A) 1 D)64 B)8 E )1000 0 36 39. Si A - |B[.B', hallar el valor de: C = lA.A""! A|| Sabier>do que jBÍ = 4 y \a matriz B es de orden 4. A) 4'" D)4^" B )4 '' E )4^ B)VFF E)FFV OFFF 45. Si |A| = 3, hallar; ||A|. A| - IIAIA” ’!. La matriz A es de orden n. e indicar la traza de X. A) 2 D) O O -a B) 2a E) 3a II, Sí |A( + O, entonces det{3A ’) = A es de orden n. 1^1 III, det(A) = O,entoncesAes lamatriz nula. 36. Resolver la ecuación matricial 2 1 -1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 0 44. Indicar el valor de verdad de; í. Si A" = 1, entonces |A| = 1 1 OO 35. Dada la matriz simétrica; A = 8 2 0 hallar la Traz(A + A ’ ’ ) b c 4 A) 35/4 D)8 i ; i 0 4'® B) 8 x 3 " E) 3" * ' 0 8x3" 46. Calcular el valor del determinante; 0 1111 1 0 3 33 1 3 0 33 1 3 3 03 1 3 3 33 A) 54 D) 243 8)108 E ) 27 0 81 47. Sean A y M, dos matrices de orden n, donde: M = I - A(A^.A)’ ' A^. Hallar |M^| A) O D)2^ B)1 E) 3 x 2 " 0=-1 48. Si: A = (a,j)3. j / A^ = A, hallar el valor de; del {A” ') + Traz(2A) A) 9 D) 27 B) 7 0 8 E) Faltan datos -4 49. Calcular: 1 --4 1 1 1 A) 4 D)0 50. Calcular: 1 1 1 1 1 1 -4 1 1 1 -4 1 1 1 -4 57. Hallar el valor de: 1 . . 100 0)43 B) 44 E)42 A) 91! D)97! O a, 82 - a , O 83 —89 —8-> O 51. Indicar un factor de: A) / D)2x^+2y^ C) - 3,82 Indicar la suma de elementos de X. A) 2 D) - 4 x+ y y x X x+y y y X x +y B) x^ E)x-1/ y C) x V A) A D )A -I 1111 a OO = O 52. Resolver la ecuación: X Ob O X OOc 53. Calcular: A) O 1 2 3 4 1 - 1 0 1 1 O 1 -1 B )3 0)-9 + + 54. Hallar el valor de 8 ,2 822 B)8 E) 18 B)0 C)1 E)81 3ii “ 3 i 2 8 2 1 —82 2 C) -1 5 D)2 es singular, 5 8 11 7 10 13 D) 5 7 9 7 10 13 5 8 11 7 10 11 5 7 0) 8 10 11 3 0 )4 A) 192 D) 48 B) 144 C) 16 E)0 A) 45 D) 15a C)0 B) 45a l) 15 Sean B y 0 dos matrices definidas por; E)3 1 2 3 1 x 0 0 = O 2 0 x 0 3 O O x B)2 E) 14 5 8 11 5 10 13 c 6 a b 0 0 0 0 a Indicar el cuadrado de una de las soluciones. A) 1 D)9 A) 62. Hallar el determinante: 2 a b 0 3 4 5 0 0 5 2 0 0 0 3 X 56. Dada la ecuación: OA+31 hallar; Traz(A’°) D)9 1 X 1 O x -1 55. Si la m8triz: A = x - 3 1 x+2 3 hallar el menor valor de x. A)-1 B)A-2i E) No existe O ®/2 O 61. Sea la matriz; A = V8 O O O O V4 = 10 A) -10 D) -20 0 )0 60. Consideremos ia matriz A = [a¡,]2. 3, tal que: a¡j = 2i + 3j, para todo valor admisible del i y de j. Hallar A. abe O 2bc B) ab + ac + be E) 2a + b c D) 3 + b + o B)4 E) - 2 59. Sea A una matriz cuadrada, tal que; A^ = 101, determinar: (A - 31)” ’ X A) abo ab + c 0)98! B) 100! E) 96! 58. Resolver la ecuación matricial: 3 -2 -1 2 X 5 -4 -5 6 B)0 E) 3^8283 A) 1 D) 83a, 1 ,. 1 2 1 .. 1 3 ,. 1 n f-1 2 [3 4 y c- 3/4 - 5 / 2 0 1/5 Si A y X son matrices que satisfacen las ecuacio nes matriciales: A + C^ = 1 O O 1 B + AB^ = (X - BC hallar la suma de los elementos de la matriz X. A)10 D) 16 B) 12 E)18 C) 14 64. Hallar la suma de los elementos de la diagonal principal de la matriz x; que satisface la ecuación: 2 5 13 A) 8 D) 12 71. Resolver la ecuación: 2+x X X 3+ X 4 -6 2 1 C) 10 0 72. Si la matriz: P = x + y x -y B)1 E)4 calcular C ) - 10 B )2 E) - 2 1 2 b- X 67. Si la matriz: A = a -b 3 a- X B) 40 E)38 A) O calcular Traz(AB). A) - 2 D)4 C) 1 - t B) -1 E)3 X 1 x-1 3 OO n 1 O 1- n 76. Dada la matriz: A„ = calcular: A^, + + A' es singular, hallar el menor valor de x. 14 7 A) O 5 B) 14 7 1 5 A) - 1 D) 2 D) 14 3 O 5 E) 13 7 O 4 B) 0 E) 3 1-1 70. Si A = 2 - 3 0 0 calcular: jA) A) 14 O x+2 B)7 0 4 1 C )4 1 4 B = -2 3 O 1 1 3 -2 4 A= 69. Si la matriz; 1 A = x-3 1 C) 3 75. Dadas las matrices: 2t 1 + t" B)1 + t E) 1 - t' b y X a -1 0 ys/ y- 3 X - X 2 -x B)2 E) 10 D )6 1 -t^ 1 + t" X y -2 es antisimétrica, calcular: x + y + z + w C) 34 -2 1 -t' 1 + t" 1 + t" A)1 D) 1 + t" 0 ¿ -5 w V X — 68. Calcular el valor de: lA l = B)2 E) ' 2 74. Si: A = es simétrica, hallar Traz(A^). A ) 30 D)42 es simétrica. x+y a A) 1 D)4 -1 b 4 - 1 a+1 X y 1 73. Si se cumple que hallar el valor de la traza de B^ A )1 D) -2 0 3 13 A) Es nula. B) Es matriz antisimétrica. C) No es una matriz idempotente. D) Es la matriz identidad. E) No es involutiva. 0 2 66. Si A es una matriz definida por O 1 A= y B = A + A ' + A ' + ...+ A’^ - A " 1 O C") — entonces ¿qué se puede afirmar de hallar el valor de:T = a + b + c + d + e A) -1 D)3 X B) ■^^ 13 65. Si A es una matriz antisimétrica definida por: a -b d c A= a b+1 - 4 e 4 c- 2 = O X 4+ X 11 13 E) 11 13 A )- l i B)4 E) 16 X X 0) 1 3 C) 14 7 O 4 77 ,|1 2 1] 1 O 1 D) 28 E) 0 proposiciones. I. A; B e E"-" ; (A+B)" = A' + 2AB + B^ II. Si;AB = CB= » A= C til. A G IR'''"; A es involutiva « A^ = I 2 x -y y -x C) FFF B) F W E) VFV A) FFV D) W F A)1 D)4 B)2 E) -3 5 78. Hallar Traz(A + B). at resolver el sistema matricial; A + 2B = 3 4 5 1 A - 2B = 1 0 2 1 86. Hallar el valor de: A) 120 D) 240 C)4 B)3 E)5 A)1 D)2 ; dada 1 1 A= O 1 O O la matriz: O 1 1 8)4 E)4008 1+ í 1 i 1- i calcular: |det(AB)| B)25 E)20 O 10 x V 2 x +2 x^-1 x^+1 x '-2 x + 2 ' 81. Dada la matriz A = B) 2000 E)5 87. Si A es una matriz cuadrada de orden n, tal que A)1 O 532 048 B) D)a^ + b^ E)aV 83. Sea la matriz: A 1 1 1 84. Dado A = A^ + A) 1 D)-l 0 0 1 0 - b^ A) F FW D )V F W 89. Si A= n -1 O Ja^-b^ x -2 2x+1 3x-2 3x - O O) FW F B) x"|Al I A|" O x^-iriAj lAl es una matriz definida por: a b O O ....... O Oa b O O A= O 780 0 0 0 0 O ; n e IR'", además: 1-n b OOO B) a" + ( - i r “" ' . b" D)2a" E ) b" O O 85. Sean las matrices: -4 -8 2 6 -b a - 3b a : B= ; 0= 1 6 -a 2 3 1 a a b O a hallar el valor de det(A). A) a" + b" C)a"+b"-' 4 0 , hallar |A| 0 -3 Si A = B, calcular: )3A + 20) 3x X B) FFFF E)VFVF D) x’' ( - - i r lAT 91. Si: A= E) 1 Determinar la función h. 2 3 2^ 3^ calcular |A1. 2® 3® B) 2 E) - 2 D)2n tal que |A| # 0 , además: f(x) = |A -x l|; 90. Si A = (a¡|) S) 720 E) 120 0 -2 2x -1 2x +1 2x -1 A) y J^ = - l . Calcular det(M). A) -/aVb^ B)2 88. Si S es el conjunto solución de la siguiente ecuación: 82. Dada ia matriz M = al + bJ; donde a, b son reales A) 72 D) 360 O 180 g(x):. IA ' - x l j / 0 y g{x) = h (x ).f(^ calcular ¡Aj, para: x = 2004 A) 2004 D)10 4 9 25 49 Indicar el valor de verdad de las siguientes afirma ciones: f. n{8} = 3 II. S = 0 III. La ecuación posee 3 raíces IV Sn{1;2;3} = 0 0 1 +2i 1 10 B= A) 5 D)15 2 3 5 7 B) 160 E)264 0 5 80. Dada las matrices: A= 8 27 125 343 A-^ = A. A \ Hallar |A|. 79. Hallar la traza de A A) 3 D )2004 1 1 1 1 O -3 0 abe d e f = 8, calcular g h i R= 6 b a c a d g e d f -9 b e h c f i h g i C) -100 B) -2 4 E) -150 A) 24 D ) -120 99. Dada la matriz J = hallar: 1 2 3 92. Hallar | A - f , si: Adj(A) = 2 1 2 4 3 B) 1/9 E) 1/4 A) 1/27 D) 1/243 A) O C) 1/81 0 C) 93. Calcular el valor de: -, si: B)1/4 01/3 1 2 3 x y z = 0 4 5 6 D)1/5 E) 1/6 94. Si Aes deorden 3x3, |A|= 2, calcular E = |A|A^|A’^| A) 32 D) 256 B)36 E) 264 0 216 95. SI B es una matriz definida por: 1 sec^x tan^x 4 4cos^x -4sen^x 5 Ssen^x -Scos^x .6 6 0 a b 0 0 b a 0 0 4 n -1 0 lOO.Suponga que A y B son matrices de orden n. Deter minar el valor de verdad de: I. A^ - B '= (A + B )(A -B ) II. Si A^ = (A+ B )(A - B), entonces A y B con mutan. III. Si: A y B conmutan, entonces: A ^ - B " =( A + B ) { A- B ) . O FW II. Toda la matriz idempotente es una matriz perió dica. 1 1 I. La matriz A = es periódica-1 O A) V W D)FFF C) a' - b" 3a^ a^ + 2a 2a+ 1 3 3a 2a+ 1 a+2 3 B) a^(a- 1)' E) (a-1)« Hallar el valor de: 1 1 1 ... 1 2 1 ... 1 1 3 ... 1 1 1 ... 1 1 1 ... B) 97! E) 102! B) VFF E) VFV OFVF 102.Dadas las matrices: 1 O 1 1 :D= 1 1 O 1 1 1 1 1 hallar el valor del det(A). A) 92! D) 99! B) VVF E) VFV I. La matriz Identidad es una matriz periódica. 97. Si A es una matriz definida por; A) 2a' (a-1)^ D)a(a-1f O B) (senxcosx)^ D) sen^x + tan^x B) (a+b)^ E)0 a^ a^ A= a 1 O 101.Indicar el valor de verdad de cada una de las si guientes proposiciones: b 0 : hallar el valor de |A|. 0 a A) (a-b)= D)(a -a "' O O 96. Si Aes una matriz definida por: a 0 A— — r\ 0 b D) 4n* 1 O — a A) FFV D) W V hallare! valor de |B|. A) senxcosx C) sec^xtan^x E)0 B) 1 0 A) 1/2 O -a si n e 1L\ a O se puede afirmar que C“.D® es igual a A) 1 8 9 7 71 8 9 7 D) 73 9 8 1 1 9 8 73 O a'*(a C) 72 8 9 1 103.Considerar la matriz; A= 1 1 1 1 1 1 97 1 1 98 C) 98! 2 -2 ; n g IN. calcular: 1 -1 A " + ( A Y + A " ' ’ + (A ^ )" ' + 4n - n - n -2 n 4n n O O 4n O 4n O 1 4n O -4 n + A + (A ^ ) C) n n 1 n 105.lndicar el valor de verdad de cada una de las si guientes proposiciones: I. A y B del mismo orden n; conmutan ® A + Kl y B + Kl conmutan. II. Si A es una matriz nílpotente de Indice 2, enton ces: A{l + A)^° = A. III. Si A es involuntiva, entonces 1/2(1 + A) y 1/2(1 - A ) son idempotentes. A) VFV D)FVF 1 0 6 . Dada B)VVV E)FFV OFFF 108.Sea la matriz A = {a,j)2>3, definida de la siguiente forma; Determinar la traza de matriz AA^. A) 15 B)18 048 0; i = j 1 ; i< j 2 ; i> ] A = (ai,)2.3 / a„ = B = (b„)3.2/b„ = 0 1 hallar la suma de los elementos de A^ 8 ) 6“ E)6^ A) 6 D) 9 lIO.Sea N I. Si A = (3 )2, 2. 'al que a,, = 8 5 2b 20 III. Si 8 = D) B) V W E)FFV Q D A A D E C E B D 5 B C B 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. B A A C E A C A E B D B C A E A C D C E A D D A C D D B a+6 b+9 2a a + b + 15 4b 7a es triangular inferior. A)1 D)6 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. -1 2 4 -3 3 -1 1 1 1 O O 1 a+ b a- b 2a - b O FW 29. 30. 31, 32. 33. 34. 35. 36. 37, 38. 39. 40, 41. 42. C) 111. Calcular a - b, si la matriz: antisimétrica, entonces el valor de a = O 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11, 12. 13. 14. 2 4 -1 O 4 a -3 3 a -1 es una matriz -4 1 a A) FVF D) VFF 0 8 -1 1 2 -2 A) 7 a + 3c , es una matriz 3c simétrica, entonces la traza de la matrizAes 16. B)7 E) 10 determinar R, tal que N + 1 = R, e indicar R -1- N. [O, i > j entonces la suma de todos los elementos de la matriz A^ + 1 es 6. a + 2b 2b + 3c ;i = j ;i9^j hallar la suma de elementos de la matriz A^ + B. 0 6' lOT.Indicar el valor de verdad de las siguientes propo siciones: ti. SiA E) 68 D)62 109.Sean A y B dos matrices definidas por; O 1 O la matriz A = 0 0 2 3 0 0 A) 6" D) 6'^ i- j; i >] ij ; i - j i+j; i < j a - D B C E A B D B D B A D C E 57, 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. A A C B E B D C A E E A C E 8 )0 E)9 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. A D B C A D A E A A E A B E 0 3 85, 86. 87. 88. 89. 90. 91. 9293. 94. 95. 96. 97. 98. E D A A D B D 8 A D E 0 E B ‘ ‘ i i i i ! : i 99. 1(». 101. 102. 103. 104. 105. 106: 107. ice . m . 110. 111. A C A A 0 C c' E 0 c c c Teoría de ecuaciones o D a o o Abu Abdallah Muhammad ibn Musa al-JwarizmT (Abu Ya fiar), conocido generalm ente com o Al-Juarismi, fue un matemático, astrónom o y geógrafo persa m u sulmán, que vivió aproximada m ente entre los años 780 y 850. Estudió y trabajó en Bagdad en la primera mitad del siglo IX, en la corte del califa AI-Mamun, Para m uchos fue el más grande de los matem áticos de su época. Debemos a su nom bre y al de su obra principal, nuestras palabras «álgebra», «guarismo» y «algorit mo». De hecho, es considerado com o el padre del álgebra y com o el introductor de nuestro siste m a de num eración denom inado arábigo. En su tratado de álgebra Hisab al-yabr wa'I muqabala (Compendio de cálculo por compleción y com paración), obra em inentem ente didáctica, se pretende enseñar un álgebra aplicada a la resolución de problemas de la vida cotidiana del imperio islámico de entonces. La traducción de Rosen de las palabras de Al-Juarizmi describiendo los fines de su libro dan cuenta de lo que el sabio pretendía enseñar: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o cuadráticas y están com puestas de unidades, raíces y cuadrados. Fuente; Wibipedia ^ IGUALDAD Ecuaciones equivalentes Es aquella relación que existe entre dos cantidades y que nos indica que tienen ei mismo valor. Dos ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos solu ciones poseen los mismos elementos. ^ CUSIFICACIÓN ^TEOREMAS PARA TRANSFORMAR ECUACIO NES EN EQUIVALENTES Igualdades absolutas o identidades I. Es aquella que se verifican para cualquier sistema de valores atribuido a sus variables. También denomina das identidades. Sea: A = B (Ecuación original y m un número o expresión algebraica). Por ejemplo; (x + y)(x - y) = x^ - y^ En esta igualdad el lector puede dar valores voluntarios a las incógnitas y podrá comprobar que siempre se va a verificar. Igualdades relativas o ecuaciones Se llama ecuación algebraica a la igualdad relativa de dos expresiones algebraicas, las cuales adquieren et mismo valor, para los mismos valores de sus tetras de nominadas Incógnitas. Por ejemplo: 3x + 1 4x + 2 Primer miembro Segundo miembro Donde si: x = -1 3 {-1 ) + 1 = 4 ( - 1 ) + 2 => - 2 = -2(cumple) Luego x = -1 es la solución de ta ecuación. ^CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN (CS) Es el conjunto formado por todas las soluciones de una cierta ecuación. Por ejemplo: para la ecuación - 7x + 6 = O X, = 1 ; Xj = 2 ; Xj = - 3 Luego el conjunto solución es: CS = {1; 2; - 3 } <4 CLASES DE ECUACIONES Si en ambos miembros de una ecuación, se suma o resta una misma expresión, ta ecuación asi obte nida es equivalente a la primera. = » A ± m = B ± m (Ecuación equivalente). II. Si en ambos miembros de una ecuación, se mul tiplican o dividen entre una misma constante dife rente de cero; la ecuación asi obtenida es equiva lente a ia primera. Si el factor por et cual se multiplican ambos miem bros de una ecuación contienen a la incógnita, es posible que se introduzcan soluciones extrañas a dictia ecuación; para esto, los factores deben con siderarse diferente de cero. Si el divisor por el cual se dividen ambos miembros de una ecuación contiene a ia incógnita, es posible que se estén eliminando soluciones de dicha ecuación; para esto cada uno de ellos se debe igualar a cero. Ejemplos: 1. Resolver: ü i + i ± | = - l x + 5 x -1 3 Re&oluctón: Multiplicando en forma conveniente por 3(x + 5)(x - 1); donde x -5 ; 1 3(x + 1)(x - 1) + 3(x + 5)(x + 2) = -(x + 5)(x - 1) 7x' + 25x + 22 = O « (7x + 11)(x + 2) = O 7 x^^^1 1 Luego: Ecuación compatible 7x + 11 = O Es aquella cuyo conjunto solución tiene por lo menos un elemento. Esta a su vez puede ser: x + 2 = 0 ^ x = -2 La ecuación es compatible determinada. Ecuación compatible determinada: es aquella en la que se pueden enumerar los elementos del conjunto solución. Por ejemplo: x' - 7x + 6 = O Ecuación compatible indeterminada: es aquetta en la que no se pueden enumerar los elementos: 4x Por ejemplo: x + 1 x - 1 x -1 x+1 -1 Ecuación incom patible Denominada también absurda o inconsistente; es aquella cuyo conjunto solución no presenta ningún ele mento. Por ejemplo: (x - 1)^ + 4x = (x + 4)(x - 2) x^ + 2x + 1 = x^ + 2x - 8 =» 1 = - 8 (absurdo) 2. Resolver: V 2x^ - 3x - 2 = x^ - 4 Resolución; Descomponiendo en factores ambos miembros: (2x + 1 ) ( x - 2 ) = ( x + 2 ) ( x - 2 ) Dividiendo convenientemente entre (x - 2): (2x+1)(x-2) (x+2)(x-2) (x-2) (X-2) 2x + 1 = x + 2 x= 1 Como la otra solución se canceló por haber di vidido la ecuación entre (x - 2). se hará: x - 2 = 0 ==x = 2 .•. Las soluciones serán; 1 v 2 Si los miembros de una ecuación se elevan a un mismo exponente es posible que se introduzcan soluciones extrañas a dicha ecuación; para esto las soluciones encontradas deben comprobarse en la ecuación original y tomar como soluciones correctas a aquellas que se verifiquen. Ejemplo: 1. Resolver: x + -/x + 5 = 7 Transponiendo x al segundo miembro: Vx + 5 = 7 - X Elevando ai cuadrado miembro a miembro: ( / x T 5 f = (7 - x f X + 5 = 49 + x^ - 14x := O = x^ - 15x + 44 ^ ( X - 11){x - 4 ) = 0 = 11 a x = 4 Para saber cual es la solución que se ha intro ducido al elevar al cuadrado, se verifican los valores encontrados en la ecuación original. Para x = 11: 11 + V il + 5 = 7 15 7 (no cumple) X = 4: 4 + ^ T 5 =7 7 = 7 (cumple) La única solución es: x = 4 IV. Si a los miembros de una ecuación se les extrae una misma raíz, es posible que se estén elimi nando soluciones de dicha ecuación, para esto se debe recurrir a otros criterios. Ejemplo: 1, Resolver: (3x + 7)^ = (2x - 5)^ Resolución: Sacando raíz cuadrada a ambos miembros: 3x + 7 = 2 x - 5 = > x = -1 2 La otra solución se halla por el siguiente criterio: a= b a' = b' a = -b Luego: 3x + 7 = -(2 x - 5) = -2 x 2x + 2 9x^-4 x -2 9 x ^ -h 1 2 x - 2 x 9x^-4 Forma general: ax + b = O Resolución: ax = - b Siendo: a# O - 2 Si eliminamos (x - 2); hacemos: x -2 = 0 ^x=2 Pero: 9x^ - 4 O => x # 2/3 Luego: 9x^ + 12x + 4 = 9x^ - 4 - 8 = 12x ^ X = -2/3 Conjunto solución: 2 2, Resolver (12 346)^ - (24 961)f ^ 3 ^ (12344)^-(24689)^ Análisis de la ecuación: ax -h b = O 1. 2. 3. 4. Si: a O A b O => ax + b = O La ecuación es compatible determinada. Si' a # 0 A b = 0 =»ax 4-0 = 0 La ecuación es compatible. Si: a = O a b = O = Ox + O = O La ecuación es compatible indeterminada. Si: a = 0 A b ^ O =>0x±b = 0 La ecuación es incompatible o absurda. 3x - 2 Resolución: Desdoblando las diferencias de cuadrados; (37 037)(- 12 345) ^ 3x + 2 (37033)(- 12345) 3x - 2 Por la propiedad de proporciones. a- b c- d b d b d 37 037 - 37 033 (3x -i- 2) - (3x - 2) 3x-2 37 033 4 37 033 4 3x-2 1 37 033 1 3x - 2 Efectuando: 3x - 2 = 37 033 x = 12 345 Hallar x en las siguientes ecuaciones: 7xJ6 - 5/3 = 3x/5 - 1/4 X 1 2x + 7 2x-f-1 + 3 2 6"^ 3 9 x~1_y_4+x 23- x 4 4 5 ( X -I- 1)(2x -1 ) - (2x +1)(x-3) = 3[3(x + 1) -3 1 + 4 x-a ab a x=-b a x+4 9x^-4 9x^+12x + 4 2 / 3 x - 5 / x = 7/ 10- 3/ 2x <4 ECUACIONES DE PRIMER GRADO +4 Resolución: Agrupando en un solo término las expresiones que tengan el mismo denominador; x Resolución: Luego: x Ejemplos: 1, Resolver: x-b a+b 1. x-c be a- b 4ax + 1 - 3 = - ^ + 2 b Resolución: Trasladando las incógnitas a un solo miembro y los datos al otro se tendrá: 7 x _ ^ _ 5_2 6 5 “ 3 3 5 x - 18x 30 4 20-3 12 17x _ 17 „ _ 5 _ 2 5 30 - 1 2 ^ ’^ - 2 Análogo al anterior, incógnitas a un miembro y los datos al otro: X , 2x + 7 2x + 1 soluciones habrá que comprobarla en la ecua ción original = 1 + V jrn . 1 9x + 12x + 4 2 - 4 x - 2 Elevando al cuadrado: x + 4 = 1 + ( x - 1 ) + 2 / x^ Nuevamente al cuadrado: 4 = x - 1 = x=5 18 + 1 18 17X + 40 3 19 ^ 17x = 17 X 17x + 4 0 = 57 Comprobando: V5 + 4 - -15 - 1 = 1 3 - 2 = 1 (cumple) Única solución: x = 5 = 1 Agrupando en un solo miembro a las fracciones que tienen igual denominador: ^ + 4 + 4 X 4 4+ X -1 _ _ 23 ^ - Efectuando: X 5 + a + ■i5a + a^ = 15 35 - 2 3 + X 2x + 3 _ 12 + 4 5 6x = 33 X X V5a + a^ = 10 - a Elevando al cuadrado miembro a miembro; 5a + a^ = 100 - 20a + a^ 25a = 100 a=4 Comprobando: => lOx + 15 = 48 + 4x «=f = V5 + 4 + /4 = = 3 + 2 = 4 r (cumple) V5 + 4 3 Única solución: a = 4 Efectuando en ambos miembros: 2x^ + 2x - x - 1 - 2x^ + 6x - X + 3 = 9x + 4 - 2 = 3x = 2 = -/x ^ ..x = ^ Resolver: La ecuación puede escribirse: 3x X 2x 10 4 - 3 0 + 9 7 + 10 6x 10 11 I I - 1 0 = 6x 6x 10 2x^ x+ 1 X X ab ac be X = -5/3 a+ b- e X 1 _ / a+ b- a + b a l ( a - b ) ( a + b) a^-b' 2ab 4ax + 1 - 3 x _ b ^ x+1 2x^-2 ^ X X + 2 ^ 3x - 2 X x + 2 + 3x - 2 X 2( x ^ - 1) x+1 4x ^ 2(x -1 ) = 4 X = 3 X Resolver: a + b + 2b' X a"-b a-b,a +b a -b a^+b^ Resolución; De modo análogo al anterior; a+b X a -b X a ' + b^ a' ^-b" x= 5 b -l 4a- 3 Resolver las ecuaciones irracionales: Vx + 4 - Jx - 1 = 1 V5 + a + ■fs — 15 Resolución: Debe tenerse en cuenta que es una ecuación irracional, entonces una vez encontradas las 2b . - a" X 2b X 2b + a + b a-b a'-b" (a + b)^ - a ^ - b ^ - 2b^ a^-b^ ^ ( a - b ) ( a + b) a+b- a+b 4ax - 3x + 1 = 5b => x(4a - 3) = 5b - 1 • 2x^ x+1 x + 1 6. X a -b a+b 1 1 - = xl a la -b a+b x+ 1 Agrupando en un solo miembro aquellas fraccio nes con igual denominador. (c - b - a) = -b ^ abe abe ac x + 2 X Resolución: Desdoblando cada fracción: X 1 X ^ b _ X 1 ab b ac ac be b X 3x - 2 - 2b • + + 2ab + (a + b)(a - b) 2 a b - 2b (a + b) (a - b) 2b 2 b (a -b ) xX (a + b) (a - b) Despejando; x = a + b Si: ax^ + 2ax^ - (a + 3)x + 3a - 1 = O determinar el valor de “a" para que la ecuación ad mita como raiz a (-2). Resolución; Si ia ecuación admite como raíz a x = -2 , implica que ai reemplazar en ia ecuación originai, ia verifica: a(-2)^ + 2a(-2)^ - (a + 3 )(-2 ) + 3a - 1 = O —8a + 8a + 2a + 6 + 3a —1 = 0 => 5a + 5 = O a = -1 Resolver: x -3 x -2 x -4 x -3 11. Hallar el valor de X en: Vx + 4 + V x -4 = 4 Resolución: La ecuación puede escribirse: Vx + 4 = 4 - Vx - 4 X + 4 = 16 - Q - i x - 4 + X - 4 x + 2 _ X+ 3 x+1 X+2 Resolución: -8=-8-Í)T ^ ^ Escribiendo cada numerador en función de su de nominador. Por ejemplo, veamos para ei primero: (x-4) + 1 _ x - 4 ^ 1 = 1+ 1 x-4 x-4 x-4 ''x -4 Hagamos este artificio para todas las fracciones y se tendrá: De donde; x - 4 = 1 =>x = 5 Comprobando en la ecuación original; V5 + 4 + V5 - 4 = 4 (cumple) .-. Única solución; x = 5 x-4 - 1- x -3 x X - 3 - X + 4 X + 2 - X - 1 (x-4)(x-3) (x + 1){x + 2) - 1- X +2 x^ - 7x + 12 = x^ + 3x + 2 ^ lOx = 1 0 X= 1 9. 2a^ + 2ax - 3b^ - 3bx = 6a^ - 12b^ (2a - 3b)x = 4a^ - 9D^ (2a - 3b)x = (2a + 3D){2a - 3b) X = 2a + 3b Resolver: 3x - 1 9x^-1 3x - 1 Resolución: Transponiendo el primer sumando del primer miembro al segundo: 2 2 8 9x^-1 3x - 1 3x - 1 ’^ 3 -9 x - 3 = 1 10. Resolver para x cada caso siguiente: . x+a x -a x -a x+a 2(a + x) b a(2x + ab) x^-a^ 3(b + x) 6(a^-2b^) a ’ ab Resolución: • 12. Si la edad de Alberto es 3 veces la edad de Julio y juntos suman 52 años. ¿Cuántos años le llevará Alberto a Julio dentro de 5 años? Resolución: Sea x la edad de Julio, entonces Alberto tendrá 3x Por dato; x + 3x = 52 = X = 13 Dentro de 5 años Julio tendrá: x + 5 = 18 Alberto tendrá: 3x + 5 = 44 .-. Alberto le llevará a Julio dentro de 5 años; 44 - 18 = 26 años 13. Un número es tal que multiplicado por 2, por 3 y por 5 da tres números cuyo producto es 15 360. ¿Cuál es el número? Resolución: Sea a el número; del enunciado; (2a)(3a)(5a) = 15 360 ^ a^ = 512 => a = 8 El número es: 8 2 _ -6 (3x+1)(3x-1) 3x-1 3x + 1 = 1 Dando común denominador en el primer miembro: (X + a)^ - (x - a)^ _ a(2x + ab) (x + a ) ( x - a ) ” x ^ -a ^ 4ax = a(2x + ab); x ± a =» 4x = 2x + ab ^ X = (ab/2) 14. Si el séxtuplo de la edad que tenía hace 5 años le resto el doble de la edad que tendré dentro de 15 años, obtengo mi edad. ¿Qué edad tengo? Resolución: Sea x mi edad, entonces; 6(x - 5) - 2(x + 15) = X 6x - 30 - 2x - 30 = X => X = 20 Tengo 20 años. 15. Un automovilista estima que si recorre 75 l<m más, completa la mitad de su viaje, del cual ya ha re corrido la tercera parte. Hallar la distancia que ha recorrido. Resolución: D el e n u n c ia d o se p u e d e e s b o z a r el gráfico; • Dando común denominador 2a{a + X) - 3b(b + x) ab 6(a" - 2b^) ab Por dato; o = 75 Lo recorrido: X Como al primero le toca 1700, entonces; - 450 - 1700 I 2x + 50 i = 150 km 3900X = 3 4 0 0 x + 5 0 (1 7 0 0 ) ^ 16. Una persona tiene S/.120 y otra tan solo S/.50, después que cada una de ellas gastó la misma cantidad de dinero, a la primera le queda el triple de lo que le sobra a la segunda, ¿Cuánto les queda en conjunto a ambas personas? x = 170 El jornal del primer obrero es de 170 soles. 20- Viajando a 100 km/h un piloto llegaría a su destino a las 19 :00 horas, pero viajando a 150 km/h llega ría a las 1 7 ;0 0 horas, ¿A qué velocidad debe ir para llegar a las 18 :00 horas? Resolución: Sea x la cantidad que gastaron: 120 - X = 3(50 - X) Resolución; Sea: x horas el tiempo de partida; Resolviendo: x = 15 Luego la primera queda con: 120 - 15 = 105 V = 100 La segunda queda con: 50 - 15 = 35 .-. Les queda en conjunto: 105 + 35 = 140 17. Una persona compra un grabado y paga por el marco lo mismo que el grabado. Si el marco costa se 25 soles menos y el grabado 18,75 soles más, el marco costaría la mitad del grabado. ¿Cuál es el valor del grabado? Resolución: Sea x el costo del grabado. Luego el costo del mar co también será x Pero por dato: x - 2 5 ^ x+1^8,75 2x - 50 = X + 18,7 ^ x = 68,75 El grabado cuesta: 68,75 soles 18. Al preguntar un padre a su hijo qué cantidad habla gastado de los 350 soles que le dio, este le contes ta; "Las tres cuartas de lo que no gasté", ¿Cuánto ga stó? Segundo Caso V = 150 t = 17 - X Primer caso t = 19 - X Como el espacio recorrido es el mismo en ambos casos puede establecerse que e = 100(19 - X) = 150 (17 - x) Resolviendo: 190 - lOx = 255 - 15x = X = 13 Se pide la velocidad para que llegue a las 18 horas es decir el tiempo empleado sería 18 - 13 == 5 e v= j Luego; 100(19-13) ^ 600 ,-, V = 120 km/h 21, Considerando; X Resolver; O x^ + 2 x +2 , x^+8x + 20 X+ 1 x^ + 4 x +6 ^ x^ + 6x +12 x+2 X+ 3 x + 4 Resolución: Formando trinomios cuadrados perfectos en los numeradores: (x + 1 )V l X + 1 , (x + 4 ) ^ + x+4 (x + 2)^ + 2 , (x + 3)^ + 3 x+2 x+3 4 “ Resolución: Sea X la cantidad que ha gastado el hijo. Descomponiendo cada fracción: No gastó: 350 - x (x + 1 )' Del enunciado: x = - | ( 3 5 0 - x ) x+1 , 1 , (x + 4 )^ x+1 ^ x+4 (x + 2)^ , 4x = 1050 - 3x = 7x = 1050 => x = 150 Gastó 150 soles. 19. Se ha repartido 3900 soles entre dos obreros en partes proporcionales a sus jornales, Al primero le correspondió S/,1700 y su jornal es 50 soles me nos que el del segundo, ¿Cuál es el jornal del pri mero? Resolución; Sea X el jornal del primero; luego del segundo será x + 50. Luego la constante de proporcionalidad es tará dada por; 3900 2 X + 50 x+2 4 (x + 4) 2 , (X + 3 ) ' ^ X h2 x+3 3 x+3 x + 1+ ^ ! ^ + x + 4 + —^ = x + 2 + - ^ + x - r 3 + - ^ x+1 x +4 x+2 x+2 1 2 x+1 x + 2 4 x+4 -X -x X + 2 - 2x - 2 _ 3x + 12 - 4x - 12 _ (x+1)(x + 2) (x + 3)(x + 4) ^ => x = 3 x+3 ^ ^ O Por condición está solución esta descartada, luego: x' + 3x + 2 = x' + 7x + 12 4x = -1 0 X- -| 22. Resolver: (x + 2 ) ( x - 4 ) 7(x+3)(x-5) {x + 4 ) ( x - 7 ) 12(x + 5 ) ( x - 5_ 84 ^ \ .N a v e Jugador\^ 1." 2." 3." A 4x 5x - 500 3x + 3000 B 4x - 1000 4x + 4000 3x Resolución: Desdoblando el segundo miembro como: _L = 1 _J_ 84 7 Resolución; 12 (x + 2 ) ( x - 4 ) 7(x + 3 ) { x - 5 ) (x + 4 ) ( x - 7 ) 12(x + 5 ) ( x - 8 ) 7 PT(A); puntaje total de A PT(A) = (4x + 5x - 500 + 3x + 3000) PT(B): puntaje total de B PT(B) = (4x - 1000) + 4x + 4000 + 3x) Por dato; PT(A) - PT(B) = 2000 (12x + 2500) - (11x + 3000) = 2000 X = 2500 J_ 12 Dando común denominador en ambos miembros: x ^ - 2 x - 8 - x '+ 2 x + 1 5 x ^ -3 x -2 8 -x ^ + 3 x + 4 0 12(x + 5 ) ( x - 7(x + 3 ) ( x - 5 ) - 2x - 15 = x' - 3x 40 X = - 25 PT(A) = (12x + 2500) = 32 500 son mayores PT(B) = (11x + 3000) = 30 500 que 30 000 23. Sean: A = Vx + 4; B = Vx - 1 si al restar B de A se obtiene 1, hallar el valor de A; Siguen jugando ambos Resolución: <4 SISTEMAS DE ECUACIONES A - B= 1 Vx + 4 - Vx - 1 = 1 Elevando al cuadrado ambos miembros; (VxT4f-{1 X + 4 = 1 + 2Vx - 1 + 4 = 2 /)^ X Se llaman también ecuaciones simultáneas. - 1 => 2 = 4 = X- 1 X = 5 (comprobando, verifica en ia ecuación original) A = VxT 4 = V5+T = 3 24. Hace 3 años, yo tenía el doble de tu edad en ese entonces. Dentro de 17 años yo tendré 5 veces la edad que tu tenías cuando yo tenía la edad que tu tendrás dentro de 7 años. ¿Que edad tengo? Resolución: Pasado Presente Futuro A 2x 2x + 3 2x + 2 0 B X X + 3 2x + 20 = 5(z) X Es un conjunto formado por dos o más ecuaciones para dos o más incógnitas, las cuales se verifican simultá neamente para los mismos valores de las incógnitas. + 20 x V + xy = 6 Por Ejemplo: x+ y= 3 (I) y (II) forman un sistema de ecuaciones. Conjunto solución de un sistema Se llama solución particular o simplemente solución de un sistema a los correspondientes valores de las incóg nitas que lo verifican, al conjunto de todas estas solu ciones se les denomina conjunto solución del sistema (y es único). Se tiene de (I): (xy)^ + xy - 6 = O (xy + 3)(xy - 2) = O Donde: xy = - 3 v xy = 2 xy = - 3 ; X +y = 3; t^ - 3t+ 2 = O ...(1) V - 3±V2Í 2 Dentro de 7 años B tendrá x + 10: 2x + 3 - ( X + 10) = X - 7 x: es el tiempo entre presente y el pasado: z = X + 3 - (x - 7) = 10 En(1): 2x + 20 = 5x1 0 x = 15 3-V21 ^ xy = 2; X + y=3 A tendrá: 2x + 3 = 33 años 25. Dos alumnos A y B en el intermedio de clase van al pinball a jugar en la máquina Defender que les pro porciona 3 naves a cada uno. Si los puntajes obteni dos por cada nave, antes de que la derriben, apare ce en la tabla y además sabiendo que cada 30 000 puntos la máquina les proporciona otra nave. Deter minar si seguirán jugando con una cuarta nave. Si A posee en total 2000 puntos más que B. ...(I) ...(II) 3 + V^ 2 3-/2Ì : y? = 3 + V2Ì f - 3t + 2 = O t == +2 => t = 1 Xa = 2 ^ y3 = 1 X, = 1 ^ y, = 2 CS = í ( 3 + - / ^ . 3 - V ? ^ \. /3 - V ^ . 3 + V ^ \ ; ( 2 ; 1) ( 1 ;2 ) Clases de sistemas 1. S is te m a c o m p a tib le : e s a q u e l q u e al m e n o s a d m ite u n a s o lu ció n . A su v e z p u e d e ser; • Sistema compatible determinado: si el n ú m e ro d e s o lu c io n e s s e p u e d e en u m e ra r, esto ocurre cuando el número de ecuaciones inde pendientes dei sistema es igual al número de incógnitas. De (I): Vi = - b, Por ejemplo: x V + xy = 6 X+ y = 3 número de soluciones no se puede enumerar esto ocurre cuando el número de ecuaciones independientes del sistema es menor que el nú mero de incógnitas. 2. 3. Análisis del sistema lineal. El sistema está formado por (I) y (II). Puede ser: 1. x + 2y + z = 5 X -h 4y -H 3z = 11 Compatibie determinado Si; V 02 b, As/0 Gráficamente; ^ —— ¥=- r ^ D2 ^2 ^2 Las rectas y, e y¿ tienen pendientes diferentes: Sistema incompatible: denominado también sis tema absurdo o inconsistente, es aquel que no admite alguna solución, esto ocurre cuando el nú mero de ecuaciones independientes del sistema es mayor que el número de incógnitas. Por ejemplo: b3 Donde; (x^; y^) es la solución del sistema. Sistema compatibie indeterminado: si el Por ejemplo: - x + 5y = 7 2x + lOy = 14 Sistemas equivalentes: dos sistemas son equiva lentes si tienen las mismas soluciones particulares, es decir el mismo conjunto solución. 2. <4 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO Sistema lineal de dos incógnitas Ejemplo: a,x + ajX = 83 b,x + bjy = bj Compatible indeterminado S i : ^ = J¿ = ^ V A x=A y = As = 0 Gráficamente; Las dos rectas y, e yj coinciden ...(I) ...(II) Resolución: 1. Método de reducción o eliminación b^(l) : a^bjx + 3;bjy = a,b2 \ 32(11): b.asX+ bja^y = bjBj J (-) Si: (a,b2 - b.aj) x = ajb^ - b3a¿ aj bj - b ^ a ^ 3i \^2 — Análogamente: y = 2. bj = bj bj V As = 0, Ax?^0, Ay?:0 Gráficamente; 3b ' a^b2 3i 3o De; ^ = i l i . b, b,a3 Bjbi —3 b l. rtg. £2 b, ' £3 _ £3 , ^ b, ^ b, a, ^ b. Método de Cramer 83 32 a, a, bl b^ x— a, a b, b3 83 a, b, b As b-, b- Método gráfico Sistema lineal de tres Incógnitas a,x + a2y + a^z - a^ b,x + b¿y + b3Z = b4 c,x + CiV + C3Z = C4 ...(I) ...(II) ...(III) Resolución; Por Cramer: x = ^ ; As y = ^ ; AS AZ As 83 82 83 As = bi b2 b3 ; Ax = ^4 1^2 1^3 C4 C2 C3 C, C2 C3 a, a¿ 84 83 a^ 82 84 bí b3 ; AZ = b, Ct Cj C4 Ci C4 C3 a, A y - b, 3. Resolver el sistema y dar como respuesta xy. h + y + 5 - 72^x + 20y = O 3 ^ f x - 1 = /ÍO + /6 Resolución: Transformando el radical doble: ix + y + 5 - 2V5(x + y) = O Análisis del sistema lineal de tres incógnitas. El sis tema formado por (I), (II), (III) puede ser: 1. Compatible determinado: Si: As?^0 2. Compatible indeterminado: Si: AX 3. = Ay = Az = As ax ?=O, A y producto /T0 + /6 O, A z * O 2 Ejemplos: 1. ...(1) Transformando la segunda ecuación: = o Incompatible; Si: A s = O a suma Aplicando la regla práctica: Vx + y - •Í5 - O ^ X + y - 5 x+ i suma Dado ei sistema: 5xy=12(x-fy) 5yz = 18(y z) 13xz = 36(x -f z) Hallar: x + y + z VTÓ- v6 producto A radicales simples: M + ^ ^ Resolución: Las ecuaciones propuestas pueden escribirse: Despejando la incógnita 1+1 =A = Luego en (1) : y^ X 1 1__5__^ z^y 12 18 ..,(1) 36 1 + 1 = 11 z X (1) ...(3) 36 + (2 )+ (3 ): 2 (l + l X 36 (4) (1)en(4): z = 9 (2) en (4): x = 4 (3) en (4): y = 6 1 = 1/2 2 2 xy = 4 Para que sea incompatible deberá cumplirse lo si guiente; 2m 5m - 9 ,„(l) m 3m - 2 ^ 2m + 1 Efectuando: 3m^ + 7m - 6 = 2m^ + 8m m^ - m - 6 = O (m - 3)(m + 2) =» m = 3 a m = -2 Se pide: X + y -t 2 = 4 + 6 + 9 = 19 Calcular el valor de x del siguiente sistema: ay + bx = c; ex + az = b; bz + cy = a Resolución; Las ecuaciones pueden escribirse como: bx + ay + Oz = c ex + Oy + az = b Ox + cy -I- bz = a Por Cramer: c a 0c b 0 ab a c ba b a 0b c 0 ac 0 c b0 x = 4; y = 2 Resolución: + l) = f 19 X Calcular el valor de m para que el sistema sea in compatible. (m + 3)x + 2my = 5m - 9 (m + 4)x + (3m - 2)y = 2m + 1 ...(2) 36 x - 1 • Si m = 3: en (I): y = y y (no puede ser) • Sim = -2: e n ( l ) : l - l / ^ m =-2 Resolver: 6x - 5y = -9 4x + 3y = 13 Dar como respuesta el valor de x. Resoiución: a 0 c a 0 c e +b - a 2bc Multiplicando por tres a la primera ecuación y por c in c o a la s e g u n d a : a - ac -ab - abe - abe a ( c ^ b^ a^) -2abc Sumando 18x - 15y = -27 2ÜX + 15y = 65 38x + 0 - 38 . - . x - 1 Hallar el valor de x si: 3 + 2(x + 4) = 5(y + 1) - 4 5(x + 1) - 2y = 4(y + 1) ( 1) + (2): 2a = -1 ^ a = -1/2 (1) - (3): 2b = - 4 == b = - 2 Resolución: Reduciendo cada ecuación: 2x - 5y = -10 5x - 6y = -1 -.(2) En (2): - 1 - ( - 2 ) + 0 - 2 La ecuación (1) por 6 y la ecuación (2) por 5: 12x -' 30y = -6 0 25x -' 30y = - 5 - 13x = -5 5 10. Resolver el sistema; mx + ny = fn^ + n^ my + nx = m^ - n^ Si y = a + b/x, con a y b constantes, determinar valor de m en: X -1 -4 -2 y 2 5 m Resolución: Reemplazando valores de acuerdo al cuadro, se tendrá: Para x = -1 ; y = 2, entonces. 2 = a -b ...(1) Para x = - 4; y = 5, luego: 20 = 4a - b Finalmente para x = -2 ; y = m m= 6+ 4 -2 .(2 ) m=4 Dado el sistema: 3x + 2y = a + 2 2x - 3y = 2a - 1 determinar el valor de "a" para que x valga el doble de y. Resolución: Por dato: x = 2y • 3(2y) +2y = a + 2 ^ 8y = a + 2 2{2y) - 3y = 2a - 1 - y = 28-1 .„(2) Pero(1) = (2): ^ 4 ^ = 2a - 1 O a + 2 = 16a - 8 9. Resolución: Multiplicando a la primera ecuación por n y por m a la segunda: mnx + n^y = n{m^ + n^) ...(1) m^y + mnx = m(m^ - n^) ...(2) Restando (1) - (2): (n^ - m^)y = m^n + n' - mn^ (n + m)(n - m)y = (n - m)(n^ + nm + m^) ^ ^ m^ + mn + n^ m+ n En (1): mnx + n = ( in ! ± J H 2 ^ j = n K + n^) Restando las relaciones (2) - (1) 18 = 3a ^ a = 6; a b = 4 • - 2 + ^ = -2 / \ ( ) x = 55/13 8. Se pide: a + b + c = c- 1 .-. a = 2/3 Si P(x) = {a + b - c + 3)x^ + (a - b + c - 2)x + (a - b - c - 1) es un polinomio idénticamente nulo, calcular: a+ b+ c ^ x = - ^ m+n .-.x + y = 2m^+mn + n^ ^ m+ n 11. Una gallina le dice a otra: “Si yo tripíicase mi pro ducción diaria y tú la duplicaras, pondríamos 151 huevos, pero si hiciéramos al revés solo pondría mos 139 huevos”. ¿Cuántos huevos semanales recoge el dueño de estas dos gallinas? Resolución: Sean x e y la producción de la primera y la segunda gallina, respectivamente: 3x + 2y = 151 2x + 3 y = 1 3 9 ...(1) ...(2) La ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por 2; 9x + 6y = 453 ( - ) 4x + 6y = 278 5x =175 ^ X = 35 En (1): 3<35) + 2y = 151 ^ y = 23 Se pide: 7(23 + 35) = 406 huevos 12. A! dividir un terreno en dos partes, resulta que los 2/5 de la primera parte miden igual que los 3/7 de la segunda. Si el terreno mide 11 600 m', ¿Cuánto mide la parte mayor? Resolución: Resolución: Supongamos que ei terreno se ha dividido en dos áreas que son x e y, respectivamente. Por ser idénticamente nulo: a í b - c = -3 ...(1) a -b + c = 2 ...(2) a- b- c= 1 ...(3) Del enunciado: |^x = ^ y O f =» y = 10 ...(1) Además: x + y = 11 600 (1)en(2): x + IO De donde: b = 8; en (1): a = 60 Se pide: a + b = 68 (2) = 11 600 29x = 11 600 - X = 6000 15 En (1): y = 5600 La mayor parte mide: 6000 13. En un teatro las entradas valen S/.65 y S/.25. Si al vender un total de 740 entradas se obtiene 38 500 soles, ¿cuántas entradas de S/.65 se vendió? Resolución: Sean: x: n.° de entradas vendidas de S/.65 y: n.'’ de entradas vendidas de S/.25 Del enunciado; x + y = 740 65x + 25y = 38 500 13x + 5y = 7700 ...(1) ...(2) Resolviendo (1) y (2): x = 500 .-. Se vendieron 500 entradas de S/.65 14. La razón del número de varones ai de niñas, en un grupo era de 3 a 5. Después se fueron 24 niñas y llegaron 24 varones, con lo que la nueva razón de varones a niñas es de 5 a 3. ¿Cuántos varones habia en el grupo? Resolución: Sea: V: n.° de varones y N: n.° de niñas. Del enunciado. N=fv •(1) 16. Dividir 46 en dos sumandos tales que dividiendo el primero por 7 y el segundo por 3, la suma de ios cocientes sea 10. Dar como respuesta la diferencia de los mismos. Resolución: Sean a y b los sumandos: De donde: a + b = 46 • y f - ^ = 10 = 3a + 7b = 210 •( 2 ) / ó De(1)y{2): b = 18;a = 28 .-. Se pide: a - b = 10 17. Un estudiante se compromete a presentar a su pa dre la resolución de ocho problemas diarios. El pa dre da al hijo S/.9 por cada problema bien resuelto y el hijo abona a su padre S/.6 por cada problema que deje de presentar o este mal resuelto, Al cabo de 20 días el hijo ganó S/.540. ¿Cuántos proble mas resolvió bien el estudiante? Resolución: Asumiendo que no se equivocó en ningún proble ma entonces debería haber cobrado; (8){9)(20) = 1440 Pero recibe: 540 Devolvió al padre; 1440 - 540 = 900 Por cada problema mai resuello pierde 15 Se equivoco en ; 900 + 15 = 60 Recibió en total 160 problemas. Resolvió bien; 160 - 60 = 100 problemas 18. Si un padre tiene ahora 2 años más que sus dos hijos juntos y hace 8 años tenia 3 veces la edad del hijo menor y dos veces la del mayor. ¿Qué edad tiene ahora el hijo mayor? Además: = I ^ 3V + 72 = 5N - 120 3V + 72 = 5 (|V ) - 120 = V = 36 Resolución: .-. El n.'" de varones es: 36 Sea: x; edad del hijo mayor y; edad del hijo menor 15. Hallar la suma de dos números tales que dividien do el mayor entre el menor su cociente sea 7 y el resto 4, y que la división del triple del mayor entre el doble del menor resulte de cociente 11 y resto 4. Resolución: Sean a y b los números (a > b) 1.®' caso: 2 .° caso: -r- “ 7 r=4 b a = 7b + 4 ■ü = {1)en (2): 3(7b -r 4) = 22b + 4 21b + 12 = 22b + 4 Actualmente .,(1) (2) hace 8 años P=x+ y+ 2 x + y- 6 H= x X- 8 Hm = y y -8 Luego; x + y - 6 = 3(y - 8) = 2(x - 8) • x + y - 6 = 3(y-8} ^ x + y - 6 = 3y- 24 x - 2 y = -18 ...(1) • ^ r= 4 2b 3a = 22b I 4 d) 3{y - 8) = 2{x - 8) 2x - 3y = - 8 ^ 3 y - 2 4 .. .(2) = 2 x - 1 6 Resolviendo (1) en (2): x = 38 a y = 28 El hijo mayor tiene: x = 38 años. 19. Jaime le dice a Hugo: yo tengo el doble de la edad que tu tenias, cuando yo tenía la edad que tu tie nes. si la suma de nuestras edades actuales es 42 años, ¿qué edad tendré cuando tengas la edad que yo tengo? Resolución: Haciendo un cuadro de edades: Pasado Presente Jaime y 2x Hugo X y De donde: (2 )en (1 ): = 2x + y = 42 y - X = 2x - y 2y = 3x 2x + ^ - 42 ^ En (2): ay + y + X + 2 = a + 3 a+3 En (3): az + X + y + z = -2 a - 4 az = -2 a - 4 22- ...(1) Resolver: x+ y+z = 0 ax + by + cz = O box + cay + abz = 1 ( 1) ...(2) ...{3) Resolución: .(2 ) Utilizando el criterio de reducción o eliminación: (1)c; ^ xc + ye + zc = O \ ax + by + cz = O* (a - c)x +(b - c)y = O ( 2 ): X = 12 En (2): y = 18; luego la diferencia de edades es: 2x - y = 6 Cuando Hugo tenga 24 años Jaime tendrá 30. 20, Un automóvil sube una cuesta a 60 km/h y la baja a 90 km/h, el liano va a 80 km/h. Para recorrer 230 km de A hasta B, emplearía 3 horas, y en el regreso 10 min más. Calcular el camino llano que hay entre “A " y '‘B'’. (1)ab: (3); (I)b: (II): Graficando el recorrido: ' ^ ...(I) abx + aby + abz = O bcx + cay + abz b(a - c)x + a(b - c)y = - 1 .,,(11) b(a - c)x + b(b - e)y = O b(a - c)x + a(b - c)y : - i ) (b - c)(b - a)y = 1 1 Luego: y = (b-a)(b-c) Resolución: Análogamente; 1 1 (a-b)(b-c)’ (c-a)(e-b) 23. Resolver: Del enunciado: =. z = x + y + z = 230 ...{1) X + y+ z = 1 ax + by + cz = d a^x + b^y + c^2 = d^ Resolución: ,..(2) 80 X 90 80 60 = 3 — 60 (3) ' Utilizando la resolución de Cramer: AS - Resolviendo (1 ), (2) y (3): y = 80 km 1 21. Dado el sistema: (a + 1)x + y + z= a + 1 X + (a + 1)y + z= a + 3 X + y + (a + 1)2 = -2 a - 4 AS = ...(1) ..,(2) ...(3) 1 1 1 1 a- a a ^- a ^ b - a c- a e^-a‘ 1 O b- a O b ^- a ^ 1 c- a c^-a‘ 1 1 I b c ' = (d - b)(b - c)(c - d) b^ c^ Resolución: AX = Sumando las tres expresiones: x(a I 3) -t- y(a + 3) + z(a + 3) =• O (a + 3)(x + y + 2) = O AX Por condición: a -3 , lo que implica que: x+ y + z =O Luego-y = Lueyu.y (t,_a)(b-c) (1): b- a b^-a^ c - a AS =(b - a)(c - a)(c + a) - (c - a)(b - a)(b + a) AS = (a - b)(b - c)(c - a) Resolverlo si: a ^ ~3 En b^ - a^ AS (d - b)<b - c ) ( c - d) (a - b)(c - a)(b - c) (d - b)(d-c) (a-b)(a-e) a (d-a)(d-b) (c-a)(c-b) ax + x -r y +z = a + 1 ax = a + 1 = X = 24, Un canal se puede hacer en 6 horas por 3 traba* jadores, si el primero inicia su trabajo cuando los Para el problema: e, = 60t,; 62 = Stji 83 = otros dos han trabajado, entonces se necesita 4 horas y media más para la obra, si el segundo tra bajador llega 3 horas más tarde que ios otros dos, se necesita 4 horas más para la obra. ¿Cuántas horas necesita el trabajador más ocioso para aca bar el canal sin la ayuda de los otros dos? Del dato: BOt, + 5(t2 + tj) = 90 Simplificando: 12t, + tj + t, = También: Resolución; Trabajando solo en 1 hora 1 obrero 2 obreros 3 obreros ...(1) ...(2) ...(3) (1) = (2): 1 2 t , + t , + t , - t , + t 3 + 12Í3 == t , - t ^ 1/x 1/y 1/z En (1): 12t, + ^ t , + t, = 18 =* t, = 1,3 horas tj = 1,1 horas; t, = 1,3 horas Luego: t = 1,1 + 1,3 + 1,3 = 3,7 horas tp = ta + - 2,4 horas ...(1) 26. Resolver: 7 ¡1 + 1 W 4 Í J - U 1 18 t, + ti + 12tj = 18 60t, = 5t, + Stj + SOtj 11t, = 13t2 -..{3) (b + c)(y + z) - ax = b - c (c + a)(2 + x) - by = c - a (a + b)(x + y) - cz = a - b Resolución: De (2): 6(1 + 1 'V z r/ De (3); ,x 1 ^ 1\ 1 7(1 + 1 + 1 \ X V zzy/ Desdoblando los factores en tendrá: {b + c)y + (b + c)z - ax = b -b y + (c + a)z + (c + a)x = c (a + b)y - C2 + {a + b)x = a y 1^1 y 1 ,.,(4) 3 Í l U 1 = 1 = J_ \y 18 Luego, podemos decir que; x + y + z= En (4): En (1): (b + c)(-x) - ax = b - c -x ta + b + c) = b - c X= c - b a+ b+ c (1) + (2): cy + (a+ b + c + c)z + ex = b - a cy + (a+ b + c)z + cz + ex = b - a c(x + y + z) + (a + b + c)z = b - a (a + b + c)z = b - a En(1) El más ocioso necesitará 36 horas. 25, Dos poblaciones A y B distan 90 km. De A parten al mismo tiempo en dirección AB. un peatón y un automóvil con un pasajero, en un cierto punto in termedio C se baja el pasajero del auto y sigue ca minando hasta B; el auto vuelve desde C en busca del peatón para llevarlo a B punto al que llegan al mismo tiempo el peatón que subió al auto y el pa sajero que se bajo de el. Hallar el tiempo total que duró el viaje y ei tiempo que anduvo a pie cada uno. = 5 km/h) Kuto = 60 km/h; v. Trasladando los datos a un gráfico: 5t. 5t, — :— >H ^ z= Como: N C P Stj 60t, —60t, Se pide: t = t, + ti + t3 Se sabe: e = vt B Stj X a+ b+c + y+z= O b -a \ y= - a + b + c/ / c- b la + b + c -b+a-c+b a + b+ c a- o y = a+ b+c 27. Resolución: M 60t, - c ...(1) - a ...(2) - b ...(3) (1 ) + (2) + (3): (a + b + c)(x+ y + z) = O y = 18 horas A las ecuaciones se Resolver: (c + a )y + (a + b)z - {b + c)x = 2a^ (a + b)z 4 (b + c)z - (c + a)y = 2b^ (b + c)x + {c + a)y - (a + b)z = 2c^ e indicar z. Resolución: Haciendo: (b + c)x = m; (c + a)y = n; (a + b)z = p. En las ecuaciones tendremos; n + p - m = 2a^ ...(1) m + p - n = 2b (2 ) m + n - p = 2c^ (3) O maño. La idea del método es bastante sencilla: ir redu ciendo en cada paso ei sistema a otro (equivalente) que tiene una ecuación menos y una incógnita menos. Este método es conocido como método de escalerización, método de eliminación de Gauss o método de elimina ción gaussiana. Los dos últimos nombres aluden a que en cada paso vamos eliminando a una o más incógnitas, y son un reconocimiento a quien introdujo el método: el matemático Cari Friederich Gauss (1 7 7 7 -1 8 5 5 ). La solución directa de sistemas de ecuaciones lineales conlleva esencialmente dos etapas' transformación del sistema original a otro sistema equivalente más simple y luego la solución del nuevo sistema equivalente. La transformación del sistema original a uno más simple toma muchas formas, la más importante de ellas es ei proceso de eliminación gaussiana. (1) + (2): 2p = 2(a^ + b^) Reponiendo a y b: 2(a + b)z = 2(a^ + b^) » (a + b)z = {a + b)(a^ - ab + b^) z = - a b + b^ 28. Calcular n para que el sistema: nx + y = 1 X + y =2 X - y = n, s e a co m p a tib le . Resolución: Si el sistema: ax + by = c dx + ey = f gx + hy = j es compatible, se debe cumplir que: a b c d e f =O g h j Para el problema: n 1 1 1 1 -1 Para los procesos de transformación de un sistema de ecuaciones lineales, debemos tener en cuenta algunos aspectos a saber: 1 2 = O Teorem a n - 1 + 2 - 1 + 2 n -n = 0 + 2n - n = O n(n + 1) = O => n = O =. n = - 1 Comprobando y reemplazando los valores de n: Si n = 0: y= 1 A x = 1 Si n = - 1 : x - y = -1 a x + y = 2 X - y no es independiente, el sistema tiene solución. 29. Cuando yo tenga la edad que el tiene, que es lo que tenías cuando el tenia la edad que yo tengo, el tendrá la edad que tienes y a ti te faltará 15 años para du plicar la edad que yo tengo ¿Cuántos años tengo, si hace 10 años tenía la mitad de la edad que tienes? Resolución: Pasado Presente Yo y Tú X z 10 = é x - y = z - x =>2x = y + z z - X = 2y - 15 - 2 => 2z = 2y + x - 15 z = 2y - 20 2x = 3y - 20 E n (II 2 y - X = 25 (1) + 2(2): 4y = 3y - 20 + 50 3 ,2X2 a,iX, (S) ainX„ = b,, a,,x, -i- 3,2X2 + a.^x,, = b,, a,,x, + 3,2X2 + a,nXn = b ,, amiXi + + a „„x „ ■b „ y que sumamos a la ecuación j el resultado de multipli car ambos miembros de la ecuación i por un número p. Obtenemos un nuevo sistema; a „X i + a „x , + a,¿X2 3 , 2 X2 + . . . + a ,„x „ = b ,. + ... + a,„x„ = b,, (S’) aîX, + ... + a,„Xn + P (a ,,x , + ., + a.^x^) = pb „ a „ ,x , ^ •(I) De (I) En (II) Demostración: supongamos que el sistema original sea; Futuro 2y-15^ El Si en un sistema lineal de ecuaciones se sustituye una ecuación por el resultado de sumar a esa misma ecua ción un múltiplo de otra, entonces el sistema resultante es equivalente al original. ...(II) ...(MI) ( 1) (2 ) .-. y = 30 <4 SISTEMAS UNEALES: EL MÉTODO DE ELI MINACIÓN DE GALSS Y GAUSSÔRDAN En esta sección, presentaremos un método sistemático para la resolución de sistemas lineales de cualquier ta + a,„,x, + ... + a _ x . = b„. Para probar que ambos son equivalentes deberemos ver quecualquier solución de S es solución de S' yvi ceversa. Es decir, que sol(S) = sol(S’), donde sol(S) y sol(S') son los conjuntos de S y S’, respectivamente. Veamos primero que cualquier solución de 8 es solu ción de S’. Sea (u,; Uj; a„) una solución de (S). Es claro que (a,; a^, . a^) satisface todas las ecuaciones de ( S ') pues son las mismas que las de ( S ) salvo, tal vez, la J-ésima. Como (a,; a{, ■■■'■ debe verificar la i-ésima yj-ésima ecuación de (S) se tiene que: a ,,c z , + a ,;a ^ + ...+ a „ ,( i,, = b,, a,,a, + a 2a¿ + ,,.+ a,„a„ = b,. Multiplicando ambos miembros de la primera igualdad por p y sumando miembro a miembro, se deduce inme diatamente que; a .,a , + ...+ c u a lq u ie r a . D e h e c h o , p a r a d e t e r m in a r la s s o lu c io n e s + ( 3 ( a ,,a , d e u n s is t e m a e s s u f ic ie n t e c o n c o n o c e r lo s c o e f ic ie n p o r lo t a n t o , t a m b i é n la j- é s im a e c u a c ió n d e S ' s e s a t is f a c e . t e s y e l t é r m in o in d e p e n d ie n t e d e l m is m o . N a tu r a lm e n t e n o a lc a n z a c o n c o n o c e r lo s v a lo r e s d e e s t o s n ú m e r o s , L a v e r ific a c ió n d e q u e c u a lq u ie r s o lu c ió n d e S ’ e s t a m s in o q u e e s n e c e s a n o s a b e r e l lu g a r q u e o c u p a n : a q u é b ié n s o lu c ió n d e S e m p le a e s e n c ia lm e n t e e l m is m o a r e c u a c ió n p e r te n e c e n y a q u é in c ó g n it a m u ltip lic a n . P o r g u m e n to . Ig u a l q u e a n te s e s c la r o q u e ( a , ; 02; ...; a J e s t o r e s u lt a c o n v e n ie n t e in t r o d u c ir la n o c ió n d e m a t r iz . d e b e v e r if ic a r t o d a s la s e c u a c io n e s d e ( S ) s a lv o t a l v e z L la m a r e m o s m a t n z A d e m f ila s p o r n c o lu m n a s ( o s im la j- é s im a . P o r la j- é s im a e c u a c ió n e n S ' s a b e m o s q u e : p le m e n te m a tn z m a,,a, + ...+ a,„a„ + P(a,,a, + ...-I- a,pa„) = b, + pb„ a x n ) d e e n tra d a s . 1; 2: i = ...; m j = a 1; 2; n en tanto que la i-ésima implica a , i a i + a , 2t t 2 + . . . + E n u n c u e r p o K , a u n o r d e n a m ie n t o r e c t a n g u la r d e n ú aÔ n = bj M u lt ip lic a m o s a m b o s m ie m b r o s d e la m e ro s . i - é s i m a p o r p, a ,, ^ _ y r e s t a m o s d e la e c u a c ió n q u e o c u p a e l lu g a r j, p a r a a ,2 a, a^, a- c o n c lu ir . 3)1«! + a,2(^2 + •••+ a¡na„ = b| E s to m u e s tra q u e ( a ,: a¡\ ...; a ^ ) e s o l( S ) y la p r u e b a E n g e n e r a l in d ic a r e m o s c o n m a y ú s c u la s la s m a t n c e s , y c o n la le t r a m in ú s c u l a c o r r e s p o n d i e n t e a s u s e n t r a d a s . e s t á c o n c lu id a . E l te o r e m a a n te r io r e s e l f u n d a m e n t o t e ó n c o d e l m é t o d o d e e lim in a c ió n q u e p r e s e n ta r e m o s y n o s a s e g u r a P o r e j e m p l o , a l a m a t r i z A c o n e n t r a d a s a ,, l a i n d i c a r e m o s p o r: q u e e n c a d a p a s o r e s p e t a r e m o s la e q u iv a le n c ia e n tr e e l s is t e m a d e p a r tid a y e l d e lle g a d a . En e l p ro c e s o d e e lim in a c ió n A = ((a ,,)) hay veces en que es j = 1; n im p r e s c in d ib le in t e r c a m b ia r e c u a c io n e s . J u n t o c o n la t r a n s f o r m a c ió n d e s u m a r a u n a e c u a c ió n u n m ú ltip lo d e o m á s b r e v e m e n t e A = ((a ,^ )), c u a n d o la s d i m e n s i o n e s o t r a , e s t o e s t o d o lo q u e n e c e s it a r e m o s p a r a e l m é t o d o e s t é n c l a r a s . E l p r i m e r í n d i c e i, i n d i c a l a f i l a y e l s e g u n d e e lim in a c ió n d e G a u s s , o e s c a le r iz a c ió n . A d e m á s d e d o í n d i c e j , la c o l u m n a a la q u e p e r t e n e c e la e n t r a d a . e s t a s o p e r a c io n e s r e c u r r ir e m o s a la d e m u ltip lic a r u n a e c u a c ió n p o r a lg ú n n ú m e r o d is tin t o d e c e r o . L la m a r e m o s t r a n s f o r m a c io n e s e le m e n ta le s a e s t a s o p e r a c io n e s . E s d e c ir , a la s s ig u ie n t e s o p e r a c io n e s e f e c t u a d a s a la s e c u a c io n e s d e u n s is t e m a lin e a l: D o s m a t r ic e s s o n ig u a le s s i t ie n e n e l m is m o t a m a ñ o y la s m is m a s e n tr a d a s e n la s m is m a s p o s ic io n e s . D ic h o d e o tr o m o d o , s iA y B s o n d o s m a t r ic e s m a ,j = b ,, V , = 1. S u m a r a u n a e c u a c ió n u n m ú ltip lo d e o tr a . 2. I n t e r c a m b ia r d e lu g a r d o s e c u a c io n e s . 3. M u ltip lic a r u n a e c u a c ió n p o r u n n ú m e r o d is tin to d e x n . e n to n c e s A = B s i y s o l o s i: D os m a t r ic e s de 1; d is tin to m ; j = 1; ...: n ta m a ñ o ja m á s pueden ser ig u a le s . D a d o u n s is t e m a lin e a l d e e c u a c io n e s : N o te m o s q u e c u a n d o u n a e c u a c ió n e s s u s titu id a p o r e l r e s u lt a d o d e s u r n a r le u n m ú ltip lo d e o t r a , la in f o m ia c jó n a „x , -I- 82, X , 4- 3, 2X 2 -I822X 2 + + 32n>^n = bj, 3m2^2 + a^,x„ = b„, -f a,„x„ = b,, c o n t e n id a e n la e c u a c ió n e lim in a d a n o d e s a p a r e e : 3m1^l e s t á in ^ l f c i t e e r t ta n u e v a e c u a c ió n , p o r q u e ia e c u a c i^ s u s t i t u i d a e n t t ’ó « > n u n c o e f i c i e n t e n o n u l o e n l a f o r m a c ió n d e e s t a n u e v a e c u a c ió n ( e n la m a y o fia lo s c a s o s e s t e c o e fic íd n te s e r á ig u a l a 1 ) . E s ta n u e v a e c u a c ió n , ju n t o c o n la q u e s e u s ó e n la c o m b in a c ió n L la m a r e m o s m a t r iz d e l s is t e m a a la m a t r iz A , c u y a d i m e n s ió n m X n e s ig u a l a l t a m a ñ o d e l s is t e m a , f o r m a d a p o r s u s c o e fic ie n t e s . E s t o e s : i i n e ^ , p e r m i t e n i ^ c u p e r a r l a e c u a c i ó n e N m in d d a . A = N otación m a tric ia l A l t r a b a ja r c o n u n s is t e m a d e e c u a c io n e s , la r e p r e s e n ta c ió n d e la s in c ó g n it a s ( x . y , z , o x , x „, e tc .) n o d e s e m p e ñ a n in g ú n p a p e l im p o r t a n t e y p u e d e u s a r s e L la m a r e m o s m a t r iz a m p lia d a d e l s is t e m a a la m a t n z m X {n + 1) a ,, a, U n a e n t r a d a a ,, i g u a l a O e n l a m a t r i z A e s e q u i v a l e n t e a ain q u e ia in c ó g n it a x , n o a p a r e z c a e n la i- é s im a e c u a c ió n . 3-)i 3") L la m a r e m o s p iv o t e a la p r im e r a e n tr a d a n o n u la d e q u e in c o r p o r a lo s t é r m in o s in d e p e n d ie n t e s . C o r r ie n t e c a d a f ila d e u n a m a t r iz . C o n e s t a t e m ii n o l o g ia p o d e m e n t e e s c r ib ir e m o s e s t a m a t r iz e n la f o r m a : m o s d e s c r ib ir la e lim in a c ió n d e G a u s s c o m o u n p r o c e ,2 ^21 822 a „ a d im ie n t o q u e b u s c a , a b - a v é s d e la a p l i c a c i ^ r e ite r a d a • - a ,„ b, . - 32, b. d e la s t r a n s f o r m a c io n e s e le m e n ta le s , d e ja r u n ú n ic o p iv o t e p o r c o lu m n a . E n c a d a p a s o d e la e s c a le r iz a c ió n , u n a v e z e s c o g id o u n p iv o t e , lo e m p le a m o s p a r a e lim i am 2 p a ra re c o rd a r q u e • • a^n e s ta m o s n a r t o d o s lo s p iv o t e s d e la m is m a c o lu m n a . c o n s id e r a n d o la m a t r iz a m p lia d a d e u n s is t e m a , c u y a ú ltim a c o lu m n a t ie n e u n L la m a r e m o s m a t r iz e s c a le r iz a d a a u n a m a t r iz q u e c u m s ig n if ic a d o d if e r e n t e a la s a n te r io r e s . T a m b ié n la s r e p r e p la la s s ig u ie n t e s c o n d ic io n e s : s e n t a r e m o s e n la f o r m a b r e v e A |B . N a tu r a lm e n t e , t o d a 1. T o d a s la s f ila s , s a l v o q u iz á s la p r i m e r a , c o m i e n z a n 2. C a d a f ila t ie n e a l p r in c ip io p o r lo m e n o s u n c e r o la in fo r m a c ió n q u e n e c e s it a m o s s o b r e e l s is t e m a lin e a l e s tá m ás e n c e rra d a en la m a t r iz a m p lia d a A |B . V e r e m o s a d e la n t e q u e . e n r e a lid a d , m u c h a d e la in fo r m a c o n u n a s u c e s ió n d e c e r o s ; m á s q u e la f ila in m e d ia t a s u p e r io r , c i ó n r e l e v a n t e a c e r c a d e l s i s t e m a s o l o d e p e n d e d e la m a t r iz A f o r m a d a p o r s u s c o e fic ie n t e s . E s c a le r iz a r u n a m a t r iz e s lle v a r la a u n a f o r m a e s c a le r i L a d e fin ic ió n a n t e r io r in tr o d u c e u n a n o ta c ió n m á s c o m z a d a p o r m e d io d e t r a n s f o r m a c io n e s e le m e n ta le s . p a c ta ( m a t r ic ia l) p a r a u n s is t e m a d e e c u a c io n e s . S i E e s u n a m a t r iz q u e s e o b tie n e e s c a le r iz a n d o o tr a m a t r iz A , e n to n c e s d ir e m o s q u e E e s u n a f o r m a e s c a le P o r e je m p lo : c o n s id e r e m o s e l s is t e m a r iz a d a d e A , D ir e m o s q u e u n s is t e m a e s tá e s c a ie r iz a d o X + y + 2z = 9 s i s u m a t r iz a m p lia d a lo e s t á , E s c a le r iz a r u n s is t e m a 5z = O es 2 x -I- 4 y - 32 = 1 N a tu r a lm e n t e , e s c a le r iz a r u n s is t e m a e s e q u iv a le n t e a E n t o n c e s la m a t r i 2d e l s i s t e m a y la m a t r i z a m p l i a d a s o n : 1 A = E s ta 2 3 6 - 5 2 4 - 3 . A |B = 1 1 3 6 - 5 0 2 4 - 3 1 2 e n c o n tra r o tro e q u iv a le n t e . e s c a le r iz a r la m a t r iz a m p lia d a d e l s is t e m a . P o r e j e m p l o : r e s o l v e r e n IR e l s i s t e m a : 9 4- 2X2-I- X3+ X5 -f- Xg =1 - 2 x ¿ 4- X3-f x „ - Xg = 0 2x2 + x ¡+ 2X4 -I- 5X5 -I- 3xg = 1 4- 2X24- X34- X5 4- 3Xg =3 4- 2x¿-H X34- 4X4 4- 9X5 4- 3Xe = -1 X, -x , X, X, X, n o ta c ió n m á s c o m p a c t a s im p lif ic a r á la e s c r itu r a e im p le m e n t a c ió n d e l a lg o r itm o d e e lim in a c ió n d e G a u s s . A n t e s d e m o s t r a r c o n u n e je m p lo la im p le m e n t a c ió n d e l s is t e m a e s c a I e r Í 2a d o 3x + 6y - L a m a t r iz a m p lia d a d e l s is t e m a e s : m é t o d o d e e s c a le r iz a c ió n c o n la n o ta c ió n m a t r ic ia l, v a le 1 la p e n a h a c e r a lg u n a s o b s e r v a c io n e s . 2 -1 ; C á d a f ila d e la m ^ i z d e l s is t e m a c o r r e ^ n d e a u n a d e 1 ^ e c i | a ; io n e s d e l s is t e m a . L a s o p e r a c io n e s d e l ( T ^ o d o d e ^ c a i ^ l z a d ó n s e t r a d u c i r á n e n t C H ic e s e n c ^ i i a c i p n e s ^ r e ia s fU a s d e la m a t r iz . E n p a r tic u la r , ; ( s s t t a n ^ o f m a d e m e s e le m e n t£ r ie s s e r á n , e n e s t e c o n te x to , ta s s ig u ie n t e : 1. S u m a r a u n a f ila e l r e s u lt a d o d e m u ltip lic a r o t r a p o r u n n ú m e r o c u a lq u ie r a . 2. 3. I n t e r c a m b ia r d Q lu g a r d o s f ila s . M u ltip lic a r u n a f ila p o r u n n ú m e r o a 0. C a d a in c ó g n it a d e l s is t e m a q u e d a e n c o r r e s p o n d e n c ia c o n u n a d e la s c o lu m n a s d e la m a t r iz A d e l s is t e m a . 0 - 2 1 0 1 1 -1 0 1 2 2 5 3 1 1 2 0 1 3 3 1 2 4 9 3 - 1 E l p r o c e s o c o m ie n z a f ija n d o la e n t r a d a n o n u la d e p r i m e r a f ila c o m o p iv o t e y u t iliz á n d o la p a r a lo g r a r c e r o s e n e l r e s t o d e la p r i m e r a c o l u m n a . E l r e s u lt a d o e s la m a t r iz 1 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 4 0 1 1 0 1 + 4 2 0 -f, 0 2 2 2 -í. 8 - 2 -f, H e m o s a n o t a d o a l m a r g e n d e la m a t r iz la s t r a n s f o r m a c io n e s q u e e n e s t e p r i m e r p a s o d e la e s c a le r i z a c ió n f u e r o n h e c h a s a la m a t r iz a m p lia d a d e l s is t e m a . C r e e Método de e lim in a c ió n gaussiana m o s q u e la n o t a c ió n e m p le a d a s e e x p lic a p o r s i s o la . E s t e m é t o d o t a m b ié n s e d e n o m in a d e r e d u c c ió n e s c a C o n t in u a m o s n u e s t r o a lg o r itm o u s a n d o e l p r iv ó t e 2 d e lo n a d a o d e e s c a le r iz a c ió n . P a r a t r a n s f o r m a r e l s is t e m a la e n tr a d a a ^ ,. H e a q u i la m a t r iz q u e s e o b tie n e , ju n t o e n u n o q u e s e a e s c a lo n a d o s e c o m b in a r á n la s e c u a c io c o n la in d ic a c ió n d e la s o p e r a c i o n e s r e a liz a d a s : n e s e n tr e s í ( s u m á n d o la s , r e s t á n d o la s , m u ltip lic á n d o la s 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 p o r u n n ú m e ro , e tc .). 1 1 0 1 2 1 0 1 0 2 4 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 -2 -2 P o r e je m p lo : 2x + 3 y -7 z = -1 2f , U - La 1 E n e l t e r c e r p a s o o p e r a r e m o s s o b r e la s e x t a c o l u m n a : 1 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 6z 3x + 4y ~ = (A ) 5 (B ) 5x - 2y + 42 = -7 (C ) e c u a c ió n s ie m p r e s e d e ja ig u a l, ( p r o c u r a n d o q u e e s t a s e a l a m á s s e n c i l l a ) y a l a 2 .® y 3 . " e c u a c i ó n s e d e b e a n u la r e l t é r m in o q u e lle v a la x . 1 1 1 1 2x + 3y - 7z = -1 4 2 0 3x + 4y - 0 0 2 2 0 0 0 0 5x - 62 = (A ) (B ) 5 2y + 4z = -7 (C ) f. + f. ( A ') - 2x + 3 y -7 z = -1 -y Y a t e n e m o s la f o r m a e s c a le r iz a d a , c o n p iv o t e s e n la s + 9z = -1 9 y + 4 3 z = c o lu m n a s p r im e r a , t e r c e r a , c u a r ta y s e x t a . E l s is t e m a (A ) ( B ') = - 3 ( A ) + 2 ( 8 ) ( C ') = - 5 ( A ) + 2 ( C ) 13 -9 lin e a l, e q u iv a le n t e a l s is t e m a o r ig in a ) e n e l s e n tid o d e q u e t ie n e e x a c t a m e n t e la s m is m a s s o lu c io n e s , q u e c o r r e s p o n d e a e s t a m a t r iz e s : U n a v e z q u e h e m o s a n u la d o lo s t é r m in o s e n x , d e b e 1.® m o s d e ja r f ija la 2.® y e c u a c ió n y a n u la r e l t é r m in o q u e ll e v a la y e n la 3 .^ e c u a c ió n . X, 2X3 + + 2xj -H X3 + X5 + Xg = 1 2x + 3y - + X5 = 1 2Xi + 7 z = - 1 (A ") = {A ) -y + 9 z = 4X 5 + 2X 5 = O 2X e =2 ( C " ) = - 1 9 ( B ’) + (C ) D e la ú lt im a e c u a c ió n o b t e n e m o s q u e z = - 2 5 6 / - 1 2 8 = D e la ú ltim a e c u a c ió n r e s u lt a Xg = 1 . C o n e s t a in fo r m a c i ó n v a m o s a l a t e r c e r a y c o n c l u i m o s : X 4+ 1 3 ( B " ) = { B ') -1 2 8 z = -2 5 6 2X g = -1 2 , q u e s u s t it u y e n d o e n B r e s u lt a : - y E s t o n o p e r m i t e d e t e r m i n a r x ^ n i X 5, p e r o p o d e m o s d e j a r + 9 x 2 = 13 ^ y = 5 y a s u v e z s u s tit u y e n d o e n A " o b te n e m o s q u e ; e x p r e s a d a u n a in c ó g n it a e n t é r m in o s d e la o t r a . E x p r e s e m o s X 4, u n a v a r i a b l e q u e c o r r e s p o n d e a u n a c o l u m n a c o n u n p iv o t e e n la f o r m a e s c a le r iz a d a , e n t é r m in o s d e X 5, c o m o : X 4 = -1 - 2X 5 2x + 3 x 5 - 7 x 2 = -1 = » x = -1 P o r lo t a n t o , la s o lu c ió n d e l s is t e m a e s : (x ; y : z ) = ( - 1 ; 5 ; 2) S u s t it u y e n d o e n la s e g u n d a e c u a c ió n o b te n e m o s : V e a m o s o tr o e je m p lo ; Ilu s t r a r e m o s e l m é t o d o d e G a u s s a p lic a n d o e t p r o c e d i m ie n t o a u n s is t e m a d e c u a tr o e c u a c io n e s c o n c u a tr o C o m b in a n d o to d a e s ta in fo r m a c ió n c o n 3x e c u a c i ó n r e s u l t a : x , + 2x ¡ + + 1=0 la p r im e r a N u e v a m e n t e e s c o g e m o s d e s p e ja r la v a r ia b le q u e c o r r e s p o n d e a l p iv o t e p a r a e s c r ib ir : x , = - 2X 2— 3x ^ - 1 C o n c lu im o s e n t o n c e s q u e t o d a s la s s o lu c io n e s d e l s is t e m a s o n d e la f o r m a : in c ó g n it a s , p e r o t r a b a ja n d o c o n la m a t r iz d e l s is t e m a : 6x , — 12x, - 2X 2 8X 2 + 3x, - 13X j + 6X 1 + 4X 2 + “ donde - 2x ¡¡ - 8x 5/ 2; x ^ ; 1 Xj / 2: -1 — 2X 5; x ^ , 1) , y x ^ s o n d o s p a r á m e t r o s r e a le s q u e p o d e m o s f ija r a n u e s t r o a n to jo . L a s o lu c ió n n o e s ú n ic a , p e r o p u e d e d e s c r ib i r s e c o m p le t a m e n t e e n t é r m in o s d e la s v a r ia b le s y x^. 2X 3 6X 3 9X 3 X3 + 4x^ = 12 + 10X 4 3X 4 1 8X 4 = 34 + - = 27 = -3 8 E s t e s is t e m a g e n e r a lo s ig u ie n t e : 6 (-1 + 2 4 12 -8 6 10 Xi X2 3 -1 3 4 9 1 3 -1 8 X3 X4 -6 - 2 12 34 27 -3 8 E n e l p r im e r p a s o , m u lt ip lic a r e m o s la p r im e r a e c u a c i ó n p o r 12/6 = 2 y l a r e s t a m o s a l a s e g u n d a , d e s p u é s m u lt ip lic a m o s la p r im e r a e c u a c ió n p o r 3 / 6 = 1 / 2 y la restamos a la tercera y finalmente multiplicamos la pri mera ecuación por - 6/6 = -1 y la restamos a la cuarta. Los números 2, 1/2 y -1 son ios multiplicadores del primer paso del proceso de eliminación. El número 6 es el elemento pivote de este primer paso y la primera fila, que no sufre modificación alguna, se denomina fila pivote. El sistema en estos momentos tiene el siguiente aspecto: 6 - 2 0 - 4 2 2 0 -1 2 8 0 3 2 12 10 21 4 2 x. X2 1 X3 -1 4 X4 -2 6 En el siguiente paso del proceso, la segunda fila se em plea como fila pivote y - 4 como elemento pivote. Apli camos de nuevo el proceso: multiplicamos la segunda fila por ( - 1 2 /- 4) = 3 y la restamos de la tercera fila y después multiplicamos la segunda fila por 2 /(-4) = -1/2 y la restamos a la cuarta fila. Los multiplicadores son en esta ocasión 3 y -1/2 y el sistema de ecuacio nes se reduce a: 6 - 2 0 - 4 0 0 0 0 2 2 2 4 4 2 -5 -1 3 X, X2 X3 X4 2 2 2 0 4 2 -5 -3 X, X2 X3 X4 -21 12 10 -9 -3 6Xi - 2X2 -h 2X3 + 4x^ = 12 - 4x2 -H2x3 + 2X4 = 10 2 X3 - 5 X4 = - 9 - 3 X4 - - 3 La solución del sistema es: (x,; X2; x^; x j = (1; -3 ; -2 ; 1); o en todo caso: 1 -3 -2 1 a„x, + 3 ,2X2 + ... + a,„x„ =b,, aîX, "i- a^.iXi ••• + a2.Xn = b2, + a .„x „ = b . a ’ , 3X 3 + .... + a ’,„x„ b ’, e introduciendo la expresión de x, que results de (2) en las restantes ecuaciones ( 1), se obtiene: (3) A' 2 ojX, A ,iX^ 4-... 4- A —B 2 2-^2 +' '^23''3 A,„x„ = B \ A 4- A .íoXo A ’njXs + A ^ jX j 4-...4- A'„„Xn = B ’„, que es un sistema de n - 1 ecuaciones con n — 1 in cógnitas. Repitiendo el procedimiento; es decir, dividiendo la pri mera ecuación de (3) por A’22. (4) X2 + a’23X3 4- ...+ a'2pX„ = b'^ y reemplazando en las restantes ecuaciones, resulta un sistema de n - 2 ecuaciones con n - 2 incógnitas. Continuando con el proceso, después de n eliminacio nes, obtendremos el sistema (A?t 0): 1+ a ' , 2X2 + a ’ , 3X3 + a ’ , „ x , = b\ X2 + a'23X3 +...+ a’2„x,= b ’2 (5) x „_ , + a ’„_i,n x „ = b ’„_i X. = b’„ que es equivalente al sistema original (1). De este sis tema se obtiene, de abajo hacia arriba, la solución x„, X n -, X 2 , x,. Si en una etapa k del procedimiento el coeficiente de x^ es nulo, es necesario, entonces, reordenar las ecuacio nes o las variables, o ambas. En otro sentido, es con veniente que ese coeficiente sea pequefio comparado con los restantes, para reducir a un mínimo los errores del redondeo. El caso A = O, se pone en evidencia cuando, después de r eliminaciones (donde r sería el rango de la matriz de los coeficientes), los coeficientes de las incógnitas del sistema de (n - r) ecuaciones son ñutos, a menos de los errores del redondeo. En este caso, si los miem bros derechos son nulos, las (n - r) ecuaciones citadas no se tienen en cuenta y la incógnita x, resulta de la r-ésima ecuación expresada por una constante y una combinación lineal de las {x,_,, x^^j. •••. x„). En cambio, si los miembros derechos no son nulos, el sistema inicial no se puede resolver. Por ejemplo: 8x 3x 6x Generalización dei método de eliminación de Gauss Consideremos un sistema de n ecuaciones con n in cógnitas: a^.iX, + a„-X2 -I- . . . 4 - a ’ i 2X 2 + X, -9 El sistema resultante es triangular superior y equiva lente al sistema original (las soluciones de ambos sis temas coinciden). Luego el sistema se transforma en: (1) (2 ) 12 10 El último paso consiste en multiplicar la tercera ecua ción por (4/2) = 2 y restarla a ta cuarta. Ei sistema re sultante resulta ser: 6 - 2 0 - 4 0 0 0 0 Dividiendo ia primera ecuación por a,,: • resolver el sistema - 7y 4- 4z = 6 + 5y - 2z = 7 - y 4- 7z =25 Eliminar x de la segunda y tercera ecuación. x -(7 /8 )y + (1/2)z = 3/4 y -(2 8 /6 1 )z = 38/61 y + (16/17)2 = 82/17 E lim in a r y d e la te r c e r a e c u a c ió n . X - (7/8)y + (1/2)z = 3/4 y - ( 2 8 /6 1 ) z = 3 8 /6 1 1 2= 1 3 1 O L u e g o , r e e m p la z a n d o z = 3 3 e n la s e g u n d a y p r im e r a 2; x == 1; e s 2= 3. e c u a c ió n , r e s u lt a ; y = d e c ir ; la s o l u c ió n d e l - 4 1 Í2 = Í2 + fl = fs - f, -1 2 1 f, - fi - 4f2 => 0 0 ^3 = ^3 - 4f¿ s is t e m a e s : x = 1 , y = 2 , Método de Gauss-Jordan E l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n e s u n a e x t e n s ió n d e l m é t o d o d e e lim in a c ió n g a u s s ia n a , q u e c o n s is t e e n e lim in a r - f, - Í3 - la v a r i a b l e p r i n c ip a l d e la e c u a c ió n c o r r e s p o n d i e n t e n o s o la m e n te e n la s e c u a c io n e s q u e a p a r e c e n s it u a d a s 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 m a t r i2 a m p lia d a -4 -1 4 1 2 0 3 1 1 -10 - 3 13 23 3 13 p o r d e b a jo d e la m is m a , s in o e n t o d a s la s e c u a c io n e s La d e l s is t e m a . P o r e llo , ía e s t r a t e g ia e s la m is m a q u e la f o r m a e s c a lo n a d a r e d u c id a . E l s is t e m a e s , p o r ta n to , d e l m é t o d o d e e lim in a c ió n d e G a u s s , c o n la a d ic ió n d e c o m p a t ib le d e te r m in a d o y s u s o lu c ió n e s ( - 2 3 ; - 3 ; 1 3 ) la s s ig u ie n t e s I n s t r u c c io n e s e n e l lu g a r c o r r e s p o n d ie n t e ; Veamos otro ejemplo: S e a e l s i s t e m a ; S u s t r a e r a d e m á s la s e g u n d a e c u a c ió n m u l t i p li c a d a p o r u n e s c a la r a d e c u a d o d e la p r im e r a e c u a c ió n , c o n e t o b ie t o d e e l im in a r la s e g u n d a v a r i a b l e d e la p r im e r a e c u a c ió n . u ltim a _ 1 0 0 6 - 2 0 - 4 0 0 0 0 2 2 2 0 4 2 -5 -3 re p re s e n ta Xi X2 12 X3 X4 -9 -3 e l s is t e m a en 10 E n c a d a p a s o s u s t r a e r ia e c u a c ió n c o r r e s p o n d ie n t e m u ltip lic a d a p o r u n e s c a la r a d e c u a d o , t a n t o d e A h o r a s e g u ir e m o s u n p r o c e d im ie n t o s im ila r a l e m p le a la s e c u a c io n e s s it u a d a s p o r d e b a jo d e la m is m a c o m o d e la s s it u a d a s p o r e n c im a , c o n e l o b je t o d e e l e le m e n to q u e la v a r ia b le p r in c ip a l d e c a d a e c u a c ió n a p a r e z p o r - 3 / 4 y la r e s t a m o s a la p r im e r a . d o e n e l m é to d o d e G a u s s . T o m a r e m o s c o m o p iv o te = - 3 ; m u lt ip lic a m o s ia c u a r t a e c u a c ió n c a ú n ic a m e n t e e n la e c u a c ió n d e la q u e e s v a r ia b le 6 - 2 2 0 Xi 8 p r in c ip a l. 0 - 4 0 0 0 0 2 2 0 2 -5 -3 X2 X3 X4 10 L o s s is t e m a s d e e c u a c io n e s q u e r e s u lt a n d e fa a p lic a c ió n d e l m è t o d o d e G a u s s - J o r d a n s e d ic e q u e t ie n e n -9 -3 fo r m a e s c a lo n a d a r e d u c id a . R e a liz a m o s la m is m a o p e r a c ió n c o n la s e g u n d a y t e r S e d ic e q u e u n s is t e m a d e e c u a c io n e s e s tá e n fo r m a c e r a f ila , o b te n ie n d o : e s c a lo n a d a r e d u c id a s i; 6 - 2 2 0 Xi 8 L a p r im e r a v a r ia b le d e c a d a e c u a c ió n t ie n e 1 c o m o 0 - 4 2 0 c o e f ic ie n t e ( a e s t a v a r ia b le la d e n o m in a r e m o s v a 0 0 2 0 r ia b le p r in c ip a l d e d ic h a e c u a c ió n ) . 0 0 0 X2 Xs X4 -4 -3 L a v a r ia b le p r in c ip a l d e c u a lq u ie r e c u a c ió n s ie m p r e a p a r e c e s it u a d a a la d e r e c h a d e la s v a r i a b l e s p r i n c ip a le s d e la s e c u a c io n e s p r e v ia s , y t o d a s la s e c u a c io n e s s in v a r ia b le p r in c ip a l a p a r e c e n c o lo c a d a s a l fin a l. L a v a r ia b le p r in c ip a l d e s o la m e n te e n c a d a e c u a c ió n a p a re c e la e c u a c ió n d e la q u e e s v a r ia b le p r in c ip a l. A h o r a to m a m o s c o n x ) p h /o te e l e le m e n to m o s la t e r c e r a e c u a c i ó n p o r o b t e n ie n d o u n a f o r m a e s c a lo n a d a s is t e m a r e d u c id a d e d ic h o X, - 4 x , + Xj = 2 -X , + 3 x 2 - x_, = 1 Xl -t- 2 x3 = 3 2/2 = 1 y 6 - 2 0 0 Xi 0 - 4 2 0 0 X2 X3 X4 0 0 2 0 0 0 R e p e t im o s P o r E je m p lo v a m o s a r e s o lv e r e l s ig u ie n t e s is t e m a d e e c u a c io n e s p o r e l m é t o d o d e G a u s s - J o r d a n , e s d e c ir , -3 8 2 , m u l t i p li c a 12 8 -4 -3 la o p e r a c ió n c o n la s e g u n d a f ila : 6 -2 O - 4 O O -3 3^3 - la r e s t a m o s a la p r im e r a ; O O 0 0 2 0 0 0 0 -3 X, X2 Xj X4 12 12 -4 -3 F i n a l m e n t e , t o m a m o s c o m o p i v o t e 822 = - 4 , m u l t i p l i c a m o s la s e g u n d a e c u a c ió n p o r ( - 2 ) / ( - 4 ) = 1 / 2 y ía s u m a m o s a la p r im e r a : P a r a e llo , t r a b a ja m o s d ir e c t a m e n t e s o b r e ia m a t r iz a m 6 p lia d a a s o c ia d a a l s is t e m a , t e n ie n d o p r e s e n t e e n to d o 0 - 4 0 0 0 0 0 2 0 0 m o m e n t o q u é e s lo q u e r e p r e s e n t a n lo s c o e f i c ie n t e s d e 0 d ic h a m a tn z : 0 0 0 -3 X, X2 X3 Xj 6 12 -4 - 3 El sistema de ecuaciones anterior es. como hemos vis to. fácil de resolver, obtenemos las soluciones: 1 -3 3. -2 x.x, = — = 1 ^ a Luego; c = a => ax^ + bx + a = O Una raíz nula o cero Sea 1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Forma general: Entonces: ax^ + bx + c = O v a ^0 R esolución; siendo a O Multiplicando por 4a: 4a^x^ + 4abx + 4ac = O Sumamos a ambos miembros b^: 4a^x^ + 4abx + 4ac + b^ = b^ - 4ac {2ax + b)^ = b^ - 4ac 2ax + b = ± )b^ - 4ac = - = O a c = O => ax^ + bx = O x, Luego: 4. = O =» X, X j Una raíz es la unidad Sea x, = 1 Luego: x, + Xj = 1 + — = —^ 3 3 a+ b+ c= o P ropiedad de las ecuaciones equivalentes Sean: a,x^ + b,x + c, = O ...(1) a^x^ + bjX + Cj = O ...(2) d Si son equivalentes: se cumple: — = „ _ - b ± íb^ - 4ac b C 82 bj — C2 Ejemplo: ô _— - b - V Á b + </a . A 2a 2a Las raíces son: x, = Donde: A = b - 4ac Discriminante A n á lisis de la n a tu ra le za de la s raíces 1. Si A = O las raíces son iguales, 2. Si A > O las raíces son reales y diferentes, 3. Si A < O las raíces son complejas y conjugadas. Hallar m y n si las ecuaciones son equivalentes 2mx^ + (m + 1)x + (m +n) = O 2x^ + (m - n + 1)x + 3 = 0 Resolución: Por el teorema; Luego; m= \ =» -m ^ + m = m + 1 -m +1 m = ±i A n = +21 Teorema de Viete; Producto de raíces: x,x, = — ’ ^ a /A Diferencia de raíces: tx. - x,! ¿I = — g n i± J I 3 3m = m + n => 2m = n Propiedades de las raíces Suma de raíces; x. 2m ^ m + 1 2 m- n+ 1 T eorem a de Bezout o de la ra íz com ún Sean: a,x^ + b,x + c, = O ...(1) ajX^ + bjX + Cj = O ,,,(2) Si tienen una raíz común, entonces: (a,b2 - a2b,)(b,C2 - b^c,) = (a,C2 - a^c,)^ R eco nstrucción de la ecuación cu a d rá tic a Sean x, y Xj, las raíces de una ecuación cuadrática, luego: x=x, = » x -x ,= 0 x=Xj » X -X 2 = 0 Ejemplo: La ecuación que origina dichas raíces es: (x-x,)(x-x2) = 0 x^ - (x, + xj)x + X1X2 = O poseen una raíz común y hallar dicha raíz. X - (suma de raíces)x + (producto de raíces) = O Raíces p a rtic u la re s 1. Raíces simétricas Si X, = p => Xj = - p Entonces: ax‘^ + c = O Raíces reciprocas Si X, = p ,..(1) ,,.(2) Resolución: Por el teorema de Bezout: (n + 3)(15 + 4n) = ( - 5 + 4)" 4n^ + 27n + 44 = O (4n + 11)(n + 4) = 0 = n = - 4 v n = -11/4 Factorizando (1): (x - 4)(x + 1) = O ,,,(1) Reemplazando; n = Luego: 2. Hallar n. si las ecuaciones: x2 - 3 x - 4 = 0 x^ + n x - 5 = 0 en (2) y multiplicando por 4: 4x' - 11x - 20 = O =» (4x + 5)(x - 4) = O Luego; CS, = (4; - 1 ) ; CS^ = {4;-5 /4 } La raíz común es 4. Resolución: Ejemplos: 1. Dada la ecuación cuadrática; ax^ + bx + c = O, los coeficientes a, b y c forman una progresión arit mética, si r, y f 2 son las raices de la ecuación y cumplen. a + b + c = 3(r, + rs) b + 7 = r. Ti Hallar abe. Analizamos cada caso, entonces se tendrá: • Dando común denominador; ( a^+b^)x-2b^x 2bx' (a^ - b^)x = a - b: x # O X= a+b Resolución: • Como a, b, c forman una progresión aritmética, se cumplirá que: a+c 2b = a + c Además: r, + tz = — d 5x - 10 + x + 2 ^ 10 x' - 4 x^ - 4 Luego en: a + b + c = 3(r, + Tj) = -3 b a a = -1 3b = De(1): 6x - 8 = 10; X X= 3 Del segundo dato: b + 7 = r,r2 = - = - c d Tenemos: b = - 7 - c En (1): 2 (-c - 7) = -1 + c 4, En (2): b = - | 2. Hallar la suma de ios cuadrados de las raices de la ecuación: (2k + 2)x^ + (4 - 4k)x + k - 2 = O, sabiendo que las raíces son recíprocas. Resolución: • Hallar el CS de la ecuación: X- 1 _ X - 3 X - 2 " 2x - 3 • Haliar el CS de la ecuación racional: 5 ( x - 2 ) 2 (x - 3 ) _ 3 x+2 x+3 ' _ 2(-4-1) -4+1 Resolver la ecuación: = 3 2x^ - 3x X 7X-15 3x - 2x^ Efectuando en aspa: 10 2x^ - 3 5x + 3 = x ' - x ' = 3 100 = M - 2 = 1 2x^ + 5x = + 5x + 4 x ' =4 X= ± 2 k = -4 Elevando al cuadrado miembro a miembro: x/ X+4 Analicemos cada caso: Efectuando: x ' + 4x + x^ + X _ + 5x + 4 -(2 ) Además por el teorema de Viete, x,x, = k - 2 2k + 2 De(1): x,^ Resolver: —^ X+1 Resolución: De la ecuación: y _ -(4-4k) 2(k-1) 2k+2 ~ k+1 En (2): x, • 1 2x - 3 Se pide: E = x,^ + Xj^ Por ser reciprocas: X,X2 = 1 -2 Resolver cada caso siguiente: -1 0 4 Luego: k - 2 = 2k + 2 La ecuación puede escribirse: 5 1 _ 10 x+2 ^x-2 x^-4 dando común denominador en el primer miembro: r,r, = - abe = (-1 ) a-b 2bx" X = 5x + 6 ^ /3 5x^ + 5 x - 3 0 - 2 x ^ + 2 x + (x + 2 ) ( x + 3 ) 3 x' + 7x - 12 _ ^ 18 = 3x^ + 1 5 x -3 6 = 8x 18 X = -3 6 /8 Dando común denominador en ambos miembros: ;< + 3 Resolver las ecuaciones; + b' 2bx b _ a- b X 2bx^ 10 _______ 1 _ 5 _________ x + 2 x^-4 2-x x(2x-3) 10x - 15 - 7x + 15 x(2x-3) x + 3 = 3 x ; x ?í: O a x ? t | de donde: x = 3/2 Pero X ^ 3/2, lo cual implica que la ecuación es incompatible o no tiene raíces. 5. O R e s o lv e r la s e c u a c io n e s s ig u ie n t e s : P a r a q u e t e n g a r a ic e s ig u a le s ; = • [-{2 k + O • X + Vx - / x ^ 2 - = 3 + 4 4 ( k + 1 )^ - 2 4 3 x - 2 )V - 4 {k + 4 )(k - 4 (k + 4 )(k - k ' + 2k + 1 - - 1} = 1) = O 3k + 4 = O . . k = 5 Resotución: • = 4 - x 2 X - (x - 16 - = 3 ){x - ^ x - 2 8x = (4 -x )' - + 6) = O ^ 9x + X, = 3; X j- 18 9. = R e s o lv e r c a d a c a s o s ig u ie n t e : C a lc u la r e l v a lo r d e k p a r a q u e e l p r o d u c to d e O la s r a i c e s d e la e c u a c ió n ; 6 (k - C o m p r o b a n d o e n la e c u a c ió n o r ig in a l s o lo v e r i • f ic a K = 3 • = 9 + 3 x - 2 - 2 x - 8 -x + 6 -I3 X - - • 2) = O X, x" - = 17; Xi 2k k - 2 19x + 34 = O = 2 =6 O, d e t e r m i n a r k , T^ D e la e c u a c ió n ; x , + x ^ = k a x , X E n la c o n d ic i ó n : —^ X1X2 ~ 2= 24 12 H a lla r la e c u a c ió n c u a d r á t ic a c u y a s r a ic e s s o n : • 3 y 7 . -2 y -5 • 4 /3 y 3 /4 • 1 + 10. • • /2 y 1 - c ó m o d e b e n e s t a r r e la c io n a d o s lo s c o e fic ie n t e s . /2 Resolución: x^ - (3 + 7 )x + (3 )(7 ) = x^ - lO x + 2 1 = O - P a r a q u e u n a d e la s r a í c e s d e la e c u a c ió n : a x ^ + b x + c = O s e a e l d o b le d e la o tr a . D e te r m in a r Resolución: (-2 - P o r d a to : x , = O • 2X 2 X, + X2 - ^ X, . X, = ( M i - (!)(!)=“ ...(2) d - ..(3 ) ( D e n (2 ): 3 x , = x" ~ | | x • + 1 = O ^ x^ - 2 x - ( - l ) e n ( 3 ) ; 1 = O x^ + (2 a + 3 b - 1 )x + a “ b s i a m b a s r a ic e s v a le n c e r o . „(4 ) 2 x / = ¿ d •• (5 ) E n ( 4 ) a l c u a d r a d o y e l r e s u lt a d o e n t r e la r e la c ió n ( 5 ) 3 = O 2x ^ Resolución: S í a m b a s r a ic e s v a le n c e r o q u ie r e d e c ir q u e : x , + X j = O =■ - ( 2 a + 3 b - 1 ) = O 2a + 3 b = 1 ...(1 ) 11. Ç a 2 c C a lc u la r t r e s n ú m e r o s c o n s e c u t iv o s e n lo s q u e e l c u a d r a d o d e l n ú m e r o d e l m e d io s e a m a y o r e n u n a u n id a d a l p r o d u c t o d e lo s r e s ta n te s . T a m b ié n : X iX j = 0 = » a - b - 3 a - b = 3 = 0 Resolución: ..,(2 ) R e s o lv ie n d o ( 1 ) y ( 2 ) ; a = 2 ; b = - 1 D e t e r m in a r e l v a lo r d e k p a r a q u e la e c u a c ió n ; 1 = (2 k + 2 )x - k , t e n g a r a ic e s Ig u a le s . Resolución: Primero ordenando la ecuación se tiene: (k + 4 ) x ' - - b 12x^ - 2 5 x + 12 = O H a lla r lo s v a lo r e s d e a y b e n la e c u a c ió n : (k + 4 )x ^ - ,..(1 ) A d e m á s , d e la e c u a c ió n : 5 )x + ( - 2 ) ( - 5 ) = O x^ + 7 x + 1 0 = O 8. X2 5 = ^2k = 6 k -1 2 ^ k = 3 la e c u a c ió n n o t ie n e s o lu c io n e s . 7. 1 i— P o r d a to ; x , . x , = — = 6 ' ^ a V e r if ic a n d o e n la e c u a c ió n o r ig in a l, n in g u n a d e la s d o s p o s ib le s r e s p u e s t a s c u m p le , e n t o n c e s 6. kx + 24 = Resolución: = 6 J 3 x -2 1 7 )(x - - 2 - 4 = 3 V 3 X -2 E le v a n d o a l c u a d r a d o ; x ' + 8x + 16 = 27x - 18 = (X 5 x + 2 k = O, s e a 6 . 1 p a r a q u e s e c u m p la : — E le v a n d o a l c u a d r a d o e n a m b o s m ie m b r o s ; x - 1 2 )x ^ - E n la e c u a c ió n (2 k + 2 )x + k - 1 = O S e a n lo s n ú m e r o s ; a ; (a + 1 ) y (a + 2 ) (a + 1)^ - 1= a ' + 2a + 1 - a (a + 2 ) 1 = a^ + 2 a ^ 0 = 0 E s t o im p lic a q u e la ig u a l d a d s e v e r i f i c a p a r a c u a l q u ie r v a lo r d e " a " ; e s d e c ir , lo s n ú m e r o s p u e d e n s e r 3 c o n s e c u tiv o s c u a le s q u ie r a . 12. terior, A llegará al lugar de salid de B. Después de 4 días y B llegará al lugar de salida de A después de 9 días. ¿Cuántos km recorrió cada uno de ellos hasta el encuentro mutuo. Hallar n para que las raíces de la ecuación: + 3x n - 1 sean simétricas 5x + 2 n+ 1’ Resolución: X, = O Para que sean simétricas: x. Resolución: Haciendo un gráfico: tA Por Viete: to Dándole ia forma general a la ecuación: n = O 3 -5 n -1 X + 2 n+ 1 n+ 1 ax + b . X + c 3 - 5 1 ■n - 1\ = b = 0=o n = 4 n + 1, De los gráficos anteriores se tendrá; 13. Calcular “a” de: ax^ - (a - 5)x + 1 = O si: x,x2 = x, - X2 210 + x . w _ x Resolución: De la ecuación: x, + Xj = — aA xX , XXj, = 210 — X a 2 (X , + X ) " - (X , - = 4x, X 210 ____________ 4 Se sabe por productos notables que: 9 Efectuando: 4(210 + x)^ = 9x^ 2 Extrayendo raiz cuadrada a cada miembro: 2(210 + x) = 3x =» X = 420 Luego: A recorre 420 + 210 = 630 km B recorre 420 km Pero por dato: x, - x^ = Luego: ■a - 5 - h U aU Efectuando: a^ - 14a + 24 = (a ~ 12)(a - 2) Luego: a = 12 a a = 2 14. De la ecuación: 2x^ + 2x + 3 = 0; se requiere que las raíces tomen el doble de su valor para lo cual fue necesario transformarlo. Determinar la varia ción del término independiente. Resolución: Sea: x' y x" las nuevas raíces: Por dato: x' = 2x, .,,(1) x" - 2x" ...(2) x ' . (x' + x")x + x'x" = O ...(3) De (1) + (2): 2(x, + x,}- x' + x" - 2 ( ^ ) - ( ^ ) D e (1).(2):4x, .X2- x' . x" - 4 ( | ) - ^ Reemplazando en (3) se tendrá: x^ - 2(x, + x2)x + 4x, X2 = O =» ax^ + 4x + 12 = O será la nueva ecuación. .-. La variación será: 12 —3 = 9 15. Dos turistas A y B salieron simultáneamente de dis tintos lugares al encuentro mutuo. Al encontrarse resulta que A recorrió 210 km más que B. Si cada uno de ellos continua su camino a la velocidad an 16. Calcular a + b (a g E) de tal manera que las si guientes ecuaciones sean equivalentes. (7a - 2)x' - (5a - 3)x + 1 = O 8bx' - (4b + 2)x + 2 = O Resolución: Si son equivalentes se cumple: 7a - 2 8b 5a - 3 4b+ 2 I__ 7a - 2 = 4b = 7a - 4b = 2 5a - 3 = 2b + 1 ^ 5a - 2b = 4 ...(1) ...(2) 2(2) - (1): 3a = 6 ^ a = 2 A b = 3 a+ b= 5 17. Determinar el valor entero de m, de modo que una de las raíces de la ecuación: x^ - (m + 4)x + 5m -8 = O sea el triple de la otra. Resolución: Sean x, y las raíces: Por dato; x, = 3X2 ...(1) También de la ecuación: X, t = m I 4 X'1 , .• X , = 5m - 8 -(2 ) ...(3) (1)en(2): x, = En (3): m+ 4. Xl - -|(m + 4) =5m -8 (3m - 44)(m - 4) = O * 3m '- 56 + 176 = O m=4 18. Si X, y Xj son raices de ia ecuación 2x^ + x + 1 = O formar una ecuación cuadrática de incógnita x cuyas raíces sean: X, + — X, y X, + — ^ ' X2 Resolución: 1 , la ecuación es: Para las raíces: x, h— 1 : x, + — X, X2 x^-(x, + l + x, + ± ) x + (x, + l ) ( x , + ^ ) = 0 Resolución: Haciendo. "Vx - 11 = m => x = m^ -t- 11 Reemplazando en la ecuación se tendrá: '’■Iru^ + 31 = m + 1 Sacando raiz quinta miembro a miembro: m^ + 31 = m^ -*• 5m'' + lOm^ + lOm^ -r 5m + 1 5(m“ + 2m'^ -t- 2m^ + m - 6) = O m^ m ^ 3 m' m (m^ + m + 3)(m^ + m - 2) = O IT o X ,X ¿ Luego: m^ + m - 2 = 0 = (m + 2)(m - 1) 1 , (X, + xJ^-2X,X2 x,x, x,x¿ Pero: x, + x^ = ~ j 1 a x , x¿ = =o 1 De donde: Si m = 1 => x = 12 Si m = - 2 ^ X = -21 21. Determinar que cantidad se debe agregar a las raí ces de una ecuación: (a + b)x^ + (a - b)x + ab = O, para que estas nuevas raíces sean raíces simétri cas de otra ecuación cuadrática. ^ Reemplazando en la ecuación se tendrá: x‘ - t -- 1^ - 1)x + Resolución: Sea el conjunto solución de la ecuación: (a + b)x^ + (a - b)x + ab = 0: = |x,; Xj} Efectuando: x^ + | x + 1 = O Multiplicando por 2 a ambos miembros, obtendre mos que: 2x^ + 3x -f- 2 = O será fa ecuación pedida. "19. Hallar "x" en: {x - a)Vx - a -r (x - b)lx - b _ . — , —a Vx - a + Vx - b - (a - b) 2(a + b) Si a ' b ^ X > a Transformando el numerador: a-b 2(a + b) 22. Calcular a - b; si la ecuación: x^ + ax^ -t- bx - 7 = O, posee como una de sus raíces a l - 2 V2 . Además a, b e íD. VT ^ ^ + V T : ^ - a - b Vx - a -1- Vx - b Desarrollando la suma de cubos se tendrá: a -b Resolución: Sí X, = 1 - 2 V2 , entonces X2 = 1 + 2 V2 El factor cuadrático que da estas raíces es: x^ - 2x - 7 = O 2(x - a) = V(x - a)(x - b) Luego: (x^ - 2x - 7)(px -r q) = O Elevando al cuadrado miembro a miembro: Ax'^ - 8ax + 4a^ = x‘ - (a + b)x + ab 3x^ + (-7 a -f b)x + 4a^ - ab = O 3x — - -4 a •+• b x - -a Es equivalente a: x^ + ax^ + bx - 7 = O ...(1 ) Luego: (3x - 4a + D)(x - a) = O .-. X = 4a ^- b■ V X = a 20. X ,) Por la ecuación; x, + X2 = - a - b ' Resolución: 2x - a - b - Vx - a .Vx - b = a - b Si son simétricas: x, + n = -(X 2 + n) Luego: x, + Xj + 2n = O 2n = -(x , + X2 . D { V F -á + V x - b ) (x - a - V x -a V x -b + x - b ) (Vx - a + Vx - b) Agregando n a cada raíz se tendrá: Í I 2 = {x, + n; Xj + ni Hallar los valores de X en: ^V20 + X N y. - 1.1 = 1. X G IR Lo que implica que: p = 1 a q = 1 ^ (x" - 2x - 7)(x + 1) = O Reemplazando en (1): x^ - x^ - 9x - 7 - O = a = - ^ A b = -9 Se pide: a - b = - 1 + 9 = 8 23, Cuál es ta capacidad de un deposito lleno de al cohol puro al cuál se ha sacado 2 veces 5 I repo niéndose en cada caso con idèntico volumen HjO y resultando únicamente alcohol al 90,25%. Resolución: < i ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR Sean: ; ^ p *5 y 1 X 1 5 I mezcla ^ x - 5 5 H2O Alcohol Con alcohol: Hay 1.° X 2.° Teorem a de C ardano y Viete S e a : a „ x " + a , , x " ’ ' + a ^ . ^ x " ^ + ... + a , x + a o = O 5 I HjO ,5IH ,0 Se saca 5 (x-5) X- 5 (x-5)' X 90,25x 100 X Queda X " 5 ( x - 5) ^ (X - 9025 x^ 5)^ 100x100 U n a e c u a c i ó n d e g r a d o n e iN a,| Ocon raices { x , , x^, x^j Entonces se demuestra que. x „} -a .-. 1. X ,+ Xj + Xj + ... + x „ = --------- — 2. x,x^ + x,x 3 + ... + X, , x„ = — ^ 3. x , x ¿ x 3 . . . + X,, - dn -3 n 2 (-1 )''a r, Por ejemplo: en la ecuación; 4x^ - 5x^ + 7x - 11 = 0 de raíces x,, x^, X3 se cumplirá: X, + Xj + X3 - 100^(x - 5)' = 95" x' 100(x - 5) - - 9 5 x X 1 X2 + X 1 X 3 . A2 A3 • 1 0 0 x - 500 = 95 x 5x = 500 = x = 100 • lOOx - 500 = -95x 195x = 500 x = 2,56 no satisface 11 XiXjX, = ( - l ) ' ( ^ 24. En que tiempo harían A, B y C un trabajo juntos; si A solo, puede hacerlo en 6 horas más; B solo, pue de en 1 horas más; y C solo en el doble del tiempo, Resoiución; A, B, C juntos lo hacen en x horas. En 1 h A, B y C harán 1 del trabajo 4 Teorem a de la p a rid a d con ra ic e s com plejas Toda ecuación algebraica de coeficientes reales, si ad mite la raíz compleja a + bi, contendrá también la raíz conjugada a — bi. C oroiario; Si en una ecuación polinómica con coefi cientes reales presenta raíces complejas conjugadas dos a dos, se concluye que su número de raíces com plejas será siempre par. A lo hace en x + 6 horas En 1 h A hará 1 del trabajo. T eorem a de la p a rid a d con raíces irra c io n a le s Sí un polinomio P(x) con coeficientes racionales tiene como raiz a (a + Vb), donde /b es irracional, con a y b racionales, entonces también tiene como raíz al núme ro irracional (a - /b ). B io hace en x + 1 horas En 1 h B hará 1 del trabajo. x+ 1 Este teorema asegura que las raíces irracionales de di cho tipo se presentan por pares en los polinomios con coeficientes racionales. C lo hace en 2x del trabajo. Ejemplo: En la siguiente ecuación; ax® + bx® + cx^ + d = O (a, b, c, d 7Í 0) sus raices son; {x,; x^; Xj; ...; Xj} se sabe que; ++ 2 ; d ; 9 : b , , , , . X, + X, + X, + ... + Xg calcular el valor de: —^----------- ------------ - En 1 h C hará => En 1 h, A, B, C hará x+6 x +1 del trabajo. 1 x+6 1 ' 2x 1 del trabajo 2x X x + 1 +x+6 2-1 Efectuando: (x t 6){x I 1) 2x (2x + 7){2x) = (X + 6)(x + 1) 4x^ + 14x = x' + 7x + 6 3x' + 7x - 6 = O ^ (3x - 2)(x + 3) = O Donde: x, - 2/3 Xj - - 3 (no es posible) .-. A, B, C harán juntos el trabajo X,X 2 ...X 9 Resoiución: De 2 ; d : 9 ; b se tiene que: 2b = 9b Xl + X; + X 3 + ... -t- X 9 _____ ^ X,X,X,...Xo 2 h ...(1) Por el teorema de Cardano y Viete: _ b D e(1): ^ = 1 = 4 ,5 ^ (2) d ” d X , X 2 , .- X g = 4 ,5 Si: Ecuaciones b in óm icas ax" ± b = O Forma general: + 1= O = -1 X ^ c o s í-? !y ^ U + isení^^J" 3 V' ' ■■'■'"l 3 Resoiución de ia ecuación binóm ica 1.®' caso: ax” - b = O E cuaciones b icuadradas donde: x" = - ^ x = n j l ^ Forma general a 'la i Na X = J^"^cosO°+isenO° = <a >a -b±Vb^-4ac 2a X = n Va x. = J - ^ = P ; x = "i^^Vcosn + isenn = '’J ^ c o s ( 2 ^ ) . Va Va k = 0, 1, 2,..., (n -1 ) X, = Ejemplo: Resolver: x'* + 625 = O 1. Resolución: De la ecuación: x = ^V625‘‘/ ^ = 5^-T^ Por el procedimiento en el segundo caso se tendrá: = q; cosí 2k ^ 1 Si k = 0: X = 5 || Si k = 1: x = 5 |' c Si k = 2 : X = 5 |^ Si k = X = 5 |' c o s ^ - f Productos de ralees; x , . 5(2 . X j. x< = — Form ación de una ecuación bicuadrada Dividiendo entre “a”: x" + — x^ + — = O a a is e n ^ Luego: X + (2 n raices binarias)x^ + (n raices) = O c o s -^ + is e n ^ o x‘ + (suma de raíces binarias)x^ + (producto de raices) = O is e n ^ E cuaciones trín ó m ic a s Forma general: ^ (producto binará)) ax'* + bx" + c = O c o s |+ is e n ^ ) o s -^ + =-q 2. Suma de productos de ralees: x, Xj + Xj ¡ s g r |/2 l^ j: 1 donde: k = 0; 1; 2; 3 = Suma de raíces: X , + )^ + X3 + )^ = O 3. = 5 ‘-Icosn + isenn = 5 3: O - b ± </ b^ -4 a c 2a 2.“ caso: ax" + b = O X ax“* + bx^ + c = O a R esolución de la ecuación bicuadrada COSI ^ ^ ^ M n + i s e n í - ^ ^ k = 0,1, 2....(n - 1) donde; x" = - ( - 1) a k ^ 0; 1; 2 a " + bx" + c = O Ejemplo: Formar la ecuación bicuadrada sí dos de sus raíces son -2 ; 1/3. R esoiución de la ecuación trinó m ica R esolución: Haciendo: x" = y Reemplazando en la ecuación: ay^ + by + c = O Six, = 2 Donde: y = ~ b ± : ^ ^ - 4 a c SriRB = X, Xj + X2X4 = - 4 - •! = Luego: x"= - b ± / | ^ - 4 a o nR = x , . x , , x , . x . = ( 2 ) ( ^ 2 ) ( l ) ( 4 ) = | ^ x^ - - 2 ; x3 - 1 Luego: R e c o n s t r u y e n d o la e c u a c ió n : x* - Ejemplo: '5 ~ ® Multiplicando por 9 la ecuación será: 9x" - 37x^ + 4 = 0 Resolver: x® - x’ - 2 = O Resoiución: La ecuación se puede expresar como: (x^ - 2)(x^ + 1) = O • Si; - 2 = O == = 2 c o s -^ ^ + is e n ^ ^ ; k = 0 ; 1; 2 Ejemplos: En la ecuación bicuadrada; ax* + bx^ + c = O, de r a i c e s X , ; x¿: X 3; X l, se cumple + a . b . c; 49 : a : c". Calcular 3 e l v a l o r d e ( x , X ) ” '' + ( x ^ x , ) ” ', s i e n d o x , = - X j . Extrayendo raiz cuadrada miembro a miembro: Resolución; De los datos; - a . b . c: 49 ; a ; c^: También: 3r^= { k + 1) ^ r^ = 2b = a + c ' + . b X,X3 + X;X^ (X , X s) De (l)y (2 ); a = +7c = 49 (X jX j" = En{1): ...(2) 3 . = k Ç a c l30 ( k + 4 ) = Ü f l k = 26 k = 19 2 b = := 7 c Como se pide el valor entero: k = 26 Luego si a = 7c: 2 b = 8c = ^ = 4 4. Si a = -7c: 2b = - 6c - = -3 Indique las raices de; + 9)(x - 3)(x - 7)(x + 5) = 385 (X El valor pedido es 4 v -3 . R esolución Resolver la ecuación x.“ - mx^ + n = O, si m es la suma límite de los términos de la progresión 4: 2 :... y n es el quinto término del desarrollo de: Agrupando en la forma indicada (X + 9){x - 3){x - 7)(x + 5)= 385 (x^ + 2x - 63)(x^ + 2x - 15) = 385 Haciendo: x^ + 2x = a, se tendrá: (V3-2^/45^f (a - 63)(a - 15) = 385 - Resolución; a^ - 78a + 560 = O Por dato: m = 4 - r 2 + 1 + l + ... • Se sabe además; Suma límite = Luego: m = 1 _4^/2 a" - 78a +945 = 385 ^ (a - 70)(a - 8) = O Si: a - 70 = O - x" + 2x - 70 = O Aplicando la fórmula: Primer término 1 - razón _ -2±^{2)'-4(1)(-7D) -2±-/284 2 x, = -1 + / n . 2 X2 = -1 - -/Ti V Si: a - 8 = O =• x^ + 2x - 8 = O ^ (X + 4)(x - 2) = O Para el binomio: n - t , - C®/ 3 " ( - 2^/4F ^ r = 1 5 i < ^ i l Í ^ n = 16 Luego: X3 = - 4 v X4 = 2 Por loianlo la ecuación será; x^ - 8x^ + 16 = O donde factorizando por aspa simple se tendrá: (x' - 4)(x' - 4) = O X, = 2; X2 = -2 ; X3 = 2; x^ - -2; Resolver: 81' + SV de todas sus raíces. (Hay dos raices de multiplicidad 2) Transformando la ecuación: 81’ = 30 e indicar el producto Resolución; = 30 8r Dada la ecuación x'’ - 3{k + 4)x^ + (k + l f = O hallar el vaior entero que debe tomar k para que sus 4 raíces estén en progresión aritmética. Resolución; Sean las raíces: x, = a - 3r; X2 = a - r; X3 = a + r; X4 = a + 3r - 3 0 a + 81 = O ^ (a - 2 7 ) ( a - 3 ) = O Luego: a = 2 7 v a = 3 a" • Si a = 2 7 : 8 1 '" = 2 7 Entonces: x, + X2 + X3 + X4 = O 4a = O =» a = O Luego: X, = - 3 r Raices r-X 2 = - r Raíces b in a r ia s ^X 3= r b in a r ia s x^ = 3r a + 81 = 30 Haciendo; 81' = a ^ 3 ‘' ‘ ' = 3 ’ donde: 4 x ^ = 3 • =• x = ± V 3 / 2 Si a = 3 ; 8 1 '" = 3 ^ 3 ^*' = 3 " de donde: 4x = 1 Se pide: 2 1\ 16 2 1\ 2 , Para el problema: • X, X 4+ X 2X 3= -3 {k + 4) => -9r^ - r^ = 3 X, X2Xj X4 = (k + 1; -3 (k + 4) (1) 9r“ = (k + 1)^ < i ECUACIONES RECÍPROCAS Son aquellas que reducidas en uno de sus miembros contienen a un polinomio reciproco. P o r e je m p lo : A x ^ + B x "“ + C x ’ - Bx + A = O A. K Ü B B im 1. 2. 3. Toda ecuación reciproca de grado impar tiene como una de sus raíces a - 1. Si ios cxDeficientes de los términos equidistantes de ios extt’emos tienen signos contrarios, entonces una de sus raices será x = 1 (ecuación recíproca de segunda especie). En toda ecuación reciproca de grado para sí una raíz es X = a, otra será x = 1/a. 1. Resolución: Luego los pares de soluciones serán: (a; b) = (2; 1)V(1;2) 2. Resolver: +/ = 5 xy = 2 Resolver; Ax" - 4x^ + 5x^ - 4x + 4 = O ...(2) Resolución: Resolución: Factorizando por ei método de aspa dobie especial: De (1) -I- 2(2) se tendrá : (x -(- y)^ = 9 => x + y = ± 3 4x' - 4x^ + 5x^ - 4x + 4 = O 2x' -3 x ' 2 2x' x 2 • Si: x + y = 3 A xy = 2; formamos la ecuación cuadrada: m^ - 3m -I- 2 = O * (m - 2)(m - 1) = O =■ m = 2 V m = 1 .■.(x; y) = ( - 2 ; 1 ) v ( - 1 ; - 2 ) Se tendrá; (2x^ - 3x + 2)(2x^ + x + 2) = O Si; 2x' - 3x + 2 = O => x = ...3 ±^9 4 4 ■ - - 1 + 4(4)_ • Si X + y = - 3 A xy = 2; formamos la ecua ción cuadrada: m^ -I- 3m + 2 = O = (m + 2)(m -i-1) = O =» m = - 2 V m = -1 (x; y) = ( - 2 ; - 1 ) v ( - 1 ; - 2 ) 4 Si: 2x' + X + 2 = O => X = ^ V x . = - 1 ±V1 - 4 ( + 4 ) 4 1 ~ñW\ B. 2. Resolver; a + b = 3; ab = 2 Se recomienda formar una ecuación de segun do grado; x' - 3x + 2 = O « (X - 2)(x - 1) = O =^ x, - 2; Xj = 1 V x, = 1; Xj = 2 Ejemplos: 1. Una suma y un producto Ejemplos: Resolver: x® - 4x® + 3X" - 8x^ + 3x^ - 4x + 1 = O Ejemplos: 1, Resolver: x^-f 3xy-f y^ = 11 xy + / - 3 Resolución: Factorizando; x ' ( x^ - 4 x^ + l Cuando el sistem a presenta po lin om ios hom o géneos del m ism o grado 3x - 8 + - ^ - - Í - 4 í = 0 X Resolución: x^/ Haciendo: X 1 = m : x^ + 4 = 2; + A X x^ x' Luego: x^(m^ - 3m - 4(m^- 2) + 3m x^(m- - 4m^) = O En estos casos se hace: x = my ...(3) = rn^ _ En (1); m V + 3my^ + y^ = 11 En (2): m V + = 3 3 m 8) = O (4) x^m^(m - 4) = O (x^ + 1)^(x^ - 4x + 1) ^ O • Si: (x^ + 1)^ = O = X, = + 1 V Xj = -1 • Si: (x^ - 4x + 1) = O P o r fó r m u la :x = líÍ E iH Z m /3 y = 2 - -Í3 SISTEMAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y GRADO SUPERIOR m+ 1 = JJ 3 ...(4) -.(5) 3ní + 9m + 3 = lim + 11 Simplificando; 3m* - 2m - 8 = O = (3m -H 4)(m - 2) = O Donde; m = -4 /3 v m = 2 • Si m = 2 en (5): y^ = 1 =» y = ±1 En (3); x = ± 2 Reponiendo x: L u e g o : X 3= 2 + ...(1) ...(2) El conjunto solución será: (2; 1) v (-2 ; -1 ) C. Casos variados Ejemplos: 1. Resolver: x^ + xy + xz - x = 2 y"+yz + y z - y = 4 z^-l-zy-l-zx-z = 6 ,..(1) ..,(2) ,-(3) E x is t e n m u c h o s c a s o s , p e r o lo s m á s f r e c u e n t e s s o n Resolución: a q u e llo s e n io s c u a le s , s e p r e s e n t a n : Sumando (1) + (2) + (3) tendremos: ( X + y -I- z)^ - ( X + y + z) - 12 = O (X + y+ - 4)(x + y + z S ix + y + z + 3) = 0 4. =4 z Resolver: ^ — - = a; j — - = b 1 - xy 1 - xy De(1) x(x + y + z) - X = 2 Resoiución; De (2) y(y + z + x ) - y = 4 ^ y = - x" - a = y - axy Luego z = 2 ^ 1 - ax Reemplazando en la segunda ecuación: Si X + y + 2 = - 3 De (1):x = -1/2 De (2): y = -1 ; luego: z = -3/2 ■■■ “ / x" - a - X ■1 - ax = b 1 - xl .x‘ - a , \1 - ax / Efectuando en el primer miembro: = 2. Resolver; x^ + xy + y" = 28 xV + xy^ = 160 (x ^-a )"-x ( 1-ax)" (1 -ax)^ _ x * - 2ax^+a^-x+ 2ax"-a^x^ 1 - ax - x^ + ax (1 -a x )(l-x ^ ) 1 - ax rr 4 ■ ^ a"(1 - X^) - X(1 - X^) ^ Factonzando: — ^ ?— ~ = b Resolución: F a c t o r iz a n d o ia s e g u n d a e c u a c ió n y a g r u p a n d o la p r im e r a s e t e n d r á : x y + (x " + y " ) = 2 8 x y (x ' + / ) = 1 6 0 H a c ie n d o x y = p ...(1 ) ...(2 ) (1 -ax)(1 -x^) x" + y" = q a =» x" - a = (1 - ax)y Luego; E n (1 );p + q = 2 8 = b = > a ^ - b = ( 1 - ab)x 1 — 3X E n {2 ): p q = 1 6 0 E n to n c e s ; p , = 2 0 • S i: p = 2 0 q, = 8 vPj = 8 A a A q = 8 ® xy= 20, x" + L u e g o : x " + y ^ + 2 x y = 8 + 4 0 =» ( x + y ) " = 4 8 x + y = ± /4 8 • x + y = 4 /3 =í x + y = + 4 -/5 ’ A xy = 20 t " - 4 / 3 t + 20 = 0 X 2 = 2 / 3 - 2 / 2 Í ; y 2 = 2 / 2 + 2/2Í 4/3 A xy = 5. b -a 1 - ab Resolver: x" - yz = a y" - yz = b z" - xy = c ,..{2) -.(3) Resolución; =^t = 2 / 3 ± 2 / 2 Í X i = 2 / 3 + 2 V2Í; y, = 2 / 3 - 2 / 2 1 • X + y = - ,.x = # Í ^ ; y = 1 - ab' = 20 y" = 8 20 Sea; y = px ; 2 = qx; (pq 7^ 0) reemplazando en: (1): x" - (px)(qx) = a ^ x"(1 - pq) = a (2): (px)" - {qx)x = b =» x^P^ - q) = b (3): (qx)" - X (px) = c =» x^(q" - p) = c Dividiendo convenientemente: t" + 4 / 3 t + 20 = 0 X3 = - 2 / 3 + 2 ^ ; y3 = - 2 / 3 - 2/2í P^ - q 1 - pq b. a’ q^ - P 1- p c a X, = -2 /2 Í - 2 / 2 í ; y ^ = - 2 / 2 + 2 / 2 Í • S i; p = 8 ; q = 2 0 X = 1 - (b - ac)(c' - ab) x y = 8: x^ + y " = 2 0 (a - be) 5 = 2 ; y s = 4 = * x « = 4; y g = 2 X, = - 2 ; y , = - 4 ^ Xe = - 4 ; yg = - 2 <4 ECUACIONES CÚBICAS ¥ CUÁRTICAS 3. R e s o lv e r ; x " + x V X = 49 + x y + y = 11 Resoiución: D e la s e g u n d a e c u a c ió n : ( x + y ) + x y = 11 =» X + y = 11 - x y ...{1 ) D e la p r i m e r a e c u a c ió n : x " + y " + 2 x y + x V = 49 + 2 x y (x + y f + x V (1 ) =49 + 2 x y ...(2 ) e n ( 2 ) : (1 1 - x y )^ + x V = 49 + 2 x y 1 2 1 - 2 2 x y + x ^ 'y ^ + x V = 4 9 + 2 x y 2 (x y )^ - 2 4 {x y ) + 7 2 = O (x y - 6 )^ = O { x y f - 1 2 (x y ) + 3 6 = 0 => x y = 6 L u e g o ; x + y = 5 a x , = 2 ; y , = 3 ; X 2= 3 ; y ^ = 2 C S = { ( 2 : 3 ), (3 ; 2 ) } Una ecuación queda resuelta algebraicamente o por radicales, cuando las raices se pueden expresar en tér minos de operaciones y extracción de radicales de los coeficientes de ella. Durante ios siglos XVI y XVII, se buscó la resolución algebraica de las ecuaciones de grado superior, a la cuarta, sin resultado. En 1799 y 1828 los matemáticos Ruffini y Abel demostraron que, en general, es imposi ble resolver por radicales, ecuaciones de grado supe rior al cuarto. E cuación cú b ica La primera ecuación cúbica resuelta fue: x^ + mx = n La resolvió Scipione del Ferro (1465-1526), pero no pu blicó sus resultados. Otro matemático, Niccolo de Brescia, llamado Tartaglia (1499-1557), resuelve también la ecuación y profundiza los conocimientos, resolviendo. - mx = re n Tartaglia, tampoco publica su descubrimiento (era cos tumbre de la época mantener en secreto los nuevos métodos). Bajo promesa de no divulgarlo, Tartaglia in forma a Gerolamo Cardano (1501-1576), pero Cardano publica como propio el descubrimiento de su colega, en la obra Ars Magma (1545). Se resolverá la ecuación: Los tres valores de “y " son y, = A + B y2 = wA + w^B Fórmulas de Cardano y3 = + wB Finalmente de (II), las raíces de ia ecuación primitiva (I) son: N aturaleza de raíces Se llama discriminante de la ecuación cúbica, al valor: ax^ + bx^ -f ex + d = O ...(I) - ( § ¡ ^-(§i haciendo: ...(II) Si los coeficientes de la ecuación (111) son reales, se escogerá A y B, tales que su producto sea real = y- X u3 Se logra una ecuación en "y”, que no contiene término cuadrático: y^ + py + q = O ...(III) Llamada ecuación cúbica reducida. (AB ^ I. La ecuación (III) se puede resolver de 2 maneras: Si A = O, de (VII), se tiene: A = B .-. y, = 2A; y2 = y3 = A(w + w‘^) = -A Haciendo: y = u + v (Teniéndose en cuenta que: 1 + w + Haciendo: y - z - Las raíces de la ecuación (III) serán iguales siy solo si p = q = O,en cuyo caso: A = B = O = y2 = y3 = O Las raíces de la ecuación (I) serán igualessilos coeficientes de (I) son tales que el primer miembro sea un binomio al cubo, ax^ 4- bx^ -H cx -f d = (mx -i- n)^ = O ...(IV) oz Se usará el segundo artificio (propuesto por Viete). Reemplazando (IV) en (III) se obtiene: z' - real). + q= O 27z^ .(V) X. = X, = x, = Resolviendo la ecuación (V) como cuadrática: II. Donde: MI. Si A < O, A^ y B^ son complejas. Sean: A^ = r -f si B' = r - si ^ _q y s = Donde: r y s son reales: r = 2 Haciendo: r = prnsfí s = psenft ,a n e = i-liÉ A r q A ^ + z = 3 j-|± ,5 .(VI) Se sabe que la raíz cúbica de la unidad tiene 3 valores; 1, w, w^. Si se toman dos valores de (VI): A= + y ,.,(V1I) - 0) Si A > O, A^ y B^ son reales al hallar los tres valo res de y, se obtiene una raíz real y dos conjugadas complejas. £l 27 Tal que; AB = ó Entonces las seis raíces (z,) de la ecuación (V) son: A, wA. wÂ, B, wB, w^B Como w.w^ = 1 y = V p ( c o s O + i s e n O ) -i- ^ V p ( c o s 0 - is e n O ) I i I y = p^[(cos0 -f isenO)]^ -t- (cos0 - isenO^) AB = - £ 3 wA.v/B= Se tiene entonces: y = ^VFTsí + - s í . por ser: y = ^/A + ^/B P o r la f ó r m u l a d e M o iv r e : son 3 parejas •5 wÂ.wB = - £ Por cada raíz, se tiene una pareja según (IV) es “y".. y = 2p^cos O + 2kii cuya suma, Donde; k = 0; 1; 2 Como: p = 0 -7 ^ P J o a Resolución: y = 2 V - § c o s i- ^ h 5 . ; k = 0; 1; 2 -6 H a c ie n d o ; x = y ( 6: v a l o r p r i n c i p a l ) D o n d e : ta n 0 = - (y + 2)^ - 6(y + 2 f - 6(y + 2) - 14 = O A l d a r a k lo s v a lo r e s ( 0 ; 1 ; 2 ) , s e o b t ie n e n la s t r e s r a í c e s d e la e c u a c ió n ( li l) , q u e r e s u lt a n r e a le s . 2 = y + 3 (1 ) p = -1 8 y' - 1 8 y - 4 2 = 0 q = -4 2 6) - ^ + = ( - (-2 1 )" = 2 2 5 L o s c a s o s s e r e f ie r e n a la e c u a c ió n c ú b ic a r e d u c ida: C o m o A > O , s e te n d r á u n a r a iz r e a l y d o s c o m p le + p y + q = O y n o a la e c u a c ió n c o m p le t a (I) E l t e r c e r c a s o , s e lla m a c a s o Ir r e d u c tib le , y a q u e s u s o lu c ió n e s s o lo p o s ib le t r ig o n o m é tr ic a m e n te ja s , u s a n d o d ir e c t a m e n t e la s f ó r m u la s ( V II) . A = + = '/ 3 6 ; B = = W ( im p o s ib le d a r u n a r e s p u e s t a c o n r a d ic a le s ) . C om o: AB = - | ; Ejemplos 1. y, = A + B = R e s o lv e r la e c u a c ió n : - 9x" + 24x - 16 = O Resolución; H a c ie n d o :x ^ y - ¿ = y - ^ D e d o n d e : (y + 3 ) ' - 9 ( y + 3)^ + 2 4 ( y + 3 ) E f e c t u a n d o : y^ - 3y + 2 = O e c u a c ió n = O r e d u c id a posee dos ra íc e s r e a le s H a c ie n d o e l a r t if ic io d e V ie te : 3z = ~ y , = 5 ,1 1 9 0 4 7 0 ; y^ 3= C om o; X, A = B = = X, 1 .2 8 5 8 8 0 6 Í = y + 2 X j = - 0 .5 5 9 5 2 3 5 + 1 .2 8 5 8 8 0 6 Í 1 ,2 8 5 8 8 0 6 1 iW R e s o lv e r : P = -5 y^ - 5y - 1 = O q = y, = A + B = - 2 com o; X = y + 3 ( e c u a c ió n r e d u c id a ) -1 Resoiución: ys = w "A + w B = 1 ^ ^ ( 3} ^ ( c a s o ir r e d u c t ib le ) + 3 = 1 C o m o A > O , la e c u a c ió n p o s e e 3 r a ic e s r e a le s . D e la s f ó r m u la s d a d a s ; Xj = 1 + 3 = 4 X, = 1 + 3 = 4 ta n o = U s a n d o la s f ó r m u la s ( V II) , c o n : q = 2 y A = O S e o b tie n e n : A = B - -1 a ( V e r ific á n d o s e : A B - R e s o lv e r : 6x " - 2 Í^ e + 2kn t a n ü = 4 , 1 8 q5 5 1 2 8 eos y = B = A s í s e e v it a h a c e r e l a r t if ic io . x '- 2 -1 3 p o r la s f ó r m u la s d e C a r d a n o A - 2 N o e s n e c e s a r io m e m o r iz a r la s f ó r m u la s q u e s e p r e s e n ta n , y a q u e d a d o e l c a s o , s e t ie n e n a la m a n o e n c u a l q u i e r t e x t o o m a n u a l , o s e t i e n e la p r e s e n t e o b r a . C om o A . B = - X, = - 2 \ = 7 ,1 1 9 0 4 0 7 0 iiW => ( z ^ + 1 ) ^ = O y 2= w A + w " B = 1 + ~ = - 2 , 5 5 9 5 2 3 5 + 1 ,2 8 5 8 8 0 6 1 ; -2 ,5 5 9 5 2 3 5 - X 3= - 0 , 5 5 9 5 2 3 5 - _P , e l v a lo r d e A = B - 1, v e r ific a ^ - ^/6 c o n d e c im a le s , t e n ie n d o e n 1 - + w " W ^ /3 6 + w la r e s p u e s t a w Ve ^ /3 6 z (z + l ) - ( z + l ) + 2 = 0 z^ = - 1 2= w " A + w /B = ( c u m p le ) z+1 3z z® + 2 z ^ + 1 = O y w A + V ií^ B = c u e n ta q u e : y ig u a le s y u n a r a í z r e a l n e g a tiv a d e d o b le m ó d u lo ( c a s o I) ^ 2= O S e o b tie n e : - 3 ' La 16 = O ^ /3 6 + y D ando = y + 3 18 = - ^ 0= “ 1 ,3 3 6 2 7 3 ra d 1 ,3 3 6 2 3 7 + 2 k n - e o s ------------ ^ ------------ "5 D o n d e : n = 3 , 1 4 1 6 r a d ( lo s á n g u lo s e n r a d ia n e s ) 6x - 14 = O S i k = 0 : y , = 2 ,3 3 0 0 5 8 9 Resolución: k = 1;yj = -2,1284185 k = 2: 73 = 0,2016404 x" - 2x^ = 2x^ -I- 2x + 3 Ecuación cuártica Resuelta la ecuación cúbica, los matemáticos del siglo XV!, buscaron afanosamente un método para resolver la ecuación de cuarto grado. El método para resolver lo encontró Ludovico Ferrari (1522-1565). El trabajo de Ferrari lo publicó Cardano. M étodo de Ferrari: Resuelve la ecuación mónica, nor mal u ordinaria (a = 1) de la forma: x“ -i- bx^ -i- cx^ dx + e = O Completando cuadrados: x‘ - 2x' + x^ = 3x^ + 2x + 3 (x' - X)' = 3x' + 2x + 3 Completando cuadrados nuevamente (con k): (x" - X)" + (x^ - x)k + = (x' -x )k + ^ - 3x"+ 2x + 3 ( x ^ - x + |) ^ = (k + 3 )x' + (2 - k ) x + ( ^ + 3) = 0...(a) El discriminante de esta ecuación se iguala a cero (para que sea trinomio cuadrado perfecto). Luego: x‘ -f bx^ = -cx^ - dx - e A = (2 - k)' - 4(k + 3 ) ( ^ + 3) ^ O Completando cuadros en el primer miembro: Efectuando: k^ + 2k^ + 16k -t- 32 = O ...(p) x“ + bx^ + ^ x ^ = ^ x ^ - cx^ - dx - e Por Ruffini, ensayando divisores de 32, se obtiene k = -2 , o sea k = - 2 es raiz de [3. (x^ + | x ) ' = ^ x " - c x ' - d x - e Reemplazando k = - 2 (raiz real de p) en (a): (x^ - X - 1 ) ' = x^ + 4x + 4 = (X + 2)' =í- x^ - X - 1 = ±(x -I- 2) Se introduce ahora un parámetro k, tal que forme en el primer miembro un nuevo cuadrado perfecto. Simplificando: Se agrega: (x' x^ - 2x - 3 = o (x ^ + |x [+ (x ’ + |x )k + ^ = (x ^ + |x )k + i^ -X - e x - d x - e El problema consiste ahora en hallar un valor de k, que haga del segundo miembro un cuadrado perfecto. Este valor se obtiene igualando a cero el discriminante de la ecuación cuadrática que resulta al igualar a cero el segundo miembro de la ecuación. Al igualar a cero el discriminante, resulta una ecuación cúbica en k. Se busca una raíz real de esta ecuación cúbica y este valor (cualquier raiz real sirve) se usa como valor de k. Al reemplazar el valor de k, se obtiene: + | x + | ) ' = (m x + n)' Donde m y n son los valores que resultan al factorizar el segundo miembro con el valor de k hallado. La solución de la ecuación cuártica, se obtiene del sistema: -i- | x + | = ±(mx -i-n) De donde: = +(mx + n) que son dos ecuaciones de segundo grado, o sea se obtienen 4 raíces. Ejemplo: Resolver x" - 2x= - 2x' - 2x - 3 = O 3 -1 X = —i Las soluciones serán: 3; -1 ; i y -i. Método de Descartes. En 1637, el matemático Des cartes propuso el siguiente método: Sea la ecuación cuadrática reducida. (a = 1 y b = 0) x'* + cx^ + dx -t- e = O Se supone: x‘‘ + cx^ -I- dx + e = (x^ + mx + C)(x^ - mx -l- n) efectuando e igualando coeficientes por el teorema de polinomios idénticos: n + C= c' (n - C) = d -3 ecuaciones con 3 incógnitas m, n y C n( = e De las dos primeras: 2n = m^ + c + — m En la tercera: 2n = m^ + c m => (m^ + c + -^ )(m^ -t- c - — ) = 4e m ' m' Ordenando; m® + 2cm‘' + (c^ - 4e)m^ - d^ = O Ecuación cúbica en x' + | x - ( - | ^ -(m x +n) X = X = I • x^ + 1 = O -d)x + ( ^ - e X = al hallar m^ se calculan n y C. La ecuación cuártica queda resuelta al hallar las raices de: x^ mx e = 0 A x - m x + n = 0 Raíces cúbicas de la unidad Resolveremos: - 1 = (x —1)(x^ + x + 1) = O X - 1 = O => X, = 1 Haciendo: m" = y => y^ - 6y^ + 17y - 36 = O que se ^ y -1 + 3 ¡ X = Xj - 2 + 2 ’ 3 " verifica para y = 4 => al finai: m^ = 4 =» m = ± 2 2 ~ 23¡ Con m = 2, (m = -2 ) sería igual Estas raíces se reconocen generalmente como: 1, w y w" se obtiene: n = 2 ; í = -1 Observar que: x" + 2x - 1 = 0 = X = - 1±/2 x ^ - 2x + 2 = 0 =>x = 1 ± i x¡ = x ¡ y Reemplazando en (a): = x^ De alií que el cuadrado de una de las complejas da la otra. Las soluciones serán: - 1 ± / 2 ; 1± i Es fácil comprobar: . 1 -fw + w " - 1 + ( - I + ^ i ) + ( - l - # i U o 1 + w + w" = O Muchas «laiadone&cu^ticas se zándcâs por ^ méfc>do dotte espi^ál. Ejemplo: Ejemplo: Resolver: x“ - 6x^ + 3x" + 26x - 24 = O x" - 3x^ - 6x - 2 = O Resolución: Factorizando por el aspa doble especial, se tiene; Resolución: x"* - 3x" - 6x - 2 = (x" + mx + P)(x" - mx + n) ...(a) + 3x" + 26x - 24 = O = ( x " - 7 x + 12 )( x^ + x - 2 ) = 0 x" - 6x^ x“ - 3x" - 6x - 2 = x" + (n + C- m^)x“‘ + m (n- C)x + nf => n + ( - m" = - 3 A m(n - f) = -6 =* ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( x + 2 ) ( x - 1 ) = 0 Resolviendo el sistema para m; m® - 6m* + 17m" - 36 = O (ecuación cúbica en m") x, = 3; X2 = 4; X3 = - 2 ; x^ = 1 Igualando cada lector o cero: Resolver la ecuación e indicar una de las raíces: Resolución: (x + a + b + 2c) ’ - x"' = (a + c) ’ + (b + c)’ ’ De 3x" + px + 4= Resoiución: Dato; X , + Escribimos: 1 1 x + a + b + 2c X x - x - a - b - 2c (x + a + b + 2c)x - (a + b + 2c) (x + a + b + 2c)x (p) Del dato: — = - - ^ x, 3 b+c+ a+c (a + c)(b + c) v ^ = + 1 3 X , S ix 2 = - 3x , ; e n ( p ) ; - 3 x ? = f a + b + 2c (a + c)(b + c) E n (a );-2 x , = : ^ = -(a + c)(b + c) = x" + (a + b + 2c)x ^ - x? = - | ^ Reemplazando en lo anterior: == x" + (a + b + 2c)x + (a + c)(b + c) X ■— I ♦a + c X- — --—*. o + c 6/ • 3. -p ^-3 6 (-|| 9 p = 4i --•= (x + a + c)(x + b + c) = O De aquí: x= - a - c ; x = - b - c modo que: ( ^ f = l p -^;x,x2 2 (ct) 1 4- ■ 1 a+ c b+c Si X, y X2son las raices de la ecuación; 3x^ + px + 4 = O, determinar un valor de p, de X V ^p"=-16 p = -41 Si X2 = 3x,, aquí no aparece respuesta. Si x^; X2son raíces de la ecuación: (a^ - b')x" + (b^ - C‘') y = a^ - c" a =í ± b; a, b, c e IR. Calcular: x “^ + X2" - x,x 2 Resolución; Transponiendo: (a^ - b")x' + (b^ - c")x + (c" - a‘ ) = O {a" - b")x [{a" - b^)x - (c" - a")] (x - 1) = O _ La ecuación tiene 4 raíces: 2 (de multipliddad 3) a -1. Se pide; 2^ + 2" + 2' + (-1 )' = 13 7. Si dos de las raíces del polinomio; p(x) = + 3x^ + bx - 3 son opuestos, determinar el valor de b. Resolución: P(x) = x' + 3x^ + bx - 3 Tiene dos raices opuestas: m Sea X3 la tercera raiz: 4 De aqui: x, = - j — ^ = n; x^ = 1 a -b En lo pedido, se tiene: x,'^ + y.2' - X1X2 = n' + r - n = 1 4. Luego: P (-3 ) = (- 3 )' + 3 (-3 )' + b (-3 ) - 3 P (-3) = - 2 7 + 27 - 3 b - 3 = O b =-1 8. Dada la función polinomial de regla de correspon dencia f(x) = x^ + bx^ +CX + d. Si el cuadrado de una de sus raices, es igual al producto de las otras dos, determinar el valor de; b^d - c^ Resolución: De la ecuación: 2x^ - 2x + 1 = 0 2 + 2i 2-2i ’ Resolución: 2 ^ f(x) = x^ + bx^ + cx + d Sean: x,, y X3 sus raices x, = 1 + i; X2 = 1 - i Luego: E = ■1 + Í\ÍT7Í! 1 - i, Dato: X? = X2X3 / I - i' .1 + i , Por Cardano y Viete; • x,X2Xj = - d = x , ( x ^ ) = - d Se sabe que: = i a ^— !• = - i ^ 1 -1 1+1 => E = i”' - ( - i) '; pero: - i = i ’ ^ E = i” - (i-'y E = i” - i’ ’ = O 5. Resolución: a, b y c son las raices de: x' - 2x' + 3x - 1 = O Por et teorema de Cardano y Viete: a + b + c = 2:ab + bc + ca = 3 y abe = 1 a^ + b^ + c^ = (a + b + c)^ - 2(ab + be + ac) = - 2 1 a^ + b^ + c^ (abc)^ a^b^ b^c^ câ^ =»Xi(X, + Xj + X j) = c =» x ,(-b ) = c, al cubo; =» x?(-b)^ = c^ = (-d )(-b )^ = c^ b^d - c’ = O 9. Si: a, b, — y 4- son lasraices de la ecuación polia ' b ^ nomiai: x'“ + x^ + nx^ + x + 1 = O, tiallar et valor de: R - a b + 4ab: + ^b + -aResolución: 1 i a, b, — y 7^ son las raices de x"* + x^ + nx^ + x + 1 = O a b . E= - 2 (1)^ 6. => x, = - d • x, + X2 + X3 = - b • X,X2 + XjX3 + X1X3 = c X,(X2 + X3) + X? = c Si a, b, c son raíces de la ecuación: X® - 2x^ + 3x - 1 = O, determinar el valor de: E= 1 -^ +-L I^c^ b^c^ -2 -m =» m + (-m ) + X3 = - 3 = X3 = - 3 Si X, y X2 son las raices de: Xj - x + 1/2 = O, determinar: 2 a Resolver la ecuación: x“* - 5x^ + 6x^ + 4x - 8 = O, sabiendo que tiene una raíz de multiplicidad 3. Dar como respuesta la suma de los cuadrados de sus raices. Por el teorema de Cardano y Viete, para la suma de productos binarios de las raíces, se tiene; Resolución: = ab +1 + § + - + 1 + 4 r = n b a ab x " - 5 x ' + 6 x^ + 4 x - 8= O -4 x 4 -X (x ^ - 4 x + 4 )(x *^ (X - 2 ) ^ ( x + 1 ) ( x - 2) = O 2) = O X - (x - 2 )^ (x + 1 ) = O 2x' Falta 4x' R = ab+-5r + # + - = n - 2 ab b a 10. Determinar x + y , donde x e y es una solución del sistema: 2x^ + 5xy - lOy^ = O 1 2 / - xy - 72 = O Resolución: 2x^ + 5xy - 12y^ - 3 / a + 2 = 0 = = . V a = - 4 ( n o cumple) O Va - 2 = 0 ^ / a = 2 10y" = 0 xy - 72 = 0 S u m a n d o : 2x^ + 4 x y + 2 y " = x" + 2 x y + y^ (X + y = 6 = 36 y r 72 = 0 =’ -ía ~ 2 15. Determinar m, de modo que ia suma de cuadrados de tas raíces de la ecuación: x^ + (m - 2)x - (m + 3) = O, tenga el menor valor posible. x + y = - 6 V 11. R e s o l v e r p a r a x ; i n d i c a r u n a r a í z . (a - (a"+bV 2a(a" + b^) , , (a+“ b ) x a + b " ' ® ^ - ‘' b )x Resolución; Resolución: Sean x, a Xj las raíces de: x" + (m - 2)x - (m + 3) = O =»x, + X2 = 2 - m A X1X2 = - ( m -1- 3) M u ltip lic a n d o p o r ( a + b ) x : (a - b {a + b )x ^ + (a " + b ")" = 2 a (a ^ + b ")x (a - b )(a + b )x " - (a + b ) x — (a - b) .'.La menor raíz es x^ = - 2 36 = 0 2 a (a " + b ^ )x + (a " + b ")" = 0 I ------ + b^ D e donde: x, = — »• - (a " + b ") Además, sea: S = x? + x" — ► - (a " + b ") =í S = (x, + X2)" - 2X1X2 S = (2 - m)^ - 2 í-(m + 3)] S = m" - 4m + 4 + 2m + 6 S = m" - 2m + 10 = (m - 1)" + 9 S será mínimo, cuando (m - 1)^ = O , .. V x -,= a" + b" a - b 12. Determinar el valor de m, de modo que en la ecua ción x" - (m + 4)x + 3m = 0, una de las raíces es el tripie de la otra. Resolución: Sean a y 3u las raíces de la ecuación: x" - (m + 4)x + 3m = O =>ü + 3a = m + 4 A a(3a> - 3m => 4a = m + 4 A = m Reemplazando: 4a = a" + 4 a '-4 a + 4 = 0 ^ {a -2 )"= 0 ^ a = 2 m= 4 m= 1 16. Determinar a + b, para que el sistema: X + y + 2z = 3 by + z = a X + 2y - z = 1 tenga infinitas soluciones. Resolución: x + y + 2z = 3 by + z = a x + 2y-z=1 13. Determinar ía menor raíz de la siguiente ecuación mónica de segundo grado: (a - 2)x" - (3a - 8)x + a - 9 = O (1)-(3):-y + 3 z -2 l by + z = aJ Este último sistema también tiene infinitas soluciones, entonces se cumple que; - 1 - =3 ^ ±2 Resolución: La ecuación: (a - 2)x" - (3a - 8)x + a - 9 = O Como es mónica: a - 2 = 1 =>a = 3 Reemplazando: - x - 6 = O De donde: x, = 3 v x¿ = - 2 La menor raíz es: - 2 14. Si la suma de las raíces positivas de: x“* - (a + 1)x" + a = O, es el 75% del producto de las raíces. Determinar la menor solución. ...(1) ,..(2) tieneinfinitas soluciones. ...(3) D De donde: a = 4 »3 17. a b = - ^ o n d a+ b=^ La ecuación bicuadrada: x'“ - {p + 2)x^ + 4 = 0, tiene las raíces de la ecuación: x" + px + q = 0. Hallar los valores de p y q. Resolución: Sean a y p raices de la ecuación: x^ + px + q = 0 = a + p = - p A a p = q Resolución: x“ - (a + 1)x" + a = O Ahora, si a yp son raíces de ta bicuadrada: - (p + 2)x" + 4 = 0 = De donde: = a, = 1 Suponiendo que a > O, se tiene: X, = /a ; X2 = - ^ : Xj = 1; Xj = -1 Q Dato: X, + X, = -^(xiX^XjX^) ■/a 1 = I (a) 3a - 4 / a - 4 = O ^ ( 3 - f a+ 2 ) { - ¡ á - 2) a " + )B" = p + 2 A ( a p ) " = 4 De aquí: asumamos ap = 2 = q De a + p= -p ; elevamos al cuadrado: a" +p^ + 2(ap) = p^ p + 2 + 2(2) = p" p 2 - p - 6 = 0 = . ( p - 3)(p + 2) = O = O De aqui: p = 3 v p = - 2 Finalmente: p = 3 y q = 2 18. En relación a la ecuación bicuadrada: (l3 -k )x " + ( 4 - 3 V + í ^ - 5 V + í ^ - 2 l x - k = 0, ..4 I \q I \ 5 indicar el valor de verdad de las proposiciones si guientes: I, II. III, IV. El valor de q es 2 k + q = 14 x^ + 2x^ - 12 = O Una raíz es - Í S Si la ecuación: k -q (13-k)x* + ( |- 3 ) x > + ( |- 5 ) x ^ + ^ 5 - 2 x - k = 0 es bicuadrada, debe carecer de término cúbico y término lineal. ^ - 3=O A -2 = 0 4 5 = k = 12Aq = 2 Luego, la ecuación es: x'' + x^ - 12 = O Factorizando: (x^ + 4){x^ - 3) = O • x^ + 4 = O = - 4 => x = ±2i • x ^ - 3 = 0 =>x^ = 3 = x = ±-í3 (I) es V; (II) es V; (III) es F; (IV) es V. Si a, = m + 2; 32 = m - 1; 83 = 2 - m son los coeficientes de la ecuación a,x'* + ajX^ + aj = O, tal que 82 - a, = a^ - 82, determinar el valor de la mayor raiz. Resolución: De: 82 - a, = 83 - 82 (m - 1) - (m + 2) = (2 - m) - (m - 1) —3 — —2m -1-3 => m = 3 Luego, la ecuación es: 5x^ + 2x* - 1= O Donde: x = ± - 2 ± 2/6 10 El mayor valor de la raíz es: 20. Resolver la ecuación: (x + X* - (X - 1 ) ' = 7 x ^ + 3 5 x ' - 10 Indicar la diferencia entre la mayor y menor de las raices obtenidas. Resolución: Desarrollando por binomio de Newton: . (X + + Sx“ + lOx^ + lOx' + 5x + 1 • (x - 1)' = - 5x‘ + lOx^ - 10x' + 5x - 1 Restando y reemplazando en la igualdad dada se tiene: lOx" + 20x^ + 2 = 7x‘" + 35x^ = 10 ^ x" - 5x' + 4 = O ^ (x^ - 4)(x' - 1) = O =5 (X + 2)(x - 2)(x + 1)(x - 1) = O =• X, = -2 ; Xj= 2; X3 = -1 ; X4 = 1 . - .Xj - X, = 2 - ( - 2 ) = 4 21. Construir una ecuación bicuadrada en la que la suma de los cuadrados de sus raíces es 3 5 y el producto 7 0 . - (a' + (i^)x^ i- (a(i)' = 0 ..,(1) Por datos; • a ^ + p ^ + ( - a ) ' + (-p)^ = 35 • Resolución: 19. Resolución: Sí a y p son raíces de una ecuación bicuadrada, las otras raíces son - a y -p . Luego, la ecuación que dio origen a estas es: a X p (-a )(-p )= 70 = (ap)^ = 70 En (1): x" - + 70 = O v 2 / - 35x^ + 140 = O 22. En relación al conjunto: S = {x e IR/(x + 6)^'® + x^ = x(x + 6)’'^ + x(x + 6)^''. Indicar el valor de verdad de las proposiciones si guientes: I. S = { } II. n(S) = 3 III. SIS = {a;b) = a' + b^ = 13 IV S e (3 ; 8) Resolución: De (x + 6)*'® x^ = x(x + 6)^'^ -h x(x + 6)"'^ ...(I) Obsérvese: x > O Sea: (x + 6 ) ' ' ^ = a a ( x -h 6 ) ’ '^ = b En (I); ab + x^ = xa +xb x^ - (a + b)x + ab = O (x - a)(x - b ) = 0 =»x = a v x = b • S ix = a = x = (x + 6)"'^ =»x^ = x-i-6 ^ x ^ - x - 6 = 0 ( X - 3)(x + 2) = 0 => x = 3 V x = -2 • Six = b ^ x = (x + 6)” ^ =»x^ = x + 6 = » x ^ - x - 6 = 0 Factorizando por divisores binomios, se tiene: - 2)(x^ + 2x + 3) = O (X X í IR » X —2 = 0 => x = 2 Luego: S = {2; 3} Para las proposiciones; FFVF 23. Si x^ y X2son dos soluciones de la ecuación: V 0, 5 x - 0 , 2 + V 0, 2 x - 0 , 5 = V2 , 8 ( x - 1) determinar el valor de: R - X2+ 2 x,+ 2 Resolución: Se puede escribir: 2 8 ( x - 1; 10 -V 10 "V 10 V5x - 2 + V2x - 5 = ^26(x - 1) - 3j28(x - 1) - O ...(1) Por productos notables; S ia + b + c = 0 =»a^ + b^ + c^ = 3abc Como x ^ O , entre x^: Aplicando en (i): (5x - 2) + (2x - 5) - V 2 8 ( x - 1) = 12x^ + 91x + 194 + ^ + ^ = O 3 '/ 5 x ^ . ^ / 2 j r ^ . ( - V 2 8 ( x - 1)) Elevamos al cubo: 7^(x - 1)" = {5x - 2)(2x - 5)28(x - 1) Cancelamos 7{x - 1), pero para no perder solu ción: 7(x - 1) = O =í X = 1, es solución. Luego, nos queda por resolver: 49(x - 1)" = (5x - 2)(2x - 5)4 =»49x"- 98x+ 1 = 4 0 x ^ - 1 1 6 X + 40 II x+ X 4 x+ 1 = - li = - 3 - I X 3 "^3 X3 = - 3 V X, = - -^ La mayor raíz es: VSx"- 16X + 24 + VSx"- 1 6 x - 3 = 9 (i) Observar que: {3x" - 16x + 24) - (3x" - 16X-3) = 27 27. Calcular la suma de las raíces no reales de la ecuación: 2x® - 7x" + 6x^ - 6x" + 7x - 2 = O Resolución: => (V3x^- 16X + 24 + '/3 x "- 1 6 x - 3 ) (V3x"- 16x + 2 4 - - / 3 x ^ - 1 6 X - 3 ) = 9x^ ...(II) (I) + (II): 2 V 3 x " - 1 6 x -h 2 4 = 12 Al cuadrado : 3 x " - 1 6 x + 2 4 = 3 6 ^ 3x^ - 1 6 x - 1 2 = O ^ ( 3 x + 2 ) ( x - 6 ) = O Suma de raíces: 1 6 / 3 Encontrar la incógnita x de la siguiente ecuación: R esolución : De (3a + 10) =» a= 10 Resolución; 25. Reemplazando: 12(a" - 2) + 91 (a) + 194 = O 12a^ + 91a + 170 = O « (4a + 17)(3a + 10) = O (4a + 17) =» a = —17 X, = - 4 V X2 = Resolver la ecuación: J3x^-16x + 24 + V3x"- 1 6 x - 3 = 9 Calcular la suma de sus raices. =» V 3 x " - 1 6 x + 2 4 - / 3 x " - 1 6 x - 3 = 3 Sea: x + - = a = > x " + - ^ = a ^ - 2 r7 4 De aqui se obtiene: x" + 2x + 1 = O ^ (X + 1)^ = O = X = - 1 Asumimos : x, = 1 a Xs= - 1 _______ - 1 + 2 _ o , 1 _ 10 R = 1 +2 - 1 + 2 ^ 1+2 3 3 24. 194 = O ^ 12Íx^ + 4 í + 9 l ( x + ^ i Reduciendo, nos queda: 7{x - 1) = V ( 5 x - 2 ) ( 2 x - 5)28( x - 1 ) + /x + Va - -íx = - ^/b - O 2x* - Yx" + 6x' - 6x" + 7x - 2 = O Recordar que para toda ecuación recíproca de gra do impar, una raíz es 1 o - 1. En nuestro caso, x = 1 es una raíz. 2 X= 1 2 6 -6 7 i -2 2 -5 1 -5 i 2 -5 1 -5 21 0 -7 Las otras raíces se obtienen de: 2x" - 5x^ + x" - 5x + 2 = O Factorizando: (2x^ + x + 2)(x^ - 3x + 1) = O Las raices no reales de la ecuación inicial, se ob tendrán de 2x" + x + 2 = O, pues A = -1 5 < O La suma de raíces no reales será: =» (a+ ^ ) + ( a - Vx’)-b = 3 V a + 7x . Va-Zx .(-^/b) 28. Resolver ia ecuación: ^ 2a - b = - 3 V ( a " - x ) b Elevamos al cubo: (2a - b)^ = -27(a^ - x)b _ (2a- b) ^ ^ " 26. ^ 27b ( 2 a - b ) " + 27a"b 27b Determinar ia mayor de ias raices de: 12x" + 91x^ + 194x" + 91x + 12 = O Resolución; 12x" + 91x^ + 194x' + 91x + 12 = O = 1 + J -2 + -/X í^ -2 indicar la suma de las cifras de la solución. Resolución: Nótese que' ix —2 > 0 a x> O De donde: CVA : x > 4 a Luego; /x ^ fx = i l x - 2 ■¥ ix - 2 ^ 2 = ifx - 2 -, ,-. Suma de cifras; 9. = 6 X = 36 (X € CVA) 29. Si X > - 1 , c a lc u la r la s u m a d e la s s o lu c io n e s r e a S i : a = 7 y X 2= 2 x , E n (1 ): le s d e la e c u a c ió n : E n (2 ): vxTí =» 2 x , ^ + S x . x j = 1 4 -/F n X > -1 , po r Vx + 1 : V x' + 8 x + V (x + 1 )(x + 7) = 7 h ^ Sea + V x^ + B x + 7 Qx + V x^ + S x = 7 a s i: ^ 8x = . x^ + P e ro X > 14a + a^ 8x L u e g o : -/x ^ + - ■ia^ + T - 7 => a" + 7= 49 - ^ - a de loscasos: XiXsX, =8 'm r mr mn' Resolución: => x , = 1 : X 2 = - 9 P(x) = x ' + 3x^ - 9 ...(I) Si: P(m) = P(n) = P(r) = O m, n y r son raices de P(x) Luego; m+ n+ r= -3 ...(1) mn + mr -1nr =O ...(2) mnr = 9 ...(3) 30. D a d o e l s i s t e m a : 152 x^y + x / = X, =1 V P (J IL + _íL + _ ^ ) - 1 , p o r fo ta n to : x = 1 [x ^ + y " - = O X, = 2 X3 = 1 X3 = 4 3 x ,) = 1 4 32. Dado el polinomio; P(x) = + 3x^ - 9, si P(m) = P(n) = P(r) = 0 . Determine el valor de: a = 3 = 3 9 = O 2 x ,^ + 3 x i( 7 Observar que en cualquiera = a , e n to n c e s ta e c u a c ió n q u e d a r á a + -¡a^ + 7 - 7 V De aquí: x,^ - 3x, + 2 (X, ~ 2)(x, - 1) = O^ Si; X, = 2 Xj = 4 A Si; X, = 1 => Xj = 2 A Resolución: C om o 3x, + Xj = T :=> X3 = 7 - 3x, 2x + x^xj + 2x,x3 = 1 4 120 d e t e r m in a r la s u m a d e t o d a s la s s o lu c io n e s p a r a x e y Piden; RíHl + J L + _ L , . p ( m l± n l± l! ) 'n r mr mn' ' mnr / Resolución: íx ^ + y ^ = 1 5 2 ...(1 ) 120 \x y (x + y ) = . . . ( 2) (1 ) + 3 ( 2 ) : x ^ + y ' + - 8; x =■ x - t - y = D onde: • • co x + y ^ • 3 x y (x + y ) = 1 5 2 + 3 6 0 (x + y )^ = 5 1 2 = - ^ 8 = 8w ; + y = 1 x -h y = En (I); P(1) = 1 + 3 - 9 = - 5 8( o ^ yr 33. Sea P una función polinomial mónica de grado 5; además; P(1) = 3, P(2) = 5, P(3) = 7, P(4) = 9, P(5) = 11, si G(x) = P(x) - 2x - 1, determine el número de raíces reales de G(x) = O + - ^ i =» E n ( 2 ) : x y = 1 5 (x ; y ) = (5 ; 3 ) v (x ; y ) = (3 ; 5 ) X -1 - y = 80Ì =■ E n ( 2 ) : x y = 1 5 w ^ =» ( x ; y ) = (5 ( .o ; 3 < a ) ; ( x ; y ) = ( 3 u ) ; 5 c i> ) 8( 0^ -I- y = X ^ =* E n (2 ): x y = 15cú ( x ; y ) = ( 5 c o '; 3 r o ' ) ; ( x : y ) = ( 3 c o '; 5 c o ') L a s u m a d e t o d a s la s s o lu c io n e s p a r a a O, x e y e s ig u a l E l p r o b le m a d e b e r í a s e ñ a la r s o lo a la s s o lu c io n e s r e a le s d e l s is t e m a e n e s e c a s o , s u m a ; 1 6 31. D e t e r m i n e e l p r o d u c t o d e l a s r a í c e s d e l a e c u a c i ó n : x ^ - a x ^ + 2 a x - b = 0 ; a > O , s a b i e n d o q u e s u CS = { x , ; X 2; X 3} , x ^ + x \ + x ^3 = X, + x^ + ax^ X3 4- 2 a x - ...(2 ) T " En forma similar, se tiene; G(2) = G(3) = G(4) = G(5) = O 1; 2; 3; 4 y 5 son raíces de G(x) = O Resolución: ^V x + 1 + V - 1 - X = x W (x + 1) + E le v o ( 1 ) a l c u a d r a d o : X2+ X3 -1- 2(x,X2 -i- X1X3 + x ^ ) = 21 En (I), vemos que; G(1) = P(1) - 2 - 1 ^ G(1) = O ...(1 ) x , x 2 -H X 1X 3 + X 2X 3 = 2 a x , x j x , = b = ■? X? P(x) es de 5.° grado; donde: P(1) = 3; P(2) = 5; P(3) = 7; P{4) = 9 y P(5) = 11 Como G(x) = P(x) - 2x - 1 ..,(1) ^ G(x) también es de grado 5 34. Halle ia suma de soluciones de; Hx + 1 = x=V2 b = 0: a > O = a Resolución: 2 1 y X 2= 2 x , # O Resolución: D e x^ - (1)^; m^ + n^ + r^ + 2(mn + mr -*• nr) = 9 =• m^ -(- n^ + r^ = 9 =^ Lo que nos piden es; P(x) = P(1) 2a D e a q u í: - 4 a - 21 = O (a - 7 )(a + 3 ) = 0 = a = 7 v a = - 3 (X 3 ^ ^ 2 (X ^ - D x V - al cubo 1 ) + 3 V x ' - 1 x = /2 = 2 (x ^ - 1) ^ 3 V 2 ( x ^ - 1) = 2 (x ' - 1) S e a : 2 ( x " - 1 ) = t^ ^ 3 t = 1^ = V t = 0 V t = V 3 = 2x' X = O t = - / 3 x= 0 V x = ±1 39. Si: a; b; c son las raíces de la ecuación: 2x^ + x" - 3x + 2 = 0; determine el valor de: p _ c+ b+a abe x = ± J |V 3 + 1 V La suma es O 35. Si X,. X2y X3 son raíces de la ecuación: x^+8x -24= 0, hallar el valor de: x, + x® + x® Resolución: Si a, b, c son raíces de: 2x^ + x^ - 3x + 2 = O Resolución: De: x^ + 8x - 24 = O Por Cardano y Viete: Por Cardano y Viete: x, + X2 + Xj = O a+ b+ e= -1 Por productos notables se cumple: X® + X 2+ X 3 = - 5 ( x , + X j + x j ) ( x , x 2+ A abe = -1 Nos piden: E = c + b + a abe X , X 3 + X 2X 3) De la ecuación, por Cardano: X1X2X3 = 24: x,xj + X,X3 + X2X3 = 8 E= - 1/2 -1 E = 1/2 40. Sí se cumple que: (2 + Í 3 f + { 2 - ■ÍZf = 727\ x # 0. Calcular: P = xf + x^ + x^ = -5{24)(8) = - 9 6 0 - / 3 f [ l + (2 + Í 3 j ] Resolución: 36. Siendo a, b y c las raices de la ecuación: x^ + x + 3 = O, determine el valor de: T = a^ + b^ + c^ Resolución: a" + J - = 727 a +11 - 729 a a + —r = 27: pero piden: Por productos notables se sabe que: a+ b+ c= O =» a^ + b^ + c^ = 3abc a ‘‘ T = 3 {-3 ) = - 9 37. Si: X,, X2 y X3 son las raices de la ecuación: 2x^ - 6x" + 8x - 5 = O, calcule el valor de; CVA: X > O Resolución: 2x' - 6x' + 8x - 5 = O X, es raíz de la ecuación ^ 2x? - 6xf + Bx, - 5 = O =í 2x,(x? - 3x, + 4) = 5 En forma similar para las raíces X2 y Xj, se tiene: Sumando las igualdades se tiene: 2(x, + X2+ Xj) E= 38. Determine el valorde"a", si se sabeque las raíces de la ecuación 4x‘‘ - 28x^ + (2a + 5) x^ - 14x - a = O satisfacen la relación: Resolución: - L , _ L ^ _ L ^ X^X. X iX , 7 + - f x + 7 - 'í x + 3 V 4 9 - x ( V 7 + /x + V7 - 7x ) = 2® => 14 + 6 V49 - X = 8 = V49 - X = -1 .'. X = 50 Indicar el valor de verdad de las afirmaciones I. Su conjunto solución es {0; 3/2} II- Su conjunto solución es {1/4; 3/2} III. Es indeterminada IV. Es incompatible Resolución: Efectuando en lo pedido: + Elevando al cubo miembro a miembro: 42. Respecto a la ecuación fraccionaria: 1 = 4 - IOx-23 2x - 3 2x^ 3x 2x" - 3x Pero: x, + Xj + Xj = 3 ^ 41. Calcule el valor de x que satisface la siguiente igualdad: V7 + 7x + V7 - Jx = 2 Resolución: E = 2(x, + X2 + X3)/5 X ,X , A Racionalizando: —r = ( 2 - ‘¡ 3 f a Reemplazando en ta condición Como a, b, c son raíces de: x® + x + 3 = O Por Cardano y Viete: a + b + c = 0 y abe = - 3 En lo pedido: T = 3abc Sea (2 + i 3 f = a^ 1 ^ _ L = 1^4 X2X3 X2X4 x ,x _ 5 3 - s 24 Ahora resolvemos la ecuación: x ^ 5 + x ^ 8x^~ 1 2 x - 10x 4- 23 2x" - 3x 2x" - 3x 2x" - 3x Pero de la ecuación: 4x^ - 28x^ + {2a + 5)x^ - 14x - a = O X,Xj + X,X^ + ... + XjX, = X1X2X3X4 = - â 4 2a + 5/4 53 2a + 5 En -a/4 24 ^ a Antes de resolver la ecuación se debe tener en cuenta que: x O a x 3/2 De donde: (2x - 3)^ = O => 53 24 .. a = 24 X = 3/2, lo cual no puede ser. La ecuación es incompatible FFFV 43. Si {x-; X2} es el conjunto solución de la ecuación en x: 3x' - 2(8 + 2)x + 3{a - 1) = O, a c E Para cuántos valores enteros de a se verifica que: X, + 3 a ■' Xj + 3 Resolución: Sea f(x) = 3x^ - 2(a + 2)x + 3(a - 1) / x, < a - 3 < x^ Graficando se observa: Reemplazando: X, = -4 ; X2 = -1 ; X3 = 2; X4 = 5 + X, X2 = -5 46. Si: ^14 + 6V5 es una raíz de: p(x) = I ax^ + cx + a - 6; a, c e Z, hallar el valor de: c - 2a Resolución: Vl4 + 6 ^ = Í14 + 2V9(5) = J(9+ 5) + 2V9(5) = V9+-/5 = 3 + V5 = 5 X, = 3 + V5 (pero en un polinomio de coeficien tes reales si x, = 3 + l5 , entonces tiene otra raíz que es la conjugada de x, =* X2= (3 - ■/S) Sea X3 la tercera raíz: x, + Xj + > (3 + T / 5 ) + X 3= - a /5 ) + (3 u’- - ( a - 1 = í X 3= - a -6 6) También: xix^x, = ----- -----Resolviendo: a ^ - 1 3 a + 3 6 - O a (a - 9)(a - 4) < O aem A 4<a<9 Como a e S: a = {5; 6; 7, 81 5 valores ( 3 + - / 5 ) ( 3 - 7 5 ) ( - a - 6) = - a + 6 6) = - a + 6 = • - 4 a - 2 4 = - a 4 (-a - =5 - 3 A d e m á s : x .x j + x ,x , + 44. Dada la ecuación cuadrática en x: ax^ + bx = c. a: b; c e IR Se afirma que son verdaderas las proposiciones: I. Las raices son una positiva y una negativa ac O If, Si. b^ - 4ac = O =» las raíces son iguales. Mí. Las raices son imaginarias conjugadas, si: b^ + 4ac •' O 4 + 4 (6 ) = c ^ N o s p id e n : c - c = 28 47. S i 4 y m s o n s o l u c i o n e s d e l a e c u a c i ó n : x '* - 2 0 x ^ + 3 0 n + 4 = O ( m > 0 ) , h a lla r e ! v a lo r d e m + n Resolución: D e: x" - Resolver: x'* - 2x^ + mx^ + 22x + n = O Sabiendo que sus raíces están en PA. hallar la suma de las dos menores raices. = c 2a = 28 - 2 (-1 0 ) = 48 S i 4 y m s o n s o lu c io n e s : lU. Para que las raíces sean imaginarias conjuga das debe cumplirse A ~b'^ + 4ac O I y II 6 / S ) + X 3) ( X , + X 2) = c -/5 ) (3 - De la ecuación: ax^ + bx - c = O II. Para que las raices sean iguales debe cumplir se a = b^ + 4ac ~ O 45. (3 + Resolución: I. x,x, = — <■ O » ac > O A A = b^ + 4ac > O + 0 = 3 a => a = - 1 0 C on X 20x' + 30n + 4 = O = 4 ^ (4 )" - 2 0 (4 )' + 3 0 n + 4 = 0 ^ C on: X = m " - 2 0 m ' + 3 0 (2 ) + 4 = 0 m " - 20m ^+ 64 = O n = 2 m -1 6 -4 m^ (m ^ - 1 6 )(m ^ - (m + 4 )(m - 4) = O 4 )(m + 2 )(m - 2) = O C S = { - 4 ; -2 : 2: 4 } Con m -■ Q ^ m = 2 ( p u e s la otra raíz e s 4 ) .-. N o s p i d e n : m + n = 2 + 2 = 4 Resolución; Sean: a - 3r; a - r; a 4 r; a + 3r X, X2 X j X4 S raíces = 2 (por Cardano), de donde: a = 1/2 También por Cardano se cumple: x,xjx, + X1X3X4 - XjX-iX^ + XiX^Xi = -22 Agrupando convenientemente y reemplazando xjx 3(x, + x^) + XiX^ÍXj + x-J = -22 (a' - i^)2a + (a^ - 9t^)2a = -2 2 2a^ - lOar' = -11, de donde: r = ±3/2 48. Si las raíces de la ecuación; (p - 5 )x " - (3 p - 2 3 )x ' + 9 = O, p ^ 5 e s tá n e n p r o g r e s ió n a r itm é tic a , h a lla r e l m a y o r v a lo r d e p . Resolución: S e a n la s r a í c e s d e la e c u a c ió n : a - 3 r; a - r; a + r; a + 3 r, p o r e s t a r e n P A E r a í c e s = O => a = O F o r m e m o s la e c u a c ió n e n f u n c ió n d e s u s r a í c e s x '* t ie n e : l O r ^ x ^ + 9 r ‘“ = O , i d e n t i f i c a n d o c o e f i c i e n t e s s e I d e n tific a n d o c o e fic ie n t e s : 3 p -2 3 = lo r p -5 .(«} u" + P" = p + 2 ^ J a " f P ^ = p + 2 (a P )" = 4 9 p - 5 = 9r‘ .(P) D iv id ie n d o 10 0 ( p p o r p te n e m o s : {3 p - 2 3 f = 52. + ]x ^ - x ' - p (x ) = De: 4x Si 0 + |x ^ - x " - 4 x + 4 | >0 O = 0 [x ^ - A C S , = {0 : - 2 : 2 } C S A |{ x 3= - 1 )( X x U x Í 53. que son e n te ra s 1l x - 1-6 = n e g a tiv a s : - 1 ; - 2 ; - 3 ; 8= I4 x + n e g a tiv a s ; - 1 , - 2 , - 4 , A l r e s o lv e r la e c u a c ió n e n E ; de la s 0; p o s i b l e s -6 2x = ''^ p r o p o s ic io n e s 6x -20 " - no es (s o n ) I. S u c o n ju n t o s o lu c ió n e s { - 3 : 5 ; - 1 } II. E s u n a e c u a c ió n in c o m p a tib le . 6e le m e n to s Resolución; r a íc e s e n te r a s P a r a r e s o lv e r e s ta g u ie n t e t e o r e m a ; 0 ; p o s ib le s r a í c e s e n te r a s S i- -8 E n t o n c e s la s r a í c e s c o m u n e s s o n ; — 1 , 2- ' ' / A e c u a c ió n e m p le a r e m o s e l s i + 2'> • ’7 b = • 'I a , A = O V B = O E n e l p r o b le m a . —2 (x - R e e m p la z a n d o e n la s e c u a c io n e s t e n e m o s ; 6; b = (/3 )" + ( - v ^ f ^ (2 )" = 10 III. S u c o n ju n t o s o lu c ió n p o s e e D e la s e c u a c io n e s : a = + x l v e rd a d e ra (s ): y Resolución: + 1 -2 n = 2m ) - ( - 'V x " - 2 x - 1 5 + ''- í x " - 4 x - 5 O O / com unes + ( - v '3 ) + X3 -7 3 N o s p id e n : n e g a tiv a s , c a lc u la r : ( a + b ) x^ + b x" ^ C u á l( e s ) ra íc e s x ^ + a x ^ -H 2 x, = bx" + 14x 2 = -n P r o d u c t o d e r a i c e s = X iX j X ^ = II: -2 : 2 } 50. S i l a s s i g u i e n t e s e c u a c i o n e s e n x : 6 == ( c o n ju g a d o ) => K.-¿ --- - Í Z m = -3 - 2 ) ( x i - 2 )1 = o 2 n .” d e e le m e n to s : -Í3 X3 = - n x" - 4 x + 4| = O a X. = I p r o d u c t o s b i n a r i o s = x . X j + X i X , + X 2X 3 = m / l C S = {-2 : 2} + ax^ + 11x + 2m + nx" - m x - I ra íc e s = >0 V ( x |( x + 2 ) ( x - 2 ) = O t ie n e n e ® ) , h a lla r la (n , m X 3= ? ( r a c io n a l) L a ú n ic a p o s ib ilid a d q u e 2 p o s it iv o s s u m e n O x^ 2m ; m x - C o m o p { x ) t ie n e c o e fic ie n t e r a c io n a le s . 'a > O IR -- ia l - 4x e s u n a r a í z d e l p o lin o m io : R esolución: R e c o rd a r: Si a > O ^ p = -2 s u m a d e lo s c u a d r a d o s d e t o d a s s u s r a í c e s . 4 x -t- 4 [ = O Resolución: Si a S i /3 v pq = -4 p (x ) = x^ + n x " 49. H a l l a r e l n ú m e r o d e e l e m e n t o s d e i c o n j u n t o s o l u c ió n d e : - / x ^ - 4 x 6 =• p q = - 5) R e s o lv ie n d o s e o b tie n e q u e e l m a y o r v a lo r d e p e s 2 1 . 4 s o lo c u m p le p a r a q = 2 [ q ^ =: R e s o lv ie n d o s i q = 2 ; p = 3 5 )(x + 3 ) ' V (X - = 7 => a + b = 1 3 5 )(x + O 2) = V O (X - , n e IN V B A + B = O V - C S 5 ) ( x -!- 1 ) = O = 15; -3 : -1 , - 2 } .-. T o d a s s o n f a l s a s 51. S i d o s r a í c e s d e l a e c u a c i ó n e n x ; x" - (p 2 )x ‘ + 4 = 0 s e o b tie n e n d e la e c u a c ió n : x" + px + q = 0 / p, q c E A p / O C a lc u la r ; p q 54. S í la s ig u ie n t e e c u a c ió n r e c í p r o c a ; ax‘ - 35x^ + 62x" + bx + r a í c e s d e la f o r m a ; ( m - 3 ), O, a O , a d m it e 2 1 , d e te r m in a r e l :m-3) m a y o r v a lo r d e m . Resolución; Resolución: S e a n a ; p ra íc e s d e : S i la e c u a c ió n r s r e c í p r o c a : x’ + px + q = o ) " + P = - ' ' 6= ax“ - 35x’ + 62x^ + bx + 6 = O ^ ■; T T 6x" - 35x^ + 62x" - 35x + 6 = O E n to n c e s a ; p ; - a . - p ; s e r á n r a ic e s d e : F a c to r iz a n d o p o r a s p a d o b le e s p e c ia l; x '^ - ( p + 2 ) x ^ + 4 = 0 ; f o r m e m o s l a e c u a c i ó n p e r o e n fu n c ió n d e s u s r a fe e s p a r a id e n t if ic a r c o e fic ie n (3 x - 1 )(x - 3 )(2 x - l) ( x r a íc e s s o n ; 1 /3 ; 3 ; 1 /2 ; 2 te s x " - m -3 = 3 (a " + p ^ )x ^ + (a p )^ = O .-. m = 2 ) = O , d e d o n d e la s 6 mayor valor 55. Si X , = 2 - 73 . X ; = - 2 son raíces de la ecuación: x^ + ax' + bx + c = O determinar; (a + b - 2/3); si = 3 a c >0 Resolución; x '' - 6x' - 6x® + 12x^ - 36x' ^ 1 = 0 presenta una raiz de !a forma; VVa + W , a; b G Z’ , se puede afirmar: I. La ecuación es incompatible II. a + b = 5 III. La ecuación es compatible determinada. Del dato; c = 4 /3 - 6 ^ 0 Por Cardano: X1X2X3 = - c Como: Xi = 2 - /3 : X2 = -2 ; x, = </3 También: X, + X2 H- Xj - - a = O =■ a = O X1X2 + X,X3 + X2X3 = b -4 + 2 V3 + 2 V3 - 3 - 2 V3 = b = b = - 7 + 2/3 a + b - 2 V3 = - 7 56. Si A es el conjunto solución de la ecuación 2x^ + 2x - 3 Vx" + X + 3 = 3, hallar la suma de los elementos de A. Resolución: 2x' + 2x - 3 / x ‘ + X + 3 = 3 « 2x^ + 2 x - 3 - 3 /x ^ + x + 3 = O « 2 (x ' + x + 3 ) - 9 - 3 /x ^ + x + 3 = O 58. Sabiendo que la ecuación: -(1) Como: x ' + x + 3 > 0 , v x e E Resolución; Reconstruyamos la ecuación con coeficientes en teros a partir de su raíz X = f/a +Vb (al cuadrado y ordenando) x' - Va = W , (al cubo: x® + 3xâ - b = Va (a + 3x') Al cuadrado: x’' - 3ax® - 2bx® + 3 a V - 6abx' + b^ - a^ = O Comparando coeficientes: 3a = 6 A 2b = 6 => a = 2; b = 3 .-. F W 59. Si A es el discriminante de la ecuación bx' + ax + c = O, b O tal que A > O, hallar la diferencia entre las raíces mayor y menor de esta ecuación. Haciendo: / x ^ + x + 3 = t; t > O Resolución: Luego en (1): 2t^ - 3t - 9 = O 2t \ ^ 3 (2t + 3){t - 3) = 0; t > O -3 ^•=^t-3 = 0 « t = 3 f x Sea: bx^ + ax + c = O =• a' - 4bc > O D = x, - X2 =» D^ = (x, + - 4x,X2 (2t + 3)(t - 3) = 0; t > O t —3 = 0 e» t = 3 JE Ib| Es decir; Vx' + x + 3 = 3 = ^ x ' + x - 6 = 0 ( X + 3)(x - 2) = O « x= -3 V x= 2 CS = { - 3 ; 2} La suma es: - 3 + 2 = -1 57. Dada la ecuación 2x^ + mx + 30 = O y x,, x^, sus raíces. ¿Para qué valores de m se cumple la rela ción ^ ^ . 1 ? X2 D' = a^ - 4bc b 5 Resolución: Como X , y X j son raíces de 2x' + mx + 30 = O 60. El valor de x en la ecuación; x-a'b' X - b^c' ■,f" x --c ^ a ô = a^ + b^ + c^ a^ + b" b"+c' Resolución; Agrupando convenientemente se tiene 'x-a'b' - c ' 3“^+ b“" / 'X - b'c ' b*^+ c Efectuando se tiene /x-a^b'-a'c'-b'c^\ a' +b^ Xi + X2 = -m /2 x,x 2 = 15 Observe que: x, - a ‘ l + ' x-câ - b 'U o c^ + a^ ■x-b'c'-a'b^-aV x-c'a '-b ^c^-b 'a ' Factorizando se tiene O v ( x - a 'b '- a V - b V ) Por dato: a^+b" — = 1 = X, = 3k: Xj = 5k Luego: 8k = - m /2 =» m = -16 k 15k" = 15 =^ k = 1 V k = -1 De donde; m = -1 6 V m = 16 = O |m| = 16 c‘ + a" ,= O d ife re n te d e c e ro u .2 ^2 Luego se tiene x = a b +, â2c^2 +, b“^c 2u2 61. En una pista circular de 240 m de longitud, dos ji netes A y B partieron desde un mismo punto en direcciones opuestas. Se encontraron por vez pri mera 17 segundos después de la partida de A; 20 segundos más tarde se encontraron por segunda vez. Sabiendo que B partió 6 segundos antes que A, hallar la velocidad de A en m/s. .(1) Reemplazando; Resolución: y ^ + 1 0 + 4y + ^ Como el primer encuentro ocurre 17 segundos después que partió A, luego vuelven a encontrarse a ios 20 segundos después {3 segundos más), se deduce que el espacio recorrido por B en 6 segun dos: entonces: V, - + 25 + 6y = 11/3 y "+ 12y + 36 , y "+ 18y + 81 3--------- + ^¡-------- 3-------- - 11V3 ^ (y T e f + /(y T W Vr = 33 ly + 6 1 + ly + 91 = 3 3 240 m = 12 m/s 20 s Vd = 6 m/s Como: y : - 0 , y + 6 + y + 9 = 3 3 : = y = 9 62. La ecuación x“* - 12x - 5 = O, posee 2 raíces cuya suma es 2. Determine la suma de las inversas de las otras 2 raíces. En (1): 65. X = yN 6 36 + 7 + / x - 5 = / 2 x f 18 , halle el valor de: /x Sean a; b; c; d las raíces de: x'’ - 12x - 5 = O |2 x , Por dato: a + b = 2 Resolución: Nos piden: 1 + 4 = = ? c d cd Por Cardano y Viete: a + b-!-c + d = 0 c + d = -2 ab + ac + ad + be + bd + cd = O ab - 2(a + b) + cd = O De la ecuación: De aquí: -a b + cd = 6 ...(2) 66. = - 0,4 18 - P ^ - x 5 2 / xT ^ 5 ...(1) Eliminando denominadores: 10y^ - 50 + 25y = 12y^ => 2y^ - 25y + 50 = O (2y-5){y-10) = 0 y = 5/2; y = 10 Para y = 5/2 en (1 ): x = 25/4 - 5 =5/4 Para y = 10 en (1); x = 100 - 5 = 95 - ■' 1 1 1 Observamos que: — + — + — = 3 X3 Por propiedad, la ecuación de raíces es: cx^ - 6x^ + bx + a = O ^ Resolver la ecuación: Sustituyendo en la ecuación original; y^ - 5 5 _ 6 f 2y 5 P(x) = ax^ + bx'^ - 6x + c CS = 67. c= 2 95 Hallar el valor de m, para que la ecuación 2mx - 3 3mx - 2 - 2m + 3 se reduzca a una x -1 x+1 ecuación de pnmer grado en x. 64. Resolver la ecuación: Resolución: + 10 ^ 4 7 3 F ^ + k + 25 + 6V3x - 6 = 1 1 / 3 R e s o lu c ió n : y { ■ I 2 x + l 8 f Haciendo; /x + 5 = y X + 5 = y^ x -y '-5 Resolución: Haciendo; J2x —6 = = 2 i(x + 7 ) ( x - 5 ) + (x - 5) = 2x Resolución: 63, Si el polinomio: P(x)= ax’ + bx^ - 6x -t- c; a O n’° + i d' % 1 admite como raíces: x, = p+ 1 P - P Xj - 1 donde p í - 1 ; 1; O}. Halle: c Por Cardano: + Nos piden; (1) + (2); cd - 5 X2 + 7) 2x - 35 = 64 ...(1) X, - x^/9| {■ íx T T (X De aquí: ab + cd = 4 abe -H abd + acd + bcd = 12 a b( - 2) + cd(2) = 12 Dato-x - P ^ ' x X = 29 Si Xqes !a solución de ia ecuación : Resolución: En lo pedido: 1 + 1 = ^ e d 5 9^ + 6 ^ 3x — 6 = y^; y ' O Se pide m, luego: 5mx^ - mx - 5x - 1 = (2m + 3)(x^ - 1) 5mx^ - {m + 5)x - 1 = (2m + 3)x'' - 2m - 3 (3m - 3)x‘ - (m + 5)x = -2 m - 2 /6x^+ 1 = x^ + 1 ^ 6x^ + 1 = x" + 2x' + 1 x" - 4x^ = O x"(x' - 4) = O Por dalo la ecuación es de primer grado: 3m - 3 = O m= 1 x^(x -I- 2)(x - 2) = O las soluciones de la ecuación de b, c e IR - { 0 } + bx + c = O, don Resolución: De la ecuación: x^ De raíces: x^xj (X, -I X jf - 2x,x, ^^2 E == -L f J - = Xi Xj (-b f-2 c , E = -------:-------= b e ‘ 69. Resolver la ecuación 2c ' E = c ’( b V - 2) 277 6 - /x e -J x 2 ix 5 Resolución: Haciendo un cambio de variables 27x _ 6 --ÍX _ 1 = y: 2 /x y 6--/7 5y + 2 = 0 2 /7 = 2 = /x = 6 -ix 6 -/7 Para: y Aplicando aspa doble especial: 7x' - 2x^ - 10x^ - 2x + 7 = O 7x^ ^ x^ - 2 x - t - 1 E = (1 + • y = 2; y = 1/2 : ' 2 (2) en (1); a = 8 - a + 6 ^ a = 7 ; b = 1 Reemplazando en la ecuación normal; 7x“ - 2x^ - 10x^ - 2x + 7 = O (7x^ + 12x + 7)(x^- 2x + 1) = O • 7x' + 12x + 7 = 0 A = (+12)'-4(7)(7)<0 => raices complejas En la ecuación original: 2yM y + l == I| - 2 / + 2 = 5y x = 6 => X — 1 f = O => X, = X 2 = -1-1 E= 2 x lT ^ a + b x -y a -b reales de; ^2x + / 6x^ -i- 1 = x + 1 Resolución: Elevando al cuadrado y aplicando proporciones la primera ecuación: X + y _ (a -f b f ^ X _ +b^ ...(a) x -y (a-bf y 2ab Además: xy = ab(a^ + b^) / 6x^ + 1 = x + 1 ,..(p) Multiplicando (a) a (P) miembro a miembro: Restricción: i. 6x^ + 1 > O (+) > O (no hay restricción para x) 2x + / e ? T l > O / 6x f 1 > - 2x » 6x" 2x^ 1 > 0 hallar el valor de; / 2 (x - y) Resolución: 3 6 /2 5 70. Hallar la suma de los cuadrados de las soluciones / 2x 0 ; (X - xy = ab(a^ + b^) 47x = 6 - 7x 5 i x = 72. Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones; ^ 2 /x = 6 -x = 9 = 2^ = 4 Si es una ecuación recíproca: a -b + 6 ..,(1) b- 3= 5- a b= 8-a ...(2) X1X2 Reemplazando: y x^ = 2 Resolución: Nos piden: ^ X3 = -2 ; Pero como x > -1 =» x e (0; 2} 71. Si x,, X2 son las soluciones reales de la ecuación reciproca simétrica; ax" + (b - 3)x^ - 10x^ + (5 - a)x + (b + 6) = O Hallar: E = (x, -f bx + c = O x, + X2 = - b =» x,xj = c Por Cardano: X2 = 0; => X, = 0; 68. Halle la suma de los cuadrados de las inversas de 1 >4x" (4 ) (no hay restricción para x) x + 1 > 0 =»x> - 1 Operamos: 2x + / 6x^ + 1 = x^ -t-2x + 1 /2 Oe (p); y = /2ab Luego: 72(x - y) - 72| — /2 - 72 ab] = (a - b f (X - y) - (a - b f 73. Resolver la ecuación: x -f/3 X - / 3 7x + /x T 7 ^ /x - V x - /3 = 77 Resolución: 2b^ + 3b + 1 = O 2b- . ^ + 1 Racionalizando tiene: (x + / 3 ) ( / x - - / x T T f ) {x-/3)(/x + / x - / 3 ) X - X - / 3 X - X + /3 = /7 (b + 1)(2b + 1) = 0 .-. CS = í - 1 ; 1/2} Efectuando: - 'íx + Í f ) + íx - /S)!/]? + ) x - í f ) = /3x -(x + 76. - x / x - /3x + ( /x T T f f V x/x - /3x +(x - /3f'^ = /3x Hallar la suma de las soluciones positivas de la ecuación: x“* + x^ - lOx^ + x + 1 = O Resolución: Por aspa doble especial: x“ + x-' - lOx" + X + 1 = O x^ x' Reduciendo: (x + / 3 r + ( x - / 3 r ^ 3 / 3 Í Elevando al cuadrado (x + / 3 f + 2{x^ - s r + ( X - /3 f = 9(3x) x^ + 3x^/3 + 9x + 3/3 + 2(x' - 3)"'^+ x' - 3x^/3 + + 9x + 3/3 = 27x x^ + 9x + 2(x^ - 3 f " + x^ + 9x = 27x Tengo: x^ + x^ = 2x^ Quiero: -lOx^ Me falta; -I2 x ^ ^ (-3x)(4x) ^ (x" - 3x + 1)(x" + 4x + 1) = O Reduciendo: 2(x^ - 3)^'^ = 9x - 2x^ Elevando al cuadrado; 4(x^ - 3)^ = (9x - 2x^)" 4x® - 3 6 x ' 4- 1 0 8 x ^ - 27x^ = 108 = Como: x + / 3 > 0 : x > - / 3 CS = {2} .,.(2) >0 - 4 + /Í2 < 0; x .= ^ l ^ < : o 2 ' 2 Suma soluciones positivos; x, + X2 = 3 Resolución; Se cumple: {a + b)' + (a - b)' = 20 2(a' + b') = 20 ^ a" + b" = 10 ...(1) positivos „ _ 3-/5 2 74. Si (a + b) y (a - b) son soluciones de la ecuación x'* - 20x^ + 64 = O, donde > b^ hadar el valor de: 3a^ - 2b^ En la bicuadrática: x" - 20x^ + 64 = O 77. Resolver la ecuación; raíces reales Resolución: Piden: E = 3a^ - 2b^ = E = 3(9)-2(1) 2y"’ + 8 - 20 Resolución: Si las raíces de la ecuación son iguales, se deben cumplir: A = O A = (3a - 1)^ - 4(2a)(a + b) = O 9a^ - 6a + 1 - 8a^ - 8ab = O - (6 + 8b)a + 1 = 0 Como es una ecuación cuadrática en a debe existir un solo valor "a"; Si: A = (6 + 8b)' - 4(1)(1) = O 36 + 96b + 64b^ - 4 = 0 ^ 64b^ + 96b + 32 = O -.(1) Reemplazando en ia ecuación; 2 | l ^ ) - 5 +y .3 75. En la ecuación: P(x) = 2ax^ + (3a - 1)x + (a + b) = O, calcular b, para que exista un solo valor de "a" que permita que las raíces de P(x) = O sean iguales. - T + ^V4x - 4 = 3. para Haciendo: ^V4x - 4 = y y +4 4 x - 4 = y^=»x = De(1)y (2); a^ = 9; b' = 1 E = 25 _ -4 ± /l6 ^ V _ 3±/5 X, - — 2 ~ > O = x= 2 Con soluciones: x, = (a + b), x^ = (a - b) ^ Luego: 3 6 x " + 4x® = 4 (a + D)'(a - b)' = 64 ^ a^ = 8 3 ± ;9 ^ _ 108 = 81x^ - b = -1 ; b = 1/2 +y= 3 / 2 y ^ - 12 + 2y = 6 /2 y ^ - 12 = 6- 2y - 1 2>0, y > V6 6-2y>0, -2 y> -6 =» Ve < y < 3 V y< - W v y <3 Elevando al cuadrado: 2y^ - 12 = 36 - 2 4 y + 4y^ 2 f - 4 / + 24y - 48 = O => y' - 2 / + 12y - 24 = O / ( y - 2) + 12(y - 2) - O ^ (y - 2){y' + 12) - O y^ + 12 = O raíces complejas y - 2 = 0; y = 2 En(l):x= ^ 8+4 CS = { 3 } 78. S i la e c u a c ió n e n x , ^(a-1) + a b = ^ - ^ x - a + 3 _ ^ x - b - 1 _ x - a + 2 x - a - f 2 x - b - 2 x - a + 1 , x - b x - b - 1 t ie n e in fin it a s s o lu c io n e s , h a lla r e l v a lo r d e : a - b(a - 1) + k^ ab = k^b - bk b Simplificando: a - 1 + k’ a = k^ - k a{k' + 1) = (k' - k + 1) a(k + 1)(k" - k + 1) = (k^ - k + 1) Resolución: Sea; x - a + 2 = m ; x - b - 1 = n R e e m p la z a n d o : n m m + 1 m n - 1 m - 1 n + 1 n a (k + m + 1 m n n -1 E n (1 ): x = m m - 1 n + 1 n 1 ) = 1 =» k ba ■1 - m^ - 1 - m^ - 1 - n^ m (m -1 > m {m m^ - n ( n - 1) 1) = n (n = m - 1 ) =» m ^ - m = n^ - m ^ - n ^ = 0 A dem ás: X ? + x ? + X , + X ¿ + X 2 + X 2+ X j + X 3+ X 3 = 1 m - n A = 0 H a lle m . m = n A Resolución: Luego: m = n P e ro : x - a 79. S i : x , . X j , X 3s o n r a i c e s d e l a e c u a c i ó n : 2x= + (m ' - 4 )x - 1 = O 80. n n C o m o la e c u a c ió n t ie n e in f i n it a s s o lu c io n e s : m = +n (1 - a ) a + 2 = x - b - 1 a - b = 3 2 x ’ + {m ' - 4 )x - 1 = O P o r e l te o re m a d e C a rd a n o : R e s o lv e r la e c u a c ió n : a { x + b ) = x + Xi + X2 + Xj = 0: X 1 X2 + Xi Xj + X5 X3 = m^ - 4; Resolución: E fe c tu a n d o : ____ ax + ba = X + ax + ab - X1X2X3 = 7J => Xl + X2+ X3 = ____ ^ -fx b ^ - P o r d a to : x = X j + X3 = 1 X? + X? -r X^ + X? + X? + X? -(1) H acem os: x = -r .2 ^ 2 (m ^ - 4 ) = ._ 17 , /TT PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI PROBLEMA 1 < tM 2 0 1 1 - I) PROBLEMA 2 (UNI 2 0 1 1 - I) Si las ecuaciones 2 / x + - = = 5 y a x ^ + bx + 8 = 0 /x tienen las mismas raíces, hallar: a + b S e ñ a le e l m e n o r v a lo r p a r a x q u e d e s o lu c ió n a l s is t e m a A ) -34 B)-32 D)-26 0 2(/x /x - ' 4x ' + y' = - 2 5 ^ I X I -30 |2 x - E)24 Resolución: 2x + s ig u ie n t e : A )-4 = 5 ^ 2 ( / x f - 5{/x ) + 2 = 0 1) (/x - 2) = O= X = -1 V x B )-3 0 - 2 D )-1 E )0 Resolución: = 4x" 4 f = -2 5 -, C a s o I: X > O Luego: | x - l j ( x - 4) = O 3| + y = 10 C a s o II: X < O O bien; 8x^ - 34x + 8 = 0 4x^ + 2x - 4 x' + y' = 25 Comparando: a = 8; b = -3 4 a + b = -2 6 -2 5 P e n a : 4 x ^ + (2 x + 3 < -3 4 x' + y" = 25 -2 x + 3 + y = 10 Clave: D = ( n o t i e n e s o l u c i ó n e n IR ) 4x^ - 17x + 4 = 0 y = 2x + 7 7 f = 25 ...(a ) Resolución: Resolviendo: x, = -2 ; C S = |(x ;y ;z )/ x -2 y -3 ^ U { 4 t + 2 ;2 t + 3 ;3 t + 1} Menor valor: - 2 Clave; C En los siguientes sistemas cada ecuación representa un plano: En la ecuación lineal: ax + by + cz = 15 (plano) Se tiene: Pq= (3; -2 ; 5) pertenece al plano. También; Si: t = O =» P, ={2: 3; 1); t = -1 => P2(-2 : 1; -2 ) I. Reemplazando Pq: P,: Pj en el plano: PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 2 - II) II. X - 3y + z = 1 -2 x + 6y - 2z = - 2 - X + 3y - z = - 1 3a - 2b + 5c = 15 =» • 2a + 3b + c = 15 ,-2 a + b - 2c = 15 X - 3y + 4z = 2 -4 x + y + z = 3 -3 x - 2y + 5z = 5 Se obtiene: a = -2 3 ; b = 13; c = 22 .-. -2 3 x + 13y + 22z = 15 C lave:C Denotando por R Q y R los correspondientes planos, la interpretación geométrica de la solución de los siste mas 1y 11 es dada respectivamente por: PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 - II) Encuentre el conjunto solución de x^ - 257x" + 256 = O A) {±2;±2i; ±4i; ±4} C) {±4; ±2i; +2; ±1} E) {±3; ±3i; ±4; ±41} B) 2 interpreta ambos sistemas C)1y3 D) 2y 3 E) 3 interpreta ambos sistemas Resolución: De:(l) x-3y + z = 1 -2 x + 6y - 2z = - 2 ^ A, = O - X + 3y - z = -1 8) {±4; ±4i; ±1; ±i} D) {±1; ±i; ±3; ±3i} Resoluciónt x® - 257x' + 256 = O Factorizando: ( x^- 256)(x" - 1) = O (x'+16)(x‘ -16)(x'-1)(x"+1) = O CS = {±4i; ±4; ±i; +1} Clave: B El sistema presenta tres ecuaciones equivalentes de donde se interpreta que su gráfica está representada por un mismo plano (2) De (II): la ecuación x - 3 y + 4z = 2 -4 x + y + z = 3 => As = 0 -3 x - 2y+ 5z = 5 PROBLEMA 6 (UNI 2 0 1 3 - II) La siguiente figura da la idea de tres planos intercep tándose según la recta L, ¿cuát(es) de los sistemas de ecuaciones dados representa a la figura dada? El sistema presenta infinitas soluciones para diferentes planos representado por (1 ). Clave; A PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 3 - 1) El conjunto solución de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x, y z es: ,x-2 y-3 z-1 x;y;z)/Si el punto (3; -2 : 5) pertenece al plano cuya ecuación lineal es una de las ecuaciones del sistema, y tiene la forma ax + by + cz = 15. Determine dicha ecuación. A) 23x + y - 11z = 15 B) -2 3 x - y + 22z = 11 C) - 2 3 x + 13y+ 22z = 15 D) 23x - 22y - z = -11 E) -23x + 22y + 11z = 10 2x + 3y - z = 1 - X + 5y -H 2z = 4 X + 8y + z = 5 X - y + 3z = - 2 -2 x + 2y - 6z = - 4 - X + y - 3z = 2 2x - y + z = 3 - X + 3y - z = 1 X - 2y + 2z = 2 A) Solo I D)l, II y B) 1y III E) Solo C) Solo Resolución: a En la figura observamos que la intersección de 3 planos diferentes es una recta, lo cual lo interpretamos como qué la solución de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene infinitas soluciones. Por lo tanto: -1 -1 = 3a + li - 1 3 Por dato; K = a + 3p + 1=3a + p - 1 = a ^ + a - I. Tiene infinitas soluciones y los planos son diferen tes (V) II. Tiene infinitas soluciones pero dos ecuaciones se grafican como un mismo plano (F) III. Tiene solución única (F) D . . _ D , ^ D, K 3a + p - 1 K K K . X = - 1; y = 1 Clave: D Solo I Clave: A PROBLEMA 7 (UNI 2 0 1 4 - 1) Al resolver el sistema, íx [y 1 + 1 + 1 = — ^___ X a b x+a+b „(1) -(2) X - y = 12 Se puede obtener soluciones enteras para x y para y; luego y es igual a: A) 16 C )4 B)8 PRO BUM A 9 (UNI 2 0 1 4 - II) Considere a > b > O, determine el cociente entre la menor y mayor de ías raices de la ecuación en x. D)2 E)1 Resolución: A) a/b D)a + b B)b/a E)1 C) ab Resolución; Efectuando: 1 l+ l+ ¿ = x a b x+ a+ b 1 = -1 1 + 1] x+a+b la b / De(1): x^ + y^ = 3 4 ^ (3) De (2); (x-yf= 12" + y^ - 2xy = 144 x+a+ b- x x(x + a + b) (4) ab = -x(x + a + b) > x^ + (a + b)x + ab = O (x + a)(x + b) = O = X = ~a A X = - b Reemplazando (3) en (4); 3 4 /x y -2 x y = 144 == /xy" - 17/3^ + 72 = O Se tiene: ^ min(x) = -a ; máx(x) = - b Clave: A - y = 12 xy = 81 no hay soluciones enteras X A PROBLEMA 1 0 (UNI 2 0 1 5 - 1) Determine el conjunto solución del sistema de ecuacio nes no lineales: y= 4 y=4 Clave; C PROBLEMA 8 (UNI 2 0 1 4 • II) Halle los valores de x e y, respectivamente, tales que: ax + py = -1 ( p - 1 ) x + (a + 1 ) y = 3 Además se cumple que: a + 3p + 1 = 3 a + p - 1 = a " + a - p ' + p í ¿ 0 A)Oy 1 D)-1y1 B) 1 yO E)1y1 Resolución; Por Cramer; P p - 1 a + 1 -1 /a+ t ab Entonces: /xy-8 xy = 64 X - y = 12 =»x=16 xy = 64 D. = a+ b x(x + a + b) Por dalo: a>b>0; -a < -b < 0 - 9 ) 0 ^ - 8) = O /xy = 9 xy = 81 /a + b ab P 3 a + 1 = +a - = - a - 1 - 3p C) 1 y -1 + / - 2x - 2y + 1 = O x^ - 2x - y + 1 = O A) C) E) {(3,1), (1,1), ( - 1 ,-1 ) } {( -rO ), (1,1), (1,2)} {(1.-1), (1,0), (2 ,-1 )} ,,,(1) ...{2) B) {(2,-2), (2,1), (1,1)} D){(1,0). (0,1), (2,1)} Resolución: De (2); ( x - 1)^ = y En (1): (x - 1)" + y' - 2 y = O y + / - 2y = O ^ y^ - y = O y= O V y= 1 (x - 1 )^ = O (x - 1)^ = 1 x= 1 X- 1 = 1 X - 1 = -1 X = 2 X = O CS = {(1;0); (2:1); (0;1)} Clave; D PROBLEMAS 1. Determinar la solución de la ecuación: x+a a -b B) 2b C) 3a D) 3b E) 4a Calcular el denominador de la raiz en: A) a D)cc D) 3. B)b E) a + b + c C)abc Hallar el producto de las raíces de la ecuación: Vx + 3 - Vx - Resolver: A) 4,5 D)2,75 5. Resolver: ax b a+ b a- b A) a D) 8)2,24 E) 3,45 3 = _ 1 + - ii_ a+b B )b + ab - b B) 47 E) 63 8)18 E )144 A)IR D )(-o o ;1 ) Si en el sistema de ecuaciones: ax + y + z = 1 K+ ay + z = a B) a e IR - { - 1 } D ) a e E - {- 1 ,1 } B ) ( - oo;0 ) E)(-oo]M 2) 0 (-^ -1 ) 14. Al resolver el sistema lineal; (m^ - 1 ) x + {m + 1)^ y = m - 1 (m + 1)x + (m - 1)y = m + 1 De los siguientes enunciados; I. As + Ax + Ay = -2m(3m + 5) II. Si m = O el sistema es incompatible. III. Si m= -1 el sistema es indeterminado. Indicar cuál(es) es (son) correcta(s). A) Solo 1 D)lylll 15. 0 36 017 13. Determinar los valores de "a" para que el sistema lineal tenga soluciones positivas, X + ay = 1 X - y = 2 Dado el sistema de ecuaciones: A) 9 D ) 72 03 8 )1 6 E) 25 A) a € 5R O a e m - {1} E) a e E" C) 53 1 +1 +1 ^ ^ x y z 36 xy + yz + zx = 2 hallar el valor el producto xyz. 8 )2 E)5 12. Determinar los valores de "a" de manera que el sis tema tenga solución: X + ay = 1 _2 ax + y _= a O 369 Dado el sistema de ecuaciones; 5x - 2y = m x + 9y = m hallar el valor de m para que x exceda en 7 a y. A) 40 D) 55 A) 15 D )20 E) a/b 8)243 E) 633 a+2 11. Luego de resolver el sistema: x+y= y+ z+ 4= z+ x-8= 6 determinar (x - y + z). C) a + b Hallar la solución de la ecuación: 1 1 1 - 1 - 1 - 1 -1 = O, 3 3 3 3 t3 X - 1 A) 63 D) 338 A)1 D)4 O 1.65 ax a -b C) 10. En ef sistema de ecuaciones: nx - 6y = 5n - 3 2x + (n - 7)y = 29 - 7n determinar el valor de n para que el sistema sea imposible. 2 = 5 A) O 8 )2 4 0 - 3 6 D) No tiene raíces E) x = 6 es su única raíz 4. x + y + az = a a ^ 1; a ^ - 2 , hallar el valor de y. 1 a +1 B) a + 2 A )a+2 1 a^+ 1 E) 0) a+2 a+ 2 x - a _ X + b ^ 2(x - b) a+ b a+b (a-b) A) 2a 2. PROPUESTOS 8) Solo II E) II y III O Solo III Dado el sistema lineal: ax - y = 2 - a 2x - (a + 1)y = 2, a e IR y dados los siguientes enunciados: I. SI a = 1 el sistema es indeterminado. II. SI a = - 2 el sistema es incompatible. Ili. Si a ^ O el sistema es compatible. Señalar cuál(es) es (son) correcta(s) A) Solo I D)lylll C)Solo II B)lytl E) 1,11 y 16. El siguiente sistema de ecuaciones lineales: (m + 1)x - 3y = 2m 4x - my = m + 3 es indeterminado para m = k,, e incompatible para m = kj. Determinar el valor de: J = 2k, + Skj A) - 6 D)4 B) - 8 E)2 C) -1 0 B) í - | ; 3 C) {-1 /2 : 3} E) {-7 /2 ; 3} X 1 + a + b + 2c 1 b+c 1 a+c B)2c-a^ E) a - b + c C) a + c determinar qué valor debe tomar k para que el sis tema tenga solución única B)k = 5 E)k = 0 C)k€E 3x + 5y = 1 (m - 1)x + (n - 2)y = 4 tiene infinitas soluciones. 21. B) 30 E) 15 A) -1 6 D) 16 22. C) 25 B) - 8 E) 18 Resolver el sistema: X + y = 16 X + z = 22 y + z = 28 calcular E = z - x - y B) 2a/3 E)7a/13 C) a/3 "y" en el sistema: (a + b )x -I-(a - b) = 2ab (a + c)x + (a - c)y = 2ac B) a + 3 E)1/a C) - a 26. Un grupo de personas decide aportar cantidades iguales a un candidato presidencial para su cam paña electoral. Si hubieran 10 personas más, cada uno pagaría $2 menos. Sin embargo, si el número fuera 5 menos, cada una pagaría $2 más. ¿Cuál fue el aporte del grupo de personas al candidato presidencial? A) $100 D)$130 B)$110 E)$140 C)$120 A) $3.7 D) $8.9 B) $6.3 E) $2.4 C) $2.6 28. Una persona coloca sus ahorros en dos inversio nes. La tasa de interés para la inversión A es 10% y para la inversión B es 12%. El ingreso anual de las dos inversiones es $3760. Si la inversión A fue ra al 12% y la B al 10%, su ingreso anual seria de $3720. ¿Cuál es el total de sus ahorros? Dado el sistema: (n - 4)x + ny = 1 nx + (n -H4)y = 1 si Xq, yg es solución, hallar: A) 3a/2 D)a/2 27. Se tiene que 3 Ib de té y 8 Ib de café cuestan en conjunto $39.70. Si 5 Ib de té y 6 Ib de café cuestan también en conjunto $47.10. ¿Cuál es la diferencia de los precios por libra de té y de café? 20. Hallar (m + n), si el sistema: A) 35 D)20 B) m # 16; n ^ 19 D) m 16; n= 19 A)m = 16; n = 19 C) m = 1 6 ; n ^ 1 9 E) Ninguno A) 2a/3 D)a 19. En el sistema: (k + 1)x - y = k X + ky = k + 1 A )k = 2 D) x g I R - { 2;5} 23. Si el sistema: (n - 5)x + 21y = 105 2x + 3y = m -1 es incompatible, señalar lo correcto. 25. Hallar indicar una de las raices. A) 2a - c D) - b - c C)5 y + 3x = a X - 3z = -2 a 3y + z = - a 4x" - 3x + 5 = 2 x^-2x+13 18. Al resolver: B) 1 E)9 24. Hallar x en el sistema: 17. Hallar el conjunto solución de la ecuación: D) {-5 /2 ; 4) A) 3 D)7 Xo-yo C) 8 A) $36 000 D) $32 000 B) $34 000 E) $40 000 C) $38 000 29. Un químico tiene una solución de ácido al 50%. Al añadir agua, la solución se diluye a una de 40% de ácido. Al añadir 500 cm^ más de agua, la solución contiene únicamente 35% de ácido. Determinar el número de centímetros cúbicos de solución al 35% que obtuvo al final. A) 3800 cm' B) 3600 cm' E) 3900 cm’ D) 4000 cm’ 30. Hallar Z: 1 X+ y + 2 — A) 2/3 D) 1/2 C) 4200 cm’ B)3/2 E)3 D) m' + - V - 2 E) m' - -ly +2 m m 39. Hallar el conjunto solución de la ecuación: C) 1/4 X + 3 = /x^ + 4 - 5 31. S I = 113 + f(z), hallar la suma de los valores de z que resuelven la ecuación; 2f(z) = z + 5 A) -1/2 D) 1/2 B) m' + - L +2 C) m' - - i m A) —j - m^ m B) 2/3 E) -1/4 A) 15 D) ^ ;1 7 ; 4 C) 1/4 32. Si X > O, las soluciones de la ecuación: 3 /7 + 3x’ ''^ = 10, se pueden hallar resolviendo la 17 A) 9x^ - 8x + 9 = O B)3x^ +3x - 1 0 = O C)x^ + x - 10 = 0 D) 9x^ + 3x - E) r\ ^ ;1 8 4 40. Resolver: (1 - x)’ '^ - (x^ + 1)’'^ = 0. Dar como respuesta la suma de las raices. A)-2 D)2 ecuación: 15.15; B) B)-1 E)0 C)1 41. Si {m; n} es el conjunto solución de la ecuación; O = O E) 9x" - 82x + 9 = O 33. Hallar la suma de las inversas de las raíces de la ecuación 2x^ - 3x + 4 = 0. A) -3/4 D) -4/3 B) 4/3 E)0 C) 3/4 34. Si al largo de un rectángulo se le aumenta en 2 m, su área es 36 m^. Si su ancho se aumenta en 3 m. su área es 49 m^ ¿Cuál es el área original? A)7m' D) 32 m' B) 14 m" E) 40 m' C) 28 m' 35. Hallar una de las raices de la ecuación: 1 x -a 1 x -b A) a + b B)2ab D) -2ab 1 C)a - b 36. En la ecuación: x^ - 2(n - 3)x + 4n = O, deter minar los valores que puede tomar n para que la ecuación posea raíces iguales. Dar como respues ta la suma de estos valores. A)1 D)0 B)9 E)2 C) 10 37. Si: a + b 0. ¿qué valor deberá tener w en la ecua ción (a + b )V + 2(a^ - b^)x + w = O para que sus 2 raíces sean iguales? A) (a - b) D)-(a + b f B) (a - b)" E )b '-a ' C) a' - b' x^ - 6x + c= 0; hallar: A) 3 D)4 + n^ + 2c C) - 6 B)6 E)-3 42. Si {x,; X2} es el conjunto solución de la ecuación: x^ - 5x - 3 = O, calcular el valor de: x,(x, - 1) + X2(X¿ - 1) A) 24 0)27 B)25 E)28 C)26 43. Si la suma de las inversas de las raíces de la ecua ción: x^ - mx -H 1 = O, es igual a la inversa de la suma de las raíces. Hallar m. A) ±1 D)2 B)±1/2 E) - 2 C)-1 x^ + 3x n - 1 , se sabe que las 5x + 2 n+ 1 lor d€ raíces son simétricas. Hallar el valor de n 44. En la ecuación: A) 5 D)2 8 )4 E)1 C) 3 45. Dada la ecuación: 3x^ + nx + 4 = 0. Hallar el valor real de n, si las raíces x^ a siguiente manera: 9x? = x^ A) ±7 D)±8 x¿ se relacionan de la B) ± 4 E) 7 ; - f C)±16 46. Determinar m para que las raíces de la ecuación: mx^ - 2(m - 1)x + m = O sean inversas aditivas. A)1 D)4 B)2 E)5 C)3 47. La diferencia de las raíces de la ecuación: 38. Dada la ecuación: m' 'x^ - m ^x = x - m’ \ hallar el cuadrado de la diferencia de sus raíces. 2x^ - {p - 1)x + (p + 1) = 0. es 1. Hallar ia menor de las raíces. A) 2 D)-1 48. B)3 E) - 4 A) 11 D)9 C)0 Si n es un entero positivo que cumple la igualdad: I + J . + _L+ 3 15 35 C) 12 B) 10 E) 13 56. Si kx^ - 2x + 3kx - 4k 4- 8 = O, k 9^Ô, es una ecua ción cuadrática de raices: x, y x¿, tales que: 3 = 2 ^^ • ^2* Hallar el vaior de: Xi + X2 + _______^_______ = _ 0 _ (2n - 1)(2n + 1) n + 9 2 determinar las raices de: P(x) = 16x^ + nx - A)1 D) -2,4 A)^;2 B)2 E) - 2 C)2,4 57. Las dos raíces de la ecuación: x^ - bx 4- c = 0. son D )^;-2 iguales a 3, Determinar la solución de: x^ - bx 4 - c = 25 - bx m- 1 tiene raices numéricamente ax - c m+ 1 iguales, pero de signos opuestos, hallar el valor de m. A) 8 y - 2 D)5y5 49. Sí a - fa a 4- b 2ab a -b B) a+b a -b C) 2ab a+ b sean 3 veces las raíces de: x" + 2x + 4 = O son recíprocas ¿qué se puede afirmar acerca de las raíces de (P - 2)x" - lOx + a = O? A) Son nulas C) Son simétricas E) Son iguales A) 8 D) 11 B)9 E )12 53. Dada la ecuación de 2,° grado x^ + 7x + 11= O, cuyas raíces son a y b. Hallar la ecuación cuyas raíces son: a + b4-9 a + b + 9 3 4 -3 b+3 A) x^ 4- X 4- 4 = O C) x^ 4- 2x 4- 4 = o E)x^ - 2x = 3 B) x^ - 2x - 4 = O D) x" - x - 4 = O B) 2b' = 9a E) 9b^ = 2ac C) 4b^= 9c 60. Hallar los valores de x que satisfacen la ecuación: x ( l - l ) ( x + 2) = 0 A) O y - 2 D)-2;0y5 61. B)0y5 E ) 0 ; 2 y / 15 C)-2 y 5 Dada la ecuación trinomial: x^" ’ ’ 4- x''' ^ -k 1 - 3n = O Siendo su grado el menor posible, indicar cuántas raíces imaginarias posee. B) 12 E)2 0 6 62. Resolver la ecuación; x^ 4 x - 7 = ■ ■ X x^ - (n + 1)x - n - 2 = O, Hallar n, de modo que la suma de cuadrados de sus raices sea 10. 0 -3 D}-4 E)1 55. En la ecuación: 2x" - (m - 1)x + (m 4- 1) = O, indicar el valor positivo que debe darse a m para que las raíces difieran en uno. + X Dar como respuesta la suma de sus soluciones en teras. A) 1 B)2 C)-1 D) - 2 E) - 3 63. Formar una ecuación bicuadrada cuyas raices se pueden determinar a partir de; x' = 16 54. Se tiene la ecuación cuadrática: 0 )5 A) 2b' = 9ac D) b^ - 8ac = O A) 18 D)4 C)10 C) -1 7 ax^ + bx 4 c = O, sea la mitad de la otra, hallar la relación entre los coeficientes, B) Son reciprocas D) Su suma es 4 52. Si la ecuación cuadrática: {m 4- n - 4)x^ 4- (m - n 4 6)x 4- 2 = O, es incom patible, calcular el valor de, (m^ 4 - 2n) B) -1 3 E)11 59. Para que una de ías raíces de la ecuación: 8) X* 4- Bx 4 9 = O D) x^ 4- 5x + 2= O 51. Si las raíces de la ecuación (a + 2)x" - 3x 4- p = O, A) 2 x^ + bx 4 30 = O, son positivas y la diferencia entre ellas es 7, hallar el valor de b. A) -31 D) -11 50. Formar la ecuación de 2,° grado, cuyas raices G)3y3 58. Sabiendo que ías raíces de la ecuación: E) a + b + 1 A) x^ + 6x 4- 12 = O C) x" + 6x - 36 = O E)x' + 6x + 36 = O B)-2y8 E)ByC a x^ = 25 A) X* 4 3 1 x ' - 400 = O B)x" + 31x^ - 400 = O C) x" - 41x' + 400 = O D) x" - 30x^ 4 29 = O E)x' + 13x" + 36 = O 64. Si la suma de las raices positivas de la ecuación bicuadrada: x“* - (3m - 5)x^ + el valor de m. A) 2 B)3 04 = Oes 5. calcular D )5 E)6 65. Formar la ecuación bicuadrada cuya dos de sus raí ces son las raíces de la ecuación: 75. Indicar una raiz real de - 7x + 5 = O 3ÍX A) x' + 39x' - 25 = O C) - 39x^ + 25 = O E) x' + 47x - 24 = O B) x" - 25x' + 39 = O D) - 47x^ + 24 = O 66. Sea: P(x) = x" - 14x' + 16-/2x - 7 Si:P(r,) = P ( r , ) - P ( r , ) - P ( r 3 ) - 0 y r^ < r, < rj < tj, hallar -i- r3. A) O D) - 2 B)8 E)17 8 )2 E)3/4 C)0,6 76. Si la ecuación: x“* + ax^ + b = O, tiene 2 raíces reales que suman 3 y el producto de las mismas es positiva, dichas raíces son también raices de la ecuación: x^ + cx^ + ex + 1 = 0. Determinar: a + b + c C) /2 A )-9 D) - 6 67. Resolver la siguiente ecuación recíproca; x® - lOx* + 25x^ - 25x^ + 10x - 1= 0. Dar como respuesta la suma de los cuadrados de sus raíces. A) 64 D)50 A) 1,5 D)1 B)81 E) 144 C) 100 68. Si X, y X2 son las soluciones reales de la ecuación recíproca: B) - 8 E)5 C) - 7 77. Indicar una raíz de x“ + 1 = 0 A) M D) 73 i i 8 ) -i 71 E)1 - i 78. Resolver la ecuación: Bx - 65x A) -1 + 72i B) -1 -721 A) 1 D )1 - 731 E) - 1 - 7It 0 4 D)9 E)25 69. Dar una raíz imaginaria de (z + 3)“ + (z + S)“* = 16 A )4 + ^ i D) i / 7 - 4 8 )4 - -/7Í E)iJS - 4 O i/7 + 2 8= O, e indicar una raíz. ax" + (b - 3)x^ - lOx' + (5 - a)x + b + 6 = O proporcionar: (x, + Xj)''’^ B)2 71 C ) 1 + 73i 79. D e l a e c u a c i ó n p o l i n o m i a l x^ - 5x® - x“ + 5x^ = O, p o d e m o s a f ir m a r q u e : A ) L a s u m a d e s u s ra íc e s e s -5 . 5. B ) E l p ro d u c to d e s u s ra íc e s e s 70. Indicar una raíz de la ecuación: Sx*-1- 4 = O 1-i A) /2 73(1+21) B) 2 c )M i C ) A d m ite u n a ra íz re a l E ) U n a r a iz re a l e s - D) 1+i /3 E) 2 ( - 1 +i ) 73 1 D ) U n a d e s u s r a í c e s im a g in a r ia s ~ 1 80. E l s i g u i e n t e p o l i n o m i o : P(x) = x^ - 3x‘* - 6x^ + lOx^ + 21x + 9 , p r e s e n t a : 71. Resolver: x^ - 64 = O 5 r a íc e s d ife r e n te s . 2 r a íc e s d e m u ltip lic id a d 2 C ) 1 r a í z d e m u ltip lic id a d 2 y o t r a d e m u ltip lic id a d 3 D ) 1 r a í z d e m u ltip lic id a d 4 E ) 1 r a iz d e m u ltip lic id a d 5 A ) Indicar la suma de sus raices no reales. B) A) 2 B)-2 0 -4 D)4 E)3 72. Calcular n en la siguiente ecuación bicuadrada: x“ +(n - 25)x^ + 4(n - 3) = O, si el producto de sus raíces es 12. A)1 B)3 0 )6 0 )7 E)9 81. R e s o l v e r l a e c u a c i ó n r e c í p r o c a : 3x^ - x^ - x^ + x^ + X - 3 = O I n d ic a r u n a d e s u s r a ic e s . 73. Calcular la suma de las raíces de: x^ - 6 X A) 4 B)-4 A)-1 5x _ . x^-6 0 8 D)6 E) 3 74. Señalar una raíz de x"* + x^ - 4x^ + x + 1 = 0 A)-1 75-3 2 D ) l ^ 3 + 72 7T C) 77-5 82. La ecuación reciproca; ax“ - 35x^ +62x^ + bx + 6 = 0; a O admite 2 raíces de la forma: m - 3; 1 m- 3 Determinar el mayor valor de m. A) 6 B)5 0 )4 D)3 83. Sea P un polinomio, tai que P(x) = Hallar el término lineal de P(x), sabiendo que su término independiente es 3 y la suma de sus coefi cientes 10. A) 2 D)3x 84. B)2x E)4x D a d o e l p o l i n o m i o P ( x ) = a x ^ + b x '* + b x + a {0 } X = 1 e s u n a ra íz d e P (x ) B) X = - c e s u n a ra íz d e P (x ) C) X = -1 A ) 41 D)50 E ) X = c ’ ' e s u n a r a iz d e P (x ) S a b ie n d o q u e x = c e s u n a r a iz d e la e c u a c ió n : a x ^ + {b - a c )x " a bcx^ - bx' - {a - b c )x + a c = 0; O , ¿ q u é c o n d ic ió n s e d e b e c u m p lir e n tr e a y b p a r a q u e la s o t r a s r a ic e s s e a n r e a le s ? 86. A )a + 2 b > 0 B )a + 2 b "> 0 D ) |a |> 2 |b | E ) |b |> 2 |a | C ) a > b" D e t e r m i n a r e l n ú m e r o d e r a í c e s i m a g i n a r i a s d e la e c u a c ió n x® - x ^ ( 4 x A ) 5 B )1 7) 0 B) W F E) FFV C) V W 93. Si a, b y c son las raíces de x^ - 7x^ + 3x - 10 = O, calcular: w = a' + b' + c^ n o e s ra íz d e P (x ) D ) X = - c ” ’ e s u n a r a iz d e P (x ) 85. 92. Sobre la ecuación polinomial de coeficientes reales x^ + ax“ + bx^ -f- dx + e = 0; donde 2a^ <" 3b A) FVF D) F W S e ñ a la r lo c o r r e c t o A ) C) VFF Hallar el valor de verdad: I. Todas sus raíces son reales. II. Si e < O, al menos una raíz es positiva III. Tiene raíces imaginarias. C) 3 A d e m á s : P ( c ) = 0 ; d o n d e c g IR - B) W V E) FFV A) VFV D) FFF P(~)' x (7 x - 2 4) - 1 = 0. D )3 E )4 8 7 . A l r e s o l v e r l a e c u a c i ó n x ^ + 9 x ^ 4 - 5 x = 1 + 9 x ' -i- S x '* , d o s d e la s r a í c e s t ie n e n la f o r m a : 8)42 E)43 94. Si la ecuación en x: Bx - 1 AB#0:A?^8 Tiene: CS ^ j ^ ) A)1 D) 1/4 C)44 Ax - 1 , calcular ( A + C)2 8 ) 1/2 E)4 Oy 'kv 95. Resolver la ecuación: - = ^ + x+1 x -1 A) - 5 B) 5 C ){-5} D){51 ... (x - 3)(x^ + X + 1) fraccionana: x(x + 1) H a l l a r e l v a l o r d e m -i- n . 88. R e s o lv e r 8 )3 0 - 7 D )0 16x + 24 - - E )8 1 6 x - 3 = 9. E)4» 96. Hallar la suma de soluciones que presenta la ecuaC lo n A ) 2 = 0; A) 3 D)0 1 - 3x ~ X - X+ 1 8) - 3 E)1 0 -1 8) a + b E)b^ C) a - b 97. Resolver en x: e in d ic a r e l p r o d u c t o d e s u s r a íc e s . A ) -2 D) - 6 B) - 4 E) - 8 C ) -3 89. indicar la suma de dos de las raices de: x" + (a + b)x^ + (ab - 1)x^ - (a + b)x - ab = O A) a D)a + b B) - b E)0 C) b- a 90. Hallar el mayor valor de n para que las raices de la ecuación 4x'* + (2n + 12)x' - n“ + n^ -h 6n^ = O sean reales. A) 27 D) 6 8 )3 E) no existe C )0 91 . Dar el valor de verdad con respecto a las raices de: x" + x“ + 3x^ -H 2x' + 3x + 2= O i. Sus cinco raíces son reales, II. Tiene solo 3 raíces imaginarias. II. Tiene solo 3 raices irracionales. A) 2a D) a' 98. Resolver la ecuación: x '+ 5 x ‘ +3x+9 ^ x^+5x+3 x^ + 2x' + 7x +9 x' + 2x + 7 C) A) D )]| 99. Si X, es la raíz positiva y x¿ la raiz negativa de la ecuación - 2x^ - 2x^ - 3x = 2, calcular 3x, - 4x¡ A) 10 B) 8 0) 6 D)4 E) O lOO.Indicar la suma de las soluciones enteras de la si guiente ecuación recíproca: 6x^ + 41x“ + 97x^ + 97x" + 41x + 6 = O A) - 3 D)-1 B) - 4 E)-5 C) - 6 A )6 101. Resolver la ecuación; 2x^ - 7X" + 9x^ - 9x^ + 7x - 2 = O B) 5/2 E) 1/2 102.S i X ,; X drada: 4x‘‘ - 65x^ + 16 = C)4/3 2y X 3son raíces de 2x' - 3x + 4= ( X j + X 3)= + { X 3 + X , ) ' A) 8 D)2 O, calcule (X , + X j f + B) -6 E)3 A) 6 D) - 4 B) - 4 E) - 8 C) -1 6 , 1 A)16ab B)ab D )4 Íá h E ) 8ab B)1 E)2 C)1 0 3 D )4 E)0 Y Y. X, C)2 116.Si x,; Xj; X3; x^, son las raíces de la ecuación; x'' + x' + x^ + X + 1 = 0. calcular: x? + Xj + X3 + x® b C) -1/3 B) 10 D)6 B)-1 E) - 2 A)1 D) 1/2 107.Dada la ecuación en x: x^ + nx = 6x^ + 8. Hallar n, si una raíz es la mitad de la suma de las otras dos. C) 11 108.Determinar a + b / a; b e E, si el número 1 + i es raíz de la ecuación: x* + bx' + a = O C) 12 B)4 E) -100 A) 320 D) -3 2 C) 5 117.SÍ las raíces de: 4X“ - 4x^ - 21x^ + 11x + n = O están en progresión aritmética, indicar una raiz. A) 45 D)4 B)-1 E)-2 0 5 118. Sea la ecuación x^ + mx + n = O, de raices reales cuyoCS= {r,; r2). Determinar qué enunciado(s) es (son) correcto(s): I. x^ - mx + n = O, posee CS = { - r , ; - r 2} II. nx^ + mx + 1 = O, posee CS = j p ^ j 109.SÍ /8 + 1 es una raíz de la ecuación: X - 4x + bx + c = O, hallar: - 3 c B) - 2 E> 14 B)2 x' - 1 = 0 A ax^ + bx + c= O donde a ; b ; c e E a a # 0 tienen dos raíces comunes x, y Xj, hallar; C) -7/9 B)2/9 E) 1/5 B) 11 E)8 - 1)(x + 2)(x - 3)(x - 2) + 4 = 1 X, + {a; b} c S. Si una de sus raíces es -2 , calcular: A) 2 D)-1 B)-1 E)-2 115.SÍ las ecuaciones en x: 106.Dada la ecuación 3x^ + 2ax^ - bx + 6 = 0; A) 10 D)9 C)25ab 113.31 la ecuación bicuadrada x“* + (n - 4)x^ = 4n, tie A)1 C) 1/ calcular: -4 XÍ + X¿ + X3 A) 7/9 B)1/9 D) -1//3 E) 1/3 A) 12 D) 13 |b| # O 114. Indicar cuántas soluciones reales tiene: , 1 lOS.Si íx,; X2 ; X3} es el CS de x^ - 7x + 6 = O, A) -4/9 D)4/9 C) 1/8 112. Indicar la suma de las cuartas potencias de las rai (X A) 1/3 D) 1/5 B) 1/4 E) 1/2 A) O D)2 5x^ - 7x^ + 4x - 8 = O, hallar el valor de; 1 calcular — , si x, < X2. Xl ne todas sus raíces reales, hallar el mayor valor entero de n. 104.SÍ X,; X2: X3 son raíces de la ecuación: o 0, ces de la ecuación bicuadrada: X* - -Í2 (a + b)x^ + (a - b)^ = 0; |al C)4 103.Si a; b y c son raíces de x^ + 2x + 2= O, hallar el valor de; (a - b)^ + (b - c)^ + (c - a f A) 2 D) -1 2 D)5 0 7 111. Si X , y X j son raíces positivas de la ecuación bicua- Indicar la suma de soluciones reales. A) 7/2 D) -5/2 B) - 6 01 110.SÍ una de las raíces de la ecuación: 3x^ + ax^ + bx + 12 = O ; {a; b} c E, es 1 - /3i, calcular a + b. III. (x +1)^ + m(x + 1) + n = O, posee C S {r, - 1 ; r2 - A)lyll D) Solo 1 1} B)lylll E) Solo II C) 1,11 y 119.SÍ el siguiente sistema presenta una solución: (x + a)^ + y^ = 3a X - y = 2a 127. Resolver: Calcular el valor de "a", donde a g E' A) 1/2 B)3/2 C)0 D)1/3 E)2/3 120.Resolver el sistema lineal: 2x + y - w = 4 X + y + 3w = 9 X + 2y + 2w = 3 Dar el valor de w A) 2 D)5/2 A) 20 D)30 B) 2/5 E)5 C) -1/2 B)3 E) -1 2 B)0 A) 3 0 7 D)8 B)0v-1 E) 1 v 2 B)8 E) 5/8 E}4 B)-2 E)2 C) Ov - 2 0 2 C) -9/7 D)5 E)11 131. Si el sistema mostrado es compatibie indeterminado, calcule b'^ {a + b)x+ 2y = 1 3x + (a + 1)y = a B )5 0 4 D)9 E) 7 132.Para qué valor de m, el sistema mostrado es in consistente. 3x + (m + 5)y = - 2 mx - 2y = 2 A) - 3 D)2 B) - 2 E)-5 C)3 133.Halle 4(z - x + y ), si: C)1 y- z x - V = 5; y+X = 10 B)64 E) 58 A ) 16 D ) 53 C)60 134.Hallar el menor valor que puede tomar x + y en el siguiente sistema; 0 -1 x' + xy + x = 15 4- 126.Resolver el sistema; x V - 4xy' - 32 = O xy = 4 donde x; y e E. A) {{2; 2 ) : { - 4 ; - 1 ) } C) {( 2; -2) ; (- 4 :-1 ) 1 E) {(2: 2)} C) 100/7 B) -5 /7 E)9/7 8)7 A) 8 125. Resolver e) sistema : /x^ + x 4- y + 1 = y + 1 X - y = 1 ;X y Dar el valor de y. A) O D)-3 B) 114/5 E) 115/7 130.SÍ el sistema: 20x + 5n'y = 3 nx + 2y = 7 es compatible determinado, indicar qué valor no toma n. 124.Resolver el sistema: + b - -/2a - b = 1 . . . ( a ) V2a“+ b + V2a - b = 2 ...(p) Dar por respuesta el valor de ab. A) 2 D) 8/5 128.SÍ el sistema en x e y: x - 6y = m A (a + 2)x + 5y = 7 presenta infinitas soluciones, calcular am. A) -3/7 D)5/7 C)6 123.A1 resolver el sistema: x^ + z = -2xz y' + X = -2yx z' + y = -2yz calcular el valor de: x + y + z A) 1 V - 2 D)0v1 C) 24 129. ¿Qué valor tomará m para que el sistema; 5x - 7y = 13 3mx + 3y = 5 no tenga solución? 122.AI resolver el sistema: x^ + y^ + z‘- = 14 x + y ' + z '= 12 X+ z = 2 Dar el menor valor de z A) 2 B)18 E)35 A) 119/5 D) 95/7 121.Al resolver el sistema: X + 2y + z = 7 2x - 2y - 2 = -1 X + y - 2z = - 3 Indicar el valor de xyz A)1 D)4 5x + 3y = 19 X + 2y = 8 Dar el valor de; (x + f f - {x - i f xy + y = A) - 5 D) 4 135. H a l l a r 5 B) 5 E) - 6 C) - 4 yz + y + z = 5 xy + X + y = 7 x, a l re s o lv e r : B ) { ( - 2 ; - 2 ) ; (4; 1)} D) U -2 ; -2 ); (-4 ; 1)} 2x + x+z = 11 A) 4 B)7 0 )8 0 )2 E)3 136.Resolver el sistema: + w' = 7 y' + z'+ w' = 13 X+ z - 5 Dar la suma de los posibles valores de z. A) 5 B)9 x+ 0 8 D)4 E) 2 137.Resolver el sistema: (x -y )'-(x + yf = 4 a x = B)-3 E)2 0-1 138.Resolver e indicar el valor de x -y + xy b(x - y)(x + y)' E) o l 3a A) O 3a 9 = 6xy X + y = 4 A) - 6 D) 3 haliar el valor de: Xg - y,, A) 1 B)3 C )-2 D)-1 E )-3 140.Resolver el sistema: /2 a T b - / 2 a - b = 1 /2 a T b + V 2 a - b = 2, Dar por respuesta el valor de ab. A) 2 D)8/5 B) 4 E)7 O 5/8 141.Calcular el valor de 4 x + 3y, luego de resolver: ^ 4 ^ - 5 2x + 1 y - 1 2 1_ = 3 2x+1 y-1 A) 3 B)4 0 5 D)6 E)7 B)2 A )a + 2 D) 2a B) 1 0 2 0 3 D)4 D)3 E)4 B) /3 E)2 C) -21 B)2a- 1 E)2a+ 1 C )a-2 149. Ei sistema: {2a + 1)x + 9y = 2004 4x + (2a + 1)y = 2005 - { a; p} . Calculara + p B )-1 E) C)0 -1 /2 150.EI sistema es indeterminado (a - 2 )x + (b +1)y = 2004 (a + 2)x + (b -1 )y = 1002 hallar el valor de: a + b A) 3 D)2 C)8 B)0 C) - 3 E) - 2 151.Si el sistema: (a - 8)x - 3y = a - 1 6x + (a + 1)y = 1 - a no tiene solución, hallar el valor de a. 143. Resolver el sistema: 4x^ - 9 / = 9xy x^ + 3y = 12 Indicar el cardinal del conjunto solución. A )1 E)4 D)3 148.El conjunto solución del sistema: 2ax + (1 - a)y = a^ + 4a - 1 ax - (a + 1)y = a + 1 es { ( a ; |3)}. Hallar valor de: a + ( A)1 0)9/2 B )7 E)10 0 )9 0 2 tiene solución única si a € 142.En el sistema: x^ + x^y - xy^ - y^ = 405 X - y = 5 hallar x + y; si x; y e E ' A) 6 B) 1 147.Resolver el siguiente sistema: 2x + 3y = 5 3x + 2 y = 15 Indicar el valor de xy. 139.SÍ (Xq, Vo) es una solución del sistema: + C)6 146. Resolver eí siguiente sistema no lineal x^ - 2y = -2xz x' - 2x = -2xy x' - 2y = -2 y z . Indicar el mayor valor que toma: x + y + z 1 3 B) D )f A) O si: ^ x+y B) - 3 E)9 A)1 D) -1 2 145. Luego de resolver: x^ - xy + y' = 3 + xy - y' = 5 se obtiene un conjunto solución, el cual contiene n elementos. Indicar el valor de n. Calcular el menor valor de y. A) 5 D) - 2 144.lndicar un valor de xyz, luego de resolver: x' + xy + xz = 8 xy + y' + yz = 12 xz + yz + z' = - 4 E)5 A) 2 D)5 8)3 E)2v5 0 4 159. Indicar un valor de xy, al resolver: 152. Respecto al siguiente sistema: JxTy + U x^ - / = 9 2x + 5y = 3 lOy + 25x = 15 Indicar la proposición correcta, x" + y" = 13 x' + |y| = 11 indicar cuántas soluciones tiene. A) O 161.Si: 0 -1 154.En el sistema; (a - 3)x + by = 5 (1 - 4a)x + by = 2 Hallar el vaior de “a". B)10 E)4 O O > 10 a x E )4 + y = 20 y B)-1 E)4 C)0 B)28 E)O C)26 A) 52 D) -2 8 0 8 B) -1 2 E) 16 C) 34 164.Respecto al conjunto; A = {x; y) / 2x + 3y - 6 = 0; 4x - 3y - 6 = 0; X - 1 = 1; 3y = 2} A) Tiene 6 elementos B) Tiene 4 elementos C) Tiene 1 elemento D) Es el conjunto vacio E) Tiene un número ilimitado de elementos 165.Dado el sistema: /x^+ 12y + )y^+ 12x = 33 O 1/2 X + y = 23 calcular; )2x - y A) 3 157.Calcular el valor de "a" para que el sistema tenga solución única: X+ y = 3 + a x^ + y = 3 B) -1/2 E )- 1 A) 63 D) 65 3x + 5y = 1 2ax - by = 8 tiene infinitas soluciones, hallar el valor de: a - b 2 - 3 B)-1 E) -2/3 3xy x -y 163.SÍ el sistema: 156.SÍ se tiene el sistema: x + 2y + 4z = 4 2x + 4y + z = 7 4x + y + 2z = 10 x+y hallar el valor de; A) 1/2 D) -1/4 X A)1 D)8 5xy x+y B)-1 E)2 A)1 D) -1/2 - /y = 14; D)3 162.Calcuiarx^ + y^ si; 155.Sea (Xo; yol Zq) solución del sistema: 3x + 2y + z = 6 3x + y + 2 = 5 2x+y+z = 4 calcular: Sx^ + 3yo + 2zq A )2 D)6 X 0 2 B)1 determinar; — B)2 E) 1 A) - 2 D) 1 O 18 160. Dado el sistema: 153-Si (2; 3) es solución de sistema: ax + by = - 3 (a + 4)x + 2by = 14 bailar el valor de: a + b s.CS = l( 4 ; y . B) -1 8 E) 24 A) 12 D) 20 A) No tiene solución. B) Tiene infinitas soluciones. C) Es compatible determinado. D) Es incompatible. E}CS= {4; 1} A) 5 D) - 3 =4 8 )2 O 5 D)7 E)4 166. Determinar la única solución del sistema: x^ + y" = 144 y + 13 = nx si; n > 0; proporcionar el valor de; C) 1/4 A) - 7 / 6 D) 5 / 7 B) -12/5 E) 3/5 C) 7/12 158. Determinar el valor de x + y, si se tiene que: X - 167. El sistema de segundo grado: 9y= 28 x^ + / Jx + 3 /y = 14 A) 64 D)72 B) 62 E)76 C) 68 = 16 y + 5 = mx para un cierto valor de m admite solución única. Obtener dicho valor de m. B) 1/4 E) 1/5 A) 3/4 D) 1/2 A) 138 D) 156 C)7/4 168.Resolver en E el sistema: X+ y - z = 1 - y^ + z^ = 1 _ y 3 4 - y ' + z' = -1 Indicar el número de elementos del conjunto solu ción real del sistema. B)2 E)6 A)1 D)4 C)3 169.Señalar cuántas soluciones tiene el sistema: y^ + z^ - X = z^ + - y= + y^ - z = 1 A) 2 D) 5 174.SÌ P es un polinomio completo definido por P(x) = x® + ... + 15 y la ecuación P(x) = 0, tiene como raíces, hallar la sexta parte 2+ i del resto de dividir P(x) entre {x^ - 3). a ya A) x" -3 x + 2 C) x" - 4x+ 1 E) x^ - 4x + 5 B) x^ - 4x - 6 D) x^ - 4x - 5 175.SI el polinomio P(x) = x' + ax^ + x + 2 es divisible por (x 2), hallar el producto de las raíces raciona les de la ecuación: P(2x^ -t- 2 -P(x)) = O C)4 B) 3 E)6 B)240 E) 102 A) O D) - 3 170.SÍ las ecuaciones: ax + by = 1; cx^ + dy^ = 1 B) 5 E)2 C) - 2 1-2 tienen solamente una solución, calcular: — \- -r c d C)2/3 A)1 B)3/2 D)5/4 E)4/5 171.Del sistema: x^ - y^ = xy -a b + y)(ax + by) = 2ab(a + b) {X indicar un valor que toma x. A) T i D) v aT b B) /b E) C) Tib 172.Resolviendo el sistema: x + y^ = y + x^ = a -i- a^, se obtienen para x e y dos valores de la forma: B)2 0 3 D)4 E) 5 173.Las raíces de: P(x) = x^ - kx^ + 92x + n X X X están en relación: Hallar el máximo valor de k + n. A) 48 D) 16 B)50 E) 36 O 64 177.Al resolver: i[1 ±V(na - 1){na + 3)J. Hallar n. 2 A)1 176. En una olimpiada matemática, se repartieron n me dallas en el transcurso de los n días que duró el evento (n > 1). En el primer día, se entregó una medalla y la séptima parte de las (m - 1) meda llas restantes. En el segundo día, dos medallas y la séptima parte del nuevo resto y así sucesivamente. Si en el enésimo día, fueron distribuidos las n me dallas restantes, ¿cuántas medallas se repartieron en total? (X + y)(x - y) = 11 (y + 3)(y - 3) = X indicar uno de los valores obtenidos para x o y. A )-/6 B )-/2 D)-75 E)-ñO C)/3 ÆED3B 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13, 14. 15, 16. 17. 18, 19. 20. 21. 22. 23. D E E B D A B D D D C D C A B A E D C A A B D 24, 25. 26, 27. 28. 29. 30, 3132. 33, 34. 35. 36, 37. 38. 39, 40. 41. 42, 43. 44. 45, 46. E C C A B D A D E C C A E B D C B D C A B D A 47. 48. 49, 50, 51. 52. 53. 54, 55. 56. 57. 58. 59. 60, 61, 62. 63. 64, 65. 66, 67, 68. 69. D E A E B D B E A D B B A A E C C E C D D B D 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83, 84, 85. 86. 87, 88. 89. 90. 91. 92. D C C A B A B C E D C E A B E E C E B E E D D 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106, 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113, 114. 115. E C C D B D A C A A D C C E A A E B A A B D B 116. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128. 129, 130. 131. 132, 133. 134. 135. 136. 137. 138. B E C E D C B B E C A C A B C C 6 B A E" 8 D 6 139. 140. 141. 142. 143, 144. 145. 146. 147, 148. 149. 150. 151. 152, 153, 154. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. C C C D D C C C C D B C D C D B B 6 C C D E E 162. 163. 164. 165. 166. 167. 168. 169. 170. 171. 172. 173. 174. 175. 176. 177. D A C E B A B D A C B A E A E D Desigualdades Inecuaciones Valor absoluto Ö ü G e o r g F r ie d r ic h B e r n h a r d R iem a n n n a c ió e n B re s e le n z (A le m a n ia ) e l 17 d e s e p tie m b r e d e 1826 y m u r i ó e n V e rb a n ia (Italia) e l 20 d e ju lio d e 1866 . F u e u n m a t e m á t ic o a le m á n q u e re a liz ó c o n tr ib u c i o n e s m u y im p o r t a n te s a l a n á lis is y la g e o m e t r í a d if e r e n c ia l, a lg u n a s d e las c u a le s a l l a n a r o n e l c a m i n o p a r a e i d e s a r r o llo m á s a v a n z a d o d e la r e la tiv id a d g e n e ra l. S u n o m b r e e s tá c o n e c t a d o c o n la f u n c ió n z e ta , la h i p ó te sis d e R ie m a n n . la in te g r a l d e R ie m a n n . e l le m a d e R ie m a n n , la s v a r i e d a d e s d e R ie m a n n , las s u p e r f ic ie s d e R ie m a n n y ia g e o m e t r í a d e R ie m a n n . D e sd e p e q u e ñ o d e m o s tr ó una ^\emania. IBZB - Ita/ia, /fifig f a b u lo s a c a p a c i d a d p a r a e l c á l c u lo u n id a a u n a tim id e z c a s i e n fe rm iz a . D u r a n te su s e s tu d io s d e s e c u n d a r ia a p r e n d í a ta n r á p i d o q u e e n s e g u i d a a d e l a n t a b a a to d o s su s p ro f e s o re s . E n 1846, a la e d a d d e 19 a ñ o s c o m e n z ó a e s t u d ia r F ilo lo g ía y T e o lo g ía e n la U n iv e rs id a d d e G ö ttin g e n . E n 1847 s u p a d r e r e u n i ó el d in e r o s u f ic ie n te p a r a q u e c o m e n z a r a a e s t u d ia r m a te m á t ic a s . E n 1859, a l d o c t o r a r s e e n M a te m á tic a s a n t e G a u s s , f o r m u ló p o r p r i m e r a v e z la h ip ó te s is d e R ie m a n n ,la c u a l e s u n o d e lo s m á s fa m o s o s e im p o r t a n te s p r o b le m a s s in r e s o lv e r d e la s m a te m á t ic a s . Lo a s c e n d i e r o n a p r o f e s o r e x tr a o r d i n a r io e n la U n iv e rs id a d d e G ö ttin g e n e n 1857 y s e h iz o p r o f e s o r o r d i n a r i o e n 1859. E n ) 862 se c a s ó c o n E lise K o c h . M u rió d e tu b e r c u lo s is c n su te r c e r v ia je a Ita lia e n S e la s c a . F uente-. W ifeip ed ia <4 DESIGUALDADES Ejemplo: Son relaciones de comparación entre dos o más canti dades reales de diferente valor En la recta real: Por ejemplo; si: La edad de Juan es 40 años. La edad de Pedro es 60 años. La edad de Luis es 70 años. Se tendrá las siguientes relaciones: • -1 2 Recta num érica real V a: b; c e IR • Ley aditiva S i:|a<b /2 -1 2. 2 3 B La relación | a < b I (se lee: a menor que b) significa que al punto A le corresponde el número real "a" y se en cuentra a la izquierda del punto 8 al cual le corresponde el número real “b", <4 AXIOMAS DE RELACIÓN DE ORDEN Orden de tricotom ía a; b e IR, se cumple una y solo una de las si guientes posibilidades: V v a = b vb < a Por ejemplo: dado ¡os número reales -6 ; 3; ~3 y 4; se cumple que: • 3< 4 • -6 < 4 a; b; c G IR, si: a •-■ b -> be <; ac a es menor que b (a < b) a b) [T3> b ■c» a - b~;' 0| a es mayor o igual que b {a > b) a > b» a > b v a = b' 4. a es menor o igual que b (a < b) | a < b « ^ a O • 7> 3 • 4 - Literales • > -3 • - 6 < (x - 2 f • X®+ y® > O II. Desigualdades relativas Estas desigualdades se conocen también con el nombre de inecuaciones y se caracterizan por que se verifican para un conjunto de valores denomi nados conjunto solución y su representación se visualiza en la recta real. Ejemplos: 1. La inecuación: 4x - 3 > 5, se verifica para todo valor de x mayor que dos (x > 2). Orden transitivo V a ‘' b + 30 -Unidad O • -6 < -3 . -3 < 4 A A 71 Que para cada número real le corresponde un único punto de la recta real y reciprocamente para cada punto de la recta real, le corresponde un único número real. La correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de una recta real nos ayuda a dar una interpre tación geométrica de la relación de orden entre los nú meros reales. Para la gráfica adjunta: II. Si: c c =» ac <- be E ' Si: c e 2?' a<b » a -b < 0 Y a<b ^ a + c<b Ley multiplicativa 1. Origen__ I. <8 <4 REUCIONES QUE EXPRESAN DESIGUALDADES <(-);IR- -3 •12 Ili. Orden de la monotonía Intuitivamente estamos comparando magnitudes reales de una misma especie. Las desigualdades solo se veri fican en el campo de los números reales que asociado a ía recta real podemos observar: -1 A -2 -1 2 < - 2 La edad de Juan es menor que la edad de Pedro. La edad de Luis es mayor que la edad de Pedro. La edad de Juan es menor que la edad de Luis. -J2 -2 b< c Su representación gráfica en la recta real sería de la siguiente forma. 4. [a; +cc) = (x/a < x '' *-cc; a ■- +o^} Ó - 3 0 2 2. La inecuación; X, +30 - 25 < O, se verifica para lodo tal que: x > - 5 a x x fc [a; +oc; <5 Su representación gráfica en la recta real sería de la siguiente forma: X> - 5 A X< 5 -5 1 <4 PROPIEDADES GENERALES DE LAS DES IGUALDADES 1. Si a los dos miembros de una desigualdad, se suma o resta una misma cantidad, el signo de la desigualdad no se altera. Si; a>b-5a i c > b ± c « INTERVALO Es ei conjunto de valores x pertenecientes a la recta real, limitado en sus extremos por los elementos a y b, tai que a < b, a y b pueden o no pertenecer al conjunto de valores x. Si a los dos miembros de una desigualdad se multi plica o divide por una cantidad positiva, el signo de ta desigualdad no se altera. Si: a > b a c > O =» Clases de intervalo • Intervalo abierto: (a: b> = {x/ a < x < b; a b A c < O =■ ac b o +: X e {a; b) Intervalo cerrado: [a; b] = {x/a 5 x < b; a < b} Su representación gráfica es: Dos desigualdades de signo contrario se pueden restar miembro a miembro y el signo de la des igualdad resultante es el mismo que hace las ve ces de minuendo, es decir: Dado el sistema: a a<x b - d V c - a ■' d - b I Dos o más desigualdades del mismo sentido se pueden multiplicar o dividir miembro a miembro y el sentido de la desigualdad no se altera, siempre y cuando los miembros de las desigualdades sean cantidades positivas. Intervalos m ixtos: 1. (a; b] = {x/a < ba c Se cumple que: + 0C V a; b; c; d; e IR': si a Se cumple: ac bd b v a c> d — 2- (a; b) = { x/a < x < b; a < b} a < X< b _Q _ “ OO o a b X e [a: b) 3. { —co; a] = {x/ —30 < X < a; —oo < a} -o o < X e (-oc; aj X <a Dos desigualdades de signo contrario y miembros positivos se pueden dividir miembro a miembro, el signo de la desigualdad resultante es el mismo que el signo de la desigualdad que hace las veces de dividendo. Es decir: v a, b; c: d; s IR ; si a - b a c d Se cumple: Si a los dos miembros de una desigualdad se eleva a una potencia impar o se extrae raíces de Índice Como no hay intersección de las soluciones de impar, el sentido de la desigualdad no se altera. Es decir: (a)y(p) ^ [x é 3 Si: 2. a'"*' > b' a> b Resolver una inecuación de este tipo es similar a resolver una ecuación de primer grado, solo hay que tener en cuenta las propiedades generales de las desigualdades. n e r 8. Si a los dos miembros de una desigualdad de tér minos negativos se eleva a un exponente par, el signo de la desigualdad se invierte, es decir: V • • 9. Transponiendo b al segundo miembro: ax > - b Dado que a e E^, es decir: a > 0 a; b e E* Si a > b ^ a^" < b^" Si a b'" Si a E IR, tal que: a Resolver; ax + b > 0; a, b G E* Resolución: V =»x>--^ Graficando en la recta real: O => a^ > O a 10. Si a; b e E y son del mismo signo, entonces: 1_ > 2 a> b a b 1^ < a b o Vemos que x e 3. <4 INECUACIONES Resolver: ^ < ^^775-^ Resolución: Inecuaciones de iKim er grado con una incógnita Son todas aquellas inecuaciones que al reducirse adoptan las fonmas: ax + b > 0 ax + b > 0 Siendo MCM(2; 3; 12) = 12 un número positivo, el signo de la desigualdad no se altera al efectuar las operaciones indicadas. 6(3x - 2) - 4(5x - 3) < x - 1 18x - 12 - 20x + 12 < X - 1 -2 x < X - 1 » -3 x < -1 ax + b < 0 V ax + b <0 V x: es la incógnita y a ; b G E A a ^ O Multiplicando por (-1 ), obtenemos: 3x > 1 Ejemplos: 1. Resolver el sistema 2x - 3 3x - 1 > 1 4 2 5x - 3 8x - 1 < -1 3 4 ...(a) Resolver: (X + 1 f + (X - I f + (X - 2 )'< 3(x+ 1)(x - 1) ,..{p) Resolución: Resolución: Resolviendo cada inecuación. De (a): MCM(4; 2; 1) = 4 2x-3-2(3x-1)>4 2 x - 3 - 6 x + 2 > 4 => -4 x > 5 Efectuando las operaciones indicadas obtene mos: x^ + 2x + 1 + x^ - 2x + 1 + x^ - 4x + 4 < 3x^ - 3 Simplificando: 3x' - 4x + 6 < 3x^ - 3 ^ -4 x < - 9 ,.• xX _< - — ^ De (3): MCM(3;4; 1 )= 12 4 ( 5 x - 3) - 3(8x - 1 )< -1 2 20x - 12 - 24x + 3 < -1 2 Multiplicando por {*-1): 4x>9 -4 x < - 3 Gráficamente; ..• X >- 14 En la recta real: < ................... -O 4 O ¿ 4 + 00 Q x> ^ Inecuaciones simultáneas del prim er grado a> O En la resolución de inecuaciones simultáneas con dos incógnitas podemos aplicar cualquiera de las siguientes reglas. 1.° Se toman dos inecuaciones de sentido contrario despejando en cada una de ellas la misma incóg nita, luego esta incógnita se elimina aplicando el principio de transitividad. 2.* Se puede eliminar una incógnita restando dos inecuaciones de sentido contrario, fiabiendo homogenizado previamente los coeficientes de la in cógnita que se quiere eliminar. Por ejemplo: si x e y son cantidades enteras y positivas, calcular {x^ + y^), al resolver el sistema: 5x-3y>2 .,.(1) 2x + y < 11 ...(2) y >3 ...(3) Resolución: Multiplicando la inecuación (1) por2 y la inecuación (2) por 5, obtenemos: lOx - 6y > 4 ,..{a) 10x + 5 y < 5 5 ...(p) Restando miembro a miembro {a) y (P): lOx - 6y - lOx - 5y > 4 - 55 §1 -11y > -51 =» y y=4 Reemplazando y = 4 en el sistema: 5x -3 y > 2 =í> X > 2,8 2x+ y < 11 => X < 3,5 Aquí observamos que: x = 3 x' + y^ = 3" + 4^ = 25 Inecuaciones de segundo grado Son todas aquellas inecuaciones que al reducirse adopta ta forma canónica; ax^ + bx + c > 0 V ax^ + bx + c < 0 ax^ + bx + c > 0 V ax^ + bx + c < 0 Donde x es la incógnita; a, b, c e IR / a O Solución por el método del discriminante: A = b^ - 4ac a> O Caso 1 Caso II ax^ + be + c < 0 ax^ + bx + c > 0 A = b - 4ac A > 0 XGfx,;x,l X G ( - 00; X,) u (x,; + 00) A= 0 X = X. = X. X £ IR A <0 X X e IR X, - b - ¡A . 2a ■ ^ ^ - b + ÍA ^ 2a 1Y Y\ Inecuaciones de ^ a d o superior Son aquellas inecuaciones que al ser reducidas adop tan cualquiera de las siguientes formas; aoX" + a^x"' + aox" + aiX"’ + 3oX" + aiX"’ + aox" + a^x"” + , > 0 •+ +a„ > 0 . , . . •+ ar, < 0 • + a„ < 0 Donde x es la Incógnita y n e IN / n > 3 Además: {aj,; a,; a {,...; aJ g E / Bq O S olución p o r el m étodo de los puntos críticos. 11 Dado que. 3 < y < -51 ^ Caso IV ax^ + bx + c > O Caso ax^ + bx + c < O Pasos que deben efectuarse: 1.° Verificar que 9o ^ 2 ° Todos los términos de la inecuación deben estaren el primer miembro. 3.° Se factoríza la expresión del primer miembro. 4.° Cada factor se iguala a cero, obteniendo los pun tos de ente, que son los valores que asume la in cógnita. 5.° Se llevan los puntos de corte en forma ordenada a la recta numérica. 6.* Cada zona determinada por dos puntos de corte consecutivos, se señalan alternadamente de de recha a izquierda con signos (+) a (-). Se inicia siempre con el signo más. 7.° Si la inecuación es de la forma: P(x) > O V P(x) > 0. con el coeficiente principal po sitivo, el intervalo solución está representado por las zonas (+). 8.° Si la inecuación es de ta forma: P(x) < O V P(x) < O, con el coeficiente principal po sitivo, el intervalo solución está representado por las zonas (-). A = b - 4ac a > 0 x e ( x , ; X 2) X e (-o o ; X ,) u (x ¿ : + oo) A = 0 X e 4» X G IR - {X, = Xa} A X e (j) X 6 IR V X € (-coj +co) .. _ - b - / A 2T~ - b + / a (X, < Xj) 2a < 0 E s te m é to d o t a m b ié r \ e s a p lic a b le d e s e g u n d o g ra d o . p a r a in e c u a c io n e s Por ejemplo, resolver; x^ - 6x^ + 11x - 6 > O Resolución: Factorizando por divisores binomios se obtiene; (X - 1)(x - 2)(x - 3) > O x= 1 x= 2 x= 3 PC + 30 Llevando los puntos de corte (PC) a la recta real; ten dríamos que el conjunto solución es: x e [1: 2 ] u (3; + » ) Inecuación fra c c io n a ria Es aquella inecuación que se caracteriza, porque la variable está presente en el denominador de cualquier expresión que forma parte de la inecuación: X e 2. Resolver: Operaciones: x + 1 Determinación del universo: x+3>0 h x-2>0 X> - 3 A X > 2 {1; -1 } x -1 x -1 -oc X+1 + 3 + /x-2 < 5 Resoluciór): Por ejemplo: resolver: 2 L tJ < ^ ~ ] x -1 x+1 Resolución: Garantizar la definición de las expresiones con: x [3; 8] -3 O 2 H " ° Universo: x e [2; +co) 4x (x + 1)(x- 1) < o ^ (x + 1 )(x - 1 )x < O Pasando un radical al segundo miembro. 7 x i3 < 5 - h Elevando al cuadrado los dos miembros de la inecuación: m o -1 1 x + 3 <25 - 1 0 7 x ^ + CS: ( —^; - 1 ] u [0; 1] <20 In ecuaciones irra c io n a le s Son aquellas inecuaciones cuyas incógnitas se en cuentran afectadas por radicales o exponentes frac cionarios. De otro lado como las inecuaciones solo se verifican en el campo de los números reales, se cumple el siguiente principio fundamental. P rin c ip io fu n dam en tal En toda inecuación irracional de índice par, las cantida des subradicales deben ser mayores o iguales a cero y esto nos determina el universo dentro del cual se re suelve la inecuación dada. Dada la inecuación: '^7W+ <0; n e r X - 2 = » /x^< 2 Elevando al cuadrado: x - 2 < 4 =»x<6 Interceptando con el universo: +00 X G [2 ; 6 ] Algunas inecuaciones irracionales de índice par se transforman en sistemas, como las que mostramos a continuación; La inecuación se resuelve para valores que estén com prendidas dentro de las soluciones de: f(x) > 0. Existen diversos casos de inecuaciones irracionales presentaremos algunos de ellos y su forma de resol verlos. Resolver: J-jT- 3 + U ,:x-3 >0 =>x>3 (x~), entonces: Si: ^'’./f(x) < ^''^g(x), entonces. í(x) > O x~ > O Resoiución: El conjunto solución a esta inecuación está de terminado por la intersección de los universos de cada radical, es decir: Si; 2"/f(x) < f(x) > O A f(x) < g(x) b) Ejemplos 1. a) c) A f(x) < g(x) Si: ^'’Vf(x) > 2'"Vg(x), entonces: g(x) 2 O A f(x) > g{x) d) Si: 2f>/f(x) > 2ijg(xy, entonces: f(x) > O A f(x) > g(x) U 2:8-x>0 ^ CS: U, o U2 Por ejemplo: resolver, 16 - > V16- x Resolución: Para este caso, se cumple: 16-x>0 ...(1) 16 - ^ > 1 6 - x ..,(2) De (1): 1 6 - x > 0 xe(-^;16] ^x<16 ...(a) Inecuaciones lineales en dos va ria b le s También llamadas inecuaciones con línea recta, son expresiones de la forma: De (2): 16 - ^ > 16 - X x^ x ' - 1> O ax + by + c <' O ax + by + c > O Factorizando el numerador: ( x- 1)(x^ + x + 1 ) x^ ^ N: x = 1 PC D: X = O Graficando en la recta real: v v ax + by + c < O ax + by + c > O E! conjunto solución de alguna de estas inecuaciones lineales esta dada por el conjunto de pares ordenados (x; y), tal que se satisface la condición de la inecuación elegida. ¿Cómo se determ ina este conjunto solució n? Dem ostración; a. + 3C X C [1; Geométricamente la gráfica de esta ecuación, que se llama recta, divide al plano en dos regiones R, y Rj, tal como aparece en el gráfico adjunto. ...((3) Interceptando (a) y {|3) obtenemos la solución final. -X O X € [1; 16] 1 16 Partimos de la ecuación: ax + by + c = 0; b > O b. ¿Cuándo decimos que un punto P(x; y) pertenece a la región R, o a la región R2? + CC « G R A F IC A DE DESIGUALDADES CON DOS VARIABLES Sabemos que la ecuación general de una recta es ax + by + c = O, la cual es una ecuación algebraica con 2 variables. La solución de esta ecuación esta dada por el conjunto de pares ordenados (x; y) que satisfacen la ecuación dada. Geométricamente la gráfica de estos pares ordenados es un conjunto de puntos a la cual se le conoce como línea recta. Si c = O, se dice que la recta ax + by = O pasa por el origen de coordenadas. Si c O , ia recta ax + by + c = O no pasa por el origen de coordenadas. Los conjuntos solución de ambas ecuaciones son de la forma: {(x; y ) e IR^ / ax + by = 0} para el primer caso, y {(x; y) fc / ax + by + c= 0} para el segundo caso. Algunas rectas cuyas gráficas debemos tener pre sente son: Sea Q un punto perteneciente a la recta, de modo que tenga ia misma abscisa x que P, luego Q es de la forma; Como P y Q están sobre la misma recta vertical, tenemos: • Si P esta por encima de Q, entonces la ordena da de P es mayor que la de Q. ax - c Es decir: y > by > - ax - c ax + by + c > O {ya que b > ü) En cuyo caso P(x; y) pertenece al región R, y satisface la inecuación: ax + by + c > O Sí P esta por debajo de Q, entonces (al ordena da de P es menor que la de Q, es decir; -a x - c b y < —a x — c =* ax + by + c < 0 (ya que b < 0) y En cuyo caso P(x; y) pertenece a la región Rj y satisface la inecuación: ax + by + c < O 0 3 . - " ’i .M Si la inecuación es del tipo ax + by + c < O o ax + by + c > O, la región del plano encontrada, no incluye los puntos de la recta ax + by + c = 0. Mientras que si la inecuación es del tipo ax + by + c < Oo ax + by + c > O, la región del plano encontrada, incluye los puntos de la recta ax + by + c = 0Regla práctica para encontrar las regiones R, o Rj. Se presentan dos casos: ■i-»-' 2. Graficar; 3x - 4y < O Resolución: Graficando la recta: 3x - 4y = O X Si la recta ax + by + c = O no pasa por el origen. Tomar el origen (0: 0) y reemplazarlo en la inecuación dada, se tiene: 0 4 y 0 3 - (0; 0) - (4 : 3) i) Si resulta verdadera (V) se sombrea el semiplano donde esta el origen. ii) Si resulta falsa (F) se sombrea el semiplano donde no esta el origen. Si la recta ax + by + c = Opasa por el origen (es decir, la recta es de ia forma ax + by = 0). Tomar un punto cualquiera, menos el origen, y reemplazarlo en la inecuación dada. Se re pite el proceso anterior. Ejemplos: 1. Graficar: 3x - 4y > 12 Resolución: Graficando la recta: 3x - 4y = 12 Tabulando unos cuantos valores. X 0 4 y -3 0 {0; -3 ) (4; 0) Este par de puntos se unen con una línea pun teada, ya que la inecuación es del tipo > (ma yor que). Como la recta no pasa por el origen, reempla zamos e) origen (0; 0) en la inecuación dada, resulta: Como la inecuación es del tipo < (menor o igual que) este par de puntos se unen con línea cerrada. Como la recta pasa por el origen, tomamos un punto cualquiera, por ejemplo (1; 0) y reempla zamos en la inecuación dada, resulta: 3(1) - 4(0) < 0 ^ 3 < O (F) A continuación sombreamos el semiplano don de no esta el punto (1; 0). A este semiplano se le llama semiplano cerrado. 3. Determinar la región definida por las inecuacio nes X < 3 A y > -2 . Resolución: Graficamos la recta vertical x = 3 y la recta ho rizontal y = -2 , y t 3(0) - 4{0) = O > 12 (F) A continuación sombreamos el semipleno don de no esta el origen, quedando tal como se muestra en el gráfico adjunto. A tal semiplano, se le llama semiplano abierto y a la línea L que la limita se le llama línea de contorno o frontera. Siguiendo el proceso anterior, se tiene que la región es la que tiene doble sombreado. 4. Esbozar el gráfico de la región determinada por S, tal que: S = {(x; y) e / 2x + 3y - 12 > O A -X + 2y < 3} Centro: C - ( - | ; - | ) . Resolución: Tabulamos y graficamos. Para 2x + 3y - 12 = O X 0 6 El centro y el radio de la circunferencia se encuen tran mediante el método de completar cuadrados en X e y, resultando: Para - x + 2y = 3 y X 4 0 y 0 3/2 -3 0 Radio: r = ■/D^ + E ' - 4F donde: D' + Ejemplos: 1, Graficar la región: x^ - 4F > O y^<9 Resolución; Para {0; 0): 2(0)+ 3(0)-12 > O - O + 2(0) < 3 O < 3 (V) ^ -1 2 > 0(F) Sombreando, tenemos. - X + 2y = 3 Graficamos la circunferencia; x^ + / = 9 Su centro está situado en (0; 0) y su radio es r = V9 = 3. Eligiendo (0; 0) y reemplazando en la inecua ción x^ + / < 9, nos queda; 0^ + O" < 9 = O < 9 (V) '•2 x + 3 y - 1 2 = 0 .'. La región pedida es la que tiene doble sombreado. 5. Graficar A/A = {(x; y) e / 3 < |y| < 5} Resolución; Sombreamos la región que contiene al origen (0; 0), es decir, la parte interna de la circunfe rencia. 2. Graficar la región determinada por R. tal que: R = {(5<; y) / x^ + y^ - 6x + 10y + 9 > 0} Tenemos: 3 < |y| < 5 | y | < 5 =» - 5 < y < 5 =* y e [-5 ; 5] A | y | > 3 ® y > 3 v y <-3 = y e ( - 3 o ; —3 ) u ( 3 ; + o : ) Intersectando ambas soluciones tenemos: y e [ - 5 ; 5] n ( ( - cc; - 3 ) u ( 3 ; + o o ) ) y e [-5; 3) u (3:5] Resolución: Para encontrar el centro C y el radio r, comple tamos cuadrados en x e y: x^ + y ^ - 6x + 10y + 9 = O =» (x^ - 6x + 9) + (y^ + 10y + 25) - 25 = O (X - 3)^ + (y + 5)' = 25 El centro es C = (3; -5 ) y el radio es r= l25 = 5 Graficando: VI o T . J. 3 Inecuaciones de segundo grado con dos variables Haremos el estudio para el caso de la circunferencia, parábola y elipse. a. Para la circunferencia. Toda ecuación se segun do grado en x e y de la forma: x^ + y^ + Dx + Ey + F = O, representará una cir cunferencia. Compruebe lo anterior aplicando las fórmulas para el centro y el radio, donde: D= -6 ; E= 10; F= 9 Eligiendo (0; 0) y reemplazando en la inecua ción dada, resulta: 0^ + 0 ' - 6 x 0 + 1 0 x 0 + 9 > 0 (V) Sombreamos la región que contiene al origen, es decir, la parte exterior de la circunferencia. Para la parábola. Todo trinomio de segundo grado en X o en y (pero no en ambos) de una de las for mas: y = ax^ -1- bx -H c v x = ay^ by + c, repre sentará una parábola. Casos particulares: I. La gráfica de y = ax^ + bx + c, para a > O, es una parábola que se abre hacia arriba; luego tenemos uno de los siguientes casos: Usando el método de completar cuadrados, los tri nomios cuadrados anteriores se llevan a la forma: • Para el prim er caso: y - k = a(x - h)^ en don de el punto V(h; k) recibe el nombre de vértice de la parábola; en donde h = -b/2a. Haciendo x = h y reemplazando en y = ax^ + bx + c, se calcula el valor de k. Si a > O, la parábda y = ax^ + bx + c, se abre ha cia arriba, en cuyo caso se dice que el vértice V(h; k) es ei punto mas bajo de la parábola. Es decir, decimos que para x = h, el valor minimo de y = ax^ + bx + c, (se obtiene reemplazando X = h) es y = k. V (h , K) Se tienen dos raíces reales x „ X2 A = b^ - 4ac > O Hay dos raíces reales iguales X, = Xj A = b^ - 4ac = O No hay raíces reales (Hay dos raíces complejas) A = b^ - 4ac O Otros casos son: Si y = f(x) = ax^ -H bx + c; A = b^ - 4ac >0, entonces decimos que una de las raíces reales de la ecuación ax^ + bx + c = O, esta en el intervalo (m; n) si ocurre uno de los dos casos siguientes: Si a < O, la parábola y = ax^ + bx c, se abre hacia abajo, en cuyo caso el vértice V(h; k) es el punto mas alto. Decimos que para x = h, el valor máximo de y es y = k. f(m) Tenemos que f(m)f(n) < O C onclusión. Para que la ecuación: Para el segurido caso: x - h = a(y - k)^ en donde el vértice es V(h; k); k = -b/2c. Haciendo y = k, y reemplazando en: x = ay^ -H by -1- c, se calcula un valor de h. Si a > 0. la parábola se abre hacia la derecha; mientras que si a < 0. la parábola se abre hacia la izquierda. a> O ax^ + bx + c = O (a > 0) tenga una raíz real en el intervalo (m; n) debe ocurrir dos casos: • Que el discriminante sea mayor que cero: A = b^ - 4ac > O ; y • Que f(m) f(n) < O, donde f(x) = ax^ + bx + c. b. Sea y = f(x) = ax^ + bx + c (a > 0). ¿Qué con diciones deben cumplirse para que ias raíces reales de la ecuación ax^ + bx + c = O, estén una a la izquierda y la otra a la derecha del nú mero k? Para esto efectuamos un gráfico; mostrando las raíces x,, x¿ y el número x. Conclusión. Para que la siguiente ecuación; ax^ + bx + c = 0, ( a> 0 ) tenga una raíz a ia iz quierda y la otra a la derecha del número k. debe ocurrir que: • A= - 4ac > O • f(k) < O, donde f(x) = ax^ + bx + o V X. y e E; s e c u m p le ; |-x| - |x| txyl = |x||y| |xl^ = x^ V |x^|= x^ ^ = |x| |x + y| = jxj + | y | « x y > 0 |x - yi = |x| + ly| « xy < O c. Decimos que: ax^ + bx + c > k, v x e E, si se cumplen dos condiciones; • a> O • A = b^ - 4a(c - k) < 0; donde k e IR. = M :yíô y| d. En forma análoga: ax^ + bx + c < k, v x e IR, si se cumple que a < O A A = b ^ - 4a(c - k) < 0; donde k e IR. |x| + | y | > 2 / Í 7 í ^ Ejemplo: <4 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO ¿Para qué valor de x -i- c, ocurre qué la mínima “y" de la parábola y = x^ - 2x + c, vale 4? En resolución de ecuaciones con valor absoluto, debe mos tener en cuenta lo siguiente: Si X e E, entonces |x| es el número real no negativo definido por: Resolución: Tenemos que a = 1 > O, luego la parábola se abre hacía arriba. El vértice V(h; k) será el punto más bajo; de donde pasa x = h, el vator mínimo de y = k. x; si X > O -x ; si X < O |x| = O «=*■X = O |x| = |b| » X = b V X = - b |x| = b « b > O A [x = b V X = -b ] Ejemplos 1. Hallar el conjunto solución en la ecuación: |x + 2|(x‘' - 1) = O Resolución: Factorizando, se tendría: |x + 2|(x^ + 1)(x + 1)(x - 1) = O Igualando cada factor a cero. • |x + 2| = O ^ X = - 2 • x ^ + 1 = 0 = » x = í V x = -i • x + 1 = 0 = > x = -1 • X - 1 = O= X = 1 Como X G E; i A - i no sonparte de la solución. ,-, CS = {-2 ; 1; -1 } Pero por dato: x = 4; es decir y = 4 Por otro lado, para y = x^ - 2x -i- c, se tiene que: x = h = - ¿ = | = 1 Luego reemplazamos x = 1, en y = x^ - 2x + c; con lo cual; 4 = 1 - 2 + c => c = 5 Finalmente se tiene: x + c = 6 <4 VALOR ABSOLUTO El valor absoluto de un número real x, es el número no negativo denotado por |x| y definido por: |xl = x; si X > 0 0; si X = 0 -x ; si X <r 0 Ejemplos: . • • |5| - 5 1-51 = - ( - 5 ) = 5 |0! = O - i= 2, ; tal que i^ = -1 Resolver: |x^ - x -31 = |x - 3| Resolución: Para este caso se cumple la propiedad: |x] = |b| o X = b y X = - b • |-2 | = 2 • |-3 | = 3 • I 3 - 3( = 3 De los ejemplos podemos observar que: 1. v x E i R ; |x| > 0 3. |x| = | - x | 2. |x|= 0 » x = 0 Para nuestro caso: x ^ - x - 3 = x - 3 x^ - X - 3 = -(X - 3 ) ...(a) ... (p) De (a): x ^ - x - 3 = x - 3 = » x ^ - 2 x = 0 =»x (x -2) = 0 =.x = 0 v x = 2 De ( P ) : x ^ - x - 3 = - x + 3 =*x^ = 6 => X - ■[& V x= - /6 CS = (0; 2; -/6; - / 6 ) 3. Como: - 9 R esolución; Como: 1 e Para este caso se cumple la propiedad: lxl = b « ^ b > 0 • ^ [x = b v x = - b j Para nuestro caso: Universo de solución: x + 2 > 0 =• x > - 2 6. -2 X Resolver; [3x + 1] - [x - 1) = 12, e indicar la suma de los cuadrados de las raíces de la ecua ción dada. Resolución: (3x + 1| - |x - 1| = 12 O => x = 1, no es solución. oc) x e [ - 2 ; =c) 3 e U V x= = 1; es solución. x e <1; + o5); 12x+ 31 - jx - 11 = 5 2 x - h 3 - x + 1 = 5 =»x = 1 Con lo cual: 2x-1=x + 2v =2x-1 = - x - 2 X = =. ^x < - - 1 a - 3 x - 1 + x - 1 = 12 u V (--^<x<1a3x+1+x-1=12 V (x CS = ^ - ^ : 3 > 1 3x A 1 X -I- 1 = 12) - Resolver: ||x - 3| - 2| = 3 =í(x<--i Resolución: V (X >1 A X = 5) => (x = - 7 ) V (xS(t)) V = X, = - 7 .-. x^T + x^2 = 74 Haciendo; |x - 3| = a ...(a) Donde a > 0; se tendría: |a - 2| = 3 =» a - 2 = 3 V 3 - 2 = - 3 =»a = 5 v a = -1 (No) En (a), dado que a > Q = l x - 3 j = 5 = x-3 = 5 V x-3=-5 =, X = 8 V x = - 2 CS = {-2 ; 8} 5. 1 Como; 1 € (1; + CS = {-9 ; 1} U 4. |2x + 3| + |x - 1| = 5 2x + 3 + x - 1 = 5 3x = 3 =» X = 1 -1^ Hallar el conjunto solución en la ecuación: |2x - 1| = x + 2 x = - 9; es solución. e (-o o ; - V x = -7j Xj = 5 I. Igualando cada valor absoluto a cero determina mos los puntos de corte en la recta real: -|x - 1 | = 3 |= 0 1 O II- 0 • x = 3| A (x = 5) V x; a e IR; se cumple; )x( < |a¡ (x + a )(x - a ) < O 1x 1 < lai « . (x • |--j<X <1 Las inecuaciones con valor absoluto se resuelven te niendo en cuenta las siguientes propiedades: Resolver; - |x - 1| + ¡2x + 3| = 5 |2x + V <4 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Resolución; + a )(x - a ) < O (x| > |a| «:> (x + a)(x - a) > O Ixl > |a( ^ (x + a)(x - a) > O )x| < |a| e*. a > O A (-a < x < a] |x| < a » a > O A [- a < x < a] ► 1 Respecto a los signos de los valores absolutos en cada intervalo se tendría; . 3 IV. |x| > a <=>X < - a V X > a Ixl > a •» x < - a V X > a Ejemplos: 1- . A Resolver. 13x - 2i < I 2 x - 11 (+ ) (- ) R e s o lu c i ó n : : ( +) (+ ) Dado que; la! < Ibl ■» (a + b) (a - b) < O Analizando en cada intervalo; - |2x + 3| + |x - 1| = 5 -2x-3 + x-1=5 x = -9 Para la inecuación dada, se tendría; (3x - 2 + 2x - 1)(3x - 2 - 2x -H 1) < O (5x - 3)(x - 1) < O ^ P C : x = | v x=1 En la recta: De la recta real: _3 7 Vemos que: x G - 3 . 7 7 ’ 3 Vemos que: x e Resolver: |x^ - x| > x - 1 Resolver: |x - 2| - |2x -1 | < 2 Resolución: Resolución; Desde que a l> b«í'a< -b v a > b Igualando cada valor absoluto a cero para deter minar los puntos de corte en la recta rea!; vemos que: La inecuación dada se transforma en: x ^ - x < - ( x - 1) V x ^ - x > x - 1 Resolviendo cada una de las inecuaciones: • x^ (X + - x + 1 => x ^ - 1 < O 1)(x - 1) < O =» PC: x = -1 |2x- 1| •— | x - 2| —• — x < V x = 1 La inecuación a analizar es: -|2 x - 11+ |x - 2| < 2 En la recta real: Para el intervalo / - 1 -3 0 0 ...(a) X^ X = 1 A 1 ; tos signos de ios va lores absolutos son ( - ; - ) de donde; 1 Vem osque:xe ( - 1 : 1 ) - X > x- 1 (x - 1 ) ^ > o ^ PC: oc; 2 x - 1 - x + 2<2 x< 1 < ------------------ 1 X = En la recta real: xe¡-oc;^ 0 1 Vemos que x e {-oo; 1) u (1 ; +ao) Para el intervalo +3C •ÍP) Dado que la solución es (a) u (P); X G ( - o c ; 1) u (1; + c o ) V X e E - {1} 3. (a) 2 ; los signos de los vaio* res absolutos son {+; - ) ; de donde: -2 x -h 1 -x + 2<2 =>-3x<-1 Resolver: |3x - 2| < 5 Resolución; De acuerdo a las propiedades establecidas como: 5 > 0; entonces: - 5 < 3x - 2 < 5 Sumando 2 a todos los miembros: -5 + 2 < 3 x - 2 + 2 < 5 + 2 —3 < 3x < 7 Dividiendo entre 3: 1 X (P) Para el intervalo: {2; +oo): los signos de los va lores absolutos son {+; +) de donde: 2 x + 1 + x - 2 < 2 =. - X < 3 =* X > - 3 Resolver: |2x + 5| > ]5x - 2| 1---------- 1-------- ¿1------------------------ ^ -3 O R e s o lu c i ó n : Como; l3l - lb| =» (a+b){a-b) > O xe(2;+jc] En Í3 inecuación dada se tendría: (2x + 5 + 5x - 2)(2x + 5 - 5x + 2) > O (7x + 3)(-3x + 7 )> O ; Cambiando el signo de x (7x + 3){3x - 7) < O =» PC: ...(0) La solución de la inecuación propuesta estará dada por (a) u (P) u (tí) X = - | t V X = W 2 U (2; x.) = ( —oc; +oc) 6. Resolver: |x| + |x - 1| < 5 U,: x + 3 > 0 U2:4-x>0 Resolución; =»x> —3 =» X 6 [—3; + 30) =» x< 4 =»X€ ( - 00; 41 Intersecando se tiene: U = [-3; +=c) n ( - 0); 4] = [-3; 4j |x| + |x - 1| < 5 Como: ]x + X - 1| < |x| + |x - 1| 12x - 11 < 5 =» - 5 < 2x - 1 < 5 ^ -4 < 2x < 6 « - 2 < x < 3 CS = (-2 ; 3) Como la suma de 2 positivos es siempre mayor que un negativo. => Vx + 3 + V4^ X > -3 . es válido. Vxe[-3;4J Sea: A = 11. determinar el cardinal de A. Resolución: Indicar cuál es el conjunto solución de x, luego de resolver la inecuación: /x + 3 < 3 - /x Resolución: Analizando se tiene que: A= x + 3 > 0 =»x > - 3 a x Por 18: 8(3x - 1) - 3(2 - 3x)< 18x Interceptando se tiene: « 24x - 8 - 6 + 9x< 18x ^ 15x< 14 14 => X < ; como x e IN, se tiene que: A= { } = X e (0; + c c ) 8. Dados ios conjuntos: X p ffi/( =* x > 0 ...{a ) Elevando al cuadrado: (Vx + 3 + f x f < 3^ + 3 + 2Vx^ +~3x + x < 9 2x + 3 + 2Vx^ + 3x < 9 => 2x + 2Vx^+ 3x < 6 (+2) =» + 3x < 3 - x = » 3 - x > 0 = > x < 3 X n{A) = O P= > 0 'X - 1 s ( ( - 2 ; 3 ] - { 1 Q = {x S IR/(2x + 1) C { { - 9j o [ - 3;9))} determinar la suma de los elementos del conjunto (P\Q) n 2, (E: conjunto de números enteros). Elevando al cuadrado: x^ + 3x < 9 - 6x + x^ 9x<9 = » x < 1 a x < 3 XE(-oc;1) ...(p) Intersecando (u) y (P) R e s o lu c ió n ; P - { x e I S / ^ e ( ( - 2 ; 3]-{1})} ^ - 2 < ^ ^ < 3 A CS = X e [0; 1; = * - 3 < x < 7 A x ^ 3 =»P = (;-3; 7] - {3} Q= {x 6lR/(2x + 1) e (-oc; 9j n [-3; 9)} Q= {x € IR/ (2x + 1) G [-3; 9)} =»-3<2x + 1 < 9 = » - 2 < x < 4 - Q = [-2;4) Luego: P\Q = ((-3; 7] - {3))\ [-2; 4) = P\Q = (-3; -2 ) u [4; 7] (P\Q) n Z = {4; 5; 6; 7} .-. La suma de ellos es 22. 9. Hallar el conjunto solución de la inecuación: - 1)^ - 1 > ( X - 2 f (X 12. Determinar la solución de la inecuación: X+ V x ^ - 1 4 x + 13 < Aplicando la propiedad: /a O a (b > O /\ a < b^)j Luego, se tiene: x ^- 14x + 13 2 OA {x + 1 > OA [ x ' - 14x + 13 < (X + 1)^]} (X - 13)(x- 1)2 0 A {X > -1 A [(X - 1 3)(x - 1) < - 1)^ - 1 > ( x + 1)^1} x e ( - r x . ; 1 J U [1 3 : + a c ) n x ^ - 1 4 x + 1 3 < x^ + 2 x + 1 R e s o lu c ió n : (X 1 Resolución: x > 3 /4 (X - 2f x^ - 2x + 1 - 1 > x^ - 4x = 2x > 4 ^ X > 2 CS = (2; +oc) Luego: 4- 4 10 Resolver: f x + 3 + -¡4 -~x > -3 => x e x e (-=c; 1] u [1 3 ; + 0 0 ) a [x ( 3 /4 ; 1] 13. Resolver: X- 1 'VX + 3 > O Resolución: Resolución: Por propiedad: Calculando ios universos relativos: /a + S > O^ a > O A b > 0 > 3 /4 ] 2x-8-.n Luego- '' 5 -X~â -X Resolviendo: (X - 4)(x - 1) > O A (5 - x)(x + 3) > O (X - 4){x - 1)>0:x?i 1 A ( x - 5)(x + 3 ) < 0 ; x ^ - 3 + + 1 e ( - ^ 1 \ - ^ ) u [4: 4-cc) * " 2 3 4 -rjc 1] u [2: 3] u [4; +ac) Resolver: {x" - 4)(1 - x)(x^ + X + 1f ( x ^ - 5x - 6) > O Resolución: 5 - 3 Xe (- 3 A 15. ----------- 1 + 4- 1 CS = Simplificando (x^ + x + 1f \ pues x^ + x + 1 es po sitivo, nos queda {x^ - 4)(1 - x)(x^ - 5x - 6) > O, pero podemos factorizar y nos queda: ( X + 2)(x - 2)(x - 1)(x - 6)(x + 1) < O 53 Luego, intersecando se tendrá; X í: (-3; 1'/ u(4; 5] 14. Resolver; {x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) > O Resolución: Los puntos críticos son: 1;2:3;4 RESUELTOS PROBLEMAS Q Determinar ta suma de elementos del siguiente conjunto: A= X E/ !-4 6x =- 1 4 - xl De donde: X 9^ E = ( l ! l )e sV .'. Son correctos (I) y {111} 3. Resolución: De A: 4 - |x| / O == x # ± 4 Luego: 16x - x^| - 4= - 4 -h |x| => |6x - x"^! = jx|; de aquí: 6x x^ - x V 6x - x^ = - x x(x - 5) = O V x(x - 7} = O (x = OV X = 5) V (x = O y X = 7) =» A = {0; 5; 7} I de elementos de A: 12 2. Como |a| > O, V a e IR =» La única posibilidad para que: 2x + b| + |y - b| + 3|b - 2 \ = 0 Es: O O O Obs. • 2x + b = 0 ^ x = -b/2 • y - b = 0 =»y = b . b - 2 =0 ^b =2 O sea que; x = -1; y = 2 T = X +■y + 3b = 7 il, V4x^ + 4x 4-1 = O, tiene 2 soluciones reales. O, la ecuación „2 IXI + IX I x^ 1 no tiene solución real. Señalar lo correcto. Resolución: Observación: |x^- 3x + 1| = |-x^ + 3x - 1| I. | x ' - 3x + 1¡ < |2x" - 4x + 2| + | x ' - 3x + 1| ^ |2x^- 4x -t- 21 > 0 Esto se verifica v x f IR =. (I) es V II. -Í4x^ + 4x+ 1= O ^ 4x ^ + 4 x + 1 = 0 ^ {2x + 1)^ = O ^ X = -1/2 ^ C S = {-1/2} ^ ( l l ) e s F III. S i x > 0 ^ . í ^ + -^ = x + - = 1 X De aquí: x^ - x -h 1 = O X Si se cumple que; |2x + b| + |y - b| + 3|b - 21 = O x; y; b e E, determinar: T = x + y + 3b R e s o lu c ió n ; Dados los siguientes enunciados; I |x^ - 3x + 1| < |2x^ - 4x + 2| + -x' + 3x - 1! III. Si X Q 4. Si A es un conjunto definido por; A = {x e IR/ ||x - 2| + |x + 311- ||x- 1| - |x + 4¡| = 2-/x - x^} y se proponen los siguientes enun ciados: I. n{A) = 3 II. 3 x,. X2 € A/ X, + Xj = 3/2 III. 3 x € A/x e (0; 1/2) Indicar cuál(es) es (son) correcto(s), R e s o lu c ió n : De A: X - x^ > O =» x(x - 1) < O De aquí: O< x < 1 condición necesaria Con esto analizamos ei signo de las cantidades dentro de las barras. • - 2 < x - 2 < - 1 = .|x -2 | = 2 - x • 3<x + 3(<4 =>(x + 3( = x + 3 Resolución: Observación: |x - 1| = |1 - x| De M: Transponiendo términos; |x ' 1!' - 3 |x - 1| - |x - 1|i2x - 51 - 3|2x - 5| íx - 1|{|x - 1| - 3) = |2x - 5|(|x - 1| - 3) ...(a) Observación: (x - 1[ - 3 = O => ¡x - 11 = 3 De aquí: x - 1 = 3 v x - 1 = -3 « x = 4 v x = -2 De (a): |x - 1| = |2x - 5| ^ x - 1 = 2 x - 5 V x - 1 = -(2x - 5) • - 1 < X - 1 < O =* ]x - 1] = 1 - X • 4<x + 4<5 =s|x + 4|:=x + 4 En 5a ecuación'. | 2 - x + x + 3 | - | 1 - x - x - 4 ( = 2 h - x^ 5 - | - 2 x - 3 | = 2 ^x - x ^ ^ 5 - | 2 x + 3|=2Vx- x^ Como 0 < x < 1 =»3<2x + 3 < 5 = |2x + 3i = 2x + 3 ^ 5 - (2x + 3) = 2/x"-x^ De aquí: 1 - x = Vx - x^ Elevamos al cuadrado (1 - x)^ = x(1 - x) (1 - X ) " - x(1 - X ) = O ^ (1 - x){1 - 2x) = O De donde: x = 1 v x= 1/2 Luego: A = {1; 1/2} Con esto: (I) es F; (II) es V; (III) es F. Solo (II) es correcta, 5. X = 2 X = 4 V Luego: M = {4; -2 ; 2} Z de elementos de M: 4 8. Determinar la suma de los valores enteros que sa tisfacen la inecuación: ||x - 2 \ + 2 x \ < 2 -1 2 -xi-x x^ - 2 2 -]2 -x|-x De —¡—!— — -------< O |x-x^|-2 ...(I) Observación: ¡x - x^| = 2 Resolvamos: |x - x^| = 2 =» x-x^=2 v x - x ^ = -2 x^- X + 2 = 0 V x ^ - x - 2 = 0 3x eE V (x - 2)(x + 1) = O =»x = 2 V X = - 1 Con esto decimos que: X # 2 a x?¿ -1. y como el CS = (a; +co) o sea que: x > a; quiere decir que X > 2 (condición necesaria). De (I): Determinar el conjunto solución de la inecuación: |x' - 10| í |xY + 8x^ |x |l-x |-2 < o De la condición necesaria: • 2 - x < 0 = *|2-x|= x-2 • 1 -x< -1 = > |1 -x| = x-1 • |x| = x Resolución: Sea: |ap = a^; v a e IR ^ |x "- 10|<x" + 8x^ Es no ( - ) De aquí: -(x“ + 8x^) < x"* - 10 < x'“ + 8x^ = -x" - 8x' < x" - 10 A X * - 10 < x" + 8x" x" + 4x^ - 5 > O A 8x' + 10> O (x^- 1)( x^+5) >0 A x e E « (x + 1)(x - 1) > O A X e IR (x<-1vx>1) A X G E Intersecando: X < - 1 v x> 1 CS= (-oc; -1 ] u [1; +oc) 7. < O Resolución: Resolución: De ||x - 21 + 2x| < ■■■{o.) = » - x > 0 = > x <0 condición necesaria) Con esto: x - 2 < 2 = > | x - 2 | = 2 - x En(a): |2 - X + 2x| < ^ |x + 2j < (x + 2)^ < -X =. x^ + 5x + 4 < O => (x + 4)(x + 1) < O =» -4 < X < -1 Intersecando con la condición necesaria: -4 < x < -1 De aquí, los valores enteros de x son: -4 ; -3; -2 : -1 X, de todos ellos: - 1 0 6. Al resolver la inecuación, el conjunto solución es A = (a; +cc), hallar el valor de "a"; 2 - (x - 2) - x <O x(x-1)-2 (x-2) >O '' >0 ( x - 2 ) ( x + 1 ) ' '' ~ x +1 = i X + 1 > 0 = x > —1 Intersecamos con la condición necesaria x > 2 =» CS = (2; + x ) Identificando: a = 2 9. Determinar la suma de los elementos del conjunto: M = {XElR/jx - 1|' + 3¡2x -5) = 3|x - 1| + |1 - x [ | 2 x - 5 ( } 2(2- x ) <O X - 2 x^ - Dados los conjuntos: A = {(x; y) e / y > x^ - |x[} B = «x;y) e E = / y < l x ^ - Wl) C = >; y) determinar la gráfica de A n B n C, Resolución: A = {(x; y) e y > x^ - ¡x)) y > x "-|x |+ l-l .y > (|x |-|)^ l Su gráfica es: Su gráfica es: La intersección de ambas es la gráfica de M. C = :x; y ) 6 IR V y < |j Su gráfica es: 11. Detenninar el intervalo al cual pertenece "a", de tal manera que la desigualdad: x^ - 8x + 20 ^ Q ax^ + 2(a + 1)x + 9a + 4 se verifique para todo valor de x. Resolución: x^ - 8x + 20 < 0; V X effi ax^ + 2(a + 1)x + 9a + 4 Como x^ - 8x + 20 > 0; V X e E =» ax^ + 2{a + 1)x + 9a + 4 < 0; v x e E Por propiedad: a < O a a < O a < O A 4(8 + I f - 4(a)(9a + 4) < O = > a < 0 A a ^ + 2a + 1 - 9a^ - 4a < O » a < O A 8a^ + 2a - 1>0 =» a < O A (4a - 1)(2a + 1) > O a< OA a< «a<0A2a+1<0 La gráfica de A n B n C es: a < 4 10. Graficar la región definida por el conjunto: M = {(x; y) e E x IR/x^ + y" < 4y + 16 A + 2 < y} Resolución: Resolución: M = {(x: y) € E^/ x^ + y^ < 4y + 16 12. Representar en el plano cartesiano la región: A= {(x; y) A (X + y)x < 0} a x^ + ♦ x ^ + / < 4 y + 1 6 «■ x^ + y^ - 4y < 16 =í x^ + (y - 2 f < 20; cuya gráfica es: 2 < y} A= {(x; y) e E^/(x + y)x < 0} Usando la propiedad; a b < 0 => ( a > 0 a b < 0 ) v (a <0 Se tiene que: (x + y)x < O a b> 0) =» (x + y > 0 A x<0) (x + y < 0 V a Resolución : x>0) M N M:x + y > 0 A x < 0 =»y>-xAx<0 • =. A = M u N • De: A = x TLÌ- f \ J_ > _L x|"2 Como: 1 + |x| > O, V X e E A ¡xl > O ^ 2 ^ > 1 + |x¡ ¡x[ + 1 - 2 j[7 i < 0 =* ( í m - l f < O - ( /¡ 7 ¡ - if = 0 (pues un cuadrado no puede ser negativo) X= o =• ^fx] =1 =>x = 1 v x = -1 (ambos son enteros) A = {1;-1} ^ y = -X La zona más oscura representa a M. De; B = y e IN/- |y| ^ 1 + | y| 2 - 2|y| < 1 + ly| - |y| < 1 -1 < y < 1, Como y G IN =» B = {1} A + B = {1} ^ N(An B) = 1 15. Si a + 1 < 0: hallar el conjunto solución de + X < 1 - ax •lax^ Resolución: a + 1 < 0 =»a<-1 ■íaxFTx < 1 - ax =» ax^ + X > O A 1 - ax > O a ax^ + x < 1 - ax La zona más oscura representa a N A = M u N será: => x ( - a x - 1 ) < 0 a x > + - a - a x ^ - (a + 1)x +1 >0 ^ ( o < x < - - ^ A x > jjA-ax^-(a+1)x-1+2>0 ^ (o < x a (-ax - 1)(x + 1) + 2 > O >0 X + X + 18 La segunda desigualdad se satisface para todos los x de 0; - -1 a + X -1 > O 2 -x Resoiución: x !+ x + :i8 + x -i> o 2-x CS = 0; - a x^ + x + 18 + ( x - 1)(2- x) > O 2-x 4x+ 16 > O X + 4 <O 2-x x-2 + - . + =. x e ( - 4 ; 2 ) 14. Dado los siguientes conjuntos: A= x e S/ 1 +1x1 “ 2 y e IN/ _ m _ < i 1 + | y| 2 determinar el número de elementos de A n B. B= + 16. Determinar a qué intervalo deberá pertenecer m, 3 x - 8 •+ m + 4 se x^ - x + 1 encuentre siempre sobre el eje x, para todo valor real de x. para que la gráfica de f(x) Resolución: La gráfica de f debe estar siempre por encima del eje X , es decir; f(x) > O, v x e E 3x- 8 m + 4 > O, v x e m x^ - x + 1 (m + 4)x^ - (m + 1)x + m - 4 O, V X e IR x" - X + 1 Como: x ^ - x + 1 > O, v x e E =» (m + 4) x^ - (m + 1)x + m - 4 > O, V x e E =»m + 4 > 0 a A < 0 =» m + 4 > O A ( m+1) ^- 4(m + 4)(m - 4) < O =» m > - 4 a 3m^ - 2m - 65 > O =í m > -4 A (3nn + 13)(m - 5) > O =»m> - 4 a/m En B: [X - 2| = 3x + 3 3x + 3 > 0 A ( x - 2 = 3x-f-3 v x - 2 = -3x - 3) - x > - 1 <-4^vm >5 m > 5 => m e <5; A ( x = - | (xe(J)) V 1- CS = 4’ 4 Resolución: x^ + 2x + a > 10; V x e E => x*+ 2x + a -10 > 0; V X e E Por propiedad; 1 > O A ( 2 f - 4 ( a - 10) < O =» 1 - (a - 10) < 0 ^ a > 11 a > 11 Resolver: - 2x + 5 < 3x + 8 21. 6 < x < 6x - 10 = > 6 < x CS = (6: +oo) 19. Si a > b > Oy S es el conjunto solución de la ecua ción: |x - a| -I- b = (x -h a[ - b, hallar ei conjunto S. Resolución: ^ (x= -1 ) V 2 < x < 3 A íx = - 9 V x = -l V (x e - a < x < a A x = ' ^ j v ( x > a A - a + b = a -b )(F ) =9 (Xe 0) V (x = b) V (x e 0) == X- b S = {b} Resolución: Recuerde que: (aj = |b| =* a = b v a = - b , - 15 - Ix - 211 = |3x - 21 ^ 5 - jx - 2[ = 3x - 2 V 5 -|x - 2|= 2 - 3x =» jx - 2j= 7 - 3x V jx - 21 = 3x + 3 )x - 7| + I x - 5| = | x - 2| Resolución: |x - 71 + | x - - > ( X < 2 A X < > 0 I ;k < | a V x - 2 (x > 7 (5 < x < =• (X G 0 ) ^ v v + x - 5 = x - 2 ) |2 < x 7 A X = V ^x = - 7 a x (x < 2 A x = 10) V 2) = x - 2 ) x = x - 7 A 7 - x - x - 5 4) 5 a < V (x > 7 A X = 10) V ( x e 0 ) V ( x = 10) V Xj = 10 = 3x-7) 23. Determinar la suma de raíces de: A x = |v x = | = |) ( 5 < x < ^ = 2 - x ) v 5 A 7 - x + 5 - Se pide: 3(Xi + X2) = 44 (x -2 = 7 - 3 x a x 5| = | x - 21 7 - x ( - 5 - x (2 < x < =» X, = B En A-, ix - 21 = 7 - 3x x x= -1 Como respuesta dar la suma de las soluciones por 3. Determinar eí conjunto solución de la ecuación: 15 - |x 2|i - |3x 2) A (x G V n(A) = 1 22. Determinar el conjunto solución de la ecuación: {-a < x < a A a - x + b = x + a - b ) v (x> a A x - a + b = x + a - b ) => (X < - a A a -I- b = - a - b ) (F) 7 - 3 =» (X = -1 ) 0) Luego; A = {-1 } | x - a | + b = |x-Ha|-b a a > b > 0 = ( x< - a A a - x - i - b = - x - a - b ) v 20 . Dado el conjunto: A = { X e E/ ||x - 2| - |x - 3||- 3x = 4}, determinar: n(A). Resolución: -2 x + 5 < 3x + 8 < 6x - 10 =» -2 x + 5 < 3x + 8 A 3x + 8 < 6x - 10 x a i A= { X e E/ |jx - 2|-|x - 3|| = 3x + 4} ^ ||x - 2| - |x - 311 = 3x + 4 =» ( X < 2 A 12 - X + x - 31 = 3x + 4) v (2 < X < 3 A I X - 2+x - 3| = 3x + 4) v (X > 3 A |x - 2 - X + 31 = 3x + 4) =» (X < 2 A 1= 3x + 4) V (2 < X < 3 A 12x - 51 = 3x + 4) V ( X > 3 a 1 = 3x + 4) ^ (x < 2 ^ x = -1 ) A [ 2 < x < 3 h (2x - 5 = 3x + 4 V 2x - 5 = -3 x -4)] v ( X > 3 A x= -1) Resolución: » - ^ < X = - 1 ) ^ ^X>-1 A X = - - | ) V ^X>-1 A X = + o o ) 17. Determinar qué condición debe satisfacer "a”, para que cualquiera que sea el valor real atribuido a x, el trinomio x^ + 2x + a, sea superior a 10. 18. v v (x < 1 ¡xl + I x - 21 = Resolución: a x = | Ixl + Ix - 21 = 5 =» (x<O A - x - x Ax + 2 - + 2 = 5) V (0 < x < 2 ) x = 5) V ( x > 2 A x + x - 2 = 5) 5 =, ( x < O A = V (0<x<2 a =,x+1>0 2 = 5) v = * x - 1 > 2-x>0 A a x < 2 = » - 1 < x < 2 Luego: CS = [-1; 2] - [a; b] =» a = -1 A b = 2 ab= - 2 =» | X = - Í I V (XE0) V X = 27. Xi = - | 24. V Xí = I X, + X; = 2 Si A es el conjunto solución de la siguiente inecua ción: - X - 3x < - X . hallar A, - 4 + 3x Resolución: Tenga en cuenta que: V nelN: a > b « a ' " ■’ > b^""’ Vx^-3x^ + 5 x - 6 > x - 2 = x ' - 3x^ + 5x - 6 > ( X - 2)' =» x^ - 3x^ + 5x - 6 > x^ - 6x^ + 12x - 8 ® 3x^ - 7x + 2 > O =» (3x - 1)(x - 2) > O Resolución: -x^-3x - 4 + 3x < - X - x ^ - 3 x > 0 a - x > O a - x ^ - 3 x <x^ - 4 + 3x - 4 + 3x x(x + 3) <OA X<OA > -X' 3x-4 ” ‘ ■ 3x-4 =» (x< o A x + 3 < 0 ) A x^ + 3x< - x^(3x - 4) =. (X < O A X < -3 ) A 3x^ + 5x+ 3 > O ® (x < -3 ) A (X e IR, pues A < 0) =»x<-3 V x = 0 CS = <-co; -3 ] u {0} 25. Al resolver: 1 3 => X E 28. ^ x' - 2 > O A O > X (-6 >0 ^'’- ’■/a son del mismo signo. x -4 < O x+ 6 > -/2) A ( - 6 < X < 4) < x < - / 2 ) V (/2 < X + Al resolver la inecuación: Vx + 1 + V2 - X > -6, s© obtiene como conjunto solución al intervalo [a; b]. Hallar ab. Vx+ 1 + V2-X > - 6 * x + 1 > 0 a 2 - x> 0 29. Si x e E, en m < - 6 (la desigualdad se satisface) x^ - 5x + 9 <n hallar: 11m + n Resolución; m< a h -1 x e ( - 3 ; - 1 ) u (2; 3) « A = (-3 ; -1 ) u (2; 3) Luego: a = -3 ; b = - l A c = 2 ; d = 3 a+ b+ c+ d= 1 m< Resolución: H -3 < 4) Luego: a = -6 ; b = - /2 c=/2;d = 4 a + b + c + d = -2 Vx + 1 + V2 - x >O - 9 ) > o} a ^ x e (-6 :-./2 > u (/2; 4) 26 . 9) > 0) A = {x G IR/(2 - x)(x +1)(x^ - 9) > 0} =» (x - 2)(x + 1)(x + 3)(x- 3) < O » ( x < - / 2 A - 6 < x < 4 ) V ( x>/ 2 A - 6 < x < 4 ) =» Determinar el conjunto por extensión: V X > /2) A « (x < - 72 V ab = -| o Resolución: « (x + /2)(x - /2) > O A ^ (x <-■ ¡2 9 b= 2 A = {x e E / (^ /2 ^ ) (^ '/jr n )C V ® /x T 6 Pues: V n e IN: a a (2; +cti) Si: A = (a; b) u <c; d), hallar: a + b + c + d >0 , 1 O u 2 A = {x e E/(=‘/ 2^ ) ( ' y i r r í ) ( ' V - Resolución: Vx^ - 2 ® / x T 6 co; ^ Luego: a = •> 0. se obtiene ^Vx^ - 2 ®7jT+6 (a; b) u (c; d), Determinar: a + b + c + d Al resolver la inecuación: Vx^ - 3x^ + 5x - 6 > x - 2, se obtiene por conjun to solución (-co; a) u (b; +co). Hallar ab. x - 5x + 9 X x‘‘ - 5x + 9 < n ^ X ----------------- X - 5x + 9 O< - mx‘ + (5m + 1)x - 9m ^ ~ x^ - 5x + 9 <n - nx^ + (5n + 1)x - 9n ^ ^ - 5x + 9 O< [mx^ + (5m + 1)x - 9m ](x^ - 5x+ 9) a [-nx^ + (5n + 1)x - 9n](x^ - 5x + 9) < O Análisis del trinomio: x^ - 5x + 9, es positivo v x e HL Discriminante: A = (-5)^ - 4(9) < O Luego, en (I): O< -mx^ + (5m + 1)x - 9m V X e IRsiempre es positivo o cero. => (5m + 1)^- 4(-m)(-9m) < O -11m^ + 10m + 1 < O 11m^ •“ 10m - 1 > O =» (11m + 1)(m - 1) > O =* m á 1 31. Hallar el intervalo en el cual debe estar comprendi do el valor de n para que la inecuación: 3(2n + 1)x^ - 2(4n + 5)x + 5n + 9 <n + 2 5x^ - 6x + 5 Se verifica que para todo valor de x. Resolución: Propiedad: Sea: ax^ 4- bx + c, con a > 0: A< 0 » a x ^ - Hb x + c > 0 , V x e E Luego, como 5x^ - 6x -i- 5 > O, v x e E. entonces: 3(2n + 1)x' - 2(4n + 5)x + 5n + 9 < (n + 2)(5x* - 6x 5) (n - 7)x^ + (2n - 2)x - 1 < O (7 - n)x^ + 2(n - 1)x + 1 > O Como se debe verificar v x e E a> O A A< O 7 - n > 0 A 4(n - 1)^-4(7 - n) < O n<7 A n ^ - n - 6 < 0 n<7 A -2 < n < 3 -2 < n < 3 u m> 1 Luego, en (II): -nx^ + (5n + 1)x - 9n < O nx^ - (5n + 1)x + 9n > O V X G IRsiempre es positivo o cero. « [-(5n + 1)]^ - 4n(9n) < O -11n^ + 10n + 1 < O 11n" - 10n - 1 > O « (11n + 1)(n - 1)> O 32. Resolver x^ + 3x^ + 3x + 1 < O x" - 3x^ -I- 3x - 1 Resolución: (x+1)^ <O (x~lf x^ + 3x^ + 3x + 1 < O x^ - 3x^ + 3x - 1 xe(-1;1) 33. x+1 < O Si A es el conjunto solución de la inecuación: (V-2x - 3x')(x - 3)^(2x - 2) ^ ^ => n < - 1 u n > 1 (x-1)^Vx^ + 2xJ[-x| Finalmente de (I) a (II): 11m < -1 1 11m hallar A. 11n> 11 Resolución: n> 1 X =3 V {-2 x -3x^ > O A 0; 1 A 2“J -2 x -3 x ^ (x -3 )* 1 (x^ + 2x)] ( x- 1 ) ^ J | - xi 11m + n > 12 Iim + n e (-oo; - 12 u [12; +oo) 0} >0 X 30. Si a y b son dos números positivos, siendo a > b. Indicar dónde está el error de la siguiente se cuencia: ab > b^ -a^ + ab > b^ a(b - a) > (b - a)(b + a) a> b+a 0>b X X = 3 V ...I ...III ...IV ...V = 3 V {3x^ + 2 x < O a x ^ O ; 1 a X 34. «3 = 3V 1 <0} x(x^ + 2) < x < 0 A x ? f e 0 ; l A x < 0 } <X< O A= Calcular el menor valor k € E. tal que: 2x^ - 3x + 4 > k, V X G E Resolución: 2x" - 3x + 4 > k Resotución: El error se encuentra en el paso (IV), puesto que (b - a) es negativo. En el enunciado se dijo que (a > b) y como se ha dividido los dos miembros de la desigualdad entre un número negativo, el senti do de la desigualdad ha debido invertirse. 2Íx^ - | x + > k - 4 + 1 ^ 2fx - v x e E ; 2 Í x - | ) >0 Knáx — 23 > k- K - ^ < 0 =» k < ^ 35. Sean A y B dos conjuntos definidos por A = {X E m / |x - 2| - Ix + 3| = 4} B = { x e E / | x l + | 3 ~xj = 3} Demostrar: 3 x g A , 3 y e B / x + y = 0 Resolución: Con A: |x - 2| = 4 + |x + 3| Usando: |x| = a = x = a v x = -a Se tiene: X - 2 = 4 + |x + 3| V X - 2 = - 4 - |x + 3| =■ |x + 3| = X - 6 V |x + 31 = -X - 2 { x - 6 > 0 A (x + 3 = x - V {-X - 2 > 0 3= ^ (x + => {x > 6 A (x e 0 6 V x + 3 = 6 -x )} - x - 2 V x + 3 = x + 2) ) x = •!)} V {x < -2 A V =>-3<x<1 A x = - 1 = > x = - 1 Para x>1 : x + 3 > O a x - 1 > 0 Luego: x > 1 a x + 3 - ( x - 1 ) = x + 1 =»x>1 A x = 3=>x = 3 Con esto; M = 1 a N = 2 .. = 5 38. Si M es un conjunto definido por: M = {x G IR / |x|-3 hallar el conjunto M. Resolución: De la proposición, resolviendo cada inecuación, se tiene: ( X - - | V XG0)} = {x>6 A X = |} V {x< - 2 A x- -|} ( x e o } A {x= 2 Con B: |x| + 13 - x| = 13| = | x + 3 - x| Pero: la + b| = |a| + |b| « ab > O =» x { 3 - x ) > O =» x ( x - 3) < O = x G [ 0: 3] Luego: A = | - | j A B= [ 0: 3] De donde: para x = - - | G A A y = ^ G B ^x + y= 0 3xeA, 3 y e B / x + y = 0 |x|-3 T = {X e IR / ||| x ' + 4 | + 4 x | - | | x ' + 4 | - 4 x || > 3 2 }, entonces eí conjunto T^, es; > 2 = |x| - 3 > O A x^ > 2(|x| - 3) => |x| > 3 A x^ - 2|x| + 6 > O ^ | x| > 3 A ( | xl - 1 )' + 5 > 0 =» |x| > 3 A X e E => |x| > 3 =»x>3v x<-3 |x(x + 1)1 < |x + 4| => |x^ + x| < |x + 4| |a| < |b| ^ (a + b)(a - b) < O => (x^ + 2x + 4)(x^ - 4) < O => x^ - 4 < O, pues: x^ + 2x + 4 > O ^ (X + 2)(x - 2 ) < 0 = » - 2 < x < 2 Luego: x^ > 2 =» |x(x + 1)1 < |x + 4| !x | - 3 = 36. Si T es un conjunto definido por > 2 ^ lx(x + 1)! < |x + 4|}, V X < - 3 ) => (-2 < X < 2) 3 V x < -3) V (-2 < X < 2) =-3<x<3v -2<x<2 = -3<x<3 •- M = [-3;3) = (X ~ > 3 (X > Resolución; T = {X G E / Il|x^ + 4| + 4x| - ||x^ + 4| - 4x|| > 32} De la inecuación; ||x^ + 4 + 4 x | - |x^ + 4 - 4 x || > 3 2 >0 ^ . V X GE >0 39. S( A es un conjunto definido por; A = {x G E / ||x^ - 11- x I = x}. hallar la suma de los elementos del conjunto A. |x^ + 4 + 4 x - x^ - 4 + 4 x | > 3 2 ^ |8 x | > 3 2 = = x > 4 v lx| > 4 x < - 4 = > x e ( - c c ; - 4 ] u (4 ; + o c ) Resolución; =» T = ( - o c ; - 4 ] u [4 ; + o c ) A = {x G E/ llx^ De la ecuación; T"-(-4;4) 37. En la siguiente ecuación jx + 31 - jx - H = x + 1 Si M es el número de ralees positivas y N es el número de ralees negativas, hallar la relación co rrecta entre los valores de M y N. a = x > 0 11 - - x| = x} X = V X - 11 - X = - X A O x " - 1| = 2 x A | x ' - 1 | = 0 } = » x > 0 a { x ^ - 1 = 2 x a x ^ - 1 = - 2 x V x^ - 1 = 0} => X > O A {x^ - 2 x = 1 V x^ + 2 x = 1 V x ^ - 1 = 0 } Resolviendo cada ecuación: 1| = X + 1 Analizando por intervalos: Síx'"-3^x + 3 < ' 0 a x Luego: x - ^ - 3 a - x - 3 + x = » x < - 3 x > O A {jx^ - 1i =• X > O A {(x - 1)^ = 2 V (X + 1)^ = 2 V x^ - 1 = 0} Resolución: |x + 3 | - |x - >2), significa que la reladón > no se ,]x|-3 < 2 V Ixj - 3 = O debe satisfacer, es decir: Obs.:- x i < - 1 = x + 1 X + 3> O a a {(x = 1 + v x ^ v x = 1 - ^ = - 1 - - / 2 ) v ( x ) v = 1 v x -1 )} xe fO ;+ o o ) A x e { 1 + < /2 ;1 - V 2 ;- 1 + / 2 ; - 1 - ' / 2 ; 1 ; - 1 } x e [0 ;+ o o ) n {1 + / 2 ; 1 - / 2 ; - 1 + / 2 ; - 1 - - Z ^ ; !; - !} x = -4 = » x = -4 Para -3 < X < 1: Luego: - S ^ x -í ' I > 0 a (x = - 1 + V2 o x - 1 < 0 x + 3 + x - 1 = x + 1 =» xe{1 + / 2 ; - 1 + V2; 1} La suma es: 2 /2 + 1 40. Si M es un conjunto definido por: M = {y e E / y = |2 x | + | - x | + |x - 2| + |x + 1 0| A -10 < X < -2 } = (a; b), hallar el valor de; (b - a) l_ Lue go :a = -^;b = -A ;c = 1 a| + |b| + |c| = 7/4 Resolución: M = {yeIR/y = |2 x | + |-x | + |x - 2 | + + |x 1 0| a -10 < X < -2} y = 2|x| + |x| + |x - 2| + |x + 10| => y = 3 |x | + 2 - X + X + 1 0 ^ y = 3 |x | + 1 2 a - 1 0 < X < - 2 Luego: - 1 0 < x < - 2 ^ 2 < |x l < 44. Resolver; ^ 18 < y < 42 M = {18; 42) = (a; b) b - a = 24 a = 18 A b = 42 Vx + “Í - V j ^ ^ Vx - 2 + Vx + 1 " " ¡ X - 4 I + I X - 3 I + + Note que: x - 2 > 0 A x + 1 > 0 (x - 3 ) ' - Resolución: ^ x x > 0 V15-X > 1 - x 45. a 5 + x > 715 - x A 1 5 - x < 3 6 A 5 + x > 0 42. A X > -5) A - 5 < x < 1 A ( x < - 1 0 v x > - 1 ) = (-5 < x < 1 A X < -1 0 )v (-5 < X < 1 V - 1 < x < 1 ,-.x€(-1;1] x< 5 < 46. Resolución: y suman 14. 3; 4 ; 5 x+ 1 x^ + 4x + 4 x+ | x + 2 j | x + 2[ == x # - 2 A |x + 2 | < | x + 1| «• X -2 =» X / -2 A (2 x + 3 ) ( 1 ) < O A x < -3 /2 Al hallar el conjunto solución de la siguiente inecuación; ^ ) 3 - j x ^ - 6T|(x^ - 4 x + 3 ) < O, se obtiene (a; b) - {Vb}, hallar ab. Resolución: V|3-[x^-6||(x - |3 - |x^ - 8 || < O - 3) < O 1 )(x - 3 ) > OA (X - 1 )(x = » 3 - | x ^ - 6 | ? í : 0 a 1 < x < 3 =* (x^ Si V X G [a; b] u {c}: 2|3 + 5x - 8x^| < 1 - x, calcular |a| + |b| + |c| 47. 2|3 + 5x -- 8x'| < 1 - X => |16x^ - lOx - 6| < 1 - X , >O = 1 - X > O A |16x" - lOx - 6| < 11 - x| Usando: [al < |bl « (a + b)(a - b} < O 1 - x > O A (16x^ - 11x - 5)(16x^ - 9x - 7) < O X < 1 A (16x + 5)(16x + 7 )(x - 1)^<0 5 x e { - 3 ; -3 /2 ) - {-2 } /l5 -|x|< V |x|-7 => 15 - |x| > O A |x| - 7 > O A 15 - |x| < |x| - 7 ^ |x| < 15 A |xl > 7 A |x| > 11 ^ 11 < |x| < 15 => -15 < X < -11 V 11 < X < 15 Luego: CS = [-15; -11] u [11; 15] |a| + |b| + |c| + |dj = 52 V a x+ 2 1 |x + 2| A x > -1 ) Al resolver; ^15 - Ix I 2 < x < 5 Resolver a + 11x + 1 0 > O ^ = > x e 0 x a 25 + l Ox + x ' > 15 - X =. (X < 1 A X > - 2 1 (X - 4 )^ < V x T T - Los enteros son: 2 ; 1 - a V15 - X < 6 a x < 1 A x<1) =» x > 2 Con esto: = 6 (x<15 > - 1 =» (2 x - 7 ) ( 1 ) < 3 ^ - V l 5 - x > -/T ^ = a x Luego, la inecuación queda así: 41. Al resolver la siguiente inecuación: V6 - 715 - x > Vi - X , obtener su conjunto solu ción: => x < 15 a |x -4 | + |x - 3 | | x - 3 | - | x - 4 [ =»x > 2 V15 - X > 0 /x T l- + Resolución: 10 1 8 < 3 |x | + 1 2 < 4 2 A 6 - 'x -3 j-|x -4 | Dar la suma de todos los valores enteros que verifican. 6 < |x| + 4 < 14 = 1 5 - x > 0 u{1> 16' 9 A x^ 3) A 1 < < 3 X s»X7^3AX?t-3AX#V3 A X#-V 3 = x e ( 1 ; 3) - {V 3 } Luego; a = 1 a b = ab = 3 A l < x < 3 3 Resolver Vj x - 5 1< /2x Resolución: V| x - 5| < 2x - 1 > O A |x 1 X < 2x - a ( x - 5 < 2 x - 1 > ^ A ( -4 < =» x > 51 ^ A (X X A > 2) X 1 a x - 5 > 1 - 2 x ) > 2) X > 2 48. 49. Resolución: De aquí: /{ x+ 1)(x- 1) < -| v ^ ^ - 1 < ^ jx + 2| - [x - 4| < Vx' - 36 Note que: - 36 > O => x > 6 v x < - 6 Entonces: (x<-6 A - x - 2 + x - 4< J x T ^ ) V { x > 6 A x + 2 - x + 4 < - I x ^ - 36) =» (x< - 6 A - 6 < Vx^-36) V _____ (x > 6 A 6 < Vx^ - 36 => {X < -6 ) V (X > 6 A 36 < x^ - 36) X < -6 V {X > 6 A (X + 6/2)(x - 6/2 )> 0} ^ x < - 6 v { x > 6 a x>6V2} =» x < - 6 V x>6V2 Luego: CS = (—cc; —6] u {6/2; +oo) a = -6 Aplicando en lo anterior: Señale el conjunto solución de la inecuación res pecto a la variable x, tal que: I X > 0 x' - a > OA 4x^ - 1 < 4 - 1 < 3x ( |) ' < x^ x > 0 a 3 x ' - 4 < 0 X > O A (V3x + 2)(V3x-2) < O O Intersecando: O < x < - ^ V3 Luego: CS = (a) ri (P) CS = [1 :+ « )n (0 ;^ ) ^ CS = { 1 ; ^ ) Identificando con el dato: =2 T= 1+ 2= 3 a = l A b Resolución: Resolución: Del denominador: 0 < x = 0 < x < x - t - x ' + 3 => ■íx < Vx + x^ + 3 De V1 - 2x > X, se tiene: (i) X > O A 1 - 2x > x' (ii) x < 0 a 1 - 2 x > 0 De(i);x > O A x^ -I- 2x < 1 X > O A (x + 1)^ < 2 x > O a - V 2 < x + 1<V2 x > 0 A - V 2 - 1 < x < V2-1 Intersectando S,: O< x < V2 - 1 => (x > -y^ A O< X < => O< X < =*0<x<y^ CS = {0} x => ¡ / ~ x > 2y h + y^ y^ A X > 0) A X + / + / - X + 2 i y * - x^ > 4y^ < yÂ A -(P ) 52. Resolver: x < V1 - 2x , si la solución es: S= a). Dar el valor deT = (a + 1)^. => Vx-Vx^ + x + 3 < 0 . Luego, la inecuación se reduce a: ■¡X + + V - x -2y>0 A y>0 x + / > 0 A y ' - x > 0 A x>0 A ly* - < y‘ yÂ y* - x^ < y^ x^<0=s.x = 0 Al resolver la inecuación: ,2 + x‘ + 1+ 2 [X >0, (x® + x " - h 2 ) { 9 - x ^ hallar el conjunto solución. Resolución: Sea: |x| - 1 > O a 9 >O « |x| > 1 A x^ < 9 1 < |x| A |xl < 3 ^ 1 < |x| < 3 « x e (-3; -1 ] u {1; 3) De (ii): X < O A x< Intersectando Sj: x < O Luego: S = 8, u S2 =• S = [0; /2 - 1) u (-cc; 0> =» 8 = (-cc; V2 - 1) Identificando con el dato: a = V2 - 1 « a + 1 = V2 T = (a -i- 1)^ = 2 53. Al resolver:V2x + 1 - Vx + 8 > 3, se obtiene: X e (a + bVc ; -hoo) si a; b; c e Z*, calcule el valor deM = a + b + c Resolución: De V2x+ 1 - VxTa > 3 Como: 2 x + 1 > 0 X> 51. ...(a) (1)^: /x - Vx^ + x + 3 50. Intersecando: X > 1 X + 1 + 2Vx + 1 + Vx - 1 + X Resolver |x + 2| - |x ~ 4| < Vx^ - 36, si el conjunto solución es: S = (-cc; a] u [ - a/ 2 ; +oc

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