Aljebra de Boole y Compuertas

ÁLGEBRA DE BOOLE Y COMPUERTAS
Introducción al álgebra de Boole
Muchos componentes utilizados en sistemas de control, como contactores y relés,
presentan dos estados claramente diferenciados (abierto o cerrado, conduce o no
conduce). A este tipo de componentes se les denomina componentes todo o nada o
también componentes lógicos.
Para estudiar de forma sistemática el comportamiento de estos elementos, se representan
los dos estados por los símbolos 1 y 0 (0 abierto, 1 cerrado). De esta forma podemos
utilizar una serie de leyes y propiedades comunes con independencia del componente en
sí; da igual que sea una puerta lógica, un relé, un transistor, etc...
Atendiendo a este criterio, todos los elementos del tipo todo o nada son representables
por una variable lógica, entendiendo como tal aquella que sólo puede tomar los valores
0 y 1. El conjunto de leyes y reglas de operación de variables lógicas se denomina
álgebra de Boole, ya que fué George Boole quien desarrolló las bases de la lógica
matemática.
Operaciones lógicas básicas
Sea un conjunto formado por sólo dos elementos que designaremos por 0 y 1.
Llamaremos variables lógicas a las que toman sólo los valores del conjunto, es decir 0 o
1.
En dicho conjunto se definen tres operaciones básicas:
SUMA LOGICA:
Denominada también operación "O" (OR). Esta operación responde a la siguiente tabla:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a+b
0
1
1
1
PRODUCTO LOGICO:
Denominada también operación "Y" (AND). Esta operación responde a la siguiente
tabla:
a
0
0
1
1
NEGACION LOGICA:
b
0
1
0
1
a*b
0
0
0
1
Denominada también operación "N" (NOT). Esta operación responde a la siguiente
tabla:
a
0
1
a'
1
0
Propiedades del álgebra de Boole
Las propiedades del conjunto en el que se han definido las operaciones (+, *, ') son las
siguientes:
PROPIEDAD CONMUTATIVA:
De la suma: a+b = b+a
Del producto: a*b = b*a
PROPIEDAD ASOCIATIVA:
De la suma: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c
Del producto: (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c
LEYES DE IDEMPOTENCIA:
De la suma: a+a = a ; a+a' = 1
Del producto: a*a = a ; a*a' = 0
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
De la suma respecto al producto: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)
Del producto respecto a la suma: a + (b*c) = (a+b) * (a+c)
LEYES DE DE MORGAN:
(a+b+c)' = a'*b'*c'
(a*b*c)' = a'+b'+c'
Otras operaciones lógicas
A partir de las operaciones lógicas básicas se pueden realizar otras operaciones
booleanas, las cuales son:
NAND, cuya tabla correspondiente es:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
(a*b)'
1
1
1
0
NOR, cuya tabla correspondiente es:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
(a+b)'
1
0
0
0
XOR, también llamada función OR-EXCLUSIVA. Responde a la tabla:
a
0
0
1
1
b
0
1
0
1
a(+)b
0
1
1
0
Puertas lógicas
Todas las funciones lógicas vistas hasta el momento poseen una representación
normalizada, la cual se muestra en la figura siguiente:
Toda puerta lógica consta de 1 o más entradas y 1 o 2 salidas (puede darse el caso de
proporcionarse la salida y su negada). En todos los símbolos las entradas se encuentran
a la izquierda y las salidas a la derecha.
Estas puertas las podemos encontrar empaquetadas dentro de distintos circuitos
integrados. Por ejemplo, para la familia lógica TTL tenemos las siguientes referencias:
54/74
54/74
54/74
54/74
54/74
54/74
54/74
54/74
54/74
54/74
54/74
(LS)
(LS)
(LS)
(LS)
(LS)
(LS)
(LS)
(LS)
(LS)
(LS)
(LS)
00
02
04
08
10
11
20
21
27
30
32
Cuádruple puerta NAND de dos entradas
Cuádruple puerta NOR de dos entradas
Séxtuple puerta NOT
Cuádruple puerta AND de dos entradas
Triple puerta NAND de tres entradas
Triple puerta AND de tres entradas
Doble puerta NAND de cuatro entradas
Doble puerta AND de cuatro entradas
Triple puerta NOR de tres entradas
Puerta NAND de ocho entradas
Cuádruple puerta OR de dos entradas
Las puertas lógicas más frecuentes, baratas, y fáciles de encontrar son las NAND.
Debido a esto se suelen implementar circuitos digitales con el mayor número de dichas
puertas.
Hay que mencionar en este punto que los niveles de tensión que se corresponden con los
niveles lógicos 1 y 0 dependen de la familia lógica empleada. De momento basta saber
que la familia TTL se alimenta con +5V, por lo que los niveles de tensión se
corresponderán con +5V para el 1 lógico y 0V para el 0 lógico (idealmente hablando).
Funciones lógicas
La aplicación más directa de las puertas lógicas es la combinación entre dos o más de
ellas para formar circuitos lógicos que responden a funciones lógicas. Una función
lógica hace que una o más salidas tengan un determinado valor para un valor
determinado de las entradas.
Supongamos que tenemos dos entradas, A y B, y una salida F. Vamos a hacer que la
salida sea 1 lógico cuando A y B tengan el mismo valor, siendo 0 la salida si A y B son
diferentes.
En primer lugar veamos los valores de A y B que hacen 1 la función:
A=1yB=1
A=0yB=0
Es decir, podemos suponer dos funciones de respuesta para cada caso:
F1 = A*B (A y B a 1 hacen F1 1)
F2 = A'*B' (A y B a 0 hacen F2 1)
La suma de estas funciones será la función lógica final que buscamos:
F = F1 + F2 = (A*B)+(A'*B')
A continuación vamos a ver como en muchos casos es posible simplificar la función
lógica final en otra más simple sin alterar el funcionamiento del circuito.
Simplificación de funciones
Supongamos que tenemos un circuito donde "F" es la respuesta (salida) del mismo en
función de las señales A, B, y C (entradas):
F = A*B*C + A'*B*C + B*C
Esta función puede ser simplificable aplicando las propiedades del álgebra de Boole. En
primer lugar aplicamos la propiedad distributiva:
F = B*C*(A+A') + B*C
Ahora aplicamos las leyes de idempotencia:
F = B*C + B*C = B*C
Como hemos podido ver en este ejemplo en muchas ocasiones se puede simplificar la
función (y por tanto el circuito) sin que ello afecte al resultado. Más adelante veremos
como simplificar funciones empleando otros métodos más sencillos y fiables.
Tabla de verdad
DEFINICION:
Es una forma de representación de una función en la que se indica el valor 0 o 1 para
cada valor que toma ésta por cada una de las posibles combinaciones que las variables
de entrada pueden tomar.
Anteriormente hemos visto las tablas de respuesta de cada una de las operaciones
lógicas; estas tablas son tablas de verdad de sus correspondientes puertas lógicas.
La tabla de verdad es la herramienta que debemos emplear para obtener la forma
canónica de la función del circuito, para así poder simplificar y conseguir la función
más óptima.
Veamos un ejemplo de un circuito y la tabla de verdad correspondiente:
ABCDF
00001
00011
00101
00111
01001
01011
01101
01111
10001
10011
10101
10111
11001
11011
11101
11110
Como podemos ver, si simplificamos la función obtenemos:
F = (A*B*C*D)'
es decir, un puerta NAND de 4 entradas.
Familias lógicas
Los circuitos digitales emplean componentes encapsulados, los cuales pueden albergar
puertas lógicas o circuitos lógicos más complejos.
Estos componentes están estandarizados, para que haya una compatibilidad entre
fabricantes, de forma que las características más importantes sean comunes. De forma
global los componentes lógicos se engloban dentro de una de las dos familias
siguientes:
TTL: diseñada para una alta velocidad.
CMOS: diseñada para un bajo consumo.
Actualmente dentro de estas dos familias se han creado otras, que intentan conseguir lo
mejor de ambas: un bajo consumo y una alta velocidad.
No se hace referencia a la familia lógica ECL, la cual se encuentra a caballo entre la
TTL y la CMOS. Esta familia nació como un intento de conseguir la rapidez de TTL y
el bajo consumo de CMOS, pero en raras ocasiones se emplea.
Comparación de las familias
PARAMETRO
Tiempo de
propagación de
puerta
Frecuencia máxima
de funcionamiento
Potencia disipada
por puerta
Margen de ruido
admisible
Fan out
TTL TTL
estándar 74L
10 ns
35 MHz
10 mW
TTL Schottky Fairchild
Fairchild
de baja
4000B CMOS 4000B CMOS
potencia (LS) (con Vcc=5V) (con Vcc=10V)
33 ns 5 ns
3
45 MHz
MHz
1
2 mW
mW
40 ns
20 ns
8 MHz
16 MHz
10 nW
10 nW
1V
1V
0'8 V
2V
4V
10
10
20
50 (*)
50 (*)
(*) O lo que permita el tiempo de propagación admisible
Dentro de la familia TTL encontramos las siguiente sub-familias:




L: Low power = dsipación de potencia muy baja
LS: Low power Schottky = disipación y tiempo de propagación pequeño.
S: Schottky = disipación normal y tiempo de propagación pequeño.
AS: Advanced Schottky = disipación normal y tiempo de propagación
extremadamente pequeño.
TENSION DE ALIMENTACION
CMOS: 5 a 18 V (dependiendo de la tensión tendremos un tiempo de propagación).
TTL: 5 V.
Parámetros de puerta
Las puertas lógicas no son dispositivos ideales, por lo que vamos a tener una serie de
limitaciones impuestas por el propio diseño interno de los dispositivos lógicos.
Internamente la familia TTL emplea transistores bipolares (de aquí su alto consumo),
mientras que la familia CMOS emplea transistores MOS (a lo que debe su bajo
consumo)
.
MARGEN DEL CERO
Es el rango de tensiones de entrada en que se considera un cero lógico:
VIL máx: tensión máxima que se admite como cero lógico.
VIL mín: tensión mínima que se admite como cero lógico.
MARGEN DEL UNO
Es el rango de tensiones de entrada en que se considera un uno lógico:
VIH máx: tensión máxima que se admite como uno lógico.
VIH mín: tensión mínima que se admite como uno lógico.
MARGEN DE TRANSICION
Se corresponde con el rango de tensiones en que la entrada es indeterminada y puede ser
tomada como un uno o un cero. Esta zona no debe ser empleada nunca, ya que la puerta
se comporta de forma incorrecta.
MT = VIH mín - VIL máx
AMPLITUD LOGICA
Debido a que dos puertas de la misma familia no suelen tener las mismas características
debemos emplear los valores extremos que tengamos, utilizando el valor de VIL máx
más bajo y el valor de VIH mín más alto.
AL máx: VH máx - VL mín
AL mín: VH mín - VL máx
RUIDO
El ruido es el elemento más común que puede hacer que nuestro circuito no funcione
habiendo sido diseñado perfectamente. El ruido puede ser inherente al propio circuito
(como consecuencia de proximidad entre pistas o capacidades internas) o también como
consecuencia de ruido exterior (el propio de un ambiente industrial).
Si trabajamos muy cerca de los límites impuestos por VIH y VIL puede que el ruido
impida el correcto funcionamiento del circuito. Por ello debemos trabajar teniendo en
cuenta un margen de ruido:
VMH (margen de ruido a nivel alto) = VOH mín - VIH mín
VML (margen de ruido a nivel bajo) = VIL máx - VOL máx
VOH y VOL son los niveles de tensión del uno y el cero respectivamente para la salida
de la puerta lógica.
Supongamos que trabajamos a un nivel bajo de VOL = 0'4 V con VIL máx = 0'8 V. En
estas condiciones tendremos un margen de ruido para nivel bajo de:
VML = 0'8 - 0'4 = 0'4 V
FAN OUT
Es el máximo número de puertas que podemos excitar sin salirnos de los márgenes
garantizados por el fabricante. Nos asegura que en la entrada de las puertas excitadas:
VOH es mayor que VOH mín
VOL es menor que VOL mín
Para el caso en que el FAN OUT sea diferente a nivel bajo y a nivel alto, escogeremos
el FAN OUT más bajo para nuestros diseños.
Si además nos encontramos con que el fabricante no nos proporciona el FAN OUT
podemos calcularlo como:
FAN OUT = IOL máx / IIL máx
Donde IOL e IIL son las corrientes de salida y entrada mínimas de puerta.
POTENCIA DISIPADA
Es la media de potencia disipada a nivel alto y bajo. Se traduce en la potencia media que
la puerta va a consumir.
TIEMPOS DE PROPAGACION
Definimos como tiempo de propagación el tiempo transcurrido desde que la señal de
entrada pasa por un determinado valor hasta que la salida reacciona a dicho valor.
vamos a tener dos tiempos de propagación:
Tphl = tiempo de paso de nivel alto a bajo.
Tplh = tiempo de paso de nivel bajo a alto.
Como norma se suele emplear el tiempo medio de propagación, que se calcula como:
Tpd = (Tphl + Tplh)/2
FRECUENCIA MAXIMA DE FUNCIONAMIENTO
Se define como:
Fmáx = 1 / (4 * Tpd)