(Rn,Tu)
Br(a):={x
Br(a)=]a−r,a+r[
d(x,a)=(x1−a1)2+(x2−a2)2+(x3−a3)2
d(x,a)=(x1−a1)2+(x2−a2)2
d(x,a)=|x−a|
a=(a1,a2,...,an)
Br(a)¯:={x
Br(a)={(x,y)
Br(a)=[a−r,a+r]
Br(a)={(x1,x2,x3)
∀
A
α=min{k12,k22}
k2=r2−d(x,b)
k1=r1−d(x,a)
int(I2)=(0,1)×(0,1)
B=Rn−A:={x
S1={(x,y)
Z=X1∩X2
X2=Rn−B
X1=Rn−A
⊆
x∈
Rn
A, ∃∈
B,∈Rn
R2
∈
xRn
∈
∈
R2
∈
:Rn
B:d(x,a)<r}
x2+y2=1}
Rn
⊆
d(x,a)≤r}
:∈:(x−a1)2+(y−a2)2≤r2}
(x−a1)2+(y−a2)2<r2}
AR3
x∉A}
: ∑1≤i≤3(xi−ai)2≤r2}
∑1≤i≤3(xi−ai)2<r2}
1. Abiertos y Cerrados de la Topología usual o
euclídea
En esta página vamos a ver los conceptos de las bolas abiertas y cerradas y de los
conjuntos abiertos y cerrados en la topología usual de los espacios reales, es decir, en
los espacios topológicos:
(Rn,Tu)
Daremos ejemplos ilustrados y propiedades de estos conjuntos, como la intersección
y la unión.
Contenido de esta página:
1.Bola abierta
2.Bola cerrada
3.Conjunto abierto
4.Conjunto cerrado
1. Bola abierta
Definición 1.1.
Sea el punto
a=(a1,a2,...,an)∈Rn
llamamos bola abierta de centro a y radio r al conjunto
Br(a):={x∈Rn : d(x,a)<r}
donde d(x,a) representa la distancia euclidea. Es decir,
Si n = 1,
d(x,a)=|x−a|
Si n = 2,
d(x,a)=√ (x1−a1) 2 +(x2−a2) 2
Si n = 3,
d(x,a)=√ (x1−a1) 2 +(x2−a2) 2 +(x3−a3) 2
Ejemplos:
En la recta real (n = 1), la bola abierta Br(a) es el intervalo abierto:
Br(a)=]a−r,a+r[
(los puntos vacíos indican que éstos no forman parte de la bola abierta)
En el plano real (n = 2), la bola abierta Br(a) de centro a = (a1, a2) es el
círculo sin borde de centro a y radio r:
Br(a)={(x,y)∈R2 : (x−a1)2+(y−a2)2<r2}
(el borde discontinuo indica que no forma parte de la bola abierta)
En el espacio real (n = 3), la bola abierta Br(a) de centro a = (a1, a2, a3) es el
interior de la esfera (sin borde) de centro a y radio r:
Br(a)={(x1,x2,x3)∈R3 : √ ∑ 1≤i≤3 (xi−ai) 2<r2}
(la superficie no forma parte de la bola abierta)
2. Bola cerrada
Las bolas cerradas se definen de forma análoga pero con el signo de desigualdad no
estricta. Por tanto, las bolas cerradas contienen a sus respectivas bolas abiertas.
Definición 1.2.
Sea el punto
a=(a1,a2,...,an)∈Rn
llamamos bola cerrada de centro a y radio r al conjunto
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯Br(a):={x∈Rn
: d(x,a)≤r}
Ejemplos:
En la recta real (n = 1) la bola cerrada de centro a y radio r es el intervalo
cerrado:
Br(a)=[a−r,a+r]
En el plano (n = 2) la bola cerrada de centro a = (a1, a2) y radio r es el círculo
con borde de centro a y radio r:
Br(a)={(x,y)∈R2 : (x−a1)2+(y−a2)2≤r2}
En el espacio (n = 3) la bola cerrada de centro a = (a 1, a2, a3) es el interior de
la esfera (sin borde) de centro a y radio r:
Br(a)={(x1,x2,x3)∈R3 : √ ∑ 1≤i≤3 (xi−ai) 2≤r2}
(la superficie forma parte de la bola cerrada)
3. Conjunto abierto
Definimos los conjuntos abiertos en la topología usual como
Definición 1.3.
Un conjunto
A⊆Rn
es abierto para la (topología usual de ℝn ) si
∀x∈A, ∃B, x∈B⊆A
donde B es una bola abierta.
Es decir, A es un conjunto abierto si para cualquier punto x de A existe una bola
abierta contenida en A que contiene a dicho punto x.
Nota: el conjunto vacío y el conjunto total (ℝn) son abiertos en todas las topologías.
Ejemplos (y proposiciones):
Toda bola abierta Br(a) es un conjunto abierto:
Para cada punto x del conjunto A = Br(a), el punto x está en la bola A contenida
en A.
El cuadrado sin borde
int(I2)=(0,1)×(0,1)
es un conjunto abierto del plano real.
Para cualquier punto del conjunto (cuadrado sin borde) podemos encontrar una
bola que esté dentro del conjunto.
Las bolas cerradas no son conjuntos abiertos:
Dado un punto del borde de la bola (d(x,a) = r), no existe ninguna bola abierta
que contenga a dicho punto y que esté contenida en la bola cerrada.
La unión de abiertos es un abierto.
Caso de la unión finita:
Supongamos que se trata de la unión de dos abiertos A y B.
Si x es un punto de esta unión, entonces es un punto de A o de B.
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que x está en A. Como A es un
abierto, contiene una bola abierta U que contiene a x. Pero entonces, la
bola U también está contenida en la unión A∪ B.
La intersección finita de bolas abiertas es un abierto.
Supongamos que tenemos dos bolas abiertas A y B y que x es un punto de la
intersección C = A∩B.
Sean r1 y r2 los radios de las bolas abiertas A y B, respectivamente. Y
sean a y b sus respectivos centros.
Como x está en C, está en A y en B. Por tanto, la distancia de x a los centros
de A y de B es menor que r1 y r2.
Sean
k1=r1−d(x,a)
k2=r2−d(x,b)
α=min{k1/2,k2/2}
Entonces, la bola de centro x y de radio α está contenida estrictamente en las
bolas A y B y, por tanto, en su intersección C.
En la imagen, el disco rojo es la bola A y el disco azul es la bola B. El
segmento rojo mide k1 y el segmento azul mide k2. La bola verde tiene
radio k2 / 2.
La intersección finita de abiertos es un abierto.
Es consecuencia de que la intersección finita de bolas abiertas sea un abierto.
4. Conjunto cerrado
Definimos los conjuntos cerrados en la topología usual como
Definición 1.4.
Un conjunto
A⊆Rn
es cerrado (para la topología usual de ℝn ) si su complementario B, definido como
B=Rn−A:={x∈Rn : x∉A}
es un conjunto abierto.
Ejemplos (y proposiciones):
Toda bola cerrada es un conjunto cerrado
Representación de una bola cerrada del plano real:
Representación del complementario de la bola cerrada:
Cualquier punto es un conjunto cerrado.
La circunferencia S1 del plano
S1={(x,y)∈R2 : x2+y2=1}
es un conjunto cerrado.
Dado un punto x de la circunferencia, no existe ninguna bola abierta que lo
contenga y que esté dentro de la circunferencia.
Un conjunto puede ser no abierto y no cerrado
Un conjunto puede ser abierto y cerrado
En la topología usual, los únicos conjuntos que cumplen que son abiertos y
cerrados son el conjunto vacío y el conjunto total (ℝn).
En general, en los espacios conexos, los únicos conjuntos abiertos y cerrados
son el vacío y el espacio total.
La unión finita de cerrados es un cerrado
Sean A y B dos conjuntos cerrados y sea su unión C = A ∪ B.
Los complementarios de A y B,
X1=Rn−A
X2=Rn−B
son conjuntos abiertos.
Por tanto, su intersección
Z=X1∩X2
también es un abierto (intersección finita de abiertos).
Por las leyes de De Morgan, Z es el complementario de C (la intersección de
los complementarios es el complementario de la unión).
Como Z es el complementario de C y es abierto, entonces C es cerrado.
La intersección de cerrados es un cerrado.
Caso de intersección finita:
Sean A y B dos cerrados, para probar que su intersección es cerrada hay que
probar que su complementario es abierto.
Por De Morgan, el complementario de la intersección de A y B es la unión de
los complementarios de A y de B. Pero como los complementarios de A y
de B son abiertos, su unión también lo es.
