La integral definida

UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA- La integral definida
Cálculo Integral
8 de junio de 2020
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7ma ed.
Existen dos maneras de
aproximarnos al concepto de integral, a través de la antiderivada y el problema del área.
Antiderivadas
Un fı́sico que conoce la velocidad de una partı́cula podrı́a desear conocer su posición en
un instante dado. Un ingeniero que puede medir la cantidad variable a la cual se fuga el
agua de un tanque quiere conocer la cantidad que se ha fugado durante cierto periodo. Un
biólogo que conoce la rapidez a la que crece una población de bacterias puede interesarse en
deducir el tamaño de la población en algún momento futuro. En cada caso, el problema es
encontrar una función F cuya derivada es la función conocida f . Si tal función F existe, se
llama antiderivada de f .
Definición U. na función F recibe el nombre de antiderivada de f sobre un intervalo I si
F 0 (x) = f (x) para toda x en I.
Ejemplo 1. ¿Cuál es la antiderivada de la función f (x) = x2 ?
Solución plicando ley de la potencia, no cuesta mucho darse cuenta de que al derivar la
1
función F (x) = x3 obtenemos F 0 (x) = x2 = f (x). Sin embargo, esto también es cierto para
3
1 3
1
G(x) = x + 5. Más aún, cualquier función de la forma H(x) = x3 + C, donde C es una
3
3
consante, es una antiderivada de f . Surge la pregunta, ¿hay otras?
Teorema S. i F es una aniderivada de f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada más
general de f sobre F es
F (x) + C
donde C es una constante arbitraria.
En la siguiente tabla, recopilamos algunas antiderivadas
1
Areas y distancias
El problema del área
Empezamos por intentar resolver el problema del área: encuentre el área de la región S
que está bajo la curva y = f (x), desde a hasta b. Esto significa que la región S está limitada
por una función continua f (donde f (x) ≥ 0), las rectas verticales x = a, x = b y el eje x.
Pero ¿cuál es el significado de área?
La pregunta es fácil de responder para regiones con lados rectos, sin embargo, no es fácil
hallar el área de una región con lados curvos.
Para poder dar una definición exacta acerca de lo que es el área de una región con lados
curvos, se hará una aproximación de la región S representándolas por medio de rectángulos,
y después tomando el lı́mite de las áreas de los rectángulos cunado se incrementa el número
de éstos.
π
Ejemplo 2. Convierta el punto 2,
de coordenadas polares a cartesianas.
3
2
π
Solución Note que (r, θ) = 2,
. Luego,
3
π 1
x = r cos θ = 2 cos
=2
=1
3
2
√ !
π √
3
=2
= 3
y = r sin θ = 2 sin
3
2
√
Por tanto, el punto en coordenadas cartesianas es (1, 3).
Ejemplo 3. Represente el punto con coordenadas cartesianas (1, −1) en términos de coordenadas polares.
Solución Note que (x, y) = (1, −1), entonces
r 2 = x2 + y 2
r2 = (1)2 + (−1)2 = 1 + 1 = 2
√
2.
r =
Además,
y
−1
=
= −1
x
1
π
θ = tan−1 (−1) = − tan−1 (1) = −
4
tan θ =
Por otra parte, note que el punto (1, −1) pertecene al tercer cuadrante
π
8π − π
7π
=
=
4
4
4
√
√ 7π
π
Ası́, punto con coordenadas polares
2, −
o
2,
4
4
2π −
Gráficas o curvas polares
La gráfica de una ecuación polar r = f (θ), o de manera más general F (r, θ) = 0, consiste
de todos los puntos P que tienen al menos una representación polar (r, θ) cuyas coordenadas
satisfacen la ecuación.
Ejemplo 4. Describir la gráfica de cada ecuación polar. Confirmar cada descripción transformando la ecuación a ecuación rectangular.
a) r = 2
b) θ =
π
3
c) r = sec θ
Solución Vamos a graficar funciones polares
3
a) La gráfica de la ecuación polar r = 2 consta de todos los puntos que se encuentran
a dos unidades del polo. En otras palabras, esta gráfica es la circunferencia que tiene
su centro en el origen y radio 2. Esto se puede confirmar utilizan- do la relación para
obtener la ecuación rectangular
x2 + y 2 = (2)2 = 4
π
b) La gráfica de la ecuación polar θ = consta de todos los puntos sobre la semirrecta
3
que forma un ángulo de π3 con el semieje x positivo.. Para confirmar esto, se puede
utilizar la relación
y
tan θ =
x
para obtener la ecuación rectangular, ya que
π
y
y √
tan =
⇒
= 3
3
x
3 √
⇒ y = 3x
c) La gráfica de la ecuación polar r = sec θ no resulta evidente por inspección simple, por
o que hay que empezar por pasarla a la forma rectangular mediante la relación
x = r cos θ
4
Luego,
x = r cos θ ⇒ x = sec θ · cos θ
1
⇒ x=
· cos θ
cos θ
⇒ x = 1.
Por la ecuación rectangular se puede ver que la gráfica es una recta vertical.
Ejemplo 5.
a) Trace la curva con ecuación polar r = 2 cos θ
b) Encuentre una ecuación cartesiana para esta curva.
Solución
a) Primero se encuentran los valores de r para algunos valores convenientes de
θ y se grafican los puntos correspondientes (r, θ). Después se unen estos puntos para
bosquejar la curva, que aparenta ser una circunferencia. Hemos usado sólo valores de θ
entre θ y π, porque si hacemos que θ se incremente más allá de π, obtenemos de nuevo
los mismos puntos.
5
b) Sabemos que x = r cos θ, de modo que cos θ = xr , además tenemos que r = 2 cos θ.
Luego,sustituyendo tenemos que
x 2x
r = 2 cos θ = 2
=
r
r
r2 = 2x
Como r2 = x2 + y 2 , entonces
r 2 = x2 + y 2
2x = x2 + y 2
De modo que,
x2 + y 2 − 2x = 0 ⇒
⇒
x2 − 2x + y 2 = 0
x2 − 2x + 1 + y 2 − 1 = 0
⇒ (x − 1)2 + y 2 = 1
que es la ecuación de una circunferencia con centro en (1, 0) y radio 1.
Ejemplo 6. Bosqueje la curva r = 1 + sin θ.
Solución bosquejamos primero la gráfica de r = 1 + sin θ en coordenadas cartesianas con
0 ≤ θ ≤ 2π
6
Esto nos permite leer de un vistazo los valores de r que corresponden a valores crecientes de
θ. Note que cuando θ se incrementa de 0 a π2 , r (la distancia desde O) se incrementa de 1 a
2, ya que
r = 1 + sin(0) = 1 + 0 = 1
π r = 1 + sin
=1+1=2
2
de modo que se bosqueja la parte correspondiente de la curva polar
cuando θ se incrementa de
π
2
a π, r decrece de 2 a 1, ya que
π r = 1 + sin
=2
2
r = 1 + sin(π) = 1 + 0 = 1
de modo que se bosqueja la parte correspondiente de la curva polar
cuando θ se incrementa de π a
3π
,
2
r decrece de 1 a 0, ya que
r = 1 + sin(π) = 1 + 0 = 1
3π
r = 1 + sin
=1−1=0
2
de modo que se bosqueja la parte correspondiente de la curva polar
7
cuando θ se incrementa de
3π
2
a 2π, r decrece de 0 a 1, ya que
3π
r = 1 + sin
=0
2
r = 1 + sin(2π) = 1 + 0 = 1
de modo que se bosqueja la parte correspondiente de la curva polar
Ası́, la gráfica de la función polar r = 1 + sin θ es
Esta curva se llama cardioide porque tiene forma de corazón.
Ejemplo 7. Dibujar la gráfica de r = 2 cos(3θ)
Solución ara empezar, se expresa la ecuación polar en forma paramétrica.
x = r cos θ
y = r sin θ
8
Note que si θ se incrementa de 0 a
π
, r decrece de 2 a 0, ya que
6
r = 2 cos(3(0)) = 2 cos(0) = 2 · 1 = 2
π
π
r = 2 cos 3 ·
= 2 cos ·
=2·0=0
6
2
Luego, si θ = 0, entonces r = 2, de modo que
x = 2 cos(0) = 2
y = 2 sin(0) = 0
tenemos el punto (2, 0)
π
si θ = , entonces r = 0, de modo que
6
x = 0 cos
y = 0 sin
π π6 6
=0
=0
tenemos el punto (0, 0).
π π
a , r decrece de 0 a −2, ya que
6 3
π
π
r = 2 cos 3 ·
= 2 cos ·
=2·0=0
6
2
π
r = 2 cos 3 ·
= 2 cos (π) = 2 · (−1) = −2
3
√
π
pasamos del punto (0, 0) al punto punto (−1, − 3) ya que , si θ = , entonces r = −2, de
3
modo que
π 1
x = −2 cos
= −2 · = −1
3
2
√
π √
3
y = −2 sin
= −2 ·
=− 3
3
2
si θ se incrementa de
9
si θ se incrementa de
π π
a , r crece de −2 a 0, ya que
3 2
π
r = 2 cos 3 ·
= 2 cos (π) = 2 · (−1) = −2
3
π
3π
= 2 cos ·
=2·0=0
r = 2 cos 3 ·
2
2
√
π
pasamos del punto (−1, − 3) al punto punto (0, 0) ya que , si θ = , entonces r = 0, de
2
modo que
π 1
x = 0 cos
=0· =0
2
π3 y = 0 sin
= 0 · (1) = 0
2
si θ se incrementa de
π 2π
a
, r crece de 0 a 2, ya que
2
3
π
3π
r = 2 cos 3 ·
= 2 cos ·
=2·0=0
2
2
2π
r = 2 cos 3 ·
= 2 cos (2π) = 2 · (1) = 2
3
10
√
2π
pasamos del punto (0, 0) al punto punto (−1, 3) ya que , si θ =
, entonces r = 2, de
3
modo que
2π
1
x = 2 cos
= 2 · − = −1
3
2
√
3 √
2π
=2·
= 3
y = 2 sin
2
2
si θ se incrementa de
2π 5π
a
, r crece de 2 a 0, ya que
3
6
2π
r = 2 cos 3 ·
= 2 cos (2π) = 2 · (1) = 2
3
5π
5π
r = 2 cos 3 ·
= 2 cos ·
=2·0=0
6
2
√
5π
pasamos del punto (−1, 3) al punto punto (0, 0) ya que , si θ =
, entonces r = 0, de
6
modo que
√
3
5π
=0·−
=0
x = 0 cos
6
2
5π
1
=0· =0
y = 0 sin
6
2
11
si θ se incrementa de
5π
a π, r decrece de 0 a −2, ya que
6
5π
5π
r = 2 cos 3 ·
= 2 cos ·
=2·0=0
6
2
r = 2 cos (3π) = 2 cos (3π) = 2 · (−1) = −2
pasamos del punto (0, 0) al punto punto (2, 0) ya que , si θ = π, entonces r = −2, de modo
que
x = −2 cos (π) = −2 · (−1) = 2
y = −2 sin (π) = −2 · 0 = 0
12
Ası́, la gráfica de la función polar r = 2 cos(3θ) es
la gráfica es llamada una rosa de tres pétalos
Ejemplo 8. Bosqueje la curva r = cos(2θ).
Solución bosquejamos primero la gráfica de r = cos(2θ), 0 ≤ θ ≤ 2π en coordenadas
cartesianas.
π
, se observa que r decrece de 1 a 0 (indicada por (1)).
4
π π
Cuando θ se incrementa de a , r va de 0 a −1. Esto significa que la distancia desde
4 2
O se incrementa de 0 a 1, pero en lugar de estar en el primer cuadrante esta porción de la
curva polar (indicada por (2)) se ubica en el lado opuesto del polo en el tercer cuadrante.
Cuando θ se incrementa de 0 a
13
El resto de la curva se traza en forma similar, con flechas y números indicando el orden
en el cual se trazan las porciones. La curva resultante tiene cuatro bucles y se llama rosa
de cuatro hojas.
Simetrı́a
Cuando se bosquejan curvas polares, a veces es útil aprovechar la simetrı́a. Las tres reglas
siguientes
i) Si una ecuación polar permanece sin cambio cuando θ se reemplaza por −θ, la curva
es simétrica respecto al eje polar.
ii) Si la ecuación no cambia cuando r se reemplaza por −r, o cuando θ se sustituye por
θ + π la curva es simétrica respecto al polo. (Esto significa que la curva permanece sin
cambio si la rotamos 180circ respecto al origen.)
iii) Si la ecuación no cambia cuando θ se reemplaza por θ−π, la curva es simétrica respecto
π
a la recta vertical θ = .
2
14
Tangentes a curvas polares
ara hallar una recta tangente a una curva polar r = f (θ), se considera θ como un parámetro y escribimos sus ecuaciones paramétricas como
x = r cos θ = f (θ) cos θ
y y = r sin θ = f (θ) sin θ
Después, con el método para hallar pendientes de curvas paramétricas y la regla del producto,
tenemos
dr
dy
sin θ + r cos θ
dy
= dθ = dθ
dx
dr
dx
cos θ − r sin θ
dθ
dθ
dy
i) Las rectas tangentes horizontales se localizan al determinar los puntos donde
=0
dθ
dx
6= 0).
(siempre que
dθ
dx
dy
ii) Las rectas tangentes verticales en los puntos donde
= 0 (siempre que
6= 0) Si
dθ
dθ
dy dx
y
= 0 simultáneamente son 0, no se puede extraer ninguna conclusión respecdθ
dθ
to a las rectas tangentes.
Observe que si se están buscando rectas tangentes en el polo, entonces r = 0 y la ecuación
anterior se simplifica a
dy
dr
dr
dr
sin θ + r cos θ
sin θ + 0
sin θ
sin θ
dy
= dθ = dθ
= tan θ
= dθ
= dθ
=
dx
dr
dr
dr
dx
cos θ
cos θ − r sin θ
cos θ − 0
cos θ
dθ
dθ
dθ
dθ
dr
dy
Ası́, si
6= 0, entonces
= tan θ
dθ
dx
Observación 2. La función del ejemplo anterior r = cos(2θ), 0 ≤ θ ≤ 2π encontramos que
3π
π
3π
π
Esto significa que las rectas θ = y θ =
(o y = x y
r = cos(2θ) cuando θ = o θ =
4
4
4
4
y = −x) son rectas tangentes a r = cos(2θ). en el origen
15
Ejemplo 9. Hallar las rectas tangentes horizontales y verticales a la gráfica de el cardioide
r = 2(1 − cos θ)
Solución Recordemos que
dy
=0
i) Las rectas tangentes horizontales se localizan al determinar los puntos donde
dθ
dx
(siempre que
6= 0).
dθ
ii) Las rectas tangentes verticales en los puntos donde
dx
dy
= 0 (siempre que
6= 0)
dθ
dθ
Empezamos
y = r sin θ = 2(1 − cos θ) sin θ
dy
= 2 [(1 − cos θ)(cos θ) + sin θ(sin θ)]
dθ
= 2 cos θ − cos2 θ + sin2 θ = 2 cos θ − cos2 θ + 1 − cos2 θ
= 2 1 + cos θ − 2 cos2 θ = 2 + 2 cos θ − 4 cos2 θ
= − 4 cos2 θ − 2 cos θ − 2 = − [(cos θ − 1)(4 cos θ + 2)]
= −2(cos θ − 1)(2 cos θ + 1)
Luego,
dy
= 0 ⇔ −2(cos θ − 1)(2 cos θ + 1) = 0
dθ
⇔ (cos θ − 1)(2 cos θ + 1) = 0
⇔ cos θ − 1 = 0 o 2 cos θ + 1 = 0
1
⇔ cos θ = 1 o cos θ = −
2
−1
⇔ θ = cos (1) o
⇔ θ = 0;
−1
cos θ = cos
1
−
2
2π 4π
y
3
3
Ahora,
x = r cos θ = 2(1 − cos θ) cos θ = 2 cos θ − 2 cos2 θ
dx
= −2 sin θ + 4 cos θ sin θ
dθ
= 2 sin θ [−1 + 2 cos θ] = 2 sin θ [2 cos θ − 1]
16
Luego,
dx
= 0 ⇔ 2 sin θ [2 cos θ − 1] = 0
dθ
⇔ 2 sin θ = 0 o 2 cos θ − 1 = 0
1
⇔ sin θ = 0 o cos θ =
2
1
−1
−1
⇔ θ = sin (0) o cos θ = cos
2
π 5π
⇔ θ = 0; π; y
3 3
Finalmente determinaremos los puntos (r, θ) donde se encuentran las ası́ntotas. Note que
dx
dy
=0y
= 0. Sin embargo, esta única información no permite saber
para θ = 0, ambas
dθ
dθ
si la gráfica tiene una recta tangente horizontal o vertical en el polo. Se puede observar que
la gráfica tiene una cúspide (o punto anguloso o cuspidal) en el polo.
Ası́ntotas horizontales
2π
2π
si θ =
=⇒ r = 2 1 − cos
3
3
1
3
=⇒ r = 2 1 +
=2
2
2
=⇒ r = 3
4π
4π
=⇒ r = 2 1 − cos
si θ =
3
3
1
3
=⇒ r = 2 1 +
=2
2
2
=⇒ r = 3
2π
4π
Tenemos ası́ntotas horizontales en los puntos 3,
y 3,
3
3
Ası́ntotas verticales
si θ = π =⇒ r = 2 (1 − cos (π))
=⇒ r = 2 (1 + 1) = 2 (2)
=⇒ r = 4
π π
si θ =
=⇒ r = 2 1 − cos
3
3 1
1
=⇒ r = 2 1 −
=2
2
2
=⇒ r = 1
17
5π
5π
si θ =
=⇒ r = 2 1 − cos
3
3
1
1
=2
=⇒ r = 2 1 −
2
2
=⇒ r = 1
π 5π Tenemos ası́ntotas verticales en los puntos (4, π), 1,
y 1,
3
3
Gráficas polares especiales
Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma
polar que en forma rectangular.
Caracol con lazo interior
a
<1
b
Cardioide
a
=1
b
Caracol con hoyuelo
a
1< <2
b
18
Caracol convexo
a
≥2
b
Curva rosa
r = a cos(nθ)
Curva rosa
r = a cos(nθ)
Curva rosa
r = a sin(nθ)
Curva rosa
r = a sin(nθ)
Cı́rculo
r = a cos(θ)
Cı́rculo
a sin(θ)
Lemniscata
r2 = a2 sin(2θ)
Lemniscata
r2 = a2 cos(2θ)
Ejercicios . para practicar
1. Grafique el punto cuyas coordenadas polares están dadas. Luego, determine las coordenadas cartesianas del punto.
√
)
b) (1, 5π
)
c) (2, − 7π
)
a) (− 2, 5π
4
2
6
2. Bosqueje la curva con la ecuación polar dada, graficando primero r como una función
de θ en coordenadas cartesianas.
a) r = −2 sin θ
c) r = 4 sin(3θ)
e) r2 = 9 sin(2θ)
b) r = 1 − cos θ
d) r = 3 cos(6θ)
f) r2 = cos(4θ)
3
3. Encuentre la pendiente de la recta tangente para la curva polar dada en el punto
especificado por el valor de θ.
19
a) r = 2 sin θ; θ =
π
6
b) r = cos
θ
3
; θ=π
c) r = 1 + 2 cos θ; θ =
π
6
4. Encuentre los puntos sobre la curva dada donde la recta tangente es horizontal o
vertical.
a) r = 3 cos θ
b) r = 1 − sin θ
20
c) r = 1 + cos θ