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Matemáticas
edebé
1
ESO
GEOMETRÍA
8
Rectas y ángulos
COMPETENCIAS BÁSICAS
Competencia matemática
• Expresar medidas angulares en forma compleja e incompleja.
• Aplicar los conceptos geométricos elementales en la
descripción de situaciones de la vida cotidiana.
Competencia en comunicación lingüística
• Utilizar el lenguaje geométrico para interpretar y
transmitir información en situaciones cercanas.
Competencia para aprender a aprender
• Presentar de forma clara, ordenada y precisa las construcciones y trabajos geométricos.
CONTENIDOS
1. Elementos básicos de la geometría
1.1. Determinación de una recta
1.2. Posición relativa de dos rectas en el plano
1.3. Semirrecta y segmento
2. Ángulo
2.1. Concepto de ángulo
2.2. Medida de ángulos
2.3. Clasificación de los ángulos
2.4. Operaciones con ángulos
2.5. Relaciones angulares
3. Construcciones geométricas con regla
y compás
164 Unidad 8
PREPARACIÓN DE LA UNIDAD
• Los elementos básicos de la geometría son el punto, la recta y el plano.
• Las rectas pueden ser verticales, horizontales u oblicuas.
• Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen.
Ángulo
• Una figura es simétrica si puede dividirse en dos partes iguales mediante una línea recta. Esta línea recta se denomina
eje de simetría.
Indica qué elementos de la fotografía pueden describirse como rectas
o ángulos.
Rectas y ángulos
165
1. Elementos básicos de la
geometría
La geometría es la parte de las Matemáticas que estudia las propiedades de
las figuras geométricas.
En éstas podemos identificar puntos, rectas y planos, que son los tres elementos básicos de la geometría.
PUNTOS
A
• Para representarlos utilizaremos dos pequeños trazos que se cortan o un pequeño círculo.
B
• Lo simbolizaremos con letras mayúsculas: A, B...
Tanto las rectas como los planos son ilimitados, por lo que los representamos
mediante una parte de ellos.
LENGUAJE MATEMÁTICO
RECTAS
r
Alfabeto griego
Α
α
alfa
Β
β
beta
Γ
γ
gamma
Δ
δ
delta
Ε
ε
épsilon
...
PLANOS
α
• Las representaremos mediante una línea recta.
• Los representaremos mediante un paralelogramo.
• Las simbolizaremos con letras minúsculas: r, s, t...
• Los simbolizaremos con letras griegas:
α, β, γ...
Al trazar una recta en un plano, éste queda dividido en dos partes.
ACTIVIDADES
Cada una de estas partes es un semiplano.
1. Identifica, en la imagen, algunos objetos que puedan asociarse a punCB tos, rectas o planos.
2. Representa un plano α y dibuja a continuación una recta r que pertenezca al
plano.
Después, representa dos puntos A y B, el punto A que pertenezca a la recta y el punto B
que pertenezca al plano pero no a la recta.
3. Establece qué relaciones hay entre los
tres elementos básicos de la geometría
(punto, recta y plano), dependiendo de si
uno de ellos pueda contener a otro o no.
166 Unidad 8
1.1. Determinación de una recta
Observa a continuación cuántas rectas se pueden trazar que pasen por un
punto y por dos puntos.
A
B
r
A
Por un punto pasan infinitas rectas.
Por dos puntos sólo pasa una recta.
Dado que por dos puntos sólo puede pasar
una recta, podemos decir que una recta queda determinada por dos puntos.
Si tres o más puntos pertenecen a una misma recta, se dice que están alineados.
A
B
C
1.2. Posición relativa de dos rectas en el plano
Dos rectas en un mismo plano pueden tener diferentes posiciones entre sí.
RECTAS SECANTES
RECTAS PARALELAS
s
r
RECTAS COINCIDENTES
s
r
P
r
Tienen un único punto en común.
No tienen ningún punto en común, aunque las prolongues.
de la figura. ¿Cuántas rectas has obtenido?
D
A
B
C
a) ¿Qué ocurriría si el punto B perteneciese a la recta determinada por A y D?
b) Determina cuántas rectas obtendrías si los puntos B y C perteneciesen a la recta determinada por los puntos A y D.
Tienen todos los puntos en común.
5. Dobla una hoja de papel y repasa con lápiz el pliegue que se ha formado. ¿Qué elemento geométrico
has dibujado?
6. Observa tu entorno y pon varios ejemplos de rectas
paralelas y de rectas secantes.
ACTIVIDADES
4. Traza todas las rectas posibles que pasen por dos de los puntos
s
7. Si la recta r es perpendicular a la recta s y ésta, a su vez,
es perpendicular a la recta t, ¿cuál es la posición relativa de las rectas r y t?
Rectas y ángulos
167
1.3. Semirrecta y segmento
Observa las figuras.
Segmento AB
Semirrecta
A
A
Semirrecta
Origen
Extremos
Cada una de las dos partes en que el punto A divide a la recta se llama semirrecta.
El punto A es el origen de las dos semirrectas.
Distancias
B
La parte de la recta comprendida
entre los puntos A y B se llama segmento y lo simbolizaremos por AB.
Los puntos A y B son los extremos del segmento.
Distancia entre un punto y una
recta
La distancia d entre el punto P y la
recta r es la longitud del segmento
PQ, perpendicular a r.
Fíjate ahora en cómo pueden unirse diferentes segmentos entre sí por sus extremos.
U
P
V
P
d
X
Q
r
W
R
Q
Distancia entre dos rectas paralelas
La distancia d entre dos rectas paralelas r y s es la longitud del segmento PQ, perpendicular a r y s.
Q
S
Los segmentos PQ, QR y RS están uno a
continuación del otro y tienen entre sí
un extremo en común.
Los segmentos UV, VW y WX son consecutivos y además están situados sobre una
misma recta.
Diremos que son segmentos consecutivos.
Diremos que son segmentos consecutivos
alineados.
s
d
P
r
ACTIVIDADES
Observa que, en general, para representar ángulos rectos utilizamos
el símbolo ⵨ en lugar de un arco.
Además, el concepto de segmento permite definir la distancia entre dos puntos:
A
La distancia entre dos puntos A y B es la longitud
del segmento que los une.
8. Dibuja una recta y señala dos puntos distintos sobre ella.
¿Cuántas semirrectas resultan? ¿Y cuántos segmentos?
— A continuación, señala tres puntos distintos sobre otra recta y determina el número de semirrectas y de segmentos.
9. Cita dos elementos de tu entorno que puedas representar
168 Unidad 8
B
Distancia
mediante una semirrecta y tres objetos que se identifiquen
con segmentos.
10. Los segmentos AB y BC son consecutivos. Si la distancia entre A y B es de 7 cm y la distancia entre B y C
es de 5 cm, ¿qué podemos decir de la distancia entre
A y C?
11. Considera dos puntos A y B. ¿Qué elemento geométrico resulta de la intersección de la semirrecta de
origen A que contiene al punto B y la semirrecta de origen B que contiene al punto A?
2. Ángulo
2.1. Concepto de ángulo
A continuación veremos dos maneras diferentes de entender el concepto de ángulo: como región del plano o como región barrida en un giro.
El ángulo como región del plano
Imagina que desde el punto en que te encuentras parten dos caminos. La región
comprendida entre ambos caminos se denomina ángulo.
Ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen.
Fíjate en los elementos de un ángulo:
• Las dos semirrectas son los lados del
ángulo.
Lado
Vértice
O
A
• El origen común de ambas, O, es el
vértice.
Lado
Para nombrar un ángulo utilizamos una letra mayúscula y el símbolo ^, que
situamos encima de la letra.
Para transportar un ángulo a tu cuaderno puedes utilizar una regla y el
compás. Observa:
El ángulo como región barrida en un giro
Si haces girar un lápiz sobre una mesa
manteniendo fijo uno de sus extremos,
la región del plano que barre el lápiz
en su giro también es un ángulo.
Posición
final
Posición
inicial
O
Transporte de ángulos
➀
➁
➂
➃
➄
➅
Semirrecta generatriz
Ángulo es la región del plano barrida al girar una semirrecta o, semirrecta
generatriz, respecto de su origen desde una posición inicial hasta una posición final.
13. Dos semirrectas con el mismo ori-
estas señales de tráfico. Para ello
dibuja un arco que vaya de lado a
lado o de la posición inicial a la posición final.
gen dividen el plano en dos regiones.
— ¿Sabrías decir cuál es el significado de las señales?
Efectúa un dibujo que refleje la
situación descrita en el enunciado
e indica los ángulos en el dibujo
correspondiente.
Rectas y ángulos
ACTIVIDADES
12. Señala los ángulos que observes en
169
2.2. Medida de ángulos
Dos rectas secantes que al cortarse forman cuatro ángulos iguales son rectas perpendiculares. Cada uno
de los ángulos que forman es un ángulo recto.
El ángulo recto se toma como base para establecer
la unidad fundamental del sistema sexagesimal de
medida de ángulos.
Unidades de medida de ángulos: sistema sexagesimal
90
80
La unidad de medida que utilizamos habitualmente para medir ángulos es el grado sexagesimal.
70
60
50
40
Un grado sexagesimal es el ángulo que obtenemos al dividir un ángulo recto en 90 partes iguales. Se simboliza 1°.
30
20
Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto sexagesimal () y el segundo sexagesimal (″). La relación entre estas unidades es la siguiente:
10
0
60
60
1°
grado (º)
sexagesimal
: 60
minuto (′)
sexagesimal
: 60
segundo (″)
sexagesimal
El grado, el minuto y el segundo forman un sistema sexagesimal porque cada unidad es 60 veces mayor que la inmediatamente inferior.
EJEMPLO 1
El transportador de ángulos es un instrumento graduado de 0° a 180° que se
utiliza para medir y trazar ángulos. Veamos cómo se utiliza.
Mide el ángulo representado en la figura utilizando el transportador de ángulos.
— Hacemos coincidir el punto central del
transportador con el vértice del ángulo y su base, con uno de los lados del
ángulo.
— Observamos el número de grados que
indica el otro lado del ángulo, 65.
ACTIVIDADES
Luego, el ángulo mide 65°.
14. Di cuántos grados miden 3 ángulos rectos. ¿Y medio ángulo rec-
D
to? ¿Cuántos ángulos rectos son 360°?
A
C
15. Representa los siguientes ángulos: 30°, 45°, 60°, 210° y 270°.
16. Mide los ángulos de la figura de la derecha utilizando un trans-
170 Unidad 8
portador de ángulos.
B
E
Conversión de medidas angulares
Sabemos que al efectuar cualquier medida podemos expresar el resultado en
forma compleja o en forma incompleja. Esto también ocurre con la medida de
ángulos.
Así, podemos decir que la medida de un ángulo es 15° 32′ 48″ o que es 55 968″.
Forma compleja
Forma incompleja
EJEMPLO 2
Veamos cómo se pasa de forma compleja a forma incompleja, y viceversa.
Expresa 15° 32′ 48 ″ en forma incompleja de segundos.
— Transformamos los grados y minutos a la unidad que se pide, segundos:
15 ° ·
3 600′′
= 54 000′′
1°
32 ′ ·
60′′
= 1920′′
1′
— A continuación sumamos los resultados:
54 000″ + 1 920″ + 48″ = 55 968″
Así, 15° 32′ 48″ son 55 968″.
EJEMPLO 3
CALCULADORA
Expresa 5 968 ″ en forma compleja.
— Dividimos los segundos por 60
para pasar a minutos. El resto
obtenido lo apuntamos en el resultado como segundos.
5 968″
60
568
99′
Algunas calculadoras disponen de la
tecla
, que permite efectuar directamente tanto la transformación de
forma compleja a incompleja como su
inversa. Si tu calculadora dispone de
esta tecla, consulta el manual para
saber cómo usarla.
២
28″
— Dividimos los minutos del cociente por 60 para pasar a grados. El resto obtenido lo apuntamos en el resultado como minutos. El cociente lo apuntamos
en el resultado como grados.
99′
60
២
39′
1°
1° 39′ 28″
Di a cuántos minutos equivalen
4° 13′ 38″.
18. Expresa las siguientes medidas de ángulos en forma comCB pleja.
a) 23° 15′ 44″
d) 17° 32′ 23″
a) 3 602″
d) 1 500″
b) 18′ 13″
e) 10° 10′ 10″
b) 125′
e) 330′
c) 3° 4′
f ) 64° 59′ 59″
c) 16 425″
f ) 9 672″
Rectas y ángulos
ACTIVIDADES
CB compleja de segundos.
Expresa 15° 48′ 27″ en forma incompleja de segundos.
C2
Así, 5 968″ son 1° 39′ 28″.
17. Expresa las siguientes medidas de ángulos en forma in-
C1
171
Operaciones en el sistema sexagesimal
Para operar con medidas de ángulos debemos tener en cuenta que constituyen un sistema sexagesimal de unidades.
SUMA
RESTA
Resuelve la resta: 75° 34′ 15″− 22° 45′ 30″
Resuelve la suma: 14° 15′ 34″+ 20° 37′ 44″
— Colocamos las medidas de
los ángulos una debajo de la
otra de manera que en cada
columna coincidan las unidades.
— Sumamos por separado los
grados, los minutos y los segundos.
— Si el número de minutos o
de segundos resultante es
mayor o igual que 60, lo
transformamos en la unidad
de orden inmediatamente
superior.
14°
+ 20°
15′
37′
34″
44″
34°
52′
78″
78″ = 1′ 18″
34°
53′
18″
14° 15′ 34″ + 20° 37′ 44″ = 34° 53′ 18″
MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO NATURAL
— Si el número de segundos o
de minutos en el minuendo
es menor que en el sustraendo, transformamos una
unidad de orden inmediatamente superior del minuendo en su equivalente de orden inferior.
75°
− 22°
75°
− 22°
74°
− 22°
52°
103′ = 1° 43′
37°
43′ 21″
12° 34′ 27″ × 3 = 37° 43′ 21″
— Dividimos los minutos,
transformamos el resto a
segundos y los sumamos
a los que ya teníamos.
— Dividimos los segundos.
52°
២
02°
75″
30″
45″
5
10°
2 × 60 = 120′ ; 120′ + 58′ = 178′
178′
28′
២
03′
5
35′
3 × 60 = 180″; 180″ + 35″ = 215″
215″
15″
២
0″
52° 58′ 35″ : 5 = 10° 35′ 43″
19. Efectúa las siguientes operaciones.
172 Unidad 8
93′
45′
48′
75″
30″
45″
DIVISIÓN POR UN NÚMERO NATURAL
— Dividimos los grados por
el número natural, transformamos el resto a minutos y los sumamos a los
que ya teníamos.
36° 103′ 21″
33′
45′
75° 34′ 15″− 22° 45′ 30″ = 52° 48′ 45″
— Multiplicamos por el número natural los grados,
los minutos y los segundos.
81″ = 1′ 21″
15″
30″
+60″
+60′
−1°
Resuelve la división: 52° 58′ 35″ : 5
12° 34′ 27″
×
3
36° 102′ 81″
34′
45′
−1′
Resuelve la multiplicación: 12° 34′ 27″ × 3
— Si el número de minutos
o el número de segundos
del resultado es mayor
o igual que 60, lo transformamos en una unidad
de orden inmediatamente superior.
ACTIVIDADES
— Colocamos de la misma manera que en la suma las medidas de los ángulos y comenzamos a restar por las unidades de orden inferior.
a) 23° 58′ 56″ + 34° 47′ 13″
c) 12° 17′ 28″ × 5
e) (35° 16′ 45″ − 22° 16′ 58″) × 3
b) 45° 27′ 15″ − 28° 14′ 48″
d) 130° 26′ 20″ : 5
f ) (7° 25′ 39″ + 31° 27′ 48″) : 7
5
43″
2.3. Clasificación de los ángulos
Podemos clasificar los ángulos atendiendo a dos criterios. Observa:
• Según la región del plano que abarcan.
ÁNGULO CONVEXO
ÁNGULO CÓNCAVO
A
B
^
El ángulo Aes convexo porque abarca una
de las cuatro regiones del plano que se
determinan al prolongar sus lados.
^
El ángulo B es cóncavo porque abarca
tres de estas cuatro regiones.
• Según su amplitud o medida.
ÁNGULO AGUDO
ÁNGULO RECTO
ÁNGULO OBTUSO
A = 90°
• Su amplitud es menor que la de un ángulo recto.
• Mide menos de 90°.
• Su amplitud es mayor que la de un ángulo recto.
• Sus lados son perpendiculares.
• Mide 90°.
ÁNGULO NULO
• Mide más de 90°.
ÁNGULO LLANO
O
ÁNGULO COMPLETO
O
O
• Su amplitud es nula.
• Mide 0°.
• Su amplitud equivale a dos ángulos rectos.
• Su amplitud equivale a cuatro ángulos
rectos.
• Mide 180°.
• Mide 360°.
D
A
B
C
21. Clasifica los siguientes ángulos por su amplitud o medida.
A
B
C
D
Rectas y ángulos
ACTIVIDADES
20. Indica si estos ángulos son cóncavos o convexos.
173
2.4. Operaciones con ángulos
Dos ángulos reciben diferentes nombres según su posición. Observa:
ÁNGULOS CONSECUTIVOS
ÁNGULOS ADYACENTES
Lado común
A
O
B
D
C
Lado común
O
^ ^
Los ángulos A y B tienen en común el vértice y uno de los lados.
^ ^
Los ángulos C y D son consecutivos y sus lados no comunes forman un ángulo llano.
Los ángulos pueden sumarse, restarse, y multiplicarse y dividirse por un número natural.
Veamos cómo efectuar gráfica y numéricamente estas operaciones.
SUMA
+
A
RESTA
=
B
A– B
B +A
B
A
Para sumar dos ángulos, se transporta uno a continuación del otro
de manera que resulten ángulos consecutivos.
A
B
^
^
A = 60°
^
A + B = 80°
^
B = 20°
A
A
A
Para multiplicar un ángulo por un número natural, sumaremos tantas veces el ángulo como indica dicho número.
DIVISIÓN POR UN NÚMERO NATURAL
B
4
B
^
2 ⋅ A = 60°
B
B
4
Dividir un ángulo por un número natural es hallar otro ángulo que
multiplicado por dicho número dé el primero.
^
A = 30°
^
A − B = 40°
B = 20°
2A
2A
^
^
MULTIPLICACIÓN POR UN NÚMERO NATURAL
^
B
Para restar dos ángulos, superponemos el menor al mayor de modo
que tengan un lado y el vértice comunes.
^
A = 60°
A
=
B = 120°
^
B = 30°
4
En el caso particular en que dividimos el ángulo en dos partes iguales, la semirrecta obtenida es la bisectriz del ángulo.
174 Unidad 8
EJEMPLO 4
^
^
Dados los ángulos A y B, efectúa gráfica y numéricamente las operaciones siguientes:
^
^
^
a) A + B
^
b) A − B
c) 3 ⋅ B
d) A : 4
Resolución gráfica:
A = 60°
B = 25°
Transportamos los ángulos en cada caso de la manera conveniente.
Resolución numérica:
a)
a) 60° + 25° = 85°
b)
A
d)
b) 60° − 25° = 35°
A A–B
A+B
B
c)
B
B
3B
c) 3 · 25° = 75°
d) 60° = 15°
4
B
B
A
4
Dado un ángulo, podemos definir su ángulo complementario y su ángulo suplementario de esta manera:
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
^
^
A + B = 90°
^
B
C
D
A
^ ^
Los ángulos A y B son complementarios porque suman 90°.
^
C + D = 180°
^ ^
Los ángulos C y D son suplementarios porque suman 180°.
ACTIVIDADES
^ ^
22. Razona y responde:
24. Dados los ángulos A y B:
a) ¿Todos los ángulos consecutivos son adyacentes? ¿Y al revés?
b) ¿Todos los ángulos suplementarios son adyacentes? ¿Y al revés?
A = 90°
B = 135°
23. Compara los siguientes ángulos y ordénalos de
mayor a menor sin utilizar el transportador de ángulos.
A
resuelve gráfica y numéricamente los apartados siguientes:
^
^
^ ^
a) A + 2 · B
2
b) 3 · A − B
25. Dibuja el ángulo complementario y el suplementario de cada uno
C
E
de los siguientes ángulos. Determina numéricamente sus valores.
D
B
A = 40°
B = 80°
Rectas y ángulos
175
2.5. Relaciones angulares
Veamos a continuación las relaciones entre ángulos y las propiedades que nos
permiten determinar si dos ángulos son iguales o suplementarios sin necesidad de efectuar ninguna operación.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
^ ^
^ ^
^
^
^
^
^
A y D son adyacentes, por tanto, A + D = 180°.
Los ángulos A y C tienen el mismo vértice y los lados de uno son la prolongación
de los del otro. Son ángulos opuestos por
el vértice.
B
C
^
C y D son adyacentes, por tanto, C + D = 180°.
A
^
^
A = 180° − D ⎫ ^ ^
A= C
^
^ ⎬
C = 180° − D ⎭
D
^ ^
También los ángulos B y D son opuestos
por el vértice.
^
^
Del mismo modo se obtiene B = D.
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS
Los dos ángulos son agudos.
Los dos ángulos son obtusos.
A
A
Un ángulo es agudo y el otro, obtuso.
B
B
^
B
A
^
^
A= B
^
A= B
C
⎫
^
⎬^
^ ^
A + B = 180°
B + C = 180° ⎭
^
^
A= C
Dos ángulos de lados paralelos son iguales si los dos son agudos o si los dos son obtusos. Dos ángulos de lados paralelos son suplementarios si uno es agudo y el otro es obtuso.
ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES
Los dos ángulos son agudos.
B
Los dos ángulos son obtusos.
C
C
⎬
B + C = 90° ⎭
^
^
A
B
^
A + C = 90° ⎫
C
A
D
A
^
Un ángulo es agudo y el otro, obtuso.
^
^
A= B
^
^
^
^
C= D
A = C + 90°
^
^
B = D + 90°
⎫
⎬
⎭
^
^
A + C = 180° ⎫
^
^
A= B
B
⎬
C= B ⎭
^
^
^
^
A + B = 180°
Dos ángulos de lados perpendiculares son iguales si los dos son agudos o si los dos son obtusos.
Dos ángulos de lados perpendiculares son suplementarios si uno es agudo y el otro es obtuso.
176 Unidad 8
Al cortar dos rectas paralelas por una recta secante se determinan ocho ángulos.
@ Si accedes a la página http://www.ca
tedu.es/gestor_recursos/reposito
rio/sl/178/angulos.swf, repasar los contenidos sobre rectas y ángulos.
Estos ángulos guardan entre sí diferentes relaciones según la posición que
ocupan.
Observa dichas relaciones en la tabla siguiente:
ÁNGULOS DETERMINADOS POR DOS PARALELAS Y UNA SECANTE
CORRESPONDIENTES
ALTERNOS INTERNOS
ALTERNOS EXTERNOS
A
OPUESTOS POR EL VÉRTICE
A
D
B
C
D
E
H
F
C
E
A
B
H
F
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
Cy E
Dy H
By F
C
^
^
^
^
^
Ay G
Dy F
^
^
By H
^
^
Ay C
^ ^
Ey G
Dos ángulos alternos internos son iguales.
ADYACENTES
Dos ángulos alternos externos son iguales.
CONJUGADOS INTERNOS
^
By D
^ ^
Dos ángulos correspondientes son iguales.
Fy H
Dos ángulos opuestos
por el vérticeson iguales.
CONJUGADOS EXTERNOS
A
A
D
C
D
E
H
F
C
E
B
H
F
G
G
^
Ay B
^
^
Ay D
^
^
By C
^
^
Cy D
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
^
Ey F
H
F
G
Cy G
B
E
G
G
Ay E
D
B
Ey H
Fy G
Dos ángulos adyacentes
son suplementarios.
Ay H
Cy F
Gy H
By G
Dy E
Dos ángulos conjugados internos son suplementarios.
Dos ángulos conjugados externos son suplementarios.
ACTIVIDADES
26. Justifica las relaciones entre ángulos alternos internos y
alternos externos a partir de las relaciones entre ángulos
correspondientes y entre ángulos opuestos por el vértice.
27. En la figura de la derecha, determina los pares de ángulos
iguales.
C
A
D
E
B
F
— Razona tu respuesta.
Rectas y ángulos
177
Consejos útiles
• Utiliza los instrumentos de dibujo
con precisión y cuidado.
• Presenta siempre tus trabajos limpios y ordenados.
3. Construcciones geométricas
con regla y compás
A continuación veremos cómo trazar rectas paralelas y rectas perpendiculares
con regla y cartabón, y unas construcciones geométricas fundamentales con regla y compás.
— Colocamos el cartabón y la regla
según se muestra en la figura.
EJEMPLO 5
TRAZADO DE RECTAS PARALELAS A UNA RECTA DADA
— Deslizamos el cartabón sobre la
regla. De este modo, obtenemos
rectas paralelas a r.
Obtén la recta paralela a r por el punto P
— Colocamos el cartabón y la regla según se ha visto.
— Deslizamos el cartabón hasta que el lado
que forma ángulo recto con la regla pase
por el punto P.
ACTIVIDADES
— Colocamos la regla y el cartabón según la figura.
EJEMPLO 6
TRAZADO DE RECTAS PERPENDICULARES A UNA RECTA DADA
— Deslizamos el cartabón sobre
la regla. De este modo, obtenemos rectas perpendiculares a r.
Obtén la recta perpendicular a r por el punto P.
— Colocamos la regla y el cartabón tal
como se ha enseñado.
— Deslizamos el cartabón hasta que el lado
que forma ángulo recto con la regla pase
por el punto P.
28. Traza una recta r y después traza cuatro rectas paralelas a r
178 Unidad 8
que disten una de otra 1 cm.
29. Traza una recta r y después dibuja cuatro rectas perpendiculares a ella que disten una de otra 1,5 cm.
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN PARTES IGUALES
A
B
— Trazamos una semirrecta con origen
en A y que no pase por B, y señalamos
sobre ella tres segmentos iguales consecutivos a partir del punto A.
A
B
— Unimos el extremo del último segmento trazado sobre la semirrecta con
el punto B.
A
C
B
D
— Trazamos rectas paralelas a la recta anterior
que pasen por los puntos marcados en la
semirrecta.
MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
A
A
B
— Trazamos un arco de radio aproximadamente mayor que la mitad del segmento con centro en el punto A.
A
B
B
— Trazamos otro arco de igual radio con
centro en el punto B.
— Trazamos la recta que pasa por los puntos donde se cortan los dos arcos.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales.
B
B
V
C
V
A
A
A
— Con centro en los puntos en los que
el arco anterior corta a los lados, trazamos dos nuevos arcos de igual radio.
30. Traza un segmento de 7,5 cm de longitud. A continuación, dibuja la mediatriz del segmento.
— Traza un segmento de 8 cm de longitud. Después, divide
el segmento en tres partes iguales.
— Trazamos la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que pasa por el punto de corte de los dos últimos arcos.
31. Construye un cuadrado de 10 cm de lado utilizando la reCB gla y el cartabón. Después, dibuja una cuadrícula de 1 cm
de lado en el interior del cuadrado.
32. Dibuja un ángulo de 57° y traza su bisectriz.
Rectas y ángulos
ACTIVIDADES
— Situamos la punta del compás en el
vértice del ángulo y trazamos un arco
que corte los lados.
C
V
B
179
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
ESTRATEGIA: Experimentación con la posible solución
En ocasiones, imaginar la posible solución del problema nos conduce a la solución real de éste. Esta
estrategia es especialmente útil en problemas geométricos.
Averigua en qué punto de la banda inferior debe chocar
la bola blanca para que al rebotar golpee la bola roja.
Considera que los ángulos formados por la trayectoria de la bola con
la banda, antes y después de chocar con ésta, son iguales.
Comprensión del enunciado
Expresa el enunciado del problema con tus palabras.
Planificación de la resolución
Supongamos que la bola choca en un punto M de la banda.
^
^
Puesto que A = B, si colocáramos un espejo en la banda, veríamos a través de él que la bola continúa en línea recta después de chocar
con ésta.
Para que la bola blanca golpee a la roja, esa recta deberá pasar por la imagen de la bola roja en el espejo.
Basta pues con unir la bola blanca con el simétrico de la bola roja respecto del espejo.
P
Q
A
B
M
Ejecución del plan de resolución
— Trazamos Q, el simétrico de Q respecto del espejo.
— Unimos P y Q. El punto M es la solución.
P
Q
M
Q
Revisión del resultado y del proceso seguido
Comprobamos con el transportador de ángulos que los ángulos formados por la trayectoria de la bola con la banda, antes y después
de chocar en el punto M, son iguales.
180 Unidad 8
Utiliza la estrategia anterior para resolver los siguientes problemas.
34. Averigua en qué punto de la carretera debería instalarse una gasolinera para que la distancia de ésta a las localidades A y B, respectivamente, sea la más corta posible.
33. Averigua en qué punto del espejo debe incidir un rayo láser que pasa por A para que el rayo
reflejado pase por B.
A
ACTIVIDADES
B
B
A
SÍNTESIS
SEMIRRECTA
Cada una de las dos partes en que queda dividida una
recta por un punto de ésta.
SEGMENTO
Punto
Los elementos
básicos
de la geometría
Recta 1
2
La parte de recta comprendida entre dos puntos de ella.
permiten
definir
Plano
SEMIPLANO
Cada una de las dos partes en que queda dividido un
plano por una recta de éste.
ÁNGULO
3
Región del plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen.
1 Dos rectas perpendiculares determinan cuatro ángulos
rectos.
2 La distancia entre dos puntos es la longitud del segmento
que los une.
3 Ángulo también es la región del plano barrida al girar
una semirrecta respecto de su origen desde una posición inicial hasta una posición final.
• Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un
grado sexagesimal (°) es el ángulo que obtenemos al dividir el ángulo recto en 90 partes iguales.
• Los submúltiplos del grado sexagesimal son el
minuto sexagesimal () y el segundo sexagesimal (″),
y la relación entre estas unidades es:
1° = 60 ; 1 = 60″
• La medida de un ángulo puede expresarse en forma compleja o incompleja.
Forma compleja: 24° 45 18″
Forma incompleja: 89 118″
• Los ángulos pueden clasificarse según la región del
plano que abarcan en convexos o cóncavos, y según
su amplitud o medida en nulos, agudos, rectos, obtusos, llanos o completos.
• Dos ángulos son consecutivos si sólo tienen en común el vértice y un lado. Son adyacentes si son
consecutivos y sus lados no comunes forman un ángulo llano.
• Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
Son suplementarios si suman 180°.
Rectas y ángulos
181
ACTIVIDADES
8
Puntos, rectas y planos
Ángulos
35. Dibuja en tu cuaderno tres puntos, A, B y C, y responde:
41. Observa los siguientes ángulos y haz una estimación de sus
R
• ¿Puedes trazar una recta que contenga los tres puntos? Si no
es así, ¿en qué caso podrás hacerlo?
medidas. Comprueba después con el transportador si los valores que has estimado son correctos.
• Dados dos puntos cualesquiera, ¿existirá siempre una recta
que pase por ambos?
36. Dados una recta r y un punto P que no pertenece a r, ¿cuánR tas rectas paralelas a r que pasen por P existen? ¿Y perpendiculares a r que pasen por P?
B
A
C
E
37. Indica en el plano de la siguiente figura:
F
R
Calle 49
Calle 47
D
y
dwa
Broa
nida
Ave
Calle 48
A
Calle 46
Calle 45
Times
Square
Calle 44
42. Mide con un transportador de ángulos los siguientes ánguR los e indica cuáles son cóncavos y cuáles son convexos.
Calle 38
7ª Avenida
Calle 39
8ª Avenida
9ª Avenida
Calle 40
— Transporta los ángulos a tu cuaderno y dibuja un ángulo
consecutivo de cada uno de los anteriores.
Biblioteca
Pública
B
5ª Avenida
Calle 42
Terminal
Bus
Avenida de las Americas
Calle 43
a) Dos calles paralelas.
O
A
B
O
C
b) Dos calles perpendiculares.
O
c) Dos calles que se corten y no sean perpendiculares.
d) Explica a alguien qué itinerario debe seguir para ir desde
tu casa (punto A) a la biblioteca (punto B).
38. ¿Puedes dibujar toda una semirrecta en el papel? ¿Por qué?
43. ¿Cuántos ángulos llanos son 360 grados sexagesimales?
39. Dibuja un punto A y traza cinco semirrectas diferentes con origen en dicho punto A.
44. Completa:
40. Si la distancia en horizontal y en vertical entre dos puntos
adyacentes de la figura es la misma, ¿cuántas distancias diferentes podemos encontrar en el dibujo?
182 Unidad 8
ADYACENTES
CONSECUTIVOS
........................
Sí
........................
........................
........................
........................
^
45. Traslada los ángulos ^
A y B a tu cuaderno y realiza gráfica y
R numéricamente las siguientes operaciones:
49. Expresa las siguientes medidas angulares en forma incompleja
de segundos.
a) 47′ 12″
b) 81° 44′
c) 10° 58′ 56″
50. Expresa las siguientes medidas angulares en forma compleja.
a) 7 927″
A = 60°
^
^
^
^
b) A − B
c) 2 203′
d) 1 427′
51. Efectúa las siguientes operaciones.
B = 40°
^
a) A + B
b) 90 048″
^
c) 3 · A − 2 · B
^
46. A partir de los ángulos ^
A y B del ejercicio anterior, efectúa
las actividades indicadas.
^
a) 36° 50′ 5″ + 23° 12′ 57″
c) 152° 7′ 9″ : 3
b) 48° 15′ − 30° 27′ 14″
d) (1° 17′ − 37′ 4″) × 4
52. Si sabemos que el ángulo ^
A de la figura es el doble del ángulo
^
B, ¿cuánto miden estos ángulos?
^
— Representa gráficamente el ángulo 2 · A + B.
^
— Dibuja el ángulo complementario del ángulo A.
^
— Dibuja el ángulo suplementario del ángulo B.
^
A
^ ^
— Clasifica los ángulos A, complementario de A, B y suple^
mentario de B según sean agudos, rectos, obtusos o llanos.
B
47. Dibuja el ángulo que falta:
^
^
Llamamos x al valor del ángulo B. Entonces A = 2x.
^
a)
^
Por ser A y B ángulos conjugados internos:
C
A
x + 2x = 180° ⇒ 3x = 180° ⇒ x = 180° = 60°
3
+ …………… =
^
^
Respuesta: A = 120° y B = 60°
b)
3 · ……………
E
=
^
53. Si sabemos que ^
F es tres veces mayor que A, calcula el valor de
4
los ángulos de la figura.
c)
A
3 ·
F
– 4 ……………
=
H
C
F
48. Calcula mentalmente las siguientes operaciones e indica el resultado en grados sexagesimales.
a) Un ángulo llano + un ángulo recto
54. Si sabemos que el ángulo ^
A de la figura vale 145°, determina
^^^
^
el valor de los ángulos B, C, D y E.
b) Un ángulo completo − tres ángulos rectos + dos ángulos nulos
c) Dos ángulos rectos − un ángulo completo + tres ángulos llanos
C
B
A = 145°
D
Cuatro ángulos rectos − dos ángulos nulos
d) —————————————————————————————
4
E
Rectas y ángulos
183
ACTIVIDADES
8
62. ¿Qué propiedades cumplen la perpendicularidad y el parale-
Construcciones geométricas
55. Dibuja una recta r y un punto P exterior a la recta r. Traza la recta paralela a r por el punto P y la recta perpendicular a r por
el punto P. ¿Cómo son entre sí las dos rectas que has trazado?
56. Traza un segmento de 17,3 cm de longitud. A continuación, dibuja la mediatriz del segmento y determina el punto medio.
— Mide las distancias del punto medio a los dos extremos del
segmento y comprueba que efectivamente son iguales.
@ lismo de las rectas? Para averiguarlo conéctate a la página
http://www.escolar.com/avanzado/geometria008.htm.
63. Busca en Internet diferentes significados de la palabra [email protected] metría. A continuación, busca el significado en una enciclopedia.
— Contrasta las definiciones que has hallado en Internet con
la que has encontrado en la enciclopedia. Después, haz lo
mismo con las de tus compañeros.
57. Dibuja un ángulo de 87° y traza su bisectriz.
58. Traza la bisectriz de un ángulo llano. ¿Cómo es cada uno de los
ángulos obtenidos?
Más a fondo
59. Dibuja un segmento AB y divídelo en cuatro partes iguales.
64. Ignacio, que vive en el pueblo A, quiere ir a visitar a su ami-
Problemas
go, que vive en el pueblo B, pero antes decide darse un chapuzón en el río.
60. Halla la amplitud de los ángulos que forman los vértices de
Averigua en qué punto deberá bañarse Ignacio para que el trayecto recorrido hasta la casa de su amigo sea lo más corto posible.
cada una de las siete piezas que componen el tangram de la
figura.
A
2
B
1
3
4
5
6
7
65. Dibuja el esquema del plano que refleja la siguiente situación:
61. Se dice que un conjunto de puntos del plano es convexo si
A todo segmento cuyos extremos pertenecen al conjunto está totalmente contenido en dicho conjunto. En caso contrario, se
dice que es cóncavo.
— Indica cuáles de los siguientes conjuntos de puntos del plano son cóncavos y cuáles convexos.
• Las calles Álamo y Venecia se cortan perpendicularmente en
la Plaza Mayor.
• Las calles Rosas y Turquía son paralelas a la calle Álamo.
• La calle Cerezo corta perpendicularmente a la calle Rosas.
a) ¿Cómo son entre sí las calles Cerezo y Venecia? ¿Y las calles Cerezo y Turquía?
b) Compara tu esquema con el de tus compañeros y compañeras. ¿Qué observas?
66. Dibuja una recta secante a dos rectas paralelas y señala los ána
184 Unidad 8
b
c
d
e
gulos iguales. Si uno de los ángulos mide 60°, calcula los valores de los restantes.
67. ¿Cuántos minutos faltan para que 19,323 se conviertan en
20? ¿Y cuántos segundos?
68. Halla la parte decimal que les falta a los ángulos siguientes para
73. ¿Cuántas vueltas han de transcurrir para que dos piezas que
inicialmente están juntas y que giran 25 y 45, respectivamente, cada 5 minutos, vuelvan a estar juntas? ¿Cuánto tiempo habrá transcurrido?
convertirse en un número entero de grados:
a) 20 30 15
c) 9 10
b) 45 29
d) 146 2
74. Sabiendo que el ángulo A mide 50, halla el ángulo B que aguanta la pirámide invertida.
69. Calcula cuánto mide cada uno de los ángulos indicados en los
A
polígonos regulares siguientes:
B
75. Calcula el valor de A y B, a partir de las medidas indicadas en
el dibujo siguiente:
70. Sabiendo que el ángulo A indicado en la figura mide 102
100°
130°
30 25, calcula el resto de ángulos del rombo.
A
A
B
76. Calcula, a partir de los datos indicados, cuánto mide el ángulo C en la figura.
71. Sabiendo que el ángulo A mide 51 21 37, ¿cuánto mide el
ángulo B indicado en el trapecio?
C
B
B
D
A
E
A
A 55 20 30 B 47 24
D 29
E 40 15 25
72. Las palas de una hélice tienen la forma descrita en el dibujo:
77. Calcula el ángulo suplementario de cada uno de los ángulos
siguientes:
A
a) 127 30 20
c) 320,23
b) 50,3230
d) 120 340
78. Calcula el ángulo complementario de cada uno de los ángulos siguientes:
— Sabiendo que el ángulo A mide 45 20 30, calcula cuánto mide el ángulo indicado en la pala.
a) 1202321
c) 6 600
b) 169,555
d) 360 000
Rectas y ángulos
185
INVESTIGA
79. Los geometras de la Grecia clásica intentaron efectuar sus cons-
80. Las ilusiones ópticas se producen cuando el sentido de la
@ trucciones geométricas únicamente con regla y compás. Sin
embargo, hubo tres construcciones, denominadas los tres problemas clásicos, que no pudieron resolver.
@ vista no nos permite percibir correctamente el entorno.
Con la ayuda de los enlaces que se proponen:
http://es.wikipedia.org/wiki/Ilusión_óptica
Con la ayuda de los enlaces que se proponen:
http://www.educacionplastica.net/ilusiones.htm
http://www.gap-system.org/~history/Mathematicians/
Mascheroni.html
resuelve las siguientes cuestiones:
• ¿En qué dos grandes categorías se pueden agrupar las
ilusiones ópticas?
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/grecia/
grec.htm
• ¿Son paralelas las rectas de la figura? ¿A qué categoría de
ilusión óptica pertenecen?
http://www.redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_
permanentes/mate/nombres/mate1i.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Duplicación_del_cubo
http://es.wikipedia.org/wiki/Cuadratura_del_círculo
resuelve las siguientes cuestiones:
• ¿Cuáles son los tres problemas clásicos? Dibújalos y describe en qué consisten.
• ¿Ha sido posible resolverlos únicamente con regla y compás? Razona tu respuesta.
• Diseña una ilusión óptica con rectas paralelas y rectas
perpendiculares.
EVALUACIÓN
• Halla numéricamente el lado de un cuadrado que tenga la
misma área que un círculo de radio 3 cm.
1 ¿Cuántas rectas que pasen por un punto pueden trazarse?
CB ¿Y cuántas que pasen por dos puntos?
— Dibuja tres puntos no alineados. ¿Cuántas rectas que
pasen por dos de estos puntos puedes trazar?
5 Di si un ángulo de 120° es cóncavo o convexo.
6 Dibuja un ángulo recto y un ángulo agudo, y súmalos gráficamente.
— Multiplica por 2 el ángulo recto y di qué tipo de ángulo has obtenido.
2 Indica cuáles son las diferentes posiciones relativas de dos
rectas en el plano y pon ejemplos de cada una de ellas.
3 Completa las siguientes frases.
a) Un punto divide una recta en dos .....................
b) Una recta divide el plano en dos .....................
c) Para determinar un segmento necesitamos .........................
puntos.
4 Dibuja un segmento AB y divídelo en tres partes iguales.
CB A continuación, traza la mediatriz de una de las partes obtenidas.
186 Unidad 8
^
^
7 Dados los ángulos A = 12° 48′ 25″ y B = 31° 3′ 17″, calcula:
CB
^
^
a) B − A
^
^
b) 2 · A + 3 · B
^
c) B : 7
8 Dibuja:
• Un tablero de ajedrez con regla y cartabón.
• Dos ángulos correspondientes y dos ángulos opuestos
por el vértice.
CRÓNICA MATEMÁTICA
Astronomía babilónica
y sistema sexagesimal
1 minuto = 60 segundos
Los astrónomos babilonios introdujeron los grados sexagesimales para
medir ángulos.
Algunas definiciones de Euclides
Los griegos convirtieron la geometría en el fundamento de las matemáticas.
Euclides (s. IV a. C.) la organizó en su obra Elementos, estableciendo, entre otras, las siguientes definiciones:
1. Un punto es aquello que no tiene partes.
2. Una línea es una longitud sin anchura.
3. Las extremidades de una línea son puntos.
…
23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano, por más que se las prolongue en ambos
sentidos, nunca se encuentran.
Demuestra tu ingenio
Hace mucho tiempo, un emperador encargó al mejor escultor de la ciudad que construyera una escultura en el centro de su palacio.
El emperador puso la siguiente condición:
La escultura tiene que constar de 12 figuras con la forma de mis 12 hijos y
tienen que estar colocadas en 6 filas de 4 figuras cada una.
El escultor, después de analizar durante muchos días la disposición de las
figuras, llegó a las siguientes soluciones:
Marca mediante líneas las 6 filas que engloben las 4 figuras
de la escultura.
Rectas y ángulos
187
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