ARITMETICA (1)

ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
1
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ARITMETICA
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2
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ARITMETICA
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2.1. TIPOS DE PROPORCIONES
A)
B)
Discreta: Es cuando los términos medios son diferentes.
Continua: Es cuando los términos medios son iguales.
RAZONES Y PROPORCIONES
Discreta
proporción
geométrica
proporción
aritmética
1. RAZÓN
Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una
magnitud mediante las operaciones de sustracción o división, lo cual
nos induce a señalar que se tiene dos clases de razón.
Ejemplo:
Anny tiene 45 años y su hijo Beto 15 años, ahora si estas cantidades
lo comparamos, tenemos:
R. Aritmética (Por sustracción)
45 – 15 = 30 años
R. Geométrica (Por división)
45
=3
15
En general:
Sean a y b dos cantidades cualesquiera
Geométrica
a
=k
b
a−b=r
Donde:
a
: Antecedente
b
: Consecuente
r
: Razón Aritmética de a y b
k
: Razón Geométrica de a y b
NOTA
Cuando en el texto se mencione solamente razón o relación se debe
entender que se hace referencia a la razón geométrica.
10 14 6 12

 
2
5
7 3 6
La cual es llamada serie de razones geométricas equivalentes.
(SRGE)
Donde:
10; 14;6 y 142 son los antecedentes
5; 7; 3; y 6 son los consecuentes
2 es la constante de proporcionalidad
2. PROPORCIÓN
Es la igualdad de dos razones del mismo tipo. Si ambas son
aritméticas se denomina proporción aritmética; pero si ambas son
geométricas se denomina proporción geométrica.
Realicemos algunas operaciones con los términos:
10  14  6 30

2
573
15
;
10  14  6  12
2
57 36
PROPORCIÓN
Aritmética
a−b=c−d
Además:
a+d = b +c
a−b = c−d
a−b = b−c
d: cuarta diferencial o b: media diferencial o media
cuarta aritmética de a, b y
aritmética de a y c
c
c: tercera diferencial o tercera
aritmética de a y b
a b
=
a c
b
c
=
b d
b: media proporcional o
d: cuarta proporcional o
media geométrica de a y c
cuarta geométrica a, b y c c: tercera proporcional o
tercera geométrica de a y b
2.2. SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES: (SRGE)
En algunas oportunidades nos encontramos con razones geométricas
que tienen el mismo valor numérico, como:
10
14
6
12
 2;
 2;  2;  2
5
7
3
6
Las cuales pueden igualarse del siguiente modo:
RAZÓN
Aritmética
Continua
Geométrica
a c
=
b d
Además:
ad = bc
10  12  6 16

2
563
8
En todos los casos se observa que la constante de proporcionalidad
no ha variado.
Además.
10.14.6
 2.2.2  2 3
5.7.3
10.14.6
 2.2.2.2  2 4
5.7.3.6
Donde:
a y d: Términos extremos
b y c: Términos medios
NOTA
Convencionalmente se asumen los términos de la proporción
aritmética en el orden como se presenta en el texto
Se puede observar que al multiplicar los antecedentes y consecuentes
la constante de proporcionalidad se ve afectada de un exponente que
numéricamente es igual a la cantidad de razones consideradas para
la multiplicación.
En general:
Sea la SRGE
a1
a
a
a
= 2= 3=⋯= n=k
 1er   2do   3er   4to 

  
  
  

 Tér min o   Tér min o   Tér min o   Tér min o 
NOTA
Convencionalmente se asumen los términos de la proporción en el
orden como se presentan en el texto.
(1er.Tér min o) (3er.Tér min o)

(2da.Tér min o) (4to.Tér min o)
b1
b2
b3
bn
Donde:
a1 , a2 , a3 , … , an : Antecedentes
b1 , b2 , b3 , … , bn : Consecuentes
k: Constante de proporcionalidad
3
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ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
Además: igualando cada razón al valor común:
a1 = b1 k
a2 = b2 k
a3 = b3 k
⋮
an = bn k
6.
7.
En el cual se cumple las siguientes PROPIEDADES:
a1 +a2 +a3 +⋯+an
I.
b1 +b2 +b3 +⋯+bn
=k
a1 ×a2 ×a3 ×…×an
II.
b1 ×b2 ×b3 ×…×bn
Si:
III.
IV.
V.
Si
= kn
A)
; "n" es el número de razones
geométricas.
8.
a c
 k
b d
ab c d

 k 1
b
d
a  b c  d k 1


a - b c - d k -1
81 54 36 24



54 36 24 16
;
Se observa que el primer consecuente es igual al segundo
antecedente, el segundo consecuente igual al tercer antecedente y
así sucesivamente. A este tipo de serie se le denomina: serie de
razones geométricas continuas equivalentes.
En general:
a
b
c
d



 k
b
c
d
e
3.
4.
5.
a+n
b+n
5
B)
4
C)
5
es:
2
5
D)
5
E)
5
3
5
Un granjero tiene M animales entre patos y pavos, si el número de
pavos es a M como 7 es a 20 y la diferencia entre el número de
patos y pavos es 60. ¿Cuál será la relación entre patos y pavos al
aumentar en 10 el número de patos?
B) 1/2
C)
3
D)
2
5
E)
2
2
5
En una proporción geométrica continua, el primer término es 1/9 del
cuarto término. Determine la raíz cuarta del producto de sus
términos, si la suma de ellos es 96.
A) 12
B) 15
C) 18
D) 20
E) 24
10.
Se tiene las proposiciones:
𝑎2
28
=
𝑏2
63
=
𝑐2
112
=
𝑑2
175
con a,b,c y d
positivos. Además 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 14, calcule el valor de a+b+c+d.
A) 48
B) 98
C) 144
D) 196
E) 392
11.
En una proporción geométrica continua, el producto de
antecedentes es 400 y el producto de consecuentes es 6400. Halle
la suma de los cuatro términos.
A) 100
B) 125
C) 200
D) 225
E) 250
12.
La suma, diferencia y producto de dos números están en relación
directa con los números 10, 6, y 32, respectivamente. Halle el mayor
de estos dos números.
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
PROBLEMAS
2.
c
2
a = b = , entonces la razón
2
1
9.
NOTA
En las siguientes series de rezones geométricas
1.
5
A) 2
a  b c - d k 1


a
c
1
8 12 18


12 18 27
A un teatro de cada 5 varones que entran, 3 entran con un niño y
de cada 7 mujeres, 4 entran con un niño. Además por cada 6
varones entran 5 mujeres, si entraron 678 niños en total. ¿Cuántos
adultos entraron al teatro?
A) 1155
B) 1215
C) 1426
D) 1628 E) 972
Si sumamos un mismo número positivo n a los números a, b y c
positivos se forma una proposición geométrica continua.
Las edades de Ricardo y María están en relación de 11 a 2
respectivamente. Si Ricardo es 18 años mayor que María, entonces
la suma de las cifras de sus edades es:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
13.
En una proposición geométrica de razón 3, la suma de los términos
de la segunda razón es menor que la suma de los términos de la
primera razón en 56. Determinar la diferencia de antecedentes.
A) 42
B) 33
C) 29
D) 38
E) 46
14.
La media proporcional de 2 y 8 es a la media diferencial de b y 4b,
así como la tercera proporcional de 5 y b es la media aritmética de
50 y 4, halle el valor de “b”.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Dos números son entre sí como 5 es a 12. La suma de sus
cuadrados es 676. Calcule la diferencia del número mayor menos
el número menor.
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
15.
En un corral hay n aves entre patos y gallinas .Si el número de patos
es a n como 5 es a 12 y la diferencia entre el número de patos y el
número de gallinas es 18. ¿Cuál será la relación entre patos y
gallinas, si se mueren 13 gallinas?
En una serie de 4 razones geométricas continuas equivalentes la
suma de sus términos diferentes excede a la suma de los extremos
en 310. Calcule la diferencia de los extremos.
A) 1248
B) 945
C) 3720
D) 1057
E) 1528
A)
En cierta aula de clases de una escuela existen 70 alumnos, entre
hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Al finalizar
el año desaprobaron la cuarta parte de los hombres, e igual número
de mujeres que de hombres. Entonces, la razón entre el número de
mujeres y el número de hombres que pasaron de año es:
A)
2
3
B)
3
2
C)
4
3
D)
5
3
E)
TAREA DOMICILIARIA
En una proporción geométrica continua, la suma de sus términos es
180 y la razón es un número entero mayor que 2. Halle la media
proporcional.
A) 25
B) 18
C) 28
D) 13
E) 27
3
5
4
9
10
B)
4
5
C) 12
D)
3
7
E) 17
16.
En una proposición aritmética continua los extremos están en
relación de 3 a 5. Si la suma de los cuadrados de los tres términos
diferentes de la proposición es 200; halle la media diferencial.
A) 8
B) 7
C) 5
D) 12
E) 9
17.
Halle la cuarta proporcional de: la cuarta proporcional de 45 y 5; la
tercera diferencial de 25 y 17 y la tercera proporcional 245 y 35.
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ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
A) 3
18.
Si
B) 5
A
=
B
=
C
m
n
p
5(Am+Bn+Cp)
E=
C) 7
D) 2
E) 4
A
𝑎1
y A + B + C = 324 , Halle el valor de
2
2
2
2√m2 +n2 +p2
A) 36
B) 75
C) 45
D) 60
𝑓(𝑥) =
𝑎2
E) 18
𝑘
𝑥
⇒ 𝑎1 ∙ 𝑏1 = 𝑎2 ∙ 𝑏2 = 𝑎3 ∙ 𝑏3 = 𝑘
𝑎3
𝑏3
𝑏1 𝑏2
Se dice que la función 𝒇 es de proporcionalidad inversa, si
𝑘
𝑓(𝑥) ∙ 𝑥 = 𝑘 ó 𝑓(𝑥) = .
𝑥
Nota:
 De las definiciones dadas resumimos:
MAGNITUDES PROPORCIONALES
Magnitud. Es todo aquello que experimenta cambios y que puede ser
medido. El resultado de una medición se llama valor de la magnitud o
cantidad.
Por ejemplo
Magnitud
Valor de la magnitud
Longitud
75km
Masa
20kg
Volumen
5m3
Tiempo
12 h
Número de obreros
8
Etc.
𝐴 D.P. 𝐵 ⇔

𝑏1 𝑏2
𝑏3
Para dos ruedas B y C unidas por un eje se cumple
𝑉𝐵 = 𝑉𝐶
A
B
B
C
C
PROPIEDADES
Dadas las magnitudes A y B, se cumplen las siguientes propiedades:
1. 𝐴 D.P. 𝐵 ⇔ 𝐵 D.P. 𝐴
2. 𝐴 I.P. 𝐵 ⇔ 𝐵 I.P. 𝐴
3. 𝐴 D.P. 𝐵 ⇔ 𝐴 I.P.
4. 𝐴 I.P. 𝐵 ⇔ 𝐴 D.P.
𝑎1 𝑎2 𝑎3
⇒
=
=
=𝑘
𝑏1 𝑏2 𝑏3
𝑎1
=𝑘
𝐴 I.P. 𝐵 ⇔ 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑘
Para dos ruedas A y B engranadas o unidas con una faja, se cumple
𝐷𝐴 ∙ 𝑉𝐴 = 𝐷𝐵 ∙ 𝑉𝐵
Donde:
"𝐷" es la cantidad de dientes y “𝑉", el número de vueltas.
𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥
𝑎2
𝐴
𝐵

RELACIONES ENTRE MAGNITUDES
1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Dos magnitudes 𝑨 y 𝑩 son directamente proporcionales (D.P.) o
simplemente proporcionales, si
𝑨
= 𝑘 ó 𝑨 = 𝑩𝑘
𝑩
Donde: 𝑘 : La constante de proporcionalidad.
La representación gráfica de dos magnitudes D.P. es una línea recta que
pasa por el origen, tal como se observa en la siguiente figura:
A
𝑎3
B
1
𝐵
1
𝐵
5. 𝐴 D.P. 𝐵 ⇔ 𝐴𝑛 D.P. 𝐵𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ+
6. 𝐴 I.P. 𝐵 ⇔ 𝐴𝑛 I.P. 𝐵𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ+
𝑛
𝑛
7. 𝐴 D.P. 𝐵 ⇔ √𝐴 D.P. √𝐵;𝑛 ∈ ℤ+ ; 𝑛 > 1
𝑛
𝑛
8. 𝐴 I.P. 𝐵 ⇔ √𝐴 I.P. √𝐵; 𝑛 ∈ ℤ+ ; 𝑛 > 1
9. Para las magnitudes A, B, C, D y E, se cumple:
𝐴 D. 𝐏. 𝐵 (𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸 𝑐𝑡𝑒. )
𝐴 I. 𝐏. 𝐶 (𝐵, 𝐷 𝑦 𝐸 𝑐𝑡𝑒. )
𝐴∙𝐶
}⇒
=𝑘
𝐵∙𝐷∙𝐸
𝐴 𝐃. 𝐏. 𝐷 (𝐵, 𝐶 𝑦 𝐸 𝑐𝑡𝑒. )
𝐴 𝐃. 𝐏. 𝐸 (𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷 𝑐𝑡𝑒. )
B
Se dice que la función 𝒇 es de proporcionalidad directa, si
𝑓(𝑥)
= 𝑘 ó 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 .
𝑥
2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES.
Dos magnitudes 𝑨 y 𝑩 son inversamente proporcionales (I.P.), si
𝑘
𝑨∙𝑩=𝑘 ó 𝑨=
𝐵
Donde:
𝑘: La constante de proporcionalidad
REPARTO PROPORCIONAL
Es una operación que consiste en repartir una cierta cantidad 𝑁 en partes
proporcionales a ciertos números llamados índices del reparto.
REPARTO COMPUESTO
Ilustraremos con el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Repartir 890 galletas a tres niños en forma directamente proporcional a los
números 3, 5 y 8, e inversamente proporcional a los números 4, 6 y 9.
¿Cuánto recibe el más beneficiado?
Solución
La representación gráfica de dos magnitudes I.P. es una de las ramas
de la hipérbola, tal como se muestra en la siguiente figura:
5
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ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
8. La resistencia eléctrica de un conductor es proporcional a su
longitud L e I.P. al cuadrado de su diámetro D ¿Qué sucede con la
resistencia si L disminuye en su cuarta parte y D aumenta en su
mitad?
Si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 es el número de galletas que recibirán los niños, entonces el
esquema sería
1
𝐴 = 3 ∙ ∙ 36 ∙ 𝑘 = 27𝑘
4
1
𝐵 = 5 ∙ ∙ 36 ∙ 𝑘 = 30𝑘
6
1
𝐶 = 8 ∙ ∙ 36 ∙ 𝑘 = 𝟑𝟐𝒌
9
A) No disminuye ni aumenta.
B) Disminuye en su ¾ partes.
C) Aumenta en su tercera parte.
Por otro lado, al sumar las tres partes debe ser igual a la cantidad total
repartida, así
27𝑘 + 30𝑘 + 32𝑘 = 890 ⇒ 𝑘 = 10
Por lo tanto, el más beneficiado recibe 𝑪 = 𝟑𝟐𝟎 galletas.
D) Disminuye en sus 2/3 partes.
E) Aumenta en 4/3 partes.
9. Un anciano repartió su herencia entre sus dos sirvientes
proporcionalmente a sus años de servicio que son 18 y 20 años e
inversamente proporcional a sus edades de 26 y 36 años
respectivamente .Determine el monto de la herencia si el mayor
recibió S/. 1 600 más que el menor.
REGLA DE COMPAÑÍA
Es un caso especial del reparto proporcional que consiste en repartir las
ganancias o pérdidas de una sociedad (formada por varios socios) en
forma proporcional al capital y al tiempo que han permanecido los socios
en el negocio.
En general:
A) S/. 11 000
E) S/. 16 400
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
= 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
(𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙)(𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜)
A) 2
Las magnitudes 𝐴2 y B son IP. Si cuando A vale 20. A es a
B como 10 es a 9. ¿Qué valor toma A cuando B vale 72?
A) 10
B) 20 C) 44 D) 3
E) 11
D)5/9
E) 4/9
C) 1300 D) 1400
B) 12,5
C) 10
A) 12
64
49
B) 19/5
C) 25/9
C) 23
D) 22
E) 14
A) 12 600
f(10)
A
B
A) 125
,sabiendo que
B) 1,9
C) 2,0
D) 2,1
E) 782
B) 13,5
36
45
C) 12,5
100
27
D) 13
m
135
E) 14
B) 12 500 C) 14 337 D) 10 000
E) 13 823
847
11
B) 225 C) 175
567
9
D) 512
x
5
E) 600
16. El precio de un diamante, varia proporcionalmente con el
cuadrado de su peso .Si un diamante se compró en S/: 3 200
f(x) es una función de proporcionalidad directa.
A) 1,8
D) 742
15. En el siguiente cuadro, las magnitudes “A” y “B” guardan cierta
relación de proporcionalidad.
E) 21
f(7) +f(12)
C) 500
14. Se reparte una cantidad “N” en partes directamente
proporcionales a 383 ; 573 y 762 .Si a la menor parte le ha tocado
729. Halle la cantidad que se reparte.
D) 361/25 E) 16/9
7. Si se cumple que f(12) = 18 , calcule
E) 6
13. Se tienen dos magnitudes A y B que son I.P., cuando A
aumenta en 6 unidades, B varia en un 20%. ¿Cómo varia B,
cuando A disminuye en 4 unidades?
A) B aumenta en 10%.
B) B disminuye en 15%.
C) B aumenta en 20%
D) B aumenta en 120 %
E) B disminuye en 120%
6.El número de cuadernos es D.P. al número de resmas que tenga
de papel y al número de obreros que trabajan .Si para hacer 100
cuadernos , se utilizaron 15 resmas y se emplearon 20 obreros
.¿Cuántos obreros se emplearon para hacer 150 cuadernos con 18
resmas de papel?
A) 25 B) 24
D) 5
TAREA PARA EL ESTUDIANTE
5.Cuatro personas se reparten $/6300, correspondiéndoles al
primero y al segundo en la misma relación que al segundo y al
tercero .El cuarto recibió tanto como el segundo .Si el primero
recibió $/420 más que el tercero , ¿en qué relación recibieron el
primero y el tercero?
A)
B) 612
B
25
A
n
Calcule el valor de n/m.
E) 1500
D) 13
C) 4
12. En el siguiente cuadro, las magnitudes “A” y “B” guardan cierta
relación de proporcionalidad.
4. ¿Cuál es el peso de un diamante que vale 55000 dólares, si uno
de 6 gramos cuesta 19800 dólares y el precio es proporcional al
cuadrado de su peso?
A) 12
B) 3
A) 600
3. Dos ruedas de 48 y 32 dientes engranadas están girando. Si la
primera rueda da 200 RPM. ¿Cuántas vueltas dará la segunda
rueda en 4 minutos?
A) 1100 B) 1200
D) S/. 15 500
11. Se reparte 29 700 D.P. a todos los números impares de dos
cifras. ¿Cuánto le toca a 51?
2. Si A es DP a B, averigua como varia A cuando B aumenta en su
tercera parte.
A)3/9 B) 2/9 C) 1/9
C) S/.14 600
10. A es D.P. al cubo de B, el cuadrado de B es D.P. a la raíz
cuadrada de C , y C es I.P. al cuadrado de D .Si cuando A = 3 ; D=
3
4 .Halle el valor de “A” , cuando D =2 √18 .
PROBLEMAS
1.
B) S/.12 400
E) 2,5
6
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
partiéndose en dos partes que son entre sí como 3 es a 5 ¿Cuál
sería la pérdida al partirse el diamante?
A) S/. 1 200
S/. 1 600
B) S/.1 250
C) S/.1 450
D) S/. 1 550
REGLA DE TRES COMPUESTA: Es cuando se consideran más de dos
magnitudes.
Por lo general, un caso en regla de tres compuesta es el siguiente:
(Obreros) I.P. (Rendimiento)
(Obreros) I.P. (Días)
(Obreros) I.P. (h/d)
(Obreros) D.P. (Obra)
(Obreros) D.P. (Dificultad)
E)
17. Sabiendo que A es I.P. a 𝐵2 y B es I.P. a C .Halle A ,
cuando C = √5 , si cuando A vale 44; C = √55
A) 6 B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
En consecuencia:
18. Se reparte una cantidad “S” en tres partes A, B y C, que es
D.P. a 15, 13 y 17 e I.P. a 5, 39 y 85 respectivamente. Además la
parte que le toca a A más 1800 es a la parte que le toca a B más la
de C como 6 es a 1 .Halle la cantidad ha repartir.
A) 29 300 B) 30 600 C) 31 800
(# Obreros)(rendimiento)(# Dias)(# h/d)
k
(Obra)(Dif icultad)
D) 31 200 E) 32 400
Donde:
K: constante de proporcionalidad
Ejemplo: Dos secretarias copian 350 problemas en una semana ¿cuántas
secretarias serían necesarias para copiar 600 problemas en 4 días?
Resolución:
REGLA DE TRES
* Las magnitudes que intervienen son el N° de problemas y el tiempo,
los cuales son directamente proporcionales, ya que a más tiempo
copiaran más problemas.
Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en
calcular un valor desconocido de una magnitud comparando dos o más
magnitudes proporcionales.
Resolución:
La regla de tres puede ser simple o compuesta.
REGLA DE TRES SIMPLE: Es cuando se consideran sólo dos
magnitudes, las cuales pueden ser directa o inversamente proporcionales.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Es cuando las dos magnitudes son
directamente proporcionales.
Ejemplo: Si un móvil recorre 120 km en 8 horas. Determina en cuantas
horas recorrerá 30 km.
2.7
x.4

350
600
2.7.600
x
350.4
x6
REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA
Resolución :
Distancia (km)
1. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se retiran
6 obreros. ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar
la obra?
A) 36
B) 12
C) 48
D) 24
E) 15
Tiempo (H)
120
8
30
x
2. En una sastrería los sastres A; B y C confeccionan 5; 6 y 7 ternos
respectivamente en un mismo tiempo. Además A y B juntos
confeccionan 8 ternos en 28 días. ¿En cuantos días confecciona “C” 4
ternos?
A) 21
B) 18
C) 19
D) 22
E) 24
Son magnitudes D.P
Luego: x =
30 x 8
= 2 horas
120
3. Si por dos manos de plátano, te regalan 3. ¿Cuántas docenas debes de
comprar para que en total obtengas 156 plátanos?
A) 11
B) 12
C) 10
D) 13
E) 9
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: Es cuando al comparar las dos
magnitudes estas son inversamente proporcionales.
Ejemplo: Si 209 alumnos tardan 30 días en pintar su salón de clase
¿Cuánto tiempo tardarían 60 alumnos?
4. 25 obreros hacen
Resolución:
Tiempo
momento se contrata “n” obreros más cada día, terminando 2 días
antes de la fecha en que terminarían los 25 obreros si hubiera
continuado la obra solos. Halle “n”.
N° alumnos
30
20
x
60
A) 3
B) 2
C) 4
D) 5
E) 6
5. Quince obreros han hecho la mitad de un trabajo en veinte días. En
ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán
en terminar el trabajo los obreros que quedan?
Son magnitudes I.P.
Luego: x =
5
de una obra en 10 días. A partir de ese
8
30 x 20
= 10 días
60
A) 24
7
B) 26
C) 28
D) 30
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
E) 32
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
6. Un grupo de 15 obreros abrieron una zanja de 2 m de ancho, 1,2 m de
profundidad y 100 m de largo, en 28 días. Luego otro grupo de 12
obreros del triple de rapidez que los anteriores, en 21 días abrieron otra
zanja de 1,8 m de ancho y 1,5 m de profundidad. La longitud de la
segunda zanja es:
A) 100 m
B) 110 m
C) 120 m
D) 150 m
16. Un trabajo puede ser hecho por 10 hombres en 15 días; 6 días después
de iniciado la obra 4 de ellos aumentará su eficiencia en 20% y el resto
baja en x %. Halle “x” si la obra se termino en 16 días?
A) 10
A) 22
siguientes 3 días por día ingresan “x” obreros más, concluyendo la
obra, hallar “x”.
A) 12
B) 20
C) 30
D) 18
B) 81,5 gr. C) 81,20 gr.
B) 30
E) 15
A) 10
B) 28
C) 35
D) 30
C) 4,5
E) 40
B)1 900
D) 6
C) 2 150
El “𝑎” por “𝑏” de N es
D) 25
E) 1 650
B) 16
C) 18
D) 14
×𝑁
𝑏
5
6
× 18 = 15
4
13
×
26
8
× 64
100
100% =
100
100
= 1.
Luego 100%N = N
Además:
Relación Parte - Todo
𝒂
×𝑵
𝟏𝟎𝟎
𝒂% 𝒅𝒆 𝑵 𝒆𝒔
Ejemplo.
E) 30
14. Manuel es el triple de rápido que Juan y juntos realizan una obra en
doce días. Si la obra lo hiciera solamente Manuel. ¿Cuántos días
demoraría?
A) 20
E) 12
Tanto por ciento
Nos indica la relación entre una parte y la unidad que ha sido dividida en
100 partes iguales.
1 parte < > = 1% (uno por ciento)
2 partes < > = 2% (dos por ciento)
3 partes < > = 3 % (tres por ciento)
100 partes < > = 100% (cien por ciento)
Observamos que:
𝑎
1% =1/100 entonces el a % =
3
parte del tiempo empleado por los 30 hombres?
5
C) 20
D) 4
b) El 4 por 13 de 26 por 8 de 64 es
E) 8
D)1 000
𝑎
a) El 5 por 6 de 18 es
13. Si una cuadrilla de 20 hombres pueden hacer un trabajo en 15 días,
otra formado por 10 hombres hacen el mismo trabajo en 30 días.
¿Cuántos hombres más se necesitarán para realizar el trabajo en los
B) 18
C) 6
Ejemplo
TAREA DOMICILIARIA
A) 15
E) 20
Tanto por cuanto
12. Para pintar las paredes de una sala rectangular de 10 m de largo, 6 m
de ancho y 2 m de altura pago 5 600 nuevos soles. ¿Cuánto se pagará
por pintar las paredes de un dormitorio de 3 m x 2 m x 2m?
A) 1 750
D) 16
REGLA DEL TANTO POR CIENTO
11. Un trabajador “A” realiza una obra en 9 días, otro “B” 50% más
eficiente. ¿En cuánto tiempo lo hará?
B) 5
E) 50
D) 85,25 gr. E) 82,15 gr.
10. Se contratan “2n” obreros para hacer una obra y a partir del segundo
día se despedirá 1 obrero cada día hasta terminar la obra, trabajando
el último día un solo obrero. Calcular “n”, sabiendo que si hubiesen
trabajado “n” obreros sin despido alguno, terminarían la obra en 37
días.
A) 15
B) 18
C) 20
D) 21
E) 25
A) 4
C) 18
B) 8
9. Un hombre con dos mujeres pueden hacer una obra en 10 días.
Determinar el tiempo necesario para que 2 hombres con 1 mujer
puedan hacer el trabajo que tiene 4 veces la dificultad del anterior
sabiendo que el trabajo de un hombre y el de una mujer está en la
misma relación que los números 3 y 2.
A) 25
D) 40
18. Si 20 obreros durante 6 días trabajando 8 horas diarias hacen una
zanja de 20 m. de largo, 3 m de ancho y 2 m de profundidad, ¿cuántos
días más necesitarán 12 obreros, trabajando 6 horas diarias para
cavar una zanja de 15 m de largo, 2 m de ancho y 1 m de profundidad
en un terreno de triple dificultad que el anterior?
8. Si se sabe que un ama de casa puede lavar con 50 gramos de
detergente 12 pantalones al día por un periodo de 6 días o 15 camisas
diarias durante 4 días. ¿Cuántos gramos de detergente necesitará
para lavar 3 pantalones y 4 camisas por día durante 15 días?
A) 81,25 gr.
C) 30
17. 80 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 480m2 de una obra
en 15 días. ¿Cuántos días se requiere para que 120 obreros
trabajando 10 horas diarias hagan 960m2 de la misma obra?
E) 160 m
1
de una obra; si en los
3
7. Dieciocho obreros hacen en 8 días los
B) 20
30
a)
El 30% de 80 es
b)
El 20% de 60% de 600 es
100
× 80 = 24
20
100
×
60
100
× 600 = 72
Aumentos y Descuentos
Son aplicaciones del tanto por ciento.
Sea N el 100%, entonces
𝑁
E) 48
2
𝑁
15. Una obra es dividida en 2 partes que están en la relación de 2 a 3. La
primera parte lo hacen 10 obreros en 6 días y la segunda es hecha
por otro grupo en 15 días. Si para hacer toda la obra, trabajan 1/8 de
todos estos obreros, ¿cuántos días deberán de trabajar?
A) 70
B) 72
C) 75
D) 74
E) 73
4
representa el 50%N
representa el 25%N,
Etc.
Ejemplo.
a) Si a una cantidad le aumentamos el 20%, se obtiene
N + 20%N = 120%N
8
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
b) Si a una cantidad le descontamos el 20%, se obtiene
N – 20%N = 80%N
Aumentos y Descuentos Sucesivos
Realizar aumentos o descuentos sucesivos de una cantidad, noes más
que realizar un número determinado de veces la fórmula del aumento o
descuento.
Ejemplo.
a) ¿A qué descuento único equivale dos descuentos sucesivos del 20%
y 30%?
Solución
Cequiv. = (
100−20
100
×
100−30
100
5.
A) 3
6.
7.
b) ¿A qué aumento único equivale dos aumentos sucesivos del 30% y
40%?
Solución
100+30
100
×
100+40
100
8.
Aúnico = 182% - 100% = 82%
Descuento Único para dos Descuentos Sucesivos
𝒂.𝒃
𝟏𝟎𝟎
)%
Aumento Único para dos Aumentos Sucesivos
𝐀𝐔 = (𝒂 + 𝒃 +
𝒂.𝒃
𝟏𝟎𝟎
E) 60
D) 30% E) 24%
B) 480 C) 180 D) 280
E) 380
B) 90 L C) 70 L
D) 98 L
E) 120 L
C) S/ 70
D) S/ 72 E) S/ 80
12. Si de una lata de aceite retiro el 40% de lo que no retiro y de lo
que retiré devuelvo el 40% de lo que no devuelvo, resulta que
ahora hay 78 litros en la lata. ¿Cuántos litros no devolví?
A) 16 L
B) 20 L
C) 18 L D) 24 L
E) 12 L
TAREA DOMICILIARIA
13. Un contratista recarga el precio de una casa en el 25% de su
valor; si al venderla descuenta el 12% a un comprador, ¿cuál
es el porcentaje de utilidad?
A) 12% B) 10%
Se compra un artículo en S/ 160, ¿qué precio debe fijarse para
su venta al público, para que haciendo un descuento del 20%
todavía se esté ganando el 25% del costo?
C) 13%
D) 8,5% E) 9%
14. Si al 40% del número de artículos que tengo le incremento el
40% de su precio de costo, gano S/ 192. ¿Cuánto ganaría si al
60% del número de artículos le incremento el 60% de su precio
de costo?
A) S/ 423 B) S/ 430 C) S/ 432 D) S/ 435 E) S/ 410
El precio de costo de un artículo es el 75% del precio de venta.
¿Qué porcentaje de la ganancia es el precio de venta?
15. Un equipo de fútbol tiene perdidos el 45% de los 20 partidos
jugados. ¿Cuántos partidos, de los 28 que le que le quedan por
jugar, deberá perder para que sus victorias (total) represente el
50% de todos sus partidos jugados?
A) 50% B) 80% C) 120% D) 200% E) 400%
¿Qué tanto por ciento de un número que tiene por 20% al 40%
de 60 es el 72% de otro número que tiene por 40% al 60% de
20?
C) 12%
B) 25% C) 28%
A) S/ 60 B) S/ 65
En un aula de clases el número de varones equivale al 80% del
total, si se retiran el 20% de los varones, ¿qué porcentaje del
resto son mujeres?
A) 20% B) 18%
D) 120
11. En la venta de un artículo se obtiene un beneficio del 20% sobre
el precio de costo. Si se hubiera ganado el 20% sobre el precio
de venta se habría obtenido s/. 3,50 más, ¿cuál fue el precio de
costo?
A) S/ 250 B) S/ 270 C) S/ 280 D) S/ 290 E) S/ 240
4.
C) 80
En una reunión el 44% de los asistentes toma; el 37% fuma;
además el 25% de los que toman, fuman. Si no toman ni fuman
84 personas, ¿cuál es el total de personas?
A) 80 L
A) 21% B) 22,3% C) 23% D) 23,8% E) 24%
3.
B) 40
10. El 10% del peso del agua de mar es sal. ¿Cuántos litros de
agua dulce se debe añadir a 80 litros de agua de mar para que
la concentración de la sal sea del 4%?
)%
EJERCICIOS
2.
E) 7
El valor total de un artículo es S/. 360, más el 10% de su valor
total. ¿Cuál es el valor total?
A) 580
Aplicación comercial
· Pv = Pc + GB
· Pv = Pc – pérdida
· PV = PF - D
· GB = GN + Gastos
Donde:
· PV : Precio de venta
· PF : Precio fijado o precio de lista
· PC : Precio de costo o precio de compra
· G B : Ganancia bruta
· G N : Ganancia neta
· D : Descuento o rebaja
1.
D) 6
A) S/ 400 B) S/ 380 C) S/ 440 D) S/ 420 E) S/ 450
9.
𝐃𝐔 = (𝒂 + 𝒃 −
C) 5
Simón observa que su salario ha sido descontado en un 20%,
¿qué tanto por ciento debe ser el aumento, para que reciba su
salario inicial?
A) 20%
) × 100% = 182%
B) 4
En una fiesta de jóvenes el 60% de los asistentes son varones
y el resto mujeres. Luego llegan 40 muchachos cada uno con
dos chicas y de esta manera todos están en pareja, ¿cuántas
mujeres habían inicialmente?
A) 20
) 100% = 56%
Dúnico = 100% - 56% = 44%
Caquiv. = (
En una oficina hay 16 personas de las cuales ¼ son mujeres y
los demás varones. Si se desea que el 40% del personal sea
mujeres, ¿cuántos se tendría que contratar?
A) 13
B) 15
C) 18
D) 11
E) 23
16. En una granja el 25% de pavos es igual al 70% de los conejos.
Si se cuentan las patas de los conejos y pavos se obtiene un
total de 480, ¿cuántos conejos hay en la granja?
D) 30% E) 8%
9
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
A) 30
B) 40
C) 45
D) 50
E) 60
17. Se vende dos mercancías por el mismo precio, ganando en la
primera el 10% y perdiendo en la segunda, el 10% de los
costos. ¿Cuál es el porcentaje de ganancia o pérdida total?
A) 4%G
La media aritmética de los tres grupos juntos se denomina promedio
ponderado y se calcula como sigue:
MA =
20.15  15.10  25.12
20  15  25
MA =
300  150  300
60
MA =
750
= 12,5
60
B) 1,01%PC C) 3,2%G D) 2,02%PC E)1%PC
18. Fabricio vende un pantalón en igual número de soles al precio
que compró una camisa. Si el pantalón se vende ganando el
20% de su costo y la camisa se compró con un descuento del
30% sobre el precio fijado, ¿cuánto costó el pantalón, si el
precio fijado de la camisa es superior en S/ 120 al precio de
costo del pantalón? (en la camisa se gana 1/6 de su costo)
A) S/ 240 B) S/ 180 C)S/ 100 D) S/ 150 E) S/ 120
2. Promedio Geométrico o Media Geométrica ( MG )
Nos permite promediar índices porcentuales y tasas de crecimiento, su
cálculo se realiza de la siguiente manera:
MG  n a 1  a 2  a 3     a n
Ejemplo
PROMEDIOS
Definición.- Dado un conjunto de datos el promedio es una cantidad que
representa a dichos datos, el cual cumple con la siguiente condición:
Menor dato
 PROMEDIO  Mayor dato
PROMEDIOS IMPORTANTES
En un distrito del Departamento de Ayacucho se ha observado el
crecimiento poblacional de los 3 últimos años. Halle la tasa anual de
crecimiento.
Año
Crecimiento
2004
3,4%
2005
6,3%
2006
9,4%
MG  3 3,4%  6,3%  9,4%
Sean los datos
MG  5,86%
𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … … ; 𝑎𝑛;
⏟
𝑛 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
3. Promedio Armónico o Media Armónica ( MH )
Entonces:
1. Promedio Aritmético o Media Aritmética ( MA )
Es la inversa de la MA de las inversas de los datos. Es decir, es cociente
de la cantidad de datos y la suma de las inversas de los datos.
Es el promedio más utilizado, su cálculo se realiza de la siguiente manera.
MA 
MH 
a 1  a 2  a 3  ...  a n
n
n
1 1 1
1
    
a 1 a 2 a3
an
Ejemplo
Ejemplo
Un estudiante del PRE UNSCH obtuvo los siguientes resultados en los
exámenes: 13; 15; 14 y 11, desea calcular el promedio que obtuvo en
dicha asignatura.
Elisa se dirige de su casa a la universidad con una rapidez de 4 km/h y de
regreso a una rapidez de 3 km/h. Calcule la rapidez promedio en todo el
recorrido.
Resolución
Resolución
Promedio =
13  15  14  11
4
MH 
Promedio = MA = 13,25
Promedio Ponderado: Es cuando los datos son agrupados y cada grupo
cuenta con su media aritmética respectiva, entonces es posible calcular la
media aritmética de todos los datos.
2
1 1

4 3
 MH  3,43km / h
PROPIEDADES
1. Para un conjunto de datos no todos iguales se tiene
Por ejemplo en:
MH  MG  MA
2. Cuando todos los datos son iguales
Grupo
Cantidad
MA
A
B
C
20
15
25
15
10
12
MH  MG  MA
10 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
3. Para dos cantidades a y b se tiene:
MA 
ab
;
2
MH 
MG  ab
y
2ab
ab
15.
16.
Entonces:
 
17.
(a  b) 2
4(MA  MG )
18.
MA  MH  MG
MA  MG 
2
EJERCICIOS
1. Si la media armónica de dos números es a su media geométrica como
12 es a 13, calcule la razón entre dichos números.
A) 2/3
B) 12/13
C) 9/4
D) 3/4
E) 3/2
2. El promedio de las edades de 3 personas es igual a “x”. si se agrega
una cuarta al promedio, disminuye en 2. Se puede afirmar que:
I. La edad del cuarto es mayor que el promedio.
II. La edad del cuarto es menor que el promedio.
III. Por lo menos una persona es mayor que el cuarto.
A) Sólo I B) sólo II C) Sólo III D) II y III E) I y II
3. Si de tres números impares consecutivos su MH es 8,2. Calcule su
media aritmética de los dos mayores números.
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 7
4. El peso promedio de todos los estudiantes de una clase A es 68,4 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑔
⃗⃗⃗⃗⃗
y de todos los estudiantes de la clase B es 71,2 𝑘𝑔 . Si el peso
⃗⃗⃗⃗⃗ y el número de
promedio de ambas clases combinadas es 70𝑘𝑔
estudiantes en la clase B excede a la de A en 16, ¿cuántos
estudiantes tiene la clase B?
A) 64
B) 40
C) 24
D) 48
E) 36
5. El promedio aritmético de 60 números es 15. Si a la cuarta parte de
ellos se les aumenta en 6 unidades y a las restantes se les disminuye
en 4 unidades, el nuevo promedio aritmético es
A) 12.
B) 12,5.
C) 13.
D) 13,5.
E) 14.
6. Calcule dos números enteros cuyo producto es 600, sabiendo que la
media aritmética y la media armónica son dos números consecutivos.
Dé como respuesta el número menor.
A) 10 B) 15
C) 20 D) 25
E) 30
7. La suma de la media aritmética y la media geométrica de 2 números
positivos 𝑎 𝑦 𝑏 es 8. Calcule √𝑎 + √𝑏.
A) 6
B) 3
C) 5,25
D) 4
E) 4,5
8. La media armónica de 36 números es 36. ¿Cuál es la media armónica
de sus tercias?
A) 18
B) 12
C) 24
D) 36
E) 30
9. Se tiene cuatro números. Al añadir el promedio de 3 de ellos al número
restante, se obtienen los números 17; 21; 23 y 29. Entonces, la suma
de los 4 números es igual a
A) 90. B) 80.
C) 60. D) 50. E) 45.
̅̅̅ y 𝑏𝑎
̅̅̅ es 66. Halle 𝑎 y 𝑏 si se cumple que
10. La media aritmética de 𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏 2 = 90. Determine 𝑎 − 𝑏.
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
11. La media aritmética de dos enteros positivos es a la media geométrica
de los mismos como 13 es a 12. Determine el menor de dichos
números
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
12. Halle la media armónica de los números: 30, 42, 56, 72, … , 870.
A) 100 B) 120
C) 130
D) 140
E) 150
TAREA DOMICILIARIA
13. El promedio de 12 números enteros positivos diferentes es 12. Calcule
el máximo valor que puede tomar el mayor de los números.
A) 78
B) 66 C) 88
D) 64
E) 68
14. Un camión recorre todas las semanas 120 km. cierto día tuvo que
utilizar dos llantas de repuesto. Pero, si se hubieran malogrado dos
llantas más, entonces el recorrido semanal promedio por llanta sería
16 km menos que en el caso anterior. Calcule el número de llantas
con que se desplaza el camión.
A) 8
B) 7
C) 9
D) 6
E) 11
La media aritmética de tres números enteros positivos es 7, la media
geométrica es igual a uno de ellos y su media armónica es igual a
36/7, el menor de los números es
A) 5.
B) 4.
C) 3.
D) 2.
E) 1.
De 500 estudiantes de un colegio cuya estatura promedio es de 1,67
m; 150 son mujeres. Si la estatura promedio de las mujeres es 1,60
m, calcule la estatura promedio de los varones de dicho grupo.
A) 1,65 m B) 1,68 m C) 1,70 m D) 1,80 m E) 1,75 m
La edad promedio de 25 personas es 22 años, calcule cuántas
personas de las que tienen 25 años deben retirarse para que el
promedio de los restantes sea de 20 años.
A) 10
B) 11
C) 20
D) 25
E) 15
Un alumno en un curso dio tres exámenes cuyas notas son 08, 11 y
10 con pesos 3; 2 y 4 respectivamente. ¿Cuál es la mínima nota que
tendrá que obtener en el cuarto examen, de peso 2, para aprobar el
curso, si la nota aprobatoria es 11?
A) 17
B) 18
C) 17,5
D) 15
E) 18,5
TEORÍA DE CONJUNTOS I
Idea de un Conjunto
Se dice conjunto a toda agrupación, colección o reunión de objetos o
individuos (cosas, animales, personas o números) bien definidos que
cumplen una propiedad determinada. A los objetos del conjunto se
denominan “elementos”.
Ejemplos:
 La colección de letras de la palabra “murciélago”.
 El conjunto formado por los dígitos del número 982110645.
 La agrupación de números naturales menores que 20
 La agrupación de números primos entre 1 y 15.
Notación
Generalmente se denota a un conjunto con las letras mayúsculas de
nuestro alfabeto(A, B, C,…) y a sus elementos mediante letras minúsculas
separadas por comas y si los elementos son números separados por punto
y coma encerrados entre llaves de agrupación.
Ejemplo: A = 9; 8; 2; 1; 1; 0; 6; 4; 5
B = m, u, r, c, i, e, l, a, g, o
Relación de Pertenencia ()
Es una relación exclusiva de un elemento hacia un conjunto y expresa si
el integrante indicado forma parte o no del conjunto considerado.
: Se lee “... pertenece a ...”
 : Se lee “... no pertenece a…”
Ejemplo: B = m, u, r, c, i, e, l, a, g, o
mB
nB
c, e  B
a  B
u, l  B
Determinación de un Conjunto
La determinación de un conjunto corresponde a la manera como éste
puede expresarse. Para determinar un conjunto se utilizan dos formas:
determinación por extensión y la determinación por comprensión.
a) Por Extensión o forma tabular.
11 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
Un conjunto se determina por extensión cuando se enumeran o se
nombran todos sus elementos uno a uno. Cuando el conjunto es finito
se escriben entre llaves, separados por comas. Cuando el conjunto es
infinito se escriben entre llaves algunos elementos y se ponen puntos
suspensivos
A = a, e, i, o, u
C = 2; 3; 5; 7; 11; 13
Ejemplo:
Es evidente que el orden en el cual son listados los “elementos” del
conjunto no afecta el hecho de que pertenece a él.
b) Por Comprensión o forma constructiva
Un conjunto se determina por comprensión enunciando la
propiedad o cualidad común de los elementos. Para tal fin se utiliza
lo siguiente:
{ Elemento / propiedad o condiciones que cumple el elemento}
Ejemplo: 𝐵 = {𝑥/ 𝑥 es una letra de la palabra “murciélago”}
𝐶 = { 𝑥/ 𝑥 es un dígito del número 982110645}
𝐷 = { 𝑥/ 𝑥 es un número natural menor que 10}
𝐸 = { 𝑥/ 𝑥 es número primo entre 0 y 20}
CONJUNTOS ESPECIALES
1.
2.
Conjunto de los números naturales
ℕ = 0; 1; 2; 3; 4; … 
2.
Conjunto de los Números Enteros
ℤ = . . . ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; . . . 
3.
Conjunto de los Números Racionales
a
ℚ =  / a  ℤ  b ℤ ; b  0
b
4.
2
9 20
Conjunto Unitario o Singletón
Es aquel conjunto que posee un solo elemento.
B = 3; 3; 3; 3  = 3
CONJUNTOS NUMÉRICOS
1.
Conjunto Vacío o Nulo: Es aquel conjunto que carece de
elementos.
Notación: ∅;  .
Ejemplo:
A = x ∈ ℤ/ 6 < x < 7  =   = 
A = x ∈ ℤ/ 6 < x < 8  = 8 
3.
Conjunto Universal (U): Es un conjunto referencial para el estudio
de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos
considerados. No existe un conjunto universal absoluto y se le
denota generalmente por U.
Ejemplo:
1
ℚ =  … ; ; − ; ; 0; ; … 
5
4 5
10
Conjunto de los Números Irracionales
3
𝐼 = {… ; √7; ; √78; … }
Cardinal de un Conjunto
Se llama Número Cardinal de un conjunto A al número de elementos
que tiene el conjunto A y se denota como n (A) o card (A).
Ejemplo:
A = 9; 8; 2; 1; 1; 0; 6; 4; 5 entonces n(A) = 8
B = m, u, r, c, i, e, l, a, g, o entonces n(B) = 10
A = 2; 4; 6; 8; 15
B = x − 2/ x ∈ ℤ  4 < x < 9
Podrán ser conjuntos universales para A y B
U = x/x ℤ  1 < x < 18
U = 0; 2; 4; 3; 5; 6; 8; 9; 10; 15; 16
U = x ℤ / −5 < x < 50
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
a) Relación de Inclusión ()
Dados dos conjuntos A y B, esta relación se utiliza para indicar que el
conjunto A es subconjunto del conjunto B, lo cual se escribe:
A  B y se lee: A es subconjunto de B, A está incluido en B, A está
contenido en B, B incluye a A.
ABxA:xAxB
Diagramas de Venn – Euler
Son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un
conjunto o las relaciones entre conjuntos.
B
A
Ejemplo: A = a, e, i, o, u
Diagrama (Lewis – Carroll)
Su verdadero nombre es Charles-Dogston autor de “Alicia en el país de
las Maravillas” utilizando un lenguaje lógico – matemático utiliza el
Diagrama en conjuntos disjuntos haciendo partición del universo.
Ejemplo:
V : Varones; M : Mujeres; S : Solteros; C : Casados






Observaciónes:
El vacío está incluido siempre en cualquier conjunto.
SI A no es subconjunto de B, se simboliza ¬(𝐴  B)
Un conjunto es subconjuto de si mismo (A  A)
A ∶   A
  
   
Ejemplo: Dados los conjuntos
𝐴 = {3; 5; 6; 9; 4} y 𝐵 = {3; 9; 5; 7; 4; 6; 8} se observa que
todos los elemento de A son elementos de B, por tanto el conjunto A
está incluido en B.
b)
Conjuntos comparables
Dos conjuntos A y B se dicen comparables si A  B o B  A.
12 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
Nótese que si A no es comparable con B, entonces hay en A un
elemento que no está en B y hay también en B un elemento que no
está en A.
Ejemplo:
Sean A = {a, b} y B = (a, b, c}. Entonces A es comparable con
B, pues A es un subconjunto de B.
c)
Conjuntos Iguales
Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los
mismos elementos.
A=BABBA
A = 5; 7, 3, a, x, b, z
F = A; n, p, m, 21; 23; 16, {s}; c; 42
Se observa que:
A es familia de conjuntos
F no es familia de conjuntos
Conjunto potencia o conjunto de partes
Dado un conjunto A, el conjunto potencia está formado por todo los
subconjuntos de A.
Notación:
P (A), se lee “conjunto potencia de A”
Ejemplo: A = {a, b, c}
Ejemplo:
Dados los conjuntos:
A = {x/x es un número primo positivo menor que 8},
B = { x/x es un divisor primo de 210}
¿ A = B? Compruébelo.
A = {2; 3; 5; 7} B = {2; 3; 5; 7}
Luego, los conjuntos son iguales
 n [ P (A) ] = 23 = 8
En general:
d)
Conjuntos Disjuntos
Si dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, es decir, si
ningún elemento de A está en B y si ningún elemento de B está en A,
se dice que A y B son disjuntos.



Ejemplo:
Sean E = {x, y, z} y F = {r, s, t}. E y F son disjuntos.
El número de subconjuntos de A es
n[𝐏(𝐀)] = 𝟐𝐧(𝐀)
El número de subconjuntos propios de A es igual a 𝟐𝐧(𝐀) − 𝟏
Para determinar la cantidad de subconjuntos k-arios de un
conjunto A se utiliza la siguiente formula:
Ejemplo:
Sean A = {1; 3; 7; 8} y B = {2; 4; 7; 9}. A y B no son
disjuntos, pues 7 está en ambos conjuntos, o sea que 7  A y 7 
B.
e)
EJERCICIOS
1.
Dado el conjunto 𝐴 = {4; 4; {6; 2; 2} ; 6; 7; {5}},
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I) {4} ∈ 𝐴
II) {4} ⊂ 𝐴
III) {{6}} ⊂ 𝐴
IV) {2; 6} ∈ 𝐴
V) {6; 7} ⊂ 𝐴
VI) {6} ⊂ 𝐴
VII) ∅ ⊂ 𝐴
A) 3
B) 4
C) 7
D) 6
E) 5
2.
Sabiendo que el siguiente conjunto es unitario
3𝑚
𝐹 = {2𝑛 +
; √𝑛 + 3𝑚; 35}, determine el valor de
Conjuntos Coordinables o Equipolentes
Dos conjuntos serán coordinables cuando se pueda establecer una
correspondencia uno a uno entre todos y cada uno de los elementos
del primer conjunto con los del segundo conjunto. A dicha
correspondencia se le denomina biunívoca y como consecuencia
de estos se tiene que las cardinales de estos conjuntos son iguales
(si son finitos).
Ejemplo:
A = 5; 6; 8; 4; 9 
B = a, b, c, d, e 
n (A) = n (B)
De ahí que A y B son coordinables o equipotentes.
Clases de Conjuntos
Los conjuntos se clasifican teniendo en cuenta la cantidad de
elementos diferentes que poseen según esto tenemos:
Finito: Si posee una cantidad limitada de elementos, es decir, el
proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún
momento.
Ejemplo:
M = { x /x es un día del mes de junio }
L = { x /x es la cantidad de autos en la ciudad de Huamanga }
B) Infinito: Si posee una cantidad ilimitada de elementos.
Ejemplo:
M = x/x ℤ 
M es infinito pues n (M) = ?
3
3.
4.
A)
Conjunto de Conjuntos: También se le denomina familia de conjuntos o
clase de conjuntos y es aquel conjunto cuyos elementos son todos
conjuntos.
Ejemplo:
2
√−10𝑚 − 𝑛.
A) - 5
B) 5
5.
C) - 4
D) - 3
E) 4
Dado los conjuntos:
𝐴 = {𝑚; 𝑛}, 𝐵 = {𝑛 + 1; 2𝑝 + 3}
y
𝐶 = {𝑛 +
5; 2𝑚 – 7}.
Calcule el valor de (𝑚 + 𝑛 + 𝑝), si 𝐵 = 𝐶 y 𝑛(𝐴) ≤ 1.
A) 10
B) 21
C) 12
D) 13
E) 18
Calcule la suma de los elementos del conjunto:
3𝑥 + 1
𝑃 = {(
) ∈ ℤ / 𝑥 ∈ ℤ ∧ −3 ≤ 𝑥 < 5}
2
A) 17
B) 12 C) 19 D) 2
E) 7
Sea: 𝐴 = {(𝑥 2 + 1) ∈ ℤ / −3 ≤ x < 2} y
𝐵 = {𝑥 2 + 1 / 𝑥 ∈ ℤ; −3 ≤ x < 2}.
Calcule el cardinal de A más el número de subconjuntos de B.
A) 10 B) 16 C) 26 D) 20
E) 8
6.
¿Cuántos subconjuntos ternarios tiene el siguiente conjunto?
2𝑥−1
A = {(
) ∈ ℤ / 𝑥 ∈ ℕ ∧ 7 ≤ 2𝑥 + 3 < 25}
3
A) 2
B) 1
C) 6
D) 18
E) 84
7.
Si el conjunto: 𝐴 = {𝑎2 + 1; 3𝑎 − 1} solo tiene un subconjunto
propio, calcule la suma de los posibles valores de 𝑎.
13 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
A) 4
8.
9.
B) 3
C) 2
D) 6
E) 10
Determine por extensión el siguiente conjunto
𝑎2 − 25
𝐵={
/ 𝑎 ϵ ℤ; 8 ≤ 3𝑎 + 2 < 23}
𝑎−5
Dé como respuesta la cantidad de subconjuntos propios no vacíos,
A) 6
B) 32
C) 2
D) 62
E) 14
Dados los conjuntos:
𝐴 = {5; 6; 7; 8; 9; 11; −1; 0},
𝐵 = {𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑥 2 > 30 ˄ 𝑥 < 9} y
𝐶 = {𝑥 ∈ 𝐴 / 𝑥 es impar ˄ 6 < 𝑥}.
Calcule el valor de 𝑛(𝐵) + 𝑛(𝐶).
A) 8
B) 6
C) 3
D) 7
{4 ; 2}  A
{{𝑏}; {}; 2}  𝐴
  𝑃(𝐴)
𝐴𝐴
IV.
V.
VI.
VII.
A) 3
B) 4
C) 6
D) 7
E) 5
18. Dado el conjunto Universal
5
U = {2; ; −1; 0, 5̂; 𝔦 ; 3,14; π } y el conjunto
2
A = { 𝑥 ∈ U/ ( 𝑥 ∈ ℕ ∨ 𝑥 ∉ ℤ) ↔ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℤ)}.
Determine el cardinal del conjunto A
A) 3
B) 4
C) 1
D) 2
E) 5
E) 5
10. Dado el conjunto universal
𝑈 = {1; 𝜋; 𝑖; −1; −3/2; 𝑎} además
A  x U / x  1  x  1
Calcule el 𝑛[𝑃(𝐴)].
A) 4 B) 32
C) 8
D) 16
E) 64
TEORÍA DE CONJUNTOS II
11. Dado el conjunto 𝐴 = {𝑥 ∈ ℕ/ 𝑥 = 𝑥 ∧ 𝑥 ≠ 𝑥}. ¿Cuántos
subconjuntos tiene el conjunto potencia A ?
A)0
B)2
C)1
D)4
E)5
1.
12. Se tiene dos conjuntos disjuntos A y B cuyos cardinales son
números impares consecutivos;
tal que:
2.
Sean A y B dos conjuntos tales que: n(A) = 6; n(B) = 3;
n(A  B) = 2 Halle: nP( AB)
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
E) 32
3.
Aun grupo de 100 personas se les pregunto si juegan futbol o
básquet. El resultado fue 20 no practican estos dos deportes; 50
personas practican futbol y 60 personas practican básquet.
¿cuantos practican futbol y básquet?
A) 50 B) 40
C) 10
D) 20
E) 30
4.
El sueldo mensual de un docente Aritmética en soles es
equivalente al producto de elementos del conjunto L, siendo 𝑀 ∩
𝐿 = {4; 5; 6} y 𝑀∆𝐿 − 𝑀 = {2; 10}.determine el sueldo del
docente.
A) 2800 B) 4070
C) 2400
D) 1600
E) 3020
5.
De 106 personas se sabe que los que hablan solo ingles son tantos
como los que hablan inglés y francés y además los que hablan solo
francés es la quinta parte de los que hablan inglés. Si 10 personas
no hablan ninguno de estos dos idiomas, cuántos hablan solo
francés
A) 8
B) 16
C) 24
D) 32 E) 40
6.
En una reunión de 100 personas, se sabe que 40 no tienen hijos,
60 son hombres, 25 personas casadas tienen hijos, hay 5 madres
solteras. ¿cuántos hombres son padres solteros?
A) 25
B) 30
C) 24
D) 32 E) 40
7.
De 110 personas que leen por lo menos dos de las tres revistas A,
B, C se observa que 40 leen las revistas A y B; 50 leen A y C ; 60
leen B y C .¿ cuántas personas leen las tres revistas ?
A) 8
B) 10
C) 20
D) 32 E) 40
8.
Sean A; B;C, incluido en “S” talque𝑛(𝑆) = 100 𝑛(𝐴) =
44, 𝑛(𝐵) = 41, 𝑛(𝐶) = 45,
𝑛[𝐴 − (𝐵C)] = 20,𝑛[𝐵 −
(𝐴C)] = 15, 𝑛(𝐴⋂𝐵⋂𝐶) = 5 , 𝑛[𝐶 − (𝐴B)] = 20 y
𝑛[(𝐴⋂𝐵) − C] = 𝑛[(𝐴⋂𝐶) − B] + 1
nP( A)  nP( B)  640
Calcule el valor de 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵).
A) 10 B) 12
C) 14
D) 16
13. ¿Cuántos
subconjuntos
E) 18
ternarios
tiene
A  x  Z / x   2;5  x 0;10
A) 20
B) 24
C) 21
D) 28
el
conjunto
A?
E) 18
TAREA DOMICILIARIA
14. Dado el conjunto unitario:
𝐴 = {𝑚!; 2 𝑥 ⋅ 𝑥; 𝑛; 24; 𝑧/2}
Calcule el valor de “𝑧 + 𝑚 + 𝑥 − 𝑛”.
A) 30
B) 31
C) 32
D) 33
E) 34
15. Dados los conjuntos unitarios
A = {3𝑥 + 𝑦; 5}
y B = {2𝑥 + 3𝑦 = 8}.
Determine el valor de (x + y)2 + 𝑥.
A) 5 B) 26
C) 37
D) 10
E) 17
16. Dado el conjunto:
A = {x + 3⁄−6 <
5x+3
3
 6 ; x Z+ }
¿Cuántos subconjuntos propios tiene A?
A) 3
B) 32
C) 63
D) 15
E) 7
17. Dado el conjunto 𝐴 = {4,4; 2 ; {b}}, ¿Cuántas de las siguientes
proposiciones son verdaderas?
I.
II.
III.
4𝐴
 𝐴
{4,4}  𝐴
Si M  H ={𝑎; 𝑚; 𝑖; 𝑔; 𝑜}, M – H = {𝑖; 𝑜}, M ⋂ H={𝑚}
Calcular: n (M – H) + n (H).
A)3
B)2 C) 8
D) 5
E) 4
Hallar: 𝑛[(𝐵⋂𝐶) − A]
A) 2
B) 4
C) 11
D) 16
14 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
E) 32
0
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
9.
A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones
con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían
casaca, 9 señoritas portaban casaca pero no tenían cartera.
¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas
no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?
A) 8 B) 16
C) 6 D) 2 E) 4
10. Nathaly comenta al “AMIGO” el 70% de los profesores son
simpáticos, el 70% son excelentes y el 70% son jóvenes. ¿cuál es,
como mínimo, el porcentaje de profesores simpáticos, excelente y
joven?
A) 20% B) 40% C) 30%
D) 10% E) 80%
11. Sabiendo que: 𝑛(𝐴) + 𝑛(𝐵) = 130
𝑛(𝐴)
𝑛(𝐵)
=
8
5
, además 𝑛(𝐴 − 𝐵) = 𝐾. 𝑛(𝐴 − 𝐵), donde k
menor
entero positivo posible. Hallar 𝑛(𝐴∆𝐵).
A) 80 B) 160 C) 90 D) 20 E) 40
12. A la entrada de la escuela, se les aplicó a 156 niños una encuesta
respecto a sus juguetes favoritos. La encuesta arrojó los siguientes
resultados:
▪ A 52 niños les gustaba el balón; a 63 les gustaban los carritos; a 87
les gustaban los videojuegos.
▪ Además algunos de ellos coinciden en que les gustaba más de un
juguete: 26 juegan con el balón y carritos; 37 juegan con carritos y
videojuegos; 23 juegan con el balón y los videojuegos; por ultimo
7 expresaron su gusto por los tres.
16. Por el matrimonio del Amiguito asistieron 250 personas y se supo que
120 personas están bailando y 140 estas tomando.¿ cuantas
personas están bailando y tomando y 10 no toman ni bailan?
A) 20
B) 40
C) 80
D) 160
E) 32
NUMERACIÓN-2021-I
1. Sistema de numeración: Es el conjunto de normas, leyes, principios
y convenios que nos permiten la correcta formación , lectura y
escritura de los números.
2. Base de un sistema de numeración: Es un número natural mayor
que la unidad e indica la cantidad de cifras que se emplean para
escribir a todos los números en dicho sistema de numeración.
3. Principales sistemas de numeración:
a) ¿A cuántos niños les gusta otro juguete no mencionado en la
encuesta?
b) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con los videojuegos?
c) ¿A cuántos niños les gusta solamente jugar con el balón?
A) 34;33;10
B) 33;34;10
D) 20;25;15
E) 15;4;12
C) 10;33;34
13. una orquesta está formada por 20 músicos que ejecutan
instrumentos de cuerda, de viento y de percusión. Hay algunos que
ejecutan de cuerda y de viento a la vez pero los que ejecutan de
percusión no ejecutan otro instrumento. Sabiendo que 15 no
ejecutan de percusión. Hallar el número de los que ejecutan de
cuerda y viento a la vez si se conocen las siguientes informaciones:
I.
10 ejecutan de cuerda
II.
8 ejecutan de viento.
Para resolver el problema, señale La afirmación correcta:
A.
B.
C.
D.
E.
La información I es suficiente.
La información II es suficiente.
Cada información por separada, es suficiente.
Son necesarios ambas informaciones.
Las dos informaciones son insuficientes.
14. De un total de 80 personas se conoce que 43 personas consumen el
producto "A", 52 personas consumen el producto "B" y además 5
personas no consumen ninguno de estos productos. Determinar
cuántas personas consumen los dos productos a la vez.
A)18 B) 19 C) 20
D) 22
E) 25
15. Una empresa de transportes urbano dispone de cierto número de
combis, de las cuales 5 están en reparación, se sabe los siguiente:

En las mañanas circulan 42.

En las tardes circulan 38.

En las noches circulan 30.

En las mañana y en la tardes, 20.

En las tardes y en las noches, 14.

En las mañanas y en las noches, 16.
¿Cuántas son en total si, además, se conoce que son 5 las que trabajan
todo el día?
A) 70
B) 60
C) 65
D) 50
E) 80
4. Representación literal de un numeral: Consiste en representar a las
cifras de un numeral por letras minúsculas, teniendo en cuenta que
toda expresión entre paréntesis representa una cifra. Por ejemplo:
̅̅̅
𝑎𝑏 = 10, 11, 12,… , 99
̅̅̅(7) = 10(7) , 11(7) , 12(7) ,... , 66(7)
𝑎𝑏
̅̅̅̅̅(6) = 104(6) , 114(6) ,… , 554(6)
𝑎𝑏4
̅̅̅̅̅̅̅̅̅(5) = 120(5) , 121(5) ,… , 244(5)
𝑎(2𝑎)𝑏
5. Número capícua: Es aquel numeral cuyas cifras equidistantes de los
extremos son iguales, tienen una representación simétrica.
̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑎 = 101 ; 323 ; 454 ; …
̅̅̅̅̅̅̅ = 1001 ; 5885 ; …
𝑎𝑏𝑏𝑎
̅̅̅̅̅̅̅̅(𝑛) = 12321 ; 43734(8) ; 51315(7) ; …
𝑎𝑏𝑐𝑏𝑎
6. Valores de una Cifra:
Valor Absoluto (V.A.): Es el valor que representa la cifra por su forma
o símbolo.
Valor Relativo (V.R.): es aquel que adopta la cifra por la posición que
ocupa dentro del número.
7. Descomposición polinómica: Es la suma de los valores relativos.
̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒(𝑛) = 𝑎. 𝑛4 + 𝑏. 𝑛3 + 𝑐. 𝑛2 + 𝑑. 𝑛 + 𝑒
8. Descomposición polinómica en bloque:
15 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
5). Dado el numeral: (𝑎
+ 1)(𝑏 + 1)(2𝑏 − 1)(2𝑎 − 3) que es
capicúa. Halle “ el product de a por b”
A) 10 B) 8 C) 9 D) 5 E) 3
Ejemplo:
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑎𝑏
̅̅̅. 102 + 𝑎𝑏
̅̅̅ = 101 𝑎𝑏
̅̅̅
𝑎𝑏𝑎𝑏
̅̅̅̅̅̅̅(𝑛) = 101(𝑛) . 𝑎𝑏
̅̅̅(𝑛) = (𝑛2 + 1)𝑎𝑏(𝑛)
𝑎𝑏𝑎𝑏
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅(𝑛) = 1001(𝑛) . ̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑎𝑏𝑐
𝑎𝑏𝑐(𝑛) = (𝑛3 + 1)𝑎𝑏𝑐(𝑛)
9. Conversión de sistemas de numeración:
A. 1er CASO: De base “n” a base 10
Método: Descomposición Polinómica
Convertir 3241(5) a base 10
3241(5) = 3. 53 + 2. 52 + 4.5 + 1 = 446
B. 2do CASO: De base 10 a base “n”
Método: Divisiones Sucesivas
Convertir 265 a base 5.
Se divide sucesivamente entre 5 tomando el último cociente y los
residuos hallados.
∴ 265 = 2030(5)
C. 3er CASO: De base “m” a base “n”
Método: Indirecto
1°. El numeral en base “m” se convierte a base decimal.
2°. Seguidamente el resultado se convierte a base “n”.
Ejemplo:
Convertir 234(6) a base 9.
1°. Convertimos por descomposición polinómica a base 10.
234(6) = 2. 62 + 3.6 + 4 = 94
2°. El resultado anterior se convierte a base 9 por divisiones
sucesivas:
94 = 114(9)
∴ 234(6) = 114(9)
Observaciones:
a) Las cifras empleadas en un sitema de numeración son siempre
menores que la base.
̅̅̅̅̅̅̅(8) siempre a y b < 8
3𝑎2𝑏
̅̅̅̅̅̅̅(𝑛) siempre n > c
2𝑐08
b) Si un número se expresa en dos Sistemas distintos; en las
expresiones:
̅̅̅̅̅̅̅
4𝑏𝑐5(𝑝) = ̅̅̅̅̅̅̅
3𝑏2𝑐(𝑞) → p < q
̅̅̅̅̅̅̅(𝑧) = 𝑦𝑢𝑛𝑞𝑢𝑒
𝑝𝑎𝑐𝑜
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅(𝑥) → z > x
De dos numerales ; el que aparentemente sea el mayor le
corresponderá menor base.
PROBLEMAS DE APLICACION
1). Si la siguiente operacion está bien representada, halle
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅
33𝑛
(𝑝) + 13𝑚(𝑛) = 44𝑝
𝑚+𝑛
𝑝
: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
136(𝑚) +
A) 27 B) 3/5 C) 5/3 D) 16 E) 1/2
2). Si a un número de dos cifras se le suma el triple de la suma de sus
cifras se obtiene 42. Halle el product de sus cifras del numeral.
A) 8 B) 5 C) 6 D) 9 E) 18
3). Determine enqu base de numeración se ha desarrollado la operacion:
212 – 121 = 31.
A) 1 B) 3 C) 4 D) 8 E) 7
4).La asignatura de Aritmetica es dictada por tres Docentes: el professor
“quinario” que califica en el Sistema base 5, el professor “exario” que
califica en el Sistema base 6 y el professor “heptanario” que califica en el
Sistema de base 7. Un estudiante optiene las siguientes calificaciones: con
el professor “quinario” 14 con el profesor “exario” 14 y con el professor
“heptanario” 14. Su promedio de estas tres evaluaciones en el Sistema
decimal es:
A) 10 B) 20 C) 33 D) 15 E) 16
6). A una conferencia asistieron 𝑚𝑛𝑝
̅̅̅̅̅̅ alumnos y luego de una hora se
retiraron 𝑥𝑦𝑧
̅̅̅̅̅ alumnos y quedaron 𝑝𝑛𝑚
̅̅̅̅̅̅ alumnos. Determine la suma de
cifras del número de alumnos que se retiraron de la conferencia.
A) 16 B) 18 C) 19 D) 11 E) 13
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅
7) Si “X” = 888887
(9) y Y = 148(𝑥) , halle la suma de cifras de “Y” en
base 27
A). 2 B) 5 C) 4 D) 8 E) 9
8). A una fiesta asistieron 𝑛𝑚
̅̅̅̅ varones y 𝑚𝑛
̅̅̅̅ mujeres, en un momento
dado el número de varones que no bailan es “m + n” y el número de
mujeres que no balilan “2m – n”. Halle el número total de asistentes, si
cuando bailan lo hacen en parejas (varon y mujer).
A) 121 B) 131 C) 165 D) 100 E9 136
9). Calcule “a”
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑝
𝐶
si 𝑎 ( ) 𝑛(9) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(2𝑐 + 1)𝑎𝑎(7) . Ademas ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
5𝑝7(𝑛) = ( ) 4𝑐3(𝑝)
3
2
A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 8
10). Si ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑚 … 889(27) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑎𝑏𝑐𝑑(9) , halle, a + b + c + d.
A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ y 124
11). Halle la suma de las bases en las cuales los numerales: 444
son iguales. Indicar el minimo valor.
A) 12 B) 15 C) 13 D) 14 E) 17
12). Un número representado por tres cifras significativas, es tal que la
suma de sus cifras extremas, es igual a la cifra central y el numeral
invertido execede en 693 al original, ¿cual es el nimero?
A) 198 B) 158 C) 193 D) 214 E) 517
TAREA DOMICILIARIA
13).¿Cuantos ceros hay en la escritura del numeral: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
357357 … 357 ,
⏟
luego de convertirlo a la base dos.
300 cifras
A) 154 B) 212 C) 199 D)156 E) 215
(8)
̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅
14). Si se cumple que. N = ̅̅̅̅̅̅
3𝑏(𝑐) + ̅̅̅̅̅̅̅
31(𝑎) + 4𝑐
(7) + 𝑎2(𝑏) exprese N en
base once y de como respuesta la suma de sus cifras.
A) 15 B) 15 C9 11 D) 12 E) 18
15). ¿Cuántos numerales capicúas de tres cifras del Sistema decimal se
escriben como otro capicua de tres cifras en el Sistema heptanal?.
A) 11 B) 12 C) 10 D) 14 E) 15
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
16). Si ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)(𝑛 + 4)(𝑛+5) = 𝑎𝑏𝑐𝑑
(7) Halle “a + b
+ c +d”
A) 12 B) 13 C9 15 D) 14 E) 11
17). ¿Cuántos numerales de cuatro cifras diferentes del Sistema de base
once comienzan en cifra par.
A) 3580 B) 3620 C) 3600 D) 5150 E) 1040
18). Se tiene fichas que valen 1 sol; 2 soles; 4 soles; 8 soles; 16 soles …
etc y se quiere repartir el equivalente a 2000 soles. ¿Cuántas personas
como minimo seran veneficiadas?. Sabiendo que ninguna persona puede
recibir mas de una ficha.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
16 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
NOTA:
“Si un número entero no es divisible entre cierto módulo,
entonces se puede expresar de dos formas respecto a múltiplos de él,
como un múltiplo del módulo más cierto resto o como múltiplo del
módulo menos cierto resto, la suma de los restos debe ser igual al
módulo empleado”.
DIVISIBILIDAD I
TEORIA DE DIVISIBILIDAD
Observación:
Un número entero es divisible entre otro positivo (Módulo), cuando al
dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo cero.

La cantidad de números que son n , en la secuencia
consecutiva desde 1 hasta el número N, está dada por:
A B
0 K
N
 
n
Cantidad de #s = Parte entera de:
A: número entero
Donde: B: número entero positivo (Módulo)
K: número entero
4.
PRINCIPIOS OPERATIVOS
4.1.
Adición:
4.2.
Sustracción:
n-n
=


4.3.
Multiplicación:
n .k = n
4.4.
Potenciación:


n  n
 
5.
PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

A es divisible entre B
Entonces

n
n
+

+

B es divisor de A
B divide a A
2.

n+.....+ n
MULTIPLICIDAD DE NÚMEROS
Un número entero es múltiplo de otro positivo (Módulo), cuando
es el resultado de multiplicar dicho entero positivo por un entero
cualquiera.


=
n

n
m
A: número entero
A=BxK
B: número entero positivo (Módulo)
K: número entero
“Si un módulo divide al producto de dos enteros y no tiene
divisores comunes (aparte de la unidad) con uno de ellos, entonces
divide al otro número”.
A es múltiplo de B
Entonces:
Ejemplos:
B es sub múltiplo de A

B es factor a A
3.
* 5xA =
NOTACION Y EXPRESION GENERAL
7
A=
EXPLICACIÓN
A = mB
3.1.

7
º
5A = 7 , como 5 no tiene ningún factor común que 7 aparte de la
unidad, entonces “A” tiene que ser múltiplo de 7.
A es múltiplo B =

A=
B

* 9xA =

mB =
B
=Bxk

3.2.
Si A no es múltiplo de B (o no es divisible, que es lo mismo),
entonces por el Teorema Fundamental de la división entera:

por defecto: A = B x K +

por exceso: A = B x (K + 1) 
B

13 x B =
5

A=
7

B=
5
Observación:
División Entera:
 Si: A =
7

+
rd
=
rd
re
Si en el producto de los dos enteros, uno de los factores admite
divisores comunes con el módulo (aparte de la unidad), entonces para
poder usar el teorema, primero se deberá simplificar tales elementos
comunes, tanto en el factor como en el módulo.
B - re
17 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ECUACIONES DIOFANTICAS
Es una ecuación donde tanto los términos constantes (coeficientes),
como las variables son números enteros; pueden ser de una sola
ecuación de dos, tres o más incógnitas, de primer segundo o mayor
grado.
PROCEDIMIENTO

 
 
 
 n  a  n  b  n  c   n  a . b . c




8.3.
Para un numeral escrito en base “n”:

Examinaremos particularmente la ecuación diofántica de 2 variables
: ax + by = c ; en la cual las incógnitas a hallar son “x” e “y”, que son
enteros y que tienen infinidad de valores ; pero para nuestra aplicación
solo consideraremos solo los positivos.
n e

2
n  de ( n)
abcde (n) 
5. DIVISIBILIDAD APLICADO AL BINOMIO DE NEWTON
7.1.

n 3  cde ( n )
Primer Caso
k

 
n

r

n
 rk




7.2.
PROBLEMAS
01. La siguiente expresión:
Segundo Caso
0
0
0
(4 3) 3 .( 4 3) 2 .( 4 1)

n r k , si “k” es par.
Es equivalente a:
k
 
 n r  


0
0

0
B) 4  1
A) 4 2
n r k , si “k” es impar.
0
C) 4  2
0
D) 4  3
E) 4
02. Simplificar:
8.
0
PROPIEDADES
0
0
0
( 9 +1)2 +( 9 +2)2 + ( 9 + 3)2 + . . . . . . +( 9 +51)2
8.1.
Si un número es múltiplo de varios módulos, entonces es
múltiplo del MCM de dichos módulos; es decir:
0
0
A) 9 - 1 B) 9
0
0
0
C) 9 -2 D) 9 -5 E) 9 -6
0
Si:
0
03. Si en una división el dividendo es 7  6 , el cociente 7  4 y el
0


N a
N  mcm(a, b)
resto 7  1 , entonces, el divisor es de la forma:
0
0
A) 7 3

N b
B) 7 6
0
0
D) 7 4
En general:
0
C) 7
E) 7 5
04. Calcule la suma de cifras del máximo valor de N de 2 cifras. Si N es
º
un número entero tal que: 5N  3  7

A) 14
N ar


N br
N
 mcm(a, b, c)  r

N c r
8.2.
Si con respecto al módulo “n”, los números

 

n  b y n  c

 

se multiplican; entonces:


n  a ,


B) 13
C) 15
D) 16
E) 11
05. Un alumno cuenta las bolitas que tiene de 3 en 3 y
observa que forma un número entero de grupos de 3;
lo mismo sucede si los cuenta de 5 en 5. El número
de bolitas está entre 40 y 50. Si los cuenta de 7 en 7.
¿Cuántas le sobrarán?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
06. ¿De cuantas maneras diferentes se puede pagar exactamente
una deuda de s/.33 con monedas de s/.2 y s/5?
A)6 B)3 C)4 D)7 E)5
07. Si al dividir A entre 11, el residuo es 6 y al dividir B
entre 11, el residuo es 4. ¿Cuál es el residuo de dividir
A.B entre 11?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
18 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
08. Del total de damas de una oficina, 2/3 son morenas,
1/5 tienen ojos azules y 1/6 son morenas con ojos
azules. Si el número de damas es un número de tres
cifras menor que 150, ¿Cuántas no son morenas ni
tienen ojos azules?
A) 12 B) 24 C) 36 D) 28 E) 35
DIVISIBILIDAD II
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
09. ¿Cuantos números de tres cifras son divisibles por 3 o por 5 ,pero
no de 4 ?
A)300
B)315
C) 400
D) 500
Definición: Son ciertas reglas prácticas que aplicadas a las
cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a
cierto módulo.
E) 305
10. Calcular el valor de “a” en:
0
a48a  43
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
6.1. Divisibilidad entre potencias de 2:
11. En la siguiente pogresión aritmética 4; 11; 18; …; 865, la cantidad de
términos que son múltiplos de 9, es:
A) 14
B) 20
D) 45
E) 60
abcde  2 
12. ¿Qué lugar ocupa el octavo término de la forma ( 13 3 ), en la
siguiente serie: 70;87;106;127;150…?
B)52
C)24
D)55
e
= 0,
de
= 00,
cde
= 000,
2


abcde  4 

A)50


C) 28
4


abcde  8 
E)56

13. Halle la suma de las cifras del menor número de la forma 7 3 , si
*
8
Ejemplo:

su cuádruplo es 15 3 .
A)3
B)4
C)6
D)7
E)9
¿Qué valor debe asignarse a “X” para que el numeral
divisible entre 8?

TAREA
Solución:
21327 X
=
 27 X =
8
14. De los números de tres cifras:

I. ¿Cuántos son múltiplos de 3 y 5 a la vez?
II. ¿Cuántos son múltiplos de 2 y 3 pero no de 5?
A) 80 Y 120
B) 60 Y 120
C) 60 Y 100
D) 40 Y 80
E) 60 Y 150

15. Entre 3 000 y 7 000, ¿cuántos números terminan en 8 y son
divisibles entre 12?
A) 66
B) 67
C) 68
D) 132
8
E) 133
6.2.
X=2
Divisibilidad entre potencias de 5.
16. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión:
16x21; 16x22; 16x23; ...; 16x247
son divisibles por 12?
A) 18
B) 76
C) 140
D) 84

E) 51
abcde  5  e
17. Se quiere cambiar un billete de s/.20 en monedas de 10, 20 y 50
abcde  25  de
B) 122
C) 112
D) 142

= 00,

abcde  125  cde
18. En varios vehículos de transporte Lima –Tumbes fueron 500
A) 132
5

céntimos. Si en el cambio nos dieran los tres tipos de monedas,
¿Cuál sería el menor número de monedas que recibiríamos?
A)40
B)42
C)41
D)42
E)39
pasajeros. De los que no fueron a Tumbes 2/7 bajaron en Trujillo,
2/9 se bajaron en Chiclayo y 1/6 en otros lugares. ¿Cuántos no
fueron tumbes?, si estos fueron menor de 200.

= 0,
*
25

= 000, 125
Ejemplo:
E) 128

Hallar: m + n ; si:
10363mn  125
Solución:
19 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
21327 X
sea
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar cada una de sus
cifras (a partir de la derecha) por 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; . . . . y luego de
efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 7.

3mn = 125
 3mn = 375
 m=7  n=5

12 312 31
abcdefg = 7
+ -
 m + n = 12
6.3.
*
Divisibilidad entre 3 ó 9
a - 2b - 3c - d +2e+3f + g =
+
Ejemplo:
¿Cuál es el valor de “a” si el numeral

abcd  3 

abcd  9 
3
es divisible

2 312 31
solución:

a+b+c+d=
13a372
entre 7?

a+b+c+d=
7
13a372 = 7
- +
9

*
Ejeemplo:
Entonces: - 2 - 9 - a + 6 + 21 + 2 =

Hallar: “X”, si:

13 X 52  9
 18 - a =

Solución: 1 + 3 + X + 5 + 2 =
7
7
a=4
9

11 + X =
6.4.
9
6.6.
 X=7
Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de
sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; -3;-4;-1;3;4; 1;-3;-4; . . y luego
efectuar la suma algebraica resultante, es divisible entre 13.
Divisibilidad entre 11
14 314 31
Un numeral es divisible entre 11 si empezando de derecha a
izquierda, la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la
suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11.


abcde = 11 
*
Divisibilidad entre 13:

+ - +

a - b + c - d + e = 11
*
Ejemplo:
¿Qué valor debe tomar “b” en el numeral
divisible entre 13.
Ejemplo:
¿Cuál es el valor de “X” para que el numeral
divisible entre 11?

Solución:

abcdefg = 13  a-+4b+3c - d - 4e - 3f + g = 13
4X 17
si es

14 314 31
sea
128b306
Resolución: 128b306 = 13
+
-
+

4X 17 = 11

Entonces: 1 + 8 + 24 - b - 12 - 0 + 6 = 13

Entonces: - 4 + X - 1 + 7 = 11

 27 - b = 13 
b=1

 X + 2 = 11  X = 9
6.7.
6.5.
Divisibilidad entre 7
Divisibilidad entre 33 y 99
Se descomponen el numeral de derecha a izquierda en bloques

de 2 cifras y la suma de ellos es

33 o 99
20 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
*

abcdef
 ab  cd
 ef  33
abcdef
 ab  cd
 ef  99
08.
La cantidad de números capicúas de 4 cifras que son
divisibles por 63, es:
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6 E) 8
09.
La cantidad de números del 180 al 1850 que son 13 5
y terminan en la cifra 8, es:

Ejermplo:

¿Cuál es el valor de “a+b” si el numeral 13ab54 es
99 ?
Solución:
A) 9 ) 13
10.
13 +
+ 54 =
ab
EJERCICIOS
B) 6
C) 9
D) 11
0
0
B) 4
C) 5
D) 6
0
C) 6
D) 7
A) 4
14.
15.
0
0
Sabiendo que xyz  25 y que zyx  11 ; entonces el
producto de los posibles valores para “x”, es:
0
Si: xyz  9
+ y + z, es:
0
B) 5 C) 6
D) 7
0
yz  7 zy  5 ; entonces, el valor de x
0
0
Si: xyz  9
+ y + z, es:
0
B) 15 C) 14 D) 12
0
yz  7 zy  5 ; entonces, el valor de x
E) 27
16.
Calcule el residuo de dividir 54371000 entre 5.
A) 3
B) 0 C) 1
D) 2
17.
Halle el residuo de dividir 167667 entre 11.
A)6 B) 2
C) 3
D) 7
E)5
18.
En el sistema de base 7, la cifra de las unidades del
número (1457)25 es
A)1
B) 2
C) 3
D) 4
E)5
Si el número 3a33b5 es divisible por 1125, entonces el
valor de a + b, es:
A) 13
0
B) 15 C) 16 D) 18 E) 20
A) 9 B) 15 C) 18 D) 24 E) 27
07.
E) 8
Sabiendo que xyz  25 y que zyx  11 ; entonces el
producto de los posibles valores para “x”, es:
A) 9 B) 15 C) 18 D) 24
E) 8
A) 14 B) 15 C) 16 D) 18 E) 20
06.
0
Si: x17x21x  11  4 ; entonces el valor de “x” es:
A) 14
Si: x17x21x  11  4 ; entonces el valor de “x” es:
B) 5
13.
E) 8
0
A) 4
TAREA DOMICILIARIA
E) 7
Si: 89x46y  56 ; entonces, el menor valor de x + y,
puede ser:
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7
05.
¿Cuánto es la suma de los dos últimos dígitos de
112548 representado en el sistema ternario?
A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
E) 12
Si: 3abc  13  7 y abcx  13 , el valor de x, es:
A) 3
04.
E) 14
Hallar el residuo de dividir el número 289756174 entre 13:
A)2
03.
0
Si: abcd  19 y cd  4ab  1,
entonces el valor de c + d, es:
A) 10
B) 11 C) 12 D) 13
11.
+ 32
12.
02.
B) 2755 C) 2869
E) 4693
- 67
 a+b=5
01.
E) 24
El menor número de la forma mcdu, sabiendo que
A) 2489
D) 3629

ab = 99
D) 21
du  2mc  1 y mcdu  19 , es:
99

ab = 99
C) 17
0

13ab54 :
0
E) 10
21 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
E) 4
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA O TEOREMA DE
GAUSS O DE LA DESCOMPOSICIÓN
CANÓNICA
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS
Aplicación: Números enteros positivos.
Z+
Números  La Unidad
Simples
 Números
Primos
Números
Compuestos
 NÚMEROS PRIMOS: Llamados también primos absolutos, son
aquellos que poseen exactamente dos divisores, la unidad y el mismo
número.
Ejemplo:
Div (3): 1 y 3
Ejemplo: Expresar 72 en su descomposición canónica.
72
2
36
2
18
2
9
3
3
3
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 . 32
1
ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO N
Dado el número compuesto N.
Div (11): 1 y 11
 NÚMEROS COMPUESTOS: Son aquellos números que tienen más de
dos divisores.
Ejemplo:
Div (4): 1; 2 y 4
Todo número entero positivo mayor que la unidad, se puede expresar
como el producto de factores primos diferentes entre sí elevados a ciertos
exponentes. Esta descomposición es única y se denomina
descomposición canónica.
N  A α .Bβ .Cθ
Dónde: A, B y C: factores primos
1.
α, β, y θ  Z+
Cantidad de Divisores de N
Div (12): 1; 2;3; 4; 6 y12
CD(N) = (α  1)(β  1)(θ  1)
Observación: Todo número compuesto, posee una cantidad de
divisores simples y compuestos.
CD(N)= CDPrimos+ CDCompuestos + 1
Ejemplo:
Divisores (20) = 1;2;4;5;10;20
CD(N)= CDSimples+ CDCompuestos
En general:
CD(N)= CDPrimos+ CDCompuestos + 1
2.
SD
 NUMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI): Llamados también primos
relativos o coprimos; se denomina así al conjunto de números que
tienen como único divisor común a la unidad.
Ejemplo: ¿14; 21 y 24 son números PESI?
Suma de Divisores de N
3.
Div (14): 1; 2; 7 y 14
 Aα  1  1  Bβ  1  1  Cθ  1  1 




(N)  A  1  B  1  C  1 





Suma de las Inversas de los Divisores de N
SID (N) 
Div (21): 1, 3; 7; y 21
SD (N)
N
Div (27): 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12 y 24
Como se observa 14, 21 y 24 tienen como único divisor común a la
unidad, por lo que son PESI
¡Importante!


El conjunto de los números primos es infinito.
2 es el único número primo par
 2 y 3 son los únicos números consecutivos y a la vez primos
absolutos.
 Dos números consecutivos siempre serán PESI.
4.
Producto de Divisores de N
CD
PD
(N)
N
(N)
2
EJERCICIOS
1. ¿Cuántos divisores primos, compuestos y simples tiene el número N
= 1 965 600?
A)5;282 ;6
B) 6;288 ;5
C) 8;283 ;7
D) 5;288 ;6
E) 7;280 ;6
22 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
2. Hallar la cantidad de divisores positivos que tiene el numero
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
(𝑛
− 4)𝑛(𝑛 − 1)6 .
A) 4
B) 5
C) 8
D) 6
E) 3
3. Halle la cantidad de divisores de nn ,si se sabe que 15𝑛 . 35𝑛 tiene
225 divisores.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
E) 7
̅̅̅̅̅ existen, si son
17. ¿Cuántos números primos absolutos de la forma 𝑎𝑏𝑎
menores que 329?
A) 1
B) 2
C) 5
D) 4
E) 6
18. ¿Cuántos números de la forma 𝑎𝑎𝑎
̅̅̅̅̅ tienen 8 divisores, si “a” es
primo?
A) 4
4. ¿Cuántos de los siguientes números son primos absolutos en base 7?
B) 5
C) 8
D) 6
E) 3
137 ; 317; 617 ; 257
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
5. Sean A = 2. 15𝑘 y B =30𝑘 ,si la cantidad de divisores de B es 3 veces
más que la cantidad de divisores de A. ¿Cuantos divisores no primos
tiene 10𝑘+1 ?
A) 77
B) 78
C) 79
D) 81
E) 87
6. Calcule el valor de
compuestos.
A) 1
B) 3
“P”, si
10𝑝+3 + 10𝑝 tiene 194 divisores
C) 4
D) 5
MÁXIMO COMÚN DIVISOR ( MCD ) y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(MCM)
MCD: El máximo común divisor de dos o enteros positivos es el mayor
divisor común de dichos números.
Ejemplo: Calcule el MCD de 18 y 24
𝐷(18) = {𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟔; 9 𝑦 18}
𝐷(24) = {𝟏; 𝟐; 𝟑; 𝟒; 𝟔; 8; 12 𝑦 24}
E) 6
7. Si 𝑎∝ . 𝑏 ∝+2 es la descomposición canónica de un numeral que tiene
15 divisores y cuya suma de divisores es 403, halle el valor de “a +
b”.
A) 5
B) 7
C) 8
D) 9
Por lo tanto, el 𝑀𝐶𝐷(18; 24) = 6
MCM: El Mínimo Común Múltiplo de dos o más números es el menor de
lo múltiplos comunes a estos números.
E) 10
̅̅̅̅ divisores positivos , halle
8. Si 5𝑛+3 + 5𝑛+2 + 5𝑛+1 + 5𝑛 posee 8𝑎
el valor de “a+n”.
Ejemplo: los múltiplos positivos de 12 y 18 son:
12̇ = {12; 24; 𝟑𝟔; 48; 60; 𝟕𝟐; 84; 96; 𝟏𝟎𝟖; … }
18̇ = {18; 3𝟔; 54; 𝟕𝟐; 90; 𝟏𝟎𝟖; 126; … }
A) 7
B) 11
C) 12
D) 9
E) 10
9. Si 𝑀 = 3. 45𝑛 tiene 207 divisores múltiplos de 3 más que 𝑃 =
45. 3𝑛 ,halle la suma de los divisores de “n”.
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
10. Si 16𝑛 tiene “m” divisores. ¿Cuántos divisores tendrá 256𝑛 ?
A) 4m + 1
B) 4m-1
C) 2m-1
D) 2m+1
B) 21
C) 24
D) 26
E) 30
B)150
C) 300
D) 600
1.
POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA
MCD: Se extrae de los números los factores o divisores primos
comunes hasta obtener números PESI, el producto de los divisores
extraídos es el MCD de dichos números.
Ejemplo: Calculemos en MCD (180; 540; 630)
12. ¿Cuántos números de 3 cifras son primos relativos con 6?
A) 200
MÉTODOS PARA CALCULAR DEL MCD Y MCM.
E) 4m
11. Si 𝑀 = 2. 3𝑛 . 7𝑚 tiene 40 divisores divisibles por 9 y 30 divisores
pares, halle el producto m y n.
A) 20
En consecuencia, el 𝑀𝐶𝑀(12; 18) = 36
E) 19
E) 400
EJERCICIOS PARA CASA
13. Halle el valor de “b”, si 12𝑏 . 18 tiene 126 divisores.
A) 8
B) 6
C) 11
D) 5
E) 7
14. Determinar cuántos rectángulos cuyas medidas de sus lados son
números enteros existen, de tal modo que el valor de su área sea
20cm2.
A) 2
B) 1
C) 3
D) 5
E) 4
15. Si “A” es la cantidad de divisores de 150 múltiplos de 3 y “B” es la
cantidad de divisores de 210, primos con 7. Halle el valor de “A+B”.
A) 6
B)7
C) 14
D)11
Por consiguiente, el
MCD (180; 540; 630) = 2 × 3 × 3 × 5 = 90
MCM: se extrae de los números los factores o divisores primos y no
comunes hasta obtener la unidad, el producto de los divisores
extraídos es el MCM de dichos números.
Ejemplo: Determinemos el 𝑀𝐶𝑀(60; 84)
E) 15
16. ¿Cuántos números capicúas de 3 cifras menores que 300 existen,
tales que son primos?
23 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
vi. Si 𝑀𝐶𝑀(𝐴; 𝐵; 𝐶) = 𝑚, entonces
𝑀𝐶𝑀(𝑛𝐴; 𝑛𝐵; 𝑛𝐶) = 𝑛𝑚
𝐴 𝐵 𝐶
𝑚
𝑛 𝑛 𝑛
𝑛
𝑀𝐶𝑀 ( ; ; ) =
1. ¿Pero 5 tiene divisor 5 pero 7 no? No importa se sigue dividiendo.
2. ¿Pero 7 tiene divisor 7 pero 1 no? No importa se sigue dividiendo.
Por consiguiente, el
𝑀𝐶𝑀(60; 84) = 22 × 3 × 5 × 7 = 420
2.
POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
MCD: es igual al producto de sus factores primos comunes
elevados a sus menores exponentes.
Calculemos el 𝑀𝐶𝐷(24; 18)
𝟐𝟒 = 23 × 3; 𝟏𝟖 = 32 × 2
Por tanto, 𝑀𝐶𝐷(24; 18) = 3 × 2 = 6
MCM: es igual al producto de los factores primos comunes y no
comunes elevados a sus mayores exponentes.
Calculemos el 𝑀𝐶𝑀(24; 18)
𝟐𝟒 = 23 × 3; 𝟏𝟖 = 32 × 2
Por tanto, 𝑀𝐶𝑀(24; 18) = 23 × 32 = 72
3.
POR DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES
Solo sirve para calcular el 𝑀𝐶𝐷 de dos números.
Procedimiento: dados dos enteros A y B con A > B
q1
A
q2 q 3
B
r1
r2
r1
r2
r3
...
...
...
q n-1 q n
cocientes
r n-2 rn-1
MCD
r n-1
residuos
0
Recordar que
𝐴 = 𝐵 ∙ 𝑞1 + 𝑟1 ; 𝐵 = 𝑟1 ∙ 𝑞2 + 𝑟2 ; 𝑟1∙ = 𝑟2 ∙ 𝑞3 + 𝑟3 ;…;
𝑟𝑛−2 = 𝑞𝑛 ∙ 𝑟𝑛−1
Ejemplo: Calculemos el 𝑀𝐶𝐷 de 30 y 18 mediante el algoritmo de
Euclides.
30
1
1
2
Cocientes sucesivos
18
12
6
MCD
12
6
0
Residuos
Observamos que se divide hasta que el último residuo sea cero,
siendo el 𝑀𝐶𝐷(30; 18) = 6
PROPIEDADES DEL MCD Y MCM
Solo para dos números A y B
i. Si A y B son PESI, entonces:
𝑀𝐶𝐷(𝐴; 𝐵) = 1 y
𝑀𝐶𝑀(𝐴; 𝐵) = 𝐴𝐵.

ii. Si 𝐴 = B , entonces:
𝑀𝐶𝐷(𝐴; 𝐵) = 𝐵 𝑦 𝑀𝐶𝑀(𝐴; 𝐵) = 𝐴
iii. Si 𝑀𝐶𝐷(𝐴; 𝐵) = 𝑑; se cumple 𝐴 = 𝑑𝑝 y 𝐵 = 𝑑𝑞 siendo p y q
PESI, además el 𝑀𝐶𝑀(𝐴; 𝐵) = 𝑑𝑝𝑞
iv. Para dos números A y B, se cumple:
𝑀𝐶𝑀(𝐴; 𝐵) × 𝑀𝐶𝐷(𝐴; 𝐵) = 𝐴 × 𝐵
Para dos o más números
v. Si 𝑀𝐶𝐷(𝐴; 𝐵; 𝐶) = 𝑑, entonces
𝑀𝐶𝐷(𝑛𝐴; 𝑛𝐵; 𝑛𝐶) = 𝑛𝑑
𝐴 𝐵 𝐶
𝑑
𝑀𝐶𝐷 ( ; ; ) = , siendo n un divisor de d.
𝑛 𝑛 𝑛
, siendo n un divisor de m.
vii. Si 𝑑 = 𝑀𝐶𝐷(𝐴; 𝐵; 𝐶; 𝐷), entonces se cumple lo siguiente:
𝑑 = 𝑀𝐶𝐷[(𝑀𝐶𝐷(𝐴; 𝐵); 𝑀𝐶𝐷(𝐶; 𝐷)]
𝑑 = 𝑀𝐶𝐷[(𝑀𝐶𝐷(𝐴; 𝐵; 𝐶); 𝑀𝐶𝐷(𝐶; 𝐷)]
𝑑 = 𝑀𝐶𝐷[𝑀𝐶𝐷(𝐴; 𝐵; 𝐶); 𝐷]
viii. Si 𝑚 = 𝑀𝐶𝑀(𝐴; 𝐵; 𝐶; 𝐷), entonces se cumple lo siguiente:
𝑚 = 𝑀𝐶𝑀[(𝑀𝐶𝑀(𝐴; 𝐵); 𝑀𝐶𝑀(𝐶; 𝐷)]]
𝑚 = 𝑀𝐶𝑀[(𝑀𝐶𝑀(𝐴; 𝐵; 𝐶); 𝑀𝐶𝑀(𝐶; 𝐷)]
𝑚 = 𝑀𝐶𝑀[𝑀𝐶𝑀(𝐴; 𝐵; 𝐶); 𝐷]
ix. Solo para el MCD se cumple que:
𝑀𝐶𝐷(𝑛𝑎 − 1; 𝑛𝑏 − 1; 𝑛𝑐 − 1) = 𝑛𝑀𝐶𝐷(𝑎,𝑏,𝑐) − 1
EJERCICIOS
1. Calcular el MCD de A y B si:
A = 24 x 33 x 7 x 1110 y B = 23 x 34 x 56 x 1310
A) 2 x 32
B) 22 x 34
C) 23 x 33
D) 22 x 33
E) 24 x 33
2. Si A = 2n x 34 y B = 2n–1 x 32 x 52, calcule el valor de “n”
sabiendo que el MCM de A y B tiene 60 divisores.
A) 4
B) 3
C) 5
D) 6
E) 2
3. Jaimito tiene una cuerda de 120 metros y otra de 96 metros. Desea
cortarlas de modo que todos los trozos sean iguales pero lo más
largo posible. ¿Cuántos trozos de cuerda obtendrá?
A) 9
B) 4
C) 5
D) 16
E) 24
4. En una banda compuesta por un baterista, un guitarrista, un bajista
y un saxofonista, el baterista toca en lapsos de 8 tiempos, el
guitarrista en 12 tiempos, el bajista en 9 tiempos y el saxofonista
en 18 tiempos. Si todos empiezan al mismo tiempo, ¿cada cuánto
tiempo sus periodos volverán a coincidir con el inicio iniciar?
A) 96
B) 48
C) 54
D) 72
E) 24
5. Un sitio turístico en el Perú ofrece tres diferentes buses: uno tarda
6 días en ir y regresar a su punto de inicio, el segundo tarda 8 días
y el tercero tarda 10 días. Si los tres buses partieron al mismo
tiempo hace 45 días, ¿cuántos días faltan para que vuelvan a
partir el mismo día los tres vehículos?
A) 72
B) 93
C) 64
D) 75
E) 56
6. Una tienda compra memorias USB de diferentes colores al por
mayor. Para el mes de marzo hizo un pedido extraordinario de 84
memorias rojas, 196 azules y 252 verdes. Para guardar la
mercancía de forma organizada, exigió que le enviaran las
memorias en cajas iguales, sin mezclar los colores y conteniendo
el mayor número posible de memorias. Si se cumplen las
exigencias de la tienda, ¿cuántas memorias habrá en cada caja y
cuántas cajas de color azul habrá?
A) 28 y 9 B) 28 y 3 C) 28 y 7
D) 56 y 7 E) 84 y 9
7. Pablo está trazando los planos de un proyecto de ingeniería sobre
una hoja de dimensiones 56 cm x 104 cm. Necesita dibujar una
cuadrícula de modo que:
 La cuadrícula está formada por cuadrados iguales (todos
los lados iguales).
 El tamaño de los cuadrados debe ser máximo.
 La longitud en centímetros de los lados del cuadrado debe
ser un número natural.
Calcular el número total de cuadrados que debe tener la
cuadrícula.
A) 72
B) 63
C) 77
D) 56
E) 91
𝑛
24 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
8. Daniel va a construir un prisma rectangular de dimensiones
60x18x12 cm (altura, largo y ancho) con cubos iguales y con
volumen máximo. ¿Cuántos cubos tiene que comprar Daniel?
A) 72
B) 60
C) 84
D) 56
E) 90
9.
En el aeropuerto Jorge Chávez de Lima sale un avión a Europa
cada 30 minutos, uno a Asia cada 20 minutos y otro a América
cada 50 minutos. Si a las 00:00h comienza la programación de los
vuelos, ¿a qué hora del día despegan 3 aviones al mismo tiempo
con destino distinto y cuántas veces al día se da la misma
situación (hasta las 24:00h)?
A) 4 h y 6 veces
B) 3 h y 8 veces
C) 4 h y 6 veces D)
5 h y 4 veces
E) 6 h y 4 veces
10. ¿Cuántas parejas de números cumplen que su MCD sea 12 y su
suma sea 108?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
11. Calcule la suma de dos números, cuyo MCM es 1320 y los
cocientes sucesivos al calcular su MCD por el algoritmo de
Euclides son 2; 1; 2; 1 y 2.
A) 41
B) 82
C) 56
D) 75
E) 96
12. Antonio tiene 140 kg de cemento y 480 kg de arena y quiere
preparar sacos iguales con la misma proporción de cemento y
arena para guardarlos en el trastero, pero desea comprar el
mínimo número posible de sacos. ¿Cuántos sacos debe comprar?
A) 24
B) 12
C) 20
D) 25
E) 18
13. Si el 𝑀𝐶𝐷(12𝐴; 18𝐵) = 36𝑛; 𝑀𝐶𝐷(4𝐶; 𝐵) = 7𝑛 y el
3
𝑀𝐶𝐷(2𝐴; 3𝐵; 12𝐶) = 81. Calcule el valor de √𝑛2 .
A) 1
B) 9
C) 4
D) 25
E) 16
14. Si
el
𝑀𝐶𝐷(70!; 720) = 𝑚!
y
el
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑀𝐶𝑀(𝑎(𝑏
+ 1)!; (𝑎
+ 1)𝑏!) = 21!. Calcule el valor de
(𝑎 + 𝑏)𝑚 .
A) 64
B) 32
C) 27
D) 36
E) 81
BANCO DE PREGUNTAS
NÚMEROS RACIONALES
Número Racional. Es aquel número que se puede expresar como un
cociente de dos enteros.
𝑎
Tiene la forma: ℚ = { / 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ; 𝑏 ≠ 0 }.
𝑏
Fracción. Es todo número racional que no es entero y que sus términos
son enteros positivos. Es decir,
𝑏
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
A) POR LA COMPARACIÓN DE SUS TÉRMINOS:
a) Fracción Propia. Una fracción es propia cuando es menor que la
unidad. Es decir,
𝑎
𝑎
es propia, si < 1 o que es lo mismo 𝑎 < 𝑏.
𝑏
𝑏
b) Fracción Impropia. Una fracción es impropia cuando es mayor que la
unidad.
𝑎
𝑎
es impropia si > 1 o que es lo mismo 𝑎 > 𝑏
𝑏
𝑏
Toda fracción impropia se puede expresar como una fracción mixta.
Ejemplo.
=
3
1
2
a) Fracción Decimal. Cuando el denominador es una potencia de
10.
f = a es decimal ↔ b 10𝑛 ; 𝑛ℤ+ .
b
b) Fracción Ordinario o común. Cuando el denominador no es una
potencia de 10.
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ 𝑦 (𝑏
16. Sea 85 el MCD de los números 3𝑎𝑏
+ 7)𝑐(𝑏 + 5) ,
determine el valor de 𝑎 − 𝑏 + 𝑐
A) 12
B) 10
C) 21
D) 15
E) 18
f=
a
es ordinaria ↔ b 10𝑛 ; 𝑛ℤ+
b
C) POR LA CANTIDAD DE DIVISORES DE SUS TÉRMINOS:
a) Fracción irreducible. Cuando sus términos sólo poseen
como divisor común a la unidad.
a
es irreducible ↔ a y b son PESI.
b
3 5 7
Ejemplo. ,
,
, etc.
4 2 9
f=
17. Determine el valor de “2𝑘−1 + 𝑘”, si
21𝑘 7𝑘 9𝑘
𝑀𝐶𝑀 (
; ; ) = 63
5 10 5
A) 21 B) 32 C) 36 D) 11 E) 69
18. Calcule la suma de cifras de “𝑛” sabiendo que el MCD de los
números 𝐴 = 12𝑛 ∙ 15 y 𝐵 = 12 ∙ 15𝑛 tiene 96 divisores.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
̅̅̅! ; (𝑎 + 𝑏)! ) = 18! , calcule el MCM de los
19. Si el 𝑀𝐶𝐷(𝑎𝑏
̅̅̅(𝑎+1) .
números 𝑎𝑎
̅̅̅̅(𝑏+3) y 𝑏𝑏
A) 2487
B) 1461
C) 2096 D) 1387 E) 4542
20. La suma de dos números es 1248 y al calcular el MCD por el
algoritmo de Euclides los cocientes obtenidos fueron: 2; 6; 1; 1 y 2.
Calcule el MCD de dichos números.
B) 7
E) 12
7
2
B) POR SU DENOMINADOR:
15. ¿Cuántos divisores comunes tienen los números 12019 y 35039?
A) 645
B) 1200
C) 800
D) 825
E) 720
A) 6
D) 9
o
𝑎
𝑓 = , es una fracción ↔ 𝑎 ≠ 𝑏 𝑦 𝑎 ∈ ℤ+ ; 𝑏 ∈ ℤ+
C) 8
b) Fracción reducible. Cuando sus términos tienen por lo menos un
divisor común distinto de la unidad.
f=
a
b
es reducible ↔
ay
b no son PESI
D) POR EL GRUPO DE FRACCIONES:
a) Fracciones Homogéneas. Son fracciones que tienen el mismo
denominador
Ejemplo:
3 7 11
,
,
, etc.
4 4 4
b) Fracciones Heterogéneas. Son fracciones donde por lo menos
hay un denominador diferente a los demás.
25 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
Ejemplo:
6 3 7 2
,
,
,
, etc.
5 5 4 5
E) FRACCIONES EQUIVALENTES. Dos o más fracciones son
equivalentes cuando representan un mismo número.
Ejemplo: 3 = 6  9  24    3k , k  Z 
5k
5 10 15 40
Fracción de Fracción.
El a de c se representa como: a  c
b
bd
d
3
Ejemplo. Calculemos la cuarta parte de de 720.
5
1 3
∙ ∙ 720 = 108
4 5
NÚMEROS DECIMALES
Es la expresión lineal de una fracción (se obtiene al dividir sus términos).
En general, en cualquier base, se denomina número aval.
Ejemplo.
32 = 11,2 = 6,4
(5)
5
15 = 3,3 = 3,75
( 4)
4
CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
1. Decimal exacto. Son aquellos números que tienen una cantidad finita
de cifras decimales.
Ejemplo.
A) 0,5 = 5
10
2. Decimal inexacto.
a) Periódico Puro. Son números decimales, donde su cifra periódica se
repite indefinidamente.
Ejemplo.
0,222... =0, 2̂
̂
2,3131... = 2, 31
b) Periódico mixto. Son números donde las cifras decimales están
compuestas por cifras no periódicas y cifras periódicas.
Ejemplo.
A) 0,23333... = 0,23̂
B) 5,316666...  2,316̂
FRACCIÓN GENERATRIZ
La fracción generatriz de un número decimal es la fracción irreductible (no
se puede simplificar más) que da como resultado dicho número decimal.
Caso
Base n=10
Base n
Decimal
𝒂𝒃𝒄𝒅(𝒏)
𝒂𝒃𝒄𝒅
exacto
𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎(𝒏)
̅̅̅̅̅̅̅(𝒏)
𝟎, 𝒂𝒃𝒄𝒅
Periódico
𝒂𝒃𝒄(𝒏)
𝒂𝒃𝒄
puro
𝟗𝟗𝟗
(𝒏
−
𝟏)(𝒏
− 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏)
𝟎, ̂
𝒂𝒃𝒄 (𝒏)
Periódico
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆(𝒏) − 𝒂𝒃(𝒏)
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆 − 𝒂𝒃
mixto
𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)𝟎𝟎(𝒏)
𝟎, 𝒂𝒃 ̂
𝒄𝒅𝒆 (𝒏)
EJERCICIOS
1. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15
litros de la mezcla. ¿Cuántos litros de leche salen?
A) 9 L
B) 10 L
C) 6 L
D) 9 L
E) 8 L
2. En una canasta de frutas hay 5 manzanas y 7 naranjas, 12 frutas en
total. Si pedro coge 3 frutas, ¿qué parte del total representan las
frutas que quedaron?
A) 1/2
B) 2/3
C) 3/4
D) 4/5
E) 2/7
3. En una empresa de papeles, cuando trabajan 2 máquinas 𝑤1 𝑦 𝑤2
juntas demoran dos horas en cortar una cantidad de planchas de
papel. En cierta oportunidad se malogró la 𝑤1 que era la más rápida,
por la que la 𝑤2 demoró 6 horas en cortar la misma cantidad. En
condiciones normales ¿Cuánto demoraría la 𝑤1 trabajando sola?
A) 2 h
B) 3 h
C) 4 h
D) 5 h
E) 6 h
4. Calcule la suma de términos de una fracción mayor que 2/5 y menor
que 5/8, sabiendo que dichos términos son los mayores posibles y su
diferencia es 12.
A) 50
B) 55
C) 58
D) 60
E) 65
̂ (11) = 0, 2̂(𝑛) , además se sabe que: 𝑎 + n = 11
5. Halle n, si: 0, 𝑎8
.
A) 5
B) 7
C) 9
D) 12
E) 13
6. Si una fracción irreductible a/b, cuyos términos están escritos en base
diez, se convierte a dos sistemas de numeración de bases
̂ . Hallar a+b.
consecutivas, entonces se presenta por 0,213 y 0,14
A) 11
B) 9
C) 8
D) 4
E) 6
7. Si me fui de paseo y gasté 1/5 de mi dinero, luego gasté ¼ de lo que
me quedaba y finalmente gasté 1/3 de lo que tenía. Si para ir a casa
el taxi me cobró S/.10 y me quedé con S/.14 nuevos soles, ¿cuánto
gasté en total?
A) S/. 45
B) S/. 46
C) S/. 50
D) S/ 55
E) S/ 60
8. Los 3/4 del volumen de un barril más 7 L es vino puro y 1/3 del barril
menos 20 L es agua. ¿Qué fracción del vino puro representa la
cantidad de agua?
A) 3/31
B) 5/31
C) 6/31
D) 8/31
E) 9/31
9. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tienen denominador 512 y
son mayores que 0,6?
A) 100
B) 102
C) 116
D) 120
E) 125
10. Si:
mn
abc
̂ y abc + mn = 1000. Calcular a+b+c+m+n+d
= 0, defg
A) 27
B) 28
C) 29
D) 32
E) 34
2
̂
11. Si: = 0, abcdef
x
5
x
̂
= 0, defabc
def − abc = 1001
A) 3
B) 7
C) 9
D) 11
E) 13
a
b
̂ donde a y b son números naturales, hallar el
12. Si, + = 0,781
5
11
valor de a+b.
A) 44
B) 45
C) 50
D) 43
E) 42
TAREA DOMICILIARIA
13. Calcule el valor de “m+n”, si: 0, 𝑚𝑛 𝑥 (𝑚̂
− 𝑛)𝑛 = 0,1893
A) 12
B) 8
C) 10
14. Calcule “a+b”, si se sabe que: 0, ab =
A) 10
B) 12
C) 14
26 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
D) 11
E) 15
12
25
D) 15
E) 18
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
15. El sueldo de un profesor se incrementa en 1/5 y luego disminuye en
1/5 de su nuevo valor. ¿Qué sucedió con el sueldo de dicho profesor?
A) No varía
B) Disminuyó 1/5
C) Aumentó en 4/5
D) disminuye en 1/25
E) Aumenta 1/10
16. De un depósito lleno de alcohol se retira 1/2 del contenido y se
reemplaza por agua, luego se retira 1/3 de la mezcla y se reemplaza
por agua, luego se saca 1/4 y se reemplaza por agua y así
sucesivamente hasta que solo queda 1/30 de alcohol que había
inicialmente. ¿Cuántas operaciones se realizaron?
A) 24
B) 25
C) 27
D) 29
E) 31
17. En un recipiente lleno de leche se extrae 1/5 de lo que no se extrae y
luego se vuelve a extraer 1/5 de lo que quedaba, quedando en el
recipiente 64 litros. ¿Cuántos litros había en el recipiente?
A) 80 L
B) 90 L
C) 96 L
D) 112 L
E) 120 L
18. Cuando un grifo llena un depósito demora 4 horas, si luego de esto se
abre un escape en el depósito queda vacío en 6 horas. Si se abre el
grifo cuando el escape está abierto, ¿qué tiempo demorará en llenarse
el depósito estando vacío?
A) 8 h
B) 10 h
C) 12 h
D) 6 h
E) 14 h
f = a es decimal ↔ b 10𝑛 ; 𝑛ℤ+ .
b
b) Fracción Ordinario o común. Cuando el denominador no es una
potencia de 10.
a
b
f=
es ordinaria ↔ b 10𝑛 ; 𝑛ℤ+
C) POR LA CANTIDAD DE DIVISORES DE SUS TÉRMINOS:
a) Fracción irreducible. Cuando sus términos sólo poseen
como divisor común a la unidad.
f=
a
b
es irreducible ↔ a y b son PESI.
Ejemplo.
3 5 7
, ,
4 2 9
, etc.
b) Fracción reducible. Cuando sus términos tienen por lo menos un
divisor común distinto de la unidad.
f=
a
b
es reducible ↔
ay
b no son PESI
D) POR EL GRUPO DE FRACCIONES:
a) Fracciones Homogéneas. Son fracciones que tienen el mismo
denominador
Ejemplo:
3 7 11
,
,
, etc.
4 4 4
b) Fracciones Heterogéneas. Son fracciones donde por lo menos
hay un denominador diferente a los demás.
Ejemplo:
NÚMEROS RACIONALES
Número Racional. Es aquel número que se puede expresar como un
cociente de dos enteros.
𝑎
Tiene la forma: ℚ = { / 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ; 𝑏 ≠ 0 }.
𝑏
Fracción. Es todo número racional que no es entero y que sus términos
son enteros positivos. Es decir,
o
𝑎
𝑓 = , es una fracción ↔ 𝑎 ≠ 𝑏 𝑦 𝑎 ∈ ℤ+ ; 𝑏 ∈ ℤ+
𝑏
A) POR LA COMPARACIÓN DE SUS TÉRMINOS:
a) Fracción Propia. Una fracción es propia cuando es menor que la
unidad. Es decir,
𝑎
𝑎
es propia, si < 1 o que es lo mismo 𝑎 < 𝑏.
𝑏
𝑏
Ejemplo: 3 = 6  9  24    3k , k  Z 
5k
5 10 15 40
Fracción de Fracción.
El a de c se representa como: a  c
𝑎
𝑎
es impropia si > 1 o que es lo mismo 𝑎 > 𝑏
𝑏
𝑏
Toda fracción impropia se puede expresar como una fracción mixta.
7
2
=
d
bd
3
Ejemplo. Calculemos la cuarta parte de de 720.
5
1 3
∙ ∙ 720 = 108
4 5
NÚMEROS DECIMALES
b) Fracción Impropia. Una fracción es impropia cuando es mayor que la
unidad.
Ejemplo.
E) FRACCIONES EQUIVALENTES. Dos o más fracciones son
equivalentes cuando representan un mismo número.
b
CLASIFICACIÓN DE LAS FRACCIONES
6 3 7 2
,
,
,
, etc.
5 5 4 5
3
1
2
B) POR SU DENOMINADOR:
a) Fracción Decimal. Cuando el denominador es una potencia de
10.
Es la expresión lineal de una fracción (se obtiene al dividir sus términos).
En general, en cualquier base, se denomina número aval.
Ejemplo.
32 = 11,2 = 6,4
(5)
5
15 = 3,3 = 3,75
( 4)
4
CLASIFICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES
2. Decimal exacto. Son aquellos números que tienen una cantidad finita
de cifras decimales.
Ejemplo.
27 CICLO ACADÉMICO 2021 - I
ARITMETICA
CICLO ACADÉMICO 2021 - I
A) S/. 45
A) 0,5 = 5
10
2. Decimal inexacto.
a) Periódico Puro. Son números decimales, donde su cifra periódica se
repite indefinidamente.
Ejemplo.
0,222... =0, 2̂
̂
2,3131... = 2, 31
b) Periódico mixto. Son números donde las cifras decimales están
compuestas por cifras no periódicas y cifras periódicas.
Ejemplo.
A) 0,23333... = 0,23̂
B) 5,316666...  2,316̂
FRACCIÓN GENERATRIZ
La fracción generatriz de un número decimal es la fracción irreductible (no
se puede simplificar más) que da como resultado dicho número decimal.
Caso
Base n=10
Base n
Decimal
𝒂𝒃𝒄𝒅(𝒏)
𝒂𝒃𝒄𝒅
exacto
𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎(𝒏)
𝟎, ̅̅̅̅̅̅̅
𝒂𝒃𝒄𝒅(𝒏)
Periódico
𝒂𝒃𝒄(𝒏)
𝒂𝒃𝒄
puro
𝟗𝟗𝟗
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏)
𝟎, ̂
𝒂𝒃𝒄 (𝒏)
Periódico
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆(𝒏) − 𝒂𝒃(𝒏)
𝒂𝒃𝒄𝒅𝒆 − 𝒂𝒃
mixto
𝟗𝟗𝟗𝟎𝟎
(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)(𝒏 − 𝟏)𝟎𝟎(𝒏)
𝟎, 𝒂𝒃 ̂
𝒄𝒅𝒆 (𝒏)
EJERCICIOS
20. En una canasta de frutas hay 5 manzanas y 7 naranjas, 12 frutas en
total. Si pedro coge 3 frutas, ¿qué parte del total representan las
frutas que quedaron?
B) 2/3
C) 3/4
D) 4/5
E) 2/7
21. En una empresa de papeles, cuando trabajan 2 máquinas 𝑤1 𝑦 𝑤2
juntas demoran dos horas en cortar una cantidad de planchas de
papel. En cierta oportunidad se malogró la 𝑤1 que era la más rápida,
por la que la 𝑤2 demoró 6 horas en cortar la misma cantidad. En
condiciones normales ¿Cuánto demoraría la 𝑤1 trabajando sola?
A) 2 h
B) 3 h
C) 4 h
D) 5 h
E) 6 h
22. Calcule la suma de términos de una fracción mayor que 2/5 y menor
que 5/8, sabiendo que dichos términos son los mayores posibles y su
diferencia es 12.
A) 50
B) 55
C) 58
D) 60
E) 65
̂ (11) = 0, 2̂(𝑛) , además se sabe que: 𝑎 + n = 11
23. Halle n, si: 0, 𝑎8
.
A) 5
B) 7
C) 9
D) 12
E) 13
24. Si una fracción irreductible a/b, cuyos términos están escritos en base
diez, se convierte a dos sistemas de numeración de bases
̂ . Hallar a+b.
consecutivas, entonces se presenta por 0,213 y 0,14
A) 11
B) 9
C) 8
C) S/. 50
D) 4
D) S/ 55
E) S/ 60
26. Los 3/4 del volumen de un barril más 7 L es vino puro y 1/3 del barril
menos 20 L es agua. ¿Qué fracción del vino puro representa la
cantidad de agua?
A) 3/31
B) 5/31
C) 6/31
D) 8/31
E) 9/31
27. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles tienen denominador 512 y
son mayores que 0,6?
A) 100
B) 102
C) 116
D) 120
E) 125
28. Si:
mn
abc
̂ y abc + mn = 1000. Calcular a+b+c+m+n+d
= 0, defg
A) 27
B) 28
C) 29
D) 32
E) 34
2
̂
29. Si: = 0, abcdef
x
5
x
̂
= 0, defabc
def − abc = 1001
A) 3
B) 7
C) 9
D) 11
E) 13
a
b
̂ donde a y b son números naturales, hallar el
30. Si, + = 0,781
5
11
valor de a+b.
A) 44
B) 45
C) 50
D) 43
E) 42
TAREA DOMICILIARIA
31. Calcule el valor de “m+n”, si: 0, 𝑚𝑛 𝑥 (𝑚̂
− 𝑛)𝑛 = 0,1893
A) 12
B) 8
C) 10
32. Calcule “a+b”, si se sabe que: 0, ab =
19. Un depósito contiene 36 litros de leche y 18 de agua. Se extrae 15
litros de la mezcla. ¿Cuántos litros de leche salen?
A) 9 L
B) 10 L
C) 6 L
D) 9 L
E) 8 L
A) 1/2
B) S/. 46
A) 10
B) 12
C) 14
D) 11
E) 15
12
25
D) 15
E) 18
33. El sueldo de un profesor se incrementa en 1/5 y luego disminuye en
1/5 de su nuevo valor. ¿Qué sucedió con el sueldo de dicho profesor?
A) No varía
B) Disminuyó 1/5
C) Aumentó en 4/5
D) disminuye en 1/25
E) Aumenta 1/10
34. De un depósito lleno de alcohol se retira 1/2 del contenido y se
reemplaza por agua, luego se retira 1/3 de la mezcla y se reemplaza
por agua, luego se saca 1/4 y se reemplaza por agua y así
sucesivamente hasta que solo queda 1/30 de alcohol que había
inicialmente. ¿Cuántas operaciones se realizaron?
A) 24
B) 25
C) 27
D) 29
E) 31
35. En un recipiente lleno de leche se extrae 1/5 de lo que no se extrae y
luego se vuelve a extraer 1/5 de lo que quedaba, quedando en el
recipiente 64 litros. ¿Cuántos litros había en el recipiente?
A) 80 L
B) 90 L
C) 96 L
D) 112 L
E) 120 L
36. Cuando un grifo llena un depósito demora 4 horas, si luego de esto se
abre un escape en el depósito queda vacío en 6 horas. Si se abre el
grifo cuando el escape está abierto, ¿qué tiempo demorará en llenarse
el depósito estando vacío?
A) 8 h
B) 10 h
C) 12 h
D) 6 h
E) 14 h
E) 6
25. Si me fui de paseo y gasté 1/5 de mi dinero, luego gasté ¼ de lo que
me quedaba y finalmente gasté 1/3 de lo que tenía. Si para ir a casa
el taxi me cobró S/.10 y me quedé con S/.14 nuevos soles, ¿cuánto
gasté en total?
28 CICLO ACADÉMICO 2021 - I